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Rkchnenbüchlein
zum Gebrauche
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SZüler
in den -
Fürstlich - santgallischen Landschule».
Gedruckt
H?it Erlaubniß der tDbern. ju finden in dem fürstlichen Gotteshaus?
Et. Galten, i - 8 z,

1

Einleitung.
Vorläufige Erklärungen.
^ Was eine Einheit ist.
Jedes Ding einzeln betrachtet, ist eine Einheit. Z. B. Ein Apfel ist eine Einheit, ein Haus ist eine Einheit.
Was eine Zahl ist.
Mehrere Einheiten von einerlei Art, heißt man eine Zahl. Z. B. Zween Aepfel heißt man eine Zahl von Aepfeln. Drey Häuser heißt man ebenfalls eine Zahl von Häusern.
^ Das gewöhnliche Zahlen.
Man zählt von eins bis zehn fort, und fängt alsdann wieder von eins an.
o' Zehn, und eins heißt eilf (n).
^ Zehn, und zwey heißt zwölf (12).
Anstatt zehn und drey pflegt man zu sagen dreyzehn (rz), und sofort bis auf zehn und rehn.
A - 5. Wenn

4
*
5. Wenn man auf zehn und zehn , oder auf zweymal zehn kömmt, so sagt man zwanzig
(20).
6. Alsdann zählet man zwanzig, und eins, oder ein und zwanzig (21), zweyund zwanzig (22)/ und so fort bis auf zwanzig und zehn.
7. Hat man zwanzig und zehn gezählt, odck dreymal zehn, so sagt man dreyßig (zo).
8. Alsdann zählet man dreyßig, und eins, odtk ein und dreyßig (zi) und so geht es bis aut zehnmal zehn.
9. Wenn mau' zehnmal zehn gezählet hat, y sagt man hundert (100.)
10. Hat man zehnmal hundert gezählet, so sE H man tausend (1000.)
a i. Wenn man zehnmal zehn tausend gezähl^ hat, so sagt man hunderttausend (100000)'
12. Wenn man hunderttausend zehnmal gezählt hat, so sagt man Million (1000000).
6. Die Zahlzeichen, oder Ziffern.
i. Die gewöhnlichen (oder arabischen) Zah^ zeichen, oder Ziffern, s. Die gewöhnlichen Ziffern sind: 2. z. 4» ä. 7. 8. h.
b. Das Zeichen der Einheit ist (1). .
c. Die Nulle (0), Man und für sich nichts/ wenn sie aber zur Rechten einer Ziffer stelst/ so verursachet sie, daß die voranstellet Ziffer einen zehnfachen Werth bekömt So heißt Zwey vor Nulle (20) zweyt io, oder zwanzig, z
2. D»e

2. Die römischen Ziffern. Die römischen sind folgende: die unterstehenden gewöhnlichen zeigen ihren Werth.
I. II.
III. IV.
V.
VI.
VII.
I. 2.
3- 4-
5 -
6.
7-
VIII.
IX- X.
XI.
XII.
XX.
8-
y. 10.
II.
ir.
20.
XI..
I.. H
xc.
6.
cx.
4?.
50, 6y.
Y2.
loo.
IL 0 .
v.
lVl.
520.
Ivoo.
^ Der doppelte Werth der gewöhnlichen
Ziffern.
Jede gewöhnliche Ziffer hat einen Werth vermög ihrer Gestalt / welcher unveränderlich bleibt.
Vermög ihrer Stelle, welche so oft geändert wird / als die Ziffer an einer andern Stelle zu stehen kömmt.
2. Steht eine Ziffer allein/ oder an der ersten Stelle zur Rechten/ so bedeutet siever- mög ihrer Gestalt/ und Stelle blose Einer. , Z.B. (4) bedeutet 4. v- Steht aber eine Ziffer in der 2ten Stelle zur Linken/ so bedeutet sie vermög ihrerGe- stalt Einheiten; aber jede Einheit dieser Ziffer gilt vermög der Stelle einen Zehner. Z. B. (54) ist so viel als 4. Einer und 5. Zehner. Es bedeuten also die Zahlen in der 2ten Stelle Zehner.
2l 3 c. In

G
c. In der zten Stelle stehen die Hunderter. So find z. B. (25z) drey Einer/ 5 ner, 2 Hunderter.
ä. In der vierten Stelle stehen die Tausender. Z.B. (4354) sind 4 Einer, 5 Zehner, 3 Hunderter, 4 Tausender, e. In der ztenStelle stehen die Zehntausendcr- Z. B. (14354) sind 4Einer, 5 ZelM 3 Hunderter, 4 Tausender, i Zehnte sender.
5 In der wen Stelle stehen die HundcrttF sender. Z.B. (6,14354) sind 4Einer, Zehner, 3 Hunderter, 4 Tausender, 1 Zeh"' lausender, 6 Hunderttausender, x. In der 7ten Stelle stehen die Millionen. A B/( 1614354) sind 4 Einer, 5 ZelM 3 Hunderter, 4 Tausender, i Zehnta"' sender, 6 Hunderttausender, 1 Million«
L. Das Aussprechen der Zahlen.
i. Man theilet jede Zahl von 6, oder mehrest" Ziffern, von der Rechten zur Linken in M sen ein.
2« In jede Klasse werden 3 Ziffern gesehet, der letzten können weniger stehen.
3. Man machet zwischen der zten und 4ten Ä
ker einen Punkt; die Ziffer hinter dem PlE bedeutet tausend, und die 4te Ziffer ist erste Ziffer der wen Klasse. ^
4. Die 7te Ziffer bezeichnet man mit einem Su che, welcher Millionen andeutet, dieE' wieder mit einem Punkte, welcher die Taust > der der Millionen anzeiget; die 13te Ziffer >" zween Strichen, welche die Billionen,
k

Zehnmalhunderttausender der Millionen anzeign.
5 . Man spricht eine Klasse nach der andern von der Lücken zur Rechten mit ihrem Zeichen aus. So wird z. B. die Zahl 9645389579 auf folgende Art bezeichnet: 9.645,389.574. und ausgesprochen: 9 tausend , 6 hundert 45 Millionen, 3 hundert 89 tausend, 5 hundert, und 79. Die Zahl 90.001.002.501. wird ausgesprochen : 90 tausend und t Million, 2 tausend, 5 hundert und i.
' Das Anschreiben der Zahlen.
r. Man richte die Klassen der anzuschreibenden Zahl so ein, daß zwischen dem Punkte, und Striche 3 Ziffern , zwischen dem Striche, und dem folgenden Punkte gegen die Linke wieder 3, zwischen dem 2ten Punkte, und den folgenden 2 Strichen ebenfalls 3 Ziffern stehen können.
2 » Zur Linken vor den 2 Strichen, und zur Rechten hinter dem Punkte muß auch noch Raum für 3 Ziffern gelassen werden.
3 . Man schreibe von der Linken gegen die Rechte jede Ziffer der ausgesprochenen Zahl in ihre Klasse und Stelle.
4 . Die leeren Stellen füllet man mit Nullen aus. Z. B. Man soll die Zahl, fünfhundert Millionen , 6mal hundert, 24 tausend Millionen gmal hundert, 56 tausend, 8 hundert und i anschreiben, so kömmt das Beyspiel folgender Gestalt zu stehen: Zoo,,624.000,356.801.
A 4 1. Haupt-

I. Haupt stück.
Bonden vier Rechnungsarten inW
genannten Zahlen,
Das Addiren oder Zusammenzählen.
Erklärungen.
s. Was addiren heißt. Addiren heißt, Aah^ len, oder auch bloße Einheiten zusammen zählen. Wenn z. B. i, 2 .undz.zusammen gezählet werden, so hat man addiret, d. Was Posten oder fummirende Zahlen sind. Die gegebenen Zahlen heissen P^ sten, oder fummirende Zahlen. Z.B.i.2- 3. in dem obigen Beispiele sind die PoM oder die summirenden Zahlen, r. Was der Betrag oder die Summe ist- Die zusammengezählten Posten heißt man Yen Betrag/ oder die Summe. So ist z. B. 6. der Betrag, oder die Summt von den Posten r- 2 , z,
r. Regeln.
Die Posten werden id gesetzt, daß dieb ner unter die Einer, Zehner unter die AI/ ner, Hunderter unter die Hunderter u. s M' zu stehen kommen; sbdann wird unter drt letzte sinnnurende ein Querstrich gezogen, d Man zählet zuerst alle Einer zusammen/ und schreibt die Vumme davon unter dM Querstrich in die Stelle der Einer- Nach diesem zählet man auf gleiche Werst
die

4
Irbis Zehner zusammen, und sehet die Summe davon unter den Querstrich in die Stelle der Zehner. Eben so verfährt man mit den Hunderten, Tausenden, u.s.w. Z,B. Man soll Z28 zu 53t addiren, so steht das Exempel folgender Gestalt:
8zy
Man sagt : und 2 sind 5,
und 8 sind g, 3 5 und z sind 8.
z Wenn der Betrag der Ziffer einer Stelle oderRcihe mit zwoenZiffern zu schreibe,? wäre, so wird nur die erste Ziffer von der Rechten unter den Querstrich in die gleichnamige Stelle geschtt, die andere Ziffer aber zur nächstfolgenden Reihe der summirenden ge- zählet. Z. B, Man soll izy8. ferner Z2Zy. und 78Z1, addiren, so steht das Exempel folgender Gestalt:
rzy8 Hier sagt man: r und y sind ic» 3239 und 8 sind l8. Man schreibe die ? 83 l Ziffer 8 (nämlich die/ welche in ——- der Zahl 18 zur Rechten stünde) 12463 unter den Querstrich in die Stelle der Einer / und zählet den Zehner i zur folgenden Reihe der Zehner: man sagt also : i und z sind 4/ und 3 sind 7, und y sind 16. i und 8 sind y, und 2 sind n, und 3 sind 14. i. und 7 find 8 , und z sind ii, und i sind 12.
Wenn so viele Posten addiret werden sollen, daß der Betrag einer Stelle der Summirenden schon aus 3, oder mehreren Zis- A 5 ftm

ro
fern bestünde, so wird nur die zu derSteü le gehörige erste Ziffer unter den Querstrich in die gleichnamige Stelle gesehet, die übr>^ gen alle zur folgenden Stelle gezätM' Z. B. Es wäre der Betrag einer 125, so wird nur die Ziffer 5 unter den Querstrich in die gleichnamige Stelle sehet, die zwo übrigen 12 aber zur folget den Stelle gesehet.
Anmerkung.
r. Dergleichen schwere Additionen zu ^ ' leichtern, kann man die Posten abM
len, jeden Theil besonders addiren, die herauskommenden Summen zulc?' in eine Summe bringen, r. Wenn in einer Stelle der Summirendcl lauter Nullen stehen, so wird auch mite demQuerstriche an dieseStette cineN^ gesehenes sey dann,daß der vorhergeg^ gene Betrag aus zwoen Ziffern bestand^ hätte, so wird die höhere anstatt derN^ gesetzt. Z. B. 3°4°1
400c» Summircu^
15130 Summe.
3. probe.
Die beste Probe ist, das Erempel noch ^ mal mit grösserer Aufmerksamkeit zu E chen, oder umgekehrt zu addiren. . ^ muß alsdann die nämliche Summe wicdc zum Vvrsthein kommen.
6. Das

