Eisen-Bibliothek
Stiftung der Georg Fischer Aktiengesellschaft Schaffhausen
EM/RFA2 55/565

; das Rt
| PHILOSOPHLE
NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA
Autore#5 NEWTON, Trin. Coll. Cantab. Soc. Mathefeos Profeflore Lucafi ano,& Societatis Regalis Sodali.
IMPRIMATUR: Ss. PEPYS Re. S-PRASES " Faulii 5. 1686.
Juffü Societatis Regie ac Typis Tafıphi St Streben, PA Vena-. les apud' Sam. Smith ad infignia Principis Wallie in Coemiterio| D. Panli, aliofq; nonnullos Bibl DE Anno MDCLXXXVIL/

A 4

ILLUSTRISSIM EZ SOCIETATI REGALL a Sereniflimo:.
5 AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM{ ET-AUSPICIIS
POTENTISSIMI MONARCHZ.
GALT. II
FLORENTL
Tra&atum hunc humillime D..D. D.
75. NEWTON.

je

PRAFATIO. BEE LOREM
UmVeteres Mechanicam( uti Author ef Pappus) in rerum Naturalium CC invefkigatione maximi fecerint,& recentiores, miffts formis(ubfantialibus& qualitatibus occultis, Phenomena Natura ad leges Mathematicas 7e%004ze aggreffi fint: Vifum eft in hoc Traötatu Marhefin excolere quatenus ca ad Philoßphiam /pe/fat. Mechanıcam wvero duplicem Veteres conftituerunt> Rationalem que per Demonftrationes accurate procedit,& Practicam. Ad practicam(peitant Artes omnes lanuales, a guikus utiq; Mechanica 20me% mufuata ef. Cum autem Artifices parum accurıte operari oleant, fit ut Mechanica omnis a Geometria{ta diftinguatur, ut quicquid accuratum fit ad Geometriam refer.ıtur, quicquid. minus accuratum ad Mechanicam. Aitamen errores 0% Junt Artis[ed Artifioum. Qui minus acouräte operatur, imperfectior ef Meochanicus,& fi quis accurati/fime oper iri poffet, hie foret Mechanicwes ommninm perFe&tifimus. Nam& Linearum re&tarum& Cireulorum defcriptiones in quibus Geometria fendatur, ad Mechanicam pertinent. Has lin:as deferibere Geometria%0% docet[ed poftulat. Poftulst enim ut Tro eafdem accurate defcribere prius didicerit quam limen attingat Geometrie; dein; quomodo per has operationes Pr;blemata folvantur„ docet. Reitas& circulos defcribere Pro'lemata funt fed non Ge: metrica. Ex Mechanica poftulatur bhorum folutio„in Geometria doöcetur folutorum ufns. As gloriatur Geometria qucd tam paucts principiis aliunde petitis tam multa praftet. Fundatur igitur Geometria ig praxi Mechanica,& nihil alind'eft quam Mechanicz univerfalis
ars illa que artem menfurandi accurate proponit ac demonfirat. Cum antem artes Manuales in corporibss movendis precipue werfentur, fit ut Geometria ad magnitudinem, Mechanica ad motum uulgo referatur, Qua fenfu Mecha'nica rationalis er/? Scientia Motunm qui ex viribusguibufenng; refultant,& vis Tium qua ad motus quofcung; requiruntur, accurate propoßta ac demonftrata, Pars hei Mechanice a Veteribus in Potentiis quinque ad artes manirales(pedtantibaus exeultafnit, qui Gravitatem( cum potentia Mannalis non fit) vix-aliter qugm im ponderibus per potentias illas movendis confiderarunt,. Nas autewm nom Artidus fed Philofophie confulentes,deg; potentiis non manualibus(cd zaturalibus eribenfes, camaxime tractamus que ad Gravitatem, levitatem, vim Elafßicam, refiftentiam

Prafatio-ad’ LeCorem. nehm tiam Fluidorum& ejufimodi vires fem attrackivas fen impulfivas pettant© Et 4 propter hec noftra tanguam Philofophie principia Mathematica proponimus. Ompnis enim Philofophie dificultas in co verfart videtur, ut a Phenomenis motuum invefigemnus Vires Nature, deinde ab bis viribus demonfremus phenomena reliqua. Et hac fpe&ant Propofitiomes generales quas Libro primo& Secundo pertractauimms. In Libro autem terti) exemplum hujus rei propo/uimus per explicationem Syftematis mundani, Ibi enim, ex prenomenis caleftibus, per Propofitiones i# Libris priorihus Mathematice demonftratas, derivantur vires gravitatis quibus corpora ad Solzm& Planetas fingulos tendunt. Deinde ex his wiribus per Propofitiones etiam Mathematicas deducuntur motus P lanetarum,, Cometarum, Luna& Maris, Utinam cetera. Nature phenomena ex principiis Mechanicis eodem argumentandi genere derivare heeret, Nam multa mc mowent ut nonnibil fufpicer ea omnia ex viribus quibufdim pendere poffe,quibus corporum particule per caufas: nondum cognitas velin(e mutuo impelluntur& fen chndum fignras regulares coharent,vel abinvicem fugantur& recedunt: quibus wiribus:ienotis, Philofophi hattenus Naturam fruftra tentarunt. Spero- autem quod vel huic Philofophandi modo, vel. veriori alicni, Principia hic pofita Incem aliquam prabebunt.
In his edendis, Vir acutiffimus&“ in. cmni. literarum genere eruditiffimus Edmundus Halleius operam navavit, nec(olum Typotherarum Sphalmata corzexit Cr Schemata incidi curavit,[ed etiam Author fuit ut horum editionem aggrederer. Quippe cum demonfratum a me fizuram Orbium caleftinm impetraverat, rogare nom defitit ut cadem cum Societate Regali communicarem, Que deinde hortatibus& benignis Suis aufpiciis effecit ut de cadem in Iucem emittenda cogitare.inciperem. At poftquans Motunm Lunarium inaqualitates aggre[Jus effem, deinde etiam- alia tentare capi|fem qua ad leges Kan Gravitatis& aliarum virium, ad figuras a corporibus(ecumdum HDatas quafennque lezes attractis deferibendas, ad motus corporum plurinm inter fe, ad motus corporum in Mediis refiftentibus, ad vires, denfitates&motus Mediorum, ad Orbes Cometarum€& fimilia Spettant, editionem in alind tempus.differendam effe putavi, ut catera.rimarer& una in pilicum-darem. Que:ad motus Lunares fpetant,( imperfec-a fint,) in Corollariis Propcfitionis LXVI. fimnul complexus um, ne fü gula methodo prolixiore quam pro,rei dignitate proponere,& figsllatim. demonfFraretenerer;& feriem reliquarum Propofitionum interrumpere, Nomnulla(ero inventa locis minus idoneis inferere malnt, quam numerum Propofitionum Ö* cita-tiones mutares‘ Ut ommniacandide legantüur,&'defettus,. in materi: tan difficili #on tam reprehendantur,quam novis. Lectorum conatibus invefligentur,& benigne fuppleantur, entxe 7080.;)
IN

® ‚Sr
ya Ss SD RS
A
m KR A a a DW BGM 8 aß
FA ili.
ne
IN
VIRI PRASTANTISSIME
D. ISAACI NEW TONI N VOTHE U ETEECEM
Secnli Gentifgne noftre Decus egreginm.
N tibi norma Poli,& divz libramina Molis,
Computus atque Jovis; quas, dum primordia rerum Pangeret, omniparens Leges violare Creator Noluit, zternique operis fundamina fixit.
Intima panduntur victi penetralia cal,
Nec latet extremos quz Vis circumrotat Orbes, Sol folio refidens ad fe jubet omnia prono Tendere defcenfu, nec re&o tramite currus Sidereos patitur vaftum per inane moveri;
Sed rapit immotis, fe centro, fingula Gyris.
Jam patet horrificis quz fit via flexa. Cometis; Jam non miramur barbati Phenomena Aftri. Difeimus hine tandem qua caufa argentea Phoebe Paffibus haud zquis graditur; cur fubdita nulli Hactenus Aftronomo numerorum frena recufet: Cur remeant Nodi, curque Auges progrediuntur. Difeimus& quantis reflaum vaga Cynthia Pontum Viribus impellit, dum fractis fluctibus Ulvam
Defderit

‚Deferit, ac Nautis fulpectas nudat arcnas; Alternis vicibus{uprema ad littora pulfans. Que tories animos veterum torfere Sophorum, Quzque Seholas fruftra rauco certamine vexant Obvia confpicimus' nubem pellente Matheft. Jam dubios nulla caligine przgravat error Queis Superum penetrare domos atque ardua Ceeli. Scandere{ublimis Genit conceflit 2zcumen. Surgite Mortales, terrenas mittite curas Atque hinc coeligenz vires dignofcite Mentis. A pecudum vita longe läteque remotez. % Qui feriptis jufüt Tabulis compefcere Cades : Furta& Adulteria,& perjurg crimina Fraudis;. Quive vagis populis circumdare meenibus Urbes Autor erat; Cererifve beavit munere gentes; Vel qui curarum lenimen preffit ab Uva Velqui Niliaca monftravit arundine pidtosConf{ociare fonos, oculilque exponere Voces s: Humanam fortem minus extulit; ‚utpote pauca; Refpiciens miferz folummodo-cammoda vitz. Jam vero Superis convivz admittimur, alti Jura poli tradtare licet; Janique abdita coecze Clauftra patent Terr£, rerumqueimmobilis ordo, Et que preteriti latuerunt frcula mundi. _ Talia monftrantem mecum’celebrate Cameen iss, Vos qui ccelefti gaudetis nectare vefci,% NEWTON M'claufi referantem ferinia Ver, NEW TONU'M Mufis'charum;. cui pe@ore puroPhocbus adeft, totoque inceflite Numine.mentem: Nec fas eft propius Mortali attingere Divos..
EDM. HALLET.
PHILO

"PHILOSOPHIZ NATURA L 15
. Principia MATHEMATICA:
Definitiones,
Def. I
OQuantitas Materie eft menfüra ejufdem orta ex illins Denfitate&
Magnitudine conjunetim.,
A A Er duplo denfior in duplöo fpatio quadruplus eft. Idem;
intellige de Nive et Pulveribus per compreflionem vel liquefa&ionem condenfatis. Et par eft ratio corporum omnium, quz per caufas quafeung; diverfimode condenfantur. Medi interea, fi quod fuerit, interfütia partium libere pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem” quantitatem{fub nomine corporis vel Maffz in fequentibus paflim intelligo. Innotefcit ca per corporis cuju(q; pondus. Nam ponderi proportionalem efle reperi per eXpe» rimenta pendulorum accuratiflime inftituta, uti pofthac docebitur.
B Def.

Def. I. Onantitas motns eft menfura ejnfdem orta ex Velocitate‘ et quantitate Materie conjunCtim.“;
Motus totius eft fumma motuum in partibus fingulis, adeoq; in corpore duplo majore xquali cum Velocitate dupluseft, et dupla cum Velocitate quadruplus.;
Def. I.
Materig-wis infita eff potentia vefiftendi, qua corpus unumquodq;, quan“WM 4m in fe eft, perfeverat in ftatn fno vel quiefcendi wel movendi uniformater ın directum..
Hoc femper proportionalis eft{uo corpori, neq; differt quic-. quamab inertia Malz, nifi in. modo concipiendi... Per ‚inertiam materix fir ut corpus omne de ftatu 1uo0 vel quiefcendi vel movendi dificulter deturbetur.. Unde etiam visinlita nomine fignifican-tiflimo. vis inertig dici-poflit. Exercet vero corpus hanc vim{o.um-modo. in mutatione{ftatus fuı per vim aliam in fe impreflam facha,. eftq; exercitium cjus{ub diverlo refpeCtu et Refiftentia et Impetus= Refiftentia quatenus corpus ad confervandum ftatum fuum reludatur vi impreffg; Impetus quatenus corpus idem, vi refiftentis obftaculi difficulter cedendo,conatur ftatum e)us mutare. Vulgus Re-. filtentiam quiefcentibuset Impetum moventibus tribuit 5 fed motuset quies, uti vulgo concipiuntur, refpedu{olo diftinguuntur ab. jnvicem,. neq; femper vere quiefcunt quz vulge tanıquam quiefcen„ ta fpeckantur._ Vis impreffa oft" aCtio in corpus exercita, ad mntandım ejus ftatunewel quiefcendi vel movendi unıfor miter in direcinm. w Confifit kac vis in actione fola, neq; poft actionem permanet incorpore, Perfeverat enim corpus in ftatu omni noyo per folam

{21
—vim inertige. Eft autem vis imprefla diverfarum originum,. ut cx jC&u, ex preflione, ex vi centripeta.
Def. V.
Vis centripeta eft qua corpus werfus punstunm aliquod tangnam ad conirumtrahitur, impellitur, vel uteung; tendit.
Hujus generis eft gravitas,qua Corpus tendit ad centrum Terre: Vis magnetica, qua ferrum petit"centrum Magnetis, et vis illa, quecung; fit, qua Planetz perpetuo retrahuntur a motibus redtiJineis, et in lineis curvis revolvi coguntur. Eft autemvis centripetz quantitas trium generum, abfoluta, acceleratrix et motrix.
Def. VI
Vis centripet@ quantitas abfoluta eft menfura ejufdem major vel. minor pro efficacia canfe eam propagantis a centro per regiones In Circuit.
Uti virtus Magnetica major in uno magnete, minor inalio. Def. VE.
Vis centripete quantitas acceleratrix eft ipfins menfuraVelocitati proportionalis, quam datotempore generat,
Uti Virtus Magnetis ejufdem major in minori Diftantia, minor in majori: vel vis gravitans major in Vallibus,minor in cacuminibus 'przaltorum montium( ut experimento pendulorum conftat‘) atq; adhuc minor(ut pofthac patebit) in majoribus diftantiis a Terrazin xqualibus autem diftantiis eadem undiq; propterea quod corpora _ omnia cadentia( gravia an levia, magna an parva) fublata Aeris
refiftentia, zqualiter accelerat. Def. VII Vis centripete quantitas motrixeft spfins menfura proportionalis moIni, quem dato tempore generat, ‘Uti pondus majus in majori corpore, minus in mMinore; Ing; COP| Ba Ve pore

) L41..> pore eodem majus prope terram, minus in calis. Hec vis eft cor poris totius centripetentia feu propenfio in centrum&( ut ita dicam) pondus,& innotefcit femper per vim ipfi contrariam.& x qualem, qua defcenfus corporis impediri potelt.
Hafce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires abfolutas,acceleratrices& motrices,& diftinctionis gratia referre ad corpora,‚ad corporum laca,&ad centrum virtum:Nimirum vim motricem ad corpus,tanquam conatum& propenfionem totius in centrum, ex propenfionibus omnium partium compofitum;& vim acceleratricem ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca fingula in circuitu diffufam, ad movenda corpora quz in ipfis fünt; vim autem abfolutam ad centrum, tanquam caufa aliqua preeditum, fine qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu; five cauf illa fit corpus aliquod centrale( quale eft Magnes in centro vis Magneticg vel Terra in centro vis gravitantis five alia aliqua que non apparet. Mathematicus(altem eft hic concep-tus. Nam virium caufas& fedes phyficas Jam non expendo...
Eftigitur vis acceleratrix ad vim. motricem ut-celeritas ad: mo-. tum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate dudta’in quanti- tatem Materie,& vis motrix cx vi acceleratrice ducta ın quantitatem ejuldem materige. Nam fumma actionum vis acceleratricis in. fingulas corporis particulas eft vis motrixtotius. Unde juxta Superficiem Terre, ubi gravitas acceleratrix feu vis gravitans incorporibus univerfis eademeeft, gravitas motrix feu ‚pondus eft ut. corpus: at{iin regiones afcendatur ubi gravitas acceleratrix fit mi-.. nor, pondus pariter minuetur, eritq; femper-ut corpus in gravita-.. tem acceleratricem du&um. Sic in regionibusubi gravitas accele-. ratrix. duplominor eft, pondus corporis duplo vel triplo. minoris.. erit quadruplo vel fextuplo minus.! e
Porro attractiones et. impulfus eodem: fenfü acceleratrices.& motrices nomino.. Voces autem attractionis, impulfus vel propenfionis cujufcung;in centrum,indifferenteret pro fe mutuo promifeue ufurpo, has vites non phyfice{ed.Mathematice tantum confide"; rando

N Es)) rando. Unde caveat le&or ne per hujufmodi voces cogitet me. fpeciem vel modum aCkionis caufamveaut rationem phyficam alicubi definire, velcentris(que funt punda Mathematica) vires' vere et phyfice tribuere, fi forte aut centra trahere, aut vires centrorum efle dixero. Scholinmt.
Hadtenus voces minus notas, quo in fenfüu in fequentibus accipiendz funt, explicare vi(um eft. Nam tempus,{patium, lo"cum et motum ut omnibus.notiflima non definio. Dicam tamen quod vulgus quantitates hafce non: alıter quamex relatione ad fenfibilia concipit. Et inde oriuntur preejudicia quaedam, quibus. tollendis convenit eafdem in abfolutas.& relativas, veras& appa- rentes,.Mathematicas et vulgares.diftingui..) ‚1. Tempus abfolutum.verum.& Mathematicum, in fe& natura füa abfq; relatione ad externum quodvis, zquabiliter fluit, alioq; “nomine dicitur Duratio; relativum apparens& vulgare eft fenfi- bilis 8& externa quzvis Durationis ‚per motum menfüura,( feuaccurata feu inzquabilis)-qua-vulgus vice veri temporis utitur 3 ut Hora, Dies, Menfis, Annus.; IL Spatium abfolutund natura füa abfq; relatione ad externum: quodvis{femper manet fimilare& immobile; relativum eft fpatii hujus menfura{eu dimenfio quelibet mobilis,quz a fenfibus noftris: er fitum(uum ad corpora definitur,& a vulgo ‚pro fpatio im- mobiliufurpatur: utidimenfio fpatii{ubterranei, aerei ‚vel c@- leftis definita per fitum fuumad Terram. Idem{(unt fpatium ab- folutum& relativum, fpecie& magnitudine, fed non permanent idem: femper numero. Nam fi Terra, verbi gratia, movetur,. {patium Aeris noftriquod relative& refpedü Terrz femper ma- net idem, nunc erit una pars fpattabfoluti in quam Aer tranfit,.-, nunc alia parsejus,& fic abfolute mutabitur perpetuo, III, Locus eft pars fpatiiquam corpus occupat, eftq; pro ras=LIONE:

‘tione fpatii vel abfolutus vel relativus.* Partem dico fpatii, non fitum corporis vel füperficiem ambientem. Nam folidorum zquaJium zquales femper funt loci; Superficies autem ob diflimilitudinem ‚ figurarum ut plurimum inzquales{unt; fitusvero proprie loquendo quantitatem non habent, neq; tam funt loca quam affeCtiones
locorum.| Motus totius idem eft cum fumma motuum partium, hoc eft, tranflatiototius de ipfius loco ceadem cum fumma tranf{lationum partium de locis füis, adeog; locus totius idem cum(umma ‚Tocorum partium,& propterea internus&' in corpore toto. IV. Motus ablolutus eft tranflatio corporis de loco abfoluto in Tocum. abfolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi "qux velis paflıs fertüt,“relativuscörporis locus eft!navis regio illa “In qua corpus verfatur, feu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, queq;adeo movetür una cum Navi:& Quies relativa eft permanfio, corporis in eadem’illa mavis’ regione‘ vel‘ parte cavita“tis.. At Qules vera eft‘ permanfio corporis"in ecadem parte{patii illius immoti in qua Navis ipfa una cum cavitate(ua& contentis "univerfis movetur. Undefi Terfa vere quiefcit, corpus quod relativequiefeitin Navi, movebitur vere et abfolute ea cum Velocitate ‚qua Navis movetur in Terra.. Sin Terra etiam movetur, orletur verus et abfolutus corporis motus partim ex Terre, motü vero in {patio immoto, partim ex Navis motu relativo in Terra: et fi corpus etiam movetur relative in Navi, orietur verus ejus motus partim ex vero motu Tertz in{patio immoto, partim ex relativisı mobus tum Navisin Terfa, tum corporis in Navi, et'ex’his motibus " relativis orıetur cörporis motus relativus’ in Terra. Urfi Terrz pars illa ubi Navis verfatur moveaturvere in Orientem, cum Volocitate partium 10010, et velisventög; feratur Navisin Occidentem cum
Velocitate partiıum decem, Nauta’autem ambulet in Navi Orientem verfus cum Velocitatis parte una, movebitur Nauta"vere ef
abfolute in fpatio immoto cum Velocitatis partibus 10001 in Orientem, et relative in Terra Occidentem verfüs cum Velocitatis ‚partibus novem,| i
Tempu Ss

Erz Tempus abfoliitum 2 relativo diftinguitur in Aftronomia per Equationem Temporis vulgi. Inzquales enim{unt dies Naturales, qui vulgo tanquam xquales pro Menfura Temporis habentur. Hanc ingqualitatem corrigunt Aftronomiutex veriore Tempore men{urent motus czleftes.:-Poffibile eft ut nullus fit motus zquabilis quo Tempus accurate menfuretur. Accelerarı&retardarı poflunt motus omnes;{ed Huxus Temporis abfoluti mutari nequit. Eadem eft duratio feu perfeverantia exiftentig rerum, five motus fint celeres, five tardı, five nulli 5 proinde hzc a menfuris fuis fenfibilibus merito diftinguitur,& ex ij(dem colligitur per A. quationem Aftronomicam... Huyus autem zquationis in determinandis Phznomenis neceflitas, tum. per experimentum Horologii ofcillatori, tum etiam: per Eclipfes Satellitum Jovis evincitur,.. Ur partium Temporis ordo eft immutabilis, fic etiam ordo par- tium Spatil. Moveantur hz de locis fu1s,& movebuntur(utita ‚dicam)'defeipfis. Nam Tempora& Spatia{unt{ulipforum&: rerum omnium quafi loca, In Tempore quoad ordinem{uccefli- onis; in Spatio quoad ordinem fitus locantur univerfa.:. De illorum Fflentia eft ut fint loca,& loca_primaria moveri abfurdum eft. Hexc.{unt igitur abloluta loca,& 1olz tranflationes de his lo- cis(unt, abioluck MOM: OD eo Aa|; “ Verum quoniam hz{patii partes videri nequeunt,& ab. invi- cem per fen{us noftros diftingun, earum vice:adhibemus menfuras fenfibiles. Ex pofitionibus enim 8 diltantüs reruma corporealiquo, quod{peCamus ut immobile, definimus loca univerfa; deinde etiam&. omnesmotus x{timamus cum refpectu ad pradicta loca, quatenus corpora ab iüfdem transferri concipimus. Sic vice loco- rum.& motuum abfolutorum relativis utimur, nec incommode ın rebus humanıs: in Philofophicis autem abitrahendum eft a fenfibus. Fieri etenim poteft.ut nullumrevera quiefcat corpus, ad quod loca motufg; referantur. Diftinguuntur autem Quies 8 Motus abfoluti& relativiabinvi= cem-per'corum proprietates, caufas& effedus. Quietis proprietas ‚ef

[8] eilt, quod corpora vere quiefcentia ‚quiefcunt inter fe. Ideoq; cum poflibile fit ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe ultra, quiefcat abfolute; fciri autem non poflit ex fitu corporum ad invicem in regionibus noftris, utrum horum aliquod ad longinquum illud datam pofitionem fervet, quies vera ex horum{fitu inter fe definiri nequit.;
Motus proprietas eft, quod partes quz datas{ervant pofitiones adtota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes conantur recedere de axe motus, et progredientium impetus oritur ex. conjuncto impetu partium fingularum. Igitur. motis corporibusambientibus, moventur quz in ambientibus relative quiefcunt. Et propterea motus verus et abfolutus definiri 'nequit. per tranflationem e vicinia corporum, quz tanquam qulelcentia{pedtantur. Debent corpora externa non folum tanquam quiefcentia fpettari, fed etiam vere quiefcere. Alioquin inclufa omnia, przter tranflationem€ vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros, et fublata illa tranflatione non vere quiefcent, fedtanquam quiefeentia folummodo fped&tabuntur; funt enimambientia ad inclufa ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nucleus etiam, abfq; tranflatione de vicinia corticis, ceu pars totius, movetur.
Przcedenti proprietati affinis eft, quod moto loco movetur una locatum, adeoq; corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci{ui motum. Igitur motus omnes, qui de locis motis fiunt, funt partes folummodo motuum integrorum et abfolutorum, et motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco fuo primo, et motu loci hujus de loco fuo, et fic deinceps, ulq; dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Nautz i{upra memorato. Unde motus integri et abfoluti non nifi per loca immota definiri poffunt, et propterea hos ad loca immota, relativos ad mobilia fupra retuli: Loca autem immota non funt, nıfi qux omnia ab infinito in infinitum datas fervant

E22] vant pofitiones ad. invicem, atq; adeo femper manent immota,(patiumq; conftituunt quod immobile appello. a Caufße, quibus motus veriet relativi diftinguuntur ab invicem, funt vires in corpora impreffe ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur nifi per vires In ipfem corpus motum impreflas: at motus relativus generari et mutari poteft abfq; viribus impreffis in hoc corpus. Suflicit enim ut imprimantur ın alia folum corpora ad quz fit relatio,‘ut 1js cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus confiftit. Rur{us motus verus a viribus in corpus motum impreflis femper mutatur, at motus relativus ab his viribus non mutatur neceflarıo. Nam {iexdem vires in alia etiam corpora, ad que fit relatio,{ic imprimantur ut fitus relativus confervetur,. confervabitur relatio in qua motus relativus confiftit. Mutari igitur poteft motus omnis relativus ubi verus confervatur, et confervarı ubi verus mutatur; et propterea motus verus in eju{modi relationibus minime confiftit. _ Effed&us quibus motus abfolutiet relativi difünguuntur ab invicem, funt vires recedendi ab axe motuscircularis. Nam in motu circuları nude relativo hz vires nullz funt, in veroautem et abloluto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat fitula a filo przlongo, agaturq; perpetuo in orbem donec filum a contorfione admodum rigefcat, dein impleatur. aqua, et una cum aqua quiefcat; tum vi aliqua fubitanca agatur motu contrario in orbem, et filo fe relaxante, diutius perfeveret in hoc motu: fuperficies aque fubinitio plana erit, quemadmodum ante motum vafis, at poftquam; vi in aquam paulatım impreffa, effecit vas, ut hzc quoq; fenfibiliter revolvi inciplat, recedet ıpfa paulatim e medio, alcendetq; ad latera vafis, figuram concavam induens,( ut ipfe expertus{um) ‚et incitatiore femper motırafcendet magis& magis, donec revolutiones in xqualibus: cum vale, temporibus. peragerdo, quiefcat in codem relative. Indicat hit alcenius conatum recedendi abaxemotus,& per talem conatum innotelcit& menfuratur motus aqua circularis verus& abfolutus, motuig; rclativo hic C omni

Erw)
omnino contrarius. Initio ubi maximus erat aquz motus relativus in vale, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe: Aqua nen petebat circumferentiam afcendendo ad latera: vafis;(ed plana manebat, 8 propterea motus illius circularis verus nondum ınceperat. Poftea veroutaquz motus relativus decrevit, afcenfus ejus ad Jatera vafis indicabat conatum recedendi ab axe, atq; hic conatus mon{trabat motum illius cireularem verum perpetuo Crefeentem, ac tandem maximum fadum ubı aqua quiefcebat in vale relative. Igitur conatus ilte non pendet a tranflatione aquz refpeChu corporum ambientium,& propterea motus circularıs verus per tales tranflationesdefiniri nequit. Unicus eft corporis cujuig; revolventis motus vere circularis,conatur unico tanquam proprio& adequato effecui refpondens; motus autem relativi pro varijs reJationibus ad externa innumeri funt,& relationum inftar, effechibus veris omnino deftituuntur, nilz quatenus de vero ıllo& unico motu participant. Unde& in Syftemate eorum qui Czlos noftros infra Czlos fixarum in orbem revolvi volunt;& Planetas fecum deferre; Planetz& fingule Czlorum partes, qui relative quidem in Celis fuis proximis quiefcunt, moventur vere. Mutant enım pofitiones fuas ad invicem( fecus quam fit in vere quiefcentibus) unaq; cum cezlis delati participant eorum motus,& ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus recedere conantur.
Tgitur quantitates relative non funt ex ipfx quantitates quarum nomina pre fe ferunt,fed earum menfure ille fenfibiles(verz an errantes) quibus vulgus loco menfuratarum utitur. Atfi ex uf definiende iunt verborum fignificationes; per nomina illa Temporis; ‚Spatij, Loci& Motus proprie intelligendz erunt he menfürz;& fermo erit infolens& pure Mathematicus fi quantitates menfüuratz hic fubintelligantur. Proinde vim inferunt Sacris literis qui voces hafce de quantitatibus menfuratis ibi interpretantur. Neq; minus contaminant Mathefin& Philofophiam qui quantitates veras cumipfarum relationibus& vulgaribus menfuris confundunt.
Motus

Motus quidem veros corporum fingulorum cognofcere,& ab apparentibus actu diferiminare, difficillimum eft 5 propterea quod partes{patij ıllius immobilis in quo corpora vere moventur, non incurrunt in fenfus.. Caufa tamen non eft prorfus defperata., Nam fuppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus, qui {unt motuum verorum differentie, partım ex viribus quz fünt motuum verorum cauße 8 effe&us. Utfiglobi duo ad datam ab invicem diltantiam filo intercedente connexi, revolverentur Circa commune gravitatis centrum. 5 innoteiceret ex tenfione fili canatus globorum recedendi ab axe motus,& inde quantitas MotusCitCUJarıs computari poffet. Deinde fi vires quzlibetxquales in alternas globorum facies ad motum citcularem augendum vel minuendum {imul imprimerentur, innotefceret ex aucka vel diminuta fili tenfione augmentum vel decrementum motus‘;& inde tandeminvens ri-poflent facies globorum in quas vires imprimi deberent,ut motus maxime augeretur, id eft facies poftice, five quz in Motu Circu‚ Jari fequuntur. Cognitis autem faciebus que fequuntur 8 faciebus oppofitis que precedunt, cognofceretur ‚determinatio‘motus. In hunc modum inveniri poflet& quantitas& determinatio mofüs hujus circularis in vacuo quovis immenfo, ubi nihil extaret externum& fenfibile, quocum globi conferri poflent. Si Jam conftituerentur in{patio illo corpora aliqua longinqua datam inter fe pofitionem fervantia, qualia{funt ftelle fixz in regionibus noftris {cirı quidemnon poflet ex relativa globorum tranflatione inter corpora, utrum his an illis tribuendus eflet motus. At fi attenderetur ad filum& inveniretur tenfionem ejus illamipfam elle quam motus globorum requireret; concludere liceret. motum efle globorum,& tum demum ex tranflatione globorum inter corpara, determinationem hujus motus colligere. Motus autem vcros ex eorum caufis, effechbus& apparentibus differentijs collizere,& contra, ex motibus feu veris feu apparentibus, eorum catilas& effeCtus, docebitur fufius in fequentibus. Hunc enim in finem TraCtatum fequentem compoful
CS AXIO

AXIOMACTA LEGESMOTUS
Lex. I
Corpus ommne perfeverare in ftatn(no quiefcendi vel movendi uniformiter in dire&ium, nifı quatenns aviribus impreffis cogitur fratum zllum mutare..
yRojeckilia perfeverant in motibus fuis nifi quatenus a refiftentia aeris retardantur& vi gravitatis impelluntur deorfum.
Trochus, cujus partes coherendo perpetuo retrahunt fefe
a motibus recthilineis, non ceffat rotari nifi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum 8& Cometarum corpora motus(uo0s& progreflivos& circulares in fpatiis minus refiftentibus faCtos confervant diutius..
Lex. 11.
Mut ationem motus proportionalem effe vi motrici impreffe,& fieri feenndum lineam ve&tam qua vis illa imprimitur.
Si vis alıqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum generabit, five fimul& femel, five gradatim& fucceflive im-prefa fuerit;. Et hic motus quoniam in eandem femper plagam cum vi generatrice determinatur,{1 corpusantea movebatur, motut ejus velconfpirantiadditur, vel contrario fubducitur, vel obliquo oblique adjicitur,& cum co fecundum utriufg; determinationem componitur.. Lex. IL.

E33
Lex. II.
Afioni contrariam femper& aqualeim effe reationem: five corporuns duorum aEtiones in fe mutno femper effe quales&» in partes contrarias dirigt.
Quicquid premit vel trahit alterum, tantundemab eo premitur veltrahitur. Siquis lapidem digito premit, premitur& huJus digitusa Japide. ‚Siequus lapiıdem funi allegatum trahit, retrahetur etiam& equus zqualiter in lapidem: nam funis utrinqg; diftentus _ eodem relaxandi fe conatu urgebit Equum verfus lapidem, ac lapidem verfus equum, tantumq; impediet progreffum unius quantum promovet progreffum alterius. Si corpus aliquod incerpus
aliud impingens, motum ejus vi{ua quomodocung: mutaverit, 1dem quoque viciffim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius( ob xqualitatem preflionis mutuz) fubibit. His adtionibus zquales fiunt mutationes non velocitatum fed motuum,( feilicet in corporibus non aliunde impeditis:) Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes facte, quia
Re zqualiter mutantur, funt. corporibus reciproce proportionales.
Corol.. I.
Corpus wiribus conjun&tis diagonalem parallelogrammi eodem tempore deferibere, quo latera feparatis.
Si corpus dato tempore,: vifola M, ferretur ab A ad B,& vifola N, ab B A ad C, compleatur. parallelogrammum ABDC,& vi utraq; feretur id ecodem tempore ab A ad D. Nam% D quoniam vis N agit fecundum lineam AC ipfi BD parallelam, hzc vis nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam B D a vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam BD five vis N imprimatur,. five non, atq; adeo in fine illius temporis reperietur alicubi in linea

bc 14] illa BD. Eodem argumentoin fine temporis ejuldem reperietur alicubi in linea CD,& idcirco in utriulg; lineg concurfu D reperrinecefle elt.;
Corol. IL
Et hinc patet compofitio vis dire&te AD ex wiribus quibufzis obliquis AB&» BD,& wiciffem refolutio. vis cujufwis direte A Din obliquas quafeung; ABB D. Que quidem Compofitio > refolutio abunde confirmatur ex Mechanica.;
Ut fi de rotz alicujus centro O exeuntesradi} inzquales 0 M, ON filis M AN P füftineant pondera A& P, 8 quezrantur vires ponderum ad movendam rotam:‘per centrfum O agatur re&a KOL filıs perpendiculariter occurrens inK& L, centroq; O& intervallorum OK, OL majoreOL deferibatur circulasoccurrens filo MA in D:&'aGx redz OD parallela fit AC& perpendicularıs DC. Quoniam nihil cefert utrum filorum punda K,L, Daffixa fint vel non affixa ad planum rotx,pondera idem valebunt ac fi fulpenderentur a pundis K& L vel D&L. Ponderis autem 4 exponatur vis tota per lineam 4 D, 8 hc refolvetur in vires A4C, CD, quarum AC trahendo radium 0 D dire&te a centro nihil valet ad movendam rotam; vis autem alteraD C, trahendoradium D 0 perpendiculariter, idem valet ac fi perpendiculariter traheret radıum OL ipfi0 D xqualeim; hoc eft idematq; pondus P,quod fit ad pondus Aut vis DCad vım D Aid eft(ob fimilia triangula 4 DC,D OK) ut DO(feuOL) ad OK. Pondera igitur 4& P, quz funt teciproce ut radıi in directum pofitiO K 8& 0 L, idem pollebunt& fic confiftent in zquilibrio:(quzeft proprietas notiflima Libre‘,
ab. \

Veßis& Axis in Peritrochio:) fin pondus alterutrum fit majus
quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major.
Quod fipondus p ponder1 /P xquale partim{ufpendatur filo Np, partim incumbat plano obliquo p G:agantur p H, NH, prior horizonti, pofterior plano p G perpendicularis;& 11 vis ponderis p deorfum tendens, exponatur per lineamp H, refolvi poreft hec in vires p N, HN. Sifilo p N perpendiculare efler planum aJliquod p 1Q._fecans planumalterum p G in linea ad hörizentem parallela 5; 8 pondus p his planis pQ, pC{olummeodo incumberet urgeret illud hzc plana viribus p N, H N perpendiculariter, nimirum planump Q vip N& planum pG vi HN. Ideoque{i tollatur planum p Q ut pondus tendat filum, quoniam filum fuftinendo pondus, Jam vicem praftat planifüblati, tendeturillud eadem vipN, qua planumantea urgebatur.. Unde tenfio fili huyus obliqui erit ad tenfionem fili alterius perpendicularis PN, utpN ad pH. Ideoq; fi pondusp fit ad pondus A in ratione quz componitur ex ratione reciproca minimarum diftantiarum filorum{uorum AM,p Na centro rote,& ratione diredta pH ad p N; pondera idem valebunt ad rotam movendam, atq; adeo fe mutuo f{uftinebunt, ut quilibet experiri potelt.
Pondusautem p planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis fifli facıes internas:& inde virescunei 8 mallei innotefcunt- utpote cum vis qua pondus p urget planum p Q fit ad vim,qua idem vel gravitate{ua vel iCtu mallei impellitur fecunduml lineanı pH in plano, ut p N ad pH; atq; ad vim qua urget planum alterum pG ut pN adNH. ‚Sed& vis Cochleg per fimilem virium divifionem colligitur; quippe quz cuneuseft a vecte impulfus. Ufus igitur Corollarij huyus latiflime patet,.&/late patendo veritatem eJus evincit, cum pendeat ex Jam dictis Mechanica, tota ab Authoribus diverfimode demonftrata, Ex hifce enim facile derivantur vires Machinarum, quz ex Rotis, Tympanis, Trochleis, Vecthbus, radijs volubilibus, nervis tenfis& ponderibus directe vel oblique afcendentibus, cxterifq; potentijs MechaniCIs

nicis componi folent, ut& vires Nervorum ad animalium offa mavyenda,
Corol. IL
Quamntitas motns que colligitur capiendo(ummamı motunm faorum ad eandem partem,&“ differentiam factorum ad contrarias, non yutatur ab aßtione corporum inter fe:
Etenim aCkio eiq;contraria reactio xquales funt per Legem 3; adeoq; per legem 2, xquales in motibus efficitunt mutationes verfüs contrarlas partes. Ergo fi motus fiunt ad eandem partem, quicquid additur motui corporis fugientis(fubducetur motui corporis infequentis fic, ut{umma maneat'eadem quz prius. Sin corpora obviameant, xqualis erit fubduCtio de motu utriufg;, adeogq; differentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem.
Ut ficorpus{phzricum A fit triplo majus corpore fphzrico B,habeatq; duas velocitatis partes, et B fequatur in eadem re&a cum velocitatis partibus decem, adeoq; motus ipfius A fit ad motum ipfius B utfex ad decem: ponantur motus illis efle partium fex 8 decem,&{umma erit partium fexdecim, In corporumiigitur concur(u, fi corpus A lucretur motus partes tres vel quatuor vel quing; corpus B amittet partes totidem, adeogq; perget corpus 4 poft reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim,& B cum partibus feptem vel fex vel quing; exiftente{emper {umma partium fexdecimut prius, Sin corpus 4 lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, adeogq; progrediatur poftconcurlum cum partibus quindecim vel fexdecim' vel {eptendecim veloCtodecim; corpus B amittendo, tot partes quot Alucratuür, vel progredietür cum una parte, amiflis partıbusnovem, vel quiefcet amiflo mot(yo progreflivo! partium decem; vel regredietur cum una parteamillo motu(u6&( üt’ta dieam) una parte amplius, vel regredietur cum partıbusduabus ob detra: Cum motum progreflivum! partimm duodecim. Ag; ifa fum: mx motuum con!pirantium 1541 vel r6+odifferentix contratio* rum

Br 17—1 8&18—2 femper erunt partium{exdecim ut ante CONCUr» {um& reflexionem. Cognitisautem motibus quibufcum corpora poft reflexionem pergent, invenietur cujufq; velocitas ponendo cam efle ad velocitatem ante reflexionem ut motus poft ad motumante. Urt in cafu ultimo, ubi corporis 4 motus erat partium {ex ante reflexionem& partium oCtodecim poftea,& velocitas par+ium duarumante reflexionem; invenietur ejus velocitas partıum {ex poft reflexionem, dicendo, ut motus partes fex ante reflex-> jonem ad motus partes o&odecim polftea, ita velocitatis partes duz ante reflexionem ad velocitatis partes fex poftea. E Quod fi corpora vel non Sphzrica vehdiverfis in reCtis moventia incidant in fe mutuo oblique,& requirantur eorum motus poft reflexionem, cegnofcendus eft fitus planı a quo corpora concurrentia tanguntur in pundo concurfus; dein corporis utriulq; motus ‚(per Corol. 2.) diftinguendus eft in duos, unum huic plano perpendicularem, alterum eidem ‚parallelum: motus autem paralleli,propterea quod corpora agantin fe invicem fecundum lineam huic plano perpendicularem, retinendi funt lidem poft reflexjonem ‚atq; antea,& motibus perpendicularıbus mutationes zquales in partes contrarias tribuende funt fic, ut{umma confpirantium& differentia contrariorum maneat eadem quz prius. Ex ‘hujufmodi reflexionibus oriri etiam{olent motus circulares corporum circa centra propria. Sed hos cafus in fequentibus non confidero,& nimis longum effet omnia huc fpectantia demonftrare.
Corol. II.
-Commune gravitatis centrum ab aEtionibus corporum inter fe non umtat(ratur funm vel motus vel quietis, Cr propterea corporum 04tinne in fe mmtno agentium(* exchufis aClionibus&» impedimentis externis) commune centrum gravitatis vel quicfcit vel movetır uniformiter in direcium.
Nam fi puncta duo progrediantur uniformi cum’motu in lineis
reChis 8 diftantia corum dividatur in ratione data,.pundlum divi) D dens

. 8]
- dens vel quiefcet vel progredietur uniformiter in linea are&a. Hoc poftea in Lemmate xxi demonftratur in plano,& eadem ratione demonftrari poteft in loco folido. Ergo fi corpora quotcung; moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravitatis duorum quorumVis, ‚vel quiefcit vel progreditur unıformiter in linea re&a, propterea quod linea hörum corporum centra in rechis uniformiter progredientia‘ Jungens, dividitur ab hoc centra communi ih ratione data: fimilirter& commune centrum horum duorum 8& tert cujulvis vel quiefcit vel, progreditur uniformiter In
Jinea re&a, propterea quod ab co dividitur diftantia centri commuüunis co-porum duorum& centri corporls tert in data ratione.
Eodem modo& commune centrum horum trium& quarti cujufvis
vel quiefcit vel progredirur uniformiter in linca recta, propterea quod ab eo dividitur diftantia inter centrüum commune trium&
centrum quarti in data rarione,& fic in infinıtum. Igitur in
fyftemate corporum quz achonibus in fe invicem, alijsq; omnibus in feextrinfecus impreilis, omnino vacant, adeoq; moventur
fingula uniformiter in rectis fingulis, commune omnium centrum
; gravitatis vel quiefcit vel movetur uniformiter in diredtum.
_ Porro infyftemate duorum corporum in fe invicem agentium, cum diftantig centrorum utriufg; a communi gravitatis centro(int reciproce ut corpora, erunt motus relativicorporum corundem vel accedendi ad centrum illud velab eodem recedendi,. zquales inter fe. Proinde centrum illuda motuum xqualibus mutationibus in partes contraiias faCis, atq; adeo ab aCctionibus horum - corporum inter fe, nec promovetur nec retardatur nec mutationem patitur in ftatu{u0 quoad motum vel quietem. In{yltemate autem corporum plurium,quoniam duorum quorumvis in{fe mutuoagentium commune gravitatis centrum ob adtionem illam nulJatenus mutat(tatum(uum;& reliquorum, quibuscum aCkio illa non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur;diftantia autem horum duorum centrorum dividitur,a communi COrporum omnium centro,in partes(ummistotalibus corporum,quorum

1 A A a
u.
_terea communi omnium Centro mu
fr) rum funt centra, recıproce proportionales, adeaq; centris illis duo« bus ftatum fuum movendi vel quiefcendi fervantibus, commune. omnium centrum fervat eciam ftatum{uum; manifeftum eft quod commune illud omnium centrum, ob adtiones binorum corporum inter fe, nunquam mutat fratum faum quoxd motum&. quietem. In taliautem(yftemate aCcHones OMNeS COPPOUIM inter fe,vel inter bina funt corpora, velab a&ionibus inter bina compolite,& proptationem in ftatu motus ejus vel
Quietis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud übicorpora non agunt in fe invicem, vel quiefcir, vel in reCckta alıqua progreditur unıformiter, perget idem,non obftantibuscorporum ackiont‚bus inter fe,vel femper quiefcere, vel femper prosgedi uniformiter
in diretum,nifia viribus in fyftema extrinfecus impreflis deturbeturde hoc(tatu. Eft igitur(y(tematis corporum plurium Lex eadem quz corporis folitarı, quoad perfeverantiam mm{tatu motus vel quietis. Motus erim progreflivus feu corporis folitarti feu fyftematis corporum.ex motu centri gravitatis xftimari{emper debet.; ; Corol. V.
Corporune dato(patto inclufornm ijdem funt motus inter fe, five fpa-\ zium ıllad quiefcat, five movecatur idem uniformiter in diveciun
abfq; motu circnlari.Nam differentig motuum tendentium ad eandem partem,& fummz tendentium ad contrarias, exdem funr füb inicio in utrog; cafu(exhy pothefi)& ex his{ummis vel differentiis or1untur CON+ greffus& impetus quibus corpora fe mutuo ferijunt. Ergo per Legem 2 xquales erunt congrefluum effeCtus in utroq5 cal,&< propterea manecbunt motus inter fe in uno cafu zquales motibus inter fe in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omneseodem modo fe habent in Navi, five ca quiefcat, five
moveatur uniformiter in directum.
D 2 Corol. VI.

P a0 3 Corol. VI. Si corpora moveantur quönodoenng; inter fe&» a viribus acceleratricibus equalibus fecundum lineas parallelas urgeantur; pergent omnia eodem modo mowveri inter fe ac fi viribus illis non effent inciTata,
Nam vires ille xqualiter(pro quantitatibus movendorum corporum)& fecundum lincas parallelas agendo, corpora omnia zqualiter((quoad velocitatem) movebunt per Legem 2.) ade0q; nunquam mutabunt pofitiones& motus eorum inter fe,
Scholinm
Hactenus prißcipia tradidi a Mathematicis recepta& experien_ tia multiplici confirmata. Per legesduas primas& Corollaria duo — prima adinvenit Galileus defcenfum gravium efle in duplicata ratione temporis,& motum projechilium fieri in Parabola, confpirante experientia, niıfi quatenus motus illi per aeris refiftentiam aliquantulum retardantur. Ab ijfdem Legibus& Corollartis pendent
_ demonftrata de temporibus ofciıllantium Pendulorum, fußffragante
Horo'ogiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem& Lege tertia D. Chriflopherus Wrennus Eques auratus, fohannes Wallifins .$.T.D. 8: D. Chriftianus Hugenins„ huyas ztatis Geometrarum facile Principes, regulas congreffuum& reflexionum duorum corporum feorfim.adinvenerunt,& eodemfere tempore cum Societate Regia communicarunt, inter fe(quoad has leges‘) omnino con{pirantes; Et primus quidem D. Wallifius, deinD. Wremms& D. Hugenins. inventum prodidie. Sed& veritas comprobata eft a
D. Wrenno coram Regza Societäte’per experimentum Pendulorum, auod etiam Chrrzffemus Mariottus Libro inte exponere uod etiam Churiffenns Mariottus Libro integro onere mox
dignatuseft. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad amuflim coneruat, habenda eft ratio tumrefiftentig aeris, tum€
tiam vis Elaftice concurrentium corporum. Pendeant corpora
A,B filis parallelis 4 C, BD acentrisC, DD. His centris& intervallis
\ f € (4 €
as

!
vallis deferibantur femicirculi E AF, G BH radi3s C 4, DB bie {c&i. Trahatur corpus 4 ad arcus EAF pundum quodvis R, &C{ubdud&o corpore B‘) demittatur inde, redeatq; poft unam‘ ofeillationem ad pun&um V. Eft R V retardatio ex refiftentia aeris. Hujus RV fiat& T pars quarta fita in medio,& hzcexhibebit retardationem in defeenfu ab S’ad A: quam proxime. Reftituatur. corpus Bin Jocum fuum.- Cadat corpus A de pund&o S,& velocitas ‚ejus inloco treflexionis A, abfq; errore fenfibili,tanta erit ac fi in vacuo cecidiflet de loco T. Exponatur igitur hzc velocitas. per chordam arcus TA. Nam velocitatem Penduliin pund&o infimo efle ut chorda arcus quem cadendo deferipfit, Propofitio eft Geometris notifluna. Poft re-flexionem perveniat corpus A ad locum s,&corpus.B ad locum %. Tollatur corpus B 8& inveniatur locus&, aquoficorpus 4 demittatur& poft unam ofcillationem redeat ad locum 7, Lit S+ pars. quarta ipfius r© fita inmedio,& per chordam’arcust A exponatur velocitas quam corpus 4 proxime poft reflexionem kabult in loco 4. Namt erit locusille verus& corref&usad quem corpus A, fublata aeris refiftentia, afcendere debuiflet. Similı. methodo. corrigendus erit locus k, ad quem corpus B afcendit,& invenien-: dus locus Z, ad quem corpus lud alcendere debuiflet in vacuo.: _ Hoc pa&o expetiri Licet omnia perinde ac fi In vVacUO conftituti effemus. Tandem ducendum erit corpus 4 in chordam: arcus: TA.( que velocitatem eJus exhibet) ut habeatur motus ‚eJus im loco A proxime ante reflexionem, deinde in chordam ‚arcus t As ut habeatur. motus ejus in loco 4 proxime poft reflexionem.. Et fic corpus B ducendum erit in chordam arcus BZ, ut habea--tur motus ejus proxime poft reflexionem. Et fimili methodoubi corpora duo fimul demittuntnr de lecis diverfis, inveniendh funt motus utriulg; tam ante, quam poft reflexionem 5.& tum
de

demum conferendi funt motus inter fe 8 colligendi effe&us refAlexionis.. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, idq; in corporibus tam ınzqualibus quam xqualibus,& faciendo ut corpora de intervallis ampliflimis, puta pedum oCto, duodecım vel fexdecim concurrerent, reperi femper{ine errore trium digi-_ torum in menfuris,ubicorpora{ibi mutuo direCte occurrebant,quod in’partes contrarias mutatio motus erat corpori utriq; ıllata, atgq; " adeo quod aCtio 8& reactio femper erant gquales. Utficorpus A incidebat in corpus B cum novem partibus motus,& amiflis feptem partibus pergebat poft reflexionem cum duabus, corpus B refiliebat cum partibus ıflis feptem. Si corpora obviamibant, Acum duodecim partibus& B cum fex& redibat A cum duabus, redibat B cum oo, fa&a detradtione partium quatuordecim utrinque. Demotuipfius 4 fübducantur partes duodecim& reftabit nihil 3 fubducantur alie partes duz& fiet motus duarum partium In plagam contrarlam.& fic de motu corporis B partium fex fubducendo partes quatuordecim,fiunt partes oCto in plagam contrariam, .Quod{icorpora ibant ad candam plagam, A velocius.cum 7 a za partibus quatrordecim& 5 tardius cum partibus quinqg;& poft reflexionem pergebat A cum quing; partiıbus, pergebat Bcum quatuordecim, facta tranflatione partıum n0vem de AinB. Et fiei reliquis. A congreffu& collifione corporum nunquam Mutabatur quantitas motus quz ex(umma Motuum confpirantium& differentia contrariorum colligebatur.Namq; errorem digiti untus& altertus in menfuris tribuerim diflicultati peragendi fingula fatis accurate. Difficile erat tum pendula fimul demittere fic, ut corpora in fe muttio impingerent in loco infimo 48, tum loca s, k notare ad qua corpora afcendebant poft concurfum. Sed& iniplfis pilis inzqualis partium denfitas,& textura aliiede caufisirregularis, errorcs inducebant.
Doro

mx.
Pr a td
Cm 1)> 1 1}=
E23. J
. Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum; eft hoc experimentum przi{upponere corpora vel ablolute dura effe, vel(altem perfecte elaftica, cujulmodi nulla reperiuntur in compofi vionibus naturalibus; addo quod experimenta Jam defcripta{üccedunt in corporibus mollibus zque ac in duris, nimirum a conditione duritiel neutiquam pendentia. Nam{fi conditio ılla in corporibus non perfeäe duris tentanda eft, debebit folummodo reflexio minul in certa proportione pro quantitate vis Elafticz. In Theoria Wrenni 8& Hugenij corpora ablolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congrefius. Certms id affirmabitur de perfe&e Elafticis. In imperfede Elafticis velocitas reditus minuenda eft fimul cum vi Elaftica; propterea quod vis illa,(niliubi partes corporum cxX congreffu leduntur, vel extentionem aliqualem qua{i(ub malleg patiuhtur,) certa ac determinata fit(quantum fentio) faciatq; corpora redire ab invicem cum velocitate relativa quz fitad relativam velociratem concurfus in data ratione. Id in pilisex Jana: arcte conolomerata& fortiter conftricka fic tentavi. Primum demittendo Pendula& menf{urando reflexionem, inveni quantitatem vis Elaftice; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis. cafibus concurfuum,& refpondebant experimenta. Redibant femper pilx ab invicem cum velocitate relativa,quz eflet ad velocitatem relativam concurfus ut sad 9.circiter.| Eadem fere cum velocitate redibant pilg ex chalybe: aliz ex füubere cum paulo minore. In vitreis autem proportio erat 1.5 ad 16 circiter.— Atq; hoc paCto Lex tertia quoad idus& reflexiones per T’heoriam comprobata eft, quz cum experientia plane congrumt.
In attractionibus rem fic breviter oftendo. Corporibus duo-bus quibusvis 4, B fe mutuo. trahentibus, concipe obftaculum: quodvis interpori quo congreflus corum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur verfus corpusalterum B,quamiilludalterum B in prius 4, obftaculum magis urgebitur preflione corpo-ris 4 quam preffione corporis 55 proindeq; non manebit in xqui-librio._ Prayalcbit preflio fortior, facietq; fy ftema corporum duo-

KT
rum& obftaculimovert in dire&um in partes verfus B, motuq; in
fpatüs liberis femper acceleräto abire in infinitum. Qu6d eft abturdum& Legi prima contrarium.‘ Nam per Legem primam ' debebit fyftema perfeverare in fratu fuo quiefcendi vel movendi ‚uniformiter in diredtum,proindeq; corpora equaliter urgebunt obftaculum,& idcirco xqualiter trahentur in invicem."Tentavi hoc in Magnete& ferro. Si hac in vafculis proprüs fefe contingentibus feorlim pofita, in aqua ftagnante Juxta fluitent, neutrum propellet alterum,‚(ed zqualitate Attac tionis utrinq; fufinchune COnatus in fe mutuos, ac tandem in zquilibrio conftituta quiefcent. Urt corpora in concurfu& reflexione idem pollent,quorum veloEitates funt reciproce ut viresinfitzg: fic in movendis Inftrumentis Mechanicis agentia idem pollent& conatibus contrariis fe mutuo Tuftinent,quorum velocitates fecundum determinationdin virium xftimatz, funt reciproce ut vires. Sic pondera zquipollent ad Mmovenda bracht Libre, quz ofcillante Libra, funt reciproce ut ecorum velocitates{urlum& deorfum: hoc ft pondera, fi recta afcendunt& defcendunt, xquipollent, quz funt reciproce ut punCtorum a_quibus(ufpenduntur diftantiz ab axe Libre; fin planis obliquis alifve admotis obftaculis impedita afcendunt wel defcenduntoblique,zquipollent que funt ut alcenfus& defcenfusquatenus fact fecundum perpendiculum id adeo ob determinationem gravitatis deorfum. Similiter in Trochlea feu Polyfpafto vis manuıs fünem dire&e trahentis, que fit ad pondus vel directe veloblique afcendens ut velocitas altenfus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis, fultinebit pondus. In horologiis& fimili“bus inftrumentis,quz ex rotulis commiflis conftrucka funt, vires . contratigz ad motum rotularum promovendum& impediendum fi funt reciproce ut velocitates partium rotülarum in quas imprimuntur, fultinebunt{emutuo. Vis Cochlex’ad premendum corpus eft ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas Manubrii ca in parte ubi a manu ürgetur, ad velocitatem progreilivam Cochlex verfus corpus preflum. Vires quibus cuneUs
N
AN nn

a
E>251J
neus urget partesduas lignı ff eft ad. vim mallei in cuneum, ut progreflus cunei fecundum determinationem wis’a malleo in ıpf(um impreffe, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, fecundum Jineas faciebus cunei perpendiculares. Et par eft ratio Machinarum ommB1um; KO
Harum efficacia& ufus in co folo confiftit ut diminuendo'velocitatem augeamus vim,& contra: Unde{olvitur in omn1 aptorum initrumentorum genere Problema; Datum pondus data Dt‘
movendi, aliamve datam refiftentiam vi data fuperandi. Nant
{fi Machinz ita formentur ut velocitates Agentis& Refifentis fint reciproce ut vires, Agens refiftentiam fuftinebit,& maJori cum velocitatum difparitate eandem vincet. Certe fi tanta fit velocitatum difparitas uf vincatur etiam refiftentia omnis, qu® tar ex contiguorum& inter fe labentium corporum attritione, quam ex continuorum& ab invicem feparandorum cohzfione& elevandorum’ ponderibus oriri folet; fuperata omnı ca refifltentia, vis” redundans accelerationem motus fibi proportionalem, partım in partibus Machine, partim in corpore refiftente producet. Cezterum Mechanicam tra&are non eft hujus inftituti. Hifce voJui tantum oftendere quam late pateat, quamgq; certa fit Lex tertia motus. Nam(fi xftimetur Agentis actio ex ejus vi& velocitate conjund&im;& Reliftentis reaCtio ex ejus partium fingula‚ rum velocitatibus& viribus refiftendi ab earum attritione, Co-,
hafione, pondere& acceleratione oriundisz erunt actio& reaCtio, in omni inftrumentorum uf, fibi invicem femper zquales.
. Et quatenus aCtio propagatur per infrumentum& ultimo ımprimitur in corpus omne refiftens, ejus ultima determinatıo determinationi reactionis femper erit contraria.

[26]
MOTU CORPORUM
En
Liber PRIMUS
SECT I
De Methodo Rationum primarum& ultimarum, cuyus ope fequen=
HA demenftrantur.
LEMMAL
Vantitates, ut quantitatun rationes, que ad equalitatenz da-)
£0 tenpore conftanter tendunt&» eo pacto propius ad invicem accedere poffunt quanm pro data quavis difFerentia; fiunt ultimo gguales.
Si negas,{it carum ultima differentia D. Ergo nequeünt propiıus ad xqualitatem accedere quam pro data differentia D: contra hypothefin.
. LemCake PR al Wa aa
A)

AA
ZA 20
I
—
27];
cn IL
Si in figura quavis AacE reflis Aa, AB,& curwa AcE comprehenfa, inferibantur parallelogramma quoteung; Ab, Bc, Cd,&c. /ub bafıbns AB,BC, CDS. aqua&& lateribus Bb, Co D d,
&c. figure lateri Aa parallelis conben- auf
f45& compleantur parallelogramma Ki a
aKbl, bLcm, eMdn,&c, Dein horum DD A . parallelogranemorum latitudo minnatur, 5 IN A
Cr unmerus angeatur in infinitum:: dico| quod ultima rationes, quas habent ad fe| VAN
inwicem figura infcripta AKbLcMdD,
cireumferipta. AalbmcndoE,&
curvilinea AabcdE, funt rationes
‚gqualitatis,
Nam figurz nfript& circum(eriptz differentia eft Yuylma parallelogrammorum Kl+Lm+Man+ Do, hoc eft( ob zquales omnium bafes) re&tangulum(ub unius ba aleitudie num fumma Aa, id eft. rectangulum AB Za, Sed hoc redtangulum, eo quod Jatitudo ejus AB in infinitum minuitur, fit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inferipta& circumfcripta 8& multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo
xquales. Q. E. D.
Lemma HILL
Eedem rationes nlrime funt etianı aqualitatis, ubi parallelogramomntrum latitndines AB, BC,CD,&c. He INZIU nales, Cs 0nIeS yinunnur In Anfinitum,
Sit enim AF zqualis Jatitudini maximz,& compleatur parallelogrammum FA zz f- Hoc erit. mäjüs quam differentia figure. inferiptz 8 figu:z circumleriprz, at Jatieudine{ua AFO Ka IN
$

in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis redtan"gulum.; Corol.. x. Hinc fumma ultima parallelogrammorum evanefcentium coimcidit omni ex parte cum figüra curvilinea.; Corol. 2. Etmulto magis figura rechilinea, quz chordis evanefcentium arcuum ab, be, cd,&e. comprehenditur, coincidit ul-timo cum figura curvilinca.; Corol. 3. Ut 8& figura re&tilinea que tangentibus corundem: arcuum circumf(cribitur.. Corol. 4. Et propterea hz figurz ultime( quoad perimetros acE,) non funt rectilinex, fed redilinearum limites curvilinei,.
Lemma IV...
Si in duabus figuris AacE, PprT) inferibantur(ut fupra) due parallelogrammorum feries, fitq; idem amborum unmerns,&» ubi latitudines: in infinitum diminuuntur, vationes ultime parallelogrammorum in una figura: ad parallelogramına in altera, fingnlo-rum ad fingula, fint exdem; dico quod figure due Aa CE, PprT, funt ad inzicem in eadem illa ratione.;
de 1 I
PD Ss Se T FF E
Etenim ut funt parallelogramma fingula ad fingula, ita( componendo_) fit fumma omnium ad(ummam omnium,&cita figura ad

; ad figuram; exiftente nimirum figura priore(per Lemma ı ı z:) ad fummam priorem,& pofteriore figura ad{ummam pofteriorem in ratione xqualitatis.;
Corol. Hinc fi duz cujufeung; generis quantitates in eundem partium numerum utcung; dividantur, 8 partes ille, ubi numerus earum augetur& magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtinecant rationemad invicem, prima ad primam,{ecunda ad fenA cundam czterxq; 1u0 ordine ad cxteras; erunt tota ad invicem
_ in eadem illa data ratione. Nam fi in Lemmatis hujus figuris
3{umantur parallclogramma inter fe ut partes,(fummz partium femper erunt ut füumme parallelogrammorum;; atqg;adeo, ubi partıum
& parallelogrammorum numerus augetur 8& magnitudo diminurtur ininfinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id eflt( per hypothefin) in ultima ratione partis ad partem.
Lemma V..
Sn. R 7x a: Similium fiourarum latera omnia, que(ibi nıutno refpondent, funt proEn Mn R portionalia, tam curvilinea quam re&ilinea,&> area funt in duplicata ratione laterum,;
Lemma VI.
Si arcus‘quilibet pofitione datus AB fubtendatur. chorda AB,&in punto aliquo A, in medio curvature:
angulus BAD fub chorda& tangente contentus: minnetur in infinitum& u 8
f A Ü Him20 evanefcet. Nam producatur AB ad b&8& AD
ad d,& pundtis 4, B coeuntibus, nullaq; adeo ipfius Ab parte: AB Jacen-- CE
te amplius intra curvam, manifeftum eft quod hzc redta Ab ve
continne, tangatur area utring; pro+ Az DL dd dutta AD; dein puncta A, B ad in- 1 I . 4 ie AU wzicem accedant:&» coeant; dico quod' Ze BEZ | ZN | |

Ed vel coincidet cum tangente Ad, vel ducetur inter ‚tangentem Sz curvam. Sed caftıs pofterior eft contra naturam Cüurvaturz, er go prior obtinet. Q. E. D. Er
“Lemma. VI
Tifdem pofitis, dico quod ultima ratio arcus, chorde&» tangentis ad inwicem eft ratio xqualitatis, Vide Fig. Lem. 6& Sei. i Nam producantur AB&.ADadb& d& fecantı BD paralJela agatur bd. Sitq; arcus. A b(imilis arcui AB. Et punchis A, B coeuntibus, angulus dAb, per Lemma fuperius, evanefcet; ‚adeogq; reitz Ab, Ad 8 arcus intermedius Ab coincident,& propterca xquales erunt. Unde& hifce femper proportionales rede AB, AD,& arcus intermedius A B rationem ultimam habebunt
xqualitatis. 0. E. D. Corol. x. Unde fi per B ducatur tangenti parallela BF red&am _ quamvis. A F’per A. tranfeuntem perpetuo fecans in F, hzc ultimo ad arcum evanefcentem AB rationem habebit zqualitatis, co quod ar completo parallelogrammo A FB-| D, rationem femper habet xqualitatis ad AD. Corol. 2. Et fi per B8c A ducantur plures redtz BE, B DA F, AG,'fecantes tangentem AD&ipfius. parallelam BF ratio ultima abfeifarum omnium A. D, AE, BF, BG, chordeq;& arcırs A B ad invicem erit ratio xqualitatis. Corol, 3. Et propterea hz omnes lineg in omn1 de rationibus ultimis argumentatione pro fe invicem ufurpari poflunt. Lemma VE. Si refte dat@ AR‚BR cum arcu AB, chorda AB& tangente AD, triangula tria ARB, ARB, ARD conflituunt, dein puncta A, Buccedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulerwmn
. A fo N y 3.. Po ezanefcent im eft fimnlitudinis,€ ultima ratio equalitatis,
Nam

„CK 3r J
Nam producantur. AB, AD, AR ad b, d&r. Ipfi RD agatur parallela rbd;,& arcuı AB fimilis ducatur arcus Ab. Coeuntibus pundtis A, B, angulus bAd evanefcet,& propterea triangula tria rAb, r Ab, r Ad comcident,{untqz co nomine- fimilia& zequalia.. Unde& hifce femper. fimilia.& proportionalia RAB, RAAB, RAD fient ultimo{ibi invicem fimilia& zqualia. 0. E. D.
Corol. Et hinc triangula illa in omnide rationibus ultımis argumentatione pro fe invicem ufurpari poflunt.
T Lemma IX: Si vetta AE& Curva ACT pofitione date fe nmtno fecent in angulo dato A,&» ad rectam ıllam in .alio dato angulo ordinatim applicentur BD, EC, curva oc currentes.in B, C; dein puncta
B,.C accedant ad punctum A:
dico quod aree triangnlornum
ADB, AEC erunt ultimo ad
inwvicem in duplicata ratione Iaterum.
Etenim in AD produdta capiantur Ad, Aeiplis AD, AEproportionales,.& erigantur or-..dinatz db, ec ordinatis DB, EC ‚parallel& proporrtionales. Producatur AC ade, ducatur curva Abe ipfi A BE fimilis, 8 recta Ag tangatur curva utraq; in A;& f{ecantur ordinatim applicatz in F, G,f,g. Tum cocant punda B,_C- cum pundo A,& anguloc Ag evanefcente, coincident arex curvilinez Abd, Ace cum pectilineis Afd, Age, adeoq; per Lemma V, erunt in du' plicata
(

E32 7 plicata ratione Iaterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales {emper{unt arez ABD, ACE,$&his lateribus latera AD, AE, Ergo& arecz ABD, ACE{unt ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE. Q. E.D. a
Lemma X.
Spatic, qu& corpus urgente quacunq; vi regulari deferibit, funt ipfo motus initio in duplicata ratione temporum.
Exponantur tempora per lineas 4D, AE,& velocitates genitz per ordinatas DB, EC;& fpatia his velocitatibus: deferipta erunt ut arezA BD, ACE his ordinatis deferiptz, hoc.eft ipfa motus initio(per Lemma IX’) in duplicata ratione. temporum AD, AL.0.E.D.
Corol. ı. Et hinc facile colligitur, quod corporun fimiles fimiJium figurarum partes temporibus proportionalibus deferibentium. errores, qui Viribus zqualibus in partibus iftis ad'corpora fimiliter, applicatis generantur,& menfurantur a locis figurarum, ad que corpora temporibus ij(dem proportionalibus abfq; viribus iftis pervenirent, funt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime.
Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus fimiliter applicatis generantur,{unt ut vires& quadrata temporum conJundim. ‘Lemma XI.
Subtenfa evane/cens.anguli contains eft ultinıo in ration: duplicata fubtenfe arcus COHLENMINE,
Cas. 1. Sit arcus ille AB, tangens ejus AD, fubtenfa anguli contactus ad tangentem perpendicularis BD, fubtenfa arcus AB. Huic fübtenfz A B& tangenti AD perpendiculares erigantur AG, B G,concurrentes in G 3 dein accedant pundta D, B,G, ad punda d, b, g, litq; F interfeCio linearum BG, AG ultimo f&a ubi pundta D, B accedunt ufg; ad A. Manifeftum eft quod diftan* tla

40
C«
BR. 90° 8 KU
+... 4
8 we
41
differat a ratione xqualitatis-quam. pro
‘ratio ultıma AB quad. ad Ab quad. zqualis „rationi ultime B Dad bd. Q. E. D.
[529°
‚tia G 7 minor effe poteft quam aflignata quavis, Eft autem (ex natura circulorum per punda ABG, Abg tranfeuntium) AB quad. xquale AGxBD& Abgquad, xquale Agxbd,. adeoq; ratio AB quad. ad- ca Ab quad. componitur ex rationıbus AG ad Azg&BD ad bd. Sed quoniam TG allumi pote(t minor longitudine quaviß aflignata, feri poteflt ut ratio AG ad Ag minus
a DZ
Sf ah z. X
dm b
|
differentia quavis:aflignata, adeoq; ut ratio AB quad. ad Ab quad. minus dıfferat a ratione BD ad bd quam. pro. differentia quavis aflignata.| Eft ergo, per Lemma 1,
(A
Cas. 2: Inclinetur jam BD ad AD in angulo quovis dato,&
„eadem femper erit ratio ultima BD ad bd que prius, adcog; cadem ac. AB quad. ad Ab quad. Q. E. D. a Cas.’3. Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli D,d ad zqualitatem femper vergent& propius accedent ad invicem
-quam pro differentia quavis aflignata, adeoq; ultimo zquales e"runt, per Lem. I.& propterea linex BD, bd in eadem ratione
ad invicem ac prius. Q. E. D. ‚
Corol. x. Unde cum tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab&eorum finus BC, bc fiant ultimo chordis AB, Ab zquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut fübtenfx BD, bd. Corol.‘ 2. Triangula reilinea A DB, /A db funt ultimo in tri‘ plicata ratione Jaterum A D, Ad, inq; fe{quiplicata laterum DB, db: Utpote in compöfita ratione laterum AD& DB, Ad&db "exiftentia. Sie 8 trangüla’ ABC, Ad'c funt ultimo in triplicata ratione laterum BC, be.;
' Corol. 3; Et quoniam D B, db funt ultimo parallele 8& in duplicata ratione ipfarum' 4D, Ad; erunt arez ultima curvilinee
A

[34 J ADB, Adb(ex'nattira Paraboke) duztertige partes trianguJorum reilineorum 4.DB, Adb,&cfegmenta AB, Ab partes tertiz eorundem triangulorum. Er inde hz areg:8Schecfegmenta erunt in triplicata ratione tum'tangentium A.D, Ad; tum chordarum&arcuum AB, Ab.)
Scholium.
Cezterum in his omnibus fupponimus angulum contadus nec infinite majorem efle'angulis contaduum,quos. circuli. continent
cum tangentibus fuis, nec iifldem infinite minorem 3 hoc,eft curvaturam ad pundum A,‘ nec infinite parvam efle ncc infinite magnam, feu intervallum 47 finitz eflemagnitudinis. Capı ‚enim poteft DBut AD3: quo in cafu circulus nüllus per pund&um A inter tangentem AD 8.curvam 4B duci-poteft, proindeq; angulus Contadus erit infinite‘minor circülaribus. Et fimiliargumento fi fiat DB fucceflive ut 4D 4, AD5, AD, AD7,&e. ‚habebitur feries angulorum centädtus pergens’ in infinitum, quorum quilibet pofterior eft infinite minor priore. Et fi fiat DB fücceflive ut AD?2, AL}, ADi, AD‘,AD:, AD,&c. habebitur alia{eriesinfinita angulorum contactus, quorum primus eft ejufdem generis cum circularıbus, fecundusinfinite Major,& quilibet. pofterior infinite major priore. Sed& ‚inter duos quofvis ex his angulis poteft feries utring; in infinitum pergens angulorum intermediorum inferi,.quorum quilibet pofterior erit infinite ma-Jor priore, Ur{i inter terminos A D?2& AD 3-inferatur feries
AD, ADMAL1 AD! AD', ADI AD AD ADY, ‘Sc. Et rurlus inter binos-quol vis.angulos hujus feriei infert ı po- teft feries nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis ıntervallis differentium. Neq; novit natura limitem.
Quz de curvis lines: deq; fuperficiebus comprehenfis demon{rrata funt, facileapplicantur ad folidorum. fuperficies, curvas,&
CoN

Les
gec °nt
Ur
agum
A
ZuXC. 10> DB haeft Jul (vis um NarIes
Ju
#9 PO
1INONs&
k353
contenta. Praemifi vero hec Lemmata uteffugerem tzdium dedu‘cendi perplexas demonftrationes, more veterum Geometrar um,
3d abfurdum. Contraftiores enim redduntur demonftrationes per methodum indiviibilium. Sed quoniam durior eft indivilibilium Hypothefis;& propterea Methodus illa minus Geometrica cenfetur, malui demonftrationes rerum fequentium ad ultimas quan“titatum evanc(centium(ummas& rationes, piimaig; nafcentium,
id eft, ad limites fummarum& rationum deducere,& propterea
Timitum illorum demonftrationes qua potui breuitate pramittere. 'His enim idem przftatur quod per methodum indivifibilium,& principiis demonftratis Jam tutius utemur. Proinde in fequentibus, fiquando quantitates tanquam€x particulis conftantes confideravero, vel.fi pro reCtis ufurpavero: lineolas curvas, nolim in“divifibilia{ed evanefeentia"divifibilia, non fummas& rationes
partium determinatarum,{ed{ummarum 8 rationum limites femper intelligi, vimgq; talıum demonftrationum ad methodum przcedentium Lemmatum femper revocarl.
Obje&tio eft, quod quantitatum evanefcentium nulla fit ultima proportio; quippe que, antequam evanuerunt, non eft ultima, ubı evanuerunt,.nuülla eft.* Sed’& eodem argumento Zque contendi_poffet nullam effe corporis ad certum locum pergentis velocifatem üultimam.. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non
effe ultımam, ubi attigit, nullam effe. Et refponfio facilis eft. Per
elocitatem ultimam ıintelligi cam, qua corpus movetur neq; antequam attingit locum ultimum& motus ceffat, neq; poftea, fed tunc cum attingit, id eft illam ipfam velocitatem quacum corpus attingit locum uldimunı 8& quacum- motus ceffat. Et fimiliter- per ultiımam rationem quantitatum evanefcentium intelligendam efle rationem quantitatum non antequam: evanefcunt, non poftea, fed quacum evanefcunt. Pariter& ratio prima nafcentium eft ratio quacumnafcuntur. Et fumma prima& ultima eft quacum
' efle( vel augeri& minui_) incipiunt& ceflant. Extat limes quem
velocitas in fine motus attingere poteft, non autem ‚tranfgredi. F2 Hac

EHxc ef velocitas ultima. Et par eft ratio limiris quantitatum& proportionum omnium incipientium&ceffantium. Cumg; hiclhiınss{it certus& definitus, Problema eft vere Geometricum eundem determinare. Geometrica vero omni1ain altis. Geometricis determinandis a€ demonftrandis legitime ulrpantur.|
Contendi etiam poteft, quod fi dentur ultımz quantitatum€ vaneßentium rationes, dabuntur& uitimge magnitudines;&{ic quantitas omnis conftabit ex indivifibilibus, contra quam Ewxclides de incommen{urabilibus, in libro decimo Elementorum, demonAeravit. Verum hzc Objedio falfe innititur hypotheli. Ultime rationes ille quibulcum quantitates evaneicunt, revera non funt rationes quantitatum ultımarum, fed limites ad quos quantitatum {ine limite decrefcentium rationes femper appropinquant,& quas propius affequi poflunt quam pro data quavis differentia, nun_quam vero tranfgredi, neq; prius attingere quam quantitates diminuuntur in infnitum. Res clarius intelligetur in Infinite magnis, Si quantitates dux quarum data eft differentia augeantur in infinitum, dabitur harum ultima‘ ratio, nımırum ratio xqualitatis, nec tamen ideo dabuntur quartitates uldıma feu maximz quarum ifta eft ratio. Igicur is(equentibus, fiquando facıli rerum imaginationi confulens, dixero quantitates quam minimas, vel evanefcentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas,{ed cozica{emper diminuendas fine limite, Ze
SECT

iC1S €»
des Nnz Int um as INdins, fie tis, um naVade»
confedtz forent xquales arez A
“rallela agatur c C -;occurrens BC ın
[37] AS a u SE GT Ws
De Inventione Virium Centripetarum,
Prop. I.'Theorema,. I.
Areas quas corpora in gyros aka radiis ad immobile centrum virium
dußtis defcribunt,& in planis intmobilibus confiftere,& effe'temporibus proportionales.
Dividatur tempus in partes zquales, 8& prima temporis parte
‚deferibat corpus vi infita re&tam AB. Idem{ecunda temporis
parte,fi nil impediret,redta pergeret ad c,( per Leg. 1) deferibens lineam Be zqualem ipfi AB, adeo ut radis AS, BS, cS ad centrum.adtis,°
SB, BSc. Verum übi corpus* venit ad B, agat viscentripeta mpulfu unico fed magno, faciatq; corpus a ‚recta Be.defleftere& pergere in recta
X.
BC: Ipfi BS paC, 8& completa{fecunda temporis parte, corpus( per Legum Co.
; rol. 1) reperietur inC, in eodem plano: cum triangulo AS B. Junge:
SC,& triangulum SBC, ob parallelas SB, Cc, xquale erit triangulo SBc, atq; adeo etiam triangulo S AB... Similiargumento fi. 2 RS Ms

vis centripeta fucceflive af tinC, D, E,&c, faciens üt Corpus fingulis temporis particulis finguläs deferibat redtas CD, DE EF, 8c. jaeebunt hz in eodem plano,& triangulum SC D trianguloSBC&SD EipfiSCD&SEFipfiSDE xquale erit. /Equalibus igitur temporibus xquales arez in plano immoto defcribuntur:& componendo, fünt arearım fummz quavis SADS,
‚SAFS inter fe, ut funt tempora, defcriptionum,. Augeatur Jam numerus& minuatur Jatirudo triangulorum ın infinitum,&€örum ultima perimeter ADFC per Corollarium quartum Lemma‚tis:tertii.) erit.linea curva; adeogq; vis centripeta qua corpus de tan‚gente hujus curvez perpetuo retrahitur, aget indefinenter; are ‚vero.quzvis defcriptz S, 4.D5S,S AFS temporibus defcriptionum Lemper‘ proportionales,"erunt ıldem temporibus ıh hoc caftı pröportionales. Q. E. D.;|; Corol. ı. In mediis non refiftentibus, fiareg non funt tempo_ribus proportionales, vires non tendunt ad concurfum radiorum. Corol. 2. In mediis omnibus,(1 arearum deferiptio acceleratür, vires non tendunt ad concurfum radiorum, fedinde declinant in confequentia.
Pro. II. Theor. IL
Corpus omne quod, cunı movetur in linea aliqua curva, Aradio-duete
ad punctum vel immobile, vel moture&tilineo uniformiter progrediens,defcribit areas Circa puntum illud temporibus proportionales,
urgetur awi centripeta tendente ad idem puniumCas. 1. Nam corpus omne quod movetur in lined curva, de___ torquetur de curfu reCilineo per vim aliquam in’ipfum agentem. „GC per Leg. ı.) Et vis illa qua, corpus de curfu redilineo-detor”quetur& cogitur. triangula' quam minima S AB; SBC,°SCD
Seribae, agiıt inloco B fecundum lineam atallelimripfi cC(per
{4
‚Prop. 40 Lib. 1 Ekm.“& Leg. II.) hoc ef fecundüm Jineam
Yan 0 ya, 5 Bra

us )E ınnIS,
aM £Onarex um ro
poum. tür, t In
lcto vedialtes,
de°torxde; per cam
S
BS,, 8 in 1oco.C fecandum fine
am ipfi d D parallelam, hoc eft
fecundum Jincam CS,&c. Agit ergo femper fecundum lineas
tendentes ad pundtum illud immobile S- 0.E. D."
SE Pr
‘Corollarium quintum, perinde eft five
—:° N MARKE TO RC SAT quiefcat Auperficies In qua. corpus ‚deferibit figuram cürvilineam,
fuo S uniformiter in diedtum. Scholium.
Urgeri,poteft corpus a} vi centripeta compoflita
ex pluribus
viribüs‘ In hoc cafu fenius Propofitionis eft, quod. vis illa que, ex omnibus componitur, tendit ad pund&um S$. Porro. ff vis aliqua agat fecundum lineam{uperficiei.deferiptz perpendiculatem; hzc faciet corpusdefledtere a plano füi motus,(ed quantitatem fuperfi‚ciei defcriptz nec augebit nec minuet, ‚& propterea in compofitione virlum negligenda elt.
: Prop- ul. Theor. IN.
Corpus. onne quod,, radio ad centrum corporis alterins uteung; moti ‚dn&to, defcribit areas circa centrum lud temporibus proportionales, urgetur vi compofita ex wi centripeta tendente ad corpus' alterum
.€» ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur."
Nam( per Legum Corol. 6.)(1 vi nova, quz zqual
is& contrarıa
fit ıllı qua corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrumq; fecundum lineas parallelas, perget corpus primum defcribere circa corpus alterum areas€cafldem ac prius: vis autem qua Corpus alterum urgebatur, Jam deftruetur per vim{ib
ı zqualem,,&
contrariam,- 8. propterea(per Leg. 1.) corpus. illud. alterum vel'!quiefeet\vel: movebitur uniformiter in:directum,.8&" corpus primum) urgente differentia virlum, petset areas temporibus proportionales circa corpus alterum defcribere.'!, Tendirigitur(‚per
+Theor: 2.) differentia virtum ad-corpuspillud. alt
erum.ut.cen=

_..Corol. x. Hinc fi corpus unum radio ad alterum du&ö deferibit areas temporibus ‚proportionales, atq; de vi tota(* five fimplici, five ex viribus pluribus,juxta Legum Corollarium fecundum,compofita;) qua corpus prius urgetur,{ubducatur(* per idem Le‚gum Corollarıum) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urge* "tur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum. EC On Corol. 2. Et fi areg ille funt temporibus quamproxime proportionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproximc, \ Coral. 3: Et vice verfa, 1i vis reliqua tendit. quamproxime ad “corpus alterum; erunt’arez illetemporibus quamproxime. pro“ portiomales.) ı De a: u Corol.‘ 4. Si corpus radio ad alterum corpus ‚ducto, deferibit “areas quz, cum temporibus collatz, funt valde inzquales,& cor“'pus illud alterum vel quiefcit vel movetur uniformiter in directum; aCtio vis centripetz ad Corpus illud alterüum‘.tendentis, vel nulla eft, vel mifcetur& componitur cum aCtionibus admodum
potentibus aliarum virium::; Vi(q; tota ex’ omnibus, fi plures funt.
Vires, compofita; ad aliud( five immobile{five mobile) centrum „dirigitur, circum quod ‚xquabilis eft arearum de[criptio. Idem obtinet ubi corpus alterum motu quocung; movetur, fi modo vis centripeta{umatur, quz reftat poft(ubductionem vis totius agen„tis.im corpus illud alterum.)
"Scholium
‘02 Quoniam xquabilis areatum/ defcriptio Index, e(t centri quod > wis illa’refpicit qua corpus maxime aflicitur, /corpus autem vi ad ‘he eentrungitendente retinetur 11m orbita Aua,& motus,omnis > Circularis ree dieitur circa centrum illhd fieri) cuJus VL Corpus retrahitur de motu rcfilteo& retinetur in Orbira:, quidni ufurpSmus in fequentibus xquabilem arearum deferiptionem ut Indi©
-£ Gert centrb/ vireum quad motusromnis eiscularis’in Ipatiis. ıheris Asperagitur? 30 mung
7.
E Prop.
C

41. J
e;
ch«.Prop. IV. Theor, IV:
AM Corporum que diverfos circulos equabili motu defcribunt, wires CeNee iripetas ad cenira eorundene circulorum tendcre, x efe inter fe us ut arcunm fimul deferiptorum quadrata applicata ad cirenlornm ra1 dios.
rO-_Corpora 5, b in circumferentis circulorum BD, bd gyranDC, tia, fimul deferibant arcus B D,-bd. Quoniam({ola vi infita dead feriberent tangentes BC, be his arcubus xquales, manifeftum eft quod vires centripetz{unt quz
ro7 perpetuo retrahunt corpora de Die tangentibus ad circumferenti1as or circulorum, atq; adeo hz funt ad invicem In ratione prima{paS-;, P tiorum nafcentium C D, cd: tenvel d E; dunt vero ad centra circuloum) x
AL. rum ‚per Theor. II, propterea Or quod areg radis deferiptz pobh nuntur temporibus proportiona©)_
Jes. Fiat figura tkb figurz D \ CB ümilis,& per Lemma V,
a linzola CD eritad Iineolam ktut arcus BD ad arcum b t: nec non, per Lemma x1, Jineola nafcens tk ad. lineolam.nafcentem dc ut bt quad. ad bd quad.& ex zquo lineola nafcens DC ad lincolam nafcentem dc ut BD xbt r d ad bd quad. feu quod perinde eft, ut# nr be ET Mr. nis a BD quad, bd 4 deog;(ob zquales rationes-—&_——) ut—— ad“ e- N SO son E56$E) 58 5% Car- BOB DD: ıdi- Corol, ı. Hinc vires centripetz{unt ut velocitatum quadrata er applicata ad radios circulorum.'® * Corol. 2. Etreciproce ut quadrata temporum Pd A
op»; DS pli

[42] plicata ad radios ita funt he vires inter fe. Id eft( ut cum Geometris loquar) hg vires funt in ratione compofita ex duplicata ratione velocitatum diredte& ratione fimplici radiorum inverfe:
necnon in ratione compofita ex ratione fimplici radiorum diredte‘
8 ratione duplicata temporum periodicorum inverfe.
Corol. 3. Unde fitempora periodica zquantur, erunt tum vires centripetz tum velocitates ut radii,& vice verfa.
Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum{fünt ut radii, vires centripetz funt zquales,& velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice verfa.
Corol. 5. Si quadrata temporum. periodicorum funt ut quadrata radiorum, vires centripetz funt reciproce ut radii,& velocitates zquales: Et vice verfa.
Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum funt ut cubiradiorum, vires centripetz funt reciproce ut quadrata radiorum; velocitatesautem in radiorum dimidiata ratione: Et vice verfa.
Corol, 7. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus& viribus, quibus corpora fimiles figurarum quarumcung; fimilium, centraqg; fimiliter pofita habentium, partes deferibunt, confequuntur. cx Demonftratione przxcedentium ad hofce cafus applicata.
Scholinum
Cafus Corollarii fexti obtinet in corporibus czleftibus(* ut feorfum colligerunt etiam noftrates Wrenuns, Hookius&r Hallens & propterea quz{pectant ad vim centripetam decrefcentem in duplicata ratione diftantiarum a centris decrevi fufius infequentibus exponere.
Porro precedentis demonftrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetz ad vim quamlibet notam, qualis eft ca gravitatis.. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipfüm per fpatium CD, quod ipfo. motus initio zquale eft quadrato arcus illius BD ad circuli diametrum
applicato;& corpus omne vi eadem in eandem femper plagam
CONANNO SD
Tu Dana, min, Ja 03 ma f)
ag{A AP wi a 565
PN U

Ze« ;ata fe:
te‘
vldi, one
uaVCram 5
us,
CX
fein atıam ca rrit tus ım am nTl
continuata, deferibat fpatia in duplicata ratione temporum:: Vi illa, quo tempore Corpus revolvens arcum quemVvis datum.deferibit, efficiet ut Corpus idem re&a progrediens deferibat 1patium quadrato arcus illius ad circulı diametrum applicato xquale; adeoq; eft ad vim gravitatis ut fpatium illud ad{patium quod grave cadendo eodem tempore deferibit. Et hujufmodi Propofitionibus Hugenius, in. cxX1mio{uo Tradatu de Horologio ofcillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.
Demonftrari etiam poffunt przcedentia in hunc modum. In circulo quovis deferibi intelligatur Polygonum laterum quotcung; Et fi corpus in Polygoni Jateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos fingulos a circulo refled&atur3; vis qua fingulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeoq; {umma virium in dato tempore erit ut velocitas illa& numerus reflexionum conjundim, hoc eft( fi Polygenum detur fpecie_) ut longitudo dato illo tempore deferipta 8& longitudo eadem applicataad Radium circuli, ıd eft ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium; adeoq; fi Polygonum Jateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore deferipti applicatum ad radium. Hac eft vis qua corpus urget circulum,& huic zqualis eft vis contraria qua Circulus-continuo
repellit corpus.centrum verfus.
Prop. V. Prob. I
Data quibufennqg; in locis velocitate, qua corpus figuran datamwiribus ad. commmune ‚aliquod centrum tendentibus deferibit, centrum zllud inwenire.
Figuram deferiptam tangant reg tres PT, TOV, VR in pun&is totidem P, O_, R,concurrentes inT&V. Ad tangentes erigantur perpendicula PA, QB, RC, velocitatibus corporis in pun&is illis P, 0_, Ra quibus eriguntur reciproce proportionalia; id eft ita ut fit P 4 ad Q.B ut velocitas in Q_ad veJlocitatem in P,&QBad RC ut velocitas in R ad velocitatem
G 2 in

[ 44] in O0. Per perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos ref os ducantur AD, DBE, EC concurrentia in D&E: Et adz TD, VE<concurrent in centro qualito S.
— Nam cum corpus in P& Q_ radiis ad centrum ducis areas defcribat‘ temporibus proportionales, fintq; arex ılle 1imul deferiptz ut. velocitates in P& Q_dußte refpedive in perpendicula a centro in tangentes PT, OT demifla: Erunt perpendicula illa.ut velocitates reciproce, adeoq; ut perpendicula AP, BQ_directe, id eft ut perpendicula a pund&o Din tangentes demiffa. Unde facile colligitur quod purda S, D, TAunt in una reda, Et fimiliargumento punda S, E, V{unt etiam in una reda;& Fr opreren centrum S$ in concurfu rectarum TD, VE verfatur. Q.
„DD,
Pro. VI. Eheor. V.
Si corpus P. revolwendo circa cent rum S, def/cribat lineam quamwis curvam AP Q_, tangat vero retia Z PR curwam illamin punto quovis P,& ad tangentem ab al 20 JWOTES CHYVAL PUKELO Q_agatır OR diftantie SP parallela, acdemittatur OU perpendicularis ad diftantiam SP:: Dico' quod vis cemripeta fit reciproce ut foLidum ST, X ar BEN
OR Pratür quantitas que ultimo fit ubi coeumt puntla PC O0. Namgq; in figura“indefinite parva OR PT lineola nafcens'
OR,"dato tempore; eft ut, vis
centripeta( per Leg. HM.)&
Gi modo folidi illius ea Semper[uIn
vi CC
£a

V
(fa. ta:
/ N
1a daE 45 J
data vi, ut”’quadratum temporis(per Lem. X:)'atq; adeo, neu” tro dato, ut vis centripeta& quadratum temporis conjundim,ade09; Vils centripeta ut lineola OR direde& quadratum temporis snverfe. Fit autemtempus ut area$P.Q_‚ejusve dupla SP x OT, ideftutSP&QT conjunCtim,'adeoq; vis centripeta ut QR.directe atq SP quad. mQ I" quad.inverfe, id eftut STE LE
inverfe. O. E. D.
Corol. Hinc fi detur figura quzvis,& in ca pund&um ad quod vis centripeta dirigitur; invenirl poteft.Jex. vis centripct qu=x corpus in figure ıllius perimerro gyrari faciet.. Nimirum compuSP quad. x OT quad, huic wi recıproce, proportionale. Ejus rei dabimus exempla.in problematis fequentitandum eft folidum
Prop: VI. Prob. Il.
Gyretur corpus in cireumferentia circuli, requiritur) lex vis. cehtripeen) t2 tendentis ad panstue aliquod in Eireninferentia datum.”
Eito circuli circumferentia S-QOP A; centrum vis centripete S,corpus in circumferentia latum' P, locus proximus In quem mo-) vebitur 0... Ad diametrüm S A & rectam SP demitte perpendi-culı PK, OT, 8 per Qup SP
arallelam age L KR occurrentem circulo.in-Z. 8 tangenti PR mn R,& covant TO, PR m Zi N Ob fmilitudinem triangulorum ZQR, Z TP, SPÄgieRP quad.(hoc eft ARE’) ad OT quad ut S A guad. ad SP quad. Bio OR Lx SP quad, HT se ae at Ergo ET gquatur AT quad, Dücantur HzCc-zquar
5
Ja

[463 Ta in Sn ‚8 pundis P 8& Q coeuntibus, feribatur SPproRL
Sic GetS PL xquale QTqgxSPq Ergo(per Corol. Theor. V.) S Ag aR;
Viscentripeta reciproce eft ut ES id eft( ob datum SA quad))
ut quadrato-cubus diftantie SP. Quod erat inveniendum. ‚Prop. VII: Prob. HI.
Moveatur corpus in cireulo PO_A: ad hunc effe&tum requiritur lex wis cenmtripete tendentis ad punetum adeo longinquum, ut linex omnes PS, RS ad id dutte, pro parallelis haberi poffint. A. circuli centroC agatur femidiameter C 4 parallelas iftas per„pendiculariter‘ fecans in M 8& N,& Jungantur CP.-Ob fimilia triangula CPM,& TPZ, vel. ‚(per Lem. VIL)TP Q,eft C Pg. ad P Mg. ut PQ_g. vel(-per Lem. VI.)PRg. ad QT g. 8& ex natura circuli rectangulum QRx RN + QN zquale eft PR quadra„to. Coeuntibus autem puncthis P, Ofit RN+QN zqualis 2PM. ‘Ergo eft CP quad. ad PM quad; ut ORx2PMadQT quad. ade% QT Ha gquale 2 PMenb. o, QT quad,- quad.
—
GP quad, ‚of ‚Eft ergo( per Corol."T'heor. V.‘) vis cenxquale
2 P Menb. x SP quad, CP quad, tripeta reciproce ut SETS Yo eft( negledta ratiCP:quad, 2SP quad.\ N CP mad? reciproce ut PM cab. Q. E. F
Schoore determinata
bu: ter

ÜL d‘)
lex
jerılia
ale 'enatıcho[#1
Scholium.
"Et(imili argumento corpus movebitür im Ellipft vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quz fit reciproce ut cubus ordinatim applicatz ad. centrum virmum maxime longinquum
tendentis. Prop. IX. Prob. IV. Gyreiur corpus in fpiraliP QS fecante radios onmes SP, SQ_,&.
in angulo dato: Requirıtur lex.
wis centripet£ tendentis ad cen- trum fpiralis.
Detur angulus indefinite par- vus PSQ_,& ob datos omnes angulos dabitur{pecie. figura SPORT. Ergo datur ratio. eftq; ut OT, hoc eft ut SP. Mutetur Jam utcung; angulus PSO_,&refta OR angulum contadus PR {fubtendens mutabitur(per Lemma XI.) in duplicata ratione
ipfius PR. velQT. Ergo manebit Ta eadem quz prius,
hoceft ut SP. Quare Sn ef ut SP cnub. id eft( per Corol. Theor. V.) vis centripeta ut cubus diftantie SP. ART Lemma XIL.
Parallelogranınza ommia circa datam Ellipfin deferipta effe inter fe€ qualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum diametros ejus defcriptis.
Conftat utrumg; ex Conicis. Prop

[437
Prop. X: Prob. V.
Gyretur corpus in Ellipfi: ‚requiritur. lex vis centripet@ tendentis ad
centrum Ellipfeos,
Sunto C A, CB femiaxes Ellipfeos; ‚GP, DK diametri conjugatzx; P F, Q+ perpendicula ad. diametros; Qu ordinatim applicata ad diametrum GP;& fi compleatur parallelogrammum 0© RP, erit (ex Conicis)P vG ad 0 quad, ut PC quad. ad CD quad,&(* ob fimilia triangula Qt, PCF)Qvquadeltad Okt quad ut PC quad, ad P Fquad,&conjunckis rationibus, P v G ad Qt quad. ut PC quad, ‘ adCD quad,& P C quad. ad P F quad, id eft vv Gad in ut PC A quad. A ‚-Scribe Q_R pro Po,&(per Lemma
x.) BC xCAproCDxP F, necnon( pundkis P& Q_coeuntibus) 2PC pro vG,& dußis extremis& medijs in fe Qi4x PC7 2BCAXCA mutuo,— wquale LEE Elt ergo
ne&
(per
Sand
Corol. Theor.V.) vis centripeta reciproce wa X ef
Cob

ad
Lad, sad,
PC
ma
unde
per
"ob
-#1
(ob datum 2 BC4.xC Ag.) ut ve; hoceft, direfte ut diftantia
PC. Q.E. I.
Corol. x. Unde vicıflim fi. vis fit ut diftantia, movebitur corpus in Ellipfi centrum habente in centro viriıum, aut forte in Circulo, in quem Ellipfis migrare ‚poteft.}
Corol. 2. Et xqualia erunt revolutionum in Figuris univerfis circa centrum idem fadtarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipfibus fimilibus xqualia funt per Corol.'3& 7 Prop. IV.: In Ellipfibus autem communem habentibus axem majorem, fünt ad invicem ut Ellipfeon arex totz diredte& arcarım particulz fimul. deferipte inverfe; id eft ut axes minores directe& corporum velocitates in verticibus principalibus inverfe, hoc eft üt axes illi dire&e 8& ordinatim applicatz ad axes alteros inverfe, 8& propterea(ob zqualitatem rationum direcarum& inverfarum) in ratione xqualitatis. Ar
Scholium.
® Si Ellipfis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus movebitur in hac Parabola,& vis ad centrum infinite diftans Jam tendens, evadet xquabilis. Hoc eft Theorema Galilei. Et fi Conifedio Parabolica, inclinatione plani ad conum fe&um mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam verfa.
H 7 A Spot

[5e]
SEC T.L De motu Corporhm in Conicis Se&tionibus excentricis.
Prop. XL Prob. VI.
Rewolwatur corpus in Ellipfi: Requiritur lex wis centripet@ tendentis ad umbilieum Ellipfeos.
Efto EJlipfeos fuperiori; umbilicus S. Agatur SP fecans Ellipfeos tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam 0& in x,& compleatur parallelogrammum Qx PR. Patet EP xqualem effe femi-;/ axi majori AC, co quod acta ab altero
‚Ellipfeos umbilico HlineaH Iipfi EC parallela,(ob zquales€ S,°CH) zquentur ES,ETadeo ut EP feruifumma{it ipfarum PS,
PL ideft( obparallelas HI, PR& angulos zquales IP R, HPZ) ipzum PS, PH, que Vi conjundim axem totum 2 4C adequant. Ad SP demittatur perpendicularıs OT,& Ellipfeos latere recto principali(feu
ideßutPE( fu AC)adPC:& LxPoad GoP ut LadGes &

tur feu
O5
U;
\ 5x] &GwPad Q@ quadutCP quad.ad CD quads&( per Lem. VII.) Qy quad.ad Qx quad.punchis Q&P coguntibus, eit ratio zqualitatis, 8& Q x quad. feu Qy quad. eft ad Q_ 7 quad, ut E P quad, ad P F quad, id eft ut C A quad, ad P Fquad.{five(per Lem. XI.) ut CD quad. ad CB quad. Et conjuuEhis his omnibus rationtS bus, LxR fit ad OT qrad. ut ACad PC+ LadGu+t+CPg
ad CDq+CD g.ad CBgq.id eft ut ACxL( ieu 2CB4. JxCPq. ad PCxGwxCBg.{jive ut 2 PC adG%. Sed pundtis Q 8& P coeuntibus, zquantur 2 PC&G wo. Ergo 8& his proportionalia Lx OR& Q T quad. zquantur. Ducantur hc xqualia in
nn& fiet L x SP q.xquale SPqx@ 7“ 1. Ergo(per Corol.
Theor. V.)vis centripeta reciproce eft ut LxSPg. ideft reciproce in ratione duplicata diftantie SP. 0. E. I.
FE adem brevitate qua traduximus Problema quintum ad ParabpJam, ‚& Hyperbolam, liceret idem hic ficere: verum ob dignitatem Proeblematis& ufum ejus in fequentibus, non pigebit cafus cxteros demonftratione confirmare.
Prop. XI. Prob. VII.
‚Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex wis centripet@ tendentis ad umbilicnm figure.
Sunto CA, CB demi-axes Hyperbolez; PG, K D diametrn conjugatz; PF, Q% perpendicula ad diamcetros;& O0 ordmatim applicata ad diametrum G P. Agatur SP fecans tum diametrum DK in E, tumordinatim applicatam Q& in x,& compleatur parallelogrammum Q RP x. Patet EP zqualem«Me fımiaxi tranfverfo AC, co quod, acta ab altero Hyperbolz umbilico H linea HTipfi EC parallela,ob zquales CS;€ H, xquentur ES, EI; adeo ut EP(emidifferentia fit ipfaruım PS, PP Z, ide?(ob parallelas HI, PR& angulos xquales IPK, HPZ) ipfarum P I, P H, quarum differentia axem totum 2 AC adaquat. AdSP
G 2 de

520]
demittatur perpendicularis OT. Et Hyperbola_ latere redto 2 u) dito Leit LxO Rad LxPout OR
principali(feu
ad Po, ideft, ut PE(feu AC)adPC; Et LxPoadGoP 2
ut Lad Ge;&GaP ad 0w94. ut CPq.
ad C Dg;&( per Lem. ViIL)Q v9. ad AE Qxg, pundis 0& P coeuntibus A
fit ratio zqualitatis;& Oxq. feu
Qvg.eftad OT q.ut EP q.adP Fq, A; ideft ut C Ag. ad PFg, Gve(per A ne Lem. XI.) ut CDg. ad=
C Bq:& conjun&is his omnibus rationibus L x ORfit ad OT gut4C
ad PC+4L ad Go+CP gad
CDaqa+CD 9. gr adC Bg: ideft a ut ACxL(fen A
eg ad Pex 8) LA GuxCBguad, ge live ut 2 PC/ en
ad Go, kd A
‚pundis Q&P Ss
COCUNTIDUS X- K
quantur 2 PC;
©° S ee
X Go, Ergo& his proportionalia LxO R& 2,74. xquantur. pn SPO, SPaxOT,
Ducantur hzc xqualia in SF&fietLxSP 44. xquale% Br
a A A Ergo:(per Corol, Thecor V.) vis centripeta reciproce ‚eft ut ExSP4, id. eft in ratione duplicata diftantig SP. AL
-Eocel
La
We

Co DR vP
45,
ut
531 Se Eodem modo demonftratur quod corpus, hac vi centripeta ın centrifugam verfa, ‚movebitur in Hyperbola conjugata.
Lemma XI Latus re&unz Parabole ad verticem quemvis pertinens,; eft quadruplain diftantie verticis illins ab umbilico figure. Patet ex Conicis,
Lemma XIV. Perpendiculun’quod ab umbilico Parabole ad:tangentem ejus demittiturz medium. ef} proportionale inter. diftantias umbilici) a puncto contastus: dr a’ wvertice principali figure.
SS img? Q Parabola, S umbilicus ejus;: 4 vertex principalis,P pundt- A 199 Us 3
um contact-. En;
us, PO ordinatım applica ta ad diametrum. principalem, PM tangens üliametro principali occur- ZN rens in M,&c S N linea perpendicularis ab umbilico in tangentem.
Jungatur AN,& ob xquales MS 8&, SP, MN& NP MAX
A0, parallelz:erunt redix AN& OP,&inde triangulum SAN
recangulum erit ad d& fimile trianguliszqualibus SM N, SP N,
Ergo PS et ad SNutSNadS 4.2. ED.
Corol. 1. PSqieft ad SNq.ut P Sad S A.
Corol. 2. Et ob datam S 4, ceftSNg.ut PS.)
Corol. 3. Et concurfus tangentis cujufvis PM cum reda SN quz ab umbilico. in ipfam perpendicularis eft, incidit in_redtam
AN, que Parabolam tangit in vertice principali, Prop
A
5©)

E54] Prop. XI. Prob. VII.
Moweatur corpus in perimetro Parabole: requiritur Lex wis centripete tendentis ad umbilienn hujus figure.
Mancat conftruc&io Lemmatis,fitq; P corpus in perimetro Parabolz, 8 a loco Q in quem corpus proxime niovetar, age ipfiS P Parallelam OR& perpendicularem Q T, necson Qv tangentiparallelam& occurentem tum diametro TP G inv, tum diftantig SPinx. Jam ob fimilia triangula Pxo, MSP& zqualia unius lateraSM, SP, zqualia funt'alterius Jatera Px feu OR& Po. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatz 0 zquale eft retangulo {üb laterere&to& fegmento diametri P©, id eft(‘per Lem. XIH.) re&angulo 4 PSxP vu feu4PSx OR;& pundtis A& Q_coeuntibus, ratio Quad Q x( per Lem. 8.) fit zqualitatis. Ergo Qxq. co in cafu, xquale vv: 0? eft rectangulo 4PSxQ R. Eft autem( ob z‚ quales anguie Ox TA M PS,PMO).= Oxq.ad QTgz. ut PSgq.ad SNg. hoc eft(per Corol. I. Lem. X IV.)ut PS ad AS, id eft ut 4 PSxQR ad 4 4ASxQOR,& inde( per Prop. 9. Lib. V Elem.) QFTg.& 44SxOQR xquantur. Ducantur SP q.xQTg.
OR
G
x SP 4.. haxc xqualia in GR& fıet
& propterea( per Corol. Theor. V.) vis centripeta eft reciproce ut SPq.x 4.48, ideft, ob datam 4 AS, reciproce in duplicata ratione diftantie SP. Q. E.T.
4 Corol.
xquale SPg.x44S:.

1pearapaati NIUS Po. rulo IL) °un;rgo
Sad rOopnatur 4S:
pDroiplioral.
*[551;
Corol. 1. Ex tribus noviflimis Propofitionibus confequens eft, quod fi corpus quodvis P, fecundum lineam quamVIS rectam PR, quacung; cum velocitate exXeat deloco P, 8 vi centripeta quz fit reciproce proportionalis quadrato diftantix a centro, fimul agitctur; movebitur hoc corpus in aliqua fe&ionum Conicarum umbilicum habente in centro virlum;& contra.
Corol. ILEt fi velocitas,quacum corpus exit de loco fuo P, ea fit,
ua Hineola PR in minima aliqua temporis particula deferibi poflit,& vis centripeta potis fit codem tempore corpus idemmovere per{patium QR: movebitur hoc corpus in Conica aliqua feQjone cujus latus re&tum eft quantitas illa SE que ultimo fit ubi
Ilineole PR, OR in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipfin,& cafum excipio ubi corpus recta defcendit ad centrum.
Prop. XIV. Theor. VI.
Si corpora plura rewolwantur circa centrum commune,&» vis centrieta decreicat in duplicata ratione diftantiarum a centro dico
quod Orbinm Latera reCia furt in duplicata ratione arearnm quas corpora, radiis ad centrum duttis, codem tempore defcribunt.
Nam per Corol. 1. Prob... VIEL. Latus retum L xquale eft quantieati 227 que ultino fit ubi coeunt pundta P& Q. Sed linea minima Q R, dato tempore, cft ut vis centripeta generans, hoc eft( per Hypothefin) reciproce utSPg. Ergo a eft ut 0Tg.xSP g. hoc eft, latus redtum LI, in duplicata ratione arex QTxSP.@Q/ ED.:
Corol. Hinc Ellipfeos area tota, eiq; proportionale reCtangulum{üb axibus,eft in ratione compofita ex dimidiata ratione lateris recti& integra ratione temporis periodich.
Prop

[56];
Prop XV. Theor. VIL
Jisdem pofitis, dico quod tempora periodica in Ellipfibws funt in ratiOH fejquiplicata Iranfverforum axinm.'
Namg; axis minor.eit medius;proportionalis inter‘ axem majorem( quem“tranfverlum'appello)'8& latus re&um, atq;adeo rectangulum fub axibus eft in ratione compofita ex dimidiara ratione Jateris rec&{e{quiplicata ratione axis tranfverfi. Sed hoc rectangulum, per Cotollarium Theorematis Sexti, eft in ratione compolita ‚ex. dimidiata tatione Jateris.re£ti& integra ratione periodicı temporis. Dematur utrobiq; dimidiata ratio lateris recti & mänebit{eiquiplicata ratio axis traniver(i qualis rationi periodicı temporis. Q. E. D.||
Corol. Sunt ıgitur tempora periodica. in Ellipfibus eadeni ac in circulis, quorum diametri zquantur majoribus axibus ElJipfeon. 7
Prop. XVI.: Theor. VIEL
Tisdem pofitis,& altis ad corpora lineis reis, que ibidem Fangant
orbitas, demiffi(q;"ab umbilico communi ad has tangentes- perpendienlaribus: dico quod welocitates corporum funt in ratione Compofita ex ratione perpendicnlorum znwerfe&» dimidiata ratione laterum rectornm direfte. VideFig. Prop. X.&. XL Ab umbilico Sad tangentem PR demitte perpendiculum ST & velocitas corporis Perit recıproce in dimidiata, ratione quantitatıs un Nam velocitas illa eft ut arcus quam minimus P 0_ in data temporis particula deferiptus, hoc eft( per Lem. VII. ut tangens PR,’ ideft( ob proportionales PR ad OT 8&SP ad
ST) ut ER E utS7 reciproce& SPx OT direße; eftq; SPx

Tank veH?DoabteNtiPO
‚ad
Px
E57 4 SP x OT ut area dato tempore defcripta, ideft, per Theor, VI.
in dimidiata ratione lateris re&i 9. E. D.
Corol: ı. Latera re&ta funt in ratione compofita ex duplicata ratione perpendiculorum& duplicata ratione velocitatum.
Corol. 2. Velocitates corporum in maximis& minimis ab umbilico communi diftantiis, dunt in ratione compofita ex ratione‘ diftantiarum inverfe& dimidiata ratione laterum recdtorum direde. Nam perpendicula jam funtipfz diftantiz.
Corol. 3. Ideoq; velocitas in Conica fe&ione, in minima ab umbilico diftantia, eft ad velocitatem in circulo in eadem acentro diftantia, in dimidiata ratione lateris recti ad diftantiam illam duplicatam.
Corol. 4. Corporum in Ellipfibus gyrantium velocitates in mediocribus diftantiüs ab umbilico communi funt exdem quz cororum gyrantium in circulis ad eafdem diftantias, hoc eft(€ per Corol. VI. Theor. IV.) reciproce in dimidiata ratione diftantiarum. Nanı perpendicula jam funt femi-axes minores,& hi funt ut medig proportionales inter diftantias& latera redta. Componatur hzc ratio inverfe cum dimidiata ratione laterum rectorum dired&e,& fiet ratio dimidiata diftantiarum inverfe.
Corol. 5. In eadem vel zqualibus figuris, vel etiam in figuris inzqualibus, quarum latera redta füunt xqualia, velocitas corporis eft reciproce ut perpendiculum demiffum ab umbilico ad tangentem. Corol. 6. In Parabola, velocitas eft reciproce in dimidiata ratione diftantig corporis ab umbilico figure, in Ellipfi minor eft, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam(per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum demiffum ab umbilico ad tangentem Parabolx eft in dimidiata ratione diftantix.
Corol. 7. In Parabola, velocitas ubiq; eftad velocitatem corporis revolventis in circulo ad eandem. diftantiam,‚in dimidiata ratione numeri binarli ad unitatem; in Ellipfi minor cft,in Hyperbola ma

[58]
jor quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium fecundum, velocitas in verüce Parabole eft in hac ratione,& per Corollaria fexta hujus 8 Theorematis quarti, fervatur eadem proportio in omnibus diftantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubiq; zqualis eft velocitatı corporis revolventis in circulo ad dimidiam diftantiam, in Ellipfiminor eft, inHyperbola major. Corol. 8. Velocitas gyrantis in SeCtione quavis Conica ef} ad velocitatem gyrantis in circulo in diftantia dimidii lateris re&i Se@ijonis, ut diftantia illaad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis demiflum. Patet per Corollarium quintum. Corol.. 9. Unde cum(* per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc circulo fit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio, reciproce in dimidiata ratione diftantiarum; fiet ex zquo velocitas gyrantis in Conica fedione ad velocitatem gyrantis
in circulo in eadem diftantia, ut media proportionalis inter diftantiam illam communem& femitfem lateris rechi fectonis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem deCtionis ‚demiflum. Prop. XVHE. Prob. IX.
Pofito quod vis centripeta fit reciproce proportionalis quadrato diftanHA a contro, C&» quod wis illins quantitas abfoluta fit cognita, requiritur linea guam corpus defcribit, de loco dato cıtnı data welo citate fecundum datam rectanı egrediens: Vis centripeta tendens ad punctum S ea fit que corpus p in
orbita quavis data p 4 gyrare factat, 8& cognofarur hujus velocitas in locoa p... ‚De loco P fecundum lineam PR exeat corpus P
cum data velocitate,&mox inde, cogente vicentripeta, defle@at lud in Conifectionem PO. Hanc igitur re&a PR tanvet in
P. Tangat itidem redta aliqua pr orbitam:p g:in BP; Sfab5
ad cas ‚tangentes demitti intelligantur, perpendicula,„erit per
„Corol, ı. Theor. VIM) latus re&tum Conileionis ad latus red
{8 il
um

Co: proC1tas | VCjectzen
Citas JuonNtis
tanıpCr‚de.[591 um orbitze date, in ratione compofita ex duplicata ratione perpendiculorum 8 duplicata ratione velocitatum, atq; adco datur. Sit iftud L. Datur praterea Conifechonis umbilicus SS. Anguli RPS complementum ad duos redtos fiat angulus RPH,&.dabitur pofitione linea; P H, in qua umbilicus alter H locatur. Demiffo ad PH perpendiculo S K,8& ere&o femiaxe conjugato BC,eft SP q.— 2 KPH 4 P.Hg.(per Prop.1 3. Lib. ILElem.)=SHq.=4C H4g.= 4 B Hg.
a
“= 4BCq.=SP+PHgquad.—L xSP+PH=5S Pqg.+2SPH
+P Hg.— LxSP+- PH. Addantur utrobig; 2 K PH+Lx SP+PH-SPl.—PHa.& GetL.x SPPH=2 SPHA 2A: PH, feuSP+PHadPH ut2SP+2KPadL. Unde datur PH tam longitudine quam pofitione. Nimirum{i ea fit corporis in P velocitas, ut latus reftum L minus fuerit quam 2 SP+2 K P, jacebit PH ad eandem partem tangentis P.R cum linea PS, adeogq; figura erit Ellipfis,& ex datis umbilicis S, H,& axe principali SP+PH, dabitur: Sin tanta fit corporis velocitas ut latus re&um L zquale fuerit 2SP+2 KP, longitudo PH infinita erit,& propterea figura erit Parabola axem habens SH parallelum linex PK,& inde dabitur. Quod ficorpus majori adhuc cum velocitate de loco füo P exeat, capienda erit longitudo PH ad alteram partem tangentis, adeoq; tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem xqualem differentige linearum SP& PH,& inde dabitur. 0. E. I. Corol. ı Hinc in omni ConifeCtione ex dato vertice principa1 D, latere re&o L,& umbilico S, datur umbilicus alter H capiendoD Had DS ut eft latus re&um ad differentiam inter la12 tus

[ So J tus redtum& 4D SS. Nam proportio SP+ PH ad PHut2SP ad L, in cafu hujus Corollarii, fit D S+DHad DHut4DS ad L, 8& divilim DS ad DHut 4 DS—-LadL.
Corol. 2. Unde fi datur corporis velocitas in vertice principali D, invenietur Orbita expedite, capiendo{cilicet latus re&um ejus, ad duplam diftantiam DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datz ad velocitatem corporis in circulo ad diftantiam DS
gyrantis:( Per Corol. 3. Theor. VIII_) dein DH ad DS ut htus/
redtum ad differentiam inter latus retum& 4 DS.
Corol. 3. Hinc etiam fi corpus moveatur in Sectione quacunq; Conica,& ex orbe fuo impulfu quocung; exturbetur; cognofci poteft orbis in quo poftea curfum fuum peraget. Nam
‚componendo proprium corporis motum cum motu illo quem im-| puHus folus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulfus loco, fecundum re&am pofitione datam, exibit‘ Corol. 4. Et fi corpus illud vi aliqua extrinfecus imprefla continuo perturbetur, innotefcet curfus quam proxime, colligendo.
mutationes quas vis illa in punis quibufdam inducit,& ex feriel analogia, mutationes continuas in locis intermediis zftimando.
SECT.

npe]
SEC T. IV:
De Inwventione Orbinm Ellipticorum, Parabolicorum& Hyperbolicovun ex umbilico-dato.
Lemma XV. Si ab Ellipfeos vel Hyperbole cnjufvis umbilicis duobus S,H,ad punetum quodvis tertium V infle&antur re&a due S.Y,HV, quarum#na HV aqualis(it axi tranfwerfo figure, altera SV a perpendicnlo TR in fe demiffo bifecetur in T5; perpendienlum illnd ER fectionem Conicam alicubi tangit: x; contra, fi tangit, erit VH aqualis “ axi figure.;
Secet enim VH-feCionem conicamin R,& jungatur SR. Ob zquales re&tas TS, TV, zquales erunt anguli TRS, TRV... Bifecat ergo RT angulum VRS& propterea figuram tangit: 8: contra. Q. E. D.
Prop. XVII. Prob. X.
Datis umbilico.&- axibus tranfwverfis deferibere Traje&orias Ellipti-. cas&» Hyperbolicas, qu« tranfibunt per puncia data,& rettas pofitione datas contingent.
Sit Scommunis umbilicıs figuraram; AC longitudo axis tranfverfi Traje&orie cuyulvis; P pund&um per quod Traje&oria debet tranfire;& TR.re&a quam: debet tangere. Centro P intervalle AB—S P.fi orbita fit Ellipfis, vel 4B+5S P, fi ea fie Hyperbola,
deferibatur circulus HG, Ad tangentem TR demittatur per| PD

6% 1
pendiculum ST,& producatur ea ad V, ut fit TV xqualis ST; FE
centrog; V& intervallo 4 C deferibatur circulus FH. Hac me- E31
thodo five dentur duo pundta x
P, p, five duz tangentes TR, 5%
FH Miveipundhum P 8 tan! r f
gens TR, deferibendi{unt p| S
circuli duo. Sit H ecorum.yv 2 P©
interfeCtio communis, 8& um-"A£Fı6 S
bilicis S, H, axe illo.dato E Zi ad
deferibatur Trajedoria. Di- a DR
co fa&um.«Nam Traje&o-! 1>
tia deferipta(eo quod. PH: FR( +SPin Ellipfis&PH=SP E
in Hyperbola zquatur axi) r
tranfibit per pund&um P, 8“}\
(per Lemma fuperius) tanget redtam TR. Et codem argu- 1 mento vel tranfibit eadem per puncta duo P,p, vel tanget reCas l Quas IR, tr. OB. FF. C
Prop. XIX. Prob. XI.
Circa datum umbilieum Trajeoriam Parabolicam: deferibere,que tran-' fibit per puneta data,& rectas pofitione datas cortinget. Sit S umbilicus, P.pund&um.& TR tangens trajedtorige deferibende. Centro P, intervallo PS deferibe circulum FG. Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularein ST, 8& produc e.amad V, ut fit TV xqualis ST. Eodem mödo defcribendus eft altercirculus fezfidatur alterum pun&um' p35 vel inveniendum alterum pundtum©, fi datur altera tangens #r3;. dein ducenda recta IF que tanpgat duos circulos FG, fg fi dantur duo punda/P,

en
us
N
=
el
[631 DE ps; vel tranfeat per duo punda V,z;. fi dantur duz tangentes TR, tr, vel tangat cireulum FG& rranfeat ‚per pundum U,{fi datur puncıui D 8 tangens IR. AdFI demitte perpendicularem ST, ‚camg; bifeca in K; 8& axeSK, vertice. principali K de(eribatur Parabola. Dico fi@um. Nam Parabola ob zquales SK&IK, SP&FP tranfibit per pundum P;&(per Lemmatis XIV. Corol. 3.) ob zquales ST& TV 8 angulum redum STR, tanget re&am TR. QE.
Prop. XX. Prob. XII.
Circa datum umbilicnm Traje&oriam quamvis fpecie datam deferibere, que per data puma tranfibit&» retias tanget pofitione daFAS.
Cas. x. Dato umbilico,S, deferibenda, fit Traje&oria ABC per pundta düo B; C.'.-Quoniam TrajeCtoria datur{pecie,-dabitur ratio /axis ‚tranfverfi ‚ad
diftantiam umbilicorum.. Inea ratione cape CB ad. BS,&LC
2dCS.(Centsis B, CC, interval- X GEST BB S lis BK, CL, deferibe‘, circulos 4 A duos, 8c ad redtam KL; quz Ge braten ang PL
tangat cofdem a KK 8 I, demitte»perpendicülum& G,..idemgq; feca in A 8 a, ita ut fit SA ad AG& SaadaG, ut/eft SBad BK,& axe Aa, verticibus. d, a, de(cribatur Traje&toria. Dico 6 Aum. Sit enim H umbilicus alter figurz deferiptze,& cum 6eSAad AG utSaad aG, eritdiYin Sa SA deu HadaG 7 AG feu4a m eadem ratione, adeoq; in ratione quam haber axis tranfverfus figurz deferibendx ad diftantium umbilicorum ejus;&; propterea figura; defcripta eft ejußlem ipeciet cum deferibenda. Cumgq;{int KB adBS 8-1 C adC Sin ecadem+ratione, trantibithec Figura per puncka BD; C, ut ex Conicis manifeftum elt. . Cas.

