•*&»?** wmf Wß-4K...- M V"l .^isawsäg 4 * '- * •' ***£ |j|FaS'SC5'S'S\S\S\SV5'S\SS^\5'S\5'S'S'S\S'SSj§jl Legat von Herrn Prof. Dr. ß. Wolf. ts'Xm*» i'M wßr ÄM ?-V \ j '■ ^ ’-v' - Y \ % ^XSölfff \ Ja - '"fii* V rv» V f 4 , '' ^ ^ ^ £ v t ^ , 1 t 4 -T' 4, ?£^ ' i,.» 4 ENCYKL0PA5DIE DER NATDRWISSEH SCHAFTE N HERAUSGEGEBEN VON Prof. Dr. G. JÄGER, Prof. Dr. A. KENNGOTT, Prof. Dr. LADENBURG, Prof. Dr. von OPPOLZER, Prof. Dr. SCHENK, Geh. Schulrath Dr. SCHLÖMILCH, Prof. Dr. G. C. WITTSTEIN, Prof. Dr. von ZECH. I. ABTHEILUNG. II. THEIL: HANDBUCH DER MATHEMATIK HERAUSGEGEBEN VON Geh. Schulrath Dr. SCHLÖMILCH. BRESLAU, VERLAG VON EDUARD TREWENDT. 1880. HANDBUCH DER MATHEMATIK HERAUSGEGEBEN VON Geh. Schulrath Dr. SCHLÖMILCH UNTER MITWIRKUNG . VON Dr. R'EIDT und Prof. Dr. HEGER. MIT 345 HOLZSCHNITTEN UND XII LITHOGRAPHISCHEN TAFELN. ERSTER BAND. BRESLAU, VERLAG VON EDUARD TREWENDT. 1880. Das Recht der Uebersetzung bleibt Vorbehalten, VORWORT. W enn die »Encyklopmdie der Naturwissenschaften« mit einer der reinen Mathematik gewidmeten Abtheilung beginnt, so hat dies seinen guten Grund darin, dass jede Naturwissenschaft, welche nicht bloss beobachten und experimentiren sondern Naturgesetze erkennen will, die Hülfe der Mathematik nicht entbehren kann. Dies erklärt sich sehr einfach; denn ein Naturgesetz ist die Regel, nach welcher eine bestimmte Klasse von Naturerscheinungen vor sich geht; aber jeder Naturprocess erfolgt irgendwo d. h. an einer oder mehreren Stellen des Raumes, er hat seinen bestimmten Verlauf in der Zeit, er kann endlich mit grösserer oder geringerer Intensität d. h. mit gradweiser Verschiedenheit auftreten — es ist daher ohne Weiteres einleuchtend, dass man ein Naturgesetz nicht einmal präcis aussprechen geschweige denn verstehen kann, ohne von den mathematischen Bestimmungen räumlicher, zeitlicher und graduell verschiedener Grössen Gebrauch zu machen. Aus demselben Grunde besitzen schon die einfachsten Definitionen der Physik einen mathematischen Charakter (Dichtigkeit z. B. ist das Verhältniss der Masse zu deren Volumen), der sich bei eigentlichen Naturgesetzen zu mathematischen Formeln steigert (beim freien Falle eines Körpers z. B. wächst der durchlaufene Weg proportional dem Quadrate der verflossenen Zeit.) Was nun die vorliegende Darstellung der Mathematik betrifft, so kann S T gegenüber der kolossalen Ausdehnung der Wissenschaft, selbstverständlich keine erschöpfende sein, wol aber soll sie den Leser so weit führen, dass er eine ganze Reihe von Hauptwerken über Astronomie, Mechanik, Physik und Ingenieurwissenschaften lesen und sich nötigenfalls weiter helfen kann. Das Ganze zerfällt in zwei Haupttheile, deren erster die niedere Mathematik (Arithmetik und Algebra, Planimetrie, Stereometrie, Projectionslehre und Trigonometrie), und deren zweiter die höhere Mathematik (Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes, Differentialrechnung, Integralrechnung VI Vorwort. und einen Abriss der Wahrscheinlichkeitsrechnung) umfasst. Der erste Theil ist gewissermaassen die Formenlehre, der zweite die Syntax der mathematischen Sprache; der erste bindet allerdings den Studirenden an gewisse Formen, die nun einmal gelernt werden müssen, der zweite gewährt die freie Beweglichkeit, welche auf eigene Entdeckungen ausgehen kann. Liesse sich jener elementare Theil in demselben jugendlichen Alter absolviren, in welchem man das Decliniren und Conjugiren lernt, so würde das Vorurtheil, dass die Mathematik eine trockene Wissenschaft sei, sehr bald in das Gegentheil Umschlagen. Vielleicht dient aber die vorliegende Darstellung dazu, um in weiteren Kreisen das Interesse für eine Wissenschaft zu verbreiten, die sich rühmen darf, nicht nur absolute Wahrheit zu liefern, sondern auch die Sprache zu verstehen, welche die Natur zu uns redet. Dresden, 1879. Schlömilch. 4 Inhaltsverzeichnis. Arithmetik und Algebra bearbeitet von Dr. F. Reidt in Hamm. Seite Einleitung . . . . :. i I. Abschnitt. Die sieben Grundoperationen. Kap. I. Addition und Subtraction. 3 ,, II. Multiplication und Division. 12 Anhang I. Maas der Zahlen . 26 Anhang II. Die Decimalbrüche.34 Kap. HL Potenzirung. 47 „ IV. Vom Radiciren . 51 „ V. Vom Logarithmiren. 71 II. Abschnitt. Die Gleichungen. ,, VI. Von den Gleichungen überhaupt und den Bestimmungs-Gleichungen ersten Grades insbesondere.79 „ VII. Die Auflösung der Gleichungen zweiten Grades . . . 89 „ VIII. Gleichungen dritten und vierten Grades.97 Anhang III. Die Proportionen .. 105 III. Abschnitt. Elemente der Combinatorik, der Theorie der Reihen, u. s. w. Kap. IX. Die Elemente der Combinationslehre.III „ X. Von den Reihen.131 „ XI. Elemente der Theorie der Determinanten.145 Planimetrie bearbeitet von Dr. F. Reidt in Hamm. Die Grundbegriffe.167 Kap. I. Die Grundgebilde und ihre Eigenschaften. 170 „ II. Die Congruenz. 180 „ III. Vom Messen und dem Flächeninhalt geradliniger Figuren.225 v IV. Von der Aehnlichkeit geradliniger Figuren .265 „ V. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 'Winl^lmessung. Berechnung des Umfangs und des Inhalts von Kreisen .288 „ VI. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben.309 Anhang. Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks.344 Kap.VII. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie.35 2 VIII Inhaltsverzeichniss. Stereometrie bearbeitet von Dr. F. Reiht in Hamm. g eite Einleitung.385 I. Abschnitt. Verbindungen von Geraden oder Ebenen. Kap. I. Verbindung einer Ebene mit Geraden.387 „ II. Verbindung einer Ebene mit einer anderen Ebene.393 II. Abschnitt. Von den Körpern. ,, HI. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben . . 416 Anhang zum Kap. III. Der Euler’sche Satz .441 Kap.IV. Die Berechnung der Oberflächen der Körper.442 „ V. Die Berechnung der Rauminhalte der Körper.452 Trigonometrie bearbeitet von Dr. F. Reidt in Hamm. Einleitung.472 I. Abschnitt. Goniometrie. Kap. I. Die Bestimmung der Winkel.473 ,, II. Berechnung und Gebrauch der trigonometrischen Tafeln.488 II. Abschnitt. Ebene Trigonometrie. „ HI. Das rechtwinkelige Dreieck.492 ,, IV. Das allgemeine Dreieck.496 IH. Abschnitt. Sphärische Trigonometrie. Vorbemerkung.505 Kap. V. Rechtwinkelige sphärische Dreiecke.506 „ VI. Das allgemeine sphärische Dreieck.513 Anhang I, zum I. Abschnitt. Die Auflösung trigonometrischer Bestimmungs-Gleichungen 524 Anhang H, zum zweiten Abschnitt. Berechnung anderweiter Stücke des Dreiecks . . . 531 Anhang HI, zum HI. Abschnitt. Polygonometrie .535 Darstellende Geometrie bearbeitet von Dr. Richard Heger, Gymnasiallehrer u. a. o. Hon.-Professor am Köngl. Polytechnikum zu Dresden. § 1. Einleitung. Der Punkt.545 § 2. Die Gerade.549 § 3. Die Ebene und geradlinige Figuren.552 § 4. Die Projection des Kreises.562 § 5. Durchschnitt einer Ebene mit Ebenen und Geraden.572 § 6. Die dreiseitige Ecke, die reguläre Ecke und die regulären Polyeder . . .' . . 580 § 7. Das Prisma und die Pyramide.589 § 8. Der Rotationscylinder.599 § 9. Die Kugel.612 § 10. Der Rotationskegel .619 § 11. Axonometrie.643 § 12. Centralprojection.651 § 13. Schattenconstruction und Helligkeit.656 Arithmetik und Algebra. Bearbeitet von D r. F. R e i d t in Hamm. Einleitung. D er Aufgabe, die Lehren der Elementar-Mathematik in einer für den Selbstunterricht geeigneten Weise zu entwickeln, kann nur dadurch genügt werden, dass die Forderung wissenschaftlicher Strenge und Eleganz’ nicht zur alleinigen Richtschnur gemacht, sondern daneben auch der leichten Verständlichkeit ein erheblicher Einfluss auf die Darstellungsweise eingeräumt wird. Deshalb war es nöthig, in dem vorliegenden Theil der »Encyklopädie«, welcher die ersten Anfänge mathematischen Wissens mittheilen soll, einen Gang einzuschlagen, welcher demjenigen des praktischen Schulunterrichts ähnlich ist, und vor Allem das Prinzip des Fortschritts vom Besonderen zum Allgemeinen an die Spitze zu stellen. Erst nachdem auf diesem Wege eine gewisse Summe mathematischer Kenntnisse und vor Allem ein bestimmter Grad des Verständnisses und der Uebung in der Behandlung mathematischer Gegenstände erreicht worden ist, darf jene Art der Darstellung Platz greifen, welche von den allgemeineren, die besonderen Fälle einschliessenden Gesetzen ausgeht und in der Form allein die Forderung wissenschaftlicher Eleganz stellt, ohne nöthig zu haben auf die durch diese Form nicht selten beeinträchtigte Erleichterung des Verständnisses für den Lernenden Rücksicht zu nehmen. So ist beispielsweise aus dem angeführten Grunde in der Geometrie darauf verzichtet worden, von Anfang an die allgemeineren Anschauungen und Untersuchungsweisen der neueren (synthetischen) Geometrie einzuführen, obgleich dies in jüngster Zeit vielfach selbst für den elementaren Schulunterricht verlangt worden ist. Verfasser ist der Ansicht, dass dadurch in der Praxis eher geschadet, als ein Gewinn erzielt wird,' und dass erst ein auf den durch die ältere Methode geschaffenen Unterbau gegründetes weiteres Studium zu reifem Verständniss allgemeinerer Untersuchungen und Methoden führt. Die Behandlung der sogenannten neueren Geometrie selbst lag ausserhalb des Rahmens dieser Schrift, doch sind im Anschluss an die Planimetrie die einfachsten Lehren derselben in analoger Behandlungsweise mit jener mitgetheilt worden, um wenigstens einen vorläufigen Einblick in dieselbe und eine Vorbereitung für ein besonderes Studium einschlägiger Schriften zu bieten und ausser-, SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. I. I 2 Arithmetik und Algebra. dem eine Bezugnahme darauf bei entsprechenden analytisch-geometrischen Untersuchungen zu ermöglichen. In der Arithmetik und Algebra ist in Betreff des Uebungsmaterials auf verbreitete Aufgaben-Sammlungen verwiesen worden, da eine umfangreiche Mittheilung solchen Materials zuviel Raum erfordert haben würde. Durch wiederholtes Setzen einer Einheit, d. i. durch Zählen oder Numeriren, erhält man die Reihe der natürlichen Zahlen: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .... , welche ohne Ende fortschreitet. Eine solche Zahl ist also ein zusammenfassender Ausdruck für eine bestimmte Menge (Anzahl) gleichartiger Einheiten. Jede folgende Zahl der natürlichen Zahlenreihe ist um eine Einheit grösser als die nächst vorhergehende. Durch Verbindung zweier oder mehrerer Zahlen nach bestimmten Gesetzen, d. i. durch Rechnen, lassen sich aus jenen andere Zahlen ableiten, welche zu ihnen in einer vorgeschriebenen Beziehung stehen. Von solchen Verbindungsweisen soll im Folgenden näher gehandelt werden. Neben den — hier als bekannt vorausgesetzten — bestimmten Zahlzeichen (Ziffern und deren Verbindungen) bedient man sich zur Bezeichnung von Zahlen auch der Buchstaben. Es geschieht dies, wenn von einem bestimmten Werth der Zahl abgesehen werden, es also gestattet sein soll, sich unter dem gebrauchten Zeichen jede beliebige bestimmte Zahl vorzustellen. Dieser Gebrauch der Buchstaben findet namentlich zu dem Zwecke statt, die allgemeinen Regeln und Gesetze des Rechnens darzustellen, welche für alle Zahlen, ohne Rücksicht auf besondere Werthe, Geltung haben. Innerhalb derselben Rechnung ist dabei unter einem und demselben Buchstaben stets dieselbe Zahl zu denken, wenngleich, wie bemerkt, unbestimmt gelassen wird, welches ihr Werth ist. Ausserdem gebraucht man die Buchstaben zur Bezeichnung solcher Zahlen, deren Werthe zwar nicht unbestimmt, aber unbekannt sind, also z. B. der gesuchten Grössen bei Rechnungs-Aufgaben. Man ist übereingekommen, zu dem letzteren Zweck in der Regel die letzten Buchstaben des Alphabets, dagegen als allgemeine Zahlzeichen vorwiegend die ersten zu benutzen. Die allgemeine Arithmetik handelt von den Gesetzen der einfachsten Verbindungsweisen von Zahlen oder der sogenannten Grund-Rechnungsarten. Wegen des angeführten Gebrauchs der Buchstaben wird sie wol auch Buchstabenrechnung genannt. In dem Begriff der Zahl liegen nach dem Obigen zwei Begriffe, nämlich derjenige einer ursprünglich gegebenen Grösse, der Einheit, und derjenige eines wiederholten Setzens dieser Einheit oder einer bestimmten Anzahl. Einheit kann jede Grösse sein, und ein und dasselbe Zahlzeichen kann daher sehr Verschiedenes bedeuten, je nachdem ihm verschiedene Einheiten zu Grunde liegen. Durch die Angabe der Einheit erhält die Zahl ihre Benennung (benannte Zahlen). Bei allgemeinen Untersuchungen kann die Einheit, welche den verschiedenen Zahlen derselben Rechnung gemeinsam zu Grunde liegt, unbestimmt gelassen werden (abstracte, unbenannte Zahlen). Von der Einheit ist die Eins zu unterscheiden. Die letztere ist diejenige Zahl, welche das einmalige Gesetztsein der ersteren angiebt. I. Addition und Subtraction. 3 Dass zwei Zahlen a, b einander gleich sind, d. h. dieselbe Anzahl von Einheiten haben, wird durch a = b bezeichnet. Ein derartiger Ausdruck heisst eine Gleich ung; die Zahlen a, b heissen die Seiten der Gleichung, und das Zeichen = wird gelesen »gleich.« Dagegen bedeutet a> b, dass a grösser als b, b, dass a kleiner als b ist. I. Abschnitt: Die sieben Grund-Operationen. Kapitel 1. Addition und Subtraction. § 1. Begriff der Addition. Um aus zwei Zahlen a, b eine dritte c abzuleiten, kann man sich die Einheiten von b zu den Einheiten von a hinzugefügt, oder mit anderen Worten, die Zahl a um b Einheiten wachsend denken. Man sagt in diesem Fall, es solle b zu a addirt werden, nennt diese Operation (d. i. Rechnungsart) Addition, schreibt a 4 - /; = c und liest dies »a plus b gleich r.« Die Berechnung der neuen Zahl c geschieht dadurch, dass man von der Zahl a aus so lange weiter zählt, bis b Einheiten hinzugefügt sind.* **) ) Die beiden Zahlen a und b haben also hierbei verschiedene Bedeutungen; die eine derselben, hier a, soll vermehrt werden und heisst deshalb der Äugend; die andere, hier b, giebt an, um wieviele Einheiten a vermehrt werden soll, und heisst der Addend. Der Ausdruck a -+- b heisst eine Summe, und die neue Zahl c als Resultat der Ausrechnung der Werth dieser Summe. Die Aufgabe, den Werth von a -+- b zu finden, ist hiernach durchaus verschieden von der Aufgabe, b -+- a zu berechnen. In der Aufgabe 3-1-4 z. B. soll mit der gegebenen Zahl 3 angefangen und um vier Einheiten weiter gezählt 'werden; in 4 -+- 3 dagegen geht man von der Zahl 4 aus und zählt um drei Einheiten weiter. Der Werth der Summe aber ist in beiden Rechnungen nur von den Anzahlen der Einheiten, und nicht von der Reihenfolge abhängig, in welcher dieselben vereinigt wurden, also in beiden Fällen derselbe. Dieses Grundgesetz der Addition kann durch folgende Gleichung ausgedrückt werden: ct —1-~ b b (t ... . (1) a ^ so Äugend und Addend einer Summe mit einander vertauscht werden ur en, ohne dass der Werth der letzteren sich ändert, so erhalten jene beiden Zahlen auch den gemeinschaftlichen Namen Summanden oder Posten. — Dieselben müssen gleich benannt sein, und der Werth der Summe ist mit ihnen gleichbenannt. Beispiele: Heis, § 1. Bardey I, 1 — 3, 11; II, 1—3, 8, 14, 18.*'*) *) Bei dem praktischen Rechnen, welches durch die Hülfe des zehntheiligen Zahlensystems alle Additionen auf solche von einziffrigen Zahlen zurückführt, wird dieses Weiterzählen durch die sehr bald erworbene gedachtnissmässige Kenntniss aller vorkommenden Summenwerthe ersetzt. Entsprechendes gilt bei den späteren Rechnungsarten. **) Die den einzelnen Paragraphen oder Abschnitten beigegebenen Citate von Uebungs- i 4 Arithmetik und Algebra. § 2. Begriff der Subtraction. Dem Addiren entgegengesetzt ist die Aufgabe, aus dem Werthe c einer Summe und einem ihrer Summanden a oder b rückwärts den anderen Summanden zu berechnen. Diese Aufgabe zerfällt in zwei verschiedene, je nachdem der gegebene Summand der Äugend a oder der Addend b ist. Die Aufgabe, aus dem Werthe c einer Summe und ihrem Äugend a ihren Addend zu berechnen, also aus der Gleichung a x = c den Werth der unbekannten Zahl x zu suchen, oder mit noch anderen Worten, die Anzahl der Einheiten zu bestimmen, um welche a vermehrt werden muss, damit man c erhalte, wird gelöst, indem man von der Zahl a aus so lange weiter zählt, bis man c erhält, und die Anzahl der zugezählten Einheiten ermittelt. Die Aufgabe, aus dem Werthe c einer Summe und ihrem Addend b ihren Äugend zu berechnen, also aus der Gleichung y -+- b = c den Werth der unbekannten Zahl y zu suchen, oder mit noch anderen Worten, diejenige Zahl zu bestimmen, zu welcher man b Einheiten hinzuzählen muss, damit man c erhalte, wird gelöst, indem man von der Zahl c aus um b Einheiten rückwärts zählt. In diesem Fall lässt man also die Zahl c um den vorausgesetzten früheren Zuwachs wieder abnehmen. Da aber nach der Gleichung [1] die Vertauschung der Summanden einer Summe den Werth der letzteren nicht ändert, so kann man jede der beiden vorstehenden umgekehrten Rechnungsarten in die andere verwandeln, ohne dass ihr Resultat ein anderes wird. Aus diesem Grunde erhalten die beiden Umkehrungen der Addition den gemeinsamen Namen Subtraction, und man sagt in beiden Fällen, dass der gegebene Summand von dem gegebenen Werth der Summe subtrahirt (abgezogen) werden solle. Den ersteren nennt man den Subtrahendus, den letzteren den Minuendus. Dass a von c subtrahirt werden soll, schreibt man c — a Man liest diesen Ausdruck »c minus a« und nennt denselben eine Differenz oder einen Rest. Der Minuend c und der Subtrahend a einer Differenz müssen gleichbenannt sein; die Differenz ist mit ihnen gleichbenannt. Minuend und Subtrahend einer Differenz, sowie die Summanden einer Summe werden auch mit dem gemeinschaftlichen Namen Glieder der Differenz oder Summe bezeichnet. Die Glieder einer Differenz können nicht, wie die der Summe, mit einander vertauscht werden, oder es ist (im Allgemeinen) a — b nicht gleich b — a. Dass jede der beiden, an sich ganz verschiedenen Arten der Subtraction auch dann ein richtiges Resultat giebt, wenn sie nach der Weise der anderen behandelt wird, hat dahin geführt, dass im praktischen Rechenunterricht gewöhnlich nur eine jener Arten gelehrt und geübt wird, und zwar meist jene durch Rückwärtszählen. Die in den österreichischen Schulen gebräuchliche Beispielen beziehen sich auf folgende Werke: Heis, Sammlung von Beispielen und Aufgaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra, Köln, Du Mont Schauberg’sche Buchhandlung; und Bardey, Methodisch geordnete Aufgabensammlung, Leipzig, Verlag von B. G. Teubner. Wir beziehen uns auf diese Schriften, da die Beifügung von Uebungsmaterial in der erforderlichen Reichhaltigkeit den Umfang dieses Theiles des vorliegenden Werkes Uber Gebühr ausge-' gedehnt haben würde. I. Addition und Subtraction. 5 andere Art verdient jedoch aus einem bei der Division zu erwähnenden praktischen Grunde den Vorzug, und es ist daher der Gebrauch derselben zu empfehlen. Folgendes Beispiel wird dazu hinreichende Anleitung geben: Bei der Aufgabe 58379 — 19297 rechne man: 7 plus 2 giebt 9, also ist die letzte Ziffer des Resultats 2; 9 plus 8 ist 17, also ist die nächste Resultatziffer 8; da aber die Summe nicht 7, sondern 17 war, so wird die 1 zur nächsten Ziffer 2 des Subtra- hendus addirt, und man rechnet also weiter 3 + 0 = 3, dann ebenso 9 + 9 = 18, 2 + 8 = 5. Bei diesem Verfahren fällt auch das sogenannte Borgen oder Leihen weg. — Der praktische Rechner gewöhne sich übrigens auch daran, dass er bei dem Addiren und Subtrahiren nicht nöthig habe, die beiden Zahlen in der üblichen Weise unmittelbar unter einander zu schreiben. Die Definition des Werthes einer Differenz kann nunmehr dahin ausgesprochen werden, dass derselbe diejenige Zahl sei, welche, zum Subtrahenden addirt, den Minuend giebt, und diese Erklärung lässt sich in der Formel (c — a) + a = c . . . . (2) darstellen. Auch die folgenden Gleichungen, welche den Gegensatz zwischen Addition und Subtraction in anderen Formen darstellen, ergeben sich unmittelbar aus der vorstehenden Definition: (a + b) — b = a . . , . (3) c — (c — b) = b . . . . (4) In diesen Gleichungen (2) bis (4) — welche sich leicht in der Form von Rechnungs-Regeln in Worte übersetzen lassen — haben die Klammem ( ) die Bedeutung, dass die in denselben eingeschlossenen Ausdrücke als zuerst ausgerechnet, an Stelle derselben also die Resultate der betreffenden Rechnungen gesetzt gedacht werden sollen. Ueberhaupt werden oft statt des Werthes einer Summe a + b oder einer Differenz a — b, wenn — wie bei Buchstaben-Rechnungen häufig vorkommt — die Berechnung nicht wirklich ausgeführt werden kann, diese Ausdrücke selbst in Klammern eingeschlossen, oder auch ohne letztere gesetzt, sofern die Bedeutung aus dem Zusammenhang hervorgeht und kein Missverständnis möglich ist. Ebenso werden unter gleicher Voraussetzung auch die Namen Summe und Differenz der Kürze halber statt Werth der Summe und Werth der Differenz gebraucht. Heis, § 2 und § 8. Bardey I, 4, 5, 12, 16—18, II 9, 10, 15, 19, 20. * § 3. Reihenfolge der Operationen. Sollen drei oder mehr Zahlen durch Addition oder Subtraction verbunden werden, so kann dies nur in der Weise geschehen, dass man zunächst zwei derselben miteinander verbindet und das Resultat an Stelle dieser beiden Zahlen emsetzt, darauf in dem nun vorliegenden, ein Glied weniger enthaltenden Ausdruck wieder zwei seiner Glieder vereinigt und so fortfährt, bis man zu einer einzigen Zahl, dem Gesammt-Resultat, gelangt. Diese successive Berechnung kann in verschiedenen Reihenfolgen geschehen, und man erhält dabei nicht nothwendig immer dasselbe Resultat. Daher muss die Reihenfolge, welche im einzelnen Fall verlangt ist, angegeben werden, und dies geschieht in ähnlicher Weise, wie oben in den Gleichungen (2)—(4) durch Klammern. So ist z. B. 9 — [(4 + 3) — 1] = 9 — [7 — 1] = 9 — 6 = 3, dagegen (9 — 4) + (3 — 1) = 5 + 2 = 7, ferner [9 — (4 + 3)] — 1 = [9 — 7] — 1 = 2 — 1 = 1 und [(9 — 4) + 3] — 1 = [5 + 3] — 1 = 8 — 1 = 7. Um jedoch eine Häufung der Klammern möglichst zu vermeiden, ist man übereingekommen, dieselben dann wegzulassen, wenn die verlangte Reihenfolge 6 Arithmetik und Algebra. dieselbe ist, wie die, in welcher die einzelnen Glieder in dem geschriebenen Ausdruck aufeinander folgen. Wo also Klammern fehlen, ist immer die Reihenfolge zu wählen, welche zugleich die der Schrift ist. Hiernach können z. B. in dem letzten Fall des vorstehend benutzten Zahlenbeispiels alle Klammern weggelassen werden. Dagegen ist in dem ersten Fall dieses Beispiels nur die runde Klammer, in dem zweiten Fall die erste der beiden Klammern und in dem dritten die eckige wegzulassen. Ebenso ist z. B. 5 + 3 —2 + 4 —1, wie folgt, auszurechnen: 5 + 3 = 8; 8—2 = 6; 6 + 4 = 10; 10 — 1 = 9. Dagegen ist in 8 + [5 — (3 + 1)] = 8 + (5 — 4 ) = 9 keine Klammer entbehrlich. — Heis, § 6, No. 1 —8. Bardey II, 46, 47. Es entsteht nun die Frage, ob und in welcher Weise sich die Reihenfolge bei derartigen Rechnungen verändern lässt, ohne dass eine Aenderung des Resultats eintritt. Zur Beantwortung derselben untersuchen wir zunächst, welche Aenderung der Werth einer Summe oder Differenz erfährt, wenn man ein einzelnes Glied derselben als veränderlich betrachtet und dasselbe um irgend eine Grösse zu- oder abnehmen lässt. Aus den Begriffen der Summe und der Differenz ergiebt sich leicht, dass jede Veränderung eines einzelnen Summanden durch Addition oder Subtraction einer dritten Zahl die gleiche Veränderung im Werth der Summe hervorbringt, und dass dasselbe der Fall ist bei einer Differenz und ihrem Minuendus. Wird dagegen eine solche Veränderung am Subtrahendus vorgenommen, so erfährt die Differenz die entgegengesetzte Veränderung, d. h. ihr Werth wird kleiner, wenn der Subtrahendus grösser wird, und umgekehrt. Es folgt dies daraus, dass nach erfolgter Vergrösserung des einen Summanden der andere um ebensoviel Einheiten verkleinert werden muss, wenn der Werth der Summe unverändert bleiben soll. — Man erhält so vier einzelne Rechnungs- Regeln, welche in folgenden Gleichungen ausgesprochen sind: d —f— b +- c —■ et -+ c —f- b — ct —k (b —j— r) . , . , ( 5 ) a + b — c — a — c + b = a + (# — c) . . . . ( 6 ) a — b + c = a + c — b — a — (b — c) . . . . (7) a — b —»c = a — c — b = a — (b + c) . . . . ( 8 ) Daher ist auch umgekehrt: « + (£ + c) = « + 5 + c = a-\- c + b . . . . ( 9 ) a — ib + c) = ß — b — c = a — c — b . . . . ( 10 ) a + (5 — c) = a + 5 — r = a —c + b . . . . (H) a — (b — c) — a — £ + c = « + z — b . ,. . . ( 12 ) Man kann diese acht Formeln auch, wie folgt, zusammenstellen und in Worten aussprechen, sowie auf mehrgliedrige Ausdrücke erweitern: 1 . Sollen mehrere Zahlen nach einander addirt oder subtrahirt werden, so kann dies in beliebiger Reihenfolge geschehen. 2. Statt mehrere Zahlen nach einander zu addiren, kann man ihre Summe auf einmal addiren, und statt mehrere Zahlen nach einander zu subtrahiren, kann man ihre Summe auf einmal subtrahiren. 3. Soll eine Zahl b addirt und eine andere c subtrahirt werden, so kann man statt dessen b — c addiren oder c — b subtrahiren. 4. Statt eine Summe oder eine Differenz zu addiren oder zu subtrahiren, kann man dieselbe Rechnung mit j edem einzelnen Summand und mit dem Minuend, dagegen mit dem Subtrahend die entgegengesetzte vornehmen. Heis, § 7 und § 9—12; Bardey III, IV. I. Addition und Subtraction. 7 Mit Hülfe der vorstehenden Regeln lässt sich nun in jedem zusammengesetzten Ausdruck der oben erwähnten Art die Reihenfolge der Rechnungen so gestalten, dass nach dem getroffenen Uebereinkommen alle Klammern weggelassen werden können. Man nennt dies das Auflösen der Klammern. Heis, § 6 , 1 - 8 . So erhält man z. B. aus dem oben gebrauchten Ausdruck 8 + [5 — (3 + 1)] zunächst nach Gleichung (11): _ 8 + 5 — (3 + 1) und sodann nach (10): 8 + 5 — 3 — 1. § 4. Negative Zahlen. Die Addition einer Zahl zu einer anderen ist stets möglich, welche Werthe die beiden Summanden auch haben mögen, da die Zahlenreihe bis in’s Unendliche fortschreitet. So lange man bei der Differenz c — ä voraussetzt, dass dieselbe aus einer wirklich ausgeführten Additions-Aufgabe durch Umkehrung derselben hervorgegangen sei, muss auch die Subtraction stets zu einem und, wie leicht zu ersehen, nur einem einzigen Resultat aus der natürlichen Zahlenreihe zurückführen. Setzt man dagegen für c und a willkürlich bestimmte Zahlen- werthe, so fragt es sich, ob die Aufgabe, c — a zu berechnen, nothwendig eine Auflösung haben müsse. Man findet nun' leicht, dass hier die drei Fälle zu unterscheiden sind, in welchen c grösser, ebenso gross oder kleiner als a ist, und dass nur in dem ersten Fall die Auflösung in dem bisherigen Sinne möglich ist. Die beiden anderen Fälle führen jedoch auf eine Erweiterung des Zahlenbegriffs, durch welche sie ebenfalls eine Bedeutung erhalten. Ist c — a, so werden, wenn man von c aus um a Einheiten rückwärts zählt, sammtliche vorhandene Einheiten weggenommen, sodass auch nicht eine derselben übrig bleibt. Man bezeichnet dieses Resultat durch 0 (Null). Die Null ist hiernach nicht etwa ein inhaltsleerer Begriff oder eine Bezeichnung für Nichts, sondern dieselbe enthält noch die Bezugnahme auf die Einheit, welche der betreffenden Rechnung zu Grunde liegt, indem sie das Dasein einer solchen verneint. Sie schliesst sich daher der natürlichen Zahlenreihe vor der 1 an. Ist ferner c < a, und zählt man von c aus rückwärts, so bleiben, nachdem sammtliche vorhandene Einheiten weggenommen sind, noch soviele Einheiten zum weiteren Rückwärtszählen übrig, als a mehr enthält, wie c, d. h. a — c. Um ein s °lches weiteres Rückwärtszählen möglich zu machen, müsste die Reihe der natürlichen Zahlen noch über die Null hinaus erweitert werden, es müssten sich also Zahlen angeben lassen, welche noch kleiner als Null wären. Dass dies nun m der That denkbar ist, soll zunächst durch ein Beispiel erläutert werden: Geht Jemand um c Schritte in einer bestimmten Richtung vorwärts und darauf wieder um a Schritte rückwärts, so ist er im Ganzen um c — a Schritte in jener Richtung nach vorwärts gelangt. Hierbei ist zunächst c > a gedacht. Ist c = a, so gelangt er auf seinen Ausgangspunkt zurück, und es ist c — a — a — a 0 zu setzen. Ist aber c < a, so kommt er nach einem Orte, welcher von dem Anfangspunkte aus nach der entgegengesetzten Richtung liegt, und zwar ist ei dann um a c Schritte nach derselben vom Anfangspunkte entfernt. Allgemeiner kann man sich die natürliche Zahlenreihe unter dem Bilde einer Reihe von Punkten vorstellen, welche von einem mit 0 bezeichneten Anfangspunkt aus nach derselben Richtung, also in gerader Linie, so liegen, dass je zwei benachbarte von einander gleich weit entfernt sind. Die einzelnen Zahlen en dann die Abstände der Punkte vom Anfangspunkt an. Man sieht nun Arithmetik und Algebra. ein, dass man in diesem Falle bei dem Rückwärtszählen von irgend einer Zahl aus in der That noch über die Null hinausgehen kann, indem man dann zu Punkten gelangt, welche auf derselben Geraden, aber nach der entgegengesetzten Richtung vom Anfangspunkte aus liegen. Man sieht zugleich, dass sich in dieser Weise die natürliche Zahlenreihe nach rückwärts in’s Unendliche erweitern, und dass sich diese Erweiterung unter dem Bilde einer der ursprünglichen gleichen, aber nach der entgegengesetzten Richtung fortschreitenden Punktreihe versinnlichen lässt. Weitere Beispiele einer Fortsetzung der Zahlenreihe unterhalb der Null liefern die Wärme- und Kälte-Grade der Thermometerskalen, nördliche und südliche geographische Breite, Drehung des Schenkels eines Winkels nach rechts und nach links, zukünftige und vergangene Zeit, Gewinn und Verlust u. dgl. m. In allen diesen Fällen ist die Null nicht der absolute Anfangspunkt der Zählung, sondern erscheint in der Mitte zweier einander entgegengesetzter Zahlenreihen. Die hiernach denkbaren Zahlen, welche kleiner als Null sind, nennt man negative Zahlen, und im Gegensatz zu denselben diejenigen, welche grösser als Null sind, positive Zahlen. Bei dem Schreiben unterscheidet man beide Arten durch Vorsetzen des Zeichens -+- (plus) vor die positiven, des Zeichens — (minus) vor die negativen. Diese Zeichen sind als Vorzeichen von den ihnen entsprechenden Rechnungszeichen der Addition und Subtraction zu unterscheiden. Wo eine Verwechslung möglich ist, schliesst man die ersteren mit dem zuge- " hörigen Zahlzeichen in eine Klammer ein, z. B. ( 4 - 7) und (— 4). Die Zahlenreihe ist nunmehr: • ■ •, — 4, — 3, — 2, — 1,0, 4-1, +2, 4-3, 4-4, • • •, und die Differenz c — a, in welcher der Minuend kleiner als der Subtrahend ist, erhält hiernach die Bedeutung einer negativen Zahl, und zwar ist dieselbe gleich — (a — c). In praktischen Aufgaben haben negative Zahlen als Resultate nur dann Geltung, wenn ein solcher Gegensatz in der Richtung des Zählens, wie in den obigen Beispielen, wirklich existirt, die Null also nicht der absolute Anfangspunkt des Zählens ist. In der Forderung z. B., die Anzahl der Personen zu bestimmen, welche in einem Hause Zurückbleiben, wenn von c überhaupt anwesenden a hinausgehen, giebt ein negativer Werth des Resultats c — a die Unmöglichkeit der Auflösung an. Aber derselbe hat auch in diesem Fall noch einen weiteren Sinn; er zeigt nicht bloss einen Widerspruch in der Aufgabe, sondern giebt auch die Anzahl der Personen an, welche zu den vorher Anwesenden mindestens hinzutreten müssten, damit die Ausführung der Aufgabe möglich werde, also die Anzahl der zur Hebung des Widerspruchs fehlenden Personen. * Die positiven Zahlen sind diejenigen, welche als die ursprünglich gegebenen angesehen werden, die negativen diejenigen, welche als Gegensatz der ersteren auftreten. An sich kann also jede der beiden Hälften der Zahlenreihe als die positive gelten; die andere wird dann jedesmal durch den Gegensatz zu ihr die negative. So sind z. B. in der Frage, welche Temperatur ein Thermometer gezeigt habe, nachdem es von 8° Wärme aus um 10° gefallen sei, die Wärmegrade als die positiven aufgefasst, und das Resultat ist — 2°, d. h. 2 Grad Kälte. Fragt man dagegen, wieviel Grad Kälte ein Thermometer zeige, welches auf 8° Kälte gestanden habe und darauf um 10° gestiegen sei, so wird die Antwort darauf lauten dürfen: — 2° Kälte, d. i. dann 2° Wärme. Existirt unter den Zahlen einer Rechnung nicht der angegebene Gegensatz der Richtungen, oder kommt derselbe nicht in Betracht, ist also auch seine Angabe durch Vorzeichen unterlassen, so heissen die Zahlen absolute. Dagegen i. Addition und Subtraction. 9 werden Zahlen, welche mit Vorzeichen versehen sind, aJL££h_raische (a uch rela- tive oder . Richtungszahleji), und die entsprechenden absoluten, welchen die Vorzeichen vorgesetzt sind, die Glieder derselben genannt. Treten in einer mit absoluten Zahlen operirenden Rechnung zu denselben ihnen entgegengesetzte Zahlen hinzu, wird also der Gegensatz der Richtungen in die Rechnung eingeführt, so erhalten die ersteren zufolge des vorstehend Gesagten das Vorzeichen +. In diesem Sinne kann man sagen, dass jeder absoluten Zahl das Vorzeichen -|- gegeben werden könne. § 5. Rechnen mit Null und negativen Zahlen. Die Erweiterung des ursprünglichen Zahlenbegriffs durch die Null und die negativen Zahlen macht auch eine Erweiterung der früheren Erklärungen der Addition und Subtraction für dieselben nothwendig. Es ergiebt sich leicht durch eine entsprechende Wiederholung des Gedankengangs in den Paragraphen 1 3, dass jene früheren Erklärungen und damit auch die aus ihnen abgeleiteten Gesetze und Formeln im Wesentlichen unverändert auf die neuen Zahlformen übertragen werden können. Im Einzelnen ist hierüber Folgendes zu erwähnen: In Betreff der Null ergiebt sich unmittelbar aus ihrem Begriff, dass durch Addition derselben zu einer Zahl der Werth der letzteren nicht geändert wird. Die Gleichung a -+- 0 = a könnte in gleicher Weise, wie oben a — a = 0, als Definition der Null in Worte gefasst werden Ebenso folgt aus dem Begriff der Null leicht, dass auch 0 -t- a = a, also a ■+■ 0 = 0 -h a, und a — 0 = a ist. Dagegen führt die Subtraction einer Zahl von Null in die jener Zahl entgegengesetzte Hälfte der Zahlenreihe, oder es ist 0 — a — — a. Insbesondere ist auch 0 + 0 = 0 — 0 = 0. Die Bezeichnungen + a und — a sind durch Abkürzung aus 0 + a und 0 — a entstanden. In Betreff der negativen Zahlen ergiebt sich aus dem Gegensatz, in welchem sie zu den positiven stehen, dass eine Zahl der einen Art durch Hinzufügung einer solchen der anderen Art um die entsprechende Anzahl ihrer eigenen Einheiten verkleinert, durch Hinwegnahme einer solchen entsprechend vergrössert wird, und dass Zahlen beider Arten mit gleich grossen Gliedern bei ihrer Addition einander aufheben. Man kann, mit anderen Worten, zu einer gegebenen Einheit sich eine entgegengesetzte Einheit denken, welche zu der ersteren hinzugefügt, dieselbe aufhebt, sodass also auch (+ 1) + (— 1) = 0 ist. Bezeichnen wir nun die eine dieser Einheiten als die positive, die andere als die negative, so kann man sich die negativen Zahlen in gleicher Weise durch Zusammenfassen bestimmter Anzahlen aus der negativen Einheit, wie die positiven aus der positiven Einheit entstanden denken. Zwei Zahlen von beiden Arten, welche gleiche Anzahlen der betreffenden Einheiten enthalten, sollen entgegengesetzt gleich genannt werden; die Summe derselben ist gleich Null. Haben zwei zu addirende Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist die Addition ein Weiterzählen in derselben Richtung der Z ahlenreihe , daher ist (+ a) + (+ b) = + (a + b) (— a) + (— b) = — (a + b). ^ ' IO Arithmetik und Algebra. Haben dagegen die Summanden verschiedene Vorzeichen, so bewirkt die Addition dasselbe Resultat, wie ein Weiterzählen in der entgegengesetzten Richtung; die Addition einer Anzahl von Einheiten entgegengesetzter Art mit denen des andern Summanden kann also durch Subtraction der gleichen Anzahl von Einheiten derselben Art ausgeführt werden. Diese Betrachtung führt zu den Regeln: (+ und darauf diesen Ausdruck in die algebraische Summe ( 4 - ff) 4- (— b) 4 - (— c) 4- (4- d) 4- (4- e) 4- ( /)• Man ist nun übereingekommen, bei einer solchen algebraischen Summe die Additionszeichen 4 -, sofern kein Missverständniss stattfinden kann, und mit ihnen dann auch die entbehrlich gewordenen Klammern um die einzelnen Summanden, sowie das Vorzeichen des ersten Summanden, falls es 4- ist, wegzulassen. Man schreibt also die obige algebraische Summe kürzer ff — b — c 4" d 4- c f • In dieser Form ist dieselbe äusserlich von dem Polynom, aus welchem sie entstanden ist, in Nichts verschieden; der innere Unterschied liegt in dem Vorbehalt, dass die einzelnen Zeichen nicht, wie oben der Fall war, Rechnungszeichen der Addition und Subtraction, sondern Vorzeichen der betreffenden Glieder sein, und dass die so entstandenen algebraischen Zahlen sämmtlich addirt werden sollen. Es folgt aber hieraus — da dieses Verfahren allgemein anwendbar ist der Satz, dass jedes Polynom ohne Weiteres als eine algebraische Summe angesehen werden darf, indem man die Rechnungszeichen zu Vorzeichen macht, dem ersten Gliede noch das Vorzeichen 4- giebt und dann alle Glieder addirt. Da nun nach den Gleichungen (5) und (9) des § 3, bezw. deren Erweiterung, die Summanden einer Summe in beliebiger Reihenfolge addirt werden dürfen, so kann nunmehr, unter Berücksichtigung der vorstehend entwickelten Gesetze, auch jedes beliebige Polynom in jeder zweckdienlichen Reihenfolge der einzelnen Grössen berechnet werden. Aus dem Vorstehenden folgt ferner unter Hinzuziehung der Regeln (9) und (10) des § 3: Eine algebraische Summe kann addirt werden, indem man ihre einzelnen Summanden in beliebiger Reihenfolge und mit unveränder- * ten Vorzeichen addirt (bezw. hinzuschreibt), und eine algebraische Summe kann subtrahirt werden, indem man ihre einzelnen Summanden in beliebiger Reihenfolge und mit umgekehrten Vorzeichen addirt (bezw. hinzuschreibt). Hiernach ergiebt sich die praktische Rechnungsregel: Steht vor einer Klammer -t-, so kann man dieselbe ohne Veränderung der Zeichen weglassen; steht vor einer Klammer —, so müssen vor dem Weglassen derselben alle Zeichen der einzelnen Glieder in ihr umgekehrt werden. Nachdem so alle Klammern entfernt sind, addirt man die einzelnen Glieder in beliebiger, bezw. der zweckdienlichsten Reihenfolge, indem man die Zeichen als Vorzeichen behandelt. Heis, § 13 a. Bardey V. 12 Arithmetik und Algebra. Kapitel 2. Multiplication und Division. § 7. Begriff der Multiplication. Sind alle Summanden einer Summe einander gleich, so heisst die Summe ein Produkt. Die Anzahl der Summanden heisst der Multiplicator, ein einzelner der Summanden der Multiplicandus. Man schreibt ein Produkt, indem man den Multiplicandus und den Multiplicator durch das Zeichen x oder •, gelesen »mal«, mit einander verbindet, z. B. « —t— während man statt der durch die Umformung entstehenden Brüche die ursprünglichen, ihnen gleichwerthigen Zahlen als Stellvertreter derselben bei dem Schreiben und Aussprechen beibehalten kann. So kann man also z. B. ohne Weiteres nach § 3, ( 6 ) (a c\ e (a e\ l)~7 == V~f) setzen, da man nur nöthig hat, sich behufs der Addition und Subtraction alle drei Brüche auf den gemeinsamen Nenner bdf gebracht zu denken; nur zur wirklichen Ausführung der Rechnung ist es nöthig, auch das Gleichnamigmachen wirklich auszuführen. Nachdem so die Anwendbarkeit der früheren Entwicklungen auf die neue Zahlform nachgewiesen ist, sollen im Folgenden die speciellen Gesetze des Rechnens mit Produkten und Quotienten im allgemeineren Sinne abgeleitet werden. § 11. Multiplication und Division von Summen und Differenzen. Sollen drei oder mehr Zahlen durch Multiplication und Division unter sich, oder daneben durch Addition und Subtraction verbunden werden, so wird wieder die Angabe der Reihenfolge der Verknüpfungen nöthig. Dies geschieht auch hier durch Klammem. Um jedoch einer Häufung der letzteren möglichst vorzubeugen, ist man übereingekommen, die Multiplication und Division als enger Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 2 i8 Arithmetik und Algebra. verbindend wie die Addition und Subtraction zu betrachten, sodass alle diejenigen Klammern weggelassen werden können, welche nur den Zweck haben, eine der ersteren Operationen als einer der letzteren vorangehend zu bezeichnen. Abgesehen hiervon werden auch hier diejenigen Klammern weggelassen, welche dieselbe Reihenfolge angeben, wie die, in welcher die Zahlen selbst in dem betreffenden Ausdruck aufeinander folgen. Man schreibt also z, B. statt {a • c) 4 - b kürzer a ■ c 4- b, statt a — {b • c), a — b ■ c, statt {ab) c, abc, dagegen a • {c -t- b) u. dgl. m. mit Klammer. Der horizontale Divisionsstrich kann eine Klammer b ersetzen; so schreibt man z. B. a\{b:c) oder a : — • Heis, § 6 , No. 9 —21. Wir stellen nun im Folgenden zunächst die einfachsten Rechnungsregeln zusammen, welche bei Verbindung der beiden neueren Operationen mit den beiden früheren Vorkommen. Da {a ± b) • c — {a ± b) {a ± b) 4- {a ± b) 4- . . . = — ^ ^ -P • • •) gesetzt werden kann, so ist (a± b) ■ c = ac ± bc, . . . . (18) d. h. eine Summe oder Differenz kann mit einer Zahl multiplicirt werden, indem man jedes Glied mit dieser Zahl multiplicirt und dann die Partialprodukte entsprechend addirt oder subtrahirt. Analoges gilt umgekehrt für die Multiplication einer Zahl mit einer Summe oder Differenz, d. h. es ist a • {b ± c) = a b ± a c, wie aus der Verbindung von (18) mit (15) folgt. Die vorstehende Regel kann ferner leicht auf die Multiplication von Summen mit beliebig vielen Summanden oder von Polynomen ausgedehnt werden. So ist z. B. {a-^-b — c — d) ■ k = ak 4- bk — ck — dk. Durch Umkehrung dieser Regel ergiebt sich sodann, dass jedes Polynom aus Produkten, die einen gemeinsamen Faktor haben, gleich dem Produkt aus diesem Faktor und dem entsprechend gebildeten Polynom der nicht gemeinschaftlichen Faktoren gesetzt werden kann. So ist z. B. 7 a —■ 7 b 4- 7 c = i {a b —i— c). Man nennt diese Umformung das Absondern des gemeinschaftlichen F aktors. Als weitere Beispiele des Gebrauchs der vorstehenden Regeln mögen die folgenden dienen: 3x — 5 (y+ z) = 3* — (5 y + 5 z) == äx — 5y — 5z; a — b . (c — d) = a — {bc — bd) = a — bc-\- bd. Umgekehrt kann man für 3x — 5y — 5 z setzen 3x — 5 (y + z). Entsprechend ist 2 a — 3b + 3c— 2a — 3 {b — c) oder 2 a 4- 3 (c — b); 7* + 2 (y + z — u) = Ix -+- 2y 4- 2z — 2 u; ha + 3b — 4 (a — b — c) = ha -)- 3b — 4ff 4 - ib 4 - 4m + 2« 3 d — 2^-)-4ö — b — 3m— 2« d — b Heis, § 19, 1- -29. § 12. Multiplication und Division von Produkten und Quotienten. Für die Multiplication und Division von Produkten und Quotienten ergeben sich die nachfolgenden Regeln: 2' 20 Arithmetik und Algebra. abc = acb — aibc), .... (21) denn (ab)c — ab -+- ab -t- ab . . . c kann nach (18) sowol gleich (« -+- a -t- a -+- .. . c ) b, d. i. gleich (ac)b, als auch a(b -+- b -+- 4- b -+- • • - c ) = a(bc) gesetzt werden. Die vorstehende Regel zeigt nicht bloss, wie ein Produkt mit einer Zahl, sondern durch Umkehrung auch wie eine Zahl mit einem Produkt multiplicirt werden kann. Sie lässt sich ferner auf die Multiplication von mehr als drei Faktoren erweitern und dann dahin aussprechen, dass bei der Multiplication beliebig vieler Zahlen die Reihenfolge der Faktoren ohne Einfluss auf das Resultat ist. Daher dürfen in diesem Fall auch stets die Klammern weggelassen werden. — Heis. § 15, § 17 No. 20—31. Soll dagegen ein Produkt durch eine Zahl dividirt werden, so kann dies nach der Gleichung ab c ( 22 ) geschehen, denn da die Ausdrücke j ■ b und a ■ ~ zufolge der Regel (21) in Verbindung mit (16) bei der Multiplication mit c zum Resultate a • b geben ct b müssen, so sind sie dem Quotienten - gleich. Allgemein lässt sich hieraus folgern, dass ein Produkt von beliebig vielen Faktoren .durch eine Zahl dividirt werden kann, indem man einen beliebigen einzelnen der Faktoren durch diese Zahl dividirt. — Heis, § 21, 5—14. Aus den Formeln (21) und (22) geht hervor, dass der Werth eines Produkts durch Multiplication eines der Faktoren mit derselben Zahl multiplicirt und entsprechend durch Division eines der Faktoren dividirt wird. Da nun der Dividen- dus a des Quotienten a : b der gegebene Werth eines Produkts, der Divisor b der eine Faktor ist, so folgt, dass durch Multiplication des Dividendus mit c ohne Veränderung des Divisors der Werth des anderen Faktors, d. i. des Quotienten, mit c multiplicirt wird. Durch Division des Dividendus ohne Veränderung des Divisors würde dagegen der Quotient entsprechend dividirt werden. Lässt man dagegen den Dividendus, also den Werth des Produkts, unverändert und multiplicirt oder dividirt den einen Faktor, so muss der andere Faktor entsprechend dividirt oder multiplicirt sein. Es wird also durch Multiplication seines Divisors mit einer Zahl c der Quotient c selbst durch c dividirt, und durch Division des Divisors durch c der Quotient mit c multiplicirt. Man kann hiernach, wie schon im § 4 insbesondere für gebrochene Zahlen nachgewiesen worden ist, ganz allgemein einen Quotienten sowol durch Multiplication seines Dividendus als durch Division seines Divisors multipliciren, sowie denselben sowol durch Division seines Dividendus als durch Multiplication seines Divisors dividiren, oder es ist a a • c a b c b b : c (23), a 1 c a : c ~b~ a b ■ c (24), Heis, § 21, 15—30; § 22. Ausserdem folgt auch hier (wie in § 4), dass die gleichzeitige Multiplication der beiden Bestandtheile eines Quotienten mit derselben 2 . Multiplication und Division. 21 Zahl, oder ihre gleichzeitige Division durch dieselbe Zahl den Werth des Quotienten unverändert lässt, dass also ist. Heis, § 18. — Die noch übrigen einfachen Aufgaben, eine Zahl durch ein Produkt zu dividiren, eine Zahl mit einem Quotienten zu multipliciren und eine Zahl durch einen Quotienten zu dividiren, werden bezüglich durch die Regeln b^=b :c =7 :b W b ab a , , < S7 > b a • c a . s a: ~ = " 7 ” == J ‘ c ( 28 ) gelöst, welche man kurz durch Umkehrung vorhergehender ableiten und dahin aussprechen kann, dass die Division einer Zahl durch ein Produkt mittelst successiver Division durch die einzelnen Faktoren in beliebiger Reihenfolge, die Multiplication mit einem Quotienten durch Multiplication mit dem Dividendus und Division mit dem Divisor in beliebiger Reihenfolge, und endlich die Division durch einen Quotienten mittelst Division durch den Dividendus und Multiplication mit dem Divisor in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden könne. h eis, § 23, 3—9; § 24, 3—8. Der häufigen Anwendung wegen schliessen wir den vorstehenden noch die folgenden Regeln über die Multiplication und Division zweier Quotienten an: a c a • c a d (29) 1 ' ' ~d = ~b : c a c a : c a d (30) J : : ~d = ii 1^ J c Man kann dieselben durch successive Anwendung der vorstehenden erhalten. So ist z. B. a c ( c\ ct c ~J~ • y nach (23) gleich I a ■ y I ■ b, dies ist nach (27) gleich -y : b und dies nach (24) gleich yy. Ebenso ist nach (27) y ■ y = ^y : dj ■ c, und dies nach (24) = -f : y. Heis, § 23, 10—34; § 24, 9—26. Entsprechende Regeln für die Addition und Subtraction zweier Quotienten sind früher (§ 5, (20)) angegeben worden; dieselben setzten jedoch voraus, dass beide denselben Divisor hatten. Mit Hülfe der Regel (25) lassen sich jetzt auch andere Quotienten addiren und subtrahiren. Schon in § 4 ist entsprechend gezeigt worden, dass wenn z. B. y und y gegeben sind, man dieselben stets so umformen kann, dass sie gleiche Divisoren erhalten; man hat zu diesem Zweck n ur nöthig, in jedem der Quotienten beide Bestandtheile mit dem Divisor des anderen zu multipliciren. Hierdurch erhält man a ad c bc ~r = —7 und —r = r, also ist auch b bd d bd c ~d ad ± bc bd ( 31 ). 22 Arithmetik und Algebra. Die Ausdehnung dieser Regel auf Polynome von beliebig vielen Quotienten ist selbstverständlich. — Haben die Divisoren b, d einen gemeinschaftlichen Faktor, so führt die Multiplication mit dem vollen Divisor des anderen Quotienten zu einer unnützen Weitläufigkeit; man hat nur nöthig, bei jedem Quotienten den nicht gemeinschaftlichen Faktor aus dem Divisor des anderen anzuwenden. So ist z. B: a b az by az -ff b y xy xz xyz xyz xyz a b c az — by -ff cz xy xz yz xyz Heis, § 19, 30—54. § 13. Multiplication und Division mit algebraischen Zahlen. Die im § 7 dieses Abschnittes gegebenen Definitionen lassen sich ohne Weiteres auch auf die Null und die negativen Zahlen übertragen, und das Gleiche gilt von den aus diesen Erklärungen weiterhin abgeleiteten Gesetzen. Doch ist dabei zunächst zu bemerken, dass nach der dortigen Erklärung des Produkts nur der Multiplicandus eines solchen, nicht aber der Multiplicator Null oder eine algebraische Zahl sein kann, da letzterer nur eine Anzahl bedeutet, also eine sogenannte reine Zahl sein muss. Es ist also o-b = o-’ t -o-\-o-\-... 6 = o, (-)- a) ■ b = (-t- a ) -+- (-ff d) -ff (-ff tf) -ff . . . = -ff (ab), (— a) • b = (— a) -t- (— a) -ff (— a) -j- ... = — (ab). Dagegen hat a ■ o als eine Summe mit keinem Summanden, oder a ■ (— b), als eine Summe mit einer negativen Anzahl von Summanden nach der bisherigen Auffassung keinen Sinn, und es ist daher auch das die Vertauschung der Faktoren betreffende Grundgesetz der Multiplication hier nicht ohne Weiteres anwendbar. Man wird jedoch durch das Auftreten von Ausdrücken, wie die zuletzt erwähnten, auf eine Erweiterung der früheren Erklärungen der Multiplication und Division hingeführt, durch welche diese Ausdrücke ebenfalls einen den früheren Untersuchungen entsprechenden Sinn erhalten. Wir setzen demnach fest, dass unter a ■ o verstanden werden soll, dass der Summand a keinmal gesetzt sei, sodass also a-o = o und demnach auch hier a-o — o-a, und insbesondere o-o = o ist. Ferner soll unter der Multiplication einer Zahl mit einem positiven oder negativen Multiplicator ± b verstanden werden, dass jene Zahl nicht nur so oft mal als Summand gesetzt werden soll, als die Anzahl der Einheiten von b beträgt, sondern dass die Summe auch in derselben oder in entgegengesetzter Richtung der Zahlenreihe mit derjenigen genommen werden soll, welcher die Summanden angehören, je nachdem der Multiplicator positiv oder negativ ist. So bedeutet also z. B. (-ff 4) • (— 3) nicht bloss, dass der Summand -ff 4 dreimal gesetzt werden, sondern auch, dass das Vorzeichen des Produktes umgekehrt werden soll, sodass also dieses Produkt (-ff 4) • (— 3) die Bedeutung — [(-ff 4 ) -ff (-ff 4) -ff (-ff 4)] = — (+ 12) = — 12 erhält. Die Anwendung dieser Erklärung auf die vier hierbei möglichen einfachsten Fälle führt auf die Formeln: (-ff d) • (-ff b) == -ff ab (+a)-(—b) = -ab (-«)■(+*) = — «* K h ( = == ü/b Man multplicirt also stets die Glieder der beiden algebraischen 2 . Multiplication und Division. 2 3 Faktoren und bestimmt das Vorzeichen des Produktes nach der praktischen Regel: Gleiche Vorzeichen geben -t-, ungleiche —. Anmerkung: Namentlich die letzte der obigen vier Formeln (32) ist häufig missverstanden worden, indem die Vergleichung der positiven und der negativen Zahlen mit dem Beispiel von Schulden und Vermögen Anlass gegeben hat, diese Formel in ganz unstatthafter Weise dahin zu deuten, dass »durch Multiplication von Schulden mit Schulden Vermögen enstehe.« Da dieser Satz an sich völlig sinnlos ist, indem zwei benannte Zahlen niemals mit einander multiplicirt werden können, so wurde, um sich überhaupt etwas unter demselben zu denken, der zweite Fehler gemacht, dass man diese Multiplication von Schulden mit Schulden verwechselte Mit einer Vervielfältigung von Schulden, also mit einer Multiplication der Schulden mit einer absoluten Zahl, und so zu dem widersinnigen Satze kam, dass durch eine Häufung von Schulden Vermögen entstehe. Die richtige Deutung der Formel in der Anwendung auf das Beispiel von Schulden würde vielmehr die sein, dass durch Vervielfältigung von Schulden und gleichzeitige Umkehrung derselben in ihr Gegentheil, Vermögen entstehe. Der Satz sa gt also beispielsweise: Wer 8000 M. Schulden hat und dieselben in das vierfache des Gegen- theils, d. h. in Vermögen, verwandelt, hat 8000 • 4 M. Vermögen. — In Folge der vorstehenden erweiterten Fassung des Begriffs der Multiplication ergeben sich ohne Weiteres die entsprechenden Sätze für die Division als die Umkehrungen der ersteren: Aus a • 0 = 0 • « = 0 folgt zunächst für die Division mit Null, dass a zu setzen ist, mit Ausnahme des Falls, in welchem auch a den Werth Null erhält. Denn die in ^ enthaltene Frage nach dem Faktor, dessen Produkt mit a gleich Null sei, wird durch die vorstehenden Regeln dahin beantwortet, dass dieser Faktor selbst gleich Null sei. Für die in ~ enthaltene Frage aber, welche Zahl mit 0 multiplicirt, zum Resultat Null gebe, ergiebt sich die Antwort, dass jede Zahl diese Eigenschaft habe. Der Ausdruck 0 0 ist daher ein völlig unbestimmter, oder ein unendlich vieldeutiges Symbol, welches jede beliebige Zahl bedeuten kann, sodass aus ihm allein nicht zu ersehen ist, welche bestimmte Zahl er vielleicht in einem vorliegenden besonderen Fall bedeute. — Der Ausdruck a 0 endlich fordert die Auffindung einer Zahl, deren Produkt mit Null gleich a sei. Eine solche Zahl können wir überhaupt nicht angeben — den Fall a = 0 selbstverständlich wieder ausgenommen — da ja jede angebbare Zahl mit 0 multiplicirt ein Produkt gleich Null giebt. Lässt man in dem Quotienten ^ bei unverändertem Dividendus den Divisor ^ kleiner werden, indem man denselben durch c dividirt, so wird der Quotient c mal so gross. Ist b = ~, so ist = a • n. Lässt man nun n ohne Ende wachsen, so nähert sich b ohne Ende der Null, und der Werth des Quotienten kann auf diese Weise grösser als jede angebbare Zahl gemacht werden. Man pflegt dies dadurch auszudrücken, dass man 24 Arithmetik und Algebra. a - = 0 ° setzt, indem man durch das Zeichen oo eine unendlich grosse Zahl bezeichnet. Aus dem Vorstehenden folgt die praktische Regel, dass man niemals durch Null dividiren darf. Für die Division algebraischer Zahlen hat man nur die Sätze (32) umzukehren. So folgt z. B. aus (— a) • (-+- b) = — ab, dass —= -+- b, also auch -= -+- — zu setzen ist u. s. w. So ergeben sich die Formeln: — a a ° —CI & -I - CI CI —H b b — a a = H “ 1 * sodass auch hier die praktische Regel gilt, dass gleiche Vorzeichen -f-, ungleiche — geben. Die im Vorstehenden entwickelten Gesetze der Multiplication und Division mit Null und mit algebraischen Zahlen lassen sich leicht auf zusammengesetztere Rechnungen anwenden; auch überzeugt man sich leicht, dass alle früher für absolute Zahlen abgeleiteten Gesetze der Multiplication und Division für die eben genannten Zahlformen ebenfalls gültig bleiben. So ergiebt sich beispielsweise, dass man aus den Gleichungen (19) die Gleichungen (32) erhält, wenn man in jenen a = c = 0, bezw. in diesen 0 -ha, 0 — a statt + a, — au. s. w. schreibt, u. dgl. m. — Heis, § 26, 21—44. § 14. Division algebraischer Summen. Die allgemeinste Aufgabe der Multiplication, nämlich die Aufgabe, beliebig viele algebraische Summen mit einander zu multipliciren, bedarf nun keiner weiteren Erörterung, da ihre Auflösung aus dem bisherigen ohne Weiteres folgt. Dagegen führt die allgemeine Division algebraischer Summen noch auf ein bemerkenswerthes Verfahren. Dasselbe stützt sich auf den Satz, dass man jeden Quotienten gleich der Summe aus einer beliebigen Zahl und einem dem ersteren gleichnamigen Quotienten setzen kann. Der Dividendus des letzteren wird erhalten, wenn man von dem des ersteren das Produkt aus der beliebigen Zahl und dem Divisor subtrahirt. Es. ist also , ■ a a — bx (34) -r=x-\ t . Hieraus ergiebt sich folgende allgemeine Divisionsregel: Um a durch b zu dividiren, kann man zunächst für den Quotienten eine beliebige Zahl x setzen, dann das Produkt dieser Zahl und des Divisors b von dem Dividendus a subtrahiren und den Rest aufs Neue durch b dividiren, Indem man sich hierzu wieder desselben Verfahrens bedient und in dieser Weise fortfährt, erhält man, falls der letzte Rest gleich-Null wird, zum Quotienten die Summe der Theilquotienten x + x t + x 2 4-... Ist der letzte Rest nicht gleich Null, so ist dieser Summe noch der Quotient dieses Restes durch b hinzuzufügen. 2. Multiplication und Division. 25 In der Praxis wählt man für « eine dem Werthe von möglichst nahe kommende, kleinere (ganze) Zahl, so z. B. bei dem bekannten Verfahren der Division mehrziffriger ganzer Zahlen. Die Anwendung dieses Verfahrens auf algebraische Summen mögen folgende Beispiele zeigen: Aufgabe 1 : (12 xx 4 - b4yy 4 - 48_yz— 51 xy — 24«z):(4«—8 z— 9 y) zu berechnen. Für Anfänger empfiehlt es sich, zunächst den Dividendus und den Divisor nach den Buchstaben x, y, z zu ordnen, worauf man folgende Rechnung erhält: (12 xx — 51 xy — 24 xz 4 - 54yy 4 - 48yz) :(4 x — 9 y — 8 z); 12 xx: 4 x = 3 x 12 xx — 27 xy — 24 xz (— 24 xy -t- 54 yy 4 - 48 yz) : (4 « — 9 y — 8 z); — 24 xy : 4 x =' — 6 y — 24 xy 4 - h4yy 4 - 48 yz. Der Quotient ist also gleich 3x — 6y. Man sieht leicht ein, dass man sich bei dem Schreiben die Wiederholung des Divisors ersparen kann, wie dies in dem folgenden Beispiel geschehen ist: Aufgabe 2: (20 « 4 4 - 32 * — 51 x 3 — 12 x 2 ) : (4 x 2 — 7 x —'8). Der Kürze halber ist hier x 4 statt xxxx, x 2 statt xx u. s. w. geschrieben, und ausser dieser Bezeichnungsweise wird aus der späteren Potenzrechnung der auch hier schon leicht beweisbare Satz x 4 : x 2 = x 2 , allgemein x m : x n — x m ~ n der Einfachheit wegen vorweg genommen. Nach dem Ordnen des Dividendus hat man (20x 4 — 51.x 3 — 12x 2 4 - 32«) : (4x 2 — Ix . — 8) = 5x 2 — 4x 20x 4 — 35x 3 — 40x 2 — 16x 3 4- 28x 2 — 16x 3 4 - 28x 2 4 - 32«. Aufgabe 3: (x 5 — y 5 ) : (x — y) = x 4 4 - x 3 j; 4 - x 2 y 2 4 - xy 3 -hy 4 x 5 — x 4 y 4- x^y — j ; 5 + x 4 jy — x s y 2 4 - x s y 2 —_y 5, 4 - x 3 y 2 — x 2 y 3 4 - x 2 y s — y 5 4 - x 2 y 3 — xy i + «y 4 — y s -+- xy 4 — y 5 . Analoge Aufgaben, wie die vorstehende dritte, führen auf den bemerkens- Werthen Satz, dass jeder Ausdruck von der Form «* — y n (wo 11 eine ganze, Positive Zahl ist), durch «—y ohne Rest theilbar ist. Es ist nämlich X*- yn = x n ~ 1 4 - x n ~ %y 4 - x n ~ 3 _y 2 + .... 4 - x^y n ~ 3 4 - xy n — 2 4 -y» — 1 . Der Beweis der Richtigkeit kann dadurch geführt werden, dass man die rechte Seite mit « — y multiplicirt. Entsprechend ergiebt sich, dass ««+ 4 « für ungerades n durch x-hy ohne Best theilbar ist. — Heis, § 25. Bardey VI —X. 26 Arithmetik und Algebra. Anhang 1. Maass der Zahlen. (Heis, § 27—28). §. 15. Primzahlen. 1 . Ehe wir von den bisher behandelten Operationen zu höheren Stufen von Zahlenverbindungen übergehen, sollen im Folgenden einige für die praktischen Anwendungen oder die späteren Untersuchungen wichtige Theorien erörtert werden, welche — soweit sie hier Behandlung finden — durch die Gesetze der vier bisherigen Grund-Operationen erledigt werden können. Die zunächst zu behandelnden Lehren gehören einem Zweige der Mathematik an, welcher unter dem Namen der Theorie der Zahlen oder der Zahlenlehre von den besonderen Eigenschaften und Verbindungen der ganzen Zahlen handelt, undaus welchem hier nur einige der elementarsten Sätze, wie sie im Folgenden gebraucht werden, Erwähnung finden können. Für ein wissenschaftliches Studium des genannten Zweiges der Mathematik — welches übrigens die Kenntniss auch der späteren Theile der allgemeinen Arithmetik voraussetzt — kann auf Lejeune- Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von Dedekind, Braunschweig bei Vieweg u. Sohn, verwiesen werden. 2. Unter einer Zahl schlechthin soll hiernach in diesem Anhang stets eine ganze Zahl verstanden werden. Ist eine Zahl a ein Produkt einer Zahl b mit einer zweiten Zahl m, also a — m-b, so heisst a ein Vielfaches oder ein Multiplum von b, und b ein aliquoter Theil, auch ein Theiler, Divisor oder ein Maass von a. Man sagt auch, b gehe in a auf oder a sei theilbar durch b. Ist a kein Vielfaches von b, so kann a stets gleich der Summe und gleich der Differenz eines Vielfachen mb von b und einer Zahl r gesetzt werden, sodass r < b ist. In diesem Fall heisst r der Rest. Jede Zahl ist durch 1 und durch sich selbst theilbar. Zahlen, welche ausserdem durch keine andere Zahl theilbar sind, wie z. B. 2, 3, 5, 7, 11, 13, heissen absolute Primzahlen oder Primzahlen schlechthin; alle anderen Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Ist eine Zahl 5 ein Theiler von mehreren Zahlen a, b, c, d, . . . zugleich, so heisst sie ein gemeinschaftlicher Theiler (gemeinschaftlicher Divisor, gemeinschaftliches Maass) dieser Zahlen. Solche Zahlen, welche (ausser der 1) keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, heissen relative Primzahlen. So sind z. B. 9 und 16, obgleich beide keine absoluten, doch relative Primzahlen, während 9 und 12 den gemeinschaftlichen Theiler 3 haben. § 16. Theilbarkeit der Zahlen überhaupt. Aus den vorstehenden Erklärungen ergeben sich leicht folgende Lehrsätze: Ist 8 ein Theiler von a und von b, so ist 8 auch ein Theiler von a -t- b und von a — b; (a > b). Denn ist a = m 8 , b = « 8 , so ist a ± b = {m =fc n ) 6 . Allgemein ist jeder gemeinschaftliche Theiler 3 mehrerer Zahlen a, b, c, . . . auch ein Theiler jedes aus diesen Zahlen gebildeten Polynoms a ± b ± c. .. Ist 8 ein Theiler von a, so ist 8 auch ein Theiler eines jeden Vielfachen von a, denn ist 0 — 726 , so ist ma — m(nS) = (nm)o. Anh. i. Maass der Zahlen. 27 In einer Reihe von Zahlen, in welcher jede folgende ein Vielfaches der vorhergehenden ist, muss daher jede frühere Zahl ein Theiler jeder späteren sein. Ist ferner 6 ein Theiler von a, so ist auch jeder aliquote Theil von 8 ein Theiler von a, denn ist a — mS und 8 = ne, so ist a = (mn) e. Dagegen ist in solchem Falle ein Vielfaches von 8 nicht nothwendig ein Theiler von a, und ebenso 8 nicht nothwendig ein Theiler eines aliquoten Theiles von a. Allgemein, ist 8 ein Theiler von a, b, c, . ., so ist 8 und jeder aliquote Theil von 8 auch ein Theiler eines jeden aus Vielfachen von a, b, c, . . . gebildeten Polynoms ma ± nb ±pc ± . . . Beispielsweise ist 8 ein Theiler von 16, 24, 32 und 40, also auch von 2.16 + 4.24 3.32 + 40 = 72, und ebenso sind 4 und 2 Theiler von 72. Die Summe mehrerer Zahlen a, b, c, . . . kann auch dann durch 8 theilbar sein, wenn 8 nicht ein Theiler jeder einzelnen dieser Zahlen ist; vielmehr genügt zu diesem Zweck, dass die Summe der bei der Division der einzelnen Summanden durch 8 bleibenden Reste durch 8 theilbar sei. So ist 7 + 11 + 9 + 13 durch 5 theilbar, denn die Summe der Reste 2 + 1 + 4 + 3 = 10 ist durch 5 theilbar. Ist a = + a, b = tto + ß, c =/8 + 7, u. s. w., so ist a + b + c + ... = (m + #+/ + ••) 8 + a + ß + 7 + •• •, woraus die allgemeine Richtigkeit der Behauptung leicht folgt. Die Differenz zweier Zahlen ist entsprechend durch 8 theilbar, wenn die Differenz der zugehörigen Reste gleich Null ist. Denn da jeder der Reste kleiner als 8 ist, so kann anderenfalls ihre Differenz und folglich auch nicht (m 3 + a) — («8 + ß) = (m — n) 8 + (a — ß) durch 8 theilbar sein. Ein Produkt ist durch jeden seiner Faktoren theilbar. Enthält dasselbe mehrere Faktoren neben einander, so ist es auch durch jedes aus diesen Faktoren gebildete Produkt theilbar. So ist beispielsweise das Produkt 2 • 3 ■ 4 • 5 = 120 durch 2, 3, 4 und 5 einzeln, aber auch durch 2-3 = 6 , 2-4=8, 3-4=12, 2 • 3 • 4 = 24 u. s. w. theilbar. Dagegen ist 120 , obgleich, durch 2 und durch 24 theilbar, keineswegs durch 2 • 24 theilbar, denn es enthält die Faktoren 2 und 24 nicht neben einander. Umgekehrt, ist eine Zahl durch ein Produkt theilbar, so ist sie auch durch jeden Faktor desselben theilbar. Diese Behauptung ist übrigens schon früher bewiesen, da jeder solcher Faktor ein aliquoter Theil jenes ersteren Theilers ist. Ein Produkt kann aber auch durch eine Zahl 8 theilbar sein, ohne dass 8 einer der Faktoren oder auch nur ein Theiler eines dieser Faktoren ist. So ist 5 ■ 7 • 9 durch 35, oder durch 21 theilbar, ebenso 40 • 24 durch 15 u. dgl. m. In dieser Beziehung gilt der algemeinere Satz, dass das Produkt ab c d. . . durch 8 theilbar ist, wenn das Produkt der bei der Division der einzelnen Faktoren durch 8 bleibenden Reste durch 8 theilbar ist. — So erhält man beispielsweise für das obige Produkt 40 • 24 und den Theiler 15 die Reste 10 und 9, und das Produkt 90 derselben ist durch 15 theilbar. Allgemein ist, wenn a = ;»8 + a, b = 11 8 + ß, c = po + 7 , ••• ist, ab = mnh 2 + anh + ß«S + aß = (mn 8 + an + ßw) 8 + aß, womit der Satz für zwei Faktoren bewiesen ist. Für drei Faktoren setze man abc^=(ab)-c, so ergiebt derselbe Beweis denselben Satz für das Produkt der Reste von ab und c, also für aß 7 . Ebenso kann man für jeden weiteren Faktor im Beweise fortfahren. Ist dagegen 8 weder ein Theiler eines der Faktoren des Produkts (d. h. ist 28 Arithmetik und Algebra. keiner der Reste gleich Null), noch ein solcher des Produkts der Reste, so kann 8 auch kein Theiler des ursprünglichen Produktes sein. § 17. Gemeinschaftliche Theiler. 1. Um zu bestimmen, ob zwei gegebene Zahlen einen gemeinschaftlichen Theiler haben, dividire man die kleinere in die grössere, dann den etwa bleibenden Rest in den vorhergehenden Divisor, darauf den etwa hierbei bleibenden Rest wieder in den jetzt vorhergehenden Divisor, und fahre so fort, bis kein Rest bleibt. Der letzte Divisor ist dann die grösste Zahl, welche in die beiden gegebenen aufgeht. Ist derselbe also gleich 1, so sind letztere relative Primzahlen, im anderen Fall ist jener Divisor ihr grösster gemeinschaftlicher Theiler. Beispiel: Den grössten gemeinschaftlichen Theiler von 1245 und 2676 zu bestimmen. 2676 : 1245 = 2 1245 : 186 = 6 186 : 129 = 1 129 : 57 = 2 57 : 15 = 3 15 : 12= 1 12 : 3 = 4 Der grösste gemeinschaftliche Theiler ist also 3. Um allgemein die Richtigkeit dieses Verfahrens zu beweisen, sei zunächst bemerkt, dass, da jeder Rest kleiner als der vorhergehende Divisor ist, jeder folgende Rest kleiner als der vorhergehende ist, und dass man daher, wenn b die kleinere der beiden gegebenen Zahlen ist, im ungünstigsten Fall nach b — 1 Divisionen auf den Rest 1 kommen muss, welcher dann in den vorigen Rest aufgeht. Es seien nun q u q%, q%, . . . der Reihe nach die einzelnen Quotienten, r n r 2 > r 3 > • • • die Reste, so ist a — b • q 1 +r 1 b • «’s + r l = r i ^ 3+^3 ■r »-2 = r„-.iq„+ r n r»-\ = r K ■ q n + \. Daher ist der letzte Divisor r„ ein Theiler von r H _ i, folglich ist er auch ein Theiler des vorhergehenden Vielfachen r n ~\-q u von r n — \ und mithin auch ein Theiler der Summe r „-1 q„- f- r„, d. h. ein Theiler von r„_ 2 . Indem man diese Schlussweise wiederholt, findet man nacheinander, dass r n ein Theiler von r„- 3 , von r„- 4 , u. s. f., und schliesslich, dass r u auch ein Theiler von b und von a, also ein gemeinschaftlicher Theiler der beiden gegebenen Zahlen sei. Um nun auch zu beweisen, dass r» der grösste gemeinschaftliche Theiler von a und b ist, sei 8 irgend ein anderer Theiler von a und b. Dann muss 8 auch ein Maass des Vielfachen b ■ q x von b, und mithin auch ein solches von a — b ■ q x oder von r, sein. Hieraus folgt wieder, dass 8 auch in r x ■ q 2 und mithin in b — r x q 2 = aufgehen muss. Durch Wiederholung dieser Schlussfolgerung gelangt man zuletzt dahin, dass S ein Maass von r n sein muss. Daher kann 8 nicht grösser als r n sein. Aus diesem Beweise folgt noch, dass jeder gemeinschaftliche Theiler 8 zweier Anh. i. Maass der Zahlen. 29 Zahlen a, b auch in dem grössten gemeinschaftlichen Theiler dieser Zahl aufgehen muss. 2. Soll entsprechend das grösste gemeinschaftliche Maass für drei oder mehr Zahlen gesucht werden, so bestimme man zunächst das grösste gemeinschaftliche Maass 8 zu irgend zweien derselben, z. B. zu a und b. Da nun jeder gemeinschaftliche Theiler von a, b und c auch ein solcher von a und b allein, und somit ein Theiler von 8 sein muss, so kann man 8 an die Stelle der beiden Zahlen a und b setzen, wodurch die Anzahl der betreffenden Zahlen um 1 vermindert ls t. Sucht man nun wieder zu irgend zweien dieser jetzt vorhandenen Zahlen den grössten gemeinschaftlichen Theiler e, und setzt diesen für die beiden Zahlen, so kann man durch hinreichende Wiederholung dieses Verfahrens zuletzt auf eine emzige Zahl kommen, und diese letztere muss die gesuchte sein. 3. Das im Obigen entwickelte Verfahren dient auch zum Beweise des folgenden fundamentalen Lehrsatzes: Ist 8 ein gemeinschaftlicher Theiler von a ■ k und von b, und sind a und b relative Primzahlen, so muss 8 ein Theiler von k sein. Multiplicirt man nämlich die Seiten einer jeden der oben für zwei Zahlen a, b aufgestellten Gleichungen mi t k, so erhält man a k — b q x k 4- r x k b k = r x q 2 k -+- r 2 k r^k^r^q^k-^ r 3 k r n • k = k. Die letzte dieser Gleichungen folgt nämlich aus der hier gemachten Voraussetzung, dass a und b relative Primzahlen seien, in welchem Fall ihr grösster gemeinschaftlicher Theiler r„ gleich 1 ist. Ist nun 8 ein gemeinschaftlicher Theiler von ak und b, so ist 8 auch ein Theiler von ak — bq x k = r x k, also auch e m solcher von bk — r x q 2 k-=r 2 k, u. s. w. Durch Wiederholung dieser Schlussfolgerung erhält man zuletzt, dass 8 ein Theiler von k sei. Aus diesem Satze folgen unmittelbar die nachstehenden: 1. Sind a und b relative Primzahlen, und ist k ebenfalls relativ prim zu b, so ist auch das Produkt ak relativ prim zu b. 2. Sind a und b relative Primzahlen und geht b in ak au f, so ist b ein Theiler von k. 3. Allgemein, ist jede der Zahlen a, b, c, d... relativ prim zu jeder der Zahlen a, ß, y, 8, . . ., so ist auch das Produkt abcd . . . relativ prim zu aß-y8 ... 4. Insbesondere ist aaa . . . ( a n ) relativ prim zu bbb . . . wenn a und b relative Primzahlen sind. — § 18. Zerlegung der Zahlen. Kleinste gemeinschaftliche Vielfache. 1. Ist a eine zusammengesetzte Zahl, hat also einen Theiler b, so kann sie als Produkt b ■ c dargestellt werden. Ist b wieder keine Primzahl, so kann sie auf s neue als Produkt zweier Zahlen d ■ e dargestellt werden. Da nun die Faktoren immer kleinere Zahlen werden müssen, so muss man durch hinreichend Wiederholte Anwendung dieses Verfahrens schliesslich einmal auf einen Theiler/ kommen, welcher eine Primzahl ist. Es ist dann ft auch ein Theiler von a und es kann daher a in der Form a, -ft dargestellt werden. Da man nun mit a x , falls sie nicht selbst schon eine Primzahl ist, dasselbe Verfahren wiederholen und So auch a 1 als Produkt einer Primzahl ft x mit einer Zahl a 2 darstellen, dann Wieder a 2 in derselben Weise behandeln und so weiter fortfahren kann, und da jede folgende der Zahlen a x , a 2 ,. .. kleiner als die vorhergehende ist, so muss 3° Arithmetik und Algebra. man schliesslich auch hier auf eine Primzahl kommen. Somit kann jede zusammengesetzte Zahl als Produkt einer endlichen Anzahl von Faktoren dargestellt werden, welche sämmtlich Primzahlen sind. Man nennt dies die Zerlegung der Zahl in ihre Primfaktoren. Diese Zerlegung kann bei mehr als zwei Faktoren stets in verschiedenen Reihenfolgen geschehen. Ist a als ein Produkt b ■ c dargestellt, so kann man jeden der Faktoren, sofern er nicht schon eine Primzahl ist, für sich weiter zerlegen, dann ebenso mit den neuen Faktoren verfahren, u. s. w. So kann man z. B. für 144 zunächst 12 • 12, dann für jeden Faktor 12 entweder 2 • 6 oder 3 • 4 setzen, und so weiter berechnen, bis man 2 • 2 ■ 2 • 2 • 3 • 3 erhält. Es fragt sich nun noch, ob man bei verschiedener Anordnung in jener Zerlegung auf verschiedene Schluss-Resultate gelangen kann, oder ob alle diese Resultate identisch sein müssen. Man überzeugt sich leicht davon, dass das letztere der Fall ist, und zwar durch folgenden Beweis: Es seien durch zwei Zerlegungen die Resultate a —p •p 1 -p^- ■ - ft,, und a — 1 ' ?i' • • • Qm erhalten worden. Da nun a durch q theilbar ist, so muss auch p-p x -p 2 - • ■ p n durch q theilbar sein, und da hier die einzelnen Faktoren Primzahlen sind, so folgt aus § 17, 3, dass q gleich einem dieser Faktoren, z. B. gleich p sein muss. Durch Division mit den gleichen Faktoren p und q findet man dann, dass p x ■ •-p n — • ^2 ‘ ‘ ' sein muss. Auf diese beiden Produkte lässt sich wieder dieselbe Schlussfolgerung anwenden, und indem man die letztere hinreichend oft wiederholt, überzeugt man sich, dass jeder Faktor, welcher in dem einen Produkte ein- oder mehreremale vorkommt, ebenso oft in dem anderen Vorkommen muss. Hieraus folgt aber, dass die Produkte, abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren, ganz genau dieselben sein müssen. Man kann hiernach jede zusammengesetzte Zahl auf die Form/“ - q$ ■ tt. . . bringen, in welcher p, q, t Primzahlen sind und u, ß, 7 . . . die Zahlen, welche angeben, wie oft der betreffende Primfaktor in dem Produkte vorkommt. Diese Zerlegung kann nur zu einem einzigen Resultate führen. 2. Der vorstehende Satz führt zu einer in der Praxis meist bequemeren Methode, den grössten gemeinschaftlichen Theiler mehrerer gegebenen Zahlen a, b, c, ... zu finden. Man zerlege zu diesem Zweck jede dieser Zahlen in ihre Primfaktoren und bilde das Produkt sämmtlicher dieser Faktoren, welche in jeder der gegebenen Zahlen enthalten sind. Kommt in derselben Zahl derselbe Primfaktor mehrfach vor, so ist er in dem gesuchten Theiler so oft zu setzen, als er in derjenigen gegebenen Zahl vorkommt, welche ihn in der geringsten Anzahl enthält. So ist beispielsweise 360 = 2 3 • 3 2 • 5; 300 = 2 3 • 3 • 5 2 ; 2000 = 2 4 • 5 3 , also der grösste gemeinschaftliche Theiler von 360, 300 und 2000 gleich 2 3 • 5 = 20. Aus dem grössten gemeinschaftlichen Theiler lassen sich dann alle anderen gemeinschaftlichen Theiler der gegebenen Zahlen finden. Dieselben sind die einzelnen Primfaktoren des ersteren und alle möglichen aus denselben in unvollständiger Anzahl gebildeten Produkte. So sind in dem vorigen Beispiel die übrigen gemeinschaftlichen Theiler 2, 5, 4 und 10. 3. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache gegebener Zahlen nennt man die kleinste Zahl, in welcher alle gegebenen als Theiler enthalten sind. Man erhält dieselbe, indem man aus sämmtlichen Primfaktoren der gegebenen Zahlen ein Produkt bildet, welches jeden dieser Faktoren so oft enthält, als diejenige Zahl, in welcher er am häufigsten vorkommt. Von diesem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen wird bekanntlich bei Anh. i. Maass der Zahlen. 3i der Addition und Subtraction ungleichnamiger Brüche unter dem Namen Generalnenner oder Hauptnenner Gebrauch gemacht. Die für die Bestimmung des letzteren im praktischen Rechenunterricht gewöhnlich gegebenen Regeln erhalten durch die vorstehenden Entwicklungen ihre genauere, wissenschaftliche Begründung. Im Folgenden soll dieselbe noch auf die zur leichten Ausführung der Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren nützlichen Regeln über die Kennzeichen der Theilbarkeit dekadischer Zahlen ausgedehnt werden. § 19. Zahlensysteme. Unter einem Zahlensystem versteht man eine zunächst zur besseren Ueber- sicht der unendlichen Reihe der Zahlen dienliche Anordnung der letzteren nach einer bestimmten Grundzahl oder Basis, und zwar in folgender Weise: In dem gewöhnlichen, sogenannten dekadischen Zahlensystem, welches die Grundzahl zehn hat, werden nur die neun ersten Zahlen durch besondere Zahlzeichen (Ziffern) bezeichnet. Eine Anzahl von zehn Einheiten wird als eine neue Einheit von einer höheren Ordnung angesehen und wieder durch 1 bezeichnet. Zum Unterschied von der ursprünglichen Einheit wird diese neue um eine Stelle weiter nach links geschrieben, wobei die leere Stelle rechts durch eine Null ausgefüllt wird. Eine Zahl, welche mehrere solche »Zehner« enthält, wird dadurch geschrieben, dass man die Anzahl dieser Zehner in die weiter nach links stehende erste Stelle und sodann in die ursprüngliche Stelle entweder eine Null oder, wenn ausserdem noch »Einer« vorhanden sind, die Anzahl dieser letzteren setzt. Zehn solche Zehner bilden wieder eine Einheit der nächst höheren Ordnung unter dem Namen Hundert, und die »Hunderter« werden in die zweite Stelle links von den Einern geschrieben. In derselben Weise wird weiter zu den Einheiten der folgenden Ordnungen aufgestiegen. Die nähere Kenntniss und der Gebrauch des dekadischen Zahlensystems ist hier als bekannt vorauszusetzen. Auf dieser Anordnung der Zahlen in ein System mit Hülfe der Bezeichnung der Ordnungen durch die Stellungen und mit Hülfe der Null zum Ausfüllen leerer Stellen beruht die Leichtigkeit in der Ausführung unserer heutigen Rechnungen im Gegensatz zu denen der alten Griechen und Römer, und damit zu einem grossen Theile auch die höhere Entwicklung der mathematischen Wissenschaften. Man kann jedoch nicht bloss die Zahl zehn, sondern überhaupt jede beliebige (ganze) Zahl a als Grundzahl eines Zahlensystems annehmen. Diese aus a ursprünglichen Einheiten bestehende Zahl wird dann als die Einheit der ersten höheren Ordnung angesehen; a Einheiten dieser ersten Ordnung, also a ■ a oder abgekürzt ß 2 Einheiten der ursprünglichen Art liefern eine Einheit zweiter Ordnung; aaa = a s , ferner a 4 , u. s. w. sind die Einheiten der folgenden höheren Ordnungen. Die ursprüngliche Einheit wird dem entsprechend als Einheit nullter Ordnung ( a°) bezeichnet. Hiernach giebt es also, je nachdem a gleich 2, 3, u. s. w. ist, ein zweitheiliges oder dyadisches, ein dreitheiliges oder triadisches System, u. s. w. Hiernach bedeutet beispielsweise die Zahl 54321 im sechstheiligen System 5 • ( 6 4 ) -+- 4 • ( 6 3 ) 4- 3 • ( 6 2 ) —1 im achttheiligen System 5 • ( 8 4 ) -t- 4 ■ ( 8 3 ) -+- 3 • ( 8 2 ) 4 im zwölftheiligen System 5 • (12 4 ) -+- 4 • (12 3 ) 4- 3 ■ (12 2 ) 4 während sie im zehntheiligen System = 5 • (10 4 ) 4-4-(10 3 )4-3 'st- Demnach ist diese Zahl im sechstheiligen System gleichbedeutend mit der Zahl 5 . 1296 -t- 4 - 216 -1- 3 - 36 + 2- 6 + 1 = 7465 im zehntheiligen, und ebenso dieselbe Zahl im achttheiligen System mit 227 37 und im zwölftheiligen System mit 2 • ( 6 ) 4 - 1 , 2 ■ ( 8 ) + 1 , 2 • ( 12 ) + 1 , ( 10 2 ) 4 - 2 -( 10 ) 4 - 1 , 32 Arithmetik und Algebra. 111049 im gewöhnlichen dekadischen. Umgekehrt ist die der dekadischen Zahl 4319 gleichwerthige im dyadischen System 1000011011111, im triadischen 12220222, im dodekadischen 25 (XI) (XI), wobei XI für die hier fehlende Ziffer für elf Einheiten gesetzt ist. Das Einmaleins lautet beispielsweise im sechstheiligen System: 1 • 1= 1 2 • 1 = 2 3 ■ 1=3 4 ■ 1 = 4 5 • 1=5 10 • 1= 10 1 • 2= 2 2 • 2= 4 3 • 2 = 10 4 • 2 = 12 5 ■ 2 = 14 10 • 2= 20 1 • 3= 3 2 • 3 = 10 3 ■ 3 = 13 4 • 3 = 20 5 • 3 = 23 10 • 3= 30 1 • 4= 4 2 • 4= 12 3 • 4 = 20 4 • 4 = 24 5 • 4= 32 10 • O II 1 ■ ■ 5= 5 2 • 5= 14 3 • 5 = 23 4 • 5 = 32 5 • 5 = 41 10 • 5= 50 1 ■ ■ 10 = 10 2 : 10 = 20 3 • 10= 30 4 • O II O 5 • 10 = 50 10 ■ 10 = 100. Das zehntheilige Zahlensystem ist keineswegs das für die praktischen Rechnungen bequemste, da seine Grundzahl nur die beiden Theiler 2 und 5 hat; das zwölf- theilige würde beispielsweise insofern vortheilhafter sein, als in demselben die Zahlen 2, 3, 4, 6, 8 und 9 als einfache Bruchtheile der höheren Einheit erscheinen würden. In der That hat man im Verkehr vielfach neben dem dekadischen noch andere Systeme, zwar nicht für das eigentliche Zifferrechnen, aber doch für die übersichtliche Eintheilung häufig gebrauchter Grössen benutzt, wie z. B. bei dem früheren Duodecimalsystem der Längenmaasse, wo 12 Linien als Einheit höherer Ordnung ein Zoll, zwölf Zolle ein Fuss genannt wurden, u. s. w. Noch gegenwärtig werden in dieser Weise vereinzelt andere Systeme, ja zuweilen werden bei einer und derselben Art von Grössen verschiedene Grundzahlen gebraucht; so setzt man z. B. bei Winkelgrössen 60 Secunden gleich einer Minute, 60 Minuten gleich einem Grad, dagegen 90 Grad gleich dem rechten Winkel. Aehnliches gilt für die Zeitmaasse. Nur vereinzelt sind Bestrebungen aufgetreten, das dekadische Zahlensystem auch im Zifferrechnen durch ein zweckmässigeres zu verdrängen. Da für die Grundzahl eines praktisch bequemen Zahlensystems weder sehr kleine Zahlen, wie 2 oder 3, noch grössere, wie 15, 16, .. geeignet sind, weil bei ersteren grosse Zahlen in übermässiger Ausdehnung erscheinen, und bei letzteren die Anzahl der nothwendigen Ziffern zu gross wird, da ferner, wie schon bemerkt, auf eine möglichst grosse Theilbarkeit der Grundzahl Bedacht zu nehmen ist, so sind in der erwähnten Beziehung nur die Zahlen 12 und 6 als beachtenswerth hervorgehoben worden. Derartige Bestrebungen müssen jedoch als aussichtslos bezeichnet werden. Dagegen hat man umgekehrt mehr und mehr das dekadische System auch auf alle im Handel und sonstigen Verkehr gebräuchliche Eintheilungen, also auf Maasse, Münzen, Gewichte u. s. w. auszudehnen gesucht und hierdurch nicht nur eine früher vermisste Gleichmässigkeit solcher Maasse u. s. w. in verschiedenen Provinzen und Ländern, sondern auch durch die Gleichartigkeit des Eintheilungs- princips manche Vortheile für das praktische Rechnen gewonnen. Letzterem stehen, allerdings auch Nachtheile in Folge der schon erwähnten geringen Theilbarkeit der Grundzahl gegenüber, und eine vollständige Durchführung des dekadischen Systems und des entsprechenden Rechnens dürfte überdies an der in das praktische Leben tief eingreifenden gewohnten Zeit-Eintheilung ein schwer zu beseitigendes Hinderniss finden. Das dekadische System ist kein natürliches, sondern ein willkürliches und künstliches; für die Wahl der Grundzahl 10 giebt es nur einen historischen, keinen mathematisch-wissenschaftlichen Grund. Der Werth des einmal gewählten Systems wird allerdings erhöht durch eine möglichst consequente Durchführung und allgemeine Anwendung; aber überall, wo das Anh. i. Maass der Zahlen. 33 Eintheilungs-Princip durch die Natur gegeben und somit der Willkür entzogen ls h muss man auf die Forderung seiner Durchführung verzichten. Man kann das Jahr nicht in eine decimale Anzahl von Tagen theilen, da diese Anzahl von der Natur unveränderlich gegeben ist. Eine eingehendere Erörterung der vorwiegend theoretisches Interesse in Anspruch nehmenden Theorie der Zahlensysteme muss an dieser Stelle unterbleiben; nur zwei die praktische Anwendung des dekadischen Systems insbesondere näher angehende Fragen bedürfen noch der Besprechung im Folgenden. § 20. Theilbarkeit dekadischer Zahlen. Die Frage nach äusseren Kennzeichen der Theilbarkeit einer dekadischen Zahl durch eine andere, welche insbesondere auch für die Anwendung des im § 18 Gesagten von Werth ist, hat von der im Vorstehenden erläuterten Darstellung einer dekadischen Zahl z durch die Form z = a ■ 10« -t- b ■ 10« - 1 c ■ 10«- 2 + • • • +/ ■ 10 2 -4- q • 10 -+- r auszugehen, wobei a, b, c, ... r die einzelnen Ziffern dieser Zahl sind. Da diese Zahl durch irgend eine andere Zahl k dividirt werden kann, indem man jeden Summanden einzeln durch k dividirt, so folgt leicht, dass z durch k theilbar ist, wenn die Summe der Produkte aus ihren einzelnen Ziffern a, b, . . in diejenigen Reste, welche durch Division ihrer Einheiten 10«, 10“ — 1 , . . . mit k entstehen, durch k theilbar ist. Bleibt dagegen bei der Division dieser Summe durch k ein Rest, so bleibt derselbe Rest bei der Division von z durch k. Da nun 10, 10 2 , . . . 10« sämmtlich durch 2, 5 und 10, 10- 2 , 10 3 , . . durch 4) 10 3 , 10 4 , . . durch 8 u. s. w. theilbar sind, ferner 10, 10 2 , . . 10« sowol durch 3 als durch 9 dividirt, sämmtlich zum Rest 1 geben, so folgt: Eine Zahl z ist theilbar durch Z = 2, wenn ihre letzte Ziffer r durch 2 theilbar oder Null ist, Z = 3, wenn die Quersumme a-\-b + c- --t-p + q + r ihrer Ziffern durch 3 theilbar ist, Z = 4, wenn die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl 10 q -t- r durch 4 theilbar ist, Z = 5, wenn die letzte Ziffer 5 oder 0 ist, Z = 8, wenn die aus den drei letzten Ziffern gebildete Zahl 100/ 4- 10 q -t- r durch 8 theilbar ist, Z = 9, wenn die Quersumme der Ziffern durch 9 theilbar ist, Z = 10, wenn die letzte Ziffer Null ist. Schreibt man ferner die Zahl z in der Form r -t- 11 q -(- 99/ -+- 1001 o + 9999 m + . . . — 2 + / — 0 -+■ m — • • so ergiebt sich noch die folgende einfache Regel: Eine dekadische Zahl ist durch 11 theilbar, wenn die Summe der an der ersten, dritten, fünften, u. s. w., also überhaupt der an ungeraden Stellen stehenden Ziffern gleich der Summe der an geraden Stellen stehenden ist. Kennzeichen für die Theilbarkeit durch zusammengesetzte Zahlen lassen sich aus denen für die Theilbarkeit durch Primzahlen ableiten; so ist eine Zahl durch 6 theilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und durch 3 theilbar ist. Die Kennzeichen, welche man für die Theilbarkeit durch noch andere als die bisher erwähnten Zahlen abgeleitet hat (z. B. für 7) sind derart, dass die wirkliche Ausführung der Division den Vorzug vor ihrer Anwendung verdient. — Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. X. 3 34 Arithmetik und Algebra. § 21. Einheiten niederer Ordnungen. In derselben Weise, in der man in den Zahlensystemen von der ursprünglichen Einheit zu Einheiten höherer Ordnungen aufsteigt, kann man auch von denselben zu Einheiten niederer Ordnungen herabsteigen, und so auch die zwischen die ganzen Zahlen sich einschiebenden Bruchzahlen in das System einschliessen. Diese Fortsetzung des Zahlensystems unterhalb der ursprünglichen Einheit verlangt zunächst die Auffindung einer Einheit, welche zur ursprünglichen in derselben Beziehung steht’, wie diese zur Einheit erster Ordnung. Wie also im dekadischen System jede folgende der Zahlen 10 M . . . 1000, 100, 10, 1 der zehnte Theil der vorigen ist, so muss die nächst niedere Einheit wieder der zehnte Theil der ursprünglichen, also j 1 ,,- sein, in gleicher Weise ist jede der weiter folgenden niederen Einheiten Y ... der zehnte Theil der vorhergehenden. Ist allgemein a die Grundzahl des Systems, so bezeichnet man den Bruch als die Einheit der ■— lten Ordnung (a —- 1 ), ebenso als Einheit der — 2ten Ordnung («~ 2 ), u. s. f. allgemein ^ als Einheit der — »ten Ordnung. Auch hier wird die Ordnung durch die Stellung bezeichnet, indem jede Anzahl von Einheiten eines niederen Ranges um eine Stelle weiter nach rechts geschrieben wird, als die Einheiten des vorhergehenden Ranges. Hierdurch entsteht die Nothwendigkeit, die Stelle zu bezeichnen, welche die Einheiten der ursprünglichen (Oten) Ordnung einnehmen. Dies geschieht in der Regel durch ein nach diesen letzteren gesetztes Komma. So bedeutet also beispielsweise die Zahl 314,897 für die Grundzahl 10 dasselbe wie 3 • 100 +1-10 + 4 + 8- ^ö ^ ‘ tött + ? • Tinnr- Für das dekadische System führen derartige Zahlen den Namen Decimal- brüche. Wegen der besonderen Wichtigkeit der letzteren für das praktische Rechnen sollen dieselben im folgenden Abschnitt in besonderer Darstellung behandelt werden. Anhang 2. Die Decimalbrüche. (Heis, § 29—30.) § 22. Grundbegriffe. Für das praktische Rechnen ist eine bestimmte Art von Brüchen von besonderer Wichtigkeit geworden, und da dieselben im Folgenden vielfach gebraucht werden, während der — hier vorausgesetzte — elementare Rechenunterricht dieselben bisher in der Regel nicht eingehend genug behandelt hat, so soll denselben ihrer besonderen Bedeutung für den praktischen Rechner wegen ein eigener Abschnitt gewidmet werden. Ein jeder Bruch, dessen Nenner 10 oder 100, 1000, u. s. w., also gleich einem Produkte ist, dessen Faktoren sämmtlich gleich 10 sind, heisst einDecimal- bruch. Da der Nenner eines solchen durch eine 1 mit einer oder mehreren Nullen geschrieben wird, so genügt es, die Anzahl dieser Nullen zu wissen, um den Nenner angeben zu können. Man schreibt daher einen Decimalbruch, indem man den Nenner weglässt und dafür die Anzahl seiner Nullen durch ein Anh. 2 . Die Decimalbrüche. 35 Komma angiebt, welches vor eine gleiche Anzahl von Ziffern des Zählers, von rechts nach links gerechnet, gesetzt wird. Man schreibt also z. B. statt kürzer 3,17, statt aait 447,1; umgekehrt bedeutet 42,158 dasselbe wie J i 2 s ! 0 5 ( f. Man liest den letzteren Decimalbruch auch: Zweiundvierzig, Komma, eins, fünf, acht. Hat der Nenner mehr Nullen, als der Zähler Ziffern, so werden die zur Bezeichnung des Nenners durch das Komma fehlenden Ziffern linker Hand durch Nullen ersetzt; ausserdem schreibt man vor das Komma noch eine Null. So wird z. B. 0,051 geschrieben, und 0,72 ist gleich Im Gegensatz zu den Decimalbrüchen nennt man alle anderen Brüche gemeine Brüche. Bekanntlich unterscheidet man bei den Brüchen echte und unechte, je nachdem dieselben kleiner oder grösser als 1 sind. Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner, bei einem unechten grösser als der Nenner. Für Decimalbrüche ergiebt S1 ch hieraus leicht die Regel: Ein Decimalbruch ist ein echter, wenn vor dem Komma nur eine Null, ein unechter, wenn vor dem Komma eine Zahl steht, die grösser als Null ist. Die unechten Brüche können durch Absonderung der in ihnen enthaltenen ganzen Zahlen nach der Regel ac ■ ln sogenannte gemischte Zahlen verwandelt werden. Für Decimalbrüche ergiebt sich hieraus: Die vor dem Komma stehende Zahl ist gleich der ganzen Zahl, die hinter dem Komma stehenden Ziffern liefern den Zähler der entsprechenden gemischten Zahl. So ist beispielsweise 4,2583 = 4 i^nnnp denn 4juulsl To (TÖTT ■ 2 5 8 3 TO 0 0 ö- Man kann ferner in dem vorstehenden Beispiel 25 83 2 0 0 0 i 5 0 0 i 80 — To ooo * To o o ö ^Ttnnnr i o o o o 3 TO o ö ö -b — TXT _r TÖTT T 1 0 0 0 T 1 0 0 0 0 setzen, und da sich dieses Verfahren allgemein anwenden lässt, so folgt, dass die erste Ziffer rechts vom Komma Zehntel der Einheit, die zweite Hundertel, die dritte Tausendtel, u. s. w. enthält. Hiernach lässt sich ein Decimalbruch auf vier verschiedene Arten lesen; so z. B. 72,318 wie folgt: Zweiundsiebenzig, Komma, drei, eins, acht, oder 72 Tausend, dreihundert und achtzehn Tausendtel, oder 72 Ganze und dreihundert und achtzehn Tausendtel, oder endlich 72 Ganze, drei Zehntel, ein Hunderttel und acht Tausendtel. Bei einem Decimalbruch bezeichnet hiernach das Komma die Stelle der Einer, indem es diesen angehängt ist, und wie die Zehner die erste, die Hunderter die zweite, die Tausender die dritte Stelle vor den Einern u. s. w. einnehmen, wie also jede frühere Ziffer vor dem Komma sich auf eine zehn mal so grosse Einheit, als die folgende bezieht, so folgen in der ersten Stelle nach den Einern Zehntel, in der zweiten Hundertel, in der dritten Tausendtel u. s. w. In den Decimalbrüchen wird also das zehntheilige Zahlensystem durch die auf das Komma folgenden Ziffern in gleicher Weise von den Einern nach abwärts fortgesetzt, wie es in den ganzen Zahlen von den Einern zu den Zehnern, Hundertern u. s. w. aufsteigt. Besonders einfache Beispiele hierzu bieten die neueren zehntheiligen Maasse, Münzen und Gewichte. Eine Strecke z. B. von 5 Kilometer, 3 Dekameter, 3 3 6 Arithmetik und Algebra. 2 Meter, 7 Decimeter, 9 Centimeter und 8 Millimeter Länge kann bezeichnet werden durch 532,798 Meter. Dieselbe Strecke ist gleich 5,32798 Kilometer oder 53,2798 Dekameter oder 5327,98 Decimeter oder 53579,8 Centimeter oder endlich 532798 Millimeter. Ein Decimalbruch unterscheidet sich also von einer ganzen Zahl des dekadischen Zahlensystems nur dadurch, dass die Einer nicht die letzte Stelle rechts, sondern die dem Komma vorangehende Stelle einnehmen, während im Uebrigen die Rangordnung der Ziffern nach ihrer Stellung dieselbe bleibt. Die auf das Komma folgenden Ziffern eines Decimalbruchs heissen die Decimalstellen desselben. § 23. Rechnen mit Decimalbrüchen. 1. Für die Rechnung mit Decimalbrüchen ergiebt sich aus dem Vorstehenden zunächst leicht, dass man bei der Addition von solchen ebenso die Zehntel zu den Zehnteln, die Hundertel zu den Hundertein u, s. w. addiren kann, wie bei ganzen Zahlen die Einer zu den Einern, die Zehner zu den Zehnern, u. s. w. Entsprechendes gilt für die Subtraction. Hieraus folgt die praktische Regel: Um Decimalbrüche zu addiren oder zu subtrahiren, schreibe man dieselben so unter einander, dass Komma unter Komma kommt, addire oder subtrahire dann wie bei ganzen Zahlen und setze das Komma im Resultat an dieselbe Stelle, wie in den einzelnen Gliedern. Der praktische Rechner gewöhne sich übrigens auch hier daran, dass er nicht nöthig habe, die Zahlen wirklich unter einander zu schreiben, sondern dass er auch ohne dies die Ganzen zu den Ganzen, die Zehntel zu den Zehnteln addire u. s. w. Hängt man an einen Decimalbruch nach der letzten Ziffer rechts eine Null an, so wird sowol der Zähler als der Nenner mit 10 multiplicirt, der Werth des Bruches bleibt also unverändert. So ist z. B. 1,5 = 1,50, denn 1,50 = ff# = ff. Durch wiederholte Anwendung dieser Regel ergiebt sich der Satz: Durch Anhängen beliebig vieler Nullen an einen Decimalbruch wird derselbe mit 10 oder 100, 1000 u. s. w. erweitert, sein Werth also nicht verändert. Umgekehrt darf man Nullen, welche am Ende eines Decimalbruchs stehen, unbeschadet des Werthes des letzteren weglassen. Der Decimalbruch wird hierdurch mit 10 oder 100, 1000 u. s. w. gehoben. Hiernach kann man ungleichnamige Decimalbrüche gleichnamig machen, indem man denselben so viele Nullen anhängt, dass alle gleich viele Decimalstellen erhalten. Auch jede ganze Zahl kann in Form eines Decimalbruchs geschrieben werden, indem man hinter dieselbe ein Komma setzt und auf dieses beliebig viele Nullen folgen lässt. Die auf solche Weise gleichnamig gemachten Decimalbrüche können dann nach bekannter Regel mittelst Addition oder Subtraction ihrer Zähler addirt oder subtrahirt werden. Bei diesem Addiren oder Subtrahiren können die angehängten Nullen wieder weggelassen werden; man gelangt auf diese Weise zu derselben Regel für die Addition und Subtraction von Decimalbrüchen, welche schon oben angegeben ist. Beispiele: 17,384 5,318 1 H- 0,1562 — 1,9465 J 1 -t- 315,74 1^5715 ~ 0,41276 333,2802 0,58724 Anh. 2. Die Decimalbrtiche. 37 2. Verschiebt man das Komma eines Decimalbruchs um eine Stelle nach rechts, so bleibt der Zähler unverändert, während der Nenner durch 10 dividirt wird. Der Bruch wird also hierbei mit 10 multiplicirt. So geht z. B. 1,583 durch eine solche Verschiebung in 15,83, also xtnnr in '-j 5 ^ 3 über. Durch Wiederholung, bezw. durch Umkehrung dieses Verfahrens ergiebt sich die Regel. Um einen Decimalbruch mit 10, 100, 1000 u. s. w. zu multipliciren, verschiebe man das Komma um 1, 2, 3 u. s. w. Stellen nach rechts; um ihn durch 10, 100, 1000 u. s. w. zu dividiren, verschiebe man das Komma um 1, 2, 3 u. s. w. Stellen nach links. Um einen Decimalbruch mit einem Decimalbruch zu multipliciren, multiplicire man dieselben ohne Rücksicht auf das Komma, wie ganze Zahlen, indem man mit der höchsten Ziffer des Multiplicators beginnt und die auf einander folgenden Theilprodukte um je eine Stelle weiter nach rechts hinaus rückt. Bei der Multiplication mit den Einern des Multiplicators bestimme man die Stelle des Kommas, indem man dasselbe vor so viele Stellen setzt, als der Multiplican- dus nach dem Komma hat. An die entsprechende Stelle setze man nach der Addition der Theilprodukte das Komma im Resultat. Beispiele: 5,426 • 17,41 54 26 37,982 2 1704 5426 94,46666 0,134 • 0,0598 0,000 670 1206 1072 0,0080132 Die Begründung dieser Regel ergiebt sich daraus, dass die Multiplication ohne Berücksichtigung des Kommas gleichbedeutend ist mit der Multiplication der Zähler der Brüche, durch welche der Zähler des Produkts ermittelt wird, während der Nenner des Produkts durch die Stelle der Einer bestimmt werden kann, welche sich bei der Multiplication mit den Einern des Multiplicators ergiebt. Da nämlich der Nenner des Produkts stets wieder durch eine Eins mit angehängten Nullen geschrieben werden kann, so genügt zu seiner Bestimmung in der That diejenige der Stelle der Einer des Resultats. Die vorstehende Form der Regel für die Multiplication zweier Decimalbriiche ist der gebräuchlichen vorzuziehen, welche sich aus der Anwendung des Satzes -J ■ -j — ergiebt, und welche, wie folgt, ausgesprochen werden kann: Man multiplicire die Decimalbrtiche ohne Rücksicht auf das Komma, also Wle ganze Zahlen, und schneide im Produkt so viele Stellen von rechts nach links durch das Komma ab, als die Faktoren zusammen enthalten. Der Grund für die Bevorzugung der ersteren Regel ergiebt sich im Folgenden bei der »abgekürzten Multiplication«. Ist der eine Faktor ein Decimalbruch, der andere eine ganze Zahl, so ändert sich die vorstehende Regel nicht. 3. Soll ein Decimalbruch durch eine ganze Zahl dividirt werden, so dividire man ohne Rücksicht auf das Komma, also wie bei zwei ganzen Zahlen, und setze im Resultat das Komma vor eine gleiche Anzahl von Decimal- stellen, wie im Dividendus. Die Richtigkeit dieses Verfahrens folgt aus der Regel, dass man einen Bruch durch eine Zahl dividiren kann, indem man den Zähler durch die Zahl dividirt und den Nenner unverändert lässt. 38 Arithmetik und Algebra. In dem folgenden Beispiel ist die in § 8 angegebene Methode der Division ganzer Zahlen benutzt: 63,7978 : 517 = 0,1234 12 09 1 757 2068 000 Um dagegen durch einen Decimalbruch zu dividiren, multiplicire man — entsprechend der allgemeinen Regel für die Division durch einen Bruch — den Dividendus mittelst Verschiebung des Kommas mit dem Nenner und dividire das Produkt in der vorher gezeigten Weise durch den Zähler. Beispiel: 16,30936 : 4,78 = 1630,936 : 478 = 3,412 196 9 5 73 956. § 24. Unendliche Decimalbrüche. 1. Bleibt bei der Division eines Decimalbruchs durch einen Decimalbruch oder durch eine ganze Zahl ein Rest, so kann man dem Dividendus beliebig viele Nullen anhängen und hiernach mit der Ausführung der Division beliebig weit fortfahren. Doch ist vor dem Anhängen der Nullen das Komma im Resultat nach der im § 23 angegebenen Regel zu bestimmen. Ist der Dividendus eine ganze Zahl, so kann man derselben ebenfalls nach Bestimmung des Kommas im Resultat beliebig viele Nullen als Decimalstellen anhängen. Beispiel: 17 : 5,12 = 1700 : 512 = 3,3203125 1640 1040 1600 640 1280 2560 Hierbei ist es möglich, dass die Division erst spät oder gar nicht aufgeht. Dass der letztere Fall stattfinden kann, ergiebt sich aus Folgendem: Das Anhängen der Nullen ist gleichbedeutend mit einem Erweitern des Bruches mit einer der Zahlen 10, 100, 1000 u. s. w. Da nun die Division von Decimalbrüchen, abgesehen von der Bestimmung des Kommas, mit einer Division ganzer Zahlen identisch ist, so kann die vorliegende Frage dahin gefasst werden, unter welcher Bedingung eine ganze Zahl b, die sich in eine andere gegebene Zahl a nicht ohne Rest dividiren lässt, in ein Produkt von a mit einer der Zahlen 10, 100, 1000 u. s. w. ohne Rest aufgehe. Unter der stets erfüllbaren Voraussetzung, dass a und b keinen gemeinschaftlichen Faktor haben, kann der Quotient —— —^' _ nllr dann eine b ganze Zahl sein, wenn b ein Faktor von 1000 . . . ist. Hieraus folgt, dass nach dem Anhängen von Nullen die Division nur dann ohne Rest »aufgehen« kann, wenn der Divisor b keine anderen Faktoren als 2 oder 5 enthält. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so ist der Quotient ein Decimalbruch mit unendlich vielen Decimalstellen und kann daher selbstverständlich nie vollständig hingeschrieben werden. Da nun bei jeder Theildivision ein Rest bleiben muss, Anh. 2. Die Decimalbriiche. 39 welcher kleiner als der — als ganze Zahl dargestellte — Divisor ist, so ist die Anzahl der möglichen verschiedenen Reste um 1 kleiner als dieser Divisor. Es muss also nach höchstens b —1 Theildivisionen mit dem Divisor b ein Rest erscheinen, welcher schon einmal dagewesen ist, und sofern an beide Reste auch dieselbe Ziffer (Null) angehängt wird, muss sich von da an das Divisionsverfahren in derselben Weise, wie von jenem ersten Reste ab, wiederholen. Es muss sich also auch im Quotienten von einer bestimnten Stelle an stets dieselbe Zifferngruppe in derselben Weise wiederholen. Beispiel: 15,3182 : 0,27 = 1531,82 : 27 = 56,73407407 . . . 181 198 92 110 200 110 200 Es kehrt hierbei die Zifferngruppe 407 fortwährend wieder. Decimalbriiche, welche unendlich viele Decimalstellen haben, werden kurz unendliche Decimalbriiche genannt. Kehrt dabei dieselbe Zifferngruppe in derselben Ordnung immer wieder, so heisst der unendliche Decimalbruch ein periodischer, und jene Zifferngruppe seine Periode. Beginnt die erste Periode mit der ersten Decimalstelle; wie z. B. in 0,757575 . . ., so heisst der Decimalbruch ein rein periodischer, gehen aber der ersten Periode Decimalstellen vorher, welche also nicht dem Gesetze derselben folgen, so heisst er ein gemischt periodischer. Jede Division mit Decimalbrüchen, welche nicht aufgeht, führt also nach Obigem auf einen periodischen Decimalbruch als Resultat. 2. Auch die Division zweier ganzen Zahlen kann, wenn dieselbe nicht aufgeht, indem man dem Dividendus ein Komma und nach demselben beliebig viele Nullen anhängt, in der obigen Weise behandelt werden. Daher lässt sich auch jeder gemeine Bruch in einen Decimalbruch verwandeln, indem man den Nenner in den Zähler dividirt. So ist i = 0,5, ^ = 0,33 . . ., ^ = 0,25, £ = 0,2, | = 0,1666 . . ., u. s. w. Umgekehrt lässt sich jeder Decimalbruch in einen gemeinen Bruch verwandeln. Für endliche Decimalbrüche versteht sich dies von selbst; es ist hier nur eine Formverwandlung vorzunehmen, indem man den durch das Komma bestimmten Nenner als solchen wirklich hinschreibt oder ausspricht und allenfalls, wenn möglich, den Bruch noch durch den grössten gemeinsamen Faktor des Zählers und Nenners hebt. So ist 0,47 3,125 =u. dgl. m. Ist dagegen der Decimalbruch ein unendlicher, periodischer, so kann man nach Anleitung folgender Beispiele verfahren: 1) x = 0,801801 . . .; 1000 x = 801,801 . . also 1000 x — x = 801, mithin x = 1HBr = T& 2) 3,151515 . . . Man setze x — 0,1515 . . •, also 100 x — 15,15 . . ., 100 x x = 15, x = ^ = ^ w ) mithin ist der gegebene Bruch gleich 3-&= W* 3) 0,14 2186 2186 ... Man setze x = 0,2186 2186 ... und bestimme wie vorher x so lst der gegebene Bruch gleich -^- = 1 4 9999 • ltJ 0 _ 142172 . 1 nn _ 71081 9990 : 1UU — 499950* 40 Arithmetik und Algebra. Durch Verallgemeinerung dieser Beispiele lassen sich leicht allgemeine Regeln ableiten, welche die Wiederholung des ganzen Verfahrens in jedem einzelnen Fall überflüssig machen. § 25. Abgekürzte Decimalzahlen. 1. Die Anzahl der Ziffern der Periode eines durch Division zweier Zahlen entstehenden unendlichen Decimalbruchs muss, wie bemerkt, mindestens um 1 kleiner als der (als ganze Zahl genommene) Divisor sein. Sie ist im einzelnen Fall möglicherweise mehr oder minder erheblich geringer, als dieser Grenzwerth, kann aber auch denselben erreichen. Beispielsweise erhält man aus einem gemeinen Bruche, dessen Nenner 99 ist, nicht eine 98stellige, sondern nur eine zweistellige Periode; dagegen hat die Periode für den Nenner 7 stets die volle Anzahl von 6 Stellen. Hieraus geht hervor, dass man, wenn der Divisor nicht eine verhältnissmässig kleine Zahl ist, bis zur Feststellung der Periode eine grosse Anzahl von Decimalstellen zu bestimmen haben kann. Abgesehen von der Unmöglichkeit, einen unendlichen Decimalbruch vollständig hinzuschreiben, liegt hierin für das praktische Rechnen eine grosse Unbequemlichkeit. Es entsteht daher die Frage, ob in solchen Fällen nicht eine Abkürzung möglich sei. In der Praxis ist es nie möglich, die den Rechnungen zu Grunde liegenden Messungen mit absoluter Genauigkeit auszuführen, da weder die dazu gebrauchten Messinstrumente noch auch die menschlichen Sinne so vollkommen sind, um eine solche Genauigkeit zuzulassen. Auch gestatten die Bedürfnisse der Praxis stets das Ausserachtlassen von Grössen, die eine gewisse durch den jedesmal beabsichtigten Zweck bestimmte Grenze nicht übersteigen. Es ist daher in solchen Fällen auch gestattet, mit Zahlen zu rechnen, welche mehr oder minder fehlerhaft sind, wenn nur der daraus entstehende Fehler des endlichen Resultats nicht über die im einzelnen Fall gestattete Grenze hinausgeht. Eine solche fehlerhafte Zahl entsteht, wenn man bei einem Decimalbruch nur eine bestimmte Anzahl der vorhandenen Decimalstellen benutzt und alle folgenden vernachlässigt. Es fragt sich zunächst, welches die Grenzen der dabei begangenen Fehler sind. Da nun die erste Decimalstelle die Zehntel, die zweite die Hundertel, die dritte die Tausendtel enthält u. s. w., so ergiebt sich, dass der Fehler bei dem Weglassen aller Decimalstellen weniger als eine ganze Einheit, bei dem Weglassen der auf die erste folgenden Decimalstellen weniger als yV, bei dem Beibehalten von 2, 3, 4, . . . Decimalen weniger als y^-, yy^-gy, . . . beträgt. Allgemein ist, wenn man n Decimalstellen beibehält und die folgenden weglässt, der Fehler kleiner als eine Einheit der letzten beibehaltenen Stelle, d. h. kleiner als wo 10“ ein Produkt von n Faktoren bedeutet, die sämmtlich gleich 10 sind. Eine schärfere Begründung dieses Satzes folgt daraus, dass der durch Weglassen aller Decimalstellen begangene Fehler nicht grösser als der Werth des periodischen Decimalbruchs 0,999 . . ., der bei Beibehaltung nur einer Decimalstelle entstehende Fehler nicht grösser als 0,0999 . . . sein kann, u. s. w. 2. Einen Decimalbruch (oder auch eine ganze Zahl), welcher durch Weglassen von Decimalstellen abgekürzt ist, nennt man eine abgekürzte oder eine unvollständige Decimalzahl. Bei dem Abkürzen ist, wenn die erste weggelassene Ziffer 5 oder mehr als 5 beträgt, die letzte beibehaltene Ziffer um eine Einheit zu erhöhen, denn in diesem Falle würde ohne die Erhöhung der Fehler über eine halbe Einheit der letzten Stelle betragen, während er bei der Erhöhung Anh. 2. Die Decimalbrüche. 41 weniger als eine solche halbe Einheit beträgt. Man darf hiernach bei jeder unvollständigen Zahl annehmen, dass der Fehler derselben weniger beträgt als die Hälfte einer Einheit der letzten angegebenen Stelle. Ist diese Stelle erhöht worden, so ist der unvollständige Bruch zu gross, im anderen Falle ist er zu klein. Da hiernach der Fehler mit jeder Decimalstelle, welche mehr angegeben wird, zehnmal so klein wird, als vorher, so kann man die Abkürzung immer so vornehmen, dass eine durch die praktischen Anforderungen an die betreffende Rechnung bestimmte Fehlergrenze nicht überschritten wird. Da es überflüssig und zeitraubend ist, mit Decimalstellen zu rechnen, welche in der Anwendung keinen Gebrauch finden und werthlos sind — sei es, weil die den Rechnungen zu Grunde liegenden Messungen nicht mit entsprechender Genauigkeit ausgeführt wurden, sei es, weil die Praxis die betreffende Genauigkeit des Resultats nicht verwerthet, so wird der praktische Rechner nicht nur alle vorkommenden unendlichen Decimalbrüche, sondern überhaupt alle, welche mehr Decimalstellen haben, als gebraucht werden, abkürzen. Das Rechnen mit solchen unvollständigen Zahlen erfordert aber, dass man stets über die Grenzen der begangenen Fehler, auch in den Resultaten, orientirt bleibe, damit dieselben nicht das im einzelnen praktischen Fall erlaubte Maass übersteigen. Man hat daher bei praktischen Rechnungen das Rechnen mit unvollständigen Zahlen von dem Rechnen mit vollständigen Zahlen durchaus zu unterscheiden. Das erstere soll wegen seiner besonderen praktischen Wichtigkeit im Folgenden noch näher erörtert werden. § 26. Addition und Subtraction unvollständiger Decimalzahlen. 1. Unter der Voraussetzung der Unvollständigkeit bedeutet nach dem Vorhergegangenen beispielsweise 1715 eine Zahl zwischen 1714,5 und 1715,5, 5,728 „ „ „ 5,7275 „ 5,7285, 5,7280 „ „ „ 5,72795 „ 5,72805, 500 „ „ „ 499,5 „ 500,5, 5 Hundert „ ,, „ 450 ,, 550, Q5 ‘4 9 HU >> f f n ff °12 Man darf daher z. B. in der unvollständigen Zahl 3,400 die Nullen am Ende nicht weglassen; da 3,4 bedeuten würde, dass die dritte und vierte Decimale Weggelassen, die für dieselben zu setzenden Ziffern also nicht bekannt seien, während durch 3,400 gesagt wird, dass die Hundertel und Tausendtel bekannt und mit in Rechnung gezogen sind. Zur Beurtheilung der Genauigkeit einer Zahlangabe genügt nicht die Kenntniss der Anzahl der angegebenen Decimalstellen. Beispielsweise ist die Zahl 573 Centimeter ebenso genau als die Zahl 5,73 Meter, denn die Fehlergrenze beträgt bei beiden Zahlenangaben — die ja überhaupt sachlich identisch sind — i Centimeter. Entsprechend ist die Zahl 5329 genauer als die Zahl 0,178, denn ein Fehler von 0,5 ist im Verhältniss zu der Zahl 5329 geringer als ein Fehler von 0,0005 im Verhältniss zur Zahl 0,173; im ersteren Fall beträgt der Fehler nur im letzteren der betreffenden Zahl. Man hat daher unter der Genauigkeit einer Zahlangabe das Verhältniss der Zahl zu ihrer Fehlergrenze, also zu 5 Einheiten der ersten nicht angegebenen Stelle zu verstehen. 42 Arithmetik und Algebra. Andere setzen dieselbe gleich dem Verhältniss der Zahl zu einer Einheit der letzten angegebenen Stelle, da die Unsicherheit der Zahl insofern bis zu einer solchen Einheit geht, als der Fehler von einer halben Einheit sowol positiv als negativ sein kann. In diesem Falle ist also z. B. die Genauigkeit der Zahl 5,74 gleich 5,74 : 0,01 = 574, die Genauigkeit von 0,00574 gleich 0,00574 : 0,00001 = 574, also ebenso gross, die von 83 gleich 83 : 1, dagegen die von 0,045 nur 0,045 : 0,001 = 45 : 1. 2. Bei der Addition unvollständiger Zahlen werden alle Summanden auf die gleiche Anzahl von Stellen abgekürzt angenommen, denn anderen Falls würden im Resultat doch nicht mehr Stellen verbürgt sein, als der am meisten abgekürzte Summand enthält. Sind z. B. 0,15274 und 3,481 zu addiren, so sind im Resultat die Zehntausendtel und die Hunderttausendtel nicht zu bestimmen, weil sie in dem zweiten Summanden fehlen. Man kürzt daher den ersten zu 0,153 ab. Zur Bestimmung der Fehlergrenze der Summe ist, da die Fehler aller einzelnen Summanden möglicherweise in demselben Sinne wirken können, eine halbe Einheit der letzten benutzten Decimale mit der Anzahl der Summanden zu multipliciren. Werden z. B. zwölf fünfstellige Decimalbrüche addirt, so kann die Summe bis zu 6 Einheiten der fünften Decimale zu gross oder zu klein sein. Hiernach lässt sich umgekehrt leicht bestimmen, wieviel Decimalstellen die Summanden haben müssen, auf wieviele man letztere also abzukürzen hat, falls sie genauer gegeben sind, damit der Fehler in der Summe eine vorher angegebene Grenze nicht übersteige. Um die «te Decimale in der Summe sicher zu haben, sodass also der Fehler der Summe eine halbe Einheit dieser »ten Stelle nicht übersteigt, muss man, wenn die Zahl der Summanden unter 10 ist, n -+- lstellige Zahlen addiren; bei mehr als 10 und weniger als 100 Summanden müssen die letzteren «H-2stellig sein. Für genauere Rechnungen mit abgekürzt gegebenen Zahlen fügt man der Summe die Angabe ihrer genaueren Fehlergrenze hinzu. Hierbei können, wenn von den verschiedenen Summanden verschiedene Anzahlen von Stellen bekannt sind, die überzähligen Ziffern zu einer Verminderung der anzunehmenden Fehlergrenze von Nutzen sein. Ist z. B. die Summe folgender Zahlen zu berechnen 0,38721 5,369 4,1276, so erhält man nach Abkürzung des ersten und des dritten Summanden auf je drei Stellen die Summe 9,884 mit der Fehlergrenze ± 0,0015. Benutzt man dagegen die Kenntniss auch der vierten Stelle in zwei Summanden, so erhält man zwar die Summe ebenfalls nur auf drei Decimalstellen verbürgt, aber zur Fehlergrenze nur ± 0,0006, da man die Fehler jener beiden Summanden genauer kennt. Bei der Subtraction unvollständiger Zahlen gilt Entsprechendes, wie bei der Addition. Die Fehlergrenze der Differenz zweier «stelligen Decimalbrüche ist, da auch hier die Fehler der einzelnen Glieder sich summiren können, gleich einer ganzen Einheit der »ten Stelle. Um also «Stellen verbürgt zu erhalten, müssen der Minuend und der Subtrahend n -4- 1 stellig genommen werden. § 27. Abgekürzte Multiplication. Um den Fehler bei der Multiplication zweier unvollständiger Zahlen zu beurtheilen, sei angenommen, dass eine wstellige Zahl mit einer »stelligen Anh. 2. Die Decimalbrüche. 43 multiplicirt werden solle. Bei vollständiger Ausrechnung erscheinen dann im Resultat m -+- n Decimalstellen; man sieht jedoch leicht ein, dass dieselben, wenn die Faktoren abgekürzte Zahlen waren, nur zum Theil brauchbar sind; denn fügte man jenen Faktoren noch eine oder mehrere Decimalstellen hinzu, so würden auch die letzten Ziffern des vorigen Resultats anders ausfallen. Vergleicht man z. B. die beiden Rechnungen 0,2182 • 0,243 0,04364 8728 6546 0,0530226 0,21823 • 0,2434 0,043646 87292 65469 87292 0,053117182 miteinander, so erkennt man leicht, dass, wenn die Faktoren des ersteren Produkts durch Abkürzung aus denen des zweiten entstanden sind, von dem ersten Resultat nur 0,053 richtig ist. Die Berechnung der übrigen Stellen war daher in diesem Falle überflüssig. Auch wenn die beiden Faktoren genaue Zahlen sind, im Resultat jedoch keine so grosse Genauigkeit, als es in diesem Falle bietet, verlangt ist, entsteht die Aufgabe, durch ein abgekürztes Multiplications-Verfahren die Berechnung der überflüssigen Ziffern zu ersparen. Genügt z. B. für die praktische Anwendung die Genauigkeit von drei Decimalen, und multiplicirt man zwei genaue dreistellige Decimalbrüche, so erhält man im Resultat sechs Decimalen, von denen die drei letzten wieder gestrichen werden, so dass also ihre Berechnung nicht nöthig war. Man beachte für den vorliegenden Zweck, dass ein Produkt unvollständiger Zahlen höchstens mit derjenigen Genauigkeit angegeben werden kann, welche das Produkt des minder genauen Faktors mit der höchsten Stelle des genaueren Faktors erhält. Daher nehme man den ungenaueren Faktor (also i. A. denjenigen, welcher die wenigsten geltenden Ziffern hat) zum Multiplicandus. Multiplicirt man dann auf die schon früher empfohlene Art, bei welcher man mit der höchsten Ziffer des Multiplicators beginnt, so hat man nur die nach rechts auszurückenden Stellen der folgenden Theilprodukte wegzulassen, und nur zu beachten, ob in Folge dieses Weglassens die letzte bleibende Ziffer zu erhöhen ist. Man verkürzt also den Multiplicandus für jedes folgende Theilprodukt um eine Stelle, wie das nachstehende Beispiel zeigt: 5,274 • 8,165 42,192 527 316 26 43,061 Für das erste Theilprodukt ist hier 5,274 mit 8 multiplicirt; dann ist in 5,274 die letzte Ziffer 4 weggelassen, also 527 mit 1 multiplicirt; darauf ist auch 7 weggelassen und also für das dritte Theilprodukt nur 5,2 • 6 berechnet, jedoch dabei beachtet, dass die weggelassene Ziffer 7 durch ihr Produkt mit 6 noch das Theilprodukt um die »im Sinne behaltene« 4 erhöht; endlich ist 5 mit 5 multiplicirt und das Theilprodukt um die aus 5 • 2 im Sinne behaltene 1 vermehrt, In dem Produkte ist (in der Regel nur) die letzte Stelle unsicher, da die Fehler der letzten Stellen der Theilprodukte dieselbe beeinflussen können, 44 Arithmetik und Algebra. Um jedoch die Fehlergrenze des abgekürzten Produktes näher zu bestimmen, unterscheiden wir den Fall, in welchem die gegebenen Faktoren genaue, und denjenigen, in welchem sie abgekürzte Zahlen sind. Im ersteren Fall entsteht eine .Ungenauigkeit des Produktes nur dadurch, dass die einzelnen Theilprodukte — mit Ausnahme des ersten — abgekürzt worden sind; die Unsicherheit beträgt also so oft eine halbe Einheit der letzten angegebenen Stelle, als die um 1 verminderte Anzahl der geltenden Ziffern des Multiplicators angiebt. Man kann selbstverständlich diese Unsicherheit verringern, wenn man bei der Multiplication auch den Betrag der jedesmal zuerst weggelassenen Ziffer des Produkts berücksichtigt. Sind dagegen die Faktoren abgekürzte Zahlen, so multiplicire man jeden der Faktoren mit der ersten fehlenden Stelle des anderen Faktors, für welche, falls sie unbekannt ist, 5 genommen werden muss, und addire die beiden Produkte. Denn ist z. B. eine vierstellige Zahl a mit einer dreistelligen b zu multipliciren, so hat man 0 zb 0,00005) . (b ± 0,0005) — ab ± 0,00005 . b d= 0,0005 . « ± 0,000000025. Vernachlässigt man — was praktisch gestattet ist — das gegen die übrigen kleine letzte Glied dieser Entwicklung, so sieht man, dass das Produkt ab um dz (0,00005 . b d- 0,0005 . <£) unsicher ist. Für die Praxis genügt meist schon Folgendes: Man multiplicire die erste fehlende Stelle jedes Faktors, für welche eventuell 5 angenommen wird, mit der höchsten geltenden Ziffer des anderen Faktors; dasjenige dieser beiden Produkte, welches den höheren Werth hat, bestimmt die höchste unsichere Ziffer. Für das Produkt 2,1457 ... X 8837,42 beispielsweise hat man 0,00005.8000 = 0,4; 2.0,005 = 0,010; die Unsicherheit beträgt also jedenfalls mehr als 0,4 und reicht also schon bis in die Ordnung der Zehntel. Ebenso erhält man z. B. für 0,4236 • • . X 9,84253 . . . zunächst 0,00005 . 10 = 0,0005; 0,4.0,000005 = 0,000002, als Fehlergrenze darf daher 0,0005 angenommen werden. § 28. Abgekürzte Division. Für die Division mit unvollständigen Zahlen erhält man durch entsprechende Entwicklungen, wie hei der Multiplication Folgendes: Es sei zunächst vorausgesetzt, dass Divisor und Dividendus genaue Zahlen sind, und nur das Resultat bis auf eine bestimmte Anzahl von Stellen abgekürzt erscheinen soll: Man bestimme die erste geltende Stelle des Quotienten wie gewöhnlich und kann dann auch noch beliebig viele folgende Ziffern desselben in gleicher Weise berechnen, ehe man das abgekürzte Divisionsverfahren beginnt. Bei diesem hängt man an den jedesmal vorher gebliebenen Rest nicht die betreffende Ziffer des Dividendus oder eine Null an, sondern streicht jedesmal die letzte vorhandene Ziffer des Divisors, berücksichtigt jedoch bei der Bildung des Theilprodukts diese weggelassene Ziffer noch in Gedanken, um das dabei »im Sinn Behaltene« zu verwerthen. Im Folgenden ist die genaue Division zweier Decimalbrüche mit der abgekürzten (in verschiedener Ausdehnung der Abkürzung) an einem Beispiel zur Vergleichung zusammengestellt: 20349,85 : 312,4 = 203498,5 : 3124 203498,5 : 3124 = 65,1403649 .. 16058 4385 203498,5:3124 = 65,1403649 12610 16058 11400 4385 203498,5 : 3124 = 65,1404 20280 12610 16058 15360 11400 4385 203498,5 : 3124 = 65,140 28640 2028 1261 16058 524 154 12 439 29 0 127 1 2 Anh. 2 . Die Decimalbrüche. 45 Um hierbei die Fehlergrenze des Quotienten zu bestimmen, beachte man zunächst, dass der Fehler bei der vollständigen Division, in Einheiten der letzten Stelle des Quotienten ausgedrlickt, gleich dem Quotienten des zuletzt gebliebenen Restes durch den Divisor ist, im obigen Beispiel also gleich Bei der abgekürzten Division ist der letzte Divisor die höchste Ziffer des ursprünglichen Divisors, der letzte Rest aber kann bis zu so vielen halben Einheiten der betreffenden Stelle ungenau sein, als die Anzahl der abgekürzt berechneten Theilprodukte beträgt. Man erhält hiernach die Fehlergrenze des Quotienten, wenn man den letzten Rest um diesen seinen möglichen Fehler vermehrt (bezw. vermindert) und das Resultat durch die erste geltende Ziffer des Divisors dividirt. Sind ferner schon der Divisor und der Dividendus ungenaue Zahlen, so wird die erste Stelle des Quotienten, wie gewöhnlich, bestimmt und für die folgenden sogleich das abgekürzte Verfahren in der vorher angegebenen Weise angewendet, sodass also an keinen Rest eine weitere Ziffer des Dividendus oder eine Null angehängt wird. Ist der Divisor genauer als der Dividendus, so muss man den Divisor soweit abkürzen, bis das Produkt desselben mit der ersten Ziffer des Quotienten vom Dividendus abgezogen werden kann. In 0,527 : 471,39 z. B. oder 52,7:47139 = 0,00112 56 9 0 sind an 52,7 nicht die fehlenden zwei Nullen anzuhängen, sondern 47139 ist durch Abstreichen von zwei Stellen abzukürzen, man subtrahirt also 471 von 527, streicht darauf im Divisor auch die 1 und dividirt also mit 47 in den vorher gebliebenen Rest 56. Darauf wird mit 4 in den Rest 9 dividirt, jedoch berücksichtigt, dass die weggelassene Ziffer 7 des Divisors noch eine im Sinne behaltene 1 zu dem Produkt 4-2 = 8 hinzufügt. Der letzte Rest ist also 0. Hierbei ist die letzte Stelle des Quotienten in Folge des möglichen Fehlers in dem letzten Reste unsicher. Ist dagegen der Divisor ungenauer als der Dividendus, so ist letzterer auf so viele Stellen abzukürzen, als zur Subtraction des ersten Theilprodukts erforderlich sind, und dann ist wie vorher abgekürzt zu dividiren. Beispiel: 643,18 : 5,142 = 64318 {0 ) : 5142 = 125,1 1290 262 5 0 . Das erste Theilprodukt 5142 • 1 = 5142 ist hier von 6431 abgezogen, die folgende Ziffer 8 wird abgestrichen und nur insofern berücksichtigt, als der Rest 1289 um 1 zu erhöhen ist. Dann wird im Divisor die 2 abgestrichen, darauf das Theilprodukt 2 • 514, 2 = 1028 vom Reste 1290 subtrahirt, dann auch die 4 im Divisor abgestrichen, das neue Theilprodukt 51,4 ■ 5 = 257 von dem vorigen Reste 262 subtrahirt, u. s. w. Die genauere Bestimmung der Fehlergrenze ist hier umständlicher als vorher, weil nicht bloss die Ungenauigkeit des letzten Restes, sondern auch die des Divisors und des Dividendus berücksichtigen ist. Man kann folgende Regel aufstellen, welche daraus folgt, dass ö -f- S a ab b — e l ls *: Man multiplicire eine halbe Einheit der letzten Stelle des Divisors mit dem (auf seine erste geltende Ziffer abgekürzten) Quotienten, addire zum Produkt eine halbe Einheit der letzten Stelle des Dividendus und dividire die Summe durch den Divisor (bezw. die höchste geltende • £8 — ab -f- az b 8 • b{b-z) b(b-t)- b o -j- at ' p oder >* 46 Arithmetik und Algebra. Stelle des letzteren). Der Fehler ist kleiner als das hierbei entstehende Resultat. In dem vorher berechneten Beispiel 643,18:5,142 hat man also, da 643,18 auf 643,2 abgekürzt wird, (0,0005.100 + 0,05) : 5 == 0,02, in dem diesem vorhergehenden Beispiel 0,527 : 471,39, welches auf 0,527 : 471 abgekürzt wurde, (0,5.0,001 + 0,0005) : 500 = 0,000002. § 29. Beispiele für die Anwendung der abgekürzten Rechnungen. 1. Das Licht gebraucht 8,22 Minuten, um den Weg von der Sonne bis zur Erde (20658000 geogr. Meilen) zurückzulegen. Wieviel Meilen durchläuft es in jeder Secunde? 8,22 Min. = 8,22 • 60 Sec. = 493,2 Sec. 20658 (0000): 4932 = 4189 0 . 930 437 43 — 1 Also 41890 Meilen. 2. Ein Mondmonat, d. h. die Zeit von einem Neumonde bis zum nächsten, dauert 29,530588 Tage. Wieviel Mondmonate verfliessen in 19 Sonnenjahren, wenn jedes der letzteren zu 365,24222 Tagen gerechnet wird? 365,24222 • 19 69396022 : 295305,88 = 234,997099 3652,4222 10334846 3287 1800 1475670 6939 6022 294447 28672 2095 28 2 0. Noch weiter, auf 2 Decimalen abgekürzt, ist also das Resultat 235,00 Monate. 3. Man berechne den Flächeninhalt eines Kreises (F = r 2 -), wenn der Radius gleich 2 "5178 gegeben ist. 2,178 • 2,178 4,743 • 3,142 4,356 14,229 218 474 152 190 17 9 4,743 14,902; also F 4. Man berechne, wieviel Tage, Stunden, Minuten und Secunden ein Jahr hat, wenn dasselbe 365,24222 Tage enthält. 0,24222 • 24 0,8133 • 60 0,798 • 60 4,8444 48,798 47,8® 9689 5,8133. Also ist 1 Jahr = 365 Tagen, 5 Stunden, 48 Minuten, 47,9 Secunden. 3* Potenzirung. 47 Kapitel 3. Potenzirung. § 30. Begriff der Potenz. Ein Produkt, dessen Faktoren einander gleich sind, wird eine Potenz genannt und kürzer durch a-> bezeichnet, wobei a ein einzelner der gleichen Faktoren, b die Anzahl dieser Faktoren ist und a die Basis (auch die Grundzahl oder der Dignand), b der Exponent der Potenz genannt wird. Man liest den obigen Ausdruck »« zur ^ten Potenz« oder »« hoch b .« Beispielsweise ist also 3 2 = 3 ■ 3 = 9; 2 4 = 2 • 2 ■ 2 • 2 = 16; a 3 = a ■ a ■ a. Die Berechnung des Werthes einer Potenz, als einer neuen Verbindungsart zweier Zahlen a und b wird als eine neue Operation mit dem Namen Poten- ziren bezeichnet. Bei derselben ergiebt sich sogleich eine wesentliche Abweichung von den beiden vorhergehenden directen Operationen, der Addition und der Multiplication. Denn während bei diesen die Grundgesetze a -+- b = b -+- a und a ■ b = b ■ a Geltung hatten, zeigt bei der Potenzirung jedes beliebige Beispiel (mit Ausnahme von 2 4 und 4 2 ), dass a b nicht gleich b a ist. Daher erhalten hier die Basis und der Exponent auch keinen gemeinschaftlichen Namen, und die beiden umgekehrten Operationen, welche aus der Poten- zmmg hervorgehen, nämlich die Bestimmung von x in den Gleichungen x b = c und a x = c, können nicht mit einander vertauscht werden. Die zweite Potenz a 2 einer Zahl « wird auch das Quadrat dieser Zahl genannt und »« im Quadrat« oder abgekürzt »«Quadrat« gelesen. Die dritte Potenz « 3 heisst auch der Cubus, die vierte das Biquadrat von «. Zwischen dem Begriff der Potenz a b und dem Begriff des durch Ausführung der Rechnung entstehenden Werthes derselben bestehen analoge Bestimmungen, wie früher in den entsprechenden Fällen. Basis, Exponent und Potenz können sämmtlich nur unbenannte Zahlen, der Exponent kann nach der obigen Definition ausserdem nur eine ganze, positive Zahl sein. — Heis, § 5. § 31. Gesetze des Potenzirens. Zur Entwicklung der Gesetze des Potenzirens lassen wir zuerst die Basis a e men mittelst der bekannten Operationen zusammengesetzten Ausdruck sein und erhalten folgende Regeln: Für die Potenzirung einer Summe oder Differenz ergiebt die Ausführung der Multiplikation in (« ± b) ■ (« ± b) • (« ± b).. . nach (19) im § 11, dass (« + b) 2 = « 2 + 2 ab -h b 2 , (« -+- b ) 3 = « 3 + 3 a 2 b H- 3«^ 2 -+- b z , Und entsprechend u. s. w., (a — b ) 2 = « 2 — 2«^-4-^ 2 , (« — b) 3 = « 3 — 3 « 2 <5 + 3 ab 2 — b z ist. Man ersieht schon hieraus, dass die Aufgabe, allgemein eine Formel für die 4 S Arithmetik und Algebra. Entwicklung von (a ± b) n aufzustellen, zu keinem Resultate führen kann, welches hinreichend einfach ist, um an dieser Stelle Erörterung finden zu können. Es empfiehlt sich daher, vorläufig bei Ausdrücken von der Form (a ± b) H diese letztere unverändert zu lassen, bezw. bei Zahlenbeispielen die Ausrechnung des Resultats dieser Form entsprechend vorzunehmen. Ausser den oben stehenden einfachsten Fällen merke man sich ausserdem, dass (a ± b) n nicht gleich a"±b n gesetzt werden darf, wozu eine vermeintliche Analogie mit ( adc.b)-n Anfänger irrthümlich verleiten könnte. Für die Potenzirung eines Produkts folgt dagegen aus (ab)" = (ab) (ab) (ab) . . . = (aaa (bbb . . . *). (ab)" = a n -b", (35) und dieses Gesetz lässt sich leicht auf Produkte mit beliebig vielen Faktoren ausdehnen, die also potenzirt werden können, indem man jeden Faktor einzeln potenzirt und dann die Theilpotenzen multiplicirt. In entsprechender Weise ergiebt sich für die Potenzirung eines Quotienten aus ' a\" a a a aaa . . . A (a\" a* (36) dass b J b ' b b bbb . . .’ \ b) b ti oder dass eine Potenz eines Quotienten gleich dem Quotient aus den entsprechenden Potenzen des Dividendus und des Divisors ist. babc\" a n b"c" (a\ n (c \ m a" c m \def) d"e"f *’ ) ’ w) ~~ b" ' d m So ist beispielsweise auch fl n . /-m = b n - d — , U. dergl. m. Ferner ist beispielsweise (i)2 = i, (1)3 = ^ (|)3 = (|)3 = Man sieht leicht ein, dass die Potenzen echter Brüche hiernach um so kleiner, die Potenzen unechter Brüche um so grösser werden, je grösser der Exponent ist. Um endlich auch eine Potenz a b zu potenziren, hat man (35) wieder^ holt anzuwenden und findet (a b ) n = (a ■ a • a . . /’)"= a" • a" ■ a" . . fi= ( a n ) 6 . Ausserdem kann man (a*)«= (aaa . b ) ■ (aaa . . Z) • (aaa ...*)... setzen und erkennt leicht, dass man nach Entfernung der Klammern ein Produkt erhält, dessen Faktoren sämmtlich gleich a sind, und in welchem die Anzahl der Faktoren gleich b • n ist, sodass dasselbe als Potenz a bn geschrieben werden darf. Somit ist (a b )"= (a") b = a 6 " (37). Man kann also die Exponenten in der Reihenfolge vertauschen, oder auch die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziren. Dieselbe Regel lässt sich durch Wiederholung auf mehr als zwei aufeinander folgende Exponenten ausdehnen. So ist beispielsweise [(« 2 )3]4 == [(« 3 ) 2 ]4 = («6)4 = ( a 4)6 = ß 24 u> d er gP m . § 32. Fortsetzung. Während im Vorstehenden für die Basis einer Potenz ein zusammengesetzter Ausdruck gesetzt war, soll nun angenommen werden, dass der Exponent eine Summe, eine Differenz, ein Produkt oder ein Quotient sei. Soll a im Ganzen m -t- n mal als Faktor gesetzt werden, so kann man das 3. Potenzirung. 49 Produkt in zwei Abtheilungen von bezüglich m und n Faktoren trennen, also VI 11 a m + « = aaa . . . •aaaa .. . setzen, sodass also a m + n — a m . a n ( 38 ) erhalten wird. So ist beispielsweise 3 7 = 3 2+5 = 3 2 ■ 3 5 , ferner a x +v +z —a x +y • a z ~ a x ■ ay ■ a z , und allgemein eine Potenz, deren Exponent eine Summe 1 s t, gleich dem Produkt aus sämmtlichen Potenzen der Basis mit den einzelnen Summanden als Exponenten. Ist der Exponent dagegen eine Differenz m — n , und setzt man die Basis a zunächst mmal als Faktor, so hat die entstandene Potenz a m jenen Faktor «mal mehr als verlangt war. Die «überzähligen Faktoren können durch Division mit aH wieder entfernt werden, und somit ist a m a m-n — — (39). So ist z. B. «5-3: aaaaa a & Ist also der Exponent einer Potenz eine Differenz, so kann man die Basis mit dem Minuend und mit dem Subtrahend einzeln potenziren und dann die erstere dieser beiden Potenzen durch die letztere divi- diren. Hierbei ist, da m — n eine positive Zahl sein muss, vorausgesetzt, dass der Minuend m grösser ist als der Subtrahend n. Ist ferner der Exponent ein Produkt mn, so ergiebt sich, indem man das letztere als eine Summe m -f- m -t- • - n oder n + 11 -+- « -I- • darstellt, aus (38), oder auch durch Umkehrung von (37) a*‘ = ((i»)« = («”)®. (40) Ist also der Exponent ein Produkt, so kann man mit den Faktoren desselben nach einander, und zwar in beliebiger Reihenfolge potenziren. Der Fall endlich, in welchem der Exponent ein Quotient ist, kann nach der obigen Erklärung der Potenz nur dann eintreten, wenn der Dividendus ein Vielfaches des Divisors ist. Die Erledigung dieses Falles geschieht besser an einer späteren Stelle, wo auch die Frage zu erwägen sein wird, ob es möglich sei, die gedachte Beschränkung aufzuheben. Auch der noch zu erwähnende Fall, in welchem der Exponent wieder eine Potenz ist, führt hier zu keiner einfachen Entwicklung. § 33. Fortsetzung. Zu der im Vorstehenden behandelten Aufgabe, die Gesetze des Potenzirens mit zusammengesetzten Zahlen zu entwickeln, tritt nun die fernere hinzu, die verschiedenen Rechnungsarten auf Potenzen anzuwenden, also zu fragen, wie man Potenzen addiren, subtrahiren, multipliciren, dividiren oder potenziren kann. Für die Addition und Subtraction beliebiger Potenzen lassen sich keine ein- fachen Gesetze entwickeln. Ausdrücke, wie a m rdzb , \ können also nicht durch gleichwerthige von anderer, einfacher Form ersetzt, und müssen bei bestimmten Zahlenbeispielen unverändert ausgerechnet werden. Dass man sich insbesondere zu hüten hat, etwa a’ 1 ± b n — (ad: b) n zu setzen, folgt aus dem in § 31 Gesagten. Auch ein Produkt beliebiger Potenzen gestattet keine einfache Umformung. Da- S e gen ist eine solche möglich, wenn entweder die Basen oder die Exponenten einander gleich sind, und dasselbe gilt für Quotienten von Potenzen. Man erhält Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 4 5° Arithmetik und Algebra. nämlich schon durch blosse Umkehrung der früheren Formeln (.35) bis (39) die folgenden a m ■ a n — a m + n , a m ■ bm— ( ab) m , a m — = a m ~ n a n (41) a m (a\”‘ b m \#J Man kann hiernach Potenzen, deren Basen gleich sind, mittelst Addition der Exponenten mültipliciren und mittelst Subtraction der Exponenten dividiren, dagegen Potenzen, deren Exponenten gleich sind, mittelst Multiplication der Basen mültipliciren und mittelst Division der Basen dividiren. Daher ist auch a x ■ a> ■ a z = a x +>‘ + z , a m • b m • c m — (abc) m , a x • man also jenes Bildungsgesetz zu einer erweiterten Definition des Potenzbegriffs, oder setzt man, was auf dasselbe hinauskommt, fest, dass allgemein 4. Vom Radiciren. 51 a m a ““” == ^ sein solle, welches auch der Werth der Differenz m ■ man insbesondere a\ = a n sein möge, so erhält «0=1 -b .— (43) Es ist also die Potenz cfi nicht durch ein keinmaliges Setzen der Zahl a als Faktor, sondern dahin zu erklären, dass alle vorhanden gedachten Faktoren a durch Division mit einer gleichen Anzahl derselben wieder entfernt gedacht werden. Die Regel, dass jede Zahl mit 0 potenzirt zum Werth der Potenz 1 gebe, hat jedoch eine Ausnahme in dem Fall, dass die Basis a selbst ß»l gleich Null ist, denn aus cfi — a m ~ m ——~ geht für den Fall a = 0 die Foim 7 ci vl 0 m 0 0 ... = -Q- hervor, und es ist daher cfi ebenso wie ein unendlich vieldeutigei Ausdruck. Eine Potenz mit negativem Exponenten ist nach dem Vorhergehenden gleich dem reciproken Werth der entsprechenden Potenz mit positivem Exponenten. Statt dessen kann man auch sagen, eine solche Potenz sei gleich der entsprechenden Potenz des reciproken Werthes der Basis mit positivem Exponenten, oder „ Die im Früheren abgeleiteten Rechnungsregeln für Potenzen gelten, wie sich mittelst der vorstehenden Erklärungen leicht für jede einzelne Formel zeigen lässt, auch für den erweiterten Begriff der Potenz, also allgemein. So ist z. B. a ’ H ■ a n = a m + n auch dann, wenn m und 11 negativ sind, denn 111 1 a b • a c a /, + c = a — V' + c > Heis, § 34—40, Bardey XI, XII. Kapitel 4. Vom Radiciren. §35. Begriff der Wurzel. Als erste Umkehrung des Potenzirens behandeln wir die Aufgabe, zu dem gegebenen Werthe einer Potenz und ihrem Exponenten die Basis zu berechnen, oder mit anderen Worten, den Werth von x in der Gleichung x b = c zu bestimmen. Man nennt diese Rechnungsart Radiciren oder Wuizelaus- ziehen, den gegebenen Werth c der Potenz den Radicanden, den gegebenen Exponenten b auch hier den Exponenten (Wurzelexponent im Gegensatz zu Potenzexponent) und die gesuchte Basis die Wurzel oder Radix. Für die letztere schreibt man x = yr und liest diesen Ausdruck »die b te Wurzel aus c«. 4* 52 Arithmetik und Algebra. Eine Wurzel ist also gleich derjenigen Zahl, deren Potenz mit dem Wurzelexponenten als Exponenten dem Radicand gleich ist. Diese Erklärung kann "durch folgende Formel dargestellt werden: Die zweite Wurzel aus einer Zahl heisst auch die Quadratwurzel, die ‘dritte die Kubikwurzel aus derselben. Bei Quadratwurzeln pflegt man den Wurzelexponenten wegzulassen; f/ä~ hat also dieselbe Bedeutung wie 3_ So ist beispielsweise J/~sT=3, ]/ 8 = 2, denn 3 2 = 9, 2 3 = 8, u. dgl. m. Ebenso ist _ 3_ 3_ 3_ y~ä • y a = a, y x • y x • y x = x, u. s. w. Aus der Erklärung der Wurzeln folgt ohne Weiteres = c > ( 45 ) d. h. radicirt man eine Potenz mit ihrem Exponenten, so erhält man ihre Basis. § 36. Irrationale Zahlen. Wie bei der Subtraction und der Division, so entsteht auch bei der Radicirung die Frage, ob dieselbe auch dann immer ausführbar ist, wenn die Werthe des Radicanden und des Exponenten nicht durch Umkehrung einer wirklich ausgeführten Potenzirung entstanden sind, sondern wenn für dieselben willkürlich bestimmte Zahlen gesetzt werden. Zur Erleichterung dieser Untersuchung setzen wir zunächst nur absolute Zahlen als vorkommend voraus. Man sieht zunächst leicht ein, dass nach der Erklärung der ^ten Wurzel aus a nicht nur der Wurzelexponent b eine ganze Zahl sein muss, sondern dass auch der Radicand nicht beliebig angenommen werden kann. Beispielsweise sind 4, 16, 25, ... und ebenso |-f, 2^ vollständige zweite Potenzen und daher die Quadratwurzeln aus denselben möglich, dagegen ist "|/7 im bisherigen Sinne unmöglich, da sich unter den bisher bekannten Zahlformen keine Zahl finden lässt, deren Produkt mit sich selbst gleich 7 ist. Zunächst ist nämlich einleuchtend, dass in der Reihe der Quadrate der ganzen Zahlen: 1, 4, 9, 16 . . . die Zahl 7 nicht enthalten ist, und es bliebe somit nur die Möglichkeit, dass "(/7 durch eine gebrochene Zahl angegeben werden könnte. Nimmt man nun an, dass dieser Bruch und in den kleinsten ganzen Zahlen ausgedrückt sei, sodass also c c 2 und d relative Primzahlen seien, so müsste = 7, also und sind 4. Vom Radiciren. 53 — und ~ in den kleinsten Zahlen ausgedrückt, also auch c*> und dl> relative Primzahlen, so * d ■iS muss m = c& und n = di, also c=]/m, d=Vn~ sein, womit dieser Fall auf den vorigen ^rückgeführt ist Die Form i/a führt nun für den Fall, dass « keine vollständige bte Potenz einer der bisher bekannten Zahlen ist, auf eine neue Erweiterung des Zahlen- hegriffs, welche zunächst an einem_Beispiel erläutert werden soll: Es sei die Aufgabe gestellt, Y 2 zu berechnen, also eine Zahl zu ermitteln, die mit sich selbst multiplicirt, zum Produkt 2 gebe. Da nun l 2 = 1 und 2 2 — 4 ist, so nehme man zunächst an, die gesuchte Zahl liege zwischen 1 und 2. Berechnet man nun nach einander 1,1 2 1,2 2 , 1,3 2 u. s. w., so ergiebt sich 1,4- 1,96 und 1,5 3 = 2,25, und man kann hiernach annehmen, dass die gesuchte Zahl zwischen 1,4 und 1,5 liege. Geht man in dieser Weise weiter fort, berechnet also zunächst die Quadrate von 1,41, von 1,42 u. s. w., so findet man 1,41 2 = 1,9881 und 1,42 3 = 2,0164, ebenso weiterhin 1,414 2 = 1,999396 und 1,415 2 = 2,002225, u. s. w. Man sieht mm bereits, dass man in dieser Weise die Reihe der gefundenen Zahlen 1; 1,4; 1,41; 1,414 . . . immer weiter fortsetzen kann, so dass das Quadrat einer jeden folgenden Zahl dieser Reihe näher an die Zahl 2 kommt, als das der vorhergehenden, und dass man also den Werth von ]/2 durch einen Bruch — zwar niemals absolut genau, aber doch bis zu jedem verlangten Grade der Annäherung darstellen kann. Derartige Zahlen nennt man irrationale, und im Gegensatz zu ihnen die im Früheren behandelten ganzen und gebrochenen Zahlen rationale. Eine irrationale Zahl ist also eine Zahl, welche zwischen zwei rationalen Zahlen — und m - so eingeschlossen ist, dass man die beiden letzteren nn ohne Ende einander nähern — d. h. ihre Differenz ~ mit unendlichem'Wachsen von n unendlich klein machen kann — ohne gleichwol den Werth der irrationalen Zahl auf diese Weise vollständig zu erreichen. Eine klare Einsicht in das Wesen einer irrationalen Zahl liefert die geometrische Veranschaulichung, ln der Planimetrie wird gezeigt, dass bei der Vergleichung der Längen zweier Strecken AB = a, CD == b folgende Bälle möglich sind: 1. Man kann die kleinere Strecke b wiederholt auf der grösseren a abtragen, ohne dass zuletzt ein Rest bleibt. In diesem Falle ist a e m (ganzes) Vielfaches von b und setzt man a-p-b, so ist / eine ganze Zahl. 2' Bei dem wiederholten Abtragen der Strecke b von der Strecke a bleibt zuletzt ein Rest, welcher kleiner als b ist, -aber man kann eine dritte Strecke c finden, welche sich sowol auf b als auf a ohne Rest abtragen lässt. Es ist also a ein Vielfaches eines aliquoten Theiles, z. B. das «fache des »ten Theiles von b, und in a=p. b ist also p eine gebrochene Zahl. 3. Es giebt auch keine dritte Strecke c, welcher ein aliquoter Theil beider gegebenen Strecken zugleich ist. Nimmt man in diesem Falle einen beliebigen aliquoten Theil von b, etwa -b, an und trägt denselben so oft als möglich auf «ab, so bleibt zuletzt ein Rest, welcher kleiner als ein solcher Theil sein muss. Hat hierbei eine «malige Ab- 771 . m H - 1 t -p. fragung stattgefunden, so ist a grösser als — b und kleiner als - b. Da man mm den Werth von n so gross machen kann, als man will, so kann man auch 54 Arithmetik und Algebra. die beiden eben angegebenen Grenzwerthe, zwischen welchen der von a liegen, muss, einander so nahe bringen als man will. In a=p-b ist / jetzt eine _|_ J irrationale Zahl, deren zwischen — und - liegender Werth durch eine n n dieser letzteren Zahlen um so genauer angegeben wird, je grösser n, je kleiner also die Differenz— dieser Zahlen ist. n Stellt man, wie früher geschehen, die Reihe der ganzen Zahlen durch eine Reihe von Punkten einer Geraden dar, welche in gleichen Abständen auf einander folgen, die gebrochenen Zahlen also durch zwischen den ersteren eingeschaltete Punkte, so bleiben nach dem Vorigen noch immer Punkte übrig, deren Abstand vom Anfangspunkt der Zählung auf diese Weise nicht erhalten werden kann, weil er mit dem die Einheit darstellenden Abstand kein gemeinschaftliches Maass hat. Diese Punkte versinnlichen also die irrationalen Zahlen, und durch sie wird nun die bisher eine Reihe unterbrochener (wenn auch noch so nahe aneinanderstehender) Punkte bildende Darstellung der Zahlenreihe zur conti- nuirlichen Zahlenlinie, denn es kann keinen Punkt auf dieser Linie geben, dessen Abstand vom Anfangspunkt sich nicht entweder durch eine rationale oder durch eine irrationale Zahl ausdriicken lässt. Die irrationalen Zahlen sind, obgleich durch rationale nicht genau angebbar, doch wie diese, genau bestimmte Zahlen. Sie sind bei der Anwendung auf benannte Grössen nur mit der gewählten Einheit nicht durch ganze oder gebrochene Zahlen zu vergleichen, und dieselbe Grösse — z. B. eine Strecke — die in Beziehung auf eine bestimmte Einheit durch eine irrationale Maasszahl gemessen wird, kann in Beziehung auf eine andere Einheit rational erscheinen. Sind z. B. die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks gleich a, so ist zufolge des pythagoräischen Lehrsatzes die Hypotenuse gleich ]/2a%- Nimmt man also die Länge der Kathete zur Einheit an, so ist die der Hypotenuse gleich J/ 2. Diese irrationale Zahl ist also hier durch eine ganz bestimmte, construirbare Länge dargestellt. Dieselbe Länge aber erhält eine rationale Maasszahl, wenn man z. B. die Hälfte oder das Drittel u. s. w. der Hypotenuse zur Einheit nimmt, und in diesem Fall wird umgekehrt die Maasszahl der Kathete irrational. Es erscheint als selbstverständlich, dass man auch von positiven und negativen Irrationalzahlen reden, oder dass die Stetigkeit der Zahlenlinie nach beiden Richtungen vom Anfangspunkt aus erreicht werden kann. § 37. Rechnen mit irrationalen Zahlen. Es entsteht nun zunächst die Frage, ob die bisherigen Erklärungen und Rechnungsregeln, welche nur unter der Voraussetzung rationaler Zahlen aufgestellt oder abgeleitet waren, auch auf irrationale Zahlen angewendet werden dürfen. Dass dies nicht ohne Weiteres geschehen kann, folgt schon daraus, dass die früheren Erklärungen der Summe, Differenz u. s. w. von der Entstehung der Zahlen aus der Einheit ausgingen, bei den Irrationalzahlen aber eine Zerlegung derselben in Einheiten nicht möglich ist. Gleichwol müssen jene Erklärungen sich auch auf die neue Zahlform ausdehnen lassen, wie beispielsweise das Vorkommen von Irrationalzahlen als Maasszahlen von Strecken zeigt; denn offenbar kann man eine gegebene Strecke auch um eine ihr incommensurabele verlängern und die Maasszahl der entstehenden ganzen Strecke als die Summe der Maasszahlen der beiden Theile betrachten, u. dgl. m. Für den hier vorliegenden Zweck dürfte zur Vermeidung weitläufiger abstracter 4. Vom Radiciren. 55 Erörterungen folgende Darstellung in Betreff der aufgeworfenen Frage genügen. Jede irrationale Zahl kann nach dem Vorigen durch eine rationale Zahl a annähernd dargestellt, und letztere kann durch fortgesetzte Annäherung in a + - oder ~—— übergehend gedacht werden, wobei der letztere Ausdiuck von der Inational zahl selbst um so weniger verschieden ist, je grösser n gedacht wird, und bei dem Wachsen von n bis in’s Unendliche in diesen Ausdruck selbst als Grenze übergeht. Während also eine gebrochene Zahl ~ die Bildung von b Theilem- heiten aus der ursprünglichen ganzen Einheit verlangte, erfordert die Irrationalzahl eine Theilung der letzteren in unendlich viele gleiche, daher an Grosse unendlich kleine Theile der Einheit. Eine solche Theilung kann nicht wirklich ausgeführt werden, denn sonst müsste dieselbe ein Ende haben, allein sie kann gleichwol ausgeführt gedacht werden. Weil aber die Erklärungen der Rechnungs- - arten und die Ableitungen der Gesetze für gebrochene Zahlen völlig unabhängig waren von der Grösse der Nenner, also von der Anzahl der Theile, m welche die Einheit getheilt gedacht wurde, so müssen sie auch gültig bleiben, wenn diese Anzahl bis in’s Unendliche wächst. Denkt man sich beispielsweise eine Irrationalzahl durch einen Decunatbruch annähernd dargestellt, so muss die Anzahl der Decimalstellen des letzteren um so mehr zunehmen, je geringer seine Abweichung von der Irrationalzahl selbst sein soll. Die irrationale Zahl selbst könnte aber nur durch einen Dccimalbruch von unendlich vielen Stellen angegeben werden. Obgleich es nun unmöglich ist, einen solchen zu schreiben, so kann doch die Existenz eines solchen gedacht, und es können auch solche Decimalbrüche unter sich oder mit endlichen De- cimalbrüclien addirt, subtrahivt, multiplicirt u. s. w. gedacht werden, indem man die gleich- stelligen Ziffern derselben bis in’s Unendliche adclirt oder subtrahirt denkt, u. s. w., ohne dass es nöthig wäre, diese Operationen wirklich auszuführen. Auch ohne dies lässt sich gewiss zu zwei unendlichen Decimalbrüchen ein dritter unendlicher Decimalbruch denken, dessen einzelne •Stellen bis in’s Unendliche durch Addition der entsprechenden Stellen der beiden ersteren entstehen würden. Es mag übrigens hier besonders erwähnt werden, dass nicht jeder unendlich vielstellige Decimalbruch eine Irrationalzahl ist. Die periodischen Decimalbrüche sind gemeinen Brüchen gleich, also rational. § 38. Gesetze .des Rechnens mit Wurzelgrössen. Die besonderen Gesetze des Rechnens mit Wurzelgrössen (und also auch mit Irrationalzahlen) ergeben sich leicht aus dem Begriff der Wurzel, bezw. durch Umkehrung der Potenzregeln. Auch für die Wurzeln aus Summen und Differenzen giebt es keine einfachen Umformungen. Dagegen kann eine Wurzel aus einem Produkt gefunden werden, indem man die einzelnen Faktoien mit demselben Exponenten radicirt und die entstehenden Wurzeln multi- plicirt, oder es ist ’-]/ab = p/« -Yb, (46) eine Regel, die sich leicht auf Produkte von beliebig vielen Faktoren ausdehnen lässt, und deren Richtigkeit sich daraus ergiebt, dass (p/a • yT)* = p/ä” • p/^ K = ab (nach (35) und (44)), also in der Tliat die rechte Seite der Gleichung derjenigen Zahl gleich ist, deren Potenz mit n den Werth ab hat. Der vorstehende Satz findet eine nützliche Anwendung zunächst zur praktischen 56 Arithmetik und Algebra. Berechnung von Wurzeln, deren Radicanden sich in Faktoren zerlegen lassen, für welche die betreffenden Wurzeln bekannt sind. So ist z. B. ■j/ 6084 = -j/2 • 2 • 3 • 3 • 13 • 13 = iß? • 32 ■ 132 = 2 • 3 • 13 = 78; i/74088 = ]/23 • 3 3 • 73 == 2 • 3 • 7 = 42, Ya->b w f 15 = ycfi • ¥> • ■ c 5 ■ c 5 ■ c 5 = ab 2 c 2 . Auch wenn der Radicand sich nicht vollständig in zu diesem Verfahren geeignete Faktoren zerlegen lässt, kann das Ausziehen der Wurzeln aus einzelnen solchen Faktoren zur Vereinfachung einer Rechnungsaufgabe dienen. So kann man z. B. _ yi8 = ]/9^2 == 3 • y% oder ]/56 = -]/lT~7 = 2yf, oder 1/4 cßb = ")/4a 2 • ab = 2«]/+ j'/cfib n fi~ n • n+ j/a u — 9 b°c 2K — 5 = ’ >+ ya n +1 • b n + l ■ c n + x — abc setzen, und auch Faktoren vor einem Wurzelzeichen unter das letztere schaffen, wie in folgenden Beispielen: a ■ yr= y a n ■ yb = ya»#, 51/3 = 1/25^3' = yiE . z]/| = 2 yn= ys^j=y2i. Für die Wurzeln aus Quotienten erhält man entsprechend (47) d. h. man kann eine Wurzel aus einem Quotienten berechnen, indem man die entsprechende Wurzel aus dem Dividendus und die aus dem Divisor berechnet und die erstere durch die letztere dividirt. Umgekehrt kann man zwei Wurzeln, die gleiche Exponenten haben, dividiren, indem man ihre Radicanden dividirt und aus dem Quotienten die entsprechende Wurzel zieht. Der Beweis der Formel (47) ergiebt sich, entsprechend dem vorigen aus /U /—\ 11 11 /—11 | V a 1 Y a a _yyf) = yr i = T _ Beispielsweise ist also ~l/ü. —■ ~|/_ a ^ c l/ ai ö 3 c 2 cfibr\/~b _ " 64 _ 8 ’ V p 2 qi pq’ V m„2 ~ n V m' und umgekehrt -j/«3 -.y a = y'cß = a; -j/2 : 2 = -j/2 : 4 = Y\ ; a : y 2 — a Um eine Wurzel aus einer Potenz zu ziehen, werde zuerst vorausgesetzt, dass der Potenzexponent ein Vielfaches des Wurzelexponenten sei. Da nämlich der Ausdruck Ya m verlangt, dass die Potenz a m in n gleiche Faktoren zerlegt werde, so ergiebt sich für den vorausgesetzten Fall eine Lösung sehr leicht dahin, dass für m = p • n ein solcher Faktor gleich ab 1 ist. Es ist nämlich dann a m = ab n = («>)k und Y(at~) n = ab , oder, wenn man für p die Form — einführt, in ’Ya m = a » (48). Diese Regel liefert umgekehrt die im Früheren vorbehaltene Umformung einer Potenz mit gebrochenem Exponenten, jedoch unter dem Vorbehalt, dass der Dividendus m ein Vielfaches von n sei. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, VI also — ein Bruch im engeren Sinne, so hat a n nach der früheren Erklärung der Potenz überhaupt keinen Sinn, führt aber zu einer Erweiterung dieser Erklärung, durch welche die obige Formel (48) die Bedeutung einer allgemeinen Definition des Potenzbegriffs erhält, und somit selbst allgemein gültig wird. Setzt man m nämlich, um die dem Ausdruck a» nothwendig beizulegende allgemeine Bedeu- 7/1 tung zu ermitteln, zunächst die Basis a statt —mal, »2 mal als Faktor, so hat man a zu oft gesetzt, d. h. die Anzahl der gesetzten Faktoren ist «mal zu gross. Um also den wirklich verlangten Ausdruck zu erhalten, muss man die genannte Potenz aaa- • ■ in 11 gleiche Faktoren zerlegen. Dies ist aber nach dem Früheren nicht bloss dann möglich, wenn in ein Vielfaches von 11 ist, sondern mit Hülfe der Wurzelausziehung und der neuen Zahlform der Irrationalzahlen ganz allgemein. Hiernach ist also beispielsweise der Ausdruck 5^ dahin zu deuten, dass eine Zahl gesucht werden solle, welche, zweimal als Faktor gesetzt, den Werth 5-5-5 ergebe, oder dass letzteres Produkt in zwei gleiche Faktoren zu zerlegen sei. 58 Arithmetik und Algebra. Dies ist zwar nicht durch Angabe einer ganzen Anzahl der vorhandenen Faktoren 5, wol aber durch die der j/125 gleiche Irrationalzahl möglich. Hiernach führt also die consequente Weiterentwicklung der bisherigen Begriffe m mit Nothwendigkeit zu der Erklärung, dass unter a u in jedem Fall die »te Wurzel aus a m verstanden werden solle. in Da man hierbei den Quotienten — beliebig erweitern oder heben kann, so führt die obige Formel (48) weiter zu den folgenden: y a m =! lt \/a m P = a m -P. (49) Potenz-Exponent und Wurzelexponent stehen also in einer ähnlichen gegenseitigen Beziehung, wie Zähler und Nenner eines Bruches. Wie diese, so darf man auch jene durch gemeinschaftliche Faktoren dividiren, also z. B. 1 ycßü = ]/« 5 ; m ya’ i Pi=yai setzen, und umgekehrt. Die Multiplication beider Exponenten mit demselben Faktor führt zu der Möglichkeit, zwei gegebene solche Wurzeln so umzuformen, dass beide denselben Potenzexponent, oder dass beide denselben Wurzelexponent erhalten. Der gemeinschaftliche Exponent wird hierbei ebenso bestimmt, wie der sogen. Generalnenner bei dem Gleichnamigmachen von Brüchen. Sind z. B. i/« 3 , y« 3 , 'y« 9 , 'y« 9 gegeben, so erhält man gleiche Wurzelexponenten, indem man 5 • 8 • 3 = 120 zum gemeinsamen Exponenten macht, also bezw. 12 y^ 8 ; l2 y^; 12 yäüs; i2 y««> setzt, dagegen gleiche Potenzexponenten mittelst 2 • 3 • 3 • 5 = 90, also 22 y^so; a4 y^öö; lo ya90; 2i y«90. Da nun Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten sich nach (46), bezw. (47) multipliciren und dividiren lassen, so erhält man auf diesem Wege die Möglichkeit, allgemein die Multiplication und Division von Wurzeln auszuführen. So ist y a m • y & — ya »»■ • ya** = y a»«- + ; y$. yjjs = 1 y^w — 1 y^2i> ■ ya m ■ y yä> i = x ya mz +’^-, yä5. y ^ _ '^y^. Als ein besonderer Fall der Anwendung der obigen Regel kann auch die n j - . 11 : m / - . Umformung von y a m m ya m:M , d. h. die weitere Formel 11 y« w = y« ( 50 ) gelten. In der Praxis findet dieselbe namentlich Anwendung, wenn n ein Vielfaches von m ist. So ist z. B. 1 '|/«3 = y«, n ya m = ~Za u. dgl. m. Zugleich ergiebt diese Formel die Bedeutung, welche einer Wurzel mit gebrochenem Exponenten ganz allgemein beizulegen ist. Da jede Zahl als Potenz mit dem Exponenten 1 geschrieben. werden kann, so lässt sich jeder Wurzel die Form einer Potenz geben. Es ist also yn= a n , (51) also z. B. yä = cfi, und umgekehrt 4^ = y4 =2; 8 :T = 2, S" 3 * = 4, u. s. w. Es lässt sich auch leicht zeigen, dass alle früher für Potenzen im engeren Sinne, also für solche mit ganzen Exponenten abgeleiteten Regeln auch für die 4- Vom Radiciren. 59 neue, erweiterte Bedeutung der Potenz richtig bleiben, sodass also das Rechnen mit Wurzeln ohne Weiteres auch auf ein Rechnen mit Potenzen zurückgeführt werden kann. So ist z. B. auch p 1t a 9 = a ’• nq /-- nq / - nq /- = yd'"? • ya n P — y«"'? + «/ = 9 , denn a ' mq + np in = a 11 i 9 = ’y a m ■ S/aP ■ a U9 Umgekehrt kann man auch jede Potenz in Form einer Wurzelgrösse schreiben, 1_ _ in /— z. B. a m = y a. Der Ausdruck y~a' H gestattet endlich noch eine andere Umformung, welche sich auf die Reihenfolge der Operationen bezieht und in der Formel ya m —\Yä) (o2) ausgesprochen ist. Man kann also statt der Potenz die Basis derselben radiciren und die entstandene Wurzel mit dem Potenzexponenten potenziren. Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich daraus, dass [(yz) m Y = |(>4)'T" = So ist z. B. f/p = 2 7 ; -j/253 = 53. Umgekehrt kann man hiernach eine Wurzel potenziren, indem man ihren Radicanden potenzirt. Um endlich eine Wurzel zu radiciren, findet man die Formel m - n - vyi=V”-yä=yä ( 53 ), d. h. man kann die beiden Wurzelexponenten mit einander vertauschen, oder auch statt der zweimaligen Wurzelausziehung eine einmalige mit dem Produkt der beiden Exponenten setzen. Der Beweis ergiebt sich wieder aus dem Begriff der Wurzel: Es ist (l //, |/ß) = j/yV« = ya, und auch m /— n /— ya == ya. Umgekehrt zeigt die Formel (53), wie man eine Zahl mit einem Produkt als Exponenten radiciren kann. / a m b ="y' a"‘b. So ist also beispielsweise \/a =Y ~\/«, ^ a- "yb = Heis § 41—46. Bardey XIII, XVI. § 39. Fortsetzung. Die im vorigen Paragraphen entwickelten Gesetze des Rechnens mitWurzeln aus zusammengesetzten Radicanden lieferten zugleich diejenigen für Wurzeln mit zusammengesetzten Exponenten. Ist der Exponent eine Summe oder Differenz, so giebt es keine einfache Umformung der Wurzel. Ist derselbe ein Produkt oder ein Quotient, so findet die Formel (53), bezw. (48) Anwendung. Ist der Exponent eine Potenz oder wieder eine Wurzel, so finden ebenfalls keine einfachen Umformungen statt. Ebenso sind im § 38 die Gesetze für die Verbindung zweier Wurzeln durch eine der bisherigen Operationen enthalten. Für die Summe oder Differenz zweier Wurzeln giebt es keine einfachen Umformungen, für das Produkt oder den Quotienten zweier Wurzeln finden die Regeln (46) und (47) Anwendung, für die Potenz einer Wurzel, oder die Wurzel aus einer Wurzel waren die Regeln (52) und (53) abgeleitet. 6o Arithmetik und Algebra. Es bleibt somit nur noch die Untersuchung derjenigen Fälle übrig, in welchen der Exponent oder der Radicand einer Wurzel gleich Null oder eine algebraische Zahl ist. Ist der Radicand gleich 0, so folgt aus 0" = 0 umgekehrt y/0 = 0. Ist der Exponent gleich 0, so erhält zufolge der allgemeineren Erklärungen der Potenz und Wurzel der Ausdruck ya die Bedeutung a u . Die Division einer Zahl durch Null führt, wie früher erwähnt, auf besondere Schwierigkeiten, und da Ausdrücke dieser Art in den Anwendungen der Elementar-Mathematik nicht Vorkommen werden, und ihre Erörterung mit den Hülfsmitteln der höheren' Mathematik leichter und genauer auszuführen ist, so dürfen wir von einer näheren Untersuchung an dieser Stelle absehen und uns auf die praktische Regel beschränken, dass man innerhalb der Elemente, wie die Quotienten mit dem Divisor Null, so auch die Wurzeln mit dem Exponenten Null vermeiden solle. Ist der Exponent eine negative Zahl, so hat man j/a = a n = -Y, also = ~z (54). a» ya Ist dagegen der Radicand eine algebraische Zahl, so hat man zu beachten, dass zwar (-+- a) n stets gleich -+- («"), dagegen (—«)», je nachdem der Exponent eine gerade oder ungerade ganze Zahl ist, entweder gleich •+■ (a n ) oder gleich — (««) ist. Hieraus folgt umgekehrt, dass y/ — a n , falls n eine ganze Zahl und gerade ist, sowol gleich -+- a, als auch gleich — a, dagegen wenn n ungerade ist, nur gleich a sei, sowie dass y/ — a n für ein gerades n nicht möglich, für ein ungerades gleich — a sei. So ist z. B. (— 2) 2 = (-+- 2) 2 = -)- 4, (— 2) 3 = — 8, daher kann y/4 sowol gleich H- 2, als auch gleich — 2 sein, während y/ 8 nur gleich -+- 2, und y/ — 8 = — 2 zu setzen ist. Dagegen giebt es unter den bisher bekannten Zahlen keine, deren zweite Potenz negativ ist, und y/ — 4 erscheint also als unmöglich. Ist der Exponent keine ganze Zahl, so kann die Wurzel nach dem Früheren stets auf eine solche zurückgeführt werden, bei welcher dies der Fall ist. So hat man beispielsweise f/=4 = y/p4j3 = l/^64; = ~f/(_ 8) 2 = “|^4 = y== = j. Man kann sich daher auf den Fall, in welchem der Wurzelexponent eine ganze positive Zahl ist, beschränken, und also folgende Regeln auf stellen: Um eine Wurzel aus einer algebraischen Zahl auszuziehen, kann man im Allgemeinen die gleiche Wurzel aus dem Gliede derselben ausziehen und das Vorzeichen der letzteren, wie folgt, bestimmen: Ist der Wurzelexponent ungerad, so erhält die Wurzel das Vorzeichen des Radicanden. Ist der Wurzelexponent gerad, so erhält die Wurzel bei positivem Radicanden beide Vorzeichen. Dieselbe hat also zwei Werthe (ist zweideutig). Ist dagegen der Radicand negativ, so entspricht in diesem Falle der Wurzel keine der bisher bekannten Zahlformen. 2 -fr- 1 /- 2 n -+• 1 j — 2u ~h 1 /- 2 11 -f-1 1 Es ist also y+«=H- ya; y—a — — ya, 4. Vom Radiciren. 61 ■, 2 11 / - , 2«/— 2 n / -- .. .. 1 dagegen y -+- a = zh y a\ y — a unmöglich. Insbesondere ist also “[/«2=±a, j/-(- cfi = + a , j/—a 3 = — a. Heis, § 47, 48. § 40. Imaginäre Zahlen. Daraus, dass 2 |/—a durch keine der bisherigen Zahlformen angegeben werden kann, darf ebensowenig wie in ähnlichen früheren Fällen gefolgert werden, dass ein solcher Ausdruck überhaupt keinen Sinn haben könne, sondern es ist zu untersuchen, ob nicht auch in diesem Falle eine Erweiterung des bisherigen Zahlenbegriffs es ermögliche, auch für diese Ausdrücke einen Sinn zu erhalten. Hierfür bietet uns wieder die Veranschaulichung der Zahlen durch Strecken ein Hülfsmittel, wobei wir uns auf den einfachsten und in den späteren Anwendungen fast ausschliesslich vorkommenden Fall der Quadratwurzel aus negativen Zahlen beschränken dürfen. Die Zahl -+- 1 wurde früher durch eine Strecke OA ver- anschaulicht, welche von einem Anfangspunkte O aus nach einer bestimmten, als die positive angenommenen B A Richtung auf einer unendlichen Geraden abgetragen war. '— 1 -1— Entsprechend stellte die an Länge der OA gleiche, nach der entgegengesetzten Richtung abgetragene Strecke OB die Zahl — 1 dar. Errichtet man nun auf der durch A und B gehenden Zahlenlinie im Anfangspunkte O die senkrechte Gerade und trägt auf letzterer nach der einen Richtung OC, nach der anderen OD ab, sodass OC = OD = OA ist, so ist nach geometrischen Sätzen OC die mittlere geometrische Proportionale zwischen OA und OB, also OC 2 = OA ■ OB. Man kann daher OC 2 = (+ 1) • (— 1) = — 1, und somit OC = y — 1 setzen. Das Gleiche gilt von OD, und da die Richtungen von OC und OD einander entgegengesetzt sind, so wird man die eine dieser Strecken gleich -+- "j/— 1, die andere gleich — j /— 1 setzen dürfen. Man kann nun OC als die Einheit einer zweiten Zahlenlinie betrachten, welche zu der ersten senkrecht steht, und aus dieser Einheit durch Wiederholung, bezw. Theilung derselben ebenso, wie bei der ersten Zahlenlinie die übrigen Zahlen der zweiten Zahlenlinie ableiten. Diese letzteren Zahlen sollen imaginäre heissen, und die Zahl imaginäre Einheit. Im Gegensatz dazu heissen die bisher behandelten Zahlen der ersten Zahlenlinie reelle. Da nun Y — — V'^ • (— 1) = «y— i gesetzt werden kann, so erhält jede Quadratwurzel aus einer negativen reellen Zahl die Bedeutung einer imaginären Zahl. Imaginäre Zahlen sind also solche, welche sich weder durch Wiederholung noch durch Theilung — selbst wenn letztere bis in’s Unendliche fortgesetzt gedacht wird — aus der ursprünglichen Einheit (oder aus der dieser entgegengesetzten negativen Einheit) ableiten lassen, sondern welche aus einer Einheit anderer Art hervorgehen. Während die negative Zahl — a aus der entgegengesetzten -p a durch Umkehrung der Richtung, also in gewissem Sinne durch Drehung des positiven Strahls der reellen Zahlenlinie um 180° entstehend gedacht werden kann, entsteht die imaginäre Zahl -+- a Y — 1 oder — a ]/— 1 durch eine solche Drehung um 90° . Welche der beiden Richtungen der imaginären Zahlenlinie man als die positive, welche als die negative annehmen will, bleibt hierbei, 62 Arithmetik und Algebra. ähnlich wie bei der reellen Zahlenlinie, unbestimmt. Hat man eine dieser Richtungen als die positive angenommen, so wird dadurch die entgegengesetzte zur negativen. Die imaginäre Zahlenlinie ist nicht an sich, sondern nur durch ihre Beziehung zur reellen imaginär. Würden die auf CD gemessenen Strecken als die ursprünglichen angesehen, so wären die betreffenden Zahlen als reelle und im Gegensatz dazu die der Zahlenlinie AB als die imaginären zu betrachten. — Die Null ist beiden Zahlenarten gemeinschaftlich, da beide Linien einander in dem Anfangspunkt der Zählung schneiden. Ebenso wie früher in praktischen Aufgaben ein negatives Resultat die Unmöglichkeit der Auflösung bezeichnen konnte, wenn für die Zahlen der Aufgabe ein Richtungs-Gegensatz nicht existirte, oder wie das Gleiche bei einer gebrochenen Zahl der Fall war, wenn die Einheit keine Theilung zuliess, so sagt in Aufgaben des praktischen Lebens, wo nur reelle Resultate einen Sinn haben, ein imaginäres Resultat, dass die Auflösung nicht möglich sei. Damit ist jedoch nicht gesagt, dass in der Rechnung selbst keine imaginären Zahlen Vorkommen dürften, denn es kann auch aus solchen bei weiterer Rechnung ein reelles Resultat hervorgehen, wie z. B. aus j/ — a durch Erhebung in's Quadrat der Radi- cand — a. § 4L Rechnen mit imaginären Zahlen. Bei dem Rechnen mit imaginären Zahlen bezeichnet man nach dem Vorgänge von Gauss die imaginäre Einheit -+- ~\f— 1 allgemein durch den Buchstaben i. Da alle früher abgeleiteten Rechnungsgesetze unter der Voraussetzung reeller Zahlen entwickelt worden sind, so können dieselben nicht ohne Weiteres auf imaginäre Zahlen angewendet werden, und es ist also zunächst nachzuweisen, ob dies erlaubt ist, oder welche neuen Gesetze bei imaginären Zahlen an die Stelle der früheren treten. Da nun die imaginären Zahlen ganz in derselben Weise aus der imaginären Einheit entstehen, wie die reellen aus der reellen Einheit, so lassen sich imaginäre Zahlen unter sich, ebenso wie reelle unter sich addiren und subtrahiren, und da ferner auch hier das Gesetz von der Vertauschbarkeit der Summanden gelten muss, so sind auch die Rechnungsregeln, welche früher für die Addition und Subtraction reeller Zahlen (auf Grund dieser Vertauschbarkeit) abgeleitet wurden, in gleicher Weise für die Addition und Subtraction imaginärer Zahlen gültig. Es ist also ai-k- bi = ( a-\- b)i\ ai — bi = (a — b) i , o ai = -+- ai) o — ai— — ai (“t~ ai) —(— ai) — o . Eine Summe von gleichen imaginären Summanden führt ferner auf den Begriff des Produkts einer imaginären mit einer reinen (absoluten, reellen, unbenannten) Zahl. Es ist (-1- ai) ■ b — -p ai -+- ai + . . . = + (« + «+. .)«=-(- {ab) i, und entsprechend (— ai) ■ b — (— ai) -+- (— at)-\- . . . = — {ab) i. Ebenso findet der frühere Begriff der Multiplication mit einem negativen reellen Multiplicator hier Anwendung, wonach mit — b multipliciren gleichbedeutend ist mit der Multiplication mit b und Umkehrung des Vorzeichens des Resultats. Es ist also (+ ai) ■ { — b) = — {ab) i ; (— ai) ■ (— b) = 4- {ab) i. Man kann entsprechend erklären, dass mit einer imaginären Zahl multipli- 4 - Vom Radiciren. 63 ciren gleichbedeutend sei mit der Multiplication mit der entsprechenden reellen Zahl und Versetzung des Resultats in die andere (imaginäre) Zahlenlinie. Hiernach ist (+ d) • (+ bi) = 4 - (ab) i) (+ a) ■ (— bi) = — (ab) 1 (— a) ■ (+ bi) = — (ab) i ) (— a) ■ (— bi) = + (ab) i, und die Vergleichung mit den vorhergehenden Resultaten zeigt, dass auch hier das Gesetz von der Vertauschung der Faktoren gilt. Entsprechend lässt sich nun auch einem Produkt zweier imaginärer Zahlen eine Bedeutung beilegen. Die Aufgabe (ai) ■ (bi) bedeutet, dass ai mit b multi- plicirt und dass ausserdem das Resultat in die andere Zahlenlinie versetzt werden soll, sodass letzteres jetzt reell wird. Es bleibt hierbei aber noch unbestimmt, in welche Richtung der anderen Zahlenlinie das Produkt zu verlegen, also ob dasselbe positiv oder negativ zu nehmen ist. Diese Frage erledigt sich dadurch, dass i ■ i = y— l 2 = — 1 gesetzt werden muss, und dass hiernach '(-b 2 ) • (+z) = — 1; (+ z) • (— i) = (— i) ■ (+i) = + 1; (— z) • (— t) = — 1 zu setzen ist. Man ist also zu folgender Erklärung genöthigt: Unter einem Produkt zweier imaginären Zahlen ist diejenige Zahl zu verstehen, welche man durch Multiplication der entsprechenden reellen Zahlen erhält, und zwar die positiv reelle, wenn die beiden imaginären Faktoren ungleiche, die negativ reelle, wenn die Faktoren gleiche Vorzeichen haben. Es ist also: (+ ai) ■ (-t- bi) = — ab) ( 4 - ai) • (— bi) = — (ai) • ( 4 - bi) — 4 - ab) = — ab. ungleiche — » verwandelt sich also hier in (— ai) ■ (— bi) = — ab. Die Regel «gleiehe Vorzeichen geben die entgegengesetzte. Entsprechende Regeln für die Division mit imaginären Grössen ergeben sich durch Umkehrung aus denen für die Multiplication. Es ist hiernach dagegen —f“ d l +T = + a v> — ai a . -Y- ai a . — ai a -t- b ~~ b h — a ~~ b Z ’ — b ~ - 4- b l ' —|— ci i -Y-bi a _ ■H- a i a t — ai a — ai a b’ — bi b’ + bi~~ b ’ — bi b’ H- a a . -f- a ci . — a a . — a CI . —i~ b i b h — bi ' b tj + bi + b*' — bi Die vorstehenden Multiplications- und Divisions-Regeln lassen sich, wie folgt, merken: Die Verwandlung einer reellen Zahl a in eine imaginäre ai kann aufgefasst werden als eine Richti'ngsVeränderung der ersteren, welche durch eine Drehung aus der Zahlenlinie um 90° hervorgebracht wird. Hierbei wird man sich die Drehung so denken, dass +« in + ai, —a in — Cl! übergeht. Die imaginäre Grösse ai wieder imaginär nehmen, heisst diese Drehung um 90° ■u demselben Sinne wiederholen. Hierdurch geht offenbar die positiv imaginäre Zahl -(- ai ui die negativ reelle — a und ebenso die negativ imaginäre — ai in die positiv reelle + a übel-, denn beide Drehungen ergeben zusammen eine solche von 180°. Mit -|- bi multipliciren, heisst uun mit b multipliciren und in dem gedachten Sinne die Richtung um 90° verändern; mit — bi Multipliciren heisst mit b multipliciren und die Richtung im umgekehrten Sinne verändern. Daher wird aus (+ d) ■ (+ bi) wieder + (ab) i, aus (-f- a) • ( — bi) dagegen — (ab) i, ferner aus (-]- ai) • (+ bi), weil zweimalige Drehung um 90° eine solche um 180° hervorbringt, — ab, U. s. w. — Die Divisionsregeln ergeben sich durch einfache Umkehrung dieses Gedankenganges. Soll z. B. berechnet, also der Faktor gesucht werden, womit + bi zu multipliciren ist, um die positiv reelle Zahl - a. zu geben, so muss dieser Faktor negativ imaginär sein, denn ein positiv imaginärer wurde ein negativ reelles Resultat geben, u. s. w. 64 Arithmetik und Algebra. Man hüte sich also in Aufgaben, wie ]/—a • ]/—b nach den Regeln für reelle Zahlen etwa V(—a) ■ {—b) = J/+ ab = ± ab zu rechnen. Von dem hierbei erhaltenen doppelten Resultat ist nur das eine — ab richtig. Die vorstehenden Regeln gelten auch, wenn a oder b gebrochene oder irrationale Zahlen sind, da in diesem Fall die früher an den entsprechenden Stellen ausgeführten Entwicklungen sich ebenfalls anwenden lassen. Auch ergiebt sich die allgemeine Richtigkeit des Satzes, dass bei Produkten von beliebig vielen (reellen oder imaginären) Faktoren die Reihenfolge der einzelnen Multiplicationen für das Resultat gleichgültig ist. Für die Potenzirung einer imaginären Zahl gehen aus dem Vorstehenden leicht folgende Regeln hervor: Zunächst ist für die imaginäre (positive) Einheit: z'2 =— 1; ß = — z; z'4 = —i— 1; ß> = -)-*; z'6 = — 1, u. s. w., allgemein *4» = + 1, z'4» +1 = + z, z'4« + 2 = — 1; «4» + 8 = — £ Ferner ist i~ 1 = -l = ^ = — f; f -2 = I = _ 1 ; *-3 = 1 = _ I = + z, 2-4= — = + l, U. S. W., allgemein z'—4« = 4 - 1; i~ (4m+ 1) = — z'; i— (4»+2) = — 1 ■ i~ (4«+3) = £ Ferner ist allgemein (ai) n = a n • z K , also (aif = — « 2 ; ( a /)3 — — (zzz)4= -|_« 4 ; («z)5 = - 4 - «5z, u. s. w. Die allgemeinere Behandlung der Potenzirung imaginärer Zahlen, auch für den Fall dass der Exponent eine gebrochene, irrationale oder selbst wieder eine imaginäre Zahl ist, bietet grössere Schwierigkeiten und übersteigt die Grenzen der Elementar-Mathematik. Die vorstehenden Entwicklungen werden übrigens für das Folgende ausreichen. Auch die Behandlung von vierten, sechsten Wurzeln aus negativen Zahlen u. s. w. muss einer anderweiten eingehenderen Untersuchung überlassen bleiben. § 42. Die complexen Zahlen. Während im Vorigen imaginäre Zahlen sowol unter sich, als mit reellen durch Multiplication oder Division verbunden werden konnten, erschien bei der Addition und Subtraction nur eine Verbindung imaginärer Zahlen unter sich, nicht aber mit reellen möglich, - weil beide Arten von Zahlen sich auf nicht vergleichbare Einheiten beziehen. Ein Ausdruck von der Form a + bi z. B. erscheint also hiernach als unmöglich, falls es nicht auch hier gelingt, durch eine neue Erweiterung des Zahlbegriffs demselben eine Bedeutung beizulegen. In diesem Falle muss freilich die Zahl aufhören, nur als die zusammenfassende Angabe einer bestimmten Anzahl völlig gleichartiger Grössen zu gelten, und man muss annehmen, dass es auch möglich sei, Einheiten verschiedener Arten zu einer einzigen Zahl zusammenzusetzen. Inwiefern dies gestattet sein könne, zeigt wieder beispielsweise eine geometrische Veranschaulichung: Man kann zu einer nach bestimmter Richtung erfolgten Bewegung nicht bloss eine weitere Bewegung in derselben oder in der entgegengesetzten Richtung, sondern auch eine nach irgend einer anderen Richtung hinzufügen und die Grössen der zurückgelegten Wege nicht bloss nach der absoluten Länge, sondern auch zugleich nach den verschiedenen Richtungen zu einer Bewegungsgrösse vereinigt denken. In dieser Weise kann die sogenannte complexe Zahl a-\-bi dadurch geometrisch dargestellt werden, dass zuerst auf der reellen Zahlenlinie eine Strecke OA = a und dann von A aus 4. Vom Radiciren. 65 in einer zu OA senkrechten Richtung (also in der imagi- l B nären) eine Strecke AB = b abgetragen wird. Man gelangt so, statt zu einem Punkte der reellen oder der imaginären ----— Zahlenlinie, zu einem Punkte B, welcher seitlich von diesen in der Ebene liegt, und umgekehrt lässt sich die Lage eines jeden Punktes der Ebene durch eine Zahl von der Form a'+bi (wobei a und b selbstverständlich auch negativ sein können) darstellen. Die Zahlenlinie ist also durch die complexen Zahlen zur Zahlenebene erweitert. Während also, allgemeiner dargestellt, die reellen Zahlen zur Bezeichnung der Stellen von gleichartigen Grössen dienen, wenn die letzteren sich in eine einzige Reihe ordnen lassen, reichen dieselben nicht hin um auch die Stellen Solcher Grössen zu bezeichnen, bei welchen diese Anordnung in eine einfache Reihe nicht möglich ist, welche sich vielmehr nur in verschiedenen Reihen neben einander ordnen lassen. Hier treten die complexen Zahlen an ihre Stelle, welche übrigens die reellen, wie die einfachen imaginären als besondere Fälle ein schliessen, denn a 4- bi wird reell für b — 0 und einfach imaginär für a = o. Eine vollständige Behandlung der Eigenschaften complexer Zahlen und der Gesetze des Rechnens mit denselben übersteigt ebenfalls die Grenzen der Elementarmathematik und muss daher einer anderen Stelle Vorbehalten bleiben. Wir führen hier nur noch Folgendes an: Zwei complexe Zahlen, welche sich von einander nur durch das Vorzeichen des imaginären Gliedes unterscheiden, wie a-’rbi und a — bi , heissen einander conjugirt. Zwei complexe Zahlen a -+- bi und c 4- di sind einander gleich, wenn a = c und b = d ist, da imaginäre und reelle Einheiten nicht mit einander so vereinigt werden können, dass erstere an Stelle von letzteren oder umgekehrt treten könnten. Die Summe zweier complexen Zahlen « 4-5 z und c 4- di setzt man gleich (« -+- c) -)- (b 4- d) i, und entsprechend die Differenz derselben gleich ( a — c ) 4 - (b — d) i. Das Produkt zweier complexen Zahlen (a 4- bi) • (c 4- di) kann nach der Regel für das Produkt zweier Binome entwickelt werden, da sich reelle Zahlen mit imaginären multipliciren lassen. Man erhält so für dasselbe ( a 4- bi) ■ ( c 4- di) = ( ac — bd) 4- (bc 4- ad) i. Das Produkt zweier conjugirten complexen Zahlen ist hiernach ( a-\-bi ) ( a — bi) — cß-A-abi — abi 4- 5 2 , d. h. (« 4 - 5 i) (a — bi) — cß 4- d 1 . Auch der Quotient zweier complexen Zahlen lässt sich, wie die Summe, die Differenz oder das Produkt derselben, wieder als eine complexe Zahl darstellen. Erweitert man einen Quotienten, dessen Divisor complex ist, mit der demselben conjugirten Zahl, so wird der Divisor reell. So erhält man a-Arbi _ (a-\-bi) (c — di) ac-A-bci — adi-\-bd ac-\-bd bc — ad. c di (c 4 - di) (c — di) fi 4 - = —, ay = setzen, und wiederum für y zwei ganze Werthe (3, ß ■+ 1 bestimmen, sodass 5. Vom Logarithmiren. 73 ( c v° I —I zwischen «3 und aß + l liegt, dann y—$ + z setzen, und in dieser Weise fortfahren. Es sei beispielsweise x —%log 7 gesucht, so hat man 2° = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, y y 23 = 8, 2 4 =16, u. s. w., also kann man 7 = 2^ = 2 2 +T ° = 4 • 2 10 „JL 7 /7V° 2,, = T ’ s ’ = U) / 7 \ 10 setzen. Da nun l-j-j = 269,38... und 2 8 = 256, 2 9 = 512, so kann man J’ = 8- 10 setzen und erhält 256; 2 = / 7 V 0 l 10 (t) : 256 J ’ Woraus wieder z = 0 + folgt) u - s. w - Es ist also nog 7 = 2,80 .... Auf diese Weise muss man für jeden derartigen Logarithmus einen Werth erhalten, welcher entweder eine ganze oder gebrochene Zahl ist, oder durch Omen unendlich vielstelligen Decimalbruch dargestellt gedacht werden kann, a lso als irrational betrachtet werden muss. [Heis § 56.] § 45. Rechnen mit Logarithmen. Für das Rechnen mit Logarithmen sind folgende Sätze von besonderer Wichtigkeit: Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen des Dividendus und des Divisors, Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus ihrer Basis, Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmus des Radicanden (als Dividend) und aus dem Wurzelexponent (als Divisor), Wobei jedesmal die Logarithmen für dieselbe Basis angenommen werden, oder in Formeln: x log (a b) = x log a -+- x log b x log = x log a — x log b x log (a d ) = b ■ x log a (57) Diese Formeln können als Umkehrungen entsprechender Potenzregeln befrachtet und bewiesen werden. So besagt z. B. die erste derselben nichts anderes, als dass der Exponent, mit welchem die Basis x potenzirt werden müsse, um a ■ b zu erhalten, gleich der Summe der Exponenten sei, mit welchen * potenzirt Werden müsse, um a und b einzeln zu erhalten. In der That ist X Xl °S a + x l0g b _ x x log a . x x log b _ a . In entsprechender Weise gehen die drei folgenden Formeln bezüglich aus den Gleichungen (39), (40) im § 32 und (48) im § 38 hervor. Ist man im Stande die Logarithmen aller (reellen) Zahlen für irgend eine /e&a _ />/ <3 - 6 ' L " ßl% i- = litfcW! .1 Ci Qjlstä 4 i.Ö- *^ r *' £. ■■ .. - 74 Arithmetik und Algebra. (reelle, positive) Basis b anzugeben, und soll der Logarithmus einer Zahl für eine andere Basis c gefunden werden, ist also x= c loga gesucht, so folgt aus den bekannten Logarithmen 6 log c = -[ und b log a = a, - “ bi = c,b a == a, also ~b, ei = b« = a, mithin c log a oder c loga - b log a 6 löge (58) Man findet also aus den Logarithmen der Zahlen für eine Basis b die Logarithmen der Zahlen für eine andere Basis c, indem man erstere durch den Logarithmus der neuen Basis für die alte dividirt. Hiermit ist die Aufgabe der Berechnung der Zahlenwerthe von Logarithmen zurückgeführt auf die Aufgabe, diese Zahlenwerthe für irgend eine bestimmte Basis zu berechnen. Die Gesammtheit der Logarithmen aller (absoluten) Zahlen für eine und dieselbe bestimmte Basis nennt man ein Logarithmensystem. Hat man eine Tabelle (Logarithmentafel) berechnet, welche gestattet, von jeder vorkommenden (absoluten) Zahl den Logarithmus für irgend ein System aufzuschlagen, so kann man mit Hülfe dieser Tafel nach dem vorstehenden Lehrsatz leicht die Logarithmen für jedes beliebige andere System berechnen. Dass, und auf welche Weise die Berechnung einer solchen Tabelle möglich ist, geht schon aus der Entwicklung im § 44 dieses Abschnittes hervor. Das daselbst angegebene Verfahren ist freilich so überaus mühsam und zeitraubend, dass die praktische Ausführung jener Berechnung nach demselben schwerlich von Jemand auch nur versucht werden dürfte. Man hat deshalb bessere elementare Methoden für jene Berechnung entwickelt, und nach denselben auch Tafeln der gedachten Art berechnet, allein die Arbeit bleibt auch dann noch eine ausserordentlich mühsame. Da die höhere Mathematik im Gegensatz hierzu Methoden der Berechnung der Logarithmen darbietet, welche verhältniss- mässig sehr bequem sind, und deshalb in der Gegenwart kein Berechner von Logarithmen jene mühseligen alten Methoden anwenden wird, und da auch die von den verschiedensten Seiten berechneten und allgemein zugänglichen loga- rithmischen Tafeln für die gewöhnlichen praktischen Zwecke die Berechnung von Logarithmen gänzlich überflüssig machen, so darf hier von einer näheren Ausführung und Begründung jener elementaren Methoden Abstand genommen werden. Für jene Tabellenwerke entsteht die Frage, welche Basis für dieselben zu wählen sei. In der sogenannten algebraischen Analysis gebraucht man ein Logarithmensystem, dessen Basis die irrationale Zahl 1 + - 4-~ + — 5 -^ 5 —-= 2,71828 4?.W?4-5r^O^ e = 2 -+- 1 • 2 1-2-31*2-3 -4 ist, weil sich die Logarithmen desselben — wie dort sich zeigt — am einfachsten berechnen lassen. Aus diesen Logarithmen, welche natürliche (auch hyperbolische oder NEPER’sche) genannt werden, berechnet man dann nach dem oben angegebenen Verfahren die Logarithmen der anderen (künstlichen) Systeme. Für den elementaren Gebrauch, welcher im Folgenden erörtert werden soll, bedient man sich aus sogleich anzugebenden Gründen der sogenannten gemeinen Logarithmen, deren Basis die Zahl 10 ist, und welche nach ihrem Erfinder auch BMGGische Logarithmen genannt werden. Der Kürze halber werden letztere 5 . Vom Logarithmiren. 75 ohne Angabe der Basis geschrieben, sodass also unter log a schlechthin stets der gemeine Logarithmus der Zahl a zu verstehen ist. Heis § 57. § 46. Gebrauch der Logarithmentafeln. Der Besitz einer Tafel der Logarithmen, welche es ermöglicht a) zu jeder vorkommenden Zahl den Logarithmus zu der betreffenden Basis und b) zu jedem solchen Logarithmus die Zahl aufzuschlagen, gestattet eine wesentliche Erleichterung des praktischen Rechnens, namentlich bei mehrstelligen (abgekürzten) Decimalzahlen. Soll nämlich ein Produkt a ■ b zweier (oder mehrerer) solcher Zahlen berechnet werden, so kann man nach Anleitung der ersten Formel (57) in § 45 zuerst die Logarithmen der Faktoren aufschlagen, dann diese addiren und zuletzt zu der Summe als dem Logarithmus des Resultats wieder die Zahl suchen. Hierdurch ist die Multiplication, abgesehen von der Arbeit des Aufschlagens in den Tafeln, auf die wesentlich einfachere Aufgabe einer Addition zurückgeführt. In gleicher Weise kann man mittelst der übrigen Formeln (57) im § 45 jede Division auf eine Subtraction der betreffenden Logarithmen, jede Poten- zirung auf eine Multiplication, jede Wurzelausziehung auf eine Division zurückführen. Für diese praktisch überaus wichtige Anwendung der Logarithmen wird man nun ein solches Logarithmensystem wählen, dessen Basis nicht sowol eine möglichst bequeme Berechnung der Logarithmen selbst, als ein möglichst bequemes Aufschlagen derselben, bezw. ihrer Numeri in der Tafel gestattet. Die hierfür bequemste Basis ist die Zahl 10, wie aus Folgendem hervorgeht: Da log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = 2, u. s. w., so sind die Zahlenwerthe der Logarithmen aller Zahlen zwischen 1 und 10, d. h. aller einzifferigen ganzen Zahlen, zwischen 0 und 1, diejenigen der Zahlen zwischen 10 und 100, d. h. der zweizifferigen Zahlen, zwischen 1 u. 2 enthalten, u. s. w. Allgemein folgt aus log 10”“ 1 = n ■— 1 und log 10” = n, dass die Logarithmen der »-zifferigen ganzen Zahlen zwischen n —1 und n enthalten sind. Da diese Logarithmen sich im Allgemeinen in Form von Decimalbriichen werden darstellen lassen, die je nach der bei den vorkommenden Rechnungen erforderlichen Genauigkeit auf eine mehr oder minder grosse Anzahl von" Deci- malstellen abgekürzt sind, so kann man an einem solchen Logarithmus die vor dem Komma stehende ganze Zahl von dem auf letzteres folgenden echten Decimalbruche unterscheiden. Jene wird die Kennziffer oder die Charakteristik, dieser die Mantisse des Logarithmus genannt. Für die gemeinen Logarithmen besteht sonach die Regel, dass die Kennziffer eines solchen aus der Anzahl der Ziffern des Numerus, wenn dieser eine ganze Zahl ist, bestimmt Werden kann, indem dieselbe um 1 kleiner als diese Anzahl ist. Die zweite Eigenthiimlichkeit der gemeinenLogarithmen besteht darin, dass jede Zahl, welche sich aus einer anderen durch blosses Anhängen von Nullen ableiten lässt, mit jener dieselbe Mantisse haben muss, so dass die Logarithmen beider sich nur durch die — nach der vorstehenden Regel ohnehin bekannte — Charakteristik unterscheiden. Denn ist z, B. log 2 = 0,30103 bekannt, so hat man 76 Arithmetik und Algebra. log 20 = log (2 • 10) = log 2 -+- log 10 = log 2 -+- 1 = 1,30103, log 200 = log (2 • 100) = log 2 + log 100 = log 2 + 2 = 2,30103. log 2000 = log (2 • 1000) = log 2 -t- 1000 = /«>,§• 2 + 3 = 3,30103, u. s. w. Allgemein ist (« • 10“) = log a -+- log 10“ = log a + n) der zweite Summand n ist hier eine ganze' Zahl, wirkt also nur auf die Charakteristik, sodass die Mantisse unverändert bleibt. Aus den beiden vorstehend erörterten Eigenthümlichkeiten der BRiGGischen Logarithmen folgt: Eine Tafel, welche die Logarithmen aller ganzen Zahlen bis zu einer bestimmten durch die höchste in den Rechnungen vorausgesetzte Zifferzahl bedingten Grenze angeben soll, braucht nicht die Charakteristiken, sondern nur die Mantissen dieser Logarithmen zu enthalten. Da aber die Mantissen aller Zahlen, welche nicht die höchste vorkommende Anzahl von Ziffern besitzen, sich bei denjenigen höchstzifferigen Zahlen wieder finden, welche aus jenen durch Anhängen von Nullen entstehen, so ist es überhaupt nur nöthig, in der Tafel die Mantissen der höchstzifferigen Zahlen anzugeben. Soll z. B. die Tafel die Logarithmen der Zahlen bis zu den vierzifferigen einschliesslich enthalten, so kann man die Mantisse zu log 2 bei derjenigen von log 2000 aufsuchen, und die Charakteristik 0 dazu ergiebt sich aus dem betreffenden Lehrsätze. Ebenso findet man die Mantisse zu log 52 bei der Zahl 5200, die zu 352 bei 3520. Hierdurch wird der äussere Umfang der Tafel nicht unbedeutend verkleinert und das Aufsuchen eines bestimmten Logarithmus erleichtert. Der Logarithmus eines Bruches wird aus der Tafel der Logarithmen der ganzen Zahlen gefunden, indem man nach (57) den Logarithmus des Nenners von dem des Zählers subtrahirt. Für einen Decimalbrucb, also wenn der Nenner eine Potenz von 10 ist, ist der Logarithmus des Nenners eine ganze Zahl und wirkt daher nur auf die Charakteristik. Man findet also die Mantisse zu einem Decimalbruch, indem man das Komma unberücksichtigt lässt und somit wie bei einer ganzen Zahl verfahrt. Hat der Decimalbruch p Stellen vor dem Komma und n Decimalstellen, also der Zähler desselben / + n Ziffern, so ist die Charakteristik des Zählers gleich p -+- n — 1. Ferner ist der Nenner gleich 10“, also der Logarithmus des Nenners gleich n, mithin die Charakteristik für den Decimalbruch gleich (p -f- n — 1) — »=/ — 1 • Die Charakteristik bestimmt sich also nach der bekannten Regel aus der Anzahl der Ziffern der Ganzen des Decimal- bruchs. Hierbei ist aber vorausgesetzt, dass dem Komma geltende Ziffern vorausgehen. Ist dies nicht der Fall, ist also der Decimalbruch ein echter, so ist der Logarithmus n des Nenners grösser als der Logarithmus des Zählers, und der Logarithmus des Bruches mithin negativ. So ist z. B. log 0,2 = log^ = log % — log 10 = 0,30103 — 1 = — 0,69897, log 0,02 — log-^ = 0,30103 — 2 = — 1,69897, u. s. w. Man ist übereingekommen, in solchen Fällen die Mantisse positiv zu lassen und derselben eine negative Charakteristik anzuhängen, sodass also die Mantisse immer diejenige der entsprechenden ganzen Zahl, d. h. des Zählers ist. Man schreibt also log 0,2 = 0,30103 — 1 ; log 0,02 = 0,30103 — 2, u. s. w. und findet leicht die allgemein gültige Regel, dass für echte Decimal- brüche die Charakteristik negativ, und zwar gleich der Anzahl der den geltenden Ziffern des Zählers vorausgehenden Nullen ist (einschliesslich der Null vor dem Komma). 5- Vom Logarithmiren. 77 Entsprechend sind auch die Logarithmen gemeiner echter Brüche negativ und werden mit positiver Mantisse und angehängter negativer Charakteristik geschrieben. Um z. B. log\ zu bestimmen, hat man log 2 = 0,30103 log 3 = 0,47712, also log\ = log 2 — log 3 = 0,30103 — 0,47712. Statt aber hierfür — 0,17609 zu setzen, erhöht man behufs der Subtraction die Charakteristik des log 2 um 1 und fügt nach Ausführung der Subtraction diese 1 als negative Charakteristik zu, setzt also log\ = 0,82391 — 1 Ueberhaupt gilt die Regel: Soll ein grösserer Logarithmus von einem kleineren subtrahirt werden, so addirt man zu letzterem so viele ganze Einheiten, als nöthig sind, um eine positive Differenz zu erhalten und zieht dann die zuviel gerechneten Einheiten von letzterer wieder in Form einer negativen Charakteristik ab. Die Einrichtung und der Gebrauch der von verschiedenen Verfassern herausgegebenen logarithmischen Tafeln sind im Uebrigen verschieden, und es muss daher in Betreff derselben auf die den einzelnen Tafeln beigegebenen Erklärungen und Anleitungen verwiesen werden. Für die meisten wissenschaftlichen Rechnungen genügen Tafeln, welche die Logarithmen als auf fünf Deci- malstellen abgekürzte Decimalbrüche geben. Solche fünfstellige Tafeln sind von Schlömilch, August, Bremiker und Anderen herausgegeben. Von siebenstelligen Tafeln sind namentlich die von Bremiker (Vega) und die von Schrön zu nennen. § 47. Beispiele. Unter der Voraussetzung, dass der Leser durch den Inhalt des vorigen Paragraphen und das Studium der in einer speciellen Logarithmentafel gegebenen Anleitung in den Stand gesetzt sei, zu jeder vorkommenden Zahl den Logarithmus, sowie umgekehrt zu jedem vorkommenden'Logarithmus die Zahl aufzuschlagen, soll nun die Anwendung der Logarithmen zur Ausführung praktischer Rechnungen in der im Eingang des § 46 angegebenen Weise durch einige Beispiele erläutert werden: Aufgabe 1: 2,746 - 14,318 • 7,459 zu berechnen. Auflösung: 7^2,746 = 0,43870 log 14,318 = 1,15588 log 7,459 = 0,87268 2,46726 = num. log. 293,26 (7) Aufgabe 2: 17,159:0,014 zu berechnen. Auflösung: log 17,159 = 1,23449 log 0,014 = 0,14613 — 2 3,08836 = num. log. 1225,6 (3). Aufgabe 3: 1,7485 9 zu berechnen. Auflösung: 7^1,7485 = 0,24266 (5) 9 2(18398 (5) = num. log. 152,75 (2). Aufgabe 4: j/l23,456 zu berechnen. Auflösung: log 123,456 = 2,09152 (2,09152 : 3 =) 0,69717 = num. log. 4,9793. 78 Arithmetik und Algebra. Aufgabe 5: 1,235*-Vo,076. zu berechnen. ^0,0058 : 71 >43 2 Auflösung: log 1,235 = 0,09167 ; log 1,235 4 = 0,36668 log 0,076 = 0,88081 — 2 ; logYÖfi 76 = 0,62694 — 1 = 1,88081 — 3 0,99362 — 1 log 0,0058 = 0,76343 — 3 = 1,76343 — 4; logfy 0,00h8 = 0,44086 — 1 log 71,43 = 1,85388 log 71,432 = 3,70776 - bm ist. Ist dagegen an < bm, mn so wird x negativ; in diesem Falle ist d. h. der vom ersten Körper in jeder Minute zurückgelegte Weg grösser als der entsprechende des zweiten, die beiden Körper entfernen sich also, statt zusammenzutreffen, immer weiter von einander und das negative Resultat erhält den Sinn, dass die Begegnung um die entsprechende Anzahl von Minuten vor dem Abgänge des zweiten stattgefunden haben würde, wenn beide Körper schon vor diesem Zeitpunkte in denselben Bewegungen gewesen wären. Ist endlich an = bm, so wird x = »; in diesem Falle ist die Auflösung unter jeder Bedingung unmöglich, und beide Körper behalten bei ihrer Bewegung immer denselben Abstand von einander. Wird t negativ, so giebt die Formel die Auflösung für den Fall, dass der zweite Körper um t Minuten früher als der andere abgeht, und kann für diesen Fall in entsprechender Weise weiter discutirt werden. Wird d negativ, so lag der Ausgangspunkt des zweiten Körpers von dem des ersten aus nach vorwärts; ist d= 0, so gingen beide Körper von demselben Punkte aus, ist t = 0, so fingen sie ihre Bewegungen zu gleicher Zeit an, u. s. w. Die weitere Ausführung für alle einzelnen Fälle kann nach diesen Andeutungen dem Leser überlassen werden. Kapitel 7. Die Auflösung der Gleichungen zweiten Grades. § 51. Gleichungen zweiten Grades mit einer Unbekannten. Heis § 69—72. Bardey XXVI, XXVII. 1. Eine geordnete Gleichung zweiten Grades mit einer Unbekannten x muss nach § 48 stets ein Glied mit x 2 und kann ausserdem ein solches mit der ersten Potenz der Unbekannten und ein solches ohne x enthalten. Sie hat also die Form ax 2 -+- bx + c = 0, (1) in welcher b oder c gleich Null zu setzen sind, wenn das zweite oder das dritte Glied fehlt. Eine Gleichung zweiten Grades wird auch eine quadratische Gleichung genannt. Ist in der vorstehenden Form keine der Grössen b, c gleich Null, ent- 7 . Die Auflösung der Gleichungen zweiten Grades. 9i hält also die Gleichung alle drei Glieder, so heisst sie eine vollständige oder auch eine gemischte. Fehlt das Glied mit der ersten Potenz der Unbekannten, so heisst sie eine rein quadratische. Um die allgemeine Gleichung (1) aufzulösen, kann man zunächst beide Seiten durch den Coefficienten a von x 2 dividiren. Die Gleichung erhält hierdurch die Form x 2 -+- px + q = 0 (2). Man bringt nun, gemäss der Formel (a + b) 2 = a 2 H- 2#£ + b 2 , die linke Seite dieser Gleichung auf die Form eines vollständigen Quadrats, indem man für dieselbe x 2 -+- 2x ■ \p + q schreibt, q auf die andere Seite bringt und zu beiden Seiten ($p) 2 = \p 2 addirt. Man erhält so x 2 + 2x ■ \p -t- (i-/) 2 = \p 2 — q, oder (x - 4 - \p) 2 = \p 2 — q, also durch Ausziehen der Quadratwurzel aus beiden Seiten x + \p— ± V \P 2 —q, mithin x — — \p ± "j/ \p 2 — q. (3) So findet man z. B. für die Gleichung x 2 -f-lOx— 24 = 0 zunächst x 2 - 4 - 2x • 5 = 24, x 2 + 2x ■ 5 + 5 2 = 25 -t- 24, (x + 5) 2 = 49 x + 5 == ± 7 x — ± 7 — 5, also entweder x — -+- 7 — 5 = + 2 oder x = — 7 — 5 = — 12. Kürzer benutzt man, statt in jedem einzelnen Falle die ganze Ableitung zu wiederholen, das obige allgemeine Resultat (3), indem man in dasselbe die besonderen Werthe für p und q, im vorliegenden Beispiel also p = 10, q = — 24, einsetzt. Man erhält so unmittelbar x = — 5 dh -|/5 2 + 24 = — 5 ± 7. Will man das allgemeine Resultat für die unter (1) angegebene Form der Gleichung haben, so hat man nur in (3) b c $ a' ^ a einzusetzen und erhält nach einigen leichten Umformungen — b ± ~\/b 2 — 4 ac 2 a 'ix - t = So erhält man z. B. für die Gleichung 5x 2 3, c= — 224 in die vorstehende Formel „ __ 3 ± ]/ 9 + 4 • 5 • 224 3 ± l / 9 + 448Ö ( 4 ) 224 = 0 durch Einsetzen von a -■ : 67 10 70 : 10 : : 7, x.. 10 -64 10 also 10 = - 6,4. 2. Discussion des allgemeinen Resultats (4). Aus der vorstehenden Auflösung folgt, dass jede Gleichung zweiten Grades mit einer Unbekannten zwei Wurzeln hat. Aufgaben, welche auf eine quadratische Gleichung führen, haben also stets zwei Auflösungen, welche im Allgemeinen verschieden sind. Für die Beschaffenheit dieser beiden Auflösungen ist der Radicand b 2 — 4 ac in der Formel (4) von besonderer Bedeutung. Ist b 2 > 4 ac, so hat die Wurzel- 92 Arithmetik und Algebra. grosse zwei verschiedene reelle Werthe. Ist b- = 4 ac, so wird die Wurzelgrösse gleich Null, und man erhält für x nur den einzigen Werth x = — ~ In diesem la Falle sind also die beiden Wurzeln der Gleichung einander gleich. Ist endlich b 2 < 4 ac, so wird die Wurzelgrösse imaginär, die Gleichung hat also zwei verschiedene complexe Wurzeln. Dieselben sind stets einander conjugirt. — In praktischen Aufgaben giebt ein solches Resultat im Allgemeinen die Unmöglichkeit der Lösung an. Als besondere Fälle der allgemeinen Auflösung sind noch die folgenden zu behandeln: Ist b = 0, die Gleichung also eine rein quadratische, so erhält man aus dieser Gleichung ax 1 -+- c = 0 leicht unmittelbar also x = ± 1/- r a Die rein quadratische Gleichung hat also stets zwei entgegengesetzt gleiche Wurzeln, welche entweder beide reell oder beide imaginär sind, je nachdem c und a verschiedene oder gleiche Vorzeichen haben. Die obige allgemeine Formel (4) liefert durch Einsetzung von b = 0 nach einigen leichten Umformungen dasselbe Resultat. Ist ferner c = 0, so lässt sich die Gleichung ax 2 -+- bx = 0 ebenfalls leicht unmittelbar auflösen. Man kann in diesem Falle nämlich beide Seiten durch x dividiren, doch ist dies nur unter der Voraussetzung gestattet, dass x nicht gleich Null oder unendlich sei. Die Substitution von x = 0 zeigt nun, dass in der That hierdurch der Gleichung genügt wird; eine Wurzel derselben ist also gleich Null. Will man nun noch eine zweite Wurzel suchen, und setzt demnach voraus, dass x^.0 sei, so darf man durch x dividiren und erhält die Gleichung ersten Grades ax ■+- b — 0, aus welcher sich leicht die zweite Wurzel x = —— a ergiebt. Auch hier folgen dieselben Resultate aus der allgemeinen Auflösung (4), wenn man in derselben c = 0 einsetzt. Ist b = 0, und c — 0, so haben offenbar beide Wurzeln der Gleichung den Werth Null. 3. Aus den beiden durch (4) gegebenen Wurzeln der allgemeinen quadratischen Gleichung (1), nämlich xi ----- — b + i/m — 4 ac X2 - ■i/m 4 ac 2 a ’ 2 a ergeben sich leicht folgende Beziehungen zwischen diesen Wurzeln und den bekannten Coefficienten a, b und c der Gleichung. Es ist xi • X2 = xi -I- X2 — 2 b 2 a (— b ) 2 —yW—A a)f Iß 4« 2 ~ _ b a — iß -1- £ ac 4« 2 c a’ oder wenn man die für diese Untersuchung bequemere Form (2) der Gleichung anwendet, xi -+- X 2 = — f, x\ ■ X 2 = -t- q. Aus den hierin gegebenen bemerkenswerthen Beziehungen zwischen den Wurzeln und den Coefficienten der Gleichung (2) folgt: y. Die Auflösung cler Gleichungen zweiten Grades. 93 Ist q negativ, so haben die beiden Wurzeln der Gleichung entgegengesetzte, ist q positiv, so haben sie gleiche Vorzeichen. Welche Vorzeichen dies sind, lässt sich weiterhin aus dem Zeichen von p ermitteln, denn die grössere Wurzel muss nothwendig das entgegengesetzte Vorzeichen wie p haben. Man erhält hiernach folgende vier Hauptfälle: Ist q negativ und p negativ, so ist die grössere Wurzel positiv, die kleinere negativ. Ist q negativ und p positiv, so ist die grössere Wurzel negativ, die kleinere positiv. Ist q positiv und p negativ, so sind beide Wurzeln positiv. Ist q positiv und p positiv, so sind beide Wurzeln negativ. In den beiden letzteren Fällen ist vorausgesetzt, dass q nicht grösser als \p 2 ist, da sonst beide Wurzeln complexe Werthe erhalten. 4. Ist x = w eine Wurzel der quadratischen Gleichung ax 2 -+- bx -+- c = 0, so lässt sich das Polynom ax 2 -+- bx -+- c derselben ohne Rest durch x — w divi- diren. Denn es muss in diesem Fall aw 2 -+- bw + c = 0, sein, und durch Subtraction der einander entsprechenden Seiten beider Gleichungen erhält man a (x 2 — tefi) -+- b (x — w) = 0 oder (x — w) ■ [a(x -+- w) -+- b] = 0. Das Gleiche ergiebt sich, wenn man die genannte Division nach § 14 ausführt; man erhält zum Quotienten ax + aw -+- b, zum Rest aw 2 -+- bw + c, und dieser Rest muss der Voraussetzung zufolge gleich Null sein. Sind x= wy, x = w 2 die beiden Wurzeln der obigen quadratischen Gleichung, so muss demnach das Polynom derselben sowol durch x — wy als durch x — w% theilbar sein. Hieraus ergiebt sich, dass jene Gleichung in der Form a(x — wy) (x — wi) — 0 geschrieben werden kann. Die Ausführung der Multiplication ergiebt hieraus a(x 2 — (wy -+- wi) x + wywi) = 0 und führt somit auf die schon oben bewiesenen Sätze über die Beziehungen zwischen den Coefficienten und den Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Umgekehrt ist es selbstverständlich, dass jede Gleichung von der Form a(x — wy) (x — wi) = 0 die beiden Wurzeln x —w\, x = haben muss, denn ein Produkt kann nur dadurch gleich Null werden, dass einer seiner Faktoren gleich Null wird. Allgemeiner wird jede Gleichung von der Form k. (ax + b)-(cx -+- d) = 0 sowol'durch ax-hb = 0, als durch cx-hd= 0 erfüllt, hat also die beiden b d Wurzeln x = — — und x = — — Es ist hiernach leicht, eine Gleichung zu bilden, welche zwei im Voraus gegebene Wurzeln hat. Sind w\, w% diese Wurzeln, so ist (x — w{) (ä — wi) — 0, oder x 2 — (w\ + wi) x wy = 0 eine solche Gleichung. Es geht ferner aus dem Vorstehenden hervor, dass die Aufgabe, eine gegebene quadratische Gleichung aufzulösen, als identisch betrachtet werden kann mit der Aufgabe, zwei Zahlen zu finden, deren Summe und deren Produkt gegeben ist, sowie auch als übereinstimmend mit der Aufgabe, einen Ausdruck von der Form x 1 -+- px + q in zwei lineare Faktoren zu zerlegen. 94 Arithmetik und Algebra. § 52. Gleichungen zweiten Grades mit mehreren Unbekannten. Heis, § 73—76. Bardey XXVIII—XXX. 1. Eine Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten kann durch Ordnen auf die Form (W 2 -4- bxy -b cy 2 -4- dx -4- ey 4- f = 0 gebracht werden, und ist vollständig, wenn keiner, dagegen unvollständig, wenn einer oder mehrere der Coefficienten «, b, c, d, e, f gleich Null sind; doch dürfen selbstverständlich nicht a, b und c gleichzeitig gleich Null sein. Verbindet man mit einer solchen Gleichung eine zweite a x 1 -+- ß xy -4- yj y 1 + dx -I- ey + £ = 0, so kann man eine Unbekannte eliminiren, beispielsweise durch die Substitutionsmethode. Führt man dies aus, so ergiebt sich ohne Schwierigkeit, dass die geordnete Eliminationsgleichung im Allgemeinen eine solche vierten Grades sein wird. Die allgemeine Auflösung von Gleichungen zweiten Grades mit mehreren Unbekannten kann daher erst nach der Erledigung der Auflösung der Gleichungen höherer Grade geschehen. Es giebt jedoch zahlreiche besondere Fälle, in welchen sich die Auflösung wesentlich einfacher gestalten lässt, so dass dieselbe schon mit den bisher gewonnenen Hülfsmitteln ausgeführt werden kann. Wir führen im Folgenden die wichtigsten derartigen Fälle an: a) Ist nur eine der beiden gegebenen Gleichungen mit zwei Unbekannten vom zweiten, dagegen die andere vom ersten Grad, so führt die Substitution aus der letzteren in die erstere stets auf eine Eliminationsgleichung zweiten Grades, und die Auflösung hat hiernach keine Schwierigkeit. b) Zuweilen lassen sich die gegebenen Gleichungen dadurch auf einfachere, leichter auflösbare zurückführen, dass man statt der gesuchten Unbekannten zunächst andere, von denselben abhängige Ausdrücke als die Unbekannten behandelt und, nachdem diese berechnet, aus ihnen auch die Werthe der ursprünglichen Unbekannten ermittelt. Es seien beispielsweise die Gleichungen x 2 — yi -+- x -j-y = a, X 2 —jy2 — x -hy — b aufzulösen, so kann man für x 2 —_y 2 den Ausdruck ( x — y) (x -t-jy) setzen und nun zunächst x -t-y = x —y = vj als die gesuchten Unbekannten betrachten. Die vorstehenden Gleichungen gehen hierdurch über in £■/) -4- £ = ® Sr) — rj — b Substituirt man dann den aus der ersten dieser Gleichungen für t; resul- tirenden Ausdruck in die zweite, so erhält man eine quadratische Gleichung für £. Ist dieselbe aufgelöst und dann durch Substitution auch r ( berechnet, so findet man leicht x = + r|), y = — ?;). Als zweites Beispiel mögen die Gleichungen ■— x 2 -t- 6 xy — 9j y 2 + 4* — 12j> = 4 x 2 — 2 xy -h 3 y 2 — 4 x + 5 y = 53 dienen. Schreibt man die erste derselben in der Form: — (x — 3^) 2 + 4 (x — 3jr) = 4, so kann man x — 3y == I als Unbekannte betrachten und erhält durch Auflösung der Gleichung x— 3y = 2 7. Die Auflösung der Gleichungen zweiten Grades. 95 Die Substitution von x — 2-h3y in die zweite gegebene Gleichung führt dann auf eine quadratische Eliminationsgleichung. c) Durch Verbindung der gegebenen Gleichungen mit einander lassen sich neue Gleichungen ableiten. Jede der letzteren kann an Stelle einer der gegebenen Gleichungen zur Bestimmung der Unbekannten benutzt werden. Gelingt es auf diese Weise eine der gegebenen Gleichungen oder beide durch einfachere zu ersetzen, so kann die Auflösung dadurch wesentlich erleichtert werden. Auch kann dieses Verfahren zuweilen mit dem unter b) angegebenen zugleich angewendet werden. Es sei beispielsweise die Aufgabe gestellt, zwei Zahlen zu finden, von welchen die Summe der Quadrate und das Produkt gegeben sind. Man hat dann die Gleichungen x 2 -hy 2 — a x • y = b. Multiplicirt man die Seiten der zweiten Gleichung mit 2 und addirt, bezw. sub- trahirt die entstehenden Ausdrücke von den entsprechenden Seiten der ersten Gleichung, so erhält man (x -hy) 2 = a ■+■ 2 b; (x — y) 2 — a — 2 b. Hieraus erhält man durch Radiciren die Werthe von x -hy und x -\- y und aus diesen auf bekannte Weise die von x und y. Als zweites Beispiel seien die Gleichungen x 2 yi = a x -hy = b gegeben. Erhebt man die Seiten der zweiten in’s Quadrat und subtrahirt dann die entsprechenden Seiten der ersten, so erhält man 2xy = Iß — a, und hieraus durch Verbindung mit der ersten Gleichung mittelst Subtraction x 2 — 2 xy -t - y 2 =2 a — b 2 , also x — y = ± j/ 2 a — b 2 , worauf das Weitere wieder bekannt ist. Das hier eingeschlagene Verfahren, statt x und y zunächst x-hy und *— y als Unbekannte zu betrachten, empfiehlt sich noch in vielen Fällen, namentlich wenn, wie vorher, eine dieser Grössen selbst gegeben ist. So lassen sich in ganz entsprechender Weise, wie die vorigen, die Gleichungen x 2 + y 2 = a, x — y = b behandeln. Ist dagegen statt x 2 -hy 2 die Differenz x 2 — y 2 gegeben, so setze man für dieselbe (x — y) (x + y), und man erhält, wenn der Werth eines der beiden Faktoren durch die zweite Gleichung bestimmt ist, durch Division den Werth des anderen. Als drittes Beispiel mögen die schon oben in anderer Weise behandelten Gleichungen x 2 — y 2 -H- x -+-y = a x 2 — y 2 —■ x -hy = b dienen. Durch Addition, resp. Subtraction der entsprechenden Seiten derselben e rhält man die Gleichungen 2x 2 — 2y 2 -h2y = a + b 2x = a — b, Welche an Stelle der gegebenen gesetzt werden können. Die zweite derselben liefert unmittelbar x, worauf man durch Substitution in die erste eine quadratische Gleichung für y erhält. d) Ist die durch Elimination entstehende Gleichung vierten Grades von der P°rm x 4 -\- ßx 2 -+- q — 0, 96 Arithmetik und Algebra. so lässt sie sich als quadratische (Gleichung für die Unbekannte x 2 behandeln. Ueberhaupt mag hier eingeschaltet werden, dass jede Gleichung von der Form x 2n 4 -px n -h q = 0 als quadratische Gleichung auf die Unbekannte x n aufgelöst werden kann, worauf man durch Ausziehen der «ten Wurzel die Werthe von x erhält. e) Die im Vorstehenden entwickelten Methoden lassen sich nicht selten in Verbindung mit einander anwenden und gestatten auch in vielen einfachen Fällen die Auflösung von Gleichungen, deren Grad den zweiten übersteigt. Sind beispielsweise die Gleichungen x^ -hy* = a x -hy = b gegeben, von denen die erste vom vierten Grade ist, so erhält man durch Po- tenzirung beider Seiten der zweiten mit 4 und Subtraction derjenigen der ersten die neue Gleichung 4 x s y -t- Qx 2 y 2 -+- 4 xy 3 = b* — a, oder xy (4x 2 -h 6xy -+- 4 y 2 ) — bk — a. Aus der zweiten gegebenen Gleichung lässt sich ferner 4x 2 -+- 4y 2 = 4 b 2 — 8 xy ableiten, und setzt man dies in die vorige ein, so erhält man eine quadratische Gleichung für die Unbekannte xy. Aus den Werthen von x-hy und xy lassen, sich dann x und y selbst finden. Es seien ferner die Gleichungen x -hy + %^x -hy = 10 x 3 -hy 3 = 28 gegeben. Betrachtet man in der ersten derselben Y x als Unbekannte z, so ergiebt die Gleichung z 2 + 3 z = 10 zunächst -j/x +y = -+- 2 oder — 5, also x -+-y = + 4 oder + 25. Dividirt man mit x -hy in x 3 -hy z , so ist der Quotient x 2 — xy -hy 2 , und da man ausserdem (x + y) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 kennt, so erhält man für x -hy = 4 die Gleichungen x 2 — xy -hy 2 = 7 x 2 -h 2 xy -hy 2 = 16 3 xy = 9, xy = 3 x 2 — 2 xy -hy 2 = 7 — 3; x — y = ± 2, u. s. w. 2. Bei Gleichungen zweiten Grades mit drei oder mehr Unbekannten erhält man im Allgemeinen durch das Eliminationsverfahren Gleichungen von höheren Graden, über deren Auflösung auf spätere Untersuchungen verwiesen werden muss. Dass auch hier in besonderen Fällen Vereinfachungen stattfinden können, ist selbstverständlich. 8. Gleichungen dritten und vierten Grades. 97 Kapitel 8. Gleichungen dritten und vierten Grades. § 53. Die Auflösung der Gleichungen dritten Grades. (Kubische Gleichungen.) Heis, § 95a, 95b, 96. Bardey XXXVIII, 1. Jede geordnete Gleichung dritten Grades mit einer Unbekannten hat die Form Ax 3 4- Bx 3 + Cx + D = 0, Wobei jeder der Coefficienten B, C, D, nicht aber A, gleich Null sein kann. Durch Division mit A erhält dieselbe die Form x 3 4 - dx 2 4- Hx 4- c = 0. (1) Ist c = 0, so lässt sich auf der linken Seite dieser Gleichung der Faktor x absondern, und der Gleichung x • ( x 2 4- ax 4- b) = 0 wird sowol durch x = 0 als auch durch jede der beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 -\- a x b = Q genügt. Die Gleichung hat also drei Wurzeln, deren Berechnung keiner näheren Erörterung bedarf. Ist c nicht gleich Null, aber sowol a als b gleich Null, so heisst die Gleichung eme reine kubische Gleichung. Schreiben wir dieselbe in der Form x 3 — a 3 = 0, (2) so sieht man leicht, dass x 3 = a 3 , also x = |/a 3 = a eine Wurzel derselben ist. Nun ist aber X 3 — a 3 -= x" 4- ax 4- a , x — a die obige Gleichung (2) kann also in der Form (x — a) ( x 2 4- ax 4- a 2 ) = 0 geschrieben werden, und hieraus folgt, dass derselben nicht nur dadurch genügt Werden kann, dass der eine Faktor x — a = 0, also x% = a gesetzt wird, sondern auch dadurch, dass der andere Faktor x 2 - 1 - ax 4- a 2 = 0 wird. Diese letztere quadratische Gleichung liefert nun noch die beiden Wurzeln — 1 4- Y — 3 — 1 — "j/^—~3 x -2 = -g-a, x 3 =-g a. Jede reine kubische Gleichung hat also ebenfalls drei Wurzeln, von welchen eine re ell ist und die beiden anderen imaginär sind. Da die Aufgabe, die Gleichung x 3 — a 3 = 0 aufzulösen, durchaus gleichbedeutend ist mit der Aufgabe, eine Zahl x zu bestimmen, deren dritte Potenz einer gegebenen Zahl a 3 gleich ist, so folgt aus dem Vorstehenden, dass jede Kubikwurzel aus einer Zahl im allgemeineren Sinne dreideutig ist. Von den drei Berthen der "j/ä 3 ist einer reell, und dies ist derjenige, welcher in den früheren arithmetischen Untersuchungen ausschliesslich in Betracht kam, und welcher deshalb insbesondere als der arithmetische Werth der Wurzelgrösse bezeichnet werden kann. Die beiden anderen sind imaginär. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 98 Arithmetik und Algebra. Insbesondere hat also die ]/T im allgemeineren Sinne die drei Werthe 1 + y-3 — 1—1/^3 2 ’ 2 1, d. h. alle drei Ausdrücke haben die Eigenschaft, dass ihre dritte Potenz gleich 1 ist. 2. Ist in der allgemeinen Gleichung (1) der Coefficient a der zweiten Potenz der Unbekannten gleich Null, so heisst die Gleichung eine reducirte, ist keiner der Coefficienten gleich Null, so heisst sie eine vollständige. Setzt man in der Gleichung (1) x —y 4- tu, so erhält man jy® 4- 3 a ■4— (t yl - 3a2 2«a y- j- a® ! aa? -bi- -+■ c o Bestimmt man nun hier den Werth von a nachträglich so, dass 3 a 4 -a = 0 ist, setzt also a = — \a, so erhält man durch Substitution dieses Werthes von a auf jeden Fall eine reducirte Gleichung für die neue Unbekannte y. Man kann also jede kubische Gleichung, welche nicht reducirt ist, auf eine reducirte zurückführen, und die Aufgabe der allgemeinen Auflösung kubischer Gleichungen kann daher als gelöst gelten, wenn es gelingt, jede reducirte kubische Gleichung auflösen zu können. Die aus einer vollständigen kubischen Gleichung durch das vorstehende Verfahren entwickelte, oder auch unmittelbar gegebene reducirte kubische Gleichung möge durch x s -\-px 4- q = 0 (3) dargestellt werden. Setzt man hier x=y + z, wo y und z zwei neue Unbekannte bezeichnen, so erhält man j ]ß 4- 3y 2 z 4- 3yz% 4- z® -hp (j 4- z) 4- q = 0, oder y s 4- z® 4- 3yz (y 4- z) 4-/ (y 4- z) 4-? = 0, oder jy® 4- z® 4- q 4- (3 yz 4- p) (y 4- z) = 0. Bestimmt man nun z so, dass 3yz -hp = 0 (4) wird, so geht diese Gleichung über in j® 4- 2 ® 4- q = 0 (5) oder, wenn man hier den aus (4) für z resultirenden Werth einsetzt, oder yZ P_ 3y p° 27 f 4-^ = 0, y6 + qyZ — ^3 = 0 . Diese letztere Gleichung aber ist in Beziehung auf die Unbekannte jy® vom zweiten Grade und führt durch Auflösung auf letztere zu y* = — y ± VT? 2 4- tt/ 3 - Die Gleichung (5) liefert dann hierzu s® = -i?4=vV+f# 3 - Man hat also für y und z je eine reine kubische Gleichung und erhält durch Aullösen derselben, wie oben gezeigt, für jede dieser Unbekannten drei Werthe. 8. Gleichungen dritten und vierten Grades. 99 Setzen wir der Kürze halber die arithmetischen Werthe der betreffenden Wurzeln y-h-n 27 / s (und beachten, dass das doppelte Vorzeichen vor der Quadratwurzel überflüssig ist, da die Werthe von y 3 und z ? > einander wechselweise gleich sein würden), so hat man yi =“ H = ß — i (— 1 + l/—”3) a ^ 2 =i (-l +1 /^3)p -s 3 '= i c— 1 —ß Da nun x—y + z, und man jeden der drei Werthe von y mit jedem der drei Werthe von z verbinden kann, so erhält man anscheinend für x neun Werthe. Von diesen sind jedoch zufolge der Gleichung (4) nur diejenigen gültig, deren Produkt den reellen Werth — \p hat. Scheidet man alle übrigen aus, so behält man drei Wurzeln für die reducirte kubische' Gleichung übrig, nämlich *1 = »+ ß; *2 = XI = yi 4- Zl, X2 =JT2 + £ 3 ; X S : a + p a — ß = yz y — 3; x% = ■ h z% oder a + p a - ■V- 3- 2 1 2 p ~’ 1/1/0 — 2 2 Von diesen drei Formeln wird die erste, also in vollständiger Schreibweise die Formel 3 / G = V-ii + Vr- 1 27 p 3 V-b-Vi 1 *3 die Cardanische Formel genannt. 3. Ist hierbei -+ -^jp 3 positiv, so sind die Quadratwurzeln reell und folglich muss auch. x% reell werden, während x -2 und x% imaginäre Werthe erhalten. In diesem Falle hat also die kubische Gleichung stets eine reelle und zwei -imaginäre Wurzeln. Ist dagegen \ \qi, also 4 p % > 27 g 2 ist, so giebt es stets einen Winkel 3 cp, dessen Sinus den vorstehenden Werth besitzt. Durch den Winkel 3 cp erhält man auch den Winkel cp, und da r ebenfalls bestimmt ist, auch x = r • «'«cp. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass zu jedem gegebenen Sinus unendlich viele Winkel gehören. Es sei zunächst die Gleichung *8 —px -t- q — 0 vorausgesetzt, so liefert die Gleichung zunächst für 3

