470 TROISIÈME PARTIE,

donc, pour la pyramide OFGH, on a

O FGH = f PQR. (a'+ s "4. z 1 ") + a OPQ. [z'+ z") - } O PR. (z'+z")

—fOQR.(z"+z'")

=}z'(PQR+OPQ - OPR) +i*"(PQR+OPQ — OQR)+ï*'"(PQR — OPR— OQR).

L’inspection de la figure suffit pour indiquer les réductions, et il vientOFGH = \zf. OQR + \z". OPR — 4 z ”'. OPQ.

Mais on aperçoit facilement, sur la figure, que

OQR = i[x"' r ' x "y"— (y'4-y"') (*'"_*»)] = Xfx"y“'— r "x n '),

opr =K*'r , +(y+r l ") *')— *"V"] — ky x "'— <r'").

OPQ — \[*y+ (/+/")( *" — x>) — x" y" ] = i( fx" — x'y" ).

En substituant ces valeurs dans OFFH, et multipliant par 6 pour avoir V,on trouve, tout calcul fait,

v=x'y"z"'— x'z’y'y z'xy"'—yx"z"'+y'z i ’x"'—z'j il x 11 '.

Enfin, remplaçons x',y, z',... par leurs valeurs ( 644 ), il vient

V= a'iV y'y"—cLy'yy^y'x"—^'y'’yyx'^—y^ a . n ) ;

et, à cause de la dernière équation [6],

V =: abc ,

résultat conforme à l’énoncé. (*)

647. Dans les paraboloïdes, tous les diamètres sont parallèles entreeux ; par conséquent, il ne faut pas chercher dans ces surfaces un systèmede trois diamètres conjugués. D’ailleurs, s’il en existait, on pourraitmettre l’équation de ces surfaces sous la forme

Par 3 +Py+PV=Hi

et, par cela même, elles auraient un centre, ce qui est impossible. Maison peut trouver une infinité de plans diamétraux conjugués deux à deux,c’est-à-dire tels que les cordes divisées en parties égales par l’un d’euxsoient parallèles à l’autre. En effet, d’après ce qui a été dit n»» 601 êt

(*) Les travaux de M. Chasles ont ajouté aux surfaces du second ordre plu-sieurs propositions nouvelles, qui méritent d’étre remarquées à cause de leurgraude généralité. J'indiquerai ici seulement la suivante, dont je supprime la dé-monstration.

Si l’on a deux surfaces du second ordre concentriques , la somme des carrés detrois diamètres conjugués quelconques de la première surface , divisés respectivementpar les carrés des trois diamètres de la seconde surface compris sur les directions deces trois diamètres conjugués , est constante.

En prenant une sphère pour la deuxième surface, on retrouve le théorème dun° 64a.

Le lecteur qui voudrait counaltre les ingénieuses recherches de M. Chaslesdoit consulter la Correspondance sur VKcole Polytechnique de M. Hachette, lesAnriales de M. Gergohhe , la Correspondance mathématique et physique de M. Que

TELET.