E64 J.
Cas. 2. Dato umbilico S,defcribenda fit TrajeCtoria quz re&as duas TR, tr alicubicontingat, Ab umbilico in tangentesdemitte perpendicula ST, S+& produc cadem ad V,©, utfint TV, tv zquales TS, ts. Bifeca Vo in 0,& erige perpendiculum in- ‚ finitum OH, rectamqg; VS infi- Em nite produdtam£eca in K& Rk ita, ut Ge VK ad KS& Vkad kS ut eft Trajedtorig defcribende axis tranfverfus ad umbilicorum diftantiam. Super diametro K k deferibatur circulus fe"cans reftam OH inH;& umbilicis S, H, axe tranfverfo ipfam V H zquante, deferibatur Trajedoria. Dicofa&um. Nam bifeca K kin X,& junge HX, HS, HV, Ho. Quoniam eft VK ad KSut Vk ad kS 8& compofite ut V K+V kadK$S+KkS; divifimq; ut Vk—V K ad kS-KSideftut2 VXad2 KX&2KXad 2SX, adeoq; ut VXadHX& H X adSX, fimilia erunt triangula VXH, HXS,& propterea VH erit ad SH ut VXad XH, adeoq; ut VK ad KS. Habet igitur Traje&orig defcripte axis tranfverfus V H cam rationem ad ipfius umbilicorum diftantiam SH,quam habet Traje&orie defcribendz axis tranfverfus ad ipfius umbilicorum diftantiam,& propterea ejufdem eft fpeciei. Infuper cum VH, ZH xquentur axi tranfverfo,& VS, vS aredtis TR, tr perpendiculariter bifecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajeetoriam deftriptam tangere. 0. E. F.
Cas. 3. Dato umbilico S deferibenda fit Trajectoria que rectam FR tanget in pun&o dato R. In re&tam TR: demitte perpendicularem ST, 8& produc candem ad V,ut fit TV xqualis ST.
Junge VR,& re&am VS infinite produdam feca in K&k, itaut fit 7/K adSK&Vk ad Sk ut Ellipfeos deferibende axis tranfverfus ad diftantiam umbilicorum; circulog; fuper diametro Kh
deCam mA
Lan

deT,
rare LT ta
{DL deferipto,. fecetur producta re&a UR in H,& umbilicis S, H, axe tranfverlo re&am H V zquante, defcribatur TrajeCtoria. Dıico fa&um. Namq; VH efle adSHut V7K adSK, atq; adeo ut axis tranfverfus Traje&torige deferibendz ad. diftantiam umbilicorum ejus,, pa** u" tet ex demonftratisin Calule-+" cundo,& propterea Trajectoriam deferiptam ejuldem| effe fpeciei cum defcribenda: re&tam vero TR qra angulus VRS bifecatur, tangere TrajeCtoriam in pundo.R, patet ex Conicis Cas. 4. Circa umbilicum S deferibenda jam fit Trajedtoria AP B, que tangat redtam TR, tranfeatq; per pundum quodvis P extra tangentem datum, quxgq; fimilis fit figurx a pb, axe
tranfverfo ab 8& umbiliciss,h deferiptz. In tangentem TR demitte perpendiculum. ST,& produc idem ad V, ut fit TV xqualis ST. Angulisautem VSP, SVP fac angulos hsq, shq zquales; centroqg; g& intervallo quod fit ad ab ut SP ad VS deferibe
K CT

[ 6-] circulum fecantem figuram apb inp. Junge sp& age SHquz fit ad sh uteft SP ad sp, quxq; angulum PSH angulo psh& angulum VSH angulo psgq zquales conftituat. Deniq; umbilicis S,H, axe diftantiam V H xquante, defcribatur fectio conica.
Dico fad&um. Nam fi agatur sv que fitad sp ut eft shad sg, quzgq; conftituat angulum vs p angulo hs q& angulum vsh an. gulo.psq xquales, triangula sh, spg erunt fimilia,& propterea vb erit ad pqg ut eft shad sg, delt(ob fimilia triangula VSP, hsq)uteft VS ad SPfeuabad pq. Aquantur ergo üh& ab. Porro ob fimilia triangula VSH, vsh,eft.VH ad SHut vhadsh, id eft, axis Conicz fectionis Jam deferiptz ad ilzus umbilicorum intervallum, ut axis ab ad umbilicorum intervallum sh;& propterea figura Jam deferipta{imilis eft figure apb."Tranfit autem hzc figura per pundum P, co quod triangulum PSH fimile fit trangulo psh;& quia V/ H xquatur ipfius axi& VS bifecatur perpendiculariter a redta TR, tangit cadem relam TR. Q.E.F.
Lem.

E71
2
x Lemma XVI.’
1ds A datis tribus punghis ad quartnum non daturı infle&tere tres reclas
quarum differentie vel daniur vel unlle funt.. Cas. x. Sunto pundka illa data 4, B, C& pundum quartum) Z, quod invenire oportet: Ob datam differentiam linearum AZ, BZ, locabitur pundum Z in Hyperbola cuyus umbilici{unt 4& B, 8& axis tranfverfus differentia ılla data. Sit axis ille MN. Cape PMad M Aut et MN ad AB,& ereto PR perpendicular ad AB, demiffoq; ZR perpendiculari ad PR, erit cx_ natura hujus Hyperbolx Z Rad AZ ut eft MN ad 4B.. Similı difcurfü pund&um Z locabitur inalia Hyperbola, cujus umbilici funt A, C& axis tranfverfus differentia inter AZ& CZ, duciq; potelt Q Sipfi AC perpendicularis, ad. quam fi ab Hyperbolz hujus pundto quovis Z demittatur normalis Z S, hzc fuerit ad AZ ut eft differentia inter AZ8& CZ ad AC. Dantur ergo rationes ipfarum ZR& Z Sad AZ, 8 idcirco datur carundem ZR& ZS ratio ad invicem; adeoq; reis RP, SO concurrentibus in|
q, T, locabitur pundum Zin recn- ta TZ pofitione data. Eadem
C- Methodo per Hyperbolam terJa tiam, cujus umbilici funt 5&C
;o& axis tranfverfus differentia
d retarumB Z, CZ, invenirı pol- teft alia reCta in qua pundtum Z
nn X locatur. Habitis autem duobus®
4 locis rechlineis, habetur pundii um quefitum Z in carum interfeCione. 0. E. I.
N Cas.+ 2. Si dux’cx tribus lineis, pura AZ& BZ zquantur,
N' pundum Z locabitur in perpendiculo bifecante difar t'am A B,&
Jocus alius rectilineus invenietur ut füupra. O0. E,L Rn K 2 Cas.

[€] 2 Cas. 3. Siomnes tres zquantur; Jocabitur pund&um Z in cen_ tro circuli per pun&a A, B, C tranfeuntis. Q. E. I.
Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum Tadionum Apolloniia Vieta reftitutum.
Prop. XXI. Prob. XII.
Traje&loriam circa datum umbilicnm defcribere, que tranfibit per punta data& rettas pofitione datas continget.
Detur umbilicus S, pun&um P,& tangens TR,& inveniendus fit umbilicus alter H. Ad tangentem demitte perpendiculum ST,& produc idem ad 7, ut fit TYT xqualis ST,& erit TH sxqualis axi tranfverfo. Junge SP, HP,&erit SP differentia inter HP& axem tran{verfum. Hoc modo fi dentur plures tangentes TR, vel plura puncta P, devenietur femper ad lineas totidem TH, velPH, a di&tis pundis Yvel Pad umbilicum H duas, que vel zquantur axibus, vel'datis. Jongitudinibus SP differunt
‚ab ifldem, atq; adeo quz vel zquantur fibi invicem, vel datas habent diffe-— Y\rentias;& inde, per Lemma fuperius, Sn datur umbilicus ille alter H.. Habitis autem umbilicis una cum axis longitudine(que veleft TH, vel fi Traje&o- A A ria Ellipfis eft, PH+SP; fin Hy- Ss a) perbola, PH-—SP) habetur Trajedtosia, O0, EA,
Scholium.
Cafus ubi dantur tria punda fic folvitur expeditius.,. Dentur pundta B,€, D. Jundas BC, CD produc ad.E,F, ut(it EB. ad EC utSBadSC,& FC ad FD ut SC adSD.AdEF dudam & productam demitte normales S G,B H, inq; G S infinite producta cape GA ad 45& Ga ad aS ut et HBadBS;&erit A
VCI

1 us SS ed AU
ee
ME 8 Aa axis tranfverfus Traje&orie: que, perinde ut G 4 erit quam AS, erit Ellipfis, Parabola vel
vertex, minor, zqualis vel major fü Hyperbola; pundo
aim primo cafu cadente ad eandem partem linex GK cum pundo A, in fecundo cafu abeunininfinitum; in. tertio cadente ad contrariam partemlinex. GK. El& Nam fi demittantur x ad GF_perpendicula CI, DK, erit IC ad:HBut ECad EB hoc eft utSC ad SB;& viciflim IC ad SC ut HB ad SB fen GAadSA. Et fimili argumento' probabitur efle KD ad 2) in ecadem ratione.. Jacent ergo pundaB;vC; Din Cönifedtione circa umbilicum S ita deferipta, ut:recte omnes abuunsbilico S ad fingula Sedionis punda ducte, fint ad perpendicula a pündis üfdem ad retam G K demiffa in data illa ratione.
NEED a. difimili kujusproblematis(ölutionem tradit Clariffimus Geometra De iz Hire, Coni| ML VIIL Prop XXV.; Conicorum fuorum Lib.
SECT

JE
SECT. NV, Inventio Orbinm ubi umbilicus nenter datur. Lemma XVII
Si a date conice felkionis puncto quowis P, ad Trapexii alicnjus ABCD, in Conica illa fe&tioue inferipti, latera quatuor infinite produtia AB, CD, AC, DB, totidem re&e P.Q_, PR, PS, PT in datis angnlis ducantur, finaule.' ad fingula: retangu» Cr
Inm dustarnm ad:oppofita duo : Jatera PO x PRy erit ad
‚re&tangulum‘ dutarny ad ala duo Vaters oppofita PS x
PT zn datd ratione.
Cas. 1. Ponamus imprimis lincas ad: oppofita latera du&as; parallelas„elle alterutri rei liquorum laterum, puta P & PR later1AC,8& PS ac PT lıteri AB. Sintq; infuper latera duo ex oppofitis, puta AC& B D, parallela. Et redta que bife_ cat parallela illa latera erit una ex diametris Conicz feCtionis,&c
bifecabit etiam RO. Sit.0 pundum in quo-R Q,bilecatur;s-Scerit
PO orcinatim applicata ad diametrum illam. Produc PO ad K
ut fit OK xqualis PO,& erit OK ordinatim applicata ad contrarlas partes diametri. Cum igitur pundka A, B, P& K fint ad Conicam fedtionem,& PR fecet AB in dato angulo,erit( per
Prop. 17& 18 Lib. HI Apollonit.) ve&angulum POK ad redangulum 40B indata ratione. Sed 0K&PR xquales fünt, utpote xqualium OK, 0P,8& 00_,OR differentig,& inde etiam reCt

te
7
ta eIt KK 1 at
1ft N
t-__rallelas ipfi AB;& propter daCe] re&angula POK&P 0x PR xqualia funt; atq; adco reCtangulum P 0x PR eft ad re&angulum A 0B, hoc eft ad re&angulum PS xP T in data ratione. Q. E. D.;
Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera oppofita AC& BD non effe parallela. AgycB d parallelam AC& occurrentem tum redtz ST in t, tum Conicz{eCtioni In d. Junge Cd fecantem P Q ın r, & ipfi P Q_parallelam age DM fecantem Cd in M& AB in N. Jam ob fimilia. triangula B.T+t, DBN, eft Bt feuP Q ad’T’£ ut DNadNB. Sic& Rreft ad A0 feuPS ut DMad AN. Er+ go ducendo antecedentes in antecedentes S& confequentes‘ ın confequentes, ut rectangulum POinRreft ad redtangulum Tr in PS, ita re&angulum NDM eft ad re&angulum ANB,&(per Cas. 1.) ita redtangulum OPr eft ad re&tangulum SP, ac divifim ita redangulum QOPR eft ad retangulum PS x PT. 0. E. DD.,
Cas. 3: Ponamus deniq; lineas quatuor PO, PR, PS, P 1. non effe parallelas lateribus AC, AB, fed ad ea utcung;: inclinatas. Earum vice age P g, Pr parallelas ipfi AC; 8& Ps, Pt patos angulos triangulorum PQ 4, PRr, PSs, P Tr, dabuntur rationes P.Q..ad’P.4, PR ad Pr, PSadPs&PT ad Pf, atq; adeo. rationes compofite PO in PR ad PginPr,&PS.in PTadPs in Pr. Sed, per füperius demonftrata, ratio Pg-in Pr ad PsinP t data eft: Ergo& ratio POinPRadPSinPT. Q.E. D. PP Lem

E72) Lemma XV
Tifdem pofitis, fi reSangulum duEtarum ad oppofita dno latera TrapeziüiP OxPR fit ad retangulum duEtarum ad reliqua duo latera PSxPT in data ratione; puneum P, a quo linee duckntur, tanget Conicam fe&tionem circa Trapezium deferiptam.
Per pundta 4, B, C, D& aliquod infinitorum pund&orum P, puta p, concipe Conicam{feCtionem deferibi: dico pun&um P hanc{emper tangere. Si negas, Junge AP fecantem hanc Conicam fectionem alibi quam in P fi fieri poteft, puta in 6b. Ergo fi ab his pundis p& b ducantur in datisangulisad latera Trapezii recte Papr, ps, pt& bR, br, bf, bdjeritut bkxbradbdxbf ita(per Lemma XVII) pg xpradpsxpt& ita(per hypoth.) POxPR adPSxPT. Ef& propter fimilitudinem
Trapeziorumbk 4f, POAS, ut bkad bfitaPQad PS. Quare applicando terminos prioris propofitionis ad terminos correfpondentes hujus,erit br ad bd ut PR ad PT. Ergo Trapezia zquiangula Drbd,DRPT fimilia fünt, 8& eorum diagonales Dh, DP propterea coincidunt.. Incidie itaq;b in interfe@ionem re&arum A P, D Padeoq; coincidit cum pun&o P. Quare pundum P, ubicung; fumatur, incidit in aflignatam Conicam feCionem,
Corol. Hinc fi re&tz tres PO, PR, PSa pundo communi P ad alias totidem pofitione datas reas A B,C D,A C,fingulx ad fingulas,in datis angulis ducantur,fitg; redangulum fub duabus du&is POxP Rad quadratumrertii, PS quad. in data ratione: pundum
; Scho

(737)
P, a quibus rectz ducuntur, locabitur in feCione Conica que tangit lineas AB, CD in A8&C 8& contra.. Nam coeat linca BD cum linea AC manente pofitione triuum AB,CD, 4C; dein coeat etiam Jinea PT cum linea PS:& re&angulum PS x P T evadet PS quad. re&zq; AB, CD quz curvam in pun&iis 4 8 B, C& D(ecabant, jam Curvam in pundis illis cocuntibus non amplius fecare poffunt fed tantum tangent.
Scholinum.
Nomen Conica fefionis ‚in hoc. Lemmate. late{umitur, 1ta ut feCio tam reCtilinea per verticem Coni tranfiens, quam CircuJaris bafi parallela includatur. Nam fi pundum p incidit in redtam, qua quzvis ex pundkis quatuor A, B, C, D Junguntur, Conica{echo vertetur in geminas reCtas, quarum una eft recta illa in quam pund&um p incidit,& altera redta qua alia duo cx pundkis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppofiti{imul fumpti zquentur duobus rectis,& lineg quatuor PO, PR, PS, PT ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter velin angulis quibufvis xqualibus, fitq; re&angulum fub duabus duCtis PS xPR zquzle re&angulo füub duabus aliis PS x PT, SeCio conica evadet Circulus, Idem fiet fi linez quatuor ducantur in angulis quibufvis& redtangulum fub duabus dudtis PO xPR 1it ad redangulum füb aliis duabus PSx PT ut‘ re&angulum füb finubus angulorum S, T, in quibus duzg ultim PS, PT ducuntur, ad rectangulum fub finubus angulorum Q_, Rıin quibus dug prime PO_, PR ducuntur.| Ceteris in calibus Locus pundti P eritaliqua trium figurarum quz vulgo nominantur Sectiones Conicx. Vice autem Trapezi4B CD fubftitur poteft quadrilaterum cujus latera duo oppofita fe mutuo inftar diagonalium decuflant. Sed 8 e punctis quatuor A, B, C, D poffunt unum vel duo abire in infinitum,€coq; padlo Jatera figure quge ad püncka illa convergunt,
eva

4]
evadere parallela: quo in cafu feCtio conica tranfibit per cXtera pund&a,& in plagas parallelarum abibit in infinitum.
Lemma XIX.
Inwvenire punstum P,a quo fi retie quatnor PQ,, PR, PS, P T ad alias totidem pofitione datasre&as AB, CD, AC, BD fingnle ad fingulas in datis angulis ducantur, retangulum fub dunabus duftis,P O_x P Rfit ad re&tangulum fub aliis duabus, PS x P Tin data ratione.
Linex AB, CD, ad quas re&z duz PO, PR, unum redtangulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus pofitione datis lineis in pundtis A,B,C,D. Ab eorum aliquo A age rectam quamlibet AH, in qua velis punctum P reperir1. Secet ca lineas oppofitas BD, CD, nimirum BDinH& CD in I,& ob datos omnes aneulos figurz, dabuntur rationes PO adPA&P Aad PS, adeoq; ratio POQ_ad PS. Auferendo hanc a dafa ratione PO x PR ad PSx PT, dabitur ratio PRad PT,& addendo datas rationes PIadPR,& PTad PH dabitur ratio PIadPH atq; adeo pundum P. 0. E.T.
Corol. x. Hincetiam ad Loci pundorum infinitorum P_ punctum quodvis Drangens duci poteft. Nam chorda P D ubi puncta Pac D conveniunt, hoc ef, ubi A Hducitur per pundum D,
tangens evadit. Quo in cafu, ultima ratio evaneicentium IP
& PH invenietur ut fupra. Ipfi igitur AD dac parellelanı
£F, occurrentemB Din F,& in ca ultima ratione fe&am in E,
&

A 751 8: DE tangens erit, propterea quod CF& evanefcens TH parallele fünt,&in E& V fimiliter fee.
Corol. 2. Hinc etiam Locus pund&orum ömnium P definiri poteft. Per quodvis"pund&orum A, B, C, D, puta A, duc Loci tangentem AE,& per alıud quodvis pundtum B duc tangentt parallelam B Foccurrentem LocoinF. Invenietur autem punctum F per Lemma{uperius, Bifeca BF in G,& adta AG diameter erit ad quam BG&FG ordinatiım applicantur. Hec AG occurrat Loco in H,& erit ri AH latus tranfverfum, ad quod a latus re&um eft ut BG g.ad AG- x H. Si AG nullibi occurrit Loco,| linea AH exiftente infinita, Lo- A“ cus erit Parabola 8 latus rectum%E Cr Sin ea alicubi occurrit,; Locus Hyperbola erit ubi punda A 8& H fita funt ad eafdem partes ipfius G:& Ellipfis, ubi G intermedium eß, nifi fortean-_ gulus AGB redtus fit& infuper BG quad. xquale rectangulo AGH, quo incafu circulus habebitur.
Atgq; ita Problematis veterum de quatuor Jineis ab Euclide incepti 8& ab Apollonio continuati non calculus, fed compofitio Geometrica, qualem Veteres quzrebant, in hoc Corollario exhibetur.
eJus
Lemma XX.
Si parallelogranımınm quodwais ASPQ_ angulis duobus oppofitis A & P tangit fe&ionenm quanwvis Conicam in punis A& PP,& Iateribus unins angnlorum illornm infinite produttis AQ_, AS occurrit eidem fetioni Conice in B& CC; a puntiis anten 0ccwrE22 Sum

HF 76:1
funm B.&€ ad quintum quodvis fe&tionis Conice punctum D
agantur refte due B D.C D occurrentes alteris dnobus infinite produis parallelogrammi laterit us PS, PO in TER: erunt femper abfciffe laterum partes PR PT ad inwicem in data ratione.
Et coniwa, fi partes ille abfeiffe funt ad invicem in data ratione,
puneum D tanget SeCtionem Conicam per puneta quatuor A, BP,
Ctranfeuntem.|
Cas. ı. Jungantur BP, CP& a puncto D agantur redtz dux DG, DE, quarum prior DG ipfi AB parallela fit Cu. & occurrat PB, PO ‚CA Sl X in. H, I, G; altera DE parallela fit ipfi AC& occurrat PC,PS, AB in F,K,E: & erit( per Lemma XVIL)_ rectangulum DE x DF ad rectangulum DG xDH in rationg data. Sedeft P 0_ 7 ad DE feuIQ ‚ut PB ad HB, adeoq; ut. P Tad:DH;& viciffim PO. ad PT ut DE ad DH Eft& PRad DFut RCad.DC, adeoq; ut IG velPS ad DG,& vicflim.PR ad PS ut DF ad DE;& conjundis rationibus fit redtangulum PQ x PR ad re&angulum PSx PT.ut rectangulum DExDF ad redangulum DGxD H, atq; adco in data ratione. Sed dantur PO&PS&. propterea ratio PR ad PT datur. 0. E. D..
Cas. 2. Quod fiPR& PT ponantur in data ratione ad. invicem, tunc fimili ratiocinio regrediendo, fequetur efle rectangulum DExDF ad redtangulum DG x D H in ratione data, adeoq; pund&um D(per Lemma XVHI.) contingere Conicam fectionem. tranfeuntenv per punda A, B; PC. O.E.D.:
Corol..*. Hinc fi agatur BC fecans PO. in r, Sin P T capiatur P+ in ratione ad Pr quam habet PT’ adPR, erit Bt Tangens
Coni

Pf oo, ut
En De
Conicg fe&ionis ad pund&um B. Nam concipe pundum D coire cum. pundo B ita ut, chorda BD evanefcente, BT Tangens
evadet;& CD ac BT coincident cum CB&Bt Corol. 2. Et vice vera fi Bt fit Tangens,& ad quodvis Conicz feEionis pund&um D conveniant B D, CD; erit PRad PT
ut PradPt. Etcontra, fi fit PR ad PT ut Pr ad P?, convenient BD, CD ad Conicz fe&tionis pund&umaliquod D.
Corol. 3. Conica{(e&io non fecat Conicam fedtionem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, fi fieri poteft, tranleant duz Conicz fediones per quing; punda A, B,C,D, P, ealq;- fecet re&a BD in pundis D, d,& ipfam PO fecet reCta Cd in r. Ergo PR eft ad PT ut Pr ad PT, hoceft, PR&Pr fibi invicem.zquantur, contra Hy pothefin.
Lemma XXI.
Si’ re&te due mobiles& infinite BM, CM per data puncta B, C,
“ cen polos‘ ducie, concurfu(no M deferibant tertiam pofitione datam retam MN;& alie. due infinite reteg BD, CD cum prioribus duabus ad punkta illa data B,. C datos.angulos MBD, MCD efficientes ducantur.3 dico. quod he due BD, CD concurfu fuo D defcräbent fecFLONGHE

761 ionem Conicam, Et wice verfa, fi rette BD, CD concurfu fno D deferibant SeCtionem Conicam per puntta B, C, A tranfenntem, & harnm concurfus tunc incidit in ejus punum aliquod A, cum altere due BM, CM coincidunt cum linea BC, punstune M continget reßtanı pofitione datanı. Nam in re&a MN detur pun&um N, 8 ubi pun&um mobile M incidit in immotum N, incidat pun&um mobile Din immotum P. Junge CN;): BN, CP, BP,&a pundo P age redtas PT, PR occurrentes iplis BD, CD inT& R,& facientes angulum BP T xqualem angulo BNM 8& angulum CPR zqualem angulo CNM. Cum ergo( ex Hypothefi) zquales fint anguli MBD, NBP, ut& anguli MCD, NCP: aufer communes NBD& MC P,& reftabunt zquales NBM& PB T,NCM 8& PCR: adeoq; triangula NBM, PBT(imilia funt, ut& triangula NCM, PCR. QuarePTeft ad NM ut PB ad NB, & PRad NMutPCadNC. ErgoPT& PR datam habent: rationem ad NM, proindeq; datam rationem inter fe, atq; adeo, . per Lemma XX, pund&um P(* perpetuus reftarum mobilum BT &C R concurfus_) contingit fe&ionem Conicam. Q ED, Et contra, fi pundum D contingit fedionem Conicam tranfeuntem per pundka B, C, A, 8 ubi rettz BM, CM coincidunt cum redta BC, pundum illud D incidit in aliquod fectionis‘ pundum
2
U a ah u
N

>
at Q,
Om N
Pl
A; ubi vero pundum D incidit fucceflive in alia duo quavis fectionis pun&a p, P, pundum mobile M incidit fucceflive in puncta immobilia z, N: per cadem zz, N agatur re&a#N,& hzc erit Locus perpetuus pundt illius mobilis M. Nam, fi fieri potelt, verfetur pund&um M in linea aliqua curva. Fanget ergo punctum D fe&ionem Conicam per pundta quing;€, P, P, B, Atranfeuntem, ubi pund&um M perpetuo tangit lineam Ccurvam. Sed 8 ex Jam demonftratis tanget etiam pun&um D fedtionem Conicam per ceadem quing; punda C, p,_P, B, A’ tranfeuntem, ubi pund&um M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duz fectiones Conicz tranfibunt per eadem quing; punda, contra Corol. 3. Lem. XX. Igitur pundum M verfari in linea curva abfurdum
eft. 0. E. D. Prop. XXI. Prob. XIV.
Trajetoriam per data quing; punkta defcribere.
Dentur punda quing; A, B,C,D, P. Ab corum aliquo Aad alia duo quzvis 5, C, quz poli nominentur, age re&as AB, AC hifq; parallelas TPS,/ PR OQ_per pun&um quartum P. Deinde a polis duobus; WE PP A B, C age per punc-\ SZ an Ay
tum quintum X in- A AA
finitas duas BDT,\ N Ad CRD ,novifflime duc- ANAND 8 FrS, PRO: m
( priorem priori& A pofteriorem poftert- AT A
ori) occurentes In FR. Deniq;. de re&is PT, PR, adta refta tr ipfi FR parallela, abfceinde quasVIS

[ 80 7
vis Pt, Pripfis PT, PR proportionales,& fi-per earum terminos$, r& polosB, C acte Bt, Cr concurrant in d, locabitur
‚puncdtum illud din Traje&oria quelita. Nam punctum illud d( per Lem. XX) verfatur ın Conica Sectione per pundta quatuor A4,B,P, C tranfeunte>& lineis Rr, Tt evanefcentibus, coit pund&um d cum pundo D. Tranfit ergo{feCtio
A
Conica per pundka quinqg; 4, B,C,D,P. Q.E. D.
E pundis datis Junge tria quzvis 4, B, C, & circum duo eorum B, C ceu polos, rotando angulos magnitudine datos ABC, ACB ‚applicentur Crura BA, CA primo ad
pundam D, deinde A pundtum P,& notentur puncta M, Nin quibus altera crura BL, CL calı utrocp {e decutlang, Agatur recta infinita M N,&
Idem aliter.
rotentur anguli ill mobiles circum polos{uos B, C, ea lege ut
Crurum

erurum BA, CA, vel BD, CD interfedtio, quz Jam fit d, Traje&oriam quefitam P ADdB delineabit. Nam pundum d per Lem. XXI continget fe&ionem Conicam per punda B, C tranfeuntem& ubi pun&um m accedit ad punda L, M, N, pundum d(per conftru&ionem) accedet ad pundta 4, D, P. Defcribetur itaq; fe&io Conica tranfiens per pun&a quing; 4, B, C, D, P.
Corol. x. Hinc re&z expedite duci poffunt quz. traje&toriam in pundkis quibufvis datis B, C tangent._ In cafu utrovis accedat pundum dad pun&um C& re&ta C d-evadet tangens quefita.
Corol. 2. Unde etiam Traje&oriarum centra, diametri& Tatera redta inveniri pofflunt,ut in Corollario fecundo Lerhmatis XIX
Schol.
Conftrußio in cafu priore evadet paulo fimplicior jungendo BP,& inea fi opus eft produfta, capiendo Bp ad BP ut eft PRadPT,& per pagendo reCkam infinitam p D ipfiS PT parallelam, inq; ca capiendo femper p D zqualem Pr,& agendo re&as BD ,Cr concurrentes ind. Nam cum int Prad Pt, PR ad PT, pBad PB, pD ad Pt mn ecadem ratione, eruntpD& P r femper xquales. Hac methodo pundta TrajeCtoriee 4Aveniuntur expeditiflime, nifi mavis Curvamı, ut in cafı fecundo, deferibere Mechanice.
Prop. XXI. Prob. XV.
Trajettoriam deferibere que per data quatuor puneta tranfibit,&> retam continget pofitione datam.
Cası) 1, Dentur tangens HB, pundum contactus B,& alia, tria“ punda‘ C,/D, P: Junge BC,& agendo PS parallelam ; M BH

——
[8]
BH,& P O_parallelam BC, comple parallelogrammum BSPQ., Age BD f{ecantem SP in
T,& CD fecantem P Q_ in R. Deniq; agendo quamvistr ipi TR parallelam, dePOQ_, PS abfeinde Pr, Prtipfis PR, PT proportionales refpedtive;& adtarum C r, Bt concurfus d ( per Corol. 2. Lem. XX) incıdet{emper in Trajectoriam defcribendam.
Idem alıter.
Revolvatur tum angulus magnitudine datus C B H circa polum
B,tum radius quilibet rectilineus& utrinqg; produ&us DC circa polum CC. Negentur punda M, N
in quibus an-_
guli crus BC fecat radıum ıllum ubicrus alterum BH
concurrıit cum ecodem radio‘
in pundis D& P. Deinde ad aCtam infinitam M N concurrant perpetuo radius ille CP vel CD& anguli crus CB,&
CrUu

E83 J en cruris alterius BH concurfus cum radio delineabit Trajectoriam queflitam.
Nam fi in conftruckionibus Problematis{uperioris accedat pund&um 4 ad pund&um B, linex€ A&CB coincident,& linea AB in ultimo fuo fitu fiet tangens BH, atg; adeo conftruchiones ibi pofitz evadent exdem cum conftru&ionibus hic deferiptis. Delineabit igitur cruris BH concurfus cum radio{eCdtionem Conicam per pund&a C, D, P tranfeuntem,& recdtam B H tangentem in pundo B. Q.E, FCas. 2. Dentur pundta quatuor B,.C, D, P extra tangentem HIfita. Jungebina B D, CP concurrentia in G, tangentiq; 0C-currentia in H& I. Secetur tangens in A, ita ut ficHAad ATI, uteft re@&-' angulum fub media„proportionali inter BH& He D 8 media proportionali
inter CG& GP, ad re&- kn TA angulum fub media proportionali inter PI&IC A
8 media proportionali in- LE. A H
ter DG& GB,& erit 4 pundtum contactus. Nam {i red PT parallela HX trajedtoriam fecet in pundis quibufvis X& Y: erit(ex Conicıs H A quad. ad AT quad. ut hanzalrm XHT KR BHD( furedtangulum€ G Pad re&angulum DGB')& re&angulum BHD ad re&angulum PIC conjund&im. Invento autem contactus pundto A, deferibetur Trajeftoria ut in cafu primo. Q.E. F. Capi autem poteft pund&um A vel inter punda H& I, vel extra;& perinde Trajedtoria dupliciter deferibi.
3 Prop.

[841 Prop. XXIV. Prob. XVI
Traje&toriam deferibere que tranfibit per data tria pungta& retas duas pofitione datas continget.| - Dentur tangentes HI, KL 8& pun&a B,C, D.' AgeBD tangentibus occurrentem in pundtis H, K,&CD tangentibus occurrentem in pundtisI, L. ACtas ita feca in R 8 S,ut fitHR. ad KR ut eft media propor-) tionalis inter BH& HD ad mediam proportionalem ınter BK& KD;& IS‘ ad LS ut eilt media proportionalis inter CI& ID ad mediam proportionalem inter CL&LD. AgeRS fecantem tangentes in A&P,&"ag erunt A8& P pundta contac- ie BANN
tus. Nam fi per pun&orum H, I, K, L quodvis I agatur-% recdta IYtangentiKL paral- YA lela& occurrens curvge in X; & Y, 8& in ca{umatur 1Z media proportionalis inter 1X& IT: erit, ex Conicis, redtangulum XIT(feuIZ quad) ad LP quad, ut rectangulum CID ad redangulum CLD; ideft( per conAtructionem) ut SI quad. ad SL, quad, atq; adeo IZ ad LP ut STadSL. Jacentergo pun&aS, P, Z in una reda. Porro tangentibus concurrentibus in G; ‚erit(ex Conicis) rectangulum XIY( feu1Z quad.) ad LA quad. ut GP quad. adG A quad, adeoq; I Zad 14 ut GP.ad GA. Jacent ergo puncta P, Z& A in una redta; adeoq; punda S, P 8 A funt in una reda. Be ecodem argumento probabitur quod pund&a R, P 8 A funt in una reita.; Jacent igitur pundta contadtus A& P in reda SR. » Hifce

tr 85] Hifce autem inventis, Traje&oria deferibetur ut in cafu primo Problematis fuperioris. OÖ. 5
Leinma XXI.
Figuras in alias ejufdens generis figuräs mutare. a Tran{mutanda fit figura quzvis HG Ducantur pro lubitu re&z duz parallele 40, BL tertiam quamvis pofitione datam AB fecantes in A & B,8& a figure puncto quovis G, ad rectam AB ducatur G D, ipi 04 parallela. Deinde a pundo aliquo 0 im linez 0 A-dato ad undum D ducatur reCa 0 D,ipfi BL 0c-: currens in d;& a puncto occurfus‘ erigatur redta'g d, datum quemvis angulum cum re&a BL. continens, atq; cam habens rationem ad O0 d quam habet GD ad OD;& erit g pundum in figura nova hgz puncto G re(pondens. Eadem ratione puncta fingula figurz prime dabunt pund&ä totidem figurz NOVZ. Concipe igitur pund&um G_motu continuo‚percurrere punda omnia figurz prime, 8&: pundum g motu itidem continuo percurret pundta omnia figurg novz& candem defcribet. DiftinCkionis gratia nominemus D G.ordinatam. primam, dg ordinatam novam; BD abfeiffam primam, Bd ablciflam novam; 0. polum, 0 D radium abfeindente&n, 04 radium ordinatum primum& 0 a(* quo, parallelogrammum 0 AB a completur) radium ordinatum novum. Dico jam quod fi pund&um G tangit rectam. lineam pofitione datam, pundtum'g tanget etiam lincam redtam pofitione datam.

E86]
Si pundum G tangit Conicam(ectionem, punckum g tanget etiam conicam fectionem. Conicis feCtionibus hic circulum annumero.. Porro fi pund&um G tangit lineam tertü ordinis Analytici, pundum g tanget linecam tertit ıtıdem ordinis;& fic de curvis Jineis fuperiorum ordinum:. Linex duz erunt eju(dem femper ordinis Analytici quas pundka G, g tangunt, Etenim ut eft ad ad OA ita funt Od ad OD, dg ad DG,&
4Bad AD; adeoq; AD xqualis eft
04x AB d
a Jis AA, Jam fi pundtum D tangit re&tam lineam, atq;
adeo in xquatione quavis, qua relatio inter abfeilfım AD& ordinatam D’G habetur, indeterminatz ille AD& DG ad unicam tantum dimenfionem afcendunt, feribendo in hac xquatione N UOTE pro4D,& 0 DI pro DG, producetur 2quatio nova, In qua ableiffa nova ad& ordinata noua d£g ad unicam tantum dimenfionem afcendent, atq; adeo quz defignat lineam rectam. Sin AD& DG( vel carum alterutra) afendebant ad ‚ duas dimenfiones in zquatione prima, afcendent itidem ad& dg ad duas in zquatione{ecunda;‘ Et fie de tribus vel pluribus dimenfionibus.‘ Indeterminatz ad, d g in zquatione fecunda& AD, DG in prima afcendent femper ad ‚eundem. dimenfionum numerum,& propterea linez, quas punda G,_g tangunt, funteyufdem ordinis Analytici. Dico przterea quod fi redta aliqua tangat lineam curvam' in
& DG 2qua

E87]
figura prima; hzcredta tranflata tanget lineam curvam in figura
nova:& contra. Nam fi Curve pundta quzvis duo accedunt‘ ad invicem& coeunt in figura prima, pundta eadem tranf{lata coibunt in figura nova, atq; adeo rechte, quibus hzc punda Junguntur fimul, evadent curvarum tangentes ın figura utrag;. Componi poffent harum affertienum Demonftrationes more magıs Geometrtico. Sed brevitatı confulo.
Igitur fi figura reCilinea in aliam tranfmutanda eft, fufficit re&arum interfeCkiones transferre,& per eafdem in figura nova lineas re&as ducere. Sin curvilineam trani{mutare oportet, transferenda funt punda;, tangentes 8& alig redte quarum ope Curva linea definitur. Infervit autem hoc Lemma folutioni difficiliorum Problematum, tran{mutando figuras propofitas ın fimpliciores. Nam rede quzvis convergentes tran{mutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo 40 lineam quamvis reftam, quz per concurfum convergentium tranfit: id adeo quia concurfus ille hoc pacto abit in infinitum, lineg autem parallele funt qug ad pundum infinite diftans tendunt. Poftquam autem Problema folvitur in figura nova, fi per inverfas operationes tranfmutetur hzc figura in figuram primam, habebitur SoJutio quefita.
Utile eft etiam hoc Lemma in folutione Solidorum problematum. Nam quoties duz fectiones conicg obvenerint, quarum interfe&ione Problema folvi poteft, tranfmutare licet unum earum im circulum. ReCa item& fedtio Conica in conftructione planorum problematum vertuntur in rectam& circulum.>
Prop. XXV. Prob. XVII
Trajectoriam deferibere que per data duo punkta tränfibit&x rettas | tres continget pofitione datas.
Per concurfum tangentium quarumvis duarum cum fe invicem,.
& concurfum tangentis tertig cum recta illa, quz per pundta duodata:

[88:7
data tranlit, age redtam infinitam; caq; adhibita pro radio-ordings
to primo, tran{mutetur figura, per Lemma{uperius, in figuram
novam. In hac figura tangentes ille duz evadent parallele, 8 tangens tertia flet parallela reftze;
per puncta duo tranfeunti. Sunto h7, k!tangentes dux parallele, zk tangens tertia,& hl recta huic,parallela tranfiens per| puncka illa a,b, per que Conica| ri {co in hac figura nova tranfıre GMT debet,& parallelogrammum.hzRI complens. Secentur re@&z MD Aa hi, ik„klinc, d& e, ita ut|) x.
lit hc ad latus quadratum re&- hi. Aue SA anguli ahb, zcadid,& ke ad hd ut eft fumma re&arum h; 8& k I ad fummam trium linearum quarum prima eft redta.zk, 8 alterz duz fünt latera quadrata rectangulorum ahb& alb: Et erunt c, d,e punda contackus,. Etehim, ex Conicis,{unt hc quadratum ad rectangulum a h b,& 7c quadratum ad zd quadratum,& ke quadratum ad kd quadratum,& e/ quadratüm ad a 7b rectangulum in cadem ratione, & propterca hc ad latus quadratum ipfius ahb, ic ad zd,kead hd 8& el ad latus quadratum ipfius a/b funt in dimidiata illa ra‚tione,& compoflite, in.data ratione omnium antecedentium h7.8& kTad.omnes confequentes, qua funt latus quadratum rectanguNahb& redta.ik& latus quadratum rectanguli ab. Habentur izitur ex data illa ratione puncta contactus c, d, e, in figura nova. Per inverfas operationes Lemmatis noviflimi transferantur hac pundka in figuram primam& bi, per cafum primum Problematis XIV, deferibetur Trajedtoria. 0. E. F. Cxterum perinde ut puncka a,_b jacent vel inter punda_h, /, vel extra, debent punda c, d, e vel inter PUnCa DZ, Art capı, velextra. Si punctorum a,b alterutrum cadit inter pundta h, Z& alterum ex
tra, Problema impoffbile eft, Prop.

[89 1] Prop. XXVI. Prob. XVII
Traje&oriam defcribere que tranfıbit per. punelum datum© re&tas quatnor pofitione datas continget,
Ab interfe&ione communi duarum quarumlibet tangentium ad interfe&ionem communem reliquarum duarum agatur reCta infinita,& eadem pro radio ordinato primo adhibita, trani{mutetur figura( per Lem. XXI) in figuram novam,& Tangentes binz,quz ad radium ordinatum concurrebant, Jam evadent parallele. Sunto ille hi& kL ik& hl continentes parallelogrammum hikl. Sitg; p pund&um in hac nova figura, pundo in figura prima dato refpondens. Per figurg centrum O0 agatur p4g, 8 exiftente 0q quali 0 p, erit q pund&um alterum per quod fectio Conica in hac figura nova tranfire debet. Per Lemmatis XXI operationem inverfam transferatur hoc pund&um. in figuram pfimam,& ibi habebuntur pun&a duo per quz Trajectoria defcribenda eft. Per eadem vero defßeribi poteft Trajedoria illa per Prob. XVII. Q.E.F.
Lemma XXI Si recte due pofitione dat@ AC,BD ad data puncta A, B terminentur, datamq; habeant rationem ad invicem, DA & refta CD, qua punkia A indeterminata C, D jungun- A Zi tur, fecetur in ratione data a u in K: dico quod puntium K locabitur in re&ta pofitione E data, Concurrant enim redtz AC, BD in E,& in BE capiatur BG ad AEuteft BD ad AC, fitg; FD xqualis EG,& erit EC ad N. GD,

[90] G D,hoceft ad E Fut AC ad B D,adeoq; in ratione data,& propterca dabitur{pecie triangulum E FC. Secetur C Fin L in ratione CK ad CD,& dabitur etiam fpecie triangulum E FL, proindeqg; pundtum L locabitur in recta EL pofitione data.. JungeL K,&ob datam FD& datam rationem LK ad FD, dabitur LK. Huic zqualis capiatur EH, 8 erit ELKH parallelogram-£ mum. Locatur igitur punc- FE tum K in parallelogrammi latere pofitione. dato HK. 0. E.D.
*
Lemma: XXIV.
Si recte tres tangant quamenng; cönifeCtionem, quarum due parallele fint ac dentur pofitione; dico quod fetionis femidiameter hifce duabus parallela,
fit media proporHonalis inter harum feomenta, punctis contatnON tangenti terti@ interjecta, Sunto AE, GB parallel@ dux Conifectionem ADB tangentes in A8& B;E F redta ter-. tia Conifectionem tangens in I,& occurrens prioribus tangentibus in F&G:; fitq; C D{emidiameter Figurz tangentibus parallela: Dico, quod 4F7CD, BG funt continue proportionales. Nam

nn EEE SEES ENEEE
ES Nam fi diametri conjugätz. 4B, DM tangenti FG occurrant in E& Hfeq; mutuo fecent in C,8& compleatur parallelogrammum
“IKCL;3 erit ex natura feCtionum Conicarum, et EC ad CA ita
CAadLC,& ita dwiim EC CAadCA—CL ku EAdad AL, 8 compolfite E 4 2d EA+ALKtuELutECadEC+CAfeu EB; adeoq;( ob fimilitudinem triangulorum E AF, ELLECH EBG) YFadLIutCH ad BG. Eft itidem ex natura fe&ionum Conicarum LI feu€ K ad CD ut CDad CH, atq; adeo€X%quo perturbate AFadCD ut CD ad. BG Corol.: x. Hinc fi tangentes duz FG, P O tangentibus parallelis AFBG occurrant in F&G,P& Q_, feq; mutuo fecent ın O0, erit(ex 2quo perturbate) A4F ad B Qut AP adBG, 8 divifimut FP ad GQ_, atq; adeo ut FO ad 0G. Corol. 5. Unde etiam retz dux PG, FO per pundta P& G, F& 0 du&ze, concurrent ad. re&am ACB per centrum figurz 8& punda contadtuum A, B tranfeuntem.
Lemma XXV.
Si parallelogrammi latera quatnor infinite produfta tangant feionent quamcung; Contcam,&>» abfeindantur ad tangentem quamvisquinFam;(umantur antem abfeilfe terminate ad angulos oppofitos parallelogramımi: di-. co quod abfeiffa nins lateris fit ad latıs illud, ut pars lateris contermini inter puneium contains& latus tertinm, ad abfeiffan lateris hujus contermint.
- Tangant parallelogrammi MIKL, latera-quatuor M L, 1K, a N KL.
LI

KL, MI feCionem Conicam in A, B,C,D,& fecet tangens quinta FO hxc Jatera inF, Q., H& E: dico quod fit ME ad MIutBKadKQ,.
&KH KL KA L AM adMF. Nam|
per Corollariıum Lemmatis{uperiors, et ME adEI ut AM feu BK ad
B Q,& componen- I TR do ME ad MI ut m. BKadKQ.OQ.E.
D. Item KH ad HL ut BK feu AM ad AF,& dividendo KHadKLutAMadMF. 0_E. D. Corol. x. Hinc fi parallelogrammum IKLM datur, dabitur
rectangulum KOxME, ut& huic xquale re&angulum KHx’
MF. Aquantur enim redangula illa ob fimilitudinem triangulorum KOH, MFE. Corol. 2. Et fifexta ducatur tangens eq tangentibus KI, MI
occurrens ine& 4, rectangulum KO xME xquabitur rectangu-'
lo Kg x Me, eritqg, KQ.ad Me ut Kg ad ME‚& divifim ut 0q adEe. Corol. 3. Unde etiam fi Eg, e O_Jjungantur& bifecentur,& red&a per punda bife&ionum agatur, tranfibit hzc per centrum Sectionis Conice. Nam cum fit QgadEe ut KQ,ad Me, tranfibit eadem refta per medium omnium Eg,eQ_, MK;(per Lemma XXIII)& medium red MK eft centrum Sedtionis.
Prop. XXVIl. Prob. XIX.
Trajetoriam defcribere que reas quinq; pofitione datas continget. Dentur pofitione tangentes ABG, BCF„GCD, FDE
EA Figure quadrilaterz(üb quatuor quibufvis contentz 4 B)
FE
®
*

- E93 1 FE diagonales 4 F, B E bifeca,&(* per Cor. 3. Lem. XXV) reCa per pund&a bife&ionum aka tranfibit per‘centrum"Trajectorie. Rurfus figurz quadrilaterz BG DF,{üb aliıjs quibufvis quatuor tangenti- B 6 bus con-; tentz, diagonales Cutadi- 5 LO a cam) B- Bee Pt 4 D, GFbi-© DNS feca, 8 recta per pundka bi{ecdtionum acta tranfibit per cen; trum fechti- t onis. Dabitur ergo in centrum in concurfu bifecantium. Sit ilud 0:"Tangenti cur vis BC parallelam age KL, ad eceam diftantiam ut centrum 0 in medio inter pacallelas locetur,& acta KL tanget. trajeCtoriam deferibendam. Secet hc tangentes alias. quafvis duas C D,F DE in L& K. Per tangentium non parallelarum CL, FK cum
FE
parallelis CF, KL concurfus C& K, F&L age CK, FL concurrentes in R,& re&a OR du&a& producta fecabit tangentes:
parallelas CF, KL in pun&is conta&uum. Patet hoc per Corol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia con-taduum punda,& tum demum per Cafum 1. Prob. XIV...
Traje&toriam deferibere, Q. E. F
| | Ä | | A 1 | AM | | MM N 5 | || | | Hd | { HM Hl} U | HM il VO HE N f KO 1 | 1 HM Mi
AS

2 i94] Schol,
Problemata, ubidantur Trajedtoriarum vel centra vel Afymptoti, includuntur in prxcedentibus. Nam datis pundchis& tangentibus una cum centro, dantur alia totidem pundka alixq; tangentes, a centro ex altera ejus parte xqualiter diftantes. Afymptotos auten! pro tangente habenda eft,& ejus terminus infinite diftans (fi ita loqui fas fit) pro pundto contackus. Concipe tangentis cujußfvis pundum contactus abire in infinitum,& tangens vertetur in Afymptoton,‘atq; conftructiones Problematis XV& Cafıs primi Problematis XIV ‚vertentur in conftructiones Problematum ubi Afymptoti dantur. Poftquam TrajeC&oria deferipta eft, invenire licet axes& umbilicos ejus hac methodo. In conftructione& Figura Lemmatis XXL fac ut angulorum mobi- en lium PBN, PCNcru- PD ra BP, CP quorum concurfu Trajectoria de- SA feribebatur fint(ibi in- LA x. vicem parallela, eumq;}| A . fervantia fitum revol-:| bafd vantur ‚circa polos fuos Kon ka B,°C in figura illa. In-}® DS}
terea vero deferibant
altera angulorum illo- st X el rum crura€ N,B N.con- Ära“ N E
curfüu füuo K vel k;eirculum IBK GC Sie ua ET
circuli hujuscentrum 0. A
Ab hoc centro ad Regulam M N, ad quam altera illa crura CN,
B.N interea concurrebant dum Trajeftoria deferibebatur, demitte normalem OH circulo occurrentem in K& L. Et ubi ‚crura
}

[98 4
ra illa altera CK, BK concurrunt ad pund&um iftud K quod Regulz propius cl crura prima CP, BP parallela erunt axi majori;& contrarium eveniet fi crura cadem concurrunt ad pundtum remotius L. Unde fi detur Trajectorig centrum, dabuntur axes. Hifce autem datis, umbilicı funt in promptu.
Axium vero quadrata{unt ad invicem ut K Had LH,& inde facile eft Traje&oriam{pecıe datam per data quatuor punda deferibere. Nam fi duo ex punchs datis conftituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles PCK, PBK. Tumob datım {pecie Trajecdtoriam,. dabitur ratio OH ad OK, centroq;O& intervallo 0 H deferibendo circulum,& per pundlum quartum agendo reC}am quz circulum illum tangat,. dabitur regula MN cuJus ope Traje dor deferibetur.. Unde etiam viciflim Trapezium{pecie datum( fcafus quidam impof(flibiles excipiantur)in data quavis feCtione Conica infcribi poteft..
Sunt& alia Lemmata quorum ope TrajeCtorige fpecie date? datis pundtis& tangentibus, defcribi poffunt. EJus generis eft quod,{1i recta linea per pundum quodvis pofitione datum-ducatur, quz datam ConifeCHonem in punctis duobus interfecet,& inter ChOmum intervallum bifecetur, pundum bifectionis tanget aliam Conife&ionem ejufdem{peciei cum priore, atq; axes bentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis uti- Jia.
Lemma XXVI.
Trianguli fhecie& magnitudine dati tres angnlos. ad reftgs totidene pofitione datas, que non funt owmnes parallele, fingnlos ad fi fingulas ponere.
Dantur pofitione tres reCte infinitz AB, AC, BC, 8& oportet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus.D lineanı 4 B,
an-

96] angulus E lineam AC,& angulus F lineamBC tangat. Super DE, DF& EF deferibe tria circulorum fegmenta DRE, DGF, E M F,quz caplant angu« los angulis B AC, ABC,
AC B zquales refpettive. Deferibantur autem hzc fegmenta ad eas partes linearum DE, DF, EF ‚ut liter DRED ecodem ordine cum literis B AC- A B; liter DGFD co- /A dem cum literis ABC A, & litere EMFE eodem cum literis ACB An orbem:redeant: deinde compleantur hzc
‘ fegmenta in circulos, Secent circuli duo priores fe mutuo in G, fintq; centra eorum
P 8 0. Jun&isG P, PO_, cape Ga ad AB uteftGP ad PQ_,& centro G, intervallo G a deferibe circulum, qui fecet circulum primum DGEina. Jungatur tum a D fecans circulum fecundum DFG inb, tum 4E fecans circulum tertiumGEcin ce Et com# pleatur figura abcDEF fimilis& xqua-}| lis figurz ABCdef. Dico fadum.|
Agatur enim Fe ipfi aD occurrens in x. Jungantur aG,
9 U

Beil. bG, P.D;, 0.D&producatur PO.ad RR. Ex-conftructione cf angulus E4D xqualis angulo G AB,&angulus Ec F.xqualisangulo ACB, adeoqg; triangulum a7€ triangulo ABC zquianguJum. Ergo angulus az c feu Fz D angulo ABC,adeoq; angulo
‚FbD zqualis eft,& propterea pundtum z incidit in pundtum b. Porro angulus GPOQ_, qui dimidius eft anguli ad centrum GPD, xqualiseft angulo ad circumferentiam G a D;&.angulus GQ_R, qui dimidius eft complementi anguli ad centrum G QD, xqualis eft angulo ad circumferentiam G b D; adeoq; ecorum complementa PQ.G, abG zquantur, funtg; ideo triangula GP Q,, G ab{imilia,& G a eft ad abutGP adP Q; ideft( ex.conftructione) ut Gaad AB. Aquanturitag; ab& AB,& propterea triangula abc, ABC, que modo fimilia effe probavimus, funt etiam 2qualia.i Unde cum'tangantinfuper triänguli DE F.angali-D, Ey F\trianguli.ab.o latera’ ab; a@c;1b eurelpettive complerı poteft figura ABC def figurz abc D E'F-finflis.8x%qualiss) ats cam complendo folvetur Problema. Q.E.F.
Corol.Hinc re&a duci potefteujuspartes longitudine datz reckis tribus pofitione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, pundo..D. ad Jatüs, E-Faccedente; 8 Kteribus DE). DFiärdire&um,pofitis,‚mutari in\liheam rectam;cujus pars data“ DE tectis pofitione datis\4B; A4C,8&c“pars data‘ D Frectis-pofitione datis. AB, B.C ütiterponi debet;&applicando conftruckionem pracedentem ad; hünc cafum-folvetur Problema. 359) Sag Mu
Trajetoriam fpecie Cs magnitudine dätam. deferibere,"cus pattes
date! reis tribus pofitione datis interJacebunt. X Defcribenda fit Traje&oria que fit imilis 8&@qualis linez curva DEF, quazg;areCtistribus 4B, AC;, BC politione däris, m Q par

partes-datis-hujus-pärtibüs D’E)& EıF fimiles@2&4ualesfecabiedr „Age redtas DEJEEDEF,& trangüli'huue DEF pone’angu2
los D,E; E adırektas illas pofitione datas:(per Lem//XXVI 3 Deimcirca triangulum deferibe: Trajettoriam cutve)D EFF fimiTrapezinme Specie daklin döfcribere es ang ad refa6 quatnor ÜBOfitione datäs(que: neq,omnes: parallele: funtz neqs ab cohimnne
« punctim conwergunt) finguli ad fingulas confiftent.;}
Dentur;pofitione red. quatu6r AB C AD,/BD,CE, qua* rum prima fecet fecundam in! A; tertiam in Bj 182 quartam in C: & deferibendum fit Trapezium fg hi quod fit Trapezio FGHI fimile,& cujus angülus f,anigulo datorF 2qualis,tangat reCtam ABC, caxteriq; anguli g,b,z czteris angulis datis G, H, I quales tangant czteras lineas AD} B D;\CE: refpeckive. Jungatur FH, & füper FGFH,-FI.defetibantur toridem circulorum{egmenta FSG, FTH, FYTI; quorum primum F SG capiat angulum zqualem angulo BD; fecundum F TH capiat angulum xqualem an'gulo CB E3a6 tertium F/AI.«Ca plat angulum xqualem angulo ACSEE

| E. Deferibi autem debent fegmenta ad eas partes linearum FG,| FH; FT, ut literarum F'SGF idem fit ordo circularis qui Kitera-| rum BADB; utq; liter F THF ecodem ordine cum literis. CB- I EC, 8 literz FV IF eodem cum literis ACE A in orbem rede- I] ant. Compleantur fegmenta in circulos;‘ fitq; Pcentrum circuli|
| primi F SG, 8& Q Centrum fecundi F-TH, Jungatur& utring;|
5
EEE
| producatiirB'0,& in ca capiattır OR in ca ratione ad. PO quam haber BC ad: AB:© Captaturautem OR ad eas partes pundti 0_
| ut Iiteratim P,' 0°, R' 148m Gt’ordo eircularıs atg; lıterarum A,
| Bi"C:-Centrog; R& intervallo RF defcribatur cırculus quartus F-.
| N’ fetans’circulum tertiunm FYTinc. Jungatur Fe fecans ‚circulunt primum in’ z&(ecundum in b.. Agantur a.G; DH, cI,& figurz ab 6 FG HI ümilis Confituatur Hatıra AB Cfg br) Eritq; Trapezium fg h7 illud ipfum quod conftituere oportuit..,
‘*-Secent‘ enim circuli duo primi FSCG, FTH fe mutuo.in K. Jungantur PK, QK, RK,#K,)K,CK'& producatur 0 Pad
2 Li,

f 1004]; L... Anguli ad circumferentias FaK, FbK,. FcK:funt femifles angulorum F PK, FOK, FRA ad-centra, adeoq;. angulorum illorum dimidis LPK, LOK, LRK xquales.‚Eft ergosfigura PORK figurz abcK ‚2quiangula&(imilis, ‚& propterea abet ad be utP O ad-OR; id eft ut ABad BC. Angulis. infuper.F4G, FbH, FeI zquantur fA 8, fBh, fCi per, conftrudtionem.
CC D\E
Ergo figurz abc FG HI figura fimilis ABC fg hi compleri potelt. Quo facto Trapezium fg hi conftituetur fimile Trapezio. FGHI & angulis fuis f, g, h, 7 tanget redtas AB, A D, BD, CE. Q.E-F. „ Corol. Hinc re&a duci potelt cıJus partes, rechis quatuor pofitione datis dato ordine interje&, datam habebunt proportionem ad invicem. Augcantur anguliFGH, GHI ulq; co, ut rede FG, GH, HTin dire& um jaceant,& in hoc cafu-conftruendo Problema, ducetur redta fg h7 cujus partes fg, gh, hi, re&is quatuor pofitione datıs 4B& AD, AD& B D, BD&CE interjedte, erunt. ad invicem ut linex FG, GH, H T,eundemg; fervabuntordinem inter fe, Idem.vero fic fit expeditius.|
Pro

I 161 7 Producantur AB ad K,& BD ad L,ut fit BK ad AB ut HI
„ad GH;&D Lad BDut GT ad FG;& jungatur KL occurrens
rede CEini ProdücaturzL ad M, ut fit LMad+L ut GH ad H I, 8 agatur tum M Qipfi L B parallela re&taxq; AD occurrens in g, tum g7 fecans AB, BD in f, h. Dico fadtum.
Secet e-, 0.
nım Mg rectam AB ın 0,& AD redtam KL in S,& agatur A P,quz fit ipfi BD parallela 8 occurrat ZzL inP,& e- ET runt Mg ad PC
Lh(Miad 4 Ligiadhz, a AK 2 BR) N“ 8& APadB-|
Lin ecadem
ratione. Secetur DLin R ut fit DL ad RL in eadem illa ra tione,& ob proportionales gS ad'g M, A4Sad AP,& DS ad DL, erit ex zquo ut gS adLhita AS ad BL8& DS ad RL;& mixtim, BL—-RLadLh—BLut4S—-DS adgS— AS. Id et BR adBh ut AD ad Ag, adeoqg; ut BDad gQ. Et vicifim BR adBD ut BhadgO feufhadfg. Sed ex conftrußione etBR ad BD ut FHad FG. Ergo fhefß ad fg ut FH ad FG. Cum igiturfit etiam ig ad zh ut Miad Li, id eft, ut
IG ad IH, patet lineas: FI, fiing&h, G& H fimiliter fectas
elle. Q.EFr. In conftructione Corollarii hujus poftquam ducitur L K fecans
Mi me
n
A i |

[1021] CE inz, producere licet zE ad V, ut fit EVad-zE utFHad HI, & agere Vf parallelam ipi BD. Eodem recidit. fi centro 7, intervallo TH deferibatur circulus fecans BD im X, producatur 2X|
ad T, ut fit 7Y zqualis IF,& agatur Tf ipfi BD” parallela. Prop. XXIX. Prob. XIX.
Trajetoriam fpecie datam deferibere, que a yetis quatnor pofitione da ts in partes fecabitur, ordine,(pecie& proportione data. Defcribenda fit Traje&toria fghz, quz fimilis fit linez Curve FGHT, 8 cujus partes fg, gb, hiillius partibus FG, GH. HT fimiles8&;
propor-\| tionales,:;(= rectis A-/ N PA B&AD{4A
BD, B- AA\\ pofitione datis, prima primis, fecun- A|\ A da fecundis, tertia tertüs interjace- L\ ant. Adhs refis FG, GH, HI,£/| N FI, deferibatur: Trapezium Fabian| A/\\ quod fit Trapezio' F GH /Gmile A aD; Sc cujus angulif; g; h, itangantrec-|/©| Sr tas illas. pofitione datas AB, 4 D, A EL BD, CE finguli'fingulas di@&o.or- N GA DEL dine.„Dein.( per Lem, XXVIIL); circa hoc Trapezium deferibatur Traje&oria curvz lincd FG I confimilis.
Scho

8\
"Scholium.
Conftrui etiam poteft hoc Problema ut fequitur. Jun&is FG, GH, HL FT'prodüc'GF'ad'V, jungeq; FH; I G,& angulıs FGH, VFH fac angulos CAK, DAL gquales. Concurrant AK, AL cum re&a BD in K&L,& indeagantur KM, LN, quarum KM conftituat angulum AK M zqualem angulo G HT, fitq; ad AKUeWEITACGH; 8&"L N conftituat angulum ALN zqualem angulo F HI, fitq; ad AL ut HIadFH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad eas partes linearum A D, AK, AL, ut'literg CAK MC, ALK, DA LN D eodem ordine cum Lite FGHIF in’ orbem'redeant,"8 a&a MN octurrat telz
CEinz Fac angulum;E P zqualem anguloIGF, fitq; PEa Ei ut FG ad GI;& per P agaturQ Pf} quz cum recta AED contineat angulum P QE xqualem anguloFIG, redtxq; A Bu0ccurrat inf,& jungatur fi. Agantur;autem PE&P Q ad, cas partes linearum CE, PE, ut literarum PE2P&PEQP,. idem fit ördo Circularis qui literarum FG HIF,& fifuper linea fz codem quogq; literarum ordine conftituatur? Trapezium f. ghi,Trapezio FGHIT fimile,& circumferibatur Trajedoria fpecie data,{olvetur Problema.
Hafenus de orbibus.inveniendis..., Supereft; ut_motus corporum.in orbibus inventis determinemus.> SEC

[ 104] ESSEN SECT. VE
De inventione motunm in Orbibus datis: Prop. XXX. Prob, XXIL
Corporis in data, TrajeStoria Parabolica ‚moventis, inwenire locum ad tempus allignatum..
Sit S umbilicus& A vertex principalis Parabole,. fitq; 4 ASx M area Parabolica A PS, quz radio SP,.vel poft exceffum corporis de vertice deferipta fuit, velante appulfum ejus ad verticem deferi- Br) benda eft. Innotefeit area illa ex EN tempore ipfi proportionali. Bifes A A ca ASinG, erigeq; perpendiculum; f GHaquale 3 M,& circulus centro H, intervallo HSdeferiptus fecabit Parabolam in loco quafito P.. Nam demiffa ad axem perpendiculari P 0, et HGg.+GSg.(=HSq=G A 04.+ HG—P04.)=G04.+ HGq a Ka -2HGxP0+P04%.Et' dAeto u-; tring; HG 4. fiet GSg.=G047._ 2 HGxP0+ PO04. feu 2 H° GxP0(=G04.+P04.=GS32.=A0g.-2GA0+P094.)
=A0q.+:1P09. Pro A0g. feribe A0Ox A applicatis terminis omnibusad 3P 0, dudifg; in 2 AS, fiet+ GH XA S(i= +A0xP0++ASxPO— MOFAS 9 AD PO= arex APO-—'SPO)arex APPS. ed GH erat3 M,& inde
GE HG

„C_105] ec AHGxAS eft 4 ASxM. Ergo area APS xqualis eilt 4 ASx = Corol. x. Hinc GH eft ad AS,ut tempus quo corpus defcripfit arcum AP ad tempus quo corpus defcripfit arcum inter verticem A& perpendiculum ad axem ab umbilico S ere&um.
Corol. 2. Be circulo ASP per: corpus movens perpetuo tranfeunte, velocitas pundti G eft ad: velocitatem quam Corpus habuit in vertice A, ut 3ad 8; adeoq: in ea etiam ratione eft linea GH ad lineam red&am quam corpus tempore motus fut ab A ad P, ca cum velocitate quam habuit in vertice A, defcribere poflet.
Corol. 3. Hinc etiam viceverfa inveniri. poteft tempus quo corpus deferipfit arcum quemvis aflignatum A P. Junge AP& ad medium ejus pundum erige perpendiculum rectz GH occurrens in AH.
&
Lemma XXVIL
Nulla extat figura Ovalis cujus area; rechis pro Inbitn abfeiffa, poffit per equationes numero terminornm ac dimenfionum finitas generaliter inwveniri.
Intra Ovalem detur pund&um quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea redta,& interea in redta illa exeat punetum mobile de polo, pergatq; femper ea cum velocitate, quz fit ut redz illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu pundum illud deferibet Spiralem gyris infinitis. Jam fiarea Qualis per finitam zquationem inveniri poteft, invenietur etiam per eandem xquationem diftantia pundh a polo, quz huic arez proportionalis eft, adeoq; omnia Spiralis pun&a per zquationem finitam invenirt poffunt:& propterea rede cujulvis pofitione datz interfeCHo cum({pirali inveniri etiam poteft per zquationem finitam. Atqui recta omnis infinite produdta fpiralem fecat in pundlis numero infinitis,& 2quatio,qua interfecho alıqua duarum linearum invenitur, exhibet earum interfeCiones omnes radicibus totidem,
P ade

[106] adeogq; afcendit ad tot dimenfiones quot funt interfeCtiones. Quoniam circuli duo fe mutuo fecant in punCkis duobus, interfecktio una non invenitur nifi per zquationem duarum dimenfionum, qua interfeCktio’altera etiam invemnilatur.- Quoniam duarum fefionum Conicarum quatuor efle pofflunt interfectiones, non poteft aliqua carum generaliter invenir! nifl per zquationem quatuor dimenfionum, qua onmınes fimul inyeniantur. Nam fi interfediones illz feorfim quzrantur, quoniameadem eft omnium lex& conditio, idem erit calculus in cafu unoquog;& propterea eadem{emper conchufio, que igitur debet omnes interfedtiones fimul complehi
& indifferenter exhibere. Unde etiam interfeftiones SeCtionum
Conicarum& curvarum tertig poteftatis, eo quod fex efle pol
{unt, fimul prodeunt per zquationes{ex dimenfionum,& interfectiones duarum. curvarum tertig poteftatis, quia novem elle offunt,(imul prodeunt per xquationes dimenfionum NOVEM.. d nifi neceffario fieret, reducere liceret Problemata omnia Soli.
da ad Plana,& plufquam folida ad folida. Eadem de c;
interfecthiones binz redarum& fecthonum Conricarin: pre
{emper per zquationes duarum dimenfionum; tern recharum Sc
eurvarum tertig poteftatis per xquationes trium,
m
Ernee
‚is tarıım& curvarum quartz poteftatis per xquationes dimenfio-. num quatuor,&{ic in infinium. Ergo interfechönes numere infinietz redtarum, propterca quod omnum eadem eft lex 8& idem.:
calculus, requirunt zquationes numero dimenfionum& radieum
infinitas, quibus omnes poffunt fimul exhiberi. Sia polo in red-.
am illam fecantem demittatur perpendiculum,& perpendiculum una cum fecanterevolvatur circa pelum, interfeCtiones{piralig tranfibunt in fe mutuo, quad; prima erat feu proxima, poft unam revoIutionem fecunda erit, poft duastertia,&{ic deinceps: necinterea murabitur zquatio nifi pro mutata magnitudine quantitatum per quas politio(ecantis determinatur. Unde cum quantirates illx poft fingulas revolutiones redeunt ad Mmagnitudihes primas, zquatio redibit ad formam primam,adeoq; una eademq; exhibebit interfeChiones

Ye
C 167.] Oncs omnes; Be propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi poffunt. Nequit ergo interfectio rec Se Apiralis‘ per zquationem finitam generaliter inveniri,& ideirco nülla extat Ovalis cujusarea, reis imperatis abfeiffa, poflit per talem xquationem generaliter exhibert.) A
Eodem argumento, fi intervallum-poli& pundki) quo fpiralis deferibitur, capiatur Ovalis perimetro abfciffx proportionale, probari poteft quod longitudo perimetri nequit per finitam xquationem generaliter exhiberi.
Corollarium.
Hinc area Ellipfeos, que‘ radio al umbilico ad corpus
mobile. duo deferibitur, not prodit ex dato tempore, per%‚#.quationem finitam,& propterea per defcriptionem Curuarum
Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometrice rationales appello- quarum-pundta omnia-per- Jongitudines zquationibus definitas, id eft, per longitudinum rationes complicatas, determinari poffunt; cxteralq;(ut Spirales, Quadratrices, ’Frochoides) Geometrice' irrationales.- Nam Jongitudines quz funt velnon{funt ut numerus ad numerum( quemadmodum in decimo Elementorum) funt Arithmetice‘ rationales vel irrationales,. Aream igitur Ellipfe6stempori proportionalem abfeindo per Curvam Geometrice irrationalem ut fequitur.
Prop. XXXI. Prob. XXI
Corporis in data Traje&loria Elliptica moventis inwenire locum ad temDS affignatum.
Ellipfeos 4 PB fit Avertex prineipalis; S’umbilicus, 0 centrum; fitq; P corporis locus inveniendus. Produc 0 AadG ut fit 0G P'3 ad

,*[ 208] „ad OAut 0OA4ad0S. Erige perpendiculum G H, centroq; 0&
intervallo 0G deferibe circulum E FG,& füper regula G H, ceu
fundo, progrediatur rota GEF revolvendo circa axem{fuum, 8
interea puncto{00 A defcribendo Trochoidem A LI.Quo fad&o,
cape G Kin ratione ad rotz perimetrum GE FG, ut eft tempus
quo corpus progrediendo ab A defcripfit arcum AP, ad tempus}
revolutionis unius' in Ellipfi. Erigatur perpendiculum KL occurrens Trochoidi' in L; 8& a&a LP ipfi KG parallela occurret Ellipfi in corporis locoquafito P.
. Nam centro:0, mtervallo 0 Adeferibatur femicirculus 40.B,& arcur 4Q occurrat LP produfta in Q_, junganturg; SQ, 0Q.; Arcu E FG occurrat, 0 Q in F,& in eandem 0 Q demittatur perpendiculum SR. Area A4PSeft ut area AQS, id eft,ut diıfferentia inter jectorem 0 Q_A& triangulum 0 0S, five ut differen-| ta rectangulorum+ 00x40& 00 xSR, hoceft, ob datam= 0Q. ut difierentia inter arcum. A Q 8& retam SR, adeogq; (ob zqualitatem rationum. SR ad finum arcus 40, 0Sad OA, OAad 0G, AQad GGF,& divilim AQ—-SR ad GF- 8 fin. arc. 40.) ut GK differentia. inter arcum G F& finum ar-| es AQ. Q.E.D.|
( Sche

L 109| Scholium:.
Czterum ob difficultaten deferibendi hanc curvam praftat conftrudtiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipfeos cujufvis A ZB fit AB axis major, O0 centrum, S umbilicus, 0.D femiaxis minor,& AK dimidium lateris rei. Secetur AS in G, ut fit AG ad ASut BO ad BS; 8& queratur longitudo L, quz fit ad 4 GKutelt A0 quad. ad re&angulum AS x0D. Bifecetur 0G in C, centroqg; C& intervallo C G deferibatur femicirculus GFO. WDenig; capiatur angulus GC F in ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam habet tempus datum, qUO COF pus def{crpfit arcum quafitum AP, ad tempus periodicum feu revolutionis untus in| Ellıpi: Ad 40 demittatur normalis FE,& producatur eadem verfüus F ad ufg; N, ut fit EN ad longitudinem L, ut angulı illius finus E Fad radium€ F;centroq; N& intervallo AN deferiptus circulus fecabit Ellipfin in corporis loco quafito P quam proxime. ı
Nam completo dimidio temporis periodict, corpus P femper reperietur in Apfide fumma B, 8 completo altero temporis dimidio, redibit ad Apfidem imam, ut oportet. Ubi vero proxime abeft ab Apfıdibus, ratio prima nafcentium fedorum A"SP, GOF,& ratio ultima evanefeentium BSP& 0C F, eadem
eft ration. Ellipfeos totius ad circulum totum. Nam pundkhis

‚Eto 7]
P, F8 N incidentibus in loca p, f&mnaxi AB quam proximis; ob zquales Ar, pr, relta ng, que ad arcum Ap perpendi„cularis eft, adeog; concurrit cum N pundo K, bifecat arcum ‚Ap. Proinde eft+ Ap ad Gn ut AK
2 AKadGK. Eft& GxyadGfut EN ad EFfeu Lad CF, id ‚eft,ut ae dCF, fuGKxA04.@2ASx0DxCF, & ex 2quo ApadGfut 2AKad GK+GKx A0g. ad 2ASx ODxCF,idefty ut AK xA04.ad A4Sx0D xCF, hoc eft, ob xqualia AK x 40& 0Dg. ut 40x0D ad ASxCE, Proin‚de Apx+ 4S eltad Gfx: GC ut 40x0Dx AS ad ASxC-FxGC, feu A0x0Dad CGg. id eft, feftor nalcens AS pad 1edtorem nafcentem GC fut A0x0 Dad CGgq.& propterea ut ‚arca Ellipfeos totius ad aream circuli totius. Q.E. D. Argumento prolixiore probari poteft analogia ultima in Se&oribus evanefcentibus BSP, OCF: ideoq; locus pundti P prope Apfides
' fatis accurate inventus: L ‚eft. In qua„draturis error quafi ‚quingentefime partis ar‚ex Ellipfeos totiüus vel paulo major „obvenire{o-; Jet: qui tamen propemodum evanefcet per ulteriorem Conftructionem fequentem.
Per pundta G, 0, duc arcum cireularem G TO juftz magnitudinis; dein produc E F hinc inde ad T& N ut(it: EN ad FTut Lad CF; centroq; N& intervallo AN deferibe circulum qui decet Ellipfinin P, ut fupra.-Arcus autem G TO determinabitur
ad GK,&ApadGzut
A—

——
x
=
} queerendo: eJus punduim aliquod T;/quod CohfEuCiönEm imillo
cafu accuratam reddet.- DO) tr ven: EI0M| Si Ellipfeos latus tranfverfum multo majus fit quam latus' rec tum. 8c motus corporis-prope verticem: Ellipfeos‘ defidetetur, (‚qui ‚cafus ‚in Theoria Cometarum ineidit,)' Jedicere lieete undoG- redtam GT axi U B'perpendieularem,& in ea ratione ad G'K quam habetarea AVPS ad te&angulum AKx AS;“des in’centro I& intervallo' A T. circulum*deferibere:“Hic ‚enim’ fecabit Ellipfim: im corporis 160co'quefito P quamproxime.‘ Et eadem conftruCtione( mutatis mutandis)-conficitur Problema in Hyperbola. Hz autem conftru&fones demönftrantur ut fupra, 8&(fi Figura ‚( vertice.ulteriore' B im infinitum'abeünte)” vertatur in.-Parabolam; migrant in’/accuratam” ılam Conftrudtionem Problematis. XXI. is}; HI3E1S3 DOES Si quando locus ille P Aceuratius determinandus fit, invenlatur tum angülusiquidam Bj qui fit ad angulum graduum 5 7,29578 quem arcus radio qualis(übtendit, lut eft’umbilicorum- diftantia SH ad Ellipfeos diametrum AB; tum etiam longitudo'quzdam L, que fit ad radium im eadem ratione inverfe. Cuibusfemel inventis, Problema deinceps confit per{equentem Analyfin. Per conftrudio- A nem fuperiorem Q (vel utcunq; con-} je&uram faciendo) cognofcatur corporis locus P. quam proxime. Demiffaq; ad axem Ellipfeos‘ ot-"| In EM dinatim applicata! A S RUE in+ PR, ex propor-' a tione diametrorum Ellipfeos, dabitur circuli circumferipti A0B ordinatim applicata RO; quz finus eft anguli 4 C Q exiften

w DS,* 7 3 Ra
. ‚Eıma] Be te A:C radio-Sufficit, angulum ilum rudircalculo- in numeris proximis invenire, Cognofcatur etiam angulus tempori: por-| portionalis,. id eftz qui.fit.ad quatuor;rectos ut: eft tempus quo corpus deferipfit arcum A-P;.ad tempus revolutionis uniusin EL lipfiz: Sit angulus ifte:N; ‚Tum capiatur ‚& angulus:D ad: an: gulum B, ut eft finus.ifte anguli ACOQ ad Radium,& angulus E ad angulum N— A4C Q.+D, ut eft longitudo Lad longitudinem ecandemg L.;:cofinu ‚anguli A4CQ++ D diminutam,-ubi angulus ‚ifte recto:minor el, audam.ubi Major. ‚‚Poftea capiatur tum ans gulus. F'ad angulam B,/ ut eft-Gnus anguli ACQ+E acbradium; tum angulus, G.ad ‚angulum N:-4CQ_—E+F ut’ ef Jongitudo L.ad Longitudinem.ecandem cofinu anguli ACQ-+E+=Fdimi nutam ubinangulus ifte redto miporeft; audam ubi major. Ter: tia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut'eff finus anguli A: CQ.-HE-5G6 ‚ad. radium 3.8 angulusTad angulum N= 4 CQE-G+H,utieft longitudo!L ad; eandem longitudinem cofitiü
anguli 4C.Q HE Gy+3 ‚H diminutam;/ ubi angulus ifte re&o ubi major. Et {ic pergere,.„licet.., in infinitum. De-' Niq; capiatur angulus ACq= qualis angülo ACQ+E+$*6+1I &Cc&€x cofinu ejus Cr& ordinata pr, que eft) ab finum gr ut Ellipfeos axis minor ad axem majorem;'habe- bitur corporis-Jocus-Corredkus?: Siquando angulus N AC9Q& D negativus eft, debet fignum+ ipfius E ubiq; mutarl in 8 fignum— in 4-,-Idem. intelligerdum ef de fignis ipforum.G&.I; ubi; anguli N‘ dCQ-EF%F,&N= 46Q-—E AG+Hınegas.
VI

am4PS. Applicando arcarum A
„‚Convergit autem feries infinita ACO+E+G
tive: prodeunt.€ c "+1 quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam 21d. terminum fecundum E. Et fundatur calculus in
hoc_ Theoremate, ‚quod arca AP S fit ut differentia inter arcum AO& re&am ab umbilico$ in Radium C-Q_ perpendiculariter demiffam.’|
Non. diflimili_calculo. conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum C”, Vertex A ‚Umbilicus$& Afymtotos CK. Cognofcatur quantitas arcz APS tempori proportionalis. Sit ca A,& fiat conjedura,de pofitione reitz S P, quz arcam illam abfeindat quamproxime. Jungatur CP ,& ab A8& Pad Afymptoton agantur AI, PK Afymptoto alteri paralJelge,& per Tabulam Logarithmorum dabitur Area AIK P, eiq; gqualisarea€ P A, quz fubducta de triangulo C PS relinquet are& AP S(emidifferentiam} APS— 54 vel* A4—14PS$ ad lineam SN, quz ab umbilico S in tangentem PT perpendicularis eft, orietur longitudo PO. Capiatur Autem P Q inter A&P, fi arca APS major fit area A,fecus ad pundti P contrarias partes: 8& puncdtum Q erit locus corporis accuratius. Et computatione repetita invenietur idem accuratius in perpetuum..
Atg; his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum ufibus Aftronomicis accommodatior e{t calculus ‚particularis qui fequitur. Exiftentibus 40, OB, 0 D femiaxibus Ellipfeos, (Vide fig. pag. 109. 1 zo...) SL ipfius Jatere redto, quzre tum angulum 7, cujus Tangens fit ad Radium ut eft femiaxium differentia A0—0D ad eorum fummam 40+0 D; tum angulum Z, cujus tangens fit ad Radium ut re&angulum fub umbilicorum diftantia SH&{emiaxium differentia A40—0D ad triplum rectangulum fub 0 Q femiaxe minore& 40—+L differentia inter femi

{114]
miaxem Majorem& quartam partem lateris rei. His angulis femel inventis, Jocus corporis{ic deinceps determinabitur. Sume angulum 7 ‚proportionalem tempori quo arcus BP deferiptusel, deu motui medio(ut loquuntur) zqualem; 8 angulum 7 ( primam medii motes zquationenm) ad angulum T(* xquationem maximam primam.) ut eft finus anguli T duplicati ad radi‚um; atq; angulum X’( xquationem fecundam) ad angulum Z ( zquationem maximam fecundam) ut eft finus verfus anguli T duplicati ad radium duüplicatum,. vel( quod eodem recidit) ut eft quadratum finus anguli Tad quadratum Rad. ‚Angulorum T, V, X vel fummz T+X+T, fi angulus T’ re&ominoreft, vel differentiz T+X-—V, fi is re&o major eft reCti{q; duobus minor, zqualem cape angulum BHP( motum inedium zquatum;|)& {fi HP occurrat Ellipfi in P, a&ta SP abfleindet aream BSP tempori proportionalem quamproxime. Hac Praxis fatis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum 78 X(in
minutis{ecundis, fi placet, pofitorum) figuras duas trefve,
primas invenire fufficıt. Invento autem angulo motus medii zquatrı B HP, angulus veri motus HSP& diftantia SP in promptu {unt per methodum notiflimam Dris. Sethi W ardı Epifcopi.Salisburienfis mihı plurimum colendi,(
Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem poteft ut mobile refta defcendat vel refta alcendat,& quz ad ıftiufmodi.motus fped&ant, pergo jam exponere.
SECT.

Am]
Ss” EC dd: VIE De Corporum Afcenfu& Defcenfu ReCtilineo. Prop. XXXIL Prob. XXIV.
Pofito quod wis centripeta fit reciproce proportionalis quadrato diftantie locorum a centro, fpatia definire qu@ corpps re&ta cadendo datis temporibus defcribit.
Cas. x. Sicorpus non cadit perpendiculariter deferibet id fectionem aliquam Conicam cuyus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex Propofitionibus XI, XIL, XII& earum Corollarüs conftat. Sit{e&io ılla Conica AR PB & umbilicus inferior S. Et primo fi Figura ila Ellipfis eft, fuper hujus axe majore AB deferibatur femicirculus ADB,& per corpus decidens tranfeat redta DPC perpendicularis,ad axem; actılq; DS, PS erit area ASD arex ASP atq; adeo etianı tempori proportionalis. Manente axe AB mi: nuatur, perpetuo latitudo Ellipfeos,& femper manebit area AS.D tempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinıtum, & orbe AP B jam.coincidente cum axe AB & umbilico S cum axis termino B,de{cendet corpus in re&ta A.C,& area ABD evadet tempori proportionalis. Dabitur itaq;{patium AC, quodcorpus de loco A perpendi- an culariter cadendo_tempore dato deferibit, fi modo tempori. proportionalis capiatur area 4B D,8& a pundto D ad redtam AB demittatur perpendicularis DC. Q. EL ; Q.2 DE Cas.
*

116
Cas. 2. Sin figura faperick R FöTiyperboh eft, deferibatur ad eandem diametrum principalem AB Hyperbola re&angula BD:& quoniam arex CSP, CBfP, SP fB funt ad areas CSD,CBED,SDEB;(ingule ad fingulas, in data ratione altitudinum CP, C D;& area SP fB proportionalis. eft tempori quo corpus P movebitur per arcum P BE, erıt etiaam area SD EBeidem tempori proportionalis.Minuatur Jatus re&um Hyperbole RPB in infinitum manente latere tranfverfo,& coibit arcus PB cum redta C B,& umbilicus S cum vertice B&recta SDcum N recta B D.Proinde areaBDEB. xV proportionalis erit temporiquo. corpus C recto_ defcenfu defcribit lineamCB. Q. E. I.
Cas. 3. Et fimili argumento fi figura RP B Parabola eft;‘& Ar codem vertice principali B de{cribatur alia Parabola BED, quz femper maneat data, interca dum Parabola prior in cujus perimetro corpus P. movetur, diminuto& in nihilum reda&o ejus Latere. re&to, conveniat cum inea C B; fiet fegmentum Parabolicum B D EB. proportionale tempori quo corpus illud P vel€’defcendet ad centrum B. 0. E. I.
Prop. XXXII."Theor. IX.
Pofitis Jam inwentis, dico quod corporws cadentis ‚welocitas in loco quovis C ef ad velocitatem corporis centro. B interwallo BC circulum defcribentis, in dimidiata ratione quam C A, diftantia corporis. a Circuli vel Hyperbole wertice nlteriore A, habet ad figure femidiametrum principalem.+ AB. Nam

I. Namq; ob pröportionales. CD;:C-P, linea‘4 B. communis eft utriufg; figurz R PB, D EB diameter. Bifecetur eadem ın O0, 8 agatur recta P T quz tangat figuram RP B in P,atq; etiam fecet communem illam diametrum AB-( fi'opüs eft produdtam)) in T; fieq; ST ad hanc redtam& B Q_ad hanc diametrum perpendicularıs, atq; figurx R.PB latus re&um' ponatur L. Conftat per Cor. 9. Theor. VI. quod corporis in linea R PB circa centrum S moventis velocitas in locoquovis P fit ad velocitatem corporis intervallo SP circa idem centrum Circulum deferibentis in dimidiata ratione rectanguli+ L xS PP ad ST quadratum.‘ Eft autem ex Conicis ACB ad C Pq.ut’2 A0 ad 2C I* 9 xquale L. Ergo veJocitates ille funt ad invicem in'dimidiata ratione Cr De ad ST quad, Porro ex Conicis eft CO ad BO ut BO'3d TO;& compofite vel divifim ut CB ad BT Une de dividendo vel componendo fit BO uel 1 +COad BO ut CTad BT, id eft A Cad AO utCPadBO@5; CPq.xA0OxSP BOg-XACXSEP. am
Kr VAnE AUT Minuatur jam in infinitum figurz R PB JatitudoC P, fic ut pundum P coeat cum puncto C, pun&umg; S cum. puncto B,& linea SP cum linea B C,lineaq; ST cum linea BQ_;& corporis Jam redta defcendentid in linea CB velocitas fiet ad velocitatem corporis centro 5 interuallo BC circulum deferibentis, in dimidiata rationc ipfius BOg.xACxSP RO BC SP ad-BC& BO g.ad ST4q.) in dimidiata ratione ACad AO. Q. E. D. Cerok.
L,adeoq;
indeq; xquale eft
ad ST 4. hoc eft(negle&tis zqualitatis rationibus

Cörol. Pundtis+B 8:8 cocuntibus, ft TG6-ad ST ut ACad A 0: sel A GTA
Prop. XXXIV. Theor. X! mn
Si figura BED Parabala eft, dico guod Corporis cadentis. welocitat in loco quozis C equalis:efb velocitati‘qua eorpus centre B dimidio interwalli(ni BC: cirenlum Se
uniformiter defcribere! botef;) HT Ey
N bo TE Orabaen Bo etLeG Sn EA PB circa centrum S.deferiben- A al ai tis velocitas in loco. quovis‘iS: in ZZ ( per Corol. 7. Theor. VHL) EDS| zqualis eft velocirati Cor poris-di- AAN midio intervalli SP circulum cir- BF|
ca idem S uniformiter deferiben- ES tis. Minuatur Parabole: hatitu=.; ara De|| do CP in infinitum eo, ut arcus AM| Parabolicus CP cum re&a CB; 0+ centrum S cum vertice Br 8&in-o, teruallumS P cum intervallo'C P ı coincidat, 8& conftabit, Propofi-> *» 20.0 ED... Aka A
Prop: XXXV. Theor. XI Tıfdem pofitis, dico quod area figure DES, radio indefinito SD deferiptas aqualis fit arcg quam corpus, radio dimidinm lateris rei
figure DES aquante, circa cemtrum S uniformiter gyrando, eodem tempore defcribere poteft,
Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineolam€ ce cadendo deferibere, Sc interea corpus aliud K, uniformiter in circulo 0 K k circa.centrum S gyrando, ‚arcum K k deferiVa Can= B bere

Cl xa9ı] 2 bere. Erigantur perpendicula CD, ex occurrentia figure DES in D,d. Jungantur SD, SK, S k8& ducatur DdaxiA Soccurrens in T,& ad eam demittatur perpendiculunpS T.!|
Caf. x Jam fi figura D ES Cireulus eftvel Hyperbola,. bifecetur ejus tran(verfa diameter AS’ in O0,& erit ol SO dimidium Lateris re@&i. Et’quomam eft. TCadTD utCcad Dd,&T Dad TS utCD ad ST, eritex zquo TC ad TS utiCD xCcad-. STxDd. Sed per Corol. Prop. 33. et DO 2dST ut AC ad AO, puta 1i in coitu pun&orum D, d capiantur linearum rationes ltimz. Ergo AC eft ad AO, id eft’ad'S K)ut
CDxCcad STxDd. Porr6@vcorporis’ des CT ZN {cendentis velocitas in C eft ad velocitatem| ONE\ corporis circulum intervallo SC circa centrum Ss
S deferibentis in dimidiata ratione AC ad A- A
O0 velSK( per Theor 1X.) Et haec-veloci- m
tas ad velocitatem corporis deferibentis Circu- Aw Jum 0 K k in dimidiata ratione SKad SC per En
Cor. 6. Theor. IV. 8& ex zquo velocitas prima ad ultimam,“hoc eft fineola Co ad arcunm KK in dimidiata ratione AC ad SC,:id-eft. in ratione AC ad CD. Quarereft CDxCczquale ACxKk,& propterea A Cad'SK ut AC xKhkad STx Did, indeq; S Kx K.k zqualevST xD&3SK xKk xquale#ST’x DA, def area KS ko wqualis arex:S:Did. Singulis igitur temporis particulis generantur ‚arcarım duarum particule K Sk, SDd, que, fi’magnitudo ‚carım minuatur& numerus augeatur in infinieum, tationemoobtinent wqualitatis,& propterea(per Corollarium! Lemmatis IV)areee totxfimul genitx funt femper xquales. Q. E.D.
Cas. 2. Quodfi-figuraD ES Parabola fit, invenietur ut fupra* CDxCcefle ad STxDd ut TC ad ST, hoc eftut 2 ad ı, adeog;+ CD. xCc’zqualem efle+STxDd. Sedcorporis caden; Ss

N 1201[| tis’ Velocitas in C xqualis’eft Ve) locitati qua circulus intervallo4S'C.
uniformiter defcribi poflit.€ per. Theor. X.JEt hzc velocitas ad ve=> locitatem qua circulus radio SKK defceribi poflit, hoc eft, lineolaCc ad arcum K keft in Cimidiata ratione SK ad Sc, ideft, in ratione SK ad+ CD, per Corol. 6. Theorem. IV. Quare eft3SKx K k x. 2quale*CD x C c, adeoq; quale 1 ol Ar ; ST x Dd, hoceft; area KShaqualis Arex SD d, ut{upra: Quod
erat demonfbrandvim.
Prop. XXXVI. ‚Prob. XXV.'
Corporis de. loco dato A cadentis determinare tempora
defcen[us.
Super diametro 48(*diftantia corporis a cen-..
tro{ub initio) deferibe femicirculum ADS, ut& huic zqualem f{emicirculum 0.K H circa centrum S$. De’corporis loco-quovis C erige ordinatim ap‚plicatam.C D. Junge SD,& are ASD zqualem: conftitue Sectionem 0 S.K."Patet per. Theor. XI, quod corpus cadendo deferibet{patium AC
codem tempore quo corpus aliud uniformiter Circa’centrum S gyrando,'deferibere‘ poteft /arcum.
OK. Quod erat faciendum. Prop. XXXVII. Prob. XXPI.
A
af A u
Cor ‚por 15 de loco dato furfum wel deorfum projesti definivre tempora
; afcenfus wel defcenfus.
Ex

Car]
Exeat corpus de loco dato G fecundum lineam ASG cum veJocitate quacung;. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem ın circulo velocitatem,qua corpus ad intervallum datum SG circa centrum S$ revolvi polflet, cape€ 4. ad: AS. Si ratio illa.eft numeri binarii ad AT unitatem, pund&um A cadet ad infinitam diftantiam, quo in cafu Parabola uertice S, axe S$.C, latere quovis recto deferibenda eft. Patet hoc per Theorema X. Sin ratio illa minor vel major eft quam 2 ad 1, priore cafu CircuJus, pofteriore Hyperbola re&angula fuper diametro S Adeferibi debet. Patet per Theore- ma IX. Tum centro S, intervallo zquante dimidium Jateris re@&i,deferibatur circulus HKk, da & ad corporis afcendentis vel defcendentislo-| X ak ca duo quzvis G, C, ‚erigantur perpendicula Hr GI, CD occurrentia Conicz Sectioni vel circulo in I ac D.Dein jun&is ST, SD, fiant fegmentis SEIS, SEDS Se&ores HSK, HSk zquales,& per Theorema XI. corpus Gde- A” feribet fpatium GC eodem tempore quo Corpus K defcribere poteft arcum K k, Q. E.F.
Prop. XXXTVIM. Theor. XI.
Pofito quod wis centripeta proportionalis fit altitudini fen diftantie locorum a centro, dico quod cadentinm tempora, velocitates&» fpatia defcripta funt arcubus arcuumg; finibus werfis&» finibus rettis refpetive. proportionales.
Cadat corpus de loco quovis 4 fecundum re&am AS;& centro virtuam S, in| tervallo AS, deferibatur circuli quadrans | AE, fitq; CD finus redtus arcus cujufR
WE

CE 122 ıx vis AD,& Corpus A, tempore AD, cadendo deferibet fpatium AC, inq; loco€ acquifi herit veloeitatem CD. Demonftratur eodem modo ex Propofitione X, quo Propofitio XXXIL ex Propofitione XI. demonftrata fuit. Q. E. D.
Corol. x. Hinc xqualia{unt tempora quibus Corpus unum de Joco A cadendo provenit ad centrum S,& corpus aliud revolvendo deferibit arcum quadrantalem AD E.
Corol. 2. Proinde zqualia funt‘tempora omnia quibus corpora de locis quibufvis ad ufg; centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica( per Corol. 3. Prop. IV.) xquantur. Prop. XXXIX. Prob. XXVIL
Pofita cujnfeung; generis vi centripeta, concefis figurarum curwilinearum quadrafuris, requiritur corporis recta afcendentws wel defcendentis tum wvelocitas in locis'fingnlis, tum N quo corpus ad
locum quemwis perveniet: Et contra,
De loco quovis 4 in redta ADEC cadat corpus E, deq; loco ejus E erigatur femper perpendicularis E G, vi centripetz in loco - illo ad centrum C tendenti proportiona- X
lis: Sitq; BFG linea curva quam punctum G perpetuo tangit. Coincidat autem CH EG ipfo motus initio cum perpendicularn AB,& erit corporis velocitas ın loco| quovis Eut arex curvilinex ABGE las 9; tus quadratum. Q.'E. I. In EG caplatur E M lateri quadrato arex ABGE reciproce proportionalis;&(it4 LM linea curva'quam pundum L perpetuo tan git,& erit tempus quo corpus cadendo ‚deferibit lineam A Eut area curvilineaALME. Omnoderat Inveniendum, Etenim in recta. A E capiatur linea»* quam minima D E datz longitudinis, fitq;D EL F locus line EM S ubi
in
1 |

abi corpüus verfäbätur in D;3.8c-fi’ca(it vis-cenfripeta, üt arca ABGE latus quadratum fit ut defcendentis velocitas; erit area 1p{a in duplicata ratione velocitatis, id eft; 11 pro velocitatibus in D ‚8 E feribantur V'8cV 41T, erit arca ABFD ut V*;8 area 4 DBGE ut V*+ 2 VI+1*; 8&,-divifim area DFGEut:2V/1+1°,
D pel ut eben id eft, fi primz quantitatum nal;;; am centium rationes fumantur, Iongitudo D Fut,quantitas—z——’
adeoq;
°°°% A®° 1x Vr adeoq; etiam ut quantitatis hujus dimidium DE: Eft autem
tempus quo Corpus cadendo deferibit lineolam DE, ut lineola iIlla dire&e& velocitas V-inverfe, eftq; vis ut velocitatis incrementum I dire&e& tempus inverfe, adeoq; fi primz nafcentium
rationes{umantur, ut DE hoc eft, ut longitudo DF. Ergo vis
ipi DF proportionalis facit corpus ca cum velocitate defcendere que fit ut arez ÄBGE Iatus quadratum OQ. E. D.
Porro cum tempus,quo quelibet longitudinis datz lineola DE deferibatur, fit ut velocitas, adeoq; ut arex ABFD latus quadratum inverfe; fitq; DL, atg; adeo arda nafcens DLME, ut jdem latus quadratum inverfe: erit tempus ut area DLME,& {umma omnium temporum ut fumma omnium arcaruım, hoc eft -C per Corol. Lem. IV.) tempus totum quo linea AE deferibitur ut area tota AME. Q.E. D.
Corol. x. Si P fit Jocus de quo corpus cadere debet, ut, urgente aliqua uniformi ui centripeta nota(* qualis vulgo{upponitur gravitas) velocitatem acquirat in loco D xqualem velocitati quam corpus aliud vi quacung; cadens acquifivit eodem loco D, & in perpendicuları D Fcapiatur DR, que fit ad DF ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco-D,& compleatur re&angulum PDRQ_, eiq;>qualis abfeindatur area A BFD x erit di locus de quo corpus alterum cecidit.| Namg; completo rectangulo
Ro EDR

[124] ‚
EDR S,; cum fit area AB FD ad aream DFGE ut VV ad a V ;xT, adeog; ut+V ad I, id eft, ut femiffis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis. vi inzquabili cadentis;& fimiliter area POR Dad aream DRSE ut femiflis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis;; fintq; incrementa illa(ob zqualitatem temporum nafcentium) ut vires generatrices, id eft ut ordinatim applicatz D F, DR, ade0q; ut arcg nafcentes DFG E,DRSE; erunt( ex zquo) arex totz ABFD, ‚PORD ad invicem ut femifles totarum vclocitatum,.& propterea(ob xqualitatem velocitatum) xquantur,
Corol. 2. Unde fi corpus quodlibet de loco quocung; D data cum velocitate vel durfum vel deorfum projiciatur,& detur lex vis centripetz, invenietur velocitas cjus in alio quovis loco. e, erigendo ordinatam eg,& capiendo velocitatem ıllam ad velocitatem in locoD ut eft latus. quadratum redanguli PORD arca curvilinea D Fge vel audi, fi locus e eft loco_D inferior, vel diminuti,(1 is fuperior eft,ad latus quadratum redtanguli folius PORD, id eft ut vFORD+vel= DFgead YPORD.
Corol, 3. Tempus quogq; innotefcet erigendo ordinatam em reeiproce proportionalem lateri quadrato ex P 0 RD+vel— DF£ 6,& capiendo tempus quo corpus deferipfit lineam De ad tem‚PUs quo corpus alterum vi uniformi cecidit a P 8& cadendo pervenit ad‘ D, ut area curvilinea DL» e ad rectangulum 2 PDx DL. Namq; tempus quo corpus vi uniformi defcendens deferipfit lineam PD eft ad tempus quo corpus idem deferipfit k‚scam PE in dimidiata ratione PD ad PE,ideft( lineola DE
°
Jam

jamjam nafcente inratione PD x PD+:DE feu2 PD ad „PD+DE,& divifim, ad. tempus quo Corpus idem deferipfit lineolam DE ut 2 PD ad DE, adeoq; ut re&angulum 2 PE x DL ad aream DLME;'eftq; tempus quo Corpus UtuMd; deferipfit lineolam DE ad. tempus quo corpus alterum inzequabili motu deferipfit lineam De ut area DLME ad aream D Le, 8 ex zquo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulun 2 PDxDL:ad aream DL me.
A ae
SE CT VIE
De Inventione Orbinm in quibus corpora wiribus quibufeung; centripetis agitata revolventur.
Prop. XL. Theor. XIE
St corpms, cogente vi quacunq; centripeta, moveatur UFCHNA;,& corpus alind recta afcendat vel defcendat, fintq; corum welocitates in aliquo equalinm altitudinum cafn equales, velocitates cornm in omnibus altitudinibus erunt«quales.
Defcendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C,&* moveatur corpus alıud a ın linea curva V IK k. Centro€ intervallis quibu{vis deferibantur circuli concentricı DI, EK reitz AC inD&E, curveq; VIK in I& K occurrentes. Jungazur IC occurrens ipi KE mn N;& in I K demittatur. perpendi‚culum N T5- fitq; circumferentiarum circulorum intervallum DE vel IN’quam minimum,& habeant corpora in D& I velocitates zquales.| Quoniam diftantiz CD, CI zquantur, erunt vires centripetz in D& I xquales. Exponantur he vires per xquales lineolas DE, IN;& fi vis una IN, per Legum Corol. 2.
vefolvatur in’duas NT Sc,LE, yıs NT, agendo. fecundum kncam

NT<corpofis carfui ITK perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in CUfMü illo, fed'retrahet folummodo corpvs a. Curfü re&ilineo,‚facıetg; ipfum de Orbis tangente perpetuo defledere, ing; via eurvilinea 7 T’Kık progredi. In‘hoc effe&u producendo vis illa tota Confumetur: vis autem altera IT,(ecundum'corporis curfum agendo; tota accelerabit illud, ac dato tempore'quam minimo accelerationem generabit fibi ipfi proportionalem.- Proinde corporum in D 8&.T acceleratiönes zqualibus temporibus factz(fi fumantur linearum nafcentium DE, IN, IK, IT, NT rationes prime) funt ut linee DE, IT: temporibus autem inxqualibus ut linez ille 8& tempora conjund&im. Tempora ob zqualitatem velocitatum funt ut vie deferiptz DE& IK, adeog; accelerationes, in curfu corporum per lineas DE& IK, funt ut DE&% IT, DE&1TK conjun&im, id-eß ut DE quad.&1Tx FK rectangulum. Sed re&angulum IT x IK zquale eft IN quadrato, hoc«ft, zquale D’E quadrato;8& propterea accelerationes in tranfitu corporuma D& I ad E& K xquales generantur. /Equales igitur fünt corporum velocitates in E&- K& eodem arEr

Ca27: J
uımento(emper reperientur xquales in fubfequentibus xqualibus, diftantis. Q.E. D. Sed& codem argumento Ccorpora Xquivelocia 8& zqualiter a Centro diftantia, inafceniu ad xquales,diftantias zqualiter retardabuntur. Q: E. D.)
Corol. x. Hinc fi corpus vel funıpendulum ofcılletur,. vel impedimento quovis politiflimo& perfe&e lubrico, cogatur in linea Curva moveri,„8 Corpus„liud re&a aßfcendat vel defcendat, fintq; velocitates corum in eadem quacung; altıtudine zquales: erunt velocitates corum mn aliis quibufcung; xqualibus, altitudinibus zquales. Namq; impedimento vafis abfolute Iubrici idem praftatur quod vi tranfverfa NT. Corpus co non retardatur, non acceleratur, fed tantum cogitur de curfu reCkilineo difcedere.
Corol. 2. Hinc etiam fi quantitas P fit maxima a centro. di{tantia, ad quam corpus velofeillans vel in Traje&oria quacung; revolvens, deq; quovis trajedorige pundo, ca quam ibi habet velocitate furfum proje&tum afcendere poflit 3 fitq; quantitas A diftantia corporis a centro. in alio quovis Orbis pund&o, 8& vis
® x°° a:.— I° centripeta femper fit ut ipfius A dignitas quelibet A477 Tcujus Index z— ı eft numerus quilibet% unitate diminutus; velocitas
a
corporis in omni altiıtudine A erit ut v nPr un A*, atq; adeo
datur. Namg; velocitas aicendentis ac defcendentis( per PropXXXIX.|) eft in hac ipfa ratione.
Prop. XLLE Prob. XXVIL
„Pofita cujtfenng) generis wi centripeta&» conceffzs. figurarum curwilinearum quadraturis, requirnntur Tun Trajetorie in quibus corpo“ va movebuntur, tum tempora mobnnm in Trajeoriis inwentis. Tendat vis quzlibet ad centrum C:& invenijenda fit Trajedtoria VITKk. VDetur circulus VXTY centto€ intervalloquovis CV deferiptus, centroq; eodem deferibantur alır quivis circuli ID,
KE
*

18 1 KE trajectoriam fecantes in I& K re&amqg; CV in D& E. A * ge tum re&tam C NTX fecantem circulos K E,VYT in N& X,tum recdtam C KT occurrentem circulo X XYT in Y. Sint autem pundta I&K fibi invicem viciniflima,& pergat corpus ab V per I, T’8& K ad k; fitq; 4 altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem acquirat zqualem velocitati corporis prioris in TI;& ftantibus que in Propofitione XXXIX, quoniam lineola TK, dato tempore quam minimo defcripta, eft ut velocitas atq;-adeo ut latus quadratum are ABFD,& triangulum IC K
tempori proportionale datur‘,„adeoq; KN eft reciproce ut altitudo 1C, id eft, fi detur quantitas aliqua O_,& altituuoIC nominetur A, tz quam nominemus Z. Ponamuseam efle magnitud inem ipfius Q ut fit Y ABFD in aliquo cafu ad Zuteft IK ad KN,& erit femper Y ABFD ad Z ut IK ad KN, 8& A4BFDad ZZ ut IK quad. ad KN quad. 8 divifim ABFD-ZZ ad ZZ ut INquad. ad K N gqgnuad. adeog;
VABFD-ZZad ZutINadKN,& propterea AxK N x‚quale

[1971*
ul OREN Unde cum TXx XC fit ad AxKN 7-22
in duplicata ratione 7C ad KC, erit re&ang. 1XxXC zquale BEIN. Igitur fiin perpendiculo D Fcapiantur
AA/AÄBFED-ZZ DE © 0_ X quad. SL WR A femper Di, Dep= ZZ 44 ABED-ZE zquales refp-&ive,& deferibantur curvz linex ab, cd qui pundta b, c perpetuo tangunt; deq; pund&o V ad lineam ACerigatur perpendiculum Va d abfeindens areas curvilineas /Dba, V Dde,& erigantur etiam ordinatz Ex, Ex: quoniam rectangulum Dh xIN feu DbzE zquale eft dimidio re&anguli Ax K N, feu triangulo ICK;& re&angulum DcxINfeu Dex E xquale eft dimidio re&anguli TX in CX, feu triangulo XCTY; hoc eft, quoniam arearum VD ba, VIC xquales femper{unt nafcentes particule DbzE, ICK,& arearum VD cd, VCX zquales femper funt nafcentes particule DExc, XCT, erit arca genita VD ba xqualis arex genitz VIC, adeoq; tempori proportionalis, 8& area genita VDdc zqualis Sectori genito VCX. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus difceflit de loco V,dabitur area ipfi proportionalis VD ba,& inde dabitur corporis altıtudo CD vel CI,& arca V Ded, eiq; zqualis Se&tor VCX una cum ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCI& altitudine CI datur locus I, in quo corpus completo illo tempore reperietur.©. 5.£ Corol. x. Hinc maxime minimaq; corporum altitudines, id eft Apfides Traje&oriarum expedite inveniri poflunt. Incidunt enim Apfides in pundka illa in quibus rec&ta IC per centrum dudka incidit perpendiculariter in Traje&oriam VIK: id quod fit ubi reitz IK& NK zquantur, adeog; ubi area ABT’D xqualis et, Z: En Ad Corol. 2. Sed& angulus KIN, in quo Traje&oria alıbi fecat lineam illamIC,ex data corporis altitudine I C expedite invenitur5

"D130:] nimirum capiendo finum ejus ad radium ut KN ad IK, ideftut Z ad latus quadratum arez ABEFD.
Corol. 3. Si centro C& vertice principali V de{cribatur fed&io quzlibet Conica V RS,& a quovis ejus pund&to R ayatur Tangens RT occuürrens axi infinite producto CV in puncto T; dein zun&a CR ducatur re&a CP, que zqualis fit abfeille CT, angulumqg; VCP. Sedo VCR PfroportionaIlem conftituat; tendat autem ad centrum CC vis centripeta cubo_ diftantig locorum a centro reciproce pro-, portionalis,
& exeat Ccorpus de loco V jufta cum velocitate fecundum lineam red CV perpendicularem: progredietur corpus illud in"Traje&oria quam pundum P perpetuo tangit; adeogq; fi conica{eCtio CV RS Hyperbola fit, defcendet idem ad centrum: Sin ea Ellipfis fit, alcendet illud perpetuo 8& abibit in infinitum. Et contra, fi corpus quacung; cum velocitate exeat deloco V,& perinde ut incaperit vel oblique defcendere ad centrum, vel ab co oblique afcendere, figura CV RS vel Hyperbola fit vel Ellipfis, inveniri poteft TrajeCtoria augendo vel minuendo angulum FC P in data aliqua ratione, Sed et vi centripeta in centrifugam verfa, aflcendet corpus oblique in Traje&oria VP Q que invenitur capiendo angulum VC P Sectori Elliptico CV RC proportionalem,& longitudinem€ P longitudini CT zqualem: ut füpra. Confequuntur hzc omnia ex ProaSEE EEE

E:13713’Propofitione przcedente, per Curvz cujufdam quadraturam, CUjus inventionem ut fatis facılem brevitatis gratia miffam facio.
Prop. XLIL Prob. KXXIX.
Data lege wis centripet@, requiritur Motus corporis de loco dato data cum welocitate fecundum datanı retam egrefß.
Stantibus que in tribus Propofitionibus precedentibus: exeat corpus de loco I fecundum lineolam IT, ca cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua uniformicentripeta, de loco P cadendo acquirere poffet in D: fitq; hec vis uniformis ad vim qua COrpus primum urgetur inLut DR ad DF. Pergat aufem COTPUS ver{us k; centroq; C& intervallo Ch deferibatur circulus ke occurrens reftz P.D in e,& erigantur curvarum ALMm,BFGo,abzu dcxw ordinatim applicatz e 2, eg, 6%,€. Ex dato rectangulo PDR Q, dataq; lege vis centripetz qua Corpus primum agitatur, dantur curvz linezg BFGg, A LMm,: per conftrudtionem Problematis XXVIL. 8 ejus Corol. x. Deinde ex dato angulo CI T datur proportio nafcentium IK, KN, 8 inde,per conftrucdkionem Prob. XXVIIL, datur quantitas Q_, una cum CurVvis Yineis abzw, dexmw: adeoq; completo tempore quovis Dbwe, datur tum corporis altitudo Ce vel C k, tum area Dewe, eiq; xqualis Sector XC„,angulufg;XCy& locus kin quo corpus tunc verfabitur.©. E. I. Supponimus autem in his Propofitionibus vim centripetam in receflu quidem a centro variarı fecundum legem quamcung; quam -quis imaginari poteft, in zqualibus autem a centro diftantüs efle undiq; candem. Atq; hafenus corporum ın Orbibus immobilibus confideravimus. Supereft ut de motu corum in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.
Ss’ SECT.