2 4- w 2 )] 2 = 4 {iß w 2 4- u 2 w 2 4- w 2 w 2 ) 4 - 8 uvw {u 4 - v 4 - w), woraus man durch weitere Entwicklung leicht x 4 — 2 {iß 4 - iß 4 - w 2 ) x 2 — 8 uvw- x 4- [(u 2 4- iß 4-w 2 ) 2 — 4 (« 2 » 2 4 - ißw^ + v 2 w 2 )] = 0 erhält. Diese Gleichung wird mit der obigen (1) identisch, wenn man 4 {u 1 4- » 2 -+- isß) = — 2/, 8 uvw =— q, 16 {iß v 2 4- iß nß 4- iß w 2 ) = p 2 — 4 r setzt. Man hat also nur aus diesen letzteren Gleichungen die Werthe von u, v, w zu bestimmen, um mittelst (2) auch x finden zu können. Setzt man zur Abkürzung . 4k ! = Z[, 4» 2 =2 8 , 4 w 2 — z 3 , so gehen die vorstehenden Gleichungen über in z i •+" z i ■+■ z 3 = 2 /, z t z 2 z 3 =4- q 2 . «1 »2 + Z 1 Z S + Z 2 Z 3 =/ 2 — und aus dem am Schlüsse des § 53 angegebenen Satze ergiebt sich, dass z v z 2 , z s die Wurzeln der kubischen Gleichung z 3 4 - 2/z 3 4 - {p 2 — 4 r)z — q 2 '= 0 (3) sind. Hat man durch Auflösung dieser Gleichung die Werthe von z lt z 2 , z 3 , gefunden, so ergiebt sich u = ± i }/ z u v =.± ^ -/l^, w = ± % y~z^. Da man jeden der beiden Werthe von u mit jedem der Werthe von v und von w combiniren kann, so erhält man aus (2) anscheinend acht verschiedene 8. Gleichungen dritten und vierten Grades. 103 Werthe von x. Zufolge der Bedingung 8 uvw — — q, verringert sich jedoch diese Zahl auf vier, wie folgende Untersuchung zeigt: Die drei Wurzeln z lt z 2 , z g , der Gleichung (3) sind entweder sämmtlich reell, oder eine ist reell und die beiden andern sind imaginär. Die letzteren haben dann die Formen = £ + il . z % = £ — r \Y— 1 ’ und ihr Produkt z 2 z 3 — ~+~ V 2 * st: stets positiv. Da nun z t z 2 z 3 = q 2 immer positiv sein muss, so folgt, dass unter allen Umständen eine der Wurzeln der Gleichung (3) reell und positiv ist. Als diese letztere Wurzel möge die mit z x bezeichnete angenommen werden. Sind nun alle drei Wurzeln reell, so sindz 2 undz 3 entweder beide positiv, oder beide negativ. Die Betrachtung der hiernach möglichen Fälle ergiebt nun Folgendes: a) Sind z 2 und z a positiv, so folgt aus 8 uvw — — q, dass für positives q unter den Grössen u, v, m entweder zwei positiv und eine negativ, oder dass alle drei negativ sein müssen, und dass daher nur die vier Combinationen *1 = i (+ Y z j_+ Y Y z _Y (4) •*2 =i(+ Yfj_— T/f2_+ Y z j) 22 > °> *3 >0 x a =^( - Y Z X "k Y Z 2 "+" Y Z 3) ?>° x 4 =i <— y«7— yiY— YYi) statthaft sind. Ist dagegen q negativ, so hat das Produkt uvw entweder einen positiven und zwei negative oder drei positive Faktoren, und man erhält: x i—i (+ y zx •+• y Z2 ■+■ y z$) X 2 =^ (4- yz\ — yZ2 y z 3) «2 > 0, Z3 > 0 *3 = i (— y Z\ + y zt ~~ y 29) q<0 x i = i ( y zi y z2 y z b) Sind z 2 und z 3 negativ, so kann man v = ± ^ y . y_ i ? w = ± ^ y £ 3 . y~~ 1 setzen, und es wird dann * 8 uvw =± yzi & & (Y— 1) 2 = ± y* 1 & £3 (— i). Es erhält also dieses Produkt das entgegengesetzte Vorzeichen, wie vorhin, und man hat daher für positives q die Formeln (5), für negatives die Formeln (4) zu nehmen; es gelten also (4) auch für z 2 < 0, z s < 0, q < 0, und (5) für z 2 < 0, z 3 < 0, q 0. c) Sind endlich z 2 und z 3 imaginär, so hat man 8 uvw =± y Z1 (i + yj ydT). (s—Tj y— 1 ) = ± yzy ^ + y; 2 ), und hiernach besitz! das Produkt 8uvw dasselbe Vorzeichen, als wenn z 2 und 2 3 positiv wären; es gelten also in diesem Falle dieselben Formeln, wie unter a). 2. Aus der vorstehenden Untersuchung geht noch hervor, dass alle vier Wurzeln der biquadratischen Gleichung reell sind, wenn die Wurzeln der kubischen Htilfsgleichung (3) sämmtlich reell sind. Sind dagegen z 2 und z 3 riega- tlv , also im obigen Falle b), so erhält man, wenn z 2 = z 3 ist, zwei einander gleiche reelle und zwei imaginäre Wurzeln, anderenfalls sind alle vier Wurzeln Jßiaginär. Sind endlich z 2 und z g , wie im Falle c), imaginär, so kann man, da nach § 42 (a ± bt) 2 — (a ± fif) (a ± bi) = a 2 — b 2 =fc 2 abi ist, Wenn man a 2 — b % = %, 2ab = r; setzt und diese Gleichungen auf a und b auflöst, 104 Arithmetik und Algebra. ij/ülSLj - y-i, setzen, und die Anwendung dieser Umformung auf die betreffenden Auflösungsformeln ergiebt in diesem Falle zwei reelle und zwei imaginäre Wurzeln. Es sei beispielsweise die Gleichung x* — 7x 2 — 12* + 18 = 0 aufzulösen, so ist p = — 7, q = — 12, ^ = -+- 18, also die Htilfsgleichung: s 3 — 14a 2 — 23s — 144 = 0. Die Auflösung der letzteren ergiebt = 16, = — 1 + V- 8, s 3 = — 1— y~ 8. Da hier E = — 1, r) = i/8 ist, so ergeben die vorstehenden Formeln y ' z 2 = i +Y 2, = i Y — 2, und da q negativ ist, so sind weiterhin die Formeln (5) anzuwenden, und man erhält x i = i (■+■ 4 + 1 + ■/— 2 + 1 — j/— 2) = + 3 i (+ 4 — 1 — -|/^2 — 1 + Y~~ty = -+- 1 x 3 = £ (— 4 + 1 +1/^2 — 1 + V^2) = — 2 + y^2 i (— 4 —i—+1—]/—ü) = — 2 — y="2. 3. Die im Vorstehenden entwickelte Methode der Auflösung biquadratischer Gleichungen heisst die EüLER’sche oder CARTESius’sche. Man hat ausserdem noch verschiedene andere Methoden entwickelt, unter denen die von Ampäre besonders bemerkenswerth ist. Man kann die Schluss-Formeln derselben aus den obigen Euler’ sehen ableiten, indem man s 2 und z 3 durch z x ausdrückt, wobei s 1 wieder die positive Wurzel der Hülfsgleichung bezeichnen soll. Löst man nämlich die im Vorhergehenden abgeleiteten Gleichungen z 2 "+~ ^3 = 2/ — z y , ± 2 y% 2 Z 3 = —ß=-, Y z i wobei Y z \ * m absoluten Sinn und demnach links das Zeichen + oder _ gewählt werden soll, je nachdem q positiv oder negativ ist, auf und Y^s auf, so erhält man bei positivem q Y~Z2 + Y z 3 = 2/ — zi-h 2 q Y~zi Y Z-2—Y z 5 = j/ z i 2 q Y~*i dagegen bei negativem q Y~z% + Y z 3 = 1 Kl 1 £ 1 V 2 q Y*i l/z-2 — j/23 = Y~ ^ ~ Zl + Y~ Setzt man das erste dieser Paare von Werthen in die Formelgruppe (4), das zweite in (5) ein, so werden beide Gruppen identisch. Man gewinnt also den Vortheil, dass die Unterscheidung positiver und negativer q nicht mehr nöthig ist, und dass man nur die eine positive Wurzel der Hülfsgleichung zu berechnen braucht, und hat so für alle Fälle, wenn man noch der Abkürzung halber i =y setzt, die Formeln: Anh. 3. Proportionen. S}= -2> ± l/-r 1 -2(/ + fl} 2} = - I {■' T V~ yi - 21/1 - 71} Für das obige Beispiel hat man hiernach, da y = 4 war, = - |(4 + j/-8) = -2d=-j/-2 i°5 Der Versuch, Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulösen, führt auf Hülfsgleichungen, welche schwieriger als die ursprüngliche sind, und es ist von verschiedenen Seiten bewiesen worden, dass es überhaupt unmöglich ist, für solche. Gleichungen allgemeine algebraische Auflösungs- Formeln aufzustellen. In Betreff dieser Beweise selbst muss hier auf die eingehenderen Werke über die Lehre von den Gleichungen verwiesen werden. Dieselben gelten jedoch, wie bemerkt, nur für die allgemeinen Gleichungen, d. h. für den Fall, dass für die — in Buchstaben angegebenen — Coefficienten keine besonderen Annahmen oder Bestimmungen gemacht sind, und dass dieselben also auch von einander in keiner Weise abhängen. Dagegen kann die Auflösung auch höherer Gleichungen in speciellen Fällen wol gelingen. Die Behandlung solcher Fälle und namentlich die Auflösung numerischer Gleichungen höherer Grade wird jedoch zweckmässig an einer späteren Stelle gelehrt werden. Anhang 3. DieProportionen. Heis § 31, 32. § 55. Begriff und einfachste Umformungen der Proportionen. 1. Eine besondere Art von Gleichungen, welche in den Anwendungen besonders häufig Vorkommen, sind die Verhältniss-Gleichungen oder Proportionen. Unt-er einem Verhältniss versteht man nach § 8 den Quotienten zweier gleich- urtiger Grössen. Diese letzteren heissen die Glieder des Verhältnisses (Vorder- glied und Hinterglied). Da für einen Quotienten die allgemeinen Gesetze der Division gelten, so folgt, dass der Werth eines Verhältnisses (von Manchen auch der Exponent desselben genannt) sich nicht ändert, wenn beide Glieder mit derselben unbenannten Zahl multiplicirt oder durch dieselbe dividirt werden. Zu jedem Ergebenen Verhältniss lassen sich hiernach unendlich viele ihm gleiche Verhält- msse bilden. Jedes Verhältniss rationaler Zahlen lässt sich durch ein gleiches Verhältniss ganzer Zahlen darstellen, welche relative Primzahlen sind. Eine Proportion ist eine Gleichung zwischen zwei Verhältnissen. So sind z. B. 15 m : 3 m = 10 m : 2™; 8 cm : ±. cm = 6 Mark : 3 Mark; 9 : 7 =4^ : 3-J-; a \b = c : d Proportionen. In einer solchen sind die Glieder eines jeden einzelnen Verhält- msses entweder gleichbenannt, oder beide unbenannt; die Glieder des einen Verhältnisses brauchen nicht mit denen des anderen gleichbenannt zu sein. In jeder Proportion a : b = c : d heissen a und d die äusseren, b und c die umeren Glieder. io6 Arithmetik und Algebra. 2. Ist a'. b = c: d, und multiplicirt man beide Seiten der Gleichung mit bd (schafft also die Divisoren aus derselben), so erhält man a • d = b • c. Hierbei sind unter a, b, c, d, oder doch unter den Gliedern eines einzelnen der beiden Verhältnisse, falls dieselben benannt waren, die betreffenden unbenannten Maasszahlen zu verstehen. Aus 15 m : 3™ = 10™ : 2™ ■ folgt also beispielsweise 15 • 2 = 3 • 10 oder 15™-2 = 3™-10 oder 2™ • 15 = 10™ • 3. Unter der somit gemachten Voraussetzung, welche auch für entsprechende Fälle im Folgenden ein- für allemal festgesetzt sein soll, gilt also der Satz: Das Produkt der äusseren Glieder einer jeden Proportion ist gleich dem Produkt der inneren. Die Gleichung a:b = c:d oder die aus ihr abgeleitete ad=bc kann als Bestimmungsgleichung für jedes der vier Glieder als Unbekannte dienen. Durch Auflösen derselben ergiebt sich: Jedes innere Glied ist gleich dem Produkt der beiden äusseren, dividirt durch das andere innere, und jedes äussere Glied ist gleich dem Produkt der beiden inneren, dividirt durch das andere äussere. Dieser Satz findet Anwendung zur Auflösung der meisten Aufgaben des bürgerlichen Rechnens (Zweisatz- oder Regel deTri-Rechnung, Zinsrechnung u. s. w.) So verhalten sich z. B. die Preise gleichartiger Waaren-Mengen wie deren Gewichte oder wie deren Volumina, die Zinsen eines Kapitals bei demselben Procentsatz wie die Anzahl der Jahre, u. dgl. m. Aus dem angeführten Satze folgt ferner: Stimmen zwei Proportionen in je drei gleichstelligen Gliedern mit einander überein, so sind auch ihre vierten Glieder einander gleich, oder ist a : b = c : x, und a\ b = c :y, so ist auch x =y. 3. Aus jeder Gleichung zwischen zwei Produkten lässt sich umgekehrt eine richtige Proportion bilden, indem man die Faktoren des einen Produkts zu inneren, die des anderen zu äusseren Gliedern macht, denn ist ad = bc, so folgt durch a c Division beider Seiten mit bd , dass auch — = oder a : b = c : d ist. Eine Proportion ist also richtig, wenn das Produkt der äusseren Glieder derselben gleich dem Produkt der inneren ist. Daher kann man aus jeder Proportion andere richtige Proportionen durch Umstellung ihrer Glieder ableiten, wenn man dabei nur dafür sorgt, dass die äusseren Glieder beide äussere bleiben oder beide innere werden. Bildet man nach dieser Regel alle möglichen Umstellungen der Glieder, so erhält man statt einer gegebenen Proportion im Ganzen acht Proportionen, nämlich 1 ) a:b = c:d 5) b:a = d: c 2) a: c = b: d 6) b : d=a: c 3) d: b= c : a 7) c :a = d:b 4) d: c = b : a 8 ) c : d = a : b. Von diesen acht Proportionen entsteht die 8te aus der lten, die 6te aus der 2ten, die 7te aus der 3ten und die 5te aus der 4ten durch blosse Vertauschung der beiden Seiten der Gleichung. Von den übrig bleibenden entsteht die vierte aus der ersten und die dritte aus der zweiten durch Vertauschung der Seiten und gleichzeitige Umkehrung beider Verhältnisse. Von besonderer Bedeutung unter den Umstellungen der ersten Proportion ist daher nur die zweite, welche sich in Anh. 3. Proportionen. 107 dem Satze aussprechen lässt: Die Vorderglieder einer Proportion verhalten sich zu einander, wie die entsprechenden Hinterglieder. Es mag auch hier darauf aufmerksam gemacht werden, dass dieser Satz nicht ohne Weiteres auf Proportionen zwischen benannten Zahlen angewendet werden kann, sondern dass dabei die etwaige Verschiedenheit der Benennungen zu berücksichtigen ist. So kann beispielsweise aus 3 Kgr. : 7 Kgr. = 6 M. : 14 M. nicht gefolgert werden, 3 Kgr. : 6 M. = 7 Kgr. : 14 M., sondern nur 3:6 = 7: 14, oder etwa 3 Kgr. : 6 Kgr. = 7 M. : 14 M., denn ein Verhältniss, wie 3 Kgr. : 6 M. hat keinen Sinn, da unmöglich gefragt werden kann, wie oft 6 Mark in 3 Kilogramm enthalten seien. Die vorstehend erörterte Möglichkeit der Umstellung der Glieder einer Proportion gestattet immer, wenn ein unbekanntes Glied einer Proportion gesucht wird, die letztere so zu schreiben, dass die gesuchte Unbekannte das vierte Glied ist. Aus der — übrigens nicht nothwendigen — Annahme einer solchen gleichmässigen Schreibweise ist die Bezeichnung «vierte geometrische Proportionale zu drei gegebenen Zahlen» hervorgegangen. Die vierte geometrische Proportionale zu a, b und c ist also die Grösse x in der Proportion a : b = c : x, und es ist nach dem Vorigen bc a' Umgekehrt, ist x = so ist x die vierte geometrische Proportionale zu a, b und c. Sind dabei b und c einander gleich, so nennt man auch x die dritte geometrische Proportionale zu a und b. Unter derselben versteht man also die Grösse x in der Proportion a : b = b : x. 4. Sind die beiden inneren, oder sind die beiden äusseren Glieder einer Proportion einander gleich, so heisst die letztere eine stetige Proportion, und das gleiche Glied heisst die mittlere geometrische Proportionale oder kürzer das geometrische Mittel zwischen den beiden anderen. Ist also x das geometrische Mittel zwischen a und b, so ist a : x — x : b oder = a ■ b oder x = y'ab. Die Bezeichnungen «geometrische» Proportion, geometrisches Mittel u. s. w. rühren von der früher üblichen Unterscheidung zweier Arten von Verhältnissen Und Proportionen her, welche man arithmetische und geometrische nannte. Während man bei den im Vorigen behandelten geometrischen Verhältnissen zur Vergleichung zweier Zahlen fragt, wie oft die eine in der anderen enthalten, oder wie vielemal die letztere grösser als jene sei, fragt man bei einem arithmetischen Verhältniss, um wie viel die eine Zahl grösser als die andere sei. Während also eine geometrische Proportion eine Gleichung zwischen zwei Quotienten ist, hat man unter einer arithmetischen Proportion eine Gleichung zwischen zwei Differenzen zu verstehen, wie z. B. a — b = c — d. Ist eine solche stetig, ls t also z. B. a — x — x — d, so heisst das gleiche Glied x die mittlere arithmetische Proportionale, oder kürzer das arithmetische Mittel zwischen den beiden a 1 , ci — t— d anderen. Es ist dann 2 x = a d, oder x = —^—* Allgemeiner versteht man unter dem arithmetischen Mittel beliebig vieler Zahlen diejenige Zahl, welche man erhält, wenn man die Summe der ersteren durch ihre Anzahl dividirt. — Im Folgenden wird, wie vorher, von den arithmetischen Proportionen abgesehen Und unter einer Proportion schlechthin stets eine geometrische verstanden. io8 Arithmetik und Algebra. § 56. Abgeleitete und zusammengesetzte Proportionen. 1. Aus einer gegebenen Proportion lassen sich andere Proportionen ableiten, indem man mit beiden Seiten gleiche Veränderungen vornimmt. So folgt aus a : b = c : d, ~ ± 1 = ± 1, oder b d a±b ~T~ c ± d ~d~’ oder (a + b): b = (c d): d und (a — b)-.b = (c — d): d. Verfährt man ebenso mit b : a — d: c, so erhält man {a + b): a = (c d): c und (a — b):a = (c — d): c. Daher ist auch (a + b ): (c + d) = a : c = b : d, (a — b ): (c — d) = a : c = b : d, mithin auch (a + b) : (c + d) — (a — b) : (c — d), und (a + b) : {a — b) = (c + d) : {c — d). Leitet man aus der gegebenen Proportion zunächst die andere a: c = b: d ab, so erhält man aus dieser in entsprechender Weise {a ± c) : a = {b ± d) : b, u. s. w. 2. Werden mehr als zwei Verhältnisse einander gleich gesetzt, so erhält man eine sogenannte fortlaufende Proportion, wie z. B. a : A = b\ B = c\C — d: D = ..., welche sich auch in der Form a:b:c:d: . ..=A:B:C:D: ... schreiben lässt. Hier verhalten sich jede zwei beliebige Glieder der einen Seite zu einander, wie die gleichstelligen Glieder der andern Seite. Gilt die fortlaufende Proportion a:A —b:3 = c:C=d:D = . . . , so ist auch (aa ± b§ ± cy ± dd . .) : (Aa dz B§ 4- Cf ± D S . . .) = a : A = b : B, u. s. w., wobei a, ß, 7 , S, . . beliebige Coefficienten sind, und in beiden Gliedern des Verhältnisses an gleichen Stellen dasselbe Zeichen zu nehmen ist. Bezeichnet a b nämlich q den Werth der sämmtlichen Quotienten -j-, —g u. s. w., ist also a = Aq, b = Bq u. s. w., so ist aa. ± ± C 7 ± do Aq a ± Bq§ ± Cq~\ ± Dq b __ Aa. ± BQ ± Cy ± Do Aa ± Z?ß ± C'j ± Dh Aa ± i?ß ± Cy ± Do ^ Aa ± üß ± Cy ± Z>S Insbesondere ist daher auch (a±^±f±rf..):(^±^±C±Z>..) = a:^, u. s. w. 3. Sind ferner zwei oder mehrere Proportionen a : b = c : d, A : B — C\ D gegeben, so lässt sich aus ihnen eine neue Proportion durch Multiplication, und ebenso auch durch Division der gleichstelligen Glieder ableiten. Denn da Gleiches mit Gleichem multiplicirt, und ebenso Gleiches durch Gleiches dividirt, wieder Gleiches giebt, so folgt aus a c . A C b = 7/ " nd -B = D' a A c C , a A c C . dass auch und - : : oder aA:bB = cC:dD und -±. • — = — • — A B C ‘ D Anh. 3. Proportionen. 109 ist. Eine Proportion, welche aus zwei oder mehreren anderen Proportionen durch Multiplication der gleichstelligen Glieder abgeleitet werden kann, heisst aus diesen letzteren Proportionen zusammengesetzt. Insbesondere können die Proportionen, aus welchen eine andre zusammengesetzt wird, auch einander gleich sein; aus a : b — c : d folgt also 'cß : b 2 — fl : d 2 \ cß : Iß = : cß, u. s. w. 4. Wenn in einer Reihe von Verhältnissen jedesmal das zweite Glied des einen gleich dem ersten Gliede des nächstfolgenden ist, wie z. B. in a : b, b : c, c : d ,.., so sagt man, dass diese Verhältnisse eine Kette bilden. Bilden die ersten Verhältnisse einer Anzahl gegebener Proportionen eine Kette, ist also z- B. a\b = m\ n b\c=p\q c : d= r : s d: e = t : u, u. s. w. und bildet man die aus diesen Proportionen zusammengesetzte Proportion, so erhält man nach Streichung der gleichen Faktoren in den Gliedern des ersten Ver- hältnisses a\e = mprt : nqsu. Man sagt in diesem Fall, das Verhältniss a\e sei aus den Verhältnissen m:n, p : q, r : s, t‘.u zusammengesetzt. Ist hierbei a\ b = m\ n, b : c = m : n, c : d = m : n, u. s. w., so erhält man a : c— nß : ti 1 , a : d=rrß : iß, u. s.w. Man sagt in diesem Falle, a stehe zu c im quadratischen, a zu d im kubischen Verhältniss von m zu n. Bilden auch die zweiten Verhältnisse eine Kette, ist also z. B. a\b = m'.n b : c — n\p c : d—p : q, u. s. w., so ist a \ c — m : p, a : d = in : q, u. s. w. Die vorstehenden Sätze über zusammengesetzte Proportionen können u. A. angewendet werden bei der sogenannten Kettenrechnung und der zusammengesetzten Regel de Tri. 5. Wenn in einem Verhältnisse die beiden Glieder mit einander vertauscht werden, so sagt man, das Verhältniss werde umgekehrt. So ist z. B. b:a die Umkehrung von a: b, 8:4 die Umkehrung von 4 : 8. Ist das Verhältniss zweier Zahlen a, b gleich dem umgekehrten Verhältniss zweier anderen c, d, so sagt man, dass die ersteren sich zu einander umgekehrt wie die letzteren verhalten. Ist dies der Fall, ist also a: b = d: c, so kann man auch setzen a : b = -i- : K, c d denn das letztere Verhältniss verwandelt sich durch Erweiterung mit cd in das gleiche d : c. Das umgekehrte Verhältniss zweier Zahlen ist also gleich dem Verhältniss der reciproken Werthe dieser Zahlen, (d. h. der durch Division der letzteren in 1 erhaltenen Zahlen). Zwei Grössen a, b stehen also zu einander im umgekehrten Verhältniss der Quadrate zweier anderen c, d, wenn a: b = d 2 : c 2 , oder a : b = \ ^ ist. Die umgekehrten Verhältnisse finden u. A. Anwendung in der sogenannten umgekehrten Regel de Tri. iio Arithmetik und Algebra. Anhang 4. Exponentialgleichungen. § 57. Den bisher behandelten Bestimmungsgleichungen lässt sich eine Gruppe transscendenter Gleichungen anschliessen, welche die Unbekannten in Potenzoder Wurzelexponenten enthalten und dadurch auf algebraische Formen gebracht werden können, dass man jedesmal von beiden Seiten der Gleichung die Logarithmen (für irgend eine Basis) nimmt. Die Aufgabe, die Gleichung a x = b auf x aufzulösen, ist nach § 44 durchaus identisch mit der Aufgabe, den Logarithmus von b für die Basis a zu bestimmen, und kann auch mittelst der Logarithmen eines jeden anderen Systems gelöst werden, indem man . x • c log a = c log b, also x = c log b : c log a erhält. In ähnlicher Weise erhält man z. B. für die Auflösung: y a 3 — ix ■ j/ a 6-7^ = a -4,5 Q_ A. also die W., in die erste Urne zu greifen und dann aus ihr eine weisse Kugel zu ziehen, gleich i = £.. In gleicher Weise ergiebt sieh die W., in die zweite Urne zu greifen und dann aus ihr eine weisse Kugel zu ziehen, gleich Die W., dass entweder das eine oder das andere geschehe, ist also gleich £ + Ebenso findet man für dieses Beispiel die W., eine schwarze Kugel zu ziehen, gleich ^, und die W., mit zwei Griffen hinter einander zuerst eine weisse und, nachdem diese wieder in ihre Urne zurückgelegt worden, dann eine schwarze Kugel zu ziehen, gleich T 5 7 • Ä = Liegt in der einen Urne nur eine schwarze Kugel, liegen in der anderen also 3 weisse und 3 schwarze, so hat die erstere Kugel durch diese Vertheilung für sich allein die gleiche W., gezogen zu werden, wie die 6 anderen zusammen; die W., hier eine schwarze Kugel zu ziehen, ist daher i + i== die W., eine weisse zu ziehen, nur J. Es kann der Fall eintreten, dass umgekehrt die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses mittelst der bekannten totalen oder zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit, oder dass die Anzahl der einzelnen Ereignisse gesucht wird. Man hat in solchen Fällen nur die betreffende Gleichung auf die gesuchte Unbekannte aufzulösen. Wird z. B. gefragt, wie oft mit zwei Würfeln geworfen werden müsse, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei Sechsen zu werfen, grösser werde, als die Wahrscheinlichkeit des Gegen- 122 Arithmetik und Algebra. theils, so hat man folgende Auflösung: Bei zwei Würfeln sind 6 • 6 Fälle möglich, und dem verlangten Ergeigniss ist nur einer günstig. Die W., dass dieses Ereigniss in x Würfen wenigstens einmal eintrete, ist die entgegengesetzte W. dafür, dass x mal hintereinander das Gegen- theil eintrete, also j . Diese W. soll kleiner sein als die erstere, mithin auch < £ sein. Aus der Gleichung /35\x _ W ' ~ 2 würde folgen x=24,6. Also muss x ;> 24,G, mithin mindestens gleich 25 sein. Da die Wahrscheinlichkeiten durch echte Brüche dargestellt werden, so folgt, dass jede zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit kleiner ist, als jede der zugehörigen einzelnen Wahrscheinlichkeiten, und dass die erstere überhaupt mit der zunehmenden Anzahl der Ereignisse abnimmt. 4. Schon in den vorhergehenden Beispielen sind einige besondere Fälle der Wahrscheinlichkeits-Berechnung vorgekommen: So ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein und dasselbe Ereigniss, dessen Wahrscheinlichkeit gleich w sei, n mal nach einander eintreffe, falls die Anzahl der möglichen, sowie die der günstigen Fälle bei den Wiederholungen unverändert bleibt, gleich w u . Zuweilen tritt aber der Fall ein, dass die Anzahl der möglichen, sowie die der günstigen Fälle bei jeder Wiederholung sich um 1 vermindert. Ist ^ die Wahrscheinlichkeit für das erste Eintreffen, so ist in diesem Falle die Wahrscheinlichkeit für ein «maliges Eintreffen gleich a ■ (a — 1) • (a : — 2) . . . (a — n -+- 1) T7(b — 1) . (J _ 2) . . . ' So ist z. B. die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 52 Karten in dreizehn aufeinander folgenden Zügen sämmtliche Coeur-Karten zu ziehen, wenn die gezogenen Karten nicht wieder in’s Spiel gegeben werden, gleich 13- 12- 11.2-1 1 52-51-50.41 • 40 ~ G35013559600' Würde dagegen jede gezogene Karte wieder in das Spiel gemischt, so wäre die W., dreizehnmal hinter einander eine Coeur-Karte, gleichviel welche, zu ziehen, gleich Sollen dagegen in diesem Falle alle gezogenen Karten auch von einander verschieden sein, so ändert sich bloss die Anzahl der günstigen, nicht aber die der möglichen Fälle um je 1, und die gesuchte W. ist dann 13-12-11_ 2-1 52-52-52 _52 • 52' Sind w lt w 2 die einzelnen Wahrscheinlichkeiten zweier von einander unabhängigen Ereignisse A, B, so ist nach dem Früheren 1. die W., dass sowol A, als auch B eintreffe, gleich w x -w 2 ; 2- die W., dass A eintreffe und B nicht eintreffe, gleich w 1 -(l —a» 2 ); 3. die W., dass A nicht eintreffe, dagegen B ein- treffe, gleich (1 — 4. die W., dass weder A noch B eintreffe, gleich (1 — wj (1—® 2 )- Ferner ist die W., dass 5. nur eins der beiden Ereignisse eintreffe, gleichviel welches, gleich w x (1 — w 2 ) -I- w 2 (1 — w l ) = w 1 -\- — 2w x w 2 , 6. dass wenigstens eins derselben eintreffe, in welchem Falle also auch das gleichzeitige Eintreffen beider günstig ist, gleich w t + w 2 —WjW 2 - Es ist dies die entgegengesetzte W. von der unter 4. angegebenen, und dieselbe kann daher auch aus 1 — (1 — w j ) (1 zten Klasse gebildeten Produkte der Kürze halber mit S (Cp), so ist für ein Produkt von n Binomen: (x 4- a) (x 4- b) (x 4- c) . . . . = *“4-£(Ci)*«-i+£(C2)^-2+S(C 3 )x«-3 + ... 4- S(C n ^i)x + S(C n ) ■ (1). Die Richtigkeit dieser Formel beruht jedoch nach dem Vorstehenden nur auf Vermuthung; einen strengen Beweis derselben erhält man durch die sogenannte höhereInduction oder denSchlussvon n auf » 4 - 1 . Es sei nämlich die Richtigkeit der Formel für irgend eine Anzahl n der binomischen Faktoren vorausgesetzt, so soll bewiesen werden, dass dieselbe dann auch für « 4-1 solche Faktoren gelten muss. Man findet aber das richtige Produkt von » 4-1 Faktoren, indem man die Multiplication des richtigen Produkts von n Faktoren mit dem neu hinzugekommenen n 4- lten Faktor ausführt. Es sei dieser Faktor x + q, so ist das durch Multiplication der rechten Seite von (1) mit demselben entstehende Produkt gleich + 1 4- ^ (Ci) 4- S (C 2 ) x«-1 4- ... 4 - £ *2 + S(C„) x 4- q x n 4- qS(C\)x" — 1 4- . . . 4- qS(C n ^ 2 ) x 2 4 - qS(C u _ t ) x 4 - qS(C n ). Es ist also in der neuen Entwicklung der Coefficient von xt gleich 9- Die Elemente der Combinationslehre. 129 A (C„ _p + ^ qS> (C„ —p). Fügt man aber, wie dieser Ausdruck verlangt, zu sämmt- liche Combinationen von n Elementen zu irgend einer Klasse die sämmtlichen Com- binationen eines n -+- lten Elementes q mit den Combinationen jener n Elemente zur nächst niedrigeren Klasse hinzu, §0 erhält man offenbar sämmtliche Combinationen der n -t- 1 Elemente zu jener ersteren Klasse. Hieraus geht hervor, dass die vorstehende Entwicklung für ein Produkt von n -t- 1 binomischen Faktoren dieselbe ist, welche man aus (1) erhalten haben würde, wenn man das Gesetz dieser Formel auf n 1 Faktoren angewendet hätte. Gilt also diese Formel für n Faktoren, so gilt sie auch für n + 1 Faktoren. Nun ist aber die Richtigkeit von (1) für 2, 3, 4 Faktoren unmittelbar durch Ausführung der Multiplication nachgewiesen, mithin gilt diese Formel auch für 5 Faktoren, und da dieses der Fall ist, nach demselben Schlüsse auch für 6 Faktoten, u. s. w. bis in's Unendliche. Hiermit ist ihre allgemeine Gültigkeit bewiesen. Die Entwicklung von (x — «) (x —■ 0) (x — c ) . . . . kann in ganz derselben Weise erfolgen, wie die vorige; einfacher ist es jedoch, in (1) die Werthe von a > c, . . . negativ anzunehmen. In diesem Fall werden die aus Combinationen einer ungeraden Klasse gebildeten Produkte negativ, während die anderen positiv bleiben. Daher erhält man dieselbe Entwicklung, wie in (1), jedoch mit abwechselnden Vorzeichen der einzelnen Glieder, oder es ist (x — a){x — b) (x — c) . . . = x«~ SiC^xn-t— S(Cz)x”-s+ ... + (— l) n ~ 1 S(C„-i)x -4- (— 1 yS{C n ). (2). 2. Werden in den Formeln (1) und (2) die Grössen a, b, c, . . einander gleich, so verwandeln sich alle in S {C p ) enthaltenen Produkte in die /te Potenz von «, und da die Anzahl dieser Potenzen gleich derjenigen der Combinationen von 71 Elementen zur ßten Klasse ist, so wird S (Cp) zu n(n— 1) ■ . . in —p -t- 1) 1 • 2. . .p oder nach der schon früher eingeführten Bezeichnung, zu Demnach ist (3) (* + «)»=*»+ ax n -1 -+- c(2xn ~ 2 + • • • + an > (x — a) n = x n — (Yj ax n ~ 1 + (2) a2x ’ 1 ~ 2 — ■ • • + (— 1)“ « K - Diese Formeln enthalten den sogenannten binomischen Lehrsatz. Gewöhnlich findet man denselben in der Form geschrieben, welche man erhält, Wenn man « statt x und b statt « schreibt, also 11 ( n - (fl i />)«= a n zhfi-a n ~ t ]j ■ 1 ) — -a n ~‘ m n(n — 1) (n — 2) -4- i-——- L n n — 1-2-3 -303. 1-2 1-2-3 - . . . -+- (± 1)* b’K Die Giltigkeit dieses Lehrsatzes ist durch die gegebene Ableitung nur für ganze positive Werthe des Exponenten n bewiesen. Es ist also beispielsweise («- 10 0)10: ■ 9 • £ :« 10 - 7 • 6 10 « 9 0 - «5Ä5 1 • 2 • 3 • 4 • 5 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4-3 10 • 9 ^ 1-2 10-9-S « 8 0 2 ■ 10-9-8 1-2-3 a^b 3 10-9-8-7 «601 -7-6-5 «406 _ 1-2-3-4-5-6-7-8 « 2 0 8 - 1.2 - 3 • 4 • 5 • 6 10-9-8-7-6-5-4-3-2 ‘ 1-2-3-4-5-6-7-8-9 «307 «03- Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 1-2-3-4 10-9-8-7-6-5-4 1-2-3-4-5-6-7 10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10' 9 0io, 130 Arithmetik und Algebra. d. i. (a — £) la = a 10 — 10 cßb 4- 45« 8 £ 2 — 120 cfllß 4 - 210a 6 ^ 4 — 252« 5 ^ 5 4- 210 atG 6 — 120 (sj u - s ' w ' bezeichnet wurden, werden die Binomial-Coefficienten zur «ten Potenz genannt. Der/te Binomialcoefficient ist also (n\ nin — 1 ) (« — 2 )...(« —/ 4 - 1 ) = 1 • 2 • 3 . . ./ ‘ Derselbe ist der Coefficient des «4-1 ten Gliedes im binomischen Lehrsätze und gleich der Anzahl der Combinationen von « Elementen zur/ten Klasse ohne Wiederholungen, sowie gleich der Anzahl der Permutationen von « Elementen, unter denen sich/ gleiche einer Art und n — p gleiche einer anderen Art befinden. Da die Werthe von n als ganze, positive Zahlen vorausgesetzt sind, so bilden die Faktoren des Zählers eines Binomialcoefficienten ganze Zahlen, von denen jede folgende um 1 kleiner ist als die vorhergehende, und man muss daher bei der Bildung dieser Coefficienten einmal zu einem Faktor im Zähler kommen, welcher gleich Null ist. Dies findet statt, wenn « —/ 4-1 = 0, also / = « 4 - 1 ist. Somit wird der »4-lte Coefficient und ebenso jeder folgende gleich Null. Hiernach wird auch das n 4 - 2te und jedes folgende Glied der rechten Seite des binomischen Lehrsatzes gleich Null, oder diese Seite besteht aus n 4 1 Gliedern. 3. Die wichtigsten Eigenschaften der Binomialcoefficienten sind folgende: Der Coefficient ) = 1 des ersten Gliedes ist gleich dem des letzten, der Coefficient ^ des ersten Gliedes gleich dem des vorletzten u. s. w., allgemein der des/ten Gliedes gleich dem des n —/ 4 -2ten, denn jener ist gleich 11 (n — 1) . . (n —/ 4-2) (:n — !)..(« —/ 2 ....(/ - 4 - 2) (» —/ ■ 1 ) ' -!)(”- -/)...(/ 4 -1) / diese' gleich r - 2 .... p (f+l)... („-p, („-p + iy und in dem letzteren Quotienten heben sich alle auf (n—p + 2 ) folgenden Faktoren des Zählers gegen die auf / —• 1 folgenden des Nenners auf. Die Binomial- coefficienten für irgend eine ganze positive Potenz bilden also eine Reihe von Zahlen, deren erste Hälfte von der Mitte an in umgekehrter Reihenfolge wiederkehrt. Demnach ist das letzte Glied b n , das vorletzte nab n ~\ u. s. w. Aus den Binomialcoefficienten zu irgend einer Potenz erhält man diejenigen zur nächst höheren Potenz, indem man je zwei aufeinanderfolgende der ersteren, mit Einschluss von = 1 und = 1, addirt. Dieser Satz ist bereits oben bei dem allgemeinen Beweise von (1) in Betreff der Combinationen bewiesen worden; um denselben speciell für den hier vorliegenden Fall zu beweisen, hat man zu zeigen, dass io. Von den Reihen. 131 ist, was leicht mittelst Einsetzen der betreffenden Ausdrücke und einer einfachen Umformung geschieht. Hiernach können die Binomialcoefficienten für die verschiedenen Exponenten leicht nacheinander durch blosse Additionen berechnet werden. Man erhält so das sogenannte pASCAL’sche Dreieck: 0 . . , , 1 1 . 1 1 2. 1 2 1 3. 13 3 1 4. 14 6 4 1 5. 1 5 10 10 5 1 6. 1 6 15 20 15 6 1 7. 1 7 21 35 35 21. 7 1 u. s. w. Setzt man in der Entwicklung von (a b) n für a und für b den Werth 1 ein, so ergiebt sich ohne Weiteres der Satz: Die Summe aller Binomialcoefficienten der »ten Potenz ist gleich 2”. Setzt tnan dagegen in der Entwicklung von (a — b) n , a — b = 1, so erhält man «»©-0 + © —- i * »■©. Voraus der Satz folgt, dass die Summe aller an geraden Stellen stehenden Binominalcoefficienten gleich der Summe aller an ungeraden Stellen stehenden, jede dieser Summen also gleich 2 K —1 ist. 4. Um die nte. Potenz eines Tvinoms a ± b ± c zu entwickeln, kann man letzteres zunächst in Form eines Binoms schreiben, dessen eines Glied wieder ein Binom ist, und dann den binomischen Lehrsatz wiederholt anwenden. So ist z. B. (a -\- b — cf — \(a -4- b) — r ] 3 = (a -+- bf —• 3 {a bf c -+- 3 (a -+- b) <ß — £ 3 = «3 + + o, a m h- £3 _ 3 (cfi -+- 2 ab -4- P) c -+- 3 (a + b) & — c 3 = «3 _|_ 3 alb -+- 3ab^ -+- — 3 cflc — Gabe — 3b^c ■+■ 3 afi + 3 biß — c 3 — «3 4. ]ß, _ c % _i_ 3 (cfib -+- ab 2 — efic — U’-c «c 2 + 1 bc%) — Gabe. In ähnlicher Weise lassen sich die Potenzen beliebiger Polynome entwickeln. Hierdurch wird für die Praxis die Ableitung einer allgemeinen Formel für die »te Potenz eines Polynoms, d. i. des polynomischen Lehrsatzes, entbehrlich. Eine andere Erweiterung des binomischen Lehrsatzes, nämlich die Ausdehnung desselben auf gebrochene oder negative, allgemein auf beliebige Werthe des Exponenten, geschieht am besten durch Hülfsmittel der sogenannten höheren Mathematik. Kapitel 10. Von den Reihen. § 63. Einfache arithmetische Reihen. Eine Reihe nennt man in der Arithmetik jede gesetzmässige Aufeinanderfolge von Zahlen. So sind beispielsweise 111 1 1 1' 1-2’ 1 ■ 2 • 3’ 1 • 2 ■ 3 - 4’ 1 • 2 • 3 - 4- 5' ‘ ’ oder \ b 2i' ilö’ ■ • • und a ’ 2a ’ 3a ' 4a> 5a> — Reihen, deren Bildungsgesetze leicht ersichtlich sind. 9 ’ 13 2 Arithmetik und Algebra. Die einzelnen Zahlen, welche eine Reihe bilden, heissen die Glieder derselben. Aus der unbegrenzten Anzahl möglicher Reihen werden in der elementaren Mathematik besonders zwei Arten behandelt, welche sich durch die Einfachheit ihrer Bildungsgesetze auszeichnen, und welche man mit den Namen arithmetische und geometrische Reihen (oder Progressionen) bezeichnet hat. Eine arithmetische Reihe ist eine solche, bei welcher jedes folgende Glied aus dem nächst vorhergehenden durch Addition einer und derselben Zahl entsteht, oder mit anderen Worten, bei welcher die Differenz je zweier aufeinanderfolgender Glieder (das vorhergehende als Subtrahend genommen) einen und denselben Werth hat. Diesen letzteren Werth nennt man die Differenz der Reihe. Dieselbe kann positiv oder negativ sein. Im letzteren Falle ist jedes folgende Glied kleiner als das vorhergehende. Das erste Glied einer Reihe heisst allgemein das Anfangsglied derselben. Ist a das Anfangsglied einer arithmetischen Reihe und d die Differenz derselben, so ist das zweite Glied gleich a -+- d, das dritte gleich a~h2d, das vierte gleich a-+-3d, u. s. w., also allgemein, das «te Glied a„ = a + (n — 1) d (1) Diese Formel gestattet, jedes beliebige Glied der Reihe aus seinem Stellenzeiger n, dem Anfangsgliede und der Differenz zu bestimmen, ohne dass es nöthig ist, die vorhergehenden Glieder zu berechnen. Eine derartige Formel nennt man überhaupt das allgemeine Glied der Reihe. Es sei z. B. gefragt, wieviel Meter ein fallender Körper in der 8ten Secunde der Fallzeit zurücklegt, wenn bekannt ist, dass ein solcher (abgesehen von dem Widerstande der Luft) in der ersten Secunde 4,904 Meter und in jeder folgenden Secunde 9,808 Meter mehr als in der vorhergehenden durchfällt. Hier ist a n = 4,904 + 7 • 9,808 =73,560 Meter. Eine entsprechende Aufgabe ist die der Berechnung der Summe einer bestimmten Anzahl von Gliedern einer Reihe. Soll für eine arithmetische Reihe die Summe der n ersten Glieder berechnet werden, so beachte man, dass die Summe des ersten und des letzten Gliedes gleich derjenigen des zweiten und des vorletzten, sowie gleich derjenigen des dritten und des drittletzten Gliedes u. s. w. sein muss, denn in jeder folgenden dieser einzelnen Summen ist der eine Summand gegen die vorhergehende um ebensoviel vergrössert, wie der andere verkleinert. Schreibt man also jene n ersten Glieder der Reihe einmal in ihrer Reihenfolge, das anderemal in der umgekehrten Reihenfolge, setzt also S n = d ~l- (d + tf) + (a + 2d) + .... -f- [d + (fi — 2) d] + + (ft — 1) t/j, S„ = [« -p (# — 1 )d\ + [« + (« — 2 )d\ + [« + (« — 3 )d\ -p .... -p (a -p d) -P a und addirt die gleichstelligen Glieder beider Reihen, so erhält man 2 S n = [2a -p (n — l)tf] + [2# + (n — 1)^] -P . .. = [2 n, a n> S n zu betrachten, welche die Berechnung jeder beliebigen zwei von diesen Grössen aus den gegebenen Werthen der drei anderen gestatten, indem man sie eventuell nur auf jene gesuchten Grössen als Unbekannte aufzulösen hat. Wählt man hiernach aus jenen fünf Grössen auf alle möglichen Arten zwei ais die zu berechnenden aus, so erhält man im Ganzen 10 Aufgaben, nämlich ausser der schon gelösten, in welcher a„ und S„ gesucht wurden, noch die folgenden neuen, in welchen die gesuchten Unbekannten bezüglich 1) ««, a\ 2) a«, d\ 3) n\ 4) S, h «; 5) S, h d\ 6) S„, n\ 7) a, d; 8) a, n\ 9) d, n sind. I m Folgenden sollen zunächst diese neun Aufgaben mit entsprechender Numerirung behandelt werden. In den Aufgaben 1)—3) kann bezüglich die Unbekannte a, d und n durch Auflösung der Gleichung (2) auf dieselbe gefunden werden, und die Gleichung (1) ergiebt dann a„. In dem Falle 3), in welchem n unbekannt ist, wird die Gleichung (2) eine quadratische, in den anderen Fällen ist sie vom ersten Grade. — Entsprechend kann in den Aufgaben 4)—6) zuerst die Unbekannte a, bezw. d oder n aus (1) berechnet und dann S„ aus (2) oder (3) gefunden werden. Bei 5) kann S„ auch kürzer direct aus (3) berechnet werden. Bei 7) findet man a aus (3), darauf d aus (1) oder (2); bei 8) sind die zwei Gleichungen (1) und (3) auf die Unbekannten aufzulösen, wobei die Eliminationsgleichung vom zweiten Grade wird; bei 9) endlich liefert (3) den Werth von n und darauf (1) oder (2) den Werth von d. — Beispiele: Heis, § 81, No. 1—18; § 82, No. 1 — 13. Bardey XXXII A. § 64. Geometrische Reihen. 1. Eine geometrische Reihe ist eine solche, bei welcher jedes folgende Glied aus dem nächst vorhergehenden durch Multiplication des letzteren mit einer und derselben Zahl entsteht, oder mit anderen Worten, bei welcher der Quotient je zweier auf einander folgender Glieder (das vorhergehende als Divisor genommen) einen und denselben Werth hat. Diesen letzteren nennt man den Quotient (vielfach auch den Exponent) der Reihe. Ist a das Anfangsglied, q der Quotient einer geometrischen Reihe, so ist das zweite Glied gleich aq, das dritte gleich aq 2 , das vierte gleich «j' 3 , u. s. w., also das allgemeine Glied a H = aq n ~ 1 (4) : . Das Summenglied einer geometrischen Reihe ergiebt sich aus folgender Ableitung: Es ist S n == a -t- aq 4 - aq 2 4 - aq 3 4 - ... 4- aq n ~ 2 4- aq * , also q ■ S n - - aq H- aq 3 + aq 3 4- ■ ■ • + aq n ~ 2 + aq « — 1 + aq’ l \ daher S 7l — q S H = a — aq n > oder 34 Arithmetik und Algebra. c _ i — r S * — a: \ — q mithin (5). wofür man auch S n a q u — 1 schreiben kann. In der letzteren Gestalt wird man die Formel für q > 1, in der ersteren für q < 1 anwenden. Die durch die Gleichungen (4) und (5) angegebenen Beziehungen zwischen den 5 Grössen a, q, n, a, h S„ führen auch hier zu der allgemeineren Aufgabe, je zwei derselben aus den übrigen zu berechnen, und diese Aufgabe ergiebt wieder im Einzelnen neun neue Aufgaben: Sollen 1) a n und a aus n, q, S„ berechnet werden, so findet man leicht a aus (5) und dann a n aus (4). • Entsprechendes gilt, wenn 2) a„ und n gesucht sind. In diesem Falle ist die Gleichung (5) in Beziehung auf n eine Exponentialgleichung und kann mit Hülfe der Logarithmen nach Anhang 4 aufgelöst werden. Sollen dagegen 3) a n und q berechnet werden, so ist die Gleichung (5) für q 1 — q n anscheinend vom «ten Grade. Da jedoch --sich wieder durch die Summe 1 — q 1 + ? + . -L V* ~ 1 darstellen lässt, so hat man in Wirklichkeit nur eine Gleichung n — lten Grades. — Eine allgemeine Auflösung dieser besonderen Aufgabe ist daher nur möglich, so lange n nicht grösser als 5 ist. Es seien ferner 4) S„ und a gesucht, so ergiebt sich leicht a aus (4) und dann S„ aus (5). Sind 5) S„ und n gesucht, so ergiebt sich n aus der Exponentialgleichung (4) mittelst der Logarithmen, und dann wieder S n aus (5). Sollen 6) S n und q berechnet werden, so kann die in Beziehung auf q reine Gleichung n — 1 ten Grades (4) aufgelöst werden, und man erhält darauf wieder S„ aus (5). Um 7) a und n zu berechnen, kann man n eliminiren, indem man in (5) für q H aus 4) (4) q ■ - 1 = q ■ — einsetzt. Die Eliminationsgleichung für a wird vom ersten Grade, und man erhält dann n am einfachsten aus (4) mittelst der Logarithmen. Werden 8) a und q gesucht, so kann man a eliminiren, die Eliminationsgleichung wird jedoch, ähnlich wie bei 3), vom «ten Grade und bietet daher dieselben Schwierigkeiten, wie dort. Sind endlich 9) n und q die gesuchten Unbekannten, so führt dasselbe Verfahren, wie bei 7) zur Elimination von n und damit zu einer Gleichung ersten Grades für q, nach dessen Berechnung n wieder aus (4) erhalten werden kann. Heis, § 83, No. 1^—4, 9—21; § 84, No. 1—5- Bardey XXXIII, 1—80. 2. Eine Reihe heisst allgemein eine steigende, wenn jedes folgende Glied derselben grösser, und eine fallende, wenn dasselbe kleiner als das vorhergehende ist. Während eine arithmetische Reihe bei einer positiven Differenz steigend, bei einer negativen fallend ist, ist eine geometrische steigend oder fallend, je nachdem, ihr Quotient q grösser oder kleiner als 1 ist. — Die Annahme q — 1 braucht nicht gemacht zu werden, da dieselbe auf eine Reihe einander gleicher Zahlen führt. Die%\nzahl der Glieder einer Reihe kann entweder bis in’s Unendliche wachsend, oder sie kann als eine endliche angenommen werden. Man unterscheidet hiernach unendliche und endliche Reihen. Setzt man in der Summenformel S = a 1 — q n l — q io. Von den Reihen. 135 der geometrischen Reihen die Anzahl n der Glieder unendlich gross, so wird q u ebenfalls unendlich gross, wenn q > 1 ist. Ist dagegen q ein echter Bruch, so werden die Potenzen von q bei wachsenden Exponenten n beständig kleiner, und nähern sich, wenn n bis in’s Unendliche wachsend gedacht wird, ohne Ende der Grenze Null. Daher erhält man für diesen Fall auch für die Summe A der Reihe den genau bestimmten endlichen Grenzwerth a 1—0 oder A = Ui (6)- \ — q Um die Bedeutung dieser Formel vollständig klar zu stellen, kann das Beispiel der Reihe + + etc. in infinitum dienen, deren Quotient q gleich ^ ist, und für welche sich aus der Formel (6) der Siunmenwerth 2 ergiebt. Nimmt man bloss das erste Glied 1, so fehlt an dieser Summe noch 1; das zweite Glied fügt die Hälfte dieses fehlenden Restes hinzu, und es fehlt also nach Summirung der zwei ersten Glieder noch die zweite Hälfte desselben, also Addirt man noch das dritte Glied, welches wieder die Hälfte des vorhergehenden Restes beträgt, so bleibt aufs Neue die Hälfte des letzteren, also i> als Differenz zwischen der erhaltenen Summe A3 und der Summe 2. In gleicher Weise ist A4 um A5 um Jg- u. s. w. kleiner als 2. Hiernach kommt man durch Summirung der Glieder der vorstehenden Reihe dem Werthe 2 um so näher, je grösser die Anzahl der addirten Glieder ist. Man kann sich ferner diesem Werthe bis ins Unendliche nähern, d. h. es lässt sich keine Zahl angeben, Welche so klein ist, dass der Unterschied der genannten Summe von 2 nicht durch Addirung einer bestimmten Anzahl von Gliedern noch kleiner gemacht Werden kann. Da nämlich die Summe S H + i der n+1 ersten Glieder von 2 nur um verschieden ist, so kann man, wenn e irgend eine beliebig gewählte kleine Zahl bedeutet, stets n so bestimmen, dass dieser Unterschied < s ist, da zu diesem Zwecke nur 2» > j, oder n > (— log s) : log 2 angenommen zu werden braucht. — Die Zahl 2 hat also hier die Bedeutung eines Grenzwerthes, Welchem man sich durch Addirung von Gliedern jener Reihe bei wachsender Anzahl dieser Glieder mehr und mehr nähert, welchem man ferner auf diese Weise über jeden bestimmten Betrag hinaus, also bis in’s Unendliche nahe kommen kann, welcher jedoch niemals wirklich erreicht wird, sobald man die zu summirende Reihe bei irgend einem Gliede abbricht. Eben diese Eigenschaften drückt man dadurch aus, dass man sagt, die Zahl 2, oder allgemein der durch die Formel (6) angegebene Werth sei die Summe der unendlichen Reihe. Es ergiebt sich hieraus, dass die Meinung falsch ist, eine Summe unzählig vieler Grössen müsse stets unendlich gross sein; eine solche Summe kann vielmehr einen genau bestimmten, endlichen Werth haben. Hierzu ist allerdings mindestens erforderlich, dass die Summanden eine Reihe immer kleiner werdender und bis in’s Unendliche abnehmender Werthe bilden. Eine jede unendliche Reihe, welche einen endlichen Summenwerth hat, heisst convergent; eine solche, deren Summe unendlich gross ist, heisst divergent. Die Summe einer divergenten Reihe darf als eine unendlich grosse Zahl nicht nach den Operationsgesetzen der Arithmetik behandelt werden und ist Arithmetik und Algebra. I3& daher aus allen Rechnungen auszuschliessen. Deshalb ist bei jeder unendlichen Reihe die Beantwortung der Frage, unter welchen Bedingungen dieselbe convergire oder divergire, von besonderer Wichtigkeit. Für die geometrischen Reihen entscheidet sich dieselbe nach dem Vorstehenden dahin, dass dieselben convergiren, wenn der Quotient kleiner als 1, und dass sie divergiren, wenn der Quotient grösser als 1 ist, oder dass fallende geometrische Reihen stets convergent, steigende stets divergent sind. Es mag schon hier vor dem Fehlschluss gewarnt werden, welcher in einer Uebertragung dieser Sätze auf Reihen jeder Art liegen würde. Allerdings gilt es, wie leicht einzusehen, ganz allgemein, dass steigende Reihen stets divergiren; dagegen kann eine Reihe fallen, ohne convergent zu sein, wie das Beispiel der Reihe 3, 2-jf, 2J, 2|f, 2,^, .... zeigt, deren einzelne Glieder fortwährend abnehmen, jedoch stets grösser als 2 bleiben, und deren Summe daher stets grösser als n • 2, also für n = selbst unendlich gross ist. Es ist also zur Convergenz einer Reihe nöthig, dass die Glieder derselben über jede Grenze hinaus, also bis in's Unendlich-Kleine abnehmen; aber auch die Erfüllung dieser Bedingung sichert noch nicht die Convergenz der Reihe. Dies lässt sich u. A. durch folgendes Beispiel zeigen: In der Reihe i + i + i + i + i + 'T-f-i-f----- ist die angegebene Bedingung erfüllt. Vergrössert man nun die Nenner einzelner Glieder, so werden diese Glieder, und mithin wird auch die Summe der Reihe kleiner. Es ist also 1 1 i i + i + + + i + i, d. i. >-|. Ebenso ist die Summe der acht folgenden Glieder von ^ bis grösser als 8 • ^ d. i. grösser als und da man dieses Verfahren in der unendlichen Reihe unendlich weit fortsetzen kann, so folgt, dass die Summe der letzteren grösser als ‘ d. i. unendlich gross sein muss. Die Frage, ob eine vorliegende unendliche Reihe convergire oder divergire, erfordert daher im Allgemeinen zu ihrer Beantwortung weitergehende Untersuchungen; für die bisher behandelten besonderen Arten von Reihen dagegen erledigt sich dieselbe auf sehr einfachem Wege: Für arithmetische Reihen ist leicht ersichtlich, dass dieselben stets divergiren, für geometrische giebt die Formel (6) ausser der schon ausgeführten Beantwortung jener Frage auch noch den Werth der Summe der unendlichen Reihe. Als ein Beispiel der Anwendung der Formel (6) diene das bekannte Sophisma des Zeno »Achilles verfolgt eine Schildkröte, die in einer Entfernung von 1 Stadium vor ihm hergeht, mit zwölfmal grösserer Geschwindigkeit. Kommt Achilles an der Stelle an, wo die Schildkröte zu Anfang sich befand, so ist diese um ^ Stadium weiter; durchläuft Achilles diese kleine Strecke von -fa Stadium, so wird die Schildkröte um Stadium weiter sein u. s. w. Es wird also wol Achilles die Schildkröte nie erreichen, obschon er sich derselben immer nähert?»: (Heis, § 84, No. 13.) — Diese letztere Annahme stützt sich auf den Trugschluss, welcher die unendlich grosse Anzahl der Glieder der Reihe 1 -|- H- -f- . . . mit dem endlichen Werth der Summe derselben verwechselt. Der letztere ist nach (6) c . 1 12 Achilles wird also die Schildkröte einholen, wenn er l^lj- Stadium zurückgelegt hat. IO. Von den Reihen. 137 Ein anderes Beispiel biete die geometrische Aufgabe: In ein Quadrat, dessen Seite gleich a gegeben ist, denke man sich einen (die Seiten desselben berührenden) Kreis, in diesen wieder ein Quadrat, in letzteres wieder einen Kreis beschrieben, u. s. f. bis in’s Unendliche. Man berechne die Summe der Umfänge, sowie die der Flächeninhalte a ) aller Quadrate, 3) aller Kreise. Es ist hier die Seite des zweiten Quadrates o , gleich \-a j/2, die des dritten — W 1 V^ t s. w., ferner der Radius des ersten Kreises r, = ^a, der des zweiten r 2 — - a\/2, u. s mithin die Summe der Umfänge a) der Quadrate gleich 4 (a + -^aj/2 + \a^2 • •) 4f Ml+iJ/2) l-iJ/2 2 7t a - — 4a (2 + ]/2), b) der Kreise gleich - \ a • i + • •) =-"7= = ait (2 -+- V 2 ). ^ au - Ferner ist die Summe der Flächeninhalte a ) der Quadrate gleich a 2 2 2 „2 und b) die der Kreise gleich u (Ja 2 + -Ja 2 +...); a‘ 7t IT -Ja 2 +£« 2 1 4 -a 2 u. Heis, § 84, No. 6—13. Bardey XXXIII, 81—87. 3. Während die Summe einer fallenden geometrischen Reihe sich nach dem Vorstehenden mit wachsender Gliederzahl mehr und mehr einer bestimmten Grenze nähert, so dass das Anwachsen der Summe bei dem Fortschreiten in der Reihe sich bis in’s Unendliche verlangsamt, wächst die Summe einer steigenden geometrischen Reihe mit jedem neuen Gliede in beschleunigter Weise. Im Gegensatz zur arithmetischen Reihe, bei welcher das Wachsthum der Summe völlig gleichmässig erfolgt, kann daher die Summe einer steigenden geometrischen Reihe schon bei einer verhältnissmässig kleinen Gliederzahl einen das Vorstellungs- Vermögen weit überschreitenden Werth erhalten. In dieser Beziehung ist das sich an die Sage von der Erfindung des Schachbrettes anlehnende Beispiel (Heis, § 84, la) bekannt: Soll für das erste Feld ein Weizenkorn und für jedes folgende doppelt so viel als für das vorhergehende gegeben werden, so ergiebt sich für alle 64 Felder zusammen eine so grosse Menge von Weizenkörnern, dass mit denselben alles feste Land der Erde 9 Millim. hoch bedeckt werden könnte. Aehnliche Beispiele liefert die Natur in der colossalen Vermehrung lebender Wesen bei günstigen Bedingungen für ihre Entwicklung, wie z. B. der Infusions- thierchen durch fortgesetzt wiederholte Theilung derselben. Nimmt man an, dass a Ue Samen einer Pflanze oder alle Eier eines Thieres sich zu in gleicher Weise sich vermehrenden Individuen entwickelten, so würden — zumaRda hier der Quotient der Reihe erheblich grösser als zwei wäre — die Nachkommen eines einzigen lebenden Paares in einer geringen Apzahl von Jahren die gapze Erde für sich allein in Anspruch nehmen. ( j \ 4. Eine andere Anwendung der geometrischen Reihe ergiehr sich in der Zj/nse s- zinsrechnung. Werden die nach Ablauf eines bestimmten Zeitraums, z./B. eines Jahres, fälligen Zinsen eines Kapitals K nicht erhoben, sondern am Ende dieses Zeitraums jedesmal zum Kapital hinzugefügt und also von da an ebenfalls verzinst, so sagt man, jenes Kapital sei auf Zinseszinsen ausgeliehen. Da nun jedes K V. Töo'^* K zu p Procent jährlich ausgeliehene Kapital K in diesem Zeiträume ■ p Zinsen 100 ' tr ägt, und also durch Hinzufügung der letzteren auf den Betrag K = -+- Yoo^) anwac f ls t) so erhält man den Gesammtbetrag am Ende eines jeden folgenden Jahres, indem man den entsprechenden vom Ende des diesem vorher- 13 « Arithmetik und Algebra. gehenden mit 1 -+- multiplicirt. Die angewachsenen Kapitalien C\, C% Cs,... • • P C n bilden also eine geometrische Reihe mit dem Quotienten 1 -+- und dem Anfangsglied C\ = K- ^1 Die Aufgabe, den Betrag C n des angewachsenen Kapitals am Ende des »ten Jahres zu berechnen, ist also identisch mit der Bestimmung des «ten Gliedes dieser Reihe, oder wenn man das Anfangskapital K als erstes Glied der letzteren betrachten will, mit der Bestimmung des »-t- 1 ten Gliedes. Es ist demnach c - = ' r '( I + ito)' < 7 >- Diese Formel gilt selbstverständlich nicht nur für ausgeliehene Kapitalien, sondern allgemein für Grössen, welche sich innerhalb je eines bestimmten Zeitraums um einen bestimmten Procentsatz vermehren, n bedeutet allgemein die Anzahl der Zeiträume, nach deren jedem der Zuwachs mit dem vorhergehenden Bestand vereinigt wird, und p die Procente für einen solchen Zeitraum. Ist z. B. ein Kapital zu 4 Procent jährlich auf Zinseszinsen ausgeliehen, und fragt man, was aus demselben nach zehn Jahren geworden ist, wenn die Zinsen halbjährlich zum Kapital hinzugefügt werden, so ist p ■= 2 und « = 20 zu setzen. Die Formel (7) zeigt, dass das Endkapital C mit dem Wachsen von n nicht gleichmässig, sondern in mehr und mehr beschleunigtem Maasse wächst, da das oben über die Summe einer steigenden geometrischen Reihe Bemerkte sich auch auf die einzelnen Glieder einer solchen übertragen lässt. Bei grösseren Werthen von n kann man daher ein ausserordentlich starkes Anwachsen des ursprünglichen Kapitals erhalten. In dieser Beziehung ist das Beispiel bekannt, welches annimmt, dass ein Pfennig zur Zeit der Geburt Christi auf Zinseszinsen gelegt und bis in die Gegenwart verzinst worden sei. Für p = 5 und n = 1878 ergiebt sich C = IM ‘ 1 > 051878 Mark ’ d. i. ein Betrag von über 62 Septillionen Mark. Bestände die Erdkugel aus reinem Golde, so hätte man über 21000 Millionen solcher Kugeln nöthig, um das Endkapital zu zahlen, und eine einzige, dem letzteren gleichwerthige Kugel aus Gold müsste einen Durchmesser haben, welcher ungefähr das Hundertfache der Entfernung des Mondes von der Erde betrüge. Dieses staunenerregende Beispiel leitet übrigens zu einer zweifachen Bemerkung über die Bedeutung der Formel (7) hin. Bei Anwendung der letzteren wird vorausgesetzt, dass stets die sämmtlichen Zinsen eines Zeitraums in dem folgenden wieder verzinst, dass also auch von jedem beliebigen Bruchtheil einer Mark oder eines Pfennigs Zinsen gezahlt werden. In der Praxis findet dies bei ausgeliehenen Kapitalien nicht statt, und der zu Christi Geburt auf Zinseszinsen gelegte Pfennig würde daher in Wirklichkeit bis zum heutigen Tage nur der eine Pfennig geblieben sein, weil eine Berechnung, von Zinsen und somit eine Hinzufügung derselben zum Kapital wegen ihrer Kleinheit niemals stattfinden würde. — Die Formel (7) ist daher beispielsweise nicht streng anwendbar für eine Sparkasse, welche zwar die Zinsen am Ende jedes Jahres wieder zum Kapital hinzufügt, aber nur volle Mark wieder verzinst. In diesem Falle hat man sich zur Berechnung der Zinsen besondere Tabellen anzulegen. In der Praxis pflegt die Anzahl n der Zeiträume jedoch wol niemals eine so hohe zu sein, dass sehr io. Von den Reihen. 139 erhebliche Differenzen gegen die Resultate der Formel (7), entstehen. Sind z. B. 1000 Mark zu 4 Procent auf 10 Jahre ausgeliehen, so erhält man für C n das eine- mal 1480 Mark 4 Pfennige, das anderemal 1480 Mark 24 Pfennige. Die andere Bemerkung, zu welcher die Berechnung des obigen und anderer Beispiele hinführt, ist die, dass bei grossen Werthen von n die gebräuchlichen Logarithmentafeln zu einer genauen Berechnung von C nicht hinreichen. Auch hei weniger hohen Exponenten entsteht eine Ungenauigkeit, indem die logarith- mische Berechnung von ^ 1 J qq^) hi Folge der Multiplication des abgekürzten Logarithmus mit n auch den Fehler desselben multiplicirt. Ist z. B. n = 10 und i°g au f 5 Decimalen bekannt, so hat das Produkt nur noch eine Genauigkeit von 4 Decimalen, und man muss sich daher, wenn diese zu gering sein sollte, eines auf mehr Stellen berechneten Logarithmus von 1 -+- bedienen. Man vergl. Heis, § 84, wo die zehnstelligen Logarithmen der betreffenden vorkommenden Zahlen angegeben sind. Nach erfolgter Multiplication ist selbstverständlich das Produkt wieder auf die sonst gebrauchte Anzahl von Stellen abzukürzen. Die Formel (7) giebt die zwischen den Grössen C, K, p, n bestehende Beziehung an, und kann daher nicht bloss zur Berechnung von C, sondern auch umgekehrt zur Berechnung jeder einzelnen der übrigen von jenen Grössen aus den gegebenen Werthen der anderen dienen. Man hat sie zu diesem Zwecke nur jedesmal auf die gesuchte Unbekannte aufzulösen. Wird n gesucht, so hat man selbstverständlich zur Auflösung von beiden Seiten der Gleichung die Logarithmen zu nehmen. Es ist ferner bei dieser Aufgabe, sowie wenn p gesucht wird, nicht nöthig, dass C und K einzeln gegeben sind, sondern es genügt, wenn das Ver- hältniss derselben bekannt ist. So kann man z. B. fragen, für welchen Werth von n bei gegebenem Werthe von p, oder. umgekehrt für welchen Werth von p bei gegebenem n ein Kapital sich verdoppele oder verdreifache. Soll beispielsweise das zu 5 Procent ausgeliehene Kapital sich verdoppeln, so hat man 2 = 1,05 », Woraus n = log 2 : log 1,05 = 14,2 . . . , also etwas über 14 Jahre folgt. Ist, wie hier, ein Kapital keine volle Anzahl der betreffenden Zeiträume ausgeliehen, ist also n eine gemischte Zahl, so kann die Formel (7) nur für die nächst kleinere ganze Zahl angewendet werden, und es sind für den überschiessenden Bruchtheil des Jahres oder sonstigen Zeitraums einfache Zinsen zu berechnen, da die Hinzufügung der Zinsen zum Kapital den Ablauf des betreffenden vollen Zeitraums voraussetzt. Ist also « = « + — wo a eine ganze-Zahl, --einen echten Bruch bedeutet, so ist c =x('+m)‘ +K ' \ , ±\ a ±- b - 1 1007 ' 100 c ^'( 1 + ioö) -( 1 + Ioö - 7) Würde man auch hier nach der Formel (7) rechnen, so betrüge beispielsweise für K = 100 Mark, p = 5, a = 10, — = jr die Differenz der beiden Endwerthe C 2t 0,05 Mark. 5. Es sei ferner angenommen, dass am Ende jedes einzelnen Zeitraums ausser den Zinsen noch jedesmal ein bestimmter Betrag a zu dem Kapital hinzugelegt Arithmetik und Algebra. P werde, und der Kürze halber die Grösse 1 -+- durch q bezeichnet, so beträgt das Kapital am Ende des ersten Zeitraums K ■ q -+- a, folglich am Ende des zweiten Zeitraums {Kq d) q -t- & — Kq^ -f- aq -f- a, am Ende des dritten {Kq* 1 -t- aq a) q 4- a = Kq^> -1- aql -+- aq -+- a, u. s. w., also am Ende des nten Zeitraums Kq n -+- aq n ~l + aq n + . . . -+- aq + a. Die auf das erste Glied dieses Ausdrucks folgenden bilden eine geometrische Reihe von n Gliedern, deren Summe sich nach (5) berechnet. Hiernach erhält man für diesen Fall i 1 + 100) i 1 + toö) _1 ] W n ^ a ■ 100 K ■ q n + a oder auch a • 100' a ■ 100 q* [Jt-h (9) Wird dagegen am Ende jedes Zeitraums der Betrag a weggenommen, so erhält man durch eine entsprechende Entwicklung, oder kürzer indem man in den vorstehenden Formeln — a statt a setzt, Ist hier a kleiner als der Zinsenbetrag des ersten Zeitraums, so ist die Reihe C\, C% Ci, .. . eine steigende; ist a gleich diesem Betrag, also gleich behält, wie selbstverständlich, das Kapital stets denselben Werth K. Ist dagegen Kp a grösser als so nehmen die Endwerthe ab, und das ursprüngliche Kapital wird aufgezehrt sein, wenn C„ = 0, d. h. wenn ist. — Auch die Formeln (8) — (11) können als Beziehungsgleichungen auf jede der in ihnen enthaltenen Buchstabengrössen als Unbekannte aufgelöst werden und somit zur Lösung der verschiedenen möglichen Umkehrungsaufgaben dienen. Die Bestimmung von q oder p kann dabei auf eine Gleichung höheren Grades führen. Die vorstehenden Formeln finden Anwendung zur Berechnung von Renten, Rabatt und Disconto, bei Lebensversicherungen u. dgl. m. Heis § 84, No. 14—69. Bardey XXXIV. § 65. Differenzreihen und höhere arithmetische Reihen. Aus jeder gegebenen Reihe lässt sich eine neue Reihe dadurch ableiten, dass man jedes Glied der ersteren von dem folgenden subtrahirt. Mit der neuen Reihe kann dann wieder auf dieselbe Weise verfahren werden, u. s. w. Man nennt die so entstehenden Reihen Differenzreihen der ursprünglichen und unterscheidet dieselben bezüglich als erste, zweite, u. s. w., allgemein «te Differenzreihe. Hiernach ist die rate Differenzreihe die erste Differenzreihe der n — 1 ten und die/te der n —/ten. Die im Vorhergehenden behandelte arithmetische Reihe kann hiernach als eine Reihe von der Eigenschaft erklärt werden, dass die Glieder ihrer ersten io. Von den Reihen. 141 Differenzreihe einander gleich, oder dass die Glieder ihrer zweiten und aller folgenden Differenzreihen gleich Null sind. Dies führt zu einer Erweiterung des Begriffs der arithmetischen Reihe, indem man unter einer solchen im weiteren Sinne eine Reihe versteht, für welche alle Glieder irgend einer Differenzreihe mnander gleich sind. Man unterscheidet hierbei verschiedene Ordnungen und nennt eine Reihe eine arithmetische «ter Ordnung, wenn ihre «te Differenzreihe aus gleichen Gliedern besteht, oder wenn, was dasselbe ist, al)e Gieder ihrer n ~h 1 ten (aber nicht die einer früheren) Differenzreihe gleich Null sind. Hiernach erhält die früher im engeren Sinne so genannte arithmetische Reihe jetzt die Bezeichnung einer arithmetischen Reihe erster Ordnung. Die Differenzreihen einer arithmetischen Reihe höherer Ordnung sind wieder arithmetische Reihen, und zwar ist die erste Differenzeibe einer Reihe «ter Ordnung eine solche n — 1 ter Ordnung u. s. w. Es sei beispielsweise die Reihe 2 3 6 14 30 57 98 . . . gegeben, so ist die erste Differenzreihe derselben 1 3 8 16 27 41 ..., die zweite Differenzreihe: 2 5 8 11 14 , die dritte Differenzreihe: 3 3 3 3 ... , also ist die gegebene Reihe eine arithmetische dritter Ordnung. Im Folgenden sollen die Glieder einer .Reihe, wie bisher, allgemein durch &lr f die ihrer ersten Differenzreihe durch l) t.l'l f l) . . , JD&fly . . . , die ihrer zweiten Differenzreihe durch D-cii, Dhi-i, D‘ l a% . . . Ißa . . . , u. s. w., allgemein die der / ten Differenzreihe durch Dtai, DPa% Di>a%, . . . Dta n , . . . bezeichnet werden. Es ist also , Da n — (iji 4 . \ Mn) £ßa\ — Dci '2 -— Da\, und allgemein: D m a n = D m - 1 a. H + 1 — D m — 1 a„. Um hiernach irgend ein Glied einer Differenzreihe einer gegebenen Reihe Unmittelbar aus Gliedern der letzteren zu berechnen, hat man Dctyi = a n \ (Z)d IPa„ — Da n -f. r Da n = (ein + 2 — + 1 ) (^ n -+-1 " = 2 - 2 d n 4 . 1 Clyi) = iy^ü n 4-1 — D'ia„ == {a n s — 2a n + 2 & n + 1 ) (^« + 2 2 n „ +1 -t- = Cl n 4 - 3 3&n -f 2 ~F 3d n 4 - 1 d n . Fährt man in dieser Weise fort, so wird man durch die Analogie auf die Ver- muthung geführt, dass allgemein D m a n — a n + m ( 1 ) a n + m — 1 + ( 2 ) + m — 2 • • • (—1 )”*#« (12) sei, wo ^ 2 ) u ' s - w - die Binomialcoefficienten zur ?nten Potenz sind. Die allgemeine Gültigkeit dieser Formel kann durch den Schluss von m auf m -+- 1 leicht bewiesen werden, indem man ganz entsprechend, wie vorher, D”‘ +1 a n = D m a „ +1 — D m a n mittelst (12) entwickelt und zeigt, dass das Resultat demselben Bildungsgesetze, 142 Arithmetik und 'Algebra. wie ( 12 ) folgt. Da nun die letztere Formel für m = 3 gilt, so muss sie auch für m = 4, also weiter auch für m = 5, u. s. w, richtig sein. Um ferner das allgemeine Glied a„ der Reihe aus a\ und den Anfangsgliedern der Differenzreihen zu berechnen, beachte man, dass «2 = a\ -t- Day (denn Da\ = ö 2 — « 1), ferner 03 = 02 + D ö 2 = («1 -t- Dai) + (Dci\ + D^ai) (denn Da^ — Dai = D^ai), oder = ai-f 2 + ferner «4 = «3 + X*03 = ( 2 öi u. s. w. bei irgend einem Gliede abbricht, die allgemeinen Ausdrücke für a n und S K also stets begrenzt sind. Hieraus geht hervor, dass das allgemeine Glied einer arithmetischen Reihe »zter Ordnung sich stets als ein Ausdrück von der Form ein = «o + “1 » 4- «2 » 2 -b • • -b a m n m (15) und das Summenglied einer solchen als ein Ausdruck von der Form S n = ßi n -b ß2 « 2 + • • -. -+- ß,«» w + ß« +1 n™ + 1 (16) darstellen lässt. Umgekehrt lässt sich zeigen, dass jede Reihe, deren allgemeines Glied die Form (15), oder deren Summenglied, die Form (16) hat, eine arithmetische Reihe wter Ordnung ist. Ist nämlich die erstere Voraussetzung erfüllt, so ist Da n — a n + l — ö« = a 0 -b <*4 (« ~|- 1) -b CX2 (« -b l) 2 -b . . . -b ot,„ (fl -b l) m — ao ■— a in — a$ ffi — ... —• a,„ n m — ai -4- a .2 (2 n 4- 1) + .. -. -b a m (mn m ~ 1 -b .. .), also Da„ von der Form 70 -1- 7i» -b ... -b 7 ,„_i»®-i. io. Von den Reihen. 143 Hieraus ergiebt sich in gleicher Weise, dass D^cin die Form 80 + 01 n - 4 - • ■ ■ -+- o m — %n”‘— 2 hat, u. s. w., sodass endlich D m a n einen für jeden Werth von n constant bleibenden Werth jjio haben muss. Hat ferner das Summenglied einer Reihe die Form (16), so folgt aus Cin Sn. S n — 1 leicht, dass a n die Form (15) haben muss, so dass der Beweis auf den vorhergehenden zurückgeführt ist. Aus dem Vorstehenden folgt beispielsweise, dass die m ten Potenzen der Reihe der natürlichen Zahlen eine arithmetische Reihe m ter Ordnung bilden, denn es ist für dieselben a n = So ist also die Reihe der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . eine arithmetische Reihe zweiter Ordnung. In der That sind ihre Differenz- Leihen : 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , . ... Man hat hiernach in den Differenzreihen ein Mittel, die Quadrate der Zahlen — und ebenso andere Potenzen derselben — successive durch Addition zu berechnen. Ebenso bilden die »zten Potenzen der Glieder einer jeden arithmetischen Reihe erster Ordnung: a, a -+- d, a -+- 2 d, u. s. w. e ine arithmetische Reihe OTter Ordnung, denn es ist für dieselben a„ = [a + (n — 1) d~] m = (a — d) m -+-m(a — dy n — ^d ■« + ... + d m ■ n m . Allgemein bilden, wie entsprechend bewiesen werden kann, die »zten Potenzen einer arithmetischen Reihe Her Ordnung eine arithmetische Reihe der m • rten Ordnung. Es mögen schliesslich noch folgende Sätze Erwähnung finden, welche nach dem Vorigen ebenfalls leicht bewiesen werden können: Verbindet man die gleichstelligen. Glieder zweier oder mehrerer arithmetischer Reihen in gleicher Weise durch Addition oder Subtraction, so entsteht eine arithmetische Reihe, deren Ordnungsexponent gleich demjenigen der höchsten der verbundenen Reihen ist. Multiplicirt man die gleichstelligen Glieder zweier oder mehrerer arithmetischer Reihen mit einander, so entsteht eine arithmetische Reihe, deren Ord- nungsexponent gleich der Summe der Ordnungsexponenten der ursprünglichen Reihen ist. § 66. Summenreihen. Figurirte Zahlen. Bildet man zu einer gegebenen Reihe nach einander die Werthe Ai i S 2 . •$3, u. s. w. ihres Summengliedes, so erhält man eine neue Reihe, welche die Summenreihe erster Ordnung der gegebenen heisst. Verfährt man mit dieser in gleicher Weise, so erhält man die Summenreihe zweiter Ordnung der ursprünglichen. Allgemein ist die Summenreihe »2 ter Ordnung einer gegebenen Reihe die erste Summenreihe der Summenreihe m — lter Ordnung derselben. Diese neuen Reihen unterscheiden sich offenbar von den Differenzreihen nur durch die umgekehrte Art ihrer Entstehung. Ist die ursprüngliche Reihe eine arithmetische, so sind ihre Summenreihen arithmetische Reihen höherer Ordnungen. Ist insbesondere die ursprüngliche eine arithmetische erster Ordnung mit dem Anfangsglied 1 und ihre Differenz d 144 Arithmetik und Algebra. eine ganze Zahl, so erhält man auf diesem Wege die Reihen der figurirten Zahlen (im weiteren Sinn). Diese sind also 1 -j- d } 1 “t“ 2 dy 1 + 3 d, 1 + 44 2 d t 3 %d, 4 4- 6 d, 5 +104 3 -k d } 6 + 4d, 10 + 104 15 4-204 4 dy 10 -1- 5d. 20 + 154 u. s. w. 35 4- 354 Ist hierbei insbesondere auch d— 1, so erhält man die figurirten Zahlen im engeren Sinn. Die Reihen der letzteren sind also: 1, 2, 3, 4, 5,. . . 1, 3, 6, 10, 15,. . . 1, 4, 10, 20, 35,. . . 1, 5, 15, 35, 70,. . . 1, 6, 21, 56, 126,. . . Da alle diese Reihen arithmetische von bestimmten Ordnungen sind, so gelten für dieselben auch die in § 65 abgeleiteten Formeln für «„und S H , Die Reihe der figurirten Zahlen zweiter Ordnung im weiteren Sinn, also die Reihe 1, 2 4~ d , 3 4~ 34 4 4- 6«) 5 ~t- 104 heisst auch die Reihe der Polygonalzahlen (oder Vieleckzahlen). Da ihre Differenzreihen 1 4~ d t 1 4— 24 1 H- 3 d r 1 -{- 4 d, • ... d, d, d, ■ ■ . . . sind, so findet man nach § 65 (13) und (14) — 1 -+■ (* r *) (1 + d') 4- ( 2 4 oder a n = (1 — \ d} n 4- \dtfi, und x, _ © + 6) (1 + J) + (8 i = 5At Der Name Polygonalzahlen rührt daher, dass diese Reihe für d—p — 2 die Reihe derjenigen Anzahlen von Flächengrössen ist, welche sich in Form eines regelmässigen p =. Ecks nebeneinander legen lassen. So entsteht für d= 1 die Reihe der Dreieckszahlen (Trigonalzahlen): 1, 3, 6, 10, 15, . . ., welche den Anzahlen der Punkte in folgenden Figuren bezüglich gleich sind; Für d— 2 erhält man die Reihe der Viereckzahlen (Tetragonal- oder Quadratzahlen): 1, 4, 9, 16, 25, . . ., für <7=3 die Reihe der Fünfeckzahlen: 1, 5, 12, 22, 35, . . ., u. s. w. II. Elemente der Theorie der Determinanten. H5 In entsprechender Weise heissen die figurirten Zahlen der dritten Ordnung 1, 3 -t- d, 6 -+- 4 dj 10 -+- 10 d, 15 -t- 20 d f u. s. w. auch Pyramidalzahlen, weil sie die Anzahlen von Körpergrössen angeben, die sich bezüglich in drei-, vier- oder mehrseitigen Pyramiden aufeinander schichten lassen. Man erhält für sie, entsprechend wie vorher, n [n -+- 1) ( n — 1) n (n + 1) (3 — d) n - 4 - 3« 2 -+- dn % a ’ 1 = TI ' 1-2-3 6 ‘ Insbesondere ist die Reihe der Trigonal-Pyramidalzahlen (d = 1), 1, 4, 10, 20, 35, 56, . . die der Tetragonal-Pyramidalzahlen (d = 2), 1, 5, 14, 30, 55, 91, . . . ., u. S. W. Es sei, um eine Anwendung der vorstehenden Reihen zu zeigen, die Aufgabe zu lösen: Wieviel Kanonenkugeln befinden sich in einer unvollständigen dreiseitigen Pyramide, wenn an jeder Seite der untersten Schicht m und an jeder Seite der obersten Schicht n Kugeln liegen? (Heis § 93, No. 12.) Hier ist die Differenz des wzten und des n —lten Gliedes der Reihe der Trigonal-Pyramidalzahlen zu bilden; nach der obigen Formel ergiebt sich dieselbe gleich 2 m -+- 3 wfi -'rm 3 2 {n — 1) -+- 3 (n — l) 2 -t- (n — l) 3 6 6 also z. B. für m = 20, n = 5 gleich 1520. Heis § 93. Bardey XXXII, B. Kapitel 11. Elemente der Theorie der Determinanten. § 67. Begriff der Determinante. 1. Bereits in § 49 wurde bei Gelegenheit der Auflösung zweier Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten der Begriff der Determinante von vier Elementen aufgestellt, und weiterhin wurde auf die mögliche Ausdehnung der betreffenden Erörterung auf jede beliebige Anzahl von Gleichungen und Unbekannten hingedeutet. Führt man diese Andeutung nacheinander für Gleichungen mit drei, vier, fünf Unbekannten aus, so liefern die betreffenden allgemeinen Auflösungsformeln dieser Gleichungen gewisse aus den gegebenen Coefficienten der letzteren in gesetzmässiger Weise gebildete Ausdrücke. Im Nachfolgenden soll der Kürze und Allgemeinheit der Darstellung wegen der umgekehrte Gang eingeschlagen, also nach erfolgter Angabe des Bildungsgesetzes und der wichtigsten Eigenschaften der betreffenden Ausdrücke gezeigt werden, dass dieselben, neben anderen Anwendungen, in der Theorie der Gleichungen eine wesentliche Rolle spielen. Sind mehrere Gruppen von Grössen (Zahlen) gegeben, so kann man die einzelnen Grössen, welche man auch die Elemente jener Gruppen nennt, sich in aufeinander folgenden Horizontalreihen (Zeilen) geordnet denken, so dass jede Zeile die Elemente einer Gruppe nach ihrer Ordnung enthält und die gleichstelligen Elemente der verschiedenen Gruppen demnach in je einer Verticalreihe (Colonne) untereinander zu stehen kommen. Es empfiehlt sich dabei, zu leichterer Uebersicht die Elemente durch Buchstaben mit doppelten Indices zu bezeichnen, Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. IO 146 Arithmetik und Algebra. •so dass der eine Index die jedesmalige Zeile, der andere die Colonne angiebt, welcher das Element angehört. So ist z. B. a\ a\ a\ a\ a\ a\ a\ a\ a\ a\ al a\ a\ % a\ a\ a\ ein in dieser Weise bezeichnetes System von Elementen. Allgemein soll im Folgenden a k . das kte Element der z'ten Zeile oder, was dasselbe ist, das z'te Element der kten Colonne, oder mit noch anderen Worten dasjenige Element bezeichnen, welches an der Stelle steht, wo die z'te Zeile und die kte. Colonne einander durchschneiden. Wo eine Verwechselung der oberen Indices mit Exponenten von Potenzen möglich ist, kann statt a’ k auch a, t k geschrieben werden. Es sei ferner zunächst vorausgesetzt, dass alle Horizontalreihen des Systems gleich viele Elemente enthalten, und dass auch die Anzahl dieser Reihen gleich derjenigen der Colonnen, die Anzahl der Elemente also, wie in dem vorstehenden Beispiel, eine Quadratzahl sei. 2. Man kann sich nun die Aufgabe stellen, alle möglichen Combinationen von Elementen eines derartigen Systems anzugeben, welche so gebildet sind, dass jede Combination aus jeder Zeile und aus jeder Colonne ein und nur ein einziges Element enthalte. Um diese Combinationen vollständig und in geordneter Reihenfolge zu bilden, kann man als die erste derselben diejenige der vom ersten Element der ersten bis zum letzten Element der letzten Zeile gehenden Diagonalreihe a\ a\ a\ a\ . . . a n n (1) annehmen und aus dieser alle übrigen dadurch ableiten, dass man entweder ihre unteren oder ihre oberen Indices auf alle möglichen Weisen permutirt. Denn permutirt man z. B. die unteren Indices, so liefern die geordnet auf einander folgenden oberen Indices die Gewähr, dass jedesmal aus jeder Colonne ein und nur ein einziges Element vorkomme; da ferner auch bei den unteren Indices niemals zwei gleiche Vorkommen und alle n verschiedenen zugleich vorhanden bleiben, so ist die gleiche Gewähr für die Zeilen geleistet. Die Verschiedenheit und Vollständigkeit der Permutationen endlich sorgt dafür, dass jede mögliche Auswahl der Elemente in der gedachten Art einmal und nur ein einziges Mal vorkomme. Man ersieht hieraus zugleich, dass jede der angegebenen Combinationen n Elemente enthält, und dass die Anzahl derselben gleich 1 • 2 ■ 3 • 4 . . . »=»! ist. Bildet man aus den Elementen jeder derartigen Combination eines Systems von n l Elementen als aus Faktoren ein Produkt und giebt jedem dieser Produkte das Vorzeichen -+- oder —, je nachdem die Anzahl der Inversionen in der betreffenden Permutation der Indices eine gerade oder ungerade ist (vergl. § 59), so heisst das Aggregat aller dieser Produkte die Determinante des Systems der n 1 Elemente. Je nach dem Werthe von n heisst die Determinante eine solche zweiten, dritten u. s. w. »teil Grades. Man kann hiernach die Determinante eines Systems von » 2 Elementen aus ihrem Anfangsgliede (1) durch Permutation sowol der unteren als der oberen Indices ableiten, und es entsteht somit die Frage, ob die Determinante in beiden Fällen auch denselben Werth erhalte. Dass man in dem einen wie in dem II. Elemente der Theorie der Determinanten. *47 anderen jede mögliche der gedachten Combinationen einmal und nur ein einziges Mal und somit auch in beiden dieselben Produkte erhält, ist aus dem Vorhergegangenen klar; es fragt sich also nur, ob auch ein und dasselbe Produkt in beiden Fällen stets dasselbe Vorzeichen erhalte. Es sei beispielsweise a\ a\ a\ a\ a\ ein durch Permutation der unteren Indices abgeleitetes Glied einer Determinante, so erhält man, abgesehen vom Vorzeichen, durch Permutation der oberen Indices dasselbe Glied in der Form a\ a und die Frage ist also, ob die Permutationsform 413 52 mit der ersteren 25314 übereinstimmend eine ungerade Anzahl von Inversionen hat oder nicht.. Im vorliegenden Beispiel ergiebt sich, dass die Anzahl der Inversionen in beiden Fällen dieselbe ist, nämlich fünf. Um die Frage ganz allgemein zu entscheiden, genügt es zu zeigen, dass jedes Glied einer Determinante, welches sich aus einem andern durch Vertauschung zweier unteren Indices ableiten lässt, auch aus demselben Gliede durch Vertauschung von nur zwei oberen Indices erhalten werden kann. Da man nämlich alle Permutationen gegebener Elemente durch wiederholte Vertauschungen von je zwei Elementen bilden kann, und da bei jeder solchen Vertauschung die Anzahl der Inversionen sich um eine ungerade Zahl ändert, so muss auch die Anzahl der Inversionen in je zwei aus dem Anfangsgliede durch eine gleiche Reihe von Vertauschungen je zweier oberen oder unteren Indices ableitbaren Permutationen gleichzeitig gerad oder ungerad sein. Es sei nun 1 2 d e n a a «ß • • • « 5 ■ • • a s . • • « v irgend ein Glied einer Determinante, und man vertausche in demselben die unteren Indices S und s mit einander, so erhält man das Glied 12 d e ii ^ß * * * Cly Dasselbe Glied aber entsteht, wie man unmittelbar einsieht, aus dem vorhergehenden (nur mit anderer Reihenfolge der Faktoren) durch blosse Vertauschung der oberen Indices d und e, sodass also die Uebereinstimmung auch der Vorzeichen bewiesen ist. 3. Man bezeichnet eine Determinante abgekürzt, indem man das, wie oben gezeigt, geordnete System der Elemente zwischen zwei von oben nach unten verlaufende Striche, oder indem man das Anfangsglied mit doppeltem Vorzeichen hinter ein Summenzeichen 2 schreibt, z. B. a\ a 2 ± a\ a\ a. Die letztere Bezeichnung ist deshalb ausreichend, weil durch das Anfangsglied alle folgenden Glieder bestimmt sind; das obere Zeichen ist dabei das Vorzeichen dieses Anfangsgliedes, das untere deutet den Wechsel der Vorzeichen in den folgenden Gliedern an. Bildet man die betreffenden Permutationen in der Weise, dass jede folgende aus der vorhergehenden durch Vertauschung von nur zwei Elementen entsteht, so tritt dieser Wechsel regelmässig ein, d. h. die Vorzeichen der Glieder der Determinante sind abwechselnd -+■ und —. Beispielsweise ist = a\ a\ — a\ a\ = a\ a\ — a. io' 148 Arithmetik und Algebra. a\ a\ a\ «2 a\ = «! a\ a\ - — a \ « 3 a \ + < a\ a\ — a\ a\ -+■ 0 , l a 2 /Z 3 - 1 a 2 - a 3 a i «J a\ a\ '■ oder = «! a\ a\ — «3 a\ a\ + a\ a\ a\ — a\ a \ a l + a\ a\ a \ — a i a\ a\ . V ± a\ « l a\ a\ = a\ a\ al a i — a\ < a\ a t + < a\ a \ — a \ a't < + a\ a\ a\ a\ — a\ a\ a\ -t- a i < al < — a\ < a \ «3 H- a\ «3 a\ «1 - a \ a\ a\ a \ + a 2 a\ «s «3 — a\ af a l «1 + a l «; a\ a\ — a\ a\ al a \ -t- «3 a \ a\ — a\ a\ a\ 4- a\ < a\ «2 — a\ a\ a\ < + a\ a\ a\ — a\ a\ a\ a i -I- a\ a\ a\ a\ — < a\ a\ a\ + a\ «s a\ — a\ «J a\ a\. Atu den vorstehenden Erklärungen und früheren Sätzen folgt leicht: Jede Determinante eines Systems von « 2 Elementen besteht aus 1-2-3 ...« = «! Gliedern, von denen jedes ein Produkt von »Faktoren ist. Von diesen Gliedern ist die Hälfte positiv, die andere Hälfte negativ. Auf den Werth einer Determinante ist es ohne Einfluss, ob man die Zeilen mit den unteren und die Colonnen mit den oberen Indices bezeichnet, oder ob man umgekehrt verfährt, und zwei Systeme, welche so beschaffen sind, dass die Zeilen eines jeden mit den Colonnen des anderen in derselben Ordnung übereinstimmen, haben dieselbe Determinante. §68. Vertauschung von Reihen. 1. Die Bildung einer Determinante aus dem gegebenen System ihrer Elemente wird wesentlich erleichtert durch die Kenntniss der wichtigsten allgemeinen Eigenschaften der Determinanten, welche im Folgenden zunächst entwickelt werden sollen. Vertauscht man in dem System der Elemente irgend zwei parallele Reihen mit einander, also entweder eine Zeile mit einer anderen Zeile oder eine Colonne mit einer anderen Colonne, so kann man die Determinante des neuen Systems aus derjenigen des alten dadurch ableiten, dass man in jedem einzelnen Gliede der letzteren die beiden betreffenden unteren oder oberen Indices mit einander vertauscht. Werden beispielsweise in a\ a\ d\ ai a \ a\ a\ a\ a\ = a\ a\ a\ — a\ a\ a\ a\ a\ — a\ a\ a\ -+- a\ a\ a die dritte und die erste Zeile mit einander vertauscht, so wechseln in der Determinante nur die unteren Indices 3 und 1 in jedem Gliede ihre Stellen, und man erhält also a i a\ a\ a\ «5 a\ a\ a\ = ai ai a ? ■ «2 a i a l a\ a\ a\ + a\ a\ a\ — a\ a\ a\ . dem absoluten Werthe nach die- die Vorzeichen derselben werden zweier Elemente einer Permutader Anzahl der Inversionen um Es bleiben also in der neuen Determinante selben einzelnen Glieder, wie in der alten, aber sämmtlich umgekehrt, denn die Vertauschung tionsform bewirkt nach .§ 59 eine Veränderung eine ungerade Zahl. Bei Vertauschung zweier parallelen Reihen in dem System der Elemente behält also die Determinante denselben absoluten Werth und ändert ihr Vorzeichen. 1 1 . Elemente der Theorie der Determinanten. 149 Insbesondere folgt hieraus, dass jede Determinante, deren System der Elemente zwei einander gleiche parallele Reihen hat, den Werth Null haben muss, denn durch Vertauschung zweier gleichen Reihen kann die Determinante R keinerlei Aenderung erleiden, es muss also in diesem Falle R = — R sein, Woraus R — 0 folgt. Nimmt man mehrere Male nach einander eine Vertauschung zweier parallelen Reihen in dem System der Elemente vor, so erhält man, abgesehen vom Vorzeichen, immer dieselbe Determinante; das Vorzeichen aber ändert sich oder bleibt dasselbe, je nachdem die Anzahl der vorgenommenen Vertauschungen eine ungerade oder eine gerade ist. 2. Vertauscht man irgend eine Reihe des Systems mit einer angrenzenden parallelen Reihe, z. B. die 7te Zeile mit der 6ten, darauf die so vorgerückte Reihe wieder mit der folgenden, also in dem gewählten Beispiel die vorher in die 6te Stelle gerückte Zeile mit der 5ten, und fährt so beliebig weit fort (etwa bis zur 3ten Zeile), so gelangt die zuerst genannte (7te) Reihe schliesslich an eine andere Stelle (in die 3 te), ohne dass die übrigen ihre Reihenfolge gegen einander verändert haben. Man würde dasselbe Resultat erhalten haben, wenn man die verschobene Reihe an ihrer ursprünglichen Stelle gestrichen und unmittelbar an der zuletzt einzunehmenden Stelle zwischen die übrigen eingeschoben hätte. Eine derartige Veränderung bewirkt also nur eine Umkehrung des Vorzeichens der Determinante, wenn die Anzahl jener Vertauschungen, oder was dasselbe ist, die Anzahl der zwischenliegenden Reihen eine ungerade, sie lässt den Werth der Determinante völlig unverändert, wenn jene Anzahl eine gerade ist. Macht man also in der gedachten Weise die 7 te Zeile zur 3ten, schiebt sie also vor der ursprünglich 3ten ein und lässt sie somit vier zwischenliegende Zeilen überspringen, so bleibt die Determinante dieselbe. Man kann hiernach insbesondere jede (Horizontal- oder Vertical-)Reihe zur lten machen, ohne die Reihenfolge der übrigen zu verändern. War jene Reihe ursprünglich die /te, so werden / — 1 parallele Reihen übersprungen, und die Determinante behält ihr Vorzeichen oder wechselt es, je nachdem / ungerad oder gerad ist. Da man in dieser Weise nach einander jede beliebige Zeile zur lten Zeile und jede beliebige Colonne zur lten Colonne machen kann, so lässt sich das System der Elemente so umformen, dass irgend ein beliebiges Element a k { das Anfangs-Element wird. Man hat zu diesem Zwecke nur zuerst die zte Zeile zur lten Zeile und sodann die äte Colonne zur lten Colonne zu machen oder umgekehrt. Da dies den Erfolg von i— 1 +k — 1 Vertauschungen hat, so folgt, dass die Determinante des neuen Systems denselben oder den entgegengesetzten Werth mit der ursprünglichen hat, je nachdem z -+- k gerad oder ungerad ist. Bezeichnet man also die eine Determinante durch R, die andere durch R t , so ist R 1 = (— 1 y+*R. § 69. Unterdeterminanten. 1. Da jedes Glied einer Determinante aus jeder Reihe ein und nur ein einziges Element enthält, und da alle auf diese Weise möglichen Glieder Vorkommen, so kann man die Glieder nach den Elementen irgend einer beliebigen Reihe ordnen, indem man alle diejenigen, welche dasselbe Element aus dieser Reihe enthalten, zusammenfasst. So lässt sich beispielsweise die Determinante I 5° Arithmetik und Algebra. nach den Elementen der ersten Zeile ordnen und in der Form a\ ■ A, ■ A, a* A„ schreiben, wo allgemein a\ A/ e die Zusammenfassung aller derjenigen Glieder bedeutet, welche aus der ersten Zeile das Element a* enthalten. Um in diesem und ähnlichen Fällen die Coefficienten A unmittelbar zu bestimmen, sei zunächst dieser Coefficient für das Anfangselement a\ zu ermitteln. Da alle Glieder, welche dieses Element enthalten, weder aus der ersten Zeile, noch aus der ersten Colonne ein weiteres Glied enthalten können, dagegen a\ in jeder möglichen Zusammenstellung mit je einem Gliede der übrigen Zeilen und der übrigen Colonnen Vorkommen muss, so ergiebt sich, dass der gesuchte Coefficient die Determinante desjenigen Systems von Elementen sein muss, welches nach Streichung der ersten Zeile und der ersten Colonne übrig bleibt. Jedes andere Element des ursprünglichen Systems kann aber nach dem Vorhergehenden zum Anfangs-Element desselben gemacht werden. Im Zusammenhang damit folgt nun, dass man den Coefficienten irgend eines Gliedes a’l in der ursprünglichen Determinante erhält, wenn man in dem System der Elemente die z'te Zeile und die k\,ii Colonne streicht, die Determinante des so übrig bleibenden Systems von (n —l) 2 Elementen entwickelt und derselben das Vorzeichen -+- oder — giebt, je nachdem i -+- k gerad oder ungerad ist. Jeder solche Coefficient heisst eine Unterdeterminante der ursprünglichen; die Unterdeterminante zum Element a% soll im Folgenden durch A^ bezeichnet werden. — So ist beispielsweise al al a\ a\ a ! a\ a\ a \ II St_ a \ a l a l und ebenso = a\ < «2 - iz l a\ a\ a\ < < a\ a\ a l - ß 2 a \ a \ a l a l U 1 *\ a l a ! ai ai ’i a \ a \ oder = — « 2 «2 a \ a \ a l u. s. w. Soll ferner beispielsweise die zum Gliede a\ gehörige Unterdeterminante der Determinante 2 ± a\ a\ a\ a\ bestimmt werden, so ergiebt sich a\ a\ a\ #3 #3 a\ a\ a\ Hiernach lässt sich jede Determinante leicht mittelst der Unterdeterminanten nach Gliedern einer und derselben Reihe entwickeln und ordnen. Die Coefficienten dieser einzelnen auf einander folgenden Glieder sind bei der angegebenen Bildungsweise abwechselnd positiv und negativ. So erhält man z. B. durch Entwicklung nach den Gliedern der ersten Colonne 4 , 2 , 3 , 8 " ' 1 ~ 2 , 3 , 8 5 , 6 , 1 7 , 5 , 6 , 1 3 , 2 , 1 , 4 5 , 8 , 2 , 6 = 4 5 , 6 , 1 2 , 1 , 4 8 , 2 , 6 2 , 3 , 8 2 , 1 , 4 8 , 2 , 6 8 , 2 , 6 2 , 3 , 8 5 , 6 , 1 2 , 1 , 4 ii. Elemente der Theorie der Determinanten. 1 5 I Es ist aber in gleicher Weise 5, 6, 1 1 , 4 2 , 6 6 , 1 2 , 6 6 , 1 1, 4 = 5 • (6 — 8) — 2 • + 8 (24 — 1) = ■ (36 — 2) b 106, 4 1+5- I ;* ; 1-2-1 r ; i + g. 8 , 2 , 6 2, 3, 8 2, 1, 4 I = 2 8 , 2 , 6 2, 3, 8 5- 6, 1 | = 2 • | - ; | - 5 | j) | ~b 8 ■ 8 , 2 , 6 2, 3, 8 5, 6, 1 | = 2 ■ % 1, 4 mithin ist die obige Determinante gleich — 330. 2. Aus der angegebenen Bildungsweise der Determinanten mittelst der Unterdeterminanten, also aus der Entwicklung der ersteren in der Form 1 , 4 2 , 6 6, 1 2 , 6 6 , 1 1, 4 3, 8 2 , 6 3, 8 2 , 6 3, 8 1, 4 3, 8 1, 4 3, 8 6 , 1 3, 8 6 , 1 = 2 • (6 — 8) — 2 (18— 16) + 8 • (12 — 8) = + 24, = 2- (36—2) —5 • (18—16) -4- 8 • (3 — 48) = — 302, = 2 ■ (24 — 1) —5 - (12 —8) -H 2 - (3 — 48) = — 64, R = a\ A\ < A ■ 4 A k ; 4 At oder R = 4 A\ -b 4 A? .. + 44 + -•• + 4 ^; ergeben sich unmittelbar die folgenden Sätze: Sind alle Elemente einer Reihe mit Ausnahme eines einzigen gleich Null, so reducirt sich die Determinante auf das Produkt dieses einen Elements mit der zu ihm gehörigen Unterdeterminante. Denn sind beispielsweise alle Elemente der Reihe af, a*, ... a k n mit Ausnahme von 4 gleich Null, so wird die erste der vorstehenden Entwicklungen zu R = 4 A\- So ist also beispielsweise a 0 0 b c d = a C CI e f g f g und Die Elemente b, e im ersten und a b 0 d t f g h i k 0 m n 0 0 p , /, h im zweiten dieser Beispiele sind = — g a b d i k m n 0 p also ohne jeden Einfluss auf den Werth der Determinante, und man könnte also für dieselben beliebige andere Zahlen setzen, ohne dass dieser Werth sich änderte. 3. Multiplicirt man jedes Element einer Reihe mit der zu dem entsprechenden Element einer parallelen Reihe gehörenden Unterdeterminante, so ist die Summe aller dieser Produkte gleich Null. Denn ist af, 4, 4 • • • 4 die erstere, a\, 4, 4 • • • 4 die letztere Reihe so ist die Determinante R — a k A\ -+- 4 A\ -4- ... H- 4 A-i, und die Summe jener Produkte ist 4 A k -+- 4 A ■+■ •••■+■ 4 A- Die letztere entsteht also aus jener, wenn man in dem System der Elemente an die Stelle der Reihe a\, a\ u. s. w. die andere a\, a\ u. s, w. setzt, oder sie ist die Determinante des so gebildeten neuen Systems. Da nun dieses letztere zwei einander gleiche parallele Reihen a \, 4 • • • enthält, so ist der Werth seiner Determinante nach § 68 gleich Null. 152 Arithmetik und Algebra. Ganz ebenso folgt aus R — a\ A) •+■ a"i A 2 + . . .. h- a’- A * die Gleichung 0 = a} n A { -+- a* n Aj+ ■ ■■ . -4- a“ A ”. 4. Addirt,man zu jedem Element einer Reihe das entsprechende Element einer ihr parallelen Reihe, oder subtrahirt man die ersteren von den letzteren, so ändert sich der Werth der Determinante nicht. Dieser Satz und sein Beweis können sogleich verallgemeinert werden, indem man statt der Glieder der addirten oder subtrahirten Reihe ihre Produkte mit einer und derselben beliebigen Zahl anwendet. Die nach den Elementen der ersteren Reihe geordnete, also z. B. in der Form R = a\ A ! [ -+- a 2 ^2 + ■ • • + A k n geschriebene Determinante geht nämlich durch die angegebene Veränderung des Systems über in R x = [a\ + p A\ -+- {a\ -+- p a\) A 2 -+- ■ . . + (a k -+- p efy A k — H- A 'y + . . . ■ !'■ a u A u + p (fli A± a. 2 A -2 —1— . . . ~1— ei]] A k ). Da nun das letzte in der Klammer enthaltene Aggregat nach dem vorigen Satze den Werth Null hat, so ergiebt sich = 1 A k H- (t 2 A 2 -f- . . . -\~ cc k t A k t = R. Der Werth einer Determinante ändert sich also nicht, wenn man in dem System der Elemente an Stelle jedes Gliedes einer beliebigen Reihe die Summe desselben Gliedes und des Produkts des entsprechenden Gliedes einer parallelen Reihe mit einem und demselben beliebigen Faktor setzt. Dieser Satz ist besonders werthvoll zur Erleichterung der Berechnung der Determinanten bestimmter Zahlen, denn derselbe gestattet, an Stelle des Systems der Elemente andere, für die Berechnung bequemere Systeme zu setzen. So könnte man z. B. in dem System der oben berechneten Determinante 4, 2, 3, 8 7, 5, fl, 1 3, 2, 1, 4 5 , 8 , 2 , 6 durch Subtraction der Glieder der zweiten Colonne von den entsprechenden Gliedern jeder anderen Colonne das System ] 2 , 2 , 1 , 6 2, 5, 1,-4 ! 1 , 2 , - 1 , 2 | —3, 8, —6, —2 aus diesem wieder durch Subtraction der dritten Colonne von allen übrigen, dann der ersten Zeile von allen übrigen, darauf wieder der ersten Zeile von der dritten und vierten die folgenden Systeme 1, 1, ) ^ 1, 1, 1, 5 1, E 1, 5 1, 4, , —5 0, 3, 0, — 10 0, 3, 0, — 10 2 3, - 1 , 3 1, 9 — J -2, — 2 0, 1, — 3, — 7 3, 14, — f , 4 2, 13, -7, — 1 1, 12, — 8, — 6 ableiten u. s. w. Bequemer wäre in der letzten dieser Umformungen, die erste Zeile vor der Subtraction von der vierten mit 2 zu multipliciren, wodurch man die Determinante 11. Elemente der Theorie der Determinanten. 153 1, 1, 1, 5 0, 3, 0, — 10 0, 1, -3, - 7 0, 11, —9, —11 erhielte, welche sich sofort auf das Produkt ihres Anfangsgliedes 1 mit der Unterdeterminante 3, 0,-10 1, -3, - 7 11, —9,-11 reducirt. 5. Dieser letztere Erfolg lässt sich stets und von vorne herein erreichen, denn man kann, um z. B. für a k Null zu erhalten, von den Elementen der Reihe k di a\, a\, . . . a k ,. . . a k n die Produkte der Elemente von a\, a^, ... a), .. . a! u mit —\ a i ßfi abziehen, wodurch man statt a k { das neue Element a k — . —i = a\ — a k = 0 er- a i hält. — Um z. B. die vorstehende Determinante dritten Grades in dieser Weise zu behandeln, kann man, da schon ein Element der ersten Zeile gleich Null ist, diejenigen der ersten Colonne mit fa multipliciren und dann die Produkte zu denen der dritten Colonne addiren. Man erhält so 3, 0 , 0 - 3 , 11 1, — 3, _ xx = 3 • 3 11, — 9, -u 11 ^ 3 - 9 , _f_ 11 ~ 3 = 3 • —3 7 7 3 ¥)•(- 9)} = 3 • (— 77 — 33) = — 3 ■ 110 = Um ferner beispielsweise die Determinante 330. 1, 5, 9, 2 2, 4, 10, 1 3, 3, 11, 6 4, 8, 7, 3 zu berechnen, kann man die erste Colonne der Reihe nach mit 5, 9 und 2 multipliciren und dann entsprechend von der zweiten, dritten und vierten Colonne subtrahiren. Man erhält so = 1 — 6, — 8,-3 — 12, — 16, 0 — 12, —29, —5 1 , 0 , 0 , 0 2, — 6, — 8,-3 3, — 12, — 16, 0 4, — 12, -29,-5 Multiplicirt man jetzt die erste Zeile der neuen Determinante mit 2 und sub- trahirt von der zweiten und von der dritten, so erhält man — 6, — 8,-3 0, 0, -h 6 0, — 13, +1 und hat nun die Wahl zwischen zwei Reihen, in denen alle Glieder ausser einem gleich Null sind. Man erhält 0 , -+- 6 13, -+- 1 •6 • 6 • 13 = — 468 oder — 6 = — 468. - 6,-8 0, — 13 = —6 • 6 • 13 Man kann nach diesen Beispielen das eingeschlagene Verfahren dahin aussprechen, dass man, um n —1 Elemente einer Zeile gleich Null zu machen, 154 Arithmetik und Algebra. die n —1 Colonnen, welche diese Elemente enthalten, durch das obige Verfahren zu verändern hat, indem man von jeder die Produkte der gleichstelligen Elemente einer parallelen Colonne mit einem geeigneten Faktor subtrahirt. Sollen dagegen n — 1 Elemente einer Colonne zu Null werden, so hat man entsprechend mit den Zeilen zu verfahren. 6. Die Anordnung einer Determinante nach den Elementen einer Reihe und deren Unterdeterminanten führt ferner unmittelbar zu dem Satze: Multiplicirt man alle Elemente einer Reihe mit einem und demselben Faktor, so wird dadurch die Determinante selbst mit diesem Faktor multiplicirt. Der Beweis ergiebt sich sofort, wenn man die neue Determinante nach den Elementen der multiplicirten Reihe ordnet. Dieser Satz findet wieder wichtige Anwendungen zur Vereinfachung der Berechnung von Determinanten. Selbstverständlich wird auch durch Division aller Elemente einer Reihe durch eine und dieselbe Zahl die Determinante dividirt, da die Division durch p identisch ist mit der Multiplication mit -y. Man kann daher jeden gemeinschaftlichen Faktor der Elemente einer Reihe absondern und als Faktor vor die Determinante setzen. So hätte man z. B. in der vorher berechneten Determinante — 6 , — 8,-3 — 12 , — 16 , 0 — 12 , — 29 , — 5 zunächst den Faktor — 6 der ersten Colonne absondern, und also — 6 • 1 , — 8,-3 2 , — 16 , 0 2 , — 29 , —5 schreiben können. Man kann ferner auch aus der zweiten Colonne den Faktor — 1 absondern, wodurch sämmtliche Vorzeichen dieser Colonne und gleichzeitig das Vorzeichen der Determinante umgekehrt werden. Allgemein ergiebt sich der Satz: Kehrt man die Vorzeichen sämmtlicher Elemente irgend einer Reihe um, so behält die Determinante denselben absoluten Werth und ändert ihr Vorzeichen. Nimmt man in dem vorstehenden Beispiel diese Aenderung sowol an der zweiten, als an der dritten Colonne vor, so bleibt das Vorzeichen der Determinante unverändert, und man erhält — 6 1 ,. 8 , 3 2 , 16 , 0 2 , 29 , 5 Man kann ferner, wenn einzelne oder sämmtliche Elemente einer Reihe Brüche sind, dieselben in ganze Zahlen verwandeln, indem man die Elemente dieser Reihe mit ihrem Generalnenner multiplicirt. Auf diesem Wege lassen sich, wenn in mehr als einer Reihe Brüche Vorkommen, sämmtliche Brüche des Systems nach und nach in ganze Zahlen verwandeln. So erhält man beispielsweise: n. Elemente der Theorie der Determinanten. 155 7, 4h n 1 7, 4h 28 1 28, 4h 28 4b 5, 1 1 9 4 b 5, 62 X = 1 9 Ä 17, 5, 62 H. -2, - 1 L 7*. -2, - 15 JL L %i x. 30, — 2, — 15 1 12-4-2 28, 9, 17, 10, 30, —4, 28 62 15 Um nun zwei Elemente der ersten Zeile gleich Null zu machen, kann man die erste Colonne von der dritten subtrahiren, dann aber, um nicht auf’s Neue Brüche einzuführen, die Elemente der zweiten Colonne mit 28 multipliciren, selbstverständlich die Determinante entsprechend durch 28 dividiren, und dann von der jetzigen zweiten Colonne die Produkte der Elemente der ersten mit 9 subtrahiren. So ergiebt sich 1 96 • 28 28, 0, 0 17, 127, 45 30, — 382, —45 28 127, 45 45 127, 1 96-28 — 382, — 45 96 382, 1 45 96 45 (127 — 382) = ^ • 255 3825 32 ' §70. Auflösung von Gleichungen ersten Grades. 1. Nachdem im Vorstehenden die wichtigsten Hiilfsmittel für die Berechnung der Determinanten erörtert sind, soll nun sogleich zu der Anwendung derselben auf die Auflösung von Gleichungen ersten Grades übergegangen werden. Es sei sin System von n von einander unabhängigen Gleichungen ersten Grades mit n Unbekannten gegeben, und dasselbe in der Form dy Xy -\- dy Xy ~{— dy Xy —1~ . . . —p d!y Xj c . ■ ""P dy X /t = Cy dy Xy —p dy Xt l ~h dy Xy —f- . . . -p dy Xfe —p . . ~P dy X n = Cy dy Xy “p dy Xy -p dy Xy -p . . . -p dy Xj, -p . . "P dy X n = Cy : : : : : : :■:(!) a) x. 2 di x 9 - &i “Cn — a h X \ + a u -*2 "+" X S ■+■ • ■ • “b a n x k d~ • • + a Z x n = C n geschrieben. Um den Werth einer beliebigen der n Unbekannten, z. B. Xk, zu finden, denke man sich jede dieser Gleichungen mit einem vorläufig unbestimmt gelassenen Faktor py, / 2 , . . . p k , . . p„ multiplicirt und sodann sämmtliche neuen Gleichungen durch Addition zu einer einzigen verbunden. Die letztere erhält die Form Ay Xy -p Ay Xy -p Ay Xy -p . . . -p Afr Xf, -p . . -p A K X }1 = C (2) Worin Ay — dy py -p dy py -p dy py -p . • • “P dj ; pfo -p • - ~P d u p H , Ay — dl py -P dl py ~h Oy py ~h . . ■ ~h «1 Pk + • • + < Pn U - S - W . Um nun den Werth irgend einer Unbekannten Xk zu finden, kann man nachträglich die Werthe der Faktoren p so bestimmen, dass alle Coefficienten A in (2) mit Ausnahme desjenigen der gesuchten Unbekannten gleich Null werden. Setzen wir vorerst voraus, dass dies immer ausführbar sei, so erhält dadurch die Gleichung (2) die Form und man hat A/c Xk — Cf C x k — Ak (3) 156 Arithmetik und Algebra. Die Lösung der gestellten Aufgabe, aus n Gleichungen mit n Unbekannten den Werth jeder beliebigen der letzteren zu finden, ist also jetzt zurückgeführt auf die der anderen, die Werthe von n unbestimmten Faktoren p x , p 2 , . . . p n so zu bestimmen, dass n — 1 Gleichungen von der Form a\ /i+4A+ s 3A + • • + a l pn = 0 ,2 ,2 ,2 2 a l Pl + a i Pi + a % Pi + • • + 0 » Pn = 0 a \ 1 Pl + a i 1 Pi + ®3 1 Pi + • • + 0 « 1 p n = 0 01 +1 + 0'2 +1 Pi -t - 03 +1 ^3 "h • • "+- 0^ +1 = 0 ( 4 ) 0 “ /l + «2 ^2 + «3 /3 + • • '+ a » Pn = 0 erfüllt werden. Betrachten wir also p x , / 2 , • . p n als n Unbekannte, zu deren Bestimmung die vorstehenden Gleichungen gegeben sind, so sieht man, da die Anzahl der letzteren nur n — 1 beträgt, dass man irgend eine beliebige der n Grössen p beliebig annehmen könnte, und dass dann die Aufgabe auf die einfachere zurückgeführt erschiene, n — 1 Gleichungen mit n —1 Unbekannten auf letztere aufzulösen. Da aber diese letzteren Gleichungen für jede andere der Unbekannten x selbst andere werden, so würde das eingeschlagene Verfahren als ein überaus weitläufiges erscheinen. Wir haben aber im Vorhergehenden gesehen, dass die Determinante des Systems der n- Coefficienten der Gleichungen (1) #2 ^2 R (5) nach den Elementen, bezw. Unterdeterminanten der Reihe a\, a\, . . a k n geordnet, in der Form R = o!y A^ -+- 02 -^2 + • • ■+• 0* A\ i* ( 6 ) 'fl geschrieben werden kann, und dass dann a\ A\ -h (*2 A$ -h . . -h cP n A„ = 0, 0 ? A -t- a| A\ -+- . . -+~ a„ = 0, Jtl Ak . 11 /ik , d-y A-^ —#2 ^2 + < A ist, mit alleiniger Ausnahme des Falles, in welchem die oberen Indices der Elemente a in der Gleichung gleich k sind, also die Gleichung (6) gilt. Hieraus folgt unmittelbar, dass sämmtliche Gleichungen (4) erfüllt werden, wenn man t\=A Pi=A> • ■ P» = A setzt, und dass dann A k gleich der in (5) angegebenen Determinante R ist. Die Grösse C oder c i Pi H - c i Pi ■+■ c z Pz "+■ • • + c n pn, oder c i A + c i A\ + c & A$ -+- . . -+- c n A k n entsteht aus dieser Determinante, da die Unterdeterminanten A\, A% u . s . w . die Elemente der Reihe a\, a\, . . a k n nicht enthalten, wenn man in ihr an Stelle dieser Elemente die entsprechenden der Reihe c v c 2 , . . C/ c setzt. Die Gleichung (8) kann also ii. Elemente der Theorie der Determinanten. 157 2 ± a\ 4 .. 4 ll ^ 4t\ • • < ** ^±a\a\..4z\4 4X\--< geschrieben werden. Dieselbe besagt, dass die Werthe sämmtlicher Unbekannten der Gleichungen (1) durch Brüche dargestellt werden können, welche sämmtlich zum Nenner die Determinante (5) des Systems der n 2 Coefficienten der Unbekannten haben, während der Zähler jedesmal die entsprechende Determinante ist, welche man erhält, wenn man statt der Coefficienten der gesuchten Unbekannten die entsprechenden Glieder ohne Unbekannte (r x , c 2 , . .) setzt. Um also z. B. die Gleichungen x — 2 y+ 3z— 4 » =— 10 — 5x 4 - 6y — 7z4- 8 u— 18 9*— lOy —11z 4 -12 « = 4 — 13* 4 - liy 4- 15z—16« = — 4 (Heis, § 65, 109) auf diese Weise aufzulösen, kann man zur Bestimmung des gemeinschaftlichen Nenners aller vier Unbekannten 4- 1, — 2, 4- 3, — 4 — 5, 4- 6, — 7, -t- 8 4- 9, — 10, — 11, 4- 12 — 13, 4- 14, 4- 15, — 16 4- 1, 0, 0, 0 — 5, — 2, 4- 8, — 3 -+- 9, +4, — 38, -+- 12 — 13, — 6, 4- 54, — 17 2 • 4 4" 1; 1, 4~ 3, 1 — 5, 4- 3, — 7, 4- 2 4- 9, —5, — 11, 4- 3 — 13, -f- 7, 4- 15, —- 4 = 8-1 - 2 , + 4, - 6 , 8 , 38, 54, 3 12 17 - 1, 4- 4, - 3 I — 1, 4- 4, — 3 *= 8 • 2 • 2 4- 2, — 19, 4- 12 = 32 0, - 11, 4- 6 = — 32 — 3, 4-27, - 17 1 0, 4- 15, — 8 11 , 15, = — 32 ■ 2 — 11, -f- 3 = — 64 (44—45) = 4-64 4-15, — 4 setzen. Für den Zähler von * hat man entsprechend — 10, — 2, 4- 3, — 4 1 1 + CO 1 H- 4 + H-‘ GO + Ci 1 + OO 4- 9, 4- 3, — 7, 4- 2 4- 4, — 10, — 11, 4- 12 = 2-2-4 4-2, —5, — 11, 4-3 — 4, 4- 14, 4- 15, — 16 — 2, 4-7, 4- 15, 4 16 16 = — 16 = 16-2 0 , 0 , 0,-1 — 1, 4- 1, — 1, 4 - 2 — 13, — 8, — 2, 4- 3 4- 18, -i- 11, 4- 3, — 4 — h 0 , 0 — 13, — 21, — 10 | = — 16 4- 18, 4- 29, 4- 14 21, 5 1) — 1, 4- 1, — 1 — 13, — 8,-2 4- 18, 4- 11, 4- 3 - 21 , 4- 29, 10 14 = 16 21 , 10 29, 14 29, 7 Ebenso erhält man für den Zähler von y 4- 1, — 10, 4- 3,-4 — 5, 4- 18, — 7, 4- 8 4- 9, 4- 14, — 11, 4 - 12 — 13, — 4, 4 - 15, — 16 und entsprechend für z und u = 32 • (147 — 145) = 64, also ist x = ~ = 1. 128, also y = ^ = 2, 158 Arithmetik und Algebra. + 1 US 1 >—11 o 1 + 1—‘ 1 fcö + p 1 b -1 o — 5,-4 6, —f— 18, -f- 8 = 192; 5, 4- 6, — 7, 4- 18 + 9, — 10, -+- 4, + 12 + 9, - 10, — 11, 4- 4 — 13, 4- 14, - 4,-16 — 13, + 14, + 15, — 4 = 256; 2 = 3; u — 4. Die Werthe der Unbekannten werden durch das vorstehende Verfahren in Form von Quotienten zweier Aggregate erhalten, deren Glieder Produkte von n Faktoren sind. Wendet man dagegen das gewöhnliche Eliminationsverfahren an, indem man beispielsweise zunächst den aus einer der gegebenen Gleichungen ermittelten Ausdruck für eine Unbekannte in jede der n — 1 übrigen Gleichungen einsetzt, so erhält man, wie die Ausführung an irgend einem allgemeinen Beispiel leicht zeigt, n — 1 Eliminationsgleichungen mit n — 1 Unbekannten, deren Coefficienten Produkte von zwei Faktoren sind. Leitet man dann aus diesen entsprechend n — 2 Gleichungen mit n — 2 Unbekannten ab, so werden die Coefficienten der letzteren von der 2 • 2 = 4ten Dimension, und fährt man so fort, so wird in der endlichen Schlussgleichung mit nur einer Unbekannten ein Coefficient mit 2”~ 1 Faktoren enthalten sein. Es liefert also dieses Eliminationsverfahren den Werth der Unbekannten in Form eines Quotienten von Aggregaten, deren Glieder 2 M—1 Faktoren, also 2"“ 1 — n Faktoren mehr als bei dem vorstehenden enthalten. Diese überflüssigen Faktoren, deren Anzahlen für n = 3, 4, 5, 6 u. s. w. die rasch steigende Reihe 1, 4, 11, 26 u. s. w. bilden, und welche sich in dem Resultat wieder auf heben müssen, werden durch die Anwendung der Determinanten erspart. Ausserdem empfiehlt sich die letztere dadurch, dass sie die unwissenschaftliche Willkür in der Auswahl und Reihenfolge der jedesmal zu eliminirenden Unbekannten beseitigt. 2. Schon im Vorigen sind sogenannte homogene Gleichungen ersten Grades vorgekommen, in welchen die Glieder ohne Unbekannte gleich Null sind. Sind 11 solche Gleichungen mit n Unbekannten (l . f Xy - «3 X ^ ■ a\ x 2 ■ a 2 x 'l ' «| x 2 4- x 2 '■*'3 3 #2 «^3 “I - «i = o a% x = 0 «3 x n = 0 x. a n *2 + a # *3 + ■ • + a K x n = 0 gegeben, so führt die Auflösung derselben mittelst Determinanten auf 0 x k — a , . . a„ In der Thal überzeugt man sich auch unmittelbar, dass die n Gleichungen sämmtlich erfüllt sind, wenn jeder Unbekannten der Werth Null beigelegt wird. Es ist jedoch zu beachten, dass in einem besonderen Falle dieser Werth nicht aus der vorstehenden Gleichung für Xk gefolgert werden darf, nämlich dann, wenn gleichzeitig der Nenner, also die Determinante des Systems der n 2 Coefficienten a\, a\ u. s. w gleich Null ist. Es erscheinen in diesem Falle vielmehr die Werthe sämmtlicher Unbekannten unter der unbestimmten Form $, und hieraus geht hervor, dass dann die n Unbekannten nicht durch die gegebenen Gleichungen ermittelt werden können. . Man erhält dasselbe Resultat auf folgende Weise: Man kann jede der obigen n Gleichungen durch eine und dieselbe beliebig ausgewählte der n Unbekannten z. B. Xk dividiren und erhält dann n Gleichungen mit den n —1 Verhältnissen II. Elemente der Theorie der Determinanten. 159 —, — . . . — als Unbekannten. Hieraus seht einerseits hervor, dass durch die obigen n Gleichungen in der That die n Unbekannten nicht bestimmt sind, sondern nur die Verhältnisse derselben, sofern die Werthe der ersteren nicht sämmt- lich gleich Null sein sollen und also diese Verhältnisse gebildet werden dürfen. Andererseits zeigt es sich, dass für die letzteren als die neuen Unbekannten eine überzählige Gleichung gegeben ist, demnach obige n Gleichungen für nicht verschwindende x nur dann neben einander bestehen können, wenn die aus beliebigen n — l dieser Gleichungen berechneten Werthe der genannten Verhältnisse von selbst der noch übrigen Gleichung genügen. Damit dieses der Fall sei, müssen die Coefficienten a\, a\ 2 u. s. w. einer Bedingung genügen, die dadurch gefunden werden könnte, dass man das eben angegebene Verfahren der Auflösung von n — 1 Gleichungen und Substitution der Resultate in die noch übrige Gleichung ausfiihrte. Kürzer ergiebt die Vergleichung mit dem, was oben aus der für Xk gewonnenen Formel abgeleitet wurde, dass diese Bedingung 1 ± a\a 2 ... a ?l — 0 ist. Sind also n homogene Gleichungen ersten Grades mit n Unbekannten gegeben, so ist die Bedingung, dass diese Gleichungen für nicht verschwindende Werthe der Unbekannten zusammen bestehen, die, dass die Determinante der » 2 Coefficienten gleich Null sei, und die Gleichungen bestimmen dann die Verhältnisse der Unbekannten. Dividirt man jede der Gleichungen etwa durch x n und löst die n — 1 ersten der entstehenden Gleichungen auf die betreffenden Verhältnisse nach § 70, 1 auf, so ergiebt sich, dass die Werthe der Unbekannten sich der Reihe nach zu einander verhalten wie diejenigen Unterdeterminanten, welche aus den n (n — 1) Coefficienten jener Gleichungen der Reihe nach zu den Elementen der fehlenden »ten Zeile gebildet werden können. 3. Ist umgekehrt ein System von nicht homogenen Gleichungen mit n Unbekannten gegeben, so lässt sich aus demselben ein System von eben so vielen homogenen Gleichungen ableiten, indem man an Stelle der n Unbekannten die Verhältnisse derselben zu einer angenommenen »-)-1 ten Unbekannten — die später gleich 1 zu setzen ist, wenn man zu den ursprünglichen Gleichungen X\ X2 . zurückkehren will — also -, -, u. s. w. setzt und dann alle Glieder mit ^« + 1 multiplicirt. Waren nun für die n Unbekannten n + 1 Gleichungen # j ^1 ~h ^1 * • d~ •'*■>/ Hb~ u * s - w, gegeben, so ist V 1 1 2 -t~ 1 _ A L dz aity • • * a 'n a n +1 — ^ die Bedingung, dass die zugehörigen homogenen Gleichungen gleichzeitig für nicht verschwindende Werthe der x bestehen. Da ferner durch diese homogenen Gleichungen nur die Verhältnisse der Unbekannten bestimmt sind, eine der letzteren also beliebig angenommen werden kann, so gilt diese Bedingung auch, wenn man für x n + \ den Werth 1 gesetzt denkt. Es gilt also auch der Satz: Sind für n Unbekannte n -+- 1 Gleichungen ersten Grades gegeben — deren rechte Seiten auf Null gebracht sind — so ist die Bedingung, dass diese Gleichungen sämmtlich durch dieselben Werthe jener Unbekannten erfüllt werden, die, dass die Determinante des Systems der (n - f-1)2 Coefficienten gleich Null sei. Arithmetik und Algebra. 160 § 71. Weitere Eigenschaften der Determinanten. Das Multiplicationstheorem. 1. Jede Determinante lässt sich als eine solche von einem beliebigen höheren Grade darstellen, denn man kann dieselbe stets als Unterdeterminante eines Systems von Elementen betrachten, welches in einer Zeile oder Colonne ein Element 1 und alle übrigen Elemente gleich Null hat. Um also eine Determinante raten Grades als eine solche ra -+- lten Grades darzustellen, kann man dem System der Elemente eine Zeile und Colonne hinzufügen, so dass irgend ein Element den Werth 1 oder — 1, je nach der Stellung dieses Elements hat, die übrigen Stellen einer der beiden hinzugefügten Reihen durch Nullen und die der anderen durch ganz beliebige Zahlen ausfüllen. Die so erhaltene Determinante ra -+- 1 ten Grades kann dann in gleicher Weise in eine solche ra -+- 2 ten Grades verwandelt werden, u. s. w. So ist z. B. «1 c i a 2 h C 2 = a 3 C 3 1 0 a a 1 ß a 2 ~1 a 3 -1 0 p b q d 16s 0 1 0 0 a a x o ß «2 0 t a % 0 0—1 1 m n u. s. w. 0 a p b 0 c q d 2. Sind alle Elemente einer Reihe Aggregate von gleicher Gliederzahl, so lässt sich die Determinante in das entsprechende Aggregat eben so vieler einzelner Determinanten zerlegen, welche dadurch entstehen, dass man an Stelle jener Reihe nach einander die einzelnen Glieder der betreffenden Aggregate setzt. So ist z. B. d —d-^y d 3 dy d g y d ^ &2> ^3 b + b^, b^ y b 3 = b) b<£, b 3 + b l> b 2’ b 3 C -h C lt C^y C 3 c 3 c \> Allgemein, wenn a \— Pi + Qi + r \ ■ > = p 2 q 2 • > u. s. w. ist, und man die gegebene Determinante in der Form Ja = a\ A\ -+- «2 ^2 + • • ■ + A^ schreibt, so erhält man durch Substitution der vorstehenden Werthe für a\, u. s. w. und Ausführung der Multiplicationen ja —p l 4 + ^4 + •••+/>* A x n ■+■ ?1 ^2 + ■ • • + q„ A„ + r x A\ + r 2 Al + . . . + r H A x n womit der vorstehende Satz bewiesen ist. Sind ferner die Elemente irgend einer Reihe Aggregate von je m Gliedern und ausserdem die Elemente einer derselben parallelen Reihe Aggregate von je ra Gliedern, so kann man durch zweimalige Anwendung des vorstehenden Verfahrens die Determinante in ein Aggregat von m • ra einfacheren Determinanten zerlegen. II. Elemente der Theorie der Determinanten. 161 Sind überhaupt die Elemente beliebig vieler oder aller parallelen Reihen Aggregate von bezüglich m, 11, p, q, . . . Gliedern, so lässt sich die Determinante entsprechend als ein Aggregat von m-n-p-q... einzelnen Determinanten darstellen. Da diese Sätze, auch dann richtig bleiben müssen, wenn ein oder mehrere Glieder eines jener Reihen-Aggregate gleich Null sind, so lassen sich dieselben auch auf diejenigen Fälle ausdehnen, in welchen nicht alle Elemente einer Reihe aus einer gleichen Anzahl von Gliedern bestehen, da man in diesem Falle die fehlenden Glieder mittelst Nullen ergänzen kann. So ist z. B. a a x #2 + + #4 ^5 b b^hrb^ b 5 b g ._ CI ßg b b ^ ^5 a a 2 0 b b 2 bg a a 5 b b s .b 6 c + G G G c ^2 ^5 c c 2 0 c 0 c 5 a a 3 0 CL Ö4 d g a a i 0 ^1 a x a 2 0 b b 3 b s + i 0 — b 0 bg H- 0 b % br ö — 0 b 2 bg O O c 0 c 5 c 0 0 G G G_ G G 0 «1 «3 a x «3 0 a \ a i a b a t a i 0 0 <£3 <£5 — 0 bg b s + 0 0 bg — 0 0 b 6 G 0 G G 0 0 G 0 G 0 0 Stimmen umgekehrt zwei oder mehrere Determinanten desselben Grades in allen correspondirenden Elementen mit Ausnahme derjenigen einer in denselben an gleicher Stelle stehenden Reihe überein, so kann man jedes Aggregat dieser Determinanten in eine einzige Determinante verwandeln, indem man in einer derselben an Stelle der nicht übereinstimmenden Reihe die in entsprechender Weise aus den Aggregaten der betreffenden ungleichen Elemente gebildete Reihe setzt. So ist also z. B. 3, 1, 8, 3 1, 1, 8, 3 3 — 1, 1, 8, 3 2, 1, 8, 3 4, 4, 7, 2 5, 4, 7, 2 4 — 5, 4, 7, 2 - 1, 4, 7, 2 5, 6, 1, 4 2, 6, 1, 4 5 — 2, 6, I, 4 3, 6, 1, 4 2, 9, 0, 6 0, 9, 0, 6 2 — 0, 9, 0, 6 2, 9, 0, 6 3. Das Produkt zweier Determinanten desselben Grades kann ebenfalls als eine einzige Determinante vom gleichen Grade dargestellt werden. Man erhält die Elemente der letzteren, wenn man die Elemente je einer Reihe der einen gegebenen mit den entsprechenden Elementen je einer Reihe der andern gegebenen Determinante ^ultiplicirt und die Produkte jedesmal addirt. Ist also A = 2 ± 4 4 . . . <, B = 2 ± b\ b\ . . . bl, so ist A ■ B = <7= 2 ± 4 4 ■ ■ ■ C für c’l = a\ b\ -f- a\ b\ -t- • • • -+- a\ a\ b\> a% h 2 u 2 > a\ = b\ b\ b\ a\, sr% a\ n, a\ 7>2 "2> «1 b\ n 3 rt 3 a 2 , a\ so sieht man, dass dieselbe gleich dem Produkt der einen von den oben zu multiplicirenden Determinanten mit einem Gliede der Entwicklung der anderen ist. Dieses letztere Glied muss für jede andere der vorher erwähnten sechs Determinanten ein anderes sein, und somit ist das Aggregat der letzteren gleich dem Produkt der Determinante A mit der Determinante B, was zu beweisen war. Man beachte noch, dass das Produkt zweier Determinanten nach dem vorstehenden Satze auf vier verschiedene Arten gebildet werden kann, da nicht bloss, wie in dem Beispiel geschehen, je eine Colonne von A mit einer Colonne von B, sondern auch je eine Zeile von A mit einer Zeile von B, ferner je eine Zeile von A mit einer Colonne von B und endlich je eine Colonne von A mit einer Zeile von B verbunden werden kann. Sollen in entsprechender Weise drei oder mehr Determinanten multiplicirt werden, so kann man das vorstehende Verfahren wiederholt anwenden, also zuerst das Produkt zweier gegebenen Determinanten A, B als eine einzige Determinante C darstellen, dann etwa das Produkt von C mit einer dritten gegebenen D wieder in eine einzige Determinante verwandeln und so bis zum Ende fortfahren. Da endlich jede Determinante niedern Grades sich als eine solche von beliebig höherem Grade darstellen lässt, so kann auch die Beschränkung, nach welcher die zu multiplicirenden Determinanten von demselben Grade sein sollten, aufgehoben werden, d. h. man kann jedes Produkt von beliebig vielen Determinanten beliebiger Grade in eine einzige Determinante verwandeln, deren Grad gleich dem höchsten bei jenen einzelnen vorkommenden ist, und deren Elemente Aggregate aus Elementen jener einzelnen sind. II. Elemente der Theorie der Determinanten. 163 4. Man kann noch auf eine andere Weise das Produkt A ■ B zweier Determinanten als eine einzige Determinante darstellen. Es sei A eine Determinante ft ten, B eine solche ^ten Grades, so bilde man eine neue Determinante /-H/ten Grades, indem man für die ft ersten Elemente der ft ersten Zeilen und die der ft ersten Colonnen die entsprechenden Elemente von A, und für die q letzten Elemente der q noch folgenden Zeilen und der q noch folgenden Colonnen die entsprechenden Elemente von B setzt, die noch übrigen Stellen aber mit Nullen ausfüllt, also nach Art des folgenden Beispiels verfährt: a\ 2 «1 • 4> . 0 0 . 0 a\ a\ . ■ 4 0 0 . 0 . 0 4 4. ■ 4 0 0 . 0 0 0 . . 0 b\ b\ • b( 0 0 . . 0 b\ b\ . ■ bl • O 0 . . 0 4 4 • Man hat also hier ein Quadrat, welches aus zwei kleineren, von der Diagonale durchschnittenen Quadraten und daneben aus zwei Rechtecken, deren Elemente sämmtlich gleich Null sind, besteht. Bildet man nun die Determinante des ganzen Systems und nimmt aus derselben alle diejenigen Glieder, welche eine und dieselbe Combination der q letzten Indices enthalten, in denen also diese Indices nicht permutirt sind, so muss das -Aggregat dieser Glieder das jener Combination entsprechende Glied der Determinante B als gemeinsamen Faktor enthalten, und nach Absonderung dieses Faktors müssen die anderen Faktoren das Aggregat aller Produkte sein, welche a us Elementen der übrigen ft Zeilen und Colonnen nach dem Bildungsgesetz der Determinanten entstehen können. Dieses Aggregat ist die Determinante A. Lässt man nun die q letzten Indices eine Permutation machen und vereinigt wieder a lle Glieder der ganzen Determinante, welche das so entstehende neue Glied v °n B als gemeinsamen Faktor haben, so muss wieder das Produkt dieses Gliedes v °n B mit der Determinante A entstehen. Vereinigt man in dieser Weise nach ßinander alle diejenigen Glieder der ganzen Determinante, welche irgend ein Dlied von B als Faktor haben, so muss das Aggregat aller dieser Glieder gleich dem Produkt A ■ B sein. Die noch übrigen Glieder der ganzen Determinante, Welche somit aus mindestens einer der q letzten Zeilen oder Colonnen ein Element enthalten, welches nicht dem Systeme von B angehört, müssen sämmtlich gleich Null sein, und somit ist bewiesen, dass die obige ganze Determinante gleich dem Produkt der einzelnen Determinanten A, B ist. Diese Verwandlung des Produktes A • B in eine einzige Determinante unterscheidet sich von der früheren dadurch, dass die letzte nicht den gleichen Grad mit den einzelnen, bezw. der höchsten derselben hat, sondern dass der Grad derselben gleich der Summe ft q der Grade der einzelnen ist. Es ist nicht nöthig, die Elemente von A in die ft ersten, die von B in die q letzten Reihen zu stellen, man kann vielmehr diese Reihen auch beliebig Wählen, falls sie nur einander ausschliessen und dann das Vorzeichen der ganzen ii 164 Arithmetik und Algebra. Determinante nach der Anzahl der Vertauschungen von Reihen bestimmt wird, die man vornehmen muss, um die im Vorigen vorausgesetzte Stellung zu bewirken. 5. Werden die Elemente in den erwähnten beiden Rechtecken nicht durch Nullen ausgefüllt, sondern sind dieselben irgend welche Zahlen, so enthält die Determinante des ganzen Systems ausser dem Produkte A • B noch weitere Glieder, deren Beschaffenheit noch untersucht werden soll. Zur Erleichterung der Darstellung führen wir vorher folgende Bezeichnungen ein: Wählt man aus dem System der n 3 Elemente einer Determinante p beliebige Zeilen und p beliebige Colonnen in unveränderter Reihenfolge aus, so heisst die Determinante des Systems der in diesen Zeilen und diesen Colonnen zugleich stehenden/ 2 Elemente eine Unterdeterminante oder eine partiale Determinante der gegebenen im weitem Sinn. Wählt man ferner die noch übrigen n —p = q Zeilen und die noch übrigen q Colonnen aus, so erhält man ein zweites partiales System, welches mit dem vorigen kein Element gemeinschaftlich hat, und dieses System von q 1 Elementen liefert ebenfalls eine Unterdeterminante. Je zwei in dieser Weise zusammengehörige Unterdeterminanten werden correspondirende genannt. Es seien die zur Bildung einer Unterdeterminante ausgewählten p Zeilen die a te, bte, c te u. s. w., und die ausgewählten/ Colonnen die a! te, V te, c'te u. s. w., wobei a < b < c . . . und a! < V < c'' . . . angenommen werde, so lässt sich die «te Zeile dadurch, dass man sie nach einander mit der a — lten, a — 2ten u. s. w. vertauscht, also im Ganzen durch a — 1 Vertauschungen zur ersten Zeile, darauf die b te in gleicherweise durch b — 2 Vertauschungen zur zweiten, die rte durch c — 3 Vertauschungen zur dritten Zeile machen u. s. w. Ebenso werden die a'te, b'te, c 'te . . . Colonne durch bezüglich a' — 1, b' — 2, c' — 3, ... Vertauschungen in die p ersten Stellen gebracht. Man kann also durch im Ganzen a + b-t-c-h... -ha 1 + b' -h c 1 — 2 - (1 + 2 + 3 + . .) Vertauschungen bewirken, dass die p Zeilen und die p Colonnen der Unterdeterminante die ersten sind. Berechnet man dann den Werth dieser Unterdeterminante, so ist zur Bestimmung des ursprünglichen, richtigen Vorzeichens derselben zu unterscheiden, ob jene Anzahl der Vertauschungen oder, was auf dasselbe hinauskommt, ob die Summe zsf —t" ^ —1— zr. —|— . . —[— ~\~ b’ -\~ c } - 4 - . . gerad oder ungerad ist; beide Fälle lassen sich dahin zusammenfassen, dass jene Unterdeterminante der ersten Reihen mit (— 1) « + /> + c +.. + «' + z' + c‘ + .. zu mu lti- pliciren ist. Schreibt man aus einer Determinante R alle Glieder heraus, welche irgend ein Glied einer Unterdeterminante A als Faktor haben, so können in diesen Gliedern keine der Elemente Vorkommen, welche mit einem Elemente der Unterdeterminante in derselben Zeile oder Colonne stehen, die Werthe dieser letzteren Elemente sind daher auf das Aggregat der ausgewählten Glieder von R ohne Einfluss, oder dieses Aggregat muss identisch sein mit demjenigen Werthe, welchen R erhalten würde, wenn die genannten Elemente sämmtlich gleich Null wären. Die vorhergehende Entwicklung lässt also erkennen, dass das genannte Aggregat gleich dem Produkt der Unterdeterminante A mit der correspondirenden Unterdeterminante B ist, und zwar mit dem Vorzeichen + oder —, je nachdem die Summe der oberen und unteren Indices im Anfangsglied von A gerad oder ungerad ist. ii. Elemente der Theorie der Determinanten. lös Die Auswahl von / Zeilen und von p Colonnen aus dem System der Elemente einer Determinante «ten Grades behufs Bildung einer Unterdeterminante kann auf verschiedene Weisen geschehen, deren Anzahl durch die Anzahl der möglichen entsprechenden Combinationen angegeben wird. In jedem dieser Fälle erhält man eine correspondirende Unterdeterminante und somit auch ein Produkt A • B der gedachten Art. Will man aber eine Determinante R nach solchen Produkten ordnen, so ist Sorge zu tragen, dass kein Glied von R, welches zur Bildung eines dieser Produkte verwendet wurde, bei einem zweiten ebenfalls benutzt werde. Denken wir uns zu diesem Zweck die Glieder von R durch Permutation der unteren Indices aus dem Anfangsgliede a \ a 2 a i ■ ■ ■ ■ a n entwickelt, die Faktoren jedes Gliedes also nach den oberen Indices geordnet, und sondert man die n unteren Indices in Gruppen zu bezw. n —/Elementen, so sieht man, dass die p Elemente der ersten Gruppe sich auf so viele verschiedene Arten auswählen lassen, als Combinationen von n Elementen zur p ten Klasse ohne Wiederholungen möglich sind, d. h auf 11 ■ (n — 1) ■ (n — 2) . . . [n —p -+- 1) 1 - 2-3 “ / Arten. Jede dieser Gruppen liefert zu dem System der « 2 Elemente eine Unterdeterminante /ten Grades nebst der correspondirenden Unterdeterminante; das Produkt dieser beiden Unterdeterminanten enthält alle diejenigen Glieder von R, in welchen eine der/! Permutationen der ausgewählten Indices unter sich mit einer der («—/)! Permutationen der anderen Indices unter sich verbunden ist; in dem Aggregat aller dieser Produkte kann kein Glied von R zweimal Vorkommen, und die Anzahl der in ihm enthaltenen Glieder ist gleich dem Produkte von /!■(«—/)! mit der obigen Anzahl der Gruppen, d. i. gleich n\ Es sind also die n\ Glieder der Gesammtdeterminante sämmtlich in jenen Produkten v orhanden, und man hat also den Satz: Jede Determinante «ten Grades kann in eine Summe von Produkten je einer Unterdeterminante /ten Grades und der correspondirenden Unterdeterminante n —/ten Grades zerlegt werden, wobei die Vorzeichen der Produkte mittelst der vorher zu diesem Zweck entwickelten P-egel bestimmt werden. a a a 2 3 4 So ist beispielsweise b x c x d x b2 c 2 d 2 b s c t dg c i + a i b > . dg bg c 4 a x b a 2 b 1 2 I d x d, Cg dg ~ c i d i «2 b 2 ~ «4 a x b x a.g bg C 2 d 2 c 4 d x c x d x c 3 d 3 ctg bg «4 6 t a x b x ^4 ^4 c x d x c*j d 2 c 2 d 2 Cg dg Die Zerlegung einer Determinante in Produkte von Unterdeterminanten kann, wie leicht ersichtlich, auf sehr verschiedene Weisen ausgeführt werden, man kann weiterhin auch jede der Unterdeterminanten wieder als Summe derartiger Produkte und somit die Gesammtdeterminante als Summe von Produkten von wehr als je zwei Unterdeterminanten darstellen. Auf eine eingehendere Behandlung dieses Gegenstandes, wie auf weitere Entwicklung der Eigenschaften, Gesetze und Anwendungen der Determinanten, i66 Arithmetik und Algebra. welche übrigens zum grossen Theile die Bekanntschaft mit erst später vorzutragenden Theilen der Mathematik erfordern würde, darf an dieser Stelle verzichtet werden. Auch von den zuletzt angestellten elementaren Untersuchungen wird innerhalb der sogenannten Elementar-Mathematik keine Anwendung gemacht; sie sind jedoch als Grundlage für ein tieferes Eindringen in die Theorie und die Anwendung der Determinanten von Bedeutung. Für ein weitergehendes Studium sind nachstehende Werke zu empfehlen: Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, Leipzig, S. Hirzel. Günther, Lehrbuch der Determinantentheorie, Erlangen, Besold. Planimetrie. Bearbeitet von Dr. F. Reidt in Hamm. Die Grundbegriffe. § l. D ie Grundbegriffe der Geometrie, welche hier als gegeben vorausgesetzt werden, sind die des Raumes, der Fläche, der Linie und des Punktes. Der Raum an sich wird als unbegrenzt und ohne Unterbrechung ausgedehnt gedacht. Derselbe ist ferner theilbar, jeder Raumtheil ist ein Raum im engeren Sinne und wieder theilbar, u. s. f. bis in’s Unendliche. Die Grenze, welche zwei Raumtheile von einander scheidet, ist eine Fläche. Ein Raumtheil kann unvollständig oder vollständig begrenzt sein. Ein vollständig begrenzter Raum heisst ein Körper. Der mathematische Körper ist eine Abstraction von den physischen Körpern der Sinnen- weit, indem bei ihm einerseits von dem den Raum erfüllenden Inhalt, dem Stoff oder der Materie, abgesehen, andererseits ihm die Eigenschaften der Theilbarkeit bis in’s Unendliche und der Durchdringlichkeit zugeschrieben werden. Denn während die Physik annimmt, dass die Theilbarkeit des Stoffes an den Atomen desselben eine Grenze finde, kann für den reinen Gedanken kein räumlich Ausgedehntes gesetzt werden, bei welchem eine weitere Theilbarkeit nicht gedacht werden könnte. Ebenso bringt es die Abstraction von den besonderen Eigenschaften des den Raum erfüllenden Stoffes mit sich, dass in dem Raume eines mathematischen Körpers gleichzeitig ein zweiter Körper gedacht werden kann. Nur in diesem Sinne sind also jene Eigenschaften des mathematischen Körpers zu verstehen, dass es der Vorstellung erlaubt und möglich sei, von den entgegenstehenden physikalischen Eigenschaften der Materie zu abstrahiren. Jede Fläche hat als Grenze zweier Raumtheile zwei Flächenseiten.*) Jede Fläche ist ebenfalls theilbar, jeder Flächentheil ist wieder eine Fläche und wieder theilbar; die Theilung wird auch hier als ohne Ende wiederholbar gedacht. Eine Fläche kann in. sich selbst zurücklaufen**), indem sie einen Körper für sich allein vollständig begrenzt; sie kann sich ferner bis in’s Unendliche erstrecken, und sie kann theilweise oder vollständig begrenzt sein. Die Grenze zweier Flächentheile gegen einander ist eine Linie. Eine durch Linien vollständig begrenzte Fläche heisst eine Figur. Jede Linie hat als Grenze zweier Flächentheile zwei Seiten. Jede Linie wird ebenfalls als bis in’s Unendliche theilbar gedacht, und jeder Linientheil ist wieder eine Linie. Eine Linie kann in sich selbst zurücklaufen, d. h. eine Fläche *) So ist z. B. die eine Seite einer Kugelfläclie gewölbt, die andre hohl. **) Z, B. eine Kugelfläche. i68 Planimetrie. vollständig begrenzen; sie kann sich bis in’s Unendliche erstrecken, und sie kann theilweise oder vollständig begrenzt sein. Die Grenze zweier Linientheile ist ein Punkt. Ein Punkt ist ein ohne Ausdehnung gedachter Ort im Raume. Derselbe ist daher auch nicht theilbar. Als Grenze zweier Theile einer Linie hat er in letzterer zwei Seiten. — Auf einer Linie können unendlich viele Punkte gedacht werden, in einer Fläche unendlich viele Linien, in einem Körper unendlich viele Flächen. Eine Linie ist zu beiden Seiten eines in ihr liegenden Punktes, eine Fläche ausserdem zu beiden Seiten einer in ihr liegenden Linie, ein Körper auch zu beiden Seiten einer in ihm liegenden Fläche ausgedehnt. Daher sagt man, eine Linie sei nach einer Dimension, nämlich der Länge, eine Fläche nach zwei Dimensionen, nämlich Länge und Breite, ein Körper, wie überhaupt der Raum, nach drei Dimensionen, nämlich Länge, Breite und Dicke (Höhe, Tiefe) ausgedehnt. Kein Theil einer Linie ist nach dem Vorigen ein Punkt; ebenso erhält man als Theil einer Fläche nie eine Linie, als Theil eines Raumes nie eine Fläche. Umgekehrt kann eine Linie nicht durch Aneinanderreihen von Punkten, eine Fläche nicht durch Aneinanderlegen von Linien, ein Körper nicht durch Auf- einanderlegen von Flächen entstehen. § 2 . Jedes der vier Raumgebilde, Körper, Fläche, Linie und Punkt, wird ferner als beweglich gedacht. Durch die Bewegung kann dasselbe in eine von der ursprünglichen verschiedene Lage gelangen, indem es seine Stellung zu anderen Gebilden des Raumes verändert. Bewegt sich ein Punkt, so dass er nach einander und ohne Unterbrechung in die Lagen anderer Punkte gelangt, so ist der von ihm beschriebene Weg eine Linie. Mit dem Begriff der Bewegung nehmen wir hier den Begriff der Richtung als gegeben an, nach welcher in jedem Augenblick die Bewegung des Punktes erfolgt, und welche in jedem Fall durch einen zweiten Punkt als Zielpunkt der Bewegung bestimmt werden kann. Ein bewegter Punkt kann immer oder zeitweilig dieselbe Richtung beibehalten, oder er kann seine Richtung ändern. Jede Aenderung der Richtung nennen wir Drehung. Behält ein bewegter Punkt beständig dieselbe Richtung, so heisst die von ihm beschriebene Linie eine gerade Linie oder schlechthin eine Gerade. Man pflegt in der Geometrie Punkte mit (grossen lateinischen) Buchstaben zu benennen, und entsprechend bezeichnet man eine Gerade durch zwei solche, an beliebige Punkte derselben gesetzte Buchstaben, z. B. die Linie AB. — Jede gerade Linie kann von einem Punkte auf zwei verschiedene Arten durchlaufen werden, nämlich sowol in der Richtung von A nach B, als in der Richtung von B nach A. Jede Gerade hat also zwei Richtungen; dieselben sind einander entgegengesetzt. Ein Punkt, welcher eine gerade Linie beschreibt, kann nach beiden Richtungen derselben ohne Ende fortgehend, jede gerade Linie kann also nach beiden Richtungen als unbegrenzt (unendlich lang) gedacht werden. Sie kann ferner nach einer ihrer Richtungen oder nach beiden zugleich durch je einen Punkt begrenzt gedacht werden. Durch zwei Punkte (Endpunkte) ist also eine Gerade vollständig begrenzt: sie heisst dann eine Strecke und hat eine bestimmte Länge, welche die Entfernung oder den Abstand der beiden Endpunkte Die Grundbegriffe. 169 von einander angiebt. Eine nur einseitig begrenzte Gerade heisst auch ein Strahl, eine nach beiden Richtungen unbegrenzte wird eine Gerade schlechthin genannt. Im Folgenden ist daher, wo nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, unter einer Geraden stets eine solche von unbegrenzter Ausdehnung nach beiden Richtungen zu verstehen. § 3 - Da durch Angabe eines zweiten Punktes als des Zielpunktes zu einem beweglich gedachten ersten Punkt die Richtung des letztem bestimmt ist, so genügt die Angabe der beiden Punkte in der betreffenden Aufeinanderfolge zur Bezeichnung einer Richtung. Wir unterscheiden also die Richtung AB (d. i. von A nach B) von der ihr entgegengesetzten BA. Durch einen Punkt und seine unverändert bleibende Richtung ist auch der Weg desselben, d. h. die entsprechende Gerade, der Lage nach bestimmt. Daher lässt sich durch zwei gegebene Punkte stets eine und nur eine einzige Gerade legen, oder durch zwei Punkte einer Geraden ist die Lage derselben bestimmt. Die Länge der Geraden dagegen ist abhängig von der Grösse der Bewegung des beschreibenden Punktes. Sind jene zwei Punkte auch die Endpunkte der Geraden, so bestimmen sie die Lage und Länge derselben zugleich. Soll bei der Bezeichnung der Linie auch die Richtung angegeben werden, in welcher sie beschrieben gedacht wird, so ist die Aufeinanderfolge der beiden Punkte, wie oben angegeben, zu berücksichtigen. Mit Hilfe dieser Unterscheidung der beiden entgegengesetzten Richtungen AB und BA einer Geraden kann nun auch die gerade Linie zur sichtbaren Darstellung einer Richtung benutzt werden. Aus dem Vorstehenden ergiebt sich noch, dass zwei gerade Linien, welche durch dieselben zwei Punkte gezogen werden, ihrer ganzen Länge nach auf einander fallen, oder mit anderen Worten, einander decken. Zwei Gerade, welche theilweise auf einander liegen, fallen also ebenfalls ihrer ganzen unendlichen Erstreckung nach auf einander. Jeder Theil einer Geraden kann längs derselben verschoben gedacht werden, so dass er stets mit einem andern Theil derselben in Deckung befindlich ist. Von einem jeden Punkte im Raume aus giebt es unendlich viele verschiedene Richtungen; durch einen Punkt lassen sich daher auch unendlich viele Gerade ziehen. Aendert ein bewegter Punkt fortwährend seine Richtung, ist also seine Bewegung in jedem Moment eine fortschreitende und eine drehende zugleich, so beschreibt derselbe eine krumme Linie. Eine solche Linie, auch eine Curve genannt, ist also in keinem ihrer Theile gerad. Eine Linie, welche aus Geraden von verschiedenen Richtungen besteht, heisst eine gebrochene; eine Linie, Welche aus geraden und krummen zusammengesetzt ist, heisst eine gemischte. § 4 . Wie ein bewegter Punkt eine Linie, so beschreibt eine aus ihrer Lage heraustretende Linie eine Fläche. Ist die beschreibende Linie eine Gerade, so heisst die Fläche eine geradlinige oder eine Regelfläche. Durch jeden Punkt e mer solchen lässt sich daher eine Gerade ziehen, welche ihrer ganzen Länge ßach in die Fläche fallt. Denkt man sich zu einer gegebenen Fläche eine zweite, welche vollständig tmt ihr zusammenfällt, und sodann die eine dieser Flächen so umgewendet, dass die entgegengesetzten Flächenseiten beider einander zugekehrt sind, so kann im Allgemeinen nicht verlangt werden, dass die beiden Flächen auch in dieser 170 Planimetrie. Stellung zur Deckung gebracht werden können. Es ist aber auch möglich, sich solche Flächen zu denken, bei welchen dies der Fall ist, die man sich also mit den entgegengesetzten Flächenseiten so zusammengelegt denken kann, dass kein Körperraum zwischen ihnen bleibt. Eine solche Fläche heisst eine ebene Fläche oder eine Ebene (planum). Hieraus folgt, dass jede gerade Linie, welche zwei Punkte einer Ebene verbindet, ihrer ganzen Erstreckung nach in die Ebene fallen muss, da andernfalls, bei dem Umlegen der Ebene auf eine vorher mit ihr in Deckung befindliche, zwei gerade Linien möglich sein müssten, welche durch dieselben zwei Punkte gingen ohne einander zu decken. Ferner ergiebt sich hieraus, dass eine Ebene durch Bewegung einer Geraden beschrieben gedacht werden kann, die durch einen gegebnen festen Punkt geht und mit einer gegebnen Geraden (die nicht diesen Punkt enthält) beständig einen Punkt gemeinsam hat. Eine Fläche, von welcher kein Theil eben ist, heisst krumm. §• 5 . Die Geometrie behandelt die Eigenschaften der Körper, Flächen, Linien und Punkte, welche ihre Lage, sowie die Art ihrer Begrenzung und Ausdehnung, d. h. ihre Gestalt und Grösse betreffen. Man theilt dieselbe aus praktischen Gründen in zwei Theile, die ebene Geometrie oder Planimetrie und die körperliche Geometrie oder Stereometrie. Die erstere behandelt die Eigenschaften solcher Raumgebilde, welche sämmtlich in einer und derselben Ebene liegend gedacht werden können, während die letztere diese Beschränkung aufhebt. Kapitel 1. Die Grundgebilde und ihre allgemeinen Eigenschaften. § 6. Die gerade Linie und die Strecke insbesondere. Die Begriffe der geraden Linie und der Strecke sind bereits im Vorstehenden erklärt worden. Aus den daselbst entwickelten Eigenschaften der Gebilde ergeben sich zunächst folgende Forderungen (sog. Postulate) bezw. Aufgaben: a) Eine gerade Linie zu ziehen, und zwar beliebig oder durch einen oder durch zwei gegebene Punkte. Die praktische Ausführung dieser Forderung geschieht mit Hülfe des Lineals in als bekannt vorauszusetzender Weise. Der Gebrauch dieses Instrumentes erfordert eine vorhergegangene Prüfung seiner Richtigkeit, welche in folgender Weise ausgeführt werden kann: Man ziehe durch 'zwei (möglichst weit von einander entfernte) Punkte A, B die Gerade, kehre dann das Lineal so um, dass seine beiden Enden mit einander die Plätze wechseln, lege es mit derselben Kante wie vorher an die Punkte A,B und ziehe in dieser Lage wieder die Linie AB. Ist das Lineal richtig, so müssen die beiden gezogenen Linien einander decken, da durch zwei Punkte nur eine einzige Gerade möglich ist. b) Eine gegebne (festliegende) Strecke über einen ihrer Endpunkte oder über beide beliebig zu verlängern. Zwei oder mehrere gerade Linien lassen sich mit einander in Beziehung auf ihre Länge oder auf ihre Lage vergleichen. Der Länge nach können zwei gegebene Strecken AB, CD gleich oder ungleich sein. Denkt man sich die eine derselben so auf die andre gelegt, dass ihr einer Endpunkt C auf einen Endpunkt A. der andern und sie selbst in die Richtung von AB fällt, so ist CD i. Die Grundgebilde und ihre allgemeinen Eigenschaften. 171 gleich AB, wenn auch der andere Endpunkt D der erstem Strecke auf den andern Endpunkt B der letztem fällt. Fällt D zwischen A und B, so ist CD kleiner als AB, fällt endlich D auf die Verlängerung von AB, so ist CD grösser als AB. Die Zeichen für gleich, kleiner und grösser sind bezüglich =, <, >, so dass man also die drei eben genannten Fälle, wie folgt, schreiben kann: CD= AB, CD < AB, CD > AB. Ist eine Strecke AB über einen ihrer Endpunkte verlängert und die Verlängerung BE gleich einer zweiten Strecke CD, so sagt man, die ganze Strecke AE sei gleich der Summe von AB und CD. In entsprechender Weise kann man von der Summe von drei oder mehr Strecken reden. Ist dagegen auf AB von dem einen Endpunkt B aus in der Richtung nach dem andern Endpunkt A eine Strecke BE abgeschnitten, welche gleich CD ist (wobei CD <. AB vorausgesetzt wird), so heisst AE die Differenz von AB und CD. Zur Bezeichnung von Strecken bedient man sich — namentlich wenn nur die Länge derselben in Betracht gezogen wird — auch je eines kleinen lateinischen Buchstabens. Die Summe zweier Strecken a und b kann (entsprechend den Bezeichnungen der Arithmetik) durch a^-b, die Differenz derselben durch a — b bezeichnet werden. Ist eine Strecke c die Summe einer beliebigen Anzahl (n) einander gleicher Strecken, so heisst erstere ein Vielfaches jeder einzelnen der letzteren, und jede von diesen ein aliquoter Theil ^ der letzteren. Man kann in diesem Falle c = 11 ■ a und a = i • c oder V schreiben. 11 11 Die Vergleichung der Lage zweier Geraden erfordert die Einführung eines neuen Grundgebildes, des Winkels. § 7 . Die Winkel. Von jedem gegebnen, also festliegenden Punkte gehen auch in der Ebene unendlich viele verschiedene Richtungen aus, und somit lassen sich auch in der Ebene durch jeden gegebnen Punkt unendlich viele verschiedene gerade Linien gelegt denken. Bezeichnet man jede der von einem Punkt A ausgehenden Richtungen durch einen Strahl AB, AC, AD u. s. w., so kann jeder einzelne dieser Strahlen durch Drehung um A nach einander in die Lage eines jeden der anderen gebracht werden. Die Grösse der Drehung von AB, welche nöthig ist, damit AB in die Lage von AC gelange, wird im Allgemeinen verschieden sein von derjenigen, durch welche AB in die Lage von AD gelangt. Der durch diese Grösse der Drehung gemessene Unterschied zweier Richtungen heisst der Winkel der letzteren. Die Strahlen, welche hierbei die beiden Richtungen darstellen, heissen die Schenkel, der gemeinschaftliche Ausgangspunkt derselben der Scheitel des Winkels. Man bezeichnet den Winkel, dessen Schenkel die Strahlen AB, AC sind, durch A BAC. Der Buchstabe für den Scheitelpunkt steht bei dieser Bezeichnung durch drei Buchstaben stets in der Mitte. Man sagt, der Winkel BAC werde durch Drehung des einen Schenkels um den Scheitel bis zum Zusammenfallen mit dem andern Schenkel beschrieben. Die Schenkel eines Winkels schliessen als unendlich lange Gerade einen. 172 Planimetrie. bestimmten, aber nicht vollständig begrenzten Theil der Ebene ein, welchen man den Winkelraum nennen kann. Der Kürze halber sagt man von Punkten oder Linien, welche innerhalb, bezw. ausserhalb dieses Winkelraumes liegen, auch wol, dieselben lägen innerhalb, bezw. ausserhalb des Winkels. — Als Schenkel eines Winkels können übrigens auch Strecken gelten, insofern auch durch sie die bestimmten Richtungen, deren Unterschied durch den Winkel angegeben werden soll, bezeichnet sind. In diesem Sinne kann man sagen, dass die Grösse eines Winkels durch Verlängerung oder Verkürzung eines oder beider Schenkel nicht verändert werde. Um zwei Winkel B A C, B'Ä C ihrer Grösse nach zu vergleichen, kann man sich den Winkelraum des einen in der Ebene so verschoben denken, dass der Scheitel Ä auf den Scheitel A und der Schenkel A' B' in die Richtung des Schenkels AB fällt, und dass die beiden anderen Schenkel auf derselben Seite von AB liegen. Fällt dann auch A'C in die Richtung von AC, so sind die beiden Winkel gleich gross, fällt Ä C innerhalb des Winkels B A C, so ist Z B'ÄC < Z BAC ; fällt endlich A'C ausserhalb des Winkels BAC, so ist Z B'ÄC > Z BAC. Man bezeichnet Winkel, namentlich bei Grössenvergleichungen, auch durch je einen kleinen griechischen Buchstaben, welcher innerhalb des Winkels nahe bei dem Scheitel geschrieben wird. Ein Winkel BAC kann sowol durch Drehung des Schenkels AB bis zum Zusammenfallen mit AC, als durch Drehung des Schenkels AC in entgegengesetzter Weise bis zum Zusammenfallen mit AB beschrieben werden. Auf die Grösse des Winkels ist dieser Unterschied ohne Einfluss, und wir sehen daher vorerst von demselben ab. Jeder einzelne Schenkel aber kann ausserdem auf zwei Arten durch Drehung um den Scheitel in die Lage des andern gebracht werden, denn die Drehung kann auf der einen oder auf der andern Flächenseite des bewegten Schenkels erfolgen. Man kann hierbei die Seiten des Schenkels als die rechte und die linke (entsprechend der Bewegung einer Person in der Richtung des Schenkels), und demnach eine Drehung nach rechts und eine solche nach links unterscheiden. Die Grösse der Drehung, welche AB zu machen hat, um in die Lage von A C zu gelangen, wird im Allgemeinen in beiden Fällen verschieden sein; beide Drehungen aber müssen einander stets zu einer vollen Umdrehung ergänzen. Es giebt also stets zwei Winkel, welche denselben Scheitel und dieselben Schenkel haben. Sind diese beiden Winkel einander gleich, so heisst jeder derselben ein gestreckter oder flacher. Ein solcher entspricht der Hälfte einer vollen Umdrehung, und seine Schenkel liegen in gerader Linie, aber nach entgegengesetzten Richtungen. Aus dieser Lage der Schenkel folgt, dass je zwei gestreckte Winkel, wie oben angegeben, zur Deckung gebracht werden können, und dass somit der Lehrsatz besteht: Alle gestreckten Winkel sind gleich gross. (1) Daher kann man auch den gestreckten Winkel als Grundlage einer Eintheilung der Winkel nach ihrer Grösse benutzen. fwhkl'W. Man unterscheidet zunächst solche Winkel, welche kleiner, und solche, welche grösser als ein gestreckter sind. Erstere nennt man hohle oder concave, letztere erhabene oder erhabener \ convexe (auch wol überstumpfe). Von den beiden Winkeln, W. '' welche zu demselben Scheitel und denselben Schenkeln I. Die Grundgebilde und ihre allgemeinen Eigenschaften. 173 gehören, ist, wenn nicht beide gestreckte sind, der eine stets ein hohler, der andre ein erhabener. Der Einfachheit und Bestimmtheit wegen ist man übereingekommen, wenn von dem Winkel zweier Richtungen die Rede ist, darunter stets den hohlen zu verstehen, falls nicht das Gegentheil ausdrücklich gesagt wird. Die hiernach vorzugsweise in Betracht kommenden hohlen Winkel werden nun, wie folgt, weiter eingetheilt: Ein Winkel, welcher halb so gross ist als ein gestreckter, heisst ein rechter Winkel oder schlechthin ein Rechter und wird häufig durch Ji bezeichnet. Derselbe entspricht also dem vierten Theile einer vollen Umdrehung, und es gilt der Satz: Alle rechten Winkel sind gleich gross. (2) Von den Schenkeln eines rechten Winkels sagt man, dass jeder derselben auf dem andern senkrecht oder perpendikulär stehe, und nennt dem entsprechend jede Gerade, welche mit einer andern Geraden einen . rechten Winkel bildet, eine Senk- rMs- rechte oder ein Perpendikel auf W&nn-el der letztem. — Winkel, welche kleiner als ein rechter sind, heissen spitze; hohle Winkel, welche grösser als ein rechter sind, werden stumpfe genannt. § 8. Verbindungen zweier Winkel. Zwei Winkel BAC, CAD, welche den Scheitelpunkt N und einen Schenkel AC gemeinsam haben, und deren andere Schenkel auf verschiedenen Seiten des gemeinschaftlichen liegen, heissen aneinanderliegende Winkel. Die beiden äusseren Schenkel bilden dann mit einander einen dritten Winkel BAD, welcher gleich der Summe der beiden erstem ist. Haben zwei Winkel BAD, CAD den Scheitel und einen Schenkel AB gemeinsam, liegen aber die nicht gemeinschaftlichen Schenkel auf derselben Seite des gemeinschaftlichen, so bilden erstere mit einander einen Winkel BAC, welcher die Differenz der beiden anderen ist. Man sagt dann, der kleinere Winkel CAD sei von dem grösseren BAD abgetragen. In entsprechender Weise kann man durch Aneinanderlegen von mehr als zwei Winkeln, bezw. durch Abtragen von solchen, die Summe oder irgend ein Aggregat beliebig vieler Winkel erhalten. Sind die Summanden gleich gross, so erhält man ein Vielfaches des einzelnen Winkels; dieser letztere ist ein aliquoter Theil des ganzen und kann als Maass desselben dienen. Um statt des gestreckten Winkels ein kleineres und somit bequemeres Maass für Winkelgrössen zu erhalten, ist man übereingekommen, den neunzigsten Theil eines rechten Winkels unter dem Namen Grad zu diesem Zwecke zu verwenden und demselben noch als Unter-Abtheilungen die Minute gleich BV Grad und die Secunde gleich BTT Minute beizufügen. Da alle rechten Winkel gleich gross sind, so haben auch der Grad, die Minute und die Secunde fest bestimmte, also unveränderliche Grösse. Man bezeichnet dieselben bezüglich durch die Zeichen > " und schreibt also z. B. statt 15 Grad, 17 Minuten und 12 Secunden kürzer ■15° 17' 12 ". Die früher noch übliche Theilung der Secunde in 60 Tertien ist nicht mehr gebräuchlich; man bedient sich an ihrer Stelle der Decimaltheile der Secunde. Neuerdings findet man auch häufig für die Minute, ja selbst für den Grad die Decimaltheilung angewendet. Ein rechter Winkel enthält also 90°, ein gestreckter 180°, eine volle Umdrehung 360° 174 Planimetrie. Winkel, deren Summe 90° beträgt, heissen complementär, und jeder derselben das Complement des andern. Für Winkel, deren Summe 180° beträgt, gelten entsprechend die Benennungen supplementär und Supplement. Zwei aneinanderliegende Winkel, deren nicht gemeinschaftliche Schenkel eine einzige Gerade bilden, also entgegengesetzte Richtungen haben, heissen Nebenwinkel. Aus dieser Erklärung folgt unmittelbar der Satz: Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt zwei Rechte. (1) Nebenwinkel sind also zu einander supplementär; durch jeden von zwei Nebenwinkeln wird die Grösse des andern bestimmt. Daher gehören zu gleichen Winkeln gleiche Nebenwinkel (und umgekehrt); dagegen hat der grössere von zwei Winkeln einen kleineren Nebenwinkel (und umgekehrt). Sind zwei Nebenwinkel ungleich, so ist stets der kleinere spitz, der grössere stumpf; dagegen sind gleiche Nebenwinkel stets rechte, und der gemeinschaftliche Schenkel derselben steht also in diesem Fall senkrecht zu der Geraden der beiden anderen Schenkel. — Ist die Grösse eines Winkels in Zahlen gegeben, so berechnet man die seines Nebenwinkels durch Subtraction des ersteren von 180°; so ist z. B. der Nebenwinkel zu 75° gleich 105°, der Nebenwinkel zu 15° 58' 12" gleich 164° r 48". Ist dagegen ein Winkel durch Zeichnung gegeben, so zeichnet man seinen Nebenwinkel, indem man einen Schenkel des ersteren über den Scheitel verlängert. Da hierzu jeder der beiden Schenkel gewählt werden kann, so hat jeder Winkel der Lage nach zwei Nebenwinkel, z. B. der Winkel ABC die Nebenwinkel CBD und ABE. Diese letzteren heissen Scheitelwinkel zu einander. Scheitelwinkel sind also solche Winkel, welche den Scheitel gemeinschaftlich haben, und bei denen jeder Schenkel des einen durch Verlängerung eines Schenkels des andern über den Scheitelpunkt erhalten wird. Da zwei Scheitelwinkel stets einen und denselben Winkel zum gemeinschaftlichen Nebenwinkel haben, also mit demselben Winkel dieselbe Summe von 180° geben, so folgt der Satz: Scheitelwinkel sind gleich. (2) Liegen mehrere Winkel so aneinander, dass die beiden äussersten Schenkel nach entgegengesetzten Richtungen eine Gerade bilden, sö beträgt die Summe derselben zwei Rechte oder 180°. Fällt dagegen der letzte Schenkel wieder mit dem ersten zusammen, so erhält man diese Summe zweimal. Die Winkel um einen Punkt betragen also zusammen vier Rechte oder 360°. (3) § 9. Vergleichung der Lage zweier Geraden. Parallele Linien. Da zwei gerade Linien, welche zwei Punkte gemeinsam haben, einander decken, so sind bei der Frage nach den möglichen Lagen zweier Geraden gegeneinander ausserdem nur noch die beiden Hauptfälle denkbar, dass dieselben einen einzigen, und dass sie keinen Punkt gemeinsam haben. Zwei Gerade, welche einander decken, können als eine einzige Gerade angesehen werden. Da aber jede Gerade zwei Richtungen hat, so kann auch in diesem Fall von einem Winkel der beiden Geraden, oder genauer ihrer entgegengesetzten Richtungen gesprochen werden. Der Winkel der beiden Richtungen einer Geraden (oder zweier einander deckenden Geraden) ist ein gestreckter. i. Die Grundgebilde und ihre allgemeinen Eigenschaften. 175 Der Allgemeinheit wegen spricht man auch von einem Winkel der gleichen Richtungen zweier aufeinanderfallenden Geraden, und sagt, derselbe sei gleich Null oder ein Nullwinkel. Es ist dies eine erlaubte Ausdrucksweise, indem eben dadurch gesagt wird, dass ein Richtungsunterschied nicht mehr vorhanden sei. Denkt man sich aber, dass die eine Richtung, nachdem sie ursprünglich mit der andern zusammengefallen, durch eine volle Umdrehung wieder die frühere geworden sei, so bezeichnet man dies durch die Angabe, der Winkel der beiden Umdrehungen sei gleich 360° oder ein Vollwinkel. Von zwei Geraden, welche einen einzigen Punkt gemeinsam haben, sagt man, dass dieselben einander schneiden, und der gemeinschaftliche Punkt heisst ihr Durchschnittspunkt. Hierbei ist es gleichgültig, ob die Geraden begrenzt oder unbegrenzt sind, und im erstem Falle ob man eine derselben oder beide verlängern muss, um den Durchschnittspunkt zu erhalten. Man sagt ferner, dass zwei solche Gerade von irgend welchen Punkten derselben aus in den nach dem Durchschnittspunkte hinftihrenden Richtungen convergiren, in den entgegengesetzten divergiren. Die Richtungen zweier einander schneidenden Geraden bilden stets mit einander vier hohle Winkel. Zu jedem derselben sind zwei der anderen Nebenwinkel, der dritte ist sein Scheitelwinkel. Dass zwei Gerade einen einzigen Punkt gemeinsam haben können, bedurfte nach dem Vorhergegangenen keines Beweises. Dass es aber möglich ist, dass zwei gerade Linien (selbstverständlich in ihrer ganzen unendlichen Erstreckung gedacht) keinen Punkt gemeinsam haben, kann nicht ohne Weiteres bejaht werden, vielmehr bedarf diese Möglichkeit eines Nachweises. Zu diesem Zwecke denken wir uns eine Gerade N A, welche eine andere Gerade MN in einem Punkte A schneide, und sodann die erstere um den festbleibenden Punkt S gedreht, sodass S1 e in ununterbrochener Aufeinanderfolge die Lagen aller möglichen durch S gehenden Geraden der Ebene erhält. Bei dieser Drehung muss auch der Durchschnittspunkt A auf der zweiten Geraden MN fortwährend seine Lage verändern und in ununterbrochener Aufeinanderfolge zunächst die Lagen aller von ■d aus nach derselben Richtung auf MN liegenden Punkte annehmen. Nachdem s, ch so der Durchschnittspunkt B, C, . . . üiehr und mehr von A entfernt hat, findet W'an, dass derselbe im Verlaufe der Drehung nach der entgegengesetzten Richtung von MN übergesprungen ist und nun, ebenfalls ln ununterbrochener Aufeinanderfolge die Lagen der Punkte von MN annehmend, Slc h A wieder nähert, bis er nach einer Vollen Umdrehung der bewegten Geraden Wieder mit A zusammenfällt. Unter den Geraden muss hiernach eine sein, in welcher der Uebergang des Durchschnitts- Punktes von der einen Richtung der Geraden MN nach der andern erfolgt. Man darf es als einleuchtend betrachten, dass in dieser Lage beide Linien keinen Punkt gemeinsam haben, und dass die geringste Drehung der bewegten Geraden aus solcher Lage nach der einen oder der andern Seite wieder einen Durchschnittspunkt in der einen oder der andern Richtung von MN zur D°lge hat. Gerade Linien, welche (in ihrer ganzen unendlichen Erstreckung) keinen Punkt gemeinsam haben, heissen einander parallel, und wir können nach dem C/B, verschiedenen Lagen der bewegten 176 Planimetrie. Vorhergehenden den Grundsatz aufstellen: Durch einen Punkt ausserhalb einer Geraden lässt sich zu dieser stets eine und nur eine einzige Parallele legen. Da eine Richtung durch einen festen Ausgangspunkt und einen Zielpunkt bestimmt ist, wobei der Zielpunkt auch als veränderlich gedacht werden kann, indem er in der durch die betreffende Gerade bezeichneten Richtung in immer weitere Entfernung verlegt werden darf, so kann man in der vorstehenden Erörterung den beweglichen Durchschnittspunkt der beiden Geraden als gemeinsamen Zielpunkt für die convergirenden Richtungen derselben ansehen. Hierbei bleibt die Richtung von MN beständig dieselbe, während diejenige der bewegten Geraden sich beständig verändert. Daher verändert sich auch fortwährend der Unterschied der beiden Richtungen, d. h. der am Durchschnittspunkt gebildete Winkel derselben. Da nun die Entfernung des Durchschnittspunktes vom Punkte A zuerst immer grösser wird, und da ersterer nach einander die Lagen aller in der betreffenden Richtung liegenden Punkte von MN ihrer ganzen unendlichen Erstreckung nach annehmen muss, ehe er nach der entgegengesetzten Richtung überspringen kann (denn es giebt keinen Punkt in der erstem Richtung auf MN, der nicht mit S durch eine Gerade verbunden gedacht werden könnte), so kann man sagen, dass der Durchschnittspunkt bei der parallelen Lage beider Linien in unendliche Entfernung gerückt, und dass hiermit auch der Richtungsunterschied der beiden Geraden nach diesem Zielpunkt hin aufgehoben sei. In diesem Sinne kann man parallele Gerade als solche definiren, deren Durchschnittspunkt im Unendlichen liege. Diese Erklärung widerspricht nur scheinbar der früheren, nach welcher parallele Gerade einander in keinem Punkte schneiden, denn die Negation der letztem findet sich bei der erstem in dem Worte »unendlich« wieder, ist also hier nur unter einer Form versteckt, welche den grossen Vorzug hat, bei vielen Untersuchungen die getrennte Behandlung der beiden Fälle (a, die Linien schneiden einander, b, die Linien sind parallel) unnöthig zu machen. Aber die zweite Definition leistet noch mehr, als die Unterordnung zweier verschiedener Fälle unter dieselbe Ausdrucksform, sie versteckt nicht etwa bloss das »einander nie schneiden« hinter dem »einander im Unendlichen schneiden«, sondern sie. enthält auch die Thatsache, dass der Durchschnittspunkt zweier convergirenden Geraden in immer grössere Entfernung von einem beliebigen endlichen Anfangspunkte rückt, je mehr die Geraden sich dem Parallelismus nähern, und dass diese Entfernung über jede denkbare Grenze hinaus vergrössert gedacht werden kann. Nach welcher der Richtungen zweier parallelen Geraden der unendlich entfernte Durchschnittspunkt derselben anzunehmen sei, bleibt unbestimmt. Der Sprung, welchen der Durchschnittspunkt der beiden Geraden vermittelst ihrer parallelen Lage von der einen Richtung von MN nach der andern macht, nöthigt zu der Ausdrucksweise, dass der unendlich entfernte Punkt nach beiden Richtungen zugleich liege, aber man darf denselben gleichwol nur als einen einzigen Punkt in diese Art der Darstellung einführen. Die fernere Annahme, nach welcher parallele Linien gleiche Richtungen haben, bedarf ebenfalls einer näheren Erläuterung. Man könnte zunächst ebensogut sagen, dass parallele Linien entgegengesetzte Richtungen haben, je nachdem man die eine oder die andere Richtung in derselben Geraden in Betracht zieht, Genauer ist also: die Richtungen in zwei parallelen Geraden sind, je nachdem man die eine oder die andere wählt, entweder gleich oder entgegengesetzt. 1. Die Grundgebiide und ihre allgemeinen Eigenschaften. 177 Hierbei mag auf die Unterscheidung zwischen gleicher und derselben Richtung aufmerksam gemacht werden. Von derselben Richtung reden wir bei zwei einander deckenden, von gleichen Richtungen bei zwei parallelen Geraden. Man vergleiche hierzu die Anmerkung am Schlüsse des § 15. § 10. Der Kreis. Bei der Drehung der Geraden SA um einen in derselben angenommenen festen Punkt S beschreibt jeder andere Punkt derselben eine Linie, welche zufolge dieser Entstehung die Eigenschaft hat, dass jeder ihrer Punkte von dem festen Punkt S dieselbe Entfernung hat. Da nach Vollendung einer ganzen Umdrehung von SA der beschreibende Punkt in seine ursprüngliche Lage zurückgekehrt sein muss, so hat auch die beschriebene Linie die Eigenschaft, dass sie in sich selbst zurückkehrt und also einen Theil der Ebene vollständig begrenzt. Jede solche Linie heisst ein Kreis. Ein Kreis ist also eine in sich selbst zurückkehrende krumme Linie von der Eigenschaft, dass jeder ihrer Punkte von einem bestimmten, im Innern der von ihr begrenzten Fläche liegenden Punkte gleich weit entfernt ist. Dieser feste Punkt heisst der Mittelpunkt oder das Centrum, jede von einem Punkt des Kreises und dem Mittelpunkt begrenzte Strecke ein Halbmesser oder ein Radius, jede von zwei Punkten des Kreises begrenzte Strecke eine Sehne oder Chorde, und wenn dieselbe zugleich durch den Mittelpunkt geht, ein Durchmesser oder Diameter des Kreises. Jeder Theil des Kreises selbst wird ein Kreisbogen oder ein Bogen schlechthin genannt. Aus diesen Erklärungen folgen die Sätze: Alle Radien eines Kreises sind gleich. Jeder Durchmesser ist dopjjelt so gross als jeder Radius desselben Kreises. Alle Durchmesser eines Kreises sind gleich. In der Praxis bedient man sich zur Zeichnung von Kreisen in der Regel des Zirkels, dessen Einrichtung und Gebrauch hier als bekannt vorausgesetzt werden darf. Derselbe dient zugleich zu der Lösung der Aufgabe: Auf einer gegebenen Geraden eine Strecke abzutragen, welche einer andern gegebenen Strecke gleich ist, oder auch überhaupt eine Strecke zu zeichnen, Welche eine (mittelst einer andern Strecke) gegebene Länge habe. Hiernach können nun folgende Fundamental-Constructionen ausgeführt werden: a) Einen Kreis zu zeichnen, und zwar entweder ganz beliebig, oder mit gegebenem Radius oder um einen gegebenen Punkt, oder endlich mit gegebenem Radius und Mittelpunkt zugleich. b) Eine gegebene Strecke über einen ihrer Endpunkte um eine andere gegebene Strecke zu verlängern. c) Eine Strecke zu zeichnen, welche gleich der Summe zweier oder mehrerer Strecken oder gleich einem bestimmten Vielfachen einer gegebenen Strecke ist. d) Eine Strecke zu zeichnen, welche gleich der Differenz zweier gegebener Strecken ist. e ) In einem gegebenen Kreis einen Radius oder einen Durchmesser zu zeichnen, welcher (selbst oder in seiner Verlängerung) durch einen gegebenen Punkt geht. f) Ebenso in einem gegebenen Kreis eine Sehne zu zeichnen, welche durch irgend zwei gegebene Punkte geht. g) In einen gegebenen Kreis eine Sehne von gegebener Länge einzutragen. Schloemilch, Handbuch der Mathematik Bd. I. 12 i 7 8 Planimetrie. § 11. Figuren. Aus der Untersuchung über die verschiedenen möglichen Lagen zweier Geraden zu einander geht hervor, dass in keinem Falle durch zwei gerade Linien ein Theil der Ebene vollständig begrenzt werden kann. Dagegen sind hierzu drei Gerade hinreichend, denn verbindet man je zwei von drei nicht in gerader Linie liegenden Punkten durch die betreffenden Strecken mit einander, so schliessen diese Strecken einen vollständig begrenzten Theil der Ebene ein. — Dagegen kann schon mit einer einzigen krummen Linie ein Theil der Ebene vollständig begrenzt werden. Unter einer Figur versteht man im weitern Sinne eine jede Zusammenstellung von Punkten oder Linien, im engern Sinne dagegen die Gesammtheit gerader oder krummer Linien, welche einen Theil der Ebene vollständig begrenzen. Eine Figur heisst geradlinig, wenn sie nur gerade Linien, krummlinig, wenn sie nur eine oder mehrere krumme Linien, und gemischtlinig, wenn sie gerade und krumme Linien (eine oder mehrere) zugleich enthält. Insbesondere erhält man ein «-Eck (Drei-, Vier-, Fünf-Eck u. s. w.), wenn man einen Punkt mit einem zweiten, diesen mit einem dritten, u. s. w. bis zum «ten (3ten, 4ten, 5ten u. s. w.) durch gerade Strecken verbindet und zuletzt in gleicherweise vom «ten zum ersten zurückkehrt. Jene Punkte heissen die Eckpunkte, ihre Verbindungsstrecken die Seiten der Figur. Ein «-Eck hat also n Eckpunkte und « Seiten. Man nennt solche Figuren auch Vielecke oder Polygone; im engeren Sinn wird diese Bezeichnung jedoch nur dann gebraucht, wenn die Anzahl der Seiten grösser als 4 ist. An jedem Eckpunkte eines «-Ecks bilden die zwei in demselben zusammen- stossenden Seiten einen Winkel. Somit hat jedes «-Eck « (innere) Winkel. Hierbei bedarf es, da im Allgemeinen an jedem Eckpunkt zwei solche Winkel, ein hohler und ein erhabener, entstehen, einer nähern Bestimmung. Zu diesem Zweck denken wir uns einen Punkt, welcher die Seiten der Figur nach einander durchlaufe und schliesslich zu seiner Anfangsstellung zurückkehre. Diese Bewegung kann auf zwei einander entgegengesetzte Weisen geschehen, z. B. von A über B, C u. s. w. oder von A über G, F u. s., w. In jedem Fall kann man mit Beziehung auf die Bewegung des Punktes eine rechte und eine linke Flächenseite jeder von ihm beschriebenen Strecke unterscheiden, und man versteht dann unter den Winkeln des Polygons entweder diejenigen, deren Winkelräume nur auf den rechten, oder diejenigen, deren Winkelräume nur auf den linken Flächenseiten liegen. (Vergl. die nebenstehende Figur.) Die Wahl zwischen beiden Annahmen ist in jedem einzelnen Falle zu treffen. Im Nachstehenden werden wir zunächst nur solche geradlinige Figuren voraussetzen, deren Umfänge (d. i. die Gesammtheit ihrer Seiten) sich nicht selbst schneiden, die also einen einzigen bestimmten Flächenraum begrenzen. In diesem Fall werden immer diejenigen Winkel als die Winkel des Polygons angesehen, in deren Winkelräumen die Punkte der begrenzten Fläche liegen. Schneidet dabei auch keine Verlängerung einer Seite eine der andern Polygonseiten (vergl. die nachstehenden Figuren a und b), so sind diese Winkel sämmtlich hohl. — Der bewegte Punkt, welcher den Umfang eines Polygons durchläuft, verändert an jedem Eckpunkt seine Richtung. Diese Richtungsänderung wird bestimmt I. Die Grundgebilde und ihre allgemeinen Eigenschaften. 179 durch den Winkel, welchen die Verlängerung der vorhergehenden Seite in der Richtung der Bewegung mit derjenigen Richtung der folgenden Seite bildet, in welcher sich der Punkt nach erfolgter Drehung weiter bewegt. Dieser Winkel heisst der Aussenwinkel des Polygons an dem betreffenden Eckpunkt. Dabei hat man sich die Drehung immer in demselben Sinne zu denken (rechts oder links herum). Ist der an demselben Eckpunkte liegende innere Polygonwinkel hohl, so ist der zugehörige Aussenwinkel sein Nebenwinkel. Zieht man alle möglichen geraden Verbindungsstrecken zwischen je zwei von n Punkten (von denen nie mehr als zwei in gerader Linie liegen), so erhält man, da jeder der n Punkte mit jedem der n — 1 übrigen verbunden werden kann, jede Verbindungsstrecke aber an zwei Punkten vorkommt, im Ganzen n ■ (n — 1) „ ---- Strecken. Von diesen sind bei einem «-Eck n Seiten; die übrigen werden Diagonalen des »-Ecks genannt. Von jedem Eckpunkt eines »-Ecks aus lassen sich « — 3 Diagonalen desselben ziehen; die Gesammtzahl der Diagonalen eines «-Ecks . n in — 3) beträgt -Hj-. Ein Dreieck hat keine, ein Viereck zwei Diagonalen. Die Elemente der ebenen Geometrie behandeln die Eigenschaften der geradlinigen Figuren und von den krummlinigen oder gemischtlinigen nur diejenigen, welche von einem Kreise oder von Theilen eines Kreises und einer oder mehreren Geraden begrenzt werden. Man kann daher sagen, die Aufgaben der elementaren Geometrie beschränken sich auf diejenigen Eigenschaften der Figuren, welche sich mit alleiniger Hilfe von Lineal und Zirkel entwickeln lassen. — Dass der Kreis in allen seinen Theilen eine krumme Linie ist, wird übrigens später bewiesen werden. Die elementaren Untersuchungen über die Eigenschaften der Figuren lassen sich in drei Hauptabschnitte gliedern. An jeder Figur im engern Sinn kann man zunächst Gestalt und Grösse des zugehörigen Flächenraumes unterscheiden. Figuren, welche gleiche Flächengrösse haben, heissen gleich, Figuren, welche m der Gestalt übereinstimmen, heissen ähnlich. Ein Dreieck kann z. B. einem Viereck gleich, aber nicht ihm ähnlich sein; ein Dreieck a üf dem Felde kann einem Dreieck auf dem kleinern Papier ähnlich sein. Figuren, welche sowol in der Gestalt als in der Grösse übereinstimmen, heissen congruent. Das Zeichen der Gleichheit ist =, das der Aehnlichkeit (ein liegendes s, der Anfangsbuchstabe von »similis«); das der Congruenz ist aus den beiden vorigen zusammengesetzt, nämlich oder =^. Man schreibt also, dass eine Figur A einer andern B gleich, ähnlich oder congruent sei, in Zeichen bezüglich A — B, A B, A = B. Hiernach kann der Inhalt der nachfolgenden Untersuchungen in drei Hauptabschnitte zerlegt werden, deren erster von der Congruenz und den mit ihr zusammenhängenden Eigenschaften der Seiten, Winkel u. s. w., deren zweiter von der Aehnlichkeit und deren dritter von der Gleichheit der Figuren bezw. den damit zusammenhängenden Lehren handelt. ia * i8o Planimetrie. Die vorstehenden Erklärungen der Congruenz, Aehnlichkeit und Gleichheit haben nur den Zweck eine vorläufige Orientirung über den Inhalt des Folgenden zu ermöglichen. Ihre genauere Fassung wird an den betreffenden Stellen gegeben werden. Kapitel 2. Die Congruenz. § 12. Vorbemerkungen. Zwei Raumgebilde heissen congruent, wenn sie sich so zusammengestellt denken lassen, dass jedes Stück, d. h. jeder Punkt, jede Linie und jeder Flächen- theil, der einen mit einem entsprechenden Stück der andern zusammenfallt. Von zwei Raumgebilden, welche sich in solcher Stellung zu einander befinden, sagt man, dass sie einander decken. Je zwei Stücke zweier congruenten Raumgebilde, welche in dieser Stellung der letzteren zusammenfallen, heissen gleichliegend oder homolog. Damit zwei geradlinige Figuren congruent sind, ist es nothwendig, dass jede Seite der einen einer Seite der andern und jeder Winkel der.einen einem Winkel der andern gleich ist, und dass diese gleichen Stücke auch in beiden Figuren in gleicher Weise gegen die anderen liegen, also in gleicher Reihenfolge auf einander folgen. Ist diese Bedingung erfüllt, so sind die Figuren congruent, doch sind hierbei zwei Fälle zu unterscheiden: Folgen die einander entsprechenden Stücke beider Figuren nicht bloss in derselben Ordnung, sondern auch in demselben Sinne aufeinander, d. h. bewegen sich zwei Punkte, welche nacheinander den Umfang je einer der Figuren so durchlaufen, dass sie in gleicher Weise die einander entsprechenden Seiten nach einander beschreiben, beide in demselben Sinn (beide rechts herum oder beide links herum), so lassen sich die Figuren durch blosse Verschiebung in der Ebene zur Deckung bringen (Fig. 1 und 2). Folgen dagegen die einander entsprechenden Stücke in umgekehrtem Sinn auf einander (bewegt sich also der eine jener Punkte rechts herum, wenn sich der andere links herum bewegt), so lässt sich im Allgemeinen die Deckung nicht bloss durch eine solche Verschiebung bewirken (Fig. 2 u. 3). Daher unterscheidet man den erstem Fall vom letztem, und nennt in jenem die Figuren congruent im engern Sinne, in diesem dagegen symmetrisch. Kehrt man eine Figur so um, dass die beiden Flächenseiten derselben (die obere und die untere) ihre Lagen vertauschen — was z. B. dadurch geschehen kann, dass man die Ebene der einen Figur um eine in dieser Ebene selbst liegende Gerade eine halbe Umdrehung machen lässt — so wird der Sinn, in welchem die Stücke aufeinanderfolgen, umgekehrt. Die eine Flächenseite einer Figur ist also der andern symmetrisch. Hiernach können auch zwei symmetrische Figuren zur Deckung gebracht werden, wenn man zuvor die Flächenseiten einer derselben mit einander vertauscht (also die eine Figur umwendet). Aus diesem 2. Die Congruenz. 181 Grunde wird im Folgenden, ausser wo es besonders erwähnt wird, die Symmetrie zweier Figuren nicht von der Congruenz unterschieden. Die Gleichheit zweier Strecken, sowie die zweier Winkel wurde in Früheren durch Aufeinanderlegen derselben erprobt. Es ergiebt sich hieraus, dass gleiche Strecken und ebenso die zu gleichen Winkeln gehörigen Winkelräume stets auch congruent sind. § 13. ' Die Winkel der geradlinigen Figuren. Werden zwei gerade Linien AB, CD von einer dritten EF durchschnitten, so entstehen acht hohle Winkel, welche nach Anleitung der nebenstehenden Figur durch (kleine — griechische) Buchstaben bezeichnet werden mögen, und für welche zunächst die Bedingungen der Gleichheit und Ungleichheit unter- p _ £j% __ jf sucht werden sollen. Von diesen acht Winkeln liegen vier, nämlich y, 8, s, £, zwischen den geschnittenen Linien und sollen innere Winkel genannt werden; die vier anderen, a, ß, yj, h, heissen äussere Winkel. Man kann ferner vier Winkel auf der einen Seite der schneidenden Linie (a, y, e, yj) und vier Winkel auf der andern Seite derselben (ß, o, £, h) unterscheiden. Die Beziehungen zwischen je zwei Winkeln, welche an demselben Durchschnittspunkt liegen, sind aus dem Früheren bekannt; dieselben sind entweder Nebenwinkel oder Scheitelwinkel. Verbindet man dagegen einen der Winkel an dem einen Durchschnittspunkt mit einem der Winkel an dem andern Durchschnittspunkt zu einem P aar, so erhält man neue Beziehungen. Die so entstehenden Winkelpaare lassen sich, wie folgt, gruppiren. a) Die beiden Winkel liegen auf derselben Seite der schneidenden Linie EF, und sind entweder gleichartig, d. h. beide äussere oder beide innere, oder sie sind ungleichartig, d. h. der eine ist ein äusserer, der andere ein innerer. Im erstem Fall heissen die Winkel Gegenwinkel, im letztem correspondirende Winkel. Es giebt 4 Paare Gegenwinkel, nämlich a und yj, ß und 11, y und e, “ und £, sowie 4 Paare correspondirende Winkel, nämlich a und e, ß und £, y und y), o und 11. b) Die beiden Winkel liegen auf verschiedenen Seiten der schneidenden Linie EF. Sind dieselben dabei gleichartig, so heissen sie Wechselwinkel, und es giebt derselben wieder 4 Paare, nämlich a und &, ß und y], y und £ 8 und e. Sind dagegen die beiden Winkel ungleichartig, wie a und £, ß und e, I und H, 6 und yj, so hat das betreffende Paar keinen allgemein angenommenen blamen. Die Unterscheidung der letzten Art von Winkelpaaren ist in der Tliat entbehrlich, da dieselben im Folgenden nie gebraucht werden. Der wissenschaftlichen Gleichmässigkeit wegen sind jedoch auch für sie von verschiedenen Seiten besondere Namen, wie »conjugirte,« oder ^anonyme«, oder »innere und äussere Wechselwinkel* vorgeschlagen worden. Ueberhaupt besteht auch in Betreff der vorerwähnten Benennungen leider keine völlige Uebereinstimmung fischen den verschiedenen Schriftstellern. So bezeichnen z. B. manche die besonders häufig gebrauchten correspondirenden Winkel mit dem — hier anderweit benutzten — Namen Gegenwinkel. Man hat sich daher bei dem Studium mathematischer Werke vorkommenden Falls über ^ en bezüglichen Sprachgebrauch des Verfassers zu unterrichten. i 82 Planimetrie. Sind zwei correspondirende Winkel, z. B. a und z, einander gleich, so lässt sich das von CD und EF an ihrem Durchschnittspunkt gebildete Winkelkreuz so in der Ebene verschoben denken, dass der Winkel e den Winkel a deckt. In diesem Fall muss offenbar das ganze genannte Winkelkreuz mit dem von AB und EF gebildeten so zusammenfallen, dass auch £ und ß, rj und 7, fl und 8 einander decken. Hierbei kommt & in die Lage des Scheitelwinkels, dagegen kommen t) und £ in die Lage je eines Nebenwinkels von a u. s. w. Somit er- giebt sich ohne Weiteres der Satz: Sind bei zwei von einer dritten geschnittenen Geraden zwei correspondirende Winkel einander gleich, so sind auch je zwei andere correspondirende Winkel und je zwei Wechselwinkel einander gleich, und die Summe je zweier Gegenwinkel beträgt zwei Rechte. Setzt man umgekehrt voraus, dass zwei Wechselwinkel, z. B. a und f>, einander gleich seien, oder dass die Summe zweier Gegenwinkel, z. B. a und r^, zwei Rechte betrage, so kann man in gleicher Weise beide Winkelkreuze zur Deckung bringen, indem man & mit dem Scheitelwinkel 0 von a, bezw. v) mit dem Nebenwinkel 7 von a zur Deckung bringt. Ist dagegen an einem der genannten Winkelpaare die betreffende Bedingung nicht erfüllt, ist z. B. a nicht gleich e, so kann man durch den Durchschnittspunkt von AB und EF eine andere Gerade MN ziehen, Ä welche an demselben zu jedem der vier bisherigen Winkel einen entsprechenden a', ß', 7', 0, liefert, und zwar so, dass letztere die betreffenden Bedingungen erfüllen, dass also a 1 = s und folglich auch ß' = £, 7' = r) u. s. w. ist. Da nun ß' nicht gleich ß ist, so kann auch ß nicht gleich £ sein, u. s. w. für die übrigen Fälle. Somit ergeben sich folgende Sätze: Werden zwei gerade Linien von einer dritten geschnitten, so sind entweder gleichzeitig a) je zwei correspondirende Winkel gleich und b) je zwei Wechselwinkel gleich und c) je zwei Gegenwinkel zusammen gleich zwei Rechten, oder es finden diese Beziehungen gleichzeitig bei sämmtlichen Winkelpaaren nicht statt. ( 1 ) Ist also die betreffende Beziehung bei einem einzigen Winkelpaar erfüllt, so ist sie es auch bei jedem andern Paar, und ist sie bei einem einzigen Paar nicht erfüllt, so ist sie es auch bei keinem andern Paar. Sind die im Vorigen aufgestellten Beziehungen zwischen den Winkelpaaren erfüllt, so sind die geschnittenen Linien parallel: Denn werden AB und CD von EF bezüglich in G und F[ geschnitten, und sind die Wechselwinkel 7 und £, e und 8 einander gleich, so kann man in Folge dieser Gleichheit die Figur AG HC so auf BGF[D legen, dass e und 8, sowie 7 und £ einander decken, also HC auf GB und GA auf HD fällt. Schnitten nun die Geraden AB und CD einander auf der einen Seite von EF in einem Punkte M, so müsste bei jenem Aufeinanderlegen auch M mit einem zweiten gemeinschaftlichen Punkte auf der andern Seite von EF zusammenfallen. Die Geraden A B und CD würden einander also in zwei Punkten schneiden, was unmöglich ist. Durch diesen Lehrsatz wird zugleich die in § 9 gemachte Annahme, dass 2 . Die Congruenz. I»3 parallele Linien möglich sind, und dass sich durch jeden Punkt ausserhalb einer Geraden zu dieser eine Parallele ziehen lässt, in voller Schärfe bewiesen. Indem so bewiesen worden, dass die Gleichheit der Wechselwinkel den Parallelismus der geschnittenen Linien mit Nothwendigkeit zur Folge hat, ist jedoch keineswegs der Nachweis geliefert, dass umgekehrt bei parallelen Linien stets die Wechselwinkel gleich sein müssen. Diese Umkehrung des im Vorstehenden bewiesenen Satzes könnte vielmehr nur dann als bewiesen gelten, wenn gezeigt wäre, dass nur bei der Gleichheit der Wechselwinkel die geschnittenen Linien parallel sein könnten. Der Nachweis dieser letztem Behauptung ergiebt sich jedoch ohne Weiteres, wenn man den in § 9 aufgestellten Grundsatz gelten lässt, dass sich durch einen gegebenen Punkt ausserhalb einer Geraden zu dieser nur eine einzige Parallele ziehen lässt. Denn in diesem Fall würde die Annahme, dass AB parallel zu CD und z. B. 7 nicht gleich C wäre, auf den Widerspruch führen, dass man durch Anlegen eines Winkels 7' = £ an GH im Punkte G eine zweite durch diesen Punkt gehende Parallele zu CD erhalten könnte. Die vorstehenden Entwicklungen lassen sich nunmehr kurz, wie folgt zusammenfassen: Bei parallelen Linien sind alle oben genannten Bedingungen für die Winkelpaare erfüllt, und umgekehrt, ist eine dieser Be dingungen erfüllt, so sind die geschnittenen Linien parallel. Daher ist bei nicht parallelen Linien keine jener Bedingungen erfüllt und umgekehrt. (2.) Dass bei parallelen Geraden A B und CD die correspondirenden Winkel, z. B. a und e, also die Unterschiede der Richtungen GA, ffC gegen dieselbe Richtung FE, gleich sind, bestätigt die in § 9. gemachte Annahme, dass parallele Linien gleiche Richtungen haben. 14. Folgerungen. Auf einer Geraden AB lässt sich in demselben Punkte C nur eine einzige Senkrechte errichten (1), denn ist CD in C senkrecht auf AB, und CE eine beliebige andere durch C gehende Gerade, so sind die Winkel ECB und D CB JSE ß ungleich, also kann ersterer kein rechter £ sein, wenn DCB ein rechter Winkel ist. * * Errichtet man dagegen in jedem von zwei verschiedenen Punkten C, Weiner Geraden AB auf dieser die Senkrechte, so sind die correspondirenden Winkel GEB und DCF als rechte gleich, und somit sind Senkrechte auf derselben Geraden parallel (2). Dieser Satz ist gleichbedeutend mit dem folgenden: v °n einem Punkte ausserhalb einer Geraden lässt sich auf diese nur eine einzige Senkrechte fallen. (3) Umgekehrt folgt, dass alle Geraden, welche einer andern parallel Sln d, zu jeder geraden Linie senkrecht stehen müssen, zu welcher letztere senkrecht ist (4), denn dies folgt unmittel- jr bar aus der Gleichheit der betreffenden correspondiren- Errichtet man dagegen auf jeder von zwei ver- £ schiednen Geraden AB, CD eine Senkrechte EF, bezw. GH, so ist nach dem Vorigen EF zu CD senk- recht oder nicht senkrecht, je nachdem CD parallel _ den Winkel. oder nicht parallel zu AB ist. Im erstem Falle muss 184 Planimetrie. EF zu der andern Senkrechten GH parallel, im letztem Fall muss EF zu GH nicht parallel sein. Senkrechte auf parallelen Geraden sind also parallel, Senkrechte auf nicht parallelen Geraden sind nicht parallel. (5) Der vorstehende Satz lässt sich auch auf schiefe Gerade ausdehnen, welche mit parallelen oder nicht parallelen Linien in einer näher zu bestimmenden Weise gleiche Winkel bilden. Wichtiger für die späteren Anwendungen ist der umgekehrte Satz: Winkel mit paarweise parallelen und gleichgerichteten Schenkeln sind gleich. ( 6 ) Ist nämlich BA || ED, BC\\ EF, und schneidet ED den Schenkel BC in G, so ist Z ABC = DGC als corres- pondirender Winkel für die Parallelen BA und GD, und Z DGC = DEF als correspondirender Winkel für die Parallelen GC und EF', mithin ist auch Z ABC= DEF. Es sei ferner BI die Verlängerung von CB, BH die Verlängerung von AB. Dann ergiebt die Vergleichung der Winkel IBA und IBH mit ABC die Sätze: Winkel mit parallelen Schenkeln, von denen das eine Paar gleich gerichtet, das andere Paar entgegengesetzt gerichtet ist, sind supplementär. Sind dagegen beide Paare entgegengesetzt gerichtet, so sind die Winkel einander gleich. Dass in dem vorstehenden Beweise ED den Schenkel BC schneiden muss, folgt daraus, dass durch E sich ausser EF keine zweite Parallele zu BC ziehen lässt. Der letztere Grundsatz wird zuweilen auch in folgender Fassung gebraucht: Gerade Linien, welche einer und derselben Geraden parallel sind, sind auch unter einander parallel (7). Schnitten nämlich zwei solche Gerade einander, so wären durch ihren Durchschnittspunkt zwei zu derselben dritten parallele Gerade vorhanden. § 15. Die Winkel der Vielecke. Werden zwei nicht parallele Linien von einer dritten Geraden geschnitten, so entsteht ein Dreieck, und es genügt, behufs einer genaueren Kenntniss der Beziehungen zwischen den Winkeln an zwei solchen Geraden, die Eigenschaften der Winkel eines Dreiecks zu untersuchen. Der Einfachheit halber soll im Folgenden ein Dreieck in der Regel durch ABC, und die an den Eckpunkten A, B, C liegenden inneren Winkel desselben sollen bezüglich durch a, ß, 7 bezeichnet werden. Verlängert man CA über A, so entsteht ein Aussen- winkel BAD, welcher durch § bezeichnet werden möge und Nebenwinkel von a ist. Zieht man AE parallel zu CB, so muss AE innerhalb des Winkels DAB fallen, denn fiele AE innerhalb BAC, so müsste sie den Umfang der geschlossenen Figur ABC in einem zweiten Punkte, und somit BC schneiden. Daher theilt AE den Aussen- winkel in zwei Theile, und von diesen ist EAD = ■/ als correspondirender, und A " F 2. Die Congruenz. 185 EAB = ß als Wechselwinkel an den Parallelen AE und CB. Hieraus folgt, dass EAD -+- EAB oder DAB gleich ß + y ist, oder der Satz: Jeder Aussenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden ihm gegenüberliegenden inneren Winkel. (1) Hieraus folgt ohne Weiteres, dass jeder Aussenwinkel eines Dreiecks grösser als jeder einzelne ihm gegenüberliegende innere Winkel, und dass die Differenz gleich dem andern gegenüberliegenden Winkel ist. Da. also 0 = ß -4- '{, und da ausserdem zur Deckung, woraus der Satz folgt; Gleichen Seiten eines Dreiecks liegen gleiche Winkel gegenüber (1), oder, was dasselbe Ist, die Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkeligen Dreiecks sind gleich. Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes auf ein gleichseitiges Dreieck ergiebt sich: In jedem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich (2). Da die Summe derselben 2i? beträgt, so folgt hieraus weiter, dass jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks gleich f-.Ä, das ist gleich 60° ist. . Sind dagegen die Seiten AB, AC eines Dreiecks Ungleich, so fällt bei entsprechendem Verfahren, wie vorher, der Endpunkt C der kurzem Seite zwischen A' und und der Endpunkt B auf die Verlängerung von ÄC '. Hie Seite CB schneidet daher CB' in einem Punkte D, und der Winkel A CB ist als Aussenwinkel des Dreiecks D CB' grösser als der ihm gegenüberliegende innere A'B'C. Hieraus folgt: Der grössere Seite eines Dreiecks ^* e gt ein grösserer Winkel gegenüber (3). Demnach muss auch der grössten von allen drei f Seiten eines Dreiecks der grösste Winkel desselben gegenüberliegen. Umgekehrt liegen gleichen Winkeln eines Dreiecks gleiche Seiten, Und dem grössere Winkel liegt eine grössere Seite gegenüber (4), denn die Annahme des Gegentheils widerspricht einem der vorstehenden Sätze. Ist nämlich Z B = C, und wäre AB ^ AC, so müsste nach dem zweiten Satze ^ C ^B sein; ist aber A B < C, und wäre AB — AC, so müsste nach dem ers Vn Satze Z B = C sein. J. 188 Planimetrie. Daher ist auch jedes Dreieck, dessen drei Winkel einander gleich sind, ein gleichseitiges, und dem grössten von allen drei Winkeln eines Dreiecks liegt die grösste Seite gegenüber. In jedem rechtwinkeligen Dreieck ist also die Hypotenuse grösser als jede Kathete, und in jedem stumpfwinkeligen Dreieck ist die dem stumpfen Winkel gegenüberliegende Seite die grösste. Als weitere Anwendungen des Vorstehenden sind noch folgende Sätze bemerkenswerth: In jedem gleichschenkeligen Dreieck ist durch einen Winkel jeder der anderen bestimmt. Ist z. B. der Winkel an der Spitze gleich a gegeben, so ist jeder der Winkel an der Grundlinie gleich der Hälfte von 180° — a, also gleich .90° — i 2 a. Ist dagegen ein Winkel an der Basis gleich ß gegeben, so ist der .andere Winkel an der Basis ebenfalls gleich ß und der Winkel an der Spitze gleich 180° — “2ß. — Stimmen daher zwei gleichschenkelige Dreiecke in den Winkeln an der Spitze, oder stimmen dieselben in einem der Winkel an der Grundlinie überein, so stimmen sie auch in je zwei anderen gleichliegenden Winkeln überein. Ferner sind in jedem gleichschenkeligen Dreieck die Winkel an der Grundlinie spitze, da kein Dreieck zwei rechte oder zwei stumpfe Winkel haben kann. Die Aussenwinkel an der Basis sind stets stumpfe Winkel. Der Aussenwinkel an der Spitze ist doppelt so gross als jeder der inneren Winkel an der Grundlinie. — Ein rechtwinkeliges oder ein stumpfwinkeliges Dreieck kann nie gleichseitig sein; es kann gleichschenkelig sein, und dann ist der rechte oder stumpfe Winkel der Winkel an der Spitze. Im rechtwinkeligen, gleichschenkeligen Dreieck beträgt jeder Winkel an der Grundlinie einen halben Rechten oder 45 Grad. D B § 17. Fortsetzung. Verlängert man eine Seite CA eines Dreiecks ABC um AD — AB und verbindet D mit B, so ist ABD ein gleichschenkeliges Dreieck, folglich Z ADB = ABD. Fügt man nun zu dem letztem Winkel den Winkel ABC hinzu, so ergiebt sich, dass in dem Dreieck CBD der Winkel CBD grösser als CDB und mithin auch die Seite CD grösser als CB ist. Da man nun für CD auch CA-\-AB setzen kann, so folgt: In jedem Dreieck ist die Summe je zweier Seiten grösser als die dritte Seite. (1) Trägt man dagegen AE —AB auf der grossem AC der beiden Seiten AC und AB ab und zieht BE, so ist der Aussenwinkel CEB an der Grundlinie des gleichschenkeligen Dreiecks ABE stumpf, und mithin im Dreieck BEC die Seite CB grösser als CE. Hieraus folgt: In jedem Dreieck ist die Differenz je zweier Seiten kleiner als die dritte Seite. (2) Die beiden vorstehenden Sätze sind streng genommen nur verschiedene Ausdrucksweisen desselben Satzes, denn ist a^rb~>c, so muss notbwendig c — b AC. Ist ferner ABCDE eine beliebige, die Punkte A und E verbindende gebrochene Linie, AE die zugehörige Gerade, und zieht man AC und AD, so 2. Die Congruenz. 189 ist nach dem Vorigen AD 4- DE > AE, ferner AC A- CD > A D, mithin um so mehr AC 4- CD -f- DE > AE. Ebenso ist AB 4- BC > AC, mithin um so mehr AB 4- BC 4 - CD 4- DE > AE. Man sieht leicht ein, dass man diesen Beweis für jede beliebige Anzahl von Theil-Geraden der gebrochenen Linie führen kann. Denkt man sich die einzelnen Strecken der gebrochenen Linie hierbei an Zahl ohne Ende zunehmend, dagegen an Grösse ohne Ende abnehmend, so nähert sich die gebrochene Linie mehr und mehr einer krummen. Jede krumme Linie zwischen zwei Punkten A und E kann umgekehrt als die Grenze angesehen werden, welcher man durch eine zwischen denselben Punkten liegende gebrochene Gerade bei unendlicher Zunahme der Anzahl der Strecken der letztem beliebig nahe kommen kann, denn man hat nur nöthig, auf der krummen Linie eine Anzahl von Punkten anzunehmen, je zwei benachbarte derselben durch eine Gerade verbunden, und die angenommenen Punkte unendlich nahe an einander rückend zu denken. Da nun der vorstehende Satz für jede Anzahl der Theilstrecken der gebrochenen Geraden gilt, so lässt sich auch behaupten, dass nicht nur jede gebrochene, sondern auch jede krumme Linie zwischen zwei Punkten länger als die gerade Verbindungslinie dieser Punkte oder dass die Gerade der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist. ( 3 ) Verbindet man einen beliebigen im Innern eines Dreiecks liegenden Punkt D mit zwei Eckpunkten B, C des Dreiecks, so schliessen ^ die Verbindungslinien einen Winkel BDC ein, welcher grösser ist als der gegenüberliegende Winkel des Dreiecks. Denn verlängert man CD bis zum Durchschnitt mit AB in E, so ist Z CDB > Z DEB (als Aussenwinlcel des Dreiecks DEB), und ebenso Z DEB > Z CAB, folglich um so mehr Z CDB > Z CAB. Dagegen ist die Summe der Verbindungslinien CD + DB kleiner als die Summe der einschliessenden Seiten CA A- AB, denn es ist CA 4- AE > CD 4- DE, DE 4- EB > DB, mithin auch CA 4 - AE 4 - DE 4- EB > CD 4 - DE 4 - DB, und da DE = DE, so ist CA 4- AE 4- EB > CD A-DB, oder CA + AB>CDa-DB. Schneidet man in der vorigen Figur von CDB durch eine Gerade FG ein Dreieck FDG ab, so ist, da FD 4- DG > FG, die gebrochene Linie CFGB Weiner als CD 4- D B, und daher um so mehr kleiner als CAa-AB. Dieses Verfahren kann man beliebig oft wiederholen, und umgekehrt kann man von einer gebrochenen Linie mit beliebig vielen Theilstrecken, "Welche C mit B verbindet und der Seite CB nur hohle Winkelräume zukehrt, nach einander zu gebrochenen Linien mit je einer Theilstrecke weniger als vorher Zll rückgehen. Man kann auch hier eine krumme Linie als Grenze einer gebrochenen bei unendlich wachsender Anzahl der Theilstrecken betrachten, und man erhält somit den Satz: Jede zwischen zwei Eckpunkten ei nes Dreiecks innerhalb desselben gezogene gebrochene oder krumme Linie, welche der dieselben Punkte verbindenden Seite keine con- 190 Planimetrie. vexen Winkelräume, bezw. keine convexe Krümmung zukehrt, ist kleiner als die Summe der sie einschliessenden Dreiecksseiten. (4) Noch allgemeiner lässt sich zeigen, dass jede solche gebrochene oder krumme Linie, welche eine andere solche gebrochene oder krumme Linie einschliesst, grösser als die letztere ist. § 18. Die Congruenzsätze. Zeichnet man, um ein Dreieck ABC zu construiren, zunächst eine Seite AB desselben und dann an diese in ihren Endpunkten A, B bezüglich die Winkel a und ß, so sieht man, dass die Längen der beiden anderen Seiten AC und BC nicht mehr willkürlich angenommen werden können, sondern sich mittelst des Durchschnittspunktes C der an AB angelegten Schenkel von selbst ergeben. Dass auch der dritte Winkel 7 nicht mehr willkürlich annehmbar ist, folgt schon aus dem Satze von der Winkelsumme des Dreiecks. Durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel sind also die übrigen Stücke des Dreiecks unzweideutig bestimmt, und daher müssen Dreiecke, welche in jenen ersteren Stücken übereinstimmen, auch in den anderen übereinstimmen, also congruent sein. Somit ergiebt sich der erste Congruenzsatz: Dreiecke, welche in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind congruent. (1) Der Beweiss dieses Satzes kann auch dadurch geführt werden, dass man unmittelbar zeigt, wie zwei solche Dreiecke zur Deckung gebracht werden können. Denn ist AB = A'B', Z a = a', ß = ß', so denke man sich das Dreieck A'B'C so auf ABC gelegt, dass A' auf A und A'B' in die Richtung von AB, also zufolge der Gleichheit von A'B' und AB auch B' auf B, und dass beide Dreiecke auf dieselbe Flächenseite der gemeinschaftlichen Strecke fallen. Dann muss in Folge der Gleichheit von ß und ß' auch B'C' in die Richtung von BC, und in Folge der Gleichheit von a und a' auch A'C in die Richtung von AC fallen. Da aber zwei gerade Linien nur einen einzigen Durchschnittspunkt haben, so fällt auch C' auf C, und das Dreieck A'B'C' deckt mithin das Dreieck ABC. Es fragt sich nun, ob auch jede drei auf andere Weise ausgewählte Stücke des Dreiecks die übrigen bestimmen. Untersucht man alle hierbei möglichen Fälle, so ergiebt sich Folgendes: Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite, einem ihr anliegenden und dem gegenüberliegenden Winkel überein, so müssen sie in Folge des Satzes von der Winkelsumme des Dreiecks auch in dem andern anliegenden Winkel übereinstimmen und somit nach dem eben bewiesenen Satze congruent sein. Man kann also diesen Satz dahin erweitern dass allgemein Dreiecke, welche in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen, congruent sind. (2) Es sei ferner angenommen, dass AB —A'B', AC = A'C’ und Z a = a', so kann man sich wieder das Dreieck A!B'C so auf das Dreieck ABC gelegt denken, dass Ä auf A, A'B’ in die Richtung von AB und mithin zufolge der Gleichheit von A'B' und AB auch B' auf B fällt. Dann wird wegen der Gleichheit von a 1 und a auch A'C in die Richtung von AC und somit — in Folge der Gleichheit von A'C und AC — auch C auf C. fallen. Da nun zwischen den 2. Die Congruenz. 191 Punkten B und C nur eine einzige Gerade möglich ist, so fallt auch B'C auf BC, und das Dreieck ÄB'C deckt also das Dreieck ABC. Somit erhält man den zweiten Congruenzsatz: Dreiecke, welche- in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind congruent. (3) Durch zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel sind also auch die drei übrigen Stücke des Dreiecks der Grösse nach bestimmt. Dies lässt sich auch dadurch zeigen, dass, wenn man AB zeichnet, an AB in A den Winkel a anlegt, und dem angelegten Schenkel die bestimmte Länge AC giebt, die Verbindungslinie BC und mit ihr die Winkel an B und C nicht mehr beliebig angenommen werden können. Stimmen ferner die Dreiecke ABC, ÄB'C in zwei Seiten AB, ÄB’ und AC, ÄC’, sowie in einem der diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel ß, ß 1 überein, und denkt man sich wieder das Dreieck ÄB'C so auf ABC gelegt, dass Ä auf A, A'B' in die Richtung von AB, mithin wegen der Gleichheit von ÄB’ und AB auch B' auf B und weiterhin wegen der Gleichheit von ß' und ß auch B'C' in die Richtung von BC fallt, so kann zunächst nicht behauptet werden, dass auch C auf C fallen müsse. Nimmt man nun an, B'C sei kleiner als BC, es fiele also C' zwischen B und C, etwa nach D, und mit- AB>, so müsste wegen derGleich- ß heit von ÄC' und AC auch AD = AC, also das Dreieck ACD gleichschenklig und folglich zl ACB = ADC sein. Der Winkel BDA des Dreiecks BDA oder, was dasselbe ist, der Winkel 7 1 des Dreiecks ÄB'C' muss also in diesem Fall, wie den Winkel ADC, so auch den Winkel ACB oder 7 des Dreiecks ABC zu zwei Rechten ergänzen. Umgekehrt, ist 7 ' = 180°— 7 , so lässt sich das Dreieck ÄB'C' in die Lage des Dreiecks ABD bringen. — Nimmt man dagegen an, dass B'C > BC sei, also C' auf die Verlängerung von BC falle, so kann man durch ein entsprechendes Verfahren, oder auch indem man umgekehrtere auf ÄB'C' legt, wobei derselbe Fall wie vorher eintreten muss, zeigen, dass 7=180° — 7 ' sein muss. — Aus beiden Annahmen vereinigt ergiebt sich, dass, wenn 7 und 7 ' nicht zusammen zwei Rechte betragen, C auf C fallen, das Dreieck ÄB'C’ also das Dreieck ABC decken tnuss. Somit hat man den dritten Congruenzsatz: Dreiecke, welche in zwei Seiten und einem der gegen überliegenden Winkel übereinstimmen, sind congruent, wenn die anderen gegenüberliegenden Winkel nicht supplementär zu einander sind. (4) Selbstverständlich müssen die Dreiecke auch dann congruent sein, wenn die anderen gegenüberliegenden Winkel beide rechte sind, denn in diesem Falle sind d ie letzteren nicht nur supplementär, sondern auch gleich. — Sollen Dreiecke, Welche in zwei Seiten und einem gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen, nicht congruent sein, so muss der andere gegenüberliegende Winkel nothwendig in dem einen Dreieck ein spitzer, in dem andern ein stumpfer sein, und dieses ■Merkmal, obgleich ungenauer als das vorher angegebene, genügt in praktischen Fällen meist zur Entscheidung der Frage. In diesem Sinne kann man den obigen 192 Planimetrie. Congruenzsatz auch dahin fassen, dass Dreiecke congruent sind, welche in zwei Seiten und einem gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen, und in welchen die anderen gegenüberliegenden Winkel gleichartig, d. h. beide entweder spitze oder beide rechte oder beide stumpfe sind. — Da ferner der grossem der beiden Seiten auch der grössere Winkel gegenüberliegt, und ein Winkel, welcher einer kleinern Seite gegenüberliegt, somit nothwendig ein spitzer sein muss, so kann man aus dem obigen Congruenzsatz auch folgende engere Fassung ableiten: Dreiecke, welche in zwei Seiten und dem der grossem von ihnen gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen, sind congruent. In dieser letztem Fassung, welche keine Kenntniss der anderen gegenüberliegenden Winkel voraussetzt und somit das Kriterium der Congruenz nur an als übereinstimmend gegebene Stücke knüpft, findet der Satz die meisten Anwendungen. Aus der vorstehenden Entwicklung folgt noch, dass durch zwei Seiten b, c und einen gegenüberliegenden Winkel ß die übrigen Stücke des Dreiecks im Allgemeinen nicht völlig bestimmt sind, sondern dass, damit dies der Fall sei, noch eine weitere Bedingung, wie b > c, oder die schärfere 7 -+- 7' ^ 180 ° hinzu- treten muss. Ist nicht bekannt, dass diese Bedingung erfüllt sei, so sind jedoch die übrigen Stücke auch nicht völlig unbestimmt, sondern es bleibt nur die Wahl zwischen zwei Möglichkeiten, d. h. es giebt höchstens zwei nicht congruente Dreiecke aus jenen Stücken. Man kann also sagen, das Dreieck sei in diesem Falle zweideutig bestimmt. Stimmen endlich zwei Dreiecke in den drei Seiten überein, ist also AB = A'B', AC—A'C, BC= B'C', und denkt man sich wieder das Dreieck A'B'C' so auf ABC gelegt, dass beide Dreiecke die Seite AB gemeinschaftlich haben, J> so kann zunächst nicht behauptet werden, dass B’C in die Richtung von BC fallen müsse. Nimmt man an, dies finde in der Tliat nicht statt, sondern es falle ß B’C' etwa nach BD, also ÄC' nach AD, und zieht man dann CD, so muss, da BD = BC ist, das Dreieck BCD gleichschenkelig, also ABCD — BDC sein. Hieraus würde folgen, dass Z ACD > ADC sein müsste, da ACD um ACB grösser als BCD und ausserdem ADC kleiner als BDC ist. 3 A 3 A Im Dreieck ACD müsste also, da dem grossem Winkel eines Dreiecks die grössere Seite gegenüberliegt, AD> AC sein, und somit wäre auch A’OAC. Dies widerspricht der Voraussetzung, und es kann also B'C' nicht in die Lage von BD fallen. — Hierbei ist in der Figur angenommen worden, dass AD die Seite BC schneide. Diese Annahme ist die einzige gestattete, denn bei jeder anderen Lage von D, wie in den nebenstehenden Figuren, würde nach dem vorigen Paragraphen AD - 1- DB < iC+ CB sein, was wieder der vorausgesetzten Gleich- 2. Die Congrueni. 193 heit der homologen Seiten widersprechen würde. Somit muss BD in die Richtung von BC fallen, und in gleicher Weise AD in die Richtung von AC fallen; die beiden Dreiecke müssen also einander decken. Man hat somit den vierten Congruenzsatz: Dreiecke, welche in den drei Seiten übereinstimmen, sind con- gruent. (5) Durch die drei Seiten eines Dreiecks sind daher auch die Winkel desselben bestimmt. § 19. Nicht-Congruenz-Sätze. Die vorstehenden vier Congruenzsätze zeigen, dass im Allgemeinen drei Stücke eines Dreiecks die Gestalt und Grösse desselben bestimmen. Eine Ausnahme macht zunächst der Fall, in welchem diese Stücke die drei Winkel sind. Dass Dreiecke, welche in den drei Winkeln übereinstimmen, nicht congruent zu sein brauchen, kann leicht gezeigt werden, indem man in einem Dreieck ABC zu einer Seite AB eine Parallele DE zwischen den beiden anderen Seiten zieht. Aus der Gleichheit der correspondirenden Winkel folgt, dass C das abgeschnittene Dreieck CDE mit dem grösseren CAB in den Winkeln übereinstimmt. — Diese Ausnahme erklärt sich dadurch, dass durch zwei Winkel eines Dreiecks der dritte mit bestimmt ist, dass also die drei Winkel nicht von einander unabhängige Bestimmungsstücke sind. Mit anderen Worten: Sind zur Bestimmung eines Dreiecks zwei Winkel gegeben, so ist der dritte auch bekannt und kann also nicht gegeben werden. — Eine andere Ausnahme macht der Fall, in welchem zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel gegeben sind; doch ist in diesem Fall das Dreieck nicht unbestimmt, sondern nur zweideutig bestimmt. Man kann hiernach die Congruenzsätze dahin zusammenfassen: Ein Dreieck ist seiner Gestalt und Grösse nach eindeutig oder zweideutig bestimmt, wenn drei Stücke desselben, unter denen sich wenigstens eine Seite befindet, gegeben sind. Der für den vierten Congruenzsatz gegebene Beweis zeigt ausserdem unmittelbar die Richtigkeit des folgenden Satzes: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten, aber nicht in dem eingeschlossenen Winkel überein, so ist die dritte Seite in demjenigen Dreieck grösser als in dem anderen, welches den grössseren eingeschlossenen Winkel hat. (1) Umgekehrt muss daher auch der Satz gelten: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten, aber nicht in der dritten Seite überein, so ist der von jenen Seiten eingeschlossene Winkel in demjenigen Dreieck grösser als in dem anderen, welches die grössere dritte Seite hat (2). Denn ist AB = Ä B', AC — A' C', aber BC> B' C ', so kann zunächst zi a nicht gleich a ' sein, da in diesem Fall aus der Uebereinstimmung beider Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die Congruenz der Dreiecke, also die der Voraussetzung widersprechende Gleichheit der dritten Seiten folgen würde. Wäre aber a ' > a, so müsste nach dem vorhergehenden Satz, wieder gegen die Voraussetzung, B'C' ->BC sein. Somit ist nur möglich, dass a.’ ist. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 13 194 Planimetrie. Man kann die beiden vorstehenden Sätze als Nicht-Congruenzsätze mit den entsprechenden Congruenzsätzen, wie folgt, verbinden: Stimmt ein Dreieck mit einem anderen in zwei Seiten überein, so ist der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel in demselben grösser, ebenso gross oder kleiner als in dem anderen, je nachdem die dritte Seite des ersteren grösser, ebenso gross oder kleiner als die dritte Seite des letzteren ist, und umgekehrt. Noch andere Nicht-Congruenz-Sätze lassen sich ebenfalls leicht im Anschluss an die Congruenzsätze ableiten. Wir führen die nachstehenden, welche später gebraucht werden, kurz an: Stimmt ein Dreieck mit einem anderen in einer Seite und einem ihr anliegenden Winkel überein, so ist der andere anliegende Winkel in demjenigen Dreieck der grössere, in welchem ihm eine grössere Seite gegenüberliegt, und umgekehrt. — Der Beweis kann nach Analogie des Beweises zum ersten Con- gruenzsatz geführt werden. (3) Stimmen zwei Dreiecke in der grössten Seite und in dem derselben gegenüberliegenden Winkel überein, ist aber eine zweite Seite des einen Dreiecks grösser als eine zweite Seite des anderen, so ist die dritte Seite des ersteren kleiner als die dritte Seite des letzteren (4). — Zum Beweise denke man sich beide Dreiecke so an einander gelegt, dass ihre gleichen Seiten zusammenfallen, rschiedenen Flächenseiten liegen. Es seien ABC und BCD die beiden Dreiecke in dieser Lage. Ist nun AB>BD, und zieht man AD, so ist im Dreieck ABD der der grösseren Seite gegenüberliegende Winkel BDA grösser als BAD. Da aber die ganzen Winkel BAC und BDC nach Voraussetzung gleich sind, so muss der Rest ADC kleiner als DAC, mithin auch in dem Dreieck ACD die Seite AC kleiner als DC sein, was zu beweisen war. ■— Die Forderung, dass BC die grösste Seite sei, ist deshalb gestellt, damit AD, wie in der nebenstehenden Figur die Seite BC zwischen B und C schneiden müsse. Schnitte nämlich AD die Linie BC in C oder auf der Verlängerung über C in F, so wären die Winkel AFB, DFB entweder beide rechte, oder einer von ihnen, z. B. AFB, ein stumpfer, in beiden Fällen also AB > BF und mithin auch AB>BC, die gestellte Forderung also nicht erfüllt, wie auch der vorstehende Beweis nicht anwendbar. beide Dreiecke aber auf ve Insbesondere ist also in zwei rechtwinkeligen Dreiecken mit gleichen Hypotenusen die zweite Kathete des einen grösser, ebenso gross oder kleiner als die zweite des anderen, je nachdem die erste Kathete des einen kleiner, ebenso gross oder grösser als die erste des anderen ist. (5) n Haben zwei rechtwinkelige Dreiecke gleiche Hypotenusen, und ist ein Winkel des einen grösser als ein Winkel des anderen, so liegt dem grösseren Winkel eine grössere Kathete gegenüber (6). Zum Beweise denke man sich beide Dreiecke so aufeinander gelegt, dass die gleichen Hypotenusen einander decken. Ist nun AB die gemeinschaftliche Hypotenuse und L CBA > L DBA, so ist — wie B aus der Winkelsumme folgt — A CAB < A DAB, 2. Die Congruenz. 195 also fallt AD ausserhalb des Dreiecks ABC, und BD schneidet CA. Zieht man nun CD, so ist Z CDA > Z BDA, also ein stumpfer Winkel, mithin ist im Dreieck CDA die Seite CA die grösste, also auch CA> DA, was zu beweisen war. § 20. Unmittelbare Anwendungen. Die vorhergehenden Sätze dieses Kapitels bieten zunächst die nöthigen Hilfsmittel für eine genauere Untersuchung der gegenseitigen Lagen von Punkten und Linien. Von einem Punkte A ausserhalb einer gegebenen Geraden MN lassen sich unzählig viele Verbindungs - Strecken nach Punkten der letzteren ziehen. Unter allen diesen Strecken ist die senkrechte die kürzeste (1), denn ist AB senkrecht und AC schief zu BC, so ist im rechtwinkeligen Dreieck ABC die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite AC die grösste. Die Senkrechte AB wird daher auch der Abstand oder die Entfernung des Punktes A von der Geraden MN genannt. Von den vom Punkte A nach der Geraden MN gehenden Strecken sind ferner je zwei, welche zu verschiedenen Seiten der Senkrechten AB so liegen, dass ihre Fusspunkte C, D vom Fusspunkt B der Senkrechten gleich weit abstehen, von gleicher Länge (2). Denn ist BC = BD, so stimmen die Dreiecke ABC und ABD in zwei Seiten und dem eingeschlossenen (rechten) Winkel überein, sind also congruent, und mithin ist AC = AD. Jff / / \ & EC B B L Umgekehrt lässt sich in entsprechender Weise leicht zeigen, dass aus der Gleichheit der Strecken AC, AD auch die der Strecken BC und BD folgt, sowie ferner, dass in diesem Fall auch die Winkel ACB und ADB gleich sind. Sind dagegen die Abstände der Fusspunkte zweier Verbindungsstrecken vom Fusspunkt der Senkrechten ungleich, so gehört zudem grösseren Abstand die längere Verbindungsstrecke und der kleinere Winkel derselben gegen die Gerade (3). Ist nämlich EB > CB, und nimmt man an, dass C und E nach derselben Richtung der Geraden MN von B aus liegen — was immer erlaubt ist, da man anderenfalls nur eine der beiden Strecken durch die ihr nach dem vorhergehenden Satze gleiche zu ersetzen braucht — so ist Z ACE als Aussenwinkel des Dreiecks ABC grösser als der ihm gegenüberliegende rechte ABC. Jener ist also ein stumpfer, und es liegt ihm also im Dreieck ACE die grösste Seite gegenüber. Somit ist AE > AC. Der Winkel ACB aber ist als Aussenwinkel des Dreiecks ACE grösser als der Winkel AEC. Auch dieser Satz lässt sich, wie leicht zu beweisen, umkehren. Aus den vorstehenden Entwicklungen ergiebt sich, dass wenn man die zu MN senkrechte erade AL um A dreht > der Winkel beider Geraden zuerst fortwährend abnimmt, der Richtungs- Merschied beider Linien also um so kleiner wird, je mehr die Gerade AL sich der parallelen ge nüt MN nähert. Dies stimmt mit der früheren Anschauung, wonach parallele Linien gleiche Achtungen haben, überein. Von einem Punkte A lassen sich nach dem Vorstehenden nach einer Ge- 13' Planimetrie. 196 raden MN nie mehr als zwei Strecken von gleicher, gegebener Länge ziehen. Diese Streckende, AD bilden mit der Verbindungsstrecke CD ihrer Fusspunkte ein gleichschenkeliges Dreieck, welches durch die Senkrechte AB in zwei con- gruente rechtwinkelige getheilt wird. Dies fährt zur Aufstellung der folgenden Sätze: § 21. Fortsetzung. Fällt man in einem gleichschenkeligen Dreieck ABC die Senkrechte CD von der Spitze auf die Grundlinie, so sind die Dreiecke BCD, A CD congruent, denn es ist BC — A C nach Voraussetzung, CD = CD und A CD B — A CDA als Rechte; die beidenDreiecke stimmen also in zweiSeiten unddemdergrösserengegen- überliegenden Winkel überein. Hieraus folgt weiter, dass auch BD = DA und c ABCD—AACD sein muss. Da ferner nur eine einzige Linie existiren kann, welche den Winkel an der Spitze halbirt, so muss umgekehrt, wenn der Winkel B CA halbirt wird, die Halbirungslinie mit der gefällten Senkrechten identisch sein. In gleicher Weise muss die Verbindungslinie der Spitze C mit der Mitte D der Basis, und ebenso die in dem Halbirungspunkt D der Grundlinie auf dieser errichtete Senkrechte dieselbe Linie, wie vorher sein. Man kann hiernach folgende Sätze aufstellen: Die von der Spitze eines gleichschenkeligen Dreiecks auf die Grundlinie gefällte Senkrechte halbirt die Grundlinie und den Winkel an der Spitze. Die Halbirungslinie des Winkels an der Spitze eines gleichschenkeligen Dreiecks steht senkrecht zu der Grundlinie und halbirt dieselbe. Die Verbindungslinie der Spitze eines gleichschenkeligen Dreiecks mit dem Halbirungspunkt der Grundlinie steht senkrecht zu letzterer und halbirt den Winkel an der Spitze. Die auf der Grundlinie eines gleichschenkeligen Dreiecks indem Halbirungspunkt derselben senkrecht stehende Gerade geht durch die Spitze und halbirt den Winkel an derselben. (1) Aus dem letzteren Satze folgt weiter: Die Spitzen aller gleichschenkeligen Dreiecke, welche eine gemeinschaftliche Basis haben, liegen auf der zu dieser Basis in deren Halbirungspunkt senkrechten Geraden. Verbindet man also die Spitzen zweier gleichschenkeligen Dreiecke, welche eine gemeinschaftliche Basis haben, mit einander, so muss die Verbindungslinie senkrecht zu der Basis stehen. Umgekehrt haben alle Punkte der auf einer Strecke in deren Halbirungspunkt senkrechten Geraden von den beiden Endpunkten dieser Strecke gleiche Entfernungen. (Beweis durch die Congruenz der entstehenden Dreiecke.) Punkte, welche nicht auf dieser Senkrechten liegen, haben von jenen Endpunkten ungleiche Entfernungen. Eine (gerade oder krumme) Linie von der Eigenschaft, dass jeder ihrer Punkte, und ausserdem kein anderer Punkt, eine gestellte Bedingung erfüllt, heisst der geometrische Ort der verlangten Punkte. Der geometrische Ort aller Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten A, B gleich weit entfernt sind, ist also die Gerade, welche zu der Strecke AB in deren Halbirungspunkt senkrecht steht. 2. Die Congtuenz. 197 Wir wollen diese Gerade der Kürze halber die Mittelsenkrechte der Strecke AB oder der Punkte A und B nennen. Construirt man die Mittelsenkrechten zu jeder der drei - Seiten des Dreiecks ABC, so müssen je zwei derselben als Senkrechte auf nicht parallelen Geraden einander schneiden. Es sei M der Durchschnittspunkt der Mittelsenkrechten von AB und BQ so muss einerseits MA = MB, andererseits MB = MC sein; daher ist auch MA = MC, mithin M auch ein Punkt der Mittelsenkrechten von A C. Somit hat man den Satz: Die drei Mittelsenkrechten der Seiten eines jeden Dreiecks schneiden einander in einem einzigen Punkte. Dieser Punkt ist von allen Eckpunkten des Dreiecks gleichweit entfernt. (2) Derselbe ist ausserdem der einzige Punkt, welcher diese letztere Eigenschaft hat. C § 22. Fortsetzung. Fällt man von einem Punkte D der Halbirungs- linie eines Winkels ABC die Senkrechten DE, E>F auf die Schenkel, so stimmen die Dreiecke BED, BFD in einer Seite {BD), einem anliegenden (Z EBD — Z DBF) und dem gegenüberliegenden (rechten) Winkel überein, sind also congruent. Daher ist DE = DF. Jeder Punkt der Halbirungs- linie eines Winkels ist also von den beiden Schenkeln desselben gl eich weit entfernt. (1) Umgekehrt muss jeder von den beiden Schenkeln gleichweit entfernte Punkt auf der Halbirungslinie des Winkels liegen, denn ist DE = D F, und sind die Winkel BED vcnABFD rechte, so stimmen die Dreiecke BED, BFD m zwei Seiten und dem der grösseren gegenüberliegenden Winkel überein, folglich müssen die Winkel EBD, FBD als homologe Stücke congruenter Dreiecke gleich sein. Soll ein Punkt von zwei einander schneidenden Geraden AB, CD gleich weit entfernt sein, so muss er hiernach auf einer der Halbirungslinien der vier von diesen Geraden gebildeten hohlen Winkel liegen. Diese vier Halbirungslinien bilden nur zwei Gerade (da jede Halbirungslinie eines Winkels, wie leicht zu zeigen, auch den Scheitelwinkel desselben hal- biren muss), und diese Geraden stehen senkrecht zu einander, da die Hälften zweier Nebenwinkel zusammen die Hälfte eines gestreckten Winkels betragen müssen. Der geometrische Ort aller von zwei gegebenen einander schneidenden Geraden gleich weit entfernten Punkte wird also von den zwei zu einander senkrechten Geraden gebildet, "Welche, die Winkel der ersteren halbiren. Halbirt man die drei inneren Winkel eines Dreiecks ABC, so müssen je zwei der Halbirungslinien einander in einem innerhalb des Dreiecks liegen en Punkte schneiden. Es sei O der Durchschnittspunkt der Halbirungslinien er Winkel an A und B, und von O seien auf die Seiten AB, AC, 2 ?Cbezügic die Senkrechten«? C, OB', OÄ gefällt, so muss einerseits OC'^OA', andererseits OC = OB' sein. Mithin ist auch OA' — OB', und O ist da er auc em Planimetrie. 198 c Punkt der Halbirungslinie des Winkels an C. Somit hat man den Satz: Die drei Winkel- halbirenden eines jeden Dreiecks schneiden einander in einem einzigen Punkte. Dieser Punkt ist von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt. (2) Halbirt man auch die Aussenwinkel des Dreiecks, so findet man in entsprechenderWeise, dass die Halbirungslinien der Aussenwinkel an je zwei Eckpunkten sich mit der Halbirungslinie des inneren Winkels am dritten Eckpunkt in einem einzigen Punkte schneiden, und dass dieser Punkt von den — über die Eckpunkte verlängert gedachten — Seiten gleich weit entfernt ist. Man erhält so ausser dem zuerst gefundenen Punkt noch drei andere von dieser Eigenschaft; der erstere ist hierbei der einzige, welcher innerhalb des Dreiecks liegt, und für welchen der Fusspunkt keines der auf die Seiten gefällten Perpendikel auf die Verlängerung der betreffenden Seite fällt. X 23. Die Vierecke, und die Parallelogramme insbesondere. Ein Viereck im engeren Sinn hat zwei Paare einander gegenüberliegender Seiten, d. h. solcher, welche keinen Eckpunkt gemeinschaftlich haben. Sind die Seiten beider Paare einander parallel, so heisst das Viereck ein Parallelogramm, hat es nur ein Paar parallele Seiten, so heisst das Viereck ein Trapez, hat es keine parallelen Seiten, so heisst es ein Trapezoid. Mit dem Namen Trapez bezeichnet man auch im weiteren Sinne die Parallelogramme und die Trapeze im engeren Sinn zusammen, indem man ein Parallelogramm als ein Trapez ansieht, in welchem auch die sonst nicht als parallel vorausgesetzten Seiten parallel geworden sind. Ist AB CD ein Parallelogramm, also AB \\ DC, AD \\ BC, so sind je zwei aneinanderliegende Winkel, wie A und D, D und C] u. s. w. Gegenwinkel an parallelen Linien, und ihre Summe ist also gleich zwei Rechten. Da nun jeder Winkel des Parallelogramms zwei anderen zugleich anliegt, also z. B. A - 4 - D = 2 R und C -4- D — 2 R, mithin A -+- D = C -+- D ist, so folgt durch Subtraction des gemeinschaftlichen Winkels D von beiden Summen, dass A = C ist, oder allgemein der Satz: In jedem Parallelogramm sind je zwei einander gegenüberliegende Winkel gleich. (1) Hieraus geht hervor, dass durch einen Winkel eines Parallelogramms alle übrigen bestimmt sind; ist z. B. Z A = a gegeben, so ist B = 180° — a, C = a, D = 180°—a. Insbesondere folgt hieraus: Ist ein Winkel eines Parallelogramms ein rechter, so sind alle rechte; ist einer schief, so sind alle schief, und 2. Die Congruenz. 199 zwar zwei spitz, und zwei stumpf. Hiernach kann man rechtwinkelige Parallelogramme, welche nur rechte Winkel haben, und schieiwinkelige, welche nur schiefe Winkel haben, unterscheiden. Zieht man in einem Parallelogramm ABCD eine Diagonale AC, so stimmen die entstehenden Dreiecke ABC, ADC ausser in der gemeinschaftlichen Seite AC auch in den derselben anliegenden Winkeln uberein, denn die Winkel BAC und ACD, und ebenso ACB und DAC sind A __ B als Wechselwinkel an parallelen Linien gleich. Jedes Parallelogramm wird also durch jede seinerDiagonaleninzweicongruente Dreiecke getheilt. (2) Daher sind auch die anderen homologen Seiten AB und DC, sowie AD und BC einander gleich, d. h.: In jedem Parallelogramm sind je zwei gegenüberliegende Seiten gleich. ( 3 ) Dieser Satz kann auch in folgender Form ausgesprochen werden: Parallele Gerade zwischen Parallelen sind gleich. Insbesondere ist jede zwischen zwei Parallelen gezogene, zu denselben senkrechte Gerade jeder anderen solchen Senkrechten gleich, oder Parallele Geraden haben überall gleichen Abstand von einander. (4) Sind auch zwei aneinanderliegende Seiten eines Parallelogramms von gleicher Länge, so sind alle Seiten desselben gleich. Man kann daher gleichseitige Parallelogramme und ungleichseitige unterscheiden. Durch Verbindung dieser Eintheilung mit der früheren nach den Winkeln erhält man vier Arten von Parallelogrammen: a) das rechtwinkelige und gleichseitige, oder das Quadrat, b) das rechtwinkelige und ungleichseitige, oder das Rechteck, c ) das schiefwinkelige und ungleichseitige, oder der Rhombus, d) das schiefwinkelige und ungleichseitige, oder das Rhomboid. Das Rechteck wird auch Oblongum, der Rhombus Raute genannt. Man gebraucht auch die Bezeichnung Rechteck im weiteren Sinne für rechtwinkeliges und ebenso Rhombus im weiteren Sinn für gleichseitiges Parallelogramm, sodass das Quadrat sowol als ein besonderer Fall des Rechtecks, wie als ein besonderer Fall des Rhombus erscheint. Zieht man die beiden Diagonalen AC, BD eines Parallelogramms zugleich, s o entstehen vier Dreiecke, von denen je zwei gegenüberliegende, AEB, CED und ebenso AED, BEC, in einer Seite und den gleich- begenden Winkeln übereinstimmen und also con- gruent sind. Aus dieser Congruenz folgt, dass AE = EC, BE=ED ist, oder der Satz: Die Diagonalen eines jeden Parallelogramms halbiren einander. (5) Ist das Parallelogramm dabei gleichseitig, also AB = AD, so stimmen so- übt auch je zwei aneinander liegende jener Dreiecke, wie AEB, und AED, in den drei Seiten überein; es sind also alle vier Dreiecke congruent. Daher A B 200 Planimetrie. sind in diesem Fall auch die Nebenwinkel AED, AEB gleich, also rechte. Ebenso sind die Winkel DAE, BAE als homologe Stücke congruenter Dreiecke gleich. Daher gilt der Satz: In jedem gleichseitigen Parallelogramm stehen die Diagonalen senkrecht zu einander und halbiren die betreffenden Winkel. ( 6 ) JB Ist das Parallelogramm rechtwinkelig, so sind je zwei Dreiecke, welche eine Seite des Parallelogramms gemeinschaftlich haben, wie ABC und BCD, con- gruent, denn sie stimmen in zwei Seiten und dem eingeschlossenen rechten Winkel überein. Daher ist AC= BD, oder: In jedem rechtwinkeligen Parallelogramm sind die Diagonalen gleich. (7) Zieht man durch den Durchschnittspunkt der Diagonalen eines beliebigen Parallelogramms irgend eine Gerade und begrenzt dieselbe durch ihre Durchschnittspunkte mit zwei parallelen Seiten des Parallelogramms, oder auch den Verlängerungen derselben, so lässt sich wieder mittelst der Congruenz von Dreiecken beweisen, dass jene Gerade durch den Durchschnittspunkt der Diagonalen halbirt wird. (8) § 24. Fortsetzung. Die im § 23 aufgestellten Sätze über die Winkel, Seiten und Diagonalen der Parallelogramme gestatten Umkehrungen, welche im Folgenden aufgestellt und bewiesen werden sollen: Sind in einem Viereck je zwei einander gegenüberliegende Winkel gleich, so ist das Viereck ein Parallelogramm. (1) Denn ist Z A = A C, A B — A D, so ist Z A 4- Z B = A C -+- Z D, mithin jede dieser Summen gleich der Hälfte der Gesammtsumme aller vier Winkel. Diese letztere beträgt aber in jedem Viereck vier Rechte, also ist A A -+- A B /l j> = 2 R, und da A A und A B innere Gegenwinkel an den Linien AD, BC sind, so muss AD || BC sein. In derselben Weise lässt sich zeigen, dass auch AB || CD ist. Sind in einem Viereck je zwei Gegenseiten gleich, so ist dasselbe ein Parallelogramm. (2) Denn ist AB = CD, AD = BC und zieht man AC, so stimmen die Dreiecke ABC, ADC in den drei Seiten überein und sind also congruent. Daher sind die Winkel BAC und DCA als homologe Stücke in congruenten Dreiecken gleich, und da dieselben ausserdem Wechselwinkel an den Linien AB und DC sind, so sind diese Linien parallel. In gleicher Weise ergiebt sich, dass die Winkel DA C und A CB gleich, und hieraus dass auch A D und B C parallel sind. Sind in einem Viereck zwei Gegenseiten gleich und dieselben zwei Seiten parallel, so ist das Viereck ein Parallelogramm. (3) Denn ist AB = DC und AB || DC und zieht man wieder AC, so stimmen die entstehenden Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein — in letzterem, weil Z BA C und Z ACD als Wechselwinkel an parallelen Geraden gleich sind. Aus der Congruenz der Dreiecke folgt, wie im vorigen Beweise, dass auch AD || BC ist. 201 2. Die Congruenz. Ist dagegen von einem Viereck bekannt, dass zwei Seiten desselben parallel und die beiden anderen Seiten gleich sind, so kann nicht behauptet werden, dass das Viereck nothwendig ein Parallelogramm sein müsse, denn zieht man wieder eine Diagonale, so stimmen die entstehenden Dreiecke in zwei Seiten und einem gegenüberliegenden Winkel überein, und es bleibt also die Möglichkeit bestehen, dass dieselben nicht congruent sind. Halbiren die Diagonalen eines Vierecks einander, so ist dasselbe ein Parallelogramm. (4) Der Beweis dieses Satzes geschieht leicht mit Hilfe der Congruenz je zweier einander gegenüberliegender Dreiecke, welche in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Stehen die Diagonalen eines Parallelogramms senkrecht zu einander, so ist dasselbe gleichseitig. Dieselbe Behauptung gilt, wenn die Diagonalen eines Parallelogramms die betreffenden Winkel desselben halbiren. (5) Der Beweis folgt aus der Congruenz zweier aneinanderliegender Dreiecke, welche in zwei Seiten und entweder dem eingeschlossenen (rechten) oder m dem der grösseren (resp. in beiden) gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. Sind die Diagonalen eines Parallelogramms einander gleich, so lst dasselbe rechtwinkelig. (6) - - -Dreiecke, welche eine Seite des Der Beweis folgt aus der Congruenz zwe ^ den drei Se iten überein- Parallelogramms gemeinschaftlich haben, un gemeinschaftlichen Seite stimmen. Daher sind zwei innere Gegenwinkel a ) 8 einander gleich, also rechte. das vieredc dn In den beiden letzten der vorstehenden Umkehrungssatze mu Parallelogramm sei, mit in die Voraussetzung aufgenommen Sätzen Durch Verbindung der Umkehrungssätze dieses Paragraphen mit den des § 23 ergiebt sich noch Folgendes: emer gegebenen Geraden Der geometrische Ort aller Punkte, welc p , welche der eine gegebene Entfernung haben, besteht aus den Z ^ versdlied e ne n Flächen- ersteren in dem gegebenen Abstand parallel sind un seiten der ersteren liegen. ■ „es-ebenen Umgekehrt ist der geometrische Ort aller Punkte, jec^ ^ gleidie * Absta nd parallelen Geraden gleichweit entfernt sind, die zt von ihnen parallele Gerade. Diagonalen schief zu In jedem ungleichseitigen Parallelogramm s ung leicbe Theile. einander und theilen die betreffenden Winkel in J D ; alen ungleich; die In jedem schiefwinkeligen Parallelogramm S1 spitzen Winkel, grössere Diagonale geht durch die Scheitel de S 25. Vom Trapez. . • ■\7iprpclt zwei Seiten parallel und Wie bereits gezeigt wurde, können m em parallel zu sein brauchen, die beiden anderen gleich sein, ohne dass V Man erhält ein solches Trapez, welches ein gleich- schenkeliges Trapez oder ein Antipai allelogramm genannt wird, wenn man an eine Seite BE eines schief- winkeligen Parallelogramms AB ED in der Forderung entsprechender Weise ein gleichschenkeliges Dreieck BEC anlegt. 202 Planimetrie. Ist umgekehrt ABCJD ein gleichschenkeliges Trapez, so lässt sich dasselbe in ein Parallelogramm und ein gleichschenkeliges Dreieck zerlegen, denn ist AB || JDC, AD = BC und zieht man BE parallel zu AD bis zum Durchschnittspunkt E mit DC\ so ist AB ED ein Parallelogramm, mithin BE — AD, und somit BE auch gleich B C, also BEC ein gleichschenkeliges Dreieck. Hieraus folgt weiter, dass Z BEC= Z BCE, und da Z BEC = Z ADE sein muss (als correspondirender an parallelen Linien), so ist auch Z BCD = Z ADC. Ferner betragen die Gegenwinkel an den parallelen Trapezseiten, also BAD und ADC, und ebensoZ_/5CundZ?CZ> zusammen zweiRechte. Nach Abzug dergleichen Winkel an D und C von je zwei Rechten bleiben daher auch für die beiden anderen Winkel des Trapezes gleiche Werthe übrig. Somit gilt der Satz: In jedem gleichschenkeligen Trapez sind je zwei an einer der parallelen Seiten liegende Winkel gleich. (1) A 3 Zieht man ferner die Diagonalen AC, BD, so sind die Dreiecke ADC, BCD congruent, da DC — DC, AD = BC, A'ADC= Z BCD ist. Hieraus folgt: D ie D i a g o n a 1 e n eines jeden gleichschenkeligen Trapezes sind gleich lang. (2). Wie von den beiden vorstehenden Sätzen richtige Umkehrungen gebildet und bewiesen werden können, bedarf keiner näheren Erörterung. Zieht man in einem beliebigen Trapez durch den Halbirungspunkt einer der nicht parallelen Seiten die Parallele zu den parallelen Seiten, so muss dieselbe die andere nicht parallele Seite ebenfalls halbiren. Denn ist AB\\EF\\ DC und AE = ED, und zieht man BG \\ AE bis zum Durchschnitt mit EF und FH || ED bis zum Durchschnitt mit DC, so ist BG = AE und FH — ED (als Parallele . zwischen Parallelen), mithin auch BG — FH. Da ferner die Winkel BFG und FCH und ebenso die Winkel FBG und CFH als corre- spondirende an parallelen Linien gleich sind, so sind die Dreiecke BGF und FHC congruent, und mithin die homologen Seiten BF und FC einander gleich. Umgekehrt muss die Verbindungslinie der Halbirungspunkte der nicht parallelen Seiten eines Trapezes den parallelen Seiten desselben parallel sein, denn aus der Annahme des Gegentheils würde folgen, dass die durch E zu AB und DC gezogene, von der Verbindungslinie EF verschiedene Parallele die Seite BC in einem zweiten Halbirungspunkte treffen müsste, was nicht möglich ist. Die Gerade EF, welche somit die doppelte Eigenschaft hat, dass sie die nicht parallelen Seiten des Trapezes halbirt uud den parallelen Seiten parallel ist, heisst die Mittellinie des Trapezes. Aus der Congruenz der Dreiecke BGF und FHC folgt noch, dass auch GF— HC ist. Da nun EG = AB, DH = EF (als Parallele zwischen Parallelen), so ist EF—AB — DC — EF, oder wenn man der Kürze halber AB — a, DC = b und EF = m setzt, m — « = b — m, oder 2 m = a -+■ b, oder m — Die Hälfte der Summe zweier Grössen heisst das arithmetische Mittel der letzteren. Man kann daher den Satz aufstellen: 203 2. Die Congruenz. ^ .... ist crleich dem arithmetischen Die Mittellinie eines jeden Trapezes is g Mittel der beiden parallelen Seiten. (3) kleinere parallele Seite Die vorstehenden Sätze gelten auch dann, wenI J veTSC hwindet, in welchem des Trapezes in Folge stetiger Abnahme schliesslic bleiben im Wesent- Falle sich das Trapez auf ein Dreieck reducirt. ie dasg b q m it AE zu- lichen unverändert; der einzige Unterschied beste it ar > y erbbldun g S linie der sammenfällt, also nicht construirt zu werden braue • u r ;cten Seite parallel Halbirungspunkte zweier Seiten eines Dreiecks ist also der dritte und halb so gross als dieselbe. Ausnahme, wenn die nicht Die vorstehenden Sätze erleiden ferner ei , das Trapez also parallelen Seiten des Trapezes durch parallele erse z p a p nur wesent- zu einem Parallelogramm wird; die Beweise wer en in ^ FH zusammenfallen, lieh vereinfacht, indem BF und FC bezüglich mi vorstehende Durch eine noch weitergehende Verallgemeinerung fuhrt Untersuchung zur Aufstellung folgender Satze. heliebi* gleiche Strecken Sindauf einer von zweibeliebigenGera en „vtp derselben nach AB, CD, DE, . . abgetragen und gQZOgen , welche die beliebiger Richtung unter sich paralle 0 llf 1 etzterer abgschnittenen andere Gerade schneiden, so sind auch ie ...zwischen Strecken, welche mit je einer der Strecken ’ ’ j -ii- ti — H. 1 .. einander gleich, f ) / Strecken, welche mit je einer der denselben Parallelen liegen, einander gl eic Zum Beweise ziehe man, wenn die gegebenen Geraden nicht parallel sind, die Parallelen > C’D", D'E" u. s. w. bezüglich zu AB, CD, u. s. w. und benutze ganz ebenso, wie bei dem einfachsten Fall dieses Satzes für ein Trapez, ie Congruenz der Dreiecke A'B'B' , C D D , F> u. s. w. Sind dagegen die gegebenen Gera en selbst parallel, so folgt die Richtigkeit des Satzes ohne Weiteres daraus, dass die Strecken ’ CD 1 u. s. w. denStrecken AB, CD u. s. w. se s als Parallele zwischen Parallelen gleich sind.-- « Durchschnittspunkt der beiden eine der parallelen Linien AA' u. s. w. durc en 7US -\eich, ohne dass eine ersten Geraden, so gilt dieser Punkt für beide er ^ . wesentliche Aenderung des Beweises emtn > ijnd DD', * schnittspunkt 5 zwischen zweien der Parallelen nur so bleibt der Beweis ebenfalls im Wesentlichen ^ Gerade trifft die durch C zu CD gezogene Parallele B>D ' auf ihrer Verlängerung über D. gate eine um- Man kann auch zu dem vorstehenden all S e *" a D'D", kehrung, sowie einen auf der Gleichheit der ^ sc h eT , den Längen . . . beruhenden Satz über die Bez *“ en dies hier, da die der parallelen Verbindungslinien ableiten. • en enthalten sind,-“/ betreffenden Sätze als besondere Fälle in noc a ^ / welche an einer späteren Stelle zur Behandlung --VierViaiiDt j triplecke ubeinaupL. § 26. Die Congruenz dei Vieic ^ ^ Diagonalen oder Jedes Vieleck kann auf verschiedene Art ®”’ ' mit aUen Eckpunkten, in durch Verbindung eines im Innern gelegenen Dreiecke zerlegt werden. 204 Planimetrie. Ist jedes von zwei Vielecken in « Dreiecke zerlegt, ist ferner jedes der Dreiecke des einen einem entsprechenden Dreiecke des anderen congruent, und liegen endlich diese congruenten Dreiecke in beiden Vielecken in durchaus übereinstimmender Weise aneinander, so können die beiden Vielecke so auf einander gelegt gedacht werden, dass jedes Dreieck des einen das ihm entsprechende des anderen, und dass somit die Vielecke selbst einander decken. Mithin sind letztere in solchem Falle congruent. In der Zerlegung von Vielecken in Dreiecke ist somit ein Mittel gegeben, um unter geeigneten Verhältnissen die Congruenz der ersteren zu beweisen. Jedes «-Eck lässt sich durch eine Diagonale in ein (« — 1)-Eck und ein Dreieck zerlegen. Sind die Stücke des «-Ecks, welche zur Bestimmung des (« — 1)-Ecks erforderlich sind, gegeben, so ist mit letzterem auch eine Seite des Dreiecks bestimmt. Man bedarf also nur noch zweier Bestimmungsstücke dieses Dreiecks, um auch dasselbe, und somit das «-Eck selbst zu bestimmen. Somit ergiebt sich, dass man zur Bestimmung eines «-Ecks zwei (von einander unabhängige) Stücke mehr braucht, als zur Bestimmung eines ( n — 1)-Ecks. Da nun ein Dreieck im Allgemeinen durch drei Stücke bestimmt ist, so beträgt die Anzahl der erforderlichen Bestimmungsstücke bei einem Viereck 5, bei einem Sechseck 7, u. s. w., allgemein bei einem «-Eck 2« — 3. Es sind also im Allgemeinen je drei Stücke eines «-Ecks durch die 2« — 3 übrigen bestimmt. Die letzteren müssen selbstverständlich von einander unabhängig sein und dürfen daher z. B. nicht alle « Winkel des Polygons enthalten. Ein solches Bestimmungsstück kann durch eine anderweite Bedingung für Stücke des Polygons ersetzt werden, wie z. B. durch diejenige, dass zwei bestimmte Seiten einander parallel sein sollen. Die Richtigkeit dieser Behauptung ergiebt sich u. A. aus den folgenden besonderen Fällen: Parallelogramme, welche in zwei aneinander liegenden Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind congruent (1). Der Beweis dieses Satzes kann sowol durch Zerlegung der Parallelogramme in congruente Dreiecke, als auch unmittelbar durch Deckung geführt werden. Ein Parallelogramm kann also schon durch drei von einander unabhängige Stücke bestimmt werden, während für ein Viereck überhaupt fünf Bestimmungsstücke nöthig sind. Dies rührt offenbar daher, dass die doppelte Bedingung des Parallelismus je zweier Gegenseiten die fehlenden Bestimmungsstücke liefert. Ueberhaupt ist ein Parallelogramm durch irgend welche drei Stücke (selbstverständlich unter Angabe der gegenseitigen Lage derselben im Parallelogramm) bestimmt, die eins der Dreiecke bestimmen, in welche das Parallelogramm durch die beiden Diagonalen zugleich getheilt wird. Insbesondere ist weiterhin ein Rechteck durch zwei aneinanderliegende Seiten, ein Rhombus durch eine Seite und einen Winkel, ein Quadrat durch eine Seite bestimmt. — Nimmt man, wie bei dem Parallelogramm überhaupt, die Diagonalen und die von ihnen mit den Seiten und unter sich gebildeten Winkel unter die Bestimmungsstücke auf, so ist ein Rechteck und ebenso ein Rhombus im Allgemeinen durch zwei von einander unabhängige Stücke, ein Quadrat durch ein (nicht, wie die betreffenden Winkel, ohne dies bekanntes) Stück bestimmt. Eine analoge Untersuchung zeigt, dass ein gleichschenkeliges Trapez durch drei, ein Trapez überhaupt durch vier Stücke im Allgemeinen bestimmt ist. Die Zerlegung der Polygone in Dreiecke reicht nicht in allen Fällen hin, um im Besonderen 2. Die Congruenz. 2 °5 den Nachweis führen zu können, dass das Polygon durch die gegebenen Stucke bestimmt ist, oder dass die in diesen Stücken übereinstimmenden Polygone congiuent sind. Beispielsweise findet dies schon bei Vierecken statt, wenn zwei gegenüberliegende Seiten und drei Winkel desselben als Bestimmungsstücke gewählt sind. Doch reicht das Vorstehende für die nachfolgenden Untersuchungen hin, und es kann daher eine allgemeinere Theorie der Congruenz beliebiger Polygone einer anderen Stelle überlassen bleiben. § 27. Kreis und Punkt. ■ Ein Punkt kann innerhalb der von einem Kreise eingeschlossenen Flache oder ausserhalb derselben oder auf dem Kreise selbst liegen. Der Kürze halber sa gt man in den beiden ersteren Fällen, der Punkt liege innerhalb, bezw. ausserhalb des Kreises. Aus der Erklärung des Kreises folgt unmittelbar: Je nachdem ein Punkt innerhalb eines Kreises, auf demselben oder ausserhalb desselben liegt, ist sein Abstand vom Mittelpunkt kleiner, ebenso gross oder grösser als ein Radius des Kreises. Umgekehrt, je nachdem der Abstand eines Punktes vom Mittelpunkt emes Kreises kleiner, ebenso gross oder grösser als ein Radius des letzteren ist, liegt der Punkt innerhalb des Kreises, auf demselben oder ausserhalb desselben Hieraus ergeben sich folgende Sätze: Kreise mit gleichen Radien sind eongruent (1), denn sie lassen sich zur Deckung bringen, indem man sie so aufeinander legt, dass ihre Mittelpunkte zusammenfallen. Fiele nämlich hierbei ttgend ein Punkt des einen Kreises nicht auf einen entsprechenden Punkt des anderen, so müsste er ausserhalb oder innerhalb des letzteren hegen und m dl esem Fall könnte sein Abstand vom gemeinschaftlichen Mittelpunkt nicht gleic i dem gemeinschaftlichen Radius sein. Ebenso, wie die Kreise sind zufolge dieses Beweises die von ihnen begrenzten Kreisflächen congruent. — Umgekehrt ist von zwei Kreisflächen mit ungleichen R adien diejenige grösser als die andere, welche den grösseren Radius hat. (Gleiche Kreisflächen sind congruent.) ' . Jeder Durchmesser eines Kreises theilt diesen und die zugehörige Eläche in zwei congruente Theile (2). Der Beweis kann in gleicherweise, "de der des vorigen Satzes, durch Deckung geführt werden. . Man nennt jeden der beiden gleichen Theile eines Kreises einen Halbkreis. Zu jeder Sehne eines Kreises gehören zwei durch dieselbe begrenzte ogen desselben. Diese Bogen sind nach dem Vorstehenden einander gleich, wenn d 'e Sehne ein Durchmesser ist; dagegen sind sie in jedem anderen Fall ungleic i. Verbindet man die Endpunkte eines Bogens mit dem Mittelpunkt, so begrenzen die beiden verbindenden Radien mit dem Bogen einen Theil der Kreis ac le Welcher ein Sector oder Kreisausschnitt genannt wird. Derjenige Thei e Mer Kreisfläche, welcher von einem Bogen und der zugehörigen Sehne begrenz heisst ein Segment oder Kreisabschnitt. Jeder Winkel, dessen Scheitel der Mittelpunkt ist (dessen Schenkel also durch Radien angegeben werden können), Lisst ein Centriwinkel. Zu jedem Centriwinkel a gehört em he stimmter (zwischen seinen Schenkeln Hegender) Bogen AB, eine bestimm e Sehne A B, ein bestimmter Sector ACB und ein bestimmtes Segment Ist dei Centn- winkel ein gestreckter, so wird der Bogen ein Halbkreis, die Sehne em i besser, und Sector und Segment werden beide zur Halbkreisflache. Ebenso gehört zu jedem Bogen AB ein bestimmter Centriwinkel «, eine bestimmte Sehne u. S. W. Dagegen gehören zu jeder Sehne AB, wie zwei im Allgemeinen Aß. verschiedene Bogen, so auch zwei Centriwinkel, zwei Sectoren und zwei Segmente. 206 Planimetrie. Die beiden Centriwinkel betragen stets zusammen vier Rechte, daher ist im Allgemeinen der eine hohl, der andere erhaben. Die beiden Sectoren und ebenso die beiden Segmente bilden zusammen die ganze Kreisfläche. Durch Deckung kann, entsprechend wie in den vorhergehenden Sätzen, bewiesen werden: Zu gleichen Centriwinkeln gehören (in demselben Kreise oder in gleichen Kreisen) gleiche Bogen, gleiche Sehnen, gleiche Sectoren und gleiche Segmente. (3) Umgekehrt gehören zu gleichen Bogen gleiche Centriwinkel, gleiche Sehnen u. s. w., und zu gleichen Sehnen gehören gleiche hohle und gleiche erhabene Centriwinkel, gleiche Bogen, die kleiner als ein Halbkreis, und gleiche Bogen, die grösser als ein Halbkreis sind, u. s. w. Gleiche Bogen desselben Kreises oder gleicher Kreise, und ebenso gleiche Sectoren und Segmente sind congruent. § 28. Kreis und Gerade. Fällt man vom Mittelpunkt eines Kreises auf eine Gerade die Senkrechte, so sind alle Punkte der Geraden, welche nicht der Fusspunkt der Senkrechten sind, vom Mittelpunkt des Kreises weiter entfernt als dieser Fusspunkt (Vergl. § 20, (1)). Hieraus folgt: Ist der Abstand einer Geraden vom Mittelpunkt eines Kreises grösser als ein Radius des letzteren, so liegen alle Punkte der Geraden ausserhalb des Kreises; ist jener Abstand gleich einem Radius, so hat die Gerade mit dem Kreise einen einzigen Punkt gemeinsam, und alle anderen Punkte der Geraden liegen ausserhalb des Kreises; ist endlich jener Abstand kleiner als ein Radius, so geht die Gerade durch einen Punkt im Innern des Kreises. Im zweiten dieser Fälle sagt man, die Gerade berühre den Kreis, im dritten, sie schneide denselben. Eine Gerade, die einen Kreis berührt, heisst eine Berührungslinie oder eine Tangente des Kreises, und der beiden- Linien gemeinschaftliche Punkt heisst der Berührungspunkt derselben. Eine Gerade, die einen Kreis schneidet, heisst eine Secante desselben, und jeder gemeinschaftliche Punkt beider Linien heisst ein Durchschnittspunkt derselben. Da der Kreis eine ringsum geschlossene Figur begrenzt, so muss eine unendliche Gerade, die durch einen Punkt im Innern der letzteren geht, die begrenzende Linie in mindestens zwei Punkten schneiden; denn denkt man sich die Gerade durch einen bewegten Punkt beschrieben, so muss dieser an der Stelle eines Durchschnittspunktes in’s Innere der Figur ein-, und an der Stelle eines anderen aus demselben austreten. Es seien A und B diese beiden Durchschnittspunkte einer Secante, C der Fusspunkt der vom Mittelpunkt M des Kreises auf die Secante gefällten Senkrechten, so ist MA = MB. Verbindet man einen Punkt der Secante zwischen A und B mit M, so ist die Verbindungslinie nach § 20 kürzer als ein Radius; verbindet man dagegen einen Punkt der Secante, welcher weiter von C entfernt ist, als A oder B, mit M, so ist die Verbindungslinie länger als ein Radius. Demnach kann eine gerade Linie einen Kreis nicht in mehr als zwei Punkten schneiden. Alle zwischen diesen Durchschnittspunkten liegenden Punkte der Secante liegen innerhalb, alle anderen 2. Die Congruenz. 207 >-können niemals auf einer ausserhalb des Kreises. Drei Punkte K « :l Rreises kann a i s0 gerade und derselben geraden Linie liegen, kein Theil sein, oder der Kreis ist in allen seinen Theilen eine r ^ mm . . g e j ne Sehne Jede Secante hat nach dem Vorstehenden mit ^ mit dem Mittelgemeinsam. — Verbindet man die Endpunkte A, B ei Durch Anpunkte M des Kreises, so entsteht ein gleichschenkelige . bezw . Wendung der Sätze des § 21 auf dieses und entsprechende Erweiterung Umkehrung erhält man leicht folgende Sätze über Sehnen. Sehne Das 4» Mittelpunkt auf ein, Sehne gefällte Eerperrchkel ‘l “ta'p sie und die zu derselben gehörigen Centriwinkel. Daher halbir a ( Verlängerung) auch die beiden zu der Sehne gehörigen ° g6 ^ , r steht Der durch den Halbirungspunkt einer Sehne g e en e c triwinke l un d umgekehrt senkrecht zur Sehne und halbirt die zuge origen Die Halbirungslinie eines Centriwinkels steht senkrecht ^ gehörigen Sehne und halbirt dieselbe, sowie die zuge st S ehende Gerade Die auf einer Sehne in ihrem Halbmmgspun ^ geht durch den Mittelpunkt des Kreises, u.^s. auch die zugehörige Der Durchmesser, welcher einen Bogen ’ Sehne und steht senkrecht zu derselben, u. s. w. ( Halbirungspunkt der Die durch den Halbirungspunkt eines °8 e ** Mittelpunkt und steht zugehörigen Sehne gehende Gerade geht auch durch den senkrecht zu der Sehne, u. s. w. (6) umihmimrsnunkte der beiden Dasselbe gilt von der Verbindungslinie der Halbiumgsp B °gen, welche zu einer und derselben Sehne ge oran ^ Sehne gefällte Die vom Halbirungspunkt eines Bogens auf die zugei Senkrechte geht durch den Mittelpunkt, u. ^ w_ ( ) entfemi . so ist er Ist ein Punkt von drei Punkten eine Mittelsenkrechten der Mittelpunkt. Denn sind A, B, Cjene Punkte, ^ müsse ^ ^ beide der Sehnen AB, BC beide einander nach (4) im M 1 > nach § 21 in jenem gleichweit entfernten Punkte sc m ^ lässt sich ein Durch jede drei Punkte, welche nicht m gerader L % Kreis, und nur ein einziger legen. (10) welche eine gemeinschaft- Der geometrische Ort der Mittelpunkte a er r , CD. Eine kleinste Sehne eines Kreises giebt es nicht. Lässt man eine Secante sich so bewegen, dass ihr Abstand vom Mittelpunkt stetig kleiner wird, so wird die zugehörige Sehne ebenfalls stetig kleiner und verschwindet,. indem sie sich auf einen Punkt reducirt, wenn der Abstand der bewegten Geraden vom Mittelpunkt gleich dem Radius wird. Die Secante wird in diesem Fall zu einer Tangente. In diesem Sinne kann man sagen, eine Tangente dürfe als eine Secante betrachtet werden, deren beide Durchschnittspunkte mit dem Kreise in einen Punkt zusammengefallen seien. Die fundamentalen Sätze über Tangenten des Kreises knüpfen sich an den bereits im Eingang dieses Paragraphen bewiesenen Satz, welcher sich auch, wie folgt, aussprechen lässt: Eine Gerade, welche auf einem Radius in seinem (auf der Peripherie liegenden) Endpunkte senkrecht steht, berührt den Kreis in diesem Punkte. (14) Dieser Satz gestattet zunächst folgende Umkehrungen: Jede Tangente eines Kreises steht senkrecht auf dem durch ihren Berührungspunkt senkrechten Radius. (15.) Steht nämlich eine Gerade AB auf einem Radius MC in C schief, so muss das vom Mittelpunkt M auf AB gefällte Perpendikel kleiner als der Radius MC sein, und somit AB den Kreis schneiden. Daher lässt sich durch einen und denselben Punkt eines Kreises nur eine einzige Tangente an diesen ziehen. Da ferner nur eine einzige Senkrechte vom Mittelpunkt auf die Tangente möglich ist, so folgt umgekehrt: Die vom Mittelpunkt auf eine Tangente gefällte Senkrechte trifit letztere in ihrem Berührungspunkt (16) und Die auf einer Tangente in ihrem Berührungspunkt errichtete Senkrechte geht durch den Mittelpunkt (17). Zieht man ferner an einen Kreis zwei Tangenten, so können dieselben nur dann parallel sein, wenn ihre Berührungs-Radien in ein^ Gerade fallen, und umgekehrt; die durch die Endpunkte eines Durchmessers gezogenen Tangenten sind parallel. Je zwei Tangenten, deren Berührungspunkte nicht Endpunkte desselben Durchmessers sind, schneiden einander in einem ausserhalb des Kreises liegenden Punkte. Umgekehrt lassen sich von jedem ausserhalb eines Kreises liegenden Punkte zwei, und nicht mehr Tangenten an ersteren ziehen, denn ist A jener 209 2. Die Congruenz. Punkt und M der Mittelpunkt des Kreises, und lässt man die du xch A und M gehende Secante sich um A drehen, so erhält dieselbe bei g eicien ihrer ursprünglichen Lage AM zu beiden Seiten der letzteren aucig stände vom Mittelpunkt (denn die betreffenden rechtwinke igen congruent), dagegen bei verschiedenen Winkeln zufolge der Nichtcongruenz der betreffenden rechtwinkeligen Dreiecke auch verschiedene Abstände, und zwar wächst der Abstand stetig bei stetig wachsendem Winkel. Es giebt daher auf jeder Seite von AM eine und nur eine Lage der Secante, bei welcher ihr Abstand vom Mittelpunkt gleich dem Radius ist, sie selbst also zur Tangente wird. sn Sind AB und AC die beiden von A an den Kreis M mög ic en ang ’ stimmen die Dreiecke ABM und ACM ausser in den Radien MB, gemeinschaftlichen Seite AM auch in den rechten Winkeln bei un ein und sind also congruent. Hieraus folgt: t . Je zwei von demselben Punkt an einen Kreis gezogene ^ sind (von diesem Punkt bis zu den Berührungspunkten gerechnet) glei lang. (18.') , q, Der Winkel der beiden von demselben Pimkt ausge len en ai^ genten wird durch die Verbindungslinie des Punktes mi Punkt halbirt. (19) ,. Dasselbe gilt von dem Winkel der beiden Schenkel eines Umgekehrt liegt der Mittelpunkt eines jeden Kreises, ci ^ gegebenen Winkels berührt, auf der Halbirungslmie des letzteren, o Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche zwei gegebene einander schneidende Gerade beiüiren ^ ,r Halbirungslinien der Winkel dieser Geraden ge i e ‘ ' - t gich Wir fügen diesem Orte noch die folgenden hinzu, deien g leicht aus den vorhergegangenen Sätzen nachweisen lasst. o-pp-ebene Der geometrische Ort de, Mittelpunkte .Her Kre.se, welche parallele Linien berühren, ist die zu diesen Limen m gle.che,« Abstand bdd De,Te—det Mirreipunkre Gerade in einem gegebenen Punkte derselben beruhten, ts ZU der Geraden senkrechte Gerade. 2 R sein müsse. Soll also Z ABC -s- Z CDA — 2 R sein, so muss auch D auf dem durch A, B und C gelegten Kreise liegen. Ist in einem Viereck die Summe zweier Gegenseiten gleich der .Summe der beiden anderen, so lässt sich in das Viereck ein Kreis beschreiben. (4) S 214 Planimetrie. Es lässt sich nämlich stets ein Kreis beschreiben, der drei Seiten AB, BC, CD des Vierecks berührt. Schnitte nun die vierte Seite AD den Kreis, so könnte man mittelst einer von D an letzteren gelegten Tangente ein Tangentenviereck EBCD construiren, und es müsste dann EB h- CD = BC - 4 - DE sein. Da nun EB = AB - 1- AE und DE < AE + AD, so müsste AB-‘r AE-\- CD < BC~h AE AD, oder, wenn man auf beiden Seiten AE subtrahirt, AB-v CD BC+ AD sein müsse. Soll also AB -+- CD = BC + AD sein, so muss auch DA den Kreis berühren. Insbesondere folgt aus den vorstehenden Sätzen, dass sich ujn jedes Rechteck und in jeden Rhombus ein Kreis beschreiben lässt; zu jedem Quadrat giebt es einen einbeschriebenen und einen umbeschriebenen Kreis. Von anderen Sehnen- und Tangenten-Vielecken sind nur noch die regelmässigen Polygone von besonderem Interesse, d. h. solche geradlinige Figuren, deren Seiten und ebenso deren Winkel sämmtlich gleich gross sind. Die Beispiele des gleichseitigen Dreiecks und des Quadrats haben bereits die Möglichkeit solcher Figuren gezeigt, allgemeiner ergiebt sich dieselbe, wenn man sich in einem Kreise « Radien so gezogen denkt, dass je zwei aufeinander folgende 360 ° mit einander einen Winkel von—— bilden, und dann die Endpunkte je zweier solcher benachbarten Radien mit einander verbindet. Diese Verbindungslinien müssen nämlich ein «-Eck begrenzen, dessen Seiten sämmtlich t Sehnen zu gleichen Centriwinkeln, also auch gleich gross sind; dass auch alle Winkel des «-Ecks einander gleich sein müssen, kann damit bewiesen werden, dass jene n Radien das «-Eck in « gleichschenklige Dreiecke theilen, welche sämmtlich in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, also congruent sind. Hieraus ergiebt sich nämlich leicht, dass jeder der Polygonwinkel die Summe zweier von 2« einander gleichen Winkeln ist. Diese Zusammensetzung der Polygonwinkel führt auch auf den Satz, dass jeder derselben gleich 180° - 360° ist. Derselbe kann übrigens auch mittelst der bekannten Winkelsumme eines «-Ecks gefunden werden, aus welcher sich bei der Gleichheit der « Winkel der Werth jedes einzelnen gleich - Rechte = 2 R -— R n ergiebt. Während im Vorstehenden ein regelmässiges Polygon mittelst eines Kreises als diesem einbeschriebene Figur entstanden gedacht wurde, soll nun zunächst gezeigt werden, dass umgekehrt jedem regelmässigen Polygon — also auch, wenn ein solches auf andere Weise entstanden gedacht oder gegeben sein sollte — ein Kreis umbeschrieben, sowie ferner ein Kreis einbeschrieben werden kann. Zu diesem Zweck mögen zunächst zwei benachbarte Winkel FAB, ABC eines als 2. Die Congruenz. 215 regelmässig vorausgesetzten Polygons ABCDEF halbirt, und der mit M be- zeichnete Durchschnittspunkt der Halbirungslinien mit allen noch übrigen Eckpunkten des Polygons verbunden sein. Da die ganzen Winkel FAB, ABC zufolge der Voraussetzung gleich gross sind, so müssen auch ihre Hälften a, ß einander gleich sein; daher ist das Dreieck gleichschenkelig, d. h. es ist AM gleich BM. Es stimmen ferner die Dreiecke ABM, B CM in der gemeinschaftlichen Seite BM, den nach Voraussetzung gleichen Seiten AB, BC und in den Hälften ß, 7 des Polygonwinkels B überein und sind also congruent. Hieraus folgt, dass CM = AM ist und mithin muss auch CM = BM, also das Dreieck BCM gleichschenkelig sein. Da hiernach wieder die Winkel 0 und 7 einander gleich sind, so ergiebt sich mit Berücksichtigung der Gleichheit der ganzen Winkel B und C, und dass 7 die Hälfte von B ist, dass auch 0 die Hälfte von C, oder 0 gleich e sein muss. Nun lässt sich in gleicher Weise, wie vorher die Congruenz der Dreiecke ABM und BCM, auch die der Dreiecke BCM und CDM beweisen und aus derselben wieder folgern, dass das Dreieck CDM gleichschenkelig oder CM = DM ist. Man kann dann in derselben Weise, wie vorher, fortfahren und für jede beliebige Anzahl von Theildreiecken den Beweis bis zum letzten derselben fortsetzen. Somit folgt, dass die Strecken AM, BM, CM, DM\\. s. w. sämmtlich gleich lang sind, oder der Satz; In jedem regelmässigen Polygon giebt es einen Punkt, welcher von allen Eckpunkten gleichweit entfernt ist, oder was dasselbe ist, um jedes regelmässige Polygon lässt sich ein Kreis beschreiben. (5) Dieser Punkt wird der Mittelpunkt des Polygons genannt, und seine Verbindungslinien mit den Eckpunkten heissen die grossen Radien des letzteren. Aus dem vorstehenden Beweise gehen unmittelbar noch die folgenden Eigenschaften regelmässiger Figuren hervor: Die grossen Radien theilen das regelmässige »-Eck in n congruente und gleichschenkelige Dreiecke. Dieselben halbiren ferner die Polygonwinkel und je zwei benachbarte bilden mit einander einen Winkel von- Grad. Umgekehrt müssen daher — da jeder Winkel nur eine einzige Halbirungs- linie hat—die Halbirungslinien sämmtlicher Winkel eines regelmässigen /z-Ecks durch ein und denselben Punkt, nämlich den Mittelpunkt der Figur gehen. Da ferner die Seiten der regelmässigen Figur gleiche Sehnen des derselben umbeschriebenen Kreises sind und folglich von dem Mittelpunkt gleichweit abstehen, da also, was dasselbe ist, der Mittelpunkt des Polygons auch von allen Seiten desselben gleichweit entfernt ist, so folgt, dass sich auch in jede regelmässige Figur ein Kreis beschreiben lässt (6), und dass der Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises zugleich der des einbeschriebenen ist. Die von dem Mittelpunkt einer regelmässigen Figur auf die Seiten derselben gefällten Senkrechten, d. i. die nach den Berührungspunkten gehenden Radien des einbeschriebenen Kreises, heissen die kleinen Radien der Figur. Aus den vorstehenden Sätzen folgen endlich leicht noch die nachstehenden: Die kleinen Radien einer regelmässigen Figur halbiren die betreffenden Seiten und die zugehörigen Winkel, welche je zwei benachbarte grosse Radien am Mittelpunkt mit einander bilden. — Umgekehrt müssen die auf den Seiten 2IÖ Planimetrie» einer regelmässigen Figur in ihren Halbirungspunkten errichteten Senkrechten sämmtüch durch einen und denselben Punkt, nämlich den Mittelpunkt, gehen. — Die grossen und die kleinen Radien vereinigt zerlegen das regelmässige «-Eck in 2 n congruente und rechtwinkelige Dreiecke. Jedes dieser Dreiecke enthält alle zur Charakteristik des Polygons wesentlichen Stücke desselben: seine Seiten sind bezüglich der halben Polygonseite, dem grossen und dem kleinen Radius gleich, und unter seinen Winkeln ist einer gleich der Hälfte des Polygonwinkels, ein anderer gleich dem Quotienten von zwei Rechten durch die Anzahl der Seiten. Ein solches Dreieck heisst daher Bestimmungsdreieck der regelmässigen Figur. § 31. Zwei Kreise. Die Verbindungslinie der Mittelpunkte A, B zweier Kreise heisst die Centrallinie der letzteren. Die Centrallinie der Kreise A,B schneidet den Kreis B in einem Punkte C, und ihre Verlängerung über den Mittelpunkt B schneidet denselben Kreis in einem Punkte D. Es sei nun E ein beliebiger anderer Punkt des Kreises B, und man habe denselben mit beiden Mittelpunkten A, B verbunden, so ist in dem Dreieck ABE, AB -+- BE > AE und AB — BE < AE. Da nun BE = BD = BC, so ist auch AB -t- BD > AE und AB — BCAE und AC R -+- r, so ist A C > R, und es liegt C, und folglich auch jeder andere Punkt des Kreises B ausserhalb des Kreises A. Ist die Centrallinie zweier Kreise gleich der Summe der Radien, so haben beide Kreise einen einzigen Punkt gemeinsam und liegen sonst ganz ausserhalb einander. Denn in diesem Fall ist AC=AB — BC=R, es liegt also C auf dem Kreise A, und jeder andere Punkt von B ausserhalb A. Ist die Centrallinie zweier Kreise kleiner als die Summe und grösser als die Differenz der Radien, so schneiden die Kreise einander. Denn ist AB C R -t- r, so ist AC R — r, so ist AD oder AB -t- r > R, also liegt D ausserhalb des Kreises A. Da also der Kreis B zum Theil ausserhalb und zum Theil innerhalb des Kreises A liegt, so müssen die Kreise einander durchschneiden. Ist die Centrallinie zweier ungleicher Kreise gleich der Differenz der Radien, so haben die Kreise einen einzigen Punkt gemeinsam, und jeder andere Punkt des kleineren Kreises liegt innerhalb des grösseren. Denn ist AB = R — r, so ist AD oder AB-\- r = R, also liegt D auf dem Kreise A, und jeder andere Punkt von B innerhalb des Kreises A. Ist die Centrallinie zweier ungleicher Kreise kleiner als die Differenz der Radien, so liegen alle Punkte des kleineren Kreises innerhalb des grösseren. Denn in diesem Fall ist auch AD < R. Ist insbesondere die Centrallinie zweier ungleicher Kreise gleich Null, d. h. fallen ihre Mittelpunkte zusammen, so heissen die Kreise concentrisch. In jedem anderen Fall heissen sie excentrisch. 2. Die Congruenz. 217 Für zwei gleiche Kreise fallen die drei letzten Lagen in eine einzige zusammen, denn ist R = r , so ist /?—r = 0. Die beiden Kreise haben, wenn AB = R — r = 0 ist, alle Punkte gemeinschaftlich, d. h. sie decken einander. Von zwei Kreisen, die einen einzigen Punkt gemeinschaftlich haben, sagt man, sie berühren einander, und der gemeinschaftliche Punkt heisst ihr Berührungspunkt. Aus dem Vorstehenden geht hervor, dass es zwei Arten von Berührungen zweier Kreise giebt: bei der einen liegen die Kreise sonst ganz ausserhalb einander, und man sagt, sie berühren einander von aussen; bei der anderen liegt der kleinere Kreis sonst ganz innerhalb des anderen, und man sagt, derselbe berühre den grösseren von innen, und der grössere berühre den kleineren umschliessend. Die beiden betreffenden der obigen Sätze können nun, wie folgt, ausgesprochen werden: Ist die Centrallinie zweier Kreise gleich der Summe der Radien, so berühren die Kreise einander von aussen. (1) Ist die Centrallinie zweier ungleicher Kreise gleich der Differenz der Radien, so berührt der kleinere Kreis den grösseren von innen. (2) Zugleich geht aus den obigen Entwicklungen hervor, dass der Berührungspunkt im ersteren Fall auf der Centrallinie, im letzteren auf der Verlängerung der Centrallinie über den Mittelpunkt des kleineren Kreises liegt. Auch ergiebt sich aus dem Obigen, dass zwei Kreise einander nur unter den angegebenen Bedingungen von aussen, bezw. von innen berühren können, da für jeden anderen möglichen Fall eine andere Lage der Kreise nachgewiesen wurde. Es gelten daher auch die Umkehrungen: Berühren zwei Kreise einander von aussen, so liegt der Berührungspunkt auf der Centrallinie, und die letztere ist gleich der Summe der Radien. (3) Berührt ein Kreis einen anderen von innen, so liegt der Berührungspunkt auf der Verlängerung der Centrallinie über den Mittelpunkt des kleineren Kreises, und letztere ist gleich der Differenz der Radien. (4) Schneiden zwei Kreise einander, so geschieht dies stets in zwei Punkten, denn ist C ein Durchschnittspunkt der Kreise A, B, so bildet die Centrallinie AB mit den nach C gehenden Radien ein Dreieck, und denkt man sich dieses um AB auf die andere Pdächenseite von AB herumgelegt, so kommt es in die Lage ADB, sodass AD — AC und BD = BC, also D ebenfalls ein auf beiden Kreisen zugleich liegender Punkt ist. Dass aber zwei Kreise einander nicht in mehr als zwei Punkten schneiden können, folgt schon daraus, dass durch drei seiner Punkte ein Kreis der Lage und Grösse nach bestimmt ist, dass also zwei Kreise, welche drei Punkte gemeinsam haben, einander decken müssen. Verbindet man die Durchschnittspunkte C, D zweier Kreise A, B, so erhält man die gemeinschaftliche Sehne CD derselben. Da ACD und BCD gleich- schenkelige Dreiecke sind, so steht die Verbindungslinie ihrer Spitzen A, B senkrecht zu der gemeinschaftlichen Basis CD, oder, was dasselbe ist, die gemeinschaftliche Sehne zweier einander schneidenden Kreise steht senkrecht zu der Centrallinie. (5) 2l8 Planimetrie. § 32. Constructionen zum zweiten Kapitel. 1. Die bisher entwickelten Eigenschaften der Figuren liefern die Mittel zur Lösung von Aufgaben, welche die Construction solcher Figuren aus gegebenen Bestimmungsstücken, d. h. in der praktischen Ausführung die Zeichnung derselben mittelst Zirkel und Lineal, verlangen. Solche Constructionen, wie z. B. das Fällen einer Senkrechten von einem Punkt auf eine Gerade, das Ziehen von parallelen Linien u. dgl. m., wurden schon bei den Beweisen der Lehrsätze in den vorhergehenden Paragraphen vielfach vorausgesetzt, allein da es hier nur nöthig war, dieselben ausgeführt zu denken, reichte es hin, dass die Möglichkeit solcher Senkrechten, Parallelen u. s. w. feststand, ohne dass es nöthig war, die Mittel zur wirklichen praktischen Ausführung ihrer Construction zu erörtern. Um beispielsweise zu beweisen, dass die Winkel eines gleichseitigen Dreiecks einander gleich seien, ist es nur nöthig, sich ein solches Dreieck vorzustellen, aber keineswegs dass vorher gezeigt sei, auf welche Weise man es praktisch con- struiren könne, und ebenso ist es, wo zu einem Beweise eine Winkelhalbirende erforderlich ist, nicht nothwendig, die Construction derselben in Wirklichkeit auszuführen, sondern nur diese unzweifelhaft existirende Linie sich als vorhanden zu denken. Die so gewonnenen Lehrsätze bieten aber nun umgekehrt die Mittel, auch die wirkliche Ausführung jener Constructionen zu ermöglichen. Als Fundamental-Aufgaben dieser Art lassen sich diejenigen bezeichnen, welche, entsprechend den einzelnen Congruenzsätzen, die Construction eines Dreiecks aus drei Bestimmungsstücken verlangen. Dieselben sollen zunächst mit ihren wichtigsten Anwendungen erörtert werden. l Aufgabe 1: Ein Dreieck aus seinen drei Seiten zu construiren. Es sind hier drei Strecken a, b, c gegeben, und es wird ein Dreieck verlangt, dessen Seiten bezüglich diesen Strecken gleich sind. Man zeichne eine Gerade und trage auf derselben eine Strecke AB = c ab, beschreibe um A mit einem Radius gleich b, und um B mit einem Radius gleich a je einen Kreisbogen und verbinde den Durchschnittspunkt C der beiden Kreisbogen mit A und mit B. Dann ist ABC das verlangte Dreieck. Der Beweis der Richtigkeit dieser Construction ergiebt sich sehr leicht unmittelbar aus letzterer und daraus, dass alle Radien eines Kreises einander gleich sind. B Bei jeder solchen Aufgabe fragt es sich, ob die Construction unter allen Umständen möglich ist, und im Verneinungsfalle, welche Bedingungen für die Möglichkeit aufzustellen sind. Ausserdem ist zu untersuchen, ob und in welchen Fällen die verlangte Figur durch die gegebenen Stücke eindeutig oder mehrdeutig bestimmt ist. Man bezeichnet diese Untersuchungen mit dem Namen »Determination der Aufgabe«. Im vorliegenden Fall muss, damit die um A und B beschriebenen Kreise einander schneiden, nach § 31 a -+- b > c und a — b < c (bezw. b — a < c) sein. Die letztere Bedingung kann auch in der Form b -+- c > a geschrieben und demnach mit der ersteren dahin zusammengefasst werden, dass die Summe je zweier der gegebenen Strecken grösser als die dritte sein muss. Ist diese Bedingung erfüllt, so lässt sich stets das verlangte Dreieck construiren. 2. Die Congraenz. 219 Sofern von der Lage desselben abgesehen wird, und nur seine Gestalt und Grösse in Betracht kommt, folgt aus dem Congruenzsatz von den drei Seiten, dass die Aufgabe nur eine einzige Lösung hat. Bei den folgenden Aufgaben soll der Kürze halber die Determination weggelassen werden, wenn die Aufgabe stets eine, und nur eine einzige Auflösung hat. Als besondere Fälle der vorstehenden Aufgabe können die folgenden gelten: 2. Eingleichschenkeliges Dreieck aus den Längen seines Schenkels und seiner Basis zu construiren, oder auch, über einer gegebenen Basis ein gleichschenkeliges Dreieck zu construiren, dessen Schenkel der Länge nach gegeben ist. Hierzu ist nur anzunehmen, dass in der vorigen Aufgabe a = b sei. 3. Ein gleichseitiges Dreieck aus der Länge seiner Seite (oder über einer gegebenen Seite ein gleichseitiges Dreieck) zu construiren. Man nehme in der Aufgabe 1, a = b = c an. Da jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks 60° beträgt, so ergiebt sich hieraus zugleich die Lösung der Aufgabe: 4. Einen Winkel von 60° zu zeichnen. Nimmt man ferner zu den Seiten des zu construirenden Dreiecks die Längen der Seiten eines anderen gegebenen Dreiecks, so löst man die Aufgabe: 5. Ein Dreieck zu construiren, w’elches einem gegebenen Dreieck congruent ist. Da endlich congruente Dreiecke in den homologen Winkeln übereinstimmen, und zu jedem gegebenen Winkel durch eine beliebige, seine Schenkel schneidende Gerade ein Dreieck construirt werden kann, so ergiebt sich hieraus auch ein Mittel, um 6. Einen Winkel zu zeichnen, der einem gegebenen Winkel gleich ist, und insbesondere an eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte derselben einen gegebenen Winkel anzutragen. Da hierbei die Gerade, welche die Schenkel des gegebenen Winkels schneidet, ganz beliebig gezogen werden kann, so wird man in der Praxis ihr eine für die Ausführung der Construction möglichst bequeme Lage geben, und dies ist der Fall, wenn das construirte Dreieck gleichschenkelig wird. Hiernach gestaltet sich die Construction zu Aufg. 6. in folgender Weise: Man beschreibe um den Scheitel B des gegebenenWinkels mit beliebigem Radius einen Kreisbogen, welcher den einen Schenkel in A, den andern in C schneidet, und mit demselben Radius um den auf der Geraden MN gegebenen Punkt P einen Kreisbogen, welcher MN in D schneide. Darauf beschreibe man mit dem Abstand der Punkte A und C von einander um D einen Kreisbogen, welcher den um P beschriebenen in E schneide, und ziehe durch E und P die Gerade, so ist EPE der verlangte Winkel. — Zum Beweise verbinde man A mit C, E mit D und zeige, dass A BAC=PEE ist. Die Aufgabe 6 liefert das Mittel, die noch übrigen Fundamental-Construc- tionen des Dreiecks auszuführen: 220 Planimetrie. 7. Ein Dreieck aus einer Seite und denbeiden anliegenden Winkeln zu construiren. Man zeichne eine Strecke gleich der für die Seite gegebenen Linie und trage an dieselbe in jedem ihrer Endpunkte in der Aufgabe entsprechender Weise einen Winkel an, welcher einem der gegebenen Winkel gleich ist. Die angelegten Schenkel schneiden einander in dem dritten Eckpunkt des Dreiecks. 8. Ein Dreieck aus einer Seite, einem anliegenden und dem gegenüberliegenden Winkel zu construiren. Es sei a die für die Seite gegebene Strecke, a der gegenüberliegende, ß der anliegende Winkel. Man zeichne eine Strecke BC = a, lege an die Richtung BC in B einen Winkel gleich ß, an die Verlängerung von BC in C ebenfalls einen Winkel D CE = ß, und an CE in C einen Winkel gleich a an. Der angelegte Schenkel des letzteren schneidet den in B angelegten im dritten Eckpunkt A des Dreiecks. — Der Beweis beruht darauf, dass Z A CD als Aussenwinkel gleich Z A -+- Z B, also, da Z ECD = Z B, A E CA = A A ist. 9. Ein Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel zu construiren. Die Construction geschieht leicht, indem man eine Strecke gleich der einen gegebenen zeichnet, an dieselbe in ihrem einen Endpunkt den gegebenen Winkel anlegt, auf dem angelegten Schenkel die zweite gegebene Strecke vom Scheitel aus abträgt und schliesslich durch Verbindung ihrer so bestimmten Endpunkte die fehlende Seite zeichnet. 10. Ein Dreieck aus zwei Seiten und einem der ihnen gegenüber- Man zeichne zunächst eine Strecke A B von derjenigen Länge c, welche für die Seite gegeben ist, die dem gegebenen Winkel anliegen soll, lege an AB in B einen Winkel gleich dem gegebenen ß, beschreibe um A mit der anderen gegebenen Strecke b den Kreis und verbinde, wenn letzterer mit dem in B angelegten Schenkel einen Punkt C gemeinsam hat, diesen Punkt mit A. — Zur Determination dieser Aufgabe ergiebt sich leicht, dass der um A beschriebene Kreis den in B angelegten Schenkel in keinem Punkte trifft, wenn b kleiner als das von A auf den angelegten Schenkel gefällte Perpendikel ist. In diesem Fall kann kein Dreieck aus den gegebenen Stücken construirt werden. Ist b gleich jenem Perpendikel, so berührt der Kreis den Schenkel, und man erhält ein einziges Dreieck, welches bei C rechtwinkelig ist. Ist b grösser als jenes Perpendikel und kleiner als A B, also kleiner als c, so schneidet der Kreis den Schenkel, und man erhält zwei verschiedene Dreiecke. Ist b = c, so fällt der eine Durch- liegenden Winkel zu construiren. 2. Die Congruenz. 221 schnittspunkt mit B zusammen; das eine jener beiden Dreiecke verschwindet, das andere ist gleichschenkelig. Ist endlich & > c, so schneidet der Kreis den Schenkel nur in einem einzigen Punkte, denn der andere Durchschnittspunkt von Kreis und Geraden fällt auf die Verlängerung des Schenkels über B. In diesem Fall giebt es also wieder ein einziges Dreieck. — Man vergleiche diese Determination mit dem entsprechenden Congruenzsatz. [§ 18, (4).] Die vorstehenden Constructionen lösen zugleich die praktisch besonders wichtige Aufgabe: Aus drei gegebenen Bestimmungsstücken eines Dreiecks die drei nicht gegebenen durch Zeichnung zu finden. Sie können daher dazu dienen, Linien und Winkel, welche man wegen irgend eines Hindernisses nicht unmittelbar messen kann, auf mittelbarem Wege zu bestimmen. F >< 1 ) E B § 33. Fortsetzung. Die Eigenschaften der gleichschenkeligen Dreiecke führen zur Lösung folgender Aufgaben: 1. Auf einer gegebenen Geraden AB in einem gegebenen Punkte C derselben die Senkrechte zu errichten. Man trage auf AB von C aus zu beiden Seiten dieses Punktes gleiche Strecken CD, CE ab, construire die Spitze F eines beliebigen über DE als Basis stehenden gleichschenkeligen Dreiecks und verbinde F mit C, so ist CE die verlangte Senkrechte. — Denn die Verbindungslinie der Spitze F eines gleichschenkeligen Dreiecks D FE mit dem Halbirungspunkt C der Basis steht senkrecht zu letzterer. Diese Construction ist nicht ausführbar, wenn C ein Endpunkt von AB ist, und letztere Linie nicht über C verlängert werden kann. In diesem Fall kann man sich folgender zweiten Construction bedienen: Man trage von C aus auf der gegebenen Geraden eine beliebige Strecke CD ab, errichte über CD als Basis ein beliebiges gleichschenke- liges Dreieck CED, verlängere DE über E um EF = ED und ziehe CF, so ist CF die verlangte Senkrechte. — Denn es sind (nach der Bezeichnung nebenstehender Figur) Z a und Z ß, und ebenso Z -/ und Z S als Winkel an der Grundlinie je eines gleichschenkeligen Dreiecks gleich, also ist Z a + y = ß + o 1 ) und daher gleich der Hälfte der Winkelsumme des Dreiecks FCD, mithin gleich 90°. 2. Auf eine gegebene Gerade AB von einem ausserhalb derselben gegebenen Punkte C die Senkrechte zu g fällen. Man beschreibe mit dem Abstande des Punktes C von irgend einem, auf der andern Flächenseite von AB liegenden Punkte einen Kreisbogen um C, der AB in D und E schneide, " darauf mit beliebigem Radius einen Kreisbogen um D und mit demselben Radius einen solchen um E. Den Durchschnittspunkt F der beiden :1Z- B 222 Planimetrie. letzteren Kreisbogen verbinde man mit C, so ist CF die verlangte Senkrechte. — Der Beweis folgt daraus, dass die Verbindungslinie der Spitzen zweier gleich- schenkeligen Dreiecke CDE, FDE, die auf derselben Basis stehen, zu letzterer senkrecht ist. In der Praxis bedient man sich zur Lösung der beiden vorstehenden Aufgaben auch eines dreieckigen Lineals, dessen einer Winkel ein rechter ist. Legt man an eine Gerade AB ein gewöhnliches Lineal und sodann an letzteres das dreieckige mit einer Kathete an, und verschiebt dann das dreieckige Lineal längs des gewöhnlichen, bis seine andere Kathete durch einen auf oder ausserhalb AB gegebenen Punkt geht, so kann man an der diese Kathete darstellenden Kante die verlangte Senkrechte ziehen. — Zur Prüfung der Richtigkeit eines solchen dreieckigen Lineals dient der Satz, dass sich auf einer Geraden in demselben Punkte nur eine einzige Senkrechte errichten lässt. Die nebenstehende Figur zeigt zwei Stellungen des Dreiecks, in welchen man es an denselben Punkt C längs eines gewöhnlichen Lineals schieben kann. Die beiden dann als Senkrechte gezogenen Geraden müssen zusammenfallen; anderen Falls giebt der Winkel derselben den doppelten Fehler des Lineals an. 3. Eine gegebene Strecke AB zu halbiren. Man beschreibe über, bezw. unter AB als Basis die Spitzen C, D zweier gleichschenkeligen Dreiecke. Die Verbindungslinie von C und D halbirt nach bekanntem Satze die Basis AB. Durch wiederholte Anwendung dieser Construction auf die entstandenen Theile von AB kann man die Aufgabe lösen: Eine gegebene Strecke in 4, oder 8, oder 16 u. s. w., allgemein in 2" gleiche Theile zu theilen. >3 J) Den vorstehenden Aufgaben lassen sich die folgenden anschliessen: 4. Einen gegebenen Winkel zu halbiren. Man beschreibe um den Scheitel B des gegebenen Winkels mit beliebigem Radius einen Kreisbogen, welcher den einen Schenkel in A, den anderen in C schneide, und darauf um A mit beliebigem und um C mit demselben Radius einen Kreisbogen. Den I)urcbschnittspunkt D der beiden letzteren verbinde man mit B] dann halbirt DB den gegebenen Winkel. — Verbindet man nämlich D mit A und mit C, so stimmen die Dreiecke ABD, CBD in den drei Seiten überein, und die Winkel ABD, CBD sind daher gleich als homologe Stücke con- gruenter Dreiecke. Durch wiederholte Anwendung dieser Construction auf die entstandenen Theile von ABC kann man die Aufgabe lösen: Einen gegebenen Winkel in 4, oder 8, oder 16 u. s. w., allgemein in 2” gleiche Theile zu theilen. 5. Eine gegebene Strecke in eine beliebige verlangte Anzahl gleicher Theile zu theilen. Um die Strecke AB in n gleiche Theile zu theilen, lege man an AB in einem ihrer Endpunkte unter beliebigem Winkel eine convergente Gerade A C an, trage auf dieser von A aus eine beliebige Strecke n mal nach einander ab, sodass man also die Strecken AD, DE, u. s. w. erhält, verbinde den letzten so auf AC erhaltenen Punkt F mit dem anderen Endpunkt B der gegebenen 2. Die Congruenz. 223 Strecke und ziehe durch die übrigen auf AC erhaltenen Punkte die Parallelen DG, ER, u. s. w. zu FB. Letztere theilen AB in n gleiche Theile. Der Beweis der Richtigkeit dieser Construction folgt unmittelbar aus § 25, (4). Während man so jede gegebene Strecke in jede beliebige Anzahl gleicher Theile theilen kann, ist dies bei einem Winkel nicht mit den Hülfsmitteln der Elementar-Mathematik möglich. Nur die in der vorstehenden Aufgabe 4 angeführten Theilungen eines Winkels lassen sich hier allgemein ausführen, und schon die Theilung eines solchen in drei gleiche Theile (die sogenannte Trisection des Winkels) ist mit Zirkel und Lineal allein nicht ausführbar. Dies verhindert jedoch nicht die Möglichkeit, solche Theilungen bei einzelnen, bestimmten Winkeln auszuführen. So lässt sich beispielsweise ein rechter Winkel (und ebenso die Hälfte, das Viertel eines solchen, u. s. w.) in drei gleiche Theile theilen, wie die folgende Aufgabe zeigt. F 6. Einen rechten Winkel in drei gleiche Theile zu theilen. Da man nach der Aufgabe 4 in § 32 einen Winkel von 60° zeichnen, und somit mit Hülfe von § 32, Aufg. 6 einen solchen von einem rechten Winkel abtragen kann, so erhält man als Unterschied einen Winkel von 30°, d. h. den dritten Theil des rechten. Am einfachsten gestaltet sich diese Construction, wie folgt: Beschreibe um den Scheitel B des rechten Winkels mit beliebigem Radius einen Kreis, welcher die Schenkel bezüglich in A und C schneide, und sodann mit demselben Radius um A und um C Kreise, welche den ersteren im Winkelraume des rechten Winkels bezüglich in D und E schneiden. Verbindet man nun E und D mit B, so ist der Winkel ABC in drei gleiche Theile getheilt. — Zum Beweise ziehe man AD und EC und benutze die gleichseitigen Dreiecke ABD und BEC. Da man mit Hilfe der Aufgaben 1 und 2 dieses Para-, graphen einen rechten Winkel zeichnen kann, so ergeben sich hieraus und ausserdem durch Anwendung der Aufgabe 4 dieses Paragraphen die Lösungen der Aufgaben: a) Einen Winkel von 30° zu zeichnen. b) Einen Winkel von 45° zu zeichnen. c) Ebenso einen Winkel von 15° zu zeichnen. 7. Zu einer gegebenen Geraden durch einen ausserhalb derseiben gegebenen Punkt die Parallele zu ziehen. Man ziehe durch den gegebenen Punkt C eine beliebige Gerade, welche die gegebene in einem E_ _ & [ Punkte D schneide, und lege an CD in C einen dem Winkel CDB gleichen Winkel so an, dass er zu letz- ^ terem correspondirender oder Wechselwinkel wird. Der angelegte Schenkel liefert die gesuchte Parallele EF. — Beweis leicht. Man kann insbesondere den Winkel CDB zu einem rechten machen und erhält dann folgende Auflösung: Fälle von C auf AB die Senkrechte CD und errichte auf CD in C die Senkrechte; die letztere ist die verlangte Parallele. Eine dritte, praktisch besonders bequeme Construction ist folgende: Verbinde C mit einem beliebigen Punkt D von AB beschreibe um einen anderen F £ 224 Planimetrie. beliebigen Punkt G von AB mit einem Radius gleich CD, und um C mit einem Radius gleich DG, die Kreise und verbinde den einen Durchschnittspunkt F dieser Kreise mit C, so ist CF die verlangte Parallele. — Denn in dem Vierecke CDGF sind je zwei Gegenseiten einander gleich, also ist dasselbe ein Parallelogramm. In der Praxis kann man sich zur Auflösung dieser Aufgabe auch eines dreieckigen Lineals bedienen (welches zu diesem Zweck nicht rechtwinkelig zu sein braucht. Durch Verschiebung des selben längs eines gewöhnlichen Lineals nach Anleitung der nebenstehenden Figur kann man es in eine solche Lage bringen, dass man an seiner einen Kante die -verlangte Parallele ziehen kann. Setzung. Vielecke und Kreise. Die Construction von Vielecken lässt sich in der Regel auf die von Dreiecken zurückführen, in welche man das Vieleck durch Diagonalen oder auf andere Weise zerlegen kann. 1. Die Construction eines Paral lelogramms kann beispielsweise, wenn zwei aneinanderliegende Seiten desselben und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind, dadurch geschehen, dass man zunächst die Seite AB gleich der einen gegebenen Strecke zeichnet, an dieselbe in B den gegebenen Winkel anträgt und den angelegten Schenkel BC gleich der zweiten gegebenen Strecke macht. Dann zieht man entweder CD parallel zu BA und AD parallel zu BC, JO oder man beschreibt um C mit einem Radius gleich BA und um A mit einem Radius gleich BC Kreisbogen und verbindet den Durchschnittspunkt D derselben mit A B /- , A und mit C) oder man zieht durch C die Parallele zu BA, giebt derselben die Länge CD — BA und verbindet D mit A, u. dgl. m. Insbesondere sind in dieser Aufgabe die folgenden als besondere Fälle enthalten: Ein Rechteck aus zwei aneinanderliegenden Seiten zu construiren. Einen Rhombus aus einer Seite und einem Winkel zu construiren. Ein Quadrat aus einer Seite zu construiren. Von den Aufgaben zu den Sätzen vom Kreise sind folgende als fundamental zu erwähnen: 2. Zu einem gegebenen Kreise oder Kreisbogen den Mittelpunkt zu finden. Man ziehe zwei nicht parallele Sehnen und construire zu jeder derselben die Mittelsenkrechte. Die letzteren müssen einander in dem gesuchten Mittelpunkte schneiden. 3. An einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte desselben die Tangente zu ziehen. Construction: Ziehe durch den gegebenen Punkt die Senkrechte zu dem durch diesen Punkt gehenden Radius. 4. An einen gegebenen Kreis von einem ausserhalb desselben gegebenen Punkte eine Tangente zu ziehen. — Man construire über der Verbindungslinie des gegebenen Punktes A und des Mittelpunktes M als Durchmesser den Kreis und verbinde einen der Durchschnittspunkte B oder C der beiden Kreise mit A. Jede dieser Verbindungslinien ist eine Tangente des gegebenen Kreises, denn die Winkel MBA und MCA sind rechte als Peripheriewinkel über einem Halbkreise. 3. Vom Messen und dem Flächeninhalt geradliniger Figuren. 225 5. Ueber einer gegebenen Geraden als Sehne den Kreisbogen zu beschreiben, welcher der geometrische Ort der Scheitel aller über der Sehne stehenden Winkel von gleicher, gegebener Grösse ist. Es sei AB die gegebene Gerade. Man lege an AB in /l einen Winkel BAC gleich dem gegebenen Winkel a an, halbire AB in D, errichte auf AB in D und auf A C in A die Senkrechte und beschreibe um den Durchschnittspunkt M der beiden Senkrechten mit MA als Radius über A B den verlangten Kreisbogen. — Da nämlich MD die Mittelsenkrechte von AB, also M von A und B gleich weit entfernt ist, so geht der construirte Kreisbogen auch durch B. Da ferner AC senkrecht zu dem Radius MA ist, so ist A C eine Tangente; A BAC ist also ein von einer Sehne und einer Tangente gebildeter Peripheriewinkel und also gleich jedem auf demselben Bogen stehenden andern Peripheriewinkel desselben Kreises. Da ferner A BAC=a nach Construction, so sind auch die letzteren Peripheriewinkel gleich a. Ist insbesondere a ein rechter Winkel, so hat man nur über AB als Durchmesser den Halbkreis zu beschreiben. Die Auflösungen der Aufgaben: Um ein gegebenes Dreieck oder in ein gegebenes Dreieck den Kreis zu beschreiben, gehen unmittelbar aus den betreffenden Lehrsätzen hervor. Kapitel 3. Vom Messen und dem Flächeninhalt geradliniger Figuren. §35. Vom Messen und den Verhältnissen der Strecken. 1. Eine Grösse messen heisst, dieselbe mit einer anderen Grösse gleicher Art, welche als bekannt vorausgesetzt und das Maass der ersteren genannt wird, in der Art vergleichen, dass man angiebt, wie oft dieses Maass in der zu messenden Grösse enthalten, oder das wievielfache diese von jenem ist. Messen heisst also, mit noch anderen Worten, das Verhältniss der (zu messenden) Grösse zu dem gewählten oder vorgeschriebenen Maasse bestimmen. Das Resultat der Messung ist also eine Zahl, die Maasszahl jener Grösse, welche auf das betreffende Maass bezogen ist; das Maass ist die Grössen-Einheit jener Zahl. Indem also beliebig viele Grössen gleicher Art durch auf dieselbe Maass- Einheit bezogene Zahlen dargestellt werden, wird man in den Stand gesetzt, die Regeln der Arithmetik auf jene Grössen, d. h. genauer auf ihre Maasszahlen, anzuwenden, oder mit denselben zu rechnen. Als Maass einer Strecke kann, da dasselbe mit der zu messenden Grösse gleichartig sein muss, nur eine Strecke dienen. Hierbei sind zunächst zwei verschiedene Fälle zu unterscheiden. Trägt man nämlich von der zu messenden Strecke AB zunächst von einem ihrer Endpunkte aus eine dem Maasse m gleiche Strecke AC, dann von dem Reste . C B & CB wieder eine Strecke CD = m ^ 1 “i I I ® ab, und wiederholt dies so oft als-—— möglich, so bleibt entweder zuletzt ein Rest FB, welcher kleiner als m ist, und Schloemilch, Handbuch der Mathematik, Bd. I, *5 226 Planimetrie. auf welchem also das Abtragen nicht noch einmal wiederholt werden kann, oder es bleibt kein solcher Rest. Im letzteren Falle sagt man, die Strecke m gehe in AB auf, oder auch dieselbe sei gleich einem aliquoten Theil von AB; Die Strecke AB heisst in diesem Falle ein Vielfaches (Multiplum) der Strecke m. Nur wenn das Maass m gleich einem aliquoten Theil von AB ist, erhält man durch das erwähnte Abtragen desselben unmittelbar die Maasszahl von AB, nämlich die Zahl, welche angiebt, wie oft sich m auf AB abtragen lässt. Daher nennt man in diesem Falle m auch insbesondere ein genaues Maass von AB. Man pflegt auch wol, wenn man von einem Maasse einer Strecke schlechthin redet, unter demselben ein solches genaues Maass zu verstehen, und dieser Gebrauch soll auch, wo nicht das Gegentheil ausdrücklich gesagt ist oder aus dem Zusammenhang deutlich hervorgeht, im Folgenden von uns eingehalten werden. In diesem Sinne gelten, wie für gleichartige Grössen überhaupt, so auch für Strecken die folgenden Sätze, welche sich leicht durch Abtragen des Maasses auf diesen Strecken beweisen lassen: Ist eine Strecke m ein Maass zweier Strecken a, b zugleich, so ist m auch ein Maass der Summe a -+- b und der Differenz a — b derselben, und allgemeiner: jede Strecke, welche ein Maass für mehrere andere Strecken ist, ist zugleich ein Maass jeder (algebraischen) Summe der letzteren. Sind hierbei die einzelnen Summanden gleich gross, so erhält man den Satz: Ist eine Strecke m ein Maass einer anderen Strecke a, so ist sie auch ein Maass jedes Vielfachen von a. Dagegen kann nicht behauptet werden, dass m auch ein Maass jedes aliquoten Theiles von a sei. Ist ferner eine Strecke m ein Maass einer andern Strecke a, so ist auch jeder aliquote Theil von m ein Maass von a. Dagegen ist ein Vielfaches von m nicht nothwendig ein Maass von a. 2. In dem zweiten der oben unterschiedenen Fälle, also wenn die zweite Strecke m kein genaues Maass von AB ist, gelingt die Vergleichung, wenn eine dritte Strecke gefunden werden kann, die in jeder von jenen beiden ohne Rest aufgeht. Denn misst man mit dieser dritten Strecke die beiden ersteren, so erhält man für jede von diesen eine Maasszahl, und der Quotient dieser Maasszahlen ist gleich dem entsprechenden Verhältniss der Längen beider Strecken. Eine solche Strecke, welche gleichzeitig ein Maass von zwei oder mehreren Strecken ist, heisst ein gemeinschaftliches Maass der letzteren. Es fragt sich zunächst, ob zu jeden zwei gegebenen Strecken stets ein solches gemeinschaftliches Maass existirt und auf welche Weise ein solches gefunden werden kann. Da ferner, wenn eine Strecke m ein gemeinschaftliches Maass zweier oder mehrerer anderer Strecken ist, auch jeder aliquote Theil von m gleichzeitig für alle diese Strecken ein Maass sein muss, so folgt, dass gegebene Strecken, welche ein gemeinschaftliches Maass haben, gleichzeitig unendlich viele gemeinschaftliche Maasse besitzen müssen. Von diesen muss eins das grösste sein, denn ein Maass einer Strecke kann nie grösser sein, als diese selbst, also nicht über jede Grenze hinaus wachsen. Man kann daher, da das grösste Maass die kleinsten und mithin bequemsten Maasszahlen liefern muss, die obige Aufgabe näher dahin fassen, dass das grösste gemeinschaftliche Maass zweier gegebenen Strecken gesucht werden solle. Zu diesem Zwecke trage man die kleinere dieser Strecken so oft als möglich von der grösseren' ab, darauf, falls hierbei ein Rest bleibt, diesen Rest wieder 3- Vom Messen und dem Flächeninhalt geradliniger Figuren. 227 so oft als möglich von der kleineren, dann den etwa hierbei bleibenden Rest wieder auf dem vorigen Reste ab, und fahre so fort, indem man also stets den bei dem Abtragen bleibenden Rest auf’s Neue von dem vorhergehenden Reste abträgt. Kommt man bei diesem Verfahren einmal zu einem Reste, welcher in dem vorhergehenden aufgeht, so ist jener ein gemeinschaftliches Maass, und zwar das grösste der beiden gegebenen Strecken. Zum Beweise der Richtigkeit dieser Behauptung sei beispielsweise CD auf AB «mal, der dabei bleibende Rest EB auf CD «^nal, der hier bleibende Rest FD auf EB « 2 mal, endlich der nunmehrige Rest GB auf FD » 3 mal, und zwar diesmal ohne Rest abgetragen, so ist also GB ein Maass von FD und mithin auch ein Maass des Vielfachen EG von FD. Hieraus folgt weiter, dass GB auch ein Maass der Summe von EG und GB, also von EB, und somit ferner auch ein Maass des Vielfachen CF von EB sein muss. In gleicher Weise ergiebt sich weiter, dass GB als Maass von CF und von FD auch ein Maass der Summe CF -+- FD, also der Strecke CD, daher ferner auch ein solches des Vielfachen AE von CD und somit schliesslich ein solches der Summe AE-\- EB = AB sein muss. Hiermit ist bewiesen, dass GB ein gemeinschaftliches Maass von AB und CD ist. Um auch zu zeigen, dass GB das grösste gemeinschaftliche Maass dieser Strecken sein muss, nehme man an, m sei ein anderes Maass derselben; dann muss m auch ein Maass des Vielfachen AE von CD und folglich auch ein solches der Differenz AB — AE, d. h. der Strecke EB sein; Hieraus ergiebt sich in gleicher Weise weiter, dass m auch ein Maass des Vielfachen CF von EB, mithin auch ein solches der Differenz Ci? — CF = FD, also weiterhin auch ein solches des Vielfachen EG von FD, und endlich auch ein solches von EB — EG = GB sein muss. Ist aber m ein Maass von GB, so kann m nicht grösser als GB sein, folglich ist GB das grösste gemeinschaftliche Maass von AB und CD. Man sieht leicht ein, dass der ganze vorstehende Beweis nicht bloss für das gewählte Beispiel, sondern allgemein gilt, da es sich in anderen Fällen nur um eine den endlichen Schluss nicht ändernde, mehr oder minder häufige Wiederholung derselben Schlussweisen handelt. Zugleich ist hiermit bewiesen, dass jedes gemeinschaftliche Maass zweier Strecken, welches nicht das grösste ist, einem aliquoten Theile des grössten gleich sein muss. Mit letzterem sind daher in gewissem Sinne auch alle übrigen gemeinschaftlichen Maasse der beiden gegebenen Strecken bestimmt worden. 3. Aus dem vorstehenden Beweise geht aber nicht hervor, dass man bei dem eingeschlagenen Verfahren nothwendig einmal auf einen Rest kommen müsse, welcher in dem vorhergehenden aufgeht, und es muss also die Möglichkeit offen gehalten werden, dass es Strecken geben könne, zu welchen sich auf dem angegebenen Wege kein gemeinschaftliches Maass bestimmen lasse. Dass dies in der That der Fall ist, zeigt folgendes Beispiel: Es sei ABC ein gleichschenkliges und bei B rechtwinkeliges Dreieck. Man trage auf der Hypotenuse AC eine Strecke CD gleich der Kathete BC ab. Da AC — BC CP und CD 3,4 4- 1,8 Auflösung: F =-H . 2,5 = 2,6 • 2,5 == 6,5. 2. Wie lang ist die Mittellinie eines Trapezes, dessen Flächeninhalt F = 12,74, F und dessen Höhe /$=3,16 ist? Auflösung: —=4,03. 3 . Vom Messen und dem Flächeninhalt geradliniger Figuren. 3. Die parallelen Seiten eines Trapezes seien a = 0,12, b = 3,45 gegeben, und der Flächeninhalt desselben sei F — 12,58. Wie lang ist die Höhe des a + b t v “ v >JyU I 4. Von einem Trapez sei der Inhalt F, die Höhe h und die Differenz d der parallelen Seiten gegeben; man berechne diese Seiten. Beispiel: F= 36,12; 2 F 1 h = 2,80; d = 0,80. Auflösung: Aus a-\-b= a — b = (/folgt a = = { +1 t = t - 4, also ± 0,40 = 12,90 ± 0,40, d. i. a= 13,30, b= 12,50. fl 2 fl 2t 2f o U dt fb dt dtfOKJ 5. Eine Diagonale eines Vierecks sei 27 cm lang, und der eine ihr nicht anliegende Eckpunkt stehe von derselben um 12 cm, der andere um 18 cm ab. Man berechne den Flächeninhalt des Vierecks. Auflösung: V =-,[•• 27 • 12 -+-■£• 27 • 18 = ■£ • 27 (12 + 18) = 27 • 15 = 405. 6. In einem Fünfeck ABCDE seien die Diagonalen AC= 7,5 m, AD = 8,2m, die Abstände der Eckpunkte B und D von A C bezüglich gleich 3,2 m und 4,6 m, der Abstand des Eckpunktes E von AD gleich 2,5 m gemessen. Wie gross ist das Fünfeck? Auflösung: ^ (7,5 ■ 3,2 + 7,5 • 4,6 + 8,2 • 2,5) = 7,5 • 3,9 + 4,1 • 2,5 = 39,5. 7. Man berechne den Flächeninhalt eines Polygons ABCDEFG, wenn die (sämmtlich ganz innerhalb des Polygons fallenden) von den Eckpunkten auf die Gerade AE gefällten Senkrechten BB x = 3,5, CC X — 5,6, DD x = 4,6, FF 1 5,4, GG X = 8,2 und die zugehörigen Abschnitte von AE, AB x — b,\, B l C 1 = bfi, C X D X = 6,0, D X E = 4,0, EE\ = 3,1, AG X = 3,8 gemessen sind. Auflösung: J- [5,1 • 3,5 + (3,5 + 5,6) • 5,6 + (5,6 + 4,0) ■ 6,0 + 4,0 • 4,0 +5,4 • 3,1 + (8,2 + 5,4) • 13,8 + 8,2 • 3,8] = 189,0. 8. Zu einer Seite AB eines Polygons ABC . . . K sei durch jeden der übrigen Eckpunkte, mit Ausnahme von G, die Parallele bis zum zweiten Durchschnitt mit dem Umfang des Polygons gezogen, und man habe die Seite A B nebst ihren Parallelen, wie folgt, gemessen: AB = 3,01m, CC 1 = 7,53 m, DD X = 2,57 m, EE X = 2,59 m, FF X = 1,24 m, = 3,88 m, II X = 2,02 m, KK X — 8,22 m. G sei die Spitze eines Dreiecks GFF X . Es seien ferner auf einer zu AB senkrechten Geraden die Abstände der einzelnen Parallelen von dem Durchschnittspunkt der Senkrechten und der Seite AB, wie folgt, bestimmt worden: Für CC X 0,22 m, DD X 8,76 m, EE X 9,32 m, FF x 17,84 m, HEI X 13.44 m, II X 10,12 m, KK X 5,28, für G 18,00 m. Man berechne den Flächeninhalt des Polygons. Resultat: 84,23 qm. 9. Durch vier Eckpunkte A, B, C, F eines Polygons sind gerade Linien gelegt worden, sodass dieselben ein das Polygon völlig einschliessendes Rechteck MNPQ begrenzen. A liege auf MN, B auf NF, C auf FQ, F auf QM. Von D und G seien auf MQ die ganz innerhalb des Rechteckes fallenden Senkrechten DD X , GG X gefällt. Man berechne 'den Flächeninhalt des Polygons ABCDFG aus folgenden gemessenen Stücken: AN = 0,32 m, NB = 0,24 m, BF= 8,12 m, FC= 0,74 m, CQ = 0,98 m, QD X = 0,12 m, DD X = 0,22 m, DF— 5,16 m, FG X = 3,00 m, GG X = 0,08 m. Resultat: 10,52 qm. § 44. Weitere Sätze über die Flächen geradliniger Figuren. 1. Im Folgenden soll von den bisher erörterten Methoden der Bestimmung der Flächeninhalte geradliniger Figuren zunächst Gebrauch gemacht werden zur Ermittelung der Beziehungen zwischen den Flächen solcher Figuren, welche 254 Planimetrie. in gewissen Abhängigkeits-Verhältnissen von einander stehen. Der berühmteste der hierher gehörigen Sätze ist der nach seinem Erfinder, dem griechischen Weltweisen Pythagoras aus Samos benannte pythagoreische Lehrsatz* *): Derselbe lautet: Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate über den Katheten desselbe n. (1) Von den zahlreichen Beweisen, welche für diesen Satz aufgestellt worden sind, theilen wir nachstehend den in dem ältesten zusammenhängenden Lehrbuche der Geometrie, den Elementen Euklid’s, enthaltenen mit: Es sei AB ED das Quadrat über der Hypotenuse, und es seien CAIH, BFGC die Quadrate über den Katheten des rechtwinkeligen Dreiecks ABC. Man fälle von C die Senkrechte CK auf AB und verlängere dieselbe über K bis zum Durchschnittspunkt L mit ED. Hierdurch wird das Quadrat über der Hypotenuse in die zwei Rechtecke BKLE und KADL zerlegt. Zieht man nun CE und AE, so hat das Dreieck BCE dieselbe Grundlinie und, da die Spitze C in der Verlängerung der Parallelen KL liegt, dieselbe Höhe wie das Rechteck BKLE und es ist also halb so gross als dieses. Ebenso hat das Dreieck BFA mit dem Quadrate BFGC die Grundlinie BF gemeinsam, und seine Spitze liegt, da der Winkel GCA als Summe zweier Rechten ein gestreckter sein muss, in der Verlängerung von 1 = -j Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke DBC und ABC folgt DB : BC= BC: AB. Auch diese Proportion ist eine stetige; sie besagt dass eine Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks die mittlere geometrische Proportionale zwischen der ganzen Hypotenuse und der Projection jener Kathete auf die Hypotenuse ist. (2) Dieser Satz gilt selbstverständlich für jede der beiden Katheten; man kann ganz ebenso wie für BC den Beweis für AC, nämlich aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ADC und ABC, führen. Es ist also auch DA : AC= AC: AB. Diese Proportionen lassen sich selbstverständlich in die Gleichungen BC 2 — DB ■ AB AC 2 = DA-AB umformen, und durch Addition der entsprechenden Seiten der letzteren entsteht die neue Gleichung: BC 2 + AC 2 ^DB-AB + DA-AB^ {DB + DA) ■ AB, oder da DB + DA = AB ist, BC 2 AC 2 ~ AB 2 , d. h. der Lehrsatz: In jedem rechtwinkeligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. (3) 2. Wir sind so auf die schon früher besprochene arithmetische Form des pythagoreischen Lehrsatzes gelangt, in welcher die Quadrate die zweiten Potenzen der unbenannten Maasszahlen der betreffenden Linien bedeuten. In gleicher Weise ist auch der vorhergehende Satz schon früher in geometrischer Form gefunden worden, d. h- in derjenigen, in welcher das Quadrat der Kathete das über dieser construirte geometrische Quadrat bedeutete und statt des im jetzt vorliegenden Falle unter dem Produkt zweier Linien zu verstehenden Produkts ihrer unbenannten Maasszahlen das Rechteck aus jenen Linien gesetzt war. Wie damals aus den geometrischen Formen der Sätze die arithmetischen abgeleitet wurden, so kann man auch umgekehrt aus den jetzt unabhängig von jenen Entwicklungen gefundenen Sätzen über die Maasszahlen der Linien diejenigen über die Flächen der Figuren herleiten. In gleicher Weise ergiebt sich auch aus dem ersten der Sätze dieses Paragraphen die andere Form: Das [(geometrische) Quadrat über der Höhe eines rechtwinkeligen Dreiecks ist gleich dem Rechteck aus den beiden zugehörigen Abschnitten der Hypotenuse, ein Satz, welcher übrigens ebenfalls unmittelbar geometrisch bewiesen werden kann. 3. Zu der früher zwischen den Maasszahlen a, b der Katheten und der Maasszahl c der Hypotenuse aufgestellten Gleichung a 2 = c 2 (2) und der obigen Gleichung (1) gesellen sich jetzt noch die Gleichungen a 2 =p • c, b 2 = q • c. (3) 270 Planimetrie. Diese Gleichungen (1)—(3) gestatten jetzt die Berechnung von je 4 der 6 Stücke a, b, c, p, q, h aus den zwei übrigen, wenn man dieselben noch mit der selbstverständlichen c —p ■+" Q verbindet, denn man kann in jedem Fall diese Gleichungen auf die vier Unbekannten auflösen. So erhält man z. B. aus a = 3 ,K , b = 4t H , zunächst r = j/9 + 16 = ^25 = 5; p = — q b 2 16 _ = — = 1,8; 7 = — = -g- = 3, 2, -oder q — c — / = 5 — 1,8 = 3, 2; ferner h = ]/p ■ q 3-4 = y ■t • ¥ = -f = % 4> ais ° ^= 5 ” z ’ f =i > 8 “’ ?= 3 ’ 2 “= 2 > 4 :*. Ist ferner die Hypotenuse gleich 101, eine Kathete b gleich 99 Längeneinheiten gegeben, so hat man a = jUOl 3 — 99 2 = J/(101 + 99) (101 — 99) = VIÖÖ = 20, , , . , 20-20 und dann wie vorher p = —|—, u. s. w. Sind a und h gegeben, so ist die Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes auf das rechtwinkelige Dreieck B C D kürzer als die Auflösung der obigen Gleichungen. Man erhält dann = ,4 2 -)-/ 2 , also p = V~a -h\ ferner nach (1): q- hP J /« 2 — Ä 2 , nach (3): c ■■ r, und b =]/ q . c — a h P ]/a 2 —hP y~a 2 — h 2 Sind ferner a und q gegeben, so erhält man zunächst p durch Auflösung der quadratischen Gleichung a 2 =p (p + q) auf die Unbekannte p, wobei die negative Wurzel der Gleichung zu verwerfen ist, da hier nur absolute Maasszahlen vorausgesetzt werden. Aus p und a erhält man c, aus p und q ebenso A, u. s. w. Insbesondere ist hierbei die Bestimmung der Höhe h aus zwei Seiten des Dreiecks bemerkenswerth. Aus p — —, q - c b 2 und h 2 =p q folgt a b h — — oder h c - c ■- a b. Dieselbe Gleichung erhält man nämlich, wenn man den doppelten Inhalt des recht- winkeligen Dreiecks einmal mit der Hypotenuse als Grundlinie, das andere Mal mittelst der beiden Katheten ausdrückt. In den vorstehenden Zahlenbeispielen waren die berechneten Wurzeln rational. Dies wird jedoch in der Regel nicht der Fall sein, es wird vielmehr meist wenigstens eins der Verhältnisse der drei Seiten —■ abgesehen von den übrigen Stücken — irrational sein. So erhält man für a = 1, b = 2 den Werth von c gleich Y 5. Insbesondere ist in jedem gleichschenkeligen rechtwinkeligen Dreieck die Hypotenuse mit der Kathete incommensurabel, denn für a — b ist c — "j/2« 2 =# j/2. Man vergleiche hiermit § 35, 3. 4. Auch die früher bewiesene Umkehrung des pythagoreischen Lehrsatzes lässt sich unmittelbar auf arithmetischem Wege beweisen. Ist nämlich die zweite Potenz der Maasszahl einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der zweiten Potenzen der Maasszahlen der beiden anderen Seiten, ist also gemäss der obigen Bezeichnungsweise a 2 + b 2 = h 2 , so denke man sich ein zweites Dreieck con- 4- Von der Aehnlichkeit geradliniger Figuren. 271 struirt, welches zwei Seiten bezüglich gleich a und b hat, und in welchem diese Seiten einen rechten Winkel einschliessen. Ist nun d die Maasszahl der Hypotenuse dieses letztem Dreiecks, so ist d* = a* + b*, also d 2 — c*. Hieraus folgt, da negative Wurzeln ausgeschlossen sind, d—c. Beide Dreiecke stimmen also in den drei Seiten überein und sind mithin congruent, also ist auch das erstere Dreieck rechtwinkelig, und zwar liegt der rechte Winkel derjenigen Seite gegenüber, deren Maasszahl oben mit c bezeichnet wurde. Da beispielsweise 3 2 + 4 2 = 5 2 ist, so muss ein Dreieck, dessen Seiten bezüglich das Dreifache, Vierfache und Fünffache einer beliebigen als Maass dienenden Strecke sind, ein rechtwinkeliges sein. Man kann sich dieser Con- struction eines Dreiecks aus seinen drei in der angegebenen Weise bestimmten Seiten zur Zeichnung eines rechten Winkels, bezw. zur Lösung der Aufgabe bedienen, auf einer gegebenen Geraden in einem gegebenen Punkte die Senkrechte zu errichten*). Dieses Dreieck, dessen Seiten sich zu einander wie 3:4:5 verhalten, also ausnahmsweise alle drei in rationalen Verhältnissen stehen, wird das ägyptische genannt. Andere rechtwinkelige Dreiecke,. welche die gleiche bemerkenswerthe Eigenschaft rationaler Seitenverhältnisse haben, sind beispielsweise die mit den Seiten 12, 5, 13 oder 8, 15, 17, allgemein diejenigen, deren Seiten den Formeln a — ^mn, b — m 2 — n 2 , c = m*-\-n* für rationale Werthe von m und n entsprechen. Man nennt solche Dreiecke überhaupt rationale oder pythagoreische, und das oben genannte ägyptische ist dasjenige derselben, dessen Seiten die kleinsten in ganzen Zahlen ausgedrückten Werthe haben. 5. Die Entscheidung der Frage, ob und in welcher Weise sich auch die übrigen Lehrsätze dieses Paragraphen umkehren lassen, dürfen wir den Lesern überlassen. Es sei ferner noch erwähnt, dass sich auch der allgemeine pythagoreische Lehrsatz in arithmetischer Form unmittelbar ableiten lässt, indem man den schon bewiesenen besonderen benutzt. Ist nämlich CD senkrecht zu AB, so hat man im Dreieck BCD: BC 2 = CD 2 -+- BD 2 Nun ist CD* = CA 2 — AD 2 , und BD — AB =p AD, wobei das obere oder das untere Vorzeichen gilt, je nachdem BC einem spitzen oder einem stumpfen Winkel gegenüberliegt. Demnach ist BC* = CA* — AD* -+- {AB qr AD)* = CA* — AD* -t- AB* zf 2 AB • AD -+- AD*, also nach Streichung von — AD* -+- AD*, BC* = CA* -+- AB* =p 2 AB - AD, was zu beweisen war. Mittelst dieses allgemeinen pythagoreischen Lehrsatzes kann man äüä den drei Seiten eines Dreiecks die Projection einer jeden derselben auf jede der andern berechnen. Es sei in der vorstehenden Figur BC=a, C A — b, AB ~ c, C D — h und A D = q gesetzt, so ist B *) Man findet in der That dieses Verfahren zu dem angegebenen Zwecke z. B. bei Bauhandwerkern im Gebrauch. Planimetrie. a 2 — b 2 -4- c 2 =p 2 cq, . . b 2 +c 2 —a 2 also ±* =- ^7 - Hieraus ergiebt sich ferner die Höhe CD mittelst 7j2 _l_ ^2 _/t2 h 2 ^b 2 -q 2 ^ {b + q)-{b~q) = {b + —± Y - c -) • (6 b 2 -+- c 2 — a 2 . b 2 c 2 — a 2 2bc-h b 2 -h c 2 — a 2 2bc — b 2 — c 2 +a 2 (b ■+■ c) 2 — a 2 a 2 —(b — c) 2 2 c (a + b + c) (b + c — a) ■ (a — b -t- c) (a + b ■— c ) 4 c 2 Da nun endlich der Inhalt F des Dreiecks gleich \ ch ist, so kann man diesen Inhalt aus den drei Seiten mittelst der Formel F — ^ "j/ {ji —1~ b -f - Q {b —t- c — tr) • (ci —— b —t— c ) (ci — b c) (4) berechnen. Setzt man zur Abkürzung noch ci -{- b -t- c = 2 s, so wird b + c — a — 2s — 2a = 2(s — ä), und entsprechend a — b + c = 2 (s — b), a + b —■ c = 2 (r — c), wodurch die Formel (4) in F= ]/r(f — a ) (r — b) (s — c) (5) übergeht. Die früher entwickelten Gleichungen F— v p (« + b -+- Q = kp a (b + c — a)— \ p b {a — b -+- c) = p c (a + b — c) oder F = p s = p a (s — a) = p b (s — b) = p„ (s — c ) ermöglichen nunmehr auch die Berechnung der Berührungsradien aus den drei Seiten des Dreiecks. So erhält man F Ys (r — a) (s — b) (s — c ) ~| fs {s — d) (s — b) (s — c ) ^ - - _ y 72 , oder (s — a) (s — b) (s — c) b ) 0 — c ) und entsprechend p a = y —-, u. s. w. 6. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz gestattet ferner die Berechnung der drei Mittellinien eines Dreiecks aus den drei Seiten. Ist unter Beibehaltung der vorher gebrauchten Bezeichnungen CE = m die Mittellinie, welche die Seite BA in E halbirt, so liefert die Anwendung des genannten Lehrsatzes auf die Dreiecke BCE und ACE die Gleichungen: a 2 = m 2 -+- \c 2 ± 2 • \c ■ ED, b 2 = m 2 + ic 2 zp 2 • $c ■ ED, und durch Addition der entsprechenden Seiten folgt aus denselben a 2 + b 2 =2m 2 %c 2 (6), d. h. die Summe der Quadrate je zweier Seiten eines Dreiecks ist gleich der Summe aus dem Doppelten des Quadrats der zur dritten Seite gehörigen Mittellinie und der Hälfte des Quadrats dieser dritten Seite. Man kann sich diesen Satz leicht dadurch merken, dass man denselben Satz erhalten muss, wenn man annehmen darf, dass die Mittellinie zur dritten Seite senkrecht stehe. Denn da die Glieder der obigen Gleichungen, welche den allgemeinen pythagoreischen Lehrsatz von dem ■speciellen unterscheiden, bei der Addition wegfallen, so muss das Resultat dasselbe sein, wenn man beide Dreiecke in entsprechender Weise als rechtwinkelige behandelt. 4. Von der Aehnlichkeit geradliniger Figuren. 273 Die Auflösung der Gleichung (6) auf die Unbekannte, m liefert den Werth derselben, ausgedriickt durch die drei Seiten. Allgemeiner gesagt hat man zwischen den drei Mittellinien und den drei Seiten des Dreiecks drei solche Gleichungen, welche die Berechnung je dreier dieser Stücke aus den drei anderen ermöglichen. 7. Beispiele und Anwendungen: 1. Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks aus der Seite a desselben zu berechnen. Auflösung: Aus dem pythagoreischen Lehrsatz folgt einander parallel sind. 4. Von der Aehnlichkeit geradliniger Figuren. 283 AA’, BB' u. s. w., so sind je zwei dieser parallelen Seiten gleichgerichtet, liegt dagegen S auf den Strecken AA', BB 1 u. s. w. selbst, so sind je zwei homologe Seiten entgegengesetzt gerichtet. Hieraus folgt weiter nach Paragraph 14, (6), dass je zwei homologe Winkel derbeiden Figuren einander gleich sind. Ferner ist nach § 36, (3) ÄB' -.AB = SB' : SB; B'C:BC= SB ’: SB, also auch ÄB' \AB = BC\BC. Ebenso ergiebt sich B'C \ BC = C'D' : CD (= SC : SC), u. s. w., und hieraus dass je zwei homologe Seiten der beiden Figuren zu einander in demselben Verhältniss stehen. Hiernach kann jede dieser Figuren, ganz ebenso wie bei ähnlichen Dreiecken der Fall war, als eine Wiederholung der anderen in verkleinertem oder vergrössertem Maassstabe angesehen werden, da jede Seite der einen aus der homologen Seite der anderen durch Verkleinerung oder Vergrösserung in demselben Verhältniss entstanden gedacht werden kann und dabei auch die gegenseitige Lage je zweier homologen Seiten, wie sie durch die Winkel bestimmt wird, dieselbe geblieben ist. Man nennt allgemein Figuren, welche in dieser Beziehung zu einander stehen, einander ähnlich, d. h. übereinstimmend in der Gestalt, und kann nun das Resultat der obigen Untersuchung in dem Satze aussprechen, dass je zwei Figuren, deren homologe Eckpunkte auf Strahlen liegen, die von einem gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte ausgehen, falls zugleich die Verbindungsstrecken je zweier homologer Eckpunkte durch den gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt sämmtlich in demselben Verhältniss getheilt werden, einander ähnlich sind. 2. Umgekehrt lassen sich jede zwei ähnliche «-Ecke in solche Lage zu einander gebracht denken, dass je zwei homologe Seiten derselben einander parallel sind, und in diesem Fall schneiden die Verbindungslinien je zweier homologen Eckpunkte einander in einem und demselben Punkt und werden durch letzteren im Verhältniss der homologen Seiten der »-Ecke getheilt; denn ist AB\A'B = BC: B'C’ = CD : CD' u. s. w., und Z AB C — Z A'B'C, Z B CD =. Z B'C'D' u. s. w., vorausgesetzt, so kann man die Figur A'B'C'D' . . . stets so gestellt denken, dass Ä B parallel zu AB liegt, und wenn man durch A und A', sowie durch B und B', C und C u. s. w. die Geraden zieht, der Winkel B'BC = ABC — ABB' und der Winkel BB'C' = A'B'C — A'B'B, also, da nach Voraussetzung ABC = A'B'C', und da ferner ABB' und A'B'B als correspondirende oder Wechselwinkel an parallelen Geraden einander gleich sind, auch BB'C' = B'BC sein muss. Hieraus folgt aber, dass auch B'C' parallel zu BC ist. Daher ist ferner der Winkel BCC' gleich B'C'C und also auch BCD — BCC' = B'C'D' — B'C'C oder C'CD= CC'D', woraus wieder folgt, dass CD parallel zu C'D' ist. Indem man in dieser Weise bis zum letzten Seitenpaare fortschreitet, findet man, dass je zwei homologe Seiten der beiden Figuren einander parallel sind. Es schneide nun BB' selbst oder in ihrer Verlängerung die durch A und Ä gehende Gerade A 284 Planimetrie. in einem Punkte S, so folgt aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ABS, A'B'S' — welche durch die Gleichheit der homologen Winkel bewiesen wird — oder aus einem Satze über parallele Transversalen des Dreiecks, dass AS: A'S = AB: A'B' ist. Schneidet ferner die durch C und C gehende Gerade AÄ in S', so ergiebt sich in entsprechender Weise AS': A'S' = BC: B'C', und da nach der Voraussetzung BC: B'C = AB: A'B’ ist, so muss auch AS': A'S' = AS: A’S sein. Es liegen aber A und S' entweder beide auf AA' selbst oder beide auf deren Verlängerung, und da sie AA' in demselben Verhältnis theilen, dies aber, wie früher gezeigt, nicht durch verschiedene Punkte in einer der eben erwähnten Lagen geschehen kann, so muss S' mit V zusammenfallen. In gleicher Weise ergiebt sich, dass auch DD' die AA', und ebenso, dass jede derartige Verbindungslinie diese letztere Gerade in demselben Punkte S treffen muss. Hiermit ist gezeigt, dass alle diese Verbindungslinien zweier homologen Eckpunkte einander in demselben Punkte schneiden, und ausserdem zeigt der vorstehende Beweis, dass AS : ÄS = BS : B’S = CS : C'S = ... = AB: A'B' u. s. w. ist. Zwei ähnliche Figuren, welche in der gedachten Stellung zu einander sind, heissen ähnlich liegend; auch sagt man, dass dieselben sich in perspektivischer Lage zu einander befinden. Der Punkt S heisst dabei der Aehnlich- keitspunkt der beiden Figuren. 3. Bei der ähnlichen Lage zweier Figuren sind zwei verschiedene Fälle zu unterscheiden, welche auch schon im Vorstehenden als verschiedene Möglichkeiten Beachtung gefunden haben. Liegt der Aehnlichkeitspunkt S auf den Verlängerungen sämmtlicher Verbindungsstrecken AÄ, BB' u. s. w., so sind je zwei parallele Seiten der beiden Figuren als gleichgerichtet, liegt er dagegen auf jenen Strecken selbst, so sind je zwei parallele Seiten als entgegengesetzt gerichtet zu betrachten. Im ersteren Falle sagt man, dass die beiden Figuren direkt ähnlich, im letzteren, dass dieselben umgekehrt ähnlich liegen, und man nennt ihren Aehnlichkeitspunkt entsprechend einen äusseren oder inneren. Die vorstehenden Erklärungen und Sätze gelten selbstverständlich für Dreiecke eben so gut wie für Polygone. — Halbirt ein innerer Aehnlichkeitspunkt zweier Figuren die Verbindungsstrecken der homologen Eckpunkte, so sind die Figuren congruent. Die Congruenz erscheint somit als besonderer Fall der Aehnlichkeit. Die in solcher Lage befindlichen congruenten Figuren können durch Drehung der einen um den Aehnlichkeitspunkt zur Deckung gebracht werden. Zwei congruente Figuren können auch in solche Lage zu einander gebracht werden, dass je zwei homologe Seiten parallel und gleichgerichtet sind. In diesem Falle sind alle Verbindungsstrecken je zweier homologen Eckpunkte einander parallel, und man kann daher sagen, dass der Aehnlichkeitspunkt der Figuren im Unendlichen liege. Jene Verbindungsstrecken sind dabei auch einander gleich, und man kann die Figuren zur Deckung bringen, indem man eine derselben so verschiebt, dass ihre Seiten ihren ursprünglichen Lagen parallel bleiben. — Die Beweise dieser Sätze können dem Leser überlassen bleiben. Auch ist von selbst klar, dass man die vorstehenden Untersuchungen benutzen kann, um zu gegebenen Figuren ähnliche und ähnlich liegende, sowie congruente Figuren zu zeichnen. 4- Von der Aehnlichkeit geradliniger Figuren. 285 4. Jede Gerade, welche durch den Aehnlichkeitspunkt zweier ähnlichen Figuren geht, heisst ein Aehnlichkeitsstrahl der letzteren. Theilt man zwei homologe Seiten zweier ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren in demselben Verhältniss, so geht die Verbindungsgerade der Theil- punkte durch den Aehnlichkeitspunkt und die Verbindungsstrecke wird durch letzteren im Verhältniss der homologen Seiten getheilt. Der Beweis hierfür kann ganz in derselben Weise geführt werden, wie derjenige für den Durchschnitt der Verbindungslinien der homologen Eckpunkte. Durch indirekte Beweisführung lässt sich dann hieraus folgern, dass jeder Aehnlichkeitsstrahl, welcher die eine der beiden Figuren schneidet, auch die andere schneiden muss, und zwar auf homologen Seiten, und dass diese letzteren durch die Durchschnittspunkte in gleichem Verhältniss getheilt werden. Sind M'N' und MN die innerhalb der Figuren fallenden Abschnitte des betreffenden Aehnlichkeitsstrahles, so folgt aus MS : MS = N'S : NS = AB : AB, dass auch {M'S + N'S): {MS q= NS) = ÄB : AB ist, d. h. die innerhalb der Figuren fallenden Abschnitte eines Aehnlichkeitsstrahles verhalten sich zu einander wie zwei homologe Seiten. Werden allgemein auf einem Aehnlichkeitsstrahle zwei Punkte P,P' so angenommen, dass ihre Abstände von dem Aehnlichkeitspunkt S sich zu einander verhalten, wie zwei homologe Seiten, und liegen P und P', falls die beiden Figuren direkt ähnlich sind, auf derselben Seite, falls sie entgegengesetzt ähnlich sind, auf verschiedenen Seiten von S, so sollen die Punkte P,P' homologe Punkte der beiden ähnlichen Figuren heissen. Für solche ergeben sich leicht folgende Sätze: Der Abstand des Punktes P von jedem Eckpunkt, z. B. A, der zugehörigen Figur verhält sich zum Abstand des Punktes P' von dem homologen Eckpunkt A' der anderen Figur, wie zwei homologe Seiten, und die Verbindungslinie PA ist der Verbindungslinie P’A' parallel. Allgemein ist die Verbindungsstrecke zweier zu der einen Figur gehörigen Punkte der Verbindungsstrecke der homologen Punkte der anderen Figur parallel und verhält sich zu ihr, wie eine Seite der ersteren zur homologen Seite der letzteren Figur. Beide Verbindungslinien bilden mit jedem Aehnlichkeitsstrahl, und ebenso bilden je zwei solche homologe Linien beider Figuren mit einander gleiche Winkel. Zieht man umgekehrt von jedem von zwei homologen Punkten zweier ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren Strecken, welche sich zu einander wie zwei zugehörige homologe Seiten verhalten und einander parallel sind, und sind diese Strecken von jenen Punkten aus bei direkt ähnlicher Lage der Figuren gleichgerichtet, bei entgegengesetzt ähnlicher Lage entgegengesetzt gerichtet, so liegen auch die Endpunkte der Strecken auf einem Aehnlichkeitsstrahl. Insbesondere sind daher auch je zwei homologe Diagonalen zweier solchen Figuren einander parallel, verhalten sich zu einander wie zwei homologe Seiten und bilden mit jedem Aehnlichkeitsstrahl, sowie mit je zwei homologen Seiten und mit je zwei anderen homologen Diagonalen derselben Figur gleiche Winkel. 5. Befinden sich zwei ähnliche Figuren nicht in ähnlicher Lage, so gehört gleichwol zu jedem Punkte und zu jeder Linie, welche man zu der einen Figur annimmt, ein homologer Punkt, bezw. eine homologe Linie der anderen Figur, da man sich stets beide Figuren in ähnliche Lage und nach Bestimmung der homologen Gebilde in die ursprüngliche zurückgebracht denken kann. Da sich 286 Planimetrie. bei letzterer Bewegung die Lage der homologen Gebilde in einer und derselben Figur zu einander nicht ändert, so erhält man die homologen Punkte P, P' auch unmittelbar bei der nicht parallelen Lage, wenn man P' so bestimmt, dass seine Verbindungslinien mit den Eckpunkten der zugehörigen Figur sich zu den Verbindungslinien von P mit den homologen Eckpunkten wie zwei homologe Seiten verhalten, oder dass die entsprechenden dieser Verbindungslinien mit den homologen Seiten der Figuren gleiche Winkel bilden. Ueberhaupt bleiben von den vorstehend entwickelten Sätzen alle diejenigen bestehen, welche von den Längen homologer Linien und der Lage je zweier in derselben Figur gegeneinander, also ohne Beziehung auf den Aehnlichlceitspunkt handeln. Als besondere Fälle oder Folgerungen (welche selbstverständlich auch unmittelbar, also ohne Hinzunahme der Theorie der Aehnlichkeitspunkte bewiesen werden können) verdienen noch die folgenden hervorgehoben zu werden: Theilt man jedes von zwei ähnlichen Polygonen durch die von zwei homologen Eckpunkten ausgehenden Diagonalen in Dreiecke, so sind je zwei gleichliegende von diesen Dreiecken einander ähnlich. (1) Lassen sich umgekehrt zwei Polygone durch Diagonalen in gleich- viele Dreiecke zerlegen, welche paarweise einander ähnlich sind, und liegen dabei auch je zwei ähnliche Dreiecke in gleicher Weise zu den übrigen desselben Polygons (liegen dieselben also in gleicher Reihenfolge mit je zwei homologen Seiten, bezw. homologen Eckpunkten aneinander), so sind die Polygone ähnlich. (2) Alle regelmässigen Figuren von gleicher Seitenzahl sind einander ähnlich (3). Dies folgt unmittelbar daraus, dass in Folge der Gleichheit der Seiten jeder einzelnen Figur auch jede Seite der einen zu jeder Seite der anderen in demselben Verhältniss steht, und dass alle Winkel beider Figuren einander gleich sind, da die Grösse jedes Winkels eines regelmässigen »-Ecks gleich 2 » — 4 -Rechten, also unveränderlich bestimmt ist. Aus den vorstehenden Unter- » suchungen ergiebt sich ferner: Die Mittelpunkte je zweier regelmässigen »-Ecke sind homologe Punkte derselben. Die grossen Radien zweier regelmässigen »-Ecke verhalten sich zu einander wie die kleinen Radien und wie zwei Seiten. Die Bestimmungsdreiecke regelmässiger Figuren von gleicher Seitenzahl sind einander ähnlich. § 52. Die Umfänge und die Flächeninhalte ähnlicher Figuren. 1. Die Umfänge ähnlicher Figuren verhalten sich wie die homologen Seiten derselben (1), denn sind ABCD . . . und abcd. . . zwei ähnliche Figuren, so ergiebt sich aus AB: PC: CD : — ab: bc\ cd: .. . nach Arithm. Anhang 3 ohne Weiteres AB - 4 - BC -+- CD -t- . . . : ab -+- bc —t- cd —{— . . . = AB: ab. Um auch die Verhältnisse der Flächeninhalte ähnlicher Figuren zu bestimmen, seien zunächst ABC und ÄBC zwei Dreiecke, welche in einem Winkel über- 4- Von der Aehnlichkeit geradliniger Figuren. 287 einstimmen. Ist also A A = Z A und fällt man die Höhen CD, C'D', so stimmen die Dreiecke ACD, A'C'D' ausser in jenen Winkeln auch in den rechten bei D und D' überein, sind also einander ähnlich, und es ist also CD-. C'D' = AC: A'C'. AABC AB-CD AB CD Da nun A A'B’C' ist, so erhält man, wenn man hier für AB ■ C'D' CD AB' C'D' A C jy das gleiche Verhältniss ^ ^ einsetzt, A ABC AB - AC A A'B'C' — AB ■ A'C’ d. h. die Flächen von Dreiecken, welche in einem Winkel ‘übereinstimmen, verhalten sich wie die Produkte der diesen Winkel ein- schliessenden Seiten. (2) Stimmen die Dreiecke ABC, A'B'C’ noch in einem zweiten Winkel überein, A C sind dieselben also ähnlich, so kann man noch das Verhältniss durch das gleiche -yryr, ersetzen und erhält A1 A ABC AB 3 A A'B'C' ~ AB 3 ’ d. h. die Flächen ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate homologer Seiten. Man kann die Richtigkeit dieses Satzes für ganze Verhältnisszahlen der Seiten leicht durch Theilung des grösseren von zwei ähnlichen Dreiecken in dem kleineren congruente veranschaulichen. Halbirt man alle Seiten eines Dreiecks und verbindet je zwei Halbirungspunkte mit einander, so lässt sich durch die entstehende Figur leicht zeigen, dass durch Verdoppelung der Seiten eines Dreiecks der Inhalt desselben vervierfacht wird; ähnlich kann man ein Dreieck, dessen Seiten dreimal so gross sind als die homologen Seiten eines anderen, in neun dem letzteren congruente Dreiecke theilen, u. s, w. 2. Sind nun allgemein ABCD . . . und AB'CD'. .. zwei ähnliche »-Ecke, und theilt man dieselben durch Diagonalen, welche von homologen Eckpunkten A, A, ausgehen, in Dreiecke, so ist, da letztere paarweise einander ähnlich sein müssen, A ABC : A ABC = AB 3 : AB' 3 , A A CD : A ACD' — D C 3 :D'C' 3 =AB 3 -.AB’ 3 , denn aus der durch die Aehnlichkeit der »-Ecke bedingten Proportion DC-.D'C' = AB: AB’ folgt durch Quadriren beider Seiten DC 3 : D'C 3 — AB 3 :A'B' 3 . In derselben Weise fortschreitend erhält man A ADE : A A'D'E' = DE 3 : D'E' 3 = AB 3 : AB 3 , u. s. w. Also ist A ABC-. A'B'C' = ACD : A'C'D' = ADE: A'D’E' = . . . = AB 3 -. AB 3 , und mithin nach Arithm. Anhang 3 auch A ABC + ACD + ADE-h ...: A'BC'+A’C'D'+A’D'E' + ...== AB 3 -.AB' 3 , d. i. ABCDE ... -. A'B’C’D’E 1 ... = AB 3 : AB 3 , d. h. die Flächeninhalte ähnlicher geradliniger Figuren verhalten sich zu einander wie die Quadrate ihrer homologen Seiten (3), oder noch allgemeiner, wie die Quadrate irgend welcher homologer Strecken derselben. Insbesondere verhalten sich also auch die Flächeninhalte regelmässiger Figuren von gleicher Seitenzahl wie die Quadrate ihrer grossen, und wie die Quadrate ihrer kleinen Radien. 288 Planimetrie: Kapitel 5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. Winkelmessung. Berechnung des Umfangs und des Inhalts von Kreisen. § 53. Vom Messen der Winkel. 1. Ueber das Messen von Winkeln wurde aus praktischen Gründen bereits in der Einleitung, Seite 173, angegeben, dass dasselbe mittelst des rechten Winkels und seiner Unterabtheilungen zu geschehen pflege. Während die Bestimmung der Maasse für Strecken und in Folge dessen auch derjenigen für Flächen der Willkür anheimgegeben erscheint und daher dieselben für den Gebrauch des praktischen Lebens durch gesetzliche Anordnungen (Meter, Centimeter u. dgl.), jedoch in verschiedenen Ländern in verschiedener Weise festgesetzt wurden, existirt für die Winkel ein in der Natur derselben begründetes, also ein Natur- maass, welches daher auch überall in gleicher Weise gebraucht wird. Nur über die Bestimmung der als kleinere Maasse dienenden aliquoten Theile dieses natürlichen Maasses, des rechten Winkels, können Verschiedenheiten bestehen, doch ist die Eintheilung desselben in 60 Minuten zu je 60 Secunden bis jetzt die fast allgemein gebräuchliche geblieben. Die wirkliche Ausführung des Messens von Winkeln mittelst dieser Maasse wurde jedoch bisher nicht gelehrt, vielmehr die Resultate vorgenommener Messungen, wo solche behufs der beispielsweisen Erläuterung vorgetragener Lehren benutzt wurden, als gegeben vorausgesetzt. Selbst die Gewinnung jener Maasseinheiten wurde durch das bisherige noch nicht vollständig ermöglicht, denn es ist zwar die Construction eines rechten Winkels und der durch wiederholtes Halbiren desselben entstehenden Theile, sowie auch für den rechten Winkel insbesondere die Theilung in drei gleiche Theile gelehrt worden, allein man erhält auf diesem Wege nur Winkel von 90°, 60°, 45°, 30°, 15° und solche, welche Vielfache dieser Winkel oder Bruchtheile von Geraden enthaltende Hälften, Viertel u. s. w. derselben sind. Die Construction beispielsweise eines Winkels von einem Grad ist hiernach noch nicht möglich gewesen. 2. Setzen wir zunächst voraus, dass ein als Maasseinheit anderer Winkel dienender Winkel gegeben sei, so ist die Ausführung des Messens der letzteren durch unmittelbares wiederholtes Abtragen des Maasses — ähnlich wie dies bei dem Messen von Flächen der Fall war — nicht bequem. Man pflegt desshalb die Winkelmessung auf andere Weise auszuführen, welche zunächst erläutert werden soll. Beschreibt man um den Scheitel C eines Winkels mit beliebigem Radius einen Kreis, sodass also jener Winkel ein Centriwinkel dieses Kreises wird, so gehört zu dem Centriwinkel ein zwischen seinen Schenkeln liegender Kreisbogen, dessen Grösse von der des ersteren abhängig sein muss. Bereits in § 27 (3) wurde der Satz bewiesen, dass zu gleichen Centriwinkeln desselben Kreises oder gleicher Kreise auch gleiche Bogen gehören. Dieser Satz liefert das Mittel, auch ungleiche Centriwinkel mittelst ihrer Bogen zu vergleichen, denn denkt man sich zwei beliebige Centriwinkel eines Kreises durch ein gemeinschaftliches Maass in gleiche Theile getheilt, deren Anzahlen bezüglich durch m und n bezeichnet werden mögen, so müssen zufolge des genannten Satzes auch die zu jenen Centriwinkeln gehörigen Bogen in bezüglich m und n einander gleiche kleinere Kreis- 5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 289 bogen, also durch ein gemeinschaftliches Maass getheilt sein. Somit ist das Verhältniss der Längen der beiden ganzen Kreisbogen, d. i. das Verhältniss m : n ihrer Maasszahlen gleich dem Verhältniss der zu ihnen gehörigen Centri- winkel. Auch wenn letztere kein gemeinschaftliches Maass haben, gelangt man durch ein entsprechendes Verfahren wie früher in analogen Fällen dahin, dass das Verhältniss der Kreisbogen ebenso wie das der Centriwinkel sich zwischen für beide Verhältnisse übereinstimmende Grenzen bringen lässt, die man einander so weit genähert denken kann, dass ihr Unterschied kleiner ist als jede angeb- bare kleine Zahl. Man ist daher auch hier berechtigt, die Werthe der beiden Verhältnisse als einander gleiche Irrationalzahlen zu betrachten. Somit gilt allgemein der Satz: Centriwinkel desselben Kreises oder gleicher Kreise verhalten sich zu einander wie die zugehörigen Kreisbogen. (1) 3. Hieraus folgt, dass das Verhältniss zweier Kreisbogen sich nicht ändert, wenn auch der Radius des Kreises grösser oder kleiner wird, falls nur die zugehörigen Centriwinkel dieselben Grössen behalten. Das Verhältniss zweier Centriwinkel kann also stets durch dasjenige der zugehörigen Bogen ersetzt werden und umgekehrt und ist dabei unabhängig von der Länge des Radius, welche nur die absoluten Längen der beiden Kreisbogen, dagegen nicht das Verhältniss derselben zu einander beeinflussen kann. Da nun die Maasszahl einer Grösse nichts anderes ist, als der Werth des Verhältnisses derselben zu einer als Maass dienenden gleichartigen Grösse, so können die Messungen von Winkeln durch diejenigen von Kreisbogen ausgeführt werden und umgekehrt. Als Maass für eine derartige Messung ist bei den Kreisbogen der zum rechten Centriwinkel gehörige Bogen desselben Kreises, welcher den Namen Quadrant erhalten hat, bezw. die durch Theilung desselben in 90 gleiche Theile u. s. w. entstehenden kleineren Bogen zu wählen. Die ganze Kreislinie wird hiernach in 360 gleiche Theile getheilt gedacht. Jeder solche Theil erhält auch hier den Namen Grad, insbesondere Bogengrad zum Unterschied von Winkelgrad, und kann entsprechend wie dieser in 60 Bogenminuten und 60 • 60 Bogensecunden getheilt gedacht werden. Die so gewonnenen Maasse für Kreisbogen sind für verschiedene Kreise verschieden. Jeder Kreisbogen wird hiernach durch einen anderen Bogen desselben oder eines gleichen Kreises gemessen; für jeden verschiedenen Radius ist daher die Maasseinheit der Bogen besonders zu bestimmen, und es können auf diese Weise nicht Kreisbögen verschiedener Radien mit einander verglichen werden. Die so gewonnenen Maasszahlen von Kreisbogen geben, mit anderen Worten gesagt, nicht die absoluten Längen derselben (z. B. in Beziehung auf das auch für Strecken dienende Maass), sondern nur die Verhältnisse derselben zur Länge eines bestimmten Bogens desselben Kreises an. Die Gleichmässigkeit in der vorstehend angegebenen Theilung des Kreises und derjenigen der Winkel führt, da jeder Centriwinkel sich zum Winkelgrad, wie der zugehörige Bogen zum Bogengrad verhalten muss, zu dem Satze: Jeder Bogen eines Kreises hat dieselbe Maasszahl in Bogenmaass, wie sein Centriwinkel in Winkelmaass, (2) und es kann somit die Zahl der Winkel-Grade, -Minuten und -Secunden eines jeden Winkels ohne Weiteres durch die der Bogen-Grade u. s. w. eines zugehörigen Kreisbogens ersetzt werden, und umgekehrt. Daher bedient man sich in der Praxis zum Messen und Aufträgen von Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd, i. 19 290 Planimetrie. Winkeln stets eines entsprechend getheilten Kreises (von beliebigem Radius), dessen Mittelpunkt auf den Scheitel des Winkels gelegt wird. Die nähere Erörterung der betreffenden Instrumente, wie des Transporteurs, des Theodolits u. dgl., findet man in den betreffenden Schriften über praktische Geometrie. Die Einrichtung und der Gebrauch des zum Zeichnen benutzten, den gewöhnlichen Reisszeugen beigegebenen Transporteurs, eines getheilten Halbkreises, dürfte übrigens durch das oben Gesagte unmittelbar verständlich sein. § 54. Vom Theilen der Kreisbogen. 1. Die Aufgabe der Theilung und Messung von Winkeln ist hiernach zunächst zurückgeführt auf diejenige der Theilung von Kreisbogen, und ebenso kann man umgekehrt diese, sofern die Theilung der Winkel zuerst gezeigt worden, auf letztere zurückführen. Die Theilung von Kreisbogen auf elementar-geometrischem Wege unterliegt daher denselben Schwierigkeiten, wie diejenige von Winkeln. Eine allgemeine Auflösung der Aufgabe kann auch hier nur für die Theilung in zwei und die durch wiederholtes Halbiren aus diesen erhaltenen, also in 2" gleiche Theile gegeben werden, und schon die allgemeine Theilung eines Kreisbogens in drei gleiche Theile ist, ebenso wie die Trisection des Winkels, mittelst alleiniger Anwendung von Zirkel und Lineal nicht ausführbar. Zur Halbirung eines Kreisbogens hat man nur nöthig, um jeden seiner Endpunkte mit demselben beliebigen Radius und auf derselben Seite des Bogens je einen weiteren Kreisbogen zu beschreiben und den Durchschnittspunkt der letzteren mit dem Mittel punkt des gegebenen Kreises oder auch, z. B. wenn der Mittelpunkt nicht con- struirt ist, mit dem ebenso bestimmten zweiten Durchschnittspunkt der beiden Hülfsbogen zu verbinden, denn diese Linie halbirt nach § 33, (4) den zugehörigen Centriwinkel. 2. Anders als mit der Theilung beliebiger Kreisbogen verhält es sich mit dem besonders wichtigen Fall, dass die ganze Kreislinie in eine vorgeschriebene Anzahl gleicher Theile getheilt werden soll: in demselben sind auch noch anderweite Theilungen möglich, ebenso wie beispielsweise die Trisection des Winkels in dem besonderen Fall, dass letzterer ein rechter ist. Um den ganzen Kreis in n gleiche Theile theilen zu können, ist es erforderlich und hinreichend, zu 360° zeigen, wie sich ein Winkel construiren lässt, dessen Grösse ■ beträgt, denn n solche Centriwinkel würden aneinander gelegt zusammen 360°, und der zu einem solchen gehörige Bogen würde also den »ten Theil des Kreises betragen. Ein solcher Winkel lässt sich nun zwar innerhalb der Grenzen der Elementar- Geometrie nicht für jeden Werth von n, aber doch für einige einzelne Werthe, und zwar gerade für die in der Praxis am häufigsten vorkommenden construiren. Für n = 2, d. h. für die Theilung des ganzen Kreises in zwei gleiche Theile, hat man nur einen Durchmesser, für n = 4 zwei zu einander senkrechte Durchmesser desselben zu ziehen. Für n = 6 trage man eine Sehne gleich dem Radius sechsmal nach einander in den Kreis ein. Verbindet man nämlich die Endpunkte einer solchen Sehne, mit dem Mittelpunkt, so entsteht ein gleichseitiges Dreieck, mithin beträgt der zu ihr gehörige Centriwinkel 60°, d. i. den sechsten Theil von 360°. Für ii— 10 theile man einen Radius nach dem goldenen Schnitt und trage den grösseren Abschnitt zehnmal nach einander als Sehne in den Kreis ein. ! 5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 291 Soll nämlich der Bogen AB der zehnte Theil des Kreises, also der zugehörige Centriwinkel ACB gleich 36° sein, so erhält man durch Ziehen der Sehne AB ein gleichschenkeliges Dreieck, in welchem jeder der Winkel an der Grundlinie AB gleich (180°—36°) = 72°, also doppelt so gross als der Winkel an der Spitze ist. Halbirt man also den Winkel CAB, so ist, wenn D den Durchschnittspunkt der Halbirungslinie mit CB bezeichnet, Z CAD = Z ACD, also AD = CD. Ebenso ist Z DAB — CAD — 36°, und da Z CBA = 72° ist, auch Z ADB gleich 72°, mithin AD = AB. Daher ist schliesslich auch AB = CD. Die Halbirungslinie AD muss aber die gegenüberliegende Seite im Verhältniss der anliegenden theilen, es ist also A C : AB = CD : DB, und mithin auch CB : CD = CD : DB, d. h. CB ist in D nach dem goldenen Schnitt getheilt, und A B ist dem grossem Abschnitt CD gleich. — Auch umgekehrt ergiebt sich, wenn CB : CD = CD : DB und AB — CD vorausgesetzt und AD gezogen wird, dass auch AC: AB = AB : DB sein muss. Da hiernach die Dreiecke A CB und BAD in einem Seitenver- hältniss übereinstimmen, und da sie ausserdem den eingeschlossenen Winkel B gemeinsam haben, so sind diese Dreiecke ähnlich. Deshalb muss auch BAD gleichschenkelig, also AB = AD = CD, und daher Z DCA = Z CAD sein. Bezeichnen wir der Kürze halber den Winkel DCA durch a, so ist auch jeder der Winkel DAB, DAC gleich a, mithin CAB = 2a, also CBA ebenfalls gleich 2a, und die Summe der Winkel des Dreiecks ACB gleich 5a. Aus 5 a = 180° folgt a= 36°, was zu beweisen war. 360° Für n= 15 hat man Centriwinkel von —r-r- = 24° zu construiren. Da nun 15 24 = 60 — 36 ist, so hat man zu diesem Zweck nur die Differenz eines Sechstels und eines Zehntels der Peripherie zu zeichnen. 3. Aus den vorstehend angegebenen Theilungen des Kreises ergeben sich andere einerseits durch Zusammenfassen mehrerer gleicher Theile in einen, andererseits durch wiederholtes Halbiren der bereits vorhandenen Theile. Durch paarweises Zusammenfassen aneinder liegender Theile erhält man aus der Theilung in sechs diejenige in drei, und aus der Theilung in zehn diejenige in fünf gleiche Theile. Durch Halbiren sämmtlicher Theile ergiebt sich aus der Theilung in vier gleiche Theile die in acht, dann aus dieser die in sechzehn gleiche Theile, u. s. w. In gleicher Weise gelangt man von n = 6 auf n — 12, 24 u. s. w., von n = 10 auf n — 20, 40 u. s. w. und von n = 15 auf n — 30, 60 u. s. w. Allgemein ist man also mit Hülfe der obigen Theilungen im Stande, einen jeden ganzen Kreis in 2 • 2 W , 3 ■ 2 M , 5 • 2" und 15 • 2 K gleiche Theile (für jeden ganzen Werth von n, einschliesslich der Null) zu theilen. Auf diese Theilungen des Kreises beschränkte sich die Geometrie der Alten. Erst C. F. Gauss zeigte in seinen disquisitiones arithmeticae 1796, dass ausserdem die Theilung in alle diejenigen Anzahlen auf elementarem Wege möglich sei, welche in der Formel 2 M + 1 enthalten sind, wenn dieselbe zugleich eine Primzahl angiebt, also für 17, 257 u. s. w. Derselbe erweiterte also die obigen vier Reihen von Theilungen der alten Geometer um eine unendlich c 19’ 292 Planimetrie. grosse Anzahl solcher Reihen, die allerdings nur theoretisches Interesse haben, und deren nähere Behandlung zu weit führt, um hier angegeben werden zu können. Alle sonst noch übrigen Theilungen des Kreises, also beispielsweise schon diejenige in sieben gleiche Theile, sind in den Elementen nicht möglich. Es ist nach dem Vorstehenden auch möglich, ausser Winkeln von 90°, 60°, 45°, 30° solche von 36°, 18°, 15°, 18° — 15° = 3° und alle noch übrigen Vielfachen von 3° durch genaue Construction zu erhalten, dagegen ist eine solche Construction nicht für jede beliebige Maasszahl eines Winkels möglich. Auch die Theilung der Winkelmessinstrumente in die einzelnen Grade und deren Unterabtheilungen kann nicht mittelst geometrischer Construction durchgeführt werden; sie erfolgt in der Praxis auf mechanischem Wege durch eine sogenannte Theilmaschine. Auch mit dem Zirkel kann man durch mechanisches Probiren einen Kreis in eine beliebige Anzahl gleicher Theile mit mehr oder minder annähernder Genauigkeit theilen, und insofern diese Genauigkeit nicht geringer ist, als diejenige, welche auch bei mathematisch strenger Construction in der praktischen Ausführung wegen der unvermeidlichen Fehler der Instrumente, der Dicke der die Linien darstellenden Striche u. dgl. m. nur zu erreichen ist, kann jenes mechanische Verfahren die mathematische Construction in der Praxis völlig ersetzen. § 55. Construction regelmässiger Polygone. 1. Die Theilung der ganzen Peripherie in n gleiche Theile führt zunächst auf die Construction regelmässiger, einem Kreise ein- oder umbeschriebener Polygone. Ist nämlich die Peripherie in n gleiche Theile ge- theilt und verbindet man je zwei benachbarte Theilpunkte mit einander, so entsteht ein einbeschriebenes Polygon, dessen Seiten Sehnen gleicher Bogen, also einander gleich sind. Da ausserdem die Winkel dieses Polygons Peripheriewinkel auf gleichen Bogen, nämlich auf je einem aus n — 2 jener gleichen Theile bestehenden, sind, so ist das Polygon auch gleichwinkelig, also regelmässig. Es sei ferner durch jeden von n solchen Theilpunkten die Tangente an den Kreis gezogen und so ein umbeschriebenes n- Eck construirt. Aus der Gleichheit der Bogen AB, BC u. s. w. folgt dann die Gleichheit der Centriwinkel AMB, BMC u. s. w. Da nun jedes der Vierecke APBM, A F BQ CM, . . . durch die entsprechende Diagonale " -A MB, MQ, ... in zwei congruente Dreiecke zer- / legt wird, so sind auch die sämmtlichen Winkel /p^\\ AMB, BMB, BMQ u. s. w. als Hälften gleicher - d Winkel von gleicher Grösse. Nun ergiebt sich leicht j/ auch die Congruenz je zweier mit einer Kathete an- \ jC einander liegender Dreiecke, wie BMB und BMQ, ^J>J und damit schliesslich dass alle Seiten des Polygons BQ . . . und ebenso alle Winkel desselben aus gleich- vielen (nämlich je zwei) gleichen Stücken bestehen. Hiernach ist man in den Stand gesetzt, sowol in als um jeden gegebenen Kreis jedes regelmässige Polygon zu beschreiben, dessen Seitenzahl in einer der Formeln 2 • 2“, 3 • 2", 5 • 2 K , 15-2” enthalten ist, oder die Seite eines solchen regelmässigen Polygons zu construiren, wenn der Radius des ihm umbeschriebenen sowie wenn der Radius des ihm einbeschriebenen Kreises gegeben ist. 2. Soll dagegen ein solches Polygon über einer gegebenen Seite construirt, oder soll — was auf gleichem Wege geschehen kann — zu der gegebenen Seite 5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 293 der eine oder der andere der beiden Radien gefunden werden, so kann man sich der Aehnlichkeit aller regelmässigen Polygone von derselben Seitenzahl bedienen, indem man zuerst in oder um einen mit beliebigem Radius construirten Kreis nach der vorhergehenden Anleitung ein entsprechendes Polygon und dann zu diesem über der gegebenen Seite ein ähnliches zeichnet. Dieses Verfahren gestattet übrigens wesentliche Abänderungen und Vereinfachungen, welche sich leicht ergeben. So genügt es zunächst zu einem beliebig gewählten Radius nur eines der durch eine Seite und zwei Radien des einbeschriebenen «-Ecks begrenzten gleichschenkeligen Dreiecke und dann mittelst der gleichen Winkel zu letzterem ein ähnliches Dreieck über der gegebenen Seite zu zeichnen. Die Spitze des letzteren ist der Mittelpunkt, sein Schenkel der Radius des dem gesuchten Polygon umbeschriebenen Kreises, welchem dann durch wiederholtes Einträgen der Seite als Sehne dieses Polygon einbeschrieben werden kann. Ist die Seite des verlangten «-Ecks nur der Länge und nicht auch der Lage nach gegeben, so kann man das Verfahren in leicht ersichtlicher Weise noch weiter vereinfachen. 3. Insbesondere lassen sich ferner folgende Aufgaben ohne Weiteres lösen: Zu einem gegebenen, einem Kreise einbeschriebenen regelmässigen «-Eck ein demselben Kreise einbeschriebenes regelmässiges 2 «-Eck zu zeichnen. Man hat hierzu nur jeden der Bogen des Kreises, welche zwischen aufeinanderfolgenden Eckpunkten des «-Ecks liegen, zu halbiren und jeden der Halbirungspunkte mit den beiden benachbarten Eckpunkten des «-Ecks zu verbinden. Die beiden Polygone liegen dann so zu einander, dass die grossen Radien des 2 «-Ecks zur Hälfte mit den grossen Radien des «-Ecks zusammenfallen, zur anderen Hälfte auf den Seiten des letzteren senkrecht stehen, sie halbiren und die kleinen Radien des «-Ecks als Theile in sich enthalten. Umgekehrt kann man durch Verbinden der abwechselnden Eckpunkte eines gegebenen, einem Kreise einbeschriebenen regelmässigen 2«-Ecks ein demselben Kreise einbeschriebenes regelmässiges «-Eck zeichnen. Zu jedem gegebenen, einem Kreise einbeschriebenen regelmässigen «-Eck erhält man ferner ein demselben Kreise umbeschriebenes regelmässiges «-Eck, wenn man durch die Eckpunkte des ersteren die Tangenten an den Kreis zieht. Die beiden Polygone liegen dann so zu einander, dass die Eckpunkte des einbeschriebenen die Seiten des umbeschriebenen halbiren, die grossen Radien des ersteren also die kleinen Radien des letzteren sind. Halbirt man dagegen die durch die Eckpunkte der einbeschriebenen Figur bestimmten Bogen und zieht durch die Halbirungspunkte die Tangenten, so muss, da diese Halbirungspunkte unter sich ebenfalls den Kreis in n gleiche Theile theilen, wieder ein umbe- schriebenes regelmässiges «-Eck entstehen, aber dasselbe hat gegen das einbeschriebene eine andere Lage als vorher. Diese Construction ist deshalb bemerkens- werth, weil jetzt je zwei homologe Seiten der beiden Figuren, weil zu derselben Geraden senkrecht, einander parallel sind. Die kleinen Radien derselben fallen also paarweise in dieselben Linien, und da die Winkel AMB, ÄMB' der Bestimmungsdreiecke in beiden «-Ecken gleich gross sind, so müssen auch je zwei grosse Radien MA, MÄ in dieselbe Gerade fallen, oder je zwei homologe Eckpunkte liegen mit dem Mittelpunkte des Kreises in gerader Linie, JÜ B’ 294 Planimetrie. § 56. Berechnung regelmässiger Polygone. 1. Jeder der im Vorhergehenden behandelten Constructionsaufgaben lässt sich eine entsprechende Rechnungs-Aufgabe zur Seite stellen, welche die Berechnung der vorher construirten Grössen aus den jetzt durch ihre Maasszahlen gegebenen Bestimmungsstücken verlangt. Es werde daher zunächst verlangt, aus dem gegebenen Radius eines Kreises die Seiten derjenigen demselben einbeschriebenen Polygone zu berechnen, deren Construction sich vorher als möglich ergeben hat. Die Seite des einbeschriebenen Quadrats ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen Katheten beide gleich dem gegebenen Radius r sind. Durch den pythagoreischen Lehrsatz ergiebt sich demnach für diese Seite — j/r 2 -I- r*, oder s — r ]/2. r Die Seite des einbeschriebenen regelmässigen Sechsecks ist dem Radius gleich, man hat hier also die Gleichung Die Seite des einbeschriebenen regelmässigen Zehnecks bestimmt sich, entsprechend dem Gesetze der Theilung des Radius nach dem goldenen Schnitt, durch die Gleichung — s:(r — s). Die Auflösung derselben auf die Unbekannte s führt mittelst der Umformungen s 2 — r 2 — rS) s 2 rs — r 2 atl f (j/5 — 1). oder s Die Berechnung der Seite des Fünfzehnecks, welche sich mit Hülfe des allgemeinen pythagoreischen Lehrsatzes ausführen lässt, liefert ein complicirteres Resultat, und da dieselbe kein praktisches Interesse bietet, so mag sie hier übergangen werden. 2. Aus diesen Werthen der Seiten der fundamentalen Polygone erhält man diejenigen der Seiten derjenigen Polygone, welche durch Verdoppelung der Seitenzahlen bestimmt werden, mittelst des Resultats der folgenden Aufgabe, welche der Construction eines einbeschriebenen regelmässigen 2«-Ecks zu einem gegebenen einbeschriebenen regelmässigen n -Eck entspricht: Aus dem Radius r eines Kreises und einer Sehne r desselben die zu dem halben (kleineren) Bogen gehörige Sehne zu berechnen. Es sei zu diesem Zweck AB die gegebene Sehne, J) MC die vom Mittelpunkt M auf dieselbe gefällte Senk- rechte, welche in ihrer Verlängerung durch den Halbirungs- punkt D des Bogens AB geht, so ist DB die gesuchte Sehne. Bezeichnet man die Maasszahl der letzteren durch x, die der Sehne AB durch s, die des Radius durch r und zieht MB, so ist MB — r, BC=\s, und DB 2 = BC* + DC 2 = BC 2 + (. DM— CM)*. Setzt man hier DB = x, BC=^s, DM—r und CM=^MB *— BC 2 = -j / r 2 — j 2 ein, so erhält man + (r — Y‘ X c2 s 2 r s 2 -f- r woraus x = j/g r 2 — 2 \ s* folgt. 5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 295 So erhält man beispielsweise aus der Seite des einbeschriebenen Quadrats s = rj/2 - mittelst dieser Formel die Seite des einbeschriebenen regelmässigen Achtecks gleich Y%r 2 — 2 r -|/r 2 — = Y'2 r 2 —- r 2 yT~—2 = ^l/ 2 — -j/2j aus dieser wieder die Seite des einbeschriebenen regelmässigen Sechszehnecks gleich__ V-2 r 2 — 2rVr 2 ~i = r Yl — Y 2-t-J/§Ü u. s. w. Aus der Seite des Sechsecks s = r ergiebt sich die des Zwölfecks gleich Y%r 2 — 2 rY r aus dieser die Seite des Vierundzwanzigecks gleich rY 2 — Y% ■-+- (/3, u. s. w. Will man umgekehrt aus der bekannten Seite eines einbeschriebenen regelmässigen 2«-Ecks diejenige des einbeschriebenen «-Ecks berechnen, so hat man in der obigen Formel x als gegeben zu betrachten und dieselbe auf s als Unbekannte aufzulösen. In dieser Weise erhält man z. B. aus der Seite des Sechsecks diejenige des Dreiecks gleich rY 3 und aus der Seite des Zehnecks diejenige des Fünfecks gleich ry ^ (5 — "j/5)' 3. Um auch die Seiten der einem Kreise mit dem Radius r umbeschriebenen regelmässigen Polygone zu berechnen, kann man zunächst die der Construc- tion des umbeschriebenen «-Ecks aus dem gegebenen einbeschriebenen «-Eck entsprechende Aufgabe stellen, aus dem Radius r eines Kreises und der Seite j eines demselben einbeschriebenen regelmässigen «-Ecks die Seite y des demselben umbeschriebenen regelmässigen «-Ecks zu berechnen. Es sei zu diesem Zweck AB die gegebene Sehne s, und die gesuchte Seite CD zu derselben parallel construirt, so dass also die Verlängerungen der Radien MA, MB die letztere bezüglich in ihren Endpunkten C, D treffen und der Berührungsradius ME auf AB in F senkrecht steht und beide Seiten halbirt. Dann ist CD ED EM EM AB ' FB FM -y/MB 2 — FB 2 ’ oder y_ s Yr - i- also y — Y r 2 — Mit Hülfe dieser letztem Gleichung erhält man nun aus der Seite j = rj/2 des einbeschriebenen regelmässigen Vierecks die Seite S des umbeschriebenen regelmässigen Vierecks S = 2r, ein Resultat, welches sich auch sehr leicht unmittelbar ableiten lässt. In gleicher Weise ergiebt jene Formel die Seite des umbeschriebenen «-Ecks für n = 6 gleich f- r Y 3, für n — 10 gleich 2 rY\ (5 — 2 ]/5), für n = 3 gleich 2 rf/B, für n — 5 gleich 2 r j/,5 — 2 Y^> ftir 11 — 8 gleich 2 ’r (Y% — 1), für n = 12 gleich 2« (2 — "|/3), für n — 16 gleich 2 r (Y4 -+- 2 “j/2 — ]/2 — 1), u. s. w. Soll umgekehrt aus der Seite a eines regelmässigen «- Ecks der Radius r des umbeschriebenen oder der Radius p des einbeschriebenen Kreises berech- 2g6 Planimetrie. net werden, so hat man nur die im Vorstehenden für die Seiten gefundenen Resultate auf die Radien als Unbekannte aufzulösen. Man findet ferner den Flächeninhalt eines solchen Polygons, indem man den so berechneten Radius p nach § 43, (2) mit dem halben Umfang \na multiplicirt. So ergiebt sich für das Quadrat: für das Sechseck: für das Dreieck: für das Zehneck: für das Fünfeck: ■ = ? = \a, F-- a 6 a, p=|«-j/3, jF=%a 2 Ys, ry% p = i a 7/3, F= * a 2 7/3, ' = 1 g (]/5 ' ~ a V 1)> p = 4-«> / 5~ M5- _ 2-|/5, F = | «2 7/5 _ l/ö), p = a Y^ (5 + 2 l/5), _ Vl (5 -+- 2 7 /5), für das Achteck: « = a 7/4 -f- 2 7/2] p = { a (7/2 4- 1), 2a 2 (7/2 2-J/5, 1 ). u. s. w. § 57. Berechnung von Kreisen. 1. Die Berechnung regelmässiger Polygone zeigt mit Hülfe der nachstehenden Sätze einen Weg zur Berechnung der Umfänge und der Flächeninhalte von Kreisen. Da jeder Bogen eines Kreises grösser ist als die zu ihm gehörige Sehne, so muss auch die Summe aller zu den Seiten einer einbeschriebenen geradlinigen Figur gehörigen Bogen grösser als der Umfang dieser Figur sein, d. h. Der Umfang einer jeden in einen Kreis beschriebenen geradlinigen Figur ist kleiner als die Peripherie dieses Kreises. Verbindet man ferner die Berührungspunkte zweier aneinanderstossenden Seiten einer umbeschriebenen Figur mit einander, so entsteht ein Dreieck, und es muss nach § 17, (4) der innerhalb dieses Dreiecks liegende Bogen zwischen den Berührungspunkten kleiner sein als die Summe der ihn einscliliessenden zwei Dreiecksseiten. Addirt man nun wieder einerseits alle diese Bogen, andererseits alle diese Dreiecksseiten, so ergiebt sich der Satz: Der Umfang einer jeden um einen Kreis beschriebenen geradlinigen Figur ist grösser als die Peripherie dieses Kreises. Man hat also in den Maasszahlen der Umfänge eines umbeschriebenen und eines einbeschriebenen Polygons stets zwei Grenzzahlen, zwischen denen die Maasszahl der — durch dieselbe Längeneinheit gemessenen — Peripherie enthalten sein muss. Construirt man ferner zu einem einbeschriebenen regelmässigen n - Eck ein einbeschriebenes regelmässiges 2 n - Eck mittelst Halbirung der Kreisbogen, so bilden je zwei Seiten des letzteren mit einer Seite des ersteren ein Dreieck, und da die Summe zweier Seiten eines solchen stets grösser ist als die dritte Seite, so folgt dass der Umfang eines jeden einbeschriebenen regelmässigen 2 «-Ecks grösser ist als der Umfang des einbeschriebenen regelmässigen «-Ecks. In entsprechender Weise kann man zu jedem gegebenen umbeschriebenen regelmässigen «- Eck ein umbeschriebenes regelmässiges 2 «- Eck construiren, indem man jeden zwischen zwei benachbarten Berührungspunkten des ersteren liegenden Bogen halbirt und durch jeden Hal- birungspunkt eine Tangente an den Kreis legt. Da jede dieser letzteren Tangenten von dem ursprünglichen «-Eck ein Dreieck abschneidet, der Umfang des 2 «-Ecks also aus demjenigen des «-Ecks erhalten wird, indem man « mal die Summe zweier Seiten eines Dreiecks durch die dritte Seite ersetzt, 5- Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 297 so folgt, dass der Umfang eines jeden umbeschriebenen regelmässigen 2 n -Ecks kleiner ist, als der Umfang des umbeschriebenen regelmässigen n - Ecks. 2. Berechnet man also, wie vorher gezeigt worden, aus dem gegebenen Radius eines Kreises nach einander die Seiten einer Reihe einbeschriebener, regelmässiger Polygone, so dass die Anzahl der Seiten eines jeden folgenden doppelt so gross ist als diejenige des vorhergehenden, und multiplicirt man jede so erhaltene Maasszahl einer Seite mit der zugehörigen Anzahl der Seiten, so erhält man eine Reihe von Zahlen, von welchen jede kleiner ist als die Maasszahl der Peripherie des Kreises, jede folgende aber der letzteren näher kommt als die vorhergehende. Wie weit diese Annäherung geht, lässt sich jedoch aus diesen Zahlen allein nicht erkennen. Berechnet man dann zu jeder der eben gefundenen Seiten einbeschriebener Polygone die Seite des umbeschriebenen regelmässigen Polygons von gleicher Seitenzahl und aus derselben durch Multiplication mit der Seitenzahl wieder den zugehörigen Umfang, so erhält man eine zweite Reihe von Zahlen, welche sämmtlich grösser sind als die Peripherie des Kreises und von denen wieder jede folgende der letzteren näher kommt als die vorhergehende. Durch die beiden nun berechneten Zahlenreihen wird also die Peripherie des Kreises zwischen zwei Grenzen eingeschlossen, welche mit jedem folgenden Polygon enger aneinander rücken und also auch der Peripherie immer näher kommen. Ergiebt sich bei dieser Rechnung, dass die Umfänge zweier zusammengehöriger Polygone von einander um die Differenz 8 verschieden sind, so beträgt der Unterschied der Peripherie von jedem dieser Umfänge weniger als 8, und ist 8 kleiner als der für etwa vorliegende praktische Arbeiten gestattete, bezw. unvermeidliche Fehler, so dürfen die genannten Umfänge statt der Peripherie in der Rechnung benutzt werden. So erhält man z. B. indem man von der Seite des einbeschriebenen regelmässigen Sechsecks ausgeht> für den Radius r — 0,5 die in der nachstehenden Tabelle durch u und U bezeichneten Werthe der Umfänge der Polygone für die dabei angegebenen Seitenzahlen «: 11 u U n u U 6 3,000000 3,464102 192 3,141452 3,141873 12 3,105828 3,215390 384 3,141556 3,141662 24 3,132628 3,159660 768 ; 3,141583 3,141610 48 96 3,139350 3,141031 3,146086 3,142715 1536 3,141590 3,141597 Man sieht aus derselben, dass die Umfänge der beiden 96-Ecke auf zwei, die der 192-Ecke auf drei und die der 1536-Ecke auf fünf Decimalstellen übereinstimmen und kann hieraus folgern, dass auch die Peripherie des fraglichen Kreises gleich 3,14159 . . . gesetzt werden darf, wobei die auf die fünfte Decimale folgenden Stellen unbestimmt bleiben. Da nun für die meisten praktischen Rechnungen eine Genauigkeit von fünf Decimalen genügt, so kann man die Peripherie jenes Kreises für solche Rechnungen als gefunden ansehen. Bei noch weiter fortgesetzter Berechnung der Polygonumfänge wird die Annäherung derselben an einander und an die Peripherie noch stärker und dieselbe kann bis über jeden beliebigen verlangten Grad der Genauigkeit hinaus erreicht werden, wie folgende Untersuchung für alle Fälle streng beweist. 3. Das Verhältniss des Umfanges eines einbeschriebenen regelmässigen «-Ecks 29B Planimetrie. zum Umfang des umbeschriebenen regelmässigen Polygons von gleichviel Seiten ist gleich dem entsprechenden Yerhältniss der einzelnen Seiten s : Da nun, wie oben entwickelt, _ rs ]/ r 2 — %s 2 ’ so ist j : S = i /r 2 — ^s 2 : r. Nimmt nun die Seitenzahl n bis in’s Unendliche zu, so nimmt die Länge einer einzelnen Seite bis in’s Unendliche ab, d. h. der Werth von s nähert sich bis in’s Unendliche der Null und daher das obige Verhältniss ebenso dem Verhältnisse yV 2 : r — 1:1. Hiernach kann man sagen, dass die Umfänge der beiden zusammengehörigen Polygone bei fortschreitendem Wachsthum der Seitenzahl n bis in’s Unendliche sich einander nähern, und dass dieselben, wenn n unendlich gross gemacht werden könnte, einander und somit auch der Peripherie des Kreises gleich werden müssten. Hiernach erscheint der Kreis als die Grenze, welcher sich der Umfang eines demselben ein- oder umbeschriebenen regelmässigen Polygons bei wachsender Seitenzahl ohne Ende nähert. Man drückt diesen Satz häufig so aus, dass man sagt, ein Kreis könne als ein regelmässiges Polygon von unendlich vielen Seiten betrachtet werden. (1) Hieraus folgt zugleich, dass alle diejenigen Sätze, welche für alle regelmässigen Figuren ohne Rücksicht auf ihre Seitenzahl gelten, auch für die Kreise gelten müssen. Demnach kann man alle Kreise als ähnliche Figuren betrachten, und die Umfänge je zweier Kreise verhalten sich zu einander wie die Radien oder wie die Durchmesser derselben. Bezeichnen P, p bezüglich jene Umfänge, D, d die Durchmesser, so ist also P:p = D : d, und durch Umstellung dieser Proportion ergiebt sich P: D =/ : d, d. h. das Verhältniss der Peripherie eines Kreises zum Durchmesser (oder zum Radius) desselben hat für alle Kreise denselben Werth. (2). Um nun diesen Werth des Verhältnisses p : d zu finden, beachte man, dass derselbe gleichbedeutend ist mit der Maasszahl der Peripherie für den Durchmesser 1 oder den Radius ü Wie diese mittelst der Umfänge regelmässiger Polygone näherungsweise berechnet werden kann, ist vorher gezeigt worden, und die dort beispielsweise angegebenen Resultate der Berechnung solcher Umfänge haben bereits ergeben, dass dieselbe gleich 3,14159, mit einer Genauigkeit von fünf Decimalen gesetzt werden kann. 4. Man bezeichnet den — auf dem angegebenen Wege nicht zu ermittelnden — genauen Werth jenes Verhältnisses durch den griechischen Buchstaben - so dass also P -£j = 7r, und somit P=P>t: oder P=2rn... (3) ist. Die letztere Formel zeigt, wie nunmehr die Peripherie eines jeden Kreises durch eine einfache Rechnung gefunden werden kann. Man hat zu diesem Zweck nur nöthig, den Durchmesser 2 r des Kreises mit der Zahl « zu multipli- ciren, wobei man in der Praxis wegen der mangelnden genauen Kenntniss des 5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 299 Werthes dieser Zahl einen jener Näherungswerthe benutzt, welcher mit Rücksicht auf die im einzelnen Fall verlangte Genauigkeit des Resultates zu wählen ist. Da ferner der Flächeninhalt eines Kreises zufolge § 43, (2) gleich der Hälfte des Produkts aus seinem Umfang und seinem Radius gesetzt werden kann, so erhält man für denselben F — ^ ■ 2rit • r, d. i. F = r 2 • n. (4) Ist also beispielsweise der Radius eines Kreises gleich 10 Meter, so ist der Umfang desselben gleich 2 • 10 • 3,14159 = 62,8318 Meter mit einer Genauigkeit bis auf 0,0001 Meter, also von Millimeter, und der Flächeninhalt desselben Kreises ist gleich 100 • 3,14159 . . = 314,159 Quadratmeter mit einer Genauigkeit bis auf 0,001 Quadratmeter oder zehn Quadratcentimeter. 5. Die Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines jeden beliebigen Kreises ist nach dem Vorstehenden in der praktischen Ausführung, so lange der genaue Werth der Zahl tc nicht bekannt ist, nur näherungsweise möglich, und die grössere oder geringere Genauigkeit der Resultate ist bedingt durch den Grad der Annäherung der für ir benutzten Zahl an jenen genauen Werth. Die erste Berechnung eines angenäherten Werthes von rt rührt von Archimedes aus Syrakus (287—212 v. Chr.) her. Derselbe berechnete die Umfänge der 96-Ecke und fand — in der Schreibweise der heutigen Mathematik ausgedrückt — dass der Umfang des Kreises weniger als 3^- und mehr als 3^-f- des Durchmessers betrage. Da der Werth 3^-= 3,1428 . . . von dem genauen Werthe von tt erst in der dritten Decimale und in dieser nur um eine Einheit derselben verschieden ist, so genügt er schon für viele Rechnungen des bürgerlichen Lebens. Unter den zahlreichen späteren Berechnern ist namentlich Ludolph van Ceulen (geb. in Hildesheim 1539, gest. in Leyden 1610) bekannt geworden, nach welchem n auch die LuDOLPH’sche Zahl genannt wird. Derselbe berechnete diese Zahl zuerst bis auf 20, später bis auf 35 Stellen. Die erstere dieser Rechnungen gründete sich auf die Bestimmung der Umfänge des einbeschriebenen und des umbeschriebenen regelmässigen Polygons von 32 212 254 720 Seiten und ergab ir = 3,14159 26535 89793 23846 . . . Die so erzielte Genauigkeit ist bereits so gross, dass für einen Kreis von 20 Millionen Meilen Radius (der ungefähren Entfernung der Erde von der Sonne) der Fehler des mit Hülfe der vorstehenden Werthes berechneten Umfangs kleiner als ein Milliontel eines Millimeters sein würde, falls es in der Praxis überhaupt möglich wäre, schon den Radius eines Kreises mit solcher Genauigkeit zu messen. Die überaus mühsame Methode, welcher sich Ludolph bediente, wurde später von Huyghens und Gregory durch Aufstellung weiterer Lehrsätze über die Umfänge ein- und umbeschriebener regelmässiger Polygone erheblich vereinfacht. Es erscheint als überflüssig, diese Lehrsätze und verbesserten Methoden hier anzuführen, da an dieser Stelle überhaupt nur die Möglichkeit einer elementaren Bestimmung von it bis zu jedem verlangten Grade der Annäherung gezeigt werden soll. Die neuere Mathematik hat an einer späteren Stelle zu entwickelnde sehr bedeutend bequemere Mittel zur Berechnung von - gefunden, so dass heutzutage — wenn überhaupt eine solche Berechnung noch irgendwie erforderlich erschiene — niemand zu diesem Zwecke sich einer jener elementaren Methoden bedienen würde. Mit Hülfe dieser neueren Mittel ist die Berechnung von it von verschiedenen Mathematikern weiter fortgesetzt worden. Die neueste und weitgehendste, von Richter in Elbing, giebt den Werth von 7t auf 500 Decimalstellen, Derartige Berechnungen haben selbstverständlich durchaus kein praktisches 3°o Planimetrie. sondern nur ein theoretisches Interesse. Für die Praxis genügt fast in allen Fällen der Gebrauch von sieben, meist sogar der von fünf oder weniger Decimal- stellen, so dass man also hier ein- für allemal tr = 3,1415927 als den Werth des Verhältnisses der Peripherie zum Durchmesser annehmen darf. Dagegen bieten einiges praktische Interesse solche Näherungsbrüche, die innerhalb der Grenzen der im einzelnen Fall verlangten Genauigkeit für den obigen Decimalbruch gesetzt werden dürfen, und die man mittelst der Verwandlung des letztem in einen Kettenbruch finden kann. Der einfachste der- 22 selben ist der bereits angegebene archimedische -y, welcher von dem wahren Werthe um weniger als 0,0013 abweicht. Ausser ihm ist besonders bemerkens- werth der zuerst von Adriaan Anthoniszoon in Alkmaar im 16. Jahrh. nach Chr. 355 angegebene welcher sich mittelst des die drei ersten ungeraden Zahlen llü doppelt enthaltenden Schemas 1131355 leicht merken lässt. Durch Verwandlung desselben in einen Decimalbruch kann man sich überzeugen, dass er von dem genauen Werthe erst in der siebenten Decimale abweicht. Ist also z. B. der Radius eines kreisrunden Platzes gleich 9 Meter gegeben, 22 4 so kann man den Umfang desselben gleich 18 ■ y= 56 y Meter setzen, welcher Werth sich von dem genauen nur um etwa zwei Centimeter unterscheidet. Eine absolut genaue Bestimmung des Werthes von tt ist auch mit Hülfe der hohem Mathematik nicht möglich; man erhält immer nur einen an irgend einer Stelle abgebrochenen Decimalbruch und es liegt also die Vermuthung nahe, dass 7c eine Irrationalzahl sei. Dass dies wirklich der Fall, kann aber aus den bisherigen elementaren Erörterungen nicht gefolgert werden; ein geometrischer Beweis, dass der Umfang des Kreises mit dem Durchmesser incommensurabel sei, ist bis jetzt überhaupt nicht bekannt. Hätten die bis jetzt ausgeführten Berechnungen in den Decimalstellen eine Periode erkennen lassen, so Hesse sich der als unendlich angenommene Decimalbruch in einen gemeinen Bruch verwandeln, also in endlicher rationaler Form darstellen; dies ist aber trotz der berechneten 500 Decimalen nicht der Fall. Aber auch in einer geschlossenen irrationalen Form, etwa mittelst Wurzeln aus rationalen Zahlen, hat sich der Werth von n nicht darstellen lassen. Diese Thatsachen lassen jede Aussicht darauf entschwinden, dass es gelingen könne, die der Berechnung des Kreises entsprechende geometrische Aufgabe zu lösen, welche unter dem Namen der Quadratur des Zirkels eine besondere Berühmtheit erlangt hat. Es ist dies die Aufgabe, ein Quadrat zu construiren, welches mit einem gegebenen Kreise gleichen Flächeninhalt hat. Diese Aufgabe würde ohne Weiteres leicht lösbar sein, wenn man für Tr einen (absolut genauen) Bruch oder eine Quadratwurzel aus einem solchen gefunden hätte, und umgekehrt müsste eine Lösung jener Aufgabe zu einer genauen Bestimmung von it in geschlossener Form führen. Der Aufgabe der Quadratur des Zirkels steht zur Seite die andere, eine Gerade zu zeichnen, welche dem Umfang eines gegebenen Kreises gleich ist (Rectification des Kreises). Sie unterliegt derselben Schwierigkeit wie jene, und jede von beiden würde, wenn gelöst, zur Lösung der andern führen, da der Inhalt eines jeden Kreises gleich dem eines Dreiecks ist, dessen Grundlinie gleich dem Umfang und dessen Höhe gleich dem Radius ist. 5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 301 6. Für die Praxis ist die Quadratur des Zirkels ohne Interesse. Die unvermeidlichen Ungenauigkeiten, welche der wirklichen Ausführung einer jeden con- struirenden Zeichnung anhaften, würden in jedem Falle das gezeichnete Quadrat in der Wirklichkeit zu einem fehlerhaften machen. Mit Hülfe der angenäherten Werthe von ir lassen sich aber Constructionen von Quadraten angeben, die theoretisch dem gegebenen Kreise an Inhalt so nahe kommen, dass die Abweichung geringer ist, als der in der Praxis unvermeidliche Fehler. Solche Näherungsconstructionen ersetzen also, wenn die Verwandlung eines Kreises in eine gleich grosse geradlinige Figur oder die Darstellung der Länge seines Umfanges durch eine Gerade verlangt werden sollte, für den Praktiker vollständig die fehlenden theoretisch genauen Constructionen. Als Beispiele solcher Näherungsconstructionen wählen wir aus der grossen Anzahl der bekannten die folgenden aus und beschränken uns dabei auf die Darstellung der Peripherie durch eine Gerade, da aus dieser, wie oben angegeben, leicht auch das betreffende Quadrat gefunden werden kann. Man ziehe im gegebenen Kreise M zwei zu einander senkrechte Radien MA, MB, theile MB in acht gleiche Theil.e, verbinde denjenigen Theilpunkt C, welcher zunächst an B liegt, mit A, trage auf AC die Strecke AD gleich der Hälfte von MB ab, fälle von D die Senkrechte DE auf MA, ziehe CE und darauf DF parallel zu CE bis zum Durchschnittspunkt F mit MA, endlich zeichne man eine Strecke gleich dem Dreifachen des Durchmessers des Kreises plus dem Doppelten von AF, so ist diese Strecke näherungsweise der Peripherie gleich. Es ist nämlich AF : AE = AD : AC, und AE : AM = AD : AC, B also AF= AE mithin A F — AC AD 2 A C 2 .1^2 AD AC’ r‘ 16 16 355 und also Qr + 2 AF = 2 r • 3 777; = 777; lio llo 113 ’ 2 r. Hiernach beträgt der theoretische Fehler dieser Construction weniger als 0,000001 des Durchmessers, oder derselbe würde bei einem Durchmesser von 100 Metern noch nicht Millimeter betragen, wenn die Construction selbst mit einem entsprechenden Grade von Genauigkeit ausgeführt werden könnte. Kürzer, aber weniger genau ist folgende Construction: Man ziehe zwei zu einander senkrechte Radien, verbinde ihre Endpunkte, theile die Verbindungslinie im Verhältniss 1 : 4 und verlängere den erhaltenen fünften Theil desselben um das Sechsfache des Radius. Die so gewonnene Linie ist gleich ! r -j/2 ■ -h-6r = 2r • (3 -]/2) = 2 r • 3,14142 der Fehler beträgt also noch nicht zwei Zehntausendtel des Durchmessers. Oder man construire ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen eine Kathete gleich f des Durchmessers und dessen andere Kathete doppelt so gross als die erstere ist: der Umfang dieses Dreiecks ist nahezu gleich der Peripherie des Kreises, denn derselbe ergiebt sich gleich 2 r ■ (-f + ■§•-+-■£ |/45) = 2 r ■ 3,14164 . . . Die noch immer von Zeit zu Zeit auftauchenden angeblichen Lösungen der Quadratur des Zirkels sind, wenn nicht überhaupt grob fehlerhaft, im günstigsten 302 Planimetrie. Fall derartige Näherungsconstructionen, bei welchen der Fehler der theoretischen Construction durch die praktische Ungenauigkeit der Zeichnung verdeckt erscheint. 7. Die Formeln /*= und F — r- ic gestatten umgekehrt auch die Berechnung des Radius oder des Durchmessers sowol aus der gegebenen Peripherie als aus dem gegebenen Flächeninhalt des Kreises. Durch Auflösung derselben auf r erhält man Man kann endlich mittelst derselben den Flächeninhalt unmittelbar aus dem Umfang und umgekehrt berechnen. Es ist P = 2-|/Ak 8. Beispiele: 1. Ein Wagenrad habe einen Durchmesser von 1,25 m. Wie schwer ist der eiserne Radreifen, wenn jedes lm lange Stück desselben 10 Kg. wiegt? Auflösung: 1,25 ir • 10 = 12,5 • = 39,3 Kg. 2. Aus der Peripherie eines Kreises P — 35,5 den Radius r und den Flächen- 35 5 inhalt F desselben zu berechnen. Auflösung: r —= 5,65; F= 100,4. Ji TU 3. Jeder Grad des Erdäquators hat eine Länge von 15 geogr. Meilen. Man berechne daraus den Durchmesser des Aequators. Auflösung: d~ =15 • 360, d= ——^^-=1718,8.. Meilen. TU 4. Wie gross ist der Durchmesser der als Kugel betrachteten Erde, wenn der Bogen eines Meridians vom Pol bis zum Aequator zu 10 Millionen Meter gerechnet wird? Auflösung: d-x = 40000000, d=l2732000m. 5. Den Flächeninhalt eines von zwei concentrischen Kreisen begrenzten Ringes aus den beiden Radien R und r zu berechnen. R = 0,8', r = 0,1. Auflösung: (R 2 — r 2 ) it = (R r) (R — r) n = 0,9 • 0,7 n — 1,97 9 . .. 6. Den Flächeninhalt eines von zwei concentrischen Kreisen begrenzten Ringes aus den durch einen Punkt des kleineren Kreises gebildeten Abschnitten eines Durchmessers des grösseren zu berechnen. Auflösung: ab-, 7. Den Flächeninhalt des einem Rechteck umbeschriebenen Kreises aus den Seiten a, b des Rechtecks zu berechnen. Auflösung: j/« 2 -t- b 2 . 8. Wie verhalten sich die Umfänge und wie die Flächeninhalte zweier Kreise zu einander, von denen der eine einem Quadrat umbeschrieben, der andere demselben Quadrat einbeschrieben ist? Auflösung: R — r ”|/2; R t, : ‘ir -k — R : r = j/2 : 1; R 2 : r 2 =2 : 1. 9. Ebenso für ein regelmässiges Sechseck. Auflösung: r = Wj/lT; R : r=2 : j/3 = 2 j/3 : 3; R 2 \r 2 = 4 : 3. § 58. Berechnung von Bogen, Sectoren und Segmenten. 1. Die Berechnung von Theilen von Kreislinien oder Kreisflächen lässt sich ebenfalls mit Hülfe der Zahl u (näherungsweise) ausführen. Als Maass eines Kreisbogens soll jetzt nicht, wie früher geschehen, ein anderer Bogen desselben Kreises, sondern die auch zum Messen gerader Linien benutzte Längeneinheit dienen, es soll also nicht das Verhältniss der Länge des Bogens zu einem anderen Bogen, sondern die absolute Länge in Beziehung auf ein geradliniges 5. Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 303 Maass bestimmt werden. Das Messen der Länge einer krummen Linie mit einem solchen Maasse unterliegt dadurch einer grösseren Schwierigkeit als dasjenige von Strecken, dass das unmittelbare Abtragen des Maasses auf der zu messenden Linie nicht thunlich ist. Es muss also auch hier, wie schon vorher bei dem ganzen Kreise geschehen, die Berechnung an die Stelle der eigentlichen Messung treten. Hierzu verhilft bei Kreisbogen der Satz, dass die Längen zweier Bogen desselben Kreises sich zu einander verhalten, wie die zugehörigen Centriwinkel, dass also auch jeder Bogen sich zur ganzen Peripherie verhalten muss, wie der zu ihm gehörige Centriwinkel zu 360 Grad. Bezeichnet man die in Graden (Minuten, Secunden) ausgedrückte Maasszahl dieses Centriwinkels durch a, die gesuchte des Bogens durch b, so ist also b : 2m = a: 360°, woraus b = 2r u • (1) folgt. Jeder Kreisbogen ist also der ebensovielte Theil der ganzen Peripherie wie sein Centriwinkel von 360°. So ist also z. B. der Bogen über der Seite des einbeschriebenen Quadrats gleich dem vierten Theile der Peripherie oder gleich r-, der Bogen über der Seite des einbeschriebenen regelmässigen Sechsecks gleich -J- • 2 r ir, u. dgl. m. Statt der Maasszahl des Centriwinkels kann in allen Fällen selbstverständlich auch die Maasszahl des Bogens in Bogengradmaass gegeben werden. Man verwandelt also das letztere in Längenmaass durch Multiplication mit r • q 0 . 2. Ist umgekehrt ein Kreisbogen in Längenmaass b nebst dem Radius r des Kreises gegeben, so findet man die Länge des Bogens in Gradmaass durch Auflösung der obigen Gleichung auf a b 180° r ir ( 2 ) Die hiernach bei derartigen Verwandlungen von Längenmaass in Gradmaass und umgekehrt gebrauchte Zahl 180° 71 kann ein- für allemal ausgerechnet werden. Dieselbe ergiebt sich gleich 57° 17' 44/' 8 . . . = 57°, 29578 = 3437/ 7468 = 206264" 8. Dieselbe wird von manchen Schriftstellern durch p bezeichnet. Da dieser Buchstabe auch häufig zur Bezeichnung des Radius eines einer Figur einbeschriebenen Kreises gebraucht wird, so ist die Einführung eines anderen Zeichens für die vorstehende, in den Anwendungen häufig vorkommende Zahl wünschens- werth. Wählen wir dafür den Buchstaben P (welcher gleichzeitig an tz und als grosser griechischer Buchstabe an p erinnert), so ist also b ir a — ^ ■ P , b — p 3. Da die Länge des zu einer bestimmten Gradzahl gehörigen Bogens mit dem Radius des Kreises veränderlich ist, dagegen das Verhältniss dieser Länge zu derjenigen des Radius für dieselbe Gradzahl immer denselben Werth hat, so ist man übereingekommen, unter dem zu einem bestimmten Centriwinkel gehörigen Bogen in Längenmaas im engeren Sinn stets dieses Verhältniss der absoluten Länge des Bogens zum Radius oder, was dasselbe ist, diese Länge des Bogens in einem Kreise mit dem Radius 1 zu verstehen. Man bezeichnet in diesem Falle insbesondere den zu der Gradzahl a gehörigen Bogen durch arca, 3°4 Planimetrie. und es geht aus den vorstehenden Formeln, indem man in denselben r= 1 setzt, hervor, dass arc a (3) a = P • arc- a ist. Zur Verwandlung von Gradmaass in Bogenmaass hat man also ersteres durch P zu dividiren, zur Verwandlung von Bogenmaass in Gradmaass ersteres mit P zu multipliciren. In beiden Fällen sind a und P gleichzeitig in Graden und Bruchtheilen eines solchen, oder in Minuten oder in Secunden auszudrücken. So ist z. B. 5,29166 .29166 57,29578 arc 5° 17' 30" = arc 5°,29166 . . = rc 317',5 3437,7468 19050 oder — arc 19050" = oder = arc 317',5 = 206264,8' Alle drei Formeln ergeben arc 5° 17' 30" = 0, 09235 . . . Insbesondere ist also P gleich a, wenn arca= 1 ist, oder P ist in Gradmaass derjenige Bogen, welcher an Länge dem Radius des Kreises gleich ist. Umgekehrt ist p = ar c 1. Nach der vorstehenden Erklärung ergiebt sich weiter insbesondere, dass arc 360° = 2it, arc 180° = ir, arc 90° = -^it u. s. w. ist. 4. Um den Flächeninhalt eines Sectors zu berechnen, bestimme man, ähnlich wie bei der Berechnung der Länge eines Bogens aus derjenigen der ganzen Peripherie, das Verhältniss desselben zur ganzen Kreisfläche. Bei dem Beweise des Satzes, dass zu gleichen Centriwinkeln eines und desselben Kreises oder gleicher Kreise gleiche Bogen gehören, gelangten mit den Centriwinkeln und den Bogen auch die zugehörigen Sectoren zur Deckung, und es gilt also auch der Satz: Zu gleichen Centriwinkeln und zu gleichen Bogen eines und desselben Kreises oder gleicher Kreise gehören gleiche Sectoren. Durch Theilung zweier Centriwinkel oder Bogen mittelst eines gemeinschaftlichen Maasses erhält man dann unter Anwendung dieses Satzes ganz in derselben Weise, wie im entsprechenden Fall bei den Bogen den allgemeinen Satz: Die Flächen beliebiger Sectoren desselben Kreises oder gleicher Kreise verhalten sich zu einander wie die zugehörigen Centriwinkel und wie die zugehörigen Bogen. Insbesondere verhält sich daher auch jeder Sector eines Kreises zum ganzen Kreise, wie sein Centriwinkel zu 360 Grad und wie sein Bogen zur ganzen Peripherie. Bezeichnet also S den Flächeninhalt eines Sectors des Kreises mit dem Radius r, a die Maasszahl des zugehörigen Centriwinkels oder die des Bogens in Gradmaass, b die des Bogens in Längenmaass, so ist S : r 2 rc a : 360°, oder S = r 2 ir • und ebenso S : r 2 n = b : ‘Irr*., also S =\br. (4a) (4b) Die letztere Formel lässt sich leicht dadurch behalten, dass nach derselben der einem Dreieck der Gestalt nach gleichende Sector durch dieselbe Regel wie ein Dreieck berechnet wird, wenn man statt der geradlinigen Grundlinie 5- Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 305 des letzteren den krummen Bogen und statt der Höhe den Radius des Kreises nimmt. 5. Den Flächeninhalt eines Segmentes erhält man, falls dasselbe kleiner als ein Halbkreis ist, als Differenz eines Sectors und eines Dreiecks, welche beide durch die nach den Endpunkten des zugehörigen Bogens gehenden Radien und diesen Bogen, bezw. die zugehörige Sehne bestimmt werden. Ist das Segment grösser als ein Halbkreis, so ist es die Summe eines Sectors und eines Dreiecks. Es sei zur Ausführung dieser Rechnung ausser dem Radius r der Centri- winkel a des zum Segment gehörigen Bogens gegeben. Der Inhalt des betreffenden Sectors ergiebt sich dann ohne Weiteres aus der entsprechenden obigen Formel. Zur Bestimmung des Inhalts des zugehörigen Dreiecks müsste aus den gegebenen Stücken eine Seite desselben und die zu ihr gehörige Höhe, also beispielsweise die Sehne und ihr Abstand vom Mittelpunkte berechnet werden. Da nämlich von diesem Dreiecke zwei Seiten gleich dem Radius und der eingeschlossene Winkel, nämlich der Centriwinkel, bekannt sind, so ist dasselbe durch die als. gegeben angenommenen Stücke bestimmt, und es ist nicht gestattet, zur Berechnung desselben noch anderweite Stücke als unabhängig von jenen gegeben anzunehmen. Es entsteht also die Aufgabe, aus dem Radius und einem Centriwinkel die zugehörige Sehne zu berechnen. Der ausserdem erforderliche Abstand der Sehne vom Mittelpunkt würde sich nach erfolgter Lösung dieser Aufgabe leicht mittelst des pythagoreischen Lehrsatzes ergeben. Die Berechnung der Sehne aber ist mit den bisher entwickelten Hiilfsmitteln nur dann möglich, wenn diese Sehne Seite eines derjenigen einbeschriebenen Polygone ist, deren Berechnung im Vorhergehenden als möglich gezeigt wurde. In allen anderen Fällen unterliegt dieselbe der Schwierigkeit, dass aus einer Strecke (r) und einem Winkel (a), also aus zwei ungleichartigen, nicht durch dieselbe Maasseinheit gemessenen Grössen in einer und derselben Rechnung eine gesuchte Grösse gefunden werden soll, und die Lösung der Aufgabe erfordert daher die Hiilfsmittel eines neuen Zweiges der Mathematik, Welcher mit Hülfe einer Bestimmung von Winkeln durch dieselbe Maasseinheit, mit welcher die Strecken gemessen werden, die Einführung beider Arten von Grössen in dieselbe Rechnung gestattet. Diejenige mathematische Disciplin, Welche die so gestellte Aufgabe löst, ist die Trigonometrie, und dieser muss also auch die vollständige und endgültige Lösung des hier vorliegenden Problems der Berechnung des Flächeninhalts eines Segments Vorbehalten bleiben. Wären umgekehrt für diese letztere Aufgabe die Sehne und deren Abstand v °m Mittelpunkt gegeben, wäre also die unmittelbare Berechnung des Flächen- mhalts des Dreiecks ermöglicht, so müsste aus jenen Stücken behufs Berechnung des Sectors der Centriwinkel berechnet werden, sodass man wieder auf eine Aufgabe der Trigonometrie hingewiesen wird. Wie sich jedoch in besonderen Fällen, welche bereits oben angedeutet Wurden, die Berechnung des Inhalts eines Segments auch mit den bisherigen Hiilfsmitteln ausführen lässt, möge beispielsweise die folgende Aufgabe zeigen: Ueber der Hypotenuse eines rechtwinkeligen und gleichschenkeligen Drei- ec ks als Durchmesser sei ausserhalb des letzteren ein Halbkreis, und über derselben Geraden als Sehne sei um den Scheitel des rechten Winkels ein Quadrant beschrieben. Man erhält so eine von zwei Kreisbogen begrenzte mondförmige Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 20 306 Planimetrie. Figur (die lunula des Hippokrates), deren Flächeninhalt aus der Kathete a des Dreiecks berechnet werden soll. Die gesuchte Fläche ist die Differenz eines Halbkreises und eines Segments. Der Halbkreis hat zum Durchmesser die Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks, für welche man mittelst des pythagoreischen Lehrsatzes den Werth a~ j/2 erhält. Mithin ist der Inhalt des Halbkreises gleich £« 2 *. Das Segment ist die Differenz eines Sectors und des Dreiecks, der Sector der vierte Theil eines Kreises, dessen Radius gleich der Kathete, also gleich a ist. Da hiernach der Inhalt des Sectors gleich £« 2 * ist, so ist derselbe gleich der vorher berechneten Halbkreisfläche. Der Inhalt des Dreiecks ergiebt sich aus den Katheten gleich \d l . Demnach ist der gesuchte Inhalt der Lunula gleich i <ßTz-(&<ß*-$90°, also Z ECD ^ 90° sein, und es würden sich also die beiden Winkel ECB, DCA nicht von ECD so abtragen lassen, dass ein Rest BCA übrig bliebe. 3. Aufgabe: Ein Dreieck aus zwei Seiten und der die dritte Seite halbirenden Mittellinie zu construiren. Analysis: Angenommen, ABC sei das gesuchte Dreieck, und zwar sei BC gleich der für die eine Seite gegebenen Strecke a, AC gleich der für die andere Seite gegebenen b, so halbire man AB und verbinde den Halbirungspunkt D mit C. Dann muss CD gleich der dritten gegebenen Strecke m sein. Verlängert man nun CD um DE gleich CD und verbindet E mit A, so sind die Dreiecke BCD und EDA congruent, da sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, und es ist daher AE gleich BC und mithin gleich a. Es sind also von dem Hülfsdreieck CEA die drei Seiten CA gleich b, AE gleich a und CE gleich 2« bekannt, und dasselbe kann daher (im Allgemeinen) construirt werden. Dann ist auch D als Halbirungspunkt von CE bekannt, und durch die Linie AD und deren Verlängerung DB gleich AD ergiebt Construction: Auf einer beliebigen Geraden trage man nach einander die Strecken CD und DE, beide gleich der für die Mittellinie gegebenen Strecke m ab, beschreibe dann um C mit der gegebenen Seite b und um E mit der gegebenen Seite a einen Kreisbogen, verbinde einen Durchschnittspunkt A dieser a T, rtt e' sich auch der Eckpunkt B. 6. Die planimetrischcn Constructions-Aufgaben. 315 beiden Kreisbogen mit C und mit D , verlängere AD um DB gleich AD und ziehe BC, so ist ABC das verlangte Dreieck. Beweis: Man ziehe AE. Dann ist, weil nach Construction CD gleich DE, AD gleich BD ist, und weil die Winkel BDC und ADE als Scheitelwinkel einander gleich sind, das Dreieck ADE dem Dreieck BCD congruent, also ist auch AE gleich BC. Da nun AE nach der Construction gleich a ist, so muss auch BC gleich a sein. Ferner ist nach Construction A C gleich b und CD gleich m, und es halbirt CD die Seite AB, weil DB gleich AD gemacht ist. Mithin ist das Dreieck ABC das verlangte. Determination: Das Hitlfsdreieck ACE ist nur dann möglich, wenn die Summe der Seiten AC und AE grösser und die Differenz derselben kleiner ist als die dritte Seite CE. Man erhält also die Bedingungen a-\-b> s im und a — b < 2wz für die Lösbarkeit der Aufgabe. Sind dieselben erfüllt, so kann das Dreieck A CE stets construirt werden. Da dann alle folgenden Theile der Construction stets, und zwar eindeutig ausgeführt werden können, so ist die gestellte Aufgabe unter den genannten Bedingungen stets, und nur auf eine einzige Art lösbar. § 63. Erläuterung der Methode. Man nimmt, wie die Beispiele des vorigen Paragraphen zeigen, zum Zwecke der Analyse zunächst eine vorläufige Figur von der in der Aufgabe verlangten Art an und stellt die Bedingungen auf, welchen dieselbe genügen müsste, wenn sie die verlangte selbst sein sollte. Es ist dazu nothwendig, dass alle den gegebenen Bestimmungsstücken entsprechenden Stücke in der Figur Vorkommen, da anderenfalls die Lösung der Aufgabe auch ohne das nicht gebrauchte Stück möglich und die Angabe des letzteren also nicht statthaft wäre. Sofern also die betreffenden Strecken oder Winkel nicht von selbst in jener vorläufigen Figur vorhanden sind, müssen dieselben in geeigneter Weise angebracht und mit der übrigen Figur in Zusammenhang gesetzt werden. So geschah dies in der ersten der Aufgaben des vorigen Paragraphen mit der Summe der Katheten, in der zweiten mit der Summe der drei Seiten, und in der dritten mit der Mittellinie des Dreiecks, während jedesmal die den beiden anderen gegebenen Stücken entsprechenden des angenommenen Dreiecks an diesem unmittelbar vorhanden waren und also einer solchen Construction nicht bedurften. In jeder der drei Aufgaben wurde das construirte mittelbare Stück durch eine oder mehrere geeignete Hiilfslinien mit den übrigen in Verbindung gebracht. Es ist dann dahin zu streben, dass man eine Hülfsfigur erhalte, welche die sämmtlichen Be - stimmungsstücke oder doch einen Theil derselben derart enthält, dass sie aus denselben nach einer bereits früher gelösten und daher als bekannt anzunehmenden, insbesondere womöglich nach einer Fundamental-Aufgabe construirt werden kann. In den Aufgaben des vorigen Paragraphen entstand jedesmal durch Vermittelung der Hiilfslinien ein Dreieck, welches die sämmtlichen gegebenen Stücke oder aus ihnen leicht ableitbare (wie in der zweiten Aufgabe die Hälften der gegebenen Winkel) enthielt, und dessen Construction aus diesen Stücken durch eine der Fundamental-Aufgaben gelöst wurde. Ist bei irgend einer gestellten Aufgabe eine derartige Hülfsfigur ermittelt worden, so ist schliesslich noch ein Uebergang von derselben zu der verlangten Figur zu suchen, welcher die Construction der letzteren mit Hülfe der ersteren ermöglicht. Das hiermit zur Construction von Dreiecken angegebene Verfahren lässt sich in 3 16 Planimetrie. entsprechenderWeise auf Vierecke und Polygone ausdehnen, wie später noch an einzelnen Beispielen gezeigt werden soll. Ehe wir zur Aufstellung weiterer hierher gehöriger Aufgaben übergehen, sei noch eines besonderenHülfsmittels erwähnt, welches in vielenFällen die Auflösungen erleichtert. Die im § 61 erwähnte Thatsache, dass bereits durch zwei gegebene Bestimmungsstücke einer Figur ein anderes Stück derselben bestimmt sein kann, so dass dasselbe nicht neben jenen beiden als weiteres Bestimmungsstück verwendet werden darf, führt darauf, dass man in Fällen, wo die Construction dieses abhängigen Stücks aus den beiden anderen auf hinreichend einfache Weise ausgeführt werden kann, dasselbe wie eine ebenfalls gegebene Grösse behandeln darf. Indem dann dieses abgeleitete Stück an Stelle irgend eines von denen, aus welchen es gefunden wurde, gesetzt und benutzt werden kann, lässt sich die gestellte Aufgabe häufig in eine andere und leichter zu lösende verwandeln. Man bezeichnet überhaupt solche Stücke einer Figur, welche aus anderen gegebenen Stücken der letzteren auf eine bekannte Weise gefunden und daher mit jenen ebenfalls als bekannt betrachtet werden dürfen, als »Data«. Im weiteren Sinne erhält man also durch jede ausgeführte Auflösung einer Aufgabe ein neues Datum, nämlich die gesuchte Figur, bezw. deren Theile. So kann beispielsweise, nachdem die erste Aufgabe des vorigen §. gelöst worden, jede Seite eines Dreiecks als ein aus dem Umfang und den Winkeln hervorgehendes Datum angesehen werden. Wir setzen jedoch im engeren Sinne voraus, dass die zur Herstellung der Data dienenden Operationen nicht über die Fundamental- Aufgaben hinausgehen. Solche Data sind beispielsweise folgende: Durch die Summe x -\- y zweier Strecken oder zweier Winkel (oder auch Flächen) und eine einzelne x dieser Grössen ist die andere y gegeben, denn ist x -+- y = s und x — a, so ist y = r — a. Ebenso ist durch x—y und x auch y, durch x—y und y auch x, durch einen spitzen Winkel eines rechtwinkeligen Dreiecks der andere, durch den Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkeligen Dreiecks der Winkel an der Spitze und umgekehrt, durch zwei Winkel eines Dreiecks oder auch schon durch die Summe derselben der dritte Winkel gegeben, u. dgl. m. Hierher gehören also auch die im § 61 erwähnten Fälle, nach welchen durch einen Winkel eines Dreiecks und eine ihm anliegende Seite die Höhe auf der anderen anliegenden Seite, durch den Radius des einem Dreieck umbeschriebenen Kreises und einen Winkel die gegenüberliegende Seite, durch den Flächeninhalt und die Höhe eines Dreiecks die Grundlinie des letzteren gegeben ist. Genauer ist es, zu sagen, dass durch je zwei der betreffenden drei Stücke das dritte, also beispielsweise nicht nur durch den Radius eines Kreises und einen Peripheriewinkel des letzteren die zugehörige Sehne, sondern auch durch die Sehne und den Peripheriewinkel der Radius und durch die Sehne und den Radius der Peripheriewinkel (letzterer allerdings zweideutig) gegeben sei. Wir sehen von einer ausführlicheren Aufzählung solcher Beispiele, welche der Leser leicht selbst ergänzen wird, an dieser Stelle ab und führen nur noch eines derselben an, welches besonders häufig Anwendung findet und einer näheren Erläuterung bedürfen möchte. Ist nämlich die Summe zweier Grössen und zugleich die Differenz derselben zwei Grössen bekannt, so erhält man diese letzteren leicht einzeln durch den Satz, dass die grössere derselben gleich der Hälfte der durch Addition, die kleinere 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 3‘7 gleich der Hälfte der durch Subtraction der gegebenen entstehenden Grössen sei. Mit anderen Worten, ist x-hy — s, x—y = d gegeben, so ist x = ^ (5 + d) und y = ^ (s — d). Man erhält diese Resultate ohne Weiteres durch die Auflösung jener beiden Gleichungen auf die Unbekannten x und y mittelst Addition und Subtraction. Ist also beispielsweise die Summe i und die Differenz d zweier Strecken gekannt, so kann man, um diese letzteren selbst zu erhalten, eine Strecke AB gleich s um B C gleich d verlängern und die entstehende ganze Strecke A C halbiren. Die Hälfte AD der letzteren giebt dann die Länge __fj_ d _, der gesuchten grösseren Strecke jj x an; die der kleineren y bedarf dann keiner besonderen Construction mehr, da DB=s — x=y sein muss. Trägt man dagegen auf AB — s eine Strecke BE—d ab und halbirt den Rest AE in F, so ist AF=y und folglich FB=x. In ganz entsprechender Weise erhält man aus der Summe und der Differenz zweier Winkel diese letzteren selbst, und diese Construction findet beispielsweise Anwendung, wenn sich unter den gegebenen oder ermittelten Stücken eines Dreiecks ein Winkel desselben nebst der Differenz der beiden anderen Winkel befindet. Durch jenen Winkel ist nämlich auch die Summe der beiden anderen Winkel gegeben, denn dieselbe ist gleich seinem Nebenwinkel. § 64. Weitere Aufgaben zur Methode der Hülfsfiguren. a) Durch jede Höhe eines Dreiecks entstehen zwei rechtwinkelige Dreiecke, welche als Hülfsfiguren dienen können. Zur Determination ist zu bemerken, dass das gesuchte Dreieck sowol als Summe, wie als Differenz der Theildrei- ecke erscheinen, also eine Zweideutigkeit der Aufgabe stattfinden kann. Das letztere ist der Fall, wenn einer der Winkel an der Grundlinie ein stumpfer ist, das erstere, wenn beide spitz sind. Hiernach ist auch die Grundlinie entweder gleich der Differenz oder gleich der Summe ihrer Abschnitte. Eine Auswahl hierher gehöriger Aufgaben ist folgende: Ein rechtwinkeliges Dreieck zu construiren aus 1. einer Kathete und der Projection derselben auf die Hypotenuse, 2. der Höhe auf die Hypotenuse und einem der spitzen Winkel, 3. einer Kathete und der Höhe auf die Hypotenuse. Ein gleichschenkeliges Dreieck zu construiren aus 4. dem Schenkel und der Höhe auf die Grundlinie, 5. der Basis und der Höhe auf die Grundlinie, 6. der Basis und der Höhe auf einem Schenkel. Ein Dreieck zu construiren aus 7. der Höhe und den beiden anliegenden Seiten, 8. der Höhe, einer anliegenden Seite und dem der letzteren gegenüberliegenden Winkel, 9. zwei Seiten und der Projection der einen von ihnen auf die andere, 10. einem Winkel an der Grundlinie und den beiden durch die Höhe gebildeten Abschnitten der letzteren, 11. der Höhe, einer anliegenden Seite und dem Winkel an der Spitze, 12. der Höhe, einem Winkel an der Grundlinie und dem Winkel an der Spitze. Planimetrie. 3i8 b) Ist unter den gegebenen Stücken eine Mittellinie, so ist von den durch Construction derselben entstehenden Theil-Dreiecken jedes einzelne ein Htilfs- dreieck, durch welches das andere und somit auch das gesuchte ganze Dreieck bestimmt ist. Man construire hiernach beispielsweise ein Dreieck aus 1. zwei Seiten und der die eine von ihnen halbirenden Mittellinie, 2. einem Winkel, einer demselben anliegenden Seite und der die andere anliegende Seite halbirenden Mittellinie, 3. einer Seite, der zu ihr gehörigen Mittellinie und dem Winkel zwischen diesen beiden Linien. c) Dasselbe, wie unter b), gilt von den Theil-Dreiecken, welche durch eine winkelhalbirende Transversale entstehen. Der Winkel, welchen eine solche Transversale mit der ihr gegenüberliegenden Seite bildet, ist das Complement zur Hälfte der Differenz der beiden dieser Seite anliegenden Dreieckswinkel. (Es ist Z cp = [3 = ß -+- 90° — ^ ( a + ß) = 90° — i ( a — ß)- Man construire hiernach beispielsweise ein Dreieck aus 1. einem Winkel, der denselben halbirenden Transversale und einer anliegenden Seite, 2. einem AVinkel, der einen zweiten Winkel halbirenden Transversale und der beiden Winkeln anliegenden Seite, 3. zwei Winkeln und der den dritten Winkel halbirenden Transversale. d) Die Mittellinie m, welche die Grundlinie c halbire, ist die Hypotenuse eines Hiilfsdreiecks, dessen eine Kathete die Höhe h ist. Durch dieses Htilfs- dreieck ergeben sich die durch die Höhe oder durch die Mittellinie entstehenden Theil-Dreiecke des ganzen. Man construire z. B. ein Dreieck aus 1. m, h und einer anliegenden Seite a\ 2. m, h und einem Winkel ß an der Grundlinie; 3. m, h und c. e) Die den Winkel y an der Spitze halbirende Transversale w ist die Hypotenuse eines Hiilfsdreiecks, dessen eine Kathete die Höhe h ist. Der Winkel cp zwischen der Transversale und der Grundlinie c ist nach c) gleich 90° — ^ (a — ß). Man construire, diesen Bezeichnungen entsprechend, ein Dreieck aus 1. w, h, und einer anliegenden Seite a ; 2. w, a, a — ß; 3. w, h, a. f) Die drei Höhen theilen das gesuchte Dreieck in sechs kleinere rechtwinkelige Dreiecke. Durch irgend eines von diesen Dreiecken und ein von ihm unabhängiges Stück eines zweiten ist das ganze bestimmt. Man construire z. B. ein Dreieck aus 1. einer Höhe, dem oberen (d. h. dem Eckpunkt anliegenden) Abschnitt derselben und einem Winkel an der Grundlinie, 2. einer Höhe, dem oberen Abschnitt derselben und dem oberen Abschnitt einer zweiten Höhe, 3. dem oberen Abschnitt einer Höhe und den beiden Winkeln an der Grundlinie. g) Die drei Mittellinien eines Dreiecks theilen einander im Verhältnis 1 : 2 und das Dreieck in sechs kleinere Dreiecke, von denen jedes das ganze bestimmt. Man construire ein Dreieck aus 1. zwei Mittellinien und der von einer derselben halbirten Seite, 2. zwei Mittellinien und dem Winkel zwischen einer derselben und der von der anderen halbirten Seite, 3. zwei Mittellinien und dem Winkel, unter welchem dieselben einander schneiden. h) Die drei winkelhalbirenden Transversalen eines Dreiecks theilen dasselbe in sechs kleinere Dreiecke, von denen jedes das ganze bestimmt. Man construire ein Dreieck aus 1. einer Seite und den Abständen ihrer Endpunkte von dem Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises, 2. einem Winkel, der Entfernung seines Scheitelpunkts vom Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises und einer ihm anliegenden Seite, 3. einem Winkel, dem Abstand seines Scheitelpunkts und dem Abstand eines zweiten Eckpunkts vom Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises. i) Befindet sich unter den gegebenen Stücken die Summe a -+- b — s zweier 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 319 Seiten BC=a, AC=b des gesuchten Dreiecks und verlängert man BC um CD—CA, so ergiebt die Verbindung von D mit A ein Hitlfsdreieck BDA, in welchem BD — s, BA = c die dritte Seite des gegebenen Dreiecks, ferner Z DBA = ß, ein Winkel des letzteren, Z BDA = gleich der Hälfte eines zweiten Winkels desselben und BA D — a -l- £ 7 = 90° - 1 - ^ (a — ß) ist. Ist insbesondere ABC ein bei C rechtwinkeliges Dreieck, so ist BD gleich der Summe der Katheten und Z BDA = 45°. Ist dagegen in diesem Falle die Summe c + a der Hypotenuse c und einer Kathete a gegeben, so verlängere man diese Kathete CB über B um die Hypotenuse. Das Hiilfsdreieck ACD ist dann rechtwinkelig, hat die Katheten c - 4 - a und AC= b und den Winkel ^ ß. Verlängert man dagegen die Hypotenuse AB über B um die Kathete a, so ist das Hiilfsdreieck schiefwinkelig, hat eine Seite gleich b, eine gleich c H- a und Winkel gleich -|ß und a. Ein rechtwinkeliges Dreieck (nach den vorstehenden Bezeichnungen) zu con- struiren aus 1. a -+- b, c\ 2 . a-h b, a — ß; 3. c -\- a, b\ 4. c + a, a; 5. c-h a, ß; G. c -+■ a, a — ß. Ein Dreieck zu construiren aus 7. a -+- b, c, ß; 8 . a - 4 - b, c, 7 : 9. a -+- b, c, a — ß; 10 . a -+- b, a, ß; 11 . a -+- b, a — ß, 7 . k) Befindet sich unter den gegebenen Stücken die Differenz d zweier Seiten BC=a und AC=b, und trägt man CE=CA auf CB ab, so ergiebt die Verbindung von E mit A ein Dreieck EAB, in welchem BE-=d, ferner BA = c und Z EBA == ß unmittelbare Stücke des gesuchten Dreiecks und endlich, wenn Z A CB = 7 , Z BA C—a gesetzt wird, Z BEA — 90° + -J 7 , AE AB = i (“ — ß) — Ist insbesondere die Differenz der Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks gegeben, so ist entsprechend Z ,5 j5 , Z=180 o — 45° =135°. Ein rechtwinkeliges Dreieck zu construiren aus 1. a — b, a; 2. a — b, ß; 3. a — b, a — ß; 4. a — b, c. Ein Dreieck zu construiren aus 5. a — b, c, ß; G . a — b, c,^‘, 7. a — b, c, a — ß; 8 . a — b, ß, 7 ; 9. a — b, a — ß, 7 ; 10. a — b, a, ß. l) Verlängert man dagegen in dem unter k) angegebenen Falle CA um AE, so dassC^’= CB ist, und verbindet FrmtB, so ist in dem Dreieck ABF, AF=a — b, AB — c, Z BAF= 180° — a, AFB = 90° — |-(, ABF=\ (a — ß). Ist im rechtwinkeligen Dreieck, wenn c die Hypotenuse bezeichnet, c — a gegeben, so erhält man in gleicher Weise, indem man also die Kathete BC = a um CF verlängert, so dass BF=BA wird, das rechtwinkelige Hiilfsdreieck ACF, in welchem CF=c — a, CA — b, A CFA-= 90°—^ß ist. Mittelst derartiger Hiilfsdreiecke lassen sich für bereits vorher unter k) angegebene Aufgaben andere Lösungen finden. Ausserdem können die folgenden in dieser Weise behandelt werden: Ein rechtwinkeliges Dreieck zu construiren aus 1. c — a, b) 2. c — a, ß; 3 . c — a, ol. Ein Dreieck zu construiren aus 4. a — b, c, a. m) Ist der Umfang a - 1 - b -h c des Dreiecks ABC unter den gegebenen Stücken und macht man die in der zweiten Aufgabe des Paragraphen 62 angegebene Htilfsconstruction, so erhält man das ebendaselbst benutzte Hiilfsdreieck. Ist a + b — c gegeben und verlängert man — selbstverständlich bei Anwendung der im Vorigen gebrauchten Bezeichnungen — einerseits BC um CD = CA, schneidet andererseits BG = BA von BD ab und zieht DA und GA, so ist in dem Dreieck DGA, DG = a + b — c, A GDA = £ 7 , DGA = 90° + |ß, DAG = %a. 320 Planimetrie. Ein rechtwinkeliges Dreieck zu construiren aus 1. a -k b -k c, a; 2. a -t- b — c, a; 3. ct -k c — b, ß. Ein Dreieck zu construiren aus 4. a -+- b — c, a, ß. n) Zu den früher unter a) bis h) gestellten Aufgaben lassen sich mit Anwendung der unter i) bis m) angegebenen Verfahrungsweisen zusammengesetztere Aufgaben bilden, indem man das dortige Hiilfsdreieck selbst wieder mittelst Summen, oder Differenzen seiner Seiten bestimmt sein lässt. Man kann in solchen Fällen also zuerst dieses Hiilfsdreieck auf dem betreffenden vorstehend unter i)—m) angegebenen Wege und sodann aus ihm das gesuchte, wie unter a)—h) gezeigt, construiren. Aus der grossen Anzahl derartiger Aufgaben wählen wir folgende als Beispiele aus, wobei wir behufs bequemer Stellung der Aufgabe ausser den im Vorigen angegebenen Bezeichnungen noch folgende benutzen: Es bezeichne h die auf c (im rechtwinkeligen Dreieck also auf der Hypotenuse) senkrechte Höhe, p die Projection der Seite a auf c, wobei a > b vorausgesetzt werde, q die Projection von b auf c, w die den Winkel 7 halbirende, m die die Seite c halbirende Transversale. Im gleichschenkeligen Dreieck sei b die Basis, a der Schenkel, h die Höhe auf der Basis. Ein gleichseitiges Dreieck zu construiren aus 1. a -t- h\ 2. a — h. Ein gleichschenkeliges Dreieck zu construiren aus 3. a-+-h, ß; 4. a + k, a) 5. a — h, a. Ein rechtwinkeliges Dreieck zu construiren aus 6 . a h, ß; 7. «-k/, a; S.p-hh,a] 9. a — h, ß; 10. a — h,p. Ein Dreieck zu construiren aus 11. a -k h,p, a; 12, a -k h, b, ß; 13. a p, ß, q; 14. /?+/, a, 7 ; 15. Ii^-p,a, 7 ; 16. — h,p,b ; 17./ — h,b,§\ 18 .p — h, «, 7 ; 19. m — h,b und dem Winkel zwischen m und c; 20. w -k h, a, a — ß; 21. w — h, b, a — ß; 22. a + h, ß und der zu a gehörigen Mittellinie m a; 23. h -{-p, a, m a \ 24. b + h, a und der den Winkel a halbirenden Transversale. o) Trägt man vom Fusspunkt D der Höhe CD aus, wenn a < 90° ist auf DB, wenn a > 90° ist auf der Verlängerung von BD die Strecke DE= DA ab und zieht CE, so erhält man das Hiilfsdreieck BCE, in welchem BC=a und zufolge der Congruenz der Dreiecke CA D, CED die Seite CE = b, ferner Z CBE = ß, Z CEB = 180° — a und < BCE == a — ß ist. Ferner ist BE gleich p — q, bezw. p + q. Betrachtet man, im Falle dass a ein stumpfer Winkel ist, q als eine negative Grösse, so kann man in beiden Fällen BE als die Differenz der durch die Höhe gebildeten Abschnitte der Grundlinie betrachten. Wo demnach im Folgenden p — q als gegebenes Stück genannt ist, unterscheide man die beiden Fälle, in denen q positiv oder negativ gedacht ist, bezw. setze im ersten Fall a < 90° voraus und im zweiten Fall p A- q statt p — q und a > 90°. — Man construire ein Dreieck aus: 1. a,b,p — q\ 2. a,p — q, a — ß; 3. a, h, a — ß; 4 .p — q,h,§. p) Verlängert man in der bei o) angegebenen Figur noch BC um BE=CA und zieht EF, so erhält man das Hiilfsdreieck BEF, in welchem BF = a -k b, BE —p — q, bezw. p-h q, Z FBE — ß, BFE = £ (a — ß), BEE= 90° +£7 ist. Man construire hiernach ein Dreieck aus: 1. a-C b,p — q, ß; 2. a^-b,p — q, 7 ; 3. a + b,p — q, a — ß. q) Trägt man dagegen in der bei o) angegebenen Figur CG = CA von CB ab und zieht GE, so erhält man das Hiilfsdreieck BGE, in welchem BG = a — b, BE—p — q, Z GBE = ß, ABEG=\- { , Z BGE — 90° +-i-(“ — ß) ist. Man construire hiernach ein Dreieck aus: 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 321 1. a — b, p — q, ß; 2. a — b,p — q,y\ 3. a — b,p — q, a — ß. r) Verlängert man die Höhe CD über D und ausserdem die Seite CB, letztere um BK = BA, und zieht die Parallele KL zu BA, welche die Verlängerung von CD in L schneide, so entsteht das Hiilfsdreieck CKL, in welchem CK — a -+- c, A CKL = ß, A CLK = 90° ist. Zieht man noch BM senkrecht auf KL, so folgt aus der Congruenz der Dreiecke BKM und ABN, wobei AN die zu BC senkrechte Höhe ist, dass DL = AN, also CL gleich der Summe zweier Höhen h a -+- h c sei. Durch das Hiilfsdreieck CLK und ein von demselben unabhängiges Stück des Dreiecks ABC oder auch ein solches Stück von BKA ist ABC bestimmt. In letzterem Falle ist zu beachten, dass p^ABK gleichschenkelig ist, und da ■Z BAK= L AKL, so folgt dass KA den Winkel BKL halbirt. — Man construire hiernach ein Dreieck aus: 1. & c, Ji a H— h c , ci', 2. ci —t— c , ha —(— h c> b ', 3. ha -t - h c , ß, tr’, 4. a —f- c, ha -f- h c , ocj 5. h a + h c , a, 7 . s) Trägt man dagegen BP — BA von BC ab und zieht BQ parallel zu BA bis zum Durchschnittspunkt Q mit der Höhe CD, so ergiebt sich in entsprechender Weise, wie bei r), dass in dem Hiilfsdreieck CPQ die Seite CQ gleich der Differenz zweier Höhen h c — h a , sowie CP = a — c, A CPQ = ß, A CQP= 90° ist und dass AP den Winkel BPQ halbirt. Man construire hiernach ein Dreieck aus: 1. a — c, h c — h a , 7 ; 2. h c —■ h a , ß, b\ 3. a —■ c, 1i c — h„, a. § 65. Fortsetzung: Vierecks-Aufgaben. a) Die Construction von Vierecken kann in vielen Fällen auf diejenige der Dreiecke zurückgeführt werden, in welche das Viereck durch seine Diagonalen zerlegt wird. So ist ein Parallelogramm ABCD durch jedes einzelne der Dreiecke bestimmt, welche durch Ziehen irgend einer der beiden Diagonalen entstehen, denn man hat nach Construction des Dreiecks nur das Parallelogramm mittelst zweier zu Seiten des ersteren parallelen Geraden, oder durch Anlegen eines congruenten, aus den Längen der Seiten zu construirenden Dreiecks, oder auch mittelst noch anderer Abänderungen des Verfahrens, welche leicht ersichtlich sind, zu vervollständigen. Daher können die vorhergehenden Dreiecks-Aufgaben, auf das Dreieck ABC angewendet, zu Aufgaben über das Parallelogramm ABCD benutzt werden. Dabei ist die Mittellinie m& jenes Dreiecks die Hälfte der zweiten Diagonale des Parallelogramms. — Zieht man beide Diagonalen zugleich, so erhält man vier kleinere Dreiecke, von denen ebenfalls jedes einzelne das Parallelogramm bestimmt. — Hiernach können beispielsweise folgende Aufgaben behandelt werden, bei denen wir der Kürze halber AB=a, BC=b, AC=e, BD —f, L D AB — 's. und den Winkel der Diagonalen gleich e, ferner die Höhe auf AB gleich ha und die auf CB gleich ht setzen. Ein Rechteck zu construiren aus 1. a,e; 2. e, e. Einen Rhombus zu construiren aus 3. e,f\ 4. e, h\ 5. h, a. Ein Parallelogramm zu construiren aus 6 . a, b, e, 7. a, b, h a; 8 . e, h a , a; 9. a,h a ,hi i 10. e, f, e. Ein Quadrat zu construiren aus 11. e -+- «; 12. e — a. Ein Rechteck zu construiren aus 13. a-\-b,e\ 14. a, e — b] 15. a — b, c\ 16. a, e 4 - b. Schi.oemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 21 322 Planimetrie. Einen Rhombus zu construiren aus 17. a,e-\-f\ 18. e-+- h, a\ 19. e — a, a; 20. a,e — f. Ein Parallelogramm zu construiren aus 21. a -4- b. a, e\ 22. b -+- h a , a, a\ 23. b — h ai a, e\ 24, a — b, a, e; 25. a-h e, b. a. b) Ein Trapez ABCD, in welchem AB = a die grössere, CD — c die kleinere parallele Seite, BC=b , DA = d, h die Höhe, die Diagonale AC=e, BD = /und A BAD = a, Z ABC = ß sei, ist bestimmt durch das Dreieck AB C und ein davon unabhängiges Stück von CAD oder BCD\ ein gleichschenkliges Trapez schon durch das Dreieck BA C allein. — Verlängert man ferner BA um AE= CD und zieht DE , so ist in dem Hiilfsdreieck BDE die Seite BE = a-\rC, ferner BD=f, DE — e, ABDE gleich dem Winkel e der Diagonalen (oder 180° — e), A DBE = (/ d), A DEB = ( e, a). — Zieht man endlich DF parallel zu CB bis zum Durchschnittspunkt F mit AB , so ist in dem Hülfs- dreieck ADE die Seite AF=a — c, ferner DF—b, DA = d, ADAF= a. z. Ein Trapez zu construiren aus 17. a — c,b,d,f\ 18. a — c,b,d,e\ 19. a — c, b,f, ß; 20 . a, c, a, ß. c) Ein allgemeines Viereck ist bestimmt, wenn zwei von den Dreiecken, in welchen es durch die Diagonalen zerlegt wird, und welche je eine ganze Diagonale zur Seite haben, construirt werden können. — Zieht man zum Viereck ABCD die Geraden BF und DG parallel zu der Diagonale AC, ferner CF parallel zu AB und bis zum Durchschnittspunkt F mit BF, ebenso CG parallel zu AD bis zum Durchschnittspunkt G mit DG, sowie endlich die Verbindungslinie FG, so ist in dem Dreieck CFG, CF=AB=a, CG = AD = d, FG = BD =/, Z FCG = Z BAD = «. Ferner ist BF= DG — AC= e, A BCF = A ABC= ß, Z DCG = Z ADC— 8 . Ferner mögen BC durch b, Z>Cdurchc, A BCD durch y und der Winkel der Diagonalen durch e bezeichnet werden. Man construire ein Viereck aus 1. a, b, c, d, e) 2. a, b, e, a, 7 ; 3. a, b, c, e, 7 . Man construire ein Viereck aus 4. a - 4 - b, c, d, e, ß; 5. a — b, e,f, ß, 7 ; 6 . a -+- e, b, c, d, ß. Man construire ein Viereck aus 7. f, e, z, a, c,\ 8 . f, e, e, b, d\ 9. a, d, a, e, s. Die im Vorstehenden angeführten Aufgaben, welche selbstverständlich innerhalb der einzelnen Gruppen sehr leicht erheblich vermehrt werden können, mögen zur Erläuterung und Einübung der vorgetragenen Methode — für welche Verf. den Namen »Methode der Hiilfsfiguren« angewendet hat — hinreichen. Auch mit noch anderen Bestimmungsstücken, wie z. B. den Radien der Berührungskreise des Dreiecks, deren Summen und Differenzen, den Abständen der Mittelpunkte der Berührungskreise von einander u. a. m. lassen sich in entsprechender Weise zu lösende Aufgaben bilden. 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 323 B. Methode der geometrischen Oerter. § 66. Ausgeführte Beispiele der Anwendung der Methode. 1. Aufgabe: Einen Punkt zu bestimmen, der von zwei gegebenen Punkten A, B gleiche, und von einem dritten gegebenen Punkte C eine gegebene Entfernung r hat. Lässt man zunächst die Forderung, dass der gesuchte Punkt vom Punkte C die gegebene Entfernung r haben soll, unbeachtet, so wird die Aufgabe unbestimmt, d. h. es giebt unzählig viele Punkte, welche bloss die andere Forderung, von A und B gleichweit entfernt zu sein, erfüllen. Alle diese letzteren Punkte liegen aber auf einer bestimmten Linie, nämlich derjenigen Geraden, welche auf der Verbindungsstrecke von A und B in deren Halbirungspunkt senkrecht steht. Auf dieser Geraden muss daher auch der in der vorliegenden Aufgabe gesuchte Punkt liegen. •— Lässt man dagegen die eben beibehaltene Forderung unbeachtet, verlangt also nur, dass der gesuchte Punkt von dem gegebenen C die Entfernung r habe, so ist die Aufgabe ebenfalls unbestimmt, und die unzähligen Punkte, welche derselben genügen, liegen auf dem Kreise, welcher mit einem Radius gleich r um C beschrieben werden kann. Da nun der gesuchte Punkt sowol auf diesem Kreise als auf der vorher angegebenen Geraden liegen muss, so kann derselbe nur ein diesen beiden Linien gemeinschaftlicher Punkt sein. Zur Construction desselben verbinde man also A mit B, halbire die Strecke AB und errichte im Halbirungspunkt D auf ihr die Senkrechte. Man beschreibe ferner um C mit einem Radius gleich r den Kreis, dann genügt jeder Punkt X, welchen dieser Kreis mit jener Senkrechten gemeinsam hat, der Aufgabe. Zum Beweis der Richtigkeit dieser Construction verbinde man X mit B, und C; dann ist XC= r als Radius des um C beschriebenen Kreises, ferner A XAD = A XBD (da XD = XD, AD —DB n. Constr.und Z XDA— Z XDB&ls Rechte), mithin XA = XB. Die Determination ist dahin zu fassen, dass die Aufgabe zwei Auflösungen oder nur eine oder gar keine hat, je nachdem der Kreis C die Senkrechte schneidet oder sie berührt oder sie gar nicht trifft. Fällt man auf AB oder deren Verlängerung die Senkrechte CE, so treten diese drei Fälle bezüglich ein je nachdem r > DE, r = DE oder r < DE ist. 2. Aufgabe: Ueber einer gegebenen Strecke als Hypotenuse ein rechtwinkeliges Dreieck zu construiren, wenn ausserdem die Länge der zur Hypotenuse senkrechten Höhe gegeben ist. Analysis: Die Scheitel aller rechtwinkeligen Dreiecke, welche über derselben Hypotenuse beschrieben werden können, liegen auf dem über dieser Hypotenuse als Durchmesser zu construirenden Halbkreis. Die Spitzen aller Dreiecke, welche die gegebene Hypotenuse zur Grundlinie haben, und deren Höhen der anderen gegebenen Strecke gleich sind, liegen auf einer Geraden, welche jener Grundlinie parallel ist und von ihr einen Abstand gleich der gegebenen Höhe hat. Die Spitze des gesuchten Dreiecks muss daher sowol auf jenem Halbkreis als auf dieser Parallelen liegen und mithin ein Punkt sein, in welchem beide Linien r 21 3 2 4 Planimetrie. einander schneiden oder berühren. Durch Verbindung eines solchen Punktes mit den Endpunkten der gegebenen Hypotenuse erhält man das verlangte Dreieck. Construction: Man beschreibe über der für die Hypotenuse gegebenen Strecke AB als Durchmesser einen Halbkreis, errichte auf AB in einem beliebigen Punkte D die Senkrechte, trage auf dieser (nach der Seite des Halbkreises) die Strecke DE gleich der gegebenen Höhe h ab, ziehe durch E die Parallele zu AB, welche den Halbkreis in C treffe, und verbinde C mit A und B, so ist ABC das verlangte Dreieck. Beweis: Der Winkel ACB ist ein rechter als Peripheriewinkel über einem Durchmesser; das Dreieck ABC ist also rechtwinkelig, und AB seine Hypotenuse. Construirt man ferner die Höhe CF dieses Dreiecks, so ist CF parallel zu ED, da beide auf AB senkrecht stehen. Da ausserdem nach Construction CE parallel zu FD ist, so sind CF und ED als Parallele zwischen Parallelen einander gleich. Nun ist ED nach Construction gleich h, also ist auch die Höhe CF des Dreiecks ABC gleich der gegebenen h. Dieses Dreieck ist also das verlangte. Determination: Die Auflösung der Aufgabe ist unmöglich, wenn die Parallele den Halbkreis weder schneidet noch berührt. Dieser Fall tritt ein, wenn der Abstand der Parallelen vom Mittelpunkt des Halbkreises grösser ist, als ein Radius desselben, also wenn die gegebene Höhe h grösser ist als die Hälfte der Hypotenuse AB. — Ist h = \AB, so berührt die Parallele den Halbkreis, und die Aufgabe hat daher nur eine Auflösung; das zugehörige Dreieck ist gleichschenkelig. Ist endlich h<\AB, so schneidet die Parallele den Kreis, und man erhält zwei der Aufgabe genügende Dreiecke. Dieselben sind jedoch (wie leicht bewiesen werden kann) nur der Lage, nicht aber der Gestalt und Grösse nach verschieden; sie liegen symmetrisch zu einander. 3. Aufgabe: Einen Kreis zu construiren, der durch einen gegebenen Punkt geht und eine der Lage nach gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte berührt. Analysis: Die Mittelpunkte aller Kreise, welche die gegebene Gerade AB in dem auf ihr gegebenen Punkte C berühren, liegen auf der Geraden, welche in C auf AB senkrecht steht. Die Mittelpunkte aller Kreise, welche durch die beiden gegebenen Punkte P und C gehen, liegen auf der Geraden, welche auf der Verbindungsstrecke dieser Punkte in dem Halbirungspunkt derselben senkrecht steht. Der Mittelpunkt X des gesuchten Kreises muss daher der Durchschnittspunkt dieser beiden Geraden sein. Da nach Bestimmung von X auch der Radius XP oder XC bekannt ist, so ist die Construction gefunden. Construction: Errichte auf der gegebenen Geraden AB in dem auf ihr gegebenen Punkte C die Senkrechte, verbinde C mit dem anderen gegebenen Punkte P, halbire PC, errichte auf PC in ihrem Halbirungspunkt D die Senkrechte und beschreibe um den Durchschnittspunkt X der beiden errichteten Senkrechten mit X C als Radius den Kreis. Dieser Kreis ist der verlangte. Beweis: Da XC nach Construction ein Radius des Kreises X und zugleich auf AB in C senkrecht ist, so ist AB eine Tangente des Kreises X, oder dieser Kreis berührt AB, und zwar im Punkte C. Verbindet man ferner den Mittelpunkt X mit jP, so stimmen die Dreiecke XPD und XCD in der gemeinschaft- 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 325 liehen Seite XD, in den rechten Winkeln XDP, XDC und in den Seiten PD, DC überein und sind mithin congruent. Daher ist auch XP gleich XC, also XP ebenfalls ein Radius des Kreises X, und dieser letztere geht somit auch durch den Punkt P. Der Kreis X ist also der verlangte. Determination: Da zwei gerade Linien einander nur in einem einzigen Punkte X schneiden können, so hat die Aufgabe im Allgemeinen eine einzige Auflösung. Die beiden Geraden können aber auch einander parallel sein, und dann wird die Auflösung unmöglich. Dieser Fall tritt ein, wenn P auf AB liegt, da dann die beiden Geraden auf derselben Linie AB senkrecht stehen. Dass P nicht auf AB liegen darf, geht übrigens auch daraus hervor, dass ein Kreis nicht eine Gerade berühren und gleichzeitig doch mit ihr zwei Punkte gemeinsam haben kann. — Endlich können die beiden den Mittelpunkt bestimmenden Geraden einander decken, in welchem Falle unzählig viele Auflösungen möglich sein würden. Dieser Fall kann jedoch nur dann eintreten, wenn P mit C zusammenfällt, und da dann thatsächlich statt zweier Punkte nur ein einziger gegeben sein würde, so kann dieser Fall streng genommen nicht in Betracht kommen.. — Zu erwähnen ist ausserdem noch der besondere Fall, in welchem P auf der in C errichteten Senkrechten liegt. Die Construction vereinfacht sich dann dahin, dass X mit D zusammenfällt, also die in D zu PC senkrechte Gerade nicht construirt zu werden braucht. § 67. Erläuterung der Methode. Kommt die Auflösung einer Aufgabe im Wesentlichen darauf hinaus, dass die unbekannte Lage eines Punktes gesucht werden soll, so kann dieselbe als gelöst betrachtet werden, wenn man zwei gerade oder krumme Linien gefunden hat, auf welchen gleichzeitig dieser Punkt liegen muss, denn es kann derselbe dann nur ein solcher Punkt sein, in welchem die beiden Linien einander schneiden oder berühren. Eine solche Linie erhält man dadurch, dass man eine der Forderungen der Aufgabe unbeachtet lässt. Hierdurch muss die Aufgabe, da nicht mehr die nöthige Anzahl bestimmender Bedingungen vorhanden ist, zu einer unbestimmten werden. Unter den unzählig vielen Auflösungen, welche dieselbe zulässt, muss sich dann auch die eine befinden, die in Wirklichkeit verlangt wird. Die unzähligen Punkte, welche sich so ergeben, werden sich im Allgemeinen continuir- lich an einander reihen, und es wird somit eine Linie der verlangten Art entstehen. So waren z. B. in der zweiten Aufgabe des vorigen Paragraphen drei Bedingungen für das gesuchte Dreieck gestellt; dasselbe sollte 1. rechtwinkelig sein, 2. eine der Lage und Länge nach gegebene Hypotenuse und 3. eine der Länge nach gegebene Höhe haben. Der zu bestimmende Punkt war hier die Spitze des Dreiecks. Durch Weglassung der dritten Bedingung erhielt man unendlich viele Dreiecke, deren Spitzen sich continuirlich auf einem Halbkreis an einander reihten, und durch Weglassung der ersten Bedingung wurde man entsprechend 326 Planimetrie. auf eine Gerade als Ort des gesuchten Punktes geführt. — In ähnlicher Weise ist bei den anderen Aufgaben des vorigen Paragraphen verfahren worden. Da jede gerade oder krumme Linie oder jedes System von Linien, welches die Eigenschaft hat, dass jeder ihrer Punkte einer gestellten unbestimmten Aufgabe genügt, und dass umgekehrt jeder dieser Aufgabe genügende Punkt auf der betreffenden Linie liegt, der geometrische Ort des gesuchten Punktes genannt wird, so wählen wir für das soeben beschriebene Auflösungs-Verfahren den Namen »Methode der geometrischen Oerter«. Da man im Allgemeinen jedes der bestimmenden Stücke einer Aufgabe weglassen kann, so ist es möglich, dass sich auf dem angegebenen Wege mehr als zwei geometrische Oerter finden lassen. Man hat dann die Wahl, welches Paar dieser Oerter man benutzen will, und erhält hiernach verschiedene Arten der Auflösung, sowie einen Lehrsatz über gemeinschaftliche Punkte der sämmt- lichen vorhandenen Oerter. In sehr vielen Fällen, wie z. B. den meisten Con- structionen von Dreiecken oder Kreisen enthält die bestimmte Aufgabe drei Forderungen; es giebt dann im Allgemeinen drei geometrische Oerter, welche einander in denselben Punkten treffen müssen, und daher auch drei verschiedene Wege der Auflösung, da man den ersten Ort mit dem zweiten oder den ersten mit dem dritten oder den zweiten mit dem dritten verbinden kann. Derartige Fälle sind schon aus dem System bekannt. Soll z. B. ein Kreis beschrieben werden, der durch drei gegebene Punkte geht, so hegt sein Mittelpunkt auf jeder der Mittelsenkrechten des Dreiecks jener drei Punkte. Man kann also zu seiner Bestimmung zwei beliebige dieser Mittelsenkrechten, welche einander in demselben Punkte schneiden müssen, auswählen. Aehnliches ist von den Winkelhalbirenden eines Dreiecks bekannt. In der zweiten Aufgabe des vorigen Paragraphen ergiebt sich jedoch, dass in dieser Weise kein dritter Ort angegeben werden kann. Die entstehende unbestimmte Aufgabe, ein rechtwinkeliges Dreieck zu zeichnen, dessen Höhe eine gegebene Länge habe, lässt nämlich die Lage des Dreiecks und somit auch die seiner Spitze völlig unbestimmt. Derartige Fälle machen also eine Ausnahme von dem vorher Gesagten. — In der dritten Aufgabe des vorigen Paragraphen dagegen existirt ein dritter geometrischer Ort; es ist derjenige der Mittelpunkte aller Kreise, welche die gegebene Gerade AB in irgend einem beliebigen Punkte berühren und durch den ausserhalb derselben gegebenen Punkt P gehen. Dieser geometrische Ort ist jedoch aus keinem Lehrsatz der Elementar-Geometrie bekannt. Um sich eine Vorstellung von der Gestalt desselben zu machen, kann man auf AB eine (thunlichst grosse) Anzahl von Punkten nach einander als Berührungspunkte annehmen und jedesmal mit Hülfe der beiden anderen zugehörigen Oerter die entsprechende Lage des Mittelpunkts bestimmen. Die so gewonnenen auf einander folgenden Punkte sind Punkte des dritten Orts und geben eine um so genauere Vorstellung von der Gestalt desselben, je dichter sie aneinander gereiht sind. Im vorliegenden Beispiel ist dieser Ort eine krummeLinie, deren Punkte die Eigenschaft haben, dass der Abstand einesjeden derselben von dem festen Punkte/ 1 gleich seinem Abstand von der festen Geraden AZ 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 327 ist. Dieselbe besteht aus zwei symmetrischen Aesten, welche in’s Unendliche auseinander laufen, und heisst eine Parabel. Da aber in der Elementar-Geometrie nur gerade Linien und Kreise behandelt werden, so können andere krumme Linien in Aufgaben, welche auf elementarem Wege gelöst werden sollen, keine Anwendung als geometrische Oerter finden. Die Methode der geometrischen Oerter kann also nur bei solchen Aufgaben zu elementaren Auflösungen gebraucht werden, bei denen sich mindestens zwei Oerter finden lassen, von denen jeder entweder eine gerade Linie oder ein Kreis ist. Construction und Beweis sind auch bei dieser Methode unmittelbar durch die Analysis bestimmt. Die Determination schliesst sich an die Untersuchung der verschiedenen Lagen, welche die beiden benutzten Oerter gegen einander haben können und die Anzahl ihrer gemeinschaftlichen Punkte in jeder dieser Lagen. § 68. Weitere Aufgaben zur Methode der geometrischen Oerter. a) Der geometrische Ort der Punkte, die von einem gegebenen Punkt P einen gegebenen Abstand r haben, oder der g. O. der Mittelpunkte der Kreise, welche durch P gehen, und deren Radien gleich r sind, ist der um P mit dem Radius r beschriebene Kreis. — Der g. O. der Punkte, die von zwei gegebenen Punkten A, B gleich weit entfernt sind, oder der g. O. der Mittelpunkte der Kreise, die durch A und B gehen, ist die auf der Verbindungsstrecke von A und B in dem Halbirungspunkt derselben senkrechte Gerade. — Der g. O. der Punkte, die von einer der Lage nach gegebenen Geraden MN eine gegebene Entfernung r haben, oder der g. O. der Mittelpunkte der Kreise, welche die Gerade MN berühren und den Radius r haben, besteht aus den beiden in einem Abstand gleich r zu MN parallelen Geraden. — Der g. O. der Punkte, welche von zwei einander schneidenden Geraden gleich weit entfernt sind, oder der g. O. der Mittelpunkte der Kreise, welche zwei einander schneidende Gerade berühren, besteht aus den zwei Halbirungslinien der von diesen Geraden gebildeten vier Winkel. — Der g. O. der Punkte, welche von zwei der Lage nach gegebenen einander parallelen Geraden gleichweit entfernt sind, oder der g. O der Mittelpunkte der Kreise, welche zwei parallele Gerade berühren, ist die Gerade, welche zu den beiden gegebenen parallel und von ihnen gleichweit entfernt ist. — Der g. O. der Mittelpunkte der Kreise, welche eine der Lage nach gegebene Gerade MN in einem auf derselben gegebenen Punkte A berühren, ist die auf MN in A senkrechte Gerade. Man construire hiernach einen Punkt, der auf einer der Lage nach gegebenen Geraden (oder einem gegebenen Kreise) liegt und 1. von einem gegebenen Punkt eine gegebene Entfernung hat, oder 2. von zwei gegebenen Punkten gleichweit entfernt ist, oder 3. von einer anderen gegebenen Geraden eine gegebene Entfernung hat. Mit gegebenem Radius einen Kreis zu beschreiben, welcher 4. eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte berührt, oder 5. eine gegebene Gerade berührt und durch einen ausserhalb derselben gegebenen Punkt geht, oder 6. durch zwei gegebene Punkte geht. Einen Kreis zu beschreiben, welcher 7. zwei gegebene Gerade, und zwar die eine in einem gegebenen Punkte berührt, oder 8. jede von zwei gegebenen parallelen Geraden und ausserdem eine dieselben schneidende gegebene Gerade 328 Planimetrie. berührt, oder 9. zwei gegebene parallele Gerade berührt und durch einen zwischen denselben gegebenen Punkt geht. b) Der geometrische Ort der Mittelpunkte derjenigen Kreise, welche einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte desselben berühren, ist die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises gehende Gerade. Es sind jedoch dieser Mittelpunkt M selbst und der Berührungspunkt B ausgenommen. Die zwischen M und B liegende Strecke des Ortes enthält die Mittelpunkte solcher Kreise, welche den gegebenen von innen berühren, ihre Verlängerung über B enthält die Mittelpunkte der von aussen berührenden, und ihre Verlängerung über M die Mittelpunkte der umschliessend berührenden Kreise. — Der g. O. der Mittelpunkte der Kreise, welche einen gegebenen Kreis berühren und einen gegebenen Radius haben, besteht aus zwei dem gegebenen concentrischen Kreisen, von denen der eine mit der Summe, der andere mit der Differenz der beiden Radien beschrieben wird. Der erstere enthält die Mittelpunkte solcher gesuchten Kreise, welche den gegebenen von aussen berühren, der letztere, je nachdem der Radius des gesuchten Kreises kleiner oder grösser ist als der des gegebenen, die Mittelpunkte von Kreisen, welche den gegebenen von innen oder umschliessend berühren. Sind beide Radien gleich gross, so fällt der mit der Differenz der Radien beschriebene Kreis fort. — Der g. O. der Mittelpunkte der Kreise, welche zwei gegebene concentrische Kreise berühren, besteht aus zwei denselben concentrischen Kreisen. Zieht man durch einen beliebigen Punkt C des kleineren der gegebenen Kreise den Durchmesser AB des grösseren, so geht jeder der beiden Oerter durch einen der Halbirungspunkte der Strecken A C und CB und die zugehörige dieser Strecken ist jedesmal gleich dem Durchmesser des gesuchten Kreises. Man beschreibe hiernach einen Kreis, der einen gegebenen Radius hat und 1. einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte berührt, oder 2. einen gegebenen Kreis berührt und durch einen nicht auf demselben liegenden gegebenen Punkt geht, oder 3. einen gegebenen Kreis und eine gegebene Gerade berührt, oder 4. zwei gegebene Kreise berührt. Einen Kreis zu construiren, der 5. einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte berührt uud durch einen anderen gegebenen Punkt geht, oder 6. einen Kreis in einem gegebenen Punkte und ausserdem eine gegebene Gerade berührt, oder 7. zwei gegebene concentrische Kreise, und zwar den einen in einem gegebenen Punkte berührt. c) Der geometrische Ort der Scheitel aller rechtwinkeligen Dreiecke, welche über einer der Lage und der Länge nach gegebenen Hypotenuse stehen, ist der über dieser Hypotenuse als Durchmesser beschriebene Halbkreis. — Der g. Ort der Spitzen aller Dreiecke, welche über einer der Lage und Länge nach gegebenen Grundlinie stehen und an der Spitze einen Winkel von gegebener Grösse haben, ist der über der Grundlinie als Sehne stehende Kreisbogen, welcher den gegebenen Winkel als Peripheriewinkel fasst. — Der g. O. der Spitzen aller Dreiecke, welche über einer der Lage und Länge nach gegebenen Grundlinie stehen und eine zu letzterer gehörige Höhe von gegebener Länge haben, ist die zu der Grundlinie in einem Abstande gleich, der Höhe parallele Gerade. Man construire ein rechtwinkeliges Dreieck über einer gegebenen Hypotenuse: 1. dessen Höhe die Hypotenuse in einem gegebenen Punkte trifft, 2. dessen Scheitel auf einer der Lage nach gegebenen Geraden liegt. 6. Die planimetrisclien Constructions-Aufgaben. 3 2 9 Ein Dreieck zu construiren aus einer Seite, dem ihr gegenüberliegenden Winkel und 3. der Höhe auf jener Seite oder 4. der zu jener Seite gehörigen Mittellinie oder 5. dem auf jener Seite gegebenen Punkte, in welchem sie von der Halbirungslinie des gegenüberliegenden Winkels geschnitten wird. Ein Dreieck zu construiren aus 6. zwei Mittellinien und den durch eine derselben getheilten Winkel. d) Der geometrische Ort der Halbirungspunkte aller Sehnen eines Kreises, die einander in einem und demselben Punkte schneiden, ist der Kreis, für welchen die Verbindungslinie dieses Punktes mit dem Mittelpunkt des ersteren Kreises ein Durchmesser ist. — Der g. O. der Halbirungspunkte aller Sehnen eines Kreises, welche eine und dieselbe gegebene Länge haben, ist ein jenem erstem concentrischer Kreis. — Der g. O. der Endpunkte aller Tangenten eines Kreises, welche vom Berührungspunkt aus dieselbe Länge haben, ist ein concentrischer Kreis. In einem gegebenen Kreise eine Sehne zu ziehen, so dass dieselbe von einer der Lage nach gegebenen Geraden lialbirt werde und 1. durch einen gegebenen Punkt gehe oder 2. eine gegebene Länge habe. Von einem zu bestimmenden Punkte einer gegebenen Geraden aus an einen gegebenen Kreis eine Tangente von gegebener Länge zu ziehen. Einen Punkt zu bestimmen, von welchem man an jeden von zwei gegebenen Kreisen eine Tangente von derselben gegebenen Länge ziehen kann. Von einem Punkte, welcher auf einem Kreise gegeben ist, in diesen eine Sehne zu ziehen, so dass die vom Halbirungspunkt der Sehne an einen zweiten gegebenen Kreis gezogene Tangente eine gegebene Länge habe. Die Vermehrung der Anzahl der im Vorstehenden angeführtengeometrischen Oerter und der bezüglichen Aufgaben bleibt den besonderen Aufgaben-Sammlungen überlassen. C. Methode der ähnlichen Figuren. § 69. Ausgeführte Beispiele der Anwendung der Methode. 1. Aufgabe: Ein Dreieck aus zwei Winkeln und der Summe des Radius des umbeschriebenen und des Radius des einbeschriebenen Kreises zu construiren. Analyse: Construirt man zunächst ein Dreieck aus den beiden gegebenen Winkeln und einer Seite von beliebig angenommener Länge, so muss dasselbe wegen der Uebereinstimmung in den Winkeln dem gesuchten ähnlich sein. Construirt man daher zu jenem Htilfsdreieck die Summe eines Radius des demselben umbeschriebenen und eines Radius des demselben einbeschriebenen Kreises, so muss diese Summe sich zu der gegebenen verhalten, wie jede Seite des Hiilfs- dreiecks zur homologen Seite des gesuchten. Man kann daher irgend eine Seite des letzteren als vierte geometrische Proportionale zu drei bekannten Strecken, und dann aus ihr und den Winkeln das gesuchte Dreieck construiren. Construction: Man zeichne eine Strecke ÄB' von beliebiger Länge, lege an Ä B' in A' einen Winkel gleich dem einen gegebenen a und an B' A' in B' auf derselben Seite einen Winkel gleich dem anderen gegebenen ß an; die angelegten Schenkel mögen einander in einem Punkte C schneiden. Man con- struire dann auf bekannte Weise den Mittelpunkt M' des dem Dreieck A' B' C umbeschriebenen und den Mittelpunkt O' des demselben einbeschriebenen Kreises, fälle die Senkrechte 0' D' auf ÄB', verbinde C mit M' und verlängere CM’ um 33 ° Planimetrie. M' S' = 0'D' . Dann trage man auf der nöthigenfalls verlängerten CS' die Strecke CS gleich der gegebenen Summe s ab, ziehe S'Ä und dann SA parallel zu S' Ä und bis zum Durchschnittspunkt A mit CA' oder deren Verlängerung. Endlich ziehe man durch A die Parallele zu A'B', welche CB' oder deren Verlängerung in B schneide, dann ist ABC das verlangte Dreieck. Beweis: Es ist Z CAB— CA'B' als correspondirender Winkel anparallelen Linien, CA'B' = a n. Constr., also auch CAB — a. In entsprechender Weise ist Z CBA = CB A! = ß. Bezeichnet nun p' den Radius des dem Dreieck A' B' C einbeschriebenen, r’ den Radius des demselben umbeschriebenen Kreises, und sind p und r die entsprechenden Linien für das Dreieck ABC, so muss, da die beiden Dreiecke in Folge ihrer Uebereinstimmung in den Winkeln ähnlich sind. p ': r' : CA' — p : r : CA, also auch p' -+- r' : p -+- r = CA' : CA sein. Nun ist, wie leicht aus der Construction hervorgeht, CS' — p' + r' und da CS^=s und A'S' parallel zu AS ist, p' -+- r' : s = CA ': CA. Die Vergleichung dieser Proportion mit der vorhergehenden zeigt, dass p -{- r = s ist, was noch zu beweisen war. Determination: Die Aufgabe ist stets, und in eindeutiger Weise lösbar. 2. Aufgabe: Ein Viereck aus einer Diagonale und den vier Winkeln, welche die andere Diagonale mit den Seiten bildet, zu construiren. Analyse: Wäre die nicht gegebene Diagonale bekannt, so liesse sich jedes der beiden Dreiecke, in welche dieselbe das Viereck theilt, aus einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln construiren. Nimmt man nun statt der nicht gegebenen Diagonale eine Strecke von beliebiger Länge an und construirt in entsprechender Weise aus dieser und den vier gegebenen Winkeln ein Viereck, so muss dasselbe dem gesuchten ähnlich sein, und seine zweite Diagonale muss sich mithin zu der gegebenen Diagonale des gesuchten Vierecks verhalten, wie seine erste Diagonale oder auch irgend eine seiner Seiten zu der homologen des gesuchten. Daher kann jede der betreffenden Strecken für das letztere als vierte geometrische Proportionale zu drei bekannten Strecken construirt, und dann mit Hülfe derselben die Aufgabe gelöst werden. Construction: Man zeichne eine Strecke A'B' von beliebiger Länge, lege an ÄB' in A’ nach der einen Seite einen Winkel gleich dem gegebenen a und nach der anderen Seite einen Winkel gleich dem gegebenen ß an. In entsprechender Weise lege man an B' Ä in B' Winkel gleich den gegebenen 7 und 8 an, so dass die vier Winkel die von der Aufgabe verlangte gegenseitige Lage haben. Die auf der einen Seite von A'B' angelegten Schenkel mögen einander in C, die auf der anderen angelegten in D' schneiden. Man ziehe darauf CD' , trage auf dieser nöthigenfalls verlängerten Linie eine Strecke CD gleich der gegebenen Diagonale f ab, ziehe durch D die Parallelen zu D'A' und zu D' B' bis zum Durchschnittspunkt mit CA' , bezw. CB oder deren Verlängerungen in A, bezw. B, und behaupte, AB CD sei das verlangte Viereck. 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 331 Beweis: Die Diagonale CD des Vierecks AB CD hat die gegebene Länge f nach Construction. Da AD || Ä D', BD [| B'D', so ist CA : CA’ = CD : CD’ und CB : CB’ = CD : CD', mithin auch (< CA : CA’ = CB : CB'. Hieraus folgt, dass, wenn man A mit B verbindet, A B parallel zu A’B’ sein muss. Daher ist auch Z CAB = Z CA' B' als correspondirender Winkel an parallelen Linien, und da Z CA'B' n. Constr. gleich dem gegebenen Winkel a ist, so muss auch Z CAB gleich a sein. In derselben Weise ergiebt sich, dass Z DAB = AD'A'B' =ß, Z CBA = Z CB'Ä =7, Z DBA = Z D'B'Ä = 8 ist, und dass somit das Viereck ACBD alle gestellten Bedingungen erfüllt. Discussion: Damit die Aufgabe so lösbar sei, dass ein Viereck im engeren Sinne entsteht, muss a -4- 7 < 2 R und ß 8 < 2 F sein. Ueberhaupt unlösbar ist die Aufgabe, wenn eine dieser Summen (oder beide) gleich zwei Rechten sind. Die Aufgabe ist eindeutig. 3 . Aufgabe: Ein Dreieck aus dem Verhältniss der Höhe zu einer anliegenden Seite, h\a — m\n, dem dieser Seite gegenüberliegenden Winkel und der Summe der Grundlinie und Höhe c-\-h-=s zu con- struiren. Analysis: Durch das gegebene Verhältniss ist die Gestalt des die Seite CB = a und die Höhe CD = h enthaltenden rechtwinkeligen Dreiecks B CD bestimmt und man erhält somit durch Construction eines diesem Dreieck ähnlichen den Winkel CBA = ß des gesuchten Dreiecks. Dann sind von letzterem zwei Winkel bekannt, man kann daher wieder ein diesem ähnliches Dreieck con- struiren und es muss sich dann die Summe der Grundlinie und Höhe des ähn- E c A liehen Dreiecks zu der gegebenen des gesuchten verhalten, wie irgend eine Seite des ähnlichen zur homologen Seite des gesuchten. Hiernach ist alles Uebrige einleuchtend. Construction: Man zeichne zwei beliebige Strecken h', a', welche zu einander in dem gegebenen Verhältniss m : n stehen, errichte auf einer Strecke CD' = h' in D' die Senkrechte, beschreibe um C mit a' als Radius einen Kreisbogen, der die Senkrechte in B' schneide, ziehe CB', lege an D'B ’, etwa in D ', einen Winkel B'D'E,= a an, ziehe durch C die Parallele zu D' JZ bis zum Durchschnittspunkt A' mit der Verlängerung von B' D ', verlängere CD' um D' F — A' B',. trage auf der E' (nöthigenfalls verlängerten) Geraden CF die Strecke CF gleich der gegebenen Summe s ab, ziehe A’F und durch F die Parallele zu FA 1 bis zum Durchschnittspunkt A mit CA' oder deren Verlängerung; endlich ziehe AB parallel zu j)' D J ) ■ E> 332 Planimetrie. A' B' bis zum Durchschnittspunkt B mit CB' oder deren Verlängerung, so ist ABC das verlangte Dreieck. Beweis: Z CAB— Z CA'B' (corresp. W. an Parallelen); Z CA’B’ = Z ED'B' (ebenso), Z-ED'B' — v. n. Constr., also ist auch Z CAB = a. Die Gerade CB schneide AB in D. Dann ist CD senkrecht zu AB, da CD' senkrecht auf der zu AB parallelen Geraden A'B' ist; CD ist also die Höhe des Dreiecks ABC. Nun ist CD : CB= CD' : CB', und da CD' : CB' = h' : a’ — m : 11 n. Constr., so ist auch CD : CB = m : 11. Endlich ist (AB - 1- CD): (A!B' -t- CD’) = AC: A'C = FC: F = * : (A'B' + CD'), woraus AB+CD=s folgt. Determination: Damit die Aufgabe lösbar sei, muss zunächst d’ > H , also n > m sein. Sodann muss die Summe der Winkel CB'D' und a weniger als zwei Rechte betragen. Sind diese Bedingungen erfüllt, so ist die Auflösung stets möglich, und zwar auf eine einzige Art. Ist insbesondere a = 90 °, so vereinfacht sich die Auflösung in leicht ersichtlicher Weise. § 70 . Erläuterung der Methode. Ist durch einen Theil der zurConstruction einer Figur gegebenen Bestimmungsstücke die Gestalt der Figur bestimmt, so dass also alle gleichartigen Figuren, welche in diesen Stücken übereinstimmen, einander ähnlich sind, so kann man zunächst eine solche der gesuchten ähnliche Figur zeichnen. Da nämlich hierbei die Grösse der Figur gleichgültig ist, so kann man für irgend eine beliebig ausgewählte Strecke an derselben eine willkürliche Länge annehmen, und man wird zu diesem Zwecke eine solche Strecke, z. B. eine Seite, nehmen, dass die veränderte Aufgabe, aus ihr und jenen BestimmungsstUcken die Figur zu construiren, eine bekannte, möglichst einfache Auflösung hat. Es handelt sich dann nur noch darum zu der so gewonnenen Hülfsfigur eine ihr ähnliche zu zeichnen, welche auch die richtige Grösse hat. Zu diesem Zwecke muss stets eine bei der Con- struction der Hülfsfigur nicht benutzte Strecke unter den gegebenen Bestimmungsstücken sein, und zeichnet man die derselben homologe Strecke zu der Hülfsfigur, so giebt das Verhältniss beider auch das Verhältniss je zweier anderen homologen Strecken der zwei Figuren an. Man kann also jede Seite oder Diagonale u. dgl. der gesuchten Figur als vierte Proportionale zu jenen beiden Strecken und der homologen Seite oder Diagonale u. dgl. der Hülfsfigur construiren und damit die Aufgabe lösen. Bei dieser Construction einer vierten geometrischen Proportionale wird man die bereits in der Figur vorhandenen Strecken möglichst in ihrer Lage zu benutzen suchen, um eine in Zeichnung und Darstellung möglichst zusammenhängende und einfache Construction der ganzen Aufgabe zu erhalten. Es ist ferner zur Anwendung dieser Methode nicht nöthig, dass sich zu der gesuchten Gesammtfigur eine ähnliche construiren lasse, sondern es genügt häufig, dass dies für einen Theil der letzteren, wie z. B. in der dritten Aufgabe des vorigen Paragraphen bei dem einen der durch die Höhe entstehenden Theil- dreiecke der Fall war, möglich sei, sofern durch diesen Theil ein oder mehrere weitere Bestimmungsstücke der ganzen Figur gefunden werden, deren Benutzung die Aufgabe auf eine bereits bekannte zurückführt. Bei der Construction der gesuchten Figur zu der ihr ähnlichen kann man sich auch der Theorie der Aehnlichkeitspunkte mit Vortheil bedienen. 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 333 § 71. Weitere Beispiele zur Methode der ähnlichen Figuren. a) Dreiecksconstructionen, bei denen zwei Winkel des Dreiecks gegeben sind, lassen sich sämmtlich leicht in der angegebenen Weise ausführen. Man kann hiernach verschiedene der früher nach der Methode der Hülfsfiguren behandelten Aufgaben lösen, wie z. B. wenn ausser den beiden Winkeln gegeben sind: 1. eine Höhe h, 2. eine Mittellinie m, 3. eine winkelhalbirende Transversale w, 4. die Summe zweier Seiten a + i, 5. die Differenz zweier Seiten a — b, 6. der Umfang a -t- b ■+ c, 7. der Ueberscliuss der Summe zweier Seiten über die dritte a -+- b — c, 8. die Summe zweier Höhen h a -1- hi, 9. die Differenz zweier Höhen hi — h a , 10. der Radius r des umbeschriebenen Kreises, 11. der Radius p des einbeschriebenen Kreises, ferner Summen und Differenzen von Berührungsradien von Seiten und Radien, Seiten und Höhen, u. dgl. m. b) Statt eines Winkels kann das Verhältniss zweier Seiten a : b = m : n des gesuchten Dreiecks gegeben sein. Der gegebene Winkel ist dann entweder der eingeschlossene -y oder ein gegenüberliegender. Im letzteren Falle kann die Aufgabe zweideutig werden. Man bilde hiernach die den Aufgaben unter a) entsprechenden. Für ein rechtwinkeliges Dreieck genügt die Angabe eines einzigen Seitenverhältnisses, ohne einen Winkel, da für letzteren der rechte Winkel bekannt ist. Es können endlich beide Winkel durch Verhältnisse von Seiten des gesuchten Dreiecks vertreten sein, zu denen dann beispielsweise jedes der unter a) 1—11 angegebenen Stücke als drittes treten kann. — Statt jedes Verhältnisses zweier Seiten kann das Verhältniss der zu ihnen senkrechten Höhen gegeben sein, da je zwei Seiten eines Dreiecks sich zu einander umgekehrt wie die zugehörigen Höhen verhalten. Man construire beispielsweise ein Dreieck aus 1. dem Verhältniss der Höhe zur Projection einer anliegenden Seite auf die Grundlinie, dem Verhältniss der anderen anliegenden Seite zu ihrer Projection auf die Grundlinie und der Summe der drei Höhen, 2. dem Verhältniss des Radius des einbeschriebenen Kreises zu einem auf einer Seite durch den Berührungspunkt gebildeten Abschnitt, dem dieser Seite gegenüberliegenden Winkel und der zu dieser Seite gehörigen Mittellinie, 3. den Verhältnissen der drei Höhen zu einander und der Differenz der durch eine Winkelhalbirende auf der gegenüberliegenden Seite gebildeten Abschnitte. c) Noch allgemeiner kann man die vorstehende Methode überhaupt mit derjenigen der Hülfsfiguren verbinden, indem man jene bei der Construction von Figuren anwendet, die ihrerseits wieder mittelst der letzteren Methode als Hülfsfiguren auf die Construction von anderen, verlangten führen. Die Hinzufügung besonderer Beispiele, die sich nach dem Vorhergegangenen leicht bilden lassen, darf unterbleiben. Auch auf die Anwendung der Methode auf die Construction von Vierecken und Polygonen, die meist auf diejenige von Dreiecken zurückgeführt wird, soll der Kürze halber nicht näher eingegangen werden. D. Methode der algebraischen Analyse. § 72. Ausgeführte Beispiele der Anwendung der Methode. 1. Aufgabe: Eine gegebene Strecke so zu theilen, dass die Differenz der Quadrate der Abschnitte gleich dem Rechteck aus der ganzen Strecke und ihrem kleineren Abschnitt sei. 334 Planimetrie. Analysis: Es sei AB die zu theilende Strecke, a ihre Maasszahl, x die Maasszahl des kleineren, also a —* die Maasszahl des grösseren gesuchten Abschnittes, so soll (a — x) 2 — x 2 = ax sein. Die Auflösung dieser Gleichung auf die Unbekannte x führt zu a 2 — 2 ax ■= ax a 2 — 3 ax. a x= 3 Construction: Theile die Strecke AB im Verhältniss 1 : 2. Beweis: Nach Construction ist der grössere Abschnitt AX=^AB, der kleinere BX=\AB, die Differenz ihrer Quadrate also gleich yAB 2 — \AB 2 = \AB 2 , und das Rechteck aus der ganzen Strecke und ihrem kleineren Abschnitt ebenfalls gleich \AB 2 . Dieses Rechteck ist also jener Differenz gleich. Determination: Die Aufgabe ist stets eindeutig lösbar. 2. Aufgabe: Ein gegebenes Dreieck durch eine zur Grundlinie parallele Gerade zu halbiren. Analysis: Ist ABC das gegebene Dreieck, XY die gesuchte, zu AB parallele Gerade, so ist das Dreieck CXY ähnlich dem Dreieck ABC und die Flächenräume beider verhalten sich also wie die Quadrate zweier homologen Seiten. Setzt man den Abschnitt CX der Seite CB gleich x, diese Seite selbst gleich a, so muss also, da das Dreieck CXY die Hälfte von ABC sein soll, x 2 : d 1 == 1 : 2 sein, woraus x — ■]/•£ <ß folgt. Schreibt man dieses Resultat in der Form x = j/{.a ■ a, so sieht man, dass x die mittlere geometrische Proportionale zwischen \a und a ist. Construction: Halbire die Seite CB des gegebenen Dreiecks ABC in D, beschreibe über CB als Durchmesser einen Halbkreis, errichte auf CB in D die Senkrechte, welche den Halbkreis in E schneide, ziehe CE, beschreibe um C mit CE als Radius einen Kreisbogen, der CB in X schneide, und ziehe durch X die Parallele zu BA, welche CA in Y treffen möge. Dann ist XY die verlangte Theilungslinie. Beweis: XY ist parallel zu BA nach Construction. Daher ist ferner A CAFoo a CBA, folglich A CXY: A CBA = CX 2 : CB 2 . Nun ist CX 2 = CE 2 = CD • CB — \CB ■ CB — J CB' 1 , woraus weiterhin A CXY = \CBA folgt, was noch zu beweisen war. Determination: Die Aufgabe ist stets eindeutig lösbar. 3. Aufgabe: Eine gegebene Strecke so zu theilen, dass der grössere Abschnitt die mittlere geometrische Proportionale zwischen der o-anzen Strecke und dem kleineren Abschnitt werde. Ö Analysis: Ist AB = a die gegebene Strecke, AX = x der gesuchte grössere Abschnitt, also BX=a —« der kleinere Abschnitt, so muss x 1 = a (a — x) sein. Hieraus folgt 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 335 x 2 -+ ax — a 2 . also | ± l/^ Die Wurzelgrösse in diesem Ausdruck ist zufolge des pythagoreischen Lehrsatzes gleich der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen Katheten bezüglich gleich a und sind. Von den beiden Vorzeichen derselben kann für u eine Behandlung der Aufgabe im engeren Sinne nur das obere benutzt werden, da anderenfalls für x ein negativer Werth entsteht, der nur dann Sinn hat, wenn nicht bloss die Länge, sondern auch die Richtung der gesuchten Strecke in Betracht kommt. Construction: Halbire die gegebene Strecke AB, errichte in B auf AB die Senkrechte BC gleich der Hälfte von AB, ziehe AC) trage auf CA die Strecke CD = CB und auf AB die Strecke AX = AD ab, so ist X der verlangte Theilpunkt. Beweis: Es ist AX= AD = AC— CD = AC— CB, also AC=AX-h CB. Nun ist A t 2 = AB 2 + CB 2 , also AB 2 + CID =(AX+ CB) 2 = AX 2 + 2 AX - CB -+- CB 2. Hieraus folgt AB 2 = AX 2 + 2 AX ■ CB oder AX 2 = AB — AX. 2 CB oder AX 2 = AB 2 — AX ■ AB oder AX 2 = AB -(AB— AX), oder endlich AX' 2 = AB- BX, was zu beweisen war. Determination: Die Aufgabe ist stets lösbar. Dieselbe ist eindeutig, sofern der Theilpunkt X zwischen A und B vorausgesetzt ist. Fasst man jedoch die Aufgabe im weiteren Sinn so auf, dass der Theilpunkt auch auf der Verlängerung der zu theilenden Strecke liegen darf, so erhält man eine zweite Auflösung, welche der Anwendung des unteren Vorzeichens in dem in der Analyse gefundenen Werthe von x entspricht. Man hat AC um BC zu verlängern und die entstehende Strecke von A aus statt in der Richtung nach B in der entgegengesetzten Richtung (entsprechend dem negativen Werthe von x) abzutragen. In diesem Falle wird nur der kleinere Abschnitt AX die mittlere geometrische Proportionale zwischen AB und dem anderen Abschnitt BX. Dies stimmt damit überein, dass jetzt AB <_ AX wird, mithin AX < BX sein muss. Soll diese Auflösung gelten, so ist also in dem Wortlaut der Aufgabe statt »der grössere« Abschnitt zu setzen »ein« Abschnitt. In der That war die Bedingung, dass AX > BX sei, nicht bei dem Ansatz der Gleichung in der Analyse berücksichtigt worden, so dass diese Gleichung deshalb auf beide Auflösungen führen musste. — Die vorliegende Aufgabe ist die bekannte der Theilung einer Strecke nach dem goldenen Schnitt, und die oben angegebene Construction stimmt mit der früher auf anderem Wege gefundenen Auflösung vollständig überein. § 73. Erläuterung der Methode. Hängt die Auflösung einer gegebenen Aufgabe im Wesentlichen davon ab, dass eine Strecke von gesuchter Länge construirt werde, so suche man diese Strecke als die Unbekannte x einer Gleichung darzustellen, indem man diese Gleichung aus den durch die Bedingungen der Aufgabe angegebenen Beziehungen zwischen x und bekannten Grössen ermittelt. Zu diesem Zwecke kann jede Strecke, welche gegeben ist, oder welche zu einer gegebenen Figur in bekannter Weise construirt werden kann (wie z. B. die Höhen eines gegebenen Dreiecks ü. dgl. m.) durch eine als bekannt vörausziisetzende Maasszahl ausgedrückt werden, 336 Planimetrie. Die Auflösung der gefundenen Gleichung liefert 'einen algebraischen Ausdruck für die Unbekannte, welcher dann geometrisch zu deuten und hiernach zu con- struiren ist. Selbstverständlich können auch mehrere Unbekannte durch eine gleiche Anzahl von Gleichungen gesucht werden. Die Analysis besteht also bei dieser Methode aus folgenden Theilen: 1. Angabe oder Wahl der Strecken, welche als Unbekannte gesucht werden sollen, 2. Ansetzen der nöthigen Gleichungen aus den Bedingungen der Aufgabe, 3. Auflösen dieser Gleichungen, 4. geometrische Deutung der Resultate. Von diesen Theilen erheischt der letzte eine nähere Erörterung. Wir setzen behufs derselben im Folgenden voraus, dass a, b, c, . . . die Maasszahlen bekannter Strecken seien. Dann bedeutet a b die durch Verlängerung der Strecke a um die Strecke b (oder umgekehrt) entstehende Summe beider Strecken, a — b die durch Abtragen der Strecke b von der Strecke a entstehende Differenz derselben, a -t- b — c d... die den Zeichen in dieser algebraischen Summe entsprechend durch Verlängern oder Abschneiden aus den gegebenen entstehende Strecke. Jede beliebige Verbindung von Zeichen, welche Strecken bedeuten, bloss durch 4 - und — bedeutet also wieder eine Strecke und heisst daher, ebenso wie die einzelnen den betreffenden Ausdruck zusammensetzenden Grössen, eine lineare, oder eine Grösse erster Dimension. Ein Product na bedeutet ebenfalls eine Strecke, wenn der Multiplicator n eine unbenannte Zahl ist, also nur der Multiplicandus a eine Strecke bedeutet; na ist dann ein Vielfaches von a und wird durch «maliges Abtragen einer Strecke gleich a nach einander auf einer Geraden construirt. Dagegen kann das Produkt«/;, in welchem beide Faktoren Strecken bedeuten, nicht mehr als eine Strecke gedeutet werden, da das Produkt zweier benannter Factoren an sich keinen Sinn hat. Dagegen lässt sich dasselbe nach den Erklärungen in § 40 als die arithmetische Darstellung des Inhalts eines Rechtecks, dessen Seiten bezüglich gleich a und b sind, oder irgend einer anderen Figur von gleicher Grösse mit diesem Rechteck betrachten. Insbesondere ist also a 2 als Inhalt eines geometrischen Quadrats zu deuten, dessen Seite gleich a ist. Ausdrücke, welche, wie ab und « 2 , Flächen bedeuten, werden als Ausdrücke zweiter Dimension bezeichnet. Ein Quotient hat eine geometrische Bedeutung, wenn der Divisor n eine unbenannte Zahl ist, dagegen der Dividendus a eine Strecke bedeutet. Die Aufgabe, denselben zu construiren, ist wenn n eine ganze Zahl ist identisch mit der bekannten, die Strecke a in n gleiche Theile zu theilen. Ist n eine gebrochene Zahl, so fordert die Construction von —, ebenso wie die von na, die Theilung der n ° Strecke a in einem gegebenen Verhältniss. Der Quotient ist also in diesem Falle ein Ausdruck erster Dimension. a Bedeutet dagegen m -j sowol b als « je eine Strecke, so ist der Quotient eine unbenannte Zahl, nämlich das Verhältniss der Strecke « zur Strecke b. Derselbe kann daher nicht construirt werden. Er heisst ein Ausdruck nullter Dimension. 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 337 Ist endlich in —, n unbenannt und a eine Strecke, so lässt der Ausdruck überhaupt keine Deutung zu. Den im Vorstehenden angeführten einfachen Ausdrücken reihen sich folgende zusammengesetzte an: , Der Ausdruck kann angesehen werden als das Produkt der unbenannten Verhältnisszahl — mit der Strecke b, oder auch als das Produkt der Strecke a mit —. Derselbe bedeutet also wieder eine Strecke. Da aus — = x ohne Weite- c c res c: a = b : x folgt (und umgekehrt), so erkennt man leicht, dass die Con- struction dieses Ausdrucks gleichbedeutend ist mit der bekannten Construction der vierten geometrischen Proportionale zu c, a und b, für welche früher verschiedene Methoden angegeben sind. ö 2 Insbesondere ist also der Ausdruck - : x als die dritte geometrische Proportionale zu b und a zu deuten, denn es folgt aus demselben b : a — a : x. Bestehen allgemeiner der Dividendus und der Divisor eines Quotienten aus linearen Faktoren, und ist die Anzahl der Faktoren des Dividendus um 1 grösser als die des Divisors, so bedeutet der Ausdruck geometrisch eine Strecke und heisst daher wieder ein Ausdruck erster Dimension in Beziehung auf die einzelnen linearen Grössen. Man kann nämlich jeden solchen Ausdruck als das Produkt eines linearen Faktors mit zwei oder mehreren unbenannten Verhältnisszahl en, soz.B, abcd bcd ~ e jg a l s a ' ~ ' y ‘ ansehen. Die Construction eines derartigen Ausdrucks geometrischen Proportionale abcd zu construiren, zuerst die e fg a und b suchen. Setzt man dieselbe Sucht man darauf wieder die vierte kann durch wiederholte Construction einer vierten geschehen. Beispielsweise kann man, um x vierte geometrische Proportionale zu t . . , . ab ycd gleich v, so ist y = —, also x = -?—. « fg vc z d geometrische Proportionale z zu f, y und c, so ist a = —, also x — —, und j g man hat also schliesslich noch die vierte geometrische Proportionale zu g, z und d a^b^c* zu construiren. — Soll ferner beispielsweise x — ~ g g~ e T' geometrisch gedeutet werden, so ergiebt sich, dass derselbe, da der Zähler neun, der Nenner acht Faktoren enthält, von der ersten Dimension ist, und dass man x bekommt, wenn man etwa j -r, -1 i v » j •• i ß2 bc yc uz vz wz der Reihe nach die Ausdrucke y = —- z = -r, u = —r, v = —, w — —. x = •— d d d e e e construirt. Selbstverständlich kann die Reihenfolge der einzelnen Constructionen in allen derartigen Fällen eine sehr verschiedene sein. Ist dagegen die Anzahl der linearen Faktoren im Zähler um zwei grösser als die der Faktoren im Nenner, so erhält man durch Absonderung eines der Faktor n des Zählers ein Produkt zweier Strecken; der betreffende Ausdruck ist daher von der zweiten Dimension und lässt sich als eine Fläche construiren. Ist allgemein die Anzahl der linearen Faktoren des Zählers um n grösser als diejenige des Nenners, so heisst der Ausdruck ein solcher «ter Dimension. Aus- Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 22 33 « Planimetrie. drücke dritter Dimension, wie abc, a 2 b, —~— u. dgl. m. erhalten ihre geometrische Deutung in einem späteren Theile der Geometrie, der Stereometrie; Ausdrücke von einer höheren als der dritten Dimension haben keine geometrische Bedeutung und können daher in geometrischen Aufgaben überhaupt nicht Vorkommen. Sind die Anzahlen der Faktoren des Zählers und des Nenners gleich gross, so ist der Ausdruck von der nullten Dimension, d. h. eine unbenannte Zahl; ist die Anzahl der Faktoren des Nenners die grössere, so ist überhaupt eine Deutung des Ausdrucks nicht vorhanden. Ein Ausdruck zweiter Dimension kann auf einen solchen erster Dimension zurückgeführt werden, nicht nur dadurch, dass man ihn durch eine lineare Grösse dividirt, sondern auch durch Ausziehen der Quadratwurzel aus demselben. Wie -\fa 2 die Seite eines' Quadrats, d. h. die Strecke a bedeutet, so hat auch ~\/ab die Bedeutung einer Strecke. Setzt man yab — x, so folgt x 2 = ab oder a:x = x : b (und umgekehrt), d. h. x ist die mittlere geometrische Proportionale zwischen a und b und kann daher in bekannter Weise construirt werden. 1 /ab c ,== V ~d~ die mittlere geometrische Pro- Entsprechend ist beispielsweise x — y ^ portionale zwischen a und der vierten geometrischen Proportionale zu d, b und ac ab c, oder auch zwischen b und —j, oder zwischen —j und c. Ebenso kann z. B. ■V- *bc 2 d z e nach einander y so construirt werden, dass man zunächst x ab = & abc 2 de setzt und yc ,— au z = —, ti — ycz, v = —7- construirt. Hierher gehören auch insbesondere folgende sich aus dem pythagoreischen Lehrsatz leicht ergebenden Fälle: ■ b 2 ist gleich der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen Katheten bezüglich gleich a und b sind. ya 2 — b 2 ist gleich einer Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen Hypotenuse gleich a und dessen andere Kathete gleich b ist. Man kann auch y a 2 — b 2 mittelst der Umformung in y(a-\-b)(a — b) als die mittlere geometrische Proportionale zwischen a -t- b und a — b deuten. Aus dem Vorstehenden folgen leicht die Deutungen und Constructionen zahlreicher zusammengesetzter Ausdrücke, von denen wir beispielsweise noch die folgenden anführen; yab + cd kann construirt werden, indem man die mittlere geometrische Proportionale zwischen a und b, ferner die mittlere geometrische Proportionale zwischen c und d und endlich die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks construirt, dessen Katheten bezüglich diese beiden mittleren Proportionalen sind. -j/ß2 + b 2 -\- c 2 4- d 2 kann construirt werden, indem man zunächst z = ■ ya 2 + b 2 , also die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks aus den Katheten a und b zeichnet, so dass dann für den vorhergehenden Ausdruck yz 2 -4- c 2 + d 2 gesetzt werden kann, dann entsprechend u = j/z 2 4- c' x und zuletzt a; = ]/i 2 -+- d 2 construirt. Insbesondere ist a ]/2 = )/ 2 a 2 = ya 2 + a 2 gleich der Hypotenuse eines 6. Die planimetrisclien Constructions-Aufgaben. 339 rechtwinkeligen und gleichschenkeligen Dreiecks mit der Kathete a oder gleich der Diagonale eines Quadrats mit der Seite a\ a"\/ 19 = "|/l9« 2 kann construirt werden, indem man dafür "]/l6 a 2 -p4« 2 — a 2 = j/(4a) 2 -p (2a) 2 — a 2 setzt, also z. B. zuerst y = j/(4a) 2 -p (2a) 2 und sodann x — "j /y 2 - — a 2 construirt. Man kann aber auch dafür y25a 2 — 4a 2 — a 2 — a 2 setzen und dann entsprechend verfahren. Ferner kann man entsprechend der Form ]/l9« • a die mittlere geometrische Proportionale zwischen« und 19« zeichnen. Noch andere zu geometrischer Deutung geeignete Umformungen sind |/(6 d) 2 — (4a) 2 — a 2 oder^ö«) 2 — (2a) • (3«), u. dgl. m. Ist ein Ausdruck aus mehreren anderen durch Addition bezw. Subtraction zusammengesetzt, so heissen seine einzelnen, durch -p oder — verbundenen Theile seine Glieder. Soll ein solcher zusammengesetzter Ausdruck einer geometrischen Deutung unterworfen werden, so ist vor Allem nothwendig, dass seine sämmtlichen Glieder alle von derselben Dimension (also hier entweder alle von der ersten oder alle von der zweiten) sind, da es keinen Sinn hat, z. B. Strecken zu Flächen zu addiren. Ist in einem Ausdrucke diese Bedingung nicht erfüllt, so ist entweder ein Fehler gemacht worden, oder die gestellte Aufgabe fordert Unmögliches. — Die Construction eines derartigen in richtiger Weise zusammengesetzten Ausdrucks aus den einzelnen Gliedern bedarf keiner weiteren Erklärung. Anders verhält es sich, wenn unter den vorhandenen Strecken eine als die zu gebrauchende Maasseinheit erklärt und benutzt worden ist. So geht beispielsweise der folgende Ausdruck erster Dimension ab er gr 2 kl vm 2 c + / + hi ^ r + r 2 durch die Annahme r— 1 in ab e g -p “7 H—y—: -p k l -p Will 2 c f hi über, also in einen Ausdruck, welcher scheinbar Glieder der öten, ersten, zweiten und dritten Dimension nebeneinander, ja sogar ein solches, welches bei con- sequenter Durchführung der Bezeichnung als von der — ersten Dimension zu bezeichnen wäre, enthält. Dieser Schein verschwindet aber sofort, wenn man bedenkt, dass die Annahme der Grösse r zur Maasseinheit es bedingt, dass in dem zweiten Ausdruck die Grössen «, b, c, e u. s. w. nur noch die Verhältniss- zahlen der früher so bezeichneten Grössen zu r bezeichnen können. Setzt man a b statt derselben hiernach bezüglich —, — u. s. w. ein, so erhält man nach leichten Umformungen wieder den Ausdruck in der zuerst angegebenen Gestalt. § 74. Weitere Beispiele zur Methode der algebraischen Analyse. a) Aufgaben, deren Analyse auf Gleichungen ersten Grades führt, bedürfen keiner weiteren Erklärung. Sie sind stets eindeutig bestimmt. Kommt bei der gesuchten Strecke ausser der Länge auch die Lage in Betracht, so zeigt ein negatives Resultat an, dass derselben in der Construction diejenige Richtung zu geben ist, welche der in der Analysis angenommenen entgegengesetzt ist. Kommt die Lage in keiner Weise in Betracht, so zeigt ein negatives Resultat die Unmöglichkeit der Auflösung an; zugleich aber deutet dasselbe auf die Möglichkeit einer Abänderung oder Erweiterung des Wortlauts der Aufgabe hin, durch welche auch dieses negative Resultat einen Sinn erhalten würde. 22 ' 34 ° Planimetrie. Zu einer Seite BC eines Dreiecks ABC eine parallele Transversale XY zu zeichnen, so dass eine der folgenden Bedingungen erfüllt wird: I. ATF= CE; 2. AX — CY\ 3. XY 2 = AX • AB) 4. XY=BX+CY\ 5. IF= CY — BX\ 6. XY= AX - CT; 7. BC — XY= AX+AY; 8. BC—XY = AX — AY. 9. Auf den Seiten eines Rechtecks von den Eckpunkten aus gleichmässig solche gleiche Stücke abzuschneiden, dass die Theilpunkte der Seiten die Eckpunkte eines Rhombus bilden. 10. In ein Dreieck ABC ein Parallelogramm mit dem Umfang 2r so zu zeichnen, dass es mit demselben den Winkel B gemeinsam hat. II. Auf einem Durchmesser AB eines Kreises sei ein Punkt P gegeben; man soll auf der Verlängerung von AB einen Punkt X so bestimmen, dass die Tangente XY gleich PX wird. 12. Auf einem Durchmesser AB eines Kreises ist ein Punkt C gegeben und über A C als Durchmesser ist ein Halbkreis construirt; man soll einen Kreis con- struiren, welcher die auf AB senkrechte Gerade CD und zwei Halbkreise berührt. b) Aufgaben, deren Analyse auf reine Gleichungen zweiten Grades führt, liefern für die gesuchte Unbekannte stets zwei entgegengesetzt gleiche Werthe. In Betreff des negativen Werthes gilt das darüber bei a) Gesagte. Hiernach kann eine solche Aufgabe eindeutig oder zweideutig sein. 1. Auf einer Strecke AB, auf welcher ein Punkt C gegeben ist, soll ein zweiter Punkt X so bestimmt werden, dass AC: AX = AX : AB ist. 2. Im Dreieck ABC eine zu BC parallele Transversale XY so zu ziehen, dass das Dreieck AXY gleich f von ABC ist. 3. In einen gegebenen Kreis fünf gleiche Quadrate zu zeichnen, so dass jeder der vier äusseren zwei Eckpunkte auf dem Kreise und mit dem mittleren eine Seite gemeinsam hat. 4. Ein gleiclischenkeliges Dreieck aus den Höhen auf der Basis und auf einem Schenkel zu construiren. 5. Zwei Strecken zu construiren, wenn die Summe ihrer Quadrate und ihr Verhältnis gegeben ist. 6. Ein regelmässiges Sechseck zu zeichnen, dessen Inhalt die mittlere geometrische Proportionale zwischen den gegebenen Quadraten a 2 und b 2 ist. c) Aufgaben, deren Analyse auf gemischte quadratische Gleichungen führt, haben im Allgemeinen zwei verschiedene Auflösungen. Ist eine Wurzel der Gleichung negativ, so gilt für die zugehörige Auflösung das im entsprechenden Fall unter a) Gesagte. Damit die Gleichung x 2 -‘ r px=q, in welcher x die Maasszahl einer Strecke bedeutet, möglich sei, müssen alle Glieder mit dem ersten von gleicher, also der zweiten Dimension sein; p muss daher ebenfalls eine Strecke, q aber eine Fläche bedeuten. Wir können demnach q stets als in der Form eines Produktes m • n gegeben voraussetzen. Man erhält dann durch Auflösen der Gleichung x = ± ~^mn 4- \p 2 — \p, und die Construction dieses Ausdrucks geht ohne Weiteres aus dem im vorigen Paragraphen Gesagten hervor. Eine andere Construction der beiden Wurzeln der obigen quadratischen Gleichung gründet sich auf den Satz, dass, wenn w x , diese beiden Resultate der Auflösung bedeuten, — p = w x -+- «/ 2 , — q~m 1 ■ zo 2 ist. Man hat nun die beiden Fälle zu unterscheiden, in denen w x und w % gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben. In beiden Fällen beschreibt man zunächst einen Kreis mit dem Durchmesser/. Haben w x und w 2 gleiche Vorzeichen, ist also q nega- 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 34i tiv, so trage man in diesen Kreis eine Sehne AB ein, welche aus zwei Strecken AP= m, PB = n besteht, und also gleich m -+- n ist; haben w 1 und w 2 ungleiche Vorzeichen, also bei positivem q, so trage man eine Sehne AB= m — n ein und verlängere AB um BP — n, so dass also AP=m ist. In beiden Fällen ziehe man dann die durch P und den Mittelpunkt gehende Sehne XY, so sind die Abschnitte XP, YP die gesuchten Strecken -w 1 und w 2 , — Liegt der Punkt P innerhalb des Kreises, so sind beide Strecken positiv zu nehmen, wenn p negativ ist, dagegen beide negativ, wenn p positiv ist. Liegt P ausserhalb des Kreises, so ist stets die eine Strecke positiv, die andere negativ, und zwar hat die grössere immer das entgegengesetzte Vorzeichen wie p. Beispiele: Eine gegebene Strecke AB in einem Punkte X so zu theilen, dass 1. AX 2 = 2 • BX 2 ; 2. AX ■ BX = AX 2 — BX 2 ; 3. AX • BX = C AX—BXy ist. In einem gegebenen Dreieck ABC eine Transversale XY parallel zu BC zu ziehen, so dass 4. &AXY^=&BCX; 5. BC : XY = AX : BX; &.AC-.XY = AX: CY ist. Eine Sehne AB eines gegebenen Kreises so zu verlängern, dass die von dem Endpunkte der Verlängerung an den Kreis gelegte Tangente 7. eine gegebene Länge hat, 8. gleich dem »ten Theil der ganzen Secante ist. Ein rechtwinkeliges Dreieck zu construiren aus 9. einer Kathete und der Projection der anderen Kathete auf die Hypotenuse, 10. der Höhe auf die Hypotenuse und der Bedingung, dass eine Kathete gleich der Projection der anderen auf die Hypotenuse sei, 11. der Hypotenuse und der Bedingung, dass die drei Seiten eine stetige Proportion bilden. Einen Kreis zu construiren, 12. der zwei Seiten eines gegebenen Dreiecks berührt und von der dritten unter einer Sehne von gegebener Länge geschnitten wird, 13. der eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte berührt und von einem gegebenen Kreise unter einem Durchmesser geschnitten wird, 14. welcher den einen von zwei gegebenen Kreisen berührt, durch den Halbirungspunkt der Centrallinie derselben geht und seinen Mittelpunkt auf der Peripherie des andern hat. 15. Auf einem kreisförmigen Billard steht ein Ball in einem Punkte P. Man soll denselben central so stossen, dass er nach zweimaligem Anprallen nach P zurückkehrt. E. Einige besondere Arten von Constructions-Aufgaben. § 75. Verwandlungs- und Theilungs-Aufgaben. a) Die Verwandlungs-Aufgaben, von denen die einfachsten und wichtigsten bereits im § 45 behandelt sind, verlangen die Construction einer Figur, welche mit einer gegebenen Figur gleichen Flächeninhalt haben, und welche ausserdem eine oder mehrere andere Bedingungen erfüllen soll. Man kann dieselben also als Aufgaben bezeichnen, bei denen sich unter den zur Construction einer verlangten Figur gegebenen Bestimmungsstücken der Flächeninhalt derselben befindet, indem dieser Flächeninhalt eben durch diejenige Figur angegeben wird, deren Verwandlung verlangt ist. Zur Auflösung können verschiedene der im Vorigen angegebenen Methoden angewendet werden; selbstverständlich stützt sich dieselbe stets auf die Sätze über den Flächeninhalt der Figuren, § 40—44. Häufig wird die Auflösung dadurch erleichtert, dass man die verlangte Verwandlung successive ausführt, d. h. zuerst die gegebene Figur in eine andere verwandelt, welche noch nicht alle gestellten Bedingungen erfüllt, diese dann in eine. 342 Planimetrie. zweite und eventuell die zweite in eine dritte u. s. w. verwandelt, indem man stets Sorge trägt, dass die bereits erfüllten Bedingungen auch erfüllt bleiben. Soll beispielsweise ein gegebenes Viereck AB CD in ein gleichschenkliges Dreieck mit gegebener Grundlinie verwandelt werden, so kann man zunächst jenes nach § 45 in ein beliebiges Dreieck ABE, dann dieses ebenfalls nach § 45 in ein andres AEG mit der gegebenen Grundlinie AG und zuletzt AEG unter Beibehaltung dieser Grundlinie in ein gleichschenkeliges Dreieck AHG verwandeln, indem man die Spitze Zf als Durchschnittspunkt zweier Oerter, nämlich der durch F gehenden Parallelen zu AG und der auf AG in ihrem Halbirungspunkt senkrechten Geraden bestimmt. b) Die Theilungs-Aufgaben, von denen ebenfalls die einfachsten und wichtigsten bereits früher, § 46, behandelt sind, fordern die Theilung einer Figur in zwei oder mehrere Theile, welche entweder einander gleich sind oder in einem anderen gegebenen Verhältniss zu einander stehen. Ausserdem können besondere Bedingungen für die Lage oder Richtung der Theilungslinien gestellt sein. In allen solchen Fällen kann man jede einzelne der gesuchten Theilungslinien als eine solche Linie ansehen, welche für sich die gegebene Figur in einem bekannten Verhältniss theilen, also von derselben ein Stück abschneiden soll, welches ein bestimmter Theil der ganzen Figur ist. Eine solche Linie lässt sich, wenn man zunächst die sonstigen Bedingungen der Aufgabe unbeachtet lässt, nach den Angaben des § 46 leicht construiren, und man hat dann noch das durch diese Linie abgeschnittene Stück in ein anderes zu verwandeln, so dass auch den übrigen Bedingungen genügt wird. Die Theilungs-Aufgaben werden also auf diese Weise auf Verwandlungs-Aufgaben zurückgeführt. Zuweilen lässt sich auch der umgekehrte Weg einschlagen, dass man zuerst die gegebene ganze Figur in eine andere verwandelt, welche so beschaffen ist, dass ihre entsprechende Theilung durch ein bekanntes Verfahren auch den verlangten Theil der ursprünglichen Figur liefert. Soll z. B. ein gegebenes Viereck ABCD in drei gleiche Theile getheilt werden, und zwar durch gerade Linien, welche von demselben Eckpunkt A ausgehen, so hat man durch jede der Theilungslinien ein Stück von dem Viereck abzuschneiden, welches gleich ^ desselben ist. Zieht man die Diagonale BD, theilt dieselbe in drei gleiche Theile BE, EF, FD und zieht die gebrochenen Linien AFC, AEC, so ist offenbar durch dieselben das Viereck AB CD in drei gleiche Theile getheilt. Man hat dann noch jedes der Vierecke AFCD, AECB zu verwandeln, so dass statt jener gebrochenen Linien gerade entstehen. Zieht man beispielsweise A C und durch F und E die Parallelen zu A C, welche bezüglich D C in X, BC in Y schneiden mögen, so sind A X und A Y die verlangten Theilungslinien. Man kann aber auch nach der anderen Methode zuerst ABCD in ein Dreieck verwandeln, dessen Spitze in A und dessen Grundlinie in einer Seite liegt, dann dieses Dreieck durch von A ausgehende Linien in drei gleiche Theile theilen, u. s. w. In der Praxis wendet man noch ein anderes Verfahren an, welches nicht streng construirend ist, aber für den Gebrauch hinreicht. Hat man nämlich den Flächeninhalt der zu theilenden Figur durch Messung und Rechnung ermittelt ( so ergiebt sich daraus auch der Inhalt des durch die gesuchte Theilungslinie abzuschneidenden Stückes. Kennt man nun durch die übrigen Bedingungen die Gestalt und Lage des letzteren so weit, dass man hiernach mittelst seines Inhalts die Lage von zur Bestimmung der Theilungslinie dienenden Punkten durch 6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 343 Rechnung ermitteln kann, so lässt sich durch Abtragen der erforderlichen Längen mittelst eines Maassstabes diese gesuchte Linie mit der entsprechenden Annäherung zeichnen. — Ist beispielsweise in der vorstehenden Aufgabe der Theilung eines Vierecks in drei gleiche Theile DC= 8,34m, CB — 5,12m, AB — 3,14m, AD — 2,55m, AC= 7,19m gemessen, so kann man zunächst den Inhalt jedes der Dreiecke ABC und ACD aus seinen drei Seiten berechnen. Man findet A ABC — 7,0258ym, A ACD — 8,7164ym, also den Inhalt des Vierecks ABCD gleich 15,7422^m und mithin den des drittenTheils dieses Vierecks gleich 5,2474y?«. Das durch die gesuchte Linie AX abzuschneidende Drittel ADX wird ein Dreieck, dessen Höhe gleich der zur Grundlinie DC gehörigen des Dreiecks ACD, und dessen Grundlinie der Abschnitt DX=x von DC ist. Jene Höhe ergiebt sich aus DC— 8,34 und dem Inhalt des Dreiecks ÄDC gleich 8,7164 zu 8,7164 : 4,17 = 2,09m; also ist ^-2,09 = 5,2474, woraus * = 5,02m folgt. Trägt man also mittelst eines Maassstabes von DC die Strecke DX— 5,02m ab und zieht AX, so hat man die eine der gesuchten Theilungslinien gefunden. § 76. Constructionen von Figuren in und um Figuren. Eine Figur heisst einer anderen einbeschrieben, wenn ihre sämmtlichen Eckpunkte auf dem Umfang der anderen liegen; die letztere Figur heisst dann der ersteren umbeschrieben. Soll eine Figur in eine gegebene Figur construirt werden, so ist durch den Umfang der letzteren ein Ort für jeden Eckpunkt der ersteren gegeben, und es sind somit diese Eckpunkte und damit die gesuchte Figur gefunden, so bald für jeden derselben ein zweiter Ort aus den Bedingungen der Aufgabe ermittelt ist. Soll beispielsweise in das gemeinschaftliche Stück von zwei gleichen Kreisen ein Quadrat beschrieben werden, so muss der Mittelpunkt des letzteren die Centrallinie halbiren, und diese muss zwei Seiten des Quadrats parallel sein. Daraus folgt, dass die Diagonalen des- Quadrates als gerade Linien, welche die Centrallinie in deren Halbirungspunkt unter Winkeln von 45° schneiden, die noch fehlenden Oerter für die vier Eckpunkte sind. Soll eine Figur um eine gegebene Figur beschrieben, oder soll, was bei geradlinigen Figuren dasselbe ist, eine Figur gezeichnet werden, deren Seiten durch gegebene Punkte gehen, so sind diese Seiten durch je einen zweiten Punkt oder durch den Winkel, welchen sie mit einer bekannten Linie bilden, bestimmt. Nähere allgemeine Anweisungen können hier nicht gegeben werden, da die Aufgaben je nach der Art der gegebenen und der gesuchten Figuren und nach den weiteren Bedingungen für ihre Lage zu verschiedenartig sein können. Selbstverständlich ist man auch an die vorstehenden Bemerkungen nicht gebunden, und hat in jedem einzelnen Falle sich das am zweckdienlichsten scheinende Verfahren zu suchen. So kann beispielsweise die algebraische Analyse in manchen Fällen zur Anwendung kommen. Das Vorstehende soll nur den Zweck erfüllen, dass die angegebene Gruppe eigenartiger Aufgaben, welche vorher nirgends vorgekommen ist, an dieser Stelle Erwähnung finde, und muss wegen des Weiteren auf die betreffenden besonderen Schriften verwiesen werden, denen wir auch die Erörterung anderer besonderer Arten oder auch einzelner historisch berühmt gewordener Aufgaben zu überlassen haben, welche vorwiegend nur theoretisches Interesse bieten. Hier mögen nur noch zwei der wichtigsten derartigen Aufgaben oder Aufgaben-Gruppen der allgemeinen Kenntniss wegen kurz angeführt werden. — 344 Planimetrie. Das Apollonische Berührungs-Problem, auch Tactionsproblem genannt, kann in seinem planimetrischen Theil als die Aufgabe bezeichnet werden, einen Kreis zu construiren, der drei gegebene Kreise berührt. Indem man dabei den Punkt als die Grenze eines Kreises, dessen Radius bis zum Verschwinden abnimmt, und die Gerade als die Grenze eines Kreises, dessen Radius bis in’s Unendliche wächst, mit heranzieht, also gestattet, statt eines (oder mehrerer) der gegebenen Kreise einen Punkt, durch welchen der gesuchte Kreis gehen, oder eine Gerade, welche derselbe berühren soll, zu setzen, erhält man im Einzelnen zehn Aufgaben. Eine Auflösung des Problems mit Hülfe von Sätzen der neueren Geometrie ist am Schluss des § 82 angegeben. Die Malfattische Aufgabe ist die Aufgabe, in ein gegebenes Dreieck drei Kreise zu beschreiben, von denen jeder die beiden anderen und zwei Seiten des Dreiecks berührt. Schlussbemerkung-. Die vorstehende Anleitung zur Behandlung von planijnetrischen Constructions-Aufgaben soll und kann den Gegenstand nicht erschöpfen; der Zweck derselben ist nur für die häufigsten und wichtigsten vorkommenden Fälle Wege zu zeigen und damit die Befähigung, auch schwierigere Aufgaben zu behandeln und selbständige Lösungen zu suchen, vermitteln zu helfen. Dass die unterschiedenen einzelnen „Methoden“ nicht immer streng auseinander zu halten sind, dass vielmehr auch Verbindungen derselben zur Lösung einer Aufgabe Vorkommen können, darf als selbstverständlich bezeichnet werden. Auch die beigefügten Aufgaben sind nur als Beispiele zu betrachten. In Betreff weiter gehender Forderungen verweisen wir auf die besonderen Aufgaben-Samm- lungen für Planimetrie, von denen wir folgende als empfehlenswerth namhaft machen: Gandtner und Junghans, Sammlung von Lehrsätzen und Aufgaben aus der Planimetrie. Zwei Theile. Berlin, Weidmannsche Buchhandlung. Lieber und Lühmann, Geometrische Constructions-Aufgaben. Berlin, Verlag von L. Simion. Anhang. Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks. § 77. Von den sogenannten merkwürdigen Punkten des Dreiecks, nämlich den Durchschnittspunkten: a) der drei Mittelsenkrechten der Seiten, b) der drei Winkel- halbirenden, c) der drei Mittellinien und e) der drei Höhen, ist in den § 21 (2), § 22 (2), § 38 (2), (3) und (5) die Rede gewesen. Im Nachstehenden soll noch eine Anzahl auf dieselben bezüglicher bemerkenswerther Sätze zusammengestellt werden. 1. Der Mittelpunkt M des dem Dreieck ABC umbeschriebenen Kreises, d. i. nach § 21 (2) der Durchschnittspunkt der auf den Seiten in ihren Halbirungspunkten C', B ', A' errichteten Senkrechten liegt innerhalb oder ausserhalb des Dreiecks, je nachdem dasselbe spitz- oder stumpfwinkelig ist; für ein rechtwinkeliges Dreieck ist er der Halbirungspunkt der Hypo- C Anhang: Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks. 345 tenuse. Dies geht daraus hervor, dass allgemein, wenn man M mit A und B verbindet, der Winkel AMB als Centriwinkel doppelt so gross ist als der Drei- eckswinkel ACB. Bezeichnet man in üblicher Weise die Winkel an A, B, C bezüglich durch a, ß, 7 und die ihnen gegenüberliegenden Seiten bezüglich durch a, b, c, so ist also A AMB = 2 7, AAMC= 1 §, ABMC—Vx, daher ABMC'=-{ u. s. w. Ferner ist Z MBC = 90 ° — 7 = ^ (a -t- ß -4- 7) — 7 = i (a -+- ß — 7) und ebenso Z MCB'= Z MAB '=\.(a — ß + 7) und Z MBÄ — Z MCA'=^ (ß-+- 7 — a). Die Berechnung des Radius r aus den drei Seiten a, b , c ist bereits in § 49 gezeigt worden. Da die durch M senkrecht zu AB gelegte Gerade die Sehne BA und mithin auch den zugehörigen Bogen, dessen Peripheriewinkel A CB ist, halbirt, so folgt, dass jede winkelhalbirende Transversale eines Dreiecks und die zu der gegenüberliegenden Seite gehörige Mittelsenkrechte einander in einem Punkte des umbeschriebenen Kreises treffen. Verbindet man diesen Durchschnittspunkt F der Halbirungslinie des Winkels C und der Mittelsenkrechten von AB mit einem anliegenden Eckpunkt A, so ist der Peripheriewinkel BAF = BCF= ^7. Ist ferner O der Mittelpunkt des dem Dreieck ABC einbeschriebenen Kreises, also A O die Halbirungslinie des Winkels a, so ist demnach Z OAF — \ (a -+- 7). Da nun Z FOA — Z O CA -4- Z OA C = ^ (a -+- 7) und demnach Z OAF = Z FOA ist, so folgt OF= FA, d. h. die Verbindungslinie j enes Durchschnitts- punktes F mit einem anliegenden Eckpunkt ist gleich dem Abstand desselben Punktes F von dem Durchschnittspunkt O der drei Winkelhalbirenden. Zieht man durch F den Durchmesser FG des umbeschriebenen Kreises, verbindet G mit A und fällt von 0 die Senkrechte OH auf AC, so sind die Peripheriewinkel AGF und ACF einander gleich, mithin die rechtwinkeligen Dreiecke AGF und COH ähnlich. Daher ist CO : OH — FG : AF oder CO ■ AF — OH-FG, oder da AF= OF ist, und wenn man für den Radius DAT des einbeschriebenen Kreises p und für den Durchmesser FG des umbeschriebenen Kreises 2 r einsetzt, CO - OF= 2rp. Da ferner das Product der Abschnitte jeder anderen durch O gehenden Sehne des umbeschriebenen Kreises gleich CO .OF sein muss, so hat man den Satz: Jede durch den Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises gehende Sehne des umbeschriebenen Kreises eines Dreiecks wird in diesem Punkte so getheilt, dass das Rechteck aus den Abschnitten gleich dem doppelten Rechteck aus den Radien der beiden Kreise ist, oder kürzer: Die Potenz des Mittelpunktes des inneren Berührungskreises eines Dreiecks in Beziehung auf den umbeschriebenen Kreis ist gleich dem doppelten Rechteck aus den beiden Radien. Wendet man diesen Satz auf den durch O gehenden Durchmesser des Kreises M an, und bezeichnet d den Abstand der beiden Mittelpunkte M und O, 346 Planimetrie. so sind die betreifenden Abschnitte gleich r d und r — d\ und aus (r 4- d) (r — d) = 2 r p folgt d 3 = r 2 — 2rp. Durch eine ähnliche Entwicklung in Beziehung auf einen äusseren Berührungskreis 0 a erhält man für die Entfernung d a des Mittelpunktes des letzteren von M die Gleichung d- = r 2 -+- 2rp . 2. Es seien AA t , BB lt CC V die drei Höhen eines Dreiecks ABC und H ihr gemeinschaftlicher Durchschnittspunkt. Da die Winkel AÄB und BB'A rechte sind, so folgt ohne Weiteres, dass jeder über einer Seite eines Dreiecks als Durchmesser beschriebene Kreis durch die Fusspunkte der zu den anderen Seiten senkrechten Höhen geht. Für die einander in H schneidenden Sehnen BB', AÄ und ebenso für die einander in C schneidenden BA', AB' ergiebt sich hieraus BH- HB' = AH- HA' (= CH- HC) and CÄ ■ CB — CB' ■ CA oder CA:CB= CÄ : CB d. h. die Rechtecke aus den beiden Abschnitten je einer flöhe eines Dreiecks sind einander gleich, und je zwei Seiten eines Dreiecks verhalten sich zu einander umgekehrtwie ihre dem gemeinschaftlichen Eckpunkt anliegenden Abschnitte. Berücksichtigt- man, dass durch die drei Höhen drei neue Dreiecke AHB, AHC, B HC entstehen, derart dass beispielsweise für BBIC die Seitenabschnitte CB', BC' Höhen, also jedesmal der dritte Eckpunkt des ursprünglichen Dreiecks der Durchschnittspunkt der drei Höhen des neuen ist, so sieht man, dass die beiden vorstehenden Sätze in einen einzigen zusammenfallen. Auch sind dieselben identisch mit den bereits früher (§ 44,2), auf anderem Wege bewiesenen Satze, dass die Rechtecke aus je einer von zwei Seiten eines Dreiecks und der Pro- jection der anderen auf dieselbe einander gleich sind. Die obige Figur enthält ferner drei Gruppen von je vier einander ähnlichen Dreiecken, wie leicht durch die Uebereinstimmung in den betreffenden Winkeln bewiesen werden kann. Es ist nämlich 1. A ABB' oo A ACC' A CHB' AB HC; % aBCC'c» aBAA'vo a AHC'c* A CHÄ; 3.A CAA'™ A CBB'c* A BHÄ cv> a AHB'. Auch mit Hülfe der Aehnlichkeit dieser Dreiecke lassen sich die vorstehenden Sätze unmittelbar beweisen. Man erhält in entsprechender Weise mittelst der durch je vier Punkte, wie z. B. C, Ä, H, B', gehenden Kreise oder durch die angeführten Aehnlichkeiten denselben Satz in der anderen Form BÄ ■ BC=BH-BB, d. h. das Rechteck aus je einer Seite und einem ihrer Abschnitte ist gleich dem Rechteck aus der mit diesem Abschnitt zusammenstossen- den Höhe zu einer anderen Seite und dem oberen Abschnitt dieser Höhe. Durch die Aehnlichkeit vorher angegebener Dreieckspaare oder durch Gleich- Anhang: Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks. 347 Setzung dreier Ausdrücke für den doppelten 'Flächeninhalt des Dreiecks, ah a =.bhi — ch c erhält man ferner den Satz, dass die Rechtecke aus je einer Seite eines Dreiecks und der zugehörigen Höhe einander gleich sind. Verbindet man endlich den Satz B Ä • BC = Bll • BB' mit dem allgemeinen pythagoreischen Lehrsatz: AC 2 = AB 2 -+- BC 2 rp 2 BC■ BÄ, so erhält man den Satz: Das Quadrat jeder Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermehrt oder vermindert um das doppelte Rechteck aus der zur ersten Seite gehörigen Höhe und ihrem oberen Abschnitt. 3. Die Fusspunkte Ä, B', C der Höhen eines Dreiecks ABC sind die Eckpunkte eines neuen Dreiecks, welches das Fusspunkten-Dreieck des ursprünglichen genannt wird. Jede Seite des Fusspunktendreiecks schneidet von dem ursprünglichen ein ihm ähnliches Dreieck ab, denn die Dreiecke ABC und A'B'C stimmen ausser in dem gemeinschaftlichen Winkel C zufolge der Gleichung CA' • CB = CB' • CA auch in den Verhältnissen der denselben einschliessenden Seiten überein. Daher ist Z CA’B 1 = A CAB — a ■ Ebenso ist Z B A’C = a, und da auch die rechten Winkel AA’C und AA'B einander gleich sind, so folgt Z B'A'H = Z C’A'If. Man erhält somit den Satz: Die Höhen eines Dreiecks halbiren die Winkel, bezw. die Aussenwinkel des Fusspunktendreiecks, je nachdem sie innerhalb oder ausserhalb des Urdreiecks liegen, und die Seiten des ersteren halbiren entsprechend die Aussenwinkel oder die inneren Winkel des letzteren. Der Durchschnittspunkt der Höhen ist demnach der Mittelpunkt des inneren oder eines der äusseren Berührungskreise des Fusspunktendreiecks, und die Eckpunkte des Urdreiecks sind die Mittelpunkte der drei anderen dieser Kreise. Auch ergiebt sich aus dem Vorstehenden, dass jeder Winkel des Fusspunktendreiecks durch einen Winkel des Urdreiecks bestimmt ist. Ist z. B. letzteres spitzwinkelig, so ist jeder Winkel des ersteren doppelt so gross als das Comple- ment des gegenüberliegenden Winkels des letzteren. Die Auffindung der für ein stumpfwinkeliges Urdreieck nöthigen Abänderung dieses Satzes kann dem Leser überlassen bleiben. Umgekehrt, wenn O, 0„, O/,, O c die Mittelpunkte des inneren und der äusseren Berührungskreise des Dreiecks ABC sind, so ist dieses letztere das Fusspunktendreieck eines jeden der vier Dreiecke, welche je drei jener Mittelpunkte ^ zu Eckpunkten haben, und der vierte Mittelpunkt ist jedesmal der Durchschnittspunkt der Höhen des betreffenden Urdreiecks. Es folgt dies daraus, dass je zwei der Winkelhalbirenden wie z. B. Ö/,B und O a O c als Halbirungslinien von Nebenwinkeln zu einander senkrecht stehen. Beschreibt man über 00' c als Durchmesser einen Kreis, so muss derselbe durch die Scheitel A, B der rechten Winkel OAO c und OBO c gehen. Der Halbirungspunkt G von OO c ist also von 0 und B gleich weit entfernt. Daher ist im gleichschenkeligen Dreieck BOG der Winkel BGO gleich 2 R — 2 GOB 34 § Planimetrie. = 2 R — 2 (OCB + OBC) = 2 R — 2 • (£ß + £y) = 2 R — (ß + y) = a. Aus der Gleichheit der Winkel BGO und BAC folgt aber, dass der dem Dreieck ABC umbeschriebene Kreis auch durch G, und ebenso gilt dass er auch durch die Halbirungspunkte von OO a und 0 0/, gehen muss. — Der Punkt G ist also derselbe, in welchem die Winkelhalbirende von C und die Mittelsenkrechte von AB einander treffen. In gleicher Weise muss der über O a O/, als Durchmesser beschriebene Kreis durch die Scheitel A, B der rechten Winkel O a BO/„ O a AOb gehen, und demnach der Halbirungspunkt H von O a O/, gleichweit von B und O a entfernt sein. Im gleichschenkligen Dreieck O a HB ist also Z O a HB = 2 R — 2 IIO a B. Es ist aber Z HO a B = 2 R — COB = OBC + Z O CB = i £ (ß + T ), mithin Z O a HB = 2 R — (ß + t) = “• Daher ist CHB Peripheriewinkel des durch B, C und A gehenden Kreises oder der dem Dreieck ABC umbeschriebene Kreis geht auch durch H, und ebenso gilt, dass er auch durch die Halbirungspunkte von 0 a O c und ObO c gehen muss. Der einem Dreieck umbeschriebene Kreis geht also durch die Halbirungspunkte der sechs Verbindungstrecken der Mittelpunkte der vier Berührungskreise dieses Dreiecks. Betrachten wir wieder eins der Dreiecke O a O/,O c , OO a 0/ u. s. w. als das Urdreieck, ABC also als das Fusspunktendreieck desselben, so erhält der vorstehende Satz die Form: Der um ein Fusspunktendreieck beschriebene Kreis geht durch die Halbirungspunkte der Seiten der zu jenem gehörigen vier Urdrei- ecke oder, was dasselbe ist, er halbirt die Seiten und die oberen Höhenabschnitte eines jeden einzelnen solchen Urdreiecks. Der genannte Kreis geht also im Ganzen durch neun bestimmte Punkte. Daher heisst er der Kreis der neun Punkte. Eine andere Benennung desselben ist Feuerbach’ scher Kreis. Verlängert man die Höhen eines spitzwinkeligen Dreiecks über ihre Fusspunkte bis zum umbeschriebenen Kreise, so ist jede solche Verlängerung gleich dem unteren Ab- schnitt der zugehörigen Höhe, denn ist CD diese Verlängerung der Höhe CC, und zieht man BD, so ist Z DBA = Z DCA = 90° — a = Z ABB', daher A BCD 22 BC'H und also CD = HC. Daher muss auch umgekehrt, wenn man eine Höhe über ihren Fusspunkt um ihren unteren Abschnitt verlängert, der Endpunkt der Verlängerung auf dem umbeschriebenen Kreise liegen. Für stumpfwinkelige und rechtwinkelige Dreiecke gilt im Wesentlichen derselbe Satz und Beweis; auch hier halbirt der Fusspunkt jeder Höhe den Abstand des Durchschnittspunktes derselben mit dem umbeschriebenen Kreis von ihrem Durchschnittspunkt mit den anderen Höhen. Verbindet man die Endpunkte D, E, F der genannten Verlängerungen mit einander, so folgt daraus, dass Z FDC— Z FAC — 90° — y und Z CDE = Z EBC Anhang: Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks. 349 = 90° —y, also Z FDC = Z EDC ist, dass die Winkel des entstandenen Dreiecks DEF durch die Höhen des ursprünglichen halbirt werden. Errichtet man ferner in A die Senkrechte A G auf A C bis zum umbeschriebenen Kreis, so ist Z BAG = 90° — a und Z DBA — Z DCA — 90° — a, also Z BAG — Z DBA. Daher ist der Bogen BG gleich dem Bogen AD und also auch Bogen AG gleich dem Bogen BD und daher die Sehne AG gleich der Sehne BD. Zufolge der Congruenz der Dreiecke BC'D, BCH ist aber BD = BH und man erhält somit den Satz: Errichtet man in einem Endpunkte einer Seite eines Dreiecks auf derselben die Senkrechte bis zum umbeschriebenen Kreis, so ist diese Senkrechte gleich dem oberen Abschnitt der zu jener Seite gehörigen Höhe. Sind ferner MP, MQ vom Mittelpunkte M des umbeschriebenen Kreises bezüglich zu den Seiten AB, AC, senkrecht gefällt, so ist das Dreieck MFQ dem Dreieck BCH ähnlich und daher MQ : BFl = FQ : BC = AF: AB = 1 : 2. Der obere Abschnitt einer jeden Höhe eines Dreiecks ist also doppelt so gross als der Abstand des Mittelpunkts des umbeschriebenen Kreises von der zugehörigen Grundlinie. Da nun MQ || BH ist, so muss, wenn man M mit B und Q mit dem Halbirungs- punkte L von BH verbindet, ein Parallelogramm MBLQ entstehen und also QL — MB = r sein. Die Verbindungslinie des Halbirungspunktes des oberen Abschnittes einer Höhe eines Dreiecks mit dem Halbirungs- punkt der zugehörigen Seite ist also gleich dem Radius des umbeschriebenen Kreises. Die drei auf diese Art möglichen Verbindungslinien sind mithin auch untereinander gleich. Verbindet man die Halbirungspunkte L, N der oberen Abschnitte BH, CH zweier Höhen mit einander, so ist LN‘.BC=HL\HB—\\*2, oder LN=\BC. Ebenso ist P Q = BC, also FQ — LN. Ferner ist LN |] B C |] FQ, daher ist LNQP ein Parallelogramm und die Diagonalen NF, LQ desselben halbiren einander. Ebenso muss auch die dritte der vorher genannten Verbindungslinien die übrigen halbiren. Hieraus folgt, dass der gemeinschaftliche Halbirungspunkt dieser drei Verbindungslinien von den Mitten der drei Seiten und den Mitten der drei oberen Höhenabschnitte gleichweit entfernt ist. Zieht man durch denselben Punkt die Parallele zu AB, so muss dieselbe ebenso wie NP auch NC halbiren, und da die Parallele auch zu NC’ senkrecht ist, so ist jener Punkt auch von C' und in gleicher Weise von den Fusspunkten der beiden anderen Höhen ebensoweit wie von N entfernt. Man wird somit durch diese Entwicklung wieder auf den Kreis der neun Punkte geführt. Zugleich ergeben sich folgende Sätze : Der Mittelpunkt des FEUERBACH’schen Kreises halbirt die Verbindungslinien der Halbirungspunkte der oberen Höhenabschnitte mit dem jedesmal zugehörigen Halbirungspunkt einer Seite, und der Radius dieses Kreises ist halb so gross als der Radius des dem Ur- dreieck umbeschriebenen Kreises. Da ferner MP gleich und parallel IIN ist, so folgt leicht weiter, dass der Mittelpunkt des FEUERBACH’schen Kreises die Verbindungslinie des Mittelpunkts des umbeschriebenen Kreises mit dem Durchschnittspunkt der Höhen halbirt. 35° Planimetrie. Auch aus der Figur Seite 347 lässt sich leicht ableiten, dass, da BG = GA und BH = HA ist, GH als zur Seite AB senkrechte Gerade ein Durchmesser des dem dortigen Dreieck ABC umbeschriebenen Kreises sein muss, u. s. w. Aus AB 2 = \c 2 = AM 2 — MP 2 = AM 2 — -] CH 2 folgt endlich der Satz: Das Quadrat jeder Seite eines Dreiecks ist gleich der Differenz aus dem Quadrat des Durchmessers des umbeschriebenen Kreises und dem Quadrat des oberen Abschnitts der zu der Seite gehörigen Höhe. 5. Zieht man im Dreieck ABC eine Höhe CC, fällt vom Mittelpunkte M des umbeschriebenen Kreises die Senkrechte ^ MP auf die zu der Höhe gehörige Seite, verbindet C mit dem Halbirungspunkt P dieser Seite AB und zieht die Verbindungslinie von M und dem Durchnittspunkt II der Höhen, welche CP in einem Punkte S schneiden muss, so ist, da MP parallel zu CH ist, CS : SP= CH: MP. Nun ist vorher gezeigt worden, dass MP = \ CH ist, daher ist auch CS : PS =2:1. Der Punkt S ist hiernach der Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Umgekehrt folgt hieraus der Satz: Der Durchschnittspunkt der Höhen, der Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises und der Schwerpunkt eines jeden Dreiecks liegen in gerader Linie, und es theilt der Schwerpunkt den Abstand der beiden anderen Punkte im Verhältniss 2:1, so dass der grössere Abschnitt dem Durchschnittspunkt der Höhen anliegt. (EuLER’scher Satz.) Die drei Punkte M, S, H stehen also in solcher Beziehung zu einander, dass durch die Lage je zweier derselben der dritte bestimmt ist. Ueber den Schwerpunkt eines Dreiecks möge als besonders bemerkenswerth noch der folgende Satz hier eine Stelle finden: Zieht man durch die drei Eckpunkte A, B, C und durch den Schwerpunkt S eines Dreiecks unter sich parallele Gerade bis zu einer ausserhalb des Dreiecks liegenden Geraden, so ist die von S ausgehende gleich dem arithmetischen Mittel (d. i. dem dritten Theile der Summe) der drei anderen. — Zum Beweise ziehe man ausser den angegebenen Parallelen AA X , BB V CC\ und SS X noch die zugehörige Parallele D D x durch den Halbirungspunkt D einer Seite A C, dann erhält man, wenn man noch durch B die Parallele zu B X D X bis zum Durchschnitt mit DD X zieht, leicht SS X — BB X BS 2 DD X — BB X BD 3’ also 3SS X — 3 BB X = 2 DD X — 2 BB X oder 3 SS X = 2 DD X 4- BB X . Da aber DD X die Mittellinie des Trapezes ACC X A X ist, so hat man 2 DD X = AA X 4- CC X und substituirt man dies in die vorige Gleichung, so ergiebt sich die Richtigkeit der Behauptung. Schneidet die Gerade A X B X das Dreieck ABC, so liegt entweder einer der Eckpunkte, oder es liegen zwei derselben mit S auf verschiedenen Seiten der Geraden, die von ihnen aus gezogenen Parallelen laufen daher nach entgegengesetzter Richtung mit der von S aus gezogenen. Man überzeugt sich leicht, indem man zu der Geraden A X B X irgend eine Parallele ausserhalb des Dreiecks zieht, mit Anwendung der vorher bewiesenen Behauptung und des Abstandes der beiden Anhang: Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks. 351 Geraden, dass der vorstehende Satz auch für jede das Dreieck ABC schneidende Gerade gelten muss, sofern man die Parallelen von den mit N auf verschiedener Seite der Geraden liegenden Eckpunkten als negative Grössen behandelt. Es ist also allgemein die vom Schwerpunkt aus gezogene Parallele gleich dem dritten Theil der algebraischen Summe der von den Eckpunkten aus gezogenen Parallelen. Für jede durch den Schwerpunkt selbst gehende Gerade folgt hieraus insbesondere der Satz, dass die algebraische Summe je dreier nach ihr von den Eckpunkten aus gezogenen Parallelen gleich Null ist. 6. Sind A j, B,, C ] die Berührungspunkte des dem Dreieck ABC einbeschriebenen Kreises O, welche bezüglich auf den Seiten BC, AC, AB liegen, so ist bekanntlich AB, ^AC„BC,=BA, und CA l = CB V Daher ist AB . =l(AB, +AC,) = 4- [AC + AB — BC, — CB,] = 4 - [AC -+- AB — BC], oder nach der üblichen Bezeichnungs- weise der Längen der drei Seiten, AB 1 — AC, = (b -+- c — d). Setzt man a + b + c—%-s, so erhält man AB,=AC =s — a. In gleicher Weise muss BC, — BA, = s — b , CA, = CB, — s — c sein. Sind entsprechend A 2 , B 2 , C 2 die Berührungspunkte des der Seite BC anbeschriebenen äusseren Berührungskreises O a des Dreiecks, so ist in gleicher Weise AB 2 = AC 2 = A (AB 2 -+- AC 2 ) = A (AC+AB + BC 2 + BC 2 ) = i(AC+AB + BC) = £ (a -+- b +c), oder AB 2 = AC 2 = s. Daher ist BC 2 = BA 2 — s — c und CB 2 = CA 2 = r — b. Entsprechende Gleichungen gelten selbstverständlich für die durch die Berührungspunkte der beiden anderen äusseren Berührungskreise bestimmten Abschnitte der Seiten. Aus den vorstehenden Resultaten folgt unmittelbar B A 2 == CA, nnd BA, = CA 2 ; die beiden auf derselben Seite liegenden inneren Berührungspunkte sind also vom Halbirungspunkt dieser Seite gleichweit entfernt. Ferner ist A,A 2 — BC — BA 2 — CA, r= a — 2(r — c) — a — (a -+• b — c) = c — b, d/h. der Abstand der genannten beiden Berührungspunkte von einander ist gleich der Differenz der beiden anderen Seiten. Ferner ist B,B 2 — AB 2 — AB, — s — (r — d) — a, und ebenso ist C, C 2 = a, mithin auch B,B 2 = C, C 2 . Die auf derselben Seite und deren Verlängerung liegenden Berührungspunkte des inneren und eines äusseren Berührungskreises haben also von einander einen Abstand, welcher gleich derjenigen Seite des Dreiecks ist, die von jenem äusseren Kreise in einem inneren Punkte berührt wird. Sind also A z , A, bezüglich die Berührungspunkte der den Seiten AC, AB 352 Planimetrie. anbeschriebenen äusseren Bertihrungskreise auf den Verlängerungen von BC, so ist BA a — CA i =s] BA i = CA z =s — a\ A 1 A. i =A 2 A i = b\ A 1 A i =A 2 A 3 —c und A a A i = c -t- b, entsprechend A X A 2 = c — b. Zieht man die Berührungsradien OC x , O a C 2 und die YVinkelhalbirende AOO a , sowie die Parallele durch O zu C 2 C X bis zu O a C 2 , so ist ool = ( o a c 2 — o c x y + c 2 c\ = ( Pa — P )2 + « 2 . Zieht man die Radien O a A 2 und OA x und durch O die Parallele zu BC bis zur Verlängerung von O a A 2 , so erhält man O Oa — (O a A 2 -+- A x O) 2 H- A X A\ — (p„ -+- p ) 2 -+- ( c — b) 2 Daher ist auch (p„ — p) 2 + a 2 = (p„ -+- p) 2 + (c — b) 2 , woraus man durch Entwicklung 4p p a — a 2 — (c — b) 2 = {a 4- b — c) ■ (a — b + c) = 2 (s — c) ■ 2 (s — b), also p • p„ = (s — b) • (s — c) (1) erhält. Dieselbe Beziehung folgt als Proportion p a : (s — c) = (^ — b) : p ohne Weiteres aus der Aehnlichkeit der Dreiecke O a C 2 B und O C\ B. Aus dem Dreieck O a C 2 A mit der zu O a C 2 parallelen Transversale O C\ erhält man O a C 2 : OC x — AC 2 : AC X oder p a : p == s : (s — a ), oder p^ = p« (s — a) = p t (s — b) = p c (s — c), (2) eine bereits bekannte Gleichung, deren Seiten den Flächeninhalt des Dreiecks ausdriicken. Aus den Gleichungen (1) und (2) erhält man durch Auflösung auf p und p a die Werthe dieser Radien in Uebereinstimmung mit § 48 durch die drei Seiten ausgedrückt und dann mittelst derselben aus pj- = A’ wieder den bereits eben daselbst gefundenen Ausdruck für den Flächeninhalt des Dreiecks. Die vorsteheirden Entwicklungen, welche sich noch weiter vermehren lassen, finden u. A. Anwendung zur Lösung vieler Gonstructions- und Rechnungs-Aufgaben. Kapitel 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. §78. Harmonische Punkte und Strahlenbüschel. 1. Die Gesammtheit aller Punkte, welche in einer und derselben Geraden liegen, wird eine Punktreihe genannt, und diese Gerade heisst der Träger derselben. Die Gesammtheit aller Geraden einer Ebene, welche durch einen und denselben Punkt gehen, wird ein ebenes Strahlenbüschel genannt, und dieser Punkt heisst der Scheitel desselben. Jede einzelne Gerade eines Strahlenbüschels heisst ein Strahl; sie wird durch den Scheitel in zwei Halbstrahlen getheilt. Vier Punkte A, B, C, D einer Punktreihe heissen nach § 37 insbesondere harmonische Punkte, und zwar A und B, sowie C und D einander zugeordnet, wenn die Strecke AB durch C und D in (entgegengesetzt) gleichem Verhältniss getheilt wird. Vier Strahlen eines Strahlenbüschels heissen insbesondere „harmonische Strahlen“, wenn sie eine Gerade in vier harmonischen Punkten derselben schneiden. Dabei heissen je zwei Strahlen, welche durch zwei einander zugeordnete dieser vier Punkte gehen, einander „zugeordnete“ Strahlen. Aus § 37 ist bekannt, dass wenn AB durch C und D harmonisch getheilt 7 . Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 353 wird, auch CD durch A und B harmonisch getheilt ist. Ebenso sind daselbst bereits folgende Sätze nachgewiesen worden: Zu jeder Strecke AB giebt es unzählig einander zugeordnete harmonische Theilpunkte C, D. Der äussere derselben D liegt auf der Verlängerung von AB über denjenigen Endpunkt, welcher dem inneren näher liegt als der andere, oder beide Theilpunkte liegen vom Halbirungspunkte M der Strecke AB aus nach derselben Richtung. Diesem Halbirungspunkte selbst ist der unendlich entfernte Punkt der Geraden zugeordnet. In jedem Endpunkt der Strecke AB fallen zwei einander zugeordnete harmonische Theilpunkte derselben zusammen. Bewegt sich der innere Theil- punkt C vom Halbirungspunkte M aus stetig bis nach B, so bewegt sich der äussere Theilpunkt D stetig aus dem Unendlichen bis nach B\ die beiden Punkte bewegen sich also einander entgegen. — Endlich ist in § 37 eine Lösung der Aufgabe gegeben, eine gegebene Strecke nach einem gegebenen Verhältniss harmonisch zu theilen, bezw. zu einem gegebenen Theilpunkt einer Strecke den zugehörigen harmonischen Theilpunkt zu finden. Die harmonische Theilung kann in noch anderer Weise aufgefasst werden. Ist nämlich AC'.BC = AD : BD und zieht man die drei von demselben Anfangspunkte A ausgehenden Strecken AC, AB, AD in Betracht, so ergiebt sich, indem man die Glieder jener Proportion durch diese letzteren Strecken ausdrückt, A C: (AB — AC) = AD\ (AD — AB) oder A C : AD — (AB — AC): (AD — AB). Es verhält sich also die erste dieser drei Strecken zur dritten, wie die Differenz der zweiten und ersten zur Differenz der dritten und zweiten. Noch allgemeiner sagt man, dass vier Grössen a, b, c, d in harmonischer Proportion stehen, wenn sich die erste zur vierten verhält, wie die Differenz der beiden ersten zur Differenz der beiden anderen, wenn also a: d=(b — a) : (d — c), wie dies beispielsweise bei den Zahlen 6 , 8 , 10, 15 der Fall ist. Sind dabei die zwei mittleren Grössen einander gleich, ist also a: d — (b — a) : (d—b), so heisst die Proportion eine stetig harmonische und die mittlere Grösse b das harmonische Mittel zwischen den beiden anderen a, d. Durch Auflösung der Proportion auf b ergiebt sich leicht, dass dieses harmonische Mittel 2 ad -d’ oder dass — = — + — b a d ist. So ist beispielsweise die Zahl 12 das harmonische Mittel zwischen 9 und 18. Nach dieser Erklärung stehen also die obigen drei Strecken AC, AB, AD zu einander in stetiger harmonischer Proportion. Der Name der letzteren erklärt sich dadurch, dass die Verhältnisse der Schwingungszahlen dreier musikalischer Töne, deren Intervalle die Quarte, Quinte und Octave sind, nämlich 3 : 4 : G, eine solche Proportion liefern. Im Nachfolgenden wird von der vorstehenden Auffassung weiter kein Gebrauch gemacht, sondern die für geometrische Untersuchungen geeignetere vorher angegebene zu Grunde gelegt bleiben. Sind A,B und C,D zwei Paare zugeordneter harmonischer Punkte, ist also so folgt unmittelbar AC:BC=AD:BD, AC-BD^BC-AD, d. h. das Rechteck aus den beiden äusseren Abschnitten ist gleich dem Rechteck aus der ganzen Linie und dem mittleren Abschnitt. Ist umgekehrt, wenn vier Punkte, der Reihe nach A, C, B, D, auf einer Strecke liegen, Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 2 3 354 Planimetrie. A C ■ BD — BC ■ AD, so sind A, B und C, D zugeordnete harmonische Punkte. Ist ferner AB in M halbirt, und setzt man AC—AM-\- CM, BC = AM — CM, AD = AM+ MD, BD = MD — AM, so ergiebt sich nach einigen leichten Umformungen AM* = MC • MD, d. h. das Rechteck aus den Abständen des Halbirungspunktes einer Strecke von zwei einander zugeordneten harmonischen Theilpunkten derselben ist gleich dem Quadrat der Hälfte der Strecke. Ist umgekehrt für den Halbirungspunkt M einer Strecke AB und zwei von M aus nach derselben Richtung der Geraden liegende Punkte C, D die Gleichung AM 2 = MC ■ MD richtig, so wird AB durch C und D harmonisch getheilt, denn in diesem Falle muss, wenn nicht ausnahmsweise MC = MD = AM\s.t, eine der Strecken MC kleiner, die andere MD grösser als AM sein, und man kann aus der vorausgesetzten Gleichung in umgekehrtem Gang wie bei der vorhergehenden Entwicklung die andere AC • B D — BC • AD ableiten. Liegen dagegen C und D nicht nach derselben Richtung von M aus, so kann AB durch sie nicht harmonisch getheilt werden. 2. Es sei ferner A der Scheitel von vier Strahlen, welche durch je einen von vier harmonischen Punkten AB, CD gehen, und es werden dieselben Strahlen durch eine zweite Transversale bezüglich in den Punkten A'B', CD' geschnitten, so sind folgende Fälle zu unterscheiden: a) A’D' sei parallel zu AD. Dann ist, weil A'C : B'C' = AC: BC (denn A'C :AC = B'C' : BC, weil beide Verhältnisse gleich SC: SC nach § 36, 3 ) und ebenso A'C : B'C = A'D': B'D’ Es falle ferner b) A' mit A zusammen. Zieht man dann die Linien B'F || C’C und B'G || D'D bis zum Durchschnitt mit AD, so ist CF: BC = SB : SB und GD : BD = SB': SB, daher auch CF:BC=GD: BD, oder CF: GD = BC: BD. Nun ist zufolge der Voraussetzung BC : BD = AC: AD, also auch CF:AC = GD : AD. Ferner ist nach § 36, 2 CF: AC — B'C’: AC und GD : AD = B'D': AD', woraus endlich wieder AC ': B'C' = AD' : B’D' folgt. Ist endlich c) weder A'D' || AD, noch A' mit A identisch, so ziehe man durch Ä' die Parallele zu AD und wende die vorstehenden Entwicklungen nach einander an. Man gelangt so zu dem allgemein gültigen Satz: Vier harmonische Strahlen schneiden jede Transversale in vier f \b a A'D' : B'D' — AD : BD, auch 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 355 harmonischen Punkten, und zwar sind die auf zugeordneten Strahlen liegenden Punkte einander zugeordnet. Zieht man insbesondere eine Transversale so, dass sie einem von vier harmonischen Strahlen parallel ist, liegt also der zugehörige Durchschnittspunkt im Unendlichen, so muss hiernach der zugeordnete Strahl das zwischen den beiden anderen Strahlen liegende Stück der Transversale halbiren, und wenn umgekehrt das zwischen zwei einander zugeordneten harmonischen Strahlen liegende Stück einer Transversale durch einen der übrigen Strahlen halbirt wird, so muss der vierte Strahl der Transversale parallel sein. Hiernach ist es sehr leicht, vier harmonische Strahlen zu construiren, denn man hat zu diesem Zwecke nur nöthig, die Endpunkte und den Halbirungspunkt einer Strecke mit einem ausserhalb der letzteren liegenden Punkte zu verbinden und durch diesen Punkt die Parallele zu der Strecke zu ziehen. Im § 38 ist gezeigt worden, dass jede Winkelhalbirende eines Dreiecks und ebenso jede Halbirungslinie eines Aussenwinkels die gegenüberliegende Seite im Verhältniss der beiden anliegenden Seiten theilt. Hieraus geht hervor, dass jede zwei einander schneidenden Geraden mit den beiden Halbirungslinien der von ihnen gebildeten Winkel vier harmonische Strahlen bilden. Von diesen stehen zwei einander zugeordnete, nämlichdiebeidenWinkelhalbirenden, zu einander senkrecht. Umgekehrt muss, wie sich leicht auf indirektem Wege beweisen lässt, wenn ein Winkel zweier zugeordneten von vier harmonischen Strahlen durch den dritten Strahl halbirt wird, der vierte zu diesem senkrecht stehen, und wenn zwei zugeordnete von vier harmonischen Strahlen zu einander senkrecht stehen, so halbiren sie die von den beiden anderen gebildeten Nebenwinkel. Um letzteres zu beweisen, ziehe man eine Transversale parallel zu dem einen und also senkrecht zu dem anderen von jenen beiden ersteren Strahlen, dann muss ein Dreieck entstehen, dessen Grundlinie durch die Höhe halbirt wird, u. s. w. 3. Durch Umkehrung des vorstehend in 2. bewiesenen Hauptsatzes gewinnt man den folgenden: Liegen auf zwei Geraden je vier harmonische Punkte AB, CD und A'B', CD' so, dass drei der Geraden AÄ, BB', CC, DD' einander in einem und demselben Punkte S schneiden, so geht auch die vierte durch diesen Punkt. Der Beweis geschieht leicht indirekt, indem man S mit dem vierten Punkte D verbindet und zeigt, dass die Linie SD die Gerade A'D' in keinem von D' verschiedenen Punkte treffen kann. Der Punkt S kann selbstverständlich hierbei auch im Unendlichen liegen, d. h. jene vier Geraden sind dann sämmtlich einander parallel. Gehen insbesondere zwei harmonisch getheilte Strecken AB, AB’ von demselben Endpunkt A aus, so müssen sich die drei Geraden, welche je zwei entsprechende der übrigen Punkte verbinden, stets in einem und demselben (endlich oder unendlich entfernten) Punkte schneiden. Sind ferner von zwei verschiedenen Punkten S, S' aus durch drei beliebige in gerader Linie liegende Punkte A, B, C Strahlen gezogen, so schneiden die zu je zwei durch denselben Punkt gehenden Strahlen zugeordneten harmonischen Strahlen einander ebenfalls in einem Punkte dieser Geraden (welcher selbstverständlich auch im Unendlichen liegen kann, d. h. die beiden zugeordneten Strahlen können auch der Geraden parallel sein). Der Beweis dieses Satzes wird ebenfalls leicht indirekt geführt. 2 356 Planimetrie. Die im Vorhergehenden entwickelten Sätze über harmonische Strahlen führen zu leichten Auflösungen folgender Aufgaben: 1) Zu einem gegebenen Theilpunkt einer Strecke AB den zugeordneten harmonischen Theilpunkt zu finden. Man ziehe von einem beliebigen Punkte S ausserhalb der Geraden AB die Strahlen durch die Endpunkte A, B und den gegebenen Theilpunkt. Ist letzterer der innere C, so ziehe man zwischen SA und SB eine Strecke so, dass sie durch SC halbirt wird, und dann zu dieser Strecke durch S den parallelen Strahl. Letzterer trifft die Verlängerung von AB im gesuchten Theilpunkte D. Oder man ziehe zwischen SC und SB eine Parallele EF zu AS, verlängere EF um EG — EF' und ziehe durch G den Strahl SD. Ist dagegen der gegebene Theilpunkt der äussere D, so ziehe man zwischen SD und SB eine Parallele GF zu SA, verlängere dieselbe um FE = GE und ziehe durch E den Strahl S C. Noch andere Abänderungen dieser Construction sind hiernach leicht zu finden. 2) Zu einem von drei gegebenen Strahlen den zugeordneten harmonischen Strahl zu construiren. — Man ziehe durch einen beliebigen Punkt jenes Strahls die Parallele zu einem der beiden anderen, verlängere sie über ihren Durchschnittspunkt mit dem zweiten um ihre eigene Länge und ziehe durch den Endpunkt der Verlängerung den verlangten Strahl. — Man kann auch hierbei verschiedene Fälle unterscheiden. 3) Den Scheitel von vier harmonischen Strahlen zu construiren, wenn ein Strahl und für jeden der drei übrigen ein Punkt gegeben ist, durch welchen derselbe gehen soll. — Man ziehe durch zwei der gegebenen Punkte die Gerade, suche zum Durchschnittspunkt dieser Geraden mit dem gegebenen Strahl einen vierten harmonischen Punkt, verbinde diesen mit dem vierten gegebenen Punkt und bestimme den Durchschnittspunkt der Verbindungslinie mit dem gegebenen Strahl. — Liegen die gegebenen Punkte in einer Gerader}, und bilden sie mit dem Durchschnittspunkt dieser Geraden und des gegebenen Strahls vier harmonische Punkte, so ist die Aufgabe unbestimmt; ist Letzteres nicht der Fall, so fallen drei Strahlen in die Verbindungsgerade zusammen. 4) Von vier harmonischen Punkten sei einer, und für jeden der übrigen sei eine Gerade gegeben, auf welcher er liegen soll; man construire die übrigen Punkte. — Man suche zu zwei der gegebenen Geraden und der Verbindungslinie ihres Durchschnittspunkts mit dem gegebenen Punkte A einen vierten harmonischen Strahl, der die dritte gegebene Gerade in einem Punkte D schneide, ziehe AD und bestimme die Durchschnittspunkte B, C dieser Linie mit den beiden anderen gegebenen Geraden. — Wenn die drei gegebenen Linien durch denselben Punkt S gehen, so müssen sie mit SA vier harmonische Strahlen bilden, und die Aufgabe ist dann unbestimmt, oder es fallen die drei gesuchten Punkte in S zusammen. 4. Die bisher entwickelten Sätze über harmonische Punkte und Strahlenbüschel bieten ein bemerkenswerthes Hiilfsmittel zur Auffindung weiterer Lehrsätze, wovon im Folgenden einige Beispiele gegeben werden sollen. Zieht man von einem beliebigen Punkte D auf der Verlängerung eines Durchmessers AB eines Kreises eine Tangente DE an letzteren und fällt vom Berührungspunkte? die Senkrechte EC auf den Durchmesser, so wird letzterer durch den Fusspunkt C dieser Senkrechten und durch jenen Punkt D harmonisch getheilt, denn zieht man noch 7- Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 357 EA und EB, so ist Z BED = Z EAB (§ 29 (1)), sowie Z EAB — Z CEB (denn AEB — R). Da also FB den Winkel CED halbirt, EA aber auf EB senkrecht steht, so bilden EA, EB, EC, ED vier harmonische Strahlen, die somit die Transversale AD in vier harmonischen Punkten schneiden müssen. Derselbe Satz kann auch dadurch bewiesen werden, dass im rechtwinkeligen Dreieck MED, wenn M den Mittelpunkt des Kreises bedeutet, ME 2 = MC • MD, also auch AM 2 — MC • MD ist. Zieht man von D die beiden Tangenten an den Kreis M, so ist EC die Hälfte derjenigen Sehne, welche die beiden Berührungspunkte verbindet. Man kann daher auch sagen, dass jeder Durchmesser eines Kreises durch einen beliebigen Punkt auf seiner Verlängerung und durch seinen Durchschnittspunkt mit der zu diesem Punkte gehörigen Berührungssehne harmonisch getheilt werde. Dieser Satz bietet ein weiteres Mittel zur Lösung der Aufgabe, zu einem gegebenen Punkt einer Strecke den zugehörigen harmonischen Theilpunkt zu finden. Die Ausführung für die beiden Fälle, je nachdem C oder D der gegebene Punkt ist, kann dem Leser überlassen bleiben. Es sei ferner AB eine beliebige Sehne eines Kreises M und EF der zu AB senkrechte Durchmesser. Es wird behauptet, dass je zwei Gerade, welche durch einen beliebigen Punkt G des Kreises und je einen der Punkte E, F gezogen werden, die Sehne AB harmonisch theilen. Sind ^ nämlich C, D die betreffenden Durchschnittspunkte und zieht man noch GB und GA, so sind die Strahlen GF und GE zu einander senkrecht und GF halbirt den Winkel der Strahlen GB und GA, denn die zu den Peripheriewinkeln BGF, FGA gehörigen Bogen BF, FA sind gleich, weil EF senkrecht zu AB steht. GA, GB, GC und GD sind also vier harmonische Strahlen, woraus die Behauptung folgt. Entsprechend theilen die Verbindungslinien eines Punktes eines Kreises mit den Endpunkten einerSehne (resp. die Verlängerung der einen) den zu dieser Sehne senkrechten Durchmesser harmonisch, denn dasselbe harmonische Strahlenbüschel wie vorher muss auch auf dem Durchmesser EF zu E und F zwei zugeordnete harmonische Theilpunkte bestimmen. § 79. Von den Transversalen, dem vollständigen Viereck und dem vollständigen Vierseit. 1. Wir gehen im Folgenden von den bereits in § 38 und § 39 entwickelten Sätzen des Ceva und des Menelaos und deren Umkehrungen aus, welche letzter 358 Planimetrie. wie folgt zusammengefasst werden können: Ist auf jeder Seite BC, AC, AB, eines Dreiecks ABC, bez. der Verlängerung derselben ein Punkt A', B', C' so angenommen, dass das Produkt aus drei nicht aneinander liegenden Seitenabschnitten gleich dem Produkt der drei anderen, dass also AB' ■ CÄ • BC = AC' • BA’ • CB' ist, so liegen entweder die drei Theilpunkte in gerader Linie oder es schneiden die durch diese Punkte gehenden drei Ecktransversalen einander in einem gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte. Das Erstere findet statt, wenn die Anzahl der auf Verlängerungen liegenden Theilpunkte eine ungerade, das letztere wenn diese Anzahl eine gerade ist. Zieht man nun durch irgend einen Punkt O innerhalb oder ausserhalb eines Dreiecks ABC die drei Ecktransversalen AÄ, BB', CC und legt durch zwei Fusspunkte Ä, B' derselben die Transversale, welche die dritte Seite AB oder deren Verlängerung in D schneide, so ist sowol nach § 38 (4): AB' • CÄ ■ BC' = AC' - BÄ • CB', als nach § 39, (1): AB' • CÄ • BD = AD ■ BÄ ■ CB'. Durch Verbindung dieser beiden Gleichungen, am einfachsten mittelst Division, erhält man BC : BD = AC' : AD, d. h. A, B und C 1 , D sind zwei Paare einander zugeordneter harmonischer Punkte. Selbstverständlich gilt derselbe Satz, wenn man zuerst die beliebige Transversale ÄB'D durch die drei Seiten, darauf die Ecktransversalen AÄ, BB', die einander in O schneiden, und zuletzt die Ecktransversale CC' durch O zieht. Als ein besonderer Fall dieses Satzes kann der folgende aufgestellt werden: Zieht man zu einer Seite AB eines Dreiecks eine parallele Transversale B’A’ und sodann die durch B' und Ä gehenden Ecktransversalen, so schneiden sich die letzteren in einem Punkte O der zur Seite AB gehörigen Mittellinie CC\. Bestimmt man umgekehrt zu dem Fusspunkt einer von drei durch denselben Punkt gehenden Ecktransversalen den zugeordneten harmonischen Theilpunkt der betreffenden Seite des Dreiecks, so liegt letzterer mit den Fusspunkten der beiden anderen Ecktransversalen in gerader Linie, und bestimmt man zu einem der Punkte, in welchen eine Transversale eines Dreiecks eine Seite schneidet, den zugeordneten harmonischen Theilpunkt dieser Seite, so schneidet die durch letzteren Punkt gehende Ecktransversale die nach den Durchschnittspunkten auf den beiden anderen Seiten gehenden Ecktransversalen in demselben Punkte. — Beweise leicht. Der obige Satz liefert ein neues bequemes Mittel, um zu einem auf einer Strecke gegebenen Punkt den zugeordneten harmonischen Theilpunkt zu finden, und zwar ohne Anwendung des Zirkels, also bloss mit Hülfe des Lineals. Ist z. B. C' auf AB gegeben, so construire man über AB ein beliebiges Dreieck ABC, ziehe CC' und durch einen beliebigen Punkt O von CC’ die Ecktransversalen BB', AÄ. Die durch Ä und B' gehende Gerade liefert dann auf BA den gesuchten Punkt. Daraus, dass B, A und C', D vier harmonische Punkte sind, folgt ferner, 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 359 dass OB, OA und OC', OD vier harmonische Strahlen sind, und diese müssen somit auch auf den Transversalen A'D und CC' je vier harmonische Punkte bestimmen. Es ist also, wenn E den Durchschnittspunkt dieser beiden letzteren Transversalen bezeichnet, auch A'E : B'E = ÄD : B'D und hieraus folgt wieder, dass auch BÄ, BB’ und BE, BD vier harmonische Strahlen sind, welche mithin auch auf CC' vier harmonische Punkte bestimmen, oder es ist CE : OE = CC ': OC. Die durch Ä und B' gelegte Transversale bestimmt also nicht nur, wie vorher gezeigt, auf der dritten Seite, sondern auch auf der dritten Ecktransversale zu den vorher vorhandenen drei Punkten den vierten harmonischen Punkt und wird selbst in E und D harmonisch getheilt. Diese Behauptung gilt selbstverständlich in entsprechender Weise für die durch Ä und C und für die durch B' und C' gehende Transversale. Jede der Verbindungslinien von Ä, B' und C' wird also durch die betreffende dritte Ecktransversale und die dritte Seite harmonisch getheilt. Ist A'B' parallel zu BA, also CC' eine Mittellinie des Dreiecks ABC, so werden auf dieser selbstverständlich ebenfalls durch die gedachte Construction vier harmonische Punkte bestimmt. Ist insbesondere 0 der Schwerpunkt des Dreiecks, so hat man den Satz: Der Schwerpunkt eines Dreiecks und der Durchschnittspunkt einer Mittellinie desselben mit der Verbindungslinie der Halbirungspunkte der zwei anliegenden Seiten bilden mit den Endpunkten jener Mittellinie vier harmonische Punkte. 2. Die vier Punkte A'OB'C der vorhergehenden Figur bilden die Eckpunkte eines Vierecks, von dem je zwei gegenüberliegende Seiten bis zu ihrem Durchschnittspunkt B oder A verlängert, und in welchem ausserdem die Diagonalen CO, A'B' gezogen sind. Man nennt ein System von vier Punkten Ä, O, B', C mit sämmtlichen durch je zwei derselben bestimmten Geraden: A'C, A'O, A'B', CO, CB', B'O ein vollständiges Viereck, diese Geraden seine Seiten, jene vier Punkte seine Eckpunkte und die drei anderen Durchschnittspunkte der Seiten A, B und £ seine Diagonalpunkte. Entsprechend nennt man ein System von vier Geraden, von denen jede die folgende schneidet, mit sämmtlichen Durchschnittspunkten dieser Geraden ein vollständiges Vierseit. Die sechs Durchschnittspunkte heissen die Eckpunkte desselben, die vier Geraden seine Seiten, und die drei übrigen Verbindungsgeraden je zweier Eckpunkte seine Diagonallinien. Die obige Figur kann hiernach sowol als ein vollständiges Viereck, wie als ein vollständiges Vierseit aufgefasst werden, und die vorher bewiesenen Eigenschaften derselben lassen sich zu Lehrsätzen über beide verwenden. Ist also ABCDEF ein vollständiges Vierseit, so hat man, indem man AEF A 360 Planimetrie. als ein Dreieck mit den durch C gehenden Ecktransversalen AH, ED, FB auffasst, durch die vorhergegangenen Entwicklungen den Satz: In jedem vollständigen Vierseit theilen die Diagonalen einander harmonisch, oder es ist AG : CG — Aff: CH, BG\DG = BI : DI, EH : FH = EI: EI Hieraus ergiebt sich ferner ohne Weiteres: In jedem vollständigen Viereck sind die Diagonalpunkte die Scheitel harmonischer Büschel, deren zugeordnete Strahlenpaare zwei Seiten und zwei Verbindungslinien der Diagonalpunkte sind. So ist im vollständigen Viereck AB CD, dessen Seiten AB, BC, CD, AD, AC und B D sind, der Diagonalpunkt G Scheitel zu den vier harmonischen Strahlen GE, GC, GE, GD, ebenso E Scheitel zu den Strahlen EA, EG, EC, EF und F Scheitel zu den Strahlen FA, FG, FC, FE. Hieraus folgt weiter, dass wenn man in einem vollständigen Viereck die Diagonalpunkte E, F, G unter einander verbindet und die Verbindungslinien bis zu den Seiten verlängert, jede der so entstandenen Linien wieder vier harmonische Punkte enthält, sowie dass, wenn man in einem vollständigen Vierseit einen Eckpunkt und einen Diagonalschnittpunkt verbindet, dadurch auf jeder der gegenüberliegenden Seiten ein vierter harmonischer Punkt bestimmt wird. Man versteht überhaupt unter einem vollständigen «-Eck ein System von n Punkten mit ihren sämmtlichen Verbindungslinien. Ein solches wird also erhalten, wenn man ein einfaches «-Eck mit seinen sämmtlichen Diagonalen construirt. — Unter einem vollständigen »-Seit versteht man ein System von n Geraden mit ihren sämmtlichen Durchschnittspunkten. Wie ein einfaches «-Eck erhalten wird, wenn man einen von n Punkten einer Ebene mit einem zweiten, diesen mit einem dritten u. s. w. und zuletzt den »ten wieder mit dem ersten durch je eine Gerade verbindet, so erhält man ein einfaches «-Seit, wenn man eine Gerade einer Ebene von einer zweiten, diese von einer dritten u. s. w. und zuletzt die «te wieder von der ersten schneiden lässt. Man erhält also "ein vollständiges »-Seit, wenn man ein einfaches »-Seit mit sämmtlichen Schnittpunkten seiner Seiten construirt. Jedes einfache »-Seit hat, wie jedes einfache »-Eck, n Seiten und » Eckpunkte. Jedes vollständige »-Seit hat » Seiten, aber «(» — 1 ) Eckpunkte (von denen einzelne im Unendlichen liegen können), denn « gerade Linien lassen sich auf so viele Arten zu je zweien verbinden. Ausserdem hat das vollständige «-Seit noch «(» — 1 ) (» —■ 2 ) (« — 3 ) bindungslinien zweier Eckpunkte, »(« 8 Diagonalen, d. h. Ver- welche keine Seiten sind. »-Eck « Eckpunkte, aber — Seiten und ausserdem — Ebenso hat jedes vollständige -lK«-2)(»-3) Diagonal - 8 punkte, d. h. Durchschnittspunkte zweier Seiten, die keine Eckpunkte sind. Bei den Dreiecken und Dreiseiten fallen diese Begriffe, sowie die Unterschiede der vollständigen und einfachen Figuren zusammen. 3. Im Nachstehenden sollen noch einige weitere bemerkenswerthe Anwendungen der Sätze des Ceva und Menelaos oder deren Umkehrungen zusammengestellt werden. Halbirt man zwei Winkel eines Dreiecks und den am dritten Eckpunkt liegenden Aussenwinkel, so liegen die drei Durchschnittspunkte je einer Winkelhalbirenden und der gegenüberliegenden Seite in gerader Linie, denn halbiren AÄ, BB', CC" bezüglich die Winkel an A, B und den Aussenwinkel an C, so ist 7- Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 361 AB' : CB' = c : a, CA‘ \BÄ = b\c, BC" : AC" — a\b. Durch Multiplication erhält man hieraus AB' ■ CA' ■ BC" — CB' ■ BÄ • AC", womit, da A' und B auf den betreffenden Seiten selbst liegen und C" auf der Verlängerung von AB liegen muss, die Richtigkeit der Behauptung nachgewiesen ist. — Kürzer geschieht dies durch Benutzung eines vorher unter 2. abgeleiteten Satzes, da bekanntlich C" und der Fusspunkt C’ der dritten inneren Winkel- halbirenden harmonische Theilpunkte der betreffenden Seite sind. In entsprechender Weise erhält man den Satz: Die Durchschnittspunkte der Halbirungslinien der drei Aussenwinkel eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Seiten liegen in einer geraden Linie. Es sei P ein beliebiger Punkt des dem Dreieck ABC umbeschriebenen Kreises und PC lt PB X , PA X seien bezüglich senkrecht zu AB, AC, BC. Zieht man noch PC und PB, so ist Z PCA — PBA, daher A PCB x 00 A PBC x folglich CB x : PB X = BC X : PC X . In entsprechender Weise erhält man BA : PA X = AB X : PB X und AC 1 : PC X = CA X : PA X . Daher ist auch CB X ■ BA X ■ AC X : PA X ■ PB X ■ PC X = BC t ■ AB X ■ CA X : PA X • PB X ■ PC X , also CB X -BA X -AC X — BC X ■ AB X ■ CA X . Da ferner Z APC= 2 P— ß = Z A X PC X und Z C X PB X = a = Z BPC, so lässt sich beweisen, dass stets einer der Punkte A x , B x , C\ auf einer Verlängerung einer Seite liegen muss, während die beiden anderen auf den Seiten selbst liegen. Daher ergiebt sich der Satz: Die Fusspunkte der von einem beliebigen Punkte des einem Dreieck umbeschriebenen Kreises auf die Seiten gefällten Senkrechten liegen in gerader Linie. Gehen die drei geraden Linien AA X , BB X , CC X , welche die Eckpunkte zweier Dreiecke ABC, A X B X C X paarweise verbinden, durch einen und denselben Punkt O — in welchem Falle man sagt, dass diese Dreiecke perspectivisch liegen — so ergiebt, wenn man die Durchschnittspunkte A 2 , B % , C 2 je zweier einander entsprechender Seiten BC, und B X C X , AC und A X C X , AB und A X B X bestimmt, das Dreieck OA x B x mit der Transversale AB: OB ■ AA X ■ B x C 2 = OA ■ BB X • A x C 2 , ebenso das Dreieck OB x C x mit der Transversale BC: OC• BB X ■C x A 2 = OB■ CC X ■ B x A 2 , und das Dreieck OC x A x mit der Transversale CA OA ■ CC X ■ A x B 2 = OC • AA X ■ C x B 2 . Durch die Verbindung dieser drei Gleichungen mittelst Multiplication erhält man leicht B x C 2 • C x A 2 ■A x B 2 ^C x B 2 -B x A 2 .A i C 2 , und da die Faktoren dieser letzteren Gleichung Seitenabschnitte des Dreiecks A x B x C x sind, so folgt dass die drei Durchschnittspunkte je zweier einander entsprechender Seiten von zwei perspectivisch liegenden Dreiecken in gerader Linie liegen. Dieser Satz bietet ein Mittel, um auf einer Geraden A 2 B 2 oder deren Verlängerung einen Punkt C 2 zu bestimmen, wenn dies in Folge eines Hindernisses 362 Planimetrie. nicht direkt geschehen kann, und zwar bloss mit Hülfe des Lineals (auf dem Felde also durch blosses Visiren). Die Ausführung kann als leicht ersichtlich dem Leser überlassen bleiben. Zieht man durch die Eckpunkte A, B, C eines Dreiecks die Tangenten AA X , BB X , CC\ an den dem Dreieck umbeschriebenen Kreis, und seien A x , B x , C x bezüglich die Durchschnittspunkte derselben mit den Verlängerungen der gegenüberliegenden Seiten, so sind die Dreiecke A 1 BA und A 1 CA einander ähnlich; daher ist CA X : CA = AA X :BA und BA X :BA= AA X : CA, oder ™ _ CA-AA U D/l BA-AA X “ BA ’ MA '- CÄ • Man hat ebenso noch zwei Paare ähnlicher Dreiecke in der Figur und erhält daraus ab x = ^-Hcb x = cb ' bb ' und BC X : BC■ CC X AC ; ac x AB AC- CC X BC Verbindet man die ersten Gleichungen dieser drei Paare und ebenso die zweiten Gleichungen durch Multiplication und vergleicht die Resultate, so folgt CA X ■ AB X ■ BC x — BA X ■ CB X ■ AC X und daher der Satz: Die Durchschnittspunkte der durch die Eckpunkte eines Dreiecks gehenden Tangenten des umbeschriebenen Kreises mit den gegenüberliegenden Seiten liegen in gerader Linie. Zieht man von einem Punkte P auf einer Diagonale eines Vierecks ABCD (oder deren Verlängerung) eine Transversale durch jedes der beiden Dreiecke, in welche die Diagonale das Viereck theilt, so erhält man auf jeder Seite des letzteren zwei Abschnitte, und es folgt aus BM ■ AN ■ DP = AM ■ DN-BP und DS- CR- BP—BR ■ CS -DP mittelst Multiplication BM- AN- DS ■ CR = AM- DN- BR. CS, d. h. die Produkte aus je vier nicht aneinanderstossenden Seitenabschnitten des Vierecks sind gleich gross. Dieser Satz gilt auch für Vierecke, in denen zwei gegenüberliegende Seiten einander schneiden. Der Beweis bleibt hierbei ebenfalls derselbe. Schneiden umgekehrt zwei Transversalen die Seiten eines Vierecks so, dass die Produkte aus je vier nicht aneinanderstossenden Seitenabschnitten gleich gross sind, wobei die von je einer Transversale gebildeten Abschnitte auf zwei aneinanderliegenden, aber nicht in einer bestimmten Diagonale aneinanderstossenden Seiten liegen, so treffen sich die Transversalen in einem und demselben Punkte dieser Diagonale oder ihrer Verlängerung, denn ist BM-AN ■ DS - CR = AM- DN - BR ■ CS, und ginge SR nicht durch den Durchschnittspunkt P der Transversale NM und der Diagonale DB, so könnte man durch Jl P 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 363 P und R eine Transversale legen, welche CD in einem Punkte S' schneiden würde, und es wäre dann zufolge des vorigen Satzes BM■ AN ■ DS' ■ CR = AM- DN■ BR ■ CS'. Durch Verbindung dieser Gleichung mit der vorausgesetzten mittelst Division erhält man DS : DS’ = CS : CS’, und hieraus geht hervor, dass S’ nicht von S verschieden sein kann. Als unmittelbare Anwendungen der vorstehenden Sätze erscheinen die folgenden: Zieht man durch einen beliebigen Punkt P auf einer Diagonale BD eines Vierecks oder auf deren Verlängerung zwei Transversalen durch das Viereck, so dass die eine derselben zwei aneinanderliegende, aber nicht in einem Endpunkt jener Diagonale aneinanderstossende Seiten AB, AD bezüglich in M und N, die andere Transversale die beiden anderen Seiten bezüglich in R und S trifft, so schneiden die Verbindungslinien MR, NS der beiden anderen Paare aneinanderliegender Theilpunkte stets die andere Diagonale AC oder deren Verlängerung in einem und demselben Punkte. Zieht man durch einen beliebigen Punkt E innerhalb eines Parallelogramms die Parallelen FG, HI zu den Seiten AD, AB und in jedem der vier entstehenden kleineren Parallelogramme diejenige Diagonale, welche nicht durch E geht, so schneiden sich diese Diagonalen paarweise auf den Verlängerungen der Diagonalen des ursprünglichen Parallelogramms. Der Beweis hierfür ergiebt sich daraus, dass AF= DG, DH— CI u. s. w., also auch AH-DG - CI-BF=AF-BI- CG ■ DH ist. — Liegt E auf einer Diagonale AC des Parallelogramms ABCD, in welchem Fall bekanntlich die kleineren Parallelogramme FEIB, HEGD gleich gross sind, so sind die Diagonalen der beiden anderen, ungleichen kleineren Parallelogramme der betreffenden Diagonale des ganzen parallel. Nimmt man auf drei Strahlen eines Büschels P beliebige Abschnitte MN, BD, RS an und verbindet die Endpunkte derselben paarweise, so liegen die Durchschnittspunkte dieser Linienpaare ( O , A, C) in einer geraden Linie. — Vergl. die Figur auf Seite 362. Liegt hierbei der Punkt P im Unendlichen, so erhält man als besonderen Fall dieses Satzes den folgenden: Wenn man die Endpunkte dreier paralleler Strecken paarweise verbindet, so liegen die drei Durchschnittspunkte der Verbindungslinien stets in einer einzigen Geraden. Wir fügen endlich den vorstehenden Sätzen noch den folgenden hinzu: Die Halbirungspunkte der drei Diagonalen eines vollständigen Vier- seits liegen in gerader Linie. Ist nämlich im vollständigen Vierseit AB CDEF der Punkt M die Mitte der Diagonale AC, ebenso N die Mitte von BD und O die Mitte von EF und zieht man durch M die Parallele GH zu ED, welche AE in G und AD in H halbiren muss, ferner durch G die Parallele zu AD, welche ED in / halbiren und EF in ihrem Halbirungspunkt O treffen muss, so muss IH durch N gehen, 364 Planimetrie. Ä Linie liegen müssen. da I, N, H die Halbirungspunkte der drei Strahlen DE, DB, DA sind. Betrachtet man nun BF als Transversale des Dreiecks AED, so ist AB- EC-DF= AF-DC-EB. Setzt man hier AB — 2 • HN, EC= 2 • GM, DF = 2-10 u. s. w., so erhält man HN- GM-10 = GO- HM. IN, und da M, N, 0 Theilpunkte der Seiten des Dreiecks GHI sind, so ergiebt sich hieraus, dass dieselben in gerader 4. In einem einfachen Sechseck ABCDEE heissen A und D, B und E, C und F einander gegenüberliegende Eckpunkte und AB und DE, BC und EF, CD und AE einander gegenüberliegende Seiten.. Lässt sich um ein einfaches Sechseck ein Kreis beschreiben, so liegen die drei Durchschnittspunkte je zweier einander gegenüberliegender Seiten in gerader Linie. JSl Zum Beweise dieses Satzes, welcher der Pascal’ sehe Satz genannt wird, verlängere man in dem Sechseck ABCDEE drei nicht an- einanderstossende Seiten BC, DE, FA, so dass sie ein Dreieck LMN bilden. Dann folgt aus dem Satze von der Potenz des Kreises LC- LB = LD ■ LE, MD ■ ME = MF • MA, NF-NA = NB- NC, und indem man, wenn G, H, I bezw. die Durchschnittspunkte von AB und DE, BC und EF, CD und AF sind, das Dreieck LMN der Reihe nach mit den Transversalen CD, EF und AB verbindet, LD- ML-NC = LC- NI- MD, LE- MF-NH= LH■ NF-ME, MA- LG - NB = MG - LB ■ NA. Multiplicirt man die gleichstelligen Seiten dieser sechs Gleichungen mit einander und streicht in der entstehenden Gleichung die gleichen Faktoren auf beiden Seiten, so erhält man , LG - ML- NH = LH- MG ■ NI, und diese Gleichung, auf das Dreieck LMN angewendet, zeigt, dass G, I und H in gerader Linie liegen. Jedes Sehnenfünfeck kann als ein Sehnensechseck betrachtet werden, in welchem zwei Eckpunkte zusammengefallen sind, also eine Seite verschwunden ist, deren Richtung aber dann noch durch die in dem betreffenden Eckpunkt an den Kreis gelegte Tangente angegeben wird. Fallen also z. B. in der vorstehenden Figur D und E in D zusammen, so wird GM zu der durch D gehenden 7 . Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 365 Tangente des Kreises. Der PASCAL’sche Satz führt hiernach auf den folgenden als besonderen Fall: In jedem Sehnenfünfeck liegt der Durchschnittspunkt einer Seite und der im gegenüberliegenden Eckpunkt an den Kreis gezogenen Tangente mit den Durchschnittspunkten je zweier einander gegenüberliegender übrigen Seiten in gerader Linie. Lässt man noch zwei Eckpunkte zusammenfallen, so erhält man ein Sehnen- Viereck und den Satz: Sind die Berührungspunkte eines Tangentenvierecks zugleich die Eckpunkte eines Sehnenvierecks desselben Kreises, so liegen die vier Durchschnittspunkte der Gegenseiten beider Vierecke in gerader Linie. Endlich erhält man für das Dreieck auf gleiche Weise den Satz: Die Durchschnittspunkte der durch die Eckpunkte eines Dreiecks gehenden Tangenten des umbeschriebenen Kreises mit den gegenüberliegenden Seiten liegen in gerader Linie. § 80. Von den Potenzen bei dem Kreise. 1. Aus dem in § 49 erläuterten Begriff der Potenz eines Punktes in Beziehung auf einen Kreis geht hervor, dass zwei solche Potenzen einander gleich sind, wenn für innerhalb des zugehörigen Kreises liegende Punkte die in denselben halbirten Sehnen und für ausserhalb liegende Punkte die von ihnen an den Kreis gezogenen Tangenten gleiche Längen haben. — Für verschiedene Punkte bei einem und demselben Kreis folgen hieraus leicht die nachstehenden Sätze: Zu jedem Punkte giebt es unzählig viele, welche mit ihm in Beziehung auf denselben Kreis gleiche und gleichartige (innere oder äussere) Potenzen haben. Alle diese Punkte müssen mit dem ersten gleiche Entfernung vom Mittelpunkt haben; ihr geometrischer Ort ist also der durch den gegebenen Punkt gehende concentrische Kreis. Dagegen ändert sich die Potenz eines Punktes, wenn die Entfernung des letzteren vom Mittelpunkt sich ändert. Die Potenz des Mittelpunktes selbst ist gleich dem Quadrate des Radius. Bewegt sich ein Punkt vom Mittelpunkt aus auf einer durch den letzteren gehenden Geraden, so wird seine Potenz, so lange er innerhalb des Kreises bleibt, mit der wachsenden Entfernung vom Mittelpunkt stetig kleiner, und sie erhält den Werth Null, wenn der Punkt auf den Kreis selbst gelangt. Bei weiter fortschreitender Bewegung, also ausserhalb des Kreises, nimmt die Potenz des Punktes mit seiner wachsenden Entfernung vom Mittelpunkt stetig zu und erhält nach einander alle Werthe von Null bis Unendlich. — Man erhält die Punkte innerhalb eines Kreises, welche in Beziehung auf diesen eine gegebene Potenz h? < ?- 2 haben, wenn man in den Kreis eine Sehne gleich einträgt, dieselbe halbirt und durch den Halbirungspunkt den concentrischen Kreis beschreibt. Man erhält alle Punkte ausserhalb eines Kreises, welche in Beziehung auf diesen eine gegebene Potenz k % haben, wenn man an den Kreis eine Tangente gleich k legt und durch den Endpunkt derselben den concentrischen Kreis beschreibt. — Zu jedem Punkt innerhalb eines Kreises giebt es Punkte ausserhalb desselben, z. B. auf der Verlängerung des durch jenen Punkt gehenden Radius einen, welcher mit jenem gleiche Potenz hat, dagegen ist dies nicht nothwendig umgekehrt der Fall. Die Möglichkeit, dass zwei Punkte in Beziehung auf denselben Kreis gleiche aber ungleichartige Potenzen haben (so dass also der eine Punkt innerhalb, der andere ausserhalb des Kreises liegt), verschwindet überhaupt, wenn man nach § 37 die Vorzeichen der durch einen 366 Planimetrie. Punkt gebildeten Abschnitte einer Sehne berücksichtigt. In diesem Falle sind die Potenzen der innerhalb des Kreises liegenden Punkte als negativ, die der ausserhalb liegenden als positiv zu betrachten, und man kann sagen, dass die Potenz eines Punktes stets mit seiner Entfernung vom Mittelpunkt wachse, und zwar stetig vom Minimalwerthe — r 2 bis zum Maximalwerthe . Nach dem Vorstehenden lässt sich leicht beispielsweise folgende Aufgabe lösen: Auf einer gegebenen Geraden oder auf einem gegebenen Kreis einen Punkt zu bestimmen, der in Beziehung auf einen anderen gegebenen Kreis eine gegebene Potenz hat. 2. Ist P ein Punkt innerhalb eines Kreises M, AB die in P halbirte Sehne dieses Kreises, so wird der um P mit der Hälfte der Sehne als Radius beschriebene Kreis von dem Kreise M unter einem Durchmesser geschnitten, und umgekehrt muss der Mittelpunkt P eines jeden Kreises, welcher von einem gegebenen Kreise M unter einem Durchmesser geschnitten werden soll, innerhalb des letzteren so liegen, dass er die gemeinschaftliche Sehne beider Kreise halbirt. Wird also ein Kreis P von einem Kreise M unter einem Durchmesser geschnitten, so ist das Quadrat des Radius von P die Potenz des Mittelpunktes P in Beziehung auf den Kreis M. Ist P ein Punkt ausserhalb eines Kreises M, PA die von P an diesen Kreis gezogene Tangente, so schneidet der mit PA um P beschriebene Kreis den Kreis M in A so, dass die in A an beide Kreise gelegten Tangenten zu einander senkrecht stehen, denn ist PA Tangente des Kreises M, so ist sie senkrecht zu dem Berührungsradius MA und dieser also wiederum als Senkrechte zu dem Radius PA des Kreises P eine Tangente dieses letzteren. — Man versteht nun unter dem Winkel zweier einander schneidender krummen Linien allgemein den Winkel der in dem Durchschnittspunkt an diese Linien gelegten Tangenten. Daher kann man im vorliegenden Falle sagen, dass jeder der Kreise M und P den anderen rechtwinkelig schneide. — Da jede der in A an diese Kreise gelegten Tangenten zugleich Radius des jedesmaligen anderen Kreises ist, so kann man auch sagen, dass zwei Kreise einander rechtwinkelig schneiden, wenn die nach einem Durchschnittspunkt gehenden Radien zu einander senkrecht stehen und umgekehrt. Schneiden zwei Kreise einander rechtwinkelig, so ist nach dem Vorstehenden das Quadrat des Radius eines jeden derselben die Potenz seines Mittelpunktes in Beziehung auf den anderen. Jeder Durchmesser AB eines von zwei einander rechtwinkelig schneidenden Kreisen wird daher durch die Durchschnittspunkte C, D mit dem anderen harmonisch getheilt, denn ist M der Mittelpunkt des ersteren Kreises, so ist r 2 = MA 2 = MC ■ MB), woraus nach § 78,! die Behauptung folgt. Es ergeben sich nun unmittelbar die Lösungen folgender Aufgaben: Den geometrischen Ort der Mittelpunkte der Kreise zu bestimmen, welche einen gegebenen Radius haben und a) von einem gegebenen Kreise unter einem Durchmesser geschnitten werden oder b) einen gegebenen Kreis rechtwinkelig schneiden. — Den geometrischen Ort der Mittelpunkte aller Kreise zu bestimmen, welche einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte rechtwinkelig schneiden. — Einen Kreis zu construiren, der einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte rechtwinkelig schneidet und a) seinen Mittelpunkt auf einer Linie oder b) einen gegebenen Radius hat. — Einen Kreis zu construiren, der einen gegebenen Radius hat, dessen Mittelpunkt auf einer gegebenen Linie liegt 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 367 und der a) einen gegebenen Kreis reclitwinkelig schneidet oder b) von einem gegebenen Kreis unter einem Durchmesser geschnitten wird. 3. Sind zwei Kreise gegeben, so kann die Aufgabe gestellt werden, diejenigen Punkte zu finden, welche in Beziehung auf beide Kreise gleiche (und gleichartige) Potenzen haben. Diese Aufgabe ist offenbar identisch mit derjenigen, die Punkte zu finden, von denen aus man an die beiden Kreise gleich lange Tangenten legen, oder durch welche man in die beiden Kreise gleich lange in dem betreffenden Punkt halbirte Sehnen legen kann. Man kann beliebig viele solche Punkte construiren, indem man an jeden der beiden Kreise A, B eine Tangente zieht, beiden Tangenten beliebige aber gleiche Länge giebt und durch den Endpunkt einer jeden so begrenzten Tangente den zum zugehörigen Kreis concentrischen Kreis beschreibt. Jeder Durchschnittspunkt oder Berührungspunkt zweier solcher zusammengehöriger Kreise hat in Beziehung auf die gegebenen gleiche äussere Potenzen. Soll entsprechend ein Punkt mit gleichen inneren Potenzen gefunden werden, was offenbar nur möglich ist, wenn die gegebenen Kreise einander schneiden, so kann man in jeden der letzteren eine Sehne legen, so dass diese Sehnen beliebige aber gleiche Längen haben, dann halbire man beide und ziehe durch die Halbirungspunkte die entsprechenden concentrischen Kreise. Von den Durchschnittspunkten oder dem Berührungspunkt je zweier so construirten Kreise gilt wieder das oben im gleichen Fall gesagte. Man gelangt jedoch auf kürzerem Wege durch folgende Betrachtung zum Ziel: Schneiden sich die gegebenen Kreise A, B in C und D, so ist jeder Punkt P auf der gemeinschaftlichen Sehne CD ein Punkt mit gleichen inneren Potenzen für beide Kreise, denn jede dieser Potenzen ist gleich PC ■ PD. Umgekehrt muss jeder Punkt P mit der verlangten Eigenschaft auf CD liegen, denn wäre dies nicht der Fall, so würde die durch C und P gehende Gerade die Kreise A, B in zwei verschiedenen Punkten E , F treffen und es müsste dabei PC-PF=PC-PE, also PF = PE sein, was nicht möglich ist. In ganz entsprechender Weise lässt sich zeigen, dass jeder Punkt auf einer Verlängerung der gemeinschaftlichen Sehne zweier einander schneidender Kreise in Bezug auf die letzteren gleiche äussere Potenzen hat, sowie umgekehrt, dass jeder Punkt von dieser Eigenschaft auf einer von jenen Verlängerungen liegen muss. Man nennt den geometrischen Ort aller Punkte, welche in Beziehung auf zwei gegebene Kreise gleiche (und gleichartige) Potenzen haben, die Potenzlinie oder Chordale dieser Kreise. Man hat hiernach den Satz: Die Potenzlinie zweier einander schneidender Kreise ist die gemeinschaftliche Secante derselben. Dieser Satz behält seine Gültigkeit, wenn die beiden Durchschnittspunkte der Secante zusammenfallen, d. h. wenn letztere zur Tangente wird, oder Die Potenzlinie zweier einander berührender Kreise ist die durch den Berührungspunkt gehende gemeinschaftliche Tangente, Was sich auch sehr leicht unmittelbar beweisen lässt. Dabei macht es keinen Unterschied, ob die Kreise einander von aussen oder von innen berühren. Um ferner allgemein für jede Lage zweier Kreise gegen einander die Potenzlinie zu bestimmen, sei P ein beliebiger zu den Kreisen A, B gehöriger Punkt, der in Beziehung auf diese gleiche Potenzen hat. Liegt P ausserhalb beider Kreise, so ziehe man eine Tangente PC an A und eine Tangente PD an B, ver- 3 68 Planimetrie. binde P mit den Mittelpunkten A, B, ziehe ferner die Berührungs- radien A C, BD und fälle endlich von P die Senkrechte PQ auf die Centrale AB. Dann ist PC 2 = PA* — AC* = PQ} -h AQ* — AC 2 , PD* — PB 2 — BI ) 2 = PQ*+BQ* —BD*. Da nun der Voraussetzung zufolge PC = PD sein muss, so ergiebt sich hieraus, dass PQ* + AQ* — AC* = PQ* + BQ*—BD* oder AQ* — AC* = BQ* — BD* ist, woraus durch Umstellung, und wenn man der Kürze halber AC= R, BD = r setzt, AQ* — BQ* = R* — r* hervorgeht. In ganz derselben Weise erhält man wenn P innerhalb beider Kreise liegt, mit Hülfe der in P halbirten, der Voraussetzung zufolge einander gleichen Sehnen R* — AQ* — PQ* = r* — BQ* — PQ 2 , woraus wieder leicht AQ* — BQ* = R* — r* folgt. Diese somit für alle Punkte gleicher Potenzen in Beziehung auf die Kreise A, B geltende Gleichung führt nun zu folgenden Folgerungen: Ist R==r, so ist AQ = BQ; bei zwei gleichen Kreisen halbirt also der Punkt Q stets die Centrallinie AB. Sind dagegen die Kreise ungleich und bezeichne R den grösseren Radius, so ist stets AQ > BQ. Hiernach kann Q nur auf demjenigen Theile der durch A und B gehenden Geraden liegen, welcher sich vom Halbirungspunkt von AB aus nach der über den Mittelpunkt B des kleineren Kreises gehenden Richtung erstreckt. Es lässt sich nun zeigen, dass es zu je zwei gegebenen Kreisen A, B stets einen und nur einen einzigen in dieser Weise liegenden Punkt giebt, für welchen die Differenz der Quadrate seiner Abstände von A und B den constanten Werth R* — r* besitzt. Denkt man sich nämlich einen Punkt Q vom Halbirungspunkt von AB aus in der Richtung über B stetig auf der zugehörigen Geraden bewegt, so ist, so lange Q zwischen A und B liegt, AQ + BQ — AB, also AQ* — BQ* = (AQ — BQ). (AQ -+- BQ) = (AQ — BQ) ■ AB. Da der Faktor AB hier immer denselben Werth behält, AQ — BQ aber um so grösser wird, je kleiner BQ wird, so nimmt bei der Bewegung von Q der Werth jener Differenz der Quadrate stetig zu, bis er für BQ — O gleich AB* wird. Tritt dann Q auf die Verlängerung von AB, so wird AQ — BQ = AB, mithin AQ* — BQ* = AB ■ (AQ-{-BQ), und man sieht leicht ein, dass dieser Ausdruck mit der fortschreitenden Bewegung von Q von AB* an bis in’s Unendliche ohne Unterbrechung wächst. Zu jeder anderen Lage des Punktes Q gehört hiernach ein anderer Werth von AQ* — BQ*, und somit giebt es stets nur einen einzigen solchen Punkt Q, für welchen dieser Werth gleich R* — r* ist. Denkt man sich nun sämmtliche Punkte P, P', P", ■ . ., welche in Beziehung auf die Kreise A, B gleiche und gleichartige Potenzen haben, und von jedem derselben die Senkrechte auf AB gefällt, so müssen nach dem Vorstehenden 7- Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 369 diese' Senkrechten sämmtlich die Gerade AB in demselben Punkte Q treffen, woraus folgt,',dass sie zusammenfallen, d. h. dass alle jene Punkte P, P' u. s. w. auf einer und derselben, zu AB senkrechten Geraden liegen. Umgekehrt lässt sich leicht zeigen, dass, wenn Q auf AB so gewählt ist, dass AQ 2 — BQ 2 =R 2 — r- 2 ist, alle Punkte der in Q auf AB errichteten Senkrechten in Beziehung auf die beiden Kreise gleiche und gleichartige Potenzen haben müssen. Ist z. B. P ein ausserhalb > beider Kreise liegender Punkt dieser Senkrechten, so führt die im Vorigen für den entsprechenden Fall gemachte Construction wieder auf PC 2 = PQ 2 + AQ 2 — AC 2 ,, PD 2 = PQ 2 + BQ 2 — BD 2 , PC 2 — PD 2 = AQ 2 — BQ 2 — R 2 -hr 2 . mithin Da nun AQ 2 — BQ 2 — R 2 — r 2 , so folgt PC 2 — PD 2 — 0, woraus PC—PD hervorgeht, u. s. w. Jene zur Centrallinie senkrechte Gerade ist also die Potenzlinie der Kreise A und B. Da hiernach die Potenzlinie zweier Kreise in allen Fällen eine gerade Linie ist, und da dieselbe ferner stets auf der Centrallinie der Kreise senkrecht steht, so genügt, um dieselbe construiren zu können, die Kenntniss eines einzigen Punktes, welcher in Beziehung auf die beiden Kreise gleiche (gleichartige) Potenzen hat. Kennt man zwei Punkte der Potenzlinie, so hat man zur Construction dieser letzteren nur die Gerade durch die beiden Punkte zu legen. Im Vorhergehenden ist gezeigt worden, wie man stets zwei solche Punkte mittelst eines Paares concentrischer Kreise finden kann. Haben zwei Kreise einen Punkt gemeinsam, so ist derselbe auch ein Punkt ihrer Potenzlinie: haben dagegen die Kreise keinen gemeinsamen Punkt, so kann auch ihre Potenzlinie keinen Punkt mit ihnen gemein haben und muss also stets ganz ausserhalb beider liegen. Dieser Fall tritt also ein, sowol wenn jeder der beiden Kreise ganz ausserhalb des anderen, wie wenn der kleinere ganz innerhalb des grösseren liegt. Im ersteren Falle müssen die Kreise auf verschiedenen Seiten der Potenzlinie liegen, diese schneidet also die Centrallinie zwischen den Mittelpunkten; im letzteren Falle dagegen liegen die Kreise auf derselben Seite der Potenzlinie und diese schneidet die Centrallinie auf ihrer Verlängerung über den Mittelpunkt des kleineren Kreises. Liegen die Kreise A, B ganz ausserhalb einander, so ist AQ + BQ = AB. Bezeichnen wir der Kürze halber die Länge der Centrallinie AB durch c, so hat man also Ri — r 2 — AQ 2 —BQ 2 = {AQ -+- BQ) ■ {AQ — BQ) = c • {AQ — BQ). Die beiden Gleichungen AQ—BQ ^ ^ c AQ -h BQ — c führen nun zu Liegt dagegen der Kreis B ganz innerhalb des Kreises A, so ist AQ — BQ — c, woraus R 2 — r 2 AQ + BQ= — (Ri _ r 2 \ und daher AQ = -^1 --- -+- cj, BQ — | c , ( Ri _ r i folgt. Die ersteren — c Formeln gelten übrigens offenbar für alle Fälle, in denen Q zwischen A und B Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 24 37° Planimetrie. liegt, die letzteren für alle übrigen Fälle. Beide lassen sich in die folgenden vereinigen: Aus diesen Formeln ergiebt sich im Einzelnen noch Folgendes: Ist c = 0, so ist AQ = oo, d. h. die Potenzlinie zweier concentrischen Kreise liegt im Unendlichen. Wächst c von 0 bis R — r, so nimmt A Q von oo bis R ab. Bewegt sich also der Mittelpunkt B in gerader Linie von A bis zur Berührung der Kreise von innen, so bewegt sich die Potenzlinie in entgegengesetzter Richtung (und einander parallelen Lagen) aus dem Unendlichen bis zur Tangente A. Wächst c weiter von R — r bis R -l- r, so bewegt sich die Potenzlinie zunächst in gleicher Weise in der entgegengesetzten Richtung fort, indem sie den Kreis A schneidet, und zwar so lange bis B von A unter einem Durchmesser geschnitten wird, d. h. bis c 2 = R 2 — r 2 oder, was dasselbe ist, AQ = c ist. Die Potenzlinie geht dann durch den Mittelpunkt B selbst. Von da an nimmt AQ wieder zu, d. h. die Potenzlinie entfernt sich wieder von A und wird, wie schon bekannt, für R -h r wieder zur Tangente. Wächst c noch über R A-r, so wächst auch AQ, und zwar von R bis oo. Es giebt also stets zwei Lagen desselben beweglichen Kreises B, in denen er mit dem Kreise A dieselbe Potenzlinie hat; nur in dem Fall, dass die Potenzlinie durch den Mittelpunkt B geht, fallen beide Lagen zusammen. Sind B', B” zwei solche zusammengehörige Lagen des Mittelpunktes B, so ist B'Q mit B"Q von gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung. Hiernach ergiebt sich die Aufgabe, zu einem gegebenen Kreis und einer gegebenen Geraden als Potenzlinie desselben mit einem zweiten Kreis diesen zweiten Kreis zu construiren, wenn ausserdem der Radius des letzteren gegeben ist, als eine im Allgemeinen zweideutig bestimmte. Ihre Auflösung bedarf für die besonderen Fälle, in denen die Potenzlinie den gegebenen Kreis schneidet oder berührt, keiner weiteren Erörterung. Im anderen Fall kann dieselbe durch Construction von BQ aus der Gleichung AQ 2 — BQ 2 =R 2 — r 2 (bezw. BQ 2 — AQ 2 = R 2 — r 2 ) gefunden werden, da AQ als die von A auf die Potenzlinie gefällte Senkrechte, sowie R und r bekannt sind. — Ist der Radius des gesuchten Kreises B nicht gegeben, so giebt es unzählig viele Kreise, welche mit A dieselbe gegebene Potenzlinie haben. Ihre Mittelpunkte liegen sämmtlich auf der durch A senkrecht zur Potenzlinie gelegten Geraden. Schneidet beispielsweise die Potenzlinie den gegebenen Kreis, so genügt die ganze Schaar der durch dieselben zwei Durchschnittspunkte gehenden Kreise der Forderung. Das Gleiche gilt von allen den Kreis A in demselben Punkte wie eine gegebene Potenzlinie berührenden Kreisen. 4. Sind drei Kreise A, B, C gegeben, so erhält man durch Verbindung derselben zu je zweien drei Potenzlinien. Der Durchschnittspunkt irgend einer derselben, z. B. der Potenzlinie von A und B, mit einer zweiten, z. B. der Potenzlinie von A und C, hat die Eigenschaft, dass seine Potenz in Beziehung auf A gleich seiner Potenz in Beziehung auf B und auch gleich seiner Potenz in Beziehung auf C ist. Daher muss auch seine Potenz für B gleich seiner Potenz für C, d. h. er muss auch ein Punkt der Potenzlinie von B und C sein. Daher ergiebt sich der Satz: Die drei Potenzlinien dreier Kreise schneiden einander in einem und demselben Punkte. 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 371 Dieser Punkt heisst der Potenzpunkt oder das Potenzcentrum der drei Kreise. Im engeren Sinne existirt ein solcher Punkt nur dann, wenn die Mittelpunkte der drei Kreise A, B, C nicht in gerader Linie liegen, denn nur in diesem Falle schneiden die drei Potenzlinien einander in einem endlichen Punkte. Liegen dagegen die drei Mittelpunkte in einer Geraden, so sind im Allgemeinen die drei Potenzlinien einander parallel, der Potenzpunkt liegt also im Unendlichen. Im besonderen Falle können dann auch die Potenzlinien in eine und dieselbe Gerade zusammenfallen; dies ist der schon vorher erwähnte Fall, in welchem zwei (oder mehr) Kreise mit demselben dritten eine gemeinschaftliche Potenzlinie haben. Der vorstehende Satz vom Potenzpunkt enthält eine grosse Anzahl specieller Sätze als besondere Fälle in sich, von denen folgende beispielsweise Anführung verdienen: Schneiden drei Kreise einander wechselseitig, so schneiden ihre drei gemeinschaftlichen Sehnen einander in demselben Punkte. — Berührt jeder von drei Kreisen die beiden anderen, so gehen die durch die Berührungspunkte gelegten gemeinschaftlichen Tangenten durch einen und denselben Punkt. — Berührt ein Kreis jeden von zwei einander schneidenden Kreisen, so liegt der Durchschnittspunkt der durch die Berührungspunkte gehenden gemeinschaftlichen Tangenten auf der gemeinschaftlichen Secante. — Für alle Kreise, welche zwei gegebene Kreise schneiden (oder berühren) liegen die Durchschnittspunkte der beiden gemeinschaftlichen Sehnen (oder der entsprechenden Tangenten) in einer einzigen Geraden, nämlich der Potenzlinie jener beiden gegebenen Kreise. Man erhält insbesondere hierdurch auch eine sehr bequeme Methode der Construction der Potenzlinie zweier Kreise. Zeichnet man nämlich einen beliebigen, jene beiden schneidenden Kreis und bestimmt den Durchschnittspunkt der zugehörigen gemeinschaftlichen Secanten, so ist derselbe ein Punkt der Potenzlinie, wonach das Uebrige, wie früher gezeigt, leicht ist. 5. Denkt man sich den Radius eines Kreises stetig abnehmend, so kann der Mittelpunkt als die Grenze betrachtet werden, welcher sich der Kreis ohne Ende nähert. In diesem Sinne kann man sagen, dass ein Punkt als ein Kreis mit dem Radius Null angesehen werden dürfe. Man kann daher auch die vorstehenden Untersuchungen auf die Fälle ausdehnen, dass ein oder mehrere Kreise sich auf Punkte reduciren. Hiernach hat man unter der Potenz eines Punktes P in Beziehung auf einen gegebenen Punkt A das Quadrat der Entfernung beider Punkte von einander zu verstehen. Der geometrische Ort der Punkte, welche in Beziehung auf den gegebenen Punkt A die gegebene Potenz r 2 haben, ist also der mit einem Radius gleich r um A beschriebene Kreis. Die Potenzlinie eines Kreises A und eines Punktes B ist der geometrische Ort der Punkte, die in Beziehung auf diesen Kreis und diesen Punkt gleiche Potenzen haben. Um dieselbe zu bestimmen, hat man nur die entsprechenden vorstehenden Entwicklungen mit der Abänderung zu wiederholen, dass der Radius r des kleineren Kreises in denselben gleich Null gesetzt wird. Die gesuchte Potenzlinie ist eine Gerade und steht senkrecht zu der Verbindungslinie des Punktes B mit dem Mittelpunkt des Kreises A. Liegt B auf dem Kreise A, so ist die Potenzlinie die durch B gehende Tangente des Kreises; in allen anderen 24’ 372 Planimetrie. Fällen liegt die Potenzlinie ganz ausserhalb des Kreises, Ist B insbesondere der Mittelpunkt von A, so liegt die Potenzlinie im Unendlichen. Die Potenzlinie zweier Punkte A, B ist die auf der Verbindungsstrecke AB in ihrem Halbirungspunkte senkrechte Gerade. Die drei Potenzlinien zweier Kreise und eines Punktes oder eines Kreises und zweier Punkte oder dreier Punkte schneiden einander in einem und dem- selben Punkte, welcher der Potenzpunkte der Kreise oder Punkte genannt wird. Der Beweis dieses Satzes ist derselbe, wie im entsprechenden vorhergehenden Falle. Für den Fall dass drei Punkte gegeben sind, reducirt sich der vorstehende Satz auf den bekannten, dass die drei Mittelsenkrechten der Seiten eines jeden Dreiecks einander in einem und demselben von den Eckpunkten gleichweit entfernten Punkte schneiden. Ist ein Kreis nebst zwei auf demselben liegenden Punkten gegeben, so hat man den ebenfalls schon bekannten Satz: Je zwei Tangenten eines Kreises, welche einander schneiden, sind — von den Berührungspunkten bis zum Durchschnittspunkt gerechnet — gleich lang, und ihr Durchschnittspunkt liegt auf der zur Verbindungssehne der Berührungspunkte senkrechten (daher auch durch den Mittelpunkt gehenden) Geraden. Noch andere besondere Fälle sind in grosser Anzahl leicht zu entwickeln. 6. Da die Potenzlinie zweier Kreise, soweit sie ausserhalb der letzteren liegt, der geometrische Ort aller Punkte ist, von denen man an die beiden Kreise gleichlange Tangenten ziehen kann, so folgt, dass auf ihr die Halbirungspunkte sämmtlicher den beiden Kreisen gemeinschaftlicher (durch ihre Berührungspunkte begrenzter) Tangenten liegen müssen. Man hat bekanntlich, je nachdem die Kreise ganz ausserhalb einander liegen, einander von aussen berühren, einander schneiden oder einander von innen berühren, vier, drei, zwei oder eine solche Tangente und demnach die Sätze, dass im ersten Fall die vier betreffenden Halbirungspunkte der zwei äusseren und der zwei inneren Tangenten in einer zu der Centrale senkrechten Geraden liegen, im zweiten Fall die Halbirungspunkte der beiden äusseren Tangenten auf der einen inneren, im dritten die Halbirungspunkte der beiden nur noch vorhandenen äusseren Tangenten auf der gemeinschaftlichen Secante liegen. Man könnte hierauf eine weitere Methode der Construction der Potenzlinie zweier Kreise gründen, welche jedoch weitläufiger sein würde, als die zuletzt gefundene, und ausserdem den Nachtheil hätte, dass sie auf den Fall, dass der eine Kreis ganz innerhalb des anderen liegt, keine unmittelbare Anwendung finden könnte. Wichtiger erscheint diese Art der Behandlung, wenn der eine Kreis auf einen Punkt reducirt ist. Der obige Satz geht dann in den folgenden über: Die Potenzlinie eines Kreises und eines ausserhalb desselben gelegenen Punktes halbirt die beiden von dem Punkt an den Kreis gehenden Tangenten. Zieht man ferner die Berührungssehne EF zu den von einem Punkte D ausserhalb eines Kreises M an diesen gehenden Tangenten DE, DF, so ist diese, weil zu der Centrale DM senkrecht, zu der Potenzlinie des Punktes D und des Kreises M parallel. Der Abstand des Punktes C, in welchem die Be- 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 373 rührungssehne die Centrale schneidet, von dem Punkte D wird daher ebenso, wie die Tangenten, von der Potenzlinie halbirt. Da also die Potenzlinie die Mittelsenkrechte zu CD ist, so muss ihr Durchschnittspunkt G mit DE von C und D gleichweit entfernt sein. Es ist mithin auch GE= GC, also G ein Punkt, welcher in Beziehung auf den Kreis M und den Punkt C gleiche Potenzen hat. Hieraus geht hervor, dass die Potenzlinie von M und D zugleich die Potenzlinie von M und C ist, oder der Satz: Die Potenzlinie eines Kreises und eines innerhalb desselben liegenden Punktes Chalbirt die beiden Tangenten, deren Berührungssehne in dem Punkte C halbirt wird. Es lässt sich dieser Satz mit dem vorhergehenden vereinigen. Aus § 78 ist bekannt, dass die Punkte C und D, welche, wie eben gezeigt, dieselbe Potenzlinie mit dem Kreise M haben, den durch C gehenden Durchmesser harmonisch theilen. Daher gilt der Satz: Die Potenzlinie eines Kreises und eines Punktes halbirt den Abstand dieses Punktes von dem ihm zugeordneten harmonischen Theilpunkt des durch ihn bestimmten Durchmessers. Hiernach kann die Construction der Potenzlinie eines Kreises und eines Punktes auf verschiedene Weisen ausgeführt werden. Auf die Halbirung der Tangenten führt die Anwendung des Potenzpunktes. Um mit Hülfe desselben die Potenzlinie eines Kreises M und eines Punktes D zu construiren, kann man einen Kreis zeichnen, der durch D geht und M schneidet (oder berührt). Die gemeinschaftliche Sehne beider Kreise und die in D an den Htilfskreis gelegte Tangente müssen sich als betreffende Potenzlinien in dem zugehörigen Potenzpunkt schneiden, welcher also ein Punkt der gesuchten Potenzlinie ist. Noch einfacher nimmt man auf M irgend einen anderen Punkt H an und bestimmt das Potenzcentrum von M, D und H mittelst der in H an M gelegten Tangente und der Mittelsenkrechten von D und H. Da die Wahl von II willkürlich ist, so kann man für einen äusseren Punkt D den Berührungspunkt einer von D an M gelegten Tangente wählen, und man sieht, dass man dann auf den Satz zurückkommt, nach welchem der Halbirungspunkt dieser Tangente ein Punkt der gesuchten Potenzlinie ist. 7. Die Potenzlinie zweier Kreise ist ferner, soweit sie ausserhalb der letzteren liegt, der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche die beiden gegebenen zugleich rechtwinkelig schneiden. Entsprechend ist die Potenzlinie eines Kreises und eines Punktes der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche den gegebenen Kreis rechtwinkelig schneiden und durch den gegebenen Punkt gehen. Die Potenzlinie zweier Punkte führt in dieser Weise auf den bekannten geometrischen Ort der Mittelpunkte derjenigen Kreise zurück, welche durch die beiden Punkte gehen. Hiernach findet man leicht ohne Weiteres die Auflösungen folgender Aufgaben: Einen Kreis zu beschreiben, der zwei gegebene Kreise rechtwinkelig schneide, wenn a) sein Mittelpunkt auf einer gegebenen Linie liegen soll oder b) sein Durchschnittspunkt auf einem der Kreise oder c) sein Radius gegeben ist. Die entsprechenden Aufgaben können gelöst werden für einen Kreis, der einen gegebenen Kreis rechtwinkelig schneiden und durch einen gegebenen Punkt gehen soll. Die Potenzlinie zweier einander schneidenden Kreise ist ferner, soweit sie innerhalb der Kreise liegt (also die gemeinschaftliche Sehne der Kreise), der 374 Planimetrie. geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche von den beiden gegebenen zugleich unter Durchmessern geschnitten werden. Hiernach lassen sich den vorstehenden analoge Aufgaben über Kreise dieser letzteren Art bilden und lösen. Das Potenzcentrum führt endlich unmittelbar zur Auflösung folgender Aufgaben: Einen Kreis zu construiren, der a) drei gegebene Kreise zugleich rechtwinkelig schneide oder b) von jedem von drei gegebenen (einander sämmtlich schneidenden) Kreisen unter einem Durchmesser geschnitten werde, oder c) zwei gegebene Kreise rechtwinkelig schneide und durch einen gegebenen Punkt gehe oder c) einen gegebenen Kreis rechtwinkelig schneide und durch zwei gegebene Punkte gehe. § 81. Pole und Polaren. 1. Je zwei Punkte C, D, welche auf einer durch den Mittelpunkt M eines Kreises gehenden Geraden und auf derselben Seite von M so liegen, dass das Rechteck aus ihren Abständen von M gleich dem Quadrat des Radius, also MC • MD = ist, heissen einander zugeordnete Pole des Kreises M. Aus der vorstehenden Gleichung folgt ohne Weiteres: Ist einer der Faktoren MC, MD kleiner als der Radius r, so ist der andere grösser als r und umgekehrt; ist einer derselben gleich r, so ist auch der andere gleich r. Von zwei einander zugeordneten Polen eines Kreises liegt also der eine innerhalb, der andere ausserhalb des letzteren, oder es fallen beide in einem Punkte des Kreises zusammen. Im Folgenden soll im Allgemeinen MC<.r und also MD > r angenommen werden. Ist MC = 0, so ist MD = oo; wächst MC, so muss MD abnehmen. Mit anderen Worten: Dem Mittelpunkte des Kreises ist ein unendlich entfernter Punkt zugeordnet', bewegt sich der innere Punkt vom Mittelpunkt bis zum Kreise, so bewegt sich der äussere Punkt ihm entgegengesetzt aus dem Unendlichen bis zum Kreise. Selbstverständlich gelten auch die Umkehrungen dieser Sätze. Die so eben unmittelbar aus der obigen Gleichung abgelesenen Beziehungen zwischen C und D ergeben sich auch daraus, dass nach § 78 je zwei zu geordnete Pole eines Kreises den zu ihnen gehörigen Durchmesser d*ös letzteren harmonisch theilen. Umgekehrt sind jede zwei einander zugeordnete harmonische Theilpunkte eines Durchmessers auch einander zugeordnete Pole des Kreises. Ferner ergiebt sich ohne Weiteres aus früheren Entwicklungen, dass je zwei einander zugeordnete Pole in Beziehung auf ihren Kreis eine gemeinschaftliche Potenzlinie haben und umgekehrt, dass die Bertihruiigssehne der von dem äusseren Pol an den Kreis gehenden Tangenten von der zugehörigen Centrallinie in dem inneren Pol geschnitten und halbirt wird und dass jeder Kreis, welcher durch zwei einander zugeordnete Pole geht, den zu letzteren gehörigen Kreis rechtwinkelig schneidet. Endlich ergiebt sich auch die Aufgabe, zu einem gegebenen inneren oder äusseren Punkt für einen Kreis den zugeordneten Pol zu construiren, als nur eine verschiedene Form einer Aufgabe über harmonische Theilung einer gegebenen Strecke und kann daher auf mannigfache Weisen gelöst werden. Diejenige Gerade, welche in dem einen von zwei einander zugeordneten Polen eines Kreises zu der durch diese Pole gehenden Centrallinie senkrecht steht, heisst die Polare zu dem anderen Pol. Umgekehrt heisst letzterer der Pol der genannten Geraden. 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 375 Die Polare eines ausserhalb des Kreises liegenden Punktes geht hiernach durch die Berührungspunkte der von dem Punkt an den Kreis gezogenen Tangenten, die Polare eines auf dem Kreise liegenden Punktes ist die durch diesen Punkt gehende Tangente, die Polare eines innerhalb des Kreises liegenden Punktes liegt ganz ausserhalb des Kreises und geht durch den Durchschnittspunkt der beiden Tangenten, deren Berührungssehne in ihrem Pol halbirt wird. Die Polare des Mittelpunkts ist eine beliebige in unendlicher Entfernung gedachte Gerade. Jeder Durchmesser des Kreises ist die Polare des auf der zu ihm senkrechten Centrale in unendlicher Entfernung gedachten Punktes. — Nähert sich ein Punkt dem Kreise, so rückt auch seine Polare demselben näher und umgekehrt. — Die Aufgaben, zu einem Kreis und einem Punkt die Polare des letzteren und umgekehrt zu der gegebenen Polare und dem Kreis den Pol zu construiren, bedürfen keiner weiteren Erläuterung. 2. Es sei A ein beliebiger Punkt und MN seine Polare in Beziehung auf den Kreis K. Zieht man nun durch A eine beliebige Gerade und fällt auf dieselbe vom Mittelpunkt K die Senkrechte KP, welche MN in Q schneide, so ist, wenn B der zu A zugeordnete Pol, also KB senkrecht zu MNist, A KB Q = A KPA = R und daher A KB Q co A KPA. Hieraus folgt: KB : KQ = KP: KA oder KA ■ KB —KP ■ KQ. Da nun nach der Voraussetzung KA ■ KB = N, so ist auch KP ■ KQ = r 2 , d. h. P und Q sind ebenfalls einander zugeordnete Pole des Kreises K und AP ist also die Polare von Q. Hieraus folgt: Die Pole aller Geraden, die einander in einem und demselben Punkte A schneiden, liegen in einer Geraden, nämlich in der Polare dieses Punktes A, oder dreht sich eine Gerade um einen festen Punkt derselben, so bewegt sich ihr Pol auf der Polare dieses Punktes. Nimmt man umgekehrt auf der Polare eines Punktes A ausser dem zugeordneten Pol B des letzteren einen zweiten Punkt Q an, so folgt in gleicher Weise, dass die Polare von Q durch A gehen muss, oder bewegt sich ein Punkt auf der Polare eines andern, so dreht sich seine Polare um diesen letzteren Punkt. Sind also Q und Q' zwei beliebige Punkte und construirt man zu jedem derselben den zugehörigen Pol P, F in Beziehung auf den Kreis K und die zugehörige Polare, und sei A der Durchschnittspunkt dieser Polaren, so muss 3-76 Planimetrie. sowol Q als auch Q' auf der Polare des Punktes A liegen,, also muss die Gerade QQ' diese Polare sein. Die Verbindungslinie zweier Punkte ist hiernach die Polare des Durchschnittspunktes der Polaren jene rPunkte, und d erDurch schnitt s- punkt zweier Geraden ist der Pol der Verbindungslinie der zu jenen Geraden gehörigen Pole. — Umgekehrt, ist der Durchschnittspunkt zweier Geraden der Pol einer dritten Geraden, so geht diese dritte durch die Pole der beiden ersten. Als besondere Fälle ergeben sich aus dem Vorstehenden ohne Weiteres folgende Sätze: Liegen die Scheitel mehrerer Winkel, deren Schenkel einen Kreis berühren, in gerader Linie, so schneiden die zugehörigen Berührungssehnen einander in einem einzigen Punkt. Zieht man umgekehrt durch einen und denselben Punkt beliebig viele Sehnen tind durch die Endpunkte einer jeden der letzteren die Tangenten an den Kreis, so liegen die Durchschnittspunkte aller solcher Tangentenpaare in gerader Linie. 3. Zieht man durch einen Punkt B eine Sehne CD in einen Kreis K, welche (nöthigenfalls verlängert) von der Polare des Punktes B in E geschnitten werde,, so sind, wenn A der zugeordnete Pol und FG der zugehörige Durchmesser des Punktes B ist, die Linien DF, DG und DB, DA vier harmonische Strahlern Da nun DG auf dem zugeordneten Strahl DF senkrecht steht, so muss DG den Winkel BDA der beiden anderen Strahlen halbiren. Aus der Gleichheit der Peripheriewinkel CDG, GDFf folgt aber die Gleichheit der zugehörigen Bogen, bezw. Sehnen CG und GH, und die dann leicht zu beweisende Congruenz der Dreiecke CGA und GHA führt zu der Folgerung, dass auch die Winkel CAG, HAG einander gleich sind. Da ausserdem die Polare AE zu dem Strahl AG senkrecht ist, so sind AE, AB und AC, AH ebenfalls vier harmonische Strahlen und müssen daher die Secante DE in vier harmonischen Punkten schneiden. Somit ergiebt sich der Satz: Jede durch einen Pol gezogene Sehne eines Kreises wird durch diesen Pol und seine Polare harmonisch getheilt. K 3 In der Figur zu dem vorstehenden Beweis ist der Fall vorausgesetzt, dass B innerhalb des Kreises liegt. Für den entgegengesetzten Fall wird der Leser hier, wie bei anderen Sätzen dieses Kapitels, leicht die entsprechende Figur construiren, sodass derselbe Beweis ohne Aenderung des Wortlauts seine Gültigkeit behält. Umgekehrt muss jeder von zwei harmonischen Theilpunkten einer beliebigen Sehne CD eines Kreises auf der zu dem anderen Theilpunkt als Pol gehörigen Polare liegen, wie nun leicht indirekt bewiesen werden kann. Man versteht unter einander zugeordneten harmonischen Polen in Beziehung auf einen Kreis K im weiteren Sinne jede zwei Punkte B, E, welche eine Sehne DC des Kreises harmonisch theilen. Hiernach hat jeder Punkt B unendlich viele ihm zugeordnete Pole in Beziehung auf denselben Kreis, da durch B unendlich viele Sehnen gelegt werden können. Aus dem vorstehenden Satz geht hervor, dass alle diese einem und demselben Punkte B zugeordneten Pole auf 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. .377 einer Geraden liegen, nämlich auf der Polare von B, oder dass diese Polare (bezw., wenn B ausserhalb des Kreises liegt, der innerhalb des letzteren liegende Theil derselben) der geometrische Ort aller dem Pole B zugeordneten Pole irm weiteren Sinne ist. Zieht man demnach durch einen Punkt zwei beliebige Sehnen und bestimmt zu jeder derselben den jenem Punkt zugeordneten harmonischen Theilpunkt, so ist die Verbindungslinie dieser beiden Theilpunkte die Polare des ersten Punktes. Durch Verbindung der Endpunkte zweier durch einen und denselben Punkt in den Kreis gezogenen Sehnen entsteht ein dem Kreise einbeschriebenes Viereck. Es sei zunächst jener Punkt G ein innerhalb des Kreises K liegender, A C und BD seien die durch ihn gezogenen Sehnen, und das Viereck AB CD werde zum vollständigen Vierseit ergänzt. Dann trifft, wie früher gezeigt, die Verlängerung der inneren Diagonale AC die äussere Diagonale EF in dem zu G zugeordneten harmonischen Theilpunkte /; die Polare von G muss also durch / gehen. Ebenso trifft die Verlängerung der inneren Diagonale BD die äussere EF in dem zu G zugeordneten Theilpunkte H von EF) die Polare von G muss also auch durch H gehen. Diese Polare ist also die durch / und H gehende Gerade EF, und man hat den Satz: Der Durchschnittspunkt der inneren Diagonalen jedes einem Kreise einbeschriebenen vollständigen Vierseits ist der Pol der äusseren Diagonale. Daher muss ferner die Polare des auf dieser Geraden liegenden Punktes F durch diesen Pol gehen, und zieht man noch EG, welche Linie BC in dem zu F zugeordneten harmonischen Theilpunkte L schneiden muss, so ergiebt sich, dass die Polare von F auch durch L gehen muss, dass also EG die Polare von F ist. Selbstverständlich kann man in gleicher Weise zeigen, dass GF die Polare von E ist. Sind also durch einen ausserhalb des Kreises liegenden Punkt F die Sehnen CB, DA gezogen, so ergeben die übrigen Verbindungslinien der Endpunkte dieser Sehnen das überschlagene Viereck BCAD, welches zum vollständigen Vierseit ergänzt, die weiteren Eckpunkte G und E erhält, und es gilt wieder der Satz, dass der Durchschnittspunkt F der Diagonalen AD, BC der Pol der Diagonale EG ist. Es gilt also allgemein der Satz: Der Durchschnittspunkt zweier beliebiger Sehnen eines Kreises ist der Pol zu derjenigen Geraden, welche die Durchschnittspunkte der beiden übrigen Paare von Verbindungslinien der Endpunkte dieser Sehnen verbindet. Man kann diesen Satz auch wie folgt aussprechen: Verlängert man die Seiten eines einfachen Sehnenvierecks, sodass das zugehörige vollständige Vierseit entsteht, so bildet der Durchschnittspunkt der beiden inneren Diagonalen mit den beiden äusseren Eckpunkten ein Dreieck, in welchem jeder Eckpunkt der Pol der gegenüberliegenden Seite ist. Der vorstehende Satz giebt ein Mittel, um zu irgend einem gegebenen A 378 Planimetrie. Punkte und einem gegebenen Kreise die Polare mittelst des Lineals allein zu zeichnen. Ist nämlich E der gegebene, ausserhalb des Kreises liegende Punkt, so ziehe man durch E zwei beliebige Transversalen, welche den Kreis bezw. in B, A und C, D schneiden mögen, ergänze durch die Linien BC, AD, welche einander in F schneiden, das betreffende vollständige Vierseit, ziehe die nicht durch E gehenden Diagonalen A C und BD desselben und verbinde den Durch- schnittspunkt G der letzteren mit F. Die Gerade GE ist die verlangte Polare. — Dieselbe Construction gilt, wenn der gegebene Punkt ein innerhalb des Kreises liegender G ist. Man ziehe wieder durch G die beliebigen Transversalen AC, BD, ergänze das zugehörige vollständige Vierseit und bestimme die Durchschnittspunkte E von AB und CD, sowie F von AD und BC und ziehe endlich die gesuchte Polare EF. Da die Polare EG den Kreis in den Endpunkten der zu F gehörigen Berührungssehne schneiden muss, so lässt sich mit Hülfe der vorstehenden Construction in leicht ersichtlicher Weise auch die Aufgabe lösen: Von einem ausserhalb eines Kreises gegebenen Punkt F die Tangenten an den Kreis ohne Anwendung des Zirkels zu ziehen. 4. Zieht man zu allen Eckpunkten einer geradlinigen Figur die Polaren in Beziehung auf einen festen Kreis, so bilden diese Polaren die Seiten einer zweiten Figur, welche die Polarfigur der ursprünglichen genannt wird. Da der Durchschnittspunkt der Polaren zweier Punkte A , B der Pol der Verbindungslinie dieser Punkte ist, so sind auch die Eckpunkte der Polarfigur die Pole der entsprechenden Seiten der ursprünglichen. Diese letztere ist also die Polarfigur ihrer Polarfigur. Allgemeiner kann man sagen, dass wenn zu jedem Punkt irgend einer Figur die Polare und zu jeder Geraden derselben der Pol in Beziehung auf einen festen Kreis construirt wird, diese Polaren und Pole eine zweite Figur bilden, und dass jede dieser beiden Figuren die Polarfigur der anderen genannt wird. Man sagt auch, die zweite Figur sei aus der ersten durch Polarisation entstanden. Unmittelbar aus dieser Erklärung in Verbindung mit früheren Sätzen folgt: Die Polarfigur einer Punktreihe ist ein Strahlenbüschel und umgekehrt. — Die Polarfigur eines Tangenten-«-Ecks des festen Kreises ist das Sehnen-«-Eck, dessen Eckpunkte die Berührungspunkte des ersteren sind, und umgekehrt ist die Polarfigur eines Sehnen-«-Ecks des festen Kreises das Tangenten- «-Eck, dessen Berührungspunkte die Eckpunkte des ersteren sind. Es sei HGKI ein Tangenten- Viereck und AB CD das durch Polarisation aus demselben entstandene Sehnen -Viereck, und beide Vierecke seien zu den zugehörigen vollständigen Vierseiten ergänzt. Dann ist, wie früher gezeigt, der Durchschnittspunkt X der F inneren Diagonalen des Sehnen- Vierseits der Pol der äusseren Diagonale EF desselben. Ferner ist E der Durchschnittspunkt der Polare AB von H und der Polare CD von K, daher der Pol der Verbindungs- 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 379 linie dieser beiden Punkte, d. i. der Diagonale HK des Tangenten-Vierseits. Ebenso ist F als Durchschnittspunkt der Polare AD von G und der Polare BC von I der Pol der Diagonale IG. Hieraus folgt endlich, dass der Durchschnittspunkt der beiden Diagonalen HK und IG der Pol der Verbindungslinie EF ist, und dass derselbe folglich mit dem Punkte X zusammenfallen muss. Somit hat man den Satz: Die Diagonalen eines Tangenten-Vierecks und die Diagonalen des durch seine Berührungspunkte bestimmten Sehnen- Vierecks schneiden einander in einem und demselben Punkte, Da ferner der Durchschnittspunkt X der inneren Diagonalen des vollständigen Tangenten-Vierseits zugleich der Pol der äusseren Diagonale FQ desselben sein muss, so ergiebt sich aufs Neue der schon am Schluss des § 79 bewiesene Satz, dass die vier äusseren Eckpunkte E, F, P, Q in gerader Linie liegen. Aus dem vorstehenden Satz erhält man noch nachstehende Folgerungen: Da, wie bekannt, E der Pol von XF, zugleich aber, wie so eben gezeigt, E der Pol von HK ist, so geht die Diagonale HK des Tangenten-Vierecks in ihrer Verlängerung durch den äusseren Eckpunkt F des Sehnen-Vierseits, und ebenso muss die Verlängerung der Diagonale Gl des ersteren durch den äusseren Eckpunkt E des letzteren gehen. — Die Punkte E, F und P, Q sind vier harmonische Punkte. — In jedem vollständigen Tangentenvierseit ist jede Diagonale die Polare des Durchschnittspunktes der beiden anderen. Jedes vollständige Viereck ABCD wird durch Polarisation zu einem vollständigen Vierseit; dabei werden die einander gegenüberliegenden Eckpunkte des Vierecks zu einander gegenüberliegenden Seiten des Vierseits und die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks zu gegenüberliegenden Eckpunkten des Vierseits, endlich die Diagonalpunkte des ersteren zu den Diagonallinien des letzteren. Ebenso wird ein vollständiges Vierseit durch Polarisation zu einem vollständigen Viereck u. s. w. — Hiernach kann man auch die vorstehenden Sätze ihrem Wortlaut nach abändern. * 5. Zu einem Sehnen-Sechseck ABCDEF sei die Polarfigur des ihm umbeschriebenen Kreises, also das entsprechende Tangenten-Sechseck MNOPQR construirt. Nach dem Satze des Pascal liegen die drei Durchschnittspunkte der drei Paare gegenüberliegender Seiten des ersteren in einer Geraden. Da nun M der Pol der Seite AB und P der Pol der gegenüberliegenden Seite ED ist, so muss der Durchschnittspunkt X dieser beiden Seiten der Pol der Diagonale MP des Tangentensechsecks sein. Ebenso ist der Durchschnittspunkt Y von BC und FE der Pol der Diagonale NQ und der Durchschnittspunkt Z von CD und FA der Pol der Diagonale O R. Da nun die drei Pole X, Y, Z in gerader Linie liegen, so folgt dass die genannten drei Diagonalen einander in einem einzigen Punkte schneiden. Der so als Analogon des PASCAL’schen Satzes gefundene Satz: In jedem Tangentensechseck schneiden sich die drei Diagonalen, welche je zwei einander gegenüberliegende Eckpunkte verbinden, in einem einzigen Punkte wird der Satz des Brianchon genannt. Aus demselben folgen nachstehende Sätze durch Verkürzung des Abstandes 3 8 ° Planimetrie. eines oder mehrerer Paare aufeinanderfolgender Berührungspunkte der Seiten bis zum Zusammenfallen derselben, so dass jedesmal ein Eckpunkt als solcher verschwindet, indem er mit jenen beiden Berührungspunkten zusammenfällt (ein Polygonwinkel gleich 180 Grad wird): Verbindet man in eitlem Tangenten-Fünfeck einen Eckpunkt mit dem Berührungspunkt der gegenüberliegenden Seite, so geht die Verbindungslinie durch den Durchschnittspunkt der beiden Diagonalen, welche die Endpunkte dieser Seite mit den übrigen Eckpunkten verbinden. Jede Diagonale eines Tangenten-Vierecks geht durch die Durchschnittspunkte der beiden Paare von Geraden, welche die beiden anderen Eckpunkte mit den Berührungspunkten je zweier aneinanderstossender Seiten verbinden. Die drei Ecktransversalen eines Tangenten-Dreiecks, welche durch je einen Berührungspunkt der Seiten gehen, schneiden einander in einem einzigen Punkte. § 82. Aehnlichkeitspunkte und Aehnlichkeitspolaren. 1. Im § 59 ist gezeigt worden, dass zwei Kreise zwei Aehnlichkeitspunkte haben und dass diese die Centrallinie der Kreise im Verhältniss der Radien harmonisch theilen. Die dortigen Sätze sollen durch das Nachfolgende weiter- gefuhrt werden: Es seien A, B, C die Mittelpunkte dreier beliebiger Kreise. Zu diesen Kreisen ergeben sich drei Paare Aehnlichkeitspunkte, und zwar sei S' der äussere und /' der innere Aehnlichkeitspunkt für die Kreise A und B, und entsprechend seien S" und I" die betreffenden Punkte für A und C, S'" und I'" dieselben für B und C. Endlich seien die Radien der Kreise A, B, C bezüglich gleich r', r" und r"'. — Betrachtet man das Dreieck ABC, so sind S’, S", S'" auf den Verlängerungen der Seiten desselben liegende Punkte, und es ist MS' : BS' = r' : r", BS"':CS"' = r":r'", CS" \AS" = r"':r'. Durch Verbindung dieser drei Gleichungen mittelst Multiplication erhält man MS’ • BS"' ■ CS" = BS' ■ CS"’ ■ AS", und hieraus folgt, dass die Punkte S 1 , S", S"' in gerader Linie liegen. Dasselbe lässt sich von je zwei inneren Aehnlichkeitspunkten, z. B. /', I" und dem nicht zu ihnen gehörigen äusseren Aehnlichkeitspunkt S'" beweisen, denn von diesen drei Punkten liegen zwei auf Seiten des Dreiecks ABC, der dritte auf der Verlängerung der dritten Seite, und es ist MB : \BB =/ :/ BS’" : CS'" =r' :r’ CI" : ■.AI" =r’":r' und durch Multiplication ergiebt sich hieraus wieder: MI' ■ BS"' ■ CI" = BI' ■ CS'" ■ AI", woraus die Behauptung folgt. Ebenso wie I', I" und S'" liegen selbstverständlich auch B, /'" und S", sowie I", I"' und S' in je einer geraden Linie. Man hat also den Satz: Von den sechs Aehnlichkeitspunkten, welche zu drei Kreisen gehören, liegen sowol die drei äusseren als auch je zwei innere mit dem nicht zugehörigen äusseren in gerader Linie. Dieser Satz heisst der Lehrsatz des Monge. Die vier Geraden, auf welchen je drei der sechs Aehnlichkeitspunkte dreier Kreise liegen, heissen die Aehn- 7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 381 lichkeitsachsen oder Symmetralen dieser Kreise, und zwar diejenige, auf welcher die drei äusseren Aehnlichkeitspunkte liegen, die äussere, die übrigen innere Aehnlichkeitsachsen. Aus dem Lehrsatz von Monge folgen für bestimmte Lagen der drei Kreise bestimmte Sätze als besondere Fälle. Berührt z. B. ein Kreis jeden von zwei anderen gleichartig (d. h. beide von aussen oder beide von innen, bezw. um- schliessend), so geht die durch die beiden Berührungspunkte bestimmte Secante des ersteren durch den äusseren Aehnlichkeitspunkt der letzteren; berührt dagegen der eine Kreis die beiden anderen ungleichartig (den einen von aussen, den anderen von innen, oder umschliessend), so geht jene Secante des ersten durch den inneren Aehnlichkeitspunkt der beiden anderen. In ganz entsprechender Weise, wie oben der Lehrsatz von Monge, ergiebt sich der folgende: Die drei Verbindungslinien je eines der Mittelpunkte von drei Kreisen mit dem inneren Aehnlichkeitspunkte der zwei anderen schneiden einander in einem und demselben Punkt. Dasselbe gilt, wenn nur eine der drei Verbindungslinien nach dem inneren, jede der übrigen aber nach dem äusseren Aehnlichkeitspunkt der betreffenden anderen Kreise gezogen ist. 2. Jeder Aehnlichkeitsstrahl zweier Kreise, welcher dieselben schneidet, liefert vier Durchschnittspunkte mit den Kreisen, welche bekanntlich so liegen müssen, dass die zugehörigen Radien zwei Paare paralleler Linien bilden. Je zwei solche Punkte eines Aehnlichkeitsstrahls, welche verschiedenen dieser Paare angehören, von denen also der eine auf dem einen, der andere auf dem anderen Kreise liegt und deren Radien einander nicht parallel sind, heissen potenzhaltende Punkte der beiden Kreise für den betreffenden Aehnlichkeitspunkt. Schneiden zwei Kreise einander, so fallen in jedem Durchschnittspunkt zwei potenzhaltende Punkte für jeden Aehnlichkeitspunkt zusammen. Es seien P 2 , P\ die Werthe der Potenzen irgend eines Aehnlichkeitspunktes 1 zwei andere potenzhaltende Punkte für diesen Aehnlichkeitspunkt, so ist auch SC ■ SD 1 also SA- SB 1 = SC-SD lt d. h. das Produkt aus den Entfernungen zweier zu demselben Aehnlichkeitspunkt gehöriger potenzhaltender Punkte von diesem Aehnlichkeitspunkt hat für alle solche Paare potenzhaltender Punkte einen und denselben Werth. Dieser constante Werth wird die gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise für den betreffenden Aehnlichkeitspunkt genannt. 382 Planimetrie. 3. Die Polaren der Aehnlichkeitspunkte zweier Kreise in Beziehung auf diese nennt man die Aehnlichkeitspolaren der letzteren, und zwar die des äusseren Aehnlichkeitspunktes die äusseren und die des inneren Aehnlichkeitspunktes die inneren Aehnlichkeitspolaren. Aus dem Lehrsatz von Monge wurde bereits die Folgerung gezogen, dass die Verbindungslinie der beiden Punkte, in welchen ein Kreis zwei andere Kreise berührt, durch einen Aehnlichkeitspunkt der letzteren geht. Berührt also ein Kreis O zwei andere Kreise M x , M 2 , so sind die beiden Berührungspunkte potenzhaltende Punkte in Beziehung auf einen Aehnlichkeitspunkt dieser letzteren Kreise, und zwar ist dieser Aehnlichkeitspunkt der innere oder der äussere, je nachdem O die Kreise M v M 2 ungleichartig oder gleichartig berührt. Man nennt denjenigen Aehnlichkeitsstrahl zweier Kreise, welcher durch die Berührungspunkte derselben mit einem dritten Kreise geht, einen Berührungsstrahl derselben. Werden zwei Kreise M v M 2 von einem dritten Kreise O gleichartig berührt, so geht jede ihrer äusseren Aehnlichkeitspolaren durch S den zu demselben Kreis gehörigen Pol des Berührungsstrahls, denn berührt der Kreis O den Kreis M l in B t und M 2 in B 2 und schneidet der Aehnlichkeitsstrahl SB 2 B 1 den Kreis M 1 zum zweitenmal in C, so müssen sich die Polaren der drei in gerader Linie liegenden Punkte C, B v S in einem und demselben Punkte schneiden. Nun sind die in C, bezw. B x an M l gelegten Tangenten die Polaren dieser Punkte, und somit ist der Durchschnittspunkt A dieser Tangenten jener Punkt, durch welchen auch die Polare von S für den Kreis M 1 gehen muss. Dieser Punkt P ist ferner als Durchschnittspunkt der Polaren CP, B X P der Pol von CB V d. h. der Pol des Berührungsstrahls SC für den Kreis M x . In ganz analoger Weise kann bewiesen werden, dass, wenn zwei Kreise von einem dritten ungleichartig berührt werden, jede ihrer inneren Aehnlichkeitspolaren durch den zu demselben Kreise gehörenden Pol des Berührungsstrahls geht. Werden zwei Kreise M v M 2 von einem dritten Kreise O gleichartig berührt, so verhält sich die Entfernung des Mittelpunkts O von der Potenzlinie der Kreise M v M 2 zu der Entfernung des Mittelpunkts irgend eines dieser letzteren Kreise von der äusseren Aehnlichkeitspolare desselben Kreises wie der Radius p von O zu dem Radius r des genannten anderen Kreises. — Die Potenzlinie der Kreise M v M 2 geht nämlich, wie bekannt, durch den Durchschnittspunkt K der Potenzlinie von O und M x und der Potenzlinie von O und M 2 , d. h. durch den Durchschnittspunkt der in den Berührungspunkten B x und B 2 an 0 gelegten Tangenten. Die durch K senkrecht zur Centrallinie M x M 2 gehende Gerade ist also jene Potenzlinie. Da die Aehnlichkeitspolare PQ ebenfalls senkrecht zu M X M 2 ist, 7- Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie. 383 so ist PQ jener Potenzlinie parallel. Zieht man nun OL senkrecht zu letzterer sowie die Tangente KB X P und verbindet O mit K, so ist LO parallel zu M X Q, und da OK senkrecht zu der Berührungssehne B X B 2 des Punktes K für den Kreis O und M x P senkrecht zu B X C steht, so ist M X P parallel zu OK, also t\M x PQ 00 & LOK, folglich OL : M x Q = OK: M X P. Nun ist OK\M x P — OB x : M X B X = p : r, woraus sich endlich die obige Behauptung ergiebt. In analoger Weise lässt sich der Satz beweisen: Werden zwei Kreise M x , M 2 von einem dritten Kreise O ungleichartig berührt, so verhält sich die Entfernung des Mittelpunktes O von der Potenzlinie der Kreise M x , M 2 zu der Entfernung des Mittelpunkts eines dieser letzteren Kreise von der inneren Aehnlichkeitspolare desselben Kreises, wie der Radius von O zu dem Radius des genannten anderen Kreises. Es mögen ferner drei Kreise M x , M 2 , M ?j von einem vierten Kreise O gleichartig berührt werden. Man construire die Potenzlinie von M x und M 2 sowie die äussere Aehnlichkeitspolare dieser letzteren Kreise für M x und ziehe OL x senkrecht zur ersteren, M x Q x senkrecht zur letzteren Linie. In gleicher Weise construire man die Potenzlinie, die äussere Aehnlichkeitspolare und die Senkrechten OL 2 und M x Q 2 für die Kreise M x und M s . Der Durchschnittspunkt P der Potenzlinien ist dann bekanntlich der Potenzpunkt und der Durch- . schnittspunkt P x der Aehnlichkeitspolaren der Pol der äusseren Aehnlichkeits- achse der Kreise M x , M 2 , M % . Nun sind die Seiten des Vierecks M X Q X P X Q % paarweise den Seiten des Vierecks OL x PL 2 parallel, und es ist M X \Q X : OL x = M x Q 2 : O Z 2 = r : p. Man kann ferner leicht zeigen, dass auch M X P X || OP und M x P x : OP = r : p ist. Hieraus folgt dass P x B x P eine gerade Linie sein muss, oder der Satz: Werden drei Kreise von einem vierten gleichartig berührt, so liegt der Potenzpunkt der ersteren mit dem Pol ihrer äusseren Aehnlichkeitsachse für irgend einen derselben mit dem Berührungspunkte dieses Kreises in gerader Linie. In analoger Weise lässt sich wieder der entsprechende Satz beweisen: Werden drei Kreise von einem vierten ungleichartig berührt, so liegt der Potenzpunkt der ersteren mit dem Pol einer ihrer inneren Aehnlichkeitsachsen für irgend einen dieser Kreise mit dem Berührungspunkt desselben Kreises in gerader Linie. Die betreffende innere Aehnlichkeitsachse ist jedesmal diejenige, welche den äusseren Aehnlichkeitspunkt derjenigen beiden Kreise enthält, welche von dem vierten Kreise gleichartig berührt werden. Da der Potenzpunkt P der Kreise M x , M % , M v der Berührungspunkt B x von M x mit dem vierten Kreise O und der Pol P x der betreffenden Aehnlichkeitsachse A x A 2 zufolge der beiden vorhergehenden Sätze stets in gerader Linie liegen, so gehen die Polaren dieser drei Punkte für den Kreis M x durch einen Und denselben Punkt. Nun ist die Polare für B x die durch B x gehende gemeinschaftliche Tangente der Kreise M x und O und die Polare von P x die Aehnlichkeitsachse A x A 2 - Der Durchschnittspunkt dieser beiden Polaren ist also zugleich der Durchschnittspunkt derselben mit der Polare von P, und man hat den Satz: Werden drei Kreise von einem vierten berührt, und construirt man die drei Polaren des Potenzpunktes der ersteren in Beziehung auf dieselben, so schneidet jede dieser Polaren eine der vier Aehnlichkeitsachsen der drei Kreise in einem solchen Punkte, dass eine von ihm an den zugehörigen Kreis gezogene Tangente diesen in seinem Berührungspunkt mit dem vierten Kreise trifft. 4 . In allen vorstehenden Untersuchungen kann jeder der Kreise M x , M 2 , M s 384 Planimetrie; durch einen Punkt ersetzt werden, indem man sich denkt, dass der stetig abnehmende Radius dieses Kreises schliesslich gleich Null geworden sei. In gleicher Weise kann man sich auch den Radius stetig zunehmend denken und schliesslich denselben unendlich gross annehmen, wodurch der Kreis in eine Gerade übergeht. Für einen Kreis und einen Punkt ist offenbar der letztere gleichzeitig äusserer und innerer Aehnlichkeitspunkt, und dasselbe gilt für einen Punkt und eine Gerade. Für einen Kreis und eine Gerade sind die Endpunkte des zu letzterer senkrechten Durchmessers des ersteren die Aehnlichkeitspunkte. Die nähere Ausführung dieser Untersuchungen wird hier der eigenen Thätig- keit des Lesers, eine vollständigere und systematische Kenntniss der Lehren der neueren Geometrie dem Studium der besonderen einschlägigen Werke überlassen, von denen wir als grundlegende Steiner, Systematische Entwicklung, v. Staudt, Geometrie der Lage, Chasles, Geometrie superieure, sowie Moebius, Barycen- trischer Calcul namhaft machen. Im Folgenden soll nur noch die Anwendung vorstehender Lehren zur Auflösung des im § 76 erwähnten Problems des Apollo- nius kurz angegeben werden. 5. Als der allgemeinste Fall der betreffenden Aufgabe kann für die Ebene derjenige betrachtet werden, in welchem verlangt wird, einen Kreis zu con- struiren, der drei gegebene Kreise berührt. Lässt man nämlich in der Auflösung desselben einen oder mehrere dieser letzteren Kreise, wie vorher unter 4 gezeigt, in Punkte oder gerade Linien übergehen, so erhält man die Auflösungen der übrigen besonderen Fälle des allgemeinen Problems. Es wird daher für den vorliegenden Zweck die Behandlung jenes einen Falles genügen. — Die Construction des gesuchten Kreises ergiebt sich für denselben ohne Weiteres aus dem letzten der in diesem Paragraph unter 3 abgeleiteten Sätze wie folgt: Man construire den Potenzpunkt P der drei gegebenen Kreise M v M 2 , M 3 und eine ihrer Aehnlichkeitsachsen A 1 A 2 , ferner die Polare von P für einen der gegebenen Kreise, z. B. M v und ziehe von dem Durchschnittspunkt dieser Polare mit der Aehnlichkeitsachse eine Tangente an diesen Kreis M x . Der Berührungspunkt B 1 dieser Tangente ist zugleich der Berührungspunkt zwischen dem Kreise M l und dem gesuchten O, und der Mittelpunkt des letzteren ist der Durchschnittspunkt der durch B x und den Mittelpunkt M x gehenden Geraden mit der von P auf A X A 2 gefällten Senkrechten. — Ist bei dieser Construction die gewählte Aehnlichkeitsachse A X A 2 die äussere, so berührt der gesuchte Kreis O die drei gegebenen gleichartig, ist dagegen A t A 2 eine innere Aehnlichkeitsachse, so berührt O diejenigen gegebenen Kreise gleichartig, deren äusserer Aehnlichkeitspunkt auf A X A 2 liegt, den dritten aber ungleichartig. — Da man jede der vier Aehnlichkeitsachsen benutzen kann und dabei jedesmal von ihrem Durchschnittspunkt mit der Polare zwei Tangenten an M x möglich sein können, so kann die Anzahl der Kreise O, welche der Aufgabe genügen, bis zu acht betragen. Die nähere Untersuchung dieser verschiedenen Auflösungen je nach der gegenseitigen Lage und Grösse der drei gegebenen Kreise, insbesondere auch die Angabe der Bedingungen, unter welchen sich jene Anzahl von acht Auflösungen auf eine kleinere reducirt, möge hier der Kürze halber übergangen werden, ebenso die Abänderung, welche mit der Construction vorzunehmen ist, wenn die Mittelpunkte der drei gegebenen Kreise in gerader Linie liegen. Stereometrie. Bearbeitet von D r. F. Reidt in Hamm. Einleitung. 1. Durch einen Punkt im Raume lassen sich unzählig viele Gerade gezogen denken; durch zwei Punkte ist auch im Raume die Lage einer Geraden bestimmt. Durch einen Punkt im Raume lassen sich unzählig viele Ebenen gelegt denken. Jede Ebene, welche durch zwei gegebene Punkte gelegt ist, enthält zufolge des Begriffs der Ebene die durch diese Punkte bestimmte Gerade ihrer ganzen Länge nach in sich. Aus ihrer Ausdehnung nach zwei Dimensionen aber folgt, dass ihre Lage durch diese Gerade noch nicht bestimmt sein kann; die Ebene kann, vielmehr unendlich viele Lagen annehmen, ohne dass jene Gerade aufhört, in ihr zu liegen. Der Uebergang aus einer dieser Lagen in die andere erfolgt durch Drehung um jene Gerade als Drehungsachse. Diese drehende Bewegung wird aufgehoben durch Annahme eines weiteren, ausserhalb dieser Achse liegenden festen Punktes. Somit ergiebt sich: Eine Ebene ist ihrer Lage nach bestimmt durch drei nicht in gerader Linie liegende Punkte, oder, was auf dasselbe hinauskommt, durch eine Gerade und einen ausserhalb derselben liegenden Punkt, oder durch zwei einander schneidende Gerade, oder durch drei gerade Linien, welche einander gegenseitig in verschiedenen Punkten schneiden. In jedem dieser Fälle lässt sich also durch die gegebenen Stücke eine Ebene Und zwar nur eine einzige legen. Dass auch durch zwei parallele Gerade sich stets eine Ebene legen lässt, folgt aus der Erklärung solcher Geraden, in welcher diese Eigenschaft als Bedingung enthalten war. Dass sich aber durch zwei Parallele Gerade stets nur eine einzige Ebene legen lässt, ergiebt sich aus dem Vorhergehenden. Entsprechendes gilt von einem Kreise. Zwei von einem und demselben Punkte ausgehende Gerade bilden auch im Raume einen ebenen Winkel. Ebenso ist jedes Dreieck eine ebene Figur. Dagegen liegen vier oder mehr Punkte, oder deren Verbindungslinien nicht noth- Wendig in einer und derselben Ebene. 2. Da durch zwei Punkte die Lage einer Geraden bestimmt ist, so sind für die gegenseitige Lage zweier verschiedenen Geraden auch im Raume nur die Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. ' 2 $ 3 86 Stereometrie. beiden Fälle denkbar, dass sie einen Punkt gemeinsam haben, also einander in diesem Durchschnittspunkt schneiden, oder dass sie in ihrer ganzen unbegrenzten Erstreckung keinen Punkt gemeinsam haben. Im letzteren Falle sind sie jedoch nicht nothwendig einander parallel, denn legt man durch eine Gerade und einen ausserhalb derselben gegebenen Punkt die Ebene und zieht dann eine Gerade durch diesen Punkt und einen zweiten, ausserhalb der Ebene Hegenden Punkt, so können die beiden geraden Linien einander nicht schneiden, sind aber auch nicht einander parallel, da sie nicht in derselben Ebene liegen. Solche Linien sollen windschiefe oder einander kreuzende Gerade genannt werden. 3. Ueber die möglichen Lagen einer Geraden zu einer Ebene oder einer Ebene zu einer Ebene wird in den nächsten Abschnitten gehandelt. Vorläufig kann über dieselben Folgendes angegeben werden: Da eine Gerade, welche mit einer Ebene zwei Punkte gemeinsam hat, ganz in die Ebene fällt, so sind, wenn hiervon abgesehen wird, nur noch zwei verschiedene Lagen einer Geraden gegen eine Ebene denkbar. Sie kann nämlich mit der Ebene entweder einen einzigen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam haben. Die Möglichkeit des ersteren Falles leuchtet sogleich ein, da man jeden Punkt einer Ebene mit jedem ausserhalb der letzteren liegenden Punkt durch eine Gerade verbinden kann. Man sagt dann, die Gerade und die Ebene schneiden einander in jenem Punkte, dem Durchschnittspunkt. Die Möglichkeit des zweiten Falles bedarf dagegen eines Beweises, welcher daher im Folgenden noch wird gegeben werden müssen. Zwei Ebenen, welche einen Punkt gemeinsam haben, ohne ganz zusammenzufallen, werden einander schneidende Ebenen genannt. Zwei solche Ebenen haben immer eine Linie gemeinsam; dies folgt aus ihrer Ausdehnung nach zwei Dimensionen. Die Durchschnittslinie zweier Ebenen ist stets eine Gerade, denn wäre dies nicht der Fall, so Hessen sich in der Durchschnittslinie drei nicht in gerader Linie liegende Punkte annehmen, welche also beiden Ebenen gemeinsam wären. Da aber durch drei solche Punkte die Lage einer Ebene bestimmt ist, so müssten die beiden Ebenen gegen die Voraussetzung einander decken. Hieraus ergiebt sich ferner, dass bei zwei Ebenen nur die folgenden Lagen gegen einander zulässig sind: 1. sie haben keinen Punkt gemeinsam, 2. sie schneiden einander in einer Geraden, 3. sie fallen zusammen. — Die Möglichkeit des ersten Falles bedarf noch des Beweises. Im Vorstehenden sind die Geraden und Ebenen, wie selbstverständlich, als unbegrenzt gedacht. Eine begrenzte Ebene könnte beispielsweise noch bewegt werden, ohne damit aufzuhören, dieselben drei, nicht in gerader Linie liegenden Punkte zu enthalten. Diese Bewegung würde eine gleitende längs der eigenen Erstreckung der Ebene sein. — Jede begrenzte Ebene lässt sich Uber ihre Grenzen bis in’s Unendliche erweitern. 3^7 Erster Abschnitt: Verbindungen von Geraden oder Ebenen. Kapitel 1. Verbindung einer Ebene mit Geraden. § 1. Senkrechte Gerade. 1. Wir nehmen zunächst den Fall an, dass eine Gerade AB eine Ebene MN schneide. Durch den Durchschnittspunkt F, welcher auch der Fusspunkt der Geraden genannt wird, lassen sich unendlich viele in der Ebene MN liegende gerade Linien ziehen, und es bietet sich der Untersuchung zunächst die Frage nach der Lage der Geraden AB gegen diese verschiedenen Linien dar. Denkt man sich durch die Schenkel eines im Raume gegebenen Winkels AFC zwei zusammenfallende Ebenen gelegt und darauf die eine derselben um einen der Schenkel, z. B. AF, gedreht und in einer zweiten Lage AFD festgehalten, so lässt sich durch die beiden Schenkel FC, FD eine Ebene legen. Die in ihrer Lage unverändert gebliebene Gerade AF bildet dann mit den zwei Geraden FC, FD dieser Ebene gleiche Winkel. War insbesondere der ursprüngliche Winkel ein rechter, so steht die Gerade AF auf zwei Geraden der Ebene DFC zugleich senkrecht. Es ist also möglich, eine Gerade AB und eine Ebene MN so zu construiren, dass erstere mit zwei durch ihren Fusspunkt in letzterer gezogenen Geraden FC, FD zugleich rechte Winkel bildet. Zieht man in diesem Falle eine beliebige dritte Gerade FE in der Ebene durch den Fusspunkt von AB, so lässt sich beweisen, dass AB auch auf FE senkrecht stehen muss. Denn trägt man auf AB von F aus gleiche Strecken FG, FH ab, schneidet ferner die drei Geraden FC, FE, FD durch eine vierte Gerade bezüglich in /, K, L und verbindet G und H mit diesen drei Durchschnittspunkten, so ist — wie leicht aus den betreffenden planimetrischen Sätzen nachweisbar —■ 1. A GFDSB A HFI, daher GI= HI, 2. A GFL = A HFL, daher GL = HL, 3. A GIL §§ A HIL, daher Z GLI= Z HLI, 4. A GLK ss A HLK, daher GK= HK, 5. A GFK SS A HFK, daher Z GFK— Z HFK. Da nun diese letzteren Winkel zugleich in der durch GII und FK bestimmten Ebene Nebenwinkel sind, so muss jeder derselben ein rechter sein, d. h. GF muss senkrecht auf FK stehen. 25* 388 Stereometrie. Dass in dem vorstehenden Beweise die congruenten Dreiecke nicht in derselben Ebene liegen, hindert nicht die Anwendung der in der Planimetrie bewiesenen Congruenzsätze, denn die Gestalt und Grösse der Dreiecke wird durch Verlegung derselben in verschiedene Ebenen nicht beeinflusst. Eine Gerade, welche auf zwei Geraden einer Ebene senkrecht steht, steht somit auf allen durch ihren Fusspunkt gehenden Geraden dieser Ebene senkrecht (1). Eine solche Gerade und eine solche Ebene heissen senkrecht zu einander. Zum Nachweis, dass eine Gerade zu einer Ebene senkrecht stehe, genügt es also zu zeigen, dass sie auf zwei Geraden dieser Ebene senkrecht ist. Jede eine Ebene schneidende Gerade, welche nicht senkrecht zu derselben steht, heisst schief zu ihr. 2. Der obige Satz gestattet eine Umkehrung: Steht eine Gerade AB senkrecht zu beliebig vielen Geraden, welche sie sämmtlich in demselben Punkte schneiden, so liegen diese letzteren Geraden in einer und derselben Ebene (2). Denn construirt man durch zwei beliebige dieser A Geraden, FC und FD, die Ebene, so ist nur zu zeigen, dass jede dritte dieser Geraden, z. B. FE, in diese Ebene fallen muss. Wäre dies aber nicht der Fall, so müsste die durch AF und FE bestimmte Ebene die Ebene FCD in einer von FE verschiedenen Geraden FG schneiden. Da AF nun zu FC und FD senkrecht ist, und mithin auch zu der Geraden FG derselben Ebene senkrecht stehen müsste, so gäbe es zwei Gerade FE und FG, welche gleichzeitig auf AF in demselben Punkte und in derselben Ebene AFG senkrecht wären, was bekanntlich nicht möglich ist. Auf einer Geraden können also im Rau m e unzählig viele gerade Linien in demselben Punkte senkrecht stehen. Der geometrische Ort derselben ist die in diesem Punkte zu der ersten Geraden senkrechte Ebene. — Dreht man die Ebene eines rechten Winkels um einen Schenkel desselben als Achse, so beschreibt der andere Schenkel eine Ebene, und zwar eine, welche zu jener Achse senkrecht steht. 3. Ist AB eine zu einer Ebene MN in B senkrecht stehende Gerade, CD eine zu AB parallele Gerade, welche MN in D treffe, und C ein beliebiger Punkt dieser Parallelen, so kann man in der durch AB und CD gehenden Ebene die Geraden BC und BD ziehen, und es ist CD als Parallele zu AB wie diese zu BD senkrecht. Zieht man noch in MN die Senkrechte in B auf BD, giebt derselben die Länge BE=CD und zieht DE und CE, so ist 1. f\BCD = E,EBD und folglich BC = DE, daher auch 2. A EBC A EDC, mithin Z CDE = Z CBE . Da nun EB zu AB und BD, mithin zu der ganzen durch AB und BD bestimmten Ebene, also auch zu der dritten Geraden BC dieser Ebene senkrecht ist, so folgt, dass auch der Winkel CDE ein rechter sein muss. CD steht somit auf zwei Geraden der Ebene MN, nämlich auf BD und ED senkrecht, also gilt der Satz; i. Verbindung einer Ebene mit Geraden. 389 Steht eine Gerade senkrecht zu einer Ebene, so steht auch jede zu ihr parallele Gerade auf dieser Ebene senkrecht (3). Setzt man umgekehrt voraus, dass CD ebenso wie AB zu MN senkrecht stehe, so ergiebt sich durch eine ganz entsprechende Beweisführung (in umgekehrter Ordnung) oder auch auf indirectem Wege: Alle geraden Linien, welche zu derselben Ebene senkrecht stehen, sind einander parallel (4). Im letzteren Satze ist stillschweigend vorausgesetzt, dass die beiden Senkrechten die Ebene in verschiedenen Punkten treffen. Das Gegentheil hiervon ergiebt sich als unmöglich, oder Auf derselben Ebene lässt sich in demselben Punkte nicht mehr als eine einzige Senkrechte errichten (5). Denn ist BA in B auf MN senkrecht und B C irgend eine zweite Gerade, welche MN in B schneidet, so muss die durch BA und BC bestimmte Ebene die Ebene MN in einer Geraden BD schneiden, und da AB senkrecht auf BD stehen muss, kann die in derselben Ebene liegende B C nicht gleichzeitig auf BD, und also auch nicht auf der Ebene MN senkrecht stehen. 4. Hiermit ist freilich noch nicht erwiesen, dass sich überhaupt in jedem Punkte einer gegebenen Ebene eine senkrechte Gerade errichten M lasse, während die entgegengesetzte Behauptung, dass sich durch jeden Punkt einer gegebenen Geraden eine zu dieser senkrechte Ebene legen lässt, leicht ausdemFrühe- ren folgt. Indem wir uns den Beweis für die erstere Behauptung Vorbehalten, wollen wir zunächst bemerken, dass sich auch durch jeden Punkt einer gegebenen Geraden nicht mehr als eine einzige zu dieser senkrechte Ebene legen lässt, denn anderenfalls müssten in jeder durch diese Gerade gelegten Ebene zwei Linien — nämlich die Durchschnittslinien der Hülfsebene mit zwei senkrechten Ebenen — gleichzeitig in demselben Punkte auf der Geraden senkrecht stehen. In ähnlicher Weise lässt sich zeigen, dass durch einen ausserhalb einer Geraden gegebenen Punkt stets eine und nur eine einzige senkrechte Ebene — und ebenso auch nur eine einzige senkrechte Gerade zu jener Geraden gelegt werden kann. Durch einen ausserhalb einer Ebene gegebenen Punkt ferner lässt sich nie mehr als eine einzige zu derselben senkrechte Linie ziehen, denn ist (Fig. S. 391 ) AB von A aus senkrecht auf MN gefallt und A C eine zweite Gerade, welche MN in C treffe, so schneidet die durch AB und A C bestimmte Ebene die Ebene MN in BC, und da AB senkrecht auf BC ist, so kann nicht in derselben Hülfsebene auch AC senkrecht auf BC sein. Hiermit ist aber ebenfalls noch nicht bewiesen, dass sich von jedem ausserhalb einer Ebene gegebenen Punkt stets eine senkrechte Gerade auf die Ebene fällen lasse. — Um diesen, sowie den oben vorbehaltenen Beweis zu liefern, seien durch einen in der Ebene MN gegebenen Punkt B in dieser Ebene zwei 39 ° Stereometrie. beliebige Gerade unter einem rechten Winkel DBC zu einander gezogen. Dreht man nun die Ebene eines mit diesem Winkel zusammenfallenden Winkels um BC, so beschreibt der andere Schenkel eine zu BC senkrechte Ebene. In dieser letzteren lässt sich die Senkrechte B A auf BD errichten, und BA muss zugleich eine der Lagen sein, welche der die Ebene beschreibende Schenkel nacheinander einnahm; mithin steht BA zu BC und zu BD gleichzeitig, also auch zu MN senkrecht, und es ist somit bewiesen, dass sich in jedem Punkte A einer Ebene eine zu dieser senkrechte Gerade errichten lässt. Da man aber durch jeden ausserhalb einer Ebene gegebenen Punkt zu jeder beliebigen auf der Ebene senkrecht errichteten Geraden die Parallele ziehen kann, so folgt mit Hülfe des Früheren auch die Richtigkeit der zweiten Behauptung. Hieraus folgt leicht: § 2. Schiefe Gerade. 1. Es sei AB eine Gerade, welche zu einer Ebene MN schief stehe, und F ihr Fusspunkt. Von zwei beliebigen Punkten C, E, der Geraden seien die Senkrechten CD, EG auf MN gefällt, so ist CD || EG, daher durch CD und EG eine Ebene möglich, welche MN in der durch D und G gehenden Geraden schneiden muss. Da in dieser Ebene die beiden Punkte C und E der schiefen Geraden liegen, also auch diese letztere selbst ihrer ganzen Erstreckung nach in diese Ebene fällt, so muss auch F in letzterer, und somit in der Durchschnittslinie DG liegen. Die Punkte D, G, F liegen also stets in gerader Linie. Alle von Punkten einer schief stehenden Geraden auf die betreffende Ebene gefällten Senkrechten liegen in einerund derselben Ebene; ihre Fusspunkte liegen in einer einzigen, durch den Fusspunkt der schiefen Linie gehenden Geraden (1). Die von einem Punkt auf eine Ebene gefällte Senkrechte heisst die projici- rende Linie des Punktes in Beziehung auf die Ebene; der Fusspunkt der Senkrechten heisst die Projection des Punktes auf die Ebene. Der geometrische Ort der Projectionen aller Punkte einer Linie auf eine Ebene wird die Projection, der geometrische Ort der projicirenden Linien jener Punkte die projicirende Fläche dieser Linien genannt. Die projicirende Fläche einer schiefen Linie auf die betreffende Ebene ist also selbst eine Ebene; die Projection der Linie ist eine Gerade. Der Winkel zwischen einer schiefen Linie und ihrer Projection heisst der Neigungswinkel jener Linie gegen die Ebene; die Projection wird auch der Neigungsschenkel genannt. 2. Werden von einem Punkte A ausserhalb einer Ebene MN die Senkrechte AB und beliebige schiefe Linien AC, AD, AE, ... gezogen, so ergiebt sich durch die mit Hülfe der Verbindungslinien B C, BD, BE, . . . entstehenden rechtwinkeligen Dreiecke, 1) dass die Senkrechte die kürzeste Linie zwischen A und MN ist (2). Daher nennt man die Länge dieser Senkrechten den Abstand oder die Entfernung des Punktes von der Ebene. 2) Alle schiefen Linien AC, AD, deren Fusspunkte gleich weit vom Fuss- I. Verbindung einer Ebene mit Geraden. 391 punkt der Senkrechten abstehen, sind gleich lang und haben gleiche Neigungswinkel gegen die Ebene, denn die Dreiecke ABC, ABD sind congruent. Umgekehrt haben alle von A nach Punkten von MN gehenden Geraden von gleicher Länge auch gleiche Abstände der Fusspunkte vom Fuss- punkt der Senkrechten (also gleichlange Pro- jectionen), sowie gleiche Neigungswinkel, und Gerade dieser Art, welche gleiche Neigungswinkel gegen die Ebene haben, sind gleichlang. 3) Je grösser der Abstand des Fuss- punktes einer solchen Linie vom Fuss- punkt der Senkrechten ist, desto länger ist die Linie und desto kleiner ihr Neigungswinkel gegen die Ebene. Denn ist BE> BD, so mache man BF = BD und ziehe AF, dann ist AF = AD, und der Satz auf einen bekannten planimetrischen zurückgeführt. Auch hier gelten, wie leicht ersichtlich, zwei Umkehrungen. Zwischen der Länge p der Senkrechten AB, der Länge a einer beliebigen der schiefen Linien und der Entfernung r der Fusspunkte beider besteht die Gleichung « 2 — p"i welche die Berechnung einer jeden dieser drei Grössen aus den übrigen gestattet. Mit Hülfe derselben können auch die vorhergehenden Sätze unter 2) und 3) bewiesen werden. 3. Es sei FC die Projection von AB auf MN, FD eine beliebige andere von F ausgehende Gerade in MN, AC senkrecht auf MN und FD = FC gemacht. Verbindet man noch A mit D, so ist nach No. 2 dieses Paragraphen AD > AC, und da die Dreiecke AFC, A FD in den beiden anderen Seiten Ubereinstimmen, so folgt, aus Planimetrie § 19. (2), dass Z AFD > Z AFC ist. Der Neigungswinkel ist also der kleinste Winkel, welchen eine zu einer Ebene schief stehende Gerade mit Linien dieser Ebene bildet (3). 4. Ist FF eine dritte von F ausgehende Gerade in MN, welche man sich auf der anderen Seite von FC gezeichnet denke, A EFC — AD FC, FE=FD gemacht, AC wieder senkrecht auf MN, und sind AD und AE, sowie DC und EC gezogen, so folgt aus der Congruenz der Dreiecke DFC und EFC, dass D C=EC und mithin aus No. 2 dieses Paragraphen, dass AD — AE ist. Daher sind auch die Dreiecke AFD, AFE congruent, also ist A AFD= A AFE. Liegt dagegen FE (auf derselben Seite von FC oder auf verschiedener mit FD) so, dass wie in obiger Figur A EFC > DFC ist, so folgt entsprechend aus der Nichtcongruenz der Dreiecke DFC und EFC [Plan. §. 19, (1)], dass EC> DC, und mithin aus No. 2 dieses Paragraphen, dass AE > AD ist. Die Nichtcongruenz der Dreiecke AFD, AFE[ Plan. § 19, (2)] führt damit weiter zu der Folgerung, dass A AFE > AFD ist. Zieht man auf jeder Seite des Neigungsschenkels FC von F aus in MN eine Gerade unter einem rechten Winkel gegen FC, so müssen nach dem Obigen A 392 Stereometrie. die entstandenen Winkel AFE, AFE einander gleich sein. Da aber jetzt die Schenkel FE, FE in eine und dieselbe Gerade fallen müssen, so sind diese Winkel in der durch AF und EE bestimmten Ebene Nebenwinkel und somit rechte. Die schiefe Linie steht also senkrecht zu derjenigen Geraden der Ebene, welche zu ihrer Projection in ihrem Fusspunkt senkrecht steht (4). 5. Die Zusammenstellung der vorstehenden Sätze ergiebt: Denkt man sich einen von F ausgehenden Strahl in MN um F gedreht; so dass derselbe nach und nach die Lagen aller möglichen von F ausgehenden Strahlen der Ebene erhält, so hat der Winkel dieses Strahls mit der schiefen Linie AB seinen kleinsten Werth, wenn der Strahl mit dem Neigungsschenkel zusammenfällt; von da an wächst jener Winkel und bleibt dabei so lange ein spitzer, als der Winkel des Strahls und des Neigungsschenkels ein spitzer ist; er ist ein rechter, wenn auch dieser letztere ein rechter ist, und wird stumpf, wenn der letztere stumpf wird. Er erreicht ferner seinen grössten Werth, wenn der Strahl mit der Verlängerung des Neigungsschenkels über den Fusspunkt zusammenfällt, nimmt dann bei fortgesetzter Drehung des Strahls wieder ab und erhält auf der anderen Seite des Neigungsschenkels in umgekehrter Reihenfolge nach einander dieselben Werthe, wie auf der ersten, dergestalt, dass je zwei gleiche Werthe zu gleichen Winkeln des Strahls mit dem Neigungsschenkel und umgekehrt gehören. Es kann hiernach keine Gerade geben, welche eine Ebene schneidet und nicht auf wenigstens einer durch ihren Fusspunkt gehenden Geraden dieser Ebene senkrecht steht. Es kann ferner keine Gerade geben, welche eine Ebene schneidet und mit mehr als zwei von ihrem Fusspunkt ausgehenden Strahlen der Ebene gleiche schiefe Winkel bildet, vielmehr muss jede Gerade, welche mit drei oder mehr Geraden einer Ebene gleiche Winkel bildet, zu der Ebene senkrecht stehen. Es folgen ferner aus dem Vorhergehenden unmittelbar die nachstehenden Sätze: Fällt man von einem Punkte A ausserhalb einer Ebene MN die senkrechte Gerade AF auf letztere und von dem Fusspunkt F dieser Geraden die Senkrechte FB auf eine beliebige in der Ebene liegende Gerade CD, so steht die Verbindungslinie des Fusspunktes B dieser letzteren Senkrechten und des ausserhalb der Ebene angenommenen Punktes A senkrecht zu der Geraden CD (5 a ). Es ist nämlich in diesem Falle CD die zu der Projection FB von AB in B senkrecht stehende Gerade. Fällt man umgekehrt von einem Punkte A ausserhalb einer Ebene MN die senkrechte Gerade AF auf diese Ebene und ausserdem die Senkrechte AB auf eine beliebige in letzterer liegende Gerade CD, so steht die Verbindungslinie FB der Fusspunkte senkrecht zu der Geraden CD (5 b ). Fällt man endlich von einem Punkte ausserhalb einer Ebene MN die Senkrechte FB auf eine beliebige Gerade CD dieser Ebene, errichtet in letzterer auf CD die Senkrechte im Fusspunkt B der ersteren Senkrechten und fällt endlich von A auf die zweite Senkrechte wieder die Senkrechte AF, so steht dieses dritte Perpendikel A F senkrecht zu der Ebene MN (5 C ). Der letztere Satz giebt eine Auflösung für die Aufgabe: Auf eine gegebene i. Verbindung einer Ebene mit Geraden. 393 Ebene von einem ausserhalb derselben gegebenen Punkte die senkrechte Gerade zu fällen, sowie auch der anderen, eine solche Senkrechte in einem gegebenen Punkte der Ebene auf dieser zu errichten. § 3. Parallele Gerade. 1. Legt man durch eine Gerade A J<\ welche eine Ebene MN schneidet, eine beliebige zweite Ebene, so muss die letztere die erstere schneiden, und die Durchschnittslinie beider Ebenen muss durch den Fusspunkt F jener Geraden gehen. Ist eine Gerade AB, durch welche eine die Ebene MN in CD schneidende zweite Ebene gelegt worden, dieser Durchschnittslinie parallel, so kann sie auch die Ebene MN nicht schneiden. Hiermit ist bewiesen, dass eine gerade Linie so gegen eine Ebene liegen kann, dass sie (in ihrer ganzen Erstreckung) keinen Punkt mit derselben gemeinschaftlich hat. Man sagt in diesem Falle, die Linie und die Ebene seien einander parallel. Es gilt demnach der Satz: Ist eine ausserhalb einer Ebene liegende Gerade einer Geraden dieser Ebene parallel, so ist sie der Ebene selbst parallel (1). 2. Ist umgekehrt eine Gerade AB einer Ebene MN parallel, und schneidet eine durch AB gelegte zweite Ebene die erstere, so ist die Durchschnittslinie zu AB parallel (2). Da nämlich beide Linien in derselben Hülfsebene liegen, so können sie einander nicht kreuzen, hätten sie aber einen Punkt gemeinschaftlich, so müsste AB gegen die Voraussetzung diesen Punkt auch mit MN gemeinschaftlich haben. Aus dem Vorigen ergiebt sich zugleich die Auflösung der Aufgabe: Zu einer gegebenen Ebene durch einen ausserhalb derselben gegebenen Punkt eine parallele Gerade zu ziehen. Man sieht leicht ein, dass unzählig viele solche Parallelen möglich sind. Umgekehrt lassen sich auch durch jeden ausserhalb einer Geraden gegebenen Punkt unzählig viele zu dieser Geraden parallele Ebenen legen, denn in der durch die Gerade AB und den Punkt C bestimmten Ebene lässt sich durch C die zu AB parallele Linie MN ziehen, und jede andere durch MN gelegte Ebene muss zu AB parallel sein. Ist eine Gerade AB einer Ebene E parallel, so fällt jede Gerade MN, welche durch einen Punkt C dieser Ebene parallel zu AB gelegt werden kann, ihrer ganzen Erstreckung nach in diese Ebene, denn anderen Falls würde die durch AB und C bestimmte zweite Ebene E in einer von MN verschiedenen Geraden M’N schneiden, die dann ebenfalls zu AB parallel sein müsste, so dass zu AB in derselben Hülfsebene zwei verschiedene parallele Gerade MN und M'N' durch denselben Punkt C gezogen sein würden. 3. Alle von Punkten einer Geraden AB nach einer ihr parallelen Ebene gezogenen und unter sich parallelen Geraden liegen in einer und derselben Ebene (3), denn legt man durch AB und eine dieser Geraden DC die Ebene, so muss jede andere dieser Geraden, z. B. AM, in diese Ebene fallen, da sonst die von ihr verschiedene durch die Parallelen AM und DC bestimmte Ebene gleichwol mit ihr die Gerade AB und den Punkt C gemeinschaftlich haben würde, was nicht möglich ist. A ]) B 394 Stereometrie. Die Fusspunlcte der genannten parallelen Geraden in E liegen also in geraden Linien MN, und die zwischen AB und MN liegenden Strecken der Parallelen sind gleich lang. Insbesondere liegen also auch alle von Punkten einer zu einer Ebene E parallelen Geraden AB auf diese Ebene gefällten Senkrechten in einer Ebene und sind gleichlang, oder eine zu einer Ebene parallele Gerade hat von der Ebene überall dieselbe Entfernung, 4. Jede zu einer Ebene parallele Gerade kreuzt sich mit jeder ihr nicht parallelen Geraden dieser Ebene. Sind umgekehrt zwei einander kreuzende Gerade AB und CD gegeben, so lässt sich durch jede derselben eine zu der anderen parallele Ebene legen, denn construirt man zunächst durch CD und einen beliebigen Punkt E von AB eine Hülfsebene, zieht in dieser durch E die Parallele EG zu CD und legt dann die Ebene MN durch AB und EG, so muss MN parallel zu CD sein, da CD parallel zu EG ist. Nimmt man statt des beliebig gewählten Punktes E auf AB irgend einen anderen Punkt an, so erhält man dieselbe Ebene MN wie vorher, da, wie oben gezeigt, jede zu CD parallele, durch einen Punkt von MN gehende Gerade ganz in MN liegen muss. Es ist also durch AB auch nur eine einzige zu CD parallele Ebene möglich; dieselbe ist der geometrische Ort aller durch je einen Punkt von AB gehenden und zu CD parallelen Geraden. Denkt man sich ferner von allen Punkten der Geraden CD die senkrechten Linien auf MN gefällt, deren geometrischer Ort nach dem Obigen eine Ebene, die sog. projicirende Ebene von CD auf MN ist, so muss die Durchschnittslinie dieses Ortes mit MN, d. i. die Projection von CD auf MN, die kreuzende Gerade AB in einem Punkte E schneiden. Diejenige von einem Punkte H der CD auf MN gefällte senkrechte Linie, deren Fusspunkt E ist, steht zu gleicher Zeit auf beiden sich kreuzenden Geraden AB, CD senkrecht und ist die einzige Linie, welche diese Eigenschaft hat. Dieselbe ist zugleich die kürzeste Linie, welche zwischen den sich kreuzenden Geraden gezogen werden kann, denn ist BD irgend eine andere solche Verbindungslinie, so ziehe man DG parallel zu HE und kann dann leicht zeigen, dass DB grösser als DG, DG aber gleich HE ist. Die zu zwei einander kreuzenden Geraden AB, CD gleichzeitig senkrecht stehende Verbindungsstrecke von Punkten derselben wird daher der Abstand oder die Entfernung jener beiden Geraden von einander genannt. Sie ist identisch mit dem Abstand jeder dieser Geraden von der zu ihr parallelen durch die andere gehenden Ebene. Kapitel 2. Verbindung einer Ebene mit einer anderen Ebene. § 4. Parallele Ebenen. 1. Stehen zwei Ebenen zu einer und derselben Geraden senkrecht, was nach § 1 nur dann, wenn die Ebenen die Gerade in verschiedenen Punkten treffen, dann aber immer möglich ist, so würde die Annahme, dass die beiden Ebenen einen Punkt C gemeinschaftlich hätten, mit Hülfe der durch die senkrechte 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 395 / // A i i i i i \v / / B Gerade AB und den Punkt C bestimmten Ebene auf die Folgerung führen, dass in letzterer zwei gerade Linien A C, BC möglich seien, welche beide zu derselben Geraden senkrecht wären und einander gleichwol in einem Punkte C schnitten. Da dies unmöglich ist, so können die erstgenannten Ebenen in ihrer ganzen unendlichen Erstreckung keinen Punkt gemeinsam haben. Hiermit ist die Möglichkeit paralleler Ebenen erwiesen und der Satz gefunden: Ebenen, welche zu einer und derselben Geraden senkrecht stehen, sind parallel, (l) 2. Setzt man nun umgekehrt voraus, dass zwei gegebene Ebenen MN und BQ parallel seien, und zieht man in jeder derselben eine Gerade, so können diese letzteren nur einander parallel sein oder einander kreuzen, denn jeder gemeinschaftliche Punkt derselben müsste auch, entgegengesetzt der Voraussetzung, den Ebenen gemeinschaftlich sein. Das Erstere findet statt, wenn durch die beiden Geraden eine dritte Ebene gelegt werden kann. Man hat somit den Satz: Parallele Ebenen werden von jeder sie durchschneidenden Ebene in parallelen Durchschnittslinien geschnitten. (2) Dagegen kann nicht umgekehrt behauptet werden, dass Ebenen, welche von einer anderen Ebene in parallelen Geraden geschnitten werden, einander parallel sein müssten, da es offenbar möglich ist, durch jede von zwei parallelen Geraden einer Ebene und einem und demselben Punkt ausserhalb der letzteren eine Ebene zu legen. 3. Um die Lagen einer Geraden gegen zwei parallele Ebenen allgemein zu untersuchen, nehmen wir zunächst an, dass die Gerade ganz in der einen Ebene liege. Es ist klar, dass sie in diesem Falle der anderen Ebene parallel sein muss, und dass also von ihr die Sätze gelten, welche im vorigen Kapitel von den zu einer Ebene parallelen Geraden bewiesen sind. Umgekehrt muss jede Gerade, welche durch einen Punkt der einen von zwei parallelen Ebenen parallel zu der anderen gelegt wird, ganz in die erstere fallen, denn ist A ein Punkt der zu BQ M parallelen Ebene MN, AB eine zu BQ parallele Gerade, und legt man durch AB eine Ebene, welche BQ in CD schneide, so ist AB parallel zu CD, gleichzeitig aber auch die Durchschnittslinie AE der Hiilfs- ebene und der Ebene MN parallel zu CD. Da aber in dieser Hiilfsebene durch A nur eine einzige parallele Gerade zu CD gelegt werden kann, so muss AB mit AE zusammenfallen. Da sich ferner durch jeden Punkt A ausserhalb einer Ebene BQ eine zu der von A auf BQ gefällten senkrechten Geraden senkrechte, also eine zu BQ parallele Ebene legen lässt, so folgt: der geometrische Ort aller Geraden, welche sich durch einen Punkt ausserhalb einer Ebene zu dieser parallel ziehen lassen, ist eine zu ihr parallele Ebene (3a). 396 Stereometrie. Daher muss auch die Ebene jeder zwei einander schneidenden, einer und derselben zweiten Ebene parallelen Geraden dieser letzteren parallel sein. Insbesondere sind also auch die Ebenen zweier Winkel, deren Schenkel paarweise parallel laufen, einander parallel (3b). Sind dabei die homologen Schenkel dieser Winkel einander gleichgerichtet und trägt man auf jedem Paar derselben vom Scheitelpunkt aus gleiche Strecken BA = ED, B C = EF ab, so kann man durch Verbindung von A mit C und von D mit F zwei Dreiecke ABC, DEF erhalten, ferner durch BC und EF einerseits und durch BA und ED andererseits je eine Ebene legen und in diesen bezüglich die Verbindungsstrecken CF und AD, so wie die ihnen gemeinsame Strecke BE ziehen. Dann sind B CFE und BA DE Vierecke, in denen bezüglich zwei Seiten parallel _ und gleich sind, also Parallelogramme, daher ist auch CF f parallel und gleich BE, und AD parallel und gleich BE. Hieraus folgt weiter, dass auch CF und AD unter einander parallel und gleich sind, dass also ACFD ebenfalls ein Parallelogramm ist. Die Seiten AC und DF des letzteren sind mithin auch einander gleich, also die in den drei Seiten übereinstimmenden Dreiecke AB C, DEF congruent, also endlich die homologen Winkel ABC und DEF derselben einander gleich. Man hat also den Satz: Winkel im Raume, deren Schenkel paarweise parallel und gleichgerichtet sind, sind einander gleich (3c). Sind beide Schenkelpaare entgegengesetzt gerichtet, so ist jeder dieser Winkel Scheitelwinkel zu einem solchen, dessen Schenkel paarweise denen des anderen parallel und gleichgerichtet sind, also gilt in diesem Falle derselbe Satz. Sind aber die Schenkel BA, ED des einen Paares gleichgerichtet, die des anderen Paares BC, EF entgegengesetzt gerichtet, so ist ABC Nebenwinkel eines dem Winkel DEF gleichen, beide ergänzen also einander zu zwei Rechten. 4. Es sei ferner eine Gerade angenommen, welche die eine von zwei parallelen Ebenen MN, w FQ schneide. Dieselbe muss dann auch die andere Ebene schneiden, denn wäre sie derselben parallel, so müsste sie, wie gezeigt, ganz in der ersteren liegen. Es sei nun zunächst die Gerade AB senkrecht zu MN in B und treffe FQ in C. Man ziehe in MN durch B zwei beliebige Gerade BE, BF, lege durch AD und BE, sowie durch AD und BF je eine Ebene, bestimme die Durchschnittslinien CG, CH dieser Ebenen mit FQ, so ist CG parallel zu BE, CH parallel zu BF. Da nun BE und BF beide zu AB senkrecht stehen, da AB senkrecht auf MN ist, so müssen auch CG und CH beide zu AC senkrecht sein, und hieraus folgt wieder, dass AC auch senkrecht zu der Ebene FQ ist. Der so gefundene Satz: C- B F 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 397 Steht eine Gerade senkrecht zu einer Ebene, so steht dieselbe auch senkrecht zu jeder der letzteren parallelen Ebene (4a) ist die Umkehrung des an der Spitze dieses Paragraphen stehenden Satzes (1). Ist ferner AD schief zu MN in B und trifft die zu MN parallele Ebene in C, so kann man von einem beliebigen Punkte A dieser Geraden die Senkrechte AE auf MN fällen, welche dann nach dem vorigen Satze (in ihrer Verlängerung) auch senkrecht zu PQ stehen muss. Legt man nun durch AD und AE die Ebene, so sind die einander parallelen Durchschnittslinien BE, CF derselben mit MN und PQ die Neigungsschenkel von AC gegen diese Ebenen, und die Neigungswinkel ABE, ACF sind als correspondirende an parallelen Linien einander gleich. Jede Gerade, welche parallele Ebenen schneidet, bildet also mit letzteren gleiche 5. Zieht man mehrere zwei parallele Ebenen schneidende Gerade und betrachtet man die zwischen den Ebenen liegenden Abschnitte derselben, so findet man zunächst, dass parallele Gerade zwischen parallelen Ebenen gleich lang sind (5a), denn durch je zwei solche Gerade lässt sich eine Ebene legen, welche die parallelen Ebenen in parallelen Linien schneiden muss, so dass ein Parallelogramm entsteht, in welchem jene ersteren Geraden Gegenseiten sind. Da nun alle auf einer Ebene senkrechten Geraden einander parallel sind, so erhält man insbesondere den Satz: Senkrechte Gerade zwischen parallelen Ebenen sind gleich lang, oder parallele Ebenen haben überall denselben Abstand von einander (5b). Die senkrechten Geraden zwischen parallelen Ebenen sind zugleich die kürzesten Strecken, welche man zwischen diesen ziehen kann, denn ist AB eine solche senkrechte, CD eine beliebige schiefe Strecke zwischen zwei parallelen Ebenen, wobei AB und CD in einer Ebene liegen oder auch einander kreuzen können, so falle man von C die Senkrechte CE auf die andere Ebene, dann ist CD > CE, CE = AB, also CD > AB. Bezeichnet a die Länge von AB oder den Abstand der parallelen Ebenen, b die Länge und a den Neigungswinkel (CDE) von CD gegen diese Ebenen, so ist b • sin a = a. 6. Damit Strecken zwischen parallelen Ebenen gleich lang sind, ist umgekehrt nicht nöthig, dass dieselben parallel seien, sondern nur, dass dieselben gleiche Neigungswinkel mit den Ebenen bilden, wie sich leicht durch Congruenz von Dreiecken beweisen lässt. Beide Forderungen sind nicht identisch. Zwar gilt der Satz: Parallele Linien haben gegen eine und dieselbe sie schneidende Ebene gleiche Neigungswinkel (6), denn fällt man von beliebigen Punkten A, B der parallelen Geraden die Senk- B B Ä Neigungswinkel (4b). 398 Stereometrie. rechten AC, BD auf die Ebene MN, so sind die Winkel DBE, CAF als Winkel mit parallelen und gleichgerichteten Schenkeln einander gleich, und mithin gilt dasselbe von ihren Complementen, den anderen N spitzen Winkeln der rechtwinkeligen Dreiecke Np/ ACF, BDE, d. i. den Neigungswinkeln AFC, BED. Aber auch jede Gerade, welche von A nach einem Punkte des mit CF um C in der Ebene MN beschriebenen Kreises gezogen wird, bildet nach § 2 mit dieser Ebene einen gleichen Neigungswinkel wie AF, ohne mit BE parallel sein zu können. 7. Es sei endlich eine Gerade AB einer von zwei parallelen Ebenen MN, FQ parallel. Da bereits gezeigt worden, dass dieselbe, wenn sie in diesem Falle mit der anderen Ebene einen Punkt gemeinsam hat, ganz in dieser liegen muss, so bleibt ausserdem nur noch die Möglichkeit, dass sie auch der anderen parallel ist. Eine Gerade, welche einer von zwei parallelen Ebenen parallel ist, und nicht in der anderen liegt, ist also dieser letzteren ebenfalls parallel (7). § 5. Sich schneidende Ebenen. 1. Schneiden zwei Ebenen einander, so ist bereits bekannt, dass ihre Durchschnittslinie eine gerade sein muss. Man kann in diesem Falle jede der beiden Ebenen durch Drehung um diese Durchschnittslinie in die Lage der anderen gebracht denken, und die Grösse dieser Drehung ist nach der Verschiedenheit dieser gegenseitigen Lage eine verschiedene. Es liegt hier also ein ähnlicher Fall vor, wie in der Planimetrie bei zwei einander schneidenden Geraden, deren Richtungsunterschied durch die Grösse der entsprechenden Drehung gemessen und ein Winkel genannt wurde. In gleicher Weise kann man hier von einem Winkel der beiden Ebenen reden, und man unterscheidet einen solchen Winkel zweier Flächen von einem Winkel zweier Geraden in der Ebene, indem man jenen einen Flächenwinkel, diesen einen ebenen Winkel nennt. Der Flächenwinkel wird von manchen Schriftstellern auch ein Keil genannt. Die Durchschnittslinie der beiden Flächen heisst die Kante desselben. Errichtet man auf der Kante eines Flächenwinkels in einem beliebigen Punkte derselben in jeder der beiden Ebenen die Senkrechte, so bilden diese Senkrechten einen ebenen Winkel, welcher der Neigungswinkel des Flächenwinkels (oder der Neigungswinkel der einen Ebene gegen die andere) genannt wird und dessen Grösse zu derjenigen des Flächenwinkels in enger Beziehung steht. Zunächst ist klar, dass dieser Neigungswinkel für denselben Flächenwinkel immer dieselbe Grösse haben muss, an welchem Punkte der Kante er auch construirt gedacht sein mag, denn die Schenkel zweier so construirten Winkel sind immer paarweise einander parallel und gleichgerichtet. Ferner gilt der Satz, dass zu gleichen Flächenwinkeln stets gleiche Neigungswinkel gehören, und umgekehrt, denn denkt man sich zwei Flächenwinkel so zusammengestellt, dass eine Ebene des einen eine Ebene des anderen deckt, dass ferner die beiden Kanten zusammenfallen und endlich beide Flächenwinkel auf derselben Seite der gemeinschaftlichen Ebene liegen, und denkt man sich dann in demselben Punkte der Kante zu jedem Flächenwinkel den Neigungswinkel construirt, so lässt sich leicht zeigen, dass 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 399 bei gleichen Flächenwinkeln auch die beiden anderen Ebenen und ebenso die homologen Schenkel der Neigungswinkel einander decken. Werden umgekehrt die Neigungswinkel als gleich vorausgesetzt, so zeige man zuerst, dass ihre Schenkel, und dann dass auch die zweiten Ebenen der Flächenwinkel einander decken müssen. Denkt man sich nun die Neigungswinkel zweier beliebigen Flächenwinkel durch ein gemeinsames Maass getheilt und durch jede Theilungslinie und die zugehörige Kante die Ebene gelegt, so werden die beiden Flächenwinkel in eben so viele Theile getheilt, wie bezüglich ihre Neigungswinkel, und die Theile der letzteren sind die Neigungswinkel der Theile der Flächenwinkel. Mithin sind die letzteren ebenfalls unter einander gleich, und man kann die gegebenen ganzen Flächenwinkel ebenfalls als durch ein gemeinsames Maass gemessen betrachten. Somit ergiebt sich, da sich dieser Beweis in bekannter Weise auch auf irrationale Verhältnisse erweitern lässt, der allgemeinere Satz: Flächenwinkel verhalten sich zu einander wie ihre Neigungswinkel (1). 2. Die Neigungswinkel von Flächenwinkeln können daher statt letzterer zum Vergleichen und Messen derselben benutzt werden, und zahlreiche Sätze der Planimetrie über ebene Winkel lassen sich mittelst der Neigungswinkel ohne Weiteres auf Flächenwinkel übertragen. Auch die Eintheilung der Flächenwinkel kann entsprechend derjenigen der ebenen Winkel geschehen. Hiernach heissen Flächenwinkel gestreckte, hohle, überstumpfe, rechte, stumpfe oder spitze, je nachdem ihre Neigungswinkel gestreckte, hohle u. s. w. sind; alle gestreckten Flächenwinkel, und ebenso alle rechten sind einander gleich, und jeder rechte Flächenwinkel wird in 90 Grad u. s. w. eingetheilt Zwei Flächenwinkel heissen Nebenwinkel, wenn ihre Neigungswinkel Nebenwinkel sind, und die Summe derselben ist dann gleich zwei Rechten. Zwei Flächenwinkel heissen Scheitelwinkel, wenn ihre Neigungswinkel Scheitelwinkel sind, und dieselben sind dann gleich. — Selbstverständlich lassen sich alle diese Erklärungen und Sätze über Flächenwinkel auch unmittelbar, ohne die Anwendung der Neigungswinkel, in ähnlicher Weise, wie es bei den ebenen Winkeln seinerzeit geschehen, aufstellen und beweisen. Aus der Construction des Neigungswinkels folgt unmittelbar, dass die Ebene desselben senkrecht zur Kante des Flächenwinkels steht (2), und umgekehrt kann man den Neigungswinkel durch eine solche Ebene construiren. 3. Ist der Neigungswinkel insbesondere ein rechter, so sagt man, dass beide Ebenen senkrecht zu einander stehen. Für diesen Fall sind noch folgende Sätze von Wichtigkeit: Errichtet man auf der Kante eines rechten Flächenwinkels in einer der Schenkelebenen des letzteren eine senkrechte Gerade, so steht diese senkrecht zu der anderen Schenkelebene (3a). Dieselbe ist nämlich der eine Schenkel des an dem betreffenden Punkte der Kante zu con- struirenden Neigungswinkels und als solcher senkrecht zu dem anderen Schenkel dieses Winkels. Da sie ausser auf dem letzteren auch auf der Kante also auf zwei Geraden der zweiten Schenkelebene senkrecht steht, so ist sie senkrecht zu dieser Ebene. Umgekehrt muss jede auf der einen Schenkelebene eines rechten Flächenwinkels in einem Punkte der Kante senkrecht stehende Gerade ganz in die andere Schenkelebene fallen (ob), denn wäre dies nicht der Fall, so liesse sich nach Anleitung des vorigen Satzes durch denselben Punkt 400 Stereometrie. der Kante eine zweite Gerade construiren, welche ebenfalls auf der ersteren Ebene senkrecht stehen müsste. Ebenso muss jede von einem Punkte in der einen Schenkelebene eines rechten Winkels auf die andere Ebene gefällte senkrechte Gerade ganz in die erstere fallen (3c), ihren Fusspunkt also in der Kante haben Endlich ist jede Ebene, welche durch eine auf einer anderen Ebene senkrecht stehende Gerade gelegt wird, auch senkrecht zu dieser Ebene (3d), denn jene Gerade ist als Senkrechte zur Ebene auch senkrecht zu der Kante beider Flächen, mithin der eine Schenkel eines Neigungswinkels, und da sie auch auf dem anderen Schenkel desselben, weil auf der ganzen betreffenden Ebene, senkrecht steht, so ist dieser Neigungswinkel ein rechter. § 6. Verbindung dreier Ebenen mit einander. 1. In Betreff der Lagen dreier Ebenen gegen einander können zunächst die folgenden Fälle als möglich unterschieden werden: a) alle drei Ebenen sind einander parallel, b) zwei Ebenen sind parallel, die dritte schneidet eine derselben, c) keine Ebenen sind parallel. In Betreff dreier parallelen Ebenen findet man leicht, dass wenn zwei Ebenen E^, E 2 derselben dritten Ebene E % parallel sind, sie auch unter einander parallel sein müssen, denn construirt man eine zu E % senkrechte Gerade, so ist diese auch auf der zu E 3 parallelen Ebene E lt und ebenso auch auf E 2 senkrecht; die zu einer und derselben Geraden senkrechten Ebenen E u E 2 müssen also einander parallel sein. Es folgt hieraus, dass nicht zwei einander schneidende Ebenen gleichzeitig einer und derselben dritten parallel sein können, oder dass eine Ebene, welche eine von zwei parallelen Ebenen schneidet, auch die andere schneiden muss. Es ist früher gezeigt worden, dass sich durch jeden ausserhalb einer Ebene gegebenen Punkt und durch jede dieser Ebenen parallele Gerade eine zu derselben parallele Ebene legen lässt; aus dem vorstehenden Satze geht hervor, dass es jedesmal auch nur eine einzige solche Ebene giebt. Zieht man zwischen drei beliebigen parallelen Ebenen zwei Gerade, so stehen die einander entsprechenden, durch ihre Durchschnittspunkte mit den Ebenen gebildeten Abschnitte zu einander in gleichen Verhältnissen (1). Sind nämlich AB, CD die beiden Geraden, E, F, G und H, I, K bezüglich deren Durchschnittspunkte mit den parallelen Ebenen, und zieht man durch einen beliebigen Punkt A der einen Geraden die Parallele zu CD, welche diese Ebenen bezüglich in R, S, T schneiden möge, so muss die durch A B und A T bestimmte Ebene die parallelen Ebenen in den parallelen Durchschnittslinien RE, SF, TG schneiden, und nach einem Satz von den parallelen Transversalen ist RS : EF= ST: FG = RT: EG. Nun ist aber RS = HI als Parallele zwischen parallelen Ebenen und ebenso ST = IK, RT = HK, also ist auch 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 401 HI: EF = IK: FG = HK: EG. Die Hülfslinie AT würde bei diesem Beweise überflüssig sein, wenn man voraussetzen dürfte, dass sich durch AB und CD unmittelbar eine Ebene legen lasse; dieselbe ist also nur durch die Möglichkeit, dass AB und CD einander kreuzen, bedingt. 2. Werden zwei parallele Ebenen von einer dritten geschnitten, so ist bereits früher gezeigt worden, dass die Durchschnittslinien einander parallel sind. Die drei Ebenen bilden in diesem Falle acht hohle Flächenwinkel, deren gegenseitige Lagen denjenigen der Winkel an zwei von einer dritten geschnittenen Geraden in der Ebene entsprechen, und welche daher auch in gleicher Weise wie jene benannt werden. Da die Durchschnittslinien der Ebenen einander parallel sind, so kann man eine vierte Ebene construirt denken, welche gleichzeitig auf beiden Kanten senkrecht steht und daher durch ihre Durchschnittslinien mit den drei ersteren Ebenen die Neigungswinkel sämmt- liclrer acht Flächenwinkel in einer einzigen ebenen Figur liefert. Diese Figur muss ferner diejenige zweier von einer dritten Geraden geschnittener Parallelen sein, und hieraus folgt unmittelbar, dass auch bei parallelen Ebenen je zwei corre- spondirende und je zwei Wechselwinkel gleich sind und je zwei Gegenwinkel zusammen zwei Rechte betragen. Die Umkehrung dieser Sätze kann jedoch nicht unmittelbar in der Weise behauptet werden, dass die Gleichheit zweier correspondirenden Winkel u. s. w. den Parallelismus der geschnittenen Flächen zur Folge habe; vielmehr ist hierfür der Voraussetzung noch die weitere Bedingung hinzuzufügen, dass die beiden von der dritten geschnittenen Flächen mit dieser einander parallele Durchschnittslinien haben, denn nur in diesem Falle können wieder die Neigungswinkel der acht Flächenwinkel mittelst einer auf beiden Kanten senkrechten Ebene in derselben ebenen Figur construirt werden, so dass also auch nur in diesem Falle die entsprechenden planimetrischen Umkehrungssätze angewendet werden können. Entsprechend lässt sich zeigen, dass bei nicht parallelen Ebenen, welche von einer dritten Ebene geschnitten werden, in dem Falle, dass die Durchschnittslinien parallel sind, je zwei correspondirende Winkel und je zwei Wechselwinkel ungleich sind und die Summe je zweier Gegenwinkel nicht zwei Rechte beträgt. Besteht umgekehrt eine der letzteren Ungleichheiten, so sind die geschnittenen Ebenen in allen Fällen nicht parallel. In dem besonderen Fall, dass die acht Flächenwinkel rechte sind, hat man zwei zu einer dritten senkrechte Ebenen. Man kann hiernach mittelst des Vorstehenden leicht beweisen, dass wenn von parallelen Ebenen eine zu einer anderen Ebene senkrecht steht, auch alle anderen zu dieser senkrecht sein müssen, dagegen kann nicht behauptet werden, dass Ebenen, die zu derselben Ebene senkrecht stehen, parallel sein müssen; dieses ls t vielmehr nur dann der Fall, wenn auch die Durchschnittslinien der senkrechten Ebenen mit der dritten einander parallel sind; ist letzteres nicht der Fall, so Schlokmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. x. 26 402 Stereometrie. müssen die senkrechten Ebenen einander schneiden, und für diesen Fall gilt der Satz: Schneiden zwei zu einer dritten senkrechte Ebenen einander, so ist ihre Durchschnittslinie ebenfalls zu der dritten Ebene senkrecht (2). Zum Beweise dieses Satzes hat man nur JH nöthig, auf der dritten Ebene MN in dem 7 Durchschnittspunkte C der beiden Kanten AC, BC die senkrechte Gerade zu errichten; es folgt dann aus § 5 (3 b ), dass diese Gerade in jeder der beiden senkrechten Ebenen liegen, mithin die Durchschnittslinie derselben sein muss. 3. Ist von den drei Ebenen keine einer der anderen parallel, so muss jeder Punkt, welchen die Durchschnittslinien einer derselben mit den beiden anderen unter sich gemeinschaftlich haben, auch ein Punkt der Durchschnittslinie dieser letzteren sein, denn ist P ein Punkt, welcher sowol auf der Durchschnittslinie der Ebenen A und B, als auch auf derjenigen der Ebenen A und C liegt, so ist er einerseits ein gemeinsamer Punkt von A und B, andererseits ein solcher von A und C und mithin gleichzeitig ein Punkt von B und C. Hieraus folgt, dass drei einander schneidende Ebenen nur folgende verschiedene Arten von Lagen gegen einander haben können: Entweder fallen ihre Durchschnittslinien in eine einzige zusammen, oder dieselben schneiden einander in einem und demselben Punkte, oder dieselben sind einander sämmtlich parallel. Drei Ebenen, welche einander in einer gemeinsamen Durchschnittslinie schneiden, bilden zwei aneinander liegende Flächenwinkel und bieten keinen besonderen Anlass zu weiteren Untersuchungen. Drei Ebenen, deren drei Durchschnittslinien einander parallel sind, kann man erhalten, wenn man durch je zwei von drei einander parallelen, nicht in einer Ebene liegenden Geraden die durch sie bestimmte Ebene legt. Das entstehende Gebilde heisst ein offener dreiseitiger prismatischer Raum. Drei Ebenen, deren drei Durchschnittslinien durch einen gemeinschaftlichen Punkt gehen, können ebenfalls erhalten werden, indem man zuerst drei in dieser Weise liegende gerade Linien und dann durch je zwei derselben die Ebene con- struirt. Das entstehende Gebilde heisst ein offener dreiseitiger pyramidaler Raum oder eine dreiseitige Ecke. 4. Die drei vorstehenden Fälle können auf mehr als drei einander schneidende Ebenen ausgedehnt werden; es können also beliebig viele Ebenen einander so schneiden, dass alle Durchschnittslinien zusammenfallen, oder dass sie alle parallel sind, oder dass sie alle durch einen und denselben Punkt gehen. Im zweiten Falle entsteht ein mehrseitiger offener prismatischer Raum, im dritten eine mehrseitige Ecke. Bei mehr als drei Ebenen erschöpfen jedoch diese drei Lagen nicht alle möglichen Fälle, und die Untersuchung noch anderweiter Lagen derselben zu einander muss also Vorbehalten bleiben. Von den prismatischen Räumen soll aus Zweckmässigkeitsgründen an einer späteren Stelle gehandelt werden. Zunächst sei die Aufgabe gestellt, die für die weitere Entwicklung der Stereometrie besonders wichtigen Eigenschaften der Ecken zu untersuchen. 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 4°3 § 7. Fortsetzung: Die dreiseitige Ecke. 1. Drei Ebenen, deren Durchschnittslinien einander in einem Punkte schneiden, theilen den Raum im Ganzen in acht Theile. Sie bilden also acht dreiseitige Ecken im engeren Sinne, denn unter einer solchen versteht man dasjenige Raumgebilde, welches entsteht, wenn man von einem Punkte aus drei beliebige nicht in einer Ebene liegende Strahlen und zwischen je zweien derselben das durch sie bestimmte Ebenenstück legt. Im Folgenden soll der Begriff der Ecke stets in diesem engeren Sinne benutzt werden. Jede dreiseitige Ecke hat drei Ebenen, deren Durchschnittslinien die Kanten der Ecke heissen; der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt der letzteren wird der Scheitel oder die Spitze der Ecke genannt. Je zwei Kanten bilden mit einander einen ebenen Winkel und je zwei Flächen einen Flächenwinkel. Die dreiseitige Ecke hat hiernach drei ebene Winkel und drei Flächenwinkel, welche insbesondere häufig auch die sechs Stücke der Ecke genannt werden. Jedem ebenen Winkel liegen zwei Flächenwinkel an und einer gegenüber, und umgekehrt. In gleicher Weise hat jede n -seifige Ecke einen Scheitel, n Kanten, n ebene Winkel und n Flächenwinkel. Beschreibt man um den Scheitel einer Ecke in jeder der Ebenen derselben mit einem und demselben Radius je einen Kreisbogen zwischen den betreffenden Kanten, so entsteht eine von Kreisbogen gebildete »-eckige Figur im Raume. Die ebenen Winkel der Ecke werden durch die Seiten dieser Figur, d. h. durch jene Kreisbogen, deren Centriwinkel sie sind, gemessen; die Winkel dieser Figur, d. h. die Winkel der in jedem Eckpunkt an die Seiten gelegten Tangenten, sind die Neigungswinkel der Flächenwinkel der Ecke. Diese Beziehung zwischen der Ecke und der zugehörigen krummlinigen Figur wird dazu verhelfen, die Analogie zu verdeutlichen, welche im Folgenden zwischen Eigenschaften von Ecken und solchen ebener, geradliniger Figuren, insbesondere zwischen denjenigen der dreiseitigen Ecke und des geradlinigen Dreiecks bestehen, und bei welchen die ebenen Winkel der ersteren den Seiten, die Flächenwinkel der ersteren den Winkeln des Dreiecks entsprechen. Die ebenen Winkel einer Ecke und ebenso die Flächenwinkel einer solchen können hohle und überstumpfe sein. So gehört z. B. zu jeder Ecke eine zweite, welche denselben Scheitel und dieselben Kanten wie diese hat, und deren Raum denjenigen der ersteren zum gesammten Raum ergänzt. Jeder ebene Winkel einer dieser Ecken beträgt mit dem entsprechenden ebenen Winkel der anderen, und jeder Flächenwinkel der ersteren beträgt mit dem entsprechenden Flächenwinkel der letzteren zusammen vier Rechte und ist also überstumpf, wenn jener hohl ist. Erweitert man aber jede Seitenfläche einer Ecke zur vollständigen Ebene, so wird dieselbe, falls nicht alle ihre Stücke hohle Winkel waren, in zwei bis sieben einzelne Ecken zerlegt, deren ebene Winkel und deren Flächenwinkel sämmtlich kleiner als 180° sind. Die so überhaupt entstehenden acht Ecken stehen zu einander in einfachen Beziehungen: Jeder derselben liegen drei andere so an, dass sie mit ihr eine Seitenfläche und also einen ebenen Winkel gemeinsam haben, so z. B. der Ecke 0{ABC) die Ecken 0{ACD), 0(BCF), OiABE), Dieselben mögen Nebenecken der ursprünglichen heissen. Sie stimmen mit . 26* F 404 Stereometrie. der letzteren auch in einem Flächenwinkel überein, nämlich in demjenigen, welcher dem gemeinsamen ebenen Winkel gegenüberliegt. Die anderen Flächenwinkel und die anderen ebenen Winkel beider Ecken sind paarweise Nebenwinkel zu einander. Drei andere Ecken 0(ADE), 0(BEF), 0(DCE) liegen so gegen die ursprüngliche, dass jede derselben einen Flächenwinkel hat, welcher Scheitelwinkel eines Flächenwinkels der letzteren ist. Auch die diesen'Flächen- winkeln gegenüberliegenden ebenen Winkel sind Scheitelwinkel zu einander, während die anderen Stücke wieder paarweise supplementär sind. Diese Ecken mögen Scheitelecken der ursprünglichen genannt werden. Endlich ist noch eine Ecke 0(D EF) vorhanden, deren ebene Winkel und Flächenwinkel sämmtlich Scheitelwinkel eines entsprechenden Stücks der ursprünglichen sind. Dieselbe liegt der letzteren so gegenüber, dass ihre Kanten die Verlängerungen der homologen Kanten derselben sind; sie heisse die Gegenecke dieser ursprünglichen Ecke. Wegen dieser Theilbarkeit jeder Ecke mit überstumpfen Winkeln und dieser Beziehungen der Theil-Ecken zu einander ist es gestattet, im Folgenden der Einfachheit wegen nur solche Ecken vorauszusetzen, deren sechs Stücke sämmtlich kleiner als 180° sind. 2. Um zunächst die Summe zweier ebenen Winkel einer dreiseitigen Ecke O mit dem dritten zu vergleichen, seien auf zwei Kanten der Ecke beliebige Strecken OA, OB abgeschnitten und A mit B verbunden. Ferner sei von dem Winkel AOB ein Winkel AOD abgetragen, welcher dem anderen an der Kante OA liegenden und kleiner als AOB vorausgesetzten ebenen Winkel der Ecke gleich sei; der Punkt D liege auf AB. Endlich sei auf der dritten Kante die Strecke O C gleich O D abgetragen und C mit A und B verbunden. Dann stimmen die Dreiecke AO C, AOD in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, und es sind also A C und AD gleich gross als homologe Stücke congruenter Dreiecke. Da nun im Dreieck ABC die Seite B C grösser sein muss als die Differenz AB — AC der anderen Seiten, also auch grösser als BD, so sind OBC, OBD zwei Dreiecke, welche in zwei Seitenpaaren, aber nicht in dem dritten übereinstimmen. Daher ist auch der Winkel CO B, welcher der gröseren Seite gegenüberliegt, grösser als der der kleineren gegenüberliegende BOD, oder da letzterer gleich der Differenz von AOB und AOC ist, so ist der Satz bewiesen: Die Differenz zweier ebenen Winkel einer dreiseitigen Ecke ist stets kleiner als der dritte ebene Winkel. (1) Die Annahme, dass AOC kleiner als AOB sei, hindert nicht die Allgemeinheit dieses Satzes, denn sind diese Winkel gleich gross, so ist ihre Differenz gleich Null; der Satz bedarf also in diesem Falle keines Beweises. Derselbe Satz ergiebt, dass Z BOC+ Z COA > Z BOD + Z DOA, d. i. > Z AOB ist und kann demnach auch in der folgenden Form ausgesprochen werden: Die Summe je zweier ebenen Winkel einer dreiseitigen Ecke ist grösser als der dritte (2). 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 405 3. Schneidet man die Kanten einer dreiseitigen Ecke O durch eine beliebige Ebene, welche nicht durch den Scheitel geht, so entsteht an jedem Durchschnittspunkte A, B, C, eine neue dreiseitige Ecke. Nach dem vorigen Satze ist dann Z OCA- 1- Z OCB> Z ACB, Z OBC + Z OBA > Z CBA, Z OAB + Z OAC> Z BAC, mithin auch Z OCA+ Z OCB + Z OBC-t- Z OBA + Z OAB 4- Z OAC > Z ACB + Z CBA + Z BAC. Die drei Winkel auf der rechten Seite dieser Ungleichung sind die Winkel des ebenen Dreiecks ABC, also ist die Summe der sechs Winkel auf der linken Seite grösser als zwei Rechte. Von diesen sechs Winkeln liegen aber je zwei mit einem ebenen Winkel der Ecke O in demselben Dreieck und betragen also mit letzterem zusammen, z. B. OCB und OBC mit COB, zwei Rechte. Die Summe der sechs Winkel und der drei ebenen Winkel der Ecke beträgt mithin sechs Rechte, und da die Summe der ersteren grösser als vier Rechte ist, mithin für die Summe der letzteren nach Abzug der ersteren weniger als vier Rechte übrig bleiben müssen, so ist der Satz bewiesen: Die Summe der drei ebenen Winkel einer jeden dreiseitigen Ecke ist kleiner als vier Rechte (3). Dieser Satz lässt sich in ganz entsprechender Weise auch für die Summe der ebenen Winkel einer jeden mehrseitigen Ecke beweisen. Schneidet man allgemein die Kanten einer «seitigen Ecke durch eine Ebene, so dass ein ebenes n -Eck entsteht, so beträgt die Summe der «ebenen Winkel der Ecke und der 2« Winkel, welche mit denselben in den Seitendreiecken liegen, 2« Rechte, die Summe der letzteren ist grösser als die der Winkel des «-Ecks, mithin die Summe der ersteren kleiner als 2 n — (2« — 4) oder 4 Rechte. Man kann die Richtigkeit dieses Satzes auch populär dadurch veranschaulichen, dass man die Flächen von n Winkeln, deren Summe 360° beträgt, an demselben Scheitelpunkt neben einander legt; die Flächen fallen dann in eine einzige Ebene, indem sie den um den gemeinschaftlichen Punkt herumliegenden Winkelraum von vier Rechten gerade ausfüllen. Ist die Summe der Winkel grösser als vier Rechte, so bleibt nicht Raum genug, dieselben vollständig zusammenzubringen, und nur bei einer Winkelsumme von weniger als vier Rechten legen sich die Winkelebenen zu einer Ecke aneinander. 4. Um ferner auch die Summen von Flächenwinkeln einer Ecke zu untersuchen, sei auf jeder Kante der letzteren in einem beliebigen Punkt, jedoch nicht im Scheitel, eine senkrechte Ebene errichtet. Die auf der Kante OA in A senkrechte Ebene liefert durch ihre Durchschnittslinien mit den anliegenden Flächen der Ecke 0 den Neigungswinkel EAD des Flächenwinkels an OA, und entsprechend erhält man die Neigungswinkel EBF, DCF an OB und OC. Da nun OA senkrecht zur Ebene EAD, so sind auch die durch OA gehen- A 406 Stereometrie. den Flächen AOB, AOC senkrecht zu ADE ; ebenso sind AOB und BOC senkrecht zu EBF, BOC und COA senkrecht zu DCF. Umgekehrt stehen also auch je zwei der neu errichteten Ebenen senkrecht zu einer und derselben Ebene der Ecke O, z. B. FAD und EBF gleichzeitig senkrecht zu AOB, woraus endlich folgt, dass auch die Durchschnittslinie FF dieser beiden Ebenen senkrecht zu AOB steht. Ebenso ist FF senkrecht zu BOC, PD senkrecht zu AOC. Die drei auf je einer Kante der Ecke O senkrecht errichteten Ebenen bilden also eine neue Ecke F, so dass zwischen beiden Ecken folgende Beziehungen bestehen: Jede Kante irgend einer der beiden Ecken steht senkrecht zu einer Ebene der anderen, jede Ebene einer derselben senkrecht zu zwei Ebenen der anderen, und jede Ebene einer derselben schneidet die zu ihr senkrechten Ebenen der anderen in den Schenkeln eines Neigungswinkels an der zu ihr senkrechten Kante. Zwei Ecken, welche in diesen Beziehungen zu einander stehen, heissen Supplementar-Ecken. Dass die zu OA, OB, OC senkrechten Ebenen einander schneiden und eine Ecke bilden müssen, lässt sich dadurch zeigen, dass man zunächst beweist, dass Ebenen, die auf nicht parallelen Geraden senkrecht stehen, nicht parallel sein können, und dann, dass auch die drei Durchschnittslinien nicht zusammenfallen und nicht parallel sein können. Da nämlich die Durchschnittslinien AE, BE als Senkrechte auf convergirenden Geraden OA, OB in derselben Ebene einander in einem Punkte E schneiden müssen, so müssen auch die zugehörigen Ebenen DAE, FBE einander in einer durch E gehenden, und da sie beide zu OAB senkrecht sind, in der zu OAB senkrechten Geraden EP schneiden, u. s. w. Man kann umgekehrt zu jeder gegebenen Ecke O eine Supplementar-Ecke dadurch construiren, dass man im Innern der ersteren einen beliebigen Punkt P annimmt, von diesem auf jede der Seitenflächen von O eine senkrechte Gerade fällt und durch je zwei dieser Geraden eine Ebene legt. Es ist dann leicht, in entsprechender Weise wie vorher zu beweisen, dass auch die übrigen der aufgestellten Beziehungen beider Ecken zu einander bestehen. Im Viereck PEAD ist DPE ein ebener Winkel der Ecke P, DAE der zugehörige (d. i. an der zur Ebene von DPE senkrechten Kante liegende) Neigungswinkel eines Flächenwinkels der Ecke O, während die beiden anderen Winkel dieses Vierecks Rechte sind. Da nun die Summe der Winkel eines jeden ebenen Vierecks vier Rechte beträgt, so ist Z DPE -t- Z DAE = 2 R. Ebenso ist AEB Neigungswinkel an der Kante PE der Ecke/) AOB der zugehörige ebene Winkel der Ecke O, und die beiden anderen Winkel des Vierecks AOBE sind rechte, also ist die Summe der beiden ersteren Winkel gleich zwei Rechten. Es gilt hiernach der Satz: Sind zwei Ecken Supplementar-Ecken zu einander, so beträgt die Maasszahl jedes ebenen Winkels irgend einer derselben mit der Maasszahl des zugehörigen Flächenwinkels der anderen immer 180 Grad. (4) Durch diesen Satz erklärt sich die Wahl des Namens Supplementar-Ecke. Die Willkür, welche bei der Construction einer Supplementar-Ecke P zu einer gegebenen Ecke O darin besteht, dass man für P jeden beliebigen Punkt innerhalb des Raumes der letzteren wählen kann, hat demnach nur auf die Lage 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 407 der construirten Supplementar-Ecke, nicht aber auf die Grössen ihrer sechs Stücke Einfluss, denn sind a, b, c, a, ß, 7 bezüglich die Maasszahlen der ebenen und der Flächenwinkel der Ecke O, so sind entsprechend 180° — a, 180° — b, 180° — c, 180°—a, 180°—ß, 180° —7 die Maasszahlen der Flächen- und der ebenen Winkel der Ecke P\ diese haben also für jede Lage von P dieselben fest bestimmten Werthe. Die durch verschiedene Annahmen des Punktes P entstehenden Supplementar- Ecken der Ecke O können daher als verschiedene Lagen einer und derselben Ecke angesehen werden, in welche dieselbe nach einander durch geeignete Verschiebung gebracht werden kann. Denkt man sich bei einer solchen Verschiebung den Punkt P fortwährend dem Scheitel O genähert, so kann man schliesslich auch P mit O zusammenfallen lassen. Es ändert sich dann nichts, als dass die Kanten von P nicht mehr als vom Punkte P senkrecht auf die Ebenen von O gefällt, sondern als auf diesen senkrecht errichtet erscheinen. Die so gewonnene Lage beider Ecken zu einander ist dadurch bemerkenswerth, dass diese dabei einen gemeinschaftlichen Scheitelpunkt haben. In dieser Lage heisst jede der beiden Ecken die Polar-Ecke der anderen. Die vorstehenden Sätze und Beweise über Supplementär- und Polar-Ecken gelten für mehrseitige Ecken in gleicher Weise wie für dreiseitige. Jede Ecke hat eine und nur eine Polar-Ecke. 5. Die Summe der Maasszahlen der drei Flächenwinkel einer dreiseitigen Ecke muss nach dem obigen Satze mit der Summe der Maasszahlen der drei ebenen Winkel ihrer Polar-Ecke zusammen sechs Rechte betragen. Da nun die letztere jedenfalls grösser als Null und nach (3) dieses Paragraphen kleiner als vier Rechte ist, so folgt der Satz: Die Summe der Flächenwinkel einer jeden dreiseitigen Ecke beträgt weniger als sechs Rechte und mehr als zwei Rechte. (5) Aus diesem Satze geht hervor, dass in einer dreiseitigen Ecke alle drei Flächenwinkel stumpfe sein können; es können ferner zwei derselben stumpf, der dritte ein rechter, oder alle drei rechte, oder zwei rechte und der dritte stumpf oder spitz sein, u. s. w. Man nennt insbesondere eine dreiseitige Ecke eine rechtwinkelige, wenn dieselbe einen oder mehrere rechte Flächenwinkel hat. Eine Ecke mit drei rechten Flächenwinkeln, d. i. C eine sogenannte dreifach rechtwinkelige Ecke erhält man, Wenn man zu zwei auf einander senkrechten Ebenen eine dritte construirt, welche zu der Kante der ersteren senkrecht ist. Da in derselben jede Kante als Durchschnittslinie zweier zur dritten senkrechten Ebenen auf dieser dritten und also auch auf den beiden anderen Kanten senkrecht stehen muss, so folgt der Satz: Sind in einer Ecke alle drei Flächenwinkel rechte, so sind auch alle drei ebenen Winkel rechte. Ebenso ergiebt sich leicht, dass auch die Umkehrung dieses Satzes gelten muss: Sind in einer Ecke alle drei ebenen Winkel rechte, so sind auch alle drei Flächenwinkel rechte. Hat eine Ecke zwei rechte Flächenwinkel, z. B. diejenigen an den Kanten OA, OB, so steht die dritte Kante CO zu der Ebene BOA, und also auch zu den Kanten OA, OB senkrecht. Hieraus folgt, dass in jeder zweifach recht- 408 Stereometrie, winkeligen Ecke auch die den rechten Flächenwinkeln gegenüberliegenden ebenen q Winkel rechte sind, und dass der dritte ebene Winkel der Neigungswinkel des dritten Flächenwinkels ist. Auch dieser Satz lässt sich umkehren. Die früheren Sätze über dreifach rechtwinkelige Ecken sind besondere Fälle der 0 vorstehenden. In jeder einfach rechtwinkeligen Ecke wird der dem rechten Winkel gegenüberliegende ebene Winkel auch die Hypotenuse der Ecke genannt; die beiden anderen ebenen Winkel heissen dann die Katheten. In einer mehrfach rechtwinkeligen Ecke können dieselben Benennungen mit Beziehung auf irgend einen der rechten Flächenwinkel gebraucht werden. 6. Zur Untersuchung der gegenseitigen Beziehungen zwischen den ebenen und den Flächen-Winkeln einer und derselben Ecke findet zunächst die folgende Construction zweier Neigungswinkel Anwendung: Fällt man von einem beliebigen Punkte A einer Kante einer dreiseitigen Ecke 0(ABC) die senkrechte Gerade AD auf die gegenüberliegende Seitenfläche, dann vom Fusspunkt D dieser Linie die senkrechten Geraden DE, DF auf die beiden anderen Kanten und verbindet man schliesslich die Fusspunkte E, F der letzteren Perpendikel mit A, so müssen die Verbindungslinien AE, AF nach § 2, (5) bezüglich auf OB und OC senkrecht stehen. Sind nun die beiden Flächenwinkel an OB und OC spitz, so liegt D innerhalb des Winkels BOC, und die Winkel AED, AFD sind bezüglich die Neigungswinkel jener Flächenwinkel. Ist der Flächenwinkel an OC ein rechter, so fällt D in die Kante OC, und AF fällt mit AD zusammen; man hat auch dann in dem rechtwinkeligen Dreieck AED die beiden Neigungswinkel. Sind beide Flächenwinkel rechte, so fallen AD, AF und AE unter einander und mit AO zusammen; die Kante AO steht dann senkrecht zur Ebene COB. Ist ferner der Flächenwinkel an OC ein stumpfer, so fällt D ausserhalb des Winkels BOC, und der Winkel AFD ist der Nebenwinkel des Neigungswinkels jenes Flächenwinkels. Dasselbe findet für den Flächenwinkel an OB statt, wenn dieser ein stumpfer ist; bei zwei stumpfen Flächenwinkeln liegt D innerhalb des Scheitelwinkel von BOC, bei nur einem stumpfen und einem spitzen innerhalb eines Nebenwinkels von BOC, bei einem stumpfen und einem rechten auf der Verlängerung eines der Schenkel von BOC über O. In allen diesen Fällen lässt sich die angegebene Construction zur Untersuchung der Beziehungen zwischen den Flächenwinkeln, bezw. den Neigungswinkeln und den ebenen Winkeln benutzen. Diese Untersuchung führt zu den folgenden allgemein gültigen Sätzen: Sind zwei ebene Winkel AOB, AOC gleich gross, so sind die rechtwinkeligen Dreiecke OAF, OAE congruent, daher ist A Zugleich AE, und hierdurch ergiebt sich die Congruenz der Dreiecke AFD, AED, aus welcher endlich die Gleichheit der Winkel AFD, AED folgt. Somit erhält man den Satz: Gleichen ebenen Winkeln einer dreiseitigen Ecke liegen gleiche Flächenwinkel gegenüber (6a). 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 409 Umgekehrt kann man aus der vorausgesetzten Gleichheit der Flächenwinkel an OB und OC und also auch der Winkel AFD, AED zuerst die Congruenz der Dreiecke AFD, AED, aus dieser dann die Gleichheit der Seiten AF, AE, mittelst letzterer ferner die Congruenz der Dreiecke AO F, AOE folgern, so dass also auch der Satz gilt: Gleichen Flächenwinkeln einer dreiseitigen Ecke liegen gleiche ebene Winkel gegenüber (6b). Setzt man dagegen voraus, dass der Flächenwinkel an OA grösser sei als der Flächenwinkel an OB, so kann man von ersterem einen Theil O, BAD abschneiden, welcher dem letzteren gleich ist; die theilende Ebene AOD treffe BOC in OD. Dann liegen in der Ecke O (. ABD ) den gleichen Flächen- winkeln an OA und OB gleiche ebene Winkel BOD, AOD gegenüber. Da ferner in der Ecke O ( ACD ) die Summe der ebenen Winkel CO D und AOD grösser als der dritte AOC sein muss, so ist auch COD -+- DOB > AOC, oder COB > AOC, d. h. in jeder dreiseitigen Ecke liegt dem grösseren von zwei Flächenwinkeln ein grösserer ebener Winkel gegenüber (6c). Endlich beweist man noch mit Hülfe der beiden letzten Sätze auf indirektem Wege leicht den folgenden: In jeder dreiseitigen Ecke liegt dem grösseren von zwei ebenen Winkeln ein grösserer Flächenwinkel gegenüber (6d). Man kann die beiden vorstehenden Sätze über ungleiche Stücke einer Ecke auch mittelst der zum Beweis der beiden entsprechenden über gleiche Stücke benutzten Construction und in analoger Weise wie diese beweisen, indem man statt der Congruenzen der Dreieckspaare die Nicht-Congruenzen derselben benutzt. Diese Beweise haben jedoch das Missliche, dass sie je nach der Annahme spitzer oder stumpfer Winkel in Folge der verschiedenen Lagen des Fuss- punktes D zu weitläufigeren Erörterungen nöthigen, wenn sie allgemein gültig sein sollen. Als Zusätze der vier obigen Sätze über die Beziehungen zwischen ebenen und Flächen-Winkeln einer dreiseitigen Ecke ergeben sich aus denselben ohne Weiteres die folgenden: Sind die drei ebenen Winkel einer Ecke gleich gross, so sind auch die drei Flächenwinkel einander gleich. Sind die drei Flächenwinkel einer Ecke gleich gross, so sind auch die drei ebenen Winkel einander gleich. Dem grössten ebenen Winkel einer Ecke liegt der grösste Flächenwinkel gegenüber. Dem grössten Flächenwinkel einer Ecke liegt der grösste ebene Winkel gegenüber. § 8. Fortsetzung: Von der Congruenz der Ecken. 1. Vergleicht man die sechs Stücke einer Ecke mit denjenigen ihrer Gegenecke, so findet man, dass je zwei entsprechende ebene Winkel und ebenso je A 4 io Stereometrie. zwei entsprechende Flächenwinkel beider Ecken als Scheitelwinkel gleich gross sind, und dass auch die gleichen Stücke in gleicher Reihenfolge aneinander liegen. Trotz dieser Uebereinstimmung in allen homologen Stücken können jedoch die beiden Ecken im Allgemeinen nicht zur Deckung gebracht werden, denn würde man z. B . OA' in die Richtung von OA, OB' in die von OB bringen, so würden die Ecken auf verschiedene Seiten der gemeinschaftlichen Flächen AOB fallen; legt man aber die eine Ecke so A auf die andere, dass die gleichen Winkel A' OB' und AOB einander decken und beide Ecken auf derselben Seite von AOB liegen, so fällt OÄ in die Richtung von OB, OB' in die Richtung von OA, und die homologen Flächenwinkel fallen also nicht zusammen. Der Unterschied beider Ecken, welcher diese Unmöglichkeit, dieselben zur Deckung zu bringen, zur Folge hat, besteht darin, dass die homologen Stücke in beiden in umgekehrter Ordnung auf einander folgen und ist also demjenigen entsprechend, welcher zwischen rechter Hand und linker Hand oder zwischen der Gestalt eines Körpers und derjenigen seines Bildes im Spiegel besteht. Könnte man die eine der beiden Ecken so umstülpen, dass die inneren Flächenseiten derselben die äusseren würden, so würde sich die Ordnung der Stücke umkehren und beide Ecken würden congruent werden. Man nennt zwei Raumgebilde überhaupt, und also auch insbesondere zwei Ecken, die in allen homologen Stücken übereinstimmen und bei denen die homologen Stücke zwar in gleicher Reihenfolge aber in umgekehrter Ordnung aneinanderliegen, symmetrisch. Jede Ecke ist also ihrer Gegenecke symmetrisch. Sind zwei Ecken symmetrisch, so ist jede derselben der Gegenecke der anderen congruent, und überhaupt zwei Ecken, die derselben dritten symmetrisch sind, müssen unter einander con- gruent sein. Stimmen zwei dreiseitige Ecken in den drei ebenen Winkeln paarweise überein, so sind auch je zwei homologe Flächenwinkel derselben einander gleich, und die Ecken sind also congruent oder symmetrisch, (1) denn construirt man in jeder dieser beiden Ecken O, O' zwei Neigungswinkel nach § 7, Nr. 6, indem man OA = O'A' macht, die Senkrechten AB, A’B' auf die gegenüberliegenden Flächen fällt und in dieser Weise, wie dort gezeigt, fortfährt, so folgt aus der Gleichheit der ebenen Winkel AOE, A'O'E' die Con- gruenz der in den Hypotenusen übereinstimmenden rechtwinkeligen Dreiecke AOE, A'O'E' und aus dieser, dass AE = A'E, 0E=0'E ist. In gleicher Weise ist AAOFm &A'0'F, also AE— A'E', 0F = O'F. Nun kann man die Vierecke FOEB, F O'E'B' mit den gleichen Winkeln FOE, F O'E auf einander gelegt denken, sodass die gleichen Schenkel OF, O'F und ebenso OE, O'E einander decken, mithin auch die auf denselben stehenden Senkrechten FB, PB’ und ebenso ED, ED', also die ganzen Vierecke zusammenfallen. Da hiernach diese Vierecke congruent sind, also FD —FD', ED = ED' ist, so folgt weiter die Congruenz der Dreiecke AFD, A'F'D', sowie die der Drei- 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 411 ecke AED, ÄE'D' und hieraus die Gleichheit der Neigungswinkel AFD, A'E'D', sowie die von AED und A'E'D’. Da auch für die Winkel an OA und O'Ä derselbe Beweis geführt werden kann — denn die Senkrechte AD kann auch statt von A von einem Punkte einer anderen Kante aus auf die dieser gegenüberliegende Fläche gefällt werden — so ist bewiesen, dass alle homologen Flächenwinkel der beiden Ecken gleich gross sind. 2. Stimmen zwei dreiseitige Ecken in zwei ebenen Winkeln und in dem von diesen eingeschloss enen Flächenwinkel überein, so sind auch je zwei andere homologe Stücke derselben einander gleich, und die Ecken sind also congruent oder symmetrisch. (2) Der Beweis dieses Satzes kann in ähnlicher Weise wie der des vorigen, also durch Construction von Neigungswinkeln und die Congruenz entstehender Dreiecke geführt werden. Man kann ausserdem zeigen, dass irgend eine der beiden Ecken sich mit der anderen oder mit der Gegenecke derselben zur Deckung bringen lässt. Denkt man sich nämlich diese betreffenden Ecken so zusammengestellt, dass der Scheitel O' auf den Scheitel O, die Kante O’ A’ in die Richtung der Kante OA fällt, wobei angenommen wird, dass an diesen Kanten die als gleich vorausgesetzten Flächenwinkel liegen, so muss ferner in Folge dieser Gleichheit die eine Ecke so zur anderen gelegt werden können, dass die Schenkelebenen A! O'B' und ÄOß einerseits und die Schenkelebenen A'O’C' und AOC andererseits zusammenfallen. In Folge der Gleichheit der homologen einschliessen- den ebenen Winkel fällt dann O'B’ in die Richtung von OB, O’C in die Richtung von O C, und es muss also auch die Ebene O'B'C' die Ebene OBC decken. 3. Stimmen zwei dreiseitige Ecken in zwei ebenen Winkeln und in dem einem der letzteren gegenüberliegenden Flächenwinkel überein, so kann noch nicht behauptet werden, dass die Ecken congruent oder symmetrisch seien. Legt man nämlich die eine Ecke mit der anderen (oder mit der Gegenecke der letzteren) so zusammen, dass wie vorhin die Scheitel und die gleichen Flächenwinkel einander decken, so müssen auch die den letzteren anliegenden als gleich vorausgesetzten ebenen Winkel in AOC einander decken, da aber nicht bekannt ist, ob die Flächenwinkel an OC gleich seien, so kann auch nicht gefolgert werden, dass die Fläche O'C'B' auf O CB falle, vielmehr muss die Möglichkeit gelten gelassen werden, dass eine derselben, z. B. OCB' innerhalb des Flächenwinkels der anderen an OC, und also auch die Kante OB' nicht auf OB, sondern innerhalb des ebenen Winkels AOB falle. Findet dies nun statt, so entsteht eine Ecke 0(BB'C), in welcher der Voraussetzung zufolge die ebenen Winkel BO C, B'OC und mithin auch die ihnen gegenüberliegenden Flächenwinkel an OB' und OB gleich gross sind. Da nun der Flächenwinkel der Ecke 0(AB'C ) an der Kante OB' der Nebenwinkel des einen der C 412 Stereometrie. vorigen ist, so ergiebt sich, dass derselbe in diesem Falle zu dem homologen Flächenwinkel der Ecke 0(ABC ) an OB supplementär sein muss. Sind also zwei dreiseitige Ecken, welche in den vorher genannten Stücken üb er ein stim men, nicht congrue nt oder symmetrisch, so müssen die nicht als gleich vorausgesetzten der den ebenen gegenüberliegenden Flächenwinkel zusammen zwei Rechte betragen, und die Congruenz oder Symmetrie der beiden Ecken kann also behauptet werden, falls die weitere Bedingung erfüllt ist, dass die Summe der anderen gegenüberliegenden Flächenwinkel nicht gleich zwei Rechten sei (3). Insbesondere kann man also die Uebereinstimmung der beiden Ecken in je zwei homologen der noch übrigen Stücke schon dann behaupten, wenn die im Allgemeinen leicht zu erkennende Bedingung erfüllt ist, dass die anderen gegenüberliegenden Winkel gleichartig, d. h. dass sie gleichzeitig spitze oder gleichzeitig stumpfe, bezw. rechte sind. 4. Stimmen zwei dreiseitige Ecken in zwei Flächenwinkeln und in dem einen der letzteren gegenüberliegenden ebenen Winkel überein, so kann ebenfalls die Congruenz oder Symmetrie der Ecken nur unter der ferneren Bedingung behauptet werden, dass die anderen gegenüberliegenden ebenen Winkel nicht zusammen zwei Rechte betragen (4). Es müssen nämlich in diesem Falle die Polarecken der beiden Ecken in zwei ebenen Winkeln und einem der gegenüberliegenden Flächenwinkel tiberein- stimmen; diese Polarecken sind also nach dem vorigen Satze congruent oder symmetrisch, wenn ihre anderen gegenüberliegendenFlächenwinkel nicht zusammen zwei Rechte betragen, und dieses letztere muss wieder der Fall sein, wenn diese Bedingung in den ursprünglichen Ecken für die entsprechenden ebenen Winkel erfüllt ist. Da nun in diesem Falle die Polarecken auch in ihren übrigen homologen Stücken übereinstimmen, so folgt aus der Gleichheit der letzteren wieder rückwärts die Gleichheit ihrer Supplemente, also der noch übrigen homologen Stücke der ursprünglichen Ecke. 5. Stimmen zwei dreiseitige Ecken in zwei Flächenwinkeln und dem von ihnen eingeschlossenen ebenen Winkel überein, so sind dieselben congruent oder symmetrisch (5). Der Beweis dieses Satzes kann in ähnlicher Weise wie der des vorhergehenden mittelst der Polarecken geführt werden. Bezeichnen wir der Kürze halber die ebenen Winkel einer Ecke durch bez. a, b, c und die ihnen gegenüberliegenden Flächenwinkel der Reihe nach durch a, ß, 7 , sowie entsprechend die Stücke einer zweiten Ecke durch a!, b' , u. s. w., so folgt aus der Voraussetzung, a = a’, ß = ß', 7 = 7, dass auch 180° — a = 180° — a' , 180° — ß = 180° — ß', 180° — 7 = 180° — 7 ' ist, dass somit die beiden Polarecken in einem Flächenwinkel und den ihn ein- schliessenden ebenen Winkeln übereinstimmen und also congruent oder symmetrisch sind. Aus der somit folgenden Gleichheit je zweier homologen übrigen Stücke der Polarecken, oder aus 180° — a = 180° — a’, 180° — b = 180° — b’, 180° — r = 180° — c' aber folgt a = a!, b = b 1 , c = c\ die ursprünglichen Ecken stimmen also in allen homologen Stücken überein. 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 413 6. Stimmen zwei dreiseitige Ecken in den drei Flächenwinkeln überein, so sind dieselben congruent oder symmetrisch (G). Der Beweis dieses Satzes kann wieder mittelst der Polarecken geführt werden. Letztere müssen in den ebenen Winkeln übereinstimmen, daher sind auch je zwei homologe Flächenwinkel derselben gleich gross, und hieraus folgt wieder rückwärts die Gleichheit auch je zweier homologen ebenen Winkel der ursprünglichen Ecken. Durch die sechs nunmehr aufgestellten Congruenzsätze für dreiseitige Ecken sind alle hierbei möglichen Fälle erschöpft. Dieselben sind einander paarweise zugeordnet, so dass der Beweis eines jeden mit Hülfe des ihm zugeordneten Satzes und der Polarecke geführt werden kann, sobald dieser letztere Satz als vorher bewiesen gelten kann. So kann man beispielsweise den fünften der vorstehenden Sätze auch leicht unmittelbar durch Deckung beweisen und dann aus ihm den zweiten mittelst der Polarecken ableiten. 7. Die Congruenzsätze der Ecken zeigen eine grosse Analogie mit den Congruenzsätzen für Dreiecke in der Planimetrie, ebenso wie mehrere der anderen im Vorigen bewiesenen Eigenschaften der Ecken solchen des Dreiecks entsprechen. Daneben zeigen sich aber auch erhebliche Unterschiede, unter denen derjenige besonders hervorragt, dass die Summe der Flächenwinkel einer dreiseitigen Ecke nicht, wie diejenige der Winkel eines Dreiecks, zwei Rechte beträgt, überhaupt keinen bestimmten, sich gleich . bleibenden Werth hat, sondern zwischen den Grenzen von zwei Rechten und sechs Rechten schwankt. Daher fallen bei der Ecke auch alle Folgerungen weg, welche denjenigen entsprechen würden, die bei den Dreiecken aus der constanten Winkelsumme hervorgehen. So beruht es hierauf, dass bei den Ecken auch der Congruenzsatz von den drei Flächen-* winkeln aufzustellen war, da nicht durch je zwei der letzteren der dritte bestimmt ist. Ebenso zog der Congruenzsatz von einem ebenen Winkel und den beiden anliegenden Flächenwinkeln (der fünfte obige) nicht denjenigen von einem ebenen Winkel, einem anliegenden und dem gegenüberliegenden Flächenwinkel (d. i. den vierten obigen) als Folge nach sich, und es konnte bei letzterem sogar die Erfüllung einer weiteren Bedingung nothwendig werden. Die Congruenzsätze für dreiseitige Ecken zeigen, entsprechend denen für Dreiecke, dass durch drei der sechs Stücke einer Ecke im Allgemeinen die drei übrigen bestimmt sind. Man kann daher die Aufgabe stellen, aus drei gegebenen solchen Bestimmungsstücken die übrigen zu ermitteln, und zwar entweder, wenn jene durch Zeichnung gegeben sind, mittelst Construction oder, wenn jene durch ihre Maasszahlen gegeben wurden, mittelst Rechnung. Die Aufgabe im letzteren Falle löst die sphärische Trigonometrie; für den ersteren Fall soll dieselbe hier noch kurz behandelt werden. Denkt man sich zu einer Ecke O die in § 7 No. 6 angegebene Construction zweier Neigungswinkel ausgeführt, und seien (Fig. S.414) ABD, ACD diese Neigungswinkel, so kann man sich jedes der Dreiecke OAB, OAC, ABD, ACD um seine in der Ebene O CDB liegende Seite so gedreht denken, dass es in diese Ebene fallt. Es mögen dann OA x B, O A 2 C, BDA ?t , CDA i der Reihe nach die neuen Lagen dieser Dreiecke bezeichnen. Dann müssen A t B und BD, und ebenso -^2 C und CD in je eine Gerade fallen, ferner muss OA x gleich OA 2 und DA., gleich DA it BA 3 gleich BA X , CA 4 gleich CA%, DA., senkrecht auf DB und senkrecht auf CD sein, und A 3 BD, A±CD sind den Neigungswinkeln der Lcke an den Kanten OB, O C bezüglich gleich. Sind nun die drei ebenen 4 I4 Stereometrie. Winkel a, b, c, gegeben, so sind bei beliebiger Annahme der Länge von OA 1 j — OA 2 die rechtwinke- 2 ligen Dreiecke OA OA 2 C nebst dem zwischen ihnen liegenden Winkel COB be- stimmt; durch Ver- 'i # längerung von A X B und A,,C erhält man den I 6 I Punkt D, durch die in JjL D auf DB und DC 3 errichteten Senkrechten und die mit CA 2 um C und mit BA X um B beschriebenen Kreisbogen ergeben sich die Punkte A 3 , A i und somit die den zwei gesuchten Neigungswinkeln ß, j bezüglich gleichen Winkel A^CD, A^BD. In entsprechender Weise kann auch der dritte Neigungswinkel gefunden werden. Sind zwei ebene Winkel a, b und der eingeschlossene Flächenwinkel 7 gegeben, so kann man nach derselben Figur wie vorher zunächst das rechtwinkelige Dreieck OBA X mit beliebig gewählter Hypotenuse beschreiben, dann mittelst des an die Verlängerung von A t B in B angelegten, dem gegebenen Winkel 7 gleichen Winkels, dem Schenkel BA Z =BA 1 und der Senkrechten A 3 D den Punkt D bestimmen, ferner an OB den Winkel BOC—a anlegen, von D auf OC die Senkrechte fällen, dieselbe über ihren Fusspunkt C verlängern und mittelst eines um O mit OA j beschriebenen Kreisbogens den Punkt A 2 finden. Hierdurch erhält man den Winkel A s OC gleich dem gesuchten dritten ebenen Winkel c und kann weiterhin wie in der vorigen Aufgabe verfahren. Sind zwei ebene Winkel b, c und einer der gegenüberliegenden Flächenwinkel 7 gegeben, so kann man wie vorher zunächst das Dreieck OA^B, dann das Dreieck BA 2 D und ausserdem ein dem Dreieck OA 2 C congruentes zeichnen. Durch letzteres erhält man die Länge von OC, und zieht man OD, beschreibt über OD als Durchmesser den Kreis, so findet man mittelst eines um O mit jener Länge beschriebenen Kreisbogens den Punkt C) worauf alles Uebrige sich entsprechend den vorigen Fällen leicht ergiebt. Die Möglichkeit zweier brauchbaren Durchschnittspunkte des über OD beschriebenen Kreises und des um O beschriebenen Kreisbogens, wobei der dritte ebene Winkel a das einemal als Summe, das anderemal als Differenz zweier Winkel entsteht, zeigt auch hier die Unbestimmtheit des Falles und erläutert dieselbe näher dahin, dass derselbe, falls die oben angegebene Bedingung nicht erfüllt ist, zweideutig ist. Die drei noch übrigen Fälle können mit Hülfe der vorstehenden und der Polarecken in leicht ersichtlicher Weise gelöst werden. 8. In den beiden zweideutigen Fällen sind die Bedingungen, unter welchen die Ecken vollständig bestimmt sind, von der Kenntniss solcher Stücke abhängig gewesen, welche nicht zu den gegebenen gehören. Um auch solche zu finden, welche die Entscheidung der Frage bloss aus der Kenntniss der drei gegebenen Bestimmungsstücke gestatten, denke man sich, dass eine Ecke aus zwei ebenen 2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 415 Winkeln b, c und einem gegenüberliegenden Flächenwinkel 7 im Raume construirt werden solle. Man kann dann zeigen, dass nur eine einzige Ecke erhalten wird, wenn c zwischen b und 180° — b liegt, während es im anderen Falle im Allgemeinen zweierlei der Aufgabe genügende Ecken giebt. In entsprechender Weise, bezw. durch die Polarecke findet man für den anderen Fall, dass ß, 7 und c gegeben sind, die Bedingung, dass 7 zwischen ß und 180° — ß liege. Eine nähere Ausführung der Begründung dieser Sätze möge hier, ebenso wie eine weitere Untersuchung der Eigenschaften dreiseitiger Ecken, unterbleiben, da das bisherige für die Folge genügt, und die Behandlung sphärischer Dreiecke Gelegenheit geben wird, auf die Ecken zurückzukommen. Nur der Begriff und die wichtigsten Eigenschaften regelmässiger 72 -seitiger Ecken finden zweckmässig noch hier Erörterung. die durch SM und die auf SB folgende § 9. Regelmässige Ecken. 1. Unter einer regelmässigen Ecke versteht man eine solche Ecke, welche lauter gleiche ebene Winkel und lauter gleiche Flächenwinkel hat. Jede dreiseitige Ecke, deren drei ebene Winkel gleich gross sind, ist also beispielsweise eine regelmässige, dagegen kann bei mehrseitigen Ecken nicht aus der blossen Gleichheit aller ebenen Winkel auf die der Flächenwinkel oder umgekehrt geschlossen werden. Es sei S eine regelmässige 72 -seitige Ecke, und man habe die an zwei benachbarten Kanten SA, SB liegenden Flächenwinkel hal- birt, so müssen die Halbirungsebenen einander in einer durch S gehenden Geraden SM schneiden. Es ist hierdurch eine dreiseitige Ecke S(ABM ) entstanden, deren an SA und SB liegende Flächenwinkel als Hälften zweier nach Voraussetzung gleicher Winkel einander gleich sind. Hieraus folgt, dass auch die ebenen Winkel ASM, BSM gleich gross sein müssen. Construirt man nun Kante SC bestimmte Ebene, so sind in den beiden dreiseitigen Ecken S(ABM), S{BCM ) der Voraussetzung zufolge die ebenen Winkel ASB, BSC, ferner die Flächenwinkel an SB gleich gross, und der ebene Winkel BSM ist beiden gemeinschaftlich. Demnach muss auch der Flächenwinkel der Ebenen MSC, BSC dem Flächenwinkel von MSB, ASB gleich sein, woraus hervorgeht, dass ersterer ebenfalls die Hälfte des Flächenwinkels von BSC und BSC ist. Nunmehr ergiebt sich in gleicher Weise wie vorher, dass in der Ecke S(BMC) der ebene Winkel MSC gleich dem ebenen Winkel MSB ist. Man lege nun eine neue Ebene durch SM und SD, beweise wie vorher, dass die Ecken S(MCD) und S(MBC) in zwei ebenen Winkeln und dem eingeschlossenen Flächenwinkel übereinstimmen und beweise daraus durch ganz entsprechende Schlussfolgerungen wie vorher, dass der ebene Winkel MSD gleich MSC ist. Da sich diese Beweisführung für jede etwa noch folgende durch SM und eine Kante der Ecke S gehende Ebene wiederholen lässt, so ergiebt sich, dass die Gerade SM mit allen Kanten der Ecke gleiche Winkel bildet. Gleichzeitig ist gefunden worden, dass die durch SM und je eine Kante gehenden Ebenen die Flächenwinkel der Ecke halbiren, und es müssen daher auch umgekehrt die Halbirungsebenen der sämmtlichen Flächenwinkel durch S M gehen. Somit hat man den Satz: 4iö Stereometrie. Die Halbirungsebenen der Flächenwinkel einer regelmässigen Ecke schneiden einander sämmtlich in einer einzigen, durch den Scheitel der Ecke gehenden Geraden; diese Gerade bildet mit allen Kanten der Ecke gleiche Winkel. Dieselbe heisst die Achse der Ecke. 2. Legt man durch einen beliebigen Punkt M von SM die zu SM senkrechte Ebene, welche die Kanten der Ecke bezüglich in A, B, C, D, . . . schneide, so sind die Dreiecke SMA, SMB, SMC u. s. w. sämmtlich congruent, daher ist MA = MB — MC .... und SA — SB — SC . . . . Fällt man ferner von M auf irgend eine der Seiten des Polygons AB CD . . . , z. B. auf AB, die senkrechte Gerade MG, so muss G die Seite AB halbiren und zu ihr senkrecht stehen. Zieht man noch SG, so halbirt SG den Winkel ASB und steht senkrecht auf AB. Die Ebene A GM steht senkrecht zur Kante AB und somit auch senkrecht zu der durch dieselbe gehenden Ebene ASB. Da man die gleichen Con- structionen und Folgerungen auf jede der Ebenen der Ecke S anwenden und da man ferner die letzteren umkehren kann (weil jede Ebene, wie SGM, die einzige sein muss, welche die betreffenden Eigenschaften in Beziehung auf die zugehörigen Linien und Flächen hat), so ergeben sich folgende Sätze: Die durch die Achse und je eine der Halbirungslinien der ebenen Winkel einer regelmässigen Ecke gehenden Ebenen stehen senkrecht zu der Ebene des zugehörigen ebenen Winkels, und umgekehrt schneiden sich die auf den Flächen in den Halbirungslinien der ebenen Winkel errichteten senkrechten Ebenen in einer einzigen Geraden, nämlich in der Achse der Ecke. Aus der Congruenz der Dreiecke SGM u. s. w. folgt dann noch, dass die Achse auch mit allen Halbirungslinien der ebenen Winkel der Ecke gleiche Winkel bildet. Zweiter Abschnitt: Von den Körpern. Kapitel 3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. § 10. Die Pyramide. 1. Die Verbindung von vier oder mehr Ebenen mit einander führt neben Wiederholungen früher behandelter Raumgebilde auf ein neues, nämlich auf den ringsum durch Ebenen begrenzten Raumtheil oder den ebenflächigen Körper. Die Untersuchung der möglichen Lagen dreier Ebenen gegen einander zeigte, dass sich mit letzteren kein Raumtheil vollständig begrenzen lässt, zugleich aber auch, dass die Hinzunahme einer vierten Ebene zu diesem Zwecke genügt, denn nimmt man auf jeder Kante einer dreiseitigen Ecke einen Punkt an (der nicht der Scheitel sein darf), so bildet die durch diese drei Punkte bestimmte Ebene mit den drei Ebenen der Ecke die Begrenzung eines Körpers. Jeder solche von vier Ebenen begrenzte Körper heisst ein Tetraeder. Dasselbe ist ein besonderer Fall einer allgemeinen Körperform, welche entsteht, wenn die sämmtlichen Kanten einer beliebig vielseitigen Ecke durch eine Ebene geschnitten werden. Jeder derartige Körper wird eine Pyramide genannt. Eine Pyramide ist also ein Körper, welcher von drei oder mehr Ebenen, 3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 417 deren Durchschnittslinien durch einen und denselben Punkt gehen, und durch eine diese Ebenen schneidende Ebene begrenzt wird. Man kann eine solche dadurch erzeugt denken, dass man einen beliebigen Punkt ausserhalb der Ebene eines Polygons, mit allen Eckpunkten des letzteren verbindet und durch je zwei benachbarte dieser Verbindungslinien die zugehörige Ebene legt. Diejenigen Flächen einer Pyramide, deren Kanten durch den gemeinsamen Punkt gehen, heissen die Seitenflächen, ihre Durchschnittslinien mit einander die Seitenkanten, der gemeinschaftliche Punkt der letzteren die Spitze oder der Scheitel der Pyramide. Die Ebene, welche alle Seitenkanten schneidet, wird die Grundfläche, ihre Durchschnittslinien mit den Seitenflächen werden die Grundkanten genannt. Jede Pyramide hat eben so viele Seitenflächen als Seitenkanten und als Grundkanten. Nach der Anzahl derselben oder, was wieder dasselbe ist, nach der Anzahl der Eckpunkte der Grundfläche unterscheidet man dreiseitige, vierseitige, fünfseitige u. s. w., allgemein »-seitige Pyramiden. Die Namen Tetraeder und dreiseitige Pyramide sind also gleichbedeutend. Die von der Spitze N einer Pyramide auf die Grundfläche (oder deren Erweiterung) gefällte senkrechte Gerade SM heisst die Höhe der Pyramide. Lässt sich um die Grundfläche ein Kreis beschreiben, und ist der Fusspunkt M der Höhe der Mittelpunkt dieses Kreises, so sind nach § 2 die sämmtlichen Seitenkanten gleichlang und haben gegen die Grundfläche gleiche Neigungswinkel, auch bilden dieselben gleiche Winkel mit der Höhe. Umgekehrt, sind alle Seitenkanten einer Pyramide gleich lang, so sind alle Eckpunkte ihrer Grundfläche gleichweit vom Fusspunkt der Höhe entfernt. Jede Pyramide, deren Seitenkanten sämmtlich gleichlang sind, heisst eine gerade, jede andere eine schiefe. Hat die Grundfläche einer Pyramide einen von allen Eckpunkten der ersteren gleichweit entfernten Punkt M, so heisst die Verbindungslinie dieses Mittelpunktes mit der Spitze in allen Fällen die. Achse der Pyramide. Man kann daher auch sagen, eine gerade Pyramide sei eine solche, deren Achse senkrecht zur Grundfläche stehe, oder deren Höhe mit der Achse Zusammenfalle. In jeder geraden Pyramide sind alle Seitenflächen gleichschenkelige Dreiecke, in der schiefen Pyramide sind entweder alle Seitenflächen ungleichseitige Dreiecke, oder es sind nur einzelne derselben 'gleichschenkelig. In jeder geraden Pyramide haben alle Seitenkanten gleiche Neigungswinkel zur Grundfläche, in einer schiefen können diese höchstens zum Theil von gleicher Grösse sein. Dagegen sind die Neigungswinkel der Seitenflächen gegen die Grundfläche auch in der geraden Pyramide im Allgemeinen nicht gleich; damit dies der Fall sei, muss der Fusspunkt der Höhe zugleich von allen Grundkanten gleichweit entfernt, also Mittelpunkt eines Kreises sein, der sich der Grundfläche einbeschreiben lässt. Eine Pyramide heisst regelmässig, wenn ihre Grundfläche eine regelmässige Figur ist. Ist eine Pyramide gleichzeitig regelmässig und gerad, so sind alle Seitenflächen derselben einander congruent und haben gleiche Neigungswinkel zur Grundfläche. Die Ecke an der Spitze S ist dann eine regelmässige, und die Achse SM der Pyramide ist zugleich die Achse dieser Ecke. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. * 27 s 418 Stereometrie. 2. Jeder ebene Schnitt durch eine Pyramide, welcher durch die Spitze 5 der letzteren gelegt ist, liefert als Schnittfigur ein Dreieck. Geht ein solcher Schnitt zugleich durch die Achse, so heisst er ein Achsenschnitt. Jeder ebene Schnitt durch eine Pyramide, welcher nicht durch die Spitze £ der letzteren gelegt ist, schneidet alle Seitenflächen oder deren Erweiterungen über die Grundkanten; die Schnittfigur einer «-seitigen Pyramide ist in diesem Falle ein «-Eck. Sind ABCDEF, A' B'C' D' E F zwei solche Schnittfiguren einer und derselben Pyramide, deren Ebenen einander parallel sind, so sind je zwei in derselben Seitenfläche liegende Seiten AB, ÄB' oder BC, B'C' u. s. w, nach § 4 (2) einander parallel. Hieraus folgt nach § 4 (3 c) weiter, dass je zwei homologe Winkel ABC und A'B’C, BCD und B'C’E’ u. s. w. in beiden Figuren einander gleich sind, sowie nach der planimetrischen Lehre von den parallelen Transversalen eines Dreiecks, dass AB : A'B' = SB: SB') BC: B'C'=SB:SB', also auch AB: A'B' = BC: B'C', und in dieser Weise weiter, dass allgemein je zwei homologe Seiten beider Figuren zu einander in demselben Verhältniss stehen. Beide Eigenschaften der parallelen Schnittfiguren vereinigt führen zu dem Satz: Alle nicht durch die Spitze gehenden Schnittfiguren eines pyramidalen Raumes, deren Ebenen einander parallel sind, sind einander ähnlich. (1) Zugleich hat sich ergeben, dass von den Seitenkanten der Pyramide durch je zwei solche Schnitte Strecken abgeschnitten werden, welche für alle jene Kanten dasselbe Verhältniss zu einander haben, und dass dieses Verhältniss gleich demjenigen zweier homologen Seiten der Schnittfiguren ist. Zieht man ferner durch die Spitze £ der Pyramide eine beliebige, die beiden Schnittebenen oder deren Erweiterungen bezüglich in P und P schneidende Gerade, so ist auch das Verhältniss SP: SP der auf letzterer entstandenen Abschnitte dem eben genannten Verhältniss gleich, denn construirt man z. B. die durch SP und SA bestimmte Ebene, so sind die Durchschnittslinien AP, A'P der letzteren mit den Schnittebenen einander parallel, und es ist daher SP: SP = SA : SA' = AB : A'B'. Insbesondere verhalten sich daher auch je zwei homologe Seiten der parallelen Schnittfiguren zu einander, wie die auf der Höhe gemessenen, also senkrechten Abstände ihrer Ebenen von der Spitze. Da die Flächeninhalte ähnlicher Figuren sich zu einander wie die Quadrate homologer Seiten verhalten, so folgt weiter, dass die Flächen zweier parallelen Schnittfiguren einer Pyramide sich zu einander verhalten, wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze (2), denn aus AB: A'B' = SP: SP folgt AB 2 : A'B 2 = S P 2 : SP-. Als die eine der beiden Schnittfiguren kann auch die Grundfläche der Pyrä- 3 . Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 419 mide dienen; die vorstehenden betreffenden Sätze gelten also insbesondere auch für die Grundfläche und jeden derselben parallelen Schnitt einer Pyramide. 3. Jeder zwischen zwei solchen parallelen Schnittebenen eines pyramidalen Raumes eingeschlossene Theil des letzteren wird eine abgestumpfte Pyramide oder ein Pyramidenstumpf genannt, und man bezeichnet in der Regel die grössere der beiden Schnittflächen als die untere Grundfläche oder die Grundfläche schlechthin, die kleinere als die obere Grundfläche oder die Deckfläche. Der senkrechte Abstand der beiden Grundflächen heisst die Höhe des Pyramidenstumpfes. Kann ein Pyramidenstumpf als ein Theil einer geraden Pyramide angesehen werden, deren Grundfläche eine der Grundflächen des Stumpfes ist, so heisst der letztere ein gerader, und man findet mit Hülfe früherer Sätze leicht folgende Eigenschaften eines solchen.| Alle Seitenkanten eines geraden Pyramidenstumpfes sind gleich lang und bilden mit beiden Grundflächen gleiche Neigungswinkel. Alle Seitenflächen eines geraden Pyramidenstumpfes sind gleichschenkelige Trapeze. Jeder Pyramidenstumpf kann durch Erweiterung seiner Seitenflächen zu einer vollständigen Pyramide ergänzt werden. Diejenige hierbei entstehende Pyramide, welche ihn zur vollständigen ergänzt, heisst seine Ergänzungspyramide. 4. Man kann sich die Seitenflächen einer jeden Pyramide durch Bewegung einer Geraden beschrieben denken, welche beständig durch einen und denselben Punkt S und ausserdem in stetiger Aufeinanderfolge nach und nach durch alle Punkte des Umfangs eines gegebenen n - Ecks geht. Die hierbei als unendlich lang zu denkende Gerade beschreibt dann die Begrenzung des ganzen unendlichen pyramidalen Raumes, von dem die Ebene jenes n - Ecks eine Pyramide abschneidet. Da diese Gerade auch über den Punkt S hinaus in’s Unendliche verlängert gedacht werden kann, so erhält man zu jenem pyramidalen Raum einen zweiten, welcher die Spitze S mit dem ersteren gemeinschaftlich hat, und dessen Seitenkanten mit je einer Seitenkante des ersteren in gerader Linie liegen. Die im Vorigen über ebene Schnitte durch einen pyramidalen Raum entwickelten Sätze gelten allgemein, auch wenn beide Schnitte in verschiedenen der zwei zusammengehörigen Räume liegen. § 11. Der Kegel. 1. Wird bei der eben angegebenen Construction eines pyramidalen Raumes der als Leitlinie dienende Umfang des «-Ecks durch eine krumme Linie ersetzt, so beschreibt die bewegte Gerade eine Fläche, welche eine Kegel fläche genannt wird. Eine jede solche Kegelfläche besteht wieder aus zwei durch den festen Punkt S der beschreibenden Geraden getrennten, zu einander gehörigen Theilen. Ist die Leitlinie ein Kreis, so erhält man eine gemeine Kegelfläche. In der Elementar-Mathematik kann nur diese letztere behandelt werden, und daher soll im Folgenden unter einer Kegelfläche schlechthin stets eine gemeine verstanden werden. Ueber eine solche ergeben sich aus ihrer Entstehungsweise leicht folgende Sätze: Die Kegelfläche besteht aus zwei congruenten Theilen, von denen jeder e inen nach einer Seite offenen unendlichen Raum umschliesst. Ein solcher offener kegelförmiger Raum kann als ein unendlich vielseitiger pyramidaler Raum betrachtet werden. — Durch jeden Punkt einer Kegelfläche lässt sich in 27® 420 Stereometrie. dieser eine Gerade legen, denn die beschreibende Gerade muss bei ihrer Bewegung einmal durch jenen Punkt gegangen sein. Diese Geraden, welche demnach alle durch einen und denselben Punkt, den festen Punkt der beschreibenden Geraden, gehen, sollen die Seitenlinien der Kegelfläche heissen; ihr Durchschnittspunkt wird auch hier die Spitze oder der Scheitel der Fläche genannt. Jede Seitenlinie des einen der beiden zusammengehörigen Theile einer vollständigen Kegelfläche, welche die Spitze gemeinschaftlich haben, ist in ihrer Verlängerung über die Spitze zugleich Seitenlinie des anderen Theils. Umgekehrt muss jede gerade Linie, welche die Spitze einer Kegelfläche mit einem anderen Punkt der letzteren verbindet, ihrer ganzen Erstreckung nach in diese Fläche fallen. 2. Jede andere gerade Linie, welche zwei Punkte einer Kegelfläche verbindet, hat mit der letzteren nur diese beiden Punkte gemein, denn sind zunächst A, B zwei solche auf verschiedenen Seitenlinien und auf demselben der beiden Theile der Kegelfläche liegende Punkte, so kann man durch jeden derselben eine Seitenlinie SA, SB legen, und die durch diese beiden Seitenlinien bestimmte Ebene muss die Gerade AB ihrer ganzen Erstreckung nach enthalten. Sie muss ferner die Ebene des als Leitlinie dienenden Kreises M in einer Geraden schneiden, welche durch die Fusspunkte C, D jener Seitenlinien in dieser Ebene geht, also eine Secante ist. Plätte nun die Gerade AB mit der Kegelfläche irgend einen dritten Punkt E gemeinsam, so müsste auch die durch S und E bestimmte Seitenlinie ganz in die Schnittebene SCD fallen, und der Fusspunkt dieser Seitenlinie in der Ebene von M müsste ein dritter Punkt sein, welchen die Secante CD mit dem Kreise M gemeinschaftlich hätte, was bekanntlich unmöglich ist. — Man erkennt gleichzeitig, dass das von A und B begrenzte Stück der durch diese Punkte gehenden Geraden ganz innerhalb des kegelförmigen Raumes fallen muss, während die Verlängerungen der Geraden über A und B ganz ausserhalb dieses Raumes liegen. — Liegen ferner A und B auf verschiedenen Flälften der Kegelfläche, so lässt sich der Beweis in ganz entsprechender Art führen; nur erkennt man hier, dass die Strecke AB ganz ausserhalb der kegel- - förmigen Räume und jede der Verlängerungen ganz innerhalb eines derselben liegt. Aus dem vorigen Satze folgt, dass ausser den Seitenlinien keine geraden Linien in einer Kegelfläche gezogen werden können, durch jeden Punkt der letzteren, welcher nicht die Spitze ist, also nur eine einzige Gerade in der Fläche möglich ist. Die Kegelfläche ist also in keinem Theil derselben eben; sie ist eine in sich zurückkehrende krumme Fläche. 3. Jede durch die Spitze einer Kegelfläche gelegte Ebene muss, wenn sie mit der Kegelfläche noch einen Punkt gemeinsam hat, die ganze Seitenlinie dieses Punktes mit ihr gemeinsam haben; jede durch die Spitze gehende Schnittebene einer Kegelfläche, welche also durch irgend einen Punkt innerhalb des Kegelraums geht, schneidet die Kegelfläche in zwei Seitenlinien. Ausser diesen Seitenlinien kann sie mit der Kegelfläche keinen Punkt gemeinsam haben. Die Richtigkeit dieser Behauptungen ergiebt sich leicht aus der vorhergegangenen 3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 421 Beweisführung mittelst der Secante CD, welche die Durchschnittslinie der Schnittebenen mit der Ebene des Leitkreises M sein muss. Die gerade Linie, welche durch die Spitze »S und den Mittelpunkt M des Leitkreises geht, heisst die Achse der Kegelfläche. Jeder ebene Schnitt der letzteren, welcher durch diese Achse geht, heisst ein A chsenschnitt. Steht die Achse senkrecht zur Ebene des Leitkreises, so heisst die Kegelfläche eine gerade, im anderen Fall wird sie eine schiefe genannt. Jede durch die Spitze S gehende Ebene, welche die Ebene des Leitkreises in einer Tangente des letzteren schneidet, hat mit der Kegelfläche nur die durch den Berührungspunkt der Tangente gehende Seitenlinie gemeinschaftlich und heisst deshalb eine Berührungs-Ebene (Tangential-Ebene) der Kegelfläche. Jene Seitenlinie wird ihre Berührungslinie genannt. Der Beweis des Satzes folgt im Wesentlichen daraus, dass ein gemeinschaftlicher Punkt beider Flächen ausserhalb jener Seitenlinie auch eine zweite gemeinschaftliche Seitenlinie zur Folge haben würde, wodurch eine Secante als Durchschnittslinie der Ebene mit derjenigen des Leitkreises bedingt sein würde. Jede durch die Spitze S gehende Ebene, welche die Ebene des Leitkreises in einer ganz ausserhalb des letzteren liegenden Geraden, also weder in einer Secante noch in einer Tangente schneidet, hat mit der Kegelfläche ausser der Spitze keinen Punkt gemeinsam. 4. Jede eine Kegelfläche schneidende Ebene, welche nicht durch die Spitze geht, liefert eine krumme Durchschnittslinie, denn wäre irgend ein Theil derselben gerad, so müsste die durch diesen Theil und die Spitze gehende Ebene alle die durch diesen Theil gehenden Seitenlinien enthalten, was nach dem Vorigen nicht möglich ist. Die Durchschnittslinien von Ebenen mit Kegelflächen führen den Namen Kegelschnitte. Trifft der Schnitt sämmtliche Seitenlinien, so muss die Schnittlinie eine in sich selbst zurückkehrende Curve (Ellipse) sein, ist jener einer einzigen Seitenlinie parallel, so erhält man eine aus zwei in’s Unendliche auseinander laufenden Aesten bestehende Curve (Parabel), ist endlich die Schnittebene zwei Seitenlinien parallel, so durchschneidet sie jeden der beiden Theile der Kegelfläche und die Schnittfigur besteht aus zwei getrennten Theilen, von denen jeder mit zwei Aesten in’s Unendliche verläuft (Hyperbel). Schon hieraus geht hervor, dass es verschiedene Arten von Kegelschnitten giebt, und dass die Behandlung derselben sich im Wesentlichen der Elementar-Mathematik entzieht, da diese von allen krummen Linien nur den Kreis behandelt. Die Lehre von den Kegelschnitten bildet dagegen einen der wichtigsten Theile der höheren Geometrie. In dem besonderen Falle jedoch, in welchem die Schnittebene der Ebene des Leitkreises parallel ist, kann eine elementar-mathematische Behandlung stattfinden, denn eine solche Schnittfigur ist ebenfalls ein Kreis. Ist nämlich C der Punkt, in welchem die Achse der Kegelfläche die Schnittebene trifft, M der Mittelpunkt des Leitkreises der letzteren und AC die Verbindungslinie des Punktes C mit einem beliebigen Punkte A der Schnittlinie, so kann man eine Ebene durch SM und CA legen, welche die Kegelfläche in einer Seitenlinie SB und die Ebene des Leitkreises in einem zu CA parallelen Radius MB desselben schneiden muss. Daher ist S 422 Stereometrie. CA : MB — SC\ SM. Für jede andere Verbindungslinie von C mit einem Punkte D der Schnittlinie erhält man in gleicher Weise, wenn ME der zu CD parallele Radius ist, CD : ME = SC: SM Daher ist auch CA : MB = CD : ME, und da MB = ME, so ist auch CA = CD, d. h. jede andere derartige Verbindungslinie ist der ersten CA gleich. Hiermit ist nicht nur die obige Behauptung bewiesen, dass die Schnittlinie ein Kreis sei, sondern ausserdem auch, dass die Mittelpunkte aller dieser Kreise auf der Achse liegen und dass der Radius eines solchen zum Radius des Leitkreises, oder — was in gleicher Weise sich ergiebt — dass die Radien je zweier solcher Kreise sich zu einander verhalten, wie die Abstände der zugehörigen Mittelpunkte von der Spitze. In derselben Weise wie bei den parallelen Schnitten eines pyramidalen Raumes ergiebt sich, dass man für das letztere Verhältniss auch dasjenige der betreffenden Abschnitte jeder anderen von S durch die beiden Ebenen gezogenen Geraden und insbesondere auch dasjenige der Abschnitte einer Seitenlinie SB : SA sowie dasjenige der senkrechten Abstände der beiden Flächen von der Spitze setzen kann. Die Flächen je zweier Kreise verhalten sich zu einander, wie die Quadrate dieser Abstände. 5. Jede der Ebene des Leitkreises parallele Schnittlinie einer Kegelfläche kann an Stelle des ersteren als Leitlinie bei Erzeugung dieser Kegelfläche dienen. Jeder durch eine Kegelfläche und die Ebene eines solchen Kreises begrenzter Körper heisst ein Kegel (Conus), jeder durch eine Kegelfläche und die Ebenen zweier solcher einander parallelen Kreise begrenzter Körper ein abgestumpfter Kegel oder ein Kegelstumpf. Der einen Kegel oder einen Kegelstumpf begrenzende Theil einer Kegelfläche heisst auch der Mantel des Kegels oder Stumpfs, die zugehörigen Kreisflächen heissen die Grundflächen und werden bei dem Kegelstumpf als obere und untere Grundfläche oder als Grundfläche und Deckfläche unterschieden. Die Begriffe Spitze, Achse, Seitenlinie, Achsenschnitte eines Kegels oder Kegelstumpfs erklären sich durch die entsprechenden der Kegelfläche. Die Höhe eines Kegels ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche, die Höhe eines abgestumpften Kegels der senkrechte Abstand der beiden Grundflächen. Jeder abgestumpfte Kegel hat einen Ergänzungskegel, welcher ihn zum vollständigen Kegel ergänzt. Ein gerader Kegel oder Kegelstumpf ist ein solcher, dessen Achse senkrecht zur Grundfläche steht, also mit der Höhe zusammenfällt. Für gerade Kegel findet man leicht folgende Lehrsätze: Alle Seitenlinien eines geraden Kegels sind gleich lang und haben gegen die Grundfläche gleiche Neigung. Umgekehrt ist jeder Kegel, dessen Seitenlinien gleich lang sind oder gegen die Grundfläche gleiche Neigung haben, ein gerader. Alle Achsenschnitte eines geraden Kegels sind congruente gleichschenkelige Dreiecke. Jedes derselben wird durch die Höhe des Kegels, welche zugleich die Höhe des Dreiecks ist, in zwei rechtwinkelige Dreiecke getheilt; alle diese rechtwinkeligen Dreiecke sind congruent. Man kann sich daher einen geraden Kegel durch Rotation eines rechtwinkeligen Dreiecks um eine Kathete des letzteren beschrieben denken; dabei beschreibt die Hypotenuse den Kegelmantel. Denkt man sich dieselbe über beide Endpunkte bis in’s Unendliche verlängert, so erhält man den Satz: Jede Gerade, welche um eine sie schneidende Gerade als Umdrehungsachse rotirt, beschreibt eine gerade Kegelfläche. Zwischen der 3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 423 s Länge a der Achse, derjenigen des Radius r der Grundfläche und derjenigen der Seitenlinie .? eines geraden Kegels besteht die Gleichung a 2 - 4 - r 2 — s 2 , welche die Berechnung einer jeden dieser drei Grössen aus den gegebenen anderen ermöglicht. 6. Bei einem schiefen Kegel ist die Achse SC stets grösser als die Höhe SJ 3 . Die durch die Achse und je eine Seitenlinie bestimmten Dreiecke stimmen auch hier in zwei Seiten überein, dagegen sind die von ihnen eingeschlossenen Winkel zwischen der Achse und den Radien der Grundfläche nach § 2 im Allgemeinen verschieden. Die in diesem § 2 über die betreffenden Winkel entwickelten Sätze lassen sofort die folgenden Eigenschaften schiefer Kegel erkennen: Von allen Seitenlinien eines schiefen Kegels ist diejenige die kleinste, welche durch den Endpunkt des mit dem Neigungsschenkel der Achse gegen die Grundfläche zusammenfallenden Radius geht, und diejenige die grösste, welche durch den Endpunkt die Verlängerung des vorigen bildenden Radius geht. Der durch Achse und die Höhe gehende ebene Schnitt des Kegels des die schneidet also den Mantel des letzteren in der kürzesten und in der längsten Seitenlinie. Dieser Achsen schnitt, welcher zur Grundfläche senkrecht steht und den Neigungswinkel der Achse gegen die Grundfläche enthält, ist ein Dreieck, dessen dritte Seite e m Durchmesser der Grundfläche ist; dasselbe wird das charakteristische Dreieck des Kegels genannt. Von je zwei anderen Seitenlinien ist diejenige die grössere, für welche der nach ihrem Fusspunkt in der Grundfläche gehende Radius den grösseren Winkel mit dem Neigungsschenkel der Achse bildet, und je zwei zu verschiedenen Seiten des durch die Höhe gehenden Achsenschnitts liegende Seitenlinien, für welche diese Winkel gleich gross sind, haben gleiche Längen. Zu allen diesen Sätzen lassen sich richtige Umkehrungen bilden. Kein schiefer Kegel kann drei oder mehr gleich lange Seitenlinien haben, oder ein Regel mit drei gleichen Seitenlinien ist ein gerader. Entsprechendes gilt von Seitenlinien, welche gleiche Neigungswinkel zur Grundfläche haben. Bei einem Kegelstumpf verbindet die Achse die Mittelpunkte der beiden Grundflächen. Ist der Kegelstumpf ein gerader, so sind alle Seitenlinien desselben gleich lang, sie haben ferner gegen die Grundflächen gleiche Neigung, und alle Achsenschnitte sind congruente gleichschenkelige Trapeze und umgekehrt. Zwischen den Längen der Achse a, der Seitenlinie 5 und der Radien R, r der Grundflächen besteht die Beziehungsgleichung s 2 = (R — r) 2 + a 2 . Bei dem schiefen Kegelstumj)f gelten in Betreff der Seitenlinien und Achsenschnitte entsprechende Sätze wie bei dem vollständigen schiefen Kegel. An die Stelle des charakteristischen Dreiecks tritt hier ein charakteristisches Trapez. 7. In jeden Kegel lassen sich beliebig viele Pyramiden einbeschreiben, so dass die Spitze einer solchen Pyramide mit der Spitze des Kegels zusammenfällt urM ,jj e Grundfläche der Pyramide eine der Grundfläche des Kegels einbeschriebene Figur ist. Die Kanten einer solchen Pyramide sind Seitenlinien des 424 Stereometrie, Kegels, die Seitenflächen der Pyramide Schnittflächen des Kegels. Die Pyramide ist gerade, wenn der Kegel ein gerader ist und umgekehrt. Um jeden Kegel lassen sich beliebig viele Pyramiden beschreiben, so dass die Spitze einer solchen Pyramide mit der Spitze des Kegels zusammenfällt und die Grundfläche der Pyramide eine der Grundfläche des Kegels umbeschriebene Figur ist. Die Seitenflächen der Pyramide sind Berührungsebenen des Kegels. Jeder Kegel kann als die Grenze betrachtet werden, welcher sich eine regelmässige Pyramide bei unendlicher Zunahme ihrer Seitenzahl ohne Ende nähert. In diesem Sinne kann der Kegel eine unendlich vielseitige Pyramide genannt werden. Den ein- und umbeschriebenen Pyramiden eines Kegels entsprechen in ganz gleicher Weise ein- und umbeschriebene Pyramidenstumpfe bei einem abgestumpften Kegel. 8. Schliesslich verdient noch eine Eigenschaft der Kegelflächen als bemerkens- werth Erwähnung, welche darin besteht, dass jede solche Fläche sich in eine Ebene aufwickeln lässt. (Abwickelbare oder devellopable Flächen.) Diese Eigenschaft ist eine Folge der Entstehung der Kegelfläche durch Bewegung einer Geraden in solcher Weise, dass durch jede zwei aufeinanderfolgende Lagen dieser Geraden eine Ebene gelegt gedacht werden kann. Man kann daher auch umgekehrt eine Kegelfläche durch geeignetes Zusammenrollen einer Ebene bilden. Handelt es sich bei der Abwicklung nur um denjenigen Theil einer Kegelfläche, welcher den Mantel eines Kegels bildet, so entsteht bei einem geraden Kegel, da hier alle Seitenlinien gleichlang sind, ein Kreissector, dessen Radius den Seitenlinien und dessen Bogen dem Umfang der Grundfläche des Kegels gleich ist. Umgekehrt kann daher ein Kreissector zu einem geraden Kegelmantel zusammengerollt werden. Bei schiefen Kegeln dagegen legt sich in Folge der ungleichen Länge der Seitenlinien bei der Abwicklung des Mantels der Umfang der Grundfläche nicht in Gestalt eines Kreisbogens in die Ebene, vielmehr entsteht eine krumme Linie, deren Beschaffenheit hier nicht näher erörtert werden kann. Denkt man sich die Spitze einer Pyramide oder eines Kegels bei unveränderter Lage und Grösse der Grundfläche beweglich, und lässt man dieselbe sich bis in’s Unendliche entfernen, so gehen die Seitenkanten der Pyramide und die Seitenlinien des Kegels in einander parallele Linien über und man gelangt zu den neuen Körperformen des Prismas und des Cylinders, welche im Folgenden zunächst unabhängig von dieser Entstehungsweise besprochen werden sollen. § 12. Das Prisma. 1. Zieht man durch jeden Eckpunkt eines gegebenen »-Ecks ausserhalb der Ebene desselben eine Gerade, so dass alle diese Geraden einander parallel sind, so lässt sich durch je zwei dieser Parallelen und eine Seite des »-Ecks eine Ebene legen. Diese Ebenen, welche also einander in parallelen Geraden schneiden, schliessen einen offenen »-seitigen prismatischen Raum ein. Wird letzterer durch zwei jene Ebenen schneidende und einander parallele Ebenen geschlossen, so erhält man einen ringsum begrenzten Raum. Jeder solche Körper heisst ein Prisma. Diejenigen Grenzflächen eines Prismas, welche einander in parallelen Linien AÄ, BB' u. s. w. schneiden, heissen die Seitenflächen, die einander parallelen Grenzflächen ABCD . . . , A'B'CD' . . . die Grundflächen des Prismas. Die 3- Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 425 einander parallelen Durchschnittslinien der Seitenflächen unter sich werden die Seitenkanten, die Durchschnittslinien der Seitenflächen mit den Grundflächen die Grundkanten genannt; der senkrechte Abstand der Grundflächen von einander heisst die Höhe des Prismas. Die Anzahl der Seiten jeder Grundfläche eines Prismas ist gleich der Anzahl der Seitenkanten und gleich der Anzahl der Seitenflächen. Diese Anzahl ist mindestens drei. Nach derselben unterscheidet man dreiseitige, vierseitige u. s. w., allgemein «-seitige Prismen. Aus früheren Lehrsätzen (§ 4) folgen unmittelbar nachstehende Eigenschaften der Prismen: Alle Seitenkanten eines Prismas sind gleich lang. Dieselben haben ferner sämmtlich gleiche Neigungswinkel gegen jede der beiden Grundflächen. Daher stehen sie entweder sämmtlich senkrecht oder sämmtlich schief zu den Grundflächen, und man kann hiernach die Prismen in gerade und schiefe ein- theilen. Ferner sind je zwei in derselben Seitenfläche liegende Grundkanten eines Prismas parallel und gleich lang; alle Seitenflächen sind Parallelogramme, und an geraden Prismen insbesondere Rechtecke. Dagegen können bei einem schiefen Prisma nur einzelne der Seitenflächen Rechtecke sein; sind zwei an- emanderstossende Seitenflächen rechtwinkelig, so ist das Prisma jedenfalls ein gerades. Je zwei an derselben Seitenkante liegende Winkel der beiden Grundflächen sind gleich gross, denn ihre Schenkel sind paarweise parallel und gleichgerichtet. Da auch je zwei homologe Seiten der beiden Figuren einander gleich sind, so folgt der Satz: Die beiden Grundflächen eines jeden Prismas sind con- gruent (1). Dieser Satz gilt allgemein von allen unter einander parallelen ebenen Schnitten eines prismatischen Raumes, also auch von einer Grundfläche und e mem ihr parallelen, sowie von je zwei einander parallelen, zur Grundfläche geneigten Schnitten eines Prismas, denn es können stets zwei solche parallele Flächen als Grundflächen eines Prismas angesehen werden. Dagegen sind uicht parallele ebene Schnitte eines prismatischen Raumes im Allgemeinen nicht congruent. Da jeder ebene Schnitt eines Prismas, welcher den Seitenkanten nicht Parallel ist, die nöthigenfalls erweiterten Seitenflächen des Körpers sämmtlich schneiden muss, so bleiben von den ebenen Schnitten der Prismen ausser den vorher besprochenen nur noch diese den Seitenkanten parallelen, bezw. durch eine oder durch zwei Seitenkanten gehenden übrig. Jeder solche Schnitt lst ein Parallelogramm, wie unmittelbar aus betreffenden früheren Sätzen folgt. Ist das Prisma ein gerades, so ist jeder solche Schnitt ein Rechteck. Sind die Grundflächen eines Prismas Figuren, um welche sich ein Kreis beschreiben lässt, so heisst die Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte die Achse des Prismas. Dieselbe ist den Seitenkanten und den Seitenflächen Parallel, steht also bei geraden Prismen senkrecht zu den Grundflächen und ist hier der Höhe gleich. Bei schiefen Prismen ist sie länger als die Höhe, und 111 allen Fällen ist sie mit den Seitenkanten von gleicher Länge. Sind insbesondere E D 426 Stereometrie. die Grundflächen regelmässige Figuren, so heisst das Prisma ein regelmässiges. Ist dasselbe zugleich gerad, so sind alle Seitenflächen congruente Rechtecke. 2. Eine besondere Wichtigkeit besitzen diejenigen vierseitigen Prismen, deren Grundflächen Parallelogramme sind, und welche demnach nur von Parallelogrammen begrenzt werden. Man nennt ein solches Prisma ein Parallelepipe- don. Es seien AB CD, EFGH die Grundflächen eines solchen Körpers, so sind EFBA und BIG CD zwei Seitenflächen, deren Ebenen ebenfalls einander parallel sind, da EF zu HG und FB zu GC parallel ist. Die Seitenflächen EFBA, HGCD sind ferner einander congruent, denn es ist EF = HG, Z EFB = Z HGC, FB= GC, u. s. w. Da endlich die nicht in diesen beiden Flächen liegenden Kanten EH, FG, BC, AD einander parallel sind, so kann man den Körper auch als ein Prisma ansehen, das jene beiden Flächen zu Grundflächen hat. Entsprechendes gilt von den Flächen FGBC und EH DA. Somit ergeben sich folgende Eigenschaften der Parallelepipeda: Die sechs Grenzflächen eines jeden Parallelepipedons bilden drei Paare, so dass die Flächen eines jeden Paares einander gegenüberliegen, der Lage nach parallel, und einander congruente Figuren sind. Jedes dieser Paare kann als die Grundfläche des Parallelepipedons angenommen werden. Die zwölf Kanten des Körpers bilden entsprechend drei Gruppen, so dass die vier Kanten einer jeden Gruppe unter sich parallel und gleich sind; mittelst eines beliebigen ebenen Schnitts durch das Parallelepipedon, welcher zu vier solchen Kanten senkrecht steht und als Schnittfigur ein Parallelogramm liefern muss, dessen Winkel bezüglich die Neigungswinkel der an den betreffenden Kanten liegenden Flächenwinkel sind, erkennt man, dass je zwei von den zwölf Flächenwinkeln des Parallelepipedons, welche an einander gegenüberliegenden parallelen Kanten liegen, gleich gross, und je zwei an benachbarten parallelen Kanten liegende zu einander supplementär sein müssen. Die acht Ecken eines Parallelepipedons endlich bilden vier Paare A und G, B und H, C und E, D und F einander diametral gegenüberliegender Ecken, und je zwei solche stimmen in den ebenen Winkeln und in den homologen Flächenwinkeln überein. Dabei folgen die einander entsprechenden Stücke in umgekehrten Ordnungen auf einander; die beiden Ecken sind also symmetrisch. Je zwei gegenüberliegende Eckpunkte, z. B. A, G, eines Parallelepipedon lassen sich durch eine ganz innerhalb des Körpers fallende Gerade verbinden. Die vier so entstehenden Geraden sollen die Diagonalachsen des Parallel - epipedon genannt werden. Durch je zwei einander gegenüberliegende parallele Kanten, z. B. AE und CG, ferner lässt sich ein ebener Schnitt legen, welcher jede von zwei parallelen Grenzflächen ( ABCD, EFGH) in einer Diagonale schneiden muss. Die beiden betreffenden Diagonalen (AC, EG) sind einander parallel und gleich, die Schnittfigur ist ein Parallelogramm und ihre Diagonalen sind zwei Diagonalachsen des Körpers. Jeder der sechs auf diese Art möglichen Schnitte eines Parallelepipedon heisst ein Diagonalschnitt des letzteren. Da 3- Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 427 jede der vier Diagonalachsen Diagonale in drei solchen Schnitten zugleich sein muss, z. B. AG in ACGE, AFGD und GBAH, und die beiden Diagonalen eines Parallelogramms einander stets halbiren, so folgt leicht, dass alle vier Diagonalachsen einander in einem und demselben Punkte schneiden, und dass sie einander in diesem Punkte halbiren. In demselben Punkte müssen die sechs Diagonalschnitte einander durchschneiden; die Durchschnittslinien je zweier derselben sind die Verbindungslinien der Durchschnittspunkte der Diagonalen je zweier einander parallelen Grenzflächen und die Diagonalachsen. Die ersteren Verbindungslinien sind drei Gerade, welche einander ebenfalls in dem gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt der Diagonalachsen schneiden und halbiren. Jede derselben ist zwei Paaren paralleler Grenzflächen und den vier einander parallelen Durchschnittskanten der letzteren parallel und mit diesen Kanten von gleicher Länge. Diese drei Linien heissen ebenfalls Achsen des Parallelepipedon. In jedem Eckpunkt eines Parallelepipedon stossen drei Kanten aneinander, z. B. in A die Kanten AB, AD, AE, welche im Allgemeinen nicht als einander gleich anzunehmen sind, und welche bezüglich je einer der drei Gruppen unter sich paralleler und gleicher Kanten angehören. Jede derselben ist einer der drei zuletzt genannten Achsen parallel. 3. Die dreierlei Flächenwinkel, welche an den Grenzflächen eines Parallelepipedon Vorkommen, können gleichzeitig alle drei schief, oder es kann eine Art derselben aus rechten Winkeln bestehen, oder es sind zwei derselben oder endlich alle drei rechte. Es können also beispielsweise zwei parallele von den als Seitenflächen angenommenen Grenzflächen zur Grundfläche senkrecht stehen, während die beiden anderen schief zu derselben sind; ist auch das zweite Paar Seitenflächen senkrecht zu den Grundflächen, so ist das Parallelepipedon ein gerades; ist endlich die Grundfläche eines geraden Parallelepipedon ein Rechteck, so stehen auch je zwei aneinander- stossende Seitenflächen zu einander senkrecht, und das Parallelepipedon heisst ein rechtwinkeliges. In einem solchen sind alle Grenzflächen Rechtecke, und jede drei in einer Ecke zusammen- stossende Kanten stehen senkrecht zueinander; alle Ecken des Körpers sind also dreifach rechtwinkelig. Sind a, b, c die Längen der Kanten eines rechtwinkeligen Parallelepipedon, so ergiebt sich mittelst rechtwinkeliger Dreiecke AGC, ABC aus AG 2 = AC> + CG*, AC* = AB 2 - 4 - BC 2 , dass die Länge einer jeden Diagonalachse gleich y a 2 + ^ + c 2 ist- Alle vier Diagonalachsen sind einander gleich. Setzen wir die Fundamentallehren der Trigonometrie an dieser Stelle als bekannt voraus, so kann noch der folgende bemerkenswerthe Satz über die Winkel, welche eine durch den Scheitel A einer dreifach rechtwinkeligen Ecke innerhalb der letzteren gezogene beliebige Gerade mit den Kanten der Ecke bildet, entwickelt werden: Da AB AE AD 428 Stereometrie. 4 7?2 _i_ A AD 2 so ist cos 2 GAB + cos 2 GAE-h cos 2 GAD — - 'ÄG 2 - a 2 -4- b 2 -+- c 2 a 2 -\-b 2 -+- c 2 , also cos 2 GAB -t- cos 2 GAE + cos 2 GAE = 1. Ist insbesondere die Grundfläche eines rechtwinkeligen Parallelepipedon ein Quadrat, und sind gleichzeitig die Seitenkanten den Grundkanten gleich, sind also alle Kanten des Körpers von gleicher Länge und alle Seitenflächen con- gruente Quadrate, so heisst der Körper ein Würfel oder Cubus. § 13. Der Cylinder. 1. Man kann sich einen prismatischen Raum durch Bewegung einer Geraden beschrieben denken, welche in continuirlicher Aufeinanderfolge durch alle Punkte des Umfangs eines gegebenen n - Ecks geht und dabei beständig ihrer anfänglichen, die Ebene des Polygons schneidenden Lage parallel bleibt. Wird bei dieser Construction der Umfang des «-Ecks durch eine krumme Linie ersetzt, welche also als Leitlinie der einer beliebigen Richtung parallel bleibenden beschreibenden Geraden dient, so heisst die entstehende Fläche eine Cylinderfläche. Ist insbesondere die Leitlinie ein Kreis, so erhält man die gemeine Cylinderfläche, von welcher im Folgenden allein die Rede ist. Durch jeden Punkt einer solchen Cylinderfläche lässt sich eine Gerade legen, da die beschreibende Gerade bei ihrer Bewegung einmal durch diesen Punkt gegangen sein muss. Diese Geraden, welche alle einander parallel sind, heissen die Seitenlinien der Cylinderfläche. Die durch den Mittelpunkt des als Leitlinie dienenden Kreises gehende, den Seitenlinien parallele Gerade wird die Achse der Cylinderfläche genannt. Umgekehrt muss jede durch einen Punkt einer Cylinderfläche parallel zu der Achse gelegte Gerade ihrer ganzen Erstreckung nach in die Cylinderfläche fallen. Jede andere gerade Linie, welche zwei Punkte einer Cylinderfläche verbindet, hat mit dieser nur jene beiden Punkte gemeinsam, denn sind A,B zwei solche Punkte, so kann man durch jeden derselben eine Seitenlinie CG', DD' legen, und die durch diese beiden Geraden bestimmte Ebene muss die Gerade AB ihrer ganzen Erstreckung nach enthalten. Sie muss ferner die Ebene des als Leitlinie dienenden Kreises M in einer Geraden schneiden, welche durch die Fusspunkte CD jener Seitenlinien in dieser Ebene geht, also eine Secante des Kreises M ist. Hätte nun die Gerade AB mit der Cylinderfläche irgend einen dritten Punkt E gemeinsam, so müsste die durch E bestimmte Seitenlinie zugleich ganz in die Schnittebene CDD' C fallen, und der Fusspunkt dieser Seitenlinie in der Ebene von M müsste ein Punkt sein, welchen die Secante CD neben den Punkten C und D mit dem Kreise M gemeinschaftlich hätte, was bekanntlich unmöglich ist. — Man sieht zugleich, dass die von A und B begrenzte Strecke der betreffenden Geraden ganz innerhalb und jede ihrer Verlängerungen ganz ausserhalb des cylindrischen Raumes fallen muss. 3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 429 Hiernach kann ausser den Seitenlinien keine gerade Linie in einer Cylinder- fläche gezogen werden, vielmehr ist durch jeden Punkt der letzteren nur eine einzige Gerade in ihr möglich. Die Cylinderflächen sind also in keinem ihrer Theile eben; sie sind in sich zurückkehrende krumme Flächen. 2. Jede durch einen cylindrischen Raum gelegte, einer Seitenlinie oder der Achse parallele Ebene muss die Cylinderfläche in zwei Seitenlinien schneiden, denn wäre eine krumme Durchschnittslinie oder wäre ausser zwei Seitenlinien noch irgend ein anderer Punkt beiden Flächen gemeinsam, so müssten auch die sämmtlichen durch die Punkte der krummen Linie, bezw. die durch den anderen Punkt gehende Seitenlinie ihrer ganzen Länge nach in die Schnittebene fallen, und somit auch der Fusspunkt jeder solchen Seitenlinie in der Ebene des Leitkreises M ein dritter Punkt sein, welchen die Secante CD mit dem Kreise M gemeinschaftlich hätte. Geht ein solcher Schnitt durch die Achse selbst, so heisst derselbe ein Achsenschnitt der Cylinderfläche. Jede Ebene, welche durch eine Seitenlinie einer Cylinderfläche und durch eine Tangente des Leitkreises geht, hat mit der Cylinderfläche nur diese Seitenlinie gemeinsam, und liegt sonst ganz ausserhalb des cylindrischen Raumes, denn läge irgend ein Punkt der Ebene ausser jener Seitenlinie in der Cylinderfläche, oder läge ein solcher Punkt innerhalb des cylindrischen Raumes, so müsste diese Ebene die Ebene des Leitkreises in einer Secante schneiden. Eine solche Ebene, welche mit einer Cylinderfläche nur eine einzige Gerade gemeinsam hat, heisst eine Berührungs-Ebene (Tangential-Ebene) der Cylinderfläche, und diese Gerade heisst ihre Berührungslinie. Jede eine Cylinderfläche schneidende Ebene, welche einer Seitenlinie oder der Achse nicht parallel ist, muss sämmtliche Seitenlinien schneiden und daher eine in sich zurückkehrende krumme Durchschnittslinie liefern. Ist die Ebene eines solchen Schnittes der Ebene der Leitlinie parallel, so ist die Durchschnittslinie ein Kreis, denn ist C der Durchschnittspunkt der Achse mit der Ebene des Schnitts, und verbindet man diesen Punkt mit beliebigen Punkten A', B' der Durchschnittslinie, so kann man durch jede der Geraden CA', CB’ und durch die Achse einen Schnitt legen, welcher die Cylinderfläche in einer Seitenlinie A'A, B’B und die Ebene des Leitkreises in einem Radius MA, MB schneiden muss. Da nun in Folge des Parallelismus der Ebenen C und M je zwei zusammengehörige Durchschnittslinien CA' und MA, CB' und MB parallel, und ausserdem CM jeder der Linien A'A, B B parallel ist, die Vierecke CA'AM, CB'BM also Parallelogramme sind, so muss CA' = MA, CB' = MB, und da endlich MA — MB ist, auch CÄ = CB sein. Der Punkt C ist also von allen Punkten der Durchschnittslinie gleich weit entfernt, diese letztere ist mithin ein Kreis. Durch den vorstehenden Beweis ist gleichzeitig dargethan, dass alle durch zu der Ebene des Leitkreises parallele Schnittebenen entstehenden Kreise unter sich und dem Leitkreise congruent sind, und dass ihre Mittelpunkte sämmtlich auf der Achse liegen. 3- Jeder durch eine Cylinderfläche und die einander parallelen Ebenen 43 ° Stereometrie. zweier Schnittkreise derselben begrenzte Körper heisst ein Cylinder, der denselben begrenzende Theil der Cylinderfläche sein Mantel, die beiden begrenzenden Ebenen die Grundflächen (obere und untere Grundfläche oder Grundfläche und Deckfläche) des Cylinders. Die Höhe des Cylinders ist der senkrechte Abstand seiner Grundflächen von einander. Eine Cylinderfläche und ebenso ein Cylinder heissen gerad, wenn die Achse senkrecht zur Ebene des Leitkreises, bezw. zu den Grundflächen steht; im anderen Falle heissen dieselben schief. Im geraden Cylinder ist die Achse (d. h. das zwischen den Grundflächen liegende Stück der Achse der Cylinderfläche, oder die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Grundflächen) gleich der Höhe, im schiefen ist sie grösser als diese. Für alle Cylinder gelten folgende, nach dem Vorhergegangenen leicht zu beweisende Sätze: Alle Seitenlinien eines Cylinders sind unter einander und mit der Achse von gleicher Länge und haben sämmtlich gegen jede der beiden Grundflächen denselben Neigungswinkel wie die Achse. Alle Achsenschnitte eines Cylinders sind Parallelogramme, deren eines Seitenpaar durch Seitenlinien und deren anderes durch Durchmesser der Grundflächen gebildet wird. In jeden Cylinder lassen sich beliebig viele Prismen einbeschreiben, so dass die Kanten eines solchen Prismas Seitenlinien des Cylinders und die Grundflächen des ersteren den Grundflächen des letzteren einbeschriebene Figuren sind. Um jeden Cylinder lassen sich beliebig viele Prismen beschreiben, so dass die Seitenflächen des Prismas Berührungsebenen der Cylinderfläche und die Grundflächen desselben den Grundflächen des Cylinders umbeschriebene Figuren sind. In beiden Fällen sind die Prismen gerad oder schief, je nachdem der Cylinder gerad oder schief ist. Jeder Cylinder lässt sich als die Grenze betrachten, welcher sich ein regelmässiges Prisma bei unendlicher Zunahme seiner Seitenzahl ohne Ende nähert. Für die geraden Cylinder insbesondere gelten folgende Sätze: Alle Seitenlinien eines geraden Cylinders stehen senkrecht zu beiden Grundflächen, und ist eine Seitenlinie eines Cylinders senkrecht zu einer Grundfläche, so ist der Cylinder ein gerader. Alle der Achse parallele Schnitte eines geraden Cylinders und insbesondere auch alle Achsenschnitte desselben sind Rechtecke; die letzteren sind einander congruent. Man kann sich daher einen geraden Cylinder durch Rotation eines Rechtecks um eine seiner Seiten entstanden denken; dabei beschreibt die der Umdrehungsachse parallele Seite den Cylindermantel. Denkt man sich diese Seite über beide Endpunkte bis in’s Unendliche verlängert, so erhält man den Satz: Jede Gerade, welche um eine ihr parallele Gerade rotirt, beschreibt eine gerade Cylinderfläche. — Jede Berührungsebene eines geraden Cylinders steht senkrecht zu dem durch ihre Berührungslinie gehenden Achsenschnitt. Umgekehrt ist jede auf einem Achsenschnitt eines geraden Cylinders in einer der zu ihm gehörigen Seitenlinien senkrecht stehende Ebene eine Berührungsebene des Cylinders, die auf einer solchen Berührungs- ebene in ihrer Berührungslinie senkrecht errichtete Ebene geht durch die Achse, und die durch die Achse senkrecht zu einer Berührungsebene gelegte Ebene geht durch die Berührungslinie. — Die Aufstellung und der Beweis noch anderer, sich in grosser Anzahl ergebender Sätze über Berührungs- und Schnittebenen gerader Cylinder, welche planimetrischen Sätzen über Tangenten und Sehnen von Kreisen entsprechen, kann hier dem Leser überlassen werden. Man hüte sich jedoch diese Sätze ohne Weiteres auch auf schiefe Cylinder zu übertragen, für welche dieselben im Allgemeinen nicht richtig sind. 3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 431 Für schiefe Cylinder sind die durch ’ die Achse und je eine Seitenlinie bestimmten Parallelogramme im Allgemeinen in den Winkeln verschieden, und nur je zwei derselben, deren in einer Grundfläche liegende Seiten mit dem Neigungsschenkel der Achse gegen diese Grundfläche gleiche Winkel bilden, sind congruent. Entsprechendes gilt von den ganzen Achsenschnitten. Der kleinste der letzteren ist derjenige, welcher durch jenen Neigungsschenkel, oder was dasselbe ist, welcher durch die vom Mittelpunkte der einen Grundfläche auf die andere gefällte Höhe geht, und dessen Ebene also senkrecht zu den Grundflächen steht. Das Parallelogramm dieses Schnitts heisst das charakteristische Parallelogramm des Cylinders. 4. Schliesslich ist noch zu bemerken, dass auch jede Cylinderfläche sich in eine Ebene aufwickeln lässt, weil je zwei aufeinander folgende Seitenlinien parallel sind und also durch dieselben eine Ebene gedacht werden kann. Der Mantel eines geraden Cylinders liefert bei diesem Aufwickeln in der Ebene ein Rechteck, und umgekehrt lässt sich jedes Rechteck zu einem geraden Cylinder- mantel zusammenrollen. Das eine Seitenpaar eines solchen Rechtecks ist gleich dem Umfang der Grundflächen, das andere gleich den Seitenlinien des Cylinders. Bei einem schiefen Cylindermantel bilden die abgewickelten Umfänge der Grundflächen keine geraden, sondern krumme Linien, deren Beschaffenheit hier nicht erörtert werden kann. — Aus dem Satze über die den Grundflächen parallelen Schnitte eines Cylinders geht ferner hervor, dass man sich jede Cylinderfläche auch durch Bewegung eines Kreises von unveränderlicher Grösse beschrieben •denken kann, wenn der Mittelpunkt des Kreises sich auf einer Geraden bewegt und die Ebene desselben beständig ihrer ursprünglichen Lage parallel bleibt. Beschreibt die Kreislinie auf diese Art einen Cylindermantel, so beschreibt die zugehörige Kreisfläche den Cylinder. — Dass endlich jeder Cylinder als ein Kegelstumpf betrachtet werden kann, dessen Spitze im Unendlichen liegt, ebenso wie jedes Prisma als ein Pyramidenstumpf mit unendlich entfernter Spitze, ist schon bemerkt worden. Hierdurch erklärt sich die Analogie vieler Eigenschaften der betreffenden Körper-Arten. § 14. Die regelmässigen Polyeder. 1. Jeder nur von ebenen Flächen begrenzte Körper wird ein Polyeder genannt. Ausser den in den Anwendungen am häufigsten vorkommenden Arten von Polyedern, den bereits besprochenen Pyramiden und Prismen, ist noch eine Gruppe solcher Körper von besonderem Interesse, welche man regelmässige Polyeder genannt hat. Unter einem solchen versteht man jeden ebenflächigen Körper, welcher von lauter congruenten und regelmässigen Figuren begrenzt wird, die in congruenten Ecken aneinanderstossen. Dass es solche Polyeder giebt, zeigt das Beispiel des schon früher erwähnten Würfels. Da die Summe der ebenen Winkel einer Ecke kleiner , als 360 Grad sein muss, so kann man nicht sechs oder mehr gleichseitige Dreiecke zur Bildung einer Ecke aneinanderlegen, da schon bei sechs solchen Dreiecken die Summe der betreffenden ebenen Winkel gleich 6 • 60° = 360° sein würde. Regelmässige Polyeder, deren Grenzflächen Dreiecke sind, können also nur dreiseitige Ecken (mit der Winkelsumme 3-60° =180°) oder vierseitige (Winkelsumme 4-60° = 240°), oder fünfseitige (W. S. 300°) haben. Um ferner aus regelmässigen Vierecken eine Ecke zusammenzusetzen, kann man nur drei Flächen benutzen, in welchem Falle die betreffende Winkelsumme 3 • 90° = 270° beträgt; für vier 432 Stereometrie. A Flächen würde dieselbe bereits 360°* für mehr als vier Flächen also mehr als 360° betragen. In gleicher Weise kann ein von Fünfecken begrenztes regelmässiges Polyeder nur dreiseitige Ecken (mit der Winkelsumme 3 • 108° = 324°) haben. Aus lauter regelmässigen Sechsecken lässt sich auch nicht eine dreiseitige Ecke zusammensetzen, denn drei Winkel solcher Sechsecke betragen zusammen schon 3 • 120° = 360°. Noch weniger ist dies der Fall mit mehr als sechsseitigen regelmässigen Polygonen, da die Winkel der regelmässigen «-Ecke mit zunehmenden Werthen von n immer grösser werden. Es können also an regelmässigen Polyedern nur fünf verschiedene Arten von Ecken Vorkommen, und es entsteht nun die- Frage, ob zu jeder dieser Arten auch ein regelmässiges Polyeder, bezw. ob zu derselben mehrere solcher Polyeder möglich sind. 2. Bildet man aus drei congruenten, regelmässigen Dreiecken AB C, ABD, ABC eine Ecke A, so begrenzen die drei freien Seiten BC, CD, DB der Dreiecke ein viertes, den ersteren congruentes Dreieck, dessen Ebene mit denen der ersteren einen Körper einschliesst. Die an den Punkten B, C, D entstehenden Ecken sind der Ecke A con- gruent, und es ist nicht möglich, mittelst einer anderen Ebene als BCD solche congruente Ecken an jenen Punkten zu erzeugen. Es giebt also einen und nur einen von regelmässigen Dreiecken begrenzten regelmässigen Körper, dessen Ecken dreiseitig sind. Derselbe heisst ein regelmässiges Tetraeder, hat vier Flächen, vier Ecken und sechs gleich lange Kanten. Es ist eine regelmässige, gerade, dreiseitige Pyramide, deren Seitenflächen der Grundfläche congruent sind. 3. Bildet man aus vier congruenten, regelmässigen Dreiecken ABC, ACD, ADE, AEB eine Ecke A ; so stossen an jedem der Punkte B, C, D, E zwei dieser Dreiecke unter demselben Flächenwinkel aneinander, wie im Punkte A, und es müssen sich also an jedem der ersteren Punkte noch zwei eben solche Dreiecke zu einer der Ecke A congruenten Ecke anlegen lassen. Jedes dieser letzteren Dreiecke nimmt an der Bildung zweier dieser congruenten Ecken zugleich Theil, denn es muss z. B. das in C an CD angelegte Dreieck CDF in D an CD unter demselben Flächenwinkel, wie in C anliegen. Man hat also vier neue Dreiecke, welche ausserdem zu je zweien in einer Kante, z. B. CDF und BCF in CF, aneinanderliegen, und daher alle vier einen gemeinschaftlichen Eckpunkt F haben müssen. An diesem Punkte entsteht nun durch das Zusammentreffen der vier Dreiecke eine neue vierseitige Ecke, welche dieselbe ebenen Winkel und dieselben Flächenwinkel wie die anderen hat. Somit giebt es auch hier eine bestimmte Art regelmässiger Polyeder. Diese von Dreiecken begrenzten regelmässigen Körper, deren Ecken vierseitig sind, heissen regelmässige Octaeder und haben acht Flächen, sechs Ecken und zwölf gleiche Kanten. 4. Bildet man aus fünf congruenten, regelmässigen Dreiecken eine Ecke A, so erhält man fünf Punkte B, C, D, E, F, an deren jedem zwei Flächen der Ecke A unter demselben Neigungswinkel wie im Punkte A aneinander stossen. Daher .8 fei- 3- Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 433 müssen sich zu diesen zwei Flächen jedesmal noch drei weitere zu einer der Ecke A congruenten Ecke hinzufügen lassen. Man erhält auf diese Weise im Ganzen zehn neue Dreiecke, welche wieder fünf freie Eckpunkte G, H, I, K, L liefern. An jedem der letzteren stossen bereits drei Dreiecke unter denselben Flächenwinkeln wie an den bisher gebildeten Ecken zusammen, und durch Hinzufügung von je zwei weiteren Dreiecken an jedem dieser Eckpunkte, d. h. im Ganzen von fünf neuen Dreiecken erhält man an jenen Punkten noch fünf den früheren congruente Ecken. Die neu angelegten Dreiecke endlich stossen in je einer Kante so zusammen, dass sie einen gemeinschaftlichen Eckpunkt M haben müssen, an welchem endlich noch eine Ecke derselben Art entsteht. Es giebt also eine bestimmte Art von durch regelmässige congruente Dreiecke begrenzten Körpern, welche fünfseitige congruente Ecken haben. Ein solcher Körper hat 20 Flächen, (M. 189.) 12 Ecken, 30 gleich lange Kanten und heisst ein regelmässiges Ikosaeder. 5. Legt man drei congruente Quadrate zu einer Ecke A zusammen, so erhält man wieder in den Endpunkten B, C, D der Kanten derselben Punkte, in denen durch Hinzufügung je einer neuen Fläche eine congruente Ecke gebildet werden kann. Die drei neuen Flächen bilden unter einander wieder eine ebensolche Ecke und schliessen mit den vorhergehenden einen Würfel ein. Die Würfel, auch regelmässige Hexaeder genannt, sind also die einzigen von Quadraten begrenzten regelmässigen Polyeder. Ihre wichtigsten Eigenschaften sind schon früher besprochen worden. 6 . Legt man an ein ebenes regelmässiges Fünfeck ABCDE in einem seiner Eckpunkte A zwei ihm congruente Fünfecke zu einer dreiseitigen Ecke an, so kann jedes der letzteren zugleich zur Bildung einer ebensolchen Ecke an einem der anliegenden Eckpunkte B, E dienen, und man erhält überhaupt durch Anlegen von je einem Fünfeck an jede Seite von ABCDE fünf derartige congruente Ecken. In jedem der freien Endpunkte einer der Kanten dieser Ecken, z. B. in F, stossen zwei der Fünfecke unter demselben Flächenwinkel, wie an dem anderen Endpunkt A an einander, und es muss sich daher in F durch Einfügung eines weiteren solchen Fünfecks eine der Ecke A congruente Ecke bilden (m. 191 .) lassen. Auf diese Art erhält man im Ganzen fünf neue Fünfecke, welche wieder paarweise mit einer Seite zusammenstossen, und deren freie Seite ein dem vorigen congruentes Fünfeck begrenzen. Durch Hinzufügung der Ebene des letzteren müssen wieder fünf den früheren congruente Ecken entstehen, und der Körperraum wird durch diese Ebene geschlossen. Es giebt also eine Artvon durchFünfecke begrenzten Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. i. 28 (M. 190.] A 434 Stereometrie. regelmässigen Polyedern. Dieselben heissen regelmässige Pentagonaldodekaeder, haben 12 Grenzflächen, 20 dreiseitige Ecken und 30 gleichlange Kanten. Es giebt also im Ganzen fünf und nicht mehr Arten regelmässiger Polyeder. Aus den vorstehenden Entwicklungen erkennt man noch leicht, dass jedes regelmässige Tetraeder oder Oktaeder, Ikosaeder u. s. w. durch die Länge einer Kante der Grösse nach vollständig bestimmt ist, sodass zwei regelmässige Polyeder derselben Art, welche in der Länge einer Kante übereinstimmen, congruent sind. § 15. Die Kugel. 1. Während in der Planimetrie die den regelmässigen Polyedern analogen regelmässigen Polygone mit jeder beliebigen Seitenzahl Vorkommen konnten, und es daher auch möglich war, mittelst eines angenommenen Wachsthums dieser Seitenzahl bis in’s Unendliche einen Uebergang zu dem Kreise zu finden, ist in Folge der beschränkten Anzahl von Arten regelmässiger Polyeder ein entsprechendes Verfahren in der Stereometrie nicht möglich. Dagegen kann man durch Rotation eines Kreises um einen seiner Durchmesser eine dem Kreise analoge Fläche, die Kugelfläche oder Sphäre erhalten. Es genügt zu diesem Zwecke schon die Drehung eines Halbkreises um den ihn begrenzenden Durchmesser bis zur Rückkehr in seine ursprüngliche Lage. Die hierbei von dem Halbkreis beschriebene Fläche hat die Eigenschaft, dass jeder ihrer Punkte von einem und demselben anderen Punkte, dem bei der Rotation in unveränderter Lage gebliebenen Mittelpunkt des erzeugenden Halbkreises, denselben Abstand hat. Umgekehrt muss jeder Punkt des Raumes, welcher von jenem festen Punkt denselben, dem Radius des rotirenden Halbkreises gleichen Abstand hat, auf der Kugelfläche liegen. Diese letztere schneidet daher jede von jenem Punkte aus nach beliebiger Richtung gezogene Gerade; sie schliesst für sich einen Körperraum vollständig ein. Jeder von einer Kugelfläche begrenzte Körper heisst eine Kugel. Der von allen Punkten der begrenzenden Fläche einer Kugel gleich weit entfernte, im Innern der letzteren liegende Punkt heisst der Mittelpunkt oder das Centrum, jede Gerade, welche denselben mit einem Punkte der Kugelfläche verbindet, ein Radius oder Halbmesser, jede durch den Mittelpunkt gehende, von zwei Punkten der Kugelfläche begrenzte Strecke ein Diameter oder Durchmesser der Kugel oder der Kugelfläche. Zufolge der Erklärung der Kugel sind alle Radien einer und derselben Kugel gleich lang. Ferner geht aus dem Vorstehenden unmittelbar hervor, dass jeder Durchmesser doppelt so lang als jeder Radius ist, und dass somit auch alle Durchmesser einer Kugel einander gleich sind. Jeder Punkt des Raumes, dessen Abstand vom Mittelpunkt einer Kugel grösser ist als ein Radius derselben, liegt ausserhalb, jeder Punkt, für welchen dieser Abstand kleiner ist als ein Radius, liegt innerhalb der Kugel. — Alle Kugeln, welche gleiche Radien haben, sind congruent, denn denkt man sich zwei solche Kugeln so zusammengestellt, dass ihre Mittelpunkte zusammenfallen, so muss zufolge der Gleichheit der Radien jeder Punkt einer der beiden Kugelflächen gleichzeitig auf der anderen liegen. 2. Jede durch den Mittelpunkt einer Kugel gelegte Ebene muss die Kugelfläche in einem Kreise schneiden, und der Radius dieses Kreises ist gleich dem Radius der Kugel. Die Richtigkeit dieses Satzes folgt unmittelbar daraus, dass die Abstände aller Punkte der Kugelfläche vom Mittelpunkte dem Kugelradius gleich sind. Alle die verschiedenen Schnittkreise, welche durch den Mittelpunkt einer Kugel gelegt werden können, sind congruent. 3- Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 435 Auch jede nicht durch den Mittelpunkt gehende Schnittebene einer Kugel schneidet die Kugelfläche in einem Kreise, denn fällt man vom Mittelpunkte M der Kugel die senkrechte Gerade MC auf die Schnittebene, verbindet den Fuss- punkt C dieser Senkrechten mit beliebigen Punkten A, B des Umfangs der Schnittfigur und zieht endlich die Kugelradien MA, MB, so stimmen die Dreiecke MAC, MBC ausser in letzteren in den rechten Wi n ^ e | n bei C und in der gemeinschaftlichen Kathete MC überein und sind also congruent; hieraus folgt, dass die homologen Seiten CA, CB einander gleich sind, und dass also der Punkt C von allen Punkten der Schnittlinie gleich weit entfernt ist. Hiermit ist nicht nur die Richtigkeit der obigen Behauptung bewiesen, sondern es ergeben sich auch folgende Zusätze: Der Mittelpunkt jedes Schnittkreises einer Kugel liegt in der zu seiner Ebene senkrechten, durch den Kugelmittelpunkt gehenden Geraden. — Umgekehrt muss die Verbindungslinie des Mittelpunkts einer Kugel mit dem Mittelpunkt eines Schnittkreises derselben senkrecht zur Ebene des letzteren stehen, und die auf der Ebene eines Schnittkreises in dem Mittelpunkt desselben errichtete senkrechte Gerade geht stets durch den Kugelmittelpunkt. — Zwischen dem Abstand CM= d eines Schnittkreises einer Kugel vom Mittelpunkte der letzteren, dem Radius r des Schnittkreises und dem Kugelradius R besteht durch den pythagoreischen Lehrsatz die Beziehungsgleichung (M. 192.) R*=r 2 + d 2 , welche die Berechnung jeder der drei Grössen R, r, d aus den gegebenen beiden andern gestattet. Diese Berechnung führt noch unmittelbar zu folgenden Sätzen, welche sich übrigens auch unschwer mittelst der Congruenz oder Nichtcongruenz von Dreiecken beweisen lassen, die nach Analogie des oben benutzten Dreiecks A CM construirt werden können: Schnittkreise einer Kugel, deren Ebenen gleiche Abstände vom Kugelmittelpunkte haben, sind gleich. Umgekehrt haben gleiche Schnittkreise einer und derselben Kugel (oder auch congruenter Kugeln) gleiche Abstände vom zugehörigen Kugelmittelpunkt. Von zwei ungleichen Schnittkreisen einer Kugel hat der grössere einen kleineren Abstand vom Kugelmittelpunkt, und umgekehrt, je näher ein Schnittkreis diesem Mittelpunkt liegt, desto grösser ist er. Insbesondere sind alle durch den Mittelpunkt einer Kugel gehenden Schnittkreise derselben grösser als jeder, dessen Ebene nicht durch jenen Mittelpunkt geht. Daher nennt man die ersteren grösste Kreise, die anderen kleinere Kreise der Kugel. 3. Damit eine Ebene eine Kugel durchschneide, muss der Abstand derselben vom Mittelpunkt der letzteren kleiner als ein Radius sein, denn der Fusspunkt des vom Mittelpunkt M der Kugel auf eine Ebene gefällten Perpendikels ist derjenige Punkt dieser Ebene, welcher die kleinste Entfernung von M hat; dieser Punkt muss aber innerhalb der Kugel liegen, wenn dieselbe von der Ebene geschnitten werden soll. Ist die Entfernung MC einer Ebene vom Mittelpunkt M der Kugel grösser als ein Radius der letzteren, so liegt C, und umsomehr jeder andere Punkt der Ebene ausserhalb der Kugel. Ist endlich MC gleich einem Radius, so liegt C auf der Kugelfläche und jeder andere Punkt der Ebene ausserhalb der Kugel. 28* 436 Stereometrie. Jede Ebene also, welche auf einem Kugelradius in seinem auf der Kugelfläche liegenden Endpunkte senkrecht steht, hat mit dieser Kugelfläche nur diesen Punkt gemeinsam und liegt sonst ganz ausserhalb der Kugel. Jede Ebene, welche diese letzteren Eigenschaften hat, heisst eine Berührungsebene (Tangentialebene) der Kugel, und der beiden Flächen gemeinsame Punkt heisst ihr Berührungspunkt. Auf indirektem Wege lässt sich leicht beweisen, dass umgekehrt jede Berührungsebene einer Kugel auf dem nach ihrem Berührungspunkte gehenden Radius senkrecht steht, dass ferner die vom Mittelpunkte einer Kugel auf eine Berührungsebene derselben gefällte senkrechte Gerade die letztere im Berührungspunkte trifft, und dass die auf einer Beriihrungsebene in ihrem Berührungspunkte errichtete senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt der Kugel geht. 4. Drei Punkte einer Kugelfläche können niemals in gerader Linie liegen, denn durch drei solche Punkte muss sich stets eine Ebene legen lassen, und da diese die Kugelfläche in einem Kreise schneidet, auf welchem jene drei Punkte gleichzeitig liegen müssten, so ist die Unmöglichkeit des Gegentheils der vorstehenden Behauptung klar. Auf einer Kugelfläche lässt sich daher keine gerade Linie ziehen; die Kugelfläche ist eine krumme Fläche, welche sich von den früher behandelten krummen (Cylinder- oder Kegel-) Flächen dadurch wesentlich unterscheidet, dass sich durch keinen ihrer Punkte auch nur eine Gerade in der Fläche ziehen lässt. Dieselbe kann daher auch nicht, wie diese, durch Bewegung einer Geraden beschrieben gedacht werden und lässt sich auch nicht in eine Ebene aufwickeln. Dagegen lässt sich durch jede drei auf einer Kugelfläche gegebene Punkte ein Kreis in derselben ziehen, denn durch drei solche Punkte ist stets eine und nur eine einzige Schnittebene der Kugel bestimmt. Dieser Kreis ist im Allgemeinen ein kleinerer Kreis, denn ein grösster Kreis ist schon durch zwei Punkte der Kugelfläche und den Mittelpunkt bestimmt, oder durch zwei auf einer Kugelfläche gegebene Punkte lässt sich stets ein grösster Kreis derselben legen, und zwar nur ein einziger, falls nicht jene beiden Punkte mit dem Mittelpunkte in einer Geraden liegen, also Endpunkte eines Durchmessers sind. Durch einen einzigen gegebenen Punkt auf einer Kugelfläche lassen sich unzählig viele grösste Kreise legen, deren Ebenen einander sämmtlich in dem durch jenen Punkt gehenden Durchmesser schneiden müssen. Ueberhaupt müssen zwei grösste Kreise einer Kugel einander immer in den beiden Endpunkten eines Durchmessers schneiden, und es halbiren also sowol die Umfänge als die Flächen derselben einander. Zu jedem grössten Kreise einer Kugel giebt es unzählig viele kleinere Kreise, deren Ebenen der Ebene des ersteren parallel sind. Die Mittelpunkte aller dieser Kreise liegen in einer Geraden; diese ist ein Durchmesser der Kugel und steht zu den Ebenen der Kreise senkrecht. Diesen Durchmesser nennt man die Achse, und seine Endpunkte die Pole des Systems jener Kreise, und insbesondere auch des diesem System ungehörigen grössten Kreises. Die Ebenen aller durch die beiden Pole eines grössten Kreises gehender grössten Kreise derselben Kugel stehen senkrecht zur Ebene des ersteren, ihre Bogen von je einem Pol bis zu jenem grössten Kreis betragen 90 Grad. (Meridiane, Aequator, Parallelkreise.) Jeder Durchmesser einer Kugel kann als die Umdrehungsachse eines Halbkreises dienen, durch dessen Rotation die Kugel beschrieben wird; der beschreibende Halbkreis erhält dabei nach einander die Lagen sämmtlicher durch die Pole, des zur Achse senkrechten grössten Kreises gehenden grössten Halbkreise. 3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 437 5. Jeder von Bogen grösster Kreise einer Kugel eingeschlossene Theil ihrer Oberfläche heisst eine sphärische Figur; die betreffenden Kreisbogen werden die Seiten derselben genannt. Die einfachste sphärische Figur ist das sphärische Zweieck, d. h. ein von Hälften zweier grössten Kreise begrenzter Theil der Kugelfläche. Die Ebenen dieser Kreise bilden an dem Durchmesser, welcher ihre Durchschnittsachse ist, einen Flächenwinkel, und der Neigungswinkel des letzteren heisst der Centri- winkel oder schlechthin der Winkel des Zweiecks. Zieht man durch einen der Eckpunkte des Zweiecks, d. h. durch einen Durchschnittspunkt der beiden Halbkreise, an jeden der letzteren die Tangente, so ist der Winkel dieser Tangenten zugleich der Winkel des Zweiecks, denn seine Schenkel stehen auf dem gemeinschaftlichen Durchmesser senkrecht. Der Winkel eines sphärischen Zweiecks kann jeden möglichen Werth zwischen 0° und 360° haben. Construirt man zu jedem von zwei grössten Kreisen PBQ, PCQ die Pole A, A' und B, B ', so lässt sich durch dieselben ein dritter grösster Kreis legen, dessen Ebene senkrecht zu den Ebenen der beiden ersteren Kreise steht und dieselben in den Schenkeln von Neigungswinkeln der zugehörigen Flächenwinkel schneidet. Es kann daher der Bogen CB dieses Kreises, welcher zwischen den zwei Seiten irgend eines der durch die ersteren Kreise gebildeten sphärischen Zweiecks liegt, zur Messung des Winkels dieses Zweiecks dienen. Solange nur von einem einzigen grössten Kreise die Rede ist, kann zwischen den beiden Polen desselben im Allgemeinen kein Unterschied gemacht werden; so bald aber ein zweiter grösster Kreis zu demselben tritt, und ein bestimmter Flächenwinkel, oder ein bestimmtes sphärisches Zweieck PBCQ in’s Auge gefasst wird, kann man die beiden Pole eines jeden der Kreise dadurch unterscheiden, dass immer einer derselben mit jenem Zweieck auf derselben durch diesen Kreis gebildeten, der andre auf der entgegengesetzten Halbkugel liegt. Jener möge dem Zweieck oder dem zugehörigen Flächenwinkel zugewandt, dieser demselben abgewandt heissen. Es gilt dann der Satz: Der Bogen des grössten Kreises zwischen einem zugewandten und einem abgewandten Pol ist dem Winkel des Zweiecks gleich, der Bogen zwischen den beiden zugewandten oder zwischen den beiden abgewandten Polen ergänzt diesen Winkel zu 180 Grad. Sind nämlich A und B' die dem Zweieck PBCQ zugewandten, also Ä und B die ihm abge- Wandten Pole, so. ist Bogen AC-+- CB = Bogen BA + AC= 90°, also Bogen CB = Bogen BA, und Bogen ABB' = 180° — BA = 180° — CB. 6. Jede von drei Bogen grösster Kreise einer Kugel begrenzte sphärische Figur heisst ein sphärisches Dreieck. Dasselbe hat also drei Seiten; die Durchschnittspunkte derselben sind seine Eckpunkte, die in den Eckpunkten an die Seiten gelegten Tangenten bilden seine Winkel. Ergänzt man jede Seite eines sphärischen Dreiecks zum vollständigen Kreise, so wird die ganze Kugelfläche in acht sphärische Dreiecke getheilt, welche so beschaffen sind, dass jede Seite kleiner als ein Halbkreis und jeder Winkel kleiner als ein gestreckter ist. Jedes sphärische Dreieck anderer Art kann also durch Erweiterung einer oder A (M. 193.) 438 Stereometrie. mehrerer seiner Seiten in solche Dreiecke zerlegt werden, in denen diese Bedingungen erfüllt sind, und es dürfen daher im Folgenden ausschliesslich Dreiecke der letzteren Art vorausgesetzt werden. In diesem Falle gehört zu jedem sphärischen Dreieck eine einfache Ecke am Mittelpunkte der Kugel, deren Ebenen die Ebenen der Seiten des Dreiecks sind und deren ebene Winkel als Centri- winkel durch die zugehörigen Seiten gemessen werden, während die Winkel des Dreiecks die Neigungswinkel der Flächenwinkel der Ecke sind. Man kann daher die in § 7 und 8 über die Stücke dreiseitiger Ecken aufgestellten Sätze ohne Weiteres auf die entsprechenden Stücke sphärischer Dreiecke übertragen, und es gelten also insbesondere für letztere die folgenden Sätze: Gleichen Seiten eines sphärischen Dreiecks liegen gleiche Winkel gegenüber, oder die Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkeligen sphärischen Dreiecks sind einander gleich. In jedem gleichseitigen sphärischen Dreieck sind also alle drei Winkel gleich gross. Umgekehrt liegen gleichen Winkeln eines sphärischen Dreiecks gleiche Seiten gegenüber; sind alle drei Winkel gleich gross, so ist das Dreieck gleichseitig. Dagegen liegt der grösseren von zwei Seiten eines sphärischen Dreiecks ein grösserer Winkel und umgekehrt dem grösseren von zwei Winkeln eine grössere Seite gegenüber. Der grössten von allen drei Seiten liegt also der grösste Winkel und dem grössten Winkel die grösste Seite gegenüber. Die Summe je zweier Seiten eines sphärischen Dreiecks ist grösser, die Differenz je zweier Seiten kleiner als die dritte Seite. — Die Summe aller drei Seiten ist kleiner als ein vollständiger Kreis (als vier Rechte). Zu jedem sphärischen Dreieck gehört ein zweites auf derselben Kugelfläche, dessen Eckpunkte Pole der Seiten des ersteren sind, und für welches die Maasszahlen seiner Seiten die des jedesmal entsprechenden Winkels des ursprünglichen Dreiecks zu 180 Grad ergänzen. Dieses Dreieck soll das Polardreieck des ursprünglichen genannt werden. Die zu demselben und dem ursprünglichen gehörigen Ecken am Mittelpunkte sind Polarecken zu einander. Hieraus erklärt sich auch die Entstehung des schon früher gebrauchten Namens Polarecke. Jedes sphärische Dreieck ist selbst Polardreieck zu seinem Polardreieck, und die Maasszahlen seiner Seiten betragen mit der Maasszahl des jedesmal entsprechenden Winkels des letzteren zusammen 180 Grad. Die Summe der Winkel eines jeden sphärischen Dreiecks ist kleiner als sechs und grösser als zwei Rechte. Von den sieben sphärischen Dreiecken, welche zu einem gegebenen durch Erweiterung seiner Seiten zu vollständigen Kreisen entstehen, liegen drei so, dass sie mit dem gegebenen je eine Seite gemeinsam haben; dieselben sollen Nebendreiecke des ursprünglichen heissen. Drei andere besitzen je einen Winkel, welcher Scheitelwinkel zu einem solchen des ersten Dreiecks ist und sollen Scheiteldreiecke desselben genannt werden. Das siebente liegt so, dass jeder seiner Eckpunkte mit einem Eckpunkt des ursprünglichen auf demselben Durchmesser liegt; es stimmt mit diesem in je zwei Seiten und in je zwei homologen Winkeln überein, denn dieselben sind paarweise Scheitelwinkel. Die homologen Stücke folgen jedoch in umgekehrter Ordnung auf einander, und die beiden Dreiecke sind daher nicht congruent, sondern symmetrisch. Dieselben sollen Gegendreiecke heissen. Sphärische Dreiecke, welche auf derselben Kugel (oder auf congruenten Kugeln) liegen, sind congruent oder symmetrisch, wenn sie übereinstimmen 1. in den drei Seiten oder 2. in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, 3- Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 439 3. in zwei Seiten und einem gegenüberliegenden Winkel, falls die anderen gegenüberliegenden Winkel nicht zusammen zwei Rechte betragen, 4. in zwei Winkeln und einer gegenüberliegenden Seite, falls die anderen gegenüberliegenden Seiten nicht zusammen einem grössten Halbkreis gleich sind, 5. in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite, 6. in den drei Winkeln. 7. Wir fügen diesen Sätzen zur Vervollständigung noch die nachstehenden zu, die sich dann in umgekehrter Weise auch vom sphärischen Dreiecke auf die dreiseitige Ecke übertragen lassen, um neben dem bisher befolgten Gang auch den umgekehrten als möglich an Beispielen auszuführen. Jedes gleichschenkelige sphärische Dreieck wird durch denjenigen grössten Kreis, welcher durch seine Spitze geht und den Winkel an derselben halbirt, in zwei symmetrische Dreiecke getheilt, denn die beiden entstehenden Dreiecke ACJD, BCD stimmen bei umgekehrter Ordnung der homologen Stücke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein. Daher halbirt der winkel- halbirende Bogen auch die Grundlinie des Dreiecks und steht senkrecht auf derselben. — Umgekehrt muss, wie ebenfalls mit Hülfe der Symmetrie der entstehenden Dreiecke leicht bewiesen werden kann, der von der Spitze C eines gleichschenke- ligen sphärischen Dreiecks senkrecht zur Grundlinie AB gezogene grösste Kreisbogen die Grundlinie und den Winkel an der Spitze halbiren, ferner der grösste Kreisbogen, welcher die Spitze mit dem Halbirungspunkt der Grundlinie verbindet, zur Grundlinie senkrecht stehen und den Winkel an der Spitze halbiren, und endlich B ß lässt sich indirekt beweisen, dass der auf der Grundlinie ( m . 194.) in ihrem Halbirungspunkt senkrechte grösste Kreis durch die Spitze geht und den Winkel an derselben halbirt. Die Spitzen aller gleichschenkeligen sphärischen Dreiecke, welche dieselbe Grundlinie haben, liegen hiernach auf dem zu dieser Grundlinie senkrechten und dieselbe halbirenden grössten Kreise. Umgekehrt ist jeder Punkt dieses Kreises von den beiden Endpunkten A, B der gegebenen Grundlinie gleichweit entfernt, wenn man unter der Entfernung zweier Punkte einer Kugelfläche einen (im Allgemeinen den kleineren) zwischen diesen Punkten liegenden Bogen des durch dieselben gehenden grössten Kreises versteht, oder jener grösste Kreis ist der geometrische Ort der von den gegebenen Punkten A, B gleichweit entfernten Punkte der Kugelfläche. Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes folgt, ähnlich wie im entsprechenden Falle bei dem ebenen Dreieck, dass die auf je einer der drei Seiten eines sphärischen Dreiecks in dem Halbirungspunkt derselben senkrechten grössten Kreise einander in einem einzigen Punkte schneiden, welcher von den drei Eckpunkten des Dreiecks gleichweit entfernt ist. Dieser Punkt heisse der sphärische Mittelpunkt, und sein Abstand von einem der Eckpunkte (in Bogen- maass) der sphärische Radius des dem Dreieck umbeschriebenen, d. i. durch seine drei Eckpunkte gehenden Kreises. Die grössten Kreise, welche die von zwei anderen grössten Kreisen gebildeten sphärischen Winkel halbiren, bilden den geometrischen Ort der von den letzteren Kreisen gleichweit entfernten Punkte der Kugelfläche, denn die von irgend einem Punkte eines der halbirenden Kreise senkrecht zu den anderen Kreisen gezogenen Bogen müssen in Folge der Symmetrie der entstehenden rechtwinkeligen Dreiecke gleich sein, und umgekehrt sind diese Bogen gleich, 44° Stereometrie. so muss durch den entsprechenden Kreis der betreffende Winkel halbirt werden. — Hieraus ergiebt sich weiter, dass die grössten Kreise, welche die drei Winkel eines sphärischen Dreiecks halberen, einander in einem einzigen Punkte schneiden, welcher von den drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt ist. Diese Entfernung nennt man den sphärischen Radius des dem Dreieck einbeschriebenen Kreises. — Durch Halbirung der Aussenwinkel des Dreiecks erhält man noch drei entsprechende Punkte. Noch andere Sätze über das sphärische Dreieck, welche solchen vom ebenen Dreieck analog sind und auch in entsprechender Weise bewiesen werden können, lassen sich in grosser Anzahl aufstellen. Besondere Erwähnung verdienen von denselben noch die folgenden Nicht-Congruenz-Sätze: Stimmen zwei sphärische Dreiecke einer Kugel in zwei Seiten, aber nicht in den eingeschlossenen Winkeln überein, so liegt dem grösseren Winkel eine grössere Seite gegenüber. — Stimmen zwei sphärische Dreiecke einer Kugel in zwei Seiten, aber nicht in den dritten Seiten überein, so liegt der grösseren Seite ein grösserer Winkel gegenüber. 8. Die grosse Mehrzahl derjenigen Eigenschaften sphärischer Dreiecke, in welchen die Analogie mit Eigenschaften ebener Dreiecke nicht besteht, kann als eine Folge davon betrachtet werden, dass die Summe der Winkel bei den ersteren nicht, wie bei den letzteren, einen bestimmten Werth hat. Daher ist zunächst eine Eintheilung der sphärischen Dreiecke nach den Winkeln in derselben Weise wie bei den ebenen Dreiecken nicht möglich; es kann ein sphärisches Dreieck zwei oder drei rechte Winkel, oder gleichzeitig einen rechten und einen stumpfen Winkel haben, u. dgl. m. Doch nennt man, entsprechend wie bei den Ecken geschehen, solche sphärische Dreiecke rechtwinkelige, welche mindestens einen rechten Winkel haben, und stellt ihnen die schiefwinkeligen als solche gegenüber, in denen kein Winkel ein rechter ist. Ueber rechtwinkelige sphärische Dreiecke ergiebt sich aus dem an entsprechender Stelle bei den Ecken Gesagten, dass in jedem Dreieck, welches drei rechte Winkel hat, alle Seiten Quadranten sind, also ebenfalls in Gradmaass 90° betragen, und dass umgekehrt in jedem Dreieck, dessen drei Seiten Quadranten sind, auch alle drei Winkel rechte sein müssen. Ferner müssen allgemein in jedem Dreieck, welches zwei rechte Winkel hat, die diesen gegenüberliegenden Seiten Quadranten sein, und die dritte Seite giebt dann das Bogen- maass des dritten Winkels. Auch dieser Satz lässt sich umkehren. Hiernach darf man bei der Untersuchung der besonderen Eigenschaften rechtwinkeliger Dreiecke namentlich solche in’s Auge fassen, die einen einzigen rechten Winkel haben, da alle übrigen durch die eben angegebenen besonderen Eigenschaften ausgezeichnet sind. F (M. 195.) Um nun ein rechtwinkeliges Dreieck ABC zu construiren, für welches ein Winkel A durch zwei einander schneidende grösste Kreise gegeben ist, hat man durch die Achse PP' eines dieser Kreise irgend einen dritten grössten Kreis PCB zu legen. Es sei ferner PDE der zu den beiden ersten gleichzeitig senkrechte grösste Kreis, also DE das Bogenmaass des Winkels DAE, so ist für einen spitzen Winkel A dieser Bogen kleiner als 90 Grad. Jeder andere auf AE senkrechte Bogen CB aber ist kleiner als DE, denn PMD ist der Neigungswinkel Anhang zum dritten Kapitel: Der Euler’sche Satz. 441 von PM gegen die Ebene DCM , und also kleiner als der Winkel PMC. Mithin ist der Bogen CB umsomehr kleiner als 90°. Ist dagegen der Winkel A ein stumpfer, so ergiebt eine entsprechende Untersuchung, dass der Bogen DF, welcher zum Maass desselben dient, grösser als 90° und kleiner als jeder andere in Frage kommende Bogen, die dem Winkel A gegenüberliegende Kathete also jedenfalls grösser als 90° ist. Somit ergiebt sich der Satz: In jedem rechtwinkeligen sphärischen Dreieck ist jede Kathete mit dem gegenüberliegenden Winkel gleichartig, d. h. zugleich kleiner oder grösser als 90°. Soll ferner bei einem spitzen Winkel A eines rechtwinkeligen sphärischen Dreiecks ABC nicht bloss die Kathete BC, sondern auch die Kathete BÄ kleiner als 90° sein, so muss B zwischen A und E, also C zwischen A und D liegen, also die Hypotenuse AC ebenfalls kleiner als 90° sein. Für eine zweite Kathete, welche grösser als 90° ist, ergiebt sich entsprechend auch eine Hypotenuse, welche grösser als DA oder ebenfalls grösser als 90° ist. Wenn ferner der Winkel A als stumpf angenommen wird, so wird in gleicher Weise die Hypotenuse kleiner oder grösser als 90°, je nachdem die andere Kathete stumpf oder spitz ist. Man hat also folgenden Satz gefunden: Sind die Katheten eines rechtwinkeligen sphärischen Dreiecks gleichartig, so ist die Hypotenuse kleiner als 90°, sind dieselben ungleichartig, so ist die Hypotenuse grösser als 90°, oder mit anderen Worten: Ist eine Kathete kleiner als 90°, so ist die andere mit der Hypotenuse gleichartig, ist eine Kathete grösser als 90°, so ist die andere mit der Hypotenuse ungleichartig. Mit Hülfe der Polardreiecke lassen sich aus den vorstehenden Sätzen entsprechende für sphärische Dreiecke ableiten, in denen eine Seite ein Quadrant ist. Jedes schiefwinkelige sphärische Dreieck lässt sich durch einen grössten Kreisbogen, welcher von einem beliebigen Eckpunkt des Dreiecks aus senkrecht zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird, als Summe oder Differenz zweier rechtwinkeligen Dreiecke darstellen. Aus den vorstehenden Sätzen folgt unmittelbar, dass der Fusspunkt dieses senkrechten Bogens (der Höhe des Dreiecks) auf die gegenüberliegende Seite selbst oder auf deren Verlängerung fällt, je nachdem die dieser Seite anliegenden Winkel gleichartig oder ungleichartig sind. In derselben Weise, wie oben die Begriffe des sphärischen Dreiecks und seiner Stücke, lassen sich diejenigen sphärischer Vierecke und Polygone aufstellen. Eine besondere Erwähnung verdienen unter den letzteren die regelmässigen sphärischen Polygone, d. h. diejenigen, deren Seiten sämmtlich einander und deren Winkel sämmtlich einander gleich sind, denen also regelmässige Ecken am Mittelpunkt der Kugel entsprechen. In jedem solchen Polygon befindet sich ein Punkt, dessen (auf Bogen grösster Kreise gemessenen) Entfernungen von allen Seiten einander gleich sind. Derselbe Punkt ist in gleicher Weise von allen Eckpunkten des Polygons gleich weit entfernt. Anhang zum 3. Kapitel. Der Euler’sche Satz. Unter einem convexen oder EuLER’schen Polyeder versteht man ein solches, welches nur hohle Flächenwinkel hat, dessen Flächen also auch bei beliebiger Erweiterung das Polyeder nicht durchschneiden. Zu denselben gehören also beispielsweise die sämmtlichen im § 14 behandelten regelmässigen Polyeder, 442 Stereometrie. ferner alle Prismen und Pyramiden, deren Grundflächen keinen überstumpfen Winkel haben, u. dgl. m. Ein solches Polyeder lässt sich stets in dreiseitige Pyramiden zerlegt denken, deren gemeinschaftliche Spitze ein Punkt im Innern des Körpers ist, und von denen jedes zur Grundfläche eine der Grenzflächen des Polyeders oder einen dreieckigen Theil einer solchen Grenzfläche hat. Umgekehrt kann man sich das Polyeder auch durch Aneinanderlegen solcher Pyramiden zusammengesetzt denken. Jede einzelne solche Pyramide hat nun 4 Eckpunkte, 4 Seitenflächen und 6 Kanten, und es ist also für dieselbe, wenn überhaupt die Anzahl der Eckpunkte eines Körpers durch e, die seiner Seitenflächen durch / und die seiner Kanten durch k bezeichnet wird, e /= k -+- 2. Denkt man sich nun an eine solche Pyramide eine zweite so angelegt, dass zwei congruente Seitenflächen zusammenfallen, so wächst dadurch die Anzahl der Eckpunkte um 1, die der Grenzflächen — da eine der früheren in’s Innere fällt und drei neue hinzukommen — um 2, endlich die der Kanten um 3; es ist also jetzt e = 5, f— 6, k = 9, mithin wieder e ■+■ f— k + 2. In gleicher Weise wächst durch jede weitere Hinzufügung einer neuen Pyramide, falls sonst keine Flächen zusammenfallen, die Zahl der Ecken um 1, die der Flächen um 2, die der Kanten um 3, so dass immer die Summe e +f um 2 grösser bleiben muss als k. — Fallen ferner die Grundflächen zweier Pyramiden in eine und dieselbe Ebene, so wächst zwar die Zahl der Flächen nur um 1, aber gleichzeitig verschwindet auch die eine Kante, in welcher die Grundflächen zusammenstossen, und der Satz muss also auch dann seine Gültigkeit behalten. Hat endlich eine angelegte Pyramide noch mit einer anderen der vorhergehenden eine Grenzfläche gemeinschaftlich, so fallen die betreffenden beiden Grenzflächen in’s Innere des Körpers, es verändert sich also f nicht, während e und k um je 1 wachsen. Fallen endlich — bei der letzten Pyramide — alle drei Seitenflächen mit solchen früherer Pyramiden zusammen, so vermindert sich f um 2 und zugleich fallt die Spitze der Pyramiden als Eckpunkt fort, zugleich aber vermindert sich auch die Zahl der Kanten um 3. Durch diese Betrachtungen überzeugt man sich, dass die Summe e+f mit der Anzahl k der Kanten immer dieselbe Differenz 2 behalten muss, oder dass der obige Satz e -(-/= k + 2 für alle convexen Polyeder gelten muss. Dieser Satz heisst nach seinem Entdecker der EüLER’sche Lehrsatz. Kapitel 4. Die Berechnung der Oberflächen der Körper. § 16. Oberflächen von Polyedern. Die Berechnung des Inhalts der Oberfläche eines Polyeders erfordert keine besonderen stereometrischen Sätze, denn dieselbe kann durch Addition der nach den betreffenden Sätzen der Planimetrie berechneten Maasszahlen der einzelnen Flächen geschehen. So ist z. B. der Inhalt der Oberfläche einer beliebigen dreiseitigen Pyramide gleich der Summe der Inhalte von vier Dreiecken. Sind also beispielsweise die sämmtlichen Kanten eines solchen Körpers gemessen, und bezeichnen a, b, c, 4- Die Berechnung der Oberflächen der Körper. 443 bezüglich die Maasszahlen der Grandkanten, a ', b', c' die der Seitenkanten, so dass die zu a! gehörige mit der zu a gehörigen keinen Punkt gemeinsam hat, und ebenso die Kanten b, b' und c, c' einander gegenüberliegen, so erhält man für a — 14, b = 15, c— 13, a' = 37, V — 40, c 1 = 44 den Inhalt der Grundfläche nach der Formel J? = "j/j (s — a) (s — b) (s — c) gleich 84 und ebenso diejenigen der Seitenflächen gleich 105 j/7, 264, 240, also die gesuchte Oberfläche gleich 588 + 105 = 865, 8 . . . Die Oberfläche eines regelmässigen Tetraeders wird erhalten, wenn man den Inhalt einer Seitenfläche mit 4 multiplicirt. Ist nun die Kante des Körpers gleich a gegeben, so ist die Höhe eines der Dreiecke zufolge des pythagoreischen Lehrsatzes gleich Tr l/3, mithin der Inhalt des Dreiecks gleich j- cfii/3, und die Ober- fläche des Tetraeders gleich 2 a 2 ]/3. In gleicher Weise findet man für die Oberfläche eines regelmässigen Oktaeders 2« 2 j/3, für die eines regelmässigen Ikosaeders 5a 2 ylf. Für einen Würfel erhält man den Inhalt einer Seitenfläche gleich a 2 , also die gesammte Oberfläche gleich 6a 2 . Für ein regelmässiges Pentagonaldodekaeder berechne man den Inhalt eines der Fünfecke nach Planim. § 56, und man erhält durch Multiplication desselben mit 12, O = 3a 2 y25 + lO^/ö. Anders als mit den ebenflächigen Körpern verhält es sich mit den krummflächigen; für diese bietet die Planimetrie allein nicht die Möglichkeit der Oberflächenberechnung, und die letztere soll daher im Folgenden für die in den Elementen vorkommenden krummen Flächen im Anschluss an speciellere Regeln für ebenflächige Körper gelehrt werden. § 17. Oberflächen der Prismen und Cylinder. 1. Bei einem Prisma findet man die Summe der Seitenflächen, wenn man die Maasszahl einer Seitenkante mit der Maasszahl des Umfangs eines zu den Seitenkanten senkrechten ebenen Schnittes multiplicirt. Ist das Prisma ein gerades, regelmässig-«seitiges und a die Maasszahl einer Grundkante, b die einer Seitenkante, so ist die Summe seiner Seitenflächen gleich nab. Für die gesammte Oberfläche ist in allen diesen Fällen zu der Summe der Seitenflächen noch die der Grundflächen zu addiren. Diese Sätze müssen, in so weit sie unabhängig sind von der Anzahl der Seitenflächen, auch für die Grenze des Prismas bei unendlichem Wachsthum der Anzahl seiner Seiten gelten. Hiernach erhält man für die krumme Oberfläche oder den sogenannten Mantel eines geraden Cylinders die Formel M= 2 r ir • h, (1) wenn h seine Höhe, r den Radius seiner Grundfläche bedeutet. Den Mantel eines schiefen Cylinders kann man mit den Hülfsmitteln der Elementar-Mathe- matik nicht berechnen, da sich der Umfang des zu den Seitenlinien senkrechten Schnittes nicht bestimmen lässt. Dieselben Folgerungen ergeben sich mittelst Abwicklung der Cylinderfläche in eine Ebene. Die gesammte Oberfläche eines geraden Cylinders ist hiernach ö = 2rn:Ä + 2 r 2r a. = 2 r tz (h r). (2_) Es sei beispielweise der Mantel eines geraden Cylinders zu berechnen, dessen Höhe h = 15,4 cm, und dessen Grundflächen-Radius r = 22,6 cm ist, so hat man M— 2 • 22,6 • 15,4 • ~ Cubikcentimeter auszurechnen. Wählt man für tc 444 Stereometrie. behufs einer bloss ungefähren Berechnung den Näherungswerth 3^, so erhält man 2 • 22,6 • 15,4 • 22 22,6 • 2,2 • 22 = 2187,68 c. cm. Rechnet man mit fünfstelligen Logarithmen und setzt dem entsprechend 7t = 3,14159, so erhält man log 45,2 = 1,65514 log 15,4= 1,18752 log Tt = 0,49715 log M = 3,33981; M= 2186,80 c. cm. Man ersieht hieraus, dass das erste Resultat um mehr als 1 Cubikcentimeter fehlerhaft war. Hierbei ist vorausgesetzt, dass die für r und h gegebenen Werthe absolut genau seien; in der Praxis wird jedoch anzunehmen sein, dass die bis auf Zehntel eines Centimeters angegebenen Zahlen bis zur Hälfte eines solchen Zehntels fehlerhaft sein können; in diesem Falle ist das Produkt 2rnh um fast 12 Cubikcentimeter unsicher, so dass die Rechnung mit genauerem Werthe von it nutzlos ist, und man als Resultat in runder Zahl 2180 anzunehmen hat. Es sei als zweites Beispiel der Mantel eines Cylinders zu berechnen, der einem gegebenen Würfel umbeschrieben ist, wenn man die Länge der Kante des letzteren gleich a kennt. In diesem Falle ist der Durchmesser der Grundfläche des Cylinders gleich der Diagonale eines Quadrats, dessen Seite gleich a ist, also gleich dfä, und die Höhe des Cylinders gleich a. Demnach erhält man M = a -j/2Tt • a = a 2 4/ 2 • 7t. Die Gesammt-Oberfläche dieses Cylinders ist O — a 2 ~\/2-Ti-\-2-\(a 4/2) 2 7t =a 2 ]/2 -Tt 4- a 2 7t = a 2 7t (j/2+ 1). 2. Die obigen Gleichungen für M und O können als Beziehungsgleichungen zwischen diesen Werthen und denen von r und h allgemein zur Berechnung irgend eines derselben dienen, wenn die dazu erforderlichen anderen gegeben sind. Um z. B. die Dimensionen eines Rechtecks zu bestimmen, mit welchen man die krumme Fläche eines geraden Cylinders bekleiden kann, der mit einem geraden quadratischen Prisma gleiche Gesammt-Oberfläche und gleiche Höhe hat, wenn die Grundkanten des letzteren gleich a und die Seitenkanten desselben gleich b gegeben sind, hat man h = b und O — 2a 2 -+- 4 ab\ also ist 2 a 2 -f- 4 ab = 2 z-7t {b 4- r), a 2 -h 2 ab woraus br ±Y- 2 + 2 ab b 2 b_ 7t 4 2 folgt. Von den beiden Werthen für r, welche so gefunden sind, ist der eine negativ und daher bei der Anwendung der quadratischen Gleichung auf die vorliegende eingekleidete Aufgabe nicht zu gebrauchen. Die gesuchten Seiten des Rechtecks sind also bezüglich gleich b und 2 rtt = ■j/4 ( a 2 -t- 2 ab) 7t -+- b 2 Tt 2 — b% t. 3. Auch jeder Theil des Mantels eines geraden Cylinders, welcher zwischen zwei Seitenlinien desselben eingeschlossen ist, lässt sich in entsprechender Weise, z. B. durch Aufrollen in eine Ebene, berechnen. Derselbe ist gleich einem Rechtecke, dessen Seiten bezüglich der Seitenlinie des Cylinders und dem zu ihm gehörigen Bogen des Grundkreises gleich sind. Es sei beispielsweise die gesammte Oberfläche eines durch einen Achsen- 4 . Die Berechnung der Oberflächen der Körper. 445 schnitt von einem geraden Cylinder abgeschnittenen Halbcylinders zu berechnen, so hat man O = r k ■ h -t- 2 • \r 2 it -+- 2 r h = r [{h ■+- r) it 4- 2 K\. Soll ferner die krumme Fläche eines Ausschnitts eines geraden Cylinders berechnet werden, welcher zwischen zwei unter 36° gegen einander geneigten Achsenschnitten liegt, so hat man M = ■j'g- • 2rir h — £ rtzh. Wird endlich ein gerader Cylinder durch eine der Grundfläche nicht parallele, jedoch dieselbe nicht schneidende Ebene durchschnitten, so kann man durch die (oberen) Endpunkte der längsten und der kürzesten Seitenlinie eines abgeschnittenen Theils je eine der Grundfläche parallele Ebene legen. Diese Ebenen schliessen dann einen Cylinder zwischen sich, dessen durch die Schnittebene entstehenden Theile mit einander zur Deckung gebracht werden können. Hieraus folgt, dass der Schnitt den Mantel dieses letzteren Cylinders halbirt, und man erhält somit für die krumme Oberfläche des schief abgeschnittenen geraden Cylinder- stumpfs, wenn a und b bezüglich die Maasszahlen der längsten und der kürzesten Seitenlinie desselben sind, M — 2r% ■ b ■ • 2nr (a — b)= nt (2b ■ = nt (a -t- b) ■b) (M. 196.) oder M=2riz ■ d. h. die gesuchte Fläche ist gleich dem Mantel eines vollständigen geraden Cylinders mit derselben Grundfläche, dessen Höhe gleich dem arithmetischen Mittel aus der längsten und der kürzesten Seitenlinie ist. § 18. Oberflächen der Pyramiden und Kegel. 1. Die Summe der Seitenflächen einer Pyramide ist, wenn alle Seitenflächen dieselbe Höhe haben, also beispielsweise bei einer geraden, regelmässigen Pyramide, gleich der Hälfte des Produkts aus dieser Höhe und dem Umfange der Grundfläche. Bei unendlicher Zunahme der Seitenzahl muss diese Regel unveränderlich gültig bleiben; hieraus folgt, dass die krumme Oberfläche oder der Mantel eines geraden Kegels durch die Formel M=\s -2r-K oder M — rrir (1) berechnet werden kann, wo s die Maasszahl einer Seitenlinie und r die des Grundflächen-Radius bedeutet. Der Mantel eines schiefen Kegels lässt sich mit den Hülfsmitteln der Elementar-Mathematik nicht berechnen. Die Ableitung der obigen Formel kann auch durch Berechnung des Flächeninhalts des Sectors geschehen, welcher durch Abwicklung des geraden Kegelmantels in eine Ebene entsteht. Die gesammte Oberfläche eines geraden Kegels wird hiernach mittelst der Formel O = rsi t -+- = m (s -t- r) berechnet. Es sei beispielsweise r — 0,33m, h — 9,64m gegeben, so ist zunächst 446 Stereometrie. s = )/r 2 + h 2 zu berechnen. Man erhält s = 9,645 und hieraus M— 0,33 • 9,645tt = 10 Cubikmeter. Es sei ferner beispielsweise die Oberfläche eines Körpers zu berechnen, welcher aus einem geraden Cylinder und zwei auf seinen Grundflächen stehenden geraden Kegeln zusammengesetzt ist, deren Höhen den Radien der Grundflächen gleich sind. Ist h die Höhe, r der Grundflächen - Radius des Cylinders, so erhält man O =-+- 2rrc ]/r 2 -+- r 2 — 2?"ir (h -+- r "|/2). Den Inhalt des von zwei Seitenlinien eingeschlossenen Theiles des Mantels eines geraden Kegels erhält man in entsprechender Weise wie in dem ähnlichen Falle bei dem Cylinder. Ist b die Länge des zugehörigen Bogens der Grundfläche, so ist \bs zu berechnen. Dass man umgekehrt r aus M und s oder s aus r und M, oder r aus O und s u. dgl. m. berechnen kann, bedarf keiner näheren Ausführung. 2. Der Mantel eines abgestumpften geraden Kegels kann als Differenz der Mäntel des zugehörigen vollständigen und des Ergänzungskegels berechnet werden. Ist die Seitenlinie des Kegelstumpfes gleich .j, der Radius der grösseren Grundfläche gleich R, der Radius der kleineren Grundfläche gleich r und die Seitenlinie des Ergänzungskegels o, so erhält man hiernach für den Mantel des Kegelstumpfs M= R(s + 7' die Maasszahlen der drei Kanten des Parallelepipedon, also hat man wieder den Satz: 5- Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 453 Der Kubikinhalt eines rechtwinkeligen Parallelepipedon ist gleich dem Produkt (der Maasszahlen) der drei Kanten desselben. (1) Ist die Kante des als Maass dienenden Würfels nicht mit allen drei Kanten des Parallepipedon commensurabel, so erhält man durch eine Grenz-Betrachtung, ähnlich den in entsprechenden Fällen, z. B. bei der Bestimmung der Flächeninhalte von Rechtecken (Planimetrie, § 40) angestellten, denselben Satz als gültig bestätigt. Man findet diesen Satz auch dahin ausgesprochen, dass der Inhalt eines jeden rechtwinkeligen Parallelepipedon gleich dem Produkt aus seiner Länge, Breite und Höhe sei. Sind also a, b, c die Maasszahlen der drei Kanten eines solchen Körpers, so ist sein Volumen allgemein V=abc. (l a ) Sind zwei der Kanten einander gleich, ist der Körper also eine gerade quadratische Säule, so erhält man die Formel V=a i b. Sind alle drei Kanten einander gleich, ist der Körper also ein Würfel, so erhält man die Formel V= a 3 . (P) Hieraus erklärt sich die Benennung Kubus für dritte Potenz und Kubikwurzel für dritte Wurzel in der Arithmetik. Ist also die Kante eines Würfels doppelt so gross als die eines anderen, so ist jener Würfel 8mal so gross als dieser; ist die Kante des ersteren 3mal so gross als die des letzteren, so ist jener 27 mal so gross als dieser, u. s. w. Ein Kubikmeter enthält 1000 Kubikdecimeter, und 1000 • 1000 = 1000000 Kübikcentimeter u. s. w. 2. Von der Berechnung rechtwinkeliger Parallelepipeda gelangt man zu derjenigen von schiefwinkeligen durch folgende Sätze: a) Jedes Parallelepipedon mit schiefwinkeliger Grundfläche lässt sich in ein gleichgrosses mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe verwandeln, in welchem die Grundfläche rechtwinkelig ist. Ist nämlich ABCDEFGH das gegebene Parallelepipedon, so verwandele man zunächst seine Grundfläche ABCD in das ihr gleiche Rechteck ABIK, lege durch AK und die Seitenkante AE, so wie durch BI und die Seitenkante BE je eine Ebene und erweitere die betreffenden Grundflächen des gegebenen Parallelepipedon, so dass das Parallepipedon ABIKEFLM über der Grundfläche ABIK entsteht, welches mit jenem dieselbe Höhe hat. Dann kann man sich das neue Parallelepipedon dadurch aus dem ursprünglichen entstanden denken, dass von letzterem ein dreiseitiges Prisma BCIFGL abgeschnitten und dafür ein anderes dreiseitiges Prisma AD KE HM angesetzt wurde. Diese beiden Prismen stimmen aber mit einander in allen homologen Stücken überein, sind also congruent und daher auch gleich gross. Hieraus folgt, dass auch die beiden Parallelepipeda gleiche Volumina haben müssen. b) Jedes Parallelepipedon, in welchem zwei einander parallele Seitenflächen nicht senkrecht zu den Grundflächen stehen, kann in ein gleichgrosses über derselben Grundfläche und mit derselben Höhe verwandelt werden, in welchem die g%> • • • der Reihe nach die Maasszahlen der Grundflächen dieser Theilprismen, G die der Grundfläche des ganzen Prismas und h die der gemeinschaftlichen Höhe dieser Körper, so erhält man für den Inhalt des w-seitigen Prismas durch Summirung seiner Theile: (M. 206.) V—g x hArg^hA-g % h-y- . • • = (^ t +g 2 + • • 0 Ä > d. i. F= Gh. (3) Es ist also der Inhalt eines jeden Prismas gleich dem Produkt aus seiner Grundfläche und Höhe. 4. Dieser Satz ist unabhängig von der Anzahl der Seiten des Prismas und muss desshalb auch bei unendlichem Wachsen dieser Anzahl gültig bleiben, also auch für das Volumen eines Cylinders gelten. Setzt man dann noch für die Grundfläche G den aus ihrem Radius r berechneten Werth, so erhält man, das Volumen eines Cylinders ist V=r*izh. (4) Dieser Satz gilt in gleicher Weise für schiefe, wie für gerade Cylinder. Beispiele: 1. Wieviel Kubikmeter Sauerstoff enthält die Luft eines rechtwinkeligen Zimmers, welches 9,34 m lang, 5,82 m breit und 4,73 m hoch ist, wenn in 100 Theilen Luft 21 Theile Sauerstoff enthalten sind? Man erhält 9,34 • 5,82 • 4,73 • 0,21 = 54 Kubikmeter, mit einer Unsicherheit von weniger als J Kubikmeter, wenn die Messungen der Seiten bis auf 0,005 m genau waren. 2. Man soll einen Körper von der Gestalt eines rechtwinkeligen Parallelepipedon anfertigen, so dass das Volumen desselben 2080 Kubikdecimeter, seine Oberfläche 996 Quadratdecimeter, und der Umfang seiner Grundfläche 58 Deci- meter betrage. Wie lang sind die Kanten desselben zu machen? Zur Auflösung dieser Aufgabe erhält man die drei Gleichungen: xyz = 2080 xy -+- xz -hys = £ • 996 = 498 x A-y — • 58 = 29. Aus der zweiten Gleichung folgt xy -+- (x A-y'jz = 498, 456 Stereometrie. und setzt man in diese x -\-y = 29 aus der dritten, xy 2080 z aus der ersten ein, so erhält man die Gleichung 2080 z 4-29 z = 498, deren Auflösung auf z zu z 249 ± 41 29 = 10 oder 208 "29" führt. Der erste dieser Werthe von z führt mittelst der Gleichungen xy = 208, x 4- y = 29 in bekannter Weise auf x = 16, y = 13 oder x = 13, y= 16, der zweite führt mittelst xy = 290, x -4-y = 29 auf imaginäre Werthe von x und y, und ist also nicht brauchbar. Somit sind die gesuchten Kanten bezüglich 16, 13 und 10 Decimeter lang. 3. In einem geraden dreiseitigen Prisma seien alle Kanten gleich a; man berechne seinen Kubikinhalt, a— 13,2181 cm. Da die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite a, also die Höhe derselben gleich ’j/« 2 — ^ a 2 = ^pj‘3 ist, so ist ihr Inhalt gleich ^ a l ylf; die Höhe des Prismas ist gleich a, also der gesuchte Kubikinhalt gleich ^ 3 ]/3. Zur Berechnung desselben für den angegebenen Zahlenwerth sollen die Logarithmen angewendet werden: log 3 = 0,47712 loga= 1,12116 (7) log j/3 = 0,23856 log ( a 3 ) = 3,36350 log 4 = 0,60206 log \ j/3 = 0,63650 — 1 log V= 3,00000 ; V— 1000 Cub. cm. 4. Ein aus einem Stoffe, von welchem jeder Kubikcentimeter 0,5 Kilogramm wiegt, verfertigtes Prisma wiege 200,8 Kilogramm und habe eine Höhe von 4 Decimeter. Wie gross ist seine Grundfläche? Beträgt die Grundfläche x Quadratcentimeter, die Höhe 4 Decimeter oder 40 Centimeter, so ist das Volumen des Prismas gleich 40 x Kubikcentimeter, und letzteres wiegt also 40 x • 0,5 = 20 x Kilogramm. Man hat also die Gleichung 20 x = 200,8, woraus x = 10,04 Quadratcentimeter folgt. 5. Eine Röhre von Kupfer ist «=l,2m lang und wiegt p = 90 Kilogramm. Ihr äusserer Durchmesser beträgt d = 0,75 Meter. Wie 'dick ist die Wandung derselben, wenn das specifische Gewicht des angewendeten Kupfers i = 9 ist, und wieviel Kilogramm Wasser kann die Röhre aufnehmen? Ist die Wandung x Meter dick, so ist der Radius der Höhlung gleich ^ d — x. Das Volumen der Röhre ist gleich der Differenz zweier Cylinder, welche dieselbe Höhe gleich a haben und deren Radien bez. \d und \d — x sind. Dasselbe ist also gleich i d^Ka, — i^d — x) 2 Tza = aTt(^d 2 — {d 2 4 - dx — x 2 ) = anx (d — x). Da nun jedes Kubilcdecimeter Wasser ein Kilogramm, jedes Kubikmeter Wasser also 1000 Kilogramm, und jedes Kubikmeter eines Stoffes, dessen speci- fisches Gewicht gleich s ist, 1000 ■ j Kilogramm wiegt, so ist aizx(d — x) • 1000 ■ s —p, x 2 — dx = — - ■ ^ - 1000 ans woraus 5. Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 457 V 2 p 4 1000 ans folgt. Hierbei ist jedoch nur das untere Vorzeichen der Wurzelgrösse brauchbar, da die Dicke der Wandung einer Röhre nicht mehr als die Hälfte des äusseren Durchmessers betragen kann. Der Inhalt der Höhlung der Röhre beträgt (,) d — x)‘ 2 T.a ■ 1000 Kubikdeci- meter, und dieselbe kann daher eben so viele Kilogramm Wasser aufnehmen. Setzt man hier noch für x den gefundenen Werth ein, so erhält man V = 250 a cP u — —. s Für das angegebene Zahlenbeispiel liefert die Ausrechnung x = 0,00355 m, V= 520,14 Kg.*) S- Aus dem für die Berechnung der Volumina von Prismen gefundenen Satze folgen unmittelbar die nachstehenden Sätze: Prismen mit gleichen Grundflächen und gleichen Höhen haben gleiche Volumina. Es kann aber nicht umgekehrt behauptet werden, dass zur Gleichheit der Volumina zweier Prismen die Gleichheit ihrer Grundflächen und die ihrer Höhen erforderlich sei, sondern es genügt hierfür die Gleichheit der Produkte der Grundflächen und Höhen, oder Prismen, deren Grundflächen sich zu einander umgekehrt wie ihre Höhen verhalten, haben gleiche Volumina. Die Volumina von Prismen, deren Grundflächen gleich sind, verhalten sich zu einander wie die zugehörigen Höhen. Die Volumina von Prismen, deren Höhen gleich sind, verhalten sich zu einander wie die zugehörigen Grundflächen. Die Volumina von Prismen überhaupt verhalten sich zu einander wie die Produkte aus Grundfläche und Höhe. Alle diese Sätze bleiben gültig, wenn statt eines oder mehrerer Prismen Cylinder gesetzt werden. § 21. Rauminhalte von Pyramiden und Kegeln. 1. Zur Berechnung der Volumina von Pyramiden kann man durch folgende Sätze gelangen: Werden Pyramiden, welche gleiche Grundflächen und gleiche Höhen haben, in gleichen Abständen von den Grundflächen durch je eine Ebene parallel zu der Grundfläche durchschnitten, so haben die Schnittfiguren gleiche Flächeninhalte, denn sind x,y die Flächeninhalte dieser Figuren für zwei Pyramiden und ist G der für beide gleiche Flächeninhalt der Grundflächen, h die ebenfalls für beide gleiche Maasszahl der Höhen, endlich p der wieder übereinstimmende Abstand jeder Schnittfigur von der zugehörigen Spitze, so ist x : G =p% ; A 2 und y : G =p 2 : ä 2 , woraus x — y folgt. Theilt man ferner die Höhe einer Pyramide in eine beliebige Anzahl gleicher Theile und legt durch jeden Theilpunkt die der Grundfläche parallele Schnitt- *) Aus Reidt, Sammlung von Aufgaben und Beispielen aus der Trigonometrie und Stereometrie, 2. Aufl. Leipzig, B. G. Teubner, woselbst sich eine grössere Auswahl hierher gehöriger Aufgaben findet. 458 Stereometrie. ebene, so kann man über der Grundfläche und über jeder der Schnittfiguren als Grundfläche ein Prisma construiren, dessen Höhe einer der Theile der ganzen Höhe ist, und welches den mit ihm zwischen denselben parallelen Ebenen liegenden Theil der Pyramide einschliesst. In gleicher Weise lässt sich zu jeder Schnittfigur als oberer Grundfläche ein Prisma construiren, welches zwischen zwei aufeinanderfolgenden der parallelen Ebenen liegt und ganz von dem zwischen denselben Ebenen liegenden Theil der Pyramide umschlossen wird. Der Rauminhalt der Pyramide muss dann kleiner als die Summe der äusseren und grösser als die Summe der inneren Prismen sein. Nun haben diese Prismen aber sämmtlich gleiche Höhen, und jedes innere hat die untere Grundfläche eines äusseren zur oberen Grundfläche, demnach ist jedes innere dem entsprechenden äusseren gleich. Während aber zu jedem inneren ein gleiches äussere gehört, ist unter den letzteren eins, nämlich das auf der Grundfläche der Pyramide stehende, welchem kein inneres entspricht. Somit ist die Summe der äusseren Prismen um das Volumen dieses ersten grösser als die Summe der inneren, und das derPyramide somit von jeder der Prismen-Summen um weniger verschieden, als der Rauminhalt dieses ersten Prismas beträgt. — Die Anzahl der Theile der Pyramidenhöhe war hierbei willkürlich. Je grösser dieselbe angenommen wird, desto kleiner wird die Höhe des ersten Prismas, während die Grundfläche desselben immer dieselbe bleibt, desto kleiner wird daher auch der Grenzwerth, welcher zwischen dem Volumen der Pyramide und denjenigen der Prismensummen gefunden wurde. Denkt man sich die Anzahl der Theile der Höhe bis in’s Unendliche zunehmend, die einzelnen Theile also verschwindend klein werdend, so nähert sich auch der Rauminhalt der Pyramide denjenigen der Prismensummen bis in’s Unendliche, d. h. der Unterschied derselben kann kleiner gemacht werden als jeder noch so klein angegebene Körperraum. — Man kann diesen Satz kurz dahin aussprechen, dass jede Pyramide als eine Summe unendlich vieler Prismen betrachtet werden dürfe. Haben nun zwei Pyramiden gleiche Grundflächen und gleiche Höhen, denkt man sich ferner die Höhen beider in dieselbe Anzahl gleicher Theile getheilt und dann, wie vorher, zu diesen Theilen und jeder der beiden Pyramiden die äusseren oder die inneren Prismen construirt, so haben je zwei homologe Prismen der beiden Körper nicht nur gleiche Höhen, sondern zufolge des ersten der vorstehenden Sätze auch gleiche Grundflächen. Es sind also je zwei homologe Prismen und mithin auch die beiden Prismensummen an Rauminhalt einander gleich. Hieraus folgt, indem man die Theile der Höhe als unendlich klein werdend annimmt, dass auch die Pyramiden gleich gross sind. Man hat also den Satz: Pyramiden mit gleichen Grundflächen und gleichen Höhen haben gleiche Rauminhalte. (M. 207.) 5 . Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 459 Wären nämlich die beiden Pyramiden nicht gleich gross, so müssten ihre Kubikinhalte eine bestimmte Differenz D haben. Nun ist gezeigt worden, dass man durch Annahme hinreichend kleiner Theile der Höhen die Unterschiede der Pyramiden und der Prismensummen kleiner als jede angegebene gleichartige Grösse, also auch kleiner als D machen könne. Sind nun P x , P die Kubikinhalte der Pyramiden und ist K der für beide gleiche Kubikinhalt der Prismensummen, so kann jedenfalls P x — W+ x, P 2 = K + y gesetzt werden, wobei x < 2? und y < D sein soll. Dann ist aber P x — P« = x — y, also um so mehr kleiner als D, was der Annahme P x — P 2 = D widerspricht. (M. 208.) Jedes dreiseitige Prisma kann durch zwei ebene Schnitte in drei gleich grosse dreiseitige Pyramiden zerlegt werden. Legt man nämlich den ersten Schnitt durch eine Grundkante AB und den nicht in derselben Seitenfläche liegenden Eckpunkt F der anderen Grundfläche des Prismas, so wird eine dreiseitige Pyramide abgeschnitten, welche zur Grundfläche die Grundfläche ABC des Prismas hat, und deren Höhe gleich der Höhe des letzteren ist. Der übrig bleibende Körper kann als eine vierseitige Pyramide angesehen werden, deren Spitze der Punkt F, und deren Grundfläche die Seitenfläche ABED des Prismas ist. Diese Pyramide kann mittelst eines durch F und eine Diagonale DB ihrer Grundfläche gelegten Schnittes in zwei dreiseitige Pyramiden zerschnitten werden, deren Grundflächen DEB, DAB einander gleich sind, und welche dieselbe Spitze F, also auch gleiche Höhen haben. Diese beiden Pyramiden sind also inhaltsgleich. Die eine derselben kann aber auch als eine Pyramide betrachtet werden, welche die Grundfläche DEF des Prismas zur Grundfläche und ihre Spitze in B, also auch gleiche Höhe mit dem Prisma hat. In diesem Falle hat fl diese Pyramide mit der zuerst abgeschnittenen gleiche Grundfläche und gleiche Höhe und ist also auch derselben inhaltsgleich. Somit haben alle drei Pyramiden denselben Kubikinhalt. (M. 209.) Umgekehrt kann jede dreiseitige Pyramide AB CF als der dritte Theil eines dreiseitigen Prismas betrachtet werden, von welchem sie durch eine Ebene abgeschnitten wird, und welches mit ihr dieselbe Grundfläche ABC und dieselbe Höhe hat. Ist G der Inhalt der Grundfläche, h die Maasszahl der Höhe, so ist Gh der Kubikinhalt des Prismas, also Gh derjenige der Pyramide. Jede mehrseitige Pyramide lässt sich, z. B durch ebene Schnitte, welche durch ihre Spitze und Diagonalen der Grundfläche gehen, in dreiseitige Pyramiden mit derselben Höhe h zerlegen. sind £2, g:u ■ bezüglich die Inhalte der (M 2 io.) S 460 Stereometrie. einzelnen Grundflächen dieser letzteren Körper, so ergiebt sich durch Summirung der Rauminhalte derselben das Volumen der mehrseitigen Pyramide gleich + if 2 h + h H -= I (^i + g* + g% H- ) h , oder V=\gh, (1) wenn g den Inhalt der Grundfläche der ganzen Pyramide bedeutet. Der Kubikinhalt einer jeden Pyramide ist also gleich dem dritten Theile des Produkts aus ihrer Grundfläche und ihrer Höhe. 2. Dieser Satz gilt für jede Seitenzahl der Pyramide, also auch bei unendlichem Wachsen derselben, und somit insbesondere auch für jeden Kegel. Setzt man für den Inhalt der Grundfläche des letzteren den mittelst des Radius r berechneten Werth, so erhält man für das Volumen eines Kegels die Formel V= £ r 2 iz h. (2) Diese Formel gilt für gerade und für schiefe Kegel. Beispiele: 1. Man soll den Kubikinhalt einer Pyramide berechnen, deren Grundfläche ein Dreieck mit den Seiten 1,45 m, 0,25 m und 1,50 m, und deren Höhe gleich 3,12 m ist. Für den Inhalt der Grundfläche hat man gemäss der Formel F= jA(.y — a ) (.? — b) (s — c), den Werth ]/1,60 • 0,15 • 1,35 • 0,10 = 0,18 qm, also ist der Kubikinhalt gleich -g- • 0,18 • 3,12 = 0,06 • 3,12 = 0,1872 cbm, wofür abgekürzt 0,19 cbm zu setzen ist. 2. Eine Pyramide aus Gusseisen, dessen specifisches Gewicht 7,5 ist, wiege 1012,5 Kilogramm; ihre Grundfläche sei ein Quadrat, dessen Seite 45 Centimeter lang ist. Wie hoch ist die Pyramide? Ist h die gesuchte Höhe in Centimetern, so ist das Volumen der Pyramide gleich • 45 • 45 h — 615 ■ h cbcm, und die Pyramide wiegt 675 h- 7, goder 0,675 *7,5 h kg, also ist 10125 0,675 • 7,5 • h = 1012,5; h — — 200 cm. 75 • 0,675 3. Bei einem geraden Kegel von h = 24 Centimeter Höhe verhalte sich die Grundfläche zur Mantelfläche wie m : n = l : 25. Welchen körperlichen Inhalt hat dieser Kegel? Die Gleichung r^izrs ~ = m: n liefert r : s = m : n, und da s — |/r s -t- A 2 ist, so hat man nt]/ V 2 - 1 - h? = nr\ nfir'* -+- nfih? — n^r 2 , „ m 2 h 2 Xr 2 -uh also V—^r 2 7:h = und für das Zahlenbeispiel: 49 • 24 • 24 • 24 • Ti 49 • 24 • 24 • 24 • * 3 (25 + 7) (25 — 7) ~~ 3 • 32-18- 49-8-22 7 49 - 8-71 = 7 • 8 • 22 = 1232 Cubikcentimeter. Aus dem für den Rauminhalt einer Pyramide gefundenen Satz folgt ferner: Jede Pyramide ist gleich dem dritten Theile jedes Prismas mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Pyramiden mit gleichen Grundflächen und gleichen Höhen haben gleiche Rauminhalte. Allgemeiner gilt der Satz: Pyramiden, deren Grundflächen sich zu einander umgekehrt wie ihre Höhen verhalten, haben gleiche Rauminhalte. 5. Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 461 Pyramiden mit gleichen Grundflächen verhalten sich wie ihre Höhen. Pyramiden mit gleichen Höhen verhalten sich wie ihre Grundflächen. Die Rauminhalte von Pyramiden überhaupt verhalten sich wie die Produkte ihrer Grundflächen und Höhen. In allen diesen Sätzen kann für jede vorkommende Pyramide auch ein Kegel gesetzt werden. 3. Der Rauminhalt eines Pyramidenstumpfes kann gefunden werden, indem man denselben zu einer vollständigen Pyramide ergänzt und von dem Kubikinhalt der letzteren den der Ergänzungspyramide subtrahirt. Es sei zu diesem Zweck G die Maasszahl der unteren, g die der oberen Grundfläche und h die der Höhe des Stumpfs, endlich p die Maasszahl der Höhe der Ergänzungspyramide, so erhält man für das Volumen des Stumpfs: V-=\G{h+p) — \gp. In dieser Formel ist noch die am Pyramidenstumpf selbst nicht messbare, durch die übrigen angegebenen Grössen bestimmte Höhe p mittelst der letzteren auszudrücken. Aus § 10 ergiebt sich /'/! V p 2 : [h +pY = g ’■ G, oder p : {h +/) = 1 /g : VG, woraus p~\/G = hp g + p~\/g, mithin Y G ~Y~g folgt. Die Substitution dieses Werthes für p in die obige Gleichung ergiebt (M. 211.) V=iG[A-+ Yc-YI Yg — Ys G{hY G — hY g + hV g) - hg Y GiJ G — gj g ^ Y g—Y~ g Yg—Y ^ h .t^=± Y g* — Y i? Y g — Y s' Der Quotient im letzten dieser Ausdrücke ist nach Arithm. § 14 gleich G + YGg + Yg> a ^ so üat man für das Volumen eines Pyramidenstumpfs die Formel V=}k(G+YGg+£)- ( 3 ) 4. Die Anwendung dieser Gleichung auf die als unendlich vielseitige Pyramidenstumpfe betrachteten abgestumpften Kegel führt für diese, wenn R, r bezüglich die Maasszahlen der Radien der beiden Grundflächen sind, zu der Formel V=^h(R 2 -hRr-hr*). (4) Die letztere lässt sich selbstverständlich auch ohne Vermittlung der Formel für die Pyramidenstumpfe durch ein Verfahren, welches dem bei diesen gebrauchten entspricht, aus der Formel für die Volumina vollständiger Kegel ableiten. Man hat bei gleicher Bezeichnungsweise wie vorher: V— ^R^u(/t +/) 1 — V= JlV p : (h -bp) — r : R } also p — —- R — r hR — hr -f- hr hr 3 A2 R _ r R — mithin -, u. s. \v. R — r 462 Stereometrie. Beispiele: 1. Wieviel wiegt eine abgestumpfte Pyramide von Sandstein, dessen specifisches Gewicht 2,5 ist, wenn die Grundflächen derselben Quadrate mit bezüglich Seiten gleich 0,321 m und 0,124 m sind und die Höhe des Stumpfs 0,513 m beträgt? Das Volumen des Stumpfes ist = (0,321 2 4- j/0,321 2 • 0,124 2 4- 0,124 2 ) = 0,171 • (0,321 2 4- 0,321 • 0,124 4- 0,124 2 ) Kubikmeter. Nun ist log 0,321 = 0,50651 — 1 log 0,124 = 0,09342— 1 log^Gg = 0,59993 — 2 log G = 0,01302 — 1 logg = 0,18684 — 2 £=0,10304 0,19926—1 = 0,03980 l og 0,171 = 0,23300—1 g = 0,01538 log V— 0,43226—2 0,15822 Jedes Kubikdecimeter des Sandsteins wiegt 2,5 Kilogramm, jedes Kubikmeter also 2500 Kilogramm, mithin hat man für das gesuchte Gewicht F= 2500 V, log V= 0,43226 — 2 log 2500 = 3,39794 logP = 1,83020; P= 67,64 Kg. 2. Wieviel beträgt der Fehler, welchen man bei der vorstehenden Aufgabe begehen würde, wenn man das Volumen des Pyramidenstumpfs nach einer landläufigen Regel als das eines Prismas von gleicher Höhe berechnen würde, dessen Grundfläche gleich dem arithmetischen Mittel der beiden Grundflächen des Stumpfs wäre, und wieviel wenn man die Grundfläche des Prismas gleich der mittleren (d. h. von den beiden Grundflächen gleich weit abstehenden) Durchschnittsfigur des Stumpfs annähme? Im ersteren Falle würde allgemein für das Volumen der falsche Werth l(G-h g)h gesetzt sein, der Fehler also 4-(£ + g)h-\h {G + yGä+g) = ih(G + g- 2>/G£)=^(j/£--(/7) 2 , betragen. Im zweiten Fall hat man zunächst zur Berechnung des Inhalts F der mittleren Durchschnittsfigur, wenn p wieder die Höhe der Ergänzungspyramide bedeutet, nach § 10 F '-S = (P + : / 2 ; und nach diesem Paragraphen P = hjg 1 /G — Vg’ woraus nach einigen Umformungen F = i(j/£4-yV) 2 folgt. Daher beträgt der Fehler in diesem Falle \h(iG + y7) s - * A (G + J fGg 4- g) = ^K^VGg -G-g), oder -- I \h(G+g-2YgG). Der Fehler beträgt also im zweiten Falle genau die Hälfte des Fehlers im ersten und ist demselben entgegengesetzt, d. h. das Volumen wird im zweiten Falle zu gross oder zu klein gefunden, je nachdem es im ersten zu klein oder zu gross war. Im vorliegenden Beispiele hat man zufolge der vorstehenden Rechnung: 5. Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 463 G + g = 0,11842 2 ■]fGg = 0,07960 0,03882 £h = 0,0855 0,58906 — 2 0,93197 — 2 3,39794 = log 2500 0,91897 ; num. log 0,91897 = 8,298, also beträgt der Fehler im ersten Falle etwa 8, im zweiten etwa 4 Kg. Der Fehler kann in beiden Fällen der allgemeinen Aufgabe nur dann gleich Null werden, wenn G + g = 2-|/6V oder(y7- l/G) 2 = 0, also wenn G=g ist. Er ist um so kleiner, je weniger G und g verschieden sind und kann vernachlässigt werden, wenn er die durch die Praxis im einzelnen Falle gestattete Fehlergrenze nicht übersteigen macht. 3. Den Kubikinhalt eines geraden abgestumpften Kegels aus den Radien seiner Endflächen, i? = 54 cm, r=21cm, und der Seitenlinie, s — 65 cm zu berechnen. Man findet zunächst die Höhe des Stumpfes h = jA 2 — (R — r) 2 = }/(s + R — r)(s — R + r) = j/(65 + 33)(65 —33) = j/98-32 = j/49 • 4 • 16 = 7 • 2 • 4 == 56 cm. Demnach ist das gesuchte Volumen V= J-tt. 56 • (54 2 -+- 54 • 21 + 21 2 ) = 263365 cbcm. Sind die gegebenen Zahlen auf ganze Centimeter abgekürzt, so sind die vier letzten Ziffern dieses Resultats als unsicher anzusehen. 5. Ausser den abgestumpften Kegeln können auch gewisse Theile eines Kegels auf elementarem Wege berechnet werden, welche zwischen zwei Ebenen liegen, deren Durchschnittslinien mit dem Kegelmantel Seitenlinien des letzteren sind, und ebenso lassen sich auch die Volumina derartiger Theile von Kegelstumpfen berechnen. Beispielsweise sei ein Theil eines Kegelstumpfs zwischen zwei Achsenschnitten desselben eingeschlossen, die einander unter einem Winkel von 36° treffen. Sind R , r, h bezüglich die Maasszahlen der Grundflächen- Radien und der Höhe, und bezeichnen G, g die Flächeninhalte der aus den Grundflächen des Stumpfs herausgeschnittenen Sectoren von 36°, so ist G = .Z? 2 ir, g = Tö r 2 K, und V—^A(G + yGg-hg) = ^Av(R* -i-Rr + r^). § 22. Das Prismatoid. 1. Die bis hierher entwickelten Sätze über Volumenberechnung lassen sich unter eine gemeinsame Form bringen, welche zugleich noch für gewisse andere Arten von Körpern gilt. Man bezeichnet mit dem Namen Prismatoid jeden Körper, welcher von zwei geradlinigen Figuren, deren Ebenen einander parallel sind, und ausserdem von Dreiecken und Vierecken begrenzt wird, deren Eckpunkte in jenen Ebenen liegen. Die beiden parallelen Grenzebenen heissen die Grundflächen, die übrigen die Seitenflächen und der senkrechte Abstand der Grundflächen die Höhe des Prismato'ids. Jede der Grundflächen kann auf eine Kante bezw. einen Punkt reducirt sein. Ist eine Seitenfläche eines Primato'ids vierseitig, so müssen die in den Grundflächen liegenden Seiten derselben zufolge des Parallelismus dieser Flächen einander parallel sein; jene Seitenfläche ist also im Allgemeinen ein Trapez. Ist jede Seitenfläche ein Viereck, so haben die beiden Grundflächen gleich viele Seiten, je zwei in derselben Seitenfläche liegende von diesen Grundkanten sind parallel, und die Grundflächen stimmen daher in den homologen Winkeln überein. In diesem Falle heisst das Prismatoid ein Obelisk. Die Seitenkanten eines 464 Stereometrie. solchen gehen im Allgemeinen in ihren Verlängerungen nicht durch denselben Punkt; dies findet nur statt, wenn die Verhältnisse je zweier homologen Seiten der Grundflächen dieselben Werthe haben, wenn also diese Grundflächen ähnliche Figuren sind. Nur bei dreiseitigen Flächen ist diese Aehnlichkeit bereits durch die Uebereinstimmung in den Winkeln bedingt; dreiseitige Obelisken sind daher stets abgestumpfte Pyramiden. Bei mehrseitigen Obelisken erscheint der Pyramidenstumpf nur als ein möglicher besonderer Fall. Sind die Grundflächen eines Obelisken congruent, so ist derselbe ein Prisma. Reducirt sich eine Grundfläche eines Prismatoids auf eine Strecke, so heisst dasselbe ein Keil (Sphenisk), reducirt sie sich auf einen Punkt, so wird das Prismatoid zur Pyramide. Denkt man sich endlich die Anzahlen der Seiten jeder Grundfläche bis in’s Unendliche wachsend, so geht das Prismatoid in einen von einer krummen und zwei ebenen Flächen begrenzten Körper über. Nicht jeder von einer krummen und zwei parallelen ebenen Flächen eingeschlossene Körper gehört jedoch hierher, vielmehr muss die krumme Fläche so beschaffen sein, dass sie durch Bewegung einer Geraden entstanden gedacht werden kann, bei der diese stets gleichzeitig durch Punkte der Umfänge beider Grundflächen geht, so dass sie aus unzählig vielen und unendlich schmalen Flächenstreifen besteht, die man als ebene betrachten darf. Cylinder, Kegel und Kegelstumpf erscheinen hiernach ebenso wie vorher Prisma, Pyramide und Pyramidenstumpf in der Körperart der Prisma- tolde als besondere Fälle enthalten. 2. Eine Regel für die Berechnung des Volumens eines jeden beliebigen Prismatoids erhält man auf folgende Weise: 2. Man denke sich durch das Prismatoid eine von den beiden Grundflächen gleich weit abstehende Ebene ge- n legt und in der entstehenden sogenannten mittleren Durchschnittsfigur IKLMN einen beliebigen Punkt P angenonmen, welcher mit jedem Eckpunkt des Körpers durch eine Gerade verbunden werde. Diese Geraden können dann als die Kanten einer Anzahl von Pyramiden betrachtet werden, deren gemeinschaftliche Spitze P ist und in welche das ganze Prismatoid ge- theilt werden kann. Zwei von diesen Pyramiden haben die halbe Höhe des Prismatoids zur Höhe und je eine der Grundflächen AB CD, EFGH zur Grundfläche. Bezeichnen wir die Flächeninhalte dieser Flächen bezüglich durch G und g, die Höhe des Prismatoids durch k, so ist die Summe der Inhalte der \h 4 - • \h = \h(G +g). Die übrigen Pyramiden haben die Seitenflächen des Prismatoids zu Grundflächen, und können vierseitig oder dreiseitig sein. Man braucht im Folgenden jedoch nur dreiseitige Pyramiden in Betracht zu ziehen, da jede vierseitige durch einen ebenen Schnitt, welcher (M. 212.) beiden Pyramiden gleich \ G 5. Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 465 durch die Spitze P und eine Diagonale der Grundfläche geht, in zwei dreiseitige zerlegt werden kann. Ist nun EBF die Grundfläche einer solchen dreiseitigen Pyramide, so wird die letztere durch die Ebene der mittleren Durchschnittsfigur in zwei Pyramiden getheilt, welche mit der ganzen Pyramide dieselbe Höhe haben. Daher verhält sich die kleinere dreiseitige Pyramide P (BKL) zur ganzen wie die Grundfläche BKL zur Grundfläche BEF. Da nun die mittlere Durchschnittsfläche die Kanten BE, BF bez. in K und L halbirt, so ist BEF viermal so gross als BKL und folglich auch die zu ersterer gehörige Pyramide viermal so gross als die zu letzterer gehörige. Die Pyramide P {BKL) kann nun auch als eine solche betrachtet werden, deren Grundfläche PKL und deren Spitze B, deren Höhe also gleich tyi ist. Demnach ist der Inhalt dieser Pyramide gleich \PKL-\h, und derjenige der Pyramide P (BEF) also gleich J PKL • h. Da sich diese Entwicklung auf jede der entsprechenden Pyramiden anwenden lässt, so folgt, dass die Summe der Kubikinhalte derselben gleich J- h (PKL -+- PLM -+- PMN-g . . .) ist. Die in der Klammer enthaltene Summe ist gleich dem Inhalt der ganzen mittleren Durchschnittsfigur M, also ist jene Pyramidensumme gleich \h M. Addirt man hierzu die vorher berechnete Summe der beiden ersten Pyramiden, so erhält man das Volumen des Prismatoids gleich -J- h (G -+- g) - 4 - hM, oder d. h. das Volumen eines jeden Prismatoids ist gleich der Summe dreier Pyramiden, welche mit ihm gleiche Höhe haben, und von denen eine das arithmetische Mittel der beiden Grundflächen und jede der anderen die mittlere Durchschnittsfläche des Prismatoids zur Grundfläche hat. 3. Wendet man diesen Satz auf ein Prisma an, so hat man A/"= g — G, also V=\h (G -+- 2 G) = Gh. Für eine Pyramide ist M—\G, g=0, also V= •J- h (-|- G -+- G) = -J- Gh, für einen Pyramidenstumpf, nach Beispiel 2 im § 21, Nr. 4, M— \ (G -\^g -f- 2 ~]/Gg), also V=^h-^(G+g + G + g-i-2 ") /Gg) — \h (G -\~yGg -+- g). Ebenso erhält man für Cylinder, Kegel und Kegelstumpf aus der vorstehenden Gleichung die in den betreffenden Fällen früher entwickelten Regeln. Beispiele: 1. Ein dreiseitiges Prisma sei durch eine der Grundfläche nicht parallele Ebene durchschnitten, so dass ein von den Flächen des prismatischen Raumes und zwei nicht parallelen Ebenen ABC, DEF begrenzter Körper entsteht. Man soll das Volumen dieses Körpers berechnen. Da die Kante DA der Fläche BCFE parallel ist, so kann man den Körper als ein Prismatoid betrachten, dessen eine Grundfläche diese Fläche BCFE, und dessen andere Grundfläche auf jene Kante reducirt ist. Die mittlere Durchschnittsfigur hat dann zwei parallele Seiten KG, LH, ist also im Allgemeinen ein Trapez. Es sei nun NPQ ein zu den parallelen Kanten senkrechter Schnitt und PN — p die Grundlinie desselben, so ist seine Höhe h zugleich diejenige des Prismatoids. Bezeichnen nun a, b , c der Reihe nach die Maasszahlen der parallelen Kanten AD, BE, CF, so erhält man Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd, I. £ (M. 113 .) 30 466 Stereometrie. G = c P V-- 2 b c T* , 1 f (i H- b ci -f- c\ 1 ; g = 0’ = 2 V 2 1 2“ j ' 2^’ also 2 a 1 a Tf h * £ p)=}*P b —(— £ (b - c ~l- 2 ß -f- ^ H“ r) Setzt man nun den Flächeninhalt \hp des senkrechten Schnitts NPQ gleich so erhält man F= (t —f- b -f- r 3" ■F, d. h. das schief abgeschnittene dreiseitige Prisma ist an Rauminhalt gleich einem Prisma, dessen Grundfläche die zu den Seitenkanten senkrechte Schnitt- figur, und dessen Höhe gleich dem arithmetischen Mittel der drei parallelen Kanten ist. Man kann diesen Satz benutzen, um auch die Volumina schief abgeschnittener Prismen von mehr als drei Seiten zu berechnen, indem man diese Körper durch Schnitte in dreiseitige Prismen zerlegt. 2. Jede dreiseitige Pyramide kann als ein Prismatoid betrachtet werden, dessen beide Grundflächen auf Kanten reducirt sind. Wie lässt sich hiernach das Volumen eines Tetraeders aus zwei einander gegenüberliegenden Kanten a,b desselben und dem senkrechten Abstand c der letzteren berechnen, wenn die mittlere Durchschnittsfigur als ein Rechteck vorausgesetzt wird? Die Seiten dieses Rechtecks sind gleich \a oder \b, man hat also M = -} a b, ferner G = g = 0, h=c, also V—\abc. 3. Den Kubikinhalt eines Kastens zu berechnen, dessen Grundflächen Rechtecke mit bezüglich den Längen a, a 1 und den Breiten b, b t sind und dessen zu diesenFlächen senkrechte Tiefe gleicht ist. a = 1,145 m ,b = 0,875 m, a 1 = 1,53 Qm, b x = 0,910 m, h = 0,234 m. Es ist die mittlere Durchschnittsfigur ein Rechteck mit Seiten gleich ^{a-b a x ) und ^{b + b^. Man hat nun G — ab, g = a 1 b 1 , M-- ■ (a -+- a x ) (b -4- by), also \ M b F-a x b x (a -4- ß t ) + (b + £ t )J 1 . . v — ^ h 2 ~~ 2 I — ßh (ab -f- &^ b ^ -h- ctb H- ctb ^ -f -b -4- ^\^ (2 db ri— 2 d^b x ■ ab x -+- a x b) oder auch ß-4- a x b -4- b x a — a x b — b x V=h b + b x 2 1 a — d x b — b x ~\ j. = 2,681 = 1,785 = — 0,391 = — 0,035 log 1,3405 = 0,12727 log 0,8925 = 0,95061 — 1 0,07778 = log 1,1961 log 0,1955 = 0,29115 — 1 0,0011 log 0,0175 = 0,24304 — 2 1,1972 0,53419 — 3 0,07816 0,47712 0,36922—1 =logh 0,05707 — 3 0,44738 — \ = logV\ F= 0,2801 bm. § 23. Rauminhalte von beliebigen Polyedern und von Kugeln. 1. Zur Berechnung der Volumina beliebiger Polyeder kann man dieselben in Pyramiden zerlegen, beispielsweise durch Annahme eines Punktes im Innern 5. Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 467 als Spitze von Pyramiden, deren Grundflächen die einzelnen Grenzflächen des Polyeders sind, oder durch Diagonalschnitte u. dgl. m. Auch können, wo es thun- lich und bequem erscheint, selbstverständlich statt einzelner Pyramiden oder statt aller auch Prismen, Pyramidenstumpfe und überhaupt Prismatoide benutzt werden. Dieses Verfahren lässt sich auch zur näherungsweisen Bestimmung der Kubikinhalte krummflächiger Körper anwenden, indem man dieselben als ebenflächige behandelt, deren Grenzflächen hinreichend klein angenommen sind, so dass der durch Vertauschung derselben mit den zugehörigen Theilen der krummen Oberfläche begangene Fehler die im einzelnen praktischen Fall erlaubte Fehlergrenze nicht übersteigt. 2. Für die Berechnung des Volumens einer Kugel führt ein entsprechendes Verfahren zu einer vollkommen genauen Formel. Denkt man sich nämlich den Mittelpunkt der Kugel als gemeinsame Spitze von Pyramiden, deren Grundflächen die Kugel berühren, also Grenzflächen eines umbeschriebenen Polyeders sind, so sind die Flöhen aller dieser Pyramiden gleich dem Kugelradius r, und wenn Sv* Sv • • ■ Inhalte der Grenzflächen, O die gesammte Oberfläche des Polyeders bedeutet, so ist der Kubikinhalt des letzteren gleich ■r r • O, H- g % -4- + ...)=! Or • (1) Diese Formel ist gültig ohne Rücksicht auf die Anzahl der Grenzflächen des Polyeders. Denkt man sich nun diese Anzahl unendlich gross werdend, indem die einzelnen Grenzflächen bis zum Verschwinden abnehmen, so geht das Polyeder in die einbeschriebene Kugel über. Es muss also auch für diese der Satz gelten, dass ihr Kubikinhalt gleich dem dritten Theile des Produkts aus ihrer Oberfläche und ihrem Radius ist. Setzt man noch für die Oberfläche den früher berechneten Werth O = 4 r 2 7t, so erhält man für das Volumen die Formel TT (2) Beispiele: 1. Eine Büchsenkugel habe einen Durchmesser gleich 6,4cm. Wie viel wiegt dieselbe, wenn das specifische Gewicht des Bleis 11,33 ist? /6 4\ 3 Man erhält P= f - I y- J • ir • • 11,33 = £ • 0,64 3 ir • 11,33 = 1,555 Kgr. 2. Um die Wandstärke einer hohlen eisernen Kugel zu bestimmen, wurde dieselbe in Wasser geworfen, und man fand, dass sie gerade zur Hälfte in demselben einsank. Der äussere Durchmesser der Kugel wurde gleich 2 de gemessen; das specifische Gewicht des Eisens war 7,4. Wie gross ergiebt sich hieraus die Wandstärke der Kugel, wenn das Gewicht der eingeschlossenen Luft nicht berücksichtigt wird? Ist die Wand der Halbkugel xdc dick, so ist das Volumen derselben gleich |t: ( r 3 — (r ■— x) 3 ) — £ 7t (Br 2 x — 3 rx 2 -i-x 3 ), also für r — 1, V— fru (3x — 3x 2 x 3 ), und mithin das Gewicht derselben gleich 7,4 FKg. Dieses Gewicht ist gleich demjenigen einer Halbkugel aus Wasser, deren Radius r — 1 ist, mithin gleich -§-rc Kg. Hieraus folgt die Gleichung 7,4 • 2 ■ (3 x — 3 x 2 -h x 3 ) = 1, oder besser: 7,4 • 2 [1 — (1 — x ) 3 ] = 1, woraus 1 — (1 — x) 3 = (1 — x) 3 = 1 — — = —, also 1 — * =]/m = 0,97695, x=l — 0,97695 = 0,02305 de, oder ungefähr 2,3 Millimeter folgt. 3. Wie viele Kugeln, deren Durchmesser 1,6 cm betragen, können aus 64 Kg Blei gegossen werden, dessen specifisches Gewicht 11 ( 39 ist? 30* 468 Stereometrie. Man erhält die Gleichung r 3 tt • x ■ 11,39 = 64, wo r = • 0,16 de = 0,08 de 3-64 ist. Also ist x = , _ Q „ —- = 2620. 4 • 0,08 d • 11,39 • 7t 4 Eine Kugel, deren Kubikinhalt gleich V gegeben ist, soll in einen geraden Kegel verwandelt werden, dessen Grundfläche gleich einem grössten Kreise der Kugel ist. Wie lang wird die Seitenlinie dieses Kegels? Ist r der Radius der Kugel, .? die Seitenlinie des Kegels, so ist V— r z r. = ^ r 2 Tr "jA 2 — r 2 , also r 4 r = f/s 2 — r 2 ; 16 r 2 — s 2 — r 2 ; s 2 = 17 r 2 , J = r yi7=.yi7. 3. Das Volumen eines Kugelausschnitts, d. h. eines solchen Theiles einer Kugel, welcher durch Rotation eines Sectors um einen der ihn begrenzenden Radien entstanden gedacht werden kann, lässt sich in derselben Weise wie das Volumen der ganzen Kugel als Grenzwerth einer Summe von Pyramiden betrachten, deren gemeinschaftliche Spitze der Kugelmittelpunkt ist und deren Höhen sämmtlich gleich dem Kugelradius sind. Hieraus folgt in ähnlicher Weise wie bei der ganzen Kugel, dass das Volumen eines Kugelausschnitts gleich dem dritten Theile des Produkts aus dem Radius der Kugel und dem auf der Kugelfläche liegenden Theil der Oberfläche des Ausschnitts, d. h. dem Flächeninhalt der zu letzterem gehörigen Calotte ist. Ist demnach wieder der Kugelradius gleich r, und ist die Höhe dieser Calotte gleich h, so ist das Volumen des Kugelausschnitts gleich \r • ‘irrJi oder V=\r 2 rJi. (3) 4. Um ferner den Rauminhalt eines Kugelsegments, d. h. eines durch eine Schnittebene abgeschnittenen Theiles der Kugel zu berechnen, kann man dasselbe, wenn seine Höhe (d. i. zugleich die Höhe der es begrenzenden Calotte) kleiner als der Kugelradius ist, als Differenz eines Kugelausschnitts und eines Kegels betrachten. Ist dagegen die Höhe des Segments grösser als der Radius der Kugel, so ist dasselbe gleich der Summe eines Kugelausschnitts und des zugehörigen Kegels. Hiernach erhält man bei derselben Bezeichnungsweise wie vorher, wenn ausserdem p den Radius der Grundfläche und p die Höhe des Kegels bedeutet, V = | r 2 7t h zp ^-p 2 7t p. Nun ist p 2 = r 2 —/ 2 ,/ = r — h, bezw. h — r, also \r 2 rJi — {r 2 — (r — h) 2 ){r — h) = 2 r 2 rJi — -t-it (2 rh — h 2 )(r — h) — ^rJi[2r 2 — (2 r — h) (r — //)] = \~h [2 r 2 — 2r 2 -+- 2 rh -+- rh — h 2 \ = \Tth($rh — h 2 ), oder V=}rJi 2 {Sr — /t). (4) 5. Um ferner den Rauminhalt einer körperlichen Zone, d. h. eines von einer Zone und den zugehörigen einander parallelen Schnittebenen der Kugel begrenzten Theiles der letzteren zu berechnen, kann man dieselbe als Differenz zweier Kugelsegmente betrachten. Sind h v h 2 die Höhen dieser Segmente, ist ferner h die Höhe der Zone und p der Abstand der grösseren Grundfläche vom Mittelpunkt, so ist, je nachdem der Mittelpunkt der Kugel ausserhalb oder innerhalb der körperlichen Zone liegt, die Flöhe h x des kleineren Segments gleich r — h—p oder gleich r-\-p — h, und entsprechend die Höhe des grösseren 5. Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 469 ■ hiyp) 2 (2,r + h±p), ;/) 2 (2 r±p), Segments gleich r — p oder gleich r +p. Demnach ist der Rauminhalt des kleineren Segments gleich •-(/- — h rp p) 2 (dr — r -+- h rfc/) = |-ir (r - und der des grösseren Segments gleich •S ’'(r +p)\3r — r ±p) = ^ (r : also die Differenz derselben gleich -l-ä (r +/) 2 (2 r ±p) — (r=j= p) 2 (2r±.p) zpp) 2 h-h frr (r ^p)h(2r + h ±/) — \tz]i 2 (2r + h ±p) = \rJi [4 r 2 =p Arp +2 rh 2 hp± 2rp — 2 p 2 — r 2 rhz2rp — p 2 — 2 rh — h 2 zyhp), d. i. V=^rJi[3r 2 — 3 p 2 — h 2 q= Zhp\ (5 a ) Diese Formel gilt auch, wenn beide Schnittkreise gleich gross sind. In diesem Fall ist das untere Vorzeichen zu wählen und h = 2/ zu setzen, so dass man V = |ir/(3r 2 — p 2 ) erhält. Geht dagegen eine der Schnittebenen durch den Mittelpunkt, so ist p = 0 und also F= ^izh(3r 2 — h 2 ). Man sieht leicht ein, wie die erstere Formel auch aus dieser letzteren abgeleitet werden kann. Reducirt sich ferner eine Schnittfläche auf einen Punkt, so ist p = ± (r —■ h) zu setzen, also F= 4--K/4 2 (3r — h). Die Formel für das Kugelsegment ist also in der für die körperliche Zone als besonderer Fall enthalten. Soll das Volumen einer körperlichen Zone mittelst ihrer Höhe h und der Radien p 1( p 2 ihrer Grundkreise berechnet werden, so hat man r und p mit Hülfe der Gleichungen Pi +/ 2 = r 2 ; p 2 2 + (h ±/) 2 = r 2 durch p x , p 2 und h auszudrücken und die gefundenen Ausdrücke in die obige Gleichung für V einzusetzen. Am kürzesten setzt man zunächst oben 3 r 2 — 2>p 2 = 3 ( r 2 — p 2 ) = 3p! 2 , ermittelt dann aus p! 2 -Pp 2 = p 2 2 4 - (h ±/) 2 , p 2 2_ p 3+/ ,2 + h * = -2 --’ und erhält F=i^[3 Pl 2 -Ä 2 +f ( P2 2 - Pi 2 +h 2 )]-. TZ h , '(2 Pt Pa" p 1 2 -\-h — §-h 2 ), V=\*h(j X 2 -P^ 2 )p\*h\ (50 welche Formel für beide Fälle in gleicher Weise gilt und für ein Kugelsegment, d. h. für p 2 = 0, in V=^Tzh ? 2 -hirJi* übergeht. Beispiele: 1. Man soll den Kubikinhalt eines Kugelausschnitts aus dem Umfang p der ebenen Grundfläche des zugehörigen Segments und dem Umfang P eines grössten Kreises der Kugel berechnen. p p _ Es ist 2p7t —p und 2rr. = P, also p= r = ferner Ä = r =p yV 2 — p 3 , also -17T P 2 4 tc* \2tt + V 4 TZ 2 4 TZ 2 ] 12II 2 -p 2 ). 4u 2 AtZ 2 J 12 TC 2 2. Eine hölzerne Kugel von a Meter Durchmesser sinkt in destillirtem Wasser von 4° so weit ein, dass der hervorragende Theil die Höhe h Meter hat. Man soll das specifische Gewicht der betreffenden Holzart berechnen, a = 1, h = 0,2 Ist x das gesuchte specifische Gewicht, so ist das Gewicht der ganzen Kugel gleich • 1000* Kg, das Volumen des verdrängten Wassers, d. i. das Volu- 47° Stereometrie. men eines Kugelsegments für den Radius \a und die Höhe a — h gleich ^■Tt (a — h ) 2 (|a — a -{- ]{) — {a — Ji) 2 (^a -+- h) cbm, also das Gewicht dieses Wassers gleich ^-ir (a — h) 2 (%a — h). 1000 Kg. Es besteht also die Gleichung 4 • —■ x= ( a — K )2 —, d. i. a 3 x = (a — k) 2 (a + 2A), 8 oder für das Zahlenbeispiel: {a — h) 2 (a -t- 2K) , 0,8 • 0,8 • 1,4 : 0,896. 3. Aus einer Kugel vom Radius r soll eine körperliche Zone herausgeschnitten werden, deren Höhe gleich \r, und deren Volumen gleich ^ des Volumens der Kugel sei. Welche Abstände müssen die Endflächen derselben vom Mittelpunkt der Kugel haben? Das Volumen der körperlichen Zone, d. i. für h = \r, ^nr(ßr 2 — 3 p 2 — \r 2 ^p\rf), soll gleich iHf • f ^ 3 n sein. Man hat somit für die Unbekannte / die Gleichung Jf-r 2 — 3 p 2 =p \rp = ~pr 2 , oder p 2 ± \rp = 0 Hieraus ergiebt sich p — 0 oder p = =p \r. Für p = 0 ist der Abstand der kleineren Endfläche vom Mittelpunkt gleich der Höhe des Segments, also gleich \r', der andere Werth p — z^\r zeigt, dass das untere Vorzeichen in den Formeln zu wählen, demnach der Abstand der anderen Endfläche vom Mittelpunkt gleich h—p, d. i. gleich = 0 zu nehmen ist. Beide Auflösungen ergeben also dasselbe Resultat. 6. Das Volumen eines von der Fläche eines sphärischen Zweiecks und den Ebenen der zugehörigen grössten Halbkreise begrenzten Körpers lässt sich in derselben Weise, wie das Volumen der ganzen Kugel und das eines Kugelausschnitts als Summe unendlich vieler Pyramiden betrachten, deren gemeinschaftliche Spitze der Mittelpunkt ist, deren Höhen sämmtlich gleich dem Radius der Kugel, und deren Grundflächen zusammen gleich der Fläche des Zweiecks sind. Es ist somit das Volumen eines solchen Körpers ebenfalls gleich dem dritten Theile des Produkts aus seiner krummen Oberfläche und dem Kugelradius. Ganz dasselbe Verfahren und somit auch derselbe Satz gilt für das Volumen eines durch die Fläche eines sphärischen Dreiecks und die Ebenen der zugehörigen Ecke begrenzten Körpers, und ebenso für solche Körper, die von der Fläche eines sphärischen Polygons und den Ebenen der zugehörigen Ecke begrenzt werden. Noch allgemeiner gilt der Satz für jeden Körper, welcher aus einer Kugel durch eine Fläche oder ein System von Flächen herausgeschnitten wird, wenn letzteres durch die Bewegung einer Geraden entstanden gedacht werden kann, die bei dieser Bewegung beständig durch den Mittelpunkt der Kugel und nach einander durch alle Punkte des Umfangs irgend eines ringsum begrenzten Theiles der Kugelfläche geht. Unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen erhält man hiernach für den zu einem sphärischen Zweieck gehörigen Körper die Formel i a - r k v = 4- • „„„ • r : . i ■ ^ (6a) 90° ' * 90° welche auch mittelst des Satzes gefunden werden kann, dass sich das Volumen eines solchen Körpers zu dem Volumen der ganzen Kugel verhalten muss, wie der Centriwinkel a zu 360 Grad. 5. Die Berechnung der Rauminhalte der Körper. 471 Für den zu einem sphärischen Dreieck gehörigen Körper ergiebt sich 1 r 3 ( a H- ß + y— 180 °) tt r 3 e ir V== ¥ ' 180 ° = IT ’ I8Ö 5 ' Man kann diese Formel auch mittelst der vorhergehenden in ähnlicher Weise finden wie diejenige für den Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks aus der für den Flächeninhalt des Zweiecks gefunden wurde. Allgemein ist für den zu einem sphärischen Polygon gehörigen Körper V-. (6b) r z e TZ ~r ' Iso 5 wo e den sphärischen Excess des Polygons bedeutet. Trigonometrie. Bearbeitet von D r. F. R e i d t in Hamm. Einleitung. I n der Planimetrie wird gezeigt, dass ein Dreieck durch drei, und überhaupt ein ebenes »-Eck durch 2 n —3 seiner Stücke (Seiten und Winkel), falls sich unter denselben mindestens eine Seite befindet, der Gestalt und Grösse nach im Allgemeinen bestimmt ist, so dass also eine solche Figur aus jenen gegebenen Stücken jederzeit construirt werden kann. Durch diese Construction werden dann auch die drei nicht gegebenen Stücke ihrer Grösse nach ermittelt. So kann z. B. eine wegen eines Hindernisses nicht direkt messbare Entfernung zweier Punkte A, B, dadurch gefunden werden, dass man von irgend einem dritten Punkte C aus die Strecken CA, CB, sowie den Winkel A CB bestimmt, dann aus diesen drei Stücken ein dem Dreieck ABC congruentes Dreieck zeichnet, und in diesem die der Seite AB homologe Seite statt der gesuchten nimmt. Diese Methode der Ermittelung unbekannter Längen und Winkel liefert jedoch in der praktischen Ausführung selten Resultate, welche auf hinreichende Genauigkeit Anspruch machen können, denn dieselben sind von verschiedenen unvermeidlichen Fehlerquellen abhängig, wie z. B. der Grenze des Sehvermögens, der Unmöglichkeit, wirkliche Linien und Punkte (ohne Dicke) zu zeichnen, der Unvollkommenheit der zum Construiren gebrauchten Instrumente, u. dgl. m. Die Ungenauigkeit und Unbequemlichkeit dieser Methode erhöht sich, wenn die gegebenen Stücke nicht durch Zeichnung zu unmittelbarer Verwendung in der Construction, sondern durch Maasszahlen gegeben sind, so dass die Linien vorher durch Abtragung mittelst eines Maasstabes, die Winkel durch Anwendung eines mechanisch getheilten Kreises gezeichnet werden müssen, sowie wenn in gleicher Weise die gesuchten Grössen nach ihrer Construction noch mittelst Messung in Zahlen ausgedrückt werden sollen. In den seltensten Fällen wird es zudem thunlich sein, die betreffende Figur in ihrer wirklichen Grösse zu construiren, sondern man wird in der Zeichnung einen verkleinerten Maasstab für die Linien € (M. 114.) I. Die Bestimmung der Winkel. 473 anzuwenden haben, also nicht eine der gegebenen Figur congruente, sondern vielmehr eine ihr ähnliche construiren müssen. Die gesuchten Längen werden dann in demselben Verhältniss verkleinert gefunden, und bei der Zurückführung derselben auf ihre natürliche Grösse multipliciren sich auch die bei der Zeichnung gemachten unvermeidlichen Fehler mit demselben Faktor wie die Strecken selbst. Es ist daher wünschenswerth, eine Methode zu finden, mittelst welcher man die Zahlenwerthe der gesuchten Stücke aus denen der gegebenen ohne Vermittlung einer Zeichnung, also durch blosse Rechnung finden kann, so dass man von jenen Fehlerquellen, die nöthige Genauigkeit der gegebenen, bezw. gemessenen Stücke vorausgesetzt, völlig befreit bleibe. Derartige Rechnungen sind bereits vereinzelt in der Planimetrie vorgekommen. So lässt sich z. B. aus zwei Winkeln eines geradlinigen Dreiecks der dritte mittelst der bekannten Winkelsumme, aus zwei Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks die dritte mittelst der Formel des pythagoreischen Lehrsatzes berechnen. Es ist jedoch mit den Hülfsmitteln der Planimetrie allein nicht thunlich, solche Rechnungen auszuführen, wenn in denselben Strecken und Winkel nebeneinander Vorkommen, da jene in Längenmaass, diese dagegen in Gradmaass ausgedrückt, beide mithin auf verschiedenartige Einheiten bezogen wurden, welche nicht in unmittelbare Verbindung mit einander durch Rechnung treten können. Es ist die — in der vorliegenden Schrift hauptsächlich in’s Auge gefasste — nächste praktische Aufgabe der Trigonometrie, diese Schwierigkeit zu beseitigen. Dieselbe hat mithin zunächst zu zeigen, in welcher für jenen Zweck geeigneten Weise Winkel und Strecken mittelst derselben Einheit bestimmt werden können, und sodann die Anwendungen auf die Berechnung gesuchter Stücke von Figuren zu lehren. I. Abschnitt. Goniometrie. Kapitel 1. Die Bestimmung der Winkel. § 1. Die trigonometrischen Functionen spitzer Winkel. Es sei zunächst A AO B — a ein beliebiger spitzer Winkel, und von verschiedenen Punkten A,' A," . . . des einen seiner Schenkel seien die Senkrechten A'B', A"B", . . auf den anderen gefällt, so sind die Dreiecke A'B'O, A"B"0, ... da sie in den Winkeln übereinstimmen, einander ähnlich, und es haben daher A’B’ A”B" die Seitenverhältnisse sämmtlich den- A'O ’ A”0 selben Werth. Dieser Werth ist auch für alle Winkel, welche dem Winkel AOB gleich sind, derselbe; dagegen ändert er sich,, wenn die Grösse des Winkels eine andere wird. Ist nämlich für irgend einen zweiten Winkel ß der Werth des genannten Verhältnisses derselbe, so folgt aus der Gleichheit der Verhältnisse und der rechten Winkel die Aehnlichkeit der entöl. 115.) 3 474 Trigonometrie. sprechenden Dreiecke und somit auch die Gleichheit der homologen Winkel a und ß. Der Winkel a und jenes Seitenverhältniss stehen demnach in einem solchen Zusammenhang, dass der Werth jedes derselben durch den des anderen bestimmt ist, und man kann daher in die Rechnungen statt der Winkel die Werthe jener Seitenverhältnisse als Stellvertreter einführen. Das Gleiche gilt von jedem anderen Verhältniss zwischen zwei Seiten eines den Winkel a enthaltenden rechtwinkeligen Dreiecks. Man nennt diese verschiedenen Verhältnisse die trigonometrischen oder auch goniometrischen Functionen des Winkels, und zwar insbesondere das Verhältniss der dem Winkel gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse den Sinus, der ihm anliegenden Kathete zur Hypotenuse den Cosinus, der ihm gegenüberliegenden Kathete zur anliegenden die Tangente (tangens), der anliegenden Kathete zur gegenüberliegenden die Cotangente (cotangens), der Hypotenuse zur anliegenden Kathete die Secante fsecans), der Hypotenuse zur gegenüberliegenden Kathete die Cosecante (cosecans) des Winkels a. Bezeichnet man im rechtwinkeligen Dreieck die Maasszahl der dem Winkel a gegenüberliegenden Kathete durch a, die der anliegenden Kathete durch b und die der Hypotenuse durch c, so ist indem wir zugleich die üblichen Abkürzungen in der Schreibweise der Namen der trigonometrischen Functionen benutzen, (M. 116.) — == smo., cosa, ~^ = tanga, b c c — = cota, -r = sec a, — —coseca. a b a Diese Functionen sind als Werthe von Verhältnissen nach dem Vorigen unbenannte Zahlen. Zu jedem bestimmten spitzen Winkel gehören sechs bestimmte solche Zahlen; die letzteren ändern sich, sowie der Winkel sich ändert. Sind z. B. die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks bezüglich gleich 3 cm und 4 cm, die Hypotenuse also zufolge des pythagoreischen Lehrsatzes gleich 5 cm und verdoppelt man unter Beibehaltung des der ersteren Kathete gegenüberliegenden Winkels irgend eine der Seiten des Dreiecks, so erhält man ein neues rechtwinkeliges Dreieck, in welchem auch jede der beiden anderen Seiten doppelt so lang als die homologe des ursprünglichen sein muss. Zeichnet man ebenso ein drittes rechtwinkeliges Dreieck mit dem Winkel a, dessen diesem Winkel gegenüberliegende Kathete 1 cm lang ist, so wird die anliegende Kathete eine Länge von ^ cm, die Hypotenuse eine solche von -J cm erhalten. Allgemein müssen, wie auch die absoluten Längen der Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks verändert werden, bei unveränderter Grösse des Winkels a in Folge der Aehnlichkeit der verschiedenen Dreiecke die Verhältnisse der Seiten dieselben bleiben. Man hat also im vorliegenden Beispiel in allen Fällen sina. — - 1 , cos a = ^, langd = cotci = j-, sec % = -£, cosecv. — § 2. Beziehungen zwischen den Functionen desselben Winkels. 1. Diese sechs Functionen eines und desselben Winkels a sind aber nicht von einander unabhängig. Zunächst sieht man leicht, dass drei von ihnen die Umkehrungen, d. h. die reciproken Werthe je einer der drei anderen sind. Dem ac arithmetischen Gesetz 1: — = — zufolge drücken wir diese Abhängigkeit, z. B. der Cosecante von dem Sinus, durch die Gleichung I. Die Bestimmung der Winkel. 475 1 cos ec a. sm a aus. Da man mit demselben Rechte dieselbe Beziehung zwischen den beiden Functionen durch- = sina darstellen kann, so ziehen wir vor, beide Formen cos ec a ’ ’ gleichsam zu verschmelzen in der folgenden sin a ■ c ose ca. = 1. «u ■ sec a =1 (1) tanga • cota. = 1 Entsprechend ist Aus dem Gesetze — : — c c : — = ergiebt sich ferner sin a cos a tanga, oder Endlich besteht zwischen den Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks zufolge des pythagoreischen Lehrsatzes die Beziehung a 2 +< b 2 — c 2 , aus welcher durch Division jedes Gliedes mit c 2 + jr = ^2’ oder (T 7 + (7) = 1 > d - L die Formel sin 2 a -h cos 2 a = 1, (3) und in ähnlicher Weise durch Division mit b 2 oder a 2 , tang 2 a + 1 = sec 2 a\ 1 + cot 2 a — cosec 2 a folgt. Die Schreibweise sin 2 a für (sina) 2 u. s. w. wird in manchen Schriften durch sina 2 ersetzt. 2. Die vorstehenden Formeln gestatten aus jeder gegebenen Function eines Winkels jede andere Function desselben Winkels zu berechnen. Ist z. B. sina gegeben, so findet man aus (3) cos a = Y1 — sin 2 a, darauf tanga aus (2) und die übrigen Functionen durch die reciproken Werthe aus (1). Ist tanga gegeben, so findet man zunächst durch Auflösen der Gleichungen (2) und (3) auf die beiden Unbekannten sina. und cosa die Werthe der letzteren, und hat dann noch (1) zu benutzen. Oder man berechnet zuerst sec a —y\-\-tang 2 a, hieraus cosa, dann aus (2) sina mittelst sina cosa ■ tanga, u. s. w. Einfacher noch gestaltet sich das Verfahren, wenn man a als Winkel eines rechtwinkeligen Dreiecks annimmt, dessen Seiten man einzeln ausdrückt. Nimmt man z. B. der Kürze halber die dem Nenner der gegebenen Function entsprechende Seite gleich 1 an, setzt also die dem Zähler entsprechende gleich der Function und berechnet dann die dritte Seite mittelst des pythagoreischen Lehrsatzes, so ergeben sich die gesuchten Functionen unmittelbar aus ihren obigen Erklärungen. Es sei z. B. = gegeben, so setze man die Hypotenuse des betreffenden recht- winkeligen Dreiecks gleich 13, also die dem Winkel a gegenüberliegende Kathete gleich 12. Aus dem pythagoreischen Lehrsatz folgt dann, dass die anliegende Kathete gleich j/l69—144 = 5 ist, und somit sind die übrigen Functionen von a, tang a — ^ , cota. = T 5 ^, seca — t.' 1 , tos sc a — II* Ist dagegen beispielsweise coty — 0,8 gegeben, so kann man die dem Winkel y gegenüberliegende Kathete gleich 10, die ihm anliegende also gleich 8 setzen und erhält dann für die Hypotenuse die Maasszahl Y 100 + 64 = 12,806 .... woraus sina = = 0,780 . . . u. s. w. folgt. 476 Trigonometrie. Sollen jedoch nicht die bestimmten Werthe der Functionen für einen einzelnen Fall berechnet, sondern die allgemeinen Formeln, etwa behufs Substitution der betreffenden Ausdrücke in eine Gleichung, ermittelt werden, so wende man das vorher angegebene Verfahren an. Von den durch dasselbe abzuleitenden Gleichungen mögen noch die folgenden für den etwaigen späteren Gebrauch angeführt werden: sin a= j/l — cos 2 a; tangn. = — = ^ 1 cos- a . ]/l — sin 2 a cos a tangn 1 1 cota sm a = . ■ ■ = = ■ -:— ; cos a = - _ . = .. -= y 1 + lang 2 a y 1 + cot 2 a yl -f- taoig 2 a y\ + cot 2 a Dass sich jede Function eines Winkels durch jede andere Function desselben ausdrücken lasse, war übrigens von vorn herein zu erwarten, da durch jede einzelne Function der Winkel selbst, und durch diesen auch die anderen Functionen bestimmt sein müssen. 3. Eine andere naheliegende Beziehung zwischen den trigonometrischen Functionen ergiebt sich daraus, dass für den zweiten spitzen Winkel ß desselben rechtwinkeligen Dreiecks den obigen Erklärungen zufolge K«ß = -^, also sin ß = cosa, und entsprechend cos$ = sinn, tang§ = cotu, u. s. w. ist. Da ß zu dem Winkel a Complementwinkel ist (ihn zu 90° ergänzt), so erklärt sich hieraus die Benennung cosinus als Abkürzung von complementi sinus, und ähnlich die Namen der übrigen sog. »Cofunctionen«. B § 3. Erweiterter Begriff des Sinus und Cosinus. 1. Die vorstehend erörterte Methode der Bestimmung eines Winkels durch Linien-Verhältnisse bezog sich ihrer Natur nach nur auf spitze Winkel und ist daher für einen allgemeineren Gebrauch zu eng. Indem wir nun dazu übergehen, diesen Mangel zu beseitigen, wollen wir uns zunächst um den Scheitel des zu bestimmenden Winkels einen Kreis beschrieben denken, dessen Radius wir der Einfachheit halber gleich 1 setzen. Wir denken uns ferner diesen Kreis durch zwei zu einander senkrechte Durchmesser in vier Quadranten getheilt und den zu bestimmenden Centriwinkel B CA = a durch Drehung des Schenkels CA nach einer bestimmten Seite des anderen Schenkels CB entstanden. Der Radius CB sei zugleich der Anfangs-Radius für die vorher angegebene Theilung des Kreises in vier Quadranten. Indem CB als festliegend, CA als beweglich gedacht wird, kann der Winkel a als stetig alle möglichen Werthe von 0° bis 360° durchlaufend, ja durch weitere Drehung noch über vier Rechte hinaus wachsend gedacht werden. Der Durchmesser BB', welcher den festen Schenkel CB enthält, möge der erste, der zu ihm senkrechte DD' der zweite Durchmesser genannt werden. Fällt man vom Endpunkt A des beweglichen Schenkels die Senkrechte A F auf den ersten Durchmesser, so ist durch den Winkel a die Länge dieser proji- cirenden Linie AD, sowie die der Projection CA des beweglichen Radius bestimmt. Die Maasszahl von AB heisse nun in allen Fällen der Sinus, die Maasszahl von CD der Cosinus des Winkels a. Diese Erklärungen sind für spitze Winkel mit den entsprechenden früheren durchaus identisch, denn da der Radius A C gleich der Einheit gesetzt ist, so ist die Maasszahl von AD oder CD nichts anderes als (M. 117.) I. Die Bestimmung der Winkel. 477 der Werth des Verhältnisses dieser Linie zu AC, also für einen spitzen Winkel a zur Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks AFC. Die neueren Erklärungen lassen sich aber auch unmittelbar auf jeden beliebigen nicht spitzen Winkel anwenden und bieten ausserdem den Vortheil einer anschaulichen Darstellung der Grösse des Sinus oder Cosinus durch die Länge der zugehörigen Sinus - linie AF oder der Cosinuslinie CF. 2. Um die vorstehenden Erklärungen für die einzelnen Fälle näher zu entwickeln, denken wir uns den Schenkel CA von der Lage CB aus durch Drehung um C continuirlich alle möglichen Lagen durchlaufend, und in jeder Lage die zugehörige Sinuslinie construirt. Es ergiebt sich dann ohne Weiteres: Der Sinus des Nullwinkels ist gleich Null. Innerhalb des ersten Quadranten, also für spitze Winkel, wächst der Sinus mit dem wachsenden Winkel, jedoch nicht in gleichem Verhältniss wie dieser; bei gleichmässiger Zunahme des Winkels wächst der Sinus am raschesten in der Nähe des Nullwinkels, am langsamsten in der Nähe des Rechten. Dabei bleibt die Sinuslinie stets kleiner als der Radius, und erst für a = 90° fällt dieselbe mit DC zusammen; es ist also sin 90° = 1 Tritt nun der bewegliche Schenkel in den zweiten Quadranten, wird also der Winkel stumpf, so nimmt der Sinus bei wachsendem Winkel wieder continuirlich ab, und zwar erhält er in umgekehrter Reihenfolge nach einander dieselben Werthe, wie im ersten Quadranten; für 180° wird er gleich Null. Tritt bei fortgesetzter Drehung der bewegliche Schenkel in den dritten Quadranten, so nimmt die Sinuslinie eine Lage A'F an, welche den bisherigen Lagen entgegengesetzt ist, und wir dürfen daher die obige Erklärung dahin ergänzen, dass der Sinus in diesem Falle als negativ gelten solle. Derselbe nimmt also noch unter Null ab, sein absoluter Werth wächst aber wieder in gleicher Weise wie im ersten Quadranten bis zu sin 270° = — 1. Tritt nun der bewegliche Schenkel in den vierten Quadranten, so bleibt der Sinus negativ, nimmt aber wieder zu, d. h. sein absoluter Werth nimmt ab, bis er für den Winkel von 360° wieder gleich Null wird. Aus dieser Untersuchung geht hervor, dass die Werthe der Sinus stets zwischen den Grenzwerthen + 1 und — 1 liegen, sowie dass die absoluten Werthe derselben in jedem Quadranten wiederkehren. Während also zu einem bestimmten Winkel stets auch ein bestimmter Sinus gehört, ist umgekehrt durch einen gegebenen Sinus der Winkel nicht unzweideutig bestimmt, vielmehr gehören zu jedem Sinus, wenn vom Vorzeichen abgesehen wird, vier Winkel, und zwar je einer in jedem Quadranten. Da aber auch die Vorzeichen zu berücksichtigen sind, so wird ein Winkel durch den Sinus zweideutig bestimmt; zu einem positiven Sinus gehört ein Winkel zwischen 0° und 90° und ein solcher zwischen 90° und 180°, zu einem negativen Sinus dagegen ein solcher zwischen 180° und 270°, sowie ein solcher zwischen 270° und 3C0°. Für die Grenzwerthe ± 1 der Sinus fallen die betreffenden beiden Winkel in einen zusammen. 3. In entsprechender Weise ergiebt sich für den Cosinus Folgendes: cos 0=1. Im ersten Quadranten nimmt der Cosinus bei wachsendem Winkel ab, anfangs langsamer, zuletzt rascher, und es ist 2 2 a unter Angabe der näheren Bestimmungen Uber die Vorzeichen definiren können. Ueberhaupt lässt sich jede einzelne Function an die Spitze der Erklärungen stellen und dann jede andere mit ihrer Hülfe durch die betreffende Formel definiren. Die Wahl jener ersten Function würde hierbei theoretisch der Willkür anheimgegeben sein, und hierin kann für dieses Verfahren ein Mangel an wissenschaftlicher Form oder doch an Eleganz gefunden werden. Man erhält nun leicht im Einzelnen, indem man z. B. ^ sin 0 0 . tang 0 = = j , fang (180° — a) = sin (180° — a) sin a cos (180 — a) — cos a u. s. w. ausführt und ausserdem beachtet, dass ein Quotient durch Zunehmen des Dividendus und ebenso durch Abnehmen des Divisors wächst und umgekehrt, die folgenden Resultate: tang 0 = 0. Mit wachsendem Winkel wächst im ersten Quadranten auch die Tangente; sie erhält nach einander alle möglichen reellen Werthe von 0 bis Unendlich; für 90° wird sie unendlich gross. Im zweiten Quadranten ist sie negativ; ihr absoluter Werth nimmt ab bis tang 180° = 0. Im dritten Quadranten ist sie wieder positiv und nimmt zu bis tang^Kf — oo. Im vierten Quadranten ist sie wieder negativ, und ihr absoluter Werth nimmt ab bis tätig 360° = 0. ^0=00. Mit wachsendem Winkel nimmt im ersten Quadranten die Cotangente ab bis cot 90° «= 0. Im zweiten Quadranten wird sie negativ, und ihr absoluter Werth nimmt zu bis cot 180° = <*>. Im dritten Quadranten verhält sie sich wie im ersten, im vierten wie im zweiten. Es ist ferner für Winkel über 90° tang (180° — a) = — tang a; cot (180° — a) = — cota tang (90° -+- a) = — cota', cot (90° + a) = — tanga 480 Trigonometrie. tang (180° + a) = tang a; cot (180° + a) = cota tang (270° — a) = cot a ; cot (270° — a) = tang-a tätig (270° -+- a) = — cot a; cot (270° + a) = — tanga. tang (360° — ■ a) = — tang a; cot (360° — a) = — cota. § 5. Secante und Cosecante. Auch die allgemeine Definition der Secante und die der Cosecante kann auf die früheren des Cosinus und des Sinus zuriickgeführt werden, indem man festsetzt, dass allgemein 1 1 sec a =-, coscc a — — cos a sm ot sein soll. Die Leichtigkeit, mit welcher sich durch diese Gleichungen die beiden genannten Functionen durch den Cosinus oder den Sinus ausdnicken und also auch in den Rechnungen ersetzen lassen, hat dahin geführt, dass dieselben in neuerer Zeit nur noch selten gebraucht werden. Wir erwähnen dieselben daher nur der Vollständigkeit halber und um ihre Bedeutung nicht unbekannt zu lassen für den Fall, dass sie in einer Rechnung vorgefunden werden, dürfen aber der Kürze halber darauf verzichten, die Untersuchung der Werthe dieser Functionen für die einzelnen Fälle auszuführen. Wir werden deshalb auch im Folgenden von denselben keinen Gebrauch machen. Will man der Gleiclimässigkeit wegen die allgemeine Definition der Secante und Cosecante gleichfalls an entsprechende, mit einem Kreise vom Radius 1 in Verbindung stehende Strecken knüpfen, so kann man die vorige Figur benutzen. In derselben ist CG die Secantenlinie, CH die Cosecantenlinie. Es könnte scheinen, als ob auch die Cotangente entbehrlich wäre, da auch sie nur der reciproke Werth einer vorhergehenden Function und daher leicht durch diese zu ersetzen ist. Der Grund für ihre Beibehaltung ist durch die Gleichung tang (90° — ot) = cot et gegeben. Näheres darüber findet sich bei der Erklärung der trigonometrischen Tabellen. Früher waren noch zwei weitere Functionen im Gebrauch; die eine derselben ist das Verliältniss der Linie BF zum Radius und führt den Namen Sinusversus (sirwersa). Es ist hiernach sinvers a = 1 — cos ot. Entsprechend ist für die andere dieser Functionen, den Cosinus versus, cosversa = l ■— sin ot. Diese beiden Functionen sind jedoch als völlig entbehrlich ganz ausser Gebrauch gekommen. § 6. Zusammmenstellung und Ergänzung des Vorigen. Um die Resultate der vorhergehenden Paragraphen zusammenzufassen, stellen wir aus den letzteren die folgenden Sätze auf: Durch einen gegebenen Winkel ist jede seiner Functionen bestimmt, dagegen wird umgekehrt durch eine gegebene Function eines Winkels niemals dieser letztere unzweideutig bestimmt. Vielmehr gehören zu jedem gegebenen Werth einer bestimmten Function — abgesehen von den zum Theil nur eindeutigen Grenzwerthen — stets„zwei verschiedene Winkel innerhalb der Grenzen 0 und 360°. Dieselben liegen stets in verschiedenen Quadranten. — In der Praxis werden jedoch selten Winkel über 180° gebraucht, denn bei den Berechnungen von Dreiecken, welche die Mehrzahl der Anwendungen bilden, sind überstumpfe Winkel überhaupt ausgeschlossen, und ausserdem lassen sich solche meist durch hohle ersetzen. Daher ist für die Praxis die Regel bemerkens- werth, dass — wenn man von den Secanten und Cosecanten absieht — innerhalb der Grenzen 0 und 180° der Sinus die einzige Function ist, welche den zugehörigen Winkel zweideutig bestimmt. Der Sinus ist innerhalb jener 1. £>ie Bestimmung der Winkel. 481 Grenzen nie negativ, und zu jedem Sinus gehört ein spitzer Winkel a und ein stumpfer, welcher gleich 180° — a ist. Dagegen ist bei den übrigen gebräuchlichen Functionen, wenn dieselben positive Werthe haben, der Winkel spitz; wenn sie negative Werthe haben, ist er stumpf. Will man dagegen die Resultate für Winkel aller Quadranten zusammenfassen, so beachte man, dass jede Function eines Winkels über 90° sich auf doppelte Weise auf eine solche eines spitzen Winkels zurückführen lässt. Ein Winkel des zweiten Quadranten kann gleich 90° -t- a oder gleich 180° — a, ein solcher des dritten gleich 180°+ a oder gleich 270° — a, u. s. w. gesetzt werden. Der Winkel wird also entweder auf den ersten Durchmesser, also auf 0, 180° oder 360°, oder auf den zweiten Durchmesser, also auf 90° oder 270° bezogen. Man merke sich nun die mnemonische Regel, dass im ersteren Fall dieselbe Function für den spitzen Winkel bleibt, während im zweiten Fall die entsprechende Cofunction zu setzen ist. Daneben ist das Vorzeichen der Function zu beachten, welches nach dem Vorstehenden das negative ist für den Sinus im dritten und vierten, für den Cosinus im zweiten und dritten, für die Tangente und Cotangente im zweiten und vierten Quadranten. Beispielsweise ist cos 60° = -J. Ist nun umgekehrt cosa = gegeben, so kann der Winkel a, wenn nur Winkel unter zwei Rechten in Betracht kommen, nur gleich 60°, andernfalls aber auch gleich 300° sein. Entsprechend gehören zu cos a = — J- die Winkel 180°—60° = 120° und 180° + 60° = 240°. In ähnlicher Weise folgt aus sin 30° = dass der Gleichung sind =-J durch den Werth a = 30° genügt werden kann; in diesem Fall existirt aber unter 180° noch ein zweiter solcher Werth für a, nämlich 180° — 30° =150°, während zu sina = — zwei überstumpfe Winkel gehören. Man kann auch noch die Beschränkung der Winkel auf solche, welche zwischen den Grenzen 0 und 360° liegen, aufheben, und somit die Erklärungen und Sätze der vorhergehenden Paragraphen noch mehr erweitern. Durch Fortsetzung der Drehung des beweglichen Schenkels, nachdem derselbe bereits eine volle Umdrehung gemacht hat, gelangt man zu Winkeln im weiteren Sinn, welche mehr als vier Rechte betragen. Man sieht Reicht ein, dass in diesem Fall für jede neue Umdrehung dieselben Functionswerthe, wie bei der ersten, in ganz gleicher Weise wiederkehren, so das also alle Winkel, welche um 360° oder um ein Vielfaches von 360° von einander differiren, in allen ihren Functionen völlig mit einander übereinstimmen. Man kann ferner die Drehung des beweglichen Schenkels des veränderlichen Winkels a in einer Weise geschehen lassen, welche der ursprünglich angenommenen entgegengesetzt ist. Durch eine solche Drehung in entgegengesetzter Richtung wird ein bereits vorhandener Winkel nicht vergrössert, sondern verkleinert, ein durch eine solche Drehung entstandener Winkel ist also als negativ zu betrachten. Ist z. B. der Winkel BCA = a, so ist der Winkel BCA' = — a zu setzen. Man sieht leicht ein, dass in jedem Fall ein solcher negativer Winkel — a dieselbe Lage der Schenkel hat, wie der Winkel 360° — a, und dass deshalb allgemein sin (— a) = — sin a , cos (— a) = cos a tang (— a) = — fang a, cot (— a) = — cot a ist. Man sieht jetzt auch leicht ein, dass man, wie vorher durch Addition eines Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I, (M. 220.) 482 Trigonometrie. beliebigen Vielfachen von 360° zu einem Winkel a, so auch durch Subtraction eines solchen Vielfachen von a stets zu einem Winkel kommt, welcher mit a in allen Functionen übereinstimmt. Hiernach erweitern sich die früheren Erklärungen dahin, dass zu jedem gegebenen Werth einer trigonometrischen Function unendlich viele Winkel gehören. Ist z. B. bekannt, dass sin 30° = ^ sei, so kann daraus gefolgert werden, dass, wenn jäa = j gegeben sei, nicht nur a= 30° oder gleich 180° — 30° =150°, sondern, dass auch jeder Winkel aus der Reihe 360° -+- 30° = 390°, 360°+ 150°= 510°, 2 ■ 360° + 30° = 750° u, s. w., sowie jeder aus der Reihe 30° — 360° = — 330°, 150°-— 360°, 30° — 2 • 360° u. s. w. ebenfalls ein Werth von a sein könne. Entsprechendes gilt für alle übrigen trigonometrischen Functionen und lässt sich für jede derselben im Einzelnen leicht aus den früheren Bestimmungen entwickeln. Da jedoch Winkel unter 0 und über 360° nur ausnahmsweise gebraucht werden, und dann leicht auf solche, welche zwischen diesen Grenzen liegen, zurückgeführt werden können, so beschränken wir uns hier. auf die vorstehenden Andeutungen und setzen im Folgenden, wenn nicht das Gegentheil ausdrücklich gesagt wird, immer nur solche Winkel im engeren Sinne voraus. Eine andere Ergänzung der im Vorigen gegebenen Entwicklungen liefert der Satz, dass die für Functionen von 180° — a, 180° -t- a u. dgl. gefundenen Formeln ganz allgemein gelten, auch wenn a kein spitzer Winkel ist. So ist z. B. wenn a' = 180° -+- a gesetzt wird, sin (180° — a') = sin [180° — (180° -+- a)] = sin (— a) — — sina und sina! = sin (180° -f- a) = — sina, also auch in diesem Fall sin (180°— a!) = sina'. In ähnlicher Weise kann man jeden anderen hierbei möglichen Fall behandeln. Der Kürze halber dürfen wir auch hier auf eine Ausführung eines allgemeinen Beweises verzichten. Die Zurückführung der Functionen aller Winkel über 90° auf solche von Winkeln des ersten Quadranten rechtfertigt die besondere Behandlung der spitzen Winkel im § 1, welche wissenschaftlich als überflüssig erscheinen kann, aber in der Praxis besonders geeignet ist, eine richtige Auffassung der Begriffe der trigonometrischen Functionen und Leichtigkeit der Anwendung derselben zu erzielen. § 7. Winkel und Bogen. Da zu jedem bestimmten Centriwinkel eines Kreises ein bestimmter Bogen des letzteren und umgekehrt gehört, so gehören auch zu jedem Bogen, insbesondere des Kreises mit dem Radius 1, bestimmte trigonometrische Functionen. Man pflegt die Functionen des Centriwinkels a daher auch als Functionen des zu demselben gehörigen Bogens zu bezeichnen. So ist z. B. sin 0,523598 . . = 0,5, denn 0,523598 . . ist die Maasszahl des zu einem Centriwinkel von 30° gehörigen Bogens. Da zu den Winkeln 0°, 90°, 180°, 270°, 360° bezw. die Bogenlängen 0, ^t., Tr, fr:, 2 Tr gehören, so ist nach dem Früheren für diese Bogen TT sin 0 = 0 ; sm -^ = 1J sin t . = 0 ; 3 sin = — 1 ; sin 2 n = 0 , und in ähnlicher Weise ergeben sich die entsprechenden Formeln für die übrigen Functionen. Allgemeiner ist, wenn n eine ganze Zahl (oder Null) bedeutet, sin 2 niz = sin ( 2 « + 1 ) n = 0 , dagegen cos 2 «ti = + 1 , cos (%n -+- 1) r. = — 1, u. s. w. Die Aufstellung der entsprechenden übrigen Formeln, einschliesslich solcher, wie 1. bie Bestiöimung der Winkel. 483 sin (2«Ti 4- x) = sinx, sin (2 niz — x) = — sinx u. s. w. kann je nach Bedarf dem Leser überlassen werden. Umgekehrt bezeichnet man durch arc sinx (d. i. arcus des Sinus x) oder auch durch arc sin (= x) denjenigen Bogen des Kreises mit dem Radius 1, dessen Sinus den Werth x hat, und entsprechend für die übrigen Functionen. So ist also z. B. arc cos (—1) = 2 niz, und wenn man unter dem arais insbesondere den kleinsten der unzählig vielen zu der gegebenen Function gehörigen Bogen versteht, arc cos (— 1) = 2rr. Da ferner ein Bogen auch in Gradmaass ausgedrückt werden kann, und dann seine Maasszahl mit derjenigen des zugehörigen Centriwinkels übereinstimmt, so findet man wol auch Bezeichnungen wie arc cos (—1)=180°, u. dgl. m. In Betreff der Verwandlung von Gradmaass in Bogenmaass und umgekehrt vergleiche man Planimetrie § 58, (1), (2) und (3). § 8. Functionen zusammengesetzter Winkel. 1. Um die Functionen von Summen oder Differenzen zweier Winkel durch Functionen dieser einzelnen Winkel auszudrücken, nehmen wir zunächst wieder an, dass letztere, sowie ihre Summe, spitz seien. Legt man unter dieser Voraussetzung die beiden Winkel a und ß so aneinander, dass ihre Summe entsteht, so kann man, um Functionen von a 4 - ß mittelst eines diesen Winkel enthaltenden rechtwinkeligen Dreiecks aus- drücken zu können, von einem beliebigen Punkte B des äusseren Schenkels von ß die Senkrechte BC auf-den äusseren Schenkel von a fällen. Zu möglichster Einfachheit der Entwicklung werde noch die Hypotenuse AB des Dreiecks ABC gleich 1 angenommen. Fällt man dann von B die Senkrechte BD auf den mittleren Schenkel und von D die Senkrechte DE auf A C, so erhält man auch für ß und a im Einzelnen rechtwinkelige Dreiecke. Zieht man endlich noch durch D die Parallele zu EC, welche BC in F schneide, so erhält man noch das rechtwinkelige Dreieck BFD, in welchem Z FBD = 90° — Z BDF, und da BDF = 90° — Z PDA, Z PDA aber als Wechselwinkel an parallelen Linien gleich a, auch Z FBD = a ist. Nun ist BC BC sm(a 4- ß) — -j-g — -y- = BC— DE 4 - BF\ DE — sin'j, also DE — sino. • AD, (M. 221.) AD AB AD 1 = cos$, also DE — sifia ‘ cösfy, und entsprechend BF— cosa • BD — cosa • sin$, also sin(a. 4 - ß) — sina • cos$ 4 - cosa. • sin§. (1) In ähnlicher Weise ergiebt sich cos (a 4- ß) = AC = AE — FD — cosa. • AD — sina • BD, oder cos{a 4 - ß) — cosa. • cos$ — sina • sin$. (2) 2. Will man entsprechende Entwicklungen für a — ß haben, so construire man durch Abtragung des kleineren Winkels ß von dem grösseren a den Winkel * — ß und construire ferner nach Anleitung der nebenstehenden Figur zu jedem 31* 484 Trigonometrie. dieser Winkel ein (M. 222.) rechtwinkeliges Dreieck. Es sei nämlich Z DAC = a, Z DAB — ß, also Z BAC = a — ß, BC senkrecht auf AC, BD senkrecht auf AD und DE senkrecht auf AC. Ferner sei der Kürze wegen AB=1 gemacht, und ausserdem sei BF parallel zu CE gezogen. Der Winkel BDF des recht- winkeligen Dreiecks BDF ist dann das Com« plement zu Z EDA, dieser letztere aber als Winkel des Dreiecks ADE complementär zu a, mithin muss Z BDF gleich a sein. Nun ist sin(a — ß) = B C = DE — DF= sina - AD — cos a • DB, oder da AD = AB • cos$ = cosfi und entsprechend DB = «Vzß ist, sin(a — ß) = sina ■ cos§ — cosa ■ sin§. (3) Ferner ist cos{a — ß) = AC = AE -p FB = cosa ■ AD - 1 - sina • DB, also cos(a — ß) — cosa --cosQ -P sina ■ sinfi. (4) Man beachte die Aehnlichkeiten der beiden vorstehenden Formeln mit den entsprechenden für a -p ß und die Unterschiede in Betreff der Rechnungszeichen. 3. Da die vier vorstehenden Formeln (1) bis (4) nur unter der Voraussetzung abgeleitet sind, dass a, ß und a ~p ß spitze Winkel seien, so erübrigt noch die Untersuchung der Frage, ob jene Formeln auch dann gültig bleiben, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist. Man kann für jeden dann möglichen Fall in ganz analoger Weise wie vorher die entsprechenden Figuren construiren und — unter der selbstverständlichen gehörigen Beachtung der Vorzeichen der Functionen — auch entsprechende Entwicklungen machen. Einfacher erscheint es, zum Beweise der allgemeinen Gültigkeit der obigen vier Gleichungen die Formeln des § 3 für die Functionen von Winkeln höherer Quadranten zu benutzen. Nur für den Fall, dass a -+- ß stumpf ist, während a und ß spitze Winkel sind, ist die Ableitung der Formeln für sin(a -+- ß) und cos(a -p ß) an der Figur zu wiederholen. Die Construction der letzteren und die Entwicklung der Formeln geschieht wörtlich ebenso, wie oben, nur dass cos (a -+- ß) == — A C zu schreiben ist. Ist dagegen z. B. a stumpf und ß spitz, so setze man a= 180° — < 4 , und man hat sin(a -P ß) = k»[( 180° — a i) + ß] = «»[180° — (a t — ß)] = «»(04 — ß), also, da i, und ß spitz sind, sin(a -+■ ß) = sina x cosfi — cosa t • «'»ß. Setzt man hier wieder sina x — sina und cosa x = — cosa, so erhält man sin{a - 1 - ß) = sina cosfy -P cosa sin§, wie oben. In derselben Weise erhält man auch die drei übrigen Formeln wieder. Da die sämmtlichen verschiedenen Fälle, welche hierbei im Einzelnen möglich sind, nach der Anleitung des vorstehenden Beispiels ohne Schwierigkeit behandelt werden können, und bei der fortwährenden Wiederholung derselben Gedanken nichts Neues darbieten, so darf die Ausführung des Beweises der allgemeinen Gültigkeit der obigen vier Formeln dem Leser überlassen bleiben. Auch für den Fall, dass einer der beiden Winkel, oder dass beide negativ weiden, oder auch einen Rechten, ein Vielfaches von 90° oder mehr als 360° betragen, erweisen sich diese Formeln als gültig. Es würde hinreichen, diesen ganz allgemeinen Nachweis der Gültigkeit zunächst für eine einzige derselben, z. B. für sin(a -p ß), zu führen, da man dann alle übrigen aus dieser einen mittelst früherer, allgemein gültiger Formeln ableiten kann. So ergiebt sich — i. Die Bestimmung der Winkel. 485 jenen Beweis der allgemeinen Gültigkeit vorausgesetzt — aus der Gleichung für sin(a 4 ß) die für sin(a. — ß), indem man in jener —ß statt ß einsetzt, und die für cosia. 4 ß) mittelst der Formel «>i 3 (a + ß) + cw 3 (a + ß) = l; endlich folgt die für cos(a — ß), indem man wieder in der eben für «v(a4ß) abgeleiteten ß negativ werden lässt. 4 . Aus den vorstehend entwickelten Formeln ergiebt sich nun weiter mit allgemeiner Gültigkeit sin (a 4 ß) tang (a 4 ß) cos (a 4 ß) sin a cos ß -+- cos a sin ß cos a cos ß — sin a sin ß ’ Dividirt man hier, um die Tangente der Summe auch durch die Tangenten der einzelnen Winkel auszudrücken, sowol den Zähler als den Nenner des letzten Bruches durch cos a ■ cosfi, so erhält man sin a cos ß cos a sin ß cosa cos ß cos a cosß cos a cos ß sin a sin ß ’ cos acos$ cos a cos $ und hieraus durch einige leichte Umformungen tanga. 4 - tang$ tätig (o. 4 ß) tanga. ■ tang$ (P) Durch ein ganz entsprechendes Verfahren ergiebt sich ' fancrn - tfj.ti.fr & 1 + tanga. ■ tätigt cos(a. ± ß) >t(a. ± ß) sinia ± ß) wenn man den Zähler und v 1 ' sin (a ± ß) den Nenner nach Entwicklung derselben durch sina-sin ß dividirt, cot a • cot§ — 1 cot(a 4- ß) cot$ 4- cota cota ■ cot§ 4 - 1 cot{a —■ ß) cot$ — cota 5 . Die Formeln ( 1 ) bis (8) lassen sich leicht auf die Functionen von Winkeln anwenden, welche aus mehr als zwei Gliedern zusammengesetzt sind. Um z. B. sin(a 4 ß ■— 7) zu entwickeln, kann man « 4 - ß — 7 in Form eines Binoms (a 4 -ß) —7 oder auch a 4- (ß — 7) u. dgl. m. darstellen und demnach zunächst etwa sin [(a 4 - ß) — 7] = sinia. 4 - fi)cos^ — cos (a 4- ß)«’«7 setzen. Hieraus folgt dann durch weitere Entwicklung ([sina cos$ 4 cosa sinfi) cos 7 — (cosa cosß — sinn «Vzß) sini = sin a cos ß cos 7 4 cos a sin ß cos 7 — cos a cos ß sin 7 4 sin a. sin ß sin 7. § 9 . Fortsetzung: Functionen von 2 a, \a. Summen und Differenzen von Functionen. 1 . Eine andere Anwendung jener Formeln erhält man, wenn man ß gleich a annimmt. Aus ( 1 ) folgt in diesem Fall sin'ia = sina ■ cos a 4 cos a • sina, d. i. sinüa = 2«’»a cos. (1) Ebenso folgen aus § 8, ( 2 ), ( 5 ) und ( 7 ) leicht die Formeln cos^a = Qcos 2 a — sin^a. (2) '■ 2 , tanga tang 2 a tang 3 486 Trigonometrie. cot 2 a 2cota Die Formeln des § 8 für a — ß führen durch Gleichsetzung der beiden Winkel auf diejenigen für die Functionen von 0 zurück. Setzt man in entsprechender Weise in den für die Functionen von a -+- ß + y abzuleitenden Gleichungen die drei Winkel einander gleich, oder auch zerlegt man 3 a zunächst in 2 a -H a, so ergeben sich die Gleichungen sin3a = osina cos 2 a — sin 3 a = 3 sina — isin 3 a cos3 a = cos 3 a — 3sin 2 a cosa = 4:Cos 3 a — 3cosa tang 3 3 tang a tang 3 a 1 — 3 tang 2 a cot 3 a — 3 cota und in ähnlicher Weise mittelst 4a=3a + a oder 2 • 2a, ferner 5a = 4a-l-a oder 3 a -H 2 a u. s. w. sin 4a = 4: sina cos 3 a — 4rzVz 3 a cosa cos4a = cos 4 a — 6sin 2 a b stu a _ folgt aber-> b, also sinn. > b • cosn, also sinn > bl/l — sin 2 a. cos n ' Da ferner sinn < b, so ist um so mehr sina> b~\/l — b 2 . Der Radicand 1 — b 2 ist stets ein echter Bruch, mithin ist -j/1 — b 2 > 1 — b 2 , also um so mehr sinn > b • (1 — b 2 ) oder sinn > b ■ — b 3 , daher b — sinn < b 3 , d. h. der Unterschied zwischen einem Sinus und seinem Bogen ist stets kleiner als die dritte Potenz des Bogens. Ist nun b so klein, dass b 3 innerhalb der für den Grad von Genauigkeit gesteckten Grenze gleich Null gesetzt werden kann, so darf der Sinus mit dem Bogen verwechselt werden. So erhält man z. B. für sinV, da hier b ■■ 1Z 1 — . — = 0,0002908882 . . . ist, b — sinn < (0,00029 .. .) 3 , also jedenfalls kleiner als eine Einheit der neunten Decimale, d. h. es ist sinV = 0,000290888 auf 9 Decimalen genau. Für einen Winkel von einer Secunde ergiebt sich auf diesem Wege der Sinus mit einer Genauigkeit von 15 Decimalstellen. 490 Trigonometrie. Hat man so die Functionen von 1' oder 1" gefunden, so kann man sich wieder der Formeln und a -f-ß bedienen, um nach und nach die aller Winkel von Minute zu Minute oder von Secunde zu Secunde zu berechnen. Da jedoch jene ersteren Functionenwerthe keine absolute Genauigkeit besitzen, so muss man sich stets vergewissern, dass der Fehler der aus ihnen berechneten nicht durch Häufung die erlaubte Grenze übersteige. Hierzu kann man sich der nach dem Vorhergehenden berechneten genauen Werthe der Functionen der Winkel von 3 zu 3 Grad und deren Hälften u. s. w. bedienen. 3. Die Ausführung des im Vorstehenden entwickelten Verfahrens ist überaus umständlich und zeitraubend. Die höhere Mathematik giebt erheblich bequemere Mittel an die Hand, um die Werthe der trigonometrischen Functionen berechnen zu können. Da jedoch diese Mittel der Natur der Sache nach erst in einem späteren Theile erörtert werden können, so soll das Vorstehende dazu dienen, an dieser Stelle wenigstens die Möglichkeit jener Berechnung zu zeigen. Da ferner die letztere bereits mehrfach für alle vorkommenden Winkel ausgeführt worden ist, und die Resultate in zahlreich herausgegebenen Tabellen niedergelegt sind, so wird durch letztere für die gewöhnlichen praktischen Zwecke die Berechnung trigonometrischer Functionen überhaupt überflüssig, indem man dieselben einfach in jenen Tafeln aufschlagen kann. § 11. Gebrauch der Tafeln. Solche trigonometrische Tafeln sind den in der Arithmetik angegebenen Logarithmentafeln beigefügt. Sie enthalten, da die trigonometrischen Rechnungen meist mittelst Logarithmen ausgeführt werden, in der Regel statt der Functionen die Briggischen Logarithmen derselben. Man ist also nicht genöthigt, zu einer in der trigonometrischen Tabelle aufgeschlagenen Function auch noch zum Be- hufe der Verwendung in der logarithmischen Rechnung den Logarithmus aufzuschlagen. Wird dagegen der Werth der Function selbst verlangt, so ist es selbstverständlich nöthig, zu dem aufgeschlagenen Logarithmus mittelst der Tafel der Logarithmen der Zahlen den Numerus zu suchen, falls nicht für diesen seltener vorkommenden Fall eine besondere Tabelle jener Functionen-Werthe vorhanden ist. Die besondere Einrichtung der trigonometrischen Tafeln ist nicht überall die gleiche, und es muss deshalb hier in Betreff derselben und des Gebrauchs auf die den einzelnen Tabellen-Werken beigegebenen Erläuterungen verwiesen werden. Wir setzen daher im Folgenden voraus, dass der Leser sich in den Stand gesetzt habe, mit Hülfe seiner Tafeln sowol zu jedem gegebenen Winkel die Logarithmen seiner Functionen, als auch umgekehrt zu jeder Function die zugehörigen Winkel rasch und sicher zu ermitteln und wollen im Folgenden nur zur Erleichterung allseitiger Uebung einige Beispiele ausführen. 1. Es sei in fünfstelligen Tafeln log sin 118° 22' 17" aufzuschlagen. Man findet denselben gemäss der Formeln sin (180°— a) — sina und sin (90° -+- a) = cosv. indem man entweder den Sinus von 61° 37'43” oder den Cosinus von 28° 22' 17" sucht. Wählen wir das Letztere, so finden wir in der Tafel log cos 28° 22' = 9,94445 und haben von der daselbst angegebenen Differenz 7 zwischen diesem und dem nächstfolgenden Logarithmus den 60. Theil 17 mal zu nehmen. Dies giebt (im Kopfe zu berechnen) 7-^- = 7- -^-l-^ ir = |- + -/g-, wofür weil nur Ganze in Betracht kommen, ohne Weiteres 2 zu setzen ist. Dieses Proportional" 2. Berechnung und Gebrauch der trigonometrischen Tafeln. 491 theilchen ist von der obigen Zahl abzuziehen, da der nächstfolgende log cos 28° 23' kleiner ist als der aufgeschlagene obige, und man erhält log sin 118° 22' 17" = 9,94443, wobei, wie immer in solchem Fall die in Gedanken zu behaltende negative Charakteristik — 10 zu beachten bleibt. 2. Da eine einzelne Secunde bei fünfstelligen Tafeln oft keinen Einfluss auf die letzte Decimale der aufzuschlagenden Zahl ausübt, mithin also in Beispielen, wie das vorstehende, der Winkel genauer angegeben ist, als der aufgefundenen Function entspricht, so giebt man auch häufig bei dem Gebrauch fünfstelliger Logarithmen statt der Secunden des Winkels nur Zehntel-Minuten an. Ist beispielsweise log lang 64° 15', 8 verlangt, so hat man zu dem in den Tafeln aufgeschlagenen log tätig 64° 15 = 10,31664 das Achtfache eines Zehntels der Differenz 33, also 3, 3 • 8 = 26 zu addiren. Geht man dagegen von dem näheren Winkel 64° 16' aus, so hat man von log fang 64° 16' = 10,31697 zwei Zehntel der Differenz 33, also 7 zu subtrahiren. In beiden Fällen erhält man log tang 64° 15', 8 = 10,31690. 3. Es sei log cos(f 3 zu suchen. Die Tafeln ergeben für 0°46' und für 0° 47' die gleiche Zahl, mithin muss dieselbe auch für den zwischen diesen beiden liegenden Winkel gelten, oder es ist der gesuchte Logarithmus 9,99996. Ist dagegen log sin 0° 46', 3 gesucht, so kann dasProportionaltheilchen für die dreiZehntel- Minuten behufs Addition zu log sin 0° 46' = 8,12647 nicht mittelst der betreffenden Differenz 934 gefunden werden, weil an dieser Stelle der Tafel die Differenzen der aufeinanderfolgenden Logarithmen ganz verschieden sind. Man kann sich in diesem Falle des Satzes bedienen, dass bei fünfstelligen Tafeln bis zu 8° 32',5, 1 2 log sinx = logx-\ —r log cosx ; log tangx = logx—-^log cosx ist. Im vorliegen- U ö den Beispiel ist der Bogen x=0°46', 3 • ^ = 46,3 • 0,0002909, also logx loO = 1,66558 -+- 6,46373 — 10, = 8,12931 — 10, log cosx = 9,99996 — 10; log cosx = 9,99999 — 10 also log sin 0° 46' = 8,12931 T- 9,99999 = 8,12930. 4. Es sei log coia — 10,42026 gegeben und a gesucht. Der nächstliegende Logarithmus der Tafel ist log cot 20° 48' = 10,42037, der gegebene liegt zwischen ihm und log cot 20° 49’. Es ist daher für die Berechnung der zu 20° 48' zu ad- direnden Secunden die Differenz 11 des Tafel-Logarithmus und des gegebenen durch den sechzigsten Theil der Tafel-Differenz 38 zu dividiren. Nun ist 11 : = 11 - -f= 11 -2 — f-g- =22 — 5 =17 zu setzen, also der gesuchte Winkel gleich 20° 48'17" oder — wenn überstumpfe Winkel möglich sind — gleich 180°+ 20° 48' 17" = 200° 48' 17". Sollen dagegen Zehntel-Minuten berechnet werden, so hat man 11 : -fSI = 11 : 3,8 = 3, also den gesuchten Winkel gleich 20° 48', 3 oder 200° 48',3 zu setzen. 5. Soll zu log sinn. = 9,99995 der "Winkel gefunden werden, so zeigen die Tafeln, dass alle Winkel zwischen 89° 6' und 89° 10' in den ersten fünf Decimalen übereinstimmend denselben Logarithmus des Sinus haben. Der Winkel kann also mit fünfstelligen Tafeln nicht mit grösserer Schärfe gefunden werden. Ausser den obigen Winkeln sind auch noch die von 90° 54' bis 90° 50' abwärts für das 492 Trigonometrie. Resultat anzugeben, da «'«(180°'— a) = sma ist. — Dieses Beispiel führt auf die praktische Regel: Für Winkel, welche nahe an 90 sind, vermeide man wo möglich die Bestimmung durch ihre Sinus, für solche, welche nahe an 0° sind, die Bestimmung durch ihre Cosinus. 6. Um zu log cosa = 8,21004,, den Winkel zu bestimmen, bedarf man trotz der grossen Verschiedenheiten der Differenzen an der betreffenden Stelle der Tafel keiner besonderen Interpolationsregel. Man erhält mit der Tafel-Differenz 782 auf dem gewöhnlichen Wege den Winkel 89° 4',24 oder 89° 4' 14",2 mit der erforderlichen Genauigkeit. Im vorliegenden Falle muss dann noch wegen des dem gegebenen Logarithmus angehängten n der entsprechende Winkel des zweiten oder dritten Quadranten genommen werden. Kommen nur concave Winkel in Betracht, so hat man also a = 90° 55', 8. 7. Soll zu log tango. — 9,65890 der log cosa aufgeschlagen werden, so ist es nicht nöthig, auch den Winkel a mittelst Interpolation zu berechnen, sondern man kann direkt von der Tangente auf den Cosinus interpoliren. Man hat log tang 24° 30' = 9,65870 mit der Differenz 34 und log cos 24° 30' = 9,95902 mit .20-5 der Differenz 5. Es ist daher vom letzteren Logarithmus ——= 3 zu subtra- hiren, und man hat log cosa = 9,95899. II. Abschnitt. Ebene Trigonometrie. Kapitel 3. Das rechtwinkelige Dreieck. § 12. Berechnung rechtwinkeliger Dreiecke. Ist von einem Dreieck bekannt, dass es einen rechten Winkel habe, so bedarf man nur noch zweier Stücke desselben, um es zu bestimmen und somit die Möglichkeit zu haben, die übrigen Stücke zu berechnen. Zu diesem Zweck wähle man unter den Gleichungen — = cosa, c ’ = tang a, — = cota, welche die Definitionen der gebräuchlichen trigonometrischen Functionen enthalten, sowie den planimetrischen Gleichungen a 2 + ^2 ==( -2 ; a + ß = 90° jedesmal eine solche aus, welche die beiden gegebenen und das im einzelnen Fall gesuchte Stück enthält, löse "sie, wenn nöthig, auf das letztere als Unbekannte auf, setze dann die etwa gegebenen bestimmten Zahlenwerthe der ersteren ein und berechne den betreffenden Ausdruck numerisch. Die einzelnen Fälle, welche hierbei Vorkommen können, sind folgende: a) Gegeben seien die beiden Katheten a, b. Man findet c — |/« 3 -+- b 2 , tanga = j-, ß = 90° — «. Da häufig auch der Flächeninhalt F des gesuchten Dreiecks verlangt wird, so fügen wir diesen Gleichungen noch die aus der Planimetrie bekannte 3. Das rechtwinklige Dreieck. 493 F=\ab hinzu. Für die numerische Berechnung ist noch zu bemerken, dass die Formel für c, wenn a und b nicht hinreichend einfache Werthe haben, um die Berechnung ihrer Quadrate bequem ohne Logarithmen ausführen zu können, eine Unterbrechung der logarithmischen Rechnung nöthig macht. Man hat nämlich zu den Logarithmen von a 2 und b 2 die Numeri aufzuschlagen um die Addition vornehmen zu können, und dann zur Summe wieder den Logarithmus zu suchen. Da auf diese Weise die Anzahl der nöthigen Aufschlagungen in der Tafel und damit der meist unbequemste und zeitraubendste Theil der Arbeit, welcher zugleich zu einer Häufung der Ungenauigkeiten Anlass geben kann, ziemlich gross wird, so empfiehlt es sich in solchen Fällen zuerst die Winkel zu berechnen und dann einen derselben zur Bestimmung von c zu benutzen. So erhält man, nachdem a berechnet ist, aus der Gleichung ^=smz durch Auflösen auf c und findet durch Benutzung dieser Formel die Anzahl der nothwendigen Aufschlagungen verringert. Bei numerischen Beispielen ist hier, wie in allen ähnlichen Fällen, eine bestimmte Ordnung bei dem Hinschreiben der Zahlen dringend zu empfehlen, wobei namentlich auch das wiederholte Schreiben einer und derselben Zahl als unnütz und zeitraubend vermieden wird. So wird man in dem vorstehenden Fall beachten, dass loga zweimal gebraucht wird, und dass log sin a, unmittelbar nachdem a zu logtg a aufgeschlagen worden, aus der noch nicht von der Hand verlassenen Tafel auf derselben Seite und Zeile, wie jener, aufgeschlagen Werden kann. Schreibt man etwa in eine Vertical-Colonne unter einander alle gebrauchten Logarithmen, in eine andere die Resultate, und hat man sich gewöhnt auch solche Logarithmen zu addiren und subtrahiren, welche nicht unmittelbar unter einander geschrieben sind, so kann die Ausrechnung eines Zahlenbeispiels zum obigen F'all etwa in folgender einfachen Weise geschrieben werden: a = 4,1259; b = 0,9687. 0,61552 9,98619- log lang a — 10,62933 log a = log b — 10 log sin a = log c — log (ab) = log 2 = log F = 9,98835 0,62717 0,60171 0,30103 0,30068. a = 76° 47' 14" ß = 13°12'46" c = 4,2381 F= 1,9984. Der leicht im Gedächtniss zu behaltende log 2 wird von geübteren Rechnern uicht hingeschrieben, sondern im Kopfe von log (ab) subtrahirt werden; auch können die Bezeichnungen -vor den Logarithmen, als aus der Ordnung der Rechnungen von selbst ersichtlich, weggelassen werden, so dass das vorstehende Schema sich noch mehr vereinfacht. b. Gegeben seien die Hypotenuse c und eine Kathete a. Auflösung: sin a = — , ß = 90° — a ; b = Yc 2 — a 2. Bei numerischen Beispielen kann man b = Y(o — a)(c-\-a) setzen, wobei die 494 Trigonometrie. Faktoren des Radikanden vor der Anwendung der Logarithmen berechnet werden, die logarithmische Rechnung also keine Unterbrechung erleidet. — Da a durch den Sinus bestimmt ist, so kann ein Mangel an Genauigkeit bei der Berechnung dieses Winkels eintreten, da die Tafeln für Winkel, welche nahe an 90° sind, die letzteren durch die Sinus nicht scharf bestimmen lassen. In diesem Falle kann a 1 — rwB c — a . man cos ß == — benutzen und hieraus --=- ableiten, so dass man 1 c l + «p f + fl tang iß ■n c — a und hierdurch den Winkel ß stets scharf bestimmt erhält. Da hierbei für ß dieselben Logarithmen wie zur Berechnung von b gebraucht werden, so empfiehlt sich dieses Verfahren auch dann, wenn a nicht nahe an 90° ist. Weniger bequem ist es, die Ungenauigkeit für a dadurch zu umgehen, dass man zuerst b und dann mittelst dessen Hülfe tang a = a : b berechnet. Beispiel: £ = 23,471; fl =15,961. c — a= 7,510 c -+- a = 39,432 logic — «) = 0,87564 log(c-ha) = 1,59585 / ogb- — 2,47149 logb = 1,23575 b = 17,209 loga = 1,20306 löge = 1,37053 log sina = 9,83253 a=42°50',8 ß =47°9',2 oder log tang 3 ^ = 9,27979 log tang 4ß = 9,63990 ,]-ß = 23°34',6 ' ß = 47 0 9',2 a = 42°50',8 c) Gegeben seien die Hypotenuse c und ein Winkel a. Auflösung: ß = 90° — a; « = c. sin a; b = c • cos a. Beispiel: c — 146,92, a = 47°44/8. log c — 2,16708 a = 108,75 log sin a = 9,86934 b = 98,79 log cos a = 9,82764 ß = 42°15,'2 log a = 2,03642 logb= 1,99472 d) Gegeben seien eine Kathete a und der ihr gegenüberliegende Winkel «. Auflösung: ß = 90° — a\ c — a\sina\ b — a-cota. Beispiel: a — 0,31457, a = 88°59/9 log a = 9,49772 /10 o . Ausrechnung: log 2,86 = 0,45637 log 51,48 = 1,71164 log cot 10° = 10,75368 log F = 2,92169 F= 835,00 □ dm. Kapitel 4. Das allgemeine Dreieck. § 14. Die Fundamental-Formeln. 1. Im Folgenden soll das zu berechnende Dreieck stets durch A BC bezeichnet werden. Die an A, B , C liegenden Winkel seien bezüglich gleich a, ß, y, die ihnen gegenüberliegenden Seiten in gleicher Reihenfolge gleich a, b, c. Die Auflösung schiefwinkeliger Dreiecke gelingt immer mittelst zweckmässiger Zerlegung derselben durch je eine Höhe in zwei rechtwinkelige. Um aber nicht diese Zerlegung und die Ableitung der Formeln aus derselben in jedem einzelnen Falle auf’s Neue vornehmen zu müssen, sollen die zu jener Auflösung führenden Gleichungen auf dem angegebenen Wege ein- für allemal allgemein abgelei'et werden. Es sei zu diesem Zwecke die Höhe CD auf AB gefällt und CD = h, BD = p, AD = q gesetzt. Aus dem Dreieck BCD ergiebt sich dann h = a ■ sin 3, und aus dem Dreieck A CD, h — b ■ sina. Daher ist a • sin ß = b • sinv.. Durch Division beider Seiten dieser Gleichung mit b ■ sin§ (Verwandlung der Gleichung zwischen zwei Produkten in eine Proportion) erhält dieselbe die bequemere Form a : b = sina : «‘«ß. Da sich dieselbe Ableitung mit jeder der Höhen des Dreiecks ABC machen lässt, so ist auch a : c — sina : «»y und b : c — sinfi : sin-j. Diese drei Formeln, welche sich durch blosse Vertauschung der entsprechenden Buchstaben aus einander ergeben, können in die folgende a : b : c = sin a : sin ß : sin y. (1) zusammengefasst werden. Der in ihr ausgesprochene Lehrsatz, dass die Seiten eines Dreiecks sich zu C -A l ]) einander verhalten wie die Sinus der ihnen (M. 224.) gegenüberliegenden Winkel, wird der Sinussatz genannt. Man vergleiche Planimetrie § 16. Man erhält ferner mittelst der rechtwinkeligen Dreiecke BCD und ACD: (M. 223.) 4. Das allgemeine Dreieck. 497 ß 2 = P _|_pi ; p = JA — q 2 ; ^2 _ ^ also a i — p — qi + (r zp ^) 2 — ^ 2 — ^f 2 -f- z 2 qr 2 cq + £r 2 , oder « 2 — p ^2 qr 2 i = ß 2 -p c 2 — 2 ac • cosft (2 a ) c 2 = ß 2 -(- b- — 2 ab • i :os-(. ( 2 b ) Derselbe ist offenbar identisch mit dem Satze, welcher bereits in der Planimetrie § 44, (3) und § 48, (5) abgeleitet wurde. Wir bezeichnen deshalb denselben auch in seiner hier vorliegenden trigonometrischen Fassung mit dem dort angegebenen Namen des allgemeinen pythagoreischen Lehrsatzes. Die beiden vorstehenden Sätze gelten nicht bloss für schiefwinkelige, sondern auch für rechtwinkelige Dreiecke. Ist z. B. 7 = 90°, so geht der erstere über in a : b : c — sina : sinfi : 1 , d. i. in die bekannten Formeln a : c = sina, b : c = «»ß, a\ b = sina. : rmß, d. h. wegen ß = 90° — a, a : b = sina : cosa = tanga. Ebenso geht für 7 = 90 ° die dritte Form des zweiten Satzes wegen cos-( — Q über in c 2 = ß 2 -+- P, d. i. in den speciellen pythagoreischen Lehrsatz, und die beiden anderen Formen in Folge dessen in « 2 — b 2 -+- ß 2 -+- £ 2 — 2 bc cosa, d. i. 2b^ = 2bc cosa; b = c • cosa, und entsprechend a = c ■ cos$ = c ■ sina. Die beiden vorstehenden Lehrsätze haben also allgemeine Gültigkeit und dürfen daher auch auf rechtwinkelige Dreiecke angewendet werden, z. B. wenn es nicht im Voraus bekannt gewesen sein sollte, dass einer der Winkel eines aufzulösenden Dreiecks ein rechter war. 2. Ehe wir zur Anwendung der beiden Sätze (1) und (2) auf die Berechnung von Dreiecken übergehen, wollen wir diese Sätze selbst noch einer genaueren Betrachtung unterziehen. Der Sinussatz lässt sich auch in der Gestalt a b c sina sin$ sin~( schreiben. In dieser Form haben die drei Seiten desselben eine bemerkens- werthe geometrische Bedeutung: Sind nämlich in einem und demselben Kreise beliebige Sehnen a, b, c, . . . gezogen, und sind a, ß, 7 , . . . bezüglich zu diesen Sehnen gehörige Peripheriewinkel, so ist, wie bereits im § 13 gezeigt wurde, a = 2 z- • sina, b = 2r • «Vzß, c = 2r • «« 7 , wenn r den Radius des Kreises bedeutet. Daher ist 2 et b c sina sin$ sin 7 Da sich nun um jedes Dreieck ein Kreis beschreiben lässt, so ergiebt sich hieraus der Sinussatz in der obigen Form und zugleich die geometrische Deutung der drei Seiten desselben als des Durchmessers des dem Dreieck umbeschriebenen Kreises. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz, welcher in seiner obigen Schlosmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 93 49 » Trigonometri e. trigonometrischen Form von verschiedenen Schriftstellern noch verschiedene andere Namen (Projectionssatz, Cosinussatz) erhalten hat, gestattet ebenfalls Umformungen. So ist a 2 _ £2 -|- c 2 — 2 bc — 2 bc cosz = (b + c) 2 — 1bc{\ cosz), also wegen (1 + ma) = 2fff a 2 — (b -+- r) 2 — 4£r • r^r 2 | z. Ebenso erhält man, wenn man zuerst — 1b c und dann - 4-2 bc hinzufügt, a 2 — (b — c ) 2 4- 4 bc ■ sin 2 \z Aus diesen beiden Gleichungen leitet man, indem man die erste mit sin 2 die zweite mit cos 2 ^z multiplicirt und dann addirt, leicht die dritte ab: a 2 = [(b - 1- c)sin\ a] 2 -f- {{b — c)cos-}jz} 2 Die beiden in diesem § 14, No. 1. abgeleiteten Lehrsätze reichen hin, um die Berechnung eines Dreiecks in jedem einzelnen Falle zu ermöglichen, wie im Folgenden zunächst nachgewiesen werden soll. § 15. Erster Fall: Gegeben sei eine Seite a nebst zwei Winkeln. Da aus zwei Winkeln eines Dreiecks der dritte stets leicht durch Subtraction der Summe der ersteren von 180 Grad gefunden wird, so können alle drei Winkel a, [3, y als bekannt vorausgesetzt werden. Der Sinussatz liefert dann leicht durch Auflösen auf die Unbekannten b und c: b = a - sin§ a ■ siny sin z sm z Für die Ausführung numerischer Rechnungen schreibt man besser a a sm ß, sinz smo. smy, oder auch 2 a sin z .' b 2 rsin ß, c = Irsing. Diese Formen weisen darauf hin, dass —— oder 2 r für die beiden ge- sm z suchten Seiten nur einmal zu berechnen ist, und erleichtern überhaupt das Behalten der Gleichungen und das rasche und sichere Hinschreiben auch bei anderer Bezeichnung der gegebenen Stücke. Die logarithmische Rechnung kann somit nach folgendem Schema ausgeführt werden: a , z. B. a — 5,4238 0,73430 a log a t a = 33 o 17'20" 9,73946 p log sinn) ß = 75°39'14" 0,99484 y= 180 ü — (a+ß) log Ir 1 1 7 = 71° 3'26" 9,98624 log rmßl 9.97582 log siny -h b = 9,5738 0,98108 b log b c = 9,3468 0,97066 c löge § 16. Zweiter Fall: Gegeben seien zwei Seiten a, b und der eingeschlossene Winkel y. 1. Durch den allgemeinen pythagoreischen Lehrsatz findet man zunächst die dritte Seite c =j/ß 2 - 4 - b 2 —2 abcosy. (1) Mit Hülfe derselben lassen sich dann die fehlenden Winkel durch den Sinus- satz finden. Man hat zu diesem Zwecke: 4. Das allgemeine Dreieck. 499 2 r = —r—; sin ß = ; a ~ , sinn — —. smy ' 2 r 2 r Die Summe der drei Winkel liefert dann eine bequeme Probe der Richtigkeit der Rechnung. 2. Sollen dagegen — wie namentlich bei complicirteren Aufgaben behufs Substitution der Formel-Werthe in andere Gleichungen verlangt werden kann — die gesuchten Winkel unmittelbar durch die gegebenen Stücke ausgedrückt werden, so ist eine besondere Gleichung abzuleiten: Die im § 14 gebrauchten Figuren führen auf ± —, h — a q sin§, q = ± (c — p) = ± (c - also für spitze wie stumpfe Werthe von a übereinstimmend: • «’«ß ■ a cos ß), tangn — ( 2 ) c •— a ■ cosfi Diese Gleichung lässt sich für jeden der drei Winkel des Dreiecks in zwei Formen aufstellen; man hat nämlich ebenso a • siny tang$ tangy = b — a • cosy b • siny , und entsprechend b • sina - b cos 7 1 sinn c — b ■ cos a’ c • sin ß b — c cos n a —■ c • cos ß ’ Für den in diesen sechs Formen auftretenden Lehrsatz ist der Name separater Tangentensatz vorgeschlagen worden. Sind, wie oben angenommen, a , b und y gegeben, so liefert derselbe durch a sln~\ b sitif tangn ■■ , , tangü — . b — a cosf ö ‘ a — b cos 7 die beiden fehlenden Winkel, und man kann sich dann wieder der Winkelsumme zu einer Probe bedienen. Selbstverständlich kann man auch, nachdem einer der beiden Winkel gefunden ist, stets den dritten mittelst der Winkelsumme berechnen, womit natürlich auf die Benutzung der letzteren zur Probe verzichtet wird. Auch steht nichts im Wege, nach Berechnung des einen Winkels durch die separirte Tangentenformel den anderen mit Hülfe des ersteren durch den Sinussatz zu suchen, bezw. die Berechnung durch letzteren zur Probe zu benutzen. Endlich kann man auch, nachdem zuerst die Winkel bestimmt sind, c mit ihrer Hülfe durch den Sinussatz berechnen. 3. Die vorstehenden Formeln (1) und (2) gestatten jedoch bei numerischen Rechnungen keine ununterbrochene Anwendung der Logarithmen, und deshalb sollen für den Fall, dass dies in’s Gewicht fällt, im Folgenden noch andere Gleichungen abgeleitet werden, welche dann für die vorliegende Aufgabe bequemer sind. . Aus a : b : c — sinn : ««ß : sin~j folgt a — b sinn — sin ß _2 cos^ (n + ß) sin | (a — ß) c sin~{ 2sin£y ■ cos^y ’ oder wegen 1 ( a + ß) = 90° — 1/(, a — b _ sin — ß) c oos^y ’ 3 2 5oo Trigonometrie. Entsprechend ist a -+- b sinn. -+- sin$ ’isin^ (a + ß) cos^ (n — ß) c sin~{ 2sin^'(cos}fj ’ a H- b cos 4- (a — ß) c sin £7 Wir formen die so abgeleiteten Gleichungen durch Wegschaffung ihrer Nenner um und erhalten (a — b) ■ coslf( = c ■ sin\ (a — ß) (3) (a -t b) ■ sin I 7 = c • cos\ (a — ß). (4) Diese beiden Gleichungen werden die Moll weide’ sehe Doppelformel genannt. Durch Division derselben ergiebt sich der Tangentensatz: ” 7 “ \ ■ cot\i = tang\ (n — ß), (5) welcher sich, unter Berücksichtigung, dass cot-. J -7 = tang\ (n -+- ß) ist, auch in der für das gedächtnissmässige Behalten bequemeren Form « — l> = tang\ (a — ß) a -h b tang\ (a -+- ß) ^ ' schreiben lässt. Dieser Tangentensatz erleichtert auch das sichere Behalten der MoELWEiDE’schen Formeln. . . cos-kv Man zerlege zu diesem Zwecke nur in (5) wieder coi\^ in ^ und tang\ (a — p) in sin^ (a — ß) cos% (a — ß) - Sollen nun aus a, b und 7 die übrigen Stücke durch logarithmische Rechnung ermittelt werden, so sind die linken Seiten der Doppelformel (3) und (4) durch die gegebenen Grössen bekannt. Durch Division derselben erhält man tang\ (a — ß), und hieraus den Winkel (a — ß). Da nun auch 4 (a 4 - ß) = 90° — -^7 durch die Winkelsumme bekannt ist, so ergiebt die Addition und Subtraction dieser beiden Winkel die Werthe von n und ß. — Selbstverständlich kann dann die Winkelsumme nicht auch noch zur Probe dienen. Zu tang\ (a — ß) kann man ferner auch sin \(« — ß) und cos\a — ß bestimmen, und durch Division dieses Faktors in der betreffenden der Gleichungen (3), (4) erhält man beidemale c. Die logarithmische Berechnung aller drei gesuchten Grössen kann also nach folgendem Schema geschehen: a log («1 — *)1 log [a H- b) 1 , i> log cos \ -t- 7 J log sin 7 K 7 log A — log B = log t : = 99,54 9,89257 9,79568 13°40',1 7 : = 77° 19',3 1,57462 2,18868 51°20',3 48,09 9,37346 9,98753 65° 0',4 == a 247,17 2,20116 2,20115 37°40',2 = ß 38° 39’,65 c = 158,91 Ist die Berechnung der dritten Seite c nicht erforderlich, so berechnet man die beiden Winkel etwas kürzer, indem man unmittelbar die Tangentenformel (5) anwendet. 4• Das allgemeine Dreieck. Soi § 17. Dritter Fall: Gegeben seien zwei Seiten und einer der denselben gegenüberliegenden Winkel. Aus a, b und a findet man zunächst den anderen gegenüberliegenden Winkel mittelst des Sinussatzes: b ■ sina sm ß ==-, 1 a ’ darauf 7 durch die Winkelsumme und zuletzt c wieder mittelst des Sinussatzes: a . b c = —:— • sm 7 oder ~r~r ■ smy. sina ' smß a Für die numerische Berechnung beachte man wieder, dass ——= ‘Ir nur a sm a einmal zu berechnen ist, indem man dann sin$ — —, c = 2 rsin-{ hat. Die Rechnung gestattet ohne Weiteres eine ununterbrochene Anwendung der Logarithmen. Die Bestimmung des Winkels ß durch den Sinus führt auf eine Zweideutigkeit der Aufgabe, da es zweifelhaft bleibt, ob für ß der spitze oder * der stumpfe Winkel zu diesem Sinus zu wählen ist. Nur, wenn der gegebene Winkel a der grösseren der gegebenen Seiten gegenüberliegt, hier also wenn « > b ist, versteht es sich von selbst, dass der andere Winkel ß nicht stumpf sein kann, denn nur der grössten Seite eines Dreiecks kann ein stumpfer Winkel gegenüberliegen. Der angegebene Zweifel besteht also nur für den Fall, dass der gegebene Winkel der kleineren gegebenen Seite gegenüberliegt, und dann ist stets die Rechnung für beide möglichen Dreiecke neben einander durchzuführen, falls nicht etwa jener Zweifel von anderer Seite her gehoben wird. Letzteres kann in praktischen Fällen durch eine schon vorher gegebene Anschauung des zu berechnenden Dreiecks geschehen sein. Werden für a , b und a ganz willkürlich Zahlenwerthe angenommen, so kann in dem vorliegenden Falle die Auflösung ganz unmöglich werden. Dies tritt ein, wenn b • sina > a ist, also für sin$ ein Werth grösser als l, bezw. für logsin§ ein Werth grösser als 0 (10,00000) gefunden wird, zu welchem sich selbstverständlich auch aus den Tafeln kein Winkel ergiebt. Findet man b • sina — ß, so ist ß = 90°, das Dreieck also bestimmt, und die weitere Berechnung kann mit den einfacheren Formeln geschehen, welche für das rechtwinkelige Dreieck gelten. Ist bsinv. (4) so hat man die einfachen Gleichungen: P tang ^ a = - tang £ß = tang\ y = - (5) s — a' “ •“ s — b’ 0 21 s — c Die numerische Berechnung kann nunmehr nach Anleitung des folgenden Schemas und Beispiels geschehen: :! 2 s s s — a s — b •+ s — c log (s — «)) log tang % a a log (s — -b)\ + log tang ß log (s — ■c)\ log tang 7- log Z \ I a logs j Iß tag p 2 ll lag P 90° 2 s 504 Trigonometrie. 9,768 0,57217 9,83670 « = 68°56'49" 8,324 0,71416 9,69471 ß = 52°40'54'' 8,912 0,66181 9,74706 7 = 58°22'16" 27,004 1,94814 34°28 , 24"4 17 9°59'59 ” 13,502 1,13040 26°20'27''l 3,734 0,81774 29°11' 8"0 5,178 0,40887 89°59'59"5 4,590 27,004 Die Winkelsumme bietet hier eine Probe, welche jedoch, wie das vorstehende Beispiel zeigt, in Folge der Ungenauigkeiten der Rechnung mit abgekürzten Zahlen eine kleine Abweichung zeigen kann. Durch eine etwas genauere Inter- polation, welche bei den Logarithmen die sechste Decimale mit berücksichtigt, kann dieselbe ausgeglichen werden. § 19. Berechnung des Flächeninhalts. Die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks kann in jedem der vorstehenden einzelnen Fälle der Berechnung der übrigen Stücke angeschlossen werden, indem man sich der Gleichung F= \ab ■ sin.'{, ( 1 ) oder F=\cic sin$ = \bc sin«, bedient, welche aus dem planimetrischen Lehrsatz F—\ch hervorgeht, wenn man daselbst h = bsin« einsetzt. Es ist also der Flächeninhalt eines jeden Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus zwei beliebigen seiner Seiten und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Soll jedoch der Flächeninhalt unmittelbar aus den gegebenen Stücken gefunden werden, etwa weil die übrigen Stücke gar nicht verlangt sind, oder behufs Einsetzung des Formelwerthes von F in eine andere Gleichung, so ist der vorstehende Lehrsatz nur dann zu gebrauchen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind. In den übrigen Fällen kann man die erforderlichen F'ormeln durch Einsetzung der für die betreffenden nicht gegebenen Stücke gefundenen Ausdrücke in die obige Gleichung ableiten. So erhält man z. B. für a den ersten Fall, wenn a und die Winkel gegeben sind, mittelst b = —:— • ««3, 00 sm« 1 „ 1 a s sin$sin~{ F = — .- - - - 2 sin« Eine besonders bequeme direkte Formel erhält man für den Fall, in welchem die drei Seiten gegeben sind. Aus den früher (§ 18) abgeleiteten Formeln, welche sin\«. und cos\« durch a, b und c ausdrticken, folgt mit Hülfe von sin« = 2 • sin\« ■ cos\«, sm («• c){a- c) (a —f- b -+- c) (b + c — a) Abc Abc oder nach Einführung von a -+- b - 4 - c = 2 s und Ausführung der Multiplication, ün « = 2*j/ 2 r • 2 (s — a) ■ 2 (s — b) ■ 2 (s — c) bc 4 • 4 • ( bc ) 2 ]A • (s — a) (r — b) (s — c). d. i. Die Aufstellung der entsprechenden Formeln für die Sinus von ß und 7 kann dem Leser überlassen bleiben. Durch Substitution in F— \bc ■ sin« ergiebt sich nun F= 'jA (s — a)(s — b) (s — c). (2) 4. Das allgemeine Dreieck. S°S Die Formel ist, da sie keine trigonometrische Function mehr enthält, der Natur der Sache nach gar keine trigonometrische, sondern eine — hier nur mit Hülfe der Trigonometrie abgeleitete — rein geometrische. Dieselbe kann daher auch rein geometrisch abgeleitet werden. Vergl. Plan. § 48, (5). Die numerische Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks nach dieser Formel bedarf keiner Erläuterung. Sind die Winkel vorher nach der Anleitung in § 18 berechnet worden, so ergiebt sich ein leichter Anschluss an diese Rechnung. Man hat nur die schon vorhandenen Logarithmen von p und von s zu addiren, um den log F zu erhalten. So war in dem obigen Zahlenbeispiel log p = 0,40887 log s = 1,13040 also ist log F = 1,53927 F =34,615. III. Abschnitt. Sphärische Trigonometrie. V orbemerkung. Die sphärische Trigonometrie hat die Aufgabe zu lösen, aus drei gegebenen Bestimmungsstücken eines sphärischen Dreiecks die übrigen zu berechnen. Hierzu wird an dieser Stelle der Begriff des sphärischen Dreiecks nebst den in Stereometrie § 15 und § 19 behandelten Eigenschaften desselben als bekannt vorausgesetzt. AVir beschränken uns ferner im Folgenden auf die Auflösung solcher sphärischen Dreiecke, in denen jede Seite kleiner als ein Halbkreis ist. Dreiecke, welche diese Bedingung nicht erfüllen, können leicht durch Zerlegung in zwei oder mehrere auf solche zurückgeführt werden, bei welchen dies der Fall ist. Die Aufstellung dieser beschränkenden Bedingung ist übrigens nicht notbwendig, vielmehr könnte durch Beseitigung derselben den nachfolgenden Entwicklungen mit geringer Abänderung der Charakter völliger Allgemeinheit gewahrt werden, doch gewinnt im anderen Falle die Darstellung an Einfachheit und leichterer V erständlichkeit. AVir bezeichnen im Folgenden in entsprechender AVeise wie bei den ebenen Dreiecken ein sphärisches Dreieck stets durch ABC, die Maasszalilen seiner Seiten B C, AC, AB bezüglich durch a, b, c und die den Eckpunkten A, B, C anliegenden inneren AAhnkel der Reihe nach durch «, (3, y, endlich den Flächeninhalt des Dreiecks durch F. Die Maasszahlen der Seiten werden stets in Grad- roaass ausgedrückt, so dass der Radius der betreffenden Kugel ohne Einfluss auf dieselben ist und, wo es erforderlich erscheinen sollte, denselben in die Entwicklungen einzuführen, in der Regel der Einfachheit halber gleich 1 gesetzt Werden kann. Auch der Flächeninhalt F werde zunächst für den Radius 1 bestimmt gedacht und kann dann auch für jeden anderen Radius r, ebenso wie die Maasszahlen der Seiten in Längenmaass, wenn sie verlangt werden sollten, nach bekannten geometrischen Sätzen (Planimetrie § 58; Stereometrie § 19, (5) berechnet werden. 5°6 Trigonometrie. Kapitel 5. Rechtwinkelige sphärische Dreiecke. §20. Die Fundamental-Formeln. Es sei im sphärischen Dreieck ABC der Winkel 7 als rechter bekannt, und es seien die übrigen Stücke des Dreiecks zunächst sämmtlich kleiner als 90° vorausgesetzt. Ferner sei M der Mittelpunkt der Kugel, also MA = MB = MC — 1 angenommen und Z BMC = a, Z CMA = b, Z BMA = c. Fällt man nun die Gerade BD senkrecht auf MC, BE senkrecht auf MA und verbindet D mit E, so ist nach Stereom. § 2, (5) DE senkrecht auf MA und der Winkel BED daher der Neigungswinkel des Flächenwinkels an MA, also gleich dem Winkel a des sphärischen Dreiecks. Ferner ist nach Stereom. § 5 (3«) BD senkrecht zur Ebene MCA und also auch zu DE. Nun ist im rechtwinkeligen Dreieck MBD, MD — cos a, BD = sin a, im rechtwinkeligen Dreieck MBE ME — cos c, BE — sin c, (M. 225 .) und im rechtwinkeligen Dreieck MDE ME — MD cos b = cos a • cos b, DE = MD sin b — cos a • sin b. Die Vergleichung der beiden im Vorstehenden für ME gefundenen Ausdrücke liefert unmittelbar die Formel cos c = cos a • cos b (1) Setzt man in den durch das rechtwinkelige Dreieck BED gegebenen Gleichungen DE BD BE' a = BE ’ tang “ — DE die im Vorstehenden für die betreffenden Strecken gefundenen Werthe ein, so erhält man Sina -, ( 2 ) BD sm a = cos < sm a = cos a sin b ferner cos a =-:-. sin c eine leichte Umformung und wenn man hier aus (1) cosa-= - y emsetzt, durch w cos b cos a ■■ tang b tang c und tang a = cos a • sin F oder tang a tang a = —:— j~ ■ sin b ( 3 ) ( 4 ) Den Formeln (2) bis (4) entsprechend müssen für den Winkel ß des sphärischen Dreiecks die Gleichungen sin b tang a tang b sm ß = 77T> cos ß = TMCTs tan S ß = sm c tang c 5 . Rechtwmkelige sphärische Dreiecke. 5°7 bestehen. Durch Verbindung der ersten derselben mit der vorher abgeleiteten _ . cos a- sin b r ormel cos o, = -:- erhält man noch sm c cos a — cos a- sin ß, (5) und durch Verbindung der letzten mit (4) endlich tang a • tang ß =---=•, oder unter Anwendung von (1) ö * 1 cos a- cos b’ ° cos c = cot a ■ cot ß. ( 6 ) Die vorstehend entwickelten sechs Formeln enthalten, wie sogleich im Einzelnen gezeigt werden soll, die Lösung der Aufgabe, aus zwei neben dem rechten Winkel gegebenen Bestimmungsstücken eines rechtwinkeligen sphärischen Dreiecks die übrigen zu berechnen. Da dieselben aber nur unter der Voraussetzung abgeleitet sind, dass alle Stücke des Dreiecks ausser 7 kleiner als 90° seien, so muss vor jener Anwendung der Beweis geliefert werden, dass dieselben auch ohne diese Bedingung gültig bleiben. Für diesen Beweis ist nur nöthig, noch die beiden Fälle zu unterscheiden, dass eine einzelne der Katheten und dass beide Katheten grösser als 90° sind, denn nach Stereom. § 15 ist im ersteren Fall der der kleineren Kathete gegenüberliegende Winkel nothwendig spitz, der der grösseren gegenüberliegende stumpf und die Hypotenuse grösser als 90°, während im letzteren Fall nothwendig beide Winkel stumpfe sein müssen und die Hypotenuse kleiner als 90° sein muss. Man kann nun in beiden Fällen eine Figur in analoger Weise, wie vorhin geschehen, construiren und dann an ihr dieselben Formeln wie oben, ebenfalls in ganz entsprechender Weise ableiten. Es fällt dabei, wenn BC < 90°, AC > 90° ist, E auf die Verlängerung von AM, wenn BC > 90° und AC > 90° ist, D auf die Verlängerung von CM, und im letzteren Fall enthält das Dreieck BDE statt des Winkels a den Nebenwinkel desselben. Entsprechendes ergiebt sich, wenn BC > 90° und AC <90° ist. Eine nähere Ausführung des Beweises wird hiernach nicht nothwendig sein, und es kann somit die allgemeine Gültigkeit der obigen sechs Gleichungen für constatirt gelten.*) § 21. Die Berechnung der Dreiecke. Die einzelnen Fälle, welche bei der Berechnung rechtwinkelige r sphärischer Dreiecke Vorkommen können, sind folgende: 1) Gegeben seien die beiden Katheten a, b. Man findet die Hypotenuse c unmittelbar durch die Gleichung (1) und die Winkel durch (4) und die ihr entsprechende Gleichung für ß. Es sei beispielsweise a = 20° 5',7, b = 72° 8 ',9 gegeben, so hat man folgende Ausrechnung: log cos a = 9,97272 log tang a — 9,56330 log tang b = 0,49207 log cos b = 9,48651 log sin b = 9,97857 log sin a = 9,53603 log cos c = 9,45923 log tang a = 9,58473 log tang ß = 0,95604 r = 73° 16',1 a = 21° l',5 ß = 83°41',l. Zu einer Probe der Richtigkeit kann die Gleichung ( 6 ) dienen, der zufolge log cos c -+- log tang a + log tang ß = 0 sein muss. *) Die Fälle, in welchen eine oder beide Katheten gleich 90° sind, bedürfen zufolge Stereom. § 7 keiner weiteren Behandlung. Trigonometrie. S°8 Da bei dieser Aufgabe c durch den Cosinus bestimmt wird, so liefern die Tafeln kein genaues Resultat, wenn c nahe an 0° liegt. In solchem Fall kann man nach Berechnung von a den hierfür gefundenen Werth benutzen, um c, wie nachher gezeigt wird, aus a und a oder b und a zu bestimmen. 2) Gegeben seien die Hypotenuse c und eine Kathete a. Man findet a unmittelbar aus (2), ß aus der (3) entsprechenden Formel und b durch Auflösung von (1) auf cos b. Beispiel: f = 93 0 12',4; « = 120° 41',2. log sin c — 9,99932 log fang c = 11,25162 n log cos c = 8,74770 n log sin « = 9,93448 logtang a— 10,22662 n log cos a = 9,70786 n log cos b = 9,03984 b = 83° 42',4. log sin a = 9,93516 log cos ß = 8,97500 a=120°32',l. ß = 84° 35',0 Für a war in diesem Beispiel der stumpfe Winkel zu nehmen, weil jede Kathete mit dem ihr gegenüberliegenden Winkel gleichartig ist. Die Bestimmung von a durch den Sinus ist in Folge dieses Satzes nicht zweideutig. Zu einer Probe kann die der Gleichung (5) entsprechende für «vß dienen, der zufolge log cos ß = log cos b log sin a sein muss. Ist a nahe an 90°, geben also die Tafeln zu dem Sinus den Winkel nicht genau, so benutze man zur Berechnung von a die Formel lang 2 (45° ■— ^ a ) = tan S t i c — a ) cot y (/+«)• Man erhält dieselbe, wenn man beide Seiten von (2) von 1 subtrahirt, ebenso beide Seiten zu 1 addirt, die homologen Seiten der entstandenen Gleichungen dividirt und, wie folgt, nach goniometrischen Sätzen umformt: 1 — sin a sin c — sin a 2 cos ^ (c -t- aj sin \(c — a) 1 -l- sin a sin c+ sin a 2 sin \ (c a) cos \(c — a) = la ng \ (c - • a) cot\ (c d), und 1 — sin a 1 — cos (90° — a ) = taug 2 (45° — ^ <*). 1 -t- sin a 1 + cos ^90° — a ) In ähnlicherWeise erhält man, wenn ß durch den Cosinus nicht genau genug bestimmt wird, aus der oben für ß benutzten Formel die ein genaues Resultat ergebende ,! 1 o _ «* ( C ~ a ) tätigt \ ß P — Es ist nämlich sin (c-\-a)' 1 — cos 8 tarn; c — tang a sin c cos a — cos c sin a tang- 4 p = -^ 1 -- —-;-.—. ] ~t~ cos p tang c + tang a sm c cos a -f- cos c sm a Wird endlich b nicht genau durch den Cosinus bestimmt, so bediene man sich der wieder in ganz entsprechender Weise abzuleitenden Formel tang 2 \ b = tang (c-a)- tang \(c-\- a). 3) Gegeben seien die Hypotenuse c und ein Winkel a. Man erhält a durch Auflösung von (2) auf sin a, b durch Auflösen von (3) auf tang b und ß durch Auflösung von (6) auf cot ß. Beispiel: c = 53°9',8; a = 22°17',l. log sin c = 9,90328 log tang c = 10,12547 log cos c — 9,77781 log sin a = 9,57888 log cos a = 9,96628 log lang a = 9,61260 log sin a = 9,48216 log tang b = 10,09175 log cotg ß = 9,39041 « = 17° 40', 1 b= 51° 0',5 ß = 76° 11',7. Probe: log sin a = log tang b -+- log cotg ß nach (4). Auch hier ist die Bestimmung von a durch den Sinus nicht zweideutig, da wie bei 2) a mit a gleichartig sein muss. Für den Fall, dass a durch den 5- Rechtwinkelige sphärische Dreiecke. S°9 Sinus nicht genau genug bestimmt wird, berechne man dieses Stück mittelbar, indem man den vorher berechneten Werth von b oder ß benutzt, also z. B. nach 2) aus c und b. 4) Gegeben sei eine Kathete a und der ihr gegenüberliegende Winkel a. Man erhält c durch Auflösung von (2) auf sine, b durch Auflösung von (4) auf sin b und ß durch Auflösen von (5) auf sin ß. Bei dieser Aufgabe werden also alle drei gesuchten Stücke durch ihre Sinus ermittelt. Hierbei findet eine Zweideutigkeit statt, und zwar in folgender Weise: Zunächst ist vorauszusetzen, dass die gegebenen Stücke a, a gleichartig sind, da im anderen Falle das Dreieck nicht möglich sein würde. Dann müssen ebenso b und ß gleichartig sein, und es sind dabei die zwei Fälle möglich: 1) b ist kleiner als 90°, also ß ebenfalls kleiner als 90°, und es muss dann c mit a gleichartig sein; 2) b und ß sind grösser als 90°, dann ist c mit a ungleichartig. (Stereom. § 15.) Beispiel: a = G0° 39',3; a = 72°5’,9. logsin a = 9,94036 log ta ng a = 10,25011 log cos « = 9,487ü8 logsm a = 9,97845 log tang a = 10,49077 log cos a = 9,69025 log sin c = 9,96191 log sin b = 9,75934 log sin ß = 9,79743 r, = 66° 21',2 ^ 1 = 35°4',2 ß x = 38° 50',8 c 2 = 113° 38',8 b 2 = 144° 55',8 ß, = 141° 9',2. Probe: log sin c -+- log sin ß = log sin b. Wird eine oder die andere der drei gesuchten Grössen durch den Sinus nicht genau genug bestimmt, so bediene man sich für dieselbe einer Gleichung, welche ganz entsprechend, wie früher in ähnlichen Fällen geschehen, abzuleiten ist. Die drei betreffenden Gleichungen, welche man hierbei erhält, sind lang 2 (45° — ^ c) — tang (a — a) ■ cotg ^ (a + a), tang 2 (45° — b) = sin (a— a) : sin (a -+- a), tang 2 (45° — i ß) = Icing ■* (a — a) ■ tang ^ ( 1 oder log cot et -f- los; cot ß nicht grösser als 10,00000 — 10 werden. § 22. Zusammenhang der Fundamentalformeln. Die Fundamentalformeln (1) — (6) des § 20 für das rechtwinkelige sphärische Dreieck lassen sich in folgender Weise zusammenfassen, wodurch auch das gedächtnissmässige Behalten derselben erleichtert wird: Verlängert man die Flypotenuse AB und die Kathete CB des rechtwinkeligen Dreiecks ABC, beide über B bis die Bogen ABF, CBG zu Quadranten geworden sind, und zieht man dann den grössten Kreisbogen FG, so erhält man das ZiEGLER’sche Comple- mentardreieck BFG, in welchem BG= 90° — a, BF—90° — c, GF—90° — a, A BGF= 90° — b, A GBF=§ und ^ GFB=90° ist. Wendet man nun die Formel (2) zweimal auf dieses Dreieck an, so erhält man die Formeln (1) und (5), und wendet man zweimal die Formel (4) auf dasselbe an, so erhält man (3) und (6). Die sechs Gleichungen sind also hierdurch auf zwei zurückgeführt. Ueberhaupt müssen zwei dieser Gleichungen zur Berechnung rechtwinkeliger Dreiecke ausreichen, denn da stets drei der fünf Stücke des Dreiecks aus den beiden anderen gesucht werden sollen, so bedarf man überhaupt nur dreier Gleichungen zwischen den fünf Stücken, die in jedem einzelnen Falle, soweit erforderlich, auf die gesuchten drei Unbekannten aufgelöst werden können. Nun lässt sich aber jede für eine Function von a aufgestellte Formel ohne Weiteres durch eine entsprechende für ß ergänzen, und somit genügen schon zwei der obigen sechs Gleichungen. Wählt man z. B. die Gleichung (2) in ihren beiden Formen und daneben die Gleichung (1) und soll etwa a aus a und b berechnet werden, so hat man in den beiden ersten der Gleichungen cos c = cos a • cos b ; sin a — sin a : sin c ; sin ß = sin b : sin c c zu eliminiren. Mittelst sin 2 c 4 - cos 2 c = 1 erhält man sin 2 a sin‘ a cos 2 a • cos 2 b — 1, also sin 2 a = sin‘ a 1 — cos 2 a • cos 2 b’ 5. Rechtwinklige sphärische Dreiecke. 5” welche Gleichung aber keine logarithmisch ununterbrochene Berechnung von a zulässt und daher besser durch folgende Entwicklung verändert wird: cos 2 a = 1 — sin 2 a = 1 — cos 2 a ■ cos 2 b — sin 2 a cos 2 a — cos 2 a ■ cos 2 b tang 2 1 — cos 2 a ■ cos 2 b sin 2 a stn‘ a cos 2 a cos 2 a (1 — cos 2 b) tang a tang a — ~—r, ° smb 1 — cos 2 a ■ cos 2 b tang 2 a ün 2 b also d. i. die obige Gleichung (4). Man sieht hieraus, dass die Aufstellung von sechs Gleichungen statt der nothwendigen zwei nur die Resultate der erforderlichen Eliminationen den letzteren hinzufügt und so zur Ersparung von Arbeit dient. Das gedächtnissmässige Behalten der sechs Fundamentalformeln wird ferner unterstützt durch Vergleichung dieser Formeln mit den für ebene rechtwinkelige Dreiecke geltenden, wobei sich manche Analogieen ergeben. Eine andere Beziehung beider Formel-Gruppen ergiebt sich daraus, dass die für das sphärische Dreieck abgeleiteten in die des ebenen Dreiecks übergehen müssen, wenn man annimmt, dass der Radius der Kugel bis in’s Unendliche wachse, oder mit anderen Worten, dass die Seiten des sphärischen Dreiecks im Verhältniss zum Kugelradius unendlich klein werden. In diesem Falle sind die Cosinus der Seiten gleich 1, die Verhältnisse der Sinus und Tangenten der Seiten gleich den entsprechenden Verhältnissen dieser letzteren selbst zu setzen. Man erhält so aus (2) — (6) bezüglich die bekannten Gleichungen ab a , sm a = —, cosrx — —, tang a = cos a = sm ß; ( welche somit ein besonderer Fall der vorstehenden ist. 2. Bezeichnet man ferner die Maasszahl des durch den Fusspunkt D der Höhe auf ISA gebildeten Abschnitts BD durch p und die von DA durch q, so ist cos a — cos h • cos p, , , cos b und cos h =-, p — c zsz q, also cos q r 1 cos b , , , . cos a — —— cos (c qp q) = cos b cos c ± cos b sin c • tang q. cos q v ^ ' Setzt man hier noch für tang q den aus cos a = ± tang q : tang b folgenden Werth ein, so erhält man durch eine leichte Umformung cos a — cos b cos c -t- sin b sin c cos a. (2) Diese Formel, welche zuweilen der Cosinussatz der sphärischen Trigonometrie genannt wird, lässt sich selbstverständlich ebenfalls in drei Formen, nämlich ausser der vorstehenden noch in den folgenden cos b = cos a cos c -4- sin a sin c cos ß cos c = cos a cos b -T sin a sin b cos y (2 a ) aufstellen. Für y = 90° führt die letzte derselben auf die Formel (1) des vorigen Kapitels, nämlich auf cos c = cos a cos b als besonderen Fall zurück. Für einen unendlich grossen Radius giebt sie, wenn man die Cosinus der Seiten zunächst durch die Sinus derselben ausdrückt und das Produkt a 2 b 2 als verschwindend gegen a 2 und b 2 weglässt, -j/l — c 2 = ~/l — a 2 — b 2 + a b cos y, woraus durch Quadriren _ c 2 = a 2 -\- b 2 — 2 a b cos y "|/l — a 2 — b 2 — a 2 b 2 cos y 2 , oder nach nochmaliger Weglassung von — a 2 — b 2 gegen 1 unter der Wurzelgrösse und von a 2 b 2 cos~[ 2 , c 2 — a 2 -+- b 2 — 2 ab cos y, d. i. der allgemeine pythagoreische Lehrsatz folgt. 3. Da das Polardreieck des gegebenen Dreiecks die Seiten 180° — a, 180°—ß, 1.80° — y und entsprechend die Winkel 180° — a, 180° — b, 180° — c hat, so führt die Anwendung der Formel (2) auf dieses Polardreieck zu der neuen Gleichung cos a = — cos ß cos y -t- sin ß sin y cos a, (3) welche selbstverständlich wieder in noch zwei anderen Formen aufgestellt werden kann. Für y = 90° führt dieselbe auf cos a = sin ß ■ cos a, bezw. cos ß = sin a • cos b, und in ihrer dritten Form auf cos c—cota • cot$ als besondere Fälle. Für r = oo führt sie auf cos a = — cos ß cos y -f- sin ß sin y oder cos a = — cos (ß + y), oder a -f- ß + y = 180°. 4. Setzt man aus der ersten der oben bei (2 a ) gefundenen Gleichungen für cos b und cos c den Werth von cos b in die zweite ein, so erhält man cos c — cos 2 a cos c + sin a cos a sin c cos ß + sin a sin b cos y, oder cos c sin 2 a = sin a cos a sin c cos ß -f- sin a sin b cos y. Dividirt man beide Seiten dieser letzteren Gleichung durch sin a sin c und setzt in der entstehenden Gleichung siti b cot c sin u = cos a cos 3 -1—;— cos 7 4 sine 6. Das allgemeine sphärische Dreieck. sin b für ——nach (1) —— ein, so erhält man, wenn man ausserdem das letzte Glied sm c x ' sin 7 transponirt, cos a • cos ß = sin a cot c — sin ß cot 7. (4) Diese Gleichung lässt sich in sechs verschiedenen Formen aufstellen und in folgender Weise gedächtnissmässig merken: Dieselbe enthält Functionen zweier Seiten, in der vorstehenden Form a und c , und Functionen zweier Winkel ß, 7. Jene Seiten schliessen den Winkel ß, diese Winkel die Seite a ein; die nicht eingeschlossene Seite c und der nicht eingeschlossene Winkel 7 liegen einander gegenüber. Es ist nun das Product der Cosinus der beiden eingeschlossenen Stücke gleich der Differenz zweier Produkte aus je einem Sinus und einer Cotangente. Der Sinus ist immer der eines eingeschlossenen, die Cotangente die eines nicht eingeschlossenen Stücks. Das erste Produkt enthält die Functionen der Seiten, das letzte die der Winkel. Für 7 = 90° erhält man die Formeln (3) und (4) des vorigen Kapitels, für r = co die sogenannte separirte Tangentenformel der ebenen Trigonometrie. Die Gleichungen (1)—(4) dieses Paragraphen in ihren verschiedenen Formen gestatten die Auflösung eines jeden sphärischen Dreiecks aus irgend welchen drei Bestimmungsstücken desselben. Man bedarf überhaupt zur Auffindung der drei Unbekannten nur dreier Gleichungen zwischen denselben und den gegebenen Grössen, die dann auf erstere (bezw. die betreffenden Functionen derselben) aufzulösen sind. Durch die genannten vorstehenden Gleichungen wird also bereits — behufs Vereinfachung der Arbeit — mehr geboten, als unumgänglich nothwendig wäre. Im Folgenden soll diese Auflösung der Dreiecke mittelst der Gleichungen (1)—(4) für die einzelnen möglichen Fälle ausgeführt werden. Da aber diese Gleichungen zum Theil keine logarithmisch ununterbrochene Rechnung gestatten, so sollen gleichzeitig noch andere Methoden für die einzelnen Fälle entwickelt werden, welche diese letztere Eigenschaft nicht besitzen. § 25. Erster Fall: Gegeben seien die drei Seiten a, b, c. Die Gleichung (2) des § 24 gestattet mittelst ihrer drei Formen die Berechnung aller drei Winkel. So findet man beispielsweise cos a — cos b cos c , ( 1 ) cos a. sin b sin c und entsprechende Formeln ergeben sich ohne Weiteres für ß und 7. Für numerische Beispiele kann man sich um die Unterbrechung der loga- rithmischen Rechnung zu vermeiden, anderer Formeln bedienen, welche, wie folgt, abgeleitet werden können: Aus der vorstehenden Gleichung (1) folgt sin b sin c -+- cos b cos c — cos a sin b sin c cos a — cos b cos c cos a > u. x-;7 :- sin 0 sm c cos {b — c) — cos a 2 sin ^ 2 sin \(b — c -4- a) sin (a — b - 4- c) sin b sin c sin b sin c Setzt man der Abkürzung halber a-hb-hc = 2s, so ist b — c + a = 2 (s — c) , a — £ 4- c = 2 (s — b) zu setzen, und man erhält, wenn man noch für 1 — cos n, 2 sin 2 J a schreibt, nach Division mit 2 und Ausziehung der Quadratwurzel: 'sin (s — b) sin (s — c) sin b sin c 33 ' 5i6 Trigonometrie. Entsprechende Formeln müssen für sin 7 ]- ß und sin y gelten, und man kann dieselben leicht aufstellen, wenn man das Bildungsgesetz der Formel (2) beachtet, nach welchem unter dem Wurzelzeichen vier Sinus stehen, und zwar im Nenner die der Seiten b, c, welche den gesuchten Winkel a einschliessen, während dieselben zwei Seiten im Zähler als Subtrahenden Vorkommen. Mit Hülfe der so gewonnenen drei Formeln lässt sich schon eine logarithmisch ununterbrochene Berechnung der drei Winkel des Dreiecks ausführen. Man kann aber auch zu gleichem Zwecke noch eine andere Formelgruppe durch ein dem vorstehenden entsprechendes Verfahren, wie folgt, ableiten: Aus der obigen Gleichung ( 1 ) ergiebt sich wieder 1 4~ COS CI — 1 -+- cos a — cos b cos c sin b sin c — cos b cos c 4 - cos a sin b sin c sin b sin c cos a — cos(b 4 - c) 2 sin (a 4 - b-^-c) sin (b 4 - c — a) sin b sin c sin b sin c Führt man hier wieder die Grösse 5 ein, setzt für 1 4 - cos a, 2 cos 2 ^ a, divi- dirt durch 2 und zieht die Quadratwurzel aus, so erhält man cos ■, i /sin s • sin (s — 2« = y -= , - V- " sm b sin c — a) (3) Zu dieser Formel ergeben sich unter Beachtung ihres Bildungsgesetzes wieder die entsprechenden Formeln für ß und j. Durch Verbindung der Formeln(2) und (3)dieses Paragraphen erhält man ferner eine dritte Gruppe von Gleichungen, deren Anwendung für die vorliegende Aufgabe derjenigen jener ersteren Formeln vorzuziehen ist. Durch Division der entsprechenden Seiten von (2) und (3) folgt nämlich nach einigen leichten Umformungen tang sin (r — b) sin (s — c) sin s • sin (s — d) (4) und entsprechende Gleichungen ergeben sich selbstverständlich wieder für ß und 7 . Soll nur ein Winkel eines sphärischen Dreiecks aus den Seiten numerisch berechnet werden, so empfiehlt sich die Anwendung dieser Gleichung (4). Werden aber alle drei Winkel zugleich verlangt, so erweitere man den Radi- canden in (4) mit sin (s ■— a) und ziehe aus dem im Nenner entstehenden quadratischen Factor sin 2 (r —■ a) die Wurzel aus. Verfährt man in entsprechender Weise mit den betreffenden Gleichungen für ß und 7 , so ist die Wurzelgrösse für alle drei Winkel nunmehr dieselbe und braucht nur einmal berechnet zu werden. Bezeichnen wir dieselbe abgekürzt, indem wir sin (s — d) sin (s — b) sin (s — c) sin s tangi p (5) setzen, so erhalten die drei für die numerische. Berechnung der drei Winkel aus den drei Seiten bequemsten Gleichungen die Form tang ^ a tang p sin (s — a) tang p sin (s — b)’ tang 7 = tang p sin (s — c)' ( 6 ) Als Beispiel und zugleich als Schema einer praktischen Schreibweise derartiger Rechnungen diene Folgendes: 6. Das allgemeine sphärische Dreieck. 517 «= 27° 15',8 b= 39° 12',3 c = 57° 39', 1 2 j = 124 • 7,2 log sin (s — a) — 9,75638 log lang ^a = 9,38622 log sin (s — b) — 9,58928 log lang ^ ß = 9,55332 log sin (s — c) = 8,88572 log tätig \ 7 = 10,25688 j = 62 • 3,6 s — a — 34-47,8 s — b = 22-51,3 s — c = 4 • 24,5 8,23138 Ja= 13° 40’,6 = 9,94618 £ß = 19° 40’,4 log lang* p = 8,28520 ^7 = 61° 2',1 log lang p = 9,14260 a= 27° 21’,2 2 j = 124 • 7,2 ß = 39° 20 ',8 7 = 122° 4',2. Will man eine Probe der Rechnung haben, welche die Wiederholung derselben unnöthig macht, so kann man sich dazu des Sinussatzes bedienen, demzufolge log sin a — log sin a = log sinb — log sin ß = log sin c — log sin 7 sein muss. Eine andere, in den Lehrbüchern häufig enthaltene Methode, welche die Formel (1) durch Einführung eines Hülfswinkels logarithmisch ununterbrochen macht, ist weitläufiger als die vorstehende und nicht zu empfehlen. Dieselbe beruht darauf, dass wenn man cos « = n sin c cos cp, cos b — n sin cp, , cos b sin c cos b also lang cp setzt, die Formel (1) in n sin (c — gleich einem der Abschnitte dieser Seite und cp gleich dem entsprechenden Theil des gegenüberliegenden Winkels. Das vorstehende Verfahren kann also als eine successive Berechnung der genannten rechtwinkeligen Dreiecke dargestellt werden. Die Berechnung von ß durch den Sinus erfordert noch die Bemerkung, dass man für den Fall einer nicht hinreichend genauen Bestimmung durch die Tafeln sich der Gleichung sin c ■ sin 2 (45° — -jß) = sin b sin 3 (45° — -|-y) — sin \(b — c ) cos ^ (b 4- c) bedienen kann. Man erhält dieselbe aus dem Sinussatze sin b • sin 7 = sin c sin ß, wenn man für sin ß, cos (90° — ß) = 1—2 sin 2 (45° — -^ß) und für sin 7 , cos (90° — 7 ) = 1 — 2 sin 2 (45° — - 5 - 7 ) setzt und einige dann nahe liegende Umformungen vornimmt. § 30. Sechster Fall: Gegeben seien zwei Winkel ß, 7 und eine gegenüberliegende Seite c. Für diesen, dem vorigen polaren Fall erhält man die nothwendigen Formeln in ganz entsprechender Weise, wie vorher. Man hat also zunächst smß sin c sinb = ■ sm'j und es gilt in Betreff der Zweideutigkeit des Falls Analoges wie im § 29. Setzt man in cosa cos $ = sina cotc — sin ß cot 7 cotc = neos cp', cos$ = n sin cp, also tätig cp = cos ß ■ tangc, so wird und setzt man in sin (a — cp) = tangfi ■ cot~{ • sin cp, so wird cos 7 = — cosa. sm (a — «/) = -^ sind/. v T/ cos ß 7 Dieselben Formeln findet man wieder direkt aus den beiden rechtwinkeligen Dreiecken, welche durch die zu BC senkrechte Höhe entstehe^; es ist cp gleich dem einen Abschnitt von B C, dp gleich dem diesem Abschnitt gegenüberliegenden Winkeltheil. § 31. Der Flächeninhalt. Der Flächeninhalt F eines sphärischen Dreiecks wird nach Stereom. §19, (5) aus den drei Winkeln des letzteren ohne trigonometrische Rechnung mittelst der Formel ZT 71 F ~ C ' 180° (oder für den Radius r, mittelst r 2 e • gefunden, in welcher e den sphärischen Excess bedeutet, also gleich a + ß - 4 - 7 — 180° ist. Sind zur Berechnung von F aber nicht die drei Winkel gegeben, sondern Trigonometrie. 524 ist die Auswahl der gegebenen Bestimmungsstücke eine andere, so können zunächst die fehlenden Winkel nach dem vorher bei dem betreffenden Fall angegebenen Verfahren berechnet werden. Da es sich hierbei nicht um die Kenntniss der einzelnen Winkel selbst, sondern nur um die des sphärischen Excesses e handelt, so kann man unmittelbare Formeln für letzteren suchen. Für den Fall, dass die drei Seiten gegeben sind, gelangt man hierbei zu einem bemerkenswerthen Resultat. Schreibt man nämlich die GAUSSische Gleichung cos^{a -+- ß) • cos\c = cos\(a -+- b) • sinfy cos^(a - 1 - ß) cos\ia -+- b) cos{ 90° —.^ 7 ) cos\c ’ in der Form cos\(ci -+- b) cos\c so kann man daraus mittelst eines bekannten Satzes der Proportionslehre die andere Gleichung cos\ (a+ ß) — cos (90° — cos\ (a -f- b) — cos\c cos (a -f- ß) -+- cos (90° -+- -^ 7 ) cos\ (a H- b) + cos\c ableiten, woraus dann weiter in bekannter Weise tang\ (a + ß + 7 — tang\(a-\-§ — f+180°) = iang^ (a + b — c) tang\ (a-bb+c) hervorgeht. Führt man hier wieder die Abkürzung a -t- b -+- c — 2 s ein, und setzt a. + ß — 7 - 4 - 180° = e -+- 360° — 27 , so erhält man tang\e • cot\ (27 — e) — tang\s • tang\{s — c). (1) Verfährt man in gleicher Weise mit der GAUSSischen Gleichung sin^(a -t- ß ) • cos\c = cos^(a — b) • cos^ 7 , so erhält man die entsprechende Formel tang\e ■ tang\(fl~{ — e) — tang\(s — d) ■ tang\{s — b). (2) Multiplicirt man die homologen Seiten der Gleichungen (1) und (2) mit einander, so ergiebt sich tang*\e = tang\s • tang\{s — a ) • tang\(s — b ) • tang\{s — c), (3) Diese letztere Gleichung zeigt, wie der sphärische Excess e unmittelbar aus den drei Seiten des Dreiecks berechnet werden kann. Beispiele der Anwendung dieser Formeln, sowie zu den vorhergehenden Fällen der Dreiecks- Berechnung findet man in Reidt, Sammlung von Aufgaben und Beispielen aus der Trigonometrie und Stereometrie, 1. Theil: Trigonometrie. Zweite Auflage. Leipzig 1877, B. G. Teubner. Anhang 1, zum ersten Abschnitt. Die Auflösung trigonometrischer Bestimmungs-Gleichungen. 1. Enthält eine Bestimmungsgleichung trigonometrische Functionen eines unbekannten Winkels oder Bogens, so entzieht sie sich als transscendente Gleichung der unmittelbaren Anwendung der in der Arithmetik für die Auflösung algebraischer Gleichungen angegebenen Methoden. Der einfachste hierher gehörige Fall ist der, in welchem eine gegebene Gleichung nur eine einzige trigonometrische Function einer Unbekannten und ausserdem diese letztere in keiner anderen Verbindung enthält. Beispiele dieses Falls bieten die Gleichungen 9 sin* x -+- 27 sin x = 10 \cosx ) \cosx J Anh. i, zum ersten Abschnitt. Die Auflösung trigonom. Bestimmungs-Gleichungen. 525 2 COtx cot X ~ 2 ~ — 2 cotx, von denen die erste nur sinx, die zweite nur cosx, die dritte nur cotx enthält. Bei solchen Gleichungen kann man statt x die betreffende Function als die gesuchte Unbekannte ansehen, die in Beziehung auf letztere algebraische Gleichung in bekannter Weise auf lösen und schliesslich zu den gefundenen Werthen der Function auch die Winkel durch Aufschlagen in den Tafeln oder durch direkte Berechnung ermitteln, falls dies überhaupt als nöthig erscheint. So führt die erste der oben beispielsweise aufgestellten Gleichungen, indem man sie als quadratische Gleichung für die Unbekannte sinx behandelt, auf sinx = — ■§• ± ^ 4 . Von den beiden so gewonnenen Wurzeln der Gleichung sinx l = J, sinx 2 — — ^ ist die zweite unmöglich, da der absolute Werth eines Sinus nie grösser als 1 sein kann. Da diese in dem Begriff des Sinus liegende Bedingung bei der Behandlung der gegebenen Gleichung als einer algebraischen mit der Unbekannten sinx unberücksichtigt bleiben musste, so kann es nicht überraschen, dass durch die Auflösung ganz allgemein alle Zahlen gefunden werden, welche für diese Unbekannte gesetzt der Gleichung genügen. Es ergiebt sich hieraus die Notliwendigkeit, die bei solchem Auflösen einer trigonometrischen Gleichung erhaltenen Wurzelwerthe mit Rücksicht auf die etwa sonst vorhandenen und bei der Auflösung unbeachtet gebliebenen Bedingungen auf ihre Zulässigkeit zu prüfen. Für die Auflösung sinx = -t ergeben nun die Tafeln den Winkel x = 19° 28', 3. Daraus, dass sin 19° 28',3 = ist, kann jedoch nicht umgekehrt gefolgert werden, dass ein Winkel, dessen Sinus den Werth $ habe, gleich 19° 28', 3 sein müsse, vielmehr genügt auch zufolge § 3 bezw. § 6 der Winkel 180° — 19° 28',3 = 160° 31',7 der Gleichung. Ausserdem haben alle diejenigen Winkel denselben Werth des Sinus, welche aus den beiden genannten durch Addition oder Subtraction von 360° oder einem Vielfachen von 360° hervorgehen. Der obigen Gleichung genügen also alle in den Ausdrücken 19° 28',3 ± n • 360° und 160° 31',7 + n • 360° für jeden beliebigen ganzen Werth von n einschliesslich der Null enthaltenen Winkel. Das vorstehend Gesagte lässt sich leicht verallgemeinern. Es ergiebt sich so, dass zu jeder trigonometrischen Gleichung unzählig viele Wurzeln gehören, von denen jedesmal mindestens zwei in einem der vier ersten Quadranten liegen und als die — bei praktischen Anwendungen in der Regel ausschliesslich zu berücksichtigenden — Haupt-Auflösungen betrachtet werden können. So erhält man beispielsweise aus der zweiten der oben angeführten Gleichungen, nachdem zunächst durch Ordnen abgeleitet ist, 6 cos 2 x — 11 cosx = — 4 cosx = ±5 + 11 12 Von den beiden so gewonnenen Werthen ist nur cosx = brauchbar, und da cos 60°= -J-, so hat man die beiden Haupt-Auflösungen x t = 60° und x 2 = 300°. 2 Die dritte der obigen Gleichungen führt auf cotx = ± —oder tang x = V 3 ± Y?>, und hier sind beide Wurzeln der Gleichung brauchbar, und man erhält 526 Trigonometrie. deshalb vier Haupt - Auflösungen, nämlich x t = 40° 53', 6 ; x, 2 = 139° 6 ',4; x 3 = 220° 53', 6 ; x i = 319° 6’,4. 2. Enthält eine Gleichung verschiedene Functionen eines unbekannten Winkels oder Bogens, aber ausserdem den letzteren in keiner anderen Weise, so kann man alle vorkommenden Functionen der Unbekannten durch eine und dieselbe Function ausdrücken und so diesen Fall auf den vorigen zurückführen. Entweder wählt man eine der schon vorhandenen Functionen des gesuchten Winkels als Unbekannte und drückt alle übrigen durch diese aus, oder man führt sämmtliche vorkommende solche Functionen, falls dies vortheilhafter erscheinen sollte, auf eine und dieselbe der noch übrigen zurück. Es sei z. B. die Gleichung a sin 2 x + b sin x cos x -t- c cos 2 x = 0 gegeben, so kann man sin x = ± ]/1 — cos 2 a" einsetzen und dann auf cos x auf- lösen, oder man kann cosx — ±'j/ 1 — t « 2 x einsetzen und dann auf sin x auflösen. Beide Methoden haben den Nachtheil, dass durch das Quadriren behufs der noth- wendigen Wegschaffung der Wurzelgrösse die Zahl der Wurzeln der Gleichung vermehrt wird. Setzt man z. B. den Ausdruck für sinx ein, so erhält man a (1 — cos* 1 *) ri - b cosx “(/ 1 — cos 2 x -+- c cos 2 x = 0 , oder b cosx Y 1 — cos* x = — a + (a — c) cos 2 x, und erhebt man nun beide Seiten in’s Quadrat, so muss die entstehende Gleichung nicht nur die Wurzeln der oben gegebenen, sondern auch die der anderen a sin 2 x — b sin x cosx -+- c cos 2 x= 0 haben, da auch diese durch dasselbe Verfahren auf dieselbe Gleichung wie vorhin führt. Ausserdem wird mit dieser Verdoppelung der Anzahl der Wurzeln — von denen also die für die gegebene Gleichung gültigen durch eine besondere Untersuchung zu ermitteln wären — auch der Grad der Gleichung erhöht. Aus diesen Gründen empfiehlt es sich, bei dem vorstehenden Beispiel keinen der beiden angegebenen Wege einzuschlagen und vielmehr sowol sinx als cosx durch eine und dieselbe dritte Function auszudrücken. Dies geschieht hier sehr leicht, indem man alle Glieder durch cos 2 x dividirt. Man erhält so a ■ tang 2 x -(- b ■ tang x -+- c = 0 und hieraus auf bekannte Weise zwei Werthe für tang x. 3. Enthält eine Gleichung Functionen verschiedener unbekannter Winkel, und stehen diese Winkel zu einander in bestimmten Beziehungen, wie z. B. x und 2 x oder x -f- a und x — a u. dgl., so kann man zunächst diese Winkel sämmtlich durch Entwicklung oder Zusammenfassung der Functionen mittelst früherer Formeln durch einen und denselben Winkel ausdrücken, um dann wie vorher zu verfahren. Es sei z. B. die Gleichung sin (x -+- a) + cos (x — a) = b aufzulösen. Durch Entwicklung erhält man zunächst sin x ■ cos a -+- cosx ■ sin a -+- cos x • cos a -+- sin x ■ sin a = b, oder sin x • (cos a -+- sin a ) - 1 - cos x • (sin a -+- cos a) — b, oder . b sin x -+- cos x = —:- sm a -+- cos a< worauf sich das weitere Verfahren aus dem Vorigen ergiebt. Man kann ebenso für sin (x + a) + sin (x — a) — b durch Benutzung der Formel Anh. I, zum ersten Abschnitt. Die Auflösung trigonom. Bestimmungs-Gleichungen. 527 sin a + sin b = 2 sin ^{a. 4 - b) cos ^ (a — b) die linke Seite der gegebenen Gleichung zu 2 sin x ■ cos a zusammenfassen und erhält dann ohne Weiteres b Zuweilen ist es vortheilhaft, umgekehrt statt des in der gegebenen Gleichung enthaltenen unbekannten Winkels x einen anderen, von ihm abhängigen Winkel einzuführen und die Gleichung auf eine Function des letzteren aufzulösen. So kann man z. B. die Gleichung sin x -+- cos x — c durch Erheben beider Seiten in’s Quadrat zunächst in sin 2 x 4 - cos 2 x 4 - 2 sin x cos x = c 2 umformen, woraus dann leicht 1 4- sin 2 x — c 2 , sin 2x = c 2 — 1 folgt. Hierbei ist jedoch wieder die Vermehrung der Wurzeln durch das Quadriren zu beachten. Ist beispielsweise c = -+- % f/ 6 , so ist sin 2 x = ■£, woraus 2 x — 30° oder 150° oder 390®, 510° u. s w., also x= 15°, 75°, 195°, 255° u. s. w. folgen würde. Allein die Winkel 195° und 255° haben negative Sinus und Cosinus und entsprechen daher nicht der oben gegebenen Gleichung, sondern der anderen sin x -+- cos x = — c, welche durch Quadriren beider Seiten zu derselben Schlussgleichung, wie jene führt. Enthält endlich eine Gleichung Functionen zweier oder mehrerer Winkel, die sich nicht auf denselben Winkel zurückführen lassen, so hat man ebenso viele verschiedene Unbekannte anzunehmen, bedarf dann selbstverständlich einer gleichen Anzahl von Bestimmungsgleichungen und bedient sich der aus der Arithmetik bekannten Eliminations-Methoden. 4. Kommen in einer oder mehreren gegebenen Gleichungen nicht bloss trigonometrische Functionen unbekannter Winkel, sondern auch solche Winkel selbst vor, so kann die Auflösung erheblich erschwert sein. Wir wollen zunächst den einfacheren Fall voraussetzen, dass jede einzelne gegebene Gleichung entweder nur trigonometrische Functionen der Unbekannten oder nur diese letzteren selbst enthalte, dass aber zwei oder mehrere solche Gleichungen von beiden Arten für mehrere Unbekannte verbunden seien. In diesem Falle kann man stets aus denjenigen gegebenen Gleichungen, welche die unbekannten Winkel selbst enthalten, eine gleiche Anzahl der letzteren durch die übrigen ausdrücken, die gefundenen Ausdrücke in die gegebenen Gleichungen der anderen Art substituiren und dann die Eliminationsgleichungen, wie vorher angegeben, behandeln. Es seien z. B. die Gleichungen x 4 -j y = a sin x 4- sin y — b aufzulösen, so kann man aus der ersten derselben y — a — x in die zweite ein- setzen, und dann die Eliminationsgleichung sin x 4 - sin (a — x) = b mittelst der Umformungen sin x -+- sin a cos x — cos a ■ sin x = b sin x (1 — cos a) 4 - sin a ■ cos x = b 528 Trigonometrie. sin x (1 — cos a ) -+- sin a ■ ~|/l — sin 2 x = b zu einer Gleichung mit einer Unbekannten sin x umgestalten. Nach Auflösung derselben ergiebt sich dann y durch y = a — x oder auch durch siny = b — sin x. Das vorstehende Beispiel gehört einer Gruppe häufig vorkommender Aufgaben an, welche zugleich zeigen, dass sich das so eben beschriebene, zuweilen zu Umständlichkeiten führende Verfahren in manchen Fällen durch ein zweck- mässigeres ersetzen lässt. In den obigen Gleichungen wird man nämlich vorziehen, in die zweite Gleichung statt der unbekannten Winkel x, y die Differenz derselben als Unbekannte einzuführen. Nach § 9, (14) führt nämlich diese Gleichung zu 2 sin\ (x -hy) cos\ (x — y) = b, und da x+y — a aus der ersten Gleichung bekannt ist, ergiebt sich cos\ (x — y) = ^ -f—;—. 1 v 2 • sm\a Ist hieraus 4 (x — y) gefunden, so ergeben sich x und y leicht durch Addition des betreffenden Werthes zu 4 ( x + y) = i a bezw. durch Subtraction beider. In entsprechender Weise ergeben sich zu folgenden Aufgaben die beigesetzten Auflösungen. a) x —y — a sin x + siny = b b) x -hy = a sin x — siny — b c) x —y = a sin x — siny — b sin 4- (x -\- y) - sin 4 (x — y) ■ cos 4 (pc + y) - 2 cos 4 a b 2 s in 4 0 In ähnlicher Weise behandelt man die Fälle, in welchen der Werth von x -hy oder x—y in Verbindung mit demjenigen von cos x ± cosy gegeben ist. Ist dagegen in der zweiten Gleichung sin x ± cosy gegeben, so kann man die Aufgabe auf eine der vorhergehenden zurückführen, indem man entweder für x oder für y das Complement dieses Winkels als Unbekannte einführt. Ist ferner statt der Summe oder Differenz zweier unbekannten Sinus oder Cosinus das Produkt derselben gegeben, so beachte man, dass z. B. sin x ■ cosy — 4 (sin (x -hy) -t- sin (x — y)) ist, so dass man, wenn etwa x -hy = a ; sin x • cosy — b gegeben wäre, zu der ersteren Gleichung die fernere sin (x — y) = 2 b — sin a erhält. Hiernach ist das Verfahren für die Fälle, in welchen cos x- siny oder cos x • cosy oder sin x • siny gegeben sind, von selbst einleuchtend. Ist ferner in der zweiten Gleichung tangx ± tangy oder cot x ± coty gegeben, so beachte man, dass z. B. tang x ± tangy ■■ sm y cos y sin (x ± y) sin x cosy ± cos x siny cos x cosy 4 [cos (x -hy) + cos {x — y)] ist, so wie die entsprechende Formel für die Cotangenten. Ist endlich in der zweiten Gleichung ein Produkt zweier Tangenten oder Cotangenten gegeben, so setze man beispielsweise sin x siny cos (x — y) — cos (x -hy) cos x cosy cos (x — y) -+- cos (x -hy) ’ tang x ■ tangy = Anh. i, zum ersten Abschnitt. Die Auflösung trigonom. Bestimmungs-Gleichungen. 529 so dass, wenn etwa x -+-y = a, tangx ■ tangy = b gegeben wäre, zu der Summe der unbekannten Winkel die Differenz derselben aus /1 \ (1 + b) cos <*■ cos (1 -y) = l ^_ b - gefunden werden kann. In ganz entsprechender Weise sind die analogen Fälle, in welchen cot x • coty oder tang x ■ coty gegeben sind, zu behandeln. 5. Kommen dagegen in einer und derselben Gleichung ein oder mehrere unbekannte Winkel selbst neben trigonometrischen Functionen derselben vor, so kann nur bei numerischen Aufgaben durch ein näherungsweises Verfahren zum Ziel gelangt werden. Dieses Verfahren soll im Folgenden durch einige Beispiele erläutert werden.*) Aufgabe 1: Die Gleichung * = 332°28'55" + 14°3'20" • sinx aufzulösen. Durch Versuche, d. h. hier durch Substitution von nur ganze Grade enthaltenden Winkeln für x findet man als erste Annäherung den Werth 330° und kann daher *= 330°+/ setzen. Nun erhält man mit Benutzung der Proportionaltheilchen der Tafeln, wenn man noch der Kürze halber 332°28'55" durch a und 14°3'20'' durch b bezeichnet, log sin x — 9,69897 11 — 22 y log b = log 50600" = 4,70415 _ log (b • sin x) = 4,40312 n — 22 y b ■ sin x = ~ 25300" + 22jr • /?-" = — 7°1'40" -+- 13/' a + b sin x = 325°27'15" -+- 13/' _ = 330° +60/', also 47 y" = — 4°32'45" = — 16356" /' = — 348 / = —5°48'. Die Anbringung dieser Correctur führt zu dem zweiten Näherungswerth x = 324°12', mit welchem das Verfahren wiederholt wird. Auf dieselbe Weise fortschreitend, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist, erhält man folgende weitere Ausrechnung: x = 324°12' + z" 17 5 log sin * = 9,76712«- -z bO log b = 4,70415 17 5 log (b sin x) = 4,47127 n -~-z 17 5 10" b ■ sin x = — 29599'' + -g~- 2 • = —8°13T9" +0,19 2" a y-b sin x = 324°15'36" + 0,19/' = 324°12' + /' 0,81/' = 3'36" = 216" /' = 267" = + 4'27". Annahme: * = 324°16’27" + u" log sin x = 9,7663439 n — 29,27 u" log b = 4,7041505 ——_ log {b sin x) — 4,4704944 n — 29,27 u" *) Dieselben sind des Verf. »Sammlung von Aufgaben und Beispielen aus der Trigonometrie, Leipzig 1877, B. G. Teubner« entnommen. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. 1. 04 $3° Trigonometrie. b sin x = — 29545",7 + 29,27 147 4. Annahme: = —8°12'25",7 + 0,1992 u" a + b sin x = 324°16'29",3 + 0,1992 u" = 324 0 16'27" -+- u" 0,8008 u" = + 2",3; u" = + 2",87. x = 324°16'29",87 + z/" 9,7663354 n + 29,27 v" 4,7041505 4,4704859 n -\ — 8 0 12'25",13 29,27 v” 29,27 „ h ~ Til ~ v also Aufgabe 2: Die Gleichung 324°16'29",87 + 0,1992 v” = 324°16'29",87 + v" 0,8008 v" = 0",00 . ., x= 324 0 16'29",87. x° sin 2 x = 80° aufzulösen. 1. Annahme: x — 50° + y' = 3000' +y bog x' = 3,47712 = 15 y log sin 2 x — 9,76850 + 22 y 3,70862 — 7y==3,68124 7j/ = + 0,02738; / = + 391' = + 6°31 2. Annahme: x = 56°31' + z' = 3391' + z' log *' = 3,53033+ 13 2 log sin 2 x = 9,84238 + 16 z 3,68795 — 3 2 = 3,68124 3 2 = 671'; 2 = 224' = + 3°44'. 3615' ~H u 3. Annahme: x = 60°15' + «' ■■ log x' = 3,55811 + 12« log sin 2 x = 9,87724 + 14« 3,68087 — 2«~= 3,68124 2« = — 37'; « = — 18'30" 5. Annahme: x = 60°1' + w" = 216060" + w" log x" = 5,3345744 + 20, Iw log sin 2 x = 9,8752070 + 24,28 w 5,4593674 — 4,18w 5,4593925 = log 288000" 4,18 w = — 251"; w = — 60" 4. Annahme: x — 59°56'30" + v" = 3596',5 • 3,55588 ■ 9,87455 12z/ 14z/ 3,68133 — 2z/= 3,68124 2z/ = + 9, v = + 4",5. 6. Annahme: x = 60°0'0" + ?" = 216000" 5,3344538 + 20,1? 9,8750612 + 24,3? 5,4593926— 4,2? = 5,4593925. ä = 60 o 0'0". 6. Die Auflösung trigonometrischer Bestimmungsgleichungen wird häufig sehr erleichtert durch die Anwendung sogenannter Hülfswinkel. Dieselbe beruht darauf, dass jede reelle (unbenannte) Zahl gleich der Tangente oder der Cotangente eines Winkels, jede reelle, positive oder negative Zahl, deren absoluter Werth nicht grösser als 1 ist, gleich dem Sinus oder dem Cosinus eines Winkels gesetzt werden kann. Ferner kann man, wenn x und y irgend zwei reelle Zahlen sind, stets x = n • sin y = n • cos tp Anh. 2, zum zweiten Abschnitt. Berechnung anderweiter Stücke des ebenen Dreiecks. 531 setzen, wo 9 ein zu bestimmender Hlilfswinkel, n ein zu bestimmender reeller Faktor ist. Durch Quadriren und Addiren erhält man aus den vorstehenden Gleichungen x 2 -hy 2 = 11 2 ( sin 2 cp 4- cos 2 cp), also 11 = j/x 2 4 -y 2 , durch Dividiren oc tang f=y Aus diesen letzteren Gleichungen geht hervor, dass 9. und n sich stets bestimmen lassen. Ist 9 gefunden, so ergiebt sich n auch aus x y sin 9 cos 9' Als Beispiele der Anwendung der Hülfswinkel mögen folgende Aufgaben dienen: Aufgabe 1: Die Gleichung a ■ sin x± b ■ cos x — c aufzulösen. Setzt man a = n • cos 9, b — n ■ sin 9, so erhält man n ■ (sin x ■ cos 9 ± cos x ■ sin 9) = c oder n • sin (x ± 9) = c. Man bestimme hiernach zuerst 9 durch b tang 9 = -, so ist aus sin (x ± < c a — oder, wegen n = sin (x ± 9) : cos 9 c cos 9 a aus leicht x ± 9 und hieraus x zu ermitteln. Aufgabe 2: Die folgenden Gleichungen aufzulösen: a sin x + b siny — c x -hy = 2u. Setzt man x —y = 28, wo 8 eine neue Unbekannte bezeichnet, so ist x = g-\- 0 , y — a — S, und durch Substitution dieser Werthe in die erste gegebene Gleichung geht diese über in a • sin (u + 0 ) + b • sin (u — 6) = c, woraus leicht (a + b) sin er • cos 8 4- (a — b) cos <7 • sin 8 = c folgt. Diese letztere Gleichung lässt sich auf dem in der vorigen Aufgabe angegebenen Wege auf 8 auflösen. Aus 8 und a ergeben sich dann leicht x und y. Anhang 2, zum zweiten Abschnitt. Berechnung anderweiter Stücke des ebenen Dreiecks. 1. Ausser den Seiten und Winkeln oder dem Flächeninhalt eines Dreiecks können noch anderweite Stücke verlangt sein, wie z. B. eine oder mehrere Höhen, der Radius des umbeschriebenen und die Radien der verschiedenen Berührungskreise, die innerhalb des Dreiecks fallenden Abschnitte der winkel- halbirenden Transversalen oder der Mittellinien, u. dgl. m. Die Formeln, welche die Resultate solcher Aufgaben angeben, werden selbstverständlich für ein und dasselbe gesuchte Stück sehr verschieden ausfallen, je nachdem die gegebenen Bestimmungsstücke verschieden sind. Es sei deshalb hier zunächst verlangt, 34 ’ 532 Trigonometrie. jene mittelbaren Grössen durch den Radius r des dem Dreieck umbeschriebenen Kreises und die Winkel a, ß, 7 auszudrücken, wobei die Resultate eine möglichst symmetrische Form erhalten. Da ferner zwischen diesen Grössen und den Seiten des Dreiecks die bereits bekannten Gleichungen a = 2 r • sin a, b = 2 r ■ sin ß, c = 2 r • sin 7 bestehen, so kann man auch die gewonnenen Resultate für solche Fälle umformen, in welchen die gegebenen Bestimmungsstücke drei beliebig unter den Seiten und Winkeln des Dreiecks ausgewählte sind. Man hat nämlich zu diesem Zwecke die nicht gegebenen der Grössen r, a, ß, 7 mit Hülfe der vorstehenden Formeln zu eliminiren. Bezeichnen wir die Maasszahlen der Höhen AA X , B B lt CC 1 des Dreiecks ABC bezüglich durch h a , hi, h c und setzen die von diesen Höhen gebildeten Seitenabschnitte BA X = q a , CA x =p a , CB x =qb, AB x =pb, AC x =q r , BC X —pc, so erhält man beispielsweise aus dem rechtwinkeligen Dreieck ACA X , h a — b • sin 7, und folglich wegen b = 2r sin ß h a — 2r sin ß sin 7. Entsprechend ist hb = 2 r sin a sin 7. h c -=%r sin a sin ß. Ferner ist p a = b • cos 7 = 2r sin ß cos 7; q a = c • cos ß = 2r cos ß sin~{\ und entsprechend erhält man noch pb = 2 r cos a sin 7; qb = 2 r sin a cos 7 p c = 2 r sin a cos ß; q c = 2r sin ß cos a. 2. Es sei ferner O der Mittelpunkt und A % der auf BC liegende Berührungspunkt des dem Dreieck ABC einbeschriebenen Kreises. Zieht man OA 2 , OB, OC, so erhält man die rechtwinkeligen Dreiecke OBA 2 , OCA 2 , in denen nach Planimetrie § 22, zl OBA 2 = Jß, ^ OCA 2 = J7 sein muss. Bezeichnet nun p die Maasszahl des Radius OA 2 des Kreises O, so ist hiernach BA 2 = p • cot^fl; CA X = p • cot\ 7, also wegen a = BA 2 - a = p («tf-Jß -t- cot\ 7). cos ^-7 cos Jß sin J7 ■ CA, cos Aß Nun ist cot Aß -+- cot I7 = —— ^ i. sin Jß sin -|-7 sin J (ß 4- 7) sin -Jß sin ^7 Demnach erhält man also wegen -J (ß 4- 7) = 90° — Ja, gleich sin\§ cos 7 sin Jß sin\ 7 cos Ja sin -Jß sin\ 7' a ■ sm P : sin J7 cot\§ 4- cot\-{ cos ^a ’ oder wenn man a = 2r sin a = Ar sin Ja cos Ja einsetzt, p = 4r • sin Ja • sin Jß • sin J7. In ganz entsprechender Weise ergiebt sich für den Radius p a des Kreises, welcher die Seite BC und die Verlängerungen von AB und AC berührt, wenn O a A 3 der zu BC gehörige Berührungsradius dieses Kreises ist, aus den rechtwinkeligen Dreiecken O a BA 3 , O a CA 3 , B A 3 = p a • cot J (180° — ß) a = BA. t 4- CA S = p a {fang Jß 4- tang £7) = p a - cQs ^ cgs ^ woraus wieder mittelst a — Ar sin J a cos J a leicht p a tang iß; CA 3 =p a tang J7, sin -i- (ß 4- 7) p 3 4) berechnet werden, so müssen 2 n — 3 Bestimmungsstücke gegeben sein, und man kann die einzelnen möglichen Fälle in folgender Weise unterscheiden und ordnen: Erster Hauptfall: Die drei nicht gegebenen Stücke sind ein Winkel und zwei Seiten. In diesem Falle ergiebt sich der fehlende Winkel ohne Weiteres aus der bekannten Winkelsumme; die Lage dieses Winkels gegen die übrigen Stücke ist daher gleichgültig. In Betreff der Seiten aber sind wieder zwei Fälle zu unterscheiden: a) Die fehlenden Seiten liegen aneinander. Das n - Eck lässt sich dann mittelst einer Diagonale in ein Dreieck, welches diese Seiten enthält, und ein n — 1 - Eck, von welchem alle Stücke ausser dreien bekannt sind, zerlegen. Dieses n — 1 - Eck ist also durch die gegebenen Stücke bestimmt, und falls die fehlenden trigonometrisch berechnet werden können, liefern diese die nöthigen Stücke zur Berechnung des abgeschnittenen Dreiecks. Die Aufgabe der Berechnung des «-Ecks erscheint also auf diejenige der Berechnung eines n — 1-Ecks zurückgeführt. b) Die fehlenden Seiten liegen nicht aneinander. Man verbinde die Endpunkte der fehlenden Seiten mit einander, so dass das «-Eck in eine oder zwei Figuren von höchstens «—2 Seiten und ein Viereck zerfällt. Die ersteren Figuren sind durch die gegebenen Stücke bestimmt, und ihre Berechnung liefert die fehlenden Stücke zur Berechnung des Vierecks. Die Aufgabe ist also wieder auf diejenige der Auflösung einer Figur von weniger als «Seiten zurückgeführt. A nb. 3, zum zweiten Abschnitt. Polygonometrie. 537 Zweiter Hauptfall. Die drei nicht gegebenen Stücke sind zwei Winkel und eine Seite. Wir unterscheiden dann wieder folgende Fälle: a) Die drei Stücke liegen aneinander, die Winkel also an der fehlenden Seite. Die Figur lässt sich dann durch eine Diagonale in ein «—1-Eck und ein Dreieck zerlegen, welche nach einander berechnet werden können. b) Die beiden Winkel folgen auf einander, die fehlende Seite liegt zwischen einem von ihnen und einem bekannten Winkel. Auch hier genügt die Construc- tion einer Diagonale um die Aufgabe auf die successive Berechnung eines «•—1- Ecks und eines Dreiecks zurückzuführen. c) Die drei Stücke liegen auf beliebige andere Weise. Man verbinde die Endpunkte der fehlenden Seite mit den Scheitelpunkten der fehlenden Winkel. Das «-Eck wird hierdurch in Theile zerlegt, von denen der eine ein die fehlende Seite enthaltendes Viereck ist, welches nach Berechnung der übrigen, sämmtlich durch gegebene Stücke bestimmten Theile, in vorher angegebener Weise berechnet werden kann. Dritter Hauptfall. Die nicht gegebenen Stücke sind drei Winkel. a) Die drei Winkel folgen auf einander. Man kann wieder mittelst einer Diagonale die Figur in ein durch die gegebenen Stücke bestimmtes n —1-Eck und ein nach Auflösung des letzteren zu berechnendes Dreieck zerlegen. b) Die drei Winkel liegen sonst in beliebiger Weise. Man verbinde die Scheitel derselben, so entsteht ein Dreieck, von welchem durch Berechnung der übrigen, durch die gegebenen Stücke bestimmten Theile des «-Ecks die drei Seiten bekannt werden. Hiermit sind alle möglichen Fälle erschöpft. Da hiernach die Berechnung stets auf die eines Dreiecks oder Vierecks und die eines Polygons von höchstens n —1 Seiten zurückgeführt werden kann, auf letzteres aber dasselbe Verfahren aufs Neue Anwendung findet, u. s. w., so erhellt, wie schliesslich die Berechnung eines jeden «-Ecks auf diejenige von lauter Dreiecken, bezw. Vierecken zurückkommt. Da die Auflösung der letzteren für alle Fälle durchgeführt ist, so ist somit auch für diejenige beliebiger «-Ecke in allen Fällen ein Weg gezeigt. 3. Im Vorigen sind zwar nur Vier- und «-Ecke im engeren Sinne vorausgesetzt worden, d. h. solche, deren Umfänge einander nicht schneiden, man kann jedoch das beschriebene Verfahren mit den leicht ersichtlichen nebensächlichen Abänderungen auch dann anwenden, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist. Eine andere Methode der Berechnung von Polygonen, welche insbesondere mit dem Namen Polygonometrie bezeichnet zu werden X Pflegt, gründet sich auf den — in der analytischen Geometrie näher z u erörternden — Gebrauch der Coordinaten. Dieselbe soll im Nachstehenden kurz entwickelt Werden. Es seien XX 1 und YY 1 zwei beliebige Gerade, welche einander in einem Punkte 0 unter rechten - M t f P i ) i Ol X (M. 229.) 53» Trigonometrie. Winkeln schneiden, und deren Lage in der Ebene als fest gegeben angenommen wird. Die Lage eines Punktes P der Ebene kann dann durch die senkrechten Abstände PQ, PM desselben von jenen beiden Geraden angegeben werden. Diese Abstände werden die Coordinaten des Punktes P genannt, und zwar soll der Abstand PM von der mit YY 1 bezeich- neten Geraden die Abscisse und der Abstand PQ von der mit XX x bezeichnten Geraden die Ordinate des Punktes P heissen. Statt dieser Abstände können bezüglich die ihnen gleichen Abschnitte O Q, OM der beiden Geraden XX t , YY l genommen werden. Im Folgenden ist unter der mit x bezeichnten Abscisse die Strecke O Q und unter der mitjy bezeichnten Ordinate die Strecke PQ verstanden. Die Geraden XX t und YY X heissen die Coordinaten- Achsen, und zwar XX\ die Abscissenachse oder die Achse der x, YY 1 die Ordinatenachse oder die Achse der y; O heisst der Ursprung der Coordinaten. Jeder beliebige Punkt P der Ebene hat hiernach in Beziehung auf ein angenommenes oder gegebenes festes »Coordinatensystem« ganz bestimmte Zahlen- werthe y, x seiner Coordinaten. Dagegen ist nach dem Gesagten noch nicht umgekehrt die Lage eines Punktes P durch die Angabe seiner Coordinaten unzweideutig bestimmt, vielmehr giebt es im Allgemeinen je vier Punkte, welche dieselben Längen der Coordinaten haben, nämlich in jedem der vier durch die unendlichen Geraden XX x und YY X begrenzten Theile (Quadranten) der Ebene einen. Diese Unbestimmtheit verschwindet, wenn man die von O aus nach einer vorher festgesetzten der beiden Richtungen von XX V bezw. YY 1 gemessenen Coordinaten als positiv, die nach den entgegengesetzten Richtungen gemessenen als negativ annimmt. Im Folgenden sollen die Richtungen OX, OY als die positiven, OX j, O Y 1 als die negativen angenommen werden. Sind also x — a, y = b die absoluten Längen der Coordinaten eines Punktes, so unterscheiden sich die vier Punkte, welche diese Coordinatenlängen haben, wie folgt durch die Vorzeichen: Es sind die Coordinaten derselben bezüglich: für P x : x— -t- a, y = -+- b, für P 2 :x = — a, y = + b, für P 3 : x = — a, y = — b, für P i : x = -+- a, y = — b. Diese Annahme der Vorzeichen ist keine willkürliche, sondern durch die Sache bedingt, denn ist z. B. O Q = x = a und soll ein zweiter Punkt angegeben werden, dessen Abscisse x x um b kleiner ist, so ist x 1 = a — b zu setzen. Ist nun b> a, so gelangt man in der That zu einem Punkte auf der Abscissen- in der Richtung OX x liegt. Die Lage eines jeden Punktes P der Ebene ist nunmehr durch seine beiden Coordinaten, d. h. durch die gleichzeitige Angabe der Längen und der Vorzeichen derselben völlig bestimmt. Man kann daher im Folgenden jeden vorkommenden Punkt als durch seine beiden Coordinaten gegeben ansehen. Es sei ferner P x P 2 eine Strecke, deren Länge durch 5 bezeichnet werde, x 1 ,y 1 seien die Coordinaten ihres Endpunktes P v x 2 ,y 2 diejenigen von P 2 . Zieht man nun durch P x die Parallele P X N zur Abscissenachse bis zum Durchschnitt mit achse, welcher von O aus um b — a (M. 230.) der Ordinate P 2 Q 2 , so ist stets Anh. 3, zum zweiten Abschnitt. Polygonometrie. 539 P X N= Q X Q 2 = °Q 2 — °Qi =x 2 — x 1 und P 2 N= P 2 Q 2 — P 1 Q l = y 2 — y v Daher erhält man aus dem rechtwinkeligen Dreieck P 1 P 2 N für die Länge r von P X P 2 die Gleichung s = V(y 2 — y x ) 2 + (x 2 — x iY> (!) welche die Berechnung des Abstandes zweier Punkte aus ihren Coordinaten ermöglicht. Es sei ferner der Winkel, um welchen die der positiven Richtung OX entsprechende Richtung von P\ JSF um P x gedreht werden muss, um in die Richtung P X P 2 zu gelangen, durch a bezeichnet. Hierbei werde die Drehung immer in demselben Sinne genommen, in welchem die positive Richtung OX der Ab- scissenachse gedreht werden muss, um nach einer Viertel-Umdrehung mit O Y zusammenzufallen. Der Winkel a heisse im Folgenden das Azimuth von P X P 2 - Um also beispielsweise das Azimuth von P 2 P x zu erhalten, muss man durch P 2 die zu OX parallele und gleichgerichtete Gerade ziehen und findet dann leicht, dass das gesuchte Azimuth gleich 360° — A’ 2 /’ 1 A^ist, d. h. dass das Azimuth von P 2 P X das Azimuth von P X P 2 zu vier Rechten ergänzt. — Der einer anderen Wissenschaft (der Astronomie) entnommene Ausdruck Azimuth bezeichnet eigentlich den Winkel einer gegebenen Richtung mit dem Meridian des Ausgangspunktes derselben. Es ist nun stets in dem Dreieck P X P 2 N, P 2 N = P x P 2 ■ sin a; P x N — P x P 2 cos a. Hieraus ergeben sich leicht die Gleichungen y 2 — y 1 y 2 =y x -h s ■ sin a; x 2 = x 1 -+- r • cos a.) -= tang a. (2) 00 2 00 j Diese Gleichungen haben allgemeine Gültigkeit, welches auch die Lage von P X P 2 sein mag, wie man durch Wiederholung der vorstehenden Ableitung für alle möglichen Fälle nachweisen kann. Hat beispielsweise P X P 2 die Lage wie in nebenstehender Figur, so ist das Azimuth a ein überstumpfer Winkel, und wenn w den Winkel NP x P 2 des entsprechend wie vorher con- struirten Dreiecks NP X P 2 bezeichnet, so ist a = 360°— w. Ferner sind x x und y 2 negativ, und man hat y% = - A<2 2 = - (^2 - m*) — — P X P 2 sin w + P X Q X = -+- P x P 2 sin (360° — w) +y x —y x -+- s • sin a, x 2 = OQ 2 =P x N— OQ t = P x P 2 cos w — (— x x ) — s ■ cos (360° — w) -+- x x = x x -+■ s • cos a, so dass also die obigen Gleichungen (2) auch für diesen Fall gefunden sind. 4. Ist ein System von n Punkten in der Ebene vorhanden, und sind diese Punkte durch eine zusammenhängende gebrochene Linie, welche von einem Punkte zum anderen führt, verbunden, so mögen diese Punkte in der betreffenden Reihenfolge durch P x , P 2 , P 3 , . . . P n , die Strecken P X P 2 , P 2 P$t ■ • ■ PnP\ bezüglich durch r 2 , . . . s m ihre Azimuthe durch a x , a 2 , ... a«, und die Coordinaten jener Punkte durch x x y v x 2 y 2 , x 3 y 3 , . . . x„y /t bezeichnet werden. Dann ist nach dem Vorhergehenden 54° Trigonometrie. x 2 = x x -+- 5 X cos ; x 3 — x s -t- s g £ P g . . . mit einander bilden, und welche bezüglich durch w 2 , w s , ... bezeichnet werden mögen, sollen dann diejenigen verstanden werden, welche sämmtlich auf einer und derselben — an sich beliebig wählbaren •— Seite für den beschreibenden Punkt (der rechten oder der linken) liegen, so dass also hierdurch in jedem einzelnen Falle entschieden ist, ob der betreffende hohle oder der convexe Winkel zu nehmen ist. Es sei ferner stets der Winkel, welchen die Verlängerung einer vorangehenden Strecke mit der nächstfolgenden Strecke selbst bildet, also derjenige Winkel, welcher die Grösse der Drehung angiebt, die an dem betreffenden Eckpunkt von dem beschreibenden Punkt zu machen ist, um in der Richtung der folgenden Strecke weiter gehen zu können, bezüglich durch r 2 , r 3 , . . . bezeichnet. Diese Aussenwinkel sollen dabei immer so genommen werden, dass die gedachte Drehung stets in demselben Sinne genommen wird, und zwar in demjenigen Sinne, in welchem auch das Azimuth an demselben Punkte beschrieben gedacht wurde. Für hohle Winkel w kann dann immer rp = 180° — Wp gesetzt werden, für überstumpfe Winkel w dagegen ist rp = 360° 4 - 180° — Wp — 540° — Wp zu setzen. Ist nun das Azimuth bekannt, so ist offenbar dasjenige von P 2 oder a 2 gleich — r 2 , das von P 3 oder a 3 = a 2 — r v u. s. w., wobei man, falls die betreffende Differenz negativ wird, jedesmal 360° zu addiren hat. Anh. 3, zum zweiten Abschnitt. Polygonometrie. 541 Hiernach ergiebt sich durch Zusammenstellung folgende Anweisung für die Berechnung der Coordinaten der Punkte P aus den Längen s und den Winkeln w der einzelnen Strecken, sowie den Coordinaten des ersten Punktes und dem Azi- muth der ersten Strecke: Aus den Winkeln w x , w 2 , w 3 , . . . w„ berechne die Aussenwinkel r v r 2 , r 3 , . . . r n mittelst der Formel rp = 180° — wp, bezw. rp = 540° — Wp. Aus den Aussenwinkeln berechne sodann die Azimuthe mittelst der Formel —— ctp — i Endlich berechne die Coordinaten successive nach den Formeln Xp +1 = Xp -+- st, • cos ap ; yp +1 =yp 4- Sp sin ap. 5. Kehrt die gebrochene Linie P l . . . P n von P n zu ihrem Ausgangspunkt P x zurück, bildet also eine geschlossene Figur, so muss schliesslich auch x 1 = x n -+- s n cos a m y x —y n -+- s„ cos a„ sein, und man erhält durch Zusammensetzung aus den entsprechenden Gleichungen x n — x n — \ | S/i — i cos a n — r j x,i — r — x n — 2 —t- — 2 cos o. u — 2 ? • ■ •, x -2 = x\ -+- ai, die Gleichung h = *1 + ri cos ai + ^2 cos aj + . . . + s n _ 1 cos a n _ 1 + s n cos a„, oder Si cos ai -t- s-i cos 0.2 -+- . . . cos a« — 0. (3) In gleicher Weise ergiebt sich si sin a\ -1- S 2 siti 02 -h . . . -1 - s n sin a„ = 0. (4) Die einzelnen Summanden ^ cos a lt s -2 cos «.% u. s. w. der Gleichung (3) sind die Werthe der Projectionen Q 1 Q 2 , Q 2 Q 3 u. s. w. der Seiten ^ 1,^2 u. s. w. auf die Abscissenachse OX, wobei diejenigen, welche in der Richtung OX beschrieben werden, wenn man nach der Reihenfolge der Punkte fortschreitet, als positiv, diejenigen welche in der entgegengesetzten Richtung beschrieben werden, als negativ gelten. Die Gleichung (3) besagt, dass dann die algebraische Summe der Projectionen aller Seiten eines geschlossenen Polygons gleich Null sei. Da dies ohne Weiteres aus der Rückkehr zum Ausgangspunkte geschlossen werden kann, so hätte die Gleichung (3) auch umgekehrt aus diesem Satze gefolgert Werden können. Die Gleichung (4) enthält denselben Satz in Beziehung auf die Achse OY. Sind nun von den 2 n Seiten und Winkeln des Polygons alle bis auf drei — unter denen wenigstens ein Winkel sich befindet — bekannt, so liefern die obigen Gleichungen (3) und (4) in Verbindung mit der Winkelsumme des »-Ecks die nöthigen Hülfsmittel zur Berechnung der drei fehlenden Stücke. Um dies näher zu zeigen, sollen wieder die einzelnen möglichen Fälle, wie vorher, nach einander behandelt werden. Erster Hauptfall: Es fehlen zwei Seiten und ein Winkel. Der fehlende Winkel bestimmt sich ohne Weiteres aus der Winkelsumme des n - Ecks. Die Gleichungen (3) und (4) sind dann zwei Bestimmungsgleichungen ersten Grades für die beiden unbekannten Seiten und können auf diese aufgelöst werden. Das Verfahren kann auch in folgender Weise abgeändert werden: Liegen a) die fehlenden Seiten s,„ _ 1 , s m aneinander, so kann man, indem man von dem Anfangspunkte aus nach beiden Richtungen auf dem Umfang fortschreitet, die Coordinaten von P m _ 1 und P m + i bestimmen. Hieraus erhält man nach (1) die Länge von P m _ 1 P m + 1 , so wie die Winkel, welche diese Linie mit den nicht 542 Trigonometrie. gegebenen Seiten bildet. Man hat somit ein Dreieck P m -\P, n P m + \, in welchem eine Seite und die Winkel bekannt sind und dessen trigonometrische Berechnung die fehlenden Stücke liefert. Liegen dagegen b) die fehlenden Seiten s m , s r nicht aneinander, so nehme man zunächst eine derselben, z. B. s r , zur Abscissenachse und berechne, von ihrem einen Endpunkt ausgehend die Coordinaten von P m und von dem anderen Endpunkt ausgehend die Coordinaten von P m + i- Zieht man nun durch P m die Parallele zur Abscissenachse bis sie die Ordinate von P m + 1 in P schneidet, so ist in dem rechtwinkeligen Dreieck P m P m + iR ausser den Winkeln auch die Kathete P m ^.\R als die Differenz der betreffenden Ordi- naten bekannt. Hieraus erhält man durch trigonometrische Rechnung die Hypotenuse s m , d. i. die eine fehlende Seite, sowie die Kathete P m R, welche letztere dann in Verbindung mit den vorher berechneten Abscissen auch die zweite fehlende Seite liefert. Zweiter Hauptfall: Es fehlen zwei Winkel und eine Seite. Liegen a) die fehlenden Stücke an einander, so berechnet man, wie im ersten Fall unter a) die Coordinaten der Endpunkte der fehlenden Seite P m P m + \ und dann aus denselben diese Seite selbst. Gleichzeitig liefert das wie vorher construirt gedachte Dreieck P m P m + \ R die Tangente des Winkels P m + i P m R, welcher in Verbindung mit dem Azimuth der vorhergehenden Seite den Winkel an P m liefert. Entsprechend erhält man auch den fehlenden Winkel an P m + i. •— Nimmt man eine der unbekannten Seite P vl P m + \ anliegende Seite P m _ \ P m zur Abscissenachse an, so kann man von P m _ i aus die Coordinaten sämmtlicher Eckpunkte bis P m + i berechnen und erhält dann wieder aus dem zu P m P m + i gehörigen rechtwinkeligen Dreieck, dessen Katheten die Coordinaten von P m + i sind, alles Fehlende. Liegen b) die fehlenden Winkel w m , w m + i zusammen und die fehlende Seite P m _ i P m zwischen einem derselben und einem bekannten Winkel, so kann man die unbekannte Seite selbst zur Abscissenlinie nehmen und die Coordinaten aller Punkte von P„, _ i an bis zum Punkte P m + \ berechnen. Die Ordinate von P m + i und die bekannte Seite P m P m + j bestimmen dann wieder ein rechtwinkeliges Dreieck, durch welches man die fehlenden Winkel erhält; die zu berechnende Kathete desselben Dreiecks liefert in Verbindung mit der Abscisse von P m + ± die unbekannte Seite. Liegen c) die fehlenden Stücke in irgend einer beliebigen anderen Weise, so kann man diejenige Diagonale ziehen, welche die Scheitel P m , P r der unbekannten Winkel verbindet. Dieselbe theilt das Polygon in zwei Theile, von denen sich zunächst derjenige, welcher die unbekannte Seite nicht enthält, nach dem vorliegenden Fall a) berechnen lässt. Hierdurch erhält man die Länge von P m P r und Theile der Winkel w m und w r . Darauf berechne man den zweiten Theil des ganzen Polygons, indem man die fehlende Seite zur Abscissenachse nimmt und zunächst von dem einen Endpunkt derselben aus die Coordinaten von P m , von dem anderen Endpunkt aus die Coordinaten von P r berechnet. Dadurch ist wieder ein rechtwinkeliges Dreieck bestimmt, dessen Hypotenuse P m Pr und dessen eine Kathete die Differenz der Ordinaten von P m und P r ist. Die Winkel dieses Dreiecks führen auf die noch unbekannten Theile der ganzen Winkel w m , w r und die zweite Kathete auf die unbekannte Seite. Dritter Hauptfall: Es fehlen drei Winkel. a) Folgen die drei fehlenden Winkel P m , P m + i, P m + 2 auf einander, so nehme man eine Seite P„, _ 1 P ,„, welche zwischen einem dieser Winkel und Anh. 3, zum zweiten Abschnitt. Polygonometrie. S43 dem anliegenden bekannten Winkel liegt, zur Abscissenlinie, berechne darauf die Coordinaten des Scheitelpunktes P m + 2 , so erhält man ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Hypotenuse P m + 2 P, n und dessen eine Kathete die Ordinate von P m + 2 ist. Von diesem Dreieck sind die beiden Katheten bekannt, und man findet daher P m P, n + 2 - Nun kennt man in dem Dreieck P m P m + 1 P m + 2 alle drei Seiten, und mit Hülfe der trigonometrischen Berechnung seiner Winkel und der Winkel des vorher genannten rechtwinkeligen Dreiecks findet man die gesuchten Stücke. Liegen dagegen b) die drei Winkel in beliebiger anderer Weise, so kann man ihre Scheitelpunkte P m , P r , P s mit einander verbinden, wodurch ein Dreieck entsteht. Die übrigen Theile der Figur sind im Allgemeinen Polygone, von denen eine Seite nebst den ihr anliegenden Winkeln fehlt und welche daher nach dem zweiten Hauptfall a) berechnet werden können. Dadurch erhält man ausser Theilen der gesuchten Winkel w, n , w r , », die Seiten des Dreiecks P m P r P s , und die trigonometrische Berechnung des letzteren liefert die noch fehlenden Theile jener Winkel. 6. Sind die Coordinaten sämmtlicher n Eckpunkte eines Polygons im engeren Sinne bekannt, so kann man aus denselben den Flächeninhalt dieses Polygons berechnen. Derselbe erscheint als algebraische Summe von ?z Trapezen, deren parallele Seiten je zwei auf einander folgende Ordinaten sind, während die Höhe jedesmal gleich der Differenz der zugehörigen Abscissen ist. So erhält man beispielsweise für ein Dreieck P x P 2 P 3 die Formel ■^=¥[(jl +^ 2 ) (*2 — X l) + O 2 + J> 3) ( X 3 — ^ 2 ) — (A's +y l)C*3 — ^l)]- wofür man auch 2 F= Oi +y 2 ) (x 2 — Xl ) + (y 2 y 3 ) {x 3 — x 2 ) +(j V 3 +y x ) — x 3 ) schreiben kann. Führt man die Multiplication aus, so ergiebt sich, dass sich mehrere Glieder gegen einander aufheben, und man erhält durch eine leichte Umformung 2P=y x (x 2 —x 3 ) +y 2 (x 3 — Xl ) -hy 3 ( Xl —x 2 ). Diese Formel ist leicht zu behalten, wenn man den Kreislauf beachtet, welcher in derselben in dem Wechsel der Stellenzeiger der Coordinaten stattfindet. In entsprechender Weise, wie hier für das Dreieck, findet man die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines zz-Ecks: 2 F= (jj x 2 —y 2 x t ) -+- (> 2 x 3 —y 3 x 2 ) + (y 3 x 4 — y t x 3 ) + • • • + (y»-i x„ —y n x n _ 1 ) + (y n —y x x„), oder 2 F=y t (x 2 — x „) -t-y a (x 3 — x t ) -Py 3 (x± — x 2 ) H- i-y K ~i (x„ — *« — 2 ) +y, t (*! — x„ - 1 ). 7. Beispiele: 1. Von einem Sechseck seien sämmtliche Seiten und Winkel, wie im Folgenden unter y und w angegeben, gemessen. Man berechne die Coordinaten seiner Eckpunkte und seinen Flächeninhalt unter der Voraussetzung, dass der erste Punkt P x der Ursprung der Coordinaten sei und die Linie P x P, g in der Abscissen-Achse liege. Auflösung: p s w r a log s log s in a log cos a. 1 325 83°38',4 83° 38',4 2,51188 9,99732 9,04444 2 257 13-30,7 166°-29',3 277- 9,1 2,40993 9,99661 11 9,09516 3 109 319-26,9 220- 33,1 56-36,0 2,03743 9,92161 9,74074 4 101 21-58,7 158 • 1,3 258 • 34,7 2,00432 9,99131 n 9,29673 11 5 7G,9 230- 8,4 309 • 51,6 308-43,1 1,88593 9,89222 n 9,79622 6 156,1 51-16,9 128- 43,1 180- 0,0 2,19340 - OO 0,00000 n 544 Trigonometrie. |log (s. sinn .) log {s. cos ot) s. sin ol s. cos a y X 2,50920 1,55632 323,0 36,0 0 0 2,40654 n 1,50509 — 255,0 32,0 4- 323 4- 36 1,95904 1,77817 91,0 6,0 68 68 1,99563 n 1,30105 n — 99,0 — 20,0 159 128 1,77815 n 1,68215 — 60,0 48,1 60 108 - OO 2,19340 n 0 — 156,1 0 156,1 0 0 2 F*= 323 • 68 4- 68 (128 — 36) + 159 (108 — 68) 4- 60 (156,1 — 128) = 36266 18133. 2. Von einem Sechseck P\ • • • P 6 seien die Seiten si = 125, S 2 = 173, .f 4 == 65, = 125, s s = 57 und die Winkel w\ = 110°36'35'', = 141°53'53", a/ 5 = 43°13'46'.',5, w 6 = 106°15'36”,7 gegeben; man soll die fehlende Seite s 3 und die fehlenden Winkel w 3 , w 4 , sowie den Flächeninhalt berechnen. Auflösung: Ist der Punkt P\ zum Ursprung der Coordinaten genommen und die Abscissenachse durch P 6 gelegt, so sind die Coordinaten von P±, xi = 0, y± = 0. Man erhält nun die Coordinaten von P=i gleich x\ 4 - si cos wi= — 44 undjri 4- -fl • sin w\ = 4- 117, darauf die Coordinaten von P 3 gleich x -2 -1- s -2 cosa.% = x -2 + S 2 cos [wi — (180° — w£)\ = X 2 4- 52 = 8,72 4- ^2 sin 0.2 = y 2 4- 165 = 282. Geht man von P\ nach der entgegengesetzten Richtung, so erhält man in entsprechender Weise: x 6 = s e = 57, y 3 = 0, ferner x 5 = x 6 4 - ,y 5 cos w 6 —x 6 - 1 - 35 = 92; y d =y 6 +s 5 sinw 6 = 120, ferner x 4 —x h 4- s 4 cos [360° -+- te/ 6 —(180° — zc/ 5 )] = x h 4 - cos a 4 = 36, y 4 =y 6 4- j 4 sin a 4 = 87. Nachdem nun die Coordinaten von P 3 und P 4 bekannt sind, kann man aus ihnen s 3 mittelst s 3 = j/( x 4 - — ^ 3 )^ 4- (^ 4 —~ y' 784 4 - 38025 berechnen, woraus s 3 = 197 folgt. Man findet ferner aus dem rechtwinkeligen Dreieck, dessen Katheten bezüglich gleich y 3 — y 4 und x 4 — x 3 sind, die Winkel desselben gleich 81°49'43'' und 8°10'17", woraus w 3 = 90° — a 2 4 - 8°10'17'', = 25°39'49'' und w 4 = 360° — « 4 4- 180° 4 - 81°49'43" = 292°20'20 ,, folgt. Selbstverständlich kann die Hypotenuse jenes Dreiecks auch aus einem der berechneten Winkel desselben und einer der Katheten trigonometrisch gefunden werden, was bei logarithmischer Rechnung dem obigen Verfahren vorzuziehen ist. Aus den berechneten Coordinaten folgt nun leicht nach der betreffenden Formel P= 16662. Darstellende Geometrie^ bearbeitet von Dr. Richard Heger, Gymnasiallehrer u. a. o. Hon.-Professor am Kgl. Polytechnikum zu Dresden. § 1. Einleitung. Der Punkt. Die descriptive Geometrie ist die Lehre von der Abbildung ebener oder nicht in einer Ebene liegender geometrischer Figuren. Die Abbildung einer Figur von drei Dimensionen hat entweder wieder drei Dimensionen, oder sie bildet eine Figur auf einer vorgeschriebenen Fläche. Im ersteren Falle nennt man die Abbildung ein Relief der abgebildeten Figur. Im letzteren Falle kann die Fläche, auf welcher die Abbildung entworfen wird, uneben (gekrümmt) oder eine Ebene sein. Die Construction einer Abbildung auf einer Cylinderfläche kommt z. B. bei der Herstellung von Panoramen, die Abbildung auf einer Kugelfläche bei bildlichen Darstellungen an der Decke eines kugelförmig überwölbten Raumes zur Anwendung. 2. Um die Abbildung — oder Projection — einer Figur auf eine Fläche zu erhalten (mit anderen Worten: um eine Figur auf eine Fläche zu projiciren), zieht man durch die Punkte der Figur nach einem bestimmten Gesetze Linien, die die gegebene Fläche schneiden; die Schnittpunkte sind die Bilder — oder Projectionen — der Punkte, von denen aus die Linien gezogen worden sind; die Linien heissen projiciren de Linien. Gewöhnlich wählt man hierzu gerade Linien, Projectionsstrahlen, und zieht diese entweder durch einen festen Punkt, den man das Projectionscentrum nennt, oder zieht sie einer festen Richtung parallel. Die erstere Art der Projection heisst Centralprojection, oder Central- Perspective oder Perspective schlechthin; die andere heisst Parallelper- spective oder Parallelproje'ction. Projicirt man auf eine Ebene (Projectionsebene) und zieht man die Projectionsstrahlen senkrecht zur Projectionsebene, so erhält man die einfachste Art der Parallelprojection, die Orthogonal- oder Normalprojection. Wir beschäftigen uns im Folgenden ausschliesslich mit der Projection auf eine Ebene und zwar zunächst und vorwiegend mit der Normalprojection. SchloeiMuxh, Handbuch der Mathematik. Jkl. I. 35 546 Darstellende Geometrie. (M. 233.) 3. Die Normalprojection eines Punktes P auf eine Ebene II ist der Fusspunkt P' des von dem Punkte auf die Projectionsebene gefällten Lothes. Alle Punkte A t A 2 A s etc., welche auf derselben Senkrechten zur Projectionsebene liegen, haben dieselbe Projection Ä. Durch die Projection eines Punktes auf eine Ebene ist also die Lage des Punktes gegen die Ebene noch nicht vollständig bestimmt. Die Bestimmung wird vollständig, wenn man ausser der Projection eines Punktes auch noch die Höhe desselben über (oder unter) der Projectionsebene kennt. 4- Man kann die Lage eines Punktes durch Projection allein vollständig bestimmen, wenn man den Punkt auf zwei sich schneidende Ebenen projicirt, deren gegenseitige Lage (Schnittlinie und Neigungswinkel) man kennt. Sind llj I7 2 die beiden Projectionsebenen, AA ihre Schnittlinie (die Projections- achse oder Achse schlechthin) und PP" die Projectionen eines Punktes P auf die Ebenen 17 1 und II 2 , so ist die Ebene PPP' senkrecht zu ll 1 (denn sie geht durch PP) und senkrecht zu II 2 (denn sie geht durch PP"), folglich ist sie senkrecht zur Achse AA und ist daher ein Normalschnitt des Flächenwinkels 17 1 II 2 . Ist 5ß der Schnittpunkt der Ebene PP'P" mit der Achse, so sind daher P'?ß, P"ty und P iß senkrecht zur Achse und P'^P" ist der Neigungswinkel der Projectionsebenen. 5. Sollen zwei auf den Projectionsebenen liegende Punkte P'P" die Projectionen eines Punktes sein (einem Punkte entsprechen), so müssen sie also in einer Ebene liegen, die normal zur Projectionsachse ist, oder, was dasselbe besagt, die von P' und P" auf die Achse gefällten Lothe müssen dieselbe in demselben Punkte iß treffen. Durch seine beiden Projectionen P und P’ ist ein Punkt P vollständig und eindeutig bestimmt. Denn der Ort der Punkte, die zur Projection P gehören, ist das in P zu 17 1 errichtete Loth; und der Ort der Punkte, die zu P" gehören, ist das in P" zu fl 2 errichtete Loth. Da P und P' Projectionen eines Punktes sein sollen, so liegen sie auf einer zu IIj und II 2 senkrechten Ebene; in dieser Ebene liegen auch die in P und P" zu II t und II 2 errichteten Lothe; mithin schneiden sich diese Lothe und ihr Schnittpunkt P ist der Punkt, der die Projectionen P und P" hat. 6. Um Alles in einer Ebene darstellen zu können, dreht man nach Herstellung der Projectionen die zweite Projectionsebene 17 2 um die Achse AA, bis sie mit der ersten Projectionsebene II j zusammenfällt und zwar so, dass der obere Theil der zweiten Projectionsebene mit dem hinteren Theile der ersten, und der untere Theil der zweiten mit dem vorderen Theile der ersten zusammenfällt. § 1. Einleitung. Der Punkt. 347 Da /»«ß und P'§ senkrecht zur Achse sind, so fallen sie nach der Umlegung der zweiten Pro- jectionsebene in eine Gerade, senkrecht zur Achse. Sind, wie es gewöhnlich der Fall ist, die beiden Projectionsebenen senkrecht zu einander, so liegen jP'Sp und /'"iß auf verschiedenen Seiten der Achse für alle Punkte, die über der ersten und vor der zweiten, oder unter der ersten und hinter der zweiten Projectionsebene liegen wie {P\ und P 2 in Fig. 235); P'?ß und P"?ß liegen auf derselben Seite der Achse für die Punkte, die über ITi und hinter U, oder unter Jb und vor FL (M. 235.) liegen (wie P 3 und P t ). 7. Die beiden Projectionen eines Punktes können nach der Umlegung in einen Punkt zusammenfallen. Dann sind die rechtwinkeligen Dreiecke PtyP' und P?ßP' congruent, und A’jß hal- birt daher den Winkel P’VßP") mithin liegt P auf der Halbi- rungsebene des von dem hintern Theile von llj und dem obern Theile von II 2 (oder von dem vorderen von IU und dem unteren von n 2 ) gebildeten Flächenwinkels. Und umgekehrt: Für alle Punkte, welche auf dieser Hal- birungsebene liegen, fallen nach der Umlegung die beiden Projectionen zusammen. Diese Ebene heisst Coincid enzebene. Liegt also eine Figur auf der Coincidenzebene, so fallen nach der Umlegung ihre beiden Projectionen zusammen. F p ’v" V. V f; F" (M. 236.) 8. Ist eine Projection eines Punktes und -die Höhe desselben über (oder unter) der Projectionsebene, sowie die Projectionsacbse und der Neigungswinkel der beiden Projectionsebenen gegeben, so kann man die zweite Projection des 35 548 Darstellende Geometrie. Punktes (in der Umlegung) und seine Entfernung von der zweiten Projections- ebene bestimmen. X, 1 l T (M. 237.) A Ist a der Neigungswinkel von üi und ü 2 und sucht man die zweite Projection des Punktes, der zu P' gehört und um p über II j liegt, so ziehe man P' p senkrecht zur Achse AA. Von dem Kreisviereck PF^P" kennt man die Seiten ,P'P, FP= p, den Winkel P'$P" gleich dem Neigungswinkel a, und die rechten Winkel bei F undA 5 ”. Man construirt daher P”$P’ — a, PP =p und J_ P'% sowie PP" -L pV" macht $P" = Pi>". Dann ist P" die gesuchte zweite Projection, PP" ist die Entfernung des Punktes P von der zweiten Projectionsebene und 7’p ist die Entfernung des Punktes P von der Achse. Soll P nicht um p über II 1; sondern um q unter Fl,, liegen, so entsteht die Figur QQ'&Q". 9. Gewöhnlich stellt man die zweite Projectionsebene senkrecht auf die erste, nimmt also a = 90°. Alsdann wird PPtyP" ein Rechteck und es ist PF =-P"P und FF' = -P'p. Sind also die Projectionsebenen auf einander senkrecht, so sind die Entfernungen der zweiten und ersten Projection eines Punktes von der Achse der Reihe nach gleich den Abständen des Punktes von der ersten, bez. zweiten Projectionsebene. Man denkt sich dann die erste Projectionsebene gewöhnlich horizontal, die zweite vertical und bezeichnet die erste und zweite Projection demgemäss als Horizontalprojection (Grundriss) und Verticalproj ection (Aufriss). Wenn bei den folgenden Entwicklungen nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt ist, so wird vorausgesetzt, dass die beiden Projectionsebenen aufeinander senkrecht stehen; schräg zu einander stehende Projectionsebenen werden wir nur in wenigen Fällen verwenden. 10. Nicht selten ist man veranlasst, ausser den (auf einander senkrechten) Projectionsebenen Hi und IT 2 noch eine dritte zu IIj, senkrechte Projectionsebene (M. 238.; § 2. Die Gerade. 549 n 3 zu benutzen; nach Herstellung der Projectionen wollen wir dieselbe ebenfalls in die erste Projectionsebene IIi umlegen. Aus denProj ectionen P'P '' eines Punktes P findet man leicht die Projection auf die durch BB oder CC gehende Verticalebene; man construirt P’M-L BB, bez. P'N _L CC und macht MP'" — 9$P" bez. NP™=.<$P". (M. 23D). A § 2. Die Gerade. 1. Die Strahlen, welche die Punkte einer Geraden normal zur Projectionsebene oder parallel zu einer gegebenen Richtung projiciren, liegen auf einer Ebene. Diese Ebene heisst die projicirende Ebene der Geraden; im Falle der Normalprojection ist sie senkrecht zur Projectionsebene. Die Gerade d, in welcher die projicirende Ebene einer Geraden a die Projectionsebene schneidet, enthält die Projectionen aller Punkte der Geraden a und ist daher die Projection von a. Wir sehen daher: Die projicirende Ebene einer Geraden ist die Ebene, welche durch die Gerade parallel zur Richtung der Projectionsstrahlen gelegt ist; die Projection der Geraden ist die Gerade, in welcher die projicirende Ebene die Projectionsebene schneidet. Eine Ausnahme tritt ein, wenn die Gerade b den Projectionsstrahlen parallel ist. Dann fallen die Projectionen aller ihrer Punkte in ihren Schnittpunkt mit der Projectionsebene, und dieser Schnittpunkt ist daher dieProjection der Geraden b. J $ C 7) £ 2. Ist eine Gerade a parallel zur Projectionsebene, so ist sie mit ihrer Projection d parallel (denn d ist der Schnitt einer durch a gelegten Ebene 4-~Jc (M. 241.) mit 0); jede Strecke AB der Geraden ist dann ebenso gross wie ihre Projection A'b\ 55° Darstellende Geometrie. Ist die Gerade b nicht parallel zur Projectionsebene^ so ist im Allgemeinen eine Strecke der Geraden nicht ihrer Projection gleich. Aus dem Parallelismus derStrahlen AA', BB ', CC', DD' folgt, dass das Verhältniss der Strecken AB : CD gleich ist dem Verhältnis ihrerProjectionen^'i?': C'D'. Das Verhältniss zweier Strecken einer Geraden wird also durch Prarallelprojection nicht geändert. 3. Der Schnittpunkt S einer Geraden a mit der Projectionsebene 11 heisst die Spur der Geraden. Ist eine Gerade parallel den Pro- jectionsstrahlen, so fällt ihre Spur mit ihrer Projection zusammen. Ist eine Gerade parallel der Projectionsebene, so kann ein auf der Projection liegender unendlich ferner Punkt als die Spur der Geraden angesehen werden. 4. Wir beschränken uns nun wieder auf Normalprojectionen. Sind von einer Geraden die Projetion, die Spur und der Neigungswinkel mit der Proj ectionsebene gegeben, soistdieGerade eindeutig bestimmt. Denn um die Gerade zu erhalten, welche die Spur N hat, zur Projection SA' gehört und mit SA’ den Winkel a einschliesst, errichte man durch SA’ eine Ebene E senkrecht zu II und ziehe in §[s eine Gerade SA so, dass A'SA =«; dann ist SA die gesuchte Gerade. 5. Aus der Projection A’B' einer Strecke AB und den Höhen a, b ihrer Endpunkte kann die wahre Länge der Strecke, ihr Neigungswinkel gegen die Projectionsebene und die Spur der Geraden, auf welcher die Strecke liegt, gefunden werden. (M. 243.) A Denn von dem Trapez A’B’BA sind dann ausser den rechten Winkeln bei A' und B' noch die drei Seiten A'B', sowie A'A = a und B'B = b bekannt. Man ziehe daher zu A'B' in A' und B' Lothe und schneide von ihnen A'A = a und B'B = b ab, und zwar nach gleichen oder entgegengesetzten Seiten vonA’B’, je nachdem A und B auf derselben oder auf entgegengesetzten Seiten von 11 liegen. Alsdann ist AB gleich AB, der gesuchte Neigungswinkel ist der Winkel zwischen A'B’ und AB und die ge- (M. 244.) der Geraden AB und A'B'. suchte Spur ist der Schnittpunkt S § 2. Die Gerade. SSi 6 . Aus der Horizontalprojection A'B' einer Strecke und den Höhen ab der Punkte A und B findet man die Projection auf eine Verticalebene, indem man die Verticalprojectionen A"B" der Punkte A und B bestimmt (§ 1, 8 und 9) und A” mit B" verbindet. 7. Man überzeugt sich leicht von der Richtigkeit folgender Sätze und ihrer Umkehrungen: Ist eine Gerade parallel zur ersten (oder zweiten) Projectionsebene, so ist ihre zweite (oder erste) Projection parallel zur Achse (Fig. 246 a, ß). Ist eine Gerade parallel zur Achse, so sind ihre Projectionen parallel zur Achse (Fig. 246 7 ). (M. 246.) Liegt eine Gerade in einer Ebene, die senkrecht zur Achse ist, so sind beide Projectionen der Geraden senkrecht zur Achse (Fig. 246 8 s). Der Schnittpunkt der Projectionen einer Geraden ist die Projection des Punktes, in welchem die Gerade die Coincidenzebene durchschneidet. 8 . Aus der ersten und zweiten Projection einer Geraden kann man die Spuren finden, ohne (wie in 5) die projicirende Ebene umzulegen. (M. 247.) Die erste (Horizontal-)Spur St der Geraden liegt auf Di, folglich liegt der Aufriss dieser Spur in der Achse, ist also der Punkt, in welchem die Achse von Aufrisse der Geraden getroffen wird. Die zweite (Vertical-)Spur S 2 hat einem Grundriss, der in der Achse liegt; derselbe ist also der Punkt, in welchem die Achse den Grundriss der Geraden schneidet. Darstellende Geometrie. SS 2 Man sucht also die Punkte S x " und S 2 ', in welchen die zweite, bez. erste Projection der Geraden die Achse schneidet; die zugehörigen Punkte der ersten, bez. zweiten Projection der Geraden sind die gesuchten Spuren Bestimmt man also die Horizontalspuren E\ und F\ der Geraden AC und AB sowie die Verticalspuren E-i und F% so ist E\F\ die gesuchte Horizontalspur Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. ßß cay / 1 / 1 1 \ f \ j \ i \ 1 1 \ l \ 1 J Xl kl ''"ix /TL’ N. 1 — 1 y/ -^ 562 Darstellende Geometrie. der Ebene ABC, und E >_die gesuchte Verticalspur. Fügt man noch die Spuren JD\ und D-> der Geraden BC hinzu, so müssen diese auch auf den gefundenen Spuren der Ebene ABC liegen; man erhält dadurch eine Probe für die Genauigkeit der Construction. Hat man durch P (Fig. 264) eine Ebene zu legen parallel zu den Geraden a und b, so muss diese Ebene die beiden Geraden enthalten, welche durch P parallel zu a und b gelegt sind Die Grundrisse dieser Geraden sind die Geraden a 1 und ß', welche durch P' parallel zu a' und b' gelegt werden; und die Aufrisse a" und ß" gehen durch P" parallel zu a" und b". Die Spuren der gesuchten Ebene sind die durch die gleichnamigen Spuren von a und ß gelegten Geraden. § 4. Die Projection des Kreises. 1. Die Projection des Kreises heisst Ellipse. Legt man durch den Mittelpunkt eines Kreises eine Ebene II parallel zur Projectionsebene II v so ist die Projection des Kreises auf II der Projection auf II x congruent. Statt daher die Projection des Kreises auf eine beliebige Ebene zu untersuchen, genügt es, die Projectionsebene durch das Centrum des projicirten Kreises zu legen. Die Projection eines Kreisdiameters wird von der Projection des Kreismittelpunktes halbirt. Die Projection des Kreismittelpunktes hat also für die Ellipse die Eigenschaft, dass sie die Mitte aller durch sie hindurchgehenden Ellipsensehnen ist. Man nennt sie daher das Centrum der Ellipse, und die durch das Centrum gehenden Sehnen heissen Ellipsendiameter. Während alle Kreisdiameter gleich sind, sind die Ellipsendiameter von ungleicher Länge, denn sie sind die Projectionen der unter verschiedenen Winkeln gegen die Projectionsebene geneigten Kreisdiameter. Die Projection einer gegebenen Strecke (eines Kreisdiameters) wird am grössten, wenn die Strecke der Projectionsebene parallel ist; alsdann ist die Projection gleich der projicirten Strecke; sie wird immer kleiner, je grösser der (spitze) Winkel wird, den die Strecke mit der Projectionsebene bildet. Unter allen Geraden einer Ebene JE, die durch einen festen Punkt II derselben gehen, bildet die durch II gehende Hauptlinie den kleinsten Winkel mit der Projectionsebene, nämlich den Winkel 0°, und die durch II gehende Falllinie den grössten, nämlich den Neigungswinkel a der Ebene E gegen die Projectionsebene; dreht man eine Gerade auf E aus der Richtung der Hauptlinie bis in die der Falllinie, so wächst deren Neigungswinkel gegen II von 0° bis a. Hieraus ergiebt sich: Der grösste Ellipsendiameter ist die Projection des Kreisdiameters, der mit der Projectionsebene parallel ist, und ist gleich dem Kreisdiameter. Der kleinste Ellipsendiameter ist die Projection des Kreisdiameters, der auf dem vorigen senkrecht seht; dieser Ellipsendiameter steht senkrecht auf dem grössten und ist gleich dem grössten, multiplicirt mit dem Cosinus des Winkels, unter dem die Kreisebene gegen die Projectionsebene geneigt ist. Der grösste Ellipsendiameter heisst die grosse Achse der Ellipse, der kleinste die kleine Achse; jener wird mit 2a, dieser mit 2b bezeichnet. Ist a der Neigungswinkel der Kreisebene gegen die Ellipsenebene, so hat man also für die Halbachsen die Formel: b = a • cos a. 2. Um einen Kreis mit dem Radius a auf eine Ebene durch das Centrum unter einem Winkel a zu projiciren, zeichne man in der Projectionsebene die Umlegung des Kreises und ziehe durch O die Spur A±A der Kreisebene. Dann § 4- E>' e Projection des Kreises. 563 ist A t A zugleich die grosse Achse und O das Centrum der Projectionsellipse. Die halbe kleine Achse der Ellipse ist die Projection des Kreisradius OB, der auf AiA senkrecht steht; die Umlegung ist 0 B _L A\A. Zieht man MN -L A\A, macht NMB" = a, sowie MN = MB" = OB und B"B' -L MN, so ist OB’ die halbe kleine Achse der Ellipse. (M. 265.) Wir wollen nun von jedem Kreispunkte II aus ein Loth auf A\A fällen; ein solches Loth mag Kreisordinate heissen und mit y bezeichnet werden. Da jede Kreisordinate die Richtung einer Falllinie der Kreisebene hat, so ist ihre Projection — die wir als die der Kreisordinate entsprechende Ellipsenordinate(ir]) bezeichnen wollen," senkrecht zu A\A, fällt also auf die Umlegung der Kreisordinate, und es ist ferner yj =y cos a. Vergleicht man dies mit b — a cos a, so folgt die Proportion a : b =y : rj. Aus dem Kreispunkte P erhält man also den zugehörigen Ellipsenpunkt II', indem man die Kreisordinate Bp im Verhältniss b : a verjüngt. Dies erreicht man am einfachsten, indem man um O einen Kreis mit Radius b zeichnet, P mit O verbindet und QP || A\A zieht; alsdann ist P der gesuchte Ellipsenpunkt, denn es ist: OP: OQ=pB:pP, d. i. a:b=y: pW. Bezeichnet man den Winkel POA mit tp, so folgt noch Op —OP - cos tp, pP’ = qQ = OQ sinf, also hat man die Formeln: Op — a cos - cos a = a sin cp cos a. Für die Entfernungen des Punktes P von den beiden Brennpunkten hat man daher aus den rechtwinkeligen Dreiecken FQP und F X QP\ FP 2 = PQ 2 4 - QF 2 — PQ 2 -t - (c — OQ) 2 — a 2 sin 2