^ 8, Das Subtrahiren, oder Abziehen.
i. Erklärungen.
let-
elie
ve»
er^
,ei^
pc»
itcr
li»e
xß
s. Was Subtrahiren beißt. Subtrahiren heißt eine gegebene Zahl von einer andern gegebenen Zahl wegnehmen. Z. B. Wenn von 6 Gulden 4 Gulden weggenommen werden, so hat man 4 von H subtrahiret.
b. Was der Minuendus/ und der Subtra- hendus ist. Die Zahl, von welcher subtrahiret werden soll / heißt Minuendus/ wie oben die 6 Gulden. Die Zahl/ welche von dem Minuendus weggenommen wird / heißt Subtrahendus / wie oben die 4 Gulden.
c. Was die Differenz oder der Rest ist. Was nach Abzug des Subtrahendus überbleibt, wird die Differenz / oder der Rest genannt. Z. B. Wenn man 4 von 6. hinwegnimmt, so bleiben 2 übrig; 2 ist daher die Differenz, oder der Rest.
2- Regeln.
s. Der Subtrahendus wird unter den Mk- nuendus geschrieben/ so daß die Einer unter die Einer / die Zehner unter die Zehner/ u. s. w. zu stehen kommen / wie bei dem in? . Addiren / und man zieht unter den Sub- trahendus einen Querstrich.
A b. Man subtrahiret zuerst die Einer von den ^ Einern, dann die Zehner von den Zehnern,
u. s. w. den Rest davon schreibt man allemal

mal unter den Querstrich in die gleicht > mige Stelle. Z. B.
864 So heißt es: z von 4 bleibt i- 543 4 von 6 bleiben 2. und 5 von 8
- bleiben z.
321
». Die Ziffer des Minuendus, vvn weW nichts abgezogen wird, wird ebenfalls ter den Querstrich in die gleichnamige St^ le gesetzct.
Z. B. 859 Man jage: 0 von 9 bleiben y' 40 4 von 5 bleibt i, nichts von 8 - bleiben 8.
819
ä. An diejenige Stelle, wo nichts übr>§ bleibt, wird eine Nullegesetzet, Vieles Stelle zur Linken ausgenommen, an'we^ che nichts kömmt. Z. B.
543 Man sage: z von z bleibt nichts ziz i von 4 bleiben z. 5 von 5 bleib' -nichts.
3<>
». So oft eine grössere Ziffer des Subtrahe^ dus von einer kleineren des Minuend^ subtrahier werden soll, so oft läßt man dlt nächst folgende Ziffer des Minuendus M Linken um eine Einheit weniger gelten/ als ihre Gestalt anzeiget, und bezeig net solche Ziffer mit einem Punkte: dieses heißt man eine Einheit borgen. Die g^ borgte Einheit zahlt man als einen Zehner zu der Ziffer, von welcher subtrahirct wer

den soll/ so erhält maneineMössere Zahl, von welcher subtrahiret werden kann. Z.B.
Hier heißt es: g kann von i nicht subtrahiret werden, so borge man ——i von 4, und sage y von n 35^2. bleiben 2. 7 von iz bleiben 6» 7 von 12 bleiben Z. i von 4 bleiben z.
k. Wenn von einer Nulle eine bedeutliche Ziffer subtrahiret werden soll, und die nächst- vorhergehende Ziffer des Minuendus zur Rechten nicht kleiner ist, als die darunter stehende des Subtrahendus, so gilt die Nulle 10, und die nächstfolgende Ziffer des Minuendus zur Linken um t weniger als ihre Gestalt anzeiget, welche sodann ebenfalls mit einem Punkte bezeichnet wird.
. 4. ,,
3 » B. 402 Das heißt: i von 2 bleibt 1. 241 4 von io bleibt 6. 2 von 3
- bleibt i.
r6i
x. Wenn man von mehreren Nullen, welche unmittelbar aufeinanderfolgen, borgen muß, so werden die Nullen, so wie die gleich darnach stehende Ziffer, von welchen eigentlich geborget wird , mit einem Punkte bezeichnet. In diesem Falle gilt die erste Nulle 10, jede der folgenden nur y. die hinter den Nullen stehende Ziffer aber eins weniger als deren Gestalt anzeiget.
Z.

Z. B. 7000 Hier sagt man: 4 von lobtet
5YZ4 ben 6.3 von y bleiben 6. g vo»
-y bleibt 0. 5 von ü bleibt r-
I0ÜÜ.
H. probe.
Die Probe geschieht durch das Addire»/ wenn nämlich die Differenz zum S»» trahendus addiret wird/ so muß derV» nuendus wieder zum Vorschein komme»'
6. Das Multipliciren, oder Vervielfältigen.
i. Erklärungen.
». Was multipliciren heißt. Eine gege^ ne Zahl so viclmal nehmen/ als die an^ re gegebene Zahl Einheiten hat/ heißtM»' tipliciren. Z. B. Wenn man die Zahl 4/ zmal nimmt / so heißt das soviel) als 4 mit 3 multipliciren. .
b. Was die Faktoren sind. Die gegeben^ Zahlen / welche miteinander multiplicm werden ^ nennet man Faktoren; so sind ^ dem oblgen Beispiele die Zahlen 3 und 4 die Faktoren.
c. Was der Multiplikandus / und der M, liplikator ist. Die Zahl/ welche soll m^ tiplicirt oder vervielfältiget werden / neM^ man Multiplikandus. Die Zahl / dad"tZ man eine andere vervielfältigen soll/ lM' Multiplikator. Insgemein nennt m^ den grösseren Faktor Multiplikandus

den kleineren Multiplikator; so ist in dem obigen Beispiele 4 der Multiplikandus, und 3 der Multiplikator, ä. Was das Produkt ist. Diejenige Zahl, welche durch das Multipliciren zum Vorschein kömmt, heißt man Produkt. Z.B. Wenn die Zahl 4 mit 3 multiplicirt wird, so ist die Zahl 12 das Produkt.
Anmerkung.
Wenn man 2 Faktoren hat, und jeder besteht nur aus einer Ziffer, so findet man das Produkt davon in dem sogenannten Einmaleins.
Regeln.
». Erster Fall: wenn der Multiplikator nur eine Ziffer ist.
1. ) Man schreibt den Multiplikator unter oie Einer des Multiplikandus, und machet darunter einen Querstrich.
2. ) Man multiplicire zuerst mit dem Multiplikator die Einer, dann die Zehner,
u. s. f. .
3. ) Das Produkt aus denEinern sehe man unter den Querstrich in die Stelle der Einer; das Produkt aus den Zehnem in die Stelle der Zehner u. s. w.
Z.B. 12z Man sage: z mal 3 ist y. 3 3mal2ist6. imal3ist3,
- so erhält man das ver-
36g langte Produkt 369.
4. ) Wenn die einzelnen Produkte aus zworn Ziffern bestehen, so wird die erste

sie Ziffer davon unter den Querstrich >n die gleichnamige Stelle der multiplici^ ten gesthet, die folgende Ziffer aber'zu>n folgenden Produkte gezählct.
Z» B 357 Man sage: 4 mal 7 ist 28» 4 Da wird die erste Ziffer 8
'-unter den Querstrich in die
1428 Stelle der Einer gesetzt/ die folgende Ziffer 2 behalte man Gedächmisse- und sage: 4 mal 5 ist20/ und 2 dazu sind 22. 4 mal 3 ist 12/ und 2 sind 14»
d. Zweyter Fall. WeNn der Multiplikator aus niehreretl Ziffern besteht» r). Man schreibt den Multiplikator unter den Multiplikandus/ so wie die sirn^ mirenden Zahlen bei dem Addiren, daS ist die Einer und Zehner des Multiple kators unter die Einer und Zehner des Multiplikandus u. s. w.
2) . Man mWpliciret zuerst den ganzen Multiplikandus mit den Einern des Multiplikators/ wie in dein ersten Falle-
3) . Dann multipliciret man den ganzen
Multiplikandus mit den Zel-nern des Multiplikators» Die erste Zahl des Produkts der Zehner sehet man unter die Zehner des Multiplikandus / das ist eine Stelle weiter gegen die Linke- Eben so verfährt man mit den Hum derten des Multiplikators / u. st Das Produkt davon wird allemal um eimStelle weiter zurLinken geschrieben.
4). D't

4) Die daher entstehenden einzelnen Produkte addirt man zusammen - so erhalt man das verlangte ganze Produkt.
Z. B. 357 Hier wird zuerst 35?
124 mit 4 mültipliciret/ das
-- einzelne Produkt davon
1428 ist 1428. Dann wird 7^4 357 mit 2 multiplicirt,
357 wovon das einzelne Pro- ——— dnkr 714 um eine Stel- 44263 le weiter zur Linken ge- setzet wird. Endlich mültipliciret man 357 noch mit i. Das einzelne Produkt davon, nämlich 357 setzet man ebenfalls wieder eine Stelle weiter zur Linken. Diese einzelnen Produkte 1423/ 714, ZZ7 addirt man, so erhalt man das ganze Produkt 44268.
Anmerkung.
r. Wenn der Multiplikandus in der Mitte Nullen hat/ so kommen in das Produkt in die gleichnamigen Stellen Nullen / es sey dann / daß das vorhergehende Produkt aus zwoen Ziffern bestanden hat/ deren höhere an die Stelle der Nullen geschrieben wird. Z.B. 2005
3
6oi§
2. Wenn der Multiplikator in der Mitte Nullen hat > so übergeht man die Nur- B ten,

len, und schreibt die Produkte nach ^ zten Regel des 2ten Falles an.
Z. B. 342 r
200z
1026z
6842
685226z
z. Wenn in dem Multiplikator dieEiA vorkönnnt, so schreibt man sogleich ^ Multiplikandus an die gleichnaiv^ Stelle herab. Z. B. 32 ' 14
128
32
448
4. Wenn ein oder beide Faktoren NA haben, so wird allein mit bedeutE Ziffern multipliciret, zu demHaupA dukte aber werden die Nullen beider M tvren hingesetzet.
Z. B.
40
5
200
12
30
360
n5
0»
'F
Z. Wenn ein Faktor io, oder 100 u.^^, ist, so sehet man die Nullen dieses ä § tors ju dem andern Faktor, so stnv v

de Faktoren schon multipliciret. A. B» 32 multiplicirt mit 10 gibt 320. loo multiplicirt mit 25 gibt 2500. 43 multiplicirt mit iooo gibt 43000. und sa rvclter.
3. probe.
Die beste Probe ist, wenn man das nämliche Exempel mit grösserer Aufmerksamkeit wiederholet.
^ Das Dividiren, oder Theilen.
Erklärungen.
s. Was Dividiren heißt. Untersuchen/ wie oft eine gegebene Zahl in einer andern gegebenen Zahl enthalten ist / heißt dividiren. Z. B. Man untersuchet, wie oft die Zahl 3 in der Zahl b enthalten ist/ so sagt man, 6 werde durch 3 drvidirt.
b. Was der Dividendus, und der Divisor ist. Diejenige Zahl, welche dividiret wird/ nennet man Dividendus. Diejenige aber/ wodurch dividiret wird / heißt Divisor. Z. B. In dem obigen Beispiele ist 6-der Dividendus, und 3 der Divisor.
Was der Quotient ist. Diejenige Zahl/ welche anzeiget, wie oft der Divisor in dem Dividendus enthalten ist, nennet wan Quotient. Z. B. Der Divisor 3 ist m dem Dividendus 6 , 2mal enthalten z hier ist 2 der Quotient.
Regeln.
Erster Fall. Wenn der Divisor nur eine Ziffer ist.
L.