SE CC TI 1 De Motu Corporum in Orbibus mobilibus,deq; motn Apfıdum, Prop. XLIIL Prob. XXX.
Effciendum eft ut corpus in Traje&oria quacung; circa centrum wirium revolwente perinde moveri poflit, atq; corpus alind in eadem Trajestoria quiefcente.
In Orbe VP K pofitione dato revolvatur corpus P pergendo a
V verfüus K.. A centro C agatur femper Cp, que fit ıpfi CP zqualis, angulumg;. /C p angulo VCP proportionalem conftituat;& arca quam linca C p deferibit erit ad aream VCP quamli-.
nea CP deferibit, ut velocitas lineg deferibentis C pad velocitatem Iinez defcribentis€ P; hoc
eft, ut angulus /C p ad angulum VC P,adeoqg; in data ratione,& propterea tempori proportionalis. Cum area tempori proportionalis fit quam linea€ pin plano immobili deferibit, manifeltum eft quod_ corPu“, cogente juftg quan-&
titatis v1 centripeta, revolvi poflit una cum pundo p in curva illa linea quam pundtum idem pP ratione jJam expofita deferibit in
plano immobili. Fiat angulus V Co angulo PCp,&linea Cw lincx

E33 J
nex CV, atq; figura vCp figure V CP zqualis,& corpus in p femper exiftens movebitur in perimetro figurg revolventis vCp, eodemq; tempore deferibet arcum ejus vp quo corpus aliud P arcum ıpfi fimılem& zqualem V P in figura quielcente V PK deferibere poteft. Quezratur igitur, per Corollarıum Propofitionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi poflit in curva illa linca quam pundum p defcribit in plano immobili,& folvetur Problema. CE. F. Prop. XLIV. Theor. XIV.
Differentia virinm, quibus corpus in Orbe quiefcente,&» corpus alind in eodem Orbe revolvente xqualiter moveri poffunt, eft in triplicata ratione communis altitudinis inwverfe.
Partibus orbis quiefcentis VP, PK{unto{imiles& zquales orbis revolventis partes vp, pk. A puncto kin rectam pC demitte perpendiculum kr,idemg; produc ad ut fit zradkr ut angulus VCp ad angnlum V CP. Quoniam corporum alcitudines PC 8& pC, KC&kC femper zquantur, manifeftum eft quod fi corporum in locis P& p exiftentium diftinguantur motus finguli(per Legum Corol. 2.) in binos,( quorum hi verfüs centrum, five fecundum lineas PC, pC; alteri prioribus tranfverfi fecundum lineas ipfis PC,pC perpendiculares determinantur) motus verfus centrum erunt zquales,& motus tran{verfus corporis perit ad motum tranfverfum corporis P, ut motus angularıs line
C ad motum angularem linex PC, id eft ut angulus VCp ad angulum VCP. Tgitur eodem tempore quo corpus P motu{uo utrog; pervenit ad puncdtum K, corpus p quali in centrum motu xqualiter movebitur a P verfus C, adeog; completo illo tempore reperietur alicubi in linea kr, que per pundum kin Iincam p CC perpendicularis eft;& motu tranfverfo acquiret dif. tantiam a linca pC, que fit. ad diftantiam quam corpus alterum
acquirit a linea PC, ut eft hujus motus tranfverfus ad motum

| 4 M |
| | |
L 134] tranfverfum alterius. Quare cum kr zqualis(it diftantie quam corpus alterum acquirit a linea pC, fitq;%r ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP, hoc eft, ut motus tranfverfus corporis p ad motum tran{verfum corporis PP, manifeftum eft quod corpus p completo illo tempore reperietur in Joco”. Hec ita fe habebunt ubi corpora P& pzqualiter fecaundum lineas pC& PC moventur, adeoq; xqualibus viribus fecundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus pCz ad angulum pCk ut eft angulus VCp ad angulum VCP, fitq; zC zqualis kC,& corpus p completo illo tempore revera reperietur in z3; ädeoq; vi majore urgetur, {1 modo angulus zCp angulo kCp major eft, id eft fi orbis V/pk mc* vetur in confequentia,& minore, fi orbis regreditur; eftq; virium differentia.ut locorum intervalluım»%, per quod corpus illud p ipfius actione, dato illo temporis{patio transferri debet. Centro C intervallo Cm velCk deferibi intelligetur ciwculus fecans Jincas zr, m» produckasin s& t,& erit redtangulum zz x mt zquale redtangulo x kx ms, adeoq; mn xquale De autem triangula pCk, pC m dentur magnitudine, funt kr& mr, earumq;'differentia zk 8& fumma ms reciproce ut altitudo pC, adeoq; re&angulum rk x ms eft reciproce ut quadratum altitudinispC. Eft&mtdiredte ut; mt, ideft ut altıtudo pC. He funt primz rationes linearum nafcentium;& hinc SA id
eft
Cum

WEN A a
[235 J eft lineola nafcens#%,€iq; proportionalis virium differentia re ciproce ut cubus altitudinis pC. O. E. D.
Corol. x. Hänc differentia virium in locis P& pvelK& keft ad vim qua corpus motu circuları revolvi poflet ab rad k ,codem tempore quo, Corpus P in orbe immobili deferibit arcum PK, ut mkxms ad rk quadratum; hoc eft fi capiantur datz quantitates E._G in ea ratione ad invicem quam habet angulus VCP ad angulum V’Cp, ut Gqg.—Fgq. ad Fg. Et propterca, fi centro€ intervallo quovis CP vel Cp deferibatur Se&or circularis zqualis areg toti V PC, quam corpus P tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum du&o deferipfit, differentia virlum, quibus corpus P inorbe immobili& corpus p in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua Corpus aliquod radio ad centrum du&o Se&orem illum, codem tempore quo deferipta fit arca V PC, uniformiter deferibere potuiflet, ut G q.— Fa. ad Fgqg. Namg; fector ille area pC k, funt ad invicem ut tempora quibus deferibuntur.;
Corol. 2. Si orbis VPK Ellipfis fit umbilicum habens€& Apfidem fummam 7; eiq; fimilis& xqualis ponatur Ellipfis vpk, ita ut fit femper pc zqualis PC,& angulus/ Cp{it ad angulum VCP in data ratione G ad F3 pro altıtudine autem PC vel pc (eribatur 4, 8& pro Ellipfeos latere re&o ponatur 2 R:: erit vis qua corpus in Ellipfi mobili revolvi poteft, Et„ KO ‚= RPq.
. A4. Acub. & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipfi per quantitatem EP& vis in V Gi Sn Vis auA4. CV quad. tem qua corpus in circulo ad diftantiam CV ea cum velocitate revolvi poffet quam corpus In Ellipfi revolvens habet in /, eft ad vim qua corpus In Ellipfi revolvens urgetüur in Apfide V, ut dimidium lateris rei Ellipfcos ad circuli femidiametrum
RF9g.; CV, adeogq; valet Par& vis que fit ad hanc ut Gq.— Fqad

136] RGg.—R F9g. tv.) differentia virlum quibus corpus P in Ellipfi fhmota V PK, & corpus p in Ellipfi mobili zpk revolvuntur. Unde cum(per hanc Prop-_) differentia illa in alia quavis altitudine A fit ad fe: eftqg; hzc vis C per hujus Corol,
&... I a A ıpfam in altitudine CZ ut——- ad eadem differentia
I Acub.“ CV eub.?
Gil.—RF%#. A)
ın omne altıtudine A valebit R Igitur ad vim Z
qua corpus revolvi poteft in Ellipfi immobili 7 P K, addatur eo
RGJ.- RFY4-. Fq._ RGq.—R Fqg. ceffus ab& componetur VOR+ Tea?
qua corpus in Ellipfi mobili vpk üldem temporibus revolvi poflit.
Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, fi orbis immobilis ZVPK Ellipfis fit centrum habens in virtum centro C; eig; fimilis, qualis& concentrica ponatur Ellipfis mobilis© pR, lie q; 2 R Ellipfeos hujus Jatus re&um,& 2 T latus tranfverfum, atq; angulus VCp femper fit ad angulum VC P ut Gad F; vires quibus corpora in Ellipfi immobili& mobili temporibus xqualiFg. A 8 Fq. A KGq—RF39. Teub. Tecub. A cub,
bus revolvi poffunt; erunt ut
refpective.
Corol, 4. Et univerfaliter, fi corporis altıtudo maxiıma CYnominetur T,& radius curvaturz quam Orbis V P K habet in, id eft radius circuli zqualiter curvi, nominetur R,& vis centripeta ‚qua corpus in Trajectoria quacung; immobili /P K revolvi poteft, in loco V/ dieatur£ V, atq; als in locis P indefinite ditatur X, altitudine CP nominata 4,& capiatur G ad Fin-data ratione anguli VCpad angulum VCP: erit vis centripeta qua corpus idem cofdem motus in eadem Traje&oria& ph. circulariter

1 Lt, riter möta tempotibus Hfdem peragere poteft, ut fumma virium Acub. En.
Corol. 5. Dato igitur motu corporis in Orbequocung; immobili, augeri vel minui pöteft ejus motus angularis circa Centrum virium in ratione data,_& inde inveniri novi.orbes. immobiles.. in quibus corpora NOvis virıbus centripetis gyrentur. A
Corol. 6. Igitur fi ad redtam CV pofitione datam erigatur perpendiculum V P longitudinis indeterminatz, Jungaturq; PC,& ipfi zqualis agatur C pyconftituens angulüm 7 C p; qui fit ad angulum VCP indata ratione; vis qua Corpus gyrari poteft in Curva illaV’p kquam P pundum p perpetuo tangit, eritgeci olomT proce ut cubus altitudinis'C p. Nam corpus P, per vim inertie, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi poteft inre&a/ P. Addatur vis in centrum C, cubo altitudinis C P_vel Cp reciproce proportionalis,&(per Jam demonftrata) detorquebitur motus ille.reCtilineus in lineam cutvam Vpk. Eft autem hec Curva/ p.k. cadem cum Curva.illa/ P Q_ in Corol. 3. Prop. XLIinventa, in qua ibi.diximuscorpora hüjusmodi viribus attraca oblique afcendere.;
C
Prop. XLV. Prob. XXXI.
Orbium qui funt Cireulis maxime finitimi requiruntur motus Apfidum. Problema folvitur Arithmetice faciendo ut. orbis, quem corpus in Ellipfi mobili, ut in Propofitionis fuperioris Corol®2, vel 3. revolvens, deferibit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apfides requiruntur,& quzrendo Apfides orbis quem corpus illud in plano immobili deferibit. Orbes autem eandem acquirent formam, fi vires centripetz quibus defcribuntur, inter fe col

E x38] collatz, in zqualibus.. altitudinibus ‚reddantur. proportionales. Sit pend&um V Apfis fumma,&{cribantur Tproaltitudine maxima CV, 4 pro altitudine quavis alia C P vel Cp, 8& X pro al: titudinum differentia, CV—CP; 8 vis qua corpus in Ellipfi circa umbilicum ejus C(ut in Corollario. 2.):revolvente moveKO gg REO.;q f‘
Acub. En ut SA CR fubftituendo T—X pro A, erit ut
CH R Gqg=R Fa TFg.— Fqa:X Acub.{ quzvis centripeta ad fractionem cujus denominator(it A cub.,& numeratores, fadta homologorum: terminorum collatione, ftratuendi{unt analogi. Res Exemplis patebit. Exempl. ı. Ponamus vim centripetam unformem efle, adeoq;
HE ‚five( feribendo T— X pro 4 in Numeratore ut Teub.— 3 14. X+ 3TXqg. EX il
Acub, terminis correfpondentibus;, nimirum datis cum datis&.non datis cum non datis;fiet RG 4. AR Fqi-+ TFq:ad Te#b. ut Fq-Xad Tg 3UXg EX Cub: ah ad 31 ZEN —Xg. Jam cum Orbis pönatüt circulo quam maxime finitimus, cocat orbis cum circulo;& ob factas RT zquales, atg; X in infinıtum diminutam, rationesültime eruntR Gq. ad T eub. ut— Fg. ad— 374. feu Gg, ad Tg. ut Fg.ad 374.& vicilim G quadrat. ad Fauadrat. ut T quad, ad 3 T quad. id eft, ut x ad 335 adeoq; Gad F, hoc eft angulus V/Cp ad angulum VCP,ut ı ad v3. Ergo cum corpus in Ellipfi immobili, ab Apfide famma ad Apfidem imam_ defeendendo‘conficht angulum VCP(‚utita di-— cam) graduum 180;corpus aliud in Ellipfi mobili, atq; adeo in orbe immobili de quo‘agımtis, ab. Abfide{umma ad Apfidem
tür, quzq; in Cotrollario 2. erat ut 4
Reducenda fimiliter eft vis alia
5&-collatis Numeratorum.
ıimam delcendendo conficiet angulum VC P graduum 150: 3d
adeo

[351] en adeo ob fimilitudinemorbis hujus, quem Corpus agente-uniformi vi centripeta deferibit; ‚& orbis illius'quem'corpus in Ellipfi revolvente gyros peragens deferibit in plano. quiefcente. Per fü periorem terminorum collationem fimiles. redduntur hi orbes, non univerfaliter, fed tunc cum ad formam circulareın quam' maxime appropinquant. Corpus igıtur uniformi cum_vi centripeta ın orbe propemodum circuları revolvens, inter. Apfidem fummamı
8& Apfidem imam conficiet femper angulum& S
graduumfeu
103 gr. 55 M. ad. centrum; perveniens ab Apfide{umma ad Apfidem imam, ubi femel confecit hunc angulum,& inde ad Apfıdem fummam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum,&, {ic deinceps in infinitum. Exempl. 2. Ponamus vim centripetam efle ut altıtudinis 4 dignitas' quelibet A WS T ubiz 3&% fignificant,.dignitatum indices quofcung; integros vel fradtos; rationales. vel irrationales, affirmativos vel negativos. Numerator ille A” feu T—X” in feriem indeterminatam per Methodum- noftram Serierum convergentium redudta, evadit T CE Kae*&c. Et collatis hujus terminis cum terminıs Numeratoris_alterius RG q.—-RFq.+TFgq.—Fg.X,fit RGg.—RFgq. +T.Fqrad T7 ut, Fig. ad Da. I BA TE cr {umendo rationes ultimas ubi orbes ad. formam circularem accedunt, fit KGq.adT ut—Fgqg.ad-nT"feuGg.adT% ut Fg.ad na T* 7",&vicilim Gg.ad Fg.ut 1” 7 adnT* 7} id’eftut ı ad; adeoq; G ad F, id eft angulus V’Cp’ad angulum VCP,ut x ad /» OQuare cum angulus V CP, in defceniu'cor12 po

[ 140], poris ab Apfide fumma ad Apfidem imam in Ellipfi confe&us, lie.,graduum- 1 80; conficietur angulus V'C p, indefcenfu corporis ab Apfide fumma ad Apfidem imam in Orbepropemodum circulari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati A”—3 proX
5:
portionali deferibit, zqualis angulo graduum 3; 8& hoc angulo repetito corpus, redibit ab Apfide ima ‚ad apfidem fummam,& fic deinceps in infinitum. Ut{1 vis centripeta fit ut diftantia cor4. porisa centro‚id eftut A uf,> erit z xqualis 4&V 4 zqualis
25 adeog; angulus inter Apfidem fummam& Apfidem imam zqualis*#* gr. feu 90gr.. Completa igitur quarta parte revolutiOnis unilus corpus perveniet ad Apfidem imam,.& completa alia quarta parte ad Apfidem fummam,& fic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propofitione X. manifeftum eft. Nam corpus urgente hac vi centripeta, revolvetur in Ellipfi. immobili, cujus centrum elt in centro viriuum. Quod fi vis centripeta
; A
A 4
2 De»< 1% S z I° fit reciproce ut diftantia, id eft dire&e ut feu“ erit#— 2,a180
deogq; inter Apfidem fummam&,imam angulus erit graduum. 3/3 feu 127 gr. 17° Min.& propterea Corpus talt vi revolvens, perpe_ tuaanguli huyus repetitione; vicibus alternis. ab. Apfide fummaad imam 8& ab ima ad{fummam perveniet in zternum._ Porro fi vis centripeta(it reciproce ut Latus quadrato- quadratum. undecimz dignitatis Altitudinis, id eft reciproce ut 4, adeog; dire&e ut WE feu ut Se erit z xqualis=,& gr. xqualis 36 ogr.& propterea corpus de Apfide fumma difcedens 8&fubinde perpetuo de{cendens, perveniet ad Apfidem imam ubi complevit revolutionem integram,‚dein. perpetuo afcenfüu complendo aliamı revolutionem integram, redibit ad Apfidem fummam:. 8 fic per vicesin gternum.;
Ex

Exempl. 3. Affumentes x 8& 2 pro quibufvis indicibus dignitatum Altitudinis,& b,c pro numeris quibufvis datis, ponamus vim cenW” m DB eo————— tripetamefle we, ideft dit Ka SEE
{eu(per eandem Methodum noftram Serierum convergentium)ut
2
A Cub. 8 collatis numeratorum terminis, fiet RG q.— RFq.+TFgq. ad
BT er Tut— Faad-- mbE* nd Sm XI ana XI*&c. Et fumendo rationes ultımas quz prodeunt ubi orbes ad formamı circularem accedunt, fit Gg. ad bTm— 1peT#— 1 ut Fg. ad bl—1+ncT*—",& viciflim Gg.ad Fg. ut bT” 1 cT* 7) ad mbE AmcT? Sr Quz proportio,exponendo altitudinem maximam€ V feu T Arithmetice perunitatem, fit Gq. ad Fgq. ut b+cad mb-+ 2 c,adeoq;ut
z ad7 a©. Unde eft G ad F, id ft angulus V C p ad angulum VCP,utxzadY minnG RR#6 Et propterea cum angulus VCP inter
Apfidem fummam& Apfidem imam. in Ellipfi immobili fit 180 gr. erit angulus V’C p inter eafdem Apfides, in. Orbe quemcorpus vi
KARA” centripeta quantitati7“__——Z. proportionali deferibit, 2quaCHD.
b+c
lis angulo graduum 180 Ya Mae Et codem argumento fi vis
N ehClie BA” LA
ventripeta fit'ut ED Pa angulus- inter Apfides invenietur cub.|
D—€
0—nC
80V
gradunm. Nec fecus'refolvetur Problema in cafibus

LU 142]/ fibus difficilioribus.| Quantitas cui.vis centripeta propoörtionalis eft, ref(olvi femper debet in feries convergentes denominatorem habentes 4 cub, Dein pars data Numeratoris hujus RG g.— RR F 9. +TFg.—Fgq. X ad partem non datam in eadem ratione ponendx funt: Et quantitates fuperfluas delendo, feribendog; unitatem pro 77 obtinebitur proportio G ad-F.
‘ Corol, x. Hinc fi vis centripeta fit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri poteft dignitas illa ex motu Apfidum;& contraNimirum fi motus totus angularis,quo Corpus redit ad Apfidem eandem, fit ad motum angularem revolutionis unius,{eu graduum 360, ut numerus aliquis x ad numerum alium 7%, 8 altitudo nominetur A: erit vis ut altıtudinis dignitas illa Amm cuyus Index eft Z° 3.| Id quod per Exempla fecunda manifeftum’eft. MM
‚Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis rati-, one: decrefcere non. pofle: Corpus talı vi revolvens deq; Apfide difcedens,{i. czperit defcendere, nunquam perveniet. ad Apfidem imam feualtitudinem minimam,fed defcendet ulq; ad. centrum,‘ defcribens curvam illam lineam de qua egimus in Corol, 2: Prop. XLI.. Sin cgperit illud de Apfide difcedens vel minimum afcendere, afcendet in infinitum, neq; unquam pervenietad Apfidem fummam.- Deferibet enim curvam illam lineam de qua actum eft in eodem Corol.& in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic& ubi vis in receffu a centro decrefeit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apfide difcedens,perinde ut caperit defcendere vel afcendere, vel defcendet ad centrum ulqg; vel afcendet in infimtum. At fi vis in receflu a centro vel decrefcat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crefcat in altitudinis ratione quacung; Corpus nunquam defcendet ad centrum üufq; fedad Ap fidem imam alıquando perveniet:& contra, fi corpus de Apfide ad, Apfidem’alternis vicibus defcendens 8 afcendens nunquam appcllat ad centrum, Vis in receffu a centro aut augebitur, aut n mino

C 143 J minore quam triplicata altitudinis.ratione decrefcet:& quo Citius corpus de Apfide ad. Apfidem redierit, co Jongius ratio virlum recedet a ratione illa triplicata. Ut fi corpus revolutionibus 8 vel 4 vel'2 vel 1: de Apfide fumma ad Apfidem{ummam alterno de{cenfü.& afcenfu redierit, hoc eft, fi fuerit z ad zut 8 vel 4 vel
2 vel ıradı, adcoq; 7 3 ualcat. 2—3-vel 3_.3.velz—3 VO 3
vel*_ 3, erit vis ut Ag 3 vel Arx—3 vel A1—3 vel A— 3, id eft recıproce ut A3—& vel A3— 1% vel A3—+ vel 43 mg SI corpus fingulis revolutionibus redierit ad Apfidem eandem immotamerit zad z ut 1 ad ı,adeoq; 4 u xqualis 4” feu 77,
&c propterea decrementum vir1um in ratione duplicata,altitudinis, ut in prxcedentibus demonftratum eft. Si corpus partibus revoJutionis unius vel tribus quartis, V duabus tertis, vel una. tertia, vel una quarta, ad Apfidem dem redierit, erit% ad% ut
3 vel% vel* vel+ ad ,, adeoq; 4 nn 3 xqualis 4%—3 vel A%— 3 vel A9— 3 vel A16— 3,8 propterca Vis aut reciproce ut A vel Ai, aut directe ut A6 vel A413. Denig; fi Corpus'pergendo ab Apfide{umma ad Apfidem{ummam confecerit revolutionem integram,& praterea gradus tres, adeoq; Apfis illa{ingulis corporis revolutionibus conftecerit in Confequentia gradus tres, nn
erit ad z ut 263.07 ad 360 gr. adeoq;4 m erit xquale A eg propterea Vis cehtripeta reciproce ut A 157769{eu A?22%s— Decrefeit igıtur Vis, centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, fed quz, vicibus 90% propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit..
Corol. 2. Hinc etiam fi corpus, vi centripsta quz fit rec'proce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipfi umbilicum habente in centro virium,& huic vi centripetg addatur vel auferatur vis ala quevis extranea; cognofci poteft C per Exempla

[ 144] tertia_) motus Apfidum qui ex vi illa‘ extranea orietur: 8 contra. Ut fi vis qua corpus revolvitur in Ellipfi fit ut an& vis
extranea ablata ut c.4, adeog; vis reliqua ut 4 zZ A zerit( in
Exemplis tertis_) Awqualis ı&% zqualis 4, adeoq; angulus revolutionis inter Apfides zqualis angulo graduum 180 Y Amt„Po°°)\'°° natur vim illam extraneam efle 257,%5 vicıbus minorem quam
vis altera qua corpus revolvitur in Ellipfi, id eft cefle N & 180 Y=—7 evadet 180 Y 3:04: feu 180, 7602, id eft.180gr.
C- 35345
45. 37f. Igitur corpus de Apfide fumma difcedens, motu anguları 180gr. 45». 37f. perveniet ad Apfidem imam,& hoc motu duplicato ad Apfidem{ummam redibit: adeoq; Apfıs fumma(fingulis revolutionibus prggrediendo conficiet 1gr. 31m. 1 4fS.
Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virlum tranfeunt. Supereft ut motus etiam determinemus in planis’excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium tractant, confiderare. folent afcenfus& defcen{us ponderum;tam obliquos in planis quibufcung; datis, quam perpendiculares:& pari Jure motus corporum viribus quibulcung; centra petentium,& Planis excentricis innitentium hic confiderandus venit. Plana autem{upponimus effe politiffima& abfolute Iubrica ne corpora retardent. Quinimo in his demonftrationibus, vice planorum quibus corpora incumbunt quafg; tangunt incumbendo, ufurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur& orbitas movendo deferibunt. Et eadem lege motus corporum in füperficiebus curvis perados fubinde determinamus.
SEC.

SET N.
De Motu Corporum in Superficiebus datis, deq; Funipendulorum
Motu reciproco.
Prop. XLVI. Prob. XXXII.
Pofita cujufeung; generis vi centripeta, datoq;tum virinm centro tum
| plano quocung; in quo Corpus rewolwitur,&- conceffis Figurarum
| eurvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate fecundum Rectam in Plano illo datam egrefft. Sit S centrum virlum, SC diftantia minima centri hujus a plano dato, P. corpus de loco P fecundum rectam P Z egrediens, Q_
corpus idem in Trajec| toria fua revolvens,&
POR Traje&oria illa
in plano dato deferipta, quam invenire O© portet. Jungantur CQ. AR ET. QS,& tim QS capla-= nn tur SV proportionalis FE vi centripetz qua COr-; Ze-. x
pus trahitur verfus cen
trum S,& agatur VT vn A que fit parallela CQ_ & occurrat SC in T:.\is
Vis SV refolvetur(per
Legum Cörol. 2.) in vires$ T, TV; quarum S T trahendo corpus fecundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera TV, agendo fecundum
pofitionem plani, trahit corpus dire&e verfus pundtum€ in plano da

146] datum, adeogq; facit illud in hoc plano perinde moveri ac fi vis ST tolleretur,& corpus vi fola TV revolveretur circa centrum C in fpatio libero.. Data autem vi centripeta TV qua corpus Q_ in{patio libero cif&a centrum datum€ revolvitur, datur per Prop. XLIL. tum Trajedtoria P OR quam corpus deferibit, tum locus Q in quo corpus ad datum quodvis tempus verfabitur, tum denig; velocitas corporis in loco illoQ;& contra. Q. E.I.
Prop. XLVIL Theor. XV.
Pofito quod. wis centripeta proportionalis fit diftamtie corporis a centro; corpora omnia in. planis quibufenng; revolventia defcribent Ellipfes,& rewolntiones temporibaus xqualibus peragent; quaq; moventur in lineis rectis ultro citroq; difeurrendo, fingulas eundi& redeundi periodos iüüfdem temporibus abfolwent.
Nam ftantibus quz in fuperiore Propofitione; vis SV qua corpus Q in plano quovis POR revolvens trahitur verfus centrum S eft ut diltantia SO; atq; adeo ob proporti- PLAN onales SV 8& SO,TVT &CQ, vis TV qua corpus trahitur verfus puncdtum C in Orbis plano datum, eft ut diftantia CQ. Vires igitur, quibus corpora in plano POR verfantia trahnntur verfüs punctum C,funt pro ratione diftantiarum NS xquales viribus quibus corpora undiquaq; trahuntur verfus centrum S;& propterex corpora movebuntur ji{dem temporibus in iüfdem figuris in plano ; quo

[147] quovis POR circa pund&um C,atq; in fpatiis liberis circa centrum S, adeoq;( per Corol. 2. Prop. X.& Corol. 2. Prop. XXXVIIL.)temporibus femper xqualibus, vel deferibent Ellipfes in plano illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro citroq; in lineis re&is per centrum C in plano illo duetis, complebunt. Q. E. D.' Scholium.
His affines funt afcenfus ac defcenfus corporum in{fuperficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano deferibi, dein circa axes quofvis datos per centrum virium tranfeuntes revolvi,& ea revolutione fuperficies curvas deferibere; tum corpora ita moveri ut corum centra in his fuperficiebus. perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique afcendendo& defcendendo currant ultro ci: troq; peragentur eorum motus In planis per axem tranfeuntibus, atq; adeo in lineis curvis quarum revolutione curvz illz fuperficies genitz{unt. Iftis igitur In cafıbus fufficit motum in his lineis curvis confiderare.® Prop. XLVHI Theor. XVI.
Si rota globo extrinfecus ad angulos reCtos infifkat,&» more rotarnm rewolwvendo progrediatur in circulo maximo 3 longitudo itiner’s cHrvilinei, quod punStum quodwis in rot@ perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum finum werfum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut(umma diametrorum globi& rote ad(emidiametrum globi.
Prop. XLIX. Theor. XVII
Si rota globo concavo ad re&tos angulos intrinfecus infiftat& revolvendo progrediatur in. cirenlo maximo; Jongitudo itineris curvilinet
Va quod

[148]
quod puneinm quodzvis in Rote Perimetro datum, ex quo globun
tetigit, confecit, erit ad duplicatum finum verfum arcus dimidii
qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia diametrorum globi&x rot ad femidiametrum globi.
Sit ABL globus, C centrum ejus, BPV rota ei infiftens, E centrum rotz, B punctum contactus,& P pund&um datum in perimetro trotz. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo
ABLab Aper B verflus L,& inter eundum ita revolvi ut arcus AB, P B fibi invicem femper zquentur, atg; pund&um illud P in Perimetro rotz datum interea defcribere viam curvilineam AP. Sit autem AP via tota curvilinea deferipta ex quo Rota glo.bum tetigit in 4,& erit viz hujus longitudo AP ad duplum finum verfum arcus 4 PB, ut 2 CE ad CB. Nam re&a CE(fi OP

L 149] opus eft produta)"occurrat Rotz in V, Junganturq; CP, BP, EP, VP, 8&in CP produdtam demittatur Normalis V/ FF. Tangant PH,VYH circulum in P 8& 7 concurrentes in H, fecetq; PH ipfam VFinG,& adV P demittantur Normales G I,H K. Centro item C 8 intervallo quovis deferibatur circulus z 0» fecans re&am CP in z, Rotz perimetrum 5 p in o& viam curvilineam AP in m, centroqg; V& intervallo Vo deferibatur circulus fecans V P produdam in g.: 5 Quoniam Rota eundo femper revolvitur circa pundunmı contactus B, manifeftum eft quod recta BP perpendicularis eft ad lineam illam curvam 4 P, quam Rotz pundum P.deferibit, atq; adeo quod recta VP tanget hanc curvam in pund&o P. Cireuli % 0 m radius fenfim audus zquetur tandem diftantig CP,& obfimilitudinem figurz evanefcentis P 20»9q& figurz PFGVT, ratio ultima lineolarum evanefeentium P m, Pu, Po, Pq, ideft raM fio_incrementorum momentancorum Curve AP, rectz CP& arVG eus circularıs BP, ac decrementi rectz VP, eadem erit quz lineaN ‚um PV, PF, PG, PT refpe&ive. Cum autem V FadCF& VHadCV perpendiculares funt, angulig; HVG, VCF propterea zquales;& angulus/ HP,(ob angulos quadrilaterı HV EP ad V& P reftos, Jcomplet angulum V EP ad duos reCtos, adeoq; angulo CE P xqualis eft,{imilia erunt triangula V HG, CE P;& inde fiet ut EP ad CEitaHG ad HV feu HP,& ita KIadKP, 8 divifim ut CB ad CE ita PI ad PK,& duplicatis confequentibus utCB ad 2CE ta PIad’PV. Eft igitur“ decrementum linez V’P, id eft incrementum linex BV— V Pad incrementum lineg curvz AP in data ratione CB ad 2 CE,& propterea(per Corol. Lem. IV.) longitudines BY— VP& AP incrementis illis genitz funt in cadem ratione. Sed exiftente BViradio, et VP cofinus anguli VPB feu: BEP, adeoqg; B7—VP finus verlus® ejufdem anguli,& proptetea in hac Rota cujus radıus eft+ BV, | erit BV—V P duplus finus verfüus arcıs* BP. Ergo APeft ad / duplum finum verfümarcus%z BP ut 2 CEad CB. QE.D. | |
ie
Li

EC 150]
‘Lineam autem 4 P in Propofitione priore Cycloidem extra Globum, alteram in pofteriore Cycloidem intra Globum diftinctionis gratia nominabimus
Corol. 1. Hinc fi deferibatur Cyclois integra ASL& bifecetur ea in S, erit longitudo partis P Sad longitudinem /P(que duplus eft finus anguli/ BP, exiftente EB radio)ut 2CE ad CB, atq; adeo in ratione data.
Corol. 2. Et longitudo femiperimetri Cycloidis AS zquabitur linexg recte, que eft ad Rotz diametrum BY ut 2 CE ad CB.
Corol. 3. Ideoq; longitudo illa eft ut re&tangulum BEC, fi modo Globi detur{emidiameter.
Prop.'L.. Prob. XXXII.
Facere ut Corpus pendulum ofcilletur in Cycloide data,
Intra Globum Q V S centro€ deferiptum detur Cyclois OR S bifecta in R.& punChis fuis extremis Q_& S{uperficiet Globi hinc inde occurrens. Agatur CR bifecans arcum QS in 0, 8-producatur ca ad A, ut fit CA4.ad CO ut COad CR. CentroC intervallo C 4 deferibatur Globus exterior ABD,& intra hunc globum Rota, cujus diameter fit 40, deferibantur dux femicycloides. A409_, AS, qug globum interiorem tangant in Q&S& globoexteriori occurrant in 4... A puncto illo 4, filo AP Tlonzitudinem AR zquante, pendeat corpus T,& ita intra femicycloides 4 0, AS olcilletur,ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR, filum parte{ui{uperiore AP applicetur ad femicycloidem illam APPS, verfus quam peragitur motus,& circum cam ceu obftaculum fle&atur, parteq; reliqua PT cui femicyclois nondum obJicitur, protendatur in Jineam redtam;& pondus T ofcillabitur in Cycloide data QRS. Q. E. F.;
Occurrat enim filum P T tum Cycloidi 0RS in T, tum cire| culo 0058 in V, agaturg; CV occurrens circulo. ABD in B;& ad fili partem redtam.P T, e ‚pundtis extremis Pac T, erigantur
per

: 5 Lens] perpendicula P B;TW, occurrentia re&tz CV in B& W. Patet enim ex genefi Cycloidis, quod perpendicula illa PB, TW abfeindent de CV longitudines VB, VW rotarum diametris 0.4, 0R xquales, atg; adeo quod pun&um B incidet ‚in circulum ABD. Eft igitur TP ad V P(duplum finum anguli V BP exiftente+ BV radio) ut BW ad BV,feu 40+OR ad 40, id eft(cum fint CAad CO, COadCR 8& divilim A0 ad OR proportionales,) utCA+CO. fen 2CE ad CA. Proinde per Corol. ı. Prop. XLIX. longitudo PT zquatur Cycloidis arcui PS,& f£lum totum APT xquatur Cycloidis arcui dimidio APS, hoc eft(per Corollar. 2. Prop: XLIX 4 Jongitudini AR. Et propterea viciflim fi filum manet{emper x-_quale longitudini 4 R movebitur pundtum T in Cycloide QRS. Corol. Filum 4 R zquatur Cycloidis arcui dimidio AP S.
Prop. LI. Theor. XVII
Si wis centripeta tendens undiq; ad Globi centrumC fit in locis fingulis ut diftantia loci cnjnfg; a cemiro,& hac fola wi agente Corpus T
ofeil

ofcilletur( modo jan defcripto) in perimetro Cycloidis OR S: dico quod ofeillationum utcung; inequalium equalia erunt Tempora) Nam in Cycloidis tangentem TIP infinite ‚produtam) cadat ‚perpendiculum C X 8 Jungatur CT. ‚Quoniam vis"centripeta qua corpus T impellitür verfus C eft ut diftantia CT,( per Legum Corol. ‚2:) refolvitur in partes C X, T X, quarum C X impellendo corpus diredtea P diftendit filum PT& per cujus refiftentiam tota ceflat,nullum alium edens effe&um-.; pars autem altera TX urgendo corpus tran{verfim feu verfus X, dire&e accelerat motum ejus in Cycloide; manifeftum eft quod corporis acceleratio huic vi acceleratricı proportionalis fit fingulis momentis ut longitudo TX, id eft, ob datas CV/V iq; proportionales TX, TW,ut longitudo TI, hoc eft( per Corol. ı. Prop. XLIX.) ut longitudo arcus Cycloidis TR. Pendulis igitur duabus A PT, Apt de perpendiculo AR inzqualiter dedudtis& fimul dimiffis, accelerationes corum femper erunt ut arcus deferibendi TR,+ R. Sunt autem partes{ub initio defcriptg ut accelerationes-, hoc eft ut totz{üb initio deferibende,& propterea partes qu® manent deferibendz& accelerationes{ubfequentes his partibus proportionales{unt etiam ut totz;& fic deinceps. Sunt igitur accelerationes atq; adeo velocitates genitz& partes his velocitatibus deferiptze partelq; deferibenda, femper ut totz;& propterea partes deferibendz datam dervantes rationem ad invicem fimul evaneicent, id eft corpora duo ofcillantia fimul pervenient ad perpendiculum AR. Cumg; viciflim alcenfus perpendiculorum de Toco infimo R, ‚per eofldemarcus Trochoidales motu retrogrado factl, retardentur in locis fingulis a viribus ifdem a quibus defcen{us accelerabantur, patet velocitates afcenfuum ac defcenfuum per cofdem arcus factorum xquales efle, atq; adeo temporibus zqualibus fieri;& propterea cum Cycloidis partes due RS& RO_ ad utrumg; perpendiculi Jatus Jacentes fint fimiles& xquales,pendula. duo ofcillationes fuas tam totas quam dimidias iıfdem temporibus femper peragent. Q. E. D. 3 Prop.

C1s3 J Prop. LI Prob. XXXIV.
. Definire&» velocitates Pendulorum in locis fingulis,& Tempora quibus tum ofcillationes tote, tum fingule ofciilationum pärtes peraguntur..
Centro quovis G,intervallo GH Cycloidisarcum RS zquante, deferibe femicirculum HK MG femidiamet:o G K bile&um. Et fi vis centripeta diltantiis locorum a centro proportionalis ten_ dat ad centrum G, fitg; ea in perimetroH I X xqualis vicentripetz in perimetro globi Q0S(Vide Fig.Prop.L.& LA.) ad ip!ius centrum tendente;& eodem tempore quo perdulum 7 dimittitur€ loco fupremo S, cadat‘corpus aliquod L ab Had G: quoniam vires quibus corpora urgentur en funt zquales(ub initio&{pati- ET Um
is deferibendis TR, GL{femfe Ze per proportionales, atq; adeo, fi fe zquantur 7 Rad LG,xquales in#| locis T& L: patet corpora iıla 1| SS deferibere fpatia ST, HL zqua- MM GE Yü
lia füb initio; zdeoq; fubinde pergere zqualiter urgeri,8& zqualia fpatia defcribere.Quare,per Prop. XXXVII, tempus quo corpus deferibit arcum ST eft ad tempus ofcillationis unius, ut arcus HT(* tempus quo corpus H perveniet ad L_) ad femicirculum HKM(* tempus quo corpus H perveniet ad M.) Et velocitas corporis penduli in loco T eft ad velocitatem ipfius in loco infimo R,( hoc eft velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, feu incrementum momentaneum!inex HL ad incrementum momentaneum linex HG, arcubus HI, HK xquabili fluxu crefcentibus) ut ordinatim applicata LT ad radiumGK,fiveut V SR q.— TR g.ad$R.Unde cum in Ofeillationibns ing qualibes deferibantur xqualibus temporibus arcus totis Ofcillarionum arcubus proportionales,habentur ex datis zZ N tem-

SE SS SS
[ 154] temporibus& velocitates& arcus deferipti in Ofcillationibus univerlis. OQug erant primo invenienda.* Ofcillentur jam funipendula dao corpora in Cycloidibus inzqualibus& ecarum femiarcubus zquales capiantur rede GH, ah,
centrilqg; G, g& intervallis GH, gh deferibantur femicirculi HZKM, hzkm. In eorum diametris HM, hız capiantur linecolx zquales HT, hy, 8& erigantur normaliter TZ, yz circumferentäs occurrentes in Z 8& zz. Quoniam corpora: pendula fub initio motus verfantur in circumferentia globı Q0S, adeoq; a viribus xqualibus urgentur in centrum, incipiuntq; directe verfus
centrum moveri,{patia{imul confedta xqualia erunt füub-initio.
Urgeantur igitur corpora H, h a viribus ildemin H& h,{intä;
N Li N Da Zr
HT, hy(patia xqualia ipfo motus initio deferipta,& arcus HZ, bz denotabunt zqualia tempora. Horum arcuum nafcentium ratio prima ‚duplicata eft eadem quz redtangulorum GHT, ghy, id eft, eadem quz linearum GH, bh; adeoq; arcus capti in dimidiata ratione{emidiametrorum denotant xqualia tempora. Eft ergo tempus totum in circulo HK M, Ofeillationi in una Cycloide refpondens, ad tempus totum in circulo h km Ofcillationi in altera Cycloide refpondens, ut{emiperiferia HKM ad medium proportionale inter hanc{emiperiferiam&{emiperiferjam circuli alterius b km, ideft in dimidiata ratione diametri HM ad diametrum h»z, hoc eft in dimidiata ratione perimetri Cycloidis primz ad perimetrum Cycloidis alterins, adeoq; tempus illud in Cyclo

155 cloide quavis eft( per Corol.‘3. Prop. XLIX.) ut Jatus quadra=
‚tum rectangult BEC contenti{ub. femidiametro Rot, qua Cyclois deferipta füit,& differentia inter(emidiametrum illam& demidiametrum globi. O. E. I Eft& idem tempvs(* per Corol, Prop. L._) in dimidiata ratione longitudinis fili AR. Q. E.1L. Porro{fi in globis concentricis deferibantur fimiles Cycloides: quoniam earum perimetri funt ut femidiametr1 globorum& vires in analogis perimetrorum locis{unt ut diftantiz locorum a communi globorum centro, hoc eft ut globorum femidiametri, atq; adeo ut Cycloidum perimetri& perimetrorum partes fimiles, xqualia erunt tempora quibus perimetrorum partes{imiles OfcilJationibus fimilibus deferibuntur,& propterea Ofcillatianes omnes erunt Hochronz. Cum igitur Ofcillationum tempora in Globo dato fint in dimidiata ratione longitudinis AR, atq; adeo
( ob datam A4C Jin dimidiata ratione numeri2&, id eft in ratione integra numeri! Y——3& hic numerus v. S
ÄC ne AR ad. 4C( ut fit ın Cycloidibus fimilibus) idem femper mancat,& propterea in globis diverfis, ubi Cycloides{unt{imiles, 11€ ut tempus: manifeftum eft quod Ofeillationum tempora in alıo quovis globo dato, atq; adeo in globis omnibus concentricis{unt
SE fervata ratio-”
Ron..„4; ut numerus vr id eft, in ratione compofita ex dimidiata Tatione longitudinis fili AR diredte& dimidiata ratione{emikliametri globi AC inverfe. OQ.E.1L.
Denig; 1i vires ablolutz diverforum globorum ponantur inzquales; accelerationes temporibus xqualibusfacte, erunt ut vires. Unde fi tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverfes velocitates erunt in eadem dimidiata ratione diredte,& propterea fpatia erunt zqualia que his temporibus deferibuntur. Ergo Ofcillationes in globis& Cycloidibus onmibus, quibufeung; cum viribus abfolutis fact, iunt in ratione qug componitur ex die
} a W323 mi

C 156 3 'midiata ratione longitudinis Penduli dire&e, 8& dimidiata rati: one diftantig inter centrum Penduli& centrum globi inverfe,& dimidiata ratione vis abfolutz etiam inverfe, id eft, fi vis illa die
AB ACxV he Corol. x. Hinc etiam Ofeillantium, cadentium& revolventium corporum tempora poffunt inter fe conferri. Nam fi Rotz, qua Cyclois intra globum deferibitur, diameter conftituatur zqualis {emidiametro globi, Cyclois evadet linea redta per centrum globi tranfiens, 8& Ofcillatio Jam erit defcenfus& fubfequens afcenfus in hac recta. Unde datur tum tempus defcenfus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic zquale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad’ diftantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem deferibit. Eft enim hoc tempus( per Cafum fecundum)) ad tempus femiofeillationis in Trochoide quavis AP S ut;BCadYBEC., A Corol. 2. Hinc etiam confe&antur quz D. C. Wrennus& D.C, Hugenins de Cycloide vulgarı adinvenerunt. Nam fi globi diameter augeatur in infinitum, mutabitur ejus fuperficies Sphzrica in planum, vifg; centripeta aget uniformiter{ecundum lineas huic plano_perpendiculares,&‘Cyclois noftra abibit in Cycloidem vulgi. Iftoautem in cafı, longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud:& pun&um deferibens, xqualis evadet quadruplicato. finui verfo dimidii arcus Rote inter idem planum& pundum deferibens; ut invenit D. C. Wrennus: Et pendulum inter duas ejufimodi Cycloides in fimili 8& zquali Cycloide temporibus zqualibus Ofcillabitur, ut demonftravit Hugenins. Sed 8& defcenfus gravium, tempore Ofeillationis unius, is erit quem Hugenins indicavit. Aptantur autem Propofitiones a nobis demonftratz ad veram conftitutionem Terrx, quatenus Rotz eundo in ejus circulis maxms defcribunt motu clavorum Cycloides extra globum;& Pen‚dula inferius in fodinis& cavernis Terrz fufpenfa,in Cycloidibus .; intra
catur 7, ın ratione numeri Y

[457.1 intra globos Ofeillari debent, ut Ofeillationes omnes evadant 1ochronz. Nam gravitas(ut in Libro tertio docebitur) decrefeit in progreffü a fuperficie Terre, furfum quidem in duplicata ratione diftantiarum a centro ejus, deorfum vero in ratione fimplici Prop. LIIL Prob. XXXV.
Conceflis figurarum curwilinearum Quadraturis, invenire Dires GUibus corpora in datis curzis lineis Ofcillationes femper Tfochronas peragent,
Olcilletur corpus Tin curva quavis linea STRO_ ‚cujus axis
fit OR tranfiens
per virium centrum C. Agatur
TX quz curvam
illam in corporis
„JIoco quovis T
contingat, ing;
hac Tangente TX capiatur TT
axqualis arcui TR. Nam longitudo arcus illiusex
figurarum Quadraturis per Methodos vulgares innotefeit. De pundto Y educatur re&a TZ Tangenti perpendicularis.. Agatur CT perpendiculari illi occurrens in Z,&erit vis centripeta proportionalis rectw 1Z. Q.E.1.
Nam fi vis, qua corpus trahitur de T verfus C, exponatur per redtam TZ captam ipli proportionalem, refolvetur hac in vires
TT,

17, YZi quarum TZ trahendo carpus fecundum ‚longitudinem fılı Pd,-motum cus nil mutat, ‚vis.autem, altera T T motum eJus in curyarS TR Adirete-accelerat vel dite&te retardat.. Proinde cum hc. fit ut via ‚defer:benda TR, accelerationes corporis vel retardationes in Öfcıllationum duarum( majoris& minoris) partibus proportionalibus„deferibendis, erunt femper ut partes ille, & propterea facient ut partes ille fimül deferibantur. Corpora aurem quz partes.totis{emper proportionales fimul deferibunt, {fimul defcribent.totas. Q..E.D.|
Corol.* 1. Hinc fi corpus T filo redtilineo AT a centro A pendens, deferibat arcum circularem STROQ,& interea.urgeatur {ecundum lineas parallelas deorfum a vi aliqua, quz fit ad vim uniformem gravitatis, ut arcus TR adejus finum TN: xqualia erunt Ofcillationum fingularum tempora. Etenim ob parallelas TZ, AR, fimilia erunt triangula ANT, TTZ;& propterea 1 Zeritad ATue TT 3d EN; hoc eft,{1 gravitatis vis-uniformis exponatur per longitudinem datam A T, vis TZ, qua Ofeillationes evadent Hochronz, erit ad vim gravitatis AT, ut arcus TRipi TY zqualis ad arcus illius finum TN.
Corol. 2. Tgitur in Horologits, fi vires a Machina in Pendulum ad motum confervandum impreffe ita cum vi gravitatis COMponl poflint, ut vis tota deorfum femper fir ut linea quz oritur applicando re&tangulum{ub arcu TR& radio 4 RR; ad finum TN,; Ofcillationes omnes erunt Hochrone. 2+.
Prop. LIV. Prob. XXXVI.
Concef]ts. figurarum curwilinearıum quadraturis, inwenire temrpora quibus corpora vi qualibet centripeta in lines quibufenuq; curvns in pla#9 per cenrum viriumtranfennte deferiptis, defeendent& afcendent. Defcendat enim corpus de loco quovis$ per lincam quamvis „curvam$ST7R in plano per virlum centrum€ tranfeunte datam. Jungatur CS&"dividatur ‚cadem in partes innumeras xquales,
fit

DN, hoceft area DNnd, eidem
[ Eus9!]
fita; D dpartium illarunaliqua.‘ Centro:C, intervallis CD, Cd deferibantur circuli DT, dt; Linex curve STER occurrentes in T& t. Et ex data tum lege vis centripetz;- tum altitüdine CS de
qua ‚corpus cecidit 5 dabitur velocitasıcorporis inalıa quavis altıtudine CT, per;Propi XXXIX. Tempus autem, quo corpus deferibit lineolam Tz eft’ut lineole hu? ben
Jus Jlongitudo(id eft ut fecans angul:TC) dire&e,& velocitas inverfe. Tempori huic proportionalis fit ordinatım applicata DN ad rectam CS per pund&um D perpendicularis,& ob datam Dd erit re&angulum Ddx
tempori proportionale. Ergo(1 SNz
fit curva illa linea quam pund&um N perpetuo tangit, erit area SNDS proportionalis tempori quo Corpus defcendendo defcripfit lineam ST; proindeq; ex inventa illa area dabitur tempus. Q, E. I.
Prop. LV. Theor, XIX.
Si corpus movebur in fuperficie quacknqg; curva, Cnjus ax per cenIrum virinm tranfit,€» a corpore in axem ‚demittatur perpendicularis, eiq; parallela& equalis ab’axis puncto quowis ducatur:
ze quod, parallela illa aream tenmpori proportionalem. deferihet.
Sit BS KL{uperficies curva, T corpus in ea revolvens,, STR TrajeCtoria quam corpus in cadem deferibit,$ initium Träjed&toe re, OMNK axis(uperficiei curve, IN redtaa corpore in ax* em perpendicularis, OP huic parallela& xqualis a pundto 0 quod in axe datur edu&ta;, AP veftigium Traje&orig a pund&o P
In
Z
Sea
| {8
Si
TERRASSE REES hr
nenn
EEE EEE TEE

[160] in Jinez volubilis OP plano 40 P deferiptum, A veftigii initium ‚ pundto S refpondens, TC re&a a corpore ad centrum duda; TG pars ejus vi centripetz qua Corpus urgetur in centrum C proportionalis; T’Mrrecta ad.{uperficiem curvam perpendicularis; TI pars eJus vi preflionis qua corpus urget fuperficiem, viciflimq; urgetur verfus M a fuperficie,” proportionalis; PHTF recta axi parallela per corpus tranfiens,& GF, IH re&tz a pundtis G& I in parallelam illam P HTF perpendicularıter demiflz. Dico Jam quod area AOP, radio OP ab initio motus de{cripta, fit tempori proportionalis. Nam vis TG(per Legum Corol. 2.) refolvitur in vires TF, FG;& vis TI in vires TH, ‚HI: Vires autem TFT Hagendo fecundum lineam P F plano A40P perpendicularem mutant{olummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideoq; motus eJus quatenus fecundum pofitionen plani fa@&us, hoc eft
motus punchi P, quo Trajedtorie veftigium AP in hoc plano de-‘
feribitur, idem eft ac fi vires TF, TH tollerentur, 8: corpus 1olis viribus FG, H T agitaretur, hoc eft idem ac fi corpus in plano 4OP vi centripeta ad centrum O0 tendente& fummam virium FG’8&: HI xquante, ‚deferiberet curvam AP. Sed vital defcribetur area A0OP(per Prop. I.}) tempori proportionalis. Corol. Eodem argumento fi corpus a viribus agitatum ad centra duo

[ 261] duo vel plura in eadem quavis redta CO data tendentibus, deferiberet in{patio libero lineam quamcung; curvam ST, foret area A0 P tempori.femper proportionalis.
_ Prop. LVL. Prob. XXXVIL
Conceffis figurarnım curvilinearum Quadraturis, datifg; tum lege wis centripet£ ad centrum datum tendentis, tum fnperficie curva cHjus axis per centrum illnd tranfit> invenienda eft Traje&toria quam corpus in eadem fuperficie deferibet, de loco dato, data cum wvelocitate verfus plagam in(uperficie illa datam egreffum..
Stantibus quz in fuperiore Propofitione conftructa funt, exeat corpus de loco S in TrajeCtoriam inveniendam STR,& ex data ejus velocitate in altitudine SC dabitur ejus velocitas in ala quavis altitüudine TC, Ea cum velocitate,. dato tempore quam minımo, defcribat corpus Trajedorige{ug particulam T#, fitqg; Pp veftigium ejus plano A40P deferiptum.. Jungatur Op,& circelli centro T intervallo Tr in fuperficie curva deferipti lit P pQ veftigium Ellipticum in eodem plano 0 AP p deferiptum. Etob datum magnitudine&-pofitione circellum, dabitur Ellipfis illa PpQ. Cumg; area PO p fit tempori proportionalis, atq; adeo ex dato tempore detur, dabitur 0 p pofitione,& inde dabitur communis ejus& Ellipfeos interfe&io p, una.cum angulo OP p, in quo Trajedtorig veftigıum AP p fecat lineam OP. Inde autem invenietur Trajedtorige veftigium illud AP p, eadem methodo qua curva linea VIKk in Propofitione XLI. ex fimilibus datis inventa fuit."Tum ex fingulis veftigii pundtis P erigendo ad planum A40P perpendicula PT füperficiei curvg occurrentia in T, dabuntur fingula Traje&orie punda T.. O.E.I
X SECT.

[ 162] ST: XI
De Motu Corporum Sphericorum wDirıbus centripetis fe zutnO petenHnM.
Hactenus expofui motus ‚corporum attractorum ‚ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. AttraCtiohes enim fieri folent ad corpora;& corporum trahentium& at‚tra&torum actiones femper ‚mutuz{unt& xquales, per Legem "tertiam: adeo ut neg; attrahens poffit quiefcere neq; attracum, fi duo{int corpora,{ed ambo(per Legum Corollarium quartum) quafi attraCtione mutua, Circum gravitatis centrum commune revolvantur:.& fi plura fint corpora-(que vel ab unico attrahantur: vel omnia fe mutuo attrahant) hzc ita inter fe moveri debeant,ut gravitatis centrum commune vel quielcat vel uniformiter Mmoveatur in directum. Qua de caufa Jam pergo motum exponere corporum{e mutuo trahentium,confiderando vires centripetas tanquam Attractiones, quamvis(örtatle, fi phyfice loquamur, verius dicantur Impulius. In. Mathematicis.enim Jam verfamur,& propterea miflis difputationibus Phyficis,. familiarı utimur fermone, quo poffin mus a Ledoribus Mathermaticis facilius intelligi.
Prop. LVI. Theor, XX.
Corpora duo fe invicem trahentia defcribunt,&» circum commmne cemtrum gravitatis,& circum Se MULnO, figuras fimiles.
Sunt enim diftantiz a communi gravitatis centro recipr oce proportionales corporibu, atq; adeo in data ratione ad invicem,& componendo, in data ratione ad diftantiam totam inter corpora,
. Feruntur autem hz diftantig circum terminos{uos communi motu

[163]
tu angulari, propterea quod in diredtum femper Jacentes non mu. tant inclinationem’ ad fe mutuo.| Linex autem redte; quz funt in ‘data ratione ad invicem,& zqualimotu angulari circum terminos {uos feruntur, figuras circum eofdem terminos( in planis quz una cum his terminis vel quiefcunt vel motu quovis non anguları moventür:) deferibunt omnino fimiles. Proinde{imiles{unt figurx que his diftantiis circumaCtis deferibuntur. Q.E. D.
Prop- LVII. Theor. XXI.
Si corpora duo wiribus quibunfzis fe mutno trahunt,& interea revolmntur circa gravitatis centrum commune: dieo quod figuris, quas
tcorpora fic mota deferibunt circum fe meutuo, poteft figura fimilis & equalis, circmm corpus alterntrum immotum, viribus zifdem deferibi.
Revolvantur corpora S, P circa commune gravitatis centrum C, pergendo de S ad T deq; Pad Q. A dato pundo sipfis SP, TO xquales& parallel dücantur femper sp, sq;&curva pqV quam pund&um p, revolvendo circum pund&um immotum s,deferi“
bit, erit fimilis& zqualis curvis quas corpora S, P defcribunt cir® cum fe mutuo: proindeq;( per Theor. XX.) fimilis curvis S T & P QV, quas eadem corpora deferibunt circum commune gravitatis centrum C: id adeo quia proportiones linearum SC, CP& SP vel sp.ad invicem dantur.
Cas. x. Commune illud gravitatis centrum C, per Legum CoX 2 rol8A 1 1 — MM IM ©} 4 A 3 { Eu 8 4 Y 8 8} 5 A 4 1 N N 440 MM W N M

[ 164] rollarıum quartum, vel quiefcit vel movetur uniformiter In direc= tum. Ponamus primo. quod id quiefeit, inq; s 8& p locentur corpora. duo, immobile in s, mobile in p, corporibus S& P fimilia‘ & zqualia.| Dein tangant rede PR.& pr curvas P Q& pqin ‚P& pp,& producantur CQ& sqad R&r. Et:ob fimilitudi-: nem figurarum C PRO„sprg, erit RQ ad rqutCPadsp, adeoq; in data ratione. Proinde{i vis qua Corpus P verfus Corpus S, atq; adeo verfus centrum intermedium C attrahitur, eflet ad vim qua corpus p verfüs centrum s attrahitur in eadem illı ratione data, he vires zqualibus temporibus attraherent{emper corpora de tangentibus PR, pradarcus P.Q_, pg, per intervalla ipfis pro*
portionalia RO, rg; adcoq; vis pofterior'efficeret ut corpus p gyraretur in curva pqw, quz fimilis eflet curve P QV, in qua vis prior efficit ut corpus P gyretur,& revolutiones üfdem temporibus complerentur. At quoniam vires illg non funt ad invicem in ratione CP ad sp, fed( ob fimilitudinem& xqualitatem corporum$& s, P 8 p,& zqualitatem diftantiarum SP, sp‘) übi mutuo zquales, corpora xqualibus temporibus xqualiter trahentur de Tansentibus;& propterea ut. corpus pofterius p trahatur ‚per intervallum majusr g, requiritur tempus majus, idq; in dimidiata ratione intervallorum: propterea quod, per Lemma decimum, fpatia ipfo motus initio deferipta fünt in duplicata.ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis pefle ad velocitatem corporis P in dimidiata ratione diftantix sp ad diftantiam C P, co ut temporibus que fint in eadem' dimidiata ratione deAeri

PS]
feribantur arcus PQ, p4g, qui funt in ratione integra: Et cor-_ pora P, p-viribus zqualibus femper attradta deferibent circum centra quiefcentia‘C& vs figuras fimiles P QV, p g v, quarum pofterior p 4© fimilis eft& xqualis figurz quam corpus P circum corpus mobile$ defenbit Q. ED. FO
Cas. 2. Ponamus jJam quod commune gravitatis centrum, una cum{patio in quo corpora moventur inter fe, prögreditur uniformiter in diredtum;&, per Legum Corollarium fextum, motus omnes in hoc{patio peragenitür ut prius, adeoq; corpora deferibent ciccum fe mutuo figuras eafdem ac prius,& propterea figurx pp qvu limiles& xquales, Q.E.D.:.
Corol. x: Hinc corpora' duo viribus diftantig füsg proportionalibus fe mutuo trahentia, deferibunt(per Prop.X.)& circum commune gravifatis Centrum,&- circum. fe mutuo, Ellipfes concentricas: 8& vice verla,{itales figurg deferibuntur, funt vires diftantig proportionales: C
Corol. 2.“ Et corpora duo viribus quadrato diftantix fuz reciproce proportionalibus defcribunt(per Prop. XI, XII, XII.) & circum commune gravitatis centrum& circum fe mutuo feCiones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figura deferibuntur. Et vice verfa, fi tales figurz deferibuntur, Vires centripetz funt quadrato diftantig reciproce proportionales.
Corol. 3. Corpora duo quzvis circum gravitatis centrum commune gyrantia, radiis& ad centrum illud 8 ad fe mutuo duchs, deferibunt areas temporibus proportionales.‘
t Prop. LIX. Theor. XXIL
Corporum duorum SC» P circa commune gravitabis centrum€ revolventinm tenpus periodienm effe ad tempus periodienm corporis alterntrins P’, circa alterum immotum S gyrantis&>» figuris que corpora circum fe umtno defcribunt fignram fimilem&» aqualen deferibentis, in dimidiata ratione corporis alterins S, ad fummanı' corporum S+ P. Namg;

SE N
Namgq; ex demonftratione.{uperioris Propofitionis, tempora quibus arcus quivis fimiles P.Q_& pgq deferibuntur,{unt in dimi diata ratione diftantiarum CP 8& SP vels p, hoc eft, in dimidiata, ratione corporis S ad{ummam corporum SP. Et componendo,{ummz temporum quibus arcus omnes fimiles P 0.& P4 deferibuntur, hoceft tempora tota quibus figurz totz fimiles deferibuntur,{unt.in eadem dimidiata ratione. Q.E..D.
4 Prop. LX. Theor XXL
Si corpora duo S&» P, wiribus quadrato difkantie fung reciproce pro\ portionalibus fe mutno trahentia, revoluntur circa'grawvitatis centrum commmwnne: dico quod Ellipfeos, quam corpus alterutrum P hoc min circa alternm S defcribit, Axis tranfverfus erit ad dxem tranfverfum Ellipfeos, quam corpus idem P. circa alterum quiefcens S eodem tempore periodico defcribere poffet, ut fumma corporum dmuorum S+P ad primam dunarum medie proportionalium inter hanc
Jummamı 9 corpus illnd alterum S.
Nam fi deferiptz Ellipfes eflent fibi invicem xquales, tempora periodica, per Theorema fuperius, forent. in dimidiata ratiene corporis S ad{ummam corporum: S+P,. Minuatur in hac ratine tempus periodicum in Ellipfi pofteriore,& tempora periodica evadent xqualia, Ellipfeos autem axis. tranfverfüs. per Theorema VIL minuetur in ratione cujus hac.eft fefquiplicata, id eft in ratione, cujus ratio Sad S-+P,eft triplicata; adeoq; ad axem tran{verfum Ellipfeos ‚alterius, ut prima duarum medie proportionalium inter S+P& Sad S-+P. Et inverfe, axis tranfverfüs Ellipfeos circa corpus mobile deferiptz erit ad axem tranf‚ verfum deferiptz circa immobile, ut. S-+ P ad primam duarum me„die proportionalium inter S+P&$..Q.E.D.
‚Prop.

x
: 67] * Prop. LXL Theor. XXIV.
(
Si corpora duo wiribus quibufwis fe nıntno trahentia, ne4; alias agitata wel impedita, quomodocung; moveantur> MOHS OWN perinde fe‘ bhabebunt ac fi non traherent fe mutuo, fed uirumqg; a corpore
tertio in commmini gravitabis centro confituto wiribus iüfdem trabheretur: Et Virium trabentinm eadem erit Lex refpetin distantie cörporum a Centro illo commmunt atq; refpe&in diftantie totins inter corpard,.}
Nam virös ille, quibuscorpora fe mutuo trahunt, tendendo ad ‘corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeoq; exdem{unt ac fi a corpore intermedio manarent, Q E.D,
Et quoniam data eft ratio diftantig corporis utriufvis a centro illo communi ad diftantiam corporis ejuldem a corporc altero, dabitur. ratio cuju{vis poteftafis diftantige unius ad eandem poteftatem difkanfie'alterius; ut Sc ratio quantitatis cujufvis, quz ex una diftantia& quantitatibus datis utcunqg; derivatur, ad quantitatem aliam, que ex altera diftantia 8& quantitatibus totidem datis datamgq; illam diftantiarum rationem ad priores habentibus fimiliter dertvatur. Proinde fi vis, qua Corpus unum ab altero trahitur, fit dire&e vel inverfe ut diftantia corporum ab invicem; vel ut quzlibet hujus diftantiz poteftas; vel deniq; ut quantitas queVis ex
” hac diftantia& quantitatibus datis quomodocung; derivata: erit eadem vis, qua corpus;dem ad commune gravitatis centrum trahitur, dire&e itidem velinverfe ut corporis attracti diftantia a con
tro illo communi, vel ut eadem diftagtiee hujus poteftas, wel deniq; ut quantitas ex hac diftantia 8 analogis quantitatibus datis Gimiliter derivata. Hoc eft Vis trahentiseadım erit Lex ref‚peu diftantig utriulg;. Q. E.D.
Prop| 4

L«68 1 Prop. LXIL: Prob: XXXWVI.
Corporum duorum que viribus quadrato diflantie(ne reciproce proportionalibus fe mutno trahunt, ac de locis datis demittuntur, deterHUNAYE MObUS.; n Corpora, per Theorema noviflimum, perind&movebuntur,ac fi
4 corpore tertio. in communi gravitatis centro con{tituto.traheren-'
tur;& centrum illud ipfo motusinitio quiefcet(per Hypothefin)
& propterea(per Legum Corol. 4-) femper quiefeet. Determinandi{unt igitur motus Corporum(per Probl. XXV.) perinde ac
fi a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur,& habebuntur motus corporum fe mutuo trahentium. OQ.E.I.
Prop. LXUL Prob. XXXIX.
:-® “ Corporum. duorum que wiribus quadrato diftantie fig reciproce proPortionalibus fe_nmtuo trabunt, deq; locis datis, fecundum datas rectas, datis.cum welocitatibus exeunt, determinare motus. Ex datis corporum motibus fub initlo,_datur uniformis motus
‚centri communis' gravitatis, ‚ut 8c.motus{patiiquod una cum hoc
Centro, movetur uniformiter in dire&um, nec.non corporum motus Mmitiales ‚refpe&u ‚hujus Apatii.. Motus autem{ubfequentes
(per Legum Corollarium quintam& Theorema noviflimum)
perinde fiunt in. hoc{patio, ac{i{patium Ipfum una cum commu‚hi 1llo gravitatis'centro quielceret, 8 corpora non traherent fe
mutuo,{ed a corpore tertig fito in centro illo traherentur.*Corports igitur alterutrius in hoc{patiomobili deloco dato,(ecundum datam redtam,.data cum velocitate exeuntis,&. vi centripeta ad centrum ‚illud. tendente correpti, determinandus eit motus per
Problema nonum& vicefimum fextum:& habebitür fimul motus corporis alterius e regione. ‚Cum Loc motu componendus
cft uniformis ille Syftematis{patii& corporum in co gyrantium motus

7169] motus progreflivus fupra inventus,'8c habebitur motus’ abfolutus .corporum in 1patio immobili. Q. EL ai
‚ Prop. LXIV. Prob. XL.
Viribus quibus Corpora fe mutno trahunt crefcentibus in fimplici vati+ one difkantiaruma'centris” requiruntur Mmobus plurinm-Corporune inter fe.| 93 0ER Ponantur imprimis‘ corpora duo-T 8& Lcommune habentia
gravitatis centrum D... Deferibent hze per Corollarium primum
Theoremätis XXL Ellipfes centrä”habentes in D, quarum magtittudo ex Problemate V.innotefcit. O3 LER DE Trahat jam corpus tertium S priora'duo T& L viribus acceleratricibus ST, SL,& ab
ipfis vicıllım trahatur. Vis 1} ER); En K-En SO AB ST per Legum Corol. 2. re- Se) 3 sin euer ad D {olvitur in vires SD, DT; Sf\
& vis SL in vires SD, DL.”"<B
Vires autem DT, DL, quz;)\| BAM {unt ut ipfarum fumma T£; Kemer pre rene rang ginkteih N Terre gms regen EEE a? atq; adeo ut’ vires accelera- Or
trices quibus corpora T& L
{e mutuo trahünt, /addite his viribus corporum T& L;> prior priori‘ 8& pofterior pofteriori,--componunt vires diftantis:D.T ac D-L proportionales, ut priüus;{ed viribus prioribus majJores; adeoq; (per Corol.: 1. Prop. X.& Corol. 18 7. Prop- IV.) efficiunt ut corpora illa deferibant Ellipfes ut prius; fed)motu celeriore. ı Vires reliqtze acceleratrices$ D' 8: S D, a&ionibus motricibus'S Dx 8&SDxL, quz funt ut corpora, trahendo corpora'illa%qualiter & fecundum lineas TIL K ipfi DS parallelas, nil mutant fitus earum ad invicem, fed faciuntipfa zqualiter accedere ad lineam IK;
quam ductam concipe per medium corporis S,& linex DS perpendicularem.- Impedietur‘autem ifte ad lineamı IK acceflus Y facıN

0
X
fciendo ut, Syftema corporum 78 L ex una parte,& corpus$ €X altera, Juftis cum velocitatibus, ‚gyrentur circa commune gravitatıs centrum C. Tali motu corpus S(co quod fumma virium motricium SD x T 8 SD x L,diftantie C-Sproportionalium, trahitur verfus centrum C) deferibit Ellipfin circa idem C;& punczum D'ob propertionales. CS, CD deferibet Ellipfin confimilem, ‚e,regione...‘Corpora, autem. T’8&.L viribus metricibus SD x T& $DxL,(prius priere, pofterius pofteriore) zqualiter& fecun‚dum lineas. parallelas TI 8: L.K:( ut-ditum eft).attrada, pergent;(per Legum Corollartum quintum& fextum)«circa centrum; mobile D Ellipfes-fuas deferibendo, ut iprius. Q. ET Addatur Jam corpus quar=- ice one N oaemne!
tum V, 8 fimili argumento KNOTEN A: concludetur hoc& pun&um SE) Ze A SS
:C Ellipfes circa omnium commune<centrum gravitatis Bu)){ «deferibere; manentibus mo- N\ L 8: S circa centra D&C, OYL fed ‚paulo--acceleratis. Et' cadem methodo corpora ‚plura adjungere Ticebit; Q.E.T.
Hec ita fe habent übi corpora T& L trahunt fe mutuo viri‘bus acceleratricibus majoribus vel minoribus quamıtrahunt corpora reliqua'pro ratione diftantiarum.‘ Sunto mutüx omnium. atıtractiones acceleratrices ad invicem ut diftantix dudze:in corpo‘ra trahentia,& ex:przcedentibus facile deducetur quod corpo'raomnia zqualibus temporibus periodicis Ellipfes varlas, circa omınium.cCommune'gravitatis centrum:B, in plano immobili deferi‘Prop. LXV."Theor. XXV.
Corpora pluxa quarum wires deerefount induplicata vatione difkantiarum

zum ab eorundem centris, moveri poffe inter fein Ellipfibus,&
yadiis ad umbilicos dußtis. Arcas defcribere‘ tenzporibus: proportionales quam proxime.
In Propofitione fuperiore demonftratus eft cafus ubi motus plures peraguntur in Ellipfibus accurate, Quo magis recedit Tex virium a lege ibi pofita, co magis corpora perturbabunt mutuos: motus, neq; fieri poteft ut corpora{ecundum legem hic pofitam fe mutuo. trahentiz moveantur in Ellipfibus. accurate,. nifi fervandocertam. proportionem diftantiarum ab.invicemi In fequentibus autem ca-. fibus non multum ab Ellipfibus errabitur: VE
Cas. x. Pone corpora plura minora circa maximum: aliquod 2d varias ab eo diftantias revolvi, tendantq; ad fingula vires abfolutz proportionales ufdem corporıbus. Et quoniam omnium commune gravitatis centrum(* per‘ Legum Corol. quartum.>): wel quiefcet velı movebitur uniformiter in diredtum, fingamus corpora mihora tam parva efle, ut corpus maximum nunquam diftet: {enfibiliter ab: hoc centr6-;& maximum illud vel quiefcet vel mo-vebitur uniformiter in dire&um, abfq; errore.{enfibili; minora autem revolventur circa hoc maximum in Ellipfibus, atq; radiis ad idem dudtis deferibent areas temporibus proportionales; nifi.qua‚tenus erroresinducuntur, vel per errorem maximta communi lo, gravitatis centro, vel per adtiones minorum corporum in fe mu-tuo. Diminui autem poflunt corpora minora ufq; donec error “(te 8 a&iones mutuex fint datis quibufvis minores, atq; adeo. dönec‘'orbes’cum Elipfibus quadrent, 8&-areg refpondeant temporibus; abfq; errore‘qui non{it minor quovis dato. Q- E:©:C Cas. 2. Fingamus Jam Syftema corporum minorum modo jam deferipto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum fe mutuo revolventium corporum Syftema progredhi uni formiter in direßum, 8 interea v1 corporis alterius longe maxi: mi& ad magnam diftantiam{ic urgeri ad latus. Et quoniam eh quales vires acceleratrices, quibus corpora fecundum lincas parallelas urgentur, non mutant fitus corporum ad invicem, fed ut Sy£v2 te

[ 172] tema totum, fervatis partium motibus inter fe, fimul.transferatur effictunt: manifeltum-eft quod ex ättradtionibus in Corpus Inaximum, nulla prorfus orietur mutatio motus.attradorum inter fe, nifi vel/ex attractionum acceleratricum.inzqualitate; vel ex inclinatione-linearum ad: invicem; fecundum quas attractiones. fiunt: Poneergo-attractiones omnes„acceleratrices in corpus maximum elleinter fe reciproce ut quadrata diftantiarum;:& augendo corPoris maximi diftantiam, donec re&arum ab hoc-ad reliqua, ductarum minores fint differentig&-inclinationes ad inyvicem quam_
datz quzvis, perfeverabunt motus partium. Syftematis- inter fe abfq; erroribus qui non fint quibufvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium illarum ab invicem. diftantiam, Syltema to» tum. ad. modum corporis unius attrahitur,| movebitur.idem hac attractione ad mödum'corporis’unius; hoc eft, centrofuo, gravitatis deferibet circa Corpus maximum, ‚SeCtionem aliquam Conicam(* vix. Hyperbolam vel Parabolam attradione languidas. Ellipfim fortiore,\)& Radio’ ad maximum du&o; verret areastemporibus propörtionales;ab{g;.ullis erroribus, nıfi quas. partium diftantiz(| perexiguz fane& pro. lubitu minuendz) valeant efficere, Q: E:.O:
Simili argumento pergere licet ad. cafus maglis compofitos in infinitum. Da
Corol.s x. In cafu fecundo; quo-propius accedit corpus omnium maximum ad Syftema duorum vel plurium, co magıs turbabuntur motus»partium Syftematis,inter fe, propterea quod Jinearum.
a corpore maximo adıhas ductarum Jam major eft inclinatio adinvicem;majorq; proportionis inzqualitas, Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo. quod,attractiones acceleratrices: partium.Syftematis; verfus Corpus omnium maximum; non{int ad invicem reeiproce ‚ut quadrata diftantiarum a corpore illo- ihaximo;'prafertim fi ,proportionis huyus. inzqualitas major fit quam inxqualitas. proportionis diftantiarum a corpore maximo:Nam\{i vis‚acceleratrix, gqualiter& fecundum]lineas
DV

Cm] parallelas agendo, nil perturbat motus inter fe, neceffe eft üt ex actionis inzqualitate perturbatio orlatur, Major; fit velminor pro majore vel minore inzqualitate. Exceffus impulfuum majorum agendo in aliqua corpora 8&:non agendo in alia; neceffario mutabunt fitumeorum inter fe: Et hzc perturbatio addita'perturbationi, quz ex linearum inclinatione& inzqualitate oritur, majorem reddet perturbatienem totam.
Corol. 3. Unde fi Sgißtematis hujus partes in Ellipfibus vel Circulis fine perturbatione infigni moveantur, manife(tum eft, quod exdem a viribus‘ acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nifi Jeviflime, aut urgentur zqualiter& fecundum Jlineas parallelas quamproxime,
Prop. LXVI..Theor. XXVI. Si corpora tria, quorum vires decrefeunt in duplicata ratione diftantiarum, fe mutno trahant,&> attraCtiones acceleratrices binorumne quorumcung; im. tertinum fint inter fe reciproce ut quadrata diftantiarum; minora autem circa maximum in plano communi revolwantur: Dico quod interins circa intimmmm&- maximum, radiis ad zpfun duEtis, defcribet arcas temporibus magıs proportionales,& figuram ad formam Ellipfeos umbilienn in concurfu radiorum har bentis magis accedentem, fi corpus maximum his attractionibus agitetur, quam fi maximum illud vel a minoribus non attractune
* quiefcat, wel multo minus vel nulto magis attractnin aut yenlto minus ant yınlto uagis agitehur.;
Liquet fere ex demonftratione Corollarii(ecundi Propolfitionis precedentis;{ed argumento magis diftindo.& latius cogente {ic evincitur..
Cas. 1. Revolvantur.corpora minora P& Q in codem plane circa maximum S, quorum P deferibat orbem interiorem P AB, 8& O exteriorem QE. Sit QK mediocris diftantia corporum P & Q.;&. corporis P verfus Q_attradio acceleratrix in mediocrt illa diftantia exponatur per eandem. In duplicata ratione OK
ac

ad@P capiatur QL ad a Seit OT, attradtioacceleratrix corporis P verfus Q in diftantia quavis Q P. ‚Junge PS,€iq; parallelam:age LM occurrentem Q Sin M,&-attrattio OL re{olvetur(per Legum Corol. 2.) in attraCtiones 0 M, LM. Et fic urgebitur. corpus P vi acceleratrice tripliet: una tendente ad S & oriunda a mutua attractione corporum S& P.: Hac vi fola corpus P, circum. corpus S five.immotum, five hac attradtione agitatum; ‚deferibere deberet& areas, radi@P S temporibus pro; portionales,& Ellipfin cui umbilicus eft in centro corporisS. Patet hoc per Prob; VE.& Corollaria Theor. XXI. Vis altera eft attractionıis LM, que quoniam tendit a P ad S, fuperaddita vi priori coincidet cum: ıpfa, 8 fic faciet ut_ arex etiamnum temporibus proportionales defertbantur per Corol. 3. Theor:. N XXI. At quomniam nomeßtquadrato diftantix P Sreciproce proportionalis, componet ea cum wi priore vim ab hac proportione ab errantem, 1dqzx co magis quo major eft proportio hujus vis ad vum priorem;, czterk paribus. Proinde cum( per Corol. 1. Prob. VHIL& Corol. 2. Theor XXL_) vis qua Ellipfis. circa umbilicum S deferibitur tendere debeat ad umbilicum illum,& efle quadrato diftantiz PS reciproce proportiomalis; vis illa compofita aberrando ab hac proportione; facıer ut Orbis P AB aberret a forma Ellipfeos umbilicum habentis im$; idq; co magis quo major eft aberratio ab hac proportione; atq;adeo etiam quo major eft proportio vis fecundz LM ad vim primam, ceteris paribus, Jam vero vis tertia QM, trahendo corpus P fecundum lineam’ipfi 25 parallelam, componet cum viribus prioribus vim quz non amplius dirigitur a Pin S, queqz ab hac determinatione tanto ) ma

ımagis aberrat, quanto major eft proportio hujus tertig vis ad vi ‚res priores, Czter1s paribus; atq; adeo quz faciet ut corpus P,radio ‚$ F;arcas mon ampliustemporibus proportionales deferibet; atq; aberratio.ab'hac proportionalitate ut tanto major fit, quanto majoreift;proportio vis hujus tertig ad vires ceteras. Orbis verö ‚P AB aberrationem a forma Elliptica prafata hc vis tertia duplici de caufa adaugebit, tum quod non dirigitur a P.ad S, tum etiam quod non{it proportionalis quadrato diftantie PS. Qui bus intelle&is, manifeftum eft quod arex temporibus tum maxime fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus cezteris; fit minima; 8& quod Orbis P 4 B tum maxime accedit ‚ad prafatam formam Ellipticam, ubi vis tamfecunda quam tertia,(ed prz‚cipue vis tertia, fit minıma, viprimamanente..
Exponatar corporIis Sattractio.acceleratrix verfus Q_per lineam ON;:& 1i attradtiones accdleratiicesQ M, ON xquales eflent, 'hze trahendo corpora S8& P wqualiterScifecundum lineas parallelas, inil mutarent fitum eorum x ünvicem. Tidem jam forent ‚corporum illorum motus inter fe( per Legum Corol. 6.) ac fi
Tre attradtiones tollerentur.{Et;parı ratione fi attracio GN mi:
‚nor effet attra&ione QM,:tölleratipfa mttractionis QM partem ‚ON,& maneret pars fola MN, quattemporum%&.arcarum pro‚portionalitas 8 Orbitz forma iilla Elliptica;pertutbaretur. Et {imiliter fi attradtio@ N major-efletzattractione OM, otretur ex ‚differentia fola MN perturbatio ‚proportionalitatis& Orbitz. Sie ‚per attra&ionem@N reducitur femper attractio tertia{uperior QM ad attradtionem MN,:attraCtione:prima 8{ecunda manen;tibus prorfus immutatis:%& ıpropterea:arex ac tempora ad pro‚portionalitatem,& Orbita P.A:B ad forınam praefatam Ellipticamıtum maxime accedunt,:übiattractio MN vel nulla eft, vel quam fieri poflit minima;;‘hec eft übicorporum P 8 S attractiones ac‚celeratrices, faCte werfus.corpus O,accedunt quantum fieri poteft
ad zqualitatem;;üd«eftubrattrattio ON nonelt mulla, neq; minor minıma attractienum emnium QM, fed inter attractionum om‚HF
| |
EZ

[776]
nıum QM maximam& minimam quafi mediocris, hoc eflt, non multo major neq; multo minor attractione OK. Q.E.D.
Cas. 2, Revolvantur jam corpora minora P,Q. circa maximum S in.planis diverfis, ‚& vis LM, agendo fecundum lineam PS in plano Orbitz P AB{itam, eundem habebit effe&umac prius, neq; corpus P de’plano Orbitz fuz deturbabit. ‚At. vis altera NM, agendo fecundum lineam: quz ipfi AS parallela eft;( atq; adeo, quando corpus Q verfatur extra. lineam Nodorum,. inclinatur ad planum Orbitz P AB;) przter perturbationem motus in longitudinem jam ante expofitam, inducet perturbationem motus in latitudinem; trahendo corpus P de plano. füz Orbite. Et hxc perturbatio in’°dato quovis. corporum P'& Sad invicem fitu, erit ut vis illa generans MN, adeog; minima evadet ubi MN eft minima, hoc eft( uti Jam expofui) ubi attra&io Q N non eft multo maJor neq; multo minor attradione 0 K. Q. E.D.;
Corol. 1. Ex his facile colligitur quod{i corpora«plura minora-P, 0, R&c. revolvantur circa maximum S:. motus corporIis In-"
‚timi P minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximum S$ pariter a czxteris, pro ratione virium acceleratricum, attrahitur&agitatur atq; czteri a fe mutuo.
Corol. 2. In Syftemate vero trium corporum S,P, 0;fiattractiones acceleratrices binorum quorumcung; in tertium{int ad invicem reciproce ut quadrata diftantiarum, corpus P radio PS aream circa corpus Svelocius deferibet prope conJundionem A& op pofitionem B, quam prope quadraturas C, D. Namgq; vis omnis qua corpus P urgetur& corpus$ non urgetur, quxq; non agit fecundum lineam PS, accelerat vel retardat deferiptionem arez; ‚perinde ut ipfa in antecedentia vel in confequentia dirigitur. Talis eft vis NM. Häc-/in tranfitu corporis Pa C ad A tendit in antecedentia; mötum4; accelerat; dein ulg; ad.D in confequentia, & motum retardat; tum in antecedentia ufq; ad B,& ultimo in confegentia tranfeundo a Bad C..
Corol. 3. Et codem argumento patet. quod corpus P, czteris
Par

C-177 J paribus,” velocius movetur in Conjuntione& Oppofitione‘ quam in QuadraturIis. LICH;
Corol. 4. Orbita corporis P' czteris paribus curvior eft in quadraturis quam in Conjundione& Oppofitione. Nam corpora velociora minus defle&unt a re&o tramite. Et przterea vis NM, in Conjuneione& Oppolfitione, contraria eft vi qua Corpus$ trahit corpus P, adeoq; vim illam minuit; corpus autem P minus defle&et a te&o tramite, ubi minus ürgetur In Corpus S.
Corol. g. Unde corpus P, cateris pariıbus, longius recedet a corpore$ in quadraturis, quam in Conjunctione& Oppofitione. Hzc ita fe habent exclufo motu Excentricitatis. Nam fi Orbita corporis P' excentrica fit, Excentricitas ejus(‘ ut mox in hujus Corol. 9. oftendetur‘) evadet maxima ubi Apfides funt in Syzyglis; indeq; fieri poteft ut corpus P, ad Apfidem fummam appellans, abfit longius a corpore$ in Syzygiis quamin Quadraturis.
Corol. 6. Quoniam vis centripeta corpofis centralis S, qua corpus P retinetur in Orbe füo, augetur in quadraturis per additionem vis I,M, ac diminuitur in Syzygiis per abla-'' tionem vis KL, 8 ob magnitudinem vis KL, magis diminuitur quam augeatur; eft autem vis illa centripeta( per Corol. 2, Prop. IV.) in ratione compofita ex ratione fimplici radır SP direde& ratione duplicata temporis periodici inverfe: patet hanc rationem compofitam diminui per actionem vis KL, adeoq; tempus periodicum, fi maneat Orbis radius SP, augeri, ‚idq; in dimidiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur- aucdtoq; adeo vel diminuto hoc Radio, tempus periodicumaugeri magis, vel dim1

AL minui. minus quam in”Radii” hujus ratione fe(quiplicata, per'Corol. 6. Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim languefceret, corpus P minus{femper ‚& minus attradtum perpetuo recederet longiusa centro$;,& contra, fi vis illa augeretur, accederet propius. Ergo«fi actio. corporis, longinqui"Q., qua..vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur fimul ac diminuetur: Radius$P ‚per vices,& tempus'periodicum augebitur ac/diminuetür in, ratione compolita ex ratione fefquiplicata Radii- 8& ratione.' dimidiata qua: vis illa centripeta Ccorporis. centralis S”per incrementum vel decrementum aCtionis corporis longinqui Q diminuitur. vel augetur.|
‚; Corol, 7. Ex: premiflis, contequitur etiam quod. Ellipfeos. a corporeıP deftripta Axis feu Apfidum linea, quoad motum angularem progreditur& regreditur. per. vices, fed magis tamen progreditur,& in fingulis corporis revolutionibus per exceffum progreflionis fertur in confequentia.,. Nam vis qua corpus P urgetur in corpus$ in Quadraturis, ubi vis MN evanuit, componitur ex viLM& vi centripeta qua corpus$ trahit corpus P.. Vis pfior LM, fi augeatür diftantia PS, augetur in cadem fere ratione cum hac diftantia,& vis pofterior decrefcit in duplicata- illa ra_ Hone, adeoq; fumma, harum virium deetefcit.in minore quam duplicata ratione diftantie PS,& propterea, ‚per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem(eu Apfidem fummam regredi.. In Conjunctione vero& Oppofitione, vis qua corpus P urgetur In corpus.$ differentia eft inter vim qua corpus S trahit corpus. P.& vim K L; & differentia illa,. propterea quod vis KL augetur quamproxime in ratione diftantix PS, decorefcit, in majore quam duplicata "ratione diftantig PS, adeoq; per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem progredi. In: locis, Inter Syzygias& Quadraturas, pendet "motus Augis ex cauıfa utrag; conjundim, adeo ut pro huyus vel alterius exceflü progrediatur ipfa velregrediatur. Unde cum vis KL in Syzygüs fir quafi dupla vie LM in. quadraturis, exceffus in tota revolutione exit penes vim KL, transferetq; Augem fingulis re

|
[793 ey revolutionibus in confequentia. Veritas autem hujus& przcedentis Corollarii facılius intelligetur concipiendo Syftema corporum duorum SP corporibus pluribus Q.;Q, Q_&c. in Orbe OE confiltentibus, undeq; cing1. Namq; horum aCtionibus adio ipfius Sminuetur undiq; ‚decrefcetq; in ratione plufquam duplicatadiftantie,
Corol. 8. Cum autem pendeat Apfidum progreffus vel regref{us a decremento vis centripetz facto in majori vel minori quam duplicata ratione diftantie S Pin tranfitu corporis ab Apfide ima ad Apfidem fummam; ut& a fimili incremento in reditu ad Apfidem imam; atq; adeo maximus fit ubi proportio vis in Apfide {umma ad vim in Apfide ima maxime 3 recedit a‘‘duplicata ratione diftantiarum MO inverfa: manifelum BE netten Ce eft quod Apfides in\
Syzygis fuis,per vim x ablatitiam KL ieu NM—L M, progredientur velocius, inq; Quadraturis fuis tardius recedent‘per vim addititiam LM. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progreffus vel tarditas regreffus continuatur, fit hzc inzequalitas longe maxima.| Corol. 9. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato diftantig(u a centro, revolveretur circa hoc centrum in Ellipfi, 8& mox, in defcenfu ab Apfide fumma feu Auge ad Apfidem imam, vis illa per acceflum perpetuum vis novz augeretur in ratione plufquam duplicata diftantie diminutz: Manifeftum eft quod corpus, perpetuo acceffu vis illius nove impulfum femper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam fi urgeretur Vi fola crefcente in duplicata ratione diftantie diminute, adeoq; Orbem deferiberet Orbe Elliptico interiorem,& in Apfide ima propius accederet ad centrum quam prius, Orbis igitur, acceffu Zi2 hu

CE 180]
hujus vis nove, fiet magis excentricus.. Si Jam vis, in receflu corporis ab Apfide ima ad Apfidem fummam, decrefceret iifdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad. diftantiam priorem, adeoq; fi.vis decrefcat in majJori ratione, Corpus Jam minus atrractum afcendet ad diftantiam majorem& fic Orbis Excentricitas adhuc magis augebitur. Igitur fi ratio incrementi& decrement! vis,centripetz fingulis revolutionibus augeatur, augebitur{emper Excentricitas,& e contra, diminuetur eadem fi ratio illa decrefcat. Jam vero in Syftemate corporum S, P, 9, ubi Apfides orbis P AB funt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima eft,& maxima fit ubi Apfides{unt in Syzygls. Si Apfides conftituantur in quadraturis ratio. prope Apfıdes minor eft,& prope Syzygias major quam duplicata diftantiarum,& ex ratione illa majori oritur Augis motus velociflimus, uti Jam di&um eft. At fi confideretur ratio. incrementi vel decrementi totius in progreffu inter Apfides, hzc minor eft quam duplicata diftantiarum. Vis in Apfıde ima eft ad vim in Apfide {umma in minore quam duplicata ratione diftantiz Apfidis{um mx ab umbilico Ellipfeos ad diftantiam Apfidis img ab eodem umbilico: ‚8& e contra, ‚ubi Apfides conftituuntur in Syzygis, vis in Apfideima eft ad.vim in Ap(ide(umma in majore quam duplicata ratione diftantiarum. Nam viresL M in quadraturis additz viribus corporis S componunt vires in ratione minore,& vires KL in Syzygis{ubducte viribus corporis$ relingquunt vires in ratione majore,. Eft igitur ratio decrementi& incrementi totius In tranfitu inter Apfides, minima in quadraturis, maxima in Sy; zygiis:& propterea in tranfitu Apfidum a quadraturis ad Syzyglas perpetuo augetur, augetq; Excentricitatem Ellipficos; ing; tranlitu a Syzygis ad quadraturas perpetuo diminuitur,& Excentricitatem diminuilt,
Corol, 10. Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fingamus planum Orbis Q E Simmobile manere;& ex errorum expofita caufa. manifeftum eft, quod ex viribus NM, ML, quz funt
CauttAA
| # #

SE
1 9r8ı 1
caufa illa tota, vis ML agendo femper fecundum planum Orbis P AB, nunquam perturbat motus in latitudinem, quodq; vis NM ubi Nodi funt inSyzygiis, agendo etiam{fecundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero{unt in Quadraturis cos maxime perturbat,corpufq; P de plano Orbis{ui perpetuo trahendo, minuit inclinationem plani in tranfitu corporis a quadraturis ad Syzygias, augetq; vicıflim eandem in tranfitu a Syzygiis ad quadraturas. Unde fitut corpore in Syzyglis exiftente inclinatio evadat omnium minima, redeatq; ad prioerem magnitudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At fi Nodi conftituantur in OCtantibus poft quadraturas,id eft inter C & A, D& B,intelligetur ex modo expolitis quod, in tranficu corporis P aNodo alt&rutro ad gradum inde nonagefimum, inclinat1o planı perpetuo minuitur; deinde in tranfitu per prox1mos 45 gradus, ulqg;ad quadraturam proximam, inclinatio augetur,& poltea denuo in tranfıtu per alios 4.5 gradus, ulq; ad. nodum proximum, diminuitur. Magis itaq; diminuitur inclinatio quam augetur,& propterea minor eft femper in nodo{ubfequente quam in pracedente. Er fimili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminuitur, ubi nodi funt in Odantibus alteris inter 4& D, BB & C. Inclinatio igitur ubi Nodi funt in Syzygiis eft omnium maxima. In tranfitu eorum-a Syzygis ad quadraturas, In fingulis corporis ad Nodos appulfibus, diminuitur, fitq; omnium minima ubi nodi funt in quadraturis& corpus in Syzygls: dein crefcit üfdem gradibus quibus antea decreverat, Nodilg; ad Syzygias proximas appulfis ad magnitudinem primam revertitur.
Corol. 1x1. Quoniam corpus P ubinodifunt in quadraturis perpetuo trahitur de plano Orbis fui,- idq; in partem verfus Q_, in tranfitu fuo a nodo€ per Conjunctionem A ad nodum D;& in contrariam partem in tranfitu a nodo D per Oppofitionem 5 ad nodum C;. manifeftum eft quod in motu fuo a nodo C, corpus perpetuo recedit ab Orbis füi plano prima C D, ulq; dum perventum eft ad nodum proximum; adeeq; in hoc nodo. longiflime
diftans a plano illo primo C.D, tranfit per planum Orbis QES,
Non

| 1:182 1] non in plani illius Nodo altero D, fed in pun&o quod inde vergit ad partes corporis Q_, quodq; proinde novus eft Nodi locus in anteriora vergens. Et(imiliargumento pergent Nodi recedere in tranfitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi 1gitur in quadraturis conftituti perpetuo recedunt, ın Syzygiis( ubi motus in latıtudinemnil perturbatur.) quiefcunt; in locis intermediis conditionis utriu{q; participes recedunt tardius, adeoq; femper vel retrogradi vel ftationarı fingulis revolutionibus feruntur in antecedentia.
Corol. 12. Omnes illı in his Corollariis deferipti errores funt paulo majores in conjunCtione Corporum P, Q quam in corum Oppofitione, idq; ob majores vires generantes NM& ML.
Corol. 13. Cumg; rationes horum Corolldriorum non pendeant a magnitudine corporis Q, obtinent prxcedentia omnia, ubi corporis Q_ tanta ftatuitur magnitudo ut circa ipfum revolvatur corporum duorum S$& P Syltema. Et ex au&o corpore Q, auctaq; adeo ipfius vi centripeta, a qua errores corporis P oriuntur, evadent errores illı omnes( paribusdiftantiis) majores in hoc cafu quam in altero, ubi corpus Q circum Syftema corporum P& S$ revolvitur.
Corol. 14 Cum autem vires NM, ML, ubi corpus Q_longinquum eft; fint quamproxime ut vis Q0K& ratio PS ad QS$ conJundim, hoc eft, fi detur tum diftantia PS, tumcorporis Q_vis abfoluta, ut QS cab. reciproce; fint autem vires lzN M, ML caufg errorum& effe&tuum omnium de quibus adum eft in przcedentibus Corollarıis: manifeftum eft quod effecus illi omnes, ftante corporum S& P Syftemate, fint quamproxime in ratione compofita ex ratione directa vis abfolutz corporis Q_8& ratione triplicata inverfa diftantie QS. Unde fi Syftema corporum S$& P revolvatur circa corpus longinquum Q_, vires lle NM, ML 8 earum effectus erunt( per Corol. 2.& 6. Prop. IV.)reciproce in düplicata ratione temporis periodici. Etinde fimagnitudo ‚corporis Q_proportionalis fit ipfius vi abfolutz, erunt vires ill
5 NM

C 183 J . NM, ML& carum effedtus dire& te ut cubus diametri apparentis longinqui corporis Q_e corpore S fpedati,& vice verfa.. Namgq; hz rationes exdem funt atq; ratio{uperior compofita.
Corol, 13. Et quoniam ft, manentibus Orbium OE& PAB forma, proportionibus& inclinatione ad invicem, mutetur corum magnitudo,& fi corporum Q_& S vel maneant vel mutentur vires in. data quavis ratione, hz vires C hoc eft vis corporis S, qua corpus P. de re&to tramite in Orbitam P AB deflectere,& vis corporis Q, qua corpus idem P de Orbita illa deviare cogitur)agunt femper eodem modo& eadem proportione: necefle eft ut fimiles 8& proportionales fint effe&us omnes& proportionalia effectuum tempora; hoc eft, ut errores OoMnES lineares fint ut Orbium diametri, angulares vero dem qui prius,& errorum linearium| fimilium velangularium zqualium tempora ut Orbium tempora periodica.;
Corol. z6. Unde, fi dentur Orbium formz& inclinatio ad invicem, Sc mutentur utcunqg; corporum magnitudines, vires& diftantig; ex datis erroribus& errorum temporibus in uno Caftr colligi poffunt errores& errorum tempora in alio quovis, quam proxime: Sed brevius hac_ Methodo. Vires NM, ML ceteris Üantibus funt ut Radius SP, 8 harum effectus periodici(per Corol. 2, Lem. X) ut vires& quadratum temporis periodici corporis P conjund&tim. Hi{unt errores lineares corporis P;& hinc erroresangulares.€ centro S{pe@ati(id eft tam motus Augis& Nodorum,quam omnes in Jongitudinem& Jatitudinem errores af parentes){unt in qualibet revolutione corporis P, ut quadratum. temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur he rationes cum rationibus Corollariı 14.& in quolibet corporum S, P, Q. Syftemate, ubi P circum S fibi propinquum,& S$ circum 0_ Jonginquum revolvitur, errores angulares corporis P, de centroS apparentes, erunt, in fingulis revolutionibus corporis illius P, ut quadratum temporis periodici corporis P directe& quadratum temporis periodici corporis S inverfe, Et inde motus mediusAuU

L 184] Augis erit ın data ratione ad motum medium Nodorum;& motus uterq; erit ut tempus periodicum corporis P diredte& quadratum temporis periodici corporis S inverfe. Augendo vel minuendo Excentricitatem& Inclinationem Orbis P 4 B non mutantur motus Augis& Nodorum fenfibilitur, nifi ubi exdem funt nimis magnz.
Corol. 17. Cum autem linea LM nunc major fit nunc minor quam radius PS, Exponatur vis mediocris LM per radium ilum PS,&erit hec ad vim mediocrem OK vel ON(quam exponere licet per Q S) ut longitudo PS ad longitudinem 9$. Eft autem vis mediocris QN vel Q.S, qua corpus retinetur in orbe füo circum Q, ad vim qua corpus P retinetur in Orbefüo circum S, inratione compofita ex ratione radii 0’S ad radıum PS,& ratione duplicata temporis periodici corporis P circum S ad tempus periodicum corporis S circum Q. Et ex xquo, ‚vis mediocris LM, ad vim qua corpus P retinetur in Orbe {uo circum S(* quave corpus idem P eodem tempore periodico circum pundtum quodvis immobile S$ ad diftantiam PS revolvi poffet) eft in ratione illa duplicata periodicorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum diftantia PS, datur vis mediocris LM;& ea data datur etiam vis MN quamproxime
per analogiam linearum PS, MN.; Corol. 18. Tiıfdem legibus quibus corpus P circum corpus S revolvitur, fingamus corpora plura fluida circum idem S ad xquales ab ipfo diftantias moveri; deinde ex his contiguis factis con‚fları annulum fluidum, rotundum ac corpori S concentricum; & fingulze annuli partes, motus{uos omnes ad legem corporis P peragendo, propius accedent ad corpus S,& celerius movebuntur in Conjundtione& Oppofitione ipfarum& corporis Q, quam in Quadraturis. Et Nodi annuli hujus feu interfectiones ejus cum plano Orbitz corporis Q vel S, qui«fcent in Syzygiis; extra Syzygias vero movebuntur in antecedentia,& velociflime quidem in Quadraturis, tardius alis in locis. ‚Annuli quog; inclinatio com

|
L 185 varıabitüur,&axis ejus fingulis revolutionibus ofcıllabitur, completaq; revolutione ad priftinum fitum redibit, nifi quatenus per przeceflionem Nodorum circumfertur,
Corol. x9. Fingas jam globum corporis$ ex materia non flu;da conftantem ampliari& extendi ug; ad hunc annulum,& alveo per Circuitum€Xcavato continere Aquam, motug; ecodem periodico circa axem{uum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus& retardatus( ut in fuperiore Lemmate) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam{uperficies Globi,& fic fluet in alveo refluetq; ad modum Maris. Aqua revolvendo circa Globi- centrum quiefcens, fi tollatur attractio Q, nullum acquiret motum fluxus& refluxus. Par eft ratio Globi uniformiter progredientis in diretum& interea revolventis citca centrum fuum( per Legum Corol. 5) ut 8& Globi de curfü retilineo uniformiter tra&i( per Legum Corol. 6.) Accedat autem corpus Q_,& ab ipfius inzquabili attraCtione mox turbabitur Aqua. Etenim major erit attraCtio aquz propioris, minor ea remotioris. Vis autem LM trahet aquam deorfum in Ouadra* turis, facietg; ipfam defcendere ufq; ad Syzygias;& vis K L trahet eandem furfum in Syzygis, filtetq; defcenfum ejus& faciet ip{am afcendere ufg; ad Quadraturas,
Corol. 20. Si annulus Jam rigeat& minuatur Globus, ‚cefla‚bit motus Auerdi& refluendi; fed Ofeillatorius ille inclinationis
motus& prxceffio Nodorum manebunt. Habeat Globus eundem axem cum annulo, gyrofg; compleat üfldem temporibus, 8 {uperficie füua contingat 1pfum interius, eiq; inhereat;& particıpando morum ejus, compages utriufg; Ofcillabitur& Nodi regredientur. Nam An mox dicetur, ad fufcipiendas imprefliones omnes indifferenseft. Annuli Clobo otbati MAXiMUs inclinationis anguluseft ubi Nodi funt in Syzygiis:| Inde in progreffu Nodorum ad Quadraturas conatur 1 inclinationem Iuam minuere,& ifto conatu motum imprimit Globo‘ toti. Retinet Globus motum impreffum- ulg; dum annulus‘ conatu Contrario
Aa mM9

[ 186] motum hunc tollat, imprimatq; motum novum in contrariam partem: Atq; hac ratione maximus decrefcentis inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum,& minimus inclinationis angulus in Odkantibus poft Quadraturas; dein maximus reclinationis motus in Syzygiis& maximus angulus in Odtantibus proximis. Et eadem eft ratio Globi annulo nudati, qui in regionibus zquatoris vel altior eft paulo quam Juxta polos,vel conftat ex materia pauJo denfiore.— Supplet enim vicem annuli ifte materig in xquatoris regionibus exceflus. Et quanquam, audta utcung; Globi huJus vi centripeta,tendere{upponantur omnes ejus partes deo{um, ad modum gravitantium partium telluris, tamen Phxnomena hujus 8& praecedentis Corollarii vix inde mutabuntur.
Corol. 21. Eadem ratiöne qua: materia.Globi juxta.2quatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, atq; adeo per huyus incrementum augetur ifte regreilus,” per diminutionem vero diminuitur&. per ablationem tollitur; 11 materia plufquam redundans tollatur, hoc eft,. fi Globus juxta zquatorem.vel depreiflior reddatur vel rarior quam juxta_ polos, ‚orietür motus Nodorum in conf{equentia.
Corol, 22, Et inde viciflim ex motu Nodorum innote{cit conftitutio Globi. Nimirum fi Globus polos eofdem conftanter feryat& motus.fit in antecedentia,. Materia Juxta 2xquatorem. redundat;(iin confequentia;, ‚deficit. Pone Globum uniıformem 8 perfe&e circinatum in-Apatiis liberis primo quiefcere; dein im"pstu quocung; ‚oblique. in{uperficiem{uam fadto propelli,„8 motum inde concipere partim circularem,‘ partim in diredtum. Quoniam Globus ifte ad axesomnes. per centrum fuum tranfeuntes indifferenter fe habet, neq; propenfior eft in unum axem, ußlumve.axis fitum,. quam in alium quemVis; perfpicuum eft quod is.axem{uum axifqg; inclinationem vi propria nunquam mutabit.. ‚Ampellatur jam Globus oblique in eadem illa fuperficiet parte qua prius, impullu quocung; novo;& cum citior vel ferior
impulfus cffe&um nil mutet, manifeltum eft quod hi duo impulfus

K187 7) fus fucceflive iumprefli eundem producent motum ac fi(imul impreili fuiffent, hoc eft ‚eundem ac{fi Globus vı(implici ex utroq;( per Legum Corol. 2.) compofita impulfus fuiflet, atq;adeo fimplicem, circa axem inclinatione datum.‘Et par eft ratio impulfus fecundi fa&i in locum alium quemvis in xquatore motus primi; ut& ımpulfus primi fa&i in locum quemvis In zquatore motus;, quem impulfus fecundus abfg; primo generaret; atq; adeo impulfuum„mborum fa&orum in loca quzcung;: Generabunt hi eundem motum circülarem ac 11 fimul& femel in locum interfe@ionis zquatorum motuum illorum, quos feorfim generarent, fuißfent imprefli. Globus igitur homogeneus 8& perfectus non retinet motus plures diftin&os,(ed impreflos omnes componit & ad unum reducit,& quatenusin fe’eft, gyratur{emper motu fimplici 8 uniformi circa axem unicum inclinatione femper invariabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rotationis velocitatem mutare poteft. Si Globus plano quocung; per centrum füuum&<centrum in quod vis dirigitur tranfeunte dividi intelligatur in. duo hemifphezria, urgebit{emper vis. illa utrumq; hemiphzrium"equaliter, 8& propterea Globum quoad imotum rotationis nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi inter polum& xquatorem materia nova in formam montis cumulata,& hzc, perpetuo conatu recedendi a centro fui motus, turbabit. motum Globi, facietq; polosejus errare per ipfius fuperficiem,& circulos circum fe pun&umg; fibı oppofitum perpetuo'deferibere. Neq; corrigetur ifta vagationis enormitas, nifi Tocando montem illum vel in polo alterutro, quo in Cafı, per Corol. 21, Nodi zquatoris progredientur 5 vel in zquatore, qua fatione, per Corol. 20, Nodi regredientur 5 vel deniq; ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur: 8& hoc padto Nodi vel progredientur, vel recedent, perinde ut mons& hxcce nova materia funt vel polo vel zquatori propiores,
Er
Aa; Prop

[188] Prop. LXVIL Theor. XXVIL
Pofitis ifdem attrattionum legibus, dico quod corpus exterins 0, circa
interiorum P,S commune Gravitatis centrumC, radiis ad cemrum.
illnd duEtis, deferibit areas temporibus magis proportionales&
Orbem ad formam Ellipfeos umbilicum in centro eodem habentis maE% accedentem, qnam circa corpus intimum Cs maximum S, radi% ad ipfum dußtis, deferibere poteft.:
Nam corporis Q_attractiones verfus$& P componunt ipfius attradtionem abfolutam, quz magis dirigitur in corporum$& P commune gravitatis centrum C,quam in corpus maximum S, quzq; quadrato diftantiz 0 C magis eft proportionalis reciproce, HM quadrato diftantixz QS$: ut rem perpendenti facile conabit.)’
Prop. LXVIIL_Theor. XXVIIIL
. Pofitis üfdem attrationum legibus, dico quod. corpus exterins O_cir; ca interiorum P&x S commune gravitatis centrum C, radiis ad centrum illnd du&is, defcribit areas temporibus magis proportionales,&» Orbem ad formam Ellipfeos umbilicnm in centro eodem habentis magis accedentem, fi corpus intimum&» maximum his attrattionibus perinde atq; catera agitetur, quam fr id wel non attractum guiefcar, vel multo magis aut mnlto minus attrastum aut mnlto magis aut multo minus agitetur, Demonftratur codem fere modo cum, Prop. LXVI,{ed argumento prolixiore, quod ideo prztereo. Suffecerit rem fic zltimare. Ex demonftratione Propofitionis noviflime liquet centrum in quod corpus Q conjundtis viribus urgetur, proximum ef{e communi centro gravitatis illorum duorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi,& quiefceret commune centrum gravitatis corporum trium; deferiberent corpus Oex u-,
na

| |
‚quabiles, fi corpo[ 189] A na parte,& commune centrum aliorum duorum ex altera parte, circa commune ommum Centrum quiefcens, Ellipfes accuratas, Liquet hoc per Corollaruum fecundum Propofitionis LVIII. collatum cum demonftratis in Prop. LXiV. 8& LXV. Perturbatur ifte motus Ellipticus aliquantulum per diftantiam centri duorum a centro in Quod tertium Q_attrahitur. Detur preterca mMotus communi trium centro,& augebitur perturbatio.'Proinde minima eft perturbatio, ubi commune trium centrum quiefcit, hoc eft ubi corpus intimum& maximum S lege czterorum attrahitur: fitq; major femper ubi trium commune illud centrum, minuendo motum corporis S, moveri incipit& magis deinceps magifg; agitatur..;
Corol. Et hinc fi corpora plura minora revolvantur circa maxıimum, colligere licet quod Orbitz de{criptz propius accedent ad Ellipticas, 8& arcarum def{criptiones fient magis xra omnia viribus acceleratricibus, quz funt ut eorum vires abfolutz direde 8& quadrata diftantiarum inverfe, fe mutuo trahent agitentq;,& Orbitz cujufg; umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum(* nimirum umbilicus Orbitz prime& intime in centro* gravitatis corporis maximi 8& intimi;-ille Orbitz fecunde, in communi centro gravitatis corporum duorum intimorum; ifte tertig, in communi centro gravitatis trium interierum& fic deinceps) quam fi corpus intimum quiefcat& ftatuatur communis umbilicus orbitarum Omnium.
Prop.

LE 190] Prop. LXIX. Theor, XXIX.
In Syftemate corporum plurium A,B,C,D&eci fi corpus aliquod A trahit caetera omnia B,C, D&rc. viribus acceleratricibus u funt reciproce ut quadrata.diftantiarum a trabente€» corpus aliud B trahit etiam catera A,C, D&re. wiribus que funt reciproce ut quadrata diftantiarum a trahente: erunt. abfolnte. Corporum trahentinm A, B wires ad invicem, ut funt ipfa corpora 4,B, Ju0rum funt Dires.:
„Nam attractiones accelerattices ‚corporum omnium. B; C, D verfüs A, paribus diftantiis, fibi invicem zquantur ex hypothefi,
&{imiliter attractiones acceleratrices. corporum omnium verfus
B, paribus diftantiis, fibi invicem zquantur. Eft autem abfoluta visattradtiva corporis 4 ad vim ablolutam attraCivam corporis
B, ut attractio acceleratrix corporum omnium verfüus A.ad attractionem acceleratricem corporum omnium verfus B, paribus diftantlis;& ita eft attractio acceleratrix corporis.B verfus A, ad attractionem acceleratricem corporis A verfus B..Sed attra@io acceJeratrix corporis B verfus A eft ad attraCionem acceleratrice
corporis A verfus B, ut mafla corporis 4 ad maflam Dia
propterea quod vires motrices, quz( per Definitionem fecundam,;feptimam& odtavam) ex viribus acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur, funt(per motus Legem tertiam) fibi invicem zquales. Ergo abfoluta. vis attractiva corpotis 4 eft ad ‚abfolutam- vim attracivam corporis B, ut mafla corporis 4 ad maflam corporis B. Q.E. D.
Corol. x... Hınc fi, Aingula Syftematis corpora. A; B;C, D; 8. . feorfim fpeCata ‚trahant. cetera omnia viribus acceleratricibus quz fint reciproce üt Quadrata- diftantiarum a trahente; erunt corporum illorum omnium vires abfolutz.ad invicem ut funt ipfa corpora. ES
Corol,
nn

Ua[191 J e
Corol. 2; Eodem: argumento, fi fingula Syftematis corpora’ A, B, C, D&c. feorfim{pe&ata trahant;catera omnia viribus acceleratricibus quz{unt vel. reciproce vel dire&e in ratione dignitatis cuyu{cung; diftantiarum a trahente, quzve fecundum legem quamcung; communen ex diftantiis ab UNOquUOq; trahente definiuntur; conftat quod corporum illorum vires abfolutz funt
ut cor pora.
Corol. 3. In Syitemate corporum, qUorum vires decrefcunt in ratione duplicata diftantiarum, fi minora circa maximum in Ellipfibus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus quam fier! potelt accuratiflimis revolvantur,& radiis ad maximum illud du&is deferibant areas temporibus quam maxime proportionales: erunt corporum illorum vires abfolutz ad invicem, anf accurate aut quamproxime in ratione corporum;& contra. Patet per Corol, Prop.L,XVHL collatum cum hujus Corol, 1.
Scholium..
His Propofitionibus manuducimur ad analogiam inter vires cen-tripetas& corpora centralia, ad que vires ille dirigi folent. Rationi enim confentancum eft, ut vires qU— ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura& quantitate, ut fit in Magneti-cis.. Et quoties hujufmodi cafüs incidunt; ftimande erunt cororum attractiones, aflignando fingulis eorum particulis vires proprias, 8: colligendo fummas virmum... Vocem attractionis-hic ge- neraliter ufurpo pro corporum Cconatll qUOCUNG accedendi ad’ invicem, five conatus ifte fiat ab adtione corporum vel fe mutuo petentium, vel per Spiritus emiffos fe invicem agitantium, five is ab adtione Aitheris aut Aeris mediive cujufeung; deu corporei feu incorporei orlatur corpora innatantia in fe Invicem utcung; irmpellentis. Eodem(enfu generali ufurpo vocem impulfus, non. fpecies virium& qualitates phyficas,{ed quantitates& propor=tiones Mathematicas in hoc Tractatu expendens: ut in.Defi° 195 ri

E 192]
_ nitionibus explicui. In Mathefi inveftigandze funt virium quantitates&. rationes ill, quz ex conditionibus quibufcung; pofitis confequentur: deinde ubi in Phyficam defcenditur, conferendz funt hz rationes cum Phaenomenis, ut innotelcat quenam virium conditiones fingulis corporum attractivorum generibus competant. Et tum demum de virium fpeciebus, caufis&| rationibus phyficis tutius difputare licebit. Videamus igitur quibus viribus corpora Spherica, ex particulis modo jam expolito attractivis conftantia, debeant in fe mutuo agere,& quales motus inde confequantur.
S Er CAT-. XI
+ De Corporum Sphaericorum Viribus attraßtiwis,
Prop. LXX. Theor. XXX.
Si ad Spherice[uperficiei panda fingnla tendant wires wquales centripet@. decrefcentes in duplicata ratione diflantiarum a punk: dico quod corpufenlum. intra Super ficiem conflitutum his viribus nullam in partem attrahitur.
Sit HIKL fuperficies illa Spherica,& P corpufculum intus conftitutum. Per P agantur ad hanc{uperficiem linex duz HK, TE, arcus quam minimos HI, KL intercipientes;& ob triangulHPI, LPK( per Corol: 3. Lem. VII) fimilia, ‚arcus illi e-| rünt diftantiis HP,L P proportionales,& füperficiei Sphzricg par-| ticulz quzvis, ad HI& KL reßis per pun&um P tranfeuntibus Undiq; terminate, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires
harum.,

. A AN
DL] harum particularum in corpus P exercitz funt inter fe xquales. Sunt.enim ut particulz diredte 8& quadrata diftantiarum inverfe.‘ Et hg duz rationes componunt-ra- N£Y9 20 3 Aa
tionem zqualitatis.‘ Attradtiones igitur in contrarias partes zqualiter fax femutuo deftruunt. Et fimili argumento attractiones omnes’ per totam| Sphzricam fuperficiem' a contraris attra@ionibus deftruuntur. Proinde corpus P nullam in
rtem his attra@ionibus‘ impellitur. Q. E.D.
Prop. LXXI. Theor. XXXI.
Lifdem pofitis, dico quod corpufenlum extra Sphericam fuperficiens conftitutum attrahitur ad centrum Sphere, wi reciproce proportionaI quadrato diftantie fu@ ab eodem centro. Li; Sint AHK B, ahkb zquales duz fuperficies Sphzrice, centris
5, 5, diametris AB, ab deferipte, 8 P, p.corpufcula fita extrinfecus in diametris illis produdtis. Agantur a corpufculis linex
PHK, PIL, phk, pil, auferentes ‚a circulis maximis AH B;
ahb, xquales arcus quam minimos HK, hk8ScHL, hl: ‚Et,ad
eas demittantur perpendicula SD, s d;SE, sezIR, ir; quorum D!
2

SD, sd fecent PL; pl im F&f. Demittantur€tiam-ad- diametros perpendicula IQ, ig;& ob zquales DS;&; ds, ES8& es,& angulos evanefcentes DP E.&-dpe;-line@PE,PF&pe, pf& lineole DEF, dfpro zqualibus habeantur-:! quippe:quarum ratio ultima, angulis illis DP E;-dpe fimul evanefcentibus, eft zqualitatis. His itaq; conftitutis, erit PTLid-P Fut RI ad DF,& pfad piut DFvel dfad riz& ex%quo PIxpf ad PFxpiut RIadr£ hoc eft( per Corol. 3. Lem. VIL') ut. arcus IH ad arcum zh. Rurfus PTad PSut IQ adSE,& pradıpi ut SE velse ad iq;& ex zquo PIxpsadPSxpi ut IQ ad #q. Et conjunCtis rationibus PI quad. xpfxpsad pi guadx PF
%. h£ P RE
x PS, ut IHxTO ad ih xig; hoc eft; ut fuperficies cireularis, quam arcus IH convolutione(emicirculi 4 K B circa diametrum AB deferibet,; ad fuperficiem circularem,quam arcus zb convolutione femicirculi a kb circa diametrum a b.deferibet. Et vires, quibus hg fuperficies fecundum lineas ad fe tendentes attrahunt corpuscula P& p, funt(per Hypothefin) ut ipfz fuperficies applicat ad quadrata di{tantiarum fuarum a corporibus, hoc eft, ut pfxpsadPFxPS. Suntq; he vires ad ipfarum partes obliquas quz(*facta per Legum Corol. 2 refolutione virtum)/fecundum Hneas PS, ps-ad centra tendunt, ut PI ad-P.Q, 8& pi ad pg; id eft(ob fimilia triangula PIQ& PSF, piqg&psf) ut PSad PF& psadpfi Undeex xquo fit attradio corpufeuli hujus Pverfüs$ ad’attta@tionem corpulculip verfüs s, ut kb ad
UF

mento vires, quibus(uperficies convolutione arcaum KL, k/ de{criptz trahunt corpufcula, erunt, ut ps quad. ad PS quad. 5; inq; eadem ratione erunt vires fuperficierum omnium circularıum in quas utraq; fuperficies Spherica, capiendo{emper_s d=SD& se=SE, diftingui poteft. Et per Compolfitionem,, vires totärum fuperficierum Sphzricarum in corpufcula exercitg erunt ın eadem ratione. Q. E. D.) 0
Prop. LXXII. Theor. XXXI.
Si ad Sphere cujufvis punsta fingula tendant wires xquales centripete decrefcentes in duplicata ratione difkantiarum a pungtis, ac detur ratio diametri Sphere ad diftantiam corpufculi a centro es 5 dico quod wis qua corpufenlum attrahitur proportionalis erit femtdiametro Sphere.;
Nam concipe corpufcula duo{eorfim a. Sphzris duabus attrahi, 8 diftantias a centris proportionales efle diametris, Spharas autem refolvi in particulas fimiles 8& fimiliter pofitas ad corpufcula. Hinc attra&iones corpufculi unius, faCtz verfüs{ingulas particulas Spherz unius, erunt ad attractiones alterius verfus analo-. gas totidem particulas Sphere alterius, in ratione compolfita€x ratione particularum diredte& ratione duplicata diftantiarum inverfe. Sed particule funt ut Sphere, hoc eft in ratione triplicata diametrorum,& diftantize{unt ut diametri,& ratio prior dire&e una cum ratione pofteriore bis inverfe eft ratio diametri ad diametrum. Q. E.D.
Corol. x. Hinc fi corpufcula in circulis circa Spheras ex_materia zqualiter attradiva conftantes revolvantur, fintq; diftantie a centris Spherarum proportionales carundem diametris; tcmpora periodica erunt xqualia.
* Bb2/ Corol,

L 196] Corol. 2. Et vice verfa, fi tempora periodica funt zqualia;. diftantiz erunt proportionales diametris.— Conftant hzc duoper
Corol. 3. Theor. LV, Prop. LXXIM. Theor. XXX.
Si ad fphere alicnjns date pungta fingula tendant xquales wires centripet@ decrefcentes in duplicata ratione diftantiarum a punSkis: dico quod corpufenlum intra Spheram conftlitutum attrahitur vi proportionali diftantie(ne ab ipfius centro. 7 In Sphera ABCD, centro S defcripta, locetur corpufculum P,
& centro eodem S intervallo$P concıpe Spharam interiorem
PEOF defcribi. Manifeftum eft, per
"Theor. XXX. quod Sphzricz fuperfiCies cofcentrice, ex quibus Spherarum
differentia 4EBF componitur, attractionibus per attractiones contrarias deftructis, nil agunt in corpus P.. Reftat
Aola atfractio Spherz interioris PE QF.
Et per Theor. XXX. hc eft ut diftantıa PS. Q. E.D. ed Ss a
: Scholinmz.
Superficies ex quibus folida componuntur, hic non fünt pure „Mathematica,{cd Orbes adeo tenues ut eorum craflitudo inftar nihili fie; nimitum Orbes evanefcentes ex quibus Sphzra ultimo conftat,ubi Orbium illorum numerus augetur& craflitudo minuIcur 10 infinitum,juxta Methodum{ub initio in Lemmatis-generalibus expofitam. Similiter per pun&a, ex quibus lineg, fuperficies& folida componi dicuntur, intelligendx{unt particule 2quates magnitudinis contemnendz.
Prop.

(97:2)© Prop. LXXIV. Theor. XXXIV.
Lifdem pofıtis, dico quod corpufenlum extra Spheram conflitutum attrahitur wi reciproce proportionali quadrato diftantie fu@ ab ipfins Centro.)
Nam diftinguatur-Sphera in fuperficies Spharicas innumeras
‚ concentricas,& attractiones corpufculi a fingulis fuperficiebus oriunde erunt reciproce proportionales quadrato diftantixe corpufculi a centro, per Theor. XXXI. Et componendo, fiet fümma attractionum, hoc eft attractio Spherz totius, in eadem ratione,
Q. E. D.+.}® Corol. x. Hinc in zqualibus diftantiis a centris homogenearum
Spherarum, attradtiones funt ut Spherz. Nam per Theor.
XXXII. fi diftantix fünt proportionales diametris Spherarum,
vires erunt ut diametri. Minuatur diftantia major in illa ratione,& diftantiis Jam fa@&is zqualibus, augebitur attraCtio in duplicata illa ratione, adeoq; erit ad attra&ionem alteram in triplicata illa ratione, hoc eft in ratione Sphararum. Corol. 2. In diftantiis quibufvis attractiones fünt ut Spherz
applicatz ad quadrata diftantiarum.|
.Corol. 3. Si corpufculum extra Spheram homogeneam politum trahitur vi recıproce proportionali quadrato diftantix{ux ab ipfius centro, conftet autem Sphera ex particulisattractivis> decrefcet vis particulg cujufg; in duplicata ratione diftantig a particula.
” Prop. LXXV. Theor. XXXV.
Si ad Sphare date punta fingula tendant vires aquales centripet@” decrefcentes. in duplicata ratione diftantiarum a pungtis, dico quod‘ Sphaera quawis alıa fimilaris attrahitur vi reciproce proportionale quadrato diftantie centrorum.; nn|
Nam particulge cujufvis attractio eft reciproce ut quadratum: diftantiz ejus a centro Spherz trahentis,(per Theor, XXXI,)&
PI9p?