= O'B ': OB) Op ': Op = O'A ': OA , O'A' n «' °P = j qJ • °P =-•« cos O'B' „ ß’ 02 ? sin * Also: O'p’ = a' t« cp, /'/" = ß' sin und M ; (Iz'M i (M. 286.) •M Verticalspuren in B 2 jectionsebene begrenzten rechtwinkeligen Theil der Ebene V in IIj um, so ist AC 1 ein Schenkel dieses Winkels, der andere kommt auf die Achse zu liegen. Machen wir A B 2 = AB__ so sind B-[S> 2 C X Q 2 dieUmlegungen des Schnittes der Ebene Fmit den Ebenen E und F] mithin ist P die Umlegung eines Schnittpunktes dieser Ebenen. Machen wir VP' normal zu AC X und AP" — P' P, so ist P ein Punkt des Grundrisses und P" ein Punkt des Aufrisses der Schnittlinie von E und F. Wiederholen wir diese Construction mit einer Ebene W die durch I) normal zur Achse gelegt wird, so gewinnen wir die Projectionen Q'Q" eines zweiten Punktes Q der Schnittlinie. Mithin sind P’Q' und P’Q" die beiden Projectionen der gesuchten Schnittlinie. Man kann die Figur dadurch zusammen drängen, dass man die Schnittlinien der Ebene W mit E und F auf die Ebene V projicirt und diese Projectionen mit der Ebene V umlegt. 9. Wir wenden uns nun zur Construction des Schnittpunktes einer Ebene und einer Geraden. Ist die Ebene E durch Spur T und Neigungswinkel a und die Gerade G durch die Projection A'B' einer auf ihr liegenden Strecke und die Höhen h x h 2 der Endpunkte derselben gegeben, so projiciren wir E und G auf eine durch Q 576 Darstellende Geometrie. A" j ?' (M. 288.) der Thatsache Gebrauch, dass . theilt, wie P" die Strecke A"B" A" 1 senkrecht zur Spur T gelegte Ebene F. Die Ebene E projicirt sich auf diese Ebene als eine Gerade QE”, die mit QE den Neigungswinkel a einschliesst. Ist nun A"B" die Pro- jection von AB auf F, so ist P” die Projection des Schnittes der Geraden G und der Ebene E; macht man P"P' parallel TT, so ist P der gesuchte Grundriss des Schnittpunktes und P"R seine Höhe über der Projectionsebene. 10. .Wenn A'B' parallel zu TT ist oder mit T T einen kleinen Winkel (< 20°) bildet, so kann man P aus P" durch das Loth P’E gar nicht oder doch nicht genau genug bestimmen. In diesem Falle machen wir von die Strecke A'B' in demselben Verhältnisse Ziehen wir daher durch A' unter beliebiger, geeigneter Richtung eine Gerade und machen auf derselben A'C — A"P', CD = P'B", ziehen ferner DB’ und CP || DB', so ist P der gesuchte Grundriss von P. 11. Sind die Ebene und die Gerade durch Spuren und Projectio- nen auf zwei Ebenen gegeben, so kann man folgenden Weg ein- schlagen: Man legt durch AB eine Vertical- ebene V ; die erste Spur derselben ist A'B' die zweite SpurZ?'2?'\ Der Grund- (M. 289.) riss des Schnittes von V und E ist A'B', der Aufriss CD. Da nun der Schnitt von E und AB offenbar auf der Schnittlinie von E und V liegt, so folgt, dass P" der Aufriss und P der Grundriss des gesuchten Schnittpunktes ist. Diese Construction versagt, wenn A'B' senkrecht oder nahezu senkrecht auf der Projectionsachse steht; dann muss man die vorher gegebenen Mittel anwenden. Letzteres empfiehlt sich auch in dem Falle, wenn man mehrere Gerade durch eine Ebene zu schneiden hat. — 12. Steht eine Gerade senkrecht auf einer Ebene, so ist die Normal- projection der Geraden (auf irgend eine Projectionsebene II) senkrecht auf der Spur der Ebene. Beweis. Ist die Ebene E senkrecht auf der Geraden G und sind T und G' Spur und Projection von E und G auf die Projectionsebene II, so ist die Ebene § 5. Durchschnitt einer Ebene mit Ebenen und Geraden. 577 G'G senkrecht auf E (weil G senkrecht auf E ist) und auch senkrecht auf ü (als projicirende Ebene von G ); also auch senkrecht auf der Schnittlinie von E und II, d. i. auf der Spur TT. Da nun TT senkrecht auf der Ebene G G' ist, so ist auch T T senkrecht auf der in GG' liegenden Geraden G'. — Mit Hülfe dieses Lehrsatzes können wir den Abstand eines Punktes von einer Ebene, den Winkel einer Geraden und (M. 290.) einer Ebene, den Winkel zweier Ebenen und eine Reihe daran sich anschliessender Aufgaben construiren. 13. Ist eine Ebene E durch Spur und Neigungswinkel und ein Punkt durch Projection P und Höhe h gegeben, so pro- jicire man E und P auf eine durch A normal zu TI gelegte Ebene. Die erste Projection des von P auf E gefällten Lothes geht nach vorigem Satze durch (M. 291.) P' normal zu TT, und die zweite geht durch P" normal zu E 2 . Folglich ist Q" die zweite Projection des Fusspunktes des von P auf E. gefällten Lothes, Q’ der Grundriss dieses Fusspunktes und Q"P" die wahre Länge des Lothes. Sind die Ebene und der Punkt durch zwei Spuren und Projectionen gegeben, so sind die beiden Projectionen des Lothes PQ die Geraden, welche durch P und P" normal zu E t und E 2 gelegt sind. Will man nur die Projectionen des Lothfusspunktes haben, so kann man den Schnitt von PQ und E aus den Spuren und Projectionen nach No. 11 finden. Braucht man — wie gewöhnlich — a nch die Länge des Lothes, s ° schliesst man am besten die vorige Construction an: (M. 292.) ^dan projicirt E und P auf eine durch A normal zu E x gelegte Ebene, bestimmt zunächst p"Q"' normal zu E s und erhält hierauf Q’ und daraus Q". 14. Den Winkel einer Geraden und einer Ebene erhält nun auf folgendem Wege. Sind TT und a Spur und Neigungswinkel der Ebene E, ferner Ä und B die Projectionen, g und h die Höhen zweier Punkte der Geraden, so bestimme Schloemilch, Handbuch der Mathematik, Bd. I, 578 Darstellende Geometrie. man zunächst in bekannter Weise die Projectionen der Ebene E und der Geraden AB auf eine durch C normal zu TT gelegte Ebene. Alsdann sind F" und F' die Projectionen des Schnittes von AB und E. Zieht man weiter B"G" normal zu E", B’G 1 normal zu T und G"G' parallel zu T, so sind B"G" und B'G' die Projectionen des von B auf E gefällten Lothes. Der Neigungswinkel der ^.Geraden AB gegen die Ebene E ist der bei F liegende Winkel des rechtwinkeligen Dreiecks GEB. Die , eine Kathete derselben, GB, ist A'.- _ .7 _ -—-—— ; v 4 " / ~ gleich ihrer Projection G"B"\ die andere Kathete EG ist die Hypotenuse in einem rechtwinkeligen Dreieck, dessen eine Kathete E'G’ und dessen andere Kathete gleich dem Unterschiede von F'L und G"M ist. Macht man also IE' _L E'G' und gleich H"F", so ist IG' — GE. Macht man weiter G'K -L G'I und gleich G"B", so ist IG'K = FGB, also v der gesuchte Neigungswinkel und nebenbei IK die wahre Länge von FB. K J” __ ✓ y { i A (F" v X i / M /A* S' oc/ i. c T (M. 293.) 15. Um aus den Spuren E 1; E 8 , F x , F 2 (Tafel II, 3) zweier Ebenen E und F ihren Neigungswinkel zu bestimmen, fallen wir von einem Punkte P der ersten Projectionsebene Lothe auf beide Ebenen; die Projectionen P'A’, P"A", P’B', P"B" stehen senkrecht auf den betreffenden Spuren von E und E- Der Winkel dieser Lothe ist bekanntlich gleich dem Neigungswinkel der Ebenen; wir haben daher, um die Aufgabe zu lösen, nur noch den Winkel APB in die Ebene ll t umzulegen. Zu diesem Zwecke legen wir durch zwei auf den Lothen liegende Punkte A und B eine Gerade und bestimmen deren erste Spur C; diese liegt auf der Spur der Ebene APB, also ist CP' diese Spur. Der Abstand des Punktes A von derselben ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen eine Kathete das von A' auf CP' gefällte Loth A'D, dessen andere Kathete A"II ist. Macht man also A'G _L A’D und gleich A"H, so ist GD gleich dem Lothe AD\ und macht man ferner DK — DG, zieht A C und macht 7>'B -L CP, so sind A und B die Umlegungen von A und B, also ist A A"B der gesuchte Neigungswinkel. 16. Im Anschlüsse an die vorige Construction kann man leicht die Spuren der Ebenen bestimmen, welche die Winkel der gegebenen Ebenen halbiren (Tafel II, 3). Die von P auf die Halbirungsebenen gefällten Lothe liegen mit den Lothen PA und PB in derselben (zur Schnittlinie von E und F normalen) Ebene und halbiren den Winkel APB und seinen Nebenwinkel. Die Umlegungen dieser Lothe sind also die Halbirungslinie P’R des Winkels APB und die Normale dazu P' S. Zieht man RA'' und SA' -L CP’, so sind daher P'R' und P'S' die Projectionen der von P' auf die Halbirungsebenen gefällten Lothe. Die ersten Spuren X x Y 1 dieser Ebenen sind normal zu P'R' und P'S' und gehen durch M; die zweiten Spuren X 2 , F 2 gehen durch N und durch die Punkte, in welchen die Achse von den entsprechenden ersten Spuren geschnitten wird. 17. Ein Dreieck ABC sei durch die Projectionen und die Höhen seiner Eckpunkte, eine Ebene E durch Spur l'T und Neigungswinkel § 5- Durchschnitt einer Ebene mit Ebenen und Geraden. 579 « gegeben; man soll die Projection des Dreiecks ABC auf die Ebene E construiren (Tafel 11,4). Wir legen durch einen Punkt O der Spur T r I wieder eine Verticalebene normal zu IT) ihre Spur OS ist normal zu TT und die Projection von E auf diese Ebene ist die Gerade OE 2, welche mit OS den gegebenen Neigungswinkel a einschliesst. Sind TA", QB", EC" die gegebenen Höhen der Punkte ABC, so sind A"B"C" die Projectionen von ABC auf die verticale Ebene. Zieht man nun A"a", B"b" und C'c" normal zu E 2 , so sind a" b" c" die Aufrisse der Lothfusspunkte. Die Grundrisse der Lothe gehen durch A'B'C' normal zu TT) zieht man a"a', b"b', c"c’ normal zu OS (also parallel TT) so sind a'b'c' die Grundrisse der Lothfusspunkte. Legt man nun die Figur abc in die Horizontalebene um, so ist die Umlegung a 0 b 0 c 0 die gesuchte Projection des Dreiecks ABC auf die Fbene E. 18. Um die Entfernung eines Punktes P von einer Geraden zu bestimmen, kann man folgenden Weg einschlagen: Die Gerade SA sei durch Spur S, Grundriss SA ' und Neigungswinkel a, der Punkt P sei durch Grundriss und Höhe gegeben. Wir legen eine Verticalebene durch SA', fy Die Projection SA" von SA auf diese Ebene ist SA selbst, bildet also mit SA' den gegebenen Neigungswinkel a. Ist P' der Grundriss des gegebenen Punktes, und zieht man P’Q normal zu SA' und macht QP" gleich der gegebenen Höhe des Punktes P, so ist P" der Aufriss von P. Es sei nun PR das von P auf SA gefällte Loth. Ein Schenkel des rechten Winkels PRA, nämlich RA, (oder, was dasselbe ist, SA") liegt in der Verticalebene; also ist der Aufriss des anderen Schenkels P"R" normal zu SA") macht man noch R"R' normal zu SA', so ist P'R’ der Grundriss des Lothes PR. Um die wahre Länge zu bestimmen, wollen wir diesmal durch 5 eine Ebene E normal zu SA legen; der Aufriss derselben ist eine Gerade SE 2 normal zu SA" und ihre Horizontalspur SE\ ist normal zu SA'. Zieht man P"p" normal zu SE% (also parallel zu SA"), so ist p" der Aufriss der Projection von P auf die Ebene E) macht man ferner Ss — Sp", sp(, || SE\ und P'po -L SEi (also 1| SA'), so ist p 0 die Umlegung dieser Projection in die horizontale Ebene. £ ist die Projection von R (wie überhaupt der ganzen Geraden SA) auf die Ebene E; also ist Spo die Umlegung der Projection von PR auf E) da nun PR Parallel der Ebene E ist, so ist PR gleich poS, also ist poS die wahre Länge ries gesuchten Abstandes des Punktes P von der Geraden SA. Wir schliessen hieran noch folgende Betrachtung: Dreht sich der Punkt P um die Gerade SA, so beschreibt er einen Kreis, (M. 294.) 37 Darstellende Geometrie. 580 der PR zum Radius und R zum Centrum hat. Dieser Kreis liegt parallel zur Ebene B, seine Projection auf E ist also mit ihm congruent und zwar der um S mit dem Radius Sp 0 beschriebene Kreis. Hat man nun die Aufgabe zu lösen, den Punkt P um die Gerade SA um einen gegebenen Winkel s zu drehen, so mache man poS po = e, poS = po S ; dann ist po die Projection von P auf E nach der Drehung. Zieht man po t-LSA', macht 5 p 1 ' = St und zieht p")ß"_L,S_£ 2 (d. i. || SA") bis in die Gerade P"R", so ist iß" der Aufriss von P nach der Drehung. Aus po und iß" bestimmt man in bekannter Weise den Grundriss iß'. 19 . Um den kürzesten Abstand zweier Geraden a, b aus deren Pro- jectionen zu finden, bemerke man, dass dieser kürzeste Abstand bekanntlich gleich dem Abstande der Geraden b von der Ebene E ist, die durch a parallel zu b gelegt werden kann; ist 7 die Projection von b auf E, so ist der Schnitt von 7 und a ein Endpunkt des kürzesten Abstandes (Tafel II, 5 ). Um die Spuren von E zu erhalten, legen wir durch einen Punkt von a, z. B. durch den zu A" gehörenden, eine Gerade ß parallel zu b ; der Aufriss derselben fällt mit b" zusammen, der Grundriss geht durch A' parallel zu b'. Sind nun S\ und S2 die Spuren von a, T\ und TR, so ist TOB der dritte Kantenwinkel unserer Ecke; der an k liegende Flächenwinkel wird wie bei No. 1 gefunden. Ist Gl'S GH (also AOC 2 BOA), so trifft der Kreis mit Radius Gl den Schenkel HM nur einmal; der zweite Schnittpunkt mit der unbegrenzten Geraden HM fällt in die Verlängerung über H hinaus oder auf H und giebt keine Lösung unserer Aufgabe. Ist GI< GH, doch noch grösser, als das Loth von G auf HM, so hat der Kreis mit der Geraden HM zwei brauchbare Schnittpunkte, und die Aufgabe hat daher zwei Auflösungen. Ist Gl gleich dem Lothe von G auf HN, so berührt der Kreis die Gerade HN und die Aufgabe hat nur eine Lösung, nämlich eine bei k rechtwinkelige Ecke. Ist Gl kleiner als das Loth, so trifft der Kreis die Gerade HM nicht, und die Aufgabe ist daher nicht lösbar. 6. Die Construction einer Ecke, von welcher zwei Flächenwinkel und der dem einen von ihnen gegenüberliegenden Kantenwinkelgegebensind,kann erfolgen, indem man zunächst die Polarecke construirt, von welcher zwei Kantenwinkel und der dem einen gegenüberliegende Flächenwinkel (nämlich die Supplemente der gegebenen Winkel) bekannt sind. Aus den Stücken der Polarecke erhält man durch Herstellung der Supplemente die Stücke der gesuchten Ecke. 7. Unter einer regulären »seitigen Ecke versteht man eine Ecke, welche » gleiche Kantenwinkel und » gleiche Flächenwinkel enthält. Schneidet man eine reguläre «seitige Ecke durch eine Kugel, die den Scheitel der Ecke zum Centrum hat, so ist der entstehende Kugelschnitt der Ecke ein reguläres »seitiges sphärisches Polygon. Ebenso, wie den entsprechenden Satz für ebene reguläre «-Ecke beweist man, dass die Hauptkreise, welche die Winkel eines regulären n seitigen Polygons halbiren, sich in einem Punkte treffen; dieser Punkt hat gleiche sphärische Abstände von den Ecken des Polygons und ist auch gleichweit von den Seiten entfernt; er ist also das gemeinsame Centrum eines dem sphärischen Polygon umschriebenen und eines eingeschriebenen Kreises; die Ecken eines regulären sphärischen Polygons liegen also auf einer Ebene, und bilden hier die Ecken eines regulären Polygons, dessen Centrum der Durchschnitt der Ebene mit dem nach dem sphärischen Centrum des sphärischen Polygons gezogenen Kugelradius ist. Für die reguläre Ecke ergeben sich hieraus die Sätze: Die Ebenen, welche die Winkel einer regulären »seitigen Ecke halbiren, schneiden sich in einer Geraden, die durch den Scheitel der Ecke geht; diese Gerade — die Achse der Ecke — bildet gleiche Winkel mit den Kanten der Ecke und ist gegen die Seiten der Ecke gleich geneigt; sie ist also die gemeinsame Achse eines der Ecke umgeschriebenen und eines eingeschriebenen Rotationskegels. Die Punkte auf den Kanten einer regulären »seitigen Ecke, welche gleichweit vom Scheitel entfernt ist, liegen auf einer Ebene und bilden die Ecken eines regulären »-Ecks, dessen Centrum der Durchschnitt seiner Ebene mit der Achse ist. Sind daher von einer regulären «seitigen Ecke bereits zwei Kantenwinkel und der eingeschlossene Flächenwinkel construirt, so ergänzt man die Ecke am einfachsten', indem man auf den drei vorhandenen Kanten vom Scheitel aus 584 Darstellende Geometrie. gleiche Strecken abträgt und durch die Endpunkte eine Ebene legt; diese schneidet den vorhandenen Theil der Ecke in zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel eines regulären «Ecks; ergänzt man dasselbe und verbindet die Ecken dieses Polygons mit dem Scheitel der Ecke, so erhält man die noch fehlenden Kanten der Ecke. 8. Eine reguläre «-seitige Ecke ist durch ihren Kantenwinkel sowie durch ihren Flächenwinkel bestimmt. Um z. B. eine reguläre sechsseitige Ecke zu construiren, deren Kantenwinkel die gegebenen Grössen a (< 360° : 6) hat, construiren wir zunächst ein reguläres Sechseck ABCDEF. Gehen die Kanten der Ecke durch die Ecken dieses Sechsecks, so liegt der Scheitel auf der Geraden, welche durch das Centrum des Sechsecks normal zur Ebene desselben errichtet ist. Jeder Punkt dieser Central-Normalen liefert mit zwei folgenden Ecken A und B verbunden ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis AB ist, und das den gegebenen Winkel a an der Spitze hat. Wir construiren die Umlegung dieses Dreiecks in die Ebene des Sechsecks, indem wir Gerade durch A und B legen, die mit der Senkrechthalbirenden von AB die Winkel HGA = BGH — i-7. einschliessen. Dreht sich ABG um AB, so bewegt sich der Grundriss von G auf der Geraden GH, liegt der Grundriss der Spitze des Dreiecks in O, so liegt die Spitze selbst auf der Central-Normalen durch O. Legen wir die durch OG gehende Verticalebene um, so ist Ol (-L OG) die Umlegung der Normal-Centralen des Sechsecks, und der Weg des Punktes G bei der Drehung ist der um H mit Radius HG beschriebene Kreis, sein Schnitt mit Ol also die Endlage der Spitze G. Mithin ist IO die Höhe des Scheitels der gesuchten Ecke über der Ebene des Sechsecks. Mit Hülfe dieser Höhe kann man den Flächenwinkel unserer regulären Ecke aus der dreiseitigen Ecke, die den Scheitel B und die Kanten BA, BC, BI hat, ebenso wie in No. 1 bestimmen. Hat man eine reguläre «seitige Ecke aus dem Flächenwinkel zu constuiren, so suche man das Supplement dieses Flächenwinkels auf und construire eine reguläre «seitige Ecke, welche dieses Supplement zum Kantenwinkel hat; diese Ecke ist die Polarecke der gesuchten. Bestimmt man den Flächenwinkel der Polarecke und nimmt davon das Supplement, so ist letzterer der Kantenwinkel der gesuchten Ecke. — 9. Solcher Polyeder, deren Flächen alle die gleiche Anzahl Ecken haben, und an deren Ecken allen die gleiche Anzahl von Flächen liegt, giebt es nach dem EuLER’schen Satze: »Die Anzahl der Ecken und Flächen eines Polyeders ist zusammen um zwei Einheiten grösser, als die Anzahl der Kanten« — nicht mehr als fünf Arten: 1. Tetraeder, mit 4 dreieckigen Flächen, 4 dreiflächigen Ecken und 6 Kanten; 2. Octaeder, mit 8 dreieckigen Flächen, 6 vierflächigen Ecken, und 12 Kanten; 3. Hexaeder, mit 6 viereckigen Flächen, 6 dreiflächigen Ecken und 12 Kanten; 4. Dodecaeder, mit 12 fünfeckigen Flächen, 20 dreiflächigen Ecken und 30 Kanten; (M. 299.) § 6. Die dreiseitige Ecke, die reguläre Ecke und die regulären Polyeder. 585 5. Icosaeder, mit 20 dreieckigen Flächen, 12 fünfflächigenEcken und 30Kanten; Man überzeugt sich leicht, dass dergleichen Polyeder, über die der EuLER’sche Satz nur aussagt, dass ihren Bestimmungen von Seiten dieses Satzes nichts Widersprechendes nachgewiesen werden kann, wirklich existiren. Die Frage, ob es von jeder der fünf Polyederarten auch reguläre Polyeder giebt, d. i. solche, die von regulären Flächen umschlossen werden und reguläre Ecken haben, kann nur beantwortet werden, indem man reguläre Polyeder, von den nothwendigen Bestimmungsstücken ausgehend, zu construiren sucht. 10. Das reguläre Tetraeder. Um ein reguläres Tetraeder (Tafel II, 6) mit der Kante a zu erhalten, construiren wir zunächst eine Fläche derselben, also ein gleichseitiges Dreieck ABC, dessen Seite a ist. Wir construiren bei A eine Ecke des regulären Tetraeders, d. i. eine dreiseitige reguläre Ecke mit dem Kantenwinkel 60°, indem wir die gleichseitigen Dreiecke ABD und ACE hinzufügen und von D und E Lothe zu AB und AC ziehen; diese Lothe sind die Geraden BE und CD] durch ihren Schnittpunkt E' geht der Grundriss der dritten Kante, dieser ist daher eine Winkelhalbirende des Dreiecks ABC. Ziehen wir F'H- L E'E und machen GH = GE, so ist E'H die Höhe des Punktes E über der Ebene ABC. Somit haben wir am Scheitel A eine Ecke des regulären Tetraeders und die drei an dieser Ecke liegenden Flächen ABC, ACE und ABF erhalten. Da nun CB = CF = FB = a, so ist auch CBF ein gleichseitiges Dreieck, mithin sind, nach Hinzufügung der Ebene CBF, die Ecken bei B, C und F reguläre Tetraeder-Ecken, also ist AB CF die Projection des gesuchten regulären Tetraeders auf eine seiner Flächen ABC. Aus der Projection und der Höhe ■/'AT haben wir noch eine Verticalprojection A"B”C'F" und eine Projection a"'B'"C’"F" auf eine Ebene entwickelt, welche die Spur ICH (-L MM) und den Neigungswinkel a hat. Bei letzterer hat man sich das Auge in hinlänglich grosser Entfernung von der Projectionsebene auf derselben Seite zu denken, auf welcher der projicirte Körper liegt, und den Körper selbst undurchsichtig; die Kanten, welche man dann sehen kann, sind als ununterbrochene Linien gezeichnet, die unsichtbaren als unterbrochene. 11. Das reguläre Octaeder (Tafel III, 1). An jeder Ecke des regulären Octaeders liegen vier reguläre Dreiecke; die Seiten derselben, welche nicht nach dem Scheitel der Ecke gehen, bilden ein Quadrat; dieses Quadrat sei ABCD> A'B'OD 1 sei dessen Grundriss auf einer zu AB CD parallelen Projectionsebene. Wir projiciren ABCD sowie alle durch die Construction gelieferten Punkte und Strecken auf eine Verticalebene durch MM und auf eine schräge Ebene, welche FflC zur Spur und den Neigungswinkel a hat. Auf der Central-Normalen des Quadrats ABCD haben wir den Punkt aufzusuchen, der von den Ecken des Quadrats um die Seite desselben absteht; dieser Punkt £ liegt um die halbe diagonale E'D’ des Quadrats über (oder unter) demselben. Wir legen Ebenen durch diesen Punkt E und durch die Seiten des Quadrats und erhalten so eine Ecke des regulären Octaeders und die an ihr liegenden Flächen EAB, EBC, FCD, EDA. Bei A liegen nun zwei Kantenwinkel und ein Flächenwinkel einer regulären Octaederecke, DEB sind drei Ecken eines Quadrats; verlängern wir die Centralnormale nach unten, suchen den Punkt F auf, der auf ihr so weit Unterhalb ABCD liegt, wie E oberhalb, so ist DEBF ein Quadrat; legen wir 586 Darstellende Geometrie. zwei Ebenen durchs und DF und BF, so ist damit eine reguläre Octaederecke bei A vervollständigt. Bei B liegen nun drei Kantenwinkel und die von ihnen eingeschlossenen Flächenwinkel (an den Kanten BE und BA) einer regulären Octaederecke; fügen wir die Ebene BBC hinzu, so ist die Octaederecke vollständig. Ebenso finden wir jetzt bei C drei Kantenwinkel und die von ihnen eingeschlossenen Flächenwinkel einer regulären Octaederecke, die wir durch die Ebene CFD vervollständigen; durch dieselbe ist auch die Octaederecke bei D vervollständigt worden und das Polyeder ist nun geschlossen. Auch ist bei F noch eine Ecke entstanden, die ebenso wie die bei E eine reguläre Octaederecke ist. Aus dieser Construction geht hervor, dass man ein reguläres Octaeder erhält, wenn man drei gleiche Gerade mit ihren Mittelpunkten so zusammenlegt, dass sie miteinander rechte Winkel bilden; die sechs Endpunkte sind dann die Ecken eines regulären Octaeders. 12. Das reguläre Hexaeder (Tafel III, 2) wird von Quadraten umschlossen, deren je drei an einer Ecke liegen. Die Ecken und Flächen an den Eckpunkten der Hexaederfläche AB CD werden daher erhalten, indem wir in ABCD Lothe zur Ebene des Quadrats errichten, und Aa. = B§ — Cy = Do = AB machen. Die Punkte aß yd liegen dann in einer Parallelebene zu AB CD und bilden die Ecken eines Quadrats, durch welches reguläre Hexaederecken bei a, ß, y und S vervollständigt werden. 13. Das reguläre Dodecaeder (Tafel III, 3). In jeder Ecke des regulären Dodecaeders stossen drei reguläre Fünfecke zusammen, der Kantenwinkel der Dodecaederecke beträgt demnach 108°; die Endpunkte der drei Kanten einer Ecke bilden ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seite eine Diagonale einer Fläche des Dodecaeders ist. Wir entwerfen in der Projectionsebene II zunächst ein reguläres Fünfeck, das die gegebene Kante des Dodecaeders zur Seite hat. Die dritte Kante bei A bildet mit AB und AE gleiche Winkel (108°), liegt also in der Ebene, welche durch die Halbirungslinie des Winkels BA E geht und auf der Ebene des Winkels senkrecht steht; der Grundriss dieser Kante fällt daher in die Halbirungslinie A des Winkels BAE. Construirt man in II das reguläre Fünfeck A aß -\B, so hat man dasselbe um AB zu drehen, bis der Grundriss von a in , E eines regulären Fünfecks die noch fehlenden Ecken F und G hinzu und ergänzen dadurch bei A eine reguläre Icosaederecke. Die Ebene des Fünfecks BmEFG ist normal zu ü 2 , seine Projection auf n 2 also die Gerade aCB". Die Fünfecke ABCDE und BmEFG sind congruent und haben die Gerade BE gemein; es ist daher B"A" = B"a>”, und machen wir B"G" = B"C", so ist G" der Aufriss von G und F) die Grundrisse G' und F liegen in den Geraden, welche durch C' und D' normal zu B'E' gelegt werden. G hat gleiche Abstände von B und A, folglich liegt G auf der normal- halbirenden Ebene von AB, und G' auf der Normalhalbirenden von A'B 1 , die zugleich Halbirende des Winkels A'toB' ist. Aehnlich ergänzen wir nun der Reihe nach die regulären Icosaederecken bei B, C, D und E und erhalten dabei die Punkte H, I, K, deren Grundrisse auf den Halbirenden der Winkel B'u>C', C’mD’, D'u>E’ liegen und von tu denselben Abstand haben, wie F' und G'. Drehen wir das Fünfeck ABCDE um die Centralnormale um 72°, so kommt jede der Icosaederecken bei A, B, C, D, E mit der nächsten zur Deckung, mithin kommt jeder der fünf Punkte FGHIK in die Lage des nächstfolgenden. Hieraus folgt, dass FGHIK ein reguläres Fünfeck ist; da EG = AB, so sind die Fünfecke FGHIK und ABCDE congruent; es ist also auch cd G' =tnA’ und die Punkte A'G'B’H'C'I'D'K'E’E’ sind die Ecken eines regulären Zehnecks. Bei F liegen jetzt drei Kantenwinkel und die von ihnen eingeschlossenen Flächenwinkel (an FA und FE) einer regulären Icosaederecke; GAEK sind daher vier Ecken eines regulären Fünfecks; wir ergänzen dasselbe durch Hinzufügung der fünften Ecke L und vervollständigen dadurch die Ecke F. Es wird sich nachher zeigen, dass der Grundriss von L mit cd zusammenfallt. Bei G liegen nun vier Kantenwinkel und die von ihnen eingeschlossenen Flächenwinkel einer regulären Icosaederecke; LHBAF ist daher ein regelmässiges Fünfeck und die Ecke G wird durch Hinzufügung der Ebene HGL vervollständigt. In gleicher Weise vervollständigen wir durch die Ebene ZZZ/die Ecke bei II. Dann bleibt noch eine Lücke LIK. ; fügen wir die Ebene LIK hinzu, so schliessen wir das Polyeder und vervollständigen zugleich bei / und K reguläre Icosaederecken. Dabei ist nun die fünfseitige Ecke L entstanden; da die Kanten durch die Eckpunkte des regulären Fünfecks FGHIK gehen und gleich der Seite desselben sind, so ist die Ecke L ebenfalls eine reguläre Icosaederecke, also das erhaltene Polyeder in der That ein reguläres .Icosaeder. Da die Ecke L regulär ist, so liegt L auf der Centralnormalen von FGHIK, § 7 - Das Prisma und die Pyramide. 589 die zugleich Centralnormale von ABCDE ist; also fällt der Grundriss von L mit u) zusammen*). § 7. Das Prisma und die Pyramide. 1. Projicirt man ein gerades Prisma (Tafel IV, 1) auf die Basis, so sind die Ecken der Basis die Projectionen der Längskanten, und die Seiten der Basis die Projectionen der Seitenflächen. Auf eine zur Basis senkrechte Ebene proji- ciren sich Basis und Endfläche als parallele Gerade, die Längskanten in ihrer wahren Länge als Normale zu den Projectionen von Basis und Endfläche. Wird das gerade Prisma, dessen Basis ABCDE in der Horizontalebene liegt und das die Höhe A" n." hat, von einer Ebene geschnitten, deren Spuren Ej^ und E 2 sind, so projiciren wir das Prisma am einfachsten auf eine Verticalebene normal zu Ej. Wir erhalten dadurch die Höhen der Punkte, in denen die Längskanten von der Ebene E geschnitten werden und können mit derselben jede andere Verticalprojection des geschnittenen Prisma construiren. Um die Seitenflächen des Prisma in die Projectionsebene auszubreiten (das Netz des Prisma zu entwickeln), denken wir uns die Oberfläche entlang einer Längskante, etwa An., aufgeschnitten, und Basis und Endfläche abgelöst. Legen wir nun eine Seitenfläche AB$a in die Projectionsebene und drehen wir die andern um die Längskanten, bis sie auch in die Projectionsebene fallen, so sind auch jetzt noch die Längskanten parallel; da nun die einzelnen Seitenflächen Rechtecke sind, so setzen sich alle ausgebreiteten Seitenflächen zu einem Rechtecke zusammen, dessen Breite die Längskante des Prisma, dessen Länge der Perimeter der Basis ist. Man erhält also die Ausbreitung der Seitenflächen, wenn man auf einer Geraden Strecken A 0 B 0 , B 0 C 0 , C 0 D 0 , D 0 E 0 , E 0 A 0 abträgt, die der Reihe nach den Seiten der Prismenbasis ABCDE gleich sind, durch die Punkte A 0 .. E 0 Normalen zu A 0 A 0 zieht, und diese durch eine Parallele zu A 0 A 0 begrenzt, die von ihnen die Längskante abschneidet. Trägt man auf den Längskanten des Netzes von^4 0 ^4 0 aus der Reihe nach die Strecke jeder Längskante ab, die unterhalb der Ebene E liegt, so wird das Netz des durch E abgeschnittenen Prismenstumpfes erhalten. Bestimmt man die Umlegung der Schnittfläche, hängt dieselbe in passender Weise an eine Seite der Ausbreitung der Schnittfigur und hängt ebenso die Basis und Endfläche an den Perimeter A 0 A 0 bez. a 0 a 0 , so ist die ganze Oberfläche des Prisma und des Prismenstumpfes ausgebreitet. 2. Ein schiefes Prisma (Tafel IV, 2) ist durch die Basis, die Projection einer Kante auf die Basis und die Höhe bestimmt. Das in der Projectionsebene liegende Fünfeck ABCDE sei die Basis eines Prisma und An! die Projection einer Längskante, so entsteht der Grundriss des ganzen Prisma, wenn wir Aff = C-{ = Do = Ez parallel und gleich An! machen. Wir projiciren das Prisma auf einer Verticalebene Il 2 , die den Längskanten parallel ist, deren Spur MM also parallel An! ist, und verwenden dabei die gegeben e Höhe an! des Prisma. Wir legen eine Normalschnittebene durch A und Wollen den Normalschnitt des Prisma projiciren und umlegen. Die Horizontal- *) In der Figur ist in Rücksicht auf die Raumvertheilung die Umlegung der Projection des Icosaeders auf die schräg zur ersten Projectionsebene gestellte Projectionsebene um eine geeignete Strecke an die erste Projection herangerückt worden. 5 90 Darstellende Geometrie. spur AA" desselben geht durch A normal zu MM, und die Spur auf II 3 , die zugleich die zweite Projection der Schnittebene ist, geht durch A" normal zu A"a". Ist dies die Gerade A'' H", so sind A"F"G"H"P' die zweiten Projectionen der Ebene des Normalschnitts und F”B", G"C", H"D", P’E" sind die Kantern längen zwischen der Basis und dem Normalschnitte. Aus der zweiten Projection ergiebt sich der Grundriss und die Umlegung A 0 F 0 G () H ü I 0 des Normalschnitts; letztere ist, um nicht zu viel Linien zusammenzudrängen, um ein passendes Stück parallel verschoben worden. Wird das Prisma von einer zweiten Ebene geschnitten, deren Spur PP und Neigungswinkel tp gegeben sind, so projiciren wir das Prisma auf eine Vertical- ebene II 3 normal zu PP ; ihre Spur sei NN. Wir erhalten so die dritten Projectionen der Punkte der Schnittfigur, und können hieraus die ersten und zweiten ableiten, sowie die Umlegung der Schnittfigur (die ebenfalls parallel verschoben worden ist) und erhalten aus der zweiten Projection noch die Kantenlängen zwischen der Basis und der zweiten Schnittebene. Schneiden wir die Seitenfläche des Prisma entlang einer Prismenkante auf und drehen die Seitenflächen um die Kanten, bis sie in eine Ebene fallen, so breitet sich der Perimeter des Normalschnitts zu einer Geraden aus, auf welcher die Längskanten normal stehen. Um das Netz des Prisma zu erhalten, haben wir daher auf einer Geraden Strecken af, fg, gh, hi, ia aufzutragen, die der Reihe nach den Seiten des Normalschnitts A 0 F 0 G 0 JT 0 J 0 gleich sind, und durch afghia Normale zu aa zu ziehen. Auf denselben tragen wir auf fb = F'B", gc — G"C", hd = H"D", ie=F'E" und machen aa = = c'j —d8 = es = A"a", so haben wir die Ausbreitung der Seitenflächen; zur Vervollständigung des Netzes fügen wir in passender Weise noch Basis und Endfläche hinzu. Mit Hülfe der aus der zweiten Projection zu entnehmenden Kantenabschnitte können wir noch die zweite, schräge Schnittfläche in das Netz eintragen und an den ausgebreiteten Perimeter derselben die Umlegung der Schnittfigur hängen. 3. Eine Pyramide (Tafel IV, 3) ist durch die Basis, die Projection der Spitze auf die Basis und die Höhe bestimmt. Das in der Projectionsebene liegende Sechseck ABCDEF sei die Basis einer Pyramide, S’ die Projection der Spitze, und ausserdem sei die Höhe gegeben. Aus Grundriss und Höhe erhalten wir die Projection S" A" B" C"D"E"F' auf eine beliebige Verticalebene n 3 . Um den Schnitt der Pyramide mit der Ebene E zu erhalten, die die Spur T7 und Neigungswinkel a hat, projiciren wir die Pyramide auf eine Verticalebene ü 3 normal zu TT und erhalten so die Projectionen der Schnittpunkte der Pyramidenkanten mit E; hieraus ergeben sich der Grundriss G'H'FK'LM' und der Aufriss G"Fl"I" K"L"M" der Schnittfigur, sowie die Umlegung G 0 H 0 I 0 K 0 L 0 M Ü . Zerschneiden wir den Pyramidenmantel längs einer Polkante und drehen die Seitenflächen um die Polkanten, bis sie in einer Ebene liegen, so erhalten wir sechs Dreiecke, die die Spitze ( S) gemein haben. Um diese Dreiecke constru- iren zu können, müssen wir die Kanten bestimmen. Diese sind die Hypotenusen rechtwinkliger Dreiecke, welche die Höhe der Pyramide als gemeinsame Kathete und ausserdem noch die Katheten S’A, S'B, S'C, S'D, S'E, S'F haben. Machen wir daher gleich der Pyramidenhöhe und jj .a — S'A, \>.b = S'B, § 7. Das Prisma und die Pyramide. 591 frr = S'C, ]i.d = S'D, \xe = S'-E, \xf= S'F so sind 1a, 1b, 1c, Id, 1e, 1f, der Reihe nach gleich den Polkanten SA, SB, SC, SD, SB, SB der Pyramide. Bestimmen wir auf den Graden 1a, 1b etc. die Punkte g, h, i, k, l, m, so, dass sie dieselben Höhen über D"d haben, wie die entsprechenden Punkte G", H", F", K", L"M", so sind ag, bh, ci, dk, el, fm die Kantenlängen der Pyramide, welche zwischen der Basis und der Schnittebene liegen. Construiren wir nun 2 0 « 0 =2a, 2 0 £ 0 = 1b, S 0 8 liegenden Ebenen des I. Prisma. Ziehen wir IP || AF, und Pc' || Ad 1 || Aa'[, so sind c' und d' die Grundrisse der Punkte, in denen M\j. die an Do liegenden Ebenen des I. Prisma schneidet. Es ist demnach ac der Schnitt der Parallelogramme DAa8 und NM\i.i, und bd ist der Schnitt von NM\s.v mit D8~[C. . Wir ziehen ferner GS || AF und Re' || Sf |) Aa' und erhalten so die Grundrisse der Punkte e und f, in welchen die Kante ZA die Ebenen D8~(C und AafiB durchschneidet. Die Ebene Do~(C wird daher von den Ebenen M\l\L und WvAZ in den Graden de und be geschnitten, und das Dreieck bde ist der Schnitt des II. Prisma mit der Seite D 8 ■[ C des I. Prisma. Die Durchdringungslinie beider Prismen besteht also hier aus zwei getrennten Zügen, deren einer bde ist, während die Grade ac und der Punkt f zum andern Zuge gehören. Vom Schnitt der Ebenen BA$a und NL'kv haben wir bereits einen Punkt /; um einen zweiten zu erhalten, schneiden wir mit HK durch die Grade BA und ziehen Tg' || Aa!. Dann ist gf die gesuchte Schnittlinie und daher h der Schnittpunkt der Kante Aa. und der Ebene WZAv, und ha die Schnittlinie der Parallelogramme NL\v und ADba. Vom Schnitt der Ebenen ADba und LM\ jlv haben wir den Punkt c, ein zweiter, nämlich der Schnitt von ZA mit der Ebene AD8a, wird erhalten, indem wir mit GS die Grade DA durchschneiden und Di || Aa! ziehen. Dann ist ic die gesuchte Schnittlinie; mithin k der Schnitt von Aa und der Ebene Z M\s. A, und kc und kf sind die Schnittlinien des Parallelogramms ML Aja mit den Pararallelogrammen DA ab und AB$a. Das unebene Vieleck a'c'k'f'h' ist daher der zweite Zug der Durchdringungslinie. Aus dem Grundriss entwickelt man den Aufriss der Durchdringungsfigur. In der Figur sind die Theile der Kanten jedes Prisma, die im Innern des andern liegen, weggelassen worden; alle Constructionslinien, die nicht Prismenkanten sind und nicht zur Durchdringungsfigur gehören, sind als schwache ununterbrochene oder unterbrochene Striche gezeichnet. Die Prismenkanten und die Kanten der Durchdringungsfigur, die man von einem unendlich fernen Punkte oberhalb der Horizontalebene bez. vor der Verticalebene § 7- Das Prisma und die Pyramide. 593 sehen kann, zeigen sich im Grundriss, bez. Aufriss als stärkere unterbrochene Linien, die unsichtbaren als stärkere unterbrochene Linien. Um zu entscheiden, ob ein Punkt X' im Grundrisse sichtbar oder verdeckt ist, legt man durch X eine verticale Gerade und bestimmt die Punkte, in welchen diese Gerade die Seitenflächen der Figur schneidet; X 1 ist sichtbar, wenn X höher liegt als diese Schnittpunkte. Es ist selbstverständlich, dass der äusserste Umriss der Projection einer Figur immer sichtbar ist. Ferner bemerke man, dass alle von einem unsichtbaren Punkte ausgehenden Kanten in der Nähe dieses Punktes unsichtbar sind, während sie in einiger Entfernung davon Sichtbarwerden können, wie z. B. die von B ausgehenden Kanten im Grundriss unserer Figur. Die von einem sichtbaren Punkte ausgehenden Kanten können auch in der Nähe des Punktes unsichtbar sein, wie z. B. die von 7 ' ausgehende Kante ~l'C des Grundrisses. Um die Netze der beiden Prismen zu erhalten, projiciren wir jedes Prisma auf eine Yerticalebene, die den Kanten parallel ist, und bestimmen die Umlegung des Normalschnitts; es ist hierzu nicht nöthig, den Grundriss des Normalschnitts aufzusuchen, man wird dies vielmehr gern unterlassen, da sonst der Grundriss der Figur mit Linien zu sehr angefüllt wird. Wir bestimmen noch die dritten Projectionen der zu den Kanten parallelen Geraden Ka, Ob, Pc, Qd, Re, Sf, die zugleich die wahren Längen dieser Geraden sind; suchen im Normalschnitt die Punkte auf, in welchen er von diesen Geraden geschnitten wird (a, b, c, b, e, f) und können mit Hülfe dieser Punkte und mit Hülfe der aus der dritten Projection zu entnehmenden Strecken aa, b b, zc, b d, ei, f f die Durchdringungsfigur in das Netz des 1 . Prisma eintragen. Um in das Netz des 2. Prisma die Durchdringungsfigur eintragen zu können, haben wir durch k und h Parallele zu L\ zu legen, deren Projection auf die zu L\ parallele Verticalebene zu bestimmen und die Schnittpunkte dieser Parallelen mit dem Normalschnitt des 2. Prisma in die Umlegung des Normalschnittes einzutragen. Wer zum ersten Male eine Durchdringungsaufgabe löst und Mühe hat, sich heim Anblick der Projectionen die räumliche Figur deutlich vorzustellen, der wird gut thun, die Netze der beiden Prismen nebst den Durchdringungsfiguren auf Kartenpapier zu zeichnen. Das Netz des 2. Prisma bleibt in unserem Falle Unverletzt, im 1. Prisma schneidet man das Fünfeck ackfh und das Dreieck bde aus, schneidet dann die beiden Netze aus und kann nun das Modell jedes Prisma hersteilen, indem man das Netz entlang jeder Seitenkante geeignet umbricht und die beim Herstellen des Netzes durch Zerschneiden getrennten Ränder wieder passend vereinigt. Steckt man schliesslich das Modell des 2. Prisma durch die Lücke im L Prisma, so erhält man ein Modell der Durchdringungsfigur, aus dessen genauem Anblick man auch für die Construction der folgenden Durchdringungsaufgaben und anderer verwandter Figuren Nutzen ziehen wird. G. Durchdringung der fünfseitigen Pyramide AB CD EP mit einem vierseitigen Prisma. Das vierseitige Prisma wollen wir uns als Prisma im weitern Sinne des Wortes, d. i. als die Raumfigur denken, die von vier Streifen umschlossen wird, von denen jeder mit dem folgenden, der letzte mit dem ersten eine Kante gemein hat; aus einem solchen Prisma wird durch irgend zwei parallele Ebenen, die die Längskanten schneiden, ein allseitig begrenztes Prisma (im engeren Sinne) ausgeschnitten. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. og 594 Darstellende Geometrie. Ein unbegrenztes vielseitiges Prisma ist durch Grund- und Aufriss seiner (Längs-)Kanten bestimmt; um es deutlicher zur Anschauung zu bringen, wollen wir seinen Durchschnitt mit der Horizontalebene angeben, indem wir die Horizontalspuren der Prismenkanten aufsuchen und der Reihe nach verbinden; ferner wollen wir in passender Entfernung von der Pyramide das Prisma durch eine verticale Ebene schneiden, deren Grundriss normal zum Grundriss der Prismenkanten gewählt werden mag. Wir schneiden dadurch aus dem Prisma den prismatischen Abschnitt GHIKLMNO aus (Tafel VI, 1). Um die Punkte der Durchdringungsfigur einer Pyramide mit einem Prisma zu erhalten, legen wir am einfachsten Ebenen durch die Spitze der Pyramide und durch die Kanten des Prisma. Jede solche Ebene schneidet jede Seitenfläche der Pyramide in einer Geraden, die nach der Spitze geht; der Schnitt dieser Geraden mit der betreffenden Prismenkante ist der Schnitt dieser Kante mit der betreffenden Seitenfläche der Pyramide. Die Ebenen, welche durch F und die Kanten des Prisma gelegt werden, gehen alle durch die durch F gezogene Parallele zu den Prismenkanten; F sei Horizontalspur dieser Parallelen. Die Horizontalspur der Ebene FGL ist die Gerade PG\ die Ebene FGL schneidet daher die Pyramidenflächen A’Cüund FDE in den Geraden FQ und FR ; von diesen erhält man zunächst die Grundrisse F'Q und F'R und hieraus kann man die Aufrisse ableiten. Der Schnitt a ' von FQ und GL ' ist der Grundriss des Punktes, in welchem die Ebene FCB von der Kante GL geschnitten wird; und der Schnitt von F"Q und G"L" giebt den Aufriss a" desselben Schnittpunktes. Es genügt im Allgemeinen, den Grundriss a' als Schnitt von F'Q und GL' zu construiren und dann a" als den zu a’ gehörigen Punkt der Geraden G"L" zu bestimmen; in dem Falle aber, dass F’Q und GL' sich unter einem zu kleinen Winkel schneiden, so dass ihr Schnittpunkt sich nicht mit genügender Genauigkeit angeben lässt, wird man auch F"Q" zeichnen, um zunächst für a" und daraus auch für a! eine genauere Bestimmung zu erhalten. Im Folgenden wird, wie es auch bei der vorigen Construction geschah, die Construction an der Pyramide und dem Prisma selbst entwickelt und weiter keine Rücksicht darauf genommen werden, ob man von nun an den Grundriss allein zur Herstellung der Grundrisse aller nöthigen Punkte der Durchdringungsfigur benutzt, und nachher den Aufriss entwickelt, oder ob man zur genauem Bestimmung einzelner Punkte erst den Aufriss, und dann den Grundriss aufsucht. Wir legen nun eine Ebene durch F und die Prismenkante KO. Die Horizontalspur dieser Ebene ist BK) daher werden die Pyramidenflächen FCB und FDE von der Ebene FKO in den Geraden SF und TF, also von der Kante KO in den Punkten c und d geschnitten. Die Dreiecke FCB und FDE schneiden also das Trapez GLOK in den Geraden ac und bd. Von den Schnitten derselben Dreiecke mit dem Trapez O KIN haben wir je einen Punkt, c und d; noch einen Punkt jeder der beiden Schnittlinien erhalten wir, wenn wir den Schnitt der Kante IN mit den beiden Dreiecksebenen aufsuchen. Zu diesem Zwecke ziehen wir PI, schneiden damit durch die Verlängerungen voir CB und DE und verbinden die Schnittpunkte mit F\ dann sind e und f die Schnittpunkte von FCB und FDE mit IN, und mithin g und h die Schnittpunkte der Pyramidenkanten FB und FE mit der Prismenfläche KINO. § 7 - .Das Prisma und die Pyramide. 595 Wir verbinden nun V und U mit F und erhalten so die Schnittpunkte k und z der Kante IN mit den Ebenen FB A und FAE. Das Trapez OK IN schneidet die Pyramide in den beiden gebrochenen Linien cgi und dhk. Durch die Geraden FH, FY und FZ erhalten wir die Schnittpunkte l und m der Kante HM mit den Pyramidenflächen FBC und FAE. Wir ziehen la und erhalten so den Schnitt des Trapezes GHML und des Dreiecks FBC, so wie den Schnittpunkt n dieses Trapezes mit der Pyramidenkante FB. Um nun den Schnitt des Dreiecks FAE und des Trapezes GHML, von dem wir schon einen Punkt m besitzen, zu erhalten, suchen wir den Schnitt der Kante GL und des Dreiecks FAE auf, indem wir mit PG durch AE schneiden und Z j mit F verbinden; dann ist / der gesuchte Schnittpunkt, und j>m die gesuchte Schnittlinie. Die Schnitte o und q derselben mit den Kanten FA und FE sind die Punkte, in welchen FA und FE die Ebene HGLM durchdringen, und oq ist die Schnittlinie des Dreiecks FAE und des Trapezes HGLM. Die gebrochene Linie anoqb ist daher der Schnitt des Trapezes GHML mit der Pyramide. Die Punkte k und m sind die Schnitte von IN und HM mit der Ebene FAE, mithin ist km die Schnittlinie von FAE und IHMN, und r der Schnitt desselben Trapezes mit der Pyramidenkante FA. Daraus ergiebt sich endlich noch ri als Schnitt des Trapezes HINM und des Dreiecks FAB. Die Pyramide und das Prisma scheiden sich also längs des einfachen Zuges anoqbdhkrigc. Die Pyramidenfläche FCD und die Prismenkantc JIM bleiben dabei unverletzt. Zur Eintragung der Durchdringungsfigur in das Netz der Pyramiden bemerken wir Folgendes: Hat man nach Tafel IV, 3 die wahren Längen der Pyramidenkanten hergestellt, so erhält man die auf den Pyramidenkanten liegenden Punkte der Durchdringungsfigur ganz so, wie dort die Punkte g, h, i etc. des Netzes. Um einen Punkt der Durchdringungsfigur, der nicht auf einer Pyramidenkante kegt, in das Netz einzutragen, z. B. den Punkt a, tragen wir zunächst FQ mit Hülfe des Punktes Q in das Netz ein. Hierauf theilen wir F 0 Q 0 des Netzes im Verhältnis F'a : a'Q’, der Theilpunkt ist der zu a gehörige Netzpunkt a 0 . 7. Durchdringung zweier Ecken. Die Durchdringung zweier Ecken wird am einfachsten gefunden, indem man Ebenen durch den Scheitel der einen Ecke I und die Kanten a, ß, etc. der andern Ecke legt. Diese Ebenen gehen alle durch die Gerade, welche die Scheitel beider Ecken verbindet, ihre Horizontalspuren gehen also durch die Horizontalspur dieser Geraden, und ausserdem durch die Horizontalspuren von ß, etc. Jede solche Ebene schneidet eine Seitenfläche von I in einer Geraden, Und der Schnitt dieser Geraden mit der betreffenden Kante der anderen Ecke ls t der Schnitt der Seitenfläche von I mit dieser Kante. Wir wählen als Beispiel die Durchdringung einer fünfseitigen und einer vierseitigen Ecke (Tafel VI, 2). Wir schneiden die erstere durch die Horizontalebene ünd erhalten dadurch eine fünfseitige Pyramide ABCDEF. Hierauf bestimmen 'Hr die Horizontalspur M der Geraden FL, sowie die Horizontalspuren MG, Af H h MIo, MK 0 der Ebenen FLG, FLH, FLI, FLK. Die Spur MG ^ er Ebene FLG schneidet die Dreiecke FAE und FBC in den Geraden PF Und QF; mithin sind a und b die Schnitte der Kante LG mit den Dreiecken p Ali und FB C. 38" 596 Darstellende Geometrie. Die Ebene FLH hat die Spur MH 0 und schneidet daher dieselben beiden Dreiecke in den Geraden FN und FO\ es sind somit c und d die Schnitte dieser beiden Dreiecke mit der Kante LFl. Hieraus ergeben sich ac und bd als Schnittlinien der Dreiecke FAE und FBC mit dem Winkel GLH. Durch die Spur MK 0 der Ebene FLK und die Geraden RF und SF ergeben sich die Schnittpunkte g und h der Kante LK mit den Dreiecken FDE und FD C. Die Geraden Mio, TF und VF ergeben die Schnittpunkte e und i der Dreiecke FEA und FDC mit der Kante LI. Hieraus folgt hi als Schnitt von FDC und LIK, und ec als Schnitt von FEA und LHI. Vom Schnitte der Ebenen FBC und LIII haben wir bereits den Punkt d', den Punkt f, in welchem FBC von LI geschnitten wird, erhalten wir, indem wir LI durch FV schneiden; es ist daher df der Schnitt der beiden Ebenen FBC und LIH, sowie ferner kf der Schnitt von FBC und KLI. Den Schnitt l von LG mit der Ebene FDC erhalten wir, indem wir DC durch MG und FW durch LG schneiden. Damit haben wir den Schnitt hm von FDC und LKG, sowie den Schnitt bm von LKG und FBC gefunden. Das unebene Polygon hkfdbm ist ein Zug der Durchdringungsfigur der beiden Ecken. Von dem andern Zuge haben wir bereits zwei Seiten ac und ce. Um den Schnitt der Ebenen LIK und FEA zu erhalten, bestimmen wir den Schnitt von LK mit FEA, indem wir mit MK die Verlängerung von AE durchschneiden und den Schnittpunkt II mit F verbinden; dann ist ne die gesuchte Schnittlinie und o der Schnitt von FE und LKI. Dies ergiebt weiter og als Schnitt der Dreiecke FDE und LIK. Verbinden wir n mit a, so erhalten wir den Schnitt der Ebenen LGK und FEA und p als Schnitt der Kante FE mit der Ebene LGK. Ziehen wir noch pg, so ist nun auch der zweite Zug aceogp der Durchdringungsfigur vollendet. Ueber die Herstellung der Netze gilt dasselbe, was bei der vorigen Aufgabe über die Construction des Pyramidennetzes bemerkt worden ist. 8. Durchdringung zweier Tetraeder (Tafel VII). Bei der Construction der Durchdringung der beiden Tetraeder AB CD und EFGH wollen wir eine Methode anwenden, die in jedem Falle zum Ziele führt, wo es sich um Durchdringung zweier Polyeder handelt. Wir bestimmen in passender Reihenfolge die Punkte, in denen die Kanten jedes der Polyeder die Oberfläche des andern durchdringen. Wir benutzen dazu die Verticalebenen, welche durch die Kanten jedes Tetraeders gelegt werden; dieselben sollen in Kürze mit den kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet werden, welche im Grundriss an die Kanten geschrieben sind. Um den Schnitt von FG und der Ebene ABC zu erhalten, suchen wir die Schnittlinie der Ebenen a. und ABC auf; der Schnittpunkt derselben mit FG ist der Schnitt von FG und ABC. Die Ebene a schneidet A C und B C in Punkten, deren Grundrisse B und K sind; hieraus ergiebt sich der Aufriss I"K" der Schnittlinie und der Aufriss d des Schnittpunktes, und aus diesem § 7- Das Prisma und die Pyramide. 597 Der Schnitt b von GH und ACB wird gefunden, indem wir den Aufriss des Schnittes der Ebene ß mit den Kanten AC und BC aus dem Grundriss N'O' bestimmen, und G"H" mit N"0" durchschneiden. Dies ergiebt ab als Schnittlinie der Dreiecke FGH und ABC. Wir bestimmen nun den Schnitt von EGH und ABC\ dazu haben wir schon den Punkt b und brauchen noch den Schnittpunkt c von GE mit ABC. Wir durchschneiden BC und BA mit der Ebene y, erhalten aus dem Grundriss E'Q' den Aufriss der Schnittlinie, und indem wir E'Q" mit G"E" durchschneiden, folgt der Aufriss c" des gesuchten Schnittpunktes. Verbinden wir c mit b und a und durchschneiden AC mit diesen Linien in d und e , so erhalten wir bd und ae als Schnitte der Ebenen ACB mit EGH und EEG. Für den Schnitt von ACH und EGH construiren wir noch den Punkt f, in welchem CD die Ebene EGH durchdringt. Aus dem Grundriss E'S’ construiren wir den Aufriss F"S" und erhalten so den Aufriss f" und hieraus die Schnittlinie df und den Schnittpunkt h der Ebene ACH mit der Kante EH (in der Figur befindet sich der Buchstabe JE etwas unter dem Punkte). Bei h schliesst sich der Schnitt der Ebenen ACH und EFH an; um denselben zu erhalten, suchen wir mit Hülfe der Ebene s den Schnitt i der Kante DA und der Ebene EFH, und erhalten so den gesuchten Schnitt ih. Bestimmen wir mittelst der Ebene £ den Schnitt k von BD und EFH, so haben wir nun die Linie ik, in welcher ABD und EFH sich schneiden. Vom Schnitt der Ebenen EGH und BCD haben wir bereits /; wir suchen mit Benutzung der Ebene ß den Schnittpunkt l der Kante GH und der Ebene BCD\ dann ist If die gesuchte Schnittlinie, und m der Schnittpunkt von BCD und der Kante EH. Verbinden wir nun m mit k, so erhalten wir den Schnitt der Dreiecke EFH und BCD. Mit Benutzung der schon vorhin verwendeten Ebene £ construiren wir nun den Punkt n, in welchem BD die Ebene FGH durchstösst; die Strecke ln ist der Schnitt der Dreiecke FGH und BCD. Die Ebene a liefert uns noch den Schnitt o der Kante FG und der Ebene ABD, und nun haben wir on, den Schnitt der Dreiecke ABD und FGH. Fügen wir noch mit Benutzung der Ebene e den Punkt p hinzu, in welchem EFG von der Kante AD geschnitten wird, so erhalten wir in den Strecken po und p£ die Schnitte der Dreiecke ACD uud ADB mit dem Dreiecke EFG. Hierdurch hat sich die Durchdringungsfigur geschlossen; dieselbe besteht in unserm Beispiele aus einem Zuge, nämlich aus dem unebnen Polygon abdhikmlnopea. Zur Controle bemerke man, dass der Schnitt einer Ebene des einen Tetraeders mit einer Ecke des anderen ein Dreieck ist, dessen Eckpunkte auf den Kanten der Ecke liegen; die Grundrisse und Aufrisse der Eckpunkte liegen also auf den Grundrissen bez. Aufrissen der betreffenden Kanten. So schneidet z. B. die Ebene ABD die Ecke des anderen Tetraeders, dessen Scheitel F ist, in den drei Geraden ik, on und op\ die Ecken des von diesen drei Geraden gebildeten Dreiecks liegen daher der Reihe nach auf den drei Kanten FG, FE und FH. Das Netz eines der beiden Tetraeder, z. B. das von EGFH zu erhalten, suchen wir die wahre Grösse jeder der Tetraederkanten. Zu diesem Zwecke tragen wir von einem Punkte 3 aus, der auf der Achse Hegt, Strecken ja, je, 598 Darstellende Geometrie. jb, je, jf auf, die der Reihe nach den Grundrissen G'H', G'F, G'B', H’ E', FE', F'H' gleich sind. In 3, ct, 6, c, b, e, f errichten wir Senkrechte zur Achse, und ziehen durch G, H, F, E Parallelen zur Achse, welche die in 3, a, f>, c errichteten Senkrechten in g, a x , 6 1 , schneiden; dann sind ga 1( gb 1; gc t der Reihe nach gleich den Tetraederkanten GH, GF, GE. Durchschneiden wir ferner mit den durch F und H gezogenen Parallelen zur Achse die in f und 3 errichteten Normalen, und mit der Parallelen durch E die Normalen in b und 3, so sind f t lj und b^ die Kantenlängen FH und EH und e,i ist die Kantenlänge EF. Aus den sechs Kanten kann man jede Seitenfläche des Tetraeders construiren; hängt man die Seitenflächen in passender Weise aneinander, so erhält man das Netz des Tetraeders. Wir haben nun noch die Durchdringungsfigur in das Netz einzutragen; die dazu nöthigen Constructionen wollen wir an dem Theile der Durchdringungsfigur erläutern, der auf der Fläche FGH liegt. Ziehen wir durch a" und o" Parallelen zur Achse bis zum Durchschnitte mit b 1 g, so sind gn und gm gleich den Kantenlängen Ga und Go und können in das Netz eingetragen werden. Wir ziehen ferner eine Parallele durch q" bis zum Durchschnitt mit f^; dann ist cf; gleich der Strecke qH und wird auf HF in das Netz eingetragen. Hiermit ist auch oq im Netze gefunden. Die Kantenlängen Hl und Hb können wir durch Parallelen zur Achse auf ft,g nicht abschneiden, da die Schnitte unter zu kleinen Winkeln erfolgen würden. Wir nehmen daher den Grundriss zu Hülfe, machen 3! und 3I gleich G'b' und G'l', ziehen durch f und I Normalen zur Achse und erhalten so die gesuchten Kantenlängen gjt = Gb, gq = Gl, die wir in das Netz eintragen. Mittelst einer Parallelen zur Achse durch r” schneiden wir auf f t 1 ) die Strecke f t r = Fr ab, und bestimmen damit den Punkt r im Netze. Der Schnitt der Geraden oq und Ir giebt endlich den Netzpunkt n. In gleicher Weise erhält man im Netze die übrigen Theile der Durchdringungsfigur. § 8. Der Rotationscylinder. 1 . Der Rotationscylinder ist die Fläche, die von einer Geraden beschrieben wird, welche um eine zu ihr parallele Gerade rotirt. Die Rotationsachse heisst die Achse des Cylinders, der Abstand der rotirenden Geraden von der Achse heisst der Radius des Cylinders. Eine Ebene, welche die Achse des Cylinders enthält, schneidet den Cylinder in zwei zur Achse parallelen Geraden, welche von ihr um den Cylinderradius nach beiden Seiten abstehen; diese Geraden heissen Mantellinien des Cylinders. Eine Ebene senkrecht zur Achse schneidet den Cylinder in einem Kreise, der den Cylinderradius zum Radius und den Schnitt mit der Achse zum Centrum hat; auf dem Cylinder giebt es unzählig viele solcher Kreise, die alle congruent sind, und, weil sie in parallelen Ebenen liegen, als Parallelkreise bezeichnet werden. Der Rotationscylinder ist der Ort der Punkte, die um eine gegebene Strecke (den Cylinderradius) von einer festen Geraden (der Cylinderachse) entfernt sind. Die Projection des Rotationscylinders auf eine Ebene senkrecht zur Achse ist der Parallelkreis, der auf der Projectionsebene liegt. Die Punkte dieses § 8. Der Rotationscylinder. 599 Parallelkreises sind die Projectionen der auf der Projectionsebene senkrechten Mantellinien und der Mittelpunkt ist die Projection der Cylinderachse *'). 2. Eine Gerade, die zur Cylinderachse parallel ist, hat keinen Punkt mit dem Cylinder gemein, wenn ihr Abstand von der Cylinderachse grösser oder kleiner ist, wie der Cylinderradius; ist der Abstand gleich dem Cylinderradius, so liegt die Gerade auf dem Cylinder, ist eine Mantellinie des Cylinders. Für eine Gerade, die zur Cylinderachse nicht parallel ist, gelten folgende Unterscheidungen: Ist der kürzeste Abstand der Geraden von der Cylinderachse grösser, als der Cylinderradius, so liegen alle Punkte der Geraden ausserhalb des Cylinders, die Gerade hat also mit dem Cylinder keinen Punkt gemein. — Ist der kürzeste Abstand einer Geraden von der Cylinderachse gleich dem Cylinderradius, so liegt der Punkt der Geraden auf dem Cylinder, in welchem das gemeinsame Loth der Geraden und der Cylinderachse endigt; alle andern Punkte der Geraden sind um mehr als den Cylinderradius von der Achse entfernt, liegen also ausserhalb des Cylinders; wir sagen in diesem Falle, die Gerade berührt den Cylinder, ist eine Tangente des Cylinders. — Ist der kürzeste Abstand einer Geraden von der Achse eines Cylinders kleiner als der Cylinderradius, so giebt es auf der Geraden gleich weit vom Fusspunkte Z des gemeinsamen Lothes der Geraden und der Achse zwei Punkte P und Q, welche um den Radius von der Achse abstehen; alle Punkte der Geraden zwischen P und Q liegen innerhalb, alle übrigen Punkte der Geraden ausserhalb des Cylinders; die Gerade schneidet also den Cylinder in zwei Punkten, P und Q. Projiciren wir die Gerade und den Cylinder auf eine Ebene senkrecht zur Cylinderachse, so ist das von dem Grundriss A' der Achse auf den Grundriss B'C der Geraden gefällte Loth ÄL' parallel und gleich dem kürzesten Abstande der Cylinderachse A und der Geraden BC. Die Gerade BC trifft daher den Cylinder nicht, berührt ihn in einem Punkte oder schneidet ihn in zwei Punkten, je nachdem der Grundriss B'C' der Geraden den Grundriss des Cylinders verfehlt, berührt, oder zweimal schneidet, und umgekehrt. Aus dem Grundriss L' des Berührungspunktes L (im Falle II), bez. aus den Grundrissen P 1 , Q' der Schnittpunkte (III) bestimmt man die Aufrisse L" , P", Q" als die zu L ', P', Q’ gehörenden Punkte des Aufrisses von BC, 3. Alle Geraden, die den Cylinder in demselben Punkte L berühren, stehen senkrecht auf dem Radius des Punktes L, liegen also auf der Ebene, die in L auf dem Cylinderradius senkrecht steht. Diese Ebene heisst die Tangentenebene des Cylinders im Punkte Z; man sagt von ihr, dass sie den Cylinder im Punkte L berührt. Ausser den durch Z gehenden Tangenten enthält diese Ebene auch die durch Z gehende Mantellinie; die Ebene, die den Cylinder in Z berührt, hat also mit dem Cylinder die durch Z gehende Mantellinie \ gemein. *) Wenn in § 8 von einem Cylinder schlechthin die Rede ist, so ist immer ein Rotationscylinder gemeint. CM. 300.) 6oo Darstellende Geometrie. Hieraus folgt weiter, dass diese Ebene den Cylinder in jedem Punkte der durch L gehenden Mantellinie X berührt. Jede Gerade dieser Ebene, die X schneidet, ist Tangente des Cylinders. Insofern man von den Geraden der Tangentialebene, die zu X parallel sind, sagen kann, dass sie X in einem unendlich fernen Punkte treffen, kann man auch sagen, dass sie den Cylinder in einem unendlich fernen Punkte berühren. Spur (und Projection) einer Tangentialebene, die den Cylinder entlang der Mantellinie X berührt, auf einer zur Cylinderachse normalen Ebene II, ist die durch X gehende Tangente des in II gelegenen Parallelkreises. Es giebt zwei Ebenen, die einen Rotationscylinder berühren und einer mit der Achse nicht gleichlaufenden Geraden parallel sind. Denn diese Ebenen sind aus der Schaar von Parallelebenen auszuwählen, die mit der Achse und der gegebenen Geraden parallel sind; und zwar sind die auszuwählen, die von der Cylinderachse um den Cylinderradius abstehen; deren giebt es aber zwei. Alle Tangenten eines Rotationscylinders, die einer gegebenen mit der Achse nicht gleichlaufenden Geraden parallel sind, liegen auf einer der beiden zu dieser Geraden parallelen Tangentialebene des Cylinders. 4. Wird ein Cylinder auf eine Ebene durch Strahlen projicirt, die zu den Mantellinien parallel sind, so ist die Projection jeder Mantellinie ein Punkt; die Projection der ganzen Cylinderfläche ist also die krumme Linie, in welcher der Cylinder die Projectionsebene schneidet. Sind die Projectionsstrahlen nicht parallel zu den Mantellinien des Cylinders, so bedeckt die Projection des Cylinders einen Theil der Projectionsebene. Denkt man sich durch jeden Punkt der Projectionsebene den Projectionsstrahl gezogen, so gehören die Punkte von II zur Projection des Cylinders, deren Projectionsstrahlen den Cylinder treffen. Ein Projectionsstrahl, der den Cylinder trifft, schneidet ihn im Allgemeinen in zwei Punkten; ein Punkt der Projection eines Rotationscylinders gehört also im Allgemeinen zu zwei Cylinderpunkten. Das Gebiet der Punkte der Projectionsebene, deren Projectionsstrahlen den Cylinder zweimal schneiden, wird von dem Gebiet der Punkte, deren Strahlen den Cylinder nicht treffen, durch den Ort der Punkte getrennt, deren Projectionsstrahlen den Cylinder in einem Punkte berühren. Diese Projectionsstrahlen erfüllen die beiden Tangentialebenen des Cylinders, welche den Projectionsstrahlen parallel sind; die Punkte, von welchen diese Strahlen ausgehen, erfüllen also die Spuren dieser beiden Tangentialebenen. Diese Tangentialebenen sind parallel zur projicirenden Ebene der Cylinderachse und haben von ihr gleichen Abstand; ihre Spuren sind daher mit der Projection der Cylinderachse parallel und haben von derselben gleichen Abstand, und dieser ist die Projection des Cylinderradius, der auf der Richtung der Tangentialebenen senkrecht steht. Sind die Projectionsstrahlen normal zur Projectionsebene, so ist dieser Cylinderradius parallel zur Projectionsebene, daher ist alsdann seine Projection ihm gleich. Die Normalprojection eines Cylinders besteht also aus zwei Geraden, die zur Projection der Cylinderachse parallel sind und von ihr um den Cylinderradius abstehen. 5. Eine Ebene E (Fig. 301), die parallel zur Achse eines Rotationscylinders ist, projicirt sich auf eine Parallelkreisebene als Gerade; wenn diese Gerade E x die § 8. Der Rotationscylinder. 601 E< Projection des Cylinders nicht trifft (I), berührt (II), oder zweimal schneidet (III) so hat die Ebene E mit dem Cylinder keinen Punkt gemein, oder berührt ihn längs der Mantellinie X, oder schneidet ihn in den beiden Mantellinien, welche JJ.' und v' zu Projectionen haben. Eine Ebene E, welche die Cylinder- achse schneidet, schneidet auch alle Mantellinien des Cylinders, und schneidet den Cylinder in einem Parallelkreise, wenn sie normal zur Achse ist; ist sie nicht normal zur Achse, so schneidet sie den Cylinder in einer geschlossenen krummen Linie, deren Normalprojection auf jede zur Achse normale Ebene ein Parallelkreis ist. Die krumme Linie CED F sei der Schnitt der Ebene E mit dem Rotationscylinder. Wir legen eine Ebene durch die Achse AA normal zu E, diese schneide die E-Curve CEDF in den Punkten C, I), durch B eine Ebene normal zur Achse; diese schneidet E und den Cylinder in den Punkten E, F, so dass EF von B halbirt wird und auf CD senkrecht steht. Durch den beliebigen Punkt Q der Schnittcurve legen wir eine Ebene normal zu AA; sie schneidet E in einer Geraden QF, die normal zu BD ist. Projiciren wir alles auf eine Parallelkreis-Ebene, so projiciren sich BF und CD als zwei auf einander senkrechte Diameter des Parallelkreises und QF als eine Normale zur Projection von BD. Ist r der Cylinder- Mitte von CD ist. Ferner legen wir (M. 302.) radius, ferner a der Winkel, unter welchem die Ebene E gegen die Cylinder- achse geneigt ist, und 9 der Winkel F'AF', so hat man: BP-- AP' = rcos AP' r sma. smv. 9, Q'P' = r sin 9 cos(f, QP — Q'P' = rsin.'p Setzt man nun ——; = a, r = b, so erhält man: BP= acos 9, QP=b sin 9. Vergleicht man dies mit dem Inhalt von § 4, Nr. 2, insbesondere mit den Formeln am Ende dieser Nummer, so sieht man: Eine Ebene, die nicht parallel oder normal zur Achse eines Rota- tionscylinders ist, schneidet den Cylinder in einer Ellipse; die grosse Achse derselben fällt in die Projection der Cylinderachse auf die Schnittebene und ist gleich dem Diameter des Cylinders getheilt 602 Darstellende Geometrie. durch den Sinus des Winkels, unter dem die Schnittebene gegen die Cylinderachse geneigt ist; die kleine Achse ist der Diameter des Cylinders. Aus § 4,18 folgt: Jede Parallelprojection eines ebenen Cylinderschnitts ist eine Ellipse. 6. Ein Rotationscylinder habe auf die Ebene II j (Tafel VIII, 1) eines Parallelkreises den um O' mit Radius r geschlagenen Kreis als Projection und werde von einer Ebene E geschnitten, deren Spur E t und Neigungswinkel a gegen IIj {CD -LEJ gegeben sind. Der Schnittpunkt O der Cylinderachse und der Ebene E ist das Centrum der Schnittellipse, die durch O gelegte Falllinie enthält die grosse Achse AA 1 und die durch O gelegte Hauptlinie enthält die kleine Achse. Projicirt man den Cylinder und die Ebene E auf eine Verticalebene ü 2 , die normal zu E t ist und durch C geht, so ist E 2 die Projection von E, und Ä'A gleich der grossen Achse der Ellipse. Bestimmt man aus diesen beiden Projectionen den Aufriss der Figur auf eine beliebige Verticalebene II 3 (z. B. auf die durch MM gelegte), so sind ^"A^" und B'"B 1 ’" conjugirte Diameter für die Projection der Schnittellipse auf n 3 - Aus diesen beiden conjugirten Durchmessern construirt man nach § 4 die Hauptachsen der Ellipse und hieraus beliebig viele Punkte und Tangenten derselben. 7. Einen Cylinder kann man sich als ein Prisma von unzählig vielen verschwindend breiten Seiten denken; dann sind die Parallelkreise desselben als congruente Polygone von unzählig vielen verschwindend kleinen Seiten anzusehen, und bilden Normalschnitte des Prisma; die Kanten des Prisma sind Mantellinien des Cylinders. Der Cylindermantel lässt sich daher in eine Ebene ausbreiten und giebt einen zwischen zwei Parallelen eingeschlossenen Streifen, dessen Breite gleich dem Umfange eines Parallelkreises ist. Der Theil des Cylindermantels, der zwischen zwei Parallelkreisen liegt, giebt bei der Ausbreitung ein Rechteck, dessen Breite gleich dem Perimeter eines Parallelkreises und dessen Länge gleich dem Abstande der beiden begrenzenden Parallelkreise ist. Der Theil des Cylindermantels, der zwischen zwei Mantellinien liegt, giebt ausgebreitet einen Streifen, dessen Breite gleich dem Bogen eines Parallelkreises ist, der auf dem betreffenden Theile des Cylindermantels zwischen den beiden begrenzenden Mantellinien liegt. 8. Um einen Cylinder oderTheile desselben in die Ebene auszubreiten, hat man also Strecken zu construiren, die gleich dem ganzen Perimeter oder gleich einem bestimmten Bogen eines gegebenen Kreises sind. Diese Con- structionen lassen sich bekanntlich nur annäherungsweise ausführen; von den zahlreichen Annäherungen, die man aufgefunden hat, wollen wir folgende mittheilen: a) Der Kreisumfang wird angenähert erhalten, indem man den Diameter dreimal nimmt und dazu den siebenten Theil des Diameters fügt. Man setzt dabei, wenn u den Umfang, d den Diameter bezeichnet, 22 u = y d— 3,1429 • d (auf 5 Ziffern abgekürzt), während der wahre Werth ist « = ir • d, also auf 5 Ziffern abgekürzt: ü/! = 3,1416 • d. § 8. Der Rotationscylinder. 603 Man erhält also durch die angegebene Annäherung den Umfang um 0,0013 • d d. i. um ungefähr des Diameters, oder um des Umfangs zu gross. b) Man füge zu dem dreifachen Diameter ein Fünftel einer Quadrantensehne. Die Länge der Quadrantensehne ist oder 1,4142 • r, oder ^ • 1,4142 • d\ der fünfte Theil davon also ist 0,14142 • d, also der angenähert gefundene Umfang u = 3,14142 • d. Mit dem auf 6 Ziffern abgekürzten genauen Werthe verglichen: 11 — 3,14159 • d zeigt sich der Annäherungswerth um 0,00017 • d, also ungefähr um -g-^u des Diameters oder um tstütt des Umfangs zu klein. Dies ist ein für graphische Zwecke hinreichender Grad der Uebereinstimmung. — c) Um eine Strecke zu zeichnen, die einem gegebenen Kreisbogen AB gleich ist, mache man auf der Verlängerung des Radius OA die Strecke 0 C gleich dem Diameter des Kreises, ziehe AD normal zu O A und durchschneide diese Grade durch CB\ dann ist DA angenähert gleich dem Kreisbogen AB. (M. 303.) Ist nämlich ß der Arcus des Centriwinkels von AB, und macht man BE- L OA, so hat man CE : CA = EB : AD. Nun ist aber CE= CO + OE— 2z- -f- rcos ß, CA = 3r, BE.— rsin ß, folglich also 2 r -t- r cos ß : 3 r = r sin ß : A D, AD - - 2 -+- cos ß ’ Die Differentialrechnung lehrt, dass man angenähert setzen kann sin ß :ß-L + J 1 120 ß 2 ß 4 , («p = 1 — y + 24- Mithin ist mit demselben Grade der Genauigkeit AD=: 3 — ß2 2 jU 24 Hebt man im Zähler den Faktor ß und im Nenner den Faktor den letzteren gegen den gleichen Faktor im Zähler, so entsteht aus, und tilgt 1 — -t- AD-. ü 120 1 — ! Pi 72 Führt man Division aus, so erhält man, wenn man von Glieder mit höheren Potenzen von ß, als der vierten, absieht, und bemerkt, dass ß^ der Kreisbogen NA ist, den wir kurz mit b bezeichnen wollen, 604 Darstellende Geometrie. Für einen Bogen, dessen Centriwinkel 30° ist, beträgt der Arcus den sechsten Theil von ic, also wenig mehr als somit ist alsdann Ji. un „ efähr _L_L_ lg0 un ö ciaur — lß . 18Q — 2 880 • Wenn es auf einer Strecke bei graphischen Darstellungen nicht ankommt, kann also diese Annäherungsconstruction benutzt werden. Man sieht, wie man mit Hülfe derselben auch den Bogen eines Kreises findet, der einer gegebenen Strecke gleich ist. 9. Will man den Schnitt des Rotationscylinders mit der Ebene E (Tafel VIII, 1) in die Ausbreitung des Cylindermantels eintragen, so theilt man den Umfang des Parallelkreises in eine beliebige Anzahl gleicher Theile; man wählt dabei am besten eine durch vier theilbare Zahl und beginnt die Theilung bei einem der vier Punkte A\ AB ', oder B t ' dann treten alle diese Punkte als Theilpunkte auf. In der Figur sind sechzehn Theile angenommen worden. Durch die Theilpunkte legt man Mantellinien und projicirt dieselben auf II 2 ; dann haben immer je zwei gleichweit von A' oder von A t ’ abstehende dieselbe Projection. Die Stücke dieser Mantellinien, welche zwischen der horizontalen Ebene und der Schnittebene E liegen, sind gleich den zwischen CD und E 2 liegenden Strecken ihrer Projection auf II 2 . Denkt man sich den Cylindermantel behufs der Ausbreitung entlang der durch B gehenden Mantellinie aufgeschnitten, theilt in der Ausbreitung den in eine Gerade ausgestreckten Umfang der in II j liegenden Cylinderbasis in 16 gleiche Theile und zieht durch die Theilpunkte Normale zur ausgestreckten Basis FF, so hat man die durch die Theilpunkte der Basis gelegten Mantellinien in das Cylindernetz eingetragen. Man messe nun die Längen der einzelnen Mantellinien an der Projection auf 11 2 ab, so erhält man 16 Punkte der ausgebreiteten Schnittlinie. Wir ziehen durch den Punkt G der Ellipse eine Tangente. Betrachtet man den Cylinder als Prisma von unendlich vielen verschwindend schmalen Seiten, so erscheint die Ellipse als ebenes Schnittpolygon dieses Prisma, und die Ellipsentangente in G erscheint als die Verlängerung der durch G gehenden Seite des Schnittpolygons. Die Basis des Cylinders kann als Grundriss des Schnittpolygons aufgefasst werden; der Grundriss der durch G gehenden unendlich kleinen Seite des Schnittpolygons ist daher das durch G' gehende Kreiselement, und der Grundriss der durch G gehenden Ellipsentangente ist mithin die durch G 1 gehende Tangente der Basis. Beide Tangenten treffen sich in H, da ja die Ellipsentangente auf E liegt. Die Ebene HGG' ist Tangentialebene des Cylinders und berührt ihn entlang der Mantellinie GG’\ sie kann als Erweiterung der unendlich schmalen Prismenfläche angesehen werden, auf welcher die Mantellinie GG' liegt. Bei der Ausbreitung des Prismen- d. i. Cylinder-Mantels kommt daher diese Ebene auf die Projectionsebene zu liegen und GF[ ist dann die Verlängerung der durch den Netzpunkt G gehenden unendlich kleinen Seite des Schnittpolygons im Netze, d, i. Tangente der Schnittcurve im Netze im Netzpunkte G 0 . G'FC legt sich bei der Ausbreitung auf die Gerade, in welche sich die Cylinderbasis ausstreckt. Tragen wir daher von der Mantellinie ' j den seine Endpunkte verbindenden Diameter rotirt. I Eine Gerade hat mit einer Kugel keinen oder zwei Punkte gemein, je nachdem ihr Abstand vom Kugelcentrum grösser oder kleiner ist, als der Radius. Ist der Abstand der Geraden vom Kugelcentrum gleich dem Radius, so hat die Gerade mit der Kugel den Fusspunkt des vom Centrum auf die Gerade gefällten Lothes gemein; sie berührt die Kugel in diesem Punkte. Alle Geraden, welche die Kugel in einem gegebenen Kugelpunkte P berühren, stehen senkrecht auf dem Radius dieses Punktes und erfüllen daher eine Ebene, die auf diesem Radius senkrecht steht und mit der Kugel nur diesen Punkt P gemein hat; diese Ebene heisst daher Tangentialebene der Kugel im Punkte P. Alle Tangenten der Kugel, die einer gegebenen Richtung parallel sind, sind um den Kugelradius von der Geraden o. entfernt, die parallel zu der Richtung durch das Centrum gelegt wird; sie sind daher die Mantellinien eines Rotations- cylinders, dessen Achse die Gerade a und dessen Radius gleich dem Kugelradius ist. Dieser Cylinder ist der Kugel umschrieben; die Berührungspunkte der Mantellinien mit der Kugel liegen auf dem Parallelkreis des Cylinders, dessen Ebene durch das Kugelcentrum geht. Hieraus folgt: Eine Normalprojection der Kugel ist ein Kreis, der die Projection des Centrums zum Centrum hat und dessen Radius gleich dem Kugel- radius ist. Eline (schräge) Parallelprojection der Kegel ist eine Ellipse; das Centrum derselben ist die Projection des Kugelcentrums; die kleine Achse steht normal auf den Projectionsstrahlen und ist gleich dem Kugeldiameter; die grosse Achse ist gleich dem Kugeldiameter getheilt durch den Cosinus des Winkels, den die i Projectionsstrahlen mit einer Normalen zur Projectionsebene bilden. \ § 9' Die Kugel. 613 Denn der Umriss der normalen oder schrägen Parallelprojection einer Kugel Wird von den Punkten gebildet, deren Projectionsstrahlen die Kugel berühren; diese Projectionsstrahlen sind aber, wie wir schon gesehen haben, die Mantellinien eines der Kugel umgeschriebenen Rotationscylinders. Im Falle der Normal- Projection ist die Kugelprojection ein Normalschnitt (Parallelkreis) dieses Cylinders, im Falle der schrägen Parallelprojection ein schräg zur Cylinderachse geführter Schnitt (die Horizontalspur des umschriebenen Cylinders). 2. Ist der Abstand einer Ebene vom Centrum einer Kugel grösser, als der Kugelradius, so hat die Ebene mit der Kugel keinen Punkt gemein; ist der Abstand gleich dem Kugelradius, so berührt die Ebene die Kugel im Endpunkte des vom Kugelcentrum auf die Ebene gefällten Lothes; ist der Abstand kleiner als der Kugelradius, so schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreise, dessen Centrum die Normalprojection des Kugelcentrums auf die Schnittebene ist. Projicirt man die Kugel und die Ebene E auf eine Ebene II 2 senkrecht zu so projicirt sich E als Gerade E<> und der Abstand der Ebene E vom Kugelcentrum istgleichundparallel dem Abstande der Projection des Kugelcentrums von der Projection von E\ die Projection der Kugel auf 11 2 ist ein Kreis, der die Projection des Kugelcentrums zum Centrum und der Radius der Kugel hat. Je nachdem die Projection E 2 den Kreis schneidet, berührt oder verfehlt, hat die Ebene £ mit der Kugel einen Kreis gemein, °der tangirt sie in einem Punkte oder trifft sie nicht. In der Figur ist angenommen, dass die Kugel durch die Projection des Centrums, den Radius und den Abstand BA" des Centruins von der horizontalen Projectionsebene, die Schnittebene E durch die Spur TT und den Neigungswinkel (a t bez. a 2 , a.,) gegeben ist. Ebenen durch den Kugelmittelpunkt schneiden die Kugel in Hauptkreisen, d. i. in Kreisen, die ^it der Kugel das Centrum und den Radius gemein haben. 3. Mit Ausnahme des Hauptkreises, dessen Pbene der Projectionsebene parallel ist und dessen Projection die Kugelprojection selbst ist, hat jeder Piairptkreis eine Ellipse als Projection. Die grosse Achse dieser Ellipse ist der Kugeldiameter und ist P a rallel der Spur der Hauptkreisebene; die kleine Achse ist gleich dem Kugeldiameter multiplicirt mit ^ e m Cosinus des Neigungswinkels, den die Haupt- Preisebene mit der Projectionsebene einschliesst. Ebenen, die der Projectionsebene II t parallel Sl nd, deren Projectionen auf eine dazu verticale E bene II 2 also Gerade B”C, E 2 "C 2 ", (M. 309.) K. 308.' 614 Darstellende Geometrie. sind, schneiden die Kugel in Kreisen, welche die Diameter B"C", B^'C ^",.. . haben; die Projectionen dieser Kreise auf II t sind mit ihnen congruent und haben A' zum Centrum. Ein Kugelkreis, dessen Ebene nicht mit der Pro- jectionsebene parallel ist, hat sein Centrum auf dem seiner Ebene normalen Diameter, projicirt sich also als Ellipse, deren Mittelpunkt auf dem Lothe liegt, das von der Projection des Kugelcentrums auf die Spur der Kreisebene gefällt wird. Ist der Kreis um A 1 die Projection der Kugel, T die Spur einer Schnittebene E, A'B normal zu T, a der Neigungswinkel der Schnitt- ebene zur Projectionsebene und A’C- normal zu BC, so ist BE die Umlegung der durchs Centrum des Schnittkreises gehenden Falllinie der Ebene E, C die Umlegung des Schnittkreiscentrums und ED die des Diameters des Schnittkreises. Zieht man CF JL A'B, so ist F das Centrum der Ellipse, als welche sich der Schnittkreis projicirt; die grosse Achse GH ist gleich DE und liegt auf FC, die kleine Achse ist die Projection D'E ' der Strecke DE auf die Gerade A'B. Kugelkreise, deren Ebenen unter einander parallel, aber nicht parallel zur Projectionsebene sind, projiciren sich als Ellipsen, deren Centra auf einer Geraden liegen, die durch die Projection des Kugelcentrums normal zur Richtung der Spuren der Kreisebenen gezogen ist; auf dieser Geraden liegen zugleich die kleinen Achsen der Projections-Ellipsen, ähnlich, d. h. sie haben dasselbe Achsen- verhältniss; denn das Verhältniss der kleinen Achse zur grossen ist bei allen diesen Ellipsen gleich dem Cosinus des Neigungswinkels der Parallelebenen gegen die Projectionsebene. 4. Sind die beiden Projectionen einer Kugel und einer Geraden BC gegeben, so können wir die Projectionen der Schnittpunkte der Kugel und der Geraden in folgender Weise bestimmen. Wir legen durch BC eine verticale Ebene E; dieselbe schneidet die Kugel in einem Kreise, dessen Diameter DE und dessen Centrum die Projection F des Punktes A auf die Ebene E ist. Legen wir durch -A eine horizontale Ebene und legen E in diese Ebene um, so wird die Umlegung der Geraden BC (oder vielmehr die horizontale Pro- (M. 310.) Alle diese Ellipsen sind einander B" (M, 311.) C' § 9- Die Kugel. 6i5 jection dieser Umlegung) gewonnen, indem wir B'b -L B'C' und gleich GB", sowie C’c _L B'C' und gleich HC' machen, und b mit c verbinden. Die Umlegung des Kreises, in welchem die Kugel von E geschnitten wird, ist der um F' mit Radius DF' geschlagene Kreis. Die Schnittpunkte i und k dieses Kreises mit bc sind die Umlegungen der Punkte, in denen die Kugel von der Geraden BC geschnitten wird; aus ihnen werden die Grundrisse K' und die Aufrisse I", K" gefunden. 5. Die Lage eines Rotationscylinders gegen eine Kugel hängt von dem Radius der Kugel, dem Radius des Cylinders und dem Abstande der Cylinderachse von dem Kugelcentrum ab. Ist der Abstand des Kugelcentrums von der Cylinderachse grösser, als die Summe der beiden Radien, so hat der Cylinder mit der Kugel keinen Punkt gemein. Ist der Abstand des Kugelcentrums von der Cylinderachse gleich der Summe der Radien, so hat die Kugel mit dem Cylinder den Punkt gemein, der auf dem zur Cylinderachse normalen Radius liegt; und ausserdem keinen Punkt. Die Ebene, welche durch den gemeinsamen Punkt normal zum Kugelradius gelegt wird, ist von dem Kugelcentrum um den Kugelradius, von der zu ihr parallelen Cylinderachse um den Cylinderradius entfernt, tangirt also die Kugel und den Cylinder. Man sagt daher: Die Kugel und der Cylinder berühren sich in dem gemeinsamen Punkte. Ist die Summe der Radien grösser und ihre Differenz kleiner als der Abstand des Kugelcentrums von der Cylinderachse, so durchschneiden sich die Kugel und der Cylinder entlang einer Curve, die aus einem einzigen Zuge besteht. Ist die Differenz der Radien gleich dem Abstande des Kugelcentrums von der Cylinderachse, so berühren sich die Kugel und der Cylinder in dem Kugelpunkte, der auf dem zur Cylinderachse normalen Radius liegt; ist der Cylinderradius grösser, als der Kugelradius, so haben die Kugel und der Cylinder ausser dem Berührungspunkte keinen Punkt gemein; ist dagegen der Cylinderradius kleiner, als der Kugelradius, so durchdringt der Cylinder die Kugel in einer Curve, die aus einem Zuge besteht, und die den Berührungspunkt zum Doppelpunkt hat. Ist die Differenz der Radien grösser als der Abstand des Kugelcentrums von der Cylinderachse und der Kugelradius kleiner als der Cylinderradius, so liegt die Kugel ganz im Innern des Cylinders, ohne mit ihm einen Punkt gemein zu haben ist der Kugelradius der grössere, so durchdringt der Cylinder die Kugel in einer Curve, die aus zwei getrennten Zügen besteht, durch welche die Kugel in zwei, der Cylinder in drei vollkommen getrennte Stücke zerschnitten werden. Diese Verhältnisse lassen sich am leichtesten übersehen, wenn man durch das Kugelcentrum eine Ebene normal zur Cylinderachse legt und auf dieselbe die Kugel und den Cylinder projicirt; die Kugel projicirt sich als Hauptkreis, die Projection des Cylinders ist ein Parallelkreis desselben, die Centrale beider Kreise AB ist der Abstand des Kugelcentrums A von der Cylinderachse. Wenn sich die beider! Kreise ausschliessen, so haben Kugel und Cylinder keinen Punkt gemein. Wenn sie sich von aussen berühren, so berühren sich Kugel und Cylinder in dem Berührungspunkte der beiden Kreise und die durch die gemeinsame Tangente der Kreise normal zur Projectionsebene gelegte Ebene tangirt sowol Kugel als Cylinder. Wenn sich die Kreise zweimal schneiden, so 6i6 Darstellende Geometrie. haben Kugel und Cylinder eine Curve gemein, die auf der der Kugel zugewandten Seite des Cylinders zwischen den Mantellinien liegt, die durch D und E gehen, und von diesen Mantel- linien berührt wird. Wenn der Kreis um A den Kreis um B einschliesst und berührt, so durchdringt der Cylinder die Kugel in einer Curve, die aus einem Zuge besteht und F zum Doppelpunkte hat. Schliesst der Kreis um A den Kreis um B ein, ohne ihn zu berühren, so durchdringt der Cylinder die Kugel in zwei getrennten Curven. 6. Wir wollen die Construction der Durchdringungscurve eines Cylinders und einer Kugel für den Fall durchführen, der durch das Auftreten eines Doppelpunktes besonderes Interesse hat. (Tafel VIII, 4.) Wir nehmen an, die Kugel berühre die erste Projectionsebene, die durch das Kugelcentrum A und die Cylinderachse BC bestimmte Ebene sei parallel der ersten Projectionsebene II u und die Cylinderachse sei parallel zur Achse. Wir grenzen den Cylinder durch zwei Parallelkreise ab, und legen den einen Parallelkreis (oder seine obere Hälfte) in die durch die Cylinderachse geführte Horizontalebene um. Diesen Kreis theilen wir in eine genügende Anzahl gleicher Theile, am besten von E aus, in eine durch vier theilbare Zahl, damit auch die höchste und die tiefste Mantellinie bei der weiteren Construction betheiligt werden. Durch diese Theile ziehen wir Mantellinien des Cylinders und construiren die Schnittpunkte dieser Mantellinien mit der Kugel. Die Aufrisse der zu h gehörigen Mantellinien HI und H 1 I i werden erhalten, indem wir C"H" = C”H^' = hH von C" aus auf C'T" abtragen und H"I", parallel BC ziehen; construiren wir um A" einen Kreis mit Diameter KK', so sind die Schnittpunkt e N"M" dieses Kreises mit H"I", H^’I^’ die Aufrisse der Schnittpunkte der Mantellinien HI und H X I X mit der Kugel. Um die Punkte zu haben, in welchen der Aufriss der Durchdringungscurve den Aufriss der Kugel berührt, construiren wir noch die Schnittpunkte der Kugel mit den Mantellinien des Cylinders, deren Grundriss durch Ä geht. Die Richtungen, unter denen sich die Curvenzweige im Doppelpunkte durch- schneiden, erhalten wir auf ähnlichem Wege, wie bei der Durchdringung zweier Cylinder. Wir verbinden den Doppelpunkt A mit dem Curvenpunkte, der auf der zu h gehörenden Mantellinie liegt. Ist r der Kugel- und p der Cylinderradius, so ist die Höhe dieser Mantellinie über der durch das Kugelcentrum gehenden Horizontalebene. 1. AH'= N"0 = H 1 "0 = ? .sinS den Kreis K in einem Punkte A, so berührt die Ebene E den Kegel entlang der durch A gehenden Mantellinie; schneiden sich S und K in zwei Punkten B und C, so schneidet die Ebene E den Kegel in den beiden Mantellinien, die durch B und C gehen. 3. Um die Lage einer Geraden a gegen einen Rotationskegel zu beur- theilen, durch dessen Spitze die Gerade a nicht geht, lege man eine Ebene E durch a und durch die Kegelspitze. Hat diese Ebene mit dem Kegel keine Mantellinie gemein, so trifft die Gerade a den Kegel nicht. Berührt E den Kegel entlang einer Mantellinie, und wird diese Mantellinie von a in einem Punkte A geschnitten, so hat der Kegel mit der Geraden a diesen Punkt A und sonst keinen gemein, die Gerade a tangirt den Kegel in diesem Punkte. Auch dann, wenn a mit der Mantellinie parallel ist, kann man sagen, dass a den Kegel berührt; insofern man sagen kann, dass parallele Gerade einen unendlich fernen Punkt gemeinsam haben, insofern kann man in unserem Falle auch sagen, dass die Gerade a den Kegel in einem unendlich fernen Punkte berührt. Schneidet die Ebene E den Kegel in zwei Mantellinien, so schneidet die Gerade a den Kegel in den beiden Punkten, die sie mit diesen Mantellinien gemein hat. Ist die Gerade a mit der einen dieser beiden Mantellinien parallel, so kann man sagen, dass sie den Kegel in einem erreichbaren und in einem unendlich fernen Punkte schneidet. 4. Aus dem soeben Mitgetheilten folgt, dass alle Tangenten eines Kegels, die einer festen Richtung parallel sind, die beiden Ebenen erfüllen, die durch die Kegelspitze parallel der festen Richtung gehen und den Kegel berühren; diese Ebenen gehen durch die Gerade, die durch die Kegelspitze der festen Richtung parallel gelegt ist. Um die Tangentialebenen eines Rotationskegels zu finden, die durch eine durch die Kegelspitze gehende Gerade a gelegt werden können, schneiden wir den Kegel und die Gerade durch eine Parallelkreisebene II des Kegels, den Kegel in einem Parallelkreise K, die Gerade a in einem Punkte A. Die Ge- § io. Der Rotationskegel. 621 raden, in denen die durch a gehenden Tangentenebenen des Kegels die Ebene II schneiden, sind die von A an den Kreis K gelegten Tangenten. Je nachdem nun A innerhalb des Parallelkreises, auf demselben, oder ausserhalb liegt, kann man von A keine Tangente, eine, oder zwei an den Parallelkreis, und daher durch a keine, eine oder zwei Tangentenebenen an den Kegel legen. Die Geraden, die durch die Kegelspitze gehen und mit der Achse einen Winkel bilden, der kleiner wie der Meridianwinkel ist, können als im Innern des Kegels liegend bezeichnet werden. Ferner wollen wir bemerken, dass die Aufgabe, durch einen Punkt Tangentenebenen an einen Kegel zu legen, mit der identisch ist, Tangentenebenen durch die Gerade zu legen, die den Punkt mit der Kegelspitze verbindet. Wenn man dies beachtet, so ergeben sich aus dem Vorhergehenden die Bemerkungen: Durch einen Punkt oder durch eine die Kegelspitze enthaltende Gerade lassen sich keine, eine oder zwei Tangentenebenen an einen Rotationskegel legen, je nachdem der Punkt oder die Gerade im Innern des Kegels, auf dem Kegel oder ausserhalb desselben liegt. Im Anschluss hieran ergiebt sich noch: Um zu beurtheilen, ob parallel einer festen Richtung Gerade gezogen werden können, die einen Kegel nicht treffen, ziehe man durch die Spitze eine Gerade a der Richtung parallel. Liegt diese Gerade im Innern des Kegels, so schneidet jede zu ihr parallele Gerade den Kegel in zwei Punkten, von denen keiner unendlich fern ist, und die auf beide durch die Spitze getrennten Hälften des. Kegels vertheilt sind. Ist die Gerade a eine Mantellinie des Kegels, so giebt: es unter den zu ihr parallelen Geraden solche, die den Kegel in einem unendlich fernen Punkte berühren; dieselben liegen auf der durch a gehenden Tangentenebene des Kegels; alle anderen zu a parallelen Geraden treffen den Kegel in einem endlich fernen und in einem unendlich fernen Punkte. Liegt die Gerade a ausserhalb des Kegels, so lege man durch a zwei Tangentenebenen an den Kegel; diese theilen den Raum in vier Flächenwinkel; in dem einen Winkel liegt die eine Hälfte, im Scheitelwinkel die andere Hälfte des Kegels, die beiden anderen Scheitelwinkel enthalten keinen Punkt des. Kegels (ausser der auf der Kante liegenden Kegelspitze). Die Parallelen zu cc r welche in den Scheitelwinkeln liegen, die den Kegel nicht enthalten, treffen dein Kegel nicht; die Parallelen zu a, welche in den Scheitelwinkeln liegen, die den Kegel enthalten, treffen jede den Kegel in zwei Punkten, die auf derselben Kegelhälfte liegen; die Parallelen zu a, welche auf den durch a gehenden Tangentenebenen liegen, tangiren den Kegel. 5. Die Parallelprojection eines Rotationskegels bedeckt entweder die ganze Projectionsebene oder nur einen Tlieil derselben; welcher von beiden Fällen eintritt, hängt von der Richtung der Kegelachse gegen die Projections- strahlen ab. Ist der Winkel, den die Kegelachse mit den Projectionsslrahlen bildet,, kleiner als der Meridianwinkel (liegt also die durch die Kegelspitze parallel zu: den Projectionsstrahlen gezogene Gerade a im Innern des Kegels), so schneidet jeder Projectionsstrahl den Kegel zweimal; also ist jeder Punkt der Projections^ ebene die Projection zweier Kegelpunkte, die auf die beiden durch die Spitze getrennten Kegelhälften vertheilt sind. Eine Ausnahme hiervon macht nur der Punkt, der die Projection der Kegelspitze ist. Ist der Winkel zwischen der Kegelachse und der Richtung der Projqr ; tions- 622 Darstellende Geometrie. strahlen gleich dem Meridianwinkel (liegt also die durch die Spitze zu den Projectionsstrahlen gezogene Parallele a auf demKegel), so construire man dieEbene E, die den Kegel entlang a berührt. Alle Punkte, die auf der Spur £ dieser Ebene liegen, haben Projectionsstrahlen, die den Kegel nicht (oder wenigstens in keinem erreichbaren Punkte) schneiden, mit Ausnahme des Punktes, in welchem £ von a geschnitten wird, denn dieser Punkt ist die Projection von allen den Punkten des Kegels, die auf der Mantellinie a liegen. Die eine Kegelhälfte liegt ganz auf der einen, die andere ganz auf der anderen Seite von E und beide ruhen auf E entlang den beiden durch die Spitze getrennten Hälften der Mantellinie a. Die Punkte der Projectionsebene, die auf einer Seite von S liegen, sind die Projectionen je eines Punktes der einen Kegelhälfte, die auf der andern Seite von S liegenden Punkte gehören zur andern Kegelhälfte. Ist also der Winkel zwischen der Kegelachse und den Projectionsstrahlen gleich dem Meridianwinkel, so bedeckt die Projection des Kegels die ganze Projectionsebene mit Ausnahme der Geraden S ; die auf beiden Seiten von S liegenden Hälften der Projectionsebene sind die Projectionen je einer Kegelhälfte; jeder Punkt der Projectionsebene ist die Projection eines und nur eines Kegelpunktes. Die Punkte auf S sind nicht Projectionen von Kegelpunkten, bis auf einen von ihnen, der die Projection der Mantellinie des Kegels ist, deren Richtung mit den Projectionsstrahlen parallel ist. Ist der Winkel zwischen der Kegelachse und den Projectionsstrahlen grösser als der Meridianwinkel (liegt also die durch die Kegelspitze zu den Projectionsstrahlen gezogene Parallele a ausserhalb des Kegels), so lege man durch a zwei Tangentenebenen E und E x an den Kegel; deren Spuren seien S und S 1 . Der Schnittpunkt dieser Spuren ist die Projection der Kegelspitze. Die beiden von S und gebildeten Scheitelwinkel, die in den beiden von E und E x eingeschlossenen Flächenwinkel liegen, in denen der Kegel liegt, enthalten die Punkte der Projectionsebene, deren Projectionsstrahlen den Kegel zweimal und zwar auf derselben Hälfte schneiden; jeder dieser beiden Scheitelwinkel ist also die Projection einer Kegelhälfte und zwar ist jeder Punkt die Projection zweier Punkte dieser Hälfte. Die Punkte der beiden anderen von A und Aj eingeschlossenen Scheitelwinkel sind nicht Projectionen von Kegelpunkten. Die Geraden S und .Sj sind die Projectionen der Mantellinien, entlang welcher die Ebenen E und E x den Kegel berühren. Projicirt man einen Rotationskegel auf eine Ebene II x normal zur Kegelachse und auf eine Ebene 11 2 parallel zur Kegelachse, so bedeckt die erste Projection des Kegels die ganze Ebene II x und jeder Punkt von II x ist die Projection zweier gleich weit von der Kegelspitze entfernten Punkte. Die Projection auf II 2 wird von zwei Geraden begrenzt, die die Projection der Kegelachse in der Projection der Spitze schneiden und mit ihr nach beiden Seiten hin den Meridianwinkel einschliessen. Die Parallelkreise des Kegels projiciren sich in der ersten Projection als Kreise, welche die Projection der Spitze zum gemeinsamen Centrum haben; in der zweiten Projection erscheinen sie als Gerade, die normal zur Projection der Kegelachse sind. Wir wollen im Folgenden — wenn nicht das Gegentheil ausdrücklich bemerkt ist — die horizontale Projectionsebene immer normal zur Kegelachse wählen. § io. Der Rotationskegel. Sind 2' und 2” die Projectionen der Spitze, so ist 2'2" der Aufriss der.Kegelachse; ist der Meridianwinkel a, so ziehe man 2'h4" und 2 "B" so, dass sie mit der Achsenprojection den Winkel a bilden; dann ist der Winkel A”2"B" und sein Scheitelwinkel der Aufriss des Kegels. Die Spur des Kegels auf der Horizontalebene ist der um das Centrum 2' mit dem Diameter A'B' = A"B" beschriebene Kreis. 6. Um die Schnittpunkte eines Rotationskegels mit einer ihn schneidenden Geraden darzustellen, suchen wir die horizontale Spur S der Schnittgeraden BC auf; verbinden ferner die Kegelspitze 2 mit einem passenden Punkte E der Geraden BC und bestimmen die Horizontalspur F dieser Geraden IE. Dann ist S E die Horizontalspur der durch 2 und BC gelegten Ebene. Soll BC den Kegel schneiden, so muss diese Spur S/’die Horizontalspur des Kegels zweimal schneiden. Verbinden wir die Schnittpunkte G und H mit 2, so sind 2 G und 2// die Schnittlinien des Kegels und der Ebene 2 BC) mithin sind /und K die Schnittpunkte des Kegels mit der Geraden BC. 7. Betrachtet man den Rotationskegel als eine Ecke von unzählig vielen verschwindend schmalen Seitenflächen, so sieht man, dass sich der Kegel in eine Ebene ausbreiten lässt. Zerschneidet man die Kegelfläche längs einer Mantellinie und breitet die Fläche dann aus, so giebt die Ausbreitung zwei Scheitelwinkel; die Mantellinien sind auch in der Ausbreitung Gerade durch die Kegelspitze. Die Punkte eines Parallelkreises sind gleichweit von der Spitze entfernt, werden also in der Ausbreitung zu Punkten A (M- IE" S".---'" K" F , \ Ä ' , 12' I 1 1 1 j ! i \ i ; / 1 I „rL-W- — s 7f\ yc 624 Darstellende Geometrie. eines Kreises, der um die Kegelspitze beschrieben ist und die auf einer Mantel- 1 linie zwischen der Spitze und dem Parallelkreise liegende Strecke zum Radius hat. Ist m diese Strecke und a der Meridianwinkel des Kegels, so ist der Radius p des Parallelkreises p = »ima; der Umfang des Psirallelkreises ist daher u = 2irp = 2 -msiii n. Der Winkel x, welchen wir (nebst seinem Scheitelwinkel) als Ausbreitung des Kegels erhalten halben, gehört als Centriwinkel im Kreise mit dem Radius in zum Bogen u\ also ist der Arcus dieses Winkels: u arc x = — = 2n ■ sm a, m und der Winkel in' Gradmass: 180 x = • arc x = 360° • sinn. Um diesen Winkel angenähert zu finden, wird man wie folgt verfahren: Man zeichnet i?ine Strecke a, die gleich dem Umfange u eines Parallel- kreises ist. Man zeichnet eine Strecke b gleich dem Umfange des Kreises, der das von der Kegelspitze bis zum Parallelkreise reichende Stück m einer Mantellinie zum Halbmesser hat, sot vie diesen Kreis p. selbst. Man theilt die Strecke b und den Kreis p in zwölf gleiche Theile, und schneidet ein solches Zwölftel so oft als möglich von der Strecke a ab; es sei dies »mal möglich, und es bleibe noch ein Rest a x , so dass man hat b a= =l2‘ n + a i- Man construire im Kreis mit dem Halbmesser m den Centriwinkel —~(AD + Z>2> ■ d. also r r' Zieht man zu E x eine Parallele A im Abstand IC=d, so ist DI=-2’D, r 2'D r DI d' Für alle Punkte des Grundrisses der Schnittcurve hat also der Abstand von einem festen Punkte (2') zum Abstand von einer festen Geraden (A) ein constantes Yerhältniss (r : d). Der Punkt 2' heisst in Rücksicht auf diese Eigenschaft Brennpunkt, die Gerade A Directrix unserer Curve. Da die Curve symmetrisch gegen O'K ist, so existiren noch ein zweiter Brennpunkt F und eine zweite Directrix A 1( so dass die Brennpunkte und die Direc- trixgeraden symmetrisch zu O' liegen. Ist E ein Curvenpunkt, so ist also auch FE : EL = r:d, FE = • EL. d Addirt man hierzu 2 'E-. d EI, so entsteht 634 Darstellende Geometrie. 1 . EF + l'E = j (EL -+- El) = - d ■ 2 MO'. Die Summe der Abstände jedes Curvenpunktes von den beiden Brennpunkten (2' und F) ist also constant. Die Curve im Grundriss ist folglich eine Ellipse; und daher auch die auf E liegende Schnittcurve selbst, da diese als Parallelprojection der Grundrisscurve auf die Ebene E angesehen werden kann, und wir bewiesen haben, dass jede Parallelprojection einer Ellipse wieder eine Ellipse ist. Man kann die Schlüsse, die uns zu 1. führten, auch in umgekehrter Folge an einander reihen und sieht dann, dass jeder Curve, die die Eigenschaft 1. besitzt, d. i. also jeder Ellipse, auch die Directrixeigenschaften zukommen. 18. Wir untersuchen nun den Schnitt eines Rotationskegels mit einer Ebene, die zu einer Mantellinie parallel ist, und entwickeln zunächst die Construction und einige Eigenschaften des Grundrisses der Schnittparabel. Es sei wieder der Kreis um 2' die Horizontalspur des Kegels, E x die Spur der Schnittebene, 1‘Q normal zu E x , also 2 <2 die zu E parallele Mantellinie. Da Kegel, Schnittebene und Projectionsebene symmetrisch zur Ebene 22'(? sind, und die Projections- strahlen parallel zu dieser Ebene, so ist nicht nur die Schnittparabel selbst, sondern auch ihr Grundriss symme- T S' (U £' trisch zu dieser Ebene; also ist der Grundriss der Parabel symmetrisch zu 2 ‘Q. Die Ebene 2 AQ schneidet den Kegel in der Mantellinie 2 A, die Ebene E in der durch B gehenden Parallelen zu 2 Q, deren Grundriss BC parallel 2 'Q ist; mithin ist C ein Punkt des Parabelgrundrisses. (M. 323.) Da nun 2 ‘Q = %‘A, so ist auch CA = CB, also C2' + CB = r. 1 . Zieht man A parallel zu E x im Abstande DB — r, so ist DC+CB = r. % 3. Jeder Punkt des Parabelgrundrisses hat also von einem festen Punkt (2') denselben Abstand wie von einer festen Geraden (A). Der feste Punkt heisst wieder Brennpunkt, die feste Gerade Directrix. Der Grundriss S‘ des Parabelscheitels liegt daher in der Mitte von 2' und AA. Wir ziehen durch S‘ eine Parallele S‘T zur Directrix und suchen den Zusammenhang zwischen den Abständen x und y jedes Parabelpunkts von den Geraden S‘T und S‘Q auf. Bezeichnen wir den Abstand der Geraden AA von 2' mit p, so ist CD = CC 2 + C 2 D = x -P X. § io. Der Rotationskegel. 635 Ferner ist 2 . C2‘ 2 = CC\ + C^' 2 =y 2 + (| — x) 2 . Da nun CI' 2 = CD 2 , so folgt: 3. ^ 2 +(^ — ^) 2 = (| + ^) 2 - Hieraus ergiebt sich nach Auflösung der Klammern: 4. y 2 = 2px. Geht man von der Gleichung 4. aus, so kann man rückwärts zu 3. 2. 1. gelangen, sowie alle Constructionen umkehren und man sieht daher: Wenn die Abstände der Punkte einer Curve von zwei auf einander senkrechten Achsen einer Gleichung von der Form genügen: y 2 = 2px, so ist die Curve die Normalprojection einer Parabel. Sind \ und -q die Abstände eines Parabelpunktes von der Symmetrieachse und der durch £ gelegten Normalen (welche S'T zur Projection hat), ist ferner a der Meridianwinkel des Kegels, also auch der Neigungswinkel der Ebene E gegen den Horizont, so ist für jeden Parabelpunkt und seinen Grundriss x = £ cosa., y = i\. Mithin ist t) 2 = 2pcosa • äj. Diese Gleichung hat aber die Form i ) 3 == 2/ t |, wenn man p x — pcosa setzt. Die Schnittparabel kann also selbst als Projection einer Parabel aufgefasst werden; die Normalprojectionen von Schnittparabeln auf Parallelkreisebenen sind daher wieder Parabeln, und die soeben für den Grundriss einer Schnittparabel entwickelte Directrixeigenschaft gilt daher für Parabeln überhaupt. In den Figuren Tafel IX, 1 und 2 a, ß, 7 sind eine Parabel und drei Hyperbeln in grösserer Ausdehnung aufgezeichnet worden. 19. Aus Tafel VIII, 4 ergiebt sich Folgendes: Es ist LT'C' = p cos cp, folglich, wenn e den Abstand des Kugelcentrums von der Cylinderachse bezeichnet, A'L — e -+- H'C' = e + p cos LT— a-^r d (d — d), LP=d — a, R T — a + a? a "I = d (d -+- d), R P — d a. Hieraus folgt: RP\ RT= LP: LT. Hierdurch ist R eindeutig bestimmt; macht man PI = ZZ, It—TL, und zieht durch l eine Parallele zu tT, so schneidet diese PT in dem gesuchten Punkte R. Hierdurch ist nun auch U eindeutig bestimmt, und mithin auch die kleine Halbachse b der Ellipse, denn es ist bekanntlich: b-.a^FT-.UT. 638 Darstellende Geometrie. Hieraus folgt, dass die Ebene LFF X den Kegel und den Cylinder in derselben Ellipse schneidet; ebenso schliesst man, dass auch die Ebene NFF X identische Schnitte mit dem Kegel und dem Cylinder hat. Wir erhalten daher den Satz: Wenn ein Rotationscylinder und ein Rotationskegel sich in zwei Punkten berühren, so besteht ihre Durchdringungscurve aus zwei Ellipsen. Es folgt noch, dass LO und NM die grossen Achsen der Durchdringungsellipsen und der Schnittpunkt von L"O" und N'M” der Aufriss der Doppelpunkte F und F t sind. 22. Wir construiren nun den Grundriss der Durchdringungscurve eines Rotationskegels und eines Rotationscylinders. (Tafel IX, 3.) Der Kreis um 2' sei die Horizontalspur des Kegels, A die Spur der Cylinder- achse, AB der Grundriss dieser Achse, a ihr Neigungswinkel gegen die Pro- jectionsebene, DC-LAB und AC=AD gleich dem Cylinderradius, ferner CE |1 DF || AB, so begrenzen CE und DF den Grundriss des Cylinders. Ferner sei 2' so ist G" der Aufriss des zu g gehörigen Punktes; aus ihm gewinnt man den Grundriss G' und in gleicher Weise H'. (M. 328.) Die Ebene 22 X EF schneidet den ersten Kegel in den Mantellinien 2/und 2 K, den zweiten in den Mantellinien 2j(r und 2jZT. Mithin sind L\ M ', N', O' Punkte des Grundrisses der Durchdringungscurve beider Kegel. In der Figur sind noch die Punkte der Durchdringungscurve construirt, die auf den Mantellinien 2 R und 2A liegen (mit Hülfe von p, q , P", Q") und die Constructionen der Mantellinien des zweiten Kegels angedeutet, welche die Durchdringungscurve berühren. Wenn die Spur der Geraden 22 x in keiner unpassenden Entfernung liegt, so kann man sie zur Construction mit verwenden und dafür die Ebene 2CCj weglassen. Die in der Nähe oder auf der Verticalebene durch 22 x liegenden Punkte der Durchdringungscurve findet man durch Benutzung des Aufrisses. 26. Liegt das Centrum C einer Kugel auf der Achse 2 A eines Rotationskegels, dessen Meridianwinkel a ist, so gelten folgende Sätze: Ist der Abstand d=CE) des Centrums von einer Mantellinie 2 B grösser als der Kugelradius, so hat die Kugel mit dem Kegel keinen Punkt gemein; ist d gleich dem Kugelradius, so berührt der Kegel die Kugel entlang des durch D gehenden Parallelkreises des Kegels; ist (M. 329.) Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 41 642 Darstellende Geometrie. d. kleiner als der Kugelradius, so schneiden sich Kugel und Kegel in den beiden durch E und F gehenden Parallelkreisen des Kegels. Ist dabei der Kugelradius kleiner als 2 C, so liegen beide Schnittkreise auf derselben Kegelhälfte; ist der Kugelradius gleich 2 C, so zieht sich der eine Schnittkreis zu einem Punkte, der Kegelspitze, zusammen; ist der Kugelradius grösser als 2 C, so sind die beiden Schnittkreise auf beide Kegelhälften vertheilt. 27. Wir construiren nun den Schnitt eines Kegels mit einer Kugel, deren Centrum nicht auf der Kegelachse liegt. (Tafel X, 2.) Wir wählen als Projectionsebenen eine Parallelkreisebene des Kegels und eine Ebene, die parallel zu der durch die Kegelachse und das Kugelcentrum A gelegten Ebene ist. Bei der in der Figur gewählten Lage der Kugel gegen den Kegel besteht die Schnittcurve aus zwei getrennten Zügen. Der eine Zug liegt zwischen den beiden Parallelkreisen des Kegels, die durch B und C gehen und den Zug in B und C berühren; der andere Zug liegt zwischen den beiden Parallelkreisen, die durch D und E gehen, und wird von ihnen in D und E berührt. Um nun weitere Punkte, z. B. des oberen Zuges, zu erhalten, legen wir eine Parallelkreisebene des Kegels zwischen B und C; der Aufriss derselben schneide den Aufriss der Kugel in F" und G", den Aufriss des Kegels in H" und 7"; der Grundriss des Schnittes dieser Ebene mit Kegel und Kugel sind die um 2' und A' mit den Durchmessern H" I" und F"G” beschriebenen Kreise. Die Schnittpunkte K und L dieser Kreise sind Punkte der Durchdringungscurve. 28. Zieht man durch 2" eine Normale 2 "M zum Aufriss der Kegelachse, so ergiebt sich für einen Punkt K” des Aufrisses die Durchdringungscurve zwischen den Abständen K"N und 2 "N folgender Zusammenhang. Ist r der Kugelradius, so ist = AK* = ÄK’* - 4 - K"T* = Ä IC* - 4 - (. K" N— TN)*. Setzt man TN — A"M= b, sowie Ä 2' = a, so ist ATT 2 = a* + 2 ’K'* — 2 a • 2’IC ■ cos und durchschneide damit P'Q'l der Schnittpunkt A,' ist die Projection der auf der OXY- Ebene liegenden Spur S v Ferner stelle man die Schnittpunkte A und B her und ziehe durch diese Punkte (M. 334.) § ii. Axonometrie. 647 7Z Parallele zu O'Z') diese schneiden /' Q' in den Pro- jectionen S' 2 und S' s der auf den beiden anderen Coordinatenebenen liegenden Spuren. 8. Die Lage einer Ebene A gegen die Coordinaten- achsen ist bestimmt, wenn man die Projectionen der Punkte A u A$, A 3 kennt, in welchen die Ebene die Coordinatenachsen schnei- p'"" j f ".-■/' det; wir wollen diese Punkte Spurpunkte der Ebene nennen. Ist die Projection P' eines Punktes gegeben, und ausserdem bekannt, dass er auf einer Ebene liegt, die durch die Projectionen Ä v A ' 2 , A’ 3 ihrer Spurpunkte gegeben ist, so kann man die Coordinaten des Punktes construiren. Denn eine durch P parallel zur YZ -Ebene gelegte Ebene E schneidet die Ebene A in einer Geraden, deren Projection durch P' geht und parallel zu A 1 2 A’ 3 ist; die Projectionen der Spuren dieser Geraden auf der XY- und XZ -Ebene sind die Schnittpunkte B ', C 1 der Parallelen mit A\ A' 2 und A t 'A 3 . Die Projectionen der Spuren von E gehen daher durch B' und C' parallel zu O'Y' und O'Z' und schneiden sich in einem Punkte ißj der Geraden O'X'. Zieht man E"$ parallel O'Z', so sind /"iß, ißißj und ± O' die Projectionen der Coordinaten von P. 9. Sind die Projectionen zweier Punkte AB einer Geraden und die Projectionen der Ecken CDE eines Dreiecks sowie die Projectionen der Abstände dieser fünf Punkte von der ATF-Ebene gegeben, so kann man die Projection des Schnittpunktes der Geraden AB und der Ebene CDE folgendermaassen construiren. Die auf der Coordinatenebene XOY liegende Spur der Ebene, die durch AB normal zur XY -Ebene gelegt wird, hat die Projection 3133; ihre Schnitte mit den durch CD und ED normal zur ATF-Ebene gelegten Ebenen haben die Projectionen G'% und F'%\ der Schnitt ET von A'B' und G'E' ist daher die Projection des Schnittpunktes H des gegebenen Dreiecks und der gegebenen (M. 336.) 648 Darstellende Geometrie. r Geraden, und ff'§) die Pro- jection des Abstandes dieses Punktes von der WF-Ebene. 0 ' Es hat hiernach keine Schwierigkeit, eine grosse Anzahl von Aufgaben nach axono- metrischer Methode zu lösen; wir enthalten uns weiterer Ausführungen und überlassen dieselben dem Leser als eine sehr nützliche Uebung. 10. Aufgaben, bei welchen r (W. 337 .) es sich um die Construction von Normalen zu Ebenen handelt, die mit keiner Coordinatenebene parallel sind, eignen sich nicht gut für die axonometrische Behandlung; denn bei diesen Aufgaben ist es unerlässlich, die Abstände von Punkten von der Pro- jectionsebene, und die Spuren von Ebenen auf der Projectionsebene zu benutzen, während doch bei der axonometrischen Methode nur Projectionen der Abstände der Punkte von den Coordinatenebenen und Projectionen der auf den Coordinatenebenen liegenden Spuren von Ebenen zur Anschauung kommen. Man kann hier die Constructionen zunächst so ausführen, dass man eine Coordinatenebene zur Projectionsebene wählt und nun die nöthigen Lothe von Punkten auf Ebenen, Normalschnitte von Prismen etc. in der gewöhnlichen Weise construirt. Hat man dabei zwei aufeinander senkrechte Projectionsebenen verwendet, so wird man die eine als XY- Ebene, die andere als XZ -Ebene betrachten, dazu noch eine auf beiden senkrechte YZ -Ebene fügen, die Abstände der nothwendigen Punkte von den Coordinatenebenen aus den Projectionen direkt abmessen, hierauf die Projection der Coordinatenachsen 0X, OY, OZ auf die für die endgültige Darstellung vorgeschriebene Projectionsebene hersteilen und nun die endgültige Projection jedes Punktes axonometrisch mit Hülfe der abgemessenen Abstände x, y, z eintragen. Hat man das x, y, z jedes Punktes mit einem hinlänglich genauen Maass- ! stabe gemessen, so stelle man sich drei verjüngte Maassstäbe her, in welchen [ die Längeneinheit in den für die Projectionen von x, y, z gültigen Verhältnissen x' : x, y' : y, z' : z verjüngt erscheint. Die Projectionen der Abstände x, y, z eines Punktes sind dann der Reihe nach von dem ersten, zweiten, dritten dieser ver- ( jüngten Maassstäbe abzumessen, und zwar enthält dann jede Projection eben so j viele verjüngte Maasseinheiten, wie die projicirte Strecke ursprüngliche. 11. Liegt der Coordinatenanfang O auf der Projectionsebene, so sind die Spuren der Coordinatenebenen die durch O gelegten Normalen zu OX', O V, OZ'. Die Spur einer Ebene auf der Projectionsebene wird daher aus den Projectionen ihrer Spurpunkte A' u A' 2 , A' 3 gefunden, indem man mit den Geraden A' 1 A' 2 , A' 2 Ä 3 , A' ?> A' x der Reihe nach die Spuren der Ebenen OXY, OYZ, OZX durchschneidet; diese drei Schnittpunkte D, E, F liegen auf einer Geraden, und diese Gerade ist die Spur der Ebene A auf der Projectionsebene. § II. Axonometrie. 649 Um den Abstand eines Punktes P von der Projections- ebene aus den axonometri- schen Be stimmungsstücken desselben abzuleiten, con- struire man zunächst den Neigungswinkel, den eine der Coordi- y’ natenachsen, z. B. die X-Achse, mit der Projections- ebene bildet, und trage unter diesem Winkel eine Gerade O 3 an OX' an. (M. 338.) Hierauf lege man durch P eine Parallele zu OP] die Projection dieser Parallelen geht durch P' parallel OP. Diese Gerade ist parallel der Ebene XOZ, die Projection ihrer Spur auf der Ebene XOY ist also der Schnitt G' ihrer Projection mit einer Parallelen zu OX' durch iß. Eine Ebene, die durch P parallel zur Projectionsebene gelegt wird, enthält die zur Projectionsebene parallele Gerade PG und schneidet daher die Ebene XOY in einer Geraden, deren Projection durch G‘ parallel zu OD geht. Der Schnittpunkt H dieser Geraden mit OX ist daher von der Projectionsebene ebenso weit entfernt, wie P] diese Entfernung ist aber gleich der Strecke H'h, die auf dem zu OX' in X' errichteten Lothe von O 3 abgeschnitten wird. Also ist H'h der Abstand des Punktes P von der Projectionsebene. — 12. Wir gehen nun zur Herstellung schiefer Projectionen auf axono- metrischem Wege über, und beschränken uns dabei auf den in der Praxis ausschliesslich anzutreffenden Fall, dass eine Coordinatenebene, — wir wählen dazu die Ebene XOZ, — mit der Projectionsebene zusammenfällt. Alsdann ist jede Figur, die in der AZ-Ebene oder in einer dazu parallelen Ebene liegt, mit ihrer Projection congruent. Jede durch 0 gehende Gerade O Y’ kann als Projection der Y -Achse angenommen werden, und man kann noch ausserdem willkürlich bestimmen, welches Verhältniss die Projection einer der Y- Achse parallelen Strecke zur Strecke selbst haben soll. Aus beiden Angaben bestimmt sich die Richtung der Projections- strahlen. Soll OY' die Projection der Y- Achse, und y' die Projection einer mit der Y -Achse parallelen Strecke y sein, so mache man O t) senkrecht zu OY', OA' =/, Oa =y und ziehe A'a. Dann ist aA’ die Umlegung eines Projections- strahles. Insbesondere kann man zur Erleichterung der Construction OA' — Ott 650 Darstellende Geometrie. nehmen; der Neigungswinkel OAa der Projectionsstrahlen gegen die Projec- tionsebene beträgt dann 45°. Wir setzen im Folgenden die Pro- jection der Coordinatenachsen und das für die mit O Y parallelen Strecken gültige Verhältniss y' : y = y als gegeben voraus. 13. Um die schiefe Projection eines Punktes P, dessen Coordi- naten x, y, z gegeben sind, axono- metrisch zu bestimmen, construire man zunächst y' = yy; gewöhnlich wird y = 1 oder y = ^ angenommen, so dass _/ entweder gleich y oder gleich der Hälfte von y ist. Hierauf mache man 0?ß'=x, iß'iß || OY' und gleich y', und ißi 3 ' — z, so ist P' die gesuchte Projection. Ein Punkt ist durch seine Projection P' und die Projection seines Abstandes von einer Coordinatenebene, z. B. P' iß, eindeutig bestimmt; der normale Abstand des Punktes von der Projectionsebene und die Normalprojection des Punktes werden aus diesen Angaben gefunden, indem man ißiß' und P'W parallel OY', sowie ißTT parallel OZ zieht; ferner I YP'y gleich dem Neigungswinkel der Projectionsstrahlen, also Py || A’a macht, und IFp senkrecht zu P’W zieht. Dann ist 11' die Normalprojection des Punktes und ITp sein Abstand von der Projectionsebene. Eine Ebene ist durch ihre Spur auf der Ebene OXY (der Projectionsebene) und durch die Projection des auf der F-Achse liegenden Spurpunktes bestimmt. — Auch hier ist zu bemerken, dass Aufgaben, bei denen es sich um die Con- struction bestimmter Winkel, insbesondere des am häufigsten vorkommenden rechten Winkels handelt, unter Benutzung von Normalprojectionen auf die Ebene OXZ oder auf eine andere geeignete Ebene zu lösen sind; die Resultate kann man dann axonometrisch in die schiefe Projection eintragen. 14. Unter isometrischer Projection versteht man theils die Abart der axonometrischen Normalprojection, bei welcher die Verkürzungsverhältnisse für die drei Achsen gleich gross sind, die Achsen also Winkel von 120° mit einander bilden; theils die axonometrische schiefe Projection, bei welcher die Ebene XOZ Projectionsebene ist und die Projectionen der der F-Achse parallelen Strecken den Strecken selbst gleich sind, die Projectionsstrahlen also gegen die Projectionsebene unter einem Winkel von 45° geneigt sind. Als monodimetrische Projection bezeichnet man die axonometrische Normalprojection, bei welcher die Verkürzungsverhältnisse zweier Coordinatenachsen gleich, diese Coordinatenachsen also gegen die Projectionsebene gleich geneigt sind, während die dritte Achse eine davon abweichende Neigung, hat; wobei also die Projectionen der beiden ersteren Achsen symmetrisch gegen die Projection der dritten liegen. Der allgemeine Fall der axonometrischen Normalprojection wird auch als trimetrische Projection bezeichnet. Die schiefe Projection wird auch als Parallel-Perspective bezeichnet; die Z (M. 339.; § 12 . Centralprojection. 65 vorhin beschriebene isometrische schiefe Projection bezeichnet man auch als Cavalier-Perspective, oder Militär-Perspective; doch lohnt es kaum der Mühe, für in Bezug auf die Methode unwesentliche Äenderungen in den Bestimmungsstücken der axonometrisch behandelten schiefen Projection besondere Namen festzustellen. § 12. Centralprojection. 1. Unter der Centralprojection eines Punktes P auf eine Ebene II versteht man den Punkt P', in welchem die Ebene II von der Geraden geschnitten wird, die man von einem festen Punkte A, dem Projectionscentrum, nach dem Punkte P zieht*). Alle Punkte, welche auf einem Projectionsstrahle, d. i. auf einem durch das Projectionscentrum A gehenden Strahle liegen, haben dieselbe Centralprojection. 2. Die Projectionsstrahlen, die vom Centrum A nach den Punkten einer Geraden PQ gehen, liegen auf einer Ebene; diese Ebene heisst die projicirende Ebene der Geraden. Die Centralprojection einer Geraden PQ ist der Schnitt P'Q' ihrer proji- cirenden Ebene mit der Projectionsebene H. Alle Geraden, die auf derselben durch das Centrum A gehenden Ebene liegen, haben dieselbe Centralprojection. Die Spur S einer Geraden ist der einzige Punkt der Geraden, der mit seiner Projection zusammenfällt; ausser, wenn die Gerade ganz in der Projectionsebene liegt. Der in unendlicher Ferne liegende Punkt einer Geraden PQ hat als Pro- jectionsstrahl die Gerade, welche durch A parallel zu PQ geht. Die Spur dieser Parallelen ist daher die Projection dieses unendlich fernen Punkts; diesen Punkt F bezeichnet man als Fluchtpunkt der Geraden. Eine Gerade ist durch Spur S und Fluchtpunkt F bestimmt; denn man kennt dann von ihr einen Punkt, die Spur, sowie die Richtung, die parallel zu AS ist. Die Centralprojection der Geraden, und zwar des Theiles derselben, der sich von der Projectionsebene auf der vom Centrum abgewandten Seite bis ins Unendliche erstreckt, ist die Strecke SP. 3. Parallele Gerade haben denselben Fluchtpunkt. Die Centralprojection einer Schaarparalleler Geraden ist daher ein Strahlenbüschel, das den Fluchtpunkt der Schaar zum Träger hat. Normale zur Projectionsebene II haben die Normalprojection A’ des Centrunis auf die Ebene II zum Fluchtpunkt; da Normale zur Pro- jectionsebene bei vielen Construc- tionen eine besondere Rolle spielen, so hat man den Fluchtpunkt derselben besonders benannt; er heisst der Augenpunkt. (M.340.) *) Die Figuren für diesen und den letzten Abschnitt sind zum Theil in schiefer Projection axonometrisch ausgeführt; dasselbe gilt von einigen Figuren des 1. und 2. Abschnittes, 652 Darstellende Geometrie. 4. Die Centralprojection eines Punktes /*ist bestimmt, wenn man eine Parallel- projection des Punktes auf die Ebene IT, den Fluchtpunkt der Projectionsstrahlen und die Strecke des Projectionsstrahles für die Parallelprojection zwischen dem Punkte P und der Projectionsebene TI kennt. Denn ist PS die Richtung der Projectionsstrahlen, mithin F der Fluchtpunkt derselben, und .S die Parallelprojection von P auf [I, so liegt P' auf SF ; und da PS parallel AF, so theilt P die Strecke SF in dem Verhältniss P' wird also erhalten, indem man S mit dem Fluchtpunkte F verbindet, durch A und F zwei Parallele zieht, auf denselben Strecken Sy = SP, Fa = FA ab trägt und pci zieht; dann ist P die gesuchte Centralprojection. Wenn eine von den Strecken SP oder FA eine unbequeme Länge hat, so kann man statt der ganzen Strecken auch die Hälften, die Viertel, etc. auftragen, oder überhaupt für Ap und Fa zwei Strecken wählen, die sich wie A P und FA verhalten. Die Strecke FA erhält man, wenn, wie immer vorauszusetzen ist, der Augenpunkt und die Entfernung des Projectionscentrums von der Projectionsebene (kurzweg die Distanz genannt) bekannt sind, als Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks A' AF. 5. Ist eine Ebene E parallel der Projectionsebene, so sind die Projectionen der auf dieser Ebene enthaltenen Figuren den Figuren selbst ähnlich. Die Pro- ection einer auf der Ebene E liegenden Strecke verhält sich zur Strecke selbst, wie die Distanz zum Abstande des Centrums von der Ebene E. 6. Geht eine Ebene durch das Projectionscentrum A, so fallen die Projectionen aller ihrer Punkte in die Spur der Ebene; die Projection der Ebene ist also in diesem Falle eine Gerade. 7. Legt man durch das Projectionscentrum A eine Ebene e, die mit einer gegebenen Ebene E parallel ist, so enthält e alle die Projectionsstrahlen, die parallel mit E, also nach unendlich fernen Punkten von E gezogen sind. Der Schnitt f dieser Ebene e mit der Projectionsebene enthält also die Projectionen aller unendlich fernen Punkte auf E. Die Gerade f heisst die Fluchtlinie der Ebene E. Parallele Ebenen haben dieselbe Fluchtlinie. Eine Ebene ist durch Spur und Fluchtlinie bestimmt. Die Fluchtpunkte aller Geraden einer Ebene E liegen auf der Fluchtlinie von E\ die Spuren aller auf E enthaltenen Geraden liegen auf der. Spur von E. Der Fluchtpunkt der Falllinien der Ebene E ist der Fusspunkt des vom Augenpunkte auf die Fluchtlinie f gefällten Lothes; der Fluchtpunkt von Parallelen auf E, die mit den Falllinien (also auch mit der Spur) Winkel von 45° bilden, ist einer der beiden Punkte, die auf der Fluchtlinie / der Ebene E vom Fuss- punkte B des vom Augenpunkte auf f gefällten Lothes um die Strecke AB entfernt sind. Jede Gerade einer Ebene E und ihre Centralprojection treffen sch auf der Spur dieser Ebene; ein Polygon auf E und seine Central- SP: AF. (M. 341.) § 12. Centralprojection. 653 projection auf IT haben daher die Beziehung zu einander, dass sich je zwei entsprechende Gerade in einem Punkte der Spur der Ebene E treffen. 8. Es sei A' der Augenpunkt, d die Distanz; ferner s die Spur einer Ebene E, f ihre Fluchtlinie. (Tafel X, 3). Macht man A’B normal zu /, A’a parallel zu / und gleich der Distanz d, ferner Ba == Ba, so ist Ba = Ba der senkrechte Abstand des Projectionscentrums A von der Fluchtlinie /. Um nun für eine Figur CDGHI der Ebene E die Centralprojection herzustellen, legen wir E durch Drehung um die Spur s in die Projectionsebene um; diese Umlegung ergebe C x D x G x El x I v Wir fällen von C, D, G, E[, I Lothe auf die Spur und zeichnen ferner Parallelen zu einer willkürlichen Richtung bis an die Spur. Die Umlegungen dieser beiden Gruppen von Parallelen seien C x c, E> x d , G x g, H x h, I x i, ferner C x c, -öjb, G x a„ VA B ist der Fluchtpunkt der von C, D, G, H, I auf r gefällten Lothe; macht man aF parallel C x c, so ist F der Fluchtpunkt der Parallelen zu Ci. Verbindet man nun c, d, g, h, i mit B, sowie c, b, g, l), t mit F, so sind diese beiden Gruppen von Geraden die Centralprojectionen der beiden Gruppen von Parallelen; die Schnittpunkte entsprechender nach B und F gehender Strahlen sind daher die verlangten Centralprojectionen der Punkte C, D , G, H, I Schliesslich prüfe man die Construction, indem man sich überzeugt, dass sich je zwei entsprechende Gerade der Projection und der Umlegung in einem Punkte der Spur r schneiden. 9. Die weiteren Mittheilungen über die Centralprojection wollen wir nun darauf beschränken, dass wir zeigen, wie die Centralprojection jedes Punktes nach axonometrischer Methode bestimmt werden kann, d. h. wie man die Centralprojection eines Punktes findet, wenn man dessen Abstände x, y, z von drei auf einander normalen Coordinatenebenen und die Lage der Coordinatenebenen gegen die Projectionsebene IT kennt. Wir wollen die Construction für drei Fälle getrennt erörtern: 1. eine Coordinatenebene, die Ebene OXZ, fällt mit der Ebene II zusammen; 2. eine Coordinatenachse, etwa OZ, fällt in die Projectionsebene, ohne dass dabei eine Coordinatenebene mit II zusammenfällt; 3. der Coordinatenanfangspunkt liegt auf der Projectionsebene, ohne dass eine Achse mit der Projectionsebene zusammenfällt. 10. Axonometrische Construction der Centralprojection eines Punktes, wenn die Ebene XOZ mit der Projectionsebene zusammenfällt. Ist Ä der Augenpunkt, so ist O Ä die Centralprojection der Y Achse. Ferner sei A'a parallel O X und gleich der Distanz. Um nun die Centralprojection des x, y } z sind, mache man zunächst OB=y, und ziehe Ba. Dann ist C (M. 342.) die Centralprojection des Punktes der Y Achse, welcher von O um y entfernt ist. 654 Darstellende Geometrie. Ferner mache man O D — x, OE = z, und ziehe AD und AE ; ferner ziehe man CG parallel OX und CF parallel OZ, sowie EP' parallel OX und GP' parallel O Z\ so ist P' die Centralprojection von P. Ausser von den mitgetheilten Sätzen ist hier noch von dem Satze Gebrauch gemacht worden, dass Gerade, die mit der Spur einer Ebene parallel sind, Centralprojectionen haben, die ebenfalls mit der Spur der Ebene parallel sind. Man sieht leicht, wie man umgekehrt aus der Centralprojection eines Punktes und seines Abstandes von einer Coordinatenebene, z. B. von der Ebene XOY, die Coordinaten des Punktes bestimmen kann. 11. Axonometrische Construction der Centralprojection eines Punktes, wenn keine Coordinatenebene, doch eine der Achsen mit der Projectionsebene zusammenfällt. (Tafel X,4.) Es sei A' der Augenpunkt, d die Distanz, O der Coordinatenanfang, OZ die in der Projectionsebene liegende Coordinatenachse. Die Spur MN der Ebene OXY geht durch O normal zu OZ, die Fluchtlinie f parallel zu dieser Geraden durch Ä. Macht man A'C normal zur Fluchtlinie f und gleich der Distanz d, und zieht man durch C Gerade, deren Winkel mit CA’ gleich den Winkeln der Achsen OX und OY mit der Normalen zur Projectionsebene sind, so erhält man die Fluchtpunkte ? und q dieser beiden Achsen. Wir wollen nun die Fluchtpunkte der auf der Ebene OXY liegenden Geraden bestimmen, welche von OM und ON Strecken von derselben Grösse abschneiden, wie von OX und O Y, alle Strecken von O aus gerechnet. Zu diesem Zwecke ziehen wir durch C eine Parallele zu f, machen Cm= C 11 = Cp = Cq, und ziehen Cß parallel/y, sowie C-( parallel mn\ dann sind ß und 7 die gewünschten Fluchtpunkte. Um nun die Centralprojection eines Punktes P zu erhalten, der die Coordi- nanten x, y, z hat, mache man 0B — x, OC=y und durchschneide 0% und O i] mit den. Geraden Aß und C 7 in D und E ; dann sind OD und OE die Centralprojectionen der von O aus auf den Achsen OX und O Y aufgetragenen Strecken x und y. Der Schnittpunkt Sp der Geraden Dq und E%, ist die Centralprojection der Projection des Punktes P auf die Ebene OXY. Macht man nun OF=z, durchschneidet /"mit 0\ p, zieht FI und schliesslich ißW parallel OZ, so ist P die gesuchte Projection. Man kann auch \F und qF ziehen, darauf durch Parallele zu OZ die Punkte G und II bestimmen und erhält dann P als Durchschnitt von Gq und Hl 12. Construction der Centralprojection eines Punktes aus den Coordinaten desselben, wenn keine Coordinatenachse, sondern nur der Anfangspunkt in der Projectionsebene liegt. Gegeben sei ausser dem Augenpunkt Ä und der Distanz d der Coordinatenanfang O und die Spur S der Ebene OXY\ ferner sei bekannt, dass eine Ebene, die der Projectionsebene parallel und von ihr um die Distanz d entfernt ist, von den Achsen die Strecken OB, OC und OD abschneidet. Wir consfruiren zunächst (Tafel XI, 2) das Dreieck BCD in der Projectionsebene in sonst beliebiger Lage aus seinen Seiten, die als Hypotenusen rechtwinkeliger Dreiecke gefunden werden, deren Katheten je zwei der Strecken OB, OC, OD sind, zeichnen die Höhen dieses Dreiecks und bemerken den Höhenschnittpunkt a. § 12. Centralprojection. 655 Ziehen wir durch das Centrum A Parallele zu OX, OY, OZ und durch- schneiden damit die Projectionsebene, so erhalten wir die Fluchtpunkte äj, tj, Z der Coordinatenachsen (Tafel XI, 1). Das Dreieck H-qZ ist congruent BCD. Die Höhen des Dreiecks £,r\Z sind die Normalprojectionen der Geraden A %, A-q, AZ (§ 11, 2) und A' ist der Höhenschnittpunkt. Die Gerade A'Z ist daher parallel der Normalprojection der Z-Achse auf die Bildebene, mithin normal zur Spur S der Ebene OXY. Macht man A'Z normal zu S und gleich a D, so ist Z der Fluchtpunkt der Z-Achse in richtiger. Lage. Copirt man nun das Dreieck BCD, von der zu Drj. homologen Strecke ZA' ausgehend, so erhält man das Dreieck der Fluchtpunkte %-qZ, dessen Seiten ijrj, -qZ, Z S die Fluchtlinien der Ebenen OXY, OYZ, OZX sind. Construirt man einen Halbkreis über tq, der A'Z in a schneidet, so ist das Dreieck die Umlegung des Dreiecks £ A.-q. Um nun die Fluchtpunkte der Parallelen in der Ebene XO Y zu erhalten, welche, von S und von OX und OY von O aus gezählt, gleiche Strecken abschneiden, ziehen wir ab || A und machen ac = ad = ae = af und ziehen aß und a-( parallel fe und cd] ß und 7 sind die gewünschten Fluchtpunkte. Die Spur t der Ebene OXZ ist parallel zu ££. Construiren wir einen Halbkreis über ££, der A'r\ in a l schneidet, so ist das Dreieck £a l Z die Umlegung von i ;AZ- Machen wir a x g = aji und parallel \Z, sowie agi parallel g/i, so ist 0 der Fluchtpunkt der Parallelen, die von t und OZ von O aus gerechnet gleiche Strecken abschneiden. Die Centralprojection eines Punktes, der von den Coordinatenebenen die Abstände x, y, z hat, wird nun in folgender Weise gefunden: Man mache OL = x, OM=y, ON—z und durchschneide der Reihe nach Oc, Oy], OZ mit den Geraden Zß, M~[, No] dann. sind OL v OM x , ON x die Centralprojectionen der auf den Achsen von O aus abgeschnittenen Strecken x, y, z. Zieht man nun und N x -q, so ist der Schnittpunkt iß die Centralprojection der Normalprojection des Punktes auf die Ebene OXY] die gesuchte Centralprojection P liegt also aufißS. Durchschneidet man äjrj mit Oiß und zieht N x Q, so ist der Schnittpunkt P die gesuchte Projection. Man kann dieselbe auch erhalten, wenn man L r Z< N y i, sowie M X Z, Ngq, und schliesslich Bq und 7 ’$ zi e Ht; der Schnittpunkt dieser letzten beiden Geraden ist ebenfalls P. 13. Wenn die Centralprojection eines Gebäudes, einer'Maschine etc. construirt werden soll, so kann man meist die Coordinaten der Punkte des Objects ihrer Grösse wegen nicht auf die Projectionsebene auftragen. Man wähle in diesem Falle Coordinatenebenen möglichst nahe dem Object. Handelt es sich um die Projection eines Gebäudes, dessen Wände je einer von zwei auf einander senkrechten Verticalebenen parallel sind, so wird man die Horizontalebene und diese beiden Verticalebenen zu Coordinatenebenen wählen. Hierauf entscheide man sich über die Lage des Centrums und der Projectionsebene gegen die Coordinatenachsen. Hat man das Centrum gewählt, so wird man die Projectionsebene in geeignete Entfernung vom Centrum (die jedenfalls nicht weniger wie die deutliche Sehweite, d. i. ca. 25 Centimeter, betragen sollte) so legen, dass der Augenpunkt 656 Darstellende Geometrie. ungefähr in die Mitte des herzustellenden Bildes kommt. Die Distanz sei d, der Abstand des Anfangspunktes von der Projectionsebene sei A. Hierauf denke man sich vom Centrum aus Strahlen nach allen Punkten der Coordinatenebenen und nach allen Punkten des darzustellenden Gegenstandes gezogen und diese Strecken im Verhältnisse d : A getheilt. Die Theilpunkte bilden eine Figur, welche der aus den Coordinatenebenen und dem Object bestehenden ähnlich ist, und zwar so, dass homologe Strecken das Verhältniss d : (d A) haben; wir haben also das Coordinatensystem und das Object im verjüngten Maassstabe vor uns; das Verjüngungsverhältniss ist d : (d 4- A). Der Anfangspunkt des verjüngten Coordinatensystems liegt auf der Projectionsebene. Anstatt nun das Object Selbst darzustellen, projicire man von dem gegebenen Centrum aus das verjüngte Coordinatensystem und erzeuge mit Hülfe der verjüngten x, y, z die Centralprojection des verjüngten Objects, die zugleich die des gegebenen Objects ist. § 13. Schattenconstruction und Helligkeit. 1. Bei der geometrischen Construction des Schattens, den eine undurchsichtige Figur auf die Projectionsebene oder auf irgend welche Flächen wirft, kommen zwei Arten der Beleuchtung in Betracht: Die Beleuchtung durch parallele Strahlen, welche angenähert der Beleuchtung durch die Sonne und den Mond entspricht, und die Beleuchtung durch Strahlen, die von einem Punkte ausgehen, ungefähr entsprechend der Beleuchtung, durch eine einzelne Kerzenflamme. Bei der Beleuchtung durch Parallelstrahlen setzt man gewöhnlich voraus, dass die Richtung der Lichtstrahlen die einer Würfeldiagonale ist, wenn eine Kante des Würfels mit der Projectionsachse und zwei Flächen mit den Projections- ebenen zusammenfallen; und zwar nimmt man die Diagonale, die von links, vorn, oben ausgeht. Bei axonometrischen Darstellungen setzt man meist dieselbe Richtung der Lichtstrahlen gegen die Coordinatenebenen voraus. 2. Der Schatten eines Körperpunktes ist der Durchschnitt des durch ihn gehenden Lichtstrahles mit der den Schatten aufnehmenden Fläche. Im Falle paralleler Strahlen ist daher der Schatten einer Figur eine Parallel- projection derselben auf die den Schatten aufnehmenden Flächen, bei centraler Beleuchtung eine Centralprojection. 3. Wir müssen uns darauf beschränken, die Schattenconstruction für ebenflächige Körper an 'einem Beispiele zu erläutern, indem wir axonometrisch den Schatten construiren, den die Pyramide ABCDEF auf die Ebenen OXY und OXZ, sowie auf das gerade Parallelepiped GHIKLMNP, und den Schatten, den letzteres auf die Ebenen OXY und OXZ wirft (Tafel XII). Das Licht habe die Richtung der Diagonale eines Würfels, dessen Kanten parallel den Achsen sind. Die Projection einer Strecke der F-Achse sei der projicirten Strecke gleich. Machen wir OQ = OK = RS und RS || OZ, so ist SQ die Richtung der Lichtstrahlen. Ist T die Projection von A auf OXY und ziehen wir Ta parallel RQ, Aa parallel SQ, so ist a der Schatten der Pyramidenspitze A auf die Ebene OXY, mithin begrenzen Fa und Da den Pyramidenschatten. Ist b der Schnitt von Ta und OX, und zieht man bc normal zu OX, so § 13. Schattenconstruction und Helligkeit. 657 ist c der Schatten, den A auf die Ebene XOZ wirft, und demnach cde der Theil des Pyramidenschattens, der auf die Ebene OXZ fällt. Wir ziehen nun fg parallel OZ und erhalten so den Schatten^ der Spitze A auf der Ebene KI NP. Ziehen wir von den Geraden hg und ig die Theile hk und im, welche innerhalb des Parallelogramms KI NP liegen, so begrenzen sie den auf diese Fläche fallenden Pyramidenschatten. Pix ist der Theil des Pyramidenschattens, der auf die Fläche KGLP fallt. Bei k und m geht die Schattengrenze auf die Fläche GHIK über. Ziehen wir no parallel R Q, so ist o der Schatten von A auf der Ebene GIIIK, mithin lt7nqp der auf GHIK fallende Theil des Pyramidenschattens. Wir fügen noch den Schatten des Parallelepipeds hinzu, indem wir Nr parallel RQ und Ir parallel SR ziehen, dann ist r der Schatten von /; der Schatten rs von IH ist parallel und gleich IH, der Schatten st der Kante HG geht parallel zu IIG. Der Schatten von LG ist die durch L gelegte Parallele 7mRQ. Zieht man durch den Punkt u derselben eine Parallele zu OZ und Gv || SQ, so ist v der Schatten von G auf der Ebene OXZ] mithin ist uvwcd der Theil der Ebene OXZ, dem durch die Pyramide und das Prisma das Licht entzogen wird. 4. Fällt der Schatten einer ebenen Figur auf eine parallele Ebene, so ist er im Falle paralleler Lichtstrahlen der Figur congruent; wenn die Lichtstrahlen von einem Punkte ausgehen, so ist er der schattenwerfenden Figur ähnlich. Der Schatten eines .Kreises ist ein Kreis, wenn bei paralleler oder bei centraler Beleuchtung der Schatten auf eine der Kreisebene parallele Fläche fällt. Ist die den Schatten aufnehmende Fläche der Kreisebene nicht parallel, so ist der Kreisschatten bei paralleler Beleuchtung eine Ellipse, von welcher man zwei conjugirte Diameter erhält, wenn man den Schatten zweier aufeinander senkrechten Kreisdiameter aufsucht. 5. Der Schatten eines Rotationscylinders wird bei paralleler Beleuchtung durch die beiden Tangentenebenen begrenzt, die der Strahlenrichtung parallel sind; bei centraler Beleuchtung durch die beiden Tangentenebenen, die durch das Lichtcentrum gehen. Der Schatten auf eine Ebene ist also in dem ersten Falle im Allgemeinen ein von zwei Parallelen begrenzter Streifen, im letzteren Falle ein Winkel, dessen Scheitel der Schnitt der Geraden, die durch das Lichtcentrum parallel zur Cylinderachse gelegt wird, und der den Schatten aufnehmenden Ebene ist, und dessen Schenkel die Schnittellipse dieser Ebene und des Cylinders berühren. 6. Der Schatten eines Rotationskegels wird von zwei Tangentialebenen desselben begrenzt; und zwar bei paralleler wie bei centraler Beleuchtung durch die beiden Tangentialebenen, die den durch die Kegelspitze gehenden Lichtstrahl enthalten. Lässt sich durch den die Spitze enthaltenden Lichtstrahl keine Tangentenebene an den Kegel legen, so wird jeder Punkt im Innern der einen Kegelhälfte vom Lichte getroffen, jeder ausserhalb dieser Kegelhälfte liegende Punkt liegt im Schatten. 7. Die Lichtstrahlen, welche eine Kugel berühren und daher den Kugelschatten begrenzen, bilden bei paralleler Beleuchtung die Mantellinien eines Rotationscylinders, dessen Achse der durch das Kugelcentrum gehende Lichtstrahl ist, und der den Radius der Kugel hat. Bei centraler Beleuchtung bilden diese den Schatten begrenzenden Strahlen die Mantellinien eines Rotationskegels, dessen Achse wieder der durch das Kugelcentrum gehende Lichtstrahl ist. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I- 42 658 Darstellende Geometrie. Bei paralleler Beleuchtung ist daher der Schatten der Kugel auf einer Ebene E ein Kreis oder eine Ellipse, je nachdem die Richtung der Lichtstrahlen normal oder schräg zur Ebene E ist; bei centraler Beleuchtung kann der ebene Schatten einer Kugel Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel sein, je nach der Lage der Ebene E gegen den die Kugel tangirenden Strahlenkegel. 8. Wir beschränken uns im Folgenden auf die Beleuchtung durch parallele Strahlen. Die vom Lichte getroffenen Flächen eines Polyeders oder Oberflächenelemente eines krummflächig begrenzten Körpers erscheinen nicht alle gleich stark beleuchtet. Setzt man für alle dieselbe physikalische Beschaffenheit voraus, und nimmt man an, dass sie matt (nicht schimmernd oder spiegelnd, etwa so wie ungeglätteter gegossener Gyps) erscheinen, so trifft man die wirklichen Verhältnisse hinlänglich genau, wenn man annimmt, dass die Helligkeit eines Flächenelements gleich dem Sinus des Neigungswinkels ist, den die das Element treffenden Lichtstrahlen mit dem Element bilden, wobei man die Helligkeit des Elementes, das normal zu den Strahlen ist, als Einheit betrachtet. Die Richtung, unter welcher das Element vom Beschauer wahrgenommen wird, und als welche man die Richtung der Projections- strahlen zu nehmen hat, ist auf die Helligkeit, unter welcher ein Flächenelement erscheint, ohne Einfluss; auf den Einfluss, den die wechselnde Entfernung des Beschauers auf die Helligkeit der wahrgenommenen Flächenelemente hat, soll hier keine Rücksicht genommen werden. 9. Die soeben gegebene Helligkeitsregel hat zur Voraussetzung, dass ausser den parallel einfallenden keine weiteren Lichtstrahlen den Körper treffen; wäre dieselbe genau erfüllt, so würden die im Schatten liegenden Flächentheile absolut lichtlos sein. In der Natur ist diese Voraussetzung niemals erfüllt. Ein beträchtlicher Theil des Sonnenlichts wird beim Durchgang durch die mit Wasserbläschen, mikroskopischen Organismen, Staubtheilchen etc. beladene, auch im reinsten Zustande nicht absolut durchsichtige Luft nach allen Richtungen hin zerstreut und bringt die Helligkeit des blauen oder mit Wolken bedeckten Himmels hervor; durch dieses zerstreute Licht erhalten auch die von den direkten Sonnenstrahlen nicht getroffenen Flächen eine bemerkbare Helligkeit. Hierzu kommt noch die Beleuchtung der im Schatten liegenden Flächen durch Licht, welches von dahinter befindlichen beleuchteten Flächen zerstreut wird. Die Unterweisung über die Darstellung der Helligkeitsunterschiede eines beleuchteten Körpers unter Rücksicht auf alle Umstände, die darauf von Einfluss sind (wobei dann auch dem Umstand Rechnung getragen wird, dass die Sonnenstrahlen nicht genau parallel zu uns gelangen, und infolge dessen der Schatten eines Körpers immer heller wird, je weiter er vom Körper entfernt ist), ist nicht Sache geometrischer Erörterung, sondern fällt dem aus künstlerischen Gesichtspunkten geleiteten Zeichenunterrichte zu. Wir wollen im Folgenden zeigen, wie unter gewissen, vereinfachenden Voraussetzungen die Helligkeit beleuchteter Flächentheile bestimmt und dargestellt werden kann. 10. Wir nehmen als Einheit der Helligkeit die Helligkeit einer Ebene, welche von den parallelen Lichtstrahlen normal getroffen wird. Ausser den direkten Strahlen werde der Körper von allen Seiten gleich- § 13- Scliattenconstruction und Helligkeit. 659 massig von zerstreutem Lichte beleuchtet, und in Folge dessen auf allen Flächen eine minimale Helligkeit von der Stärke m (m < 1) hervorgebracht. Die Helligkeit der vom direkten Lichte normal getroffenen Flächenelemente setzt sich aus dieser minimalen Helligkeit und aus der durch die direkten Strahlen allein hervorgerufenen Helligkeit zusammen; die direkten Strahlen geben also den Elementen, die sie normal treffen, die Helligkeit 1 — m. Ferner nehmen wir an, dass eine Lichtquelle (etwa eine reflectirende Wand von geeigneter Grösse und Stellung) licht aussendet, welches eine den direkten Lichtstrahlen entgegengesetzte Richtung hat, und welches den normal getroffenen Flächenelementen die Helligkeit n giebt; da diese noch ausserdem die minimale Helligkeit m empfangen, so haben sie also im Ganzen die Helligkeit n 4 - m. Es giebt weder theoretische Gesichtspunkte, noch Uebereinkommen über die Grösse der Brüche m und n. Für m wird man den geringsten Grad von Helligkeit wählen, den man bei der Darstellung überhaupt noch anwenden will; fiir n wählt man keinen zu kleinen Bruch, vielleicht 4-, da man sonst den Zweck, den die Darstellung der Helligkeitsverhältnisse nur haben kann, nämlich eine möglichst deutliche, alle Einzelnheiten so gut als möglich hervorhebende Figur zu liefern, nicht wol erreicht. , . 11. Um nun die Helligkeit der Flächen eines- beleuchteten Polyeders zu erhalten, ziehe man durch einen Punkt P der Projectionsebene einen Lichtstrahl und schneide auf demselben zwei Strecken PQ und PP ab, die man gleich 1 — m, bez. gleich n Einheiten eines passenden Maassstabes macht. Hierauf bestimme man die Spuren der Ebenen, welche durch P parallel den Flächen des Polyeders gehen, und construire die senkrechten Abstände des Punktes Q von den Flächen, die von den direkten Strahlen getroffen werden, sowie die Abstände des Punktes P von den Flächen, welche im Schatten liegen. Misst man diese Abstände mit demselben Maassstabe, nach welchem PQ und PP aufgetragen worden sind, und addirt zu den erhaltenen Längenzahlen noch den Bruch m, so erhält man die Helligkeit der Flächen des Polyeders. 12. Die Hauptaufgabe für die Darstellung der Beleuchtung krummer Flächen ist die Construction von Linien gleicher Helligkeit, d. i. von Linien, längs welcher Flächenelemente von gleicher Helligkeit liegen. Construirt man eine Folge solcher Linien, so dass der Unterschied der Helligkeit je zweier benachbarter Linien so klein ist, dass feinere Unterschiede nicht dargestellt werden können, so kann man die ganze zwischen zwei benachbarten Linien liegende Zone der Fläche als von durchaus gleicher Helligkeit ansehen. Wir zeigen im Folgenden die Construction der Linien von gleicher gegebener Helligkeit für die einfachsten Fälle: für den Rotationscylinder, für den Rotationskegel und für die Kugel. 13. Linien gleicher Helligkeit am Rotationscylinder. Flächenelemente, die auf derselben Tangentialebene, also entlang einer Mantellinie liegen, werden von den Lichtstrahlen unter gleichem Winkel getroffen; die Linien gleicher Helligkeit sind also Mantellinien. 42* (M. 343.) 66o Darstellende Geometrie. Wir nehmen eine Parallelkreisebene zur Projectionsebene, ziehen eine Gerade durch die Cylinderachse den Lichtstrahlen parallel und tragen darauf vom Schnittpunkt A mit der Achse aus die Strecken AP={ 1— m) Einheiten und A Q = »Einheiten auf; die Grundrisse der Punkte P und Q seien P' und Q'. Legen wir durch A' eine Gerade pq parallel zur Spur einer Tangentialebene, und ziehen P'p und Q'q normal zu pq, so sind P'p und Q'q die Abstände der Punkte P und Q von der durch pq gehenden Verticalebene, mithin gleich der Helligkeit, welche die zu pq parallele Tangentialebene an der nach P, bez. nach Q gewandten Seite des Cylinders von den direkten, bez. den reflectirten Strahlen erhält. Um die Tangentialebenen T t , T 2 , 1 3 . . . zu finden, welche direkt beleuchtet werden und die Helligkeiten a v « 2 , a 3 . . . haben, hat man also von P' ans Kreise mit den Radien — m, 19 V. 0. 11 „ 165- 11 13 V. 0. 11 ,, 180, 11 IO V. 0. 11 n 208, )) 20 V. u. 11 n 23 s > „ 19 V. u. 11 „ 241, JJ 8 V. u. 11 51 242, ,, 9 V. 0. 11 }? 256, 11 21 V. u. 11 )} 256, 11 18 V. u. 11 1) 268, ,, 20 V. u. 11 ?> 270, 11 1 V. 11. 11 288, 11 16 V. 0. 11 ,, 288, ,, 20 V. u. ,, 291, 5* 15 V. u. 11 n 299> n 17 V. u. 11 n 35L 11 24 V. u. 11 ii 35L „ 20 V. u. 11 ii 366, „ 2 V. 11. 11 11 395. 11 24 V. u. 11 ii 433. 11 4 V. u. 11 n 443. 11 12 V. 0. 11 448, ,, 16 V. 0. 11 n 460, 11 21 V. u. 11 ii 463. „ 8 V. 0. 11 ii 466, 1 , 4 V. u. 11 >> 470, ,i 3 V. 0. 11 ii 47°. 11 4 V. 0 . 11 ii 475. 11 8 V. u. „ 11 483. 11 6 V. 0 . 11 ii 483. ii 8 V. 0. 11 ii 494, 11 i5 V. u. 11 ii 494, 11 13 V. u. 11 ii 494, 11 12 V. u. 11 ii 494, 11 8 V. u. 11 ii 495, 11 5 V. 0. 1t ii 5°°, 11 20 V. u. >1 „ 527, 11 13 V. 0. 11 ii I 27 , 11 H V. 0. 11 Tafel VIII, Figur 4, links von Letzteren statt Letzterem. 6456 st. 7456. p und n — p st. n — p, des einen st. der einen und des anderen st. der anderen, gehenden st. senkrechten. AG = AB st. AG = AG. B’D st. B'D'. die st. der. Summe st. Differenz. Differenz st. Summe. ABC st. BDC. c st. h. 90 Grad — 60 Minuten st. 60 Minuten. Graden st. Geraden, aneinander st. aneinder. des st. der. AC 1 st. AC. CB„ st. BC„. gegebenen Linie st. Linie. einen und denselben st. einem und demselben. Seiten st. Seite. 3 3 DT st. 2« 2 j/3i Drehungsachse st. Drehungsache. 7,5_- ' LiÜL^hstliPutz KaohfL 5! Pietsch. Breslau. > \ \ V \ f 5 C Lilh.tliistH.Put2 HaohfL E Pietsch, Breslau. YBL. Lith. Just. H. Putz TtaohfL P. Pietsch, Breslau. \>* Ü» Lith-tlnstEPutz Baohfl F. Pietsch, Breslah. z. h $ C Lith+fost.lLPut* B acWL E PietaeK Breslau. f % LiÜünst.H.Thitx'üBohflF. Pietsch. Bvestaa. Lilh-tlnst.H.Putz'Saohfl.F. Pietsch, Breslau.. mMk mm wtm iiSSS l|!$:- 3 ^ n £ m oq W& Sfamnigqig IJOHDZ H±3 ‘Ä && Wssf? 2sr-~ »-■** >' - • \ *1 s. ** « ^»- .. :."*r/ 19^,V-. '*(.+* '' ■. ■,■+ k- ' Hfiit»- i l jJ) = o. Durch diese Gleichung sind x und y noch nicht bestimmt, aber es ist doch jede der beiden Grössen an die andere gebunden. Denn giebt man der Unbestimmten x einen bestimmten Werth x 0 , so ist nun y nicht mehr unbestimmt, sondern der zu x 0 gehörige Werth (bez. die zugehörigen Werthe) von y ergiebt sich durch Auflösung der Gleichung /(x 0 ,jr) = 0 rücksichtlich der Unbekannten y. Diese Gleichung kann eine oder mehr als eine reale Wurzel haben; wir wollen jetzt der Einfachheit wegen annehmen, sie habe nur eine reale Wurzel y 0 . Diese beiden y zusammengehörigen Werthe x 0 y 0 kann man geometrisch anschaulich machen. Man nimmt zwei zu einander senkrechte f P Gerade OX und OY an, deren positive Richtungen OX und OY sein mögen, und trägt auf denselben, indem man eine beliebige Strecke als Maasseinheit zu Grunde legt, zwei X' 0 r X Strecken OP' und OP" auf, die die Längen x 0 und y 0 haben. Der Punkt, der OP' und OP" zu Normalprojectionen auf OX und 0 Y hat, veranschaulicht die beiden zusammen- r gehörigen Werthe x 0 und y 0 . (M. 346.) Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. I 2 Analytische Geometrie. In der Figur sind P' und P" positiv angenommen. Ist OP" positiv und OP 1 negativ, so liegt P in dem Winkel YOX sind OP' und OP" beide negativ, so liegt P im Winkel X'OY ist OP' positiv und OP" negativ, so liegt P im Winkel Y'OX. Durch absoluten Werth und Vorzeichen von x und y ist also die Lage des Punktes P und umgekehrt, durch einen Punkt P der Ebene sind die Grössen OP' = x und OP" —y eindeutig bestimmt. Giebt man der Unbestimmten x andere Werthe, und lässt x alle realen Werthe von x 0 wachsend bis 4- oo und abnehmend bis — oo durchlaufen, so gehört zu jedem Werthe der Veränderlichen x gemäss der Gleichung f{x,y) = 0 ein bestimmter Werth von y. Diese Werthe von y sind im Allgemeinen von einander verschieden und es erscheint somit auch y als veränderliche Grösse, deren Werthe von den Werthen der Veränderlichen x abhängen. Construirt man zu jedem Paare zusammengehörender Werthe x und y den zugehörigen Punkt P, so wird, während x die Werthe von — o o bis 4- oo durchläuft, vom Punkte P eine bestimmte Linie beschrieben. Die Abhängigkeit realer Werthe von x und y ist nun auf zweierlei Weise ausgedrückt: arithmetisch durch die Gleichung fix, y) = 0 und geometrisch durch die von P beschriebene Linie. Alle Sätze, welche durch algebraische Operationen für die Gleichung fix, y) = 0 abgeleitet werden können, erscheinen nun zugleich als geometrische Sätze für die von P beschriebene Linie; und alle Sätze, welche sich durch geometrische Schlüsse für diese Linie ergeben, sind zugleich algebraische Sätze für die Gleichung f(x, y) = 0. Die von P beschriebene Linie heisst die zur Gleichung f(x,y) = 0 gehörige Linie; die Strecken x(=OP') und j y(=OP") oder die parallelen und gleichen Strecken P"P und P'P heissen die Coordinaten des Punktes P, OX und O Y heissen die Coordinatenachsen; insbesondere nennt man auch OP' die Ab- scisse, P'P" die Ordinate von P, und demgemäss OX die Abscissenachse, OY die Ordinatenachse. Alle Punkte, welche die Abscisse OP' haben, liegen auf der durch P' gehenden Parallelen zu O F; alle Punkte, welche die Ordinaten OP" haben, liegen auf der durch P" gehenden Parallelen zu OX. Für alle Punkte der Ordinatenachse ist die Abscisse gleich Null; für alle Punkte der Abscissenachse ist die Ordinate gleich Null. Der Schnittpunkt O der beiden Achsen heisst Coordinatenanfangspunkt oder Nullpunkt. Für den Nullpunkt ist x = 0 und y — 0. 2. Der methodische Gang in der analytischen Geometrie ist der, dass zunächst die Linien untersucht werden, in deren Gleichung fix , y) = 0 die linke Seite eine algebraische rationale ganze Function ersten Grades für x und y ist; hierauf folgen die Curven, für welche f(x,y ) vom zweiten, dritten und vierten Grade ist. Für diese Linien ersten, zweiten, dritten und zum Theil auch für die des vierten Grades ist eine grosse Fülle ins Einzelne gehender Sätze durch algebraische Operationen aufgefunden worden; für die Curven des fünften Grades und höherer Grade giebt es eine Reihe wichtiger allgemeiner Sätze; die Untersuchung der Eigenschaften, welche Curven eines bestimmten Grades vor denen anderer Grade auszeichnen, wird mit dem wachsenden Grad der Gleichung schwieriger. Für solche Curven, bei denen die Function fix,y) nicht mehr algebraisch für x und y, sondern transcendent ist, lehren die Differentialrechnung und § 2. Die Gerade. 3 Integralrechnung eine Reihe von Eigenschaften analytisch abzuleiten. Diese Curven werden daher im gegenwärtigen Lehrgänge unberücksichtigt bleiben und in besonderen Abschnitten derDifferential- und der Integralrechnung behandelt werden. Vor der Discussion der Curven ersten, zweiten etc. Grades erscheint es zweckmässig, die Grundbegriffe dadurch einzuüben, dass wir zu geometrisch definirten Curven die Gleichung aufsuchen und durch einfachste Operationen an diesen Gleichungen nahe liegende Eigenschaften der Curven ableiten; wir wählen dabei solche Beispiele, welche bereits aus der darstellenden Geometrie bekannt sind. An diese Entwicklungen wird sich dann zunächst eine sehr wichtige Erweiterung der Grundbegriffe anschliessen. § 2. Die Gerade. 1. Für die Punkte, deren Abstände von der Abscissen- und der Ordinaten- achse ein gegebenes Verhältniss m haben, gilt die Gleichung P'P: O F = m, d. i. y = mx, oder mx — y = 0, diese Punkte liegen auf einer Geraden T, die durch den Nullpunkt O geht, und für welche tang X O T — m. Die Gleichung mx — y = 0 ist daher die Gleichung einer durch den Nullpunkt gehenden Geraden. Ist m positiv, so haben P'P und OP' dasselbe Zeichen, die Gerade geht daher durch den Winkel XOY und seinen Scheitelwinkel; ist m (M. 347.) negativ, so haben PP und OP' ungleiche Zeichen, und die Gerade geht durch die beiden andern von den Achsen begrenzten Winkel. 2. Für die beiden Geraden 1\ und T v deren Gleichungen sind y — mx und y — — mx ist tangXOT l —m = ■— tangXOT 2 , folglich XOI\ = ISO 0 — XOT 2 . Diese beiden Geraden liegen daher symmetrisch zu den Achsen. Bilden zwei durch O gehende Gerade T l und T 2 rechte Winkel, so ist XO 1\ =XOP 1 + 90°, mithin tang XOT 2 = — cotXOT x = — 1 : tang XO T v Ist y — mx die Gleichung von Z\, so ist daher die von T 2 1 y -- x. J m Die beiden durch den Nullpunkt gehenden Geraden y = tnx, y = nx stehen also auf einander senkrecht, wenn mn = — 1. Für jeden Punkt der Geraden, welche O mit dem Punkte I\ verbindet, ist OP' : P'P = OP^' : /’/Z’i, oder, wenn x 1 je, die Coordinaten von P x sind, x:y = x x ‘.y 1 ) also ist (M. 348.) 4 Analytische Geometrie. die Gleichung der Geraden T 1 , welche durch den Nullpunkt und den Punkt P j geht. Die Gerade T 2 , welche durch O und den Punkt P 2 geht, dessen Coordinaten x 2 und y 2 sind, hat die Gleichung y 2 x — x 2 y = 0. Schreibt man beide Gleichungen in der Form y^ y ^ x > y = ^r x ’ vV J 4/v g so sieht man: Die Geraden, welche die Punkte P 1 und P 2 mit O verbinden, stehen aufeinder senkrecht, wenn y . y 9 ~ = — 1, d. i.: wenn x^x 2 - J ry 1 y 2 = 0. 3. Für die Punkte, deren Abstand von einer Parallelen S 2 A zur X- Achse zum Abstande von der F-Achse ein gegebenes Verhältniss m hat, ist BP\ S 2 B = m. Nun ist aber BP = P’P— P'B = PP— OS 2 =y — b, wenn die Strecke OS 2 mit b bezeichnet wird; ferner ist S 2 B = OP = x; also hat man die Gleichung {y — b) : x = m, d. i. y = mx -+- b, oder nix —y -+- b = 0. Die Punkte P der bezeichneten Art liegen aber auf einer Geraden, die durch S 2 geht und mit der X-Achse einen Winkel einschliesst, dessen trigonometrische Tangente gleich dem Verhältniss BP:S 2 B, also gleich m ist. Wir haben daher: Die Geraden T, welche von der Ordinatenachse das Stück OS 2 — b ab schneidet und für welche tang (X, T) = m ist, hat die Gleichung: y — mx -+- b, oder mx —y -+- b = 0. Die Strecke OS 1 ist die Abscisse desjenigen Punktes der Geraden, dessen Ordinate =0 ist; die Werthe x—OS 1 und y = 0 genügen also der Gleichung der Geraden; man hat daher Y (M. 349.) 0 = m • OS t + b, also: OS t = — b\m. Bezeichnet man OS l mit a, so folgt m — — b:a, und daher die Gleichung der Geraden P: (M. 350.) b — — x —y + b — 0, oder nach Division aller Glieder durch (— b)\ x y --+- 4—1 = 0 . a b Dies ist also die Gleichung der Geraden, welche von den Achsen die Strecken OS t = a und OS 2 = b abschneidet. 4 Wir legen durch O eine Gerade v normal zu 7 und verfügen über den positiven Sinn von T und v so, dass 7v = 90°. Ist N der Schnittpunkt von T und v, so haben wir § 2. Die Gerade. S 0S X = ON: sin TX, 0S 2 = 0N\sinTY. Nun ist TX—T't — X'), TY — T '4 —Fv, mithin sin TX — cos X v, sinT\ = cos vF = cos {XY — X'j) = sin Vv. Bezeichnen wir ON, den Abstand der Geraden vom Ursprünge, mit d, und Vv mit 9, so ist OS x = a = d : cos .|— y 2 ), und setzt 01 — x 2 4 -yl —yl) : %x 2 —x x ) = a (xl — x 2 4 -yl —yl ): 2Q- 2 — Jx) = b. und § 3- Ellipse, Hyperbel, Parabel. 7 so ersieht sich — + — 1 = 0; ab ’ der gesuchte Ort ist daher eine Gerade, welche von den Achsen die Strecken a und b abschneidet. Die Gleichung 1. wird identisch, wenn man für x und y die Werthe (pc x -i- x 2 ) : 2 und : 2 setzt; der Punkt, der diese Werthe zu Coordinaten hat, der Mittelpunkt der Strecke P X P 2 , liegt also auf der Geraden. § 3. Ellipse, Hyperbel, Parabel. 1. Wir suchen die Gleichung des Ortes der Punkte, deren Entfernungen von zwei gegebenen Punkten eine constante Summe 2 a haben. Nehmen wir die Gerade, auf der die gegebenen Punkte F x und F 2 liegen, zur X- Achse, und den Mittelpunkt der Strecke F X F 2 7Mm Nullpunkt und setzen F i F 1 =2 c, so ist F X P = OP' — OF x = x—c, F 2 P' = F s O -4- OP' = c + x, mithin F 1 P 2 == (x — c) 2 — y 2 , F 2 P 2 = (a; -t- a ’ diese Formel giebt zwei entgegengesetzt gleiche Werthe für y. Der Werth von x, der zu einem gegebenen Werthe von y gehört, ergiebt sich zu x = -yi,2 _y 2 ; diese Formel liefert zwei entgegen gesetzt gleiche Werthe für x. Aus diesen beiden Bemerkungen folgt: Die Ellipse ist doppelt symmetrisch; die grosse und die kleine Achse sind Symmetrieachsen. 2. Ist P ein Punkt der Ellipse, so kann man immer x = a cos