L) Man schreibt den Divisor zur Linke" des Dividendus , und machet dazwl^ schen einen stehenden Strich; eben eine" Elchen Strich machet man auch M Rechten des Dividendus.
2) Wenn die erste Ziffer des Dividend^ zur Linken nicht kleiner ist, als der visor, so untersuchet man , wie oft ^ Divisor in dieser ersten Ziffer des Div^ dendus enthalten ist, und schreibt die M fundene Zahl, als den ersten Theil veb Quotienten hinter den Strich zur Re^ ten des Dividendus.
z) Wenn die erste Ziffer des Dividend^ zur Linken kleiner ist, als der Divise/ so untersuchet man, wie oft der D'v' sor in den zwoen ersten Ziffern des videndus zur Linken enthalten ist, E schreibt die gefundene Zahl, welche anzeiget, wie vorhin ist gesagt worden zur Rechten des Dividendus.
4) Den erst gefundenen Theil des tienten multiplicirt man mit dem DivW'
5) Wenn das Produkt aus dem erste" Theile des Quotienten nur aus e>A. Ziffer besteht, so schreibt man dust Produkt unter die erste Ziffer des Dst!. dendus zur Linken; vesteht das Produ aus zwoen Ziffern, so schreibt man 0 niedrigste Ziffer davon unter die 2te p" fer des Dividendus, und die höhere u eine Stelle weiter zur Linken.

2 !
ö) Unter das angeschriebene Produkt machet man einen Querstrich, und subtra- hiret dasselbe von den gegenüberstehenden Ziffern des Dividendus. Ist der Rest sodann nicht kleiner, als der Divisor, so ist es ein Zeichen, daß man den gefundenen Theil des Quotienten zu klein genommen hat.
7) Läßt sich das Produkt aus dem gefundenen Theile des Quotienten in den Divisor von den gegenüberstehenden Ziffern des Dividendus nicht subtrahiern, so hat man den gefundenen Theil des Quotienten zu groß angenommen. Man vermindere daher die Zahl des Quotienten um eine Einheit, und zwar so oft, bis man ein Produkt erhält, welches sich von den gegenüberstehenden Ziffern des Dividendus subtrahiren läßt.
r) Die nächstfolgende Ziffer des Dividendus bezeichnet man sodann mit einem Punkte, und sehet die bezeichnete Ziffer unter den Querstrich zur Rechten des Restes.
y) Die Zahl unter dem Querstrich divi- dirt man wieder mit dem nämlichen Divisor auf die nämliche Art; man schreibt den neu gefundenen Theil des Quotienten allemal um eine Stelle weiter zur Rechten des Dividendus, und so fährt man mit den übrigen Ziffern des Dividendus so lang fort, bis keine mehr vorhanden ist. Z. B. Man soll 694 Bz durch

' durch 2 dividiren, so steht das Beispiel wie folget:
«r
K > ÜY4 I 347. Weil die Ziffer 6 6 nicht kleiner ist als der
- - Divisor 2 ; so sage
y man: 2 ist in ü zmal
8 enthalten; ferner sptt^
«—— che man: zmal 2 ist
14 6. Weil nun da»
14 Produkt 6 nur au»
einer Ziffer besteht/ so schreibt man dast selbe unter die erste Ziffer des DividciN dus, nämlich unter 6. Man sage:" von 6 bleibt nichts. Die mit einel" Punkte bezeichnete Ziffer sehe man untek den Querstrich herab, und spreche: 2>u 9 ist 4mal enthalten. 2mal 4 ist 8» 8 von y bleibt i. u. s. w.
Mau soll ferner 1632 durch 3 dividiren/ so ist die Rechnung folgende.
Weil die erste Ziffer des 544. Dividendus kleiner ist, als der Divisor, sou>^ tersuchet man , wie ost 3 in 16 enthalten ist, nämlich Z mal. Ma" sage-ZmalgistiZ/ 5 vo"
6 bleibt 1. 1 von 1 bleib»
nichts. Man sage
ner: 3 in 13 ist 4 mal enthalten, u.s. w'
1632
rz
13 ' 12
12
12
wie vorhin.
An-

»r
iel Anmerkung. ^
Wenn nach Herabsetzung der nächstfolgenden Ziffer des Dividendus die Zahl unter ü dem Querstriche kleiner ist, als derDivi-
sor, so schreibt man in den Quotienten eine Nulle, und sehet sogleich wieder die nächstfolgende Ziffer des Dividendus zur Rechten herab.
^ 2 . B. 5 I 1525 I 305 Man sage Z in 15
^ 15 ist zmal enthalten:
77— zmal 5 ist 15.
^ Man setze 2 herab,
- ^ _ und da die herab-
>ii gesetzte Ziffer 2 kleiner ist, als der Divisor rk 5 . so sehe man 0 in den Quotienten, und so- n gleich die nächstfolgende Ziffer 5 zur Rechten . herab, u. s. w.
o- Zweyter Fall. Wenn der Divisor aus mehreren Ziffern besteht.
/ r) Man schreibt den Divisor zur Rechten wie im ersten Falle, und zählet in dem S Dividendus so viel Ziffern ab, als der
, Divisor hat.
/ 2) Machen die in dem Dividendus abgezahl-
t ten Ziffern keine kleinere Zahl aus, als
/ der Divisor, so untersuchet man, wie
1 oft die erste Ziffer des Divisors in der er-
> sien Ziffer des Dividendus enthalten ist. . 3 ) Machen aber die in dem Dividendus abgezahlten Ziffern eine kleinere Zahl aus, als der Divisor ist, so untersuchet man, wie oft die erste Ziffer des Divisors in den B 4 twoen

zween ersten Ziffern des Dividendus en^ halten ist.
4) Den gefundenen Theil des Quotienten multiplicirt man mit dem ganzen Divisor/ und schreibt die niedrigste Ziffer des Pro^ duktes unter die letzte abgezählte Ziffer des Dividendus , wenn man nämlich unterste chet hat, wie oft die erste Ziffer des Visors in der ersten Ziffer des Dividendi enthalten ist.
5) Hat man aber untersuchet/ wie oft die ^ ste Ziffer des Divisors in den zwoen e^ sten Ziffem des Dividendus enthalten iß/ so schreibt man die niedrigste Ziffer des Produktes um eine Stelle weiter zur Rc^ ten. Die übrigen Ziffern des Produktes schreibt man der Ordnung nach jede B eine Stelle weiter zur Linken.
b) Unter das angeschriebene Produkt machet man einen Querstrich.
7) Alsdann subtrahiret man das Produkt von den gegenüberstehenden Ziffern desD^ videndus / und verfährt übrigens wie it" ersten Falle.
Z. B. nens. Man soll 8 y 88 durch dividiren/ da steht das Beispiel folgender Gestalt:
Weil der Divisor 5 Ziffern hat, und die ^ sten Z Ziffern des Dtv> dendus, nämlich
_keine kleinere Zahl aio
der Divisor ausmachen, so sage man.
2 rn
214 I 8 y 88 I 42 856
' 428 428

2 Z
2 in 8 ist 4wal enthalten. Man multiplici- ret nun den gefundenen Theil des Quotienten/ nämlich 4 mit dem Divisor 214, und schreibt das Produkt 856 so an/ daß 6 unter die letzt abgezählte Ziffer 8 zu stehen kömmt. Man sage nun: b von 8 bleiben 2. 5 von y bleiben 4. 8 von 8 bleibt nichts. Man sehe die nächstfolgende Ziffer des Dividendus 8 zur Rechten des Restes herab/ und sage: 2 in 4 ist -mal enthalten. Man mustiplicire den gefundenen Theil des Quotienten / nämlich 2 mit dem Divisor / und subtrayire das Produkt 428 von der Zahl unter dem Querstriche / so ist der ganze Quotient 42.
rtens. Man soll ferner 2388540 durch 423z dividiren/ so kömmt die Rechnung also: 4235 t 2388540 I 564 Weil nun der
2il?5
27104
25410
Divisor 4 Ziffern hat und die 4 ersten Ziffern des Dividendus/ nämlich 2388 eine klei- als der Divisor,
1694c»
16940
nere Zahl ausmachen so sage man: 4 in 23 ist 5 mal enthalten/ das Produkt aus dem gefundenen Theile des Quotienten 5 in den Divisor 4235, nämlich 21175 schreibe maniso an, daß die niedrigste Ziffer 5 um eine Stelle weiter zur Rechter: zu stehen komme. u. s. w,
B 5 An-

Anmerkung.
r. Wenn der Divisor am Ende eine oder mehrere Nullen hat , so schneide ma» . von dem Dividendus am Ende eben >o viele Ziffern ab, und dividire nur M den bedeutllchen Ziffern.
Z. B. 24 I o I 840 I o i ZZ.
72
120
120
1. Wenn am Ende noch ein Rest bleibt/ so schreibt man den Rest zur Rechten Quotienten, machet einen QuersM darunter^ und schreibt den Divisor daril^ ter Z. B. 4 I 57 I -4L 4
i?
16
l
z. probe.
Die Probe geschieht, wenn man den Quotie^ ten mit dem Divisor multipliciert; und wE am Ende ein Rest geblieben, denselben zu dc^ Produkte addirt; es muß alsdann der Dtv> dendus wieder zum Vorschein kommen.
U-