L 158] propterea eadem eft ac fi vis tota attrahens manaret de corpufculo.unico fito in centro hujus Spherz. Hac autem attractio tanta eft quanta foret viciflim attractio.corpufculi.ejufdem,{i modo illud a{ingulis Sphere attracte particulis ceadem vi traheretur qua ipfas attrahit. Foret autem illa corpufculi atträftio (per Theor XXXIV). reciproce. proportionalis quadrato. diftantiz ejus a centro Sphgerz; adeoq; huic zqualis attradtio Spheerz eft in eademratione. Q. E. D.
Corol. ı. Attractiones Spherarum, verfus alias Spheras homogeneas, fünt ut Spharz trahentes applicate ad quadrata. diftantlarum centrorum{uorum a centris earum quas attrahunt. = Corol, 2. Idem valet ubi Sphzra attracta etfiam attrahit. Namq; hujus pundta fingula trahent fingula alterius, eadem vi qua ab ipfis viciflim trahuntur, adeoq; cum in omni attractione urgeatur( per Legem 3.) tam pundum attrahens, ‚quam pundum attractum, geminabitur vis attradionis mutux, confervatis proportionibus.
Corol. 3. Eadem omnia, qux fuperius de motu corporum circa umbilicum Conicarum Sectionum demonftrata funt, obtinent
ubi Sphara attrahens locatur in umbilico& corpora moventur
extra Spheram.
Corol,. 4. Ea vero que de motu corporum circa centrum Conicarum Sectionum demonftrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra Spheram.
Prop. LXXVI.. Theor. XXXVI.
Si Sphare in progreffn a centro ad circumferentiam( quod materie
denfitatem&» vim attraclivam') utcung; diffimilares, in progreffu vero per circnitum ad datam ommnem a. centro diftantiam funt undiq; fimilares,& vis attractiva puncli eujufg; decrefeit in duplicata ratione diftantie corporis attratti: dico quod wis tota qua huJufimodi Sphara una attrahit aliam fit. reciproce proportionalis quadrato diflantie centrorum. ‚ Sunto
*

ee[199] Sunto Spherg quotcung; concentricz fimilares AB, CD, EF 8&c. quarum interiores addıtz exterioribus componant materiam ‚denfiorem verfus centrum,. vel fubdu&tz"relinquant tenulorem; 8& he, per Theor. XXXV, trahent Spheras alias quotcung; concentricas fimilares GH, IK, LM, 8&c. fingule fingulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato diftantiz SP. Et componendo vel dividendo, fumma virtum illarum omnium, vel exceffus aliquarum füpra alias, hoc eft, vis qua Sphera tota ex concentricis quibufeung; vel concentricarum differentils compolita AB, trahit totam ex concentricis quibufcung; vel concentricarum differentiis compofitam GH, erit in eadem ratione. Augeatur nümerus Sphararum concentricarum in infini- ol tum fic, ut materige denfitas tina cum vi attractiva, im progreflu a circumferentia ad centrum, fecundum Legem quamcung; crefcat vel decrefcat:& addita materia non attradtiva compleatur ubivis denfitas deficiens, eo. ut Sphere acquirant formam quamvis optatam;& vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum ( per argumentum{uperius) in eadem illa diftantie quadratz ratione inverfa. Q:E."D. Corol. x. Hinc fi ejufmodi Spherz complures fibi invicem per ‚omnia{imiles fe mutuo trahant; attractiones acceleratrices. fingularum in fingulas erunt in xqualibus quibufvis centrorum diftantls ut Spherg attrahentes. e Corol. 2. Ing; diftantiis quibufvis ingequalibus;, ut Sphere attrahentes applicatz ad quadrata diftantiarum inter centras
. 5 Oorol.

L 200]
Corol, 3. Attractiones vero motrices, feu pondera Spherarum in Spharas erunt, in zqualibus centrorum diftantiis,ut Spherz at: trahentes 8& attractz conjunchim, id eft,, ut contenta füb Spheeris per multiplicationem productka. N
Corol. 4. Ing; diftantiis inzqualibus, ut contenta illa applicata ad quadrata diftantiarum inter centra.
Corol. 5. Eadem valent ubi attractio oritur a Spharze utriufg; virtute attractiva, mutuo exercita in Spheram alteram. Nam viribus ambabus geminatur attraCtio; proportione fervata.
Corol. 6. Si hujulmodi Spherz alique circa alias quiefcentes revolvantur, fingule circa fingulas, fintg; diftantixe inter centra revolventium& quiefcentium proportionales quiefcentium diametris; zqualia erunt tempora periodica.
Corol, 7. Et viciflim, fi tempora periodica funt xqualia, diftantig erunt proportionales diametris.)
Corol, 8. Eadem omnia, quz füuperius de motu corporum circa umbilicos Conicarum Seftionum demonftrata funt, obtinent ubi Sphara attrahens, formz& conditionis cujufvis jam deferiptz, locatur in umbilico.
Corol. 9: Ut 8 ubi-gyrantia{unt etiam Spherz attrahentes, conditionis cuju(vis Jam defcriptz.
Prop. LXXVIL Theor. XXXVII:
SE ad fingula Spherarum pungta tendant vires centripete proportionales diftantiis punetorum a corporibus attraßtis: dico quod wis compofita; qua Sphere due fe mutno trahent, eft ut difkantia inter
. ‚centra Spherarum.
Cas ı. Sit ACBD Sphera; S$ centrum ejus, P corpufculum attradtum, P ASB axis Spherze per centrum corpufculi tranfiens, EF, ef plana duo quibus Sphzra fecatur, huic axi perpendiculara,& hinc.inde zqualiter diftantia a centro Sphere: Gg. inter-'
{edtiones planorum& axis,& H pundtum quodvis in plano ER. . Pundti

|[52041217
4
„Pun&i H vis centripeta, in. corpufculum P fecundum lineam PH
exercita eft ut diftantia PH,&(‚per Legum Corol. 2...) fecunrcundum Jineam P G,feu verlus centrum S, ut longitudo PG. Igitur pund&orum omnium in, plano;E F; hoc, eft ‚plani totius vis, qua. corpufculum ‚P trahitur verfus centrum S, eft ut numerus pund&orum dudtus in diftantiam P G: idıeft ut contentum fub plano ipfo EF& diftantia illa PG.. Et fimiliter vis plani ef, qua corpufculum P trahitur verfus centrum S, eft ut,planum illud du&um in diftantiam füuam P g; five ut huic_ xquale planum E F du&um in diftantiam illam P gg;& fumma ‚virium plani utriulq; ut planum E F du&um in.; {ummam diftantiarum P.G+ Po, id eft, ut planum illud du&um in duplam centri'& corpufculi diftantiam PS, hoc eft, ut duplum planum EF du&um in diftantiam PS, vel „ut fumma zqualium planorum FE
EF+ef duda in diftantiam“, eandem. Er fimili argumento, vires omnium planorum in Sphazra tota, hinc inde zqualiter a;centro Sphere diftantiıum,{unt ut fumma. planorum duda in diftantiam P 8, hoc eft, ut Sphara tota dudka in diftantiam centri(ui Sa.corpufculo P. Q. E.D.@ „ ‚Cas. 2. Trahat jam corpufeulum-P Spheram ACBD. Et codem argumento probabitur quod vis, qua Spheera illa trahitur, erit ut diftantia P S. O. E. D.;
Cas 3. Componatur jam Sphzra altera ex corpufculis innumeris P;&:quoniam vis, qua corpufculum unumquodgq; trahitur, eft ut diftantia corpufculi a centro Sphere primz ducta in Spheram. candem, atq; adeo eadem eft ac fi prodiret tota de corpufculo unico in centro Sphere vis.tota qua corpufcula, omnt in Sphera fecunda trahuntur, hoc eft, qua Spheera.illa tota trahitur, cadem erit ac fi Sphera illa traheretur. v1 prodeunte de corpufel Cc) culo

C 262] culo unico in centro Sphere prime,& propterea proportionalis eft diltantie inter centra Spherarum. Q.E, D.
Cas, 4. Trahant Sphere fe mutuo,& vis geminata proportionem priorem fervabit. Q.E. D.;
Cas, 5. Locetur Jam corpufculum p intra Spheram AC BD, & quoniam vis plani ef im corpufeulum eft ut contentum füb plano illo& diftantia pg;& vis contraria planı E F ut contentum {üb plano illo 8: diftantia PG; erit vis ex utraq; compofita ut differentia contentorum, hoc eft, ut fumma 2qualium planorum ducta in‘ femiffem differentiz diftantiarum, id eft, ut fumma illa dud&a-in pS, diftantiam. corpufculi a centro Sphere. ae> Et fimili argumento:attradio De Sl ‚pPlanorum omnium E F, e fin C] HEN Sphera tota, hoc eft attractio ES MORE Sphera totius, eft ut fümma We ET pP planorum omnium, feu Sphz- 4| ra tota, ducta in p Scdiftantiam ES corpulculi a centro‘ Sphere.
Cas. 6. Et fiex corpufculis innumeris p componatur Sphera nova intra Spheram priorem ACBD fita, probabitur ut prius,"quod attra&io, five fimplex Spherz unius in alteram, fi ve mutya utriu{g; in fe ınvicem, efit ut diftantia centrorum PS
DEE
Prop. LXXVHI. Theor, XXXVI.
Si Sphere in progreffn'a tentro ad circumferentiam fint nteung; difJihkilares Cs inkquabiles, in progreffn vero per circnitum ad datam opmen a centro diftantiam fint undig; fimilares;&» vis attratliva punCli cujufq; fit'nt dıfkantia corporis attraßli: dieo quod' wis tota qui Bujufinodi"Spherz due fe mutno trabunt fit proportionalis‘ di© fFantie inter centra Spherarum, WÄRE Of DD
De

EEE
E 203]
Demonftratur ex Propofitione prxcedente, eodem modo quo Propofitio LXXVIL ex Propofitione LXXV. demonftrata füit.
Corol, Que fuperius in Propoficionibus X. 8& LXIV. de motu corporum circa centra Conicarum Sefionum demonftrata funt, valent ubi attradtiones omnes fiunt vi Corporum Sphzricorum, conditionis jam deferiptz, funtqzersperaattradta Spherz con.ditionis eju(dem.== x
Attradtionum Cafus duos infigniores jam dedi expofitos 5 nimirum ubi vires centripetz decrefcunt in duplicata- diftantiarum ratione, ‚vel.crefcunt in diftantiarum ‚ratione fimplici; eflicientes in utroq; Cafı ut corpora gyrentur in Conicis SeCtionibus,& componentes ‚corporum Sphericorum vires centripetas eadem Jege in receffua centro decrefcentes ‚vel crefcentes ‚cum. deipfis. Quod eft notatu dignum. Cafus ceteros, qui conclufiones minus elegantes exhibent; figillatim percurrere Jongum eflet: Malim.cund&os methodo generali fimul com prehendere ac determ i nare, ut fequitur.:)
. Lemma XXX.
Si deferibantur centro S circulus quiliber AEB,(Vide Fig. Prop.
fequentis)& centro P circnli duo E Fef, fecantes priörem in E, ec, lineamq, PS in F, fs& ad PS demittantur perpendicula ED, ed: dico quod fi diftantia arcmum EF, ef in infinitum mizui intelligatur, ratio ultima line@ evanefcentis Dd äd lineanı
evanefcentem Ff ea fit, que line@ P E ad lineam PS. Nam fi linea Pe fecet arcum EFinq;& re&a Ee, quz cum arcu evanefcente E e coincidit, producta occurrat redtz PS in T, & ab S demittatur in PE normalis SG: ob{fimılia triangula EDT,edt, EDS; erit Ddad Eecut DT ad ET feu DE ad ; Cc2 A ES,

ES,& ob triangula Ege, ESG'( per Lem: VI 8 Cör6l, 3. Lem, VII.) fimilia, ‚erit Ee‘ad ge feu Ff,ut ES ad SG,&cex xquo Dd’ad Ffut DE ad’S65 hoc eftC ob fimilia triangula
PDE, PGS$)uPE ad PS: C:E/D. ER Rn Mr
Prop-LXXIXw Fheori XXXIXw ns oo Si Juperficies‘ ob latitndinem infinite diminntam jamjam ezanefcens E Ffe, conwvolntione(ui circa axem P S, defcribat folidum Sphericnyr concavo-conwexuM, ad cujus particnulas fingnlas equales ten‚dant«quales wires'centripet@: dicoquod wis; qua folidun illnd \ trahit corpufenlum fitum in‘ P, eft in ratione”compofita: ex ratione folidi DE q:xFf&“ ratione wis qua: particnla‘ data in loco Ef. "”#rdheret idem corpufenlum. ie X are ; Nam fi’primo confideremus vim fuperficiei Spherice FE, que convolutione arcus FE genieratur,& linea‘de ubivis fecaturinrs. erit{uperfi- Er clei pars anmularis; con- _volutione. atcus. r’E . genita, ut lincola Dd, manente Sphere‘ ra diö PE,(u-ti demonitravit Ar- BC chimedes im Lib..de Sphera-& Cylindro.) Et hujüs vis fecundum“ lineas-P’E vel Pr undiqg; in{uperficie conica fitas'exereita, ut hzc ipfäa fuperficiei parts annularis> hoc eft, ut lineola Dad,-vel quod’perinde eft, ut rectangulum{ub dato Spherz radio: PE& Hneola la Dd: at fecundum lineam P S’ad centrum S$ tenden

“A ein minor, in ratione P Dad P Ey ädeog; ut PD xDd. Die vidi jam intelligatur linea DFin particulas innumeras xquales; que fingulg nominentur Dd;& fuperficies FE dividetur in totidem gequales annulos,quorum vires erunt. ut fumma omnium PD x Dd, hoc eft, cum lineole_omnes Dd{fibi, invicem xquentur, adeoq; pro datis haberi poflint, ut{fumma omnium P D duta in D.d, id eft,ut+ PFg.—+ PD g.five: PEqg.—3 PD g. vel; DE g. ductum in Dd5 hoc efßt, fi'negligatur data* Dıdyut DE quad,: Ducatur jam fuperficies FE in altitudinem: Ff 3:8 fiet folidiE Ffevis exercita in corpufculum- P ut DE4-xFf: puta(i,detur vis, quam particula aliqua data-Ff in diftantia P-F exercet in,corpufeulum P. At fi vis illa non detur, fiet vis folidı EFfe ut folidum DEg.xFf& vis illa non data conjundim. Q.E.D..
‚Prop. LXXX. Theor. A
Si ad Sphere alienjüs AE B.centro&S deferiptee, particulas fingulas Zquales tendant.£quales vires centripet&,& ad’ Sphere, axem AB, „141 quo corpufenlum aliquod P locatur, ‚erigantur de punctis fingubis D perpendicnla D E,Sphar« occurrentia in EC» in ipfis capiantur longitudines DN, que fint ut quantitä6 DE> Cs wis quam
. Sphere particula fita. in. axe ad diftantiam PE exercet in cor-. pufcnlum P comjunetim: ‚dico. quod vis tota, qua corpufeulum P”
trabitur verfus Spheram, eft ut arca comprebenfa fub axe Sphere AB& lines cirvd AN B, quam'punetune N perpetwo tangit“
Etenim ftantibus quz in Lemmate.& ‚Theoremate novillimoconftrud&a funt, concipe axem Spherz AB dividi in particulas: innumeras xquales D.d, 8; Spheram- totam dividi in totidem: Jlaminas Sphzericas cOoncavo-CONVeXas EFfe;& erigatur perpendiculum dm. Per Theorema fuperius, vis qua lamina EFfe‚trahit corpufculum P eft ut DE4.xFf& vis particule unius ad
‚diftantiam P.E vel P.F exercita conjundtim. Eft autem per LemAR ENSP GE
MI

[206] ma noviflimum, Dd ad Ff ut PE ‚ad PS,.& inde Ff zqualis
P ze I& DE4g.xFf equale Dd in DEE& proptePS.
rea vis laminz E Ffe eft,ut.D din bb& vis particule ad
_ diftantiam P Fexercita conjuntim, hoc eft(‚ex Hypothefi)ut DNxDd, feu area evanefcens DNxd. Sant igitur Jaminarum: omnium vires in corpus P exercitez, ut arez omnes D N d, hoc eft Spherg vis’'tota ut area tota ABN A. Q. E.D.
Cörol. x.'Hinc fi vis centripeta ad particulas fingulas tendens, eadem femper maneat in omnibus diftantiis,& fiat DN ut DE erit vis tota qua corpufculum a Sphzra attrahitur, ut area ABN A.;
Corol. 2. Si particularum vis centripeta fit reciproce ut diftantia corpufculi a fe attradti,& fiat DN ME erit Vis
.; 9 qua corpufculum Pa Sphera tota attrahitur ut area ABN A.
Corol.*3. Si particularum vis centri eta fit reciproce ut cubus 3 P P P
diftantig corpufculi ade attradti,& fiat DN ut AS: erit vis qua corpufculum a tota Sphera attrahitur ut area ABNA. Corol. 4. Et univerfaliter 1i vis centripeta ad fingulas Spharze particulas tendens ponatur effe reciproce ut quantitas 7, fiat autem.D.N ut DE4. XPS ; PExV ta attrahitur ut area AB'N A.
5 erit,vis.qua corpufeulum.a Sphara to| Prop. LXXXI. Prob. XLL
Syamtibus Jam pofitis, menfuranda eft arca ABN A. A pund&o P ducatur re&a PH Spharam tangens in H,& ad axem P AB demiffa‘ Normali HI,’bifecetur PT in L 5;& erit 1(per

*. Sa[27];
( pet-Prop: r2, Lib. 2. Elem.). P E4:xquale PSj.+SE 9.+
2PSD. Eft autem SEgq. feu SHg.(ob fimilitudinem triangulorum SP H, SHT)xquale:re&tangulo PS I ‚Ergo P E q. xquale
eft contento
2 SD, hoc u. EUER EM RE ro DE quad.“.
xquale eft—
SEqg.-SD4..
Cu SEq.=LSg.+2SLDLDg. ide SLD-LDg.= ALB. Nam LSg.— SE. feu LSq.—S 44.(per Prop.6 Lib. 2.
Elem) zquatur rectangulo ALB. Scribatur itaq; 2$LD=LDg.
‚0. DRg x — ALB pro DEq..& N Wa Corollarium quartum Propofitionis,przcedentis eft ut Jongitudo ordinatim applicate D N, refolvet fee in tres‘ partes 2SLDxPS
PB: AS N x fi oO V SE TR verfa vis centripetz,& pro PE’ medium’proportionale inter PS& 2.L.Dz; tres illx partes evadent ordjnatim applicatz linearum totidem curvdrum, quarum arex per Methodos vulgatas innote(cunt. Q. E. F."Ag Exempl. 1. Si visicentripeta'ad fingulas‘ Sphere‘ particulas tendens{fit reciproce ut diftantia 5; pro V feribe diftantiam P E, dein 2 PSxLD proPEq.,&fiet DN ut SL-$LD— Zen a Pone
que fecundum

* [ 208] ‘ ‚Pone DN xqualem duplo ejus 2 SLZLDCALB:&"ordinatz parsı data 2. SL.düCa in Jongitudinem 4 B-defcribet aream red angulam 2 SL x AB; 8& pars indefinita L D du&a normaliter in
candem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter movendum crefcendo vel decrefeendo gquetur femper Tongitu‚dmiL D, deferibet aream Pl.— LA id eft,arcam'S LxA B;
2 "que fubduca de area priore 2$Lx AB relinquit aream$Lx
ALB
AB. Pars autem tertia ID ducta itidem per motum. Jocalem
‚Hormaliter in candem Jongitudinem, deferibet aream-HyperboliCam; quz fubducta de area SL x AB relinquet aream- quefitam ABNA.«Unde talis emergit Proble- 2 a “matis conftructio. Ad pundta L, A, Berige perpendicula L 4’ A 4, Bb, quorum’ Aa ipli L 5,& Bb pi LA que? tur.+ Afymptotis L/, L B, per’punda a; b..deferibatur- Hyperbola ab. Et aa chorda ba claudet aream aba:a-; rex quelite ABN A zqualem. fin “ Exempl.‘2. Si.vis centripeta.ad fin- LAT rn gülas Spherz particulas tendens fitre-.* ciproce ut cubus diftantix, ‚yvel,(, quod perinde-eft) ut cubüus ilP Ecnb,% y 2 A5q? Fa? BER 0 SED SS AST AO dein ABS Dipro PEg.5.& fiet DN ut PSSEDI SPS = SFS«EDE def Geb continue proportionales_P$ 45,
le applicatus ad planum quodvis datum; feribe
tres

F 2000}
tres in longitudinem AB, prima Ze generabit areamHyperbo«
licam; fecunda* ST aream+ ABxSTI; tertia ALBxSI
2LDgI.
ee r A Sn E De ideft} ABxSI.. De prima fubducatur f{umma. fecundz ac tertig,& manebit area quzfita ABN A. Un- 11 iade talis emergit Problematis con- Ä
ftrudio. Ad pundta L, 4, S; B erige perpendicula L/, Aa, Ss, Bb, quorum Ss. ipfi ST zquetur, perg;
arcam
pund&um s. Afymptotis L/, L B de-| den Ba BE E {eribatur Hyperbola ash occurrens| i Ze perpendiculis 4a, B bina&b;& CR+ Sg
rectangulum 2 AST fubdudum de
area Hyperbolica das bB relinquet aream quefitam ABN A, Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad fingulas Sphere particulas
tendens, de&crefcit in quadruplicata ratione diftantig a particulis,
feribe DS pro V, dein vy2PS x LD pro PE,& fiet D N’ut SLxSB- ST?„ALBxSE
YVaxlD: 23VaxLD:r.. 2/2xLDi Cayus tresrpatı tes duftz in longitudinem AB, producunt Areas totidem, zz, v2 x SLxSI 3 yoaxSLxSI*} LB:ixSI*—LA: x ST
L A: DB Alt ca aha De & PD m N ET Ethz poft debitam reductio$ STeub. I Et
nem, fubdu&is pofterioribus de priori, evadunt
gler ee tota, qua corpufculum P inSpherz centrum trahitur, eft ut PT id eft reciproce ut PScub.x P I. O. E. I.
Dd Ea

41.416] Eadem Methodo determinari poteft attractio corpufculi fie intra Spheram, fed expeditius per Theorema{equens.
Prop. LXXXII. Theor. XLI.
In Sphera centro S interwallo SA deferipta, fi capiantur ST, SA, SP continne proportionales‘: dico quod corpufenli intra Spheram in loco quowis I attraStio eft-ad attractionem ipfins extra Spheram in loco P, in ratione compofita ex dimidiata ratione diflantiarum a
‘ centro IS, PS& dimidiata ratione wirium centripetarum, in loci illis P& T, ad centrum tendentium.
Urt fi vires centripetz particularum Sphere fint reciproce ut. diftantiz corpufculi a fe attracti; vis, qua corpufculum firum in 7 trahitur a Sphera tota, erit ad vim qua trahitur in P, in ratione compofita ‚€x dimidiata ratione diftantix ST ad diftantiam SP.& ratio- oe ne dimidiata Vils centripeten loco I, a particula aliqua in centro oriundz, ad vim centripetam in loco P ab eadem in centro particula 6riundam,ideft, ratione dimidiata diftantiarum ST,$P ad invicem reciproce.- Hx duz rationes dimidiatz Componunt rationem zqualitatis,& propterea attradtiones in I& P a Sphera tota factr xquantur. Simili computo, fi vires particularum Sphere funt reciproce in duplicata ratione diftantiarum,<colligetur quod attractio in I fit ad attraCtionem in P, ut diftantia SP. ad Sphere
8 demi

a EEE EEE ET VER
femidiametrum S A: Si vires ille funt reciproce in triplicata ratione diftantiarum, ‚attradtiones in I& P erunt ad invicem ut SP quad. ad S A guad.; fi inquadruplicata;. ut SP cub. ad SAcub. Unde cum attradti6 in P, in hoc ultimo cafu, inventa füit reciproce ut P Scub.x PT, attra&io in I erit: reciproce ut S Acub.x P TI, ideft (ob datum S.Acub.) reciproce ut PL. Et fimilis eft progreflus in infinitum.. Theorema vero fic demonftratur.
Stantibus jam ante conftrudtis,& exiftente corpore in loco DEg.xPS
PExXVErgo fi agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, müDEgq.xIS
TExV” 7 Spherg pundo quovis E manantes, efle ad invicem in diftantiis IE, PE, ut PE”ad TE?,( ubi numerus x defignet indicem
poteftatum PE& IE)& ordinatz ille fient ut REIS& ; ı PE=PE*
> quarum ratio ad invicem eft ut PSx IE x TE*ad IS
= quovis P, ordinatim applicata D N inventa fuit ut
tatis mutandis, evadet ut Pone vires centripetas,€
DEg4.xIS TExIE* xPExPE”, Quoniam ob fimilia triangula SPE, SET, fit IE ad PE ut IS ad SE vel SA; pro ratione IE ad PE feribe rationem IS.ad SA;& ordinatarum ratio evadet PSxIE” ad SAxPE*, Sed PS ad SA dimidiata eft ratio diftantiarum PS, SI;&1E”ad PE” dimidiata eft ratio virıum in diftantiis PS, IS. Ergo ordinate,& propterea arex quas ordinatz
deferibunt, hifq; proportionales attractiones,{unt in ratione compofita ex dimidiatis illis rationibus. Q. E. D.
Dda Prop..

[212]
Prop. LXXXI. Prob, XLII.
Irwenire im qua corpufenlum in centro Spherg locatum ad ejus
Segmentum quodeung; attrahitur. ‚Sit P corpus in centro Spharaz)& RBSD fegmentum ejus plano R DS&(uperficie Spherica R B$ contentum.- Superficie Sphzrica E FG centro P de{fcripta fecetur DB in F} ac. diftinguatur fegmentum in partes BREFG S, FEDG; Sit autem{uperficies illa non pure Mathematica, fed Phyfica, profunditatem habens quam. minimam.. Nominetur ifta pro- N Daran abe Kunditas 0,.8c erit hzc fuperficies ( per demonftata Archimedis) ut PFxDfFxO.: Ponamus praterea vires attractivas particularum Sphzrz efle reciproce ut diftantiarum dignitas illa cuyus Index eft#;& vis
R
qua fuperficies FE trahit corpus P erit ut NE PEN portionale fit perpendiculum FN du&um.in O;& area curvilinca 5 DLTB, quam ordinatim applicata FN in longitudinem DB per motum continuum dudca deferibit, erit ut vis tota qua
fegmentum totum R BSD trahit corpus P. Q.E.I,
Hulc pro
Prop. LXXXIV. Prob. XLIL
Inwenire vim qua corpufenlum, extra centrum Spher& in axe fegmentz cujufvis locatum, attrabitur ab eodem fegmento.
A fegmento EBK trahatur corpus P( Vide Fig. Profr 79.
Bo. 81.) in ejus axe ADB locatum, Centro P intervallo PE def

BB ESEL
deferibatur fuperficies Sphzrica EFK, qua diftinguatur fegmentum in partes dus EBKF&EFK D. Queratur vis,partis prioris. per Prop- LXXXI. 8& vis partis pofterioris per Prop. LXXXII.+& fumma virium erit vis fegmenti ‚totius£BKD.
Scholium.
Explicatis attraCtionibus corporum Sphericorum, Jam pergere liceret ad leges attradtionum aliorum quorundam€X particulis attractivis(imiliter conftantium corporum; fed ifta particula-, tim trad&are minus ad inftitutum fpe&at. Suffecerit Propofitiones quafdam generaliores de viribus hujufmodi corporum, deq; motibus inde ortundis, ob eorum in rebus Philofophicis aliqualem ufum, fubjungere.
3
SEA Th SIE De Corporum tim non Sphericorum Diribus attrashiwiis.
‘ Prop. LXXXV. Theoer.‘XL.
Si corporis attrai, ubi attrahenti contigunme eft, attraktio longe fortior fit, quam cum del minimo interwallo feparantur ab invicem: vires particnlarum träbentis; in receffu corporis attracti, decrefcunt in ratzone plufgnam düplicata diftantiarum a particnlis, Nam fi vires decrefcunt ın ratione duplicata diftantiarum a
particulis;(attractio‘ verfus Corpus Sphericum, propterea quod
(“per Prop. LXXIV,. 1) fie reciproce ut quadratum ‚difrantie en .; WÜNGcHTg eraChE

CL DL in
track corporis a centro Sphaerze, haud fenfibiliter augebitur ex contactu; atq;adhuc minus augebitur ex contachu, fi attrackio in rece(flu corporis attrachı decrefcat in ratione minore. Patet igitur Propofitio de Spheris attradtivis. Et par eft ratio Orbium Sphericorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo magis res conftat in Orbibus Corpora interius conftituta trahentibus, cum attradtiones paflım per Orbium cavitates ab attractionibus Contrariis( per Prop. LXX.). tollantur, ideoq;..vel in ipfo contactu nulle funt..Quod fi Spharis. hifce Orbibufqg; Sphericis partes quzlibet a loco contadtus remotz auferantur,& partes novz ubivisaddantur: mutarı poffunt figurz horunı corporum attractivorum pro. Iubitu, nec ‚tamen partes. additx vel {ubductze, cum fint a 1oco contaftus remote, augebunt notabiliter attractionis exceflum qui ex contadu oritur.- Conftat 191 tur Propofitio de corporibus figurarum omnium. Q. E. D.
Prop. LXXXVI. Theor. XLII.
5% partienlarum, ex quibus corpus attraiamnm componitur, vires in receffu corporis! attraßl; decreftünt iniriplicata zel Plufqgnam triplicata ratione diftantiarum a particulis: attraßtio longe fortier'erit in.Contaltu,. guam cum-attrahens-Cattraeium intervallo wel minimo feparantur ab invicem,
Nam attractionent in acceffu attrackhi Ccorpulculi ad hujufmodi Spharam trahentem augeri in infinitum, conftat. per folutionem Problematis XLI.. in Exemplo fecundo.ac tertio exhibitam.. Idem; per Exempla. illa& Theorema XLLinter{ecollata, facile colligitur ‚de-attractionibus corporum verfus Orbes concave-convexos, five corpora attracta collocentur ‚extta Orbes; five intra in‚eorum cavitatibus;.. Sed& addendo velauferendo his Spheris & Orbibus ubivis extra Jocum contad&us materiam quamlibet attractivam; Co-utcorpora attrackiva induant figuraäm quaivis;af‚Kignatam, conftabit Propofitio de corporibus univerfis. Q.E.D..
Prop.

Prop. LXXXVIL.: Theor: XLIV.
s%
Si corpora duo fibi inwvicem fimilia&» ex materia wqualiter attraßliwa conflantia feorfim attrahant corpufenla fibi ipfis Proportionalia & ad fe fimiliter pofita: attractiones acceleratrices corpufcnlorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpufenlorum in eorun particnlas totis proportionales&» in totis fimiliter pofiE4S. en Nam fi corpora diftinguantur in particulas, quz fint totis proportionales 8 in totis fimiliter fitz; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius corporis ad. attractionem in particulam Correfpondentem in corpore altero, ita attractiones in particulas fingulas primi corporis ad attraCtiones in alterius particulas fingulas. correipondentes; ‚& componendo, ita attractio in totum pri
mum corpus ad attractionem in totum fecundum. Q. FE. D. Corol. ı. Ergo fi vires attraCtive particularum, augendo diftantias corpufeulorum attradtorum, decrefcant in ratione dignitatis
cujufvis diftantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora direCte& diftantiarum dignitates ill inverfe.
Ut fi vires particularum decrefcant'in ratione duplicata diftantiarum a corpufculisattraCtis, corpora autem fint ut A cub. 8 B.cub;
adeog; tum corporum latera cubica, tum corpufculorum attractorum-diftantig a corporibus, ut 4& B attractiones‘ acceleratriGeh CE ideft, ut corporum latera ılla cubica A 8 B. Si vires particularum decrefcant in ra-tione triplicata diftantiarum a corpufculis attrachis;attractiones: acceleratrices in corpora tota erunt ut Acub. dA id elta. Acub. Benb.
quales.. Si. vires decrefcunt in tatione quadruplicata, attractio-Acnb. 8 B6ab. nn
A 4 44. By gJ: cubica 4 8& B. Et ic in czxteris.
tes ın corpora’erunt ut
nes In corpora erunt. ut id eft reciproce ut latera
Corob.

[216-1
Corol. 2. Unde vicillim, ex viribus quibus corpora fimilia trahunt corpufcula ad fe fimiliter pofita, colligi poteft ratio decrementi virium particularum attractivarum in receffü corpufculi attracti; 11. modo decrementum illud fit dire&e vel inverfe in ratione’aliqua diftantiarum.
Prop. LXXXVIIL."Theor. XLV.
Si particnlarum equalinm corporis cujnfeung; vires attraklive int ut diftantie locornu a partienlis: vis corporis totims tendet ad ipfins centrum gravitatis;€» eadem erit cum vi globi ex materia confimili& xquali conftantis x. centrun habentis in ejus‘ centro gras Diab1s,:};
ı Corporis R ST particule 4, B trahant corpufculum aliquod Z viribus que, fi particule xquantur ‚inter fe,. fint ut. diftantix AZ, BZ; fin particule ‚ftatuantur inzquales, fint: ut. hz particule in diftantias fuas AZ, BZ refpective ducdte.. Etexponantur hg vires. per contenta la Ax4Z.& BxBZ. Jungatur AB,& fecetur ca. in Gut lit AG ad BG ut particula,B ad particulam A;& erit G commune Centrum gravitatis particula- Ar rum A 8& B. Vis Ax4Z per Legum Corol. 2. refolvitur in vires 4xGZ& 4x AG,&vis BxBZ in vires BXGZ& Bx BG. Vires autem 4x AG& BxB G, ob proportionales A ad 5& BG ad AG, xquantur, adeoq;, cum dirigantur in_partes confrarias, de mutuo deftruunt. Reftant vires AxGZ&. Bx GZ. Tendunt hz.ab Z verfüs centrum G, 8&vim A4+BxGZ componunt; hoc eft, vim eandem ac fi particule attradivz A8
B cohfifterent in eorum communi gravitatis centroG, globum ibi
COomMponen LES,
Eo

[217]
Eodem argumento fi adjungatur particula tertia C;& componatur hujus vis cum vi 4+BxGZ tendente ad centrum G, vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi il» Jius G 8& particule C 5 hoc eft, ad commune centrum gravitatis trium particularum A, 5, C;& eadem erit ac fi globus& particula C confifterent in centro illo communi, globum majorem ibt componentes. Et fic pergitur in infinitum., Eadem eft igitur vis tota particularum omnium corporis cujufcung; RSTV ac fi corpus illud, fervato gravitatis centro, figuram globi indueret.
Corol. Hinc motus corporis attradi Z idem erit ac fi corpus attrahens RSTV effet Sphericum:& propterea fi corpus illud attrahens vel quiefcat, vel progrediatur uniformiter in directum, corpus attrafum movebitur in Ellipfi centrum habente in attrahentis centro gravitatis.
Prop. LXXXIX. Theor. XLVI,
Si corpora fint plura ex particnlis equalibus conftantia, quarum Yires funt ut diftantie locorum a fingulis: vis ex omninm viribus compofita, qua corpnfenlum quodeung; trabitur, tendet ad trahenHium commune centrum gravitatis,&» ecadem erit ac fı trabentia illa, fervato gravitatis centro conımuni, coirent& in globum formarentur.
Demonftratur codem modo, atq; Propofitio fuperior.
. Corol. Ergo motus corporis attracti 1dem erit’ ac fi corpora trahentia, fervato commun! gravitatis centro,coirent& in globum formarentur. Ideoq; fi corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiefcit, vel progreditur uniformiter in linea recta, corpus attradtum movebitur ın Ellipfi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis,
E e Prop.

C2187] Prop. XC. Prob. XLIV.
Si ad fingnla cirenli cujnfeungs punSa tendant wires centripetg decrefcentes in quacung; diftantiarum ratione: inwenire vim qua corPpufenlum attrahitur ubivis in re&ta que ad planum cirenli per cen=#rum ejus perpendicularis confiftit.
Centro A intervallo quovis AD, in plano cui re&a AP per_ pendicularis eft, deferibi intelligatur circulus;& invenienda{it
vis qua corpus quodvis P in eundem attrahitur. A circuli puncto quovis E ad corpus attradum P agatur re@a PE: In reßa P A caplatur P Fipfi PE gqualis, & erigatur Normalis FK, quz Be Sv D ut vis qua pundum E trahit corpufculum P. Sitq; IKL curva linea quam pundum K perpetuo tangit. Occurrat eadem circuli plano in L. In P A capiatur PH xqualis PD,& erigatur perpendiculum HI’ curve praeditte occurrens in I;& erit corpufeuli P attractio in circulum ut arca AHTL düda in altıtudinem AP. OO. F.L
Etenim in AE capiatur linea quam minima Ee. Jungatur Pe,& in P A capiatur Pfipfi Pe xqualis, Et quoniam vis, qua annuli puncum quodvis E trahit ad fe corpus P, ponitur effe üt FK,& inde vis qua pund&um illud trahit corpus P verfus 4 eft ut APxzFK.
? Sc vis qua annulus totus trahit corpus P verlus 4, ut
”PE annulus&= conjunCtim; annulusautem ifte eft ut redangulum füb radio AE& latitudine Ee,& hoc rectangulum(ob proportionales PE& AE, Ee&cE) zquatur redtangulo P FE XC

FK ut— adeoq; area AHTIKL EI PH;€
” tum infinitum erit reciproce ut P A”-—?, propterea quod. termi_nus alter
rn Fa 1 xcE feu PExFf; erit vis qua annulus ifte trahit corpus P verfus 4 ut PExFf 8 AP 377 conjundim, id eft, ut contentum FfxAPxFK, five ut arca FK k f du&a in AP. Et propterea fumma virium,quibus annuli omnes in Circulo, qui centro A & intervallo AD deferibitur, trahunt corpus P verfüs A, eft ut arca tota AHIKL du&a in 4P. Q.E. D.
Corol. x. Hinc fi vires puncorum decrefeunt in duplicata di-=.
1 1£ x 4-| {tantiarum ratione, hoc eft, fi fit FK ut FF quad.” atq; adco a|
rea AHIKL ut_L_= Fa; erit attradtio corpufculi P in CIrCUPA| Pr id eft, ut 7a]
Corol. 2. Et univerfaliter, fi vires pun&orum ad diftantias D| fint reciproce ut diftantiarum dignitas quelibet D 7, hoc eft, fi fit|
lum ut 1—
Dr)
rit attractio corpufculi Pin circulum ut—|
PAr—x PHAmı| Corol. 3. Et fi diameter circuli augeatur in infinitum,& numerus z{it unitate major; attractio corpufculi P in planum toa
PA
— X
evanefcet.
Prop. XCL Prob.-XLV.| Tnwenire attraionem corpufenli fıti in axe folidi, ad cujus punsta fingula tendunt vires centripet@ in quacung; diftantiarum ratione decrefcentes. Ee2 4 In

[22 7
In folidum ADEFG trahatur corpufculum P, fitum in ejus.
axe AB. Circuloquolibet RFS ad hunc axem perpendiculari fecetur hoc folidum,& in ejus diametro FS, in plano aliquo PALK B per axem tranfeunte, capiatur(per Prop. XC.) longitudo FK vi qua corpufculum P in circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem pundum K curvam lineam L KT, planis extimorum circulorum AL& BIT occurrentem nn A& B;& eritattradio corpufeuli P in folidum ut area LA4BI. Q. E. D..
Corol. x. Unde fi folidum Cylindrus fit, parallelogrammo ADEB circaaxem AB revoluto defcriptus,.& vires centripetz in fingula ejus pun&a tendentes fint reciproce ut quadrata diftantiarum a pundhis: erit attractio corpufculi P in hunc Cylindrum ut BA4—PE+PD. Nam ordinatim applicata FK(per Corol. ı. Prop. XC.) erit ut
PR
ı——. Hujus pars 1 ducta in longitudinem AB, deferibit areamıx4B;& parsaltera Br dudta in Jongitudinem P B,deferibit aream ı in PE—AD( id quod ex curve LKI quadratura facile oftendi poteft:)& fimiliter,pars eadem du&a in longitudinem P A deferibit aream ı inPD— AD, dukag; in ipfarum PB, PA differentiam AB deferibit arearum difFerentiam ı in PE__PD. De contento. primo' ix AB auferatur contentum poftremum ı in PE—-PD,& reftabit area LABTI. xqualis x in 4B—PE+PD.. Ergo: vis huüic}areg, proportionalis eft ut ‚AB—PE+PD.
*
Corol, 2. Hinc etiam vis innotefcit qua Spherois 4G BCDattra

trahit corpus quodvis P, exterius in axe(u0 AB fitum, Sit NKRM Seßio Conica cujus ordinatim applicata ER, ipfi P E perpendicularis, xquetur femper longitudini PD, quz ducitur ad pun&um illud D, in quo applicata ifta Spheroidem fecat. A Spheroidis verticibus 4, B ad ejus axem AB erigantur perpendicula AK, BM ipfis;
Te
AP, BP zqualia refpeCive, 8& propterea SeEtioni Conicg.OCcCurrentia in K 8& M;&)ungantur KM auferens ab cadem fegmentum K MRK, Sit autem Spheroidis centrum S$& femidiameter maxima SC: pr 8& vis qua Spherois tra-, Uns hit corpus Perit ad vim qua Sphzra,diametro 4 B defcripta, trahir idemtorpie u? SxCSqg.-PSxKMRK„qAS cub, Ö 5 PP Sad CSg ASdı 3: P Squad, Et eodem computando fundamento invenire licet Vires(egmentorum Spharoidis:| en Corol. 3- Quod fi corpufculum intra Spheroidem in data quavis ejufdem diametro collocetur; attractio erit ut ipfius diftantia a centro. Id quod facilius colligetur hoc argumento. Sit 4.G 0 F Sphzrois attrahens, Scentrum ejus& P corpus attracum. Per corpus illud P agantur tum femidiameter-SP 4, tum rede due quzvis DE, FG Spheroidi hinc inde occurrentes. in D.&
E, F&G: ‚Sintqg;-P.CM, HLN({uperficies Spheroidum duarum interiorum, ‚exteriori Yımılium.&, concentricarum;| quarum prior tran

tranfeat per corpus P 8 fecet re&as DE& FG inB& C, pofterior fecet eafdem.re&kas in H, 18: K,L. Habeant autem Spheroides.omnes axem.communem,.& erunt recdtarum partes hinc inde intercepte. DP& BE, FP.& CG, DH& TE, FK& LG{fibi mutuo xquales; propterea quod reüix DE, PB& HI bifecantur in eodem pund&o, ut& reftz FG, PC& KL. Concipe jam DPF, EPG defignare Conos oppofitos, angulis verticalibus DPF, EPG infinite parvis defcriptos,& lineas etiam DH, E I infinite parvas effe;& Conorum particulz Spheroidum {uperficiebus abfeille DHKF, GLIE,. ob xqualitatem linearum DH, EL, erunt ad invicem ut quadrata diftantiarum fuarum a corpufculo P, 8& propterea corpufeulum illud xqualiter trahent. Et pariratione, fi fuperficiebus Spheroidum innumerarum fimilium concentricarum 8& axem communem habentium dividantur fpatia DPF, EGCB in particulas, he omnes utrinqg; zqualiter trahent corpus P in partes contrarias. /Equales igitur funt vires coni DPF 8& fegmenti Conici EG CB,& per contrarietatem fe mutuo deftruunt. Et par eft ratio virium materig omnis extra Sphzroidem intimam PCBM. Trahitur igitur corpus P a fola Spheroide intiıma PCBM,& propterea(* per Corol. 3. Prop. LXXII) attractio ejus eft ad vim, qua corpus A trahitur a Sphzroide tota AGOD, ut diftantia PS ad diftantiam 45. Q.E. I.
Prop. XCIH. Prob. XLVIL
; Dato corpore attrattixvo, invenire rationem decrementi wirium cen— Yripetarnm in ejus puncla fingula tendentinm. - E Corpore dato formanda eft Sphera vel Cylindrüus aliave figura

ra regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi. con gruens(per Prop. LXXX. LXXXI& XCIL.) inveniri poteft. Dein faCtis experimentis invenienda ‚eft vis attractionis in diverfis diftantiis,& lex attradtionis in totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium fingülarum, quam invenire oportult.
Prop. XCIH. Theor. XLVI.
Si folidum ex una parte planum, ex reliquis'antem partibus infinitum, conftet ex particulis equalibus equaliter attrattivvis, quarum wires in receffn a folido decrefeunt in ratione poteftatis cujufzis difrantiarum plufquam quadratice,& wi folidi totimws corpufenlum ad utramwis plani partem conflitutum trahatur': dico quod folidi wis illa attrattiva, in receffu ab ejus fuperficie plana, decrefcet in
: ratione poteftatis,. cujus latus eft diftantia corpufenli a plano,&
Index ternario minor quam Index poteftatis diftantiarum.?
Cas. x. Sit LG planum quo Solidum terminatur.; Jaceat autem folidum ex parte plani hujus verfus I, inq; plana innume-_ ram HM,„IN&c.ipiGL z parallela.refolvatur. Et primo collocetur corpus attractumC extra folidum. Agatur autem CG HT planis illis innumeris perpendicularis, & decrefcant vires attractivxz pundtorum folidi in. rati- A AA one poteftatis diftantiarum,. cujus index fir numerus% ternario nen minor. Ergo(per Corol. 3. Prop. XC)vis qua planum quodvis# HM trahit pundum Ceft reciproce ut CH”? In plano zHM capiatur longitudo HM ipfiCH* 2? reciproce,proportionalis,_& erit vis. illa ut HM... Similiter in planis fingulis GL, IN,.0KQ&c, capiantur
sa.

antur longitudines GL, IN, KO 8&c.ipfis CG*=2, CI»-2, CK7— 2&c, reciproce proportionales; 8 vires planorum corundem erunt.ut longitudines captz, adeoqg; fumma virium ut {fumma longitudinum, hocseft; vis folidi totius ut area GLOK in infinitum verfus 0 K produ&ta.Sed area illa per notas quadraturarum methodos eft reciproce ut CG#—3,& propterea vis
folidi totius eft reciproce ut CG* 3 Q.E.D.
Cas. 2. Collocetur jam corpufculum C ex parte plani GL intra folidum;& capiatür diftantia CK xqualis diftantiz CG.. Et dolidi..pars LGI0KO,-planis‘ parallelis IG L,-oK O0. terminata,.cor| pufculum C in medio fitum
| nullam.inıpartem trahet,contrarlis oppofitorum. pundo-| rum aCctionibus‘fe mutuo: per zqualitatem tollentibus..: Proinde corpufculum€ Aola vi folidi ultra planum OK fie trahitür. Hac autem vis(per Cafum primum) eft reciptoce ut CK*—3;, hoc eft.C ob.xquales C.G,-.C,K) reciproce ut CG”-3, Q.E.D.
| Corol. ı. Hinc-fifolidum LGIN planis duobus infinitis parallelis LG; IN utrinq; terminetur; innotefcit ejus vis attrachiva;{ubducendo de vi attraethiva folidi totius infiniti LG K 0 vim attractivam partıs ulterioris NIK 0, in infinitum verfus KO producte.;
Corol. 2. Si folidi hujus infiniti pars ulteritor, quando attractio ejus collata cum attraCtione partis citerioris nullius pene eft momenti, reJiciatur: attracktio partis illius citerioris augendo diftantiam decrefet quam proxime in ratione poteftatis CG*— 3,
Corol. 3. Et hinc fi corpus quodvis finitum& ex una parte planum trahat corpufeulum e regione medu illius plant,& die {tantia inter corpufculum& planum collata cum dimenfionibuf”
CorEEE EEE

225:] corporis attrahentis perexigua fit, conftet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis, quarum vires attractive decreß cunt in ratione poteftatis cuyuivis plufquam quadruplicatz diftantiarum3 vis attractiva corporis totius decreicet quamproxime in ratione poteftatis, cujus latus fit diftantia illa perexigua,& Index ternario minor quam Index poteftatis prioris. De corpore ex particulis conftante, quarum vires attractivg decrefcunt in ratione poteftatis triplicatz diftantiarum, aflertio non valet, propterea quod, in hoc caftı, attractio’partis illius ulterioris corporisinfiniti in Corollario fecundo, femper eft infinite major quam attractio partis citer10rs,
Scholium. Si corpus aliquod perpendiculariter verfus planum datum trahatur,& ex.data lege attraCtionis quzratur mötus corporis: Solvetur Problema quzrendo(* per Prop. XXVII._) motum corporis recta defcendentis ad hoc planum,&( per Legum Corol. 2.)
componendo motum iftum cum uniformimotu, fecundum linea® eidem ‚plano parallelas fa&o. Et-contra, fi quzratur Lex attractionis in planum fecundum lineas perpendiculares fadtz,(ea conditione ut corpus attradtum in data quacung; curva linea moveatur,{olvetur Problema operando ad exemplum Problematis tertil
Operationes autem contrahi folent refolvendo ordinatim applicatas in feries convergentes. Ut fi adbafem A in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo B, qua fit ut bafis digVL,
nitas qualibet 4% ‚8 quezratur vis qua corpus,fecundum pofitionem ordinatim applicate, vel in bafen attra&tum vel a bali fugatum, moveri poflit in curva linea quam ordinatim applicata termino{füo fuperiore femper attingit; Suppono bafem augeri parF te
4
| ||

WC
e quam minima 0,& ordinatim applicatam 4+0 z refolvo in
te q, P ”. er MM— N AP#b— 3 Seriem infinitam 4%+ 2047774 0:4 7&c. atM; 222.
q; hujus termino in quo 0 duarum eft dimenfionum, id eft termino Se M—9IR MM— MR
Sn 7 Di 4% vim proportionalem effe fuppono. Eft igf&ur vis quafita ut ZA a quod perinde eft, ut } BR
MEN 0— 0 an tingat,exiftente z— 2,&#=1: fiet vis ut data 2 B°, adeog; dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemadmodum Galıilexs demonftravit. Quod fi ordinatim applicata Hyperbolam attingat, exiftente#@=--=o— I,&#— 1; fiet vis ut
‚55 Sk Bonb.; adeoq; vi, que fit reciproce ut cubus ordimatim applicate, corpus movebitur in Hyperbola.‘Sed miffis huzufmodi Propofitionibus, pergo:ad alias quafdam de motu, quas nondum attıgi..
„Urt fi ordinatim applicata Parabolam at

[6m
De motn corporun minimorum, que viribus centripekis ad fingulas magni alicnjus corporis partes tendentibus agitantur.
Prop. XCIV."Theor. XLVI
Si media duo fimilaria, fpatio planis parallelis utrinq; terminato, diftinguantur ab invicem,&» corpus in tranfitn per hoc(patinm attrahatur wel impellatur perpendicnlariter verfus medinm alterntrum, neq; ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit antem attractio, in«qualibus ab utroq; plano diftantiis ad eandem ipfins partem captis, ubiq; eadem: dico quod finns incidentie in planum alterntrum erit ad finum emergentie ex plano altero in ratione
data.
Cas. ı. Sunto Aa, Bb plana duo parallela, Incidat corpus
in planum prius A a fecundam lineam GH, ac toto{uo per fpatium Intermedium tranfitu attrahatur vel impellatur ver* füus medium incidentig, caq; aCtione deferibat linecam curvam HI,& emergat fecundum lineam IK. Ad planum emergentig Bb erigatur perpendiculum IM, occurrens tum lineg inciden\G
\M tiz G H produßte in M, tum plano incidentiz 4 a in R;& linea emergentix K I'produdta occurrat HM in L. Centro EL interFf23 U vallo

[228]| vallo LT deferibatur circulus, fecans tam HMinP& Q ,quam . MI produdtam in N;& primo fi attra&io vel impul(us ponatur uniformis, erit( ex demonftatis Galilei) curva HT Parabola, cujus hac eft proprietas, ut rectangulum fub dato latere refto& linea IM zquale fit HM quadrato;(ed& linea HM bifecabitur in L. Undefiad MIdemittatur perpendiculum LO, xquales erunt MO, OR;&additis zqualibus 10, ON, fient totz 2qua-. les MN, IR. Proinde cum IR detur, datur etiam MN, eftq; redangulum N M Tad re&angulum{füb‘ latere re&o& IM, Lhoceft, ad HM4,., In data ratione. Sed re&angulum N MT zquale eft tectangulo P MO, id eft, differentig quadratorum HÖR MLg.& PLqg. feu LI qg-5& H Mg. datam rationem habet ad{üulipfius quartam partem LM q.: ergo datür ratio MLg.— LIq.ad MLg4.; 8-divifim, ratio LI4.ad ML9Ig:y& ratio di£ midiata LTad ML. Sedäim omni triangülo LM I, finus angulorum fünt proportionales Jateribus oppofitis. ‚Ergo datur ratio finus anguli incidentig LMR ad finumanguli emergentix LIR. Cas. 2. Tranfeat jam corpus fücceflive per{patia'plura parallelis planis terminata, Aa 5B, BbcC 8&c.& agitetur vi quz fit in fingulis feparatım uniformis, at in diver(is diverfas& per jam demonftrata, finus incidentiz in planum primum Aa erit ad finum emergentig ex plario fecundo Bb; in data ratione;& hicfinus; qui eft fintıs incidentix in planum fecundum Bo; erit ad fi© 1% nun

[229] num emergentiz ex plano tertio Cc, n data ratione;& hic finus. ad finum emergentig-ex plano quarto Dd, in data ratione;& lic in infinitum:& ex 2quo finus incidentig in planum primum ad {inum emergentiz ex plano ultimo in data’ ratione. Miınuatur jam planorum intervalla & augeatur numerus In infinıtum, co utatträchonis‘vel impulfus aCtio fecundum legem quamcung; aflignatam continua reddatur;& ratio finus incidentix in planum primum) ad finum emergentig ex plano ultimo, femper data exiftens;€tiamnum dabitur: Q. ED.
Prop. XCV. Theor.‘ XLIX.
Tifdem pofitis 3 dico quod<elocitüs corporis"ante incidentiam eftad' ejus velocitatem poft emergentiam, ut fınms emergemtik ad finum zncidenti@, Capiantur AH, Id xquales,& erigantur perpendicula AG,
d K occurrentia lıneis incidentig& emergentix CH, IK, inG
& K. In GH capiatür TH wxqualis IK,& ad plantım Aa de*mittatur normaliter 7%. Et per Legum Corol. 2. diftinguatur motus corporis in duos, unum planis Aa, Bb, Cc&c, perpen-dieularem, /alterum iifdem parallelum. Vis attradtionis vel im-pulfus agendo fecunduml]lineas perpendiculaäres nil ınutat motum:
tecundum parallelas,& propterea corpus hoc motu conficiet x-qualibus temporibus xqualia illa fecundum parallelas intervalla,.
quz{unt inter lineam AG& puncdtum H, interg; pund&um I& lincam d.K;"hoc eft,@qualibts temporbus deferibet intas G Hr. 1IKı.

2230]
IK-Promidervelocitasante incidentiam eft ad velocitatem poft emergentiam, ut GH ad IK vel/TH, id eft; ut AH velIdad z Hy hoceft( refpeciu radıı THvel IK) ut finus emergentig ad finunyincıdentig: Q. BE. D.:
Prop. XCVI. Theor. L.
Tifdem pofitis&- quod motus ante incidentiam velocior fit quam poftea: dico quod corpus, inclinando lineam.intidentix,refle&tetur tandem,&» angulus reflexionis fiet aqualis angulo incidentie.
Nam concipe corpus inter plana parallela Aa, Bb;, Cc.&c. deferibere arcus Parabolicos, ut füpra; fintg;;arcus LH P, PO, OR,&c. Er fit ea linex incidentig GH obliquitas ad planum primum A a, ut finus incidentiz fit ad radiumcirculi, cujus eft finus, In ca ratione quam habet idem finus incidentig ad finumemergentig ex plano Dd, in{patium DdeE:.&:ob finum emergentig Jam factum xqualem radio, angulus emergentiz erit redus, adeoq; linea emergentig coincidet cum- plano. te S Dd.‘ Perveniat corpus ad hoc, planum. in puncto. NET 1 A Ei R; 8& quoniam linca emergentig coincidit cum eodem plano,perfpicuum eft quod corpus nen poteft ultra pergere verfüs planum Ee.> Sed nec potelt idem pergere in linea emergentig R d, propterca quod perpetuo attrahitur vel impellitur verfus medium incidentige. Revertetur itaq; Inter plana Cc,., D.d deferibendo arcum Parabolz 2R4g, cuyus vertex principalis( Juxta. demonftrata Galilei yet ın R; fecabit planumıC ein eodem angulo'in 4, ac prius in Q 3
dein pergendo in arcubus parabolicis gp, ph&c. arcubus prioribus AP,:P H Aimilibus& zqualibus; fecabit reliqua planain ildem angulis in p, h&c. ac'prius.in.P, H&e. emergetq; tandem ecadem obliquitate in h,quaincidit. in H. Concipe jJampla(02
.—.

[231] norum Aa, Bb,-Cc, Dd;Ee intervalla in infinicum minui& numerum augeri, co ut adtio attractionis vel‘ impulfus fecundum legem quamcung; ailignatam continua reddatur; 8 angulus emergentig.{emper‘angulo incidentie xqualisiexiftens,(eidemvetiamnum manebit xqualis. Q. E. DD:
Scholinmt.
Harum attradtionum haud multum diflimiles funt Lucis reflexr jones& refraCtiones, fa&z fecundum datam Secantium: rationem, ut invenit Sxellins,& per confequens fecundum datam Sınuum rationem, ut expofuit Cartefins. Namq;z Lucem fucceflive, propar gari.& fpatio quafi decem,minutorum primorum a Sole. ad. Terram venire, jJım conftat per Phznomena Satellitum Fovis, Obfervationibus diverforum Aftronomorum confirmata. Radıi autem in aere exiftentes(ubi dudum: Grimaldus; luce per foramen in tenebrofum cubiculum admiffla, invenit,& ipfe quoq; expertus fum) in tranfitu{uo.prope corporum vel opacorum vel perfpi' cuorum angulos(quales funt nummorum ex auro, argento& zre cuforum termini rectanguli circulares,& cultrorum, lapidum aut fradtorum vitrorum acies) incurvantur. circum corpora, quali attracti in eadem;& ex his radiis, qui in tranfitu illo propius accedunt ad corpora. incurvantur magis,quafi magisattracti. ut ipfe etiam diligenter obfervavi.: In figura. defignat‘ s aci* em cultri vel cunei cujufvis As Bs; 8& 90m og, faunf,emtm e; d[sTd{unt radii, arcubus om 0, 2 Un, mt, sl verfüs culerum INCUrVati idq; magis vel minus pro diftantia eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum; de* bebunt etiam radii, qui incidunt in‘cultrum, priusincurvarı in a‚ere. quam cultrum. attingunt.| Et’ par eft ratio- incidentium in
. VI

Vitrum, Fir igitur refradtio, non in puncto incidentig, fed paulatim per continuam incurvationem radiorum, fadtam partim in aere antequam; attingunt vierum, partim(ni fallar)in vitro, poftquam illud-ängreffi dunt:- uti in radis c zwkc, biyib,ahxbha incidentibus ad r, g, p,& inter k&%, 78 y, bh 8& x incurvatis, delineatum eft. Tgitur ob analogiam quz eft inter propagationem radiorum lucis& progref{um corporüm;: vifum eft Propofitiones fequentes in ulus opticos{ubjungere; interca de natura radiorum( utrum fint corpora necne‘) nihil omnino difputans, {ed traje&torias Corporum traje&oriis radiorum perfimiles folummodo determinans,
ho aan
Prop. XCVII. Prob, XLVIIL
Pofito quod, finus incidentix in Yuper ficiem aliquam fit ad fimum emergenti@ in data ratione, quodg; inctrvatio wie Corporum juxta fuperfictem illanı rat in(patio brezi 20, quod ut punChum Confiderari poffit sdeterminare Juperficiem qua corpufenla ommnia de 1oco dato Hcceffzwe Manahtia conwergere faciat ad alinın Tocum datum. Sit A Jlocus aquo corpufcula divergunt 5 B locus in quem
Convergere debent; C DE curva linea quz circa axem AB rtevoluta deferibat fuperficiem quefitants D;-E Cutvz illius puncta
duo quzvis;& EF‚EG perpendicula in Corporis vias 4 D, DB
demiffa., Accedat pun&um Dad punctum E; 8& linex DEF qua AD.augetur, ad lineam-DG qua D’B.diminuitür, ratio ultima erit Cadem quz fihus«incidentize ad finum emergentixz, Datur £rg0 ratio incrementi linex AD ad decrementum linex DB; propterca{Lin axe AB fümatur ubivis pundum C, per quod curva€ DE tranfice debet, 8 capiatur ipfius' AC incrementum CM, adıipfius B.C dectementum€ N in data ratione; centrifg; A,
B,&

B,& intervallis AM, BN deferibantur circuli duo fe mutuo fecantes in Dr pund&um illud D tanget curvam quefitam C DE, candemgq; ubivis tangendo determinabit. Q.E.T.
Corol. 1. Faciendo autem ut pundum 4 vel B nunc abeat in infinitum, nunc migret ad alteras‘ partes pundti C, habebuntur figure ille omnes quas Cartefius in
‚Optica 8&- Geometria ad refractiones expofuit. Quarum inventionem
cum Cartefins maximi fecerit&{ftudiofe celaverit, vifum furt hic propofitione exponere. i
Cörol. 2. Si corpus in fuperficiem quamvis CD, fecundum lineam retam AD lege quavis du&am incidens, emergat fecundum aliam quamVis redtam: DK,& a pun&o C duci AK
‚o ‚eo 09
intelligantur lineg curvz. CP, CQ ipfis AD, DK femper perpendiculares: erunt incrementa linearum PD, QD, atq; adeo linex :ipfe PD, OD, incrementis ifüs genitz, ut finus incidentig& emergentig ad invicem:& contra,
Prop. XCVIIL Prob. XLVIIL
Tifdem pofitis,& circa axenm AB defcripta fuperficie quacung; attrattivaCD, reguları vel irregnlari, per quam corpora de loco dato A exeuntia tranfire debent: invenire fuperficiem fecundam attrablivam E F, que corpora illa ad locum datum B_convergere faciat. Jun&a AB fecet fuperficiem primam in C& fecundam inE,
. Gg puncto

pund&o D utcung; aflumpto. Er polo{inu incidentiz in fuper' ficiem primam ad finum emergentix ex eadem,& finu emergentig e{uperficie{ecunda ad finum incidentiz in eandem, ut quantitas aliqua data M ad aliam datam N; produc tum AB ad G ut fit BGadCEutM—N ad N, tum AD ad Hut fit AH xqualis AG, tumetiam DFadK ut it DKadDH ut Nad M. Junge KB,& centro D intervallo DH deferibe circulum occurrentem KB produdtzin L, i püiqg; DL parallelam age BF:& punctum F'tanget lineam EFF} quez circa axem AB revoluta deferibet fuperficiem qualitam. Q.E. F. e Nam concipe lineas CP, CO ipfis 4D, DF refpeCtive,& Iincas ER, ES ipfis FB, FD ubiq; perpendiculares efle, adeoq; Q$ ipfi CE femper xqualem;& erit( per Corol, 2. Prop. XCVIL) PD ad 0Dut Mad N, adeog; ut D Lad. DK vel FB ad FK;&+ divilim ut DL—FB{eu PH_PD-FB ad FD feu FO— QD;& compofite ut HP—FB ad FOQ,id ca eft Cobzquales HP&CG, i; n QSRCEICEFBG-—FRadCE-—-FS Veum C ob’proportionales BG ad.CE& M-NadN) eft etiam CE+BG ad CE ut MadN: adeoq; divifim FR ad FSut Mad N,& propterea per Corol. 2. Prop. XCVIL fuperficies EF cogit corpus in fe fecundum lineam DF incidens pergere in linea FR, ad locum
Scholinm,
Eadem methodo pergere liceret ad(uperficies tres vel plures, Ad u{us autem Opticos maxime accommodatz{unt figurz Sphaice, Si Perfpicillorum vitra Obje&iva ex vitris duobus Spheri; CE

C 235] N ce figuratis& Aquam inter fe claudentibus conflentur, fieri poteft’ut a reftactionibus aquz errores refractionum, qux fiunt in vitrorum{uperficiebus extremis, fatis accurate corrigantur. TaJia autem vitra Objedtiva vitris Ellipticis& Hyperbolicis prefe« renda funt, non folum quod facilius& accuratius formarı poflint, fed etiam quod penicillos radiorum extra axem Vvitri(1tos accuratius refringant. Verum tamen diverfa diverforum radiorum refrangibilitas impedimento eft, quo minus Optica per figuras vel
Sphzricas vel alias quafeung; perfici poflit. Nifi corrigi poflint errores illinc oriundi, labor omnis in cxteris corrigendis imperite collocabitur,
DE

DE’
MOTU CORPORUM:
Liber SECUNDUS.
SECT I De Motu corporum quibus refifßlitur in ratione welocitatis.
Prop. I. Theor. I.
Corporis, cni refiflitur in ratione welocitatis, motus ex refiftentia amiflus eft ut(patinm-movendo confe&tum.
N cum motus fingulis temporis particulis amiffus fit ut
velocitas, hoc eft ut itineris confe&i particula: erit componendo motus toto tempore amiffus ut iter totum. Q. E. D. Corol. Tgitur fi corpus gravitate omni deftitutum in{patiis liberis fola vi infita moveatur, ac detur tum motus totus{üb 1nitio, tum etiam motus reliquus poft{patium aliquod confe@&um, da: bitur fpatium totum quod corpus infinito tempore deferibere poteft. Erit enim fpatıum illud ad{patium Jam deferiptum ut motus totus fub initio ad motus illius partem amiffam.
Lem

C 237. J Lemma. I.
Ouantitates differentüs Swis proportionales, funt continne proportionaes. Sit A ad A4—-ButBadB-C&C ad C—D&c,& dividendo fiet 4ad But BadC& Cad.D&c. Q. E. D. A
Prop. I. Theor. II.
Si corpori refiftitur in ratione velocitatis,& fola wi infita per Medi* um fimilare möveatur,(umantur antem tempora xqualia: velocitates in principiis fingunlorum temporum funt in progreflione Geometrica,&» fpatia fingnlis temporibus defcripta funt ut velociFates.;
Cas. ı. Dividatur tempus in particulas zquales,& fi ipfis particularum initiis agat vis refiftentie impullu unico, que fit ut velocitas, erit decrementum velocitatis{ingulis temporis particulis ut cadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentis{uis proportionales,& propterea(per Lem. I. Lib. II._) continue proportionales. Proinde{iex xquali particularum numero componantur tempora quelibet zqualia, erunt velocitates ipfis temporum initiis, ut termini in progrefflione continua, qui per faltum capiuntur, omi(flo paflim equali terminorum intermediorum numero., Componuntur autem horum terminorum rationes ex zqualibus rationibüs terminorum intermediorum xqualiter repetitis,& propterea funt zquales, ‚Igitur velocitates his terminis proportionales, funt in progreflione Geometrica. Minuantur jam zquales ille temporum particulse, 8 augeatur earum numerus in infiniıtum, co ut refiltentig impulfus reddıtur continuus, 8& velocitates in principiis xqualium temporum,{emper continue proportionales, erunt in hoc etiam Cafu continue proportionales. Q.E. D. PR
CAP

®#238]
Cası 2.,Et divifim velocitatum differentie, hoc eft carum ‘partes fingulis temporibus amiffe, funt ut totz: Spatia autem fingulis temporibus defcripta funt ut velocitatum partes’ amiffz, (per Prop. I. Lib. IL.)& propterea etiam ut tote. Q. E. D.
Corol. Hinc fi Alymptotis rectangulis ADC, CH deferibatur Hyperbola BG, fintq; AB, DG ad Afymptoton AC perpendi‚culares,& exponatur tum corporis velocitas tum refiftentia Medi, ipfo motus initio, per. lineam quamvis
datam AC, elapfo autem tempore aliquo ‘per Iineam indefinitam DC: exponi poteft tempus per arcam ABGD,&{patium co»* tempore de{criptum per lineam AD. Nam u fi arca illa per motum pundti D augeatur A De uniformiter ad modum temporis, decrefcet
recta DC in ratione Geometrica ad modum velocitatis,& partes reitz AC zqualibus temporibus deferiptz decrefcent in eadem ratione.
Prop. IM. Prob. 1.
. Corboris, cni dum in Medio fimilari re&ta afcendit wel defcendit, reYzyectur in ratione welocitatis, quodq; ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.. Corpore afcendente, exponatur gravitas per datum quodvis re&angulum BC,& refiltentia Medi initio afcen(us per rectangulum BD {umptum ad Contrarias partes. Afymptotis rectangu-; 3 lis’ 4C, CH, per pun&um: D dA 25 2A GC 5 deferibatur Hyperbola. fecans perpendicula DE, de in G, g;& corpus afcendendo, tempore DGgd, deferibet fpatium EG g°, temporeD GB A fpatium

; C 239] um afcenfus totius EG B,*tempore AB2G2D fpatium defcen-füs BF2G, atg; tempore 2D2G2g 2d fpatium| defcenfus 2GFae2g:& velocitates corporis( refiftentix Medii proportionales) in horum temporum periodis erunt AB ED, ABed,
nulla, 4BL2D, ABaen2d reipe&tive; atq; maxima velocitas,
quam corpus defcendendo poteft acquirere, erit BC. Refolvatur enim re&angulum AH in rectangula innumera Ak, Kl, Lm, Mn,&c. que fint ut incerementa velocitatum xqualibus totidem temporibus facta;& erunt nibil, A k, AL Am, An,&c. ut velocitates tot, atg; adeo(per Hypothefin)ut refiftentia Medii ın principio fingulorum temporum zqualium. Fiat AC ad AK vel ABHC ad ABkK,ut vis gravitatis ad refiftentiam in principio temporis fecundi, deq; vi gravitatis fubducantur refiftentig,& manebunt ABHC/KKHC; LIHC, Nu HC,&c. ut vires abfolutz quibus corpus in principio fingu-Jorum. temporum urgetur, atq; adeo(* per motus Legem II.) ut incrementa velocitatum, ideft, ut rectangula Ak, KL Lm, Mn&c;& propterca(per Lem. I. Lib. II.) in progreflione Geometrica, Quare fi recte Kk, LI, Mm, Nn&c. produdtz 0c-currant Hyperbolz in gr, s,t&c. erunt arex ABqK, KgarL, LrsM, MstN&c. xquales, adeoq; tum temporibus tum viri-bus gravitatis{emper zqualibus analoge. Eftautemarea ABqgK C per Corol. 3 Lem. VIL& Lem. VHIL Lib. I. yad aream Bkg. ut Kg ad ı kq.feu 4C ad+: AK, hoc eft ut vis gravitatis ad re-. fiftentiam in medio. temporis- prim1. Et fimili argumento arcze qgKLr, rLMs, sMNt,&c.{unt ad areas gklr, rIms; sm nt &c. ut vires gravitatis ad refiftentias in medio. temporis fecundi, ter

et An A; tertii, quarti,&c. Proinde cum arcz x uales BAKa. aKll. rLM N ‚MNt;&c. fint viribus uk analog, N Car ren Bkga, gklr,rlms, smnt,&c. refiftentiis in mediis fingulorum temporum, hoc eft, Cper: Hypothefin velocitatibus, atq; adeo defcriptis fpatiis analoge. Sumantür analogarum{ummz,& erunt arex B kg, BIr,Bms,
B nt, 8&c. fpatüs totis deferiptis analogz tm art AB41K, ABrL,
ABM, ABEN,&6 tem MN C
oribus. Corpus igitur inter defeendendum, tempore quovis 4BrL, deferibit fpatium BZ7,& tempore LrtN{patiom rlzt, Q.E.D. Et fimilis eft demonftratio motus expofiti in afcenfü, Q.E.D.
Corol. ı. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo poteft acquirere, eft ad velocitatem dato quovis tempore acquifitam, ut vis data ‚gravitatis qua perpetuo urgetur, ad exceflum vis hujus fupra vim'qua In fine temporis illius refiftitur.
Corol. 2. Tempore autem aucto in progreflione Arithmetica, {fumma velocitatis illius maxime ac velocitatis in afcenfüu(atq; etiam earundem differentia in defcenfüu_) decrefcit in progreflione Geometrica,
Corol. 3. Sed 8& differentig fpatiorum, quz in zqualibus temporum differentis defcribuntur; decrefcunt in cadem progreflione Geometrica.)
; 7 Coroh 4- Spatium vero a Corpore deferiptum differentia eft
_duorum fpatiorum, quorum alterum eft ut tempus{umptum ab initio defcenfus,& alterüm ut velocitas, que etiam ipfo defcen— fus initio zquantur inter fe. Prop.

Prop. IV. Prob. II.
Pofito quod wis gravitatis in Medio. aliquo fimilari uniformis fit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horiz.ontis> definire notum ProjeClilis, in eodem refiftentiam wvelocitati proportionalens paticn116.
E loco quovis D egrediatur Proje&ile fecundum lincam quamvis re&am DP, 8 per longitudinem DP exponatur ejuldem velocitas fub initio motus. A pundo P ad lineam Horizontalem DC demittatur perpendiculum PC,& fecetur DC in 4 ut fit DAad ACut FONLons Medii ex motu in altitudinem fubinitio orta, ad vim gravitatis; vel(‚quod perinde eft.) ut fit rectangulum füb DA& DP ru Wa
ad redtangulum füb.A4C&
PC ut refiftentia tota fub
initio motus ad vım Gravitatis. Deferibatur Hyperbola quzvis GT BS{ecans ered&ta perpendicula DG,
ABinG& B;& complea. tur parallelogrammum DGKC, cujus Jatus GK d£ecet G
ABinQ. Capiatur linca DD
N in ratione ad QB qua
DC fitad CP;& ad retgz DC pun&dm quodvis R ere&o per-pendiculo R.T, quod Hyperbolzin T,& reis GK, DP. int.
?
“GT
8& Voccurrat; in co cape V’r xqualem N|& Projechile tempo-.
re DRTG perveniet ad pundtum z; defcribens curvam lineam DrafF,quam pund&um r_ femper tangitz perveniens autem ad maximam altitudinem. 4 in perpendiculo AB;& poftea femper

[242]
appropinquans ad Afymptoton PLC. Eftq; velocitas ejus in|
pundto quovis r ut Curve Tangens rL. Q. E. D. Elt enim N ad OB ut DC ad CP feuD Rad RV, adeogq; RVzqualis ZRx@B N ‚&Rr( delt RV-Vrfeu BE& DRxAB-RDGT N; ream RDGT,&(per Legum Corol. 2.) diftinguatur motus corporis in duos, unum afcenfus, alterum ad latus. Etcum refiftentia fit ut motus, diftinguetur etiam hzc in partes duas partibus motus proportionales& contrarias: ideoq; longitudo a motu ad Jatus deferipta erit( per Prop. II. huyus) ut linea DR, alritudo vero(per Prop. III. hujus) ut area DRxAB—-RDGT,
hoc eft ut linea Rr. Ipfo autem. motus inıtlo area RDGT zxqualis Exponatur Jam tempus per aqualis eft re&angulo DRxAQ, ideoq; linea illa Rr(*feu.
BET tunc eft ad DR ut 4B—-A49Q(eu OB)adN, ideft utCP ad DC; atq; adeo_ ut motus in altiıtudinem ad motum in longitudinem{1ub initio. Cum igiturRr femper fit ut altitudo, ac DR femper ut longitudo, atq; RradDR{ub- inıtio ut altitudo ad Jongitudinem: — necefle eft ut Rr femper| Gt ad:DR ut altitudo ad Jongitudinem,& propterea ut corpus moveatur In linea Dr a F,quam pundumr perpeuo tangıt.©. E. D.|
Corol. 1. Hinc Gi Vertice D, Diametro DE deorfum producta,& Jatere reCto quod fit ad 2DP ut refiftentia tota, 1pfo motus

_ Latus re&tum Parabole hujus, ipfo motus initio, e(t
[ 243 J tus initio, ad vim gravitatis, Parabola conftruatur: velocitas quacum corpus exire debet de loco D fecundum re&tam D P, ut in Medio uniformi refiftente deferibat Curvam Dra F, ea ipfa erit quacum exire debet de eodem loco D,"fecundum eandem recdtam DR, ut in fpatio non refiftente defcribat Parabolam. Nam
DV quad, Vr
Recta autem, que, fi duceretur,
&
Vrefßt GT feu DRxTt N Na Hyperbolam G TB tangeret in G, parallela eft ipfi DK, ideoq;
CKxDR OBxDC TE ALL SCORE e De& Nerat CE
Dr AO P_jd’eft(ob proportioniales DR& DC, DV &DP) DFB& Latus ve&um DJ qua, prodit 2DP4.x05 ideft(ob proportionales QB&C K,D A8&AC)
CHEF; SEE adeoq; ad 2DP ut DPxD Aad P CxAC; hoc eft ut refiftentia ad gravitatem. Q. E. D.
Corol. 2- Unde fi corpus de loco quovis D, data cum veloci-| tate, fecundum reCtam quamvis pofitione datam DP projJiciatur,& refiftentia Medii ipfo motus initio detur, inveniri poteft Curva DraF, quam corpusidem defcribet. Nam ex data velocitate datur Jatus re&um Parabole, ut notum eft. Et fumendo 2D PP ad latus illud re&um ut eft vis Gravitatis ad_vim refiftentie, datur DP. Dein fecando DC inA, ut fit CPxAC ad DP xD Ain eadem illa ratione Gravitatis ad refiftentiam, dabitur pund&um A. Etinde.datur Curva Dr aB
Corol. 3. Et contra, fi datur curva DraF, dabitur& velocitas‘corporis& refiftentia Medii in locis fingulis r. Nam ex daHh2 ta
Et propterea Vr cft

A DE ta ratione CP x ACad DPxD A, datur tum refiltentia Medi {ub initio motus, tum latus ref&um Parabolz:& inde datur etiam velocitas fub_initio motus. Deindeex longitudine tangentis rL, datur& huic proportionalis velocitas,& velocitati proportionalis refiftentia in loco quovis r.;
Corol. 4. Cum autem longitudo 2DP fit ad Jatus rectum Parabolze ut gravitasad refiftentiam in D; 8 ex außa Velocitate augeatur refiftentia in cadem ratione, at latus refum Parabole augeatur in ratione ılla duplicata: patet longitudinem .2D P augeri in ratione illa fimplici, adeoq; velocitati femper proportionalem efle, neq; ex angulo CDP mutato augeri vel minui, nıli.mutetur quogq; velocitas.
Corol.- 5.Unde liquet methodus determinandi Curvam DraF ex Phenominis quamproxime,& inde colligendi refiftentiam& velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo fimilia 8 xqualia eadem cum velocitate, de loco D,{ecundum angulos diverfos C DP, c D p(minufeularum literarum locis{üb intellectis)& cognofcantur loca F, f; ubi incidunt in horizontale planum DC... Tum aflumpta quacung; longitudine pro D P vel Dp, fingatur quod refiftentia in D fit ad gravitatem in ratione qualibet,& exponatur ratio ılla per longirudinem quamvis SM. Deinde per computationem, ex longitudine illa aflumpta DP, inveniantur longitudines DE, D f; ac de ratione Dr per calculum inventa, auferatur ratio cadem per experimentum inventa,&'exponatur differentia per perpendiculum MN. Idemfac iterum ac tertio, allımendo femper novam refiltentie ad gravitatem rationem S M, & colligendo novam differentäm MN. Ducantur autem differentig affırmativa ad unam. partem redtz SM,& negative ad alteram;. 8 per puncta N, N, N agatur curva regularıs NNN fecans. redtam
2„$ M

;[245]
SMMM inX,&erit$X vera ratio refiftentiz ad pravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione.colligenda eft longitudo DF per calculum;& longitudo qua(it ad allumptam Jlongitudinem DP ut modo inventa longitudo D F’ad longitudinem candem‘per experimentum cognitam,; erit vera. longitudo D-P, Qua inventa, habetur tum Curva Linea Dr a F quam corpus deferibit, tum corporis. velocitas 8 refiftentia ın locis(ingulis.
Scholium.
„ Czterum corpora refifti in ratione velocitatis Hypothefis eft magis Mathematica quam Naturalis.. Obtinet hac ratio quamproxime ubi corpora in Mediis.rigore aliquo. praditistardıflime moventur. In Mediis autem quz rigore omni vacant(: ut! pofthac demonftrabitur) corpora refiltuntur in duplicata ratione velocitatum. Actione: corporis velocioris' communicatür. eidem Medii quantitati, tempore.minore, motus major. in. ratione maJoris, velocitatis, adeoq; tempore quali(ob majoren ‚Medii quantitatem perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major; eftg; refiftentia( per motus Legem 2,& 3.) ut motus communicatus, Videamus igitur quales orlantur Motus ex hac lege Refiftentix,}/
SECT.
mr

[ 246]
De motn corpornum quibus refiftitur in duplicata ratione velocitatum.
Prop. V. Theor. IIL
per Medium fimilare movetur, tempora vero fumantur in progreffione Geometrica a minoribns terminis ad majores pergente: dico
quod welocitates inıtio fingnlorum temporum furt in eadem progreffione Geometrica' inwerfe,&» quod(patia funt xqualia que fingnLis temporibus'de/cribuntur.
Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis eft refiltentia Medii,& refiftentig proportionale eft decrementum velocitatis; fi tempus in‘ particulas innumeras zquales dividatur, quadrata velocitatum fingulis temporum initiis erunt velocitatum€ arundem differentiis proportionales. Suntotemporis particule lex AK, KL, LM,&c. in recta CD fumpte,& erigantur perpendicula AB, Kk, LI, Mm,&c. Hyperbole Bk/»G, centroC Afymptotis rectangulis C D,C H,deferiptze occurrentia in B, A, m,&e.& erit ABad Krk ut CK ad CA,& divilim 4B—-Kk ad Kkut AK adCA,& vicıflim AB—-Kk ad ZE AKutKkad CA, adeog; ut AB,€ AKLMT DD xKk ad A4BxCA. Unde cum; AK&ABxCA dentur, erit AB—K kut ABxKk;& uleimo, ubi coeunt AB&Kk, ut 4Bg. Et fimili argumento erunt
| | 1 Si corpori refiftitur in velocitatis ratione duplicata,&» fola zi infita

A CU ——— HE —— N——_
zn
/[2470] jyunt Kk- LI, LI-Mm,&c. ut Kkg., LI4.&c. Linearum igitur AB, K k, LIMm quadrata funt ut earundem differentig,& idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipfarum differentige, fimilis erıt ambarum progreflio. Quo demonftrato, confequens eft etiam ut arez his lineis deferipte(int in progreilione confimili cum fpatiis que velocitatibus deferibuntur. Ergo fi velocitas initio primi temporis A K exponatur, per lineam AB,& velocitas initio fecundi K L per lineam K k,& longitudo primo tempore deferipta per aream AK kB, velocitates omnes {ubfequentes exponentur per Jlineas fubfequentes LZ, Mm,&c.&
longitudines delcriptz per arcas KL Lim,&c. 8 compolfite, fi tempus totum exponatur per{ummam' partium'fuarum AM, lonyitudo tota defcripta exponetur per(ummam partium füarum AMmB. Concipe. Jam tempus. AM ita dividi in partes AK, KL,LM,&c. ut fint C4, CK, CL, CM,&c. in progrefliane Geometrica,& erunt partes ill in eadem progreflione,& velocitates AB, Kk, LI, Mm,&c. in progreflione eadem inverfa, atq;{patia deferipta Ak, KL, Lm,&c. gqualia. Q. E. D. ‚Corol, x. Patet ergo quod{i tempus exponatur per Af{fymptoti partem quamvis A D,& velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam A 5; velocitas ın fine temporis exponetur per ordinatam D G,&{patium totunı defcriptum per arcam Hyperbolicam adjacentem 4BG D; necnon. fpatium‚quod corpus alıquod eodem tempore AD, velocitate prima AB, in Medio non refiftente deleribere poflet, per re&angulum. A4Bx AD.
Corol. 2. Unde datur{patium in Medio refiftente defcriptum, capi ndo illud ad{patium quod. velocitate uniformi 4 B in Medio non refiftente fimul deferibi poflet, ut eftarcaHyperbolica ABG D ad re&angulum ABx AD.
Corol. 3. Datur etiam refiftentia Medii, ftatuendo eam ipfo motus initio xqualem efle vi uniformi centripetz, quz, In cadente corpore, tempore 4 C, in Medio non refiftente, generare poflet velocitatem AB. Nam fi ducatur BT quz tangat Hyperbolam
in
*
ana
|
A
en

in B,& occurrat Afymptoto in T; re&a AT zqualis erit ipfi AC,
& tempus exponet quo refiftentia prima uniformiter continuata tollere poflet velocitatem totam AB.| Corol. 4. Et inde' datur etiam proportio hujus refiftentiz ad yim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.
Corol. 5. Et viceverfä, fi datur proportio refiftentig ad datam quamvis vim centripetam; datur tempus A4C, quo vis cen-| tripeta' refiltentig‘ xqualis generare poflit velocitatem quamvis| AB;& inde datur pundum B per quod Hyperbola Afymptotis CH;- CD deferibi debet; ut& fpatiuum 45 GD,quod corpus. : incipiendo'motum{ulm(cum velocitate illa 4B, tempore‘ quo-| / $
vis AD; in Medio fimilari refiftente deferibere poteft. Prop. VI. Theor.(IV.
Corpora Spharica homogenea& Zqualia, refiffentiis in duplicata ra-| #one velocitatum impedita,& folis viribus Infitis incitata, tem Poribus que funt veciproce ut welocitates(nb initio, defcribunt femper“qualia fpatia; x amittunt partes welocitatum proportionales £0b1S,*} Afymptotis redtangulis CD, CH deferipta Hyperbola quavis. ‚BbEe fecante perpendicula;
AB, ab;D Eyde, in B.b,E, ce,
exponantur velocitates initi-|
ales per perpendicula AB,
DE,& tempora per lineas HH
Ada, Dd. Eft ergo ut Aa ad 4|
Ddita( per. Hypothefin) e“MB
DE ad AB, 8&ita( exnatu- Tag Dan ra Hyperbolz CA ad CD;; f ES
K4 |! & componendo, ita Ca’ad C KT D ET,|
Ed. Ergo.arex A Bba, DEed; hoc eft fpatia deferipta xquantur inter fe,& velocitates prime N 4B,;
x

FESTE
EEE zz. s
nn
A
; 1 249°)% AB; DE funt ultimis ab, de,& propterea(* dividendo) par tibus etiam füis amiflis A4B—aby DE-—de proportionales.
Q.E. D./ AR Prop. VIL. Theor. V.
Corpora Spherica quibus refiftitur in duplicata ratione welocitatung, Fenporibis que Junt nt motus primi directe& refiftentie prime inwerfe, amittent partes.motuupe proportionales: totis,<> fpatia defcribenttenporibus iftis in welocitates primas duCtis proporti0Aal.: Nanıq; motuum partes amiffz, funt ut refiftentig.& tempora
conjund&im. Igitur ut partes illg fint,totis proportionales,..debebit refiftentia& corpus conJundtim efle ut motus.. Proinde ‚tem‘pus erit ut Motus directe& refiftentia.inverfe. Quare temporum particulis in ca ratione fumptis, corpora amittent{emper particulas motuum proportionales.totis, adeoq; retinebunt velocitates in ratione prima.. Etob datam velocitatum rationem, deferibent femper{patia quz funt ut velocitates prime& tempora conjunCtim. Q.E. D.;—-.
“'Corol. x. Tgitur fi xquivelocia corpora refiltuntur in duplicata ratiöne dıamerrorum, Globi homogenei quibufcung; cum veJocitatibus moti, defcribendo{patia diametris{uis proportionalia,
amirtent partes motuum proportionales totis. Motus enim Globi cujulg; erit ut ejus velocıtas& Maffa conjunCtim, id eft ut velocitas& cubus diametri; refiftentia( per Hypothefin;) erit ut quadratum diametri& quadratum velocitatis conjundtim;& tempus(per hanc Propofitionem) eft in ratione priore dire&e& ratione polfterioreinverfe; id eft ut diameter diredte& velocitas.inverfe; adeoq; fpatium(* tempori& velocitati. proportionale) eft ut diameter.
_.Corol, 2: Si zquivelocia corpora refiftuntur in ratione fe{quialtera diametrorum: Globi homogenei quibufcung; cum velccitatibus moti, defcribendo fpatia in fefquialtera ratione diametroKH”"zum,

CL 2503 “rum, amittent partes motuum proportionales totis,, Nam tem. pus augetur in ratione refiltentiz diminutz,&{patium augetur in ratione temporls. i Corol, 3. Et univerfaliter, fi xquivelocia corpora refiftuntur in ratione dignitatis cujufcung; diametrorum, fpatia quibus Globi| homogenei, quibufcung; cum velocitatibus Moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicata. Sunto diametri D 8& E; 8 fi refiftentiz fint ut D”8& E”, Apatia quibus amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut D3—-”& E3-—2, Igitur deferibendo{patia ipfis D3—%& E3—% proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac fub initio.| Cörol..4. Quod fi Globi non{int homogene,{patium a Glo-| bo denfiore deferiptum augeridebet in rarione deuficatis. Motus enim{ub parı velocitate major eft in ratione denfitatis,& . tempus(per hanc Propofitionern) augetur in ratione motus di-| rede, ac{patium deferiptum in ratione temporis.| Corol. 5. Et fi Globi moveantu in Mediis diverfis, fpatium in Medio, quod ceteris paribus mais refiftit, diminuendum erit in ratione majoris refiftenfiz. Tempus enim(per hanc Propofitionem) diminuetur in ratione refiltentig,&{patium in ratione temporis.
; Lemma. I.
Momentum Genite xquatur momentis Terminorum fingulorum generantinm in eorundem laterum indices dignitatum&» coefficientia continue dußtis./ Genitam voco quantitatem omnem quz ex Terminis quibuf-|
cung; in Arithmetica per multiplicationem, divifionem& extractionem radicum; in Geometria per inventionem vel contento-| rum& Jlaterum, vel extremarum& mediarum proportionalium| |
abfg; additione&{ubdu&ione generatur. Ejulmodi quantitates

N Pas]. oe F es funt Fadi, Quoti, Radices, re&tangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera cubica 8: fimiles. ‚Has quantitates ut indeterminatas& inftabiles,& quafi motu fluxuve perpettio Crefcentes vel decreftentes hic confidero,& corum incrementa vel decrementa momentanea fub nomine momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis feu affirmativis, ac: decrementa pro(ubdudChicis feu negativis habeantur. Cave tamen intellexe= ris particulas finitas. Momenta,‘quam primum finitx funt magnitudinis, definunt efle momenta. Finirı enim repugnat aliquatenus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda funt principia jamjam nafcentia finitarum magnitudinum. Negq; enim f{pectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum,fed prima nalcentium proportio.| Eodem recidit fi loco momentorum ufurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, ( quas etiam motus, mutationes& fluxiones quantitatum nomi“nare_licet) vel finite quzvis quantitates velocitatibus hifce
proportionales. Termini autem cujufqg; Generantis coefliciens eft quantitas, quz oritur applicando Genitam ad hunc Terminum. Igitur fen(us Lemmatis eft, ut fi quantitatum quarumcung; perpetuo motu crefcentium vel. decrefcentium: A, B, C,&c..Momenta, vel mutationum velocitates dicantur a, b, c,&c. momentum vel mutatio redanguli AB fuerit Ab-+aB, 8 contenti ABC inomentum fuerit 4Bc+ AbC+aBC:& dignitatum 4°, 4°,4', Ab Ab Ay Ab A, 4:& 41 momenta 24a, 34 A°, 444’ s34475 X— Er 3 vn iS 1a4° 3a47 5 24 mg A dad N& 1447*re- v ON 8° N- S 2| fpe&ive, Er generaliter ut dignitatis cujufcung; 4% momentum ° 2 2= IB 9® fuerit ww? A, Item ut Genitz Aquad, x B momentum fuerit 244B4 A’ b;& Genitz A’ B*C* momentum 3 a4’ B* C*+4 VL 2 444’ DB) C*4 24° B*Ccı& Genitz g: live A’B,., momenva 2_—< 2 ‚2m 34 A”B—2A'bB 3,&{ic in czteris. Demonftratur
vero Lemma in hunc modum.; Lin Cs?”

Ce] „7Cas. 1. Rectangulum quodvis motu:perpetuo au&um 4B, ubi de Jateribus 4& B deerant momentorum. dimidia 4 4.& 4 b, fuit A— 44 inB— b,feu AB— aB—iAbtiab;& ‚quam primum Jatera 4&,B alteris momentorum; dimidiis_au&ta;{unt, evadit A+; 2in B-+%b feu A4B+1a4B++4Ab+iab. De hoc rectangulo fubducatur-redangulum prius,& manebit exceflus aB-+Ab. Igitur Jaterum incrementis totis a& b generatur rectanguli incrementum.4.B+ Ab. Q. E..D. a Cas:: 2. Ponatur AB xquale G,& contenti ABC feu GC momentum(per Cas. ka SOC+Gc, id eft(fi proG& g feribantur A5.& aB+T4b)aBC+4bC+4Bec;.Et par. eft ratio contenti{ub Jateribus quotcung;. Q. E..D...;| Cas, 3. Ponantur 4; B,C zqualia;& ipfius 4° ‚id eft re@anguli 4 B, momentum 4 B+ Ab erit 24 A, ipfius autem A’, ideft content: 4 BC, momentum 4 BC+AbC+ABec erit da codem: argumento; momentum. dignitatis eujufcung; A’, eft naAt?— 1%. QLE:D. f
Cas. 4. Unde cum—. in A fit 1, momentum jpfiüs“—"duetum ın A, una cum 7 ducto, in a erit momentum ipfius 1, id_eft
nihil.. Proinde Momentum ip(ius zZ feu 4 m uf„Et generaliter cum— in A” fit ı, momentum ipfius.— du&um ; Up; AR
. ET, Bl, az; In 4, una, cum va 2aA erit nihil.+ Et propterea ‚moMA
Ca. 5. Et cum A: in 4% fit 4, momentum ipfius A*in> 4%
EN A A an mentum ipfius nz feu A:* erit—
erit a, per Cas. 3: ideoq} momentum ipfius 4 erit five. uf: y 3 ea 2 z
2
24A

EC 253]
244*, Et generaliter(i ponatur Ad ON erit 4
xquale BB}; ideoq; mad PB quale’xb'B" Ss 0& aA e
RB.
xquale b ‚id ef
zquale 2 bB 7" fen gm adeoq; mA
gquale momento ipfius 47. Q. ED..
.°° MM Cos. 6. Igitur Genitz cujufcung;, 4 B_ momentum eft momentum ipfius 4” du&um in B, una cum momento ipfius B'
du&o in 4” def mad”"an BE dar ve dienitatum indices 7.& x fint integri' nunreri vel frac, five affirmativi vel negativi.| Et par eft ratio content:(ub' plurıbus, digCorol. x. Hinc in continue proportiobalibus,{1 terminus unus dafur; momenta terminorum teliquörum erunt ut dem.termini multiplicati per numerum ‚Antervallorum inter ipfos_& termihum datümm:! Sunt6' 2"BC DEF'Cöntinue proportionales‘;&i detür‘termihus CO, mömenta reliquorum terminorum erunt inter Welpe BASE FOI0S SEO ES N Corol. 2.) Et fi in’quattiot. proportionalibus dux medie dentur,'Momenta exfremarum etunt ut exdem extremz. Idemintelligendum” eft de Tateribus rectanguli. cuJufcung; datı.
YA
“NCorol/?3 E€Ti fımma vel differentia duorum quadratorum.detur,’mömenta’laterum’ecrunt reciptoce ut latera.
VW 1 AR »
SC
nt, cum fignificarem ME compoIm’ literis’qud mikt' Cum CGeometra- peritilimo G. G., Leibnitio
annis abhine:decem interceleba
tem efle methodi determinandi Maximas&‘Minimas, ‚ducendi
" Tan

E 254] Tangentes,& 1imilia peragendi; quz in terminis furdis que ac in rationalibus pr@cederet,& literis tranfpofitis hanc fententiam involventibus| Data: zquatione'qüotcung; ‚Auentes quantitates involvente, fluxiones inyenire,& vice verfa.] eandem celarem: referipfit Vir Chriflimus fe quog; in ejufmodi methodum.incidiffe; & methodum{uam communitavit a mea. vix abludentem przterquam in verborum& notarum formulis. Utrinfg; fundamentum continetur in hoc Lemmate.|| ı in
Prop. VIIL Theor. VI.
$ corpus in Medio uniformi, ‚Grawvitate uniformiter agente, vecta af=. cendat. wel defcendat,& patinum totunt deferiptnm diflinguatur 4 partes equales, ing; Pprincipiis, fingularum partium(adderdo Yefiftentiam Medii ad zim gravitatig, quando corpis afcenditz wel fubducendo ipfam quando corpus defcendit.) colligantur wires abfolnta;, dico quod zires ile abfolute funt in progreffione. GeoMEINICA. E;
Exponatür enim vis gravitatis per datam lineam. AC; refiftens tia per lineam indefinitam AK; vis abfoluta in defcenfa,corporis per differentiam KC 3 velocitas corporis per Jineam AP(que fit media proportionalis inter AK& A4C, ideoq; in dimidiata ratione refiftentiz) incrementum refiftentiz data temporis,particuJa factum per lineolam K.L,& contemporaneum yelocitatis incrementum per lineolam P.0..3 8& centro,C Afymptotis refangulis CA, CH deferibatur Hyperbola quzvis BN S,ere&is perpendiculis 4B, KN, LO, PR, QS occurrensin B, N, 0, R, S, Quoniam AK eft ut 4 Pg., erit hujus,smomentum KL ut illius momentum 24P09, ideftut AP inKC. Nam velociratis incrementum P.Q, per. motus Lepg.,2, proportionale.eft vi: ‚generanti KC, Componatur ratio ipfius K.L,cum ‚ratione ipfius. K N;& fiet rectangulum KLxK Nut A4PxKCxK N; hoc.eft,rob.daCum redtängulum KCxKN, ut AP, Atqui arex Hyperbolice
KN|

proportionales.Q. E. D.
C255 1
KNOL ad re&angulum KLxKN ratio'ultima, ‚ubi' coeunt
pundta K 8 L, eft wequalitatis. Ergo’area illa Hyperbolica evanefcens eft ut AP. Componitur igitur area tota Hyperbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AP femper proportionalibus, 8 propterea 1patio velccitate iftadeferipto. proportionalis eft. Dividatur jam area’ illa in partes zquales ABMIT, IMNK;,
KNOL,&c.& vires abfolute AC, IC; KC, LC,&c. erunt in progreflione Geometrica. Q. E.D. Et fimili argumento, in aicenfu corporis, fumendo, ad contrariam.partem pundti A, zquales areas ABmi, imnk, knol,&c, conftabit quod. vires abfolutz AC, iC, kC, IC,&c. funt continue proportionales. Ideogq; fi {patia omnia in.afcenfu& defcenfu capiantur xqualia; omnes vires'abfolutz ZC, kC, 2C,AC, IC,K C, LC,&c.,erunt continue:
Corol.

L 256] 9 Copolichy, Hinchfi(patium ‚deferiptum:lexporatur! per aream -Hyperbolicam/ A BN K-3.expohi pöffunt vissgravitatis, velocitas| ‘corporis&!refiftentia Medii-per;lineas 4C, AP'8& 4 K ‚relpedi-vepr eo yice verfaust UN sol AOVUN allusiise;) el Corolo mu Et velocitatis\maxime) quam Corpus-ininfinitum de‚fendendolpoteft.ungquam- acquirere);exponens eft linea AC5
Corol. 3. Tgitur fi in data aliqua velocitate cognofcatur re{iftentia Medi, invenietur velocitas maxima, fumendo ipfam. ad velocitatem ıllam datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii refi(tentiam illamcognitam.
Corol. 4. Sed& particula temporis, quo fpatii particula quam minıma NKLO in defcenfüu deferibitur, eft ut rectangulum KNxP0O.., Nam quoniam fpattum NKLO-efß ut velocitas dufta in particulam temporis; erit particula temporis ut{patium ıllud applicatum ad velocitatem, id eft ut re&angulum quam minimum KNx KL applicatum ad AP. Erat{upra KL ut AP xPOQ. Ergo particula temporis eft ut XNxP.O, vel quod
pendeln©. E. D. Corol, 5. Eodem argumento particula temporis, quo{patii partictla 7 ko in afcenfü deferibituf, eft ut LT
Prop. IX... Theor. VII
Pofitis jam demonftratis, dico quod fi Tangentes angulorum feCtoris Circnllaris& jeEtoris) Hyperbolich fnmantur welocinatibus propor1} tiohllet exiftente‘ radio jnft«-magnitudinis:"erit temps omme a© VCEmfias‘ fhtrirä ib" JeEHOr” Cirehli, CD tehpts"omne defcchfns prate: N
RE 8 AC) qua Wis Stavitatis’ exponitur, perpendioularis& zl qualis dücatur A’D."Centro Dfemidiametro MD deferibatur tum Circauli Quadrans 4? EB, tum Hyperbola' re&äi an

; CE 257 J 2xem habens AX, verticem principalem 4 8& Afymptoton D C, Jungantur Dp, DP,& erit Sector circularis At D ut tempus a{eenfus omnis futuri;& Se&or Hyperbolicus ATD ut tempus defcenfus omnis przteriti. CE LS A
Cas ı. Agatur enim Dw 4 abfleindens Settoris A Dt& trianguli ADp momenta, feu particulas quam minimas fimul deferipMN N
TA D E. tas 1: Deo& pDg. Cum particule ille, ob angulum communem D,{funt in duplicata ratione laterum, erit particula Do
ut on EP Da HD quad.+ Apquad. id eft A D’gnad:+4 kxA D fe AD x: Oh5 Re g P eftz A D xXPqgi Era
go Seltoris particula vDtr eft en.id’eft per Corol, 5, Prop,
VIE ut. particula,temporis....Et cemponendo fit fumma particularum omnium#D& in Settore AD tut fumma particularum temporis fingulis velocitatis decrefcentis A p particulis amiilis pq
res

C 2581| ‚Ye{pondentium,u{q; dum velocitas illa in nihilum diminuta evanıerit; hoc eft, Sedtor totus 4 Dt eft ut afcenfus totius futuri tempus. Cas. 2. Agatur DOV abfeindens tum Se&oris D AV, tum trianguli DA Q_particulas quam minimas TDVY& PDOQ;& erunt bz'particule ad invicem ut DTq. ad DPg. id et(GTX & AP parallelz fint) ut DXg.ad D Ag.velT Xg.ad AP g.& divifim ut DXg.-TXqg.ad ADg.— APg. Sed ex natura
| SC E Hyperbolz D X 4.—T X4. eft A4Dg.,& per Hypothefin 4 Pg. eft 4Dx AK. Ergo particulg funt ad invicem ut ADgq4. ad AD4q.7 AD x AKyid eft ut ADad AD- AK freu ACadCK: ideoq;. SeCoris particula: T DV LOSE ‚datas AC 8& AD, ut U& propterea per Coröl. 5: Prop.
5 atq; adeo ob

[252-| VI. Lib. IT. ut particula temporis incremento velocitatis P Q refpondens. Et componendo fit fumma particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particuke P Q_generantur, ut 1umma particularum Se&oris ADT, id eft tempus totum ut Se&or totus. O. E. D.:; Corol. x. Hinc fi AB zquetur quartz parti ipfius 4C, fpatium A4BRP, quodcorpus tempore quovis ATD cadendo deferibit,.erit ad{patium quod corpus femiffe velocitatis maximz
“ AC, eodem tempore unitormiter progrediendo deferibere potelt,
ut arca 4 BR P, qua fpatium cadendo defcriptum exponitur, ad arcam A 1D qua tempus exponitur. Nam cum fit ACad 4P ut AP ad AK, erit 24P 0_xquale ACxKL(per Corol 1.
. Lem.!I. hüjus) adeoq; KLad PQ ut 24P ad AC,& inde
LKNadP0x:4ADfeuDPOQut24PxKN ad; ACxAD. Sederat DPO ad DTV ut CKad AC. Ergo ex xquo LKN et ad DIV ut 24PxKNxCK ad* ACcub.; id eft, ob zquales CKN&+*%4Cg., ut 4P ad A4C; hoc eft ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo poteft acquirere. Cum igitur arearum ABKN& VD momenta LK N& DTV{unt ut velocitates, erunt arcarum illarum partes omnes fimul genitz ut{patia fimul deferipta, ide09; arez totz ab initio genite ABKN& AVDut(Ipatia tota ab initio defcenfus deferipta. Q. E. D.
Corol. 2. Idem confequitur etiam de fpatio quod in afcenfu deferibitur. Nimirum quod fpatium illud omne fit ad fpatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore defcriptum, ut eft arca ABnkad Se&orem A Dt.
Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis eft ad velocitatem,quam. codem tempore in{patio non refiftente acquireret, ut triangulum A4PD ad Se&orem Hyperbolicum A1TD. Nam velocitas in Medio non refiftente foret ut tempus ATD, & in Medio-refiftente.eft ut AP, id eft ut triangulum AP D. Et velocitates illg initio defcenfus zquantur inter fe, perinde ut arcz ille ATD, AP D.; : ‚Kk2 Corol.