1 1I, der Grenze Null, also fallen die zu einer unendlich grossen Abscisse gehörigen Hyperbelpunkte P und P x mit den zugehörigen Punkten II und 11j zusammen. Jede der Geraden OB und OB x trifft somit die Hyperbel in zwei (in entgegengesetzten Richtungen liegenden) unendlich fernen Punkten. Aus diesem Grunde nennt man die Geraden OB und OB\ Asymptoten der Hyperbel. Die Asymptoten der Hyperbel sind also die beiden durch den Mittelpunkt gehenden Geraden, deren mit der Hauptachse gebildete Winkel die trigonometrische Tangente ± b : a haben. ^2 y2 6. Die Gleichung der Hyperbel ^ = 1 kann man auch schreiben: § 3* Ellipse, Hyperbel, Parabel. I : x ~y) Nach dem Vorhergehenden ist {~a ~ l b) (f + f) =1 ’ woraus {ol & {^*-y){h x +y) =bi - und ferner -x—y = r i —y = P[Y, b — x+y = t) -i-y - — Tj , -hy = 11,/” + P'P — II,/! Dies in 1. eingeführt ergiebt n 1 />- J /n = n 1 / , 1 ./ , 1 n = ^. Daher der Satz: Jede zur Hauptachse der Hyperbel normale zwischen den Asymptoten enthaltene Strecke wird von der Hyperbel so getheilt, dass das Produkt der Theile constant ist. Auf gleiche Weise findet man: Jede zur Hauptachse der Hyperbel parallele zwischen den Asymptoten enthaltene Strecke wird von der Hyperbel aussen so getheilt, dass das Produkt der Theile constant gleich dem Quadrate der halben Hauptachse ist. Zieht man zwischen den Asymptoten durch den Hyperbelpunkt P die Gerade AB in gegebener Richtung, so ist QPl PA = sin ß : cos a PP: PB = sin y: cos a, also BP-PQ: BP-PA = sin ß sin y : cos 2 a. Da nun BP - PQ = b 2 , so folgt: BP- PA sin p sin y Das Produkt BP- PQ hängt also nur von der Richtung der Geraden AB ab; der obige Satz gilt daher nicht bloss von den zu einer Achse parallelen, sondern von parallelen zwischen den Asymptoten enthaltenen Strecken überhaupt, wobei für jede anders gerichtete Schaar von Parallelen das Produkt AP-PB im Allgemeinen einen andern Werth hat. Sind P und P l die Punkte, in denen eine zwischen den Asymptoten enthaltene Strecke von der Hyperbel geschnitten wird, so ist BP - PA = BP , • P t A. Hieraus folgt BP t = PA, und P^A = BP. Jede zwischen den Asymptoten enthaltene Strecke wird also von der Hyperbel in drei Theile zerlegt, von denen die an den Asymptoten anliegenden einander gleich sind. Dieser Satz lehrt eine leichte Construction von Hyperbelpunkten, wenn die Asymptoten und ein Punkt der Hyperbel bekannt sind. 7. Wie bei der Ellipse, so können auch die Coordinaten jedes Hyperbelpunktes mit Hülfe der Strecken a und b und von Functionen eines Hülfswinkels