27
II. Hauptstück.
Von den genannten Zahlen.
Erklärung.
r. Was eine genannte Zahl ist. Jede Zahl genannter Dinge, das ist: solcher Din- Se, die einen gewissen Namen haben , heißt wan eine genannte Zahl. Z. B. z Gulden, 4 Zentner, 8 Klafter sind genannte Zahlen, weil sie Zahlen solcher Dinge sind, die einen gewissen Namen haben.
Was gleichnamige Zahlen sind. Zahlen, welche Dinge von einerlei Namen, das 'st, von einerlei Art anzeigen, heissen gleichnamige Zahlen: so sind 8 Klafter, 3 Klafter gleichnamige Zahlen, z Cenmer, Z Lothe, 3 Groschen sind Dinge, welche einen andern Namen als Cenmer haben, sie sind also nicht gleichnamige Zahlen.
Anmerkung.
Man hat gewisse Dinge, als Münzen, Maaße, Gewichte, Zeit rc. in verschiedene Theile, und diese ferner in kleinere abgetheilet. Diese Abtheilungen haben nicht nur ihre eigenen Namen, sondern jede Abtheilung, undUnterabtheilung hat eine bestimmte Anzahl vvnTheilen, und diese haben wieder besondere Namen. So ist der Gulden wKreuzer, der Centner in Pstmde, dieKlaf- ter in Fuß, jeder dieser Theile aber weiter

abgetheilet, nämlich der Kreuzer in Pf^ nige, das Pfund in Lothe, die Schuht
>. Es ist gebräuchlich , jede Abtheilung Ganzen als eine Einheit zu betrachten, l>" auch Einheit ru nennen. Das Ganze, E auch jede grössere Abtheilung nennet ^ eine Einheit von grösserem Namen. Abtheilungen überhaupt aber Einheit von kleineren Namen; so sind GuldA Centner, Klafter, Einheiten von grA ren; Kreuzer, Pfunde, Schuhe, heilen von kleineren Namen; diePfeE ge, Lothe, Zolle sind Einheiten vori n»" kleineren Namen.
. Bei dem Rechnen muß man oft ein so getheiltes Ganzes nach seinen Theilen, E Unterabtheilungen, oder die Einheiten^ grösseren Namen nach Einheiten von m neren Namen ansehen; öfters muß auch die vorkommenden vielen kleinen Th" le zu grösseren, das ist, Einheiten vo kleineren Namen zu Einheiten grösser Namens machen, und bestimmen, viel die kleinen grössere Theile, oder wohl Ganze ausmachen. ,
Was die Auflösezahl ist. Die M
der kleineren Theile, welche zusammen^ nvmmen den nächst grösseren Theil, oo , ein Ganzes ausmachen, oder die Zav
der Einheiten von einem kleineren Nan^ / welche zusammengenommen eine Emy von einem grösseren Namen ausmacht'

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heißt die Auflösezahl. So ist 60 die Auf- lösczahl, wenn man aus Kreuzern Gulden, 32 wenn man aus Lothen Pfunde, 6, wenn man aus Schuhen Klafter machen will; oder umgekehrt, wenn man einen Gulden nach Kreuzern, ein Pfund nach Lothen, eine Klafter nach Schuhen angeben will.
4. Was resolviren heißt. Resolviren heißt die Zahl der Theile angeben, welche ein abgetheiltes Ganzes hat. So re- sotviret man einen oder mehrere Gulden, wenn man die Zahl der Kreuzer angibt, die einen Gulden, oder mehrere Gulden ausmachen.
s. Was reduciren heißt. Reduciren heißt bestimmen, wie viel die vorkommenden kleineren Theile größere, oderwieviel die grösseren Theile Ganze ausmachen. So reduciret man, wenn man angibt, daß 180 Kreuzer zfl. oder 12 Schuhe 2 Klafter ausmachen.
Verzeichniß der vornehmsten landübli- chen Münzen, Maaße, und Gewichte, nebst ^ren Abtheilungen.
LNünzen.
2- Silbermünzcn.
r) 2 Heller machen l Pfennig.
2) 4 Pfennige - - r Kreuzer.
' 3) 3 Kreuzer - « 1 Groschen.
4) 2»

4 ) 20 Groschen, oder <
üo Kreuzer - l Gulden.
5 ) i Gulden, 30 Kr. - i Reichst^
0 ) 2 Gulden, 24 Kr. i Convem
tioi'sthr.
7 ) 2 Gulden, 45 Kr. i Kronenlh"' b. Goldmünzen.
1 ) 5 Gulden machen i Dukate.
2 ) 5 Gulden 30 Kr.-- i halbe E ^
d'or, ovts Karolil''
3 ) 7 Gulden 20 Kr. i Maxd'or. ^
4 ) n Gulden - - , i Louisd'M
oderKarol >7
5 ) 15 Gulden - - , i Souver^l"'
. Maaßen, s. Zeitmaaß.
6o Sekunden machen 60 Minuten - - - 24 Stunden - - - 7 Tag - - 30 Tage - i2 Monate /
365 Tage ,
3)
4)
5
366 Tage
-
-
-
-
-
i Minute, i Stunde, i Tag. i Wochen, i Monat. rJahr, ^ i gm. Zadr.
b. WeLnmaaß.
1) 4 Schoppen machen -
2) 8 Maaß , , - ,
3) 4 Viertel, oder 3 2 Maaß
4) 4Eymer - - - - s) 30 Eymer oder^Sßum
c

e. GetraLdemaaß.
Glatte Frucht.
i) ib Immen machen - - i Viertel.
4 Viertel - - - - -Muth.
Rauhe Frucht.
hlr.
chlk-
lü Immen machen - - -Viertel. 2) 16 Viertel - - - - -Malter.
ä. Baumaaß.
6 Schuhe -
1) i2 Zolle machen - - - -Schuh.
2) 6 Schuhe - - - - -Klafter.
r. ^
»r/ 3. Gewichte.
>li»' .,
^,„1, s. Rramergcwlchte
4 Quintlein machen - - - Loth.
2) 32 Loth - - - - - - Pfund, z) 100 Pfunde - - - - -Centner.
b. Gilbergewicht.
4 Denier machen -. - - Quintl. 2) 4Quintlein - - - - -Loth. - Z) -6 Loth ----- -Mark.
c. Goldgewicht.
1) zGran machen - - -Gran.
2) 6Gran ----- -Loth.
3) 4Gran ----- -Karat.
4) 24Karat - - - - - -Mark.
Das Resolvirm.
Wenn man eine genannte Zahl zu resolviren dm, so suche man die Auflöse-ahl in dem
' Ver-

Verzeichnisse der Münzen, Maaße/ und Gewichte.
2. Man multiplicire die gegebene Zahl mit da Auflösezahl / so ist die genannte Zahl resolvM'
Z. B. ttens. Man soll 8 Gulden Kreuzer resolviren; man multiplicire ^ so 8 mit der Auflösezahl 6o , so erh" mair 480 Kr. welche eben 8 Gulden da tragen. ^ '
Ltens. Man soll ferner 12 Klafter Schuhe resolviren. Man multiplicl daher 12 mit der Auflösezahl 6/ soa hält man die verlangte Anzahl he, nämlich 72 Schuhe.
Ztens. Man soll 17 Centner in Pfn>^ resolviren. Man multiplicire 17 ' g der Auflösezahl ioo, so erhält man i7° Pfunde.
V. Das Reduciren.
1. Wenn man eine genannte Zahl redlich
soll, so nehme man aus dem Verzeichn, der Münzen , Maaße, und Gewichte d Auflösezahl. ^
2. Man dividire die gegebene Zahl durch ^
Auflösezahl, so ist die gegebene genannte
Z. B. itens. Man soll 480 Kreuzet ^ Gulden reduciren. Man dividire 4d mit der Auflösezahl 60. so erhält mau Gulden, ivie man verlangte. atens. Man soll 72 Schuhe zu Klai ^ reduciren. Man dividire also 72

3Z
der Auflösezahl 6 , so erhält man die verlangte Zahl, nämlich 12 Klafter.
ztens. Man soll 1700 Pfunde zu Cent- ner maä-ein Man dividire 1700 durch ioo, so erhält man 17 Centner.
Regeln von den 4 Rechnungsarten in
genannten Zahlen.
Regeln von dem Addiren oder Zusammenzählen.
s. Man schreibe die gleichnamigen Zahlen untereinander, mache einen Querstrich darunter, zähle die Zahlen der kleinsten Benennung zusammen, und schreibe ihre Summe, wenn sie nicht schon eine, oder mehrere Einheiten von der nächst- grösseren Benennung ausmacht, in die gleichnamige Stelle unter den Querstrich.
b. W-mn die Summe der Zahlen von der kleinsten Benennung eine, oder mehrere Einheiten von der nächstgrössercn Benennung enthalt, so reducire man diese Summe auf die nächstgrössere Benennung , und schreibe nur die übrigen Einheiten von der kleinsten Benennung in die gleichnamige Stelle unter den Querstrich; die reducirten Einheiten aber zahle man zu der nächstfolgenden Reihe von der nächstgrössercn Benennung.
Bei der Reihe der nächstgrösserenBenen- nung verfahre man wie bei der vorhergs- E hon-

s>
hei-den, und so bei allen übrigen/ erhält mm: die verlangte Summe. ^ Z. B. Man soll 12 Gulden, 54 ^ z Pfennig zu iz Gulden, 43 Kr.
2 Pfenningen addiren; so steht dasE^ pel folgender Gestalt:
Guld.
12 — iZ —
Kr.
54
43
Pf.
3
2
2Ü
38 — I. Summe.
Hier sind Pst^ nige die SalM welche den kle» sten Namen den; man siA also bei denE nigen an zu rcn.
Man sage: 2 und z sind 5. Nun rco. cire man die 5 Pfennige zu Kreuzet/ ' erhält mau einen Kreuzer; den übrig ^ bliebenen Pfennig schreibe man unter" Pfennige, und den Kreuzer zähle zu den gegebenen Kreuzern. Dic,S"^ ine der Kreuzer beträgt g8» Diese ciret, geben i Gul. 38 Kr. Man jcl)^., daher, z8 Kr. unter den Querstrich . die Stelle der Kreuzer, midi Guld. man zu den gegebenen Gulden, so erh man 26 fi.z8Kr. i. Pf. zur Sumuie»
2. Regeln von dem Sublrahiren.
s. Erster Fall. Wenn jede Ziffer des Subt^
hendus kleiner ist, als jede gleichnamige
Minuendus. ,
i. Man schreibe die Zahlen des SubnÄ, dus unter die gleichnamigen des M>n ^

dirs , und mache einen Querstrich darunter.
2. Man subtrahire zuerst die Zahl des Sub- trahendus, welche den kleinsten Namen . hat, von der gleichnamigen des Minuen- dus, und schreibe den Rest in die gleichnamige Stelle unter den Querstrich.
L. Alsdann subtrahire man die Zahl des Subtrahendus, welche den nächstgrösse- ren Namen hat, ebenfalls von der gleichnamigen des Minuendus, und schreibe den Rest in die gleichnamige Stelle unter den Querstrich, und so verfahre man bei allen Zahlen der übrigen Benennungen.
Z. B. Man soll lüz Guld. 32 Kr. 2 Pf. von 436 Gut. 44 Kr. Z Pf. subtrahiern, so kömmt das Beispiel also zu stehen.
Guld. Kr. Pf. Man sage: 2 456 — 44 — 3 von z bleibt r. iüZ — 32 — 2 Man schreibe i in
>--die Stelle der
2YI -- 12 — I Pfennige. Dann subtrahiremanAL von 44, den Rest 12 schreibe man in die Stelle der Kreuzer; endlich subtrahire man rbz von 456, den Rest 2yr schreibe man in die Stelle der Gulden unter den Querstrich, so erhält man 291 Gulden r r Kr. und l Pf. zur Differenz.
Hveytcr Fall. Weitn einige Ziffern des subtrahendus grösser sind, als die gleichua- m>Sen des Minuendus..
C 2 r. Man

i. Man fange wieder, wie vorhin, bei de^ Zahlen an, welche diekleinste Benennm haben: kömmt man nun auf eine Zahl ^ Subtrahendus/ welche grösser ist/ ^ die darüber stehende Zahl des Minn^ dus / so entlehnet man von der nächst^ genden Zahl des Minuendus zur Lin^ eine Einheit.
s. Zu der vorigen Zahl des Minuendus i"' Rechten addire man so viele Einheit^ als die entlehnte Einheit ausmacht / subtrahire die Zahl des Subtrahendus vo r. der so vergrößerten gleichnamigen Zahl ^ Minuendus. ' , !
z. Auf die Zahl des Subtrahendus / v>>^ welcher man entlehnet hat, mache einen Punkt zum Zeichen, daß die A ' um eine Einheit ist vermindert word^ Uibrigcns verfahre man, wie im er>^ Falle.
Z. B. Man soll za Ccntner/ 20PM di/ 27 Lothe von üy Centner/ 20 PD den / und 27 Lothen subtrahiren / so kön^ , die Rechnung also:
C.
öy
59
Pf. L.
20 — 27 ZO - 2Y
8y — ZO.
2y Lothe kann rnA nicht von 27 Iow subtrahiren/ deW
wegen entlehnet M von 2v Pfunden ..Loth'
Pfund/0der32^',^ diese addiret man zu 27 Loth, so konn^ 59 Loth/ von welchen 29 subtrahirt / 3 .Loth aber als Rest angeschrieben wer^ '

