) 1
emllich dy = xdu -f- udx, dz = xdt -+- tdx, so geht 3Idx -f- Xdy-j- Pds = 0 über in x"‘dx(P -f- Gu -f- Ht) -+- x m+l Gdu -f-
x"‘+ l Hdt = 0 beziehungsweise in — -(- -f'-f-— 0 mit so-
weit getrennten Veränderlichen, dass die Integration bezüglich xsofort vollzogen werden kann, ohne dass es eines weiteren integriren-den Factors bedürfte. Dabei bleibt aber Clairaut nicht stehen. Erfragt, welcher integrirende Factor « es war, der die Umwandlung
von 31 dx + Xdy + Vdz = 0 in dx 4- + = 0 bewirkt
habe? Unmittelbar zeigt sich u =lässt sich auch schreiben u
■’-j- Gu -)- Itt1
x
,m+]
(F + Gu + Ht)
Aber dafür
x ■ x m F -f- xu ■ x m G -f- xt ■ x m lloder die neue keines integrierenden Factors mehr be-
Mdx + Ndy+ Pdz
= 0. Clairaut
x M -f- y N -(- z P
dürftige Differentialgleichung ist —Vai-J -Ny + Pz
ist damit der Erfinder der in spätere Lehrbücher übergegangenenMethode, die Integration der homogenen Differential-gleichungen als ein Beispiel für die Benutzung eines inte-grirenden Factors zu behandeln. Clairaut zieht noch eine letzteFolgerung. Wenn x”‘dx (F + Gu -f- Ht) -(- x m + 1 Gdu -f- x m + 1 IIdt
v m 1
= 0 integrirbar sein soll, so muss ^ - (F -j- Gu -f- Ht) = const.
das Integral sein, ohne dass weitere Functionen von t und u hinzu-träten, weil sonst bei rückwärts vollzogener Differentiation in derDifferentialgleichung Glieder Vorkommen müssten, welche keinerleiFactor x enthielten. Wird sowohl in der Differentialgleichung als
in ihrem Integrale u = ^ , t — — u. s. w. gesetzt, so zeigt sich
0, in-
—- — (p a ls Integral von Mdx -f- Xdy -j- Pdz —
sofern 31, N, P homogene Functionen m ttn Grades von x, y, z sind,<p also ebenfalls homogene Function vom Grade m -}- 1 ist. Ist aber
3Idx + Xdy + Pdz — dtp, so bedeutet dieses, es sei31 x -)- Ny -(- l’z
N=~— P = ¥,
cy’ cz’
Ccp , GW , GW
x ~ + y s 2 - + z -X-
Cx cy cz
m -(- 1
31-
= 9
Ccpcx '•
und
m -j- 1
mithin (m 4- 1) cp = x XX + y -I- z ■ Das ist aber Euler’sv 1 ' r cx 1 J cy 1 cz
Satz von den homogenen Functionen. Clairaut erkennt, wiewir (S. 734) gesagt haben, in einer Fussnote Euler’s Erfinderrechteoffen an, betont aber zugleich, auch Fontaine habe unabhängig vonEuler, dessen Arbeiten über diesen Gegenstand er nicht kennenkonnte, den Satz entdeckt.