GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 387

Menons encore l’ordonnée M'P' et la tangente MT". En cal-culant semblablement, au moyen (le p', la sous-tangente PT", eten l’ajoutant à p', on aura une troisième valeur approchée. Cettevaleur servira à en déterminer une quatrième ; et ainsi de suite.

Le lecteur a sans doute déjà reconnu, dans ce procédé d’ap-proximation, la mèlhode de Newton. Dans le cas de la fig. 228,on voit que les pieds P',P",... des tangentes s’éloignent de plusen plus du point R ; et par conséquent alors le procédé est dé-fectueux. Mais si, comme dans la fig. 227, les ordonnées sontdécroissantes depuis le point M jusqu’en R; et si dans cet inter-valle la courbe demeure toujours convexe vers PR, il est évidentque les pieds P', P',... s’approchent de plus en plus du point R,et que les calculs précédens donnent en effet des valeurs de plusen plus exactes. Cependant, même alors, on pourrait craindreencore que les pieds des tangentes, quoique se rapprochant con-tinuellement de R, ne pussent pas dépasser une certaine limitedistincte du point R.

5oi. Au lieu des tangentes on pourrait employer les cordes, etvoici comment. Après avoir trouvé par un moyen quelconque quep et p' sont deux quantités qui, substituées dans f(x), donnent desrésultats de signes contraires, et qui ne comprennent entre ellesqu’une seule racine, prenez (fig. 229) AP = p et AP ’=p’; et. soient les ordonnées correspondantes MP = f{p) et MT'=/(p').Menez la corde MM' qui coupe PP' en P", calculez PP " au moyendes triangles semblables, puis ajoutez le résultat avec AP ou p :vous connaîtrez ainsi AP", que je désignerai par p".

Alors vous chercherez si le point P" est situé du côté RP ou ducôté RP' : il suffit pour cela de substituer p"dans f{x ) et d’exami-ner le signe du résultat. Supposons-le négatif, on sera sûr que laracine AR est comprise entre AP et AP". Ces limites sont plusrapprochées que AP et AP' ; et en continuant l’emploi du mêmeprocédé on obtiendra des limites de plus en plus resserrées.

Ce procédé n’est point non plus exempt d’imperfections, maisce n’est pas ici le lieu de le discuter : notre objet était seulementde faire remarquer les secours que la Géométrie peut prêter àl’analyse.