57
Die 20 Pf. im Minuendus sind nun um i vermindert. Weil zo von i y nicht können subtrahirt werden , so entlehnet man einen Centner, oder welches einerlei ist, 100 Pfunde, so kommen ny Pfunde , von welchen 30 subtrahirt 8y zum Rest lassen. Nun sind dy Centner um i vermindert , folglich 5y von ü8 subtrahirt geben y Centner zum Reste / also ist die Differenz y Cent. 8y Pf. 30 Loth.
Regeln von dem Multipliciern, oder
Vervielfältigen.
- Man schreibe den Multiplikator unter die Zahl des Multiplikandus, welche den kleinsten Namen hat, man mache einen Querstrich darunter / und multiplicire diese Zahl "m dem Multiplikator.
' Man reducire das erhaltene Produkt auf die ^ächstgrössere Benennung, mw schreibe die übergebliebene Zahl in die gleichnamige Stelle unter den Querstrich.
' Alsdann multiplicire man die Zahl des Mul- tiplicandus, welche den nächstgrösseren Nahten hat; zu diesem Produkte addire man oie vorhin erhaltenen reducirten Einheiten, ^le erhaltene Summe reducire man abermal, schreibe die übergebliebenen Einheiten in ^ gleichnamige Stelle, u. s. f.
§- B. Man soll 4 Klafter, Z Schuhe, 7 solle mit der Zahl 3 multiplicire» , so steht Rechnung folgender Gestalt:
C z
Kl.

38
Kl. Sch. Z. 4 — 5 — 7 _3,
^4 — 4 — y
Man multiplicire !» erst 7 Zolle mit 3; > kommen 2i Zolle. D>^ 21 Zolle reducier man! Schuhen, so kömmt ^ ^ 0 >>!
Schuh, und y Zolle heraus. Die <) o',, schreibt man unter den Querstrich in dieS^ le der Zolle; dann multipliciret man z SE he mit z, so kommen 15 Schuhe/ M Schuh dazu addirt / gibt ib Schuh, ^ 16 Schuhe reducirt geben 2 Klafter / ^ Schuhe. Die 4 Schuhe schreibt man ^ die Stelle der Schuhe/ dann multiple? man die.4 Klafter mit 3 , so kommen 12 M ter zum Vorschein; zu diesen 12 Klaftern ^ diret man die 2 vorigen Klaftern, so ko^ men ^Klaftern zum Vorschein.
4. Regeln vom Dividiren oder Theilen.
s. Man schreibe den Divisor unter dicjcn^ Zahl, welche den größten Namen hat / A mache einen Querstrich darunter, und dire zuerst diejenige Zahl mit dem Div>I^ welche den größten Namen hat. ^
d. Den daher erhaltenen Quotienten scy^ man unter den Querstrich in die gleich»^ ge Stelle, den Rest aber resolvire man /^ addire die resolvirten Einheiten zu der des Dividendus / welche den nachstkle»^ Namen hat. ^
c. Alsdann dividire man die Zahl/ welche" nächstkleinern Namen hat mit dem Dw>> und verfahre dabei, wie vorhin, u. s.
3 '

s»
Z. B. Man soll 6 Jahre, 17 Wochen und i Tag durch die Zahl 4 dividiren , so kömmt die Rechnung so:
I. W. T. Man dividire zuerst d ö — 17 — 1 Jahre durch 4, so kömmt 4 i Jahr, und 2 bleiben
—-zum Rest. i. schreibt
1 — zo — 2 man unter den Querstrich, und den Rest 2 resolviret man zu Wochen, so kommen 104 Wochen zum Vorschein ; diese zu 17 addirt geben i2i Wochen. Man dividirt alsdann die i2i Wochen durch 4, so kommen 30 Wochen zum Vorschein, welche man unter den Querstrich in die Stelle der Wochen schreibt, und i Woche, oder 7 Tage, welche übrig bleiben, addirt man zu den gegebenen Tagen, so kommen 8 Tage zum Vorschein, welche durch 4 dividiret 2 Tage geben; diese 2 Tage schreibt man unter den Querstrich in die Stelle der Tage, so erhält man den ganzen Quotienten, nämlich i. Jahr, 30 Wochen, 2 Tage.
Anmerkung.
Das Zeichen der Addition ist (-I-), der Subtraktion (—), der Multiplikation (x), oder (.), der Division (:), Das Zeichen der Gleichheit zwoer Zahlen, oder Grössen ist (2^). Z. B. 2 -s- Z bedeutet , daß 2, und 5 addirt werden sollen. ^ 2 — 5, daß 2 von 5 subtrahirt werden sollen. 2x5, oder 2.5, daß beide

4 *
Zahlen miteinander multiplicirt, und 5:2/ oder auchdaß 5 durch 2 dividirtwep' den sollen.
m. Hauptstück.
Von den Brüchen.
Die Einleitung der Brüche, i. Wie die Brüche entstehen.
Wenn man ein Ganzes in gleiche Theile thch let, und eine gewisse Anzahl solcher le bestimmet, so nennet man diese The^ Brüche.
Wieviel Zahlen zu einem Bruche hören.
Wenigstens zwo Zahlen werden zu ein^ Bruche erfordert. .
Eine Zahl zeiget an, in wieviel gleich^ Theile das Ganze,getheilet ist, und ft heißt der Nenner.
b. Die andere Zahl bestimmet die Zahl 0^ Theile, und diese heißt der Zähler.
z. Das Anschreiben der Brüche.
s. Der Zähler wird oben an gesehet.
d. Unter den Zähler wird ein Querstrich macht.
e. Der Nenner wird unter den Strich sehet. Z. B. ß.

4i
4. Das Aussprechen eines Bruches.
3. Den Zähler spricht man zum ersten aus. b. Den Nenner spricht man'nach dem Zähler aus, und sehet das Wort theile oder tel hinzu z. B.; zwey Drittheile, Z zwey Viertel.
5. Die Eintheilung der Brüche.
s. Es gibt ächte / oder eigentliche Brüche. In diesen ist der Zähler kleiner als der Nenner. Z. B. ?.
b. Es gibt unachte Brüche. In diesen ist der Zähler grösser, als der Nenner. Z. B. oder der Zähler ist ebenso groß, als der Nenner. Z. B. §.
Anmerkung.
Ist der Zähler so groß, als der Nenner, so ist es ein Ganzes. Z. B. ss.§. c- Es gibt reine Brüche; diese haben vor sich kein Ganzes. Z. B. Z. ä- Es gibt gemischte Brüche; diese haben vor sich eine ganze Zahl. Z. B. 2^.
Das Verwandeln der Brüche.
' ^Überhaupt.
Wenn man den Zähler, und Nenner eines Bruches mit einerlei Zahl multiplici- ret, si> wird der Bruch in einen andern von gleichem.Werthe verwandelt. Z. B. Wenn der Zälsier, und Nenner des Bru-- ches; mit 2 multipliciret wird, so entsteht der Bruch §, welcher eben so viel M, als,'.
C 5 d. Wenn

42
b. Wenn der Zähler und Nenner eines Vr^ ches durch einerlei Zahl dividirt wird/ wird der Bruch in einen andern vonglck chem Werthe verwandelt. Z. B. man den Zahler/ und Nenner Z durchs Zahl 2 dividiret/ so entsteht daraus ^ Bruch ß, welcher ebenso viel gilt/ als»'
r. Insbesondere.
3. Das Aufheben der Brüche.
1. ) Die Erklärung. Einen Bruch E
Veränderung seines Werthes durch nen kleineren Zahler / und Nenner aus drücken / heißt man einen Bruch l-eberr.
2. ) Das Verfahren. Wenn man ei^
Bruch aufheben will, so dividire»'^ den Zähler, und Nenner mit einer chen Zahl/ die in beiden aufgeht: z.) Merkmale. Die Merkmale/ raus man erkennen kann/ welches in dem Zähler / und Nenner aufM/ sind folgende: ,
a) 2 geht in dem Zähler/ undNc'. ner auf / wenn am Endesow^ im Zähler / als Nenner eine vo folgenden Ziffern ist: o '
2
s I ?L- ««
b) 3

4Z
b) 3 geht in dem Zähler/ und Nenner auf/ wenn alle Ziffern sowohl im Zahler als in dem Nenner addier werden / und z in den her- ausgckommenen Summen aufgeht/z.B.M-
c) 4 'geht in dem Zahlet und Nenner auf / wenn 4 in den «zwoen Endesziffern sowohl in dem Zähler als in dem Nenner aufgeht.
2 r4c>4 r§4<-
ä) 5 geht in dem Zähler/ und Nenner auf / wenn am Ende entweder 5 / oder o steht. Z. B. N°. e) 6 geht in dem Zahler und Nenner auf / wenn die Endesziffer gerade ist / und z in der Summe aller Ziffern sowohl im Zähler als im Nenner aufgeht. k) 7 Mit dieser Ziffer muß man es durch die Division versuchen, x) 8 geht in dem Zähler/ und Nenner auf/ wenn 8 in den dreyen Endesziffern aufgeht. Z. B. MN.
K) y geht auf / wenn alle Ziffern einer Zahl addiret werden / und 9 in der herausgekommcnen Summe aufgeht. Z. B. WM.
Das Auflösen, oder Resolviren der Brüche.
i.) Die Erklärung. Bestimmen wieviel Einheiten von einem kleineren Namen

men ein gegebener Bruch ausdrüH heißt das Auflösen der Brüche. Z. Man soll bestimmen, wie viel Z den Kreuzer betragen.
r.) Das Verfahren.
' s. Man multiplicire den Zähler des Bruches mit der Auflösezahl. b. Das Produkt dividire man nUt dem Nenner des gegebenen Br^ ches.
«. Der Quotient gibt die verlangte ' Anzahl der Einheiten von kleineres Namen. Z. B. Man soll den in Kreuzer auflösen; man niuu tiplicire also den Zähler z mit dck Auflösezahl 60, das Produkt i8o dividire man durch den Ne>^ ner 4, so gibt der Quotient Einheiten von kleinerem Namen/ nämlich 45 Kr.
Das Einrichten der Brüche, i) Die Erklärung. Gemischte Brüche in unächte reine Brüche verwandeln heißt man einen Bruch einrichten, r) Das Verfahren.
L.) Es wird die ganze Zahl mit dein Nenner des Bruches multiplicirt' b.) Der Zähler wird dazu addlrt, d^ runter ein Querstrich gemacht, nnv der Nenner des Bruches darunter g^ schrieben. Z. B. Es soll der Bruch eingerichtet werden, so wird -
mit