[ 2682].
Corol. 4. Eodem argumento velocitas in afcenfi eft ad veloct. tatem, qua corpus codem tempore In{patio non refiftenteomnem {fuaum alcendendi motum amittere poflet, ut triangulum A PD ad Se&orem circulatem 4+D; five ut redta Ap ad arcum Ar.
— Corol. 5. Eft igitur tempus quo corpus in Medio refiftente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam A C in fpatio non refiftente cadendo acquirere poflet, ut Sedtor ADT ad triangulum ADC:& tempus, quo velocitatem Ap in Medio refiftente afcendendo poflit amitrere, ad tempus quo velocitatem eandem in{patio non refiftente afcendendo poffet amirtere, ut arcus At ad ejus Tangentem A pP:
Corol. 6. Hinc ex dato tempore datuüur{patium afcenfu vel defenfu deferiptum. Nam corporis in infinitum defcendentis ‚datur velocitäs maxima, per Corol. 2.& 3. Theor. VI, Lib. II. indeq; datur 8{patium quod femifle velocitatis illius dato tempore deferibi poteft,& tempus quo corpus velocitatem illam in {patio non refiftente cadendo poflet acquitere. Et fumendo Sectorem A DT vel A Dt ad triangulum A DC in ratione temporfh; dabitur tum velocitas AP velA p, tum area ABKN vel A Bkn, qua'eft ad Se&torem ut fpatium qualitum ad{patium jJam ante ınventum.
Corol. 7. Et regrediendo, ex dato afcenfüs vel defeenfus{patio ABakvel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.
Prop/ X. Prob. II.
Tendat uniformis wis gravitatis dire&e ad planum Horixontis, fitg;
\ refiftentia ut nedii denfitäs& quadratum welocitatis comjunChim:
requiritur tum Medii denfitas in locis fingnlis, que Facidt ut corpns
zn data quawis linea curwa Moveatr ‚Enm corporis velocitas in iifdem locis.
. Sic AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK
linea curva;€ corpus in ipfa motum;& FC f redta ipfam tanAA gens

[262] gens)in C.' Fingatur autenv corpus C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per. candem lineam Sc in prog greflu impediri a Medio, in regrefiu que promoveri, fic ut imiufdem' locis eadem: femper 11 fit corporis progredientis& regredientis velocitas. /Aqualibus autem ‚temporibus defcribat corpus progredieris arcum-quam Minimum| CG,& cor pus regrediens. ar‚cum Cg;& lint CH, Ch longitudines xquales Feine sr quas corpora de loco C exeuntia, his temporibus, abfq; Medii& Gravitatis actionibus defenberent& a pundti C, G,g ad planum horizontale’ AK demittantur perpendiculaC 5; CD, gd,.quorum G D ac g d tangentioccurrant inF&F. Per Me-. dü refiftentam At u! cor pus progrediens, vice longieudinisCH, deferibat folumımnodo longitudinem C F;& per vim gravitatis tranf-fertur corpus de Fin Cs adeoq; lineola HF.vi cf ftentiz,& lincola; FG vi gravitatis fimul generantur. ‚Proinde(per Lem.. X kb. 1.) lineola FG eft ut vis gravitatis& quadratum tempo-ris Conjundtim;'adeoq;(ob: datam:\gravitatem:) ut quadratum: temporis;& lineola HF ut refiltentia& quadratum temporis,, hoc'eft ut refiftentia& Iineola FG. Et'inde refiltentia ft ut:
HT direße& FG inverle,. five ut we En
Hzc ita: fe habent in:
Iineolis nafcentibus. Nam in lineolis‘ finitze magnitudinis he ra-tiones non funt accuratz..
Et fimili argumento eft f,g ut Ada temporis, ‚adeoq; ob. &qualia tempora zquatur ipfi FG;& impulfus quo« corpus res
grediens urgetur eft ut Si impulfus corporis regredientis:
3 8&

{62]
& refiftentia progredientis 1pfo motus initio zquantur, adeoq;
8 ipfis proportionales Als En gquantur;& propterea ob zquales fg& FG, zquantur etiam hf 8& HF, funtq; adeo CH
CH(velCh)& Cf im progreflione' Arithmetica,& inde HFYe‚ midifferentia eft ipfarum Cf& CF; 8& refiftentia que fupra fuit
HF CF—CF. EL etut: WEG TG Eft autem refiftentia ut Medii denfitas& quadratum velocitatis. Velocitas autem ut deferiptalongitudo€ Fdire&te& tem-.
pus Y FG inverfe, hoc eft ut Sr adeoq; quadratum velocien GE7: B ECFLECE tatis ut CO ‚ Quare ECO ipfiq; proportionalis A FE eft ut Medi denfitas& EL conjunCtim';& inde Mediidenfitas ut OS diredte& FE tnwerie, id eft u
Corol. 1. Et hinc colligitur,'quod fi in Cfcapiatur Ck zqualis CF,& ad’planum horizontale 4 K demittatur perpendiculum
ki, fecans curvam A CK in L; fiet Medii denfitas be
Erit enimfC ad kC ut Yfg feu V FGadY kl,&.divitimfkad &C, ide Cf—EFadCFutYFG—VkI adv kl; hoc eft(fi ducatur terminus üterq; in Y FG+Yk1) ut FG—kladkI+ Y FGxkl, five ad FG+kL. Nam ratio prima nafcentium k/ +YFGxhl& FG+RI eft zqualitatis. Scribatur itaqg;
KO SM OA Pro 5& Medii denfitas, quz es CF rind. evadet u FO. CFXEG4- KF Corol,
FxXFGLkL
A

5[2633
Corol. 2. Unde cum 2 HF& Cf—C Faquentur,& FG& k! ( ob rationem zqualitatis) componant 2 FG; erit 2 HFad C Fr ut FG—klad 2FG;,& inde HF ad FG, hoc ‚eft ırefiftentia ad gravitatem,ut rec&angulum C Fin N G—klad 4 F G quad,
Corol. 3. Et hinc fi curva linea‘definiatur per relationem inter bafem feu abfeiffam AB& ordinatim applicatam BC;(ut moris eft)& valor ordinatim applicatx ‚refolvatur in fericm convergentem: Problema‘per primos feriel terminos expedite folvetur: ut in Exemplis fequentibus.
Exempl. x. Sıt Linea AC K{emicirculus füuper diametro AK deferiptus,& requiratur Medi denfitas quz faciat’ut Projectile in hac linea moveatur.,:.
Bifecetur. femicirculi diameter AK.in 0;5'8& dicOKız, OB a, BC e,& BDvel Bi 0:&erit DGq4. feu 0Gg4g.—0 Dg. xquale z%—aa—240—00 feu ee—240—00;& radice per, me5) FAN aa 20 0.0 4400 thodum noftram ‚extraßa, fiet DG= e— nr m = Zn&ci Hic feribatur um proce+aa& evadet DG
40, WRAOS AMMO N NULL ZCNAL Sn Hujufmodi Series diftinguo in terminosfucceflivos in. hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas ‚innite patva-o non extat decundum in quo quantitas ılla extat, untus- dimenfionis; tertium. In quo, extat_ duarum, X 5 7 ee quartum in quo trium eft,& u Pe fic.in infinitum, Et primus _terminus, qui hiceft e,, denotabit femper longitudinem ordinatz BC infiftentis ad, indefinitz quantitatis inıium B;(ecundus terminus

an nus qui hic eft,denotabit differentiam inter BC&DF, id ef
lineolam TF,qux abfeinditur complendo parallelogrammum B.CID, atq;adeo pofitionem Tangentis CF femper. determinat: ut
in hoc. cafu capiendo TFad IC ut et ad ofeu@ ade, Ter:
minus tertius, ‚qui hic RZ defignabit lineolam FG; quz jacet inter Tangentem& Curvam, adeoq; determinat angulum contactus FC G,feu curvaturam quam curva Iinea habet in C. Si lineola illa FG finite Et magnitudinis,'defignabitur per term? num tertium una cum{ubfequentibus in infinitum.' At fi lineoJa illa minuattr in infinitum, termini' fublequentes evadent. infinite minores.tertio, ideoq; negligi poflunt.. Terminus quartus, qui hic eft Dr exhibet variationem Curvaturz 5 quintus variationem variationis;& fic deinceps. Unde obiter patet ufus non contemnendus- harum Serierum in, folutione; Problematum, quz pendent a Tangentibus& curvatura Curvarum.
Prztereca C Feft latus quadratumvex C Tg. 8° 1F9.-hoc eft ex BD g.& quadrato termini fecundi. Eftq; FG+k4 xqualis duplo termini tertii,& FG— k/ xqualis duplo quarti, Nam.valor ipfius.DG convertitur in valorem ipfius zL,&- valor, ipfius 1'G,in valorem ipfius A/, feribendo B7 pro BD, fen—o pro 40
Hiı, 200 AanBO A —-m a a den EC m SL 46£
Proinde cum FG fie EN a&cveritkl= Cd annO) 3
) 200 3%- VA 7375&c. Et horum fumma eft—— 77 differentia En
Terminum quintum& fequentes hic neplieo) ut Infinite minores quam qui in hoc Problemate confiderandi veniant! Icag; 1: de- fignetur Series univerfaliter his terminis+Q0-—Roo- 30&C. erit CFoqualis yo 000 FO+ klaqualis 2R 00,& FG “I RDequalis2S0 PO C PIPPI G RT Teribantur
1 hi

[265]
hi earım valores,& Medii denfitas Ce FON,
jam fiet ut Deducendo’igitur Problema unumS RVY1+QQ, ef quodq; ad feriem convergentem,& hic pro 0, R& S feribendo terminos feriei ipfis relpondentes; deinde’ etiam ponendo’ re:
{iftentiam Medii in loco quovis G elle ad Gravitatem ut S/ TOR
ad 2RR,& velocitatem effe illam ipfam quacum corpus, de loco C fecundum re&am CF egrediens,(in: Parabola,(diametrumCB& latus re&um+ POL habente, deinceps moveri polflet,
folvetur Problema.; A/ DEE Sic in Problemate Jam folvendo, fi feribantur Y ı+ Zen
pro Yı FQ2Q, ZB pro KR; zz pro S, prodibit Medi den€
OB ar
fitas ut DS ‚hoc eft(ob datam%) ut_ feu Bd eft ut Tangentis Jongitudo illa CT, quzad femidiametrum OLipi AK normaliter infiftentem termi- A natur;& refiftentia eritad gra-. vitatem ut a adz, id eft ut OB ad circuli femidiametrum OK, velocitas autem erit ut Y2BC. Igitur fi corpus C certa cum velocitate, fecundum lineam ipfi OK paralleJam, exeat de loco L; 8 Medii denfitas in fingulis locis€ fit ut longitudo tangentis C T, A & refiltentia etiam-ın loco aliquo C fit'ad, vim gravitatis ut 0:5 ad OK; corpus illud deferibet circuli quadrantem LC K. Q.E. 1. At fi corpus idem de loco A fecundum lineam ipfi AK perL1 pen®e

[2667 pendicularem egrederetur, fumenda eflet 0 B fer a ad contrari‚as partes centri 0,& propterea fignum ejus mutandum effet,& {eribendum— a pro+4. Quo paCto prodiret Medii denfitas ut
=- Negativam autem denfitatem( hoc eft quz motus corporum accelerat) Natura non admittit,& propterea naturaliter fıeri non poteft ut corpus alcendendo ab A deferibat circuli
quadrantem AL. Ad hunc effe&um deberet corpus a Medio
impellenteaccelerari,. non a refiftente impediri. Exempl. 2. Sit linea ALC K Parabola;, axem habens OL horizonti AK perpendicularem,& requiratur Medii denfitas quz faciat ut projeCtile in ipfa_ moveatur. "Ex’natura: Parabole, re&angulum AD K zquale eft redtangülo{üb ordinata DG& reCa aliqua data: hoc eft, fi dicantur re&a illa b; AB as AK ec; BC e 8 BD-o3 recangulum a-+ö inc-a-ofeuac-—-aa—240+c0—00 zquale eft rectangulo b in DG, adeoq; DG zxquale SE ED
ZZ
00° 22+ Jam(ori
IM in SE De C+— YA bendus eflet hufus feriei fecundus terminus—z— 0 pro Qo,&
n. COM°.° 00 EJus coefliciens z— pro Q; tertius ıtem terminus 7- pro KRoo,
& ejus coefficiens pro R. Cum vero: plures non fint termini,
debebit quarti termini So’ coefficiens S’evaneltere, 8 propterea
quantitas TE: On Medii denfitas proportionalis eft,, nihil erit.. Nulla igitur Medii denfitate movebitur Projectile in - Parabola, uti olim demonftravit Galilens. Q.E.T. x Exempl. 3. Sit linea AG K. Hyperbola, Afymptoton habens N X plano horizontali AK perpendicularem;& quzratur Medi‘ denfitas qua faeiat ut Projectile moveatur in hac linea, Sit. MX Afymptotos altera,/ ordinatim. applicate DG produde

Jud- bb;&
1
5 267 dußke occurrens in V,& ex natura Hyperbole, re&angulum XV in VG dabitur. Datur autem ra- Nas tio DN ad Zn
V X,& propterea datur€ tiam. reCtangulum DNin. VG. Sie, ıl——_—_. parallelogram-, moD NXZ,/) MEN dicatut‘ BN' Ye Dbogp X le a4‚B Do, NX HAUT 7BD IK. 8
c,& ratio da- CK DC taV ZadZX
velDN, ponatur A Et erit D N zqualis 470, VG xqualis bb
., VZ xqualis= 4— 0,& GD fu NX-VZ— VG gx5 a BB 6b. AS. A Ge hen IR a a terminus 7—= im! feribb. 66
em convergentem 7+ 77°+5 are= 078.& fiet G D zquaPA fe 2 lise— CA SP An EN Sc. Hujus feriei ter7 b minus fecundus——'0—7 7 0 ulurpandus cß pro Oo, tertius cum figbb, bb no mutato zz pro Ro” ,& quartus cum fi jenes etiam mutato— 03
m bb 6b pro So’; eorumq; coefli cientes En: 2 feribenda x ad ga.
KR 2. in

in Regula THprrrePEO Q, R'8& 8./Quo fa&o prodit medirden(itas
a?“ I. bb, mm 2mbbh bb NM 2mbb, b* Ya ma ET eft, fiinVZ fumatur V/ T xqualis VG, ütZ—.) Namig be e
4 Bl+5{unt ipfarum XZ& ZY quadrata. Refiltentia autem invenitur.in. ratione ad. Gravitatem quam habet X T ad TG,& velocitas ea eft quacum corpus in_Parabola ‚pergeret verticem G diämetrum DG& latus re&um I habente, Ponatur itaq; quod Medii denfitates in locis fingulis G{int ıreciproceut diftantie X Y, quodq; refiftentia in-Joco aliquo G. fit. ad gravitatem ut XT ad TG;& corpus-de loco A Jufta,cum velocitate emiflum deferibet Hyperbolam illam AG K, Q.E.1L.:| Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AG K<Hyperbola ‚fit, centro. X Afymptotis MX, N X ealege deferipta, ut conftructo Aalen XZ’DN cujts htus-Z D AetetHyperbolan im G-& Afymptoton ejus in, fuerit. VG, reciproce ut ipfius Z X vel D’Ndignitas aliqua ND%, cUJus index e(tnumerus x+& .quaratur Medii den(itas, qua Projedile progrediatur in hac curva. ProDN; BD, NX(eribantur A, 0, C refpedive, fitq; VZ ad ZX velD N ut dade;,& VG@qualis=—& eritD’N zquaAL, NOLA CO NZ=E ind 0)&GDANXNZ AV G xqualis C— AA rs Y VER Refolvatur terminus ille
hen in feriem infinitam 7++ DEE+ DH Bi le DATE a0 ip 4 HE non&c, ac fiet GD zqualis€— 7 A_— 6A F3 2 di AB 3
6b 2bb60 nn BO" HE
A 1

in A+
269°]
+20 Be XZL9— und n BE nn bbO°&c. Hujus
art sn) F 6473 A feriei terminus fecundus% z A ufurpandus eft pro Qo,
nF 2nn- 2u ne tertius” vn bbO” pro Kr; qUartus(Art bbO* pro
. Et inde Medi dent ET ın loco Ch G, fit
BOT zz, adeoq; fi inVZ SD VY a ddp_2nbby Hal a Et
» 2dnbb
egal EEG eft eco ut X7. Sunt enim A’ en fi ar
‘Ref(entia autem in
ecodem A G fe ad Gravitatem ut Sin xx ad 2R R, ideftXYad
3m sn VG. Et velocitas ıbidem ca inf eft quacum corpus proBZ
Jedum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GD& Latus recum ERS 35 DI habente. GO Bil,
an nV G
Scholinim.
Quoniam motus non fit in Parabola nıfi ın Medio non reliftente, in Hyperbolis vero hic de(criptis fit per refiftentiam perpetuam; per(picuum eft quod linea, ‚quam Projetile in Medio uniformiter refiftente de{cribit, propius accedit ad. Hyperbolas hafce quam ad Parabolam. ER utig; linca illa Hyperbolici generis,{ed que circa verticem magis diftat ab Aiymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipfas: accedit quam
. pro ratione Hy quas hic deferipfi.. Tanta vero non
eft

[2707 eft inter has& illam differentia, quin illiusloco poflint hz in re. bus practicis non incommode adhiberi. Et.utiliores forfan fütu» rz{unt he, quam Hyperbola magis accurata& fimul magis compofita.‘ Ipfe vero in ufum fic deducentur. Compleatur parallelogrammum XYTGT,& ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod reta GT tangit Hyperbolamin G, ideoq;-denfitas Medi inG eft reciproce ut tangens G T,
& velocitas ibidem ut v Sr, refiftentia autem ad vim graVis
tatis ut GT ad 2232 GV,
Proinde fi corpus de loco A fecundum re&tam AH proje&tum deferibat Hyperbolam AG K,& AH producta occurrat Afyınptoto N X in H,ad&aq; AT occurrat alteri Afymptoto M Xin-£ ‚erit Medii denfitas in 4 reciproce ut AH,& corporis velocitas ut
v A ac refiftentia ibidem ad Gravitatem ut AHadi 77 437% AT;+2
in AI. Unde prodeunt fequentes Regule.
Reg. x. Si{fervetur Medii denfitas in 4 8& mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AT,HX. Ideoq; 1i longitudines illg in aliquo cafu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari poteft,
Reg. 2. Si fervetur tum angulus NAH tum Medii denfitas in 4,& muütetur velocitas quacum corpus proJicitur 5 fervabitur longitudo AH,& mutabitur A1 induplicata ratione velocitatis reciproce,|
„Reg. 3. Si,tam angulus NAH quam corporis ‚velocitas in. A, gravitalq; acceleratrix fervetur,& proportio refiftentig in Aad gravitatem motricem auUgeatur in ratione quacunque: augebitur proportio A4Had AT in eadem. ratione, manente Parabolx latererecto, eiq; proportionali longitudine A At& propterca minuetur 4 H in cadem ratione, 8& AI minuetur in ratione illa duplica

Ee7r 3 plicata. Augetur vero' proportio refiftentig ad. pondus, ubr vel gravitas fpecifica fub xquali'magnitudine fit minor, vel Medi denfitas Inajor, vel refiftentia,ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam' pondus.
Reg. 4. Quoniam denfitas Medi prope verticem Hyperbole minor eft quam in loco A; ut fervetur denfitas mediocris, debet ratio minime tangentium GT ad Tangentem AH inveniti,& denfitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo minore quam femifummz Tangentium ad‘ Tangentem AH.
Reg. 5. Si dantur longitudines AH, Al,& deferibenda fit figura AG K: produce HN’ ad X, ut fit HX xqualis facto füb n+1ı& AT; centrog; X& Afymptotis MX, NX per‘ pünctum A deferibatur Hyperbola, ea lege ut fit AT ad quamvis /G HEN Ka XI. A;
Reg. 6. Quo major eft numerus 7, co magis accuratz{unt he Hyperbolz in afcenfüu corporis ab 4,& minus accuratz in€zus defcenfu ad G; 8& contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, eftq; ceter1s{fimplicior.‘ Igitur 11 Hyperbola fit‘ hujus generis,& pund&um K, ubi corpus proje&tum_incidet in” rectam quamvis AN per pundtum A tranfeuntem, quzratur: 0C-' currat produ&a AN Afymptotis MX, NX inM&N,& fümatur NK ipfi AM zqualis. Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phenominis. Projiciantur corpora duo fimilia 8 zxqualia eadem velocitate, in angulis diverfis H AK, hAK,
‚incidentq; in planum Horizontis in K& k;& notetur‘proportio AKad Ak Sitea dade."Tum ere&o cujufvis longitudinis perpendiculo AT, affüme utcung; longitudinem AH vel Ab, & inde collige graphice longitudines 4 K, Ak, per Reg. 6. Sira-tio AK ad Ak fit eadem cum ratione d ad e,longitudo AH recte affumpta fuit. Sin minus cape in re@a infinita SM longitudinem SM zqualem aflumptz AH,& erige perpendiculum MN zxSn©: ARAANR quali

% en° ES° al° d< S® quale rationum differentig“© gu&z in redam quamvis }€
datam.| Simili methodo: ex affumptis pluribus longitudinibus AH invenienda{unt plura pun&a N:& tum demum fi per omnia agatur Curva linca regularis NN XN, hzc abfeindet$ X quafite longitudini AH gqualem. Ad ufus: Mechanicos fufficit longitudines AH, AT eafdem in angulis omnibus HA K retinere. Sin figura ad inveniendam refiftentiam Medij accuratius.determinanda fit, corrigendz funt
femper he longitudines per Regulam quartam.
Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; fi Jam defideretur pofitio re&z A H, fecundum quam ProjeCtile data illa cum velocitate emillum..;
incidit ın pun--. Cum quodvis K: ad puncta 4A& K erigantur._rectz AC, K F horizonti perpendiculares; quarum 4C deorfum:tandat,& xquetur, ipfi AT i{eus HX, Afymptotis A-® K, F de-_& feribatur Hyperbola,cujus Conjugata tranfeat per pundtum C, centroq; A 8 in-‘ teryallo 4 H defcribatur Circulus fecans Hyperbolam illam in
Puna
DE

|"Ce73 111|
pundo H;& proje&ile fecandumred&tam A H emiffum incidet in pundum K. Q.E.I. Nam pund&um H, ob datam longitudinem AH, locaturalicubi in eireulo defcripto.— AgaturC H-occurrens ipfis 4K& KF, illiin.C,-huicin F,_& ob,.parallelas CH, MX & zquales AC, AT, erit AE xqualis AM,& propterea etiam gqualis KN.. Sed.CE eftad A4E utF Had K N,&propterea CE & FH zquantur.. Incidit ergo pundum H in_Hyperbolam Afymptotis 4 K, K F deferiptam, cujus conjugata tranlit per pundum C, atq adeo reperitur in communiinterfedtione Hyperbolz hujus& circuli deferipti. Q. E. D. Notandum eft autem quod hxc operatio'perinde fe habet, five re&ta AK N horizonti parallela fit, five ad horizontem in angulo quovis inclinata: quodq; ex duabus interfectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus eft;& quodin Praxi mechanica fufficit circulum femel deferibere, deinde regulam interminatam C H itaapplicare ad puncum:C, ut ejus pars FH, circulo 8 redtz F K interjeCta;zqualis fit ejus partı CE inter pun&um€ & redtam HK fite.
Quz de Hyperbolis di&a funt facile applicantur ad Parabolas. Nam fi X4G K Parabolam defignet quam re&ta XV tangat in vertice X, fintq; ordinatim ap. plicatz 7 4, VG ut quzlibet abfeiffarum XI; XV dignitates XI x, X Va; agantur X T, TG, HA, quarum X T parallela fit VG, & TG,H A parabolam tangant inG& A: 8& corpus de loco quovis 4, fecundum re&am AH pro- " duCtam, Jufta cum velocitate proJectum, deferibet hanc Parabolam, {imodo denfitas Medij, in locis fingulis G, fit reciproce ut tangens G T. Velocitas autem in G ca erit quacum Projedtile pergeret, Mm in

E24 1| in{patio non refiftente, in Parabola Conica, verticem G, diam2 TGg. „n—n XVG habente. Et refiltentia in G erit ad vim Gravitatis ut TG ad
322— 3
etrum V G deorfum produdam,& latus retum/
„—z VG. Vndefi NAK lineam horizontalem defignet,&
manente tum denfitate Medij in 4, tum velocitate quacum corpus proJicitur, mutetur utcung; angulus N 4 H; manebunt longitudines AH, AI,HX,& inde datur Parabolz vertex X,& pofitio redtz X TI, 8& fumendoVGad[Aut XV% ad X I 7%, dantur omnia Parabole pundta G, per quz Projettile trandibit,
SB GA
De motn corporum que refiftuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejufdem ratione duplicata,
Prop. XI. Theor. VII Si corpus refiftitur Dartim in ratione welocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata,& fola wi önfita in Medio fimiları move, fumantur antem tempora in progreflione Arithmetica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales, quadam‘quantitate aufge, erunt
zu proßreffione Geometrica,. Centro C, Afymptotis rectangulis C ADd&CH deferibatur Hyperbola BEeS,& Afymptoto CH parallel fint AB, DE, e. In Afymptoto C D dentur puncdta A, G: Erfi tempus Cxponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter crefcentem; dico quod velocitas exponi poteft per longitudinem DE CcuJus reciproca G D una cum data C-.G componat longitudinem CD in progreilione Geometrica creicentem.
Sit

NE A
. citatis eft ut refiftentia, hoc eft
4155] Sit enim areola DEed ‚datum temporis incrementuny quam minimum,& erit D d reciproce ut DE, adeoque dire&e ut
CD. Ipfius autem DD decrementum, quod(per hujus Lem.II.) De a CD CG+GD no asiCG eft GDa. Yerit ut= N Ken aD+ SD Igitur tempore A4BED per additionem datarum particularum E H D de üniformiter crefcente, decre, id eft, ut
ft zz in eadem ratione cum velocitate. Nam. decrementum velo(per Hypothefin) ut fumma. duarıum, quantitatum, quarum una eft ut velocitas, altera.ut: quadra_—.decrementum eft ut(umma quantum velocitatis; 8 ipfius vn 5. P GB‘
. u CG.. I A
titatum'=& 7 dr quarum prior eft ipfa ey& pofterior CG I a nd
CD eft ut GDr Proinde en ob analogum decrementum,
eft.ut velocitas.| Et fi quantitas G D ipfi ED 1eciproce| proportionalis quantitate data C G augeatur,{umma CD, tempore ABED wuniformiter crefcente, crefcet in progreflione Geometrica. 0.E, D.
Corol. x. ITgitur fi datis pundtis 4, G, exponatur tempus per arcam Hyperbolicam AB ED, exponi poteft velocitas per ipfius GD iprocam—A_ reciproc en
Corol. 2. Sumendo autem G A ad GD ut velocitatis reciproca fub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujufMm 2 vis

C 276] vis ABE.D, invenietur pundum GG... ‚Eo auteminvento; veloCitas ex dato quovis alio temporeinveniri poteft. mi aden
Prop. XII. Theor. IX. Tifdem pofitis,dico quod fi fpatiä’defcripta fumantur in Progre(fzone Arithmetica, wvelocitates data quadam quantitate auste ‚erunt in progreflione Geometrica.;
In Afymptoto€ D detur pundum R,& ere&o perpendiculo RS, quod occurrat Hyperbolz in S, exponatur deferiptum Apatium per aream Hyperbolican RSED;& velocitas erit ut longitudo GD, quz cum data C Gcomponit longitudinem€ D,in Progreflione Geometrica decrefcentem, interea dum fpatium R.S‚E D-augetur in Arichmetica. SIDE 49 5
_ Etenim ob-datum fpatii incrementüm E De; lineola Did} quz decrementum eftipfius G D,erit reciprocs ut ED, adeog; diredte ut CD, hödc eft ut fumma ‚ejuldem G-D- 8 longitudinis . dat, C.G,../Sed ‚velocitatis.decrementum; tempore fibhreciproce proportionali,quo data{patii particula Dde E deferibitur, eft ut refiltentia& tempus, conjunCtim;. id eft dire&e ut{(ümma:duzrum quantitatum, quarum una eft velocitas,"altera ut velocitatis quadratum; 8, inverfe ut velocitas; adeoque diredte ut fumma dearum quantitatum, quarum una’ datur, altera'eft ut velocitas. Igitur decrementum tamı velocitatis quam linex G.Djeftut quantitas data& quantitas decrefcens conjundim;&, propter analoga decrementa, analogz feinper erunt quantitates. decrefcentes: ni. mirum velocitas& linea GD. ED. SE „_Corol, x. Igitur fi velocitas exponatur per longitudinem. GD, {patium deferiptumerit ut area Hypetbolica DESR. Corol? 2. Et fi utcunque affumatur puncdtum R, invenietur punctum G, capiendo GD ad GR uteft veloeitas! fübh inıtio ad velocitatem poft{patium quodvis_4 BED defcriptum.‘Invento,autem pundo G, datur fpatium ex. data velocitate,& contra,
Corol, 3.

\
Corol. 3: Unde cum; per Prop. XI. detur velocitas ex’ da“
totempore,&„per hanc Propofitionem detur{patium'€x(data velocitatez dabitur-{patium ex dato tempore: E&'contra, 1°
‚Prop. XIM."Theor. X.
_ Pofito quod corpus ab uniformi_gravitate deorfum attrahun ‚recta, afcendit vel de/cendit,& refiftitur partipe in. ratione velocitatis,.partim in ejnfdem ratione duplicata:.dico quod.„fi Circuli co» Hyperbole diametris parallele. rei ‚per conjngatarum... diametrorum terminos, ducantur,€ velocitates. fint. ut. fegmenta.quedam; ‚parallelarum a dato puncto dutta, Temporaerunt ut: arearum SeGioresneStis.a.centro, adı fegmentorum terminos duftis abfciflt:&» comtras;.
Caf. ı. Ponamus primo quod corpus afcendit; centroque D: & femidiametro quovis DB /deferibatur circuli. quadransB ETF, terminum B agatur infinita B AP,(emidiametro DEF parallela.. In ca. detur pun-—-Cum 4, 8 capiatür- Leg mentum AP velocitati proportionale. Et cum refiftentix pars aliqua fit ut veJocitas& pars altera ut velocitatis quadratum,. fit refiltentia tota in P ut AP ala; quad.+? P.AB.. Jungan- 4 4 2 ir tur. D 4; D P circulum fe- AR As bi Ci"A cantes in E ac T,& exponatur- gravitas per DA quadratum; ita ut fit gravitasad refiftentiamin Put DAg. ad AP g.+2PAB: & tempus afcenfus omnis futuri eritrut.circuli fe&or EDTE.
Agatur enim DV O abfeindens&, velocitatis 4 P- momentum PO,& Se&oris DET momentum D.T-Y dato temporis momento
1

Der to refpondens:& velocitatis decrementum illud P.Q_erit ut fümma virıum gravitatis DB g.& refiftentie AP g.+2 BAP, id eft(per Prop. 12. Lib. Al. Elem.) ut DP quad. Promde area DPO_, ipfi PO_proportionalis, eftut DP quad; 8& area DTV, (que eftadaream D PO ut DT 4.3dD P 4.) eftut datum D T9g. Decrefeit igitur area EDT uniformiter ad. modum ‚temporis fu» tur; per fubductionem datarum particularum DTV,& propterea temport afcenfüs füturı proportionalis eft, 0. E. D.
Caf. 2. Si-velocitas in afcenfucorpöris exponatur per longitudinem 4 P ut'prius,& refiftentia ponatur efle ut 4Pg.+2 BAP, & fi vis graVitatis minör fit'quam quz per DA. exponi poflit5 Capiatur B"D-ejüs Tonpitudinis, ut‘ fit ABg.—BDg. graVitati proportionas N MB) 8 . le, fitque DES; fi‘ DB“perpendieus 212 107 ; Jaris& zqualis,& per verticem F deAcribatur Hyperbola FTVE cujusfemi- 3 diametri conjugatz fint DB& DF, quagq; fecet D A in KL Ei& DP;D@m T&V; 8 erit tem-| ‚a pus afcenfus futuri ut Hyperbolz fe&or TDE.
Nam velocitatis decrementum P Q, in data temporis particula factum, eft ut fumma refiftentie A Pqg.+2 ABP& gravitatis 4Bgq.-BDg. ideftut BPqg.-BDg.'Eft autem arca DTV ad aream D-P Q- ut D T4. ad DP gr adeoque, fi ad D F demitta= tur perpendiculum GT, ut GTg. feuGD q—-DFgq. ad BD qg. utque GD 4. ad PBg. 8 divifim ut D Fq. ad BP q.—DBg. Quare cum’area DPO_ fit ut PO, ideft ut BP qg.—BDg. erit arcarD/T V ut datüm DFg. Decrefceit igitur area EDT uniformiter
PG

[ 5791
miter fingulis temporis particulis xqualibus, per fubdudionem
particularum totidem datarum DIT V,&propterea tempori proportionalis eft. 0. E. D. nn
Caf. 3-Sit AP velocitas in defcenfu corporis,&4P q.+24BP refiftentia,& DB g._ A Bq. wis gravitatis, exiftente angulo DAB recto. Et fi centro D, vertice OA; principali B, deferibatur Hyperbola re&angula BETV fecans produd&tas D A,D P 8& DO inE,T& V;'erit Hyperbolz hujus fe&or DET ut tempus de{cenfus.;:
Nam velocitatis. incrementum PO, eiq; proportionalis arca Di’Q, eft ut’ exceflus gravitatis{upra refiftentiam, id eftut DBg.—- ABg.-24BP' —AP gg. fu DBg.= BF q. Et‘ area D TV eft ad arcamD P 0, N Mn ut DTgq. ad DPg. adeoq; ut. SS; GTg9q. feu CD gqg.—BDg. ad’B Pg. utque.G Dg: ad BD4.&
divifim ut BDg. ad BDq.—-BPgq. Quare cum area DPO_
fie ut BDg.—BPg. erit.arca D TV ut. datum BD q:: Crefcit igitur area E DT uniformiter{ingulis temporis particulis 2qualibus, per additionem totidem datarum particularum D 77,& propterea tempori defcenfus. proportionalis eft. 0. E.D.
Corol. Ygitur velocitas AP eft ad velocitatem quam corpus
tempore E DT, in fpatio non refiftente, aflcendendo amittere vel defcendendo acquirere poffet, ut area trianguliD AP ad arcam.
{c&oris centro D, radio DA, angulo AD T. deferipti; ideoque ex dato tempore datur, ‚ Nam velocitas in Medio non refiftente, tempori atque adeo SeCtori huic proportionalis eft.5 ‚in Mcedio refiftente eft ut triangulum;& in Medio utroq; ubi quam minima
eft, accedit ad rationem zqualitatis, pro more Sectoris& Trianguli. Prop. XIV,

To280] nt ig Pro KIVE Probi DV,
1 CLofdem pofitis, dieo.quod /patinm'afcenfn-vel defcenfu deferiptum, eft nt Summa wel differentia aree Per quam tempus exponitur,& areR eujufdam alterins que augetur wel dimintitur in progrefflione Arithmetica; fi vires ex!refiftentia Cm; gravitate compofita fumantur Zn progreffione Geometrica, A pl| ch Capiatur AC(in Fig. tribus ultämis;) gravitati,& AK-ıreliAtentig proportionalis. Capianturautem ad.eafdem partes pum&i 4 fi corpus afcendit, liter ad contrarias.. Etigatur 4 que fit ad DB ut DBqg. ad 4BAC:& arca AbNK augebitur vel diminuetur in. pfogreflione Arithmeticas dum vires CK in progreflione Geometrica fumuntur. Dico 1oitur-quod diftantia corporis ab ejus"altitudine maxima fit üt,exceflus arce AbNK fu pra arcam /D E T. bidnstin Aare Nam cum AK fit ut refiltentia, id eft ut AP q. 2 BAP; affumatur, data quavis quantitas; ZZ,&: ponatut 4. xqualis AP1ı.+2BAP Z mentum KL 2quale aAr Oro AxPB feu 3512 Re
| |
5&(per hujus Lem. I.) erit ipfius AK moar bNK momentum KL ON xquale; ALL feu
BPO.x BDcub.
3 XCK E45
Caf. 1. Jam fi corpus afcendit, fitque gravitas ut 4 Bqg:
7 BDg. exiftente BET circulo,(in Fig. Caf. 1. Prop.. XI. ir
nca 4 C; que gtavitati proportionalis ‚eft, erit ABapBDg,
&DPg.fwA4Pg.-+2BAP+4Bg.4+ BD g.etit AKXZIACKZ, den CKxZ: ideoque area DT erit ad arcam DP Q_ ut DT74.
YiLD By. adCKxZ. ECaf. Zn

Caf. 2.- Sin.corpus afcendit,& gravitas fit ut A4Bqg-BDqg. linea AC(Fig. Caf. 2. Prop. XML) erit A De& D Tg.
— erit ad DP g. ut DFg. feuD.Bg. adBP q_BDgq. feuAPq.+ 2BAP+4AB4-—-BDg. idetad AKxZ+4ACxZleuCKxZ,.
Ideoque area DTV erit ad arcam DPQ ut DBg.adC KxZ,.
. 7 Caf.3. Et codem argumento‚fi corpus defcendit,& propterea, gravitas fit ut BDg.—ABg.& linea AC(Fig. Caf. 3. Prop.
preced,) equetur EDan Ant erit area D TV ad arcam
DPO ut DBgq.adCKxZ: ut fupra.; Cum igitur.areg ilke femper fint in hac ratione; fi pro arca DTV, qua momentum temporis fibimet ipfi femper zquale exponitur,{cribatur determinatum quodvis re&angulum, puta BDxm, erit area DPO,-ideft:BDxP0O; ad BDxm ut CKinZ ad BDg. Atgq;inde fit POQ_in B D cub. zquale 2BDxmxCKxZ, 8 arcz ALNK momentum KLON füBPxBDxm az—
perius inventum, ‚fit. Auferatur arex DE T momentum DT V feuB Dxm, 8& reftabit En Eft igitur differentia momentorum, id eft momentum differentig arecarum, zqualis AED 8& propterea(ob datum ES
ut velocitas AP, id eft ut momentum{patii quod corpus alcendendo vel defeendendo deferibit. Ideoque differentia arcarum 8& fpatium illud proportionalibus momentis crefcentia vel decretcentia,& fimul incipientia vel fimul evanefcentia funt proportionalia. Q. E.D.|; Rn Corol. Tgitur fi longitudo aliqua 7 fumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet Iinea DA ad lineam DE;{fpatium quod carpus afcenfü vel defcenfü toto in Medio refiftente deferibit,-erit ad fpatium quod in Medio non refiftente codem temNn pore

[282]
. pore deferibere poffet, ut arcarum illarum differentia"ad B3D xV
ideoque ex dato tempore datur: Nam fpatıum in Medio non
refiftente eft in duplicata ratione temporis, five ut /*,& ob das BD xV*
tas BD& AB, ut IT Tempus autem eft ut DET feu; BDxET,& harum arcarım momenta{unt ut At 4
ducdum in momentum ipfius/&+ BD du&um in momentum ipfius ET, id eft, ut DE in. DAgx2m& 1; BDxam,
‚BDxVxDAg.x me;; DS DE DT& BD xm. Et- propterea momentum arex V*, eft ad momentum differentig arearum DET 5 BDxVxDAxm:„AP xBDxm Sa N a a
Sad AP: adeoque, ubi 7& 4P quam minımz{unt,
five ut
five ut
in ratione xqualitatis. Zqualis-igitur_eft arca quam minima
Or differentig quam minimz arearum DET&AKN bh. 4 al
Unde cum fpatia in Medio utroque, in principio, defcenfus vel fine afcenfus limul deferipta accedunt_ ad zqualitatem, adeoque tunc füunt ad invicem ut area Sn& arearım DET& AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa neceffe eftut in xqualibus quibufcunque temporibus fint ad invicem ut area illa EM& arcaruım DET& AK N differentia. Q. E.D. 4;
SECT. MW.

EC 283] SEC NT AIV: x De Corporum circnları Motn in. Mediis refiftentibus. \ LEM. IE
Sit P OR r Spiralis que fecet radios'omnes SV, SQ, SR, Ge. in equalibus angulis. Agatur re&a PT que tangat candem in punto guowis P, fecetque radinm S On X x ad Spiralem erettis perpendicnlis PO, QO concurrentibus‘ in?O,* Jungatur SO.‘ Dico quod fi pungta P& O_accedant ad invicem& coeant, angnlns PSO evadet ve&ius,& ultima ratio re&tangnli TOXPS ad‘ P Q.gquäd, erit Yda110 aqualitatis.. RO
Etenim de angulis re&tis 0PO;00QR fübducantur anguli . gquales SPOQ., SOR,& manebunt anguli zquales OP S; 0 Q8. Ergo circulus qui tranfit per GIS punda 0, S, P tranfibit eti- Er am per pundtum 0. Coeant pundta P 8:0,& hic/circulus in loco coitus PQtan- Pt get Spiralem, adeoque per-, /\.pendieulariter fecabit fectam* EN O’P2 Fiet igitur OP diame=> ter circuli hujus,& angulus 0 SP in femicirculo rectus.
Ad 0 P demittantur perpendicula 0 D,.S E,& linearum rationes ultimx erunt hujufmodi: TO ad PD utT Svel P.S ad „PE,fRuPOad PS. Item PDadPOQ ut PO ad PO, Etex 2Xquo perturbate POHL Du Lad 8 Une fit PO’93. 2qtals POxPS,"0. ED,
Nn2 Prop-. XV.

[ 284] Ptop. XV.'Theor. XI.
Si Medii x- in locis fingnlis fit reciproce ut diftantia locorune a centro immobili, fitque wis centripeta in. duplicata ratione denfitatis: dico quod corpus gyrari poteft in Spirali, qu@ radios omnes a centro illo ductos interfecat in angnlo dato. Ponantur quz in fuperiore Lemmate,& producatur SQ_ad ‚V, ut fit SV zqualis SP. Temporibus xqualibus deferibat cor-pusarcus quam minimos PQ_& OR, fintque arez PSQ, QSr “ xquales.| Et quoniam vis Centripeta, qua corpus urgetur in P eft reciproce ut SPq.&: (perLem. X. Lib. I.) lineola TQ, que. vi illa gene‚tatur; eft in ratione compofita(ex fatione hujus vis& ratione duplicata temporis quo arcus PO_ deferibitur, (Nam refiftentiam in hoc' cafu, ut Infinite minorem quam viscentripeta negligo) erit TO xSPq. ideft( per Lemma noviilimum) PO g. x SP, in ratione ‚duplicata temporis, adeoque tempus eft ut PO xyS P,& corporis velocitas qua arcus P Q_illo tempore deferibitur ut Den feu — hoc eft in dimidiata ratione ipfius SP reciproce. Et
fimili argumento vclocitas, qua arcus 0. R defcribitur, eft in dimidiata ratione ipfius$Q_ reciproce. Sunt autem arcus illi P 0_ & Q.R ut velocitates deferiptrices ad invicem; ideft in dimidiata ratione SQ ad SP, five ut SQ ad /SPx4SQ 3 8& ob 2quales angulos SPQ,SOr& xquales areas PSQ, QSr, eft arcus
PO

PO adarcumOQ rutS Q ad$ P. Sumantur proportionalium confequentium differentie, 8& fiet arcus P 0. ad arcum Rrut S Q ad SP_SP:xSQ*, feu#7 Q.5; nam pundtis P& Qi'coeuntibüus; ratio ultıma SPS P+xSQ.+ ad 4V Oft zqualitatis.„In Medio non refiltente areg zquales PS Q, QSr(per Theör. I. Lib. I.) temporibus zqualibus deferibi deberent. Ex refiftentia oritur arearum differentia RSr, 8 propterea refiftentia eft ut lineolz Q r decrementum R r collatum cum quadrato temporis; quo generatur. Nam lineola R r(per Lem. X. Lib. L) ‚eft in dulicata ratione. temporI1s. ft. igitu ftenti'ut Kr T p emp Eft igitur refiftentia SANT
Erat autem PO2dRr ut SQ ad VO, 8 inde Ar fi tautem POadRr ut SQad#72,& inde fit HN A 30'851 Namque PB
at FOsSPEr an ut OPxSPga. Namque pundis P& Q_
_"coeuntibus, SP& SQ. coincidunt;;&ob fimilia trangula PVQ, PSO, ft P Qad;VQ ut OP ad OS. Ef igitur OPxSPr ut refiftentia, id eft in ratione. denfitatis Medii in P& ratione duplicata velocitatis conjundtim., Auferatur duplicata ratio veN ocitatis, nempe ratio=,& manebit Medii denfitas in P ut
Se etur Spiralis, 8& 0b datam rationem 0S ad OP, denis Medii in P.erit. ut a In Medio. igitur. cujus denfitas
"ef reciproce ut diftantia:
centro SP, corpusgyrari poteft in hac Corol. ı. Velocitas in loco quovis P ea femper eft quacum
corpus ee non refiftente gyrari poreftin circulo,ad eandem a centro diftantiam SP.
N edit dehfitas, fi datur diftantia SP, eit ut,>
‘Corol 2

[8691
fin diftantia illa non datur, ‚ut OPE5Bs Et_inde Spiralis ad
quamlibet Medii denfitatem aptarı poteft, 9}. 02x AR Corols''3. Vis' refiftentie in 10c0 quovis P} eft ad vim cent petafn in eodem loco ut‘:0S ad OP. Nam vires ille funt ut 1 nex Rr& T Qfenue OA LE Senn quas fimul generant, hoc eft ut 47 Q8& PP 9.5 deu 40818 0P," Data ijgitur Spirali datur' propörtio refiftentie ad vim centripetam,& viceverfa ex data illa proportione datur Spiralis«, a mE A Corol, 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac fpirali, nıfi ubi vis refiftentiz minorseft quam. dimidium vis scentripetz,.Fiat-refiltentia@qualis dimidio vis centripetz& Spiralis conveniet cum
Hinea re@ta>P.S, inque hac re&a‘cörpus defendet ad centrum,dimidia{emper Cum. velocitate qua‘ probavimus_in{a periöribus in cafır Pdrabolz'( Theor. X. ib! 1’) defeen(um“ in Medio non refiftente fieri. 4 Unde tempord defcenfushic eruntduplamajora temporibus illis atqueadeo dantur.
Oh. I ‚quoniam in‘ xqualibus a” Cehtro Giants Velbei
Tas cadem efPin Spirale P OR atdte- in reda SPORE Jongitudo Spiralis adilongitüdinemirecdte-P:S eft in data ratione; nempe in ratione OP ad OS; tempus defcenfus in Spirali erit ad tempus
: defcenfus’ in re@&a:S Poitr eadem illa: data ratione;. proindeque
dafır. Andre de AT e Ca “"Corol.” 64 Steht Sintervallis duobus datis deferibantür duo circuli; ‚numerusrevolutionum quas corpus intra circulorum cir° x 8 P.; Y A Ü e> cumferentias complere poteft, eft ut En five ut Tangensanguli
‚quem, Spiralis, continet cum radio. PS; tempus.,vero revolutionum ecarundem ut- id eft recıproce ut Medii denfitas,
Coröli 7," Sicorpus,in Medio, tu Jus-denfitas ef reciproce ut diftantia locorum a centro,revolutionem in Curva quacunque AEB circa

WO a nd)
WI AAO ES 1.
EEE ; a
_diam. proportiona
circAcentruim illud. fecerit,& Radium primum 4. Sin, eodem angulo-fecuerit in„B. quo prius in. A, idque cum velocitate que, fuerit ad velocitatem{uam primam in A reciproce in dimidiata. ratione diftantia-' rum a centro.(id eft ut BS ad melem inter AS&
CS:.) corpus illud. perget-innu-, meras Confimiles revolutiönes BIC, CGD,:&c.: facere, 8 interfechonibus diftinguet Radium AS in
partes 45; B 8,) el CS, DS&c. con- fe
tinue proportionales.. Revolutionum vero tempora erunt ut Perimetri orbitarum A EB, BFC,CG D&c. dirette,& velocitates in principiis 4, B,C, inverfe; id eft ut AS*, B S*, CS*. Atg; tempus totum, quo corpus perveniet ad'Centrum, erit ad tempus revolutionis prime ut{umma omnium continue proportion3lium 48%, BS*, C'S* pergentium in infinitum, ad terminum primum. 4$*; ideft ut.terminus ille.primus 4.,$” ‚ad: differentiam
duorum primorum. A S*— B$*, 8 quam proxime ut:45 ad AB. Unde tempus illud totumexpedite invenitur.
Corol. 8. Ex his etiam przterpropter colligere licet motus corporum in Mediis; quorum denfitas' aut-uniformis eft, aut aliam quamcunque legem affignatam obfervat.: Centro S intervallis ‚continue proportionalibus SA, SB, SC&c. deferibe circulos

<ulos quotcinque, 8 ftatue numerum revolutionuminter perime tros duorum quorumvis ex his circulis,in Medio de quo egimus;efle äd numerum revolütionum inter eofdem in Medio propofito, ut Medii propofiti denfitas mediocris inter hos circulos ad Medi, de quo egimus, denfitatem mediocrem inter eofdem quam proxime; Sed& in eadem quog; ratione effe Tangentem anguliquoSpiralis przfinita,in Medio de quo egimus,fecat radium AS, ad tangen: tem anguli quo Spiralis nova fecat radıum eundem in Medio propofito: Atq; etiam ut funt eorundem angulorum fecantes ita: efle tempora revolutionum omnium inter circulos eofdem duos quam proxime, Si hzc fiant paflim inter circulos binos, continuabitur mo+ tus per circulos omnes, Atque hoc pa&o haud difficulter imaginari poflimus quibus modis ac temporibus corpora' in Medio quocunque regulari gyrari debebunt,"OK 08 8 Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad for: mam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spiralium illarum fingulas revolutiones eifdem ab invicem intervällis diftare, iildemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali{uperius deferipta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in Tadulnadi Spiralibus peragantur.-|
j Prop. XVII Theor. XII.
Si Medii denfitas in locis fingulis fit reciproce ut dignitas aliqna diftantig locornm a centro, fitque DIS centripeta reciproce ut diftantia in dignitatem illam du& a: dico"quod corpus‘ gyrari poteft in Spirali, que radios omnes a centro.illo dutos interfecat in angulo dato.}
Demonftratur eadem methodo_ cum Propofitione{uperiore, Nam fi vis centripeta in P fit reciproce ut diftantix SP dignitas
qualibet: S PP cujus index eft z+1; colligetur ut füpra,quod
tempus quo corpusdefcribit arcum quemvis PO eritut POxSP

Ca897 Zn GR rd& VO Ss PSP U PRKSPEESL OP xSPAF} udiiy 9b supilE 3008 SR SUR
2 8 refiftentia in P ut, adeSP; |“Scholinm.
Czterum heec Propofitiö 8 fuperioresj quad Media inxqualiter denfa fpe&ant, intelligende funt de motu corporum adeo parvorum,. ut;Medii\cx uno corporislatere, major, denfitas quam ex altero non confideranda veniat. Refiftentiam quöque cxteris paribus denfitati proportionalem effe fuppono.| Unde in Mediis quorum vis refiftendi non eft ut denfitas, debet denfitas co ulque augeri vel'diminuiz ut refiftentiz vel tallatur exceflus vel defedtus
‚Prop. XVII Prob.. V.
Invenire& wim centripetam&» Mediz refiftentiam qua Corpus in data Spirali data:lege.rewolwi poteft. Vide Fig, Prop XV. | Sit fpiralis. illa POR. Ex velocitate qua corpus percurrit ar— cum, quam minimum P 9 dabitur tempus,:& ex altitudine TO,
quz eftut viscentripeta& quadratum temporis, dabitur vis... Deinde ex arearum,zqualibus temporum particulis confe&arum PS Q_ 8. Q, SR; differentia,R Sr,-dabitüur corporis retardatio,&.ex re= tardatione invenietur refiftentia.ac denfitas Medii.
Prop- XVII Prob, VI.
Data lege wis centripete, invenire Medii denfitatem in locis fingnlis, qua corpus: datam Spiralem defcribet,; 1;
Ex vi. centripeta invenienda ‚eft velocitas in locis fingulis, de_ inde ex velocitatis ‚retardatione querenda Medii denfitas- ut in
Propofitione. fuperiore,
: Oo Me

CL 290] Methodum vero tradtandi hacı Problemata.aperui in„hujus Propofitione decima,& Lemmate fecundo;& Le&orem in huz
denda jam fünt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque denfitate& refiftentia Mediorum, in quibus motus hadtenus expofiti& his aflines peraguntur.
De Denfitate ompre[fione Flüidornin; deque Hijdrofbatica, r | SBn1T orroq Defitieio-Fluidisoqo: HShe
Jufmodi ‚perplexis, difquifitionibus..diutiüs detenete nolo.- Ads
Fluidum eft corpus omne!cujus partes cedunt vi'Cuicunque ilJatz,& cedendo facile movetur inter fe._ INIESLE N Prop. XIX. Theor. XII;
Fluidi honiogenei@& FimMoti, gnddl Dal OCT Zi Tänditur& undique"comprimitir; partes"ommes(Jepofitd‘ ComdenfatioHis, grawibatis CD Dirium' ommin Centripetarum' Confideratione) x: qualiter premuntür undique; ab/que ömmni motn da preffione’illa or? fo permanent in‘ To6is‘ fuisasG 000 157-200! Sup, DIE X9 bat,
Caf.‘ 1. In vafe-Apherico4 BC Caudatur 8 uniformiter COmprimatur fluidum undique: dico quod ejufdem parsnülla ex i]la preflione movebitur. Nam fi pars aliqua D moveatur, neceffe eft ut omnes ejufmodi partes; ad eahdem’a centt& diftantiam undique confiftentes, fimili motu fimul MOVveanturs' atq; hoc adeo quia fimilis 8& xqualis eft’omnium preffio, Se motusomnis exclufus fapponitur,nifi qui a preffione illa oriatur. Atqui non poffunt’omnesad centrum propius accedere,: nifi fAuidum ad Centrum“ condenfetur; contra Hypothefin: Non pofflunt1öngitisab eo recedere
: X nift

[er d! e nifi Auidum ad circumferentiamı con denfetur; etiam contra Hypothefin. Non poffunt fervataTuaa Eentro!diftantia:mover! in plar gam quamcung; qua parı ratione mävesi iu of.0 buntur in-plagam: contrariam 1 in plase 1) gas autem contrarias non poteft parsea=91i!l/ul 1 dem eodem tempore möverti! Etgofluidis fı pars nulla de loco fuo movebitunQ.E.D.| Cafı 2.-Dico jam quod fluidikujus 107 partes omnes; fphzrice ‚equaliter pres).0BNUERO UA muntur undique: fit.enim EFpars{phase bs supi rica; Auidi,.& fi-Heoundiq; nom premi=.4© MU I) turxqualiter, augeatunipreflio minor; ulg; dum ipfaundiq; prematur xqualiter; ‚& partes,ejus, percafum primum,permanebunt in Jocis, Auis:-Sedanteau&am) preflionem ‚petmanebunt in:Jocis fuis, per cafum eundum primum, ı8 additionepreflionis nOvz movebuntur-de locis{uis, per definitionem FluidisQuz duo repugnant., Ergo falfo dicebatür quod;SpheraE Finon undique premebatur xqualiter, 1 Q EEE: Diyails Hragul sugl JR 2
' Cafı 3. Dico prxtetca quod. diverfarum'partium/ fphericarum. xqualis fie preflio.. Nam partes{phzrice contiguz: fe:mutuo premunt zqualiter in pundo CöntaCüs,permMotus Legem IN. Sed. & per Cafum fecundum, undiq;. premuntur eadem vi. Partes igitur dux ‚queyis{pharice nori.contigue,) quia pars fphzrica intermedia tangere poteft.utramque,. prementur.eadem vi. Q, E.D,
.Caf- 4: Dico Jam quod fluidi,partes emnes ubiq; premuntur xqualiter..... Nam ‚partes. dux ‚qua vis.tangi ‚poflunt;a pattibus Sphericis, in; punCis quibufcungue; 8x1 ibi„partes' illas Sphericas zqualiter; premunt, per Cafum: 3.& vicıflim ab‘ illis‘ zqualiter premuntur, per Motus Legem. Tertiam.,. 2 ED:
.Caf- 5. Cum igitur fluidi. pars quelibet G HL. in fluido re* liquo tanquam in. vafe claudatur,& undique prematur xqualiter, partes autem ejus fe mutuo zqualiter premant& quiefcant inter fe; manifeftum, eft quod Fluidi cajufcunque. G H I, quod undiQo 2 que

[2] n que’ premitur xqualiter, partesomnes fe mutuo premunt zqualiter,& quiefcunt inter fe. Q. E.D. Auioq a
Caf. 6. Tgitur fi Fluidum illud in vafe non rigido claudatur, 87 undique non prematur xqualiter, cedet idem preflioni fortiori, per Definitionem. Fluiditatis. tg ioog non RODELN
‚Caf. 7. Ydeoque in vafe rigido' Fluidum non fuftinebir preffionem fortiorem ex uno Jatere quam ex'alio, Led’ eidem' cedet, idq; in momento temporis, quia latus vafıs rigidum non perfequitur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit Jatus oppofitum, &{ic-preflio undique. ad Xqualitatem.verget.)i) Et’ quoniam Fluidum, quam primum a parte magis preflantecedtre conatur, inhibetur per refiftentiam vafisad latusoppofitum; reducetur preflio undique ad zqualitatem:in momento temporis abfque motu locali;& Aubindezpartes fuidi per Cafum quintum; fe muütuo‘ pre‘ment xqualiter, 8 quiefcent inter fe; QED. ze
Corol. Unde nec motus-partium fluidi inter fe; per preflönem fluido ubivisin externa füperficie illatam, mutari poffune nili,quatenus aut figura{uperficiei alicubi mutatur,"aut /OmMnes Avidi partes intenfius vel remiflius(efe”ptemendo difficilius vel facıliüus labuntur inter fe.105 oinrlgl 95107 SANT
; Prop.. XXi u’ Theor, XIV.
Si Fluidi Spheritis cs 7 Kfalibus a Centro diflantis Dömogenei, fundo fpharico CONOCHÄCH iNCHMDERTIS Partes fing nl eu‘ centrüm totius gramDitents, Yaftinep Fündnm pondus Cylindri,cijus bafıs xquals ef Juperficier fundi}&r- altitudo edlem que Emil inctmbenti8) 19Sit DD’ HM(uperficies fund&" A ET Baperfieies(üperior Auidi." Saperficiebüs fpherieis intumers BF. CG E difinguatur fluidum in Ofbes concenttices xqualiter. craffos‘&"concipe vim gravitatis agere(olummodo in füperficiem füperiorem Orbis CcuJufque;& zquales‘ efle actiones.'in xquales partes Tuperficierum omnı1um.>'Premitur ergo{uperficies füprema A Evi fimplici graVitatis proprig, qua& 6mnes Orbis füpremi partes&{fü en
> fecunda

[293]
fecunda BFK(per Prop. XIX.) premuntur. Premitur. przterea Tuperficies fecunda BFK vi proprie gravitatis, que addita vi priori facıt preffionem duplam. Hac preflione& in{uper vi proprix. gravitatis, id eft preflione tripla, urgetur füperficies tertia CG L. Et fimiliter preffione quadrupla urgetur fuperficies quar* ta, quintupla quinta& fic deinceps.}‘\ Preffio igitur qua{uperficies unaquzque+ urgetur,non eft ut quantitas folida fAuidi incumbentis, fed ut numerus Orbium ad MS ulque{ummitatem fluidi;& zquatur gravitatı Orbis infimi multiplicatz per numıerum Orbium: hoc eft gravitati{olidi cujus ultima ratio ad Cylindrum prafinitum,(11 modo Orbium augeatur numerus& minuatur craflitudo in infinitum, fic ut aCtio gravitatis a fuperficie infima ad fupremam continua reddatur‘) fiet ratio zqualitatis. Suftinet ergo fuperficies infima pondus cylindri prxfind. Q.E.D. Et fimili argumentatione patet Propofitio,. ubi gravitas decrefeit in ratione quavis aflignata diftantige a cen-tro, ut& ubi Fluidum furfum rarius eft, deorfum-denfius. Q.E. D. „° Corol. x. Igitur fundum non urgetur a toto fluıdi incumbentis pondere, fedeam folummodo ponderis partem fuftinet quz in Propofitione deferibitur; pondere/reliquo a fluidi figura forni-cata fultentato. 290 Corol. 2. In zqualibus autem a centro diftantiis eadem femper eft preffionis quantitas, five(uperficies prefla fit Horizonti parallela‘ vel perpendicularis‘ vel obliqua; five’ fAuidum a‘ fuperficie preffa{urfum contintiatum furgat perpendiculariter fecundum lineam redtam;' vel ferpit’oblique per tortas cavitates 8 canales, eafque regulares vel.maxime irregulares, amplas vel anguftiflimas. Hifce circumftantiis preilionem'nıl mutarı colligitur, applicando demönftrationem"Theorematis'hujus ad Cafus fingulos Fluidorum.)
Coral. Ze

[2941
Corol. 3. Eadem Demonftratione colligitur etiam(per Prop. XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex preffione ponderis incumbentis, acquirunt motum. inter fe, fi modo:excludatur motus qui ex condenfatione orlatur. fee ae]| Corol. 4. Et propterea fi aliud ejufdem gravitatis{pecificg cor+ pus, quod fit condenfationis expers; fubmergatur in hoc fuido, id ex, preilione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non defcendet, non afcendet, non cogetur figuram{uam mutare. Si Sphericum eft manebit{phericum,non obftante preflione; fi quadratum eft manebit quadratum: idq; five molle fit, five Auidiffimum; five fluido libere innatet, five fundoincumbät.-/Habet enim fluidi pars quelibet interna rationem corporis{ubmerfi, 8 par, eft ratio‘ ‚omnium ejufdem' magitudinis, figurz& gravitatis {pecificge{ubmerforum corporum. Si corpus fubmerfum-fervato pondere liquefeeret:& indueret. formam Auidis hoc; 1i prius afcens deret vel defcenderet vel ex preffione figuram növam indueret; "etiam nunc afcenderet vel defcenderet vel figuram novam induere cogeretur; idadeo quia gravitas;ejus ceterzque motulum cafe permanent.\Atqui, per Caf. 5. Prop. XIX. jam' quiefceret‘& figuram retineret., Ergo& prius. Corol. 5. Proinde corpus quod fpecifice gravius eft quam Fluidum(fibi contiguum{ubfidebit,& quod{pecifice Jevius eft alcendet, motumque& figure mutationem; confeqüetur,: qüantum exceflus ille vel defe&us gravitatis efficere pollit.. Namque;ex» ceffus ille vel defe&uüs rationem habet impülius,quo'corpus,alias ın
zquilibrio, cum Auidi partibusconftitutum, ur etur;;& compararı. A 5 HF8 P
‚poteftcumexceflu vel, defedhu ‚ponderisinlarice älterutra librei!! Corol. 6.) ‚Corporumigitur in Anidis, conftitutorum duplexeft Gravitas zaltera vera& abfoluta; altera appareris, vulgaris&.com‚parativa. Gravitas,abfoluta/eft vistota qua.corpus. deorfum ten» dit; relativa 8& vulgaris eft,exceffus, gravitatis quo corpus‘ ma“ gistendit deorfum quam fluidum ambiens. Prioris generisGras vitate partes fluidorum& corporum onmium gravitant in Jocis A- fuiss

r
bat 8 bon Pa©
5 8 v5
NW
Mes fuis 4 ideoque conjun&is ponderibus ‚componunt pondus totius. Nam totum omne grave eftzut in vafıs liquorum plenis experirt lıcet; 8& pondustotius xquale eft ponderibus omnium partium,ideoque ex iifdem componituf. Alterius generis.gravitate corpora non gravitant in locis fuis, id eft inter{ecollata non pregravant, {fed mutuos.ad defcendendum conatus impedientia permanent in Jocis fuis,perinde ac fi gravia non effent. Qüz, in Aere{unt& non pregravant, Vulgus gravia non Judicat,.Quz praegravant vulgus gravia judicat,quatenus ab Aer1s pondere non{fuftinentur. Pondera vulg1 nihil aliud funt quam exceflus verorum ponderum{upra pondus Aeris. Unde& vulgo dicuntur levia, que _ funt minus pravia, Aerique pregravanti cedendo fuperiora petunt. Comparative levia fünt non vere, quia defcendunt in
vacuo....Sic& in..Aqua;, corpora, quz ob majorem ve} minorem
gravitatem. defcendunit, vel afcendunt, funt comparative& apparenter gravia vel levia,& corum gravitas vel levitas comparativa
& apparens eft exceflüs vel defe&tus quo vera corum gravitas vel
{uperat.gravitatem aquz vel ab ea{uperatur.. Qud vero nec przgravando. defcendunt,n& prägravanti cedendo aicendunt, etiamfi veris fuis ponderibus adatıgeant pondus totius, comparative tamen& in fenfu vulgi'non gravitant in aqua. Nam fimilis eft ho-" rum Cafuum Demonftratio..
Corol. 7. Que'de gravitate demonftrantur, obtinent in alıts quibufeunque viribus centripetis.
Corol. 8. Proinde fi Medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel a gravitate propria, velab alia quacunq; vi centripeta,& corpus ab cadem vi urgeatur fortius: differentia virium eft vis illa motrix, quam in pfrxcedentibus Propofitionibus ut vim centripetam confideravimus. Sin corpusa vrilla urgeatur levius, differentia- virium pro vi centrifuga haberi-debet.
Corol. 9. Cum autem fluida premendo corpora inclufa non mutent corum Figuras externas, patet infuper, per Corollaria Prop. XIX. quod-non mutabunt fitum partium internarum inter‘ fe: proindeque,{1 Animalia immerganturt,& fen{atio-omnis a motu:

FÜ
mum has gravitates uniformiter continuari ab
he gravitates due in altitudines AB, BC,
[256]| "tu partium oriatur;nec lxdent corporibus immerfis, nec fenfatio= nem ullam excitabunt;'nifi quatenus hzc corpora a compreffione condenfari poflunt.' Et ‚par eft ratio cujufeunque corporum Sy(tematis fluido comprimente circundati. Syftematis partes omnes{dem agitabuntur motibus, ac fi in vacuo conftituerentur,:ac {olam retinerent gravitatem(uam comparativam, nifiquatenus fluidum vel motibus earum nonnihil refiltat, vel adeafdem compreflione conglutinandas requiratur.
Prop. XXI. Theor. XV. A
Sit Fluid eujufdan denfitas compre(fzoni proportionalis, Ce‘ partes
ejHS a vi centripeta diftantiis fuis acentro reciproce proportionali des
orfumtrahantur::ı dio quod S@ diflantie ille Yumantur continue proPortionales, ‚denfitates flnidi inüfdem diftäntis erunt etiap Continue Proportionales. An ‚Defignet A TV fundum Sphzricum cui Auidum incumbit, S centrum, S 4, SB; SC,SD,SE;&c: diftantias continte propor_ tionales.: Erigantur perpendicula AH, BI, CK,DLy EM,&%e.
quz fint ut denfitates Medii in locis 4, B, C, D, Es 18 Lpecificze
AH BI CK
gravitates in iifdem locis erunt WE en&c. vel,‚quod
perinde eft, ut En Se 5 En&c. Finge priA ad Ba BadC, aC ad.D&c. fackis per gradus decrementis in, pundis BC, D&6. Et
CD&c., conficient prefliones AH,BI, CK, quibus fundum ATV( juxta Theorema XIV.) ‚urgetur.| Suftinet ergo particula 4 prefliones omnes AH, BILCK, DL, pergendo in in- MT finitum;& particula B prefliones omnes przter primam AH;& particula C omnes przter duas primas AH, BT;& fic deinceps:
: adeoque

I=
A= C 11=
sd CD a
[573
‚ adeoque-particule prime A denfitas AH eft ad particule fecundx B denfitatem B I ut fumma omnium AH 4 BI-LCKADL,; in infinitum; ad(ummam-omnium BT 46 KK F+DL;&c.0Et BI denfitas fecundze B, eft ad!C K. denfitatem tertig C,ut fumma omnum BI+CK+DL;,&e. adfummani omnium C K+DL,&c, Suntigitur fummz ille..differentüs Aus AH; BT, CK;&6. pro portionales, atqueadeo continue proportionales per hujusLem.J. proindeq; differentiz AH, BI, CK,&c.{ummis proportionales,(unt etiam continue proportionales. Quare cum denfitates in locis 4, B.Cfint.ut AH, BLICK,&c. erunt etiam_hz continue proportionales.“ Pergatur per faltum,&(ex zquo) in diftantis SA, SC, S.E continue proportionalibus, ‚erunt denfitates. AH, CK, EM continue proportionales.. Et.codem argumento ın diftantiis quibufvis continue proportionalibus S 4, SD, S Q denfitates 4. H,DL, Q.0 erunt.continue‚proportionales., Cocant Jam pundad, B,€ DE,&c, ‚co ut‘ progreflio gravitatum fpecificarum a’ fundo 4 ad fummitatem Fluidi continua reddatur,& in diltantiis quibulvis continue proportionalibus SA, SD, SQ, denfitates AH, DL, Q_T, femper exiftentes continue proportionales, manebunt_ etiamnum continue proportionales. 0. E. D. Mn nn Corol. Hinc fi detur denfitas Fluidi in duobus locis, putd 4& E, colligi poteft ejus denfitas/ in alio quovis loco Q; Centro S, Afymptotis redtangulis SO, SX deferibatur Hyperbola fecans perpendicula AH,‚EM,OT in a;-e;qg;ut& perpendicula H-| X, MT,T Z ad alymptoton SX demiffa in bh,#2, 8&ct.- Fiat area ZY mtZ ad aream datam Y m-: hX ut arca-data EeqiQ ad as| cl i rcam. datam Eea:A3 Serlinea rn... 5 040}* 3 Zt pradncta, abfeindet lineam: Q.„T:.denfitati„proportionalem. Namque fi!inex$ 4, SE, SQ funt continue proportionales, erunt ; P pP are»

[ 298] arex Eecq0, EcaA zquales,& inde arex his proportionales Yınt Z, Xh mY etiam xquales 8& linex SX,$ T, SZ ideft AH, EM, O.T continue proportionales, ut oportet. Et fi linex$ A, SE, SQ_obtinent alium quemvis ordinem in ferie continue proportionalium, linex AH, EM, OT, ob proportionales areas Hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in ala ferie quanticratum continue proportionalium.
Prop. XXI. Theor, XVI. Sit Fluidi cuju/dam denfitas comprefJioni. proportionalis,& partes
ejus a gravitate quadratis diftantiarum(narnum a centro reciproce proportionali deorfum trahantur.: dico quod fi diftantie fumantur in Progreffzone Mufica, denfitates Fluidi in bis diftantiis erunt in progrefflione Geometrica.;
Defignet S centrum,& SA, SB, SC;SD, SE diftantias in Progreiflione Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BLCK,8cc. quz fint ut;) Fluidi denfitates in lo5, A4.D,0,. 5 DE XS ipfiusgravi-‘ D tates ipeci-. cf cz in iıldem 3 Jocis erunt A AH BI CN cr S SCg. ge has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, fe cundam a B ad C, tertiam a C ad D,&c. Et he du@&z in altitudines AB, BC, CD, DE,&c. vel, quod perinde eft, in diftantias SA, SB, SC,&c.’altitudinibus illis proportionales, conficient ex=
ponentes

[ 299] ponentes preffionum er 4 ST&C. fint ut harum preffionum{umme, differentig denfitatum AH— BI,BI—C K,&c, erunt ut fmmarüm differentieg AB En &c. Centro S Afymptotis SA, SX deferibatür Hyperbola quzvis,que fecet perpendicula 4 H,BI,C K,&c. in a,b, czut& perpendicula ad Afymptoton$X demi Hit, I, Km in h, ik; AB BI wc AHxth
54) &c. id-eft ut Aa, Bb&c, Eftenimex natura Hyperbole AHxih
SA xqualis Bb,&c. Sunt autem Aa
Quare cum denfitates
8 denfitatum differentix tu, uw,&c! erunt ut
Et re&angula Fuxth, umwxni,&c. feut p, u g.&c. ut
BIxuz SB SAad AH vel St, ut th ad Aa, adeoque BIxuni . SB Bb, Cc,&c. continue proportionales,& propterea differentis füis A4—Bb, Bb—Cc,&c. proportionales; ideoque differentiis hifce proportionalia funt re&angula£ p,# q,&c. ut& fummis differentiarum Aa—Cc vel Aa—D d fumme redtangulorum t p+% q; vel+p+x4-+ mr. Sunto ejufmodi termini quam plurimi,& fumma omnium differentiarum, puta Aa—Ff) erit fummz omnium red&angulorum, puta xt hz, proportionalis.. Augeatur numerus terminorum& minuantur diftantiz pundtorum A, B, C,&c. in infinitum,& reCangula illa evadent xqualia arex Hyperbolice z£ ha, adeoque huic areg proportionalis eft differentia Aa—-Ffi Sumantur jam diftantig quelibet, puta S 4, SD, SF in Progreflione Mufica,& differentie Aa— Dd, Dd—F f erunt zquales;& propterea differentiis hifce proportionalesarex th 1x, x In xqualeserunt inter fe,& denfitates St, Sx, Sz, idefit AH‚DL,FN, continue proportionales. Q.E.D. | Pp2 Corol,
xquale Ad.
Et fimili argumento eft

[ 300]
Corol. Hinc fi dentur Fluidi denfitates duz quzvis, puta AH & CK, dabitur area th k w harum differentig+ w refpondens; 8x inde invenietur denfitas F N’in altitudine quacunque SF, fümendo aream th%% ad arcam illam datam thk m ut eft differentia Aa—Ffad differentiam Aa—Cc.
“Scholinm
Simili argumentatione probari potelt, quod fi gravitas particularum Fluidi diminuatur in triplicata ratione diftantiarum a centro; & quadratorum-diftantiarum SA, S$ B,. SC,&6. teciproca(nempe rc fin ee we DO{umantur in progreflione Arithmeca; denfitates AH, BI, CK,&c. erunt in progreflione Geometrica.. Et fi gravitas diminüatur in quadruplicata ratione diftan$Aqq. SA49g. S Acub.? SBenb?
SCI,&c.) fumantur in progreflione Arithmetica; denfitates © CHD;:
AH, BI,CK,&c. erunt in progreffione Geometrica. Et fic in infinitum.| Rurfus fi gravitas pärticularum Fluidi inomnibus di{tantiis cadem fit, 8& diftantie fint in progreflione Arichmetica, denfitates erunt in progreffione Geometrica,uti Vir Cl. Edyndusz Halleins invenit,"Si gravitas fit ur diftantia, 8 quadrata diftan! tlarum fint in progrellione Arithmeticas denfitätes erunt in progreflione Geometrica. Et 1ic in infinituta. Hac ita fe habent ubi Fluidi compreffione condenfati denfitäs eft ut vis compreflio: nis, vel, quod perinde eft,{patium’a Fluido Occupatum reciproce ut Kizc vis Fingi poffunt ale condenfationis leges, ut quod’cubüs vis comprimentis fit ut quadrate-quadratum denfitatis,‘ fer triplicata ratio Vis gqualis quadruplicatz rationi denfitatis.” Quo in cafu, fi gravitas eft reciproce ut quadratum diftantix a centro, denfitas erit teciproce ut cubus diftantize. Fingatur quod cubus Vis-comprimentis fit ut quadrato-cubus denfitatis,& fi gravitas eft reciproce ut quadratum diftantiz, denfitas erit reciproce in_
fefquitiarum,& cuborum diftantiarum reciproca(puta

Lelquiplicata ratione diftantie,| Fingatur quod vis comprimens fit in duplicata ratione denfitatis,& gravitas Teciproce in‘ ratione duplicata diftantie, 8 denfitas’erit reciproce ut diftantia. Ca{us omnes percurrere longum eflet./ CE
| Prop: XXI. Theor! XVIL'79?)
Partienle wiribus que funt reciproce proportionales diftantiw’ centrorum fnornm fe mautno fugientes componunt Flnidum Elaßfticum,cnjws denfitas eft compreffioni proportionalis. Er-wice werfa, fi Fluidi ex particnlis fe mutno fugientibus compofiti denfitas fit ut compreffio, vires centrifuge particnlarum funt reciproce proportionales diftartiis cen“”Includi intelligatur Fluidum in fpatio cubico A CE, dein compreflione. redig1 in{patium cubicum minus ac e 3& particularum fimilem fitum inter fe in utro- u que‘ fpatio obtinentium diftan-* tig, erunt ut cuborum latera A Ba b; 8& Medi denfitates reciproce ut{fpatia continentiaABenb.& ab cub. In latere cubi majoris ABC D capiaturquadratum DP x4uale Jlateri Sa| Cubi minoris db; 8 ex Hypothefi, preflio qua quadratum D'P' urget Fluidum inclufüm, erit ad preffionem qua latus illud quadratum d’b urget Fluidum inclufum, ut Medii denfitates ad invicem, hoc eft ab cub. ad A’Benb.* Sed preflio qua quadratum DB urget Fluidum inclufum, eft ad preflionem qua quadratum DP urget idem Fluidum, ut quadratum DB ad quadratum D P, hoc eft. ut A Bqnuad. ad abquad, Ergo ex zquo preflio qua latus DB ürget Fluidum, eft ad preflionem qua latus db urtger Fluidum,. ut abad AB. Plans FGH, fFgh per media cuborum dudCtis diftinguatur Fluidum in duas partes,& hz fe mutuo prement iifdem
virıbus

L 302] viribus, quibus premuntur a planis AC, ac, hoc eft in proportio. ne ab ad AB: adeoque vires centrifugz,quibus hz preffiones fuftinentur,{unt in cadem ratione. Ob eundem particularum numerum fimilemq; fitum in utroque cubo, vires quas particulg omnes 1ecundum plana FGH, fgh exercent in omnes, funt ut vires quas ‚ fingule exercent in fingulas. Ergo; vires, quas fingule exercent in fingulas fecundum planum FG H in cubo majore, funt ad vi„Kes quas fingule exercent.in fingulas fecundum planum, fg bh in cubo minore ut 4b ad 4 B, hoceftreciproce ut diftantig particuJarum ad invicem..Q.E.D.:)
Et vice verfa,. 11 vires;particularum fingularum.{unt reciproce ut. diftantie,. 1d eft reciproce ut. cuborum latera. AB, ab;(um: mg virlum erunt in eadem ratione,& preffiones laterum DB, db „ut fumme virium; 8 preflio quadrati D P ad. preffionem Jateris DB ut ab.quad. ad AB quad. Et ex: 2quo preflio quadrati D Pad preffionem lateris db ut abcub. ad A Beub. id eft vis compref(fionis ad vim compreflion1s ut denfitas ad_denfitatem,
Scholium,
Simili argumento fi particularum. vires centrifuge fint reciproce in duplicata ratione diftantiarum inter centra, cubi. virum comprimentium erunt ut quadrato-quadrata denfitatum. Si vires centrifugz{int reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione diftantiarum, cubi virium comprimentium erunt vut quadratocubi: vel cubo-cubi. denfitatum. ‚Et univerfaliter, fi D ponatur pro diftantia,& E pro denfitate Fluidi compreili,& vires centriFuge{int.reciproce ut diftantiz dignitas qualibet D an, cujus index eft numerus#3. vires comprimentes erunt ut Iatera cubica Dignitatis Ex+2, cujus index eftnumerus#42:& contra. IntelJigenda vero funt hec omnia de particularum Viribus centrifugis quz terminantur in,particulis proximis, aut non longe ultra difjunduntur, Exemplum habemus in corporibus Magneticis, Horum

C 303]. rum Virtus attractiva terminatur fere in{ul generis corporibus fibl proximis. Magnetis virtus per interpofitam laminam ferri. contrahitur,& in lamina fere terminatur. Nam corpora ülteriora non tama Magnete quam a lamina trahuntur.. Ad eundem modum i particulee fugant alias{ui generis particulas fibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam nifi forte«per particulas intermedias virtute illa audtasexerceant, ex huyufmodi particulis componentur, Fluida de quibus actum'eft in hac propofitione. Quod fi particulze cujufg; virtus in infinitum propagetur, opus erit vi.majori ad zqualem condenfationem majoris quantitatis Fluidi. Urt fi particula unaquazgq; vi(ua; quz fit reciproce ut diftantia 1ocorum a centro(u0, fugat alias omnes ‚particulas in infinirum 5: Vires quibus Fluidum in vafis fimilibus zqualiter comprimi& condenfari poffit, erunt ut.quadrata diametrorum vaforum:. idcoque vis, ‚qua Fluidum in eodem vafe cemprimitur; erit reciproce ut Jatus cubicum quadrato-cubi denfitatis. ‚An: vero) Fluida Elaftica ex particulis fe mutuo fugantibus conftent, Quaftio Phyfica eft. Nos proprietatem Fluidorum,ex ejufmodi particulis conftantium Mathematice ‚demonftravimus, ut-Philofophis anfam ‚prxbeamus: Queftionem illam tractandı.‘
SE GH AA De Motu& refiftentia Corporum Funependulorum:s. Prop. XXIV."Theor. XVIL.
Onantitates materie in corporibus funependulis, quorum centra ofcillationum a centro fufpenfionis aqualiter diftant, funt in ratione compofitaex ratione ponderum&» ratione duplicata temporum ofcillationum 2 VACHO. RG
Nam velocitas, quam data vis in; data materia dato tempore generare poteft, eft ut vis& tempus dire&e,-& materia inverfe.
Quo:

.„"L:304'] Quo major eft vis vel majus tempus vel'minor Mmateria, co major generabitur velocitas.:: Id'quod ‚per‘ möotus-Legem fecundat manifeftum eft. 1 Jam vefo 41 pendula ejufdem fint Jongieudinie, vires motrices in locıs a. perpendiculo equaliter diftantibus fünt ut pondera':: ideoque ficorpora duo" ofeillando‘ deferibant arcıs xquales;, 8cjarcus illi dividanturin partes equales'‘; cum tempora quibus corpora'deferibant fingulas: ärcuum partes cörre{pondentes fint ut, tempora: ofcillatiomum‘ totarum, erunt velocitates’ ad invicem/in correfpondentibus ofcillationum partibus,ut vires' mo. trices 8&tota ofcillationum tempora directe 8 /quantitates! mateFig reciprocel adeoque'quantitates matErie/AE wyires’ 8'6fcillatie onlım ıtempora dirette Su velocitätes Fecipröee)! Sed'velotitates recipröce funt ut’tempora,'atqueadeo tempora dite&e 8 Velo: Citates reciproce' funt ut quadrata"temporum,*8E propterea quan? titates;materix funt ut wires'motrices‘8z quadrata'’temporum,"id eft ut!ponderal& quadrata temporum/”-Q, 2 Dp 5 O9 eE „)Corol xl Adeoque fi‘tempora fünt x%qualia; ‚quantitates Mate: riein fingulisscorporibuserunt ut ponderal 14 moto gorg© ‚ur Gorobe a, mSiypondera funt eamaliayı quantitates’materix erunt ut quadrata temporum.* Abs El aan at) Corol, 3. Si quantitates materizge Xquantur, pondera erunt
FE
reciproce ut quadrata/temporum,- HCorol. 4. Unde cum quadrata temporum czteris paribus fint ut longitudines-pendulorum ss, 8 tempora& quäntifates materiz zqualia funt, pondera erunt ut Jongitudines pendulorum.
Corok. 5. Et univerfaliter,quatititas mäteriz-pefldulz eft ut pondus& quadratum temporis direCte,& lonsitudo penduli inverfe. 25 Carol, En: Sed& in-Medio, nömrefiftente: quantitas: Materie pendule. eft. ut. pondus Ccomparativum& quadratum:temporis dis
redte& longitudo.penduli inverfe. ‚Nam pohdus comparativüm eft vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut füpra expheut; adeoque idem praftat in tal: Medio nONkeliftente'atdue ı pondus abfolrum.in vacuo, 2 RS ev 30 15 Asioq Sıgıol90
Corol. 7

EEE EEE EEE EEE
‚ tur in Medio ref(iftente,” cum fit’ exceflus vis Cd?/
C365] 1
Corol, 17.+ Et hinc'liquet ratio tum comparandi corpora inter fe, quoad quantitatem materiex in fingulie, tum comparandi pondera ejufdem corporis im diverlis locis, ad cognöfcendam variationem gravitatis. FaCtis autem- experimentis quamaccüratiflimis inveni femper quantitatem materix: in. corporibus fingulis'corum ponderi proportionalem efle. 63 02007 JEDER RI
. Prop. XXV. Theor. XIX.
Corpora Funependula'qu@ in Medio"quovis” refifuntur in‘ ratione momentorum temporis, qukGNe- in ejuüfdent grüvitatis'Npecifice Medio non refiftente moventur, ofcillationes inCytloide-eoden tempore'peragunt,&» arcunm Partes proportionales fımul' deferibunt.
Sit 4 Bı Cycloidis"arcus,'quem Corpus D'tempore“quovis in Medio: non refiftente ofcıllande deferibie.”"Bifecetut’ idenr in CC;
ita ut C fit infimum:ejus'pundtum;&erit vis'acceleratriX qua corpus urgetur in loco- quovis Dwvel d vel”E ut'longitudo arcus CD vel Cd vel CE. Exponatür vis'illa per‘! eündem arcum 5 8 cum refiftentia fit ut momentum’ tempöris,' adeoque detür, exponatur eadem' per datam ärcüs Cycloidis'partem’C 0;&"fu-* matur arcus 0 d in: ra- AN U tione ad”arcum CD quam habetarcus 0B ad arcum"CB:& vis qua corpus ind urge-.
{upra refiftentiam CO; exponetur per. arcum
Od,.adeoque erit ‚ad Sp vim qua corpus D urgetur in Medio non refiftente; inloco D, ut arcus Od ad arcum C D;& propterea etiam in loco B'ut arcus 0 Bad arcum CB. Proinde ficorpora duo, D, d exeant deloco
Qq D,&
E BO

[3061 B,.& his viribusurgeantur. ‚cum vires(ab initio fint utarcus CB & 0,B, erunt yelocitates prime.& arcus primo deferipti in eadem ratione. Sunto.arcus ıllı BD:& Bd, 8 arcus reliqui CD; Ode runt/in ‚cadem ‚ratione...„Proinde vıres ipfis: CD, 0d proportionales manebunt in ecadem ratione ac‚füub initio,.& propterea corora pergent arcus in eadem ratione fimul deferibere. leitur
vires& velocitates& arcus reliqui CD, Od{emper erunt ut arcus toti CD, O0 B,=8&propterea arcus illi reliqui fimul deferibentur, Quare corpora duo D, d fimul pervenient ad loca C& O, alterum.quidem in. Medio. non. refiftente ad. locum Gi 8 alterum Im Medio,refiftente ad Jocum. 0... Cum. autemvelocitates in C.& 0 fint,ut.arcus:C Bı8.0 Bs: eruntatcus quoscorpora ülterius per* gendo fimul deferibunt,:in.eadem ratione.... Sunto UL CE 8& 0 e. Vis,qua,corpus Din Medio, non refiftente,retärdatur in Eeftut
C Fi 8 vis qua.corpus d.in:Medio.refiftente retardatur in.eeltüt {umma: vis Cie-Sa,refiftentie€ O,„id’eftut.Oe; ideoque vires; quibus.corpora.retärdantur, funt.ur arcubus CE; Oe Proportionales
arcus, CB. 0.Be, preindeque velocitates in data illaratione retar-)
datz manentiin cadem.illa data xatione.„Velocitates igitum8&oar. cus ifdem deferipti-femper fünt ad-invicem. in.datz-illa:ratione arcuum CB& OB;& propterea fi.{umantur: arcüs toti AB; aB
in eadem ratione; corpora D; d fimüul deferibent-hos arcus, Sin
locis 4 8& 4 motum ömnem fimul amittenti Olfochronz funt ig tur"olfcillationes totz,&-.arcubus totis B.4; BE: proportionales {unt arcuum partes qualibet BD, Bd vel.B.E;-Bee que Aimul defetibuntur. Q. E. Dir ‚Sina Lat
Corol. Igitur motus velociflimus in Medio refiftente non incidit in pündtum infimum C,{ed reperitur in‘pündoillo-0, quo arEus totus deferiptus a B bifecatur. Et corpus: fubinde pergendo ‚ad a, iüifdem gradibusretardatu quibus antea.accelerabatur in deea ade mo cibeM Amen CL.
053
Prop. XXVI.

SEN. u Propi KXVE Theöp XXo! 0 Ib A UI
Corporum Funependulorum, que refiftuntur im rabione welocitatum,
‚ofeillationes in Cytloide. funt Mochrange.s 7a 10
Nam ficorpora duo a centrisfuf penfiönunzqualiter diftantia, ofcillando deferibant rarcus inzqualesj; 8 velocıtätest in archum partibus correfpondentibus{int ad invicem ut'arcustoti" refiftentig velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut? indem arcus:-Proinde-1i virıbus motricibus a gravitate öriundis, quzfint ut iidem;arcus; conferantur veladdantur h£ refiftentie, erunt differentig vel fummz ad invicem in eadem'!arcuum ratione? cumque velocitatum incrementa vel decrementa fint ut hz differentix” vel
Aürhmae; velocitates femper erunt ütartus toti: Tgitur velocitates,
fi fint inaliquo cafü-ut arcus toti, manebunt femper in ecadem rätione. Sed in principiomotus, ubi corpora incipiunt defcendere&
‚arcus illos deferibere, vires, cum fint arcubus proportionales, generabunt velocitatesarcubus proportionales. Ergo velocitates fem„pet erunt ut arcus totideferibendi,& propterea arcus illi fimul
deferibentur. Q. E. D. Prop- XXVIL Theor, XXI
Si corpora Funependula refiftuntur in duplicata ratione velocitatum, differentie inter tempora ofcıllationnm in Medio refiftente ac tempora ofcillationum in ejufdem gravitatis fpecific@ Medio non refiftente, erunt arcubus ofcillando deferiptis proportionales,quam proxime.
Nam pendulis zqualibus in Mediorefiftente deferibantur arcus inzquales 4, B;&. refiftentia corporis in arcu 4, erit ad refiftentiam<corporis.in ‚parte correfpondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id eft ut Aquad, ad B quad. quamproxime. Si refiftentia in arcu B eflet ad refiftentiam inarcu A ut re&angulum AB ad Agnad. tempora in arcubus A& B forent xqualia
„Qq 2) per

«
C 308]
per Propofitionem{üperiorem. Ideoque refiftentia 4 quad, in arcu A, vel 4 Bin’ärcu B; efficit exceflum temporis in arcu A fupra tempus in Medio non refiftente; 8 refiftentia BB efficit excefAum temporis.in.arcu-B(upra: tempus in Medio non refiftente, Sunt autem exceflus illi ut vires‚eficientes AB& BB quam pro‚xime; idıeft utarcus A480 BO. ED. a
m Corol.ı x. Hinclex ofcillationum temporibus; in‘ Medio refiftente in arcubus inzqualibus factarum, cognofci poflunt tempora ofcillationum in ejufdem gravitatis{pecifice Medio non reßis ‚Atenten Nam fi verbi gratia atcus alter fit altero duplo major, -differentia tempörumerit ad exceffum temporis in arcu minore {upra tempus in Medio non refiftente, ut differentia arcuum ad arcum:minorem.
; Cörol.- 2. Ofcillationes breviores funt magis Hochronz, 8 brevillimx ifdemtemporibüs- peraguntur acın Medio non refiftente, quam-proxime.. Earum veroö que in majoribus arcubus fiunt, tempora: funt. paulo majora, propterea quod refiftentia in defcenfucorpoöris qua tempus-producitur, major fit pro rationelongitudinis in. defcenfu defcriptz, quam refitentia in afcenfu{ubfequente qua tempus contrahitur, Sed& tempus ofcillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum Medii.. Nam Cörpora tardefcentia paul6 minus refiftuntur
pro ratione velocitatis,& corpora accelerata paulo magis quam quz uniformiter progrediuntur: ıd adeo quia Medium;,eo quem a corporibusaccepit. motu,in eandem plagam pergendo, in priore :cafu magis agitatur, in pofteriore minus;“ac proinde magis vel minus cum corporibus:motis confpirat, Pendulis igitür in delcenfu
magis refiltit,in afcenfüu minus quam pro ratione velocitatis,8& ex’
‚utraque caufa tempus producitur.
Prop.. XXVIL. Theor. XXI
Si corpus Funependulum: in Cycloide-ofcillans refiflitur in vatione Homentornm temporis, crit ejns refiftentia ad Dim gravitatis nt exceffus

„CT ceffus. arcıus defcenfu toto defcriptä fupra arcum afcenfü fubfequente
. deferiptim, ad penduli longitudinem duplicatam.
Defignet BC arcum defcenfu defcriptum, C a arcum afcenfü deferiptum, 8& Aa differentiam arcuum:& ftantibus. quz m Propolitione XXV. conftrudta& demonftrata funt, erit vis qua corpus ofcillans urgetur in loco quovis D, ad um refiftentig ut arcus CD ad’arcum C 0, qui femiflis eft differentie ilius Aa. Ideoque vis qua corpus ofcillans urgetur in Cycloidis principio. feu pun&o altillimo, id eft vis gravitatis, erit ad refiftentiam ut arcus ‚Cycloidis inter. pund&um.illud füpremum& pundum infimum C ad arcum CO; ideft(fi arcus duplicentur‘) ut Cycloidis totius arcus,feu dupla penduli longitudo,ad arcum Aa. Q,. E.D.
Prop- XXIX. Prob. VIL Pofito quod. corpus in Cycloide ofcillans refiftitur in duplicata ra#ione welocitatis: invenire refiftentiam in locis fingnlis. ı
Sit Ba( Fig. Prop. XXV.)arcus ofcillatione integra defcriptus,
fitque C infimum Cycloidis pund&um,&€ Z femiflisarcus Cycloidis totius, longitudini Penduli zqualis;& queratur refiftentia cor-* poris in loco quovis WE
D. Secetur reca infihita 0Q in pundis 0,/ C,P,Q ca lege ut(fi erigantur perpendicula OK, CI, PT, OE, centroque 0 8 Afymptotis 0 K; 0 Q deferibatur Hyperbola TTG E{ecans'; Bat; perpendicula CT, PI; Q Ein T, I18&-E,& per pundum I agatur K F occurrens Alymptoto 0 K in K,& perpendiculisıC T 800 E
in L8& F) fuerit area Hyperbolica P IE Q ad aream Hyperbolicam PITC
OÖ... PP TR&%

;[30671 PITC utarcus BC defcenfu corporis deferiptusad arcum€ z afcenfü defcriptum,& area LE-F.adaream ILT.ut. 0 Qad:0C.‚Dein ‚perpendiculo:M N abfeindaturarea Hyperbolica PINM que{fit ad aream Hyperbolicam-P TE Q ut arcus: CZ ad arcum ‚BC defcenfu deferiptum.. Etfi perpendiceulo RG abfeindatur a'rca Hyperbolica PIG R, que fit ad dream PIE Q_utarcus quiJibet.C Dad arcum BC defcenfu:toto deferiptum:' erit refiften‘tan loco’D ad vim gravitatis, ut arca OT EF— IGH adarcam PIENM. A=) ‚Nam cum vires a, gravitate oriundze quibus corpus in locis Z, B,D, a urgetur, fint ut. arcus CZ, CB, C D, Ca,& arcus illi fint ut arex PINM, PIE 0, P IGR, PITC; exponatur tum arcus tum vires per has arcas refpeCtive, Sit infuper Dd{patium quam minimum a cörpore de{cendente defcriptum,& exponatur idem per arcam quam minimam R.G gr parallelis RG, rg comprehenfam;& producatur 7 gadh, ut fint GHh gg,& RGegr Ccontemporanea ‚arearum /G H, PIG KR. decrementa. Et arex ; Üo1EE- IG Hincrementum G Hbg- SALE FuRrxHGRZ IE F,erit ad arex PIG R decrementum R GorfeuRrx RG, ut HG—LE5 ad RG;adeoque ut OR xHG OS IEFadORxGRffeuOPxPTI: hoceft(ob xqualia 0 RxHG, ORxHR —ORxGR,ORHK-OPIK, PIHR 8 PIGR+IGH) ut PIGR+IGH-S5 IEFadOFPIK. Igitur fi arca SRIEF = IGH dicatur Y, atque areg: P IG R decrementum RG gr des tur, erit incrementum arex Tut TIGR—Y. Quod fi V defignet vim a gravitate oriundam arcui deferibendo:CD proportionalem,‚qua corpus urgetür in D;8& R pro. refif& ti Fonatur serit V— RR vis tota qua Corpus urgetur in D, IHKON; O6 adeoque
)
| |

MER En AR EEE ge N
‘Aa 3
adeoque ut incrementum velocitatis in data; temporis, particula fa&um. Eft autem refiftentia R(per Hypothefi a) ut quadratum velocitatis;,& inde(per Lem. II.) incrementüum refi-' {tentix ut velocitas& incrementum velocitatis conjundtim;, ideft ut{patium. data- temporis particula deferiptum& V—R ‚conjunChm; atque adeo,{1 momentum pa, detur, ut/ RR; id eft,. {fi pro. vi Z 1cı bat ejus exponens. PIGR; Sr, refiftentia RR exponatur per aliım aliquam aream Z,ut PIGR“
Igitur area PTIGR per Citorlum momentorum ‚‚fubductionehm uniformicer decrefcente, crefeunt arca Yin’ratione PIGR: =T, X area Z. In ne PIGRr- Z.. Et propterea{1 fiarex T 8& Z fimul incipiant&z{ub initio xquales(int,“hz. per ‚addıtionem‘ xqualium momentorum pergent ‚eile aquales,& 2qualibus itıdem momentis{ubinde decreicentes fimulevaneleent. Et vicılim, 4 fimul incipiont 8 fimul evane(cunt, xqualia habebunt moirenta&{emper erunt xquales: id. adeo quia fi fi refiltentia Z augeartur, velocitas una cum arcu. ıllo Ca, quiin. afcenfu. corporis-defcribitur, diminuetur; 8& pundto in. quo motus.omnis una cum refiftentia CC propius accedente ad pundum C, refiftentia citius evanelcet. quam.area X... Et contrarium. eveniet ubi refiftentia diminuitur.; 7
Jam vero area Z incipit defi initque ubi vb{tentia nulla eft, ca eft, in principio& fine motus,ubi.arcus. CD, CD arcubus CB& C a zquantur,. adeoque ubi re@a RG incidit inredas Q E& CT.
Et arca Y(eu 0 EF-IGHi np definitque ubi nulla ef,
adeoque‘ ubi© öD. R 1 EF&IGH Aqualia funt: hoc eft( per conftrudionem) ubi re&ta RG incidit._ın redtam QE& CT.‘ Proindeque aregz ille fimuli incipiunt&{1 OR Vs NanefeHot,& propterea femper funt zquales.- Tgitur area a EF-IGH zqualis eft arex Z, per’quam refiftentia exponitur,& propterea eftad. arcam PINM per quam gravitas exponitur, ut refiftentia ad gra‚Vitatem. 9. E.D. Corol,£..

Cm] ‘ Corol,” ı. Eft igitur refiftentia in I0co infimo Cad vim gravitatis, ut arca GR IEF ad arcam P INM. ; Corol. 2. Fit autem maxima, ubi area PIHR eft ad aream
IEFut OR ad 00. Eo enim in cafu momentum ejus(nimirum PIGR—YT) evadit nullum. IE
Corol. 3. Hinc etiam innotefcit velocitas im locis fingulis:
quippe quz-eft in dimidiata ratione refiftentig, 8 ipfo motus initio xquatür velocitati corporis in eadem Cycloide abfque omni refiftentia'ofcillantis, SE Cegterum ‚ob difficilem calculum quo refiftentia& veloeitas per hanc Propofitionem inveniende{unt, vifum eft Propofitionem fequentem fubjungere, qux& generalior fit& ad ufus Philofophicos abunde fatis accurata.
“ Prop. XXX.) Theor. XXI. Si reElin B xqualis fit Cycloicis arcni quem corpus ofcillando d=
Seribit,& ad fingula'ejus punsta D erigantur perpendicula DK, que fint ad longitudinem Penduli ut refiftentia corporis in arcus PunEis correfpondentibus ad vim grawvitatis; dico quod differentia inter arcum defcen(u toto defcriptum,& arcum.afcenfu toto fubfequente deSeriptum;. ducta in arcunm eorundam femifunmmanı,@Zqualis erit are@ BKaB a perpendicnlis ommibns DK 0CCHPALR, Juamproxime.
'„Exponatur enim tum Cycloidis arcus ofeillatione integra des
feriptus, per redtam illam fibi zqualem«B, tum arcus qui deferiberetur in vacuo per longitudinem AB.‘ Bifecetur 4 Bin C,& punctum C reprafentabit infimum Cycloidis pundtum,& erit CD ut vis a gravitateoriunda,qua corpus in C fecundum Tangentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem; Penduli quam habet vis in: D ad-vim gravitatis;| Exponatur igitur vis illa‘ per longitudinem CD,& vis gravitatis per Jongitudinem penduli;&fiin D E capiatur DK in ca rationead
|. longi

I;
Jongitudinem penduli quam habet refiftentia ad gravitatem, erit DK exponens ‚refiftentix. Centro C& intervallo CA vel CB conftruatur femicirculus, BEe A. Deferibet autem corpus tempore quam minimo fpatium Dd,& ere&tis perpendiculis DE, de circumferentig occurrentibus in E& e, erunt hc ut velocitates quas corpus in vacuo, def-; cendendoa puncto B, acquireret in locis D 8& d. Patet hoc per Prop. LIL Lib. I. Exponantur itaq5 hx velocitates per perpendicula illa DE, de; fitque D Fvelocitas quam acquiritin D cadendo de 8 B in Medio refiftente. Et fi centroC& intervallo C F deferibatur circulus Ff Mioccurrens re&tis de 8& AB in f 8& M, erit M locus ad quem deinceps abfque ulteriore refiftentia'afcenderet,& df velocitas quam acquireret in d..Unde etiam fi Fg defignet velocitatis momentum quod'corpus D, deferibendo{patium quam minimum Dd,:ex refiftentia Medii amittit, 8& fümatur CN zxqualis C g: erit N locus ad quem'corpus deinceps abfque ulteriore refiftentia afcenderet,& MN erit decrementum afcenfüs ex velocitatis illius amiflione oriundum. Ad d f demittatur perpendieulum Fmz, 8 velocitatis D F decrementum fg a refiftentia DK genitum, erit ad velocitatis ejuldem incrementum f’% 4'vi C D genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed 8 ob fimilia triangula Fmf, Fhg, FDC, eft fm ad Fm feu Dd, ut CDad DF,&-ex zquo Fg ad Ddut DKadDF, Item Fg ad Fhut CF ad DF;& ex zquo perturbate F h feu MN ad Dd ut DKad CF. Sumatur DR ad; a@B ut DK ad CF,& erit MN ad Dd ut DR ad 4B; ideoque fumma omnium MN x: 4B, ideft A4ax%4B, zqualis erit fummz omgium Ddx DR, ideftarex B Rır Sa,quam redtangula omnia DdxDR
Rr deu

[349 feu DRrd componunt. Bifecentur Au& aBin P& 0,& erit 3 4B feu 0B zqualis CP, ideoque DR eftad D K ut CPadCF vel CM,..& divifim KR ad DR ut PM adCP. Ideoque cum pundtum M, ubi corpus verfatur in medio ofcillationis locoO, incidat circiter in pundtum P, 8 priore ofeillationis parte verfetur inter 4& P,_pofteriore autem inter P'& a, utroque in cafu x» qualiter a pund&o P in partes contrarias errans: pundum K circa medium ofeillationis locum, id eft e regione puncki 0, puta in, incidet in pun&um R; in priore autem ofcillationis parte jacebit inter R& E,& in pofteriore inter R&D, utroque in caftı zqualiter a puncto R in partes contrarias errans. Proinde area quam linea KR deferibit, priore ofeillationis parte. Jacebit cxtra arcam BRSa, pofteriore intra eandem, idque dimenfionibus hinc inde propemodum Xquatis inter fe;& propterea in caft, priore addita arex BR Say in pofteriore eidem fubdu&a, relinquet‘ ateam BKT4 arex BRSa xqualem ‚quam proxime. Frgo rectangulum Aax%aB feu Aa 0, cum fit xquale arez BR Sa,eritetiam 2quale arex BK Ta quamproxime:; Q E.D. Corol. Hinc ex lege’tefiltentig& arcuumC a,CB differentia Ag,
colligi poteft proportio refiltentig ad gravitatem quam proxime. Nam(fi uniformis{it refiftentia DK, figura aBK kS re&angulum erit fuübBa& DK,& inde rectangulum fub+ Ba 8 Aa xqualis‚erit rechangulo{ub Ba& D K,& DK xqualiserit+ Aa, Quarecum-DK fit ex ponens refiftentize,& longitudo penduliexPonens gravitatis, erit refiftentia ad gravitatem ut+ A4 ad lonoi tudinem Penduli; omnino ut in Propofitione XXVII. demonftratum eft.| Si refiftentia fit ut velocitas, Figura;@BK AS Ellipfiserit quam‘ proxime. Nam{fı corpus, in Medio non refiftente, ofcillatione integra deferiberet longitudinem B A, velocitas in loc6 quovis D foret,ut circuli diametro AB deferipti ordinatim applicata DE, Proigde cum B 4 in Medio refiltente& B A in Medio non refiftente, zqualibus circiter temporibus deferibantur; adeoque veJocitates

[3151 Jocitates in fingulis ipfius Ba pundkis,.fint quam proxime ad velocitates in ,pundhis correfpondentibus longitudinis B A, ut eft Ba ad BA; erit velocitas DK in Medio refiftente ut circuli vel'Ellipfeos{uper diametro Ba deferipti ordinatim applicata; adeo“ que figura BKV.Ta Ellipfis, quam proxime. Cum refiftentia velocitati,proportionalis fupponatur, fit 0V exponens refifltentix in pun&o Medio 0;& Ellipfis, centro 0, femiaxibus 05, OV defcripta, figuram a BKVT, eique xquale rectangulum Aax BO, xquabit quam proxime. Eft igitur A44xBO ad 0V7xBO ut area Ellipfeos hujusad 07 x BO: ideft Aa ad OV ut area Semicirculi, ad. quadratum radii(ive ut 11 and. 7 circiter: Et propterea:"Aa ad longitudinem: penduli ut corporis ofcillantis refiftentia in.O ad ejufdem gravitatem..“ Der Quod fi refiftentia D K fit in-duplicata ratione velocitatis;. figura BKTV a Parabola’ erit. verticem habens V& axem OV, ideoque zqualis erit duabus tertiäs partibus redtanguli fub Be & OV quam proxime.. Eft igitur‘ re&angulum füb; Ba&: Aa ° gzquale re&angulo fub+B a& OV, adeoque 0 V zqualis+ Aa, & propterea corporis ofcillantis refiftentia in 0 ad. ipfiüs gravitatem ut+ Aa ad longitudinem Penduli..;
Atque has conclufiones in rebus prackicis ‚abunde fatis accuratas effe cenfeo. Nam cum Ellipfis vel Parabola congruat cum figura BKYV Ta in pun&o medio 7, hzc fi ad: partem alterutram BKV vel V Ta excedit figuram illam,deficiet ab eadem ad partem alteram,& fic eidem zquabitur quam proxime.
Prop. XXXI Theor. XXIV.
Si corporis ofcillantis refiftentia in fingulis arcuum deferiptorum partibus proportionalibus angeatur wel minuatur in data ratione; diffeventia inter arcum defcenfu defcriptum& arcum fubfequente afcenfu defcriptum, angebitur vel diminnetur in eadem ratione quamproxime.
Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per refiRır3{tentiam

[ 316] {tentiam Medii, adeoque eft ut retardatio tota eique propoftionalis refiftentia retardans.. In{uperiore Propofitione rectangu‘Jum füb re&a+ aB 8 arcuum illorum€ B, Ca differentia Aa, xqualis erat arex BK T. Et area illa, fi maneät longitudo 4 B, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum DK; hoc eft in ratione refiftentie, adeoque eft ut longitudo 4B& refiftentia conjun&im. Proindeque redtangulum füb Aa&+4B eft ut a B& refiftentia conjundtim,& propterea A a ut refiften. Corol, ı. Unde fi refiltentia fit ut velocitas, differentia arcıum in eodem Medio erit ut arcus totusdeferiptus: 8 contra.
“ Corol. 2. Si refilftentia fit in duplicata ratione velocitatis, differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius;& contra. - Corol. 3. Et univerfaliter, fi refiftentiz fit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius;;3_& contra.;
Corol.. 4. Et firefiftentia: fit partim in ratione fimplici velocitatis, partim in ejufdem ratione duplicata, different erit partim in ratione arcus totius‘ 8& partim in ejus ratione"duplicata; & contra. Eadem erit lex 8& ratio refiftentizg pro velocitate, quz eft differentig illius pro longitudine arcus.
Corol. 5. Ideoque fi, pendulo inzquales arcus{ucceffive deferibente, inveniri: poteft ratio. incrementi ac decrementi refiftentige hujus pro longitudine.arcus deferipti, habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi refiftentig pro velocitate majore vel minore.

SE
; De Motu Fluidorum-& refiftentia ‚ProjeChilinm.
Prop: XXXII. Theor: XXV.
Si corporum Syftemata duo ex eqnali particularum uumero con ftent, & particule correfpondentes fimiles fint, fingule in‘ uno Syftenate fingulis in altero, ac datam habeant‘ rationem' denfitatis ad'inzicem, & inter fe. temporibus proportionalibus‘ finriliter‘ moveri incipiant, (eg inter fe que inuno(unt Syftemate& e@ inter‘ fe que fünt in altero) Cr fü non tangant fe mutno qwe in eoden? funt Syftemate, nift in momentis reflexionum, neGue"attrahant wel fugent fe mutno, niftwiribus acceleratricibus qua fipt ut particularum correfpondentinne diametri.inverfe& guadrata velocitatum direkte: dico quöd Syftema-tum particula ille pergent inter fe temporibus' Proporkionalibus fie | niiliter miovert5 Cu COMFFAL SUCHER GE
Corpora fimilia temporibus' proportionalibus inter‘ fe fimihtermoveri dico, quorum fitus ad vicem' in fine temporum illo-. | rum femper{unt fimiles‘;‘puta fü partichle unius Syftematis cum. alterius particulis correfpondentibus conferantur. Unde' tempora. erunt proportionalia; in quibus fimiles“8 proportionales figura-rum fimilium partes a particulis correfpondenhtibus deferibuntur. Igitur fiduo fint ejufmodi Syftemata, particulee correfpondentes,. ob fimilitudinem incaptorum Mmotuum,' pergent fimiliter movert: ufque donec fibimutuo occurrant. Nam fi nullis agitantur viri-bus, progredientur uniformiter in lineis reis per motus Leg. I. Si viribus aliguibus fe‘ mutuo agitant,& vires illke fint ut par-ticularum correfpondentium diametri inverfe& quadrata veloci-tatum directe; quoniam particularum fitus funt fimiles 8& vires proportionales, vires totz quibus particulg correfpondentes a-gıtantur,..

318] gitantur, ex viribus fingulis agitantibus( per Legum Corollarium {ecundum) compofitze, fimiles habebunt determinationes, perinde ac fi centra inter particulas(imiliter fita refpicerent 5& erunt vires illg:totz ad invicem ut vires fingule componentes, hoc eft ut correfpondentium particularum.diametri inverfe,‘& quadrata velocitatum diredte:& propterea eflicient ut correfpondentes particule figuras fimiles de(eribere pergant.. ‚Hezc ita fe habebunt per Corol. ı. 2,& 7. Prop. IV. fi modo centra:illa quiefcant. Sin, moveantur; ‚quohiam. ob tranflationum: fimilitudinem, fimiles manent'eorum-fitus.inter Syftematum particulas; fimiles inducer:
tur mutationesin figuris quas-particulz.defcribunt. Similes ig.
tur erunt corre{pondentium.& fimilium particularum motus uique, ad occurfus, fuos, primos, ‚& propterea fimiles occurfus,
8. fimiles reflexiones;.&{ubinde(per. jam oftenfa). fimilesmo=.
tus inter.fe, donec iterum in{fe mutuo inciderint,&{ic deinceps:
In infinitum..Q. E.D.. AO 2a Corol.‘x. Hinc. fi corpora duo quzvis, que fimilia fint& ad Syftematum particulas correfpondentes{imiliter fita, inter ipfas
temporibus proportionalibus fimiliter moveri incipiant, fintque:
corum(denfitates adinvicem ut denfitätes corre{pondentium particularum: hc. pergent..temporibus proportionalibus fimiliter
moveri.,„Eft enim eadem ratio partium majorum Sy(tematis utriufqueatque particularum.; Corol„ 2. Et fi fimiles& fimiliter pofitz Syftematum partes omnes quiefcant inter fe:& earum duz, que ceteris majores fint, & fibi mutuo in utroque;Syftemate correfpondeant, fecundum lineas fimiliter fitas ‚fimili ‚cum. motu utcunque, moveri incipiant: he. fimiles in‚reliquis fyftematum partibus excitabunt motus,& pergent inter ipfas temporibus. proportionalibus(imiliter mover1; atque adeo{patia diametris{uis proportionalia deferibere.|
_ Prop. XXX III.
\

[>> 3 Prop. XXXIIL: Theor. XXVLTifdem pofitis, dico quod Syftematum partes majores refifuntur in ratione compofita ex duplicata ratione velocitatum fnarnm&» duplicata ratione diametrorun& ratione denfitatis‘partinin Syftematum.
Nam refiftentia oritur partim ex viribus centripetis vel.centrifugis quibus particule fyftematum fe mutuo agitant,‘| partim ex occurfıbus& reflexionibus particularum& partium majorum. Prioris autem generis refiftentig{untad/invicenY ut vires'totz motrices a quibus oriuntur; id ‚eft ut vires totz acceleratrices& quantitates materig in partibus correfpondentibus;. höc eft(per Hypothefin) ut quadrata velocitatum diredte& diftantix particularum correfpondentium inverfe& quantitates materi In par— tibus. correfpondentibus dire&e: ideoque(cum diftantige particularum fyftematis unius fint ad diftantias corre{pondentes particularum alterius, ut diameter particule vel partis‘ in{yftemate priore ad diametrum particulg‘ vel; partis correfpondentis‘in altero,& quantitates materix{int ut denfitates partium& cubi diametrorum)- refiftentie Aunt ad invicem ut quadrata. velocitatum& quadrata diametrorum& denfitates partium Syftematum. Q. E.D. Poflterioris generis refittentig funt ut reflexionum cor'refpondentium numeri& vires’ conjundhm. Numeri autem reflexionum fünt ad invicem: ut velocitates' partium corre{pondentium direde, Se{patia inter eorum reflexiones inverfe. Et vires reflexionum{unt ut velocitates& magnitudines& denf(itates partium correfpondentium conjunCtim 3 id’eft. ut velocitates& diametrorum cubi& denfitates partium. Et conjune&is his omnibus rationibus, refiftentiz partium correifpondentium funt ad invicem ut quadrata velocitatum& quadrata diametrorum& denfitates
partium conjundim. 0. E.D. Corol. x. Igitur fı{yftemata illa fint Fluida duo Elaftica ad modum Aeris,& partes eorum quiefcant inter fe: corpora autem

[220] «tem duo fimilia 8& partibus fluidorum quoad magnitudinem& ‚den(itatem proportionalia, 8 inter partes ‚illas‘ fimiliter polita, fecundum lineas fimiliter pofitas utcunque proJiciantur; viresautem motrices,. quibus particule Fluidorum fe mutuo agitant,(int ut. corporum projedtorum diametri inverfe) Sc quadrata velocitatum dired&e;. corpora illa temporibus proportionalibas. fimiles _excitabunt motuüs in Fluidis,&{patia fimilia: ac diametris fuis proportionalia deferibent, leo!; Corol. ‚2... Proinde in codem Fluido projedtile velox refiftitur in duplicata. ratione velocitatis quam proxime. Nam fi Vires, quibus particule diftantes fe mutuo agitant,augerenter in duple cata ratione velocitatis, projectile relifteretur in-eadem ratione duplicata accürate 3 ideoque in Medio, cujus partes ab invicem diftantes fefe viribus nullis agitant, refiftentia eft in duplicata ra tione velocitatis accurate: Süunto- igitur Media tria A4,B, C'ex partibus(imilibus& xqualibus& fecundum diftantias xquales re gulariter difpofitisconftantia. Partes Mediorum A 8: B fugiant fe mutuo, viribus que(int ad invicem ut T& V, illeMedii€ ejufmodi viribus omnino deftituantur. Et corpora quatuor xqualia‘D, E, F, G in his Mediis moveantur, priora duoD& E in prioribus duobus A 8& B,&.altera duo F& G in tertio C; fitque velocitas. corporis D-ad velocitatem corporis E, 8& velocitas. corporis F'ad velocitatem corporis G, in"dimidiata ratione virium T ad, vires Vz refiftentia corporis Derit ad refiftentiam corporis E,& refiftentia corporis F'ad refiftentiam corporis G in. velocitatum ratione duplicata;& propterea reliftentia corporis D erit ad tefiltentiam corporis F ut reliftentia corporis E_ad refiftentiam corporis, G, /Suntocorpora D& F xquivelocia ut& corpora E&G;&% augendo velocitatescorporum D& F in ratione quacunque, ac diminuendo vires particularum Medi B in eadem ratione duplicata, accedet Medium B ad formam& conditionem MediiC pro Jubitu,& ideirco. refiftentiz corporum xqualium& equivelocium E& G in his Medi, perpetuo accedent ed Xqua; litatem

m ZA L De u U a Er HE(DD
1
Jicatem, ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data quevis. Proinde cum refiftentig corporum D& F{fint’ad invicem
ut refiftentige corporum E& G, accedent:etiam hz fimiliter(ad rationem xqualitatis. Corporum igitur D:8& F, ubi velociflime: moventur,refiftentig{unt zquales quam'proxime:& propterea cum refiftentia corporis F fit in‘ duplicata /ratione velocitatis, erit refiftentia corporis DV in eadem ratione"quamproxime. Corol. 3. gitur corporis in Fluido quovis’ Elaftico velociffime moventis cadem fere eft refiftentia ac 11 partes Fluidi viribus füis centrifugis deftituerentur, feque mutuo nor fugerent: fi modo-Fluid: vis. Elaftica ex particularum viribus centrifucis oflatur. Corol. 4. Proinde cum reiiftentiz{imilium& zquiveloctum corporum, in Medio cujus’partes diftantes fe mutuo non fugiunt, fint ut quadrata diametrorum;, funt etiam zquivelocium& ce Jerrime moventium corporum refiftentig in Fluido Elaftico ut quadrata diametrorum quam proxime. Corol. 5. Et cum corpora fimilia, zqualia 8& zquivelocia, in Mediis ejufdem denfitatis, quorum particule fe mutuo non fügiunt, five particule ille fint plures‘& minores, five pauciores& majores, in zqualem materig quantitatem temporibus xqualibus inpingant, eique zqualem motus quantitatem imprimant, 8 viciflim(per motus Legem'tertiam)#qualem ab eadem. reactionem patiantur, hoc eft, xqualiter refiftantur: manifeltum eft etiam quod in ejufdem denfitatis Fluidis Elafticis, ubi velocilime moventur, quales fint corum refiftentiz quam proxime.; five Flui la illa ex particulis craflioribus conftent, five ex omnium (ubtiliflimis conftituantur.” Ex Medii fubtilitate refiftentia projectilium celerrime motorum non multum diminuitur, Corol, 6. Cum autem particule Fluidorum, propter vires quibus fe mutuo fugiunt, moveri nequeant quin fimul agitent particulasalias in circuitu, atque adeo diflicilius moveantur inter fe quam fi viribus iftis.deftituerenturz 8& quo majores fint earum St vires

1a] vires centrifugze, co diflicilius moveantur inter fe: manifeftum effe videtur quod projechile in talı Fluido eo diffcilius‘ movebi’tur, quo vires ille funt intenfiores;& propterea{1 corporis: veJociflimi in füperioribus Corollariis velocitas dıminuatur, quoniam refiftentia diminueretur in duplicata rätione velocitatis, 11 modo vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantüur, manifeftum eft quod refiftentia diminuetur in ratione minore quam du plicata velocitatis.
- Corol, 7. Porro cum vires centrifugz eo nomine ad augendam refiftentiam conducant, quod particulz motus fuos per Fluidum ad majorem a fe diftantiam per vires illas propagent 3 8: cum diftantia illa minorem habeat rationem ad majora. Corpora: manifeltum eft quod augmentum refiftentiz ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris{fit momenti;& propterea, 1quo corpora.{int majora: eo.magis: accurate refißtehtia tardefcentium decrefet in in duplicata ratione velocitatis.- ei
Corol. 8. Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate'obtinebit in Fluidisqux, ‚pari denfitate& vi Elaftica, cx pärticulis
minoribus conftant.| Nam-i corpora illa:majora diminuantur,& particula Fluidi, manente ejus denfitate!8& vi Flafticay diminuantur. in eadem ratione; manebit eadem ratio refiltentix qua prius: ut ex; przxcedentibus facıle colligitur.
Corol.- 91. Hac omnia ita{e-habent in Fluidis, quorum vis Elaftica,e6x particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod fi vis ılla aliunde oriatur, veluti ex particularum expanfione ad in{tar Lang vel,ramorum:arborum,. aut ex alia quavis caufa, qua motus particularum inter fe redduntur. minus liberi: refiftentia, ob minorem Medi fuiditatem, erit major quam in{uperioribus Corollariis,|
Prop. XXXIV.

L 323 4 ee Prop XXXIV..” Chcots XXVIL
“One in Dreceentilnis duabus Propoßi tionibus nr funt,; obtinent ubi. particula Syftematum fe nıntno COBTEM f modo Pan ticnla ille fint fumme Inbrice.
Coneipe particulas viribus quibufdam{e mutuo were, 8a vie res illas in acceflu ad fuperficies particularum augeri in nf m; 8 contra, in;receflu ab iifdem. celerrime diminui.&{tatim: evane{cere.., Concipe etiam{yftemata comprimi, ita ‚ut. partes,eo* rum fe mutuo.contingant; nifi quatenus vires ille;contactum-impediunt..Sint.autem{patia per queg.vires particularum diffun® duntur quam anguftillima, ita ut particule{e mutuo quam proxime contingant:& motus particularum inter{e idem erunt quam proxime ac fi fe mütuo cöntingererit.,, Eadem facilitate Jabentur
_ Inter fe ac fi eflent{umme Jubricz,&:(fi impingant in fe mutuo
reflectentur ab invicem ope, virium pr xfatarum, perindeac fi effent Elafticz. Itaque motus.erunt jidem in utroque cafu, nifi quatenus perexigua particularum, fefe! non contingentium intervalla diverfitatem;efficiant: que quidem diverfitas diminuendo particularum intervalla diminui poteft in infinitum. Jam vero quz in przcedentibus duabus Propofitionibus demonftrata funt, obtinent in particulis fefe non contingentibus, idque licet intervalla particularum; diminuendo{patia per que vires diffundunur,'diminuantur. ın infinitum.. Et propterea eadem obtinent in particulis fefe contingentibus; exceptis folum differentiis que tandem dıfferentiis quibufvis datis minores‘ evadant.| Dico igitur quod accurate obtinent.-Si negas, ‚affigna differentianı in cafı quocunque. Atqui jam probarum: eft quod differentia minor fit quam data quzvis. Ergo. differentia falfo ailignatur,.& CS prOpterea nulla Q.E.D. Corol. x.| Teitur fi Sy tematum duorum partes omnes quiefcant inter PA exceptis duabus, quz cxteris majores fint& fıbi S{2 muto

‘C34 1 mutuo correfpondeant inter czteras fimiliter fit. He f(ecundum lineas fimiliter pofitas utcunque proje&z fimiles excitabunt motus in Syftematibus,& temporibus. proportionalibus pergent fpatia fimilia 8& diametris{fuis proportionalia deferibere;& refiftentur in ratione compofita ‚ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione diametrorum& ratione denfitatis Sy{tematum.
“ Corol. 2. Unde fi Syftemata illa fint Fluida duo fimilia, 8 corum partes dux. majores fint corpora in iifdem proje&a:{int autem Fluidorum particule{umme lubrice, 8 quoad magnitudinem 8 denfitatem proportionales corporibus: pergent corpora temporibus proportionalibus{patia fimilia& diametris fuis- proportionalia deferibere,& refiftentur in ratione Corollario{fü periore definita.;
Corol. 3. Proinde in eodem Fluido Proje&tile magnitudine datum refiftitur in duplicata ratione velocitatis.
Corol: 4. Ar fi particule Fluidi non fint fumme Jubricg, vel fi viribus quibufcunque fe: Mmütuo apitänt, quibus motuum libertas diminuitur# Projeekhilia tardiora difficilius faperabunt refiftentiam,& propterea magis reliftentür quam' in velocitatis ratione duplicata.
Prop. XXXV. Theor. XXVII.
Si Globus& Cylindrus equalibus diametris defcripti, in Medio varo& Elaftico, fecundum plagam axis€ ‚ylindri,«quali cum welocitate celerrime moveantur: erit refiftentia Globi duplo minor quam refiftentia Cylindri. nn
Nam quoniam'refiftentia(per Corol. 3. Prop. XXXII.) eadem eft. quam proxime ac{1.partes Fluidi viribus nullis fe mıtuo fugerent, fupponamus partes Fluidi ejufmodi viribus deftitutas per fpatia omnia uniformiter difpergi. Et quoniam ackio Medii in corpus eadem eft(per Legum Corol. 5.) five corpus in Medio quiefcente moveatur, five Medii particule eadem cum
, veloci

velocitate impingant in corpus quielcens+ Cönfideremus Corpus tanquam quiefcens,& videamus quo impetu urgebitur a Medio movente. Defignet igitür‘4B K I’corpus Sphericum centro€ femidiametro) u ABI CA deferiptum,& incıdant particulg Medii data cum velocita- te in corpus illud"Sphericum; fecundum redkas ip fi4C parallelas: Sitque FB; ejufmodi re&ta. In ea capiatur L B femidiametro€ B xqualis,& ducatur BD quz Spheram tangat in’B. In AC& BD demittantur perpendiculares BE, DL,& vis qua particula Medii, fecundum redtam FB©blique incidendo, Globum ferit in. B, erit ad vim qua particula eadem Cylindrum ONGQ axe ACT circa Globum deferiptum:perpendiculariter feriret in b,ut LD ad LB vel BE ad BC.‘ Rurfus efficacia hujus vis ad movendum globum fecundum incidentig fuz plagam FB vel AC, eft'ad eju(dem efficaciam ad movendum globum fecundum plagam determinationis{uz, id el fecundum plagam re&z BC qua globum dired&e urget, ut BE ad EC. Et conjundtis rationibus, efficacia particule, in globum fecundum re&am FB oblique incidentis, ad movendum eundem fecundum plagam incidentize füz, eft ad efficaciam particulg ejufdem fecundum eandem redtam in cylindrum perpendiculariter incidentis,ad ipfum movendum in plagam eandem, ut BE quadratum ad BC quadratum. Quare fi ad cylindri bafem circularem N A0 erigatur perpendiculum& HE,&
fit 4 E xqualis radio AC,& bH zqualis CE, erit b H ad bE.
.