= r=- e • d. Um für den Fall vorgesehen zu sein, dass die Curve noch eine zweite Symmetrieachse normal zur ersten besitzt, wählen wir den Mittelpunkt O der Strecke A X A 2 zum Nullpunkt und haben daher: § 3* Ellipse, Hyperbel, Parabel. 13 0D = \ {A X D + A t D) = d, 0A x =A,0 = i {A 2 D-A X D) = d; ferner ist 1 + 8 0F = OD und rn = on~ op' = — d—x, 1— FF* = Z»^ 2 + Z”./’ 2 = (ÖZ’— <9Z’) 2 + P'P 2 = (y^ Z — *V +_y 2 ; setzen wir diese Werthe in FP : /’ 11 = e ein, so erhalten wir: x\ +y' dx+x 2 dx + s 2 jc : (1 - e 2 ) (1-E 2 ) hieraus folgt: (1 — s 2 ) x 2 + y 2 — —--~ a d 2 = 0- ... . s* Durch Division mit --^ cP bringt man diese Gleichung auf die Form wobei a und b die Werthe haben d= OA OF*. Unsere Curve ist daher eine Ellipse mit den Halbachsen 1, hat mit der Geraden DF zwei Punkte A v A 2 gemein, für welche A,F= 8 A 2 F^—^-r-d. 2 c— 1 Daher ist OF=±(A 2 F+A x F) 14 Analytische Geometrie. (M. 3G1.) 1 2 * e A.O^OA^-^iA.F-A.F) d E 2 — 1 OD — O F — DF 1 d—d-- s 2 —1 ~ £ 2 — 1 Ferner ist II P = OP — OD 1 . = *— ^■TP\ d ’ FP 2 — pp 2 + ppi = (OP' — OF ) 2 -+- P'P 2 E 2 Setzt man dies in A’/': II P— s ein, so entsteht = (*-?nrT ' / ) 2+J ' 2 (■* — +j 2 =s 2 - oder 2 e 2 *2 _ _,7* _i_ X E 2 — 1 + (E 2 —l) 2 4 2 e 2 d 2 -t-_J > 2 = s 2 ar 2 — • ;d*. Hieraus folgt weiter: (e 2 — 1 ) x 2 — y 2 1 a? 2 = 0. £ “ £ Dividirt man durch -s- 7 1 hat, ist also eine Hyperbel. Da P • d 2 = OF 2 — a 2 , s 2 — 1 so folgt, dass F ein Brennpunkt der Hyperbel ist. Aus den bekannten Symmetrieverhältnissen der Hyperbel ergiebt sich, dass noch eine Directrix A t Aj vorhanden ist, und dass die beiden Directrix symmetrisch zur Nebenachse O Y liegen. Ist II, die Projection von P auf A x Aj und F l der zweite Brennpunkt der Hyperbel, so ist auch F X P\ I1 1 A > = e. Aus F X P = e • Il^und FP^z-ÜP folgt F X P— FP= s {W X P - Ili 5 ) 2 s e • n j n = 2s • o d - -d=2a, also die Eigenschaft der Hyperbel, von welcher wir in No. 4 ausgegangen sind. Die Strecken OD, DF, DA X und D X A X lassen sich durch a, b und c=j /« 2 -t -b 2 ausdrücken; wir erhalten aus £ £ e 2 d, die Werthe OD - -yzpdTi a 2 d, c = DF — d — e 2 — 1 b 2 d, § 3- Ellipse, Hyperbel, Parabel. iS FA X = 0A % — OD = a — a{a c) ^ A a(a + c .) , U — 10. Der Ort der Punkte, für welche FP: II / J = 1, geht durch die Mitte der Strecke FF; wir wählen dieselbe zum Anfangspunkt und haben daher, wenn wir diesmal FF mit p bezeichnen: \\P=WP’ + P'P=^ + x, — FP 2 = {0P' — OF) 2 + P'P 2 somit erhalten wir die Gleichung A Y (M. 362.) oder - pX + X 2 ~hy 2 ■ px ■ . p 2 Durch Subtraction von — -t- x 2 auf beiden Seiten folgt: y 2 = 2 px. Diese Curve wird Parabel genannt; die Strecke / heisst der Parameter. Die Parabel hat nur eine Symmetrieachse, die X -Achse unseres Coordinaten- systems. Bezeichnet Q den unendlich fernen Punkt der X-Achse, so ist für denselben FQ\OQ = 1. Man kann daher sagen, dass die Parabel mit der Symmetrieachse (die kurzweg als »Achse der Parabel« bezeichnet wird) ausser dem Scheitel O noch den unendlich fernen Punkt gemein hat. 11. Bezeichnet man in den Figuren 9 und 12 statt der Strecken OP die Strecken A X P' mit x, denkt man sich also die Ordinatenachse durch A 1 statt durch O gelegt, so hat man in den Gleichungen der Ellipse und Hyperbel yz= ly a 2 — OP 2 , bez. y = -^OP 2 — a 2 zu setzen OP=a — x, bez. OP' = a + x, b b erhält also y = ~j/2ax — x 2 bez. y = — )/2 ax+ x 2 . Mit Rücksicht darauf, dass hier die Ordinatenachse durch einen Scheitel der Curve (A t ) geführt ist, bezeichnen wir diese Gleichungen als die Scheitelgleichungen der Ellipse und Hyperbel. 12. Ist der Abstand des Brennpunktes vom Scheitel gleich einer gegebenen Strecke q, so ist für die Ellipse a — c = q, c — a — q, also b = ~\/a 2 — c 2 - - y%aq — q- ; und für die Hyperbel c — a = q, c = q ■+- a, also b = y fl — cß = yiaq -+- q 2 . Setzen wir diese Werthe für b in die Scheitelgleichungen ein, so entsteht: für die Ellipse: i6 Analytische Geometrie. x* a' für die Hyperbel: y = Wächst nun a über alle Grenzen, so nähern sich die Brüche q 1 : a und x 1 : a der Grenze Null, und die Gleichungen der Ellipse und der Hyperbel gehen über in die Gleichung y = f/4 qx, oder y 2 = 4 qx. Dies ist aber die Gleichung einer Parabel, deren Parameter p = 2 q. Hieraus gewinnen wir die werthvolle Anschauung: Die Parabel kann als eine Ellipse oder als eine Hyperbel angesehen werden, deren Hauptachse unendlich gross wird, während der Abstand des Scheitels vom nächst gelegenen Brennpunkte einen gegebenen Werth q behält. 13. Wir untersuchen nun die Lage einer Geraden gegen eine Parabel, Ellipse und Hyperbel. Bezeichnen wir die Reciproken der Achsenabschnitte einer Geraden T mit u und v, setzen also 1 1 — = u, -r = v, a b so ist die Gleichung der Geraden T ux -+- vy — 1 = 0. Die Werthe von x und y, welche den Gleichungen 1. ux + vy —1 = 0, 2. y 2 = 2 px zugleich genügen, sind Coordinaten von Punkten, welche sowol auf der Geraden T als auf der Parabel y 2 = 2 px liegen, sind also die Coordinaten des Schnittpunktes bez. der Schnittpunkte der Geraden und der Parabel. Um dieselben zu erhalten, substituiren wir den aus 1. folgenden Werth ux = 1 — vy in die Gleichung 2. und erhalten: > 2 = 2 ^ r.P V V—y- u J bv - 2 — = 0 . u 3. jy 2 Diese quadratische Gleichung hat die Wurzeln: / = \ (— Pd + ilpu+pH*), 4 ' 1 /' = -(- - pv — )/2 pu 4 - p 2 v 2 ), die Wurzel positiv gerechnet. Die zugehörigen Werthe von x folgen aus 1. zu x' = -qj (u -+■ pv 2 — zr/2 pu + p 2 v 2 ), 'S u 1 _ x" = (u + pv 2 + vf/2pu -4-p 2 v 2 ). Eine Gerade hat daher mit der Parabel zwei, einen oder keinen (realen) Punkt gemein, je nachdem 2 u ■ - pv 2 = 0. f < 14. Aus der Gleichung 3. oder aus den Lösungen 4. folgt -(/ 4-/’) = —p V u 6 . § 3- Ellipse, Hyperbel, Parabel. *7 Die Strecke ^ (y 1 +y") ist die Ordinate der Mitte der Strecke zwischen den Punkten P' und P", in denen die Gerade die Parabel schneidet. Nach der Formel 6. ist diese Strecke nur abhängig von dem Verhältniss v : u, ist also unveränderlich für alle Gerade, welche dasselbe Verhältniss v : u haben; da dieses Verhältniss gleich dem Verhältniss der Achsenabschnitte a‘.b ist, so folgt, dass diese Geraden parallel sind. Für parallele Sehnen liegt also die Mitte in gleichem Abstande von der Abscissenachse, oder: Die Mitten paralleler Parabelsehnen liegen auf einer zur Achse parallelen Geraden. 14. Ist 2 ti-\-ßv 2 positiv, so schneidet die Gerade die Parabel in zwei Punkten P' und P". Aendert man nun die Page der Geraden so, dass 2 pu-y-p^v 2 kleiner wird, so nehmen die absoluten Werthe der Unterschiede der Abscissen x '— x" und der Ordinaten y' — y" ab, es nimmt also auch der Abstand P'P' ab, da PP" = Y(x" — x ') 2 -+- (y" — y’) 2 , die Punkte P und P' rücken also näher an einander. Wenn 2 pu -h p i v i verschwindet, so wird auch der Abstand PP" verschwindend klein, und die Gerade schneidet die Parabel in zwei unendlich nahe benachbarten Punkten. Eine Gerade, die eine Curve in zwei unendlich nahen Punkten schneidet, heisst Tangente der Curve. Die Bedingung dafür, dass die Gerade T die Parabel berührt, ist also 1. 2 u -y- pv 2 = 0. Die Coordinaten des Berührungspunktes ergeben sich nun aus den Formeln No. 13, 4. und 5. zu 2 . u -y-pv 2 pv Aus diesen Formeln kann man u und v berechnen, und findet zunächst x’ =:-■ u pv 2 J, u y Da nun P auf der Parabel liegt, so ist y' 2 = 2 px\ mithin 3. x' = — -h2x', — = — x'. n u Da 1 \ u der Abschnitt der Tangente auf der X-Achse ist, so folgt: Jede Parabeltangente Schneidet von der X-Achse eine Strecke ab, die der Abscisse ihres Berührungspunktes entgegengesetzt gleich ist. Ferner folgt y’ = — pv : u =ßvx' , oder da ßx' — \y ' 2 : 4 v 2 Die Strecke, welche eine Parabeltangente auf der Ordinaten- achse abschneidet, ist gleich der halben Ordinate des Berührungspunktes. Um im Punkte P (Fig. 362) eine Tangente an die Parabel zu construiren, mache man also S^O= OP, dann ist S^P die gesuchte Tangente. Da DO — OF und OS 2 = S 2 P”, so schneiden sich II F und S X P in S 2 , und es ist FS 2 = .S 2 1I, Da nun FPU ein gleichschenkeliges Dreieck ist, so folgt der Satz: Tangente und Normale der Parabel halbiren die Winkel des Radius vector und einer Parallelen zur Parabelachse — wenn wir als Normale die Gerade bezeichnen, die normal zur Tangente durch den Be- Schlobmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. i8 Analytische Geometrie. rührungspunkt gezogen wird, und mit Radius vector die Strecke, die den Brennpunkt mit einem Parabel- (bez. Ellipsen-, Hyperbel-) punkte verbindet. Die Gleichung der Parabeltangente im Punkte P erhält man, wenn man die gefundenen Werthe für u und v in die Gleichung der Geraden ux -t- vy — 1 = 0 einführt, zunächst in der Form x 2 v - f + -4- — 1 = 0. x y Hierfür kann man setzen 2 px 2 y ipx’ JT ^ 0; y‘ y y nach Multiplication mit ^y’ 2 ergiebt sich die Gleichung der Tangente zu: p (x -+- x') —y'y = 0. 15. Die Coordinaten der Punkte, welche eine Gerade T und eine Ellipse gemein haben, sind die Werthe von x und y, welche die Gleichungen 1. der Geraden: ux-hvy —1 = 0 r b 2 ' 2. und der Ellipse: zugleich befriedigen. Aus der Gleichung 1. folgt 3. y Dies in 2. eingesetzt, ergiebt fi .«M 2_ \a 2+ b 2 v 2 ) X b 2 v 2 "~ r Pv 2 und nach Multiplication mit cßb 2 v 2 : (a 2 u 2 -+- b 2 v 2 ) « 2 (1 — b 2 v 2 ) 1 = 0 1 u V V 2 u — 1 4. ;x -+- '0, ■ 0 . cßiß -4- b 2 v 2 ~ 1 cßu 2 -I- b 2 v 2 In gleicher Weise ergiebt sich für y die quadratische Gleichung b 2 v b 2 { 1— cßu 2 ) J cßu 2 -+- b 2 v 2 y cßu 2 + b 2 v 2 Sind x’, x" die Wurzeln von 4., sowie y', y" die von 5., so gehört nach Gleichung 1. zu jeder der beiden Wurzeln x' x" eine bestimmte Wurzel von 5.; die zusammengehörigen Werthe mögen x' und y\ x" und y" sein. Die Gleichungen 4. und 5. lehren: Eine Gerade hat mit einer Ellipse nicht mehr als zwei Punkte gemein. Sind P und P" die zu den Coordinaten x’ y' und x" y" gehörenden Punkte, so ist nach 4. und 5. : 0. 2 + X ") — cßu 2 cßu b 2 v 2 ’ v(y'+y")- b 2 v cßu 2 -+- b 2 v 2 Die linken Seiten dieser Gleichungen sind die Coordinaten $ rj der Mitte von PP"] man hat also r cßu b 2 v cßu 2 -+- b 2 v 2 ’ ^ a 2 u 2 -+- b 2 v 2 ' woraus folgt: Ti b 2 v 6. y = —ö • — • 5 a l u Für alle Ellipsensehnen, welche dasselbe Verhältniss v : u haben, haben also auch die Coordinaten der Sehnenmitte ein constantes Verhältniss, d. i.: Die Mitten paralleler Sehnen einer Ellipse liegen auf einer Geraden, die durch den Schnittpunkt O der Symmetrieachsen geht. Hieraus folgt noch, dass alle Ellipsensehnen, die durch O gehen, in O § 3- Ellipse, Hyperbel, Parabel. 19 halbirt werden. Man bezeichnet daher O als das Centrum der Ellipse, und die durch O gehenden Sehnen als Diameter. Ist A der zur Geraden T parallele Dia. meter, und ist für T das Verhältniss v : u gleich dem gegebenen Werthe 7, so ist für jeden Punkt von A P'P: OP' = OS 2 : S\0 = V ’ u y' Die Gleichung von A ist daher y : x = — 1:7, oder 7. x -f- yy = 0. Die Gleichung des Diameters A', auf dem die Mitten der zu T parallelen Sehnen liegen, ist nach 6. y : x = b 2 y : d 2 , oder T // \ p \ r 0 \ \ (M. 363.) 8 . cß 'Wi' y==Q ' Für die Ellipsensehnen, welche parallel dem Diameter A' sind, liegen daher die Mitten auf dem Diameter • y = 0, d. i. x + yy = 0, (-£) mithin auf dem Diameter A. Enthält also A 1 die Mitten der Sehnen, welche parallel A sind, so enthält A die Mitten der zu A 1 parallelen Sehnen. Die Beziehung der beiden Diameter A und A' ist daher reciprok. Zwei solche Diameter heissen conjugirte Diameter der Ellipse. Setzt man 7 = 0, so wird die Gleichung des Diameters A zu x = 0, A fällt also jetzt mit der F-Achse zusammen. Die Gleichung des conjugirten Diameters x a 2 y fiy wird jetzt zu x :y =■», also zu y = 0, A' wird identisch mit der X-Achse. Die Achsen der Ellipse sind daher conjugirte Diameter. 16. Die Coordinaten der Endpunkte eines Diameters, der die Gleichung x — yy = 0 hat, bestimmen sich aus dieser Gleichung und aus der Ellipsengleichung. Man erhält 0 ( 7 - //- 7 “ 0 i~{i Also: Die Summe der Quadrate zweier conjugirten Radien der Ellipse ist constant. Sind 9 und

2-,2 n % 3. sin Nun ist nach 1. und 2. Y i •7 3 ]/« 4 + bif 4. ab l/l + 7 2 • }/a 4 -+- /Ay 2 «2 -+- Ißf Folglich, nach Multiplication von 3. und 4. 5. rr' sin u> = ab. Die beiden Ellipsentangenten an den Endpunkten eines Diameters können (in Uebereinstimmung mit den Formeln des nächsten Abschnittes), als verschwindend kleine vom Diameter halbirte Sehnen betrachtet werden, sind also dem conjugirten Diameter parallel. Die vier Tangenten, welche in den Endpunkten zweier conjugirter Diameter A und A' construirt sind, bilden daher ein der Ellipse umschriebenes Parallelogramm, dessen Seiten paarweis den conjugirten Diametern parallel und gleich sind. Wir haben nun nach 5. den Satz: Die einer Ellipse in den Enden je zweier conjugirten Diameter umschriebenen Parallelogramme haben constante Fläche, sind nämlich gleich dem Rechteck der beiden Achsen der Ellipse. 17. Wir lösen nun die quadratischen Gleichungen No. 15, 4. und 5. auf und erhalten für die Coordinaten der Schnittpunkte P' und P" nach einfachen Reductionen: 5- [cflu ± abv y cfidi + Uhfi — 1) x' und x" ■■ bi iß y und y 1 75-5- (Ißv =p abu^aidi -+- £ 2 w 2 — 1) di ui -t- bi iß wobei die oberen und die unteren Zeichen in beiden Zeilen zusammengehören. Diese Formeln lehren: Eine Gerade hat mit der Ellipse zwei getrennte reale Punkte, oder nur einen Punkt, oder keinen realen Punkt gemein, je nachdem aßu 1 -+- A 2 » 2 — 1 positiv, gleich Null, oder negativ ist. 18. Aendert man die Lage einer Geraden 7) welche die Ellipse schneidet, so, dass cßui -+- ißv 1 — 1 ~ R immer kleiner wird und dem Grenzwerthe Null sich nähert, so nähern sich auch die Differenzen x ~~ x ~ diui 4- bivi Y r < y —y — — a i u i + iß 7,2 Y R § 3- Ellipse, Hyperbel, Parabel. 21 sowie der Abstand P\P‘i = ^{x" — x'f (/'— y')‘ l der Grenze Null. Ist 1. cfiui jßiß — i = o, so wird die Gerade T zur Tangente der Ellipse. Die Coordinaten des Berührungspunktes folgen mit Hülfe der Gleichung 1. aus den Formeln von No. 17: a ! u cßu 2 -+- b 2 v< cfitt 2 -+- fiv 2 Da d 1 iß -+- b 2 iß = 1, so ist einfacher x' = cßu, y' = b 2 v. 2 . Hieraus folgen die Werthe 5 _ _ y_. 3. u — ^ v— b% , durch Substitution in ux + vy — 1=0 ergiebt sich die Gleichung der Ge raden, welche die Ellipse im Punkte P' berührt: x'x 4. 0. Y r t ‘syy (M. 364.) Sind AiNa die Spuren der Tangente auf den Achsen, so ist OS\=\\u = a 2 :x\ mithin a 2 -+- cx F x O -*r OS Nun ist, wenn A und die Directricen sind: e ( a 2 — cx”) z-p ri ( 1 0+ OP’) = e ^ -+- = £ • C * FP=i- II P=e(OP’ — OD) = z(x’ — = z- CX . Hieraus folgt: F X P: FP— F 1 S l : S X F] dies lehrt den Satz: Die Tangente und Normale einer Hyperbel in einem Punkte derselben halbiren die Winkel der Geraden, die den Punkt mit den Brennpunkten der Hyperbel verbinden. 22. Unter den Hyperbeln wird die, bei welcher b — a ist, mit einem 24 Analytische Geometrie. besonderen Namen ausgezeichnet; sie heisst gleichseitig. Die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel in Bezug auf die Symmetrieachsen ist: x 2 — y 2 = a 2 . Die Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel bilden mit der Hauptachse Winkel, deren trigonometrische Tangente gleich der Einheit ist; hieraus folgt, dass sie miteinander rechte Winkel bilden. Die Gleichung des zu der Geraden A = x -h jy *= 0 conjugirten Durchmessers ist (No. 19) bei der gleichseitigen Hyperbel A' == — -jx -hy = 0. Hieraus sieht man, dass der Winkel der Geraden A mit der W-Achse gleich dem Winkel der Geraden A' mit der K-Achse ist, und daher folgt weiter: Die vier Winkel je zweier conjugirten Diameter einer gleichseitigen Hyperbel werden von den Asymptoten halbirt. 23. Polarcoordinaten. Die Lage eines Punktes in der Ebene kann man statt durch seine Projectionen auf die Coordinatenachsen auch durch die Strecke OP (Fig. 347) und durch den Winkel bestimmen, den die Gerade OX mit der Geraden OP einschliesst. Die Strecke OP wird in diesem Sinne als Radius vector, r, der Winkel als Anomalie, cp, des Punktes P bezeichnet. Man hat den Begriff »Coordinaten eines Punktes« dahin ausgedehnt, dass man darunter überhaupt solche Data versteht, welche die Lage eines Punktes, zunächst in der Ebene, bestimmen. Die bisher gebrauchten Coordinaten OP' und OP" nennt man dann insbesondere Orthogonal-Coordinaten, oder nach dem Erfinder der Coordi- naten-Geometrie Des Cartes (1596 —1650) Cartesische Coordinaten. Die Coordinaten r und cp führen den Namen Polarcoordinaten. Aus den Formeln O P' = O P cos cp, P'P—OPsiny folgen für den Zusammenhang von orthogonalen und Polarcoordinaten die Formeln 1 . x = r cos cp, y = r sin cp, 2 . r 2 =x 2 -yy 2 , tang — 1=0, so erscheint sie als die Bedingungsgleichung, welche die Coordinaten der unend- § 4- Liniencoordinaten. 27 lieh vielen Geraden T erfüllen müssen, die durch den gegebenen Punkt gehen. Die Gleichung £u-hr j»—1=0 ist daher die Gleichung des Punktes $, rj in Liniencoordinaten. Die Gleichung au — 1 = 0 wird von allen Geraden erfüllt, für u = 1 : a, während», das in der Gleichung nicht vorkommt, unbestimmt bleibt; sie ist also die Gleichung des Punktes der Abscissenachse, für welchen OS 1 — a; ebenso ist ersichtlich, dass ß» — 1 =0 die Gleichung eines Punktes der Ordinatenachse ist, und zwar des Punktes A s , für welchen f?A 2 = ß. Die Gleichung au$v = 0 sagt aus, dass das Verhältnis v.u den gegebenen Werth — a : ß hat. Alle Geraden, deren Coordinaten ein gegebenes Verhältniss haben, sind parallel. Man kann von ihnen sagen, dass sie durch einen und denselben unendlich fernen Punkt gehen, der durch die Richtung einer Geraden bestimmt ist, auf der er liegt. Die Gleichung a^4-ß» = 0 ist also die Gleichung eines in bestimmter Richtung liegenden unendlich fernen Punktes. 3. In § 3, No. 18 und 21 haben wir die Gleichungen a 2 u 2 4 - b 2 v 2 — 1=0, und a 2 u 2 — b 2 v 2 — 1=0 als Bedingungen für die Coordinaten einer Geraden gefunden, welche eine Ellipse, bez. Hyperbel berührt. Wir können dies nun so ausdrücken: Die Gleichungen der Ellipse und Hyperbel in Liniencoordinaten, bezogen auf die Symmetrieachsen als Coordinatenachsen, sind: 1. für die Ellipse: a 2 u 2 4- b 2 v 2 — 1 = 0, 2. für die Hyperbel: a 2 u 2 — b 2 v 2 — 1=0. Ebenso folgt aus § 3, 14 die Gleichung der Parabel in Liniencoordinaten, bezogen auf die Symmetrieachse und die Scheiteltangente als Coordinatenachsen: 3. 2?/ pv 2 = 0. 4. Wir haben aus der Gleichung einer Geraden T und aus der Gleichung einer Ellipse in Punktcoordinaten die Coordinaten der Punkte bestimmt, welche die Gerade und die Ellipse gemein haben. Für Untersuchungen in Liniencoordinaten haben wir die analoge Aufgabe: Aus der Gleichung eines Punktes P 1. lu + T)V — 1=0 und der Gleichung einer Ellipse in Liniencoordinaten 2. a 2 u 2 4- b 2 v 2 — 1=0 die Coordinaten der Geraden zu bestimmen, die durch den Punkt P gehen und die Ellipse berühren. Diese Coordinaten genügen den Gleichungen 1. und 2., sind also die Wurzeln dieser beiden Gleichungen. Aus der ersten entnehmen wir » = (l — £?*):r), u = (1—?]»):$, sub- stituiren dies in 2. und erhalten nach einfachen Reductionen quadratische Gleichungen für u und v: b 2 l ri 2 — b 2 u * t 2 l 2 4 - «V £ 2 $ 2 4-«V ’ a 2 r] ü 2 — (i 2 V b 2 \ 2 4-«V £ 2 £ 2 4-<*V Die Gleichungen ergeben die Lösungen 3. u' und u" = bH2 (bH ± ab r)jA, 4- ^ - l) nebst den der Reihe nach zugehörigen 28 Analytische Geometrie. 4. v' und v" ■■ >*V~+ «2-2 =F + l)- Durch einen Punkt P gehen also zwei, eine oder keine (reale) Tangente an eine Ellipse, je nachdem CI 2 + b 2 < U - = — 1 = 0 sagt aus, dass der Punkt P auf der Ellipse Die Bedingung $ 2 liegt und bestätigt so den Satz, dass sich durch einen auf der Ellipse liegenden Punkt nur eine Tangente an die Ellipse legen lässt. Mit Rücksicht auf 1 = 0, oder b 2 \ 2 -+- a 2 t\ 2 = a 2 b 2 ergeben sich n v ci 2 b 2 aus 3. und 4. die Coordinaten der im Punkte P die Ellipse berührenden Tangente zu u' = £: a 2 , v' = 7): b 2 . Die Coordinaten des Punktes, in welchem die Gerade u' v' die Ellipse berührt, sind daher £ = a 2 u', r, = b 2 v' in Uebereinstimmung mit § 3, 18. Die Gleichung des Ellipsenpunktes, der auf der Tangente u’ v' liegt, ergiebt sich durch Substitution dieser Werthe in die Gleichung des Punktes \u -+- TjV — 1=0 zu a 2 u'u -+- b 2 v'v — 1=0. 5. Die Coordinaten der Tangenten, die sich von einem Punkte, dessen Gleichung 1. \u -f- r t v — 1 = 0 ist, an die Hyperbel legen lassen, die in Liniencoordinaten die Gleichung hat: 2. a 2 u 2 — b 2 v 2 — 1=0 sind die Wurzeln der Gleichungen 1. und 2., bestimmen sich daher aus den Gleichungen, die sich durch Elimination von v und u aus 1. und 2. ergeben: 3. 4. u 2 — 2 b 2 % ■b 2 b 2 l 2 — a\ 2 a 2 t) ■ a 2 7j 2 b 2 $ 2 l 2 —a 2 a 2 t ] 2 b 2 \ 2 b 2 % 2 ■ a 2 r\ 2 5. u’ und u" ■. b 2 \ 2 — a\ 2 ± ab ^ + ~b 2 ä 2 ) nebst den dazu gehörigen Werthen 1 fi. v' und v" = b 2 'i 2 — — 1=0 an die Parabel legen lassen, deren Gleichung in Liniencoordinaten ist 2 . 2u+pv 2 =Q, ergeben sich als Wurzeln von 1. und 2., also aus den Gleichungen 3 . 5! - 2 ^+^ = 0 , r 2 _ 1 4. ^ + = 0 zu: 5. u' und u" = (— 7) 2 p %~bij l/rj 2 — 2 p £) v' und v" - + vV ■ 2 / 6 ). Von einem Punkte aus lassen sich also zwei, eine oder keine reale Tangente an die Parabel legen, je nachdem r t 2 — 2 pi positiv, gleich Null, oder negativ ist. Ist r ] 2 — 2/1 = 0, so liegt der Punkt auf der Parabel. Die durch ihn gehende Tangente hat die Coordinaten = -T. V = = - (§ 3,14). Die Gleichung des auf der Tangente Punktes ergiebt sich hieraus zu liegenden Parabel u 2v i -j hl — 0. U V § 5. Die Gleichung ersten Grades in Punkt- und Liniencoordinaten. 1. Jede Gleichung ersten Grades in Punktcoordinaten ist die Gleichung einer Geraden. Die allgemeine Gleichung ersten Grades ist 1. Ax + By-h C — 0. Ist C= 0, so lautet die Gleichung 2 . Ax-hBy = 0, sie sagt aus, dass y : x = — A:B, ist also die Gleichung einer durch den 3° Analytische Geometrie. Nullpunkt gellenden Geraden, deren Winkel mit der Abscissenachse sich aus der Gleichung bestimmt tangy = — A : B. Ist A = 0 oder B = 0, so geht die allgemeine Gleichung über in 3. By -p C = 0, bez. 4. Ax -P C= 0, woraus folgt y — — C : B, x = — C: A. Die Gleichungen By 4- C = 0 bez. Ax -p C = 0 sind also die Gleichungen einer Parallelen zur X- Achse, bez. zur Y- Achse, die von der Y- Achse, bez. der X-Achse, die Strecke — C : B, bez. — C : A abschneidet. Ist keiner der Coefficienten A, B, C gleich Null, so kann man die Gleichung durch (— C) dividiren und erhält A B 5 . — c x ' ^ - ~Cy — 1 = 0 - Der Vergleich mit der Gleichung der Geraden, die die Achsenabschnitte a und b hat lehrt, dass 5. die Gleichung einer Geraden ist, welche von den Achsen die Strecken abschneidet a = — C: A, b = — C: B. 2. Ist n der Coefficient, mit dem man die Gleichung einer Geraden T Ax + By + C— 0 multipliciren muss, um die Normalform (§2,4) zu erhalten, so ist identisch nAx -P nBy -p nC = cos cp • x -+- sin cp • y —- d. Hieraus folgen die Gleichungen nA = cos(f, nB = siny, nC*= — d, aus welchen sich ergiebt, indem man die ersten beiden Gleichungen quadrirt und addirt: 1 A . B , C Ya 2 + B‘ 2 r YA 2 -+- B 2 T Y A2 -^ £2 -J/AP+-S 2 Für die Wurzel ist dabei das Vorzeichen so zu wählen, dass der Abstand d das richtige, dem positiven Sinne der Normalen zu T entsprechende Vorzeichen erhält. Der Abstand p eines Punktes dessen Coordinaten xy sind, von der Geraden 7’ ist daher (§ 2, 5) P Ya 2 B 2 = (Ax H- By — C). 3. Soll die Gerade T durch zwei gegebene Punkte B 1 und B 2 gehen, so muss die Gleichung Ax + By -h C = 0 von den Coordinaten x 1 y 1 , x 2 y 2 der Punkte /\ und B 2 erfüllt werden; es gelten also die drei Gleichungen Ax -h By -t- C = 0 1. Ax 1 -+- By x C= 0 Ax 2 “P By 2 “P B == 0. Man kann die Coefficienten A , B, C darin als Unbekannte ansehen; das Bestehen dieser Gleichungen für Werthe von A, B, C, die nicht sämmtlich Null sind, fordert dann das Verschwinden der Determinante x y 1 Xi y t 1 x 2 y 2 i 2 . = o. § 5' Die Gleichung erstell Grades in Punkt- und Liniencoordinaten. 31 Dies ist die Bedingung, welche x und y erfüllen müssen, damit die Gleichungen 1. zusammen bestehen können, — also die Gleichung dafür, dass P auf der Geraden P x P 2 liegt, also die Gleichung der Geraden P X P 2 . Subtrahirt man von der zweiten und dritten Zeile in 2. die erste, so erhält man: = (*1 — x ) (j 2 —y) — (*2 — x ) Oh —y)- Die Gleichung der Geraden P x P 2 nimmt daher auch die Gestalt an: OC ‘ CC 1 CC " OC q x y 1 x y 1 x x y x 1 = x x — x y j —y 0 y 2 1 o 1 so fol s t: (OS i : ()> (—»o) : *i> also gilt ebenfalls der obige Satz; ebenso für die Punkte Il 0 'Oj 1 II 2 ', welche die Theilverhältnisse (— n 1 ):n. 2 , n 2 :n 0 , n 2 : (—«,) ; und für IIq'IIj'II 2 , welche die Theilverhältnisse n x : (— n 2 ), (— n 2 ) : n 0 , n 0 : n x haben. Man kann also den Satz folgendermaassen vervollständigen. Theilt man die Seiten P Ü P X , P X P%, F > P„P, 0 "* 1 >> >> »» Von den drei Paar Theilpunkten liegen daher viermal je drei auf einer Geraden, nämlich 4. II 2 . n 0 , n ii,„ n., n Dieser Satz ist ebenso, wie der in No. 13 gegebene, einer Umkehrung fähig. § 6. Projective Strahlbüschel und Punktreihen. 1. Jede Gerade T 3 , die durch den Schnittpunkt der Geraden 7\ und T 2 geht; hat nach § 5, 11 eine Gleichung von der Form T. i = n 1 T x -t - n 2 T 2 — 0 ; denn aus m x 7j -+■ m 2 T 2 + m 3 T 3 s0 leitet man ab — m 3 T 3 ss m x T x -+- m 2 T 2 und hieraus T % =n x T x -t~ n 2 T 2 , indem man — m x \m 2 und — tn 2 :m 3 durch n x und n 2 bezeichnet. Die Sinus der Winkel 7\T % und 7\T 2 ergeben sich zu sin T x T 3 = A X B 3 A 3 B x i (A j (n x B x -+• n 2 B 2 ) — ( n x A x -+- n 2 A 2 ) B x ) y/A? + Bi -VAI-+- Bi {A x B 2 A 2 B X ) _ YA? + B‘(- iAl + Bl' 40 Analytische Geometrie. Ebenso findet sich sin T z T 2 Hieraus folgt sin T l 7\ : sin 7\ T 2 = 2 i (A\Bi A 2 B X ) 1 1 n^Ai + Bt ' n^AI + Bf Das Verhältniss sin T x T 3 :sinT 3 T 2 nennen wir das Sinusverhältniss, in welchem der Winkel T X T 2 von der Geraden T 3 getheilt wird; wir haben daher den Satz: Die Gerade T 3 == n l T x -t- n 2 T 2 = 0 theilt den Winkel T x T 3 im Sinusverhältniss « 2 j/A(f + : n l y r A?~+B? . 2. Gehen durch den Schnittpunkt von T l und T 2 die beiden Geraden 7\ und T v und hat man T 3 ^n l3 T 1 -y-n 23 T 2 , 7 i s^n li T i -+- n 2i T i , sin T x T 3 ' sin 7\ 7\ so ist 3 Y 22 - . n. 2i -\/A% - sin 7', T, x ' sin Das Verhältniss n i zY-^i sin 7\ 7\ sin 7\T 2 B‘( n \iY^i ■ sin 7\ T i sin r 4 r 2 Jll B? *1 3 heisst das Doppelverhältniss der vier Geraden T l T 2 T 3 T i und wird abkürzungsweise durch das Symbol (T X T 2 T 3 T^) bezeichnet. Das Doppelverhältniss von vier Strahlen eines Büschels ist also von den Coefficienten der Gleichungen der Strahlen unabhängig; es hängt nur von den Zahlen ab, durch welche die linken Seiten der Gleichungen zweier dieser Geraden aus den linken Seiten der Gleichungen der beiden andern abgeleitet werden können. 3. Die Coordinaten der Strahlen T v _ A x B, u i — - v i ~ Ci . n v 7\, T 3 , T i sind B 2 . n x 3 A X -f ; -23-^2 3^1 sA- «2 3 0-2 n 2 3-B'2 c, A- 2 3 ^2 24^2 n 13 C i u l n 23 C 2 u 2 ~h n 23 C 2 n x3 c ^\ 4 - n i 3 C 2 v 2 _ n \ 3^-1 n 23 C 2 n li C 1 u 1 —p zi2 4 C 2 u 2 *i4 C i - *2 4 C 2 2 24 i?2 « 14 C 1 *14 C 1»1 2 2 4 C 3 V 3 ‘14 '•24 ^2 2\ 2 24 C 2 - «g Denkt man sich die Werthe v lt u 2 , v 2 gegeben, so erhält man zunächst: Die Coordinaten jeder Geraden, die durch den Schnittpunkt der Geraden T x und T 2 geht, werden nach den Formeln berechnet: m x u j l \ u \ ' 2"2 m i -+- m 2 m { -P m 2 Denkt man sich ferner die Gleichungen von T x und T 2 in der Form T x = u x x -p v x y — 1 = 0, y 2 = u 2 x -p v 2 y — 1 = o> und hat man für zwei Gerade des Büschels T x , T 2 die Coordinaten nach den Formeln abgeleitet m 1 s“i -P «1 3 V \ «2 3»2 «13 -P > 2 Q — «2 3 3 «13 + «2 3 m 14«! -P «24 W 2 «14 W 1 -F «2 4^2 «14 -P II -*♦< 1 § «14 -P «2 4 ' 2 das Doppelverhältniss der Geraden T x T 2 T 3 § 6. Projective Strahlbüschel und Punktreihen. 4i (r> r 2 t, rj = v 4 die Gleichungen wie man sofort erkennt, wenn man mit Hülfe von u 3 , v 3 , bildet T 3 = u 3 x 4 - v 3 y — 1 = 0, T 4 ss u 4 x 4 - v 4 y — 1=0. 4. Ist das Doppelverhältniss von vier Geraden T X T 2 T 3 T 4 gleich der negativen Einheit, so ist sin T x T 3 sin T 3 T 2 sin 7\ 7\ sin T 4 7\ ’ T 3 und 7\ theilen also dann den Winkel T X T 2 und den Nebenwinkel in demselben Sinusverhältniss; die Geraden T x T 2 T 3 T A heissen dann harmonisch. Sind T x = 0, u x ,v x , u 2 ,v T 2 =0, T 3 sss n x T x 4 - n 2 I\ = 0 die Gleichungen oder <2^2 .3 die Coordinaten dreier m x 4 - m 2 ' 0 m x 4 - m 2 Geraden, so sind daher die Gleichung, bez. die Coordinaten der vierten harmonisch zugeordneten Geraden T 4 = n x T x — #2 T a = 0, bez. w. Ui — nuu 2 M 2 m x u x — m 2 u 2 Ist (T X T 2 T 3 T 4 ) = so sieht man sofort, dass auch 1. {T X T 2 T 4 T 3 ) = 2. (T 2 T x T 3 T 4 ) = 3. sin T x T 3 sin T 3 T 2 sin T x 7\ sin T 4 T 2 sin T 2 T 3 sin T 3 T x {T 3 T x T x T 2 ) = - nT ^^- v 6 * 1 “ sin T x T 4 sin T x 7\ sin T 4 T 2 sin T x T 3 sin T.> T, — 1 i sin T 2 T 4 sin 7\ T x sin T 3 T 2 sin T 2 7' i = — 1 . T 3 T 4 zu achten t,t 4 Aus diesen vier Formeln folgt, dass man bei der Angabe, vier Strahlen eines Büschels seien harmonisch, nicht auf die Anordnung der vier Strahlen, sondern nur auf ihre Eintheilung in zwei Paare T X T 2 und hat; man sagt daher zweckmässiger: Die Strahlenpaare T X T 2 und sind harmonisch. Dabei ist es gleichgültig, in welcher Reihenfolge man die beiden Paare aufzählt und wie man die Strahlen jedes Paares anordnet. 5. Unter dem Doppelverhältniss von vier Punkten P x P 2 P 3 P X einer Geraden, symbolisch bezeichnet durch {P X P 2 P 3 P 4 ), versteht man den Quotienten (W s ^.) = tf Sind x !, y x ; x 2 ,y 2 ; m 13*1 H- ?n^ 3 ^2 y% -h^2 3i'2 m x3 4- 7»2 3 ^13 ™ 2 3 m xi x x + m 24 x 2 yi m x 4 y x - J rm 2 i y 2 m X4 + ^2 4 m l4 4- m 2 4 die Coordinaten der vier Punkte, so ist ihr Doppelverhältniss (P x P 2 P 3 J\) = ‘23 *13 1. 42 Analytische Geometrie. Nach § 5, 18 besteht, wenn I\ = 0 P 2 = 0, _P = 0 Gleichungen dreier Punkte einer Geraden sind, zwischen den Polynomien P x , I\, P eine Identität von der Form )iP+ jxj P x + 1 ^ 2/3 = 0. Es ist also pP=s — Pi-^i ~ V-aP*> oder die Gleichung von P: P==V X P X + = 0 , wenn man — (Xj : p. und —fji 2 : fx durch v, und v, bezeichnet. Ist nun so ist P j = Af x U -{- j V -|- (2 1 , P 2 = 11 -p N 2 V -p Q 2 > ä (v l M l + v 2 t)/ 2 ) u (y x N x -P v 2 -^ 2 ) v + ( v iöi ~P Die Coordinaten der Punkte P x , P 2 Mj öi *1 = - Tr > y 1 = — und ^ 1 . Öl ’ h* 2^2 und /* sind daher _ M 2 x 2 — n ’ y 2 1 2 Ö 2" t 2 J'=- HÖ, v,^ * 2 Ö v 2 iV DÖi v i < 2iJ'i v 2 Ö 2 v 2 ö 2.Z 2 V,Ö1 2Ö2 v.öi 2Ö2 2 . Das Theilverhältniss P X P\PP 2 ist somit: P\P n ^Qi pp. 2 ”i< 2 i' P i aus den Gleichungen der Hat man nun die Gleichungen der Punkte P 3 , Punkte P x , P 2 nach den Formeln abgeleitet P% = 111 $P X “P «2 3"^*2 == ^' Pi **t \P X “P **2 4^2 === ^» so ist das Doppelverhältniss der vier Punkte nach I. und 2. «, 3. p, p* p t ) = *2 3 *1 3 *2 4 *14 «13 n j Die beiden Punktpaare P x P 2 und P 3 P 4 heissen harmonisch, wenn das Doppelverhältniss {P x P 2 P 3 P A ) — — 1 ; es ist dann, wie man sofort durch Bildung der Doppelverhältnisse sich überzeugt, auch (A P% Pi Pi) = ( p a Px P3 Pi) = {P, P x P 4 P 3 ) = (P 3 P, P x P s ) = (P 3 P, P 2 P x ) = (P, P 3 P x P a ) = (P t P a P a P t ) = -l. Sind die Gleichungen eines Punktpaares P x = 0, P t = 0, und die Gleichungen eines anderen P 3 =n x P x + n 2 P 3 =0, P i ^n x P x — « 2 / > 2 =0, so sind die Paare harmonisch. Sind zwei Punktpaare harmonisch, so theilt jedes Paar die Strecke des andern innen und aussen in numerisch gleichem Verhältnisse, denn aus (M. 368.) AP* . PxPi folgt: P*P* PxP* Zu drei Punkten P x> P 2 , P 3 PJ\ P 3 P 2 = — (P\Pi : PiP*)- einer Geraden kann man den vierten harmonischen finden, indem man durch P 3 und P 2 zwei Parallele P 3 A und P 2 B zieht, CA = AB macht, und hierauf durch A eine Parallele zu CP 2 zieht; diese schneidet P X P 2 in dem gesuchten Punkte P i . Denn man hat P 1 P 3 ■ P*P* = P\A : AB = P X A : CA = — P X A :AC= — P x P t : P i P i . § 6. Projective Strahlbüschel und Punktreihen. 43 Verbindet man P v P 2 , P 3 , P A (No. 5) mit einem Punkte P 0 , der nicht auf derselben Geraden liegt, so sind die Gleichungen der Geraden P 0 P x und ^0 -^2 X y i 1 X Xq y o i = in o = X x t y i i I X der Geraden und P g X y i X y x 0 y 0 i = 0 , Xq y 0 x 3 ys i *4 y 4 y i I II Jo 1=0. 2 J'S 1 I = 0 . Setzt man hier die Werthe von x 3 , y 3 , ,x 4 , y 4 ein und multiplicirt dann die letzte Zeile jeder Determinante mit m 13 -\-m 23 , bez. m x 4 + m 24 , so lassen sich diese beiden Gleichungen in der Form schreiben: T 3 — m x3 T x T a = 0, *14 ^ 1 T, = 0. Das Doppelverhältniss der vier Geraden ist also 711 ^ 2 4 (T x t 2 t 3 r 4 ) = *2 3 *13 ***13 ***14 gleich dem der Punkte P x P 2 P 3 P A . Wir haben folglich somit: Werden vier Strahlen eines Büschels von einer Geraden geschnitten, so ist das Doppelverhältniss der vier Strahlen gleich dem Doppelverhältniss der vier auf ihnen liegenden Schnittpunkte. Insbesondere werden also vier harmonische Strahlen von jeder Geraden in vier harmonischen Punkten geschnitten, und vier harmonische Punkte von jedem Punkte aus durch vier harmonische Strahlen projicirt. 7. Das vollständige Vierseit. Unter einem vollständigen Vierseit versteht man die Figur, welche von vier Geraden einer Ebene gebildet wird, von denen nicht drei durch einen Punkt gehen. Diese vier Geraden T t T 2 1\ T A heissen die Seiten des Vierseits; sie schneiden sich in sechs Punkten, den Ecken des Vierseits. Der Schnittpunkt von Ti und Z* wird passend mit An bezeichnet, so dass die Ecken des Vierecks sind A X2 , Je drei Ecken haben einen Index gemein; diese liegen auf der Seite, die denselben Index hat. Aus den sechs Ecken lassen sich drei Paare bilden, so dass die Punkte eines Paares keinen gemeinsamen Index haben, nämlich die Paare A l2 und A 3i ; A X3 und A 2i ; A xi und A 23 \ die drei Verbindungsgeraden der Punkte jedes Paares sind von den Seiten des Vierseits verschieden und heissen die Diagonalen des Vierseits. Die vier Seiten und die drei Diagonalen bilden das vollständige System der Geraden, welche je zwei Ecken des Vierseits verbinden. *^ 13 > ^14 A. 24 > (M. 36«.) 44 Analytische Geometrie. Wir wollen die Diagonale A l 2 A 3i mit 2 1; A l 3 A 2i mit 2 2 , A U A 23 mit 2 S bezeichnen. Sind T x = 0, T 2 = 0, 7\ = 0, T 4 = 0, 2, = 0, 2 2 = 0, 2 3 =0die Gleichungen der Seiten und Diagonalen des vollständigen Vierseits, so lässt sich 2 lf da diese Gerade durch A 12 geht, in der Form darstellen 1. 2 3 ss a l T 1 -F a 2 r 2 — 0. Da ferner 2 1 durch A 3i geht, so lässt sich 2j auch in der Form darstellen: 2. 2j = a 3 T 3 -f a 4 7\ = 0. Aus 1. und 2. folgt die Identität a \I\ -F ^ a 3^3 "F woraus sich weiter ergiebt 3. a \T x —— ci 2 r T 2 . Die Gleichung a^T x — a 3 T 3 =0 ist die Gleichung einer Geraden, die durch A 13 geht; a 4 T i — a 2 T 2 = 0 ist die Gleichung einer Geraden, die durch A 24 geht; nach 3. sind diese Geraden identisch, also ist a 17 \ a 3T 3 ^ a 4 T 4 0 2 T’j = 0 die Gleichung der Geraden A 13 A 2i , d. i. der Diagonale 2 2 ; es ist also 4. % 2 ^a x T x —a 3 T 3 ==a 4 T 4 —a 2 T 2 . Aus der Identität 3. folgt ferner 5. a \T\ ß 4^4^ a 3^3 2- Nun sind a x T x — d 4 T 4 =0 bez. a 3 T 3 — a 2 T 2 =0 die Gleichungen zweier Geraden, deren erste durch A lv die andere durch A 23 geht; da nach 5. diese Geraden identisch sind, so fallen sie mit der Geraden A xi A 23 zusammen; also ist die Gleichung dieser Diagonale 6. S 3 s=a 1 T 1 —a i T i =a 3 T 3 —a a T 2 =0. Aus 1., 4. und 6. folgt: 7. 2i— 22 = 0272 - 1 -^ 3 ^ 3 ; 8. 2i -F 22 = ci\T\ -t- ciiTi 9. 2i — 23 ^ ^27*2 -F a Gm besteht, die je zwei von den vier Punkten verbinden. Die vier Punkte P heissen die Ecken, die sechs Geraden G die Seiten des vollständigen Vierecks. Je drei von den sechs Seiten haben einen Index gemein (z. B. Gy2 G a Gu)', diese gehen durch den Eckpunkt, der den gemeinsamen Index hat. Die Seiten lassen sich zu drei Paaren so ordnen, dass die Seiten jedes Paares keinen Index gemein haben; diese drei Paare sind Gu und Gm ; Gu und Gm ; Gu und G-i 3; je zwei solcher Seiten heissen gegenüberliegende Seiten des Vierecks. Die drei Schnittpunkte je zweier gegenüberliegenden Seiten, die der Reihe nach mit Sßi, ^2, ^3 bezeichnet werden sollen, fallen mit Ecken des Vierecks nicht zusammen; man bezeichnet sie als die Diagonalpunkte des Vierecks. Die vier Eckpunkte und die drei Diagonalpunkte bilden das vollständige System der Schnittpunkte der sechs Seiten des Vierecks. Da sowol auf ZJ 7h als auf 7h P\ liegt, so lässt sich in der Gleichung dieses Punktes = 0 das Trinom Sßi sowol aus den Trinomen Zj und P>, als aus 7h und Pt, linear ableiten, und man hat 1 ■ iPi = a\P\ -+- a-2P 2 = «37h 4- a 4 7h = 0. Aus dieser Identität folgt die weitere a\P\ — «gTh ^ a \Pi — a>P>- Die beiden Gleichungen aiJ\ — a^P?, = 0 und rz.jT’i — (I 2 P 2 = 0 bedeuten also dasselbe; da nun die erste die Gleichung eines Punktes auf J\ P :t , die (M. 371.) 46 Analytische Geometrie. zweite die eines Punktes auf PrP\ ist, so sind also die Gleichungen zwei verschiedene Formen der Gleichung des auf den Geraden G \3 und £24 gelegenen Diagonalpunktes üß 2 > und man hat 2 . tyi = = a\I\ — — 0 . Aus 1. folgt weiter die Identität a\P\ — « 4/4 = a 3 P 3 — ( 12 P 1 . Die Gleichung 3. 5ßs = — « 4/4 = a 3 Pi — (i-iP-i — 0 ist also die Gleichung des auf P\P± und P 3 P 2 gelegenen Diagonalpunktes SPa- Aus 1., 2. und 3. ergeben sich weiter die Identitäten 4. iPi + iß 2 = 'J'47i-h äjjPj ; 5. Sßi — Sp 2 = aiP-i -+- a 3 P %; G. ißt + ip3 ^ a\P l + a%I\\ 7 . SPi — iß?, = a-iP-i -t- «4/4; 8. ip 2 + ^3 = a\P \— aiP-ii 9- ^2 — 5ßs = «4/^ — a 3 P 3 . Nach No. 5. sind die dreimal vier Punkte «0 ?1 = 0,

, P 3 drei Punkte einer Geraden, P\, P 2 , P% drei Punkte einer andern Geraden, und ordnet man in den Büscheln und Geraden die Strahlen und Punkte 7\7", 1\P' einander zu, für welche die Doppelverhältnisse gleich sind (Ti Ti T s T) = (T{T?T.iT) = (Ti P- 2 P, P) = {PjPlPjP'), so nennt man die Büschel und Punktreihen projectiv (oder projectiviscli, collinear, homographisch). Die zugeordneten Strahlen und Punkte werden auch entsprechende, insbesonders projectiv entsprechende Elemente der Gebilde genannt, und die projective Verwandtschaft der Strahlenbüschel und Punktreihen, sowie das Entsprechen der einzelnen Strahlen und Punkte durch das Zeichen 7 ^ ausgedrückt. Man schreibt also TiTiTsT...^ TiTi'T%T' . . ^ P t P 2 P 3 P. . ^ P^P-JP^F, sowie Pys. P' 7 K PyK P'■ Aus der Definition folgt ohne Weiteres die Bemerkung: Sind zwei Strahlbüschel oder Punktreihen mit demselben Strahlbüschel oder derselben Punktreihe projectiv, so sind sie unter einander projectiv. In Rücksicht auf No. G folgt ferner: Ein Strahlbüschel 7\ Ti T 3 T 4 Tr, 7« . . . und ein geradliniger Querschnitt desselben P\ 7\ 7\ P\ 7\ J\, . . . sind projectiv, § 6. Projective Strahlbüschel und Punktreihen. 47 und zwar entspricht jedem Strahl des Büschels der auf ihm liegende Punkt des Büschelquerschnitts, T, j 7 ^ P\, Tr, ^ /}„ Tb 7^; Tb, . . . Denn wenn T irgend einen Strahl des Büschels und den darauf liegenden Punkt tr/fTTE des Querschnitts bezeichnen, so ist (Ti T 2 T 3 T) = (Z\ P-i P % P). Ferner folgt: Zwei Querschnitte desselben Büschels sind projectiv und zwar entsprechen sich je zwei Punkte, die auf demselben Strahle liegen, Pi 7\ Pi i Pu 7 ^ P-;, Pf, 7\ Pf,', ■ ■ ■ CM. 372.) Zwei Büschel sind projectiv, deren entsprechende Strahlen sich in Punkten einer Geraden schneiden; Tb 7 ^ TV, Ts^Ty, . . . Ferner folgt aus der Definition, dass auch T\T\ P\Pu TiT-i PiP-i', T 3 T 3 P 3 P 1 ' als entsprechende Elemente zu bezeichnen sind. Denn-es ist, wie sich aus der Definition des Doppelverhältnisses für Strahlen und Punktreihen ergiebt (Ti Ti T z Ti) = (Ti'TVTVTi') = (J\ P 2 7], Z>,) = (zyzyzyzy) = <*,, (M. 373.) man hat nämlich z. B. sin T\T$ _ sin TiTi sin TyT% _ 0 (T\ Ti T % Ti) = sin T,,Ti ' sin T\Ti sin T 3 T 2 ’ sin l'i'i'i Ferner findet sich (T\ Ti Tj, Ti) = (7i Ti T y Ti) = (Z\ P 2 P, Pi) = (Pi'PjPiPj) = 0 (T\ Ti Tg Ts) = (TV TV TV TV) = (Ti P 2 I\ Ti) = (zyzyzyzy) = 1. 10. Sind T?i = 0, R 2 = 0 die Gleichungen zweier Strahlen eines Büschels oder zweier Punkte einer Geraden, so ist die Gleichung eines dritten Strahls desselben Büschels bez. eines dritten Punktes derselben Geraden R 2 s a y R\ -P a 2 R-i = 0, und die Gleichung jedes weiteren Strahls oder Punktes kann bei geeigneter Wahl der Coefficienten n \, «2 in der Form geschrieben werden -p maiRi = 0. Das Doppelverhältniss der vier Elemente ist a 2 n 2 a 2 (R.PiP-iP) ci\ n y ai Sind nun Ri = 0, R 2 = 0, R 3 = b\R\ -P b 2 R 2 = 0 die Gleichungen der entsprechenden Strahlen oder Punkte eines projectiven Büschels oder einer pro- jectiven Punktreihe, so entspricht dem Elemente R das Element R', dessen Gleichung ist R’ 3 = nyb\R\ -P n-ibiRi = 0 ; bi n-ib- (RtRiRsR). (RSRJRs’R’) bi ' nih denn es ist 11. Sind R§ RaRqRs vier Strahlen des Büschels R y R 2 R>, bez. vier Punkte der Geraden R\RiR 2 , und R$ R§ RjR% die entsprechenden Elemente des Büschels bez. der Geraden R y R{Ri, und hat man 4 8 Analytische Geometrie. 1. R 5 nv 0 a\R\ -+- n^ga->R-, 2 . R( t s= + n-i(,a-iR‘2 3. Ri = nyja\R\ -+- nyia-iR-i 4 . Rg = »i8«i A4 -4- n^aiR-i 5. ifs' b== n\gb\R\ 4- n^gb-iR^ G. A’b' = « 16^1 R\ 4 - n^&b-iR-i 7 . R’i ^riYib\R\ 4 - n-iibiRi 8. R% = nigbiRi T- n-z&b-iR-i , so kann man zunächst aus 1. und 2. R{ und /GdurthÄj undÄ’« ausdriicken. Man erhält A'i 9. _«26 f Rr, «25 -Rg, P«1 \ia-2 JA CI} | J - = »15 »26 — «25 »16 • 10. Ebenso erhält man aus 5. und G. R\ und R-i durch Rg und Rg ausgedriickt: 11 1 _ *26 „ , »25 „ , Ä1 = Jh**-Jh*« W ‘ 5 AV. [1^2 (J-^2 Setzt man die Werthe 9. in die Formeln 3. und 4., sowie die Werthe 10. in die Formeln 7. und 8. ein, so erhält man nach einigen Umstellungen die Trinome Ri und Rg durch Rg und Rg, sowie die Trinome Ri' und R$ durch Rg' und Rg in folgender Weise ausgedrückt: «17 «20 — «27 »IG 11 . 12 . Ri • AV Rl':- R»’> R\ »18 » 2 G — «28 «16 P «17 »26 — »27 »IG P «18 «26 — «28 «16 1* 5 ■ R 5 Rr; Rr' «27 «15 »17 «25 «28 »15 — «18 »25 Rg Re, »27 »15 — «17 »25 P «28 «15 — «18 «25 P Rg, Rg'. Das Doppelverhältniss der vier Elemente Rg Rg Ri Rg ergiebt sich aus den Formeln 11. zu: (Rr R R R 1 = Wl8 ” 26 — «28«16 . «28«15 — «18«25 j «17 «26 — «27 »IG " «27 «15 — »17 »25 Dasselbe ergiebt sich für das Doppelverhältniss der entsprechenden vier Elemente Rg Rg Ri Rg . Wir haben daher (RgRgRiRs) = (Rg'Rg’Ri'Rg’), oder den Satz: In zwei projectiven Strahlbüscheln oder Punktreihen ist das Doppelverhältniss von je vier Elementen des einen Gebildes gleich dem Doppelverhältniss der entsprechenden vier Elemente des andern Gebildes. Insbesondere entsprechen vier harmonische Elemente des einen vier harmonischen des andern Gebildes. 12. Wenn bei zwei concentrischen projectiven Büscheln oder zwei auf derselben Geraden liegenden projectiven Punktreihen drei Paare entsprechender Strahlen oder entsprechender Punkte sich decken, so decken sich die Büschel bez. die Punktreihen, d. h. je zwei entsprechende Strahlen der beiden Büschel bez. je zwei entsprechende Punkte der beiden Punktreihen liegen aufeinander. Beweis. Decken sich die entsprechenden Elemente R, und R/, R k und Rt, Ri und R /, so decken sich auch je zwei Elemente R und R\ für welche die Gleichheit der Doppelverhältnisse besteht: 1 • (Ri Rk R 1 R) = (R/Rk'R/R). § 6. Projective Strahlbüschel und Punktreihen. 49 Da nun nach vorigem Satze dem Elemente R dasjenige Element des andern Gebildes (Büschels oder Punktreihe) entspricht, für welche die Gleichung 1. besteht, so folgt, dass R und R' entsprechend sind. 13. Wenn bei zwei auf verschiedenen Geraden derselben Ebene liegenden projectiven Punktreihen der Schnittpunkt der beiden Geraden sich selbst entspricht, so sind die Punktreihen perspectiv, d. h. die Verbindungsgeraden je zweier entsprechenden Punkte schneiden sich in einem Punkte (der als das gemeinsame Projectionscentrum beider Geraden bezeichnet wird). Beweis. Bezeichnet man den Schnittpunkt der beiden Geraden mit P x , sofern er der einen Punktreihe, und mit P x , sofern er der andern r P. und P,' 7K so ziehe man P 2 P 2 angehört, noch die und 3 . Verbindet man nun den Schnittpunkt C dieser und entsprechen sich Paare P 2 ^ P 2 ', P. Geraden mit einem Punkte P' der einen Reihe, so durchschneidet dieser Strahl die andere Reihe in einem Punkte P, für welchen (P 1 P i P 3 P) = (P x 'P 2 P.JP'), also sind in der That /"und P' entsprechende Punkte. Wenn bei zwei projectiven Büscheln die Verbindungsgerade der beiden Träger d. i. der Punkte, durch welche sämmtliche Strahlen jedes Büschels gehen, sich selbst entspricht, so sind die Büschel perspectiv, d. h. die Schnittpunkte je zweier ent- sprechenderStr ah len liegen auf einer Geraden. Beweis. Bezeichnet man den Strahl, welcher die Träger C und C\ verbindet, mit T x , sofern er dem einen, und mit T x ', sofern er dem andern Büschel angehört, verbindet man ferner durch die Gerade F die Schnittpunkte zweier Paare entsprechender Strahlen T 2 und T 2 ', T 3 und T s \ und zieht in beiden Büscheln irgend zwei Strahlen T und T ', die sich auf F schneiden, so ist (T/PAA) = T x 'TAA"h also sind T und T' entsprechende Strahlen der beiden Büschel. 14. Die mitgetheilten Sätze geben uns die Mittel, zwei Schlokmilch, Handbuch der Mathematik. (M. 374.) (M. 375.) (M. 376.) Bd. II. r' 5° Analytische Geometrie. projective Punktreihen oder Strahlbüschel zu ergänzen, d. h. wenn von zwei projectiven Punktreihen oder Strahlbüscheln drei Paare entsprechender Elemente gegeben sind, zu jedem Elemente des einen Gebildes das entsprechende Element des anderen zu finden. Enthalten die Geraden P und F' zwei projective Punktreihen, und entsprechen sich die Punkte P t P 2 P 3 7 ^ P l 'P 2 'P 3 ', so nehme man auf der Geraden P{P X ’ zwei Punkte A und B an, ziehe von A aus Strahlen durch P 2 und P 3 , sowie von B aus Strahlen nach P 2 und P 3 ' und verbinde Q 2 mit 0 3 durch eine Gerade G. Zieht man nun AP, durchschneidet hiermit G im Punkte 0, und zieht QB, so ist P' der P entsprechende Punkt; denn es ist y\P 2 P % P) = (0102030 = (P.'Pt'Ps’n- Entsprechen sich in den Büscheln C und C' die Strahlenpaare 'T' r P r T _ T' t 'T' 1 T ' J 1 J 2 J 3 7K 1 \ 1 2 M 3 ’ ■so lege man durch den Schnittpunkt zweier entsprechenden Strahlen 7\ und T 1 ' zwei Gerade A und B und ziehe die Geraden Q 2 , 0 3 , welche die Schnittpunkte von A und B mit je zwei entsprechenden Strahlen T 2 , T 2 und T 3 , T 3 verbinden. Um den Strahl T' zu erhalten, der T entspricht, lege man durch den Schnitt- j,, punkt D von Q 2 und 0 :j einen Strahl 3 0, der T auf A trifft, und ziehe den jj Strahl durch C 1 , der 0 auf B trifft. Dies ist der gesuchte Strahl T', denn man hat {T.T^T) = ( 0 J 000 = (zyzyzyr). Durch geschickte Wahl der hierbei verwendeten Punktreihen und Strahlbüschel kann man diese Constructionen erheblich vereinfachen. Nimmt man bei der Ergänzung zweier projectiven Punkt- die Punkte A und B die Schnittpunkte von (M. 377.) reihen P,P 2 P 3 ^ P,'P 2 'P, P X P X ’ mit und P 3 P 3 für , so fällt 02 m ' t -^Y unf l 03 mit P 3 , also G mit P 2 P 3 zusammen. Um jetzt zwei entsprechende Punkte der beiden Reihen zu erhalten, hat man von A und B aus die Punkte der P ' P ' •^1 -^8 Geraden P 2 'P 3 zu projiciren. (M. 378.) auf P\P 3 bez. Fügt man zu den fünf Geraden F, F', P 2 P y ' P 2 P 2 , P 3 P 3 noch die variable Gerade PP', so erhält man das Sechseck ABP 3 PPP 2 , in welchem A und P, B und P', P 3 und P 2 gegenüberliegende Ecken sind; die Verbindungsgeraden dieser Gegenecken treffen sich in demselben Punkte. Wir erkennen leicht umgekehrt: Wenn von einem Sechsecke vier aufeinander folgende § 6. Projcctive Strahlbüschel und Punktreihen. 51 AP % 7^ BP, Ecken (P 2 ’ABP 2 ) und die Richtungen der Seiten T und f gegeben sind, auf welchen die fünfte und sechste Ecke liegen, und wenn die sechste Seite dieses Sechsecks sich so bewegt, dass die drei Diagonalen, die je zwei Gegenecken verbinden, durch denselben Punkt gehen, so sind die Reihen der fünften und sechsten Eckpunkte projectiv; dabei entsprechen sich P 1 und /*/, P 2 und P 2 ', P 3 und P 3 '. Denn wenn die sechste Seite PP des Sechsecks sich bewegt, die andern Seiten aber unverändert bleiben, so ändert sich die Diagonale P S P 2 ' nicht und die Diagonalen AP und BP' beschreiben Strahlenbüschel mit den Trägem A und B. Da je zwei demselben Sechseck zugehörige Strahlen dieser beiden Büschel sich auf P % P 2 schneiden, so sind diese Büschel und mithin auch die Reihen der Punkte P und der Punkte P' projectiv. In den perspectiven Büscheln A und B ist AP 1 7^ BP X ', AP 2 y^BPJ, zu den projectiven Reihen der fünften und sechsten Eckpunkte des Sechsecks gehören also die Punktpaare P lt P 2 , P % 7^ P t ', P 2 , / > 3 '. Ein Sechseck, dessen Diagonalen zwischen Gegenecken sich in einem Punkte treffen, heisst ein BrtiANCHON’sches Sechseck. Zur Ergänzung der projectiven Strahlenbüschel C und C’ legen wir die Geraden A und B durch die Punkte und T 2 T 2 \ dann fallen die Gerade Q 2 und Q s mit 7 ' 2 und Zy zusammen. Um zwei entsprechende Strahlen T und T' der beiden Büschel zu erhalten, haben wir daher den Schnittpunkt D von T 2 und T 3 1 aufzusuchen, durch D einen Strahl zu legen und die Schnittpunkte dieses Strahles mit A und B von den Trägern C und C' aus zu projiciren. Die Geraden A, B, T 2 , T, T', T. ; ' bilden ein Sechseck, in welchem den F Seiten A, B, T % der Reihe nach die Seiten T, T', T % ' gegenüber liegen; die Schnittpunkte je zweier Gegenseiten liegen auf einer Geraden, nämlich auf dem durch D gezogenen variabeln Strahle. Umgekehrt: Wenn fünfEcken eines Sechseckes unverändert bleiben und die sechste sich so bewegt, dass die gegenüberliegenden Seiten des Sechsecks sich auf Punkten einer Geraden schneiden, so beschreiben die beiden veränderlichen Seiten des Sechsecks zwei projective Strahlbüschel, in welchem sich die Strahlen entsprechen, die nach den drei festen Ecken gehen, welche nicht Träger der beiden Büschel sind. Denn wenn die Ecken C, E, F, G, C\ gegeben sind, so ist auch der Schnittpunkt D der gegenüberliegenden Seiten CE und GC l gegeben; die veränderliche Gerade, auf welcher die drei Schnittpunkte je zweier Gegenseiten liegen, geht somit durch D. Die beiden variabeln Seiten T und T' des Sechsecks projiciren (M. 379.) 4 52 Analytische Geometrie. daher die beiden projectiven Punktreihen, welche von dem Strahlenbüschel D auf A und B ausgeschnitten werden. Ein Sechseck, dessen Gegenseiten sich in Punkten einer Geraden schneiden, heisst ein Pascal’ sches Sechseck. 15. Aus der Gleichheit der Doppelverhältnisse bei zwei projectiven Punktreihen l\ ixft . P,P t ' _ pp, Pi'P* . p 3 'p 2 ' ■ pp 2 ' folgt, wenn man den Quotienten P\P$ . Px'Pt P 3 P* Pi p i VI R Ä (M. 380.) mit 1 . bezeichnet, die Gleichung P X P P X 'P PP, P'P, die ebenfalls zur Definition der projectiven Verwandtschaft benutzt werden kann. Aus 1. lässt sich ein bemerkens- werther Zusammenhang der Strecken ableiten, um welche die entsprechenden Punkte P und P' von irgend zwei festen Punkten Q und R der beiden Geraden abstehen. Setzt man nämlich QP x =a, QP 2 = b\ RP x ’—a', RP 2 = b'\ QP=l, PP' = X'; so hat man P X P= X — a, PP 2 =b — \\ P x 'P’ = V — a', P P 2 = b' — X’; daher geht 1. über in (X — a) (// — X') = v (X' — a') (b — X). Multiplicirt und ordnet man, so entsteht hieraus: 2. (1 — v) XX' -+- ( b' — va’) X -+- (a — Z>v) X' — (ab' — va'b) --- 0, also eine für jede einzelne Länge X und X' lineare Gleichung von allgemeinster Form. Man nann diesen Satz auch umkehren: Wenn die Abstände entsprechender Punkte zweier Punktreihen von zwei festen Punkten beider Reihen einer Gleichung der Form genügen; 3. aXX' + ßX + 7 X' -|-8 = 0, so sind die Punktreihen projectiv. Sind zunächst PP X ' = P x und P x zwei entsprechende Punkte, und setzt man QP X = s, PP X = e 1 , so erfüllen e und e' die Gleichung 3., man hat also 4. P 3 P 3 erhält man § 6. Projective Strahlbüschel und Punktreihen. 53 9. 1 : p' 1 : P 1 : P 2 ' 1 : : P 2 1 :p 3 ' 1 : :p 3 = 0. Subtrahirt man die zweite Zeile von der ersten und die dritte von der zweiten, so ändert sich der Werth der Determinante nicht; man erhält 10 . 0, 0, 1, _ 1 _ I*' 1 9*2 J_ p 3 ' Pä’ p j_ p2 P3 _1_ p2 J_ Pa = 0, und dies führt endlich zu der Gleichung: 12 . Pa 13. P 2 — P P 3 — P 2 P2 P P 3 P 2 P Pa P Pa' Da nun p = B X P, p 2 = = P\P,> Pa = p x p r , ,P= /V = P\ P% ', so folgt: (jt 2 — P = PP, , Pa — P 2 = F2F3 > p2* = P 2 'P $ ', und 12. geht über in PF,' P,P, PP, P,'P,' P t 'F ' P 1 P 3 ~ P X P ' P X P%' P.P. P,P P'P' PJP Hieraus folgt: 2 • PP, ~ P,'P,' ‘ PP,' ' p2 oder p,' = A'A', - p * = pp,', also sind in der That die beiden Punktreihen projectiv. 16. Aehnliche Betrachtungen lassen sich bei projectiven Büscheln durchfuhren. Man wähle in den beiden Büscheln zwei beliebige Strahlen (Nullstrahlen) M und N und ■&- lege Gerade A und B normal zu Mund N. Man kann At. 381.) den positiven Sinn von A und B immer so wählen, dass auch bezüglich der Vorzeichen für alle Geraden beider Büschel die Formeln gelten: QP PP tang MT = , tang NT = lang , setzt man QP— X, RP' = X', CQ = m, C'R — n, MT = die Punktreihen P x P 2 P ;> und P 1 Q 2 Q 3 sind perspectiv (No. 13) und der Schnittpunkt A der Geraden P 2 Q ‘2 und P 3 Q S ist ihr gemeinsames Projections- centrum. Zieht man nun AG parallel B, so entspricht G dem unendlich fernen Punkte auf B, also auch dem unendlich fernen der Reihe P i 'P,,'P % '; zieht man ferner AJ parallel I\P \, so trifft AJ die Gerade 1\ P- x in einem unendlich fernen Punkte, J ist also der Punkt der Reihe B, welcher dem unendlich fernen Punkte der Reihe P X P 2 P Z entspricht; macht man nun P X 'H — P X J, so ist H der Gegenpunkt der Reihe P X P^P. X . Nach No. 17 hat man für je zwei entsprechende Punkte 1- GP ■ HF = GP X ■ H TV, oder GP{GP' — GH) == GP 1 ■ HP X '. Ist nun II ein Doppelpunkt beider projectiven Reihen, d. i. ein Punkt, der mit dem ihm entsprechenden zusammenfällt, so gilt für denselben die Gleichung: CII (GII— GIP) = GP x • HP X , woraus folgt 2- (GH— \GH)* = GP X ■ HP X ' -t- \GIF. Ist AI die Mitte von GH, so ist GAI — AIII — \GII\ ist ferner P ü ' der Punkt der Reihe P^P^P^ . . ., welcher dem Punkte M, als Punkt der Reihe P\P 3 betrachtet, entspricht (man findet indem man MA zieht und (M. 382.) § 6. Projective Strahlbüschel und Punktreihen. 57 P,'P„' = P,Q 0 macht), so ist GP 1 ■ HP,' = GM - HP 0 ' = MH - HP 0 '\ man hat daher aus 2.: 3 . (£11 — GM) 2 = MH{MH -+- HP 0 '). Setzt man hier MW für £11 — GM, und MP,,' für MH -+- HP„', so hat man schliesslich 4 . MW 2 = MH ■ MP 0 '. Die Gleichung wird durch keinen realen Werth von MW erfüllt, wenn das Produkt MH • MP„' ein negatives Zeichen hat, d. i. wenn II und P a ' auf verschiedenen Seiten von M liegen. Finden sich P 0 ' und H auf derselben Seite von M, so construire man das geometrische Mittel aus MH und MP 0 ' (indem man über MH einen Halbkreis construirt, und in P 0 ' ein Loth zu HM bis an den Halbkreis errichtet); die Strecke MR trage man von M aus nach beiden Seiten auf der Geraden ab; dann sind II t und II 2 die gesuchten Doppelpunkte. Wie man sieht, haben die Strecke zwischen den Gegenpunkten und die Strecke zwischen den Doppelpunkten zweier auf einander liegenden projectiven Punktreihen eine gemeinsame Mitte. 20. Zwei auf einander liegende projective Strahlbüschel, d. i. zwei Strahlbüschel mit gemeinsamem Träger, schneide man durch eine Gerade A\ diese Gerade wird von den entsprechenden Strahlen der beiden Büschel in entsprechenden Punkten zweier auf einander liegenden projectiven Punktreihen getroffen. Haben die Strahlbüschel Doppelstrahlen, d. i. zusammenfallende entsprechende Strahlen, so haben die Punktreihen Doppelpunkte, und durch die Doppelpunkte der beiden Reihen gehen die Doppelstrahlen der beiden Büschel. 21. Ist bei zwei auf einander liegenden projectiven Punktreihen das Produkt GP- HP' entgegengesetzt gleich dem Quadrat der Strecke GM, so fallt M mit P 0 ' zusammen und es ist M 11, = W 2 M = 0; die beiden Doppelpunkte fallen also dann mit M zusammen. 22. Liegen die Gegenpunkte zusammen, so ist MH= 0, MP 0 ' = die Gleichung No. 17, 7 vereinfacht sich alsdann zu GP - GP' = GP, • GP,', also für Doppelpunkte II gilt GW 2 — GP, - GP,'. Man sieht hieraus: Wenn bei zwei auf einander liegenden projectiven Punktreihen die Gegenpunkte zusammenfallen, so giebt es zwei oder keine Doppelpunkte, je nachdem zwei entsprechende Punkte auf gleicher Seite des Gegenpunktes liegen oder nicht. Jeder Punkt der Geraden, auf welcher die beiden Punktreihen vereint liegen, ist sowol ein Punkt der Reihe P,P 2 P Z ... als auch der Reihe P, ' P 2 'P\ bezeichnen wir einen Punkt, sofern er zur ersten Reihe gehört, mit Pi und, sofern er zur andern gehört, mit Pk, und sind Pi und Pk die ihnen entsprechenden Punkte, so hat man, wenn die Gegenpunkte zusammenfallen, zunächst GP k ■ GPI = GPi ■ GPi. Da nun GPi = GPk, so folgt, dass auch GPk — GPI. Wir erhalten daher den Satz: Wenn zwei projective Punktreihen so auf einander liegen, dass die Gegenpunkte zusammenfallen, so entspricht jedem Punkte der Geraden ein und derselbe Punkt, gleichgültig, zu welcher der beiden Reihen man den Punkt zählt. Von projectiven Reihen, die derart auf einander liegen, sagt man, dass sie involutorisch liegen und das Punktgebilde, das sie zusammen bilden, heisst eine quadratische Punktinvolution. In gleicher Weise gelangt man zu 5 » Analytische Geometrie. involutorisch liegenden Strahlenbüscheln und erkennt, dass die involuto- rische Lage zweier Strahlenbüschel eintritt, wenn zwei nicht entsprechende Gegenstrahlen zusammenfallen. Mit quadratischen Involutionen werden wir uns im nächsten Abschnitt von einem andern Gesichtspunkte ausgehend beschäftigen. § 7. Die quadratische Punkt- und Strahleninvolution. 1. Denkt man sich die Punkte einer Punktreihe einzeln, unabhängig von einander, so ist über die Punktreihe nichts geometrisch zu bemerken. Ein geometrisches Interesse entsteht erst, indem man zwei solche Punktreihen zu einander in (z. B. projective) Beziehung setzt, indem man jedem Punkte der einen Reihe einen oder mehrere bestimmte Punkte der anderen zuordnet. Man kann nun aber die Punkte einer Geraden auch nach bestimmten Methoden zu zweien (oder dreien etc.) in Gruppen vereinigen; dann wird diese Einordnung in Gruppen einen Gegenstand für geometrische Untersuchungen bilden können. Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P der Geraden von einem festen Nullpunkte Q mit X, so kann man die n Werthe von X, welche den Punkten einer «punktigen Gruppe zugehören, als die Wurzeln einer Gleichung «ten Grades ansehen L -4/^ == P ^ -1— * • — P Mn —1^ “P == 0. Die Werthe X für die Punkte einer zweiten Gruppe seien die Wurzeln der Gleichung 2. ü /2 b ^ H ~P b x ^ ~P * * • ”P —iX ~P === 0. Dann kann man mit Hülfe zweier realer Zahlen r x und r 2 die Gleichung 7 « ten Grades in X bilden 3. r x M x -t- r 2 M 2 = 0. Durch diese Gleichung ist eine neue Gruppe von n Punkten definirt. Um die Gruppen zu erhalten, zu denen ein bestimmter Punkt P 0 gehört, hat man den zugehörigen Werth X 0 in 3. einzusetzen und dann das Verhältnis r i und r 2 zu bestimmen. Bezeichnet man die Werthe, welche die Polynome M x und M 2 annehmen, wenn man statt X darin den bestimmten Werth X 0 setzt, mit M x 0 und M 20 , so entsteht r , M x 0 -f- r 2 M 2 0 = 0, also folgt für das Verhältnis r x : r 2 ein eindeutig bestimmter Werth; man kann nehmen r x = r 2 — — M x ü . Bei dieser Art der Gruppenbildung gehört also jeder Punkt der Geraden nur zu einer Gruppe, und wenn man das Verhältniss r x : r 2 die reale Zahlenreihe durch laufen lässt, so erhält man durch die Gleichung 3. alle Gruppen auf der Geraden. Eine Punktreihe, deren Punkte in dieser Weise in Gruppen von je n Punkten geordnet sind, nennt man eine Involution «ten Grades. Aus dem soeben Mitgetheilten hat man den Satz: Wenn zwei Gruppen einer Involution «ten Grades gegeben sind, so sind auch alle anderen Gruppen bestimmt. Gleichlautendes kann man über Strahlbüschel bemerken. Bezeichnet man mit

4 - b x tang «—i

, tangy 4- b 2 . 3. Wir fragen zunächst nach dem Punkte einer quadratischen Punktinvolution, der mit dem unendlich fernen Punkte der Geraden zusammen ein Paar bildet. Wir haben dazu das Verhältniss r x : r 2 so zu wählen, dass die Gleichung 1. r \M x 4- r %M 2 — 0 eine unendlich grosse Wurzel hat. Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung aX 2 —|— 2 ß X -H y = 0 sind bekanntlich X = IV'-i a 7 a a ' ß 2 ' Entwickelt man den irrationalen Theil, so findet man 1 lA" 1 - «2 1 “T 1 *V 2 ß 2 8 ß 4 16 ß 6 Die folgenden Ausdrücke enthalten höhere Potenzen von a, als die dritte. Hieraus ergiebt sich für die Wurzeln der quadratischen Gleichung ß / ß 1 i 1 a'j' 2 1 a 2 ? 3 A —— — — _1_ 2 ß 8 ß 3 16 ß 5 ■) oder einzeln X’ 1 1 1 «7^ 2 ' "ß 8 ‘ ß 3 X" = — 2ßl I . i «jV a + 2 ' ß + 8 ' ß 3 + ' ' ' Eine dieser Wurzeln, X", wird unendlich gross, wenn a = 0; die andere nimmt dann den Werth (— -j) : 2ß an. Soll also die Gleichung 1. eine unendlich grosse Wurzel haben, so muss der Coefficient von X 2 verschwinden, d. i. es muss die Gleichung gelten 2. r x a 0 4- r 2 b a = 0, aus welcher, da es nur auf das Verhältniss von ankommt, die Werthe gezogen werden können r x = b 0 , r 2 = — a 0 . Durch Benutzung dieser Werthe reducirt sich 1. auf die lineare Gleichung: 3. 2 (a x b 0 — a 0 b x ) X 4 (a^b 0 — a 0 b 2 ) = 0, aus welcher hervorgeht 4 ^ __ a T + r i) 0-2 a a Hieraus folgt der Satz: Das Produkt der Tangenten der Winkel, welche je zwei Strahlen eines Paares einer quadratischen Strahleninvolution mit einer Achse bilden, ist constant. Sind A und A x die Achsen, und ist A die Nulllinie, so ist tang AT = tang{AA 1 + A X T) = tang (90° -t- A 1 7 ~) = — 1 : tang A X T. Setzt man^4 T — i/, A X T — cj/, so ist tangf = ■— 1 : tangif, tangf' = — 1 : tangtf'. Dies in 1. eingesetzt, ergiebt: f ö-rv tang • tang <]/ = —. a % Die Produkte der Tangenten der Winkel, welche je zwei Strahlen eines Paares mit der einen und mit der andern Achse bilden, sind also reciprok. Ist a 2 : a 0 positiv, so sind die Winkel cp, cp', sowie die Winkel <| 1, <)/ beide spitz oder beide stumpf; hieraus folgt, dass in diesem Falle die Strahlen jedes Paares durch dasselbe Scheitelwinkelpaar der Achsen gehen, oder dass die Strahlen jedes Paares durch die Achsen nicht getrennt werden; ist hingegen a 2 : a 0 negativ, so werden die Strahlen jedes Paares durch die beiden Achsen getrennt. 8. Nur im ersteren Falle kann es reale Strahlenpaare geben, deren Strahlen zusammenfallen. Sie werden aus der Gleichung bestimmt: - (Za - tang* 1 4-y 2 Z 2 =0, 4 -p 2 7 2 Z 2 =0 und hieraus folgen für die Abstände OP x , OP 2 , OZ,, OP die Werthe Xi -■ 2a, X, = — 2 by b n X 3 — 27^1 4- 2y 2 by y t a 0 X t 4- 72^o X 2 7i a o + 7i a o + 7 2 ^o 2 Pi7i«i + 2p 2 7 2 f 1 _ ptTt^oXx 4- p 2 7 2 ^o x 2 Pi7i«o ■+■ P27 ^ü Pi 7i a o + p 2 7 2 ^o § 8. Der Kreis. 65 Aus diesen vier Werthen erhält man das Doppelverhältniss der vier Punkte (A ^ ?3 F) = Pipses ist daher gleich dem Doppelverhältniss der vier Paare der Involution: P 2 P, P) = {M, M s M 3 M). Wir übertragen diese Bemerkungen sogleich auf Strahleninvolutionen und haben daher den Satz: Haben zwei Paare einer quadratischen Involution ein Element gemein, so gehört dieses Element allen Paaren der Involution an; die Reihe der übrigen Elemente ist mit der Involution projectiv. § 8. Der Kreis. 1. Hat das Centrum M eines Kreises die Coordinaten a und b und ist p der Radius des Kreises, so gilt für jeden Punkt P des Kreises die Gleichung MP 2 = p 2 , das ist (x — ä ) 2 + (y — b ) 2 = p 2 , oder entwickelt und geordnet: 1. x 2 -h y 2 — 2ax — 2 by -+- a 2 -h b 2 — p 2 Dies ist die Gleichung des Kreises. Giebt man dem Centrum besondere Lagen gegen die Coordinatenachsen, so gehen aus der allgemeinen Gleichung des Kreises besondere Modificationen derselben hervor. Liegt das Centrum im Nullpunkte, so ist a — b = 0; die Gleichung des Kreises lautet daher 2. x 2 -hy 2 — p 2 = 0. Liegt das Centrum auf der X-Achse, so ist b — 0, und die Gleichung ändert sich ab zu: 3. x 2 -h y 2 — 2ax-ha 2 — p 2 = 0. ir p’ (M. 385.) Liegt das Centrum auf der E-Achse, so erhält man 4. x 2 -hy 2 — 2 by-hb 2 — p 2 = 0. Geht der Kreis durch den Nullpunkt, so hat das rechtwinklige Dreieck O M' M die Hypotenuse p, daher ist a 2 -h b 2 = p 2 , also erhält man die Gleichung: 5. x 2 -hy 2 — 2 ax — 2by — 0. Berührt der Kreis die F-Achse im Nullpunkte, so vereinen sich die Fälle 3. und 5. und man hat die Gleichung: G. x 2 -hy 2 — 2ax = 0, oder y = yb2ax — x 2 . Berührt der Kreis die X-Achse im Nullpunkte, so hat man: 7. x 2 -h y 2 — 2^ = 0. 2. Die Gleichung des Kreises 1. x 2 -hy 2 — 2 ax — 2by -+- a 2 + b 2 — p 2 = 0 ist eine Gleichung zweiten Grades. Sie zeigt gegenüber einer allgemeinen Gleichung zweiten Grades in den Coordinaten x und y Ax 2 -+- 2 Bxy -h Cy 2 -h 2Dx -+- 2 Ey -h F = 0 die Besonderheiten, dass das Glied mit dem Coordinatenfaktor xy fehlt, und dass ferner die Glieder x 2 und y 2 den Coefficienten 1 haben. Liegt umgekehrt eine Gleichung zweiten Grades vor 2- mx 2 -+- my 2 + 2 nx -h 2 py -+• q — 0, Schi.oemtt.Ch, Handbuch der Mathematik. T?d. TI 5 66 Analytische Geometrie. in welcher das Glied mit dem Coordinatenfaktor xy fehlt und in welcher x 2 und y 2 gleiche Coefficienten haben, so schreibe man für dieselbe n q 3. x 2 -t- y 2 4- 2 — x 2 — y ■+■ — = 0 . J m m ni Der Vergleich von 3. mit 1. zeigt, dass 3. die Gleichung eines Kreises ist, dessen Centrum die Coordinaten hat 4. a = — n\m , b = — p : m . Ferner ist a 2 -+- b 2 — p 2 = —, r m daher durch Verwendung der Werthe 4. P 2 = ^(« 2 Die Gleichung 2. ist also die Gleichung des Kreises, dessen Centrum die Coordinaten (— n ): m und (— p) : m und dessen Radius die Länge hat: p = ~Yn 2 + p 2 —qm. Es fragt sich, welche geometrische Bedeutung es hat, wenn der Radicand n 2 -y p 2 — qm negativ ist. Setzen wir n 2 -t- p 2 — qm — s 2 , so wird also qm = n 2 -y p 2 -y s 2 , daher geht die Gleichung 2. nach Multiplication mit m über in m 2 x 2 -y m 2 y 2 -f- 2»«* -+- 2 pmy -+- n 2 4- p 2 -+- s 2 =0 oder {nix -+- n ) 2 -+- (tny +/) 2 + s 2 = 0. Diese Gleichung ist durch reale Werthe von x und y nicht erfüllbar; denn für jeden realen Werth von x und y sind {nix -+- n ) 2 und {my -t- p) 2 positive Grössen, die mit der positiven Grösse s 2 nicht die Summe Null geben können. Ist also n 2 + p 2 —qm negativ, so wird der Gleichung mx 2 -t- my 2 + 2 nx -t- 2/_y + q = 0 durch keinen realen Punkt genügt. Nimmt m ab, während n, p und q gegebene endliche Werthe behalten, so wachsen die Grössen a = ——, b = —— , p = il/« 2 + * 2 — qm, m m r m ' ‘ es wachsen also die Coordinaten des Kreiscentrums und der Radius. Geht in zur Grenze Null über, so werden a, b und p unendlich gross; die Gleichung des Kreises geht zugleich in die lineare Gleichung über 2 nx 2 py y q = 0 . Man kann daher eine gerade Linie als einen Kreis mit unendlich grossem Radius betrachten. 3. Setzt man abkürzend a 2 + b 2 — p 2 = c, so erscheinen in der Gleichung des Kreises 1. x 2 -yy 2 — 2 ax — 2 (Xj -+- X 2 )/ 3 = Xj/j 4 - X 2 / 2 und subtrahirt dann von den Gliedern der vierten Zeile die Summen der homologen Glieder der zweiten und dritten Zeile, so wird das erste Glied der vierten Zeile zu (X t 4 - X 2 ) (* 3 2 4- y£) — X t (x x 2 4 - y x ) — X 2 (* 2 2 4- / 2 2 ) • Die anderen Glieder der letzten Zeile werden sämmtlich gleich Null. Dividirt man dann die letzte Zeile durch das erste, von den veränderlichen Coordinaten *, y unabhängige Glied, so erhält man schliesslich als Gleichung des Kreises die Determinante: (* 2 ( x i 2 ( x 2 -y 2 ), -Pi 2 ) -y£) 1 0 y, y 1 -V 2 0 = 0 . Diese Gleichung reducirt sich bei Entwicklung der Determinante nach den Gliedern der letzten Zeile auf x y 1 x 1 y x 1 = 0 , *2 / 2 1 d. i. auf die Gleichung der Geraden P x P 2 , in Uebereinstimmung mit der vorigen Nummer. 4. Wird durch einen Punkt 1\ eine Gerade T gelegt, die mit der V-Achse den Winkel a bildet, so gilt für jeden Punkt P dieser Geraden: op = öp; 4 - p x 'p', op" = op x " 4 - p x "p" . Setzt man P x P—r, so ist P x P' = P x Pcosa^= rcoso., P x " P" — P x Psina = rsina. Da nun weiter OP' = x, OP" —y, OP x = x x , OP x " =y x , so folgen die Formeln / 1> x = x x 4 - rcoso., y—y x -y-rsini. Wir bestimmen nun die Strecken der Geraden T, welche von P x bis an die Peripherie des Kreises 2. ^=.*2 + _j,2 %ax—2byy-c = 0 5 68 Analytische Geometrie. reichen; zu diesem Zwecke haben wir die Coordinatenwerthe aus 1. in 2. einzusetzen und die sich ergebende Gleichung für r aufzulösen. Wir erhalten {x x -+- rcosa) 2 + ( y 1 -+- rsina) 2 — 2 a {x x + rcos a) — 2b ( y x -+- rsin a) -+- c = 0 oder nach fallenden Potenzen der Unbekannten r geordnet: 3. r 2 - f- 2 [(.*! — a ) cosa + (y x — b) sind] r -f- x-f -hy 2 — 2 ax 1 — 2 by 1 + c = 0. Bezeichnet man die Wurzeln mit r', r", so folgt aus 3. das Produkt der Wurzeln zu 4. r r" = x^ -t-y ! 2 — 2«^! — 2^! -t- c. Dieser Werth ist unabhängig von der Richtung der Geraden T, er hängt nur von den Constanten des Kreises und von den Coordinaten des Punktes I\ ab. Wir haben daher den (aus der Planimetrie bekannten) Satz: Wird ein Strahlenbüschel von einem Kreise geschnitten, so ist das Produkt der Strecken, die auf jedem Strahle vom Büschelträger bis an den Kreis reichen, von constanter Grösse. Dieses constante Produkt wird bekanntlich die Potenz des Punktes P x in Bezug auf den Kreis genannt; die rechte Seite der Gleichung 4. lehrt: Die Potenz eines Punktes I\ in Bezug auf den Kreis K=x 2 -\-y 2 — 2 ax — 2^j -F f = 0 ist der Werth, den die Function K=x 2 -{-y 2 — 2 ax — 2by-i-c annimmt, wenn man in dieselbe die Coordinaten x 1 ,y 1 des Punktes P x einsetzt. Ist r'r" positiv, so haben r' und r" gleiches Zeichen, erstrecken sich also auf derselben Seite von P 1 ; ist r'r" negativ, so haben r' und /' verschiedene Zeichen und erstrecken sich daher zu beiden Seiten von P t . Der Werth K ist also positiv für alle Punkte P x ausserhalb und negativ für alle Punkte innerhalb des Kreises K = 0. 5. Die Punkte, welche der Kreis 1. K=x 2 -\-y 2 — 2 ax — 2by-j-c = 0 mit der Geraden 2. T = mx -+- ny -I- p = 0 gemein hat, besitzen Coordinaten, welche die Gleichungen 1. und 2. befriedigen; dieselben sind also die Wurzeln dieser Gleichungen. Multiplicirt man 1. mit n 2 und dann mit m 2 und setzt die aus 2. genommenen Werthe ny — — {mx ft), mx = — {ny -+■ ft) in die multiplicirten Gleichungen ein, so erhält man für x und y die Gleichungen: 3. {m 2 -t- n 2 )x 2 + 2 {mp — an 2 -+- bnm) x -+-p 2 + ’i.bnp + n 2 c = 0, 4. {m 2 + n 2 )y 2 -+- 2 {np —■ bm 2 + anni)y + p 2 H- 2 amp-y- m 2 c = 0. Die Auflösungen dieser beiden quadratischen Gleichungen sind, wie man durch Substitution von a 2 4- b 2 — p 2 für c und nach leichter Umformung gewinnt: — mp + an 2 — bnm n {ma- 1- nb H- ft) 2 y = np -+- bm 2 — anm v~> v> V' {ma -+- ?ib -+- ft) 2 Der Subtrahend des Radicanden, nämlich {ma nb -4- ft) 2 ist das Quadrat des Abstandes des Punktes a, b, d. i. des Kreiscentrums, von der Geraden T. Wir haben daher: Eine Gerade schneidet einen Kreis in zwei Punkten, oder berührt ihn in einem Punkte, oder verfehlt § 8. Der Kreis. 69 ihn, je nachdem ihr Abstand vom Kreiscentrum kleiner, ebenso gross oder grösser als der Halbmesser des Kreises ist. 6. Die Bedingung der Berührung kann man schreiben («s 2 4-« a )p 2 — (ma -f- nb 4 -/) 2 = 0; hieraus folgt weiter / m 2 » 2 \ / {-p + p) P 2 - [. Da nun - und -die Coordinaten u , » der Geraden T sind, so folgt — P —P aus 1. die Gleichung des Kreises in Liniencoordinaten zu 2. (« 2 4-z' 2 )p 2 — (au 4- bv —l) 2 = 0. Wir bemerken hierzu, dass au 4 - bv — 1 = 0 die Gleichung des Kreismittelpunktes in Liniencoordinaten ist. Wir wollen die linke Seite der Gleichung des Kreises in Liniencoordinaten mit Ä (für verschiedene Kreise mit Ä 0 , Ä 1( . .), und mit denselben Buchstaben auch den durch die Gleichung Ä = 0 dargestellten Kreis bezeichnen. Ein Kreis wird daher mit K oder Si bezeichnet, je nachdem wir von seiner Gleichung in Punkt- oder in Liniencoordinaten ausgehen. 7. Die Gleichung der Geraden, die den Kreis K = x 2 4 -y 2 — 2 ax — 2 by 4 - c = 0 im Punkte P x berührt, kann aus der Bemerkung gewonnen werden, dass die Tangente durch P x geht und normal zu MP 1 ist. Die Gleichung von MI\ ist (§ 5, No. 3) ( y x — b)x — (x x — a)y 4- (x x b — y x a ) = 0, folglich ist die Gleichung der Tangente (§ 5, No. 9) (x x — ä)(x — x x ) 4 - (y x — b)(y — Ti) = 0. 8. Um die Coordinaten der gemeinsamen Tangenten zweier Kreise und Ä, zu erhalten, haben wir die Gleichungen beider Kreise in Liniencoordinaten aufzustellen 1. Ä 0 33 ( u 2 4- v 2 ) p^ — ( a ü u 4- i b 0 v — l) 2 = 0, 2. Äj (tt 2 4 - ß 2 ) p x 2 — (a x u 4- b x v — l) 2 =0, , und die Wurzeln dieses Systems zu bestimmen. Wir wollen die Ausdrücke a a u 4 - b 0 v — 1 und a x u 4 - b x v - 1 mit P 0 und P x bezeichnen, so dass also P 0 = 0 und P x —0 die Gleichungen der Mittelpunkte beider Kreise sind. Dann gewinnen wir aus 1. und 2. 3. P 2 ^ - P 2 £ 0 » Pl 2 P 0 2 - Pi?/? = 0 . Die linke Seite der Gleichung 3. zerfällt in Faktoren 4- (Pi Pq Po^r) (PiA "b PoA) = also zerfällt die Gleichung in die linearen Gleichungen 5. iß « Pl P 0 - Po P x = 0, 6. iß’ - ?1 P 0 •+• PoA - 0. Die Coordinaten der gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise & 0 und M x erfüllen also entweder die Gleichung 5. oder 6., gehen also durch den Punkt iß = 0 oder durch den iß'= 0; und umgekehrt: Jede Gerade, welche durch iß = 0 oder durch iß' = 0 geht und der Gleichung & 0 = 0 genügt, d. i. also jede von iß oder von iß t an den Kreis & 0 gelegte Tangente, genügt auch der Gleichung = 0, ist also gemeinsame Tangente beider Kreise. Wie aus den Gleichungen 5. und 6. ersichtlich ist, liegen die beiden Punkte iß und iß' auf der Geraden P 0 P X , also auf der Centralen beider Kreise. Nach § 2, No. 6, theilen sie die Strecke P 0 P in den Verhältnissen ^oäß •• 9A = - Po : Pi, W ■ = Po : Pr- 7o Analytische Geometrie. Die beiden Punkte iß und SfJ' theilen also die Strecke zwischen den Centren P 0 und P x aussen und innen im Verhältnis der Kreisradien p 0 und p r Diese beiden Punkte werden als der äussere und der innere Aehnlichkeitspunkt der beiden Kreise bezeichnet. Der soeben mitgetheilte Satz über die Lage der Aehnlichkeitspunkte liefert folgende Construction derselben: Die Verbindungsgerade zweier parallelen gleichgerichteten Radien zweier Kreise trifft die Centrale im äusseren Aehnlichkeitspunkte; die Verbindungsgerade zweier parallelen Radien von entgegengesetzter Richtung trifft die Centrale im innern Aehnlichkeitspunkte. 9. Die Aehnlichkeitspunkte je zweier von drei Kreisen Ä u , Ä 2 werden erhalten, indem man die Seiten des von den Kreismittelpunkten l\ )t P x , P 2 gebildeten Dreiecks der Reihe nach in den Verhältnissen p 0 : p 1( p, : p 2 , p 2 : p 0 innen und aussen theilt. Nach § 5, No. 20 liegen diese sechs Aehnlichkeitspunkte viermal zu je dreien auf einer Geraden; diese vier Geraden nennt man die Aehnlichkeitsachsen der drei Kreise. Eine Aehnlichkeitsachse enthält die drei äusseren Aehnlichkeitspunkte; jede der drei andern Aehnlichkeitsachsen enthält zwei innere und einen äusseren Aehnlichkeitspunkt. 10. Die Coordinaten der gemeinsamen Punkte zweier Kreise L K x = x 2 +y 2 — 2 a x x — 2 b x y 4- c x = 0, 2. K 2 e= x 2 -hy 2 — 2a 2 x — 2 ^ a y 4- c 2 = 0 sind die Wurzeln Gleichungen 1. und 2. Bei der Aufsuchung der Wurzeln zweier Gleichungen hohem Grades hat man zunächst zu untersuchen, ob gemeinsame unendlich grosse Wurzeln vorhanden sind. Zu diesem Zwecke führt man bekanntlich für x und y neue Unbekannte ein, indem man x—rw, y — s«i setzt und dann u> ins Unendliche wachsen lässt. Hat man diese Einsetzung in der Gleichung f(x, y) = 0 vorgenommen, so ordene man die Gleichung nach Potenzen von iu und dividire dann durch die höchste Potenz von u> (deren Exponent gleich dem Grade der Function f(x, y) ist). Dann werden die Glieder von fix, y), welche den Grad der Function besitzen, von ‘- 1 y 4 - a 2 x"~ 2 y 2 4- ... 4 - a n -\xy n —^ 4- a„y „. Nachdem man x = r«>, y = j» eingesetzt und die Gleichung durch u>“ dividirt hat, geht die Gleichung fix, y) über in 1. a^r“ 4- a x r n ~ls 4- a 2 r»~ 2 s 2 4- ... 4- a„_irs«-i 4- a„s>‘ 4- Q = 0, wobei Q aus Gliedern besteht, deren jedes eine Potenz von über alle Grenzen wachsen, so nähert sich Q der Grenze Null, die Gleichung reducirt sich also auf 2- a a r n 4- a x r H ~h 4- ... 4- 4 - a„s n = 0. Aus dieser folgt nach Division durch s u : ( r \ n ( r \ H ~ 1 (r\* 2 r 3- a o 4- a 2 I —I 4- . . . 4- ««-i — 4- a« = 0. Die Gleichung liefert «Werthe für das Verhältniss r : s, die zum Theil oder auch, bei geraden n, sämmtlich aus conjugirt complexen Werthpaaren bestehen können. § 8. Der Kreis. 71 Die Gleichung f(pc, y) = 0 ist die Gleichung einer Curve «ten Grades. Wir haben daher den Satz: Eine Curve «ten Grades hat n in unendlicher Entfernung liegende Punkte; dieselben liegen in der Richtung der durch den Nullpunkt gezogenen Geraden, die die Gleichung haben x\y = r : s, wobei r:s eine Wurzel der Gleichung ist: “ (r ■+■ +•••■+- , und dividiren dann durch o> 2 , so entsteht: r 2 y- s 2 — 2 a • — — 2b • — H— K = 0. Setzen wir nun, um die im <1> (O <11^ Unendlichen liegenden Punkte des Kreises zu bestimmen, , so folgt die Gleichung r 2 s 2 = 0, welche ftir das Verhältniss r : s die beiden conjugirten Werthe liefert r : s = ± i . Alle Punkte, deren Coordinatenverhältniss einen gegebenen Werth v hat, liegen auf der durch den Ursprung gehenden Geraden x \_y = v, oder x — vy — 0. Wir sehen daher: Auf jedem Kreise liegen die beiden unendlich fernen conjugirt complexen Punkte, welche auf den durch den Ursprung gehenden conjugirt complexen Geraden x — iy = 0 und x -t- iy = 0 enthalten sind. Hieraus folgt weiter: Alle Kreise einer Ebene haben zwei conjugirt complexe unendlich ferne Punkte mit einander gemein. Diese beiden Punkte bezeichnet man demgemäss als die imaginären Kreispunkte der Ebene. 13. Um die nicht unendlich fern gelegenen gemeinsamen Punkte zweier Kreise zu erhalten, subtrahiren wir die Gleichungen der beiden Kreise 1. K x es x 2 -I- y 2 — 2 a t x — 2b t y -+- c x = 0 , 2. K 2 = x 2 -hy 2 — 2 a 2 x — 2 b 2 y -+- c 2 = 0, und erhalten 3. L ^ K x K 2 2 («2 «i) -+- 2(^2 — b^)y — (c 2 — = 0 . Die Gleichung 3. ist linear, ist also die Gleichung einer von beiden Kreisen abhängigen Geraden; man nennt dieselbe die Chordale der beiden Kreise. Jeder Punkt, den die Chordale mit einem der beiden Kreise K t oder K 2 gemein hat, genügt der Gleichung 3. und einer der Gleichungen 1. oder 2.; seine Coor- dinaten annulliren also das Polynom L s K x — K <,, und eines der Polynome Ä’j oder K 2 ; folglich annulliren sie auch das andere, der Punkt liegt daher auch auf dem andern Kreise. Die im Endlichen liegenden Schnittpunkte der beiden Kreise sind mithin die Punkte, in welchem einer derselben von der Chordalen geschnitten wird. Dies ergiebt: Zwei Kreise haben ausser den unendlich fernen imaginären Kreispunkten noch zwei Punkte gemein, die conjugirt complex, oder real sind; im letzteren Falle können sie von einander getrennt oder unendlich nahe beisammen liegen; beide Schnittpunkte sind auf der Chordalen enthalten. Wenn die beiden Kreiscentra unendlich nahe zusammenrücken, die Radien aber von einander verschieden sind, so nähern sich die Differenzen a 2 — a x und b 2 — b x der Grenze Null, während die Differenz c, — c 2 einen endlichen Werth behält. Der Gleichung der Chordalen L = 0 kann dann nur durch unendlich grosse Werthe der Coordinaten genügt werden. Hieraus folgt: Zwei con- centrische Kreise haben eine unendlich ferne Chordale; ihre vier Schnittpunkte sind sämmtlich unendlich fern und imaginär. Die Verbindungsgerade der Centra zweier Kreise hat die Gleichung (^2 bi) x — (a 2 — a x )y + (a 2 b x — a x b 2 ) — 0 . Hält man dieselbe mit der Gleichung der Chordalen zusammen («2 — a x )x + (b 2 — b x )y — (V s — G) = 0, § 8. Der Kreis. 73 so folgt (§ 5, 9): Die Chordale zweier Kreise steht senkrecht auf der Verbindungslinie der Kreismittelpunkte. 14. Für jeden Punkt der Chordalen zweier Kreise K x und K 2 ist L = K X — K 2 = 0, oder K x = K 2 . Nach No. 4 folgt hieraus: Die Chordale zweier Kreise ist der Ort der Punkte, welche für beide Kreise gleiche Potenz haben. Für zwei Kreise, die sich nicht in realen Punkten schneiden, ist daher die Chordale der Ort der Punkte, von denen aus gleich lange Tangenten an beide Kreise gezogen werden können; für Kreise, die zwei reale Schnittpunkte haben, ist sie nur, soweit sie ausserhalb der beiden Kreise liegt, der Ort der Punkte gleicher Tangenten; soweit sie innerhalb beider Kreise liegt, ist sie der Ort der Punkte, für welche die durch sie hindurchgehenden kürzesten Sehnen beider Kreise gleich sind. 15. Die Gleichungen der Chordalen je zweier der drei Kreise K x = 0, K 2 = 0, K 3 = 0 ergeben sich zu L 3 == K t — K 2 = 0, L x = K 2 — K 3=0, L 2 =3 K 3 — K x = 0. Wie man sieht, verschwindet die Summe Z 3 L x + L 2 identisch. Wir schliessen daher (§ 5, 11): Die drei Chordalen je zweier von drei Kreisen gehen durch einen Punkt; dieser Punkt hat gleiche Potenz für alle drei Kreise, er wird der Chordalpunkt der drei Kreise genannt. Der Chordalpunkt ist unendlich fern, wenn zwei Chordalen (und mithin alle drei) parallel sind. Die Bedingung dafür, dass Z 3 und L x parallel sind, ist (§ 9) ( a \ ■ a i) : ( a a a s) = (^i — ^ 2 ) • (^2 — ^g)- Aus § 5, 3 ist ersichtlich, dass alsdann die Centra der drei Kreise auf einer Geraden liegen. 16. Mit Hülfe des Chordalpunktes construirt man die Chordale zweier Kreise K x und K 2 , die sich nicht in realen Punkten schneiden. Man construirt einen Kreis K' , der K x und K 2 schneidet, zeichnet die Chordalen L x und L 2 dieses Kreises und der Kreise K x und K 2 , indem man die realen Punkte verbindet, in denen K x und K 2 von K' geschnitten werden; durch den Schnittpunkt von L x und L 2 geht die gesuchte Chordale und ist normal zur Verbindungslinie der Cen- tren von K x und K 2 . 17. Es entsteht die Frage, ob die drei Kreise auch so gelegen sein können, dass die Chordalen Z 3 und L x , und mithin alle drei Chordalen L x , Z 2 , Z 3 zusammenfallen. Wenn Z 3 = 0 und Z, = 0 geometrisch identisch sind, so kann die Function Z 3 von der Function L x nur um einen constanten Faktor verschieden sein, es giebt also dann eine Zahl m, für welche die Identität gilt L x = mL 3 . Hieraus folgen die einzelnen Beziehungen: a a a 2 = m (a 2 a x ), b 3 b 2 = m (b 2 b x ), f 3 c 2 = tn (c 2 rj). Aus denselben folgen: 1. a 3 = — ma x -+-(l-+-m)a 2 ', b z = — mb x +(1 -\-m)b 2 \ c 3 — — mc x 4-(l + ni)c 2 . (M. 386.) 74 Analytische Geometrie. Setzt man — m = n x , 1 + « = # s , so gehen die Formeln 1. über in 2. a 3 = n x a x n 2 a 2 , b 3 = n x b x 4- n 2 b 2 ’ f 3 = 4- » 2 £ 2 , wobei » x 4-« 2 = 1. Die Gleichung des Kreises K s erscheint nun in der Form: K 3 = x 2 -hy 2 4 - 2 (n x a x + n 2 a 2 )x 4- 2(n x b x -+-n 2 b 2 )y 4- n x c x 4- n 2 c 2 — 0. Schreibt man für die Summe x 2 -hy 2 den Ausdruck (n x 4- n 2 ) x 2 - 4 - (ft x + n 2 )y 2 , so erhält man für K 3 die Darstellung K z = n x K x -t- n 2 K 2 . Wenn also die Gleichung eines Kreises K 3 aus den Gleichungen zweier gegebenen Kreise K x und K 2 in der Weise abgeleitet wird: K 3 n x K x 4- n 2 K 2 = 0, so haben die drei Kreise eine gemeinsame Chordale. Wir bezeichnen dieselbe mit L. Das Verhältniss n x : n 2 kann man beliebig ändern; denn es giebt immer zwei Zahlen, die zusammen 1 geben und ein gegebenes Verhältniss haben. Giebt man nun dem Verhältnisse n x : n 2 alle realen Werthe von — 00 bis 4- 00 , so erhält man eine unendliche Anzahl von Kreisen K, die alle mit K x und mit K 2 die Chordale L haben. Sind K a und Äß zwei dieser Kreise, so haben und K u sowie Wß und K x die Chordale L, also ist L auch die Chordale von K a und Wß. Je zwei Kreise dieser Folge von Kreisen haben also die Chordale L , die somit als die gemeinsame Chordale aller dieser Kreise bezeichnet werden kann. Eine solche Gruppe von Kreisen nennt man ein Kreisbüschel. Durch zwei Kreise ist ein Kreisbüschel bestimmt; sind K x und K 2 zwei Kreise, so werden die Gleichungen aller andern Kreise des durch sie bestimmten Büschels in der Form erhalten: K n 1 K 1 + n 2 K 2 = 0. Alle Punkte, für welche K x = 0 und K 2 =0, annulliren auch K ; also hat man den Satz: Alle Kreise eines Büschels haben gemeinsame reale oder imaginäre Schnittpunkte. Hieraus, sowie aus den Formeln 2. folgt ferner: Die Mittelpunkte aller Kreise eines Büschels liegen auf einer Geraden; dieselbe heisst die Centrale des Büschels. 18. Durch jeden Punkt der Ebene geht ein (und nur ein) Kreis eines gegebenen Kreisbüschels. Denn soll der Büschelkreis 1. K 5 = n x K x 4- n 2 K 2 = 0 durch den Punkt P' (x', y') gehen, so müssen die Zahlen n x und n 2 so gewählt sein, dass K von den Coordinaten von P’ annullirt wird. Bezeichnet man die Werthe, welche die Polynome K x und K 2 annehmen, wenn man darin die unbestimmten Coordinaten x, y durch die gegebenen Werthe x', y' ersetzt, mit K x und K 2 , so hat man die Bedingung n x K x 4- n 2 K 2 = 0, oder n x :n 2 = K 2 : — K x . Führt man dies in 1. ein, so ergiebt sich die Gleichung des durch P’ gehenden Büschelkreises zu 2. K 2 ’K x — K x 'K 2 = 0. Die Bedingung n x 4 - n 2 = 1 braucht nicht festgehalten zu werden; um sie einzuhalten, hätte man die Gleichung 2. durch K 2 — K x zu dividiren, doch ändert sich die geometrische Bedeutung einer Curvengleichung nicht, wenn man alle Glieder mit einem constanten Faktor multiplicirt oder dividirt. Liegt der Punkt P' auf der Chordale, so ist bekanntlich K x = K 2 \ man kann dann diesen P'aktor aus der Gleichung 2. weglassen, und dieselbe geht daher über in K x — K 2 = 0, d. i. in die Gleichung der Chordale. Die § 8. Der Kreis. 75 Chordale eines Kreisbüschels ist also selbst als Kreis des Büschels (mit unendlich grossem Radius) anzusehen. 19. Jeder Punkt der Chordale eines Büschels hat gleiche Potenz für alle Kreise des Büschels. Von jedem Punkte der Chordale aus, der ausserhalb der Büschelkreise liegt, gehen gleich lange Tangenten an alle Büschelkreise. Da nun ein Kreis, dessen Radius gleich der von seinem Centrum bis an einen Kreis K reichenden Tangente dieses Kreises ist, den Kreis K unter rechten Winkeln schneidet, so ergiebt sich der Satz: Von jedem Punkte der Chordale eines Kreisbüschels als Centrum lässt sich ein Kreis con- struiren, der alle Kreise des Büschels unter rechten Winkeln schneidet. 20. Die Aufgabe: »Den Kreis eines Büschels zu bestimmen, der durch einen gegebenen Punkt geht,« die in No. 18 ihre analytische Lösung gefunden hat, lässt sich auf Grund der mitgetheilten Sätze in folgender Weise constructiv lösen: Durch den gegebenen Punkt P lege man einen Kreis H, der den Kreis K l (oder W 2 ) in zwei Punkten schneidet. Man ziehe die Chordale von H und K x und durchschneide damit die Büschel- cliordale L. Von diesem Schnittpunkte A aus ziehe man eine Gerade durch P, und bemerke den Punkt B, in welchem sie den Hülfskreis H zum zweiten Male trifft. Dann geht der gesuchte Büschelkreis K durch B, und sein Centrum ist also der Durchschnitt C der Normalhalbirenden von PB und der Centralen von K x und K 2 . Denn der Punkt A hat gleiche Potenz für H und K x , sowie für H und K, also auch für K und K x , mithin ist L die Chordale von K und K x , also gehört K zu dem Büschel K x K 2 . 21. Den Kreis eines Büschels, der einen gegebenen Mittelpunkthat, findet man, wenn die Büschelkreise keine realen Schnittpunkte haben, durch folgende Con- struction: (M. 387.) L r\? Kz y K, ' (M. 388.) 76 Analytische Geometrie. Von einem beliebigen Punkte der Biischelchordale aus (z. B. von dem Punkte Q aus, in welchem dieselbe die Büschelcentrale schneidet, lege man eine Tangente an einen der Büschelkreise und mit dieser Tangente als Halbmesser beschreibe man einen Kreis G] dieser Kreis trifft alle Kreise des Büschels unter rechten Winkeln (No. 19). Legt man daher von A aus Tangenten an G, so sind diese Tangenten Radien des gesuchten Kreises. Hat man den Schnittpunkt Q der Biischelchordale und der Centrale zum Mittelpunkte von G genommen, so ist ersichtlich, dass die Aufgabe nur lösbar is', wenn QA grösser ist als die von Q an die Büschelkreise gelegte Tangente. Ist QA gleich dieser Tangente, oder entgegengesetzt gleich, so verschwindet der P adius des gesuchten Kreises und derselbe zieht sich zu einem Punkte zusammen. Wir finden daher: Wenn die Kreise eines Büschels keine realen Schnittpunkte haben, so giebt es Centra der Büschelkreise nur ausserhalb des Kreises, der vom Schnittpunkte der Chordale und der Centrale aus normal zu den Büschelkreisen construirt wird; die beiden Gegenpunkte dieses Kreises, die auf der Centrale liegen, sind als Büschelkreise mit verschwindend kleinem Radius zu betrachten. 22. Um einen Kreis eines Büschels zu finden, der eine gegebene Gerade G berührt, bestimmen wir den Punkt X, in welchem der gesuchte Kreis die Gerade berührt. Durchschneiden wir (in A) die Gerade G mit der Biischelchordale Z, und legen durch A eine Tangente AB an einen Kreis (M. 389 .) des Büschels, so ist (No. 19) AX gleich oder entgegengesetzt gleich der Strecke AB. Machen wir also X'A = AX = AB und con- struiren die Büschelkreise, die durch X' und X gehen, so sind diese die Lösungen der Aufgabe. 23. Construirt man die Chordalen Zj, Li eines beliebigen Kreises H mit den Kreisen K 1 und K, des durch K t und K 2 bestimmten Büschels, so schneiden sich die Geraden Z, (Chordale von H und ZTj), Z (Chordale von K x und Ki) und Li (Chordale von Zf, und H ) in einem Punkte (nach No. 15), Li trifft also Z in dem Punkte, in welchem Z von L y geschnitten wird; dieser Punkt bleibt unverändert derselbe, wenn man für Ki der Reihe nach alle Kreise des Büschels setzt. Wir haben daher: Die Chordalen, welche ein beliebiger fester Kreis mit allen den (M. 390.) § 8. Der Kreis. 77 einzelnen Kreisen eines Kreisbüschels bestimmt, treffen die Büschel- chordale in demselben Punkte. Wie man leicht sieht, ist die Construction No. 20 eine Anwendung dieses Satze:'. Man kann denselben auch leicht analytisch beweisen: Die Gleichung des Kreises K, sei K = nuK\ -t- «2* Ki = 0, nu -+- n=u = 1. Die Gleichung der Chordale von Ki und H ist dann: L{ = K — H = nuK -+- n-itK — H — 0, oder wenn man nu =1 — n- 2 i einsetzt: Li = K\ — H — n^i {Ki — Ki) = 0 .* Nun ist Ä', — K, 2 = L =0 die Gleichung der Biischelchordale, und K l — Z t = 0 die Gleichung der Chordale von K t und H ; man hat also L/i ^ L\ fi~2i L — 0 und erkennt daraus, dass Z, durch den Schnittpunkt von Z und L x geht. 24. Für die Kreise eines Büschels, die einen gegebenen Kreis H berühren, ergiebt sich folgende Construction: Man construire die Chordale Zj des gegebenen Kreises Zf und des Büschelkreises K x und durchschneide damit die Büschel- chordale Z. Durch diesen Schnittpunkt C gehen dann auch die gemeinsamen Tangenten des Kreises H und der ihn berührenden Büschelkreise, da diese Tangenten die Chordalen des Kreises H und der gesuchten Kreise sind. Man lege also von C aus Tangenten an H, und construire die beiden Büschelkreise K 3 und K t , welche durch die Berührungspunkte dieser Tangenten gehen. Liegt C ausserhalb H, so giebt es zwei Büschelkreise, die den Kreis H berühren; liegt C auf H, so giebt es nur einen solchen Kreis; liegt C im Innern von H, so ist die Aufgabe nicht lösbar. Der Kreis eines Büschels, der mit JI eine Sehne von gegebener Länge a gemein hat, wird mit Hülfe des Punktes C und des Kreises gefunden, den die Sehnen (M. 391.) (M. 392.) 7S Analytische Geometrie. des Kreises H umhüllen, die von der Länge a sind. An diesen Kreis hat man von C aus Tangenten zu legen. 25. Den Kreis eines Büschels, der einen gegebenen Krei* Ä' 0 unter rechten Winkeln schneidet, findet man nun leicht durch folgende Construction. Von einem beliebigen Punkte der Chordale Z als Centrum aus construire man einen Kreis K, der alle Büschelkreise rechtwinkelig schneidet. Hierauf construire man die Chordale Z 0 von K und Ä' 0 ; der Schnittpunkt von Z 0 - und der Büschelcentralen ist das Centrum des gesuchten Kreises, und die von diesem Centrum an die Kreise K und K 0 gelegten Tangenten, die alle vier gleiche Länge haben, sind Radien des gesuchten Kreises ZT 3 . § 9. Transformation der Coordinaten. 1. Nachdem wir im vorigen Abschnitte eine besondere Curve zweiten Grades, den Kreis, untersucht haben, liegt uns nun zunächst ob, die Eigenschaften der Curven zweiten Grades ohne jede Beschränkung zu untersuchen. Eine Gleichung zweiten Grades zwischen den Coordinaten x und y hat im allgemeinen Falle drei Glieder von der zweiten Potenz, nämlich mit den Coordinatenfaktoren x ‘ l , xy, y 2 ; zwei Glieder von der ersten Potenz, nämlich Vielfache von x und y; und ein constantes Glied; die allgemeine Form der Gleichung einer Curve zweiten Grades ist daher f ss-ax 2 -+- 2txy -+- cy 2 -1-2 dx ■+- 2 ey f = 0. Diese Gleichung enthält sechs unveränderliche Zahlen, a, b, c, d, e, /, die man durch Division durch eine derselben auf fünf reduciren kann. Giebt man allen oder einigen dieser Zahlen andere Werthe, so ändert sich die Curve f. Diese Aenderung kann zweierlei Art sein: entweder ändert sich nur die Lage der Curve gegen das Coordinatensystem, oder es ändert sich die Gestalt der Curve. Das wesentliche Interesse ist, Eigenschaften einer Curve kennen zu lernen, die unabhängig von der zufälligen Lage des Coordinatensystems gegen die Curve sind. Wir fragen daher zunächst nach den Aenderungen, die die Coefficienten einer Curvengleichung erfahren, wenn man das Coordinatensystem ändert. Die Ableitung einer Curvengleichung in Bezug auf ein neues System aus der Curvengleichung bezüglich des ursprünglichen Systems wird als die Transformation der Curvengleichung vom ursprünglichen in das neue System bezeichnet. Die Transformation erfolgt in der Weise, dass man die Coordinaten eines Punktes, bez. einer Geraden, in Bezug auf das ursprüngliche System durch die Coordinaten bezüglich des neuen Systems ausdrückt, diese Werthe — die Transformationsformeln — in die Curvengleichung einführt und dieselbe schliesslich geeignet ordnet. Die Coefficienten der transformirten Gleichung setzen sich aus den Coefficienten der ursprünglichen Gleichung und aus den Grössen zusammen, durch welche die Lage der neuen Coordinatenachsen gegen die ursprünglichen bestimmt wird. Durch geschickte Wahl des neuen Systems wird man es daher dahin bringen können, dass einige Coefficienten der Gleichung besonders einfache Werthe annehmen, und damit die transformirte Curvengleichung selbst eine einfachere, für weitere Untersuchungen besonders geeignete Gestalt erhält. 2. Die einfachste Aenderung des Coordinatensystems besteht in einer parallelen Verschiebung der Achsen; dabei ändert der Nullpunkt seine Lage, während die Achsenrichtungen unverändert bleiben. Eine fernere Aenderung § 9- Transformation der Coordinaten. 79 besteht in der Drehung des Coordinatensystems um den unveränderten Nullpunkt. Jede beliebige Aenderung der Lage des Coordinatensystems kann, wie man leicht sieht, durch eine Verschiebung und nachherige Drehung (oder in umgekehrter Reihenfolge) erzeugt werden. Wir wollen nun die Transformationsformeln der Punktcoordinaten zunächst für eine Verschiebung, dann für eine Drehung des Coordinatensystems um den Nullpunkt, und schliesslich für eine beliebige Aenderung des Coordinatensystems aufstellen; hierauf werden die Transformationsformeln der Liniencoordinaten folgen. 3. Transformationsformejn für eine parallele Verschiebung des Coordinatensystems. Der Nullpunkt des neuen Coordinatensystems sei O t , OA = a, OB= b seien die Coordinaten von O x in Bezug auf das ursprüngliche System XOY, und die neuen Achsen OX 1 und O Y t seien parallel und gleichgerichtet mit OX und OY) ferner sei PC || OY, PD || OX) dann sind OC und OD die Coordinaten des Punktes P bezüglich des ursprünglichen und O x E und O x F die Coordinaten bezüglich des neuen Systems. Nun ist OC= OA -Y AC= OA + O x E OD= OB -Y BD= OB -Y O x F. Bezeichnet man mit x, y die Coordinaten von P im System XOY und mit x', y' die Coordinaten im neuen System X'O, Y', so folgt hieraus: 2. x = x' -(- a, y = y' -y b . Dies sind die gesuchten Transformationsformeln. Ist f {x, y) = 0 die Gleichung einer Curve in Bezug auf das System XOY, so erhält man also die Gleichung bezüglich des Systems X’ 0 1 Y’, indem man in der Function f (x, y) die Grössen x und y durch x' -Y a und y' -Y b ersetzt. 4. Transformationsformeln für eine Drehung des Coordinatensystems. Hat das neue Coordinatensystem X'OY' den Nullpunkt mit dem ursprünglichen XOY gemein und ist der Winkel XOX' = <0; ist ferner XOP—y, X'OP= cp' und OP= r, so hat man bekanntlich, wenn x, y die Coordinaten von P im System XOY, und x',/ die im neuen System X'OY’ sind: x = r cos 9, y = r sin 9 . Ersetzt man 9 durch cosy' — rsin <0 sinY y — rsin ( ■ y')] = 0. d C (M. 393.) 8o Analytische Geometrie. 5. Transformationsformeln für eine beliebige Veränderung des Coordinatensystems. Der Nullpunkt des neuen Systems sei O x und habe die Coordinaten O A — a und OB = b\ ferner sei O t X' die positive Seite der neuen V-Achse; ist Y’ Y" normal zu OX', so ist entweder O x Y' oder O x Y" die positive Hälfte der neuen F-Achse. Wir können das Coordinatensystem XOY zunächst unter Beibehaltung der Achsenrichtungen verschieben, bis der Ursprung nach öj kommt und die Coordinatenachsen mit den zu OX und OY parallelen Geraden O x 2 und O x T zusammenfallen. Drehen wir hierauf das Coordinatensystem um den Punkt O v bis die positive Hälfte der Abscissenachse mit der positiven Hälfte der neuen Abscissenachse zusammenfällt, so falle dabei (wie in der Figur angedeutet) die positive Seite der Ordinatenachse auf O x Y'. Ist nun O x Y' die positive Hälfte der neuen Ordinatenachse, so ist also durch die erste Verschiebung und die nachfolgende Drehung das ursprüngliche System in das neue übergeführt. Ist aber O x Y" die positive Hälfte des neuen Systems, so kann man das ursprüngliche nicht durch Verschiebung und Drehung in das neue überführen; man muss vielmehr schliesslich das System noch im Raume um die Gerade O x X' um einen gestreckten Winkel drehen, um die positive Hälfte der Ordinatenachse in die neue Lage zu bringen. Wir wollen das ursprüngliche und das neue System im ersten Falle gleichsinnig, im letzteren ungleichsinnig nennen. Sind x, y, $, i), x', y' die Coordinaten eines Punktes in Bezug auf die Systeme XOY, 20 X Y und in Bezug auf das mit denselben gleichsinnige System X'OY, so hat man nach No. 3. und 4.: 1. x = i-ha, y = ^-hb, 2. £ = cos u> • x' — sin to • y' , rj = sin u> • x’ -+- cos ■ y' -ha y = sin 0, die vollständig mit der Gleichung für rechtwinkelige Achsen übereinstimmt. Man betrachtet die reciproken Werthe der Achsenabschnitte a und b als die Coordinaten der Geraden im schiefwinkeligen Systeme und bezeichnet sie wieder mit u und v. Die Bedingung, welche die Coordinaten eines Punktes und einer Geraden erfüllen, wenn der Punkt auf der Geraden liegt, lautet also auch für ein schiefwinkeliges System 5. ux -+- vy — 1=0. 12.''Um die Transformationsformeln der Liniencoordinaten beim Uebergang aus einem rechtwinkeligen zu einem schiefwinkeligen Systeme mit demselben Nullpunkte zu erhalten, haben wir die im Anfänge der vorigen Nummer angedeutete Substitution auszuführen. Sind u, v die Coordinaten einer Geraden im ursprünglichen (rechtwinkeligen), u', v' die im schiefwinkeligen Systeme, so sind also ul -+- vt] — 1 = 0, und u'x -+- v'y — 1 = 0 die Gleichungen der Geraden in den beiden Systemen. Nun ist nach den Transformationsformeln in No. 10. I = cos cd • x ■+- cos (cd -+- a)j y , -q — sin to • x sin (u> -+- a)y , führt man dies in u\-\- vs\ — 1=0 ein, so entsteht: ( cos w • u -h sin tu • v) x -+- [cds (to -+- a) • u -+- sin (a> -+- a) • v\ y — 1 = 0 . Hieraus folgen die Formeln: u' = cos u> • u -y- sin o> • v , v' = cos (u> -t- a) • u -I- sin (10 + a) • v. Sie dienen dazu, die Coordinaten der Geraden im schiefwinkeligen Systeme aus denen im rechtwinkeligen zu berechnen. Multiplicirt man die erste dieser Formeln mit + sin (u> + a), die zweite mit — sin 0 ) und addirt, so erhält man 3. sin (u> + a) • u' — sin cd • v' = \sin (cd -f- a) cos cd — cos (cd - 4 - a) sin cd] u Multiplicirt man ferner die erste Gleichung in 1. mit —cos (cd -+- a), die ü und addirt, so entsteht a) u' -f- cos cd • v' = [— sin cd • cos (cd + a) -+- sin (cd 4 - a) cos cd] v . Aus den Gleichungen 3. und 4. gehen die gesuchten Transformationsformeln hervor: andere mit cos 4. — cos (cd h 5 . 1 sinn. 1 sind [sin (cd + a) • u' — sin cd • v'\ [— cos (cd a) u' -+- cos cd • v'\. 6 ’ 8 4 Analytische Geometrie. 13. Wir entwickeln nun noch die Gleichungen der Ellipse und der Hyperbel in Bezug auf ein Coordinatensystem, auf dessen Achsen conjugirte Dia- meter liegen. Ist ?«i- 2 -+- nt? — 1 = 0 die Gleichung der einen und der andern Curve in Bezug auf die Symmetrieachsen, und sind x, y die Goordinaten eines Punktes für das schiefwinkelige System, so hat man in m ij 2 -f- nr ] 2 — 1 = 0 die Werthe für äj, i\ einzusetzen, die man aus den Formeln No. 10, 3. erhält, wenn man darin x, y, x', y' gegen r r x, y vertauscht. Wie man sieht, erhält man eine Gleichung von der Form: 1. Mx 2 H- INxy -+- Py 3 — 1=0. Von dieser Form also ist die Gleichung einer Ellipse oder Hyperbel in Bezug auf ein beliebiges schiefwinkeliges Coordinatensystem, das den Mittelpunkt der Curve zum Nullpunkte hat. Eine Gerade T, die der W-Achse parallel ist und von der F-Achse die Strecke OB — ß abschneidet, hat die Gleichung y = ß. Setzt man diesen Werth in 1. ein, so erhält man 2. Mx 3 -+- 2 N$x -+- Pß 2 — 1=0, also eine gemischt quadratische Gleichung in x, deren beide Wurzeln die Strecken BC und BC sind, welche die Curve von der Geraden T abschneidet. Sind nun die Richtungen der Achsen conjugirt, so sind die Strecken BC und BC' für jeden Werth von ß entgegengesetzt gleich, die Gleichung 2. also ist rein quadratisch. Dies trifft nur dann ein, wenn N= 0. Die Gleichung einer Ellipse oder Hyperbel in Bezug auf conjugirte Dia- meter als Achsen lautet also: 3. Mx 3 + Py 2 — 1=0. Bezeichnet man mit A t und B j die Schnittpunkte der Ellipse mit der positiven X- und F-Achse, und die Coordinaten von A l : x — a x , jy = 0 (M. 399.) setzt OA 1 = a x , OB t = b lt so sind „ „ = 0, y = b x . Setzt man diese Werthe in die Gleichung 3. ein, so erhält man Ma j 2 — 1 = 0, also M — 1 : a? , Pb? — 1=0, P = 1 : b, Daher ist die Gleichung der Ellipse für zwei conjugirte Diameter: x 2 y 2 4 - ^7 + ^7 -1 = 0 - Bei der Hyperbel fragen wir zunächst nach den Asymptoten. Dividiren wir die Gleichung 3. durch x 2 , so entsteht 0 . 1 Setzen wir x = oo, so verschwindet das letzte Glied und man erhält x = ± V~7- Die unendlich fernen Punkte der Curve 3. liegen also auf den beiden Geraden, deren Gleichungen sind § 9- Transformation der Coordinaten. 85 Diese Geraden sind die Asymptoten der Curve. Für die Ellipse ist — M\P-= — äj S :b j 2 , die Asymptoten sind also imaginär. Die Hyperbel hingegen hat reale Asymptoten, also ist für die Hyperbel der Quotient — M: P positiv; folglich haben M und P ungleiche Zeichen. Man kann nun die Bezeichnung der Coordinatenachsen immer so wählen, dass M positiv, P negativ ist. Setzen wir zur Verdeutlichung dessen: M=l: a 2 , P = —\:b?, so erhält die Hyperbel die Gleichung x 2 y 2 7 } — 7 } = 1 ‘ Die AT-Achse wird von der Hyperbel in den realen Punkten geschnitten, für welche y = 0 und daher x — ± a ist. Die F-Achse wird in imaginären Punkten geschnitten, deren Ordinaten y = ± b, }/ — 1 sind. Die Asymptoten haben die Gleichungen y _ b x sie schneiden daher von den Hyperbeltangenten, die parallel der F-Achse sind, die Strecken ± b l ab (vom Tangentialpunkte aus gerechnet). 14. Die Gleichung einer Hyperbel in Bezug auf ihre Asymptoten kann in folgender Weise erhalten werden. Sind OX und OY die Asymptoten und ist P ein Hyperbelpunkt, so ist bekanntlich (§ 3, 6) b 2 1 . S 2 P-PS, = cos 1 a sin (1 sin 7 wenn mit a der halbe Winkel der Asymptoten und mit ß und 7 die Winkel OS 2 S 1 und S 2 S 1 X bezeichnet werden. Nun ist S 2 P\P"P= ««2a:«»ß, PS , : P'P = sin 2a: sin 7, also, wenn man x und y für P'P und P"P setzt: S 2 P- PS, sin* 2 a = • 0 ■ — • xy ■ smp sin~{ Setzt man dies in 1. ein, so erhält man cos 2 a X y sin 2 2a oder, da Y sin 2 2a = 4 cos 2 a sin - a: ( M - -loo.) b 2 2 ' ^=4Ä- Für die gleichseitige Hyperbel hat man b = a, a = 45°, daher 4 sin 2 a = \ und die Gleichung in Bezug auf das in diesem F’alle orthogonale Coordinatensystem der beiden Asymptoten wird daher xy — l a 2 . 86 Analytische Geometrie. § 10. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in Liniencoordinaten. 1. Unter einer Curve »ter Ordnung versteht man eine Curve, deren Gleichung in Punktcoordinaten vom «ten Grade ist; unter einer Curve «ter Klasse versteht man eine Curve, deren Gleichung in Liniencoordinaten vom »ten Grade ist. Die Linie erster Ordnung ist die Gerade; das Gebilde erster Klasse ist der Punkt. 2. Die allgemeinste Gleichung einer Curve zweiter Ordnung ist: 1. ax 2 -h 2bxy-h cy 2 -h 2dx-h 2cy-h/= 0; Die allgemeinste Gleichung einer Curve zweiter Klasse: 2. . 4- cv 4- e)y' 4- «p. 2 4- 2b\ iv 4-rv 2 4-2*/p.4-2£v4-./=0. Dies zeigt: Bei einer Verschiebung der Coordinatenachsen werden die Coefficienten der drei quadratischen Glieder einer Gleichung zweiten Grades in Punktcoordinaten nicht geändert. Man überzeugt sich leicht, dass eine ähnliche Bemerkung auch für alle Gleichungen höheren Grades gilt. 4. Wir wollen nun das neue Coordinatensystem so wählen, dass die Coefficienten im vierten und fünften Gliede der transformirten Gleichung verschwinden. Dies erfolgt, wenn ßp. 4- b'i = — d, bp 4 - cv = — e. Multiplicirt man daher die erste Gleichung mit — c, die zweite mit b ; dann die erste mit b, die andere mit — a und addirt jedesmal die beiden multiplicirten Gleichungen, so erhält man die Lösungen cd—be _ ae—bd ^ b 2 — ac’ v b 2 — ac' 5. Der Punkt, der diese Grössen (j. und v zu Coordinaten hat, ist zum Nullpunkte eines neuen Coordinatensystems untauglich, wenn er unendlich fern ist. Dies tritt dann ein, wenn 3. b 2 — ac = 0, ohne dass gleichzeitig die Zähler von p. und v verschwinden. § io. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in Liniencoordinaten. 87 6. Wenn die drei Bedingungen 1 . b 2 —ac = 0, 2 .cd—be = 0, 3. ae — bd= 0 zugleich erfüllt sind, werden p. und v unbestimmt. Aus den Gleichungen b 2 = ac, cd = be folgt durch Multiplication der linken und rechten Seiten b 2 cd — abce . Ist nun weder b = 0, noch c = 0, so ergiebt die letzte Gleichung bd = ae , also folgt dann aus den ersten beiden Bedingungen die dritte. Ist b = 0, so folgt, dass entweder auch c = 0 oder a = 0; im ersten Falle ist dann zugleich 2. erfüllt, im andern zugleich 3.; im ersteren ist also p. unbestimmt und v = 00, im andern ist jx = 00 und v unbestimmt. 7. Wir wollen diese besonderen Fälle zunächst ins Auge fassen, und bemerken noch vorher, dass, wenn b, a und c zugleich Null sind, die Gleichung der Curve aufhört vom zweiten Grade zu sein. a) Ist b — 0, und c — 0, (und a ^ 0), so ist die Gleichung der Curve d cf r ! +2-r+2-H -= 0. a a J a d d 2 c f d 2 Wir schreiben statt dessen x 2 4 - 2—x 4- —« -1- 2— y 4- — — —0 = 0, a a 2 a J a a 2 wofür gesetzt werden kann 1 . (* + T ) 2 + d 2 — af. ) = 0. a' a w 2 ae Verschieben wir die Achsen, so dass der neue Nullpunkt die Coordinaten — d : a und (d 2 — a/):2ae hat, so sind die Transformationsformeln , d , d 2 —af x = x ~ ä' y ~ y 2 ae ■ Setzen wir diese in die Gleichung ein, so entsteht die transformirte Gleichung 2. x' 2 -h 2-y' = 0. a Hieraus folgt (vergl. § 2, 10): Die Gleichung ax 2 +2 dx 2 ey 4- f — 0 ist die Gleichung einer Parabel; der Scheitel derselben hat die Coordinaten — d\a und (d 2 — af ): 2 ae , die Symmetrieachse ist derOrdinaten- achse parallel; die Curve erstreckt sich in der Rieht ung der positiven oder negativen Seite der Ordinatenachse, je nachdem e und a ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben. b) Ist a = 0, b = 0, (und c sg 0), so ist die Gleichung d e V 2 -+- 2 — x + 2 —y £ = 0. c 3. Man kann hierfür schreiben: e s O 7) 2 2 — (* • d 2 - cf. ) 0. c' ' c ' 2 cd Verschiebt man diesmal die Coordinatenachsen so, dass der neue Ursprung die Coordinaten hat (d 2 — cf ): 2c d und — e : c, so ergiebt sich d . 4. y ' 2 -4- 2 — x = 0. J c Die Gleichung cy 2 4 - 2 dx 4-2 ey -h f = 0 ist daher die Gleichung einer Parabel, deren Scheitel die Coordinaten (d 2 — cf ): 2 cd und — e: c hat, und die sich in der Richtung der positiven oder negativen Seite der Abscissenachse erstreckt, je nachdem die Coefficienten d und c ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben. 8. Sind a, b, c von Null verschieden und ist zugleich 88 Analytische Geometrie. 1. b 2 — ac — 0, 2. cd — be = 0, also auch 3. ae — bd = 0, so schreibe man die Curvengleichung a (x 2 -+- 2 ^ xy + ^y 2 ) + 2d(x + ^y) +/ = 0, und setze dann c = b s : a, und (nach 3.) e : d = b : a\ man erhält a ( x -+- ~yY + 2 d(x -h ^y) -4- / = 0, und nach Multiplication mit a\ 4. (ax-\-by) 2 -4- 2d(ax + by) -4- af — 0. Setzt man abkürzend ax -4- by — S, so erhält man: 5. S 2 -4- 2 dS -4- af = 0. Die linke Seite lässt sich in zwei bezüglich S lineare Faktoren zerlegen, die man durch Auflösung der quadratischen Gleichung 5. erhält. Die Wurzeln dieser Gleichung sind — d H- ]/V 2 — af und — d — “| /d 2 — af, daher gilt die Identität S 2 4- 2ds -h af ss (S + d — ( S + d -4- >/ d 2 — af). Setzt man für A wieder ax + by, so hat man nun 4. umgestaltet zu 6. (ax -4- by -4- d — f/d 2 — af) (ax + by + d -4- — af) = 0. Diese Gleichung löst sich in die beiden linearen auf: 7. ax + by -+- d — )/r/ 2 — af — 0, 8. ax 4- by -4- d + d 2 — af — 0. Ist also b 2 —- ac = 0, cd — be — 0, und ae — bd — Q, so stellt die Gleichung ax 2 + 2 bxy -+- cy 2 + 2 dx -t- 2 ey -4- f — 0 zwei parallele Gerade dar, welche die Gleichungen haben: ax -1- by -t- d — - d 2 — af = 0, ax -4- by -4- d + fd 2 — af — 0. Ist d 2 —af < 0, so sind diese Geraden conjugirt complex; ist d 2 — af = 0, so fallen sie in eine Gerade ax -\- by + d = 0, und die linke Seite der Curvengleichung ist die zweite Potenz der linearen Function ax -4- by -t- d) ist d 2 — af > 0, so sind die Geraden real und von einander verschieden. 9. Ist b 2 — ac = 0, und cd — be, sowie ae — bd von Null verschieden, so multipliciren wir die Curvengleichung 1. ax 2 -4- 2 bxy -4- cy 2 -4- 2 dx + 2 ey + f — 0 zunächst mit «und ersetzen dann ac durch b 2 ; wir erhalten dann a 2 x 2 -f- 2 ab xy + b 2 y 2 + 2 adx -4- 2 aey + af = 0, oder 2. (ax -4- by) 2 -4- 2 adx -+- 2 aey af = 0. Es liegt nun nahe, nach einer solchen Drehung des Coordinatensystems zu suchen, durch welche der Klammerinhalt ax -4- by durch ein Vielfaches einer Coordinate allein ersetzt wird, z. B. durch ein Vielfaches von x'. Aus den für eine Drehung des Systems geltenden Formeln § 9, No. 4 x = cos io x' — sin tu y’ y = sin m x' -4- cos ( u y' folgt ax -4- by — (acos tu + bsin 10 ) x' — (asin t» — bcos m)y'. Soll dies nur ein Vielfaches von x' sein, so muss der Coefficient von y' verschwinden; man hat also für tu die Bedingung 3. asm (o — bcos to = 0. Setzt man den hieraus folgenden Werth sin tu — bcos<»',a in die Gleichung (os 2 <0 -4- sin 2 <0 = 1 ein, so erhält man § io. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in Liniencoordinaten. 89 4. ci/t u> == . .■.. , zin tu —• .-- ■fa 2 4 - b 2 I /a 2 - 4 - b 2 Da es genügt, einen Winkel 2 ]/« 2 4 - b 2 Die Curve ist daher (No. 7, a) eine Parabel, deren Achse parallel der F'-Achse ist. Die Coordinaten des Parabelscheitels im System X'O Y' sind: ad 4 - be , a(ad-hbe) 2 — (a 2 4 - b 2 ) 2 f ’ = ~2(ae — bd) ■ i/a 2 4 - b 2 ' 3 ‘ 6 . x = — a - -\/a 2 + b 2 ' c Die Coordinaten des Scheitels im ursprünglichen System ergeben sich aus x' und y durch die Transformationsformeln: 7. x = — -z=L^r^-. _ (ax 1 — bv') , y = —p—~----{bx' ay'). ]/a s -h b 2 ^ J ia- 4 - b 2 V Man erhält: •* = 2 J^Tb^j^f^-Jd) [— 2a 2 (ad+be)(ae~ bd)-ab(ad+be) 2 +bf(a 2 +b 2 ) 2 }. Hieraus findet man durch einfache Rechnung: 0 (a 2 4- b 2 ) 2 bf — a (ad 4- be) [e (a 2 4- b 2 ) 4- a (ae — bd)] 8. * = 2jei 2 ~T~b 2 ) 2 ^(aT^bd) Ebenso ergiebt sich — (a 2 4 - b 2 ) 2 af 4- a (ad 4- be) [d(a 2 4 - b 2 ) — b (ae — bd)\ y ‘i (a 2 + b 2 ) 2 (ae — bd) Wenn daher b 2 — ac = 0, und ae — bd und cd — be von Null verschieden sind, so ist ax 2 4- ‘Ibxy 4- cy 2 4- 2 dx 4- 2 ey 4- f = 0 die Gleichung einer Parabel, deren Achse mit der F-Achs e den Winkel u> bildet, für welchen cos o> = a : i /a 2 4- b 2 , sin , je nachdem a(ae — bd) negativ oder positiv ist. Ist also b 2 — ac = 0, so bedeutet die Gleichung ax 2 4- 2 bxy 4- cy 2 4- 2 dx 4- 2 ey 4- f — 0 entweder eine Parabel, oder zwei parallele reale oder conjugirt complexe Gerade, oder eine (zwei zusammenfallende) Gerade. 10. Ist b 2 — ac von Null verschieden, so geben die Formeln No. 4, endliche Werthe für ja und v, und wir können die beabsichtigte Verschiebun des Coordinatensystems ausführen. Die transformirte Gleichung ist ax' 2 4- 2i hx'y’ 4- cy' 2 4- /' = 0, f = ö[A 2 4- 2^p-v 4- cv 2 4- 2 d\s. 4- Sfv 4- f wobei ©1 bo 90 Analytische Geometrie. Setzt man x = rcos cp, y = rsin cp, so findet sich z" 2 (a cos' 1 cp 2 b cos r f sin cp -+- c sin 2 cp) 4- f' — 0, also eine Gleichung für r, die für jeden Werth von cp rein quadratisch ist und daher für jedes