45
mit 4 multiplicirt, und zu dem Produkte 8 der Zähler 3 addirt , so erhält man den Bruch , welcher gleich ist 2?.
Das Reduciren.
1. Die Erklärung. Ganze Zahlen in Brüche verwandeln, heißt reduciren.
2. Das Verfahren.
a) Man ziehe unter das Ganze einen Strich, darunter sehe man einen Einer.
b) Man multiplicire alsdann denZäh- ler, und den Nenner mit einer beliebigen Zalst, so erhält man einen Bruch, der dem Ganzen gleich ist. Z. B. Man soll 6 in einen Bruch verwandeln, so schreibe man f, man multiplicire den Zähler 6 mit einer beliebigen Zahl, z. B. mit 5, wie auch den Nenner 1 mit 5 / so erhält man welcher dem Ganzen 6 gleich ist.
Anmerkungen.
nens. Will man einen Bruch von einem bestimmten Nenner haben, so verfahre man wie zuvor, alsdann multiplicire man den Zähler., und Nenner mir der bestimmten Zahl. Z. B. Man soll 6 Ganze in 60 Theile verwandeln, so schreibe man man multiplicire den Zähler, und Nenner mit 62, so erhalt man K, einen Bruch, der ü Ganzen gleich ist.

2tcn6. Man kann einen »mächten Bruch in Ganze verwandeln, wenn man dc» Zähler durch den Nenner dtvidirt- Z. B. wird in Ganze verwände» wenn man z6o durch üo dtvidirt, kommen ü Ganze heraus.
e. Die Erfindung eines gemeinschaM chen Nenners.
r) Die Erklärung. Wenn »nan machet/ daß Brüche , die verschiedene Nenner h» den, einerlei Nenner, doch ohne Verä» derung des Werthes bekommen, so HE dies; die Erfindung eines gemeinschaftl» chen Nenners, oder Brüche unter glE Benennung bringen.
2) Das Verfahren.
») Der erste Fall bei zween Brüche»' Man multiplicire eines jeden Bruchs Zähler und Nenner mit dem Nenners andern Bruches. Z. B. ? l s»H, unter gleiche Benennung gebracht den, so wird des ersten Br»»ches ler, und Nenner mit 4, des ander» Bruches Zähler, und Nenner aba mit z multiplicirt, dadurch erhält >»»» die Brüche welche gleiche ner haben, und eben so viel gelte» /
als
b) Der zweyte Fall bei mehreren Brüche»'
/itens. Man multiplicire den Zähler »»^ Nenner eines jeden Bruches nnt al»
übr»^

4k
übrigen Nennern, Z. B. lßl sollen unter einerlei Benennung, oder Nenner gebracht werden, so multiplicire man ttens den Zähler des iten Bruches mit dem Nenner des 2ten Bruches z, und das Produkt davon mit dem Nenner des zten Bruches 5, so erhalt man 15: dieses Produkt 15 ist der Zähler des ersten gesuchten Bruches.
stcns. Ma>r multiplicire den Zähler des 2ten Bruches mit dem Nenner des zten Bruches 5, und das Produkt davon mit dein Nenner des ersten Bruches, so erhält man den Zähler des 2ten gesuchten Bruches 13.
ztens multiplicire man den Zähler des zten Bruches z mit dem Nenner des ersten, und das Produkt davon mit dem Nenner des 2ten Bruches, so erhält man den Zähler des zten gesuchten Bruches-18.
Endlich multiplicire man den Nenner des neu Bruches mit dem Renner des zweyten, und das Produkt davon mit dem Nenner des gtcn, so kömmt zc> heraus. Dieses Produkt schreibe man unter jeden herausgebrachten Zähler, wodurch man zz A zz erhält.
Die vier Rechnungsarten der Brüche.
Don dem Addirett.
Erster Fall. Wenn die Brüche einerlei
Nenner haben.
l.) Man

4 «
, i.) Man addire alle Zähler.
2.) Man mache alsdann einen Querstrich/ unter den Querstrich schreibe man eine>> von den gegebenen Nennern, so l man die verlangte Summe der che. Z. B. es sollen zßßß addirt den, so ist die Summe ß', oder
b. Zweyter Fall. Wenn die Brüche gleiche Nenner haben.
Man bringe die Brüche unter gleiche Beue^ ^ nung> ohne Veränderung des Werthes/ , alsdann verfahre man wie in dem rter Falle. A. B. Es soll;ß; addirt den, so kömmt die Rechnung, daß??- gleich sey und wenn man »er
fährt wie in dem ersten Falle / so kötiM heraus i;z.
Anmerkung.
Wenn gemischte Brüche sollen addiret we^ ^ den / so werden zuerst die Brüche addich/ und die Ganzen von den addirten Brc> chcir / wenn einige darinn enthalten herausgezogen, und solche zu dengegc^ nen Ganzen addirt. Z. B. iß/zl, ist die Summe zZZ.
r. Von dem Subtrahiern.
A. Erster Fall. Wenn die gegebene Brüche A nerlci Nenner haben > so wird der Zähler oc z. kleineren Bruches von dem Zähler des grE I ren Bruches subtrahiret/ und einer vou oe Mennern darunter geschrieben.

ich/
neu
hak
>ek^
c>i^
es/
teil
>ei?
cr^
a>l
-,
Es soll ^ von r subtrahiret werden / so sub- krahire man i von dem Zähler 3 / so ist die . Differenz ^ oder
o- Zweyter Fall. Wenn die Bruche nicht Lletche Nenner haben/ so muffen sie erst das zu gebracht werden , und alsdann verfahre . man wie in dem ersten Falle. Z. B. Man soll z von E subtrahircn / so kommen s, und stim Vorschein / folglich ist H, die verlang- Än. ^Differenz.
^Merkunrz.
^ Wenn man einenBtuch von einer ganzen Zahl subtrahiren soll, so vermindere man die ganze Zahl um eine Einheit/ man drücke diese Eins heit durch einen Bruch aus, desscnNenner dein Nenner des gegebenen Bruches gleich ist/ und subtrahirc von diesem Bruche den gegebenen Bruch. Z. B. Mail soll ß von der Lanzen Zahl z subtrahircn / so kommen 2 .Ganze/ und 4 zum Vorschein.
^ Wenn man gemischte Brüche voneinander subtrahiren soll/ so richte man die gemischten Brüche ein / und verfahre / wie in dem ersten Falle/ wenn sie gleiche Nenner haben; haben sie aber ungleiche Nenner / so verfahre
Man wie in dem zweiten Falle. Z. B. Man soll - .
.---2; von 5; subtrahircn/ so kömmt die Nechnung also: ß ^ Da ist also die Differenz oder
dem MultiplLcnen.
En nmltiplkcire alle Zähler / und alle Nenner miteinander r das erste Produkt gibt den Zähler. das andere den Nenner des gesuchten D Bru-

A0
Bruches. Z. B. Man soll; multiplicire» mit §, so kömmt heraus Man soll z.
3 Brüche miteinander multipliciren / als j so kömmt heraus
Anmerkung.
s. Wenn ein Bruch mit einer ganzen Zahl tipliciret werden soll, so darf man nur de» Zähler des Bruches mit der gegebenen gai^ zen Zahl multipliciren, und den gegeben^ Nenner darunter schreiben. Z. B. Es soll» mit 2 multipliciret werden / so ist das bukt Z oder N. .
b. Wenn gemischte Brüche sollen multipliciN' werden, müssen sie zuerst eingerichtet werde»/ alsdann verfahre man nach den gegeben^ Regeln.
4. Von dem Dividiren.
. Man multiplicire den Zähler des Dividendus ^ dem Nenner des Divisors, alsdann nE plicire man den Zähler des Divisors mitdc» Nenner des Dividendus - und schreibe d>E Produkt unter das vorige. Z. B. MarE ^ durch ; dividiren, so ist der Dividendus» und der Divisor §, der Quotient ist A
Anmerkung.
s. Wenn ein Bruch durch eine ganze Zahl/" dividiret werden, so darf man nur den ner des Bruches mit der gegebenen Zahl «As tipliciren, und den Zähler unverändert lajiN'' Z. B. Es solldurch 2 dividiret werden/ l tst der Quotient
t». Wenn

—- S»
i>- Wenn eine ganze Zahl durch einen Bruch soll dividiret werden, so multiplicire man das Ganze mit dem Nenner, unter das Produkt schreibe man den Zähler. Z. B. Es soll 2 durch ; dividirt werden , so ist der Quotient Z.
K Die gemischte Brüche richte man ein, und alsdann verfährt man nach den gegebenen Regeln.
IV. Hauptstück.
Von der Regel Detri.
Erklärungen.
- Was geometrische Prvpvrtivnalzahlen sind. Wenn 4 Zahlen so geordnet sind , daß die erste in der 2ten so oft wie die zte in der 4ten enthalten ist, oder wenn die 2te Zahl in der Neu so oft enthalten ist, als die 4te in der 3ten, so nennet man die Zahlen geometrische Proportionalzahlen. Z. B. 4. 8. 3. 6. sind Nometrische Prvportionalzahlen: denn 4 ist w 8 so oft enthalten, als 3 in 6; eben so stnd y. z. 6. 2. geometrische Proportional- fahlen : denn y enthält 3 so oft, so oft 6 die Zahl 2 enthält.
- Was die Regel Detri ist. Die Re- Lel, nach welcher man zu z bekannten Zah-
die Man auch Sähe, oderGlieder nen- , die 4te geomettiscke Proportionalzahl Mdet^ heiß; die Regel Detri.
D 2 L. Der

A2
ö. Der Ansatz.
1. Man bezeichne die unbekannte Zahl mit §/
und sehe x zur Rechten. ,,
2. Man setze die Fragzahl um eine Stelle wel'
ter zur Linken. ,,
z. Diejenige Zahl , welche mit der Fragil einerlei Namen hat, setze man an den echt" Platz. ^
4. Diejenige Zahl, welche mit x einerlei mcn har, setze man an den zweiten Platz.
5. Zwischen dem uen und 2tcn Gliede , auch zwischen dein zten und 4ten Gliede sE nian das Divisionszeichen (:), in die M'"' aber sehe man das Gleichheitszeichen
Z. B. Wenn z Centner t> Gulden koM wieviel Gulden ketten 8 Centner? so ist ^ Aufsatz folgender:
C. G. C. G>
3 : ü 8 : x Mail sieht, daß die"" bekannte Anzahl
zur Rechten, die Fragzahl 8 Centner miw
ne Stelle weiter zur Linken siehe ; das _ Glied 3 Zentner ist mit der Fragzahl 8 ner, und das 2teGlied ö Gulden ist mit^ 4teit Gliede x Gulden gleichnamige
e.
i.
Kennzeichen.
Bennzeichen der geraden Regel Derrt'
u. Man sehe die Fragzahl in Gedanken grE
b Wnm mm> sodann vorsieht, daß das 4 , Gli.ö auch grösser werden müßte, höret das Exempel zur geraden ReM ^
» tk>«

