GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 413

à deux, représenter cette ligne. On fait disparaître cette indéterminationen choisissant, pour les deux surfaces, des cylindres parallèles à deuxdes axes de coordonnées. Si le premier cylindre est parallèle à la lignedes y, son équation ne contiendra point y (538), et si le second est paral-lèle à la ligne des x, son équation ne contiendra - point x ; par conséquent,en désignant par F(x,z) une fonction de x et de z sans y, et par F,(y,z)une fonction de y et de * sans x, on peut prendre, pour les équationsd’une ligne quelconque,

[i] F(x,z) = o, [a] F,(y,z) = o.

54i• Soit AB (flg. 14 ) la ligne dont il s’agit. Si, par tous les pointsM, M',... de AB, on mène des parallèles à Oy, les points m, m ',..., oùelles rencontrent le plan xOz, sont les projections des points M, M’,... ;la ligne A'B', qui est le lieu de toutes ces projections, est la projection dela ligne AB; et le cylindre ABB'A' se nomme cylindre projetant. Il estévident que l’équation [ 1 ] doit être celle de ce cylindre; et, en la res-treignant aux seuls points du plan xOz, elle donne la projection A'B'.Pareillement, l’équation [a], restreinte aux seuls points situés dans leplan yOz, donne la projection de AB sur ce plan. On voit donc que leséquations [ 1 ] et [a] peuvent aussi être considérées comme celles des pro-jections d’une ligne sur les plans de xz et deyz.

Si on élimine z entre [ 1 ] et [a], on trouve une équation en x et y quidoit appartenir à la même ligne AB. Cette équation est celle d’un cy-lindre parallèle aux z,- et en la restreignant aux seuls points du planxOy, elle représente la projection de AB sur ce plan.

54a. En général, si les équations d’une ligne donnée sont

F(yy,*)=o, F,(x,y,z) = o,

l’élimination d’une coordonnée, dey, par exemple, conduit à une équa-tion qui représente une surface cylindrique, parallèle à cette coordonnée ;et, comme cette surface doit contenir la ligne donnée, il s’ensuit que sonéquation, appliquée aux seuls points du plan de xz, détermine sur ceplan une ligne qui est précisément la projection de la ligne donnée.

Donc, si on élimine alternativement chaque coordonnée à son tour, onobtiendra les projections de la courbe sur les trois plans coordonnés.

Équation du plan.

543. Je vais démontrer, d’abord, que l’équation du premier degré,entre les coordonnées x, y, z, représente toujours un plan; et, à ceteffet, je suivrai la marche déjà employée, n° 537, pour prouver qu’uneéquation détermine une surface.

Soit l’équation générale

[A] Ax-j-By+Cz-(-D = o.

Je fais d’abordy=o; et il vientAx "4" Ci 4“ U —* o,

A D

ou 2 = _ c -x- lr .