DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 193

F irésenter rien moins qu’une solution complète du problème de'intégration en général , n’ait pas été plus cultivée , et queson auteur soit le seul qui ait marché dans cette route. On aparlé avec éloge de cette méthode, comme d’un des plus puis-sans efforts de génie analytique, et de courage à dévorer descalculs rebutans par leur complication et leur prolixité ; maispersonne ne l’a suivi dans la route qu’il a ouverte. Il y restetant d’épines, et à dire vrai, Fontaine se mit toujours si peuen peine de les écarter pour ceux qui viendroient après lui,que personne n’a eu , ce semble, le courage d’entreprendre lestables que sa méthode exigeroit. II paroît même qu’on est au-jourd’hui persuadé qu’il en est de cette méthode comme decelle qu’il a donnée pour la résolution générale des équations ;méthode qui, au premier abord, promet les plus grands succès ,mais qui ne fait que changer la difficulté en une autre du memedegré. J’ai beaucoup craint pendant un temps de me tromperdans ce jugement; mais j’ai vu depuis, par le nouveau Traitédu calcul intégral, du cit. Lacroix , que sa manière de pensersur cet objet est à peu près semblable.

Malgré la longueur déjà considérable de cet article , il n’apoint encore été question d’une théorie intéressante et essen-tielle dans le sujet que nous traitons ; c’est celle des intégralescomplètes , générales et particulières , sans laquelle on n’auroit

3 ue des solutions imparfaites des questions que ces intégralesevraient résoudre. Nous allons donc donner ici une idée decette théorie.

On a déjà vu que lorsqu’on différencie une équation finie,composée de tant de variables qu’on voudra , et d’une cons-tante , cette différentiation fait disparoître la constante , en sorteque l’on n’a l’intégrale complète d’une différentielle du premierordre , qu’en y ajoutant une constante qui se détermine par lesconditions du problème. Il en est de même lorsqu’on différencieune première différentielle, où celle d’une des variables , commedx , est constante j ce qui est ordinaire : car alors ddx étant= o , le terme bddx , provenant de sa différentiation de bdxest nul, et la constante b disparaît. Il en sera de même d’unetroisième constante, lorsqu’on passera à une troisième différen-tiation. Supposons , pour plus de clarté, la fonction z -=xax^H- bx 1 ex -t- d. La première différentiation donneradz = '6ax*dx -+- 2 bx dx cdx , la seconde produira ddz= 6axdx* ibdx’ 1 . La troisième donnera d'z = 6adx 3 ,et enfin, la quatrième réduira le tout à d*z = o. Ainsi voilàsuccessivement toutes les constantes de l’équation disparues, etdire que la quatrième intégrale de </ 4 z est z seroit une grossièreerreur ; ce n’en seroit qu’une intégrale très-incomplète. AyantTome 111. B b