GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.Quadrature de l'hyperbole*

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4.16. Supposons d’abord l’hyperbole équilatère, et sa puis-sance égale à l’unité; l’équation de celte courbe, rapportée à sesasymptotes sera

xy=i.

Prenons (fig. 175) une abscisse AC=i et une abscisse quelconqueAP = x : puis proposons-nous d’évaluer l’aire BCPM, compriseentre l’hyperbole, l’asymptote et les ordonnées CB, PM.

Divisons CP en un nombre quelconque de parties (elles ne sontpas supposées égalés) ; élevons auxpoints de division les ordonnéesC'B', C"B",... et formons les rectangles CBDC', C'B'D'C",... Sion fait la somme de tous ces rectangles, la limite de cette sommesera l’aire demandée : c’est-à-dire que si les intervalles CC', C'C",...se resserrent indéfiniment jusqu’à devenir nuis, ce qui exige queleur nombre augmente jusqu’à l’infini, la somme des rectanglesdécroîtra en se rapprochant de plus en plus de l’aire hyperboliqueBCPM, à laquelle elle finit par être égale. C’est donc celte limitequ’il s’agit de découvrir.

Les abscisses.AC , AC.', AC", AC'",... AP,

étant désignées par. 1, x ', x", x"',... x,

les ordonnées sont. 1, , —„,

x x x x

donc rectangle CBDC'= CC' X C® — {x '— 1) X 1 = •*' — 1,

rectangle C'B'D'C" = C'C"XC'B' = (x"-x')X^>=^ — 1,

rectangle G"B"D"C"'=C"C'"XC"B"= (x'"—x") X^,=Ç— 1,ainsi de suite.

La loi selon laquelle les points C', C",... ont été espacés esttout-à-fait arbitraire; ainsi on peut prendre les abscisses 1, x' ,x ",...en progression géométrique. Le premier terme étant 1, la raisonsera x ’, et on aura x"— x '*, x"'=x' 3 , etc.; de sorte que si n estle nombre des intervalles entre C et P, la dernière abscisse serax =x ' n . Alors tous les rectangles sont égaux à x '— 1.

Si 011 ajoute d’abord les deux premiers rectangles, ensuite lestrois premiers, puis les quatre premiers, et toujours de môme, les