CC 326] b,E cat»effedtası particule. in; globum ‚ad ‚ee um, particule /in _ cylindrum..:/ Et,propterea Solidum ‚quod-a recisı omnibus 4 H occupatur erit ‚ad-{olidum quod, a, reftis ‚omnibus 6 Eoccupatur, ut effectus particularum omnium in globum ad effe&um particularum omnium in Cylindrum: ı Sed folidum prius;eft Pa» rabolois vertice /,.axe CA& latere re&o CA deferiptum;&folidum pofterius eft cylindrus Paraboloidi circumferiptus:&n0tum eft quod Paraboleis fit femiflis cylindri circumferipti.| Ergo vis tota Medii in globum eft duplo minor quam ejufdem, vis tota in Cylindrum. Et-propterea{fi particulg Mediiquiefcerent,& Cylindrus ac globus zquali cum velocitate moverentur, foret trefiftentia globi duplo minor quam refiftentia cylindri. Q.,E.D.. + Scholinm. x 2;‚Eadem methodo-figurz alie inter, fe.quoad, refiftentiam com‚pararı poflunt, ‚exque inveniri,quz, ad. motus fu0s in Medüs-refiftentibus continuandos aptiores(unt. Ut fi bafe-circulari CEBH; -quz Centro, 0, radio/O.C deferibitur,&alti-“4 tudine 0.D; conftruendum fit fruftrum coni. C BGF; quod, ommium eadem bafı& altitu-., „‚dineconftructorum& fecundum plaga maxis Auiverfus D ‚progredientium; frufterum mi.nime-re(iftatur: bifeca altitudinem 0 Din Q Sz,produc, 0.Q ad S ut fit. 0 S xqualis 0C, Sz,erit S vertex coni/cujus fruftum quariturs x, aß „Undeobitercum angulus C SB femper, fit acutus, confequens ‚eft, quod{fi folıdım AD BE convolutione figurz Ellipticg vel Ovalis AD BE circa axem AB facta generetur,:& tangatur figura generans a reCtis tribus FG, G H, HIT in-pundtis F, B& LeaJlege nt. G.H{it perpendicularisad axem in pund&o contadus.B,& FG, H I’cum ecadem GH contineant angulos FG B, BHI graduum 335:(olidum, quod convolutione figurz AD FGHIE circa axx?, em

em. eundem C B generatur, minus: refiftitur quam folidum prius; fi modo.utrumque fecundum: plagam axis{ui AB progrediatur, 8& utriufque tetminus:Bprecedat. Quam) quidem propofitionem in conftruendis Navi-) Cup bus non inutilem futuram: efle cenfeo! 49 Quod ‚fi figura DN EB ejufmodi: fit ut;' fi /ab ejus pund&o quovis N ad axem AB, demittatur perpendiculum. NM,&:a:pundoiun dato G;dudatiir rectas GR ub Slgotsq 30 BAND MIO) BI quz, parallela fit red figuram tangentiin N,&axem produ&um fecetin R, fuerit. MN ad GR ut G-Rıcub. ad 4 BR xGBq: Solidum ‚quod figure hüjus-revolutione circa axem AB faCtadeferibitur,- in Medio rar6- 8: Elaftico ab Awverlus Bvelocilime:movendo, minus refiftetur quam-aliud quodvis ceadem; longitudine & latitudine deferiptum Solidum circulare.
‚-Prop- XXXWVL-Prob., VIE Invenire refiftentiam corporis Spherici in Fluido varo&r Elaftico; welociffzme progredientis.(Vide Fig. Pag.325:)
Defignet ABKT corpus Sphzricum centro‚C{emidiametro C A defcriptum..Producatur C 4) primo ad$ deinde ad R; ut fit AS parstertia ipfius CA,& CR fıt ad CS ut den{itas corporis Sphzrici ad denfitatem Medii. ‚Ad CR erigantur perpendicula PC, R X, centroque R& Afymptotis CR, RX'deferibatur Hyperbolaquevis PT. In CR capiatur CT longitudinis cujufvis,& erigatur perpendiculum"TV abfeindens aream Hyperbolicam‘ PCTV,& Gt.CZ latus hujus arex applicatz ad re&tam PC. Dico. quod motus quem globus, deferibendo fpatium CZ, ex refi{tentia Mediiamittet, erit ad eJus motum totum{üb initio ut longitudo C’T.ad longitudinem CR quamproxime. Nam

328] ‘Nam(per motuum Legem:tertiam) motus quem cylindrus GNO0Q circa globum deferiptus impingendo in Medii particulas ‚amitterets; zqualis, eft mötui quem imprimeret in eifdem par‚ticulas. Ponamus quod particulz fingulz refle&antur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate refiliant; quacum Cylindrus ad ipfas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3. fimodo particule quam minime{fint,& vi‘ Elaftica quam maxima reflectantur. Velocitas igitur. quacum a cylindro refiliunt, addita velocitati cylindri componet totam velocitatem. duplo'maJorem quam velocitas cylindri,& propterea motus quem‘ cylindrus ex reflexione particulze cujufque amittit, erit‘ ad'motum totum cylindri, ut particula duplicataad cylindrum. Pro-inde cum: denfitas Medii: fit ad: denfitatem cylindri ut CS ad CR; fiCt fit longitudo.tempore quam minimo a cylindro de{cripta, /erit motus co tempore amiflus’ ad motum totum eylindriut 2C1xCSad AIxCR.-Ea enim eft ratio materig‘ Medi, a‘ cylindro protruße 8 reflexx, ad maflam cylindri. Unde cum globus fit duz tertig partes cylindri,&"refiltentia globi| ( per Propofitionem füperiorem){fit duplo-minor quamı re(iftentia cylindri; erit motus, qucm globus deferibendo longitudinem L, amittit, ad motum totum globi, ut C#xCS ad* AIxC R, five ut C+ad CR. Erigatür perpendiculum+© Hyperbolg occurrens in v,&( per Corol. 1. Prop. V. Lib. II) 1. cörpus deAeribendo longitudinem areg Cr P proportionalem, amittit motus{ui totius CR partem quamvis Ct, idem deferibendo longitudinem arex C TV P proportionalem, amittet mötus{ui partem
CT. Sed longitudo C# x qualis eft. On& ‚Jongitudo 0 Z
CPTV AN CF? adeoque longitudo C+# eft/ad Jongitudinem CZ utarea CP ut adarcam CPVT. Fr proprerea cum globus diferibendo longitudinem quam minimam CH amictat motus{ur partem; qua fit ad totum ut Ct ad CR; is
de{cribendo
( per Hypothefin‘) xqualis eft

2 23 deferibendo Tongitudinem aliam quamvis CZ, amirtet motus fu partem que fit ad tötum nt! CT ad CR..I@E.D.;
Corol, x. Si detur corporis velocitas füb initio, dabitur tempus quo corpus, defcribendo fpatium C£, amirtet morusı{hi partem C+:&inde; dieendo; quod refiftenria: fit adıyia gravitatis ut ifta motus ‚parsamiffa ad motum, que; gravitas Globi codem tempore generaret 3 dabitur proportio-refiftentig ad; grävitatem Globiu bo bubao oupiistelvor lade am ei0k I mal safe
‚Gorol.+2: Quoniamin his determinandis fuppofai'quod„par . ticuke Fluidi per vim(uam Elafticam quam maximhe a Globo-re* fle&antur,& particularuım(ic reflexarum-‚impetus in-Globum duplo major fit quam fi.non reflefterentur:"mänifeftum eft quad in Fluido, cujus-particuleivi omni Elaftica aliaque omni vireflexie va deftituuntur, corpus Spharicum refiftentiam-düuplg Minorem patietur 3 adeoque eandem velocitatis parfem amittendo;' duplo Jongius progredietur quam pro conftructione Problematis hujus
fuperius allata. U 600g KURS EN i
‚Corol. 3. Et-G ‚particularum wis reflexiva neque maxima dit neque omnino mulla, fed mediocrem aliquam rationemteneat; refiltentia pariter, inter limites in conftructione Problematis& Corollario fuperiore pofitos, mediacrem rationem tenebit.
Corol. 4. Cum'corpora: tarda paulo magis refiftantur quam pro ratione duplicata'velocitatis: hc: deferibendo. Jongitudinem quamvis C Z amittent majorem motus{ui partem, quam quz fit ad motum fuum totum ut CT ad CR.|
Corol. 8. Cognita autem refiltentia corporum celerrimorum, innotefcet etiam refiftentia tardorum; fimado lex decrementi re fiftentig pro ratione velocitatis inveniri poteft,
>
Tt Prop. XXXVI

A\Prop. ‚XXXVI.) Prob. EX.= 17 up abtısG -ır Aque’de wafe dato per foramen efflnentis definire Ynotuma 77 Si, vasampleatur. aqua,& im fündo perforetur üt:aqua per fo« _ramen defluat, manifeftum eftiquod vas füftinebitpondus aqu& totius; dempto pondere partis ilhus quod foraminiperpendieuları® ter imminet. Nam fi foramen obftaculo aliquo occluderetur, ob? {taculum pfüftineret pondus aqua fibi perpendicülariter incümbentis/o 80 fundum wvafıs duftineret! ‚Pondus' aquz ıreliquz 1«Sub2 Jato'autem: obftaculo, fundum vafıs eadem aquze! preflione(eo? demve.ipfius pondere urgebitur Ac prius;: 8 pondusoquod' obftaculum fuftinebat; cum Jam! non duftincatür facietut aqua def cendat& perforamen defluat. ui dq? 244005| lo o'gUndeonfeäuensießt,:quod motus/aquz totiuspeffluentisis’erit quem pondus aqlz foramini!perpendiculariter incumbentis’gene! rare poflit. Nam aquz particula unaquzque pondere fuo; qua? tenus'mon impediturydelcendit/idaqtue motu üniförmiter\accelerätoz°% quatehus impeditur; urgebitrobftacultım.© Obftaculum ılludvel vafiseft fandum; velagua inferior defluens; 8 propte« rea ponderispars illa, quam vafis-fundum mon fuftinety; urgebit'aquam defluchtem& motim{ibi'proporrionalem generabiten)
m Defigner igitur F'areamoforaminis Aaltitudinem aquz foras mini perpendioulariter incumbentissi PP pondus ejus; AF quan„titatem ejus, S'{patium quod dato quovis'tempöre! T inıyaclo liberecaden do deferiberet; 8x! Vi melocitatemnquam in fine temports illiuscadendov aequifierit 08: motus-ejus acquilitus AFxV xqualis erit‘ motul!aquz:totiusı'codem.temporejeflluentis: Sit velocitas quacum eflluendo exit de foramine, ad velocitatem Z ut ‚dade;& cum aqua velocitate V deferibere poffet fpatium 2&)
| EMO) 57
1
aqua effluens eodem tempore, velocitate.{ua= V, deferibere poffer Apatium 223. Et propterea columna aquz cuus longitudo €
fit

- eidem qu2 foramınıs, ‚Poliet€O teMpOre de
fit N dü Si ek E69 OÖ IB Mr 199 BY SED N EIRNOND Auendo.egredi-d& vafes ‚hoc efticolumnao ss S FupiQuareaiigrus add SET.„quidfiet'dücendo quantitatem aquz effluentis in velo"Citatem,(uam; hoc, eft, matus jommis tempore eAluxus allius„gsht tus, zquabitup motui| 4,Ex Kin Et fi aqualesili motusApplicgngerad Fr fe hs qualis A: Unde EN dd ade ut ads, „03 mubogr he 26% 11.6903901q 1. A950 SIG 20107 ZUD ‚8 dad g in.dimidiara, ratigp&+ 4 ad Sand OR ‚Melogitas qha‚cum aqua: exit€ foramine, ad, yclogitatem.q d
{
'tempore L,cadendo defcribens, fpatium S acquireret, ut altiudo 'aquze, foramini perpendiculariter incumbentis, ad, medium,pröpor“tionale inter altirudinem:Allam duplicatam&(patium. illugl% quod "corpus,tempore, T:cadendo; deferiberet.-4 43 smmeh 9001991
;} x 5441? Ä}>
Igitur fi motüs ıllı furfum vertantur; quoniam aqua velocitate V afcenderet ad;altitudinem;illam S$ de:qua deciderat;& altitu-. dines(uti notum eft) fint in duplicata ratione velocitatum: “aqua. effluens afcenderet; ad. altitudinem, 4.4... Etpropterea quantitas"aque Efiluentis, quo"tempore\ corpus,cadendo: deferibere „poffet altitudinem 4-4; xqualis erit!columnz aquz ‚totius AF fo "ramini„perpendiculariter imminentis, 25y ai 1010 mut nl ‚Cum autem aqua effluens,motu fo; furfum, verfo; ‚perpendiculariter furgeretad dimidiam altirudinem Aqua, foramini incum‚bentis;5confequens; eft,quod. fi ‚egrediatur oblique per/ canalem in Jatus,vafis,.. deferibet in fpatiis non refiftentibus, Parabolam cuus Jatus-sectum ‚eft,altitudo ‚aqüz.in vafe;füpra canalis; orificium, '& cuyus diameter horizonti per pendicularisab orıficio. illo ducitur, 'atque ordinatim applicatz, parallel{unt axi canalis. _ı Hzc,omnia de Fluido fubtiliffimo ‚intelligenda fünt.. Nam fi ‚aqua ex.‚partibus cratlioribus conftet,hec, tardius effluet. quam
pro ratione{uperius.aflignata, praefertimfi foramen anguftum fit
‚per quod effuit, e Er ren nr Tt2 Denique

EEE
|
4 1 Od U | |
NM |
L332] Denique{fi aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur; quoniam fündum vafis integrum eft, 8& eadem aquz incumbentis preflione: ubique“urgetür‘ ac fi’aqua non efflueret; vas faul
nebit pondus aquz totius, non obftante effluxu,- fed latus vafis
de quo eflluit non fuftinebit preflionem illam omnem, quam füftineret(i aqua non efflüeret. Tolletur enim preilio partis illius
ubi perforatur‘: quz quidem preflio zqualis eft ponderi columnz
aquz, cujus bafis foraminizquatur& altitudo eadem eft que aque totius{upra foramen. Et propterea fi vas, ad modum corpofis penduli, filo przlongo a clavo fülpendatur, hoc, fi aqua in plagam quamvis fecundum lineam horizontalem effluit,. recedet {emper a perpendiculo in plagam contrariam. Et par eft ratio motüs'pilarum, quz.Pulvere tormentario madefa&o implentur,&, materia in flamınam per foramen paulatim expirante, recedunt a
regione flammz& in partem contrariam cum impetü feruntur.
© Prop. XXXVII. Theor, XXIX,
1 Corporum Sphketichrum| in Medis: guäbufgne Fluici(fimis refiftentiam in’anteriore fuperficie definirel” 09T
. Defluat aqua de vafe Cylindrico ABC D, per canalem Cylindricum EFGH, in vas inferius TK LM;& inde effluat per vafis matginem/ IM." Sit’autem margo Ne ejufdem altitudinis
‚cum vafis faperiotis fundo CD, co ut aqua per totum canalem
uniform. cum motu’ defeendat;& in'medio canalis collocetur Globus P, fitque PR altitudo aque fupra Globum,& SR ejufdem altırudo füpra fundum vafıs,| Sußineatur autem Globus filo tenuiflimo 7 7 hteribus canaliskinc inde affıxo. Fr manife{tum eft per proportionem faperiorem,'quod quantitas aquz dato:tempore defluentis ‚erit ut amplitudo foraminis per quod deAuiez hoc«ft, Gi Globus tollatur,ut Canalis orificium: fin Globus adlit,' ut(patiam undique‘ inter Globum& canalem. Nam velocitas aqua defluentis(per fuperiorem Propofitionem) ea erit
quam

“ de
nws a 8 ee©% I
3 2
it. Siaqua non [333]
quam corpus cadendo,& cafu fuo deferibendo dimidiam aquz altitudinem SR, acquirere polfet: ‚adeoque eadem eft five Globus tollatur, five adfit.-Et-propterea aqua defluens ‚erit' ut amplitudo fpatii per quod tranfit. Certe tranfitus aquz per fpatium anguftius facilior effe nequit quam per fpatium amplius, 8&c propterea ve- 40:) locitas ejus‘ u* biGlobus adeft, non poteft effe major quam cum tollitur:& deoque major aquz quantitas,ubi Globus adeft, non effluet quampro ratione{patii per quod tran
fit liquor füubtiJiffimus& fui-diffimus, hujus tranlitus per fpatium anguftius, ob craffitudinem particularum,€rit aliquanto tar- a. dior: at liquorem' fluidiffimum efle hic fapponimus. Tgitur quantitas aquz,cujus defcenfum Globusdato temporeimpedit, eft ad quantitatem aquz quz, fi Globustolleretür, codem tempore: defcenderet, ut bafıs Cylindri circa Globumdeferipti ad orificitum canalis; five ut quadratum diametri Globi ad quadratum diametri cavitatis canalis. Et propterea quantitas aquz cuJus defcenfum Globus impedit, xqualis eft quantitati aqux, quxz codem E tempore

tempore’per foramen circulare in fundo’ vafis; ba-fı Cylindriillius zquale, defcendere'poflet, 8& cupus defcenfus: pe undi. Lu AyaVIS circularem baftilli zqualein impeditug. ‚un so eudel0
0 Jam vero: pondus aqua;'quod: was& Globus Comundim fafßti‚nent, eft ‚pondus aquz totius in yafe,“prater„partem illam que
aquam defluentem accelerat,8& ad ejus motum generandum fuflicit, quzque, per Propofitionem{uperiorem, xqualis: ‚ef ponderi columnz aquez cujus bafis zquatur{patio inter Globum 8. Cana“ lem per quod aqua defluit,& altitudo ecadem"cum altitudine aquz füupra fundum valis, per lineam SR. defignatan Väfisvigitur fundum& Globus conjunCtim fuftinent pondusiaqtentofius in vafe{fibi ipfis perpendiculariter imminentis.-Unde cum fündum’'vafis{uftineat pondus aque fi fibi perpendiculariter imminentis;, reliquum eft ut Globus etiam fuftineat pondus.dquafibi perpendiculariter 4 imminentis. Globus: quidem nonrfüuftinet'pondus aquez illius ftagnantis&{bi abfque 4 om Motu incumbentis, ded aquz defluenti refiftendo impedit effe&um tanti ponderis5 adeoque vim aquz defluentis fufßtinet ponderi ıllı equalein« Nam impedit defcenfum& effluxum quantitatis aqu&<quem pondus illud accurate eflicefet{fi Globus tolleretur. Aqua?ponderefüd, _ quatenus defcenfus ejus impeditur, urget obftaculum omne, ideoque obftaculum;,quatenus defcenfum aquz impedit;: vim füftinet gqualem ponderi quo defcenfus ille efficeretur. ‚2: Globus: autem defcenfum quantitatis aquz ‚impedit, quem ‚pondus"columNX-aquz fibi perpendiculariter incumbentis efficere ı poflet;::8& propterea vim aquzx decurrentis fuftinet pondertilli. equalem. 1ACHO Screactioquenper-Mmotus LE&2Cem Lertiam equantur. inter Me, Sin plagasıcontrartäs: ‚ditiguntur.- ACtio: Globi in: aquamde‚feendentem; ad ejus-deltenfum impediendum, j in fuperiora:dirigi‚gut; ee ut.defßehdendi motus: impeditus, eique, tollendo adz-quatb fufficit'z.& propterea:achio Contraria aqua in;Globüm zren Mi. a ‚motum; epndem vel.tollere wel gondrave, poflit,
‘5 >
iA3 &
a a a 2 a aa a A aa ee ma A

A A Pa WI 8
ba
N
- minet& cujus altitudo eft RS.
C 335 1 hoc.eft ‚ponderi columnz aqua, que,&lobo perpendiculariter, im;
+-Si.jam canalis orificium fuperius obftruatur, fic_ ut ‚aqua def= cendere nequeat; Globus quidem, pondere, aquz in canali.&. vafe inferiore‘I K LM ftagnantis, premetur ‚undique;{ed non, obftante:preflione illa,| fi ejufdem. fit Apecificae gravitatis cum, aqua, quiefcet...:' Preflio. ılla Globum. nullam„in.;partem impellet:,: Et propterea)ubi-canalis aperitur 8& aqua de vafe fuperiore defcendit, vis, omnis, qua, Globus impellitur,deorfüum; ‚orietur ‚ab;aquz,illius defcenfusatquc adeo zqualis,erit, ponderi; columnz aqua, cujus,altitudo,eft K'S;8& diameter. eadem;quz.Globi., Pondus autem iftud, quo. tempore data: qualibet aqua quantitas,per foramen. bafi CyJiadei circa Globum: deferipth2quale,,{ublato.Globo,efMuere poffet, fuflicıt ad ejus motum omnem genefandum;- atqueadeo quo tempore;aqualin Cylindro uniformiter ,decurrendo defcribit.duas tertias, paites diamett1 Globi,furlicit ad; moin. omnem‚aquz Globo xqualis generahdum. Nanı Cyliadrus aqua, latitudine Globi 8x duabus.tertiis par rıbus altitudınis.-defcräptuss! Globozquatur, Et. propterea, aquz currentis ‚impetus in!Globum;quiefcentem,
- quo tempore aqua currendo.deferibit,duas,tertias partes diametri
Globi, ‚fi, uniformiter ‚continuetur,; generatet, Motum OMNEM pars tis,Fluidi quz Globo zquatur. N as acuonulVl Aausa
Quz vero de aqua in. canali: demönftrata-funt, ‚intelligenda” funt etiam. deE,aqua quacunque fluente,qua Globus quilibet,in ca quiefcens urgetur..! Quazque de aqua demonftrata funt ebtinent etiam in Fluidis univerlis-(ubtililimis. De his omnibus-idem var Jetargumentume)/ 1.2x:b Asp s7107 Il GEM UD „Jam vero: per Legum, Corol. 5, vis Fluidi in Globum. ceadem eft,five Globus'quielcat& Fluidum ugformi.cum velocitatemor veatur; five Fluidum ‚quiefcat 8& Globus, eadem cum velocitate in‚partem contrariam!pergat. Et propterca refiftentia,Globir in Medio. quocungue Fluidillimo uniformiter. progredientis, quo tempore Globus duas tertias partes diametri{ux deferibit, xquaIs

1„336] Js eft vi,quz in corpus'ejufdem magnitudinis cam Globo& ejufdem denfitatis cum Medio uniformiter impreffa,"quo tempore Globus duas tertias partes diametri füx progrediendo deferibit, velocitatem Globi in corpore illo generare poffet. Tanta eft refiftentia Globi in(uperficiei parte precedente, 0. E. D.
Corol. x. Si folidum Sphzricum in ejufdem fecum denfitatis Fluido fubriliffimo libere moveatur,& inter movendum eadem vi urgeatur a tergo atque cum quiefcit; ejufdem refiftentia' ca erit quam in Corollario fecundo Propofitionis xxxvi. deferipfimus.. Unde fi computus ineatur,'patebit quod folidum dimidiam motus{ui partem prius amittet,quam progrediendo deferipferit Jongitudinem diametri proprie; Quod{imter movendum mi: nus urgeatur a tergo, magis retardabitur: 8 contra, fi magis urgeatur, minus retardabitur, 4 33
Corol/ 2. Hallucinantur igitur’qui credunt refiftentiam projes Chilium per infinitam divilionem partium Fluidi in infinieum diminul.. Si Fluidum fit valde craffum, minuetur refiftentia aliquantülum per divifionem partium ejus. At poftquam competentem Fluiditatis gradum acquifiverit,(qualis forte eft Fluiditas Acris velaquz vel argenti vivi) refiftentia in anteriore fuperficie folidi,per ulteriorem partium divifionem non multum minu„tur, Nunquam enim minor futura eft quam pro limite quem in Cötollario-füperiore aflisnavimus, Bü
Corol. 3. Media igitur in quibus corpora projectilia fine fenfibili motus diminutione Jongiflime progrediuntur, non folum Fluidiffima funt, fed etiam longe rariora quam funt corpora illa qua in ipfis moventur: nifi forte quis dixerit Medium omne Fluidiflimum, impetu perpetuo in pofticam projeCtilis partem facto, tantum promovere motumse)us quantum impedit& refifit in parte antica, Et motus quidem illius, quem projeCtile imprimit in Medium, partem aliquam a Medio cireulariter lato reddi corpo: a rerga verlfimile eft, Nam& experimentis quibuldam fadis, roper! quad in Fluidis fatıs compreilis pars aliqua redditur,
Omnem

S 337 J ‚Omnem vero in cafu quocunque reddi nec ration; confentancum videtur,, neque cum experimentis)hadkenus a me tentatis bene quadrat, Fluidorum enim utcunque{ubtilium, fi denfa fine, vim ad folida movenda refiftendaque, permagnam effe, 8&'quomodo vis illius quantitas per experimenta determinetur, plenius patebit per Propofitiones duas quz fequuntur. ca
Lemmma WW;:
Si yas Spherieum Flnido-homogeneo quiefcente pleuum'a wi impreffa moveatur in direttnm, motuque progrefftwo femper'accelerato ita pergat ut interea- non moveatur in orbem: partes Elnidiinchuft, aqualiter participando motum vafıs, quiefcent inter fe. Idenm obtinebit in wafe figura enjufehngue. Res manifefta' ef, nee: indiget de
monftratione.| Prop. XXXIX. Theor. XXX.
Flnidum omne quod motu accelerato ad modum wenti increbefcentis progreditur,&» cujus' partes inter fe qutefcunt; rapit omnia ejnfdem denfitatis innatantia corpora,& fecum cum eadem wvelocitate defert,
; Nam’ per Lemma fuperius fi vas Sphericum, rigidum, Fluidoque homogeneo. ‚quiefcente plenum,. motu paulatim ‚impreflo progrediatur; Fluidi motum valıs participantis partis‘ omnes {emper quiefcent inter fe. Ergo fi Fluidi partes alıqux congelarentur, pergerent hz quiefcere inter partes reliquas. Nam quoniam partes omnes quiefcunt inter fe, perinde eft five fluidz fint, five aliquz carum rigefcant.. Ergo fi vas a: vi aliqua extrinfecus imprefla moveatur,& motum(uum imprimat in Fluidum: Fluidum quoque motum fuum imprimer in fui ipfius partes congelatas cafque fecum rapiet. Sed partes illg. congelatz funt corpora folida ejufdem denfitates cum Fluido;& par eftratio Fluidi, five id in vafe moto claudatur,{ive in fpatiis liberis ad’ modum- venti
Uu fpiret.

[ 1338: T
dpiret. Ergo Fluidum omne quod motu” progreflivo accelefato ann 8 cujus'partesinter fe quiefcunt;‘ folida quzcungue Euf-|| dem denfitatis inclufa, que fubinitio quiefcebant, rapit fecum, 8&|| una moveri cogit.- Q.E.D. A ES EUER; 4nProp XL Prob; Xu. ogei 1 ag TSG| Invenire refiftentiam folidorum Sphericornim in Mediis Fluidiffi-, mis denfitate datis.;| 7 Ze
„In Flutdo quocunque dato inveniatur refiftentia ultima folidi | dpecie dati, cujus magnitudo ininfinitum augetur.“Dein die: üt N | ‚ejüs mötus amiffus, quo tempore progrediendo‘ longitudinem fe-| k midiametri fuz deferibit, eft ad’ejus motum' totum fub initio, ita | motus quem folidum‘ quodvis. datum;in Fluido eodem” Jam facto |{ubtililimo, deferibendo diametri fux longitudinem“amitteret,
eft ad ejus motum totum fub initio quamproxime. Nam fi par| ticule minimz Fluidi fübeiliati eandem-habeant'pftoportionem eun' |
4
demque firum ad{olidum datum in‘ co movens, quem particulx totidem minimzFluidi non fübtiliatt habent ad folidum audum; fintque particule-Floidi dtriufgs fumme lubticz, 8 virbus cehtrifugis centripetiique omnino deftituantur‘; inciplant autem folida temporibus: quibufeunque“ proportionalibus in his‘ Fliidis fMiliter Moveri 1“ pergent ecadem fimiliter möveri,"adeoque quo tempore; defcribunt Tpatia femidiametris Auis’ 2qualiä; ainietent ‚partesmotuum’proportionales tötis; 1dque‘Hicet‘ partes Medi {ubtiliati minuantur,:& magnitudo folidi in Medio non{ubtiliato moventis augeatür In infinicum.> ‚Ergo ex’ refiftentia folidi 4ueh in Medio nor fübtiliato,dabitur per proportichem füperiotem refiftentia folidi non antti in’ Medio fabtikato: 2. EL 0 St particuke non{unt fumme'lubrice, fupponendum ef quod in utroq; Fluido funt xqualiter lubrice, eo’ut ex’defedu Jubricitatis refiftentia utring; zqualiter augeatur:+& Pröpofitio etam-. num valebit:(CHE HEE a GE; RE Corol, 5.

a
A
A A a
=(323
„Corolı z% Ergo fi ex audta folidi Spherici magnitudinevaugeatur ejus.refiftentia in ratione duplicata 5: refiftentia folidi Spharict dati ex diminuta” magnitudine: particularum Fluidi, nullatenus minuetur. ı Ho! CD af
+ Corol.. A. Sinrelißtentiaaäugendo folidum Sphaericum,raugeas tur;in minore quam duplicata ratione-diametri:: eadem' diminu< endo particulas Fluidi,diminuetur in ratione qua refiftentia aucta deficit a ratione duplicata diametri, jo mi ano „aGorol.‘ 3: Minde peifpicuum eft quod-folidi dati refiftentia per divifionem: partium Fluidi non multum diminui!poteft. Nam’ re‚fiftentia folidi audti'debebit elle quam proxime ut quantitas mas
terig fuidze refiftentis, quam folidum: illudmovendö protrudit& alocis a fe invafis& occupatis propellit: hoc‘ eft ut dpatium Cys lindricum per quod foliıdum movetur; adeoque in, duplicata ratione. femidiametri folidi quamproxime. Sr Bib=> mama B ‚ Corol.‘4. Tgitur propofitis duobus Fluidis,‘ quorum alterumab altero,quoad. vim refiftenidi Jongiflime fuperatur.: Fluidum quod minus refiftit eft.altero.rarius; duntque Fluidorum:omnium vires refiftendi'prope ut. corum denfitates‘;! prafertim fi folida int magna;& velociter-moveantur;& Fluiderum zqualis{it compreffo. 8; Sn ts dig ns Do(Scholinim< Generale: 0 „4; Quz ha&enus demonftrata funt tentavi in'hunc modum. Globum ligneum ‚pondere unciarum| Romanarum. 57 52 diametro digitorum. Lordinenfinm 6% fabricatum;-filo; tenur ab unco fatisfirmo{ufperidi; ita ut interuncum&centrum ofcillationis. Globi-diftantia-effet pedüm x65.«In ‚filopund&um notavı pedibus decem:&: uncia‘ ‚una a‘ Centro fufpenfionis diftans;- 8 e’regione; pundti illiüs collocavirRegülam in: digitos' diftindamy\quorum. ope notarem longitudines arcuum- a Pendulo’ defcriptas. De« inde numerävi ofcillationes'quibus Globus quartam motus{ui par“ tem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad diI 1 RE Az HR anti

. L340] ftantiam duorum digitorum, ‚8 inde demittebatur; ita ut toto füo defceniü deferiberet arcum duorum digitorum, totaque ofz cillatione prima, ex defceniüu& alcenfü fubfequente compofita; arcum digitorum fere quatuor.: idem ofcillationibus ı64 amifit octavam motus{ui partem,{ic ut ultimo(uo afeenfu deferiberet arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti.. Si primo defcenfü"deferipfie arcum digitorum quatuor, amifit'odtavam motus partem ofcillationibus 121; ita ut aften(u ultimo deferibaret arcum digitorum 3%. Si primo defcenfu deferipfit arcum digitorum o&to, fexdecim;: triginta duorum vel fexaginta quatuor, amilit ocdtavam motus'partem ofcillationibus 69, 35%, 184, 53 refpective. Igitur differentia inter arcus defcenfu primo& afz cenfü ultimo deferiptos, erat in cafa‘ primo, fecundo, tertio, ‚quarto, quinto, fexto, digitorum+; 4, 1, 2, 4, 8 refpe&ive, Dive © dantur ex differentiz per numerum ofeillationum in"cafü unoquoque;& in ofcillatione una mediocri, qua arcus digitorum 34 74 15» 30, 60, 120 deferiptus fuit, differentia arcuum defcenfü& fubfequente afcenfü defcriptorum,erit 7%, 5, Al AH partes digiti refpeCtive.) Hz autem in‘ majoribus ofcillationibus {funt in. duplicata ratione arcuum deferiptorum quam proxime; in minoribus vero patılo majores quam in ea ratione,& propterea (per Corol. 2, Prop. xxxi. Libri hujus) refiftentia Globi, ubi celerius movetur, eft in duplicata ratione velocitatis quamproxime; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione: omnino ut in Corollarıis Propofitionis xxxi1. demonftratum eft.
Defignet Jam velocitatem maximam in ofcillatione quavis, fintque"A, B, C quantitates dat,& fingamus quod differentia arcuum fit 4V+BV++CV*. Et cum velocitates maximz in preedißtis fex Cafibus,fint ut arcuum dimidiorum 1%, 34; 74, 1536,69 chordz; atque adeo ut arcus ipfi quamproxime, hoc'eft ut ntmern 41, 2, 4, 8,16: feribamusin Cafu fecundo quarto& fextö numeros’ 1, 4,& 16 pro V;& prodibit arcuum differentia+
zqualis 4-4 B+Cin Caft fecundo;& 2. zqualis 44+88+16C
310]

in cafı quarto;& Fe xqualis 16 A+64B+256C in cafıı fexto, Unde fi per has. zquationes ,determinemus„quantitates 4, B, Cs habebimüs Regulam inveniendi differentiam arcuum pro velocitate quacunque data.
Czterum cum velocitates maximz{int in Cycloide ut arcus ofeillando: deferipti, in circulo verorut femiflium arcuum illorum
chordee, adeoque paribus arcubus majores fint in‘Cycloide quam in circulo, in ratione femiflium arcuum ad'eorundem chordaszstempora autem in circulo{int ‚majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reciproca: ut ex refiftentia in circulo. inveniatur refilten» tia in Trochoide, debebit refiftentiaaugeri"in duplicata'circirer rationearcus ad chordam; ob velocitatem in ratione illa fimplici auftams;:& diminui in ratione chordz ad arcum; ob tempus( feu durationem refiftentiz qua arcuum: differentia predikta| genera* tür)'diminutum im eädem:ratione::id’eft( fi’ rationes conjungamus) debebit refiftentia augeri in ratione arcus ad chordam circiter.: Hxc ratio in. cafu fecundo eft 6283 ad/6279; in quarto 12565. ad 12533, in fexto2513% ad 24869, Er inde rTefiftentia 5 US il 6106283 150 728132 qLu201656 5 4P A 3& 0: evadunt N EIERN N S 8 N BrexG>. ideft in numeris decimalibus©, 0041355 0, 056486:& 0; 8363. Unde prodeunt xquationes 4+B+C=0xco4135" 44-4 8B-F16C= 0,.05648& 164464 B+256.C= 0,8363: Et,ex.his per debitam. terminorum collationem& redudtionem.Analyticam fit A= 0, cor2c97, B= 0, 6008955 8&: C="0, 00370298: Ef 1gltur differentia arcuum ut. 0; 0002097 V+ 0, 6:68955773 7 0; 6030298 V* 1, 8& propterea cum per: Corol.Propu xxx. refl> ftentia Globi in medio arcus ofcillando deferipti, ubi velocitas eftV, fit ad ipfius pondus ut A AV+3 By%+43 CV” ad longirudinem:Penduli; fi pro14, B 8& C feribantur: numert inventi;, fiet refiftentia Globiad ejuspondus, ut 6,:061334 V+ 0,006623 FV* +0, 0-227235 V* ad longitudinem Penduli inter centrum{fufpenfionis& Regulam, id eft ad 121 digitos. Unde cum V in cafız:
\

[342] tia ad pondus Glöbi in cafu fecundo ut 02603029 ad 121, in quartohuteo? 04287 5pad 121, N Mexto Lo: 6301 3 adır210 U -Arcus quem-punctum in filo’hotatum in: Caft fexto deferipfie!
erat 120— 5 fen 179 3 digitorum. Et propterca cum radiusel. fet 1ö'1.digitorum; 8 longitudovpenduli inter: pun&umbfufpen: fionis& cehtrum: Globieflet:z26:digitorum; arcus quem centrum Globi-deferipfit erat 124% digitorum::.” Quoniam corporissofcilJantis velocitas mäxima. ob refiftentiam Aeris nominciditin: punz Cum infimumarcus deferipti; fediin!medio tere locorareus totius verfaturs h£c eadein:erit eirciter 3c-fi Globub defeenfwfüo: totö in Medio tion refiftente deferiberet Arcus:illius! partem-dimidiäm ‚digitorum 62! idque in Cycloidezadiquam moturh penduli{us Prareduximbsuq8e; propfeiearvelocitas. alla equalisserit velocitati
qua Globus;perpendiculäriten cadendo 8 cafurfuo: defctibendo altitudihemarcusilliusSinui verfo zqualem) acquirer&-poflet; El autem fihus jllöverfusin-Cycloide:ad arcum: iftum 622 ut-arcus idem/achpendulu löngitüdinem: duplam 252,„8 ‚pfopterea: xquaz ls digitis ng; 278, Quare velocitas eaäpfa eft quam torpuscadendo&:cafir(uo-4patıum ı 5,278 ‚digitorum defcribendo acquirere poffet..Undexum corpus.tempore minuti unıus fecundi cadens do) uti-per experimentaopendüldrum determinavitp Hagenins')
; döferibat”pedes Parifienfes 152,5 ic eft\ pedes WMnglicar 165 fe@ digitös' 297%, Boctempora fit in°dimidiata ratione: fpatiorum'5 Globus tempore-minut;)1 6tert. 38quart.-cXdendo deferibet hr 278 digitos;&welocitatem: fuam predißtam acquiret'; 8&pröptete® cum eademqvelbeitate“uniformiter scontimiata® deföfibet code tempöre Jongirudinen duplam 36,556: digitorumi| ÜTali igitur cum velö&krate Globus refiltentiam paritur, qua fit ad: ejüs pop? tur qu&eftintvelocitatisratione-dhplicata)'ut'6j Biss ad pa. 0 -\vE xperimentoautem Hydroftaticoinvehi quod pondus Globi

Ad“a ae
(
C 343 7 hujus lipnei/ ler ad) pondusGlobraqueimagnitudinisiejufdem,
tione,'erit refiftentia Globi aquei prafata cum velocitate progredientis ad ipfias pohdus ut 6, 58172 ad 2 1354) ideftu® ı ad 366}. Unde cum; pondus:Globi aqueizquotempore Globuseum velocitate uniformiter continuata deferibatlongitudinem pedum 30,556, velocitatem illam omnem in Globo cadente generare poflet; manifeftum eft quod_ vis refiftentige uniformiter continuata tollere poffet velöcitatem minoremin ratione ı'ad’366%“hoc eft velocitatis totius partem Ge„Et ‚propterea quo tempöre Globus,
ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem{emidia metri{uz(eu digitorum 3x deferibene pofet; codem Jatitteret motüs{ul partemmrzez'e3l oiay obnn6qa, 3„Membg5l Ka „Numeräbam;etiam, ofcıllationes>»quibus 3 pendulum: ‚quartam motus,(ui. partem amifit..- In fequente: ‚Tabula: mumeri fupremi denotant Jongitudinem arcus defcenfüu p ae in digitis 8% partibus digiti&xpreflam‘:“Hummer ı Zd fonificant don di nemarcusaifcenfu altimo. deferiptig 8 locomnfimo-Rantimumeni ofcillationum!.. Experimentum defcripfitanquan»magis acCurätum quam cum Motus: pars,tantum odava amitteretur, Calcülum fentetiqui voleteu} ybaoa DE 8a00ET 695 al„ea vom N Si 31 be ardobocot ANırro0ci.0 4 0056 ,0 Todenl takıp Defcenfus Primus 51a 0 a0 KOREST ER! lub
r $
3
*
1 Nur 1 Ofeillat. BE 162;(88) AM SEAT
Poftea Globum plumbeum, diametro:. digitörurh duorum& pondere„unciarum Romanarum 26%, Sufpendidfilo:„eodem; fie ut inter centrum:Globi!& punctum fufpentionis intervallum'effet pedum 204; 18, mumerabam ofeillationesquibus data motus‘ pars amitteretur,, Tabularum fubfequentium prior exhibet numerura + 2 ofcillatio

En[3441 ofeillationum quibus pars: odtava motüus.totius ceffavit; fecunda aumerum ofcillationum quibus:ejufdem pars quarta amifla fuit.
; ı Defeenfus primus KÜ 4 8.16 32 64 59 EAfbenfus ultimas 30 0E 3 UT 14 28756 A Nümerus Ofillat: 226 228 193 140 99% 5330
GE As Defeenfas primus. T 2 4. 8 16.32 64
im Alcenfüs ultimus x 1% 3 6; 32 24 48 — Numerus Ofeillat. 510 518 420 318 204 121‘70
En Tabula priore-feligendo ex obfervationibus tertiam, quintam& feptimam,& exponendo. velocitates maximas in his ob+ Fervationıbus particulatim per hümeros 1, 4, 16 refpedtive,& geeraliter' per quantitatem'/ ut fupra: emerget in oblervatione
prima—— 44+B-+C, in fecunda= 44.488+ 16C,
änıtertia 35 xqlı 1644 64 BE 2566. Quz zquationes per reduCkunes fuperius expofitas dant, A= 6, 60115, B== 0, 005247 & 0° 6,0009. Et inde prodit refiftentia Globi cum velocitate V moventis, in ea ratione ad pondus fuum undlarum 26%, quam' habet©, 0009231+ 0,0001 72V%+0,0c06757” ad Penduli longitudineni121 digitorum. Et{fi{pe&temus cam{olummodo refiftentiz partem quz cft in duplicata ratione velocitatis, hzc erit ad pondus Globi ut 9, coc675V*:ad z21 digitos, Erat autem hc pats refiftentfie in experimento primo ad pondus Globi Jignei unciarum 57% ut©, co227235V° ad 121;&indefit refiftentia Globi lignei ad’ refiftentiam Globi plumbei(paribus eorum-velocitatibus) ut 577 in o; co227235 ad 264 in 0, co:67%, id’'eftmet 130309 ad 17719 deu 7% ad 1. Diametri Glöborum duorum’erant 6+& 2 digitorum, 8 harum quadrata funt ad invicom ut 47% 804, eu 1177 8 1 quampföxime. Ergo refiftentie „E75- Globorum

5—
C 345 J Globorum zquivelociıum erant in minore ratione quam duplicata diametrorum: At nondum confideravimus refiftentiam fili, que certe permagna /erat, aC de pendulorum inventa refiftentid füubduci debet. Hanc accurate definire non potun fed majorem tamen inveni quam partem tertiam refiftentiz totius minoris pendüli, 8 inde didici quod refiftentig Globorum, dempta fili refi{tentia, ıfunt quamproxime in dimidiata ratione. diametrorum. Nam ratio 73—+ ad 1—3%, ideft 7ad; feu 10: ad ı, non longe abeft a diametrorum ratione duplicata 117% ad 1.
Cum refiftentia fili in Globis majoribus minoris fit momenti, tentavi etiam experimentum in Globo cujus diameter erat 197 digitorum.' Longitudo: penduli inter pun&um fufpenfionis& centrum ofeillationis erat digitorum 1224, inter pundtum fufpenfionis& nodum in filo 109% dig. Arcus primo penduli defcenfu a nodo deferiptus, 32 dig. arcus afcenfu ultimo poft ofcıllationes quinque ab eodem'nodo deferiptus, 28 dig. Summa arcuum feu arcus totus ofcillatione mediocri deferiptus, 30 dig./ Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars decima feu differentia inter defcenfum 8: afcenfum in ofcillatione mediocri+ dig. Ut radius 109% ad radium 122%, ita arcus totus 60 dig. ofcillatione mediocri a Nodo deferiptus;ad arcum totum 674%, ofcillatione mediocria centro Globi defcriptum:& ita differentia 3 ad differentiam novam 0,4475. Si longitudo penduli, manente longitudine arcus defcripti, augeretur in ratione 126 ad 122%, velocitas: ejus diminueretur in’ ra-tione illa dimidiata;& arcuum defcenfu 8 fübfequente afcenfiu deferiptorum differentia 0,4475 diminueretur in ratione velocitatis, adeoque evaderet‘ 0,4412. Deinde fi arcus deferiptus augeretur in ratione 673 ad 124%, differentia ifta 0,4412 augeretur in duplicata illa ratione, adeoque,evaderet 1,59. Hac ita fe haberent, ex hypothefi quod refiftentia Penduli eflet in duplicata ratione velocitatis. Ergo fi pendulum deferiberet arcum totum 124 digitorum,& longitudo ejus inter pun&um fulpent{ionis.& centrum o’cillationis eflet 126 digitorum, differentia arcuW w"um

[346] um’defcenfu& fubfequente-aftenfu deferiptorum foret 1, 59 dig. ‚Et hzc. differentia duda in pondus Globi penduli, quod erfat unciarum 208, producit 313; 7.- Rurlus ubi pendulum{uperius,ex Globo ligneo conftructum,. centro ofcillationis, quod a puncto(ufpenfionis digitos 126 diftabat, deferibebat arcum totum 124 digitorum, differentia arcuum defcenfu& afcentudeferiptorum füit 7 in 5 feu 5, que du&a in pondus Globi, quod f> 3
erat unclarum 57, producit 48, 55: Duxi.autem differentias hafce in pondera Globorum ut invenirem corum refiftentias. Nam differentig oriuntur ex refiftentiis, funtque ut refiftentiz diredte& pondera inverle.Sunt igitur refiltentiz ut numeri 313,9 & 48,55. Pars autem refiftentig Globi minoris, quz eft in duplicata ratione velocitatis, erat ad refiftentiam totam ut 0,5817: ad 63013, Id eft ut 44,4 ad 48,55;& pars refiltentiz Globi ‚majoris. propemodum xquatur ipfius refiftentig! toti, adeoque partes ille funt ut. 313,9& 44,4 quamproxime;, id eft ut 7507 ‚ad ı.. Suntautem Globorum-diametri 174 8& 6%;& harum quadrata 351%& 4777 funt. ut 7,38&- 1, id eftut Globorum refiftentie 7,07& 1. quamproxime.' Differentia rationum haud maJor eft quam quz ex fili refiltentia oriri potuit. Teitur refiftentiarum partes ille qua{unt((paribus Globis) ut quadrata velocitatum, funtetiam,(paribus, velocitatibus) ut quadrata diametrorum: Globorum;& propterea(‚per Corollaria Prop. XL. Libri hujus,)„refiftentia quam; Globi majores.& velociores in aere movendo f:ntiunt,.; haud mulcum per infinitam aeris divifionem& {ubetiliationem diminui poteft, proindeque Media omnia in qui‚bus. corpora mulro minus refiftuntur,-{unt aere rariora. Caterum Globorum, quibus ufus füm in his experimentis, „maximus.non erat perfedte Sphzricus,& propterea in calculo hicallato minutias quafdam brevitatis gratia neglexi; de calculo accurato In experimento non fatis accurato minime follicitus. Optarım itaque(cum demonftratio vacui ex his dependeat) utexpermenta

C 347] perimenta. cum ‚Globis 8& plüribus& majoribus& magis accuratis- tentatentuf;„Si Globi{umantur in_proportione Geometrica, puta‘ quorum' diametri fint"digitorum 4, 8, 16,32; ex progreflione experimentorum colligetur: quid in Globis adhuc mazoribus evenire debeat. hs». be 13 Jam vero.conferendo refiftentias diverforum fluidorum inter fe tehtavi fequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum quatuor, latirudine-& altıtudine pedis /unius. Hanc operculo nudatam implevi aqua‘ fontana, fecique‘ ut ‚immerfa pendula in medioaquz; ofeillando moverentur.> Globus autem plumbeus pondere 165% /unciarum; diametro 3} digitorum; /movebatur ut in Tabula fequente deferipfimus, exiftente videlicet longitudine penduli‘a; pun&o füfpenfionis ad pundtum quoddam in filo notatum r26 digitorum; ad ofcillationis autem'centrum 134% digitorum.)
Arcus defcenfw primo: a pundo in
N\; filo motato defcripkus digitorum. 1 42 z6; SE Arcus afsen[u ulrimo deftriptus di-} 3 En N 207 UM. YA MG AED Be 16
Arcuum differentia motni amiffo? proportionalis, digitorum, f Numerus ofcillationum in Aqua,>
° It vafm 5%) A d=9 — Im I R in nr AD
Numerus:ofcillationum 1% aere..+3 52 287 535
In experimento: columna, quartz, motus xquales ofcıllationibus 535 in aere, 8 13 in aqua amiflt{unt. Erant-autem ofcil» Jationes in aere'paulo celeriores quamıin' aqua, nimirum in ratione 44 ad 41. Nam 143 ofcillationes in aqua;& 13+ in acre fimul peragebantur. Et propterea fi ofcillationes in aqua in ca ratione accelerarentur ut motus pendulorum in. Medio utroque fierent xquiveloces, numerus ofcillationum 1} in aqua,'quibus motus’ idem ac prius amitteretur(‚obrrefiftentiam auctam in ratione illarduplicata& tempus diminutum in ratione cadem fimWw 2 plici‘)

C 348] plics): diminuetetur in eadem.illa ratione 44"ad 4r, adeo_ que ‚evaderet 13 in 4% feu+3„Paribus igitür Pendulorum velocitatibus motus xqualesiin aere ofcillationibus 5:35&in aqua ofcillationibus 4% amiffi funt;; ideoque refiftentia penduliin aqua eft ad ejus refiftentiam in aere ut 535 ad+3 ı Hzc eft-proportio refiftentiarum totarum in Cafu columnz quarte. Defignet Jam AV+CV* refiftentiam Globi inaere cum velocitate /, moventis,.-& cum velocitas maxima, in Cafu columnee;
quartz(it advelocitatem maximam in cafu columnz prima ut ı ad 8,& refiftentia: in Cafu columnz quartz ad refiftentiam in Cafu column prime in ratione arcuum differentig in’his cafibus, ad numeros ofcillationum applicatz, id eftut,—— ad RS, deu ut 85% ad 4280: feribamus in his Cafibus 1,8 8 pro velocitatibus,atque 85% 8& 4280 pro refiftentis,& fiet A+C==85% 8& 8 A-+64C=4280 feu A+8C=535, indeque per reductionem zquationum proveniet 7.C= 449% 8& C= 6414 8& A= 213; atqueadeorefiftentia ut 21V 64V" quamproxime. OQuare in Cafü“columnz'quartz ubi ‚velocitas erat 1, refiftentia tota eft ad partem füam quadrato ve
locitatis proportionalem, ut 21}+ 64,4% few8st4, ad. 6473&. idcirco refiftentia penduli in aqua eft ad refiftentig partem.illamin aere quz:quadrato velocitatis proportionalis'eft,“queque(ola"in motibus velocioribus confideranda venit, ut. 854 ad 6448-535 ad 5 conjundtim, id eft ut 637 ad 1. Si penduli in aqua ofeillantis filum totum fuiffetimmerfum, refiftentia ejusfuiflet adhuc major; adeo ut. penduliin aere ofcillantis refiftentia illa que ve locitatis quadrato'proportionalis eft, quzque fola in corporibus velocioribus confideranda venit,(it ad refiftentiamejufdem pendulitotius,eadem cum velocitate in aqua ofcillantis, ut‘800 vel 500 ad{!cireiter, ,hocıeft ut denfitas aquz ad. denfitatem'aeris:quamproxime.; In hoc calculo fumi quoque deberet pars-illa refiftentig:penduli in aqua, quz efler ut quadratum velocitatis, fed(quod:mi| rum
a a EN DI Aal A ma Far PN(2 3 A

rum: forte. videatur,). refiftentia In aqua, augebatur. in ratione veJocitatis plu(quam.duplicata..E)us rei caufam inveftigando, in hanc incidi,./quod: Arca nımis angufta eflet,,| pro: magnitudine Globi penduli, ‚& motum, aque.cedentis pr anguftia ua nimis impediebat. Nam{i.Globus: pendulus, cujusdiameter erat digiti ,unius,, immergeretur, refiftentig augebatur in duplicata rar tione velocitatis quamproxime.., Id. tentabam: conftrucndo:pendulum..ex Globis duobus,.quorum,, inferior& minor. ofcillaretur in aqua; fuperior 8 major;proxime(upra,aquam filo, affixus!ef> fet, 8&. in Aere ofcillando,; adjuvaret motum pendulieumque diuturniorem xredderet.,., Experimenta;/autem hoc modo inftituta fe habebant ut in Tabula fequente deferibitur.
bo}. N Si pi
00m *
Arcus defecnfu primo deferiptusın JE o80l Mo: dar Arcus. afcenfw ultimo deferiptüs® TMINOGED HS)
Vo Co wi SR. be ® N
In
"Arcunm diff. motui ami|Jo proportiohalis“4 2 X 6
Numerus. Ofeillationum. ea
"Die
Refiftentia hic, nunquam„augetur: in ratione. velocitatis plufquam duplicata., Etidem in pendulo majore evenire verilimileeft, {1 modo ‚Arca augeatur in, ratione ‚penduli,,, Debebit: tamen ‚refi— ftentiatamı in aere,quam in aqua, fi velocitas ‚per; gradus in infinitum augeatur, augeri tandem in ratione paulo plufquam' du-plicatas, propterea,quod.in experimentis.hic' defcriptis refiftentia minor eft quam pro, ratione de corporibus velociflimis in Libri hu-Jus, Prop. XXxxviz&, xxxviii.:, demonftrata..2 Nam corpora| longevelociilima{patium:a.tergo relinquent vacuum; ideoquereliftentia quam{entiunt in, partibus, przcedentibus, nullatenus. minue-tur ‚per preflionem Mediiin,partibus pofticis.)
Conferendo rel(iftentias Mediorum inter-fe, efleci etiam;ut,pen-dula ferrea ofcillarentur. in, argento vivo... ‚Longitudo- fili.ferrei‘ erat pedum quafi trium, ‚& diameter Globi penduli.quafi,tertia
Par S:

A Chen parsdieiei“ Ad’ filum aufem“ proxime fupras Mercurium' afixus Grat" Glöbusalius Plembeus fatismagnüs’2d'motum per dült Au tiüs Coritinuandum.? Tum Välculüm,‘quod capiebat quafi hbras tres ärgenti vivi;] implebamı vicibus' alternis argento Vivo& aqüd cömmuni; /ut”pendulo im Fluido ütrogue Yücceflive oleulahte‘ int VEniFEm PKOportiOKERN FEOTEHNAL AH 1 BE prOdiE ref AHrid AR genti Vivpdd Fee Aque u EIN AreiLEr N de ut’denfitas argenti vivi ad denfitatenP aquz?" Ubi Globunm pen? dulem‘Paulo majotem’adlhbebaämspütacujus diameter cfet gudlı x web3rparter diyiei prodibae refiftentia agent Vivi in ca” rationEAd refifentäm Aq ur Quant habet’nümerus 1? vel16 4d 1OCHELter, Sed experimentö'priöri nasis hdendumrelt;' proptereX quüod in his ultimis vas nimis anguftum fuit pro magnitudine Globi immerfi. Amphiato:GloBo,“deberet etiasr was ampliakiı” Confitucram quidem ‚hujeimoadi experimenta. in. Vafis.mayoribus:&- in liquoribus rum Metallorum füutorum, tum aliis quibuldam tam Calidis quam frigidis repetere: fed omnia experiri. non vacat,& €X’jatıi deferiptis fatıs lquet“Fefiltentiam corpötüm celeriter m6torum denfitati Fluidorum in quibus moventur proportionalem efle quaniproxime.” Non dico 4cthrate,| Näm Flüida tehaciora par? denfitäte proculdiibio‘ magis refiftunt' quam Liquidiora, ut oleum? Trigidum quam' calidum, cal dum quam aqua pluvialis, au quam Spicitüs Vin Verum in liquoribis‘qui ad fenfum fatis-Muidi Tune) ut’ in Aere,"in aqua fen dulci feu fall, in Spirieibus vini,"Terebinthi&Salium, in Oleo a foecibus per deftillas tionen Jiberato‘ 82 calefattö, Olcoque Vitrioli& Mercurio, ae Metallis Tiquefachs, Sc fiqui fat alız qui cam’ Fluidi funt ut’ in vafis agitati motum impreflum diutius Confervent, effufique 1 berrime in guttas decurrendo refolvantur, nullus dubito quin regula allata fatis accurate 6btineat: prafertim fi experimenta in gorporibus pendulis Sc majoribus 8 velocius motis infhtuantur..
'"Quare eu Globus aqueus in’aere niovendo refiftentiam patiattır qua motus{ui parts 57, interea düm longirudinem femidi; ametri,

ametri{ug deferibat(ut-jJam ante oftenfum. eft). tollatur,. fit que denliitas aeris ad denfitatem aquz ut 8C0 vel 859.ad ı.circiter, confequens teft ut hac Regula generaliter obtineat... S1 corpus quodlibet Sphericum in Medio quocunque fatis,Fluido movecatur, &{pedetur reliftentix pars illa tola, que eft.in duplicata, ratione velocitatis, hzc pars crit ad vim,quz totum corporis; motum, INterca dum.corpus idem: longirudinem duarum ‚ipfius{emidiame*+ trorum motu ıllo unitormiter. continuato. dedcribat,vel. tollere.poffet vel eundem generare, ‚ut denfitas Medii.ad denfitatem corporis quamproxime. Ipitur refiltentia quafi triplo major, eft quam pro. lege in: Corollarıo primo Propofitionis xxx vin.‚allata 3.8& propterea partes quali duz tertie Motus illius omnis quem Globi partes antice movendo imprimunt. in Medium, reftituuntur In Globi.partes pofticasa Medio in orbem. redeunte, ‚inque{patium irruente quod Globus. alias vacuum poft-fe relinqueret, Unde:fi velocitas'Globı eoulque augeatur ut Medium non poflet adeo.celeriter in fpatium illud irruere, quin aliquid vacui a tergo Globi femper relinquarur,. refiftentia tandem evader quali triplo major quam pro Regula generali noviffime polira. a—_Hactenus experimentis ufi fumus ofcıllantium pendulorum, co quöd corum mötus facılıus& accuratius obflervarı&. menfurarı poflint.. Motus autem pendulorum in gyrum actorum& in orbem redeundo circulos! defcribentium, ‚propterea quod(int uniformes& eo nomine ad inveftigandam refiftentiam datz: velocitati competentem longe aptiores videantur, m confilium etiam adhibui Faciendo enim ut pendulum circulariter latum duodecies revolveretur, ‚notavi magnitudines circulorum duorum, quos prima& ultima revolutione deferipfit.‘ Et inde collegi velocitates corporis fub initio& fine. Tum dicendo quod corpus, velocitate mediocri deferibendo cireulos. duodecim' mediocres,amitteret velocitatum illarum. differentiam,, collegi refiftentiam qua'diffe‚rentia ılla eco omni corporis per circulos duodecim itinere amitti poffet; 8 refiftentia inventa, quangquam hujus generis experimenta

: E 352] imenta minus accurate tentare DE probe tamen cum precedentibus congrüchat.- Y
Denique Cum receptiflima Philoföploruti xtatis’ hujus opinio {it, Medium quoddam'gthereum 8 longe fubtiliflimum extare; quöd omnes omnium corporum poros& meatus liberrime per meet 3 a’ tali autem Medio per corporum poros fluente refiftentia orirı debeat:/ ut’ tentarem an’refiftentia, quam in motis corporibus experimuf, tota fit in eorum externa fuperficie, an vero Partes etiam intern in füperfictebus propriäis reliftentiam notabilem fehdahnt, excöpitaVi experimentum tale. Filo'pedum undecım Jongitudinis, ab unco chälybeo fatis firmo; mediante anıtulo Chalybeo, fufpendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad confltitucendum pendulum longitüdinis praedidte, Uncus(urlum prxacutus'erdt acie Concava; ut annulüs arcu fuo{uperiore aciei 1MnIXus 1Tiberrime moveretur.”"Arcui dutem inferior anne&ebatur filum. Pertdulum ita conftitutum deducebama perpendiculo ad diftantiam'quafi pedüm fex, idque fecundum plantım aciei unci perpendiculare, ne anntlus, oftillante Pendulo; fupra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam pund&um(ulpenfi ons in quo annulus üncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demit fo nötaba ala tria loca ad quz redibat in fine ofcillationis primM, echndz 46 tertie. Hoc repetebam fxpies, ut loca illa"m "potüi accuratifime' invenirem. Tum pyxidem'plumbo 8 gr vioribus,'qu@&"ad manus efant, metallis implebam. Sed-—_ ponder Abt pyxidem vacuam, una Cum parte fili quz Circum pyxidem:volvebatur ac dimidio partis reliquz quz inter üncum& Pyxidem pendülam tendebatur.( Nam’ filum tenfum dimidie ponderis für pendulum a perpendiculo digreflum Aemper urget.‘) Hüic' pönderv’addebam pondus aeris quam pyxis capiebat. Et ‘pondus’totum erat quali parsfepruageli ma’oßtava pyxidis metallorum plenz. Tum'quoniam pyxis Metallorum plena, pondere {uo tendendo filum, augebat longitudinem penduli, contrahebam Ss

. C 353 J.
bam filum, ut, penduli_jam ofcillantis;eadem eflet longitudo ac prius. Dein ‚pendulo ‚ad;locum primo, notatum,.diliradto, ac dimiffo,. numerabam ofciliationes, quali fepruaginta, 8. feptem, donec pyxis ad locum fecundo notatum rediret, totidemque{ubinde donec. pyxis ad Jocum terrio, notatum rediret,atque rurfus, totidem. donec:pyxis, redimt fuo attingeret locumıquartum.. Unde concludo quod refiftentia tota pyxidis;plena mon. majorem habe: bat proportionem ad; re(iftentiam, pyxidis vacıx quam a5 ad 77 Nam fixquales eflent anıbarum reflientie,„pyxis, plena. ‚ob.:vim {uam infitam feptuagies& oCkies majorem vi Inlita, pyXidis Vas cut; ‚morum fürm,-ofcillatoriun tanto,diucius conferyare deberet, atque adeo completis femper ofcillationibus 7% ad ‚Joga ılla notas ta redire.. Redutautem ad eadem-completis ofcillationibus 77,
« Defignet igitur..4, refiftentiam pyxidis,in ipiıfius,{nperficie, exz terna,& B refiftentiam. pyxidis vacuz in,,‚partibus internis 5 Sc refiftentig corporum zquivelocıum in partibus internis(int üt materia, feu numerus particularum quz refiftuntur: erit 78 5 refiftentia pyxidis plenz in ipfius’partibus internis: adeoque pyxidis vacuz refiftentia tota 4-+ B erit ad pyxidis plenz refiftentiam totam 4+78 B ut 77.ad 78, 1& divilim A-:B ad 77 But 77, ad ı, indeque A4+B ad But 77x77 ad ı,& divifim A’ad 5 ut 5928 ad ı. FEft igitur refiftentia pyxidis; vacuz in partibus internis quinquies millies minor quam ejufdem refiftentia in externa fuperficie,| 8 amplius... Sic difputamus. ex hypothefi quod major illa refiftentia pyxidis plenz.oriatur ab adtione Fluidi. alicujus fübtilis.in Metallum inclu(um, At caufam Jonge aliamefle opinor. Nam tempora ofcillationum pyxidis plenz minora funt quam tempora. efcillarionum py*idis vacux, 82, propterea:refir {tentia pyxidis plehz in externa{uperficie major eft,pro-ipfius velocitate& Jongitudine(patii olcıllando deferipti,quam ca pyxidis vacue. 4 Quod cum ıta fit, refiftentia pyxıdum in partibus internis aut nulla erit aut plane infen/ibilis.
4
.; Xx; Hoc

®
E 354 J
Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua illud aliquando deferipferam, intercidit. Unde fractas quafdam numerorum partes, quz memoria exciderunt, omittere compulfüs fum. Nam omnia'denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco infirmo ufus effem, pyxis plena citius retardabatur. Caufam querendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis,& ejus ofcillationibus obfequendo in partes omnes fledtebatur. Parabam igitur uncum firmum, ut pundtum, fufpenfionis iImmotum maneret,& tunc omnia ita evenerunt uti fupra defcripfimus.;
Eadem methodo qua invenimus refiftentiam corporum Sphezricorum in Aqua&argento vivo, inveniri poteft reliftentia corporum figurarum aliarum;& fic Navium figurz varie in Typis exiguis conftructe inter-fe conferri, ut quznam ad navigandum aptillimez fint,(umptibus parvis tentetür.|
S*RUCTH ee VIE De Motn per Fluida propagato, Prop. XLI. Theor. XXXT.
. Prefflzo non propagatur per Fluidum fecundum lineas retas, nifı ubi particnle Fluidi in dire&tum jacent,; Si Jaceant particule a, b,c, d, e in linea reca, poteft quidem
preflio diredte propagari ab 4 ade; at) particula e‘urgebit particulas oblique pofiras f8& g oblique,& particule ille f& g non{uftinebunt preffionem illatam,nifi fulciantur‘ a particulis ulterioribus h& k; quatenus autem fulciuntur, premunt'particulas fülcientes;& hz non fuftinebunt prefionem nifi fulciantur

; tur ab ulterioribus/& m» eafque premant,.& fic_deinceps ‚in infinitum. Preflio igitur, quam primum propagatur ad particulas quge non in dire&um Jjacent, divaricare incipiet& oblique.propagabitur in infinitum;_S poftquam incipit oblique propagari, 1i inciderit in particulas ulteriores, qux non In dire&um Jacent, 1tcrum divaricabit;,idque toties, quoties in particulas non accurate in dire&um jacentes inciderit. 0. E.D. Corol.. Si preflionis a dato puncto per Fluidum propagatz pars aliqua obftaculo intercipiatur, pars reliqua quz non intercipitur divaricabit in fpafia pone obftaculum..| Id quod fic’etiam
S Z ZZ Z ZZ. nr Y DAN DO AK 2 ZZ, ZZ ZZ= U. ZZ ZZ ZZ A A223? AZ AZ DE RR ZZT SS ZZ ZZ EZ SS T SS SEE . SS EST SS N
wW un
demonftrari poteft. A pundo A propagetur preflio quaquaverfum, idque fi fieri poteft fecundum lineas rectas,& obftaculo NBCK perforato in BC, intercipiatur ca omnis, przter partem Coniformem AP Q ‚quz per foramen circulare BC tranfıt.
Planis tranfverfis de, fg, hi diftinguatur conus 4 P Q in frufta
Xx2&

ka E36% 8 interea. dum‘ conus A'B C,"preffionem propapgando, urget fruftum conicum ulterius de’g fin fuperficie de,& hoc frußum urget fruftum proximum fg z h in fuperficie fg,& fruftum illud’ urget fruftum tertium,& fic deinceps in, infinitum; manifeftum eft(per morus Legem tetrtiam) quod. fruftum primum de fg, reactione frufti(ecundi f g'h z, tantum urgebitur& pre» metur in füperficie, fg, quantum urget& premit fruftum iıllud fecundum. Fruftum igitur de g f inter Conum A de& frußftum Fh ig comprimitur utrinque,& propterga(per Corol. 6. Prop. XIX.) figuram{uam fervare nequit, nifi vi eadem comprimatur undique. Eodem igitur impetu quo premitur in{uperficiebus de, fg conabitur cedere ad latera df, eg; ibique( cum rigidum non fit, fed omnimodo Fluidum) excurret ac dilatabitur,.nili Flüidum ambiens adfit,«quo conatus ifte cohibeatur.- Proinde conatü.€xcurrendi. premet tam Fluidum ambiens ad latera d’f} eg quam fruftum fg bi eodem impetu; & propterea preflio non. minus. propagabicur a Jateribus d’f, e g in{patia NO, KL hinc inde,| quamı-propagatur a{uperficie fg va DD SE EUER“ CO Prop. XLIL|Theor, XXXIL Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a refto tramite in AZ ZZ Gy fpatia unmata. ZN:
Caf. x. Propagetur motus a pundo A per foramen BC, pergatque(fi fıeri poteit‘) in fpatio conico BC Q P, fecundum Iincas rechas divergentes a puncto C, Er ponamus primo quod motus ifte fir undartım in fuperficie ftagnantis aquez. Sintque d e, fg, hi, kl.&c. undarum fingularum partes altiflime, vallibus totidem: mtermediis ab invicem diftindte.‘ Igitur quoniam aqua in undarum Jugis altior eft quam in Fluidi partibus immotis LK, NO, defluet eadem de jugorum terminis e, 9,7, Z,&c.d, fh, k,&c. hinc inde verfus KL, 8& NO: 8 quoniam in undarum vallibus depreflior eft quam in Fluidi partibus immotis KL, NO; defluet % eadem

/ 3) eadem de partibus illis immotis in undarum valles. Defluxu priore undarum jJuga, pofveriore valles hinc inde dilatantur 8& propagantur verfus A L-& NO. Et quoriam motus undarum ab A verfus P Q fit per continuum defluxum Jugorum in valles proximos, adeoque celerior non ‚eft quam pro celerirate defcenfus;& defcenfus aquz hinc inde verfüs KL& NO ead-m velocitate‘ peragi debet; propagabitur dilatatio undarum| hinc inde verfus KL& NO, eadem velocitate qua'undz ipfx ab A verlus P 0_ recta progrediuntur. Proindeque{patium totum hinc inde verfüs KL& NO ab undis dilatatiıs rf gr, shis, tk It, vmnvo,&c occupabitur. Q. E.D. Hec ita fe habere quilibet in aqua ftagnante experiri poteft.! EEG
Caf. 2. Ponamus jam quod de, fg, hi, kl, mn defignent pulfus a pun&o A per Medium Elafticum fücceflive propagatos,
Mil ZZ ME DD
N a
/ 0
I
%
ZZ
Pulfus propagari concipe per fucceflivas condenfationes& rarefactiones Medi, fic ut pulfas cujulque pars denfiflima Sphericam
occupet‘

CL 358] occupet fuperficiem circa centrum A deferiptam,& inter pulfus fucceflivos xqualia intercedant intervalla. Defignent autemlinex de, fg, hi, kl,&c. denliflimas pulfaum partes per foramen BC propagatas. Et quoniam Medium ibi denfius eft quam in fpatiis hinc inde verfus KL& NO, dilatabit fefe tam verfus fpatia illa KL, NO utrinque(ita, quam verfüs pulfaum rariora intervalla; coq; pacto rarius femper evadens e regione intervallorum.ac denfiuse regione pulfuum,participabit corundem motum. Et quoniam pulfuum progreflivus-motus oritur a perpetua relaxatione partium denfiorum verfus antecedentia intervalla rariora;& pulfus cadem celeritate fefe in Medi partes quiefcentes ‚K L, NO hinc inde relaxare debent 5 pulfus illi eadem celeritate fefe dilatabunt undique in{patia immota KL, NO, qua propagantur dire&e a centro A; adeoque{patium totum K LO N occupabunt. 0. E.D. Hoc experimur in fonis, qui vel domo interpofita audiuntur, ve] in cubiculum per feneftram admiffi fefe in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non reflexi a parietibus oppofitis{ed a feneftra dire&e propagatl.
Caf. 3. Ponamus denique quod motus cujußunqgue generis propagetur ab 4 per foramen BC:& quoniam propagatio ifta non fit nifi quatenus partes Medii centro A propiores. urgent commoventque parttes ulteriores;& partes quz urgentur Fluide {ünt, ideoque recedunt quaquaverfum in regiones ubi minus preMuntur: recedent exdem verfus Medii partes omnes quiefcentes, tamlaterales KL& NO,‘quamanteriores P 0, coque pacto motus omnis, quam primum per foramen- BC tranfiit, dilatari in-_ Cipiet,& abinde tanquam a principio& centro in partes omnes dire&te propagarı. Q.E.D.
Prop. XL. Theor. XXXHIL
Corpis omize tremulunm in Medio Elaftico propagabit motum pülfuum undique in dircelupin Medio- zero non EJlaftico notum circularem excitabit, Cafı Tı

{.35J
Caf. 1. Nam partes corporis tremüli vicibus alternis eundo& redeundo, itu fuo urgebunt& propellent partes Medi fibi proximas,& urgendo compriment eafdem& condenfabunt; dein redieu fuo finent partes compreflas recedere& fefe expandere. Tg1tur partes Medii corpori tremulo proximz ibunt&- redibunt per vices, ad inftar partium corporis illius tremuli:& qua ratione partes corporis hujus agitabant hafce Medii partes, hz fimilibus tremoribus agitatz agitabunt partes fibi proximas, ezque{imiliter agitatg agitabunt ulteriores,&{ic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Medii partes prime eundoa condenfantur& redeundo relaxantur,fic partes reliquz quoties eunt condenfabuntur,& quoties redeunt fefe expandent. Et propterea non omnes ibunt&(imul redibunt( fic enim determinatas ab invicem diftantias{ervando non rareflerent& condenfarentur per vices) fed accedendo ad invicem ubi condenfantur,& recedendo ubi rare-. fiunt, alique earum ibunt dum aliz redeunt; idque vicibus alternis in infinitum. Partes autem euntes& eundo condenfatz, ob motum fuum progreflivum quo feriunt obftacula, funt pulfus; & propterea pullus fucceflivia corpore omni tremulo in directum propagabuntur; idque zqualibus circiter ab invicem diftantiis, ob zqualia temporis intervalla, quibus corpus tremoribus{uls fingulis{ingulos pulfus excitat. Q.E.D. Et quanquam corporis tremuli partes eant& redeant fecundum plagam aliquam certam & determinatam, tamen pulfus inde per Medium propagati fefe dilatabunt- ad Jlatera, per Propofitionem prxcedentem;& a corporeillo tremulo tanquam centrocommuni, fecundum fuperficies propeimodum Sphzricas& concentricas, undique propagabuntur. Cujus rei exemplum aliquod habemus in Undis,quz fidigito tremulo excitentur, non folum pergent hinc inde fecundum plagam motus digiti, fed, in modum circulorum concentricorunt, digitum ftatım cingent& undique propagabuntur. Nam gravitas undarum{upplet locum vis Elaftice.
Quod fi Medium non fit Elafticum: queniam ejus partes a corporis

L 360];
ports tremuli partibus vibratispreffz,condenfari nequeunt,. propagabitur motus in inftanti ad. partes ubı Medium. facillime CE dit, hoc eft.' ad. partes’ quas| corpus-tremulum alioqui vacırs as a tergo relinqueret. Idem eft cafus cum cafu corporis in Medio quocunque projeCi. ‚Medium cedendo projeChilibus; non recedit in infinıtum,{ed in circulum eundo pergit. ad{patia, que corpus relinquit a tergo./ Igitür quorties Corpus tremulum pergit in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circulum ad partes quz corpus relinquit,& quoties corpus regreditur ad locum. priorem;, Medium.inde repelletur& ad Jocum fuum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non fit firmum; {ed modis omnibus flexile,. fi tamen magnitudine datum mancat, quoniam tremofibus{uis nequit Medium ubivis urgere; quin alıbi eidem. fimul.cedat.;.effieiet-ut Medium, recedendo a: partibus ubi. premitur;, pergat femper in Orbem ad partes quz ‚eidem cedunt.:
Cordl.„Hallucinantur igitur qui ‚credunt agitationem ‚partium flımmz ad preflionem per Medium. ambiens. fecundum- lineas rectas propagandam: conducere... Debebit ejufmodi preffio non ab agitatione{ola partium flammz fed.a totius dilatatione derivarl
Prop. XLIV.. Theor. XXXIV.
Si Aqua in canalis eruribus erelis K L, MN wicibus alternis alcendat,&» defcendat; conftruatur autem Pendulun cnjus longitudo inter punckum fufpetfionis&» centrum ofcıllatzonis xquebir femiffz Jongitudinis aqua in Canali:. dico quod aqua afcendet&- defcendet iifdem temporibus quibus pendulun ofcrllatur.
Longitudinem aquz men{uro fecundum axes canalis& crurum, candem fumme horum axium xquando. Defignent 191tur 4.5, CD mediocrem altizudinem aqu2 In Crure utroque; 8 ubi aqua incrure KL, afcendir ad alriendinem E F; defcenderit aqua in, crure MN ad altirudiaem GH. Sit autem P Corpus
2 pendulum,

I) bt
ES A
[ 261
pendulum,/ P filum, 7 pund&um fufpenfionis, SPO_R Cyclois quam Pendulum deferibat, P ejus pund&um infimum, P Q arcus altitudini 4 E zqualis. Vis, qua motus aquez alternis vicibus
iv RR:) M
L N.
acceleratur& retardatur, eft exceffüs ponderis aquz in alterutro crure fupra pondusin altero, ideoque ubi aqua in crure KL afcendit ad EF,& in crure altero defcendit ad G H, vis illa eft pondus duplicatum aquz E AB F,& propterea eft ad pondus aquz totiusut AE feu PO ad VPfeuPR. Vis etiam, qua pondus_ P in loco quovis Q, acceleratur& retardatur in Cycloide, eft ad ejus pondus totum, ut ejus diftantia P Q a locoinfimo P, ad Cycloidis longitudinem PR. OQuare aquz& penduli, zqualia{patıa AE, P 0 deferibentium, vires motrices{unt ut pondera moyvenda; ideoque vires ille, fi aqua& pendulum in principio, xquali cum velacitate moveantur; pergent cadem temporibus xqualiter movere, efficientque ut motu reciproco fimul cant& redeant. Q.E.D.
Corol. x. Igitur aquz afcendentis 8& defcendentis, five motus intenfior fit five remillior, vices omnes{unt Hochronz.
Corol. 2. Si longitudo aquz totius in canalı fit pedum Parifienfinm 65, aqua tempore minuti unius fecundi defcendet,& tempore minuti alterius fecundi afcendet;& fic deinceps. vicibus alternis in infinitum.. Nam pendulum pedum 3. Jongitudinis, tempore minuti unius fecundi olcillatur,
YY Corol. 3,

C 362]
Corol. 3. Audtaautem vel diminuta longitudine aquz, auge
tur vel diminuitur tempus. reciprocationis in Jongitudinis ratione
dimidiata.) ii Ss Prop. XLV. Theor, XXXV, Undarum welocitas eft in dimidiata ratione latitudinum. Confequitur ex conftructione Propofitionis fequentis.
Prop. XLVI. Prob. XI.
Invenire wvelocitatem Undarumr,
Conftituatur Pendulum cujus longitudo inter punctum fulpenfionis& centrum ofcillationis zquetur latitudini Undarum:& quo. tempore pendulum illud ofcillationes fingulas peragit, eodem Undx progrediendo latitudinem(uam propemodum conficient..
Undarum latitudinem voco menfuram traniverfam quz vel valTibus imis vel{ummis culminibus interjacet. Defignet ABCDEF füperficiem aquz(ragnantis, undis fucceflivis alcendentem ac defcendentem, fintque A, C, E,&c, undarum culmina,&e BD; F.8c. valles intermedi. Et quoniam motus undarum fit per aquz fücceflivum afcenfum& defcenfum, fic ut ejus partes 4, C, E,&c. quz nunc infime{unt, mox fiant altiflime;& vis motrix; qua
partes altılfima defcendunt& infimg‘ alcendunt, eft pondus.
aquz elevatez; alternus ille afcenfus& defcenfüs analogus erit motui reciproco aquzx in canalı, eafdemque temporis leges obfervabit:& propterea(per Prop. XLIV) fi diftantiz inter undarum Toca‘altiflima.4,C, E,& infima B,D,F£quentur duplx penduli longitudini, partes altillime A,C, E tempore ofcillatiohis Uunius evadent infimx,& tempore ofcillationis alterius ‚denuo afcendent. Igitur inter tranfitum Undarum fingularum tempus'erit ofcillationum duarum; hoc eft Unda deferibet Jatirudinem(uam, quo. tempere pendulum illud bis efeillatur; {ed codem tempore pendulum, cujus Jongitudo quadrupla eft,
‚adeogtuie
A Ki

adeoque zquat undarum Jatitudinem, ofcillabitür{emel. 0.E.D. _ Corol. x. Igitur Undz,, que ‚pedes Parifienfes 3#s Jatz funt; tempore minuti unius- fecundi progrediendo ‚Jatitudinem:(uam conficient; adeoque tempore minuti.unius primi percurrent pedes 1834,& horz fpatio pedes 11000.quam proxime.
Corol. 2. Et. undarum majorum vel minorum velocitas augebitur vel dimiruetur in: dimidiata ratione lJatitudinis.
Hec ita fe habent ex Hypothefi quod partes.aquz recta afcendunt vel ref a defcendunt; fed afcentus& defcenfus‘ ille verius fit per circulum,. ideoque tempus hac Propofitione non nili quamproxime definitum, efle affirmo. A|
Prop. XLVII. Theor. XXXVI.
Palfunm in. Flnido Elaftico propagatorum velocitates funt. in ratione compofita ex dimidiata ratione wis Elaftica direSte&-dimidiata ratione denfitatis inverfe 5 fi modo Fluidi wis Elaftica ejufden condenfationi proportionalis effe fupponatur.;
Caf.. x. Si. Media fint homogenca,& pulfuum diftantie in his Mediis zquentur inter fe; fed motus in uno Medio intenfior fit: contra&iones& dilatationes partium analogarum; erunt; ut dem motus: Accurata quidem non eft hac proportio. Verum tamen nifi contradtiones& dilatationes{int valde intenfz,‘nen errabit fenfibiliter, ideoque pro Phyfice accurata haberi poteft. Sunt autem vires Elafticge motrices ut contractiones& dilatatiönes;& velocitates partium xqualium fimul genitz funt ut vires. Ideoque xquales 8 correfpondentes pulluum correfpondentium partes; 1tus 8 reditus fuos. per fpatia contractionibus& dilatationibus proportionalia, cum velocitatibus quz{unt ut fpatia, fimul peragent;& propterea pulfus, qui tempore itus& reditus unius latitudinem{uam progrediendo conficiunt,& in Joca pulfuum proxtme ‚prxcedentium femper fuccedunt, ob xqualitatem ‚diftantiarum, quali cum velocitate in Medio utroque progredientur.
a Yy2ı Caf. 2.

=
A
[364]
Caf. 2. Sin pulfuum diftantiz feu longitudines fint majores in uno Medio quam in altero; ponamus quod partes correipondentes(patia latitudinibus puliuum proportionalia fingulis vicibus eundo& redeundo deferibant:& xquales erunt earum contractiones 8 dilatationes. Ideoque fi Media(int homogenea, zquales erunt etiam vires-ille Elafticx motrices‘ quibus reciproco motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, eft ut pulfuum latitudo;& in eadem ratione eft{patium per quod fingulis vicibus eundo& redeundo moveri debent. Eftque tempus itus& reditus unius in ratione compofita ex ratione dimidiata materig& ratione dimidiata{patii, atque adeo ut{parium. Pulfus autem temporibus itus& reditus unius eundo latitudines fuas conficiunt, hoc'eft,{patia temporibus proportionalia per‚currunt;& propterea{unt zquiveloces,
Caf. 3. In Medis igitur denfitate&; vi elaftica paribus, pul{üs omnes funt xquiveloces.'Quod fi Medii vel denfitas vel vis Elaftica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis Elafticz, 8 materia movenda in ratione denfitatis augetür; tempus quo motus dem’ peragantur ac prius, augebitur in dimidiata ratione denfitatis, ac diminuetur in dimidiata ratione vis Elaftice, Et propterea velocitas pulfuum erit, in ratione compofita ex ratione die
midiata denfitatis Medir inverfe& ratione dimidiata vis Elafticx
dire&e. 9. E.D.| Prop. XLVIII.. Theor. XXXVIL
Pulfibus per Flnidum propagatis, fingule Fluidi particnle, motn reciproco breviffimoeuntes& redeuntes, accelerantur femper& re tardantur pro lege ofcillantis Penduli.) Defignent 4B, BC, CD,&c. pulfaum fucceflivorum xquales diftantias; ABC plagam motus pulfaum ab A verfus B propagati; ‚E; F; G punda tria Phyfica Medii quiefcentis, in recta AC ad zxquales ab ‚invicem diftantias fita; Ee; F f; Gg; fpatia
zqualia

C 365]
m|} xqualia perbrevia per que pundka illa, motü re-]
n- ciproco fingulis vibrationibus- eunt& ‚redeunt;; A IM
Us©, 7 loca quazvis intermedia eorundem. pun- AM
n-&orum;& EFFG lineolas Phylicas feu:Me-;
a, dii partes lineares pundhis illis interjectas,& fücoO-| ceilive tranflatas ‚in Jocaleo,-?y Beefz fg Ber
ft&x Ee zxqualis ducattr reßta PS... Bifecetur
dd_ eadem in 0) centroque O0& intervallo’0O P.deN- feribatur circulus SI Pz.. Per Rate)
li- hujus circumferentiam to- LT ao
n. tam cum partibus fuis expo- ft wi Dat mn
es natur tempus totum vibrati-| a AT bus proportionalibus 5 fic ut ann ee;
ıl- completo tempore quovis N c
is PH vel.P HSh, fi demitta- RR TE
Sc tur ad PS perpendiculum HL velhl,& capı- Zt
O- atur Ee xqualis PL vel PL, pundum Phyficum
N- E reperiatur in£, Hac lege pundum quodvis E
D- eundo ab E per&'ad'e, 8& inde' redeundo"per&>
A ad E üfdem accelerationis ac retardationis gra% dibus, vibrationes{ingulas peraget.cum ofcillante:
puncta Phyfica talı motu agitari debeant.. Fingamus iyıtur Medium tali motu a caufa quaPendulo.| Probandum eft‘quod fingula Medi|
| cunque cieri,& videamus quid inde fequatur. | In circumferentia PHSh capiantur xquales + arcus HI, IK vel hi, zk, cam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent xSS\ quales re E F; FG ad pulfuum, intervallum to& tum BC. Et demiffis perpendiculis IM, KN a| vel im, ku; quoniam pundta E,F,G motibus ä{imilibus{ucceflive agitantur, fiPHvel PHSk m/ 1 ia fie tempus ab initio motus pundti E, ertt PI M MI | vel MAN

C 366] veLP HS? tempusab initio motus"punk F, 8 ll PK vel PHSh tempas ab initio motus punchi A G;8c propterea E4 Fe; G4)eruntipfisPL,P M; PN in itu pundorumy vel ipfisıP'x, P my PJ in. pundtorum reditu,. xqualesrefpe@ive. Unde;> in itu pundtorum xqualis erit’E G> L.Nyin re- E36 ditu autem zquali EG4[x"Sedizuu latitudo 1: eft(eu expanfio partis Medi EG in locoe5 8 propterea expanfio partis illius in itu, eft ad eJus expanfionem mediocrem ut EG— LNad’EGs in reditu autem ut EG+7% few EGeELN adıdase ‚EG. QOwuare cum fit L N ad K H ut IM ad ta I f dium OP,& EG ad BC ut HK ad’ circumfe-| I rentiam P’HShP,&vicıflim EG ad H K'ut BO! ad circumferentiam PHShP;id eft(fi Circum—} OP OP,& ex£ quo LNad EG ut IM ad N Ent, expanfio. partis E Gain locoe 4. ad expänfiohnem
mediocrem quamhabet inloco{uo primo EG, ut
OL TB je utqu ‚OP x BC
+ im ad A in reditüs den Ex BC I dicatur V, erit expanfio partis E G,pundtive Phy. 1ici F; ad ejus expanlionem mediocrem inatu, ut... V—IMadV, inredituut VA 4m ad V3 8 ejuf-. dem vis elaftica ad vim{uam elafticam medio-; m irn, Ut„7 ade N 2 bam ad Et codem argumento. vires Elafticge pundorum.
WE aa VL On WE m a za m EEE an a Ve SEE
1
EP
ferentia dicatur Z) ut
/\
Oi 6 E
DR Wk pi(Wir Caie 165 alnd* Pr EM NY malen 1 Hay 1m A fr| U“Ba an be
nsammEE———= u
u
Phylcorum E&G in u, funt ut LS| VIREN ad Pi& virium differentia ad a V|

L 367 y
vim elafticam mediocrem, Ur an
FTEFSHLESFSKNAHESKN adır 7 Hoc_eft(G ob-brevitatem pulluum-fupponamus HK. 8 K N indefinite minores efle quantitate V) ut AR En N CL five ut HL—K N-ad F.... Quare,cum quantitas V detur, die rentia virium eft ut HL—K N, hoc eßt(ob prapereionale#7 HL—ANad HK,&OMad OS wel OP, datalque HK& OP)ut OM; ideft ‚GFFf bie. cetur in Q UtQ Et.codem argumentd.dif. ferentia virilum Elafticarum pundorum Phy_«1; ficorum&„, in-reditu Jineole Phylicz ey - eft ut go. Sed-differentia illa(id eft exceflus wis Elafticee Punch. ‚Aupra vim elafticam punCi zz.) eft vis qua, interjedta Medi, lineola Phyfica,£ y acceleratur; 8& propterea, vis, aCcceleratrix lineolg Phylice£ y'eft ut ipfius diftantia a Medio wis brationis.loco g. Preinde:tempus;(per Prop- XXXWVIM Lib.L.) recte, exponitur ‚per arcum, PT;& Medii pars linearis€ v lege praicripta movetür, id eft lege oRalantis Penduli: eftque.par rato parıium omnium lincarium ex quihns Medium totum componitur.‘ Q.E..D;
Corol. Hinc patet quod numerus pulfaum propagatorum idem fit cum numero vibrationum corporis tremuli,:neque multipli‚cCatur in ecorum progreffu. Nanmı lincola Phylica«>, quamprimum ad locum fuum primum, redierit, ‚quielcet; neque deinceps movebitur, nifi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab. impetu pulfuum qui. a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiefcet igitur qm prinum pulfus a Spipare tremnla propagari definunt.
Puıtis Medi denfitäte&» vi Elaßica, Znwvenire velocitatem pulfunne. Fingamus Medium ab incumbente pondere,pro more AerisnoeQt

C 368]
{tri comprimi, fitque 4 slitude Medii homogenei, cujus pondus adzequet pondus incumbens,& cujyus denfitas eadem fit cum denfitate Medii comprefli, in quo pulfus propagantur, Conftitu autem intelligatur Pendulum, cuyus lonyitudo inter. pun&um fufpenfionis& centrum ofcillationis fit A:& quo tempore ‚pendulum illud ofeillationem integram ex-itu& reditu compo(itam peragit,codem’ pulfus eundo conficiet‘ fpatium circumferentiz circuli radio 4 defcripti xquale.
Nam ftantibus que in Propofitione fuperiore conftrucka funt, fi linea quzvis Phylica,E F{ingulis vibrationıbus deferibendo fpatium PS; urgeatur in extremis itus& reditus cujüfque locis P 8 S, avi laltica que ipfius ponderi zquetur> peraget hzc vibratönes fingulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter tota.Jongitudini PS zqualis eft, ofcillari poffet- 1d adeo quia vires zqualesxqualia corpufeula’per zqualia fpatia(imul impellent. Quare cum ofcillationum tempora fint ın dimidiata ratione longitudinis pendulorum,& longitudo penduli zquetur dimidio arcul Cycloidis totius 3 foret tempus vibrationis unius ad tempus ofeillationis Penduli cuyus longitudo eft A, in’dimidiata ratione Jongitudinis£ PS feu.PO ad Jongitudinem A. Sed vis Elaftica qua vlineola Phyfica EG‚,in locis füis extremis P, S exiftens ‚urgetur, crat(mn demenfiratione Propofitionis(pero) N eJus vim totam Elafticam ut HL—KNad V, hoc eft(cum pundum K Jam incidat’ in PP.) ut HKad’V: 8 vis illa tota, hoc eft pondus incumbens, qua lineola’E G comprimitur, eft ad pondus lincolz ut ponde ris incumbentis altitudo 4 ad lincole longitudinem EG; adeoque ex xquo, vis qua lincola EG in locis-fuis P&$ ‚urgetür, eft ad lineole'illius pondus ut HKxA ad VxEG. Quare cum tempora, quibus zqualia corpora per xqualia fpatia impelluntur, fint reciproce} in dimidiata ratione virium, erit temUS V be rioni unius urgente vi iNa‘Elaftica, ad’tempus vibrationis urgente vi ponderis, In dimidiata ratione /xEG ad HK x A, atque adeo’ad tempus ofcillationis Penduli cujus longitudo end, in dimidiata ratione VxEGad HK xA& P Oad A Com
id

EL 369 3 A 43. AN an° er}. POxBG id eft(cüm fuerie, in fuperiore Propofitione, 7 zqualis—— 4% EGEENH„PO MxBCxEG
& HK zqualis zz) in dimidiata ratione——— ad SER ze L eu PO qu.x BC qu. ad Z gu. x Aqu: hoc eft in ratione
P0xB CadZx A, feuBßC ad Ze. Sed tempore vibrationis unius ex itu& reditu compofitz, pulfus progrediendo conficit 1atitudinem fuam BC. Ergo tentpus quo pulfus percurrit fpatium
BC, eft ad tempus ofcillationis unius ex itu& reditu compolite, ut BC ad 202 id eft ut BC ad circumferentiam circuli cujus radius eft 4. Tempus autem, quo pulfus percurret{patium BC, eft ad tempus quo perclurret longitudinem huic circumferentig gqualem, in eadem ratione;. ideoque tempore talis ofcillationis pulfus percurret longitudinem huic circumferentige zqualem. A. ED.
Prop..L. Prob. XII.
Invenire pul/uum diftantias. Corporis, cujus tremore’pulfus excitantur, inveniatur numerus Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur fpatium quod pulfus eodem tempore percurrere poflit,&. pars inventa erit pulfus unius Jatitudo. 0, E. I,
Schol,
Spectant Propofitiones noviflime ad motum Lucis& Sonorum. Lux enim cum propagetur{ecundum lineas rectas, in actione fola (per Prop. XLI.& XLII.) confiftere nequit. Soni vero propterea quod. a corporibus tremulis oriantur, nıhil aliud funt quäm aeris pulfus propagati, per Prop. XLIIL.. Confirmatur id ex tremoribus ‚quos excitant in corporibus objectis,fi modö vehementes fint& gra2 ZZ ves,

E 370 1 ves, quales funt foni Tympanorum. Nam tremores celeriores& breviores difficilius excitantur, Sed& fonos quofvis, in chordas corporibus fonoris unifonas impactos, excitare tremores nötiflimum eft. Confirmatnr etiam ex velocitate fonorum.. ‚Nam cum pondera fpecifica Aque pluvialis& Argenti vivi fint ad invicem ut ı ad_ 133 Circiter,& ubi Mercurius in‘ Barometro altitudinem attingit digitorum Anglicorum 30, pondus fpecificum. Aeris& aquze pluvialis {int ad invicem ut ı ad.850 Circiter: erunt pondera{pecifica aeris & argenti vivi ut 1 ad 11617. Proinde cum altitudo argenti vivi fit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem.no-. {trum füubjectum comprimere poflet, erit 348500 digitorum feu pedum Anglicorum 29042. Eftque hzc altıtudo illa ipfa quam in conftructione fuperioris Problematis nominavimus 4. Circuli radio 29042 pedum dekripti circumferentia eft pedum 182476. Et cum Pendulum digitos 3 9% longum, ofcillationemvex itu.& reditu compofitam, tempore minutorum duorum fecundorum, uti notum eft, abfolvat; pendulum pedes 29042, feu digitos 348500, longum, ofcillationem confimilem tempore minutorum fecundorum 188; abfolvere debebit. Eo igiturtempore fonus progrediendo conficiet pedes ı 82476, adeoquetempore minuti unius'fecundi pedes 968. Scribit Merfennus, in Baliftice füge Prop, XXXV. fe fadis experimentis inveniffe quod fonus minutis: quinque fecundis hexapedas Gallicas ı150(1d eft pedes Gallicos'6906') percurrat, Unde cum pes Gallıcus fit ad Anglicum ut 1068 ad 1000, debebit foAus tempore minuti unius fecundi pedes Augkicos 1474 conficere. Scribit etiam idem Merfennus Robervallum Geometram clariflimum in Obfidione Theodonis oblervalle tormentorum fragorem. exaudizum efle poft ı3 vel 14 ab igne vifo minuta fecunda,cim tamen vix dimidiam Leucam ab illis Tormentis abfuerit.. Continet Leuca Gallica hexapedas 2500, adeoque fonus tempore 1.3 vel 14 fecundorum, ex. Obfervatione Robervalli, confecit pedes Parifienfes 7500, ac tempore minuti unius fecundi pedes Parifienfes 560, Anglicos E\ verö

E 371] verö 600 circiter. Multum differunt ha Obfervationes ab invicem, & computus nofter medium locum tenet. In porticu Collegii noftri pedes 208 longa, fonus in termino alterutro excitatus quaterno recurfu Echo quadruplicem efhicit. Factis autem experimentis inven! quod fingulis foni recurfibus pendulum quafi(ex vel feptem digitorum longitudinis ofcillabatur, ad priorem foni recurfum eundo& ad pofteriorem redeundo. Longitudinem penduli fatis accurate definire nequibam: fed longitudine quatuor digitorum, ofcillationes nimis celeres efle, ca novem digitorum nimis tardas judicabam. Unde fonus eundo& redeundo confecit pedes 416 minore tempore quäm pendulum digirorum novem,& majore quäm pendulum digitorum quatuor ofcillatur; id eft minore tempore quäm 28; minutorum tertiorum,& majore quäm 195;& propterea tempore m1nuti unius fecundi conficit pedes Anglicos plures quäm 866& pauciores quäm 1272, atque adeö velocior eft quäm pro Obfervatione Robervalli, ac tardior quäm pro Obfervatione Merfenni. Quinetiam accuratioribus poftea Obfervationibus definivi quod longitudo penduli major effe deberet quäm digitorum quinque cum femifle,& minor quäm digitorum oCto; adeoque quöd fonus tempore minuti unius fecundi confecit pedes Anglicos plures quäm 920& pauciores quäm 1085. Igitur motus fonorum, fecundum calculum Geometricum fuperius allatum, inter hos limites confiftens, quadrat cum Phenomenis, quatenus hactenus tentare licuit. Proinde chim motus ifte pendeat ab aeris totius denfitate, confequens eft quod foni non in motu.xtheris vel’aeris cujuldam fubtilioris, fed in aeris totius agitatione confiltar,
Refragari videntur experimenta quzedam de fono in vafıs aere vacuis propagato, fed vafa aere omni evacuarı vix poflunt;& ubi fatis evacuantur foni notabiliter imminui folent; Ex. gr. Si aeris totius pars tantüm centefima in vale maneat, debebit fonus effe centuplo ‚languidior, atque adeö non minus audiri quäm fi quis fonum eundem in aere lıbero excitatum audiendo, fubinde ad decuZ12 plam

ES plam diftantiam 2 corpore fonoro recederet,* Conferenda fünt igitur corpora duo zqualiter fonora,quorum alterum in vafe EVacuato, alterum in aere libero confiftat,& quorum diftantig ab auditore int in dimidiata ratione denfitatum aeris: 8 fi fonus corporis prioris non fuperat fonum pofterioris objed&tio ceffabie.
Cognita fonorum velocitate, innotefunt etiam intervalla"bulfuum. Scribit Merfennus(Lib. I. Harmonicorum Prop. IV.) fe (factis experimentis quibufldam que ibidem deferibit) invenifle quod nervus tenfüs vicıbus 104 recurtit{patio minuti unius fecundi, quando facit Unifonum cum organica Fiftula quadrupedali aperta vel bipedali obturata, quam vocant Organarii C fa ut. Sunt igitur pulfus 104 in fpatio pedum 968 ‚quos fonus tempore minuti fecundi deferibit:'adeoque pulfus unus occupat{patium pedum 9* circiter; id eft duplam circiter longitudinem fiftulx, Unde verifimile eft quöd latitudines pulfuum, in omnium apertärum fitularum fonis, zquentur duplis longitudinibus filtularum.
Porrö cur Soni ceflante motu corporis fonort fatim ceflant, neque diutiüus audiuntur ubi longiflime diftamus& corporibus{onoris,
uam cum proxime abfumus, patet ex Corollario Propofitionis
| XLVIIL Libri hujus. Sed& cur foni in Tubis Stenterophonicis
valde augentur, ex allatis principiis manifeftum eft. Motus enim
| omnis reciprocus fingulis recurfibus A caufa generante augeri folet,
Motus autem in Tubis dilatationem fonorum impedientibus tar|| dils amittitur& fortius recurrit,& propterea ä motu novo{ingulis
| recurfıbus impreffo magis augetur. Et hzc funt praxcipua Phaenomena. Sonorum.
SECT.

SEC. vn
De motu Cireulari Fluidorum:.
Hypothefis.
Efiftentiam, que oritur ex: defe&u lubricitatis' partium Fluidi, A Cceteris parıbus, proportionalem effe velotitati, qua partes Fluidi
feparantur ab invicem.* Prop. LI. Theor. XXXVIL,
Si Cylindrus folidus infinite longus in fluido uniformi<> infinito circa axem pofitione datum uniformi cum motu revolvatur,& ab hujus imput{u[olo agatur Fluidum in Orbem, perfeveret autem fluidi pars unaquaque unıformiter in motw Wo; dico quod tempora«periodica partium fluidi funt, ut ipfarum dıflantie ab axe cylindri, 7
Sit AF L cylindrus uniformiter circa axem S in orbem actus,& circulis concentricas BGM, CHN, DIO, EK P,&c. diftinguatur fluidum in orbes cylindricos innumeros concentricos foli-|£ 5 1 ‘dos ejufdem craffitudinis. Et 444 quoniam homogeneum eft 5% 43 Fluidum, imprefliones contiguorum orbium in fe mutuo facte, erunt'( per Hypothefin) ut/eorum tranflationes ab invicem& fuperficies contiguz in+ quibus imprefliones fiunt, Si impreffio in Orbem aliqguem major
) En eft

L374 1
eft vel minor, ex parte concava quäm ex parte convexa, praevalebit impreflio fortior,& motum Orbis vel accelerabit vel retardabit prout in eandem regionem cum ipfius motu,vel in contrariam dirigitur., Proinde ut ‚Orbis unulquifque in motu füo uniformiter perfeveret, debent imprefliones ex parte utraque fibi invicem zquari,& fierLin regiones contrarias. Unde cüm imprefliones funt ut contiguae fuperficies& harum, tranflationes ab invicem, erunt tranflationes inverse ut fuperficies, hoc eft inverse ut fuperficierum diftantige ab axe. Sunt/autem.differentie motuum angularium circa axem ut he tranflationes applicatz ad.diftantias,. five ut tranflationes directe& diftantig inverse; hoc eft( conjundtis rationibus) ut quadrata diftantiarum inverse. OQuare fi ad infinitae rectez SABCDEQ partes fingalas erigantur perpendicula 4a, Bb, Cc, Dd, Ee,&c, ipfaruım S 4, SB, SC, SD, SE,&c. quadratis reciproce"proportionalia,&.per terminos perpendicularium duci intelligatur linea curva Hyperbolica; erunt fumme diftantiarum, ‚hoc eft motus toti angulares‚ut re{pondentes füumme linearum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: id eft,fi.ad conttieuendum Medium uniformiter fAuidum orbium numerus augeatur& Jatitudo minuatur in infinitum‚,ut are Hyperbolice his fummis Analog 4a 0, BbQ.„CcQ, DdQ, EecQ,&t.& tempora motibus angularibus reciproce proportionalia erunt etiam his ateis recipröce proportionalia; Eftigitur tempus periodicum particula cujufvis D reciproceut area D d 4 hoc eft(per notas Curvarum quadraturas) dire&e ut diftantia S D. Q.ED.
Corol. ı. Hinc motus angulares particularum. Auidi funt ‚reciproce ut ipfarum diftantie ab. axe Cylindri,& velocitates ablolutz {unt zquales.
Corol. 2. Si fluidum in vafe cylindrico longitudinis-infinita contineantur,,& cylindrum alium interiorem. contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, fintque revolutionum tempora ut ıplorum femidiametri,& perfeveret fluidi pars UuNaquzqueE In Motu 1U0; erunt partıum fingularum tempora perl. odica ut ipfarum diftantig ab axe cylindrorum.. Co

“Corol.:3. Si cylindro& Auido ad hunc modum rhotis addatur vel auferatur communis quiliber motus angularis; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus Mutuus ‚partium flaidi, non mutabuntur motus‘partium inter de. Nam tranflationes partium ab invicem pendent ab attritu. Pars qualibet in co perfeverabit motu, qui attritu utrinque in contrarlas partes fa&&o, non magis acceleratur
uäm retardatur.;
Corol. 4. Unde fi toti cylindrorum& fAuidi Syftemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris,'habebitur motus Auidi in cylindro-quiefcente.; Au 2920 794|
Corol. 5: Jgitur fi Auido& cylindro exteriore quiefentibus, revyolvatur cylindrus) interior /uniformiterr communicabitur‘ motus circularis Auido,& paulatim per totum fluidum propagabitur; nec., prius.definet augeri quäm fluidi partes fingulg motumCorollario. ‚quarto definitum acquirant. HER m
' Corol..6; ‚Et quoniam fuidum conatur motum fuum-adhuclatius ‚propagare; hujus impetu circumagetur ıetiam cylindrus exterior nifı: ‚violenter detentus;-& accelerabitur ejusmotgs quoad ulque tem-. pora periodica cylindri utriefque.xghentur inter fe: Quod fi cylin‚dru exterior Violenter detineatur, conabitur is motum Auidi retar.dare; ‚& nificylindrus interior vi aliqua extrinfecus imprella motum: illum-cöonfervet, efficiet ut idem paulatim.cefler.
Qua omnia in aqua profunda-ftagnante experiri licet,
„PropoLIL-Theor, XXXIX.
Si Sphera folida, in fluido uniformi<> infinito, circa axem. pofitione:: datum uniformi ‚cum motu revolvatur,<> ab hujus impulfu folo azatur flwidum in orbem; perfeveret autem fluidi parsunaqueque uniformiter in. motw{u0: dico quod tempora periodica partium flutdi erunt ut quadrata:: diftantiarum d centro Sphere. Fig, Prop. LI.|
Cafır. Sit AFLApheaera uniformiter circa axem S in.orbem-acta,., & circulis.concentricıs BGM, CHN, DI0O, EKP,&c., diftin-:
guatur

L376 1_
guatur Auidum in orbes innumeros concentricos ejufdem craffitudinis, Finge autem orbes illos effe folidos; 8& quoniam homogene: um eft fAuidum, imprefliones contiguorum Orbium’in fe mutuö factz, erunt( per Hypothefin) ut eorum tranflationes ab invicem & fuperficies contiguz in quibus imprefliones fiunt. Si impreflio in orbem aliquem major eft: vel minor ex parte concava quäm ex parte convexa, przvalebit impreflio fortior,& velocitatem Orbis vel accelerabit vel retärdabit, prout in eandem regionem.cum ipfius motu vel in. contrariam dirigitur.. Proinde ut.orbis unufquifque in motu{u0 perfeveret uniformiter, debebunt impreffiones ex parte utraque{ibi invicemwxquari,& fieriin regiones contrarias. ÜUnde cum imprefliones fiat utzcontigug fuperficies.& harum tranflationes ab invicem; erunt tranflationes inverse ut füperficies, hoc eft inverse ut quadrata diftantiarum fuperficierum ä centro.| Sunt autem differentig motuum angularium circa axem ut ha tranflationes applicatz ad diftantias;, five ut tranflationes dire@®& diftantiz invers; hoc eft( conjundtis rationibus‘) ut cubi diftantiarum inverse, Quare ‚fi ad recte imfinite:S A4BCDE 9; partes fingulas erigantur perpendicula, 4 a; B'b; Ge DdyE e)&cv/iplarum SS B,4S C SD; S.E,&c.: cubis recipröce proportionalia, erunt{ummez diftantlarum, hoc eft; motus toti angulares, ut refpondentes fummez lincarum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: id ef( fi ad conftituendum Medium uniformiter Auidum; numerus Orbium/augeatür 8 Jatieudo minuatur in infinitum) ut are Hyperbolice his fummis analoga AaßQ;, BbQ, CR, DdQ;iEe A,&ci Er tempora periodica motibus angularibus reciproce proportionalia erunt etiam his areis reciproce proportionalia. Ef jgitur tempus periödicum orbis cujufvis DIO reciproc& ut area D d 2, hoc eft,;(per notas Curvarum quadraturas) dire&& ut quadratum diftantig SD.‘ Id quod volui primö demonftrare. x;
Caf. 2. A centro Spherz ducantur infinitz re&z quam plurime, qua cum axe datos<ontineant angulos,xqualibus differentiis femutuö(uperantes;& his rectis circa axem revolutis concipe orbes in an; nulos

nn
CE 377 1 nülos innumeros fecari;& annulus unulquilque habebit annulos quatuor fibi contiguos, unum interiorem, alterum exteriorem& duos laterales. Attritu interioris& exterioris non poteft annulus unufquifque, nifi in motu juxta legem cafts primi facto, xqualiter & in partes contrarias urgeri.: Pater hoc ex demonftratione cafıs primi. Et propterea ännulorum feries queeliber ä globo.in infinitum rei pergens movebitur pro lege cafıs primi, nifi quatemus impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege facto,"attritus annulorum ad latera nullus eft, neque adeö motum, quo minus hac lege fiat, impediet. Si annuli, qui äcentro xquaJicer diftant, vel citiüs revolverentur vel tardiüıs juxta polos quäm
juxta xquätorem; tardiores accelerarentur,& velociores retardarentur ab attritu mutuo,& fic vergerent femper tempora periodica ad zqualitatem, pro lege cafus primi. Non impedit igitur hic
“attritus quo minus motus fiat fecundum legem cafus primi,&
propterea Tex illa obtinebit: hoc eft annulorum fingulorum tempora periodica erunt ut quadrata diftantiarum ipforum ä centro globi. Quod volui fecundo demonftrare.|
“* Caf’3. Dividatur jam annulus unulquifque fectionibyus tranf°werfis in particulas innurieras Conftiruentes fubftantiam abfolute& “uniformiter Auidam;& quoniam he feCtiones non fpectant ad
legem motus circularis, fed’ad conftitutionem fAuidi folummodo conducunt, perfeverabit motus circularis ut priüs. His(eCtionibus
-annuli omnes quamminimi alperitatem& vim attrıtus mutu aut
non mutabunt aut mutabunt zqualiter. Et manente caufarım proportione manebit effe&uum proportio, hoc eft proportio motuum& periodicorum temporum. 0, ED. Ceterum cum motus circularis,& abinde orta vis centrifiga, major fit ad Eclipticam quim ad polos; debebit caufa aliqua adeffe qua particuls fingulz in circulis{uis retineantur, ne materia qua ad Echipticam eft recedat femper äcentro& per exteriora Vorticis migret ad polos, indeque per axem ad-Eclipticam circulatione perperua revertatur.
“#-"Corol.‘ 1,"Hinc’ motus angulares partium fAuidi circa axem globi "füunt recipröce ut quadrata dıltantiirum A centro globi;& velocitates

CL 378 I abfolute reciproc& ut.-eadem quadrata ‚applicata.‚ad ‚diftantias ab axe,|:
Corol..2. Si globus in fAuido-quiefente fimilari& infinito. circa axem pofitione datum uniformi cum motu revolvatur,communNicabitur motus fluido.in morem. Vorticis,&, motus.ifte paulatim propagabitur in infinitum;. neque; prius ceffabit in fingulis Anidi partibus accelerari, quäm tempora periodica fingularum ‚partium fınt ut quadrata diftantiarum ä centro globi.
Corol. 3. Quoniam Vorticis, partes interiores ob, majorem Auam velocitatem atterunt&.urgent exteriores, motumque ipfis.ea,actione perpetuo communicant, ‚&. exteriores illi candem-motus. quantitatem in alios adhuc exteriores fimul transferunt, caque,actione fervant quantitatem motus(ui plane invariatam; ‚patet. quod motus perpetuö transfertur ä centro ad circumferentiam Vorticis,.& per ‚infinitatem. circumferentig. abforbetur.. Materia ‚inter„fphaeericas duas quafvis fuperficies Vortici concentricas nunquam,accelerabitur, cö quod motum. omnem. ä. materia ‚ interiore ‚acceptum, transfert {emper. in. exteriorem.——
Corol. 4. Proinde ad confervationem. Vorticis conftanter in\codem movendi ftatu,requiritur principium aliquod,activum a quo globus. eandem femper quantitatem motus accipiat quam imprimit in materiam vorticis. Abfque tali principio necefle eft ut globus&. Vorticls partes interiOores, propagantes{emper motum{uum. in. exterlores, neque novum aliquem motum recipientes, tardefcant paulatim& in orbem ag! definant.|
Corol. 5. Si globus alter huic Vortict ad certam ab ipfius centro: diftantiam innataret,& interea circa axem inclinatione datum vi ali{ua conftanter revolveretur; hujus motu raperetur fluidum in vorticem:& primö revolveretur hic vortex novus& exiguus una cum. globo circa centrum alterius,& interea latiüs ferperet 1pfius motus, & paulatim propagaretur in infinitum, ad modum. vorticis priml. Ex eadem ratione qua hujus globus raperetur motu vorticis alterius, raperetur etiam globus alterıus motu hujus, fic ut globi duo circa intermedium aliquod. pund&um revolverentur,{eque mutuo.ob motum

tum illum circularem fugerent,nifi per vim aliquam cohibiti, Poftea
fi vires conftanter imprefle, quibus globi in motibus fuis perfeverant, ceffarent,& omnia legibus Mechanicis permitterentur, languefcerert paulatim motus globorum(ob rationem in Corol, 3.& 4. aflignatam)& vortices tandem conquielcerent,
Corol. 6. Si globi plures datis in locis circum axes pofitione datos
certis cum velocitatibus conftanter revolverentur, fierent vortices to> tidem in infinitum pergentes. Nam globi finguli, eadem ratione qua unus aliquis motum fuum propagat in infinitum, propagabunt etiam motus füuos in infinitum, adeö ut fluidi infiniti pars unaquzque eo agiterur motu qui ex omnium globorum ackionibus refultat. Unde vortices non definientur certis limitibus, fed in fe mutuo paulatim excurrent; globiq; per aCctiones vorticum in fe muüutud, perpetud movebuntur de locis fuis; uti in Lemmate fuperiore expofitum eft; neq; certam quamvis inter fe pofiionem. fervabunt, nifi per vim aliquam retenti. Ceffantibus autem viribus illis qux in globos conftanter impreffee confervant hofce motus, materia ob rationem in Corollario tertio& quarto aflignatam pauYatim requielcet& in vortices agi definet. 8
Cool. 7. Si Fluidum fimilare claudatur in vafe fpheerico,ac globi in centro confiftentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus autern& vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur, fintq; corum tempora periodica ut quadrata femidiametrorum: partes fluidi non prius perfeverabunt in motibus fuis-fine acceleratione & retardatione, quäm fint eorum tempora periodica ut quadrata diftantiarum ä centro vorticis. Alia nulla Vorticis conftitutio poteft efle permanens.
Corol. 8. Si vas, Fluidum inclufum& globus fervent hunc motum,& motu przterea communi anguları circa axem quemvis datum revolvantur; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in fe invicem, non mutabuntur motus partium inter fe. Nam tranllationes partium inter fe pendent'ab attritu. Pars quzlibet in co perfeverabit motu, quo fit ut attritu ex uno 12tere non magis tardetur quäm acceleretur attritu ex-altero.
E22 Corol.

EC 3801
Corol. 9, Unde fi.vas quiefcat ac detur mötus glöbi; dabiti motus fuidi,.— Nam concipe planım tranfire per. axem globi& moötu contrario revolvi;& pone tempus revolutionis-hujus-e(le ad fummam hujus temporis& temporis revolutionis globi,uc quadratum femidiametri vafıs ad quadratum(emidiametri globi:.&.:tem:pora periodica, partium fuıdi refpectu plani hujus erunt ut quadrata diftantiarum fuarum ä centro globi.
Corol. 10. Proinde di vas: vel circa axem eundem cum globo, vel circa diverfum aliquem, data cum velocitate quacung; moveatur; dabitur motus fAuidi. Nam fı Syltemati toti.auferatur valıs motus angularis, manebunt motus omnes. iidem inter fe qui prius, per Corol. 8. Et motus ifti per Corol. 9. dabuntur.
Corol. 1 1. Si vas& Auidum quiefßant& globus uniformi. cum motu revolvatur,” propagabitur motus paulatim per fAuidum totum in vas,&. circumagetur vas nifi violenter detentum, neq;- prius definent fAuidum& vas accelerari, quäm fint corum tempora periodica zqualia temporibus periodicis globi... Quod’ fi vas vi aliqua detincatur vel,revolvatur motu quovis conftanti ‚&. uniformi, ‚deveniet Medium paulatim ad ftatum motus in. Corollariis 8. 9& 10 definiti,.nec 4 alio ungquam. fat quocung; perfeverabit... Deinde verö fi, vıribus illis ceffantibus quibus vas& globus certis mocibus revolvebantur, permittatur Syltema torum Legibus Mechanicis; vas& globus in fe invicem agent mediante fluido, neq; motus.. fu0s In fe mutuo per fAuidum propagare prius ceflabunt, quäm eosum, tempora perlodica zquantur inter fe,& Syftema totum ad.in{tar corporis unius folidifimul revolvatur.
Scholium.
In his omnibus(uppono fluidum ex. materia quoad_ denfitatem & fluiditatem uniformi conftare. Tale eft in quo globus idem eodem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus fimiles& xquales, ad xquales femper 2 fe diltantias, ubivis in Auido conftitutus, propagare poflit, Conatur quidem, materia per motum{uum
cir

EL 381 7] circulaten recedere ab: axe Vorticisy&-propterea:premit nilaterlam: ‚omnermulteriorem., ‚Exihac preflione fit attritus partium fortior& _feparatio ab-invicem difhcilior 5& per confequens diminuiturmate_rix-Auiditäs:-Rürfus finpartes Auidi/funt alıcubi craffiores feuma‚jores; Auiditas ibiminorerit, ob pauciores füperficies in quibus partes feparentur abinvicem: In hujulmodi cafıbus deficientem Auıditaten vellubricitate:partium vel lentore aliavealiqua conditione reftitui fuppono.„Hoc nifi fiat, materia ubi: mints Auida eft magis cohäerebit,&/ fegnior erit, adeoq; motum cards: recipiet& longiüs, propagabit quäm pro ratione füperi Ss+aflignäta:„9Sicfigura valıs non fit Spherica, movebuntur particulz in‘ lineis non /Circu+ Jaribus fed.conformibus eidem: vVafıs. figure,& tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium diftantiarunmä centro‘quamproxXime. In partibus inter centrum;& circumferentiam ubf latiora 1ünt 1pa: tia; tardiores erunt‘ motus, ‚ubi anguftiora velociores‘; Neque' ta: men particule velociores petent circumferentiam..(Arcusenim de* {cribent minus curvos;&:conatus:recedendiätcentro non minus diminuyetur per, decrementum ‚hujus cur vatutz, quim augebittır per incrementum velocitatis. /Pergendo/& fpatiis anguftiortbus inlatiora recedent paulo longiüs ä centro; fed ifto receflu.tardelcent;& accedendo poftea de latioribus ad anguftiora accelerabuntur,& fic per vices tardefcent& accelerabuntur particule fingulz in perpetuum. Hec ita fe habebunt in vafe rigido.. Nam in fluido infinıto conftitutio Vorticum innotefcit per Propofitionis hujus Corollarium fextum.| Proprietates autem Vorticum hacPropofitione inveftigare conatus fum, ut, pertentarem. fiqua’ratione Phznomena ‚ceeleftia per. Vortices explicari poffint. Nam: Phenomenon eft:quod Planetarum circa. Jovem revolventium tempora periodica: funt: in ratione feßquialtera diftantiarum a centro Jovis;& eadem Regula obtinet in Planetis qui circa Solem revolvuntur.. Obtinent autem/ he Re: gulz in Planetis utrifque quam accuratiflime, quatenus obfervationes Aftronomicg hactenus prodidere. Ideoq; fi Planetz illı 4 Vorti-cibus circa Jovem& Solem revolventibus deferantur, debebunt erian

C 382] en am hi Vortices cadem lege revolvi.: Verum tempora periodica partium Vorticis prodierunt in ratione duplicata diftantiarum 2 centro motus: neque poteft ratio illa diminui& ad rationem felquialteram reduci, nift vel materia vorticis co fluidior fit quo longius‘ diftar äcentro, vel refiftentia, que oritur ex defe&u lubricitatis partium fluidi, ex aucta velocitate qua partes fluidi feparantur ab invicem, augeatur in majori ratione quäm ea eft in qua velocitas augetur. Quorum tamen neutrum rationi confentaneum. videtur. Partes crafliotes& minus fluide(nifıgraves fint in’centrum) circumferentiam petent;& verifimile eft quod, etiamfı Demonftrationum gratia Hypothefin talem initio Sectionis hujus ptopofücrim ut Refftentia velocitati proportionalis eflet; tamen Refiftentia in minori fir ratione quäm ea velocitatis eft. Quo concefflo'tempora' periodica partium Vorticis erunt in'majori quäm duplicata rätione diftantiarum ab ipfius centro.. Quod fi vortices( uti aliquorum eft opinio) celeriüs.moveantur prope centrum, dein tardiüs ulque ad certum limitem, tum denuö/ celerits juxta circumferentiam; cert& nec ratio fe(quialtera neque alia quzevis'certa ac determinata obtinere poteft. Viderint itaq; Philofophi quo pacto Pheenomenen illud rationis fe(quialterz per Vortices explicari poflir.;
; Prop. LI. Theor, XL.
Corpora que in Vortice delata in orbem redeunt ejufdem funt denfitatis cum Vortice,& eadem lege cum ipfins partibus(quoad velocitatem& cur/us determinationem) moventur,
Nam fi vorticis pars aliqua exigua, ctjus particulz Leu pundta phyfica datum fervant fitum inter fe, Congelari fupponatur: hac, quoniam neq; quoad denfitatem fuam, neque quoad vim infıtam aut figuram(uam mutatür, movebitur eadem lege ac prius:& cöntra, 1 Vorticis pars congelata& folida ejufdem fit denfitatis cum reliquo vortice,& refolvatur in fAuidum; movebitur hxc eadem lege ac prius, nifi quatenus ipfius particulz jam Auide fa moveantur inter fe, MNegligatur igitur motus partichlarum inter fe, tänquam

TS am” 3 0 PO dm
LA
‚quam adhtotius-.motum, progreflivum mil fpeckans,„& motus;totius idemeritac prius.. Motus,aurem idem,erit, cum mot aliarum, Vor‚ticis, partium: A_centro zequaliter diftantium, propterea quod foli‚dum in Fluidum refolutum fit pars Vorticis czteris partibus confimilis.„Ergo folidum, fi fit,ejufdem denfitatis Cum materia Vorticis, codem motu, cum ipfius ‚partibus movebitur, in materia proxime ambiente relative quielcens., ‚Sin denfius fit, jam magis conabitur recedere Ä centro-Vorticis quäm priüs; adeoq; Vorticis vim illam,qua prilıs in Orbita(ua tanquam in zquilibrio conftitutum retinebatur, Jam fuperans, recedet ä.centro,& revolvendo defcribet Spiralem, non
_amplius.in eundem,Orbem rediens. Et eodem argumento fi rarius
fit, accedet;ad centrum.:Igitur non redibit in eundem‘ Orbem nifi fit ejufdem ‚denfitatis cum fluido. Eo autem in cafı oftenfum eft, quod ‚reyolveretur, eadem lege cum partibus Auidi ä centro Vorticis gqualiter diftantibus, 2: ED. - Crol. 1. Ergo folidum quod in Vortice revolvitur:& in eundem Orbem femper redit,, relative quiefcit in Auidocui innatat.; Corol. 2. Fr fi vortex fit quoad denfitatem uniformis,corpusidem ad quamlibet ä centro Vorticis diftantiam revolvi;poteft.
Scholium:
Hinc liquet Planetas ä.Vorticibus. ‚corporeis non deferri. ‚Nam: Planet fecundum, Hypothefin. ‚Coperniceam circa Solem ‚delati revolvuntur in:Ellipfibus, umbilicum habentibus in-Sole,-& radiis ad. Solem ductis areas deferibunt, temporibus proportionales. /At,par‘tes Vorticis talı motu revolvi nequeunt. ‚Defignent AD, BE, CF,
orbes tres circa Solem S deferiptos,|quorum extimus- CF circulus
fit Soli concentricus, ‚& interiorum.duorum Aphelia-fint 4, B,& Perihelia D, E. ‚Ergo corpus. quod revolvitur in orbe. CF;„radio ‚ad Solem ducto areas temporibus proportionales defcribendo,‘ movebitur uniformi cum motu, Corpus autem quod revolvitur in Orbe B E, tardiüıs movebitur in Aphelio B& velocits in Perihelio.. C, fecundum leges Aftronomicas; cum tamen fecundum leges Me- chanicas materia Vorticis in fpatio anguftiore inter 4& C velocitis. moyerl.

