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116. Kapitel.

Curvengleichungen. Die eine Gleichung kann als Vereinigung vonv Geraden gedacht werden, d. h. ihre Gleichung als ('»/ —f— a; —(— Z> x )• (y + «2 x + b 2 ) • • • (y + a„x -f b t ) = 0, wobei es genügt, , a. 2 ,■ • • und b l} h,, • ■ • b t so zu wählen, dass a t a 2 -f- • • ■ -f- a, = «,by b. 2 -{- ■ • • -)- b„ = b werde. Es steht des Weiteren nichts im

Wege iiy = ci 2 = • • • = a„ — —, by = b. 2 = • • • = b c = ^ zu wählen,

so dass die v Geraden zusammenfallend die Gleichung ^-) =0

erhalten und mit der Ordinate PS, die zur Abscisse AP gehört,nur einen Durchschnittspunkt S besitzen. Alsdann ist SAI -f- Sm-f- -)-••• = 0 und die t’-fache Gerade ist ein Durchmesser derCurve 1 ; in dem von Newton diesem Worte beigelegten Sinne(S. 405). Da aber jede Curve v' en Grades, wenn sie nicht von vornherein eine Gleichung mit den Anfangsgliedern rf -)- (ax -j- b)y’~ lbesitzt, durch Drehung der Coordinatenaxen zu einer solchen gelangenkann 2 ), so hat jede algebraische Curve geradlinige Durch-messer. Wie das zweithöchste Glied der Gleichung y r (ax-{-l>)i/~ l-f- ( cx 2 + dx + -f- • • • = 0 durch seinen Coefficienten die ent-

gegengesetzte Summe der Wurzeln darbietet, so steht der Coefficientvon if — 2 in Beziehung zu der Summe der Producte der Wurzeln zuje zweien u. s. w., und daraus folgen Sätze über sogenannte krumm-linige Durchmesser. Die in der Ueberschrift des G. Kapitels ge-nannten Gegen durclimesser stellen einen von Bragelongne ein-geführten Begriff dar 3 ), der sich aber in der Geometrie nicht zuerhalten wusste, und dessen Erörterung wir unterlassen. Als Mittel-punkt 4 ) wird in vollständigem Anschluss an De Gua (’S. 768) der Punktbezeichnet, von dem aus nach allen Richtungen symmetrisch gelegeneCurvenpunkte zu erkennen sind.

Das 7. Kapitel, Bestimmung der grössten Glieder einerGleichung; Grundzüge der Methode der Reihen, soll denUebergang zur Beschäftigung mit den unendlichen Aesten der Curvenbilden. In einem unendlich fernen Punkte überwiegen diejenigenGlieder, welche höhere Potenzen einer unendlichgrossen Strecke ent-halten, gegen andere, und diese letzteren dürfen vernachlässigt werden.Das ist ungemein einfach, wenn nur eine Grösse, etwa x, unendlich-gross wird, aber wenn zwei Veränderliche x und y Vorkommen, vondenen man zum voraus, namentlich bei vielgliedrigen Gleichungen,nicht weiss, ob sie beide unendlichgross werden, und, wenn das derFall sein sollte, welche Ordnung der Unendlichkeit jede erreicht, ist

’) Cramer, Introduction ä Vanalyse des lignes courbes pag. 131—134.*) Ebenda pag. 134—135. 3 ) Ebenda pag. 141. 4 ) Ebenda pag. 144.