0, so sind diese Geraden real, ist b 2 — ac < 0, so sind sie conjugirt complex. 13. Ist 7 von Null verschieden, so suchen wir die Gleichung ax' 2 4- 2 bx'y' 4- cy' 2 4- f = 0 durch Drehung des Coordinatensystems um den Nullpunkt weiter zu vereinfachen Werden die Coordinaten im neuen System durch r) bezeichnet, so ist x' = cos us ■ ü — sinm ■ 7] ; y = sin us • $ 4- cos <*>•»), also: x' 2 = cos 2 u> £ 2 — 2 cos us sinus • 4 - sin 2 us • r} 2 x'y' = cos us sin so wählen, dass der Coefficient h verschwindet, also gemäss der Gleichung b (cos 2 10 — sin 2 w) — (a — c) cos u> sin iu = 0. Hieraus folgt, wenn wir cos 2 & — sin 2 m durch cos 2 (o, und cos ; einer derselben liegt innerhalb — 90° und -+- 90°, die anderen sind von diesem um ganze Vielfache von 180° verschieden. Da es nur darauf ankommt, einen Winkel zu haben, der der Gleichung 4. genügt, so wollen wir den auswählen, der zwischen —90° und -+- 90° liegt, so dass cos 2 10 positiv ist. Für die Coefficienten g und k kann man zunächst schreiben g = a cos 2 <0 -+- b sin 2. Aus 6 . folgt: g — k = (a — c) cos 2m • sin 2u> -+- 2 b sin 2 2u> sin 2 to Nun ist nach 4. (a — c) sin 2u> == 2 b cos 2( 0 , also wird , 2b cos 2 2 (o -+- 2 b sin 2 2 (o 2 b g — k = - sin 2 a sin 2(o Ferner ist sin 2(o = VI "j/l -+- bang 2 2 (o = lang 2to -+- tang 2 2 (o ’ und nach 4. -y a 2 -+- c 2 — 2 ac -+- 4 b 2 a —c r = V( a + c ) 2 + 48 ■ Daher hat man 7. ^ — k = -+- z ) 2 -I- 48 . Aus dieser Gleichung und aus 5. erhält man nun die Coefficienten 8 . g = ^ (a -H c i(a -f- f ) 2 + 4o) 9. k = ^ (a -I- t: — y(a + c ) 2 +46) . Die Gleichung der Curve können wir nun schreiben — y, i 2 — 4 v ) 2 — 1 = 0, oder, da /' = : — gS —kS 10. — 2 - 5 2 H-ri 2 — 1 = 0. Tf 7 14. Wir haben nun zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die Coefficienten von ? 2 und rj 2 positiv oder negativ sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir voraussetzen, dass a positiv ist. A. Ist 6 = b 2 — ac negativ, so muss c positiv sein; die Grösse VW -h c) 2 -+-48, die nach der über tu gemachten Voraussetzung positiv zu rechnen ist, ist dann kleiner als a -+- c, mithin sind g und k positiv. a) Ist nun 7 positiv, so sind die Quotienten (—^ 6 ) : 7 und (— kS) : 7 beide positiv, und wir können setzen 92 Analytische Geometrie. 1 . 2 . k8 7 a 2 Die Curvengleichung wird dann: Z 2 7) ß 2 1 - o, die Curve ist also eine Ellipse mit den Halbachsen a und ß. b) Ist hingegen 7 negativ, so sind die Quotienten (—£-3) : 7 und (— ko) : y beide negativ; die Gleichung -<£•§ Z 2 ■k8 1 = 0 ist dann für reale I T Werthe von Z und t] nicht erfüllbar. Man kann formal die Gleichung mit 2. in Uebereinstimmung bringen, nur dass a 2 und ß 2 negative, a und ß also imaginäre Werthe haben müssen, und bezeichnet sie demgemäss als die Gleichung einer imaginären Ellipse, von der man dann sagen kann, dass sie zwar keinen realen Peripheriepunkt habe, dass aber doch ihr Mittelpunkt real sei; auf jedem durch diesen realen Mittelpunkt gezogenen Strahl (Diameter) liegen zwei conjugirt complexe Punkte der imaginären Ellipse. B. Ist 8 = b 2 — ac positiv, so ist Y(a -h c) 2 + 48 grösser als der absolute Werth von a -1 - c; also ist g positiv und h negativ. Ist nun y negativ, so sind die Quotienten (—£- 6 ) : y > 0, (— ko) : y < 0. Ist hingegen y positiv, so hat man (— g8) : y < 0, (— k8): y > 0. Im ersten Falle kann man setzen im andern Falle: (— g8) : y — — 1 : Die Curvengleichung wird also im ersten Falle: im andern Falle: (- -go) : 7 = 1 : a 2 , (— kd): y = — 1 : ß 2 ; , (— k8) : 7 = 1 : ß 2 . 1 ! a 2 ü r, 2 - h - 1 = o; ß 2 V ß 2 — l o. Die Curve ist in beiden Fällen eine Hyperbel; im ersten Falle liegt ihre Hauptachse auf der Abscissenachse, im andern auf der Ordinatenachse. 15. Wir fassen die Ergebnisse dieser Untersuchungen übersichtlich zusammen. Die Gleichung F ^ ax 2 ‘Lbxy -+- cy 2 + 2 dx 4 - 2 ey + f — 0 stellt eine Gerade, zwei parallele Gerade, eine Parabel, zwei sich schneidende Gerade, eine Ellipse oder eine Hyperbel dar. A. a) Ist b = 0, c — 0, die anderen Coefficienten von Null verschieden, so ist Fs= 0 die Gleichung einer Parabel, deren Scheitel die Coordinaten d , d 2 — af — und a 2 ae hat, deren Achse der Ordinatenachse parallel und deren Parameter ± e : a ist; die Curve erstreckt sich entlang der positiven oder negativen Seite der Ordinatenachse, je nachdem e und a ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben. b) Ist & = 0, b — 0, die anderen Coefficienten von Null verschieden, so ist F= 0 die Gleichung einer Parabel, deren Scheitel die Coordinaten d 2 —cf e —S—-Y— und — — 2 cd c hat, deren Achse der Abscissenachse parallel und deren Parameter ± d : c ist; die Curve erstreckt sich entlang der positiven oder negativen Seite der Abscissenachse, je nachdem d und c ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben. B. Sind a, b, c von Null verschieden und ist zugleich 8 s== b 2 —ac = 0, cd—be = 0, also auch ae — bd — 0 , so ist aF = 0 das Produkt der Gleichungen der beiden parallelen Geraden; § io. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und Linien coordinaten. 93 ax - 4 - by 4 - d — Yd 2 — af — 0, ax 4- by 4 - d 4 - j/ d 2 — af = 0. Ist d 2 — af < 0, so sind sie conjugirt complex; ist d 2 — af = 0, so fallen sie in eine Gerade zusammen, deren Gleichung ist ax ->r by d = 0; ist d 2 — af > 0, so sind die beiden Parallelen real und von einander verschieden. C. Sind a, b, c von Null verschieden, und 8 = b 2 — ac = 0, cd — be 0, ae — bd^O, so ist F = 0 die Gleichung einer Parabel; die Achse derselben ist der Geraden O V parallel, für welche und die Curve erstreckt sich entlang der positiven oder negativen Hälfte der Geraden OY', je nachdem a(ae — bd) negativ oder positiv ist. Die Coordinaten des Parabelscheitels sind (a 2 -+- b 2 ) 2 bf — a(ad 4 - be) (e (a 2 4 - b 2 ) -+- a (ae — bd)) x ; 2(a 2 * b 2 )- [ae — bd) — (a 2 4- b 2 ) 2 af -P a(ad 4- be) (d(a 2 4 - b 2 ) — b(ae — bd)) 2(a 2 4- b 2 ) 2 (ae — bd) y = Der Parameter stimmt dem absoluten Werthe nach mit }/a 2 -p b 2 überein. D. Ist 0 s 2 = b 2 — ac von Null verschieden und 1 = ae 2 -p cd 2 — 2bde -P (b 2 — ac)f = 0, so zerfällt tf^in zwei lineare Faktoren; die Curve F = 0 zerfällt in die beiden Geraden: ax -p (b — ~fb 2 — «7)j v -P d -p (ae — bd)\~^b 2 — ac — 0, ax -P (b + Yb 2 — ac)y 4- d — (ae — bd): yb 2 —■ ac = 0. Diese Geraden sind real oder conjugirt complex, je nachdem b 2 — ac positiv oder negativ ist; ihr Schnittpunkt hat die Coordinaten « = (cd — be): 8, y = (ae — bd) : 8, und ist in jedem Falle real. E. Ist a > 0, b 2 — ac < 0, und ■( 5g 0, so ist F = 0 die Gleichung einer Ellipse. Das Centrum derselben hat die Coordinaten x — (cd—be): 8, y — (ae — bd):8\ eine Halbachse hat die Länge und bildet mit der Abscissenachse einen zwischen — 45° und 4 - 45° liegenden 2 b Winkel < 0 , für welchen tang 2u> = die andere Halbachse hat die Länge Die Ellipse ist real oder imaginär, je nachdem der Zähler im Radicanden negativ oder positiv ist. F. Ist a > 0, b 2 —ac > 0 und 7 ^ 0, so ist F = 0 die Gleichung einer Hyperbel. Je nachdem 7 se ae 2 4- cd 2 — 2 bde 4 - (b 2 — ac)f 0, bildet ihre Hauptachse entweder mit der Abscissenachse den zwischen — 45° und 4 - 45° 2b liegenden Winkel, für welchen tang 2 m = oder einen um 90 ° g rösseren Winkel. 94 Analytische Geometrie. Im ersten Falle ist die halbe Hauptachse: die halbe Nebenachse: Im andern Falle ist die halbe Hauptachse: die halbe Nebenachse: a = ß = a = V V /■ V 2 (ae 2 -\-cd 2 — 2 bde -t- 8 f) 8 (a -+- c -4- /(« + «)*-t- 4 8) 2 (ae 2 cd 2 — 2 bde -(-8/) 8 (a -+- c — e) 2 -h 4 8) 2 (ae 2 -+- cd 2 — 2 bde +8 f) 6 (a + c — Y(ä -+- d) 2 — 4 8) 2 (ae 2 -+- cd 2 — 2 bde -t- 8 f) 8 (a -4- c -+■ Y(a -4 -c) 2 — 4 8) 16. Wir wenden uns nun zur Transformation der Gleichung zweiten Grades in Liniencoordinaten O = a u 2 -+- 2 fyuv -+- ~jV 2 -4- 28u -4- 2ez> -4- x = 0. Wenn in der Gleichung einer Curve in Punktcoordinaten das von veränderlichen Faktoren freie letzte Glied der linken Seite verschwindet, so wird der Gleichung durch die Coordinaten x = 0, y = 0 genügt; das Verschwinden dieses Gliedes bedeutet also , dass der Nullpunkt auf der Curve liegt, sagt aber für die Gestalt der Curve Nichts aus. Ganz andere Bedeutung hat es, wenn das von veränderlichen Faktoren freie letzte Glied der linken Seite in einer Curvengleichung für Liniencoordinaten gleich Null ist. Dann wird der Curvengleichung durch u — 0, v = 0 genügt, und diese Coordinaten gehören einer unendlich fernen Geraden der Ebene an, da u und v die Werthe 1 : OS x und 1 : OS 2 haben, ihr Verschwinden also unendlich grosse Werthe von OS l und OS 2 bedingt. Bei unserer Coordinatenbestimmung ist nur für dies eine Coordinatenpaar u = v ■= 0 die zugehörige Gerade unendlich fern; übertragen wir die Aussage, dass für endliche Coordinatenwerthe zu jedem Paar Werthe von u und v nur eine Gerade gehört, auch auf den Grenzfall u = v = 0, so haben wir nicht von mehreren, sondern nur von einer unendlich fernen Geraden zu sprechen. Wir finden daher: Wenn das von veränderlichen Faktoren freie Glied auf der linken Seite der Gleichung einer Curve in Liniencoordinaten gleich Null ist, so wird die Curve von der unendlich fernen Geraden berührt. 17. Wir betrachten zunächst den Fall, dass x 3g 0, also die Curve 0 = 0 keine unendlich ferne Tangente hat. Wir transformiren zunächst die Gleichung durch Verschiebung des Coordinatensystems. Sind (x, v die Coordinaten des Nullpunktes des neuen Systems, so sind bekanntlich die Transformationsformeln: u' v' 1 + y.u' +vp" 1-4- \iu' -t- vz<' ’ Also hat man die transformirte Gleichung nach Multiplication mit (1 + p.»'-|-vz/') 2 : 1. au' 2 -t- 2ß«V -+- fv' 2 -+- 2 (8u' -+- zv') (1 -4- |xz/ -4- vz»') + *(l-t- pu' -t- vz>') 2 = 0 oder geordnet: 2. (a -+- 28p. -4- xp 2 ) u' 2 -4- 2 (ß -4- ep H- 8v -+- xpv) u'v' —t— (7 -4- 2sv -4— xv 2 )^ 2 -4- 2 (8 -4- xp) u' -(— 2 (s —t- xv) v' -4- x = 0. Wir wollen nun das neue System so wählen, dass die Coefficienten von u' und v' in der transformirten Gleichung verschwinden, dass also 3. 8 -4- xp = 0, s + xv = 0. § IO. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in Liniencoordinaten. 95 4. 5. 6 . 7. Dies tritt ein, wenn 8 e ^ X ’ V X Führt man diese Werthe in die Coefficienten der Gleichung 2. ein, so erhält man ,2 a xji4 = 2 S (jl ß 4 - e[x -t- 8 v -+- X|zv = ax — 8 2 2 ev „2 = 7* 8 . Die transformirte Gleichung wird daher nach Multiplication mit x zu: (ax — 8 2 ) u' 2 4- 2 (ßx — 8e) u'v' 4- (7X — e 2 ) v' 2 4 - x 2 = 0 . 18. Legt man durch den Nullpunkt eine Normale N zu einer Geraden T, und bezeichnet den Winkel XON mit tp, und die vom Nullpunkte bis zur Geraden T reichende Strecke mit r, so ist, wenn S x und S 2 die Spuren von T auf den Achsen sind, bekanntlich OS x = r \ cos tp, OS 2 = r : sint p, mithin hat T die Coordinaten u = cos< p : r , v = sin y : r . Setzt man diese Werthe in die Gleichung 8. der vorigen Nummer, so erhält man nach Multiplication mit r 2 \ (ax — 8 2 ) cos 2 • U — sin co • V v' = sin ut • U 4- cos — sin 2 tu) UV — sin tu cos m V 2 z;' 2 = sin 2 io U 2 4- 2 sin <0 cos u> UV 4- cos 2 us V 2 . Schreibt man für die letzte Gleichung in No. 17 abkürzungsweise 3. a ’u' 2 4- 2ßVz/ 4- 7V 2 4- x 2 == 0 und setzt nun die Werthe 2. ein, so erhält man die transformirte Gleichung p U 2 4- 2aUV-i- x V 2 4- x 2 = 0, wenn 4. p = a' cos 2 10 4- 2 ß' cos <0 sin <0 4- 7 1 sin 2 u> f 2 4- 7' cos 2 w . Wir wählen nun <0 so, dass 3 verschwindet, also dass — a' cos ui sin m 4- ß r (cos 2 den zwischen — 90° und 4- 90° liegenden Winkel, der dieser Gleichung genügt, so dass also co zwischen — 45° und 4- 45° liegt und cos 2u), mithin auch "[/1 — tang 2 2 i/ 4- 2 ß' rzzz 2 2 <0 oder in Rücksicht auf 7. p — T Daher hat man s in 2 <0 ’ 2ß'rgr 2 2»> 4- 28' wz 2 2 o _ 28' sin 2 t = i(a' + 7 ' -VV -l’) 2 + 4ß' 2 ); oder, wenn man a' 8 ' 7 ' durch die Coefficienten a, ß, . . . ersetzt: 14. p = £[(a 4 - 7 ) x — S 2 — s 2 4- Y[(a — 7 ) x — ( 8 2 — £ 2 )] 2 4- 4 (ßx — oe) 2 ], 15. x = -^- [ (a 4- 7 ) x — 8 2 — £ 2 — ^/[(a — l) x — (o 2 — £ 2 )] 2 4 - 4 ( 8 x — 8 e) 2 ]. Die transformirte Gleichung ist p £/ 2 4- x F 2 4- x 2 = 0, oder nach Division durch — x 2 : 16. — P U 2 F 2 — 1 = 0 . 20. a) Sind p und x beide negativ, so kann man setzen — T hat also =**• und die Gleichung 16. geht über in d 2 U 2 + b % V i _ 1 _ 0 . b) Sind p und x beide positiv, so kann der Gleichung 16. durch reale Werthe von U und F nicht genügt werden. c) Wenn p und x nicht gleiche Zeichen haben, so kann, da p —x positiv ist, nur p positiv und x negativ sein. Setzen wir in diesem Falle so dass also _P_ *2 = so geht die Gleichung 16. über in — «2 ui 4 - b 2 F 2 — 1 = 0 . d) Der Radicand in den Formeln 13. kann umgeformt werden: (Y _ t ')2 + 4ß'2 == (V + 7')2 + 4 (ß'2 _ a y) . Durch die ursprünglichen Coefficienten ausgedrückt, ist, was schon in 14. und 15. benutzt wurde, a' 4- 7 ' = (a 4 - 7 ) x — ( 6 2 4- s 2 ) und 8' 2 — “Y — (ß x — °s ) 2 — ( a * '— ® 2 ) (l* — e2 ) • Ist nun 8 ' 2 —a' 7 ' von Null verschieden, so verschwinden weder p noch x, ist aber ß' 2 — «' 7 ' = 0 , und a' 4 - 7 ' > 0 , so ist p = a' 4 - 7 ', x = 0 . § io. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in Liniencoordinaten. 97 Ist ß ' 2 — (xY = 0, und a 1 + y < 0, so ist p = 0, t = a' 4 - 7 '. Die Curvengleichung wird in dem einen Falle: (a' + 7 ’) £/*+x ! = 0 und kann, da beide Glieder der linken Seite positiv sind, durch reale Gerade nicht befriedigt werden; man erhält aus ihr die imaginären Werthe x 1 . U= ± 1/ — («' + 7')’ also zwei imaginäre Punkte der neuen Abscissenachse, vom Nullpunkte des neuen Systems um ± ]/ - (x' + 7'); x entfernt. Im andern Falle hat man (a r 4 - 7 ') F 2 4 - x 2 = 0 und kann setzen (a'+y') = — b 2 , so dass die Gleichung entsteht: b 2 F 2 — x 2 == 0, aus welcher folgt: 2 . Die Curve zerfällt daher in zwei reale, auf der neuen Ordinatenachse gelegene Punkte. 21. Ist x = 0, die Curvengleichung somit 1. au 2 2 §uv -t- 7 v 2 4- 28 u 4- 2ez> = 0, so suchen wir zunächst durch Drehung des Coordinatensystems die Gleichung zu vereinfachen. Die Transformationsformeln u = cosm • u' — sin 4- 2 Qcostasinio 4- 'S sin 2 u> ■ 1 (aS 2 4- 2ßos 4 - 7 E 2 ) g ß' s (a — 7 ) cosmsim» — ß («v 2 cd — sin 2 us) = £ 2 + g ?[( a ~l)^ £ + ß(s 2 — 8 2 )] 7 ' = arz # 2 a) — 2 ßzww «zzui 4 - 7 cos 2 m = ~ 2 gä (ae 2 — 2ß8s 4 - 78 2 ) 8' 33 ys 2 4- e 2 . 22. Hierauf verschieben wir die Coordinatenachsen, so dass der Nullpunkt des neuen Systems die Coordinaten p., v hat. Bezeichnen U, V die Coordinaten im neuen Systeme, so haben wir die Transformationsformeln U . V ~ 1 -+- pU+ vF’ Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. V = 1 4 - p. 4 - vF’ Analytische Geometrie. also die transformirte Gleichung, nach Multiplication mit (1 (- p. U -t- v F”) 2 a'U 2 _ 2 ß'f/F-P y'F 2 -p 25'(l + [JiC^-f-vF)6 r =0, oder geordnet 1. (a' -p 2S r (j.) U 2 — 2(ß' — 8V)£/F + y'F 2 -p 2S'I7 = 0. Wir wählen nun den Nullpunkt des neuen Systems so, dass die Coefficienten von U 2 und UV verschwinden, haben also für p. und v die Gleichungen: a' + 28'p. = 0, ß'—6'v = 0, aus denen die Werthe folgen: a’ 3' 2. P = 2S 7 ’ ^S 7 ’ Diese Transformation ist nur dann nicht möglich, wenn 8' = 0, und dies kann nach den Formeln 6. in No. 21 nur eintreten, wenn e und 8 zugleich Null sind. Diesen besonderen Fall werden wir am Schlüsse betrachten. Setzt man aus No. 21, 6. die Werthe ein, so hat man 3. 4. ao ‘ F = ~ 2ß8s -t- -je 2 (a — 7)8e -p ß (s 2 — 8 2 ) 2 y e /P Die Gleichung 1. geht nun über in (as 2 — 2ß8s -+- y6 2 ) • F 2 - 2 y e U= 0. Dies ist (§ 4, No. 3) die Gleichung einer Parabel mit dem Parameter p = ± ■ 2 ß 6 s 1. ]/P + E 2 23. Ist x = e = 8 = 0, so reducirt sich die Curvengleichung auf: a u 2 -t- 2ß«z/ -P yv 2 = 0. Die linke Seite zerfällt nach Multiplication mit a in die beiden linearen Faktoren a« -P (ß — 4/ß 2 — ay)v und au -p (ß + -j/ß 2 — a y)v , die Curven- gleichung zerfallt also in die linearen Gleichungen 2. a« -p (ß — l/ß 2 — *7) v — 0, 3. a« -p (ß -P l/ß 2 — ay)v = 0. Dies sind die Gleichungen zweier unendlich fernen Punkte (§4, No. 2); ist ß 2 — ay > 0, so sind dieselben real und verschieden; ist ß 2 — ay = 0, so sind sie real und fallen zusammen; ist ß 2 — ay < 0, so sind sie conjugirt complex. 24. Wir fassen die Ergebnisse der Untersuchung der Gleichung = 0 nochmals zusammen: A. Ist in der Gleichung O == au 2 -P 2ßuv -P yv 2 -P 26« -P 2ez> -P x = ü die Zahl x von Null verschieden, und haben die Grössen P i K a ■+■ i) x — s 2 — e2 ■+■ y{{ a — ’ö x — ^ 2 + e2 ) 2 + 4 (ß* — s e) 2 t = | [(a + ■() x — 6 2 — e 2 — j/((a — y) x — 8 2 -+- e 2 ) 2 -p 4 (ßx — 6s) 2 ] gleiches Vorzeichen, so ist die Curve = 0 eine Ellipse; der Mittelpunkt hat die Coordinaten x = — 8:x, y = — e:x, oder die Gleichung du -P zv -P x = 0; die Halbachsen haben die Längen a = j/— p : x, £ = )/— x : x. Der Winkel = t -x-—»• ° (a — y) x — o' + d Sind p und x negativ, so ist die Ellipse real; sind p und x positiv, so ist die Ellipse imaginär; der Mittelpunkt ist in jedem Falle real. B. Ist x von Null verschieden und p positiv, x negativ, so ist die Curve = 0 eine Hyperbel. Der Mittelpunkt hat die Coordinaten x = — 6 : x, §n. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. 99 y = — s : x, die halbe Hauptachse und Nebenachse sind x : x und y^p : x; der Winkel der Abscissenachse mit der Nebenachse ist der zwischen — 45° und 45° enthaltene Winkel, der der Gleichung genügt: ta ng 2 u> = 2 (ß x — de) (a — 7 ) x — S 2 4- e 2 ' C. a) Ist x = 0, so ist <1> = 0 die Gleichung zweier conjugirt complexen Punkte; dieselben sind auf der realen Geraden enthalten, mit welcher die Abscissenachse den Winkel u> bildet. b) Ist p = 0, so ist = 0 die Gleichung zweier realen Punkte, mit deren Geraden die Ordinatenachse den Winkel tu einschliesst. Die Gleichungen der beiden Punkte sind, wie man leicht erhält, wenn man in No. 20, 2 V mit Hülfe der Transformationsformeln durch u, v ersetzt (— Y —(«+■() x + 8 2 + t 2 sin 10 4 - S) u — (j/^ (— y — la 4-yfx 4 -d 2 4 - e 2 sinm — d) u ■ i4-7)x4- d 2 4 - s 2 cos ui + e)» + *= 0 , -(a-hy)x 4- d 2 4- e 2 sin <0 — d) u 4- (y— (oc -f- -jf) x —t- ö 2 —t- e 2 cos co — e) v — x = 0. D. Ist x = 0, und nicht zugleich e = d = 0, so ist die Curve 0 = 0 eine Parabel. Die Coordinaten des Parabelscheitels ergeben sich aus No. 21, 3 mittelst der der Transformationsformeln zu x = 2 (ä 2 -^T 2 ) 2 (“ 33 + 2a8s3 ~ 7852 + 2 P e3 )> y = 2 (a 2 + e a')2 (l e3 + 27 d 2 E—ad 2 E+ 2 ßd’). Der Parameter stimmt dem absoluten Werthe nach überein mit as 2 — 2 ßds + ^d 2 _ j/d 2 -+- e 23 die Parabelachse schliesst mit der Abscissenachse den Winkel m ein und erstreckt sich entlang der positiven oder negativen Seite dieser Geraden, je nachdem as 2 — 2 ßds -+- -fd 2 positiv oder negativ ist. E. Ist x = 0 und zugleich s = d = 0, so zerfällt die Curve in die zwei unendlich fernen Punkte a« + (ß — "|/ß 2 — a7) v = 0, rui -+- (ß + -j/ß 2 — a‘i) v = 0. Je nachdem ß 2 — «7 positiv, Null, oder negativ ist, sind diese beiden Punkte (Richtungen) real und verschieden, real und vereint, oder conjugirt complex. 25. Wie zu erwarten war, haben wir die Gebilde ersten Grades — die Gerade und den Punkt — unter den Gebilden zweiten Grades wieder vorgefunden. Eigentliche Curven zweiter Ordnung und zweiter Klasse giebtes j wie wir gesehen haben, nur die drei: Ellipse, Hyperbel und Parabel. § 11. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. 1. Die Gleichung einer Linie zweiten Grades F = ax 2 -t- 2 bxy -+- cy 2 -+■ 2 dx -+- 2 ey - 4 - / = 0 enthält sechs Constante, a, b, c, d, e, f. Wird von einer Curve zweiten Grades verlangt, dass sie durch einen gegebenen Punkt F 1 (x lt y x ) geht, so müssen die Coefficienten a . . . / so beschaffen sein, dass die Gleichung erfüllt wird: ax j 2 -t- 2 bx x y^ + cy? -+- 2 dx x 4- 2 ey x 4- d = 0. 7 * IOO Analytische Geometrie. Durch einen Punkt einer Curve zweiten Grades ist also eine homogene lineare Gleichung zwischen den sechs Constanten der Curvengleichung gegeben. Durch fünf homogene lineare, von einander unabhängige Gleichungen sind die Verhältnisse der sechs Constanten a : b : c : d : e : f eindeutig bestimmt; da nun die geometrische Bedeutung der Gleichung F = 0 nicht von den Einzel- werthen der Coefficienten a ... f, sondern nur von ihren Verhältnissen abhängt, so folgt: Eine Curve zweiter Ordnung ist durch fünf Punkte bestimmt. 2. Um die Gleichung einer Curve zweiten Grades herzustellen, die durch fünf gegebene Punkte geht, bemerken wir zunächst, dass diese Gleichung nichts anderes sein kann, als die Bedingung dafür, dass der Punkt P auf der durch die fünf gegebenen Punkte bestimmten Curve zweiten Grades liegt. Sind x x y x , x 2 y 2 , x 2 y 2 , x \y\> •* 5^5 die Coordinaten dieser fünf Punkte, a, b, c, d, e, f die Constanten der durch sie gehenden Curve zweiten Grades, so gelten die fünf Gleichungen: ax j 2 4- 2 bx x y x -+- cy x 2 4- 2 dx x 4- 2 ey x -+- / = 0, ax? 4- *i,bx 2 y 2 4- cy? 4- 2dx 2 4- 2ey 2 + / = 0, ax? 4- 2 äzc 3 jk 3 4- cy? 4- 2 dx 3 4- 22 1 xi yi x 3 y 3 x 3 y 3 1 y 2 *4 yi *4 yi X 4 y 4 1 * 5 2 yi x 3 y » *5 y -, 1 Dies ist die gesuchte Gleichung, die in der That, wie man sieht, zweiten Grades für x und y ist. 3. Die Gleichung einer Curve zweiter Klasse <1> == a u 2 4- 2ß«z/ — 7 v 2 4- 23 u 4- 2e» 4- x = 0 enthält sechs Constante a, ß, 7 , 8 , s, -/., durch deren Verhältnisse die Curve bestimmt ist. Ist eine Tangente T x (u 1 v l ) der Curve gegeben, so haben die Constanten der Gleichung zu genügen: rj.u? 4- 2ß«,f 1 4- '{V? 4- 28«, 4 - 2sz>, 4- x = 0. Dies ist eine homogene lineare Gleichung. Durch fünf solcher Gleichungen sind die Verhältnisse a : ß : 7 : 3 : e bestimmt; wir schliessen daher: Eine Curve zweiter Klasse ist durch fünf Tangenten bestimmt. Da wir im vorigen Paragraphen gefunden haben, dass die eigentlichen Curven zweiten Grades zugleich auch zweiter Klasse sind, und umgekehrt, so haben wir für diese Curven nicht mehr nöthig, den Unterschied des Grades und der Klasse zu erwähnen und bezeichnen sie als Curven zweiter Ordnung. Wenn die Bezeichnung »zweiten Grades« oder »zweiter Klasse« noch gebraucht wird, so soll sie nur die Bedeutung haben, dass bei dieser Gelegenheit von der Gleichung der Curve zweiter Ordnung in Punktcoordinaten, bez. in Liniencoordinaten ausgegangen wird. Wir fassen die Ergebnisse von No. 1 und 3 daher in den Satz zusammen; §il. Bestimmung einer Curve iweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. IOI Eine Curve zweiter Ordnung ist durch fünf Punkte oder durch fünf Tangenten eindeutig bestimmt. 4. Sind T x , T 2 , T % , T 4 , T b fünf Tangenten einer Curve zweiter Klasse, und z, ß, 7, 8, e, it die Coefficienten ihrer Gleichung, so bestehen für dieselben die fünf Gleichungen: au, 2 4- 2ßu l v 1 4- yv 4 2 4- 2 8u l + 2 M (V 4 4- x = 0, au.f + 2ß» 2 t ' 2 4- fV 2 2 + 28» 3 4- 2,~\v 2 4- x = 0, a « 3 2 4- 2ß» 3 Z > 3 4- -\vg 4- 28 z^ 3 4- 27^3 4- x = 0 , a » 4 2 4- 2ßu 4 Z> 4 4- fV 4 2 4- 26k 4 4- 27 ^ 4 4- x = 0, a » 5 2 4- 2ßu b v b 4- 7 W 5 2 4- 28» 5 4- 2fV b 4- x = 0 . Soll auch die Gerade T die Curve berühren, so besteht noch die Gleichung au 2 4- 2 ßuv 4- 7 v 2 4- 28 u 4- 2ez> 4- x = 0 . Der Verein dieser sechs für die Coefficienten a, ß, 7, 8, e, x homogenen linearen Gleichungen bedingt das Verschwinden ihrer Determinante: u 2 U V v 2 u V 1 u 2 u 4 v x vf “1 Vl 1 » 2 2 u 2 v 2 7) 2 V 1 u 2 V 2 1 u 3 U 3 V 3 V 2 U 3 V 3 1 u 4 v 4 V 2 u 4 »4 1 “ 2 »5»5 v i U 3 »5 1 Dies ist die Gleichung der durch T x . . T b bestimmten Curve zweiter Klasse. 5. Die Gleichung einer Parabel in Liniencoordinaten ist aßu 2 4- 2 ßuv 4- 7 v 2 4- 26» 4- 2ez/ = 0. Diese Gleichung enthält nur noch fünf Coefficienten, deren Verhältnisse durch vier homogene lineare Gleichungen bestimmt werden. Sind T v T 2 , T z , T 4 vier gegebene Tangenten einer Parabel und ist T eine beliebige andere Parabeltangente, so hat man für die Coefficienten z, ß, 7, 8, s die fünf Gleichungen: a u 2 4- 2ßu v 4- 7 V 2 4- 28» 4- 2 zv — 0 , zu 2 4- 2ß» 1 z' 1 4~ IV1 4- 26»j 4- O II U) zu 2 2 4- 2ßu 2 v 2 4- W 4- 28» 2 4- q 2 x x >\ i x i 4- 2X* 2 j y 2 4- XV x a y 2 i v 2 ^3 4- 2 lx 3 y 3 4- X 2 j 3 2 *3 La i x i 4- 2Xa: 4 jr 4 4 - X 2 _y 4 2 X ^ i Diese Determinante lässt sich als Summe dreier Determinanten schreiben und führt damit auf die quadratische Gleichung für X x i x i y i i x iyi x i y i i y i x x y i i x i x 2 Z2 i -f~ 2 X x $y 2 x 2 y 3 i 4- X 2 yi x 2 i x i x 3 y 3 i x %y 3 x 3 y 3 i yi x 3 y s i x£ X 4 y 4 i x x y x X 4 L4 i yi x i i Durch diese Gleichung ist nun X bestimmt. Setzt man den so berechneten Werth von X in die Parabelgleichung 5. a (x 2 4- 2 \xy 4- X 2 _y 2 ) -y- 2dx -i- 2ey -h /= 0 ein, so enthält dieselbe noch die vier Constanten a, d\ e, f. Man kann nun diese eliminiren, wenn man 5. mit drei Gleichungen der Gruppe 3., z. B. mit den ersten dreien dieser Gleichungen, zusammenstellt. Man hat dann vier homogene lineare Gleichungen für a, d, e, f und folgert aus ihnen das Verschwinden ihrer Determinante: X 2 4- 2 \xy 4- b 2 y 2 X y i X-^ 4- 2Xxjj v x 4- b 2 y x 2 x x y i i ■y 2 4- 2 Xx 2 y 2 + *V X 2 Ls i ■y 2 •*3 4- 2Xx 3 y 3 + XV # 3 y s i Dies ist die gesuchte Parabelgleichung. Da X aus der quadratischen Gleichung 4. gefunden wird, so haben wir den Satz: Durch vier Punkte kann man zwei Parabeln legen; dieselben sind real und verschieden, oder real und zusammenfallend, oder conjugirt complex; bei besonderer Wahl der vier Punkte können auch beide oder eine zu zwei parallelen Geraden ausarten. 7. Die in No. 2 und No. 4 gegebenen Gleichungen einer Curve zweiter Ordnung in Punkt- und Liniencoordinaten sind keine geeigneten Ausgangspunkte für geometrische Folgerungen. Wir wollen daher noch eine andere Methode angeben, die Gleichung einer Curve zweiter Ordnung zu bilden, die durch fünf gegebene Punkte geht, bez. fünf gegebene Gerade berührt; wir werden durch dieselbe die Gleichungen in einer solchen Form erhalten, dass wir mit Leichtigkeit werthvolle geometrische Sätze aus ihnen ableiten können. 8. Um die Gleichung des Kegelschnitts zu finden, der durch die fünf Punkte A, B, P x , P 2 , P 3 geht, betrachten wir zunächst die vier Punkte A, B, P x , P 2 - Zu den unendlich vielen Kegelschnitten, die durch diese Punkte gehen, gehören die Linienpaare AP V BP t und AP a , BP X . Sind T x = 0, 1\ — 0, T x = 0, § ii. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. 103 T 2 = 0 die Gleichungen der Geraden AP X , AP 2 , BP X , BP 2 , so ist die Gleichung des Linienpaares AP X , B P 2 \ 1} n >> t) )t >) AP 2 , B P-y . Multiplicirt man beide Gleichungen mit irgend zwei Zahlen •/., und x 2 , und addirt, so erhält man eine neue Gleichung zweiten Grades t x -t 2 t 9 -t = 0, = 0. und 1. F ■ ^t x t 2 T T ' 0. Die zu dieser Gleichung gehörige Curve zweiter Ordnung geht nun offenbar durch die Punkte, für welche zugleich T x = 0 und r 2 = 0, d. i. Punkt A, T x = 0 T.’= 0 T a '= 0 T x < T x ' To (M. 401.) d. i. „ P x , d. i. „ B, d. i. „ P 2 - kann nun immer so bestimmt werden, dass der Das Verhältniss Xj Gleichung F = 0 noch durch einen beliebigen fünften Punkt P % der Ebene genügt werden kann. Liegt P 3 auf den durch A und B gehenden Geraden 2. r 3 B a x T x + a 2 T 2 = 0, T s ' ^ b x T x ' so ist für die Coordinaten von P„ = 0, 3. 4. 5. - W so erhält man: ci x T x — g, & X T X Multiplicirt man 1. mit a x b x , so entsteht a x b x v. x T x T 2 ' + a x b x v. 2 T 2 T x = 0. Setzt man hier die Werthe 3. ein und dividirt dann durch Z' 2 7' 2 ß 2^1 X l "+" ö: l^2 X 2 = 0. Dieser Gleichung genügt man durch — & x b 2 , x 2 = ®%b x . Setzt man nun diese Werthe in 1. ein, so erhält man die Gleichung des Kegelschnitts*) durch die fünf gegebenen Punkte ABP x P 2 P i zu n » 2 T x T % ' 6. a x b 2 9. In ähnlicher Weise erhalten wir die Gleichung eines Kegelschnitts, von welchem fünf Tangenten gegeben sind. Die gegebenen Tangenten seien A, B, T x , T 2 , 7\. Zu den Curven zweiter Klasse, welche die vier Tangenten A, B, T v T 2 enthalten, gehören auch die beiden Punktpaare a %b x T 2 T 0. AT V jjj-2 BT 2 und AT 2 , BT x (wobei wir unter dem Punkte AT X den Schnittpunkt der Geraden A und 1\ verstehen u. s. w.). Man stelle nun die Gleichungen der vier Punkte A T x , (M. 402.) *) In der descriptiven Geometrie ist bewiesen worden, dass jeder ebene Schnitt eines Rotationskegels, der die Kegelspitze nicht enthält, eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist, und dass umgekehrt jede Ellipse, Parabel und Hyperbel als ebner Schnitt eines Rotationskegels erhalten werden kann; daher werden die Curven zweiter Ordnung als Kegelschnitte bezeichnet. 104 Analytische Geometrie. AT 2 , BT x , BT 2 auf; dieselben seien der Reihe nach P x =0, P 2 = 0, A'= 0, A' = o. Die Gleichungen der beiden Punktpaare sind dann A • A' = 0 und A • A' = 0 . Multiplicirt man sie mit zwei Zahlen x, und x 2 und addirt, so erhält man die Gleichung einer Curve zweiter Ordnung 1. Xj • AA' T- x 2 AA' = 0. Dieser Gleichung wird durch die vier Geraden ABT X T a genügt, denn für die Coordinaten von A wird A = 0 und A = o yy yy yy yy B yy A' = 0 yy A' = o yy yy yy A yy A = 0 yy A' = o yy yy yy yy A yy A = 0 yy A' = o Man kann nun das Verhältniss x t : x 2 immer so wählen, dass die Gleichung 1. durch eine beliebige fünfte Gerade T 3 der Ebene erfüllt wird. Man bilde die Gleichungen der Punkte A un< 3 A > ' n welchen A und B von T 3 geschnitten werden; dieselben werden in der Form erhalten 2. A — «lA + « S A = 0, 3. A' ■= ^iA' + AA' = 0. Die Coordinaten von T 3 erfüllen die Gleichungen 2. und 3.; also ist für dieselben a x P x = — a 2 P 2 , b x P x = — b 2 P 2 . Setzt man dies in 1. ein, nachdem man 1. mit a x b x multiplicirt hat, und dividirt dann durch P 2 P 2 , so erhält man 4. a 2 b x % x -+- a x b 2 % 2 = 0. Wir können daher für Xj und x 2 die Werthe wählen 5. Xj — (i x b 2 , x 2 = d 2 b x , durch welche die Gleichung 4. identisch erfüllt wird. Hierdurch erhalten wir die verlangte Gleichung des durch die fünf Tangenten AB T X T 2 T 3 bestimmten Kegelschnitts 6. a x b 2 -P x P 2 — a 2 b x ■ P 2 P X '— 0. 10. A.*) Aus der in No. 8 gefundenen Gleichung des durch fünf gegebene Punkte gehenden Kegelschnitts 1. a x b 2 • T x T 2 a 2 b x ■ T 2 T X =0 können wir leicht die Gleichungen zweier durch die Punkte A und B gehenden Geraden ableiten, die sich in einem Punkte der Curve schneiden. Ist nämlich 2. T = \ x a x T x -I- \ 2 a 2 T 2 = 0 die Gleichung der durch A nach irgend einem Curvenpunkte P gezogenen Geraden, so ist für jeden Punkt derselben 3. \ x a x T x — — \ 2 a 2 T 2 . Setzt man dies in die Curvengleichung 1. ein, nachdem man dieselbe mit X t multiplicirt hat, so erhält man 4- ( X 2 b 2 T 2 ' -t- \ x b x T x ) a 2 T 2 = 0. Daher liegen auf dem Kegelschnitte 1. die Punkte, welche zugleich 2. und 4. genügen, d. i. die Punkte, welche die Gleichungspaare a) T = 0 und a 2 T 2 = 0, _ b) T = 0 und \ 2 b 2 T 2 + \ x b x T x = 0 *) Um den Dualismus der Entwicklungen in Punkt- und in Liniencoordinaten deutlicher hervortreten zu lassen, werden wir einige Satze so anordnen, dass in derselben Nummer unter A) eine Entwicklung in Punktcoordinaten, unter B. die entsprechende Entwicklung in Liniencoordinaten enthalten ist. Will man den Gedankengang verfolgen, ohne abwechselnd von Punkt- auf Liniencoordinaten tiberzugehen, so hat man zunächst 10A, 1 1 A, 12A . . . und dann 10B, 11B, 12B . . . zu lesen, §n. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. 105 befriedigen. Das erste Paar von Gleichungen wird durch den Punkt A erfüllt, den die Geraden T und T 2 gemein haben; das andere Paar von dem neuen Curvenpunkte P\ die Gerade 5. T' = Mi 7 ’/ + M2 r 2' = °> die sich mit T in einem Punkte P durchschneidet, geht, wie ihre Gleichung lehrt, durch B, ist also die gesuchte Gerade. Aendert man das Verhältniss X, : X 2 stetig, so beschreiben T und T' die Büschel, deren Träger A und B sind, und P beschreibt damit den ganzen Kegelschnitt. Die Gleichungen 2. und 5. lehren (§ 6, 10), dass die beiden Büschel A und B projectiv sind, und je zwei nach demselben Curvenpunkte gehende Strahlen sich entsprechen. Wir haben daher den Satz: Die Punkte einer Curve zweiter Ordnung werden von irgend zwei Punkten der Curve aus durch projective Strahlbüschel projicirt, und zwar entsprechen sich die Strahlen, die nach demselben Curvenpunkte gehen. B. Aus der Gleichung eine Curve zweiter Klasse, die fünf gegebene Gerade A, B, T v T it T z berührt 1. a x b 2 • P X P 2 ' — a a b 1 ■ P 2 P X ' = 0, findet man leicht die Gleichung des Punktes der Geraden B , der mit einem gegebenen Punkte P der Geraden A auf einer Tangente der Curve liegt. Die Gleichung von P sei 2. P = X l a 1 P 1 -+- X 2 a 2 P 2 = 0. Für die Coordinaten jeder durch P gehenden Geraden ist daher 3. \ 1 a 1 P 1 = — X 2 a 2 P 2 . Multiplicirt man 1'. mit X } und setzt dann den Werth 3. für \ x a x P x ein, so erhält man 4. a 2 P 2 (k 2 b 2 P 2 ’ + X x b x P j') = 0. Die durch P gehenden Tangenten der Curve befriedigen also ausser der Gleichung P= 0 noch eine der Gleichungen P 2 = 0, \ 2 b 2 P 2 -+- X x b x P x = 0. Die Tangente durch P und P 2 ist die gegebene Gerade A ; die neue durch P gehende Tangente verbindet P mit dem Punkte 5. P' = \ x b x P x -+- X 2 b 2 P 2 = 0 der Geraden B. Aus den Gleichungen 2. und 5. folgt, dass die Tangenten der Curve zweiter Ordnung die festen Tangenten A und B in projectiven Punktreihen treffen. Wir haben daher den Satz: Die Tangenten eines Kegelschnitts werden von zwei (oder mehr) Tangenten desselben in projektiven Punktreihen geschnitten, und zwar sind die Punkte entsprechend, welche auf derselben Tangente liegen. 11. A. Der Satz 10 A., der ebenso wie B. für die Curven zweiter Ordnung von grösster Bedeutung ist, lehrt, wie man alle Punkte eines Kegelschnitts construiren kann, von dem fünf Punkte gegeben sind. Man verbinde zwei der gegebenen fünf Punkte A und B mit den drei übrigen P X P 2 P Z durch die Strahlen T X T 2 T Z bez. T X T 2 'T Z . Um nun den Punkt des Kegelschnitts zu erhalten, der auf einem beliebigen durch A gezogenen Strahle T liegt, construire man durch B den Strahl T' , für welchen die Doppel- verhältnissgleichung gilt: (T X T 2 T Z T) = ( T X T 2 T Z T X ). Der Schnittpunkt von T und T' ist der gesuchte Curvenpunkt. Lässt man T das ganze Büschel A zurücklegen, so bekommt man alle Punkte der Curve. Analytische Geometrie. to6 Die Construction besteht in der Vervollständigung der projectiven Büschel A und B und erfolgt nach § 6, 14. B. Der Satz 10 B. lehrt, jede Tangente eines Kegelschnitts aus fünf gegebenen Tangenten zu construiren. Man bemerke die Schnittpunkte P X P % P 3 bez. P X P^'P 3 , welche drei von den gegebenen Tangenten mit den beiden anderen A und B haben. Um nun die Tangente des Kegelschnitts zu finden, die durch einen beliebigen Punkt P der Geraden A geht, construire man auf B den Punkt P’, für welchen die Gleichheit der Doppelverhältnisse besteht (P X P 2 P 3 P) — (P X P 2 'P 3 P’). Die Gerade PP' ist die gesuchte Tangente. Um alle Tangenten der Curve zu erhalten, hat man also zu den sämmtlichen Punkten der Geraden A die projectiv entsprechenden Punkte der Geraden B zu construiren, und je zwei entsprechende Punkte zu verbinden. 12. A. Nähert sich der Strahl T der Geraden AB (Fig. 401) so rückt auch der auf T gelegene Curvenpunkt P näher an B. Verschwindet der Winkel zwischen T und AB, so verschwindet auch der Abstand BP und der durch B und P gehende Strahl T' wird zur Tangente der Curve im Punkte B. Diese Bemerkung setzt uns in den Stand, die Tangente eines Kegelschnitts in einem direkt gegebenen oder durch Construction gefundenen Punkte desselben zu construiren. Ist Q dieser Punkt, so verbinde man ihn durch die Strahlen T x T % mit drei anderen bekannten Punkten A, B, C der Curve; ferner verbinde man A, B, C durch die Strahlen T^T^T.^ mit einem vierten bekannten Punkte R der Curve. Hierauf verbinde man R mit Q durch den Strahl T' und construire nun durch Q den Strahl T, für welchen (T X T 2 T 3 T) — (T x T 2 'T 3 'T'); dann ist T die gesuchte Tangente der Curve in Q. B. Nähert sich der Punkt P (Fig. 402) dem. Schnittpunkte 5 der Geraden A und B, so nimmt der Winkel ab, den die Gerade B mit der Tangente PP' bildet; verschwindet die Strecke PS, so verschwindet auch der Winkel dieser Geraden, während doch ihr Schnittpunkt P' ein ganz bestimmter ist. Dieser Punkt ist also dann der Schnittpunkt zweier unendlich naher Tangenten, ist mithin der auf der Tangente B liegende Curvenpunkt. Dies lehrt, den Punkt zu construiren, in welchem ein Kegelschnitt von einer direkt gegebenen oder durch Construction gefundenen Tangente berührt wird. Ist Q diese Tangente, so bemerke man die Schnittpunkte P X P 2 P 3 derselben mit drei bekannten Tangenten ABC der Curve; ferner durchschneide man ABC mit einer vierten bekannten Tangente R in den Punkten P^P^P-s , und bemerke noch den Punkt P', in welchem Q und R sich schneiden. Construirt man nun auf Q den Punkt P, für welchen { p . p . p . p ) = (AY;y/yp'). so ist P der gesuchte Berührungspunkt. 13. A. Aufgabe. Von einem Kegelschnitte sind fünf Punkte gegeben; man soll die Punkte bestimmen, in welchen er von einer beliebigen Geraden geschnitten wird. Sind ABP x P i P 3 die gegebenen Punkte und G die gegebene Gerade, so bilde man die Strahlenbüschel T x T i T 3 und T X 'T 3 ’T S ’, durch welche P x P^P^ von A und B aus projicirt werden, und bemerke die Schnittpunkte dieser Strahlen mit G. G werde von 7 j Z' 2 T 3 in den Punkten R x R i R 3 , von T X T 2 'T 3 in den Punkten R X 'R 2 ’R 3 ' geschnitten. §11. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. 107 Construirt man nun zwei entsprechende Punkte R und R' der beiden auf einander liegenden projectiven Punktreihen, welche durch die entsprechenden Paare R^ 2 R 3 7 ^ R^R^'R^ bestimmt sind, so sind die Strahlen T und T' entsprechend, welche R und R l von A und B aus projiciren, ihr Schnittpunkt ist also ein Punkt des Kegelschnitts. Sind insbesondere II und II x die Doppelpunkte der beiden auf G liegenden projectiven Punktreihen (§ 6 , 19), so ist in den Strahlbüscheln A und B AW-^BW, All iyK Bn^ also sind 0 und II j die gesuchten Schnittpunkte. Wir entnehmen hieraus den Satz: Wenn man die Punkte eines Kegelschnitts von beliebig vielen Punkten dieser Curve aus projicirt, und die so entstehenden projectiven Strahlbüschel mit einer Geraden G durchschneidet, so erhält man auf G mehrere projective Punktreihen, die alle ein gemeinsames Paar selbstentsprechender Punkte haben, nämlich die Schnittpunkte der Geraden G mit dem Kegelschnitte. Wenn G den Kegelschnitt nicht trifft, so haben die auf G erzeugten projectiven Punktreihen imaginäre Doppelpunkte. In diesem Falle hat man diese imaginären Doppelpunkte als die Schnittpunkte der Geraden G und des Kegelschnitts zu betrachten. B. Aufgabe. Von einem Kegelschnitte sind fünf Tangenten gegeben. Man soll die Tangenten bestimmen, welche durch einen gegebenen Punkt C der Ebene gehen. Werden zwei der gegebenen Tangenten A und B von den übrigen drei in den Punkten I\P,,P 3 bez. I\ ' P 2 P 3 geschnitten, verbindet man G mit J\ P 2 P 3 bez. P^P 2 P 3 durch die Strahlen R X R 2 R 3 bez. R 1 , R i 'R 3 l , und construirt nun durch C zwei entsprechende Strahlen, R und R' der durch die Paare R x R 2 R 3 7 ^ R^Ro'Rif' bestimmten projectiven Strahlbüschel, so werden die Geraden A und B von R und R' in zwei entsprechenden Punkte P und P' der auf A und B liegenden projectiven Reihen P^P 2 P 3 . . y^P^P 2 P 3 . . geschnitten, die Gerade PP' ist daher eine Tangente der Curve. Sind insbesondere II und II t die Doppelstrahlen der beiden concentrischen Strahlbüschel R und R’, so sind II und II t zugleich Tangenten des Kegelschnitts. Also sind II und IIj die gesuchten Tangenten. Wir haben hiernach den Satz: Wenn die projectiven Punktreihen, welche die Tangenten eines Kegelschnitts auf beliebig vielen festen Tangenten ausschneiden, von einem beliebigen Punkte C der Ebene aus projicirt werden, so entstehen mehrere concentrische projective Strahlbüschel, die alle zwei selbstentsprechende Strahlen haben, nämlich die Tangenten des Kegelschnitts, die durch C gehen. Haben die Strahlbüschel keine realen Doppelstrahlen, so sind die imaginären Doppelstrahlen als die (imaginären) durch CgehendenCurventangenten zu betrachten. 14. A. Aufgabe. Einen Kegelschnitt zu construiren, von welchem drei reale und zwei conjugirt complexe Punkte gegeben sind. Die realen Punkte seien ABP Ü . Die imaginären Punkte seien die Doppelpunkte II und II, zweier auf einer gegebenen Geraden G liegenden, durch drei Paare entsprechender Punkte R^R 2 R 3 7 ^ R^'R 2 "R 3 " gegebenen projectiven Punktreihen. Wir verbinden R^R^R^' mit irgend einem Punkte C und R^"R 2 "R 3 " mit io8 Analytische Geometrie. einem andern Punkte D. Die Schnittpunkte der entsprechenden Strahlen dieser beiden Büschel seien S 1 S 2 S 3 . J&' K; (M. 403) Durch CJDS 1 S 2 S 3 ist ein Kegelschnitt K x bestimmt, der von G ebenso, wie der gesuchte Kegelschnitt K, in den imaginären Doppelpunkten der auf G liegenden projectiven Punktreihen getroffen wird. Die Punkte des gesuchten Kegelschnitts K werden von den beiden Punkten A und B aus in projectiven Strahlbüscheln projicirt, und diese treffen G in zwei projectiven Punktreihen u und u' mit den Doppelpunkten II und II x . Von diesen beiden Punktreihen sind ausser den Doppelpunkten noch die beiden entsprechenden Punkte U 0 und U 0 ' bekannt, in welchen G von den Strahlen AB 0 und BP 0 geschnitten wird. Verbindet man nun U 0 und U 0 ' mit irgend einem Punkte auf K x , z. B. mit E, und construirt die Punkte H und /, in denen diese Geraden den Kegelschnitt Ä'j zum zweiten Male (ausser E) treffen, so werden die Punkte auf K l von H und I aus in zwei projectiven Strahlbuschein projicirt, und diese schneiden auf der Geraden G zwei projective Punktreihen v und v aus, die die Doppelpunkte 11 und nj und die entsprechenden Punkte U 0 und U 0 ' haben; folglich sind diese Reihen mit den Reihen u und 11 identisch. Verbindet man nun noch S j mit H und /, sowie S 2 mit H und /, und durchschneidet mit diesen beiden Strahlenpaaren die Gerade G in U x U x U 2 U 2 , so hat man damit zwei weitere Paare entsprechender Punkte der Reihen u und u . Zieht man AU X und BU X , sowie AU 2 und BU 2 , so sind die Schnittpunkte I\ und P 2 dieser beiden Strahlenpaare zwei Punkte des gesuchten Kegelschnitts. Man hat nun im Ganzen fünf reale Punkte A, B, B 0 , P x , P 2 , und kann daher den Kegelschnitt vervollständigen. B. Aufgabe. Einen Kegelschnitt zu construiren, von welchem drei reale und zwei conjugirt complexe Tangenten gegeben sind. §n. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. 109 Die realen Tangenten seien A, B und T 0 , die beiden conjugirt complexen seien die Doppelstrahlen 2 und 2 t zweier concentrischer, durch drei Paare entsprechende Strahlen R X 'R 2 R 3 R X "R 2 "R 3 " gegebener Strahlbüschel mit dem Träger F. Durchschneidet man die Strahlen R x R 2 R 3 ' mit einer beliebigen Geraden C und die Strahlen R x " R 2 " R 3 " mit einer andern Geraden D, und verbindet die entsprechenden Schnittpunkte durch die drei Geraden S lt S 2 , S z , so ist durch die fünf Geraden C D S x S 2 S 3 ein Kegelschnitt K x bestimmt, der ebenso, wie der gesuchte Kegelschnitt K, die imaginären Doppelstrahlen der beiden auf T liegenden concentrischen Büschel zu Tangenten hat. Die beiden Punktreihen, in welchen die Tangenten des gesuchten Kegelschnittes von den Tangenten A und B getroffen werden, werden von F in zwei projectiven Büscheln u und u' projicirt, die 2 und 2, zu Doppelstrahlen haben; von diesen beiden Büscheln sind die beiden entsprechenden Strahlen U 0 und U a ' bekannt, welche die Schnittpunkte der Geraden A und B mit der Geraden T 0 projiciren. Durchschneidet man nun U 0 und U 0 ’ mit einer Tangente des Kegelschnitts K x , z. B. mit S v und bestimmt die Tangenten E und F, welche von diesen Schnittpunkten sich ausser S x noch an K x legen lassen, so werden auch die Tangenten des K x von E und F in zwei Punktreihen geschnitten, die von F aus in projectiven Strahlbüscheln v und v' projicirt werden, welche die Doppelstrahlen 2 und 2j haben und in denen U 0 und U : ' entsprechende Strahlen sind. Die Büschel v und v' sind daher mit den Büscheln u und u' identisch. Projicirt man von F aus die Punkte, in denen die Tangenten E und F des Kegelschnitts K x von den "Tangenten S 2 S 3 geschnitten werden, so erhält man zwei Paare entsprechender Strahlen; diese treffen A und B in zwei Paar entsprechenden Punkten, deren Verbindungsgerade T 2 und T z zwei Tangenten des * gesuchten Kegelschnitts K sind. Man hat nun von demselben fünf reale Tangenten A, B, T x , T 2 , T 3 und kann ihn daher ergänzen. 15. A. Alle Punkte, von denen aus vier Punkte ABCD, die nicht zu dreien auf derselben Geraden liegen, durch Strahlen von gegebenem Doppelverhältniss x projicirt werden, liegen auf einem Kegelschnitt, der durch die vier Punkte geht. Es sei E ein Punkt, von dem aus die gegebenen Punkte unter dem Doppelverhältniss x projicirt werden. Construirt man den Kegelschnitt K, der durch ABCDE bestimmt ist, so werden die Punkte ABCD von jedem Punkte dieses Kegelschnitts aus unter dem Doppelverhältniss x projicirt. Liegt X nicht auf dem Kegelschnitte K, so ziehe man XA, und durchschneide damit K in Y. Angenommen, das Doppelverhältniss der vier Strahlen X(ABCD) d. i. der von X nach A, B, C, D gezogenen Strahlen wäre x, so hätte man X(ÄBCD) = x = Y(AB CD), also wären die Büschel X(ABCD) und Y(ABCD ) projectiv. Da nun der Verbindungsstrahl der Centren XY sich selbst entspricht, so sind die Büschel X{ABCD) und Y(ABCD) perspectiv, also liegen BCD in einer Geraden. Dies widerspricht der Voraussetzung, also können die Punkte ABCD von keinem Punkte ausserhalb des Kegelschnitts K unter dem Doppelverhältniss x projicirt werden. IO Analytische Geometrie. B. Die Geraden, welche vier feste Gerade ABCD, von denen nicht drei durch einen Punkt gehen, in Punkten treffen, die ein gegebenes Doppelverhältniss x haben, umhüllen einen Kegelschnitt. Es sei E eine solche Gerade. Construirt man den Kegelschnitt K, der durch die fünf Tangenten A, B, C) D, E bestimmt ist, so schneidet jede Tangente dieses Kegelschnitts die vier Geraden ABCD unter dem Doppelverhältniss x. Angenommen, eine Gerade X, die K nicht berührt, schneide ABCD unter dem Doppelverhältniss x, so lege man von dem Punkte, in welchem X von A getroffen wird, eine Tangente Y an K. Bezeichnet man mit X(ABCD) das Doppelverhältniss der vier Punkte, in dem X von ABCD getroffen wird, so hat man X(ABCD) = x = YiABCD). Die Punktreihen X(ABCD) und Y(ABCD) sind daher projectiv. Da nun der Schnittpunkt A der Geraden X und Y sich selbst entspricht, so sind die beiden Reihen perspectiv, es gehen also die Geraden BCD durch einen Punkt. Dies widerspricht der Voraussetzung; also wird keine Gerade, die K nicht berührt, von den Geraden ABCD unter dem Doppelverhältniss x geschnitten. 16. A. Den Kegelschnitt, auf dem die Punkte liegen, von denen aus vier gegebene Punkte ABCD unter einem gegebenen Doppelverhältniss projicirt werden, kann man in folgender Weise construiren. Soll das Doppelverhältniss x gleich dem von vier durch einen Punkt gehenden Strahlen T x T 2 T 3 1\ sein, so projicire man BCD von A aus durch die Strahlen R 2 R 3 R i und bestimme nun durch A den Strahl R 1 , für welchen (*i R 2 R 3 W 4 ) = (7’ T 2 T 3 T a ). Hierauf projicire man ACD von B aus durch die Geraden Ry'R^RJ, und construire den Strahl R 2 durch B so, dass (Ry R 2 R 3 i? 4 ') = (7j 7' 2 T 3 7’ 4 ). Die Büschel R 4 R 2 R 3 und Ry ’R^'R^RJ haben dann beide das Doppelverhältniss x, sind also projectiv. Ergänzt man diese Büschel, so schneiden sich die entsprechenden Strahlen in den Punkten des gesuchten Kegelschnitts. Ist M ein Punkt dieses Kegelschnitts, so ist M(ABCD) = (Ry R 2 R 3 Ry ), also = x, wie verlangt war. B. Den Kegelschnitt, dessen Tangenten vier gegebene Gerade ABCD unter einem gegebenen Doppelverhältniss x schneiden, kann man construiren wie folgt: Das Doppelverhältniss x sei als das Doppelverhältniss von vier Punkten P y P 2 P 3 1\ einer Geraden gegeben. Man schneide mit A durch die Geraden B CD in den Punkten R 2 R 3 R 4 und construire auf A den Punkt Ry, für welchen (R l R 2 R 3 R i ) = (P l P 2 P 3 P i ). Ferner bemerke man auf B die Schnittpunkte Ry ' R 2 ’R 4 1 mit den Geraden ACD und bestimmt den Punkt R 2 , für welchen (RyR^R^R^ = {PyP 2 P 3 P^). Ergänzt man nun die projectiven Reihen Ry R 2 R 3 R 4 und RyR 2 R 3 W 4 ', so sind die Verbindungsgeraden je zweier entsprechenden Punkte die Tangenten des gesuchten Kegelschnitts. Ist M eine dieser Tangenten, so ist in der That M{AB CD) = RyR 2 R 3 R i , also = x. 17. A. Wenn die sechs Punkte A, B, C, D, E, E, G auf einem Kegelschnitte liegen, so kann man zwei beliebige von ihnen als Träger zweier projectiven Büschel ansehen, von denen entsprechende Strahlen sich in den übrigen vier Punkten schneiden. Sechs Punkte eines Kegelschnitts bilden also, ganz willkürlich angeordnet, die Ecken eines PASCAL’schen Sechsecks (§ 6 No. 4); wir haben ! § ii. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. I somit den nach seinem Erfinder benannten PASCAL’schen Satz: In jedem einem Kegelschnitte eingeschriebenen Sechsecke liegen die drei Schnittpunkte je zweier gegenüberliegenden Seiten auf Punkten einer Geraden. Diese Gerade heisst die PASCAL’sche Gerade des Sechsecks. Verbindet man sechs Punkte in jeder beliebigen Anordnung zu einem Sechsecke und bedenkt, dass es gleichgültig ist, von welchem Perimeterpunkte aus man die Peripherie desselben durchläuft, und in welcher Richtung man sie durchläuft, so wird ersichtlich, dass die 6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 720 Permutationen der sechs Punkte A . . F nur 720 : 12 = GO verschiedene Sechsecke liefern. Zu sechs Punkten eines Kegelschnitts gehören daher GO PASCAi,’sche Gerade. B. Der BRiANCHON’sche Satz. Ist das Sechsseit a ß-y 8 s £ einem Kegelschnitte umschrieben, so kann man irgend zwei Seiten desselben als Träger zweier projectiven Punktreihen ansehen, die auf ihnen von den Tangenten der Curve ausgeschnitten werden; in diesen Reihen entsprechen sich insbesondere die Schnittpunkte der beiden Träger mit den übrigen vier Seiten des Sechsseits. Man kann daher sechs Tangenten eines Kegelschnitts in willkürlicher Ordnung als die Seiten eines BRiANCHON’schen Sechsecks (§ 6 No. 4) ansehen und hat somit den Satz: In jedem einem Kegelschnitte umschriebenen Sechsseite gehen die Verbindungsgeraden gegenüberliegender Ecken durch einen Punkt. Dieser Punkt heisst der BRiANCHON’sche Punkt des Sechsseits. Sechs Gerade lassen 61 = 720 Anordnungen zu. Da es aber gleichgültig ist, mit welcher Geraden man beginnt, um den Perimeter eines Sechsseits zu durchlaufen, sowie in welcher Richtung man ihn durchläuft, so ist die Anzahl der geometrisch verschiedenen Sechsecke nur Gl : 12 = 60. Zu sechs Tangenten eines Kegelschnitts gehören also GOBRiANCHON’schePunkte. 18. Mit Hülfe des PASCAL’schen und des BRiANCHON’schen Satzes kann man dieConstruction von Punkten und Tangenten einesKegelschnitts aus fünf gegebenen Punkten bez. fünf gegebenen Tangenten in leicht übersichtlicher Weise vornehmen. A. Sind 1 2 3 4 5 die gegebenen Punkte und sucht man' den Punkt x, der auf einer durch 5 gezogenen Geraden a liegt, so betrachte man 1 2 3 4 5 x als ein Sechseck und suche die Schnittpunkte R und S der gegenüberliegenden Seitenpaare 1 2, 4 5 und 2 3, a auf; dann ist RS die PASCAL’sche Gerade des Sechsecks. Legt man durch den Schnitt Q der Geraden RS und 3 "4 und durch 1 eine Gerade, so trifft diese a in dem gesuchten Punkte x. B. Sind fünf Tangenten 1 2 3 4 5 gegeben, und sucht man die Tangente x, die durch einen Punkt a auf 5 geht, so betrachte man (M. 405 .) (M. 404.) 12 Analytische Geometrie. 1 2 3 4 5 x als ein Sechseck; ist A die Gerade zwischen den Punkten, in denen 1 und 2, sowie die gegenüberliegenden Seiten 4 und 5 sich schneiden, ferner B die Gerade zwischen dem Eckpunkte 2, 3 und der gegenüberliegenden Ecke et, so ist der Schnitt von A und B der BRiANCHON’sche Punkt des Sechsecks. Legt man also C durch diesen Punkt und den Punkt 3, 4, und eine Gerade durch den Schnitt C, 1 und den Punkt a, so ist diese die gesuchte Tangente x. 19. A. Wenn eine Seite eines einem Kegelschnitte eingeschriebenen Sechsecks verschwindend klein wird, so geht die Gerade, auf der sie liegt, in eine Tangente der Curve über, und die beiden unendlich nahen Eckpunkte fallen in den Berührungspunkt dieser Tangente. Der PASCAL’sche Satz erhält für diesen Fall folgende Aenderung: Die Schnittpunkte der 1. und 3., sowie der 2. und 4. Seite eines einem Kegelschnitte eingeschriebenen Fünfecks liegen mit dem Schnittpunkte der 5. Seite und der Tangente in dem dieser Seite gegenüberliegenden Eckpunkte auf einer Geraden. Dieser Satz lehrt, die Tangente in einem Punkte eines Kegelschnitts zu construiren, wenn noch ausserdem vier Punkte desselben bekannt sind. Sind die Punkte 1 2 3 4 5 gegeben, und sucht man die Tangente in 1, so bestimme man den Schnitt A der Geraden 1 5 und 2 3, sowie den Schnitt B der Geraden 1 2 und 4 5, ziehe AB und verbinde den Schnitt C dieser Geraden und der Geraden 3 4 mit dem Punkte 1. Dann ist AC die gesuchte Tangente. B. Wenn zwei Seiten eines einem Kegelschnitte umschriebenen Sechsseits unendlich nahe benachbart sind, so gehen sie in eine einzige Tangente über und der ihnen gemeinsame Eckpunkt wird der Berührungspunkt dieser Tangente. Der BRiANCHON'sche Satz liefert uns nun: In einem einer Curve zweiter Ordnung umschriebenen Fünfseite geht die Gerade, welche den Schnitt der Seiten 1 und 2 mit dem Schnitt von 4 und 5 verbindet und die Gerade, die den Schnitt 1, 5 mit dem Schnitt 2, 3 verbindet, mit der Geraden, die den Berührungspunkt der Seite 1 mit dem Schnitt der Seiten 3 und 4 verbindet, durch einen Punkt. Man sieht hieraus, wie man den Berührungspunkt auf einer Tangente einer Curve zweiter Klasse bestimmen kann, wenn man noch ausserdem vier Tangenten kennt. Sind nämlich die Tangenten 1 2 3 4 5 gegeben, und sucht man den Berührungspunkt der Tangente 1, so bestimme man die Gerade A, welche den Schnittpunkt der Tangenten 1 und 5 mit dem Schnittpunkt von 2 und 3 verbindet; ferner die Gerade B, die den Schnitt von 1 und 2 mit dem Schnitt von 4 und 5 verbindet, und ziehe ferner eine Gerade C durch den Schnitt von 3 und 4 und den von A und B. Der Schnitt von C und 1 ist der gesuchte Tangentialpunkt. 20. A. Der Satz 19 A lehrt die Construction eines Kegelschnitts, (M. 406.) (M. 407.) §n. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. 113 wenn vier Punkte und die Tangente in einem derselben gegeben sind. Sind die Punkte 1 2 3 4 und die Tangente in 1 gegeben (Fig. 406), und sucht man den Punkt 5 der Curve, der auf einer durch 1 gezogenen Geraden liegt, so bestimme man den Schnitt A dieser Geraden mit der Geraden 2 3; den Schnitt C der Geraden 4 3 und der Tangente in 1, und den Schnitt B der Geraden 1 2 und der Geraden AC. Zieht man nun B 4, so durchschneidet diese Gerade die durch 1 gezogene in dem gesuchten Curvenpunkte 5. B. Der Satz 19 B lehrt die Construction der Tangenten einer Curve zweiten Grades, wenn vier Tangenten und der Tangentialpunkt auf einer derselben gegeben sind. Sind die Tangenten 1 2 3 4, sowie der Tangentialpunkt P auf 1 gegeben, (Fig. 407) und sucht man die von einem Punkte u 2 — > u i — die Coordinaten von T. Die Coordinate Uk wird positiv oder negativ gerechnet, je nachdem Ak und C auf derselben Seite von T liegen, oder nicht. Liegt C im Innern des Achsendreiecks, so sind bei den Geraden, die das Coordinatendreieck nicht schneiden, alle drei Coordinaten positiv; die Geraden, welche das Achsendreieck schneiden, haben eine oder zwei Coordinaten negativ. Sind p x , p 2 , p 3 die Coordinaten des Punktes C (d. i. die Abstände von den drei Achsen A 2 A 3 , A.,A ,, A,A.,), so sind die Coordinaten von (M. 415.) CM. 416.) ho A 2 A s : u. ~~ Pi ' "2 - o, /j„ «3 = 0, A 3 A, : u, = 0, u 2 _ 2 ~ P 2 ’ u 3 = 0, h % = — * P 3 A,A 2 : «i = 0, U 2 = 0, Sind Q,, Q 2 , Q 3 die Schnittpunkte der Geraden T mit den Geraden A,C, A 2 C, A 3 C, so ist A y ^ o P g 3 3 r 5 3 . CQ, ~ r - CQ 2 Hieraus folgt weiter CA, CQ, — A 1 Q 1 CQ X CQ 3 CQ, CA„ AQx CQ, CQ 2 A 2 Q 2 CQ, = 1 = 1 CA., 4 . cq 2 - Ferner hat man: CA,A 2 _ CA, CA, _ CQ\Q 2 ~ CQ, ‘ CQ 2 U Nun ist CA,A 2 = ^ 3 p 3 , daher 1 . ^ 3 P 3 2 ' (1 — u ,) (1 — u 2 ) ‘ CQ Z = 1 u 2 ). cq,q 2 T r ► t- Ebenso findet man §12. Homogene Coordinaten des Punktes und der Geraden. 1 19 5 . cq,q 3 = gl Pt (1 CQ 3 Q x = gi P 2 —»2)’ " V3V1 2 ' (1 — «3) (1 — «!)■ Nun ist bekanntlich CQ X Q 2 4- CQ 2 Q 3 4- CQ 3 Q l = 0. Setzt' man hier die Werthe 4. und 5. ein, so erhält man nach Multiplication mit 2 (1 — u x ) (1 — u 2 ) (1 — u 3 ) giPi (1 — u x ) 4- g 2 p 2 (1 — u 2 ) 4 - g 3?3 (1 — « 3 ) = 0, oder nach Auflösung der Klammern: - 1 ' x 2 u 4 -y^v — 1 \u 4- f\v - v 3 u +y 3 v ■ 1 - 1 \u-^ryj — 1 Eine homogene Gleichung n ten Grades in homogenen Liniencoordinaten kann mit Hülfe dieser Transformationsformeln in eine Gleichung in gewöhnlichen Liniencoordinaten transformirt werden. Jedes Glied der transformirten Gleichung enthält den Divisor (£u t\v —1)”. Lässt man diesen gemeinsamen Divisor aller Glieder weg, so bleibt eine (im Allgemeinen nicht homogene) Gleichung «ten Grades in u und v. Um aus einem gewöhnlichen System zu einem homogenen überzugehen, lösen wir zwei der Gleichungen 2., z. B. die erste und zweite, nach u und v auf. Wir erhalten u x ($« 4- i\v — 1) = x x u 4 - y x v — 1, u 2 (£« 4 - — 1) = x 2 u 4 - y 2 v — 1, 20 Analytische Geometrie. und hieraus (£»* — x x ) u {r\u x —_y x ) v — (S «a — « + (t) « 2 — j/ 2 ) w = Dieses System hat die Auflösungen u = R t : R, die Determinanten bedeuten: j I £«2 - 1 , - 1 . R 2 : R, wenn R, R x , R 2 R — *1, r l u 1 - “Ai , R x = «1 — 1 , r t u i —Ai x 2 > r t u 2 - -As «2 — 1 > V l 2 “ A2 R, = ln„ — x 2 — 1 ! — 1 I Die erste zerfällt in j \>t x , riu ! £'«2 » V u i r \ u ‘i \ U 1 Ai I *1 », •J 1 + x x Ai U 2 As i x 2 11 2 *2 As y i £ — -»i- a 2 £- I)ie zweite und dritte geben '(■*2 > "2 > S«i, £«2 , r,» 2 , u. y i A 2 — £1 — *1 + i y i 1 _y 2 Ai As «1 1 X j u x , ! -*i 1 ! «2 1 x 2 *2 -+-1 1 *2 1 r ~ Ai A 2 •*i — £, — v, »■> ' £ ) ^2 1 Ai 1 As 1 x x 1 Xi) Rechnet man diese Determinanten aus, so erhält man schliesslich _(A2 — *l)«i — (Al — i\)«i («As — x 2 t\) u 1 — \ty 1 — x^) u 2 _(*2 77 ■')) u \ — (*i — «) «2 + ( x i (£a 2 — x 2 n) u \ ~ («Ai — *1*)) ! Ü't.— Zs). ■ ( Xl y s — x 2 Ai) ’ x 2 ) OhAs — •HäAi) ' Setzt man diese Werthe in eine Gleichung n ten Grades ein und multiplicirt die Gleichung alsdann mit [(?y s x 2 r t ) u t — (?yi —x l r l )u 2 — (ac,^ 2 — * 2 >,)]“, so erhält man eine ganze Function «ten Grades von u x und u 2 ; man kann dieselbe in der in No. 6 angegebenen Weise homogen machen und führt dabei die dritte Coordinate u s ein. Bei der Transformation einer Gleichung in Liniencoordinaten aus einem rechtwinkeligen System in ein homogenes und umgekehrt ändert sich also der Grad der Gleichung nicht. 8. Wenn eine Gerade T auf den Achsen A 2 A 3 und A x A 3 die Spuren Aj und A 2 hat, so ist A 3 S 2 : A i*S 2 (M. 417.) h,, = A 3 S j : A 2 S, — r 3 \ r 2 — u 3 \ u 2 . Die Coordinaten von A t seien Xj'x 2 ’x s ', so ist = 0; für x 2 und x 3 hat man die Proportionen x 2 : h 2 = A 3 S X : A 3 A 2 , x s * ^3 — A 2 S t : A 2 A 3 . Hieraus folgt 3. A 3 S x h% — A 2 S t (^ s,a 2 ) S x A 3 ) 1 = (■-?)- -fly \ _ « 2 ) l:|l : ( U 3 : (a 2 ■ ^2) > u i) ■ Sind ferner x x "x 2 'x 3 ' die Coordinaten von S 2 , so ist x 2 " = 0, und für x l x x " : h x = A 3 S 2 : A 3 A x und x % hat man woraus folgt : h 3 A^Si) : A X A 3 § 12. Homogene Coordinaten des Punktes und der Geraden. 12 I r : h 2 " : h 1 — ^3^2 : (^3^2 + ^2^1) — ^ : ~ «j) — “3 • (“3 “1) x•S'a + S 2 A 3 ) = 1:^1 — = u x : (u x « 3 ). Die Coordinaten der Spuren S x und S 2 ergeben sich hiernach zu: *1' = 0, 4. ‘3 “2 h x , x 2 ” = 0 , ■ h. •h. 1-1 « 3 — U t "’ 1 ’ ‘* 2 V ’ Ztj — « 3 ' 3 ' Liegt ein Punkt P auf der Geraden T, und theilt er die Strecke S t S 2 im Verhältniss X 2 : X t , so sind die Coordinaten von P Xj.Xj* —t - X 2 .£j XjJC^ ~h X a ^9 " — “ r 3 X 2 x 3 ~r A 2 T "2 A 1 1" A 2 Setzt man die Werthe für x x 'x 2 'x 3 ', x x "x 2 "x." ein, so erhält marf 6 . 7. Xj -+- X 2 Xj + x 2 u 2 h 2 also *i x 2 Jln h. Führt man in 7. die Werthe für Xj : (Xj 6. ein, so erhält man zunächst Xj + X 2 u x — u 3 X 2 ) und X 2 : (Xj - X 2 ) aus 5. und x., — — u 2 h 3 x 3-W u.Ji 2 u x h 3 x x u 3 h x Multiplicirt man mit u 3 \h 3 , reducirt auf Null und ordnet, so entsteht die Gleichung: f 1 1 1 8. j^ x x x ■+ j-u 2 x 2 -i- h ^u 3 x 3 = 0 . Wir haben damit den Satz gefunden: Wenn ein Punkt P und eine Gerade T vereint liegen (d. i. wenn der Punkt auf der Geraden liegt), so erfüllen die Coordinaten des Punktes und der Geraden die Gleichung 1 1 7— U X X X -f- -j— U^Xv tl 1 fl Q ^ U 3 X S — 0 • 1 "2 Man überzeugt sich leicht, dass auch die Umkehrung dieses Satzes gilt: Wenn die Coordinaten eines Punktes und einer Geraden der 1 Gleichung genügen -j—u,x "■ 1 1 h. UnXn = 0 , liegt der -r- ^ Punkt vereint mit der Geraden. 9. Sind die Coordinaten von T gegebene Werthe, so ist die Gleichung 1. 1 1 1 A U.X, -h 7 — uoXt, -t- 1— U 3 X? = U h x ^ h 2 2 2 1 h 3 die Bedingungsgleichung dafür, dass der Punkt P auf T liegt. Die Gleichung der Geraden T ist also 2 . h x ' • >1 ^ h 2 ' * 2 + h 3 Sind dagegen die Coordinaten des Punktes P gegeben, so enthält die Gleichung 1. die Bedingung für die Coordinaten der Geraden T, welche durch den gegebenen Punkt gehen. Die Gleichung des Punktes .P” ist daher = 0. 3. h i . M g = 0 . 122 Analytische Geometrie. Wir schliessen hieraus weiter: Jede homogene lineare Gleichung in Punktcoordinaten 4. a x x x -+- a 2 x 2 ■+■ a 3 x 3 = 0 ist die Gleichung einer Geraden. Die Coordinaten dieser Geraden finden sich aus dem Vergleich von 4. mit 2.; man ersieht zunächst h x • h 2 • h 3 — a ' • ' a * ■ Nimmt man hierzu noch die Gleichung No. 6, 6 so erhält man Pi*i h x ? 2 U 2 P 3 u 3 = i, a. 5. Pi a i ?2 a 2 + ?3 a 3 U» = Pl a l ~ • Jl q p 2 a 2 -)- p 3 a 3 ■ h 2 > Pl a \ “h P2 a 2 + P3 a 3 Ferner ergiebt sich: Jede homogene lineare Gleichung in Linien- coordinaten v. x u x a 3 « 2 a. 3 u 3 = 0 ist die Gleichung eines Punktes. Für die Coordinaten dieses Punktes hat man die Proportion x, x v x., und die Gleichung No. 4, 4 ■h, "i x 0 + ~h = 1, woraus man findet: * h n 6. x x = -— “E a 2 ~i- * 3 -j- *g —i— "T" *2 “ r" ^3 10. Das Verhältniss der Entfernungen der unendlich fernen Geraden von zwei Punkten, die nicht unendlich fern sind, ist der positiven Einheit gleich. Die unendlich ferne Gerade hat also die Coordinaten u x = u 2 = u 3 = 1. Die Coefficienten der Gleichung der unendlich fernen Geraden ergeben sich aus den Formeln No. 9, 5: a x h x P\ a \ p 2 < P3 a 3 1 , ^2^2 a 3^ l 3 Pl«l + P2 Ö 2 + P3 a 3 = U, = 1 . — u 2 — 1 » P\ a \ + P2 a 2 P3 a 3 Aus diesen Gleichungen folgt zunächst a x h x = a 2 h 2 = a 3 h 3 . Wird der gemeinsame Werth dieses Produkts mit m bezeichnet, so hat man: m m m a ' = h[ ’ a> = T 2 ’ a * = T 3 - Also folgt die Gleichung der unendlich fernen Geraden zu Xi X n X o ~~ 4- -jt + jt = °. h x h 2 h 3 Es ist ersichtlich, dass diese Gleichung mit der für die Coordinaten jedes Xi Punktes geltenden ~ = 1 nur für unendlich grosse Werthe von h x h 2 h 3 x u x 2 , x 3 zusammen bestehen kann. Ferner folgt aus den Formeln No. 9, 6: Die Gleichung a 1 u 1 - 4 - a 2 u 2 -+■ a 3 # 3 = 0 ist die Gleichung eines unendlich fernen Punktes, wenn a, H- a, -+- a, = 0 . § 12. Homogene Coordinaten des Punktes und der Geraden. 123 Unter dieser Bedingung sind also alle Geraden, deren Coordinaten der Gleichung otjZt, 4 - a 2 u 2 -I- a 3 « 3 = 0 genügen, einer festen Richtung parallel. Die Richtung ergiebt sich aus dem Verhältniss der Coordinaten des auf ihr liegenden unendlich fernen Punktes x l : x 2 : x 3 = a x h x : u. 3 h 2 : a 3 h 3 . Zieht man durch A 3 eine Parallele G zu dieser Richtung, so geht sie durch diesen unendlich fernen Punkt; da nun für alle Punkte von G das Verhältniss x x : x 2 constant ist, so -folgt die Gleichung dieser Parallelen zu x t : x 2 = : m 2 h 2 . 11. Die Coordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden T' = a 1 'x 1 4 - a 2 'x 2 -I- a 3 x 3 = 0 und T" = a l "x 1 4- a 2 "x 2 4 - a 3 'x% = 0 sind die Lösungen des Systems a, x, 4 - x 0 1. a. x. ‘2 tZg x 2 1 = 0 , = 0, 1 K x 1 ^ h 2 Die Coordinaten der Geraden, welche durch die beiden Punkte x 9 + F *3 ‘2 "3 = 1 geht P’ = aj'tZj 4 - ol 2 'u 2 oc 3 u 3 =0, P' sind die Lösungen des Systems a ,' u. 4 - a, a« «9 ‘3 u 3 « 0=0 2 . 4~ Ct 3 f « 3 — 0 , a l"“l + d“ a ;f "# 3 = 0, = 1 . Pt „ , Ls u . ?». u “t + h + /L 3 h x Die Gleichung der Geraden, welche durch die beiden Punkte jP' und geht, deren Coordinaten x x x 2 sich wie in § 5 No. 3 in Determinantenform zu -v ' ’ -v ' v ' xV xV 2 O-V ^ sind, ergiebt x x x 2 ■*3 3. x x x 2 x 3 = 0 . X," x 2 " x 3 " Die Gleichung des Punktes, durch den die Geraden gehen, deren Coordinaten u x 'u 2 u 3 und vw sind, ist *1 «2 u 3 4 . P =E « J U 2 u 3 ’ = 0 . 16. Wenn drei Gerade T x = 0, 7' 2 = 0, Z' 3 = 0 durch einen Punkt gehen, so giebt es (§5 No. 11) drei Zahlen m 1 , m 2 , m, welche die Identität hersteilen mT = m x 1\ 4 - m 2 T 2 . Ist nun T x = a 1 x 1 4 - a 2 x 2 4 - a 3 x 3 , T 2 s 4 - b 2 x 2 4- b 3 x 3 , so ist mT = + m 2 b x ) x x 4- (m 1 a 2 +m 2 b 2 ); c 2 4 - ( m l a 3 4 - m 2 b 3 ) x 3 . Die Coordinaten von T sind daher: _ m x a x 4- m 2 b x _ m x a 2 4 - m 2 b 2 _ m x a 3 4 - m 2 b 3 u \ — ^ n \y u 2 — a n 2> U 3 — 7 n % * “1 = u 2 - *JL h * 11 u" ’ “ä II j-* *" = ^xPi -L ^2P2 + ^3 P 3 Daher hat man 4- m 2 a"u" II 3. u x — <7 124 Analytische Geometrie. Nun ist a==m x a’ 4- m 2 a", also folgt der Satz: Die Coordinaten jeder Geraden, die durch den Schnittpunkt der beiden Geraden T x und T 2 geht, ergeben sich aus den Coordinaten dieser Geraden nach den Formeln X t u-l Vx" , Xj 4- X 2 x = 1, 2, 3. Gehen vier Gerade 2\, T 2 , T 3 und T i durch einen Punkt, und sind die Coordinaten von T s und T x XjM, 4 ” X 2 tlx Fl^x 4- F 2 ^ x Fi + F 2 x = 1, 2, 3, so überzeugt man sich leicht (vergl. § 6 , No. 6 ), dass das Doppelverhältniss der vier Geraden den Werth hat {T X T 2 T 3 T 4 ) = A -1 _ ^2 . P 2 Ist insbesondere X r —i— X i, Ux Ux, = X t «x' X 2 U x *1 Fi x = 1, 2, 3, so sind die Geraden T x , T 2 , T 3 , T i harmonisch. 12. A. Die Gleichung einer Curve zweiter Ordnung in homogenen Punktcoordinaten ist im Allgemeinen 1. a x j^j 2 -+- 2a x2 x x x 2 -I- 2a 13 x x x 3 4- a 22 x 2 2 ~k 2: 1 ;i: 3 + « 22 ;r 2 2 + 20 23 r 2 X3 -+- a zz i 3 2 , 6. A = ö ti^i 2 ■+■ 2« 12 S 1 E2 + 2« 13 i| 1 £ s -+- 9 - Ar — «13X1 + a 23? : 2 + 3 ^ 3 * Multiplicirt man die Ausdrücke 7. 8. 9. der Reihe nach mit , $ 2 , ij 3 , und addirt dann die Glieder colonnenweis, so erhält man den Coefficienten von 2 X 1 l 2 der Gleichung 4. in anderer Ordnung, nämlich geordnet nach den Coordinaten des Punktes iß; man erhält die Identität 10. ArA + Ar A + Ar= AeXi + AjX 2 + A^s» wobei 11. Ae = a llh + a l2%2 + a l3^3> 12. Ae = ö 12^1 + «22^2 + ö 23?3> 13. A? — ^13^1 ■+" ö 23^2 + «33?3- 2. Liegt der Punkt iß auf der Curve, so befriedigen die Coordinaten j: x die Gleichung / = 0, in der Gleichung 4. verschwindet also der Coefficient von X, 2 und es verbleibt die Gleichung 1. 2(Ar.Si + ArA +AryMä + AA 2 = °- Eine Wurzel dieser Gleichung ist X 2 = 0; ein Schnittpunkt der Geraden iß II mit der Curve theilt also ißII im Verhältniss Null; dieser Punkt ist iß. Der zweite Schnittpunkt der Geraden iß II und der Curve bestimmt sich aus der Gleichung L, nachdem der Faktor X 2 unterdrückt worden ist 3. 2(AjA -e AjA + AiAA i + AA — o. Soll auch dieser zweite Schnittpunkt mit iß zusammenfallen, soll also die Gerade iß II die Curve tangiren, so muss sich diese Gleichung auf X 2 = 0 reduciren. Dann müssen die Coordinaten von II der Bedingung genügen 4. Ar^i -+- ArA + Ar A = 0- Diese Gleichung ist linear für die Coordinaten von II, ist also die Gleichung einer Geraden. Diese Gerade geht durch iß, denn es ist, wie man sich durch Ausrechnung leicht überzeugt, 5- ArXi + ArX 2 + Arl'3 = A> also gleich Null, da iß auf f = 0 liegt. Hieraus folgt, dass durch jeden Punkt iß einer Curve zweiten Grades eine Tangente der Curve geht, und dass G. f\l x \ + f 2l x 2 ■+" f n x % = 0 die Gleichung der Tangente im Punkte iß an die Curve f = 0 ist. 3. Die Tangente wird nur dann unbestimmt, wenn es einen Punkt iß auf der Curve giebt, für welchen zugleich 1. Ar = Ar = Ar = 0. Denn dann verschwindet für diesen Punkt der Coefficient von Xj in der Gleichung No. 2, 3 unabhängig von ? 1( !j 2 , ? 3 ; also haben dann die Verbindungsgeraden von iß mit allen Punkten II der Ebene, d. i. alle durch iß gehenden Geraden, mit der Curve zwei in iß zusammenfallende Punkte gemein. Ein Punkt, für dessen Coordinaten / lf = f n = f 3X = 0 liegt nach No. 2, 5 auf der Curve f — 0. Nun ist Ar = «nXi ■+• « 12 X 2 + 3^3» Ar — a \2?i + «22X2 ■+■ <*23^3> Ar = ^13X1 + «23X2 + « 33 r 3 - . ■j.tutm-. § 13. Tangente, Tangentialpunkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 127 Giebt es ein Werthsystem fi. für welches diese drei homogenen linearen Functionen zugleich verschwinden, so verschwindet die Determinante A dieser Functionen a i 1 a i 2 a i 3 2. A = a \ 2 a 2 2 a 2 3 = 0. a i 3 ^23 a 33 Ein Punkt einer Curve, der die Eigenschaft hat, dass jede durch ihn hindurch gehende Gerade die Curve in zwei in den Punkt zusammenfallenden Punkten trifft, heisst ein Doppelpunkt der Curve. Verschwindet also die Determinante A, so besitzt die Curve zweiter Ordnung einen Doppelpunkt. Die Coordinaten des Doppelpunktes bestimmen sich aus zweien der drei Gleichungen 1. und der Gleichung ~ 4 - -jp- -t- = 1. Die Coordinaten des Doppelpunktes werden unbestimmt, wenn unter den drei Gleichungen / ir = / 2J: = /3 t = 0 nicht zwei unabhängige sind, d. i. wenn die linearen Functionen /Q, f n , y 3f einander proportional sind, wenn also 3. ö, , , ß. n , ß. o — £ti n . Ct 9 ft . Ct n —- £t. n . Ct ft q . Ct 11 • “12 • “13 “ “12 ' “2 2 • “2 3 — “13 • “2 3 • “3 3 ‘ Setzt man a 12 = *« 11( so folgt « 22 = m 18 = x 2 «jj, t? 23 = m 13 . Setzt man ferner a 13 = Xäjj, so wird a 2 Xa 1 2 = n.Xa ll , — X ^ 7 ^ 3 — X 2 ct^ 3 . Führt man diese Werthe in die Function f ein, so erhalten alle Glieder den Faktor a lx \ nach Weglassung dieses Faktors bleibt: f x == jc 2 4- 2k.x 1 x 2 -+- 2\XfX 3 + x 2 x| 4- 2-aXx 2 x 3 4- X 2 xg, = {x l 4- x^ 2 4- Xx 3 ) 2 . Die Function f ist also das Quadrat einer linearen Function, die Gleichung jf= 0 vertritt zwei zusammenfallende Gerade. In diesem Falle verschwinden sämmtliche Subdeterminanten von A. Wenn A verschwindet, ohne dass sämmtliche Subdeterminanten verschwinden, so ist der Doppelpunkt !ß eindeutig bestimmt. Verbindet man ihn mit einem andern auf der Curve f — 0 gelegenen Punkte II, so ist in No. 1, 4 ausser ff — 0 und Zir^i + = 0 auch noch der Coefficient von X|, nämlich _/$, gleich Null; die Gleichung 4. ist also identisch, und wird für alle Werthe von X t und X 2 erfüllt; die Gerade Sß II gehört daher mit allen ihren Punkten der Curve an, sie bildet einen Theil der Curve. Eine Gerade, die durch II geht, und nicht mit II fß zusammenfällt, hat mit der Curve noch einen Punkt IQ gemein, der nicht auf II Iß liegt. Verbindet man IQ mit iß, so schliesst man, dass auch Iß 11, (ebenso wie Iß 11) einen Theil der Curve bildet. Andere Punkte, die nicht auf iß II oder iß IQ gelegen sind, kann die Curve nicht besitzen. Denn durch jeden Punkt Q der Ebene kann man immer Gerade ziehen, die die zwei Geraden iß II und IßlQ schneiden. Läge nun Q auf der Curve, so würde jede solche Gerade drei Punkte mit der Curve gemein haben, im Widerspruche damit, dass eine Curve zweiter Ordnung von einer Geraden in zwei Punkten getroffen wird. Hat also eine Curve zweiter Ordnung einen Doppelpunkt, so zerfällt sie in zwei Gerade. Diese Geraden können in eine Gerade T zusammenfallen; dann ist jeder Punkt von T als Doppelpunkt zu betrachten. Sind die Geraden getrennt, so ist ihr Schnittpunkt der Doppelpunkt. 128 Analytische Geometrie. 4. Es erübrigt nun noch, im Falle A = 0 die beiden linearen Faktoren herzustellen, in welche die Function f zerfällt. Sind dieselben l> 1 x 1 -+- b 2 x 2 -+- b 3 x 3 und c 1 x 1 -+- c 2 x 2 -+- c 3 x 3 , so hat man die Identität f s= (b 1 x l -+- b 2 x 2 -+- b 3 x 3 ) (c 1 x 1 + c 2 x 2 c 3 x 3 ). Aus derselben folgen die Gleichungen 1 . ^\ c \ = - 11 > b 2 C 2 = ü 2 2 , ^ 3^3 — a 33’ 2. ^ 1^2 d - b 2 c x = 2& x 2t b x c 3 -t~ b 3 c x = 2& x3} b 2 c 3 —H b 3 c 2 2 # 23 ’ Aus 1. zieht man, wenn x, X, p. noch unbestimmte Faktoren bedeuten b i = Z |/(Zj j, b 2 = \ ]/ a 2 2 > ^3 = !*• Y a 3 3 ’ 3. _ l - _ J. - _ _l .- c i — x y a \i > c 2 — \ * a22 ’ c $ — ^ y a 3 3 • Setzt man diese Werthe in 2. ein, so ergeben sich die Gleichungen: 4. 5. 6 . 1 l“22 1 1“3 3 22“33 2 2> 2 #1 3 , 2-2 3" Die Gleichungen 4. und 5. genügen, um die Verhältnisse — und — zu be- X X stimmen. Man erhält 7 _1_ -1 2 — 2 2 C a l i 8. (- 13 ±Al '-1 2 2 -n- 22 ) > X 1 (-12 _|_j/-12 -11-22. X "Ai 1-22 1 ’a « -11-3 3 ) > * (-13 + Y a \3 -1 1-33. a l 3 9 - Ai 1-3 3 ‘ All Setzt man dies in 3. ein, so erhält man die Zerfällung der Function /: 9. /=[AAi -+ 1 1 1 tAn^i 4 Y a i i (— 1 2 — (—1 2 ~^~Y a l 2 — 11 — 2 2^ x 2 d~ j— (—l 3~^~ Y a l 3 —1 l a 3 3) x 3\ Y a 12 -1 l a 22) X 2 d" / (-1 3 Y a \ 3 -1 1-3 3 ^ 3 ] * An 1 «ii All Hierbei mögen Y a n lln d Y a \z — a u a 33 Ueber das Vorzeichen von Y a \ positiv gerechnet werden. jjtZjg ist dann so zu verfügen, dass das Produkt der beiden linearen Faktoren mit der Function f übereinstimmt. Führt man die Multiplication aus, so erhält man unabhängig davon, ob man für Ai 2 3 — a \\ a 33 ’ n beiden Faktoren den positiven oder den negativen Werth ansetzt, folgende Glieder a x x x x 2 1 2 2*^2 a 33 X 3 d - 2 u 12 *i*j -+- 2a x 3 x x x 3 , übereinstimmend mit f\ es handelt sich also bloss noch darum, den Coefficienten von x 2 x 3 im Produkt der linearen Faktoren mit 2a 23 zu vergleichen. Dieser Coefficient ergiebt sich zu: — /= (- 12 yA 2 A~AT-2 2) ‘ (-1 3 d" Y a \3 -H-33) An Y a 11 d- - • (a J 2 -+- Y a \2 -1 I-22) ' - 7 == (-1 3 "Al 3 -II-33) y-n An — n (^ a l2 a l3 2 - 11 - 33 )) -1 1 Der Radicand giebt ausgerechnet ^ 12^13 ^^ ä^ 1 1 & l 2 3-ll-22 -l 2 2-ll-33 d“ a \\ a 2 2-3 3 • 10 . § 13 - Tangente, Tangentialpunkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 129 Entwickelt man die Determinante A = 0, so erhält man A s Ä 11 «22 a: 33 a \\ a 23 a 22 a 13 a 33 a l2 d" % a l2 a 23 a 31 = Multiplicirt man A mit a 11 und zieht das Produkt von 10. ab, so erhält man = a l2 a i3 + a \\ a 23 ^ a l2 a 23 a 3l a l l> — ( a \2 a \3 a ll a 23) 2 • Also wird der Coefficient von x 2 x 3 : — [ 2 aq 2 äq 3 T- % ( a i 2 a i 3 ^ 11 * 23 )] • a i 1 Damit nun dieser Coefficient mit 2 a 23 übereinstimmt, muss das obere Zeichen der Klammer gewählt werden, d. i. man muss setzen i a l 2 ^ 11^22 * a l 1^3 3 ~ ^1 2^1 3 a l 1^23 (und nicht ^ 12^1 3 ~b^l 1^2 3 )* Das Vorzeichen von iah — a n a :i 3 muss also mit dem Vorzeichen von a 12 a 13 — a xl a 23 übereinstimmen. 5. Wir führen nun die entsprechenden Untersuchungen für Liniencoordinaten durch. Eine beliebige Gerade ü der Ebene durchschneiden wir mit einer andern Geraden T und bestimmen die Tangenten der Curve zweiter Klasse 9 = a n z 2«j 2 u x u 2 2a x 3 u 1 u 3 «» 9 «! T- < ia 23 u 2 n 3 t 33 u\ = 0, die durch den Schnittpunkt von % und T gehen. Die Coordinaten von £ seien u 1; u 2 , u 3 ; die von T seien v x , v 2 , z> 3 ; die Coordinaten von T ergeben sich dann durch die Formeln (§ 12, No. 11) + X 2 Z/ x X t -t- X 2 X = 1, 2, 3. Setzt man dies in 9 ein und ordnet, so erhält man zur Bestimmung des Verhältnisses X t : X 2 die Gleichung 9 2 u a 12 U l d- «22 U 2 d- «23 u z> 93« a l 3 U 1 d“ a 23 U 2 d* «33 u 3 * 5-, . 6 . der Reihe nach mit v lt v 2> v 9 a 33 U 3> “33^3' 1 . 2 . 3. 4. 5. 6 . man die Identität 7. 9i« z 'i d- c P 2 u z, 2 d- ? 3 U ®3 = 9iz ,u i -+- tp 2 z,U 2 T- 9 3 »it 3 > wobei 8. «Pi» = *nVi d- a 12 z> 2 -+- a 13 t) 3 , 9. 2 w = a 12^1 d - a 22 V 2 d" a 23^3’ iO. _ 93 * = «13^1 d- a 23 Z / 2 + a 3 3 V 3 • 6 . Berührt die Gerade £ die Curve 9 , so ist 9 U = 0; die Gleichung No. 5, 1 geht daher über in 1 . 2(9 1u z»j + 9 2U w 2 4- 9 3U t' 3 ) M2 d" 9 *- x f = 0 . Diese Gleichung hat die Lösung X 2 = 0; die dazu gehörige Gerade T fällt mit U zusammen. Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung 1. ergiebt sich aus der linearen Gleichung 2. 2 ■+■ 92tt V 2 d- 93U Z, 3) ^1 d- 9»X 2 = 0. Soll auch diese Lösung mit £ zusammenfallen, so muss die Gerade T so gewählt werden, dass der Coefficient von X, verschwindet, also so, dass 3. proportional; für einen gewissen Faktor m bestehen also die drei Gleichungen x, 8 . 9. A ntlo + «OqUo - , ' m = 0, m = 0 , 10 . 11 . sü 1 alt, -+- “33Ü3 Jlo m = 0. Da der Punkt x x auf der Tangente u x liegt, so ist noch ausserdem A Ul ä u * ^ ä,' h * Die Gleichungen 9. • . 10. sind homogen und linear für u 2 , it 3 und m ; ihr Verein wird durch das Verschwinden ihrer Determinante bedingt: tt, =0. 12 . *11 *1 2 *13 x x : h *12 *2 2 *2 3 x 2 : h *13 *2 3 *3 3 x % : h x l : h \ x 2 • A *3 : 0 = 0 . Wenn also die Coordinaten eines Punktes P diese Gleichung erfüllen, so ist P der Tangentialpunkt einer Tangente der Curve 9 = 0 . Daher ist f = 0 die Gleichung der Curve «p = 0 in Punktcoordinaten. 10. A. Wir nehmen jetzt einen Punkt iß ausserhalb einer Curve / = 0 an und fragen nach den durch 5p an die Curve gehenden Tangenten. 1 ,iegt der Punkt 11 auf einer der Tangenten, so fallen die Schnittpunkte der Geraden Sp 11 und der Curve in einen Punkt zusammen, die Gleichung No. 1, 4 hat also zwei gleiche Wurzeln für Xj : X 2 . Die Bedingung hierfür ist fi'f% — (As^i +/2t^2 + AsA) 2 = 0. Ersetzen wir hier die Coordinaten t x durch x x , so folgt: Die Gleichung 1- ft ■/~ (/ 1 1 ' x i + Ar' x a + Ar • x s) 2 — 0 ist die Gleichung der beiden durch den Punkt iß gehenden Tangenten der Curve zweiter Ordnung / = 0. Die linke Seite der Gleichung 1 . zerfällt daher in zwei lineare Faktoren T und J\ ; und T' = 0, 1\ = 0 sind die Gleichungen der beiden Tangenten. Ordnet man die Gleichung 1. und bezeichnet die Coefficienten der geordneten Gleichung mit b ixt so hat man Ai = « 11 /r fit b 1 2 = «12 ft —fit fit — «2 2 /r A 2t ’ a i ift ~ Ar' Ar i A — «3 3 ft fit > = «23 ft Ar 'Ar • Also ist die Determinante A' der Gleichung 1.: « 11 /r — fit - 2 ft — fitfit > «13 ft ArA i 2 . A' = 2 ft ~~ fitfit > « 22 /r fit > ?,ft — Ar/: ift — fit 3 r I « 13 /r — Ar Ar > «23 ft fitfit > Dieselbe zerfällt in acht Determinanten; nach Absonderung gemeinsamer Faktoren aus Zeilen oder Colonnen erhält man zunächst «11 «12 «13 j Ar Ar As «11 «12 «13 ^’=/r 3 «12 «2 2 «2 3 1 A 2 'fit ^12 ^22 ^23 — A 2 'As As As As «13 «23 «33 1 a \‘A ^2 3 a ‘4$ «13 «23 «33 § 13 - Tangente, Tangentialpunkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 133 fx - Ae «1 1 «1 2 «13 j « 12 «2 2 «2 3 + A * fl E f2 E Ae Ae.AeI Ae f 2E /3E /iE /2E /3E «13 «2 3 «3 3 i +/e ’AeAie /iE Ae /3E 2 ^22^23 /iE At' /sE «1 1 «i 2 «1 3 1 1 1 -F/e • / 2E /3E flX /2E f 3 t - fh fix fix 1 1 1 fix /2E /3E 1 1 1 Die letzten vier Determinanten verschwinden, da jede identische Zeilen enthält. Setzt man in der zweiten Determinante die Werthe für /, e / 2 e Ae e ' n > so zerlegt sie sich in die Summe von drei Determinanten. Man erhält: /iE Ar At I «11 a l 2 a l 3 j a 12 a 22 a 23 a i 3 a 23 «33 a l 2 a 22 «23 — Xl «12 a 22 a 23 + X2 «12 a 22 a 23 + h a i 2 2U Z/ 2 + ?3U Z, 3) 2 = 0. Pli 2?1 2 U 93 -?1 3 U 1 'U o ?22 Ersetzt man die Coordinaten v x durch u x , so erhält man: Die Gleichung 1.

u 2 ^‘§23 U 2 ti 3 ~k ß 33 ^ 3 = dass die Determinante verschwindet ßl 2 ßl3 I ?22 ß 2 3 = 0- ?2 3 ß3 3 I 11. A. Wir verbinden einen Punkt !{] der Ebene mit einem andern Punkte II und fragen nach der Bedingungsgleichung, die zwischen den Coordinaten von 'ps und 11 besteht, wenn die Gerade j]ll die Curve zweiter Ordnung/= 0 in zwei Punkten schneidet, die zu dem Punktpaar iß II harmonisch liegen. Zwei Punkte P und P" auf der Geraden iß 11, deren Coordinaten aus den Coordinaten von ip und IT nach den Formeln folgen: so beweist man wie im ähnlichen Falle 10A, P11 D' = Pi A + X 2 '$ x VA \ "t a 2 ■»* V = 1, 2, 3. -Ax — r 1 1 > *-Ax — -v ff Aj -+* Ag Aj sind bekanntlich harmonisch zu ißII, wenn die Verhältnisse X, : X 2 ' und X/ 1 : X 2 ” entgegengesetzt gleich sind. Die Verhältnisse X, : X 2 für die Schnittpunkte der 34 Analytische Geometrie. Geraden 5)} II und der Curve / = 0 folgen aus der Gleichung /jr^l + 2(/ lf ? 1 +/ 2 r$2 + /sl^s) ^2 + f = 0. Soll diese Gleichung entgegengesetzt gleiche Wurzeln haben, so muss sie rein quadratisch sein, es muss also der Coefficient von X t X 2 verschwinden. Die Bedingung dafür, dass die Schnittpunkte von ißll und der Curve zweiter Ordnung/= 0 harmonisch zu iß und II sind, ist daher 1- /sr^l “h /2f^3 +/3!^3 “b/ss?2 +/3S) C 3 = Zwei so gelegene Punkte heissen conjugirt in Bezug auf die Curve zweiter Ordnung. B. Unter conjugirten Geraden einer Curve zweiten Grades versteht man zwei Gerade, die zu den durch ihren Schnittpunkt gehenden beiden Tangenten harmonisch sind. Sind 2 und T zwei Gerade; so sind die Coordinaten der durch ihren Schnittpunkt gehenden Tangenten einer Curve zweiter Klasse «x = ^ * = 1. 2, 3, A 1 -+- A 2 wenn sich X x und X 2 aus der Gleichung bestimmen 2. “b H- ? 2 u z, 2 + t P3U^3) ^1^2 “b 9»^2 = 0. Sind 2 und T conjugirt, so liefern die beiden Wurzeln der Gleichung 2. harmonisch zu 2 und T conjugirte Gerade, sind also entgegengesetzt gleich, also ist die Gleichung 2. rein quadratisch; mithin verschwindet der Coefficient von X x X 2 . Wir erhalten daher den Satz: Die Bedingung dafür, dass zwei Gerade 2 und PinBezug auf eine Curve zweiten Grade^s 9 = 0 conjugirt sind, ist 3- 9 m • v x -t- cp 2 „ ■ v 3 -+-

fs«— ~ir n 3 «1 2 «22 u 2 h 2 «33 «1 3 ^3 «1 3 «2 3 h 3 Vergleicht man dies mit 5., so erhält man die Proportion: 7 ‘ T x = T t 1 T, = : : ’>»• Die Gleichung des Punktes ip ist ¥ x ‘ “i + ¥ 2 ’ u » + I 3 ' = °’ also in Rücksicht auf 7.: ?iu • u x +" fäU • «2 d - 'Psu ’ u 3 — 0. Mithin ist in der That der Punkt ip der Pol seiner Polaren. Wir schliessen hieran zunächst einige Constructionen. 13. Tangente, Tangentialpunkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 37 (M. 418.) 13. A. Die Polare eines Punktes P und die durch iß gehenden Tangenten eines Kegelschnitts zu construiren, wenn fünf Punkte desselben gegeben sind. Sind ABCDE die gegebenen fünf Punkte, so ziehe man ‘OßA und pi? und bestimme nach dem PASCAL’schen Satze die Punkte F und G, in welchen diese Gerade den Kegelschnitt zum zweiten Male treffen. Hierauf bestimme man den Schnitt H der Geraden A B und FG, sowie den Schnitt J der Geraden AG und BF. Zieht man nun HJ, so sind nach dem Satze über das vollständige Viereck die Punkte L und K die vierten harmonischen Punkte zu A F\ p und X, BGty, also ist LK die gesuchte Polare. Construirt man nun die Punkte M und N, welche die Polare von p mit dem Kegelschnitte gemein hat, so sind p M und p N die durch p gehenden Tangenten des Kegelschnitts und M und N sind ihre Tangentialpunkte. B. Den Pol einer Geraden 2 und die auf 2 liegenden Tangentialpunk te eines Kegelschnitts zu construiren, wenn fünfTangenten desselben gegeben sind. Sind ABCDE die gegebenen fünf Tangenten, so con- struire man zunächst nach dem Brianchon- schen Satze die Tangenten F' und G des Kegelschnitts, welche durch die Schnittpunkte der Geraden 2 mit zweien der gegebenen Geraden, z. B. mit A und B, gehen. Zieht man nun die Gerade H, welche den Schnitt von A und B mit dem von F und G verbindet, sowie die Gerade J, die durch die Schnittpunkte AG und BF geht, so sind nach dem Satze über das vollständige Vierseit die Geraden K und L harmonisch zugeordnet zu denStrahlen AF% und BG%, also ist ihr Schnittpunkt P der gesuchte Pol. Construirt man die durch P gehenden Tangenten des Kegelschnitts M und N, so treffen diese 2 in den auf 2 liegenden Punkten des Kegelschnitts. 14. A. Einen Kegelschnitt zu construiren, von dem drei Punkte, sowie ein Paar Pol und Polare gegeben sind. Sind A, B, C die gegebenen Punkte und ist T die Polare von F, so verbinde man P mit zweien der gegebenen drei ° (M. 420.) (M. 419.) 13 » Analytische Geometrie. Punkte, z. B. mit A und B, durchschneide damit T in D und E und construire die vierten harmonischen Punkte F und G zu den Punkten PDA und PEB\ dann sind F und G Punkte des gesuchten Kegelschnitts und derselbe nun durch die fünf Punkte AB CFG bestimmt. B. Einen Kegelschnitt zu construiren, von dem drei Tangenten und ein Paar Pol und Polare gegeben sind. Sind A, B, C die gegebenen Tangenten und ist P der Pol der Geraden T, so verbinde man den Schnittpunkt von A und T mit dem Punkte P durch eine Gerade D und construire den vierten harmonischen Strahl F zu D, T und A\ man verbinde ferner den Schnitt von B und T mit dem Punkte P durch eine Gerade E und construire den vierten harmonischen Strahl G zu E, T und B. Dann sind F und G Tangenten des Kegelschnitts und derselbe ist somit durch fünf Tangenten AB CFG bestimmt. 15. A. Einen Kegelschnitt ein Punkt und zwei Paare Pol und Polare gegeben sind. Ist A der gegebene Punkt, ferner T x die Polare von P x und T 2 die Polare von P 2 , so ziehe man A P x und bestimme den vierten harmonischen Punkt C zu construiren, von dem (M. 422.) P X BA\ ferner verbinde man A mit P 2 und bestimme den vierten harmonischen Punkt E zu P i DA\ dann sind C und E Curvenpunkte. Man kennt nun drei Punkte A, C, E der Curve und kann dieselbe nach No. 14 A construiren. B. Einen Kegelschnitt zu construiren, von dem eine Tangente und zwei Paare Pol und Polare gegeben sind. Ist A die gegebene Tangente und ist P x der Pol von T x und P 2 der Pol von T 2 , so verbinde man den Schnittpunkt von T x und A mit P x durch eine Gerade B und suche den vierten harmonischen Strahl C zu B 1\ A ; ferner verbinde man den Schnittpunkt von T 2 und A mit P 2 durch eine Gerade D und construire den vierten harmonischen Strahl E zu DT 2 A. Dann sind C und E Tangenten der Curve. Man kennt somit drei Curven- (M. 423.) tangenten A, C, E und kann dieselbe nach No. 14 B construiren. — r v p 13. Tangente, Tangentialpunkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 139 V 1. 16. A. Ein Punkt P der Geraden 11 hat die Coordinaten -x = 1, 2, 3. Xj 4- X 2 Die zu der quadratischen Function 2. f = 4 - 2a l2 x 1 x i 4 - 2 a 13 Jc 1 X 3 -I- a 22 x% 4 - 2a 23 x 2 x. i gehörenden linearen Functionen g f\x = a n x i ■+■ «1 2«2 «13«3 ’ f2 X «1 2«1 f%x ^ « 13 «! H~ «2 3«3 "+* «3 3«3 werden daher für den Punkt P: *3 3 X 3 a 2 2^2 + «2 3«3 1 fix ~ Xj 4- X a ’ + " ' fz* — 4- X 2 _+ " ^2/2;) fs * = xttt; + Die Gleichung der Polaren des Punktes P ist demnach T ss (Xj/ijt 4- ^2 ff) x x 4- (X^jr 4- X 2 / 2 ^) x 2 4- (k-ifst -+■ X 2 / 3 j) x » = Setzt man $ = /ir«i 4-/ 2 j« 2 -b/ 3 f «3 » y’ ^ fl£ «1 + ^25 «2 -p f 3t, X 3 ’ so sind £ = 0 und T = () die Gleichungen der Polaren der Punkte Iß und II, und man erhält 7’= X x 2 4 - X 2 7’ = 0 für die Polare des Punktes von P. Hieraus folgt in Uebereinstimmung mit No. 12 A, dass die Polare von P durch den Schnittpunkt der Polaren S und T geht, und dass das von den Polaren P gebildete Strahlbüschel mit der Reihe der Punkte P projectiv ist. Wir haben daher den Satz: Beschreibt ein Punkt eine geradlinige Punktreihe, so beschreibt seine Polare ein Strahlbüschel, das mit der Punktreihe projectiv ist; der Träger dieses Strahlbüschels ist der Pol der Punktreihe. Die Polare T eines Punktes P der Geraden iß II ist der Ort der zu P conjugir- ten Punkte; also wird IßII von T in dem zu P conjugirten Punkte Q der Geraden iß II geschnitten. Da nun die Reihe der P zu dem Büschel der T projectiv ist, so ist sie auch zur Reihe der conjugirten Punkte Q projectiv. Nun ist aber der Begriff der Conjugation zweier Punkte reciprok: Ist Q conjugirt zu P, so ist auch P conjugirt zu Q; hieraus folgt (§ 6, No. 21), dass die auf einander liegenden projectiven Punktreihen der P und der Q involutorisch liegen. Wir haben daher den Satz: Die Paare conjugirter Punkte, die auf einer Geraden liegen, bilden eine qnadratische Involution. Die Doppelpunkte dieser Involution sind die Schnittpunkte der Geraden und der Curve. B. Eine Gerade T, die durch den Schnitt zweier Geraden S und T geht, hat die Coordinaten u x = — —, x = 1, 2, 3. Xj 4- X 2 Also ist die Gleichung des Poles der Geraden T in Bezug auf den Kegelschnitt V sas auUj 2 4 - 2 a 12 U 1 U 2 4- 2 a 13 « 1 « 3 4- *22 u 2 ^ 0 L 23 U 2 U 3 + a 33^3 2 ~ 0 P SS Xjlß 4 - X 2 II = 0, wenn iß ===

1 «13*1 + «23*2 -b «33*3 = m ' T~ • "3 Für die Coordinaten des Punktes, dessen Polare unendlich fern ist, ergiebt sich hiernach die Prooortion: 1 1 1 «12 «13 ^ «13 «11 /~ «11 «12 1 I 1 «22 «23 «2 3 «12 yj"' «12 «2 2 jj“ 1 1 1 «2 3 «3 3 IT "3 «33 «13 hi «13 «2 3 Ist -p = 0 die Gleichung derselben Curve zweiten Grades in Linien- coordinaten, so ist die Gleichung des Punktes iß, d. i. die Gleichung des Poles der Geraden 2, deren Coordinaten n x = u 2 = u 3 = 1 sind 3- tp 1;< -I- cp 2 « -t- > A /.x- a x 3 x x + 3^2 — f- ^ 33 * 3 ^^ = 0 • B. Die Gleichung des Poles einer Geraden 2 kann man schreiben 2. cp 1M • U t -+- cp 2U • lt 2 -p

vh* 2 2^2 3 3 /# 3 1 l n l Schreibt man dafür 5.

so gelten die Beziehungen: 1 _1_ _ h? ' 22“22 ll a ll 3 Die Gleichung der Curve in Liniencoordinaten 5. findet man auch leicht ohne Benutzung der Gleichung f = 0 aus dem Umstande, dass die Ecken A j, A 2 , A 3 die Pole der gegenüberliegenden Seiten sind. Die Gleichung des Poles einer die Curve

»» >> o • /==- 1 also positiv; „ negativ; „ negativ; §13- Tangente, Tangentialpünkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 145 für das Centrum: also positiv „ einen Punkt von A 2 A.,: f — -sy 2 x 2 — 1 negativ. a 2 "2 Die Eckpunkte A 2 A 3 liegen jetzt auf derselben Seite der Curve und die negativ. Gerade A 2 A 3 schneidet die Curve nicht; die Ecke A l und das Centrum liegen auf der andern Seite der Curve. Jede durch das Centrum nach einem Punkte von A 2 A 3 gezogene, d. i. jede durch das Centrum gehende Gerade, schneidet die Curve, denn auf der von dem Centrum und der Geraden A 2 A 3 begrenzten Strecke findet ein Vorzeichenwechsel der Function f statt. Hierdurch wird die Curve als Ellipse charakterisirt. In jedem Polarendreieck einer Ellipse liegen eine Ecke und das Centrum der Curve auf der Seite derselben Curve, nämlich auf dem ringsum begrenzten, endlichen Gebiete; die andern beiden Ecken und die sie verbindende Gerade liegen auf dem andern, unendlich grossen Gebiete; da zwei Coordinaten des Centrums negativ sind, so liegt das Centrum im Scheitelwinkel desjenigen Dreieckswinkels, dessen Scheitel mit dem Centrum auf derselben Seite der Curve liegt. Rückt das Centrum in den Punkt A x , so wird A 2 A 3 unendlich fern; wenn der Gleichung durch endliche Werthe von x 2 und x 3 genügt werden soll, so muss (1 : j x , 2 eine endliche Constante v 2 werden, und die Verhältnisse der Höhen h x : h 2 : h 2 müssen endliche Werthe 1 \n\m annehmen; die Geraden A t A 2 und A l A 3 werden conjugirte Durchmesser. Führt man dieselben Coordinaten ein, wie unter a), so erhält man die Gleichung der Ellipse sm i <0 7 2 ag n sin 2 cu — 2 - x 2 -+- * 1 = 0 . Durch die Schlussbetrachtungen von a) und b) ist angedeutet, wie man ein zweiachsiges Coordinatensystem (wobei es unwesentlich ist, ob die Coordinaten parallel oder normal zu den Achsen gemessen werden) als eine Ausartung eines dreiachsigen Systems betrachten kann, nämlich als ein dreiachsiges System, von welchem eine Achse die unendlich ferne Gerade ist. 24 . A. Wenn von einer Curve zweiter Ordnung ein Polarendreieck A 3 A 2 A 3 und ein Punkt B gegeben sind, so sind noch weitere drei Punkte der Curve bekannt; dieselben liegen auf den Geraden, welche B mit A 1 , A 2 und A 3 verbinden und sind die vierten harmonischen Punkte zu den beiden Schnitten einer solchen Geraden und des Perimeter des Polarendreiecks und zu B; sie bilden mit B die Ecken eines vollständigen Vierecks, für welches A , A 2 A 3 die Diagonalpunkte sind, und können durch Ziehen einiger Geraden in bekannter Weise leicht gefunden werden. Durch ein Polarendreieck und durch zwei Punkte, die aber nicht mit einer Ecke des Polarendreiecks auf einer Geraden liegen dürfen, ist die Curve bestimmt; denn es sind dann im ganzen acht Punkte der Curve bekannt, also mehr als nöthig zur Construction mit Hülfe des PASCAL’schen Satzes. B. Wenn von einer Curve zweiter Ordnung ein Polarendreieck A 3 A 2 A 3 und eine Tangente B gegeben ist, so kennt man noch weitere drei Tangenten; diese sind die vierten harmonischen Strahlen zu je einer Seite des Achsendreiecks, dem Strahl, welcher die Spur von B auf dieser Seite mit dem Pole dieser Seite verbindet, und von B, und können daher leicht con- struirt werden. Sie bilden die Seiten eines vollständigen Vierseits, dessen Diagonalen die Seiten des Achsendreiecks sind. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. IO 146 Analytische Geometrie. Kennt man von einer Curve zweiter Ordnung ein Polarendreieck und zwei Tangenten, deren Schnittpunkt aber nicht auf einer Seite des Achsendreiecks liegen darf, so ist die Curve bestimmt; denn man kennt dann im Ganzen acht Tangenten und kann die Curve daher nach dem BRiANCHON’schen Satze con- struiren. 25. Wir untersuchen nun, ob zwei Kegelschnitte ein gemeinsames Paar Pol und Polare haben. Die Gleichungen der beiden Kegelschnitte seien in Punktcoordinaten: /”== b lx x? 4- 2b 12 x 1 x i in Liniencoordinaten: t- 2a 12 U 1 U 2 9 * 11 ' 1 X 1 x 3 + «22 -y> 2 x 2 4- 2 ct 2 3 x 2 X 3 + «3 3*3 2 = 0, , x l x 3 — f* b 2 2 y 2 2 4- ^2 3 + b ZZ x i = 0, «1 u % + a 22 **2 2 4- 2«23 u % + «3 3«3 2 = 0; i»i 1l 3 + ß22 «2 2 4- 2ß2 3 + ß3 3 W 3 2 = 0. ;n eines Punktes X 1 .» x %, x 3 in Bezug auf den ersten Kegelschnitt gilt die Proportion k,' h 2 ‘ h 3 ~ /lx • J * x ’ und für die Coordinaten der Polaren desselben Punktes in Bezug auf f" «j _ «2 _ «3 _ n ,, „ ‘ h 2 ' h 3 —-'i-* 'J* x ‘J 3 * • Sollen beide Polaren zusammenfallen, so muss die Proportion erfüllt werden: f\x '• f 3 x '• f 3 x — f\ x " '•fix" - fix", also giebt es dann eine Zahl X, für welche f\x — fix = Xf 2 x", f$ x — Xf 3x '. Reducirt man diese drei Gleichungen auf Null, so erhält man 1. («n- -^ll)*l 4- («1 2 - ~ 2) x 2 4- («1 3 _ - X*, 3) x 3 = 0, 2. («12- - Xb x2 ) •*! -t- («2 2 - ~ ^2 2) x 2 4- («2 3 - - Xb 2 3) x z = 0 3. («13 “ - Xb x 3 ) x x 4- («2 3 “ ~ ^2 3) X 2 4- («3 3 “ - Xb 3 3 ) x 3 = 0 Der Verein dieser drei Gleichungen wird durch das Verschwinden der Determinante bedingt 4. L = 42 x^n, «12 — 2» «13 X^l 3 — Xb 12, «22 — ^^2 2 > «23 ^ b 2 3 = 0. Xb x3 , «23 ^2 3 » «33 ^3 3 Dies ist eine cubische Gleichung ftir X. Ist X 0 eine reale Wurzel der Gleichung L = 0, so setze man dieselbe in zwei der drei Gleichungen 1., 2., 3., z. B. in die ersten beiden ein; aus («11 ^O^ll)^! + («12 + 0*13 ^0^13) X 3 — und («12 —+ («22 ^ 0 ^ 22 ) X 2 + («23 ^0^2s)*3 = erhält man dann die Verhältnisse der Coordinaten des zu X 0 gehörigen Punktes, dessen Polaren für beide Kegelschnitte zusammenfallen. Man kann bei dieser Untersuchung auch von den Gleichungen in Liniencoordinaten ausgehen. Ist T eine Gerade, deren Pole für beide Kegelschnitte zusammenfallen, und sind u x u 2 u 3 die Coordinaten von T, so gilt die Proportion — u • • ?3» f — * ?2« • ?3« f > u \ . f^2_ . ^2 ^3 also giebt es eine Zahl jjl, für welche die Gleichungen bestehen

6 . (aj 2 — H-ßi 2) u \ + (“22 — M-P22) w 2 + («23 — I*-p23) «3 — 7. («13 — pßl 3) U l + («2 3 pß2 3) w 2 + ( a 3 3 Pßss) U % = tl- § 13- Tangente, Tangentialpunkt, Polare und Pol an Curven zweiten Grades. 147 Der Verein dieser Gleichungen wird durch das Verschwinden der Determinante bedingt *n pßl 1 > a 12 — pßl 2 » a 1 3 Pßl 3 8. M= a 12 — Pßl2 > a 22 pß22 > a 23 — Pß23 = 0 a 13 pßl 3 > a 23 — pß23 > a 33 P ß 3 3 Jeder realen Wurzel dieser cubischen Gleichung für p entspringt ein reales gemeinsames Paar Pol und Polare der beiden Kegelschnitte. Die Verhältnisse der Coordinaten der Polaren bestimmen sich, wenn p 0 eine reale Wurzel von M = 0 ist, aus zweien der Gleichungen 5. 6. 7. z. B. aus ( a ii ! A oßii) K i'T'( a i 2 Poßi 2 ) M 2 4- (c*i 3 Poß 13)^3 = 0» und . (“12 — Poßl2)“l + ( a 22 —Poß22)«2 +( a ?3 — P 3 ß23)^3 = °- Die Gleichungen L = 0 und M — 0 haben also immer die gleiche Anzahl realer Wurzeln. Haben die Gleichungen L = 0 und M = 0 drei reale Wurzeln, so giebt es drei Punkte I\ P 2 P 3 , die für beide Kegelschnitte dieselben Polaren T 1 T 2 J\ haben. Hieraus folgt dann weiter, dass die Ecken des Dreiecks T X T 2 T 3 die Seiten des Dreiecks P x P 2 P 3 für beide Kegelschnitte zu Polaren haben. Da aber nicht mehr als die drei Punkte P X P 2 P 3 existiren, deren Polaren für beide Kegelschnitte zusammenfallen, so folgt, dass die Dreiecke J\P 3 P 3 und T X T 2 T 3 zusammenfallen. Haben also die Gleichungen L — 0 und M= 0 drei reale Wurzeln, so besitzen die beiden Kegelschnitte ein reales gemeinsames Polarendreieck. Durch Transformation zu diesem gemeinsamen Polarendreieck als Achsendreieck wird jede der quadratischen Formen f", cp' und cp" in eine Summe von drei Quadraten transformirt. Haben die Gleichungen L = 0 und M = 0 zwei conjugirt complexe Wurzeln, so kann man immer noch von einem gemeinsamen Polarendreiecke der beiden Kegelschnitte sprechen; nur sind jetzt zwei Ecken und die ihnen gegenüberliegenden Seiten imaginär, während die dritte Ecke und Seite real sind. 26. A. Sind P x , P 2 , . . P 6 Punkte eines Kegelschnitts und x x% , x 2xi x 3X die Coordinaten von P % , so verschwindet die Determinante (§11, No. 2) /y> 2 ^1 1 ■*i 1*21 X 1 1*3 1 ■y 2 ■*21 ■*21*31 -y 2 •*31 y 2 ^1 6 *16*26 X 1 6*36 -y 2 ■*26 *23*36 **36 Hieraus folgt, dass es sechs Zahlen p t . . . p 6 giebt, die nicht sämmtlich verschwinden, und für welche *i 2 i Pi 4- *i’ ä h + • • • + *ie Pe = 0, *ll*2lPl + *12 r 22p2 + • • • + X] qXq gpg = 0, -''ii'*3iPi 4- *i2*32p2 4- ... 4- *i6*36p6 = 0, * 2 2 i Pi + *| 2 Pa 4- . . . 4- * 2 2 e p 6 = 0, ■*21*31P1 4 - x 2 2 * 3 2P2 4 - ... 4 - * 2 6 * 3 6 p 6 = 0 , *fi Pi 4- x is P 2 + • • • + x$ 6 p 6 = 0. Es seien u x , u 2 , u 3 die Coordinaten einer willkürlichen Geraden. Multiplicirt man 2. der Reihe nach mit u x ti 2 u x ti 3 u$ u 2 u 3 Ti’ hjr 2 ’ hjt 3 > hi’ vv hi und addirt, so erhält man die Identität 3. p X P\ 4- p 2 PI 4- p 3 Pl + P 4 -P 4 2 4- Ps^l 4" PsA 2 = °> 14 $ Analytische Geometrie. wobei P x ss X xx U x -+■ -T~X 2 x ^2 ~jr X S %U 3 = ® "l "2 "3 die Gleichung des Punktes P % ist. Wenn also sechs Punkte auf einem Kegelschnitte liegen, so erfüllen sie die Identität 2., wobei die Verhältnisse der Zahlen p.* eindeutig bestimmt sind. B.*) Wenn sechs Gerade 1\ . . . T 6 einen Kegelschnitt berühren, so erfüllen ihre Gleichungen eine Identität von der Form 4. Fi“P F-2^? +...■+■ (a b 7’| = 0, wobei die Verhältnisse der |a* eindeutig bestimmt sind. 27. A. Sind 7\, T 2 , . . . T n willkürliche Gerade, so ist 1 . haikTiTk = 0 , wobei für ik jede Variation zweiter Klasse der Zahlen 1 ... n und an = a ti vorausgesetzt werde, die Gleichung eines Kegelschnitts. Die Bedingungsgleichung dafür, dass die Punkte P und II in Bezug auf 1. conjugirt sind, ergiebt sich aus No. 11, 1A ohne Schwierigkeit zu 2. 2{a x iT X x -f- a 2 iT 2 x ri~ ^ 3 *^ 3 -* “h * . 4“ a niTnx) Z,'£ = 0, i = 1 . . . n. B. Sind P x , P 2 , . . . P n willkürliche Punkte, so ist 3. 2 an Pi Pt = 0 die Gleichung eines Kegelschnitts in Liniencoordinaten. Die Bedingung dafür, dass T und S? in Bezug auf denselben conjugirt sind, ist (No. 11, 1 B) 4. 2(a X! P xu -t- a 2 iP 2 „ ■+■..-+- a„iP„ u ") Pi U = 0, i — 1 . . n. 28. A. Für den Kegelschnitt 1. K ss a 1 j T\ 4 - a 22 T% 4- a 3i T$ = 0 wird die Gleichung No. 27, 2 2. a \\T X xT x ^ -+- a 22 T 2X T 2 ^ 4- « 33 Z’ 3Jr Z’ 3 . = 0. Dem Punkte T xx = T 2X = 0 ist daher jeder Punkt von = 0 conjugirt u. s. w.; folglich ist T x 7\T. i ein Polarendreieck von K. Für den Kegelschnitt 3. K ss a lx TI 4- 2 T’l -+- a S3 T% 4- a 44 7 f = 0 geht No. 27, 2 über in 4. a 11 T 1 x7' 1 £ -4- a 22 T 2 xT 2 ^ 4- a 33 T 3x 7\^ 4- a 44 T 4X T 4( = 0. Ist i, k, l, m eine Permutation von 1 2 3 4, so lehrt diese Gleichung, dass dem Punkte T ix = T kx = 0 der Punkt 7'/; = T,„t = 0 conjugirt ist; das Vier- seit T X T 2 T 3 T 4 ist daher dem Kegelschnitte K conjugirt, d. h. je zwei Gegenecken sind conjugirt. Umgekehrt: Wenn für einen Kegelschnitt K zwei Paare Gegenecken eines vollständigen Vierseits conjugirt sind, so ist es auch das dritte Paar. Denn sind A, K und C, D Punktpaare zweier Diagonalen des Vierseits, die den Gegenecken, die mit ihnen auf derselben Diagonale liegen, harmonisch zugeordnet sind, und beschränkt man die Coefficienten au in K = 0 so, dass der Gleichung durch A und C genügt wird, so sind nach dem soeben bewiesenen Satze auch B und D auf K enthalten. Man kann nun die Verhältnisse a xl : a 22 : a i3 : a 44 immer so wählen, dass K noch einen beliebigen fünften Punkt enthält, es lässt sich also die Gleichung jedes durch A, B, C und D gehenden Kegelschnitts in der Form 4. darstellen, w. z. b. w. B. Der Kegelschnitt A'= = 0 hat, wennx = 3, das Polarendreieck P X P 2 P 3 \ ist x = 4, so ist er dem Vierecke P x J J 2 P 3 P 4 conjugirt, ‘) Die Beweise der unter B mitgetheilten Sätze sind denen unter A leicht nachzubilden. § 14 * Kegelschnittbtischel und Kegelschnittschaar. *49 d. h. jedes Paar Gegenseiten dieses Vierecks ist conjugirt. Umgekehrt: Wenn zwei Paare Gegenseiten eines vollständigen Vierecks einem Kegelschnitte conjugirt sind, so ist es auch das dritte Paar. 29. Die Identität No. 26, 3 kann geschrieben werden 1. jx, P\ -+- |x 2 Pf -+- [/. 3 Pf = — |r 4 P 4 2 — |x r ,P| — p 6 Pg. Alle Geraden, ftir welche Pf -+- fjt. 2 Pf -l- [/. 3 Pf = 0, berühren einen Kegelschnitt, für welchen P,P 2 P 3 ein Polarendreieck ist; nach 1. ist für diesen Kegelschnitt auch ij, 4 Pf -f- u. 5 P? + Pf = 0, es ist also auch P 4 P r , P 6 ein Polarendreieck desselben. Wir erkennen daher: Wenn zwei Dreiecke einem Kegelschnitte eingeschrieben sind, so giebt es einen bestimmten Kegelschnitt, für den sie Polarendreiecke sind. Umgekehrt: Zwei Polarendreiecke desselben Kegelschnitts sind einem andern Kegelschnitte eingeschrieben. Denn sind P 4 P 2 P 3 und P 4 Pj P fi Polarendreiecke eines Kegelschnitts, so kann die Gleichung desselben in den beiden Formen geschrieben werden t = U + ^•2'Pllt", ?2>1 = ^1?2»' ^2?2 n" > ?3U = ~F ^2?3«" • Die Gleichung des Poles einer Geraden S in Bezug auf den Kegelschnitt (p = 0 ist daher iß = (llflll' 4- ^2?ia 1 ') U \ "h (^l?2u' “h ^2?2>t") U 2 ■+■ 1 'P 3 ll 1 d” ^2?3 ll') U 3 ~ Setzt man iß' =

S -ß" s ?1 u"«! d- so sind iß' = 0 und iß" = 0 die Gleichungen der Pole der Geraden £ in Bezug auf die Kegelschnitte Xi*i 3 4- X 2 b x 3 1. *1 *1 2 -P ^2^12’ X j CI 2 f) X 2 b 2 2 ; X j (l f) g + ^2^23 *1 a l 3 4- X,, b x 3 , X j & 4- X,/ 3 Jr '4-X 2 / 3J .' , = (X 1 (J! ]3 4-X 2 ^ ] 3 )a: I 4-(Xi(7 ; ,. { 4-X2^23)-* , -’ - K > ‘i a 33'"K > '2^33)' :,: 3 = 0. Ersetzt man hier das Verhältniss — X 2 : X, durch X, so werden die Determinante und die Gleichungen 2., 3., 4. mit der Determinante L und den Gleichungen 1., 2., 3. in § 13, No. 25 identisch. Wir haben daher den Satz: Es giebt in jedem Kegelschnittbüschel d?ei (reale oder imaginäre) Kegelschnitte, die in Geradenpaare zerfallen; die Doppelpunkte dieser Geradenpaare sind die Ecken des gemeinsamen Polarendreiecks. Es mag ausdrücklich hervorgehoben werden, dass aus der Realität eines Doppelpunktes nicht geschlossen werden kann, dass auch das zugehörige Geraden- 154 Analytische Geometrie. paar real ist. Wählt man einen realen Eckpunkt des gemeinsamen Polaren- dreiecks zur Ecke A x und die gegenüberliegende Seite zur Seite A 2 A 3 des Coordinatendreiecks, so wird (§ 13 , No. 20 ) /' a lx x 2 4 - a 22 x 2 2 4 - 2 «2 3 '* 2 x 3 4 - a 33 x£ — 0 , /"*= b llX * 4 - b 22 x 2 A- 2 b 23 x 2 X 3 4 - ^3 3 ^ 3 2 = 0 . Die Gleichung 1 . wird jetzt Xi a i 1 A- l 2 b xl , 0 0 1 0 X t a 2 2 A- ^ 2 ^ 22 ’ Xl a 2 3 A- X 2 b 2 3 = °’ oder 0 ^l a 23 + ^ 2 ^ 23 > Xl ß 33 A- ^ 2^33 1 (Xj a lt 4 - ^ 2 ^n) • Xj a 2 2 4 - l-i b 2 2 , Xj a 2 3 A- ^ 2 b 23 , ^■1 ^23 + ^ 2^23 Xj a 33 4 - X 2 b 3 3 = 0 . Eine Wurzel dieser Gleichung, die dem Doppelpunkte A y entspricht, ist Xj : X 2 = ; — a 11 ; das zugehörige Geradenpaar hat die Gleichung: 5 - f = b x x f a x j f" = (b lx iz 22 ^11^22) x 2 A- 2 (^ 11 <Ü 23 a i 1^23) X 2 X 3 A~ (^l \ a 3 3 a i 1^3 3) x 3 = 0 . Ist das ganze Polarendreieck real, so wird in Bezug auf dasselbe /' = a lx x 2 4- a 22 x 2 2 4- «3 3*3 2 > /" = b^ x x 2 4- b 22 x 2 4 - b 33 x 2 . Die Determinante 1 . reducirt sich jetzt auf das Produkt der Diagonalglieder 6 - (^l a n + ^' 2 ^ 11 ) x öt 2 2 A~ ^ 2 ^ 22 ) (^l ß 33 + ^2^33) = 0 und liefert für das Verhältniss X, : X 2 die drei realen Wurzeln b lt : (—u u ), ^22 : (— a 2i)> b 33 :(— a 33 ); diesen entsprechen die drei Geradenpaare 7 ' ( a 22b\ 1 a nb 22 ') x 2 2 (a 1 1^33 ci 3 3 b x x ) x£ = 0 , 8- { a 22^l 1 a \ 1 b>2 2) ■*l 2 "+■ ( a 3 3 ^2 2 a 22 ^3 3) X 3 ~ 0» ( a 11^33 a 3%b\\) x \ ( a 33^22 ß 22^33)'*3 2 = Sind die Grössen (#22^11 ^11^22)’ ( a ii^33 ß 33^ii)> (^33^22 ^22^33) alle drei positiv, oder alle drei negativ, so sind die drei Geradenpaare 7 ., 8 ., 9 . real; sind zwei der Grössen positiv (z. B. die erste und zweite) und die dritte negativ, oder sind zwei negativ (die erste und die zweite) und die dritte positiv, so ist ein Geradenpaar real (in beiden Fällen das Geradenpaar 7 .), die andern beiden sind conjugirt complex. Wenn ein Kegelschnittbündel ein reales Polarendreieck hat, so ist entweder ein, oder es sind drei reale Geradenpaare im Büschel enthalten. B. Der Kegelschnitt cp s Xjcp' 4- X 2 Xjajj 4- X 2 ß 12 ^1 a i 2 + Xgßjj , ^1 a 2 2 A- X2 ß2 2 > Xl a 23 "b X 2 ß 2 3 = 0. Xi a i 3 + X 2 ßj 3 , Xj a 23 4- Xg ß 2 3, Xl a 3 3 ■+" X2 p3 3 Die Verhältnisse der Coordinaten der Doppeltangente bestimmen sich aus zweien der drei Gleichungen: 11. (Xx «11 4- X 2 ßj J u x 4- ( ? -i a n A- Xjßi 2 ) u 2 4- (X,«! 3 H- X 2 ß! 3 ) zz 3 = 0, 12 . (XjOtj 2 4- X 2 ß 12 ) U\ -H (Xja 2 2 - 4 - X 2 ß 3 2) « 2 -b 0 >i ®23 + ^-2^23) u 3 — 0 , 13 . (Xi0(i 3 4 - Xgßu)«! 4 - (X. x a 2 3 + X 2 p2 3) u 2 A- (X t a 3 3 4 - X 2 ß 33 ) u 3 — 0 . Ersetzt man X 2 : X x durch — ja, so werden die Determinante 10 . und die Gleichungen 11 ., 12 ., 13 . mit der Determinante M und mit den Gleichungen 5 ., 6 ., 7 . in § 13 , No. 25 identisch. Hieraus folgt: Unter den Kegelschnitten einer Schaar giebt es drei Punktpaare; die Doppeltangenten derselben sind die Seiten des den Kegelschnitten der Schaar gemeinsamen Polarendreiecks. § »4- Kegelschnittblischel und Kegelschnittschaar. 155 Ferner folgt ähnlich wie in A: Ist das ganze Polarendreieck real, so sind entweder alle drei Punktpaare real, oder es ist eines real und die andern beiden sind conjugirt complex. 6 . A. Mögen nun die drei Geradenpaare, welche einem Kegelschnittbüschel angehören, aus realen Geraden bestehen, oder mögen imaginäre unter ihnen sein, in jedem Falle schneiden sich zwei dieser drei Paare in vier realen oder imaginären Punkten; folglich gehen die Geraden des andern Paares und alle Kegelschnitte des Büschels durch dieselben vier Punkte. Heben wir insbesondere irgend zwei Kegelschnitte des Büschels hervor, so haben wir den Satz: Zwei Kegelschnitte haben vier reale oder complexe Schnittpunkte. Sind vier reale Schnittpunkte vorhanden, so hat das zu diesen beiden Kegelschnitten gehörige Büschel drei reale Geradenpaare, nämlich die drei Paare Gegenseiten des durch die vier Schnittpunkte bestimmten vollständigen Vierecks, — und ein reales Polarendreieck, dessen Ecken die Diagonalpunkte dieses Vierecks sind. Um über die Realität der zum Büschel der beiden Kegelschnitte gehörenden Geradenpaare und über die complexen Schnittpunkte weiter zu entscheiden, wollen wir uns die Gleichungen der Kegelschnitte f und f" auf ein rechtwinkeliges System bezogen denken.. Die Gleichung von f' sei f' = ax 2 -+- 2 bxy - 4 - cy 2 - 4 - idx -+- 2ey + k = 0. Wird dieser Gleichung durch den imaginären Punkt genügt, der die Goor- dinaten hat x = i; -t - z';t, y = t\ -4- z' 9 , so ist x 2 = £ 2 - 4 - 2 z'£;t, xy = £rj — *9 - 1 - f (jct) - 4 - £ 9 ), y 2 = r i 2 — 9 2 + 2 / 7 ) 9 . Setzt man diese Werthe in /' = 0 ein, so erhält man: tf(£ 2 —y 2 ) -4- 2£(£r] — F9) - 4 - r(r) 2 —9 2 ) -4- 2 d\ -4- 2*tj - 4 - k -f- 2f(#£y -4- - 4 - bz 9 -4- rirj 9 -H dy. — t- ^ 9 ) == d. Also sind die beiden Gleichungen einzeln erfüllt 1. ß(£ 2 —y 2 ) = 2 £(£tj— 19 ) - 4 - r(r ) 2 — 9 2 ) -4- 2 d\ -4- -4- k = 0, 2. a’zy. -I- £(r|t-t-£9) -4- er )9 4 - d]c 4- eX) = 0. Ersetzt man hierin y und 9 durch — £ und — 9 , so bleibt die Gleichung 1 . ungeändert, und in 2. wechseln alle Glieder die Vorzeichen. Wir schliessen daher: Wenn ein complexer Punkt auf einem Kegelschnitte liegt, so liegt auch der conjugirt complexe auf dem Kegelschnitte. Hieraus folgt weiter: Die complexen Schnittpunkte zweier Kegelschnitte sind paarweise conjugirt. Da nun zwei conjugirt complexe Punkte immer auf einer realen Geraden enthalten sind, so folgt: Sind die vier Schnittpunkte zweier Kegelschnitte complex, so zerfallen sie in zwei Paar conjugirte und das Büschel der beiden Kegelschnitte enthält ein reales Geradenpaar. Bestehen die vier Schnittpunkte aus den beiden Paaren conjugirt complexer Punkte P x P x 1 und / > 2 /’ 2 l , welche die Coordinaten haben + zt,, tq x z"9i, 61 — «JCi, 7] 1 ■— f9 1 i ? 2 +^ 2 - 7| 2 -F/9 2 ; £2 —*'?2> 7)2—*92» SO sind die Geraden P\Pi und P 2 P 2 ’ real; die Gleichungen der Geraden P X P 2 und / > 1 '/ > 2 ' sind: X, y, 1 X, y> 1 £1 + ifi 1 7)l + *9l > 1 = 0 , £1 — 7) 1 — *9i> 1 £ 2 + * X 2 ’ 7) 2 -(- Z'9 2 , 1 £2 f £2 > 7)2 — <>2» 1 Diese Geraden sind, wie man sieht, conjugirt complex, haben also einen realen Schnittpunkt. Ebenso sind die Geraden P X P^ und P%P\ conjugirt complex, denn sie haben die Gleichungen Analytische Geometrie. 156 x > y, 1 = 0, T)j — *9!, 1=0. G2 f *)2 h ^ 2 1 1 ^2 ^* 1"2 > ^)2 f j ?2 > f I Wir schliessen hieraus: Wenn zwei Kegelschnitte keinen realen Schnittpunkt haben, so sind alle drei Ecken des gemeinsamen Polarendreiecks real. Hieraus und aus § 13, 24 A folgt weiter: Haben zwei Kegelschnitte ein reales Polarendreieck, so haben sie entweder vier reale Schnittpunkte oder zwei P^are conjugirt complexe. Ist nur eine Ecke des Polarendreiecks real und haben die Kegelschnitte einen realen Schnittpunkt, so haben sie (§ 13, No. 14 A) noch einen realen Schnittpunkt; beide Schnittpunkte liegen auf einer durch die reale Ecke des Polarendreiecks gehenden Geraden, und diese Gerade ist ein Theil eines in zwei Gerade zerfallenden Kegelschnitts. Ein dritter realer Schnittpunkt kann nicht existiren, da sonst noch ein zu diesen gehöriger vierter, also ein reales Polarendreieck vorhanden wäre, im Widerspruche mit der Voraussetzung. I)a die Gleichung des Geradenpaares, das zu dem Büschel der beiden Kegelschnitte gehört, und den realen Pickpunkt des Polarendreiecks zum Doppelpunkte hat, reale Coefficienten hat und im Falle zweier realen Schnittpunkte eine Gerade des Paares real ist, so folgt, dass auch die andere Gerade real ist. Die andern beiden Geradenpaare können reale Gerade nicht enthalten, da dieselben weitere reale Schnittpunkte mit dem realen Geradenpaare erzeugen würden. Wenn also nur eine Ecke des zwei Kegelschnitten gemeinsamen Polarendreiecks real ist, so haben die beiden Kegelschnitte zwei reale Schnittpunkte. In jedem P"alle ist in einem Kegelschnittbüschel wenigstens ein reales Geradenpaar enthalten. B. Ebenso ergeben sich die dual entsprechenden Sätze: Zwei Kegelschnitte haben vier reale oder paarweis conjugirt complexe gemeinsame Tangenten. — Wenn die vier gemeinsamen Tangenten real sind, so enthält die zu den beiden Kegelschnitten gehörige Schaar drei Paare realer Punkte, die Gegenecken des von den vier Geraden gebildeten vollständigen Vierseits, und ein reales Polarendreieck, dessen Seiten die Diagonalen dieses Vierseits sind. — Haben die beiden Kegelschnitte ein reales l’olarendreieck, so haben sie entweder vier reale gemeinsame Tangenten, oder keine reale gemeinsame Tangente. Ist nur eine Seite des Polarendreiecks real, so haben die Kegelschnitte zwei reale gemeinsame Tangenten, die sich auf der realen Seite des Polarendreiecks schneiden. In jedem Falle gehört zu der von zwei Kegelschnitten bestimmten Schaar ein reales Punktpaar. 7. A. Die Kegelschnitte eines Büschels schneiden jede Gerade in Punktpaaren einer quadratischen Involution. Beweis. Nimmt man die Gerade zur Seite A 2 A 3 eines Coordinatendreiecks, so bestimmen sich die Coordinaten der Schnittpunkte des Kegelschnitts -t- X 2 f" = 0 und der Achse A 2 A 3 aus den Gleichungen *r = 0, / = 0, also aus den beiden Gleichungen 1. X 1 (« 22 Ä ä 2 -t- 2 a 23 x 2 x 3 -+- 57 Setzt man aus der zweiten in die erste so geben die trinomischen Faktoren von X x und X 2 quadratische Functionen von x 2 allein; bezeichnet man den Abstand eines Punktes P der Geraden A 2 A 3 von A 2 mit z, und den Winkel A 2 A 3 A X mit a, so kann man durch die Substitution x 2 = z sin a die Faktoren von X x und X 2 in quadratische Functionen von z überführen. Ersetzt man nun in § 7, No. 1 und 2 die Grössen X, r x , r 2 durch z, X x , X 2 , so folgt die Richtigkeit des behaupteten Satzes. B. Die Tangentenpaare, die von einem Punkte aus an die Kegelschnitte einer Schaar gelegt werden, bilden eine quadratische Involution. Wählt man den Punkt als die Ecke A x eines Coordinatendreiecks, so erhält man die Coordinaten der von A x an den Kegelschnitt cp = X x cp' -t- X 2 " = 0 gelegten Tangenten aus den Gleichungen 3. (X x a 22 -+- X 2 ß 22 )zr| -+- 2(X 1 a 23 -f- X 2 ß 23 )K 3 ?’ 2 B % B A haben. (Vergl.§ll,No. 6). Wählt man das gemeinsame Polarendreieck zum Achsendreieck, so enthält jeder Kegelschnitt K = a x x\ -+- a 2 xg Punkte B geht, auch die drei andern; a z x‘ = werden 0, der durch einen der vier die Coordinaten von Bi mit »Jz 2 z *»31 v 2 ^11 bezeichnet, so folgt daher für diese Coordinaten die Proportion: r 2 ^21 ~ 2 ^31 H 2 2 2 ^2 2 G 2 2 c 2 c 13 k-> 2 *2 3 p 2 —— p 2 r 14 2 c 24 c 2 c 34 i6o Analytische Geometrie. Bezeichnet man die positiven Wurzeln aus xf x , # 2 2 i , der Reihe nach mit b x , b 2 , b 3 , so haben daher die Coordinaten der Punkte Bi die Werthe Die erste Coordinatengruppe enthält lauter positive Werthe; von jedem Viereck liegt also ein Eckpunkt im Innern des Dreiecks der Diagonalpunkte. Dieser Punkt werde mit B x bezeichnet. Die Gleichungen der drei Paare Gegenseiten des Vierecks B x B 2 B 3 B x sind b 3 X 2 — b 2 x 3 = 0, -t- b 2 x z — 0, b l X 3 o II H fC -Ci 1 b-^x^ + CO II o b 2 x x o 11 1 b 2 *i 4- b x x 2 = 0 . Als Gebilde zweiter Ordnung haben das erste und das zweite Paar die Gleichungen: (b 3 x 2 — b 2 x 3 ) (b 3 x 2 -(- b 2 x 3 ) s b%x$ — b$x | = 0, (b 3 x 3 — (^i^3 + b 3 x x) = b l x l ~ b l x \ = °- Die Gleichung jedes durch die Punkte B gehenden Kegelschnitts wird daher in der Form erhalten: (bgx$ — b $ x i) -+- ^( b i x i — b i x i) = 0, oder geordnet — Ibgx* -+- b$x% ■+- (Ib? — b$)x* = 0. Ist diese Curve eine Parabel, so ist (§ 13, No. 18 und 23): \b$ hf bfhl = 0. Q-bi — b i) h 3 Hieraus ergiebt sich für X die quadratische Gleichung , y . y _ b i\ x . y L X W bi bl) K + V Je nachdem diese Gleichung zwei reale, eine reale, oder zwei conjugirt complexe Wurzeln für X liefert, hat das Büschel zwei Parabeln, eine Parabel - 0 . oder keine Parabel. Die Gleichung hat complexe Wurzeln, wenn (*1 ^ 6 1_ 6 JY ~ A*t b ± .W hl hi) hl ■ h\ < 0. Diese Differenz ist bekanntlich das Produkt aus vier linearen Faktoren; man erhält somit als Bedingung für complexe Wurzeln: 2 {h . h , M {*!_ + h _ M _ *1 +. M (_ h jL \h x ^ h 2 h 3 ) \h x ^ h 2 h 3 )\h , h 2 h 3 )\ h x Der erste Faktor ist der positiven Einheit gleich. Von den andern drei Faktoren haben je zwei eine positive Summe, es können also nicht zwei von ihnen negativ sein; die Bedingung 2. erfordert daher, dass jedes der Trinome h, M h) + h> >0 - b i h i h b . /i, h b 3 h 3 b 2Z-, b 3 h z 2/q h. positiv ist, dass mithin b v b 2 , b 3 kleiner sind, als \h lt \h 2 , \h 3 § 14 - Kegelschnittbüschel und Kegelschnittschaar. wenn 161 Man überzeugt sich leicht, dass in diesem Falle die drei andern Punkte B 2 , B 3 , B a in den an den Seiten des Achsendreiecks anliegenden zweieckigen Feldern sich befinden, und dass B x im Innern des Dreiecks B 2 B z B 4 liegt. Auch sieht man leicht, dass, wenn ein Eckpunkt B x eines Vierecks im Innern des Dreiecks der drei andern liegt, dieser Punkt positive Coordinaten in Bezug auf das Dreieck der Diagonalpunkte hat, und daher die Gleichung 2. erfüllt ist. Wir schliessen daher: Durch vier im Endlichen liegende Punkte lassen sich nur dann zwei Parabeln legen, wenn keiner sich im Dreiecke der drei andern befindet. Der Fall, dass durch die vier Punkte nur eine Parabel möglich ist, tritt ein, (^1 _, £ 2 . f£i_ £l , £ s \ \ n , U K ~h t ) U ~h 2 + h 3 ) {-K + T.+TJ = °’ also wenn eine von den drei Gleichungen gilt: b\ = $h x , b 2 = \h 2 , b 3 = ^h 3 . Wie man leicht sieht, ist dann einer der Punkte B 2 B 3 B 4 unendlich fern. Durch drei im kindlichen und einen (in bestimmter Richtung) unendlich fern liegenden Punkt ist eine Parabel eindeutig bestimmt. 13. Sind K x = 0, K 2 = 0, Ä' 3 = y x K x 7 2 K 2 = 0 die Gleichungen dreier Kegelschnitte eines Büschels oder einer Schaar, so kann man bei geeigneter Wahl des Verhältnisses r x : r 2 die Gleichung jedes vierten Kegelschnitts des Büschels oder der Schaar in der Form schreiben K = r x i x B x -+- r 2 [ 2 K 2 = 0. Der Quotient r x \r 2 heisst das Doppelverhältniss der vier Kegelschnitte K x K 2 K 2 K x und wird durch (K x K 2 K 2 K) bezeichnet. Auf Grund dieser Definition können Kegelschnittbüschel und Kegelschnitt- schaaren in den Kreis projectiver Gebilde gezogen werden: Sind B x ß 2 ß 3 und R x ß 2 die Gleichungen für je drei Punkte einer Geraden, oder Strahlen eines Büschels, oder Punktepaare einer Punktinvolution, oder Strahlenpaare einer Strahleninvolution, oder Kegelschnitte eines Büschels oder einer Schaar, und werden je zwei Elemente (Punkte, Strahlen, Punktpaare, Strahlenpaare, Kegelschnitte) der beiden Gebilde auf einander bezogen, für welche (B X B 2 B 3 B) = (R x R 2 JR 3 'B'), so heissen die beiden Gebilde projectiv. Beachtet man die Gleichungen der Polaren eines Punktes für die Kegelschnitte eines Büschels K x = 0, K 2 =0, K 3 = 0, K = 0, so findet man sofort: Das Polarenbiischel, welches die Polaren eines Punktes in Bezug auf die Kegelschnitte eines Büschels bilden, ist mit dem Kegelschnittbüschel projectiv. Insbesondere: Das Büschel der Tangenten, welche die Kegelschnitte eines Büschels in einem Träger des Büschels berühren, ist mit dem Kegelschnittbüschel projectiv. Ferner folgt aus No. 7: Ein Kegelschnittbüschel und alle die Punktinvolutionen, in denen das Büschel von den Geraden einer Ebene geschnitten wird, sind projectiv, und zwar entspricht einem Kegelschnitt des Büschels das Punktepaar jeder Involution, das auf dem Kegelschnitte liegt. Die Punktreihe, in welcher eine durch einen Träger gehende Gerade die Kegelschnitte eines Büschels schneidet, ist mit dem Büschel projectiv. Ebenso findet man: Die geradlinige Punktreihe, welche die Pole einer Geraden in Bezug auf die Kegelschnitte einer Schaar bilden, Schlosmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. H. II IÖ2 Analytische Geometrie. ist mit der Schaar projectiv. — Die Reihe der Punkte, in welchen die Kegelschnitte einer Schaar einen Träger der Schaar berühren, ist mit der Schaar projectiv. — Die Strahleninvolutionen, welche von den Tangentenpaaren gebildet werden, die man von den Punkten der Ebene an die Kegelschnitte einer Schaar legt, sind mit der Schaar projectiv. — Das Tangentenbüschel, welches von einem Punkte eines Trägers an die Kegelschnitte einer Schaar gelegt werden kann, ist mit der Schaar projectiv. 14. Die'Aufgabe: Drei Paare entsprechende Elemente einer Punktreihe und eines projectiven Kegelschnittbüschels sind gegeben; man soll zu einem Punkte der Reihe den entsprechenden Kegelschnitt des Büschels construiren — wird auf folgendem Wege gelöst. Es seien I\ P 2 P 3 die gegebenen Punkte, und K x K 2 K 3 die gegebenen entsprechenden Kegelschnitte. a) Ist ein realer Träger des Büschels bekannt, so ziehe man durch denselben eine Gerade und bestimme die Punkte Q^Q^Q-i, ' n welchen diese Gerade die Kegelschnitte Ä\ K 2 K 3 schneidet. Hierauf construire man den Punkt Q der Punktreihe Q l Q 2 Q 3 so, dass ( Q1Q2Q3Q) — -^3 ^)- Dann ist Q ein Punkt des gesuchten Kegelschnitts. Führt man diese Construction an vier durch den Träger gezogenen Geraden aus, so hat man mit dem Träger fünf reale Punkte und kann dann nach Pascal weiter construiren. ß) Ist kein realer Träger bekannt, so construire man die Polaren T X T 2 T 3 eines beliebigen Punktes A in Bezug auf die Kegelschnitte Ä\ K 2 K 3 und construire den Strahl T so, dass (7\ T 2 7 ,, T) = (P 1 P 2 I 1 3 P). Ferner construire man die Schnittpunktpaare B x C\ und B 2 C 2 einer durch A gehenden Geraden a und der Kegelschnitte K x und K. 2 . Man hat nun das Punktepaar X V der durch B t C\ und B 2 C 2 bestimmten Involution aufzusuchen, das zu dem Punkte A und zu dem Schnittpunkte A' der Geraden a und T harmonisch liegt; dieses Paar ist der Durchschnitt der Geraden a und des gesuchten Kegelschnitts. Alle Paare, welche zu AA' harmonisch sind, bilden eine Involution, welche A und A’ zu Asymptotenpunkten hat. Construirt man zwei in realen Punkten D und E sich schneidende Kreise, welche a in A und Ä berühren, so bestimmen dieselben das Kreisbüschel, welches die Gerade a in den Punktepaaren der zu A und A' gehörenden Involution schneidet. Construirt man ferner zwei Kreise, von denen einer durch B x C \, der andere durch B 2 C 2 geht, und die beide den Punkt D enthalten, so haben diese Kreise noch einen realen Punkt F gemein. Der durch die drei Punkte D, E, F bestimmte Kreis trifft alsdann a in dem gesuchten Punktepaare XY. Wiederholt man diese Construction an noch zwei durch A gehenden Geraden, so hat man dann sechs reale Punkte des gesuchten Kegelschnitts. Die Auflösung der dual entsprechenden Aufgabe: Von einem Strahlenbüschel und einer projectiven Kegelschnittschaar sind drei Strahlen und die entsprechenden Kegelschnitte gegeben; man soll den Kegelschnitt construiren, der einem Strahle des Büschels entspricht — lässt sich der soeben mitgetheilten Construction leicht nachbilden. 15. Wir schliessen noch einige Betrachtungen über das System von Kegelschnitten einer Ebene an, die zwei Punkte gemein haben, sowie über das dual entsprechende System von Kegelschnitten, die zwei Tangenten gemein haben. Die Gesammtheit der Kegelschnitte einer Ebene, die zwei Punkte gemein haben, § 14. Kegelschnittbüschel und Kegelschnittschaar. 163 wollen wir als ein System mit zwei Trägern, oder kürzer als ein zwei- punktiges System (von Kegelschnitten) bezeichnen. Die Kreise einer Ebene haben die beiden imaginären Kreispunkte gemein, bilden also einen besonderen Fall eines zweipunktigen Systems. Die Gerade, welche die realen oder conjugirt complexen Grundpunkte enthält, heisse die Achse des Systems. Je zwei Kegelschnitte des Systems haben ausser der Achse noch eine gemeinsame Secante; sie mag die zweite Secante der beiden Kegelschnitte heissen. Wählt man die Träger zu Ecken A 2 und A 3 des Coordinatendreiecks, so genügen die Coordinaten x x = x 2 = 0, und x 1 = x 3 = 0 der Gleichung jedes Systemkegelschnitts; also ist die allgemeine Form der Gleichung 1. a n x i + 2a 12 XjX 2 4- 2a x3 x x x 3 4 - 2a 23 x 2 x 3 = 0. Soll der Kegelschnitt nicht in die Achse und eine weitere Gerade degeneriren, so muss a 23 von Null verschieden sein, und man kann der Gleichung die Form geben 2. K a x x^ 4 - a 2 x x x 2 4 - a 3 x x x 3 4 - x 2 x 3 = 0. Ein zweiter Kegelschnitt des Systems habe die Gleichung 3. K' = .b x x^ 4 - b 2 x x x 2 4 - b 3 x x x 3 4 - x 2 x 3 = 0. Hieraus folgt 4. K— K x = x x [{a x — b x )x x 4- (a 2 —b 2 )x 2 4 - {a 3 — ^ 3 )« 3 ] = 0. Hieraus schliessen wir, dass 5. Z 3 = ( a x — b x ) x x 4 - (a 2 — b 2 ) x 2 4- ( a 3 — b 3 ) x 3 = 0 die Gleichung der zweiten Secante von K und K x ist. Die zweiten gemeinsamen Secanten der drei Paare Kegelschnitte des Systems K x K 2 , K 2 K v K 3 K, seien S 3 , S 2 ; dann ist X X Q X ^ K 2 ^ -^3 "^1^3 ^ -^1 Wg. Hieraus folgt die Identität ü 1 4-i i 2 4-§ 3 =0. Dies ergiebt den Satz: Die drei zweiten Secanten dreier Kegelschnitte eines zweipunktigen Systems schneiden sich in einem Punkte. 16. Ein Kegelschnitt K des durch zwei Kegelschnitte K x K 2 des Systems bestimmten Büschels hat die Gleichung K sss X x K x 4 - \ 2 K 2 = 0, wobei wir ohne Beschränkung 4 - X 2 = 1 voraussetzen können. Die Gleichung irgend eines andern Systemkegelschnitts sei K' =0; für die Gleichung der zweiten Secante L' von K und K' ist alsdann x x L' K — K' = 0. Nun ist K is= \ X K X 4- 'k 2 K 2 ', da X t 4 - X 2 = 1, so kann man für K' schreiben (Xj 4- X 2 )AT'; hierdurch erhält man x x L' = Xj (K x — K 1 ) 4 - X 2 {K 2 — K'). Sind L x — 0 und L 2 — 0 die zweiten Secanten von K X K' und K 2 K', so ist daher L = \ X L X 4~ X 9 L 2 . Hieraus folgt, dass der Schnittpunkt der Geraden L x und Z 2 auch auf Z' liegt. Da nun der Schnittpunkt von L x und Z 2 nach No. 14 auf der zweiten Secante des durch die Kegelschnitte K x und K 2 bestimmten Büschels (d. i. auf der zweiten Secante von K x und K 2 ) liegt, so haben wir den Satz: Ein Büschel in einem zweipunktigen Kegelschnittsysteme wird von einem andern Systemkegelschnitte K' so geschnitten, dass die zweiten Secanten von K' und den Kegelschnitten des Büschels sich in einem Punkte der zweiten Secante des Büschels treffen. 1 164 Analytische Geometrie. 17. Der soeben entwickelte Satz lehrt die Construction der Kegelschnitte eines Büschels, die einen Kegelschnitt K' berühren, der durch zwei Träger des Büschels geht. Es seien ABCD die Träger des Büschels, und K’ gehe durch A und B. Man construire die zweite Secante L eines Büschelkegelschnitts und des Kegelschnitts K' ; vom Schnittpunkte der Geraden L und CD aus lege man Tangenten an K' ; und construire die Büschel- kegelschnitte, welche durch die Berührungspunkte dieser Tangenten gehen. 18. Die Gesammtheit der Kegelschnitte einer Ebene, die zwei gemeinsame Tangenten haben, heisse ein System mit zwei Grundlinien, oder kürzer ein zweiliniges System. In ähnlicher Weise, wie die analogen Sätze für das zweipunktige System, findet man für das zweilinige System: Legt man ein Coordinatendreieck zu Grunde, in welchem die gemeinsamen Tangenten die durch A 1 gehenden Seiten sind, so ist die Gleichung eines Systemkegelschnitts Ä s= a. x u^ -I- a 2 u i u i a 3 u x u 3 -+- u 2 u 3 = 0. Die Gleichung des Schnittpunktes des zweiten gemeinsamen Tangentenpaares M der Systemcurven Äj und & 2 ist i-Ä 2 ) = 0. u i In einem zweilinigen System liegen die drei Schnittpunkte der drei zweiten gemeinsamen Tangentenpaare dreier Kegelschnitte auf einer Geraden; die Schnittpunkte der zweiten gemeinsamen Tangentenpaare eines Kegelschnitts mit den Kegelschnitten einer Schaar liegen auf einer Geraden, die durch den Schnittpunkt des zweiten gemeinsamen Tangentenpaares der Schaar geht. Mit Hülfe dieser Sätze kann man die beiden Kegelschnitte einer Schaar finden, die einen Kegelschnitt tangiren, der von zwei Grundlinien der Schaar berührt wird. § 15. Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 1. Wir geben in den folgenden Abschnitten eine Reihe von Entwicklungen aus der Geometrie der Curven dritter Ordnung, die sich an das bisher Mit- getheilte zunächst anschliessen. Unter einer Curve «ter Ordnung versteht man eine Curve, deren Gleichung in Punktcoordinaten vom Grade n ist. Die allgemeine Form der Gleichung einer Curve dritter Ordnung in Bezug auf ein homogenes Coordinatensystem ist f = -f- 3d xx2 x ^ x 2 “H ^^\\3 X \ X 3 “t“ 3d x2 2 X l X ^ —(- Gd^^^X^X^X^ "T ^ a l33 x l x 3 d* a 2 2 2 x 2 d - % a 2 2 3 x 2 x 3 d~ 3 a 2 33 x 2 x 3 d“ a 333 x 3 = 0- Bildet man die Summe laikiXiXkXi, indem man für jeden der Indices i, k, l der Reihe nach die Nummern 1, 2, 3 nimmt, und setzt dann die Coefficienten atki einander gleich, die sich nur durch die Anordnung der Indices unterscheiden, so erhält man die Function /; es mag daher unter dieser Voraussetzung die Function f durch die Summe IdikiXiXkXi bezeichnet werden. Soll eine Curve dritter Ordnung durch einen gegebenen Punkt P gehen, so sind die Coefficienten aai so zu wählen, dass der Gleichung 1aikix,'xkxl = 0 genügt wird; dies ist eine homogene lineare Gleichung für die zehn Grössen Durch neun solcher Gleichungen sind die Verhältnisse § 15. Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 165 **11 1 : a 112 : a 113 : a 122 : a 123 ’• 133 ’ a 2 22 • a 223 " a 233 • a 3 3 3 bestimmt. Hieraus folgt: Eine Curve dritter Ordnung ist durch neun Punkte bestimmt. Die Gleichung einer durch neun Punkte P x , P 2 , P 3 ... P 9 gehenden Curve dritter Ordnung ist die Bedingung dafür, dass der veränderliche Punkt derselben cubischen Gleichung genügt, wie die gegebenen, dass also die zehn Gleichungen vereint sind '2*0'iklXiXj { Xl == 0 , '^ i Q,iklXi\3Ck\%l\ — 0, k diklXj 2 Xfg 2 X1 2 = 0, 2 &iklXi %Xjb §Xl g — 0. Die Bedingung für den Verein dieser zehn Gleichungen ist •y* 3 ^ 1 ) Y 2 Y y 2 v **1 **3 x \ x 2 > x \ x $f x 2 > x 2 x $y X 2 X ^> y 3 **1 1> x ll x 21> • y 3 /- y 3 x \ 2> X 12 X 22> ’ v 3 y 3 9> X 13 X 2 9> ■ y 3 also ist/= 0 die gesuchte Curvengleichung. 2. Die Coordinaten der Punkte, in denen sich zwei Curven dritter Ordnung schneiden, werden auf folgendem Wege ermittelt: Die Gleichungen der beiden Curven seien 1. f' e= 1a l kix i XkXi =0, 2. /" = IbikiXiXkXi = 0. Die Coordinaten der Schnittpunkte von f und f" sind die Werthe von x x , x 2 , x a , die den Gleichungen 1. und 2. und der Gleichung genügen. Aus 3. zieht man und setzt dies in 1. und 2. ein; dann erhält man zwei nicht homogene cubische Gleichungen zwischen x x und x 2 , die nach Potenzen von x 2 geordnet in der Form erscheinen 5. F' = A 0 x 2 3 -t- A x x£ 4 - A 2 x 2 4- A 3 = 0, 6. F” = B 0 x^ 4 - B x x£ 4 - B 2 x 2 4- Z? 3 = 0. Hierin sind A u B x , A 2 , B 2 , A 3 , B 3 Ausdrücke von demselben Grade in x v den der Index angiebt; A 0 und B 0 sind von den Coordinaten unabhängige Zahlen. Um aus diesen beiden Gleichungen x 2 zu eliminiren, multipliciren wir die Gleichungen 5. und 6. der Reihe nach mit x 2 und x 2 2 und erhalten so im Ganzen die sechs Gleichungen: F' = A 3 4 - A 2 x 2 4 - A x x 2 4 - A 0 x 2 3 = 0, x 2 F’ s A 3 x 2 4 - A 2 x 2 2 -+- A x x 2 3 4 - AqX 2 = 0, x 2 F A 3 x 2 4- A 2 x 2 4- A x x 2 4- AqX 2 = 0, F" == B 3 -+- B 2 x 2 4 - B x x£ 4- B 0 x^ = 0, x 2 F” = B 3 x 2 4 - B 2 x 2 -t- B x xg 4 - BqX 2 = 0, x^F" = B 3 x 2 4 - B 2 x£ 4 - B x x 2 4 - B 0 x 2 5 = 0. Betrachtet man diese sechs Gleichungen als homogene lineare Gleichungen der sechs Grössen x£, x£, xg, . . . x 2 ä , so folgt i66 Analytische Geometrie. R A, a 2 A, ^0 0 0 0 A 3 A^ A, A 0 0 0 0 A .. Az A 1 Ao ^3 P 2 b[ B 0 0 0 0 Bz Bz B 1 B 0 0 0 0 Bz Bz B l Bo = 0. Denkt man sich statt R zunächst eine andere Determinante R', welche aus R hervorgeht, indem man die Nullen jeder Zeile durch Symbole A und B ersetzt, die man derart mit Indices versieht, dass die absteigende Folge der Indices in jeder Zeile nicht gestört wird (so dass man also die Nullen der ersten Zeile der Reihe nach durch yf_, und A — 2 , die der letzten durch und B x ersetzt), und bezeichnet dann das Element, welches der z'ten Zeile und der /Hen Colonne angehört, mit c lk , so überzeugt man sich leicht, dass in den Elementenpaaren CikCrs und Ci s c r k, wenn man die c wieder durch die Elemente von R! ersetzt, die Summe der unteren Indices dieselbe ist; z. B. ist c 23 t 46 A 2 B- und c 26 c 43 = A- X B X , die Summe der Indices also in beiden Paaren gleich Null. Hieraus folgt sofort, dass in der Determinante R' die Summe der Indices aller Glieder gleich der Indexsumme des Diagonalgliedes, also = 9 ist. Diese Thatsache wird nicht geändert, wenn man A ;> -=A X =A- X = A^ 2 = B- = B x = B— j = B— 2 = 0 setzt, und dadurch zur Determinante R zurückkehrt. Da nun der Index an A oder B den Grad dieser Funtion in Bezug auf die Coor- dinate x x angiebt, so folgt: Die Determinante R ist vom neunten Grade bezüglich der Unbekannten x x . Wählt man nun für x x eine der neun Wurzeln der Gleichung R = 0, und setzt diese in die beiden Gleichungen F' = 0 und F" = 0 ein, so lässt sich zeigen, dass diese beiden Gleichungen wenigstens eine gemeinsame Wurzel x 2 haben. Denn multiplicirt man die Colonnen in R der Reihe nach mit x§, x£, C Z> und addirt die zweite etc. zur ersten Colonne, so erhält man F, A 2 A i A 0 0 0 x 2 F’, 1 A$ Az Ai A 0 0 xiF' , 0 ^3 ^2 A x Ao F", B 2 Bi B 0 0 0 x 2 F", , B x Bz B, Bo 0 xiF', , 0 Bz Bz Bi Bo R = 2 ’ 3 2^1 o - pp< , Q pt r ^ n n n n n — \L r Hierin sind P und Q quadratische Functionen von x 2 . Nimmt man nun für x x eine der neun Wurzeln von R = 0, sowie für x 2 der Reihe nach die zugehörigen Wurzeln von F" = 0, so wird R = PF' + QF" = 0, und F" — 0, also auch FF ' = 0. Da nun P vom zweiten Grade ist, so muss für wenigstens eine der drei Wurzeln x 2 die Function F' verschwinden. Um diese Wurzel zu bestimmen geht man auf die Gleichungen zurück F' = Az + A x xi -t- q x 2 = o, x 2 F » A 3 x s 4- A 2 xi -+- + ^0 = o, F" = B-.i -F B 2 X 2 -t- B x xi + = 0, XzF" B $Z X 2 + B 2 xi -P B x x£ -p Bo = 0. Man schliesst aus ihnen das Verschwinden der Determinante 9. A 3 A^X^y Al ^0 0 ■^Z x 2> ^2 Ai A, B z B 3 x 2 , Bl Bz 0 B z X 2 y Bz Bi B, = N 0 + S x x 2 — 0, und erhält die gesuchte Wurzel x 2 = — S 0 : S x . § 15 - Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 167 Haben die Gleichungen F’ und F" zu der Wurzel x x zwei gemeinsame Wurzeln für x 2 , so verschwindet S identisch, und zur Berechnung der beiden Wurzeln genügen die beiden Gleichungen F' A 3 4- A 2 x 2 4- A x x^ 4 - A 0 x 3 3 = 0, F" = B 3 4 - B 2 x 2 4- B x x£ 4 - B 0 x 2 3 = 0, aus denen man durch Elimination von x 2 3 die quadratische Gleichung erhält A 0 (B 3 4 - B 2 x 2 4- B x x 2 2 ) — B 0 (A 3 4- ^ 2 ^ 2 2 ) = 0, welche die beiden gemeinsamen Wurzeln x 2 ergiebt. Im Allgemeinen gehört zu jeder Wurzel x x der Gleichung B = 0 eine gemeinsame Wurzel x 2 = — S 0 : S x der Gleichungen F' = 0 und F'' =0. Wir schliessen hieraus: Zwei Curven dritter Ordnung haben neun Schnittpunkte; davon ist wenigstens einer real. 3. Soll eine Curve III. O. durch acht Punkte F x , P 2 . so stelle man die neun Gleichungen auf P g gelegt werden, 1. a x j x xf -+- 1 2 X l x 2 A- 3^11 3*1 4- . . . 4- a 3 3 3*3 = 0, 2. a m x ii 4- & a ll 2 X 11 X 2 1 4- 3«i j 3*11*31 4- . . . • 4- ^3 3 3*31 *= 0, 3. a ll 1 X 12 4- & a ll1 X 12 X 2 2 4- 3a x , 3 xf 2 x 32 4- . . . 4- a 3 3 3*3 2 = 0, 9. a \ 11*18 4- 3^1 1 2* 2 8*2 8 4- 3d xx 3* 2 8*3 8 4- . . . 4- ^3 3 3*3 8 = 0. Man schliesst hieraus das Verschwinden der Determinante a lll x l 4-3a 112 *i x 2> *1 *3> *i*f> *4* 2 *3> *l*f> *2 > *l*3> *2*3> *f a \n x ii~F3a xx2 x xx x 2x , x xx ' 3X , .*3 3 lO.fss a i 1 i x i2~t~3& x x 2 x X 2 x 2 2 , x x 2 x 32 , . X 1 1 1*1 8 ! 2*18*2 8» *1 8*3 8’ Diese Determinante zerfällt in die Summe zweier Determinanten 11. /=«in/' + 3« 112 /", wobei /' und f" die Functionen dritten Grades sind Y' 3 t x^x 3 , x^x 2 , x x x 2 x 3 , *1*3 2 » y 3 **2 > •V*2-v» y y 2 y 3 **2 > *^2^3 > **3 y 3 X 1 1 > *11*31» . _ v 3 12. f - y- 3 x \ 2 > *?2*32>. y 3 X 1 8 > *18*3 8 ’ . 13. /" x \ x 2 * * 1 2 1*21 ’ * 1 * 2*2 2 ’ c 3 1 *18*2 8’ *1 2 8*3 8> . ' X 3S Die Gesammtheit der durch die gegebenen acht Punkte gehenden Curven dritter Ordnung ergiebt sich, wenn man in 11. dem Verhältniss der beiden unbestimmt gebliebenen Coefficienten a xxx : 3a xx2 alle möglichen Werthe giebt. Aus 11. folgt, dass alle Punkte, für welche /’ = 0 und /" = 0 ist, auch auf der Curve f— 0 liegen. Nun sind f = 0 und f" = 0 zwei völlig bestimmte Curven dritter Ordnung, haben also neun bestimmte Schnittpunkte. Unter diesen sind die acht gegebenen Punkte, da für jeden derselben die erste Zeile in f und f" mit einer der übrigen identisch wird, und daher f und f" verschwinden. Wir schliessen daher: Alle Curven dritter Ordnung, die durch acht gegebene Punkte gehen, haben noch einen durch die gegebenen Punkte bestimmten neunten realen Punkt gemein. 168 Analytische Geometrie. Oder: Wenn zwei Curven III. O A und B durch acht Punkte einer Curve III. O. C "e! er, so lie ,r t auch ihr neunter Schnittpunkt auf C. 4. Die Coordinaten der Sc'nittpunkte der Curve x^x^xi = 0 und der Geraden a x x x -p a 2 x._ -p a % x 3 = 0 sind die Lösungen des Systems x. x., x., 1. i a.kiXiXkXi = 0, 2. a x x x -p a 2 x 2 + a 3 x 3 — 0, 3. -P ^ -p = 1 . Aus den Gleichungen 2. und 3. kann man x 2 und x 3 linear durch x x aus- drücken. Setzt man diese Werthe in 1., so erhält man eine cubische Gleichung für x x ; zu jeder der drei Wurzeln folgen dann aus 2. und 3. die zugehörigen Werthe von x 2 und x 3 . Wir sehen daher: Eine Curve dritter Ordnung hat mit einer Geraden drei Schnittpunkte, von denen wenigstens einer real ist. Legt man eine Gerade durch zwei Punkte PP X einer Curve III. O. C'", so hat dieselbe mit C"' noch einen Punkt Q gemein. Rückt man P x an P, bis der Abstand PP X verschwindet, so bleibt Q im Allgemeinen in endlicher Entfernung von P x und die Gerade PP X wird zur Tangente der Curve. Wir finden daher: Eine Gerade, die eine Curve dritter Ordnung in einem Punkte P berührt, schneidet die Curve noch in einem realen Punkte Q. Dieser Punkt Q wird der Begleiter des Punktes P genannt. Um die Coordinaten der Schnittpunkte einer Curve dritter Ordnung und eines Kegelschnittes zu finden, setze man in die Gleichung der C'" und des Kegelschnitts ein und ordne die nun entstehenden Gleichungen nach Potenzen von x 2 . Man erhält aus den Gleichungen der C" und des Kegelschnitts 5. P A 3 -p A 2 x 2 —p A 2 x 2 -P AqX 2 ~~ Ü, 6. G = B 2 -p B x x x -+- B qX 2 = 0, wobei für die A und B dasselbe gilt wie in No. 2. Aus dem Verein der Gleichungen P = A 3 -p A 2 x 2 -P A x x 2 —P AqX 2 = 0, x 2 P = A 3 x 2 + A 2 x 2 -p A x x$ -p A 0 x£ = 0, G = B 2 -p B x x 2 -p B 0 x$ = 0, x 2 G = B 2 x 2 -P B x x? 2 -p B 0 xg = 0, xjjG = B 2 x% -p B x x% -p B 0 x% = 0, folgt das Verschwinden der Determinante A 3 ^2 A A 0 0 ^3 ^2 A x Aq B 2 Bi B 0 0 0 0 b 2 Bi Bo 0 0 0 b 2 Bi B* Man sieht leicht, dass P sechsten Grades für x x ist. Multiplicirt man die Colonnen in P von der zweiten an der Reihe nach mit x 2 , xg, x$, x,f und addirt sie dann zur ersten, so entsteht F A , Ai ^0 0 x 2 P ^3 ^2 Ai Ao G Bi Bo 0 0 x 2 G b 2 Bi B 0 0 x$G 0 b 2 Bi B 0 8 . P = = PF -p QG § 15 - Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 169 wobei P eine lineare Function von x 2 ist. Setzt man nun in PF 4 - QG für x x eine Wurzel der Gleichung 7. und alsdann für x 2 der Reihe nach die beiden zugehörigen Wurzeln der Gleichung G = 0 ein, so folgt, dass auch PF = 0 ist; da nun P linear in x 2 ist, so muss wenigstens für einen der beiden Werthe von x 2 die Function /"verschwinden. Diese gemeinsame Wurzel der Gleichungen F = 0 und G = 0 findet man durch Zusammenstellung der drei Gleichungen F A 3 4 - A 2 x 2 4 - A 1 x | - 4 - A 0 x$ = 0, G = B 2 4- B x x 2 - 4 - B 0 xj = 0, x 2 G == B 2 x 2 4 - B x x$ 4 - B 0 x$ = 0, aus deren Verein sich ergiebt ■^8 A, ^0 S SE -f- B^x-^ t Bo 0 B%x% } Br Bo Hieraus folgt die gesuchte Wurzel x 2 = — S 0 : S x . Verschwinden S 0 und S x identisch, so haben F und G zu der ausgewählten Wurzel x x der Gleichung K = 0 zwei zugehörige gemeinsame Wurzeln x 2 , nämlich die Wurzeln der Gleichung G — 0. Im Allgemeinen gehört zu jeder der sechs Wurzeln x x (der Gleichung 7) eine gemeinsame Wurzel x 2 = — / 0 : der Gleichungen F = 0 und G = 0; berechnet man zu jedem dieser Werthe von x x und x 2 noch die Coordinate x 3 nach der Gleichung 4., so hat man die Coordinaten eines Schnittpunktes. Wir haben also gefunden: Eine Curve dritter Ordnung und ein Kegelschnitt haben sechs Schnittpunkte. 5. Schneidet man eine C'" durch eine Gerade T x in den Punkten 1, 2, 3 und durch eine andere Gerade T 2 in 4, 5, 6, verbindet diese Punkte paarweis durch die drei Geraden S X S 2 S 3 , und verbindet die dritten Schnittpunkte 7 und 8 der Geraden S x und S 2 mit C'" durch eine Gerade T 3 , so hat man zwei Curven III. O., nämlich die Geradentripel T X T 2 T 3 und S X S 2 S 3 , die acht Schnittpunkte, nämlich die Punkte 1 ... 8, auf C'" haben; also liegt auch ihr neunter Schnittpunkt auf C'", d. i. T 3 geht durch den Punkt 9, in welchem C'" von S 3 geschnitten wird. Werden also die Schnittpunkte einer Curve dritter Ordnung und zweier Geraden paarweis durch drei Gerade verbunden, so schneiden diese die Curve in drei Punkten einer Geraden. Rückt T 2 unendlich nahe an T x , so werden S X S 2 S 3 zu Tangenten der Curve, und 7, 8, 9 werden die Begleiter von 1, 2, 3. Liegen drei Punkte einer Curve dritter Ordnung auf einer Geraden, so liegen auch ihre Begleiter auf einer Geraden. Es kann sich ereignen, dass eine Gerade mit einer Curve dritter Ordnung drei zusammenfallende Punkte gemein hat. Eine solche Gerade heisst Wendetangente der Curve, der Punkt heisst Wendepunkt. Denkt man sich jeden von zwei Wendepunkten in drei unendlich nahe Punkte aufgelöst, so schneiden die drei Geraden, welche diese Punkte paarweis verbinden, die Curve wieder in drei unendlich nahen Punkten; da nun diese auf einer Geraden liegen, so folgt: Eine Gerade, die zwei Wendepunkte einer Curve dritter Ordnung verbindet, trifft die Curve noch in einem dritten Wendepunkte. 6. Verbindet man die sechs Schnittpunkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 einer Curve dritter Ordnung C" 1 und eines Kegelschnitts K paarweis durch drei Gerade T x T 2 T 3 , durchschneidet mit diesen C'" in den Punkten 7 8 9 und verbindet 7 und 8 durch eine Gerade S, so hat man zwei Curven dritter Ordnung, nämlich das Geradentripel T x T 2 T 3 und den Verein des Kegelschnitts K und der Geraden S, Analytische Geometrie. 170 welche acht Schnittpunkte 1 ... 8 auf C"' haben; also liegt auch der neunte Schnittpunkt auf C'", d. i. .S geht durch 9. Wir schliessen daher: Die drei Geraden, welche die sechs Schnittpunkte eines Kegelschnitts und einer Curve III. O. paarweis verbinden, schneiden die Curve in drei Punkten einer Geraden. Wenn ein Kegelschnitt eine Curve III. O. in drei Punkten berührt, so liegen die Begleiter der Berührungspunkte in einer Geraden. Legt man durch die Schnittpunkte 1, 2, 3 einer Curve III. O. und einer Geraden S drei Gerade T X T 2 T % , welche die C”' in den sechs weiteren Punkten 4, 5, 6 , 7, 8 , 9 treffen, und legt durch die fünf Punkte 4, 5, 6 , 7, 8 einen Kegelschnitt K, so haben das Geradentripel 7’, T 2 T z und der Verein von S und K acht Schnittpunkte 1 ... 8 auf C"; also liegt auch der neunte auf C", d. i. K geht durch 9. Hieraus folgen die Sätze: Liegen von den neun Punkten, in welchen eine Curve III. O. von drei Geraden geschnitten wird, drei auf einer Geraden, so liegen die andern sechs auf einem Kegelschnitte. — Zieht man durch jeden dreier auf einer Geraden liegenden Punkte einer C'" eine Tangente an dieselbe, so wird sie in diesen drei Punkten von einem Kegelschnitte berührt. — Zwei durch einen Punkt einer C’" gezogene Gerade und eine durch den Begleiter gehende treffen die C’" in sechs Punkten eines Kegelschnitts. — Drei durch einen Wendepunkt einer C'" gehende Gerade treffen die C'" in sechs Punkten eines Kegelschnitts. 7. Legt man durch vier Punkte ABCD einer C'" einen Kegelschnitt A\ , und verbindet die beiden fernen Schnittpunkte 5, 6 von K x und C’" durch eine Gerade T x ; legt man ferner durch ABCD einen andern Kegelschnitt K 2 , und zieht die Gerade T 2 durch die ferneren beiden Schnittpunkte 7, 8 der Curven C"' und K 2 , so hat man zwei Curven III. O. nämlich den Verein von K x und T 2 und den von K 2 und T x , welche die acht Schnittpunkte ABCD 5 6 7 8 auf der Curve C'" haben; mithin liegt auch ihr neunter Schnittpunkt auf C’", also schneiden sich T x und T 2 in einem Punkte E der Curve C"'. Dieser Punkt £ ist nur von K x abhängig; denn durch K x sind die Punkte 5 und 6 , also die Gerade T x , also ihr weiterer Schnittpunkt E mit C'" bestimmt. Setzt man nun für K 2 nach einander alle Kegelschnitte des Büschels mit den Trägem ABCD, so ändert T 2 seine Lage, geht aber immer durch E, beschreibt also ein Strahlbüschel, dessen Träger E auf C"' liegt. Wir haben daher: Liegen die Träger eines Kegelschnittbüschels auf einer Curve III. O. so bilden die Geraden, welche die weiteren zwei Schnittpunkte jedes Büschelkegelschnitts und der Curve verbinden, ein Strahlbüschel, dessen Träger auf der Curve liegt. 8 . Die Gleichung jeder Curve III. O. C'", die durch die neun Punkte ABCD 5 6 7 $£ geht, ist unter der Form enthalten 1. f == a x K x T 2 -+- a 2 K 2 T x = 0; denn man kann das Verhältniss a x : a 2 immer so bestimmen, dass der Gleichung f = 0 durch einen beliebigen Punkt B 0 der Curve C'" genügt wird, der mit keinem der Punkte A ... E zusammenfällt. Bezeichnet man nämlich die Werthe, welche die Functionen K 2 K X T 2 1\ für die Coordinaten von 7 J 0 annehmen, mit K 2 qX x 0 7^ 0 7^ 0> so nehme man a x : a 2 = K 20 T X0 : — K X0 T 20 , also 2. / ■=> JC ao T x 0 • K x 7 2 - K X0 T 20 ■ K 2 T x = 0; diese wird durch die Coordinaten von identisch, Da nun die Curve / mit § 15- Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 17 1 C'" zehn Punkte gemein hat, nämlich ABCD5 6 7 8 EB 0 , so ist / mit C'" identisch. Irgend ein Kegelschnitt des Büschels ABCD hat die Gleichung 3. K = X 1 K 1 + X 2 AT 2 = 0. Um die Schnittpunkte dieses Kegelschnitts mit f zu erhalten, ersetzen wir gemäss der Gleichung 3. in der Gleichung 1 . die Grösse K 2 durch — XjÄj '• f 2 und erhalten 5- ( \ 2 a x T 2 X 1 a 2 T 1 )K 1 = 0. Die Schnittpunkte von K und f befriedigen also theils K 7 = 0, theils die lineare Gleichung 6- T sss X 2 a^T 2 — X 7 a 2 T^ = 0; die ersteren sind die vier Träger des Kegelschnittbüschels', die letztere Gleichung, welche von den beiden übrigen Schnittpunkten der Curven K und f erfüllt wird, ist die Gleichung eines Strahles des Strahlbüschels T 2 T X , dessen Träger E ist. Aus den Gleichungen 3. und 6 . ergiebt sich sofort: Ein Kegelschnittbüschel, dessen Träger auf einer Curve III. O. liegen, und das Büschel der Strahlen, welche die beiden übrigen Schnittpunkte jedes Büschelkegelschnitts und der Curve III. O. enthalten, sind projectiv. Jede Curve III. O. kann also auf unendlich vielfache Weise als Ort der Schnittpunkte eines Kegelschnittbüschels und eines projec- tiven Strahlbüschels angesehen werden. Man kann dabei die Träger des Kegelschnittbüschels ABCD beliebig auf der Curve auswählen; der Träger E des Strahlbüschels ist durch ABCD eindeutig bestimmt. Der Punkt E heisst der den vier Punkten ABCD gegenüberliegende Punkt. 9. Im vorigen Abschnitte ist gezeigt worden, wie man bei einem Strahlbüschel und dazu projectiven Kegelschnittbüschel zu jedem Strahle T den zugehörigen Kegelschnitt K construirt; und früher wurde gezeigt, wie man die Schnittpunkte eines Strahles mit einem Kegelschnitte findet. Die Aufgabe, eine Curve dritter Ordnung aus neun gegebenen Punkten zu construiren, ist daher gelöst, sobald man im Stande ist, aus neun gegebenen Punkten einer Curve dritter Ordnung zu vieren derselben den gegenüberliegenden Punkt zu construiren. Sind ABCD 5 6 7 8 9 die gegebenen Punkte, und nimmt man wieder ABCD zu Trägern des Kegelschnittbüschels, so kommt es darauf an, zu den fünf Kegelschnitten K b Ä ” 6 K 7 K h K 9 des Büschels, die der Reihe nach durch die Punkte 5, 6 , 7, 8 , 9 gehen, einen Punkt E zu construiren, so dass die Strahlen T b T b T 1 T i T 2 , die durch E und der Reihe nach durch 5, 6 , 7, 8 , 9 gehen, mit den Kegelschnitten K b K b K 7 K b K 2 projectiv sind. Dies ist erreicht, wenn die beiden Doppelverhältniss- gleichheiten bestehen. 1. (T- d T 6 T 7 T s ) = (W 5 W 6 W 7 W 8 ) und 2 . (TiT'TjT,) = (K,K,K 7 K,) : Das Doppelverhältniss von vier Kegelschnitten eines Büschels ist dem Doppel- verhältniss der Tangenten gleich, welche die Kegelschnitte in einem Träger des Büschels berühren. Wir sehen uns daher durch die Forderungen 1. und 2. zunächst vor die Aufgabe gestellt: Den Ort der Punkte zu construiren, von denen aus vier gegebene Punkte a, ß, 7 , 8 durch Strahlen pro- jicirt werden, die das Doppelverhältniss von vier gegebenen Strahlen haben. 172 Analytische Geometrie. Diese Aufgabe haben wir bereits gelöst; wir haben in § II, No. 15 A gefunden, dass dieser Ort ein Kegelschnitt ist, der durch die vier Punkte a, ß, 7 , 8 geht. Construirt man nun die Tangenten S 9 S 6 S 7 S s S 9 , welche die Kegelschnitte K h JC (i K 7 K i K 9 z. B. in A berühren, und hierauf den Kegelschnitt H x , auf dem die Punkte liegen, von denen aus die Punkte 5, 6 , 7, 8 unter dem Doppel- verhältniss (S s S 6 S 7 S s ) projicirt werden; sowie den Kegelschnitt H 2 , auf dem die Punkte liegen, von denen aus die Punkte 5, 6 , 7, 9 unter dem Doppelverhältniss (S h S 6 S 7 S 9 ) projicirt werden, so geht H x durch 5, 6 , 7, 8 und H 2 durch 5, 6 , 7, 9; H x und H 2 haben die drei gegebenen Punkte 5, 6 , 7 gemein, und schneiden sich p daher in einem vierten realen Punkte; die Strahlen, welche denselben mit 5, 6 , 7, 8 , 9 verbinden, genügen den beiden Gleichungen (T s T a T 7 T ? ) = (S s S s S 7 S a ), (T 5 T 6 T 7 T 9 ) = (S } S 6 S 7 S 9 ), also auch den Gleichungen 1. und 2. Der vierte Schnittpunkt, den die Kegelschnitte H x und H 2 ausser den Punkten 5, 6 , 7 gemein haben, ist daher der gesuchte Punkt E, der den Punkten A, B, C, D gegenüberliegt. Hiermit ist die Aufgabe, eine Curve dritter Ordnung aus neun gegebenen Punkten zu construiren, erledigt. 10. Diese Entwicklungen lassen noch einige brauchbare Folgerungen zu: Der Ort der Punkte, welche vier Punkten ABCD von acht gegebenen Punkten ABCD 56 7 8 in allen durch diese acht P unkte gehenden Curven dritter Ordnung gegenüberliegen, ist der Kegelschnitt H x , von dem aus die Punkte 5, 6 , 7, 8 durch Strahlen projicirt werden, die dasselbe Doppelverhältniss haben, wie die durch diese Punkte gehenden Kegelschnitte des Büschels ABCD. * Ist 9 der neunte Schnittpunkt aller durch ABCD 5 6 7 8 gehenden Curven dritter Ordnung, sind E und E x Punkte des Kegelschnitts H x , und bezeichnet man die von E aus durch 5, 6 . . . gehenden Strahlen durch E (5, 6 . . .), sowie die durch ABCD nach 5, 6 . . . gehenden Kegelschnitte durch ABCD (5, 6 . . .), so ist AB CD (5, 6 , 7, 8 , 9) 7 ^ E(b, 6 , 7, 8 , 9), ABCD{ 5, 6 , 7, 8 , 9) ^ £'(5, 6 , 7, 8 , 9), mithin hat man die projective Beziehung £(5, 6 , 7, 8 , 9) 7 ^ £'(5, 6 , 7, 8 , 9), also liegen die Punkte 5 6 7 8 EE' und 9 auf demselben Kegelschnitte. Der neunte Schnittpunkt aller durch acht gegebene Punkte gehenden Curven dritter Ordnung liegt also auf dem Kegelschnitte der Punkte, die vieren von den acht Punkten in allen diesen Curven gegenüberliegen. Construirt man den Kegelschnitt J der Punkte, die den Punkten A, B, C, 5 in den durch A, B, C, D, 5, 6 , 7, 8 gehenden Curven III. O. gegenüberliegen, so liegt der neunte Schnittpunkt 9 dieser Curven auch auf J. Die Kegelschnitte H x und J haben die gegebenen Punkte 6 , 7, 8 gemein, mithin ist 9 der vierte Schnittpunkt von H x und J. Hierdurch ist die Aufgabe gelöst: Den neunten Punkt zu construiren, in dem sich alle durch acht gegebene Punkte ^ gehenden Curven dritter Ordnung schneiden. 11. Die Aufgabe: Von den sechs Schnittpunkten eines Kegelschnitts K und einer Curve dritter Ordnung sind vier gegeben, man soll die beiden andern construiren, ist nun leicht zu lösen. Man sucht den Punkt E, der den vier gegebenen Punkten ABCD in C"' gegenüberliegt, und construirt den Strahl T des Büschels E, der dem Kegelschnitt K des Büschels ABCD entspricht; die Schnittpunkte von T und K sind die gesuchten Punkte, § 15- Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 173 12. Sind vier Schnittpunkte ABCD zweier Curven dritter Ordnung C"' und r"' gegeben, und von jeder noch fünf Punkte, so kann man den Kegelschnitt construiren, auf dem die übrigen fünf Schnittpunkte 5, 6, 7, 8, 9 liegen. Man construire die Punkte E und E t , die den Punkten ABCD in C'" und r'" gegenüberliegen. Die Strahlbüschel £ und £', die mit dem Kegelschnittbüschel die Curven C'" und T" - erzeugen, sind projectiv mit dem Kegelschnittbüschel, also auch unter einander projectiv; die Schnittpunkte entsprechender Strahlen bilden also einen Kegelschnitt K. Die Strahlen beider Büschel, die durch 5, 6, 7, 8, 9 gehen, entsprechen den durch diese Punkte gehenden Kegelschnitten, sind also entsprechende Strahlen; also liegen diese fünf Punkte auf dem Kegelschnitte K. Die Construction der fehlenden vier Schnittpunkte 6, 7, 8, 9 zweier Curven dritter Ordnung C'" und T”', von denen fünf Schnittpunkte A, B, C, D, 5 gegeben sind, kann auf die Construction der Schnittpunkte zweier Kegelschnitte zurückgeführt werden; denn construirt man zu den gegebenen Schnittpunkten ABCD den Kegelschnitt K, auf dem die Punkte 5, 6, 7, 8, 9 liegen, sowie zu den gegebenen Punkten AB Cb den Kegelschnitt K' , der die Punkte D, 6 , 7, 8, 9 enthält, so sind die unbekannten vier Punkte die gemeinsamen Punkte von K und K'. Sind sechs von den neun Schnittpunkten zweier Curven dritter Ordnung gegeben, so construire man zu fünf von ihnen die Kegelschnitte K und K'\ diese haben dann den sechsten bekannten Punkt gemein und unsere Aufgabe ist daher darauf reducirt, die drei unbekannten Schnittpunkte zweier Kegelschnitte zu construiren, die einen gegebenen Punkt gemein haben. Sind sieben von den neun Schnittpunkten gegeben, so kennt man von den Kegelschnitten K und K' bereits zwei Schnittpunkte, und kann daher die beiden andern Schnittpunkte der Curven III. O. mit Lineal und Zirkel construiren. 13. Die Aufgabe: Zu drei gegebenen Schnittpunkten eines Kegelschnitts und einer Curve dritter Ordnung die fehlenden drei zu construiren, kann zugleich mit der Aufgabe gelöst werden: Die beiden fehlenden Schnittpunkte einer Geraden mit einer C’" zu finden, wenn der dritte Schnittpunkt gegeben isjt. Besteht eine Curve III. O. C" 1 aus einem Kegelschnitte K und einer Geraden T, so kann der Punkt, der drei Punkten ABC des Kegelschnitts und einem Punkte D der Geraden gegenüberliegt, in einfachster Weise dadurch gefunden werden, dass man aus dem Kegelschnittbüschel ABCD einen möglichst einfachen Kegelschnitt, ein Geradenpaar, herausgreift. Wählt man z. B. das Geradenpaar AD, BC, und durchschneidet K mit AD in E, und T mit BC in F, so ist der Schnittpunkt G von K und EF der gesuchte Punkt. Führt man die gleiche Construction mit den Geraden- (M. 425.) 174 Analytische Geometrie. paaren DB, AC und DC, AB aus, so bestimmt man dadurch zugleich die pro- jective Beziehung des Strahlbüschels G und des Kegelschnittbüschels ABCD. Ist nun eine Curve dritter Ordnung F"' durch die Punkte A, B, C, D und fünf weitere Punkte bestimmt, und soll man den Kegelschnitt construiren, der die fünf übrigen Schnittpunkte von C" und F m enthält, so bestimme man den Punkt H, der ABCD in F'" gegenüberliegt, sowie die Strahlen des Büschels 77, die den drei Geradenpaaren des Büschels ABCD entsprechen; dadurch ist die projective Beziehung der Strahlbüschel G und H bestimmt, und mithin der von ihnen erzeugte, gesuchte Kegelschnitt gefunden. Dieser Kegelschnitt enthält die drei fehlenden Schnittpunkte von r m und K, sowie die beiden fehlenden von F m und 71 Hierdurch ist die zweite der gestellten beiden Aufgaben gelöst, und die erste ist auf das Fundamentalproblem cubischer Aufgaben zurückgeführt: Ein Schnittpunkt zweier Kegelschnitte (G) ist gegeben, man soll die drei andern finden. 14. Zwei Strahlenpaare, welche einen gemeinsamen Träger haben, sind Ausartungen von Curven zweiter Ordnung, und können ebenso, wie zwei eigentliche Kegelschnitte, zur Erzeugung eines Kegelschnittbüschels dienen. Sind T und T' die Strahlen des einen Paares, so sind die Gleichungen der Strahlen des andern Paares von der Form a T 4- a' T' = 0, 7 7' 4- b' T' = 0, mithin sind die Gleichungen der beiden Paare 1. TT' = 0 und (aT+ a' T') ( bT + bV) = 0. Die Gleichung irgend eines Kegelschnitts des von den beiden Paaren bestimmten Kegelschnittbüschels ist 2. K = \ X TT + X 2 (aT+ a! T') (bT 4- b'T') = 0. Löst man die Klammern auf und ordnet, so erhält man K = k 2 ab ■ T 2 4- (Xj -|- k i a'b 4- l 2 ab’) TT' 4- k 2 a'b' • T' 2 = 0. Die Function K ist eine homogene quadratische Function der Grössen T und T', und kann daher in zwei in Bezug auf T, T' homogene lineare Faktoren zerlegt werden, die sich durch Auflösung der quadratischen Gleichung / T\ 2 T 3. \ 2 ab lyv) T- (k x 4~ k 2 a'b 4- X 2 #7 f ) 4- k 2 a'b' = 0 in Bezug auf die Unbekannte T: T ergeben; findet man aus 3. die Wurzeln a und ß, so zerfällt K, abgesehen von einem constanten Faktor, in das Produkt der linearen Functionen T — a T und T — ß7”, also zerfällt der Kegelschnitt K = 0 in die beiden Geraden T — a T' = 0 und T — ß T' = 0. Das Kegelschnittbüschel besteht daher aus lauter Geradenpaaren. Da nun diese Geradenpaare eine Transversale in einer quadratischen Punktinvolution schneiden, so folgt, dass dieselben die Strahlenpaare einer quadratischen Strahleninvolution bilden. Wir finden daher: Die Strahlenpaare einer quadratischen Involution sind als die Kegelschnitte eines ausgearteten Kegelschnittbüschels zu betrachten. Eine Strahleninvolution und ein projectives Strahlenbüschel erzeugen eine Curve III. O. C"’ von besonderer Art; jede durch den Träger D der Involution gehende Gerade T hat nämlich mit C'" ausser D nur noch einen Punkt gemein, nämlich den Schnitt von T mit dem Strahl des projectiven Büschels, welches dem Strahlenpaare der Involution entspricht, zu welchem T gehört. Bei allen durch D gehenden Geraden fallen daher zwei Schnittpunkte derselben mit der Curve C’" in D zusammen; folglich hat C’" in D einen Doppelpunkt. §15' Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 175 Eine quadratische Strahleninvolution und ein projectives Strahlbüschel erzeugen also eine Curve dritter Ordnung, welche den Träger der Involution zum Doppelpunkte hat. 15. Sind die Involution und das Strahlbüschel derart auf einander bezogen, dass dem Strahle T, der durch den Träger der Strahleninvolution geht, das Strahlenpaar entspricht, zu welchem dieser Strahl gehört, so sagt man, das Büschel und die Involution sind in reducirter Lage. Ist T x die Gerade, die mit T ein Strahlenpaar der Involution bildet, so entspricht bei reducirter Lage der Strahl T dem Paare TT X . Ist ferner ( aT -+- a x T x ) ( bT -+- b x T x ) — 0 ein anderes Paar der Involution und entspricht ihm der Strahl 3, entspricht ferner dem Strahle a7’+ a x 2 = 0 das Paar §TT X h- ß, (aT+ a x T x )[bT + b x T x ) = 0, so entsprechen sich allgemein X 1 a7’-t- X 2 a,3 = 0 und X x $TT X -t- X 2 ß x {aT + a x T x ) {bl' -+- b X T X ) = 0. Eliminirt man aus beiden Gleichungen X x und X 2 , so erhält man die Gleichung der Curve, welche durch das Strahlbüschel und die Involution erzeugt wird, nämlich a x ß • %TT X — a$ x T{aT-+- a x T ,) [bT -t- b x T x ) = 0. Diese Gleichung zerfällt in ein Produkt: T[a^S.T t - aß, (aT + a x T x ) {bT+b x T x )\ = 0. Die Curve III. O., welche eine quadratische Strahleninvolution und ein dazu projectives Strahlbüschel in reducirter Lage erzeugen, zerfällt also in eine Gerade und einen Kegelschnitt. Umgekehrt schliesst man: Liegt der Träger einer quadratischen Strahleninvolution auf einem Kegelschnitte K, so gehen die Geraden, welche die Schnittpunkte jedes Paares der Involution verbinden, durch einen Punkt und bilden ein mit der Involution projectives Strahlbüschel. Sind nämlich M x und M 2 zwei Paare der Involution und S j und S 2 die Geraden, welche die Schnittpunkte der Paare M x und M 2 und des Kegelschnitts K verbinden, ist ferner A der Träger der Involution, B der Schnitt von *S X und S 2 und T der Strahl AB, und bezieht man das Büschel B projectiv auf die Involution, so dass S x , S 2 7 ^ M x , M 2 und T dem Paare entspricht, zu welchem T gehört, so befinden sich die Involution und das pro- jective Büschel in reducirter Lage; sie erzeugen also einen Kegelschnitt K', der durch A und durch die vier Punkte geht, in denen K von -S’j und S 2 geschnitten wird. Da nun K' diese fünf Punkte mit K gemein hat, so ist K' mit K identisch. Hieraus folgt eine einfache Construction der Aufgabe, eine quadratische Strahleninvolution zu ergänzen. Man construire einen Kreis K, der den Träger A der Involution enthält, und zwei Sehnen, deren jede die Schnittpunkte eines Strahlenpaares der Involution mit K enthält. Legt man durch den Schnittpunkt dieser Sehnen eine Gerade, die K in B und B x schneidet, so ist AB, AB X ein Strahlenpaar der Involution. 16. Mit Hülfe dieser Sätze kanu die Aufgabe: Die drei Schnittpunkte einer Curve dritter Ordnung C" und einer geraden Linie T zu con- struiren, auf das cubische Eundamentalproblem zurückgeführt werden. Wir construiren ein Kegelschnittbüschel und ein projectives Strahlenbüschel, welche die Curve C"’ erzeugen. Dieselben schneiden T in einer quadratischen Punktinvolution und einer dazu projectiven Punktreihe. Die Schnittpunkte von T und C" sind nun die Punkte der Reihe, welche mit einem Punkte des ent- 176 Analytische Geometrie. sprechenden Punktpaares zusammenfallen. Unsere Aufgabe ist daher auf die folgende reducirt: Auf einer Geraden T liegen eine quadratische Punktinvolution und eine dazu projective Punktreihe; man soll die Punkte X der Reihe finden, die mit einem Punkte des entsprechenden Paares zusammenfallen. Wir projiciren von einem willkürlich gewählten Punkte A aus die Punktinvolution und die Punktreihe und erhalten so in A eine Strahleninvolution J und ein dazu projectives Strahlbüschel S; die Strahlen des Büschels, welche nach einem der gesuchten Punkte X gehen, fallen mit einem Strahle des entsprechenden Paares der Strahleninvolution zusammen. Legen wir einen Kreis K durch A, und verbinden die Punkte, in welchem der Kreis von jedem Strahlenpaare der Involution getroffen wird, so bilden diese Verbindungsgeraden ein Strahlbüschel 2, welches mit der Involution J projectiv ist. Die projectiven Büschel S und 2 erzeugen einen Kegelschnitt C, der durch den Träger A des Büschels geht, und daher den Kreis K in drei weiteren Punkten Y x , Y 2 , Y 3 schneidet. Der Strahl des Büschels S und das Paar der Involution J, auf denen einer dieser Punkte Y liegt, entsprechen dem durch Y gehenden Strahle des projectiven Büschels 2, sind also einander entsprechend. Die gesuchten Punkte der Geraden T sind daher die Punkte, in denen T von den Strahlen AY 1 , AY 2 , A Y 3 geschnitten wird. 17. Hat man ein Kegelschnittbüschel und das dazu projective Strahlbüschel bestimmt, durch welches eine Curve III. O. erzeugt wird, und rückt ein Strahl T des Strahlbüschels unendlich nahe an einen Träger A des Kegelschnittbüschels heran, so hat der entsprechende Kegelschnitt K des Büschels mit C'" in A zwei unendlich nahe benachbarte Punkte gemein; mithin haben C"' und K in A eine gemeinsame Tangente. Die Tangente, die eine Curve dritter Ordnung in einem gegebenen Punkte A derselben berührt, wird daher in folgender Weise gefunden. Man construire den Punkt E der C'", der dem Punkte A und drei weiteren Punkten der C" gegenüberliegt, ziehe EA und construire in A die Tangente des Kegelschnitts, der diesem Strahle entspricht. § 16. Tangente und Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve dritter Ordnung. 1. Wir verbinden zwei Punkte iß und II und bestimmen die Verhältnisse, in welchen die Strecke iß II von den Schnittpunkten der Geraden iß II und der Curve dritter Ordnung geschnitten wird: 1. /es 2 a-ikiXiXkXi — 0; i, k, l = 1, 2, 3. Zu diesem Zwecke setzen wir in 1 x % — ^2 Ex ^•1 -+- ^9 x = 1, 2, 3 und erhalten für das gesuchte Theilverhältniss p = X 2 : die Gleichung: /M + 3 [AM • Ei t-AM ■ E 2 +/ 3 M • E s ] • h- 2- +3[A 1 M-E 1 2 +2A 1 M-E 1 E2+2A 3 M-EiE 3 +/ 2 2M-E2 2 +2/23«-E2E3-!-A3to-E3 2 ]-p !! + /($).p3 =0 . Hierin bedeuten E(%) und V(E) die Werthe, welche eine Function F erhält, wenn man die x % durch die jc x bez. ; x ersetzt; ferner bedeuten f j - & j j j X ^ | 2 d x j 2 X ^X 2 |— 2lZj j 3 X X X 3 I 2 2 *3- 2 ^ 2^q 2 33-23-3 I 3 3 3^ ü* ^ J ik^i^hy 3 •/ 2^#1 1 2*3- 2 "P2«1 2 2 X±X 2 ~{-2(1 l2 3‘ X l' X '3~^~ a 2 2 2^2 2^2 2 3 X 2 X 3~Y a 2 3 3*3-3 =^ i a i2k X i X k> /3^ a ii3 x i-+-^ a i2 3 x i x 2-^ i2a i33XiX 3 -Ya 223 x^-h2a 233 x 2 x 3 -ha 3S3 xl=2a li3 x,xY, § i6. Tangente und Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve dritter Ordnung. 177 Ai — «i 11*1 4- a \ 12*2 "P a \ 13 *3’ A 2 = ^12 2*1 4- a 222 X 2 4 - ^2 2 3*3 > fl 2 = a i 1 2*1 4- a 12 2*2 ~b a \ 23 *3 ’ A 3 = «12 3*1 4- a 223 X 2 4 - a 2 33*3 > fl 3 — a x 1 :i x i 4- a x 23 ^ 2 ■P a l 33 *3 ’ A 3 — a \ 3 3*1 4- a 233 X 2 4 - ^3 3 3*3 ' Für diese Functionen gelten die Identitäten A - - Ai*i ■P f\1 X 1 +Aä*S 1 A s A 2*1 ~P Ai 2*2 +/»*3I A - 3 A 3*1 ■P A 3*2 ~P A 3*3 > 6 / = f\ x \ -+~ fz x 2 + A x z == -/ll‘* : l 2 H“ 2 “F f 22 X 2 “F ^f 23 X 2 X 3 “F f 33 x 3 ' 2. Wir nehmen zunächst an, iß sei auf f gelegen; alsdann ist f(j) = 0 und die Gleichung 2. hat die selbstverständliche Wurzel fx. = 0, welcher der Punkt iß entspricht. Die beiden andern Wurzeln der Gleichung 2. erhält man aus der quadratischen Gleichung: , 3[AMA / 2 M'£ 2 ~P AM'^sl “b 4- 4- 2/j äW’SiSä ' + /„W • $2 2 + 2/„W • 5 ,e s +/33W • £ 3 2 ] ■ jx + /( 5 ) ■ IX* = 0. Liegt TI auf der Geraden T =3 ^ 4- / 2 (jt) • £ 2 4-/ 3 (;t) • $ 3 =0, so hat die Gleichung 1. eine Wurzel p. — 0; die Gerade iß II hat dann in iß zwei zusammenfallende Punkte mit der Curve f gemein, berührt also f im Punkte iß. Die Gerade T geht durch iß, denn setzt man in T für die Veränderlichen £ x die Coordinaten des Punktes iß, so erhält man 2- /iW-fi -P/sM-Lj + AM • fj» und dies ist nach 6. identisch mit ffr), also gleich Null, da iß auf f liegt. Es giebt daher nur eine Gerade, welche eine Curve III. O. in einem gegebenen Punkte derselben berührt, und die Gleichung der Tangente der Curve /= 0 im Punkte iß ist 3. T =/j(rt • x x 4 -/ 2 M • * 2 4 -/ 3 M • *3 = 0 . 3. Die Gleichung der Tangente in einem Curvenpunkte wird nur dann unbestimmt, wenn für die Coordinaten dieses Punktes die drei Functionen f x , A> A zugleich verschwinden. Aus der Identität No. 1, 6 folgt, dass unter dieser Bedingung iß auf der Curve / liegt. Ist für die Coordinaten von iß /, = / 2 = / 3 = 0, so wird die Gleichung 3. identisch und jede durch iß gehende Gerade schneidet die Curve f im Punkte iß in zwei zusammenfallenden Punkten; hierdurch ist der Punkt iß als Doppelpunkt charakterisirt. Die drei Gleichungen f x =■= f 2 = f 3 = 0 sind homogen quadratisch für die unbekannten Coordinaten x x des Doppelpunktes, haben daher im Allgemeinen kein gemeinsames System von Wurzeln; eine Curve III. O. hat also im Allgemeinen keinen Doppelpunkt. Mehr als einen Doppelpunkt kann eine eigentliche Curve dritter Ordnung nicht haben; denn eine zwei Doppelpunkte verbindende Gerade würde mit der Curve vier Schnittpunkte haben. 4. Zwischen /, f x , f 2 , f 3 , f xl , / 1 2 , / 1 3 , / 2 2 , / 23 , / 3 3 bestehen die Identitäten No. 1, 5; dieselben lehren sofort: Wenn es einen Punkt iß giebt, für welchen f x —f 2 —f% — 0, so verschwindet für diesen Punkt auch die Determinante : /ll /t! /lä H = f\ 2 A 2 A 3 • A 3 /2 3 f‘\ 3 Diese Determinante heisst die Hesse’scIic Determinante der cubischen Function /. Sie ist homogen dritten Grades in den Coefficienten von f sowie in den Coordinaten x*. Die Gleichung H = 0 ist daher die Gleichung einer zur Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 12 i 7 8 Analytische Geometrie. Curve / in einer bestimmten Beziehung stehenden Curve dritten Grades; man nennt dieselbe die HESSE’sche Curve der Curve /= 0. Wir haben daher: Hat eine Curve dritter Ordnung einen Doppelpunkt, so liegt derselbe auf der zugehörigen HESSE’schen Curve. 5. Ist iß der Doppelpunkt einer mit Doppelpunkt versehenen Curve dritter Ordnung, so wird der dritte Schnittpunkt einer durch 5ß gehenden Geraden und der C'" aus der Gleichung bestimmt, die aus No. 2, 1 nach der Substitution A = f 2 = /, = 0 und nach Absonderung der Wurzel p. = 0 übrig bleibt: , HA iM• 2/„(je )■ 6 1 6 s +2/ 1 ,w• Ms +/»*(*)• $2 2 +2/„(jt)• Ms +/,,W• e 3 2 ] -+■ m • n = o. Wird nun der Punkt 0 so gewählt, dass 2 . fulr) • tf-p Vi »W • 2 / x ,(jc) • M3+/22M • S 2 2 +2/ 23 (jc)- M 3 -p / 3 sM- W = 0 , so hat die Gleichung 1. die Wurzel p. = 0, alle drei Schnittpunkte der Geraden ißn fallen also in den Doppelpunkt iß. Da die HESSE’sche Determinante für die Coordinaten des Doppelpunktes verschwindet, so folgt (§ 13, No. 3), dass der Kegelschnitt 2. in zwei Gerade zerfällt. Die Coordinaten des Schnittpunkts dieser beiden Geraden genügen den Gleichungen /iiM • H + /iüM • S 2 + /i 3 W • 5 S = 0, / 12 M ’ H ~P /„W ' ^2 ~P / 23 W ’ ^3 = /isW • H -+- / 23 W • £2 + / 33 W • ^3 = 0 . Ersetzt man hierin S» durch Xx, so gehen die linken Seiten in f x (t), f 2 [x), / 3 W über, verschwinden also; der Doppelpunkt iß ist also zugleich der Doppelpunkt der Curve 2. Hieraus folgt, dass die beiden durch 2. repräsentirten Geraden diejenigen Geraden sind, die durch iß gehen und in iß drei zusammenfallende Schnittpunkte mit der Curve /= 0 haben. Diese beiden Geraden heissen die Doppelpunktstangenten. Verlegt man den Eckpunkt A x des Coordinatendreiecks in den Doppelpunkt, so ist ^ = h v x s — ? 3 = 0, mithin fl lM ~ a lll^l> fl 2 W = ß lt2^1> /lsW = ö 113^1> /22M = a l22^1 > /23W = a l23^ l l > -^"3 3 (<*■) = ^133^1 • Die Gleichung der beiden Doppelpunktstangenten wird nach Weglassung des Faktors h x ^lll^l 2 “P ^ a 112 X l X 2 ”P ^ a 113 x l x 3 ■+■ «■i 22 x 2 ~P ^ a l 23 X 2 X 3 “P a 133 X 3 = 0. Sind dieselben real, und nimmt man A 2 und A z auf ihnen an, so muss sich die linke Seite auf ein Vielfaches von x 2 x 3 beschränken, daher ist a lll ~ ^112 = ^HS ~ ^122 = a 133 = 0'» Bezieht man also die Gleichung einer mit Doppelpunkt versehenen Curve III. O. auf ein Coordinatendreieck, das die Ecke A x im Doppelpunkt und die Ecken A 2 , A- } auf den Doppelpunktstangenten hat, so ist die Gleichung von der Form: 3. f ^ 6 f 12 ^ a 123 X 3 ’ f23 s a 123 X l ~P a 223 X 2 “P a 23 3 X 3 > f 13 — a \23 x 2 > f3 3 — a 233 X 2 “P a 3 3 3 X 3 • Die Gleichung der HESSE’schen Curve wird daher 0, a 123 X 3’ a 123 x 2 § l6. Tangente und Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve dritter Ordnung. 179 Entwickelt man nach den Gliedern der ersten Zeile, so erhält man 1 ■ H es •*3 > x 2 t 4. n '<ä "'3 a l 23 Hieraus ergiebt sich • II 23^1 fz 3 f 33 ^ ’ c 2 > fz Z fz 3 a 2 “123 *"2 2 3 -*"2 '•2 > tv/Ato -+- a x zfZZ x %fZ 3 x zf Z 3 x zf 3 3 2 3 3 X Z X 3 Die Gleichung H = 0 hat dieselbe Gestalt, wie 3. Wir schliessen hieraus: Hat eine Curve dritter Ordnung f einen Doppelpunkt, so hat ihre HESSE’sche Curve H in demselben Punkte einen Doppelpunkt, und beide Curven haben die Doppelpunktstangenten gemein. Haben zwei Curven einen gemeinsamen Doppelpunkt, so gilt derselbe für vier Schnittpunkte; haben sie ausserdem noch gemeinsame Doppelpunktstangenten, so haben sie noch zwei auf den Doppelpunktstangenten gelegene, dem Doppelpunkte unendlich nahe gemeinsame Punkte, also zählen der gemeinsame Doppelpunkt und die gemeinsamen Doppelpunktstangenten für zusammen sechs Schnittpunkte. Die drei Schnittpunkte, welche die Curven f und H noch ausserdem gemein haben, befriedigen die Gleichung f — n 2 • H — 4a 2 2 2 x z "1" 3 3 .* 3 3 — 0. “ i 2 3 Diese Gleichung liefert die Verhältnisse x 2 : x 3 der drei andern Schnittpunkte; sind a' und a" die beiden conjugirt complexen Wurzeln der Einheit, und ist |a die reale Cubikwurzel aus (— a 3 3 3 ): a 2 2 2 , so hat man ^2 2 2 X $ “P #333 x 3 ®ZZZ 0^2 ' ' ( X Z a P-^ 3 ) ( X Z a p-^ 3 ) * Es sind daher x 2 — = 0, x 2 — a'\),x 3 =0, x 2 — a"ixx 3 = 0 die Gleichungen der Strahlen, welche von A x aus nach den andern Schnittpunkten gehen. Eine Curve III. O. mit Doppelpunkt und realen Doppelpunktstangenten und ihre HESSE’sche Curve haben ausser dem Doppelpunkte noch einen realen und zwei conjugirt complexe Schnittpunkte. 6 . Es kann sich ereignen, dass die beiden Tangenten eines Doppelpunkts einer Curve raten Grades zusammenfallen. Man bezeichnet dann den Doppelpunkt als einen Rückkehrpunkt und die Tangente in diesem Punkte als Rückkehrtangente. Legen wir, um diesen Fall bei cubischen Curven aufzusuchen, die Ecke A l des Coordinatendreiecks in den Rückkehrpunkt, die Ecke A 3 auf die Rückkehrtangente; dann muss sich die Gleichung der Doppelpunktstangenten auf die Gleichung der doppelt zu zählenden Achse A 1 A 3 , also auf x.? = 0 reduciren. Hieraus folgt a ltl — a ll2 = a ll3 = ra 123 = «133 = 0; mithin ist die Gleichung der Curve 1* f ^ 3a l 22 x^x$ -+- a 222 x$ -+- 3a 22 3 x 2 x 3 -+- 3fl 2 3 3 x 2 x.^ -+- & 3 3 3 x^ = 0. Umgekehrt überzeugt man sich leicht, dass eine Curve III. O., deren Gleichung unter der allgemeinen Form 1. enthalten ist, den Punkt A t zum Rückkehrpunkt und die Achse A 1 A 3 zur Rückkehrtangente hat. Die HESSE’sche Curve hat dann die Gleichung 0 # 122 * 2 » 0 | H = öj 3 Z X Z 1 a l Z2 X 1 ^2 2 Z X Z ~P a 2Z3 x 3 > a ZZ 3 X Z T" d 2 3 3^3 1=0; 0, a 2 23 X Z a Z33 X 3 > a Z33 x Z a 3 3 3 x 3 I diese Gleichung giebt entwickelt H = a \ zz x z (^23 3 X 2 ~P a 3 33*3) = 0 * Die HESSE’sche Curve einer mit Rückkehrpunkt versehenen Curve 12 i8o Analytische Geometrie. III. O. zerfällt also in die doppelt zu zählende Rückkehrtangente und in die durch den Rückkehrpunkt gehende Gerade y 1 = «233^2 “h ß 3 3 3*3 — 0. Legt man den Eckpunkt A 2 des Coordinatendreiecks auf die Gerade T, so muss «233 =0 sein; in Bezug auf dieses Coordinatensystem lautet also die Gleichung der Curve III. O. mit Rückkehrpunkt: 2 . / = 3«! 22 " 1 !' 3 a 223 x4x, -+- «., 3 33 r 3 - c 3 — 0 . Wir bemerken, dass die Curve mit ihrer HESSE’schen Curve ausser den Rückkehrpunkt noch einen immer realen Punkt gemein hat, nämlich den Punkt, der sich aus x 3 = 0 und/= 0, also aus x 3 = 0 und 3 «j 2 2*i -+- « 222*2 = 0 bestimmt. Ist p ein Wendepunkt (Inflexionspunkt) einer Curve III. O. und II auf der Wendetangente (d. i. auf der Tangente im Wendepunkt) gelegen, so muss die Gleichung 3 [/ufrHi 2 + 2/ 12 ()c)- M 2 + 2 /isOO’Ms -+-/ 22 ÖO' + 2 / 2 3 (t)-; 2 ^ -+- f 33 (f) • £|] -+- /(;) • p = 0, durch welche der Begleiter der Tangente in P bestimmt wird, die Wurzel p = 0 ergeben. Die Bedingung hierfür ist, dass F =fi 1 W 2 00' 3 Ö0' 6163 +/ 22 W-+ 2 / 2 3 00‘Ms-h/s sOO'?|= 0 - Ausserdem erfüllt II noch die Gleichung der Wendetangente +/,G0e, = 0 . Beide Gleichungen können nur dann für unzählige Punkte II zusammenbestehen, wenn F zwei Gerade darstellt, deren eine T ist. Zerfällt F in zwei Gerade, so verschwindet für die Coordinaten des Punktes p die Determinante fi 1 fi 2 fi 3 H = fi, f 22 f ,3 — 0; fl 3 /ä3 fi 3 die Wendepunkte einer Curve III. O. liegen also auf der HESSE’schen Curve. Umgekehrt: Jeder Schnittpunkt einer Curve III. O. mit ihrer Hesse- schen Curve, der nicht Doppelpunkt ist, ist ein Wendepunkt. Denn ist P ein solcher Punkt, so ist nach der Voraussetzung f(f) = 0 und H(f) = 0. Aus der letzteren Gleichung folgt, dass der Kegelschnitt F in zwei Gerade zerfällt; aus No. 1, 6 erkennt man, dass F den Punkt P enthält. Die Gerade T berührt F in p. Der Doppelpunkt D der Curve F genügt den Gleichungen F l = flff)' x 1 -t-/l2<»-*2 +/lsW-*3 = F i s /l2W'*l ■+■ / 22 fr)' *2 Ff 23 (j)‘X 3 = 0, -^3 =/l3W -*l +/2sOO-*2 + fn(f)- *3 = 0. Nach No. 1, 5 ist T s= -t- ? 2 F 2 -+- ? 3 F 3 . Hieraus folgt, dass D auf T enthalten ist. Wenn nun P nicht Doppelpunkt von C'" ist, so werden von p die Gleichungen F t = F 2 = F 3 = 0 nicht erfüllt, also sind P und D verschieden; folglich ist T ein Theil von F, d. i. jeder Punkt, der T = 0 erfüllt, genügt auch F = 0; folglich hat die Gleichung No. 1, 2 für jeden Punkt II der Geraden T drei Wurzeln p = 0, w. z. b. w. Eine Curve III. O. ohne Doppel- oder Rückkehrpunkt hat daher neun Wendepunkte; eine Curve III. O. mit Doppelpunkt hat drei Wendepunkte; eine Curve III. O. mit Rückkehrpunkt hat einen realen Wendepunkt. 8 . Sind auf einer Geraden zwei Punkte A t A 2 gegeben, so haben wir einem Punkte P der Geraden einen andern Punkt II in Bezug auf A X A 2 harmonisch zugeordnet, indem wir für die Verhältnisse p t und p 2 , in welchem die Strecke 3 § l6. Tangente und Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve dritter Ordnung. 181 ißü von den Punkten A x und A 2 getheilt wird, die Gleichung festsetzten Pi + P 2 = 0. Hiervon ausgehend, ordnet man einem Punkte iß in Bezug auf «Punkte A X A 2 . . A„, die mit ihm auf einer Geraden liegen, die Punkte zu, für welche die Verhältnisse jxj, jx 2 , . . |x„, in denen die Strecke Sß II von A X A 2 . . A„ getheilt wird, den Bedingungen genügen h + h + Fs + • ■■ + I 1 * =0, P 1 P 2 + P 1 P 3 + • • • + p*-ip* = 0, 2 Jiy, JXZ Pc 0 , S Prt pz |X C [Xrf 0 , • • . . |X„ |XZ |X C . . . JX r 0, wobei für abc, abcd, . , abc . . r alle Combinationen dritter, vierter, . . . (« — l)ter Klasse aus den Zahlen 1, 2, 3 ... zu nehmen sind. Setzt man PAi = d,, P FI = x, so ist PAi PAt di N — AM PU — PAi x — di' Wird dies in 2jx„|x es fallen also zwei Schnittpunkte der Geraden tyA z und der Curve / in A 3 zusammen, die Curve / wird von tyA z in A z berührt. Wir haben daher den Satz: Die Tangenten, die von einem Punkte ausserhalb einer Curve III. O. an die Curve gelegt werden, berühren dieselbe in den Schnittpunkten mit den ersten Polaren des Punktes. Von jedem Punkte der Eirene aus, der nicht auf der Curve liegt, lassen sich daher im Allgemeinen sechs Tangenten an eine Curve III. O. legen. Eine Ausnahme hiervon tritt ein, wenn die Curve / einen Doppelpunkt oder Rückkehrpunkt hat. Für jeden Punkt p der Ebene geht die erste Polare durch den Doppelpunkt; da nun in dem Doppelpunkte zwei Schnittpunkte von / und ; diese Schnittpunkte sind die gesuchten harmonischen Pole zweiten Grades; ferner construire man die gerade Polare von iß in Bezug auf S t , S 2 , S 3 \ diese schneidet T in dem gesuchten harmonischen Pole ersten Grades. 15. Zieht man durch einen Punkt Iß zwei Gerade und nimmt auf jeder derselben drei Punkte an A, B, C und A', B’, C', so hat iß für alle cubischen Curven, die durch diese sechs Punkte gehen, dieselbe gerade Polare, denn diese ist die Verbindungslinie der harmonischen Pole ersten Grades für den Punkt iß in Bezug auf ABC und A'B'C'. Die einfachsten Curven III. O., die sich durch die sechs Punkte legen lassen, sind die sechs Vereine von drei Geraden, welche die Punkte paarweis verbinden, z. B. der Verein der Geraden AA', BB', CC'. Um daher die gerade Polare von iß in Bezug auf die Curve III. O. /= 0 zu construiren, verbinden wir iß mit zwei bekannten Punkten A und A' der Curve f und construiren die beiden übrigen Schnittpunkte von f mit der Geraden iß A und iß A' ; diese Punkte BC und B'C' werden durch gerade Linien und Kreise nach § 15, No. 13 gefunden. Unter Anwendung des Lineals allein bestimmt man nun die gerade Polare von iß in Bezug auf die drei Geraden AA’, BB', CC' (oder AB, BA’, CC' u. s. w.); diese ist die gesuchte Linie. 16. Die erste Polare eines Punktes iß für eine Curve III. O. f = 0 wird in folgender Weise gefunden: Man verbinde iß mit drei f bekannten Punkten A, A', A" der Curve f und bestimme die Punktpaare BC, B'C', B"C" in welchen f von den Strahlen iß A, i 'ßA 1 , i ’ßA" noch geschnitten wird. Hierauf ziehe man AA', BB', CC' (oder AB, BA', CC' u. s. w.) und construire die zwei Paar Schnittpunkte der Geraden Sß^4 und iß A' mit der ersten Polaren des Punktes iß in Bezug auf den Verein von Geraden AA’, BB', CC'\ durch diese vier Punkte geht die gesuchte erste Polare. Zieht man nun A'A”, B’B", CC", so geht die erste Polare von iß in Bezug auf diese drei Geraden durch die schon bekannten beiden harmonischen Pole zweiten Grades von iß in Bezug auf die Punkte A'B'C' und durch die Schnittpunkte der Geraden A'A", B’B", CC", ist also durch diese fünf Punkte bestimmt; construirt man hiernach die Schnittpunkte dieser Polaren mit iß A", so hat man nun auch die beiden harmonischen Pole zweiten Grades von iß in Bezug auf A"B"C", also noch zwei Punkte der gesuchten ersten Polaren von iß für /, die nun durch im Ganzen sechs Punkte mehr als ausreichend bestimmt ist. § 17. Construction von Curven dritter Ordnung mit Doppel- und Rückkehrpunkt. 1. Eine Curve III. O. mit Doppelpunkt wollen wir durch Cs, eine Curve III. O. mit Rückkehrpunkt durch C p bezeichnen. Ist f =s laikiXiXkXi = 0 die Gleichung einer Ci, und sind die Coordinaten L. des Doppelpunktes II gegeben, so bestehen die Gleichungen L "+" ^ a ll3^1^3 ■+■ #122^2 2 ~P ^^123^2^3 "+■ a l33%3 — 0, 2- a il2%l -P ^ a l22%l%2 "P -P a 222 %2 2^2 23 ^2^3 ~P a 23 3 %3 = 0» 3. "P 2 ZZj 23 S 2 -P ~t~ ^2 2 3 ^2 ~P 2#23 3 ^2’3 “P a 3 3 3 ^ 3 * = 0- Durch jeden weiteren Punkt der Curve ist noch eine homogene lineare § 17. Construction von Curven dritter Ordnung mit Doppel- und Rückkehrpunkt. 187 Gleichung der Coefficienten gegeben, wir brauchen daher ausser dem Doppelpunkte noch sechs weitere Punkte, um die Coefficientenverhältnisse *111 • a ii 2 : • • • • '■ a 2 33 '• a 33 3 eindeutig zu bestimmen. Eine Q ist daher durch den Doppelpunkt und sechs weitere Punkte bestimmt. 2. Zieht man durch einen beliebigen Punkt A einer C 5 zwei Strahlen T x , T 2 , welche die Curve ausserdem in B x C\ und B 2 C 2 schneiden, so wie einen dritten Strahl T 3 , und hebt einen weiteren Schnittpunkt B 3 desselben mit der Curve hervor; zieht die Strahlenpaare S X S X , S 2 S 2 ', durch welche B X C X und B 2 C 2 mit dem Doppelpunkte II verbunden werden, sowie den Strahl £ 3 , der von II nach B. d geht; so ist durch die Strahlenpaare S x .Sj', S 2 S 2 ' eine quadratische Strahleninvolution bestimmt. Setzt man nun das Strahlbüschel des Punktes A mit dieser Involution derart in projective Beziehung, dass T x dem Strahlenpaare S X S X , T 2 dem Paare S 2 S 2 und T a dem Paare entspricht, zu welchem S s gehört, so ist dadurch die Projectivität des Strahlbüschels und der Involution vollständig bestimmt. Der Ort der Schnittpunkte der Strahlen des Büschels mit den entsprechenden Strahlenpaaren der Involution ist (§ 15, No. 14) eine Curve III. O., die den Träger der Involution zum Doppelpunkte hat, und durch den Träger des Strahlbüschels geht; diese Ortscurve hat daher ausser dem Doppelpunkte noch die sechs Punkte A, B x , C x , B 2 , C 2 , B z mit der gegebenen Curve Cs gemein, folglich ist sie (No. 1) mit C 5 identisch. Wir schliessen hieraus: Eine Cs kann in unendlich vielfacher Weise durch eine Strahleninvolution, deren Träger der Doppelpunkt ist, und ein projectives Strahlbüschel erzeugt werden; jeder einfache Punkt der Curve kann zum Träger des Strahlbüschels genommen werden. Ferner: Die Punktpaare, in welchen eine Cs durch die Strahlen eines Büschels geschnitten wird, dessen Träger auf der Curve liegt, werden vom Doppelpunkte aus durch die Strahlenpaare einer Involution projicirt, die mit dem Strahlenbüschel projectiv ist. 3. Um eine Cs aus dem Doppelpunkte II und sechs weiteren Punkten 1, 2, 3, 4, 5, A zu construiren, stellt man die Involution her, die mit dem projectiven Strahlbüschel, dessen Träger A ist, die Curve erzeugt. Schneidet man das Strahlbüschel durch eine Gerade a, die durch 5 geht und die nach 1 , 2, 3, 4 gehenden Strahlen in 1', 2', 3 1 , 4' trifft, und projicirt man diese Punkte von einem auf der Geraden n 5 gelegenen Punkte B aus, so ist das Büschel B projectiv mit dem Büschel A, also auch mit der gesuchten Involution. Der Strahl Bb entspricht dem Paare der Involution, zu welchem 115 gehört; da nun B auf II5 liegt, so befinden sich die Involution II und das Büschel B in reducirter Lage (§15, No. 15), erzeugen also keine eigentliche Curve III. O., sondern eine, die in die Gerade II B und einen durch II gehenden Kegelschnitt K zerfällt. Von diesem Kegelschnitte sind nun fünf Punkte bekannt; A (M. 426 .) 88 Analytische Geometrie. 17, und die Punkte D, E, F, G, in denen die Strahlen 111, II2, 03, 114 von BY, B 2', BY , BY geschnitten werden. Hierdurch ist derselbe bestimmt. Um nun die gesuchte Ca zu vervollständigen, d. i. um den Punkt zu erhalten, der auf einem beliebigen durch II gezogenen Strahle S liegt, bestimme man nach dem PASCAL’schen Satze den Punkt H\ in welchem K von S zum zweiten Male getroffen wird, verbinde H mit B , und zeichne den Strahl des Büschels A, der BH entspricht; dieser trifft S in dem gesuchten Curvenpunkte. 4. Einem Strahle des Büschels A, der an dem Doppelpunkte II unendlich nahe vorbei geht, entspricht ein Paar der Involution, dessen Strahlen die Ca in Punkten treffen, die dem Doppelpunkte nächst benachbart sind. Die Doppelpunktstangenten sind dahe r das Strahlenpaar der Involution, das dem nach dem Doppelpunkte gehenden Strahle des Büschels A entspricht. Nähert sich ein Strahl eines Strahlenpaares der Involution dem Punkte A, so nähert sich einer von den Schnittpunkten des dem Paare entsprechenden Strahles und der Curve dem Punkte A. Die Tangente an die Ca im Punkte A entspricht daher dem Strahlenpaare der Involution, auf welchem A liegt. Diese Bemerkungen geben die Auflösung der beiden Aufgaben: Eine Curve Ca ist durch den Doppelpunkt und sechs weitere Punkte gegeben; man soll die Doppelpunktstangenten und die Tangenten der Curve in einem gegebenen Punkte derselben construiren. 5. Sind S 1 S 1 ' = 0, S 2 S 2 ' = 0, S 3 S 3 ' = 0 drei Strahlenpaare einer Involution, so hat man S 3 S 3 ' = «jAjAj' -+- a 2 S 2 S 2 . Die Gleichung jedes andern Paares kann dann geschrieben werden SS' = -+- X 2 a 2 S 2 S 2 ' = 0. Es kann sich ereignen, dass für gewisse Werthe des Verhältnisses Xj : X 2 das Paar SS' aus conjugirt complexen Geraden besteht, von denen nur der Träger II der Involution real ist. Legt man durch II einen Kreis K , und verbindet die Punkte, in welchen der Kreis von S 1 S 1 ', S 2 S 2 ', S 3 S 3 ', SS' geschnitten wird, durch die Strahlen R x , R 2 , R.,, R, so schneiden diese sich in einem Punkte C und bilden ein der Involution projectives Büschel; hat man also R 3 = b x R x -I- b 2 R 2 , so ist die Gleichung des Strahles R R = \ x b x R x -4- \ 2 b 2 R 2 = 0. Durchläuft das Verhältnis X t : X 2 die reale Zahlenreihe, so beschreibt der Strahl R das ganze Strahlbüschel C. Liegt nun C im Innern des Kreises K, so schneidet jeder Strahl des Büschels den Kreis, jedem Werthe von X t : X 2 gehört also ein reales Strahlenpaar der Involution zu; liegt hingegen C ausserhalb des Kreises, so wird der Kreis nur von dem kleineren Theile der durch C gehenden Strahlen geschnitten, es gehören also nur zu einem bestimmten Werthgebiete des Verhältnisses X t : X 2 reale Strahlenpaare. Die Werthe von X t : X 2 , welchen die Strahlen zugehören, die den Kreis K berühren, grenzen das Gebiet der Zahlen Xj : X 2 , zu welchem reale Strahlenpaare der Involution gehören, von dem Gebiete ab, welchem complexe Strahlenpaare zugehören; diesen beiden Grenzwerthen entsprechen die Asymptoten der Involution. Wir schliessen daher: Ist ein Strahlbüschel mit einer quadratischen Strahleninvolution projectiv, und hat die Involution keine realen Asymptoten, so entspricht jedem Strahle des Büschels ein reales Strahlenpaar der Involution. Hat die Involution reale Asymptoten @ und Sq, so construire man die ihnen entsprechenden Strahlen £ und H x des projectiven § 17 ' Construction von Curven dritter Ordnung mit Doppel- und Ruckkehrpunkt. 189 Büschels; diese Strahlen theilen die Ebene in zwei Paar Scheitelwinkel; den Strahlen, welche durch das eine dieser beiden Paare gehen, entsprechen reale Paare, denen, die durch das andere Paar Scheitelwinkel gehen, entsprechen conjugirt complexe Strahlenpaare der Involution. Die Strahlen 3E, Tj werden die Verzweigungsstrahlen des Strahlbüschels C in Bezug auf die projective Involution II genannt. 6. Hat man (nach No. 3) ein Strahlbüschel und die dazu projective Involution, durch welche eine C5 erzeugt wird, so kann es sich ereignen, dass die Involution reale Asymptoten hat, und dass der Doppelpunkt II zwischen den Verzweigungsstrahlen 3E und 3£ x des Strahlbüschels in einem der beiden Scheitelwinkel liegt, durch welche die Strahlen gehen, denen complexe Strahlenpaare entsprechen. In diesem Falle hat die Cr, keine realen Doppelpunktstangenten; und da keiner der Strahlen des Büschels, welche durch das Winkelfeld gehen, in welchem II liegt, die Cr schneidet — denn keinem entspricht ein reales Strahlenpaar der Involution — so hat die Curve in der Umgebung des Doppelpunktes keine realen Punkte. In diesem Falle bezeichnet man den Doppelpunkt als isolirten Punkt. Die Verzweigungsstrahlen X und berühren die Cr, in den Schnittpunkten mit den ihnen entsprechenden Asymptoten @ und der Involution. Hat eine Cr einen isolirten Punkt, und wählt man der Reihe nach alle Punkte der Curve zu Trägern eines Strahlbüschels und bestimmt die zugehörige Involution, welche mit dem Büschel die Cs erzeugt, so muss jede solche Involution reale Asymptoten haben und II immer in dem Gebiete zwischen den Verzweigungsstrahlen liegen, dessen Strahlen keine realen Strahlenpaare der Involution entsprechen. Wir schliessen daher: Hat eine Curve III. O. einen isolirten Punkt, so gehen von jedem Punkte der Curve aus zwei reale Tangenten an die Curve (ausser der Geraden, welche die Cr in dem Punkte selbst berührt). 7. Liegt der Träger II einer quadratischen Strahleninvolution auf einem der beiden Verzweigungsstrahlen 2i eines projectiven Strahlbüschels, so fallen die Doppelpunktstangenten der durch das Büschel und die Involution erzeugten Cr, die dem nach II gehenden Strahle 2c entsprechen, in eine Asymptote <5 der Involution zusammen. Die Curve III. O. hat also in diesem Falle II zum Rückkehrpunkte und @ zur Rückkehrtangente. 8. Sind von einer Curve Cr der Rückkehrpunkt II, die Rückkehrtangente T und vier weitere Punkte 3, 4, 5, A gegeben, so kann die Curve in wesentlich derselben Weise construirt werden, wie eine durch den Doppelpunkt und sechs Punkte bestimmte Cs. Dem Strahle ^411 entspricht die Rückkehrtangente T, mithin entspricht dieser im Büschel B der nach dem Schnitte von II A und a gehende Strahl Bl'. Da diesem Strahle die Asymptote T der (M. 427.) 190 Analytische Geometrie. Involution II entspricht, so wird der von der Involution und dem Büschel B erzeugte Kegelschnitt K von dem Strahle BY in D berührt. Der Kegelschnitt K ist daher durch die vier Punkte II, D, F, G und durch die Tangente DB im Punkte D bestimmt. 9. Um eine Cg aus dem Doppelpunkte II, den Doppelpunktstangenten T x , T 2 und vier weiteren Punkten 3, 4, 5, A zu construiren, verfährt man ebenfalls nach No. 3; nur treten jetzt der Strahl ^411 an die Stelle der beiden Strahlen A 1, A‘2, und die Geraden T x , T 2 für die Geraden II1, 112 ein. 10. Eine Ci kann aus dem Doppelpunkten, einem Punkte und der Tangente in demselben und aus vier weiteren Punkten nach folgendem Verfahren construirt werden, welches auch noch anwendbar bleibt, wenn von der Cs ausser II vier Punkte und die Tangenten in zweien derselben, oder drei Punkte und die Tangenten in denselben gegeben sind. Stellt man dieselbe Figur her, wie in No. 3, so fallen diesmal zwei gegebene Punkte auf 1 und den nächst benachbarten Punkt der gegebenen Tangente T\ diesen gehören zwei unendlich nahe an BY benachbarte Strahlen des Büschels B und zwei unendlich nahe an II1 gelegene Gerade durch II zu. Diese beiden Paare zugehöriger Geraden des Büschels B und der Involution II schneiden sich in zwei unendlich nahen bei D liegenden Punkten; es kommt nur darauf an, die Gerade N zu finden, auf der sie liegen, diese wird dann die Tangente des Kegelschnitts K im Punkte D sein. Projicirt man die Punkte der Geraden T von A aus, und construirt mit Hülfe der Geraden a die entsprechenden Strahlen von B, und projicirt sodann auch die Punktreihe T von II aus, so erhält man zwei projective Strahlbüschel II und B, in denen II1 und BY, sowie die genannten diesen beiden unendlich nahen Strahlen einander entsprechen. Diese Büschel erzeugen einen Kegelschnitt P, der durch B, II und D geht, und mithin durch zwei weitere Punkte bestimmt ist, die man durch Projection zweier beliebigen Punkte der Geraden T gewinnt. Die Tangente dieses Kegelschnitts im Punkte D ist die gesuchte Gerade S. Der Kegelschnitt K (No. 3) ist nun durch die Punkte II, D, F, G und die Tangente in D bestimmt. (M. 429.) (M. 428.) § l8. Correspondirende Punkte einer Curve dritter Ordnung. 191 11. Um eine Ca aus dem Doppelpunkte II, einem Wendepunkte 1, der zugehörigen Wendetangente T und zwei weiteren Punkten 4 und 5 zu construiren, hat man die Construction No. 3 dem Umstande entsprechend zu verändern, dass diesmal drei Punkte 1, 2, 3 in 1 zusammenfallen. Construirt man, wie in No. 10, den Kegelschnitt P, so hat dieser mit K im .Punkte D drei unendlich nahe Punkte gemein, T und K berühren sich also in D dreipunktig. Die Kegelschnitte T und K haben vier Punkte gemein, nämlich II und die drei in D zusammenfallenden Punkte. Durch diese vier Punkte geht auch das Geradenpaar M, das aus der von 11 nach einem der drei Punkte bei D gehenden Geraden II D und aus der Verbindungslinie der beiden andern Punkte, d. i. aus der Geraden S besteht, die T in D berührt. Der Kegelschnitt K kann nun als der durch G gehende Kegelschnitt des von T und M bestimmten Kegelschnittbüschels construirt werden.*) (M. 430.) §13. Correspondirende Punkte einer Curve dritter Ordnung. 1. Sind T X T 1 ', T 2 7' 2 ', T 3 T 3 drei Strahlenpaare einer quadratischen Involution, und S X S X , S 2 S 2 , S 3 S 3 ' die entsprechenden Paare einer projectiven Involution, und ist t 3 t 3 ' ^ a x T x T x ' + « 2 r 2 r 2 ’, s 3 s 3 ' = ^.sy + b 2 s 2 s 2 ', so entsprechen sich die Paare TT = \a x ■ T x T t ' + \ 2 a 2 • T 2 T 2 1 = 0 und SS' ^X 1 d 1 -S 1 S 1 ' 4 - X 2 # 2 -S 2 S 2 ' = 0. Die Punkte, in denen sich entsprechende Paare schneiden, genügen der Gleichung, die aus TT' — 0 und SS' = 0 durch Elimination von und X 2 hervorgeht /= a x b 2 ■ T X T X ■ S 2 S 2 — a 2 b x • T 2 T 2 • S X S X = 0. Diese Gleichung ist vom vierten Grade. Wenn T x = 0 und T 2 — 0, oder wenn ^ 2 = 0 und S x = 0, so ist auch f = 0, also geht die Curve f durch die Träger der beiden Involutionen. Der Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlenpaare zweier projectiven Involutionen ist also eine Curve vierter Ordnung, die durch die Träger der beiden Involutionen geht. 2. Die Coordinaten der Schnittpunkte einer Curve nt er Ordnung mit einer Geraden T a x x x - 1 - a 2 x 2 4 - a 3 x 3 — 0 sind die Wurzeln der Gleichungen r= 0, h x h 2 h.. = 1 . /= 0 , Aus den letzten beiden linearen Gleichungen ergeben sich x 2 und x 3 als lineare Functionen von x x ; setzt man diese Werthe in f ein, so erhält man eine *) Ueber Curven in. O. mit Doppelpunkt vergl. Weyr, Theorie der mehrdeutigen geometrischen Elementargebilde. Leipzig 1869. 192 Analytische Geometrie. Gleichung «ten Grades, die nur die Unbekannte x^ enthält. Zu jeder der «Wurzeln dieser Gleichung erhält man aus der zweiten und dritten Gleichung die zugehörigen Werthe von x 2 und x Dies ergiebt: Eine Curve «ter Ordnung wird von einer Geraden in «Punkten geschnitten. 3. Jede durch den Träger A der ersten Involution (No. 1) gehende Gerade T gehört zu einem bestimmten Strahlenpaare TT' dieser Involution; die Punkte, in welchen dieses Paar die Curve / — 0 schneidet, liegen auf dem entsprechenden Strahlenpaare 5 S'. Also hat die Gerade T ausser dem. Punkte A noch zwei Punkte mit der Curve gemein. Wir schliessen hieraus, dass jede durch A gehende Gerade im Punkte A zwei zusammenfallende Schnittpunkte mit der Curve f — 0 hat, dass also A ein Doppelpunkt der Curve ist. Durch zwei projective Strahlen'involutionen wird eine Curve vierter Ordnung erzeugt, welche die Träger der beiden Involutionen zu Doppelpunkten hat. 4. Wenn die Strahlenpaare zweier Involutionen sich entsprechen, zu welchen der die Träger verbindende Strahl gehört, so sagt man, die Involutionen befinden sich in reducirter Lage. Ist R der durch die Träger gehende Strahl, und entsprechen sich die Paare RT X ' und RS^, so kann man in No. 1 die Paare RT^ und RS^ statt der Paare T 1 T 1 ' und S l S 1 ' nehmen. In der Gleichung f — 0 tritt dann der Faktor R auf, indem man hat f^R(a l b 2 T 1 ' ■ S 2 S 2 ' — a 2 b x T 2 T 2 • Die Curve vierter Ordnung f zerfällt also in die Gerade R = 0 und in die Curve III. O. , dessen Coordinaten — a, b, — c sind, liegt symmetrisch zu P, und P 3 in Bezug auf die XY- und die XZ-Ebene; der Punkt P 6 , der die Coordinaten — a, — b, c hat, liegt symmetrisch zu P x und P 2 bezüglich der XZ- und FZ-Ebene. Der Punkt P 7 , dessen Coordinaten — a, — b, — c sind, liegt symmetrisch zu P 4 , P 5 , P 6 in Bezug auf die Ebenen YOZ, XOZ, XOY. Es giebt also acht Punkte, deren Coordinaten gleiche § i. Coordinaten des Punktes. absolute Werthe haben, in jeder der acht von den drei Coordinatenebenen gebildeten dreiseitigen Ecken ist einer enthalten; sie sind die Ecken eines rechtwinkeligen Parallelepipeds, dessen Ebenen parallel den Coordinatenebenen sind, und dessen Kanten von den Coordinatenebenen normal halbirt werden. Alle Punkte, die gleiches x und y haben, haben dieselbe Horizontalprojection P, liegen also auf einer durch die Coordinaten x und y bestimmten Parallelen zur Z-Achse; die Punkte, die gleiches x und z haben, haben dieselbe Vertical- projection P" und liegen auf einer Parallelen zur Y- Achse; und die Punkte, die gleiches y und z haben, gehören zu derselben seitlichen Projection P" und liegen auf einer Parallelen zur X-Achse. Die Ebene PPP” (Fig. 432) ist parallel zur FZ-Ebene; ihr Schnittpunkt Q' mit der X-Achse ist daher die Normalprojection des Punktes P auf die X-Achse und die Geraden PQ' und P"Q' sind normal zu OX. Ebenso treffen die Ebenen PPP" und PP”P” die Y- und die Z-Achse in Punkten Q" und Q"', die die Normalprojectionen des Punktes P auf diese Achsen sind. Z 2. Die Strecke zwischen zwei Punkten P x und P 2 ergiebt sich leicht aus ihren Coordinaten. Für die Strecke P x P 2 ' folgt aus den Coordinaten dieser Punkte in Bezug j- auf das ebene Coordinaten- system XOY: (M. r 4B5.) Px'P't= (*,-*0* Ferner ist P. Pf = P'P'2 4- (P,’P 2 — P,’P,) 2 , daher ist P x Pi = (x, - Xl )> + (y 2 -y x ) 2 + (* s - 1 . Bezeichnet man die Winkel, welche die Strecke P X P 2 mit den Achsen OX, OY, OZ bildet, der Reihe nach mit cp, <{*, und sind Qi, Qi', Qi", bez. Qi, Qi', Qi" die Projectionen von P x und P 3 auf die Achsen, so ist P X P 2 cos -/ P X P 2 cos Cf P X P 2 COS'\l , Nun ist für jeden Punkt P also ist QiQ Daher hat man, wenn man P X P 2 mit d bezeichnet: Quadrirt man diese drei Werthe und addirt, so erhält man mit Rücksicht auf 1. die bemerkenswerthe Gleichung 3. cos 2 t p -1- cos 2 ty -t- cos 2 y = 1. 3. Theilt ein Punkt P die Strecke P X P 2 im Verhältnisse P X P‘. PP 2 = X 3 : Xj , so werden die Projectionen PQP 2 ', Pi'Pi', Pi”Pi” von den Projectionen P',.P”, P” im gleichen Verhältnisse getheilt; die Coordinaten von Vergeben sich daher aus den Coordinaten von P x und P 2 nach den Formeln 198 Analytische Geometrie. ^1^1 + kgjCg X} Xg ’ Xj -+* Xg ’ Xj -+- Xg Die Coordinaten des Mittelpunkts der Strecke /j/g sind insbesondere x = i K + *2) - y = z = %(z 1 +z 2 ). 4. Die Lage eines Punktes kann man auch durch Polarcoordinaten bestimmen. Man geht dabei von einem festen Punkte, einer durch diesen Punkt gehenden festen Geraden, und einer durch diese Gerade gehenden festen Ebene aus; wir nehmen dazu den Nullpunkt, die Jf-Achse und die X F-Ebene eines rechtwinkeligen Coordinatensystems. Als Polarcoordinaten eines Punktes P ver- 2 wendet man nun die Strecke OP, den Winkel , 2 Vi (M. 436.) X 1. x = O Q' — r costf , y = Q'P' = Q'P• cos 10 = r • siny cos = r ■ sin y sin «j . Hieraus folgt umgekehrt: -y* cos

2 , z 2 = r 2 cosy 2 , r 2 z 2 > 2z 2 z x so folgt schliesslich die Formel 2. cos (r x r 2 ) = cosy x costf 2 4- cos<\t x costy 2 4 - cosy x cosy 2 . Der Winkel zweier Geraden ist dem Winkel zweier durch einen Punkt (z. B. durch O) gelegten Parallelen gleich; mithin giebt die Formel 3. COS 8 = COS cp j COS f 2 4- COS '|l j costy 2 4- c^Xi allgemein den Cosinus des Winkels zweier Geraden, die mit den Coor- dinatenachsen die Winkel

x , y x , bez. tp 2 , 2 , X 2 bilden. Zwei Gerade sind daher normal, wenn ihre Richtungswinkel (d. i. ihre Winkel mit den Coordinatenachsen) der Gleichung genügen: 4. cos< p t cos(f 2 4- costy x costy 2 4 - cosy x cosy 2 = 0. § 2. Transformation rechtwinkeliger Coordinatensysteme. 1. Sind die Achsen O'X, O'Y', O'Z' eines rechtwinkeligen Coordinatensystems gleichsinnig parallel den Achsen OX, OY, OZ eines andern Systems, und sind N’, N", N", Q', Q", Q'", R', R", R"' der Reihe nach die Projec- tionen des Punktes O' auf OX, OY, OZ und des Punktes P auf OX, OY, OZ, bez. O'X', O'Y', O’Z', so hat man OQ' = ON' 4 - N Q' = ON' 4 -O’R’, OQ" = ON" 4 - N" Q" = ON" 4 - O ’R" , OQ'"- — ON" 4 - N"'Q'" = ON'" + O'R'" . Nun sind OQ', OQ", OQ'" die Coordinaten x,y, z des Punktes P in Bezug auf das System XYZ\ O'R', O'R", O'R'" die Coordinaten x', y', z’ von P in Bezug auf das neue System XY'Z; ferner ON, ON", ON" die Coordinaten des Nullpunkts O' in Bezug auf das System XYZ, die wir mit a, b, c bezeichnen wollen. Daher haben wir die Transformationsformeln x = x 4 - a, b, (M. 438 .) 2. Transformation aus einem rechtwinkeligen Coordinatensysteme in ein anderes mit demselben Nullpunkte, aber anders gerichteten Achsen 200 Analytische Geometrie. Die Cosinus der Winkel, welche die Achsen OX, OY, O Z des ursprünglichen Systems mit den Achsen OX', OY', OZ' des neuen Systems bilden, mögen folgende tabellarisch zusammengestellte Werthe haben: Cosinus des Winkels der Achse OX OY OZ mit der Achse OX’: a i ßi 7i n yy yy OY’: “2 ß 2 72 yy yy yy OZ'\ a 3 Ps 73 Zwischen diesen neun Grössen bestehen sechs Gleichungen. Aus §1,2 folgt af 4- jlj 2 4- ifj 2 = 1, 1. af 4- ßf 4- t| — 1 , “I + ßf + Tf = 1 • Da ferner das neue System X Y' Z' ebenfalls rechtwinkelig ist, so ist (§ 1, 6 ) “l a 2 + ßiß 2 + 7i7 2 = 0> 2. a i a 3 + ßißs + 7 i7 3 = 0, «2 a 3 + ß s ßs + T 2 T 3 = 0 • Auf Grund dieser sechs Gleichungen kann man die neun Cosinus durch drei derselben, oder durch drei andere, von einander unabhängige Grössen ausdrücken. Die beiden Systeme von Gleichungen 1 . und 2. kann man durch zwei andere Systeme ersetzen. Da die Winkel der Af-Achse mit den rechtwinkeligen Achsen OX', OY', OZ' die Cosinus a l , z' = a s x + ß 3 y -4- -f s 2 . Diese Formeln vermitteln den Uebergang aus dem Systeme XYZ in das System X'Y'Z') die Formeln für den Uebergang aus diesem in jenes erhält man, wenn man 1. der Reihe nach mit a 1( oc 2 , a 3 ; dann mit ß x , ß 2 , ß 3 ; schliesslich Ti) 1 2 t 73 multiplicirt und addirt; in Rücksicht No. 2, 3 und 4 erhält man x = Gtj x' « 2 ./ “h a 3 2 '» y = ßi-*' + ß 2 y + h z ’t z = ■ il x’ -+- 7 2 y 4- 73 z’. 2 . § 2. Transformation rechtwinkeliger Coordinatensysteme. 201 5. Hat das neue System weder dieselben Achsenrichtungen, noch denselben Nullpunkt wie das ursprüngliche, so kann man ein Hülfssystem einschalten, das mit dem ursprünglichen in Bezug auf die Achsenrichtungen und mit dem neuen in Bezug auf den Nullpunkt übereinstimmt. Sind x, y, z, x', y', z' die Coordinaten eines Punktes P im ursprünglichen bez. im neuen Systeme, sind ferner a, b, c die Coordinaten des neuen Nullpunkts in Bezug auf das alte System, und werden die Cosinus der Winkel der Achsen des neuen Systems mit den Achsen des alten wie in No. 3 bezeichnet, so hat man die Transformationsformeln x = a -h a l x' z = c + -ux' ■+■ t 2 / -+- t 3 z'. 6. Wenn zwei orthogonale Coordinatensysteme X YZ und X' V Z' einen gemeinsamen Nullpunkt haben, so kann die Ebene XOY in die neue Lage X'OY' auf folgende Weise übergeführt werden. Wir bemerken zunächst, dass in allen Coordinatenebe- nen der positive Drehungssinn für Winkel so gewählt sein soll, dass die Winkel XOY, XOZ, YO Z rechte Winkel (und nicht = 270°) sind. Wir beachten nun die Schnittgerade der Ebenen X'OY’und XOY (M. 439.) X und entscheiden über ihren positiven Sinn; OH sei eine positive Strecke dieser Geraden. Hierauf drehen wir das Coordinatensystem XYZ um die Achse OZ, so dass die Achse OX den Winkel XOH beschreibt; dabei komme OY in die Lage Oty. Nun bemerke man die Schnittlinie der Ebenen X’OY' und OZ; die positive Strecke 0%’ auf dieser Geraden wähle man so, dass HO J] 1 ein rechter Winkel (und nicht = 270°) ist, und drehe das Coordinatensystem H%)Z um die Achse OH so, dass 0%) den Winkel d?§)' beschreibt; hierdurch komme OZ in die Lage 03- Schliesslich drehe man das Coordinatensystem 3£@'3 um die Achse O 3 so, dass OH den Winkel HOX' beschreibt; dann fällt die T-Achse mit OX', und, da HO%’ — X'O Y' — 90°, auch die F-Achse mit OY’ zusammen. Hat man so durch drei aufeinander folgende Drehungen um die Achsen OZ, OH, und O 3 die XF-Ebene in die neue Lage X'O Y' gebracht, so fällt die Achse OZ' entweder mit O 3 zusammen, oder bildet mit 03 einen gestreckten Winkel. Im ersten Falle kann man das Coordinatensystem X YZ durch Drehung in die neue Lage X'Y'Z' bringen, im andern Falle nicht; im ersten Falle bezeichnet man die Coordinatensysteme als gleichsinnig, im andern als ungleichsinnig. 202 Analytische Geometrie. Bei jeder einzelnen der drei Drehungen bleibt eine Achse des jeweiligen Coordinatensystems unverändert, also auch die parallel zu ihr gemessene Coor- dinate eines Punktes; die beiden andern Coordinaten ändern sich infolge der Drehung der Coordinatenebene, mit welcher sie parallel sind, für dieselben gelten daher die für Coordinaten in der Ebene aufgestellten Transformationsformeln. Bezeichnet man die Winkel XOY , 3)<93)', X0X' der Reihe nach mit ty, 9, Xp, z; jr, 9 ', 3 ; x',y', 3 ; so hat man die successiven Transformationsformeln: a) für den Uebergang aus dem Systeme XYZ in das System 1. x = costy ■ x — sinty ■ 9 , y = sinip • x cos 9p ■ Xj, z = z; (5) für den Uebergang aus dem Systeme X%Z in das System ■£ 3)'3: 2. x = X, 9 — fwD • 9 ' — ««9 - 3 , z = sink) ■ 9 ' -+- cosk) • 3 ; ■f) für den Uebergang aus dem Systeme .-E2)'3 in das System X'Y' 3: 3. x — cos

cosk)) ■ x' — (sintp cos 4 - costp sin9p cosk)) -y' ± sin 9p sin ft ■ z', 4. y = (costp sin-+- sintp coscosk)) ■ x' — (sintp sin 9p — costp costy cos 8 ) -y' =p costy sink } • z' z = sintp sink) ■ x' -h costp sink) • y' ± cosk) • z'. Hierbei gelten die oberen Vorzeichen für gleichsinnige, die unteren für ungleichsinnige Systeme. Vergleicht man diese Transformationsformeln mit den Formeln in No. 4, so erhält man die neun Cosinus a x , 1 "'/y" J p 3 "')* + (p 1 "p 2 "p 3 'V + (zy/y^p = ± 2 • p,p 2 p, zu dividiren. Bezeichnet man mit h 0 die von P ü ausgehende Höhe des Tetraeders P ü P 3 P 2 P a und mit / 0 die Fläche P 1 P 2 P. i , so hat man daher (No. 5) 2/ 0 Xg To z o 1 X 1 Ti z i 1 x 2 Ts Z 2 1 x 3 Ts Z 3 1 = ± h. Hieraus folgt, wenn man mit V das Volumen des Tetraeders P 0 P 1 P 2 P a bezeichnet: *0 To z o l *1 Ti Z 1 l *2 Ts Z 2 l *3 Ts Z 3 l Die Determinante stimmt also dem absoluten Werthe nach mit dem sechsfachen Tetraedervolumen überein. Um auch dem Vorzeichen eine geometrische Bedeutung zu geben, haben wir uns über den positiven oder negativen Sinn von Tetraedern zu entscheiden. Wir wollen ein Tetraeder ABCD als positiv oder negativ ansehen, je nachdem von dem Eckpunkte A aus betrachtet das Dreieck BCD als positiv oder negativ erscheint, vorausgesetzt, dass man für Dreiecksflächen eine bestimmte Drehrichtung (z. B. links herum) als die positive angenommen hat. Die Tetraeder ABCD, ACDB, ADBC haben dasselbe Zeichen; die Tetraeder ACBD, ABDC, AD CB haben das entgegengesetzte Zeichen; denn die Dreiecke BCD, CDB, DBC erscheinen von demselben Punkte A aus in gleicher Drehrichtung, die Dreiecke CBD, BDC, D CB in der entgegengesetzten. Lässt man also die erste Ecke unverändert und permutirt die drei andern, so haben die Tetraeder denselben Sinn, bei denen die drei letzten Buchstaben Permutationen von derselben Klasse sind. Das Dreieck BCD erscheint von A aus in anderer Drehrichtung als das Dreieck A CD von B aus; die beiden Tetraeder AB CD und BACD sind daher ungleichen Sinnes; und zugleich sind ABCD und BACD Permutationen von verschiedener Klasse. Durch Vertauschung der ersten beiden Buchstaben und nachmalige Permutation der drei letzten Buchstaben kann man aber alle Permutationen der vier Buchstaben ABCD hersteilen. Wir sehen daher: Tetraeder, die sich nur durch die Anordnung der Eckbuchstaben unterscheiden, sind gleichen oder ungleichen Zeichens, je nachdem die Folge ihrer Eckbuchstaben Permutationen von gleicher Klasse sind, oder nicht. § 3- Die Ebene, die Gerade und der Punkt. 207 Die Determinante X y z 1 x x Ti z l 1 *2 y 2 Z 2 1 X3 Ts Z 3 1 hat für zwei verschiedene Lagen II' und 11" des variabeln Punktes P im Allgemeinen verschiedene Wertlie A' und A"; sollen diese ungleiche Vorzeichen haben, so muss A für einen Punkt der Strecke II'II" verschwinden. Hieraus folgt: Die Determinante hat für alle Punkte auf derselben Seite der Ebene P i P 2 P 3 dasselbe Zeichen und wechselt das Zeichen, wenn P von einer Seite von P l P 2 P. i auf die andere Übertritt. Unter denselben Umständen behält oder wechselt aber auch das Tetraeder PI\ P 2 P. t das Zeichen; denn das Dreieck P 1 P 2 P i erscheint von allen Punkten aus, die auf derselben Seite von P x P 2 P 2 liegen, in derselben Drehrichtung, von Punkten auf verschiedenen Seiten aus in entgegengesetzten Drehrichtungen. Hieraus folgt, dass für alle Lagen der Punkte P 0 P 1 P 2 P $ die Determinante *0 To z o 1 x i y 1 z i 1 X 2 T 2 Z 2 1 *3 y-i z s 1 dem sechsfachen Volumen des Tetraeders gleich oder entgegengesetzt gleich ist. Um nun zu entscheiden, welcher von beiden Fällen gilt, genügt es, ein Beispiel zu untersuchen. Wir wählen das Tetraeder OS 1 S 2 S 3 (Fig. 440). Die Determinante A wird jetzt 0 0 0 1 a 0 0 1 0*01 =~ abe - 0 0 c 1 Rechnet man ein Dreieck ABC positiv, wenn die Drehungsrichtung von A über B nach C linksum erfolgt, und ist, wie in unseren Figuren, der positive Sinn der Coordinatenachsen so gewählt, dass vom Anfangspunkt aus gesehen ein Dreieck ABC positiv erscheint, dessen Ecken auf den Achsen OX, OY, OZ liegen, und die Endpunkte der positiven Strecken OA, OB, OC sind, so ist das Tetraeder O S X S 2 S 2 positiv. Hieraus folgt, dass auch rücksichtlich des Vorzeichens die Gleichung gilt x g To z o 1 x x Ti Z 1 1 x 2 T 2 Z 2 1 x. 6 Ts Z 3 1 ktes der drei 1 6 • PqPi P 2 P-i = - Py = A^x -t- B 1 y -F C^z -F B)i — 0, P 2 1= A 2 x — f B 2 y -f 0 2 z —F D 2 — 0, Zg A 3 x -j- B 3 y -F Cg z —F -Cg 0. sind die Werthe von x, y, z, welche den drei Gleichungen T x = 0, T 2 genügen, also die Auflösungen des linearen Systems A^x -F B^y -F Cj z = — -^0\ > : o,r, = 0 1. c 2 a C x z — C>> = - A 3 x ■+■ B 3 y -+- C 3 z — C 2 D, Dieses System ergiebt 208 Analytische Geometrie. 2. (ABC)-x =— (DBC), (ABC)-y = — (ADC), (ABC) ■ z = — (ABD) wenn A B i c x Di Bi Ci (ABC) = ^2 B 2 Ci , (DBC) B Di b 2 Ci ^3 Bi ^3 Di Bi Ci A D, c, A Bi Di (ADC) = A D 3 , (ABD) ^ A Bi Di ^i Di C 3 ^3 Bi Di Sind die drei Zeilen der Determinante (ABC) oder zwei derselben proportional, so sind die drei Ebenen parallel (No. 4), oder zwei derselben sind parallel, und die Determinante (ABC) verschwindet. Ist (ABC) = 0 und sind zwei Colonnen proportional, so verschwindet auch eine der andern drei Determinanten, die andern beiden unterscheiden sich durch einen von Null verschiedenen Faktor und verschwinden daher gleichzeitig; sind diese beiden Determinanten nicht Null, so ist eine Coordinate des Schnittpunkts unbestimmt, die beiden andern sind unendlich gross; die Ebenen schneiden sich daher in drei parallelen Geraden, die einer Coordinatenebene parallel sind. Ist z. B. A x : A 2 : A 3 = 2?, : B 2 : B 3 , also B x = nA lt B 2 = nA 2 , B 3 = nA 3 , so ist (DBC) — n(DAC) = — n(ADC), und (ABD) = 0. Wenn (DBC) nicht verschwindet, so ist auch (ADC) von Null verschieden, und die Coördinaten des Schnittpunkts sind x = », y = , z unbestimmt. Die Ebenen schneiden sich daher in drei zur X F-Ebene parallelen Geraden. Wenn (ABC) dadurch verschwindet, dass die Glieder einer Colonne Null sind, so sind auch zwei der drei andern Determinanten Null; die drei Ebenen sind in diesem Falle einer Coordinatenachse parallel; wenn die vierte Determinante nicht verschwindet, so schneiden sie sich in drei zu dieser Achse parallelen Geraden; wenn sie verschwindet, so gehen sie alle drei durch eine zu dieser Achse parallele Gerade. Ist z. B. A l = A 2 = A 3 = 0, so haben die Ebenen die Gleichungen T x ^=B^y -+- C x z -f- D x := 0, T 2 ^^-B 2 y -4- C 2 z -t- D 2 = 0, T' 3 ^^B 3 y- i rC 3 z-\-D 3 : =Q, sind also parallel der X-Achse; betrachtet man ihre Gleichungen als Gleichungen von Geraden in der FZ-Ebene, so sind dies die seitlichen Spuren der drei Ebenen; diese drei Spuren haben einen oder keinen gemeinsamen Punkt, je nachdem die Determinante (BCD) verschwindet oder nicht verschwindet. Wenn die Determinante (ABC) verschwindet und weder zwei Zeilen noch zwei Colonnen proportional sind, und wenn zugleich keine der drei andern Determinanten (DBC), (ADC), (ABD) verschwindet, so sind die Coordinaten des Schnittpunkts sämmtlich unendlich gross, die drei Ebenen schneiden sich also in drei parallelen Geraden, die keiner Coordinatenebene parallel sind. Verschwindet hingegen noch eine der drei andern Determinanten, z. B. (DBC),. so hat man durch Entwicklung der Determinanten (ABC) und (DBC) die beiden Gleichungen. 3. B 2 C 2 B a B 2 C 2 Bo Co B x Bi Ci A + o Bi 6 Ci • B 2 -+- Ci ' ^3 = 0 , B s Bi Ci Bi Bi Ci Di -+- •i Ci • d 2 -+- Ci ■D % = 0 . B% C 3 Fügt man hierzu noch eine der beiden identischen Gleichungen (BBC) = 0 und (CBC) = 0, oder entwickelt: B 2 C 2 Ba Co ■ B, B 3 C 3 B ! C x ■ B 0 B ! C, Bo Co ■ B, — 0 , r i ► ► r> § 3* Die Ebene, die Gerade und der Punkt. 209 6 . C 3 — 0. ^2 ^2 p , -^3 ^3 ff , I ^1 ? 3 C 3 ' Cl + B x C x ' + ! B 2 C 2 so folgt, indem man 3., 4., 5. und dann 3., 4., 6 zusammennimmt, noch das Verschwinden der beiden übrigen Determinanten: (ABB) = 0, (ABC) = 0. In diesem Falle sind also die Coordinaten des Schnittpunkts sämmtlich unbestimmt. Da (A CB) = 0 und (B CB) = 0, so verschwindet für alle Werthe von x und y auch die Determinante A x x 4- B x y, c i A 2 x 4- B 2 y, c 2 D 2 A 3 x 4- B 3 y , C 3 Multiplicirt man die Glieder der zweiten Reihe mit z, und addirt dann die dritte und die vierte Reihe zur ersten, so entsteht die Identität ! A. x 4 - B x y -t- C x z A x x A 2 x A 3 x ■+■ B 2 y 4~ C 2 z 4 - D \ - C 1( D x d 2 , C 3 ’ D 2 d 3 , C% 1 A Entwickelt man nach den Gliedern der ersten Reihe und bezeichnet die drei Determinanten aus je zwei Colonnen der Elemente C , C 2 C, B\ B 2 B 3 mit »j, m 2 , m 3 , so erhält man 7. m x 7j 4 - m 2 T 2 4 - m 3 T 3 = 0 . Dieser Identität zufolge wird für jeden Punkt, für dessen Coordinaten die Polynome T x und T 2 verschwinden, auch das Polynom T 3 gleich Null, folglich geht die Ebene T 3 durch die Schnittlinie der Ebenen T x und 7 2 . Umgekehrt: Wenn drei Ebenen 7^ = 0, T 2 =0, 7’ 3 = 0 dieselbe Gerade enthalten, §0 giebt es drei Zahlen tn x , m 2 , m 3 , durch welche die Identität hergestellt wird: m x T x 4 - m 2 T 2 + m 3 T 3 = 0 . Denn sind7’ 10 , 7’ 20 die Werthe, welche die Polynome T x und 7 2 für einen ausserhalb der Schnittlinie T x T 2 auf T 3 gelegenen Punkt B 0 annehmen, so bilde man die Ebenengleichung. 8. T ao ■ T x T’jo • T 2 = 0. Derselben wird von jedem Punkte genügt, für welchen T x = T 2 = 0, d. i. von jedem gemeinsamen Punkte der Ebenen T x und T 2 ; sowie von dem Punkte B 0 . Folglich ist die Ebene 8. identisch mit T 3 , und es giebt daher eine Zahl m x , durch welche die Identität hergestellt wird /71 m /Ti /ti /Ti OT 1 ^ 3 = ^ 2 0 ‘ ^ 1 ^ 1 0 ' ^ 2 • Dies ist aber die behauptete Identität, wenn man nur m 2 und tn 3 durch — T 2(x und 7\ 0 ersetzt. 9. Vier Ebenen T 0 =0, T x = 0, 7' 2 =0, T 3 = 0 gehen durch einen Punkt, wenn die Determinante des Systems der vier Gleichungen verschwindet, also wenn ^0 A C 0 A x B x Cx B ^2 b 2 ^2 B *^8 B ., c 3 B Unter dieser Bedingung giebt es vier Zahlen m 0 , m x , m 2 , m 3 , für welche Schlokmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. \a 210 Analytische Geometrie. 4- m x A x 4 - m 2 A 2 4- m z A z = 0, w 0 Z ? 0 4- m % B x 4 - m 2 B 2 4- m 3 B 3 — 0, m a C 0 4- m x C x -t- m 2 C 2 4- m % C z = 0, m 0 D a 4- m x D x 4 - »z 2 .ö 2 4- m z D z — 0. Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit x, y, z, und addirt, so erhält man die Identität m 0 T 0 4- m x T x 4- m 2 T 2 4- tn z T z = 0. Wenn also vier Ebenen durch einen Punkt gehen, so giebt es vier von Null verschiedene Zahlen, durch welche die Identität hergestellt wird m o T 0 4- m x T x 4- tn % T 2 4- m z T z = 0. Umgekehrt: Wenn es vier Zahlen m ä , m x , m 2 , m z> giebG durch welche diese Identität hergestellt wird, so haben die vier Ebenen T a , T x , T 2 , T z einen Punkt gemein. 10. Sind T x = 0 und 7 ’ 2 = 0 die Gleichungen zweier Ebenen in Normalform, so sind die Abstände eines Punktes P von diesen Ebenen p x = — T x , / 2 = — T 2 . Ein Punkt, der gleiche oder entgegengesetzt gleiche Abstände von den beiden Ebenen hat, erfüllt also die Gleichung T x = T a , bez. T x = — T a , d. i. T x — T 2 = 0 , bez. T x 4- T 2 = 0 . Also sind T x — T 2 = 0 und T x 4 - T a = 0 die Gleichungen derEbenen, welche die Winkel der Ebenen T x und T a halbiren; und zwar halbirt T x — ZjsO den Winkel, in welchem der Nullpunkt liegt, T x 4- T a =■ 0 die Nebenwinkel desselben. Es seien T x =0, T a = 0, T z = 0 die Gleichungen dreier Ebenen in Normalform. Die Ebenen % x , J 2 , 5 3 , welche die Winkel der Ecke halbiren, in welcher der Nullpunkt liegt, haben die Gleichungen: z x ^t 2 -t z = o, 2 ^ 7 - 3 -^= 0 , Z z ^T x -r 2 =0. Die Summe Si 4 - 2 2 4 - S 3 verschwindet identisch* also folgt (No. 8 ) der aus den Elementen bekannte Satz: Die Ebenen, welche die Winkel einer dreiseitigen Ecke halbiren, schneiden sich in einer Geraden. Die Ebenen, welche die übrigen Flächenwinkel der drei gegebenen Ebenen halbiren, haben die Gleichungen a 1 ' s 7’ 8 H-7’, = 0, T 0 = A 0 x -f- B 0 y -+- CqZ -+- Z? 0 — 0 sein, so muss die Bedingung erfüllt sein (m l A 1 -+- m 2 A 2 )A 0 -t- ( m x B x -+- m 2 B 2 )B Q -+- (ni x C 1 4- m 2 C 2 )C 0 = 0 , oder m 1 (A l A 0 -+- B 1 B 0 -+- C X C 0 ) -+- m 2 {A 2 A 0 -+- B 2 B 0 -+- C 2 C 0 ) =0. Man kann daher wählen m i — ^ 2^0 ■+■ B 2 B q ■+■ C 2 C 0 , m 2 = — (A l A 0 -t- B X B Ü -+- C x C 0 ). Setzt man nun abkürzungsweise -^ 2 ^ 0 -l - '^ 2 -^ 0 +^ 2 = Pi> A.A.+B.B^C.C^,, A 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =\i. 0 , so sind die Gleichungen der Ebenen S t , S 2 , S 0 , die normal zu T t , T 2 , T 0 sind und durch die gegenüberliegenden Kanten der dreiseitigen Ecke T x T 2 T 0 gehen •*•1=1 i 2 ^2 Po ^0 — 0 > * 2 = Po ^0 Pl ^1 = 0 , •*o = Pi ■P'i p 2 B 2 = 0 . Die Summe S x 4- $ 2 4-S 0 verschwindet identisch; also haben wir den Satz: Die Ebenen, welche die Kanten einer dreiseitigen Ecke auf die gegenüberliegenden Seiten normal projiciren, gehen durch eine Gerade. 12. Die Bedingungsgleichung für die Coordinaten der Punkte, deren Abstände von zwei Ebenen ein gegebenes Verhältniss m 2 : m x haben, ergiebt sich, wenn T y = 0 und T 2 = 0 die Normalgleichungen der Ebenen sind, aus Pl • Pi = m 2 • m \ ’ Pl ~ Pi ~ B 2 , ZU «1^1 — m 2 T 2 = 0. Dies ist die Gleichung einer Ebene, die durch die Kante T 1 T 2 geht. Aus einem Normalschnitte der drei Ebenen ist ersichtlich, dass P\ ‘Pi = sln T : sin TT 2 , mithin theilt die Ebene T den Flächenwinkel T x T 2 im Sinusverhältniss m 2 \, d. h. so, (M. 442.) T, dass sin T X T : sin TT 2 = m 2 :m u und zwar geht T im Falle eines positiven Verhältnisses, m 2 :m l durch den Winkel, in welchem der Nullpunkt liegt, im Falle eines negativen durch die beiden Nebenwinkel. 13. Sind T x =0, T 2 — 0, T 0 = 0 die Normalgleichungen der Seiten einer Ecke, und theilt man die Winkel 2\ T 2 , T 2 T 0 , 7' 0 T x der Ecke der Reihe nach in den Sinusverhältnissen (jl x : p. 2 , |x 2 : [x 0 , [x 0 : jjlj , so sind die Gleichungen dieser drei Theilungsebenen: 5 0 — T x — — T 2 = 0, P. P2 51 - jr T * - V T ° = °’ p2 Po 5 2 ^ — T 0 - — T, = 0. Po Pi Hieraus folgt die Identität S 1 4-S 2 4-S 0 = 0; man hat daher den allgemeinen Satz: Die Ebenen, welche die Winkel einer Ecke der Reihe nach in den Sinusverhältnissen jx 1 :p. 2 , |x 2 : [x 0 , p 0 : p t theilen, gehen durch eine Gerade. , Die Sätze 10 und 11 sind als besondere Fälle dieses Satzes zu betrachten. 14 212 Analytische Geometrie. 14. Sind T x = 0, T 2 =0, T z = 0, T 4 — 0 die Normalgleichungen der Ebenen eines Tetraeders, in dessen Innern der Nullpunkt liegt, so haben die Halbirungsebenen der Tetraederwinkel und ihrer Supplemente die Gleichungen: T t 2 = T 2 — 0 , T„ ——^3=0, T 1 4^^1-^4=0, ^2 3 = ^8 ^3 ~ 0 , T 2 4 = ^ , 2 ^ 4 = 0 , T34 = T 3 T'i — 0 , Hieraus folgt die Identität: 1. T 12 -t- T 23 -+- T 34 Diese vier Halbirungsebenen gehen also durch einen Punkt; T’4 2-^1 +^ 2 =0, T' 10 -^1 + n = 0, T',4^r 1 + r 4 = o, T'23 Esä ^2'f"^3 = 0> T’ 2 4 T' + = 0. T 14 ^0. da nun bekanntlich T 13 mit T l2 und T 14 , sowie T 24 mit T 12 und T 23 durch eine Gerade geht, so folgt: Die sechs Ebenen, welche die Winkel eines Tetraeders halbiren, gehen durch einen Punkt. Ferner ergeben sich noch die Identitäten: T 12 + T 23 T 34 — T' 14 =0 , T 23 + T 34 — T ' l 2 + T ' t 4 = 0 > ^12 ~ t 14 + r' 23 t 34 = 0 , T34-T 1 4-T' 23 +r i2 ^0. Durch den Punkt 2. gehen, wie man aus Satz 10 schliesst, noch die Ebenen T 13 (weil sie mit T 12 und T 23 durch eine Gerade geht), sowie T' 24 (weil sie mitT 23 und T' 34 durch eine Gerade geht). Ebenso findet man, dass durch den Punkt 3. noch die Ebenen T 24 und T' l: ,; durch 4. noch die Ebenen T 24 und T' 13 ; durch 5. noch die Ebenen T 13 und T' 24 gehen; man hat daher den Satz: Je sechs Ebenen, welche drei an einer Ebene liegende Aussenwinkel eines Tetraeders und die drei nicht anliegenden Tetraederwinkel halbiren, gehen durch einen Punkt. Man hat ferner V H- T' 34 — T' 14 = 0 , durch 7. noch Hieraus folgt: 7 . t’' 3 -r 34 + r 24 -r 14 ^o, 8. t' 14 — r 24 — r 23 — r 13 = o. Durch den Punkt 6. gehen noch die Ebenen T 13 und T 24 ; die Ebenen T ]4 und T 32 ; durc Je sechs Halbirungsebenen zweier gegenüberliegenden Tetraederwinkel und der vier nicht neben diesen liegenden Aussenwinkel gehen durch einen Punkt. 15. Die Coordinaten eines Punktes, der von den beiden Punkten P x und P.± gleiche Abstände hat, genügen der Bedingung (x — x -+- (y — Jj ) 2 + (* — z ,) 2 = (* —* 2 ) 2 -+- {y—y 2 y -t- (z — z a y. Hieraus folgt für x, y, z die lineare Gleichung 2 = 2 (x 2 — *,) • * -h2(y 2 —y x ) ■ y -t- 2 (z 2 — 2 4 )z— (x 2 2 — * *-+-y 2 2 - -y?+z£- -*!*) = 0. Dies ist die Gleichung einer Ebene. Wird die Strecke P x P 2 mit d bezeichnet, so folgt für die Winkel, welche die Normale dieser Ebene mit den Coordinaten- achsen bildet (No. 1) rwß = y 2 —y 1 d ’ — d ’ — d ‘ Dieselben Winkel (§ 1, No. 2) bilden die Gerade P X P% mit den Achsen. Ferner ist ersichtlich, dass die Gleichung T = 0 identisch erfüllt wird, wenn man für x, y, z die Werthe § 3* Die Ebene, die Gerade und der Punkt. 213 x = t (*2 -+- * 1 ). y = Uj , 2+y l ), z = U z ! + *i)> d. i. die Coordinaten des Mittelpunkts der Strecke P x P 2 einsetzt. Daher hat man den Satz: Der Ort der Punkte, die von zwei gegebenen Punkten P x und P 2 gleiche Abstände haben, ist die Ebene, welche die Strecke P X P 2 normal halbirt. Die Ebenen, welche die Seiten eines Dreiecks P X P 2 P 3 normal halbiren, haben die Gleichungen: S 2 3 = 2 (^ 2 — * 3 )-* + 2(> 2 —^ 3 ) ^ + 2(a 2 —z 3 )-z —(*|—.»fp-j'f—jy 3 2 + 2 2 2 —zf) = 0, $ 3x = ‘2(x. t —x l )-x + 2(js—y 1 )-y-+-2(z !l —z 1 )-z—(x$-x?-+-yl—y?-)-z$—z2) = 0, § x2 ^2(x i —x 2 )-x-h2(y x —y 2 )-y-h2(z l —z 2 )-z~(x*—x$-hy?—y$-hz?—z$) = 0. Hieraus ergiebt sich die Identität 2 23 -t- S 31 -p 2 12 = 0. Dieselbe lehrt den Satz: Die drei Ebenen, welche die Seiten eines Dreiecks normal halbiren, schneiden sich in einer Geraden. Die Ebenen, welche die Seiten eines unebenen Vierecks P l P 2 P. J P i normal halbiren, haben die Gleichungen $i 2 = 2 (x x —x 2 ) ■x-+- 2 (y 1 —y 2 )-y + 2 (z i —z 2 )-z—(x?—x$y-y? ~y% -Psf—z|) = 0 , 2 2 3 e = 2 (-*2— x i)-x+ 2 {y 2 —y 3 )-y + 2 (z 2 — z 3 )-z — (*f— •*!+)'?— -yg-hzi— z 3 2 ) = 0. 2 34 553 2(^3—. x 4 ) ■ x + 2 {y 3 — yj -y -p 2(z 3 — z 4 ) ■ z — (xg - x% +yg—yi-hz$— zf) = 0, 3 41 = 2(* 4 — x x ) • x -p 2 (y 4 —y x ) -y -+ 2(z 4 — z ,) • z — (xg —.xg -+-yg —yg +z 4 2 — zg) = 0. Hieraus folgt die Identität $ 12 -p 2 23 -P 2 34 + J 42 = 0, und daher der Satz: Die vier Ebenen, welche die Seiten eines unebenen Vierecks normal halbiren, gehen durch einen Punkt; dieser Punkt ist das Centrum der dem Viereck umgeschriebenen Kugel. Durch den Punkt geht auch die Ebene S 13 , welche die Strecke P x P 3 normal halbirt (da sie mit S 12 und 2 23 durch eine Gerade geht) und die Ebene 2 24 , die die Strecke P 2 P 4 normal halbirt (da diese mit 2 23 und S 34 durch eine Gerade geht). Man kann daher den obigen Satz auch durch den folgenden ersetzen: Die sechs Ebenen, welche die Kanten eines Tetraeders normal halbiren, treffen sich in einem Punkte. ____ 16. Die Punkte, deren Coordinaten den Gleichungen zweier Ebenen 1. A x x -P B y y -p C\z -I- = 0, 2. A 2 x + B 2 y -t- C 2 z -P D 2 = 0 , genügen, liegen auf der Geraden, die den beiden Ebenen gemeinsam ist; eine gerade Linie im Raume wird also durch den Verein zweier linearen Gleichungen dargestellt. Eliminirt man aus den Gleichungen 1. und 2. der Reihe nach die Coordinaten z, y, x, so erhält man die Gleichungen der Normalprojectionen der Geraden auf die drei Coordinatenebenen, nämlich 3. Horizontalprojection: (AC)x -P ( BC)y + (PC) = 0, 4. Verticalprojection: (AB) x ■+■ (CB)z -+■ (DB) = 0, 5. Seitliche Projection: (BA) y -P (CA) z -f- (DA) = 0, wenn man mit (MN) die Determinante bezeichnet: Von den Coordinaten der Punkte einer Ebene sind zwei willkürlich, z. B. x und y; die dritte z ist von ihnen abhängig; sie ergiebt sich aus der Gleichung Ax + By -h Cz D = 0 der Ebene zu Ax -P By -p D 214 Analytische Geometrie. Von den Coordinaten der Punkte einer Geraden ist dagegen nur eine willkürlich, z. B. x] die beiden andern ergeben sich aus den beiden Gleichungen einer Geraden, z. B. aus 3. und 4. zu (AC)x -t- ( DC) (AB) x 4- (DB) y — (BC) , z — — (cbg) 17. Ist P ein Punkt einer Geraden G, die durch den Punkt P x geht und mit den Coordinatenachsen die Winkel a, ß, y bildet, und wird die Strecke P X P mit p bezeichnet, so hat man x — x x = p cosa., y — y x = p zwß , z — z x = p cosy ; eliminirt man p, so erhält man: ! x — x x = y— y x = z — z x cosa cos$ cosy ’ dies sind also die Gleichungen der Geraden G. Sind die Gleichungen der Horizontal- und der Verticalprojection einer Geraden in der Form gegeben: 2. y = Mx -I - Q , z = Nx -t- R , und ist P x ein Punkt dieser Geraden, so hat man y x = Mx j 4- Q , z x = Nx x 4- R , also durch Subtraction: y — y x = M(x — , z — z x = N(x — x x ). Daher hat man durch Vergleich mit 1.: cosa : cos ß : cos-j = 1 : M: N. Mit Hülfe der Gleichung schliesst man hieraus 1 cos a , COS$ — [*ß + COS 2 ~l = 1 M COS~j = N yi +M 2 -hN 2 ’ yi-hM 2 + JV 2 Für den Winkel 8 zweier Geraden, deren Gleichungen sind y = Mx -h Q, z = Nx -l- R, y = M x x -h Q x , z = N x x 4- R x , ergiebt sich hiernach , 1 4- MN 4- NM COS 8 = — 7 -: _ = . y\ 4- M 2 4- N 2 • -j/l 4 - M 2 4- N 2 Die beiden Geraden sind daher normal zu einander, wenn 1 4- MM X 4- NN X = 0; sie sind parallel, wenn ihre Projectionen parallel sind, also wenn M—M x , N= N x . 18. Der Winkel e einer Geraden y — Mx 4- Q > z = Nx 4- R mit der Ebene T = Ax 4- By 4- Cz 4- D = 0 ist das Complement des Winkels der Geraden und einer Normalen zur Ebene T, daher hat man A 4- MB + NC 1. sinz = y.. . ..- . yA 2 4- B 2 4- C 2 ■ yi 4 -M 2 4- N 2 Die Gerade ist daher parallel zur Ebene T, wenn 2. A 4 - MB 4- NC = 0; sie ist normal zu T, wenn 3. A : B : C = 1 : M: N. 19. Die Coordinaten des Schnittpunktes der Geraden y = Mx 4- Q, z — Nx 4- R mit der Ebene § 3- Die Ebene, die Gerade und der Punkt. 215 T = Ax -t- By -4- Cz 4- D = 0 sind die Lösungen des Systems dieser drei Gleichungen. Man erhält BQ + CR 4- D — M{CRy- D) + QiCN 4- A) x ~ Ay-BM+CN’ y ~ A 4- BM 4- CN — N{BQ + D) + R (BM+ A) z . ' ~ A -h BM CN ' Diese Werthe werden unendlich gross, wenn A -4- B M 4- CN = 0; diese Bedingung des Parallelismus einer Geraden und einer Ebene ist schon in voriger Nummer gefunden worden. Wenn die Bedingungen A 4- BM 4- CN = 0 und BQ 4- CR 4- D = 0 erfüllt sind, so ist auch —M(BQ-hCR + D) 4- Q(A + BM+CN)^-M(CR+B)+Q(CN-hA) = 0 , — N{BQ 4- CR + B) 4- Q(A+ CM+CN)^—N(BQ + B>) 4- R(BM-+- 0 = 0; die Coordinaten des Schnittpunktes sind also unbestimmt; folglich ist die Gerade ganz in der Ebene enthalten. 20. Jede Ebene, die normal zu der Geraden G ist: y = Mx 4- Q , z — Nx 4- R , hat eine Gleichung von der Form (No. 18) x 4- My 4- Nz 4- D = 0, in welcher D willkürlich ist. Geht die Ebene durch einen gegebenen Punkt P v so ist x 1 4- My x 4-* Nz x 4- D = 0; durch Subtraction der letzten Gleichungen wird D eliminirt; man erhält so die Gleichung der durch P x gehenden Normalebene zu G T = x — Xi 4- M(y — y x ) 4- N(z — 24) = 0. Die Normalprojection II des Punktes P x auf die Gerade G ist der Schnitt der Ebene T mit der Geraden G, also ergeben sich die Coordinaten von n nach den Formeln der vorigen Nummer, indem man in denselben A, B, C, D der Reihe nach durch 1 , M, N, — (*1 + My x 4- NzQ) ersetzt: e — MQ — NR 4- x v 4- My x 4- Nz x 5 — 1 4- M'i 4- N* — MNR 4- Q 4- Q N 2 4- M{x x 4- My x 4- NzQ) 71 — 1 + m* 4- N* r — MNQ +Ä + RM 2 4- N(x x 4- My x 4- Nz x ) C — 1 + m 2 ~ 4 - N* Der Abstand des Punktes P x von der Geraden G kann aus den Coordinaten von P x und II berechnet werden. 21. Zwei Gerade haben einen gemeinsamen Punkt, wenn der Verein der Gleichungen der Geraden y = Mx 4- Q, z = Nx 4- R, y = M x x 4- Q x , z = N x x 4- Ri durch ein System von Werthen x, y, z erfüllbar ist. Durch Subtraction ergeben sich die beiden Gleichungen 0 = (M- x 4- (Q _ Qi ), 0 = (N—NQ x 4- (R — -O); hieraus folgt als Bedingung dafür, dass sich zwei Gerade schneiden M-Mi, Q-Q 1 N — N lt R — Ri 22. Durch zwei Gerade, die nicht in derselben Ebene liegen, lassen sich zwei zu einander parallele Ebenen legen. Die Gleichungen der beiden Geraden G ! und G 3 seien 2l6 Analytische Geometrie. y = M x x -+- Q, , * = N x x + R x ; _y = M 2 x + Q 2 , z = N 2 x -t- R 2 ■ Die Gleichungen der beiden Parallelebenen können in der Form vorausgesetzt werden x -h By -+- Cz -4- D x =0, x -h By -t- Cz ■+■ D 2 = 0. Da G x in 'J.\ und G 2 in T 2 enthalten ist, so bestehen für B, C, D v D 2 die vier Gleichungen: 1. 1 + BM X + CN X =0, 3. BQ X + CR X -4- D x =0, 2. 1 -+- BM 2 -4- CN 2 =0; 4. BQ 2 -4- CR 2 -+■ D 2 = 0. Aus 1. und 2. erhält man: ~ (MN) ' ~~ (MN) ’ aus 3. und 4. folgt weiter + R X {M X -M 2 ) D x = B> n -Q 2 {N X -N 2 ) + R a {M x -M a ) {MN) ’ — {MN) Die Gleichungen der beiden Parallelebenen sind daher T x 9 {M x N a - M 2 N x )x + {N x — N a )y — {M x -M 2 )z + R x {M x - M a ) - Q x {N x -N a ) = 0 , r 2 « {M x N a - M 2 N X ) x +{N x - N 2 )y - {M x -M 2 )z + R 2 {M x - M a ) - Q » W - ^,) = 0. Die Winkel oc, ß, y, welche die gemeinsame Normale der beiden Geraden G x und G 2 mit den Achsen bildet, ergeben sich daher aus 1 cos a = , ^ 1-^2 COS 7 = M j M ^ S = Y{M x N 2 - M 2 N x y + (iVj - 4 - {M x - M 2 y . Der kürzeste Abstand d der beiden Geraden ist dem Abstande der parallelen Ebenen T x und T a gleich, also ist (gl - g 2 ) W - N a ) - (R x - R a ) {M x - M a ) S tl - d n d x = 23. Statt, wie bisher geschehen, den Punkt, können wir auch die Ebene als Raumelement verwenden, in ähnlicherWeise, wie wir in der analytischen Planimetrie die Gerade verwendet haben. Als orthogonale Coordinaten der Ebene T definiren wir die reciproken Achsenabschnitte und setzen Öiy = u ’ OS ~ 2 = v ’ ~OSl = W • Sind die Coordinaten einer Ebene durch eine Gleichung verbunden / {u, v, w) = 0, so sind nur zwei Coordinaten, z. B. u und v, willkürlich, die dritte folgt aus ihnen gemäss dieser Gleichung; aus den sämmtlichen Ebenen des Raumes wird also durch die Gleichung eine unendlich grosse Anzahl ausgewählt. Man gebe u einen bestimmten Werth u x und hierauf v eine Reihe um endliche Beträge von einander verschiedener, auf einander folgender Werthe v x ', v x ", v x "' u. s. w. und bestimme die zu u x und v x ', v x ", v x '" . . . gemäss der Gleichung/(&, v, w) = 0 zugehörigen Werthe w x ' w x ", w x '" ... . Hierauf nehme man für u einen andern Werth u 2 , für v eine Reihe von Werthen v 2 ', v 2 ", v 2 '" . . . und bestimme die zugehörigen w 2 ', w 2 ", w 2 "' . . . Dies kann man beliebig fortsetzen. Man erhält dadurch eine Anzahl von Ebenen, deren Coordinaten die Gleichung f{u, v, w) = 0 erfüllen. Diese Ebenen bilden eine Polyeder-Schale. Lässt man nun die Differenz § 3- Die Ebene, die Gerade und der Punkt. 217 der Werthe u lt u 2 , ■ . . , sowie für jedes u die Differenz der Werthe v ', v ", v'" . . . verschwindend klein werden, so erhält das Polyeder unendlich kleine Flächen und die Winkel zweier benachbarter Polyederflächen werden verschwindend klein (oder, was auf dasselbe hinauskommt, unendlich wenig von einem gestreckten Winkel verschieden); das Polyeder geht daher in eine krumme Oberfläche über, welche von den Ebenen T berührt (umhüllt) wird. 24. Alle Ebenen, die dasselbe u und v haben, haben dieselbe Horizontalspur; alle Ebenen, die zu demselben u und w gehören, haben dieselbe Vertical- spur; alle Ebenen, die in Bezug auf die Coordinaten v und w übereinstimmen, haben dieselbe seitliche Spur. Die Ebenen, die dieselbe Coordinate u haben, gehen durch denselben Punkt der X- Achse; die Ebenen, die dieselbe Coordinate v haben, gehen durch denselben Punkt der F-Achse; und die Ebenen, die dieselbe Coordinate w haben, gehen durch denselben Punkt der F-Achse. Insbesondere treffen die Ebenen, für welche u = 0, bez. v = 0, oder w = 0 ist, die Achse OX, bez. OY oder OZ, in einem unendlich fernen Punkte. Für die Ebenen, welche durch den Nullpunkt gehen, ist u = 00 , v = 00 , w — 00 ; doch hat man diesen unendlich grossen Werthen für jede durch O gehende Ebene bestimmte Verhältnisse beizulegen, nämlich die Verhältnisse der Coordinaten einer Parallelebene. 25. Ersetzt man in der Gleichung der Ebene die reciproken Achsenabschnitte 1 : a, 1 : b, 1 : c der Reihe nach durch u, v, w, so erhält man ux -t- vy -+- wz — 1=0. Sieht man in dieser Gleichung alle sechs Coordinaten als veränderlich an, so erscheint sie als die Bedingung, welche die Coordinaten eines Punktes und einer Ebene erfüllen, wenn der Punkt und die Ebene vereint liegen (d. i. wenn der Punkt auf der Ebene liegt. Giebt man u, v, w bestimmte Werthe, so ist ux -+- vy -t- wz — 1 die Bedingungsgleichung für die Coordinaten der Punkte, die auf der Ebene liegen, die die gegebenen Werthe u, v, w zu Coordinaten hat, ist also die Gleichung dieser Ebene. Ertheilt man hingegen den Coordinaten x, y, z gegebene Werthe, so ist ux -+- vy -t- wz — 1=0 die Bedingungsgleichung für die Coordinaten aller Ebenen, die durch den Punkt P gehen, der die gegebenen Coordinaten x, y, z hat; wir nennen sie daher in diesem Falle die Gleichung dieses Punktes P. Jede lineare Gleichung zwischen den Coordinaten einer Ebene ist die Gleichung eines eindeutig bestimmten Punktes. Vergleicht man die allgemeine lineare Gleichung in Ebenencoordinaten 1- Au -+- Bv -t- Cw -t- D = 0 , mit xu H- yv + zw — 1 =0, so sieht man, dass 1. die Gleichung des Punktes ist, der die Coordinaten hat x = — A: D, y = — B:D, z = — C:D. Die Gleichungen Au - 1 - Bv -+- D = 0, Au - 1 - Cw -t- D = 0, Bv -t- Cw -+- D = 0 sind die Gleichungen von Punkten, deren Coordinaten der Reihe nach sind x = — A : D, y — — B: £>, z = 0; x = — A\D, y = 0, z = — C \ D\ x — 0 , y — — B:D, z — — C\D\ 218 Analytische Geometrie. also sind P'ssAua- Bv-+-D = 0, P"^Atiy-Cw + D = 0, P'" ^Bv + Cw -t-Z) = 0, die Gleichungen der Projectionen des Punktes P = Au 4 - Z?z/ 4- Cze/ 4- D — 0. 26. Die Gleichung des Schnittpunktes dreier Ebenen T x , T 2 , J\ ergiebt sich durch Elimination von A, B, C, D aus den vier Gleichungen: Alt 4 - Bv 4- Cm 4 - P) — 0, Au x 4 - Bv j 4- Cw x A- D = 0, Au 2 4 - Bv 2 4- Cw 2 4- D = 0, Au 3 4 - Bv 3 4- Cw 3 4- D = 0. Man erhält hieraus u V w 1 u x »1 Wi 1 P = 1 = 0. u 2 V 2 w 2 1 u 3 ^3 «'s 1 Die Bedingung dafür, dass vier Ebenen TT 2 , gehen, ist daher: u o »0 w 0 1 u t v i w, 1 = 0. u 2 ”2 w 2 1 u 3 »3 «'s 1 27. Die Coordinaten des Punktes P, der die Strecke P 1 P 2 im Verhältnisse X, theilt, hat die Coordinaten XjATj y = Ml M2 Ml XnZn X t 4- X 2 und mithin die Gleichung: P = (Xj^j 4- ^2 x i) u “h (^l/i “h ^ 2 / 2 ) v “h (^l z l "+■ ^- 2 ^ 2 ) w — (^1 "h ^ 2 ) = 0, oder: P = X 1 P 1 4- X 2 ./ 2 = 0, wobei P t s= x x u -hy t v 4 - z x w — 1 = 0, P g = x 2 u -v-y 2 v A- z 2 w — 1 - 0 die Gleichungen der Punkte P x und P 2 in Normalform (d. i. mit dem Absolut- gliede — 1) sind. Umgekehrt: Bildet man aus zwei linearen Functionen P 1 = A x u 4 - B x v 4- C 1 w 4 - D x und P 2 = A 2 u 4 - B 2 v 4- C 2 w 4 - D 2 der Ebenencoordinaten eine neue lineare Function P = iaj/j A-p. 2 P 2 , so ist P = 0 die Gleichung des Punktes, der die Strecke der Punkte P x — 0 und P 2 = 0 in dem Verhältniss theilt: P 1 P : PP 2 = Pi D x : p-2 D 2 . 28. Der Punkt/", dessen Coordinaten aus den Coordinaten dreier gegebenen Punkte P lt P 2 , P 3 nach den Formeln abgeleitet werden: X 2 X 2 ^3 X 3 X j 4“ X 2 4- Xg ' y Xg 4“ X 2 4” Xg " Xg 4“ X 2 4“ Xg theilt das Dreieck P l P 2 P 3 im Verhältniss X t : X 2 : X 3 , d. h. es ist P2 -^3 P ^°i P '• = ^1 • ^2 * ^3 • Bezeichnet man nämlich mit /, k, l irgend eine Permutation der Ziffern 1, 2, 3, so hat der Punkt 11/, welcher Pi Pu im Verhältniss X,- : X* theilt, die Coordinaten: Ml ~+~ M2 + M3 Ml Mä' ' M 3 %l = X/AV t‘kXk h 4- X* ’ X/ 4- X^ ’ X,- 4- X/ ; Da nun die Coordinaten von P durch die Formeln gewonnen werden: hyi a- hyt Zi = hZi 4- lk Zk § 3' Die Ebene, die Gerade und der Punkt. X = (Xj 4- X^) \i 4 - hx/ (Xi 4- X^jrp -t- X/yi (Xi 4 - Xi)Zi 4- X/ zi Xi ~\- Xk 4- Xi y = Xi 4- Xk 4- Xi ’ z = Xi 4- Xk 4- Xi so folgt, dass der Punkt jPdie Strecke Pi\\i in dem Verhältnisse (X, -I- Xk) : X/ theilt. Daher hat man PiWi : Plii = (PiP 4- Pili) '■ PUz = (Xi 4- X* -4- h) : Xi. Nun ist aber P,PkPi : PiPkP = P/Ui : Pilz, also folgt PiPkP : PiPkPi — Xi : (Xi !' Xk 4- X/). Hieraus ergeben sich die drei Formeln: P^P»P • P\P 2-^3 — : (Xj 4- X 2 4- X 3 ), P i P 1 P: P 1 P 2 P. i — X 2 : (Xj 4 - X 2 4 - X 3 ), P 1 P 2 P: P X P 2 P 3 = X 3 : (Xj 4- X 2 4- X 3 ), also ist wie behauptet worden war P 2 P 3 P • P%P\P • P\P^P — Xj : X 2 : X 3 . 29. Aus den Coordinaten dieses 7C, Punktes P ergiebt sich seine Gleichung sofort zu P= Xj-Pj 4- X 2 P 2 -+- X 3 P 3 = 0, wobei Vj =0, P 2 = 0, .P 3 = 0 die Normalgleichungen der Punkte P x P 2 P 3 sind. Umgekehrt: Bildet man aus drei linearen Functionen der Ebenen- coordinaten (M. 443.) P\ = A x zi 4- B x Z) 4* Gj zv 4~ P\ , P 2 == 2 u 4~ P 3 v 4~ C* 2 zv 4 - P 3 , P 3 = A 3 u 4 - P 3 zj 4- C 3 zv 4 - P 3 , eine neue lineare Function P = Pi P 4" p *2 ~F 9-3 -P 3 , so ist P= 0 die Gleichung des Punktes, der das Dreieck P X P 2 P 3 der Punkte P x =0, P 2 — 0, P 3 = 0 in dem Verhältnisse il 1 P 1 : \i. 2 P 2 : jx 3 Z> 3 theilt. Hieraus schliesst man weiter: Wenn man zu vier linearen Functionen der Ebenencoordinaten P 0 , P x , P 2 , P 3 vier Zahlen m 0 , kann, durch welche die Identität hergestellt wird m 2 , m 3 finden tn 0 P Q 4- m x P x 4 - m 2 P 2 4 - m 3 P 3 = 0, so liegen die vier Punkte P 0 = 0, P x = 0, _P 2 = 0, P 3 = 0 auf einer Ebene. Denn aus dieser Identität folgt _ m, „ »« .. D 1_ z> _ l p _ o n 0 rri 0 1 ^0 m o also liegt P 0 auf der Ebene P x P 2 P 3 . 30. Die Ebenen, deren Coordinaten dem Vereine zweier linearen Gleichungen genügen P j = A j u 4 - P \ zj 4" Gj zv 4~ D j == 0, P 2 = A 2 zi 4- P 3 zj 4" C 2 zv 4~ P 2 — 0 , gehen durch die beiden Punkte P x und P 2 , umhüllen daher die Gerade P X P%- Eine Gerade wird also durch zwei lineare Gleichungen in Ebenencoordinaten dargestellt. Bildet man die Identitäten S x = C 2 • P x — Cj • P 2 = (AC) u 4 - (PC) v 4 - (PC ), 5 2 = B 2 ■ P x —P x • P 2 = (AB) u 4 - (CP) zv 4 - (PB), 5 3 = A 2 • P t — A x ■ P 2 = (PA) v 4 - (CA) zv 4- (PA), so erkennt man, dass Aj =0, S 2 = 0, S 3 = 0 die Gleichungen von Punkten sind, die auf der Geraden P x P 2 liegen; da ferner in jeder der Functionen S nur zwei Coordinaten Vorkommen, so folgt, dass S x =0, S 2 = 0, S 3 = 0 220 Analytische Geometrie. die Gleichungen der Spurpunkte der Geraden auf der XY-, XZ- und FZ-Ebene sind. 31. Unter dem Doppelverhältniss (7' 1 7’ 2 7 , . j 7 , 4 ) von vier Ebenen eines Büschels (d. i. von vier Ebenen, die durch dieselbe Gerade gehen) T x , T 2 , T 3 T 4 versteht man den Quotienten , . sin T, T., sin T, T, { 1 2 3 4J — sin ■ sin y 4 Tii ■ Hieraus folgt, dass das Doppelverhältniss von vier Ebenen eines Büschels gleich dem Doppelverhältniss eines Normalschnitts derselben ist. Eine beliebige Ebene S schneide den Träger des Büschels (d. i. die Gerade, welche allen Ebenen des Büschels gemein ist) im Punkte A, und einen Normalschnitt 2 des Büschels in einer Geraden G\ ferner seien B x , B 2 , B 3 , 7? 4 die Schnittpunkte von G mit 7), T 2 , T 3 , T x . Alsdann ist {T X T 2 T 3 T 4 ) gleich dem Doppelverhältniss der Strahlen des Normalschnitts I, mithin auch gleich dem der Punkte B x , B 2 , B 3 , 7? 4 , und daher auch gleich dem der Geraden, in welcher die Ebenen des Büschels von der Ebene S geschnitten werden. Durch irgend eine Gerade, die die Büschelebenen in den Punkten C x , C 2 , C 3 , C\ trifft, und einen Punkt A des Büschelträgers ist eine Ebene S bestimmt; da nun das Doppelverhältniss der vier Ebenen dem der vier Geraden AC X , AC 2 , AC 3 , AC i ist, so ist es auch gleich dem der vier Punkte C x , C 2 , C 3 C 4 . Wir haben daher den Satz: Das Doppelverhältniss von vier Ebenen ist gleich dem Doppelverhältniss von vier Punkten, in denen sie von irgend einer Geraden geschnitten werden. Der Begriff projectiver Gebilde kann nun auf Ebenenbüschel ausgedehnt werden. Sind T x = 0, T 2 = 0 die Gleichungen zweier Ebenen, so ist das Doppelverhältniss der vier Ebenen 7\ = 0, r 2 = 0, T 3 a x 7\ + a 2 T 2 = 0, 7’= l x a x T x + \ 2 a 2 T 2 0 (^i T 2 T 3 T ) = Xj : X 2 . Sind R x — 0, R 2 — 0, R 3 = b x R\ ■+■ b 3 R 3 = 0, die Gleichungen der den gleichbezifferten Ebenen entsprechenden Punkte einer Geraden, oder Ebenen eines Büschels, oder Strahlen eines Büschels (in irgend einer Ebene, bezogen auf ein in derselben liegendes Coordinatensystem), oder Kegelschnitte eines Büschels, oder Punkt- oder Strahlenpaare einer quadratischen Involution, so ist die Gleichung des der Ebene T entsprechenden Elements des projectiven Gebildes: R == Xj b x R x -h X 2 b 2 R 2 = 0. § 4. Die Kugel. 1. Sind a, b, c die Coordinaten des Kugelcentrums und ist p der Kugelradius, so ist ein Punkt R auf der Kugel gelegen, wenn seine Coordinaten der Gleichung genügen (x — a ) 2 -h (j — b) 2 -+ - (z — c ) 2 = p 2 , oder entwickelt: 1. x 2 4- y 2 -+- z 2 — 2 ax — 2 by — 2 cz -+- a 2 -t- b 2 -f- c 2 — p 2 = 0 . Dies ist daher die Gleichung der Kugel in Punktcoordinaten. Sie ist vom zweiten Grade in den Coordinaten x, y, z. Eine allgemeine Gleichung zweiten Grades hat die Form: 2. Ax 2 -+- 2 Bxy -+■ 2 Cxz + Dy 2 -+- 2 Eyz -|- Fz 2 -t- 2 Gx ■+- 2J7y + 2Iz + K — 0. § 4' Die Kugel. 221 Von derselben unterscheidet sich die Kugelgleichung dadurch, dass die Glieder x 2 , y 2 , z 2 denselben Coefficienten haben, und dass keine Glieder vorhanden sind, die die Produkte zweier Coordinaten enthalten. Umgekehrt sieht man leicht, dass jede Gleichung zweiten Grades in Punktcoordinaten, in welcher A = D = F, und B = C — E = 0 ist, die Gleichung einer eindeutig bestimmten Kugel ist. Denn nach Division durch A erhält die Gleichung die Form: 3. x 2 -+- y 2 •+- z 2 -+- 2 Lx -+- 2 My -+- 2 Nz -+- Q — 0. Durch Vergleich mit 1. sieht man, dass 3. die Gleichung einer Kugel ist mit den Centrumscoordinaten und dem Radius. a = — Z, b = — M, c = — N, p = -|/Z 2 + M 2 + N 2 — Q . Ist L 2 -+- M 2 N 2 — Q < 0, so schreibe man die Gleichung 3. (x + L) 2 -+- (y + M) 2 -+- (z -+- N) 2 -h(Q — L 2 — M 2 — N 2 ) = 0. Unter der Voraussetzung L 2 H- M 2 -+- N 2 — Q < 0 sind alle vier Glieder dieses Polynoms bei realen Werthen von x, y, z positiv; also wird die Gleichung durch reale Werthe der Coordinaten nicht befriedigt. Man kann in diesem Falle die Gleichung als die einer Kugel mit realem Centrum und mit imaginärem Radius P = i YQ — L 2 — M 2 - N 2 auffassen. 2. Legt man durch einen Punkt II eine Gerade, die mit den Achsen die Winkel a, ß, -j bildet, und ist P ein Punkt dieser Geraden, so hat man für die Coordinaten von P (nach No. 17) die Formeln x = $ + r cos a, y = i) r cosfi, z = J -+- r cos~j. Liegt der Punkt P auf der Kugel K = x 2 + y 2 + z 2 — 2 ax — 2 by — 2 cz -t- a 2 + b 2 -+- c 2 — p 2 =0, so hat man: (5 + rcosi) 2 —t- (rj —J- rcos$) 2 -+-(£ + rcos'i ) 2 — 2 To> z o des Punktes P 0 in das Polynom XjÄj 4 - X 2 A 2 4 - X 3 A 3 einzusetzen und X 1( X 2 , X 3 so zu bestimmen, dass das Substitutionsresultat verschwindet. Bezeichnet man mit Ä', 0 , K, 2 0 , K 30 die Werthe, welche die Functionen K lt K 2 , K z für die Coordinaten des Punktes P 0 annehmen, so sind die X daher der Gleichung unterworfen XjX 10 4 - X 2 A 20 4 - X 3 A 30 = 0. Man erhält hieraus X 3 — Xj Ku> Af, „ K, 20 und nachdem man dies in K eingesetzt hat A 30 • K » X x (A 30 • K x - K, 0 • K a ) 4- X 2 (A 30 • A 2 - A 20 • A 3 ). willkürlich. Nun sind A30 • K 2 A'jo • A 3 — 0 In dieser Gleichung ist noch das Verhältniss Xj : X K 30 ■ K t — K 10 ■ K a = 0 und die Gleichungen zweier bestimmter Kugeln des Bündels, nämlich die Gleichungen der durch P 0 gehenden Kugeln der beiden Büschel K x , K % und K 2 , K z \ daher folgt: Durch einen gegebenen Punkt gehen einfach unendlich viele Kugeln eines Bündels; diese Kugeln bilden ein Kugelbüschel, ihre Chordalebene ist die durch diesen Punkt und die Chordalachse des Bündels bestimmte Ebene. Durch jeden Punkt des Raumes geht eine Kugel eines Kugelbüschels; wir schliessen daher: Durch zwei Punkte des Raumes ist eine Kugel eines Kugelbündels im Allgemeinen eindeutig bestimmt. Nur dann, wenn das Bündel zwei reale Träger hat, und wenn dieselben mit den beiden gegebenen Punkten auf einem Kreise liegen, gehen durch die beiden Punkte unzählig viele Kugeln des Bündels, nämlich alle Kugeln, die diesen Kreis gemein haben, also alle Kugeln eines Büschels. 12. Der Mittelpunkt der Kugel K = X, A, 4 - X 2 A 2 4- X 3 A 3 = 0 hat die Coordinaten 4- X 2 d: 2 4~ X 3 # 3 , b :== 4"~ X 2 ^ 2 ~h ^3^3> ^ X 2 C 2 4” X 3 r 3 ; wir schliessen daher (§ 3, 28): Die Mittelpunkte der Kugeln eines Bündels liegen auf einer Ebene; der Mittelpunkt von A theilt das Dreieck der Centren der Kugeln K v A 2 , A 3 im Verhältnisse X t : X 2 : X 3 . Ferner folgt hieraus: Jeder Punkt der Centralebene eines Bündels (d. i. der Ebene, welche die Centren der Kugeln des Bündels enthält) ist der Mittelpunkt einer (realen oder imaginären) Kugel des Bündels. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. jij 226 Analytische Geometrie. 13. Jeder Punkt der Chordalen eines Kugelbündels hat gleiche Potenz für alle Bündelkugeln; aus jedem Punkte der Chordalachse als Centrum lässt sich also eine Kugel construiren, die alle Kugeln des Bündels unter rechten Winkeln schneidet. Um die Kugel des Bündels zu erhalten, die einen gegebenen Punkt C der Centralebene zum Centrum hat, construire man daher von einem Punkte A der Chordalachse aus eine Tangente an eine Kugel des Bündels, und mit dieser Tangente als Radius beschreibe man um A eine Kugel Ä; diese Kugel trifft die gesuchte Kugel unter rechten Winkeln, der Halbmesser der letzteren ist daher die von C an S gelegte Tangente. Die Kugeln j? heissen die Orthogonalkugeln des Bündels. Da von jedem Centrum C aus nur eine Kugel des Bündels construirt werden kann, so folgt, dass von jedem Punkte der Centralebene aus gleich lange Tangenten an alle Orthogonalkugeln gelegt werden können. Die Punkte der Centralebene des Bündels haben also für alle Orthogonalkugeln desselben gleiche Potenz. Wenn die Kugeln des Bündels keine gemeinsamen Punkte haben, so lassen sich vom Schnittpunkte Q der Chordalachse und der Centralebene aus Tangenten an die Kugeln des Bündels legen. Construirt man von Q mit dieser Tangentenlänge als Radius eine Kugel, so trifft diese die Centralebene in einem Kreise; die Bündelkugeln, deren Centren auf der Peripherie dieses Kreises liegen, haben einen verschwindend kleinen Radius. Durch diesen Kreis, den wir den Nullkreis des Bündels nennen, gehen folglich auch alle andern Orthogonalkugeln, und wir schliessen daher: Die Orthogonalkugeln eines Bündels bilden ein Kugelbüschel, dessen Kugeln den Nullkreis gemein haben. Der analytische Beweis dieses Satzes, der zugleich den Fall umfasst, wenn die Kugeln des Bündels reale gemeinsame Punkte haben, gestaltet sich folgender- maassen. Wenn sich zwei Kugeln rechtwinkelig schneiden, und man einen Schnittpunkt mit den beiden Centren verbindet, so erhält man ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Katheten die Radien der Kugeln und dessen Hypotenuse die Strecke zwischen den Centren ist. Sind p und p' die Radien und a, b, c bez. a', b ', d die Coordinaten der Centren, so ist daher die Bedingung dafür, dass die Kugeln sich normal schneiden p 2 + p'* = (a - «')* + (* - by -p {c —cy ; wenn man dies entwickelt und die Abkürzungen benutzt d = a 2 4- b 2 -l- z 2 — p 2 , d' = «’ 2 -p b ' 2 -p z' 2 — p' 2 , so erhält man die Bedingung in der Form d -P d' — 2 {aa! -+- bb' cc') . Wenn nun die Kugel Ä = zc 2 -P jy 2 -P 2 2 — 2ax — 2 by — 2 c 2 + b = 0 die Kugeln K x = 0, K 2 = 0, K 3 -= 0 unter rechten Winkeln schneidet, so gelten die Gleichungen 1. b -P d x = 2 äßj -p 2 -p 2 c c x , 2. b -P d 2 = 2 aa 2 -p 2 bb 2 -p 2 cz 2 , 3. b -p d§ === 2 a# 2 -P 2 6^3 ~P 2 cz 2 . Durch Subtraction folgt 4. d x — d 2 = 2a ( a x — a 2 ) -p 2b ( b x — b 2 ) 4- 2c (c x — z 2 ), 5. d x — d 3 — 2a ( a x — a 3 ) -p 2b ( b x — c 2 ) + 2c (c x — c 2 ). Durch diese Gleichungen sind a, b, c nicht vollständig bestimmt. Sind a 1 , b’, c' und a", b", c" zwei Werthsysteme, die diesen Gleichungen genügen, und § 4- Die Kugel. 227 erfüllen die Zahlen p.' und jx" die Bedingung p.' - 4 - p." = 1, so kann jedes Werthsystem, das den Gleichungen genügt, durch geeignete Wahl von jx' und p." in der Weise hergestellt werden 6. a = |*V + jx'-a” , b = ,x'6' -+- p/'b" , c = fx'c' 4- pd'c" ; denn diese Grössen genügen den Gleichungen 4. und 5. und enthalten eine unbestimmte Grösse (p.' oder p"). Ferner folgt aus 1. b 1 = 2a' a l 4 - 2b' b x 4 - 2c' c x — d x , p'b' b" = 2a"a 1 4- 2b"b x 4 - 2c'V, ■ fx"b'' = 2 O'a' 4- n"a") a t -h 2 (p.'b' 4 - jx”b") b 1 “1 > ■ 2 (p.' c 1 Somit hat man nach den Formeln 6. ix'b' 4 - fx"b" = 2a«! 4 - 2b£ t 4- 2c c x — d x , d. i. fx'b' 4 - fx''b" = b. Die Gleichung der Kugel ergiebt sich daher zu |^** + ^ + ,!_2 (fx'a' + fx"a") * — 2 (j*'b' 4 - p/'b") y — 2 (p.'c' ~t- p/'c") 2 4- |x'b' 4- ix"b'' = 0. Fügt man zu den drei ersten Gliedern den Faktor jx' 4- p 1 ' = 1, so erhält man 7. St mm p'St' 4 - |x"t ,r - 0, wobei &' = x 2 4 -y a 4- z 2 — 2a'x — 2 Vy — 2c' z 4 - b' =0 und $t" = x 2 4 - y 2 4 - z 2 — 2a"x — 2b''jy — 2c''a 4 - b” = 0 die Gleichungen zweier Orthogonalkugeln des Bündels sind; also bilden alle Orthogonalkugeln des Bündels ein Büschel. Umgekehrt weist man leicht nach: Alle Orthogonalkugeln der Kugeln eines Büschels bilden ein Kugelbündel, dessen Kugeln durch die beiden Nullpunkte des Büschels, d. i. durch die Punkte hindurchgehen, die als verschwindend kleine Kugeln anzusehen sind. 14. Um über die Kugeln eines Bündels urtheilen zu können, die eine gegebene Ebene E berühren, wählen wir ein Coordinatensystem, dessen X F-Ebene in diese Ebene fallt. Die Gleichungen des Schnittkreises k der Ebene E mit einer Kugel K = \ X K X 4 - X 2 AT 2 4 - X 3 AT 3 = 0 des Bündels erhalten wir, indem wir in der Function K die Coordinate z durch Null ersetzen. Hierdurch entsteht 1. k = 4~ Xg^2 X 3 ^ 3 == b, wobei k x =0, ^ 2 =0, £ 3 = 0 die Gleichungen der Kreise sind, in denen die Ebene E von den Kugeln K x , K 2 , K % geschnitten wird. Die Gesammtheit aller Kreise k, deren Gleichung aus den Gleichungen dreier gegebener Kreise k x , k 2 , k % linear nach der Formel 1. abgeleitet werden, nennt man ein Kreisbündel. Eine Kugel, deren Centrum auf der X F-Ebene liegt, hat die Gleichung K =s x 2 4 -y 2 4- z 2 — 2a.» — 2ß_y 4- a 2 4 - ß 2 — p 2 = 0, wenn a, ß die Coordinaten des Centrums und p der Kugelradius sind; der Schnittkreis dieser Kugel mit der X F-Ebene hat die Gleichung k s= x 2 4-y 2 — 2ax — 2ßy 4- a 2 4- ß 2 — p 2 =0, man hat also die Beziehung K = k 4 - z 2 • Die Kugeln Ä 1( §. 2 , Ä 3 , Ä, welche k x , k 2 , k 3 , k zu grössten Kreisen haben, haben also die Gleichungen == /E, 4-2 2 , Ä 3 ^^ 3 4- 2 2 , Ssf4-Z 2 , oder wenn man für k den Werth aus 1. setzt und an z 2 den Faktor 4 - X 2 4- X 3 == 1 anbringt $ ^ 1 X^yfc^ 4“ X 2 ^2 ü“ ^ 3^3 — (^1 “F X 2 4~ X 3 ) Z , Hieraus folgt 2. ^ : Xj^j 4“ X2Ä2 4“ XjjÄjj • «5 228 Analytische Geometrie. Die Kugeln, welche die Schnittkreise einer Ebene E mit den Kugeln eines Bündels zu grössten Kreisen haben, bilden also wieder ein Bündel. Dieser Satz ist ein besonderer Fall eines allgemeineren, auf dessen Beweis wir hier nicht eingehen wollen. Die Kugeln, die durch die Kreise eines Kreisbündels gehen und deren Centra in einer Ebene liegen, bilden ein Kugelbündel. Die Chordalachse des Bündels 2. geht durch den Punkt, in welchem die Ebene E von der Chordalachse des gegebenen Bündels der Kugeln K getroffen wird, denn dieser Punkt hat für die Kreise k, mithin auch für die Kugeln §. gleiche Potenz. Construirt man nun den Nullkreis des Bündels M, so sind die Punkte desselben Kreise des Bündels k mit verschwindendem Radius, und die Kugeln K, welche durch diese Punkte gehen, berühren die Ebene E. Wir haben daher: Die Punkte, in denen eine Ebene E von den Kugeln eines Bündels berührt wird, liegen auf einem Kreise; das Centrum desselben ist der Schnitt der Ebene E mit der Chordalachse des Bündels, der Halbmesser ist die Länge einer von diesem Punkte an eine Kugel des Bündels gelegten Tangente. 15. Um die Kugel K eines Bündels zu construiren, die durch zwei gegebene Punkte A und 5 geht, lege man durchs eine Hülfskugel H, welche eine Kugel K' des Bündels schneidet, und suche den Punkt C auf, in welchem die Ebene dieses Schnittkreises die Chordalachse des Bündels trifft. Verbindet man nun C mit A, so ist der Punkt D, in welchem CA die Hülfskugel zum zweiten Male schneidet, ein Punkt der gesuchten Kugel. Denn C hat gleiche Potenz für K' und H und gleiche für K' und K, folglich auch gleiche für K und H\ folglich treffen K und H den Strahl CA, mit dem sie den Punkt A gemein haben, noch in einem zweiten gemeinsamen Punkte D. Die Gerade, die durch das Centrum des durch A, B und D gehenden Kreises normal zur Ebene A B D gelegt wird, trifft die Centralebene des Bündels im Mittelpunkte der gesuchten Kugel.*) 16. Um die Kugel K eines Bündels zu erhalten, die durch einen gegebenen Punkt A geht und eine gegebene Ebene E berührt, bestimme man zu A nach der vorigen Methode noch einen Punkt B der Kugel K, und schneide die Central ebene F des Bündels durch die Ebene, welche AB normal halbirt; die Schnittlinie a ist dann der Ort der Centra aller Bündelkugeln, die durch A (und B) gehen. Die Kugeln, deren Centra auf a liegen und welche die Ebene E berühren, haben ihre Berührungspunkte auf der Normalprojection a' der Geraden a auf die Ebene E. Construirt man nun in E den Kreis k der Punkte, in denen E von Kugeln des Bündels berührt wird, so sind die Punkte C’ und D', in welchen a und k sich schneiden, die Berührungspunkte der gesuchten Kugeln, und die Centren sind die Punkte C und D, in welchen die Centralebene I’ von den durch C’ und D' gelegten Normalen zu E getroffen wird. *) Die Ausführung dieser und der folgenden Constructionen über Kugelbündel nach den Methoden der descriptiven Geometrie kann dem Leser als nützliche Uebung empfohlen werden; man wird dabei mit einer Projectionsebene arbeiten und hierzu am besten die Centralebene des Bündels wählen. § 4' Die Kugel. 229 17. Die Kugeln, welche zwei sich schneidende Ebenen E und F berühren, haben ihre Mittelpunkte auf den Ebenen, welche die vier von E und F eingeschlossenen Flächenwinkel halbiren. Die Mittelpunkte der Kugeln eines Bündels, welche die zwei Ebenen E und F berühren, liegen also auf den Geraden ß und 7, in denen die Centralebene des Bündels von den beiden Halbirungsebenen geschnitten wird. Die Construction der Centren der gesuchten Kugeln erfolgt wie bei der vorigen Aufgabe, wenn man o der Reihe nach durch ß und 7 ersetzt. Es giebt also vier Kugeln eines Bündels, die zwei gegebene Ebenen berühren. 18. Um über die Mittelpunkte der Kugeln eines Bündels Auskunft zu erhalten, die eine gegebene Gerade G berühren, wählen wir die Centralebene zur X F-Ebene des Coordinatensystems, legen den Anfangspunkt in die Spur der Geraden G und die X-Achse in die Projection von G auf die X F-Ebene. Ein Punkt F der XF-Ebene ist dann Centrum einer die Gerade G berührenden Kugel des Bündels, wenn der Abstand d des Punktes P von der Geraden G gleich dem Radius der Bündelkugel ist, die P zum Centrum hat, das ist also gleich der von P an eine Orthogonalkugel gelegten Tangente; also wenn das Quadrat des Abstandes d gleich der Potenz des Punktes P in Bezug auf eine Orthogonalkugel gleich ist. Ist die Gleichung einer Orthogonalkugel Ä = x 2 + _y 2 -+- z 2 — 2ox — 2ß_y — 2yz + 8 = 0, so ist die Potenz von P der Werth, welchen Ä annimmt, wenn man die Coor- dinaten von P (d. i. x, y, 0) einsetzt, also gleich x 2 + _y 2 — 2ox — 2ß_y -t- 8 = 0. Die Projection von P auf die X-Achse sei Q. Der Abstand d ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, von dem die eine Kathete PQ, die andere der Abstand des Punktes Q von der Geraden G ist. Ist nun ? der Winkel, den G mit der X F-Ebene bildet, so ist die Entfernung des Punktes Q von G gleich OQ • siny] daher hat man d 2 = PQ} + OQ 2 -stn 2 '? = y 2 -+- x 2 sin 2 (y 0 r rz>rß) 2 -l- 2 £(y 0 -t- r cos$) ( z 0 -+- r cos'i) -+- P(z 0 -+- r trosy) 2 -+- 2 G [x ü -+- r cos a) + 2 H (y 0 ■+ r eos^) -+- 2J(z 0 -h r cosy) ■+■ K — 0 , oder, nach Potenzen von r geordnet: g /o 2(/, 0 ' «Ja H- f yü ' cos§ H- f za ' cosy) r + (Acos 2 a 2B cosa cos$ -+- 2Ccosa. cosy -+- Dcos 2 $ -+- 2Ecos$ cosy Fcos 2 y)r 2 = 0. Wenn man abkürzungsweise setzt / x ‘ ^ Ax + Py + Cz + G, 4- /; ^ Bx 4- Dy + Ez + H, fz = Cx + Ey -+- Fz -4- /, und durch angehängte Nullen, / 0 , f y0 ', f zo ’, bezeichnet, dass in der betreffenden Function statt x, y, z die speziellen Werthe x 0 , y 0 , z 0 gesetzt werden sollen. Aus 3. folgt zunächst: Eine Fläche zweiter Ordnung wird von einer Geraden in zwei (realen oder imaginären) Punkten getroffen. 3. Nehmen wir an, dass P 0 auf der Fläche liegt, so ist / 0 = 0; die qua- 232 Analytische Geometrie. dratische Gleichung für r hat jetzt die Wurzel r — 0, welche dem Punkte P 0 entspricht; der zweite Schnittpunkt der durch P a gehenden Geraden G und der Fläche bestimmt sich aus der linearen Gleichung 1 (Ao' • + fyo ‘ cos $ + /*o ■ c °s'i) -T (Acos 2 a -+- 2B cosacosß + 2C «ja cos'! + Dcos 2 \1 4 - 2 Ecos^cosy 4 - Fcos 2 y) r == 0. Wir fragen nun nach den durch P g gehenden Geraden, die die Fläche berühren, d. i. deren beide Schnittpunkte mit der Fläche in den Punkt P 0 fallen. Ist G Tangente der Fläche, so muss auch der aus 1. sich ergebende Werth von r gleich Null sein; die notwendige Bedingung hierfür ist, dass das von r freie Glied der Gleichung 1 . verschwindet, also dass 2- fx/ COSOL -4- fj, 0 ’ COS$ 4~ fzQ cos-{ = 0. Ausser dieser Gleichung besteht noch zwischen cosa, cosfi, cosy die Gleichung: 3- cos 2 a -+- cos 2 $ 4 - cos 2 y = 1 . Durch die Gleichungen 2. und 3. sind cosa, cos$, cos-j noch nicht bestimmt; man kann einen Werth, z. B. cosy beliebig annehmen und dann die zugehörigen Werthe von cosa und zwß aus 2. und 3. ableiten. Durch einen Punkt einer Fläche zweiter Ordnung lassen sich also unendlich viele Tangenten an die Fläche legen. Denkt man sich y stetig geändert, so ändern sich auch a und ß und damit die Lage der zugehörigen Tangente stetig; die Tangente beschreibt daher eine bestimmte Fläche. Um die Gleichung dieser Fläche zu erhalten, haben wir die Winkel a, ß, y aus der Gleichung 1 . zu entfernen und dafür die Coordinaten eines Punktes P einer Tangente einzuführen. Nun ist, wenn p den Abstand P Ü P bezeichnet: cosa cos$ y—y 0 p Setzt man diese Werthe in 2. ein und unterdrückt dann den gemeinsamen Divisor p 2 , so erhält man die Gleichung 4 - _ /V(*~*o) +/V0'— To) -b/*o'( 2 — z o) = 0. Diese Gleichung ist linear für x, y, z ; wir schliesseri daher: Die Tangenten, welche eine Fläche zweiter Ordnung in einem gegebenen Punkte derselben berühren, liegen auf einer Ebene. Diese Ebene heisst die Tangentenebene der Fläche im Punkte P 0 . Löst man die Klammern in 4. auf, so ergiebt sich 3- fx 0 • •* ~F fy 0 • y + • Z (,/xq ’ x 0 d - /yo ’To d - /*0 ' Z <>) = Aus den Formeln No. 2, 4 schliesst man sofort 6 - fx/ • -* 0 + fy 0 ‘To + /V ‘ z o = f 0 — ( Gx o + Hy g -t- Jz 0 4 - K). Da nun f 0 = 0, so erhält man fxQ • x -4 f yg ■ y 4 - • z — — (Gx 0 4 - ffy 0 4 - Jz 0 -+- AT); man hat daher die Gleichung der Tangentenebene 7- T =A 0 ' • x + f,o ‘y + /* 0 ' • z -+- Gx o + Hy 0 4- Jz 0 4- K = 0 . 4. Die Gleichung der Tangentenebene ist nur dann unbestimmt, wenn sämmtliche Coefficienten verschwinden, wenn also f x o’ = Ax 0 4 - £y 0 Cz 0 4- G = 0 , j fyo = P x a d~ A)y g 4- £z 0 + H = 0, /zo’ = Gx o d - + ^ z o d"~ J — 0, Gxq 4- Hy 0 d - /%o 4~ F — 0 • Der Verein dieser vier linearen Gleichungen wird durch das Verschwinden ihrer Determinante bedingt § 5’ Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flächen zweiten Grades etc. 233 2 . A = A B C G B D E H C E F J G H J K d. h. sie ändert sich nicht, wenn man Diese Determinante ist symmetrisch, die Colonnen mit den Zeilen vertauscht. Wir werden nun zeigen, dass unter der Voraussetzung A = 0 die vier Ebenen ff — 0, ff — 0, ff — 0, Gx 4 - Hy 4- fz 4 - K = 0 nur dann einen einzigen im Endlichen liegenden Schnittpunkt haben, wenn die drei Ebenen ff = 0, fy — 0, ff = 0 nicht mehr als einen Punkt gemein haben. Denn sind zwei der Ebenen identisch, so sind zwei vön den ersten drei Zeilen und die entsprechenden Colonnen in A proportional. Der gemeinsam * Punkt B 0 der vier Ebenen bestimmt sich aus einer der beiden zusammenfallenden Ebenen und den beiden andern; die Determinante dieser drei linearen Gleichungen, welche der gemeinsame Nenner der Lösungen ist, hat alsdann zwei proportionale Colonnen, verschwindet also identisch, F 0 ist also unendlich fern oder unbestimmt. Ist z. B. ff = ff, so ist B = mA •*o> Zo> z o ergeben sich aus Ax 0 Cx n D = mB, E = mC, H = mG, und mAy g -t- Cz 0 = — G , mCy 0 - 4 - Ez 0 = — /, Gx 0 4 - mGy 0 4 - fz 0 = — K. Enthalten ferner die Ebenen ff — 0, ff — 0, ff = 0 eine Gerade, ohne dass zwei derselben identisch sind, so besteht für zwei Zahlen 7 « und n die Identität ff es mff 4 - nff. Hieraus folgt C = mA + nB, E = mB + nD, F = mC + nE, J = mG -+- nH. Der Punkt F’ g bestimmt sich aus ff = 0, ff = 0 und Gx + Hy + Jz + K — 0, d. i. aus Ax 0 -+- By 0 -+- (mA + nB)z 0 = — G , Bx a + Dy g + (mB nD)z g = — H, Gx g + Hy 0 -+■ (mG 4 - nH)z 0 = — K. Die Determinante verschwindet identisch; folglich sind die Lösungen des Systems unendlich gross oder unbestimmt. Umgekehrt ist einleuchtend, dass wenn die drei Ebenen ff = 0, ff — 0, ff = 0 nicht mehr als einen Punkt gemein haben, dies der einzige dem Systeme 1. genügende Punkt ist. Wenn daher ein einziger im Endlichen liegender Punkt das System 1. erfüllt, so kann derselbe aus den drei Gleichungen gefunden werden A B (mA -+■ n B) B D (mB 4- nD) G H (mG 4- nH) 3. Ax 0 Bx 0 C X r + By<> + Cz 0 = -+■ Dy g -+- Ez 0 = -l £ y <> Fz 0 = — G , — H , — /, A B C B D £ C E F und es ist 234 Analytische Geometrie. 5. Wenn von Null verschieden ist, so ist P 0 weder unbestimmt noch unendlich fern. Bezogen auf ein Coordinatensystem, dessen Nullpunkt mit dem Doppelpunkte zusammenfällt, müssen die Coefficienten der Flächengleichung solche Werthe haben, dass die Gleichungen No. 4, 1 durch x = y = z = 0 erfüllt werden; hieraus folgt G = H = J = K = 0 . Die Flächengleichung lautet daher jetzt 1. Ax 2 -+- 2 Bxy -(- 2 Cxy -+- Dy^ -t- 2 Eyz -+- Fz 2 = 0. Sind x lt y t , z 1 die Coordinaten eines Punktes der Fläche, und r t sein Abstand vom Anfangspunkte, so sind die Cosinus der Winkel, die r t mit den Coor- dinatenachsen bildet * „ V. z. cos a = — , cosp = —, cos'i = — i . r \ r \ r i Daher gelten für die Coordinaten jedes Punktes P der Geraden O P x die Formeln wenn r die Strecke OP bezeichnet. Setzt man diese Werthe in die Flächengleichung 1. ein, so erhält man als Bedingung dafür, dass P auf der Fläche liegt r 2 2. —2 (Ax? -+- 2 Px 1 y l -+- 2 Cx 1 z 1 4- Dy j 2 -+- 2 Ey x z x -+- Fz?) — 0. r i Da nun P x der Fläche angehört so verschwindet der Klammerinhalt; also wird der Gleichung von jedem Werthe von r genügt. Wir sehen daher: Jede Gerade, die ausser dem Doppelpunkte noch einen Punkt mit der Fläche gemein hat, liegt ganz auf der Fläche. Jede durch den Doppelpunkt gehende Ebene E schneidet die Fläche in zwei im Doppelpunkte sich treffenden Geraden, die real und von einander verschieden, oder real und vereint, oder imaginär sein können. Jede Ebene, die den Doppelpunkt nicht enthält, schneidet die Fläche in einer eigentlichen Curve zweiter Ordnung; die Fläche erscheint somit als die Bahn einer Geraden, die durch den Doppelpunkt geht und entlang einer Curve zweiter Ordnung gleitet. Die Fläche ist daher eine Kegelfläche. 6. Wenn die vier Ebenen fx’ — 0, f? = 0, fj = 0, Gx -+- Hy -+- Jz -+- K = 0 einen unendlich fernen Punkt gemein haben, also derselben Geraden parallel sind, so kann man das Coordinatensystem so wählen, dass die Achse OZ dieser Richtung parallel ist. Die Gleichungen No. 4, 1, bezogen auf dieses System, entsprechen dann verticalen Ebenen, haben also die Form mx -Jr ny p — 0. Hieraus folgt C = E F = _/=0. Die Gleichung der Fläche ist daher 1. Ax 2 + 2 Bxy 4- Dy 2 -t- 2 Gx 2 Dy -+- K = 0 . Diese Gleichung enthält z nicht mehr; sie wird von jedem Punkte erfüllt, dessen Horizontalprojection ihr genügt. Betrachtet man 1. als die Gleichung einer auf der XF-Ebene gelegenen Curve zweiter Ordnung k, so ist die Fläche die Bahn einer Parallelen zur Z-Achse, die entlang der Curve k sich bewegt. Hierdurch wird die Fläche als Cylinderfläche charakterisirt. Je nachdem § 5- Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flächen zweiten Grades etc. 235 die Curve k eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel ist, bezeichnen wir die Fläche als elliptischen, hyperbolischen oder parabolischen Cylinder. Zerfällt die Curve k in zwei ungleiche lineare Faktoren, oder ist sie die zweite Potenz eines linearen Faktors, so artet der Cylinder in zwei getrennte oder zusammenfallende Ebenen aus. Die Bedingungen dafür, dass die quadratische Gleichung f = 0 einen eigentlichen oder ausartenden Cylinder darstellt, sind also (No. 4 und 5) A = 0 und Aj = 0. 7. Sind T 1 =0, T 2 = 0, T 3 = a \T x -T a 2 T 2 = 0, und T x = 0, T 2 = 0, T 3 ' = b 1 T 1 ' + b 2 T 2 — 0 die Gleichungen von drei Paar entsprechenden Ebenen zweier projectiven Büschel, so werden die Gleichungen je zweier entsprechenden Ebenen in der Form erhalten (§ 3, 30) r= X r a l T l -+- l 2 a 2 T 2 =0, T = + l 2 b 2 T 2 ' = 0. Die Punkte, in welchen sich entsprechende Ebenen schneiden, erfüllen die Gleichung, welche durch Elimination von Xj und X 2 aus T = 0 und T' = 0 entsteht, a x T x a 2 T 2 _ b x T x ' b 2 T 2 - U - Diese Gleichung ist vom zweiten Grade. Wenn die Träger der beiden Büschel auf einer Ebene T 0 liegen, und diese Ebene in beiden Büscheln sich selbst entspricht, so bezeichnen wir die Büschel als perspectiv. Man kann dann 7’ 0 an die Stelle von T x und T x in 1. treten lassen und erhält b x T 0 b 2 T 2 — T n a 2 T 2 b 2 T 2 = 0; die Fläche zweiter Ordnung zerfällt in die beiden Ebenen T 0 = 0 und a x b 2 T 2 — a 2 b x T 2 = 0. Zwei perspective Ebenenbüschel erzeugen zwei Ebenen, deren eine die selbstentsprechende Ebene ist. Wenn die Träger der beiden Büschel auf einer Ebene liegen, ohne perspectiv zu sein, so lässt sich aus 1. ein linearer Faktor nicht absondern, die Gleichung gehört also zu einer eigentlichen Fläche zweiter Ordnung. Schneiden sich die Träger in einem Punkte 2, so gehen die Schnittlinien je zweier entsprechenden Ebenen durch 2 und jeder auf der Fläche liegende Punkt bestimmt mit 2 eine Gerade, die ganz auf der Fläche liegt; die Fläche ist daher eine Kegelfläche. Zwei projective Ebenenbüschel, deren Träger sich schneiden, erzeugen einen Kegel zweiter Ordnung, der den Schnittpunkt der Träger zur Spitze hat. Sind die Träger zweier projectiven Büschel parallel, so sind auch die Schnittlinien je zweier entsprechenden Ebenen parallel, und die von ihnen beschriebene Fläche ist mithin ein Cylinder. 8. Eine Kegelfläche, sowie eine Cylinderfläche II. O. sind durch fünf Mantellinien (d. i. auf der Fläche enthaltene Gerade) bestimmt. Um die Flächen zu construiren, durchschneide man die Mantellinien durch eine Ebene, welche keine von ihnen enthält. Diese Ebene trifft die Mantellinien in fünf Punkten und die gesuchte Fläche in einer Curve II. O., die durch die fünf Punkte geht, und mithin construirt werden kann. Legt man nun durch die Punkte dieses Kegelschnitts Gerade, die durch den gemeinsamen endlich oder unendlich fernen Punkt der Mantellinien gehen, so liegen diese ganz in der Fläche. Es ist ersichtlich, wie man eine Reihe von auf Kegelschnitte bezüglichen 236 Analytische Geometrie. Sätzen und Constructionen zu entsprechenden Sätzen und Constructionen für Kegel und Cylinder II. O. umarbeiten kann. 9. Für die Gleichung einer Cylinderfläche II. O. / = Ax 2 4 - 2 Bxy 4 - Dy 2 4 - 2 Gx 4 - 2 4- 2 ou 4 - 2ez> 4 - x = 0 , und w = 0 dargestellt. Wir werden noch wiederholt der Thatsache begegnen, dass einem Gebilde im Raume eine Gleichung in Punktcoordinaten und zwei Gleichungen in Ebenencoordinaten, oder umgekehrt eine Gleichung in Ebenencoordinaten und zwei Gleichungen in Punktcoordinaten zugehören. 10. Für die Gleichung der Kegelfläche f = Ax 2 -t- 2 Bxy 4 - 2 Cxz 4- Dy 2 4- 2 Eyz 4 - Fz 2 = 0 hat man fj = Ax 4 - By 4 - Cz , fy =3 Bx Dy -+- Ez , /*' = Cx + Ey 4 - Fz , und erhält hieraus die Identität fx -x 4- ff • y 4- f z ' -z = /. Ist daher P 0 ein Punkt der Kegelfläche, so ist die Gleichung der Tangentenebene in diesem Punkte f xq • x 4 - fy g • y 4- fz 0 • z — 0 . Jede Tangentenebene eines Kegels II. O. geht durch die Spitze, und berührt den Kegel entlang einer Mantellinie. Die Tangentenebenen eines Kegels sind daher diejenigen durch die Kegelspitze gehenden Ebenen, deren Horizontalspuren die Horizontalspur des Kegels berühren. Ist -I- 2 zw 4- z = 0 die Gleichung der Horizontalspur eines Kegels in Liniencoordinaten, und 2 = a x u 4- ß x v 4- YjW 4- 8 X = 0 die Gleichung der Kegelspitze, so wird der Kegel in Ebenencoordinaten durch den Verein von Gleichungen dargestellt (f = 0 und 2 = 0. 11. Für die Coordinaten u, v, w der Tangentenebene der Fläche II. O. f — 0 im Punkte P 0 derselben ergeben sich aus der Gleichung der Tangentenebene (No. 3, 7) die Gleichungen § 5- Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flächen zweiten Grades etc. 237 1. Ax 0 4- ßy 0 4- Cz 0 4- G = k-u, 2. B Xq -f- F)y q 4— Ez g 4 - ZZ == h * v ^ 3. Cx 0 4- Ey 0 4- Ez 0 4- / = k • w , 4. Gx 0 4- Hy ü 4- Jz 0 4- K = — k. Reducirt man diese Gleichungen auf Null, und fügt noch die Gleichung des Tangentialpunktes Z 3 ,, hinzu 5. z ‘ To fz 0 ' ’ z o + Gxg 4- Zfy 0 4- Jz ü 4- K = 0 . Nun ist, wie man durch direkte Multiplication sieht (vergl. auch No. 3, 6) die linke Seite identisch mit f 0 , und da dieselbe verschwindet, so sieht man, dass x 0 , y 0 , z 0 die Coordinaten eines Punktes B 0 der Fläche / = 0 sind. Vergleicht man nun die Gleichung der Tangentenebene der Fläche / im Punkte B 0 mit der Gleichung der Ebene T, so sieht man aus den Gleichungen 1. bis 4., dass diese Tangentenebene mit T identisch ist. Die Gleichungen /== Ax 2 4- 2 Bxy 4- 2 Cxz 4 -Dy % 4- lEyz + Fz 2 4-2 Gx-h % Hy y-'i.Jz 4- K— 0, und 9 = A B C D u B D E H v CEF J w G H J K— 1 = 0 u v w — 1 0 gehören daher zu derselben Fläche; / = 0 ist die Bedingungsgleichung, welche die Coordinaten der auf der Fläche gelegenen Punkte erfüllen und 9 = 0 die Gleichung, der die die Fläche tangirenden Ebenen genügen. Es ist hervorzuheben, dass die Gleichung 9 = 0 vom zweiten Grade in den Ebenen- coordinaten ist. 12. Wir wenden uns nun zu den Untersuchungen über die Gleichung zweiten Grades in Ebenencoordinaten, die den bisher für die Gleichung in Punktcoordinaten durchgeführten analog sind. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades in Ebenencoordinaten ist 1. 9 = afc 2 4-2£«w4- 2cuw-\-dv 2 -\-^evw 4- fio 2 4- %gu 4 - Ihv 4-2iw + ^ = 0. Die Ebenen, welche 9 berühren, und zugleich durch einen Punkt P gehen, genügen ausser der Gleichung 9 = 0 noch der Gleichung des Punktes P\ dieselbe sei 2. P s= a.u 4- ßz> 4- 4-8 = 0. 238 Analytische Geometrie. Aus diesen beiden Gleichungen kann man eine der Coordinaten, z. B. w eliminiren; man erhält aus 2. w — — (a u ßw -4- 8) : y . Setzt man dies in 1. ein, so erhält man eine Gleichung in u und v, also die Gleichung, welche von den Horizontalspuren der durch P gehenden Tangentenebenen der Fläche

0 4 - \ 2 v A x w 0 - 4 - l 2 w Xi + x 2 Xj -+- X 2 Xj -+• x 2 oder, wenn man Zähler und Nenner in den drei Formeln durch X x dividirt und X 2 : X x mit p. bezeichnet: „ _ u o + « _ v o + P v m _ w o + V- w 1 4- |x ’ 1 4- [x ’ 1 + jx' Multiplicirt man nun die Gleichung

9 J 0 '> 9™o' bedeuten die Werthe, welche die Functionen o' • w o) = g u o -T hv o + iw o + und kann daher die Gleichung des Punktes P auch in der Form schreiben P = 9*0'(» — u o) -ff 9*0' (v — v o) -ff 9wo'( K ' — ®o) = 0. 16. Der auf einer Tangentenebene T 0 gelegene Berührungspunkt wird nur dann unbestimmt, wenn in der Gleichung P — 0 alle vier Constanten zugleich verschwinden, also wenn die Coordinaten von T 0 den vier Gleichungen genügen 4 - ew /*o gu 0 4 - hv 0 4- iw Die Bedingung für den Verein dieser vier für u 0 , v 0 , w 0 linearen Gleichungen ist a b c g b d e h A' 3= e g h Ebenso, wie in No. 4, erkennt man: Soll das System 1. eine eindeutig be stimmte Lösung haben, so müssen die Gleichungen 2 . 240 Analytische Geometrie. von einander unabhängig und die Determinante a b c A x ' = b d e I c e f von Null verschieden sein. Die Coordinaten von T 0 werden daher aus 2. berechnet. Für jede auf T 0 gelegene Gerade G fallen alsdann die durch G gehenden beiden Tangentenebenen der Fläche 9 mit T Q zusammen; aus diesem Grunde wird T 0 als Doppelebene der Fläche

<,' ' v + ?wo' ‘ w + S u 0 -T hv 0 4- 7w 0 4-^ = 0 bis auf einen constanten Faktor m mit der Gleichung xu 4 - yv 4- zw — 1=0 übereinstimmen. Wir erhalten hieraus die Beziehungen . ox , y, so OY, dass für die Winkel der Geraden f , f x und g mit den Richtungen OZ die Zusammenstellung gilt: ox, OY, OZ, /: 90° - 7 , 90°, T. u 90° + 7 , 90°, — T> g ■ ?. y Aus § 1, No. 6 erhält man 2. cosgf = sin 7 cos cp -+- cosf cosy, cosg /, = — sin~[ cosy = cos^cosy. Aus 1. folgt cosgf • cosg /, — singf ■ singff — cos 2 a, daher cos 2 g /)(1 — cos 2 g /J = cosg /• cosg / x — cosia, woraus folgt 1 — cos 2 gf — cos 2 gf x = cos 2 2a — 2 cosgf • cosgf x ■ cos2 a , 3. cos 2 g f 4 - cos 2 g f x — 2cos2a ■ cosgf • cosgf x — sin 2 2a = 0. In diese Gleichung führen wir nun die Werthe 2. ein; wir erhalten § 5 - Tangentenebene und Tangenti alpunkt an Flächen zweiten Grades etc. 243 4. cos 2 gf 4- cos 2 gf 1 — 2 (sin 2 y cos 2 f 4- cos 2 7 cos 2 7) , 5. cosgf-cosgf l = cos 2 7 cos 2 7 — sin 2 ■( ■ cos 2 cp . Durch diese Werthe erhält man aus 3. 2 sin 2 ~\ cos 2 (f 4- 2 cos 2 "; cos 2 y — 2 cos 2 a (cos 2 y cos 2 -y — sin 2 -jcof 2 cp) — sin 2 2 a = 0. Hieraus folgt weiter 2 sin 2 y (1 -1- cos 2 a) cos 2 cp 4- 2 cos 2 y (1 — cos 2 a) cos 2 y — sin 2 2 a = 0, oder einfacher 6 . sin 2 7 cos 2 a cos 2 cp 4- cos 2 7 sin 2 a cos 2 7 — sin 2 a cos 2 a = 0. Statt der Winkel cp und 7 führen wir nun die Coordinaten der Punkte der gesuchten Fläche ein. Ist P ein Punkt auf g, so ist bekanntlich cos’» = x : r , oosy — z : r , r — ~fx 2 4- y 2 4- z 2 ; daher erhält man aus 6. sin 2 y ■ cos 2 a • x 2 -+- cos 2 7 sin 2 a • z 2 — sin 2 a cos 2 a (x 2 y 2 z 2 ) = 0, oder, geordnet: 7. cos 2 a (sin 2 y — sin 2 a) x 2 — sin 2 a cos 2 a ■ y 2 -+- sin 2 a (cos 2 y — cos 2 a) z 2 = 0. Diese Gleichung ist homogen quadratisch für die Coordinaten, sie ist daher die Gleichung eines Kegels zweiter Ordnung, der den Nullpunkt zur Spitze hat. Da die Gleichung rein quadratisch für alle drei Coordinaten ist, so folgen für gegebene Werthe zweier Coordinaten zwei entgegengesetzte gleiche Werthe der dritten; zu jedem Punkte einer Coordinatenebene, als Projection eines Kegelpunktes auf eine der Coordinatenebenen betrachtet, gehören also zwei symmetrisch zu dieser Ebene liegende Punkte des Kegels. Wir schliessen hieraus, dass der Kegel 7. alle drei Coordinatenebenen zu Symmetrieebenen hat. Man kann die Gleichung des Kegels noch etwas vereinfachen, wenn man statt 7 den Winkel ß einführt, den die in der FOZ-Ebene liegenden Mantellinien b und b x des Kegels mit der Z-Achse bilden. Nach den Formeln für das rechtwinkelige sphärische Dreieck hat man nämlich cos bf = cos bz • cos fz. Nun ist bf — a, fz = 7, bz — ß, daher hat man cosa = rwß • cosy. Hieraus folgt sofort cos 2 7 — cos 2 a = — (sin 2 7 — sin 2 a) = sin 2 $ cos 2 7. Setzt man dies in 6. ein und ersetzt im Faktor von y 2 die Grösse cos 2 a durch cos 2 $cos 2 7, so haben alle Glieder der Gleichung den gemeinsamen Faktor cos 2 7; dividirt man durch — sin 2 a sin 2 $ cos 2 , so folgt 8. cot 2 a • x 2 4- cot 2 ß-y 2 — z 2 = 0. 22. Man überzeugt sich leicht, dass es in jedem Kegel zweiter Ordnung, der drei auf einander senkrechte Symmetrieebenen hat, zwei durch die Spitze gehende Focalstrahlen /und f t giebt, derart, dass die Summe der Winkel die sie mit jeder Mantellinie des Kegels bilden, constant ist. Wählen wir die Symmetrieebenen zu Coordinatenebenen, so muss die Gleichung des Kegels für alle drei Coordinaten rein quadratisch sein, und da der Schnittpunkt der Symmetrieebenen mit der Kegelspitze zusammenfallen muss, also die Kegelgleichung von den Coordinaten x = y — z = 0 des Nullpunktes befriedigt wird, so kann die Kegelgleichung kein von den Coordinaten freies Glied haben. Die allgemeine Form der Kegelgleichung ist daher unter diesen V oraussetzungen Ax 2 + By 2 4- Cz 2 = 0. Die drei Zahlen A, B, C können nicht alle dasselbe Zeichen haben, da 16* 244 Analytische Geometrie. sonst die Gleichung nur von den realen Werthen x = y = z = 0 befriedigt wird, der Kegel also ausser der Spitze keine realen Punkte enthält. Man kann die Bezeichnung der Coordinatenachsen so wählen, dass A und B positiv sind und C negativ ist; und so, dass A nicht grösser ist als ß\ dann kann man durch (— C) dividiren und erhält so eine Gleichung von der Form 1. m 2 x 2 -t- n 2 y 2 — z 2 = 0. Vergleicht man dies mit der Gleichung cot 2 a. • x 2 -+- cot 2 $-y 2 — z 2 = 0, so folgt coti = m, cot$ = n, und daher l/l- COS1 = nf/l Da m b 2 \ ist k, = ± b, so geht ihre Gleichung über in 0, b, a i C‘ sie hat also nur einen realen Punkt, dessen Coordinaten sind x = 0 , y 2 = 0 ; hierzu gehören die Punkte B und B x . Ist k 2 < b 2 , so ist die Schnittcurve eine Ellipse, deren Halbachsen die Werthe haben = ^yp = ‘yw=k?. *2 — b V u ~ > l 2 — l) Diese Ellipse ist dem verticalen Hauptschnitte ähnlich. Die Halbachsen a 2 und b 2 sind, wie die dafür gefundenen Formeln zeigen, die Coordinaten GH und GJ welche in dem horizontalen und im seitlichen Hauptschnitte zu der Coor- dinate OG = k x gehören. Durchschneidet man das Ellipsoid mit einer zu YOZ parallelen Ebene, für welche x — k 2 ist, so hat man für die Schnittcurve *) Zwei Curven f 0 und = 0 heissen ähnlich, wenn sich ihre Punkte P auf II so auf einander beziehen lassen, dass bei einem für jede Curve geeignet gewähltem Coordinatensysteme die Proportion gilt x : $ = y : 7). Zwei Ellipsen oder Hyperbeln sind ähnlich, wenn ihre Halbachsen gleiche Verhältnisse haben. Denn bezogen auf die Hauptachsen ist z. B. für zwei Ellipsen y = - ]/<** i) = - 1 IV - S 2 • Wählt man nun zu P den entsprechenden II so, dass £ = a^x\a y so ergiebt sich ■n == h . y a i . * a 1 a Ist nun a : b = a x : b t , so folgt y = b i b 1 = a : a x = # : £. Je zwei Parabeln sind ähnlich. Denn wird jede auf ihre Symmetrieachse und Scheitel- tangente bezogen, so ist y = y2px, 7} = Paart man nun je zwei Punkte, für welche x : $ = p : q, so folgt rj — (y : /) ]/2fx , also x : $ = y : 7]. Zwei Geradenpaare sind ähnlich, wenn sie gleiche Winkel einschliessen. Je zwei Paare parallele Gerade sind ähnlich. § 6. Das Ellipsoid, die beiden Hyperboloide und die beiden Paraboloide. 25 1 1 = 0 . Diese Curve ist imaginär, wenn k,f > a l ; hat den einzigen realen Punkt A oder A 1 , wenn k 2 = ± a\ und ist, wenn < a 2 , eine Ellipse mit den Halbachsen Diese Ellipse ist dem seitlichen Hauptschnitte ähnlich. Ist OK = k 2 , so sind die zugehörigen Hauptschnittsordinaten KL und KM die Halbachsen b t und c 3 . Z \ c Y (M. 447.) 5. Wir legen nun eine Schnittebene T durch eine Achse, z. B. durch die X-Achse und fragen nach dem Schnitte derselben mit dem Ellipsoide. Die Achse OX und die seitliche Spur O der Schnittebene wählen wir zu Achsen eines in T gelegenen Coordinatensystems. Der Winkel XO% sei a. Die Strecke OD finden wir, wenn wir in der Gleichung des seitlichen Hauptschnitts die Werthe einsetzen y — O D' — ODcosa, z — D'D = ODsinn\ es ergiebt sich cos‘ a sin ‘ a Zwischen den Coordinaten y und z eines Punktes P der Schnittebene und der auf das System XO%') bezüglichen Coordinate 9 dieses Punkts bestehen die Beziehungen y — X) cosa , z — X) sma . Setzt man diese Werthe in die Gleichung des Ellipsoids, so ergiebt sich die gesuchte Gleichung der Schnittcurve, bezogen auf das Coordinatensystem XO%\ cos * a sm* a Dies ist die Gleichung einer Ellipse, die OA und OD zu Halbachsen Analytische Geometrie. r . fe.‘ L fr l- 5 . • S. • i- i'.- fr i, fh i i JT l fr 252 hat. Man kann daher auch das Ellipsoid durch eine veränderliche Ellipse erzeugen, deren Ebene sich um OA dreht, und von welcher ein Scheitel unverändert der Punkt A ist, während der andere auf der aus den Halbachsen b und c in der Ebene YOZ beschriebenen Ellipse BC gleitet. Ist b = c, so ist auch OD — b, und die Schnittellipse APD ist den Hauptschnitten AB und AC congruent. Uas Ellipsoid entsteht jetzt durch Drehung einer unveränderlichen Ellipse um die Achse OA, es ist ein Rotationsellipsoid. Je nachdem b, bezeichnet man die Fläche als ein gedrücktes oder’als ein gestrecktes'Rotationsellipsoid. 6. Da kein Punkt eines Ellipsoides unendlich fern liegt, und jede Ebene dasselbe in einer Curve zweiten Grades schneidet, so folgt, dass ein Ellipsoid von jeder Ebene in einer Ellipse geschnitten wird. 7. Die abgeleiteten Functionen (§ 5, No. 2 und 3) der Function /« z b 2 4 ö + -0 — 1 sind 1 . fj - fy = y_ b 2 ' /.' = Gx -+- Hy -+- Jz + — 1. Daher ist die Gleichung der Ebene T, die das Ellipsoid im Punkte P 0 berührt, 2 . 3. Z» b 2 y + 72 1 = 0. Die Coordinaten der Tangentenebene ergeben sich hieraus zu *2 ’ Zo b 2 ; A ' Die Coordinaten des Berührungspunktes folgen daher aus den Coordinaten der Tangentenebene zu 4. = i y 0 = biv > Setzt man dies in die von x 0 , y 0 , z 0 und u, v, w erfüllte Gleichung ein ux 0 -+- vy 0 ■+ wz 0 — 1=0, so erhält man die Gleichung des Ellipsoids in Ebenencoordinaten 5. ? = a 2 u 2 -t- b 2 v 2 -h c 2 w 2 — 1=0. Die abgeleiteten Functionen der Function 9 (§ 5, No. 14 und 15) sind cp«' s= a 2 u ,

fr — frt < f* = — c 2 1 Gx -t- Hy -+- Jz -t- K — — 1. Die Gleichung der Ebene T, welche das Hyperboloid im Punkte P 0 berührt, ist daher 2 . T= f« + ■*> a 2 + b 2 Die Coordinaten dieser Ebene sind y 1 = 0. a‘ ' b 2 ’ Setzt man die hieraus folgenden Werthe y 0 = b 2 v, w = — in die Gleichung x 0 = a 2 u, -+- y 0 v + z 0 w — 1=0, so erhält man die Gleichung des Hyperboloids in Ebenencoordinaten 3. 9 s= a 2 u 2 b 2 v 2 c‘w‘ 1 = 0 . Aus den abgeleiteten Functionen von 9 4. 9 „' = a 2 u, 9 ,/ 553 b 2 v, 9 ™' s= — c 2 w, gu -+■ hv -4- iw + k = — 1 erhält man die Gleichung des Berührungspunktes der Ebene T 0 5. P = a 2 u 0 u -+- b 2 v 0 v — c 2 w 0 w — 1=0. x 2 y 2 z 2 Die Gleichung: ^ ^ — 1 = 0. 11. Setzt man in die Gleichung der Reihe nach y = z = 0, x — z = 0 und x = y = 0, so erhält man £ = ± a, 7 ) = ± £ j/ — 1, £ = ± c ]/— 1 . 7. (M. 449.) Die Fläche wird daher von der F-Achse und der Z-Achse nicht in realen Punkten geschnitten; nur die Schnittpunkte mit der X-Achse sind real; sie werden als Scheitel der Fläche (A und A x ) bezeichnet. Die Hauptschnitte haben die Gleichungen x 2 y 2 Horizontaler Hauptschnitt: ^ — 1=0, 2 2 V erticaler „ „ : ^- — ^—1=0, Seitlicher „ „ : — p- — ^-—1=0. 256 Analytische Geometrie. Die Fläche wird daher von der Ebene YOZ in einer imaginären Curve geschnitten; die andern beiden Hauptschnitte sind reale Hyperbeln mit gemeinsamer Hauptachse (2 a) und verschiedenen Nebenachsen. Eine Ebene, die parallel der FZ-Ebene ist, und für welche x = k, schneidet die Fläche in der Curve Dieser Schnitt ist imaginär, wenn k 2 < a 2 ist; zwischen den Ebenen, die YOZ im Abstande ± a parallel gehen, liegt also kein realer Punkt der Fläche. Ist k = ± a, so geht die Gleichung 1. über in und dieser Gleichung wird nur durch y = z = 0 genügt, d. i. durch die Scheitel A und A l . Ist k 2 > a 2 , so ist die Schnittcurve eine Ellipse, deren Halbachsen auf den Spuren der Schnittebene liegen und die Längen haben 2 . Ist OD = k, so sind a t und c t die Ordinaten DF und DE, die in den Hauptschnitten zu der Abscisse OD gehören. Die Fläche wird daher durch eine veränderliche Ellipse beschrieben, die normal zur X-Achse sich so bewegt, dass ihr Centrum auf der X-Achse und ihre Scheitel auf den beiden Hauptschnitten der Fläche sich bewegen. Wie die Formeln 2. zeigen, bleibt das Verhältnis der Halbachsen der bewegten Ellipse unveränderlich b : c. Diese Fläche heisst zweischaliges Hyperboloid. Sie besteht aus zwei von einander getrennten Schalen, die auf beiden Seiten der FZ-Ebene liegen. 12. Durchschneiden wir das Hyperboloid mit einer Ebene XOty, die mit der XF-Ebene den Winkel a bildet, so erhalten wir die Gleichung der Schnittlinie in Bezug auf das Coordinatensystem XO%, indem wir in der Gleichung der Fläche setzen y — y • cos a , z = t) • sm a . Hierdurch entsteht die Gleichung cos 2 a sm 2 a 1 . Dies ist die Gleichung einer Hyperbel mit den Halbachsen cos 2 a sin 2 a sin 2 a b 2 + r 2 Der Verein der beiden Asymptoten dieser Hyperbel hat im Coordinatensystem X02) die Gleichung (x _ l\ (x 9_\ bj V« + bj 2 . Führt man die Multiplication aus und setzt den Werth für b x ein, so erhält man cos 2 a sm 2 a. Setzt man hierin y für X) cos a und z für » sin a, so erhält man die Gleichung der von den Asymptoten aller dieser Schnitthyperbeln gebildeten Fläche 3. Diese Fläche ist ein Kegel II. O., der Asymptotenkegel des zwei- schaligen Hyperboloids. § 6. Das Ellipsoid, die beiden Hyperboloide und die beiden Paraboloide. 257 Ist b = c, so sind die beiden Hauptschnittshyperbeln congruent; da alsdann in 1. auch b x = b ist, so wird in diesem besonderen Falle das Hyperboloid durch eine unveränderliche Hyperbel erzeugt, die sich um ihre Hauptachse dreht. Diese Fläche ist daher als zweischaliges Rotationshyperboloid zu bezeichnen. Die Gleichung desselben ist x 2 a 2 „2 *2 b 2 — 1 = 0 . 13. Die abgeleiteten Functionen der Function x 2 y 2 z 2 rä yZ b 2 r 2 — 1 sind fx - fy - - - Gx -t- Hy Jz + K 5 1 . a 2 ’ Jy = ~ b 2 ’ Jz “ — c 2 Daher ist die Gleichung der Ebene, die das einschalige Hyperboloid im Punkte P 0 berührt. 1. T SS lo ' b 2 ■ y Die Coordinaten von T sind 2 . yji b 2 z — 1 w = — 0 . Durch Einsetzung der hieraus folgenden Werthe x 0 = a 2 u, y 0 = — b 2 v, c 2 w in die Gleichung y o v 1 = 0 erhält man die Gleichung des Hyperboloids in Ebenencoordinaten 4. (p = a 2 u 2 b 2 v 2 2 w 2 — 1 = 0 . Die abgeleiteten Functionen von ip sind 5- 7 258 Analytische Geometrie. Form 1. über; wenn also die Fläche 2. nur zwei Symmetrieebenen haben soll, so muss F~\ -h J fiir einen endlichen Werth 7 unerfüllbar sein, es ist folglich in diesem Falle F = 0. Unter dieser Voraussetzung wird die Gleichung der Fläche in Bezug auf das neue System 5. Ax 2 -t- Dy 2 -+- 2 Jz -f- 2 Jy -t- K = 0. Nehmen wir 7 = — K : 2 J, so vereinfacht sich die Gleichung zu 6. Ax 2 -+- Dy 2 -+- 2Jz = 0. Betreffs der Vorzeichen kann vorausgesetzt werden, dass A positiv ist; dann ergeben sich für die Vorzeichen der zwei Grössen D und J folgende Combinationen Vorzeichen von D: -t- , -t- , — , — , 77 77 11 J • “h 7 7 d “ 7 Da es freisteht, welche Seite der Z-Achse man als die positive annehmen will, der Wechsel des positiven Sinnes der Z-Achse aber als ein Vorzeichenwechsel des letzten Gliedes der Gleichung 6 . sich äussert, so folgt, dass wir den Coefficienten J ohne Beschränkung der Allgemeinheit negativ voraussetzen können. Dividiren wir durch den absoluten Werth von J, und ersetzen die neuen Coefficienten von x 2 und y 2 durch passend gewählte andere Zeichen, so sind also nur noch die zwei wesentlich verschiedenen Fälle zu unterscheiden y 2 + T ~ 0 , x‘ a x 2 y 2 a b wo nun a und b als positive Strecken vorausgesetzt werden können. 8 . — 2z = 0 , Die Gleichung ^—|- — 22 = 0. 15. Für die Strecken 5 und rj, welche diese Fläche von den beiden Coor- dinatenachsen OX und O Y abschneidet, ergeben sich aus der Gleichung der Fläche durch Einsetzung von y = z = 0, bez. x = z = 0 die Gleichungen $ 2 71 2 1. - = 0, -L= 0. a b Jede der beiden Achsen OX und O Y schneidet also die Fläche in zwei mit dem Nullpunkte zusammenfallenden Punkten; beide Achsen sind daher Tangenten der Fläche, und mithin wird die Fläche von der Ebene XOY im Punkte O berührt. Setzt man in die Gleichung der Fläche x = y = 0, so folgt 2 . 2 z = 0 . Hieraus ergiebt sich zunächst z = 0. Da aber bewiesen worden ist, dass im Allgemeinen eine jede Gerade mit einer Fläche zweiter Ordnung zwei Schnittpunkte hat, so ist die Gleichung 2. als eine quadratische Gleichung aufzufassen, in welcher der Coefficient von z 2 verschwindend klein ist; die Gleichung hat daher, als quadratische Gleichung betrachtet, ausser der Wurzel 2 = 0 noch die zweite Wurzel 2 = 00. Die Fläche hat mit der Z-Achse ausser dem Nullpunkte noch einen unendlich fernen Punkt gemein. Die Gleichungen der Hauptschnitte sind x 2 y 2 Horizontaler Hauptschmtt: — -t- -y = 0, x 2 Verticaler „ „- 2 z = 0, ” ” a y 2 Seitlicher „ „ — 2 z = 0. § 6. Das Ellipsoid, die beiden Hyperboloide und die beiden Paraboloide. 259 (M. 450.) Die erste Gleichung wird nur von einem realen Punkte, dem Nullpunkte, erfüllt, und bestätigt, dass die Fläche von der Ebene XOY im Punkte O berührt wird. Die beiden andern Hauptschnitte sind Parabeln, deren gemeinsamer Scheitel der Nullpunkt, deren gemeinsame Achse die Z-Achse ist, und deren Parameter die Strecken a und b sind. Eine Ebene, die im Abstande z — k parallel zur X E-Ebene ist, schneidet die Fläche in der Curve, X 2 j/2 -1- V — 2k = 0. a 0 Dies ist eine Ellipse mit den Halbachsen a 1 = |/2 ka , b x = Y 2 kb . Ist OD = k, so sind und b x die Coordinaten DE und DF der Hauptschnittsparabeln, die zu der Coordinate z — OD gehören. Die Fläche wird also durch eine veränderliche Ellipse erzeugt, die sich normal zur Z-Achse so bewegt, dass ihr Centrum auf der Z-Achse und ihre Scheitel auf den beiden Hauptschnittsparabeln gleiten. Wird so werden auch beide Halbachsen dieser Ellipse unendlich gross. . Die Fläche führt den Namen elliptisches Para- boloid. Die Ebene y = k x schneidet das elliptische Paraboloid in der Curve x 2 k? —-- a 0 Diese Curve ist eine mit dem verticalen Hauptschnitte congruente Parabel, welche die seitliche Spur DD X der Schnittebene zurAchse und den Schnittpunkt E derselben mit dem seitlichen Hauptschnitte der Parabel zum Scheitel hat. Das elliptische Paraboloid wird also auch von einer unveränderlichen Parabel beschrieben, die sich so bewegt, dass ihre Ebene parallel der X Z-Ebene, ihre Achse (M. 451 .) k = — 2z = 0 . i7' Analytische Geometrie. parallel OZ und ihr Scheitel auf dem seitlichen parabolischen Hauptschnitte bleibt. Der Durchschnitt der Fläche mit der Ebene x = k 2 hat die Gleichung b 2 v 2 — + y -r — 2z = 0, a b Dieser Schnitt ist eine mit dem seitlichen Hauptschnitte congruente und gleichgerichtete Parabel, deren Achse die verticale Spur GG l der Schnittebene, und deren Scheitel H ist*). Das elliptische Paraboloid kann also auch von einer unveränderlichen Parabel beschrieben werden, die parallel zur Ebene YOZ sich so bewegt, dass ihre Achse parallel OZ und ihr Scheitel auf dem verticalen parabolischen Hauptschnitte bleibt. 16. Durchschneidet man die Fläche (Fig. 450) mit einer Ebene FÖZ, die mit der Ebene XOZ den Winkel a bildet, und bezieht die Schnittcurve auf das Cordinatensystem ■£ OZ, so hat man x = ^ rosa , y — y sina, und die Gleichung der Schnittcurve ist daher cos 1 a sin* a Dies ist eine Parabel, die mit den Hauptschnitten den Scheitel und die Achse gemein hat und deren Parameter die Länge hat cos* a. sin* a Ist a = b, sind also die beiden Hauptschnitte congruent, so ist auch p = a; diese Fläche ist daher ein Rotationsparaboloid, d. h. sie wird von einer unveränderlichen Parabel beschrieben, die sich um ihre Achse dreht. Die Gleichung eines Rotationsparaboloids ist x* + y 2 — 2 az = 0. 17. Die abgeleiten Functionen der Function sind Gx ■+- Hy Jz + K == — z. 1 Die Gleichung der Ebene T, welche das elliptische Paraboloid im Punkte F 0 berührt, ist hiernach 2 — Zq = 0 . 1. Die Coordinaten der Tangentenebene T sind x o y o 1 tf 2 0 bz 0 2 0 Die Coordinaten x 0 , y 0 , z 0 des Berührungspunktes ergeben sich hiernach zu 1 u / - , x. t = — a - -, v 0 = — b w u w J u v 3. w Setzt man diese Werthe in die Gleichung ein ux 0 -+■ vy 0 + wz 0 — 1=0, so erhält man die Gleichung des elliptischen l’araboloids in Ebenen- coo rdinaten cp e= au 2 bv‘* — 2« = 0. 4. *) In der Figur ist von dieser Parabel nur die vordere Hälfte aufgezeichnet worden. § 6. Das Ellipse >id, die beiden Hyperboloide und die beiden Paraboloide. 261 Die abgeleiteten Functionen von cp sind fj = au,

0, so haben wir die Gleichung JT T ~ 21 0, mithin eine Hyperbel, deren Hauptachse auf der F-Achse liegt, und welche die Halbachsen hat a 1 = )/2 al, b t = i/2 bl. § 6. Das Ellipsoid, die beiden Hyperboloide und die beiden Paraboloide. 263 Da für die Grundrisse aller dieser Schnitthyperbeln das Achsenverhältniss constant ist, nämlich a, : b x = rfa : , so haben sie alle die Asymptoten xy , x y — - 7 f= = 0 , und — -h — = 0, ya yb ya yb haben also alle den horizontalen Hauptschnitt zu Asymptoten. Die Asymptoten der Schnitthyperbeln selbst liegen daher auf den beiden Ebenen, die durch die Z-Achse und die beiden Geraden bestimmt sind, die den horizontalen Hauptschnitt bilden. Diese Ebenen bezeichnet man als die Asymptotenebenen der Fläche. Wir können uns hiernach die Fläche durch eine veränderliche Hyperbel erzeugt denken, die parallel zur AF-Ebene sich so bewegt, dass ihre Achsen auf den Ebenen XOZ und YOZ, ihre beiden Scheitel auf einem der beiden verti- calen Hauptschnitte der Fläche und ihre Asymptoten auf den beiden Ebenen bleiben, die durch die Z-Achse und die Geraden des horizontalen Hauptschnitts gehen. Im Zusammenhänge mit dieser Entstehungsweise der Fläche führt dieselbe den Namen hyperbolisches Paraboloid. 19. Die abgeleiteten Functionen der Function x‘ a y v — 2z sind fx — fz == ■ 1 , Gx -P Hy -P Jz -P K = — ■* y_ a' ■" b y Die Gleichung der Ebene T, welche die Fläche im Punkte P 0 berührt, ist daher c o „ ^0 1. 2 . T -5- x — , a b ' y — z — z 0 = 0. Die Coordinaten der Ebene T ergeben sich hieraus zu x o .. yo b Zn w = Hieraus folgen die Coordinaten des Berührungspunktes, ausgedriikt durch die Coordinaten der Tangentenebene 3. v y 0 = b -w y u X (\ —— d • u w Setzt man diese Werthe in die Gleichung ein e o ■+■ v y<> _T ' w ux 0 + vy 0 -+- wz 0 — 1=0, so erhält man die Gleichung des hyperbolischen Paraboloids in Ebenen- coordinaten 4.