_ 41°#001] moveri debeat quäm in{patio latiore inter D& F: def in Aphelio velocitis quäm in Perihelio,* Quz'duo repugnant inter fe. Sic ; in principio Signi Virginis, ubi Aphelium Martis jam verfatur, “ diftantia inter orbes Martis& Veneris eft ad diftantiam eorundem orbium in"principio Signi Pifcium ut tria ad duo circiter, & propterea materia Vorticis inter Orbes illos in principio Pifium deber efle velocior quäm in principio Virginis in ratione trium ad duo. Nam quo angufti1/7 us eft fpatium per quod eadem / EEE SE Mätertie quehnPes COM LevoJutiöhis unius tempöfe tranfıt, eo majori Cum velocitate tranfıre deber.— Tgitüt fi Terra in hac Märteria coelefti relative‘ quiefens ab ea defertetur, 8& una circa Solem revolveretur, foret’hujus velocitas in principio Pifdium ad&ufdem velocitatem in principio Virginis in ratione{e{quialtera. Unde Solis: motus diurnus apparens in principlo Virginis major eflet quäm minutorum primorum feptuaginta, & in principio Pifcium! minor quäm minutorum quadraginta& o&to:"cum tamen(&xperiehtia tefte) apparens‘ifte Sölis motus major fie im prinetpio Pildum quäm in principio Virginis,& propterea Terra velodior in principio Virginis quäm in principio Pıfcium, Itaq; Hypothefis Vorticum cum Phenomenis Aftronomicis omninö pugnat;'& non‘ tam ad explicandos quim ad perturbandos mötus C6eleftes‘condiecit."Quomodo verd motus iftiin fpatiis Kiberis'abfque Voörticibus'peragunttr intelligi poteft ex Libro Primo,
& in Mundi Syftemate plenits docebitur.

E 401 J
DE
Mundi Syftemate LIBER TERTIUS:
N Libris przcedentibus principia Philofophiz tradidi, non tamen Philofophica fed Mathematica tantıım,€x quibus videlicet in rebus Philofophicis difputari poflit. Hazc funt motuum& virium leges& conditiones, qua ad Philofophiam maxim® fpectant. Eadem tamen, ne fterilia videantur, illuftravi Scholis quibufdam Philofophicis, ea tractans quz generalia funt, & in quibus Philofophia maxime fundari videtur, uti corporum denfitatem& refiftentiam,{patia corporibus vacua, motumque Lucis& Sonorum. Supereft ut ex iifdem principiis doceamus conftitutionem Syftematis Mundani.. De hoc argumento compofueram Librum tertium methodo populari, ut 2 pluribus legeretur, Sed quibus Principia pofıta fatis intelle&&a non fuerint,ij vim confequentiarum minime percipient, neque przjudicia deponent quibus Ä multis retro annis infueverunt:& propterea ne res in difputationes trahatur, fummam libri illius tranftuli in Propofitiones, more Mathematico, ut ab is folis legantur qui princıpia prius evolverint,
. Veruntamen quoniam Propofitiones ıbi quam plurime occurrant,
quz Led&oribus etiam Mathematice doCtis moram nimiam injicere pöflint,author efle nolo ut quifquam cas omnes evolvat; fuffecerit fiquis Definitiones,Leges motuum& fectiones tres priores Libri primi feduld legat,dein tranfeat ad hunc Librum de Mundi Syftemate, 8& reliquas Librorum priorum Propofitiones hic citatas pro lubitu confülat. Aaa Hypo

[402 1] HYPOTHESES
Hypoth. I. Caufas rerum naturalium non plures admitti debere,qudm
que& vera fit& earum Phenomenis explicandis fuficiunt..
Natura enim fimplex eft& rerum caufisfuperfluis non luxuriat.
Hyp6th. IL Tdeogue effeetudin natur alium"ejufdem generis exdem funt caufe, aa mA
Uti refpirationis in Homine& in Beftia; defcenfüs lapidum in
Europa& in America; Lucis in Igne culinari& in Sole; reflexionis lucis in Terra& in Planetis,
„Hypoths HL: Corpus‘; ömne; in,-Alterims) cujufcunque.generis? corpus transformari pof]e;&:qualitatum- gradus; omnes. intermedios ucce(five induert. 5511 ib: eibidadiel 5
Hypoth. IV...Centrum-Syftematis Mundani. quiefceree. 1100 Hoc’ab:omnibus cöncellum, eft; dum aliqui-Terram altı Solem in‚centrö-quiefcere contendant.,-'--01n11 7 rm; Hypoth. V., Planetas circumjoviales,radiis ad centrum Jovis duttis, areas defcribere temporibus;proportionales eorumque tempora periodica e/fe m ratione: fef quialtera diflantiarum ab ipfıns centro), Conftat ex-obfervationibus Aftronomicis.: Orbes horum Planetarum non differunt fenfibiliter ä.circulis Jovi concentricis,& mötus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora verö periodica efle in-ratione felquialtera femidiametrorum orbium confentiunt Aftronomici-:&. Flamf/tedius, qui. omnia Micrometro& per Eclipfes Satellitum-accuratius definivit;literis ad me. datis, quinetiam numeris fuis, mecum communicatis,, fignificavit: rationem illam fef{quialteram tam accurate obtinere, quäm fit po[fibile fenfu ‚deprehendere, Id‘quod-ex-Tabula ‚fequente manifeftum eft.“
Satellieum

L 403] 4 Satellitum tempora periodica. a ıd.18h.282 3d.ı3h. 178 ‚7d.3h. 59% 16d. 18h. 5% Diftantie Satellitum a centro Jovis,
Ex Obfervationibus, 1. 2 80].:03 4 Caffıni 5. 8. Ms. 234 Borelli bb 187 Age 245 A Tounlei per-Micromet|"551,| 8,78. 13,47. 24572: Semidiams Flamftedi. per Micromi} 5,31. 8,85. 113,98.(2:4,23:| Jovi. „Flamt.,per Eclipf-Satel. 5,578.)_8;876.14,159:/24>903.3 1 1 0
‚Ex temporitbus periodicis‘ 75 578.1 18,87811.4,168.12.4,968. Hypoth. VL. Planetas quinque primarios Mercurium, Vı enerem,Martem, Jovem& Saturnum Orbibus /uis Solem cingere.
. Mercurium& Venerem circa Solem revolvi ex ‚eorum ‚phafıbus Iunaribus demonftratur,._Plenä facie lucentes ultra: Solem fıri funt, dimidiatä& regione Solis, falcatä cis Solem; per difcum ejus ad. modum: macularumı ‚nonnunNguamM tranfeuntes....Ex:Martis quoque ‚plena:facie prope Solis conjundtionem,& ‚gibbofa.in quadraturis, certum, eft quod is Solem ambit.. De Jove etiam& Saturno, idem ex corum phafıbus femper plenis demonftratur.|
Hypoch. VIL_ Planetarum quinque primariorum,&*(vel Solis circa Terram vel) Terra.cırca Solem tempora.periodica effe in. ratione fefquialtera mediocrium diftanttarum 4 Sole. iz id * Hec A Keplero,inventa ratio in confeflo,eft apıd omnes..;;Eadem utique lunt tempora periodica, exdemq; orbium.dimenfiones, five Planetz circa T’erram„five lidem. circa ,Solem revolvantur. Ac ‚de menfura ‚quidem ‚temporum periodicorum convenit inter Aftronomos univerfos..Magnitudines autem Orbium Keplerus&.Bullialdus omnium diligentiflime ex Obfervationibus determinaverunt: & diftantig mediocres, que temporibus periodicis refpondent, non
Aaa‘2 difle3}

L 404 1 differunt fenfibiliter ä diftantiis quas illi invenetunt, füntque inter ipfas ut plurimum intermedie; uti in Tabula fequente videre licet.) Planetarum ac Telluris Difkantie mediocres a Sole,
Secundum Keplerum ai1ebe{Lo6r0 E19 KonoSo 2400. 38806, Secundum Bulljaldum 954198. 522520. 152350. 100000. 72398, 38585, Secundum tempora periodica 953806. 520116. 152399. 100000. 72333. 38710.
De diftantiis Mercurii& Veneris ä Sole difputandi non eft locus, cum hz per ecorum Elongationes ä Sole determinentur, De diftantiis etiam fuperiorum Planetarum ä Sole tollitur omnis difputatio per Eclipfes Satellitum Jovis. Etenim per Eclipfes illas determinatur pofitio umbra quam Jupiter projicit,& co nomine habetur Jovis longitudo Heliocentrica,- Ex longitudinibus autem Heliocentrica& Geocentrica inter fe collatis determinatur diftantia Jovis.
Hypoth. VIEL Planetas primaries radiis ad Terram dubtis areas deJcribere temporibus minime proportionales; at radiis ad Solem dußtis areas temporibus proportionales percurrere,
Nam refpectu terrz nunc progrediuntur, nunc ftationarii fünt, nunc etiam regrediuntur: At Solis refpe&u femper progrediuntur, idque propemodum uniformi cum motu, fed paulo celerius tamen in Periheliis ac tardius in Apheliis,fic ut arearum zquabilis fit deferiptio. Propofitioeft Aftronomis notifima,& in Jove apprime demonftratur per Eclipfes Satellitum, quibus Eclipfibus Heliocentricas Planetz hujus longitudines& diftantias ä Sole determinari diximus.
Hypotch. IX. Lunam: radio ad centrum terre: dutto: aream tempori groportionalem defcribere.
Pater ex Lung motu apparente cum ipfius diametro apparente: collato, Perturbatur- autem: motus Lunaris aliquantulum 3 vi. Solis, fed ervorum. infenfibiles minutias Phyficis in hifce Hypothefibus negligo: ve Me
Prop«.

E 405] Prop-. I Theor. L
Viıres, quibus Planete circumjoviales perpetno retrahuntur d motibus reEilineis& in orbibus(wis retinentur, refpicere centrum Jovis,& effe reciproce ut quadrata diftantiarum locorum ab eodem centro.
Patet pars prior Propofitionis per Hypoth. V.& Prop. IL. vel NL. Lib.I.& pars pofterior per Hypoth. V.& Corol. 6. Prop. IV. ejufdem Libri.|
Prop. IL Theor.. H.
Vires, quibns Planete primarit perpetuworetrahuntur d motibus reilineis, & in Orbibus[wis retinentur, re/picere Solem,«> effe reciproce ut qua-drata diftantiarum ab ipfius centro.
Patet pars prior Propofitionis per Hypoth. VIII.& Prop. II. Libı I.& pars pofterior per Hypoth. VIL& Prop. IV. ejufdem Libri. Accuratiffime autem demonftratür hzc pars Propofitionis per quie: tem Apheliorum, Nam aberratio quam minima& ratione duplis cata(per Coral. I. Prop. XLV. Lib. 1.) motum Apfıdum in fingulis revolutionibus Om in pluribus enormem efficere deberet...
Prop. IL."Theor. II.
Vım qua Luna retinetur in Orbe[40 refpicere terram,.& effe reciproce: ut: quadratum diftantie locorum ab ipfius centro..
Pater aflertionis pars prior, per Hypoth. IX.&Prop-Ik: vel IL. Lib.I.& pars pofterior per motum tardiflimum Lunaris Apogzk. Nam motus ille, qui fingulis revolutionibus eft. graduum«tantum. trium in confequentia,conterani potelt.. Patet enım, per Corol. 16. Prop. XLV. Lib..I.. quod fi. diftantia Lunz. ä. centro: Terrz:dicas

tur D, vis ä qua motus talis oriatur, fit reciproce ut D 2+, id eft reciproce ut ea 1pfius D dignitas, CLjus index eft 2;4,hoc eft in ratione diftantig paulo majore quam duplicata inverfe, fed que vicibus ‚603 propius ad duplicatam quam ad triplicatam aCcedit, Tantilus autem acceffus meritö contemnendus eft.| Oritur verö ab adtione Solis:(uti pofthac. dicetur)& propterea hic negligendus. eft, Reftat igitur ut vis illa, que ad Terram fpectat, fit reciproce ut D 2} id quoderiäm plenius conftabit, Conferendo hanc vim cußn vi gravitatis, ut firit Propofitione fequente,
Prop.- IV. Theor. IV.
Tunam graditare in terräm; wi gravitatis retrahi femper ‚d moth retilineo,<> in orbe(wo retineri.. Q
Lunz diftantia mediocris ä centro Terrz eft(emidiametrorum getrefßtium, fecutdum plerofque Aftronomorum 59; fecundum Vendelinum 60, SLecundum. Copernicum 603, fecandum Kirchezum 62},& fecundum'Tychonem 1561 Alt Tycho,& quot‚quot’ejus Tabulas refractionum. fequuntur, conftituendo refracktiones Solis& Lunz(omnino contra.naturam Lucis) majores quam.. fixarum, idque ferupulis quafi quatuor vel quinque, auxerunt Parallaxin Lunz ferupulis totidem, hoc eft quafi duodecima vel decima quinta parte totius parallaxeos.;Corrigatur ifte error,& diftantia evadet quafi 61 femidiametrorum terreftrium, fere ut ab aliis affignatum eft. Affumamus diftantiam mediocrem{exaginta femidiametrorum;& Lunarem periodum’ refpectu fixarım compleri diebus 27, horis 7, minutis primis 43, ut ab Aftronomis Aatuieur; ‚atque ambitum Terrz'efle pedum Parifienfium 123249600; ul ä Gallis menfurantibus nuper definitum eft:& 11 Lun2 motu omni privari fingatur, ac dimitti ut, urgente vi illa omni qua in Otrbe fo rerinetur,defcendat in terram; hzc fpatio minuti primi cadendo defcribet pedes Parifienfes, 15 5. Colligitur
* hoc

Ex A
hoc ex.calculo, vel per Propofitionem xxxvi Libri primi, vel(quod codem recedit) per Scholium Propofitionis quartz ejufdem Libri, confe&o. Unde cum vis illa accedendo. ad terram augeatur in duplicata diftantig ratione inversä, adeoque ad fuperficiem Terre. major fit vicibus 60 x 60 quam ad Lunam, corpus vi illa in regio— nibus noftris cadendo defcribere deberet fpatio minuti unius primi pedes Parifienfes 60. x 60x15 2,&{patio minuti unius fecundi pedes 15% Atqui corpora.in regionibus noftris vi gravitatis cadendodefcribunt tempore minuti unius fecundi ‚pedes Parifienfes 15, uti Hugenius, faCtıs pendulorum experimentis& computo inde inito, demonftravit.:& propterea vis qua Luna in orbe{uo retinetur, illa ipfa eft quam,nos:gravitatem dicere folemus. Nam fi gravitas abca diverfa eft, corpora viribus utrifque conjunctis Terram. petendo« duplo velocius defcendent,& fpatio minuti unius fecundi cadendodefcribent pedes Parifienfes 30}: omnino contra experientiam.
Calculus hic fundatur.in Hypothefi,quod Terra quielcit.. Nam: fi Terra& Luna. circa Solem moveantur,.& interea quoque circa: commune gravitatis centrum Tevolvantur: diftantia centrorum.. Lunz ac Terrx ab invicem erit 60} femidiametrorum terreftrium 3. uticomputationen1.(per Prop. LX. Lib..I.). ineunti patebit,..
Prop. Vo... Theor. MV.
Planetas circumfoviales gravitare in Fovem,&. circumfolares in Solemz&zi gravitatis[ug ‚retrahi femper d-motibus reFilineis,& in. orbibus curvilineis retinert,
Nam revolutiones Planetarum circumjovialium circa ‚Jovem,&.Mercurii- ac: Veneris reliquorumque. circumfolarium. circa ‚Solem funt Phenomena-ejuldem generis cum revelutione Lunz- circa Ter-‚ram; ‚&, propterea per Hypoch. 1. ä-caufis,ejuldem generis, dependent: ‚prefertim cum demonftratum fit quod vires, A,quibus: revolutiones ‚illx dependent, refpiciant centra: Jovis-ac Solis,& re-cedendo.

[ 408] A
‚cedendo ä Jove& Sole decrefcant eadem ratione ac lege, qua vis gravitatis decrefcit in receflu ä& Terra. S
Corol. ı. Igitur gravitas datur in Planetas univerfos. Nam Venerem, Mercurium czterofque efle corpora ejufdem generis cum Jove nemo dubitat. Certe Planeta Hugenianus,eodem argumento quo Satellites Jovis gravitant in Jovem,- gravis eft in Saturnum. Et cum attractio omnis(per motus legem tertiam) mutua fit, Saturnus vicifim gravitabit in Planetam Hugenianum. KEodem argumento Jupiter in Satellites fuos omnes,"Terraque in Lunam,& Sol in Planetas omnes primarios gravitabit,
Corol. 2. Gravitatem,quz Planetam unumquemque refpicit, efle reciproce ut quadratum diftantige locorum ab ipfius centro.
Prop. VI... Theor. VI.
Corpora omnia in Planetas fingulos gravitare,& pondera eorum in enndem quemvis Planetam, paribus diftantiis 4 centro Planete, proportionalia effe quantitati materie in fingulis.
Defcenfüs gravium omnium in Terram(dempta faltem inzgquali retardatione quz ex Aeris perexigua refiftentia oritur) xqualibus temporibus fieri jamdudum obfervarunt alii;& accuratiflim6 quidem notare licet xqualitatem temporum in Pendulis, Rem tentaviin auro, argento, plumbo, vitro, arena, fale communi, ligno, aqua, tritico. Comparabam pixides duas ligneas rotundas & zquales. Unam implebam ligno,& idem auri pondus fufpendebam(quäm potui exa@&6) in alterius centro ofcillationis. Pixides ab zqualibus pedum undecim filis pendentes conftituebant Pendula, quoad pondus, figuram& aeris refiltentiam omnino paria: Et paribus ofcillationibus juxta pofitz ibant und& redibant diutiflime, Proinde copia materig in auro(per Corol. ı.& 6.Prop. XXIV. Lib. IL) erat ad copiam materig ın ligno, ut vis motricis actio in totum aurum ad ejuldem actionem in totum lignum; ge
e

E 2691
eft ut pondus ad pondus. Et fit in cxteris. In corporibus ejufdem ponderis differentia materig, que vel minor effet quäm pars milTefima materiz totius,his experimentis manifeftö deprehendi potuit. Jam verö naturam gravitatis in Planetas eandem efle atque in Ter- ram non eft dubium.' Elevari enim fingantur corpora hac Terreftria ad ulqueOrbem Lunz,& una cum Lunä motu omni privata demitti,ut in Terram fimul-cadant;& per jam ‚ante‘oftenfa certum eft quod temporibus zqualibus defcribent zqualia Spatia cum Luna, adeoque quod funt ad quantitatem materiz in Luna, ut pondera füa ad ipfius pondus. Porrö quoniam Satellites Jovis temporibus revolvuntur que fünt in ratione felquialtera diftantiarum a centro Jovis, erunt corum gravitates acceleratrices in Jovem reciproce ut quadrata diftantiarum ä centro Jovis;& propterea in zqualibus ä Jove diftantiis eorum gravitates acceleratrices evaderent zxquales. Proinde temporibus zqualibus ab zqualibus altitudinibus cadendo deferiberent zqualia Spatia, perinde ut fit in gravibus, in hac Terra noftra. Et codem argumento Planetz circumfolares ab zqualibus 2 Sole diftantiis dimifli; defcenfü fuo in Solem xqualibus temporibus xqualia{patia deferiberent. Vires autem, quibus corpora inxqualia zqualiter accelerantur, funt ut corpora; hoc eft pondera ut quantitates materixg in Planetis. Porrö Jovis& ejus Satellitum pondera in Solem proportionalia, effe quantitatibus materig eorum,patet ex motu Satellitum quam maxime regulari; per Corol.3..Prop.LXV. Lib.I. Nam fi horum aliqui magis traherentur in Solem pro quantitate materiz{ug quäm ceteri, motus Satellitum(per Corol.2. Prop.LXV. Lib.I.) ‚ex inzqualitate attractionis perturbarentur. Si(parıbus ä Sole diftantiis)Satelles aliquis gravior effet in Solem pro quantitate materix(uz, quam Jupiter pro quantitate materig Ki ratione quacunque data, puta d ad-e: diftantia inter centrum Solis.& centrum.Orbis Satellitis major femper foret quam diftantia inter centrum Solis& centrum Jovis in ratione dimidiata quam proximeuti calculis quibuldam initis inveni, Et fi Satelles minus gravis eflet in Solem in ratione illa d ad e, diftantia
Bbb centri

L 410 1]
centri Orbis Satellitis ä Sole minor foret quäm diftantia centri Jovis ä Sole in ratione illa dimidiata. Igitur fi in xqualibus ä Sole di{tantiis,gravitas acceleratrix Satellitis cujufvis in Solem major, eflet vel minor quäm gravitas acceleratrix Jovis in Solem,parte tantum millefima gravitatis totius; foret diftantia centri Orbis Satellitis ä Sole major vel minor quäm diftantia Jovis ä Sole parte;, diftantige totius, id eft parte quinta diftantige Satellitis extimi ä centro Jovis: Quz quidem Orbis excentricitas foret valde fenfibilis, Sed Orbes Satellitum fünt Jovi concentrici,& propterea gravitates acceleratrices Jovis& Satellicum in Solem zquantur inter fe. Et ecodem argumento pondera Saturni& Comicis ejus in Solem, in zqualibus ä Sole diftantiis, funt ut quantitates materiz in ipfıs: Et pondera Lunz ac Terrz in Solem vel nulla funt, vel earum maflıs accurate proportionalia,
Quinetiam pondera partium fingularum Planetze cujufque in alium quemcunque funt inter fe ut materia in partibus fingulis. Nam fi partes aliquz plus gravitarent, aliz minus, quäm pro quantitate materige, Planeta totus, pro, genere partium quibus maxime abundet, gravitaret magis vel minus quäm pro quantitate materiz totius. Sed nec refert utrum partes illg externe{int vel internz. Nam {fi verbi gratia corpora Terreftria,que apud nos funt, in Orbem Lunz clevari fingantur,& conferantur cum corpore Lunge: Si horum pondera effent ad pondera partium externarum Lunz ut quantitates materix in jifdem, ad pondera verö partium internarum in major!. vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lunge totius in majori vel minori ratione: contra quam(upra oftenfum eft.
Coral. ı. Hinc pondera corporum non pendent ab corum formis & texturis. Nam fi cum formis variarı poffent, forent majora vel minora pro Varietate formarum in zquali materia: omninö contra experientiam.
Corol. 2. Igitur corpora univerfa qua circa T’erram funt, gravia funt in Terram;& pondera omnium, quz zqualiter ä centro Terzz diftant, funt ut quanditates‘materiz in jildem, Nam fi zther
aut

E42 3 aut corpus aliud quodcungue vel gravitate omnino deftitueretur vel ro quantitate materiz fuzx minus gravitaret, quoniam id non dif7 ab aliis.corporibus nifi in forma materiz, poffet idem per mutationem formz gradatim tran{mutarı in corpus ejuldem conditionis cum iis qua. pro quantitate materig quam maxime gravitant, (per Hypoth. IL)& viciflim corpora maxime gravia, formam illius gradatim induendo, poflent gravitatem{uam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent ä formis corporum, poflentque cum formis variari, contra quam probatum eft in Corollario{uperiore. Corol. 3. Itaque Vacuum neceffariö datur. Nam fı{patia omnia plena effent, gravitas 1] pecifica fAuidi quö regio aeris impleretur, ob {ummamı denfitatem materig, nil cederet gravitati(pecificae argenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cujulcunque denfiflimi;& propterea nec aurum neque aliud quodcunqgue Corpus In aere deicendere poflet. Nam corpora in Auidis, nifi fpecifice graviora fint; minime. defcendunt.
Corol..4. Gravitatem diverfi generis efle ä vi magnetica.. Nam attractio magnetica non eft ut materia attracta. Corpora aliqua magis trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Eftque vis magnetica Jonge major pro quantitate materjag quam VIs graVvitatis: fed& in eodem corpore intendi poteft& remitt1; in recellu verö,ä magnete decrefcit in ratione diftantize plufquam duplicata; propterea quod vis longe fortior fit in contactu, quam cum attrahentia vel minimum(feparantur ab invicem.
Prop. VI. Theor. VIL;
Gravitatem in corpora univerfa fieri, eamque proportionalem effe quantitati materie in(mgulis,
Planetas omnes in fe mutuo graves effe jam ante probavimus, ut & gravitatem In unumquemque{eorfım{pectatum effe reciproce ut quadratum diftantig locorum äcentro-Planetz. Et inde confequens
Bbb 2 eft

eft,(per Prop. LXIX. Lib.L& ejus Corollaria) gravitatem in Ömnes proportionalem effe materize in üldem.! S
Porrö cum Planetz cujufvis A parttes omnes graves fint in Planetam quemvis B,‘& gravitas partis cujulque fit ad gravitatem totius, lt materia partis ad materiam totius,& aCtioni omni reactio (per motus Legem tertiam) zqualis fit; Planeta B in partes omnes Planet 4 viciflim gravitabit,& erit gravitas fua in partem. umamquamque ad gravitatem{uam in torum, ut mäateria partis ad materam totius._Q. EZ. D.
Corol.ı. Oritur igitur& componitüur gravitas in Planetam totum ex gravitate ın partes fingulas. Cujus rei exempla habemus in attractionibus Magneticis& Electricis. Oritur Enim attractio omns in totum ex attractionibus in partes fingulas, Res intelligetur in gravitate, concipiendo Planetas plures minores in unum Globum coire& Planetani majorem componere. Nam vis totius ex viribus partium componehtium oriridebebit,‘Siquis objiciat quod corpora Omnia, quz apırd nos fünt, hac lege gravitate deberent in fe mutuö;chm tamen ejüfmodi gravitas neutiquam fentiatur: Re{pondeo quod gravitas in hac corpora, cum fit ad gravitatem in Terram totam ut funt hac corpora ad Terram totam, l1onge minor eft quam que fentiri poflit.
Corol. 2. Gravitatio in fingülas corporis particulas xquales eft reciproce ut quadratum diftantig locorum ä particulis. Pater per Corol. 3. Prop. LXXIV. Lib.1.
Prop. VE.“ Theor. VIL
Si Globorum duorum in fe mutuo gravitantium materia undique,in regi0nıbus que 4 centris xqualiter dıflant, homogenea fıt: erit pondus Globi alterutrins in alterum recıproce ut quadratum di/lantie inter centra.
Poftquam invenifflem gravitatem in Planetam totum oriri& componi ex gravitatibus in. partes;& efle in partes fingulas reciproce
pro

L 413 1 proportionalem quadratis diftantiarum ä partibus: dübitabam an teciptoca illa proportio duplicata obtineret accurate in vi tota ex viribus plüribus compofita, an verö quam proxime. Nam fieri poffer ut proportio illa in mäjoribus diftanetis fatis obtineret, at prope fuperficiem Planetz, ob inzquales particularum diftantias& {itus diffimiles, notabiliter erraret. Tandem verö, per Prop.LXXV. Libri primi& ipfius Corollaria, intellexi veritatem Propofitionis de qua hic agitur.
Corol. ı. Hinc-inveniri& inter fe compararı poflunt pondera corporum in diverfos Planeras. Nam pondera corporum xqualium eircum Planetas ‚in circulis revolventium funt( per Prop. IV. Lib. 1.) ut diämetri Circulorum directe& quadrata. tempotrum periodicorum inverse;& pondera ad fuperficies Planetarum aliasve quafvis ä centro diftantias majora funt vel minora(per hanc Propofitionem) in duplicata ratione diftantiarum inverfa. Sic ex temporibus periodicis Veneris circa Solem dierum 224 2 ,Satellitis extimi circumjovialis circa Jovem dierum 16?, Satellitis Hugeniani circa Saturnum dierum 15& horarum 22*,&. Lunz circa Terram 27 dier. 7 hor.. 43 min. collatis cum diftantia. mediocri Veneris 3 Sole; cum Elongatione maxima Heliocentrica,. Satellitis extimi circumjovialis,quz(in mediocri Jovis ä Sole diftantia. juxta obfervationes Flamftedii) eft 8. 13"; cum elongatione maxima Heliocentrica Satellitis Saturnii 3‘. 20”;& cum diftantia Lunz: ä Terra, ex Hypothefi quod Solis parallaxis horizontalis feu femidiameter. Terrz€ Sole vilx fir quali 20"; calculum ineundo inveni quod corporum zqualium& ä Sole, Jove, Saturno ac. Terra. gqualiter diftantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram forent ad invicem ut’ 1, 4, 5& iz refpedtive. Ef autem Solis femidiameter mediocris apparens quali 16‘. 6’. Wam: Jovis.€ Sole vifam Flamftedius,. ex urabrz Jovialis diametro per Eclipfes Satellitum inventa, determinavit efle ad elongationem ' Satellitis extimi ut ı ad 24,9 adeoque cum elongatio ilia fir 8%. 13” femidiameter Jovis€ Sole vifi erit 19”?... Üamerer Saturn
eft:

EC 414 J eft ad diametrum Annuli ejus ut 4 ad 9,& diameter annuli€ Sole vifi(menfurante Flam/tedio) 50", adeoque femidiameter Saturni€ Sole vifi 11". Malim. dicere 10” vel 9”, propterea quod globus Saturni per lucis ingqualem refrangibilitatem nonnihil diJatatur.| Hinc inito calculo-prodeunt verz Solis, Jovis, Saturni ac Terrzg femidiametriad invicem ut 10000, 1063, 889,& 208. Unde cum pondera zqualium corporum ä centris Solis, Jovis, Saturni ac Telluris zqualiter diftantium fint in Solem, Jovem,-.Satzurnum ac Terram ut 1,+, zz, zz refpetive,& auctis vel diminutis diftantiis diminuuntur vel augentur pondera in duplicata ratione; erunt pondera eorundem zqualium corporum in Solem, Jovem, Saturnum& Terram, in diftantiis 10000, 1063, 889& 208 ab eorum centris, atque adeo in eorum fuperficiebus verfantium, ut 10000, 804;, 536& 805; refpective.. Pondera corporum in fuperficie Lunz fere.duplo minora efle quam pondera corporum in fuperficie Terrg dicemus in fequentibus.|
Corol. 2. Igitur pondera corporum zqualium, ‚in fuperficiebus "Terrz& Planetarum, füunt fere in ratione dimidiata diametrorum apparentium€ Sole vifarum.. De Terrz quidem diametro€ Sole vila nondum conftat. Hanc allumpfi 40”, propterea quod obferwvationes Kepleri, Riccioli-8& Vendelini non multo majorem efle permittunt; eam Horroxit 8& Flamftedii oblervationes paulo minorem adftruere videntur. Et malut in exceflu peccare. Quöd fi forte diameter illa& gravitas in(uperficie Terrz mediocris fir inter diametros Planetarum& gravitatem in eorum fuperficiebus: quoniam Saturni, Jovis, Martis, Veneris& Mercurii€ Sole viforum diametri. dunt 18”, 391, 8°, 28°, 20’ circiter, erit diameter Terrz quafi 24", adeoque Parailaxis Solis quafi 12”, ut Horroxins& Flamftedius propemodum{tatuere.. Sed diameter paulo major melius congrult cum Regula hujus Corollarii,
Corol. 3. Innotefcit etiam quantitas materig in Planetis fingulis., Nam quantitates ille fünt ut Planetarum Vires in diftantiis 3 fe zqualibus; id eft in Sole, Jove, Saturno ac Terraut 1,%
;
30907

EC 415 1 Le, els refpective. Si Parallaxis Solis’ ftatuatur minor quäm 20”, debebit quantitas materiz In Terra diminui in tripliCata ratione.:
CGrol. 4. Innetelcunt etiam denfitates Planetarum.. Nam corporum zqualium& homogeneorum pondera in Sphaeras homogeneas in füperficiebus Spheerarum, funt ut Sphararum diametri per Prop. LXXI. Lib.I. ideoque Sphaerarum heterogenearum denfirates funt ut pondera applicata ad diametros. KErant autem verz Solis, Saturni, Jovis ac Terre diametri ad invicem ut 10000, 889, 1063& 208,& pondera in eofdem ut 10000, 536, 804}& 8o5;,& propterea denfitates funt ut 100, 60, 76,
87. Denfitas autem Terra, quz hic colligitur, non pendet ä-Parallaxi Solis, fed determinatur per parallaxin Lunz,& propterea hicrecte definitur. Eft igitur Sol paulo denfior quäm Jupiter,& "Terra multo denfior quäm Sol.
Corol. 5. Planetarum autem denficates inter fe fere funt in ratione compofita ex ratione diftantiarum ä Sole& ratione dimidiata: diametrorum apparentium€ Sole vifaruım... Nempe Saturnt, Jovis, Terre& Lunz denfitates 60, 76, 387& 700, fere funt ut. diftantiarum reciproca 5, 5 3& zz, dudta im radices.diametrorum. apparentium 1 8”, 39”;, 40”,& 11°. Diximus uttque, in Corollario fecundo, gravitatem ad fuperficies Planetarum eifle quam proxime in ratione dimidiata apparentium ‚diametrorum€ Sole vilarum;& in Lemmate quarto denfitates efle ut gravitates ill applicata ad diametros veras: ideoque denfitates fere. {unt ut radices, diametrorum apparentium: applıcate ad. diametros veras,‘ hoc eft reciproce ut diftantia Planetarum ä Sole-duCtz in radices diametrorum apparentium. Collocavit‘ igitur Deus Planetas in diverfis diftantis ä Sole, ut quiliber pro gradu denfitatis calore Solis majore vel minore.fruatur.| Aqua noftra, fi Terra locaretur in orbe Saturni, rigeferet, fi in orbe Mercurii ind vapores{(tatim abiret. Nam ‚lux- Solis, cut calor proportionalis eft, feptuplo denfior eft in orbe Mercurii quäm apud nos:&.Thermometro.

[ 461 mometro expertus fum quod feptuplo Solis zeltivi calore aqua ebullie. Dubium verö non eft quin materia Mercurii ad<calorem accommodetur,& propterea denfior fit hac noftra; cum materia omnis denfior ‚ad ‚operationes Naturales,obeundas majorem«calorem requirat.
Prop. IX. Theor. IX.
Gravitatem pergendo a fuperficiebus Planetarum deorfum decrefcere in ratione diftantiarum d centro quam proxime.
Si materia Planetz quoad denfitatem uniformis eflet, obtineret ‚hzc Propofitio accurate: per Prop. LXXIL Lib.1. Error igitur tantus eft, quantus ab inzquabili denfitate oriri poflit.|
Prop. X. Theor. X. Motus Planetarum in Celis diutifime confervari poffe.
In Scholio Propofitionis XL. Lib. IL. oftenfum eft quod globus Aquxe congelatze in Aere noftro, libere movendo& longitudinem femidiametri fux deferibendo, ex refiftentia Aeris amitteret motus füi partem„=. Obtinet autem eadem proportio quam proxime (per Prop. XL. Lib. IL) in globis utcunque magnis& velocibus.. Jam verö Globum Terrz noftrz denfiorem effle quam fi totus ex Aqua conftaret, fıc colligo. Si Globus hicce totus eflet aqueus,. quecunque rariora ‚ellent quäm aqua, ob minorem{pecificam gravitatem emergerent&{upernatarent.‘ Eaque de caufa Globus terreus aquis undique coopertus,{fi rarior eflet quam aqua, emergeret alicubi,& aqua omnis inde defiuens congregaretur in tegione oppofita. Et pareft ratio Terra noftrge maribius magna ex parte circumdatz, Hec fi denfior non effet, emergeret ex maribus,& parte fui pro gradu levitatis extaret ex Aqua, maribus omnibus in
) regionem

E47 7
regionem oppofitam confluentibus. Eodem argumento macula Solares leviores funt quäm materia Iucida Solaris cui fupernatant. Er in formatione Ay Planetarum, materia omnis gravior, quo tempore. mafla tota fluida. erat, centrum petebat.: Unde cum
“Terra communis fuprema quafi duplo gravior fit quam aqua,&
paulo inferius in fodinis quali triplo vel quadruplo aut etiam quintuplo gravior reperiatur.: verifimile eft quod copia,materix totius in Terra quafi quintuplo vel fextuplo major fit quäm fi tota ex aqua conftaret; prafertim cum Terram, quafi quintuplo denforen effe quäm Jovem jam ante oftenfum fit. Igitur{1 Jupiter paulo. denfior fit quäm aqua, ‚hic fpatio,dierum viginti& unius, quibus.. longitudinem 320;(emidiametrorum fuaruım de(cribit, amitteret in Medio ejufdem denfitatis cum Aere noftro motus fui partem fere decimam. Verum cum refiftentia Mediorum minuatur in ratione ponderis ac denfitatis, fic ut aqua, que VIcibus 13% levior eft quäm ‚argentum..vivum, minus refiftat in eadem ratione;& aer, qui vicibus 800 levior eft quäm aqua, minus refiftat in eadem ratione: fi. afcendatur in coelos ubi pondus Medii, in quo Planet moventur, diminuitur in immen{um, refiftentia prope ceflabit.
Prop. XI. ,/Theor. XL
Commune centrum gravitatis Terre Solis<& Planetarum omnium. quiefcere,
Nam centrum illud(per Legum Corol. AD vel quiefcet vel progredietur uniformiter in dire&tum.. Sed.centro illo femper
progrediente, centrum Mundi quoque moyvebitur contra Hypothefin quartam.|;;

E zi6 4 Prop. XHI."Theor., XIL
Solem motu perpetno agitari fed nunquam longe recedere d communi gravitatis centro Planetarum omnium.
Nam cum, per Corol. 3. Prop. VIII. materia in Sole fit. ad materiam in Joveut'1100 adı,& diftantia Jovis ä Sole fit ad femediametrum Solis in eadem ratione circiter; commune centrum gravitatis Jovis& Solis incidet fere in fuperficiem Solis, Eodem argumento cum materia- in‘ Sole fit ad materiam in Saturno ut 2360 ad 1,& diftantia Saturni 2 Sole fit ad femidiametrum Solis in ratione paulo minori: incidet commune centrum gravitatis Saturni& Solis in pund&um paulo infra fuperficiem Solis. Et ejuldem calculi veftigis infiftendo fi Terra& Planet omnes ex una Solis parte confifterent, commune omnium centrum gravitatis vix integra Solis diametro 3 centro Solis diftaret. Allis in cafıbus diftantia centrorum femper minor eft. Er propterea cum centrum illud gravitatis perpetuo quiefcit, Sol pro varıo Planetazum fitu in omnes partes movebitur, fed ä centro illo nunquam Jonge recedet,
Corol. Hinc commune gravitatis: centrum Terra, Solis& Planetarum omnium pro centro Mundi habendum eft. Nam cüm Terra,‘ Sol& Planetz omnes gravitent in fe mutuö,& propterea, pro vi gravitatis füge, fecundum leges motüs perpetuö agitentur: perfpicuum eft quod horum centra mobilia pro Mundi centro quiefcente haberi nequeunt. Si corpus illud in centro locandum e{ffet in quod corpora omnia maxim€ gravitant(uti vulgi eft opinio) privilegium iftud concedendum eflet Soli. Cum autem Sol moveatur, eligendum. erit punctum quiefcens, ä quo centrum Solis
uam. minıme difcedit,&& quo idem adhuc minus difcederet, fi modö Sol denfior effler&. major, ut minus moveretur..
Prop.

‚echo B dm”Prop.. XI. Thor. XI.
Planete moventur in Ellipfibus umbilicum habentibus in centro Solis, x radüs ad centrum illud duttis areas defcribunt temporibus proportionales. i;
Difputavimus füpra de’his motibus ex Phenomenis. Jam cognitis'motuum principiis, ex his colligimus motus coeleftes ä priori.. Quoniam pöondera Planetatum in Solem funt reciprace ut quadrata diftahtiatum 2 centto Solis;(Sol quiefceret& Planetz reliqui on agerent in fe mütuö, forent orbes Cotum Eliptici, Solem in umbilico communi habentes,& arex defcriberentur temporibus proportionales( per Prop..I.& XI,& Corol. 1. Prop. XI. Lib. I.) A&iones autem Planetarum in fe mutuö perexigus funt (ut poflint contemni)& motus Planetarum in Ellipfibus circa Solem mobilem minus perturbant(per Prop. LXVI Lib. I.) quäm fi motus.ifti circa Solem quiefcentem peragerentur.)
ACtio quidem Jovis in Saturnum non’ eft omnino contemnenda. Nam gravitas in Jovem eft ad gravitatem in Solem( paribus diftantiis)-ut ı ad‘ 1100; adeoque in conjunctione Jovis& Saturni, quoniam diftantia Saturni a Jove eft ad diftantiam Saturni 2 Sole fere ut 4 ad 9, erit gravitas Saturni in Jovem ad gravitatem Saturni in Solem ut 81 ad 16x1100 44€ ı ad 217 circiter. Error tamen omnis in motu Saturni circ2 Solem, äranta in Jovem gravitate Oriundus, evicati fere poteft conftituendo umbilicum Orbis Saturni in communi centro gravitatis Jovis& Solis (per Prop. LXVIL Lib. 1.)& propterea ubi maximus eft vix fuperat minutos duos primos. In conjunctione autem Jovis& Saturni gravitates acceleratrices Solis in Saturnum,[Jovis in Saturnum & Jovis in Solem füunt fereut 16, 81&“E2® fen 122342, adeoque differentia gravitatum Solis in Saturnum& Jovis in Saturnum eft ad gravitatem Jovis in Solem ut 65 ad 122342 feu ı ad 1867,
Cecı Huic

E40]; Huic autem differentig proportionalis et maxima Saturni efficacia ad perturbandum motum Jovis,-& propterea perturbatio orbis Jovialis longe minor eft quäm ea Saturnii, Reliquorum orbium perturbationes funt adhuc longe minores..
Prop. XIV. Theor. XIV.
Orbium Abphelia& Nodi quiefcunt.
- Aphelia quiefcunt;, per Prop. XI. Lib. I. ut& orbium plana, per ejufdem Libri Prop.. I.& quiefcentibus planis quiefcunt Nodi. Attamen A. Planetarum revolventium& Cometarum actionibus in fe invicem. orientur inzqualitates aliquz, fed que ob parvitatem contemni. poflunt..; A ae „ Corol.. 1... Quiefcunt etiam. Stell fixe, propterea quod datas ad Aphelia Nodofque pofitiones fervant. RR OS Ir ar Corol. 2.. Ideoque cum nulla fit earum parallaxis fenfibilis ex Terrg motu annuo oriunda, vires earum ob immenfäm corporum Sitanılam nullos edent fenfibiles effectus in regione Syftematis noZr.. At
Prop. XV."Theor, NY. Tavenire Orbium tranfverfas diametros.
Capiendz funt hz in-ratione felquialtera temporum. periodicorum, per Prop. XV. Lib. I. deinde fıgillarim. augendz in ratione hımmz, maflaruım Solis& Planetz cujulque revolventis ad primam: duarum. medie. proportionalium. inter, fummam illam& Solem, pex Prop. LX. Lid. 1. Hd& ee
Prop

L42] Prop. XVL Prob. I.
Invenire Orbium Excentricitates& Aphelia. ‚‚Problema confit per Prop. XVIIL Lib. I. Prop. XVII."Theor. XVI
„.. Planetarum motus diurnos uniformes effe,& librationem Lunge: ‚ ex.ipfius motu diurno orirt.
Patet per motus Legem I,& Corol..22. Prop. LXVE Lib. I Quoniam. verö Lunz,circa axem fuum uniformiter revolventis, dies menftruus eft; hujus. facies eadem. ulteriorem umbilicum orbis ipfius femper refpiciet,&. propterea pro fıtu umbilici illius deviabit hinc.inde ä Terra. Hec eft libratio.in longitudinem. Nam libratio in latitudinem orta.eft.ex inclinatione axis Lunaris ad planum orbis. Porrö hc ita fe habere, ex Phenomenis manifeltum: eft..
Prop. XVII... Theor. XVII
Axes Planetarum diametris que ad eofldem axes normaliter. ; ducuntur minores effe.
Planetz fublato omni motu circuları diurno figuram Sphaericamss, ob zqualem undique partium gravitatem; affectare.deberent, Per motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta zqua- torem afcendere conentur.| Ideoque materia.fi Auida fit afcenfu fuo ad zquatorem. diametros. adaugebit,.axem verö..defcenfu fuo: ad: polos diminuet. Sic Jovis diameter(‚confentientibus obfervationi-.bus Cafini.& Flamftedi) brevior deprehenditur inter polos quäm-ab. oriente. in. occidentem.. Eodem. argumento, nifi. Terra. noftra

‚L422] pauld altior effet füb xquatore Bin ad polos, Maria ad polos {ubfiderent,& juxta zquatorem afcendendo, ibi omnia inundarent,
Prop. XIX.| Prob. II,
Tnvenire proportionem axis Planet ad diametros eidem perpendichlares,
Ad hujus Problematis folutionem requiritur computatio multiplex, quz facilius exemplis quäm preceptis addifcitur. Inito igitur calculo invenio,per Prop. IV. Lib.1I. quod vis centrifuga partium Terrzg füb zquatore, ex motu diurno oriunda, fit ad vim gravitatis ut.ı ad 290%. Unde fi APB Qfiguram Terre defignet revolutione Ellipfeos circa axem minorem P Q genitam; firque ACQgca canalis aquz plena, ä polo Qg ad centrum Cc,& inde ad zquatorem Aa pergens: debebit pondus aquze in canalis crure ACc a effe ad pondus aquz in crure altero Q.Ccg ut 291 ad 2906,€6 quöd
vis centrifuga ex circuları motu orta partem unam€ ponderis partibus 29 ı fuftinebit& detrahet,& pondus 290 in altero crure fuftinebit partes reliquas. Porrö
(ex Propofitionis XCI. Corollario fecundo, Lib. I.) computationem ineundo, invenio quod fi Terra conftaret ex uniformi materia, motuque omni privaretur,
& eflet ejus axis P Q_ad diametrum AB
ut 100 ad 101: gravitas in loco Q.in
Terram, foret ad gravitatem in eodem loco 2. in fpharam centro Cradio P C vel QC defcriptam, ut 126% ad 125%. Et eodem argumento gravitas in loco 4 in Spheroidem, convolutione Ellipfeos APBQ circa axem AB deferiptam,eft ad gravitatem in eodem loco A in Spharam centro C radio AC defcriptam, ut 125% ad 1262. Eft autem gravitas in loco A in Terram, media proportionalis inter ‚gravitates in di&tam Spheroidem‘& Spheeram, propterea quod Sphe

L423 1
‚Sphzera,diminuendo.diametrum P in ratione 101 ad. 100, Vertitur in figuram Terrz;& hac figura diminuendo in.eadem. ratione diametrum tertiam,. que diametris duabus AP, P Q.perpendicularis eft,. vertitur in dictam Spheroidem;& gravitas in 4, in cafu utroque, diminuitur im cadem ratione quam proxime. Eft igitur gravitasılm 4 in Spheram centro Cradio AC deferiptam, ad gravitatem in 4 in Terramut 26 ad 125%,& gravitas in loco Q. in Spheram. centro C radio 2C deferiptam, eft ad gravitatem in loco A in Spheeram centro C radio ACC defcriptam, in ratione diametrorum: (per Prop: LXXIL Lib.1.) id’ eft ut 100.ad 101: Conjungantur jam ha tres rationes, 126% ad 125%, 125; ad 126& 100ad 10% & fiet gravitas in loco 2. in TFerram ad gravitatem in loco: AinTerramzut 126x126 X 100 ad 125X 125; X 101 feuut j0r ad. 500.;
Jam cum per Corol. 3. Prop. XCL Lib. I. gravitas in‘ canalis crure‘ utrovis ACca vel QCcg fit ut diftantia 1ocorum& centro: Terrz; fi crura illa fuperficiebus tranfverfis& zquidiftantibus diftinguantur in partes totis proportionales, erunt pondera partium: fingularum in crure AC ca ad pondera partium totidem: in crure altero, ut: magnitudines& gravitates acceleratrices conjunctim; id eft ut 101ad 100.& 500 ad 501, hoc eftut' 505 ad 501. Ac proinde fi vis centrifuga partis cujufque in crure. 4 Cca ex motu diur-. no oriunda, fuilfet ad pondus partisejuldem ut 4.ad 505,€ö ut de: pondere partis cuju{que, in partes 505 divilo, partes quatuor detra-. heret; manerent pondera in utroque crure equalia,& propterea. fluidum confifteret in zquilibrio. Verum. vis centrifuga partıs cusjufque eft ad pondus ejuldem ut 1 ad 290. Hoceeft,, vis centripeta. qua deberet elle ponderis pars;& eft tantum. pars;,& propterea. dico, fecundum Regulam auream,quod f1 vis centrifuga:;%, faciat ut: altirudo aqua in crure ACca fuperet altitudinem aqua. in crure: Q.Ccq parte centefima totius altitudinis: vis centrifuga= faciet ut exceflus altirudinis in cruce AC ca fit altitudinis in crure altero QCcq: pars tantum 4, Eft igitur diameter Terre. fecundum zquatorem:

CH4Q
ad ipfius diametrum per polos ut 692 ad 689. Ideoque cm Terrz{emidiameter’mediocris, juxta nuperam Gallorum menfüuram, fit pedum Parifienfium 19615800 feu milliaritum 3923:(pofito -quod milliare fit menfura pedum 5000;) Terra altior erit ad xqua-torem quäm ad polos, exceflu pedum 85200 feu milliarium 17.
Si Planeta vel major fit vel denfior, minorve aut rarior quäm Terra, manente tempore periodico revolutionis diurnge, manebit ‚proportio vis centrifuge ad gravitatem,& propterea manebit etiam ;proportio diametri inter polos ad diametrum feeundum zquatorem. At fi motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur, augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione,& propterea differentia diametrorum augebitur in eadem duplicata ratione. Unde cum Terra refpectu fixarum revolvatur horis.23, 56’, Jupiter autem horis 9, 56’, fintque temporum quadrata ut 29.ad 5, differentia diametrorum Jov# erit;ad ipfıus diametrum minorem ut 22 ad ı, feu ı ad 39% Eft igitur diameter Jovis ab oriente in occidentem ducta, ad ipfius diametrum inter polos ur 40? ad 392 quam proxime. Hacita{e habent ex Hypothefi quod uniformis{it Planetarum materia. Nam{1 materia denfior fit ad.centrum quäm ad circumferentiam, diameter; quxz ab orientein occidentem ducitur, erit adhuc major.
Prop. XX. Prob. III:
Invenire& inter fe camparare pondera corporum in regionibus diver fis.
Quoniam pondera inzqualium crurum canalis aquez ACQqca xqualia funt;& pondera partium, cruribus totis proportionalium & fimiliter in totis fitarum, funt ad invicem ut pondera totorum, adeoque etiam xquantur inter fe; erunt pondera zqualium& in cruribus fimiliter fırarum partium reciproce ut crura, 1d eft reciproce ut 692 ad 689. Et par eit ratio homogeneorum& zqualium quorumvis& in canalıis cruribus fimiliter firorum corporum. Horum
KA

L425 1 A pondera funt reciproce ut crura, id eft teciproce ut diftantiz corpo” rum A centro Terrx. Proinde fi corpora in{upremis canalium partibus, five in fuperficie Terre confıftant; erunt pondera corum ad invicem reciproce ut diftantig eorum A centro. Et codem argumento pondera, in aliis quibufcunque per totam Terrz fuperficiem regionibus, funt reciproce ut diftantig locorum ä centro;& propterea, ex Hypothefi quod Terra Spheerois fit, dantur proportione.
Unde tale confit Theorema, quod incrementum ponderis, pergendo ab /Equatore ad Polos, fit quam proxime ut Sinus verfus latitudinis duplicatz, vel.quod perinde ‚eft ut quadratum Sinus recti Latitudinis.. Exempli gratia, Latitudo Lutetie Parifiorumelt 48 gr. 45: Ea Infulz Goree prope Cape Verde ı4 gr. 15’: ca Cayenne ad littus Guaiane ‚quafi 5, gr. ca locorum füb Polo 90 gr. Duplorum 973 gr. 28: gr. 10 gr.& 180 gr. Sinus verfidunt 11305, 1211, 152,& 20000.. Proinde cum gravitas.in Polo fit ad gravitatem fub Equatore ut 692 ad 689,& exceflus ille gravitatis füb Polo ad gravitatem füub /Equatore ut 3 ad 689; erit exceflus gravitatis Lutetie, in Infula Goree& Cayenne, ad'gravitatem fub xquatore ut Ze Zee& Bad 689, eu 33915, 3633,& 456 ad 13780000,&-propterea gravitates totz in his lLocıs erunt ad invicem ut 13813915, 13783633, 13780456& 13780006. Quare cum longitudines, Pendulorum gqualibus temporibus ofcillantium{int ut gravitates,& Lutetie Parifiorum Longirudo penduli fingulis minutis fecundis ofcillantis fit pedum trium Parifienfiuum& 7 partium digiti; longitudines Pendülorum in Iniul& Goree, in illä Cayenne& füb Equatore, minutis fingulis(ecundis ofcillantium fuperabuntur. 4 Longitudine Penduli ‚Parifienfis excefbus zz 26& 2: partium digiti, ‚Hacıomnia ita fe habebunt, ex Hypothefi quod Terra ex unitormi materia conftat. Nam fi materla ad centrum paul denfior fit‘quäm ad fuperficiem, exceffus illı erunt paulö majores;;, propterea quod). fi materia ad centrum redundans, qua denfitas ibi major redditur,(ubducatur&(eorfim {ped&etur, gravitas in Terram reliquam uniformiter denfam erit
Ddd re

L 4267
reciproce ut diftantia ponderis ä centto; in materiam verö redundantem reciproce ut quadratum diftantig ä materia illa quam proxime. Gravitas igitur fub'aquatore minor erit in‘ materiam illam redundantem quäm pro computo fuperiore,& propterea Terra ibi propter defe&tum gravitatis paulo altius aflcendet quäm in precedentibus definitum'eft..- Jam verö Galli factis experimentis in— venerunt quod Pendulorum minutis fingulis fecundıs ofcillantium longitudo Pari/iis major fıt quäm in Infula Goree, parte decima digiti,& major quäm Cayenne parte octava. Paulo majores funt hz : differentig quam differentig 3& 22 que per Computationem fupetiorem prodiere.:& propterea(fi craffis hifce Obfervationibus fatis confidendum fit)"Terra aliquanto altior erit füub 2quatore quäm pro fuperiore calculo,& denfior ad centrum quäm in fodinis-prope Auperficiem,_ Si exceflus gravitatis im locis hifce Borealibus fupra. gravitatem ad’ xquatorem, /Experimentis Mmajori cum diligentia inftitutis, accurate tandem determinetur, deinde exceflus ejus ubique fumatur in ratione Sinus verfi latitudinis duplicatz; determinabitur tum Menfura Univerfalis; tum‘£quatio temporis per zqualia pendula in locis diverfis indicati, tum etiam propor‚t1o diametrorum Terrz ac denfitas ejus ad centrum; ex Hypothefi ‚quod denfitas illa, pergendo ad circumferentiam, uniformiter decrefcat, Qua quidem Hypothefis, licet accurata non fit, ad ineundum tamen calculum aflumi poteft.
Prop. XXI. Theor, XVIIL
Puntta /Equinofialia regredi,& axem Terre fingulis revolutionibus nutando bis inclinari.in Eclipticam& bis redire ad pofitionem priorem.
Patet per Corol. 20. Prop. LXVI. Lib. I. Motus tamen ifte mutandi perexiguus efle debet,& vix aut ne vix quidem fenfibilis.
Prop.

Prop. XXil.. 7 Theot. XIX
Motus omnes Lunares, omne/que motunm inequalitates ex allatis Principiis confequ.|
Planetas majoreszinterea dum circa Solem feruntur, pofle altos minores circum Te rtevolventes Planetas deferre,& minores 1illos ın Ellipfibus; umbilicos in centris, majorum habentibus,revolvi debere patet per PropILXV. Lib: L> Actione autem: Solis.perturbabungur corum motus multimode, iifque adficientur inzqualitatibus que in Luna noftra notantlr./oHiec utique(per Corol. 2, 3, 4,& 5 Prop.LXVL) velocius movetur, ac radio ad Terram ducto delcribit areanı-pro:tempore majorem; orbemque habet minus curvim, - atque adeö propius accedit:ad Terram; in'Syzygiis quäm in Quadraturis, nifı quatenus impedit motus Excentricitatis Excentricitas enim maximaeft(pet Corol. 9. Prop: LXVI.):ubi Apogzum Lun& in Syzygiis verlatur,&:minima ubi idem’in Quadraturis confiftic;& inde Luna in:Perigxo velocior eft&-nobis propior,' in Apogzo autem tardior& remotior in Syzyglis quäm in Quadraturis, Progreditur infuper Apogzum;& regrediuntur Nodi, fed motu inzquabili. Et Apogzum quidem.(per Corol. 7&:8 Prop. LXVI.) velocius’progreditur im Syzygis(uis, tardius regreditur in Quadraturisy)& ‚exceflurprogreflus-{uprarregreffunyannuatim-fertur in confequentia. /Nodi autem(per Corol. 11: Prop. LXVL) quiefunt: in Syzygiis fuis,& velociflime. regrediuntur in Quadraturis, Sed& _ major eft Lunz latitudo maxima in ipfius. Quadraturis:( per Corol/n 0: Prop. LXVE): quiämvin Syzygüs:& motus medius velo-: cior in Perihelio Terra(per Corol; 6: Prop. LXVI.) quim in ipfius Aphelio... Arque ha fünt inzqualitates infigniores ab. Aftronomis notatz. KO na muwnoboVl mung.
Sunt ettam alie quezdaminondum/obfervatz ing qualicates; qui“) bus motus Lunarzs adeo perturbantur, ur nulla hactenus legead Ke, Ddd ı gulam

C 4281 gulam aliquam certam reduci potuerint. Velocitates enim feu motus horari! Apogzi& Nodorum Luhz, /& eorindem zquationes, ut& differentia inter excentricitatem maximam in Syzygiis& minimam in Quadraturis,& inzqualitas quz Variatio:dicitur, augentür ac diminuuntur annuatim(per. Corol. 14. Prop. LXVI.) in triplicata ratione diametri apparentis Solaris. Et Variatio przterea augetur vel diminuitur in duplicata ratiöne-temporis,inter quadräturas quam proxime(per Corol.1& 2. Lem. X;& Corol 16. Prop. LXVL Lib. 1.) Sed hzc inzqualitas in calculo-Aftronomico, ad Proftaphzerefin Lunz referri folet,& cum ea confundi,
Prop. XXIIL Prob. IV.
Motus inequales Satellitum Fovis&* Saturni@ motibus Lunaribus: derivare OHG
Ex motibus Lunz noftrz motiis. analogi Lunarum feu Satellitum Jovis fıc derivantur. ‚Motus medius Nodorum Satellitis extimi Jovialis eft ad motum medium Nodorum Lunz noftrz, in ratione compofita ex ratione duplicata temporis periodici Terrz circa Solem ad tempus periodicum Jovis Girca Solem,& ratione fimplici. temporis ‚periodici, Satellitis circa Jovem‘ad tempus_ periodicum Jovis circa Solem,& ratione fimplici temporis periodici‘Satellitis circa. Jovem ad:tempus-periodicum Lunz circa Terram:(per Corol. 16. Prop. LXVL) adeeque annis centum conficit Nodus ifte Her. 34. in antecedentia. Motus medii Nodorum Satellitum interiorum{unt ad motum hujus, ut illorum. tempora periodica ad tempus periodicum hujus, per idem Corollarium,&. inde dantur. Motusautem Augis Satelliris cujufque in confequentia eft ad motum Nodorum ipfius in antecedentia ut motus. Apogzi Lunz no{trz ad hujus motum Nodorum( per idem Corol.)& inde datur.. Diminuitamen debert motus Augis ficinventus in ratione’5 ad 9 vel ı ad 2 cireiter, ob caufam. quam hic exponere non vacat, . om A ya x Ag

L 429.3
/Equationes maxime Nodorum&, Augis Satellitis cujulque fere funt ad zquationes maximas Nodorum& Augis Lunz refpective, ut motus Nodorum& Augis Satellieum ‚tempore unius revolutionis gquationum priorum,ad motus Nodorum& Apogzi Lunz tempore unius revolutionis zquationum pofteriorum. Variatio Satellitis€ Jove fpectati, eft ad Variationem Lunz ut funt toti motus: Nodorum temporibus periodicis Satellitis& Lunge ad invicem, per ‚idem Corollarium,adeoque in Satellite extimo non fuperat 6”. 22". Parvitate harum inzqualitatum& tarditate motuum fit ut motus. Satellitum fumme regulares reperiantur, utque Aftronomi;recentiores aut motum omnem Nodis denegent, aut afferant tardifime retrogradum. Nam Flamftedius collatis fuis cum Cafıni Oblervationibus Nodos tarde regredi deprehendit.
Prop. XXIV. Theor. XX.
Fluxum& refluxum Maris ab attionibus Solis ac Luna oriri debere..
Mare fingulis diebus tam Lunaribus quäm Solaribus bis intumef cere debere ac bis defluere patet per Corol. 19. Prop. LXVI. Lib. I. ut& aquze maximam altitudinem, in maribus profundis& liberis,. appulfum Luminarium ad Meridianum loci minori quäm fex horarum fpatio fequi, uti fit in Maris Atlantici& Athiopici trau toto: orientali inter. Galliam& Promontorium Bone Spei, ut& in. Maris:
‚Pacifici Yittore Chilenfi& Peruviano: in quibus omnibus littoribus: zeftus in horam circiter tertiam incidit, nilı ubi motus ‚per loca vadofa propagatus aliquantulum retardatur. Horas numero ab appulfu-Luminaris utriufque ad Meridianum loci, tan infra Horizontem quäim fupta,& per horas diei Lunaris. intelligo vigefimas: quartas partes temporis quo Luna motu apparente diurno ad Meridianum loci revolvitur.. Ce
Motus. autem bini, quos Luminaria duo: excitant, non-cernentur: diftindte, fed motum quendam mixtum efficient. In Luminarium:
; Con

[40-1 Conjundtione vel Oppofitione conjungentur eorum effectus;& componetur fuxus& refluxus maximus.* In Quadraturis Sol ättoller aquam ubi Luna deprimit,.deprimetque ubi Sol attollitz& ex ef» fe&uum differentia xftus omnium minimus orietur, Et quoniam; experientia telte, major eft effectus Lunz quäm Solis, /incidet aquz maximaraltitudorin: horam tertiam Lunarem.. Extra Syzygias:& Quadraturas; zftusmaximus qui fola vi Lunari incidere temper de“ beret in horam tertiam Lunarem,& fola Solari in tertiam Solarem, compofitis viribus incidet in“tempus /aliquod. intermedium quod tertige Lunari"propinquius etz'adeoque in tranfitu Lunz äSyzygiis adQuadraturas, ubi hora. tertia Solaris precedit tertiamp Lunarem; maxima aquez altitudo precedet etiam tertiam!Lunarem; idque maximo intervallo paulo poft Octantes Lunz;& paribus intervals lis{tus maximus fequetur horam tertiam Lunarem in tranfitu Lunz i Quadraturis ad Syzygias. Hac ita funt1in'mari aperto. Nam in oftiis Fluviörum fluxus majores czteris paribus tardıus ad<xulw venient.) Pendent autem effe&tus Luminarium ex ecorum diftantiis 4 Terra. In minoribus enim diftantiis majores funt corum effectus; in majoribus minores, idque in triplicata ratione diametrorum apparentium.: Igitur Sol tempore hyberno, in Perigzo exiftens, majores edit effectus, eflicitque It zeftus in Syzygiis paulo majores fint, & in Quadraturis paulo minores(czteris paribus) quäm tempore zeftivo;& Luna in Perigzo fingulis menfıbus majores ciet zeftus quäm ante vel poft dies quindecim, ubi in Apogxo verfatur. Undefit ut zftus duo omnino maxim! in Syzyglis continuis fe mutuo non fequananir. r;) Pender etiam effeCtus utriufque Luminaris ex ipfius Declinitione fen diftantia ab Zquatore. Nam fi Luminare in polo conftitueretur, traheret illud fingulas aquz partes conftıinter, abfque actionis intenfione& remiffione, adeoque nullam motus reciprocationem cieret. Igitur Luminaria recedendo ab zquıtore polum verfus effectus fuos gradatim amittent,& propterea minores ciebunt zus in

L40 1, in. Syzyglis Solfticialibus quäm in /AEquinodtialibus. In Quadraturis autem Solftitialibus majores ciebunt{tus quäm in Quadraturis Aquinoctialibus; co quod Lunz jam in zquatore conftitutze effeCtus maxime fuperat effe&um Solis. Incidunt igitur z(tus maximi in Syzygias& minimi in Quadraturas Luminarium, circa tempora /AEquinocki utriufque. Et zftum maximum in Syzyglis comitatur femper minimus in Quadraturis,ut experientiä compertum eft. Per minorem autem diftantiam Solis a Terra,tempore hyberno quim tempore xftivo, fit ut zftus maximi& minim! fepius pracedant ‘Aquinodium vernum, quäm fequantur,,& fepius fequantur autumnale'quäm precedant. N ‚ Pendent-etiam' effe&us Luminarium ex locorum latitudine. Defignet ApEP Tellurem aquis profundis undique coopertam;€ centrum ejus; P.p, polos; 4E AEquatorem; Flocum quemvis extra: /Equatorem;Ff parallelum loci; Dd parallelum ei refpondentem ex-ältera parte zquatoris; L locum quem Luna tribus ante horis.occupabat; A locum Telluris ei perpendiculariter fubjetum; bh locum huic oppofitum; K, k loca inde gradi-, AP bus 96- diftantia, CH, Ch ln du Maris altitudines maximas nf x menfuratas ä centro Telluris; & CK, Ck altitudines minimas:& fi axibus Hh, Kk defcribatur Ellipfis,- deinde Ellipfeos hujus revolutione circa axem majorem Hh de-/ feribatur Spherois HPKhpk; defignabit hec. figuram Maris quam proxime,& erunt CF, Cf, CD, Cd altitudines Maris in loas F,f, Ds d. Quinetiam{1 in prafata Ellipfeos revolutione pun&um quodvis N defcribat circulum NM, fecantem parallelos Ff, D d in locis quibufvis R,T,& zquatorem AEin S; erit CN al titudo Maris in locis omnibus R, 5, T, fitis in-hoc circulo. Hincin revo

L 43? U Ss revolutione diurna loci cujufvis F, afluxus erit maximus in F, hora tertia poft appulfam Lunz ad Meridianum fupra Horizontem; po{tea defluxus maximus in@ hora tertia poft occafum Lunz; dein affluxus maximus in f hora tertia poft appulfum Lunz ad Meridianum infra Horizontem; ultimo defluxus maximus.in Q_hora tertia-poft ortum Lunz;& affluxus pofterior in f erit minor quim affluxus prior in F, Diftinguitur enim Mare totum in duos omnino fluctus Hemifphzricos, unum in Hemifphario X HkC ad Boream vergentem, alterum in Hemifphazrio oppofito X h kC3 quos igitur fluctum Borealem:& flu&um Auftralem nominare licet; Hi fluctus femper fibi mutuo oppofiti veniunt per vices ad Meridianos locorum fingulorum, interpofito intervallo horarıim Lunarium duodecim. Cumque regiones Boreales magis participant flud&um Borealem,& Auftrales magis Auftralem,. inde oriuntur zftus alternis vicibus majores& minores, in locis fingulis extra zquatorem. /Eftus autem major, Lunä-in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam poft appullum Lunz ad Meridianum fupra Horizontem.,& Lund declinationem mutante vertetur in minorem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tempora Solftitiorum; preefertim fi Lunz Nodus afcendens verfatur in principio Arietis. Sic experlentiä compertum eft, quod zftus matutini temporehyberno fuperent vefpertinos& velpertini tempore x{tivo matutinos, ad Phymuthüm quidem altirudine quafı pedis unius, ad Briftoliam verö altitudine quindecim digitorum: Obfervantibus Colepreffio& Sturmio.
Motus autem hactenus deferipti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum, qua Maris zftus, etiam ceflantibus Luminarium actionibus, poflet aliquamdiu perfeverare. Confervatio hzcce motus imprefli minuit difterentiam z{tuum alternorum; & zeftus proxime poft Syzygias majores reddit, cofque proxime. poft Quadraturas minuit. Unde fit nt zftus alterni ad Plymuthum 8& Briftoliam non multo- magis-differant ab invicem quäm altitudine pedis unius vel digitrorum quindeeim; utque xfhus ommium maximiin jildem portübus non fiat primi a Syzygiis fedtertii. Retardantur

E43 tur etiam motus omnes in tranfitu per vada, adeö ut zeftus omnium maximi, in fretis quibufdam& Fluviorum oftiis, fint quarti vel etiam quinti ä Syzygiis.;
Porrö fieri poteft ut zftus-propagetur ab Oceano fs freta diverfa ad eundem portum,& citius tranfeat per aliqua freta quäm per alia, quo. in cafu zftus.idem, in duos vel plures fucceflive advenientes divifus, componere poflit motus novos diverforum generum. Fingamus zftus duos zquales ä diverfis locis in eundem portum venire, quorum prior przcedat alterum fpatio horarum fex, incidatque in horam tertiam ab. appulfu Lunz ad Meridianum portus. Si Luna in hocce füo ad Meridianum appul fü verfabatur in 2quatore, venient{ingulis horis fenis zquales afluxus, qui in mutuos refluxus incidendo eofdem affluxibus xquabunt,&{ic fpatio diei illius efficient ut aqua tranquille ftagnet. Si Luna. tunc declinabat ab ‚/Equatore, Bent zltus in Oceano vicibus alternis majores& minores, uti dictum eft;& inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini majores‘& bini minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores component aquam altiflimam in medio inter utrumque, affluxus major& minor faciet ut aqua afendat ad mediocrem altitudinem in Medio ipforum,.& inter afluxus binos minores aqua alcendet ad altitudinem minimam. Sic fpatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fieri folet, fed femel tantum perveniet ad maximam altitudinem& femel ad minimam;& alticıdo maxima, fi.Luna declinat in polum fupra Horizontem loci, incidet.in horam vel fextam vel tricefimam ab appulfü Lunz ad Meridianum, atque Lund declinationem mutante mutabitur in defßuxum. Quorum omnium ‚exemplum, in portu regni Tunquini ad Batfham, üb Yatitudine Boreali 20 gr. 50 min. Halleins ex Nautarum Obfervationibus patefecit. Ibi aqua die tranfitum Lunz per Equatorem fequente{tagnat, dein Lund ad Boream declinante incipit fluere& refluere, non bis, ut in aliis portubus,. fed femel {ingulis diebus;& zftus incidit in occafum Lunz, defluxus maximus In ortum, Cum Lunz declinatione augetur hic zftus,ußlque ad
Eee; diem

SR
a
en m SEES
RES
€ 434 1
diem feptimum. vel o&tavum, dein per alios feptem dies iifdem
gradibus decrefcit, quibus antea creverat;& Lund declinationem Mutante cellat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim fübinde defluxus in occafum Lunz& affluxus’in ortum, donec Luna iterum mutet declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, alter ab Oceano Sinenfi inter Continentem& Infulam Luconiam, alter A Mari Indico inter Continentem& Infulam Borneo. An zftus fpatio horarum duodecim Ä Mari Indico,&(patio horarum fex ä Mari Sinenfr per freta illa venientes,& fic in horam tertiam& nonam Lunarem incidentes, componant hujufmodi motus; frne alia Marium illorum conditio ,. obferyationibus vicinorum. lirtorum. determinandum relinquo.. a; Ha&enus caufas motuum Lunzg& Marium reddidi, De quanzirate motuum jam convenit aliqua fübjungere,
AU
Prop. XXV. Prob: V.
Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lune,
Defignet Q. Solem,$ Terram, P Lunam, P ADB ortbem Lunge. In Q.P capiatur OK zqualis QS; firque AL ad OK in duplicata ratione
o> QKadQP,& ipfi Se SA ETC PS agatur parallda LM;& fi
gravitas acceleratrix.
"Terrzg in Solem exponatur per diftantiam QS vel 2X,
erit Q_Z, oravitas acceleratrix Lunz in Solem. Ea componitur ex partibus 0 M, LM, quarnum LM& ipfius QM pars SM perturbat motum Lunge, ut im Libriprimi: Props LXVL.& ejus Corollarlis expofitum eft, Qua»

Quatenus Terta& Lufli circum communegräVvitatis centrum re volvuntüt, pereurbabittir mötüs Terrz' circa centrum illud& viribus cönfimilibus; fed fünmas ta virium quiäm motüum tefeire Jicet ad Lunam,& fümmas virlum per lineas ipfis analogas SM & ML defignare. Vis ML’(in mediocri fux quantitate) eft ad vim gravitatis,qua Luna in orbe füo circa"T’erram quiefcentem ad diftantiam P S revolvi poffet, in duplicata ratione temporum periodicorum Lunz circa Terram& Terre circa Solem,( per Corol. 17. Prop. LXVL Lib. I.) hoc eft in duplicata ratione dierum 27. hor:7. min. 43. ad dies 365. hor. 6. min. 9. 1d eft ut 1000 ad 178725, feuı ad 178%. Vis qua Luna in orbe füo circa Terram quiefcentem, ad. diftantiam P.S{emidiametrorum terreftrium Go} revolvi poflet, eft ad vim, qua eodem tempore ad diftantiam femidiametrorum 60 revolvi polffet, ut 60; ad 60;& hazc vis ad vim gravitatis apud nos üt ı ad/60x 60. Ideoque vis mediocris ML eft ad vim gravitatis in füuperficie Terrz, ut ı x6o; ad Gox6ox 60x 1785 fu ı ad 6380926. Unde ex proportione linearum S M, ML, datur etiam vis SM:& he{funt vires Solis quibus motus Lunz perturbantur. OEL
Prop. XXVI. Prob, VI.
Invenire incrementüm dre£ quam Lüna radio ad Ter= ram dutto de/cribit.
Diximus aream,. quam Luna radio ad Terram ducto deferibie; effe tempori proportionalem, nifi quatenus motusLunaris ab actione Solis turbatur... Inzqualitatem momenti(vel.incrementi horarli) hic inveftigandam proponimus. Ur computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lune circularem efle,,& inzqualitates omnes negligamus,| ca fola excepta,.' de qua hic agitur. Ob ingentem verö Solis diftantiam ponamus etiam lineas 4 P, 0S fıbi invicem parallelas effe. Hoc pa&to vis LM reducetur femper ad mediocrem
Eee fuam

L 436 1 {uam quantitatem SP, ut& vis S.M.ad mediocrem fuam quantitatem 3 PK, He vires, per. Legum Corol. 2. componunt.. yvim SL;& hezc vis, fı in radium. SP demittatur perpendiculum LE; refolvitur in vires SE, EL, quarum S E, agendo femper fecundum radium SP, nec_ accelerat nec_retardat defcriptionem.arex AS P
Do
radio illo SP factam;& EL agendo fecundum perpendiculum, accelerat vel retardat ipfam,quantum accelerat vel retardat Lunam. ‚Acceleratio illa Lunz, in tranfıtu ipfius 4 Quadratura C ad conjundtionem 4, fingulis temporis momentis facta;. eft ut ipfa vis acceJerans E L, hoc eft ut 3PRESR; Exponaturtempus per motum me‚ dium Lunarem, vel(quod eodem fere recidit) per angulum CS P, vel“etiam per arcum CP, Ad€S erigatur Normalis€ G ipfi CS zqualis; Et divifo arcı quadrantali AC in‘ particulas innumeras’ xquales P’p&c. per quas xquales totidem particulz temporis exponi- poffint, ductäque pk perpendiculari ad CS, jungatur SG ipfis XP; kp produekis occurrens in F& f;&erit KkadPKutPpad Sp, hoc eft in data ratione,“adeoque FK x Kk-feu area FKk fur An id-eft ut Z L;& compofite, area tota GC AT ut um

Zn I furama omnium virium EZ L.tempore toto CP impreflarum in Lunam, atqlıe adeö etiam ut Velocitas hac fummä genita; id’ eftz u: acceleratio defcriptionisarex CS P,leu inctementum momenti. Vis qua ‚Luna! citca-Terram quiefcentem ad diftantiam SP, tempore füuo.periodico- CAD BCE dierum 27. hor. 7>min: 43.revolvi poflet, efficeret.ut Corpus, tempore CS cadendo, deferiberet longitudinem 5C-Sz Sc. yelocitatem fimul acquireret zqualem velocitati, qua Lurna in orbe fuo: movetur; Patet hoc‘ per Schol. Prop.' IV. Lib. I. Cum autem perpendiculum X din S Podemillum fit ipfius EL. parsı tertia,&: ipfıus'S PP feu: ML in:octantibus pars:dimidia;"vis E Lin Octantibus,: ubi maxima eft,ı fuperabit vim ML in ratione 3 ad’2, adeoque erit ad vim illam,qua Luna tempore-füo periodico circa Terram quiefcentem revolvi.poffet,ut 100ad? x 17872} Leu. 11915,& tempore CS velocitatem generare deberet quz. efletpars A. velocitatis: Lunaris;-tempore autem C PrA velocitatem majo-rem generaret in ratione-C Arad-C S feu SP: Exponatur vismaxima E Lin Octantibus per aream FKıx Kkrectangulo 5 SP xP p zqualem. Et velocitas,quam. vis maxima tempore quovis CP generare poffet,erit ad velocitatem quam visomnis minor E L’eodem tentpore’generat ut rectangulum;S Px CP ad areamKCG F: tempore autem toto CP A,velocitates genitz erunt ad invicem ut rectangulum SP xCA& triangulum SCG, five ütareıs quadrantalis CA ad radium SP. Ideoque(per Prop. IX. Lib. V. Elem.) velocitas pofterior, toto tempore genita,: erit:pars„2 velocitatis Lungi Huic Lunz velocitati, quz arex momento mediocri analoga eft,. adda-tur& auferatur dimidium velocitatis alterius; 8&{fimoementum mediocre,exponatur, per numerum 1 1915 dumma r1915 4-50: feu 11965 exhibebit momentum; maximum„atex in Syzygia A; ac differentia 11915— 5o:feu 41 865 ejuldem momentum minimum in Quadraturis, Igitur areg temporibus zquakibus-in-Syzygiis& Quadraturis defcripte, funt adinvicem ut r1965,ad 11865: Ad: meomentum minimum 1 ı 865 addatur momentum, quod fit ad:momentorum differentiam 1.00. ut trapezium FACG ad triangulum. SCG

0481 S CG(‚vel quod perinde eft, ‚ut-quadratum Sinus PK ad quadra‘ tum Radii SP; idieftut Pd ad SP):8& fumma exhibebit, mo: mentumzareze, ubi Lunaz-eft in 16c6 quovisintermedio P.
Hzc omnia-ita‘ fe habent, ex Hypothefiquod Sol 8 Terra quief* cunıt,& Luna. tempore Synodico dierum 2%. hör. 70 mim. 43. re volyituri- Cum: autem!periodis Synödica-Lunaris vere fit dierum 290 hor. 12:& minc4 4. augert debent momentorum°incrementa in rätione! tempöris.' Hoc. padto#incrementum totum, quod erat pass 15% momenti mediocris, jam fiet ejufdem pars 33. Ideoque momentund; arege in Quadratura Lühz:erit) ad’ ejus‘! Momentum in Syzygiaut 1 no23— go adıt 1023 503 feu 10973 ad’110673,& ad ejus momentum; ubi-Luna::in alio quovis 10co intermedio P verfatur, ut-10973 ad 10973++ Pd; exiftente videlicet'S P quali 100. 491%) we) old Area igiturp!quanm Luna radio ad Terran duco fingulis temporis particulis zqualibus deferibit, eft quam proxime ut fumma numeri 2194& Sintis verfi duplicatz diftantig Lunzg ä’Quadratiira proxima, in circulo.cujus radius eft unitas.| Hacita fe habent ubi Variatio in OCantibus eft magnitudinis mediocris./ Sin Variatio ibi major fir vel minor, augeri debet vel minuiSinus ille verfus” in eadem ratione.€
Prop. XXVIL Prob. VII.
Ex motu horario Lunge invenire ipfius‘ diftantiam' a Terra.
Area, quam Luna radio ad Terram du€to, fingulis temporis momentis,- deferibit, eft ut motus horarius Lunz’& quadratum di{tantiz Lunz 2 Terra conjundtim;& propterea diftäntia Lunz ä Terrä eft in ratione compofitä ex dimidiatä ratione Areg direCte 8 dimidiatä ratione motus horarli inverse, Q. E., I.
Cool. ı. Hinc’datur Lunz diameter apparens: quippe que fir reciproce ut ipfıus diftantia ä Terra. Tentent‘ Aftronomi quäm probe hzc Regula cum Phznomenis congruat,
Coral,

ae A; Corol. 22 Hinc-etiam Orbis Lunaris. accuratiüs ex Phznomenis quäm antehac definiri poteft.©} Re
Prop. XXVIIL- Prob. VI
Invenire: diametros Orbis in quo Luna abfgque excentricitate moveri deberet,
Curvatira Trajectorie, quamı mobile; fi. fecundum Trajectoriee:
3llius perpendiculum trahatur; deferibit, ‚eft ut attractio direste&. uadrätumi velocitatis inverse. Curvaturas linearum pono efle inter fe in uldıma roportione Sinuum vel Tangentium angülorum.
cöntactuum dates zquales, ubi:radii illi in infinitunydiminuuntur. Attractio. autem Lunz- in Terrant in-Syzygüs'eft /exceflus
gravitatis ipfius in Terram füupra vim Solatem PK(Vi eFHigur.
pag. 434-) qua gravitas acceleratrix Lunz in! Solem 1uperat gravi:
tatem. Acceleratricem Ter- 52 al IA H Tr
re in/Solem.(In Quadratu-|
ris autem’ attractio illa eft‘
fumma gravitatis Lunz in.
Terram:& vis Solaris XS;
qua Luna inTerram tra-hitur. Et hz attradtiones, fin
En dicatur N, funt ut.
178725___ 2009&: 178725
AS-g. CSXN 689. DD
+ 7899 quam proxime;.
feu ut 178725 Nin CS 4
— 2000 4Sqg. 1nCS,&.
178725 Nin 45.4:+
1000:CS4g: x4S.. Nam::
fi gravitas acceleratrix Terra” in Solem: exponatur. per: numesrum. 178725, vis mediocris ML, qua. in ‚Quadraturis. eft,PS“
We

yeb- SKK:& Lunam trahit in. Terram, erit 1000,& vis mediocris SM in Syzygiis erit 3000;'dexquazır fi vis>mediocrisML fubducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis diftrahitur ä Terra, quamque jampante nominavi 2-P X. Velocitas autem Lunz in Syzygiis A4& Belt ad ipfius velocitatem in Quadrazuris 6& DutsC Sach ASS momentum ‚arex(quam Luna radio ad Terram duo deferibit in Syzygiis ad momentum ejuldem are in Quadräturiss conjundtim;-idreft und 1073CS: ad-1097328. Sumatur-hac’ratio bis inverse:& ratio ‚prior: femel-directe;„Sc fiet Curvatura,Orbis Lunaris in Syzygiis, ad, ejuldem.Curyaturam in Quadraturis ut 1204071X 17 8725:4 Siga Xi CS gyX IN Le 120407 X 2000.4S gg XCS ad 22611X 178725 ASqrDESqui EN A 122641 xX410006Sqg.x4S; ideltat:2131969 48SXCSXN— 24081 AS cub. ad 2491374 AS CSXZN 12261 CS cub. ‚Quoniam figura,orbissLunaris ignoratur, ‚hujus, vice aflumamus Ellipfin DBC A, in cujus centro S Terra collocetur,&. cujus.axis major DC Quadraturis, minor AB Syzygiis interjaceat. Cum autem planum Ellipfeos hujus motu angulari circa T’erram. revolvatur,& Trajectoria, cujus Curvaturam confideramus;; defcribi debet in plano quod motu omni angulari omnino’ deftituitur.:-confideranda erit figura, quam Luna in Ellipfi illa.revolvendo deferibit in hoc plano, hoc eft Figura Cp a, cujus puncta fingula p inveniuntur capiendo pundtum quodvis P in Ellipfi, quod locum Lunz reprefentet;.& ducendo Sp zqualem S P,ca lege ut angulus PS p squalis fit motui apparenti Solıs ä US TR Cconfecto; vel(quod eodem fere recidie) ut angulus CS p fit ad angulum CS P ut tempus revolutionis Synodica Lunaris ad tempus revolutionis Periodicz feu 29d. ı2.h. 44, ad 27 d.‘7 h. 43. Capiatur igitur angulus CS.a in eadem ratione ad angulum rectum CS A,& fir, longitudo S a zqualis longitudini S 4;& erit a Apfıs ima& CApfıs(umma orbis hujus C pa. Rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis Cp a in vertice a,& curvaturam Cireuli centto S intervallo“”S’Adefcripti, fir-ad differentiam inter | curva

curvaturam Ellipfeos in vertice 4& Curvaturam ejuldem circulı, in duplicata ratione anguli CS P ad.angulum CS p;:& quod curva-” tura Ellipfeos in A fırt ad’ curvaturam circuli illius in duplicata ratione S Aad SC;& curvatura circuli illius, ad curvaturam Circuli centro: S intervallo, SC deferipti ut SC ad S 4; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipfeos ‚in C in. duplicata ratione,$ A A A fe yäturamı cireuli novidiml ad ‚diff&entiam:, inter, curvaturam. ratione anguli CSP ad angtılum CS p. Quz quidem rationes ex Siintıbus Angulorim Cöntactus ac differentiarum angulorum facıle colkigtintur,- Collati$ xutehnh6 rationibus inter fe, prodit curvatura figurz Cpaina ad’iphiüs Curvaturam in C, ut AScub.+ 42 CS 9.
x4S ad CS cub. X EAS g.xCS. Ubi numerus 2% defignat differentiam quadtatorüm angulorum CS-P& CS papplicatam ad Quadratüm anguli’minons‘ CS P, feu(quod perinde eft) differenEiamı Quadratorum tempörim 27 d. 7b. 43',& 29d. 12h. 44‘, applicatam ad Quadratum temporis 27.di 7 h.43.
"Igitür cum 4 defignet Syzygiam. Lunz,& C ipfıus Quadraturam, pröpoitio Jam inventa eAdenT efle debet- cum. proportione curvaturz Orbis Lunz in Syzygits ad Ejüldem curvaturam in Quadraturis,quam fupra invenimus.. Proinde ut inveniatur proportio CS ad AS, duco"extrema”& media. im feinvicem. Et termini prodeuntes ad AS x CS’applicatt, fiunt 2662,79 US gg. 2151969 NXCS chb.4368682 NXASXCS Tg."36342 AS. xCSg.— 362046 N x 4Sqg. x CS+ 2191371 Nx4Scub.+ 40514 AS gg.= 0. Hic pro terminorum 4S'8& CS femifummä N{ceribo 1,& pro corundem femidifferentia ponendo x, fit CS=,1.+>x,&4S=
1—x: quibus in zquatione fcriptis,& zquatione prodeunte reloJutä, obtinetur x xqualis 0,0072036,& inde femidiameter CS fit 1,0072,& femidiameter‘ AS’ o, 9528, qui-numert fünt ut 69%& 685 quam proxime. Eft igirüur diftantia Lunz 2 Terrain Syzygüs ad ipfius diftantiam in Quadraturis((epofita Cilicet excentricita-‘ tis confideratione) ut 68% ad 695, vel numeris rotundis ut 69
‚ad 70,, Fit Prop.

bp 3 EM LM Kris SO I
X OD AL CA
1610)
' Twienire Variationen. Län. St
OL HE InxQ{üalitas f pattim. ex. forma Efipen oebis Tunaris, pärdim” Ex in£Qualitate€ momentorum atcz,. uam Luna radio. ad “Terrain, duo’ deferit it, St Luna P in ah D BCA circa Terram in Centro Ellipfe; quießentem moyeretur,& radio. SP ad Tetram: dücto defenberet gcam, r i6S P rempori. propoftionalem T WE nn AM ‚Aaurem Ellipk A(emidi.©
. ‚ameter Maxima. Sad Tem AAN Dat minimam. S Aut
bs KA 25 wm Sen 7 23x% SER 685: Een Lane ‚Tangens 99T€ Os Ne Sbaiıbg DO! pP) N a A ) N C computati;” ut, E
Ce ‚Tip!(eos..‚femidi meter, S.Aad
/ejuldem Lemic lametrum” 8 C ob eu 685 ad. 695„Debet’a au“ . tem delcriptio arex CSP,in en arme„un& Quadrani1a, 2 Syzyglam,. cap ratione Ve„x accelerariut.<jus momentum er ze in Syzygia„Lunz fıt ad ejus | 2 momentum_1n Quadratura; } Ob LO. ‚Ad 10973; utd;.CX-, ceffus moment in. Toco“ quovis intermedio: P fupra: momentum in Quadratura fir ut. quadratum Sinus anguli GC PP. Id quod fatıs Akr curate fiet, f. tangens anguli CS P diminuatur in dimidiata ratione numeri 10973 Ad numerum 110735 ‚Ad; eft, in. ratione..numer), 68:2 ad numerum. 7 ‚Quo, pa aCto, tangens: ‚anguli.G6 SP Jam, erit Ad tangentem Motus medii) ut 8 ie ad 69%& angulus CS P“ in.

iA OCtahtibus Ubl note medids E45 Ehe YA EG EA AA A LER A 323 1\ Hitich fe höberene LH; petgehdo A Quadiatüra ad Syzygiam; defetiberer angulum€ SA’gradiiuch tantum monaginta. Verum ob meötum Terre; quo Solin antecedentia' mörtu appatente transfertur, Luna, priufquam Solem affequitur, deferibit angulum CS a atigulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris Synodicz ad revolutionem periodicam, id eft in ratione 29 d. 12 h. 44. ad 27 d. 7 b. 43'.. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum S diJatantur in eadem ratione,& Varliatio. quz fecus eflet 32. 31". jam audta in eadem ratione, fit 35. 9°. Hac’ab Aftronomis confhieuitur 46‘,& ex recentioribus Obfervationibus 38°., Halleius autem recentiflime deprehendit effe 38’ in Octantibus verlus oppofitionem Solis,& 32’ in Octantibus Solem verfus. Unde mediocris ejus magnitudo erit 35’: quz cum magnitudine ä nobis inventa 35‘. 9” probe congruit. Magnitudinem enim mediocrem computavimus, neglectis differentis, quz a curvaturä Orbis magni, nTajorique Solis actione in Lunam falcatam& novam quam in Gibbolam& plenam, oriri poflint,
Prop. XXX. Prob, X.
Invenire motum. horarium Nodorum Lune in Orbe circuları.
Ayo Ars SAD& a Fr Kl}
“1 Defigüet’S Solem, I Teramz P'Lünam, N Ph Orbem Lu ne), N pm veltigiämOrbis in pläno-Echprice} N} ln, Nodos, n'T N m lineam Nodörunm infinite‘ produdtamp PL; PK; perpen?! dicula demiff in lineas ST, QqpPP perpendiehlam demitiunt in . planum Ecliptice; A,"q Quäadratüras Lürnz’in plano‘Ecliptica& pK perpendiculum in lineam 29 Quadratufis intrajacentem. Er vis Solis ad pertürbandum motim Lang CpeProp: XXV:) du: plex erit, altera lineg z I T’Vel' 2X p;"aleera Mieze P TI proportionalis,+ Et Luna vi priore in Solem, pofteriore in lineam S Z trahitur. | a Fi 5 Com:

;'[444]
Componitur,autena; vis, pofterior PL ex viribus. IT’ 8& PT, qua: rum, PT’ agit.fecundum. planum, orbis Lunasis,,&propterea, fitum plani,nıl mutat.; Hac,igitur negligenda eft./ Vis.autem IT. cum vi 2 I’T.componit ‚vim; totam 3 T’T;'qua;planum. Orbis Lunaris perturbatur, Et, hac, vis per Prop. XXV..eft,ad, vim qua Luna in
circulo: circa Terram quiefcentem tempore fuo periodico revolvi poflet,„ut 3 17 ad Radium circuli, multiplicatunı per ‚numerum 178, 725, five ut. TT.ad Radium multiplicatum ‚per 59, 575. Czterum in. hoc-calculo,& eo omni qui"fequitur,confidero lineas omnes ä Luna ad Solem. du&as tanquam parallelas linex que A: Terra ad.Solem. ducitur,, propterea. quod inclinatio) tantıım fere,minuit| effectus omnes in.aliquibus cafıbus, quantum.auget in aliis;& Nodorum motus.mediocres quzrimus, neglectis ‚Htiufmodi minucis, que. calculum nimis impeditum redderent.:
De

EC 445. 3
‚Defigtetjam PM arcum, quem Luna dato tempore quam mi: nimo.deferibit,& ML lineolam quam Luna, impellente vi pre: fata 3 IT, codem tempore delcribere poflet, Jungantur PL, MP, & producantur ex ad m&/,ubi fecent planum Eclhiptice; inque T’m demittatur perpendiculum PH. ‚Et quoniam M L parallela eft ipfi ST, fi ml parallela fit ipfı ML, erit m// in plano. Eclipticee,& contra., Ergo ml, cum fit in plano Eclipticee, ‚parallela erit ipfi ML,& fimilia erunt triangüula LMP, Lmp. Jam cum MP m fit in plano Orbis, in quo Luna in loco P movebatur, incidet punCum m in lineam N'n per Orbis illius Nodos N, z, ductam.: Et quoniam. vis qua lineola L M generatur; fi, tota fimul& femel in loco P impreifa effet, efficeret ut Luna moveretur in arcu, Cujus Chorda eflet LP, atque adeö transferret Lunam de plano MP mE in planum L P./’T; motus Nodorum.ä vi. illa genitus zqualis,erit angulom Tl. Eftautem ml adım P ut M Lad MP, adeoque cum MP ob-datum tempus data fit, eft m I: ut. restangulum ML x> m®P, id eft ut re&tangulum IT xmP. Er angulus m TI, fi mode angulus Tml rectus fie, eftur zn;& propterea ut Alm id ef. (ob proportionales T’m& mP, EP&P H).ut A 7 7. adeo-que ob datam TP, ut ITxPH. Quod fi angulus. T’mJl, feu: STN obliquus fit, erit angulus m T!/ adhuc minor, in ratione Si- nus anguli S’TN ad Radium. Eft igirtur velocitas Nodorum ut: IT xP H& Sinus anguli ST’N conjundtim, five ‚ut contentum. füub finubus trium angulorum. TP I, PTIN& STN.
Si anguli illi, Nodis in Quadraturis& Luna in Syzygia exiften-‚tibus, recti fiat, lineola m/ abibit in.infinicum,.&. angulus m TI evadet angulo: m P| zqualis. Hoc autem in.cafu, angulus m P 1 eft ad angulum PTM, quem Luna eodem tempore motu fu0 apparente circa Terram' deferibit ut ı.ad 59,575. Nam. angulus. m P 1 xqualis eft angulo LP M, id eft angulo deflexionis Lunz 3: reCto tramite,quam prafata-vis-Solaris 3.1 T’dato illo tempore ge nerare poflit;& angulus P T’M zqualis eft. angulo-deiiexionis

[446| EL
Lunz A’ re&o tramite,'quem vis illa,‘ qua Luna in Orbe füo retinetur, codem tempore generat.‘Et ha vires, uti fupra diximus; funt ad invicem ut'ı ad 59,575. Ergo cum motus medius'horarits Lung(refpeetu fixarum) fit 32’. 56". 27. 12%, motus horarius Nodi in hoc cafu erit 33". 10”. 33”. 12". Aliis autem in cafıbus motüs ifte horarius erit ad 33”. 10”. 33". 12". ut contentum füb {inibus angulorum trium TP I PTN,&STN(eu diftantiarum Lunz ä Quadratura, Lunzg ä Nodo& Nodi ä’Sole) ad cubum Radii. Er quoties fignum anguli alicujus de affırmativo in negativum; deque negativo in affirmativum mütatur; debebit motüs re: ‚greffivus in progreflivum& progreffivus in regreffivum mutarı. Un“ de fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam alterutram& Nodum Quadraturz proximum verfatur. Aliisin cafibus regrediuntur,& per exceflum regreflus fupra progreflüm, fıngulis menfibus feruntur in antecedentia. 7 ALM Corol. ı. Hinc fia dati arcus quam minimi PM terminis P& M
ad lineam Quadraturas jungentem Q.g demittantur‘ perpendicula PK, Mk, eademque producantur donec fecent lineam Nodorum ; x NninD& d;
erit mötus horarius Nodorum
| utarea MP Did
& quadratum
linex AZ conjunctim. Sunto enim PK, PH
8& AZ prediti
'' tres Sinus, Nempe PK Sinus
EL diftantig Lunz
4 x 3 Quadratura;, PH Sinus diftantie Lunz ä Nodo,& AZ Sinus diftantie Nodi& Sole:& erit velocitas Nodi ut contentum PK xPHx4Z. Er : autem

‚1447 7
Autem BT ad PK ut P Mad’ Kk, adeoque ob datds PT& PM AK Kipi PK proportiohalis. Et& AT ad PD ut AZ ad PH,& propterea PH reitangnlo‘ PDx AZ proportionalis,& conjunctis rationibus, P KxP Heft ut contentum KAxP D x AZ,&PKxPHxAZut KAx®D x AZqu. id el ut area
Corol. 2. In data quavis Nöodortim pöfitiöne, motüs horariusmediocris eft femiffis motus,horari-in Syzyglis Lunz, ideoque eft ad 16". 35”. 16”. 36°. ut quadratum Sinus diftantie Nodorum 3. Syzygiis’ ad quadrärem Radiij five ur 4 Z quad AT gi Nam fi Luna uniformi cumemotu perambulet femieirculum& 44, fumma ommium arearım P.D.d M, quo teinpore_Luna, pergit ä Zad My erit arca OM. dE que ad circuli tangentem FE terminatlır;& quo tempore Luna attingir pun&um n,{umma illa erit area tota E QAnquam linea PD deferibit; dein Luna pergente abn ad g, linea ®P D ‚cadet extra circulum,& aream n gq e ad circuli tangentem ge terminatam defcribet; quz, quoniam Nodi prius regrediebantur, 3 jam verö progrediuntur,{übduci debet de area priore,& cum xqualis fit are QEN, relinquet femicirculum N QAn. Igitur fumma omnium arearum PD d M, quo tempore Luna femicirculum de-feribit, eft area femicirculi;&{umma omnium quo tempore Luna circulum deferibit eft area circuli totius. At area? Dd M, ubi Luna verfatur in Syzygiis, eft retangulum fub arcu. P M& radio. MT;& fumma omnium huic zqualium arearum, quo tempore Luna circulum deferibit,eft re&angulum fub circumferentia tota& radio circuli;-8& hoc re&angulum, cum fit zquale duobus circulis, duplo majus eft quäm rectangulum prius. Proinde Nodi, ca cum velocitate uniformiter continuatä quam habent in Syzygiis Lunaribus, fpatium duplo majus defcriberent quäm revera.defcribunt;&-. propterea motus mediocris quocum,{1 uniformiter continuaretur, {patium ä fe inzquabili cum motu revera confectum deferibere po{fent, eft femiffis motus quem habent.in Syzygiis Lunge. Unde cum« mötus’ horarius maximus, fi N6di. in Qüaadraturis verläntuß; it 33% Yo". 33°. 12’, motus medioctis-horarlus' in‘ hoc cafu eries
1 6©

[448 1 16°. 35.16", 36‘. Et cum motus horarius Nodorum femper fıe ut AZ qu,& area PD dM conjunctim,& propterea motus horarius Nodorum in Syzygiis Lunz ut AZ qu..& area P Dd M con: jund&im, id eft(ob datam aream P D.d M in Syzygiis defcriptam) ‚Ut AZ qu. erit etlam motus mediocris ut 4.Z gu. atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas verfantur;, erit ad 16°. 35.16”,
36°. ut AZ quad AT qu Q.E. D,-+... Prop. XXXI. Prob. XI. ‚Invenire motum horarium Nodorum Lune m Orbe, Elliptico..;=
Defignet pm 4g Ellipfim,”axe majore 0.g, minore” 4 b' de. Acriptam, 2A cireulum circumferiptum, 7”Terram in utriulque
centro communi, S Solem, p Lubam in Ellipfi moventem,& pm arcum quem data temporis particula quam minima defcribie, N eh n N en: Nodos

577. UI Nodos linea Nn jund&os, p K& m k perpendicula in axem Ag demiffa 8& hinc inde producta, donec occurrant circulo in PE& M,& linez Nodorum in D& d. Et fi Luna, radio ad, Terram ducto, aream deferibat tempori proportionalem, erit motus Nodi in Fr lipfiut area pK km.|; Nam fi P F tangat circulum in P, 8 producta occurrat T Nin F,& pf tangat Ellipfin in p& produCta occurrat eidem IN in f, conveniant autem ha Tangentes in axe T’Q ad Y;& fi ML defignet fpatium quod Luna in circulo revolvens, interea dum deferibir arcum PM, ufgente‘& impellente vi pradicta 3 IT, motu tranfverfo”deferibere poflet,'& m 7 defignet{patium quod Luna in Ellipfi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3 IT, deferibere poflet;& producantur LP& Ip donec occurrant plano Eclipticge in G 8 g; 8 jungantur FG-& fg, quarum FG producta fecet pf; pz& TQinc, e8&R refpedtive,& fg producta fecer TQJin F: Quoniam vis 3 IT feu 3 PK in circulo eft ad vim 3 IT feu3pKinEllipfi, ut PK ad pK, ku 4T ad aT; erit{patıum 'ML vi priore genitum, ad fpatium m vi pofteriore genitum, ut PKadpK, id eft ob fimiles figuras PYKp& FYRc, ut FR ad €R. Eft’autem ML ad FG(ob fimilia triangula PL MPG F) ut PLadPG, hoc eft(ob parallelas Lk, PX, GR) ut plad pe, id eft‘(ob fimilia triangula plm,cpe) ut lmad ce;& inverse ut LMeft ad Im, feu FR ad cR, ita elit FG ad ce. Et propterea fi fg eflet ad ce ut FYad cY, id et utfrad cR,(hoc eft ut frad FR& FR ad c® conjundtim, id eft ut f Tad FT& FGad ce conjund&im,) quoniam ratio FG ad ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad FG& f’T’ad FT, foret fg ad FG ut FT ad FT; propterea quod anguli, quos FG& fg 1ubtenderent ad Terram T, xquarentur inter fe. Sed anguliilli(per ca que in praxcedente Propofitione expofuimus) funt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcum P M, in Ellipfi arcum pm percurrit:& propterea motus Noderum in Circulo& Ellipfi zquarentur inter fe. Hac ita fe’haberent, fi modo fx eflet adce ut$Yadc?, - Ggg id

L4Aso 1 Verum ob fimilid‘ttiangula f'y p,
id eft fi fg zqualis eflet- AL cepetfgad ce ut fpadcp; ideoque fg xqualis“SP& ‚propterea angulus, quem fg revera fubtendit, eft ad angulum pri. orem, quem FG fubtendit, hoc eft motus Nodorum in Ellipfi ad
motum Nodorum in Circulo, ut hzc fg feu SD ad’ priorem fg
feu ve ideft ut£pxcYadcpxfY,feuf pad fY&cYadcp; hoceft, fipbipfi TN parallela occurrat. FP in b,-ut-Fb ad FY
& FYadFP; hoc eft ut Fbad EP feu.Dp ad DDP; adeoque. wir
area Dpmd ad aream D Pım.d. Et propterea, cum area pofterior
. pıoportionalis fit motui Nodorum in Circulo, erit area‚prior proportionalis motui Nodorum in Ellipfi. 2. E. De...|
Corol.. Igitur cum,.in data Nodorum pofitione,(umma.omnium arearum p Ddm, quo tempore Luna-pergit 4 Quadratura ad. locum quemvis m, fit arca m p ZEd, que ad Ellipfeos Tangentem QE terminatur;& fumma omnium ‚arearum illarum, in-revolutione integra, fit area Ellipfeos totius: ,motus mediocris. Nodorum(in Ellipfi erit ad motum mediocrem Nodorum/in circulo, ut Ellipfis ad circulum, id eft ut T’a ad TA,(eu68%4 ad694,. Et propterea, cum motus mediocris horarıus Nodorum in circulo fit ad’ ı 6”, 35%. 26% 36°. ut AZ qu.ad 4Tqu. ficapiatur angulus 16°, 21”. 2". 36° ad angulum 16°. 35.16”. 36% ut 685.ad 695, erit. Motus imediocris horarius Nodorum in Ellipfiad 16°, 21”. 2", 36 ut 4Z 4. ad 4Tg.; hoc eft ut quadratum Sinus diftantig Nodi ä Sole ad quadratum. Radii,; 5 BD Cazrerum Luna, radio ad Terram duo, aream velocius.deferibit ın Syzyglis quäm in Quadraturis,,& co nomine tempus in Syzygils contrahitur, in Quadraturis producitur;.&. una cum tem. pore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum arex in Quadraturis Lunz. ad ejus momentum in Syzygils ut 10973. ad 11073;&. propterea momentum mediocre in Odanribus eft.adıexceflum in Syzygliss defe&umque in Quadraturis, ut haumerorum femi(umma 11023. ad corundem femidifterentiam 50. Unde

E 451] Unde cum tempus Lünz in fingulis Orbis particulis zqualibus fit reciproce ut ipfıus velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad exceflum temporis in Quadrantibus, ac defe&um in Syzyglis, ab hac caufa oriundum, ut 11023 ad 50-quam proxime. Pergendo autem ä Quadraturis ad Syzygias, invenio quod exceflus momento.rum arex in locis fingulis,, fupra-momentum minimum in Quadraturis, fir ut quadratum Sinus diftantie Lunz ä Quadrantibus quam proxime;& propterea differentia inter momentum in 10co quo-. cunque& momentum mediocre in Octantibus, eft ut differentia inter quadratum Sinus diftantiz Lunz ä Quadraturis& quadratum Sinus graduum 45, Seu femiffem quadrati Radii;&, incrementum temporis in locıs({ingulis inter Octantes& Quadraturas,& decrementum ejus inter Octantes& Syzygias eft in eadem ratione. Motuß autem Nodorum, quo tempore Luna, percurrit fingulas Orbis particulas zquales, acceleratur vel‘ retardatur in duplicata ratione temporis. Eft enim motus ifte, dum Luna percurrit PM,(czteris paribus}) ut ML,& ML eft in düplicata ratione temporis,| Quare motus. Nodorum in Syzygüs, co tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit,- diminuitur in duplicata ratione numeri 11073ad numerum 11023; eftque decrementum ad motum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum verö totum ut 100, ad 11073 quam proxime. Decrementum autem in locis inter Ockantes& Syzyglas, ‚& incrementum ‚in locis inter Octantes& Quadraturas, eft quam proxime ad hoc decrementum, ut MOtUS LOtus in locis illis.adımotum totum in Syzygiis& differenus inter quadratum Sinus diftantig Lunz ä Quadratura& femiffem quadrati Rıadir' ad femiffem'qtiadrati Radii, conjundtim. Unde fi Nodi in Quadraturis verfentur,(8 capiantur loca duo zqualiter ab Octante hinc inde diftantia;& alia duo 2 Syzygiäi& Quadratürä iifdem intervallis diftantia, deque decrementis motuum in locis duabus inter Syzygiam& Octantem,;{(ubducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quz funt inter Octantem& Quadraturam; decre* mentum reliquum zquale erit decremento in Syzygia: uti ratioGgg2 7. nem

L 452? 1 nem ineunti facile conftabit.. Proindeque decrementum mediocre, quod de Nodorum motu mediocri(ubduci debet, eft pars quarta decrementi in.Syzygia...Motus totus horarius: Nodorum in Syzygis(ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportionalem defcribere fupponebatur). erat 32”. 42”. 5“. 12°. Et decrementum motus Nodorum, quo tempore Luna. jam velocior deferibit idem fpatium, diximus efle. ad hunc motum ut 1006 ad 11073; adeoque decrementum illud eft 17”, 43". 10°, cujus pars quarta 4. 25”. 48’, motui horario mediocri fuperius invento16°. 21”, 2”. 36°. fübducta, relinquit 16°, 16". 36". 48°. motum mediocrem horarıum correc tum. wm
Si Nodi verfantur extra Quadraturas,&{pectentur loca: bina 2 Syzyglis hinc inde zqualiter diffantia; fumma motuum Nodorum, ubi Luna verfatur in his locis, erit ad fummam motuum, ubi Lu-ma in iifdem locis 8& Nodi in Quadraturis verfantur, ut AZ qu. ad’ AT qu. Et decrementa motuum,& caufis jam expofitis oriunda, erunt ad invicem ut ipfi motus, adeoque motus reliqui erunt ad invicem ut AZ qu. ad AT qu.& motus mediocres ut motus reliqui. Eft itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quocunque Nodorum fitu, ad 16°. 16.36". 48°. ut 4Z quad AT qu.; id’eft ut quadratum Sinus diftantie Nodorum ä Syzygiüs ad qua-‚dratum Radii
Prop. XXXIL Prob. XI. Tevenire motum medium Nodorum Tunes
Motus mediusannuus eft fumma motuum omnium horariorum: mediocrium in anno. Concipe Nodum verfari in N,& fingulis, horis. completis. retrahi in locum fuum priorem, ut non obflante motu fo. proprio, datum femper fervet{itum.ad Stellas Fixas.. Interea verÖ.Solem S, per. motum Terrz, progredi 4Nödo,&cur{um annuum apparentem.. uniformiter complere. Sit autem. Aa Arcus datus quam minimus, quem recta. TS ad.Solem femper.ducta,.
inter

L 453. 1
, interfe&tione füua& circuli N An, dato tempore quam minimo deferibit:& motus horarius mediocris(per jam oftenfa) erit ut AZ g. id ef(ob proportionales AZ, ZY) ut. rectangulum fub 4Z&
. ZY, hoc eft ut arca AZ Ta... Et fumma omnium horariorum mo; tuum mediocri- K DO CE Zu La
x um ab inıtio, ut 3 A EN
|. fummaomnium 1 SALON LA
; arearum 41ZA,
; id eft ut area 4
* NZ. EC
autem.. maxıma.
AZYa zqualis
1 rectangulo fub
arcı Aa& Ta) dio. circuli;..&) propterea| fumma omnium re- EM'| Eangulorum in circulo toto ad fummam totidem maximorum;. ut area circuli tötius ad re&angulum fub circumferentia tota& at. . dio; id’eft ut 1'ad‘2. Motus autem horarius, rectangulo maximo; refpondens, erat 16°. 16”. 36". 48°. Et hic motus, anno toto fiz dereo dierum 365. 6 hör. 9 min. fit 39 gr. 38‘..5"..39”.. Ideoque hujus.dimidium 19.g7. 49. 2". 49”,eft motus medius Nodorum. circulo toti refpondens.: Et motus.Nodorum, quo tempore Sol: pergit ab Nad 4, eft'ad 19er. 49. 2°. 49% ut area NAZ ad.circulum totum. Zn # Hacita fe habent, ex Hypothefi quod Nodus horis fingulis in: Jöcum priorem retrahitur,{ic ut Sol anno toto completo‘ Ad No düm eundem redeat 4 quo füb initio digreflus fuerat..*Verum per. motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum. revertatur,& compuz tanda jam eft abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat: 360 gradus,& Nodus motu maximo eodem:tempore conficeret.: 398738. 5.39 ku 39,6349 gradus;& motus mediocris:Nodi ; im
N
8

An loco- quoVis N fıt ad ipfıus, motum mediocfem in Quadraturis
fuis, ut 2,2 g. ad ZT g. erit motus‘Solis ad.motum Nodi in N; ut.
360 AT 4. ad 39,6349. AZ qg.; id eff’ üt’9,0829032 4 Ta AZ
ÜUnde. fi circuli totius circumferentia N An dividatüur in. particulas’ zquales Aa, tempus quo Sol percurrat particulam Aa, fi circulus
quielceret, ‚erit,ad-tempus quo percurrit eandem partichlam,{11 Cir-, culus ufia cum Nodis circa centrum T revolvatur, reciproce ut 9,0849032 ATq. ad 9,9819032 AT 9.+ 4Z4g. Nam tempus eft reciproce ut velocitas qua particula percurritur,& hzc velocitas eft {umma velocitatunSolis& Nodi. Igitur fi tempus, quo Sol abfque motu Nodi percurreret arcum N 4, exponatur. ‚per Sectorem
NT,& particula temporis quo percurreret arcum. quam minimum Aa, exponatur per Se&oris particulam AT a;&( perpendi- 7 culo’@ Yin Nn demiflo) iin AZ capiatur dZ, ejus Ion icüdinis
$
ut fir rectangulum dZ’ in ZYad Sectoris particulam AT'@ üt 229. ad 9,9829032 ATg.+ 4Z 9. id eft ur fit dZ ad: AZ ut AT g.ad9,0829032 ATI.+ AZ9.; re&tangulum 4 Z in ZY defignabit
decrementum tempoftis. ex motu ‚Nodi orlundum, tempore toto quo ärcus Aa percurritut, Er fi punetum d tangit Curvam NdG m, area cufvilihea N d Z erit decrementum, totum,. quo tempore arcus totus N A. percurritur;& propterea exceflus Sectoris N.A'T für pra ateam NdZ’erit tempus illud totum. Et'‘quoniam motus Nodi tempore minore minor eft in ratione temporis,-debebit etiam area 2 a1 Z diminti in eadem ratione.— Id quod fıet fi. capiatur ın AZ Yongitudo€ Z, que fit ad longitudinem AZ ut AZ4. ad 9,%829032 AT gu+ AZg. Sic-enim rectangulum.e Zin ZYerit ad aream AZY a ut decrementum temporis, quo arcus Aa percurritur, ad tempus totum, quo percurreretur{1 Nodus quiefceret: Et propterea rectangulum illud refpondebit decremento motus Nodi.‘ Et fi pundum e tangat curvam Ne Fn, arca tota Ne Z, quz fumma eft omnium decrementorum, refpondebit decremento toti, quo tempore arcus AN percurritur;& area reliqua N Ae rel; pon* debit motui reliquo, qui verus eft Nodi motus quo tempore arcıs,
N totus

L455]
totusıN Ay: per Solis:&: Nodi:conjunctos motus; percurricur.? Jar “Aterö! fa: birenli'tadiüs LA'T ponarut my erit1area Semicirchlin 70496; £&lareasfigurz Ne Fn T, per methodum Serierum infinitarum quz„ita, prödibit6,1188478. Motus autem qui refpondet circulo toti eratı9 gr. 49 2"..49";;& propterea motus, qui figurz Ne FnT duplicatzrefpondet, eft 1 gr. 29. 57.515. Qui de motu priore fubduktusirelinquit ı8g7. 19’. 4‘. 58”. motum totum Nodi inter futipfius Conjundtionescum Sole;& hic motus-de Solis motır annıio(graduum 360 fubductus, relinquit 341 gr. 40. 55°. 2". motum Solis:nter ealdem Conjunctiones. Ifte autem motus eft. lad motum:annuum 360 gr. ut Nodi motus jam inventus 18 gr. 69/4. 58.0ad ipfıus motum annuum, qui propterea erit 197. 856°. zz u Hic eftımotus medius Nodorum in anno fidereo.. Idemrper Tabulas Aftronomicaseft 19:gr:920317. 1". Differentia Mhinorseftiparte quadringentefima motus totius,&/abı Orbis Aunaris-Excentricitate&- Inclinatione ad-planum Ecliptice‘ orirt. ‚videtut.“Per'Excentricitätem Orbis motus Nodorum nimisacceJeratur;/&:per ejus Inclinationem: viciflim tetardatur aliquantulum,, & ad juftamıvelocitatem reducitum b0/ nor HnaR ON60P9
un Prope XXX Proba XI:
ITnvenirve motum' verum- Nodorum Lund!
In tempore quod eft ut arca NTA NdZ) CinFig. preced.): motus ifte.efb ut arcıa N'Ae N;& inde-datur..+; Verum ob nimiam calculi; difficultatem.,»preftat fequentem-Problematis| confiructionem adhibere,- Centro C;/intervallo quovis C.D,'deferibatur circulus BEFD. Producatur- DCad 2, ut fit ABiad AC ut motus medius. ad femiflem motus veri mediocris,. abi Nodi-fünt in. Quadraturis:(id eft ut 1927. 18. 0°. 22". ad’ 19 gr 49. Din 495, atque adeo. BC ad AC ut motuum differentia o gr. 31. 2”. 27%, ad motum. fuperiorem. 19 er. 49. 2°. 49%, hoceft, ut 1:
./ ad:

L 456]
‚ad 3 81) dein per ran D ducatur infinita G g,"que tangat cir‚eulum in D3& fi capiattr angulus: BCE vel B CF zqualis femiffi KU Anal Aaumat92 mn© wo diftantig Solisä ‚Joco Nodi,‘per : motum medium invento;&agatur AE vel:AF ‚ Aecans'perpendiculum D Gin G; 19°@&Caplatur an) unugulus qui. fit ad ALO1 SO u motum. /Nodi inter ipfius Syzygias(id eft ad 9'gr. 10°. 40°.) ut tangens DG ad circuli B ED circumferentiam totam, atque angulus ifte ad motum medium Nodorum addatur;.:habebitur ecorum motus verus.(Nam motus verus fic inventus congruüet‘ quam proxime: cum Motu vero qui prodit exponendo tempus per aream NTA-—NdZ,.& motum Nodi, per aream N Ae Ni; ut:rem perpendenti conftabit.: Haec eft zquatio annua motus Nodorum. Eft& zquatio menftrua, fed quz ad inventionem Latitudinis Lunz minime neceflaria eft. Nam cum Variatio inclinationis Orbis Lunaris ad-planum Ecliptice duplici inzqualitati obnoxia fit, alteri annue, alteri autem menftruz; hujus menftrua. ing&qualitas&:2quatio menftrua:Nodorum ita fe mutyö contemperant& corrigunt, ut ambz in determinanda Latitudine Lunz negligi poflint. odım Corol., Ex. hac& przcedente Propofitione liquet:quod Nodi in Syzygiis his quiefcunt, in: Quadraturis autem' regrediuntur motu horarıo 16". 18”. 413. Et quod. zquatio motus Nodorum in Octantibus fit ı gr. 30. Qu omnia cum Phenomenis cceleftibus
probe quadrant.}( 1
Pr OP»

; Prop. XXXIV. Prob. XIV.
Invenire Variationem horariam inclinationis Orbis Lunaris ad vor'ei planum Ecliptict,
Defignent A& a Syzygias; Q& q Quadraturas; N&# Nodos; P locum Lunz in Orbe fuo; p veltigium loci illius in plano Ecliptice,& m T1motum momentaneum Nodorum ut füupra.
Et fi ad lineam 7m demittatur perpendiculum P G, jungatur pG,
& producatur ea donec occurrat T’7 in g,& jungatur etiam P g: erit angulus PG p inclinatio orbis Lunaris ad planum Ecliptice, ubi Luna verfatur in P;& angulus P gp inclinatio ejufdem poft momentum temporis: completum, Br angulus GP g Variatio
Hhh mo

| L 458 1
‚ momentanea inclinationis. ‚Eft autem hic angulus GP g ad angulum G Tg ut T’Gad. P-Gi& P'prad’P G.eonjunctim. Er propterea fi pro momento temporis fubftituatur hora; cum angulus G Tgb( perPropi XXX fit advangulim 33 nö" 433 u 0t IT’x PGxAZad AT cub. erit ängtilusG Pıg(feu inclinationis horaria Variatio), ad angulum 33°. 10°. 33”. ut IT x4ZxTGx ze ad
„ Hzc ita fe habent ex Hypothefi quod Lina in Orbe Cirenlari
‘diocris Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad’axem majorem; uti fupra expofitum eft, Ertineadem ratione minuetur etiam Sinüs-7T. Inclinationis autem Variatio tantum augebitur per decrementum Sinus IT, quantum diminuitur per decrementum motus Nodorum;& propterea idem manebit atque prius.
Corol. ı. Si ad Nn erigatur perpendiculum T’F, fitque pM motus horarius Lunz in plano Eclipticg;& perpendicula p X, Mk in QT demiffa&„utrinque=producta occurrant TF inH& h: erit Kkad Mput pK-Aeu 1T ad AT,-& TZ ad ATut TG ad KkxHpxTZ
Hp; /ideoque ITX TG gequale SZETZ, hoc eft xquale are
Hp Mb ducte in rationenT 77 ‚&) propterea inclinationis Variatio horarıa ad 3y 10. 33% ut Hp Mh ducta in AZ x ir Pop
PG ad AT cub.)
Corol, 2. Ideoque fi Terra& /Nodi fingulis horis completis retraherentur Aocis füis novis,&in loca priora in inftantı femper reducerentut;ut-Situs corum, per menfem integrum periodicum, datus maneret; tota Inclinationis Variatio tempore menfis illius foret ad 33°. 10”.33”, ut aggregatum omnium arearum Hp Mb, in revolurione puncti"p generarum,:&fubifignis propriis_}-& conjunctarum, dictum in AZ x TZx u ‚ad‘ Mp x'AT&b. id elt ut circulus totus 2.44 a.du&us in 4Z x. TZx ze ad MpxÄAT

cub. hoc eft ut circumferentia_Q_4 ga.dud&ta in AZxTZx Ze ad 2 Mpx Tall;; Corol. 3. Proinde in dato Nodorum fitu, Variatio mediocris horärid‘) ex"qu2 per menlfem‘uniformiter‘ continuata: Variaätio illa menftrua generari poflet, eft ad 33°. 10°.33". ut 4ZxTZx De ad’ 2 ATg. id eft(cum Pp fit ad P G ur Sinus Inclinationis przdi&tz: ad Radium,& AZATE fit ad+ AT ut finus duplicati anguli A’'Tn ad Radium) ut inclinationis ejufdem Sinus ductus in Sinum duplicate diftantie Nodorum ä Sole, ad quadruplum quadratum Radii: ei f ‘7 Corol. 4."Quöniam inclinationis horaria Variatio, ubi Nodirin Quadraturis verfantur,’eft_( per Propofitionem fuperiorem) ad angulum 33°. 10”. 33". ut ITxAZxTGx SPadAT cub. id eft ut RS x ad A'T;-hoc eft ut Sinus duplicate® diftantix Lunzx ä Quadraturis ductus in zE-ad radium duplicatum: fumma omntum Variationum horariarum;, quo tempore Luna in hoc fitu-Nodorum tranfit A Quadratura ad, Syzygiam,(‚id eft fpatio horarum 177%) erit ad. fummam totidem. ‚angulorum. 3,3”. 10.3 3“, feu 5878, ut. fumma omnium finuum duplicatz diftantie Lunz& Quadraturis ducta in 5 ad fummam totidem'‘ diametrorum; hoc eft ut diameter duca in 5£, ad circumferentiam 3 id Eft frinclinatio
fit zer.2', ut 7x ad 22, feu 279 ad 10000.‘Proindeque
Variatio tota,€X fumma omnium horatiarum Väristionum tem“ pore predictoconflata, eft 164’, feu 2. 44.
Hhlıh 2 96 Sal BELEE! Prop:

| |
|
EB EEE
CL 460 1]
Prop. XXXV. Prob. XV. Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Zunaris ad planum Ecliptica
Sit AD Sinus-inclinationis maxime,& AB Sinus Inclinationis minimz. Bifecetur BD inC,& centroC, intervallo BC, deferi),;| batur.. Circulus
BGD: In A4C
caplatur. C£. in
ea ratione ad EB
7. quam EB haber
ad2B4: Ecfi
nm dato. tempore
conftitnatur angulus AG zqualis duplicatze diftantigx Nodorum
ä Quadtaturis,)& ad AD demitranur perpendiculum GH: erit
_ 4H Sinus inclinationis quite.
Nam GEg. zquale eft G Hg.+ HEgIg.=BHD+ HE4. —-HBD+HEg4g.-— BHgig.= HBD-+BE4g.— ı1BH x BE=BEgIg.+12ECxBH=1ECx 4B+4+2ECxBH=2EC x AH. Ideoque cum 2EC detur, eft G Eg. ut AH, Defignet jam AEg diftantiam Nodorum ä’ Quadraturis poft datum aliquod momentum temporis completum,& arcus Gg, ob datum anguum G Eg, erit ut diftantia GE. Eft autem Hh ad G g ut GH ad GC,& proptetea Hh eft ut contentum G Hx Gg feuG Hx GE; id eft ut en x GE qu. fen SEx AH, id eft ut AH& finus an. guli AEG conjundtim.. Igitur fi AH im cafız aliquo fit Sinus inclinationis, augebitur ea jildem incrementis cum finu inclinationis, per Corol.3. Propofitionis fuperioris,& propterea finui illi zqualis
demper manebir. Sed 4Hubi pund&um G incidit in punctum alterutrum B vel D huic Sinui zqualis eft,& propterea eidem femper xqualis manet, ED.

vun ur a. Cr ww” BE Bd:
In hac demonftratione fuppofui angulum B EG, qui diftantia ef Nodorum ä Quadraturis, uniformiter augeri, Nam omnes inzqualitatum minutias expendere non vacat. Concipe jam angulum. BEG se&um elle,& Gg efle augmentum horarium. diftantize: Nodorum&c Solis ab invicem;& inclinationis Variatio horaria (per Corol. 3. Prop. noviflimz) erit ad 33”. 10”. 33”. ut contentum fub-inclinationis Sinu 4 H& Sinu anguli re&ti B EG, qui eft duplicata diftantia Nodorum ä Sole, ad quadruplum. quadratum. Radii; id eft ut mediocris inclinationis Sinus AH ad radium quadruplicatum;. hoc eft( cum inclinatio illa mediocris fit quafi 5 gr. 84) ut ejus Sinus 896 ad radium quadruplicatum 40000, five ut 214 ad 10000. Eft autem Variatio tota, Sinuum differentig BD refpondens, ad variationem illam horariam ut diameter 8 D ad arcum G g; id eft ut diameter BD ad femicircumferentiam: BGD& tempus horarum 2080, quo Nodus pergit 4 Quadraturis. ad Syzygias, ad horam unam conjundtim; hoc eft ut 7 ad 11&. 2080 ad ı. Quare fi rationes. omnes conjungantır, fiet Variatiotota BD ad 33". 10“. 33". ut 224%x7x 2080 ad 110000, id eft. ut 2965 ad 100,& inde Variatio illa B D prodibit 16 24".
Hac eft inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lunz in Oxrbe füo non confideratur. Nam inclinatio, f1 Nodiin Syzygiis. verfantur, nil mutatur ex vario fitu Lunz., At fi Nodi in. Quadraturis confiftunt, inclinatio major eft ubi Luna verfatur in Syzygüs,. quäm ubi ea verfatur in Quadraturis, exceflu 2. 44’; uti in Pro-: pofitionis fuperioris Corollario quarto indicavimus. Er hujus excek-füus dimidio ı'. 22° Variatio tota mediocris BD in Quadraturis:
‚Lunaribus diminuta fit 15’. 2”, in ipfıus autem Syzygliis aucta fit.
17’. 46. Si Luna igitur in Syzygiis con(tituarur, Vartatio tota, in. tranfitu Nodorum ä Quadraturis ad Syzygias, erit.17. 46". adeoe fi Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis verlantur, fit 5 gr. 1.7.46". eadem, ubi Nodi funt in Quadraturis,& Luna in Syzygus,erit 5 gr. Arque hzc ita fe habere confirmatur ex Obfervationibus.. Nam fatuunt Altronomi Inclinationem. Orbis. Lunaris ad planum EclipCs,

ticge, ubi Nodi fünt in Quadraturis& Luna in oppofitione Solis, effe quafi 5 gr. Ubi verö Nodi funt in Syzygiis, eandem docent A Rn an eileupe - Si jam defideretur Orbis Inclinatio’illa, ubi Luna in Syzygiis’& Nodi ubivis verfantur; fiat 4B ad AD ut Sinus 5 gr. ad'Sinum 5 Ol W077 40& ' caplatur‘ angulus
AEG zqualis
v duplicatz diftantig: Nodorum A
. Quadraturis;.&
: erit A2H Sinus InClinationis quelitz. Huic Orbis Inclinationi zqualis eft ejufdem Inclinatio, ubi Luna diftat go gr. 4 Nodis. Aliis in Lunz locis inz‚qualitas menftrua, quamı Inclinationis variatio admittit, in calculo Latitudinis Lunz. compenfatur& quodammodo tollitur per inzqualitatem menftruam motus Nodorum,(ut fupra diximus) adeoque in calculo Latitudinis illius negligi poteft. 2109
Scholium. 9
Hactenus de motibus Lunz quatenus Excentricitas Orbis’ non confideratur. Similibus computationibus inveni, quod Apogzum, ubi in Conjunctione vel Oppofitione Solis verfatur, progreditur fingulis diebus 2 3’ refpectu Fıxarum 3 ubi verö in Quadraturis eft, regreditur fingulis diebus 16; circiter: quodque ipfius motus medius annuus fit quafi 40,gr. Per Tabulas Aftronomicas‘ä Cl.Flamftedioad Hypothefin Horroxii accommodatas, Apogzeum in ipfius Syzygiis progreditur cum motu diurno 24.28”, in Quadraturis. autem ‚regreditur cum motu diurno 20, 12”,& motu medio annuo"40 gr) 41 fertur in confequentia,: Quod differentia inter motum diur: num progreflfivum: Apogel in ipfius Syzygiis,& motum. diurnum regreffivum in ipfius Quadraturis, per Fabulas fit 4.16, per computationem verö noftram 63, vitioTabularum tribuendum efle
fulpi

Sußlpicamur: Sed neque ‚computationem noftram fatis accuratam ‚elle putamus..- Nam rationem quandam ineundo. prodiere Apogei ‚motus diurnus BIO in iplıus Syzygiis,& motus’ diurnus.Tegreffivus. in. ipfıus Quadraturis, patılo majores. Computationes autem, ut nimis perplexas& approximationibus impeditas, neque
fatis accuratas, ‚apponere non lubet,
Prop. XXXVI. Prob. XVI.
Invenire vim Solis. ad Mare movendum.
Solis vis ML feu PS, in Quadraturis Lunaribus, ad perturbardos motus Lunares, erat( per Prop. XXV. hujus) ad vim gravitatis apud nos ut.1.ad 0 638092,6. Et vis 9 S$SM—LMlieu2PK© in ‚Syzygis Lunaribus eft duplo major.
Ha. autem. vires, 11...
defcendatur ad füperficiem Terra, diminuuntur.in ratione diftantiarum ä centro Terrx, id. eft in.ratione 605 ad. ı; adeoque vis prior.in fuperficie Terre eft ad vim gravitatis ut ı ad
38604600. Hac vi Mare deprimitur.in locis quz 90 gr. diftant ä. Sole....Vi.alterä qug duplo major eft Mare elevatur, ‚&{ub Sole
& in regione Soli.oppofita. Summa virium eft. ad vim gravitatis
ut.x ad 12868200.. Et quoniam vis ceadem eundem ciet motum,
five ea, deprimat Aquam in regionibus quz 90,gr..diftant ä. Sole, five elevet. eandem in regionibus fub Sole,& Soli oppofitis, /'hzc
fumma erit tota Solis vis ad; Mare agitandum;& eundem habebie
effe&um ac fi.tota in regionibus fub Sole& Soli oppofitis mare elevaret,. in zegionibus autem quzx 90,gr, diftant 2 Sole nil.ageret.| Coro!..