§3
tri. Z. B. Wenn 4 Ellen 5 Gulden kosten ^ wieviel Gulden kosten 20 Ellen? Dich Exempel gehöret zur geraden Regel Dem.
Eli. G. Ell. Wenn man an- 4 5 n 20 : x statt der Fragezahl 2O Ellen zc> sehet/ so sieht man leicht > daß zo Ellen mehr kosten würden , als 20; daher gehört das Exempel zur geraden Regel De- tri.
Rennzeichen der umgekehrten Regel Dekri.
a. Man setze die Fragezahl in Gedanken grösser.
b. Wenn man sodann -vorsieht / daß das 4te Glied kleiner werden müßte; so gehört das Exempel zur umgekehrten Regel Detri. Z. B. z Arbeiter verfertigen ein Werk in 8 Tagen / wie viel Tage werden 2 Arbeiter brauchen / das nämliche Werk zu verfertigen?
A. T. A. Man sehe anstatt 3 : 8 2^1 2 : x 2 Arbeiter 20 Arbeiter/ sosiehtman leicht, daß 20 Arbeiter die nämliche Arbeit in wenigeren Tagen fertig machen würden; daher gehört das Exempel zur umgekehrten Regel Detri.
Verfahren.
Bei der geraden Regel Detri« u. Mit ganzen Zahlen.
D 3
i.) Man

d.
1. ) Man multiplicire die 2 mittleren Gl>^ der miteinander.
2. ) Dann dividirt man das Produkt durch das erste Glied, so erhalt man da» Verlangte. Z. B. 3 Centner kosten ° Gulden, was kosten 8 Centner? steht die Rechnung also:
C.
3 <
G.
6 -
3 ! 48 I iü.
C. G. Da ist 8 mit ^ 8 : x multipliciret/UN° das Produkt 4 § durch z dividiret-
Mit Brüchen, i.) Wenn das erste Glied ein Bruch >?' s.) Man multiplicire entweder das rtt oder das zte Glied mit dem Nenncl des Bruches.
b. ) Den Nenner lasse man weg.
c. ) Man verfahre wie im ersten Falle. Z. B. Wenn; Elle z Gulden kostet/
. was kosten 40 Ellen? So sieht die Rechnung also:
Ell. G. Eli. G. Man M
; : z 40 : x daß der N^
i : ü 4a : x ner 2 wegS^
lassen, und das 2te Glied z mit 2 mul^ tipliciret ist.
Daher ist x gleich 240 Gulden.
».) Wenn das 2te Glied ein Bruch ist.
s.) Man multiplicire das erste Glie* mit dem Nenner.
b.) Man lasse den Nenner weg.
c.) So-

55
e. Sodann verfahre man wie im ersten Falle.
Z. B. Wenn Z Ellen Zeug 7 Gulden kosten, wieviel Ellen kauft man . von dem nämlichen Zeuge um 163 Gulden?' so steht die Rechnung fol- gendergestalt:
G. Ell. G. Ell. Mansieht,
7 : ? 163 : x daßderNen-
56 : z 168 : x ner 8 wegge-
Daher x imn 9 lassen, und
das ite Glied 7 mit 8 multiplicirt ist.
3. ) Wenn das dritte Glied ein- Bruch ist.
a. ) Man multiplicire das ite Glied durch
den Nenner.
b. ) Sodann läßt man den Nenner weg.
c. ) Man verfährt wie im ersten Falle.
Z. B. Wenn 9 Ellen rt>8 Gulden kosten , was kosten Z Ellen? Da steht die Rechnung also:
Ell. G. Ell. G.
9 : 168 Z : x
72 : 168 z : x
also x 7.
4 . Wenn das erste und 2te Glied Brüche sind.
».) Man multiplicire den Zähler des um Bruches mit dem Nenner des 2ten , und den Zähler des 2ten mit dem Nenner des um Bruches, b.) Man lasse die Nenner weg.
D 4 - c.) Man

c.) Man verfahre wie im ersten Falle.
Z. B. Wenn z Ellen § Gulden kosten/ was kosten 7 Ellen? die Rechnung M also:
r : § mn: 7 : X Hier ist derZählek
18 : 2o 2^ 7 : x z nnt dem Nenner o also xn^ 7^ Gulden, und der Zähler 5"!!
dem Nenner 4 mB"
plicirt.
A. Wenn das ite und zte Glied Brüche sind.
a. ) Man multiplicire das 2te Glied mit dein Nenner des neu , und den Zähler des ^ steit Gliedes mit dem Nenner des ztc" Gliedes.
b. ) Man lasse die Nenner weg.
c. ) Man verfahre wie in dem ersten Falle. Z. B. Wenn ß Ellen 8 Gulden koste"/ was kosten; Ellen? Die Rechnung ste^ wie folgt:
Ell. G. Ell. Hier ist das Z : 8 ß : x Glied 8 mit dc>" 14 : 24 im 4 : x Nenner z , also x 22221:65 Ellen. der Zähler des rtt"
Gliedes 2 mit de>"
Nenner des zten Gliedes 7 mnltiplicirt.
6 . Wenn alle z Glieder Brüche sind. - s.) Man multiplicire den Zähler des itc" Bruches mit dem Nenner des 2ten / dieses Produkt multiplicire man noch dem Neitner des zten Bruches, h.) Die Nenner / mit denen man vorh^ multipliciret hat/ lasse man weg.
c.) Man

57
o.) Man multiplicire das 2te Glied mit dem Nenner des iten.
ä.) Man verfahre wie im ersten Falle. Z.B. Wenn ; Ellen ; Gulden kosten, was kosten § Ellen? Die Rechnung steht also:
EU. G. Cll. G.
2*4 > > » «5 * v »
U . 5 - ^ ^
70' : i2 — m 6 : x also x i;; Gulden.
Hier ist der Zähler 2 des ersten Bruches zuerst mit 5 multipliciret, sodann das Produkt io mit dem Nenner 7 des Zten Bruches. Dann ist das 2te Glied 4 mit dem Nenner z des ersten Bruches multiplicirt worden.
Anmerkung.
rtens: Wenn in dem ersten,, und zweyten, oder in dem ersten, und dritten Gliede die Nenner einander gleich sind, so kann man diese Nenner hinweglaffen, und sogleich wie im ersten Falle verfahren.
2tcns: Wenn in einem, oder mehreren Gliedern gemischte Brüche sind, so richte man dieselben ein, und verfahre mit den eingerichteten Brüchen, wie vorhin ist gelehrct worden. .
Ztcns: Wenn ein Glied aus Zahlen besteht, welche verschiedene Namen haben,, so resolvire man die Zahl von grösserem Namen, addire die Zahl von kiel- D 5 rierem

nerem Namen dazu, und verfahre übr^ - gens wie vorhin, so findet man die suchte Zahl, welche allemal den Nan^ des zweyten Gliedes hat.
r. Bei der umgekehrten Regel Detri.
>. In ganzen Zahlen.
1. ) Man multiplicire das rte Glied mit de>"
2ten.
2. ) Das Produkt aus dem nen, und 2te»
Gliede dividire man mit dem zten GliG so erhalt man das Verlangte. Z. A Wenn 4 Maurer in 5 Tagen ein ,
werk vollenden, in wieviel Tagen wcrd^ io Maurer das nämliche Stockwerks^ tig bringen? Die Rechnung steht also:
M. T. M. T.
4 : 5 10 : x
Weil dieses Exempel zur umgekehrt^ Regel Detri gehört, so ist das erste Gt^ , 4 mit dem 2ten 5 multiplicirt, und ^ Produkt 20 mit dem zten Gliede ro o> - vtdirt. . lo Maurer bringen also ^ t nämliche Stockwerk in 2 Tagen fertig» - b. Mit Brüchen. , ^
i.) Wenn ein Exempel, bei welchem BA ' che vorhanden sind, zur umgekehrten 9^ »
gel Detri gehöret, so sehe man das E - Glied an den Platz des zten, und da? ^
ztean den Platz des ersten. . ^ "
2.) Man schaffe die Brüche ab, wie bei der geraden Regel Detri. §
3. Man

:g^
.lncll
>er
- 5 -
8.) Man multiplicire die 2 mittleren Glieder miteinander, und dividire das Produkt davon durch das erste Glied / so erhält man die verlangte Zahl. Z. B. Wenn 7 Arbeiter in - Tagen ein Werk vollenden, in wieviel Tagen werden 8 Arbeiter das nämliche Werk verfertigen? Die Rechnung ist folgende:
Ä. T. A. T. Weil in diesem
7 : ; ^7^ 8 : x Exempel, welches
8 : ß 7 : x zurumgekehrtenRe-
56 : z 7 : x gel Detri gehöret,
an den zten, und das zte Glied an den nen Platz gesetzet worden, sodann ist der Bruch Z abgeschaffet worden. Da nun das Produkt der mittleren Glieder 21 kleiner ist, als das ne Glied 56, so ist die gesuchte Zahl ein Bruch, nämlich A oder
ZN'
W.
Merkung.
^nn sich nach abgeschaften Brüchen, sowohl ^ der geraden, als bei der umgekehrten Regel AEtri, das ite und 2te, oder das ite und zte ln ^ durch eine solche Zahl dividiern läßt , die Heiden aufgeht, so ersparet man eine grössere Implikation, oder Division, wenn man die. dachten Glieder durch eine solche Zahl vorher y^diret, eh man das 4te Glied suchet. Z. B. chen ö Arbeiter; Tage zu einem Werke brau- dei>! ^ ?"e viel Tage brauchen 20 Arbeiter zu atjh. tnlichen Werke? Dasteht die Rechnung
Mei,

A. T. A. T. Wenn man bei l 80!
6 : ; 22727 20 : x 4 2222 6 : x das erste
so : ; 22226 : x Glied i8o, und da»
180: 472226 : x zte Glied 6 durch ^
Zo : 4 222: i : x Zahl 6 dwidirt, "
IZ ;2^^I : X kömmt 30:422221
Dividirt man nun noch das ^ sie Glied 30, und das 2te4 durch 2, so köin^
IZ ; L 2722 I : X
L. probe.
Die Probe geschieht sowohl bei der gerade"/ als umgekehrten Regel Dem , wenn m"" die Sähe umkehrt. Z. B. 4 Centner kostet 6fl. was kosten 48 Cenmer?
C. G. C.
4 : 6 7222 48 : x
^0x22272 Gulden. ^
Nun kehrt man die Sätze um. Man sprA wenn 48 Centner 72 Gulden kosten, was^ sten 4 Eentner?'
C. G. C. G.
48 : 72 2222 4 : x
daher ist x 21222 6 Gulden.
Man sieht also, daß das 2te Glied wie^ zum Vorschein kömmt.
Bei der Probe von der umgekehrten^
Dttri verfährt man auf die nämliche Art.