0 + (ft'cosa -l- _/)/ cos ß -+- fi'cosfr -+- (Acos- a-h^Bcosa cosfy-y'ZCcosa. cos 'j+Dcos ß -+-'2Ecos$ cos + Ecos fr 2 — 0. Wenn der Coefficient von r verschwindet, so ist diese Gleichung rein quadratisch; die Gleichung hat dann zwei entgegengesetzt gleiche Wurzeln, und der Punkt II ist die Mitte zwischen den Schnittpunkten der Geraden G und der Fläche f. Die Gleichung 2. ft'cos a -+- fr'COS ß -+- fl cos 7 = 0 ist also die Bedingung dafür, dass P die Mitte der unter den Richtungswinkeln a, ß, 7 durch II gehenden Sehne der Fläche / = 0 ist Es giebt unzählig viele Sehnen einer Fläche /, die in einem gegebenen Punkte II halbirt werden. Um die Gleichung der Fläche zu erhalten, auf der alle diese Geraden liegen, haben wir cosi, cwß, cos 7 in 2. durch die Coordinaten eines Punkts von G auszudrücken. Ist P auf G gelegen und von II um p entfernt, so ist x — £ = p cos a, y — Y) = pzwß, 2 — £ = p cos 7 ; man gewinnt daher aus 2. die Gleichung der gesuchten Fläche 3- T^f{(x-l) y-f^y-f +/<'(*-Q = 0. Wir haben daher: Die Sehnen einer Fläche II. O., die einen gegebenen Punkt Fl zum Mittelpunkte haben, liegen auf der Ebene P = /f (x — $) -t- f r ; (y — ri) + fl (* — S) = 0 ; liegt der Punkt 0 auf der Fläche f, so geht diese Ebene in die Tangentenebene im Punkte TI über. Dieser Satz kann auch folgende Fassung erhalten: Jeder Punkt im Raume ist das Centrum eines durch ihn gehenden (realen oder nicht realen) ebenen Schnittes einer Fläche II. O.; die Gleichung der Ebene dieser Schnittcurve ist T — 0. Es verdient hervorgehoben zu werden, dass die Ebene T für alle Punkte II des Raumes real ist, also auch dann, wenn keine durch II gehende reale Sehne der Fläche f in II halbirt wird. 2. Die Gleichung der Ebene Z’ wird nur dann unbestimmt, wenn die Coordinaten des Punktes II solche Werthe haben, dass die Functionen /V, ff fi zugleich verschwinden, wenn also A\ + Br^ + CI = — G, 1- Bl + + EX. = — H , CI -+- £ri -I- P£ = — J- Wenn die Determinante A, ^ 2 . A B C B D E C £ F 266 Analytische Geometrie. von Null verschieden ist, so wird diese Gleichung von einem Systeme endlicher Werthe $, r), £ genügt. Für den hierdurch eindeutig bestimmten, nicht unendlich fern liegenden Punkt verschwindet der Coefficient von r in der Gleichung No. 1, 1 unabhängig von den Winkeln a, ß, 7 ; dieser Punkt halbirt daher alle durch ihn gehenden Sehnen der Fläche; aus diesem Grunde heisst er das Centrum der Fläche. Das Centrum einer Fläche zweiter Ordnung ist zugleich das Centrum für jeden durch dasselbe gehenden ebenen Schnitt. Die Bedingung dafür, dass eine Fläche zweiter Ordnung ein eindeutig bestimmtes, nicht unendlich fernes Centrum hat, ist I ABC A x = ] B D E -fC 0 , 1 C E F und die Coordinaten i, rj, £ des Centrums sind die Lösungen des Systems = 0, /,/ = 0, = 0, mithin in die Werthe wenn mit A 2 , A 3 , A 4 die Determinanten bezeichnet werden G B C A G C A B G I <1 H D J £ £ F > ^3 = B H E C J F , a 4 « B D H C E J 3. Ist G = H = J = 0, und A 4 von Null verschieden, so verschwinden i, Y) und £. Das Centrum der Fläche f s= Ax 2 -+- 2 Bxy 4 - %Cxz -4- Dy 2 4- 2 Eyz 4- Fz 4- K — 0 fällt also mit dem Nullpunkte zusammen. Die Gleichungen des Kegels zweiter Ordnung, des Ellipsoids und der beiden Hyperboloide haben die Form Ax 2 + Dy 2 4 - Fz* 4 - K = 0, wobei A, D, F von Null verschieden sind; in der Determinante A, verschwinden in diesem Falle alle ausserhalb der Diagonale stehenden Glieder, sie reducirt sich daher auf das Produkt A 4 = ADF, und ist mithin von Null verschieden. Der Kegel, das Ellipsoid und die beiden Hyperboloide haben daher ein Centrum, und zwar ist dasselbe der Schnittpunkt der drei Symmetrieebenen. 4. Die Gleichungen der beiden Paraboioide haben die Form /= Ax 2 4- Dy 2 4- 2 Jz = 0. Für das Centrum gelten jetzt die Gleichungen A $ = 0, Dr\ = 0; bemerken wir noch, dass A x = 0 und A 4 = ADJ ist, so folgt: Das Centrum eines Paraboloids liegt auf der Durchschnittsachse der Symmetrieebenen, von dem Schnittpunkte derselben mit der Fläche unendlich weit entfe rnt. Die Gleichungen des elliptischen und des hyperbolischen Cylinders fallen unter die Form Ax 2 4- Dy 2 4 - K = 0 . Für das Centrum hat man Ai = 0, Di\ = 0, A 4 = A 4 = 0; mithin ist i = rj = 0 und £ unbestimmt. Jeder Punkt in der Durchschnittsachse der Symmetrieebenen eines elliptischen oder hyperbolischen Cylinders kann also als Centrum der Fläche angesehen werden. Die Gleichung des parabolischen Cylinders ist Ax 2 4- 2 Hy = U . § 7- Symmetrieebenen der Flächen zweiter Ordnung. 267 Hier hat man A£ = 0, A 1 = A 3 = A 4 = 0, mithin £ = 0, r t unendlich gross, C unbestimmt. Die Gleichung, aus welcher vj zu bestimmen wäre, reducirt sich auf 0 = — H\ betrachtet man diese Gleichung als lineare Gleichung für r t mit einem unendlich kleinen Coefficienten von ttj, so folgt, dass ihr nur durch einen unendlich grossen Werth von r ; genügt werden kann. Jeder unendlich ferne Punkt auf der Symmetrieebene eines parabolischen Cylinder kann als Centrum desselben betrachtet werden. Da bei den Paraboloiden und den Cylindern von einem Centrum im eigentlichen Sinne des Wortes nicht zu reden ist, so werden diese Flächen als nichtcentrale Flächen den centralen Flächen, nämlich dem Ellipsoid, den Hyperboloiden und dem Kegel gegenübergestellt. 5. Haben in der Gleichung No. 1, 2 ff cosa -+- ff cosfi -+- /*' cos-j = 0 die Winkel a, ß, 7 gegebene Werthe, so ist diese Gleichung die Bedingung für die Coordinaten der Mitten der Sehnen der Fläche f = 0, welche die durch die Winkel a, ß, 7 vorgeschriebene Richtung haben, sie ist also die Gleichung der Fläche, auf welcher die Mittelpunkte paralleler Sehnen liegen. Die Function T = ff cosa 4- ff cosfi 4- ff cos-; ist linear bezüglich der Coordinaten x, y, z\ wir schliessen daher: Die Mitten paralleler Sehnen einer Fläche zweiter Ordnung liegen auf einer Ebene; haben die Sehnen die Richtungswinkel a, ß, 7 , so ist die Gleichung dieser Ebene 1. T = cosa ■ff 4- cos$ ■ fy 4- cos-\ -ff — 0 . Für die Sehnen, die der Reihe nach der X- Achse, der F-Achse, der Z -Achse des Coordinatensystems parallel sind, haben a, ß, 7 die Werthe a = 0, ß = 7 = 90°; bez. ß = 0, a = 7 = 90°; bez. a = ß = 90°, 7 = 0; die Ebenen, welche die Mitten der den Achsen parallelen Sehnen enthalten, haben daher die Gleichungen 2 - fl = 0 , /; = 0 , /; = 0 . Die Gleichung 1 . lehrt, dass jeder Punkt, der diesen drei Ebenen ff = 0, ff = 0, ff = 0 gemein ist, auch auf der Flbene T liegt. 6 . Beim Ellipsoid, den beiden Hyperboloiden und dem Kegel haben diese drei Ebenen nur einen Punkt gemein, das Centrum; dieFlbenen, welche die Mitten paralleler Sehnen eines Ellipsoids, Hyperboloids oder Kegels enthalten, gehen also durch das Centrum der Fläche, und werden daher als Diametralebenen bezeichnet. Jede Diametralebene halbirt eine bestimmte Schaar paralleler Sehnen; denn die Gleichung jeder Diametralebene kann in der Form geschrieben werden F T ss a x ff +- a 2 ff -t- a 3 ff — 0. Sind a, ß, 7 die Richtungswinkel der von T halbirten Sehnen, so muss diese Gleichung mit No. 5, 1 gleichbedeutend sein; es muss also eine Zahl n geben, für welche cosa = na lt c os ß = na % , cos 7 = na % . Quadrirt man und addirt, so erhält man cos* a -+- cos* $ 4- cos* 7 = n* (af + af + af). Da nun cos* a 4- cosß 1 4- E cos 7 j) cos ß {C cos aj 4 - Ecosß j 4- Fcos 7 X ) cos 7 = 0. Wenn also die Cosinus von sechs Winkeln 1 , ß, 7 und a,, ß 1( 7 j dieser Gleichung genügen, so liegt der Diameter, dessen Richtungswinkel a 1( ßj, 7 , sind, auf der Ebene, welche dem Diameter mit den Richtungswinkeln a, ß, 7 conjugirt ist. Nimmt man die Glieder der Gleichung 3. zusammen, die in derselben Verticalreihe stehen, so erhält man (. A cos a. 4- B cos ß 4- Ccos 7) cos aj 4- ( B cos a 4 - D cos ß 4- E cos 7) cos ßj 4 - (C cos a 4 - Ecosß 4 - Fcos 7) cos y 1 = 0 . Dies ist dieselbe Gleichung wie 3., nur sind die Winkel a, ß, 7 gegen a t , ßj, 7 j vertauscht; mithin ergiebt sich: Ist der Diameter d t in der Ebene enthalten, die dem Diameter d conjugirt ist, so ist auch d in der Ebene enthalten, die d 1 conjugirt ist. — Die Ebenen, die allen in einer Diametralebene T liegenden Diametern conjugirt sind, bilden ein Büschel, dessen Träger der zu T conjugirte Diameter d ist. 8 . Die Gleichung der Ebene T, deren Schnitt mit der Fläche f 3E= Ax 2 4 - 2 Bxy 4 - 2 Cxz 4 - Dy 2 4- 2 Eyz 4 - Fz 2 4 - K = 0 sein Centrum in einem gegebenen Punkte 11 hat, ist (No. 1, 3) i- /«’■* + ff-y -+-/<'•* - t/e'• £+/V • r]+/c'• £) = 0. Die jetzt geltenden Werthe von ff ff, fz (No. 7, 2) erfüllen die Identität 2. fx'-x -+■ ff • y -F ff • z = / — K\ daher kann man in 1. das letzte Glied einfacher schreiben und erhält 3- ff • x 4- ff ■ y 4- ft! • 2 — /($, 7 ), t) 4- K = 0. Multiplicirt man die Functionen ff A% 4- Bri 4- cc, ff B Bl 4- Z>T) 4- EU, ft! B a 4 - En 4- Fi, der Reihe nach mit x, y, z und addirt, indem man die Glieder jeder Verticalreihe zusammennimmt, so erhält man die Identität 4. ff • x 4- ff ■ y 4- ff • * = ff • \ 4- ff ■ tj 4- ff • C . § 7' Symmetrieebenen der Flächen zweiter Ordnung. 269 Hiernach erhält die Gleichung der Ebene T die Form 5- ff • l 4- ff ■ t) H- ff ■ £ — f (l, tj, £) -4- K — 0 . Sind a, ß, 7 die Richtungswinkel des Diameters, der durch n geht, und ist p der Abstand des Punktes 11 vom Centrum, so kann man l, rj, £ durch p cos a, p cos ß, p cos~i ersetzen; nachdem man durch p dividirt hat, erhält man T = fx ' ■ cos rß ■ y 4 - \icos 7 ■ z — \cd = 0 Bcos$ 4- Ccos'i = \>.cosa , Dcos§ 4- Ecosj = pcz>rß , Ecos ß 4 - Ecos-( = [j. cos-; , Hcos§ 4 - Jcos'i = — p d. Acosa Bcosa Ccosa Gcosa Fügt man hierzu noch 7. cos 2 a 4- cos 2 ß 4- cos 2 7=1, so hat man fünf Gleichungen für die fünf Unbekannten a, ß, selben zu ermitteln, bemerken wir, dass die Gleichungen 3., a, ß, 7 , p enthalten; sind diese gefunden, so erhält man aus 6 . die letzte Unbekannte d. Den Gleichungen 3., 4., 5. kann man die Form geben: {A — p) rwa 4 - Bcosfy 4 - Ccosß = 0, 8. Bcosa 4 -{D — p)zwß 4 - Ecos~i = 0, 7 , p, d. Um die- 4., 5. und 7. nur Ccosa Ecos$ 4- {E — ix)cosy = 0; 9 . Ihr Verein erfordert das Verschwinden der Determinante A — p B C R ss B D — p E =0. C E F- p Dies ist eine Gleichung dritten Grades für p; hat man dieselbe aufgelöst, setzt man eine Wurzel p in die Gleichungen 8 . ein. Berechnet man das § 7- Symmetrieebenen der Flächen zweiter Ordnung. 271 Verhältniss cosn : cosfi : cos-; aus je zweien der Gleichungen, so erhält man die in Folge der Gleichung 9. gleichbedeutenden Proportionen coso.\cos$\cost = [(Z> — (a)(Z— (a)— Z 2 ]:[CZ — B (Z — ja)]:[ZZ — C{D — pe)], 10. = [ CE - B(F - v.)):[(A-v)(E-v.)-C*]:[CB - E(A - ,a)], = [BE — C(D— (/.)]:[ CB — £(A — p.)] : [(/l-pXZ»-p)— Z 2 ]. Haben die Zahlen L, M, N dasselbe Verhältniss, wie je drei zu derselben Zeile gehörige Subdeterminanten der Determinante R, so ist cos a : cosfi : cos 7 = L : M : N\ unter Rücksicht auf die Gleichungen 6 . und 7. hat man alsdann die Lösungen des Problems 11 . 12 . L COS-j M 2 N cos$ = d = M ■j/Z 2 + M* -+- N* ’ 1 GL -+- HM a- JN l/U + M* A- N 2 ’ 9- -j/Z 2 12. Die Gleichung R = 0 liefert entwickelt M 2 -(- A™ 1. Z ^ (^—p) {D— p)(Z— p) — E 2 (z4—p) — C 2 (Z>—p) — Z 2 (Z— ja) + 2 BCE = 0; oder nach Potenzen von ja geordnet 2. Z= — p 2 -p(.4-pZ>-bZ)p 2 — (DFa-AFa-AD — C 2 — Z 2 — Z 2 )p + Al =0, wenn man wieder mit A 1 die Determinante bezeichnet ABC Aj = B D £ . CEF Die cubische Gleichung R = 0 hat mindestens eine reale Wurzel; diese ist von Null verschieden, wenn A x 0 . Unter der Voraussetzung Aj sg 0 bezeichne |a 0 eine reale Wurzel von R = 0. Alsdann sind die Werthe No. 11 , 11 und 12 real und d nicht unendlich gross; sie sind eindeutig bestimmt, ausser wenn für p 0 alle neun auf der rechten Seite von No. 11, 10 stehende Subdeterminanten der Determinante R verschwinden. Wenn letzteres nicht der Fall ist, so entspricht der Wurzel [a 0 eine reale, nicht unendlich ferne Symmetrieebene. Nach den Entwicklungen des letzten Abschnitts gehört die Fläche f = 0 alsdann zu den dort aufgezählten Flächen; da A t Sg 0, hat sie ein eindeutig bestimmtes Centrum, das nicht unendlich fern ist, sie ist daher ein Kegel oder ein Ellipsoid, oder ein Hyperboloid. Diese Flächen haben drei (oder, wenn sie Rotationsflächen sind unzählig viele) Symmetrieebenen; folglich sind in diesem Falle auch die andern Wurzeln der Gleichung R = 0 real. 13. Wenn A t Sg 0 und für eine reale Wurzel p 0 der Gleichung R = 0 alle Subdeterminanten von R verschwinden, so sind die Gleichungen No. 11, 8 gleichbedeutend, und mithin ihre Coefficienten der Reihe nach einander proportional, 1. (A — jx 0 ): B : C = B:(D- fA 0 ) : E = C: E: (Z- p 0 ). Sind B, C, E von Null verschieden, so schliesst man hieraus BC JA 0 = A --gT = D — BE C = F — CE B • Umgekehrt, wenn B, C, E von Null verschieden sind, und wenn A — BE „ CE C ~ F ~ B ’ 272 Analytische Geometrie. und man nimmt den gemeinschaftlichen Werth dieser Differenzen ftir p 0 , so sind, wie man sofort erkennt, die Proportionen 1 . erfüllt und p 0 ist eine Wurzel von R = 0. Multiplicirt man in diesem Falle die Gleichungen No. 11, 8 . der Reihe nach mit E, C] B und ersetzt E(A — p. 0 ), C(D — jj. 0 ), B(F — p 0 ) durch die aus 1 . sich ergebenden Werthe BC, BE, CE, so gehen die drei Gleichungen über in 2. BCcoso. -+- BEcos§ + CEcos~\ — 0. Durch die Formeln BC n BE 1 yB 2 C 2 -y B 2 E 2 + C 2 E 2 ri yB 2 C 2 + B 2 E 2 -+- C 2 E 2 _ CE_ _ C0S <1 yB 2 C 2 4 - B 2 E 2 -+- (FF 2 ist eine Richtung eindeutig bestimmt. Ersetzt man die Grössen BC, BE, CE in 2. durch die proportionalen Werthe cosn x , cos$ x , cos-j x , so entstellt 3. cost x cos a H- cosft x cosß cos~( x cos 7 = 0. Hieraus folgt, dass alle der Wurzel p 0 zugehörigen Symmetrieebenen der Richtung a,, fl,, 7 , parallel sind. Vergleicht man die Gleichung einer Symmetrieebene cos a • x + cos$ • y - 4 - cos 7 • z — d = 0 mit No. 11 , 6 . cosi ■ G -h cos$ ■ H + cos 7 . J + p 0 d = 0 , so ist ersichtlich, dass alle diese Symmetrieebenen durch den Punkt F 0 gehen, für welchen Xq = G . p.Q , y 0 = H :\>. a , z ü — J . |/. 0 . Folglich sind alle Ebenen Symmetrieebenen, die den Punkt F 0 und die durch F 0 gehende Gerade q enthalten, die mit den Achsen die Winkel a,, [1,, 7 , bildet. Durch dieses Verhalten ist die Fläche als Rotationsfläche, und q als Rotationsachse gekennzeichnet; da A, sg; 0, so entsprechen den Voraussetzungen der Rotationskegel, das Rotationsellipsoid und die Rotationshyperboloide, wenn deren Rotationsachse mit keiner Coordinatenebene parailel ist, alsorwa,, cos$ x , cos^ x nicht verschwinden. Wenn B verschwindet, so folgt aus No. 13, 1., dass entweder noch C oder E verschwindet. Ist B = C = 0, so folgt, dass auch A — p 0 =0; daher ist cos a = 0, cos [1: cos 7 = {D — p. 0 ): E = E\{F — p 0 ). Ersetzt man hier p . 0 durch A, so ergiebt sich die Bedingung 3. (D — A): £ = E :(F — A). Wenn E nicht verschwindet, so kann A weder gleich D noch gleich F sein. Umgekehrt: Wenn 3. erfüllt und B = C = 0 ist, während E 0, so ist fj . 0 = A eine Wurzel von R == 0; das System No. 11, 8 . geht über in 4. ( D — A)cos% -t- Ecos'i = 0, Ecos$ -+- (F — A)cos~j = 0, und diese beiden Gleichungen fallen infolge 3. zusammen. Aus 4. folgt, dass alle Ebenen Symmetrieebenen sind, die der durch D — A E ’ 11 Y(D — A) 2 4 - E 2 1 y(D — Ä) 2 + E 2 bestimmten Richtung parallel sind und F a enthalten. Wir kommen daher wieder auf den vorigen Fall, nur dass die Rotationsachse normal zur W-Achse ist. § 7' Symmetrieebenen der Flächen zweiter Ordnung. 273 Die Fälle B = E — 0, C 5; 0 oder C = Zs = 0, B 0 sind von dem soeben erledigten nicht wesentlich verschieden. Ist B = C = 0 und A = D, so folgt aus 3., dass auch E = 0; wir kommen damit auf den Fall B = C — E = 0. Ist B = C = E = 0, so folgt aus 1., dass auch A — Fo = z> — Po = F ~ Fo = °- Hieraus folgt die Bedingung A = D = F. Nimmt man den gemeinsamen Werth dieser Grössen für jx 0 , so ist R = 0 und die Gleichungen No. II., 8. werden identisch; folglich ist jede Ebene, die durch B 0 geht, Symmetrieebene. Die Gleichung der Fläche ist A(x 2 -hy 2 -4-.Z 2 ) -+- 2 Gx -t- 2 Hy 2 Jz - 4 - AT = 0 . die Fläche ist daher eine Kugel. 13. Der Untersuchung des Falles = 0 schicken wir einige Bemerkungen über die Geraden voraus, die eine Fläche II. O. in einem unendlich fernen Punkte treffen. Eine Gerade, die durch einen Punkt n geht und mit den Achsen die Winkel a, ß, -( bildet, hat mit der Fläche II. O. f = 0 einen unendlich fernen Punkt gemein, wenn in der Gleichung No. 1, 1 der Coefficient von r 2 verschwindet, wenn also a, ß, y der Bedingung genügen 1. Acos 2 a -+- 2Bcosa cosQ - 4 - 2 Ccoscn cosy -t- Dcos 2 § - 4 - 2£cos§ cos 7 - 4 - Ecos 2 f = 0. Zieht man durch den Nullpunkt eine Parallele zu einer solchen Geraden, und ist P ein Punkt dieser Parallelen, so ist x \ y : z = cos a : cosß : cosy, mithin erfüllen die Coordinaten x, y, z die Gleichung 2. k = Ax 2 -+- 2Bxy -+- 2 Cxz + Dy 2 + 2Eyz + Fz 2 = 0. Diese Gleichung enthält nur die quadratischen Glieder der Function /, sie stellt daher einen Kegel zweiter Ordnung dar, dessen Spitze im Nullpunkte hegt; der Kegel ist unabhängig von den Coordinaten des Punktes P 0 . Bezogen auf die Symmetrieebenen ist die Gleichung einer centralen Fläche II. O. f = Ax 2 - 4 - Dy 2 + Fz 2 + K = 0, die Gleichung des Kegels k wird daher k = Ax 2 + Dy 2 -+- Fz 2 = 0. Beim Ellipsoid haben die Coefficienten A, D, F dasselbe Vorzeichen. Der Kegel k enthält daher ausser der Spitze keinen realen Punkt; es giebt mithin keine realen Geraden, die ein Ellipsoid in einem unendlich fernen Punkte treffen. Bei den Hyperboloiden haben wir den Kegel k = 0 (in § 6, No. 9 und 12) bereits als Asymptotenkegel kennen gelernt. Alle Geraden, die ein Hyperboloid in einem unendlich fernen Punkte treffen, sind daher den Mantellinien des Asymptotenkegels parallel. Giebt man den Gleichungen der beiden Paraboloide die Form f ~ Ax 2 -t- Dy 2 -t- 2 Jz = 0, so erhält man k = Ax 2 - 1 - Dy 2 = 0. Beim elliptischen Paraboloide haben A und D gleiches Vorzeichen; daher besteht die dieser Gleichung zugehörige Fläche aus zwei imaginären Ebenen -\/A ■ x -[/— D ■ y = 0 , y A • x — y — D . y = 0 , die sich in der Z-Achse schneiden, und ausser derselben reale Punkte nicht enthalten. Alle Geraden, die ein elliptisches Paraboloid in einem unendlich fernen Punkte treffen, sind der Achse des Paraboloids parallel. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 1$ 274 Analytische Geometrie. Beim hyperbolischen Paraboloide haben A und D verschiedene Vorzeichen; die Ebenen YÄ • x -t- Y — d ■ y = o, Y A • x -i- Y — d • y = o sind daher real. Die Geraden, die ein hyperbolisches Paraboloid in einem unendlich fernen Punkte treffen, sind den Asymptotenebenen parallel (vergl. § 6, 18). 14. Wenn verschwindet, so zerfällt die quadratische Function a(*Y+ + 2C* 4- fikV+SE* + F \zj z z z \z J z in zwei lineare Faktoren (Anal. Geom. d. Ebene § 13> No. 3.) ( a 7 + J 7 + + + "')• Daher zerfällt der Kegel k in die beiden Ebenen 1. (ax -f- by 4- cz) (a!x -t- b'y -+■ c'z ) = 0. Dieselben sind real und verschieden, real und vereint, oder conjugirt com- plex. Im letzteren Falle werden sie von jeder Ebene z = d in den conjugirt complexen Geraden getroffen (ax -+- by 4 - cd)(a'x 4- b' y 4- c’d) = 0. Da diese einen realen Punkt gemein haben, so folgt, dass die Schnittlinie der Ebenen 1. auch dann real ist, wenn die Ebenen conjugirt complex sind. Wählt man diese Schnittgerade zur Z-Achse eines neuen Coordinatensystems, so muss die Gleichung k = 0 ftir dieses System zwei Ebenen darstellen, die die Z-Achse enthalten; hieraus folgt C—E=F= 0. Unter dieser Voraussetzung wird die Gleichung für p. — p [p 2 — (A 4 - Z>)p 4 - AD — &] = 0; dieselbe ergiebt die Wurzeln Fo = °> Pi und P2 = 4- D) ± ^Y^ B * 4 - (A — DY . Die Wurzeln p t und p 2 sind real. Ist A — B — D = 0, so verschwinden alle drei Wurzeln dieser Gleichung. Die Fläche reducirt sich dann auf 2 Gx 4 - 2 Hy + 2/j 4- 1= 0, artet also in den Verein dieser Ebene und der unendlich fernen Ebene aus. Ist AD = B 2 , so verschwindet p 2 ; die Fläche enthält daher unter dieser Voraussetzung nur eine Symmetrieebene; hierdurch ist sie als parabolischer Cylinder charakterisirt. In jedem andern Falle ergeben die Proportionen No. 11, 10. 2. cos~( = 0, cosa : cosß = (p — D) : B = B : (p — Ä). Ist B = 0 und A = D, so bleibt das Verhältniss cosa : cos ?> unbestimmt; alsdann sind alle durch P 0 gehenden Verticalebenen zugleich Symmetrieebenen der Fläche, und ausserdem hat dieselbe keine Symmetrieebenen; die Fläche ist daher ein Rotationsparaboloid. Wenn B nicht verschwindet, so folgen aus 2. zwei bestimmte Werthpaare für cos et und cos jt, für welche cos ix., : cos$ j = (p t — D) : B , cos a 2 : cos$ 2 = (p 2 — D) : B . Hieraus folgt cosa. l cos a 2 4- cos$ t cosfi^ = n [(p t — D) (p 2 — D) 4- B 2 ] , wobei n eine leicht angebbare Grösse bezeichnet. Da nun § 7- Symmetrieebenen der Flächen zweiter Ordnung. 275 = AD — Z? 2 , [Aj -+- [a 2 = A 4 - D, so folgt cosa. 1 cosa 2 4 - cos^ 1 cos $2 = 0 - Die beiden Symmetrieebenen der Fläche sind daher normal zu einander; folglich ist die Fläche ein elliptisches oder ein hyberbolisches Paraboloid. 15. Aus diesen Untersuchungen ziehen wir den Schluss, dass es nur folgende Arten eigentlicher (nicht in Ebenen zerfallender) Flächen II. O. giebt: Parabolische, elliptische und hyperbolische Cylinder; Kegel; elliptische und hyperbolische Paraboloide; einschalige und zwei- schalige Hyperboloide; Ellipsoide. 16. Wir kehren zu dem Ausgangspunkte unserer Untersuchung über Symmetrieebenen an Flächen zweiter Ordnung zurück und knüpfen noch einige Bemerkungen an die Proportionen No. 11, 10, unter der Voraussetzung, dass für keine Wurzel ja der Gleichung R = 0 alle Subdeterminanten von R verschwinden. Setzen wir abkürzend (Z>— y)(F— ja) — £ 2 =9t, CE — B(F — ja) = 33, BE — C(D — ja) =6, L (A — y.)(F— ia)— C 2 ^©, CB-E(A— p) — (A — y.)(D-y)-B^ %, so haben wir cosa. : cos$ : cos'i — 91 : 33 : 6, 2. =58:®:®, = 6 :® :%■ Erweitert man die drei Verhältnisse rechts der Reihe nach mit ®, G, 33 und ersetzt dann die in der Diagonalreihe stehenden Produkte 91®, ©S, 33 $5 der Reihe nach durch die auf Grund der Proportionen 2. gleichen Produkte 936, 58®, 6®, so erhält man die Proportion 3. cosa : cosfy : cosf = 936 : 33© : 6®, woraus durch Division mit 336® hervorgeht - „ 1 1 1 4. cosa : cosy : cosy = g ’ g • ig • Da 1:6, 1:6, 1 : 33 proportional den Subdeterminanten 9t, 33, 6 der Glieder, z. B. der ersten Zeile der Determinante R sind, und da diese Determinante verschwindet, so ist 6 — © — 33 • Bezeichnen wir die Wurzeln der Gleichung R = 0 (oder der gleichbedeutenden Gleichung 5.) mit jaj, (a 2 , fA 3 , und setzen für @, 6, 33 in 5. die Werthe ein, so erhalten wir daher die Gleichungen A — Pi B C 7. 8 . CB — EA 4 - Ep., A — y. 2 BE- CD B CB- — EA 4- A — y. 3 Ey- 2 BE — CD 4 - Cy. 2 B CE — BF-\- By. t _ C _ CE — BF 4- By *2 C 0, = 0, BE — CD 4 - U[a, CE — B F -+- By. s = 0. CB — EA -1- -£|a 3 Subtrahiren wir die zweite dieser drei Gleichungen von der ersten und beachten, dass {A - [Aj) (CB — EA 4- £ t x 2 ) - (A - [a 2 ) ( CB-EA + Ey.,) ^ (^ - H ) BC, so erhalten wir nach Division durch ([a 2 — |a, ) B C] und wenn wir die Werthe, welche die Grössen 33, 6, 6 annehmen, wenn darin p. durch ja, (i — 1, 2, 3) ersetzt wird, durch 33», ©*, 6/, bezeichnen 18* 276 Analytische Geometrie. 9 ' © x @ 2 + 6 , © 2 + _ °' Ebenso entstehen durch Subtraction der Gleichungen 7. und 8 . und nach- herige Division durch (ja., — ja 2 ) BC, sowie auf gleiche Weise aus den Gleichungen G. und 8 . die beiden Gleichungen 10 . 11 . 1 1 @2 ©3 1 6* ©2®3 1 ©1 ©3 = 0 , = 0. Sind a;, man nach 4. ß,-, ■{, die Stellungswinkel, welche zur Wurzel p./ gehören, so hat „ 111 COS Ct j . COS'p-^ * cos~y -j — (§,*(§,' 33 } n ' 1 1 1 cosa.% : cos 04 cos a 3 4 - (rwßj r^rß 3 4- (Wf 3 = 0 . Diese Formeln zeigen, dass die drei Symmetrieebenen einer Fläche zweiter Ordnung mit einander rechte Winkel bilden. § 8. Gerade Linien auf Flächen zweiter Ordnung. 1. Wird der Punkt II auf der Fläche II. O. / = 0 angenommen, so ist in der Gleichung § 7, No. 1, 1 /(£, 7 ), £) = 0. Soll nun die in der Richtung a, ß, f durch II gezogene Gerade ganz auf der Fläche f — 0 liegen, so muss die Gleichung (f{ ■ cosa 4 - ff ■ cos$ 4- f! ■ cos~{) r 4 - {Acos 2 a 4 - ... 4- Fcos 2 y) r 2 = 0 identisch sein; die Winkel a, ß, 7 müssen also den Gleichungen genügen 1. f! •cosa. 4-/r,' • cos§ 4- f! • cosf = 0 , 2. Acos 2 a 4- 2Bcosx cos§ 4- 2Ccosa cosf 4 - Dcos 2 § 4- 2 Ecosfy cos-( 4- Fcos 2 -j = 0. Die Gleichung 1. zeigt, dass die durch II gehenden Geraden der Fläche auf der Tangentenebene des Punktes liegen (§ 5, No. 3); aus der Gleichung 2. folgt, dass sie den Mantellinien des Asymptotenkegels parallel sind (wobei man beim hyperbolischen Paraboloide die beiden Asymptotenebenen als einen ausgearteten Kegel betrachten kann). 2. Für das hyperbolische Paraboloid ergiebt sich hieraus der Satz: Durch jeden Punkt eines hyperbolischen Paraboloids gehen zwei Gerade, die ganz auf der Fläche liegen; die eine ist der einen Asymptotenebene, die andere der andern parallel. Das hyperbolische Paraboloid wird daher von zwei Systemen von Geraden bedeckt; die Geraden jedes Systems sind einer Asymptotenebene parallel; durch jeden Punkt der Fläche geht eine Gerade jedes Systems. Die Geraden desselben Systems schneiden sich nicht; denn sonst würden durch den Schnittpunkt zwei derselben Asymptotenebene parallele Geraden der Fläche gehen. Legt man durch eine Gerade g der Fläche und durch einen Punkt P auf einer Geraden h des andern Systems eine Ebene T, so schneidet diese die Fläche f in einem Kegelschnitte, von dem die Gerade g ein Theil ist; zu der Schnittlinie § 8. Gerade Linien auf Flächen zweiter Ordnung. 277 gehört daher noch eine zweite Gerade, die durch P geht; diese zweite Gerade ist also eine der beiden durch P gehenden Geraden der Fläche. Da diese zweite Gerade nicht desselben Systems sein kann wie g (denn zwei Gerade desselben Systems schneiden sich nicht), so folgt, dass T die Fläche in den Geraden g und h schneidet, dass also g und h sich schneiden. Wir schliessen daher: Jede Gerade des einen Systems wird von jeder Geraden des andern Systems geschnitten. Jede Ebene, die durch g geht, schneidet f in einem Kegelschnitte, von welchem g ein Theil ist, der also aus g und aus einer Geraden h des andern Systems besteht, und berührt daher die Fläche in dem Punkte, in welchem g und h sich durchschneiden. Wir schliessen daher: Es giebt zwei Systeme von Ebenenbüscheln, welche aus lauter Tangentenebenen eines hyperbolischen Paraboloids bestehen; jede Tangentenebene gehört zu zwei solchen Büscheln, die verschiedenen Systemen angehören. Die Träger der Büschel sind die auf der Fläche liegenden Geraden. 3. Die allgemeine Gleichung der Fläche II. O. enthält zehn Coefficienten, deren Verhältnisse eindeutig berechnet werden, wenn neun Punkte der Fläche bekannt sind; denn durch jeden Punkt P r ist eine Gleichung fr = Ax , 2 4 - 2 Bx r y r 4 - ... 4- 2 Jz r 4 - K = 0 gegeben, die linear und homogen für die Coefficienten A, B, . . . J, K ist. Eine Fläche II. O. ist daher durch neun Punkte bestimmt. Wenn drei Punkte einer Fläche in gerader Linie liegen, so liegt diese Gerade ganz auf der Fläche; denn die Coordinaten der Schnittpunkte einer Geraden und einer Fläche II. O. hängen von einer quadratischen Gleichung ab, und wenn dieser von mehr als zwei Wurzeln genügt wird, so ist sie identisch. Sind von einem hyperbolischen Paraboloide zwei Gerade a und a x gegeben, die sich nicht schneiden, so gelten diese daher für zusammen sechs Punkte der Fläche; sind noch zwei Gerade ß und ß x gegeben, deren jede die Geraden a und a x schneidet, so dass a, a x und ß, ß x die Gegenseiten eines unebenen Vierseits bilden, so gelten die Geraden ß und ß x , da jede durch zwei gegebene Punkte der Fläche, nämlich durch Punkte auf a und a x gelegt ist, zusammen für zwei neue Punkte. Ein unebenes Vierseit, das ganz auf einer Fläche II. O. enthalten ist, zählt also für acht Punkte der Fläche. Da für die Coefficienten in der Gleichung eines Paraboloids die Bedingung gilt A, - ABC B D E CEF = 0 , so kann auf Grund dieser Gleichung einer der Coefficienten, z. B. F, durch die andern ausgerechnet werden; man bedarf daher zur Bestimmung eines Paraboloids eines Punktes weniger als im allgemeinen Falle. Wir sehen daher: Ein Para- boloid ist durch acht Punkte bestimmt. Ein hyperbolisches Para- boloid ist durch ein unebenes Vierseit bestimmt. Um das Paraboloid zu construiren, auf welchem das unebene Vierseit der Geraden a, ß, a 1 , ß x liegt, bemerken wir, dass eine Asymptotenebene parallel den Geraden a und a x , die andere parallel ß und ß x ist. Da nun alle Geraden des Systems, zu welchem ß und ß x gehören, die beiden Geraden a und a x des andern Systems schneiden und der letzteren Asymptotenebene parallel sind, so erhält man das ganze Paraboloid, wenn man eine Gerade 7 längs der Geraden 278 Analytische Geometrie. a und 04 so fortführt, dass sie einer Ebene E parallel bleibt, die zu ß und ß x parallel ist. Die Punkte P und Q, in welchen a und ctj von der Geraden 7 in irgend einem Augenblicke getroffen wird, sind daher zugleich Schnittpunkte der Geraden a und a x mit einer zu E parallelen Ebene. Sind nun P t , Q 1 und P 2 , Q 2 die Schnittpunkte von a, mit ß und ß x , so hat man die Proportion fi-P'-QiQ = Dies ergiebt: Die Geraden a, a x etc. eines hyperbolischen Para- boloids werden von den Geraden des andern Systems 7 in ähnlichen Punktreihen geschnitten, und zwar entsprechen sich die Punkte, die auf derselben Geraden 7 liegen. Umgekehrt schliesst man leicht, dass, wenn zwei ähnliche Punktreihen auf zwei Geraden a und a x liegen, die sich nicht schneiden, die Verbindungsgeraden je zweier entsprechenden Punkte einer festen Ebene parallel sind. Wir schliessen daher: Die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte zweier ähnlichen Punktreihen bedecken ein hyperbolisches Paraboloid; sie bilden die Geraden eines Systems, während die Träger a und a x der Punktreihen zu dem andern Systeme gehören. 4. Um zu erfahren, ob durch einen Punkt II eines Hyperboloids f == Ax 2 -(- Dy 2 -+- Az 2 — 1 = 0 reale Gerade gezogen werden können, die ganz auf der Fläche liegen, haben wir nachzusehen, ob in der Tangentenebene T des Punktes II durch II Gerade gezogen werden können, welche Mantellinien des Asymptotenkegels parallel sind. Legt man durch den Mittelpunkt der Fläche eine Ebene T x parallel zu T, so lassen sich in T durch II zwei reale verschiedene, zwei reale zusammenfallende, oder keine realen Geraden parallel zu Mantellinien des Asymptotenkegels legen, je nachdem derselbe von der Parallelebene T x in zwei Mantellinien geschnitten, oder entlang einer Mantellinie berührt wird, oder ausser der Spitze keine realen Schnittpunkte mit T t gemein hat. Die Gleichungen des Asymptotenkegels und der Tangentialebene T sind 1. k Ax 2 H- Dy 2 -t- Fz 2 = 0 , 2. T = Alx -+- Dr\y + FZz — 1 = 0 . Die Gleichung der den Mittelpunkt enthaltenden Paralellebene 7\ ist demnach 3. T x 53 A'ix -+- Dr\y -+■ E£z = 0. Multiplicirt man 1. mit jE £ 2 und setzt dann für E 2 £ 2 z 2 den Werth aus 3. ein, so entsteht EZ 2 ( Ax 2 + Dy 2 ) + (Aix + Dr^y) 2 = 0 , oder besser geordnet 4. (EAZ 2 + A 2 Z 2 ) x 2 -h ZADtri-xy -+- (EDZ 2 -h D 2 ri 2 )y 2 = 0. Dies ist die Gleichung der Horizontalprojection des Schnittes von k und T\ sie stellt zwei durch den Nullpunkt gehende Gerade dar; dieselben sind real verschieden, zusammenfallend, oder imaginär, je nachdem die Gleichung 4., nach x aufgelöst, zwei reale verschiedene, zusammenfallende, oder imaginäre Wurzeln hat, je nachdem also A 2 D 2 Z 2 ri 2 — (ED Z 2 + D 2 r\ 2 )(EA Z 2 +A 2 Z 2 ) g 0. Multiplicirt man die beiden Binome, so erhält man 5. - AD FZ 2 (A\ 2 + ZU ) 2 + FZ 2 ) § 0 . Da nun II auf dem Hyperboloide liegt, so ist ^i ; 2 + D-q 2 -l- FZ 2 = 1, das Kriterium 5. geht daher über in § 8. Gerade Linien auf Flächen zweiter Ordnung. 279 6. — ADF | 0. Das zweischalige Hyperboloid hat die Gleichung x 2 y 2 z 2 a 2 b 2 c 2 ^ also ist hier — ADF = — -k-tö - ö ; a 2 b 2 c 2 das einschalige Hyperboloid hat die Gleichung folglich ist — ADF = Hieraus folgt: Auf dem zweischaligen Hyperboloide liegen keine realen Geraden. Durch jeden Punkt eines einschaligen Hyperboloids lassen sich zwei reale Gerade auf der Fläche ziehen. Die durch einen Punkt eines einschaligen Hyperboloids gehenden Geraden fallen nur dann zusammen, wenn für diesen Punkt A\ 2 -p xy + Ft 2 = 0, also wenn der Punkt zugleich auf dem Asymptotenkegel liegt. Da nun die Mantellinien des Asymptotenkegels mit dem Hyperboloid unendlich ferne Punkte gemein haben, und da ferner zwei Gerade, die im unendlich Fernen sich unter einem verschwindend kleinen Winkel schneiden, parallel sind, so folgt der Satz: Die Geraden eines einschaligen Hyperboloids sind paarweis parallel. 5. Wie beim hyperbolischen Paraboloide (No. 2), so überzeugt man sich auch hier, dass jede Ebene, die durch eine Gerade g eines Hyperboloids gelegt wird, die Fläche in einer zweiten Geraden h schneidet, und Tangentenebene der Fläche in dem Schnittpunkte P der Geraden g und h ist; sowie, dass durch jeden Punkt P des Hyperboloids eine Gerade h desselben geht, welche die Gerade g schneidet. Die zweite Gerade g x , die ausser h durch P geht, kann die Gerade g nicht schneiden; denn sonst würden die drei Geraden g, h, g x auf einer Ebene liegen, diese Ebene würde also mit der Fläche ein Gebilde dritter Ordnung, nämlich den Verein der drei Geraden g, h, g x , gemein haben — im Widerspruche mit der Thatsache, dass eine Ebene mit einer Fläche II. O. nur ein Gebilde zweiter Ordnung gemein hat. Sämmtliche Gerade eines einschaligen Hyperboloids zerfallen also in zwei Systeme: in solche, die eine gegebene Gerade g der Fläche schneiden, und in solche, die g nicht schneiden; durch jeden Punkt der Fläche geht von jedem der beiden Systeme eine Gerade. Zwei Gerade h und h x , welche g schneiden, können sich ebenfalls nicht schneiden, da sonst das Dreieck der Geraden h, h x , g auf der Fläche liegen würde. Jedes der beiden Systeme von Geraden, die auf einem einschaligen Hyperbo* loide liegen, enthält also solche Gerade, die sich nicht schneiden, während jede Gerade des einen Systems von jeder Geraden des andern Systems geschnitten wird. Da jede durch eine Gerade eines Hyperboloids gelegte Ebene die Fläche in einem Punkte dieser Geraden berührt, so hat man den Satz: Es giebt zwei Systeme von Ebenenbüscheln, deren Ebenen sämmtlich Tangentenebenen eines einschaligen Hyperboloids sind; jede Tangentenebene des Hyperboloids gehört zu zwei Büscheln verschiedener Systeme! die Träger dieser Systeme von Tangentialebenen-Büscheln sind die beiden Systeme von Geraden des Hyperboloids. 28 o Analytische Geometrie. 6. Durch drei Gerade g x , g 2 , g 3 , die nicht zu zweien auf einer Ebene liegen, ist ein Hyperboloid bestimmt, denn diese Geraden des Hyperboloids sind gleichbedeutend mit neun gegebenen Punkten, deren je drei auf einer der Geraden liegen. Die Geraden g x , g 2 , g s schneiden sich nicht, sie gehören also zu demselben Systeme; es werden daher alle drei von jeder Geraden h des andern Systems geschnitten. Da nun durch jeden Punkt der Geraden g nur eine Gerade gelegt werden kann, welche g 2 und g s schneidet, so folgt: Wenn eine Gerade h sich so bewegt, dass sie in allen ihren Lagen drei gegebene Gerade g x , g 2 , g s schneidet, so beschreibt sie ein einschaliges Hyperboloid; die verschiedenen Lagen von h sind die Geraden des einen Systems, die Geraden g x , g 2 , g 3 gehören zu dem andern Systeme. Durch ein unebenes Vierseit und einen Punkt A ist ein einschaliges Hyperboloid bestimmt. Die Geraden des Hyperboloids, die durch A gehen, sind die Geraden, welche die Gegenseiten des unebenen Vierecks schneiden. 7. Die Gerade h, die durch einen Punkt P der Geraden g x geht und die Geraden g 2 , g 3 schneidet, wird dadurch erhalten, dass man den Punkt P durch Ebenen T und T' projicirt, die durch g 2 und g 3 gelegt sind; die Schnittgerade dieser Ebenen ist die gesuchte Gerade. Rückt mm P auf g x fort, so beschreiben die Ebenen T und die Ebenen T' zwei Ebenenbüschel, welche die Träger g 2 und g 3 haben; diese Büschel, die aus lauter Tangentenebenen der Fläche bestehen, sind projectiv mit der Punktreihe auf h, die sie projiciren, und mithin auch unter einander projectiv. Wir sehen daher: Je zwei zu demselben Systeme gehörige Büschel von Tangentenebenen eines einschaligen Hyperboloids (und eines hyperbolischen Paraboloids, auf welches man denselben Beweisgang anwenden kann) sind projectiv; und zwar entsprechen sich die Ebenen, welche dieselbe Gerade des andern Systems enthalten, also zusammen ein Büschel des andern Systems bilden. Man kann die Gerade g x durch irgend eine andere Gerade g desselben Systems ersetzen; g wird von allen Geraden h des andern Systems geschnitten, in jedem Punkte von g treffen sich also zwei entsprechende Ebenen der Büschel, deren Träger g 2 und g 3 sind; mithin werden die Geraden, die zu demselben Systeme gehören, von den Geraden des andern Systems in projectiven Punktreihen getroffen, und zwar entsprechen sich die Punkte, die auf derselben Geraden des andern Systems liegen. 8. Umgekehrt schliesst man leicht: Der Ort der Schnittgeraden je zweier entsprechenden Ebenen zweier projectiven Ebenenbüschel, "deren Träger nicht auf einer Ebene liegen, ist ein einschaliges Hyperboloid oder ein hyperbolisches Paraboloid. Denn sind in den beiden Büscheln die Ebenen T x , T 2 , T 3yK T x , T 2 , T 3 und sind die Gleichungen von T 3 und T 3 1\ ^ a x T x + a 2 T 2 = 0, T s ’ ^ b x T x ' -+- b 2 T 2 ' = 0, so sind die Gleichungen zweier entsprechenden Ebenen T= l x a x T x -+- \ 2 a 2 7\ = 0, 7’= Mi 7 / + Ma 7 / = °- Die Schnittpunkte beider Ebenen genügen der Gleichung, die sich durch Elimination von und X 2 aus T = 0 und T' = 0 ergiebt, also der Gleichung ä i ^ 2 7 i 7 2 ~ a ib x 7 2 7 1 1 = 0 ; dies ist eine Gleichung zweiten Grades. § 9 - Schnittcurve und Schnittpunkte von Flächen zweiter Ordnung. Kreisschnitte. 281 Wenn die beiden Ebenenbüschel ein hyperbolisches Paraboloid erzeugen, so sind die beiden Träger der einen, und die Schnittlinien je zweier entsprechenden Ebenen der andern Asymptotenebene parallel; daher schneiden je zwei entsprechende Ebenen die letztere Asymptotenebene in parallelen Geraden, erzeugen also auf ihr zwei projective Strahlbüschel, deren entsprechende Strahlen parallel sind. Durch Umkehrung findet man: Hat man auf einer Ebene E zwei congruente Strahlbüschel 5 und S', deren entsprechende Strahlen parallel sind, zieht durch die Träger zwei nicht auf E liegende sich nicht schneidende Gerade a und a' und projicirt 5 und S' von a und a' aus, so schneiden sich je zwei entsprechende Ebenen der so erzeugten Ebenenbüschel in den Geraden eines hyperbolischen Para- boloids; eine Asymptotenebene desselben ist parallel zu E, die andere parallel zu a und a'. Ferner: Die Ebenenbüschel, deren Träger die entsprechenden Punkte zweier projectiven Punktreihen verbinden (die nicht auf derselben Ebene liegen) umhüllen (berühren) ein einschaliges Hyperboloid oder ein hyperbolisches Paraboloid. Sind nämlich entsprechende Punktpaare der beiden Reihen F l, F 2> F Z 7^ F \> F i’ P i ’ und ist F 3 = a \ F \ 4- a 2 F 2 ’ F 3 = ^\ F l' ~P ^2 F 2 > so sind die Gleichungen irgend zweier entsprechenden Punkte P == \ x a x P x 4 - X 2 a 2 P 2 =0, P' \ x b x P x 4- \ 2 b 2 P 2 = 0. Die Ebenen, welche durch zwei entsprechende Punkte gehen, erfüllen die Gleichung, welche durch Elimination von Aj und X 2 aus P — 0 und P' = 0 hervorgeht a x b 2 P x P 2 — a 2 b x P 2 P x = 0. Dies ist die Gleichung der umhüllten Fläche in Ebenencoordinaten. Man kann dem soeben bewiesenen Satze auch folgende Fassung geben: Der Ort der Geraden k, welche je zwei entsprechende Punkte zweier projectiven Puriktreihen verbinden, deren Träger nicht auf derselben Ebene liegen, ist ein einschaliges Hyperboloid; die Geraden h bilden das eine System von Geraden des Hyperboloids die Träger der beiden Punktreihen gehören zu dem anderen Systeme. Wir bemerken schliesslich, dass die Flächen zweiter Ordnung, welche Gerade enthalten, unter der Bezeichnung Regel flächen zweiten Grades zusammengefasst werden. § 9. Schnittcurve und Schnittpunkte von Flächen zweiter Ordnung. Kreisschnitte. 1. Die Schnittpunkte zweier Flächen II. O. genügen den Gleichungen der beiden Flächen f=Ax 2 -h 2Pxy-h ■ . .+2 Jz+K= 0 und g^Äx^ ^-'2£'xy-\-. . K' = 0; eliminirt man der Reihe nach x, y und z aus diesen Gleichungen, so erhält man die Gleichungen der drei Projectionen der Schnittcurve der beiden Flächen; diese drei Gleichungen sind vom vierten Gerade; die Projectionen der Schnittcurven zweier P’lächen II. O. sind also Curven vierter Ordnung. Um die Coordinaten der Punkte zu erhalten, in denen die Schnittcurve der Flächen f und g von einer Ebene T == mx 4 - ny 4 - pz 4 - q = 0 282 Analytische Geometrie. geschnitten wird, kann man z mittelst der Gleichung T == 0 auch den Gleichungen f = 0 und g — 0 entfernen; man erhält dann zwei Gleichungen zweiten Grades für x und y; bestimmt man die vier gemeinsamen Wurzelsysteme, und zu jedem Werthsysteme durch die Gleichung T = 0 den zugehörigen Werth von z, so erhält man die Coordinaten der gesuchten Schnittpunkte. Man sieht hieraus: Die Schnittcurve zweier Flächen II. O. wird von einer Ebene in vier Punkten geschnitten. Man bezeichnet daher diese Schnittcurve als eine Raumcurve vierter Ordnung; indem man als Raumcurve «ter Ordnung eine Raumcurve bezeichnet, die von einer Ebene in «Punkten geschnitten wird. Zum Unterschiede von Raumcurven vierter Ordnung, die nicht auf zwei Flächen II. O. liegen, bezeichnet man die Schnittcurve zweier Flächen II. O. als Raumcurve vierter Ordnung erster Species. 2 . Wenn eine Fläche II. O. die acht Punkte P x , . . . P g enthält, so bestehen die Gleichungen Ax 2 -+- 2Bxy 4- 2 Cxz 4- Dy 2 4- ... 4- 2 Jz -+- K = 0 , Ax j 2 4 - 2 Bx x y x -t- 2 Cx 1 z 1 4- Dy t 2 4- ... 4- 2 Jz x -t- K = 0, Ax g 2 4- 2Bx g y s 4- 2 Cx g z g 4- Dy£ -+- ... 4- 2 Jz g 4- K = 0 . Der Verein dieser Gleichungen wird durch das Verschwinden der Determinante bedingt Ax 2 4- 2 Bxy, xz y 2 yz z 2 x y z 1 Ax^ 4 - 2 Bx 1 y 1 , y i 2 Ji*i z 2 x x y t Z 1 1 /-= Ax£ 4- 2Bx 2 y 2 , X 2 %2 Z 2 1 = 0 Ax 8 2 4- 2 Bx g y a , x g z g Z 8 1 Dies ist die Bedingung dafür, dass P auf einer durch die gegebenen Punkte gehenden Fläche II. O. liegt, ist also der allgemeine Form der Gleichung irgend einer durch P v . . P g gehende Fläche II. O. Die Function / zerfällt in die Summe zweier quadratischen Functionen f es A • cp 4- 2 B • 4*, wobei cp und ']> aus f hervorgehen, wenn man die erste Colonne durch x s , xy 2 , x 2 2 , ■ ■ ■ x s 2 , bez. durch xy , x 1 y 1 , . . . x a y s ersetzt. Die eindeutig bestimmten Flächen cp = 0 und

die Coordinaten x, y, z durch die Coordinaten eines der Punkte P lt .•. . P s ersetzt, so wird die erste Zeile in

. Alle Punkte, deren Coordinaten die beiden Gleichungen erfüllen cp = 0 und c}< = 0, genügen auch der Gleichung f = A cp 4- B$p = 0 . Hieraus ergiebt sich der Satz: Alle die unendlich vielen Flächen II. O., die durch acht gegebene Punkte gehen, haben eine durch diese Punkte gehende Raumcurve vierter Ordnung mit einander gemein; diese Curve ist der Schnitt zweier durch die Coordinaten der gegebenen Punkte vollständig bestimmten Flächen II. O. (cp = 0 und cj> = 0) und mithin selbst durch die acht Punkte eindeutig bestimmt. 3. Wenn eine Fläche II. O. durch acht auf einer Raumcurve C § 9 ' Schnittcurve und Schnittpunkte von Flächen zweiter Ordnung. Kreisschnitte. 283 vierter Ordnung erster Species beliebig gewählte Punkte P x , . . . P s hindurch geht, so geht sie durch alle Punkte dieser Curve. Denn zwei Flächen f x und f 2 , deren Schnitt die Curve C ist, gehen beide durch die Punkte P x , P % , mithin enthalten sie auch die durch diese Punkte bestimmte Raumcurve vierter Ordnung, folglich ist dieselbe mit C identisch. Durch eine Raumcurve IV. O. 1. Sp. lassen sich unzählig viele Flächen zweiter Ordnung legen. Diese Flächen bilden ein Büschel, dessen Träger die Raumcurve ist, die sie gemein haben. 4. Haben zwei Flächen II. O. eine Gerade G gemein, so schneiden sie sich ausserdem noch in einer realen Curve; denn jede Ebene E, die durch G gelegt wird, schneidet die beiden Flächen noch ausserdem jede in einer realen Geraden, und der endlich oder unendlich ferne Punkt P dieser beiden Geraden ist ein gemeinsamer Punkt der beiden Flächen II. O.; dreht sich E um die Gerade G, so beschreibt P die Curve, in welcher die beiden Flächen ausserhalb G sich schneiden. Diese Schnittcurve hat mit einer Ebene nur noch drei Punkte gemein, und ist daher eine Raumcurve dritter Ordnung. 5. Wenn fünf Punkte der Durchschnittscurve zweier Flächen II. O. / = 0 und g = 0 auf einer Ebene T liegen, so haben die Flächen den durch diese fünf Punkte auf T bestimmten Kegelschnitt mit einander gemein; denn die Ebene T trifft jede der beiden Flächen in einem Kegelschnitte, der durch die fünf Punkte geht, mithin sind diese beiden Kegelschnitte identisch. Wählt man T zur X K-Ebene eines Coordinatensystems, und sind f = Ax 2 -h 2Bxy -+- . . . -+- K = 0, g = A x x 2 -+- 2B x xy -4- . . . K x = 0 die Gleichungen der Flächen in Bezug auf dieses System, so muss die Substitution 2 = 0 in f und g auf Gleichungen führen, die gleichbedeutend sind, die also nur um einen constanten Faktor von einander abweichen. Ist n dieser Faktor, so hat man daher Ax 2 -+- 2 Bxy -t- Dy 2 -+- 2 Gx -+- 2 Hy y- Kssn ( A x x 2 y-2 B x xy y-D x y 2 - 4 - • . + K x ). Bildet man die Differenz /— ng , so erhält man ' f-ng ^ z[2(C-C x )x + 2 {E-E x )y + (E-E x )z + 2(/-/ x )]. Die Punkte, welche / = 0 und g = 0 erfüllen, und für welche nicht z = 0 ist, genügen somit der Gleichung T x s== 2 (C —Cj) x -+- 2 (E — E x )y -+- (F — F x ) z + 2 (J — J x ) = 0. Dies ist die Gleichung einer bestimmten Ebene; je nachdem diese Ebene f und g in einem realen oder imaginären Kegelschnitte trifft, haben die beiden Flächen ausser dem auf T liegenden Kegelschnitte noch diesen realen oder imaginären Kegelschnitt gemein; die Ebene T x dieses Kegelschnitts ist immer real. Wir schliessen daher: Wenn fünf Schnittpunkte 1, 2, 3, 4, 5 zweier Flächen II. O. auf einer Ebene T liegen, so zerfällt die Schnittcurve der beiden Flächen in zwei Kegelschnitte; der eine auf T liegende istdurch die Punkte 1 . . öbestimmt, derandere kann real oder imaginär sein; die Ebene, die ihn enthält, ist auch im letzteren Falle real. Oder: Wenn zwei Flächen II. O. einen Kegelschnitt gemein haben, so haben sie noch einen realen oder imaginären Kegelschnitt gemein, dessen Ebene stets real ist. Bezieht man die Flächen f und g auf ein beliebiges Coordinatensystem, und hat man dabei u. A. die Substitution auszuführen Z = ax' + ß/ + yz', 284 Analytische Geometrie. wobei x ', y', z' die Coordinaten im neuen Systeme sind, so erhält man, wenn f, g\ T x die Functionen sind, in welche f, g und T in Folge der Transformation übergehen f — ng' = (ax' 4 - ß/ -+- 7 z') T x '. Hieraus folgt: Wenn zwei Flächen II. O. /= 0 und £" = 0 sich in zwei ebenen Curven schneiden, so kann man die Function g mit einer geeigneten Zahl multipliciren, so dass die Differenz / — ng in zwei lineare Factoren zerfällt, die, gleich Null gesetzt, die Gleichungen der Ebenen der beiden Schnittcurven sind. 6 . Wenn eine Fläche II. O. 1- Ax 2 4 - 2 Bxy 4- 2 Cxz -t- . . 4 - 2Jz 4 - K = 0 sieben gegebene Punkte P v . . P 7 enthält, so bestehen die Gleichungen Axf 4 - 2 Bx 1 y 1 4 - 2Cx 1 z 1 4 - . . 4 - 2Jz x 4 - K = 0, 2 . . Ax 7 2 4 - 2 Bx 7 y 7 -+- 2 C*, 0 7 4 - ... 4 - 2 Jz 7 4 - K = 0. Der Verein der Gleichungen 1. und 2. wird durch das Verschwinden der Determinante bedingt Ax 2 4 - 2 Bxy -t- 2 Cxz, y 2 yz z 2 x y z 1 j y _ Ax 2 2Bx x y x + 2Cx l z 1 , y 2 y x z x z 2 x x y x z x 1 = Ax 7 2 + 2 Bx 7 y 7 4- 2C*,0 ? , y 7 2 y 7 z 7 z 7 2 x 7 y 7 z 7 1 Dies ist die allgemeine Form der Gleichung einer Fläche II. O., die durch die sieben gegebenen Punkte geht. Die Determinante f zerfällt in drei Determinanten 1 • f = A • tp 4 - 2 B • 4” C • y \ die quadratischen Functionen cp, ’\>, y gehen aus f hervor, wenn man die erste Colonne der Reihe nach durch x 2 , x j 2 . . xy bez. xy, x 1 y 1 , . . x 7 y 7 , bez. xz, x 1 z 1 , . . x 7 z 7 ersetzt. Aus 1. ist ersichtlich, dass alle Punkte, die den drei Flächen cp, ij;, y gemeinsam sind, auch auf jeder Fläche II. O. liegen, die durch die gegebenen sieben Punkte hindurch geht. Die Theorie der Gleichungen lehrt, dass drei Gleichungen zweiten Grades mit drei Unbekannten x, y, z durch acht Werthsysteme derselben befriedigt werden. Hieraus folgt, dass drei Flächen II. O. sich in acht Punkten schneiden. Jede Fläche II. O., die durch die sieben Punkte 1, 2 ... 7 geht, enthält also die acht Punkte, in denen sich die Flächen cp = 0, ij == 0 und 7 = 0 schneiden. Diese drei Flächen haben die gegebenen sieben Punkte gemein; denn wenn man in (£+Ca 0 ) und deren Parameter p == — (G + Cz 0 ) : D ist. Da nun je zwei Parabeln einander ähnlich sind, so ist damit der Satz bewiesen. Insbesondere folgt: Wird eine Fläche II. O. von einer Ebene in einem Kreise geschnitten, so wird die Fläche auch von allen Parallelebenen in Kreisen geschnitten. 8. Die Fläche II. O. / = 0 enthalte den Kreis K. Legt man durch K und durch einen anderen auf f liegenden Punkt eine Kugel S, so schneidet dieselbe die Fläche f ausser in K noch in einer ebenen Curve, hat also mit / noch einen Kreis K x gemein. Die Ebene dieses Kreises ist im Allgemeinen nicht zu K parallel. Denn sind K und K l parallel, so fallen die Geraden, welche in den Centren normal zu den Kreisebenen errichtet sind, in eine Gerade a zusammen, da sie beide durch das Centrum der Kugel S gehen und parallel sind. Die Gerade a ist Symmetrieachse für jeden ebenen Schnitt der Fläche /, der a enthält, da a zwei parallele Sehnen jedes solchen Schnittes, z. B .AB und CD senkrecht halbirt. Dreht man den durch a gehenden ebenen Schnitt A x , B x , C x , D x der Fläche / um a bis die Ebene in die ebenfalls durch a gehende Schnittebene ABCD fällt, so fallen A und A v B und B x , C und C x zusammen. Da nun die beiden Schnittcurven noch die beiden Punkte gemein haben, in welchem f von a geschnitten wird, so folgt, dass beide ebene Schnitte congruent sind; mithin sind alle durch a gehenden ebenen Schnitte congruent; folglich ist die Fläche eine Rotationsfläche und a ihre Rotationsachse. Wenn also f keine Rotationsfläche ist, so sind die Kreisebenen K und K x nicht parallel; wir schliessen daher: Wenn auf eine Fläche II. O., die keine Rotationsfläche ist, Kreise liegen, so giebt es zwei Schaaren von Parallelebenen, welche die Fläche in Kreisen schneiden. 9. Ueber das Vorhandensein von Kreisen auf einer Fläche II. O. werden wir nun in der Weise entscheiden, dass wir die Bedingungen untersuchen, unter denen die Schnittcurve der Fläche f und einer Kugel S in zwei ebene Curven zerfällt. Wir werden die Untersuchung für die einzelnen Flächenarten der Reihe nach durchführen. Vorerst bemerken wir noch, dass beim hyperbolischen Cylinder, beim parabolischen Cylinder und beim hyperbolischen Paraboloide von Kreisschnitten nicht die Rede sein kann. Denn jede Ebene schneidet einen hyperbolischen Cylinder sowie ein hyperbolisches Paraboloid in einer Curve, welche Punkte im Unendlichfernen hat, nämlich die Punkte, die auf den Schnittgeraden der Ebene E mit den beiden Asymptotenebenen der Fläche gelegen sind. Jeder ebene Schnitt eines hyperbolischen Cylinders ist also eine Hyperbel oder besteht aus zwei parallelen Geraden, je nachdem die Schnittebene der Mantellinien nicht parallel oder parallel ist; und jeder ebene Schnitt eines hyperbolischen Paraboloids ist eine Hyperbel oder eine Parabel, je nachdem die Ebene (M. 453.) § 9 - Schnittcurve und Schnittpunkte von Flächen zweiter Ordnung. Kreisschnitte. 287 der Achse nicht parallel oder parallel ist. Jeder ebene Schnitt eines parabolischen Cylinders ist eine Parabel oder besteht aus zwei Mantellinien. 10. Kreisschnitte des elliptischen Cylinders. Die Mittelpunkte aller ebenen Schnitte eines Cylinders liegen auf der Achse des Cylinders; wenn daher Kreise auf einem Cylinder liegen, so kann man jeden Punkt der Cylinderachse als Centrum einer Kugel wählen, die einen Kreisschnitt enthält. Soll die um den Nullpunkt mit dem Radius r beschriebene Kugel S ss x 2 -t- y 2 -+- z 2 — r 2 = 0 den elliptischen Kegel x 2 /-fr + T. in Kreisen schneiden, so muss für eine bestimmte Wahl des Faktors n die Differenz 1. / — = — 1 — n ( x 2 -f- y 2 -F z 2 — r 2 ) in zwei reale lineare Faktoren zerfallen. Hierzu ist zunächst erforderlich, dass die Fläche f—nS = 0 unendlich viele Doppelpunkte habe, dass also für die Function f—nS die Bedingungen gelten A = 0, Aj = 0. Nun ist in unserm Falle A = - (i - *) (i - *)»• (^ 2 -1) - A i “ - (i - n ) (i ~ n ) • *• Die Gleichungen A = 0 und A t = 0 haben die Wurzeln gemein „ 1 1 » = 0 , * = ^3 , * = J2 ' Die erste Wurzel führt zu keiner Lösung unserer Aufgabe. Die Wurzeln n = 1 : a 2 und n = 1 : b 2 liefern 2 . 3. Die Gleichungen f -5-5 = 0 und /-7 ö S — 0 J a l b‘ sind die Gleichungen zweier Cylinder zweiten Grades, die durch die Schnittcurve von f und S gehen und deren Mantellinien parallel zur A-Achse, bez. zur K-Achse sind. Diese beiden Cylinder zerfallen in zwei Ebenen, wenn r 2 — a 2 , bez. r 2 = b 2 . Man erhält unter diesen Voraussetzungen 4. v (* 2 +y 2 + * 2 - a2 ) — (i - i)^ 2 5 - -/“i (x 2 +y 2 +z 2 -b 2 )^ (±-±^x 2 -^ z *. Ist nun a > b, so ist in cp der Coefficient von y 2 positiv, mithin ist cp = 0 die Gleichung des Vereins der beiden realen Ebenen_ —5 • y H- z - 0 . fl & y ft T = — \ 7--* = 0 und r, ^ y — , „ . 1 b 2 a 2 J a 1 r b 2 a‘ ' a Die Gleichung cpj = 0 gehört hingegen zu zwei imaginären Ebenen, da der Coefficient von x 2 negativ ist. Es giebt also beim elliptischen Cylinder zwei Systeme von Kreisschnitten; 288 Analytische Geometrie. dieselben sind parallel zu den Ebenen T und T v Die Kreis§chnitte eines elliptischen Cylinders sind normal zu der Symmetrieebene, in welcher die kleine Achse des Cylinders liegt, und sind gegen einen Normalschnitt des Cylinders um den Winkel a geneigt, für welchen Vä*- tanga. — -4-1/ — — • — — -i- — t/JL_X : I = ± V b 2 a 2 a b 2 Die Gleichung des ib 2 a 2 ' a b 11. Kreisschnitte des Kegels zweiter Ordnung. Kegels sei x 2 y 2 z 2 !• + — ^2=°' die Gleichung einer Kugel, deren Centrum die Coordinaten d, e, f und die den Radius r hat, ist 2. cp = x 2 -h y 2 -h z 2 — 2 dx — 2ey — 2 fz+p = 0 , wenn p = d 2 -+- e 2 4- f 2 — r 2 . Die Determinanten A und A, der Function C — «cp sind 1 A = b 2 nd 0 , 0 , nd — n, 0 ; ne 0 , i ——»— n, c 2 n f ne r nf , — np ^ = (p- n ) (- ?-")■ Setzt man die Wurzeln der Gleichung Aj = 0, nämlich die Werthe b 2 r 2 ' der Reihe nach in A ein, so erhält man j_U_ J _L\ h _ i 2 . /J_M. ^{b 2 a 2 )\ c 2 a 2 J ’ b* \a 2 b 2 ) \ c 2 b 2 ) ’ bez. P (a 2 + p){b 2 + r 2 ) ‘ Diese Werthe verschwinden nur, wenn = 0, bez. Unter diesen Voraussetzungen erhält man der Reihe nach „ e , -r „ i ^ i-2 —„-y C* rt.& / b, so ist l 2 ~ h 2 > 0 ’ die Gleichungen 4. und 5. gehören dann zu elliptischen Cylindern; diese können für keine Wahl der unbestimmten Coordinaten des Kugelcentrums und des Radius r in zwei Ebenen ausarten; dies ist nur bei dem hyperbolischen Cylinder 3. möglich. Zerfällt 3. in ein Ebenenpaar, so muss die Gleichung 3., als Gleichung § 9 ’ Schnittcurve und Schnittpunkte von Flächen zweiter Ordnung. Kreisschnitte. 289 eines Kegelschnitts in der FZ-Ebene betrachtet, in ein Geradenpaar zerfallen, es muss also die Determinante verschwinden: 1 1 £ 2 0 1 rt 2 : / a 2 / a 2 P 1 p r 2 P 2+ « 2 I 1 _ d 2 - — r 2 , so erhält man nach (i + i) i] = 0 . G. i) + r ' = °- Ersetzt man in dieser Gleichung p durch e einfacher Reduction I (1 b 2 v^r 2 ' a Sieht man r als gegeben, die Coordinaten e ergiebt sich hieraus der Satz: Die Kugeln mit gegebenem Radius r, die einen Kegel II. O. in Kreisen schneiden, haben ihre Centra auf einer Ellipse, die auf einem Hauptschnitte liegt. Aus 3. ergiebt sich für den Winkel a, den die Kreisschnittebenen des Kegels mit der X F-Ebene bilden a‘ J \5 2 a 2 und f als unbestimmt an, so 7. tang a. viPWWPj-pV: — b*_ aP__ a 2 4 - c~‘ Die Kreisschnitte des Kegels II. O. sind rechtwinkelig zu dem Hauptschnitte des Kegels, dessen Mantellinien den kleineren Winkel mit der Kegelachse bilden, und bilden gleiche Winkel (90° — a) mit der Achse. 12. Kreisschnitte des Ellipsoids. Ist k ein Kreis auf einem Ellipsoide, so lege man eine Ebene parallel zu k durch das Centrum des Ellipsoids. Diese Ebene schneidet das Ellipsoid ebenfalls in einem Kreise, und durch diesen Kreis kann man eine Kugel legen, deren Centrum in das Centrum des Ellipsoids fallt. Um also die Kreisschnitte des Ellipsoids zu finden, hat man die Kugeln aufzusuchen, die mit dem Ellipsoide concentrisch sind und dasselbe in zwei ebenen Curven schneiden. Die Gleichungen des Ellipsoids und der Kugel sind F = y‘ 1 = 0 , s = Die Determinanten A und \ der Function f ■ 1 - yi nS sind - 0 . A = also ist r — », 0 0 0 b 2 -n, 1 0 0 J_ 72"—«. — 1 -\-nr i Ai = 1 n, 0 ‘- 1 ) Die Gleichungen Ä — 0 und Äj = 0 haben die gemeinsamen Wurzeln 1 1 1 n = 2 * a Für diese erhält man Schlormifch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. b 2 ’ 19 290 Analytische Geometrie. F - a 2 0, 2 . 3. F — F — b 2 1 1 Qi ~ i) ~ ( 1 ~ p) - (iW) **+(?- Ti) - 5) - 0. £ 2 C Dies sind die Gleichungen der drei Cylinder, die durch die Schnittcurve von F und S gehen, und deren Mantellinien der Reihe nach der X-, der Y-, der Z-Achse parallel sind. Setzen wir voraus, es sei a > b > c, so sind ]. und 3. elliptische Cylinder, während 2. ein hyperbolischer Cylinder ist; es kann daher nur dieser durch besondere Wahl des Kugelradius r in ein Ebenenpaar ausarten, und zwar tritt dies ein, wenn r = b, denn dann hat man F ~ b 2 5 “ ~ {j 2 — p) x * + (p ~ J 2 ) z2 = 0 ’ diese Gleichung zerfällt in das Produkt zweier Ebenengleichungen bc ab bc ab J Diese beiden Ebenen gehen durch die F-Achse und ihr Neigungswinkel gegen die X F-Ebene folgt aus tanga — ± - VJl^lV^UUI v s -{ y/b 2 ry/a ■b 2 a-Qb 2 — c 2 ’ Ein dreiachsiges Ellipsoid hat daher zwei Systeme von Kreisschnitten; die Ebenen derselben sind parallel zu der mittleren Achse (b) des Ellipsoids und gegen die grosse Achse gleich geneigt. Die zwei Paar Gegenpunkte, in welchen das Ellipsoid von den vier Ebenen berührt wird, die den Kreisschnitten parallel sind, heissen die Kreispunkte des Ellipsoids. 13. Kreisschnitte des einschaligen Hyperboloids. Wenn es hier Kreisschnitte giebt, so giebt es auch Kreisschnitte, die das Centrum des Hyperboloids enthalten, und man kann daher auch diesmal die Kugel S mit dem Hyperboloide concentrisch annehmen. Aus den Gleichungen des Hyperboloids und der Kugel F - i ergeben sich 1 — n, n.& 7 yi ' P i = o, y‘ o für die Function f—nS die Determinanten A = 0 0 0 b 2 ' 0 -0 — 7z— n > 0 0,-1 -\-nr 2 a 2 n, b 2 — n, Die gemeinsamen Wurzeln der Gleichungen A = 0 und A t =0 sind daher a 2 n — b 2 ' Für dieselben hat man der Reihe nach F F — a 2 ^ ( b 2 a 2 ) \a 2 b 2 ) yZ b 2 fr fr ?)--(>-?)- fr o, 0, 2 . 9» Schnittcurve und Schnittpunkte von Flächen zweiter Ordnung. Kreisschnitte. 291 1 3 - + + £) = «• U 2 — b 2 ~^a • *) = 0, c‘ Dies sind die Gleichungen der drei Cylinder II. O., welche durch die Schnittcurve von F und S gelegt werden können; ihre Mantellinien sind der Reihe nach den Coordinatenachsen parallel. Setzen wir voraus, dass a > b, so ist der erste Cylinder hyperbolisch, der zweite und dritte hingegen sind elliptisch. Es kann daher nur der erste in ein Ebenenpaar ausarten, und zwar tritt dies ein, wenn r = a\ man erhält dann - (p + Ä)'’ - »• Diese Gleichung zerfällt in lineare Faktoren a 2 V ab ac ) \ ab J ac sie stellt daher zwei Ebenen dar, die durch die X-Achse gehen, und deren Neigungswinkel gegen die X F-Ebene sich ergeben aus cf/a 2 — P tanga = ± -?— -z=. Im einschaligen Hyperboloide giebt es zwei Systeme von Kreisschnitten; die Ebenen derselben sind normal zu dem hyperbolischen Hauptschnitte, der die kleinere Hauptachse hat und sind gegen den elliptischen Hauptschnitt gleich geneigt. 14. Kreisschnitte des zweischaligen Hyperboloids. Da die durch das Centrum gehenden Ebenen, welche die Fläche treffen, dieselbe in einer Hyperbel schneiden, so geht kein realer Kreisschnitt durch das Centrum, wir haben daher die Kugel S in allgemeiner Lage vorauszusetzen. Die Gleichungen des Hyperboloids und der Kugel seien F == 11 b 2 1 = 5 = x 2 y 2 H- z 2 — 2 ex — 2 fy — 2 gz -+- p Für die Function F 1 a 0, / = e nS hat man die Determinanten 0, p — ? 2 + / a + g 2 2 —n, 0 , 0 , en 0 , 1 — 1,2— n ’ 0 , fn 0 , 0 , 1 — ci — n, gn en , fn , gn , — 1 —pn A x = -n, 0 , - 0 b 2 ' —ä — n Die Wurzeln der Gleichungen A t = 0 sind n _ n _ J_' n _ Für diese Werthe von n geht die Determinante A über in e 2 f \ 1 \ / 1 1 \ . f 2 / 1 1 a -h & )('. • j.) (i (i + <'<) (< i). c* \a‘ c* J \c‘ b 2 ; Soll einer dieser drei Werthe verschwinden, so muss entweder e = 0, oder F= 0, oder g = () sein. Unter diesen Voraussetzungen hat man die Gleichungen: g P F ~ i ■ s —( p- (,' gi)‘ 2 ai* = 0 , «9 292 Analytische Geometrie. 3 - ^’+7F‘ S = ('^ä + T?)'* 2 — (72 —7ä')j' 2 — 2 72 '* — 2 ^> + '^ _ = 0 - Setzen wir voraus, dass b > c, so sind 1. und 3. elliptische Cylinder, während 2. ein hyperbolischer Cylinder ist. Nur dieser kann in den Verein zweier Ebenen ausarten; dies tritt ein, wenn die Gleichung 2., als Gleichung einer Curve II. O. in der XZ-Ebene betrachtet, in zwei Gerade zerfällt, also wenn 1 1 P’ 0 P' b e P b* 1 P 1_ P L).t._( 1 + 1 -) •2; b 2 V « 2 Py g‘ b 4 (1 __L\ ii _ n V P r 2 j — 0 • Ersetzt man in dieser Gleichung p durch b voraus, so ist 1. ein hyperbolischer, 2. ein elliptischer Cylinder. Nur der erstere kann für besondere Werthe von /, g und r in ein Ebenenpaar ausarten, und zwar tritt dies ein, wenn Diese Gleichung giebt entwickelt h (j - i)t - (i - i) (' - {)'- + b f ' = 0 ■ Hieraus erhält man nach einfacher Umrechnung die Gleichung / 1 /t2 \ 3. /* + 2 (« - *)(*■-J = 0. Für einen gegebenen Werth r ist dies die Gleichung einer Parabel, deren Achse mit der Z-Achse zusammenfallt, die sich in der Richtung der negativen Z-Achse erstreckt, deren Parameter gleich der Differenz (a — b) ist und deren Scheitel die Ordinate hat z = (r 2 -+■ a l ) : a . Wählt man nun /, g und r der Gleichung 3. gemäss, so zerfällt der Cylinder 1. in zwei Ebenen, die der X-Achse parallel sind, und für deren Winkel a mit der X F-Ebene tangi = ± ^ ± Im elliptischen Paraboloide giebt es also ebenfalls zwei Systeme von Kreisschnitten; dieselben sind normal zu dem parabolischen Hauptschnitte, der den kleineren Parameter enthält, und sind gegen die XF-Ebene gleich geneigt. § 10. Die abwickelbare Fläche, die zwei Flächen zweiter Klasse umschrieben ist. Gemeinsame Tangentenebenen dreier Flächen zweiter Klasse. Umschriebene Rotationskegel. 1. Die Coordinaten der Ebenen, welche zwei Flächen II. Kl. 1. ? — ^ u2 -+- 2 Buv 2 Jw -t - K =0, 2. schiedenen Werth u.. , und be- IXJt ff) 6 - stimme aus cp = 0 und cp = 0 die zugehörigen Werthe v 3 und w 3 ; man erhält damit eine dritte Ebene T 3 , welche T 2 in einer Geraden G 23 schneidet. Die beiden Geraden G x2 und G 23 liegen auf einer Ebene T 2 und haben daher einen Punkt P 2 mit einander gemein. Fährt man so fort, so erhält man eine Reihe von Ebenen T x , T 2 ’ t s> T x ,T 3 ...., die den Gleichungen y = 0 und cp = 0 genügen; jede Ti wird von der folgenden 7V +1 in einer Geraden (M. 454.) G^i+i geschnitten, auf jeder Ebene liegen zwei solche Gerade, die sich in einem Punkte Pi schneiden. Jede Gerade, (7,-x, , wird von der folgenden Geraden G lt in einem Punkte Pi geschnitten, auf jeder Geraden ,+i liegen zwei solche Punkte, nämlich Pi und P,+i- Diese Punkte sind die Ecken und die zwischen ihnen liegenden Strecken sind die Seiten eines unebenen Polygons R. Durchläuft man R in der Richtung P x , P 2 , P 3 , bestimmt durch diese Gsi ') Die Figur ist als Grundriss gedacht; daher die Bezeichnungen G [2 ', P x ' u. s. w. § io. Die abwickelbare Fläche, die zwei Flächen zweiter Klasse umschrieben ist etc. 295 Bewegung den positiven Sinn aller Seiten des Polygons, und lässt von jeder Ebene nur den von zwei positiven Schenkeln eingeschlossenen Winkel sowie seinen Scheitelwinkel stehen, während man die beiden Scheitelwinkel wegnimmt, deren Schenkel vom Scheitel aus gerechnet ungleichsinnig sind, so erhält man die von den Ebenen gebildete Fläche. Die Projection der Fläche auf eine geeignet gewählte Ebene ist von dem Polygone P 4 , P^, P 3 , P 4 ' . . . begrenzt, so dass der von dem Polygone ausgeschlossene Theil der Projectionsebene von der Projection der Fläche bedeckt wird, während die innerhalb P 4 , P 2 ' . . . liegenden Punkte nicht Projectionen von Punkten der Fläche sind. Sind die auf einander folgenden Werthe u 4 , u, 2 , u 3 , u 4 . , . nur wenig von einander verschieden, so unterscheiden sich auch die Stellungen der Ebenen , T’g, T 3 , T 4 . . nur wenig von einander. Gewisse Ausnahmestellen abgerechnet, ist daher der Flächenwinkel, der an dem positiven Theile der von P, sich erstreckenden Geraden Gi— 1, ,• liegt, sowie dessen Scheitelwinkel, der an dem von Pi— 1 sich erstreckenden negativen Theile derselben Geraden liegt, nicht viel von einem gestreckten Winkel verschieden; dagegen ist der Flächenwinkel, der an der Kante Pi—\ Pi liegt, als Supplement eines nahezu gestreckten Winkels, ein sehr kleiner Winkel; das Polygon P x , P 2 , P 3 . . . erscheint daher als eine scharfe Kante der Fläche. Denkt man sich die Fläche entlang des Polygons P t , P$, P 3 . . . zerschnitten, so zerfällt die Fläche in zwei getrennte Mäntel, die gleich und ähnlich sind; zu jedem Mantel gehört von jeder Ebene nur noch ein Winkelfeld. Zerschneidet man einen solchen Mantel entlang einer Geraden, z. B. G l 2 , so kann man die auf T 2 folgende Ebene T 3 um G 23 drehen, bis sie mit T 2 zusammenfällt und die vorhandenen Winkelfelder von T a und T s nicht auf einander liegen. Verfährt man ebenso mit jeder folgenden Ebene, erst mit T 4 , dann mit T h u. s. w., so wird dadurch der ganze Mantel der Fläche in eine Ebene ausgebreitet. Lässt man u nun alle realen Werthe von — 00 bis 00 stetig durchlaufen, so geht das unebene Polygon P x , P< 2 , P 3 ... in eine Raumcurve über; die Geraden der Fläche werden zu Tangenten dieser Curve, da sie zwei unendlich nahe Punkte der Curve verbinden; die Winkel unter denen die beiden Mäntel entlang der Curve R sich treffen, werden verschwindend klein; die Eigenschaft beider Mäntel, sich in eine Ebene abwickeln (ausbreiten) zu lassen, bleibt bestehen. Umgekehrt überzeugt man sich leicht, dass jede in eine Ebene abwickelbare Fläche von dem eben beschriebenen Typus ist; denn eine solche Fläche ist noth- (M. 455.) 2g6 Analytische Geometrie. wendig geradlinig, und jede Gerade der Fläche wird von den nächstfolgenden geschnitten. Die Curve R, längs deren die beiden Mäntel einer abwickelbaren Fläche sich berühren, bezeichnet man als Cuspidalkante der Fläche. 3. Doppelt gekrümmte Curven und abwickelbare Flächen stehen im engsten Zusammenhänge. Jede doppelt gekrümmte Curve kann man als Cuspidalkante einer abwickelbaren Fläche betrachten; die Geraden der Fläche sind die Tangenten der Curve, die Ebenen der Fläche sind die Ebenen, welche durch je zwei auf einander folgende Tangenten bestimmt sind. Da eine Curventangente zwei benachbarte Punkte einer Curve enthält, so liegen auf der von zwei benachbarten Tangenten der Curve bestimmten Ebene drei benachbarte Curvenpunkte. Eine solche FIbene heisst eine Schmiegungsebene (Osculationsebene) der Curve. Die Schmiegungsebenen einer Raumcurve sind also die umhüllenden Ebenen der abwickelbaren Fläche, die von den Tangenten der Raumcurve beschrieben wird. 4. Der Kegel II. O. ist die einzige abwickelbare Fläche zweiten Grades (den Cylinder kann man als Kegel mit unendlich ferner Spitze betrachten); da aber die Cuspidalkante hier zu einem Punkte, der Spitze des Kegels, eingeschrumpft ist, so kann der Kegel nur als Ausartung einer abwickelbaren Fläche bezeichnet werden. Eine unebene Curve II. O., d. i. eine Curve, die eine Ebene nur in zwei Punkten trifft, kann es nicht geben, da man durch drei Punkte einer Curve immer eine Ebene legen kann. Betrachtet man die ebene Curve II. O. als Cuspidalkante einer abwickelbaren Fläche, so ist diese Fläche von der Ebene der Curve nicht verschieden. Der von den Tangenten einer Ellipse oder Hyperbel bedeckte Theil der Ebene kann als ein geradliniges Hyperboloid x 2 y 2 z 2 a 2 + T 2 ~ 1=0 angesehen werden, in welchem entweder c oder b einen verschwindend kleinen Werth angenommen hat. Der von den Tangenten einer Parabel bedeckte Theil einer Ebene kann als ein hyperbolisches Paraboloid betrachtet werden, x 2 v 2 — -+- —y — 2 z = 0, a b in welchem b verschwindend klein ist. Eine eigentliche abwickelbare Fläche II. Kl. giebt es ebensowenig, wie eine eigentliche Raumcurve II. O.; denn drei Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche gehen immer durch einen Punkt. 5. Die zwei F'lächen II. O. gemeinsame abwickelbare Fläche (d. i. die von ihren gemeinsamen Tangentenebenen gebildete abwickelbare Fläche) berührt jede der beiden Flächen längs einer Raumcurve IV. O. 1. Sp. Die Ebene, welche die Fläche f = A\ 2 4- 2 B^ + ... + 2/( + tf=0 im Punkte x, y, z berührt, hat die Gleichung 7’ s / r '.j+/;.,+/;.c + f/ = o, wobei f x = Ax — B y —(— Cz —f- G , ff = Bx — t- R)y —f- Bz —f- H , ff = Cx -(- Ey -+- Bz -+- J , fp = Gx -t- Hy -t- / z -f- K. Die Coordinaten der Ebene T sind hiernach 1 - u = —fx'-.fp, »=-//:/>', = § io. Die abwickelbare Fläche, die zwei Flächen zweiter Klasse umschrieben ist etc. 297 Soll nun die Ebene T noch eine andere Fläche zweiten Grades berühren, deren Gleichung in Ebenencoordinaten ist 2. 9 i= A x u 2 -(- 22? t uv -l- . . . -t- 2/j w 4- K x = 0, so müsse die Werthe 1. der Gleichung 2. genügen; setzt man diese Werthe ein, so erhält man 4 22?! fx'fy 4 24 A/; 2 + Eif> ! fz + A/*' 2 - 2 2 2 v 2 w 2 U2 v 2 j™ 2 -F K u i j™ 3 + K + K Diese Gleichung ist das Resultat der Elimination der acht Coefficienten A, B, . . . H aus den Gleichungen 1. . . . 9.; sie ist daher die Gleichung einer den acht gegebenen Tangentenebenen eingeschriebenen Fläche II. Kl. Die Determinante 9 zerfällt in die Summe zweier Determinanten 10. 9 -+- K-y, wobei tp und y aus 9 hervorgehen, wenn man die letzte Colonne durch w, u\ , w 2 . . . w a bez. durch 1, 1, . . . 1 ersetzt. Die Gleichung 9 = J<\i Ky = 0 enthält die beiden willkürlichen Zahlen J und K] ändert man deren Verhältniss in jeder Weise ab, so erhält man die Gleichungen der unendlich vielen Flächen II. KL, die von den gegebenen acht Ebenen berührt werden. Die Tangentenebenen, für deren Coordinaten die Functionen ip und 7 verschwinden, erfüllen auch die Gleichung 9 = 0; wir schliessen daher: Alle Flächen zweiter Klasse, die von acht gegebenen Ebenen berührt werden, sind einer abwickelbaren Fläche IV. Kl. 1. Sp. eingeschrieben. Eine abwickelbare Fläche IV. Kl. 1. Sp. ist durch acht berührende Ebenen bestimmt. 8. Die Coordinaten der Ebenen, welche drei gegebene Flächen zweiter Klasse 9 = 0, = 0, 7=0 berühren, sind die Wurzeln der drei Gleichungen 9 = 0, nC x )w 0 u — 2(E — mE x )w 0 v 4- 2 {/ — mJ x )w — (F — mF x )w$ — 2(/— tnJ x )w 0 - (w — w 0 )[2(C—mC 1 )u+2(E—fnE x )v+(F—mF 1 )w-^-(F—m F x )w _/„)]. Hieraus ist ersichtlich, dass für alle Ebenen, welche zugleich die Fläche cp und cp, berühren, entweder w = w 0 oder Ps=2(C—m C x )u + 2(E — mE^vA-iF —«F,)w4-(F— m£ x )w ü ->r J — ntj x = 0 ist; und dass, umgekehrt, alle Ebenen, die den Gleichungen P = 0 und cp = 0 genügen, auch die Gleichung cp, = 0 erfüllen. Dies lehrt, dass die beiden Flächen cp und cp, noch einem Kegel II. O. eingeschrieben sind, dessen Spitze die Gleichung P = 0 hat. Wenn also zwei Flächen II. Kl. cp = 0 und cj/ = 0 einem Kegel II. O. eingeschrieben sind, so sind sie noch einem zweiten Kegel II. O. eingeschrieben; es giebt dann eine bestimmte Zahl m, für welche die Differenz 9 — mty in das Produkt zweier linearen Functionen zerfällt, die einzeln gleich Null gesetzt die Gleichungen der beiden Kegelspitzen ergeben. 3oo Analytische Geometrie. 11. Die Schnittpunkte einer Geraden, die durch einen Punkt P 0 unter den Winkeln a, ß, 7 gegen die Achsen gelegt ist, mit der Fläche II. O. f = Ax 2 4- 2Bxy 4 - 2 Cxz 4 - . . . -1-2 Jz a- K — () sind bekanntlich durch die Gleichung bestimmt / 0 4-2(/jr 0 ' cos a 4 - fy 0 'cos ß 4- /) 0 'cos 7 ) 7 - 4 - ( Acos 2 a 4 - 2Bcosx cosfi 4 - 2 Ccos a 4- _ö^w 2 ß -i- 2Ecos$ cos-j 4- Fcos 2 ~\)r 2 = 0. Die Gerade tangirt die Fläche, wenn diese Gleichung zwei gleiche Wurzeln für r liefert, also unter der Bedingung f 0 (Acos 2 x 2Bcosxcos$ -|- 2Ccosxcosi 4- Dcos 2 $ A- 2Ecos§ cosy 4- Fcos 2 7 ) — {f X0 'cosx A-fy 0 'cosf, A-fzu'cosf) 2 = 0. Führen wir statt der Winkel a, ß, 7 die Coordinaten x, y, z des auf einer Tangente liegenden Punktes P ein, um so die Gleichung der Kegelfläche zu erhalten, die von den Tangenten gebildet wird, so geschieht dies durch cosa : cos$ : cos~t = (x — x 0 ): (y — y 0 ): (z — z 0 ). Wir erhalten f 0 [A(x — x 0 ) 2 4- 2B(x — x 0 ) (y— y 0 ) 4 - 2C{x — x 0 )(z—z 0 ) 4 - £>(y — y 0 ) 2 A-2£(y—y 0 )(z—z 0 )A-F(z-z 0 ) 2 }— [/ X0 ’(x~-x 0 )A-/y 0 '(y—y 0 ) A-fz^iz—. s 0 )] 2 = 0. Setzt man abkürzend T = f x0 'x A-fy 0 'y A-fzg’z 4- Gx 0 4- Hy Q 4- Jz 0 4- K , so hat man (§ 5, No. 3, 6) Ao (■* x ö) ■+■ fyo (y jj'o) ■+■ 0 ( z « 0 ) = t A; ferner ergiebt sich leicht A(x-x 0 ) 2 4- ... 4- F(z — z 0 ) 2 = /+/„ - 2 7\ Daher wird aus Gleichung 1. /o(/ + /o - 270 - (7’-/ 0 ) 2 = 0 . Löst man die Klammern auf, so erhält man schliesslich 2. /o •/ — 7 12 = 0. Diese Gleichung lehrt: Die Tangenten einer Fläche II. O., die durch einen gegebenen Punkt P 0 gehen, sind die Mantellinien eines Kegels II. O., der die Gleichung hat 3. /„/ — T 2 = 0. Die Punkte, in welchen dieser Kegel die Fläche f = 0 berührt, genügen der Gleichung 3. und der Gleichung / = 0, mithin genügen sie auch der linearen Gleichung T = 0. Liegt daher ein Punkt F 0 nicht auf der Fläche f — 0 so ist T = 0 die Gleichung der Ebene, welche die Berührungspunkte der von P 0 an f = 0 gelegten Tangenten enthält. 12. Die Gleichung der centralen Flächen II. O. ist von der allgemeinen Form f sss xx 2 4 - ß_y 2 4 - 7 a 2 — 1 = 0 . Die Gleichung des von P 0 aus an diese Fläche gelegten Tangentenkegels ist demnach 1. f 0 f — ( xx 0 x 4 - ß/oL + 7 z o z — l) 2 = 0. Die Coefficienten dieser Gleichung sind C, A = «-/o — x. 2 x 2 , B = — x$x 0 y 0 , C = — «7 x 0 z 0 , Z>= ß-/o — ß 2 jr 0 2 , £^ — ßyy 0 z 0 , F^y / 0 —y 2 z 0 2 . Ist der Kegel 1. Rotationskegel, so sind die Bedingungen erfüllt (§ 7, No. 12). AE—BC DC—BE FB—CE 3 . £ C B §io. Die abwickelbare Fläche, die zwei Flächen zweiter Klasse umschrieben ist etc. 301 Aus den Formeln 2. ergiebt sich ^ BC , „ BE £ “/o > B> q- — ß/o > F — CE f Die Gleichungen 3. sind unabhängig von F 0 erfüllt, sobald a = ß = 7, d. i. wenn die Fläche f eine Kugel ist. Ist f keine Kugel, so kann den Gleichungen 3. genügt werden, wenn f = 0 ist; in diesem Falle geht der Tangentenkegel in die Berührungsebene der Fläche f im Punkte P 0 über, und diese kann man in der That als eine Rotationsfläche ansehen. Abgesehen hiervon kann den Gleichungen 3. nur dadurch genügt werden, dass zwei von den drei Coefficienten B, C, E verschwinden und der dritte von Null verschieden ist. Nehmen wir zunächst B — C = 0, E Üjg 0, also x 0 = 0. Nach §7 No. 13 ist alsdann 1. eine Rotationsfläche, wenn {D — A):E=£: (E — Ä)\ setzt man x 0 — 0 in 2. ein, so erhält man aus dieser Proportion [(ß — “)/o — ß 2 To 2 ][(T — “)/o — Tf 2 *o 2 )] — ßVjW = 0. Rechnet man die linke Seite aus und unterdrückt den Faktorso ergiebt sich aß iJV a 7 — 1 = 0 . a — fD “ a — Die Annahmen B = E = 0, bez. C = E = 0 führen in derselben Weise für die Spitzen der umschriebenen Rotationskegel auf die Gleichungen 6 . ^0=0, ßa ßl — 1 = 0 , 7- z 0 — 0, — x 0 % + R y 0 2 — 1 = 0. u 7 — a u 1 — ß^ u Dies sind die Gleichungen dreier in den Coordinatenebenen liegenden der Fläche /= 0 zugeordneten Kegelschnitte; man bezeichnet sie als die Focal- kegelschnitte der Fläche /. 13. Wir stellen nun die Gleichungen der Focalkegelschnitte des Ellipsoids und der beiden Hyperboloide der Reihe nach auf und entscheiden über die Realität der von ihren Punkten aus der Fläche umschriebenen Rotationskegel. A. Für das Ellipsoid ist a = 1 : a 2 , ß = 1 : , y = 1 :c 2 . Die Gleichungen der Focalkegelschnitte sind daher y 2 z* x 2 z 2 P — a 2 + 7 2 — a 2 ~ 1 = 0 > ä 2 — b 2 + 7 2 — b 2 ~ 1 = 0 ’ x 2 y 2 — c 2 ^ b 2 — r 8 Setzen wir a > b > c voraus, so sind dies der Reihe nach die Gleichungen einer imaginären Ellipse, einer realen Hyperbel und einer realen Ellipse. Die letztere liegt ganz im Innern des Ellipsoids, daher können von ihren Punkten aus reale Kegel nicht um die Fläche gelegt werden. Der Ort der Spitzen der einem dreiachsigen Ellipsoide umschriebenen realen Rotationskegels ist der Theil der in der Ebene der grössten und kleinsten Achse enthaltenen Focalhyperbel, der ausserhalb des Ellipsoids liegt. Die Schnittpunkte dieser Hyperbel und des Ellipsoids sind die Kreispunkte des letzteren. B. Für das einschalige Hyperboloid ist a = 1 : a 2 , ß = 1 : b 2 , Y = — 1 : c 2 . Die Gleichungen der Focalkegelschnitte sind daher 302 Analytische Geometrie. y‘ ib 2 — a 2 - 1 = 0 , a 2 — b 2 b 2 1 = 0 . y i b 2 1 = o. Ist a > b, so ist die erste Curve imaginär, die zweite ist eine Hyperbel, die ganz im Innern des Hyperboloids liegt, die letzte eine ganz ausserhalb der Fläche gelegene Ellipse. Der Ort der Spitzen der einem einschaligen Hyperboloide umschriebenen Rotationskegel wird von der realen Focalellipse und der realen Focalhyperbel gebildet. C. Für das zweischalige Hyperboloid ist a = 1 : a 2 - 1 y 2 Die Gleichungen der Focalkegelschnitte sind b 2 + 1 = 0 , x 2 a 2 + b 2 y* b 2 — c 2 b 2 — 1 = 0 . P = — 1 '-b\ 1 = 0 , Die erste Curve ist imaginär; ist b > c, so ist die zweite eine Ellipse, die dritte eine Hyperbel, die ganz im Innern des Hyperboloids liegt. Der Ort der Spitzen der einem zweischaligen Hyperboloide umschriebenen Rotationskegel ist die reale Focalellipse; dieselbe liegt auf dem Hauptschnitte, der die kleinere Nebenachse enthält. Die Schnittpunkte dieser Focalellipse und der Fläche sind die Kreispunkte der letzteren. 14. Man kann eine Ellipse als Ellipsoid und eine Hyperbel als zwei- schaliges Hyperboloid mit verschwindend kleiner f-Achse betrachten, und findet somit: Die Spitzen der Rotationskegel, die eine gegebene Ellipse enthalten, liegen auf einer Hyperbel, deren Scheitel mit den Brennpunkten der Ellipse zusammenfallen, und deren Ebene normal zur Ebene der Ellipse ist. Die Spitzen der Rotationskegel, die eine gegebene Hyperbel enthalten, liegen auf einer Ellipse, deren Scheitel mit den Brennpunkten der Hyperbel zusammen fallen, und deren Ebene normal zur Ebene der Hyperbel ist. 15. Die Gleichungen der beiden Paraboloide haben die Form f == a.x 2 + ß_y 2 — 2z = 0. Hier ist f x ' = ax, = ß_y , / 2 ' = — 1 , // = — * , daher ist die Gleichung des von P ü aus der Fläche umschriebenen Tangentenkegels 1. / 0 ( f = - i; BC BE CE a--e=*A, £>--c=Vf 0 > ^--5- = °- Lösungen des Problems erhalten wir daher nur, wenn zwei von den Grössen B, C und E verschwinden. Ist B = C = 0, so folgt x 0 = 0. Die Proportion (D — A) : E = E : (F — A) ergiebt alsdann KP — «)/o — ßVo 2 ] t 1 + a /o] + ß 2 To 2 = °- Rechnet man die linke Seite aus und unterdrückt den Faktor f 0 , so erhält man Die Voraussetzung B = E — 0 führt auf 2 . y 0 = 0 , 2 (i- ?)(*•- §>)■ 3. § IO. Die abwickelbare Fläche, die zwei Flächen zweiter Klasse umschrieben ist etc. 3°3 Die Voraussetzung C = E = 0 führt auf x 0 = y 0 = 0, also ist auch B — 0; soll nun 1. Rotationskegel sein, so muss A = D = F sein; diese Bedingung ist für keinen Punkt der Z-Achse erfüllbar. Die Parabeln 2. und 3. werden als die Focalparabeln des Paraboloids f = 0 bezeichnet. 16. Für ein elliptisches Paraboloid ist a = 1 : a, ß = 1 : b; folglich sind die Focalparabeln y 2 = 2 (b — a)(z — ^a ), x 2 = 2 (a — b) (z — \b). Wie man sieht, geht jede dieser Parabeln durch den Brennpunkt des auf der Ebene der andern liegenden Hauptschnitts des Paraboloids; der Scheitel jeder dieser Parabeln ist der Brennpunkt der anderen. Ist a > b, so liegt die zweite Parabel ganz auf der concaven Seite des Paraboloids, während die erste das Paraboloid in zwei realen Punkten schneidet. Dies ergiebt: Der Ort der Spitzen der einem elliptischen Paraboloide umschriebenen realen Rotationskegel ist der auf der convexen Seite liegende Theil der Focalparabel, die auf der Ebene des Hauptschnitts liegt, der den kleinsten Parameter hat. Für ein hyperbolisches Paraboloid ist a = 1 : a, ß = — 1 : b] folglich sind die Focalparabeln y 2 = — 2 (a -t- b) (z — , x 2 = 2 (a -+- b) (z -+- £ b ) . Jede der beiden Parabeln geht durch den Brennpunkt der andern, und ihre Scheitel sind die Brennpunkte des in der Ebene der andern Focalparabel liegenden Hauptschnitts; keine der beiden Curven schneidet das Paraboloid. Wir erhalten daher: Es giebt zwei Systeme Rotationskegel, die einem hyperbolischen Paraboloide umschrieben sind; die Spitzen des einen Systems liegen auf der einen, die des andern auf der andern Focalparabel. 17. Eine Parabel kann man als ein elliptisches Paraboloid ansehen, für welches b = 0 ist. Die Rotationskegel, die eine gegebene Parabel enthalten, haben daher ihre Spitzen auf einer congruenten Parabel, deren Ebene normal zur Ebene der gegebenen Parabel ist, und die zum Scheitel den Brennpunkt derselben und den Scheitel der gegebenen Parabel zum Brennpunkte hat. 18. Für die Lage der Achsen der einer Fläche II. O. umschriebenen Rotationskegel ergiebt sich noch ein bemerkenswerther Satz. Bei centralen Rotationsflächen besteht unter der Annahme C = E = 0 für die Stellungswinkel der Symmetrieebenen, welche durch die Rotationsachse gehen, die Gleichung (§ 7 No. 13) 1. (A — F)cosa -+- Bcos$ = 0; ferner ist 2. (A — F) : B = B : (Z> — F). Nun ist für einen der Fläche f — 0 umgeschriebenen Rotationskegel unter der gemachten Voraussetzung, und wenn f central ist (No. 12, 2) A — F= (o — y)/ 0 — r/. 2 x 2 , B = — aß^ 0 j 0 , z 0 = 0 . Aus der Proportion 2. und der von B 0 erfüllten Gleichung des auf der WF-Ebene liegenden Focalkegelschnitts No. 12, 7 folgt daher erhält man aus 1. 3°4 Analytische Geometrie. • y o • cos a — a x 0 • COS$ = 0. Diese Gleichung lehrt, dass alle ihr genügenden Symmetrieebenen zu der Ebene normal sind, für deren Stellungswinkel cp, <];, y cosy : cos'fj Die Gerade, welche durch x 0 , y 0 geht und diese Winkel cp, y mit den Achsen bildet, ist daher die Rotationsachse. Die Gleichung der Tangente des Focalkegelschnitts im Punkte x 0 , y 0 ist x n x -t- Die Winkel

, welche diese Tangente mit den positiven Seiten der X- und der F-Achse bildet, ergeben sich daher aus Daher findet man

0 , 0 , G$ ; 0 , 0 , ^8 •’ P3 ’ 0 , >> G i : 0 , 0 , 0 , hi : p 4 . Für jede durch eine Ecke Ai des Achsentetraeders gehende Ebene ist eine Coordinate Ui gleich Null; für jede durch eine Kante A,Ak gehende Ebene sind zwei Coordinaten u,- und Uk gleich Null. 5. Wenn drei Gerade a, ß, 7 durch einen Punkt O gehen und von zwei Ebenen T x und T 2 der Reihe nach in den Punkten A x , B x , C x , bez. A 2 , B 2 , C 2 geschnitten werden, so gilt auch rücksichtlich der Vorzeichen die Gleichung OA x B X C X OA l OB x OC x l ' OA 2 B 2 C 2 ~~ OA 2 ‘ OB 2 ' OC 2 ‘ In der analytischen Planimetrie ist bewiesen worden, dass OA x B x OA x OB x 2 ' ÖA 2 B 2 — OA 2 ' OB 2 ' Nun ist dem absoluten Werthe nach das Verhältniss OC x : OC 2 dem Verhältnisse der Abstände der Punkte C x und C. 2 von den Ebenen OA x B x und OA 2 B 2 gleich. Folglich ist zunächst für die absoluten Werthe OA x B x C x OA x B x OC x 3 ’ OA 2 B 2 C 2 ~ ÖA 2 B 2 ' OC 2 ‘ Liegen nun C x und C 2 auf derselben Seite von O, so ist das Verhältniss OC x : OC 2 positiv, und die Verhältnisse OA x B x C. J OA x B x 4 ' OA 2 B 2 C 2 und OA 2 B 2 haben dasselbe Vorzeichen. Werden hingegen C x und C 2 durch O getrennt, so ist das Verhältniss OC x und OC 2 negativ, und die Verhältnisse 4. haben ungleiche Vorzeichen; daher gilt die Gleichung 3. auch rücksichtlich der Vorzeichen. Berücksichtigt man nun die Gleichung 2., so erhält man aus 3. die behauptete Gleichung 1. 6. Aus der Gleichung No. 1, 5 folgt 1. CS x S 2 S s — CN 2 N 3 5 4 + CS^S i S x — CS X S X S 2 = 0. Nach No. 5 hat man CSiSiSi = CAiAkAi CSi ■ CSi ■ CSi CAi ■ CA k CAi' Setzt man dies in 1. ein, so erhält man CA X A 2 A 2 CS X ■ CS 2 ■ CS 3 — CA 2 AoA. CA X ■CA 2 ■CA 3 CA A A • -CA AA Multiplicirt man alle Glieder dieser Gleichung mit CA X ■CA 2 ■ CA 3 ■ CAj CS 2 ■ CS 2 ■ CN 4 CA 2 ■ CA Z ■ CAi CSi ■ CS X ■ CS 2 'CAi■CA X ■CA 2 CS X ■ CS 2 ■ CS s ■ CSi so erhält man die einfachere Gleichung § ii. Homogene Coordinaten des Punktes und der Ebene etc. 3°9 CA CA , CA» CA , 2. CA a A 2 A 3 • -g- — CA 2 A 3 A 4 • £ ^ -f- CA 3 A i A l * - CA a A^A 2 • — 0. CAi Nun ist CS; — AiSi A;S; = 1 — = 1 u ;, daher erhält man CSi ~ CSi — CSi aus 2 . CA a A 2 A 3 (1— u A ) — CA 2 A 3 A 4 (1 — u i )-{-CA 3 A i A 1 (1— u 2 ) — CA i A l A 2 ( 1— u 3 ) — 0. Löst man die Klammern auf und berücksichtigt, dass nach No. 1, 1 C*A^A 2 A 3 — CA 2 A 3 A a -t- CA 3 A a A a — CA a A a A 2 — A a A a A 2 A 3 , so erhält man zunächst CA t A 2 A 3 ■ u A — CA 2 A 3 A a • u A “H CA 3 A i A l • u 2 — ^2 *^3 — B^A 2 A 3 A a , Da nun (No. 3, 2) CA k A;A m : AiA k AiA m = p, : hi, so folgt schliesslich Px *i 1 i 2 u % + i 3 “3 Wir haben daher den Satz: Die vier homogenen Coordinaten jeder Ebene T erfüllen die Gleichung 3. Pi u 1 h 2 * P3 h» 9 ±U K 4 1 . 2 , » 3 , dieser Umgekehrt schliesst man: Wenn vier Zahlen u u u 2 , u Gleichung genügen, so sind sie die Coordinaten einer eindeutig bestimmten Ebene. 7. Sind B l , B 2 , ß ?i die Schnittpunkte einer Ebene T mit den Kanten A a A x , A a A 2 , A a A 3 des Coordinatentetraeders, und theilt ein Punkt P der Ebene T das Dreieck.Z? 1 2? 2 i? 3 imVerhältnisse72 1 :n 2 :n 3 , sind ferner \ 3 m, \ 2 m, $ 3 ;«» £ 4 m die Coordinaten von B m , so sind die Coordinaten von P (§ 2, No. 28) ^ 1^1 ~b ?X 2 $^ 2 d - ^ 3^3 , Xk - 1 1. «j -+- n 2 -t- n 3 k = 1, 2, 3, 4. Nun gilt für die Coordinaten von B m , wenn k, /, m eine Permutation von 1, 2, 3 ist 2■ »1 -- : c.= 0, -,m : h, — A m B m . A m A A , \,nm * h;>s - A i B,„ . A A A m . Da nun B m A m : ZC ,^ 4 = w« : w 4 = u m : » 4 , so ist A m B m : A }n A 4 = A m B m : ( A m B m -f- B m A A ) = 1.^1 ^ ^ , ( u m \ 1 ^4 y ’ (M. 460.) Daher gewinnt man aus 2. *4« — „ _ „ * f $mm — Folglich sind die Coordinaten der Punkte B x , B 2 , B 3 £1 h \ , $21 — 0 , $12 — 0 , $13 = 0 > $2.3 — 0 ’ $31 — 0 , h 2 , $32 = 0 > £_ l ? 3 3 — „ _ U ,- U ~h 4 ; 7^4, ^3 < $43 — u 3 —u. 3i° Analytische Geometrie. Führt man diese Werthe in die vier Formeln 1. ein, so erhält man für die Coordinaten von P, wenn man n x -\- n 2 n 3 — n setzt n ■h, «2 n * ^2 f ^3 • h, 5. — x i = 111 n ■h K ■h L Aus 4. folgt ß ^3 1 _ 1 _ ^3 1 __ *^3 # n u 4 — u x h x u 4 ’ n u 4 — u 2 h 2 u 4 ’ n u 4 — u 3 h 3 u 4 ' setzt man diese Werthe in 5. ein, so erhält man zunächst y X ^ tl 2^2 ^ 3^3 ^4 ^4 ^2 ^4 ^3 Hieraus folgt die Gleichung 1111 f x U 1 X 1 ■+■ “**2 + + ^ “ 4 * 4 : °- Wenn also der Punkt P auf der Ebene T liegt, so erfüllen die Coordinaten des Punktes P und der Ebene T die für beide Reihen von Coordinaten lineare Gleichung „ 1111 8. + ^“2*2 -+■ ~^ U -i X Z -F Y U 4 X 4 = 0. Umgekehrt: Wenn die Coordinaten von P und T dieser Gleichung genügen, so ist auch 7. erfüllt; man kann daher drei Zahlen n x \n, n 2 \n, n % \n aus den Gleichungen 6. ableiten, und erhält somit für die Coordinaten von i°die Formeln 4. und 5., welche mit den Gleichungen 1. für die angegebenen Werthe der Coordinaten der Punkte B it B 2 , Z? 3 übereinstimmen; hieraus schliesst man: Wenn die Coordinaten eines Punktes und einer Ebene der Gleichung 8. genügen, so liegen der Punkt und die Ebene vereint (d. i. der Punkt liegt auf der Ebene). 8. Haben die Coordinaten der Ebene T gegebene Werthe #, = a,, so ist die Gleichung 1111 Ä 1 X 1 + “*2*2 ^<*3*3 -P ^«4*4 = 0 die Bedingungsgleichung für die Coordinaten der Punkte, welche auf der Ebene T liegen, ist also die Gleichung dieser Ebene in Punktcoordinaten; haben hingegen die Coordinaten des Punktes P gegebene Werthe Xi = a,, so ist 1111 Äj ai “ 1 ^ + ~h “ 3 “ 3 H_ h i 6(4 “ 4 = 0 die Bedingungsgleichung für die Coordinaten der Ebenen, welche durch P gehen, ist also die Gleichung dieses Punktes in Ebenencoordinaten. Jede homogene lineare Gleichung in Punktcoordinaten ist die Gleichung einer durch die Verhältnisse der Coefficienten eindeutig bestimmten Ebene. Sind = kn x h x , ^2 — H = ia 3 /^ 3 ko. 4 h 4 , wobei k = 1 : (a 4 4- a 2 4- a 3 4- a 4 ) . 9. Die homogene lineare Gleichung 1 . K fl n Xß h. f = ° h. ist die Gleichung einer Ebene, deren Coordinaten nach No. 8 die Werthe haben a, — a 2 = a 3 = a 4 = 1 . Diese Ebene theilt die Strecken A X C, A 2 C, A % C, A X C aussen im Verhältniss 1 ., ist also unendlich fern. Wenn in der homogenen linearen Gleichung in Punktcoordinaten 2. P = ajK, -t- oc 2 a 2 4 - a 3 u 3 -+- a 4 u 4 =0 die Summe der Coefficienten verschwindet 3. a i -+■ a 2 4- a 3 -I- a 4 = 0 , so wird der Gleichung durch die Werthe genügt u \ = « 2 = « 3 — «4 — 11 der Punkt P liegt daher auf der unendlich fernen Ebene und ist somit selbst unendlich fern. 10. Die Gleichung der durch die Punkte P x , P 3 , P 3 bestimmten Ebene erhält man durch Elimination der Constanten a x , a 2 , a 3 , a 4 aus den vier Gleichungen Cl-^X-y —|— Cl^X^ #3 H - * ^1^11 ~#2 #2 1 ~^3 ^3 1 ~ f 1 ** 1 2 #2 ^2 2 7 2 JCg 3 a i x % 2 , = 0 , ,1 = 0 , . 2 = 0 , 3 = 0, wenn mit x,,-, x, x 4 i die Coordinaten des Punktes Pi bezeichnet werden. Aus diesen vier Gleichungen ergiebt sich die gesuchte Gleichung in Determinantenform T = Man erhält a i «12 «l «1 3 x x *2 x 3 *4 x l 1 x 2 1 x s 1 X 4 1 _ 0 . X 1 2 x 2 2 ■*3 2 X 4 2 X 1 3 x 2 3 ■*3 3 X 4 3 Ebenen T x , ^2- T 3 gemeinsamen Punktes Coefficienten aus den vier Gleichungen a 2«2 4- a 3 «3 4- «4 «4 = 0 , a 2«21 4- a 3 «31 H- a 4 «4 1 = 0 , a 2 «2 2 4- a 3 «3 2 + a 4 «4 2 = 0 , a 2 «2 3 4- a 3 «3 3 4- a 4 «4 3 = 0 . «1 «2 «3 «4 «11 «21 «31 «41 _ 0 . «1 2 «22 «3 2 «42 «1 3 «2 3 «3 3 «4 3 11. Die Coordinaten des Schnittpunkts der Ebenen l x = 0, Z’g = 0, T 3 = 0 sind die Lösungen des Systems 312 Analytische Geometrie. 7 j = (l-^X | (l^X2 4- a,x. — 0, t 9 bnX* 4- b 3 x 3 4- b.Xi = 0, T s es c x x t 4 - c y 2 2 2^2 h 1 ^2 ^3 ^4 Die Coordinaten der Ebene, welche durch die Punkte P x = 0, P 2 = 0 , P A =0 bestimmt ist, ergeben sich aus dem Systeme P x === a l u l 4- a 2 ^2 *+" a s w 3 ^2 = ßl»l + ß 2 «2 + 03 «3 P 3 = Ti u x 4- t 2 « 2 4- i 3 u 3 *4"4 = 0 , ~P ß 4 ^4 = 0 , + 74 «4 = 0 , = 1 . Pi Po P^ P4 + h t u * + t u * + £ u * 12. Der Abstand eines Punktes P von der Ebene T kann aus den Coordinaten x it x 2 , x 3 , x 3 des Punktes und der Gleichung der Ebene T ^ a 1 x, 4 - a 2%2 4- a 3 x 3 4 - a x x 3 = U in folgender Weise bestimmt werden: Der Punkt n, in welchem die Ebene T von der Geraden PA t geschnitten wird, theile die Strecke PA t im Verhältnisse n 2 :n 1 \ aus den Coordinaten x x , x 2 , x 3 , x i des Punktes P und 0, 0, 0, h 3 des Punktes A 3 ergeben sich hiernach die Coordinaten Jj 2 , £ 3 , $ 4 von 11 zu , __ « 1*1 . = « 1*2 = « i * 3 , = « 1*4 + n 2 /l i ?1 n x -+- « 2 ’ ?2 », + «j 1 3 n x 4- « 2 ’ «j H- « 2 Setzt man diese Werthe in die Gleichung der Ebene ein, so erhält man n i (a 1 x i -t- a. i x i 4- « 3 * 3 4- Vo fl«, ' 2 ä; ' -;r h 2 ir A C0SZ ** Ei h-s v. h 3 h 4 ■ coss 3i = 1 . .4 « 3 «2 14. Um nun in der Gleichung (No. 12, 4) p = k ■ T , k = p : x , den Faktor k als Function der Coefficienten von T und der Dimensionen des Tetraeders A 4 A 2 A 3 A i zu bestimmen, setzen wir für den Punkt P nach einander die Punkte A lt A 2 , A 3 , A 4 . Dadurch erhalten wir 3H Analytische Geometrie. v s — k-a x h 1; v 2 = k-a^h^, v 3 = k-a 3 h 3 , v i — k-a i h i . Führen wir diese Werthe in No. 13, 6 ein, so erhalten wir den gesuchten Werth k aus k? = 1 : [ffj 2 + -p a.f -+- a 4 2 — 20 j« 2 cos s 12 — 2,« 3 cos s 13 — 2 cme 14 — 2(? 2 «3 ^-t s 23 — 2« 2 ^4 r i x 3 -T a 4 3 x 4 ) , i x s + *44 * 4 ) ■ Werden die Determinante dieses Systems mit R und die zu ki Subdeterminante mit a„y bezeichnet, so erhält man hieraus a ij gehörige R • x 4 = «11 -P n 1 2 ^2 -p a i 3 ^3 -P fl 14^4 R ■ x 2 = fl 21 ^1 + a 2 2 ^2 -p fl 2 3 ^3 -P fl 2 4^4 R ■ X 3 = “31^1 -P a 3 2 ^2 -P n 3 3 ^3 -P a 34 ^4 R • x 4 = a 41 Si -P ^4 2 ^2 -+■ fl 4 3 £3 -P (I 44 ? 4 Dies sind die Transformationsformeln in homogenen Punkt- coordinaten zum Uebergange aus dem Systeme A 4 A 2 A 3 A 4 zu dem neuen Systeme B 4 B 2 B 3 B 4 . Wie man sieht, erfolgt dieser Uebergang durch homogene lineare Substitutionen. Man überzeugt sich leicht, dass auch der Uebergang aus einem gewöhnlichen rechtwinkeligen Systeme in ein homogenes System durch homogene lineare Substitutionen erfolgt. 16. Aus der Gleichung eines Punktes P = G( 4 U j — p GC 2 ZI 2 ~p '■3 "3 “ 4“4 - 0 und den Coordinaten u u einer Ebene T kann man den Abstand der Ebene von P bestimmen. Denn die Gleichung der Ebene T ist T “ T x Xl + * 2 H und die Coordinaten von P sind (No. 8) t Xt== °’ Xk = — Oikhk, 3 = a 4 + a 2 + a 3 + a 4 • Der gesuchte Abstand p ist daher r r 1. / = — • (a 4 u x 4 - a 2 u 2 4- a 3 u 3 -P a 4 « 4 ) = — • P, wobei r den Werth des Coefficienten k (No. 14) bezeichnet, der entsteht, wenn man in k für a 4 , a 2 , a 3 die besonderen hier geltenden Werthe u 4 \h 4 , u 2 : h 2 , u 3 : h 3 einsetzt; man hat daher cose cost § li. Homogene Coordinaten des Punktes und der Ebene etc. 3>S Dividirt man diese Gleichung durch z- 2 und vergleicht das Resultat mit No. 13, 6, so sieht man, dass r der Abstand des Punktes C von der Ebene IT ist. Daher ist 2 . u = ^ = -P r 3 die Coordinate von T in Bezug auf P, d. i. der Quotient aus den Abständen der Ebene T von P und von C. 17. Der soeben gefundene Werth für u führt auf die Transformationsformeln für Ebenencoordinaten. Sind B j, B 2 , B 3 , B i die Eckpunkte des neuen Coordinatentetraeders und ist die Gleichung von ßi I J i bestimmten Ebene (No. 10) annimmt, wenn man in x xx *2 1 *31 *41 X 1 2 *2 2 ■*3 2 *4 2 *1 3 X 2 3 *3 3 *4 3 X 1 4 X 2 4 *3 4 *44 derselben x, durch die Coordinaten des vierten Punktes ersetzt. Werden daher die Höhen des Tetraeders P. und mit k, der Faktor k für die lineare Function P 2 , P 3 , P i mit B x , B 2 , H 3 , H it x x x$ *3 *4 x x i x$ 1 *3 1 *4/ x \ m x 2 m x l n X 2 11 X 3 n x 4 n (/, /, m, n eine Permutation gerader Klasse von 1, 2, 3, 4) bezeichnet, so hat man 1- A = k x H x Andererseits ist, wenn mit V das Tetraedervolumen P x P 2 P 3 P i und mit G u G 2 , G 3 , G t die Flächenzahlen der Seiten dieses Tetraeders bezeichnet werden 2- 3F= G X H X = G 2 H 2 = G 3 H 3 = G i B i . Hieraus folgt die Proportion k x : k 2 : k 3 : k i : A = G x : G 2 : G 3 : G i : 3F, Man kann daher setzen 6-V = t-k ,, '6 V = XA. k 2 If 2 — k 3 JB 3 — k ^B ^. Analytische Geometrie. 3i6 Da Gi und ki von den Coordinaten des Punktes Pi nicht abhängen, so ist auch X von diesen Coordinaten unabhängig; folglich ist X eine von den Coordinaten der Eckpunkte des Tetraeders P l P 2 P 3 P 4 unabhängige Constante und kann durch jeden Specialfall bestimmt werden. Wendet man, um X zu erhalten, die Gleichung V = XA auf das Tetraeder A 1 A 2 A. i A 4 an, so erhält man 3. A 1 A 2 A. i A 4 = \ ■ h x h 2 h 3 h 4 . Wird das Volumen des Achsentetraeders A 4 A 2 A 3 A 4 mit t bezeichnet, so hat man daher die Gleichung Man überzeugt sich leicht, (vergl. § 3), dass die Determinante A und das Volumen P X P 2 P 3 P 4 immer zugleich das Vorzeichen wechseln; also gilt in 4. nur eines der beiden Zeichen. Um zu entscheiden, welches gültig ist, kann man P\ P 2 P A P 4 mit den Ecken des Achsentetraeders vertauschen. Man erfährt dann, dass in 4. das positive Zeichen gilt, und hat sonach das Volumen eines Tetraeders aus den homogenen Coordinaten seiner Eckpunkte x \ 1 *21 •*3 1 *41 X 12 X 2 2 '*3 2 *4 2 P,P,,P..P. 2 J 3^4 Jb+hcittrih i X< n j "^1 3 *14 § 12. Polarebene und Pol für Flächen zweiter Ordnung. 1. Wenn in einer ganzen Function tetraedrischer Punkt- oderEbenencoordinaten der Grad eines Gliedes der Function um o-Einheiten kleiner ist als der Grad n der Function, so kann man dieses Glied mit dem der Einheit gleichen Faktor (§ 11, No. 3, 3 und No. 6 , 3) bez. mit multipliciren; dadurch gehen aus diesem Gliede eine Reihe von Gliedern hervor, die alle den Grad n haben. Führt man dies bei allen Gliedern der Function aus, deren Grad niedriger ist als n, so erhält man schliesslich eine Function, deren Glieder alle vom »ten Grade sind, die also homogen ist. Bei Benutzung homogener Coordinaten kann man sich daher auf die Betrachtung homogener Functionen beschränken. 2. A. Die allgemeine Form einer homogenen quadratischen Function tetraedrischer Punktcoordinaten ist 1 f = ^n*i 2 -4- 2A l2 x 1 x 2 -+- 2 A t3 x^x 3 -t- 2 A X4 x 4 x 4 - 1 - A 22 xg -t- 2 A 2s x 2 x z —P 2 A 24 x 2 x 4 -f- ^ 33 ** 3 ^ ~b 2 4 x 3 x 4 —i - A 44 x 4 . Geht die Fläche f = 0 durch den Eckpunkt Ai des Achsentetraeders, so wird der Gleichung durch die Coordinaten Xi = hi, Xk — Xi = x m = 0 genügt; also ist An = 0. Die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung, welche dem Achsentetraeder umschrieben ist, hat daher die Form f = 2A l2 x l x 2 -+- 2 A x 4 x 3 -t- 2 A l4 x 4 x 4 + 2A 23 x 2 x 3 ■+■ 2A 24 x 2 x, 13 *1 *3 ■+■ 2^4 Q 4 x 3 x , 3 4 *3 *4 2 . Wenn die Fläche / — 0 die Gerade A,Ak enthält, so wird der Gleichung durch xi = x m = 0 unabhängig von Xi und Xk genügt, es ist daher An — Aik — Akk — 0 • Enthält die Fläche alle Seiten des unebenen Vierecks A 1 A 2 A 3 A 4 , so ist daher § 12. Polarebene und Pol für Flächen zweiter Ordnung. 317 ^11 ^22 ^33 — ^44 — ^12 — ^23 — ^34 — ^14 — 0> und die Gleichung der Fläche reducirt sich auf 3- f ss=2A X3 x x x 3 + 2A 24 x 2 x 4 — 0. Diese Gleichung enthält nur noch eine verfügbare Constante, nämlich das Verhältniss A ia :A 2i ; sie bestätigt, dass eine Fläche II. O. durch ein auf ihr liegendes unebenes Viereck und einen Punkt eindeutig bestimmt ist. B. Die allgemeine Form einer homogenen quadratischen Function in tetraedrischen Ebenencoordinaten ist j 9 = B\\ u \ 4- 2 B x2 u x u 2 + 2B l3 u x ii 3 4- 2B li u 1 u i 4 - B 22 u£ -+- 2B 23 u 2 u 3 4- 2B 2i u 2 u 4 4- B 33 ug 4 - 2 B 34 u 3 u 4 4- B i4 x^. Wenn die Fläche

^1 1, theilt den Winkel der Ebenen T x und T 2 im Sinusverhältnisse sin T x T .k sin TT 2 r 2 r x Je nachdem X, : X 2 negativ oder positiv ist, geht T durch den Winkel, in welchem der Punkt C liegt, oder nicht. 4. Wir bestimmen nun die Verhältnisse, durch welche die Strecke zweier Punkte durch eine Fläche II. O. f — 0 getheilt wird, sowie die Sinusverhältnisse, in welchen der Winkel zweier Ebenen durch die Tangentenebenen einer Fläche II. O. cp = 0 getheilt wird, die durch den Schnitt der beiden gegebenen Ebenen gehen. A. Sind Pi und P 2 die beiden gegebenen Punkte und sind ^•iXki, d - 'i 2 Xk 2 X, -T X 2 'k — -• k = 1, 2, 3, 4 die Coordinaten eines Punktes in welchem die P x P 2 von der Fläche / ^ A xx xf + . . = 0 geschnitten wird, so hat man die Gleichung A xx (Xij i + ^2^1 2 ) 2 T ^A x g (XjcVj 1 -+- X2cr 1 2)(X|CV2 1 -P XgCVg,) ~P • • ■ “ Löst man alle Klammern auf, so erhält man 1- ^l 2 ‘ fl + 2X,X a (/1 i'Xi 2 + f 2 ,'*22 A~f 3 fx 32 ~^fil' x l 2 ) ■+■ ^ 2 2 ‘f* =0. Hierin bezeichnen f x und f 2 die Werthe, welche die Function f erhält, wenn man die Coordinaten Xk durch die Coordinaten Xk x des Punktes P x , bez. durch die Coordinaten Xk 2 des Punktes P 2 ersetzt. Ferner bezeichnen ff, ff, ff, ff die abgeleiteten linearen Functionen 2 ff^-^n x i A-A x2 x 2 -{-A x3 x 3 -\-A xi x i , ff^A x2 x x +A 22 x 2 -t-A 23 x 3 -{-A 2i Xi, ff ^A i3 Xi -\-A 23 x 2 + A 33 x 3 -\-A 3i x it ff=sA X iX x -hA 2i x 2 -hA 3i x 3 -hA ii x i , und ein zweiter Index i deutet an, dass man statt der veränderlichen Coordinaten Xk die Coordinaten Xk, eines gegebenen Punktes Pi gesetzt hat. Multiplicirt man die Functionen ff, ff, ff, ff der Reihe nach mit und addirt, so erhält man die Identität fi ff ff + A" 3. Ersetzt man in den Formeln 2. die Coordinaten x x , x 2 , x 3 , x 4 durch x 2! -, x 3 i, x 4 i, so erhält man die Functionen /,/, f 2 ,, f. jt -, / 4 ,-; multiplicirt man dieselben der Reihe nach mit x x k, x 2 k, x 3 k, x ik und addirt, indem man die in jeder Verticalreihe stehenden Glieder vereint, so ergiebt sich die Identität 4. f x i • X x k~\~f 2 i * X 2 k~hf 3 i 'X 3 kA~f 4 i ’ x ±k^=f 1 k ‘ x \i'A~ f 2 k * x 2* *T f 3^ * X 3 ' d - f 4 k ' x 4f B. Sind T x und T 2 die beiden gegebenen Ebenen und sind Xi Uk x u k = X, k = 1, 2, 3, 4, 1 § 12 . Polarebene und Pol für Flächen zweiter Ordnung. 319 die Coordinaten einer Ebene T, welche die Fläche

8. cp x j ^ x k H - Cp 2 , - W 2 k “P ^31’ ~P ^4/ ^4 k = r PxkU x i +

= 0 nicht, so wird die Fläche von der Geraden 7 \ T 2 berührt, wenn die Gleichung No. 4 , 5 für das Verhältniss X 4 : X 2 gleiche Wurzeln ergiebt, also wenn ein- Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 21 322 Analytische Geometrie. geschriebene Grenzfläche dar, welche die Ebene T x zur Doppelebene hat, d. i. die Gleichung des Kegelschnittes in Ebenencoordinaten, in welchem

T 2 =y^2 , ' X \ ~^f22' X 2 A-f 32 '' x 3 f 4 2 ^ * x 4 ~ ® die Gleichungen der Polarebenen von P x und P 2 sind. Die Gleichung 1. bestätigt, dass die Polarebene von P 0 durch die Schnittgerade der Polarebenen von P x und P 2 geht, dass also die Polarebenen der Punkte der Geraden P X P 2 ein Büschel bilden; sie lehrt aber zugleich, dass die Punkte einer Geraden mit dem Büschel ihrer Polarebenen projectiv sind. Durch die Polarebenen der Punkte der Geraden P X P 2 wird auf dieser Geraden eine Punktreihe ausgeschnitten, die mit der auf P x P 2 liegenden Reihe der P 0 projectiv ist. Die Beziehung der Punkte beider Reihen ist wechselseitig; denn wenn II auf der Polarebene von P 0 liegt, so liegt auch P 0 auf der Polarebene von IJ. Folglich fallen die Gegenpunkte beider Reihen zusammen, da sie demselben Punkte der Geraden, nämlich dem unendlich fernen, entsprechen. Hieraus folgt weiter, dass die beiden projectiven Punktreihen eine Involution bilden. 13. Die Gleichung der Polarebene eines Punktes P x in Bezug auf f — 0, und die Gleichung des Poles einer Ebene T x in Bezug auf 9 = 0 können zufolge der Identitäten No. 4, 4 und 8 auch geschrieben werden L T x = f x ' -x xl -p f s ’ -x 21 -p f 3 ' ■x 31 -t- f 4 -x 4J = 0, 2. P x == (p/ • u xi -p

t A- ff — -^ia x i -P Ä22 x 2 -p ^2 3 X 3 -P A 24*4 = 0 , tt ff ft A- fs = A x 3 x x -P A 2 3 x 2 + ^S3 X 3 -P A 3i x 4 = 0, >> tt tt A : ff = A Xi x j + A 2 4 X 2 -p A 34 x 3 -P A 4i x 4 = 0. Aus Gleichung 2. ergeben sich die Gleichungen der Pole der Ebenen des Achsentetraeders; man erhält für den 326 Analytische Geometrie. Pol der Ebene A 2 A 3 A i \ tpi' -= B ll u 1 -p •#1 2 W 2 ■p B x 8 « 3 + BnUi — 0 , >> )> 1 „ A l A 3 A i \ cp 2 1 = B 1 2 u l -p B 2 2 m 2 + -#2:>“3 + •#24 a 4 = ^ ’ )} iJ „ A 1 A 2 A i : ?3' = -#1 Z u \ + B 23 u 2 + B g g U g -P -#34»4 == 0, }) )> „ A l A 2 A 3 : cp 4 ' = B xi u x -P -#24 W 2 ~p B 3i u 3 +' -#44«4 = 0 . Hierdurch ist die geometrische Bedeutung der abgeleiteten linearen Functionen fk und cp k gegeben. 14. Die Gleichung des Pols der unendlich fernen Ebene ergiebt sich aus der Gleichung No. 13, 2, wenn man darin die Coordinaten der unendlich fernen Ebene = u 21 = u 31 — u A1 = 1 einsetzt. Man erhält 1. M= cp/ -p 2 "3 "4 so erhält man die Gleichung der Fläche in Ebenencoordinaten 1 1 1 1 4. sind u 4 h 2 ■^22^2 U A xx hf B. Die abgeleiteten Functionen von so erhält man daher für die Coordinaten ; 4 , £ 2 , !j 3 , ; 4 des Centrums \ — -f h «1 - p A i - t — h £ '»‘2 - o "2 t 5a ß h.« t _ ß* h ! + - ß’ wenn man ß abkürzungsweise für ßi -P ß 2 4- ß 3 4- ß 4 setzt. 17. Wenn man durch Coordinatentransformation von derGleichung einer Fläche II. O. in Bezug auf ein Polartetraeder zur Gleichung derselben Fläche in Bezug auf irgend ein anderes Polartetraeder übergeht, so bleibt sowol die Summe der Coefficienten in der Gleichung für Punktcoordinaten, als auch in der Gleichung für I.iniencoordinaten ungeändert. Sind die Gleichungen im ursprünglichen Systeme <*l x ? ~P a 2 X 2 d - a 3 x 3 ■+■ a l x 4 = 0, ßlV -+- ß 2 “l + ? 3 U 3 + ß 4 « 4 4 = 0, und im neuen Systeme ■^1 S* + ^ 2 £ 2 ~P A s $3 4- A 4 £? =0, B^wf -p B. 2 w$ 4 - B z w% 4 - B^wl = 0, so gelten die Gleichungen “t F 5 s d- tj + 14 = V 4- A 2 -+- A 3 -+- A i , ßi d- ß 2 4 - ß 3 -+- ß 4 = B x 4 - B 2 -t- B 3 4 - B i . Beweis. Da in unseren Gleichungen nur die Quadrate der Coordinaten Vorkommen, so kann in den Transformationsformeln §11, No. 15, 1 und. No 17, 1 über die Coefficienten immer so verfügt werden, dass 1* = k 2 = k 3 ' k 4 = 4~ 1 und J 4 —F (t 2 4- ^3 4- ^3 «13*! 4" fi-2 3 X 2 4” # 3 3 X 3 4" #4 $X^ , C 4 =ö 14 ^ 4 -(- # 2 4*^ 2 d“ ^3 4*'*'3 &±\X Setzt man dies in die Gleichung der Fläche 4- 4- A,V> 4 - AM = 0, so erhält man aus der Identität 2. A 1 £? -+- A 2 £f + A 3 £| 4- A 4 ^ ss 4- 0L 2 x 2 d- *3 X $ d- a^xf zunächst folgende vier Gleichungen, welche aussagen, dass in der transformirten Gleichung die Coefficienten, welche Produkte von je zwei Coordinaten multipliciren, verschwinden 'b A 1 a t -^a/n -P A 2 (ii 20 -k Analytische Geometrie. subtrahirt sie dann von der rechten Seite der Gleichung 5., und ordnet nach den neuen Coefficienten A lt A 2 , A 3 , A it so erhält man h + ä ! + ä j + a 4 = 2A k (a? k 4 - a-lk -+- a% k 4- af k — ^a^a^cos^^ 5 . 2 d xk Ct 3k COS £43 2 0'\ k 0' ^ k COS £4 4 2 (l t£ k Ct 3 k COS £23 ^Cl^ k a ik COS £24 ^Cl 3k (l ^ k COSZ 34) . Nun ist aber nach der Voraussetzung (§ 1], No. 14) af k 4 - a$ k 4 - 4- a% k — 2a lk a ik cosz^^ — . . — 2a 3k a ik coss 3i = 1 ; folglich erhält man aus 5. die erste der beiden behaupteten Gleichungen «1 4“ 0 C 2 “b «3 4~ « 4 = ci-y 4“ A^ 4” A 3 4“ A 4 . Um die Richtigkeit der zweiten nachzuweisen, führe man in 6. B^wl 4- B t w$ 4- B 3 w$ 4- B i tu | = 0 die Coordinaten des ursprünglichen Systems u 1 , u v u 3 , u i mit Hülfe der Formeln § 11, No. 17 ein; unter der Voraussetzung 1. ist ®1 = *11«! + *21 W 2 + *3l“3 + a 4l"4- = “J2«l + « 22 « 2 + «32^3 + a 4 2 W 4 > w 3 = 043**2 4~ a 23 ** 2 + «33**3 + «43 K 4> «'4 = “l4*'l + 0C 24 ** 2 ~b «34^3 + a 44 W 4' Setzt man diese Werthe in die Gleichung 6. ein, so erhält man aus der Identität 7. B x wl 4 - B^wl 4 - B 3 w$ + B t wf = ßjWjS 4- ß 2 »f 4- ß 3 **f 4- ß 4 ** 4 2 zunächst die sechs Gleichungen 8. B x m 1 a kl + B. 2 a/ 2 n ki 4- B 3 a; 3 a/, 3 4- B^a, i 'i ki = 0, wo man wieder für i, k die sechs Paare aus den vier Ziffern 1, 2, 3, 4 zu setzen hat. Aus 7. folgt weiter ß« = A ä 'i + B -i + B 3 a ‘'i + «4 2 > daher erhält man ßi “b ß 2 -b ßs ~b ß 4 = -b « 2 a 4- a|*r 4- «4*.-) , k = 1, 2, 3, 4 . Addirt man in dieser Gleichung zu der rechten Seite die sechs Grössen 8., jede mit 2 multiplicirt, so erhält man ßi ~b ß 2 -b ßs 4- ß 4 = 2B& (otjx, 4- a 2 £ 4- a. 3k 4- + 2aj/..a 2 4. 4- 2 a lk a 3k 4- 2a l4 a 4 4 4- 2a 2 4-a 3 i 4- 2a 2 ia 4Ä 4- = 2B k (a lk 4 - a 2 4 - 4- a 3k 4- a ik y = IBjta^ . Da nach der Voraussetzung 34 .= 1 , so ergiebt sich hieraus die zweite der behaupteten Gleichungen ßi + ß 2 4- ßs -b ß 4 = B x 4 - B 2 4- B 3 4 - B i . 18. Um zu zeigen, wie man die Flächen II. O. nach den Coefficienten ihrer Gleichungen in Bezug auf ein Polartetraeder unterscheiden kann, schalten wir einen allgemeinen Satz über die Transformation quadratischer Functionen ein. Wenn die quadratische Function 1- a x yl 4- a, 2 yl 4 - a 3 y§ 4- . . 4- a durch die homogenen linearen Substitutionen y 1 II ■+- ^21 *^2 4 - . ■ C r \ Zr Ts II bC* + f 2 2 Ä 2 4 -.. ■ » C r e^Z r Tr II • N 4 -.. .4 - c rr z r in die Function übergeht 3. b x z x 4~ b 2 z$ 4~ b 3 z 3 4~ . . . 4~ b r ^z ri so ist die Anzahl der positiven Coefficienten unter den a gleich der Anzahl der positiven Coefficienten unter den b. Beweis. Aus der Identität 33 § 12 . Polarebene und Pol für Flachen zweiter Ordnung. a iy\ + a^yi + a r y r 2 = b x Z£ -h b 2 z 2 2 -b . . b r Z r 2 folgt 4. «ji'i 2 -t- a 2 y£ -+- . • -+- a r y r 2 — b x z£ — b 2 z£ — ... — b r z r 2 = 0. Denken wir uns die Functionen a x y£ -b a 2 y.f + . . . und b x z£ -f- b 2 z£ 4- . . ■ • so geordnet, dass erst alle Glieder mit positiven Coefficienten kommen, dann die mit negativen; es seien a lt a 2 . . . a m positiv, a m+1 . . . a r negativ; sowie b x< b 2 . . . b n positiv, b„ +l . . . b r negativ. Nimmt man nun zunächst an, es sei n < m, so wäre die Anzahl der negativen Glieder in dem Polynom 4. r — m -b n = r — ( n — m), also kleiner als r. Setzt man alle y, welche negative Coefficienten haben, gleich Null, also 5. y>»-h i = y»i +2 = ■ ■ • = yr — o, so kann man noch ausserdem über die z so verfügen, dass man alle in der Function b y z£ -+- b 2 z£ + .. . mit positiven Coefficienten versehenen z annullirt, also fi * Z x — Z g — Z g := - ... — Z fi — 0 annimmt.. Denn die letzten r — m der Formeln 2. gehen dann in r — m homogene lineare Gleichungen der r — n Grössen z„ +2 , z ll+x . . . z r über, enthalten also mehr unbestimmte Grössen, als die Anzahl der Gleichungen beträgt, und sind daher auf mehr als eine Weise durch von Null verschiedene Werthe der Unbestimmten erfüllbar. Durch die Substitutionen 5. und 6. verschwinden in 4. alle negativen Glieder; da nun eine Summe von positiven Grössen nicht verschwinden kann, so folgt, dass die Annahme falsch ist; also ist n nicht kleiner als m. Nimmt man an, n sei grösser als m, so kann man, ohne auf widersprechende Bestimmungen zu stossen, alle y gleich Null setzen, welche in der Function 1. positive Coefficienten haben, und alle z, welche in 3. negative Coefficienten haben. Dann fallen in 4. alle positiven Grössen hinweg, im Widerspruche damit, dass die algebraische Summe aller in 4. stehenden Glieder identisch verschwindet. Es ist nicht überflüssig, hervorzuheben, dass diese Schlussweise in dem Falle m = n ihre Anwendbarkeit verliert; denn setzt man alle y, deren Coefficienten negativ, und alle z, deren Coefficienten positiv sind gleich Null, so erhält man aus den letzten r — m Formeln der Gruppe 2. ebensoviele homogene lineare Gleichungen für die Grössen z, 1+1 . . . z r , die gerade so viel Unbestimmte enthalten, als die Anzahl der Gleichungen beträgt, und daher im Allgemeinen nur durch verschwindende Werthe der Grössen z m+l . . . z r erfüllt werden können. Aus z M+1 = z m+ 2 = . . z r = 0 folgt dann auf Grund der Gleichungen 2., dass auch die übrigen y verschwinden, so dass nun die Identität 4. erfüllbar ist, da alle Glieder derselben verschwinden. 19. Wenn in der Gleichung

i\ 1 b$hg 2 b$h$ » bpil 4 — U ' Setzt man hier die Coordinaten des Centrums ein, so erhält man /(Si. 6». 6*) -= b i ~ bi - bi - b 2 = 1, nach der über die Coefficienten von

S 2> ^ 4 ) = fll ' X 1 2 ~P f2 1 ' x 2 2 + /si' ’ ■*3 2 Daher wird die Gleichung für X x Xf + 2X x X 2 - XI + f* 1' • X 4 2 = : X 2 1 h„ = 1 . Hieraus folgt Xi + X 2 = X 2 j/ bghg ^32 b\hl v-* 2 M2 , 1 1 bl hl bghl r 2 ^ 3 2 1 blhl also wird der Gleichung unabhängig von der Wahl des Punktes P 2 durch zwei reale Verhältnisse X x : X 2 genügt, jede durch das Centrum und durch einen Punkt der Ebene A 2 A 3 A X gelegte Gerade, d. i. jede Gerade durch das Centrum schneidet die Fläche in realen Punkten. Hieran wird die Fläche als Ellipsoid erkannt. B. Sind drei Coefficienten positiv und einer negativ, so kann man setzen 9 = biui -+■ biui -+■ Die Coordinaten des Centrums sind bi u i ?i — blh 1 , /bl h 2 > ?a = biui - 0. » t 4 = - b\h, § 12. Polarebene und Pol für Flächen zweiter Ordnung. 333 Das Centrum liegt daher in einem an einer Tetraederfläche aussen anliegenden Raume. Die Gleichung der Fläche in Punktcoordinaten ist f ^ Tfkf' x * + Jpq ' x?i + JJö$ ‘ — bflq • = o • Für die Coordinaten des Centrums nimmt f den Werth an . /(5i. 6». 6». U = b\ + bl + - bl = 1; für die Coordinaten der Punkte A x , A 2 , A z , A 4 erhält f die Werthe 1 : bf , 1 : bl , 1 : b$ , — 1 : 6* . Daher liegen drei Ecken jedes Polartetraeders A lt A it A z mit dem Centrum auf derselben Seite der Fläche, die vierte A i wird von M durch die Fläche getrennt. Für das Verhältniss, in welchem die Strecke, die das Centrum mit einem Punkte P 2 der Ebene A 1 A i A z verbindet, von / geschnitten wird, ergiebt sich jetzt die Gleichung ll + 2X^2 -+- — JT, aus welcher folgt x i ■+ xh — w ^ 2 *32 ) = °, — X 2 y 1 *2, bih\ ■y* 2 2^12 bpq y' 2 ^3 2 Der Radicand wird für unendlich grosse Werthe von x 12 , x 22 , x 32 negativ unendlich. Wir sehen daher: Die Ebene, die durch das Centrum parallel der Ebene eines Polartetraeders gelegt wird, deren Ecken mit dem Centrum auf derselben Seite der Fläche hegen, hat mit der Fläche keinen realen Punkt gemein. Es giebt daher Ebenen durch das Centrum, die die Fläche nicht schneiden. Folglich ist die Fläche ein zweischaliges Hyperboloid. Setzt man in den Gleichungen des Ellipsoids und des zweischaligen Hyperboloids b\Xi — b£x 2 2 — b^x-l — b^xl = 0, bez. b^x^ -+- b£x£ -+■ b.fx^ — b£x£ = 0 der Reihe nach x t = 0 und x i — 0, so erhält man — b 2 x 2 — bfal — b\xl — 0, bez. b\xl + blxl -+- b£x% = 0 . Beiden Gleichungen kann durch reale Punkte nicht genügt werden. In jedem Polartetraeder eines Ellipsoids und eines zweischaligen Hyperboloids giebt es daher eine Ebene, welche die PTäche nicht schneidet. Hierdurch wird bestätigt, dass auf dem Ellipsoide und auf dem zweischaligen Hyperboloide keine Geraden hegen; denn von einer Geraden wird jede Ebene in einem realen Punkte getroffen. C. Sind zwei Coefficienten der Function cp positiv, und zwei negativ, so kann man setzen cp = bluf blul biui — blul . Die Coordinaten des Centrums sind jetzt _ Si = b\h t , Die Gleichung in Punktencoordinaten ist /- 1 • 1 - 1 = — b%h z , - blh 4 _y 2 __ bni 2 i w byii o. A 2 A 2 °\ n \ "2 "2 Für die Coordinaten des Centrums und der Ecken des Polartetraeders nimmt die Function f die Werthe an 1. 1 :bl , 1 :i|, — 1 i b*, - 1 : Jj? . 334 Analytische Geometrie. Daher liegen zwei Ecken A v A 2 jedes Polartetraeders mit dem Centrum auf derselben Seite der Fläche, die beiden andern A. a , A a werden durch die Fläche vom Centrum getrennt. Das Centrum liegt, da zwei Coordinaten positiv, die andern beiden negativ sind, in einem an einer Kante anliegenden zweieckigen Raume. Giebt man f die Form und setzt 7 “ (Yr *> ) Gä*’ i b g Ml 1 Ml' Ms l M* 4 b 2 b 2 M4 b „ h. x, =s 7',, 1 1 2 h. 2 M 4 T x ' ^ - T n so wird der Gleichung der Fläche durch die Punkte genügt, für welche bei willkürlicher Wahl des Verhältnisses jxj : |x 2 die beiden Gleichungen gelten Pi -h't = Ps ^2 > Pi = P2 ^2 > welche also den beiden Ebenen gemeinsam sind T e= jajlTj — p 2 ^2 = 0, T \ = Pi^i' — P2 7 Y = °- Diese Ebenen sind entsprechende Ebenen zweier projectiven Ebenenbüschel, in denen f\ und 7. 2 den Ebenen 1\' und 7’ 2 ' entsprechen. Dies charakterisirt die Fläche als einschaliges Hyperboloid. 20. Ist in der Gleichung

> X 40 - Xb 2 •*2 0 y : *4 0 = Xb 3 •*30 y *4 0 = Xb 4 •*4 0 4- « 14 *4 0 = o , -t- «24 X 4 0 = o , 4- «34 X 4 0 = 0 , — Xx 4 ) *4 0 = 0 . «14*10 "h «2 4*2 0 “h «3 4*3 0 "+- («4 4 Der Verein dieser vier homogenen linearen Gleichungen wird durch das Verschwinden der Determinante bedingt a , 3. C = Di — Xb 1 a l 2 «1 3 «14 a l 2 a 22 ^b 2 a 23 «24 a 13 a 23 a 3 3 ^3 «34 a \4 a 24 «3 4 a 44 ~Xb : = 0. Dies ist eine Gleichung vierten Grades für X. Hat man sie aufgelöst, so setzt man die Wurzeln der Reihe in das System 2. ein und erhält somit aus den 336 Analytische Geometrie. vier Wurzeln der Gleichung 3. vier verschiedene Systeme zur Bestimmung der Coordinaten Xj, 0 . Bezeichnet man mit a m den Coefficienten des ^-Elements der z'-ten Zeile von C, so hat man 4. x 20 ~. x 3() '. x i() = a,, : a, 2 • • */4 wo nun die am für die vier Wurzeln X im Allgemeinen verschiedene Werthe annehmen Es giebt somit vier Punkte im Raume, die für zwei Flächen II. O. dieselbe Polarebene haben. Ist II j ein Punkt, der für F und f dieselbe Polarebene T t hat, und hat II 2 für F und f dieselbe Polarebene Z 2 , so üegen II 2 auf und II, auf T 2 . Denn angenommen, 11 2 läge nicht auf 7\, mithin auch II x nicht auf T 2 , so betrachte man auf der Geraden Il 1 ll 2 die beiden Involutionen (No. 12), deren Paare durch die Punkte dieser Geraden und durch die Schnittpunkte derselben mit den Polarebenen der Punkte in Bezug auf F bez. f gebildet werden. Diese beiden Involutionen haben zwei gemeinsame Paare, nämlich die, zu welchen IIj und ll 2 gehören. Wenn aber zwei Involutionen zwei gemeinsame Paare haben, so sind sie identisch. Folglich treffen die Polarebenen jedes Punktes II der Geraden I1 1 II 2 in Bezug auf F und / diese Gerade in demselben Punkte; da sie nun ausserdem beide durch den Schnitt von 7\ und T 2 gehen, so sind sie identisch. Es fallen also für alle Punkte der Geraden Iljllj die Polarebenen bezüglich F und / zusammen. Dies widerspricht der Thatsache, dass die Gleichung C = 0 im Allgemeinen nicht durch unendlich viele Wurzeln X erfüllt wird, sowie dass im Allgemeinen nicht für eine Wurzel X der Gleichung (7=0 die vier Gleichungen des Systems 2. sich auf zwei Gleichungen reduciren, in welchem Falle allerdings alle Punkte auf dem Schnitte der durch die beiden übrig bleibenden Gleichungen dargestellten Ebenen zusammenfallende Polarebenen haben würden.*) Hieraus folgt, dass im allgemeinen Falle, wenn nicht mehr als vier Punkte vorhanden sind, deren Polarebenen für f und F zusammenfallen, die Polarebene jedes der vier Punkte F 0 durch die drei andern geht. Zwei Flächen II. O. haben also ein gemeinsames Polartetraeder. Hat die Gleichung C = 0 vier reale Wurzeln, so sind alle Ecken dieses Tetraeders real. Hat C = 0 ein Paar conjugirt complexe Wurzeln, so sind zwei Eicken des Tetraeders und die ihnen gegenüberliegenden Ebenen real; die Gerade der beiden realen Ecken und die Schnittlinie ihrer Polarebenen bilden zwei Gegenkanten des Polartetraeders und sind für beide E'lächen f und F conjugirte *) Von der Richtigkeit dieser Bemerkungen überzeugt man sich, indem man die Gleichungen zweier Flächen bildet, die ein gemeinsames Polartetraeder haben. Die Gleichungen in Bezug auf dieses Tetraeder seien F = X? + b 2 x* -f- b z xg + b 4 x 4 2 = 0 /= a i x? + a 2 x.f + a z x£ -f- a 4 x 4 2 = 0- Die Gleichung C = 0 wird jetzt ( a l — X^j) (a 2 — Xb { ) (a 3 — X^ 3 ) (a A — X 4 ^) = 0, und ergiebt für X die vier Auflösungen a l : b x , : b 2 , a 3 : , a 4 : b 4 . Aus den Gleichungen 2. ergeben sich, wenn die Verhältnisse der a von den Verhältnissen der entsprechenden b verschieden sind, die Ecken des Achsentetraeders als Lösungen der Aufgabe. Nur dann, wenn zwei Coefficienten in f dasselbe Verhältniss haben, wie die entsprechenden in F t tritt eine Abweichung ein. Ist z. B. a t : a s — b l : b 2 , und sind | 2 die Coordinaten eines auf A X A 2 liegenden Punktes P , so sind die Polarebenen von P • *i + ■ x 2 = o, 'Mi • x i + M a • x -i =o, und diese sind identisch, da b i : b 2 — a l : a. r Ist (7j : a 2 : a s = b x : b 2 : b z , so haben alle auf A { A 2 A 3 liegenden Punkte dieselbe Polarebene für f und F. § 12. Polarebene und Pol für Flächen zweiter Ordnung. 337 Gerade. Hat C = 0 keine reale Wurzel, so sind die gleichbezififerten Coordi- naten je zweier Punkte, welche einem Paare conjugirt complexer Wurzeln von p. zugehören, conjugirt complex; daher werden auch die Gleichungen der Polarebenen zweier solchen conjugirt complexen Punkte conjugirt complex. Aehnlich, wie die Bemerkungen über conjugirt complexe Punkte und Geraden in der Ebene, leitet man die Sätze ab: Zwei conjugirt complexe Punkte genügen den Gleichungen einer durch sie bestimmten realen Geraden. Zwei conjugirt complexe Ebenen haben eine reale Scbnittgerade. Daher schliessen wir: Zwei Flächen II. O. haben in jedem Falle ein Paar reale conjugirte Gerade gemein. Diese Untersuchung kann auch mit Hülfe der Gleichungen in Ebenen- coordinaten durchgeführt werden. Sind d t u t 2 -l- d 2 ug -+- d :i u 3 2 -+- d i u 4 2 = 0 und Gi*G 2 -+■ 2c 12 «j« s -t- c 44 w 4 2 = 0 die Gleichungen von F und f in Ebenencoordinaten, so erhält man die Coordi- naten der Ebenen, deren Pole für f und F zusammenfallen, aus drei Gleichungen des Systems (G i — \d^)u x F c 13 u 2 c ls u 3 + G 4 = 0, ^ G a*i -+- (G2 — ^2) u a + Gs u -a ■+■ r 24 = 0 , GsG “ 1 " Gs *2 "P (G3 ^3)^3 ~b G4G = 0 > C li U l + G4 Ä 2 ■+■ G4*G “b (r 4 4 - Xd±) U 4 — 0, wobei X eine Wurzel der Gleichung ist c x t — Xd x G 2 Ga ^14 G 2 G 2 ^2 G3 ^24 C 1 3 G 3 ^ " Xd '<4 ^34 G 4 G 4 G 4 ^4 4 ^ ^4 Die Gleichungen C — 0 und T = 0 haben daher immer die gleiche Anzahl reale Wurzeln. 22. Die soeben mitgetheilte Untersuchung hängt aufs Engste zusammen mit der Frage nach den Kegeln II. O., die durch die Schnittcurve zweier Flächen II. O. gehen, sowie mit der Frage nach den Grenzflächen II. Kl., die den gemeinsamen Tangentenebenen zweier Flächen II. Kl. eingeschrieben sind; oder allgemeiner: mit der Frage nach den Kegeln II. O., die zu einem Flächenbüschel II. O. gehören, bez. nach den Grenzflächen, die zu einer Schaar von Flächen II. Kl. gehören. Sind f und F zwei quadratische Functionen in Punktcoordinaten j f = u. 4 1 x 2 -f- %a 12 x 1 x 2 “H . . “t - ^ 4 4^4^, F ^ i 11 x 1 2 ' 2 i> 12 x 1 x 2 + i i4 x 2 , so versteht man unter einem Flächenbüschel II. O. die Gesammtheit aller Flächen, deren Gleichungen unter der Form enthalten sind 2. T sl 1 /+l ! /=0. Alle Punkte, für welche /= 0 und zugleich F — 0, genügen auch der Gleichung ?3 ,=0 < wenn man für X, und X 2 Werthe eingeführt hat, die der Gleichung 5. genügen. Stellt man diese Gleichungen auf und ersetzt X 2 : X x durch (— X), so werden dieselben mit dem System No. 21, 3 identisch. Die Ecken des zwei Flächen II. O. gemeinsamen Polartetraeders sind zugleich die Spitzen der Kegel, welche in dem durch die beiden Flächen bestimmten Büschel enthalten sind. Soll die Fläche tp der durch f und F bestimmten Schaar eine Grenzfläche sein, so muss die Gleichung erfüllt sein (No. 6) ^l f ll + ^2^1 ^-1^12 ^i^is ' ' ' 1 " V 23 X 1 c 3S H 7. ^ 1/12 ^■ 1*13 ^ 1 / 1,4 X t ^22 X 2 ^2 X 4 C % X 2 ^ 3 X x C 14 ^1^24 ^1^34 X 2 ^4 = 0. ^ 2 3 ^ „ ^-1^24 ^iT34 ^1^4. ... . Setzt man (— X) an die Stelle von X 2 : X 1( so geht diese Gleichung m P = 0 (No. 21, 6) über; durch dieselbe Substitution gehen die Gleichungen ?i' = 0,

A 335 AoA -+- AoA + AoA + AoA = 0 die Gleichungen der Polarebenen von P 0 bezüglich der Flächen /= 0 und F=0 sind. Hieraus folgt: Die Polarebenen eines Punktes in Bezug auf die Flächen eines Büschels II. O. bilden ein Ebenenbüschel; die verschiedenen Punkten zugehörigen Büschel von Polarebenen sind projectiv. Die der Geraden P 0 P x in Bezug auf cp = 0 conjugirte Gerade ist der Schnitt der Polarebenen von P 0 und P t bezüglich cp = 0; diese beiden Polarebenen sind entsprechende Ebenen .der beiden projectiven Polarebenenbüschel, die den Punkten P 0 und I\ in Bezug auf die Flächen des Büschels zugehören. Daher folgt: Die Geraden, welche einer Geraden 7 in Bezug auf alle Flächen eines Büschels conjugirt sind, bilden ein System von Geraden einer Regelfläche II. O.; die Geraden des andern Systems auf derselben Regelfläche sind die Träger der Polarenbüschel, welche den Punkten der Geraden 7 in Bezug auf die Flächen des Büschels zugehören. B. Die Gleichung des Poles einer Ebene T 0 für die Fläche einer Schaar cp = X x f 4 - X 2 F = 0 ist P — A/lo' + ^2 F \ o') «!+•.• AAo' + ^2 Ao’) U i = 0 • Daher hat man 3. P X^ P x 4 - X 2 P 2 = 0, wobei 4 A — Ao' • u i + /20' ' «2 + /so' ' “3 + Ao' • »4 = °- A s Ao' ■ u x 4 - Ao' • u 2 4- -^3 0 ' • u z 4 - Ao' ■ = 0 die Pole von T 0 in Bezug auf / = 0 und F — 0 sind. Man schliesst hieraus: Die Pole einer festen Ebene in Bezug auf die Flächen einer Schaar liegen auf einer Geraden. Die geradlinigen Polreihen, welche irgend zwei Ebenen in Bezug auf die Flächen der Schaar zugehören, sind projectiv. Die Pole zweier Ebenen T 0 und 1\ in Bezug auf die Fläche

T3, welche durch k Z t gehen, und der Reihe nach A, B und C zu ,/ Spitzen haben; ■K folglich ist die 1 1 Spitze 2 des ge- 1 1 / i i a suchten Kegels \Uj ein gemeinsa- 1 yT f mer Punkt der M drei Kegel 12> 7 a- Je zwei / \ 's ' i \ dieser drei Ke- / ! ' gel haben den / Kegelschnitt k gemein und / F& / \ schneiden sich / />- daher ausser / '' dem noch in einer ebenen F ’ Curve (§ 9 , No. 5 ). Ist D DF 0 £ die Spur der Geraden AB auf der Ebene k und legt man eine Gerade durch D, welche k in F und G trifft, so sind H und J zwei den Kegeln fj und j 2 gemeinsame Punkte; denn AB' und AG sind Mantellinien von 7j, und BF, BG sind Mantellinien von y 2 . Die Gerade HJ liegt auf der zweiten Schnittebene von ‘7 und 7 2 ; sie trifft DG in dem Punkte K, der zu F, G, D harmonisch ist, also in einem Punkte der Polaren T des Punktes D in Bezug auf k. Die Ebene, welche die Schnittpunkte von 77 und i 2 enthält, die nicht auf k liegen, ist also durch die Polare T und durch den Punkt L bestimmt, der zu A, B und D harmonisch liegt. Ebenso ist die Ebene, welche die Punkte enthält, die und y 3 ausserhalb 342 Analytische Geometrie. k noch gemein haben, durch die Polare T t der Spur E der Geraden AC in Bezug auf den Kegelschnitt k und durch den vierten harmonischen Punkt M zu A, C und E bestimmt. Die Ebene ABC wird von der Ebene LT in LN, und von der Ebene MT t in MO geschnitten; mithin ist a die Schnittlinie von LT und MT j. Die Gerade a trifft daher die Kegel -fj, 7 2 , in den beiden Punkten, welche diese drei Kegel ausser k noch gemein haben. Diese beiden Punkte können als Schnittpunkte von a mit irgend einem der drei Kegel leicht gefunden werden. Bestimmt man z. B. die Spur P der Geraden CU, und schneidet k durch die Gerade PQ, so sind die Schnittpunkte 2 und 2 t der Geraden a mit CP und CS die gesuchten Spitzen der beiden durch k und A, B , C bestimmten Kegel. Diese beiden Kegel haben ausser k noch einen Kegelschnitt gemein, der auf der Ebene A, B, C liegt; folglich ist die Projection von k auf die Ebene ABC von den Projectionscentren 2 und 2 t aus ein und derselbe Kegelschnitt k y . Dieser Kegelschnitt. k x ist allen Flächen II. O. gemein, die durch k und A, B, C gehen. Sind daher ein ebener Schnitt einer Fläche II. O., und noch weitere vier Punkte der Fläche bekannt, die nicht in einer Ebene liegen — wodurch die Fläche eindeutig bestimmt ist — so kann man auf linearem Wege (ohne Anwendung des Zirkels) den Kegelschnitt finden, in welchem jede durch drei bekannte Punkte der Fläche gehende Ebene die Fläche schneidet. 2. Eine Fläche II. O. durch neun gegebene Punkte, von denen vier auf einer Ebene liegen, kann folgendermaassen construirt werden: Die Ebene a enthalte die vier gegebenen Punkte A, A lt A 2 , A :i , die Ebene ß die drei gegebenen A a , A it A 6 , die Ebene 7 die beiden gegebenen A 7 , A s und A; die Schnittlinien je zweier dieser Ebenen seien l, m, n, ihr Schnittpunkt O. Gesetzt Z sei der Kegelschnitt, in welchem die Ebene a von der gesuchten Fläche / geschnitten wird; n werde von Z ausser in A noch in B getroffen. Bestimmt man die Schnittpunkte von l und Z, und legt durch diese und durch A i , A : „ A 6 einen Kegelschnitt M, so ist dieser auf f enthalten; ferner liegt auch der Kegelschnitt N auf /, der durch die Schnittpunkte von m und M, sowie durch A 7 , A s , A geht. Der Punkt C, welchen N mit n ausser A noch gemein hat, muss mit B zusammenfallen. Z 3 . . . des Büschels AA 7 A 2 A Z treffen n (ausser (M. 463.) Alle Kegelschnitte Z 1( Z 2 , j.,, in A) in einer Punktreihe B x , ß 2 , B % und / in Punktpaaren einer quadratischen Involution X, X 2 , X 3 . . . projectiv. Die Reihe B x , B 2 , B 8 ist mit der Involution § 13* Construction einer Fläche zweiter Ordnung aus neun gegebenen Punkten. 343 Die beiden Kegelschnitte M x und M 2 , welche durch A x , A b , A e und ausserdem noch der Reihe nach durch die Punktpaare Xj und X 2 gehen, haben noch einen vierten realen Schnittpunkt A' (ausser A v A b , A b ). Ein Kegelschnitt Mi dieses Büschels A 4 A b A e A', der durch einen Punkt des Paares X, geht, enthält auch den andern, da die Kegelschnitte dieses Büschels die Gerade l in den Punktpaaren der durch die beiden Paare X 4 und X 2 bestimmten Involution treffen. Die Kegelschnitte M x , M 2 , Mg, . . . welche der Reihe nach durch die Paare X 3 , X 2 , X 3 , X 4 . . . und ausserdem alle durch die Punkte A it A b , A 6 gehen, bilden daher ein Büschel, und treffen mithin die Kante m in Punktpaaren p.j, jx 2 , |a 3 . . einer Involution, die mit der Involution X 4 , X 2 , X 3 . . . projectiv ist. Die Kegelschnitte N t , N 2 , N 3 , . . . , die durch die Paare p.j, |j. 2 , p. 3 , . . und ausserdem noch alle durch die drei Punkte A 7 , A B , A gehen, bilden ebenfalls ein Büschel, und treffen die Gerade n ausser, in A in einer Punktreihe C\, C 2 , C 3 , die mit der Involution jjl x , jx ä , p. 3 . . . projectiv ist. Da die Reihe B lt B 2 . . . mit der Involution X t , X 2 . . ; da diese mit der Involution jxj, p. 2 . . . ; und da letztere mit der Reihe C lt C 2 , . . . projectiv ist, so sind auch die Reihen B v B 2 , Bg . . . und C\ , C 2 , C s . . . projectiv. Diese beiden Reihen haben offenbar den Punkt O zum Doppelpunkte. • Sie sind daher bestimmt, wenn man noch zwei Paar entsprechende Punkte B x , C\ und B 2 , C 2 kennt. Der zweite Doppelpunkt B dieser Reihen ist nun der Punkt, welchen die gesuchte Fläche f mit der Kante nt ausser A noch gemein hat. Man findet diesen Doppelpunkt auf linearem Wege, wenn man (in der Projection auf die Bildfläche) B x , B 2 von einem Punkte D, und C\, C 2 von einem andern Punkte E aus projicirt; die Punkte O, D, E, sowie die Schnittpunkte von DB x und EC X , sowie von DB 2 und EC 2 bestimmen den Kegelschnitt, auf welchem sich je zwei von D und E nach entsprechenden Punkten der Reihen B x , B 2 , Bg . . . und C\, C 2 , Cg .. . gehende Strahlen schneiden. Der gesuchte Doppelpunkt P ist daher der Punkt, in welchem dieser Kegelschnitt die Gerade m (ausser in O) schneidet. Hat man B , so hat man auch die drei Kegelschnitte L, M, N, in welchen die Ebenen a, ß, 7 die gesuchte Fläche f treffen. Legt man nun z. B. eine Ebene 8 durch A x und A it so findet man auf linearem Wege den weiteren Schnittpunkt dieser Ebene mit dem auf a liegenden Kegelschnitte L\ nach der in der vorigen Nummer gegebenen Construction kann man (auf linearem Wege) aus diesen drei Punkten und dem Kegelschnitte N den Kegelschnitt finden, in welchem f von der Ebene 8 geschnitten wird. Dreht man 8 um die Gerade A 7 A i , und wiederholt für jede Lage die Construction, so erhält man die gesuchte Fläche vollständig. 3 . Man kann diese Lösung so anordnen, dass alle dabei auftretenden Constructionen linear sind. Man durchschneide die Kanten l und m mit den Geraden A i A s und A B A R , und nehme als Kegelschnitte L x und L 2 die durch F und G gehenden des Büschels AA x A 2 A 3 ; die Punkte E' und G\ in welchen L x und Z 2 die Kante / noch schneiden, geben die beiden Paare FF' und GG') dies sind die Paare X 4 und X 2 der auf der Kante l liegenden Involution. Die Geraden FA X und F'A h bilden dann den Kegelschnitt M x und die Geraden GA ;> und G'A X den Kegelschnitt M. Durchschneidet man die Kante m. mit der Geraden F'A b in F x und mit G'A t in G x ', so ist F X F X das Paar p. 1 , und G X G X das Paar p. 2 der auf m 344 Analytische Geometrie. liegenden Involution. Die Bestimmung von C x und C 2 , sowie alles Weitere erfolgt auf linearem Wege. 4. Wir ersetzen A durch einen andern Punkt A' der Kante n und bestimmen auf gleiche Weise den Kegelschnitt N ', in welchem die durch die neun Punkt eA'A i A 1 . . . A 3 gehende Fläche /' die Ebene 7 schneidet. Jede Fläche II. O., die durch die acht Punkte A t ... A a geht, gehört zu dem durch die Flächen / und f bestimmten Büschel, und schneidet daher die Ebene 7 in einem Kegelschnitte, der zu dem durch N und N' bestimmten Büschel gehört. Die durch die neun Punkte A x A 9 A 3 A i . . . A 9 bestimmte Fläche II. O. F wird daher von der Ebene 7 in. dem Kegelschnitte 91 des Büschels NN' geschnitten, der durch A 9 geht. Dieser Kegelschnitt 91 kann linear gefunden werden, wenn man, von einem dritten Punkte A" der Kante 7 ausgehend, noch einen Kegelschnitt N" des Büschels NN' ermittelt. Durchschneidet man mit der Geraden A s A 9 die Kegelschnitte des Büschels N, N, N" ... in den Punkten P lt P 2 , P 3 ... . und durch einen andern durch A s gehenden Strahl in den Punkten P x ', P.J, P 3 , ... , so sind diese Punktreihen projectiv; construirt man aus den bekannten drei'Paar entsprechenden Punkten P x , P 9 , P 3 und P x , P 9 , P 3 zu A 9 den entsprechenden Punkt A 9 ' der Reihe P x P 9 , so liegt A 9 auf dem durch A 9 gehenden Kegelschnitte des Büschels NN'. Ermittelt man in gleicher Weise den auf einem dritten durch A g gezogenen Strahl liegenden Punkt A d " des Kegelschnitts 91, so sind nun von 9t fünf Punkte bekannt A 7 , A s , A 9 , A 9 , A 9 ". Um die Construction der gesuchten Fläche P linear zu vollenden, construirt man nach No. 1 mit Hülfe des Kegelschnitts 91 den auf der Ebene a liegenden Kegelschnitt von P\ und fährt dann fort wie bei der vorigen Construction (No. 2).*) 5. Der conjugirte Punkt eines Punktes P in Bezug auf das durch sieben gegebene Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 bestimmte Bündel von Flächen II. O. kann auf lineare Weise gefunden werden. Construirt man von den Punkten 5, 6 und 7 aus die drei Geraden a 1( a 2 , a 3 , welche die beiden Geraden 1 2 und 3 4 schneiden, so bestimmen diese fünf Geraden eine Regelfläche II. O. f, die dem Bündel angehört. Eine Ebene, die durch P und eine dieser fünf Geraden, etwa durch die von 5 ausgehende otj gelegt ist, trifft die Fläche in einer zweiten Geraden a/, die sich sofort ermitteln lässt; die Gerade ß, welche durch den Schnitt Q von a t und a ,' geht und zu a,, a/ und QP harmonisch zugeordnet ist, liegt auf der Polarebene des Punktes P in Bezug auf die Fläche /. Construirt man auf gleichem Wege noch eine zweite auf dieser Polarebene liegende Gerade, so ist damit diese Polarebene T gefundeu. In gleicher Weise erhält man die Polarebene T' von P in Bezug auf die Regelfläche des Bündels, welche die Geraden 1 3 und 2 4 enthält, sowie die Polarebene T" in Bezug auf die Fläche, welche die Geraden 1 4 und 2 3 enthält. Der Schnittpunkt P' von T, T' und T" ist der gesuchte zu P conjugirte Punkt. 6 . Jede Fläche II. O., die dem durch acht gegebene Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 bestimmten Büschel angehört, gehört zu den beiden Bündeln, welche durch die Gruppen von je sieben Punkten 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 und 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 8 bestimmt sind. *) Chasi.es, Comptes rendus liebdomaires des seances de l’academie des Sciences, T. XLI, pag. 1103 (1855). § 1 4 - Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenbündel und Strahlenbündel. 345 Die Polarebene von P in Bezug auf jede Fläche des Büschels 1, ... 8 geht daher durch die beiden Punkte P' und P\ die dem Punkte P in Bezug auf die Bündel 1, . . 6, 7 und 1, . . 6, 8 conjugirt sind. Man hat somit auf linearem Wege die Gerade P'P” gefunden, durch welche alle Polarebenen des Punktes P in Bezug auf die Flächen des Büschels 1, 2, 3, 4, 5, (i, 7, 8 hindurchgehen. 7. Die durch die neun Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bestimmte Fläche II. O. / gehört dem Bündel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sowie dem Bündel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 und dem Bündel 1, 2, 3, 4, 5, fi, 9 an; die Polarebene von P in Bezug auf / geht daher durch die Punkte P ', P', P'” , die dem Punkte P in Bezug auf diese drei Bündel conjugirt sind. Hiernach ist die Polarebene eines Punktes in Bezug auf eine durch neun Punkte bestimmte Fläche II. O. linear construirt. 8. Construirt man so die Polarebene eines Punktes P der Ebene 1, 2, 3, so ist ihre Spur auf dieser Ebene die Polare von P für den auf 1, 2, 3 liegenden Kegelschnitt von /. Durch die Punkte 1, 2, 3 und die Polare von P ist dieser Kegelschnitt bestimmt und kann linear construirt werden. Von diesem Kegelschnitte aus kann nun die Construction der Fläche wie in No. 2 fortgesetzt werden.*) § 14. Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenbündel und Strahlenbündel. 1. Sind P v P 2 , P 3 drei von einander unabhängige lineare Functionen in (homogenen oder gewöhnlichen) Ebenencoordinaten oder Einiencoordinaten, so kann die Gleichung eines vierten Punktes P 9 der Ebene P x P 2 P 3 bekanntlich in der Form geschrieben werden P s = a \P\ “P a 2^2 "P a i ^ > 3 = wobei das Verhältnis a 1 : a 2 : a 3 durch die Lage von P % eindeutig bestimmt ist. Aehnliches ergiebt sich für die Geraden einer Ebene und für die Ebenen eines Ebenenbündels, d. i. für die Ebenen, die durch einen Punkt (den Träger des Bündels) gehen. Sind nämlich 1\, T 2 , 7’., drei von einander unabhängige lineare Functionen in gewöhnlichen oder in homogenen Punktcoordinaten, so kann man eine lineare Function 2. T = a x T’j -+- a 2 T 2 -+- a 3 T 3 = 0 durch geschickte Wahl des Verhältnisses a x : a 2 : « s so bestimmen, dass der Gleichung T — 0 durch zwei willkürlich gewählte Punkte T\ und P 2 genügt wird. Bezeichnet man durch Ti x und 7/ die Werthe, welche die Function Ti annimmt, wenn man in ihr die variabeln Goordinaten durch die Goordinaten von P x bez. P 2 ersetzt, so hat man a x , a 2 , a 3 so zu wählen, dass die beiden Gleichungen erfüllt sind a \T xx + a 2 T 2x + a 3 T %x = 0, ö 1^12 “P a 2^2 2 ~P ^ 3^3 3 = *) Hesse, Crklles Journal Bd. 24, pag. 36 (1842). Mehrere Methoden zur Construction des achten Schnittpunkts dreier Flächen II. O., der Schnittcurve zweier Flächen II. O. aus acht Punkten, sowie einer Fläche II. O. aus neun Punkten findet man zusammengestellt und bearbeitet in der Abhandlung des Verfassers: Die Construction einer Fläche II. O. aus neun gegebenen Punkten und verwandte Constructionen, Leipzig 1881. 346 Analytische Geometrie. Aus diesen Gleichungen folgt T, i T S1 T 3 x Txx Txx 1 2 2 ^3 3 1x2 Tx , Sind nun T x , T 2 , T z lineare Functionen von Punktcoordinaten in der Ebene, so wird in der Form 2. die Gleichung jeder durch zwei willkürliche Punkte der Ebene gehenden Geraden, also jeder Geraden der Ebene dargestellt. Sind hingegen T t , T 2 , T 3 lineare Functionen von Punktcoordinaten im Raume, so wird die Gleichung T = a 1 T \ -+- #2-^2 a 3 1 % — 0 durch die Coordinaten des Punktes erfüllt, für welchen zugleich 1\ = T 2 = T % = 0, die Ebene T geht also durch den gemeinsamen Punkt der Ebenen T v T 2 und F v Da nun ausserdem T durch die zwei willkürlichen Punkte P x und P 2 geht, so folgt, dass durch die Gleichung 2. jede durch den Schnittpunkt von T x , T 2 , gehende Ebene dargestellt werden kann. 2. Man denke sich in zwei verschiedenen oder zusammenfallenden Ebenen 2 und 2' je ein rechtwinkeliges Coordinatensystem und die Punkte jeder Ebene durch ihre Coordinaten bestimmt. Man kann nun jeden Punkt P der einen Ebene mit einem Punkte 1" der andern dadurch verknüpfen, dass man für die Coordinaten von P und P zwei für jede der beiden Coordinatenpaare lineare Gleichungen festsetzt j X = a xx' -+- b xy' -y- c x -y- d yx’ y- e yy' -y-fyy-gx'y-hy’y-i =0, B = a x xx' -+- b 1 xy’ -t- c x x y- d s yx' y- e x yy' y- f x y y- g x x' -+- h x y' y- i x =0, worin a ... i, a x ... gegebene Constanten sind, welche die Verwandtschaft charakterisiren. Man kann diese Gleichungen in der Weise zusammenfassen A = A’x y- B'y y- C' ^ Ax' y- By' y- C = 0, 2 " B = D'x -y- E'y + P’ ^ Dx' + Ey' + F = 0, worin A' ... F' lineare Functionen von x', y', und A . . . F lineare Functionen von x, y bedeuten. Aus diesen Gleichungen erhält man x, y durch x’, y' ausgedrückt und umgekehrt: 3. 4. B'F' — C'E' ~ A'E' — B'D' ’ BF — CE ~ AE — BZ> ’ C'D' — A’F’ y ~ ÄE' — B'D' ' , CD — AF y ~ AE — BD ' Einer Geraden in 2' T' = Xx' y- (j ,y' ■+■ v = 0 entspricht in 2 die Linie, deren Gleichung man erhält, wenn man in T' die Coordinaten x', y' gemäss der Formeln 4. durch die Coordinaten des entsprechenden Punktes x, y ersetzt. Dadurch erhält man nach Beseitigung des Nenners (AE — BD) die Gleichung 5. K = X(BF—CE) -+- (x (CD — AF) y- v (. AE—BD ) = 0. Dies ist eine Gleichung zweiten Grades. Für die Af'-Achse, die F'-Achse und die unendlich ferne Gerade der Ebene 2' ist der Reihe nach |A = v = 0, X = v = 0, X Der X'-Achse entspricht daher der Kegelschnitt: ,, F -Achse ,, ,, ,, ,, ,, ,, unendlich fernen Geraden in 2' entspricht : = p. = 0. K x s= BF — CE = 0, X 3 = CD — AF = 0, K % e= AE — BD = 0. £ * 4 * A 14 - Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenblindel und Strahlenbündel. 347 Die drei Functionen K x , K t , K 3 sind, wie man sofort sieht, durch die identische Gleichung verbunden AK X -4- BK 3 = — CA /.,. Für jeden Punkt, den die Kegelschnitte K x und K 2 gemein haben, verschwindet die linke Seite dieser Identität, folglich auch die rechte; jeder Schnittpunkt von AT, = 0 und K 2 = 0 liegt daher entweder auf der Geraden C = 0, oder auf dem Kegelschnitte Ä/, = 0. Die Gerade C = 0 trifft AT, in den Punkten, für welche zugleich B = 0 oder F = 0, und den Kegelschnitt K 2 in den Schnittpunkten desselben mit A = 0 oder F = 0. Da nun im Allgemeinen die drei Geraden A, B, C nicht durch einen Punkt gehen, so folgt, dass die Gerade C nur einen Schnittpunkt von K x und K 2 enthält, nämlich den Punkt, in welchem C von F geschnitten wird. Wir schliessen hieraus: Die drei Kegelschnitte K x , K 2 , K 3 haben drei Punkte gemein. Diese Punkte gehören offenbar auch jedem Kegelschnitte K an; die Kegelschnitte K, welche den Geraden in 2' entsprechen, haben daher drei gemeinsame Punkte. Dem Schnittpunkte zweier Geraden T x , T 2 in 2' entspricht der vierte Schnittpunkt der beiden Kegelschnitte, welche 7\' und T 2 entsprechen. Die drei Punkte, in denen sich die Kegelschnitte K der Ebene 2 schneiden, heissen die Grundpunkte auf 2. In gleicher Weise ergiebt sich, dass jeder Geraden T auf 2 ein Kegelschnitt K' auf 2' entspricht, und dass alle diese Kegelschnitte drei gemeinsame Punkte haben, welche als die Grundpunkte auf 2' bezeichnet werden. Der Verein der drei Gleichungen K x — 0, Ä/, — 0, Ä' 3 = 0 kann durch die Proportion ersetzt werden 5. A : B: C = D : E : F. Die drei Grundpunkte auf 2 erfüllen diese Proportion, für jeden dieser Punkte werden also die Verwandtschaftsgleichungen 2. identisch. Dies ergiebt: Jedem Grundpunkte auf 2 entsprechen die Punkte der Geraden Ax’ H- By' -h C = 0, wenn man darin x, y durch die Coordinaten dieses Grundpunkts ersetzt; ebenso entsprechen jedem Grundpunkte auf 2' die Punkte der Geraden A'x -+- B'y -t- C 1 = 0, wenn man hierin für x 1 , y' die Coordinaten dieses Grundpunkts setzt. Das Vorhandensein dieser ausgezeichneten Punkte und Geraden in den Systemen 2 und 2 1 fordert dazu auf, homogene Coordinatensysteme zu Grunde zu legen, und die ausgezeichneten Elemente zu den Achsendreiecken zu verwenden. In Bezug auf zwei beliebig gewählte Coordinatendreiecke in 2 und 2' erhält man die Verwandtschaftsgleichungen G/x, G 2 x 2 G 3 ’x 3 = 0 und Fl\'x t + H 2 x 2 -f- x % = 0, worin die G' und ff' lineare Functionen von x x , x 2 ', x 3 ' sind. Wir wollen nun in 2 die drei Geraden zu Coordinatenachsen wählen, welche den Grundpunkten in 2' entsprechen, und zwar mögen den Grundpunkten II,/, ry, II 3 ' der Reihe nach die Achsen x x =0, x 2 = 0, x a == 0 entsprechen. Hieraus folgt, dass für die Coordinaten von II,' die Functionen G 2 , (?./, ff 2 und ff 3 verschwinden, sowie ferner, dass für die Coordinaten von n 2 ' die Functionen G x = G s ' = H x = H s ' = 0 sind, und endlich, dass man für die Coordinaten von iy hat G x = G 2 ’ = //,' = ff 2 ' = 0. 348 Analytische Geometrie. Dies zeigt, dass die Dreiecke £/ = 0, G 2 = 0, 6y = 0 und H t ' = 0, H 2 = 0, H 2 = 0 zusammenfallen, und dass die Grundpunkte 17/, I7 2 ', I7 3 ' die Ecken dieses Dreiecks sind, so dass 11/ der Seite G7 = H- gegenüberliegt. Wählt man nun dieses Dreieck zum Coordinatendreiecke in 2', so reduciren sich die linearen Functionen G’ und //' auf G 1 G 2 ==a 2 x 2 , G 2 ^ a 2 x 3 , = b\Xy , ET 2 b 2 x 2 , //y ^ ^3^3 • Man erhält somit die Verwandtschaftsgleichungen (1. a^x^ x 1 I ci 2 x 2 x 2 —(— & 2 x 2 x 2 — 0 und b^x^ x ^ -t— b 2 x 2 x 2 ~P b 2 x 2 x 2 0. Aus der Symmetrie dieser Gleichungen sieht man, dass das Coordinaten- dreieck in 2 die Grundpunkte auf 2 zu Ecken hat, und dass denselben die Seiten des Coordinatendreiecks auf 2' entsprechen. Hieraus folgt der Satz: Den Grundpunkten in jedem der beiden Systeme entsprechen die Seiten des von den Grundpunkten des andern Systems gebildeten Dreiecks. Den Punkten der Geraden auf 2 1 7. x, X 2 x 2 “P \nX»' = 0 entsprechen auf 2 die Punkte, für welche der Verein der Gleichungen 6. und 7. besteht; folglich die Punkte, für welche die Determinante verschwindet Ctf* Xi *2 £7 t^X 2 b s) x <> b g x 5 = 0. b 1 x^ u 2 ^- 2 Entwickelt man dieselbe, so erhält man die Gleichung des der Geraden 7" entsprechenden Kegelschnitts in der Form 8 . Xj A 1 x 2“ 1 ’3 X„ A» 1 + X z a z x i x 2 = 0 , wobei A) = a 2 b 3 — a z^ 2 > A i 553 a z^i — a \^z> A z^ a i^ 2 — a 2 ^i- Diese geometrische Verwandtschaft ist von Jacob Steiner*) aufgestellt und zur Lösung von Constructionsaufgaben verwendet worden. 3. Die durch die Gleichungen No. 2, 1 definirte Verwandtschaft erleidet eine wesentliche Abänderung, wenn jede der drei Functionen , K 2 , K 2 in zwei lineare Faktoren zerfällt, und wenn diese drei Produkte einen linearen Faktor gemeinsam haben. Der Kegelschnitt K x wird durch zwei projective Strahlbüschel erzeugt, welche den Schnitt von B und C, sowie den von F und F zu Trägern haben. Zerfällt K x in zwei Gerade, so sind diese Büschel perspectiv; ist G = 0 die Gerade der beiden Träger, so sind C und F in der Form darstellbar 1. C = <7 -P rxB, F^$G-ha£. Hieraus folgt nun 2. k^^BF — CE^G§B — E). Zerfällt K 2 in zwei Gerade, deren eine G ist, so schliesst man in gleicher Weise, dass B und E in der Form darstellbar sind 3. b=bG + iA, E=z 8G -hyD. Hiernach wird 4. Af 3 = AE — BD = G (SA — D). Führt man die Werthe 3. in 2. ein, so erhält man 5. =£[(0 —8)G-pß 7 ^ —?/>]. *) Steiner, Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander. Berlin 1832, pag. 254. Vergl. auch Durege, Die ebenen Curven dritter Ordnung, Leipzig 1871, pag. 121. § 14- Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenbündel und Strahlenblindel. 349 Ferner erhält man K 2 ^CD — AF^(G + a B) D — ($G + aE) A , 6- (Cr -f- a.G -+- i'jA) D —(ß(7 -+- aSG -+- acy-ü) A , = G [(1+ a) D — (ß -+- aS) A], Es zerfallt also auch Ä' a in zwei Gerade, und die drei Geradenpaare A \, K 2 , K 3 haben die Gerade G gemein. Der Kegelschnitt K, welcher der Geraden t' s= Xx 1 -+- jxy + v = 0 entspricht, ist nun K= XG [(ß-—8) G -t- ß y^4 — 7-O] —i— [(1 -+-oc) D —(ß H- otS) A] -+- v G (8 A —Z>) = 0; er zerfallt in die Gerade G = 0 und in' die von T' abhängige Gerade 7. T ^ X [(ß — 8) G -t- ß 7 A — T /i] -+- p. [(1 + i )D — (ß + a8) A] -+- v ( SA-B ) = 0. In den Auflösungen der Verwandtschaftsgleichungen in Bezug auf x’, y 1 kann man den Faktor G in den Zählern und im Nenner unterdrücken, und erhält dieselben in der Form y = H , worin H x , H 2 , H 3 lineare Functionen der Coordinaten x, y bedeuten. Man überzeugt sich leicht, dass die in den Functionen auftretenden Con- stanten immer so gewählt werden können, dass H x , 11 2 , H 3 beliebig gewählte lineare Functionen werden. Den Punkt P, welcher einem Punkte x, y' entspricht, bestimmt man nun, indem man die Gleichungen 8. in Bezug auf x und y auflöst. Setzt man H 3 = a 3 x - J rb i y- I rc z , H x ^a x x-\-b x yy-c x , H 2 = so hat man die Gleichungen aufzulösen (a l —a 3 x') x -+- ( b x — b 3 x')y = — — c 3 x '), (a 2 — a 3 y') x -h (b 2 — b 3 y')y = — {c 2 — c 3 y'). -b 2 y- Man erhält hieraus x = b x c 2 —b 2 c x -+- {b 2 c 3 Ct-^^2 — —f— (^2^3 y _ g » C l a i C 2 + ( a 3 C \ — ^ 2^1 2 ^‘ Man hat daher — b 3 c 2 ) x’ + (b 3 c x — b x c 3 )y' — a 3 b 2 ) x' -+- ( a 3 b 1 — a x b 3 )y" — a 2 c 3 )x' -+- (a x c 3 —a 3 c A )y' — a 3 b 2 ) x' -+- (a 3 b x — a x b 3 )y '' 9- x = H x '-.H 3 ', y = HJ : H 3 ', wo H x , H 2 , H 3 lineare Functionen von x', y' sind. ' Dieser besondere Fall der Steiner’ sehen Verwandtschaft zeichnet sich vor dem allgemeinen dadurch aus, dass der Kegelschnitt, welcher im allgemeinen Falle einer Geraden eines Systems entspricht, in eine feste und in eine veränderliche Gerade zerfällt. Geht man von den Verwandtschaftsgleichungen 8. oder von ihren Umkehrungen 9. aus, so kommen diese festen Geraden in beiden Systemen nicht mehr zur Erscheinung, da der gemeinsame Faktor im Nenner und in den Zählern von x und y, sowie bei x' und y bereits unterdrückt ist; die Grundpunkte, die in diesem Falle auf den festen Geraden liegen, kommen damit ausser Betracht. Die durch die Gleichungen 8. oder 9. definirte Verwandtschaft ist daher dadurch charakterisirt, dass die Coordinaten jedes Punktes des einen Systems mit den Coordinaten des entsprechenden Punktes im andern Systeme durch lineare Gleichungen verbunden sind, und dass jeder Geraden des einen Systems eine Gerade des andern entspricht. 35o Analytische Geometrie. Diese Art der Verwandtschaft ist von Möbius*) in die Geometrie eingeführt und als collineare Verwandtschaft bezeichnet worden; wir gebrauchen statt dessen die Bezeichnung projective Verwandtschaft. 4. Die projective Verwandtschaft zweier Ebenen ist also durch die Gleichungen definirt 1. E L H, , y = aus denen sich die Umkehrungen ergeben x = 7b> 2 . y = El E ’ El H'’ wobei H x , // 2 , // 3 und ///, HJ, IT 3 ' die linearen Functionen bezeichnen H x = A x x 4- B x y 4 ~ C x , H x ' = Aj*' 4 - B x y + r 2 3 . ZT 2 = A 2 x 4- B 2 y + C 2 , 4 . H 2 = A 2 *' 4- B,y -F I’a H a s= A 3 x 4- B 3 y 4- C 3 , h 3 = a 3 x' 4- B,y + r 3 und A x . • • r 3 abkürzungsweise gesetzt sind für Aj ^ B^C 3 B 3 C %, A 2 ^ C i A 3 — C 3 A% , A 3 ^ A%B 3 A 3 B 2 , 5. BB^C 3 ; B, » C 3 A X - C X A 3 ; 13, a A i B 1 - A X B 3 ; r x = ; r 2 = B X A 2 C 2 A X ; r 3 = A x B 2 Tl 2 B x . 5. Der Geraden der Ebene 2' T' es u' x' 4 - v’y’ — 1 = 0 entspricht in 2 die Gerade u'H x 4- v' H 2 — H 3 = 0. Ordnet man dies nach den Coordinaten, so erhält man Vss ( A x u’ 4- A 2 v’ — A 3 ) x 4- (B x u' -+- B 2 v' — B 3 )y 4- (C\u ' 4- C 2 v' — C 3 ) = 0. Die Coordinaten dieser Geraden sind daher 6. u — j , , v — j ,, wenn J x = A x u'A~ A 2 v — A 3 , J 2 ' = B x u’ 4 - B 2 v' — B 3 , J 3 s=kC x u — C 2 v'-\-C 3 Umgekehrt entspricht der Geraden in 2 V =s ux 4- vy — 1 = 0 die Gerade in 2', welche die Gleichung hat T' u ■ H x ' -+- v ■ H 2 ' — H 3 ' — Q, deren Coordinaten also sind 7. «'=4, »' = =£ /j == k x u 4 - a 2 w — a 3 , / 3 3 = B x a -t- b 2 u — b 3 , Jz — — r x « — r . Die Gleichungen 7. können auch dadurch erhalten werden, dass man die Gleichungen 6. nach u', v' auflöst. Von den Gleichungen 6. (oder 7.) gelangt man zu den Verwandtschaftsgleichungen in No. 3 zurück; man kann daher die projective Verwandtschaft auch durch 6. und 7. definiren: Zwei ebene Systeme sind projectiv, wenn die Coordinaten jeder Geraden der einen Ebene mit den Coordinaten der. entsprechenden Geraden der andern Ebene durch lineare Gleichungen verbunden sind, und wenn jedem Strahlbüschel der einen Ebene ein Strahlbüschel der andern entspricht. 5. Wenn man mit Hu, den Werth bezeichnet, den die Function H l annimmt, ’) Möbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, pag. 179. §14- Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenbündel und Strahlenbündel. 351 wenn man darin x, y durch die Coordinaten Xk, )’k eines Punktes Pk ersetzt, so entsprechen den Punkten P xt P 2 , P 3 des Systems 2 die Punkte P 1 P./ P 3 ' des Systems 2', deren Coordinaten sind yC En H ti El 1 ^3! y% = En Hl, E%a H , y 3 En -^33 En H Für den Punkt PJ, der dem Punkte V 4 entspricht, dessen Coordinaten sind d j —|— d^ d% ergeben sich die Functionen PI _ 1 **** — n _l_ n . y 4 = ^ 1^1 + « 2^2 + <* 3- y a Hi\ “P d^Hj 2 «3 Hii) • Daher hat man r = _ a \ H x 1 + H l 2 4 - a 3 -# t ä 4 a i Hu -P «2^32 + Hierfür kann man setzen 1. x wobei 2 . b\ x i x 2 b„ x.,' yi = y 4 -#21 + a 2 H i2 ~P a 3 Zf 3 3 ZT 31 a 2-^3 2 ■+" a iHn b x yi = diUo i a lHn -p a2 H i2 -+- a 3 -#33 Die Coordinaten jedes Punktes auf 2 ergeben sich für ein bestimmtes Ver- hältniss X 1 : X 2 : X 3 aus den Formeln (to X q 3. x — Xj ßj x 1 K a i Xg d 2 X 2 +" ^2 a 2 P X 8 a 3 a: 3 X 3 d % y = X 1 « 1 ^ 1 H Xj d 1 X 2 **2 P X 2 # 2 H X 3 a 3 Nach 1. und 2. sind die Coordinaten des entsprechenden Punktes X, b 1 x 1 ' ^2 b 2 x 2 X 3 b 3 ^3 Mi -P ^ 2^2 + M 3 ^ ^ 1^1 Umgekehrt schliesst man leicht: Wenn man zu vier Paar gegebenen entsprechenden Punkten die Coordinaten je zweier entsprechenden nach den Formeln 3. und 4. bestimmt, so sind die beiden Ebenen projectiv. Zugleich ist hieraus ersichtlich: Die projective Verwandtschaft zweier Ebenen ist durch vier Paar entsprechende Punkte eindeutig bestimmt. In gleicher Weise erhält man von den Gleichungen No. 4, 6 und 7 ausgehend: Die projective Verwandtschaft zweier Ebenen ist durch vier Paare entsprechende Gerade bestimmt; entsprechen sich T lt T 2 , 7\, T i und T 1 ', T 2 , ^\b\yi + ^2 b%y% -p ^2 bi ^3 b 3 T a ’ und ist a, v. cu» 2 a,w„ ßl^l' + ß2 a 2 f + ^ 3 ^ 3 ' ßl V 1- P 2 Pa ß 3 v 3 so folgen die Coordinaten je zweier entsprechenden Geraden aus den Formeln M _ Mi^i -+- X 2 a 2 u i -+- X 3 g 3 ^ 3 _ X 1 a,» 1 + X 2 g 2 » 2 -+- X 3 g 3 »3 Xi a l + *2 a 2 "P Ms ’ Ml + M 2 "P Ms _ ßl ^l' ~P + ^-3 P 3 ^3' -.1 _ ^1 ßl V l ~P ^2 P 2 ^2 ~P ^3 ß 3 ^3 6 . Xj ß t -p X 2 ß 2 -+- X 3 ß 3 Xißi -P x 2 ß 2 H- X 3 ß 3 Dieses F’ormelsystem kann durch das folgende ersetzt werden: Sind I\ = U 352 Analytische Geometrie. und P x ' = 0, P 2 = 0 und P 2 = 0, 7, = 0 und 7 S ' = 0, 7 4 = 0 und 7/ = 0 die Gleichungen von vier Paar entsprechenden Punkten und ist = a \P\ <1 2 7 2 "+" rt 3 -^3 > so werden die Gleichungen jedes Paares entsprechender Punkte in der Form erhalten 7 = Xj 7 4 -t - l 2 a 2 P 2 + X 3 a 3 7 D 3 = 0, = Xj <$j 7 4 ' + \ 2 b 2 ^2 f "+" a3 :i* = ^ • Sind ferner 7 4 = 0 und 7\' = 0, 7 2 = ü und 7 2 ' = 0, 7’ 3 = 0 und 7 3 ' = 0, 7 4 = 0 und 7/ = 0 die Gleichungen von vier Paar entsprechenden Geraden und ist 7 4 = aj 7 1 ! + a 2 7’ 2 -t- a 3 7 3 , 7 4 ' = ß 4 7\ -+- ß 2 ^2 + ßs ^3 > so sind die Gleichungen jedes Paares entsprechender Geraden von der Form 7 = Xj a, 7j -+- X 2 «2^2 + ^3 a 3 ^3 — 0 . 7” — Xj ßi 7, -+- X 2 ß 2 P? "+■ *3 ?3 = 0 • 6. Nimmt man X 3 = 0, so geben die Gleichungen No. 5, 7 entsprechende Punkte der Geraden 7 4 7 2 und P X 'P 2 . Aus diesen Gleichungen 7"= X 4 a 1 P 1 -I- X 2 « 2 7*2 — 0 , 7" = X 4 b x P x -+- X 2 b 2 P 2 = 0 schliesst man: In projectiven ebenen Systemen sind je zwei entsprechende geradlinige Punktreiheu projectiv. Die Gleichungen (No. 5, 8) geben für X 3 = 0 die Gleichungen entsprechender Strahlen der beiden Büschel T X T 2 und 7 j' 7 2 ' 7*= X, a 4 7j H-X 2 a 2 7 2 = 0, V ^XjßjTj’ + X 2 ß 2 7 2 ' = 0. Hieraus folgt weiter: In projectiven ebenen Systemen sind je zwei entsprechende Strahlbüschel projectiv. Diese beiden Sätze lehren, zu jedem Punkte und zu jeder Geraden des einen Systems den entsprechenden Punkt und die entsprechende Gerade des andern zu construiren. Um den Punkt zu finden, der P entspricht, con- struire man die beiden Geraden 7/7' und 7 3 '7' so, dass7,'(7 2 ',7 3 ',7 4 ',7')*) = F i (A F s P, P)> sowie dass 7' (P'P'P’P') = 7 3 (7 2 7j 7 4 7). Der Schnittpunkt beider Strahlen ist der gesuchtePunkt7'. Um ferner die Gerade zu finden, die der Geraden T (Fig. 465) entspricht, construire man auf 7’ 2 ' den Punkt M 2 ' so, dass (P a 'P x 'M x ’M 2 ') = (P t P,M x M 2 )\ und auf 7' 3 ' den Punkt M x ' so, dass {Pi P 2 M a MJ) = (/\P 2 M 3 M<). Alsdann ist die Gerade M 2 M x die gesuchte Gerade T'. 7. Für jeden Punkt der Geraden // 3 = 0, bez. H a = 0 werden die Coor- dinaten des entsprechenden Punktes unendlich gross; und umgekehrt: einem (M. 4G4.) ') d. i. das Doppelverhältniss der Strahlen, die I \' mit P 2 , P a ' P t ' P' verbinden. §14- Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenblindel und Strahlbündel. 353 unendlich entfernten Punkte jedes Systems 2 und 2' entspricht im andern Systeme ein Punkt der Geraden H 3 = 0 bez. H j = 0. Die Punkte eines ebenen Systems, welche den unendlich fernen Punkten eines projectiven Systems entsprechen, liegen daher auf einer Geraden. Diese Gerade heisst die Gegenachse des Systems. Die Gegenachsen der Systeme 2 und 2' mögen mit G und G t bezeichnet werden. Einem Büschel paralleler Geraden des einen Systems entspricht im andern Systeme ein Strahlbüschel, dessen Träger auf der Gegenachse dieses Systems liegt. Den Geraden eines Systems, die zur Gegenachse dieses Systems parallel sind, entsprechen im andern Systeme Parallele zur Gegenachse dieses Systems. Bei zwei entsprechenden Parallelen zu den Gegenachsen entsprechen sich die unendlich fernen Punkte; entsprechende Parallelen zu den Gegenachsen - \M: (M. 465.) enthalten daher ähnliche Punktreihen. Das Verhältniss entsprechender Strecken auf zwei entsprechenden Parallelen zu den Gegenachsen ergiebt sich in folgender Weise: Liegen I\ und P 2 auf einer Parallelen zu G, so ist _ 1. A 3 x x ■+■ B 3 y x + C 3 = A 3 x 3 -4- y% "+- C 3 = y-t- B£ • p, wenn p den Abstand der Geraden P x P 2 und G bezeichnet. Aus 1. folgt 2. A 3 (* 2 — *,) -)- ß 3 (y 2 — y x ) = 0; daher ist weiter P x Pi = (*, -* x ) 2 + (y 2 -A ) 2 = (X, ~*l ) 2 + - B 3 ■■ (*2 — ^l) 2 A-i A 2 Jfi ( X 2 ^l) 2 ft 2 3 Die Coordinaten der entsprechenden Punkte ergeben sich aus den Formeln ■ ” ^ ^ yi=BT, 1 -VA i +BJ -P, -Bi-p. 23 x x '^H xx -. YÄJ + B f -p, x 2 ' = H xi : Y Ag + B 3 2 ■ p , Schlosmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. i zi • r ä y 2 < 2 : YA-i 354 Analytische Geometrie. Hieraus folgt VA 2 ■°z P y 2 —y i = VA 3 B In Rücksicht auf 2. folgt weiter e •_ 1 [A 1 (x 2 — x x ) [A 2 (x 2 — x x ) A {y 2 Ai)] ’ A (^2 — yi)\ ■ Xq — X-> — b 3 yäi y 2 ' i m-p ' y ' B^Af+Bf-p (A x B 3 A 3 B 1 )(x 2 ^i) > (A Ai A A) (x 2 -H) • Ersetzt man {A 1 B 3 nan P i p i — M -*2 — und A a , so erhält man _AL AMA 2 - und schliesslich durch Vergleich mit 3. A a B t ) und (A 2 B 3 — A 3 B 2 ) nach No. 4 durch — ß 3 Bf Bl) ■ f 6 . 7. AA Af Bl Bf ■(*2 — *l) 2 ■ p. Bl B 2 ' - yjr In gleicher Weise erhält man für dasselbe Verhältniss AA _ Vai + Bl 1 B 2 ’B 2 ’- aj + b; ' t” wenn mit p' der Abstand der Geraden P x ' P 2 1 und G x bezeichnet wird. Durchschneidet man die Parallelen zur Gegenachse G des Systems 2 durch zwei Parallelen T x und T 2 und sucht die entsprechenden Geraden T x ' und T 2 in 2' auf, so schneiden sich dieselben in einem Punkte der Gegenachse G x . Auf den Parallelen zu G x werden von den Geraden T x ' und T 2 Strecken abgegrenzt, die der Reihe nach den unter sich gleichen und gleich gerichteten Strecken entsprechen, welche von T x und T 2 auf den Parallelen zu G ausgeschnitten werden. Setzt man nun in jeder der beiden Ebenen auf Parallelen positive Strecken als gleichgerichtet voraus, und sind die entsprechenden Strecken A B und A'B beide positiv, so sind CD und CD’ von ungleichen V orzeichen. Wir (M. 466.) schliessen daher: Für Strecken auf zwei Parallelen zu den Gegenachsen sind die Verhältnisse zu den entsprechenden Strecken von gleichen oder ungleichen Zeichen, je nachdem die Parallelen auf derselben Seite der Gegenachse des Systems liegen oder nicht. .VÄf+B} —» und mithin p = ± '— -— 8. Ist p VA |- B f so hat das Ver- “ Af -+■ Bf ’ r A s 2 hältniss der durch diese Bedingung bestimmten beiden Paare entsprechender Parallelen zu den Gegenachsen den numerischen Werth 1, ein Paar dieser Parallelen sind daher gleichsinnig, das andere Paar ungleichsinnig congruent. § 14 - Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenbündel und Strahlbündel. 355 In zwei projectiven ebenen Systemen giebt es also ein Paar gleichsinnig congruente und ein Paar ungleichsinnig congruente Gerade. Die beiden Geraden jedes Systems, denen congruente Gerade im andern Systeme entsprechen, sind symmetrisch zu der Gegenachse des Systems. 9. Wenn bei zwei auf einander liegenden projectiven Strahlbüscheln zwei entsprechende Strahlen zusammenliegen, so haben die beiden Büschel noch ein paar zusammenfallende entsprechende Strahlen; denn die Doppelstrahlen zweier auf einander liegenden Büschel sind beide real oder beide imaginär. Da man nun zwei projective Büschel auf zweierlei Weise so auf einander legen kann, dass sie denselben Träger haben und dass ein bestimmtes Paar entsprechender Strahlen zusammenfallen, so folgt: Jeder Strahl in einem von zwei projectiven Büscheln ist Schenkel zweier Winkel, die den entsprechenden Winkeln dem absoluten Werthe nach gleich sind; zwei dieser entsprechenden Winkel sind gleich, die andern beiden sind entgegengesetzt gleich. Ebenso findet man, dass bei zwei projectiven geradlinigen Punktreihen an jedem Punkte der einen Reihe zwei Strecken liegen, die den entsprechenden Strecken dem absoluten Werthe nach gleich sind; zwei dieser sich entsprechenden Strecken sind gleich, die andern beiden sind entgegengesetzt gleich. 10. Sind T und P die entsprechenden congruenten Geraden, die sich ohne vorherige Umwendung der einen Ebene zur Deckung bringen lassen, sowie r\ und Tj' das andere Paar entsprechende congruente Gerade, so lege man die Ebene 2' so auf 2, dass die entsprechenden Punkte von F und P sich decken; alsdann komme Tj’ in die Lage [r, 1 ]. Die beiden in A vereinten projectiven Strahlbüschel haben einen entsprechenden Strahl T gemein, also deckt sich noch ein Paar entsprechende durch A gehende Gerade; dies seien die mit AM' zusammenfallenden Geraden beider Systeme. Ebenso schliesst man, dass ausser T und P' noch zwei durch einen andern Punkt von P, durch ß, gehende entsprechende Gerade sich decken; dies seien die mit BN' zusammenfallenden Geraden. Dem Schnittpunkte A dieser beiden Geraden, als Punkt des Systems 2 gedacht, entspricht in 2' ein Punkt, der sowol auf BN als auch auf AM' liegt, also entspricht A sich selbst. Daher entspricht auch jede Gerade sich selbst, die durch A geht; denn jede solche Gerade geht von dem selbstentsprechenden Punkte A nach einem selbstentsprechenden Punkte auf P. Es decken sich folglich zwei entsprechende Strahlenbüschel beider Systeme und ihr gemeinsamer Träger ist A. Da nun von den Strahlen durch A entsprechende Gerade in entsprechenden Punkten geschnitten werden, so folgt, dass MN = M'N'\ folglich sind die Dreiecke MNh>. und M' N' A congruent, und A auf der Mittellinie des Streifens r i [IV] gelegen. Dreht man hierauf die Ebene 2' um die Achse T um einen gestreckten (M. 467.) 23 356 Analytische Geometrie. Winkel, so liegen nach der Drehung die Ebenen wieder auf einander; r l ' liege auf fr/] (Fig. 468). Wir schliessen wie vorhin, dass von den in zwei Punkten A und B der Geraden T zusammenliegenden projectiven Strahlbüscheln der beiden Systeme ausser den Strahlen T und T' noch ein Paar Strahlen sich decken; diese seien bei den in A vereinten Strahlenbüscheln die mit AN' zusammenfallenden Geraden, und bei den in B vereinten die mit BM’ zusammenfallenden. Hieraus schliesst man, dass der Schnittpunkt dieser beiden Geraden A t sich selbst entspricht, und dass er der Träger eines Büschels von selbstentsprechenden Geraden ist. Dies ergiebt weiter die Gleichheit der Strecken MN und M' N, und daher die Thatsache, dass A, auf der Mittellinie des Streifens I’, [ P 1 '] liegt. Trennt man die beiden Systeme, indem man 2' in eine beliebige Lage bringt, und rechnet in beiden Systemen positive Winkel in derselben Drehrichtung, so trennen sich die in A bez. A t vereinten Strahlbüschel und treten in den beiden Systemen als congruente entsprechende Büschel auf; und zwar die vorher in A vereinten als gleichsinnig congruente, die andern als ungleichsinnig congruente. Wir schliessen daher: Zwei projective ebene Systeme enthalten zwei gleichsinnig congruente und zwei ungleichsinnig congruente Strahlbüschel; der Abstand der Träger dieser Büschel von der Gegenachse eines Systems ist gleich dem Abstande der congruenten Geraden des andern Systems von der Gegenachse dieses Systems. Man kann das Ergebniss dieser Untersuchung auch in folgenden Satz zusammenfassen: Zwei projective ebene Systeme lassen sich in zweifacher Weise so Zusammenlegen, dass sie perspectiv sind, d. i. so, dass die Verbindungsgeraden je zweier entsprechenden Punkte durch einen Punkt (A oder A t ) gehen, und dass die Schnittpunkte je zweier entsprechenden Geraden auf einer Geraden (1’ oder r,) liegen. 11. Das Verhältnis der entsprechenden Dreiecke P x P i P i und P^' P.JP^' (M. 468.} y 2 y-i y i y*' y s 1 . ergiebt sich, wenn man x/y/ durch x,-y,- ersetzt (No. 4, 1). Man erhält I y i jV As' i i i = ■ i #1 1 #21 # 31 #1 2 #1 3 H,,, H. Ho* H. 3 2 3 3 #3 1 #3 2 #3 3 Nun ist, wie man sofort sieht, wenn man für Hjk die ausführlichen Ausdrücke einsetzt #i. #2, #31 1 1 ^ #1 C 1 | 1 X 1 y, i #,2 #2 2 #32 | = ^2 #2 c,j- ■ | *2 y 2 i #1 3 #23 #3 3 1 1 A, #3 1 1 *3 y s i Setzt man §14' Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenblindel und Strahlbündel. 357 B. Ci c, R. so erhält man für das gewünschte Verhältniss B 's i ff$ a s p \ B% Pi'PJPz In gleicher Weise kann man ableiten P x P, P, R R' p < p i p < - ^ t m r s wenn R' die Determinante bedeutet ff.l'ff^’ff,: R' = Ai r x A 2 B 2 r 2 A 3 b 3 r 3 Liegen P 2 und P 3 unendlich nahe an P x , so sind die Dreiecke P X P 3 P 3 und P X P 3 P 3 verschwindend klein, und die Ausdrücke H 3 ,, H 3 ,,, H 33 einander gleich. Für das Verhältniss verschwindend kleiner an den entsprechenden Punkten P x und P x gelegener entsprechenden Flächen f und f' hat man also / _ ffii f~R- 12. Wir wollen noch mit einigen Worten auf eine Abart der projectiven Verwandtschaft hinweisen. Wenn A 3 = B 3 = 0, so ist auch A 3 = B 3 = 0 und die Functionen H 3 und // 3 ' reduciren sich auf die Constanten C 3 und P 3 . Wenn man sie noch als lineare Functionen von x und y, bez. von x' und y' betrachten will, so muss man sie als solche Functionen betrachten, in denen die Coefficienten der Coor- dinaten verschwindend klein sind. Den Gleichungen H 3 = 0 und H 3 = 0 kann dann nur durch unendlich grosse Werthe der Coordinaten genügt werden, und wir schliessen daher: In diesem besonderen Falle der projectiven Verwandtschaft sind die Gegenachsen unendlich fern. Man bezeichnet diese Art der Verwandtschaft als Affinität. Das Verhältniss entsprechender Flächen wird in affinen Systemen P\ P* P 3 _ ci Pi'P.'R,' -R’ also unabhängig von der Lage der Punkte P x P 2 P 3 ■ Wir haben daher den Satz, der die charakteristische Eigenschaft affiner Systeme ausspricht: In affinen Systemen ist das Verhältniss entsprechender Flächen constant. Da in affinen Systemen einem unendlich fernen Punkte in 2 ein unendlich ferner in 1' entspricht, so folgt weiter: Je zwei entsprechende Gerade in affinen Systemen enthalten ähnliche Punktreihen. 13. Die Gleichungen entsprechender Punkte zweier projectiven Systeme No. 5, 7 beziehen sich auf Coordinatensysteme in den Ebenen 2 und 2'; durch die Coefficienten \ x a x , X 2 t = X i b\ 4- ^2 ^2 + X 3 ^3 > so erhält man aus 1. die Gleichungen 2 ( X 1 *1 + X 2«2*2 + M 3 M T = ( X 1 b\ x \ 4- X 2 ^2 ^ 2 ' + Ms^s') a > (MlJl + M 2 T 2 + Ms-Zs) t = (Ml y\ + M 2 JV + M 3 T 3 ') a ' Dies sind zwei quadratische Gleichungen für die maassgebenden Verhältnisse X, : X 3 und X 2 : X 3 . Denselben wird durch die Verhältnisse der X genügt, welche sich aus den beiden Gleichungen bestimmen x = 0, 3 = 0. Diese Gleichungen sind linear, haben also ein reales System von Lösungen; durch diese Lösung werden aber keine Doppelpunkte der beiden ebenen Systeme bestimmt, sondern die einander entsprechenden unendlich fernen Punkte beider Systeme, die im Allgemeinen nicht zusammenfallen. Die übrigen drei Lösungen des Systems 2. führen auf Doppelpunkte. Von diesen Lösungen ist eine wenigstens real. Die beiden andern sind entweder real oder conjugirt complex. Im letzteren Falle sind auch die Coordinaten der ihnen zugehörigen Doppelpunkte conjugirt complex, und daher die Gerade real, auf der sie liegen. Diese Gerade ist, da sie zwei Doppelpunkte enthält, eine Doppelgerade, d. i. auf ihr liegen zwei entsprechende Gerade beider Systeme. Der reale Doppelpunkt ist Träger zweier auf einander liegenden entsprechenden Strahlbüschel; diese haben zwei Doppelstrahlen, die nicht real sein können, weil sonst ihre Schnittpunkte mit der realen Doppelgeraden reale Doppelpunkte wären, entgegen der Voraussetzung, dass nur ein realer Doppelpunkt vorhanden ist. Wenn drei reale Doppelpunkte vorhanden sind, so sind die Seiten des von denselben gebildeten Dreiecks Doppelgeraden. Wir schliessen daher: Zwei auf derselben Ebene liegende ebene Systeme haben drei Doppelpunkte und drei Doppelgerade; auf jeder Doppelgeraden liegen zwei Doppelpunkte, durch jeden Doppelpunkt gehen zwei Doppelgerade. Von diesen Doppelelementen sind entweder alle real, oder es ist eine Ecke des von ihnen gebildeten Doppeldreiecks und die gegenüberliegende Seite real, während die beiden andern Seiten und Ecken conjugirt complex sind. In besonderen Fällen können auch mehr als drei Doppelpunkte und Doppelgerade vorhanden sein. Wenn vier Doppelpunkte vorhanden sind, von denen nicht drei auf einer Geraden liegen, so sind die beiden Systeme identisch; alle Punkte sind alsdann Doppelpunkte, alle Geraden sind Doppelgerade. Wenn drei Doppelpunkte auf einer Geraden liegen, so ist diese Gerade Doppelgerade und auf ihr fallen zwei entsprechende congruente Gerade mit den entsprechenden Punkten zusammen. Alsdann giebt es noch ausserdem einen realen Doppelpunkt (A oder Aj) und noch ein Büschel von Doppelstrahlen, (dessen Träger A oder Aj ist). 17. Constructionen an projectiven ebenen Systemen. Sind von zwei projectiven Systemen A und A 1 vier Paar entsprechende Punkte T\ V., i\ und P x ' /y P.J V 4 ' gegeben, so sind sechs Paar entsprechende Gerade bekannt, nämlich die Seiten der beiden vollständigen Vierecke P l P i P. i P i und i 5 1 '/’ 2 '/ > 3 '/ ; ’ 4 , ; auf jedem Paare dieser Seiten sind drei Paar entsprechende Punkte bekannt. Bestimmt man die Gegenpunkte auf zwei Paar entsprechenden Geraden, und verbindet dieselben, so erhält man die Gegenachsen G und G x der beiden Systeme. § 14' Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenbündel und Strahlbündel. 36 t Der Geraden 1, welche durch P a parallel zu P l P 2 gelegt wird, entspricht die Gerade a', welche P a mit dem Gegenpunkte auf P^P 2 verbindet. (M. 46!U Die beiden Geraden, welche parallel zu G, sind, und auf denen von P 1 ' P 2 ' und a' Strecken abgeschnitten werden, welche der auf G von P x I\ und a abgeschnittenen Strecke gleich sind, sind die Geraden F' und T/, denen in 2 congruente Gerade T und F, entsprechen. Dem von P t 'P 2 und a' bestimmten Strahlbüschel entspricht das Parallelstrahlenbüschel, zu welchem P A P 2 und a gehören. Die beiden Strahlen des Büschels ( P^P 2 , a'), deren Winkel mit gleich den Winkeln der Geraden a und G sind, enthalten die Punkte A' und A/; die entsprechenden Strahlen in 2 enthalten die Punkte A und A t ; man erhält die Träger A, A 1; A', A,der congruenten Büschel, indem man auf diese beiden Paaren entsprechender Strahlen die Punkte bestimmt, deren Abstände von G und G x gleich dem Abstande der Geraden T 1 von G x bez. der Geraden F von G sind. Die entsprechenden Strahlen zweier entsprechenden Strahlbüschel in zwei auf einander liegenden projectiven Systemen schneiden sich auf Punkten eines Kegelschnitts, der durch die Doppelpunkte der beiden Systeme geht; denn zwei Strahlen der beiden Büschel, welche nach demselben Doppelpunkte gehen, sind entsprechende Gerade. Sämmtlicbe Kegelschnitte, die durch die Paare entsprechender Strahlbüschel erzeugt werden, haben also die drei Doppelpunkte gemein. Zwei von diesen Kegelschnitten, welche durch die in A und A’ , bez. durch die in B und B' liegenden entsprechenden Strahlenbüschel erzeugt werden, haben ausser den Doppelpunkten noch den immer realen Punkt gemein, in welchem sich die Geraden AB und ÄB' schneiden; denn AB und ÄB' sind entsprechend in beiden Paaren von entsprechenden Strahlbüscheln. Die Con- struction der Doppelpunkte und Doppelgeraden zweier auf einander liegenden ebenen Systeme ist somit auf die Fundamentalaufgabe für Constructionen dritten und vierten Grades zurückgeführt: Die Durchschnittspunkte zweier Kegelschnitte zu finden, von denen ein Schnittpunkt bekannt ist. 362 Analytische Geometrie. § 15. Raumeurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 1. Als Raumcurve III. O. (R 3 ) definiren wir die Raumcurve, in welcher sich zwei Flächen II. O- durchdringen, die eine gerade Linie gemein haben. Diese Gerade bildet mit R 3 zusammen den vollständigen Durchschnitt zweier Flächen II. O., also eine Raumcurve IV. O. 1. Sp. Da nun eine solche Raumcurve mit jeder Ebene vier Punkte gemein hat, so folgt, dass eine Raumcurve III. O. von jeder Ebene in drei Punkten geschnitten wird, von denen wenigstens einer real ist. 2. Ist a eine Gerade, die mit R z zusammen den vollständigen Durchschnitt zweier Flächen II. O. bildet, so lege man durch a und R x zwei Flächen II. O. F 1 und F 2 . Die durch ot gelegten Ebenen schneiden F l und F 2 in den Geraden des Systems, zu welchem a nicht gehört. Projicirt man diese Geraden auf F 1 , bez. auf F 2 von einer Geraden a 1 auf F\, bez. von einer Geraden a" auf F 2 aus, die mit a zu demselben Systeme gehören, so erhält man drei projective Ebenenbüschel, deren Träger die Geraden a, a 1 , a" sind. Das erste und zweite Büschel erzeugen F l , das erste und dritte erzeugen F 2 . In jedem Punkte von R 3 treffen sich drei entsprechende Ebenen der drei Büschel. Umgekehrt: Sind <*, a', a" die Träger dreier projectiven Ebenenbüschel, so erzeugen die Büschel a und a 1 eine P'läche II. O. F u a und a" eine Fläche II. O. F 2 ; F l und F 2 enthalten beide die Gerade a, schneiden sich also ausserdem noch in einer R 3 , in deren Punkten je drei entsprechende Ebenen der drei Büschel Zusammentreffen. Wir schliessen daher: Der Ort der Schnittpunkte entsprechender dreier projectiven Ebenenbüschel ist eine Raumcurve III. O. Jeder der drei Träger dieser Büschel bildet mit R s zusammen den vollständigen Durchschnitt zweier Flächen II. O. 3. Die Büschel cd und a" erzeugen eine Fläche II. O., welche die Gerade a zweimal schneidet. Construirt man zu den beiden entsprechenden Ebenen der Büschel cd und a", welche nach einem solchen Schnittpunkte gehen, die entsprechende Ebene durch a, so erkennt man, dass in jedem dieser zwei Schnittpunkte drei entsprechende Ebenen der drei Büschel sich treffen. Wir sehen daraus: Jede Gerade a, welche mit einer R 3 zusammen den vollständigen Durchschnitt zweier Flächen II. O. bildet, trifft R 3 in zwei realen oder conjugirt complexen Punkten. Man nennt diese Geraden daher Secanten der R 2 . 4. Durch einen Punkt des Raumes, der nicht auf R 3 liegt, geht nur eine Secante einer R v d. i. nur eine Gerade, die R 3 in zwei realen oder conjugirt complexen Punkten trifft. Denn wären durch P zwei Secanten möglich, so hätte die Ebene dieser Secanten vier Schnittpunkte mit R 3 , im Widerspruche mit No. 1. Jede Secante von R s bildet mit R 3 den vollständigen Durchschnitt zweier Flächen II. O. Denn wenn a 1 Secante von R 3 ist, so lege man durch a, R s und einen Punkt P auf a', der nicht auf R 3 liegt, die hierdurch eindeutig bestimmte Fläche II. O. F 1 . Diese Fläche enthält a', da sie von a 1 den Punkt./”, sowie die beiden Schnittpunkte mit R 3 enthält. Das Ebenenbüschel a und ein dazu projectives a' projiciren die Geraden auf F u die a' schneiden; das Büschel a und ein dazu projectives, dessen Träger a" auf F 2 liegt und a nicht schneidet, §15. Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 363 projiciren die a und a' 1 schneidenden Geraden auf F 2 . Entsprechende Ebenen der drei Büschel a, a' und a" gehen daher durch gemeinsame Punkte von F x und F 2 , mit Ausnahme der Punkte auf a; denn ist A auf a gelegen, so entsprechen den Ebenen Ad und Ad' im Allgemeinen zwei verschiedene Ebenen des Büschels a. Die Büschel d und a” erzeugen eine Fläche II. O., die R s und a' enthält, also bilden R x und d den vollständigen Durchschnitt diese Fläche und der Fläche F i . 5. Sind F x , F 2 , F\ drei Flächen II. O., die R 3 enthalten und nicht zu demselben Büschel gehören (z. B. die Flächen F t und F 2 aus No. 1, und die durch die projectiven Büschel a 1 und d' erzeugte Fläche), so ist die Gleichung jeder Fläche II. O., welche R 3 enthält, von der Form 1 . F ^ t x 1 F 1 -f- |ijFj + 1x3^3 = 0 . Denn sind P x und P 2 zwei beliebige Punkte des Raumes, so geht durch jeden eine Secante der A 3 ; durch diese Secanten und durch R x ist eine Fläche II. O. eindeutig bestimmt; also ist durch R % und zwei beliebige Punkte ausserhalb R x eine Fläche II. O. eindeutig bestimmt. Sind nun F xt -, F 2 h F die Werthe, welche die Functionen F x , F\, F x für die Coordinaten von Pi an- nehmen, so enthält die Fläche II. O. F\ F , ^3 I 2. F =3 F lt F%x O II F x 2 -^2 2 F% 2 i die Punkte P x und P 2 , sowie alle gemeinsamen Punkte von F x , F, x und F 3 , also die R 3 , und ist von der Form 1. 6. Durch einen Punkt P auf R 3 gehen unzählige Secanten der R x ; durch zwei derselben a und a' und durch die R 3 ist eine Fläche II. O. / bestimmt. Die Fläche ./ist ein Kegel; denn wäre /kein Kegel, so würde ad Tangentenebene von / folglich die Tangente der Raumcurve in P auf ad gelegen sein; dies ist aber für keinen Punkt der Raumcurve der Fall, da sonst die Ebene ad ausser dem Punkte P und den zwei noch auf a und d gelegenen Curvenpunkten noch den unendlich nahe bei P gelegenen Punkt der Curve mit derselben gemein haben würde. Wir erhalten somit: Eine R 3 wird von jedem ihrer Punkte aus durch einen Kegel II. O. projicirt. Sind sechs Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 einer R 3 gegeben, so ist damit auch der Kegel II. O. bestimmt, der die R 3 von einem dieser Punkte z. B. von 1 aus projicirt. Denn alsdann sind von diesem Kegel K x die fünf Mantellinien bekannt, die 1 mit den andern fünf Punkten verbinden, und durch fünf Mantellinien ist ein Kegel II. O. eindeutig bestimmt. Ebenso ist der Kegel K a bestimmt, der R 3 von 2 aus projicirt. Beide Kegel haben ausser der Mantellinie 1 2 eine bestimmte R., gemein. Daher schliessen wir: Eine Raumcurve III. O. ist durch sechs Punkte bestimmt. Zugleich ist ersichtlich, wie eine R 3 aus sechs gegebenen Punkten linear construirt werden kann. 7. Legt man eine Ebene T durch eine Secante a (No. 1) einer R 3 , so schneidet diese die Fläche F x ausser in a noch in einer Geraden ß, welche mit a nicht zu demselben Systeme gehört. Auf a liegen zwei Punkte der R x , welche real oder conjugirt complex sind; folglich liegt auf ß der dritte immer reale Schnittpunkt der Ebene T mit der Curve R v Wenn alo die Fläche F die Raumcurve R 3 enthält, so haben alle Geraden auf F, die nicht Secanten von R s sind, mit R s einen realen Punkt gemein. 8. Wenn die Gerade ß mit der Raumcurve R 3 nur einen Punkt P gemein hat, so erfüllen alle Secanten von R 3 , die ß schneiden, eine 364 Analytische Geometrie. Fläche II. O. Legt man durch ß eine Ebene, so hat diese mit R 3 ausser P noch zwei Punkte gemein, und die durch diese Punkte bestimmte Secante von R 3 schneidet die Gerade ß. Durch zwei solche Secanten oc und a' und durch die R 3 ist eine Fläche II. O. bestimmt. Diese Fläche F enthält ß ganz, weil drei Punkte von ß, nämlich P und die Schnittpunkte von ß mit a und a', auf der Fläche liegen; folglich enthält diese Fläche auch alle Secanten der R 3 , welche ß schneiden. 9. Projicirt man die Secanten von R 3 , welche ß schneiden, von einem andern Punkte P x der R 3 aus, so bilden die projicirenden Ebenen ein Büschel, dessen Träger die Gerade ß' der Fläche F ist, die durch P x geht und mit ß zu demselben Systeme gehört. Die Secanten von R 3 , welche ß und ß' treffen, werden daher von ß und ß' aus durch zwei projective Ebenenbüschel projicirt. Jeder Geraden ß, die durch P geht, entspricht somit eine bestimmte Gerade ß', die durch P x geht, und dem Ebenenbüschel, dessen Träger ß ist, entspricht ein projectives Ebenenbüschel mit dem Träger ß'. Alle Strahlen ß, welche auf einer Ebene liegen, werden von der auf dieser Ebene liegenden Secante der R 3 geschnitten; die entsprechenden Strahlen ß' liegen auf der Ebene, welche diese Secante von P x aus projicirt. Jeder Ebene durch P entspricht daher eine Ebene durch P x so, dass beide sich in einer Secante der R 3 schneiden. Zu einem Strahle ß kann daher der entsprechende Strahl ß 1 gefunden werden, wenn man vier Paar entsprechende Strahlen kennt. Wenn nämlich ßi> ß 4 der Reibe nach den durch P x gehenden Strahlen ß t ß 2 ', ß 3 ', ß/ entsprechen, so sind durch die drei Paar Ebenen, welche zwei entsprechende Strahlen, z. B. ß 4 und ß,' mit den übrigen verbinden, zwei projective Büschel bestimmt; zwei andere projective Büschel werden von den drei Paar Ebenen bestimmt, welche ß 2 mit ß 4 , ß :{ , ß 4 , und ß 2 ' mit ß/, ß 3 ', ß 4 ' verbinden. Betrachtet man nun einen Strahl ß als den Schnitt zweier Ebenen der Büschel mit den Trägern ß-, und ß 2 und construirt die entsprechenden Ebenen der projectiven Büschel ß/ und ß 2 \ so ist deren Schnittgerade die gesuchte Gerade ß'. Dieselbe Construction haben wir anzuwenden, um bei zwei projectiven Strahlbündeln (§ 14, No. 15 und 6), in denen die Strahlen ß 4 , ß 2 , ß 3 , ß 4 den Strahlen ß 4 ', ß 2 r , ß 3 ', ß 4 ', entsprechen, zu einem Strahle ß des einen Bündels den entsprechenden des andern zu finden. Wir schliessen daher: Die Secanten einer Raum- curve III. O. werden von je zwei Punkten der Raumcurve aus durch entsprechende Ebenen zweier projectiven Strahlbündel projicirt. Wenn zwei entsprechende Strahlen ß und ß' dieser beiden Strahlbündel sich schneiden, so degenerirt die Fläche II. O., welche R 3 , ß und ß 1 enthält, zu einem Kegel II. O. K, da ß und ß' Gerade desselben Systems dieser Flächen sind. Da die Ebene der Geraden ß und ß 1 ausser diesen beiden Geraden keinen Punkt mit K gemein hat, so liegt der Punkt, den die Ebene ßß 1 ausser den Punkten P und P x noch mit R 3 gemein hat, auf einer der Geraden ß oder ß'. Da nun ferner jede Secante von R 3 , welche ß oder ß 1 trifft, auf K liegt, so kann dieser dritte Punkt nur der Schnittpunkt der Geraden ß und ß 1 sein. Hieraus folgt: Projicirt man die Secanten einer R 3 von zwei Punkten der Curve aus durch zwei projective Ebenenbündel, so ist die Curve R 3 der Ort der Punkte, in denen sich zwei entsprechende Strahlen beider Bündel schneiden. 10. Die Gleichungen dreier entsprechenden Ebenen zweier projectiven Ebenenbüschel, durch welche eine R 3 erzeugt wird, nehmen eine besonders ein- § 15 - Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 365 fache Gestalt an, wenn man als Träger zweier Büschel zwei Tangenten a und t der R 3 und als Träger des dritten die Secante a der R 3 benutzt, welche die Tangentialpunkte A und B der Tangenten 3 und x verbindet. Sind T 0 und T 3 die Scbmiegungsebenen (§ 10, No. 3) in den Punkten A und B, so entspricht die Ebene 1T 0 des Büschels tr den Ebenen der Büschel a und x, welche die Curve R 3 in einem dem Punkte A unendlich nahen Punkte treffen; dies ist im Büschel 1 die Ebene, welche die Tangente 3 enthält, denn diese enthält ausser A noch einen unendlich nahe bei A gelegenen Curvenpunkt; und im Büschel x die Ebene, welche die Gerade a enthält. Es entsprechen sich daher die drei Ebenen 7K aj 7 ^ • Die Ebene ra kann als eine Ebene des Büschels 3 angesehen werden, welche R., in einem dem Punkte B unendlich nahen Punkte trifft; im Büschel a entspricht ihr daher die Ebene, welche die Tangente x enthält und im Büschel ’x die Schmiegungsebene T s . Es entsprechen sich also die drei Eibenen ji 7; tt 75; . Sind T x = 0 und T 2 = 0 die Gleichungen der Ebenen aa und xa, so kann man sich die Functionen T 0 , 7\, T 2 , T 3 immer mit solchen Faktoren multiplicirt denken, dass die Gleichungen dreier entsprechenden Ebenen der drei projectiven Büschel 3, a, x die Form haben ?’= Xj T 0 — X 2 2\ = 0, T’ = A t T x — l^T 2 = 0, T" = X, T 2 — X 2 T 3 = 0. Dividirt man diese Gleichungen durch X t und bezeichnet den Quotienten A 2 : Aj mit X, so gehen diese Gleichungen über in 1 . T = T 0 — \T X = 0 , T' ^ 7 \ — \T 2 = 0 , T" = T 2 — \T 3 = 0 . Diese drei linearen Gleichungen für x, y, z enthalten einen veränderlichen Parameter A, und zwar erscheint X als die einzige unabhängige Veränderliche. Durch X kann man die Coordinaten jedes Curvenpunktes ausdriicken, indem man das System 1. nach x, y, z auflöst. Die Auflösungen eines Systems von drei linearen Gleichungen sind bekanntlich Quotienten, welche als gemeinsamen Nenner die Determinante der Gleichungen und als Zähler Determinanten dritten Grades in den Coefficienten der Gleichungen haben. Die Coefficienten der Gleichungen 1. sind lineare Functionen von X; die Lösungen des Systems 1. haben daher die E'orm x — (a 0 4 - a t X 4- ö 2 X 2 4- z* a A- j ) : ( d 0 4 - 'QA 4- d 2 X 2 -+- d 3 X^), 2. y — (^ 0 4 - b x X 4- b 2 X 2 -P b 3 A 3 ) : ( d 0 -P d t X -P d 2 X 2 -P d 3 X 3 ), z = (c 0 - p c 1 l -p c 2 X 2 -P r 3 X 3 ) : ( d 0 -P d x X 4- d 2 X 2 4 - d 3 X 3 ) . Die Coordinaten der Punkte eines R 3 lassen sich daher als gebrochene rationale Functionen eines Parameters X darstellen, und zwar in der Form 3. * = T = ^ =

s 4- (tb 2 — yd 2 )l* 4- (b i —yd t )X = — (b 0 — P d o) > (r 3 — zd 3 )k 3 4- (c 2 — zd 2 ))P 4- {c x — zd 3 ) X = — (c 0 — z d 0 ). Die Determinante dieses Systems ist a 3 — xd 3 a 2 — xd 2 a x — xd x t 3 = b z —y d s b 2 —yd* b \ —y d \ • c 3 z d 3 C 2 — z d 2 — z d j Diese zerfällt in ein Polynom von acht Determinanten, von denen aber die identisch verschwinden, welche in zwei Zeilen Coordinaten als Faktoren stehen haben, da in diesen Determinanten diese beiden Zeilen proportionale Elemente enthalten. Es bleiben mithin nur vier Determinanten übrig T-i = («sVi) — ( d 3 b i c \) x ~ ip 3 d 2 c x )y — ( a 3 b 2 d ] )z , 2. wenn man unter die Determinante versteht | pi pk pi (. piqkri) = qi qk qi . I n r k ri In gleicher Weise reduciren sich die Zähler der Auflösungen des Systems 1., und man erhält wobei T o — — { a o b 2 c \) + ( d o b 2 c i) x -+- ( a o d 2 c i)P + (. a o b 2 d \) z ’ T x es — («g^o^l) + ( d 3 b 0 C i) X + ( a 3 d 0 c \)y -+- (Mo^l)*« r 2 = — {a 3 b 2 c 0 ) 4 - {d 3 b 2 c 0 )x 4 - (a 3 d 2 c 0 )y 4 - (a. 3 b 2 d 0 )z. Die Gleichungen 3. ergeben mithin die Gleichungen t 0 - x7\ = o, z\ - xr 2 = 0 , t 2 - xr 3 = o, welche mit den Gleichungen No. 10, 1 übereinstimmen. 12. Die Eigenschaft, dass die Coordinaten jedes Punktes rationale Functionen eines veränderlichen Parameters sind, theilen die Raumcurven III. O. u. A. mit der Geraden und mit den Kegelschnitten. Wenn A ü , A u A 2 lineare Functionen der Ebenencoordinaten sind, so ist der Ort der Punkte, deren Gleichungen unter der Form enthalten sind 1. A q 4 ~ y>A 3 — 0 ’) Möbius, Der barycentrische Calcul. Leipzig 1827, pag. 114—124. § 15 ' Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 367 bekanntlich die Gerade A 0 A l . Aus 1. folgt für die Coordinaten jedes Punktes dieser Geraden die Darstellung x = , = &, *=&, «Ps ?3 2 = 0, P a — IP 3 = 0. Die drei Punkte, deren Gleichungen sind $ ^Po- = 0, SP' - Pi- XP a = 0, iß” » P % - IP 3 = () sind entsprechende Punkte dreier projectiven Reihen, welche zu Trägern die Geraden P 0 P X , 7\ P, 2 und P. 2 J\ haben. Alle Ebenen, welche durch je zwei entsprechende Punkte iß und iß' gehen, umhüllen die Fläche II. O., deren Gleichung sich aus den Gleichungen iß = 0 und iß 1 = 0 durch Elimination von X ergiebt, nämlich 8, --/? = o. Alle Ebenen, deren Coordinaten den Gleichungen iß = 0 und iß” = 0 genügen, umhüllen die Fläche II. O. ^ P 0 P 3 — P x P% =0. Schlohmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 24 37° Analytische Geometrie. Beide Flächen haben das Ebenenbüschel gemein, dessen Träger P 0 P\ ist (haben also als Punktgebilde betrachtet die Gerade P 0 P x gemein). Wir schliessen daher: Die Osculationsebenen einer Raumcurve III. O. umhüllen eine abwickelbare Fläche, welche zwei Flächen II. O. umschrieben ist, die eine gemeinsame Gerade haben. Analog der Definition einer Raumcurve III. O. definiren wir als abwickelbare Fläche dritter Klasse die Fläche, welche von den gemeinsamen Tangentenebenen zweier Flächen II. O. gebildet wird, die eine Gerade gemein haben. Mit Rücksicht auf diese Definition haben wir daher den Satz: Die Osculationsebenen einer Raumcurve III. O. umhüllen eine abwickelbare Fläche III. Kl. Die Cuspidalkante (§10 No. 2) einer abwickelbaren Fläche «ter Klasse wird als Raumcurve »ter Klasse bezeichnet. Wir gewinnen somit den einfachsten Ausdruck für unseren Satz in der Form: Die Raum cur ven III. O. sind zugleich Raumcurven III. Kl. Wir unterbrechen hier unsere Erörterungen über die Raumcurven III. O. und wenden uns zu den abwickelbaren Flächen III. Kl., für deren Untersuchung wir den analogen Weg verfolgen. Im Laufe dieser Untersuchung wird sich, wie wir schon jetzt voraussehen können, ergeben, dass die Cuspidalkante jeder abwickelbaren Fläche III. Kl. eine Raumcurve III. O. ist, so dass alle Resultate dieses Abschnitts sich auf die Raumcurve III. O. und die von ihren Tangenten beschriebene (mithin von ihren Osculationsebenen umhüllte) abwickelbare Fläche beziehen. 1. B.*) Die abwickelbare Fläche III. Kl. bildet mit einem Ebenenbüschel zusammen die vollständige abwickelbare Fläche IV. Klasse 1. Sp., die zwei Flächen II. Kl. und % 2 umschrieben ist. Durch jeden Punkt des Raumes gehen vier Ebenen dieser Fläche; eine dieser vier Ebenen gehört dem Ebenenbüschel an. Durch jeden Punkt desRaumes gehen daher drei Tangentenebenen einer abwickelbaren Fläche III. Kl. 2. B. Das Ebenenbüschel a bilde mit einer abwickelbaren Fläche III. O. eine abwickelbare Fläche IV. Kl. 1. Sp.; wir beschreiben in und a zwei Flächen II. O. und und bemerken auf gj und g 2 zwei Ebenenbüschel at' und a" desselben Systems, wie a (d. i. zwei Büschel von Tangentenebenen von und % 2 , deren Träger zu demselben Systeme von Geraden auf gi und $2 gehören, wie der Träger des Büschels a). Durch jeden Punkt P des Trägers von a geht ein Träger eines Büschels ß' auf gi und ein Träger eines Büschels ß' 1 2 auf g 2 , die mit a nicht demselben Systeme angehören. Die Träger der Büschel ß' treffen den Träger von a' in einer Punktreihe, welche der Reihe der P projectiv ist; denn zwei Geraden einer Fläche II. O. $i> die demselben System angehören, werden von allen Geraden des andern Systems ß 1 in zwei projectiven Punktreihen getroffen. Die Träger der Büschel ß" treffen a" aus gleichem Grunde in einer Punktreihe, die ebenfalls mit der Reihe der P projectiv ist. Jede Ebene von 9j 3 gehört zu einem Büschel ß' und zu einem Büschel ß"; durch ihren Schnittpunkt P mit dem Träger von a gehen die Träger von ß' und • ß"; also treffen die Ebenen von Si 3 die Träger der Büschel a, a', a" in projectiven Punktreihen. *) Die Abschnitte 1 B, 2B, . . . entsprechen dual den Abschnitten § 15, 1, 2, . . . §15. Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 371 Wir bemerken noch, dass durch die projectiven Reihen a 1 und a" eine Fläche II. O. % 3 erzeugt wird, die ebenfalls der 9i 3 eingeschrieben ist, und dass die Flächen und §3 das Büschel a, die Flächen g 2 und g 3 das Büschel a" gemein haben; also bilden auch die Büschel a' und a" mit 9t 3 eine vollständige abwickelbare Fläche IV. Kl. 1. Sp. Die Flbenen, welche eine abwickelbare Fläche III. Kl. umhüllen, gehen durch die entsprechenden Punkte dreier projectiven Punktreihen; die Träger dieser Punktreihen sind die Träger dreier Ebenenbüschel, die mit der !)t 3 zusammen eine vollständige abwickelbare Fläche IV. Kl. 1. Sp. bilden. Umgekehrt schliesst man leicht: Die Ebenen, welche durch die entsprechenden Punkte dreier projectiven Punktreihen gehen, umhüllen eine 9t 3 . 3. B. Wir fragen nun nach den Ebenen der 9t :j , welche zum Büschel a gehören. Dies sind die Ebenen dieses Büschels, welche entsprechende Punkte der auf den Trägern von a' und a ' 1 liegenden projectiven Reihen verbinden; also sind es Tangentenebenen von Wir schliessen daher: Zu jedem Ebenenbüschel, welches mit 9t, zusammen eine vollständige abwickelbare Fläche IV. Kl. 1. Sp. bildet, gehören zwei Ebenen der 9t 3 . Aus diesem Grunde wird oc als eine Linie in zwei Ebenen der 9t 3 bezeichnet. 4. B. Eine Ebene enthält im Allgemeinen nur eine Linie in zwei Ebenen einer 9t 3 ; jede Linie in zwei Ebenen einer 9t 3 ist der Träger eines Ebenenbüschels, das mit 9t 3 zusammen eine abwickelbare Fläche IV. Kl. 1. Sp. bildet. 5. B. Sind g 1( $ 2 , g 3 drei Flächen II. Kl., die nicht zu derselben Schaar gehören und einer 9i 3 eingeschrieben sind, so wird die Gleichung jeder Fläche, die der 9t 3 eingeschrieben ist, in der Form erhalten 1. 8 = ihSi 4- p. 2 g 2 -+- |x 3 g 3 = 0. Denn zwei Ebenen 7\ und T s , welche 9t 3 nicht berühren, enthalten je eine Linie in zwei Ebenen der 9t 3 ; durch diese beiden Linien und durch die 9i 3 ist eine Fläche II. Kl. eindeutig bestimmt; also ist durch eine 9t 3 und durch zwei Ebenen, die nicht zu 9t 3 gehören, eine Fläche II. Kl. eindeutig bestimmt. Sind Siö S 3 *' die Werthe, welche die Functionen $ 2 , % 3 für die Coordinaten der Ebene Ti annehmen, so ist offenbar -I 81 82 s 3 8 = Sn 821 831 = 0 1812 S22 832 die Gleichung einer Fläche II. Kl., welche von den Ebenen 7\ und T 2 berührt wird, der 9t 3 eingeschrieben ist; und diese Gleichung ist von der Form 1. 6 . B. Aehnlich, wie in No. 6 , schliessen wir: Die Linien in zwei Ebenen einer 9i 3 , die auf einer Ebene der 9t 3 liegen, bestimmen eine Grenzfläche II. Kl.; oder: Die Geraden, in welchen eine Ebene einer 9t 3 von den andern geschnitten wird, umhüllen einen Kegelschnitt. Durch sechs Ebenen 1 , 2, 3, 4, 5, 6 einer 9t 3 ist die Grenzfläche G 1 bestimmt, welche 1 zur Doppelebene hat und von den fünf andern berührt wird; ebenso die Grenzfläche G a , welche 2 zur Doppelebene hat und von 1, 3, 4, 5, G berührt wird. Beide Grenzflächen werden von allen Ebenen der 9t 3 berührt und haben ausserdem das Ebenenbüschel 1, 2 gemein. Dies zeigt: Eine abwickelbare Fläche III. Kl. ist durch sechs Ebenen bestimmt. 24 372 Analytische Geometrie. Die Construction einer 9i 3 aus sechs gegebenen Ebenen ist hiermit erledigt. 7. B. Wenn die Fläche % der 9t 3 eingeschrieben ist, so enthalten alle Ebenenbüschel auf g, deren Träger nicht Gerade in zwei Ebenen der Ebenenbüschel 9t s sind, eine reale Ebene der 9l 3 . 8. B. Wenn das Ebenenbüschel ß nur eine Ebene einer 9t 3 enthält, so umhüllen alle Ebenenbüschel, die von einer Linie in zwei Ebenen der 9t 3 getragen werden und mit ß eine Ebene gemein haben, eine Fläche II. Kl. 9. B. Jede Ebene, die eine Gerade b enthält, die auf nur einer Ebene T x einer 9t 3 liegt, enthält eine Linie in zwei Ebenen der 9t 3 ; diese Linien erfüllen (8. B) eine Fläche II. Kl. die 9t 3 eingeschrieben ist, und schneiden daher eine andere Ebene T 2 der 9t 3 in den Punkten der Geraden b', in welcher % von T 2 berührt wird und die mit b zu demselben Systeme gehört. Die Punktreihen, in denen b und b x von Linien in zwei Ebenen der 9t 3 getroffen werden, sind projectiv. Jeder Geraden 6 in J\ entspricht somit eine bestimmte Gerade b 1 in T 2 , und die Punkte auf b sind mit der Punktreihe auf b' projectiv. Durch einen Punkt A auf T x gehen ausser 7\ noch zwei Ebenen der 9t 3 , also geht durch A die von diesen beiden Ebenen bestimmte Linie in zwei Ebenen von 9t 3 . Die Geraden b, welche in T x liegen und durch A gehen, werden von dieser Linie getroffen; ihnen entsprechen in T 2 die Geraden //, welche von derselben Linie getroffen werden, welche also durch den Schnittpunkt dieser Linie mit der Ebene T 2 gehen. Einem Strahlbüschel in 'I x entspricht daher ein Strahlbüschel in 7\, und die Träger dieser Strahlbüschel liegen auf einer Linie in zwei Ebenen der 9i 3 . Zu jeder Geraden b kann man hiernach die entsprechende Gerade V leicht construiren, wenn zu vier Geraden b x , b 2 , b 3 , b 4 in T x die entsprechenden b x , b 2 ', b 3 , b 4 ' in T s gegeben sind. Die Geraden b 2 , b % , b 4 , b bestimmen auf b x , und die entsprechenden Geraden b 2 , b 3 ', b 4 b’ auf b x zwei projective Reihen; b' geht daher durcli den Punkt auf b x \ der dem Schnittpunkte von b x und b entspricht. Ebenso bestimmen b j, b 3 , b 4 , b auf b 2 und b x , b 3 ', b 4 , b’ auf b 2 zwei projective Reihen; hierdurch bestimmt sich der Punkt, in welchem b 2 von b' geschnitten wird. Da man nun die Punkte kennt, in denen b x und b 2 von b' geschnitten werden, so ist b' selbst bekannt. Dieselbe Construction verwendet man bei zwei projectiven Ebenen, auf welchen die Geraden b x , b 2 , b 3 , b x den Geraden b x , b 2 , b 3 , b± ents])rechen, um zu jeder Geraden b der einen Ebene die entsprechende Gerade b’ der andern zu construiren. Da nun je zwei Schnittpunkte zweier Geraden auf T x und der entsprechenden beiden auf 7\ eine Linie in zwei Ebenen der 9l 3 bestimmen, so schliessen wir: Die Linien in zwei Ebenen einer 9t 3 werden von je zwei Ebenen der 9i 3 in entsprechenden Punkten zweier projectiven Punktsysteme geschnitten. Jede Ebene, in welcher zwei Linien in zwei Ebenen einer 9l 3 liegen, ist eine Tangentenebene der 9i 3 . Wir sehen daher: Die Ebenen, welche zwei projective Ebenen in entsprechenden Geraden schneiden, umhüllen eine abwickelbare Fläche III. Kl. 10. B. Die Gleichungen entsprechender Punkte dreier projectiven Punktreihen, durch welche eine 9t 3 erzeugt wird, vereinfachen sich in bemerkens- § 15- Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 373 weither Weise, wenn man als Träger zweier Reihen zwei auf der Fläche !R 3 liegende Gerade = ! x iPi P -2 P$ — 0 , P" = p-j -P3 P 2 -^3 = 0 • Dividirt man durch pj und setzt p 2 : pj = 0, so entstehen die Gleichungen 1. P^P 0 -hA=Ö, — ^-p/^O, P" ^ Pg^H-P, =0- Jede Ebene, deren Coordinaten diesen drei Gleichungen für irgend einen Werth der veränderlichen Zahl genügen, berührt die 9f 3 . Man kann aus denselben u, v, w durch p ausdriicken und erhält somit die Coordinaten jeder Ebene der 9i 3 als rationale Functionen eines Parameters p; die Auflösungen des Systems 1. haben die Form u = (a 0 + « 1 p + ü 8 p 2 -+- a 3 p 3 ) : (8 0 -P S,p -p o 2 p 2 -p S 3 p 3 ), 2. v = (ß 0 -+- p -p ß 2 p 2 -p ß 3 p 3 ) : (S 0 H- o t p -t- S 2 p 2 -p ö 3 p 3 ), w = (To -F Ti P + Ts P 2 + Ta f* 3 ) : (3 0 + 8 i P + S 2 P 2 + p 3 ) . Setzt man die Werthe 2. in die Gleichung ein ux -h vy -+- wz — 1=0, so erhält man nach Beseitigung des Nenners eine Gleichung von der Form A 0 -p p^4j -p p 2 ^4 2 -+- p 3 ^ 3 = 0, worin A 0 , A x , A 2 , A 3 lineare Functionen in Punktcoordinaten sind. 11. B. Ebenso, wie in No. 11, schliesst man umgekehrt: Alle Ebenen, deren Gleichungen aus A 0 -p p^4j -+- p 2 ^4 2 + |i s ij =0 erhalten werden, indem man dem Parameter p alle Werthe von — bis -+- 00 ertheilt, umhüllen eine abwickelbare Fläche III. Kl. 12. B. Die Eigenschaft, dass die Coordinaten jeder Ebene sich als rationale Functionen eines Parameters ausdrücken lassen, hat die abwickelbare Fläche III. Kl. mit der Geraden und dem Kegel II. O. gemein. Sind A 0 , A x , A 2 die Gleichungen dreier Ebenen, so geht jede Ebene, deren Gleichung von der E'orm ist 1- Aq “P p Ay = 0 durch die Gerade A 0 A X . Jede Ebene, deren Gleichung die Form hat 2* Aq -p p-dj -p p 2 yl 2 = 0 geht durch den Schnittpunkt der Ebenen A 0 A X A 2 . Die Gleichung der Spur von T auf der X FTEbene entsteht, wenn man in 2. z — 0 setzt. Man erhält dann eine Gleichung von der Form 3- Bq -p pifj -P p 2 Z? 2 = 0, worin B u , B x , B 2 lineare Functionen von x und y sind. Aus dieser Gleichung erhält man für die Coordinaten der Spur Ausdrücke der Form u = «0 +a 1 P + a 8 P i y = ßo + ßiP -+• ßaP 8 . . To -F Ti P + T 2 F 2 ’ To + Ti P + T 2 P 2 ’ lost man diese Gleichungen nach p und p 2 , so erhält man 374 Analytische Geometrie. 4. F . = P t :P a , F 2 = ^0 : F 2 > wobei P 0 , P u P 2 lineare Functionen von u und v sind. Durch Division folgt aus 3. 5 . !>■ = P 0 '■ P 2 < und hieraus und aus der ersten Gleichung 3. B 0 — fA = 0 , P x — | xP 2 = 0 . Die Geraden, welche der Gleichung 3. entspringen, sind daher die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier projectiven Punktreihen auf P 0 P x und P x P g; sie umhüllen den Kegelschnitt P 0 Pi-P? = 0 . Die Ebenen, deren Gleichungen unter der Form 2. enthalten sind, gehen durch einen Punkt und ihre Spuren auf der X F-Ebene umhüllen einen Kegelschnitt, also umhüllen die Ebenen selbst einen Kegel II. O. 13. B. Durch zwei Ebenen, welche die 9t 3 berühren, durch die Geraden ar und x, in welchen sie die 9t 3 berühren, und durch die Punkte P 0 und P 3 der Cuspidalkante der 9t • t , welche auf 3 und x liegen, sind die Punkte P 0 P 1 P 2 P 3 (No. 10 B) gegeben. Ist nun noch eine Ebene C von 9t 3 gegeben, so sind die Punkte bekannt, in welchen die Geraden 3 , a und x von dieser Ebene geschnitten werden; die Gleichungen dieser Punkte seien 1 . P 0 a \ F \ = 0 , a \P\ — a 2 P 2 = 0 , a 2 P 2 a 3 P 3 = 0 . Die Gleichungen je dreier entsprechenden Punkte der drei Reihen P 0 P X , Pf P 2 und P 2 P % sind dann vollständig bestimmt, nämlich 2. Pq F*G F \ ~ 0 , dfPy— \xd 2 P 2 = 0, cc 2 P 2 B 3 = 0 . Dies ergiebt: Eine abwickelbare Fläche III. Kl. ist durch zwei berührende Ebenen A und B, durch die Geraden 3 und x, längs welcher sie die Fläche berühren, durch die Punkte P 0 und P 3 der Cuspidalkante, welche auf diesen Geraden liegen und durch eine dritte berührende Ebene eindeutig bestimmt. Die Ebenen A, B, C gehören zu den Parameterwerthen 0, 00 , 1. Man kann daher diese drei Parameterwerthe drei beliebigen Ebenen der 9t 3 zuertheilen; der Parameter jeder andern Ebene ist dann eindeutig bestimmt. 14. B. Die Gleichung eines Punktes 1. SPi = B 0 — (p.j + F 2 ) Bf -h FiF 2^2 = 0 kann man in zweifacher Weise anordnen 2. '-Pi 33 B 0 Fi Bf F 2 (Bf Fi B 2 ) — 0, 3. — -^0 F 2 Bf Fi (Bf F 2 B%) = 0. Aus 2. folgt, dass 5)3 x auf der Geraden liegt, welche die Schnittpunkte der Ebene g-j mit den Geraden 3 und a verbindet; und aus 3., dass 5)3 x auch auf der Geraden liegt, welche die Schnittpunkte der Ebene P 2 und der Geraden 3 und a verbindet; folglich liegt 5)3 1 auf den Ebenen Fi und F 2 - In gleicher Weise schliesst man, dass auch der Punkt 5ß 2 = Bf — (fi + F 2 )B 2 + F 1 F 2 Bi = 0 ein gemeinsamer Punkt der Ebenen Fi und P 2 ist. Die Gleichungen der Linie in den Ebenen Fu F 2 der 91 3 sind daher 4- B^ — (fi -+- F 2 ) Pf + Fi F 2 B 2 = 0 , Pf — (fi + F 2 ) B 2 -F Fi F 2 = 0 . Sind Fi und F 2 unendlich wenig von einander verschieden, so ist die Linie in den Ebenen F 1 F 2 die Gerade, längs welcher 9i 3 von Fi berührt wird. Folglich sind die Gleichungen der Geraden, längs welcher 9l 3 von der Ebene ,u berührt wird 5. Pf) — 2f-^i -F f 2 B 2 = 0, Pf — ^V-B 2 4- f 2 -^3 — 0. § 15 . Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 375 15. B. Die Gleichung 1. $ß =5 P 0 — (ja, -(- -+- [X 3 ) p t -+- (jj. 2 fJ-3 + iAgHj + IJ-rlJ-ä) A — t«-! 1^2 H-3 ^3 = 0 lässt folgende Anordnungen zu 2. SP = P 0 — (f-i -+- 1 * 2 ) P\ + Fi 1 j - 2-^2 — Fs [Pi — (f*i "F 1*2) P 2 + Fi F 2 P'ä ] = ® , 3. = Po — 0*i -+■ Fs) P\ ■+■ Fi 1*3 P^ — 1*2 [Pi — (Fi + 1 * 3 ) Pi ■+" Fi F 3 P$\ = 0 > 4 . P 0 — (^2 + F3) P-i F2F3-^ > 2 — Fi [P\ — (F2 -F F3) P*i + F2 F3 P$\ = 0 • Aus denselben erkennt man, dass durch Sß die drei Ebenen p 2 , p 3 der Fläche 9l 3 gehen. Die Gleichung des Punktes, in welchem die auf der Ebene p liegende Gerade der Fläche 9t ;) von der Ebene p t geschnitten wird, folgt hiernach zu Pa — (2p -+- Fi)^i + (F 2 -F %Wi)Pt ~ F 2 Fi-^3 = °- Ist ij- x nur unendlich wenig von ja verschieden, so erhält man hieraus die Gleichung des auf der Ebene p liegenden Punktes der Cuspidalkante der abwickelbaren Fläche III. Kl. Pa — 3F-^i + 3(a 2 / > 2 F 3 P§ — 0 • Vergleichen wir dies mit No. 10, 4, so folgt: Die Cuspidalkante einer abwickelbaren Fläche III. Kl. ist eine Raumcurve III. O. Die Raumcurve III. O. und die abwickelbare Fläche III. Kl. treten also immer vereint auf. Die Tangentenfläche jeder Raumcurve III. O. ist eine abwickelbare Fläche III. Kl., und die Cuspidalkante jeder abwickelbaren Fläche III. Kl. ist eine Raumcurve III. O. 16. Die Parameter X der Punkte einer Raumcurve III. O., deren Schmiegungsebenen durch einen gegebenen Punkt P des Raumes gehen, werden erhalten, wenn man in der Gleichung der Schmiegungsebene des Punktes X (No 15, 6) 1. T 0 — 3X7\ + 3X 2 r 2 — WT S = 0 die Zahl X so wählt, dass dieser Gleichung durch die Coordinaten des Punktes P genügt wird. Setzt man diese Coordinaten in 1. ein, so erhalten die linearen Functionen T ü , T x , 7\, 2\ bestimmte Zahlenwerthe, und die gesuchten Werthe von X sind die Wurzeln der eubischen Gleichung 1. Bezeichnet man diese Wurzeln mit X 1( X 2 , X 3 , so ist 2. X t -+- X 2 -t- X 3 = 3: T % , X x X 2 -4-X^ -l-X 2 X g = 3Z\ : T%, XjXgXg = T 0 : T A . Die Gleichung der Ebene der Punkte X t , X 2 , X 3 ist (No. 15, 1) 3. T 0 — (Xj -t- X 2 -+- X,) T x -t- (Xj X 2 -t- XjX 3 -+- X 2 X 3 ) T 2 Xj X 2 X 3 T 3 = 0 . Setzt man die Werthe 2. in 3. ein, so wird 3. identisch erfüllt; daher folgt: Der Schnittpunkt der Schmiegungsebenen dreier Punkte einer Raumcurve III. O. liegt auf der Ebene dieser drei Punkte. Bildet man den entsprechenden Satz für die abwickelbare Fläche III. Kl.: Die Ebene dreier Punkte der Cuspidalkante einer abwickelbaren Fläche III. O. geht mit den drei Ebenen dieser Punkte durch einen Punkt, — so erkennt man, dass derselbe mit dem vorigen Satze identisch ist. Wenn die Gleichung 1. eine reale Wurzel Xj und zwei conjugirt complexe X 2 und X 3 hat, so geht durch P nur eine reale Osculationsebene von R s ; die beiden andern Osculationsebenen, sowie die Punkte der Curve, an denen diese liegen, sind conjugirt complex. Die Secante dieser Punkte ist real; die Ebenen Po - (^2 T- x s ) T x -+- ^2^3 Pi ~ P\ (^2 "F X 3 ) T ,2 -+- X 2 X 3 V 3 = 0 , deren Schnitt die Secante X 2 X 3 ist, sind beide real, auch wenn X 2 und X 3 conjugirt complex sind. Umgekehrt sieht man sofort: Wenn die Werthe X t , X 2 , X 3 gegeben sind, 376 Analytische Geometrie. so bleibt der Punkt P, dessen Coordinaten den Gleichungen 2. gentigen und durch dieselben eindeutig bestimmt werden, real, auch wenn zwei von den Werthen X 1 , X 2 , X 3 conjugirt complex sind. Jeder Ebene T ist also in Bezug auf eine Raumcurve III. O. ein auf ihr enthaltener Punkt P zugeordnet, umgekehrt jedem Punkte eine Ebene; in dem Punkte P schneiden sich die Osculationsebenen der auf der Ebene T liegenden Curvenpunkte; oder: auf der Ebene T liegen die Punkte, in welchen die Raumcurve von den drei durch P gehenden Oculationsebenen berührt wird. Der Punkt P wird als Pol der Ebene T, die Ebene T als Polarebene des Punktes P in Bezug auf die W 3 bezeichnet. 17. A. Die Parameter X x und X 2 der Punkte einer R a , welche dieselbe mit der durch einen gegebenen Punkt P des Raumes gehenden Secante der Curve gemein hat, lassen sich wie folgt bestimmen: Durch die Secante X, X 2 gehen (No. 14, 1) die beiden Ebenen 1. T 0 (Xj -+- X a ) T x -+- Xj X 2 TJj — 0, T x — (X, -+- X 2 ) Z 2 -+- X, X 2 T a =0. Diesen Gleichungen wird durch die Coordinaten von P genügt. Hat man diese Coordinaten in 1. eingesetzt, so sind in 1. nur noch die Zahlen Xj und X 2 unbestimmt. Aus 1. folgt hierfür T, T, ~ T' 1 , , .. T 0 T Z — r, r 2 X. X 0 — T T 1 1 J 3 TV ' 1 2 p a T, T, T, - T* und nun lässt sich leicht die quadratische Gleichung aufstellen, deren Wurzeln die Parameter X, und X 2 sind. Liegt P auf der Tangentenfläche von R. it also auf der abwickelbaren Fläche III. Kl., welche zur Cuspidalkante hat, so ist X, = X 2 , und man hat die beiden Gleichungen t 0 t 9 - r» 0 , r 0 r, _ t x TT TV 1 1 1 3 J 2 2X t 1\ T, TI Die ausreichende und nothwendige Bedingung für den Verein dieser beiden Gleichungen ist 3. 4 (r 0 T, - TV) (7\ T a - TI) - (T 0 T, - T x Ttf = 0. Wenn die Coordinaten eines Punktes dieser Gleichung genügen, so liegt der Punkt auf der Tangentenfläche von R s ; also ist 3. die Gleichung der Tangentenfläche der Raumcurve III. O.; dieselbe ist vom vierten Grade. Wir schliessen daher: Jede Gerade wird von vier Tangenten einer Raumcurve III. O. getroffen. Die Ordnung der Tangentenfläche einer Raumcurve bezeichnet man als den Rang der Curve; eine Raumcurve III. O. ist daher vom vierten Range. K. Ist T eine gegebene Ebene und sind m-j und die Parameter der Ebenen einer Fläche S)i 3 , welche sich auf T schneiden, so genügen die Coordinaten von T den beiden Gleichungen (No. 14 B, 3) F 0 — Ol + P 2 ) P X + Pi hs A = p \ — Ol + p 2 ) P 1 R Pi P 2 p i = 0. Aus diesen Gleichungen lassen sich die unbekannten Parameterwerthe bestimmen; man erhält p 0 p ,- p ? , .. _P 0 P t -P 1 P a P1P2 = p P _ P ‘2 1 1 1 2 *2 p 2 *2 Enthält T eine auf 0i 3 gelegene Gerade (den Schnitt zweier auf einander folgenden Ebenen von 0i 3 ), so ist ^ ■= p- 2 , und man hat pp _ p 2 pp _ PP o _ J 0 *2 o ,, ^0 r 3 -*1 -*2 p i p z - P i P l P 3 — P 2 § 15- Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse. 377 Die Bedingung für den Verein dieser beiden Gleichungen ist die Gleichung der Fläche, die von den Ebenenbüscheln umhüllt wird, w r elche die Geraden der 8t 3 zu Trägern haben, nämlich 4 (/'„ 1\ - P?) (P, P, - Pi) - (P 0 P, - P 1 P,i = 0. Diese Gleichung ist vom vierten Grade, die durch sie dargestellte Fläche also von der vierten Klasse. Durch eine gegebene Gerade gehen daher vier Ebenen dieser Fläche, und die Gerade wird folglich von vier Geraden der !R 3 getroffen, ein Ergebniss, das mit dem in 17 A erhaltenen identisch ist. 18. Wir denken uns eine Raumcurve III. O. als Schnitt zweier Kegel II. O. Ä'j und Ä',,. I.egt man durch die Spitze von Ä', Gerade, die den Mantellinien von Af 2 parallel sind, so erhält man einen Kegel Ä” 2 ', der mit Ä' 2 congruent ist, und mit K x die Mantelline gemein hat, welche die Spitzen von und K. 2 verbindet. Die beiden Kegel K x und A' 2 ' haben daher noch drei Mantellinien gemein, von denen wenigstens eine real ist. Folglich haben die beiden Kegel Ä'j und K., drei Paar parallele Mantellinien, die Curve 7? 3 daher drei unendlich ferne Punkte, von denen wenigstens einer real ist. Von einem dieser Punkte aus wird die Curve durch einen Kegel II. O. mit unendlich ferner Spitze projicirt; also lassen sich durch eine W 3 drei Cylinder II. O. legen, von denen wenigstens einer real ist. Die Werthe des Parameters X, welche den unendlich fernen Punkten zugehören, sind die Wurzeln der Gleichung (No. 10, 3) ? 3 = °- Je nachdem diese Gleichung drei reale verschiedene Wurzeln, zwei gleiche und eine dritte von diesen verschiedene reale Wurzeln, oder drei gleiche reale Wurzeln, oder eine reale und zwei conjugirt complexe Wurzeln hat, besitzt die Curve drei getrennte reale, zwei vereinte und einen von diesen getrennten realen, oder drei vereinte reale, oder nur einen realen unendlich fernen Punkt. Die Tangenten der Curve, die sie in den unendlich fernen Punkten berühren, werden als Asymptoten der Curve bezeichnet. Giebt es drei reale getrennte unendlich ferne Punkte, so giebt es drei Asymptoten, die nicht unendlich fern sind; sind zwei unendlich ferne Punkte real und vereint, so hat die Curve eine unendlich ferne Tangente (unendlich ferne Asymptote), und ausserdem noch eine Asymptote, die nicht unendlich fern ist; sind drei reale unendlich ferne Punkte vereint, so ist die unendlich ferne Ebene Osculationsebene der Curve; ist nur ein realer unendlich ferner Punkt vorhanden, so hat die Curve nur eine reale Asymptote. Hiernach zerfallen die Raumcurven III. O. in vier Gruppen von Curven, die ihren Gestaltsverhältnissen nach wesentliche Verschiedenheiten darbieten: Cu bische Hyperbel, mit drei realen Asymptoten; cubische hyperbolische Parabel, mit einer realen Asymptote und einer unendlich fernen Tangente; cubische Parabel, mit einer unendlich fernen Osculationsebene; cubische Ellipse, mit einer realen und zwei imaginären Asymptoten. 19. Eine Raumcurve wird von einem Punkte P 0 aus durch einen Kegel projicirt. Die beiden Punkte der Fläche II. O. f — 0, welche auf der Geraden P 0 P liegen, theilen die Strecke P 0 P in Verhältnissen |x, welche die Wurzeln der Gleichung sind 1- / 0 -+- 2fj.(/ 10 ’.* 1 o' x 3 +fio' x i) "+- P 2 •/== 0. 37» Analytische Geometrie. Für die Punkte der Strecke P 0 P, die auf der Fläche II. O. cp = 0 liegen, erhält man 2. To + 2p (Tio'*i + T 2 o '*2 + Tso'^s + T4o' A '4) + F' 2 ' T = 0- Liegt nun P auf einem der Strahlen, durch welche die Punkte der Schnitt- curve der Flächen f und

. 2 =0, /o -p + 2F- p 2 + /-p. 3 = 0, Tu -+- 2 • p. -+- cp • p. 2 = 0, To ' F + 2

/ F f = 0. T I To ^ T Umgekehrt schliesst man leicht, dass wenn die Resultante R verschwindet, die Gleichungen 1. und 2. eine gemeinsame Wurzel haben. Denn multiplicirt man die Verticalreihen von R der Reihe nach mit 1, jj., jx' 2 , p 3 und addirt dann die zweite, dritte und vierte Reihe zur ersten, so erhält man G F f f | G p R = H Zfp fo To F f T (J) cp = o, wobei G und H die linken Seiten der Gleichungen 1. und 2. bezeichnen. Nach den Gliedern der ersten Verticalreihe entwickelnd erhält man 3. R = A ■ G -h B ■ H, wo A und B lineare Functionen von p sind. Ist nun R — 0 und wählt man für p, eine Wurzel der Gleichung G — 0, so folgt aus 3. dass auch B-H= 0. Da nun B vom ersten Grade ist, so folgt, dass für eine der beiden Wurzeln von G = 0 auch H verschwinden muss, dass also die Gleichungen G = 0 und H = 0 eine gemeinsame Wurzel haben. Die Function R ist vom vierten Grade in Bezug auf x x , x 2 , x%, x 4 ; sie lehrt daher: Die Schnittcurve zweier F'lächen II. O. wird von einem beliebigen Punkte des Raumes aus durch einen Kegel IV. O. projicirt. Wählt man P 0 auf der Schnittcurve, so ist f 0 = tp 0 = 0 und die Gleichungen 1. und 2. gehen nach Unterdrückung der selbstverständlichen gemeinsamen Wurzel p. = 0 in die linearen Gleichungen über 2.F-t- /• p. = 0, 2 9 = 0 , -+-/io' U 2 ^~/su' U 3 +/i»''h 1 + 9% o’ U 2 ?3o' U 3 ■+■ ?40 >U 4 ■ wobei 380 Analytische Geometrie. Tangirt 7’ 0 die abwickelbare Fläche, so ist die Grenzfläche von der III. Kl. und hat die Gleichung p — / = 0 . Eine abwickelbare Fläche III. Kl. wird von einer die Fläche nicht berührenden Ebene in einer Curve III. Kl. geschnitten; diese Curve hat eine Doppeltangente, d. i. eine Tangente, welche die Curve in zwei getrennten Punkten berührt, und durch deren Punkte (ausser der Doppeltangente selbst) nur eine Tangente der Curve geht. Die Sätze über Curven III. Kl. mit einer Doppeltangente lassen sich daher auf die abwickelbaren Flächen III. Kl. übertragen*). *) Ueber Raumcurven dritter Ordnung und abwickelbare Flächen dritter Klasse vergl. u. A.: v. Drach, Einleitung in die Theorie der cubischen Kegelschnitte; Schloe.mii.ch, Kahi. und Cantor, Zeitschr. für Math. u. Phys. -Jahrgang 12, Supplementbd. (1867). Differentialrechnung, bearbeitet von Dr. Richard Heger, Gymnasiallehrer u. a. o. Hon.-Professor am Kgl. Polytechnikum zu Dresden. § 1. Einleitung. 1. Wenn eine Grösse y von einer veränderlichen Grösse x abhängt, so dass verschiedene Werthe von x im Allgemeinen verschiedene Werthe von y verursachen, so bezeichnet man j» als eine Function der Veränderlichen x. Da y sich mit x ändert, so ist auch y eine veränderliche Grösse; weil die Werthe von y von den Werthen der Grösse x abhängen, so bezeichnet man y als abhängige Veränderliche im Gegensätze zu der unabhängigen Veränderlichen x. Wir beschränken uns bis auf Weiteres darauf, Functionen realer Variabein zu betrachten. Wenn man nur die Thatsache ausdrücken will, dass y eine Function von x ist, ohne die Art der Abhängigkeit anzugeben, so bedient jhan sich der Bezeichnung y = f(x)\ verschiedene Functionen kann man 'durch Wahl eines andern Buchstabens oder durch Indices unterscheiden F(x ), f(x), ).. die Werthe, welche /(x) annimmt, wenn man die Variable x durch die besonderen Werthe 0, 1, 2, 5, 2 c, «6 -t- b ersetzt. 2. Nimmt die Variable "x um einen Betrag Ax*) zu, so wird y um einen positiven oder negativen Betrag zunehmen, den wir mit Ay bezeichnen wollen; dann hat man also y = /(x) , y -+- Ay = /(x + Ax). Hieraus folgt durch Subtraction A y - f{x + Ax) — f{x) . Wenn Ax mehr und mehr abnimmt, und der Grenze Null sich nähert, so nähert sich im Allgemeinen auch A.y der Grenze Null. Soweit dies der Fall ist, soweit also einem unendlich kleinen Zuwachse Ax der Veränderlichen ein unendlich kleiner Zuwachs Ay der Function entspricht, heisst y eine stetige Function von x. *) A^r ist hier ein einheitliches Zeichen; die Verwechselung mit dem Produkte aus x und einem Faktor A ist nicht zu befürchten, da von einem solchen Faktor nicht die Rede ist. 382 Differentialrechnung. Ist z. B. fix) = x 2 , so ist f{x + hx) = x 2 -+- 2xhx -+- hx 2 , und daher Aj v = 2xhx -I- hx 2 . Für alle endlichen Werthe von x wird dieser Ausdruck verschwindend klein, sobald hx verschwindet; daher ist x 2 (und allgemein jede Potenz von x mit positivem F.xponenten, wie man mit Hülfe des binomischen Satzes leicht nachweist) für alle Werthe der Variabein eine stetige Function. Ist ferner f(x) = sinx*), so ist fix -)- hx) = sin (x -+- hx) = sinx cos hx -+- cos x sin hx . Daher ist hy = sinx [coshx — 1) -+- cosx sinhx. Wird hx verschwindend klein, so verschwinden coshx — 1 und sinhx, also auch hy. Hieraus folgt, dass sinx für alle realen Werthe von x eine stetige Function von x ist. Anders verhält sich die Function fix) 1 Man erhält f{x -+- hx) = 1 : (a x — 2 - hx — 2 ) hy = 1 1 und daher hx x hx — 2 x — 2 (x -y- hx — 2) (x — 2)' Wenn hx verschwindet, so geht der Nenner in den Werth ( x — 2) 2 über. So lange x von 2 verschieden ist, ist dieser Nenner von Null verschieden; da nun der Zähler hx verschwindet, so verschwindet auch hy. Für alle von 2 verschiedenen Werthe von x ist also die Function 1 : (a; — 2) stetig. Für x = 2 werden aber, wenn hx verschwindet, Zähler und Nenner von hy zugleich Null; für einen Werth von x, der um einen verschwindenden Betrag kleiner als 2 ist, hat 1 : (x — 2) einen verschwindend kleinen negativen Nenner, ist also von unendlich grossem negativen Werthe; setzt man hingegen für x eine Zahl, die um verschwindend wenig grösser ist, als 2, so ist der Nenner von 1 : (x — 2) verschwindend klein und positiv, also hat fix) einen unendlich grossen positiven Werth. Die Function 1 y x — 2 erleidet daher an der Stelle x = 2 eine Unterbrechung der Stetigkeit, indem für x = 2 die Function von — <« zu + « überspringt. . « 3z: 5i 7n Die Function y = tangx wird an den Stellen x — , -x- , unstetig, denn an diesen Stellen springt y von -(-'00 auf — 00. Die Function y = (— d) x , wobei unter a eine positive Zahl verstanden werden soll, hat für x = 0 den Werth y = \ und für x = 1 den Werth y = — a. Bezeichnet n eine Primzahl (die wir uns beliebig gross denken können), und giebt man der Variabein x der Reihe nach die Werthe • 1 2 3 4 n — 1 71 ’ n ’ n ’ n ’ n ’ so erhält y der Reihe nach die Werthe *) Unter x soll hier nicht ein Winkel, sondern der Arcus eines Winkels verstanden werden, d. i. der Bogen, der vom Scheitel eines Winkels aus zwischen den Schenkeln beschrieben ist und die Längeneinheit zum Halbmesser hat’; ist

1 -El/ v m ) m ( m + i) Wenn daher tu die Reihe der ganzen Zahlen durchläuft, so wächst der Ausdruck 0 + i) unaufhörlich. Für tu = 1000 erhält man mit Hülfe siebenstelliger Logarithmen (1,001)1«» = 2,7171, also ist lim (l -+- 0“> 2,7171. Entwickelt man ferner (1 -+- —^ nach dem binomischen Satze, so erhält man V rn) 1 m{m — 1 ) 1 m (m — 1 ) (m — 2 ) 1 T + 1-2-3 m* + ' ' ' 0 - iX 1 -+- m •-F m 1 • 2 .,T ;)( 0 0 TT) 1 § I. Einleitung. 3«7 Ersetzt man jeden Klammerinhalt durch die Einheit, so wird der Ausdruck vergrössert und man erhält /, 1Y* 1 ( 1 H-) < 1 -+- 1 -t- s -t- \ mj 1-2 1 1 1 - 2 • 3 H “ 1 • 2 • 3 . . m Nun ist 1 7 . .m. 7>«-6 ) ’ 1-2-3-4-5-6 1-2 ..m 1 - 2-3 *4-5 - 6 < 1-2-3-4-5-6 Geht man hier zur Grenze für ein unendlich wachsendes m über und beachtet, dass lim ( 1 7 5 so erhält man schliesslich < 2 - 1 - 1 1 1 72Ö ' 6 ’ 1 1-2-3 + 1-2-3-4 d. i. < 2,7183. 1 -2-3-4- 5 t ~ Wenn also <0 die Reihe der ganzen Zahlen durchlaufend unendlich wächst, so nähert sich ^1 -t- einem Grenzwerthe, der zwischen 2,7171 und 2,7183 liegt. Dieser Grenzwerth wird mit e bezeichnet. Durch spätere Untersuchungen werden wir Mittel gewinnen, e bis zu jedem verlangten Genauigkeitsgrade mit leichter Mühe zu berechnen; wir werden dann finden, dass e bis auf 13 Zifferstellen genau den Werth hat e = 2,718281828459 . Ist m keine ganze Zahl, sondern zwischen den ganzen Zahlen p und p -+- 1 gelegen, so dass m = p r , wo r einen echten Bruch bezeichnet, so ist offenbar Diese Ungleichung lässt die Schreibweise zu P+ 1 - (1 - r) p -+- 1 , oder Wächst m unendlich, so wächst auch p unendlich und die Brüche r : p und (1 — r )'• (p + 1) convergiren gegen den Grenzwerth Null; die beiden äussersten Glieder convergiren daher gegen den Grenzwerth e, folglich auch das mittlere Glied. Ist m eine negative Zahl, etwa m — — n, so hat man Geht nun m zur Grenze — 00 , so wird n = -+- 00 ; da nun dabei 1 : (n — 1) zur Grenze Null übergeht, so sieht man, dass auch für einen negativ unendlichen Werth von w,— d. i. für jeden unendlichen Werth von iu die Gleichung gilt 4 . 25 388 Differentialrechnung. Setzt man u> = 4, so ist 8 eine zur Grenze Null abnehmende positive oder o negative Grösse, und man hat daher für ein verschwindendes 8 l 5. lim (1 -(- 6) 5 = e. B. Ist 0 eine bis zur Grenze Null abnehmende Grösse, so hat auch die Differenz 8 = — 1 die Null zur Grenze. Geht man in 5. zu den Logarithmen (für eine beliebige Basis) über, so erhält man log{ 1 -+- 8) 6. lim —-- g - 1 = löge . Ersetzt man hier 8 durch a 6 — 1, so entsteht lim ^ = loge> a 6 — 1 und hieraus ergiebt sich 7. lim - 1 loga 1 log e a loge ' C. Ist a die Basis der Logarithmen, so hat man identisch (i + sy — i aii/v(i+8) — i iog{ i -+- s) 8 = v-log( 1 + 8) 8 Geht 8 zur Grenze Null, so convergirt auch log( 1 8) gegen die Grenze Null; daher folgt aus 6. u. 7. ^ ■ a löge • p., mithin 6 8 . lim a löge (1 4- 8y - 1 |A. D. Aus der Trigonometrie ist bekannt, dass für Bogen des ersten Quadranten sin 8 < 8 < tango. Hieraus folgt weiter 1 1 «j8 > T > sin 6 8 sin 8 ’ sin 8 1 > -r- daher ist > cos 8. Geht 8 zur Grenze Null über, so wird cos 8 = 1; hieraus folgt der Grenzwerth . sin 8 hm —g— = 1 . § 2. Differentiation einfacher Functionen. 1. Ist a eine constante, also von x unabhängige Grösse, so erfährt sie durch Aenderung des x keinen Zuwachs und man hat daher da dx = 0, wofür man auch schreibt da = 0 . Der Differentialquotient einer Constanten ist Null. 2. Ist y — a + x, so ist Aj y a -(- x + hx — (a + x) hx hx 1 § 2. Differentiation einfacher Functionen. 389 Daher ist auch d(a -t- x ) dx Für y = a — x hat man A y a — x — Ax Ax = 1 , d(a -+■£) = dx . (a -t- x) Ax Ax Ax ’ daher ist d(a — x) dx — — 1 , d(a — x) — — dx . aAx Ist ferner y — ax, so erhält man Ay a(x — Ax) — ax Ax Ax Hieraus ergiebt sich Ax = a , d(ax) = adx . Bei der Bildung des Differentialquotienten von a -+- x, a — x und ax ist ein Grenzübergang nicht nöthig, denn in allen drei Fällen ist der Differenzquotient constant, und daher gleich dem Differentialquotienten. Anders in den folgenden Fällen. 3. Für die Function y = — ergiebt sich ^ - -- ) : A* = — Vy~ • Ax l# -f- A# x J (x Ax)x Geht man zur Grenze über, so entsteht hieraus dl) dx ■ < (i) dx 4. Der Differentialquotient einer Potenz ergiebt sich folgendermaassen K Ax\»‘ 1 Ax 1 + - l \ 1 ir- d(x m ) (x Ax) m — x m = lim — — dx """ Ax Da Ax: x mit Ax verschwindet, so ist (§ 1, 6, C) und daher schliesslich K AxX™ 1 A* 1 + T) ~ = m ’ d(x m ) = mx m ~ 1 , dx d(x m ) = mx"‘^ l dx. Daher ist z. B. d(x*) = 2xdx, d(x 3 ) = 3x*dx, d(x*) = ix 3 dx, - ' (Ji) = = - 2x~»dx, d Qy) = - Ji dx, d ^ dx . ..., ./ 1 i_i . dx dVx = dixty = -irxi x dx = - - t _ , r 2 2 yx df/x dx -L = d{x^) = dx ’ “V* ~ v ~ 7 %Yx 3 5. Differentiation der Exponentialgrösse a x . d(a x ) , a x+lix — a x = hm -;- dx Ax a x lim- a ^ x — 1 Ax Nach § 1, No. 3, B. ist lim- a Ax — 1 Ax loga löge' daher folgt 39 ° Differentialrechnung. d(a x ) log a dx löge Man hat die irrationale Zahl e als Basis eines Logarithmensystems gewählt und nennt diese Logarithmen die natürlichen Logarithmen; die Logarithmen im System mit der Grundzahl 10 heissen gegenüber den natürlichen die gemeinen Logarithmen; als Zeichen für den natürlichen Logarithmus gilt ein vor den Numerus gesetztes l, so dass also la = e loga , le — 1 . Hiernach hat man einfacher d (a x ) dx Insbesondere ist d(e*) la ■ a x , d(a*) = la ■ a x dx . dx - - e x , d{e x ) — e x dx . 6. Differentiation des Logarithmus. Ax) d log x log (x — -= hm -t— dx ax = lim log 1 -+- Nach § 2, No. .3, B hat man lim log ^ 1 \x logx \ , x -= h m^ x log - x ) und daher x) =l °S e ’ d logx dx löge 1 d log x = log e dx Insbesondere folgt für den natürlichen Logarithmus dlx 1 dx ~~ x ' 7. Differentiation von sinx. dlx = dx dsinx sin (x -+- Ix) — lim -- dx Ax. Nach der bekannten goniometrischen Formel sin a — sin ß = 2 cos\(g. -+- ß) sin — ß) hat man sin (x -+- Ix) — sin x 2 cos (x + Ax) sin^Ax Ax Ax cos(x 4 - ^-Ax) sin^Ax i^x Wenn Ax sich der Grenze Null nähert, so nähern sich cos(x -+ Ajc) und sin\ Ax:^Ax den Grenzen cos x und 1 (§ 1, No- 3, D) und es ist daher d sin x dx = cos x , d sin x = cos x • dx . 8. Differentiation von cosx. d cos x cos (x A x) — cos x — _ [ im -i---. dx Ax Nach der Formel cos a — cos ß = — 2««.V(a -+- ß)«Vz^(a— ß) hat man § 2. Differentiation einfacher Functionen. 391 cos (x - 1 - Ax) — cos x 2 sin^(x + Ax) ■ sini^Ax sin(x -+- ^Ax) sin\Ax Ax Ajc %Ax Geht Ix zur Grenze Null über, so erhält man hieraus d cos x = — smx , dx 9. Differentiation von tangx . d tang x dx . tang (x lim -— d cosx = — sin x dx . Ax) — tangx Ax Man hat tang a — sin a sin 3 sin a cos 3 — cos a sin f tang 3 -- —5 =--- 5 - t 1 cos a cos ß cos a cos ß sin (a — ß) cos a cos Hieraus folgt tang [x Ax) — tang x 1 sin Ax Ax cos (x -+■ Ax) cos x Geht man zur Grenze über, so folgt d tang x 1 . . dx Ax d tang x == dx cos 2 x ’ 10. Differentiation von cotx. Wendet man die Formel (No. 3.) '(7) - - £ auf den Fall z = tangx an, so erhält man zunächst \tang xJ d tang x tang 2 x cos 2 x dx sin 2 x cos 2 x ' , also nach No. 9 Ersetzt man nun links 1 : tangx durch cotx, so folgt dx d cotx 1 dcotx - — sin 3 x ’ dx sin 2 x 11. Differentiation von secx. Man erhält d cos x sin x dx d sec x = d (—-—) = — \cos x) cos 2 x folglich ist , sm x , dsec x = — 5 — dx , cos 1 x d sec x sin x dx cos 3 x 12. Differentiation von coscx. Hierfür ergiebt sich / 1 \ d sinx cos x dx d cosc x = d \ —.— ) =-r-s— = \smx/ sm 1 x stn‘ x also d coscx = cos x dx d cosc x cos x sin 1 X ’ dx sin‘ x 13. Differentiation Are sin x. Unter Are sin x versteht man den Bogen dessen Sinus die Grösse x hat. Da der Sinus eines Bogens nicht kleiner als — 1 und nicht grösser als + 1 sein kann, so folgt, dass die Function Are sinx nur eine Bedeutung hat, so lange x den Spielraum innehält*) — 1 <* < + 1 . ^ Es giebt unzählige Bogen, die einen gegebenen Sinus haben; die Function *) Später, bei der Einführung complexer Werthe der Functionen und complexer Variabein wird die Definition von Are sinx so erweitert werden, dass die Function für alle Werthe von x eine Bedeutung hat. 392 Differentialrechnung. Are sin x ist also eine unendlich vieldeutige Function. Einer der Bogen, deren Sinus gleich x ist, liegt zwischen — und -+- ^tz', diesen besonderen Bogen wollen wir mit arc sin x bezeichnen, so dass also — < arc sin x < -+- ^-ir. Die Function arc sin x ist eine eindeutige Function von x\ aus ihr erhält man den innerhalb des zweiten oder dritten Quadranten enthaltenen Werth von Arc sin x tz — arc stn x , und aus arc sin x und it — arc sin x alle möglichen realen Werthe von Are sin x durch Addition und Subtraction einer ganzen Anzahl von Peripherien, so dass arc sin x -+- 2/fcir, tz — arc sin x -+- 2kzz , wobei k eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Aus der Formel (No. 7) d sin

- ^ (1 — X )2 Da nun d( 1 — x n ) = — dx H = — nx n —^dx, und d{ 1 — x) — — dx, so ist - (1 - x) • 1lX n -1 (1 — x n ) dx = — — nx K ~- l-H nx H +1 — x n (1 - a)» 1 — «a* —1 -t- (n — 1) x n dx dx . Da nun aber bekanntlich 1 — x n 1 x (1 -*) 2 1 -+- X -+- x' 2 -h X* ■+■ ... + X H , so ist auch 2 . 1 -t- 2x -+- 3x 2 + nx :«-!. Vergleicht man 1. und 2., so findet man die Summenformel . 1 — nx *— 1 -+- (n — 1) x n 1 -H 2 a-’ 3 a*® — nx tl ^ ^ ^2 > dieses Resultat kann man leicht durch Ausrechnung des rechts stehenden Quotienten prüfen. 1: Differentiation der Function einer Function. Ist u eine Function von x, und y eine Function von u, so dass man hat y = F{u), u = f{x) , so ist y = F[/(x)\ und daher dy F[/{X -H A*)] - F[/{x)] Tx = hm - Ix -' Nun ist aber f(x Aa) = u -+- A u, daher dy dx Hierfür kann man setzen dy F(u -t- Au) — F(u ) _ hffl - t -. dx Aa dy F{u + A u) — F{u) A u dx lm A u Aa' Dies ergiebt als Regel zur Differentiation einer Function von einer F unction dy dF(u) du dx du dx Zur Anwendung berechnen wir den Differentialquotienten von arc cot x. Der Arcus, dessen Cotangente gleich a, hat eine Tangente vom Betrage 1 : a, also hat man 1 arc cot x = arc tang — . Setzt man nun 1 : x = u, so kann man die vorige Formel verwenden, indem man F(u) durch arctangu ersetzt; man erhält zunächst darc cotx d arc tang u du dx du dx ’ 396 Differentialrechnung. Nun ist bekanntlich d arc lang u 1 1 -I- x 2 du 1 -7- = d— : rbx) = bdx, so folgt b dx dl{a + bx)^-^j- x . § 3- Differentiation zusammengesetzter und unentwickelter Functionen. 397 1 “I“ X E. Differential von / --. Man hat 1 — x „1 -+- * . dx dx dl j j_- x = dl(\ -h x) — dl(l — *) = + j _ x , daher dl 1 + * 2 dx 1 — x 1 — x 2 F. Differential von l(x -+- Yi -+■ x 2 ) . ,,, /,-ÖN d{x -h l/l -+- X 2 ) 1 dl(x -+- yi ■+■ x 2 ) = —- ''-===■ = r ' x + yT ■ -» X -h j/l + x a ■ -+- z/ x 2 ). Da nun d~\f 1 — = — 1 d (I H-jc 2 )_ 2xdx x dx dx -+- d % y\ x 2 2yTT? yi + x 2 ’ r -r (, x \ , Vl -hx 2 -+- X yl-hx 2 — ( 1 H- t.--". I dx = -— . — v j/T+iv 2 ) yi + x 2 so ist dx. Setzt man dies oben ein, so erhält man dl(x -h ]/1 -+- x 2 ) = G. Differential von dx YT ya bx 2 ' d ( — , ~ ) = — (Y a + b xi ' dx — xd 1 la -h bx 2 ); \|/a -+- bx 2 ) a + bx 2KY Y >' nun ist d^a -+- bx 2 = bx dx -; folglich ist |/a -h bx 2 Ya -t- bx 2 ■ dx — xdya -|- bx 2 = ( j /a -t- bx 2 — . . j g x — _J r v yiTJx 2 ) y a Also folgt adx bx 2 d- adx ya + bx 2 y(a -+- bx 2 ) 2 H. Differential von xlx — x. d (xlx — x) = x d Ix -+- lx-dx — dx dx = x • —— h Ix dx — dx\ folglich ist d (xlx — x) = Ix ■ dx . I. Differential von Isinx und Icosx. , . d sin x cos x , . dl stn x = —:- = —:— dx, d. t. sm x stnx dl sin x = cot x ■ dx. d cos x dl cos x cos x K. Differential von Itangx. dtangx d Itangx = = — tangxdx. dx dx tang x cos 2 x tang x sinx cosx „ 2 dx dl tang x--^. Setzt man 2x = u, so ist 2 dx = du, und man erhält u du dl tang -JT = —— . ° 2 sm u L. Differential von Icotx. Da Icotx = /(I itangx) = — Itangx, so ist auch , also 39» Differentialrechnung. dl cot x = — 2 dx sin2x' Tt 7 ZU Setzt man — — 2 x = u, so ist du = — 2ffx, sinlx = «tra, und x = -j — ^ daher erhält man dl cot (M Da cot (H = (i + “) , so kann man hierfür auch schreiben ( TT »\ du 4^2 J cos u' dl fang | 9. Differentialquotient unentwickelter Functionen. Wird die Abhängigkeit der Grösse y von der unabhängigen Veränderlichen x durch eine Gleichung hergestellt F{x, y) = 0, und ist wieder y Aj> der Werth der abhängigen Veränderlichen, welcher dem Werthe x -+- Ax der unabhängigen entspricht, so ist auch F{x -+- Ax, y A_y) - 0. Daher ist F(x ■+■ Ax, y + A y) — F(x, y) = 0. Diese Gleichung kann man durch folgende ersetzen Fix ■+- Ax, y -+- A y) — F{x -+- Ax, y) A y F{x -4- Ax, y) — F(x, y) A y Ax Ax in welche der Quotient A y : A x passend eingeführt ist. Geht man zur Grenze für verschwindende Werthe von Ax und A y über, so erhält man zunächst 0 , dy F(x-h Ax, y + lsy) — A(x- 4 -Ax, y) 1. -j— • lim -;- dx isy ■ lim F(x + Ax, y) — F(x, y) = 0 . Nach der ursprünglichen Definition des Differentialquotienten ist der erste Grenzwerth, wenn man zunächst nur Aj; verschwinden lässt, der Differentialquotient der Function F(x + Ax, }>), wenn man in dieser Function bei dieser Differentiation nur y als Variable, x dagegen als Constante betrachtet. Um an diese Voraussetzung zu erinnern, wollen wir diesen Differentialquotienten durch den Buchstaben c (statt d) auszeichnen, und haben daher F(x -t- Ax, y -I- A_y) — F(x Ax, y) c F(x -+- Ax, y) lim A y by Lässt man nun auch Ax verschwinden, so erhält man F(x -l- Ax, y + A y) — F{x + Ax, y) cFix, y) A y ~~ dy ' lim Der zweite Grenzwerth in 1. ist der Differentialquotient von Fix, y), wenn man nur x als variabel betrachtet. Wir bezeichnen denselben mit c Fjx, y) by ’ und erhalten daher schliesslich aus 1. die Gleichung dF{x, y) dy i bFix, y) dx + 0. cy äx cx iese Gleichung liefert den verlangten Differentialquotienten dy = _ «Fix,j) . cFjx, y) dx cx ' by § 4' Differential einer Function mehrerer Variabein. 399 Die Grössen dFjx, y) und dF(x, y ) dx “““ dy nennt man die partialen Differentialquotienten der Function F(x, y) nach x bez. nach y. A. Ist z. B. F(x,y) = b 2 x 2 ± a 2 y 2 — a 2 b 2 = 0, so ist = 2b 2 x, = =fc 2a 2 j, und daher -r- = a 2 _y' folglich 2a: " cy B. Ist F{x, y) - Ax 2 ■+■ 2Bxy + Cy 2 -+- 2 Dx -+- 2 Ey -+- F — 0, so ist 8 F(x, y) dy dy Ax -l- By -t- D dx Bx -+- Cy -+- E' x siny = 0 ist dFix, y) —= 2 Ax -+- 2By + 2 D, = 2Bx -h 2Cy -h 2£, folglich Bx C. Für F (x, y) — y cF d~x = - Smy ’ d JL __ _ dx 1 — x cosy ‘ D. Aus F {x, y) = x>‘ — y x folgt cF dF ~ =yxy~ t — y x ly> ^ = x y lx — xy x ~ 1 , cF , g- = 1 —xcosy, siny dy dx y x ly — y xy — 1 — xy x — 1 ' § 4. Differential einer Function mehrerer Variabein. 1. Unter den Functionen mehrerer unabhängigen Variabein sind die Functionen zweier Variabein am leichtesten zugänglich, weil sie am leichtesten anschaulich gemacht werden können. Sind x, y zwei unabhängige Variable, und ist z die abhängige, so dass z = f{x,y), so lehrt die analytische Geometrie des Raumes die Variabein x und y als Coordinaten eines Punktes P der horizontalen Ebene eines rechtwinkeligen Coordinatensystems zu betrachten, und z als die parallel der Z -Achse gemessene Ordinate eines zum Grundriss P gehörenden Raumpunktes P. Durchlaufen nun x und y alle möglichen realen Werthe, so beschreibt P' die ganze Horizontalebene, und P beschreibt eine durch die Gleichung z — f (x, y) charakterisirte Fläche, durch welche die Function f(x, y) geometrisch dargestellt wird. Es sei P ein Punkt der Fläche z — fix,y), und OA = x, AP =y,Y P'P— z. Wächst x um A x — AB, (M. 474.) während y unverändert bleibt, so bewegt sich P parallel der Af-Achse bis zu P x ', und man hat Az FP 1 fix + Ax, y) —fjx,y) Ax PE Ax Der Grenzwerth dieses Differenzquotienten Az : Ax, der unter der Voraussetzung gebildet wird, dass y dabei als constant gilt, ist der partiale Differentialquotient von z in Bezug auf x (oder kürzer »von z nach x «); er ist die 400 Differentialrechnung. trigonometrische Tangente des Winkels, den die Tangente der Curve PP j im Punkte P mit der A-Achse bildet. Aendert sich y um Ay — CD, während x constant bleibt, so beschreibt P eine Bahn auf der Fläche, die mit der FZ-Ebene parallel ist, und man hat, wenn man die jetzt eintretende Aenderung von z mit A t z bezeichnet. djZ Ay PP , fix, y-h Ay) —f(x,y) PP Ay Der Grenzwerth ist der partiale Differentialquotient von z in Bezug auf y; er ist die trigonometrische Tangente des Winkels, den die Tangente der Curve PP S in P mit der F-Achse einschliesst. Aendem sich beide Coordinaten x und y um Ax bez. Ay, so kommen P' und P nach Pf und P v Nehmen nun Ax und Ay bis zur Grenze Null ab, so bewegt sich der zu x -h Ax und y -r Ay gehörige Punkt von P % nach P, der Weg, den er dabei auf der Fläche beschreibt, hängt davon ab, in welcher Weise Ax und Ay abnehmen, und ist unbestimmt, so lange über die Art der Abnahme von Ax und Ay nichts Näheres bekannt ist. Wenn z. B. zuerst Ay verschwindet, und dann Ax, so geht der Punkt von P s parallel zur FZ-Ebene nach P i und dann parallel der AZ-Ebene nach P, verschwindet zuerst Ax und dann Ay, so geht der Punkt von P 3 zunächst nach P 3 und dann nach P; nehmen Ax und Ay zugleich ab, so liegt der Weg des Punktes im Innern des Curvenvierecks PP X P 3 P 3 . Um einen Weg festzusetzen, auf welchem P % nach P gelangen soll, können wir den Weg vorschreiben, den die Horizontalprojection durchlaufen soll; dies geschieht, indem wir y als eine gegebene Function von x betrachten. Setzen wir y = cp [x), so erscheint z = f{x,y) als eine Function von x allein und es ist Ax, y + Ay) — / (x,y) dz fix- — = lim J —— dx Ax Hierfür kann man wie in No. 9 setzen lim f{x + Ax, y-h Ay) — fjx, y + Ay) i f{x,y-+- Ay) dies ergiebt 1 . Ax dz dfjx,y) dx dx Ay -f(x,y) fy. ' Ax’ dfjx,y) dy dy dx ' Durch Multiplication mit dx kann man dies ersetzen durch 2 . als dz = df{x,y) dx Man bezeichnet die Ausdrücke df{x,y) dx dx und _ g / (*>■?) dy sfi x , y) dy. dy dy die partialen Differentiale von z; es sind dies die unendlich kleinen Aenderungen, welche z erfährt, wenn nur x oder nur y sich um unendlich wenig ändern. Der Ausdruck dz, der die verschwindend kleine Aenderung von z angiebt, welche durch verschwindend kleine Aenderungen beider Variabein erzeugt wird, heisst das totale Differential von z. Man erhält somit den Satz: Das totale Differential einer Function zweier Variabein ist die Summe ihrer partialen Differentiale. Der Sinn der Gleichung dz = • dx -P —■ • dy dx dy ist folgender: Je näher die Veränderungen Ax und Ay der Grenze Null kommen, § 4' Differential einer Function mehrerer Variabein. 4öi 11 m so genauer stimmt die zugehörige Veränderung von z mit dem Ausdrucke überein df . df . 5 — Ax -+- k— ■ Ay. dx cy J Die Grenzwerthe der Verhältnisse zusammengehöriger Veränderungen von x, y, z ergiebt die Proportion (df df \ dz : dx : dy = dx -+- ^ dyj : dx : dy. 2. Ist y eine Function dreier unabhängigen Variabein x x , ,x 2 , x 3 , so kann man zunächst x :t als Function von x 2 betrachten und nun nach dem Vorhergehenden das totale Differential von y finden. Richtet man dann die Formeln so ein, dass die Art des Zusammenhanges von x 2 und x 3 in denselben keinen Ausdruck findet, so gelten sie unabhängig von jeder Art dieses Zusammenhanges, gelten also ohne Rücksicht auf jede Abhängigkeit von x x , x 2 und x 3 (was nichts anderes sagen will, als dass sie für jede mögliche Abhängigkeit Geltung haben). Denken wir uns x 3 als Function von x 2 , und demgemäss durch tp (x 2 ) in f ersetzt, und bezeichnen das Resultat dieser Substitution mit (/), so ist dy °tf) dx x dx 2 J d x x j-g Auf den partialen Differentialquotienten von y nach x x hat es keinen Einfluss, ob man sich x :i mit x 2 verbunden denkt oder nicht, da bei dieser Differentiation beide Grössen als Constante betrachtet werden; daher ist d(f) = cf_ dx x dx j' Für ergiebt sich durch Anwendung der Formel (Nö. 1, 1) Hf) d X« iz dXr, ll dx« dx 3 dx« Setzt man diesen Werth in 1. ein und beseitigt den Divisor dx 2 , so erhält man df(x x , x 2 , x 3 ) = Nimmt man an, die Formel df(x x 1Z cx x dx. dj_ dx „ dx« dx 3 • x„) — dx j df tv dx« dx , cx« dx„ sei flir eine bestimmte Zahl n bewiesen, so gilt auch die Formel df (x x . . X H , Xn+\) == fff dx 1 “P Wx~ ' 1 Denkt man sich bei einer Function von (n ■ 2 . dx n -i r \. d x n -)-i 1) Variabein zunächst noch x n+ i abhängig von x n und ersetzt dementsprechend x n+ \ in der Function f durch x„, so erhalte man hierdurch die Function (f). Man hat dann 3. «Z= dx x -t- d(f) dx« Hf) d x n dx.i Für die partialen Differentiationen nach x x , x 2 , x 3 ist es gleichgültig, ob x„ und x„ + i abhängig von einander sind oder nicht; also kann man hier überall (f) durch f ersetzen. Für den letzten Differentialquotienten von (/) erhält man nach No. 1,1 d(f) df df dx „+1 dx t i d x.i dx K+ \ d x n ScHLOKMtixfi, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 26 402 Differentialrechnung. 4. Setzt man dies in 3. ein, so erhält man M~ t dXi + + iXn + x - Gilt also die Formel für das totale Differential bei einer Function von n Variabein, so gilt sie auch bei n + 1 Variabein. Da sie nun bei drei Variabein gilt, so gilt sie allgemein. 3. Ist y eine Function mehrerer Variabein x x , x 2 , x 3 , . . x n , y = / 0*i. x v . . . x K ), und sind diese wieder Functionen einer unabhängigen Variabein t, = wobei die Ci gegebene Gonstante sind, so sind die Xj nicht mehr variabel, sondern diese n Gleichungen werden nur durch eine beschränkte Anzahl bestimmter Werthsysteme von x x , . . . x „, den Wurzeln des Systems 1 ., erfüllt. Da mit den Gleichungen 1. eine Variabilität der Grössen x t , x 2 , . . x„ nicht mehr verträglich ist, so sind die Gleichungen f x , dx x -F / 12 dx 2 -F . . . -t- f x „ dx„ = 0 , dx x -F _/*22 dx k ^ —t - . . • -F J 2 u dXn 0 , J «j dx x -F f n 2 dx 2 ~F . • • I J «« dXn — 0 nur durch die Werthe dx x = dx 2 = dx 3 = . . . dx„ = 0 zu befriedigen. Hieraus folgt, dass die Determinante f \ 1 f \ 2 • ■ ■ f\ n j_ /21 fm ■ ■ ■ fi« fn 1 fn 2 ■ • • fn n | von Null verschieden ist. Diese Determinante, deren Zeilen von den partialen Differentialquotienten der Functionen , f 2 , . . f„ gebildet werden, heisst die Functionaldeterminante der Functionen f x ... f„. Wir haben daher den Satz: Wenn durch die Gleichungen f x = c x ,f i = c 2 , . . f„ = c„ die Grössen x x , x it x 3 , . , . x„ bestimmt sind, so ist die Functional- 26* 404 Differentialrechnung. determinante der Functionen f x , f 2 , . . . nicht identisch gleich Null. Wenn die Functionaldeterminante J identisch (d. h. unabhängig von den Werthen der x x , x 2 , . . x „) verschwindet, so sind die in Bezug auf die Unbestimmten dx j, dx 2 , . . dx„ linearen Gleichungen 1. nicht unabhängig von einander; es ist entweder eine Gleichung eine Folge der übrigen, und dann kann man («—1) der Grössen dx j, dx„, . . . durch die n te ausdriicken, so dass alle « unbestimmt bleiben, aber ihre Verhältnisse bestimmt sind; oder zwei der Gleichungen 1. folgen aus den übrigen, und dann kann man (»—2) der Grössen dx x . . durch die übrigen beiden ausdriicken, u. s. w. In diesem Falle haben die Verhältnisse der die Gleichungen 1. befriedigenden Grössen bestimmte oder nicht völlig bestimmte Werthe; die Grössen x x , x 2 , x.j, . . . 'x„ sind alsdann trotz der n Gleichungen f x = / 2 = • = /» = 0 noch variabel. Hieraus folgt weiter, dass in diesem Falle diese Gleichungen 1. die Grössen x x , ... x n nicht völlig bestimmen, dass also zwischen den Functionen f lt f 2 , ... f„ eine oder mehr als eine Gleichungen bestehen, welche die Grössen x x , . . x„ nicht expli- cite enthalten, die also von der Form sind F(fi, A, /», •■•/«) = 0 , so dass in Folge dieser Gleichungen eine oder mehr als eine der Functionen f t , f 2 , ... f„ einen constanten Werth für alle diejenigen Werthsysteme der x x , x 2 , . .x u erhält, welche den übrigen Functionen /,• constante Werthe ertheilen. Wir erhalten somit: Die ausreichende und nothwendige Bedingung dafür, dass »Functionen f x , f 2 , f 2 , . . . f n von »Variabein x x , x 2 , x 2 . . . x u nicht unabhängig von einander sind, ist das identische Verschwinden ihrer Functionaldeterminante*) /■= fl 2 f\\i * ‘ f %3 ‘ ' ■ ■ f 3 » = 0, f 0// Jik ~ dx k fn 3 ' ' • ♦ fnn 6 . Aus dem bisher Mitgetheilten ergiebt sich leicht, wie man das totale Differential einer unentwickelten Function mehrerer Variabein zu bilden hat. Ist nämlich die Abhängigkeit der Grösse y von den unabhängigen Variabein x x , ... x„ durch eine Gleichung gegeben *(y, . . . Xtd) — 0 , so folgt, wenn man der Reihe nach nur eine der Unabhängigen verändert, die andern aber unverändert lässt = 0 . dy cF cF cy dF _ dF dy cF dx j dx j ’ cy dx 2 dx 2 ’ ■ ■ ■ • ßy cx„^~ 8x„ Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit dx x , dx 2 , dx. A , . . dx„ und addirt, so erhält man SF cy cF r&-dx x - cy \gx j 1 cy d x 9 cy dx n dF dx cP . fj—Mj dF dx H = 0 . c X 2 ' ' dx„ "J cx^ 1 CX 2 * tix„ Der Klammerinhalt ist das totale Differential der Function y; daher ist dasselbe aus der Gleichung bestimmt cF dF cF - dy + -r — dx. + ^- dx 2 cy dx x 1 dx 2 1 dF C Xji dx,,. = 0 . *) Vergl. u. A. Bai.tzer, Theorie und Anwendung der Determinanten. 4. Auflage. Leipzig 1875, § I2 - § 4- Differential einer Function mehrerer Variabein. 4°5 7. Wir erläutern den Inhalt dieses Abschnitts an einigen Beispielen. A. Ist 2 — ax 2 4 - ßy 2 , so ist die zu dieser Gleichung gehörige Fläche ein elliptisches oder ein hyperbolisches Paraboloid, je nachdem a und ß gleiche Zeichen haben oder nicht. Die partialen Differentialquotienten von z ergeben sich zu Cz äZ = 2a*, dz = 2ßj, dx ’ dy also folgt das totale Differential dz = 2a x dx -+- 2 ßy dy . B. Ist z = f{x, y), und kommen * und y in f nur in der linearen Verbindung a* 4 - ßy 4- 7 vor, so kann man, wenn man ax j- ßy -h y = u setzt, f zunächst als Function von u betrachten, und hat demnach cf cf du cf df du dx du dx’ 8y du dy' Hieraus folgt weiter df du df du dz = —; • —dx -t- • dy, und mithin du du dx df (du dz = -r- I — dx -t- du \ox oy dy )■ Der Klammerinhalt ist das totale Differential von u ; daher folgt schliesslich dz = -f- du . du • In der That ist jede Veränderung von * und y nur eine Veränderung von u, und man hätte daher vorhersehen können, dass die dadurch bedingte Veränderung von 2 nach den Regeln für das Differential einer Function einer einzigen Variabein (u) zu bilden ist. Ganz dasselbe gilt, wenn * und y in irgend einer andern, aber nur in einer Verbindung cp (x,y) in der Function /auftreten. C. Ist 2 als Function von x und y durch die Gleichung definirt {x 2 -h y 2 - 1- z 2 ) 2 — {a 2 x 2 -+- b 2 y 2 4 - c 2 z 2 ) = 0 so hat man, wenn man die linke Seite mit f abkürzend bezeichnet d _f cx d[(x 2 4 - y 2 4 - z 2 ) 2 ] b(x 2 4 - y 2 -+- z 2 ) d(a 2 x 2 4 - b 2 y 2 4- c 2 z 2 ) d(x 2 -+- y 2 4 - 2 2 ) cx = 2(* 2 -h y 2 4- z 2 ) ■ 2* — 2 a 2 x = 2*[2(* 2 dx z 2 ) - In gleicher Weise ergeben sich °J- y = 2j[2(* 2 4- y 2 4- z 2 ) — ^ 2 j, °^ z = 22[2(* 2 + y 2 + z 2 ) — c 2 }. Daher hat man schliesslich zwischen den Differentialen dx, dy, dz die Gleichung *(2 r 2 — a 2 ) dx -\- y if,r 2 — b 2 ) dy 4- z (2 r 2 — c 2 ) dz = 0 , wobei zur Abkürzung x 2 4 - y 2 4 - z 2 = r 2 gesetzt worden ist. 8. Ist / eine Funktion von *, y, z, und ersetzt man diese Variabein durch u = ax + by-\-cz, 1- v — a! x 4- b' y 4- c' z , w — a"x -4 b"y 4- c"z, so kann man das totale Differential von f durch u, v, w und du, dv, dw aus- drticken. Aus 1. folgt du = adx-\-bdy-\-c dz , 2. dv = a' dx 4- b' dy 4- c' dz , dw = a"dx 4 - b"dy + c"dz ; hieraus ergeben sich Auflösungen von der Form 4o6 Differentialrechnung. dx = a du -t- v! dv 4- a" div , dy $du 4 - ß 'dv 4- ß" dw , dz — ydu -t- y'dv -4- y" dw . cf r °f / + 3 -FT- cx 1 c y yU 1 cy rf) dv ß 1 Hieraus folgt dy c +3 -t- 3 dy r¥,- „£/ dy 4. Die partialen Differentialquotienten werden auch ohne das totale Differential erhalten. Man hat z. B. cf d f dx dfdy c f dz du dx du cy du dz du’ wobei dx : dy : dz : du durch Differentiation von 1. unter der Voraussetzung hervorgehen, dass dabei v und w unverändert bleiben; also hat man für dx : dy : dz : du die Gleichungen du — a dx -t- b dy 4 - c dz , 0 = a! dx 4- 1 V dy 4- c' dz , 0 = a"dx 4 - b"dy 4 - c"dz, aus denen man die Grössen dx:du, dy.du, dz\du berechnen und in 4. ersetzen kann. 9. Die halben partialen Differentialquotienten einer homogenen quadratischen Function dreier Variabein f = «u'H 2 ■+" 2« 12 *i* 2 4- '2a l3 x l x 3 4 - a. 22 x 2 2 4 - 2a 23 x 2 x s 4- a 33 x H 2 sind die homogenen linearen Functionen 1 c f 1 . U.. 2 ‘ dx 2 1 . of_ 2 dx. +t 2'*2 CI n 9 X «> *1 3 ,1 t Die Ausdrücke haben wir in der analytischen Geometrie der Ebene (§ 13, No. 1) die abgeleiteten Functionen der Function /genannt und mit /,,/ 2 , / 3 bezeichnet. Die Gleichung df cf „ df dx 1 1 dx 2 2 dx 3 ' 3 ’ in welcher ; 2 , laufende Goordinaten sind, lernten wir als die Gleichung der Polaren des Punktes (x lt x 2 , x 3 ) in Bezug auf den Kegelschnitt/= 0 kennen. Die Functionaldeterminante der drei homogenen quadratischen Functionen 2 ist f=a li x l 2 4- 2&12 X 1 X 2 4 -. . d ^ 3 x j C't *f III 4- 2 2 4 -. • • + ~G~ III H 4- 2c 12 x 1 x 2 4 -.. . . -y- c 33 x. I § 4* Differential einer Function mehrerer Variabein. 407 I fl /s /s j 9i 92 9s 1 4i 42 4 3 dy j x x 4- «!2 x 2 4 - dy 3 ■*3! a l 2 4- «22 x 2 4 -^ 2 ; x 3 , a 13 X 1 4 - ^23 x 2 4 - a 3 3 x s ^11 x x 4 - by g x 2 4 - h 3 X 3< ^12 x x + ^22 x 2 + ^23 Xg, by 3 Xy 4 - ^23 x 2 4 - ^3 3 x 3 C ll x x 4 - c \ 2 x 2 4 - C 1 3 X.y, C \ 2 x x + ^22 x 2 + C 2 3 x 3’ c l 3 x y 4- C 2 3 x 2 4 - ^3 3 X g Sie ist eine Function dritten Grades in Bezug auf die veränderlichen x lt x , x 3 . Wenn die drei Functionen /, cp, 4 nicht von einander abhängen, so verschwindet J nicht identisch, sondern nur für bestimmte Werthe von x lt x 2 , x 3 , also für bestimmte Punkte der Ebene; der Ort dieser Punkte ist die durch die Gleichung J= 0 definirte Curve dritter Ordnung. Für jeden Punkt dieser Curve gehen die drei Polaren in Bezug auf die Kegelschnitte / = 0, cp = 0, 4 = 0 durch einen Punkt, denn die Gleichungen dieser Polaren für den Punkt x lt x 2 , x 3 sind /l^l -F/ 2 S 2 +/ 3 $3 =0, 4l ^1 + +2 «2 + 4 3 ^3 = 0 ’> das Verschwinden von J ist die Bedingung dafür, dass diese Geraden ein Büschel bilden; und umgekehrt, wenn die Polaren eines Punktes der Ebene in Bezug auf / = 0, 9 = 0, <|i = 0 ein Büschel bilden, so verschwindet J für die Coordinaten dieses Punktes. Wenn die Functionaldeterminante J identisch verschwindet, und nicht zwei von den drei Kegelschnitten identisch sind, so bilden die Polaren der drei Kegelschnitte für jeden Punkt der Ebene ein Büschel. Sind nun je.,, ;c 2 , *s reale oder complexe Werthe, welche den beiden Gleichungen / = 0, 9 = 0 genügen, (die Coordinaten eines realen oder imaginären Schnittpunkts dieser beiden Kegelschnitte), und setzt man diese Werthe in 9i> 92 » 9a> 4i> 42> 4’« ein, so ist (Anal. Geom. d. Eb. § 13, No. 2, 5) f\T\ + fi £2 +/s * 3 s \ ff- i> *2> £ 3 ) = 9i *1 + 92 £2 + 9s *3 = t 9(*i> * 2 > * 3 ) = ® • Folglich geht auch die Polare von jq, jr 2 , *3 * n B ezu g au ^ 4* = ® durch *1, J.*2> * 3 > so ist also auch 4l*l + 42*2 + 43*3 = d- Da nun 4l *1 + 4-2*2 + 4o*0 = i 4(*1> * 2 > * 3 ) > so folgt, dass x v *3 der Gleichung 4 = 0 genügen. Der Kegelschnitt 4 = 0 geht daher durch die vier realen oder imaginären Schnittpunkte der Kegelschnitte f=0 und 9 = 0; folglich (Anal. Geomet. d. Eb. § 14) bilden die drei Kegelschnitte ein Büschel, d. h. es giebt zwei von den Coordinaten unabhängige Zahlen X und p,, durch welche die Identität hergestellt wird 4 = X/ + p .9 , in Uebereinstimmung mit dem allgemeinen Satze in No. 5. 10. Wie bei homogenen quadratischen Functionen dreier Variabein, so sind auch bei vier Variabein die in der analytischen Geometrie des Raumes mehrfach verwendeten abgeleiteten Functionen die halben partialen Differentialquotienten der Function nach den Coordinaten. Ist f =r dyyX^ —2dy 2 XyX 2 4- 2dy 3 XyX 3 4- 2dy^XyXy 4- d 22 x 2 -1- 2d 23 x 2 Xg 4- 2d 2 ^x 2 x^ 4 - dggX 3 4- 2d^^x^x^ 4- d-^Xy , so sind die abgeleiteten Functionen 408 Differentialrechnung. L X 1 4- -) A bis zu dem veränderlichen Punkte P erstreckt, versteht man den Grenzwerth, gegen welchen der Perimeter eines dem Curvenhogen AP eingeschriebenen Polygons convergirt, wenn die Seiten des Polygons verschwindend klein werden und ihre Anzahl daher ins Unendliche wächst. Bezeichnet man die Bogenlänge durch j, so ist, wenn P x die Coordinaten x + \x, y -+■ Ay hat ds PP. t/Äjr 2 4 - Ay 2 = hm .—- = um - 5 --— dx \x Hx Hieraus folgt „ ds lim V- A x f dx -y 4. Statt dieser Formel schreibt man auch ds — Ydx^ -+- dy- . Aus 2. und 3. gewinnt man die einfacheren Formeln , dx dy dx dy 0 . cos -r = ~y~ , sin- -7- ■ -j- = -y- . ds dx ds ds So lange dy : dx positiv ist, wächst y mit x zugleich; so lange dy : dx negativ ist, nimmt y ab, wenn x wächst, ln denjenigen Punkten, für welche dy : dx den Werth Null hat (in denen also die Tangente parallel der Abscissen- achse ist) und dabei vom Positiven ins Negative übergeht, geht daher y vom Wachsthum zur Abnahme über und erreicht somit ein Maximum, d. i. einen Werth, der grösser als die Nachbarwerthe ist; in den Punkten, für welche dy : dx verschwindet, und dabei vom Negativen zum Positiven übergeht, hat y ein Minimum^ d. i. einen Werth, der kleiner ist, als die Nachbarwerthe. Die Maxima und Minima einer Function einer Variabein gehören also zu den Werthen der Variabein, für welche y' verschwindet**). *) Vergl. Baltzer, Determinanten, § 13. '*) Weiteres hierüber folgt in § 13. 4io Differentialrechnung. 2. Die Coordinaten des Punktes II der Tangente PT, der von P um p absteht, sind dx ; = x -+- pcosx — x -+- p • ' < dy ■n = y + P«** = y -h p-^j- Eliminirt man aus beiden Gleichungen p, so erhält man die Gleichung der Tangente 5 — x dx 1 ir \ — y ~ dy ~ y" oder, anders geordnet T _ _ _ y’(i — X) - (r) — y) = 0. Hierin sind t\ die laufenden Coordinaten der Tangente, während x, y die gegebenen Coordinaten des Berührungspunktes sind. Liegt die Curvengleichung in der Gestalt vor f(x,y) = 0, so ist (§ 3, No. 9) y = _ U- • £/■ J cx ' by’ daher wird die Tangentengleichung 2. T = °J- a — x) + °J- (r, — v) = 0 . cx v ' Cy v ‘ Unter der Normalen der Curve im Punkte/* versteht man die durch/* gehende Normale zur Tangente im Punkte /*. Da die Normale durch P geht, so ist ihre Gleichung von der Form A($-x) -+- P (y\ — y) = 0; und da sie mit T rechte Winkel bildet, so ist A = cy’ cf B = cx daher ist die Gleichung der Normalen 3. cy K x ) - = °- Ist die Curvengleichung y = f(x), so hat man einfacher nach Division durch cf : cy 4. N s= ; — x -t- y' (r t — y) = 0 . 3. Die Strecken /, P und PN x , die zwischen den Spuren der Tangente und Normale auf der Abscissenachse und dem Punkte P enthalten sind, bezeichnet man insbesondere als Länge der Tangente und Normale, oder kurz als Tangente und Normale; die Projectionen dieser Strecken T x /*' und P’N x heissen Subtangente und Subnormale. Aus den Gleichungen 1. und 4. folgen die Strecken 01\ und O N x als die Abscissen für die Ordinate rj = 0 zu O T x = X} ' ~ y , O N x = x -hy'y ■ Hieraus ergeben sich 1. Subtangente = OP' — O 7\ = y> 2. Subnormale = ON x — O P' = yy '. Ferner ergeben sich aus den rechtwinkeligen Dreiecken 7', PP und PP'N x die Formeln § 5' Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 411 Tangente = "j/l -y ■ '2 4. Normale = y ]/l + / 4. Wenn die Curve sich ins Unendliche erstreckt, so kann man nach den Tangenten fragen, welche die Curve in einem unendlich fernen Punkte berühren. Eine solche Tangente nennt man Asymptote der Curve. Lässt man in der Tangentengleichung 1. r) = y • z -h (y —y'x) die Abscisse x des Berührungspunkts ins Unendliche wachsen, so nähert sich y einem im Allgemeinen (eindeutig oder mehrdeutig) bestimmten endlichen oder unendlich grossen Werthe; durch denselben ist der Winkel t und mithin die Richtung der Asymptote (bez. der Asymptoten) gegeben. Der Ausdruck y — y'x ist die Strecke, welche die Tangente von der Ordinatenachse abschneidet. Nähert sich diese Grösse bei unendlich wachsendem x einem endlichen realen Grenzwerthe, so ist hierdurch eine im Endlichen liegende Asymptote bestimmt; wird aber y — y'x bei unendlich wachsendem x auch unendlich gross, so hat man eine unendlich ferne Asymptote, doch von bestimmter Richtung. Nähert sich für ein unendlich wachsendes x die Ordinate y einem endlichen Grenzwerthe b, so ist die Gerade y = b eine Asymptote der Curve; nähert sich für ein unendlich wachsendes y die Abscisse x einem endlichen Grenzwerthe a, so ist die Gerade x = a eine Asymptote. 5. Wir wenden diese Entwicklungen zunächst auf die Kegelschnitte an. Nimmt man die Hauptachse zur Abscissenachse und einen Scheitel zum Nullpunkte, so ist, wie man sich leicht überzeugt, die Gleichung des Kegelschnitts 1. y 2 = 'Ipx +■ qx 2 . Hierin ist p die Ordinate im Brennpunkte, und q ist s 2 — 1, wenn s die numerische Excentricität bezeichnet; für die Parabel ist q = 0. Durch Differentiation der Gleichung 1. erhält man sogleich die Subnormale yy' = P -+- 9 x > und hieraus weiter , _ p -+- qx y ~~ y Die Gleichungen der Tangente und Normale sind daher t = (p qx) («— x ) —y (fi — y) = (, < N = y(z — x)-h (p t- qx) (t) — y) = 0 . Die Tangentengleichung vereinfacht sich, wenn man berücksichtigt, dass zufolge der Gleichung des Kegelschnitts — (P + qx)x - 1 - y 2 — px\ man erhält damit T — (p + qx) z ~ yr t -t- px = 0 Ist T 2 die Verticalspur der Tangente, so ist OT, z = px :y. Macht man OC~p, so ist^daher OI\ : OC = OP' : P'P, mithin sind die Dreiecke l' 2 OC und OP'P ähnlich, und folglich CT 2 normal zu OP. Hieraus ergiebt sich eine sehr einfache Tangentenconstruc- tion. Man mache OC=p und ziehe CT 2 Tangente in P. (M. 47GJ normal 1 ) dann ist T 7 , P die 412 Differentialrechnung. Der oben gefundene Werth der Subnormale lässt sich auch schreiben y 2 PNx = y ~ -P- Macht man nun N X D = p, so ist ' P'D = P’N X -+- N X D = ^ , OP’ ■ PD = x ■ — = PP 2 . a: Daher ist PD normal zu 0/1 Macht man also PD normal zu OP und N X D — p, so ist PN X die Normale im Punkte P. Für die Parabel ist q = 0 und daher einfacher PN x = p. Die Subnormale der Parabel ist constant. Um über die Asymptoten des Kegelschnitts Aufschluss zu erhalten, drücken wir y' und O 7\ durch x aus; wir erhalten: / = 0 + 9 X ) '■ Y Ipx + 9 x2 = + q ' 0T 2 = px : y '2px + qP 1 = p : l/~~ -+• <1- Geht man zur Grenze für ein unendlich wachsendes x über, so erhält man lim y’ = q : yq = yq, Um OT 2 = p : "]/q . In beiden Formeln hat y q dasselbe Vorzeichen, da die Wurzeln in y’ und 0 7’ 2 die Ordinate desselben Curvenpunktes sind; daher folgen zwei Asymptoten, deren Gleichungen sind = V9 ■ s ii- ' — «"-fr Bei der Ellipse ist q negativ, und die Asymptoten sind conjugirt complex; bei der Hyperbel sind sie real; in beiden Fällen ist ihr Schnittpunkt das Centrum der Curve. Bei der Parabel sind sie unendlich fern und parallel der Symmetrieachse. fi. Die gemeine Cycloide. Als gemeine Cycloide bezeichnet man die Curve, welche von einem Punkte der Peripherie eines Kreises beschrieben wird, der auf einer Geraden rollt, ohne zu gleiten. Wir nehmen diese Gerade zur X- Achse. Rollt ein Kreis mit dem Radius a entlang derselben, so wird ein Punkt P dieses Kreises der Reihe nach mit unzählig vielen Punkten O, 0 lt O s . . . der Abscissenachse zusammenfallen, und es ist 00 x -= 0j0 2 = 0 2 O s = . . . = 2 an. Ferner sehen wir sofort, dass, wenn der Kreis auf der positiven Seite der W-Achse rollt, auch die Cycloide ganz auf der positiven Seite der X-Achse gelegen ist. Die grössten Ordi- naten haben k die Länge 2 a und gehören zu den Punkten y T (M. 477.) § 5' Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 413 der X-Achse, welche die Strecken OO t , 0 1 0 i , O s O a . . . halbiren; nehmen wir O zum Nullpunkte, so gehören sie zu den Abscissen ... — 3atr, — ar., T- ar., -+- 3a- . . . oder allgemein zu (2/£-f- \)ar., während für die Abscissen ‘Ikar. die Ordinate verschwindet (wobei k eine positive oder negative ganze Zahl bezeichnet). Ist B die Lage des Centrums des rollenden Kreises in dem Augenblicke, in welchem der die Cycloide beschreibende Punkt P die in der Figur bezeichnete Stelle erreicht hat, so folgt aus der Definition, dass der Kreisbogen PB' gleich der Strecke OB' ist. Bezeichnet man mit t den Arcus des Winkels PBB' (des Wälzungswinkeis), so ist PB' = OB' = at Ferner ist x — OP — OB' — PB sin t, y — P' P — B'B -- BPcost, und daher 1 x — at — a sint = a(t — sin t), y — a — a cos t = a (1 — cos f). Hieraus ergeben sich die Differentiale 0 dx = a( 1 —cos t) dt — ydt, dy — a sint dt = (at — x)dt. Aus 2. folgt der Differentialquotient , sint at — x ^ 1 — cost y Dies ergiebt Subnormale — yy' = asint = at—x — P’ B'. Folglich ist PB' die Normale, und daher PD die Tangente der Cycloide im Punkte P. 7. Die Epicy cloide. Die Epicycloide wird von einem Punkte P eines Kreises beschrieben, der auf der Peripherie eines festen Kreises rollt, ohne zu gleiten. Der Punkt P kommt dabei unzählige Male auf Punkte A, A it A%, A a . . . des festen Kreises; die zwischen zwei auf einander folgenden dieser Punkte liegenden Bogen des festen Kreises sind dem Umfange des rollenden Kreises gleich. Wir nehmen das Centrum des festen Kreises zum Nullpunkte, und legen die Abscissen- achse durch A. Ist B die Lage des Centrums des rollenden Kreises, wenn P die in der P'igur bezeichnete Lage erreicht hat, sind b und a die Radien des festen und des rollenden Kreises, und ist arcCOA = cp, so ist der Kreisbogen CA gleich b -p, und ebenso gross ist nach der Definition der Kreisbogen CP, daher ist arc PBC = bf? : a. Die Abscisse und Ordinate von P ergeben sich durch Projection von OBP auf OX, bez. OY. Da mm BP mit der Abscissenachse den Winkel (PB, x) = PBC + COA — 180° bildet, so ist b a -+- b - sind nach der Voraussetzung homogene Functionen der Coordinaten; daher ist (§ 4, No. 10) cu k du k , . - x -+- —— y = ktik und mithin cx dy J () F ^ p 2. x -t- — nu >‘ + (n — l)»«_i -4- (n — 2) n„-% + ... . Die Gleichung 1. kann man ersetzen durch cF SF (BF r x y — 1 ir- ; c x oy ' \ox = 0 . § 5' Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 415 Hieraus erhält man in Rücksicht auf 2 . dF dF nu„ + (n— 1) -4- (ra — 2) u „-2 + . . . — *) = 0, und nach Division mit ra 3 - = u n -+■ sind nun im Allgemeinen nicht Punkte, deren Tangenten durch II gehen; es bleiben daher als solche Punkte auf F, deren Tangenten durch 17 gehen, nur die im Endlichen liegenden Schnittpunkte von F und < 1 ) übrig. Da nun zwei Curven raten Grades ra 2 Schnittpunkte haben, so erhalten wir den Satz: Durch einen Punkt der Eb ene gehen im Allgemeinen ra 2 — ra s= ra (ra— 1 ) Tangenten einer Curve rater Ordnung. Diese Zahl kann sich, wie wir weiter sehen werden, bei besonderen Lagen des Punktes 11 , sowie bei besonderer Beschaffenheit der Curve vermindern. Bildet man die Differenz F — (J>, so erhält man „ 1 l ZF» SF \ = n \ Un - x + 2 ^“ 2 + • ' " + fi 5 + 8j V ' Die rechte Seite dieser Identität ist eine Function 1J2 vom (ra— l)ten Grade. Alle (endlich fernen) Schnittpunkte von F und <1> annulliren auch Wir haben 4i6 Differentialrechnung. daher den Satz: Die Punkte einer Curve «ter Ordnung, deren Tangenten durch einen gegebenen Punkt gehen, liegen auf einer Curve («—l)ter Ordnung. Um die Normalen der Curve F(x,y) = 0 zu erhalten, die durch 11 gehen, haben wir die Curvenpunkte aufzusuchen, die der Gleichung genügen (Z — x) Oq — y) = 0 Diese Gleichung ist vom »ten Grade; sie lehrt: Es giebt » 2 Normalen einer Curve «ter Ordnung, die durch einen gegebenen Punkt fl gehen; ihre Fusspunkte auf der Curve liegen auf einer vom Punkte li ab hängigen Curve »ter Ordnung. 9. Die Coordinaten u, v der Curventangente im Punkte P folgen aus der Gleichung y) = « zu Die Gleichung der Curve in T.iniencoordinaten, d. i. die Bedingnngs- gleichung dafür, dass u und v Coordinaten einer Tangente der Curve F — 0 sind, ist das Resultat der Elimination von x und aus den drei Gleichungen F(x, y ) Ist

gy = 2 a 2 y, ^7* —jf^y = %(a 2 -b 2 )xy. Daher ist u = 8y b 2 c 2 y' X CI Hieraus folgt — = -5—, ö a c 2 u b 2 _ 4 r,2 — C y b b c 2 v ‘ Quadrirt man diese Werthe und addirt, so erhält man schliesslich die Evolutengleichung in der Form a 2 u 2 ' Beseitigt man die Nenner, so erkennt man, dass sie vom vierten Grade ist, in Uebereinstimmung mit No. 10. Für die Cycloide haben wir die Formeln im vorigen Abschnitte so umzugestalten, dass sie dem Falle entsprechen, wenn x und y als Functionen einer Variabein t gegeben sind. Nehmen wir die Normalengleichung zunächst in der dy dx Form No. 2, 4 und ersetzen y durch ^ , so erhalten wir dx dt (dx (5 — x) + ^(- n—y ) = o. Es ist daher dy \ dy l dx dy \ U = lt : [dt X + dt y ) ’ V = dt 1 [dt X + dt y )’ und man erhält somit u und v durch t ausgedrückt. Die Evolutengleichung ist die Resultante dieser Gleichungen in Bezug auf t. Aus den Formeln in No. 6 ergiebt sich für die Cycloide dx dy dt X ^ dt und daher 1 . J. at’ v = y = xy 4- aty — xy = aty, sin t 1 attang\t' 2 . at( 1 — cos f) Die Gleichung der Evolute folgt hieraus zu 1 , u u — v tang q— = 0 , oder 2 au • arc tang — = 1 . Jj dU U Aus der Gleichung der Cycloidentangente dy , dx, Tt^-^-di^-ti = 0 folgen die Coordinaten der Tangente Da wobei a und ß die Coordinaten des neuen Nullpunkts sind, also a = ai :, ß = 2a. Da nun 1 — ar.u — 2av = [M — 7t sint — 2 (cost — 1)] = (/ — r)sint : M, so erhält man u _ 1 _ y = cos t — 1 _ _ lang \ t a(f — 7 t) ’ a{t — 7 t )sin t a(t — 7 t) ' Setzt man t — tt = T, so ist tang\t = — cot \ T, und man erhält (j — — L v = -—- aT' aTtang\T ' Vergleicht man diese Formeln mit 1., so erkennt man, dass die Evolute der Cycloide mit der Cycloide congruent ist und nur gegen dieselbe parallel verschoben erscheint, und zwar um — ar in der Richtung der Abscissen- achse und um — 2 a in der Richtung der Ordinatenachse. 12. Fusspunktcurven. Unter der Fusspunktcurve einer gegebenen Curve in Bezug auf einen gegebenen Punkt (Pol) versteht man den Ort der Normal- projectionen des Pols auf die Tangenten der gegebenen Curve. Wir legen die Coordinatenachsen durch den Pol, und es sei f(u, v) = 0 die Gleichung der gegebenen Curve in Liniencoordinaten. Der Normalabstand p der Geraden u, v vom Nullpunkte ist bekanntlich p = 1 : }/« 2 -l- v 2 ; für den Winkel, den p mit der W-Achse einschliesst, hat man cos