[464 7]
Corol. Hinc cum vis centrifuga partium Terre& diurmo Terre motu oriunda, quz eft ad vim gravitatis ut ı ad 291, efficiat ut altitudo Aquz fub AEquatore fuperet ejus altirudinem fub.polis menfüra pedum Parifienfium 85200, vis Solaris, de qua egimus, cum fit ad vim gravitatis ut ı ad 12868200, atque adeo ad vim illam ‚centrifugam ut 291 ad 12868200 feuıad 44221, efficiet ut altitudo aquz in regionibus fub Sole& Soli oppofitis fuperet altitudinem ejus in.locis quz go gradibus diftant 4 Sole, menfura tantum pedis unius Pariftenfis& digitorum undecim. Eftenim hazc men-’ {üra ad meEnfuram pedum 85200 ut ı ad 44221.
Prop. XXXVIL Prob. XVII
Invenire vim Lunge ad Mare movendum,
Vis Lunz ad mare movendum colligenda eit ex ejus proportione ad vim Solis, ‚& hzc proportio colligenda ex proportione motuum maris, qui ab his viribus oriuntur.. Anteoftium fluvii Ave, ad lapidem tertium infra Brifloliam, tempore verno& autumnali totus aqua afcen{us in Conjunctione& Oppofitione Luminarium ( obfervante Samuele Sturmio) eft pedum plus’minus 45, in Quadraturis autem'eft pedum tantum 25: Altitudo prior ex fümma virium, pofterior ex ‚earundem differentia oritur. Solis igitur& Lunez in /Equatore verfantium& mediocriterä Terra ditantium, {unto vires S.& L. Et quoniam Luna in Quadraturis, tempore verno& autumnali extra /£quatorem in declinatione graduum plus minus 23; verfatur,& Luminaris ab Equatore declinantis vis ad mare movendum minor fit, idque(quantum fentio) in duplicata ratione Sinus complementi declinationis quam proxime, vis Lunz in Quadraturis,(cum finus ille fit adradium ut 91706 12d 100000) erit 4% L,& fumma virium in Syzygüs erit L 4 S, ac differentia in Quadraturis%; L— S, adeoque L+ S erit ad IL Sut45 ad 25 feu9gad 5,& inde 5 L 4.5 S xqualiserit 22 L 2 9S,&
145

L 465]
ı4S zqualis 32 L,& propterea L ad S ut 14000 ad 2569 fu 57 ad 1. In Portu Phymuthi(tus maris(ex oblervatione Samnelis Colepreffi) ad pedes plus minus fexdecim, altitudine mediocri attollicur, ac tempore verno& autumnali'altitudo zftus in Syzygiis Lune fuperare poteft altitudinem ejus in Quadraturis pedibus feptem vel"oo. Si exceflus mediocris his temporibus fit pedum feptem cum dimidio; zftus in Syzygiis alcendet ad pedes 192, in Quadraturis ad pedes 124,& fic L+ S erit ad% L— Sut 19? ad 12%, & inde Lad S ut 734 ad 100 feu 7: ad ı. Eft igitur vis Lunz ad vim Solis per computationem priorem ut 52 ad ı, per pofteriorem ut 75 ad 1. Donec aliquid certius’ ex Obfervationibus accuratius inftitutis conftiterit, ufurpabimus proportionem mediocrem 6; ad 1. Unde cum vis Solis fıt ad-vim gravitatis ut ı ad 12868200, vis Luneg erit ad vim gravitatis ut 1 ad 2031821,
Corol. ı. Igitur cum aqua vi Solis agitata'ad altitudinem pedis unius& undecim digitorum afcendat, cadem vi Lunz afcendet ad altitudinem pedum duodecim. Tanta autem vis ad omnes maris motus excitandos abunde fufficie,& quantitati motuum probe refpondet, Nam in maribus que ab Oriente in Occidentem late patent, uti in Mari Pacifico, 8& Maris Atlantici& AEthiopici partibus extra Tropicos, aqua attolli folet ad altitudinem pedum fex, novem duodecim vel quindecim. In mari autem Pacifico, quod profundius eft& latius patet, zltus dicuntur elle majores quäm in Alantico 8& Athiopico. Ertenim ut plenus fır zltus, latirudo Maris ab Oriente in Occidentem non minor efle debet quäm graduum nonaginta. In Mari AEthiopico, afcenfus aquze intra"T’ropicos minor eft quäm in Zonis temperatis, propter anguftiam Maris inter Afyicam& Auftralem partem Americe. In medio Mari aqua nequit afcendere nifi ad litrus utrumque& orientale& occidentale fimul defendat: cum tamen vicibus alternis ad littora. illa«in’Maribus noftris anguftis defcendere debeat. Ea de caula fluxus& refluxus in Infulis, qua littoribus longiflime abfunt, perexiguus effe foler. In Portubus quibufldam, ubi aqua cum impetu magno per loca
Hi vado

; C 466 7; vadofa, ad Sinusalternis vicibus implendos& evacuändos; influere & effluere cogitur;.Auxus ‚&. refluxus funt fölito majöres; uti ad Plymuchum&pontem Chepftowe- in. Anglia;: ad montes S/ Michaelis & urbem Abrincatuorum( vulgo Auranches‘) in Normania;:ad Cam. baiam& Pegu in India orientali, Hisin locis märe, magna cum ve. locitate accedendo.&.recedendo;-!littorahnunc ihundat: nunc arıda relinquit ad multa Milliartal Neque impetus influendi&1remeandi prius frangi poteft, quam aqua: attollictur vel deprimitur; ad pedes 30,40 vel 50.& amplius..- Et par eft ratio fretorum oblongorum & vadoforum, uti Magellanici&uejus quo Angliacircundatur. Aftus in hujufmodi.portubus-& Aretis per impetum curluss& recurfüs-(u: pra modum augetur. Ad littora, verö que defenfü pracipiti ad mare, profundum& apertum(pectant; ‚ubi aqua fine impetuefluendi& remeandi attolli& fubfidere poteft; magnitudo zftus refpon„ Corol- 2. Cum vis Lanz ad mare movendum it ad vimgravi: tatis ut t,ad 203 1824; perfpictium eft quod vis:illa fit longe mi: nor quäm- que Veli in experimentis:/Pendulorum, vel in Staticis aut‘ Hydroftäticis quibufunque-fentiri-poflit..: In altuflolo marino hzc vis-fenfibilem edicefle&tum. M 33„ons ira nl u andiec Corol. 3. Quoniam vis Lunz ad mare movendum-eft. ad Solis vim confimilem ut 6;ad 1;& viresille fünt ut denfitates corpozum Lunz& Solis-& cubirdiametrorum apparentium Comjundtim; eric denfitas: Lunz ad! denfitatem-Solis uit: 6: ad. or. dire&e& cubus diametri Solis. ad cubum!' diametri_Lunz inverse, id efb(Cum dia? metriinediocres apparentes Solis& Lunze fint 31.27". 8 3 2.127.) ut 34 adı 5. Denfitas autem Solis erat ad. denfitatem Terrz ut 100 ad 387,&: propterea denfitası Lunzeft ad-denfiratem Terra ut: 680ad 387, feu 9 ad’5 quam proxime.. Ef igitur corpus Lunz denfius.&. magis terreftre quäm Terra noftra. ‚1: Corol: 4. Unde cum vera diämeter Lunez fit. ad vyeram diametrum Terre ut 1 ad 3,65 erit mal Lunz ad mallam Terrzut 1 2d- 26 quam: proximes}
Coral.

L 467 1 Corol. 5. Er-gravitas\acceleratrix in fuperficie Lunze,»erit quafi duplo minor. quäm gravitasacceleratrix in füperficie” Terre, lu er Prop XXXVIEL Prob. XVIL® Invenire figuram corporis Lune,
Si.corpus Lunare fAuidum'eflet‘'ad inftar maris noftri, vis Terre _ adfluidum illud in‘partibus 8& citimis& ultimis elevandum,:eflet advim Lunz,qua mare nofttum im partibus& fub Luna& Lunz oppofitis attollichrz ut gravitas‘\acceleratrix Lunz in Terram ad gravitatenvacceleratricem Terrz: in. Lunam&-diameter Kunz ad diametrum Terrz conjundtim; idbeft ut 26 ad 1.& 5 ad’ 18 conjundtim fen 65; ad 92«Unde:cum mare noftrum vi Lunz attollatur ad pedes duodecim, fluidum Lunare vi\ Terre“ attolli deberet ad-pedes fere nonaginta. oEaque. de caufa: figura Lunz'Spheerois effet,- Cujus maxima diameter;producta tranfıret per Centrum Terre, 8 Auperaret- diämetros ‚perpendiculares exceflu pedum 185, Talemigitur figuram- Luna affectat, camque(üb inicio induere debuit. QAL A;\
Corol. Inde werö fit utreadem fempet Lunz facies in Terram ob}. vertatur.„In alio ‚enim: fitu corpus Lunare quielcere non poteft, {ed ad hunc firum ofcillando femper redibit. Attamen 6feillationes ob-parvitatem virium agitantiunv effent Tonge tardıllima: adeö ut facies illa} qua Terram femper refpicere‘ deberet;'poflit alterum orbis Lunaris umbilicum,(ob rationem Tuperias allatamı'refpicere) neque ftatim:abinderetrahi& in Terräm- convert.)
Lemma".
SVAPEP Terram defignet unformiter denfam centrogue C& fo S lis P,»p m@quatore AL delineatam’; fi centro Clradis CP des fcribi intelligatur fphera Pape’ fit äntem OR planum, Chi retta a cenHl{ro

L 468 1]
tro Solis ad centrum Terre dukta normaliter infiftit;& Terra totius exterioris PapAPepE, que Spherä modö.def criptä altior eft, particu. le fingule conantur recedere hinc inde 4 > plano QR,, fitque conatus particule cuzu/que ut ejufdem diftantia 4 plano: erit vis& eficacia tota particularum omnium, ad Terram circulariter movendam, quadruplo' minor quäm wis tota particularum totidem in AEquatoris circulo A E, uniformiter per totum circuttum in morem annuli di/pofitarum, ad Terram confimili motu circulari movendam. Et motus ifte circularis"circa axem in plano Q.R. jacentem,& axi
P p perpendiculariter infiftentem, peragetur.
Sit enim IK circulus minor /Equatori 4 E parallelus, fitque Z particula Terrz in circulo illo extra globum Pa pe fıta, Et fi in planum AR demittatur aan LM, vis tota particulze illius ad Terram circa ipfius centrum convertendum proportionaliserit eidem LM:& fi hac vis LM(per Legum Corol. 2.) diftinguatur in vires. LN, NM; efficacia virtum MN particularum omnium L, in circuitu Terrz totius extra globum Pa pe confı- ftentium, ad Terram circa ipfius centrum fecundum ordinem literarum 4p EP convertendam, erit ad efficaciam virium L N particularum omnium L, ad Terram circa ipfıus centrum fecundum ordinem contrarium earındem literarum convertendam, ut tria ad duo. Ideoque efhcacia virlum omnium MN erit ad exceflum efhcacig hujus won efficaciam virium omnium L N ut tria ad unum. Er fi particulz ille omnes locarentur in Aquatore, efficacia virium omnium L N evanefceret,& efficacia virum omnium MN augeretur in ratione quatuor ad tria, Quare exceflus ille, qui eft effcacia abfoluta particularum in locis propriis, eft pars quarta efficaciz particularum earundem in /Equatore. Motus autem zquino, Ctiorum

N EC 469] Eiorum eft ut hzc efficacia. Singula examinet qui volet, Brevitati confulo. U
Lemma II.
Motus autem Terre totius circa axem illum, ex motibus particularum omnium compofitus, erit ad motum annuli circa axem eundem, in ratione compofita ex ratione materie in Terra ad materiam in annulo,& ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujufcungue, ad duo quadrata ex diametro; id eft in ratione materie ad materiam& numert 925275& 1000000. ı ‚ ER enim motus Cylindri circa axem füum immotum revolventis, ad motum Spherz inferipte& fimul revolventis, ut quzlibet quatuor zqualia quadrata ad tres ex circulis fibi inferiptis:& motus Cylindri ad motum annuli tenuifimiz Sphzram& Cylindrum ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum materig in Cylindro ad triplum materig in annulo;& annuli motus ifte circa axem Cylindri uniformiter continuatus,'ad ejuldem motum uniformem circa diametrum propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuli ad duplum diametr1.
Lemma A.
Si annulus,"Terra omni reliqna fublata, folns in orbe Terra motu an: nu0 circa Solem ferretur,& interea circa axem funm,’ad planum Ecliptice in angulo gradnum 23° inclinatum, motu diurno revolveretur::
„dem foret motus Punktorum A quinoktialium five annulus ifte flnidus effet, five is ex materia rigida& firma conftaret,
Props:

Tao Q *Prop. XXXIX. Prob. XIX.
Invenire Praceffionem Equinofkiorum.
Motus ‚mediocris, horarius, Nodorum Lunz in Orbe, circulari, ubi Nodi fünt in Quadraturis, erat. 16'135. 16".36°.&. hujus dimidium 8”..17."..3 8”. 18°.(ob rationes{upra explicatas).eft motus medius horarius Nodorum in tali Orbe;;. fitque anno toto fideeo 20 gr, 1.1. 46°,\Quoniam igitur Nodi:Lune in.tali.Orbe con; ficerent annuatim 20 gr. 11’. 46’. in antecedentia,.& fi-plures. ef {ent Lunz motus Nodorum cujulque;. per, Corol.ı 6. Prop. LXVI, Lib.L_forent reciproce,ut tempora.periodica,; ‚& propterea fi-Luna: {patio diei fiderei juxta fuperficiem"T’errg revolveretur, ‚motus,an-) nuus Nodorum foret, ad. 20,gr.. 11'.46".ut. dies fidereus‘‚horarım: 23..56'. ad tempus periodicum. Lunz, dierum 27.7 hor, 435 icdeß, ut 1436.ad 39343. Et par eft ratıo Nodorum annuli Lunarum: Terram ambientis; five Lunzille fe mutuo non contingant;/ five: liquelcant& in, annulum continuum formentür;. five-denique nulus.ille rigefcat& inflexibilis reddatur, aufsl oolbehög Fingamus igitur quod annulus ifte quoad quantitatem materiz
. xqualis fit Terrz omniPapAPepE, qua globo. P apE fuperior eft;&
quoniam globus ifte eft ad Terram
illam(uperiorem ut. 4C quad AC qu.
— 4Cgu.äd elt(cum Terre: diame: „ter minor P.CvekaC fitaddiametrum: „‚majorem. 4 Cut 689 ach 692) ut.
„ArA3Zm ad 4747 2:4 Sen rao0 ad) 114584; fi annulus ifte Terram fecundum zquatorem cingeret,& uterque fimul ‚circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli eflet ad motum globi interioris( per
hut

S i IE a 1] nn 'hyjus Lem IL.) ur 4143 ad 474721&"1000066“ad 925275 ‚Eonjundtim, hoc’ eft ut 4143 ad 439248: ideoque motus annuli effet ad(ummam motuum annuli& globi, ut 4143 ad443391. "Unde fi‘ annulüus globo adhzreat,& motum füum, quo ipfius Nodi feu puneta zquinoctialia tegrediuntur, cum globo commuHiicef? Mötus’ qui teftabit in anhulo erit ad ipfius motum priorem ut 4143 ad 443391;& propterea motus pundtorum zquinoctialim diminuetur in eadem ratione. KErit igitur motus annuns punECtotum xquinotialium corporis ex globo& annulo compoliti, ad: mötum 26er. 11.46"; ut 1436 ad 39343& 4143 ad 443391. conjunctim, id eftur’ı ad 2932. Vires autem quibus Nodi Lutiarum'(ut fupra explicui) atque adeo quibus pundta zquinoctialia annuli regrediuntur(id’eft vires 3 IT, in Fig. pag. 444.) funt in: fingulis’particulis ut’ diftantie particularum a plano ZR,& his vi"ribüs particulz le planum fügiunt;& propterea(per Lem. 1.) fi imäteria annuli per tötam globi füperficiem, in morem figure Paf AP epEF, ad fuperiorem illam Terrz partem conftituendam fpargeretür, vis& efficacia tota partichlartım omnium ad Terram Eirca quamvis /Equatoris diametrum rötändam; atque adeo ad movenda'puncta zquinoctialia,evaderet quadtuplo minor quäm prius. Jdeöque annuus 2quinoctiorum regreffus jam eflet ad 20 gr. 11. 46 Vut 1ad 11728; ac’ proinde Heret 6“. 12". 2. Haxc'elt praceffio EquinoCtiorum ä vi Solis oriunda.‘ Vis autem Lunz ad mare mövendum erät ad vim Solis ut 65 ad ı;'& hac vis pro quantirate fua atıgebit etiam przceffionem /EquinoCtiorum.. Ideoqtieprzceflio illa ex utraque'caufa oriunda jam“ fiet major in‘ ratione: 7 ade)&ficerit 45.24" r5“. Hicett motus pundtorunT Zquinoctialium ab’ aetionibus Solis& Lunz im pärtes Terre, que oVSbo Pape incumbunt, orlundus. Nam Terra ab adtionibus ıllik in globum ipfum exercitis nullam in partem inclinari poteft! Defignet jam AP Ep corpus Terrz figurä Ellipricd przdicum,
& ex uniformi mareriä conftans. Et’ fi’ diftinguatur 1dem in 69uras innumeras Ellipticas concentricas& confimiles, AP Ep, B0B%

C 472 1] CRer, DS ds,&c. quarum diametri fint in progreflione Geometrica: quoniam figura confimiles fünt, vires Solis 8& Lunee, quibus pundta zquinoctialia regrediuntur, efficerent ut figurarum reliquarum feorfim(pectatarum puncta eadem zquinoCtialia eadem ; cum velocitate regrederentur. Et par eft ratio motus orbium fingulorum 4 2Eq, BR br,CScs, &c. qui funt figurarum illarum differentige. Orbis uniufcujufque, fı folus eflet, puncta xquinoctialia eadem cum velocitate regredi deberent. Nec refert utrum orbis quilibet denfior fit an rarior, fi modö ex materia uni. formiter denfa confletur._ Unde etiam{fi orbes. ad-centrum denfiores fint quäm ad circumferentiam, idem erit motus.zquinoctiorum Terra totius ac prius; fi modo orbis unufquifque feorfim(pectatus ex materia uniformiter ‚ denfa conftet,& figura orbis non mutetur. Quod fi figurz orbium mutentur, Terraque ad zquatorem AE, ob denfitatem materiz ad centrum, jam altius afcendat quäm prius; regreflus zquinoctiorum ex aucta altitudine augebitur, idque in orbibus fingulis feorfim exiftentibus, in ratione majoris altirudinis materiz jJuxta orbis illius zquatorem; in Terra autem tota in ratione majoris altitudinis materig juxta zquatorem orbis non extimi 4 QEg, non intimi Gg, fed mediocris alicujus CScs. Terram autem ad centrum denfiorem effe,& propterea fub Equatore altiorem efle quäm ad polos in majore ratione quäm 692 ad 689, in fuperioribus infinuavimus. Et ratio majoris altirudinis colligi fere poteft ex majore "diminutione gravitatis fub zquatore, quäm quez ex ratione 692 ad 689 confequi debeat. Exceflus longitudinis penduli, quod in Infula Goree& in illä Cayenne minutis fingulis fecundis ofcillatur, fupra longitudinem Penduli quod Parifis eodem tempore olcillatur, ä ; Gallis

C ES
Gallis inventi funt pars decima& pars octava digiti, qui tamen ex proportione 692 ad 689-prodiere 23;&= Major eft itaque Jongitudo Penduli Cayenne quäm oportet, in ratione 5 ad, leu 10006 ad 712; 8cin Infula‘Goreein ratione‘ 5 ad. 2 ie0 1600 ad 810. Si fumamus rationem mediocrem 1000 ad 760; minuenda’erit:gravitas Terre ad xquatorem, 78& ibidem‘ augendasejus altitudo;- in ratione: 1000:.ad0760/quam“ proXime.»Unde motus zquinodiorum(ut fupra dictum eft‘) auctus in'ratione altitudinis
Terrz, non ad,orbem extimum; non adintimum; fed ad interme® dium:aliquen,? idbeft, nomin ratione maximal 1 00@®2d 760, no
in minima 1000 ad:1 000, fed’in mediocri aliquazı puta voada8
yel 6-ad-5, evadetrannuatim 5 429. 627 Dan hıo Cn0D MUT
‚Rurfus hicmötus;robinclinationenn plani Equatoris ad planum
Ecliptice, minuendusjeft,idque in: ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium..:-Namdiftantia particule oujulque terreftris
ä-plano> AR-quortenapore ‚particula- illa”ärplanooEcliptice. don:
siflime-diftat, 2in‘ Tropico(uo:(ut ita dicam‘) confiftens, diminui:
tur, per inclinationentplanorum| Ecliptice& /Equatoris adoınvie
cem,(in ratione»SinuscomplementDinchinationis ad Rradium“Et in
rätione. diftantiee illius dimmuitar etiam vis particalz adierquinoChia
movenda. In eadem quoqueratione diminurur dumma vipung particulg, ejufldem; indocis’hincinde ä Tropico zqualiter diftantibus:
uti;ex;predemonftratisfacile Loftendiupofliot s& propterea Wis toLa
particula illis;.in’revolutione integrä, ad zquinoCtia movenda, ut Ec vis tota-patticularum omnium,& motüs_zquinoCtiorum. ä. Vi illa oriutidus,\. diminuitur. in eadem ratione. Igitur cum jiriclinatio illa-fitm3: gr: diminuendus eft motus 54’, 29”. in/ratione Sinus 9.4706„( qui, finuscetcomplemenhti Sraduium 2%}) ad Radium 1000001 Qua ratiohe motus ifte jam fıet 49”. 58”. Regrediuntur igicur puncka gquinoctiorum motü-annuo( juxta computationem noftram)> 49 ab58 tere ut. Phenomenacoeleftia requirunt. Nam regreffus ille Annuussex obfervationibus Altronomorum eft 50°.
2 Defcripfiimusjam Syftema Solis, Terre& Planetarum; fupereit
ut de Cometis nonnulla adjiciantur, Kık.. Lem

LAY
A. Ar LemmadV. 085 bs.«
ud
*
Be„Cometas; effe Luna fuperiores in regione Planetarum verfari,
Ur defe&us Parallaxtoss diurnzextulit Cometäs{upraregiones füblunares; fc ex-Parallaxirannua cohvincitur corum defenfus: in regiones Planetarum;- Nam Cometz qui progrediuntur fecundum ordinem fignorum funt omnes;:(ub.exituappatitionis;(aut Lolito tardiores aut retrogradi; fi Terra eftinter iplos& Solemz)'at jufto celetiores fi: Terra vergit ad oppofitionem. Et!& contra, rqui per gunt contra ordinem f1gnorum Aunt jufto celeriores in fine apparitionis, fi Terra: verfatur-inter-ipfos&- Solem 3& jufto: tardiores vel retrogradi fi Terra fita‚eft: ad contraria$»partes. Continpgit hoc maxime ex:motu T, ertz in ‚vario ipfius fitu,„‚perinde ut fit: in Pla: netis,= qui; pto-moötu: Ferirzg wel confpirante vel conttario,\nunc retrogradi funt,’hunc tardiüs mover1 videntur, nunc verö celeriüs, ‚Si Terra pergit.adieandem partentcum Cometa; 8& motu angula: ri circa ‚Solem celerius-fertür,: Cometa€ Lerra fpectatus,. ob.motum füum-tardiorem; apparet: effe retrogradus; fin Terra: tardiüs fertur; ‚motus Cometae,(detracto motu Terre): fit faltem tardior, At fi/Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior apparet.«Exjaccelerationeautem vel retardatione vel motu retro:
EEE,’grado diftantia Cometz in
Gucci as 2800 Branche modum cölligicur.
|| Sunto r Q.4, v AB yQC
obfervatz, tres longitudi‚nes Comet, fub initiomotus, fitque v QF longitudo ultimö obfervata, ubi
Cometa videri definit, Aga‚turrecta 4BC, cujus partes. 4B, BC rectis e&. ‚B,

Ts 1/ 0.B, OB& ZCinterjectee, fint ad invicem ut!tempora inter'ob* fervationes tres-primäs. Producatur AC ad Gut fit AG ad: AB ut tempus inter obfervationem primam&uleimam, ad tempus inter obfervationem primam& fecundam,& jungatur QG. Et fi Cometa moveretur uniformiter in linex recta, atque Terra vel quiefceret, vel etiam in linea recta, uniformi’"cum motu', progredegetur; foret angulus VG longitudo Cometz ternpore Oblervati‚onis ultime. Angulus igitur FG, qui longitudinum differentia eft, oritur ab inzqualitate motuum Cometz ac Terrz. Hic autem angulus, fi Terra& Cometa in contrarias partes moventur, additur angulo 4 2.6; 8&- fic motum apparentem Cometz velociorem reddit: Sin Cometa pergit in ealdem partes cum"Terra, eidem fübducitur; motumque Cometz- vel‘ tardiorem reddit,‘vel forte retrögradum; ut!’ modö expofui. ı Oritur igitur hic angulus precipue ex motu Terra,& idcirco pro-parallaxi Cometz'meritö habendus-eft) negle&ovidelicet ejus incremento vel decremento nonnullo;, quod ä Cometz motu inzquabili in orbe proprio oriri offit. Diftantia verö Comet ex hac parallaxi fic colligieur,' Defignet S Solem, a c’T orbem magnum;> br alocum Terre in obfervatione prima, c locum Terre in obfervatione fecun: da, Tl1ocum Terre in obfervatione ultima,& T'r-lineam re&am verfus principium Arietis dudtam.| Sumatur angulus v'TV zqualis angulo v AF, hoc eft zqualis longitudini Cometz ubi Terra verfatur in T. Jungatur 4C, & producatur ea ad g, ut fit ag ad ac ut AG ad AC,& erit g locus quem Terra tempore oblervationis ultime, motu in; recta: a c’uniformiter continuato, attingeret.‘Ideoque fi ducatur g v ipfi Tv parallela, 8 capiatur angulus vg Zangulo v'2.G zqualis, erit hic angulus vg 7 kKız 2
Kann a nk

. 16-1 En xqualis longitudini Cometz&loco g(pectati;& angülus TVz pa: rallaxis erit, qua oritur da tranflatione Terre de/loco£ in locum T': ac proinde 7 locus‚erit Cömetzein plano Ecliptice. Hic autem 16: tus Y orbe Tovis inferior efle folet. fir
Idem;colligitur-ex ourvatura vie Cometarum. Pergunt hc corpora-propemodum in-circulis:maximis quamdiu moventur celeri: us;; at in fine curfus; ubi/motus apparentis pars illa qua 2 paral: laxi-oritur majorem habet proportionem ad motum totum apparentem, ‚deflectere(olent ab-his circulis,& quoties Terra. movetur in unampartem abire in-partem contrariam.:"Oritur hac deflexio maxime ex Parallaxi, propterea quod refpondet motui Terra;& infignis ejus quantitas meo computo collocavit difparentes Cometas fatis longe intra Jovem. Unde confequens eft quöd in Perigzeis& Periheliis, ubi propius adfunt, defeendunt fepius infra orbes Martis & inferiorum Planetarum. 01 007 0b!|© ug
Confirmatur etiam-propinquitas Cometarum ex 1uce’capitum. Nam corporis.cceleftis A: Sole illuftrati& in regiones longinquas abeuntis diminuitur fplendor in°quadruplicata‘ ratione diltantig: in duplicata ratione videlicet ob au&tam corporis-diftantiam 4 Sole, & in alia duplicata ratione ob. diminutam diametrum apparentem, Unde fi detur"& lucis quantitas“& apparens diameter Cometz, dabitur diftanria, dicendo quod’diftantia fir’ad diftintiam Planetz in ratione integra diametri ad diametrum dire&&& ratione dimidiata Iucis ad lucem inverse,„Sic:minima Capillitii Cometz anni 2682 diameter, per Tubum öpticum fexdecim pedum‘ A. Cl. Flamfledio obfervata& micrometro men(urata,xquabat 2’. 0”. Nucleus aurem deu ftella in medio capitis: vix-decimam partem latitüdinis huyus. occupabat, adeoque lata erat tantum ı 1” vel 12”. Luce verö & claritate capitis fuperabit caput Cometz anni‘ 1680, ftellaque primz vel fecunda magnitudinis zmulabatur. Ponamus Saturnum cum ‚annulo füo quafı quadruplo lucidiorem fuille.:.& quoniam Jux annuli propemodum zquabat lucem glöbi intermedii,& diameter apparens globi. fit. quafi 21, adeoque‘lux globi& annuli
CON

SZ LT 4m]; Conjundtim 2quaret Iucem globi, cujus diameter eflet 30": erir. diftantig Cometz ad diftantiam Saturni ut ı ad v4 inverse,& 12" ad zo" dire&6, id’eft ut 24 ad 30 feu 4 ad 5.'Rurfus Cometa anni 1665 menfe Aprili, ut Author eft Hevelius, claritate(ua pene fixas omnes fuperabat, quinetiam ipfum Saturnum, ratione coloris videlicet longe vividioris.. Quippe lucidior erat hic Cometa alrero illo, qui in fine anni precedentis apparuerat& cum ftellis prime magnitudinis conferebatur.‘ Latitudo capillieii erat quafi 6‘, at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove; 8 nunc minor Corpore intermedio Saturni, nunc ipfi xqualis judicabatur. Porrd cum diameter Capillieii Cometarum raro füperet 8’ vel 12‘, diameter verö Nuclei feu ftellz centralis fie quafi decima vel forte decima quinta pars diametri capillitii; patet Stellas hafce' ut'plurimum ejufldem efle apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux eorum cum Iuce Saturni non rar& conferri poflit, camque aliquando fuperet; manifeltum eft quod Cometz omnes in Periheliis vel infra Saturnum- collocandi fint; vel non longe fupra.© Errant igitur totoccelo qui Cometas in re-. gionem Fixarum prope ablegant':! qua certe ratione non magis ilJufßtrari deberent ä. Sole noftto, quäm Planetze, qui hic fünt, illufirantür A Stellis fixis. C AR Hac dilputavimus non confiderando. obfcurationem Cometarum per füumum illum maxime copiofum& craflum, quo capur eircundatüur,'quafi per nubem obtuse femper lucens. Nam quanto obfuritis tedditur corpus per kunc fumum, tanto propius ad‘ Solem accedat necefle eft, ut copia lucis ä fe reflexa Planetas zmuletur. Inde verifimile fir Cometas longe infra Spharam Saturnidefcendere,'uti ex Parallaxi probavimus. Idem-verö quam ma-xime confirmatur ex Caudis, Hie vel ex reflexione fumi 1parfı per‘ zethera, vel ex luce capitis oriuntur.- Priore cafu minuenda eft’ diftantia Cometarum, ne fumus-& Capite femper ortus per 1patia‘ nimis ampla incredibili cum velocitate& expanfione propagetur. In pofteriote referenda eft.Jux. omnis tam caudz quäm capillitii-ad!

T4#87
Nucleum capitis.. Tgitur, fr imaginemur Iucem hanc omnem con‚gregari& intra difcum Nuclei coarCtarl, Nucleus ille jam.certe, „quoties caudam maximam&. fulgentiflimam emittit, Jovem ipfum {plendore fuo multum fuperabit. Minore 1gitur' cum diametro apparente ‚plus Iucis emittens, multo magis illuftrabitur ä Sole, ‚adeoque erit Soli multö proprior.. Quinetiam capita fub: Sole. delitefcentia,& caudas cum maximas tum fulgentiflimas inftar tra‘bium ignitarum nonnunguam emittentia,. eodem argumento.infra orbem Veneris collocarı debent. Nam lux illa omnis(iin {tellam congregari fupponatur, ipfam Venerem ne dicam Veneres plures conjunctas quandoque fuperaret. sl Idem denique colligitur ex luce capitum crefcente in receflu Cometarum ä Terra Solem verfus, ac decrefcente in. eorum receflu& Sole verfus Terram.. Sic enim Cometa pofterior Anni 1665(ob{ervante.. Hevelio,) ex quo confpici cepit,, remittebat femper-de motu füo, adeoque preterierat Periggum; Splendor verö capitis nihilominus indies creicebat,ufque dum Cometa radiis Solaribus obtectus defit apparere, Cometa Anni 1683, obfervante. codem Hevelio, in fine Menfis Juli ubi primum confpectus eft, tardiflime movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter fingulis diebus in orbe fuo conficiens. Ex co tempore.motus ejus diurnus. perpetuo augebatur ulque ad Sept. 4. quando evafıt graduum quafi-quinque. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinqua‚bat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro men{urata. colligitur: quippe quam Hevelius reperit Aug. 6. efle tantum 6". 5” inclusa comä, at Sept, 2.efle 9.7”.- Caput igitur initio longe minus apparuit quäm in fine motus, at initio tamen in. vicinia Solis longe Jucıdius extitit quäm circa finem, ut refert idem Aevelius. Proinde toto hoc. tempore, ob receffum ipfius 4. Sole, quoad lumen decrevit, non obftante acceflu ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium Menfis Decembris,& ifte Anni ı 680 circa finem ejufdem Menfis, celerrime movebantur, adeoque tunc erant in Perigeeis,. Verum fplendor-maximus capitum contigit ante duas fere AM a

a) ud DD a
ww
2
>. em. m.
sr
<
NE a
C 479] feptimanas, ubi modo exierant de radiis Solaribus;& fplendor ma: ximus caudarum paulo ante;in majore vicinitate Solis, Caput Cometz prioris, juxta‘ obfervationes Cyfati, Decem. 1. majus videbatur
ftellis prime magnitudinis, 8& Decem, 16.(jam in Perigzo exiftens‘) magnitudine parlım, fplendore feu clatitate luminis plurimum defecerat. Jan. 7. Keplerus de capite'incettus finem fecıt ob-feryandi. Die 12 menfis Decemb. conlpe&tum& ä Flamftedio obfervatumeft capıt Comet pofterioris, in diftantia novem gradıf-um ä Sole; id quod ftellz tertig magnitudinis vix conceflum fü-.
iffer... Decem, 15 817 apparuit idem ut ftella tertige magnitudinis,. diminutum utique(plendore Nubium juxta Solem.occidentem.. Decem. 2 6. velocifime motus,inque Perigzo propemodum exiftens, cedebat ori Pegafiı, Stellz tertig magnitudinis. fen. 3. apparebat ut: Stella quarte, Jan. 9. ut Stella quintz, Jan. 13. ob fplendorem: Lunz crefcentis difparuit, Jan. 25. vix 2quabat Stellas magnitudi-nis. feptime. Si fumantur gqualia ä Perigzo hinc inde tempora,. capita quz temporibus illis in longinquis regionibus pofita, ob» xquales ä Terra diftantias, xqualiter 1ucere debuiflent, in ‚plaga. Solis maxime fplenduere, ex altera Perigzi parte evanuere. Igitur ex magna lucis in utroque fıtu differentia concluditur magna Solis. E& Cometeze‘ vicinitas in fit priore, Nam lux Comerarum regularis effe folet,& maxima apparete ubi capita velociflime moventur,. atque adeo funt in Perigzis; nifi. quatenus ea: major eft in. vicinia. Solis.';
Corol. 1. Splendent igitur Cometz luce Solis ä fe reflexa..
Corol. 2. Ex dictis etiam intelligitur cur Cometz tantopere' fre:quentant regionem Solis,'Si cernerentüur in regionibus longe ultra Saturnum deberent fxpius apparere in partibus Soli oppofitis. Fo-rent enim Terrz viciniores qui in. his partibus verfarentüur,&. Sol: interpofitus obfeuraret cxteros,' Verum ‚percurrendo hiftorias Co- metarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures derecti-funt. in. Hemifphzrio Solem verfus, quäm in” Hemilphzrio oppofto,
preter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit. NisMuum.s

‚L 48%]) mirum in defcenfu ad. regiones noftras neque caudas emittunt, neque adeo illuftrantur.ä Sole,ut nudis oculis fe prius detegendos exhi‚beant, quäm{int ipfo Jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo circa Solem-defcripti pars longe major fita eft A. latere Terrz ‚quod Solem tefpicit; inque-parte illa majore Comete Soli ut plurimum Viciniores magis illuminari folent.\= 44 00h um _ Corolo 3. Hinc ‚etiam manifeftum eft, quod-ceeli refiftentia deftituuntur. Nam Cometz vias obliquas.& nonnunquam ‚curfüi Pla‚netarum contrarias fecuti, moventur omnifafiam liberrime,& motus(uos etiam contra curfum Planetarum diutiflime confervant.-FalJar nigenus Planetarum fint, ‚& motuperpetuo in orbenaredeant, Nam. quod Scriptores, aliqui Meteora efle volunt, argumentum& capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere videtur. Capita Cometarum Atmofpharisingentibus cinguntur;& Atmo(lphezrz inferne.denfioresefle debent. Unde nubes funt non ipfa Cometarum corpora, in quibus mutationes illg vifuntur:. Sic Terra fi€ Planetis{pectaretur, luce nubium fuarım proculdubio fplen‚deret,& corpus firmum fub-nubibus prope.delitefceret,. ‚Sic cimngula Jovis.in nubibus Planerz illius formatay firum mütant inter fe,& firmum Jovis corpus per nubes illas,difficilius cernitur, Et multo magis corpora Cometarum{ub Atmofpheris& profundioribus& crafflioribus.abfcondi debent;®
Prop. XL. Theor. XXL
Cometas in Settionibus conicts umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad folem duEtis areas temporibus proportionales defcribere.
Patet..per Corol. ı, Prop. XI. Libri. primi; cöllatum: cum Prop. VL, XH-8 XIL Libri tertii, Kr aM Corol. 1. Hinc fi Cometez, in orbem. redeunt;. orbes erunt Ellipfes, E&tempora periodica erunt; ad tempora; periodica Planetarum in ratione{equilaltera traniverlorum axiuma, Ideoque Cometz maxima

[481 7
xima-ex parte füpra Planetas verfantes,&. co nomine orbes axibus
.° 1° m x; 3 z. majoribus deferibentes, tardius ‚revolventur. Urt fi axis orbis.Co— metge fit quadruplo Major axe orbis Saturni, tempus revolutionis
Cometz erit ad tempus revolutionis Saturni, id elt ad annos 30, ut 4v 4(feu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240. Corol. 2."Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut corum vice Parabolx abfque erroribus fenfibilibus adhiberi poffunt. Corol. 3. Et propterea,per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I. velocitas Cometz omnis erit femper ad velocitatem Planetz cujufvis circa
Solem in circulo revolventis, in dimidiata ratione düplicatz diftantx. Cometz A cefitro. Solis ad diftantiam Planetz ä centro ‚Solis
quamproxime. Ponamüus radium Orbis magni, feu Ellipfeos in qua‘ Terra‘ tevolvitur femidiametrum tranfverfam.,_efle partium
100000000,& Terra mot fo diurno mediocrt deferibet partes 17206212, 8 moötu horario partes 7,1675. Ideoque Cometa in
eadem Telluris ä Sole diftantia mediocri,. ea cum. velocitate quz% fit ad velocitatem Telluris ut v2 ad ı, deferibet motu füo. diurno partes 2432747,& motu horario partes 10.13 64%. In majoribus autem vel minoribus diftäntiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad’hunc motum diurnum& horarium in dimidiata ratione difrantiarum refpective, ideoque datur.
Keime N.
Invenire lineam curvam ‚generis Parabolici, qua per data quotcunque. puntta.tranfibit,
Sunto puncta illa 4,B,€, D, E; F,&c.& abildem ad re&tam quamvis-pofitione datam FEN demitte petpendicula quotcungue AH, BI, CK,DL, EM, FN.
Cafı 1. Si pundtorum HL, 1, KK, L, MN zqualia funt, intervallaı HI, IK, KL,&c. collige perpendiculorum AH, BI, CK&c. differentias primas b, zb, 3 b, 4b, 5 b,&c. fecundas c,
Lil:
C’2)

L 482] 2C,3C, 4C,&c, tertias d, 2.d, 3 d,&c. id eft,ita ut fit HA. BI =b,BI_CEKR=1CK-DL= 3b, DL+EM= 4b, — EM FN= sb,&c deinbnzb= c&c. Deinde erecta
ES uacunque_ perpendiculari „RS, que fuerit ordinatim
applicata ad, Cur vam ‚Quezefıtam: ut inveniatur hujus
longitudo, pone.intervalla
HLIK, KL, LM,x&c.
.unitates. efle, ‚&.die,4H
IS gigintSk
in+ SM= t; pergendo videlicet ad ufque penultimum., perpendieulum ME,& praeponendo fıgna negativa,terminis HS, IS, x.
qui jacent ad.partes pundti S-verfüs- 4,& figna affırmativa terminisS KK, SL,&c."qui jacent ad alteras partes punct1 S. Er fignis probe obfervatis erit RS= a bp bg drhes+fi&e.
Caf. 2. Quod fi pundorum A, T, KR, L;&c., inzqualia int intervalla HETK;&c. ‚collige perpendiculorum AZ, B T,.C Kz&C. differentias primas per intervalla perpendiculorum divifas 5, 2 b, 3b, 4b, 5 b; fecundas per intervalla bina JIvVilaS 6, 2 6, 3.0, 4C,&XC, tertlas per intervalla terna divifas d, 2 d, 3 d,&c., quartas per intervalla quaterna divifas e, 2e,&c,&{ic deinceps; id eft itaut fith—
AM EN Ih DIN Zn ı6= FD&e, dein c= SO BE ze 1049&c. Poftea d— 2d= A &c. Inventis differentiis, dic AH= 4,— HS;= IS = a4qgnm+SK= r, Ta SL= Sn+ SM t3 pergendo fcilicet ad ulque perpendiculum penultimum M Kater ordinatim applicata R S= 4+ bp cq-Fdr+ies A ft. Corol. Hinc arex curvarım omnium inveniri: poffunt quamproxime, Nam fi curve cujufvis quadranda invenlantur pundta aliquot,
am ——

L 483 1 quot,& Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabolxe hujus eadem quam proxime cum area curvee illius quadrande. Poteft autem Parabola per Methodos notiflimas femper quadrari Geometrice. HM ba
Lemma VI
‘ Ex obfervatis aliquot locis Cometeg invenire locum ejus ad tempus )"14 gquodvis intermedium datum.
'! Defignent HT, IK; KL, LM tempora. inter obfervationes, (in Fie:'pr£&ced,) HA'IB,- KC; LD, ME, obfervatas quinque löngitudines Cometz, AS tempus datum inter obfervationem primam& longitudinem quafitam. Er fi per pundta 4, B,C,D,E duci intelligatur curva reguülaris ABCDE;& per Lemma fuperius inveniatur ejus ordinatım applicata R S, erit RS longitudo quaefita.: Er
Eadem methodo ex obfervatis quinque latitudinibus invenitur
Jatitudo ad Tempus datum.
“. Sirlongitüdinum obfervatarum parva fint differentie, puta'ora® düum tantm‘4. vel’5; füffecerint obfervationes tres vel quaätüor Ad inveniendam longitudinem& latitudinem novam. Sin majores fint differentig, puta graduum 10 vel 20, debebunt obfervationes quinque adhiberi, EN

E 484 7] Lemma. VIL
Per datum punetum P ducere rettam lineam BC, cujus. partes PB, PC, re&is duabus pofıtione datis AB, AC abfciffe, datam habeant rationem ad invicem,
Veran ‚ A.puncto ‚illo:P-ad re&tarum alterutramı AB. dicatur re&ta quaevis PD,& producatur eadem verlüs reCtam alteranı AC ulque ad. Ey. ut fit P E ad P.:Din.data illa.ratione, Ipfi AD parallela fit. EC; 8 fi agatur CPB, exit, PC ad PB. ut.P Ead
Sit ABC Parabola ynlalcm habens S.. Chords A@ bifeeta I abfcindatur[egmentum A.B CI, cujus: diameter fit. Xu:&@; vertex m? In: 1m produtta capiatur p-O wqualis dimidio ipfins ui; Jungatur OS;&
X
producatur ea adg, ut fit SE equalis 2 SO. Et fi Cometa B moveatur in arcu CBA,& agatur EB fecans AC inE:. dico quod punttum E, abJeindet

CL 485] Ed feindet'devehorda‘ AIG Sezmentum: RE tempori propörtionale‘gquam:
froseime; A SEE E Jangatur enim ZO0 feeans are Parabolicum ABC in X,& eritarea curvilinea AEY ad-’atearm Curvilineam ACYut AE dd AC quampro%ime Ideoque Cum trangülum A'S'E Grad eriangulum ASC in eadem ratione, erit area tota AS EYTad aream totam ASCYut A4E ad AC quamproxime. Cum autem£0 fit ad S.0 ut 3 ad ı& E0 ad YO prope in eadem ratione, erit SY ipfı EB parallela quamproxime,& propterea triangulum S EB, triangulo. YEB quamproxime xquale. Unde fi ad. aream ASEY addatur: triangulum E.YB,& de fumma auferatur triangulum S EB; ma-. nebit area AS BY arex AS EY zqualis quamproxime, atque adeo: ad arcam A4SCY ut AEadAC. Sed area ASBY elt ad arcam. ASCY ut tempu® deferiptisarcus AB ad tempus defcripti arcıs totius. Ideoque AE eft. ad AC’in ratione temporum quamproxim6.. AS 0 Lern 1X.
5
ob. eacolav svapı asıl obmienol, ze IN amigl Vi? ba au .„Rette Ir. en M x Jongitudo, AS Agua, inter Se. en Nämi!: 4Sw ef latus rettum Parabole pertinens ad’vertieem BB.)
Si producatur Sp ad N&'P, ut EN ‚fit pars tertid tpfis u 1;&— SP fit adSN ut SN ad Sp. Cometa quo tempore defcribit arcum Aa©) fiprogrederetür 4 femper-cim welocitate ga habet im altitu=. dine ipfa: SP vequali,"defcriberet longitndinem® kquälem chördie A'©.
Nam 11: velocitate' quam habet in‘. eodem termpöte progrediatur uniformiter in recta qua Parabolam tangit in x; area Ua» Radiorad-pundtum SS ducto: deferiberep, Zeualis ellet area Parabo-. lice 48 Cr. Ideoque contentim üb longiruidine in Tangente.de-D£eripta.

>
[ 486 1 fcripta& Jongieudine,S w; eflet, ad ‚contentum Aub' longitudinibus AC&SM, ut area AS Cp ad triangulum ASCM, id eftutSN ad SM. ‚Quare. 4C eft ad longitudinem in) tangente defcriptam ut Sy ad S N. Cum. autem- velocitas Comet in altitudine SP fit, ad. yelocitatem inaltitudine, S in dimidiata! ratione S.P.ad S x
Acft
inverse, id eft in ratione S x ad S N, Iongitudo hac velocitate eo„dem tempore defcripta,erit ad longitudinem in Tangente def criptam ut SwadS N. Igitur A4C&,longitudo hac nova velocitate defcripta,cıim fint ad’longitudinem in Tangente def&riptain in eidem. ratione, xquantur.inter-fe... Q..E. D.(3 a Corol. Cometa igitur ca cum velocitate, quam habet in altitudine Sp.+3 Ip, codem tempore.defetiberet chordam AC quam';proxime,/ Lemma XI
„St Cometa ‚motw.omni. privatus.de,altitudine»S N: feu Sp SIR des. mitteretur,, ut caderet in. Solem,. m ea femper wi uniformiter“continnata urgeretur in Solem qua urgetur fub initio; idem quo tempore in orbe fuo deferibat. arcum A:C, defcenfu. uno de/criberet fpatium longitudini I Aguale. x Al ir el 6 Nam Cometa)-quo‚tempore defcribat /arcum Parabolicum A C, codem.tempore ca cum velocitate quam haber in altitudine SP(per
Lemma

C 487 7] ‚Lemma novifimum) deferibet chordam AC, adeoque eodem temporelin, circnlo. cujlıs femidiameter elerS P:revolvendopdeferiberet ‚arcumi.-cujüs,longitudoaleffet ad arcus Parabolici) Cchordam UC) imdimidiata ratione-unius’ad duo, Et propterea eo cum pöndere quod habet in Solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in Solem, defcriberet codem tempore( per Scholium Prop. IV. Lib. I.) fpatium xquale quadrato femiflis chordz illius applicato ad quadruplum: altitudinis SP, id eft(patium EEE Unde cum pondus Cometeze: in Solem in altitudine SN fit ad.ipfius pondus in Solem in-altitudineSP, ut SP ad Si: Cometa pondere'quod habet in altitudineS$ N. eodem tempore, in Solem ‚cadendo, defcribet{patium Lt, 1d eft(patium. longitudini Ix vel Mu xquale. 2. E, D.
Comet in Parabola moventis Trajettoriam ex dätis tribus:. obfervationibus determinare.
Problema hocce lorıge difficillimum mültimode aggreffüs, Com. pofui Problemata quadam in Libro primo qui ad ejus folutionem: {pectant. Poftea folutionem fequentem paulö{impliciorem exco=gitavl. an n Sn
‚ Seliganturitres obfervationes@qualibus temporum iatervallistabinvicem quamproxime diftantes: Sicautem tempöris intervallum il lud ubi Cometa tardius moveturpäulo majus altero; ta videlicet ut temporum«differentia fit ad fummam temporum ut’ fumma‘ tempöporum ad: dies plus minus‘ fexcentos/ 0Si.tale® oblervatiönes non. prefto fiat, inveniehndus eft novus Cometze loc pe Lern. fextum. a DS
Defignent-S/Solem,.T;-t; m trianlocd Terrx in“orbe magno, TA,+tB,+C oblervatastres longitudines Cometze, 7 Tempus Anter obfervationem primam& Secundam;, Wrempus inter fecuudarn ac.
ter

L 488|] tertiam; X longirudinem quam Cometa toto illo tempore ea cum velocitate, quam habet in mediocri Telluris& Sole diftantia, deferiberei poffetz&:t 7 perpendiculum in chordam T’7."In longieudine media-£ B.fumatur utcunque pundtum B,.& inde verfus Solem S
ducatur linea BE, quaerfit;ad Sagittam: 6 /’ut contentum fub SB& St quadrato ad cubum hypotenußze trianguli rectanguli;cujus-latera funt S B& tangensJatitudinis: Comet in obfervatione fecunda, ad radium£ B. Et-perpundtum EZ agatur recta AEXC, cujus partes 4E, EC ad rectasT 4& x C terminate, fint:ad invicem ut tempora/ & W: Tum per pundta 4, B; C, duc circumferentiam.circuli, camue bifeca in 2, ut& chordam ACin I. Age occultam S i fecantem AC in x,&comple: pärallelogrammum;/ Am: Cape To: zqualem 31a,& per Solem Sage occultamıs.£ 2qualem'3 So 4 3 7A. Er deletis jam, literis; 4, E,C, I, ärpund&o B-verfus pundtum£ N OCcultam

(4) en 8 cultam novam B E,que fit ad priorem B Ein duplicata ratione diftantig B S ad quantitatem Sp 4372. Er per pundtum E iterum duc re&tam AEC eadem lege ac prius, id eft, ica ut ejus partes A4E & EC fint’ad invicem ut tempora inter obfervationes, /’8& W.
Ad AC bifectam in Terigantur perpendicula AM, CN, TO, quarum AM& CN fint tangentes latitudinum in obfervatione prima actertia ad radios T’A& T=, Jungatur MN fecans TO in0. Conftituatur rectangulum 772% ut prius. In IA producta’capiatur ID equalis Sr+ 342,& agatur occulta 0 D. Deinde in MN verfus N caplatur MP, que fit ad longitudinem füpra inventam X in dimidiata ratione mediocris diftantig Telluris ä Sole( fen femidiametri orbis magni) ad diftantiam 0 D. Et-in AC capiatur CG ip NP zqualis, ita ut punda G& Päd ealdem partes rectee N C jaceant.
Eadem methodo qua pundta E, A, C, G, ex aflumpto pundto B inventa{ünt, invenuntur ex aflumptis utcunque pundtis aliis b& ß punda nova e, a, c, g,& e,@.x, 7. Deinde fi per G, g, yducatur circumferentia circuli G.g% fecans redtam 7 Cin Z: erit Zlocus, Cometz in plano Ecliptice.„Et fiin AC, acy«x capiantur AF, af,=®1pfis CG, c g, xy refpe&tive xquales,& per pundta F, f, o ducatur circumferentia circuli F fg fecans re&am AT in X; erit pundtum X alius Cometez locus.in plano.Eclipticg. Ad punta X& Z erigantur tangentes latitudinum Cometz ad radios T’X & x Z;& habebuntur 1oca duo Cometzx in orbe proprio. Denique (per Prop. XIX. Lib. I.) umbilico S, per loca.illa duo deferibatur Parabola,:& hac erit Traje&oria Cometz, QE, I. f
Conftructionis hujus demonftratio ex Lemmatibus confequitur: quippe cum recta AC fecetur in Ein ratione temporum, per Lemma VII:& BE per Lem. XI. fir pars rectz BS in plano Ecliptice arcui ABC& chorde AEG interjecta;& MP( per Lem. VI} longitudo fit chordz arcus, quem Cometa in! orbe proprio inter obfervationem primam ac tertiam deferibere. debet, ideoque ipfi
MN zqualis fuerit, fi modo B fit verus Cometz locus in plano Ecliptice, Mmm Cez(EEE a
we Es:

L 490 1] _ Ceterum pundta B, b,-@-non quelibet,fed vero proxima eligere convenit.. Si angulus AQt in quo veftigium orbis in plano Ecliptice defcriptum fecabit rectam£ B.praterpropter innotefcat, in angulo illo ducenda erit recta occulta AC, que fit ad* T’t in dimi- ‚diata ratione St ad S Q. Et agendo re&tam S EB cujus pars EB gquetur longitudini /t, determinabitur pund&um B quod prima vice ufurpare licet. Tum re@&i AC deletä& fecundum Pracedentem conftructionem iterum du&2, 8& inventä infuper longitudine MP; in t B capiatur pund&um b, ea lege, ut fi TA, TCR: mutuö fecuerint in X, fit diftantia Yb ad diftantiam YB-in ratione compofita ex ratione MN ad MP& ratione dimidiata SB ad Sb. Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium@;; fi modö operationem, tertiö. repetere. Iubet, Sed hac. methodo opexationes duz-ut plurimum fuffecerint. Nam fi diftahtia Bb perexigua obvenerit, poftquam inventa funt pundta F, f& G, g, adt£ reltz Ff& Gg fecabunt T 4& 7.C. in pundtis quafitis = Exemplum.: *=® n s$®
Proponatur Comerta anni ı680.° Hujus motum& Flamffedio obfervatum Tabula fequens exhiber. S Be ven "1Tem.appar. Tania___ Long: Solis’-“Long. Cometze‘ Lat. Cometze, x68 0 December 12) 4«53. 216033, 08.26. 21 6 8.10 ds KK 76383125.457 24) 5„10.29 0:497.1025..23-. 26 5 50.38| 28724 627.700,
8„20.56[13 DI 491280107 8„3% 20 A 6«23-19„49. 1ON6. 15. z;„29.254 ‚43.1824, ; 7 8 6 7
® 9 309 5
3681 Fanuary 19 42834 17 4„49.5723. 34„25.59.3422, ‚45-58 55.481177 4509 IT 36116), 472 4 il A016. ‚49.51| 16,09, 51215%
OD 00H OA UN OO MAN OD
5

« EL 4911
In his obfervationibus FMamfledius A ufus eft diligehtiä, ut poftquam bis obfervaffer diftantiam Comet A Stella aliqua fixa, deinde etiam' diftantiant bis ab-aliz ftella fixa,”rediret ad fellam priorem& diftantiam Cometz ab eadem iterum obfervaret, idque bis, ac deinde ex diftantig illius incremento vel decremento tempori proportionali colligeret diftantiam tempore intermedio, quando diftantia ä ftella altera obfervabatur. Ex hujufmodi obfervationibus loca Cometze feftinanter computata Flamftedius primö cum amicis communicavit,& poftea ealdem ad examen revocatas calculo diligentiore correxit. Nos loca corre&a hic defcripfimus.
His adde obfervationes quafdam€ noftris.
. Temp.appar.|Cometae Longit.[Com. Lat.
Febru. 25] 8b, 30'[526.19 22°] 12.463
271 8.15| 27. 4.28|12:36.
Mari, 111. o| 27.53. 8|ı2.24? 2.8... 0] 2812429 12.194—
5 It.30| 29.20.5112. 25
9 530[0.0443 21114443
Ha obfervationes T- eleftopio feptupedali,.& Micrometro Alilque‘ in-foco/Teleftopii locatis paradtx fünt: quibus inftrumentis& pofitiones, fixarum' inter fe& pofitiones Comet’ ad fixas determinavimus.- Defignet Aftellam in finiftro calcaneo Perfei(Bayero 0) B ftellam fequentem in finifkro pede(Bayero£)& C,D, E, F, G, HT, K, L, M, N ftellasralias minores in eodem ‚pede.. Sintque P, 2, Rı ST loca Cometz in obfervationibts füpra de
{Cripus: & exiftente diftantiä 4 B partium 805, erat 4C partium 521. BC 586, 4D 57% BD821,CD23%, AB 10 CE 575, D E 496,
AR 38, BR 43, CR 31, FR 29, FB 23, FC36%, AD 185, DA 5320BN 4637 EN 31 BLASS NL 310. LM erat ad L But 2.ad 9.& producta rranfibar pet ftellam ZZ. His determinabantur pofitiones fixarum inter fe, Mr
X
Mmm 2

Die Veneris Feb. 25. St. vet. Hor. 8; P. M. Cometz in pexiftentis diftantia A ftella Z erat major quäm} 4 E,minor quäm£ AE, adeoque xqualis 2 AE proxime;&'angulus Ap E nonnihil
obtufüs erat, fed fere re&tus. Nempe fi demitteretur ad p E perpendiculum ab A, diftantia Cometz 2,perpendiculo illo erat 5 pZ. Eadem nocte,horä 9:, Cometz. in.®. exiftentis-diftantia: 2 fella E erat major quäm 4 AE;, minor quim 5 AE; adeoque xqualis T AE, feu 5 AE quamproxime. A ‚perpendiculo autem A! Stella 4 ad rectam P E demiflo diftantia Cometxerat 4 Pc Die 5%, Mart..1, hor. ı 1. P.M. Cometa in R. exiftens,-fellis K&C accurate interjacebat,& re&x CR K pars CR paulo major erat quäm> C A,& paulo minor quam 5 CA+ 3 CR, adeoque “ zqualis CK+ CRLu ECK. SER A u Die*, Mart. 2. hor. 8. P..M: Cometz exiftentis in S, diftantia ä ftella C erat,$ FC quamproxim6e,, Diftantia fteile Fü re&a CS producta erat£ FC;& diltantia fell B ab eadem recta erat quintuplo major quäm diftantia fell F, Item redta N S producta tran

[49T tranfibat inter ftellas A 8& I, quintuplo vel fextuplo propior exi{tens ftelle H quäm ftelle L En
Die ni, Mart. 5. hor. 114. P.M. Cometa exiftente in T; recta MT zqualis erat; ML,& recta L T producta tranfibat inter B&
F, quadruplo vel quintuplo propior F quäm ß, auferens 4 BF
uintam vel fextam ejus partem verfus F,. Et MT producta tran| ia extra fpatium BF ad partes ftelle B, quadruplo propior exifkens fell B quam ftelle FF, Erat M ftella perexigua que per Telefcopium videri vix potuit,& L ftella major quafi magnitudinis. octave.:
Ex hujuftnodi obfervationibus per conftructiones figurarum& computationes( pofito quod ftellarum A4& B diftantia eflet 2 gr. 6%,& Melle A longitudo 5 26 gr. 41. 48& latirudo borealis
"12 gr. 8%, ftelleque B longitudo y 28 gr. 40. 16°.& latitudo borealis ı ı gr. 17%; quemadmodum ä Flamftedio obfervatas accepi)._ derivabam longitudines& latitudines Cometze. Micrometro parum affabre conftrudä ufus fum, fed Longitudinum tamen& Latitudinum errores( quatenus ab obfervationıbus noftris oriantur) dimidium minuti unius primi vix fuperant, preterquam in obfervatione ültimä Maert. 9. ubi.pofitiones fixarum ad ftellas 4.& B minus accurate determinate potul. Cafinus qui Cometam eodem tem-pore obfervavit, fe declinationem ejus tanquam invarlatam manentem parum diligenter definivifle faflus eft. Nam Cometa(juxta. obfervationes noftras) in fine motus fu notabiliter deflectere ceepit. boream verfus, A parallelo quem in fine Menfis Februarit tenuerat. m
Jam ad orbem Cometz determinandum; felegi ex obfervatio-nibus hactenus deferiptis tres, quas Flam/tedins habuit Dec. 21, Jan. 5.. & Jan. 25. Ex his inveni St partium 9842,1& Vt partium 455. quales 10000{unt femidiameter orbis magni, Tum ad’operatio® nem-primam aflumendo t B partium. 5657, inveni SB 9747, BE
vima vice 412, Sp 9503, 1A— 413: BE Keunda vice 42.1, 0D 10186, X 3528,44, MP 8450, MN 8475, NP— 25. Unde ad operationem fecundam collegi diftantiam. tb 5640... Er AP
x

[444]
‚per hanc operationem inveni tandem diftantias TX 4775&=Z A41322.Exquibus orbem definiendo inveniNodos ejus in.®&% 1 gr. «53; Inclinationem plani ejus ad planum Ecliprice 61 gr. 2033; verticem ejus(feu perihelium Cometz) in m 27 gr. 43’ cum latitudine auftrali 7 gr. 34;& ejus latıs redtum 236,8, areamgq; radio ad Solem dueto fingulis diebus defcriptam 93585; Cometam verö Decemb. 8 d. ob. 4. P. M. in vertice orbis feu perihelio fuifle. Hac ‚omnia per(calamı partium zqualium& chordas angulorum ex Ta‚:bula Sinuum naturalium colle&as determinavi graphice; conftru‚endo Schema fatis amplum; in quo videlicet{emidiameter orbis ‚magni(partium 10000) xqualis eflet digitis 16; pedis Anglicani.
Tandem ut conftaret an Cometa in Orbe fic invento ver&.moveretur, collegi per operationes partim Arithmeticas ‚pattim, Graphicas, loca Cometz in hoc orbe ad. obfervationum quarundam tempora: ut! in Tabula fequente videre licer,
COMET ZZ |Diftant.Co- Lon.Collect..Lat.Colle&t.! Long. Obf., Lat. Obf.|Differ.| Differ. metz ASole! Long.| Lat. Decemb. 12| 2792|” 6.32| 8.18%|W 6.33 18.26|—. al De
‚29| 8403 X13.13,28. 0|X13.11328.10,4-+4 2|— 10% Febr. 5| 16669 817. 0 15.29%[816.59815.27% ol-+ 25 Mar, 5| 21737 1929.19}12. 4{829.20812. 231— ıl+- 1*
Preeterea cum Cl. Flamffedius Cometam, qui Menfe Novembri apparuerat, eundem efle cum Cometa menfium{ubfequentium, literis ad me datis aliquando difputaret,& Traje&toriam quandam ab orbe hocce Parabolico non longe aberrantem delinearet, vifum eft 1oca Cometzin hoc orbe Menlfe Novembri computare,& cum Obfervationibus conferre. Obfervationes ita fe habent. SS
Nov. 17. St. Vet. Pontheus& alii hora fexta matutina Rome,(id, eft hora 5. 10° Londini) Cometam obfervarınt in 8 27. 30° cum Jatitudine Auftrali o grw40'. Extant autem eorum obfervationes in tractatu quem Pontheus de hoc.Cometa in lucem edidit.. Eadem horä Galletius etiam Rome, Cometam vidit in 8 gr. fine Latitudine, RA Nov,

A L 495 1]
Nov. 18. Pontheus& Socii hora matutind 6, 30 Rome(ie: horz 5. 40‘ Londini) Cometam viderunt in= 13*, cum Lat, Auftr. ı gr: 20‘. Eodem die R. P. A170 in Academia Flechenfi apud Gallos, horä: quintä matutinä, Cometam vidit in medio Stellarum duarum par-varum,quarum una media eft trium in redta linea in Virginis Auftra-li manu,& altera eft extrema ale. Unde Cometa tunc fuit in. 12 gr. 46 cum Lat. Auftr. 50’. Eodem-die Boflonie in Nova Angkain Lat. 425, horä quintä matutinä(id eft Londini hora Mat. 9:) Cometa vifus eftin= 14 circiter, cum Lat. Auftr, ı ST. 30 zUudR Cl. Halleio accepi.*;
Nov. 19. hora Mat. 4% Cantabrigie, Cometa(obfervante juvene: quodam) diftabat ä Spica@ quafi 2 gr. Boreazephyrum verfus:. Eodem die hor. 5. Mat. Boflonie in Nova-Anglia Cometa diftabat 3. Spica» gradu uno, differentiä latirudinum exiftente 40, atque adeodifferentia Long. 4.4‘ circiter. Unde Comera erat in= 18 L. 40°. cum Lat, Auftr. ı gr. 19. Eodem die D. Arthurus Storer ad fluvium Patuxent prope Huntinz-Creek in Mary-Land, in Confinio Virgi-. nie in Lät. 38% gr. horä quintä matutinä(id ef} horä ı 0° Londini): Cometam vidit{upra Spicam»,& cum Spica propemodum conjunCum, exiftente diftantia inter eofdem quafi? gr. Obfervator idem. eadem horä diei fequentis, Cometam vidit quali 2 gr. inferiorent. Spica. Congruent hz obfervationes cum obfervationibus in Nova Anglia faCtis,. fi modö diftantize( pro motu diurno Cometz) nonnihil augeantur, ita ut Cometa die priore füperior eflet Spica m altitudine 52’ circiter, ac die pofteriore inferior eadem{tell2 altitudineperpendiculari 2 g7.. 40°.
Nov. 20. D. Montenarus Aftronomiz Profeflor Paduenfis, hora. fexta Matutina, Venetiis(id eft hora 5. 10° Londini) Cometam vidir in= 23 gr. cum Lat. Auftr, ı gr. 30. Eodem die Boftonie diftabat: Cometa ä Spica ww, 4,gr. longitudinis in orlentem, adeoque erat in:. 23 gr. 24 Circiter,,
Nov. 21. Pontheus 8& Socii hor. mat. 7% Cometam obfervarunt: ne 278%. 50° cum. Laticudine. Auftrali. ı gr, 16, Ango hord:

«AL 496 4| nn quintä mat. in= 27 gr. 45’. Möntenarus in> 27 gr, 51V Eodem die in Infula Jamaica vifus eft prope principium Scorpii, eandemque circiter latitudinem habuit cum Spica Virginis, id eft ı gr. 59‘.
Novem. 22. Vifus eft 4 Montenaro in m 2° 33. Boftonie autem in Novä Anglia apparuit in m 3 gr. circiter, eadem fere cum latitudine ac prius.|
Deinde vifüs eft i Montenaro Novem. 24. in m 12gr. 52.& Nov. 25. in m 17gr. 45. Latitudinem Galletius jam ponit 2 gr. Eandem Pontheus& Galletius decrevifle, Montenarus& Ango femper creviffe teftantur. Craffz fünt horum omnium obfervationes, fed exe Montenari, Angonis& obfervatoris in Nova-Anglia praeferendee videntur. Ex omnibus autem inter fe collatis,& ad meridianum Londini, hora mat. 5. 1ı0' redutis, colligo Cometam hujulmodi aurfum quamproxime de(cripfifle.,
Long.Com._Latit. Com.; Nov. 17 8.0 10.45 Auftr. IS 412. 4216.2 19 17 4011.15._ „20 22.45|1.32 4 Zi). 27.4611.44 22/M 2.4811.55
231 7.500 4 24, 12.522: 12 25} 17.4512.18
Loca autem Cometz iüfdem horis in orbe Parabolico inventa ıta fe habent., ä
Comet. Lon.]Com. Lat,|*
Nov. 175 8. 10423 A 21285. 01.224
25 m 18.1712, 6 Al
Congruunt igitur obfervationes tam menfe Novembri,. quam menfibus tribus{ubfequentibus cum motu Cometz circa Solem in Ttrajectori& hacce Parabolicä, atque adeo hanc efle veram hüjus Cometz Trajedtoriam, confirmant, Nam differentia inter loca obDT 2 Sp yata

-— Vo)) fervata& loca computata tam ex erroribus obfervationum quam ex erroribusoperationum Graphicarum in Orbe definiendo admiflis, facil& Oriripotuere. 1xul 35| 1900 SLGRS EAU JE Cezterum Trajectoriam quam Cometa defcripfit,& caudam veram quam fingulis in locis projecit, vifum eft annexo fchemate in plano TrajeCtoriege: optice delineatas exhibere: obfervationibus fequentibus in cauda ‚definienda adhibitis. ul Nov. 17. Cauda gradus amplius quindecim longa Pontheo apparuit, Nov. 18. cauda 3 0 gr. longa, Solique dire&te oppofita in Nova Anglia cernebatur,& protendebatur ulque: ad ftellam 5, qut tunc erat in m 9,gr. 54+ Nov. 19. in Mary-Land cauda vifa fuit gradus 15 vel20 longa. Dec 10. cauda( obfervante Flamftedio‘) tranfıbat per medium diftantig inter Caudam ferpentis Ophiuchi& ftellam A in: Aquilz auftrali ala, 8& definebat prope ftellas 4, u, b in Tabulis Bayeri. ‚Terminus igitur erat in w v9 5 cum lat; bor. 34; gr. circiter. Dec. 11. Aurgebat ad ulque caput Lagittae(Bayero,«B,) de{finens inw 26 gr. 43' cum lat. bor. 38.gr. 34. Dec. 12. tranfıbar per medium Sagittae, nec longe ultra protendebatur,. definens in x 4°’; cum lat. bor. 42 3 citciter. Intelligenda funt hac de longitudine caudze clarioris,. Nam luce ob(curiore, in coelo forfan magis fereno, cauda Dec, 12. hora 5, 40 Rome(oblervante Pontheo) fupra cygni Uropygium ad 7. 10. fefe extulit; atque ab hac ftella ejus latus ad occalum& boream min. 45. deftitit. ‚Lata autem erat cauda his diebus gr. 3. juxta terminum{fuperiorem; ideoque medium ejus diftabar ä Stella illa 2 gr. 15 auftrum verfus,& terminus fuperior erat in x 22 gr. cum lat. bor. 61 gr. Dec. 21. furgebat fere ad cathedram Cafıopeie, zqualiter diftans ä 8& Schedir,& diftantiam ab utraque ‚diftantig earum ab invicem xqualem; habens, adeoque definens in x 24gr. cum lat. 475 gr. Dec. 29. tangebat Scheat fitam ad finiftram,& intervallum ftellarum duarum in pede boreali Andromede accurate complebat,& longa erat 54 gr. adeoque definebat in 8 19.g7. cum) lat, 35. er. Fan: 5. tetigit(tellam x in peCore Andromede,ad latus funum dextrum,&(tellam& in ejus cingulo ad latus finiftrum;&(juxta obfervationes noftras) longa erat
Nnan 40

L 498] ‘40 gr.; Curva autem erat& convexo latere(pectabat ad auftrunz, ‚Cum circulo: per Solem& caput Cometz tranfeunte angulum confecit graduum 4 juxta caput Cometz; at juxta ‚terminum alterum inclinabatur ad circulum illum in’angulo 10 vel ı' 1 grad,& chorda caudze cum circulo illo continebat angulum‘graduum o€to. Fan. v3. Cauda luce fatis fenfibili terminabatur inter Alamech 8&: Algol, & luce tenuiffima definebat€ regione ftellz x in latere Perfei. Di{tancia termini caudz 2 circulo Solem& Cometam jungente erat 3 er. 50,& inclinatio chorde caudz ad(circulum illum 8; gr. Fan. 2:5& 26 luce tenui micabat ad longitudinem graduum 6 vel 7; & ubi coelum valde ferenum erat, luce tenuiflimä@c wgerrime fenfibili attingebat longitudinem: graduum"duodecim&paulo- ultra, Dirigebatur autem' ejus axis ad Lucidam in hümero>orientali. Aurigze accurate, adeoque declinabat ab‘ oppofitione Solis:Boream verfüs in angulo graduum decem.: Denique- Feb. 10! caudamı oculis armatis afpexi gradus duos‘ longam.' Nam lux.pradicta tenuior per vitra non apparuit.. ‚Pontheus autem Feb. 7. fe caudam ad longitudinem gr.. 12. Vidifle deribit. 1 a ‚BNIRSE Ania Orbem jamı deferiptum fpectanti& reliqua Cometze hujus Phzenomena in’animo revolventi haud difficulter conftabitquod corpora Cometarum funt folida, compacta,. fixa ac durabilia ad in{tar corporum Planetarum. Nam{1 nihilaliud eflent quäm vapores vel exhalationes Terrz,. Solis& Planetarum, Comera hicce in tranfitu Iuo per viciniamSolis ftatim diffipari debuiflet,.Eft enim calor Solis ut radiorum denfitas, hoc eft reciproce ut quadratum diftantig locorum ä Sole. Ideoque cum diftantia Cometxz ä Sole Dec. 8. ubi in Perihelio: verfabatur, eflet ad-diftantiam Terre 2 Sole ut 6 ad.1000 circiter, calor Solis apıd Cometam co tempore erat ad. calorem Solis zftiviapud nos ut 1000000 ad 36, feu 18000 ad 1. Sed calor aquez ebullientis eft quafi triplo major quäm calor quem terra arida concipit ad zftivum Solem; ut expertus fum:& calor ferri candentis( fi re&te conjector) quafi triplo vel quadruplo major quam calor aquz ebullientis; adeoque calor quem terra arida apıd Cometam in. perihelio verlantem ex, radıls - So

SA
E 499 1] Solaribus concipere. poflet; quafi 2000 vicibus major quim calor ferri candentis._ Tanto autem calore vapores& exhalationes,omnifque materia volatilis ftatim confumi ac diffipari debuißent. Cometa igitur in perihelio 140 calorem immenfum ad Solem concepit ,.& calorem illum diutiflime.confervare poteft. Nam globus ferri candentis digirum unum latus,. calorem(uum omnem {patio horz unius in aere confiftens vix amitteret. Globus autem major calorem diutius confervaret in ratione. diametri, propterea quod füperficies(ad cujus menf{uram, per contactum aeris ambientis refrigeratur) in illa ratione minor eft pro quantitate materi& fuze, calidee incluße. Ideoque globus ferri. candentis, huic /Terrz zqualis, id eft pedes plus minus 40000000 Jatus,. diebus totidem, & idcitco annis 50000, Vix refrigefceret.. Sulpicor tamen quod duratio Caloris ob, caufas latentes augeatur in-minore ratione quam ea diametri:& optarim, rationem, Veram, per/experimenta inveftigari. e; as sbelbd Et Porrö.notandum eft quod Cometa Menfe Decembri, ubi ad Solem modö.-incaluerat, candam emittebat longe majorem& fplendidiorem. quäm, antea Menfe Novembri; ubi perihelium-nondum attigerat.;- Et’univerfaliter ‚caudz omnes maximz& fulgentiflimz€ Cometis orluntur,. ftatim poft tranfitum corum per regionem Solis, Conducit igitur calefactio, Cometz ad magnitudinem caude. Et inde colligere.videor.quod cauda nihil aliud fit quam. vapor. longe tenuiflimus, quem caput fe Nucleus Comet per Calorem-fuum emittit. Ceterum. de. Cometarum-caudis triplex,eft.opinio; ‚eas vel jubar effe Solis per, tranf{lucida Cometarum capita propagatum; velorli ex refractione lucis in progreflu ipfius ä capite Cometae in Terran: vel denique nubem efle feu vaporem ä capite Cometz jugiter furgentem& abeuntem in partesä Sole averfas...Opinio prima corum eft qui nondum imbuti, funt.{cientia rerum opticarum.. Nam jubar Solis in.cubiculo tenebrofo.non cernitur nifı quatenus luxreflectitur: € pulverum,& fumorum particulis per aerem femper volitantibus® adeoque in aere fumis craflioribus infecto{plendidius eft,& fenfum Nnan 2 for

L 500 17/ . fortits ferie; in aere clariore tenuius eft& zgrius fentitar:‘in celis autem abfque materia refle&ente nullum efle:poteft. Lux” non cernitur. quatenus in jubare/eft, fed'quatenus inde‘ refle&titur ad oculos noftros. Nam vifio‘ non fir nıfı per radios‘ qui in oculos
impingunt.| Requiritur igittir materia aliqua refle&tens in regione
Caudez, ne coelum totum luce’Solis ilNuftratum uniformiter(plen:
deat.‘ Opinio fecunda multis premitur difficultätibus.* Caudze nunquam variegantür coloribus: qui tamen refra&tionum folent effe
comites infeparabiles. Lüx Fixarum& Planetarum diftin&e ad’nos
tran{mifla demonftrat medium ceelefte nulla vi refractiva pollete.
Nam quod dicitur fixas ab /Egyptiis’ comatas nonnunguant vilas
fuifle, 1d’'quoniam rariflime contingit, afcribendum eft nubium refractioni fortuite. Fixarum quoque radiatio& feintillatio ad refraCtiones tum Oculorum tum aeris tremuli‘referendie fünt: Quippe
que admotis’oculo Telefcopiis evanefceune, Aeris& altendentium
vaporum tremore fit ut radii facile de angufto pupilli fpatio per vi:
ces detorqueantur, de latiore autem. vitri. objectivi apertura neutiquam, N feintillatio in‘ priori cafır generetür; in Pofteriore autem cefler: 8:“ceflatio in pofteriore cafır demonftrat re.
gularem tranfmiffionem lucis per coelos abfque omni refraCtione fen. 4ıbili. Nequis contendat quod'cauda non foleant‘ videri’in Come:
tis cum ecorum Jux non eft'fatis fortis, quia tune radii fecundarıı non habent fatis viriüum ad oculos movendös,- 8 propterea catıdas
fixarum non cerni‘: Teiendum eft-quod lux fixarum plus’ cehtum vi:
cibus augeri poteft mediantibus Telefcopiis, nectamen caudze terauntur. Planetarum quöque lux copiofior eft;” caudı verö nullae*
Comet autem fepe’ caudatiflimi Kun,'ubi capitum lux tennis’ eft
& valde obtufa: fıc enim Cometa Anni 1686,“ Menfe Decembri,
quo tempore caput luce fua vix xquabat ftellas fecundee magnicndinis, caudam emittebat{plendore notabili ulque ad gradus 40, 50; 66 longirudinis& ültra: poftea fan. 2780 48 caput apparebat ur
{tella feptimz tantum magnitudinis, Cauda” verö’ luce quidem per:
tenui fed fatis fenfibili longa erat 6 vel 5 gradus,& luce obfuriflima,
quz

5] que cerni vix poflet, porrigebatur ad gradum ulque duodecimum: vel paulo ultra: ut fupra dietum eft. Sed& Feb. 9.& 10 ubi caput nudis oculis videri defierat, caudam gradus duos longam per Telefcopium contemplatus fum. Porro ficauda oriretur ex refractione mMaterizg ceeleftis,& pro figura coelorum deflecteretur de Solis oppofitione, deberet deflexio ılla in üfdem cceli regionibus in eandem femper partem fieri._ Atqui Comera Anni 1680 Decemb. 28 hora 8% P.M. Londini, verfabatur in x 8 gr. 41 cum latitaudine boreal’ 28:g7.6', Sole exiftente in w ı8gr, 26. Et Cometa Anni 1577 Dec. 29. verfabatur in x 8 gr. 41° cum latirudine boreali 28 07.40. Sole”etiam exiftente in w 18 gr. 26 circiter. Utroque in cafu Terra verfabatur in codem Loco& Cometa apparebat. in eadem cceli parte*. in‘ priori tamen cafu cauda Cometz(ex meis& aliorum obfervationibus‘) declinabat angulo graduum 4; ab oppofitione SoJlis Aquilönem verfüs; in pofteriore verö(ex Obfervationibus Tychonis) declinatio erat graduum 2 ı in auftrum.. Igitur repudiata c6slorum refractione, fupereft ut Phaenomena Caudarum ex materia aliqua refle&tente deriventur, HET
Caudas autem ä capitibus oriri& in regiones A Sole averfas afcendere confirmatur ex legibus quas obfervant. Ut quod in planis orbium Cometarum per Solem tranfeuntibus jacentes, deviant ab oppofitione Solis in-cas femper partes. quas capita in orbibus illis prögredientia relinquünt. Quod fpectatori in his planis conftituto apparent in partibus a Sole dire&te averfis; digrediente autem fpectatore de his planis, deviatio paulatim fentitur,& indies apparet major. Quod_ deviatio cxteris: paribus minor eft ubi catıda obliquior eft ad orbem Cometrze, ut& ubi Caput Cometz ad Solem propius accedit; prafertim fi{pectetur deviationis angulus juxta caput Cometz. Praeterea quod caudz non deviantes apparent rectze, deviantes autem incurvantur. Quod curvatüra major eft ubi major eft deviatio,& magis fenfibilis ubi cauda czteris paribus longior eft: nam in brevioribus curvatura zgre animadvertitur.. Quod deviationis angulus minor eft juxta capıt Cometx, major juxta caudee ExXtre

C 502|] extremitatem. alteram, atque ade6 quod cauda convexo fui latere ‚partes refpicit 4 quibus fit deviatio, quzque in re€tä funt lineä ä Sole ‚per caput Cometz in, infinitum du&a,. Et quod caudz quz proli— xiores futır& latiores,&.luce vegetiore micant,{int ad latera convexa paulö; fplendidiores& limite minus indiftincto terminatz quam ad concava... Pendent igitur-Phaenomena caudz ä motu capitis, non autem.ä regione coeli in qua caput confpicitur;& propterea non fiunt per refractionem coelorum,{ed ä capite{uppeditante ‚materiam oriuntur.. Etenim ut in aere noftro. fumus corporis. cujußvis igniti petit fuperiora, idque vel perpendiculariter fi corpus quiefcat, yel oblique fi corpus moveatur in latus; ‚ita in. ccelis ubi — corpora gravitant in Solem, fumi& vapores afcendere debent 2 Sole(utijam di&um eft)&(uperiora vel rectä petere,{1 corpus fümans quiefcit; vel oblique,fi corpus progrediendo loca femper deferit A ‚quibus{uperiores, vaporis partes afcenderant. Et obliquitas ifta minor erit ubi afcenfus vaporıs velocior eft: nimirum in vicinia Solis& juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diverfitate in<curyabitur vaporis columna:& quia, vapor. in columng latereprz‚cedente paulo recentior eft, 1deo, eciam is.ibidem aliquanto denfior ‚erit, lucemque propterea copiofius, reflectet,-& Limite minus indiAtind&o terminabitur. De caudarum ‚agitationibus{ubitaneis.& incertis, deque earum figuris irregularibus, ‚quas nonnulli. quandoque defcribunt,hic nihil adjicio; ‚propterea,quod.vel A. murtationi‘bus aeris noftri,& motibus nubium caudas alıqua, ex. parte obfeurantium oriantur; vel forte a partibus Vix Lactex, qua cum caudis pretereuntibus confundi poflint, ac tanquam Earum partes(pectari..;
‚Vapores autem, qui{patiis tam immenf1s implendis fufficiant, ex Comerarum Atmofphzeris oriri pofle, intelligetur ‚ex ‚raritate aeris noftri._ Nam aer juxta fuperficiem Terrz fpatium occupat quafi 850 vicibus majus quam aqua ejuldem ponderis, ideoque aeris columna Cylindrica pedes 850 alta ejuldem eft, ponderis cum: aquz columna pedali latitudinis ejuldem. Columna autem aeris ad{um-, mitatem Atmofpherz aflurgens zquat pondere{uo columnam aquz
pedes

C 563 7# 7
pedes 33 altam circiter;& propterea f1 columnz totius aerez pars
:öferior pedum 856 altitudinis dematur; pars reliqua(uperior xquabit pondere füo colunanam aqua altamı pedes 32. Inde verö(ex Hypothefi multis experimentis confirmata, quod compreflio aeris fit ut pondus Atmofpharz incumbentis, quodque‘gravitas fit reciproce ut quadratum diftantig 1o0corum ä centro T’errz) computationem per Corol.Prop. XXIE Lib. II. ineundo, invent-quod aer; fiafendaturä(uperficie Terrz ad altitudinem femidiametri unius terreftris, rarior fit quäm apud’nos in ratione longe majori,quäm(patii omnis. infra orbem Saturni ad glebum diametro: digiti unius defcriptum.. Ideoque globus aeris noftri‘digitum unum latus, ea cum raritate‚quam haberet in altitudine{emidiametri unius terreftris,. impleret:
omnes Planetarum regiones ad ulque fpheram. Saturni&. longe ul‚tra. Proinde cum aer adhuc altior in immenfum rarefcät;;& coma. feu Atmöfphaera Cometze,’afcendendoabiillius centro,quafirdecuplo altior fit quäm fuperficies nuclei; deinde caudaadhuc altius. afcendat, debebit cauda’efle quäm rariflima. Et quamvis,ob longe: crafliorem Cometarum Atmölfpharam, magnamque corporum gra-vitationem Solem verfus>&"gfavitationem particularum Aeris& vaporum in‘ fe mutuo;'. feripofe ut aer in’fpatiis coeleftibus in-que Cometarum caudis non adeo rareicat;) perexiguam tamen. quantitatem aeris& vaporum ad’ omnia illa caudarım phenomena abunde fufficere'ex hac computatione perfpicuum eft. Nam&
caudarum infignis raritas colligitüur ex aftris per‘ cas tranflucentibus.. Atmo[fphaera terreftris 1uce Solis fplendens, craflitudine füa paucorum milliarium,&-aftra omnia& ipfamı Lunam obfcurat& ex-tingult penitus: per immenfım verö caudarum craffiudinem; lucepariter Soları illuftratam;a{tra minima abfqueclaritatis detrimentotranilucere nofcuntur. Neque major effe 1olet'caudarum plurima-rum fplendor,quam aeris noftri in tenebrofo-cubiculo latitudine di-giti unius duorumve, lucem Solis in jubare reflectentis. Quo. tempore vapor ä capite ad terminum caudz afcendit,.cognofci fere poteft ducendo rectam ä termino caudx ad Solem,&ınoy tando

Ä K 54| E tando locum übi recta illa Traje&toriam fecat, Nam vapor in termino caudz, fi re&ä afcendat A Sole, afcendere cepit ä capite quo
‚tempore caput erat in loco interfectionis, At vapor non rectä alcen„dit 4 Sole, fedmotum Cometze, quem ante afcenfum fuum habebat, ‚retinendo,‘& cum motu afcenfus fui eundem componendo, alcendit oblique.: Unde verior ‚erit Problematis folutio, ‚ut recta; illa ‚quz orbem fecat, parallela fit Jongitudini caudze, vel potius(ob ‚motum curvilineum Cometz) ut eadem ä linea caudz divergat. Hoc padto inveni quod vapor qui erat in termino: caudz Jan. 2 5. ‚afcendere ceperat ä capite ante Decemb. ı 1. adeoque afcenfu fuo toto dies plus 45. confumpferat. At cauda illa‚omnis quz Dec.10, apparuit, alcenderat{patio dierum illorum duorum, qui ä tempore perihelii Cometz elapfı fuerant. Vapor igitur füb initio-in vicinia Solis celerrime afcendebat,& poftea cum motu per gravitatem(uam femper retardato alcendere pergebat;& alcendendoaugebat longidinem caudz: cauda autem quamdiu apparuit ex vapore fere omni conftabat qui ä tempore perihelii afcenderat;& vapor, qui primus afcendit,& terminum caudz compoftiit, non prius evanıic quäm ob nimiam(uam tam ä Sole illuftrante quam ab oculis noftrıs di{tantiam: videri defüt,- Unde etiam caudz: Cometarum aliorum quz breves funt, non afcendunt motu celeri& perpetuo ä capitibus & mox evanefcunt, fed funt permanentes vaporum& exhalationum columne,ä capitibus lentiflimo multorum dierum motu propagatz, que, participando motum illum capitum quem habuere(üb initio, per coelos una cum capitibus moveri pergunt. Er hinc rurfus colligitur{patia czleftia vi refiftendi deftirni; utpote in quibus non{oIum folida Planetarum& Cometarum corpora; fed etiam rariflimi caudarum vapores motus fuos velociflimos liberrime peragunt ac
diurifime confervant. . Afcenfum caudarum ex Atmofpheris capitum& progreflum in partes ä Sole averfas Keplerus alcribit actiont radiorum lucis materiam caudz fecum rapientium. Et auram longe tenuiflimam. in fpatiis liberrimis actioni radiorum cedere, non.eft ä ratione prorfus alienum

alienum, non obftante quod fübftantiz craflz, impeditiflimis in regionibus noftris, 4 radiis Solis fenfibiliter propelli nequeant. Alius particulas tam leves quam graves dari pofle exiftimat,& materiam caudarum levitare, perque levitatem(uam ä Sole afcendere. Cum autem gravitas corporum terreftrium fit ut materia in! corporibus, ideoque ‚fervata quantitate materig intendi.& remitti. nequeat, fußpicor afenfum illum ex rarefactione materig caudarum potius orirl,.. Afcendit fumus in. camino impulfu aeris cui innatat. Aer ille per,calorem rarefactus afcendit, ob diminutam(uam gravitatem {pecificam ,& fumum implicatum rapit fecum.‘ Quidni catda Cometz ad eundem modum afenderit’ä Sole?: Nam radii Solares non agitant Media que permeant, nifi in reflexione& refractione. Particula. refle&tentes ea adtione calefactze calefacient auram ztheream cui implicantur.. Illa-calore fibi:communicato rarefiet;&:0b diminutam ea raritate gravitatem{uam fpecificam qua prius tendebatin Solem, afcendet& fecum rapiet particulas reflectentes ex quibus cauda componitur.:: Ad afenfum vaporum conducit etiam quod hi gyrantur circa Solem& ea aCtione conantur ä Sole recedere; cat’ Solis Atmofphaera& materia coelorum vel plane quiefcit, vel'motu folo-quem ä Solis rotatione acceperint, tardius gyratur.* Ha{unt caufze afcenfus caudarum in vicinia Solis, ubi orbes curviores funt,& Comete intra denfiorem& ea ratione graviorem Solis Atmofphzeram confiftunt,&.caudas quäm longiffimas mox emittunt. Nam caude quz tunc naftuntur,confervando motum{uum& interea verfüs‘Solem gravitando, movebuntur circa Solem in. Ellipfibus pro more capitum,&,per motum illum capita: femper comitabuntur& üis, liberrime adhzrebunt., Gravitas enim vaporum in Solem non magis efficiet ut caudz poftea decidant ä capitibus Solem verlus, quam graVvitas capitum efficere poflit ut hzc. decidant ä caudis. Communi gravitate vel fimul in Solem cadunt;, vel fimul in afcenfü fuo retardäbuntur, ‚adeoque gravitas illa non impedit, quo minus caudz& capita pofitionem quamcunque ad invicem ä caufis jam defcriptis aut alits quibufcunque facillime accipiant& poftea liberrime lervent. Qoo Caudze

L 506]
Caudz igirur que in Cometarum perihelis nafcuntur,in regiones longinquas: cum eorum capitibus abibunt,& vel‘ inde poft longam annorum dferiem cum iifdem ad nos redibunt, vel potius ibi rarefacti panlatim evanefcent, Nam poftea in defcenfu capitum ad Solem caudz nova breviufculee lento motu ä capitibus propagari debebunt,&fubinde, in Periheliis: Cometarum illorum qui adulq; Atmo[{pharam Solis defcendunt, in immen(um augeri, Vapor enim in fpatiis illis liberrimis perpetuö rarefcit ac dilatatur. Qua ratione fir ut catıda omnis ad extremitatem fuperiorem latior fit quam juxta caput Cometz. Ea autem rarefactione vaporem perpetuo dilatatum diffundi tandem& fpargi per coelos univerfos, deinde paulatim in Planetas per gravitatem{uam attrahi& cum eorum Atmofpheeris mifceri rationi confentaneum videtur, Nam quemadmodüum Maria ad conftitutionem Terrz hujus omnino requiruntur, idque ut ex is per calorem Solis vapores copiofe fatis excitentur, qui vel in nubes coacti decidant in pluviis,& terram omnem ad procreationem vegitabilium irrigent& nutriant; vel in frigidis montium verticibus condenfati(ut aliqui cum ratione philolophantur)-decurrant in fontes& flumina: ficad confervationem marium& humorum in Planetis Cometa requiri Videntur; ex quorum exhalationibus& vaporibus condenfatis, quicquid liquoris per vegetationem& putrefaCtionem confumitur& in terram aridam convertitur, Continu®(uppleri& refici poflit. Nam vegetabilia omnia ex liquoribus omnino crefcunt, dein magna ex parte in terram aridam per putrefactionem abeunt,& limus ex liquoribus putrefactis perpetuö decidie, Hinc moles Terrz aride indıes augetur,& liquores, nifi aliunde augmentum fumerent, perpetuo decrefcere deberent, ac tandem deficere. Porrö fulpicor fpiritum illum, qui aeris noftri pars minima eft fed fubeiliflima& optima,& ad rerum omnium vitam requirizur, ex Cometis przcipue venire,' f
Atmofpharz Cometarum in defcenfu eorum in Solem excurzendo in caudas diminuuntur,&(ea certe in parte qua Solem refpicit)

t57 1
fpicic) anguftiores redduntur:& viciflim in receflu eorum 3 Sole, ubi jam minus excurrunt in caudas,ampliantur; fimodö Phznomena. eorum Hewvelius recte notavit. Minimez autem apparent ubi capita jam modo ad Solem calefacta in caudas maximas& fulgentiflimas abiere,& nuclei fumo forfan craffiore& nigriore in Atmofphzrarum partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus craffior& nigrior efle folet. Sic caput Cometz de quo egimus, in zqualibus 2 Sole ac Terrä diftanciis, obfeurius apparuit ‚poft perihelium fuum quam antea. Menfe enim Decem. cum ftellis tertie magnitudinis conferri folebat, at Menfe Novem. cum ftellis prime& fecunde. Et qui utrumg; viderant, majorem deferibunt Cometam priorem. Nam Juveni cuidam Cantabrigienfi Novem. 19, Cometa hicce luce füa quamtum vis plumbea& obtufa2quabat Spicam’ Virginis,& clarius micabat quäm poftea. Er D. Storer literis que in manus noftras incidere,{Cripfit caput ejus Menfe Decembri,ubi caudam maximam& fulgentiffimam emittebat, ‚parvum effe& ‚magnitudine. vifibili longe cedere Cometz qui Menfe Novembri ante Solis ortum apparuerat. Cujus rei rationem efle conjectabatur quod materia capitis(üb initio copiofior eflert& paulatim con{umeretur.
Eodem fpectare videtur quod capita Cometarum aliorum, qui caudas maximas& fulgentiflimas emifrunt, defribantur(ubobfcura 8 exigua.,"Nam Anno 1668 Mart, 5. St. nov. hora feptima Vefp. RP. Valentinus Eftancius, Brafilie agens, Comeram vidit Horizonti proximum ad occafum Solis brumalem, capite minimo& vix confpicuo, cauda verö füpra modum fulgente, ut fantes in littore fpeciem ejus€ mari reflexam facile cernerent. Speciem utique habebat trabis(plendentis longitudine 23 graduum, ab occidente in auftrum vergens,& Horizonti fere parallela. Tantus autem fplendor tres folum dies durabat, fübinde notabiliter decrefcens;& interea decrefcente{plendore aucta eft magnitudine cauda. Unde etiam in Portugallia quartam fere ceeli partem(ideft gradus 45) occupafle dicitur, ab occidente.in orientem 1} plendore cum infigni proOQoo 2 tenfa;

$
tenfa; nec tamen, tota apparuit, capite femper in his regionibus infra Horizontem delitefcente. Ex incremento caudz 8& decremento fplendoris manifeftum eft quod capurt ä Sole receflit, eique proximum fuit{ub-initio, pro more Cometx anni 1680. Et fimilis Jegitur Cometa anni 1101. vel 1106, cwjus Stella erat parva& obfeura(ut ille anni 1680) fed /plendor qui ex ea exivit valde clarus&> guafi ingens trabs ad orientem& Aquilonem tendebat, ut habet Hevelins ex Simeone Dunelmenfi Monacho.: Apparuit initio Menfis Feb: circa ve{peram ad occafum Solis brumalem. Inde verö& ex fırü cauda'colligitur caput fuifle Soli vicinum. A Sole, inquit Matthaus Parifienfis, di/tabat quafi cubito uno, ab hora:tertia[ redkius Sexta‘] u/ghe ad horam nonam radium ex fe longum emittens. T’alis etiam'erat ardentif fimus ille Cometa ab Ariftotele defcriptus Lib. 1. Meteor. 6. cujüscaput primo die non confpe&tum eft; eoquod. ante Solem vel faltem(üb radiis folaribus occidiffet, fequente: verö die quantum potwit?vifum ef) Nam quam minima fıeri poteft difFantiä Solemreliquit,& mox occubuit. Ob nimium ardorem| caudze fcilicet] nondum apparebat'capitis /parfus ignis, fed procedente tempore(ait Ariftoteles) cum| cauda| Jam minus flagraret, reddita eft[capiti] Cometee fua facies.“ Et fplendorem funm‘ ad ter tiam u/que celi partem[ic eft ad 60 gr."] extendit. Apparnit adtem tempore hyberno,& afcendens uf que ad cingulum Orionis ibi evdnuit.” Cometa ille anni 1618, qui radiis Solaribus caudatiflimus emerfit, ftellas prime magnitudinis xquare vel. paulo fuperare videbatur, {ed majores apparuere Cometz non paucı qui caudas breviores habuere. Horum aliqui Jovemj,alii Venerem veletiam Lunam zquaffe traduntur. Diximus Cometas efle genus Planetarum in Orbibus valde excen: tricis circa Solem. revolventium.‘ Et quemadmodum€ Planetis non caudatis,minores.efle folent qui in orbibus minoribus& Soli proprioribus gyrantur, fic.etiam Cometas, qui.in Periheliis füis ad Solem propius accedunt, ut plurimum. minores. elle& in.orbibus minoribus revolvirationi confentaneum videtur. Orbium verö tranfverfas diametros& revolutionum tempora periodica ex.collatione Co. MEL2

Z N C 509 1] a 3 . metarum in jifdem orbibus.poft longa temporum intervalla redeuntium determinanda relinquo._Interea huic negotie Propofitio fequens, Lumenaccendere poteft. 3 ME
Prop: XLIL Prob. XXI. P’Trajettoriam Cometze graphice inventam corrigere.
Oper N Aflumatur pofitio plani'Träje&torig; per Propofitionem fuperiorem graphice inventa;& feligantur tria‘loca' Cometz obfervationibus’accuratiflimis definita,&-ab invicem quam maxime. diftaneia;/-fitque A’tempus inter prima 8 fecundam, ac B tem“ pus inter fecundam-ac tertiam.‘. Cometäm autem in eorum aliquo in Perigxo verlari con venit,- vel faltem non longe a Perigxo abeile:
"Ex his locis apparentibus inveniantur per operationes T’rigonometricas loca tria vera Cometze,in aflumpto illo.plano Trajectoriee, Deinde per loca illa inventa,circa centrum Solis ceu umbilicum, per operationes Arichmeticaspope Prop: XXI. Lib.T. infticütas;, deftriba: tur Sectio Conica’:/&ejus’areg, tadıis) a Sole ad Tocainventa dudtis terminatz, fünto D& E; nempe D area inter obfervationen? primam& fecundam,& E area inter fecundam ac-tertiam. Si:que T tempus totum quo area tota DE, velocitate Cometz per Prop.. XVL Lib.T. inyenta, deferibi debet,
Oper, 2. Augeatur longitudo Nodorum Plani Trajectorie, additis:ad longitudinem.illam 20’ vel 30°, que dicantur P;& ferve: tur plani illius inclinatio ad planum Eclipticg. Deinde ex praedictis tribus Cometz. locis obfervatis inyeniantur in hoc. novo plano loca. tria vera(ut(upra): deinde etiam orbis per loca illa tranfiens,& ejußdem arex duz inter obfervationes deferiptz, que fint d&.e, nec.non:
"tempus totum£ quo area tota-d+ e deferibi debeat..
Oper. 3. Servetur Longitudo Nodorum in operatione prima,,&. augeatur inclinatio Plani T’raje&oriae ad planum Ecliptice, addiris.. ad inclinationemillam 20’ vel 30’, quz dicantur Q, Deinde ex obfervatis.

nt tn
fervatis preedietis tribus Cometze locis apparentibus, inveniantür in hoc novo Plano loca tria vera, Orbifque per loca-illa tranfiens; ut & ejufdem arezx duz inter obfervationes defcriptze, que fint 4& e, & tempus totum 7 quo area teta 2+ e deferibi debeat. Jam fit Cad ı ut A2ad B, ‚&G ad ı ut Dad Z,& gad ı ut dad e,&„yadıut&ade; fitque Stempus verum inter obfervationem primam ac tertiam;& fignis+&— probe obfervatis quzrantur numerl m& n, ca lege ut fitG_C=mG mg+16 Ay, & T— S zquale m T— mt+nT nr. Et fi, in operatione prima, defignet inclinationem plani Traje&torig ad planum Ecliptice,& A longitudinem Nodı alterutrius: erit I 4 nQ. vera in: clinatio Plani Traje&orizg ‚ad ‚Planum Ecliptice,.& A+ mP vera Jongitudo Nodi. ‚Ac denique fi in operatione prima fecunda ac tertia, quantitates R, 7& p defignent Latera recta Trajectorise,& quantitates 5, Ze ejuldem Latera tranfverfa refpeCtive‘: erit R+ mr—mRAnp—nR verum Latus re&tum& FISMEEENE verum, Latus ‚tranifverfum| Trajectorie quäm Cometa- delcribit,
Datro autem Latere tran{verfo datur-etiam tempus periodicum CoA metz. Q.E.JL,

Errata Senfum turbantia fic Emenda.
ag. 14 lin. z3olege: ut OKad OD /ex OL. p. 181.1 reia, p. 61 L2?
& p. 621.2 pro A Clege AB. p.81 1. 1.crurum BL, CLvedBM, CM interfettio, que jam fit m, incidat(emper in reitam ilam infinitam M N,. & crurum BA, C Adc p. 841. 17 poft verba Nam fi lege A&P fint Punita contactunm ubivis in tanzentibus fita,&*.p. 91 l.ult. ML, IK. p. 951.3 poft‘ majori adde,& perpendienlaria minori.. p.95 1. 30& 3 lege ABCdef, @&1.32 abcDEF. p. 1041. 16 pro GOg.+HG— P Og.) lege. HPg.=CGOg.+PO-—HG 4.) p.105.1..7 proG feribe H. p..1181. 17 proC Plege Pf B& 1. 19proCPlegeB P. p. 1221. 28, pro Lferie M.. p- 1231. 13, pro D Flege DFve/ EG. p. 1251. 16 pro ommnibus altitndinibus, lege omnibus equalibus altitudinibus. pP. 152 1. 7 per cujus. PB. 153 1. 16: & LG. p.1781. peault. fit quafi duplo major quam. p. 2091. 18 pro SL.
x SI*, lege SLx S1*. p. 2261. ır pro 2B 7* /en- Zr lege 2 B* 8&de-.
Bc le veciproce..
Pag. 242 lin. 2,8 p. 2621. 13,8 p. 336.1. 5, pro. Q. E..D. lege Q.. E.T.. p- 2431. 10 2CDg.xQB. p. 246 1. 14 proportionalia. p. 2491. 12 refiftentia& tempus. p: 2501. ı-rum inverfe, amittent. Q. 2571. 4 preteriti,. (1 modo Settorem tangentes Apc AP fint' ut velocitates.. pP. 274 1.17 data: quadam..p. 283 1. ult. TQx PS. p. 296 inSchemate proO feribe T. p..307 1: 9 arcus auferantur. p..312 1 26 corpus in D.. p. 313 1.3 Deferibat. p. 314 1.21& 28, pro@BKkS lege aBKkT. p. 325 1.26. BE ad BE. ib..
Lult, equalis BEIM np. 3281. 37& lomgitndo€ Z.
Pag. 411 1..22 plufquame duplicata, per Prop. LXXXV Lib. I. p. 413 1. 28: 23%0 P+ 416 1.173250 pP. 4391. 9 2quales pertinentium. pP. 442 1. 11 69%: ad 68:13. 1b. 1.18 6841. ad 6914. p: 4491..5 area. pDdm p.4501.9 ad aream DP Md.. p:.455 1. 30 motum pofkeriorem. p. 45971. 2 2M Px A Tgqu.. p. 482 1. 3.dein b.— 2b= c Gt. Gr fic pergatur ad differentiam ultimam, que.
hic eft f,. ib. in Schemate infra d.2d.3d feribe. f} p- 494 1. 4 pro m.27
Kae 127:

m.

Sie
nod
Orbhis Comete
5 Qi
Axis Orbit:

* x
VERS ci le
a
Hi
na

On

ui
a
EEE