80: Anwendung der Regel Detri auf die Zinses und andere im genreinen Leben vorkommende da- Rechnungen.
^ ^ Erklärung.
i cr< iBl
der/
»sie»
Wenn jemand einem andern eine Summe Geld leihet mit dieser Bedingung/ daß er ihm jährlich ein gewisses Geld dafür abtragt, welches man Zins, oder Interesse nennt, und nach bestimmter Zeit das geliehene Geld wieder zurückgibt: so-heißt die geliehene Summe Kapital, und den Zins von jedem roo nennet man ?ro Out». A. B. Peter leihet dem Anton iooo Gulden mit dieser Bedingung, daß ihm Anton von jedem 100 Gul. 4 Gulden jährlich bezahlen, und nach bestimmter Zeit die iooo Gul. wieder zurück geben soll, so sind die iooo Gu. das Kapital, und die 4 sind die kro Lento.
Beispiele.
Ein Kapital von 3861 Gul. ist zu 4 ?. e. angelegt, wie groß ist die jährliche Zinse davon?
Gu.K. G.Z. Gu.K. Gu.Z.
ISO : 4 Z8bi : X
3861
-der 4
loo ^ IZ444 j 154-!-iUoder 154-I-ri.. ^el ' vlglich ist X 154- j- Gulden Zinsen.
^ bin Kapital von 2710 Th. istzuz ?. L. angeleget, wie groß ist die jährliche Zinse da-
Th.

TH.K. TH.Z
TH.K. TH.Z.
Ivo : 5
20 : I
2710 : x
daher 135 -I- ; Th. Zinsen.
g. Ein Kapital von 463 2 Dukaten ist zu 3; ^ y angeleget, wie groß ist die jährliche Zinse von?
Duk.K. Duk.Z. Duk.K. Duk.A
100 : 3; 2222 4632 : x
100 : ^ 4632 : x
also geben 4632 Duk. K. 162;§ Duk Zinse.
4. Wie groß ist das Kapital, welches zu 4 ?> gerechnet 154 -j- ;;Gul. jährliche Zinse geb^ soll?
Gu.Z. Gu.K. Gu.Z. Gu.K.
4 : 10c» 2222 154-I-rs : X
4 : loo 7222 -, : X
100: 100 7-7223861 : x
I : I 22223861 : X
also X 2222 3861. das verlangte Kapital.
5. Wie groß ist ein Kapital, welches zu 5 angelegt 135? Th. Zinsegeben soll?
TH.Z. TH.K. TH.Z. TH.K.
e . » v
5 : 100 2222 135z : X
5 : ioo 2222 ^' : X
folglich x 2222 2710 Th. das verlangte KaM'
Wie groß muß ein Kapital seyn, wenn es A 3;- ?. C. an-ele-et 162 -j - ^ Dukaten soll?
D.^

6z
D.Z. D.K. D.Z. D.K.
3; : ioo mn: 162-!-^:
x
X
X
X
»5
*05»
: 200 77777
: 20c» 77777^
4632 Dukaten
7 . Wenn 15 Taglöhner in'5 Tagen einen gewissen Graben zu Stande bringen/ so ist die Frage/ wieviel Taglöl>ner werden erfordert) wenn ein eben so grosser Graben in 3 Tagen fertig werden soll?
T. Tagt. T. Tagl.
5 : 15 — 3 : x
3 : iZ — .5 : x x 77777 25 Taglöhner.
^ Wenn eine Wohnung monatlich zjG. kostet, so ist die Frage, wie hoch kömmt die nämliche Wohnung binnen 3 Jahren, 4 Monaten, 3 Wochen, und 6 Tagen zu stehen?
fl. I. M. W. T. r5 ->-L —3 -I- 4 3 -j-ü:x
Tage. Tage. fi.
30 : '^77777 1242 : x
x 7-777 227 fl. 42 kr.
Wieviel Siebnerwürfe machen 364 Sieben- iehnerwürfe? Man sehe folgende Proportion
an.
t-l. «n
r"
7 : 17 777^ 364 : X
den 364 »Siebenzehnerwürfe betragen also 884 Slebnerwürfe.
io. Wie-

b4
rs. Wieviel Siebenzehncrwürfe geben 8^ Siebnerwürfe: Mansche folgende Propo^ tion an:
17 : 7 884 : x
884 Siebnerwürfe betragen also 364 S>^, öenzehnerwürfc, welches zugleich zurP^ be des obigen Exempels dienet»
VonAuflösmm der zusammengesetzten^
gel Detri in die einfache»
Man versteht durch die zufammengiM Regel Detri diejenige, in welcher als 4, z. B. 5 Zahlen gegeben nA den, und die 6te gesucht wird. Z" Auflösung solcher Aufgaben gcschi^ durch die wiederholte einfache RE, - Detri. K. B. Wciur 402 Gulden ' 4 Jahren 8« Gulden Zins tragen / viel tragen 3000 Gulden in 8 Jatst^' rtens. 400 Gu. tragen 80 Gu. Zins, nä»' lich in 4 Jahren, welche Zahl diM nicht in die Rechinmg kömmt, wicvl tragen 3000 in der nämlichen Zeit? also:
Gu.K. Gu.Z. Gu.K.
80 ZOOS t X Die
80 Zo ; x der abL
zo : x kürzt.
400
4
i
20
X
X
v)
u
sv
üoo Gulden ist also der Zins vo zooo Gulden in der na>n chen Zeit.

65
2tens. In 4 Jahren trägt ein gewisses Kapital/ nämlich Zvoo Gulden / welche Zahl dießmal nicht in die Rechnung kömmt, 6oo Gulden Zins, wieviel trägt das nämliche Kapital in 8 Jahren?
Iah. Gul. Iah.
4 : 6oc> 8 : x
i : boo —^ 2 : x
i2oo soviel Zins bekömmt man in 8 Jahren.
Ein anderes Beispiel.
. . 6 Wägen mit Wein beladen kosten y Meilen M zu führen 72 Gulden : wie groß werden die Kosten se,^, wenn 27 Wägen 15 Meilen weis Men gefühxet werden?
y
i
G.
W.
72 —
27 : x
12 —
- 27 : X Z24fl. kosten
27 Wägen.
Gu.
Meil.
324
— iZ : x
r 36
15 : x
Meilen weit zu führen.
^on der Gesellschaftsregel, Regula Gocieraris. Die Gesellschaftsregel ist eine wiederhollte Anwendung der Regel Detri, indem man den Gewinn oder Verlurst eines jeden Gliedes der Gesellschaft, welcher mit der Einlage ein Verhältniß haben muß, suchet. Denn ^"e die ganze von allen zugleich zusammengelegte Summe sich verhalt jur Summe einet E je.

jeden, so verhält sich der allgemeine gaB ^ Gewinn oder Verlurst zun, besondern °
winn oder Verlurst eines jeden. Z. B. DE ^ " Kaufleute 6. L. tretten in eine Gesellschaft ^ ^ giebt 600, 6 looo, L. 1600 Gnlden. 8
Der allgemeine Gewinn ist 320 Gulden.
Z 20 O : Hoo Z 20 : X - 60 . l'
10 t 600 — I : X - bo. Gerollt
vom Ersten. d
8. 3200 : 1000 — 320 : x - 10 : iooo — i : x -
100. . ^ d
IOO. Gewn^
0 . Z 20 O : 160 S Z 20 : X
10 : 1600 n i : x
des Zweyten, y
160. ^
160 . Gewi»" ''
vom Dritten.
Von der Verbinduiirssregel, oder Ver^ ^ mischunsioreyel. ^
Der Gebrauch dieser Regel kömmt vor/ ^ ^ man Waaren von verschiedenem Werthe, a>§ verschiedenes Getraidc/ verschiedene Wei»^ u. d. g. unter einander mischet , und entwev^ den Werth der Mischung, oder wenn ^ ^
Werth der Mischung gegeben ist, das Maa? . jener Gattungen , die in die Mischung ko»n .^ men sollen, finden will. . ^
Diese sind die zwey vorzügliche Fälle/ a^' welche sich die Anwendung dieser Regel bezieh'' ^
Erster Fall. ^.
1 Scheffel Weihens wird mit i Scl^n,' Rockens vermischet; der Scheffel Weihens kojle»
7 Gut-

67
^ Dulden / der Scheffel Rockens z Gulden: wie se? viel wird ein Scheffel des vermischten Getraides rverth sc»,,?
ab' Man addire erstlich die in die Mischung geil"' d> ^ Gattungen; im gegenwärtigen Falle ist l Summe 2»
g. Man addire zweytens die Werthe der beyden j„n Ölungen; die Summe ist 12.
Endlich dividire man die letztere Summe durch ' berste. 12:2-6.
in»
1.
lli»
1.
d'
>e/
)ck
)cr
.'ß
,11^
ll's
l)t.
f-l
ict
^Gulden ist also der Werth des Scheffels
Aninerk. Wenn die gegebenen Gattungen bloße Einheiten sind, so muß jede mit ihrem fg.^th multiplicier werden. Das übrige Ver- ^en ist ^m vorigen ganz gleich, sweyrer Fall.
1, ..Wenn aus 10 und iz löthigen Silber ein E'^higeswerden soll, so sehet man den mittlern w.i>s) der Mischung und die Werthe der zu ver- "Ichende,1 Sachen also:
iz 15 Darauf nehme man die Unter- 10 scheide zwischen dem Werthe eines jeden Silbers, das hier in die "Ichung kömmt / und dem Werthe der Mischung, deun ?^se Unterscheide sehe man verwechselt an; in ? ^ ?esehet sind sie die Masse, welche von den inüss Vermischung zu gebrauchenden Gattungen genvnnnrn werden.
io
10
1Z -- iz
3 vondennz löthigen. 2 von dem i c> löthigen.
ENDE.

Das Einmaleins.
i mal
i
ist
i
L'mal
2
ist
4
2 mal
3
ist
b
2 mal
4
ist
8
2 mal
5
ist
iv
2 mal
ü
ist
12
2 mal
7
ist
14
2 mal
8
ist
16
2 mal
9
ist
18
2 mal
10
ist
20
V
3 mal
3
ist
9
N
3 mal
4
ist
12
3 mal
5
ist
15
3 mal
ü
ist
i8
3 mal
7
ist
21
3 mal
8
ist
24
3 mal
9
ist
27
3 mal
10
ist
30
D
4 mal
4
ist
IÜ
K
4 mal
5
ist
20
vv
4 mal
6
ist
24
4 mal
7
ist
28
4 mal
8
ist
32
4 mal
9
ist
36
8
4 mal rs
ist
40
L)
mal
mal
mal
mal
mal
mal
5 ist
6 ist
7 ist
8 ist
9 ist io ist
6
mal
6
ist
6
mal
7
ist
6
mal
8
ist
b
mal
9
ist
6
mal
iv
ist
7
mal
7
ist
7
mal
8
ist
7
mal
9
ist
7
mal
10
ist ^
8
mal
8
ist
8
mal
9
ist
8
mal
10
ist -
9
mal
9
-st
9
mal
10 ist
ic>
mal
10
ist
10
mal
ISO
ist i
25
3 °
3i
4-,
45
5 "
36
4-
48
54
6<>
5§'
65'
so
8 -