= — 5 —■- r, i) = p sm ® = —«—■- t. . r T u 2 -1 r ‘ r u l -\- v 2 Flieraus folgt umgekehrt 2 rj * “ 2 2 + r) 2 ’ v — S 2 + r) 2 ' Setzt man diese Werthe in die Gleichung/(w, v) = 0 ein, so erhält man die Bedingung, die ein Punkt n erfüllen muss, wenn durch 11 eine Tangente der Curve normal zu 0 11 gezogen werden kann, d. i. die verlangte Gleichung der Fusspunktcurve; wir haben somit für dieselbe ! /( _'_-- T ! - / \i 2 -hr i 2 ’ ? 2 + t ) 2 So ist z. B. die Gleichung der Ellipse, bezogen auf die Hauptachsen, a 2 u 2 -+- b 2 v 2 — 1 = ü . Daher hat der Ort der Normalprojectionen des Ellipsencentrums auf die Ellipsentangenten die Gleichung ä 2 e 2 h- /> 2 n 2 — (e 2 + Y ) 2 ) 2 = 0. Einen Punkt der gegebenen Curve und den auf der Tangente in P gelegenen Punkt der Fusspunktcurve wollen wir als verbundene Punkte beider Curven bezeichnen. Die Tangente der Fusspunktcurve in einem Punkte 0 derselben lässt sich von dem verbundenen Punkte P der gegebenen Curve aus in einfacher Weise construiren. Ist nämlich y = F{x) die Gleichung der gegebenen § 5' Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 419 Curve in Punktcoordinaten, so genügen die Coordinaten der verbundenen Punkte P und II der Tangentengleichung 2 . _ . y(5 — •*) — (’) -y) = 0 sowie der Gleichung der durch O gehenden Normalen zur Tangente 3- 5 -t- y'-t) = 0 . Eliminirt man y' aus 2. und 3., so erhält man S(£ — x) + y) (t)— y ) = 0 , oder 4. X -+- T ] 2 = %x -+- Tiy . Durch Diflferentiation erhält man hieraus 2 s */£ 4- 2 t] dr t = %dx xd% -y- -qdy -+- ydr^. Da nun aus 3. folgt %dx r\dy = 0, so giebt die vorige Gleichung 2 \d% -+- 2r[dr t = xd\ - 4 - ydt\. Hieraus folgt d-t\ di x 2 y_ 2 Ist Q die Mitte von OP, so ist tang(X\Q,x) = (r) — Vergleicht man dies mit 5., so erkennt man, dass die Tangente T' der Fuss- punktcurve normal zu UQ ist. 13. Parallelcurven. Trägt man auf den Normalen einer Curve von der Curve aus nach derselben Seite hin eine gegebene Strecke ab, so bilden die Endpunkte eine neue Curve, die als Parallelcurve der gegebenen Curve bezeichnet wird. Der Winkel X, den die Normale der Curve P(x, y) = 0 im Punkte x, y mit der Abscissenachse bildet, ergiebt sich aus 1 . -■ - ' ■' 5 )• (M.479.) , dy COS k - 7 - - 7=- ds y 1 dx stn k = 1 — = ds 1 1/1 + y '2 Hierbei ist in beiden Formeln derselbe Werth der Wurzel zu nehmen. Die Coordinaten 5 , r t des Punktes II, den man 'erhält, wenn man von der Normalen die Strecke l abschneidet, sind daher y ,1 2 . £ = x — /• = y + l- ■j/i -t~y 2 ’ ‘ }/l -+- y' ■ Die Gleichung der Parallelcurve ergiebt sich, indem man aus den Gleichungen 2. und der Gleichung F{x, y) = 0 die Coordinaten x, y eliminirt. Um die Tangente der Parallelcurve im Punkte II zu erhalten, schreiben wir die Gleichungen 2. £ = x -+- / cos X , 7) = y -I- / sin X und differenziren; wir erhalten d\ — dx — /sin XdX, drj = dy -t- l cos X dX . Hieraus folgt weiter _ cos Xdl sin Xd-tfy^Jos Xdx + sin \dy . Aus 1. ergiebt sich cosXdx -+- sinXdy = 0; daher ist cos Xd% + sin Xdi\ = 0 , 27 420 Differentialrechnung. folglich dr\ dy d% dx / Die Tangente der Parallelcurve im Punkte II ist parallel der Tangente der gegebenen Curve im entsprechenden Punkte P. Man kann daher die Parallelcurve einer gegebenen Curve auch als die Curve definiren, die von den Geraden umhüllt wird, welche den Tangenten der gegebenen Curve parallel sind und von ihnen einen gegebenen Abstand (/) haben. 14. Confocale Kegelschnitte. Alle Kegelschnitte, deren Gleichungen aus hervorgehen, wenn man jx alle realen Werthe ertheilt, haben dieselben Brennpunkte; denn es ist a 2 + |i — (b 2 -+- (x) = a 2 — b 2 . Man bezeichnet sie daher als confocale Kegelschnitte. Die Gleichung des Kegelschnitts 1. in Liniencoordinaten ist (. a 2 -+- [>.)u 2 -+- ( b 2 -+- |x)» 2 •— 1=0, oder 2 . a 2 u 2 -t- b 2 u 2 — 1 -+- fx(« 2 -t-z< 2 ) = 0 . Die linke Seite der Gleichung ist linear aus den quadratischen Functionen a 2 u 2 + b 2 u 2 — 1 und u 2 -+- v 2 zusammengesetzt; die Gesammtheit aller con- focalen Kegelschnitte mit gegebenen Brennpunkten bilden daher eine Kegelschnittschaar. Setzt man in 2. nach einander jx = — b 2 , jx = — a 2 , so erhält man zwei besondere Kegelschnitte der Schaar ' ( a 2 — b 2 )u 2 —-1=0, 4. ( b 2 — a 2 )v 2 — 1 = 0. 3. Aus 3. folgt u = ± 1 : c] dieser Kegelschnitt zerfallt daher in die beiden Brennpunkte. Aus 4. ergiebt sich v 2 = — 1 : c 2 . Dieser Gleichung entsprechen zwei imaginäre Punkte auf der Ordinatenachse; man bezeichnet dieselben als die imaginären Brennpunkte. Die Kegelschnitte der Schaar, welche durch einen gegebenen Punkt II der Ebene gehen, erhält man, indem man \i. aus der Gleichung bestimmt a 2 -f- [x — 1 = 0 . 5. Beseitigt man die Nenner, so folgt \ 2 {p 2 -T |x) -+- t] 2 (a 2 -+- (x) — ( a 2 -+- y-)(b 2 -+- [x) = 0 . Ersetzt man in dieser quadratischen Gleichung |x der Reihe nach durch — a 2 , — b 2 , oo, so erhält die linke Seite die Werthe I 2 ( b 2 — a 2 ), 7) 2 ( a 2 — b 2 ), — oo . Der erste Werth ist negativ, der zweite positiv, und man sieht daher, dass die Gleichung 6. immer zwei reale Wurzeln hat, deren eine jXj zwischen — a 2 und — b 2 liegt, während die andere jx 0 grösser als — b 2 ist. Für jx 0 wird der Kegelschnitt 1. eine Ellipse, für (Xj eine Hyperbel. Durch jeden Punkt der Ebene gehen daher zwei Kegelschnitte einer confocalen Schaar; der eine ist eine Ellipse, der andere eine Hyperbel. Aus den beiden Gleichungen O a 2 -+- (x 0 b 2 + fx 0 b 2 4- fx, 1 = 0 a 2 -+- fx, folgt durch Subtraction und nachherige Division durch den von Null verschiedenen Faktor ;x 0 — (x t die Gleichung § 5- Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 421 6 . I 2 0. ( a2 + Po)0 2 + Hl) (fi 2 + Po)(^ 2 + P 1 ) Bilden die durch n gelegten Tangenten der beiden durch II gehenden Kegelschnitte der Schaar mit der Abscissenachse die Winkel

?) = 0. so hat man für das Dififerentialverhältniss dr:d-f die Gleichung of cf dr -t- ^ dy = 0. Cr c

hierbei die laufenden Coordinaten bezeichnet werden, dv du udv—vdu U udv — vdu oder, wenn man die Nenner beseitigt und besser ordnet, dv * ^ 0 — «) — (» — ?) = 0, bez. 1 = 0 , & § 5' Tahgente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 427 II 2 / (11 — u) (» — v) = 0 . Cu cv 24. Die Frage nach der Anzahl der Punkte der Curve f (u, zi) = 0, die auf einer gegebenen Geraden 2 der Ebene liegen, führt uns auf Betrachtungen, die den in No. 8 durchgeführten dual entsprechen. Die auf 2 liegenden Berührungspunkte liegen auf den Tangenten der gegebenen Curve, welche der Gleichung genügen cf,. , d f . , °f. Durch Zeichenwechsel folgt hieraus a/.. . »/ ßf ßf df \ — 11 + Ab — - u 5— 0 ) CU CV \cu cv J 0 . U -+- -Tf- V cu Cv U 4- d /*) = o. Cv ) Dies ist eine Gleichung ,«ten Grades. Die Tangenten der Curve f = 0, deren Berührungspunkte auf 2 liegen, sind daher zugleich Tangenten der Curve 1. Die Glieder der Function f lassen sich so gruppiren, dass f als Summe von homogenen Functionen «ten, («—l)ten, («—2)ten u. s. w. Grades erscheint; bezeichnet man diese Gruppen der Reihe nach mit 9 «, cp„_i, 2 , .. ., so hat man tp« —1 -t- 9, ,—2 4- . . . . Nach dem EuLER’schen Satze ist cf cf r u 4 - -£-v — «9« 4- («—l)'f«-i 4- (fl — 2) 9«—2 4- . . . V U V v Führt man dies in 1. ein und dividirt durch n, so erhält man 2- + (*-2) — v) — 0 . Ferner ergiebt sich -J-u ¥v — — 2 (a 2 v 2 4- b 2 u 2 ) = — 2c i u 2 v 2 ; du dv ' daher folgen die Coordinaten des Punktes II « 2 b 2 4. Hieraus folgt 6 = - 1 ^ z 4 v' 6 z f P 1 CT i ’ n 6 a‘ J ¥ Setzt man diese Werthe in die Gleichung 1., so erhält man die Gleichung der Evolute in Punktcoordinaten 5. - 1 - $. Cubirt man beide Seiten der Gleichung und beachtet, dass (r + j) ! = r 3 4- r 3 4- 3rs(r 4- s), so ergiebt sich a 2 £ 2 4 - + 3= z 4 ; hieraus folgt die Evolutengleichung in rationaler Form (z 4 — a 2 % 2 — b 2 ri 2 ) 2 = 27 a 2 b 2 e 2 ^ 2 . Diese Gleichung ist vom sechsten Grade, während im Allgemeinen die Gleichung einer Curve 4ter Kl. von der 12ten Ordnung ist. § 5' Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 429 26. Wir schliessen hieran noch die Ableitung der Gleichung der Tangente und des Tangentialpunkts für homogene Punkt- und Linien- coordinaten. Die Coordinaten der Geraden, welche die Curve «ter Ordnung 1. f(px> •^2* ^ 3 ) === 0 im Punkte P berührt, seien u v u 2 , 2. u, x, -4- u. Dann ist zunächst 4- u 3 x 3 — 0 . £3 die laufenden Coordinaten der Tangentenpunkte, so u x £1 4- + ^3^3 == 0 dx ;J ; 1- dx 3 ) — 0 . , dx 3 = 0 . Sind ferner S 2 , ist auch 3. Die Tangente verbindet den Punkt P der Curve mit dem nächst benachbarten Punkte derselben, dessen Coordinaten sind x x -+- dx 1 , x 2 4- dx 2 , 4- daher gilt auch die Gleichung u 1 (x 1 + dx 1) 4- u 2 {x 2 4- dx 2 ) 4- u 3 (x 3 Wenn man von derselben 2. subtrahirt, so bleibt 4. u l dx l 4- u 2 dx 3 4- u 3 Aus den drei Gleichungen 3., 2. und 4. gewinnt man die gesuchte Tangentengleichung, indem man u v u 2 , u 3 eliminirt; man erhält sie zunächst in der Form £1 E2 £3 x x x 2 x 3 = 0. dx j dx 2 dx 3 Aus der Curvengleichung folgt durch Differentiation für die Differentiale der Coordinaten die Gleichung 6. f\dx x 4- f 2 dx 2 4- f 3 dx 3 = 0, l.V n dx,- Da ferner nach dem EuLER’schen Satze /lh +/ 2 ^2 + fi X 3 und der Punkt P auf der Curve liegt, so ist 7. f 1 x l + f 2 x 2 + f s x 3 wobei = /*• = /, = 0. Aus den Gleichungen 6. und 7. kann man f x und f 2 durch f 3 ausdriicken; man erhält die Proportion 8 - fx :/, :/, = Entwickelt man die Determinante 5. nach den Gliedern der ersten Zeile, so erhält man x 2 x 3 Xx Xx x 2 dx 2 dx 3 dx 3 dx x dx j dx 2 9. x 2 dx» x 3 dx , 61 x 3 dx o •*1 dx x Es ~P 0. dx j dx 2 Ersetzt man nun die Coefficienten in 9. durch die proportionalen Werthe fx, f 2 , f 3 , so erhält man die Gleichung der Tangente in der endgültigen Form T = fx ‘ Ei 4- f 2 • + f-i ‘ E3 = 0. Die dual entsprechenden Betrachtungen führen zur Gleichung des Punktes P, in welchem die Curve n ter Klasse F{u x u 3 ) = 0 von der Tangente u x , u 2 , u 3 berührt wird. Sind nämlich x x , x. 2 , x 3 die Coordinaten von P, so ist die Gleichung von P — 10. P es x, u, 4- u 4~ x« Uo — 0 . 1*>1 t ^ 2 u 2 ^ 3“3 Da P der gemeinsame Punkt der Geraden u u, und du, du» du 3 ist, so gelten die Gleichungen 43° Differentialrechnung. 11 . X% «2 -t- X 3 U 3 “3 0, x 1 (u 1 -+- du j) -+- x 2 (u 2 -+- du 2 ) -+- x :x (u g -h du 3 ) = 0, aus denen durch Subtraction hervorgeht 12. x x du x x 2 du 2 -+- x« du, = 0 . Gleichung zunächst in der Form «i u x du x oder nach den Elementen der ersten Zeile entwickelt aus 10. 11. 12., so u 2 «3 W 2 u 3 = 0, du 2 du 3 13. du« u 3 du o du , du x du x du 2 Nun gelten die beiden Gleichungen ■+" + -^3 • *1 /"j ■ du x F 2 • du 2 F, ■ du.. = 0, = 0, Fi ^ it s = 0. dF ' ‘ du/ deren erste mit F = 0 identisch ist, während die andere durch Differentiation dieser Gleichung entsteht. Hieraus erhält man «2 »3 «3 u x U 1 Äf 2 du 2 du 3 ' du 3 du x du | du% 14. F x :F 2 :F 3 = Aus 13. und 14. folgt die gesuchte Gleichung des Tangentialpunktes + -^3 ’ U 3 - 0. § 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt von Flächen; Tangente und Normalebene von Raumcurven; Gerade auf abwickelbaren Flächen. 1. Legt man eine Gerade durch einen Punkt P der Fläche f(x, y, z) = 0 , sowie durch den Punkt P x der Fläche, dessen Coordinaten x + Ax, y -h Ay, z -h Az sind, so gilt für die Richtungscosinus dieser Geraden (d. i. für die Cosinus ihrer Winkel mit den Coordinatenachsen) die Proportion 1. cosc p : costy : cosy = Ax : Ay : Az . Convergiren Ax und Ay, und damit auch im Allgemeinen Az gegen den Grenzwerth Null, so wird die Gerade zu einer Tangente der Fläche. Für die Richtungscosinus einer Tangente ist also 2. cosy : costy : cosy = dx : dy : dz. 3. Durch Differentiation der Flächengleichung folgt ^f-_dx -+- 7^7 dy -+- ~ dz — 0. @x“"~ dy J dz Führt man hier aus 2. für die Differentiale dx, dy, dz die proportionalen Werthe cosy, cosr 7 grj Sind cp, 4 », 7 die Winkel, welche die Normale von T mit den Achsen ein- schliesst, so ist 'cos a df cos$ 8f\ rj \cos X di cos f 8t\/ Hieraus erkennt man, dass cos

' i = bz — cy z — c ' z — c Setzt man diese Werthe in die Gleichung der Horizontalspur ein, so Y, erhält man die Gleichung der Kegelfläche 'az — cx bz — cy z — c ’ z / -5?)- (M. 485.) 0 . *) In den Differentialquotienten von /(£, Tj) sind 5, durch die Werthe 1. zu ersetzen. Schlobmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 28 434 Differentialrechnung. Verlegt man den Nullpunkt in die Kegelspitze, und nimmt die neuen Achsen den alten parallel, so gelten für die neuen Coordinaten jr, q, g die Formeln x — a = y, y — ^ = 9 , 2 — c = i, az — cx = a% — cy , bz — cy = b% — cq . Die Kegelgleichung wird daher ’ai — cy bi — cq\ 3. / 0. 3 3 Hier ist nun f(y -+- a, I) + 3) = 0 die Gleichung des Querschnitts der Kegelfläche mit einer Ebene, die parallel zur ATF-Ebene ist und von ihr den Abstand z — — c hat. Setzt man a = b — 0, und vertauscht (— c ) gegen (+ c), so wird die Kegelgleichung einfacher *• /("?)-»■ Ist / eine algebraische Function «ten Grades, so wird die Kegelgleichung 3. nach Beseitigung der Nenner eitle homogene Gleichung zzten Grades. Wird verlangt, dass die Mantellinien des Kegels die Schnittlinie zweier Flächen /(£, ij, Q — 0, F(i, q, Q = 0 treffen, so hat man 5, q, C aus den Gleichungen zu eliminiren x — a v — b z — c a — 5 = b — 7 ) = c — £ ’ ’l’ 0 = 0 > q, 0 = 0 • Verlangt man den Kegel, dessen Mantellinien die Fläche _/(?, q, Q berühren, so gelten für die Coordinaten eines Punkts einer Mantellinie und ihres Berührungspunkts zunächst wieder die Gleichungen x — a y — b z — c 5 ‘ = T^f, = T^T ’ ^ ® = 0 ' Die Cosinus der Winkel, welche die Gerade II S mit den Achsen bildet, sind proportional den Differenzen a — i, b — q, c — £; ist II S Tangente der Fläche / im Punkte II, so gilt daher die Gleichung 6 . Zf di ( a -v + + = °- Durch Elimination von 5, q, C aus 5. und 6. ergiebt sich die gesuchte Kegelgleichung. Ist f eine algebraische Function Tzten Grades, so ist die Gleichung 6. ebenfalls vom n- ten Grade; sie kann aber durch eine Function (n — l)ten Grades ersetzt werden. Ordnet man nämlich die Function f nach dem Grade der einzelnen Glieder, so erscheint f als Summe von homogenen Functionen vom Grade n, (n — 1), (n — 2). f ^ u n -+- U n —\ -t- -+- . . . . Nach dem EuLER’schen Satze ist nun 3/. 8/ 3/ di * + + da Setzt man dies in G. erhält man C = nt( n + (« — 1)«k-i -l -in — 2)#„_2 + . . . ein, wechselt die Zeichen und dividirt durch n, F es u„ -+- — I(« — -+- (n — 2) «*-2 + • ■ Die Differenz f — F ergiebt sich daher zu 12 1 ßf *1 0 _ 8/, di f-F wo nun f„—i eine Function (» u n—\ "f“ U n —2 \ a n n n \ cii Uh n l)ten Grades ist. cq Zf, . Zf ~ %\ ■ dq dt Alle nicht unendlich fernen § 6 . Tangentenebene und Tangentialpunkt von Flächen etc. 435 Punkte, welche die Gleichungen / = 0 und P=Q befriedigen, erfüllen auch die Gleichung cp„_i = 0. Die Punkte, in welchen eine Fläche n ter Ordnung von einem umschriebenen Kegel berührt wird, liegen daher auf einer bestimmten Fläche ( n —l)ter Ordnung cp„_i = 0. Um die Tangentenebenen einer Fläche / zu erhalten, die durch eine gegebene Gerade gehen, hat man von zwei Punkten dieser Geraden aus Tangentenkegel K l und K,, der Fläche zu umschreiben; die Tangentenebenen der Punkte, in welchen die Berührungscurven des Kegels K l bez. K 2 und der Fläche / sich schneiden, sind die verlangten. Da nun diese Berührungscurven auf der Fläche / durch zwei Flächen cp und <1> vom (n — l)ten Grade ausgeschnitten werden, so sind die Schnittpunkte dieser Curven die gemeinsamen Punkte der drei Flächen / cp und ; die Anzahl dieser Schnittpunkte ist gleich dem Produkte der Gradzahlen der drei Functionen /, cp, , also gleich «(« — l ) 2 . Die Anzahl der durch eine Gerade gehenden Tangentenebenen ist gleich der Klassenzahl der Fläche, d. i. gleich dem Grade ihrer Gleichung in Ebenen- coordinaten. Wir finden daher: Eine Fläche «ter Ordnung ist im Allgemeinen von der Klasse «(« — l) 2 . Nur für n — 2 ist im Allgemeinen die Klassenzahl gleich der Ordnungszahl. Flächen 3ter, 4ter, 5ter . . . Ordnung sind im Allgemeinen von der 12ten, 36ten, 80ten Klasse. Von der Kegelgleichung 2. ausgehend, erhält man 0/(5, n) . ft _£ dx di\ dy ' dt[ dz df(x, y, z) '°f{x, y, z) dz dx df(x, y, z) = dy 8/(5, >1 ) dt 8t ' dz dt 8/(5, rj) 8r, , 8/(5, 11) 8/(5, ri) — c c z — c c(x — a) dl ’ 8/(5, rj) d n ’ df i c(j ' 85 b) (z — cy dtj dz (z — c) 2 Die Gleichung der Tangentialebene des Kegels im Punkte P ergiebt daher, wenn mit je, 9, 3 die laufenden Coordinaten bezeichnet werden, V 811' sich T 5= d l dt (y — x) 8 / (9—^) (t d JL dt y ■ d l dr, }(3-*) = 0*). d-q ' v " — c c5 * — c Sind 9, 7 die Winkel der Normalen mit den Achsen, so ist demnach df df (x — a df y — b df\ cosi p : cos4> : cosy = vr : 5 — : — I- • rr H-- I. T T K dt Sri \ z — c dt z — c 01) / P'iir die Richtungswinkel X, p., v der Mantellinie PS gilt cos\ : cos]y : cosr — (x — d) : (y — b) : (z — c) . Aus beiden Proportionen folgt cos cp cos X 4- cos

und A w über, so nähert sich T' einer bestimmten Grenzlage T; die Gleichung dieser Grenzlage ist 43 » Differentialrechnung. 1. T == du ■ x dv ■ y -+- dw • z = 0, für die Richtungswinkel ihrer Normalen hat man cosa. : twß : cosf = du : dv : dw. Auf einer Tangentialebene T liegen unendlich viele Tangenten der Fläche /', dieselben werden auf T durch alle die unzähligen Ebenen T ausgeschnitten, die man erhält, wenn man die Verhältnisse du : dv : dw in jeder mit der Gleichung der Fläche verträglichen Weise abändert, mithin so, dass sie der Gleichung genügen, die sich durch Differentiation von / ergiebt df df 8 f 2. • du -+- — • dv -+- t— • dw = 0 . du cv cw Vergleicht man 1 . und 2 ., so erkennt man, dass jede Ebene T die Gerade 7 enthält, deren Punkte der Proportion genügen , . . _ 8 f. 8 I.^l x .y . z du ’ dv ' dw' Die Ebenen T bilden daher ein Büschel, dessen Träger durch den Nullpunkt geht und durch 3 . bestimmt ist. Hieraus folgt: Alle Tangenten der Fläche f (u, v, w) = 0 , die auf einer Tangentialebene liegen, gehen durch einen Punkt, nämlich durch den Schnittpunkt der Geraden 7 mit der Ebene T. Dieser Punkt ist der Berührungspunkt der Ebene T und der Fläche f. Sind x, y, z die Coordinaten desselben und u, ö, U' die Coordinaten irgend einer durch ihn gehenden Ebene, so hat man die Gleichungen •tfit -l- sic — 1 3 = 0, xu -t- yv zw — 1=0. Aus ihnen folgt x (u — u) A-y (b — v) A- z (w — w) = 0 . In Rücksicht auf 3 . folgt hieraus die Gleichung des Berührungspunktes der Ebene T cf df df 4 . (11 — u ) -+- (ü — v) -+- jr— (n? — w) = 0 . Cu x ' dV v ' cw x ' ■ Ist die Gleichung der Fläche in der Form gegeben w =/(u, v), so erhält man die Gleichung des Berührungspunktes in der Form dw cw 5 . j- u (11 — u) + (» — v) - («3 — w) = 0 . 6. Das Ebenengebilde, welches von Ebenenbüscheln gebildet wird, deren Träger auf einer Ebene A liegen und eine Curve C dieser Ebene umhüllen, heisst eine Grenzfläche. Unter den Ebenengebilden nehmen die Grenzflächen dieselbe Stellung ein, wie unter den Punktgebilden die Kegelflächen. Sind a, ß, 7 die Coordinaten der Ebene A und ist 1 . f(U, V) = 0 die Gleichung der Horizontalprojection von C, so gehört nach der Definition jede Ebene T zur Grenzfläche, welche durch eine Schnittlinie der Ebene A mit einer Verticalebene T geht, die der Gleichung 1. genügt. Die Coordinaten U, V dieser Ebene folgen aus den Coordinaten von A und T durch die Formeln - T _ X_«j+^|xa _ \v A- p.ß _ \w -+- 1x7 X-t-p.’ X-t-jx’ X -t- jx Aus der letzten folgt daher ist X : jx = — 7 : w) § 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt von Flächen etc. 439 U = a w — 7 « V = ßo» — iv w — 7 ' w — 7 Führt man diese Werthe in 1. ein, so erhält man die Gleichung der Grenzfläche /nw — 7 u ßze/—7»\ . V IV — 7 ' w — 7/~ 0, 3 . f( a : w —J u 7 ' w ■ Wie man sieht, geht diese Gleichung aus der Kegelgleichung No. 3 , 2 hervor, wenn man überall die Punktcoordinaten durch Ebenencoordinaten ersetzt. Um die Gleichung des Punktes iß zu erhalten, in welchem die Grenzfläche von der Ebene T derselben berührt wird, bilden wir d/(u, v, w) df(U, V) dU 7 df dU ‘du w — 7 ‘ dU’ df(U, V) dV 7 df dV ‘ dv ~ ~~ w— dV’ df dU df dV 7 O — a) of 70 — ß) df dU' dw ^ dV‘ dw ~ (w— 7 ) 2 ' dU + (w — t) 2 ' d V Die Gleichung des Tangentialpunktes einer Grenzfläche ist daher, wenn die laufenden Coordinaten mit u, 0 , tt) bezeichnet werden Ersetzt man in dieser Gleichung u, l\ u> durch a, ß, 7 , so wird sie identisch; daher folgt: Die Punkte der Grenzfläche liegen auf der Ebene A. Diese Ebene wird als die Hauptebene der Grenzfläche bezeichnet. Setzt man in 4. w = 0, so erhält man die Gleichung der Horizontal- projection von P df , df , , fu — a df v — ß df\ F — Wü^ ~ ^ + Jv ~ + (ze/^1 W + w — 7 a VJ W ~ °‘ ~Su df Q, v, w ) dv dfiu, v, w) dw Hieraus erlangt man durch einfache Reduction \w — 0 , w — y > und dies kann man nach den Formeln 2. ersetzen durch Wü^~ u ) _t ~ Wv^~ ^ = °- Der Berührungspunkt P der Ebene T hat also als Grundriss einen Punkt der Curve fifJ, V) = 0; folglich ist P ein Punkt der Curve C. Die Curve C enthält daher die Punkte der Grenzfläche. Hieraus erkennt man weiter, dass jeder Punkt von C der Berührungspunkt eines Büschels von Ebenen der Grenzfläche ist — sowie beim Kegel die Tangentenebene in einem Punkte des Kegels zugleich Tangentenebene in allen Punkten einer geradlinigen Punktreihe, nämlich der durch den Punkt gehenden Mantellinie ist. 7. Unter einer Regelfläche unter den Ebenengebilden versteht man eine Fläche, die von den Ebenen eines Ebenenbüschels umhüllt wird, dessen Träger sich im Raume bewegt. In No. 4 haben wir die Regelflächen unter den Punktgebilden definirt und nachgewiesen, dass die Tangentenebenen Ebenen- biischel bilden, deren Träger die erzeugenden Geraden der Regelfläche sind; dies zeigt, dass die Regelflächen unter den Punktgebilden auch Regelflächen unter den Ebenengebilden sind. Im Verlaufe der jetzt anzustellenden Betrachtung wird sich zeigen, dass bei einer Regelfläche unter den Ebenengebilden die 44° Differentialrechnung. Berührungspunkte der Ebenen eines Büschels den Träger dieses Büschels erfüllen; damit wird dann erwiesen sein, dass die Definitionen der Regelfläche für Punkt- und für Ebenengebilde dieselben Objecte umfassen, so dass man von Regelflächen schlechthin sprechen kann. Ein Ebenenbüschel ist durch die Gleichungen zweier Spurpunkte des Trägers bestimmt, die wir in der Form annehmen wollen 1. v = Gu -+- H, w = gu h. Soll das Ebenenbüschel beweglich sein, ohne doch jede mögliche Ebene des Raumes enthalten zu können, so müssen G, H, g, h Functionen einer Variabein z sein. Zur Bestimmung des partialen Differentialquotienten cw'.du haben wir die beiden Gleichungen (vergl. No. 4) 0 = Gdu -t- (G'u -t- ff') dz, dw = gdu -t- (g'u 4- h')dz, aus ihnen ergiebt sich „ Sw (gG’ — Gg')u 4- gH' — Gh' 2 ‘ du ~ G’u 4- H', Der partiale Differentialquotient Sw : Sv lolgt aus dv = G'u 4- IT, dw = g'u 4 - h\ zu 0 ow g’ u 4- h' SU ^ Gir+ß' ■ Daher erhält man für die Gleichung des Berührungspunktes der Ebene T P = [C gG' - Gg') u+gH' - Gh'} (u - u) + (g'u + h') (» - v) — {G'u + H'){\r> — w) = Q. Hier kann man noch v und w nach den Formeln 1. durch u und z aus- driicken. Lässt man z ungeändert und ändert nur u, so erhält man aus 4. die Berührungspunkte aller Ebenen des Büschels, dessen Träger dem angenommenen Werthe von z zugehört; man sieht, dass dabei im Allgemeinen die Coefficienten der Gleichung wesentliche Aenderungen erleiden und schliesst daher: Die Berührungspunkte der Ebenen eines Büschels wechseln im Allgemeinen von Ebene zu Ebene. Führt man denselben Werth j in 1. ein, so erkennt man leicht, dass jede diesem Werthe zugehörige Gruppe von Ebenencoordinaten der Gleichung P = 0 genügt; denn ist U, V, W eine solche Gruppe, so ist V = GU -t- H, W = gU + h. Für die Ebene T ist ebenfalls und daher v = Gu H, w = gu 4- h, V — v = G (U — u), W—w=g(U—u). Setzt man dies in 4. für D — v und u> — w, so wird 4. identisch. Da hiernach jede dem Büschel z angehörige Ebene den Punkt P enthält, so folgt: Die Berührungspunkte der Ebenen eines Büschels sind auf dem T räger des Büschels enthalten. Hiermit ist die anfangs ausgesprochene Behauptung erwiesen. 8. Eine Raumcurve ist durch zwei Flächen bestimmt, die sie enthalten und als deren vollständiger oder theilweiser Durchschnitt sie erscheint. Die Gleichungen dieser Flächen seien 1 . /(*, y, *) = 0 , P(x, y, z) = 0 . Verbindet man einen Punkt P der Curve mit einem andern Punkte P l derselben, dessen Coordinaten x 4- A#, y 4 - A y, s 4 - Az sind, so bildet die § 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt von Flächen etc. 441 Gerade PP X mit den Achsen X, Y, Z Winkel, deren Cosinus die Verhältnisse haben Ax : A 4 : Az. Convergirt Aar gegen die Grenze Null, so wird PP t zur Tangente der Raumcurve im Punkte P. Sind ' (x) dx . Daher werden die Gleichungen der Tangente 7) — y £ — 2 5. 5 — x = Die Richtungscosinus sind dz CO Sy ■■ dx dy ' flx^+df+dz 2 ’ C ° S ^ ydxt+dyi-Ydz* ' W / ~ ydx*+dy*+dz* Der Ausdruck f dx 2 4 - dy 2 4 - dz 2 ist der Grenzwerth von ’j/(Aar) 2 4-(A4) 2 4-(A2) 2 und ist daher der Grenzwerth der Sehne PP X für ein verschwindendes Aar; dieser Grenzwerth ist (§ 5, No. 1) das Differential ds des Curvenbogens; man hat also 7- ds 2 = dx r 2 4 - dy“ 1 4 - dz 2 , und kann 6 . ersetzen durch dx dy dz cost p = ds ’ costy - ds cosy — ds Die Ebene, welche durch P normal zur Curventangente gelegt wird, heisst Normalebene der Curve im Punkte P. Die Gleichung der Normalebene ergiebt sich aus cost p • (5 — x) 4 - costy • (r t —y) 4- cosy • (£ — z) = 0 , wenn man cos cp, costy, cosy durch die proportionalen Werthe dx, dy, dz ersetzt N 5 = dx • (ü — x) -t- dy • (tj — y) 4 - dz • (£ — 2 ) = 0 . Sind die Gleichungen der Projectionen gegeben, so hat man 9 - N = (5 — x ) 4- y (r, — y) 4 - z' (£ — z) = 0 ; >m Anschluss an die Gleichungen 1. ist 442 10 . Differentialrechnung. N i cj_ 8F cx 8x cf 8F dy dy d l dF dz d z = 0. 11 . Die Coordinaten der Normalebene ergeben sich aus 9. zu 1 / v = x -hy'y -+■ z'z ' x-i-yy-hzz x+yy + zz Wenn man aus diesen Gleichungen und aus den Gleichungen y = «pW» * = die Coordinaten x, y, z eliminirt, so erhält man zwei Bedingungsgleichungen für u, v, w\ diese werden von den Normalebenen der Curve erfüllt, sie sind mithin die Gleichungen der von den Normalebenen der gegebenen Raum- curve umhüllten abwickelbaren Fläche. 9. Eine abwickelbare Fläche ist eine Fläche, deren Berührungsebenen zwei Bedingungsgleichungen genügen. Sind 1. /(«, v, w) = 0, F(u, v, w) = 0 zwei solche Gleichungen, so erscheint die abwickelbare Fläche umhüllt von den gemeinsamen Tangentenebenen der Flächen f — 0 und F= 0. Eliminirt man aus 1. einmal w und dann v, so erhält man zwei Gleichungen, die eine zwischen u und v, die andere zwischen « und w\ wir wollen sie uns in der Form denken 2. v =

(m). Es sind dies die Gleichungen der horizontalen und der verticalen Spur der abwickelbaren Fläche; durch diese ist die Fläche ebenfalls bestimmt. Die Coordinaten der Ebenen T und mögen den Gleichungen 1. genügen, es mögen also T und T x Tangentenebenen der abwickelbaren Fläche sein. Ist 3 irgend eine die Gerade TT X enthaltende Ebene, so ergeben sich die Coordinaten von 2 aus den Coordinaten von T und T x zu u = Xu , t> = \v -t- pz/, , tu = \w -+- p.ze'j , X + ja = 1 . Hieraus gewinnt man u — u = Xu -t- y.u l — u = p(« 1 — u) , » — v — [a(z>, — v) , tu — w = n(w, — w ). Hieraus folgt, dass die Coordinaten jeder die Gerade TT X enthaltenden Ebene den beiden Gleichungen genügen g U — U B — V tt) — W Wj — u v | — v w x — w’ und umgekehrt Diese Gleichungen sind als die Gleichungen der Geraden in Plancoordinaten zu bezeichnen. Setzt man u t = u + A«, v x = v -+- Aw, u\ = w -+- A w, so gehen sie über in u — u tB W Am Az< A w Nähert sich Am dem Grenzwerthe Null, so nähern sich im Allgemeinen auch Az» und A w demselben Grenzwerthe. Die Gerade TT t nähert sich dabei im Allgemeinen einer bestimmten Grenzlage ©, entlang welcher die Ebene T die abwickelbare Fläche berührt. Die Gleichungen dieser Geraden © sind daher § 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt von Flächen etc. 443 5. U - U 1» — w dw du dv Hierbei bestimmen sich du, dv, dw durch die aus 1. fliessenden Gleichungen df J ^— d u —H CU cF r, (lU — (~ cu v dv dv dF — dv cv U- dw dF dw dw = 0, dw — 0, aus welchen folgt 6 . du : dv : dw = df dj_ df_ d A cv GW cw CU CU dv cF cF • cF öF • dF cF cv GW ctv CU CU cv Oder man zieht aus 2. die Wertlie v’ und w' und hat dann die Gleichungen von Ö5 v> — v it> — w Eliminirt man u, v, w aus den beiden Gleichungen 7. und aus den Gleichungen / (u, v, w) = 0 , F(ti, v, w) = 0 , so erhält man in Plancoordinaten u, », \u die Gleichung der von den Geraden (H der abwickelbaren Fläche berührten Rückkehrkante der Fläche. 9. Wir wenden die entwickelten Formeln auf die Schraubenlinie und die Schraubenregelfläche an. Eine Schraubenlinie wird von einem Punkte beschrieben, der sich auf der Oberfläche eines Rotationscylinders von einem bestimmten Normalschnitte und einer bestimmten Mantellinie ausgehend so bewegt, dass sein Abstand von diesem Normalschnitte proportional dem Bogen ist, den seine Projection auf den Normalschnitt immer in derselben Richtung zurückgelegt hat. Wird die Cylinderachse zur Z-Achse genommen, die A-Achse durch einen Punkt der Schraubenlinie gelegt und die Schraubenlinie so beschrieben, dass sich die Drehung in der Richtung: von der positiven A-Achse nach der positiven F-Achse mit einer Fortschreitung in der Richtung der positiven Z-Achse verbindet, so ist nach der Definition z = k(?, wo k eine positive Constante und tp den Arcus des Winkels bedeutet, den der Radius vector der Horizontalprojection mit der A-Achse bildet. Ersetzt man

*1 — y — — j x ’ und daher weiter -- I" (5 — x ) 2 -+- (t) — y) 2 = ^ (x 2 + j» 2 ). Ersetzt man z und a: 2 H - y 2 durch k<( und a 2 , und bezeichnet die Spur der Tangente mit T x , so erhält man PT^ = atp, d. i. = Kreisbogen PA. Hieraus folgt: Die Spuren der Tangenten der Schraubenlinie auf einer Ebene normal zur Achse liegen auf einer Kreisevolvente. Der Winkel •/ der Tangente mit der Schraubenachse ergiebt sich aus 3. zu k a tangy V' k 2 k • Die Tangenten der Schraubenlinie sind also gegen die Achse gleich geneigt. Die Gleichung der Normalebene ist y(Z — x) — x(r) —y) — £(: — *) = 0 , JV 3 = _y5 — XTj — — z) = o . Die Coordinaten von JV sind daher d. i. 5. u = — Hieraus folgt weiter u y w k kz’ V = X Tz' w = 1 v x u y w k ’ v x ' Daher erhält man für die von den Normalebenen umhüllte abwickelbare Fläche die Gleichungen ,, u 2 4 - v 2 b ' T 2 = k 2 ■ Die letzte Gleichung entsteht, wenn man in w = 1 : z die Coordinate z durch kArc tang (y : x), und hierin y : x durch — uw ersetzt. Im vorliegenden Falle erhalten wir über die auf dieser Fläche gelegenen Geraden am einfachsten dadurch Aufschluss, dass wir die Gleichungen zweier ’> 2 a 2 u = j 2 , kw Are tang — -+- 1 = 0 . § 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flächen etc. 445 benachbarten Normalebenen der Schraubenlinie bilden. Die durch den Punkt x -+- dx, y -+- dy, z -+- dz gehende Normalebene hat die Gleichung -tVj s= (_y + dy) 5 — (x -+- dx) — £(£ — z — dz) - 0 . Durch die gesuchte Gerade JVN 1 geht auch die Ebene M = N x — N sss dy ■ S — dx ■ i\ kdz = 0. Setzt man die obigen Werthe von y' und z’ ein, so erhält man die Gleichung dieser Ebene M = xi -+■ yr t k 2 = 0 . M ist daher normal zu OP, und schneidet von der Verlängerung von OP' die constante Strecke OQ’ = k 2 : }/x 2 -+- y 2 = k 2 : a ab. Zieht man durch P die Gerade PQ parallel und gleich P' Q', so enthält N die Gerade PQ', folglich enthält die Gerade NN X den Punkt Q. Bewegt sich P entlang der Schraubenlinie, so beschreibt Q eine Schraubenlinie von derselben Ganghöhe; bezeichnet y A den Winkel der Tangente dieser Schraubenlinie mit OZ, so ist cos 7.i — k • a ■ j /,£ 2 -+- a 2 Hieraus folgt, dass cosy x = sin /, dass also die Tangente der von Q beschriebenen Schraubenlinie mit NN X zusammenfällt. Wir haben somit den Satz: Die Cuspidalkante der von den Normalebenen einer Schraubenlinie umhüllten abwickelbaren Fläche ist eine coaxiale Schraubenlinie von derselben Ganghöhe. Wenn eine Gerade normal zu einer andern Geraden sich so bewegt, dass sie diese Gerade und eine Schraubenlinie schneidet, welche die letztere Gerade zur Achse hat, so nennt man die von der bewegten Geraden beschriebene Fläche eine axiale normale Schraubenregelfläche. In Bezug auf das soeben benutzte Coordinatensystem ist die Gleichung dieser Fläche 7. z = k Are tang— , so dass die beiden Gleichungen der Schraubenlinie 1. und 2. dieselbe als Durchschnitt dieser Schraubenfläche und eines Rotationscylinders erscheinen lassen. Aus 7. folgt dz y dz x dx x 2 -t-y 2 ’ dy x 2 -h y 2 ’ mithin ist die Gleichung der Tangentenebene kyii, — x) — kxQ) — y) -+- (x 2 + y 2 ) (C — z) = 0 , oder 8- T = ky \ — kxr t -+- (x 2 -+- y 2 ) (C — z) = 0 . Diese Ebene enthält die Gerade, deren Gleichungen sind C = 2, y£ XT[ = 0, d. i. die durch den Berührungspunkt P gehende erzeugende Gerade der Schraubenfläche. Der Abschnitt von T auf der Af-Achse ergiebt sich aus 8. für i\ = J = 0 zu x 2 y2 Ist p der Abstand des Berührungspunktes von der Z-Achse, und

V|| Y ~ sin% cp’ sin 2 cp ' ° sin 2 cp Folglich ist die Gleichung der Tangentenebene im Punkte x, y, z bcota. coty^ (? — x) — ^ cota cos^ x -t- k T ES sin 2 cp sin 2 cp sin 1 cp. yin‘ cp 10 . Um die Construction der Tangentenebene in einem Punkte P der Geraden § 6. Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flächen etc. 447 G zu erledigen, genügt es, die Spur derselben auf der durch Q gehenden Normalebene zur Achse anzugeben; und es reicht aus, dabei eine die Gleichung 10. vereinfachende besondere Lage von G vorauszusetzen. Wir wählen dazu die Lage

gS + ^2 + £2 ’ S 2 -+- + £ 2 ) wobei P und II auf demselben Radius liegen. Bildet man . df dx dy dz & s FF +/j, äF + f*W "• s - w - so erkennt man, dass A ■ x + /, • y-h A • Z . r 2 (/, • X -+■ f y ■ y +/, • z) — 2r 2 (f x • x -+- fy-y + f z - z) ($X + t) F-P CZ). Die Tangentenebenen zweier Reciprokalflächen in entsprechenden Punkten schneiden daher eine Normalebene des Radius dieser Punkte in parallelen Geraden. Ferner ist /^ 2 -+- / Tj 2 -f-/ t 2 — (A 2 + A 2 T- fz 2 )- Hieraus findet man, P dass die Normalebene des Radius zweier zusammengehöriger Punkte mit den Tangentenebenen in diesen Punkten entgegengesetzt gleiche Winkel einschliesst. Die Reciprokalfläche der Fusspunktfläche eines Ellipsoids E — beide Male für das Centrum als Pol — ist ein coaxiales Ellipsoid, dessen Achsen den gleichgerichteten Achsen von E reciprok sind. § 7. Höhere Differentialquotienten. 1. Mit Rücksicht auf weitere Differentiationen wird der Differentialquotient einer Function y einer Variabein als der erste Differentialquotient von y bezeichnet. Unter dem zweiten Differentialquotienten von y versteht man den Difterential- quotienten des ersten Differentialquotienten; unter dem dritten Differentialquotienten versteht man den Differentialquotienten des zweiten Differentialquotienten u. s. w., allgemein unter dem raten Differentialquotienten den Differentialquotienten des (n — 1) ten Differentialquotienten. Aus dieser Definition folgt sofort, dass der rate Differentialquotient des »2 ten Differentialquotienten von y gleich ist dem (« + raz) ten Differentialquotienten von y. Den 2 ten, 3 ten, 4ten, . . . raten Differentialquotienten von y bezeichnet man mit y", y'", y"", . . . yW; man hat daher / tl = d J. yW = d JL yn = dx’ * dx ’ y dx ’ y dx ’ (jyM)(») = y(M+m) _ dy' = y" dx, dy" — y"' dx . dy — y' dx, 7- Höhere Differentialquotienten. 449 Wenn man beide Seiten der Gleichung dy = _/ dx differenzirt und dabei dx als constanten Faktor ansieht, so erhält man d (dy) = dy' ■ dx ; in Folge der Gleichung dy' = y" dx entsteht hieraus d(dy) = y"dx 2 . Statt des unbequemen Zeichens d(dy) setzt man das kürzere d^y,*) wobei ausdrücklich zu bemerken ist, dass dieses Zeichen die Voraussetzung enthält, dass bei der zweiten Differentiation der von der ersten herrührende Faktor dx als constant betrachtet werden soll. Unter dieser Voraussetzung hat man ^ = y- dx> y ' Diese Darstellungsweise lässt sich auf beliebig hohe Differentialquotienten ausdehnen. Versteht man unter d n y den Ausdruck, den man erhält, wenn man y differenzirt, das Resultat wieder differenzirt und diese Differentiationen so oft wiederholt, bis man im Ganzen n ausgeführt hat, und bei allen diesen Differentiationen dx als constanten Faktor behandelt, so ist d n v w« = y w - Denn nimmt man an, diese Formel gelte für einen bestimmten Werth von n, so hat man zunächst nach der Voraussetzung d n y = y( H )dx n ; durch Differentiation ergiebt sich hieraus, wenn dabei dx als constant gilt d(d n y) = i iy(*) ■ dx*. Wenn man hierin dytä = y( n +Vdx substituirt, und d(d n y) durch d n+1 y ersetzt, so ergiebt sich d K +ly d n +ly — y(*+l)dx H+l , also = y»+1). dx «+1 Da nun die Formel für n = 2 erwiesen ist, so gilt sie auch für n = 3, 4, 5 . . überhaupt für jeden Werth von n. Diese Bezeichnung höherer Differentiafquotienten einer Veränderlichen wird am häufigsten angewendet. 2. Höhere Differentialquotienten einer Potenz. Durch successive Differentiation erhält man leicht d(x m> ) d^ (x m ") d^ (x M ') . K y — m(m — l)x™~ 2 , ~ dx 3 —1) (tu — 2)x m ~ s dx dx 2 d k (x m ) —fair = rn(m— 1 ) (m ■ 2 ) ... (m -— k 1) x m — h . Ist m eine positive ganze Zahl, so kommt man endlich auf d m (x fn,s ) — — J — m{m — 1) (m — 2) (m — 3) ... 4 dx m 3 • 2 • 1. 0 Da der m te Differentialquotient von x unabhängig ist, so folgt, dass der - l)te, sowie alle höheren verschwinden. 3. Höhere Differentialquotienten des Logarithmus. ~ = - folgt ~ also hat man durch Anwendung dx x * dx n dx n ~1 des in No. 2 Gefundenen Aus *) Die hochgestellte 2 hinter dem Zeichen d ist hier ein Wiederholungszeichen; Verwechselung mit einem Potenzexpönenten ist nicht zu befürchten. Schlobmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 29 45° Differentialrechnung. d n lx dx” (— 1 )*-l • 1 ■ 2 • 3 . . . (»— 1) *-». 4. Höhere Differentialquotienten der Exponentialgrösse. de x Da = «■*, so folgt d”e x dx n Die Exponentialgrösse hat also die Eigenschaft, dass jeder ihrer Differentialquotienten der Function gleich ist. 5. Höhere Differentialquotienten von sinx und cosx. Man hat und daher d sin x COSX t d cos x — sinx dx dx d “ 1 sinx — sinx f dt cosx — cosx dx 2 dx 3 d 3 sinx d 3 cosx dx 3 — cosx, dx 3 sinx d 4 sinx d 4 cosx dx 4 smx . dx 4 cosx Somit ist man beim vierten Differentialquotienten wieder zur ursprünglichen Function zurtickgekehrt. Man erkennt hieraus folgende Regel: Um den »ten Differentialquotienten von sinx und cosx zu erhalten, dividire man n durch 4; je nachdem der Divisionsrest p die Werthe hat P = 1, 2, 3, 0, d H sinx ist —= cosx , — smx , dx n d n cosx dx n = — smx , — cosx , — cosx, sinx, stnx, Man kann diese Regel in die Formeln zusammenfassen d n sinx , . d K cosx —y-= sm li nr. + x), —t — = cos (int: dx n u ' dx n v - G. Höhere Differentialquotienten von fangx. Man hat zunächst d fang x 1 ■ x) . dx cos“- 1 x - 1 fang 2 x . Daher ist weiter dt fang x dx 2 = ^Itangx (1 -t- fang 2 x) = Ifang x -l- 2 fang 3 x, d 3 fang x dx 3 (2 -l- 2 • 3 fang* x) (1 4- fang 2 x) 2 4- 8 fang 2 x 4- (itang 4 x, d 4 fang x - a - = (8 • ’itangx 4- 6 • 4 fang 3 x) (1 -f- fang*x) — 16 tangx -+- 40 fang 3 x 4- 24 fang 3 x , rfb fflfigr % —— (16 -+■ 40 • 3fang 2 x-h 24 • 3tang 4 x) (1 4- fangtx) — 16 4- 136 fangt x-h 240 fang 4 x 4- 120 fang 6 x . Auf diesem Wege kann man beliebig weit vorwärts gehen; freilich erhält man keinen Aufschluss über das Bildungsgesetz der Zahlenfaktoren, und findet einen höheren Differentialquotienten der Tangente nur, nachdem man alle niederen nach einander berechnet hat. § 7' Höhere Differentialquotienten. 451 In Bezug auf die höheren Differentialquotienten der cyklometrischen Functionen verweisen wir auf spätere Entwicklungen. 7. Wir wollen nun zeigen, wie man den raten Differentialquotienten eines Produktes uv zweier Functionen von x aus den Differentialquotienten von u und v berechnet. Durch wiederholte Differentiation hat man zunächst duv dv du dx u dx -ff V dx ’ d' 1 uv d 2 v du dv d % u dx 2 u dx 2 4- 2 dx dx dx 2 V ’ d 2 uv d % v du d 2 v d 2 u dv d 3 u dx 3 u dx % -1- 3 dx dx 2 ^ dx 2 dx + d&"°' d 4 uv d 4 v du d z v n d 2 u d 2 v d % u dx 4 ~ u dx 4 -ff 4 dx dx % + 6 J& ' dx 2 + 4 d^ dv dx d 4 u dx 4 ■ v . 1. Diese Entwicklungen entsprechen der allgemeinen Formel d n uv d n v (ri\du d n ~ 4 v fri\d 2 u d n ~ 2 v (ii\d' 4 u \1 ) dx dx “— 1 \2/ dx* dx n ~~- ^ \‘s) dx 3 11 ■ (ra ■ dx wobei dx n CD- ' dx 2 1) . . (ra ■ dx n -k- d n ~ 2 v dx n ~ 3 1) 1 • 2 . . . . k Um die unbeschränkte Gültigkeit derselben nachzuweisen, nehmen wir an, sie gelte für einen bestimmten Werth von ra und entwickeln daraus den nächst höheren Differentialquotienten; wir erhalten d n + 4 uv dx n +1 d n4r iv dx n + 1 d 2 u dx 2 d»+ 4 v ©(: du d n v ^ dx dx d n ~ 1 v dx n ~ 1 o-coc d 3 u dx 3 du d n v dx dx” d n —' 2 v s d 2 u d”~ dx 2 dx -t»\ n ~\J —2 ? A (”—t) = U dx ”+ 1 >c Da nun bekanntlich 1 + C) dx* du d n v d 3 u dx 3 dx d n ^v dx n ~ 2 dx’ 1 f 7l\ ►cd: d 4 u dx 4 d 2 u dx 2 d n —*v dxn—* d n ~ 1» dx”— 1 so hat man d H + l uz> d”+ 4 v G-DG) ►CD du ' dx d n v dx” CD' CD d 2 u dx 2 d n ~ 1 v dx ”~ 1 Gilt also die Formel 1. für einen bestimmten Werth von ra, so gilt sie auch für den nächst höheren; da sie bereits für ra = 2, 3, 4 erwiesen ist, so folgt, dass sie für jeden Werth von ra gültig ist. 8. Wir wenden dies an, um den raten Differentialquotienten von arctangx, arc sinx und (arc sinx) 2 für den besonderen Werth x = 0 zu erhalten. A. Aus der Gleichung darctangx 1 dx 1 + x 2 folgt (1 -ff x 2 ) darc tangx dx - 1 = 0 . Bildet man den (ra—l)ten Differentialquotienten der linken Seite, so erhält man ( 1 +* 2 ) d n arc tangx 2(«—l)x d n 1 arc tangx dx H Daher hat man die Gleichung dx n ~ 1 -ff (ra—!)(«—2) d"— 2 arc tangx dx”~ 2 29 " ;0 . ' .'D: siSaSi'Sää«-' 452 Differentialrechnung. ff« arc tang ^ = > L * l + x 2 L ff«— 1 arc tang x 0 — 2 ) dp—1 arc tang x ]■ dx n 1 -+- x 2 L"" dx K ~ l 1 dx"-—' 2 Wenn man den Werth, den ein Differentialquotient für x = 0 hat, durch ( ff« arc tangx\ dx n ) 0 bezeichnet, so findet man ( ff« arc tangx\ . , ^/d n ~ 2 arc tangx\ Da nun ( darc tang x\ fd 2 arc tangx\ dx )- 1 ’ \ dx 2 )~ ’ dx J 0 * ’ V dx 2 so folgt, dass der «te Differentialquotient von arc tangx für ein gerades n und für x = 0 verschwindet, während für ein ungerades n ( d K ar c^ tangx ') ^ x . 2 . 3 . 4 B. Aus der Formel ff arc ««X 1 ■ 0 — i) • ff# folgt zunächst Y 1 — # 2 ,-- darc sin x - = 1 Hieraus ergiebt sich durch erneute Differentiation # darcsinx - - d 2 arc sinx und mithin yi — # 2 (1 - X 2 ) dx d 2 arc sinx + Yl — dx 2 darc sinx = 0, = 0 . dx 2 dx Differenzirt man diese Gleichung (n — 2) mal, so erhält man , „ff« arc sinx ^ d"- l arc sinx (\—x 2 ) --r--20 — 2)* dt 1 — 2 arc sinx (n — 2) O 3) die’ 1 - 2 dx n dx”— 1 d”- 1 arc sinx d”- 2 arc sinx ~ x ff^=i- ^-^—d^r- = °- oder zusammengerechnet , ff” arc sinx ff«— 1 arc sinx . d”— 2 arc sinx o - * 2 ) —dZT- -® n ~ V* ~d^ -- 2 >’ -d^- = 0 ' Diese Gleichung lehrt, wie man den »ten Differentialquotienten von arc sinx aus den beiden nächst niederen ableitet. Für x = 0 hat man insbesondere (' d n arc sinx\ f ON2 dt 1 — 2 arc sinx ) = 0 — 2) /o dx n Da nun bekanntlich ( darc sinx\ / dx )~ ’ V dx n — 2 ff 2 arc sinx\ dx 2 ) 0 = 0, so folgt, dass der «te Differentialquotient von arc sinx für x = 0 und für ein gerades n verschwindet, während man für ein ungerades hat ( ff” g 2f -) = l 2 • 3 2 • 5 2 • 7 2 . . . 0 — 2) s . ist l/l C. Setzt man u == (arc sinx) 2 , so ist du 2 u dx y j — x 2 ’ x du — du ■X 2 • — = %u, dx y 1 — x 2 dx -h yr^x ff 2 u 2 ._— 9- dx 2 yi folglich § 7- Höhere Differentialquotienten. 453 (1 — x 2 d 2 u dx 2 du x -j- = 2 . dx (1— x 2 ) Wird hiervon der (n — 2)te Differentialquotient gebildet, so erhält man d n u _ , d H ~^u , d' l ~ 2 u d n ~^u , _.d"— 2 u !(»—2)j -(«—2)(«—3); -r — («-2) J-a = 0 . r*—1 ' ' dx n ~ 2 ’ dx n a> '~dx ”— 1 “>v ' J/ dx n ~2 ^ dx n ~ 1 dx n ~ 2 Hieraus folgt zur Berechnung von a?»w : «Dr* aus den vorhergehenden Differentialquotienten d n u 1 f d n —^u d n ~ 2 u\ dx« = I — ^ [( 2 « ~'i)x j- x ;- x -1- in— 2) • Insbesondere erhält man ( d n (arc sinx) 2 \ Sd H -\arc sinx) 2 \ dx n ) 0 ' V dx n ~ 2 Da nun, wie aus den ersten Formeln leicht sich ergiebt ( d(arc sinx) 2 \ n f d 2 (arc sinx) 2 \ n Tx )r 0 ’ v sp ) 0 - ’ so folgt, dass der nte Differentialquotient von (arc sinx) 2 für x = 0 und für jedes ungerade n verschwindet, während für jedes gerade n, das grösser als 2 ist, die Formel gilt (d n (arc sin x) 2 > ( ? dx n 2 \ - ) = 2 • 2 2 • 4 2 • 6 2 • 8 2 .. .(n — 2) 2 . / o 9. Höhere Differentialquotienten einer F'unction von einer F unction. Ist y = F(u) und u — tp (x), so erhält man durch wiederholte Differentiation zunächst dy dx d 2 y dx 2 d 3 y dx 3 du U d JL , du U _ d Z , ^L.^1 ; d*y dx 4 du dF du ! = —ti d 2 F du 2 ’ U ’ d 2 F , „ du d 2 F du 2 (4 u'u" du 3 U 3u" 2 ) d? F lo „ d^F „ Hiernach übersieht man, dass allgemein 1 d LL — d JL y , d lÄy , d dÄy , , — X dx n du * du 2 2 du 3 3 du n n ’ worin die Xk Functionen von x sind, die nicht von der besonderen Art der Function F abhängen. Man kann daher diese Xk ermitteln, indem man in Formel 1. die Function F specialisirt. Setzt man F(u) = a", so erhält man d(u n ) dx * = nu n ~^X x -t- n(n — \)u n —‘ 2 X 2 -4- n(n —1) (n — 2 )u n ~ 3 X i -+- wofür wir setzen wollen 2 ‘ ^ + G)^ 2 ^ r Q U ”- 3U ° ^ FU n , so dass nun U x , U 2 , U 3 . . zu bestimmen sind. Um die links angedeutete Differentiation auszuführen, bemerken wir zunächst, dass, wenn z und t von einander unabhängig sind, und z -+- t = w gesetzt wird, die Gleichung gilt d n ty(w) d n i/(z -+- 1) d n w dt n Setzt man für w einen besonderen Werth IV, so ist es gleichgültig, ob man 454 Differentialrechnung. erst ij >(w) nach w «mal differenzirt und dann w durch W ersetzt, oder ob man in Bezug auf IV differenzirt. Wählt man insbesondere W = z, also t = 0, so erhält man 3 d’^ {z) [z) _ +/) i - _ L dln J 0 ’ ngte Nu 0 zu si !«) \d»[y(x -+- t)]’ r \ = L ~di ’ 1 Jo' wobei rechts durch die angehängte Null ausgedrückt werden soll, dass man nach geschehener Differentiation 1=0 zu setzen hat. Insbesondere ist also d H (u n ) Vd”[y(x -+- t)]’ 1 dt’ 1 t) —- den Werth zurück, so erhält man für die gesuchte Function £4 den Werth 6 _ Uk = + /) — 9(*)]* j Entwickelt man rechts nach dem binomischen Satze, und beachtet, dass nach 3. d H rf(x -+- t) rS \ d n y(x) r dt’ 1 so erhält man d n u k ~ 1 dx n 1 V2 J™ dx” Insbesondere erhält man aus 6. oder 7. c d H u k (k\ 7 ' U * = dx’’ -{ij“' In: U x = V Q dx H d n u h — 2 ^-1 d n u d n u d n iF d”u dx” ’ II St, 5$ 1 2 u — , dx n ’ U, d n u 4 d n u 3 1 II 4 u —.— dx n U, = 6« 2 d n u 3 dx’ 1 d n tF dx n — 3« 4u 3 dx n d’ l u dx n ‘ 3» 2 dx n ' d n u dx H ' Die ursprünglich gestellte Aufgabe ist hiernach auf die einfachere zurückgeführt: Die n ten Differentialquotienten der Potenzen von u von der ersten bis zur «ten zu bestimmen; mit Hülfe dieser Werthe gewinnt man die Functionen Uk *) und hat schliesslich (1) Q d»y dF(u ) U 2 d*F(u) U s d 3 F(u) U„ d»F{u) ' 'dx»— 1 du~ + 1-2' du 2 1-2-3 ' " du 3 + " ' + 1 -2-3 .. . n ' du * ' Betreffs der Anwendungen dieser Formel begnügen wir uns hier mit einem Beispiele. Für u = x 2 hat man 9 (x-b t) — . (2x)” 4 dx ” +1 1 -+- x 2 \(1 + X 2 )” V l Al + x 2 )’ 1 - 1 ' 5 2 , J(1 + x 2 )”- 2 /« —3' \ (2x)”~ e /n —4\ (2x)”- s \ 3 , )(l+ x 2 )”-3 + V 4 / (1 -t- x 2 )”—* ■ r 10. Die Entwicklungen des vorigen Abschnitts lassen sich noch unter einem anderen Gesichtspunkte betrachten. In Gleichung 8. ist in einer Function F die unabhängige Veränderliche u durch eine neue Unabhängige x gemäss der Gleichung u = y ■ ■ ■ ■), und bildet man den partialen Differentialquotienten 8z_ 8x und hiervon den partialen Differentialquotienten nach einer andern Variabein y, so wird das Resultat mit 8 2 z 8x 8y bezeichnet, so dass man die definirende Formel hat 8 dz ^ — _sn P 1» /) ■ ■ ■) — f( x > y> ■ ■ ■) 8x Ax 92 und daher 8 2 z f —5- = lim r x Oy L 7(a hx, y + Ay, . . .) —f(x,y-h Ay, . . .) Ax _ f(x ■+• Ax, y, . . .) — f(x, y, . . .) 1 _ Ax J wobei sich das Zeichen lim in der letzten Formel auf das Verschwinden von Ay und Ax bezieht. Hieraus folgt weiter 8 2 z f( x + Ax,yy- Ay, ..)— f{oc,y-+- Ay ,...)— f(x + Ax,y...)-+- f(x,y ,...) — X . Uffl " 1 --—-, Oxdy Ax Ay In gleicher Weise ergiebt sich = ,;_ f(x + \x,y-y-hy ,. ,)—f(x + Ax,y...) —f(x,y-\-Ay, ,.)-hf(x,y, ,..) 8y8x ml Ay hx *) Um typographisch unbequeme Formen z.u vermeiden, schreibt man d du % 2 d*u ö“ U für -X- , X—ö- U für x —~r Cx Cx -exoy Ö x ay u. s. w. § 7- Höhere Differentialquotienten. 457 Aus der Identität dieser Ausdrücke folgt d 2 z d 2 z dxdy dydx' Ist z eine Function von n Veränderlichen x 1( x d n z so hat man dx x dx 2 dx 3 ..dx„ und daher nach 3. d* d 2 d’ 1 —*- -2« dx x dx 2 . . dxi dx I+ idxi + 2 dxi + 3 . , . . dx n d i d 2 d«—‘- 2 .sr dxfdx 2 . . dxi dx i+ 2dx 1+ i dx i+ 3 . d n z . . dx n dx x dx 2 • * . ()OCX()ÖCi-) r \ . > • 'd&n Man kann daher bei n Differentiationen irgend zwei auf einander folgende vertauschen. Da nun durch wiederholte Vertauschung benachbarter Elemente aus einer Reihe von Elementen jede Permutation derselben hervorgebracht werden kann, so folgt die allgemeine Geltung des behaupteten Satzes. 12. Ist y eine Function dreier Grössen u, v, w, die ihrerseits wieder Functionen einer Variabein x sind, y = /(*; v, w), u = ¥i(*)> v = 'PüC*). w = 9 3 (jc), so hat man Zf — ö— u d 2 y _ df dx 2 du 1 f Vf [du cv u dy dx du Zf , d f df df 5— • V + o- w', Cv cw (c 2 f , _ d 2 f o v W-4 dv 2 c 2 f dvdw Zf = U CU (: '') + ( . Zf d v 02 /., 2 d 2 f u'v' -+- 2 d 2 f du 2 ^ Z 2 f , >r~o— u cucw Zf hj-a CW z*f., dudv , Z 2 f . dvdw d 2 f ä—~— 7 cucw d 9 f dw 2 u a d 2 f 2 ö —v w d*f o O **■ "1” 4 o O M-V —£ r\ Hr IV ~T" r- n V ~T~ 4(0 0 u UU o Cy W • CU* CUCV CUCW cv* CUCW CW 1 Indem man auf jedes Glied dieses Ausdruckes die Regel für die Differentiation eines Produktes anwendet und die Glieder des Resultates geeignet ordnet und zusammenrechnet, gewinnt man weiter den dritten und höhere Differentialquotienten; man wird auch die Formel leicht auf Fälle ausdehnen, wo y als Function von mehr als drei Grössen erscheint, die Functionen derselben Unabhängigen x sind. 13. Ist z eine Function zweier unabhängigen Veränderlichen x und y, so ist das totale Differential von z dz dz dz — k— dx + dy. dx dy Dies ist der verschwindend kleine Zuwachs, den z erhält, wenn x und y um die verschwindend kleinen Beträge dx und dy wachsen; dx und dy sind unabhängig von einander, sowie unabhängig von x und y. Somit ist dz eine Function von x und y und zwar sind dieselben nur in dz : dx und in dz : dy enthalten. Das totale Differential von dz bezeichnet man als das zweite totale Differential d 2 z; das totale Differential von d 2 z als das dritte totale Differential d 3 z u. s. w., und setzt dabei voraus, dass bei allen diesen Differentiationen dx und dy unverändert dieselben bleiben. Man hat hiernach / 458 Differentialrechnung. d 2 Z ddz dx dx d i z — — dx dH cx dd 3 z dx ddz dy dd 2 z dy cd 3 z dy, dy, dy, u. s. w. d 2 z = dx S- dx cx \cx dx ' dy Setzt man der Reihe nach rechts die Werthe für dz, d 2 z, d 3 z . . ein, so erhält man zunächst 0* , \ , Sfdz dz \ Ty iy ) + dy -d-y\Tx dx + dy d y)- Führt man die angedeuteten Differentiationen der Klammerausdrücke aus, so erhält man formal ganz dasselbe, als wenn man die Klammem mit den davorstehenden Faktoren multiplicirt hätte, wenn man nur dabei dx, dy, cx, dy, wie sich von selbst versteht, als einfache Faktoren behandelt. Daher ist d 2 z formal darzustellen durch 2 . d 2 z = ^dx dy (d-. dx ~ T " UJI dy) {dx dy dx dyj ■ Man schreibt in einer sofort verständlichen Symbolik , dü du ( d d dx -^^ dy Tj = \ dx Tx + dy dy) Wendet man dies an, so erhält d 2 z die einfache symbolische Darstellung a dy) z - Hier hat man die zweite Potenz des Klammerinhalts nach den gewöhnlichen Regeln auszurechnen und dann im Zähler jedes Gliedes hinter cfl das Zeichen z zu stellen, so dass man also erhält r, 2 « d 2 z d 2 z d 2 z = -—k dx 2 dx J c z , , 2 q c;. dxdy dxdy d 2 z dj 2 dy 2 . Verwendet man den Werth 3. zur Bildung von d'H (, d j d [ dx FV + d y dx d dy, d 2 z, dx - so erhält man d*z = (dx \ cx cy! \ Cx Das Resultat der neu hinzutretenden Differentiation, die durch den vorderen Klammerausdruck symbolisch dargestellt ist, ist formal identisch mit einer Multiplication durch diesen Klammerinhalt, und man erhält daher d dy Yy . c\ 2 dx t;- 1 z. dy) 4. -(■ mar H Z = ^ Tx^ dy dy So fortschliessend, erlangt man die allgemeine Formel , d d H z = I dx — d Y dy d-y) Z - F'iir das höhere totale Differential einer Function von mehreren unabhängigen Variabein Z = f (x x , X%, X 3 . . X,') erhält man in gleicher Weise ohne Schwierigkeit d . 8 i). d n z ( d = | dx, ^— V ox x dx 9 dx 9 dx, dx, 14. Höhere Differentialquotienten einer unentwickelten Function. § 8. Krümmung ebener Curven. 459 Wir beschränken uns hier auf den einfachsten Fall, dass der Zusammenhang einer Function y mit der unabhängigen Variabein x durch die Gleichung gegeben ist 1. f{x, y) = 0. Den ersten Differentialquotienten von y gewinnt man aus der Gleichung 2 d J- + d J.. d -l = o dx 8y dx Denken wir uns aus den Gleichungen 1. und 2. y eliminirt, so erhalten wir y als Function von x allein; fuhren wir diesen Werth in 2. ein, so wird 2. identisch erfüllt. Differenzirt man 2. unter der Voraussetzung, dass y' durch x allein ausgedrückt ist, so entsteht die Gleichung oder besser 3. 4. dx 2 2 iV , dx dy y «■/.,. + g.y_„. 8y 2 Setzt man hier den Werth y' = df df ein, so erhält man ox' dy _ P!/. ( d JV _ 9 P!/. V. V . ay /Wl . ( d JY. I dx 2 \8y) dxdy dx dy dy 2 \dx) J * \dy) ' dxdy dx dy dy 2 \dxj Indem man noch rechts y durch x ausdrückt, erhält man y" als Function von x allein. Für den dritten Differentialquotienten von y erhält man durch Differentiation von 3. die Gleichung \dx 3 cdy 2 y oder kürzer \dxd , 8*f dy 2 dy dx 3 - yy ^ dy 3 ?' dy + \dxdy- dy d 2 f . , w yy y) = o, y dx 2 dy 3 y ° o a. y JV dxdy d 2 f 2 -y ' 2 - £Vy. dy 3 * = 0. dxdy ■ y _r " u dy 2 ?? dy? So fortfahrend, erlangt man n Gleichungen, welche die partialen Differentialquotienten von f mit den n Differentialquotienten dy ■ d 2 y d 3 y d n y dx ’ dx 2 ’ dx 3 ' ' ' dx n verknüpfen, aus denen man dieselben durch successive Elimination gewinnt. § 8. Krümmung ebener Curven. 1. Wenn zwei Curven, die in Bezug auf rechtwinkelige Coordinaten die Gleichungen haben y = fix) und y = F (x), einen gemeinsamen Punkt /'enthalten, und wenn in diesem Punkte auch die Differentialquotienten /', f", f”, ■ ■ ./-> der Reihe nach den Differentialquotienten gleich sind F\ F", F"\ . . . FM, so sagt man: Die beiden Curven haben in diesem Punkte /'eine Berührung «ter Ordnung. Aus dieser Definition folgt sofort: Wenn zwei Curven C 1 und C 2 mit einer Curve C a in demselben Punkte P eine Berührung »ter 460 Differentialrechnung. Ordnung haben, so haben C x und C 2 in P unter sich eine Berührung von «ter oder höherer Ordnung. Wir zeigen zunächst, dass die Eigenschaft zweier Curven, in einem Punkte eine Berührung «ter Ordnung zu haben, vom Coordinatensysteme nicht abhängt. Geht man vom ursprünglichen Systeme x, y zu neuen irgend wie definirten Coordinaten u, v über, und sind die neuen mit den alten durch die Gleichungen verbunden . u = 2D - \d^c + dj y ) und hieraus durch Division dv dx, v = <1> (x, y), -d du (8? [dx d a> Ty? ') dx, dv du i»i (*> y, /)• Weiter erhält man dv' -(■ dx 8$! 8y in: -y ~8y r y" / dx; Dividirt man durch du, so entsteht ein Resultat von der Form v” = fl> 2 (x, y, y’, y"). So weiter schliessend, erkennt man, dass d ~j~ n = (*. y, y'< y”, ■ ■ ■ y {n) )> dass also die ersten n Differentialquotienten von v in Bezug auf u Functionen von x, y und den ersten n Differentialquotienten von y in Bezug auf x sind; in Bezug auf y’, y” . . sind diese Functionen algebraisch rational. Wenn daher für einen gemeinsamen Punkt zweier Curven die ersten n Differentialquotienten y> y’> y"> y’" • ■ ■ y ,c> dieselben Werthe haben, so haben auch für diesen Punkt die Differentialquotienten v', v", v 1 " . . . zM dieselben Werthe. 2. Eine Gerade, die den Punkt x, y einer Curve y = f(x) enthält, hat eine Gleichung von der Form 7) — y = m (£ — xj. Hieraus folgt d-q d\ = m - Für die Curve ist im Punkte x, y dy dx ^ = /'(•*), die Gerade hat mit der Curve in P eine Berührung erster Ordnung, wenn m = f'(pc); die Gleichung der Geraden, welche in P mit der Curve eine Berührung erster Ordnung hat, ist daher ■n — y ~ f (*) — x) = 0. Da dies die Gleichung der Curventangente im Punkte P ist, so folgt: Die Tangente einer Curve hat mit der Curve eine Berührung erster Ordnung. Der erste Differentialquotient y' einer Geraden ist für alle Punkte constant; mithin verschwinden der zweite und alle höheren Differentialquotienten. Wir sehen daher: Wenn für einen Punkt P x einer Curve der zweite Differential- quotient y" verschwindet, so hat die Curve mit der Tangente in P eine Berührung zweiter Ordnung. Die Curvenpunkte, für welche y" verschwindet, y"’ aber nicht verschwindet, heissen Wendepunkte (oder Inflexionspunkte), die § 8. Krümmung ebener Curven. 461 Tangenten in diesen Punkten heissen Wendetangenten. Verschwindet ausser dem zweiten noch der dritte Differentialquotient, so heisst der Punkt ein stationärer Punkt, die Curve und die Tangente in diesem Punkte haben eine Berührung dritter Ordnung. Für die Sinuscurve ist y = sinx, y' = cosx, y" = — sinx = — y. Daher sieht man, dass die Durchschnittspunkte der Curve mit der Abscissen- achse Wendepunkte sind. Die Gleichung der Fusspunktcurve der Ellipse für den Mittelpunkt der Ellipse als Pol ist bekanntlich (§ 5, No. 12) 1. ci 2 x 2 -F b 2 y 2 -- (x 2 4 -jy 2 ) 2 = 0. Flieraus folgt durch Differentiation 2 . 3. (fix -+- b 2 yy ' — 2 {x 2 4 - y 2 ) {pc 4- yy') = 0, Aus 2. ergiebt sich / = b 2 yy" — 2 ( x 2 y 2 ) (1 {cfi — 2 r 2 )x ■y' 2 + yy") — 4(x -Pyy 1 ) 2 = 0. ■ y A (b 2 — 2 r 2 )y’ Aus' 3. ergiebt sich, dass y" unter der Bedingung verschwindet 4 (x -h yy 1 ) 2 4- 2r 2 (1 -Py' 2 ) — (a 2 4- b 2 y' 2 ) = 0. Aus 4. erhält man x(b 2 — a 2 ) x 4 - yy = ( a 2 4- b 2 y' 2 ) b 2 — 2 r 2 2 r 2 (1 4 -y' 2 ) (2 - +(2 2 r 2 — a 2 ) x 2 } — (2 r 2 — b 2 )y' 2 2 r 2 — a 2 6 . (2r 2 — b 2 )y 2 lv "' " >J ‘ J (2 r 2 — b 2 )y 2 Die Gleichung 5. liefert daher nach Beseitigung der Nenner 4:X 2 y 2 (a 2 — b 2 ) 2 4- (2 r 2 — a 2 ) (2 r 2 — b 2 ) r 4 = 0. Führt man die zweite Multiplication aus und beachtet, dass Ar* _ 2r 2 a 2 — =lr 2 b 2 = A{a 2 x 2 + b 2 y 2 ) — %r 2 a 2 — ^r 2 b 2 = 2 {a 2 — b 2 )(x 2 —y 2 ), so erhält man aus 6. 2 (a 2 — b 2 ) [*2x 2 y 2 ( a 2 — b 2 ) 4- r 4 (x 2 — y 2 )] 4 - a 2 b 2 r* = 0. Ersetzt man in der Klammer r* durch (fix 2 + b 2 y 2 , und führt die Multiplicationen aus, so erkennt man, dass der Klammerinhalt r 2 {cfix 2 — b 2 y 2 ) ergiebt; daher findet man schliesslich für die Wendepunkte a 2 b 2 b 2 y 2 = — 7. 7 8 , Aus 1. und 7. erhält man cfib 2 2 (a 2 —b 2 ) 2(a 2 — b 2 )/' ’ = 2F Durch Addition dieser beiden Werthe ergiebt sich %a 2 b 2 „ Za 2 b*(a 2 —2b 2 ) 2 = +T 2 ) ’ * 2 = (a 2 4 - ^ 2 ) ’ 1 / 0 a 2 £ 2 \ =: 2ä* V _ 2fc 2 — ' ’ cfib 2 2 () r y 2 = 3a 4 £ 2 (2a 2 — £ 2 ) 4(^rzr^4) («2 + ■ Reale Wendepunkte existiren also nur, wenn b 2 < \- 7 f 2/2 2esin 2 tp ~P E COS tp p COS tp 1 + E COS r" = r 2 (1 _ e tos tp \ r 3 V 1 -t- E COS tp) ~p • E COS Cp J Für den Krümmungshalbmesser findet man somit / ds y \rdtp) '?■ und tangz = r : r’ folgt ds^ _1_ rdtp sin z ’ so hat man schliesslich P p = »/ ' (M. 490.) Aus dem Dreiecke FPB folgt PB = rsintp : sin (cp — 90° -I- z) = r sintp : {sintp sinz — cos tp cosz). Da nun cosz : sinz : 1 = r' : r : j/r' 2 r 2 = sr sin tp :p : 'j/s 2 r 2 sin 2

folglich ist der Krümmungshalbmesser doppelt so lang wie die Normale. Da y" immer negativ und y positiv ist, so liegt der Krümmungsmittelpunkt auf dem nach der Abscissenachse gerichteten Theile der Normalen. 7. Für die archimedische Spirale r = a cp ist der Krümmungshalbmesser p = ( r 2 -+- a 2 )^ : ( r 2 -+- 2 a 2 )] er ist leicht zu construiren. Der Krümmungshalbmesser der logarithmischen Spirale r = e a f hat zum Radius das constante Verhältniss f/l -ha 2 ; die Dreiecke, welche den Nullpunkt, einen Spiralenpunkt und den zugehörigen Krümmungsmittelpunkt zu Ecken haben, sind einander ähnlich; die Evolute kommt daher mit der Spirale durch Drehung um den Nullpunkt zur Deckung. Für die Kettenlinie y = ^a\e^-h e~ä) ist der Krümmungshalbmesser gleich der Normalen. Die Polargleichung der Lemniscate ist r 2 = a 2 cos 2 cp. Hieraus folgt r 4 r 2 r' 2 = « 4 , r 2 -h 2 r' 2 — rr" = 3 (r 2 -h r' 2 ), und daher a 2 ^ 3 r’ § 9. Osculationsebene, Krümmung, Torsion und osculirende Kugel an Raumcurven. 1. Eine Ebene, die durch einen Punkt P einer Raumcurve C geht, hat eine Gleichung von der Form 1. « (5 — x) -h b {rj — y) -h c (£ — z) = 0. Denken wir uns auf dieser Ebene durch P eine Curve F gezogen und die Coordinaten S, r ; , ? eines Punktes dieser Curve als Functionen einer Variabein t, so erfüllen diese Functionen die Gleichung 1.; ihre ersten und zweiten Differentialquotienten erfüllen daher die Gleichungen 2 . 3. dr\ dt dt d 2 l dt 2 = 0. 0. di a dt dt d 2 i d 2 Ti a dt 2 + b dt 2 Denkt man sich die Coordinaten der Punkte von C ebenfalls als Functionen der unabhängigen Veränderlichen /, und verlangt, dass im Punkte P die ersten Differentialquotienten der Coordinaten für C und F dieselben Verhältnisse haben, so muss die Gleichung 2. erfüllt sein, wenn man die Differentialquotienten von $, rj, t durch die von x, y, z ersetzt. Dadurch erhält man dx dy dz a di + b Tt + c Tt Hierin sind a, b, c unbestimmt. Da die Differentialquotienten von x, y, 4 . c -r- = 0. § 9 - Osculationsebene, Krümmung, Torsion und osculirende Kugel an Raumcurven. 467 proportional der Cosinus der Winkel sind, welche die Curventangente in P mit den Coordinatenachsen bildet, so schliesst man aus 4.: Die Ebenen der Plancurven, welche durch einen Punkt P einer Raumcurve gehen, und in diesem Punkte mit der Raumcurve in Bezug auf die ersten Differentialquotienten der Coordinaten übereinstimmen, bilden das Ebenenbüschel, dessen Träger die Tangente der Raumcurve in P ist. Unter allen diesen Ebenen kann man diejenige aussuchen, auf welcher Curven liegen, die mit der Raumcurve C auch in Bezug auf die Verhältnisse der zweiten Differentialquotienten der Coordinaten für P übereinstimmen. Dann muss auch die Gleichung 3. erfüllt werden, wenn man in derselben die zweiten Differentialquotienten von $, vj, £ durch die von x, y, z ersetzt; man erhält somit für a, b, c die drei Gleichungen a (6 — Je) -I- b (r) — y) -I- c (C — z) = 0, ax' by' -f- cz' — 0, ax" -f- by" -+- cz" = 0. Hieraus folgt die Gleichung der gesuchten Ebene I — x 7) —y C — z 5. Q es x' y z' = 0. x" y" z" Diese Ebene wird als die Osculationsebene der Curve C im Punkte P bezeichnet. 2. Die Normalebene von C im Punkte P hat die Gleichung 1. N 3 = (5 — x) x' + (t) — y) y’ -+- (C — z) z’ = 0; die Gleichung der Normalebene N x im Punkte x -+- Ax, y Ay, z -+- Az ist 2. iVj=(f|— x— Jx)(x’ -+- J#')4-(t)— y — Jy)(y’ -bJy’)-h(Z — z — Jz)(z' + zlz') = 0. Die Punkte, welche auf der Schnittgeraden beider Ebenen enthalten sind, erfüllen daher die Gleichung, welche durch Subtraction aus JV 1 und N und Division durch A t folgt /h N A x' f N Aj v’ , v A x r t t a , N A y t d. ' ( ?-ä) ÄT + a 7 + (!_z) Ä7 _ Ä7 + ^ ~ Ä7 & + Az U (z* + Az') = 0 Wir können nun die Grenzlage bestimmen, der sich die Schnittgerade NN X nähert, wenn der Bogen PP^ verschwindet. Bei diesem Grenzübergange geht 3. in die Gleichung über (dsV 4 . p — (6 - x) x" + (r) —y)y" + (C - z) z" - (^J = 0; die durch diese Gleichung dargestellte Ebene P schneidet die Ebene N in der gesuchten Geraden. Die Cosinus der Stellungswinkel der Ebenen N und R sind proportional zu x’, /, z 1 bez. zu x", y", z". Eine Ebene, die durch Igelit, und zu der Geraden N, R normal ist, hat daher eine Gleichung a (5 — x) + b (t) —y) + c (C — z) = 0, deren Constante den Bedingungen genügen ax' -+- by' -t- cz’ — 0, ax" 4- by" -t- cz" = 0. Die Gleichung dieser Ebene ist hiernach 5 — x 7 )—y C — z x' y' z' x" y = 0 . x y z Vergleicht man dies mit dem Ergebnisse des vorigen Abschnitts, so folgt: 30 468 Differentialrechnung. Die Osculationsebene einer Raumcurve in einem Punkte ^derselben ist normal zu der Geraden, in welcher die Normalebene der Curve in P von der nächstfolgenden Normalebene geschnitten wird. 3. Für die Schnittcurve der Cylinder y 2 -+- z 2 = a 2 , x 2 ist, wenn man y als unabhängige Variable ansieht, y 2 = c 2 xx = — y , zz'— — y , xx = und daher die Gleichung der Osculationsebene c 2 ( a 2 — c 2 ) •$ r a‘ c a 2 {a 2 — c 2 ) zz" = — C — 1=0. Man erhält sie graphisch, indem man a 2 c 2 :y 3 herstellt und bemerkt, dass ihre Spuren die Spuren der Curventangente enthalten. Aus den Gleichungen eines sphärischen Kegelschnitts — -ö = 0 folgt, wenn man z als Unabhängige betrachtet und a 2 (b 2 -+- c 2 ) b 2 (a 2 - c 2 ) setzt: m ~ c 2 (<% 2 — b 2 ) ’ " _ c ' 2 (a 2 — b 2 ) xx' = mz , yy’ = nz , xx” = m — x' 2 , yy” = n — y' 2 . Multiplicirt man die Reihen in der Determinante Q mit x, y, z und dann die zweite Zeile mit z, so erhält man nach einfachen Reductionen für die Osculationsebene xi — a 2 r 2 : ( a 2 — b 2 ) , yj^ m a 2 m: x 2 Dies giebt zunächst b 4 (a 2 + c 2 ) x 2 • 5 — a 4 (b 2 -+- c 2 )y 3 • r ( -+ a 2 b 2 r 2 b 2 r 2 : ( a 2 n b 2 ), — a 2 1 a‘n :y 2 a 2 b 2 (a 2 + c 2 ) (b 2 zZ 1- 0 = 0. c 2 ) a 2 — b 2 b 2 + M [b 2 ( a 2 c 2 )x 2 (a 2 -+ c *(a 2 —b 2 ) a 2 ( b 2 -+- c 2 )y 2 ] = 0 , ( b 2 x 2 a 2 y 2 ) z ■ Z c 2 ) ( b 2 + c 2 ) Z 2 r 4 = 0. und schliesslich a 2 + c 2 - , w ~~a* ~ X ‘ ^ _ b 4 y ' ' 71 " r ' ” c 4 (a 2 — b 2 ) " ' ' a 2 — b 2 4. Alle Curven, die durch P gehen, und für P in Bezug auf x', y', z’, x”, y”, z” übereinstimmen, haben dieselbe Tangente in P, dieselbe Normalebene, dieselbe Schnittgerade benachbarter Normalebenen und dieselbe Osculationsebene. Die ebenen unter diesen Curven liegen auf der Osculationsebene und haben folglich die Projection M des Punktes P auf die Schnittlinie benachbarter Normalebenen zum gemeinschaftlichen Krümmungsmittelpunkte. Daher bezeichnet man M als Krümmungsmittelpunkt dieser Raumcurven imPunkte P, PM als Krümmungshalbmesser, und den um M durch P geschlagenen Kreis als Krümmungskreis der Curve. Die Coordinaten 5, r ( , Z des Krümmungsmittelpunkts genügen den Gleichungen No. 2, 1 und 4, sowie der Gleichung der Osculationsebene, sie sind also die Lösungen des Systems * (5 — x) X 1 + (t) — y) y' (z — z) z’ = 0 , (6 - *) *" + fr -y)y” + (Z - z) z” = J'» , (« - x) X + (r t — y) F (i — z) Z = 0 , wenn man X, V, Z abkürzungsweise setzt für X y'z” — z'y”, V ^ z'x” — x'z”, Z = x'y” —y'x”. § 9* Osculationsebene, Krümmung, Torsion und osculirende Kugel an Raumcurven. 4^9 Hieraus folgt % = x + Yz' — Zy' X 2 -+- F 2 + Z 2 Zx' — Xz' r) — y -4- Z = b + y 2 -+- z 2 „f 2 x 2 + f 2 + z 2 Der Krümmungshalbmesser p ergiebt sich zu Y(Yb’ — zyy + {Zx' — Xz’) 2 + (xy - Yxy „ p = X 2 + F 2 -+- Z 2 ' * ■ Der Radicand ist, wie man leicht erkennt, identisch mit (x 2 + f 2 -+- z 2 ) (x ' 2 -i -/ 2 + z 12 ) — ( Xx' -+- yy -+- zf) 2 . Zufolge der Werthe von X, Y, Z verschwindet der Subtrahend identisch; man erhält daher für den Krümmungshalbmesser einfacher 2. P = F 2 : /X 2 -+- F 2 -+- Z 2 . Ferner findet man leicht X 2 + .F 2 Z 2 = (x" 2 -4-y" + z” 2 ) (x' 2 - 4 -y' 2 + z’ 2 ) - (x'x" + y’y" + z'z") 2 . Da nun x' x" -l - y'y" + so ist 3. p = = i djx' 2 + y' 2 + z’ 2 ) dt = FF’, <•'2 y x " 2 l /'2 F ' 2 — S " 2 Für die Cosinus der Richtungswinkel cp, ij/, y des Krümmungshalbmessers hat man 4. 2 6 . K x f f^f/’ _ p! L (l\ r > — y — s ' ' dt[s')’ « 2 F C— z = dt $)■ Ist s die unabhängige Veränderliche, so vereinfachen sich diese Formeln zu 7 . d 2 x d 2 y S ~* = P "dT 2 ’ 7 >-- J ' = P i * 2 F 2 x d 2 y d 2 z cos ? = Pjj2-> — co s i = P js 2 ' d 2 z C -*“P** 2 - Bezeichnet man die Werthe, welche x 1 , y', z' für den Punkt x + Ax, y + A y, 470 Differentialrechnung. z 4- Az annehmen (r als unabhängige Variable verwendet), mit x' 4- A#', y' 4- A y', z' 4- A z’, so sind x', y', z' bez. x' 4- Ajc', y' 4- A/, z' 4- Az' die Richtungscosinus der Curventangenten in P und P '; daher hat man A*') 2 4- (/ ■ y 2 + 2 ,a = i 4- A/) 2 4- (z 1 -t- Az') 2 = 1 • (A^) 2 (*' Hieraus folgt 8. — “i{x'äx' -h y 1 äy' 4-z'Az') = (äx') 2 -4- (A_/) 2 Ist Ax der Arcus des Winkels der Curventangente in P und P', so ist cos At = x'(x’ 4- äx') 4- y'(y' 4- A y') 4- z'(z' 4- Az'), "" l 4- x Ix 4— y A y 4- z A z , folglich ist 'isin\äx = "j/2 (1 — Ersetzt man dies durch sin\äx At 9 Ar säx) = /(A x’) 2 4- (A/) 2 4- (Az') 2 - V(£)’- (fiT- (it)' At Ar ' \Aj/ \A j y und geht zur Grenze für ein verschwindendes A s über, so erhält man dx i /(d 2 x\ 2 (d 2 y\ 2 (d 2 z \ 2 9 ‘ ds = V V^T 2 " j + (rfT 2 ) + V^ 2 j ’ Mit Hülfe dieses Ausdrucks gewinnt man für den Krümmungshalbmesser ds 10 - P = Jx’ der Form und der geometrischen Bedeutung nach übereinstimmend mit dem Krümmungshalbmesser ebener Curven. Bezeichnet man Ar einen Curvenbogen und At den Arcus des Winkels der Tangenten in den Endpunkten dieses Bogens, so wird der Quotient At : Ar als die mittlere Krümmung des Bogens äs bezeichnet; die Krümmung eines verschwindend kleinen Bogens ist das Reciprocum des Krümmungshalbmessers. Die Normale der Curve, die in der Osculationsebene enthalten ist, auf welcher also der Krümmungsmittelpunkt liegt, wird als Hauptnormale bezeichnet. Sind a, ß, 7 bez. - = • 5. Plancurven haben in allen Funkten dieselbe Osculationsebene, nämlich die Ebene der Curve. Bezeichnet A tu den Arcus des Winkels der Osculationsebenen einer unebenen Curve in den Enden des Bogens Ar, so kann man sagen, dass die Curve um so stärker von einer ebenen Curve abweicht, je grösser das Verhält- niss Au>:Ar ist. Man bezeichnet diesen Quotienten als die mittlere Torsion des Curvenbogens Ar. Der Grenzwerth Ato dt» lim -— = 1 — A r ds heisst dem entsprechend die Torsion der Curve im Punkte P\ die reciproke § 9 ‘ Osculationsebene, Krümmung, Torsion und osculirende Kugel an Raumcurven. 471 Torsion heisst der Torsionshalbmesser; wird derselbe mit p t bezeichnet, so hat man 1 . ds Pl = d7 0 - Sind X, |jl, v die Stellungswinkel der Osculationsebene Q, so ist, wie sich aus der Gleichung von Q sofort ergiebt, x y „ yx* + 72 + r yx* + Y 2 4 - Z 2 z COS V = , ■ = , l/FTF+ 72 ' oder, wenn j die unabhängige Variable ist, 3. cosX = pX, cosp = p Y, cos't = pZ. Haben die entsprechenden Cosinus der Osculationsebene im Endpunkte des Bogens A s die Werthe cos X 4 - A cosX, cosp 4 - A cos p., cos't 4 - A cos't , so hat man die Gleichungen 4. 1 = cos 2 X -f- cos 2 ix 4 - cos 2 v, 5. 1 = (cos X 4 - A cos X) 2 -1- (cosjx 4 - A cosp) 2 4 - (cos't 4- A cos v) 2 , (>. cos A (,) = cos X (cos X 4 - A cos X) - 1 - cospfcosp 4 - A cos p.) 4- cos't(cos't 4- ArwvAv). Addirt man 4. und 5. und subtrahirt davon das Doppelte von 6., so erhält man 2(1 — cos Am) = (A cos).) 2 4 - (A cos p.) 2 4 - (Az^v) 2 , mithin ist 7. sink Am Am 1 / (Acosk\ 2 (Acosp\ 2 7Acosv \ 2 2 Am • AT = r (“Ar) + ("A7 ) + ("Ar) • Der Uebergang zur Grenze liefert schliesslich 1 / (dcosX \ 2 (dcosp \ 2 (dcos-t \ 2 V (rrj + (~*-) + (-rr) Hieraus folgt der Torsionshalbmesser _ 1 _ ^ 1 1 //dcos X \ 2 (dcos ij.\ 2 (dcosi\ 2 • V br) + (r/r ) + ( *7r) Aus 7. folgt 9. dm = /(toi) 8 4- (zAoi'p.) 2 4- (dcos'i) 2 . Es giebt daher eine Gerade, deren Winkel tp,, ij/j, '/ t mit den Achsen den Gleichungen entspringen 10. dcosX = cos'-fi dm , dcos\x = costy x dm , d cos't = cosy A dm . Da nun aus cos 2 X 4- COS 2 p 4 - COS 2 ') = 1 durch Differentiation hervorgeht cosX dcosX 4- cos\x dcosp. 4 - cos't d cos't = 0, so folgt in Rücksicht auf 10. für (p x , y x die Gleichung 11 . cos\cos

-h cos v cosy) dx 4 - (cosa zw

Xi ß e " legte Gerade in die Osculationsebene fallt und normal zur Tangente ist; folglich ist ?i = +1 = +> 7.i = X. und wir haben somit die Formeln 13. dcos\ — costfdm, dcos ja = costy dm , dcos't = cosydm. Ferner folgt aus cos 2 a 4- cos 2 X 4- cos 2 F 4- gk’*) (£ + 2 Fk 4 - Gk*) = (eG — 2 fF 4 - g£) {,k — k’)*. Hierin sind E, F, G noch ganz beliebige Grössen; ersetzt man E, F, G durch e, f, g, so erhält man 2. (f+2/£4- gk*) (e 4- 2 fk' 4 - gk'*) = t* (k — k’)*. Aus dieser Gleichung und der vorigen ergiebt sich £ 4 - 2Fk 4 - Gk* £ 4 - 2Fk' 4 - Gk'* _ eG — 2/ F 4- gE e 4 - 2 fk 4 - g k* + e 4 - 2 f k' 4 - g k'* t* § io. Krümmung von Flächen. 479 Sind nun E, E, G die Fundamentalgrössen II. O., so sind die Quotienten der linken Seite die reciproken Krümmungsradien der beiden Normalschnitte in den auf einander senkrechten Richtungen k und k '; bezeichnet man diese Radien mit p und p', so ist daher eG — 2 f F gE P 1 1 3. P Die rechte Seite hängt nur von der Lage des Punktes P ab, ist dagegen unabhängig von k oder k'. Dies ergiebt: Für jeden Punkt der Fläche ist die Summe der Krümmungen zweier sich rechtwinkelig schneidenden Normalschnitte constant. 7. Die Krümmung eines Normalschnitts I _ E+ 2Fk + Gk 2 p — e -t- 2 fk -+- gk 2 ist nur dann von k unabhängig, wenn £ _ E _ G * ~ f~ g' der gemeinsame Werth dieser Quotienten giebt dann zugleich die Krümmung an. Durch Auflösung der beiden Gleichungen 1. werden einzelne Punkte der Fläche erhalten, die die Eigenschaft haben, dass alle Normalschnitte in diesen Punkten gleiche Krümmung besitzen. Diese Punkte heissen sphärische Punkte oder Nabelpunkte. In besonderen Fällen treten auch Nabellinien auf, deren Punkte sämmtlich Nabelpunkte sind. 8. Dreht sich die Normalebene in einem Punkte der Fläche, der nicht Nabelpunkt ist, um die Flächennormale, so ändert sich 1 : p und kehrt nach Vollendung der Drehung zum Ausgangswerthe zurück. Daher muss dabei 1 : p wenigstens einmal einen Maximalwerth und einmal einen Minimalwerth erlangt haben. Die Richtungen k, welche diesen eminenten Werthen entsprechen, werden erhalten, wenn man 1 : p nach der Variabein k differenzirt und die Werthe von k bestimmt, für welche dieser Differentialquotient verschwindet. Man erhält J_ F -h Gk £ -t- 2Fk + Gk* JV f - 1 - gk e -+- 2 fk -t- gk 2 ’ d dk 1. £ E wobei JV = $(e + 2fk + gk»)*. Die gesuchten Werthe von k sind daher die Wurzeln der quadratischen Gleichung 2 . EF f - .. = 0 . e J ge f g Da wir uns überzeugt haben, dass ein Maximalwerth und ein Minimalwerth der Krümmung existiren, so folgt, dass diese Gleichung stets zwei verschiedene reale Wurzeln hat. Die beiden Normalschnitte, die durch diese Gleichung bestimmt sind, heissen die Hauptnormalschnitte, ihre Krümmungen die Hauptkrümmungen, ihre Ebenen die Hauptnormalebenen, ihre Tangenten die Hauptkrümmungstangenten, und deren Richtungen die Hauptkrümmung srichtungen. Sind k x und k 2 die Wurzeln von 2., so ist E F G £ 1 F G e f , m (k x -t- k 2 ) = g e , wobei m = , 1/ g Hieraus folgt 480 Differentialrechnung. 4. e 4 - f (k x 4 - k 2 ) + gk 1 k 2 — 0; dies ergiebt den Satz: Die Hauptkrümmungsrichtungen sind normal zu einander. Sind pj und p, die Hauptkrümmungsradien, so folgt (No. 6, 3) 1 1 eG — 2 fF 4- gE Pi + P 2 ~ Ersetzt man in No. 6, 2 k und k' durch k x und k 2 , so ergiebt sich (e 4- 2 fk x 4- gk j 2 ) (e 4 - 2/i s + gk 2 2 ) = * 2 (^1 — ■ Aus 3. folgt ferner für die Hauptkrümmungsrichtungen die Gleichung E 4 - F {Jz j -+- $2 ) ~h G k x k 2 = 0. Setzt man nun in No. 6, 1 5. «. 7. k = k x , - k n « = /=^, ^) S - und versteht unter E, F, G Hauptgrössen zweiter Ordnung eines Punktes P und unter k A und k 2 die für die Hauptkrümmungsrichtungen geltenden Werthe von dv : du, so sind 6. und 7. erfüllt und die Identität No. 6, 1 liefert 8. (£ -I- 2/^fcj -+- G^ 2 ) (£ + 2ßj + Gk 2 ) = (G£ — A" 2 ) (* Dividirt man 8. durch 6., so erhält man 1 EG — F 2 9. -=-72- • Pl P2 * Aus 5. und 9. erkennt man, dass die Hauptkrümmungen die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind 10 . t 2 1 1 (G — 2 fF 4 - gE) -b EG — Ft = 0 Um zu entscheiden, welche Wurzel dieser Gleichung zu , welche zu k 2 gehört, bilden wir die Differenz A = Pi P 2 1 und erhalten A = F -b 2 Fk x 4 - Gk 2 'iFk 0 g e -b 2 fk x -b gk 2 e 4 - 2/^2 Hieraus folgt nach Beseitigung der Nenner in Rücksicht auf 6 1 E 4 - 2 Fk 1 -b Gk 2 E+VFk 2 e 4- 2/ k x 4 - gkf «4-2 f k 2 GE Mk x -k 2 ) 2 t 2 = Gk i = i k i — k 4 E F e f g * (*1 gki 4 k 2 ) F G f g \ k r k 2 j Führt man rechts für die Determinanten die Werthe 3. ein, so erkennt man, dass der Klammerinhalt F G f g (*1 - *2) 2 beträgt, und erhält hieraus für die gesuchte Differenz F G 11. A = / g k 2 t 2 c s , so ist daher pj der Ist k x die kleinere der beiden Grössen und k 2 kleinere oder der grössere Hauptkrümmungshalbmesser, je nachdem Fg - Gf^t 0. 9. Bezeichnet ft den Winkel zwischen der Tangentenrichtung k und der Haupttangentenrichtung k x , so ist 90° — ft der Winkel zwischen den Richtungen k und k 2 ; die Formel No. 3, 5 liefert [e+fjk + ky+ g kkj] 2 sin i^ k I-/(* +" 4) «z>r 2 ft = («4-2//£4-,f£ 2 )(«4-2/A 1 P-gk 2 ) ’ - gkk 2 ) 2 ’ (e+'2/k-hgk 2 )(e-i-2/k 2 -^-gk^)' § io. Krümmung von Flächen. 48 Für die Krümmung 1 : p des die Richtung k enthaltenden Normalschnitts und für die Hauptkrümmungen folgt aus No. 4, 6 Fk-hGk* 1 E + ZFk^Gk* 1 Gk* p — rr + 2 fk-hgk*’ Pi ^ -t- 2 fk x +gk*' p 2 — e 4- 2/£ 2 -t- g k* ' In Folge der Gleichungen £ +/(*! "F ^ 2 ) "F ff^x = 0, E 4- F(k x 4 - k 2 ) 4- ^2 “ 0 hat man die Reductionen e -F /(£ + ^1) -F ff^x = (/ -F ff^x) (£ — k 2 ), e 4- /(£ 4- £ 2 ) = ff/^ 2 — (/ -F ff £ 2 ) — /^x) , ‘ -F 2/^i + gk 1 2 = (Z + ^^r)^! — ^ 2 ), * 4- 2//lr 2 4~ ff/fc 2 2 = (/-Fff/fcg) (<£ 2 — k x ), E - 4 - 2Fk, 4 - Gk* = (^4- G^) — k 2 ), E 4 - 2/^2 4- Gk* = (W 4 - Gk%) (^ 2 — /^x). Hiernach erhält man rw 2 ft : daher ist f + gk 1 c 4- 2//£ 4 - ff £ 2 _ Pi ~~ (*-*»)» k-\ F-hGk ± f+gK' sin 2 ft = /-Fff ^2 ^ 4- 2/£ 4- ff£ 2 1 _ F + Gk i P2 _ / -F ff ^2 ’ ik-k x ) 2 ^2 ^1 Cgf 2 ft *»*ft _ (^ 4 - Gk ,) (/P — /L ,) 2 -(/ 4 - g/^2) — ^x ) 2 Pi + P2 _ (r 8 -F 2//5 + ^ 2 )(l,-^) 2 ^ 4- Gk* — F(k 1 4 - ^2) — Gk x k 2 _ (f4-2/^4- ff £ 2 ) Addirt man zum Zähler £ + I ? (ii + £ 2 ) 4 - Gk 1 k 2 = 0, so erhält man schliesslich c^ 2 ft sin 2 » _ E+UFk + Gk* _ Pi + P2 _ « + 2 /£ + ff£ 2 ’ . . 1 cos* ft sm 2 ft also ist — = - 4- -. P Pi Pü Diese Formel lehrt die Krümmung eines Normalschnitts JV aus den Haupt- krümmüngen und aus den Winkeln zwischen N und den Hauptkrümmungsrichtungen finden. 10. Rechnet man das Bogenelement einer Raumcurve positiv, so hat der Krümmungshalbmesser ds P = ~dr einen positiven oder negativen Werth, je nachdem dz positiv oder negativ ist. Die Tangenten in den Endpunkten des Curvenelements ds bilden zwei spitze verschwindend kleine Winkel vom Arcus dz und zwei stumpfe Winkel, in deren einem das Bogenelement ds enthalten ist. Da der Krümmungsmittelpunkt auf dem Schnitt der Normalebenen in den Enden von ds liegt, so folgt, dass derselbe mit ds auf derselben Seite der Tangente liegt. Die Tangenten aller Normalschnitte in einem Punkte einer Fläche sind in der Tangentenebene vereint. Haben nun die Hauptkrümmungen 1 : p t und 1 : p 2 entgegengesetzte Zeichen, so folgt, dass die Curvenelemente ds x und ds% der Hauptnormalschnitte und daher auch die Hauptkriimmungscentra auf entgegengesetzten Seiten der Tangentenebene lieg«. Die Gleichung cos* ft sin* 4- = 0, , Pi P2 * deren Lösungen sind Schlobmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 3* 482 Differentialrechnung. 1. tang% = ± y — P 2 : P!, bestimmt dann zwei Normalschnitte von der Krümmung Null, und für diese ist im Allgemeinen P ein Wendepunkt. In diesen beiden Normalschnitten tritt, wenn wir uns die Normalebene um die Normale in einer Richtung gedreht denken, der Uebergang von positiver zu negativer Krümmung ein; in den Tangenten dieser beiden Normalschnitte durchdringt die Fläche in der Umgebung von P die Tangentenebene. Bei einem einschaligen Hyperboloide und bei einem hyperbolischen Para- boloide sind diese Normalschnitte, in welchen das Vorzeichen der Krümmung wechselt, die beiden Geraden der Fläche, welche durch den Flächenpunkt P gehen. Die Hauptkrümmungsrichtungen einer Regelfläche zweiten Grades halbiren daher in jedem Punkte der Fläche die Winkel der durch diesen Punkt gehenden Geraden der Fläche. Haben dagegen beide Hauptkrümmungen dasselbe Zeichen, so haben gemäss der Formel 1 cos 2 h sin 2 fl P Pi P2 alle Normalschnitte Krümmungen desselben Zeichens; alle von P aus gehenden Curvenelemente liegen daher auf derselben Seite der Tangentenebene; in der Umgebung von P hat die Fläche ausser P keinen Punkt mit der Tangentenebene gemein, und liegt ganz auf einer Seite der Tangentenebene. Dieses Verhalten zeigen die nicht geradlinigen Flächen zweiten Grades in allen ihren Punkten. 11. Eine abwickelbare Fläche ist der Ort der Tangenten ihrer Rückkehrkante (Cuspidalcurve); man kann daher die Coordinaten der Punkte einer solchen Fläche darstellen, indem man von den Gleichungen ihrer Rückkehrkante ausgeht. Sind dieselben * = /r (»)> y = f 2 («). z = f% 0)> so sind die Gleichungen der Tangente dieser Curve im Punkte P 6-/1 _ VT/* _ g~/i ff ft ff Bezeichnet man den gemeinsamen variabeln Werth dieser Quotienten mit v, so erhält man die Coordinaten ?, r () £ irgend eines Punktes einer Tangente, d. i. also irgend eines Punktes der von diesen Tangenten beschriebenen Fläche durch die zwei Variabein u, v ausgedrückt 1- 5 = V/i' +/u fl = v ff Hieraus ergeben sich die Werthe di _ 8 v Mithin ist ■■fi, 8r) du 2fl dv = »ZV A -ft £ du 0C 8 v vff H-/ 3 = vff + />', = /. p \ q r — Ferner hat man ft" ff ff' ff fl" ff ft" ff fl" ff ff ff 8 2 i fl 2 T) 8 2 £ du 2 = ®/r ' +/r, du 2 < + £ 11 du 2 8 2 i 8udv =ff, dudv ~ = ff, g 2 £ dudv 8 2 i d 2 r; 8 2 i = 0. » dv 2 — 8 v 2 II 05 J O II = ff, ♦ 3. § io. Krümmung von Flächen. 483 Aus 2. und 3. folgt 4. EG — F 2 = 0, während eg — f 2 von Null verschieden ist. Daher schliessen wir (No. 8, 9): In jedem Punkte einer abwickelbaren Fläche ist eine Hauptkrümmung gleich Null; die Gerade, längs welcher die abwickelbare Fläche von der Tangentenebene berührt wird, ist also ein Hauptnormalschnitt, und enthält die minimale Krümmung; der zu dieser Geraden senkrechte Normalsclmitt enthält die maximale Krümmung. Die beiden Richtungen, in welchen im Allgemeinen ein Wechsel des Vorzeichens der Krümmung statt hat, fallen hier in eine, nämlich in die Berührungsgerade zusammen. Wählt man x und y selbst zu unabhängigen Variabein, so ist dx _ dy _ dz dz dx dy dz dz du ’ du ’ du dx’ dv dv dv dy und daher Ferner ist folglich 1 dy = 0 , dz dz dx n dy 1 dz ’ du' du dx’ dv ~ " °’ dv ~~ 1 ’ dv dz N, q = dz p = - dx' dy ' N, r = 1 : N = 1/ 1 + ©*+ (IT ist d 2 x d 2 y d 2 x d 2 y d 2 x d 2 y = 0 , 1 t« 1 ll du 2 oudv dudv dv 2 dv 2 d 2 z d 2 z d 2 z d 2 z d 2 z d 2 z du 2 dx 2 ’ dudv dxdy ’ dv 2 dy 2 ’ E = d 2 z dx 2 5. 1 N’ d 2 z dx 2 F d 2 z N’ T-r, G = d 2 z dy 2 \ N' 0 . dxdy d 2 z f d 2 z \ 2 dy 2 \dx8y) ~~ Wir werden später in der Integralrechnung nachweisen, dass jede Fläche abwickelbar ist, sobald sie in allen ihren Punkten der Gleichung 5. genügt. 12. Die Coordinaten der Punkte einer normalen axialen Schraubenfläche werden durch die Gleichungen dargestellt x — v cos u, y = vsinu, z = mu. Aus denselben folgen die Werthe dx dy du = X, dz du = m ) dx — = cosu. cv dy_ d v = sin u t d z dv = 0 , d 2 x du 2 = ■*’ d 2 y du* = —y. d 2 z du 2 = 0 , d 2 x _ — smu dudv d 2 y ’ dudv = COS u t d 2 z dudv = 0 , d 2 x d 2 y d 2 z 0 . dv 2 dv 2 dv 2 Die Fundamentalgrössen erster Ordnung sind e = v 2 -+- m 2 , f = 0, Das Bogenelement folgt hieraus zu ds = j/z> 2 -t- m 2 ■ du. Ferner ist = v 2 31 484 Differentialrechnung. Die Grössen p, q, r folgen aus pt = — msinu, qt = mcosu, rt = — v. Ferner folgt m £= 0, £=—===, G = 0. yV 2 -+- m 2 Die quadratische Gleichung zur Bestimmung der Hauptkrümmungen ist daher v‘ p2 sie liefert für und p 2 die beiden Werthe . v 2 4- m 2 = 0; Die Hauptkrümmungen sind also dem absoluten Betrage nach gleich der Torsion der durch den Punkt auf der Schraubenfläche construirbaren coaxialen Schraubenlinie. Die Gleichung zur Bestimmung der Hauptkrümmungsrichtungen wird — (z > 2 + m 2 ) 4 - k 2 = 0 und liefert k — ± j/v 2 4 - m 2 . Der positive Werth von k gehört zum positiven Hauptkrümmungsradius. Für den Winkel der auf der Fläche liegenden Geraden z = mu, welche einen Normalschnitt von der Krümmung Null enthält, und der Hauptkrümmungsrichtung k x erhält man aus No. 10, 1 TC tang\) = 1 , 11 = — . Die Krümmungsrichtungen durchschneiden also die Geraden der Fläche unter dem constanten Winkel von 45°. 13. Die Coordinaten der Punkte der centralen Fläche zweiten Grades 1 . / = yZ 1 = 0 können durch die Parameter u, v ausgedrückt werden, die den Gleichungen genügen -1 = 0 , b 4- v 1 = 0 . a 4 - u b 4 - u c 4 - u ~ ' ’ a + v ' b + v ' c + v Die Parameterlinien sind die Schnitte von / mit confocalen Flächen. Die dem Punkte P zugehörigen Parameter sind die Wurzeln der Gleichung yZ a 4 - w b 4- w In Rücksicht auf / = 0 findet man x 2 = u -i rV -\ r a-\-b-\-c, ax 2 4- by 2 4- cz“ 2 = (u 4 - v 4- a 4- b 4- c) (a 4 - b 4- c) 4- uv Hieraus und aus 1. folgen die Coordinaten a(c — b) ab — ac — bc. x % — y‘ = 2 2 = daher ist 0 - (u - d x d b(a — c) d c(b — a) a ) (s4-ä), b) (z/ 4 - b), wobei d — {b — c)(a — c){b — d) , c) (v 4- c ); 2 — = CU u 4- a' 2 vy = y 'du u 4 - b‘ 2 dz _« __ Cu u 4 - c § io. Krümmung von Flächen, 485 dx dv v a u{u — v) 2 __ dv v dz ^ dv v / = 0 , g = b' ov v -+- c ' v(v — u) 4 u ’ J ~ 6 ~ 4V ’ wobei U = (u -+- a)(u 4- b) {u + c) , V = (v 4- a) (v -+- b) {v -+- c) . Ferner findet sich pt = dx 2 yz{u — v) aUV qt - dxy 2 z(u — v) bUV rt dxyz 2 (u — v ) cUV U — V t = dxyz uv abc ’ p = - V — r a ’ uv Weiter ergiebt sich d 2 x x du 2 (u -(- a ) 2 ’ d 2 x a(c — b) 1 ]/^£, , = , = *]/ 1 UV 2 b r UV C “ abc uv dudv d 2 x dv 2 4 d x ’ x (v -h a) 2 ' d 2 y du 2 d 2 y dudv d 2 y d^ 2 (» + b) 2 ’ b(a — c) 1 4 d y ’ _ y _ 0 + b) 2 ’ d 2 z du 2 d 2 z dudv d 2 z dv 2 (« -+- c) 2 ’ c(b — a) 1 4d ’ 7’ (v + *)* ’ A = ’-l/abc „ « — v\/abc V -> E = 0, G y -. r uv 4V ’ uv 4U V uv ’ w 4V r uv Für die Hauptkrümmungsrichtungen ist = 0, k 2 — , sie fallen daher mit den Tangenten der Parameterlinien zusammen; diese letzteren werden aus diesem Grunde als die Krümmungslinien von f bezeichnet. Die Hauptkrümmungen sind 1 1 -t/abc 1 1 1 /abc pj U V UV ’ P 2 V V uv 14. Für Rotationsflächen, deren Achse in die Z-Achse fällt, nehmen wir den Radius eines Parallelkreises und den Arcus des Winkels, den er mit der AZ-Ebene bildet, zu Parametern u und v] dann sind die Gleichungen x = ucosv, y = u sinv , z =

y) = a , cp(x, y) — a -I- Aa, sind für endliche Werthe von x und y nicht vereinbar. 3. Wenn cp eine mehrdeutige Function ist, so besteht die Curve cp(x, y) — a aus zwei oder mehreren Abschnitten, welche den verschiedenen Werthsystemen cp entsprechen. Die Curve z. B. x -+- 'j/x 2 — y 2 = a ist eine Parabel mit dem Parameter a. Die beiden Abschnitte gehören den Gleichungen zu x -|- "j/x 2 — y 2 = a, x — l/x 2 — y 2 = a, wobei die Wurzel in beiden Gleichungen positiv zu nehmen ist. Diese Abschnitte werden durch die Punkte getrennt, für welche x 2 — y 2 =0; die Coordinaten dieser Punkte sind x = a, y = ± a. 4. Sind cpj, cp 2 , . . cp„ die verschiedenen Werthe der /zdeutigen Function cp, so besteht die Curve cp = a aus den Abschnitten ?i = a > ?2 = a > ■••?* = a • Die Theile zweier Curven cp,- = a, wobei

wobei f und ganze rationale Functionen von x und y sein mögen, so ist 8 a 2> • • oc») = 0, . . . . +«)—/' («) _ »!/ = 0 *2 * lim' 8 ca* wobei /’ abkürzend für den Differeritialquotienten von / nach dem Parameter gesetzt worden ist. Zur Bestimmung der Schnittpunkte auf einander folgender Charakteristiken hat man daher die Gleichungen *) Monge, Application de l’analyse ä la geom., 5. ed. par Lionville, Paris 1850, pag. 29 u. f. 492 Differentialrechnung. 9. d f d 2 f f ( x > y> z ’ a ) — o, = o, g—jj = o. Die Raumcurve, welche diese Durchschnittspunkte enthält, ist eine Rückkehrkante der Einhüllenden. Sie ist der gemeinsame Durchschnitt der Einhüllenden mit den Flächen, die sich durch Elimination von a aus f = 0 und d 2 f\ da 2 = 0, bez. aus df : da = 0 und d 2 /: ca 2 = 0 ergeben. 11. A. Als Beispiel wählen wir zunächst die Fläche, welche alle Kugeln einhüllt, deren Centra auf einer zur X- und F-Achse symmetrischen Ellipse liegen und die durch das Centrum der Ellipse gehen. Die Gleichungen dieser Kugeln haben die Form 1 . f = x 2 -+- y 2 wobei a der unbestimmte Parameter ist. 1 »/ 5 — xa stn a 2 da 1 d 2 f 2 da 2 2 . 3. Ixacosa — ’Zybsina -+- z 2 Aus 1. erhält man xasina —yb cos a = 0, = xa cos a -I- yb sin a — 0. 0, Aus 1. und 2. folgt durch Elimination von a die Gleichung der Eingehüllten zu 4. 4a 2 x 2 4b 2 y 2 — (x 2 -t~ y 2 -+- z 2 ) 2 = 0. Dies ist die Fusspunktfläche des Ellipsoids mit den Halbachsen 2«, 2 b, c = 0. Sie hat im Nullpunkte einen ausgezeichneten Punkt. Betrachtet man in 1. und 2. den Parameter a als gegeben, so sind 1. und 2. die Gleichungen der Charakteristik F (a). Da nun unter dieser Voraussetzung die Gleichung 2. eine Ebene darstellt, die durch die Z-Achse geht, so folgt, dass die Charakteristiken Kreise sind normal zur Ebene der Ellipse; zugleich ist ersichtlich, dass die Ebene einer Charakteristik normal zu dem Ellipsendiameter ist, der zu dem durch das Centrum der betreffenden Kugel gehenden conjugirt ist. Die Elimination von a aus 2. und 3. ergiebt a 2 x 2 -+- b 2 y 2 = 0; diese Gleichung wird nur vom Nullpunkte erfüllt; die Rückkehrkante der Einhüllenden schrumpft daher in diesem Falle zu einem Punkte zusammen; die Einhüllende zeigt in dieser Hinsicht ein ähnliches Verhalten wie unter den Abwickelbaren der Kegel, dessen Rückkehrkante ebenfalls nur aus einem Punkte, der Kegelspitze, besteht. B. Suchen wir ferner die Fläche auf, welche alle Flächen II. O. umhüllt, deren Gleichungen von der Form sind 5. K K x -t- ‘laK^ -H a 2 K % = 0, wobei K 1 , K it X :i Functionen zweiten Grades bezeichnen. Man hat 1 ZK 6. 2 ’ da “ K% + aKi ’ * 1 d lE 2 ‘ da 2 Eliminirt man a aus K = 0 und dK: da = 0, so erhält man ^ K,- 8 . K, K, K 2 — a 2 — 0. Die Einhüllende ist daher von der vierten Ordnung und enthält die Schnitt- curven der Fläche II. O. K 2 — 0 mit K 1 = 0 und Ä' :j =0; aus 7. folgt, dass die letztere Curve die Rückkehrkante der Einhüllenden ist. C. Enthält die Gleichung einer eingehüllten Fläche den Parameter a nur linear, ist sie also von der Form

£ — 1) (k — 2) a^x k ~ 3 , Hieraus finden wir , 1 • 2 . . n worin x und £ als willkürliche Variable zu betrachten sind, und suchen den Rest R als Function von $ und h = x — £ so zu bestimmen, dass diese Gleichung erfüllt wird. Aus Analogie mit dem Baue der übrigen Glieder setzen wir zunächst (x — £)»+! R 1 • 2 . Die Function der Variabein z n (?i 4- 1) ■ F. 1-2. .(»4-1) Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. LI. 32 498 Differentialrechnung. verschwindet für z = x und z = -; folglich verschwindet der erste Differentialquotient derselben für einen zwischen x und % liegenden Werth der Variabein, den wir mit 3. S -I- 3(* — ?), 0 < 3 < 1 bezeichnen können. Unter der Voraussetzung, dass alle Differentialquotienten von / bis zum raten einschliesslich für jeden zwischen x und I liegenden Werth der Variabein stetig und endlich sind, erhält man als Differentialquotient von 2. 1 • 2-3...» / w 1 • 2-3...» Da nun dieser Ausdruck für den obigen Werth von z verschwindet, so hat man ./> = /«+![£ + »(*-6)]. Ersetzt man hier und in 1. x — £ durch h, so erhält man schliesslich /(5 + h) = /(?) + hf® + j^/"(5) + ** 4. 1 h n ~J n ® h *+1 r /-+»(6 + » A ) • 6 . 1 • 2 • 3 . . ra y w 1 • 2 • 3 . . n -f- 1- Krsetzt man ? durch 0 und h durch x, so folgt a« a»+i f(x) =/(0) +- a/'(0) :/*(0) 1 •2 ■ 3 . . » J Hieraus erkennen wir, dass wir, um die Reihe No. 1, 2 auf andere als auf ganze Functionen raten Grades auszudehnen, ein Restglied hinzufügen müssen. Dieses Glied ist noch nicht völlig bestimmt, da es den unbestimmten Bruch 3 enthält; wir sehen aber, dass es ein Produkt aus einem bekannten Faktor und aus dem Faktor _/" +1 (f -+- 3/«) ist, dessen numerischer Werth jedenfalls zwischen dem grössten und kleinsten Werthe liegt, den /«+ 1 (a) annimmt, wenn die Variable von t auf $ -t- h wächst; und dies genügt für die wichtigen Anwendungen, die wir von dieser Formel machen werden. Ehe wir hierzu übergehen, wollen wir noch eine andere Eorm für das Restglied mittheilen. Setzt man in 1. R _ (*_- £K +1 „ R p+ 1 p ’ und schliesst dann in derselben Weise weiter, so erkennt man, dass der Ausdruck — 1 ^2 -3 Z \ + (x — tyf für einen zwischen x und - liegenden Werth von z verschwindet. Werth wieder mit $ + 3 (a — £) bezeichnet, so ist X Z = X — 5 — 3(a — ;) = (a — S) (1 — 3) , und man erhält somit (a — {)«-/ (1 — ft)”-/* Wird dieser folglich P = R 1-2-3...« (a — 5)*+i (1 — 3)«-/ 1-2-3 ...«(/-El) Setzt man x — ; = h, so folgt h n + l (l — ft)«—/* /”+>[? ■ /" +1 [S 3(a —$)]. R - /«+i (e + ft/,). 1 • 2 • 3 . . «(/ + 1) J Nimmt man p = ra, so kommt man auf die obige Form des Restes zurück; für p = 0 erhält man § 13- Die TAYLOR’sche Reihe. 499 R - k«+Ul — ftV T-5Tä- 2 • 3 . . . n ■ 3. Die Formel No. 2, 6 kann ohne Schwierigkeit auf Functionen von mehreren Variabein ausgedehnt werden. Setzt man in m =/(0) + //'(0) + —/"(0) + . . + t . 2 .^3 , , ,/ "(0) + statt /(/) die Function y(f) 2 "f“ //) , worin th, tk, tl willkürliche Aenderungen der Variabein x, y, z bezeichnen, so ist /(()) = cp(*, y, z) . Ferner ist df d d(j- _ d{y 4- tk) tk) dt und so folgt dt dh drf dt r \'dx Für t — 0 ergiebt sich insbesondere n o) = ( ' 8 ’ s :) *(* ) ?(•* -t- kt, y -f- kt, z h - If). ht f y H - kt f z “f- //). {h Tx 8 'dy dz) Setzt man der einfacheren Bezeichnung wegen für th, tk, tl der Reihe nach h, k, l, so erhält man hieraus h, y -h k, 1 • 2 V f" ( x ) und unter denselben Voraussetzungen + T^3^ + T^:374^ 2. /(x) =/(0) + xf'iO) ;/"(o) 0) j/ ,m (0) 1 • 2 y ‘ 1 • 2• 3 y 1 1-2-3-4-' Der Fehler, den man begeht, wenn man diese Reihen bei dem «ten Gliede abbricht, wird durch Abschätzung des Restgliedes R beurtheilt; nach der Voraussetzung ist er um so kleiner, je grösser n ist und kann durch Vergrösserung der Gliederzahl n kleiner als jede noch so kleine Zahl gemacht werden. § 13- Die TAYLOR’sche Reihe. 5°i Die Reihe 1. führt nach ihrem Erfinder den Namen TAYLOR’sche Reihe. Die zweite wurde als Specialfall der TAYi.OR’schen Reihe zuerst von Maclaurin mitgetheilt und ist nach ihm benannt worden. 6. Wir wenden uns nun dazu, die Functionen (1 +^)f, /(I -hx), e x , sinx, cosx, mit Hülfe des MAd.AURiN’schen Satzes als unendliche Potenzreihen darzustellen. Entwicklung von (1 -+- x)v- (Binomische Reihe). In den Elementen der Algebra wird für einen ganzen positiven Exponenten p. die Potenz (1 + x)t* nach steigenden Potenzen von x entwickelt; wir werden nun zeigen, dass innerhalb bestimmter Grenzen dieselbe Entwicklung auch für negative und gebrochene Exponenten gilt. Der kte Differentialquotient von (1 -+- x)v- ist p(p — i) (p — 2) . . (p. — k + i) (i + xy-*. Der letzte Faktor hat für ein hinlänglich grosses k einen negativen Exponenten und wird daher unendlich gross, wenn x = — 1; daher ist die MACLAURiN’sche Reihe im vorliegenden Falle nicht anwendbar für Werthe von x, die gleich oder kleiner als — 1 sind; ob sie für alle andern Werthe von x anwendbar ist, hängt von der Untersuchung des Restes R ab. Wir wenden die Form des Restes No. 2, 8 an und haben R = p(p - i) (p - 2).. G* - «) (l -+- bxy—i. Hierfür können wir setzen ' = + »*)- • [(M (f - 0 (* - ■) • • (5 - ■)] • (?tE)‘ Der erste und der zweite Faktor werden für wachsende n nicht verschwindend klein; es muss daher der letzte F'aktot verschwinden; wenn die Bedingungen dafür festgestellt sind, so haben wir dann weiter zu sehen, ob unter diesen, oder unter noch mehr beschränkenden Bedingungen, der Grenzwerth des Produkts des zweiten und letzten Faktors Null ist. Der letzte Faktor ist eine Potenz mit unendlich wachsendem Exponenten; dieselbe verschwindet nur, wenn der Dignand ein echter Bruch ist. Aus der Identität x — bx _ x -h l 1 -I- 9.x: bx -+- 1 erkennt man, dass man wegen der Unbestimmtheit des positiven echten Bruches 9 nur dann sicher weiss, dass der Dignand echt gebrochen ist, wenn x ein positiver oder negativer echter Bruch ist; denn im ersteren Falle ist (.*-)-1): (9+ 1) < x 1; und wird im letzteren der absolute Werth von x mit E bezeichnet, so ist x + 1 1 — $ bx 1 — 1 — 9$ ’ mithin positiv und < 1, und daher der Dignand ein negativer echter Bruch. Bezeichnet man den absoluten Werth des Dignanden mit t, so kann man den zweiten und dritten Faktor des Restes folgendermaassen anordnen: (M'-G-'HM'-M« wächst n um eine Einheit, so tritt zu diesem Produkte der Faktor (» _ + r ^ — O*’ der Grenzwerth dieses Faktors ist — t, also ein echter Bruch. Da nun das obige Produkt für ein unendlich grosses n von einer gewissen Stelle an eine 502 Differentialrechnung. unbegrenzte Menge von abnehmenden echten Brüchen zu Faktoren hat, so folgt, dass der Grenzwerth des Produktes selbst Null ist. Die MACi.AURiN’sche Reihe ist daher auf (1 4- xp- anwendbar für alle positiven oder negativen echt gebrochenen Werthe von x. Da nun /(O) = 1 , /"(O) = nGi - 1) (p - 2) . . . Gr - n 4- 1), so hat man die Entwicklung p(p — 1 ) 0 —' 2 )(p— 3) 4 1 -2-3 -4 * +- mit dem Spielräume: — 1 < x < -+- 1 . 4- Man kann nachweisen, dass die Reihe auch noch für x — jjl grösser ist als — 1 , und für x = — 1 , wenn p. positiv ist*). Insbesondere hat man • = 1 — 2x 4- Sx 2 — 4x 3 1 gilt, wenn (1 +r) ! ]/l -h x = 1 -h 1-3 x 3 4 2 • 4 1 • 3 • «5 x* 4- 1 • 3 • 5 yi + x Um (a 1 1•3 1-3-5 1 2* + 2-4* 2-4-6* 4-6 8 2 1 • 3 • 5 • 7 7 6-8 x •’ K) 4 _ (a 2 • 4 • 6 • 8 b) i* zu entwickeln, wo wir a 2 > b 2 annehmen, setze man O -+- b)v- = ai^l 4- 2 Kp-OCp-2) 7A\3 Daher hat man p(p — 1 ) a ' 1-2 7. ' Entwicklung von /(I 4 - x). I UL b by = av- |l 4- ^ - - er 1-2-3 0’ \ T Der kte Differentialquotient von /(I -f x) ist (— 1 y-i • 1 • 2 3 ... (k — 1) (1 + x )-*; die Differentialquotienten bleiben daher endlich und stetig, so lange x grösser ist als — 1. Der Rest ist für p = 0 R = (— 1)” • (1 — fl)" • x n+l • 1 = (- 1 )“ (x — i‘1jc\” \r+Tx) • (1 4- <}xy + i 11 v 1 4- fl x Aus der vorigen No. wissen wir, dass der Rest verschwindet, wenn der absolute Werth von x kleiner als 1 ist. Für x = 1 ist 1 0 — »V R — 1 + » ‘ (l -4- fl) und daher ebenfalls limR = (1. Die MAcr.AURiN’sche Reihe ist daher auf/(I 4- x) für alle Werthe von x anwendbar, die der Begrenzung genügen — 1 < x < 4- 1 . Da nun /(*)(0) = (_ 1)4-1 - 1 - 2 • 3 ... (k — 1), so ergiebt sich die Entwicklung 1. /(I 4- x) = x — \x 2 4- ^ x 3 -- £ x 4 4- ^x b — ^x 6 4- .... , — 1 < x < 4- 1 ■ Setzt man — x statt x, so erhält man /(I — X) = — X ^X 2 — j^X 3 — ^ X 4 — j;X b — £ x 6 — . . ., — 1 < x < 4- 1 . Durch Subtraction folgt hieraus 2. I = 2(x 4- $x 3 4- 4- \x 7 4- . . .) , — 1 < * < 4- 1 . *) Schlömilch, Compendium der hohem Analysis, 5 -Aufl. Braunschweig 1881, Bd. i, pag.211. § 13- Die TAYLOR’sche Reihe. S°3 Setzt man hier 1 -+- x 1 — x = z> also * + r = 2 [rrr + i (r+ t) + } (fri) • so erhält man 3. lz — „ , , , , „ diese Reihe gilt für jedes positive z; zur praktischen Berechnung des natürlichen Logarithmus einer Zahl ist sie aber nur für solche Werthe von z verwendbar, für welche (z— 1) : (z 4- 1) hinlänglich von 1 verschieden ist. Zur praktischen Berechnung der Logarithmen von Primzahlen kann man sich der Reihe 3. für die Werthe z = 2 und z=3 bedienen; für grössere Zahlen macht man mit Vortheil von der Identität Gebrauch b 1 2 a 1 — 2 a b y ir b y 1 / b y ] S\2a -hb) + 5 \2 a+l) + 7 V2« +b) + -‘| ' l(ci — t— b^ — l(t -t- / und erhält hieraus mit Hülfe der Reihe 2. l(il 4- b) = 1(1 t - 2 I , , v y [2 a + b Ist a = 3, so liefert die Reihe für b = 2 und 4 ziemlich rasch genaue Resultate; für eine Genauigkeit bis auf ± 0,000005 würden sechs Glieder genügen, wenn b — 4 genommen wird, für b = 2 bereits fünf Glieder. Hat man 11 gefunden, so kann man a = 7 setzen, und 4. auf die Fälle b — 4, 6 und 10 anwenden, u. s. f. Aus den Logarithmen der Primzahlen ergeben sich durch Additionen die Logarithmen der zusammengesetzten Zahlen. Hat man auf diesem Wege eine bis zu einer bestimmten Genauigkeit gehende vollständige Tafel der natürlichen Logarithmen berechnet, so kann man die Logarithmen zu einer beliebigen andern Basis a nach der bekannten Formel finden "logz — Iz'.la. Die Zahl 1 : la bezeichnet man als den Modulus der Logarithmen zur Basis «; für a = 10 erhält man mit Hülfe der obigen Reihen ^ = 0,434 294 481 9. 8. Entwicklung von e x . Alle Differentialquotienten von e x sind gleich e x und für alle endlichen Werthe von jc stetig und endlich. Der Rest ergiebt sich (No. 2, (1) zu R = 1 • 2 • 3 .. n 1 Der zweite Faktor ist eine endliche Zahl, sobald x nicht unendlich ist. Der erste Faktor enthält unter derselben Voraussetzung und wenn n hinlänglich gross ist n 1 Faktoren xxx x T ' 2 ' 3 n + 1 ’ die von einer bestimmten Stelle an echt gebrochen sind, und bei unendlich wachsendem n sich der Grenze Null nähern; daher ist lim R = 0 . Da nun /*( 0 ) = 1 , so hat man die für jeden endlichen Werth von x gültige Exponentialreihe e x 1 + 1 • 2 1-2-3 T 1-2-3-4 1-2-3-4-5 5°4 Differentialrechnung. Setzt man x — 1, so erhält man die zur Berechnung von e dienende Reihe ,111 1 1 ? — 1 ~ l ~ 1 + 1 • 2 + 1-2-3 1 • 2 • 3 • 4 + 1-2-3 - 4 -5 Für x = — 1 erhält man l _1_ 1-2 Die Gleichung 1 1-2-3 1 - 2 • 3 • 4 1 • 2 ■ 3 ■ 4 a x = e xla fährt zu einer Reihe für a x , unter der Voraussetzung, dass a positiv ist; man erhält a x = 1 -+- xla Cxla ) 4 [ . 9 . 3 (. xla ) 2 (xla)'* 1 ~ r 1 - 2 + 1-2-3 9. hintWicklung von cosx und sinx. Die Differentialquotienten d k cosx d k sinx i/x l- = cos{\k- + x), = sini^kr, -+- x) sind für alle realen Werthe von x endlich und stetig. Die Reste sind für beide Functionen ^«+1 x n ~^-l 1-2-3. .(n-+-l) ' C0S ^ n+ + beZ ' l ■ 2 - 3 («+1) ' sin + ^ + ^ ’ und haben für jedes endliche x den Grenzwerth Null. Wir erhalten somit die für jeden endlichen Werth von x gültigen Entwicklungen 1-2 1 - 2 - 3-4 1 - 2 - 3 - 4 - 5-6 ^ ’ 1 1 1 cosx 1 — sinx = x 1 -2-3‘ 1 - 2 - 3 • 4•5 * 5 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • r Um mit Hülfe dieser Reihen eine Tafel der goniometrischen Functionen zu berechnen, genügt es, die Reihen für den Spielraum x = 0 bis x = -^tt (entsprechend dem Spielraum des Winkels von 0° bis 45°) anzuwenden. Da 1 • 2 • 3 • 4 - 5 ■ 6 • 7 • 8 • 9 • 10 = 3 628 800, so genügen selbst für den über \z. hinausliegenden Werth x = 1 die ersten 6 bez. 5 Glieder beider Reihen für eine Genauigkeit von fünf Decimalstellen. Wir verlassen hiermit die Anwendungen der TAYLOR’schen und der Maclaurin- schen Reihe und bemerken, dass wir allgemeine Untersuchungen über unendliche Reihen im letzten Abschnitte mittheilen werden. , § 14. Maxima und Minima. 1. In § 5, No. 1 haben wir bereits erkannt, dass eire Function einer Variabein einen eminenten Werth, d. i. ein Maximum oder Minimum für denjenigen Werth der Variabein erreicht, für welchen der erste Differentialquotient verschwindet; wir fanden, dass ein Maximum oder Minimum eintritt, je nachdem der erste Differentialquotient vom Positiven ins Negative übergeht oder umgekehrt; für den Fall, dass der erste Differentialquotient in der Nähe des betreffenden Werths der Variabein sein Vorzeichen nicht ändert, ist damals keine Entscheidung getroffen worden. Wir geben im gegenwärtigen Abschnitte vollständigere Untersuchungen über die eminenten Werthe einer Function von einer und von mehreren Variabein und knüpfen dieselben an die Untersuchungen des vorigen Abschnitts an. Wenn für einen Werth a: der Variabein der erste Differentialquotient der Function y = f(x) verschwindet, der zweite aber nicht, so hat für einen hinlänglich kleinen Werth von t>x die Differenz fix -t- dx) — f(x) dasselbe Vor- § 14 . Maxima und Minima. 5°5 Zeichen, wie das Produkt mithin dasselbe Vorzeichen wie f"(x). Ist nun f"{x) negativ, so ist fix -+- 8x) — f(x)< 0 sowohl für positive wie für negative Werthe von fix, mithin ist f(x) grösser als jeder benachbarte Werth der Function, ist also ein Maximum; ist hingegen f"(x) positiv, so ist f(x -+- ox) — f{x) > 0, und daher f(x) kleiner als jeder benachbarte Werth, f(x) also ein Minimum. Wir erhalten somit zunächst: Wenn der erste Differentialquotient einer Function für einen bestimmten Werth der Variabein verschwindet, der zweite aber nicht verschwindet, so hat die Function für diesen Werth der Variabein einen eminenten Werth, und zwar ein Maximum, wenn der zweite Differentialquotient negativ ist, ein Minimum, wenn er positiv ist. Wenn für eine Wurzel der Gleichung fix) = 0 der zweite Differential- quotient verschwindet, der dritte aber nicht, so hat die Differenz f(x + ox) — f(x) für eine hinlänglich kleine Aenderung 8x dasselbe Vorzeichen wie f"'(x)8x 3 , und wechselt daher ihr Zeichen zugleich mit 8x ; in diesem Falle ist f(x) kein eminenter Werth. Verschwinden für eine Wurzel der Gleichung f'(x) = 0 zugleich auch f”(x) und f"'(x), so hat f{pc -+- 8x) — f(x) dasselbe Vorzeichen wie f""(x) ox*, und stimmt daher unabhängig von den Vorzeichen von 8x dem Vorzeichen nach mit f""(x) überein. Daher ist für diesen Werth der Variabein f(x) ein Maximum oder Minimum, je nachdem f""(x) negativ oder positiv ist. So weiter schliessend, gelangen wir zu dem Satze: Um die Werthe der Variabein zu erhalten, zu welchen eminente Werthe der Function f{x) gehören, bestimme man die Wurzeln der Gleichung /'(*) = 0 ; Diejenigen unter diesen Wurzeln sind Lösungen der Aufgabe, für welche der seiner Ordnung nach niedrigste nicht verschwindende Differentialquotient von gerader Ordnung ist; und zwar liefern diese Werthe der Variabein ein Maximum oder Minimum, je nachdem der niedrigste nicht verschwindende Differentialquotient für den betreffenden Werth der Variabein negativ oder positiv ist. 2. Wir geben zunächst hierzu einige Anwendungen. Durch den Mittelpunkt O eines Kreises sind zwei Gerade OA und OB gezogen, die den Winkel 2 a einschliessen; für welche Punkte der Peripherie erreicht die Summe der Quadrate der Abstände von OA und OB einen eminenten Werth? Ist OC die Halbirende der Winkel AOB, ist ferner COP = cp, und PQ -LOA, PB -L OB, so ist PQ = OP- sin (a — cp), PR = OP- sin (a + cp). Ist OP = a, so handelt es sich darum, die eminenten Werthe der Function des Winkels cp zu bestimmen y = a 1 sin‘ 1 { i — /«* -+- X-’ ' -]//>■■* -+- (c — x) 2 g h ‘ Da nun, wenn CL - sinLCA = MN x y a * sinL^CB = y'b 2 -+- (c — x) 2 so erhalten wir als Bedingung für den Eintritt eines eminenten Werthes sinLCA g _ . 4. sin L j CB Eiegt C in A', so ist sinLCA = 0; liegt C in B\ so ist sinL x CB = 0; hieraus folgt, dass 4. für einen zwischen Ä und B' liegenden Punkt erfüllt wird. Beschreibt C von Ä oder von B' ausgehend die Verlängerungen der Strecke A'B', so wachsen beide Wege AC und CB, also kann ein Minimum für diese Lagen nicht eintreten. Bezeichnen wir mit e den gemeinsamen Werth der Quotienten X . c — X g y’a 2 und h yb 2 - (c — x) 2 und bemerken, dass e für jeden auf der Strecke A’B' liegenden Punkt positiv ist, so ist „ _ 3 \ ^ £ \ X 3 (c X ) 3 /’ und daher positiv; folglich entspricht der durch die Gleichung 4. bestimmte Punkt C der Strecke A'B’ einem Minimum, was auch aus der Natur der Aufgabe vorauszusehen war. 5. Um die eminenten Werthe der ganzen rationalen Function 1 . y = a 0 x ,n -t- a 1 x m + 1 + a. i x"‘+' 2 + a r x"‘+ r zu finden, bilden wir 2 . y = ma 0 x"‘-l + (m + 1 ) a 1 x"‘ +...., 3. y" = (m — 1 ) ma 0 x”‘-' i -t- m(m + X)a x x m ~ 1 . . . . Ist m > 1, so hat die Gleichung y' = 0 ( m — 1) Wurzeln x = 0, während die anderen r Wurzeln von Null verschieden sind. Ist m = 2, so liefert die Wurzel x = 0 y ~ 2^01 gehört also zu einem Maximum oder Minimum, je nachdem « 0 ^ 0. Ist m > 2, so hat man zu bilden y(m) = 1 • 2 • 3 . . m • a 0 + 2 • 3 . . . m(m - 1 - 1 ) a 1 x -+- . . ., denn dies ist der Differentialquotient niedrigster Ordnung, der für x = 0 nicht verschwindet; ist nun m gerade, so hat y für x = 0 einen eminenten Werth, ist hingegen m ungerade, so findet für x = 0 kein eminenter Werth von y statt. fi. Die eminenten Werthe der Radien eines Diametralschnitts eines dreiachsigen Ellipsoids zu bestimmen. Die Gleichung des Ellipsoids sei J ' 2 1 = 0 . a 2 -l_ b 2 c 2 Der Radius vector r, der mit den Achsen die Winkel a, ß, 7 einschliesst, ergiebt sich aus 1 cos 2 a cos 2 ß cos 2 7 r 2 a 2 b 2 c 2 Sind cp, t|., •/ die Winkel, welche die Normale des den Radius r enthaltenden Diametralschnitts mit den Achsen bildet, so gelten die Gleichungen 5°8 Differentialrechnung. COS 1 COS Cf -+- COS COS r - ~ V (2 r- -y? 3. (2 r — y ) 3 y — v _j)(3r— yy Dieser Werth wird Null für y = 2z-; dies ist das Maximum von y; hierzu gehört x — oo. F'iir y = 0, wozu x = 0 gehört, wird y 1 unendlich gross. Aus 2. ergiebt sich, dass mit y zugleich der absolute Werth von x wächst. Daher gehören in 2. und 3. die oberen und die unteren Vorzeichen zusammen. Mithin ist jj/ für einen unendlich kleinen negativen Werth von x negativ, für einen unendlich kleinen positiven Werth von x positiv unendlich. Folglich ist y = 0 das Minimum von y. _ 9. Flminente Werthe einer Function mehrerer Variabein. Eine Function f(x, y . . .) mehrerer Variabein erreicht für ein bestimmtes Werthsystem x, y . . der Variabein einen eminenten Werth, wenn zu jeder hinlänglich kleinen Aenderung ox, Sy . . . der Variabein eine Aenderung der Function von unveränderlichem Vorzeichen gehört. Wenn die partialen Differentialquotienten von f bis mit denen 2zzzter Ordnung sämmtlich verschwinden, so kann man Sx, Sy . . . immer so klein wählen, dass das Vorzeichen der zugehörigen Aenderung der Function f mit dem Vorzeichen von 2w+l übereinstimmt. Diese Grösse ist in Bezug auf Sx, Sy . . ungerader Ordnung und wechselt daher ihr Zeichen, wenn Sx, Sy . . . das Zeichen wechseln. Hieraus folgt: Fline Function mehrerer Variabein kann für ein Werthsystem derselben nur dann einen eminenten Werth haben, wenn für dasselbe sämmtliche partialen Differentialquotienten der ersten Ordnung, aber nicht sämmtliche der zweiten, oder sämmtliche der ersten, zweiten und dritten Ordnung, aber nicht sämmtliche der vierten u. s. f. verschwinden. *) Construirt man einen Kreis mit dem Halbmesser r, der die Abscissenachse im Nullpunkte berührt, und bestimmt auf dem Radius vector jedes Kreispunktes £, rj den Punkt P , dessen Ordinate 2 r — ist, so beschreibt P die Curve 1.; dieselbe ist unter dem Namen der Cissoide des Diokles bekannt. 5 io Differentialrechnung. Die seltenen Ausnahmefalle, dass Werthsysteme der Variabein vorhanden sind, für welche die sämmtlichen Differentialquotienten einer ungeraden Ordnung unstetig sind, und alle niederen verschwinden, lassen wir ausser Betracht, ebenso die Fälle, dass es Werthsysteme giebt, für welche sämmtliche partialen Differentialquotienten der ersten, zweiten und dritten Ordnung, oder auch noch höhere, verschwinden. Wir beschränken uns vielmehr darauf, die Werthsysteme der Variabein aufzusuchen, für welche die partialen ersten Differentialquotienten der Function verschwinden, und entwickeln die Kriterien für den Eintritt eines Maximums oder Minimums unter der Voraussetzung, dass nicht sämmtliche Differentialquotienten zweiter Ordnung verschwinden. 10. Wenn für ein Werthsystem x 2 , x 3 , x A , . . . x n der Variabein der Function f(x v x 2 , x 3 , x t . . . x H ) die partialen Differentialquotienten erster Ordnung verschwinden 8 J_ = d JL = d JL 8x t dx 3 dx 3 1 . die partialen Differentialquotienten zweiter Ordnung aber nicht sämmflich verschwinden, so stimmt für hinlänglich kleine Aenderungen ?j, $ 2 , Sr 3 , . . . der Variabein x t , x. 2 , x 3 , . . . x„ das Vorzeichen der Differenz f{?C\ x 3 “H “t" **) -En • ■ ' -*-«) mit dem Vorzeichen der Grösse 2 . überein; es kommt nun darauf an, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen V für jedes reale Verhältnis der c, . . positiv oder negativ ist. Man kann setzen 0 »/ « 3. 2 V = 1 an, t, \ h , wenn a ih dx,dx/, und wenn man i und h alle Werthe von 1 bis n durchlaufen lässt; bemerkt man, dass a,j, = am, so ist ersichtlich, dass der Faktor 2 bei allen Gliedern, in welchen die beiden Faktoren und ;/, nicht denselben Index haben, in 3. zu Stande kommt. Die Grössen £ 1( . . £„ können nicht alle gleich Null genommen werden. Nehmen wir zunächst ^ 0, so kann man schreiben V = £„2 IV, wobei 2 IV = 'Lajh ■ 4. Während V eine homogene quadratische Function von ?, . . ist, ist IV eine nicht homogene quadratische F’unction von Das Vorzeichen von V stimmt mit dem von IV überein. Soll nun für alle realen, der Null gleichen oder von Null verschiedenen Werthe der Quotienten die Function IV positiv oder negativ sein, so muss IV, da es eine stetige Function der Variabein £,•:?„ ist, im ersten Falle ein Minimum haben, das positiv ist, und im zweiten ein Maximum, das negativ ist. Das dem eminenten Werthe von IV entsprechende Werthsystem der Variabein wird aus den (n — 1) Gleichungen erhalten ClV 5 . 8 r ) 3 ’ ' ' ' dr )„-1 § 14. Maxima und Minima. 5” wenn tj/ = r-. *• H Multiplicirt man die Gleichungen 5. mit ~ ni so gehen sie über in aF = «11 ; t "+■ «12 ; 2 + • • • _l_ <*1*5» = 0 V i - i " — «21H ■+• «22*2 + •••"+■ ff s* 6 » — 0 , C?2 6. c F p'e“ == «31 ! 1 “L «32’2 + • • • “t” <*3»5» = 0, c »3 0 K = «»—l,l5l + «»—1,2;2 + • • • + «»—1 ,k5k = 0. dV 0 S «—1 Wir fügen hierzu noch die Gleichung 7- Q-u.1 + *« y {. - “ ^ t cl» d V e-är = 2F ’ ei,, mit Hülfe dieses Wertbes folgt aus 8. für den eminenten Werth von V H». 2F=^5„ 2 . A»-i Wenn also i„ von Null verschieden ist, so hat der durch die Gleichungen 6. bestimmte Werth von V dasselbe Zeichen, wie das Verhältniss A„ :A„_i. Ist dieser Quotient positiv, und soll 2 V immer dasselbe Zeichen haben, so muss der Werth 10. ein Minimum sein, und wenn der Quotient negativ ist, ein Maximum; ob dies der Fall ist, ersieht man aus / 0 0 0 \ 2 » l 2 V x — (Ex /- + 5, -h in- 1 iv mm 2 Oik \,\n ; \ 1 0l|l J 0^2 01)«—1/ 1 im ersteren Fall muss dieser Ausdruck beständig positiv, im letzteren beständig negativ sein. Die Entscheidung darüber, ob V immer dasselbe Zeichen hat, ist somit auf die gleiche Entscheidung betreffs V x zurückgeführt. Man hat nun dieselbe Schlussweise wie bei V, und gelangt zunächst zu der Function »—2 2 V 2 = 2 a, h 5,- ih , von da durch Wiederholung der Schlussweise zu 512 Differentialrechnung. 2 F 3 = 2 an und so fort, bis man endlich mit 2 F„_! a. fl,,?,* zum Abschluss gelangt. Bezeichnet man die Determinanten, welche aus a \\ a \2 a l 3 a i4 • a \n a 21 a 2 2 a 2 3 a 24 a 2n a 2 1 Ä 3 2 d 3 ^ a 24 a Sn a i , ö 4 2 ^4 S a 44 a i n a n\ a >i2 a xS a n4 a nn dadurch hervorgehen, dass man die letzten i Zeilen und Colonnen weglässt, mit A,-,, so erhält man somit folgendes Kriterium für den Eintritt eines Maximums oder Minimums einer Function mehrerer Variabein. Ein Maximum tritt ein, wenn die Quotienten A n A„—i A ?i >— 2 A j Ä7v vv ' T sämmtlich negativ sind; ein Minimum, wenn sie sämmtlich positiv sind; wenn nicht alle dasselbe Zeichen haben, so ist weder Maximum noch Minimum für das betreffende Werthsystem der Variabein vorhanden; ist eine der Determinanten A„, A„_i, A „_2 • ■ . A, gleich Null, so kann die Frage nur durch Untersuchung eines der Ausdrücke entschieden werden ('■ + $ c 2 dx„ cx,) f ’ r > 2 . dx 1 11. Den Punkt zu bestimmen, für welchen die Summe der Quadrate der Abstände von gegebenen Ebenen ein Minimum ist. Die Gleichungen der Ebenen in Normalform seien 7\ = 0, r 2 =0, T 3 = ü, . . . T n = 0. Dann hat rpan den eminenten Werth des Ausdrucks zu bestimmen / = T* 4- T* + Tf + ... + TJ. Ist nun Ti aiX 4- ß,y 4- 7 iZ — 8 /, so erhält man zur Bestimmung der gesuchten Coordinaten x, y, z die Gleichungen 1 df 2 — a i^i "+■ a 2^2 4- ... 4- a* 7* = 0, 1. 2 (fy — + -+-... + $„T„ = 0, "2 = Ti^i “F 72^2 + ...-+- ~\„T„ = 0 . Dies sind die Gleichungen von drei bestimmten Ebenen; ihr Schnittpunkt ist im Allgemeinen eindeutig bestimmt. ^ Ferner ist 1 2 * *®l V S i II a , 2 4- « 2 a 2 4- a ., 2 4- . . . . '4- a 2 1 dV “ißi * 2 ß 2 a» ß* 2 dxdy 4- 4- . . . . 4- 1 d*f 2 d x'dz a iYi 4- a 2'<2 4- . . . 4- a„7« § 14- Maxima und Minima. 5*3 1 £V 2 8 y 2 1 2 2 / Daher ist Aj a , 2 “•‘ki. «,* «ißi “i7i 2 ~ ßili '+' P2T2 + • 1 8 2 / 2 8I2 = + 1 ? +. 8 2 / . ^5 immer positiv. Für A 2 • • + ß« 2 , • • -t- ß« T«» • • + 7» 2 . und A-, erhält man lßl + a 2ß‘2 «»ß» *2r 2 ßl* i^s = • ßi 2 PiTa ■ *«ß« *i 7 i ß« 2 ßi 7 i ß* 7 * 7 i 2 $-n 7» ' ß« 7 « Y 2 7 « ßl ß2 ß bez. Nach einem bekannten Determinanten-Satze*) ist A 2 bez. A s die Summe der Quadrate aller Determinanten, die man aus je zwei bez. je drei Colonnen der Zeilen bildet «i “2 «3 • • ■ a » ßi ß2 ßa • • • ß« 7i 7 2 7a • • • 7« Es sind daher auch A 2 und A 3 positiv, und die Lösungen des Systems 1. machen folglich die Function f zu einem Minimum. 12. Den Punkt zu bestimmen, für welchen die Summe der Quadrate der Abstände von n gegebenen Punkten ein Minimum ist. Sind P x , P 2 , P 2 , ... P n die gegebenen Punkte, und hat Pi die Coordinaten L, rp, ist ferner PP { = n, so ist ri 2 — (x — ?,) 2 -+- (y — rp-) 2 + (z — i,) 2 . Die Function, deren Minimum gesucht wird, ist f — r \ “P r i r % + r,?. Da man hat -*<*-*). = ir so werden die Coordinaten des gesuchten Punktes aus den Gleichungen bestimmt x — ~P x — -f- . . . -f- x — \n = 0, y — -t- y — 1)2 + •••-(- y — rj,» = 0, * - £1 ' sie ergeben sich daher zu x — “ Ob + ^2 + C. - 0; 1. + 5 ») > / = ~ (^l + 212 + • • ' -+■ ^l») , 1 — * (Ci + fs + C3 £-)■ n ' ’ z ' ’ 3 ' ' Dieser Punkt ist der Schwerpunkt gleicher Massen, die in den Punkten P 2 , ■ ■ P„ vereint sind. Ferner 1 t man 8 2 r .i g2 r .ü 02^.2 g2 r / 02 r .2 ^ 0V,' 2 ^ — = A„fl_ — fl „2» ’ 6 y 2 02 2 8^8jv cxdz dx* und daher = i“^2 — i^3 = 1 • Der durch die Formeln 1. bestimmte Punkt macht daher in der That / zu einem Minimum. *) BaltzeR, Theorie und Anwendung der Determinanten, 4. Aufl. Leipzig r 87 S- § L No. 2 . Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. LI. 33 5H Differentialrechnung, ctj, a 2 > ^ 3 * * * a,n d a 2«2 -F * 3«3 . . : n gegebene Wert «ii «2 1 • • • X tn j > «1 2 «22 ■ • • X m 2 > n X ^ n ■ • • Xtntt> ~F ® m x n. die Summe der Quadrate der Unterschiede der Function und der gegebenen Zahlen u x , u 2 , . . u n ein Minimum wird. Die Function, welche in diesem Falle einen eminenten Werth annehmen soll, ist f = 1 (v. 1 X 1 r + 0C 2 .* 2 , + X s X 3 r -+- • • -F a m X„, 1 Wenn man zur Abkürzung setzt U r ) p 2 (X\r Xcj, . . • xfj = 0 , ...

n-n), * 2 = «hOh, • .>«-*), <\i„{y x , . .y,„ — n) die n Bedingungsgleichungen identisch erfüllen. Um z. B. der Bedingungsgleichung zu genügen könnte man setzen x? xX x.? 4-1- h H-% a x * ag af 1 = 0, x i — a \ cos }’\ cosy 2 , x 2 = a 2 siny x cosy 2 , x 3 = a 3 smy 3 . Soll diese Methode verwendbar sein, so muss es gelingen, die neuen Variabein y so zu wählen, dass realen Werthen der x auch stets reale Werthe der y entsprechen, da alle bisherigen Entwicklungen die Voraussetzung enthalten, dass die Variablen und die Functionen real sind. Zweckmässiger im Allgemeinen, als diese beiden, ist folgende von Lagrange herrührende Methode: Man betrachte auf Grund der Gleichungen 1. die m Variabein x$, .... x m als Functionen der übrigen n — m Variabein X ,„+1 , A, . . . X u . Bezeichnet x,- irgend eine Variable der zweiten Gruppe, so erhält man durch partiale Differentiation der Gleichungen 1. die Differentialgleichungen hx . hi . hi . h . , ht_. hi h\ n dx x dxi 8x 2 dxi ‘ ' dx„, dx ,• dx,- ’ hi. hi . hi. hi . , hi.. hi , hx = 0 dx x dx/ dx 2 dx,- ’ ‘ 8x,„ dx, dx,- ’ ^93 _ ^ x i . df 3 _ dx 2 . d

» = 0 die Unbekannten x x , x 2 , zu bestimmen. Aus den Gleichungen 2. und 3. kann man die Differentialquotienten der abhängigen Variabein mit Leichtigkeit eliminiren, denn der Verein derjenigen Gleichungen der Systeme 2. und 3., die 33 * 516 Differentialrechnung. sich auf dieselbe unabhängige Variable Xj beziehen, bedingt das Verschwinden ihrer Determinante 4. A,- « 0/ Zf 8f Zf 8 Xi 8xj 8x 2 ‘ 8x,„ Z?t 0«+2 = A„ ;+ :; = . . = A„ = Q t und den Gleichungen ?1 = ?2 = ?8 = ' • = = 0 erhält man die gesuchten Werthsysteme der Variabein. Setzt man in 4. für i der Reihe nach die Zahlen 1, 2, 3so erhält man Determinanten, die identisch verschwinden, weil in ihnen die erste Colonne mit einer späteren identisch ist; man hat daher die n Gleichungen — A 2 — A3 . . A m A„,+l = A* = 0, von denen die ersten m identisch sind, die übrigen nicht. Die Determinanten A, weichen bloss in Bezug auf die erste Colonne der Elemente von einander ab. Bezeichnet man daher mit p., p,, p. 2 , . . p.,„ die Coefficienten der Glieder der ersten Colonne in jeder der Determinanten A;, so ist 1*5 Zf l*i C Xi OXi Dividirt man durch Gleichungen r 8f , , 8 *^2’ *^3» * * * zu einem Maximum oder Minimum machen und die zugleich die Bedingungsgleichungen erfüllen ¥1 = ¥2 = ¥3 = • • = ¥»' = 0 > bilde man die Function F = f -+- Xj8 Differentialrechnung. 6 . aus 5. und 6. 7. X* cos{H — 1, h) dh—y cos{H — 1, h ■ X/i+i 1 )’ X* sin{h, h — 1) cos{II — 1, h — 1) cos{H — 1, h) ' Das Dreieck Ph-\PhPh+y lehrt 8 _ c *-l _ c ± _. sin{h, h— 1) sin{H — 1, h ) sin{H — 1, h — 1)’ folglich ist 9- X^+i = ChCot{H — 1, h — 1). Ersetzt man in 7. und 8. h durch h -t- 1, so erhält man für das Dreieck Ph Ph+\ Ph+Z dh X^+2 X/ :+ i Ch Ch +1 1) . 10 cos{H, h) cos{H , h + 1) sin{H, h ■ Ch cot{H, h- 1- 1). sin (//, h )' sin {h -+- 1, h) Hieraus folgt 11. X^ + i Aus 9. und 11. ergiebt sich cot{H — 1, h — 1) = cot{H, h 4- 1), folglich liegen die Punkte P/ t —y, Ph, Ph+y, Ph+z auf einem Kreise. Der Halbmesser r des dem Maximalpolygon umschriebenen Kreises wird aus der transcendenten Gleichung bestimmt '2 r 2 i vvf v Orft* n • • i O'f r 2 r die durch Annäherung aufgelöst werden kann. 16. Welches Polygon unter allen Polygonen von gegebener Eckenzahl und gegebenem Umfange hat die grösste Fläche? Ist n Anzahl der Ecken und c der Perimeter des Polygons, so ist die Function F F ^ 2* (xh-i — Xh+y)yh -t- X [ 2 “"/(•*>* — Xh+yf + (yh — yh+ 1 ) 2 — c\ = 0 . Hieraus folgen die Gleichungen 1. dF d^h=~ y> i ” 1 y/i+i -+- x Xh -1 - X h _|/{Xh — Xh+ 1) 2 Xh dF Wy h = Xh ~ l ~^{xk-y - x A y + {yh -1 K \_V(Xh — Xh+ 1) 2 (n w\ = 0> ■yh+y) 2 Xh+y y h — y h+ 1 yh -i — yh V( x h-y — XhY {yh — j ' a + i ) 2 = o. (yh -1 — yh) 2 ] Durch Anwendung der Bezeichnungen in der vorigen Aufgabe gehen diese Gleichungen über in 3. dh —i • cos{H — 1, y) = X [cos{h, x) — cos{h — 1, x)\, 4. dh - 1 • cos{H — 1, x) = — X [cos(h, y) — cos{h — 1, j>)]. Quadrirt und addirt man, so entsteht dh—y = 2X 2 [1 — cos{h — 1, h )\, daher ist 5. dh—y = 2 \sin\{h —1, K) . Ferner ergiebt sich, wenn man 3. mit cos{h — 1, y) und 4. mit cos{h — 1, x) multiplicirt und addirt 6. dh—y cos{II — 1, h — 1) = Xsin{/i — 1, h ). § 15 - Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 519 Aus 5. und 6. folgt weiter cos(H — 1, h — 1) = cos\(fi — 1, k) , und daher {H- 1 , h - 1 ) = *(*_ 1 , h). Dies zeigt, dass die Basis P/,—\ Ph+\ mit der Halbirungslinie des Aussen- winkels von der Spitze des Dreiecks Ph-yPhPh+v parallel, dass mithin Ph-\ Pi,Ph+\ ein gleichschenkeliges Dreieck ist. Hieraus ergiebt sich weiter, dass alle Seiten des Maximalpolygons einander gleich sind. Aus der vorigen Aufgabe erfolgt dann weiter, dass alle Winkel des gesuchten Polygons gleich sind. Unter allen Polygonen von gegebener Seitenzahl und gegebenem Umfange hat das reguläre die grösste Fläche. § 15. Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 1. Unter einem singulären Punkte einer Curve oder Fläche f = 0 versteht man einen Punkt der Curve oder Fläche, für welchen alle partialen Differentialquotienten erster Ordnung der Function /, — oder alle partialen Differentialquotienten erster und zweiter Ordnung — oder allgemein alle partialen Dififerential- quotienten erster, zweiter u. s. w. bis zur rten Ordnung verschwinden. Ist x, y ein singulärer Punkt der einfachsten Art der Curve f = 0, d. i. ein Punkt, für welchen nur die ersten partialen Differentialquotienten verschwinden, so genügen x, y den Gleichungen cf 8 f '• /=«’ rx “ . dy ~ °- Fliminirt man aus diesen drei Gleichungen die Coordinaten x, y, so erhält man eine Gleichung zwischen den Constanten der Curvengleichung; diese muss erfüllt sein, wenn singuläre Punkte auf der Curve vorhanden sein sollen. Ist ferner x, y, z ein singulärer Punkt einfachster Art der Fläche f = 0, so sind die Gleichungen erfüllt /= 0 , |^= 0 , |^= 0 , °/= 0 . J ' Cx dy dz Durch Elimination der Coordinaten ergiebt sich wieder eine Bedingungsgleichung der Constanten der Flächengleichung. Wir sehen hieraus: Eine ebene Curve und eine Fläche enthalten im Allgemeinen keine singulären Punkte; das Vorhandensein eines singulären Punktes setzt vielmehr voraus, dass zwischen den Constanten der Gleichung eine gewisse charakteristische Bedingungsgleichung erfüllt ist. Sollen singuläre Punkte höherer Art auf einer Curve oder Fläche Vorkommen, so müssen mehrere Bedingungsgleichungen erfüllt sein. Die Existenz eines singulären Punktes einer Curve, für welchen die partialen Differentialquotienten erster und zweiter Ordnung verschwinden, verlangt den Verein der Gleichungen df „ df _ n . d*f n d*f dx 2 / = 0 ; = 0, = 0; - 0 , _ ^ _ dxdy ’ dy 2 ^ dx ”’ dy Combinirt man mit den beiden ersten Gleichungen jede der übrigen vier, so erhält man vier Systeme von drei Gleichungen; eliminirt man die Coordinaten aus jedem dieser Systeme, so erhält man vier Bedingungsgleichungen als noth- wendige und ausreichende Bedingung für einen singulären Punkt dieser Art. 2. Die Gleichung der Tangente der Curve f = 0 im Punkte x, y ist 520 Differentialrechnung. 8/8/ für einen singulären Punkt ist = 0; die Gleichung der Tangentenebene der Fläche / = 0 im Punkte x, y, z ist fc($ — x) 4- — y) + ^(i — 0 ) = 0, und ftir einen singulären Punkt der Fläche hat man o 8x 8y 8 z Wir sehen daher: In einem singulären Punkte einer Curve ist die Tangente, in einem singulären Punkte einer Fläche die Tangentenebene unbestimmt. 3. Ist P ein Punkt der Curve f = 0, so sind die Coordinaten eines Punktes 11 der Geraden, die durch P geht und mit der X-Achse den Winkel a bildet 1. 5 = x 4- r cos a , r; = y 4- r sin a , wobei r die Strecke P 11 bezeichnet. Um die Punkte zu erhalten, welche die Gerade mit der Curve gemein hat, setzt man die Werthe 1. in die Curven- gleichung ein; diese enthält dann nur noch die Unbekannte r. Entwickelt man die Function f(x erhält man f(x -+- rcos a, y 4- rsina) = f(x, y) ■ 1 „ / 8 8 V 1 Uw a — 4- sin a ^ j / 4- ^ r« y 4- r sin 0. Sind die beiden Tangenten im Doppelpunkte real und verschieden, so bezeichnet man den singulären Punkt als Doppelpunkt im engem Sinne; in diesem Falle kann man von P aus in zwei verschiedenen Richtungen auf der Curve fortschreiten, die Curve geht also zweimal durch P hindurch. Sind sie real und vereint, so giebt man ihm den Namen Rückkehrpunkt und die durch 5. bestimmte Gerade heisst Rückkehrtangente. Sind sie complex, so kann von dem Punkte aus in keiner realen Richtung auf der Curve fortschreiten, es giebt also keine realen Punkte der Curve, die dem singulären Punkte benachbart wären, er ist ein vereinzelter oder isolirter Punkt. Die Gleichung der beiden Doppelpunktstangenten wird erhalten, wenn man in 5. setzt £ — x r; — y eoso. = Man 7. erhält g («- *)» c 2/ gy -J)2 = 0. 4. Wir geben zunächst hierzu einige Beispiele. Für die Doppelpunkte der Curve dritter Ordnung f = ax 3 -+- 3bx 2 y -+■ 3cxy 2 -t- dy 3 df , hat man 1 3 dx 3 dy 3cxy 2 -t- -+- 2 bxy es bx 2 -+- 2 cxy cf cy‘ dy 2 3ex 2 - +- 2ex 6fxy 2 fy = h 2/* d I dy 3gy 2 = 0 0, 0. = 0 2 gy = gehen durch den Null- Alle drei Curven f = 0, -f - = 0 und J cx punkt, daher ist dieser Doppelpunkt von f\ mehr als einen Doppelpunkt kann f nicht haben; denn hätte eine Curve III. O. zwei Doppelpunkte A und B, so würde die Gerade AB in A zwei und in B zwei Punkte mit der Curve gemein haben, hätte also vier Schnittpunkte mit der Curve, im Widerspruche mit der Thatsache, dass eine Gerade mit einer (eigentlichen, nicht in Kegelschnitt und Gerade oder in drei Gerade zerfallenden) Curve III. O. nur drei Punkte gemein haben kann. Man hat 1 d*f L 1 c 2 f _ A i ^ ^ Id 2 / 6 dy 2 6 dx 2 ax by c ’ 6 dxdy Für den Doppelpunkt x =y = 0 erhalten diese Ausdrücke der Reihe nach die Werthe e, /, g ; daher ist die Gleichung der Doppelpunktstangenten ex 2 4 - 2fxy -+- gy 2 = 0 . Der Nullpunkt ist ein Doppelpunkt im engem Sinne, wenn eg — f 2 < 0, ein Rückkehrpunkt, wenn eg — /* = 0, ein isolirter Punkt, wenn eg — f 2 >0. 5. Zieht man durch den Nullpunkt Gerade, und trägt vom Schnittpunkte B dieser Geraden mit einer Parallelen AA 1 zur Abscissenachse auf der Geraden nach (M. 495.) = bx -+■ cy +/, ex -h dy -h g. 1 r A B / /r / 0 X 522 Differentialrechnung beiden Seiten hin eine gegebene Strecke BP — P X B = m ab, so ist der Ort der Punkte P und P x eine Curve, die unter dem Namen der Conchoide des Nikomedes bekannt ist. Ist OA — p, und bezeichnet man Radius vector und Anomalie eines Curvenpunktes r und 9, so gelten für P und P x die Gleichungen (r qz m) sin 9 = p . Ersetzt man «»9 durch y : r, so erhält man y + m - = p — y, und hieraus die rationale Gleichung 1. /= (* 2 +/) Hieraus findet man m 1y1 0. % ^ ' ¥x = —ri 2 ’ 2 0 x I.ÜZ 2 cx 2 3. \.U 2 0 y 1 c 2 f (y —P) ( x ' J + 2 J ' 2 — Pf) — mi y > c 2 f i- Y- = (p— y) 2 > Y x ^y -P)’ 2 ■- 8 yi = x ‘ i +6y 2 — Kpy+p 2 —M 2 . Aus 2. folgt für Doppelpunkte 5. x — 0, oder y = p. ' Setzt man das erstere in 1. und 3. ein, so ergiebt 1. 6. j y 2 — 0, oder (/ — y) 2 = m 2 , und 3. 7. y = 0, oder (y — p) {-y — p) = m 1 ■ Hieraus folgt, dass der Nullpunkt den Gleichungen 1., 2. und 3. genügt; da er die Grössen 4. nicht zu Null macht, so ist er ein Doppelpunkt der Conchoide. Die beiden andern Werthe für y unter 6. und 7. stimmen nicht überein; der in 5. noch angegebene Werth y = p befriedigt 3. nur unter der Annahme x = 00 ; beide Werthe genügen auch 1., und machen 4. nicht gleich Null, sind also Coordinaten eines zweiten Doppelpunktes. Setzt man in den Formeln 4. x =y = 0, so erhält man die Gleichung der Doppelpunktstangenten des Nullpunktes 8. px 2 + ( p 2 — m 2 )y 2 = 0. Ist p > m, so sind diese Tangenten conjugirt complex; der Nullpunkt wird in diesem Falle zwar durch die Construction der Curve nicht erhalten, gehört aber als isolirter Punkt zu der durch die Gleichung 1. definirten Curve. Ist p — m, so hat die Curve in O einen Rückkehrpunkt und OY ist Rückkehrtangente; ist p < m, so ist O ein eigentlicher Doppelpunkt. Der zweite Doppelpunkt ist der unendlich ferne Punkt der Geraden AA j. Für die Coordinaten desselben ist c 2 f c 2 f , . c 2 f = 0 , 75—5— unbestimmt, „--5- = 00 cx 1 oxoy cy 2 die Gleichung der Doppelpunktstangenten ist daher iy-p) 2 = 0; der unendlich ferne Punkt der Geraden AA X ist somit ein Rückkehrpunkt, und AA t die zugehörige Rückkehrtangente der Conchoide. 6. Die Curve 1. / = (x 2 — a 2 ) 2 — ay 2 (3 a -+- 2 y) = 0*) liefert 2. \x{x 2 — a 2 ), ~ = — Gay(a + y), d 2 / c%f d^f / ^ . 3 ‘ dx 2 = 4 ( 3x2 ~ ^ ’ dxdy = 0 ’ dy 2 = ~ Ga ^ + ^ ’ ‘) Salmon-Fiedler, Analyt. Geom. der höh. ebenen Curven, Leipzig 1873, 1. Kap., 2. Abschn. §15. Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 523 Für Doppelpunkte folgt aus 2. x = 0 oder x — ± a , und y = 0 oder y = — a. Von den sechs Paar Punkten, die sich durch Combination dieser Abscissen und Ordinaten ergeben, genügen der Curvengleichung die drei Punkte x i = Ti = — « i x t = a, y 2 = 0 ; x 3 — — a, y 3 = 0 . Für keinen dieser Punkte verschwinden die zweiten Differentialquotienten; also sind die so bestimmten Punkte P lt P 2 , P 3 Doppelpunkte. Die Gleichungen der Doppelpunktstangenten sind für P x : 2*2 —3 {y + a) 2 = 0 , für P % : 4(* — a) 2 — 3y 2 = 0 , für P 3 : 4(* + a ) 2 — 3jv 2 = 0 . Hieraus erkennt man, dass P lt P, lt P ?i eigentliche Doppelpunkte sind. 7. Wenn in einem Punkte P einer Curve f = 0 die ersten und die zweiten partialen Differentialquotienten von f verschwinden, aber nicht sämmtliche dritte, so hat die Gleichung (vergl. No. 2, 2) ,. . / d s \ J\x r cos a , y -+- r sin a) = _/(*, y) 4- r I cos a g~ o \ 2 , 1 ( c 1 , / r l I cos a dx 1 «« .-)/ + 2 7T( ^ I cos a ^ / oy c d y. 1 / drei Wurzeln r 1. 1 / :—I cos a - ' • 3 \ ( ^ o t ' I O — T” J*/*' 'Jt o 2-3*4 \ 0 # < 7 ^ 0, und die übrigen Wurzeln folgen aus der Gleichung e \ 3 1 / c cf 4 ®ar /+ ü —i • ^ l^ra^-1- sinn. „ | / -t- . . . = 0 . 0.J7 ' 2-3-4 \ cx oy) J H- rz>z 2-3 \ cx 1 cy) J 2-3-4 \ cx oy) Für jede durch den Punkt P gehende Gerade sind also drei Schnittpunkte mit der Curve in P vereint; der Punkt wird daher als dreifacher Punkt der Curve bezeichnet. Bestimmt man a aus der Gleichung / ^ . ey. [cos a — -t- sin a — | / V cx °y) d V *»/ 2 . ,8V, dx 3 COS s cn cos* a rz«a cmi rzVz 2 a 3 3 / , ~j sin 3 v. = 0, 0 * 2 0 y "" 1 ~ cxdy 2 so erhält man drei durch P gehende Gerade; diese enthalten die Richtungen, in denen man von P aus auf der Curve fortschreiten kann. Durch einen dreifachen Punkt geht daher die Curve dreimal. Die drei durch 2. bestimmten Geraden bezeichnet man als die Tangenten im dreifachen Punkte. Sind, die Wurzeln von 2. real und verschieden, so ist P ein dreifacher Punkt im engem Sinne; sind zwei Wurzeln gleich, so wird die der Doppelwurzel zugehörige Gerade 7\ in P von zwei Curvenästen berührt, die in P einen Rückkehrpunkt und T x zur Rückkehrtangente haben; ausserdem geht durch P noch ein dritter Curvenast, dessen Tangente in P der dritten Wurzel von 2. entspricht. Hat 2. drei gleiche Wurzeln, so enden in P drei Curvenäste und haben in P eine gemeinsame Tangente, nämlich die der dreifachen Wurzel von 2. zugehörige Gerade; in diesem Falle ist P ein Rückkehrpunkt höherer Art. Hat 2. eine reale und zwei complexe Wurzeln, so ist P als ein isolirter Punkt aufzufassen, durch den ein Curvenast hindurchgeht. 8. Wenn die Coordinaten der Punkte einer Curve als Functionen eines unabhängigen Parameters u dargestellt sind, * =

524 Differentialrechnung. so können Doppelpunkte in der Weise auftreten, dass zwei verschiedene Werthe u x , fl 2 des Parameters dieselben Coordinatenwerthe x, y ergeben, während die Differentialquotienten cp 1 und ij/ und damit die Tangente f • (S — *) — ?' • (v) — y) = o für die beiden Parameter verschiedene Werthe annehmen. Aendert sich u con- tinuirlich wachsend oder abnehmend von u x zu « 2 , so beschreibt dabei P eine Curvenschleife, die zu dem Ausgangspunkte zurückkehrt. Diese Schleife wird immer kleiner, je kleiner die Differenz u x — ist; wenn « 2 von u \ nur unendlich wenig verschieden ist, so verschwindet die Schleife und der Doppelpunkt geht in einen Rückkehrpunkt über. Die Bedingung für einen Rückkehrpunkt ist also, dass einer unendlich kleinen Aenderung von u unendlich kleine Aenderungen höherer Ordnung von x und y entsprechen; daher ist für einen Rückkehrpunkt dx dy du ’ du A. Für die Curve, welche durch die Gleichungen dargestellt ist (« — a) (u — b) i ( u — fl) (« — b) = 0 . d, y = ‘h u — c ergiebt sich derselbe Punkt x = d, y = d x für die beiden Parameterwerthe u = a und u = b. Die Differentialquotienten der Coordinaten sind dx ( u — a ) (u — c) H- ( u — b ) (u — c) — (« — a) (u — b) du dy du Für u = (ti — fl)(« — c j) (* - ^ (u — b) (tt — rj) — (« — fl) (u — b) fl und u = b folgt (u — cY — b ~c ’ / dx\ a — \du) a a — (dx\ b — fl \duji b — c / dy\ a — b \duj a a — c x ’ ( dy\ b — fl duji b — c j ‘ Daher ist der Punkt d, d x Doppelpunkt und die Gleichungen der Tangenten im Doppelpunkte sind x — d v — d , x — d y — d, b — Ci a — c x fl — c ~ ' b — c x b — c B. Die Cycloide hat die Gleichungen x = a(u — sinu ), y = a (1 — cosu ); daher ist = 0 . dx dy j- = fl(l — cosu ), -j- = asinu . il iv li' Beide Differentialquotienten verschwinden für die Parameterwerthe u = t) 2k, 4ii u. s. w. Die zugehörigen Punkte sind daher Rückkehrpunkte; die Rückkehrtangenten sind normal zur Abscissenachse. 9. Doppelpunkte-an Flächen. Um die Punkte 11 zu Cxlialten, die eine durch den Punkt P der Fläche fix, y, st) = 0 unter den Richtungswinkeln a, ß, 7 gelegte Gerade mit der Fläche gemein hat, setzt man 5 = x + rcos a, r] = y -+- rcos§ , £ = *-!- rcos'i • in die Flächengleichung an die Stelle von x, y, z und bestimmt aus der resul- tirenden Gleichung die Unbekannte r. Entwickelt man nach dem TAYLOR’schen Satze, so erhält man §15. Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 525 1 . f(x,y,z -Fzwßö—-t-rw7 -+- cos ß -+- cos 7 Nach der Voraussetzung ist/(.r, y, z) — 0; mithin hat die Gleichung 1. eine Wurzel r — 0, entsprechend dem Punkte P. Die andern Wurzeln werden aus der Gleichung bestimmt 2 . cos a k— -+- ox Diese Gleichung hat eine Wurzel r — 0, die Gleichung 1 . also eine Doppelwurzel r = 0, wenn die Gerade so gelegt wird, dass -+- cos 7 cos a -+- cos ß Ersetzt man hier cos a, «\rß, cosy durch die proportionalen Differenzen £ — x, rj — y, £ — z, so erhält man die Gleichung der Tangentenebene in P. Sind für P die Gleichungen erfüllt U. = d J. _ u. = dx ~ 8y dz so verschwindet in 2. das erste Glied unabhängig von a, ß, 7 . Es hat also denn jede Gerade, die durch P geht, mit der Fläche in P zwei zusammenfallende Schnittpunkte. Sind für P nun nicht sämmtliche partiale Differentialquotienten zweiter Ordnung gleich Null, so verschwindet das zweite Glied von 2. nicht identisch, alsdann hat also im Allgemeinen eine durch P gehende Gerade in P nicht mehr als zwei Schnittpunkte mit der Fläche; der Punkt P wird deswegen als Doppelpunkt der Fläche bezeichnet. 10. Die durch den Doppelpunkt P gehenden Geraden, welche mit der Fläche in P drei zusammenfallende Punkte gemein haben, genügen der Gleichung -t- cos ß -+- cos 7 1. denn in diesem Falle verschwinden in der Gleichung No. 9, 1. das erste, zweite und dritte Glied, dieselbe hat daher eine dreifache Wurzel r = 0. Die der Gleichung 1. genügenden Geraden bezeichnet man als Tangenten im Doppelpunkte. Ersetzt man in 1 . die Cosinus der Reihe nach durch $ — x, t\ — y, £ — z, so erhält man die Gleichung der von den Tangenten im Doppelpunkte erzeugten Kegelfläche, nämlich (t — x y + 2 (5 — x )(ji —y )'+ 2 (*-*)« (?) —y) s -h2 (*i —y) 0 (t- *) Wir schliessen daher: Die Tangenten im Doppelpunkte einer Fläche sind die Mantellinien eines Kegels II. O., der den Doppelpunkt zur Spitze hat. Je nach der Realität und den Ausartungen dieses Berührungskegels im Doppelpunkte unterscheidet man verschiedene Ausartungen der Doppelpunkte. Ist der Kegel real und ohne Ausartung, so wird P als Doppelpunkt im engern Sinne bezeichnet. Ist der Kegel imaginär, so ist nur seine Spitze real, und P wird zu einem isolirten Punkte. 11. A. Die Gleichung der Fusspunktfläche eines dreiachsigen Ellipsoids 'k ; %icv. -Y-., "> 526 Differentialrechnung. - 1 = 0 x 2 y 2 z 2 ä 2 + b 2 ^ 7 2 für das Centrum als Pol ist 1. f = a 2 x 2 -+- b 2 y 2 + 2 — 4r — 8^ s , = 2r 2 — 4r 2 — 8z 2 , V* G Z* cy* dxdz = — 8trz , g 2 / d 2 / — ~ ’ g_y Sie verschwinden für den Nullpunkt nicht; derselbe ist daher ein Doppelpunkt der Fusspunktfläche. Der Tangentenkegel im Nullpunkte ist, wie sich aus 3. ergiebt: a 2 .* 2 -+- b 2 y 2 -+- c 2 z 2 = 0; derselbe ist imaginär, und daher der Nullpunkt kein Doppelpunkt im engeren Sinne, sondern ein isolirter Punkt. B. Für das einschalige Hyperboloid y* ' P — -V - 1 0 ist die Gleichung der Fusspunktfläche, wieder mit dem Centrum als Pol, % bx d 2 f 8x 2 b 2 f dxdy / Daher ist = 2(« 2 — = 2a 2 - 2r 2 )^ , 4r 2 — 8* 2 8 xy, -+- b 2 y 2 — c 2 z 2 — (x 2 ~hy 2 -+- z 2 ) 2 = 0. = —2(r 2 +2 r 2 )z; - 2c 2 —4r 2 —8z 2 , = — 8 yz . u . dy 8y‘ 8 2 / 8y8z = 2 (b 2 -2 r 2 )y, 8 2 f j~ = 2g 2 — 4r 2 — 8jy 2 — 8 xz , U. 8 z 821 8z 2 dy 8y8z ‘ Der Nullpunkt ist daher Doppelpunkt, und der Tangentenkegel im Doppelpunkte hat die Gleichung a 2 x 2 -t- b 2 y 2 — c 2 z 2 = 0. Ist a = 0, artet also das Hyperboloid in eine hyperbolische Grenzfläche aus, so artet der Tangentenkegel im Doppelpunkte zu zwei Ebenen aus Py 2 _ c 2 z 2 = 0. 12. Trägt man auf jeder durch das Centrum eines dreiachsigen Ellipsoids gehenden Geraden vom Centrum aus nach beiden Seiten hin je zwei Strecken ab, die der grossen und der kleinen Halbachse des zur Geraden normalen Diametralschnittes gleich sind, so erhält man die Punkte der Fresnel’ sehen Wellenfläche*). Ist P ein Punkt der Wellenfläche und sind tp, -/ die Richtungswinkel von OP, so genügt OP = r der Gleichung § 14 No. 6, 12 a 2 cos 2 's/ b 2 cos 2 <5/ c 2 cos 2 y — b 2 - 0. *) Der Name der Fläche bezieht sich auf die Bedeutung, die sie für die Theorie der Aetherschwingungen in optisch zweiachsigen Mitteln hat. §15' Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 5 2 7 Multiplicirt man mit r und substituirt x = rcosy, y = rcosi/, z = rcosy , so erhält man die Gleichung der Wellenfläche in der Form 1 . 2 . c* z* a 2 x 2 b 2 y 2 r 2 — a 2 r 2 — b 2 r 2 — c 2 Durch Beseitigung der Nenner erhält man hieraus = 0 . c 2 y 2 z 2 ) (a 2 x 2 -t- b 2 y 2 -+- c 2 z 2 ) — a 2 x 2 ( b 2 2 > _ c 2 z 2 (a 2 + b 2 ) 4 - «2 b 2 c 2 = 0 . ■'*) / = O — b 2 y 2 ( a 2 a Um eine Vorstellung von der Gestalt derWellen- fläche zu erhalten, bemerke man, dass die Wellenfläche von jeder Coordinaten- ebene in einem Kreise und in einer Ellipse geschnitten wird; bei der XY -Ebene hat der Kreis den Halbmesser c, die Ellipse in der X- und der F-Achse der Reihe nach die Halbachsen b' und a\ bei der XZ -Ebene hat der Kreis den Halbmesser b, die Ellipse in der X- und F-Achse die Halbachsen c und a ; bei der FF-Ebene hat der Kreis den Halbmesser a, die Ellipse in der F- und F-Achse die Halbachsen c und b. Die Difterentialquotienten von f sind df (M. 49C.) X 3. dx df_ oy V. dz = 2x [a 2 X 2 b 2 y 2 _j_ c s. = 2 y [a 2 x 2 + b 2 y 2 4 - c 2 < = 2 z [a 2 x 2 -+• b 2 y 2 4 - c 2 z 2 4 - c 2 (r 2 — a 2 — b 2 )\ = 2zC, . a 2 - h 2 b 2 ( r 2 — r 2 • - c 2 )] s 2 xA , a 2 )\ » 2 yB, wobei A, B, C zur Abkürzung für die Grössen in den eckigen Klammern einge- ftihrt sind. Die Gleichung der Tangentenebene der Wellenfläche im Punkte P derselben ist daher 4. xA (g — x) 4 - yB ( 7 ] — y) 4 - z C(Z — z) = 0 . Man überzeugt sich leicht, dass unter den Punkten, welche den Gleichungen xA = yB = zC = 0 genügen, nur diejenigen drei Gruppen der Fläche angehören, welche je eines der drei Systeme auflösen 5. x = B — C — 0, 6 . A = y = C = 0, 7. A = B = z = 0, Jede dieser drei Gruppen enthält vier Punkte, nämlich die Schnittpunkte der Kegelschnitte, welche je eine Coordinatenebene mit der Wellenfläche gemein hat. 528 Differentialrechnung. Unter diesen Gruppen enthält eine vier reale, die andern beiden enthalten imaginäre Punkte; ist a > b > c, so sind die vier Punkte der zweiten Gruppe real; einer derselben ist in der Figur mit A bezeichnet. Die Coordinaten dieser vier realen Doppelpunkte ergeben sich aus a 2 — b 2 „ „ b 2 — c 2 . y — 0 , r?2 - = C* -r - a 2 — *2 = Die zweiten partialen Differentialquotienten von f sind Vf „ , . Vf n D . ol ,„ 0 8 2 f 8x 2 8V 2 A 4- 8 a 2 x 2 , = 4 (a 2 -(- b 2 ) xy , dy 2 Vf = 2 B -t- 8 b 2 y 2 , = 4 (a 2 4- c 2 ) xz , 8 z 2 Vf 2C-4- 8c 2 z 2 8xdy ' ^ 8xdz~ v ’ gydz Für einen Doppelpunkt ist y = A = C = 0, und daher = 4 (b 2 4- c 2 )yz , 8Jf 8x 2 8 a 2 x 2 , 8 2 f 8y 2 8 2 f 8x8y — 2 (a 2.^?2 . 02/ -b 2 Z 2 )- = o, - 2 b 2 (x' 8 2 f + z 2 — a 2 - 2^ d lL ~ c 8z 2 : 8 c 2 i 4 (a 2 + c 2 )xz . 8y8z ’ 8 x8 z Setzt man aus 5. die Werthe ein, so erhält man die Gleichung des Tangentenkegels im Doppelpunkte a 2 c 2 (b 2 — a 2 ) (5 b 2)7)2 x y — _ qi)(b 2 — a 2 ){c 2 -f- a 2 c 2 (c 2 — b 2 ) (J — z) 2 4- ac(a 2 4- c 2 ')’^(b 2 — a 2 ) ( c 2 — b 2 ) (5 — x) Z — z) = 0 . Dieser Kegel ist symmetrisch gegen die XZ- Ebene; sein in diese Ebene fallender Hauptschnitt wird aus den beiden Tangenten gebildet, die man im Doppelpunkte an den Kreis und die Ellipse legt, in welchen die Wellenfläche von der 2fZ-Ebene geschnitten wird; die Achse des Kegels halbirt den stumpfen Winkel dieser Tangenten. Die Wellenfläche besteht aus zwei Mänteln; einem äusseren Mantel, dessen Punkte von den grossen Halbachsen der Diametralschnitte herrühren, und einem inneren, dessen Punkte von den kleinen Halbachsen herrühren; der innere wird ganz von dem äusseren eingeschlossen. Beide Mäntel haben vier Punkte gemein, die vier Doppelpunkte. Wie man aus den Coordinaten der Doppelpunkte erkennt, sind die Geraden O A normal zu den Kreisschnitten des Ellipsoids. In der Umgebung von A hat der innere Mantel eine Spitze, der äussere eine trichterförmige Vertiefung. Der Uebergang aus dem inneren durch einen Doppelpunkt in den äusseren Mantel erfolgt entlang der Oberfläche des Tangentenkegels. 13. Betrachtet man eine Curve als Einhüllende ihrer Tangenten, so können singuläre Tangenten auftreten, die den Doppelpunkten und den vielfachen Punkten einer als Punktgebilde aufgefassten Curve entsprechen. Sind u, v und s 4 - Aa, » + A» die Coordinaten zweier Geraden, und $, i\ die Coordinaten ihres Schnittpunktes, so ist bekanntlich (vergl. § 3, No. 23) 5:7] = — Az/: A u . Man kann daher setzen 1 . tlU = 7 )/, \v = — %t, wobei t unbestimmt ist; ändert sich t von — <» bis 4- =», so umhüllt die Gerade u 4 - A u, v 4- \v den Punkt E, t; . Die Geraden u 4 - A u, v 4- Az/, welche durch den Punkt E, t; einer Geraden u, v gehen und die Curve f(u, v) = 0 berühren, werden erhalten, indem man t aus der Gleichung berechnet 2. f(u 4- A u, v 4- Az/) = f(u 4-7 \t, v — E/) = 0 , §15- Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 529 und mit Hülfe der Wurzeln dieser Gleichung und der bekannten Werthe £, 7), u, v die Coordinaten zusammensetzt 3- » -4- it» = u -4- 7)/, v -4- Az; = v — \t. Entwickelt man f{u -+-7 \t, v — \f) nach dem Taylor’ sehen Satze, so erhält man /(« + ,/. r-t/)-/(«,») + '(lS- S Ä) /+ r i 2'’(’>n- £ Ä) ,/ Ist u, v eine Tangente der Curve, so ist f{u, v) = 0 und daher eine Wurzel der Gleichung 4. gleich Null; die andern Wurzeln ergeben sich aus der Gleichung r ( 8 , d\ , 1 ( d a \» 1 / 8 d\ 3 v'di-hi,y + Wählt man $, t; so, dass sie der Gleichung genügen 6 . df 8 f 71 -K- - $ -5— = 0 , 1 du d v 8 so ist hierdurch ein Punkt P vollständig bestimmt; durch diesen Punkt gehen zwei zusammenfallende Tangenten der Curve, der Punkt ist somit der Berührungspunkt der Geraden u, v und der Curve. Die Gleichung desselben er- giebt sich aus 6., wenn man darin t; und (— ;) durch die proportionalen Grössen u — u , B — v ersetzt; denn ist u, b eine P enthaltende Gerade, so ist für einen bestimmten Werth von t (No. 1) lt — u — r\t, ü — v = — ij /. Man erhält dadurch die Gleichung !£(»-*) = °« in Uebereinstimmung mit § 5 No. 23, 4. Wenn es eine Tangente T der Curve giebt, für welche du ’ dv so ist die Gleichung 7. identisch erfüllt; in diesem Falle gehen durch jeden Punkt der Geraden T zwei zusammenfallende Tangenten der Curve, die Curve wird daher als Doppeltangente bezeichnet. Die Tangenten, welche ausser der Doppeltangente selbst durch einen Punkt derselben gehen, ergeben sich aus der Gleichung 1 / 8 dy 1/8 , 8 \» 2 y du - + Bestimmt man £, rj aus der Gleichung / jl ,1V, 2 2_!/ „ r 8 2 / , r l 8 / n ^ d v) f ^ du 2 ^ dudv du* = 0 9. 10 . 0 . du 2 _ l ’ dudv ' ’ dv 2 so fallen für diese beiden Punkte je drei Tangenten der Curve mit der Doppeltangente zusammen. Die Gleichung dieser beiden Punkte wird erhalten, wenn man 10. mit t 2 multiplicirt und dann die Substitution ausfuhrt 7) t — u — u, |/=D— v. Man erhält dadurch 11 d 2 f (u — u ) s 8 »/ (u — u) (» — v) 8 »/, ■,2 ( B v) 2 = 0 . du 2 " J ' “ dudv “ 7 vv " 1 1 dv 2 Diese beiden Punkte werden als die Berührungspunkte der Doppeltangente bezeichnet. Sind sie real und verschieden, so ist T eine Doppel- Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 34 53° Differentialrechnung. tangente im engem Sinne; sind sie conjugirt complex, so enthält T keinen realen Punkt der Curve und ist daher eine isolirte Tangente. 14. Beispiel. Sind P x und P 2 lineare Functionen von Liniencoordinaten, so werden durch die Gleichung P X P 2 -l- X (P? 4- aP x P 2 -t- bPf) = 0 für ein veränderliches X Punktpaare dargestellt, die auf der Geraden P x P 2 liegen und eine quadratische Involution bilden. Sind Q x und Q 2 ebenfalls lineare Functionen in Liniencoordinaten, so bilden die Punkte Q x + \Q 2 = 0 eine Punktreihe, die mit der Involution projectiv ist. Die Geraden, welche entsprechende Punkte der Involution und der Reihe verbinden, genügen der Gleichung / _ (Pf + aP x P 2 4- bPf)Q x — P x P 2 Q x = 0; dies ist die Gleichung einer Curve dritter Klasse. Man erhält 0 / O ,, , Z? AA 0 / == P x M 4- P 2 N, dv P X M' 4- P 2 N', wobei M, N, M', N' leicht zu bildende Functionen sind. Man sieht hieraus, dass die drei Gleichungen / = 0, |^=0, durch die Gerade erfüllt werden, deren Coordinaten den Gleichungen P x = 0, P 2 = 0 genügen. Die Curve f= 0 hat also die Gerade P X P 2 zur Doppeltangente. 15. Sind u, v, w, und u -t- Au, v + i\v, w -+- i\w die Coordinaten zweier Tangentialebenen T, T' der Fläche f(u, v, w) — 0, sind ferner tt, », tu die Coordinaten einer durch den Schnitt von T und T' gehenden Ebene 2 , so ist bekanntlich (vergl. § 6, No. 9, 4) U — v tu — w kw Au Av Man kann daher, mit t eine unbestimmte Grösse bezeichnend, setzen 1. u = u-i-PAu, U = v + t-Av, tu = w 4- t • Aw. Die Tangentialebenen von f, welche durch die Gerade TT 1 gehen, werden somit aus der Gleichung erhalten f(u 4 - t ■ Au, v 4- t • Av, w 4- t ■ Aw) — 0. Entwickelt man nach dem TAVLOR’schen Satze, so erhält man 2 . ,, ( e d f(u, v,w) 4- 1 1 A u^-^-Avk —hiw, v ' \ cu dv o du ■ Av d V Aw ,— 1 cw) f 8 v 1 ( d 8 \ 3 , „ 4- • / 3 ( A «5 - 1 - Az-x- 4- AWo— )/+... = 0. 6 \ dn dv cw) Nach der Voraussetzung ist f (u , v, w) — 0; die Gleichung 2. hat daher eine Wurzel t = 0; ihr gehört die Ebene T zu. Werden A u, Av, Aw so gewählt, dass 3. Au ■ ~ -h Av - - CU cv A w • 2 / dw 0, so hat die Gleichung 2. noch eine Wurzel i = 0; es fallen denn also zwei durch die Gerade TT' gehende Tangentenebene der Fläche in T zusammen. Bezeichnet man die Coordinaten von T' mit U, V, W, so ist Au = U — u, Av = V — v, Aw = W — w, aus der Gleichung 3. erhält man daher § 15' Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. S3i dies ist in Uebereinstimmung mit § 6 , No. 5, 4 die Gleichung des auf T enthaltenen Tangentialpunkts der Fläche /. Giebt es eine Tangentenebene T der Fläche, für welche die Differentialquotienten verschwinden 5. so du dv dw ’ dass für die Coordinaten von T die vier Gleichungen bestehen /= 0 2 -/=o ^-0 */-o 7 du U ’ dv~ U ’ dw~ U ’ so ist 3. identisch erfüllt; jede auf T enthaltene Gerade hat dann die Eigenschaft, dass zwei durch sie hindurchgehende Tangentenebenen der Fläche f mit T zusammenfallen. Die Ebene T heisst daher Doppeltangentenebene. Sind in 2. u, v , w die Coordinaten einer Doppeltangentenebene, so hat die Gleichung 2. unabhängig von der Wahl der Ebene T zwei Wurzeln / = 0; die übrigen ergeben sich aus d . V . d . 1 /. 8 . d . . d 6 - H Au - 5 — + -b A7v-„ dx dy dz Wählt man nun T' so, dass )/+ |(a» du Av d v • A w dw. /+•■ = 0 . 7. (au Av^- + Aw / = 0, \ gjr dzj so hat die Gleichung 6 . eine Wurzel / = 0, die Gleichung 2. mithin eine dreifache Wurzel t = 0; für die Geraden, in welchen die der Gleichung 7. entsprechenden Ebenen T' die Doppeltangentenebene T schneiden, fallen also drei Tangentenebenen mit T zusammen. Die Gleichung 7. giebt entwickelt 8 w'W —•)■+ 2 U, w -"* v -°>+ 2 w -■)<»’-”■> + ssT—')’ + 2 ^) ~ 2 = (« 2 +* 2 y-c 2 ) (g +£-+■ - (* 2 +y 2 +* 2 ) = a 2 -f-b 2 -f~c 2 — r 2 , ' (i 4 r 2 )* 2 + (f 2 + « 2 )j ! + (« 2 +^ 2 )r 2 =+i 2 +r 2 ) r 2 — (a 2 x 2 -t-b 2 y 2 -t -c 2 z 2 ) ergiebt sich die Summe der Ausdrücke 5. zu 6 *** r aus welcher sich ergiebt — b^ >)■ Sind u, v, w die Coordinaten von T x , sowie u, h, )u die von 7\, so ist %i * ^ — u 2 v 2 -t- w 2 = u 2 H- tt 2 -4- W 2 denn diese Quadratsummen sind gleich dem reciproken Quadrate der Strecke ON = 0 N x . Setzt man 534 Differentialrechnung. 1 : ON = 1 : ON x = p, so ist daher die Gleichung der ON enthaltenden Ebene des Büschels , d. i. die Gleichung der Normalebene zu ON v 6 ‘ ( a V — 2 ) t + V + ^ 0 V — 0 J = 0 • Ersetzt man x : a 2 , y.b 2 , z : c 2 durch u, v, w, so erhält man für die Cosinus der Winkel der Geraden ON und der Achsen U V TU 7. cos cp = (a 2 p 2 — 1), costy = ( b 2 p 2 — 1), cosy = (c 2 p 2 — 1), wobei L sich ergiebt aus 8. Z 2 =-^[u 2 (a 2 P 2 —l) 2 +v 2 (b 2 P 2 — l) 2 +w 2 (c 2 p 2 —l) 2 ]=p 2 (a i u 2 +b*v 2 +Pw 2 )—l. Die Coordinaten von T folgen aus lt = p cos cp , » = p cos cp , tu = p cosy zu U 7) 9. li = ^ (« 2 P 2 — 1), D = 2 (^ 2 P 2 — 1) > w ~ z ( f2 P 2 — !) • Die gesuchte Gleichung der Wellenfläche in Ebenencoordinaten ergiebt sich nun, indem man aus 9. und aus der Gleichung des Ellipsoids E E = a 2 u 2 -f- b 2 v 2 -+- c 2 w 2 — 1 = 0. die Coordinaten u, v, w eliminirt. Aus 9. ergiebt sich lt 2 u 2 {a 2 p 2 —1) B 2 v 2 {b 2 p 2 —1) ü) 2 w 2 (c 2 p 2 —1) «2p 2 — 1 — L 2 ’ b 2 p 2 — 1 ~ Z 2 ’ c 2 p 2 — 1 ~ Z 2 • Addirt man, so erhält man die gesuchte Gleichung u 2 ü 2 n> 2 10 ' « 2 p 2 — 1 + b 2 p 2 — 1 + T 2 ^ 2 ^! = 0 ’ Man überzeugt sich auf Grund dieser Gleichung leicht, dass die Tangentenebenen der Wellenfläche erhalten werden, wenn man auf der Normalen zu einem Diametralschnitte des Ellipsoids @ = a 2 x 2 -4- b 2 y 2 -+- c 2 z 2 — 1 = 0 die reciproke grosse und kleine Halbachse des Schnittes vom Nullpunkte aus nach beiden Seiten hin abträgt und durch die Endpunkte Ebenen parallel zum Diametralschnitte legt. Denn die Endpunkte der Normalen gehören einer Fläche an, deren Gleichung aus der Gleichung der Wellenfläche ^ ^ a 2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 n 1L r 2 — a 2 + r 2 ~—'Ü 2 + r 2 — c 2 = 0 hervorgeht, indem man a, b, c mit 1 : a, 1 : b, 1 : c vertauscht, und die Coordinaten x, y, z eines Punktes P durch die Coordinaten X, Y, Z des Punktes P' ersetzt, der auf OP liegt, und dessen Radius vector reciprok zu OP ist-. Man hat somit X: Y: Z = x :y:z, X 2 + Y 2 + Z 2 und daher - y 12. x = R 2 X 2 -4- Y 2 + Z 2 = 1 _ Y _ R 2 ’ y R 2 ’ z R 2 ’ r* Die gesuchte Gleichung der Reciprokalfläche der zum Ellipsoide E gehörigen Wellenfläche ist hiernach X 2 Y 2 Z 2 = 0 . 13 . a 2 — R 2 b 2 R 2 R 2 Die Ebene, die durch 1 ' normal zu OP' geht, hat die Coordinaten § J 5 > Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 535 __ X _F _ Z lt — , B — J£ 2 I 'B — 2 ’ dabei ist R 2 = 1 : (u 2 H- B 2 + tc 2 ) = 1 : p 8 . Setzt man dies in 13. ein, so erhält man in der That die Gleichung der Wellenfläche 10. Befreit man die Gleichung 10. von Brüchen, so erhält man, wenn man nun u, v, w statt u, B, 1B schreibt f s=e {u 2 -+- v 2 -f- w 8 ) ( b 2 c 2 u 2 -1- c 2 a 2 v 2 a 2 b 2 w 2 ) — (b 2 -t- c 2 ) u 2 — (z 2 -t- a 2 ) v 2 — (a 2 -(- b 2 ) w 2 -t- 1 = 0 . Hieraus ergiebt sich — = u (b 2 c 2 u 2 + c 2 a 2 v 2 -f- a 2 b 2 w 2 -t- b 2 c 2 o 2 — b 2 2 cu y 1 10 / c? 5 — = v (b 2 c 2 u 2 -t- c 2 a 2 v 2 2 ov ' 1 0 / a 2 b 2 w 2 4 - z 2 « 2 p 2 — z 2 z 2 ) = u • A, a 2 ) = v-B, = w(b 2 c 2 u 2 c 2 a 2 v 2 -f- a 2 b 2 w 2 ■+- a 2 b 2 p 2 — « 2 — b 2 ) = «/• C, 2 cw v r ' wobei A, B, C abkürzungsweise für die eingeklammerten Polynome gesetzt ist. Den Gleichungen uA = vB = w C = / = 0 kann nur durch die Ebenen genügt werden, deren Coordinaten eines der drei Systeme erfüllen u = 0, ^ = 0, C = 0, v = 0, C = 0, X = 0, w — 0, X = 0, ^ = 0, das zweite reale Wurzeln. Die Wellenfläche hat somit 12 Doppeltangentenebenen, nämlich vier parallel zu jeder Achse; von diesen sind aber nur die vier real, die parallel zur mittleren Achse des Ellipsoids E sind. Die Spuren der realen Doppeltangentenebenen auf der XZ-Ebene sind die gemeinsamen Tangenten des Kreises und der Ellipse, welche die Wellenfläche mit der XZ-Ebene gemein hat. Die Coordinaten der Doppeltangentenebenen ergeben sich aus 1 a 2 — b 2 „ . „ 1 b 2 — c 2 “ b 2 ' a 2 — c 2 ’ V ~~ W b 2 ' a 2 — z 2 - Die Gleichung der Grenzfläche zweiter Klasse, längs welcher die Doppelebene u, v, w die Wellenfläche berührt, ergiebt sich mit Hülfe der Werthe, welche die zweiten partialen Differentialquotienten von / für die Doppelebene haben 1 0*/ _ _ i c 2 {a 2 -b 2 ) 1 0 2 / 2 du 2 = 4 ^ 2 “ 2 = ^ a 2 — T 2 ’ 2 » 1 d 2 f a 2 4 - z 2 /- 2 tdw = 232 (a2 + ‘ 2) uw = 2 1/(32 “ 1 ÜZ 2 0z» 2 1 0 2 / 2 dvdw = 0, c 2 ) ( a 2 — b 2 ), = b 2 (c 2 u 2 -\-a 2 w 2 ) -+- a 2 c 2 (u 2 -\-w 2 ) — (a 2 ;= 0 , ■z 2 ); 1 0 2 / b 2 — c 2 o 5—« = 4« 2 0 2 ze» 2 = 4a 2 . 2 gw 2 a‘ — z 2 14. Man erhält, wenn u, B, tt> laufende Coordinaten bezeichnen, b 2 c 2 ( a 2 — 0 2 )(u — u ) 2 4- b 2 ( a 2 4- c 2 )-]/(b 2 — c 2 ){a 2 — b 2 ) ■ (u — «)(» — w) — l(a 2 — 0 2 ) 0 2 — z 2 ) (b 2 — z 2 ) B 2 -t- a 2 0 2 (b 2 — z 2 ) (IB — ui ) 2 = 0 . Für die Doppelebene, welche im ersten Quadranten berührt, ist der positive Werth der Quadratwurzel zu nehmen. 536 Differentialrechnung. 15. Die Gleichung der Horizontalprojection der Beriihrungscurve wird erhalten, wenn man in 14. ro = 0 setzt. Man erhält b 2 c 2 (a 2 — b 2 )(u — u) 2 — b 2 (a 2 -1- r 2 )|/(4 2 — c 2 ) (a 2 — b 2 )w{* — u) — J(« 2 — b 2 ) ( a 2 — c 2 ) B 2 4- a 2 b 2 (b 2 — c 2 ) w 2 = 0 . Dies ist die Gleichung einer Ellipse, die symmetrisch zur A-Ache liegt; daher ist die Beriihrungscurve eine zur AZ-Ebene symmetrische Ellipse. Eine Achse der Ellipse 14. ist der zur O X normalen Achse von 15. parallel und gleich. Das halbe Reciprokum derselben ist der Werth von B, den die Gleichung 15. für u = 0 ergiebt; letzterer bestimmt sich aus _ c 2 ) Y(a 2 — b 2 ){b 2 — c 2 ) uw 16 17. 18. b 2 c 2 ( a 2 — b 2 ) u 2 -+- b 2 (a — i(® 2 — b 2 )(a 2 — c 2 )(b 2 — z 2 ) B 2 -f- a 2 b 2 (b 2 — c 2 )w 2 = 0. Setzt man für u, w die Werthe ein, so ergiebt sich U 2 B — ( a * — b 2 ) 0 b 2 — c 2 ) ' Daher ist die der F-Achse parallele Achse der Berührungsellipse W' 2 . §15- Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 537 F(x- - &x, y 4- Ay, a 4- A«) e 0 ■ ^Av d_ 8x ■ A y 8y F(x,y, z ) 8 t d V J 77 4- . . = 0 Aa ga. F A_y Aa 4. 5. dx J dy ~ dzj Zufolge der Gleichungen 1. vereinfachen sich die Gleichungen 2. und 3 zu ( A *£ + A ^ + A 0 /+ K A *^ + A ^ +A *) 2/ + --- = 0> g dy o A X ä-h A4 k dx cy dx c cy d dx ' y dy Bezeichnet man die Strecke PP' mit p und ihre Winkel mit den Achsen mit a, ß, 7, so gehen 4. und 5 über in g\ „ z-V g A z) F + . 0 . 6. r\ cosa 0 7. dx d -cos$ dy' d ■ cos-iß dx dy ■ cosi Y I cosrx.7 ( 1 I cosa-,r \ 0‘ (Wß ■ cos$- dy d COS'I dy ■ COS'I p- . .. = 0 , dz,, F -+-.. . = 0. dx 'dz)" 1 2 \f osa dx Verschwindet die Strecke PP 1 , so werden die Winkel a, ß, y durch die Gleichungen bestimmt, die durch Grenzübergang aus 6. und 7. hervorgehen. Im Allgemeinen sind dies die beiden Gleichungen 8 . 9. cos a 2/ n df df Tc + cos ß + COS'I dF JF dF dx c °s? d~y + cos 1 dl = 0; = 0 . Die Geraden, die ihnen einzeln genügen, erfüllen bekanntlich die Tangentenebenen an / und F in P, ihr Verein bestimmt die Curventangente in P als Schnitt dieser beiden Tangentenebenen. Unter besonderen Voraussetzungen können aber hiervon abweichende Bestimmungen eintreten. A. Wenn für den Punkt P die beiden Functionen 0/ df df cosa — 4- cos$—_ 4- cos'i dF dF COS a ■+■ cos ß dx -I_ v dy ^ 1 dz ’ dx 1 v dy nur um einen constanten Faktor verschieden sind, wenn also . dF i _ Q dF t .0W\ ( df cF C0S 'l dz ! (cosa dx^ C0S ^f-y + C0ST Tz) ^ M [? 0S * dx + £os t % COS^ d I dz )- so fallen die Tangentenebenen von f und F in P zusammen, die beiden Flächen berühren sich also in P. Die Richtungen, in welchen man von P auf der Schnittcurve von f und F fortschreiten kann, sind in diesem Falle nicht aus 8. und 9. zu bestimmen, da diese Gleichungen identisch sind, sondern man muss auf 6. und 7. zurückgehen. Multiplicirt man 6. mit m und 7. mit n und subtra- hirt, so erhält man mit Rücksicht auf 10. und wenn man zur Grenze r = 0 übergeht / 0 0 d\\ / 0 mycosa-r^ 4- «j-» -» a— ö- , dxoy oxcy) ' dxdz. _ ay a_ya« m 8ydz ;) (5 — X) 0 —y) :) (? — *) (’ -*) + (*» fjr — * Jp) 0) -y) 2 ) (i — y) (C — *) + 0 , 13. ap., v jü:( 6 —*) + -^Ov a* 2 "a*v' a*^ - " r a^ Vl— dz^~^ = 0 • Die Gleichung 12. ist die eines Kegels zweiter Ordnung; je nachdem derselbe von der Ebene 13. in zwei realen verschiedenen, oder in zwei realen zusammenfallenden oder in zwei imaginären Geraden geschnitten wird, hat die Curve in P zwei reale getrennte, oder zwei reale zusammenfallende, oder zwei imaginäre Tangenten, und P ist demgemäss als Doppelpunkt, als Rückkehrpunkt oder als isolirter Punkt der Raumcurve zu bezeichnen. B. Wenn für die Fläche f im Punkte P die partialen ersten Differentialquotienten verschwinden, für F aber nicht, so bestimmen sich die Tangenten der Raumcurve in P aus den Gleichungen ay c 2 f 2ö-4-(5' 14. 15. ' dxdy ■ *) 0 — y) dF tt V dF r dxdz d 3 f (C — a) 2 = 0 Je nachdem die Ebene 15. mit dem Kegel 14. zwei reale getrennte, reale vereinte oder imaginäre Gerade gemein hat, ist Pein Doppelpunkt, Rückkehrpunkt oder vereinzelter Punkt der Raumcurve. C. Wenn für beide Flächen f und F die partialen ersten Differentialquotienten im Punkte P verschwinden, wenn also beide Flächen in P einen Doppelpunkt haben, so werden die Tangenten ihrer Schnittcurve in P aus den beiden Gleichungen erhalten. 16. 17. d»f dp + dp (ri ' -y) 2 2 0 —p) (c — a 2 P a a p ~dy% dy dz v d s F ' 2 Txd~y ^ — ^ ' a s f - v) ■*)- + o. a a f 2o —Xl-x)^-z) ' dxdz d*F "dP 0. Diese beiden Kegel zweiter Ordnung haben vier gemeinsame Mantellinien. Wenn also zwei Flächen einen gemeinsamen Doppelpunkt haben, so gehen durch denselben vier Zweige ihrer Durchschnittscurve, dieser Punkt ist daher ein vierfacher Punkt der Raumcurve; er tritt als isolirter Punkt auf, wenn die vier Tangenten imaginär sind. 18. Für die Rotationscylinder / = y* + z 2 — R 3 = 0, = 2a; F= x 2 + y 3 — 2 {R — r)y -+- R 3 — O II XI H y = 2 y, u dy dz dF dF 20 — „ s dF §1 II to ’ dy - R + r )’ dz = 0 . hat man § 15 - Singuläre Punkte, Tangenten und Tangentenebenen an Curven und Flächen. 539 Die Gleichungen No. 17, 8. und 9 sind daher 1. 2 cos$ ■ y 4 - 2cos-f • z = 0, 2. 2cosa • x -t~ 2cos$(y — R 4 - r) = 0, Sie werden identisch für x = z = 0; für diese Werthe haben f — 0 und F — 0 die gemeinsame Wurzel y = R) die Cylinder haben also den Punkt x — z = 0, y = R gemein und in diesem Punkte eine gemeinsame Tangentenebene, die der .TZ-Ebene parallel ist. Für x = z = 0, y = R gehen die Gleichungen 1. und 2. über in 2 cos$ • R — 0, 2 cosß • r = 0; daher ist m = r, n = R. Ferner ergeben sich die Differentialquotienten 0 II |C^ a2/ 0 dx dy ’ 0 2 f = 2, Cy‘ 82/ 0 dydz ~ U ’ 02/ Jz 2 d 2 F o 2 F d 2 F 32 F 02 F dx 2 ~ w ’ dxdy ~ °’ dxdz d- y 2 — 2 ’ dydz Daher werden die Gleichungen No. 17, 12. und 13. RV 4 - (R — r) (r, - Ry — K 2 = 0 , rj — R = 0 . Hieraus folgen die Gleichungen der Verticalprojectionen der Doppelpunktstangenten R¥ — K 2 = 0. Für die Abscisse % = r folgt die Ordinate C = j /Rr, wonach die Tangenten leicht construirt werden können*). 19. Das Ellipsoid / — x 2 y 2 ö« + b 2 .2 2 + r 2 — 1 = 0 und die Kugel F 23 x 2 4- y 2 4- 2 2 — 2( dz 2 — l . Die übrigen partialen Differentialquotienten zweiter Ordnung sind gleich Null. Die Gleichungen No. 17, 8, 9 werden für C 2 — cos'[ = 0, 2 r cos'f = 0, Daher ist m = c, n = 1 : r\ die Gleichungen 12 und 13 sind Hieraus ergiebt sich die Gleichung der Doppelpunktstangenten Ö-7) £ ’ +(p-7)’’ -°- Wird das geometrische Mittel aus c und r mit d bezeichnet, und ist a > b, so sind die beiden Tangenten real und verschieden, wenn a > d > b , real und vereint, „ a = d oder b = d , imaginär, „ a < d „ b > d. ') Vergl. Schloemilch, Handbuch der Math., 1. Bd., Darstellende Geometrie § 8, No. 14, 540 Differentialrechnung. ^2 -ii 2 ^2 20. Der Kegel / = -g- + p — ^ = 0 und die Kugel = x 2 -+- y 2 -+- z 2 — 2 dx — 2ey — 2 fz = 0 haben den Nullpunkt gemein, und im Nullpunkte hat / einen Doppelpunkt. Die Gleichungen No. 17, 14. und 15. werden für den Nullpunkt £2 TI 2 £ 2 ^i + p — ^2 — 0, + ft = 0. Die Doppelpunktstangenten sind daher die Mantellinien, in welchen der Kegel von der Tangentenebene der Kugel im Nullpunkte geschnitten wird. Allgemein gilt die Bemerkung, dass in der Schnittcurve eines Kegels zweiter Ordnung mit einer Fläche F, die durch die Kegelspitze S geht, letztere ein Doppelpunkt ist und die Tangenten des Doppelpunktes die Mantellinien des Kegels sind, in welchen derselbe von der Tangentenebene von F in S geschnitten wird. 1. 2 . 3. 4. 5. § 16. Unendliche Reihen. 1. In § 13 haben wir die Reihen kennen gelernt ! + J x 2 + 1 2 X - x 2 £i 1 • 2 1 1-2-3 , 1 , 1 , 3 4 ^ 5 x X * X x . 1 + I + M + 1 • 2^3 + 1 • 2 • 3 ^ 4 ~ t " 1 -2-3-4-5 1 TTV 1 1 1 1•2 • 3 • 4“ 1 1 • 2 • 3 ■ 4 • 5 • 6 ‘ 1 1-2-3' 1 • 2 ■ 3 • 4 • 5 x ■’ 1.2-3-4-5-6-7 - Diese Reihen stimmen darin überein, dass für unbeschränkte oder für innerhalb gewisser Grenzen liegende Werthe von x die Summe der ersten n Glieder mit einer bestimmten Function um so genauer übereinstimmt, je grösser n ist, und dass man diese Genauigkeit beliebig gross machen kann, wenn man nur n hinlänglich gross wählt. Diese Functionen [(1 -+- oof-, /(I -+- x), e x , cosx, sinx ] sind daher die Grenzwerthe, denen sich die Reihen bei unendlich wachsender Gliederzahl nähern, und konnten in Folge dessen als die Summen der unendlich fortgesetzten Reihen bezeichnet werden. Jedes Glied der obigen Reihen kann als Function der Zahl m angesehen werden, welche angiebt, das wievielste Glied der Reihe es ist; wird diese Function mit q m bezeichnet, so treten die Reihen unter die allgemeine Form oder noch kürzer 1\ + ■+■ 4% + "+• 1b ?6 + 4 m t wobei das vor q m stehendeZeichen bedeutet, dass die Functionen q x , q 2 , q z , q A . . gebildet und addirt werden sollen. Die Grösse q m wird als das allgemeine Glied der betreffenden unendlichen Reihe bezeichnet. Die allgemeinen Glieder der Reihen 1 . . 5 sind (Jii)**- 1 ’ (- -i> \ttt —1. X m X 1 (-1) iW —1 2 h (2 m- (- 1 > -1 ^2^—1 m ’ (m — 1)!’ ^ l> (2 m — 2)!’ v ,J (2 m —1)1’ Diese Beispiele für unendliche Reihen fordern dazu auf, unendliche Reihen im Allgemeinen zu betrachten, die Bedingungen anzugeben, unter welchen die § l6. Unendliche Reihen. 541 Summe der ersten n Glieder bei wachsender Gliederzahl einer endlichen Grenze sich nähert, und zu zeigen, unter welchen Bedingungen die Reihen den arithmetischen Operationen unterworfen werden können. 2. Es sei q m eine Function der positiven ganzen Zahl m, und das allgemeine Glied einer unendlich fortgesetzten Reihe q j - \-q 2 + ^ 3 + ^ 4 + ^ 5 + £' 6 + . .. . Nähert sich die Summe der ersten n Glieder einem bestimmten endlichen Grenzwerthe S, mit dem sie bis zu jedem Grade der Genauigkeit übereinstimmt, wenn man nur n gross genug wählt, so bezeichnet man A als die Summe der unendlichen Reihe und die Reihe selbst heisst convergent. Enthält dabei das allgemeine Glied q m eine unbestimmte Grösse x, so wird im Allgemeinen die Reihe nicht für alle, sondern nur für die zwischen bestimmten Grenzen liegenden Werthe von x convergiren; innerhalb der Convergenzgrenzen ist die Summe der Reihe von x abhängig und daher eine bestimmte Function f(x) von x\ jenseit der Convergenzgrenzen ist die Summe der Reihenglieder unabhängig von x unendlich gross oder unbestimmt; die Reihensumme stimmt also dann nur innerhalb der Convergenzgrenzen mit f(x) überein; jenseit derselben ist diese Uebereinstimmung nicht vorhanden. Wächst die Summe der ersten n Glieder über alle Grenzen, wenn n wächst, so bezeichnet man die Reihe als divergent. Wenn hingegen bei einer Reihe Gruppen mit positiven und Gruppen mit negativen Gliedern abwechseln, so kann es sich ereignen, dass die Summe der Glieder, bis zum Abschlüsse einer Gruppe positiver Glieder, sich einer bestimmten Grenze nähert, während die Summe der Glieder bis zum Abschlüsse einer Gruppe negativer sich einer andern bestimmten Grenze nähert; dies ist z. B. der Fall bei 1-1 + 1 — 14-1 — 1 + .. Hört man hier bei einem positiven Gliede auf, so ist die Summe + 1, hört man bei einem negativen auf, so erhält man 0. Solche Reihen sind als oscil- lirende bezeichnet worden; da durch dieselben bestimmte Grössen nicht dargestellt werden, so sind sie analytisch nicht verwendbar. 3. Wir beschäftigen uns in den folgenden Abschnitten mit der wichtigsten der hierher gehörigen Fragen — mit den Convergenzbedingungen für unendliche Reihen. Um über die Convergenz einer unendlichen Reihe zu entscheiden, kann man zunächt versuchen, die Summe der ersten n Glieder in übersichtlicher Weise als Function von n darzustellen. Findet man dann, dass diese Function für ein unendlich wachsendes n sich einer bestimmten endlichen Grenze nähert, so ist diese Grenze die Summe der vorgelegten unendlichen Reihe und die Reihe selbst ist convergent; man hat also in diesem Falle nicht blos über die Convergenz entschieden, sondern auch die Reihe in geschlossener Form summirt. A. Um über die Convergenz der Reihe 1. 1 + X + X 2 + X 3 + X* + . . . . zu entscheiden, bilde man s„ = 1 + X + x' 2 + x s + . . + x n 1 — x n + l 1 — X 1 1 — X - -• X K + l . 1 - X Ist der absolute Werth von x > 1, so ist limx »+ 1 = und daher Reihe 1. divergent. Ist x = 1, so ersieht man sofort, dass die Summe der Reihe unendlich Ist — 1 < x < 1, so ist die ist. 542 Differentialrechnung. und daher limx ” +1 = 0, 1 x 4- x 2 4- x‘* 4- x i 4- . . . . = 1 1 - X ' Diese Reihe wird als die geometrische Reihe bezeichnet. B. Um über die Reihe zu entscheiden (vergl. § 2, No. 7, 3) 1 4- 2a: 4- 3x 2 + 4a: 3 -t- 5a: 4 4- 6a: 5 4-. betrachte man s„ = 1 4- 2a: 4- 3a: 2 4- 4a: 3 4- ... 4- nx n — 1. Man hat s„ = 1 4- x 4- x 2 4- x 3 4- ... 4- x n ~ 1 4- x 4- 2a: 2 4 - . . 4 - (n — 1) x n — 1 . 1 — x' 1 1 — x Hieraus folgt 1 — (n 4- 1) x n 4- nx"+* x(s„ — nx n ~ t). 1 . 1 x n — 1 • 1 lX n . n ~~ (i — ~ •(! — x Y (i — x) 2 ' ~ ' i — x Die Grösse nx n wird für ein unendlich grosses n selbst unendlich, sobald der absolute Werth von x = 1 oder > 1 ist; wenn x ein echter Bruch ist, so giebt es immer eine Zahl m, für welche 1 4- - < “ m x so dass also (l 4 - \e ein echter Bruch ist, den wir mit s bezeichnen wollen; V m) bezeichnen wir ferner die endliche Zahl mx?" mit A, so ist (m 4-1) x”‘ +1 = »^1 + ^ x"‘+ l = ^ x = A s (tu 4- 2) x m + 2 = (m 4- 1) x m + 1 ^1 4- m ^ x, also < Aa‘ 2 , (m -(- 3) x m + ? > = (m 4 - 2) x m + 2 ^1 4 - ^ ^ a:, also < A s 3 , Folglich bilden die Grössen mx m , (m 4 - l)a:'" +1 , (m 4- 2) x m + 2 , (m + 3)x m + 2 , .... eine abnehmende Reihe, die stärker fällt als die Reihe A e, As 2 , As 3 , As*, .... Da nun £ ein echter Bruch ist, so ist für ein unendlich grosses n und einen gegebenen Werth von m lim A s”- ’“ = 0, also um so mehr lim nx n = 0 . Die unendliche Reihe 1 4- 2a: 4- 3a: 2 4 - 4a; 3 4- 5a: 4 4 - convergirt daher für alle echt gebrochenen x) es ist _1 "(1 — x) 2 ’ 4. Die endliche Reihe*) P . P(P H- 1) , , ß(ß+ 1) ■ ■ ■ (P + «-2) 1 4- 2ac 4 - 3a; 2 4- 4a; 3 4 - — 1 < x < 1 . 1. <* 4- 1 (a 4- l)(a 4- 2) (a 4- l)(a 4- 2) . . . (a ■ 1) lässt sich summiren, indem man von der identischen Gleichung Gebrauch macht ‘) Vergl. u. A. Schloemilch, Compendium der hohem Analysis, i. Bd., § 36. § i6. Unendliche Reihen. 543 p(p + m + 2)... (p fft — 1) _ ß(ß 4- l)(ß 4- 2) ■ . . . (ß 4- m) m — 1) a(a 4- l)(a + 2) ....(«+ ffl) o(o 4- l)(a 4- 2) ... (a = a ~ P . P(ß -+• I) (ß + 2 ) . . ■ (ß 4- m - 1 ) a (a 4- l)(a 4- 2)(a 4- 3) . . . (a 4- m)' Setzt man hierin der Reihe nach m = 1, 2, 3 . . . . n — 1 und addirt, so erhält man ß ß(ß + l)(ß + 2 )...(ß + »-l) 3. _4- n a a(a 4- l)(a 4- 2) . . . (a 4- n — 1) , ß(ß + 1) . ß(ß 4- 1) ■ • . (ß 4-« 2) \ ß und a < ß zu untersuchen und beschränken uns dabei auf positive Werthe von a und ß. Sind h und k ganze positive Zahlen, und ist auch x positiv, so ist bekanntlich ^1 4-> 1 4- #, (1 + xf > 1 4- kx, folglich auch 6 . < < l' (i +|) 1 (1 + kx)k Ist nun a > ß und m > 0, so kann man x durch (a — ß) : (ß + m) ersetzen und erhält 7. ß h < P < ^ ( a P). Wählt man h und k so, dass h > a — ß, k > 1 so ist (a — fj\h < 1 und k(a — ß) > 1; die Ungleichung 7. wird daher noch verstärkt, wenn man (a — ß) : h und k(n — ß) durch die Einheit ersetzt. Dadurch entsteht i / ß 4 - m V ß + m ( ß + m _Y . \ß 4- m 4- 1/ < 'a4-M^V"b* , 4-l/ 8 . 544 Differentialrechnung. Setzt man hier der Reihe nach m — 0, 1,2, 3, . ... n — 1 und multiplicirt alle so entstehenden Ungleichungen, so erhält man ß(ß + l)(ß + 2) . ■ (ß 4- n - 1) /J_\! Vß + n) ■ (_L_Y Vß + n) < a(a -I- l)(a +2) . . (a+8 — 1) Geht man zur Grenze für n = °o über, so wird ß lim = 0, also auch und daher auch Um im ( 3 -—Y = 0, lim ( = 0 , Vß + n) Vß 4- nj ß(ß + l)(ß+2) • • • (ß + n - 1) = 0 . ' a(a 4- l)(a 4- 2) . . . (a 4- n — 1) Setzt man dagegen ß > a voraus, so beachte man, dass 1) . . . (ß+«-l) _1 lim a(« 4- 1) . . . (a - 1) lim a(a 4-1) • • • (a 4- n — 1) ' Da ß > a, so ist lim a (a 4- 1) • • (a 4 - n — 1) und daher lim 4- 1) . . (ß ß(ß 4- 1) ■ ■ (ß - - n — 1) n — 1) 1) . . . (ß = 0 , 1) a (a 4- 1) • . . (a 4- n — 1) Wir haben somit gefunden: Die unendliche Reihe ß , ß(ß+ 1) , ß(ß+ l)(ß4-2) «4-1 (a 4- l)(a convergirt, wenn a > ß 5 -2) («4- 1)(« 4- 2)(a 4- 3) 0, und hat dann die Summe ß . Ist ß > a > 0, so divergirt sie. 5. Durch die Forderung, behufs der Entscheidung über die Convergenz einer unendlichen Reihe die Summe einer endlichen Reihe in übersichtlicher Form darzustellen, wird die Schwierigkeit im Allgemeinen nicht vermindert, sondern vermehrt. Handelt es sich zunächst nur um die Entscheidung über die Convergenz, so giebt es einfachere Mittel. Wir geben dieselben zunächst für Reihen an, die lauter positive Glieder haben. Um über die Convergenz der Reihe 1. ?i 4- 4“ ?3 ■+" 9b ^6 • ■ • zu entscheiden, vergleichen wir diese Reihe mit einer Reihe 2- <2i 4- <2 2 4- <2 3 4- ö* 4~ 05 + <2 b • • deren Convergenz bekannt ist; wenn von irgend einem Gliede q m an die Glieder der Reihe 1. kleiner bleiben, als die gleichstehenden Glieder der zweiten Reihe, so dass also qm Qm , q.u+i (C, . 1, q ,«+2 Qm+ 2, ■ • • so ist 3 . q m 4 - q m +1 4 - ^,«+2 4 - q m +3 • • • < Qm 4 - Qm+l 4 - Q m +2 4 - Q m +3 4 - . . Da nun nach der Voraussetzung die Reihe 2. eine endliche Summe hat, da ferner die Reihe Q 1 4 - 02 + 03 + 04 + ••■ + Qm —1 als die Summe einer endlichen Anzahl endlicher Grössen selbst endlich ist, so hat auch die unendliche Reihe Qm + Qrn +1 + 0,«+2 + 0/«+3 + • ■ • § i6. Unendliche Reihen. 545 eine endliche Summe, und diese ist zufolge der Ungleichung 3. grösser als die Summe im + im +1 + $»«+2 + im +3 + ■ • • also ist letztere Reihe, und daher auch die um eine endliche Anzahl endlicher Glieder vermehrte Reihe i\ ~+" ii "+" is + • • + im— 1 + im -+- im +1 + q m +2 + ■ • • convergent. Dies ergiebt den Satz: Wenn die Glieder der unendlichen Reihe ii + ?2 + 1% + 1 divergirt, so ergiebt sich auf ganz ähnliche Weise: Wenn das Verhältniss zweier auf einander folgenden Glieder einer unendlichen Reihe von einer bestimmten Stelle an grösser ist als die Einheit, so divergirt die Reihe. Nimmt q,„+i:q m mit m zu, so ist die Reihe divergent, wenn Hth : im) 1 • Wenn das Verhältniss q m +\\q„, die Einheit zur Grenze hat, so sind die obigen Schlüsse nicht mehr anwendbar; in diesem Falle muss man die vorge- Schlobmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 35 546 Differentialrechnung. legte unendliche Reihe mit einer Reihe vergleichen, die schwächer convergirt oder divergirt, als die Reihen 1. und 4., d. i. deren Glieder langsamer abnehmen als in 1. oder bez. langsamer zunehmen, als in 4. Als Beispiel betrachten wir die Reihe 5. 1 + 2i* 1 J_ J_ _1^ J_ 3i* + 4n ■+■ 5n + ■+■ ' ' ' Nimmt man das 2. und 3., das 4., 5., 6. und 7., das 8. bis mit 15., das 16. bis mit 31. Glied u. s. w. zusammen, und bemerkt, dass _1_ 2i* 1 „ 1 1 1 1 1 ^ , 1 3(* 1 < 2 ' 2(* ’ 1 4i* 5>* + 6i* + 1 „ 1 7i* < 4 ' ' 4>* 8i* + 9n + ‘ ' ' + 15i* < 8 ‘ 8i* ’ so erhält man 1 2t 1 mithin kleiner als _L _2_ j4_ _8_ 3i* + ' ' - < 1 + 2t 1 + 4i* + 8i* + ' ‘ ' 1 _1__ _J_ 2 m-— t + 4^-i + 8^—! Schreibt man hierfür + . so erkennt man, dass diese Reihe, und mithin auch 6. convergirt, sobald p > 1, und divergirt, sobald p < 1. Um auch über den Fall p = 1, also über die Reihe zu entscheiden, bemerken wir, dass i + i > i i + l + i + • • • + T 1 ! + • • • ~P In dieser Weise die Glieder zusammenfassend, erhält man unendlich viele Gruppen von Gliedern, deren Summe grösser als ^ ist; folglich ist die Summe der Reihe unendlich gross, die Reihe also divergent. 7. Die Reihe 1. + + + - divergirt nur schwach und liefert daher ein verwendbares Merkmal für die Divergenz einer Reihe. Man erhält hieraus: Wenn das Produkt nq H von einer gewissen Stelle an abnimmt und sich einer Grenze nähert, die von Null verschieden ist, so divergirt die Reihe ?i -+• + ?3 "P ?4 + ■ • • Nähert sich das Produkt nq„ der von Null verschiedenen Zahl k, so müssen von einer gewissen Nummer m an die Ungleichungen bestehen mq m > k, daher q m > 1 m ■ k, (fW + 1 ) fm+l > k, tt '^ > i ■k, m -+- 1 (rn -+■ 2) q m+ 2 > k, 1 k. m ■+- 2 Hieraus folgt q,n + qm +1 + 9rn +2 + • • • > k ^ + ~~ ■+■ • • •)• § i6. Unendliche Reihen. 547 Die Reihe 1. lehrt, dass der Klammerinhalt unendlich gross ist; da nun k nach der Voraussetzung nicht unendlich klein ist, so ist q m 4- q,„+\ 4- . . unendlich gross, und daher die vorgelegte Reihe divergent. Bei der Reihe 1 + I + } + i + • • ■ ist limmq m = lim -———- = lim 1 :^2 4- —^ 2 m 4- 1 \ m/ daher divergirt die Reihe. Ebenso erfährt man, dass die Reihen i 4" i 4- 4 + A- + ^ + ■ • • > 1 + 4+ 4 + lV + T 1 T + -- -> l + i + -A‘ + iV + ü 1 r + -- -> überhaupt alle Reihen von der Form _ 1 _ _ 1 _ _ 1 _ _ 1 _ a a 4- b + a 2 b " + " a-{- 3 b a 4~ 4£ divergiren; denn es ist 1_ 2 ’ lim m q,„ = lim (m — 1) b lim a — b 1_ 1’ und daher von Null verschieden, wenn a und b endliche Zahlen sind. 8. Wenn lim q M +\ : q n = 1, so führt der Vergleich der unendlichen Reihe 4i + + 1% + ?4 + • • ■ • mit der geometrischen Reihe zu keiner Entscheidung über die Convergenz oder Divergenz. In einigen dieser Fälle führt der folgende Satz zum Ziele: Ist von einer bestimmten Stelle n = m an das Produkt grösser als die Einheit, so convergirt die Reihe; ist es kleiner als die Einheit, so divergirt die Reihe. Im ersten Falle kann man einen unechten Bruch k wählen, so dass die Ungleichungen gelten (m + 2) (‘ — > k . Aus der Ungleichung » 0 - w )> 4 schliesst man die folgende q n + 1 ^ n — k q n n Wendet man dies der Reihe nach für die Werthe n = m, m 4-1, m 4-2, m 4- 3, .... an und multiplicirt die ersten zwei, die ersten drei, die ersten vier .... der so erhaltenen Ungleichungen, so erhält man q,n+ 1 m — k q m+2 ^ {m — k) (m — k 4- 1) q m m ’ q m m(m 4- 1) q m +3 (m—k)(m—k 4 - !)(/«—£4-2) q „,+4 (m—k) (m—k+l)(m—k+2)(m—k+3) q m < m(in 4 - 1) (m 4 - 2) ’ q„, m{m 4 - 1 (m 4- 2) (m 4- 3) 35 548 Differentialrechnung. < q> Hieraus ergiebt sich ?«*+l -+■ < k. n — k und dann wie oben weiter, dass q,„+l 7)1—k g,„ + 2 ())i — k)(t/i — k-\- 1) (7>i — k)(m — k-h l)(/7i — k-\-2) q,„ ^ 7)i ’ q„, m(t/i - 1-1) ’ q,„ /«(/«-F 1) (»/+ 2) > Daher ist q»i +1 -t- ?«+ 2 + 3 “P fm+4 + 1 'm — k ())i — k)(m — k 1) ( 7/1 — k) (771 — k ■ 771(771 +1) 1 ) (7/1 ■ 2) ”( 7)1 771 {771 -+- IJ 7)1 ()7l + 1 (« + 2) Da k hier ein unechter Bruch ist, so ist ni — k > 7)1 — 1 , daher divergirt die in der Klammer enthaltene Reihe, und um so mehr die vorgelegte Reihe. Nimmt das Produkt j _?*+i\ q„ ) von einer bestimmten Stelle an beständig zu oder beständig ab, und ist lim 71 ^1 — = 1 , so liefert der soeben bewiesene Satz keine Entscheidung über die Convergenz oder Divergenz der Reihe; auf die Untersuchung solcher Fälle können wir hier nicht weiter eingehen. Beispiel. Die Reihe * 1 x 3 1 ■ 3 x 5 1-3-5 x 7 1 -3-5-7 x 9 t + 2 'i + yi' t + yyy ■ y + yyiry ■ y + ■ ■ liefert für den Quotienten zweier auf einander folgenden Glieder 1, so ist < 1, § i6. Unendliche Reihen. 549 lim 9n+\ 9« > 1 , und daher divergirt die Reihe. Für x = 1 erhält man aber auf diesem Wege keine Auskunft. Wendet man das soeben entwickelte Verfahren an, so erhält man für x = 1 nach einfacher Reduction n(ßn — 7) (l - ^ = _ V 9n ) (2 (2 n — 2)(2 n — 1) Der Grenzwerth dieses Bruches ist f; folglich convergirt die vorgelegte Reihe auch noch, wenn x = 1 ist. 9. Wir wenden uns nun zur Untersuchung über die Convergenz und Divergenz von Reihen, deren Glieder nicht sämmtlich positiv sind. Hier kann man zunächst von folgendem Satze Gebrauch machen, dessen Richtigkeit ohne Weiteres erhellt: Eine unendliche Reihe, deren Glieder ungleiche Vorzeichen haben, convergirt, wenn die aus den absoluten Werthen der Glieder gebildete Reihe convergirt. Die Reihe kann aber auch dann noch convergiren, wenn die aus den absoluten Werthen gebildete Reihe divergirt. 10. Wenn je zwei auf einander folgende Glieder einer unendlichen Reihe ungleiche Vorzeichen haben, und die absoluten Werthe der Glieder von einer bestimmten Stelle an beständig bis zur Grenze Null abnehmen, so ist die Reihe convergent. Die Reihe sei 9\ — 9i -+■ 9» — + ?5 — ?6 + ?7 — 9 8 ~"f" * * * es seien q lt q. it q A sämmtlich positiv und 9nt 7> q„H ~1 > 9m+ 2 7> 9 ?»+3 • . . • Setzt man alsdann U == 9*n i $:! — qm ( 9 m-bV ^w+2) y s !> = Qm — (qm-h 1 — 4m+ 2 ) — ($W3 — ?/«+ 4 ) , S 7 = q»t (,qm +1 q*n+2) («+3 q*n+ 4) C q#t+5 qm+6) t SOWlC Jg = Qm qm-\r\ y S 4 == qm ' ' qm -(-1 H“ ($m +2 ^#«+3) ) $ 6 == q**t q»i-\- 1 2 ^«-+-3) ^w+5) > ■^8 === q m q* n ~ i r 1 “t" (^»H-2 — I - * (^w+4 """ 5 “h (^>«+6 qm-^rl) y so ist, da — q r +\ der Voraussetzung nach für jedes r > m positiv ist und s 2 < < s 6 < s s < s 10 < . . . Dabei ist s x > > s A , s- n > . . . Da nun 1 — >) = Iim 4,n+2P -1 = 0 > so folgt, dass die abnehmenden Grössen j,, i g , s- t , s 7 . . . sowie die zunehmenden r 2 , s it s 6 , s 8 . . . derselben endlichen Grenze sich nähern, die kleiner als jedes s 2/t und grösser als jedes ist. Wird diese gemeinsame Grenze mit S bezeichnet, so ist ) ’S — 9\ - 92 + 93 — + ?5 — +- Dieser Satz zeigt, dass die Reihe 55° Differentialrechnung. convergirt, obgleich die Reihe aus den absoluten Werthen divergirt. Die Summe der Reihe liegt z. B. zwischen 1 — t ^ — i un d 1 — ^ i d. i. zwischen f-jj- und . 11. Wenn der Grenzwerth der absoluten Werthe der Glieder einer Reihe eine von Null verschiedene Zahl 7 ist, und im Uebrigen dieselben Voraussetzungen gelten, wie beim vorigen Satze, so hat die Reihe keinen bestimmten Grenzwerth. Man hat nämlich auch jetzt wieder f l < < ~ f 5 < ' S 1 < ~ S 9 ••• s a - > > S 6 > S 8 - > -*10 ' • ■ lim (hp -1 ~ s 2?) = li m m+ ap- 1 - Da nun nach der Voraussetzung limq m + 2/-1 = 7 > so folgt, dass die Summen j 1( r 3 , r 6 . . . und s 2 , r 4 , r 6 ... sich zwei verschiedenen Grenzen nähern, deren Unterschied 7 ist. Die unendliche Reihe — ta + ?s — + 1h — ?6 + • ■ • ■ liefert also zwei endliche um 7 verschiedene Werthe, je nachdem man sie bei einer ungeraden oder einer geraden Gliederzahl abbricht. 12. Eine Reihe, deren Glieder ungleiche Zeichen haben, kann verschiedene Summen geben, wenn man die Anordnung der Glieder ändert; es kann selbst der Fall eintreten, dass die Reihe bei einer gewissen Anordnung der Glieder convergirt, bei einer andern divergirt. Wenn die aus den positiven Gliedern gebildete Reihe, sowie die aus den negativen Gliedern gebildete einzeln divergiren, so ist es doch möglich, dass, wenn man in einer bestimmten Weise zwischen die positiven Glieder die negativen einstreut, der Grenzwerth von ?i + 1a -+- + •■■• + $«, der als der Grenzwerth der Differenz zweier unendlich wachsenden Summen aufgefasst werden kann, einen endlichen Betrag hat, während bei einer andern Anordnung, bei welcher unter den ersten n Gliedern eine grössere Anzahl positiver oder negativer Glieder sich finden, der Grenzwerth positiv oder negativ unendlich oder auch von einem andern endlichen Betrage sein kann, als bei der ersten Anordnung. Die Reihe , £=1 i i + i — i 4 - ...., in welcher je zwei folgende Glieder ungleiche Vorzeichen haben, ist nach No. 9 convergent; ihre Summe beträgt /2 (§13, No. 7). Ordnet man die negativen Glieder so an, dass man hinter je zwei positive ein negatives einschaltet, vom grössten an absteigend, so entsteht die Reihe S' = 0 ■+■ i i) + (i + \ — J) + (i + tV — i) ■+■ • • : • • S’ ist dann der Grenzwerth von während S der Grenzwerth ist von S " - 0 - 2+ 3 + l) + (5■ Hieraus folgt 1 4 n — 2”* (- J — \4« — 2 1 4«—1 _1_ An )• _1 2 1 4 1 _ 1 6 _ 8 1 2 * 5 , S' = iS. und daher hat man § l6. Unendliche Reihen. 551 Wir begnügen uns damit, hierüber folgenden Satz nachzuweisen: Wenn eine convergente Reihe nur positive Glieder hat, oder wenn, falls die Glieder mit ungleichen Vorzeichen behaftet sind, die aus den absoluten Werthen der Glieder gebildete Reihe convergirt, so ist die Reihensumme von der Anordnung der Glieder nicht abhängig. Die vorliegende Reihe sei 1. ^ = q x 4 - q 2 -+- q 3 •+- -4- -I- . ■ . ■ Durch andere Anordnung der Glieder entstehe 2. S’ — qy -k- q g q/t qi -\- qk • Ferner sei S H die Summe der ersten n Glieder in 1., also S n = -t- ?2 "+■ ?3 “F • • • In der Reihe S' gehe man bis zu einem solchen Gliede q r vorwärts, dass in der Gruppe Sr — qy + qg + qk + • • ■ ■+- qr alle Glieder von S„ vorhanden sind; ausser diesen Gliedern enthält dann S r ' noch andere Glieder, deren Indices alle grösser sein müssen, als n\ die Summe dieser Glieder sei qx + qy -+• q% + • • • • Alsdann ist Sr — S„ = q x + q y -t- q z -+- • • • Nähert sich nun n dem Grenzwerthe , so nähert sich auch r dieser Grenze; die Summe der absoluten Werthe von q x , q y , q z , . . . ist nur ein Theil der Summe der absoluten Werthe der Glieder der Reihe S, deren Index grösser als n ist, also nähert sich <1* “t" Qy ■+• • • • • dem Grenzwerthe Null; daher haben wir 5 — S' = limS n — lim Sr = lim{S H — S/) = 0, folglich S = S'. In dem obigen Beispiele ist die Voraussetzung des Satzes nicht erfüllt, denn die Reihe der absoluten Werthe ist divergent. 13. Addition unendlicher Reihen. Wenn die unendlichen Reihen P = Pl ■+■ Pi + Pi “F + ■ ■ • , Q = ^2 > ^3» ^4» ^8.^«+1 überein. Setzen wir nun voraus, dass die Reihen P und Q uur positive Glieder enthalten, und setzen = s i + - y 2 _ h J 3 _ h • • • so ist 5- • • ■ s 2 n+l> folglich ist 6- *S2«+1 > Pn +1 Qn+1 ■ Vertauschen wir in 5. n gegen 2 n, so erhalten wir im Verein mit 6. die Begrenzung P'i’i —i i > ^ Rj+i • Für ein unendlich wachsendes n wird lim Pin +1 Q_ 2 u+\ = lim P„ + \ Q„+i = PQ , lim V 2 „+i = S ; daher folgt _ S = PQ. ’) Vergl. Schloemilch, Compendium der höheren Analysis, i. Bd., § 43. § i6. Unendliche Reihen. 553 Wenn man daher zwei convergente Potenzreihen mit positiven Gliedern multiplicirt, und das Produkt nach steigenden Potenzen der Variabein ordnet, so erhält man eine convergente Potenzreihe, deren Summe das Produkt der Summen der beiden gegebenen Reihen ist. Wenn in den Reihen P und Q positive und negative Glieder mit einander abwechseln, und die Reihen aus den positiven sowie die aus den negativen Glieder einzeln convergiren (oder wenn, was damit gleichbedeutet, die Reihen der absoluten Werthe convergiren), so kann man die Ordnung der Glieder in P und Q dergestalt ändern, dass man P und Q als Differenzen je zweier Reihen auffasst, deren Glieder positiv sind, p = tr — u", q = v' — v”. Auf die Reihen U’, U ", V, V" kann man die Multiplicationsregel anwenden. Aus den Produkten U’V, U' V", U" V, U" V", erhält man £ = U' V' — U' V" — U" V -+- U" V" = ( U' — U"){V — V")\ folglich ist S —PQ . Bei Potenzreihen mit wechselnden Zeichen gilt also die Multiplicationsregel, wenn die Reihen der absoluten Werthe convergiren. 15. Differentiation unendlicher Reihen. Wenn die Glieder einer unendlichen Reihe eine unbestimmte Grösse x enthalten und die Reihe für alle zwischen gegebenen Grenzen liegenden Werthe von x convergirt, so ist innerhalb dieser Grenzen die Summe der Reihe eine Function von x. Bezeichnen wir dieselbe mit S(x ) und das allgemeine Glied der Reihe mit

‘+1 Es wird sich später zeigen, wie sich =p und f diesen Bedingungen entsprechend bestimmen lassen. Aus den Gleichungen f(n)q H+ 1 = (« 4- l)q„+i, f(n -t- 1) q H . 4-2 = ?(« 4- 1) ?„+i — /(« 4- 1) > /(« 4- 2) > . . . > 1 so ist A < /(«) < 7*41 4- /(« 4- 1) r /„ +2 4- . . . . und zugleich /(« 4- 1) _ , /(« 4- 2) A* > <7 «41 4- /(*) ‘ ?«42 /(« + 1) 7 « 43 Man hat somit für R die Begrenzung 4. T^f i+i Um aus derselben /(») nach fallenden Potenzen von n darzustellen, multi- pliciren wir zunächst die Reihen 7. und 8. und erhalten («) = *'* + ('o + “i O -+■ (''«a -+■ c o a \ + c \)h a 3 = c 3 "P “P ^2^1 f ^4 == ^4 ~P ^1^3 ~P ^2^2 "P ^3^1 » 12. ap = Cp H- b 1 Cp —i H- . . . -H bp-~.\C± , 0 = ^/+i + Cp -f- bpc t , 0 = Cp +2 H- ^ Cp- f-l -H . . . -H > 0 = Cp -\-3 -f- b^Cp+2 -t- . . . -f- &pC% ) 0 = C2p H- b^c^p —i ~h . - • -H bpCp . Aus den letzten / dieser Gleichungen erhält man die Grössen i ^2 » ^3 * * * bp , und mit Hülfe derselben aus dem ersten / die Grössen a ^, & 2 f a ^, . . . ap . 19. Als Beispiel hierzu wollen wir tt mit Hülfe der schwach convergenten Reihe berechnen § i6. Unendliche Reihen. 559 it 111 4- 1 -g + 5+ T + .... Nimmt man je zwei Glieder zusammen, und dividirt dann durch 2, so erhält man it 1 1 1 1 1 1 1 8 l-3~ l ~5-7 _ *~9-ll~ f - 13 • 15 + 17 ■ 19 + 21 • 23 + 25 • 27 + ' ' ' Das n te Glied dieser Reihe ist 1 1 qn ~~ (4« —3)(4« —1) — 16« 2 —16«-+- 3' Demnach hat man q n (4 n -+- 1)(4« -+- 3) 16« 2 -f- 16« -+- 3 q„+i (4« — 3)(4« — 1) 16« 2 — 16«-+-3 _ 91 1 ^ « 2 8 « s_ *~4 « 4 128 « 5 128 « 6 Man hat daher für a t , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , 13 5 121 91 die Werthe 2, 2, 8 ^ 4 ’ 128 7 128' Setzt man in No. 18, 11. die Coefficienten von n~ l , n ~ 2 , «~ 3 , «~ 4 , «~ 5 , gleich Null, und berücksichtigt die Bedingung 2., so erhält man c' — 1 = 0,. c' = 1 , 2c* -+- 2 cq = 0 , . . = 1 > 13 , 1 r-j-2cQ-H3c 1 =0, . G — g-, 5 , 13 , _ 1 ^ 1— 0, c 2 — jg , 121 5 21 1 J28 c ' _l_ J c » + "g" G G ■+" 3 c s = 0 > . c z — J28 ’ 91 , 121 1 45 5 j28^ + 128 G + 4G +- 4 ^3 + 6 c 4 - °, • • • G 256 ' Das System No. 18, 12. ergiebt für / = 2 und für die soeben gefundenen Werthe der c die Gleichungen 9 = ji~$ + A^i + > folglich b 1 = 1 , 0 = — -I- -^ürs^i + " » ^2 = A> a i = i > a i — +*5 + 1A > » » ß 2 = — A • Daher ist nach Beseitigung der gebrochenen Coefficienten s 2« — 1 ’(*) = *- 1+ 16« 2 — 16« -+-7 ' Berechnet man nun die Summe 5, =Ji+f!+fs+?4+ ?r> ■+■ 9n direkt, so erhält man auf 8 Stellen genau S e = 0,382 300 35 . Ferner ergiebt sich <(>(6) = 5,022 587 26, 9 u'v vV uv ITT -t "in ~ TT + 9 l ‘ „ . J X 2 A 3 x-‘ -+- • • ■) ^1 — ~2j x {) 6l I Führt man links die Multiplication aus und vergleicht beiderseits die Coefficienten gleich hoher Potenzen von x, so erhält man zur Bestimmung der A die Gleichungen = 1 . A-s A ;i 2 ! A __± 2! 3! ’ Ai _ I 4! 51’ 56 § i6. Unendliche Reihen. A 7 a 9 - A, 2! + A 3 4! A, 6! 1 — — 7! ’ Aj ^5 A 3 6! Ai 1 2! + 4! + m = 9! ’ a 9 A 7 Ag Ai 2! + 4! ei + -sf- 10! — 1 TTl’ A 3 — Hieraus gewinnt man y _2 _ 17_ _29_ 3 ’ •> ~ 15’ — 315’ A% ~ 945’ ' ' - Ueber das allgemeine Glied der Reihe und über die Convergenzbedingungen erhält man hierbei keinen Aufschluss. Aus der Reihe x 1 a: 3 1-3 arcsmx = T + f ’ T + 2^4 x 0 T 1-3 2-4-6 7 kann man durch direkte Multiplication eine Potenzreihe für (arc sinx) 2 ableiten, die zwischen denselben Grenzen cpnvergirt wie die obige, und nur die geraden Potenzen von x enthält; die Coefficienten dieser Reihe werden dabei als endliche Reihen erhalten, deren Summen sich nicht ohne Weiteres in knapper Form darstellen lassen. Durch die Methode der unbestimmten Coefficienten kann man in folgender Weise das Ziel erreichen. Differenzirt man (arc sinx) 2 = A 2 x 2 A i x 4 A* 6 so entsteht folglich ist 2 arc sin x ■j/l — x 2 2 A 2 x 4 A 4 x 3 6 A r x : ' yi~: 4 A t x 3 -+- . . .) f/l — x 2 . = (2 • 1 A 2 -+- 4 • 3A^x 2 -t- 6 • 5A e x* +-) yT 2 arc sinx — (2 A. 2 x Hieraus erhält man durch Differentiation 2 — (2A 2 x -+- 4 A 4 x 3 + 6 AgX* -+-...)■ Y 1 — x 2 Beseitigt man die irrationalen Nenner, so erhält man : (2A 2 + 4-3A i x 2 -\-6-5A e x i + ...) (1 —x 2 ) — (2A 2 x 2 -t-4A i x i - Hieraus folgen die Gleichungen A 2 = 1 , (2 n + 2) (2 n -h 1) A' 2 h +2 — 2 n( 2 n — 1) Ai» — 2nA 2 „ = 0, -GA 6 x 6 ■ also . A 2n+ 2 = (2 ri ) 2 (2 1 : A 2h ■ Hieraus ergiebt sich 2 2 • 4 2 • 6 2 . . . (2 n) 2 A 2 n+2 = g 1 )( 2 « + 2 )' 2 • 4 • 6 . . . (2 n — 2) • 2 n 3 • 4 • 5 • 6 . . . (2 n -t- 1)(2 n -+- 2) 3 • 5 • 7 . Daher hat man die Reihenentwicklung (arc sinx) 2 = x 2 2 • 4 3-5 + 2-4 2 ‘ 3 • 5 3 1 3 • 5 Zwischen denselben Gültigkeitsgrenzen ist arc sinx 2 . 2-4 = x + - x *+ — + iTT- ■ 6 ■7 ' 9 . 3“ . (2 » — 1)(2 « H - 1 ) 1 < * < 1 . Schlokmilch, Handbuch der Mathematik. * 36 562 Differentialrechnung. § 17. Unendliche Produkte. 1. Bekanntlich ist sin 3 u = 3 sinu — 4 sin % u , cos 3 u = 4 cos 3 u — 3 cosu , sinbu = sin ‘hu cos 2 u 4 - sin 2 u cos 3 u , = sin 3u(l — 2 sin 1 u) 4 - 2 sin u (4 cos* u — 3 cos 2 u ), = 5 sin u — 20 sin 2 u 4 - 16 sin 5 u . Auf Grund dieser Formeln kann man den Nachweis dafür versuchen, dass für ein ungerades |x 1 . sin\>.u = A 0 sinu 4 - A a sin*u 4 - A i sin 3 u 4 - . . 4 - A^isinv-u . Man hat zunächst sin(2n 4 - 1 ) u = sin(2n — 1) u ■ cos2u 4 - cos(2n — 1) u • sin2u = sin(2n — 1) u ■ (1 — 2 sin 2 u ) 4 - 2cos(2n — 1 ) u ■ cosu sinu . Die Entscheidung darüber, ob sich sin(2n-\- 1 )u nach ungeraden Potenzen von sinu entwickeln lässt, hängt somit davon ab, ob sin(2n — 1 )u und cos(2n — X) u ■ cosu ■ sinu diese Entwicklung zulassen. Für das letztere Produkt hat man cos{2n — 1 )u • cosu = cos(2n —3 )u • cosu ■ (1 — 2 sin 2 u) — 2sin(2n — 3)zz(1 — sin 2 u). Wenn sich also sin(2n —• 3) u, cos(2n — 3) u ■ cosu ■ sinu und sin(2n — 1 )u gemäss 1. entwickeln lassen, so ist diese Entwicklung auch für sin(2nA- 1 )u und cos(2n — \)u-cosu sinu nachgewiesen. Da sie nun für sin 3 u , cos 3 u cos u sin u , sin 5 u gilt, so gilt sie allgemein. Aus der Gleichung 1. folgt 2 . Sill |A U sinu = A n 4 - An Ap—i sinv- ■—1 1 Geht man zur Grenze für u = 0 über, so erhält man A 0 = lim sm\L u sinu j i.lim sm\s. u u sinu [X u Bezeichnet man mit u x , zz 2 , . . . u ^—1 die Werthe rechte Seite der Gleichung 2. verschwindet, so ist sin |x u = P- von u, für welche die 4. A v .—i(sinu l — sinu) (sinu 2 — sinu ) . . . (sinu ^.—1 — sinu) . sinup—x. sinu Ferner folgt aus 2. und 3. 5. |a = A v .-\smu l sinuy smu^ und durch Division aus 4. durch 5. sin p. u / sin u \ / sin u \y.sinu \ sinu l J \ sinu 2J Die linke Seite dieser Gleichung verschwindet für 'die p. ■ verschiedenen Bogen ünu \ / sinu \ / sinu \ / sinu \ tinu x ) \ sinu 2 ) \ sinu. A ) 1 ' \ sin u v _-x) ' von einander Setzt man diese Werthe für 71 2tc 377 P ’ p ’ p : 77 2 77 3 77 P ’ P ’ P he für u x . , l(p — Qrc P Kp~ 1)* . Up—i, so kann man die aus je zwei entgegengesetzt gleichen Bogen entstehenden Faktoren vereinen und erhält sin ja u ja sin u sin 2 u sin 2 u p sin 2 u 1 — ■ jjW sm 1 — 1 — . „277 sm l — 1 — . ([X — 1)77 L p J L P J L 2|i J § 17 * Unendliche Produkte. 5 6 3 Ersetzt man \xu durch x, so entsteht 6 . ja sm - sin* P* . 2tt svn £ » (m- — 2;x Es liegt nahe, hier zur Grenze für ein unendliches wachsendes |x überzugehen. Die linke Seite hat wegen lim tx sin — = lim (sin — x : — i = F V F F' den Grenzwerth sinx : x . Die rechte Seite wird zu einem Produkte aus unendlich vielen Faktoren, und hat nur dann eine analytische Bedeutung, wenn nachgewiesen werden kann, dass das Produkt der ersten n Faktoren sich einer Grenze bis zu jedem Grade der Genauigkeit nähert, wenn man nur » gross genug wählt. Um dies nachzuweisen, haben wir zu zeigen, dass das Produkt der Faktoren vom in 4 - l)ten an R = 1 — P ,(« + l)it P 1 — P >(» + 2)t für einen unendlich grossen Werth von n mit der Einheit bis zu jedem Grade der Genauigkeit übereinstimmt. Die Brüche «-Fl «4-2 «h-3 P P P sind echte Brüche, kleiner als $ (vergl. 6), und daher «-Fl »4-2 «4-3 |X [X (X spitze Winkel. Setzt man nun x < (« 4 - 1) it voraus, so sind die Faktoren von R sämmtlich echte Brüche und daher 11. R„ < 1 . Um eine untere Grenze für R zu erhalten, bemerken wir, dass für positive 'echt gebrochene Werthe von Q x , (? 2 , Q 3 . . . (1 — <2i)(l — Ö 2 ) = 1 — {Qi + Qi) + Öi02 > 1 “ (öi + Qi) (1 - öl) (1 - Ö 2 ) (1 - ö.) > [1 - (öl + Qi)} (1 — <2 3 ) > 1 — {Ql + Qi 4 - Q 3 ) und daher allgemein (i - q x ) (i -e,)(i-0 o-e t )...>i- (öi + Qi Folglich ist ö, 12. , (« 4 - 1)1 P , (» 4 - 2) it P Da : it < sm it < sm ■ ■ r. < [X [X [X so wird der Klammerinhalt vergrössert, wenn man jeden der (p. • Nenner durch den ersten ersetzt; daher ist • 2 * [X — 2 « — 1 (X 2 . „« 4 - 1 2 » — 1 ): 2 R« > 1 — Setzt man p. = p«, so erhält man 36* 564 Differentialrechnung, 13. Rn > 1 p n — 2 n — 1 p n .» + 1 Für einen unendlich grossen Werth von n ist X 0 7 lim(t>n — 2 n — 1) • sin 2 — = lim x 2 — vr 7 p n Daher folgt aus 12. und 13. limR n = 1 . Folglich bleibt 8. auch für p = oo gültig; da nun P 2 n — 1 p 2 « 2 0 . lim . x sin — _ü . ksz sin — P x Jt,’ so hat man in Rücksicht auf 9. U - = * 0 - £) (' - Ä) 0 - 0 - if^T 2 ) gültig für jeden endlichen Werth von x. 7t . 1 Setzt man x = g-, so ist sin x = —, und man hat und daher 1 2 it 3 it 5-7 11-13 17-19 23-25 6 ‘ 6 2 12 2 ' 18 2 ' 24 2 6 2 12 2 18 2 24 2 5 • 7 ' 11 • 13 ' 17 • 19 ' 23 • 25 7t Für x = — erhält man das schwächer convergirende unendliche Produkt 7t_ 2*_ __62_ 8 2 2 1-33-55-77-9 2. Aus der im Eingänge des vorigen Abschnitts gemachten Bemerkung ist ersichtlich, dass man cospu cosu für jedes ungerade ganze p nach geraden Potenzen von sin u entwickeln kann, in der Form 1. cos^ucosu = B ü -t- B 2 sin 1 u -+- B^sin^u B,,.+xsinv- +l u. Setzt man u = 0, so erhält man 2 . B 0 = \ . Sind wieder u x , u 2 , u 3 . . die Werthe von u, für welche die rechte Seite von 1. verschwindet, so hat man cos p u ■ cosu = By.+xisinu^ — sinu) ( sinu 2 — sinu) . . (sinu^+x — sinu). Ferner folgt aus 1. und 2. 1 = Bp+x sinu^sinu^ . . sinu,^x, folglich ist „ (, sinu \ ( sinu \ ( sinu \ 6. ♦ WSp« COSU = 11-:- 111 - —- 1 ... 1 1---1 . \ smu x ) \ smu 2 J \ smu^+x) Die linke Seite verschwindet für die von einander verschiedenen Bogen 7t 3tt 5tt ptt 2p’ 2p’ 2p’ ’ ' ’ 2p’ u = o r Tt O Tt 0 7t ptt 2p ’ 2p ’ 2p’ 2p‘ Daher ist, wenn man noch p u mit x vertauscht 17 - Unendliche Produkte. 565 4. cos x • cos — — V- Das Produkt n 2 Ji TT 2p sm* 2 JX • 2 X sm* — F 5ir 2p. 1 — sin Ji 2 p. Rn = F s 2« + 1 2p. ■ „ •* «m 2 — F ,2 n ■ 2 jju 1 enthält lauter echt gebrochene Faktoren, sobald man voraussetzt, dass x < - — r. ist; daher hat man 5. Rn < 1 . Ferner ist . „ x F ,2 »H- 1 n 2 -■ -r 2;x jjl — 2« -+- 2 Ä« > 1 6. R n >1 Nun ist für ja = p n x 2 n | - J (p. — 2« + 2) • sin 2 — : sin 2 —--n |x 2 jx • 2 * sm* — F sm 2 n 2p. ,2 n 2p. \ ^ g (p n —2 « -t- 2) jz« 2 — : sin‘ in -+- 1 p n in p ’ folglich hat diese Grösse für ein unendlich grosses n die Null zur Grenze. Aus 5. und 6. folgt limR,, = 1 . 7. Geht man nun auch in 4. zur Grenze für p = 00 über, so erhält man / 4.% 2 \ ( 4zc 2 \ ( 4^ 4 \ ( 4jc 2 \ C0SX = ~ J 2 “; V _ 9J 2 ; V 1 ~ 25J 2 ; V “ 29 r: 2 J ' ‘ ' Ersetzt man x durch ^x, so entsteht . Beide Entwicklungen sind für jedes endliche x gültig. Die unendlichen Produkte für sinx und cosx ergeben durch Division tangx / 4* 2 \ / 4* 2 \ / 4^c 2 \ f Ax 2 \ V 1 — tt 2 ) l 1 _ 9it 2 j i 1 25tr 2 j l 1 49tr 2 j ’ ’ ‘ ' 3. Wir schliessen hieran folgende für die einfachsten Fälle ausreichenden Bemerkungen über die Convergenz und Divergenz unendlicher Produkte*): Wenn die Glieder der unendlichen Reihe 2Zj -+- u 2 "+" U S U i * • ■ • positiv und kleiner als Eins sind, und die Reihe convergirt, so con- vergiren auch die unendlichen Produkte p = (i — «t)(i — C 1 — ^3) C 1 — «4) ') Weierstrass, Ueber die analyt. Facultäten, Crelle’s Journal, Bd. 51. 1856. 566 Differentialrechnung. Q — (1 + v i) (1 -t- u 2 ) (1 H- u 3 ) (1 -+- a 4 ) .... gegen Grenzwerthe, die endlich und von Null verschieden sind. Jeder Faktor des Produktes P„ = (1 — «,) (1a 2 ) . . . (1—«*) ist nach der Voraussetzung ein echter Bruch; daher ist P n < 1 und nimmt ab, wenn n wächst. Ferner kann man, wenn nur n gross genug ist, m < n immer so wählen, dass 1 . u m - 1-1 -+- 2 + Um-v'o -+- . . . kleiner ist als ein gegebener Bruch e. Man hat Pn p - (1 (1 ... (1 M 1l) -L,m p alSO r, 1 J —h —(-' • * -+ U;i) * ‘ m Nach der Voraussetzung ist daher Pn > P,n( 1 — s). Hieraus folgt, dass sich P u einer positiven, von Null verschiedenen Grenze nähert. Setzt man P = P n ■ R n , so hat man die Ungleichung 1 > R n >1 — (««+1 + ««+2 +...)• Nach der Voraussetzung nähert sich die Reihe u K +1 ff- ttn+‘i -(-••• mit wachsendem n der Grenze Null; je grösser n ist, um so weniger ist also R„ von der Einheit verschieden. Das Produkt P n stimmt daher mit einem bestimmten positiven Grenzwerth P um so genauer und bis zu jedem Grade der Genauigkeit überein, je grösser man n wählt. Ferner ist 1 . u 1 = 1 und daher 1 Da nun die Reihe mit der Reihe u 1 1 Uy 1 -~H 1-1 ~ -+- . . . .... convergirt, so folgt, dass 1 : Q conver- girt und einen endlichen Grenzwerthe hat. Dabei ist zu bemerken, dass Qn = (1 + Wj) (1 ~h U 2 ) (1 -+- a g ) . . . . (1 -+- U „) sich dem Grenzwerthe Q nähert, indem es bei zunehmendem n unaufhörlich wächst. Wenn dagegen die Reihe der positiven echten Brüche U j H- U 2 -b U 3 -f - .... divergirt, so divergiren die unendlichen Produkte p = (1 — « 1 ) C 1 — « 2 ) (1 — » 3 ) , Q — (1 + ^1) (1 -+- #2) (1 + «3) . , und zwar nähern sich Pn = (1 . . . (1 u «) und Q n = (1 -t- a 4 ) . . . (1 -t- u t , ,) mit wachsendem n bez. den Grenzen 0 und 00. Man hat zunächst Qn 1 -j- (u 4 U 2 -(- . . . . Da nun -+- u 2 . . -+- Q n mit n unendlich gross wird. u n mit n unendlich wächst, so folgt, dass auch 17. Unendliche Produkte. 567 Ferner ist I)a nun die Reihe = (1 + A;) 0 + 1 • • • + 1 — u x 1 — u % mit der Reihe u x + k 2 -+■ . . . divergirt, so folgt, dass 1 : P unendlich gross, also P gleich Null ist. Aus den beiden bewiesenen Sätzen ergiebt sich ohne Weiteres die Richtigkeit des folgenden: Wenn die Glieder der Reihe u j u 2 ti 3 .... sämmtlich von — 1 verschieden sind, und von einem bestimmten Gliede an beständig dasselbe Vorzeichen haben, und kleiner als Eins bleiben, so hat das unendliche Produkt (1 -+- u j) (1 2) C 1 u ‘i) ■ ■ ■ • einen positiven von Null verschiedenen Werth, sobald die Reihe u x -+- u 2 + ... convergirt. Wenn dagegen unter übrigens denselben Voraussetzungen die Reihe + . . divergirt, so ist das unendliche Produkt P divergent, und zwar gleich Null, oder unendlich gross, je nachdem die Glieder der Reihe », + u.> + . . von einer bestimmten Stelle an beständig negativ oder positiv bleiben. 4. Aus den in No. 1 und 2 entwickelten unendlichen Produkten gewinnt man noch einige bemerkenswerthe Reihen. Nimmt man in No. 1, 14 beiderseits die Logarithmen, so erhält man / sin x — Ix 4 - l Differenzirt man, so entsteht 1 2x 2x 1 • COt X ' ä . n o X TT 2 X 1 4tD X 1 Da nun 2 x 2x 1 9t: 2 — a: 2 1 k 2 TC 2 — so findet man schliesslich „ 1 1 1 2. cotx — — h-—- X TZ -+- X kK — X ktz 1 1 1 TZ X 2 K ~h X Ersetzt man x durch ~x, so entsteht 1 1 1 2 -- 3. TC ■ COt TZX — -h ■ X 1 3tz 1 3tz - X 1 x l + x 1 — x 2 + x 2 — x 3 4 - a; 3 ■ Nimmt man die Logarithmen in No. 2, 7, so erhält man x l COS X 4. Durch Differentiation erhält man hieraus 8a: 8* tangx = ^ Da nun 8a; — 4a: 2 4a: 9ti 2 — 4a; 2 1 25it 2 — 4a: 2 <£ 2 tc 2 — 4a: 2 so kann man 4. ersetzen durch J_1__1_ TZ 3 TZ kv. — 2a: kzz ■ tangx = 2x’ 1 x X 3tz T 5ic T 5tc T 568 Differentialrechnung. Anhang. Wir geben anhangsweise eine schärfere Ableitung der in § 4, No. 9 und § 5, No. 1 benutzten Grenzbestimmnng ,. F(x -+- Ax, y -+- A y) — F{pc 4- Ax, y) 8F(x, y) hm ly = Wy ’ die dem gleichzeitigen Verschwinden von Ax und Ay Rechnung trägt. Die Function f(x) wächst oder nimmt ab, sobald df\dx positiv oder negativ ist; ist df : dx stetig, so kann ein Uebergang vom Wachsthum zur Abnahme oder umgekehrt nur für solche Werthe der Variabein eintreten, für welche df : dx verschwindet. Ein Curvenast y — cp(x) und der Differentialquotient d

L f“ 's-. denn x m +^ m + 1 x”‘dx\ m- 1 , dx _ x ’ e x dx — e- r -{- C , cosxdx — sinx 4- C, os x 4— (d f = ta ngx 4 - C, cotx 4- C, c sinx 4- C, \sinxdx — dx cos 2 x f dx J sin 2 x dlx de x = e x dx ; d sin x — cosx dx ; d{ — cosx) = sinxdx\ dx d tangx = -; * cos 2 x t St yi- dx arc tangx 4- C, Bekanntlich ist und daher arc sinx = dcotx = d arc sin x = d arc tangx — it : cos x = — dx dx y i— x 2 dx TT~*2 ’ arc cos x. 10. Man kann daher 8. ersetzen durch /' dx ’ i ■' yi = — arc cos x 4 - C\ , in Uebereinstimmung mit der Differentialformel darc cosx = dx yi Eine ähnliche Bemerkung gilt bezüglich der Formel 9 .; da man hat so folgt aus 9. 11 . /> arc tang x dx g- — arc cot x , x‘ = — arc cot x -h C ± , in Uebereinstimmung mit § i. Grundbegriffe und Grundformeln. 571 d arc cot x = dx 1 -+- x 2 In 10. und 11. kann das Zeichen C x wieder durch das völlig unbestimmte Zeichen C ersetzt werden. 4. Die nächste Aufgabe der Integralrechnung besteht darin, Integrale von Differentialen, die nicht mit in den Grundformeln enthalten sind, durch geschickte Substitutionen und Transformationen auf die Grundformeln zurückzuführen. Ehe wir uns aber dazu wenden, ist eine wichtige principielle Frage zu erledigen. Es ist zu erwarten, — und diese Erwartung wird sich bald bestätigen — dass es Formeln f(x) dx giebt, die in keiner Weise sich als Differentiale der bisher in der Analysis bekannten Functionen oder von Combinationen derselben ansehen lassen. In solchen Fällen wird durch das Zeichen Jf(x) dx eine neue Function definirt; wie wir in No. 2 gesehen haben, ist diese Function bis auf eine additive Constante bestimmt. In dieser Weise führt die Integralrechnung eine ungemessene Fülle neuer Functionen ein, die sich von den bisher bekannten z. Th. durch ganz neue Arten von Eigenschaften unterscheiden; wir werden einige von diesen genauer kennen lernen. Wir wollen zunächst versuchen, eine Anschauung der Function f/(x)dx zu gewinnen. Wir beschränken uns dabei, wie überhaupt bei allen gegenwärtigen Untersuchungen, auf reale Werthe von x und auf reale Functionen f(x)\ behalten uns aber vor, diese Beschränkung später wieder aufzuheben. Wir construiren die Curve, welche in Bezug auf ein rechtwinkeliges Coordinaten- system die Gleichung hat y = f(x)\ y P sei ein Punkt derselben, also O F = x, PP = f(x). Ein anderer Punkt desselben Curvenzugs mit kleinerer Abscisse sei A, so gelegen, dass zwischen A und P die Ordinaten sich weder unstetig ändern, noch unendlich gross oder imaginär werden, und dass, wenn A sich auf der Curve bis P bewegt, der Punkt A' immer in derselben Richtung fortschreitend nach P' gelangt. Alsdann ist die von A'P, A’A, PP und dem Curvenbogen AP umschlossene Fläche eine endliche, eindeutig bestimmte Grösse. Ferner sei OP x = x -+- Ix. Wir können \x immer so klein wählen, dass die Curve von P bis P x nur steigt oder nur fällt. Alsdann giebt es einen zwischen P und P x gelegenen Punkt II der Curve, so dass die von dem Curvenbogen begrenzte Fläche PPP X P X gleich dem Rechtecke von der Breite PP X und der Höhe II' II ist. Wird die Fläche A’APP mit F und demgemäss P'PP X P X mit 1F bezeichnet, so ist ±f = rrn • A*. Ist (j. ein echter Bruch, so ist OlV = x -+- |x- \x, daher IT II —f(x -+- p-A,#) und \F = f(x -+- [xAx) • Ix, 1F = fix + p.Ax). oder 572 Integralrechnung. Gehen wir zur Grenze für einen verschwindenden Werth von Ax über, so erhalten wir AF Ax ~ + p- Ax), folglich / AF Jt ^ m Äx ~ 0C ^ er dF — f{x)dx. ßf i * (? Hieraus folgt T i ff ix) dx = F -t- Const. 5. Wir wollen nun zeigen, wie die Fläche F — und damit also das Integral § fix) dx — durch Begrenzung bestimmt werden kann. Wir setzen zunächst voraus, dass die Curve von A bis P nur steigt. Theilen wir A'P' in n gleiche Theile 6, so sind die zu den Theilpunkten 0, 1, 2 . . . n gehörigen Ordinaten f( a ), fifl + 8), f(a + 28), f(a + 38) . . . . fia + n— 1 8), f{a + n 6) = f(x). Construirt man zwischen den Ordinaten fia + k —1 6) und f(a + kb) ein Rechteck p k '■ mit der Höhe fia + k —1 8) und eines r k mit der Höhe f(a + k 8) , so ist, da nach der Voraussetzung /(« _ k —1 8) und fa + k8) 0 A' (M. 499.) k—\ 8 ) < f(a der zwischen f(a enthaltene Flächenstreifen grösser als p k und kleiner als r k . Daher ist i- 2 p*<^<2>+ _J_ 1 Nun ist p k = f[a + k— 1 8) • 8 , r k = f(a + kd) ■ 6, daher r k — p k = [/(« + kS) — f{a + ~k^\ ■ 6)] 8 . Also ist r x — pj = [f{a + 6) — /(«)] 8 , — Ps = [/(« -F 28) — /(« + 8)] 8 , r 3 P 3 = L/"( a + 3°) — fi a + 28)] 8 , r k — p4 = [/(« + 48) — /(« + 38)] 8, — p* = [/(« + »6) — fia + rc— 1 8)] 6 . r (M. 500.) Ferner ist Hieraus folgt durch Addition 2 . — Ip k = [/(*) -—/(<*)] 8 . Bezeichnet pt einen positiven echten Bruch, so folgt aus 1. und 2. 3. F — 2 p* + p. [fix) — fia)] 8 . Wenn die Curve von A bis P nur fällt, so nehmen wir dieselben Con- structionen vor; da aber jetzt fia + £—1 6) > fia + ko), so ist der zwischen diesen Ordinaten enthaltene Flächenstreifen kleiner als p k und grösser als r k ] daher ist jetzt 4. 2p k > F > 2r k ; I. Grundbegriffe und Grundformeln. 573 Pi — r \ = [/(«) — f(a + 8)] 8 , P 2 — r i = [f( a +8) — f{ a + 28)] 6 , P 3 r i — [f( a + 26) — f(a -+- 38)] 8 , p n — r n — [f(a -+- n —1 6) — f(a -+- »8)] 8. Hieraus folgt 5. 2p„ — 1r n = \f{a ) — /(*)] 8 . Wir haben daher jetzt 6. F = l 9k — p. [/(«) — /(.*)] 6 . Gehen wir in 3. und 6. rechts zur Grenze für einen verschwindend kleinen Werth für 8 über, und bemerken, dass, da /(«) und fix) als endliche Grössen vorausgesetzt worden sind, lim [ f(a ) — f(x)] 6 = 0, so erhalten wir 7. F = //w [_/"(#) /(^ + ö) + +25)+...-+- f{& + n — 1 5)] 5 , n— i oder kürzer F = lim ^/((ü -+- kd) 6 . 0 Wenn die Curve zwischen A und P eine endliche Anzahl Male vom Steigen zum Fallen und vom Fallen zum Steigen übergeht, so nehmen wir zunächst (M. 501.) --Ä. P' wieder die obige Construction vor, und zerlegen dann durch die zu gewissen Theilpunkten der Strecke A'P gehörigen Ordinaten die Fläche in solche Theile F lt F 2 , F s , . . . F/, innerhalb deren die Curve nur steigt oder nur fällt; diese werden durch Streifen getrennt, deren jeder zwischen zwei aufeinander folgenden Ordinaten liegt. Für die Theile F x . . F, gilt dann die Formel 7. Sind die Anfangsordinaten der trennenden Streifen, deren Anzahl i — 1 ist, Al- As. As. ■ • • A.-t. und die Flächen cpj, cp, 2 ,

&8) 8 -+- Const. t- 0 Eine Veränderung innerhalb der anfangs angegebenen Schranken der willkürlichen Grösse a hat, wie die Figur sofort zeigt, den Erfolg, dass die Fläche F um einen von x unabhängigen Betrag zu- oder abnimmt; und diesen kann man dann in 8. mit der willkürlichen Constanten vereinigt denken. 11 - 1 Den particularen Werth lim ^ fia -+- k8)o nennen wir das zwischen o den Grenzen a und x genommene bestimmte Integral von fix) dx und X bezeichnen es mit Jf(x) dx . Es gilt also die definirende Gleichung Ja«) fi -1 dx = lim'^^fia H- kS) 8 . 0 Fügt man rechts zur Vereinfachung der Summenformel den verschwindenden Summanden f(a -F n 8) 8 hinzu, so erhält man X • 11 9. I f(x) dx = lim ^/(« -F kd) S . a ° Die vorigen Betrachtungen zeigen, wie dasselbe angenähert bestimmt werden kann. Berechnet man für jeden der Theile F lt F 3 . . F,- gemäss der Formeln 2. und 5. die Grössen [/« - ZW. wobei c und d die kleinste und die grösste Abscisse irgend eines dieser Theile bezeichnen, so gewinnt man zugleich ein Urtheil über die Genauigkeit des angenäherten Resultats, sowie eine Auskunft dafür, wie klein 3 gewählt werden muss, damit der Fehler einen gegebenen Betrag nicht übersteigt. In den folgenden Abschnitten werden wir uns zunächst mit solchen Integralen beschäftigen, die auf die bisher bekannten Functionen führen. § 2. Integral eines Polynoms und eines Produkts. Einführung einer neuen Variabein. 1. Aus der Gleichung d{u i -F -F u^ -F . . -F uZ) = du | -F du^ -F du 3 -F • . —F du n gewinnt man durch Integration J (du x -F du g -F du.£ —F • • -F du n ) = u j —F u% ~F u 3 ~F . • -F u tt -F Coust. Hierfür kann man setzen f (du x -F du g -F du^ -F • . —F du n ) = J du ^ -F j*du^ -F Jdu 3 —F • • Daher der Satz: Ein Polynom wird integrirt, indem man jedes einzelne Glied integrirt. Durch Anwendung dieses Satzes ergiebt sich z. B. § 2. Integral eines Polynoms und eines Produkts. Einführung einer neuen Variabein. 575 J( 1 H- x) dx — j' dx -h jxdx = x + J'ix —jf 2 ) dx = j'xdx — ^jc 2 ^ = ^- 4- e x ) dx = I dx -f- j'e f 1 -h x 2 rdx r J - — dx =J -j +J' j'(cosx — sinx ) dx = jcosx dx — js e x dx xdx c; C; C; C; I sinx dx — 2. Die Differentialformel ergiebt durch Umkehrung diaii) = adu f adu = au -+- Const., f adu — afdu . Einen constanten Faktor eines Differentials kann man vor das Integralzeichen setzen; oder: um ein Integral mit einer Constanten zu multipliciren (oder zu dividiren), multiplicirt (oder dividirt) man das Differential. C; Hieraus folgt z. B. j' adx = ajdx = a. ^(a -t- üd -t- cx 2 ) dx = ajdx-hi j'x I (— xdx) = — jxdx — — ~ -h C; fdx 1 /' a J ax aj . cjA xdx -+- c\x 2 dx = ax + — = -Ix h- C. x a 3. Aus der Differentialformel duv = vdu 4 - udv folgt vdu = duv — udv ; hieraus geht die Integralformel hervor Jvdu = uv — fudv. V) olx qU , . — H 7" + Nf - *U u HW J» ± (y* M 'äC5 ,u j i Hiervon wird man mit Erfolg Gebrauch machen, wenn fudv bekannt ist, oder leichter auf ein bekanntes reducirt werden kann, als Jvdu) man bezeichnet diese Reduction als die Methode der theilweisen Integration. Wir geben hierzu folgende Beispiele: fxe x dx = J xde x = xe x — fe x dx — xe x — e x -t- C; fx 2 e x dx = fx 2 de x = x 2 e x — lfe x d(x 2 ) = e x (x 2 — 2x 4 - 2) 4- C; fx 3 e x dx = fx 3 de x = x 3 e x — ‘dfx 2 e x dx — e x (x 3 — 3 * 2 4-6# — 6 ) 4 - C. Allgemein hat man fx m e x dx = fx m de x = x m e x — mfx m ~ l e x dx. Ferner ist J ix dx xlx Jxlxdx — -1 Jlxd(x 2 ) — Jxdlx — xlx —Jdx — x{lx — 1) 4 - C ; c 2 Ix — jx 2 d/x = — (2/x — 1) 4 - C; 576 Integralrechnung 1 . jx 2 lxdx — ~j/xd(x 3 ) = — x 3 Ix - -J'x 3 dix = —(3/x— 1) -+- C; x m+t \^ m 1) Ix — 1 ] „p -y- 1 J Jxcosxdx = fxdsinx xsmx xcosx ■ cosx sinx ■ C. C; C\ ix m dxdx— - r- X m +^lx -7-7 jx m dx = 7 ^-rrx J m-h 1 m+lj (»s-l-l) 2 xsinx — Jsinxdx = Jx sin xdx = — Jxdcosx = — xcosx + Jcosxdx — Jx 2 cosxdx = Jx 2 dsinx= x 2 sinx — 2 Jxsinxdx) Jx 2 sin xdx = — Jx 2 d cos x = — w 2 tw ts 4 - 2 Jxcosxdx ; Jx m cosxdx = Jx m dsinx = x”‘sinx — mjx m — x sinxdx\ Jx m sinxdx = — Jx m dcosx = — x m cosx-+- mJx m ~ 1 cosxdx ; Durch wiederholte Anwendung dieser Formeln gelangt man schliesslich zu einer vollständigen Bestimmung von Jx"‘cosx dx und jx m sinx dx . 4. Ein sehr wichtiges Mittel zur Transformation von Integralen ist die Einführung einer neuen Variabein. Um z. B. J(a -(- bx) m dx zu bestimmen, setze man a 4- bx = y , also bdx = dy ; durch diese Substitution erhält man /* 1 j* ym+l J(a 4- bx)”'dx = jjydy = (w ^ 1)/5 + C, ■(«+ ^x) W! +i -f- C. (m -+- 1) b Auf gleichem Wege ergiebt sich dx 1 Jd(a C dx _ 1 l'd{a • J a 4- bx bj a In h xdx ■Ja 4- bx 2 Man erhält dann setze man a bx) bx bx 2 1 C. ^ l(a 4- bx) also 2 bxdx = dy . y / xdx 1 J dy y p |/«+ bx 2 yy b ■ ya 4 - bx 2 4- C. Ferner ist h 1 — dx /; e x dx I lx 4- T e* 4- e Setzt man e x = y, so ist e x dx = dy, und daher 4 = f J y e x 4 - e~ x J 1 A yd arctangy 4- C, = arc tang(e x ) C. § 3. Integration rationaler algebraischer Functionen. 1. Eine rationale algebraische Function der Variabein x ist von der Form _ a 0 x m 4- a 1 x m ~ 1 4- a 2 x m ~ 2 4 - • • 4- a m -\x 4- a m J\ x ) b 0 x n 4- b x x n ~ l 4- b 2 x n ~ 2 4- • • 4- b„-\x 4 - b n Ist die Function unecht gebrochen, ist also m > n, so kann man nach den Regeln der Buchstabenrechnung den Zähler durch den Nenner dividiren; man erhält dann den Quotienten c 0 x m ~ n 4- c 1 x m ~ n ~ l 4 - • • 4- c m - n -\x 4 - C m -„ d 0 x*~ 1 4- d l x*~% 4- . . ■ 4 - <4-i + b 0 x» 4 - b 1 s?‘- x 4- . • 4- b,i § 3- Integration rationaler algebraischer Functionen. 577 Man hat daher J'/(x)dx = f(c ü x»‘-” c 1 x”‘-«-i + . . + c,„—„) dx / d^x n ~~^- H- x u ~% d n —\ + ./ b 0 x" -F b l x’ ! ~^ + . . . + b H X ' Das erste Integral rechts — das einer ganzen rationalen algebraischen Function — ist nach den bisherigen Regeln sofort ausgefuhrt. Es bleibt daher nur noch die Integration einer echt gebrochenen rationalen algebraischen Function zu untersuchen. Elte wir hierfür die allgemeinen Regeln aufstellen, mögen einige einfache Fälle erledigt werden. 1 . 4. 6 . 7. (Y~, = If(rJ- + r - V J 1 — x 2 2J \1 -F x 1 — xj — 2‘^(1 + x ) — X) -\- C -'Vrü-*- f?= dx a ) (x — b) a -> ff 1 _ > ) — bj \x — a x — bj dx 1 jX — a a — b x — b C. dx I dx f x 2 -F 6x -+- TT = / (x -F 3)^ * r x + 3 ' V* dx 1 X 3 = —— arc tansr H- C. 4/2 Y2 f dx / (* + 8 V l n~) dx x 2 -F 6x -F 4 (x -F 3) 2 (x -F 3 -F Y 5 ) (x -F 3 — F 5 ) 1 2}/5 d(x + 3 — 4 / 5 ) x -F 3 — -j/ö f d(x -F 3 -F "|/5) x — f- 3 ~F Y 5 1 ^x -F 3 — Y ^ C. 24/5 x -F 3 -F |/ö f xdx f xdx f(x — 2) d(x — 2 ) f2d(x — 2 ) J x 2 —4 x-f 7 = / (x — 2) 2 + 3 = ./ (x — 2) 2 + 3 + J ( = -/[(*-2) 2 -f 3] 2 — 2 —— arc tan^ — 7 ^ 4/3 4/3 (x—2 ) 2 -f 3 C. f (x+5) dx f (x + 5) i (x) eine Function von minderem Grade, als ,(x). Setzt man*) x — E. = — ' 1 v 2“ tj< 2 . also x — ~ { ~~ so wird aus 1. 2 ■ m A 0 z* A x z*~ 1 A„-iz 9 Macht man die einzelnen Theile jeder der Functionen y 1( und ipj gleichnamig und vereint sie dann, so erscheinen diese F’unctionen als Quotienten ganzer Functionen von z von demselben Grade, den die ursprünglichen Functionen in x hatten, dividirt durch die höchste vorkommende Potenz von z. Sind also 'Kx) und j, l F, il" 1 ganze Functionen von den Graden n — a, n — 8, n — a — e, so hat man z 9 + £ 1 z \ = (1> i0) . = l ÜCf) , ( LjiJiüA l| ' i (*) 1 \ 2 J 2»-«’ ^ V, £ / 2»- 6 ’ \ 2 ) ^ 2«-“- s ' Daher wird aus 2. *F(2) Z n 0 2 ® = A,z a 4- At-iz 3. Aq 2“ A a —12 tp, (z) 2 «-“ 2« et s ’ (D 1 ( Ä ) ' 2« ^(2) "V W ' 0 k- 8 0j(2) oder einfacher 2 S W ( 2 ) Die Function Oj kann nicht durch Annullirung einiger Coefficienten von minderem Grade als n — a sein; denn den Wurzeln 2 der Gleichung *) Dölp, Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung, nebst den Resultaten und den zur Lösung nöthigen theoretischen Erläuterungen. Giessen 1869. pag. 81. 37 580 Integralrechnung. 4. Ql(«) z «-« = 0 entsprechen die Wurzeln der Gleichung

— «—t, z *-«-2, . . , z «-oc-x i n (I>, (js) , so würde die Gleichung ,(z) = 0 k gleiche Wurzeln z = oo haben, im Widerspruche mit der Voraussetzung, wie soeben gezeigt wurde. In ganz gleicher Weise ist ersichtlich, dass l'(z) und T, (z) nicht von minderem Grade als n — 8, bez. n — a — s ausfallen können; mithin ist z 5 *F(z) vom Grade n und z si r,(z) vom Grade n — a. Man erhält daher die Darstellung 3., indem man die algebraische Division z«U'(2): < F 1 (z) nach fallenden Potenzen von z geordnet ausführt. Das höchste Glied des Quotienten ist man berechnet ihn bis zu dem Gliede A a -iz. Der Rest ist vom Grade n — a, und ist die Function z'tFjlY). Substituirt man in z E 'F(z) 4 ' für z rückwärts wieder den Werth z = 1 : (x — 5,), so geht 4. in (x): 1 (x) über; somit ist nun i|i 1 bekannt. Hat nun cpj (x) lauter ungleiche lineare Faktoren, so wird , (x) : cp, (pc) nach No. 2 weiter zerlegt; enthält hingegen tp,(pv) noch mehrfache lineare Faktoren, so hat man die soeben gegebene Entwicklung zu wiederholen. Ist dx = (q — \)A 0 (a — 2 )A X (x — (ß ~ 1) B Q (*- (ß $.)* 2 2 )B X 6 . (x (x - 5 s )ß-2 — X ~J /(*-?,) (p-l )^o (p-2)*, (x (x — lr)z~2 x — 5,. -i- R 9 ~\ l(x — Bq = M x J . 4. Die Function — r z 2 )”- 2 u. s. w., bis man zum Schluss auf dz = arc tnng z 4- C 1 4- z ‘ kommt. G. Alles in No. 1 bis No. 5 Entwickelte zusammenfassend, erhalten wir somit das Ergebniss: Das Integral einer rationalen algebraischen Function lässt sich in jedem Falle durch eine endliche Anzahl von rationalen F'unctionen, Logarithmen und Arcustangens ausdrücken. 7. Die Anwendung der soeben entwickelten Regeln wollen wir nun an einigen Beispielen zeigen. A. fl x 3 4- 9a: 2 — 4x 4- 7 (x 2 — 5a: 4- 6) (a: 2 4- 5a: 4- G) dx. Hier ist <\i(x) = x 2 -h 9x 2 — 4a: 4 -7, ). Dies wieder durch (ec 2 — 2ec 4 ;>) dividirt, ergiebt , (ec 2 4 - 4ec 4 - ö). Man hat daher 1 128’ 0 sein, da sonst der Radicand für alle realen Werthe von x negativ, die Wurzel also imaginär würde, während wir ausdrücklich uns gegenwärtig auf Integrale realer Functionen beschränken. Macht man von der Substitution Gebrauch § 4- Integration irrationaler Functionen. 5»7 3. (* + 7) = 0 ’ yac — b 2 so geht das gegebene Integral über in /- 1 4. also dx = ^“- - -dt, c dz Nun ist bekanntlich Daher hat man / ' dx y~c J ]/l +j 2 dz dl{z -t- yi -+- z 2 ) = yi 1 rtr -t- b yc ya -\-ibx -‘r r« 2 —. — _ y _ r ' — _ _j_ s 2 y C ]/77 — b 2 I ya 2bx -t- cx 4 Man kann den Bestandteil ( - \ iy 0 . ac > 0 , so setzen wir in 2. Ist hingegen b 2 6 ' yb^iTc (* + 7 ) = 0> und erhalten dadurch yb 2 — ac also dx -- - - dz , 7. b 2 — ac a -1- 2 bx +- cx 2 --(1 — z 2 ). Ist nun c > 0, so muss z 2 > 1 sein, damit 4/ a -+■ 2 bx -+■ cx 2 real ist. Unter dieser Beschränkung setzen wir 01 ß, C a -+- ' 2 bx -F- cx 2 =-( z 2 — 1). Aus der Differentialformel dl(z -+■ yz 2 — 1) = folgt nun / dx J ya -+■ :ibx + cx 2 yc dx V* 1 jCx -+- b + yc{a -+■ ibx + cx 2 ) oder, wenn man die Constante mit 9. yb 2 — ac it ^— -J=iyb 2 — acj vereint, C, dx 1 -. .— -- = -7 - l\cx ya - 1 - ibx -+- cx 2 yc yc(aibx->r cx 2 )\ C. Diese Integralformel ist daher anzuwenden, . wenn b 2 — ac < 0 und c > 0, für jedes reale x\ (cx -+- b ) 2 wenn b 2 — ac > 0 und c > 0 , für ,,,-> 1 . o‘ — ac — Ist c < 0, so wird ya -|- ibx + cx 2 nur real, so lange z 2 < 1. In diesem Falle und unter dieser Beschränkung für z ist nun dx 1 , „ arc sin z + 6 , ya ■+- ibx -+- cx 2 y — c also, wenn man wieder z durch x ausdrückt 588 Integralrechnung. dx 10 . |/a -+- 2 bx -+■ cx' 1 b 2 — ac > 0 , ‘ -b • . -+- A lt — (/f„ x H 1 —l— . . —t— ßu-i) {cx -+- b) -b [(« — 1) ß 0 x'‘~ 2 -b . . -+- ß„ -s] {cx 2 -b ‘ibx -+- a) -t- ß n - Vergleicht man die Coefficienten gleich hoher Potenzen von x auf beiden Seiten, so erhält man zur Bestimmung der ß die linearen Gleichungen A 0 ncß 0 , a = (« - 1 )cß t + (2 n - 1 ) bß u 1 An = (« - 2) cB, + (2n -3) bß x -b (n — I)aß 0 , A, = (« — 3) cB x ( 2 ä -5) bß, (n -’2) aß, , A i = (« — 4) cB, -b (2 n -7) bß 3 (n — 3 )a ß % , Au 2 = : 1 C ß„- l H- 0 b B u . -3 -b ‘daß H - 4 , A h — 1 == c J3 n — j -b 0 bßu -2 -b 2 a ß n -s , An = bßn- -L -b & ßn 2 “+• Aus diesen Gleichungen kann man nach einander die Zahlen ß 0 , ß x , bestimmen. Beispiel. Für die Ermittelung von Bn *) Dölp, Aufgaben, pag. 90. § 4- Integration irrationaler Functionen. 589 J yi + x- hat man in obigen Gleichungen zu setzen dx II 0 II - A x =.. = = A„ = 0, a = 1 , b = 0 , c = daher gehen dieselben über in 1 = 0 = + 4 B x , 0 = ;>B X , 0 2B\ + 3 B t , 0 = 4i? 2 + 5B 0 i i = B. t 4- 2 B. t , 0 ** + B t . Sie ergeben B x - = ** - B. t = 0 > % *0 = = h B s = ”2 = 1 ? > < 1 II CQ Folglich ist x 1 ’’ dx r 2 Y' 5. Um das Integral zu ermitteln ~ ( c - 24 + ie) Y l + * 2 - iß '(* -+- Y l +-* 2 ) ■+■ c - zu / dx J (x — a)" )/’a 4 - 2/^ 4 - r* 2 ’ 1 //v setzen wir * = — 4 - a , also dx — — , ^ a 4- 2i5* 4- = p[f + 2(J+ "+- ifl 4- 2^a 4- ctx 2 )y 2 ], und erhalten dadurch dx y*-i dy J (x — a)" j/a 4 - ra 2 )^ 2 Ist nun a 2 4 - 2bv. 4- ra 2 = 0, also „v—a ein Faktor von a 2bxcx 2 , so reducirt sich das Integral auf 2 . _ f y n ~ ld y J j/r 4- 2 (b 4 - cd)y ' und wird durch die Substitution c 4- 2(b 4- ax)y = a 2 in das Integral einer rationalen Function transformirt. Ist hingegen a 2 4 - 2ha. 4- fa 2 0, so hat man 1. nach den im vorigen Abschnitte gegebenen Regeln zu entwickeln. C. Hiermit ist nun auch das allgemeine Integral erledigt /i{/(a:) dx J ?( x ) Y a 4- 2 bx 4 - cx 2 ’ wenn ■J'Q) und f (x) ganze Functionen von x bezeichnen und r f(x) nur reale lineare Faktoren hat. Man zerlege den Quotienten ty(x ): f(x) nach den in § 3 gegebenen Regeln in eine ganze Function und in ein Polynom von Brüchen von der Form A _ (x — £)» ' Dadurch zerfällt das vorgelegte Integral in ein Polynom von Integralen, die nach den gegebenen Regeln entwickelt werden können. 7. Alle Integrale von der Form JB(x, Ya 4- 2bx 4 - cx 2 ) dx , 1 . 590 Integralrechnung. wobei /'eine rationale algebraische Function von x und -t- 2 bx- 4 -cx* bedeutet, können durch eine geschickte Substitution in Integrale einer rationalen Function transformirt werden. Eine solche Substitution einer neuen Variabein y muss die Bedingungen erfüllen, dass durch dieselbe sowol x als Y a 2b x -+- cx* rational in y ausgedrückt werden. Diese Bemerkung führt auf den Gedanken, eine Substitution von der Form zu versuchen Yci —F 2 bx — f- cx* = A —B x —f— C]*y , worin A, B, C noch zu bestimmen sind. Durch Quadriren findet man 2. a -+- 2 bx -t- cx* = A* -+- 2ABx -+- 2 ACy + B*x* + 2 BCxy -+- C* y* . Damit nun x rational in y ausgedrückt werde, muss B* = c sein; um die Formeln zu vereinfachen nehmen wir ferner AB = b, also A = b : yV. Hierdurch erhält man aus 2., wenn man zur Abkürzung b* — ac durch A bezeichnet A -+- cC*y* -I- Ib^c- Cy X ~ ~ 2 YcCy Hierin kann noch C beliebig gewählt werden; nimmt man C = 2b : yV, so wird c C* = 2b~Yc C = 4 b* und man erhält die Formelgruppe A -+- 4b* (y -t- y *) 4. ya -+- 2 bx -t- cx* = dx = 4 b cy A — 4b*y* 4byc ■ y ’ — 4 b*y* dy . 4b cy* Diese Formeln sind nur anzuwenden, so lange c positiv ist, da sonst durch |/c imaginäre Bestandteile eintreten würden. Ist c negativ, so ist j/n -+- 2 bx -+- cx* für reale VVerthe von x nur dann real, wenn b* —ac > 0 ist, wenn also a- 1- 2bx + cx* reale lineare Faktoren hat. Ist nun a + 2 bx -+- cx* = c(x — a) (x — ß) , so setze man x — a c -—ö = y 2 - also 6 . 7. a + 2 bx -4- cx* = c(x — a) {x — ß) = (x — ß) 2 ^ 2 Aus 5. und 6. folgen die Substitutionsformeln [ly* — ac y‘ — c c(ß — a )y . - c i ij ya + 2 bx -+- cx* = — r, -' i yi - , dx = *‘£=32 i*. 'Cr*-')'' Durch die Anwendung der Formeln 4. gewinnt man insbesondere, wenn c > 0 , dx dy 1 Ya 2 bx cx* Yc ly c. Rechnet man 1 J Y c • y _ _ _ 1 — (b -|- cx) + Y c ‘ V a •+- 2bx + cx* yT Y c /Yc mit i* 1 die Constante, so kann man hierfür schreiben yc .-■/ - ‘. -- + c. Yc — {b - 1 - cx) -t- yc ■ ya + 2 bx - 1 - cx* § 4' Integration irrationaler Functionen. 591 Erweitert man den Eogarithmanden mit b + cx -+- y'cy'a-h2bx-hcx !l , so erhält man i r b - 4 - cx -+- j/f ya -+- 2bx - 1 - cx 2 ^ yT + 6 - Wird hiervon der Bestandteil l --— t/ r ac —■- b‘ bleibt zur Constanten gerechnet, so dx 1 ,- ■ , — = — 7 = • l(b -+- cx Vc y a -f- 2bx 4 - rar 2 ) i- C, y a -+- 20* + cx^y c K in Uebereinstimmung mit No. 3, 5. Ist c < 0, so ergiebt die zweite Substitution dx _ / dy 2 I .___ = J ya -y- 2bx cx 2 J ■ c -hy 2 Y~- arc tang Ist z die Tangente eines Arcus, so ist dessen Sinus bekanntlich - hat man die cyklometrische Formel yr c. -, daher und folglich arc tang z = arc sm —, y\+z 2 y ■ y arc tang —= arc sin —rzr. _ . y — c y / 2 — c Ist ferner z der Sinus eines Arcus, so ist der Sinus des doppelten Arcus 2z y 1 — z 2 , also hat man folglich 2 arcsin z — arcsin 2z yl- V- , ~ . y . 2y ^c-y 2 arcsin —— = arcsin r - y y 2 —> y 2 —, Benutzt man hier die zweite Gleichung der Gruppe 7., sowie P - « = - 2 yb 2 — ac so ergiebt sich 2 arc sin y = — arcsin Vj 2 — c Macht man noch von der Formel Gebrauch ]/ b 2 — ac ^ 2bx cx 2 ). und bemerkt, dass arc sin t = — arcsin |/l — t 2 , U ' - [V-v±r, (a -+- 2bx -+- cx 2 ) so erhält man schliesslich b 2 -I- 2 bcx + c 2 x 2 b 2 — ac y cx 4- b r. 2 arc sm — — = arcsin y y 2 —< yb 2 — ac 2 Daher folgt, wenn man — in die Constante rechnet Ji dx ]/a - 1 - 2bx -+- cx 2 y—c in Uebereinstimmung mit No. 3, 10. 1 cx -+- b arcsin .. . ■ = 4 - C , ■)/(0 2 — «rj 592 Integralrechnung. § 5. Integration transcendenter Functionen. 1. Die Integrale von Functionen, welche die transcendenten Functionen e x , Ix, sinx, cosx, tangx, arcsinx, arclangx enthalten, sind im Allgemeinen ebensowenig durch die bisher bekannten Functionen ausdrückbar, wie die Integrale von irrationalen Functionen; nur in einigen einfachen F'ällen gelingt die Reduction auf bekannte Functionen. 2. A. Ein Integral von der Form 1. )f(e x )dx, worin / eine algebraische Function bezeichnet, verwandelt man in ein Integral einer algebraischen Function durch die Substitution dy ~ y ' dy e x = y , also dx denn man erhält hierdurch 1 . J/(e x )dx = Jf(y) So hat man ; i. B. r dx J a + be x f dy fl (l Jy(a + by) J a \j> a — [ly — l(a + by)\ + C — — [x — l(a + be x )\ + C. B. F'ür das Integral benutzt man die Substitution ( ax — y und erhält so 2. Jf(e ax ) dx = ^ f/(y ) y Auf diesem Wege erhält man J V ‘ f f{e ax ) dx also dx = 1 , dy dy ay ' Substituirt man hier weiter y = z' 1 so erhält man I , dy = 2z dz , fr a *+=!/(’ + i ) dz 2 ( i ,* -1\ ~ = — I Z *+■ -zr l -;—: ) ~h C a\ 2 ^ + 1 / __ _ 2 ( -- 1 Y e “ x + 1 — l\ = - I y t a * + 1 -hä l , . .) a \ 2 Y e “* +1+1/ Macht man noch von der Formel Gebrauch + C. 1 Ye a * -hl—1 e nx Y e ax +1 + 1 so hat man schliesslich jYe ax + 1 dx = - [yle« x + 1 + l(Y e " x + 1 — 1)] — + C. C. Das Integral jx«e mx dx kann man zunächst dadurch vereinfachen, dass man mx = y setzt; dann wird dx = y : m, x n = y“ : m“, und man erhält § 5- Integration transcendenter Functionen. 593 3. Jx n e mx dx = Jy n eydy. Ist nun n eine positive ganze Zahl, so kann dieses durch wiederholte Anwendung der theihveisen Integration vollständig entwickelt werden. Denn man hat (§ 2, No. 3) 4- jy k eydy = y*e? — k fy^—^eydy. Durch wiederholte Anwendung dieser Formel erhält man 5. fy n eydy — ey\y k — ky k ~ 1 -t- k(k — l)y k ~ 2 — ....]. Wenn in dem Integrale G. Jf(x)e mx dx f(x) eine ganze rationale Function von x ist, so kann’ man dies Integral in ein Polynom von Integralen A Jx’‘e mx dx zerlegen und jedes derselben nach 3. und 5. integriren. Kürzer gelangt man auf folgendem Wege zum Ziele. Durch theilweise Integration ergiebt sich //(*) e x dx = f(x)e x — Jf'(x)e x dx. Wendet man diese Formel wiederholt an, so findet man 7 . j'f(x)e x dx = e x [/(x) — fix) + f"(x) — f"(x) + . .] . Ist n eine negative ganze Zahl, so führt folgender Weg zu einer Vereinfachung: Man erhält aus 4., wenn man k — 1 durch k ersetzt /' yt+i ey 1 / ’ J y k e y dy = — jjTtTT J y Meyd y • Ist nun k negativ, etwa k = — n, so erhält man Wendet man diese Reductionsformel hinreicliend oft an, so gelangt man schliesslich zu dem Integrale das nicht weiter reducirt werden kann. So ist D. Zur Reduction des Integrals f(x — d) n e x dx setze man x — 'a = y ; man erhält 9. f(x — d)”e x dx = e a fy»eydy , und reducirt nun weiter nach Formel 5. oder 81, je nachdem n positiv odei negativ ist. Schlobmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 38 594 Integralrechnung. — dx , sowie anderer irreductibler Integrale ist man auf die Entwicklung in eine unendliche Reihe verwiesen (vergl. § 6 ). E. Integrale von der Form ff(a*)dx, Jf(a x )y(x)dx reducirt man auf die soeben betrachteten, indem man von der Identität Gebrauch macht a x — e xla } und die Substitution ausführt y x = 7 -, la Die gegebenen Integrale gehen dadurch über in Ta fSM dy ' Ta fSM ? (ä) iy • 3. Integrale von Functionen, welche ausser der Variabein noch den natürlichen Logarithmus derselben enthalten, also von der Form sind f/(x, Ix) dx , kann man auf Integrale mit Exponentialgrössen reduciren, indem man substituirt Ix = y , also x = e >, dx = ey dy. Man erhält dadurch 1 . //(■*> Ix) dx = f /(ex, y) eydy . A. So erhält man J\lx — 2) 3 dx — f(y — 2) 3 ey dy , also nach No. 2, 9 = ey[(y — 2 ) 3 — 3(y — 2 ) 2 4- 6(y — 2) - G] + C = e /(y3 _ 9 y 2 + 30 y _ 38) + C = *[(/x ) 3 — 9 (/*) 2 4- 30(/*) — 38] 4- C. B. Ferner erhält man durch dieselbe Substitution, wenn m -g; — 1 , Jx”‘ Ix dx = fe( m+ Vy ■ y dy 2. = (/ri 1)2 4- 1) JV — 1] 4- C (m 1 £111- 4-1 [(tu 4-1 )lx — 1] C. — (m 4- l) 2 Dasselbe Resultat hätte man auch leicht direkt durch theilweise Integration finden können. C. Auf letzterem Wege ergiebt sich f ff ( x ) dx X 3. UV.1 ^.111 v T V.gV UIglV.1 J f(x) Ix dx = /xj f(x) dx ■ dx 4 - C. Ist f(x) eine ganze rationale Function von x, so sind die rechts vorkommenden Integrale ausführbar; das Integral 2. ist ein besonderer Fall von Formel 3. D. Ebenso erhält man 1 b 7)1 [* 2£in-\-ii bx m ) dx =- - x' l + l l(a 4 - bx m ) - - I — ' «_ui ' ' n -t- lj a 4. Jx n l(a ■ n 4-1 E. Allgemeiner ergiebt sich bx m dx. J‘ f(x) ly(x) dx = lf (x) J'fT) dx = ßf-f f(x) dx^j dx . Ist f(x) eine ganze Function und * C. r , . /v* G. Macht man in I ^ die Substitution lx =y, so erhält Cdx _ /\ J ^ : dy. 4. Integrale goniometrischer Functionen. Wir bemerken hier zunächst folgende einfache Integralformeln / [sinx dx tangxdx = = — l cos x 4 - C, 1. 2 . 3. 4. cosx [cosx dx l sin x C, r , pcos x I cotx dx = I — — J J sm rdx 1_ r dx _ r d \x 1 _ J sin st: 2 J sin\xcos\x J cos 1 \x tang\x tang\x 4- , cosx d i (2 + *) Itang (i + f) c. sin 4 - 5. Integrale goniometrischer Functionen können durch verschiedene Substitutionen auf Integrale algebraischer reducirt werden. Hat man zu integriren Jf(sinx, cosx) dx , so setze man tang\x = z ; dann ist dx 2dz sinx = 2sin\x cos^x = 2z 1 -hz* : Das Integral geht somit über in f/(-± a - 1—^1- J J l+2 2 jl 1 + z 2 ’ 2 dz Ist f eine rationale Function von sinx und cosx, so hat man eine rationale Function von z zu integriren. Man hat hiernach dz dx 2 dz asinx 4 - bcosx 2az 4 - b — bz 2 1 l/a 2 ■+■ b 2 — a -+- bz a 2 ( a\ 2 b 2 — \ Z ~ b) y a 2 -+- b 2 yd 1 1 b 2 a — bz C 1 Y~a b 2 — a 4 - btang\x C. ya 2 4 - b 2 f/öi 2 -t- b 2 -4- a — btang\x Dieses Integral kann auch auf folgenden} Wege reducirt werden. Man kann setzen a = ya 2 4 - b 2 • cos\i ., b = yd 2 4 - b 2 • sin\x . Dadurch erhält man dx 1 [ dx -i /a 2 4- b 2 J sin /u J asii asinx 4 - bcosx 1 sin (x 4 - |J.) Itang X + ,A C. ya 2 4 - b 2 2 Um dieses Ergebniss mit dem vorhergehenden zu vereinen, bemerke man, dass 38* 596 Integralrechnung. tang . JX JX X sin -f- cos tang IX .IX X cos 2 — sin g -g ]/ 2 • .svz 2 _|_ £2 _ a 2 r i/a« Hiernach erhält man }/ 2 • )s 2 Für die weitere Ausführung ist zu unterscheiden, ob der Nenner im rechts stehenden Integrale in reale oder in complexe Faktoren zerfällt, ß. Ersetzt man in dem Integrale j/(sinx, cos x, tang cd) dx den Cosinus und die Tangente durch den Sinus, so erhält man ein Integral von der Form . Jyisinx) dx. dz Setzt man nun weiter sinx = z, so ist dx — — - :, y 1 — z i und man erhält J't(smx) dx = J(cosx) dx; durch die Substitution cosx = z erhält man dann J'\,(cosx)dx = Auf diesem Wege ergiebt sich J sin n xd£ = y i-' dz. j Ist n eine ganze positive Zahl, so folgt nach §4, No. 4, 1. für ein gerades n Y i - dz >- Wi-j) daher hat man in diesem Falle . n — 1 2 «-i _|- n — 2 ( n — 2) (ii — 4) ( n — 1) (n — 3) ... 5 • 3 j dz (« — 2) (11 — 4) ... 4 • 2 J yrZT'ft yr- § 5■ Integration transcendenter Functionen. 597 fsin tt xdx = — ' . I n n — 1 „ (« — 1) (n — 3) . , sin n ~^x 4-- zsin n —*x +)-jrr-y- 7\ stn ’ 1 5 x + . . \ cosx n — 2 (« — 2) (« — 4) -] (n — 1) (« — 3) ... 5 • 3 1 (« — 2) (« — 4) ... 4 ■ 2 Für ein ungerades n ist ■ x -h C. f z“ , 1 T . , »—1 „ («—1)(» — 3) • • • 4-2] n/r j .— dz = — I z" I 4- ;. z n ^4-... F cjw ui I y 1’ ,/yi—z 2 «L. n — 2 (« — 2)(» — 4).. . 3- 1J , 1 T »— 1 . , («—1)(*—3)..4-21 . / = - ä * + «-2 • • + (i"-2j(»^4)T3-lj C, C. «— 1 . (« — « — 2 (« — 2) (ti — 4) 7. In manchen Fällen empfiehlt es sich, in dem Integrale f/(sinx, cosx, tangx) dx denSinus undCosinus durch dieTangente auszudrücken; man erhält dann einintegral fy{tangx) dx ; setzt man nun tangx = z, so erhält man /*>r£- Diese Transformation wird insbesondere dann von Nutzen sein, wenn tp rational ist. Hiernach ist dx ■ {' dz f'ash asin 2 x 4- bcos 2 x az 2 4- b 1 an taug }/ab {Yi tätig x 1 ^b -h y — ab ■ tangx C, 1 > 0 a c, b < 0 2 y — ab b — y — ab • tangx 8. Für die Entwicklung des Integrals jsin H x cos m x dx , worin n und m positive ganze Zahlen sein mögen, kann folgender Weg eingeschlagen werden. Ist m ungerade, m — 2r + 1, so hat man jsin ,! x cos 2r ^x dx = jsin»x( 1— sin 2 x) r cosx dx = / [«*“* - (i) si>iH+2x +(y sin,,+ix - Q si/t’i+Gx 4- . .^J cosxdx = l—sin n + l x — - r, ■ (\ \ sin’ l +%x 4- — r - • () sin u + 5 x — • • 4- C. «4-1 n 4- 3 \ly «4-5 \l) Ist n ungerade, so setzt man Isiii ir -b^xcos m xdx — j(l — cos 2 x) r cos" 1 x ■ sinxdx = j cos"‘+ 2 x 4- cos M+i x — . .j • sinxdx -i-s'O 1 m 4- 1 • cos m+l x cos"‘+%x -> • ( „ | cos m+ '’x 4- ... 4 - C. m 4 5 \ 2 / Sind m und « beide gerade, m = üq, « = 2«, so hat man J^sin-? x cos 2r xdx = J'sin 2 tx( 1 — sin 2 x) r dx = j'^sin-vx — siffi'i+'-x -(- ^y siri i '>+ i x — sin 2 i+ & x 4- • J dx. 598 Integralrechnung. Hier kann jedes Glied nach No. 6 integrirt werden. 9. Sind r und n positive ganze Zahlen, so ist 1. C si.n' lr + l xdx f • J cos n x J (1 — cos 2 x) r . cos n x sitixdx 1 f\cos’‘x (l) COS"--X (2) COS n -*X ' '] SZ/ sitixdx . cos n ~-x \2 J cos n ~^x Ist n — 1q, so erhält man hieraus bei der Integration lauter ungerade Potenzen von cosx] ist n = ’iq -+- 1, und q < r, so erhält man ausser geraden Potenzen von cosx noch ein Glied von der Form , I'sinxdx ,, „ AI -= — Al cosx -t- C. cosx Sind r und q ganz und positiv, so ist ' sin lr x f sin lr x f. J cos'tv-l X X J I sirfl r x cos^ix sinß r x cosxdx dsinx . (1 — sin 2 x)t Dieses Integral ist nach den Regeln für die Integration einer gebrochenen rationalen algebraischen Function (der Variabein sinx) weiter zu behandeln. Für die Entwicklung des Integrales /; sin? r x dx cos^'ix wird man von der Substitution cosx = z Gebrauch machen. Ersetzt man in diesen Integralen x durch ^7:— x, so erhält man Integrale von der Form , 'cos m x ß stn* x dx. 10. Dtirch theilweise Integration findet man /’ . , , e ax cosbx a /' Je ax sinbxdx =-^-h ~ß\ e“ x cosbxdx , Je ax cosbxdx = Hieraus ergiebt sich e ax sin bx b iß e ax sinbxdx. J J e ax sinbxdx = -5- e 5 2-4-6 1-3-5 x n 5 2-4-6 1-3-5 x 1 1 X 2 < 1 . C. 2-4-6 7 C. Für x = 0 verschwinden die Reihe und arc sinx\ also ist C = 0 und man hat 1 x 3 arcsmx = x — ■ x 2 < 1 . 1-3 x 5 1-3-5 x 7 T + 2~4 ' T + 2~4~^6 ‘ 7 + ’ 3. Wenn man f{x) in eine convergente Reihe nach Tayi.or entwickeln und das Integral f f(x) dx auf bisher bekannte Functionen redlichen kann, so dient der Satz in No. 1 dazu, die Function f(x ) in eine unendliche Reihe zu entwickeln. Aus der Reihe 1 VT = 1 — \x 2 3 ■ 5 1 • 3 1 . . _ __ 2*4 2*4*6 X 2 < 1 folgt durch Integration / (x + y~r+ x 2 ) — x 1 1 'J 1 3 • 5 x 7 2 3 + 2 • 4 ’ 5 2 - 4 • 6 ‘ 7 Setzt man x = 0, so findet man C=0. Also hat man die neue Reihenentwicklung 1 x 3 1-3 x b 1-3-5 x 7 l[x 4- Y1 -h x 2 ) = x • • -f- C . X 2 < 1 . 32-4 5 2-4-6 7 4. Die wichtigste Anwendung der Integration durch unendliche Reihen be- § 6. Integration durch unendliche Reihen. 601 steht darin, dass man durch dieselben in den Stand gesetzt ist, ein irreductibles Integral J fix) dx in eine Potenzreihe zu entwickeln, sobald die Function fix) dieser Entwicklung fähig ist. Aus der für alle Werthe von x gültigen Entwicklung r v _ 1 + T •+• rrg + j-r 2 —3 folgt, ebenfalls für alle Werthe von x e x 1 x x 2 — = _ _l_ i _i_ - —i—- * .* 1 ■ 2 + x ’ 1 • 2 • 3 • 4 x 3 1-2-3 1-2-3-4 Die Function e x : x ist für alle endlichen von Null verschiedenen Werthe von x endlich und wird nur unendlich gross für x = 0. Schliessen wir diesen Werth aus, so ist für jedes endliche positive x x 2 j x dx — ix + x + - ■ — - Ist x negativ, so setze man x y , l l e x - e~> =1 — 3 1-2-3 4 1-2-3-4 == — y; dann erhält man y 2 y 3 , y 4 + + c. l 1 • 2 Daher ist le x , te-y 1 y 2 dx = /- dy = ly — y -+- — 1-2-3 1 1-2•3 • 4 1 y 4 C. y ' " 2 1-2 3 1-2-3 4 1-2-3-4 Flrsetzt man nun hier wieder y durch — x, so findet man für negative Werthe von x f - dx = /(— x) sinx = x 1 x 2 1 * + 2" TT2 + 3 x° x 2 1 • 2 ' 3 1 -"2^3 5. Für alle endlichen x gilt die Reihe x 3 x~' I ■ 2 - Tl ’ 1 4 1 • 2 • 3 • 4 -P C. 1 • 2 • 3 • 4 • 5 Daher ist auch unbeschränkt 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 X und mithin = 1 1-2-3 / sinx dx = .v 1 x 3 1-2-3 6. Bei dem Integrale 1 • 2 • 3 ■ 4 • ,1 1 x■’ 7 ) ' 1 • 2 • 3 • 4 • 5 / /(I H~ x) 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 7 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 + C. dx muss x wegen /(I •+• x) grösser als — 1 sein. Ist nun — 1 < x < -t- 1, so hat man r2 /(I -f” X ) = X Daher ist x* ~ö~ x* y X* T / ,.2 7(1 + «) x - dx = x — ^ x 2 2 x a _ X4 3 2 _ 4 2 — 1 < x < -f- 1 . Ist x > 1, so benutze man 1 1 1 /(I -+- x) — Ix Da nun / 0 + *) - Ix + X 2 x' 2 1 1 3 «v 3 1 1 602 Integralrechnung. / V(1 -+- x) Ix ■ dlx = -x-(bx) dx = \{lx)' i — i + 1 v 02 v2 A ^ vv ■X > 1 . C, so folgt 1 3 2 * 3 1 PV C, § 7. Einfache bestimmte Integrale. 1. Unter dem bestimmten Integrale « * J f(x) dx a verstehen wir nach § 1, No. 5 die Fläche, welche von der Curve y = fix ), der Abscissenachse und den zu den Abscissen a und x gehörigen Ordinaten eingeschlossen wird, unter der Voraussetzung, dass x > a und dass fix) innerhalb der Grenzen a und x nicht unendlich wird. Wir haben gesehen, dass dieses bestimmte Integral ein particularer Werth des vollständigen (unbestimmten) Integrals J f(x) dx ist; ist daher J/(x)dx = a . Um die Beschränkung b > a aufheben zu können, benutzen wir als Definition des bestimmten Integrals die Gleichung § 1, No. 5, 9 § 7- Einfache bestimmte Integrale. 603 . n I f(x) dx = lim ^ f(a -+- kS) 8 , und lialten nur daran fest, dass fix) für keine Abscisse, die zwischen a und b liegt, unendlich gross wird. Hierbei ist b — a also ist 5. j f(x) dx — lim ''p f[a -+- k ^ ^ ^ ez\ b — a Nun ist, wie man sofort sieht, b — a a — b a + k — = b -4- ( n — k) -. n v ' n Setzt man n — k = k', so geht k' von n bis 0, wenn k die Werthe von 0 bis n durchläuft. Daher hat man 6 j/(x) dx = lim 2°/( b + k' ■ ^ ■ Kehrt man hier die Ordnung der Summanden um, so hat man j ’/{x) dx = lim 2/(* + V • j ~~ a — b\ a — b Vergleicht man die rechte Seite mit -5., so sieht man, dass gemäss dieser Definition lim Tj{b + k' ■ a - n b j • * n b = //(*) dx. Daher hat man schliesslich die Gleichung 6 . f/(x)dx = — f/(x)dx. Dieselbe lehrt den Satz: Vertauscht man die Grenzen eines bestimmten Integrals, so wechselt das Integral das Vorzeichen. Aus der für b > a gültigen Gleichung 4. 6 f/(x)dx = ?(b) — cp (a) a folgt nun mit Hülfe der Gleichung 6. a f/(x)dx = — [?(£) — cp (er)] = cpO) — ?(£) . i Mithin gilt die Gleichung 4. unabhängig davon, ob b. 2. Ist a < b < c, so folgt aus der geometrischen Bedeutung des bestimmten Integrals die Gleichung b c c 1 . J/(x)dx -+- J/(x)dx = J/(x)dx. a b a Hieraus ergiebt sich weiter c c b Jfix) dx — Jf(x) dx = Jf{x) dx . 6o4 Integralrechnung. Benutzt man nach No. 1 c b — Jfix) dx = Jfix] dx , 6 c so erhält man c b b 2 . Jfix ) dx 4 - Jfix) dx = ffix) dx . a ' c n Der Satz 1 . gilt also auch, wenn man die Grenzen b und c gegen einander vertauscht. Ferner folgt aus 1. b c c — I ' fix) dx -+- J'f(x) dx = ff(x) dx , also ist a a b 3. Jf(x)dx -4- Jf(x)dx = Jf(x)dx. b n b Der Satz 1. gilt daher auch, wenn man a und b vertauscht. Aus der Anordnung acb (2) erhält man durch Vertauschung der ersten und zweiten Grenze (nach 3) die Reihenfolge cab, hieraus durch Vertauschung der zweiten und dritten cba, und daraus endlich durch Vertauschung der ersten und zweiten bca. Hieraus ergiebt sich, dass der Satz b c . c Jf{x)dx -+- Jf(x)dx = Jf(x)dx a b a unabhängig davon gilt, wie die drei Zahlen a, b, c der Grösse nach geordnet sind. 3. Nicht selten hat man es mit Functionen f{x) zu thun, welche die Eigenschalt haben, dass /(«) = 0 , und fia H- z) = — f{a — z). Hierher gehören z. B. alle ungeraden Potenzen von a — x ; denn es ist (a — a )-’‘+1 = 0 , [a — {a -+- s)] 2 «+! = — [a — (a — z)] 2 "+i; ferner alle goniometrischen Functionen von x. Man hat z. B. taug 0 = 0, tang z = — tang{ — z) , Für derartige Functionen ist a+b f /(•*) dx — 0 . a—b Ersetzt man nämlich x durch a + z, also dx durch dz, so entsprechen den Werthen a — b und a -t- b von x die Werthe (— b) und b der neuen Veränderlichen z ; daher hat man d-\~b b Jfix) dx = Jfia, + z) dz . a—b —b Nun ist weiter 1 . Ferner ist o 4 - z) dz = Jffi + z —6 z) dz . o Jfia -+- z) dz -b Ersetzt man rechts z durch — z, o J f(& + z) dz -b —b = — J f(a + z) dz . 0 also dz durch — dz, so erhält man = Jf(a~z)dz. o § 7- Einfache bestimmte Integrale. 605 Nun ist aber nach der Voraussetzung f(a — z) = — f{a z ); daher hat man 0 ? f f{ a + z ) dz — — f/( a -+■ z) dz . -i 0 Setzt man dies in 1. ein, so ergiebt sich: Ist f{a) = 0 und f(a -+- z) — — f{a — z), so ist a-\r!> ff(?) dz = 0 . a—b Diesen Satz kann man geometrisch leicht erläutern. Die Curve_y=/(^) schneidet y die Abscissenachse in dem zur Abscisse x — a gehörigen Punkte A. Nach der Voraussetzung f(a + z) = — f(a — z ) sind die Ordinaten, welche zu zwei gleichweit von A liegenden Punkten D’ und E der Abscissenachse gehören, entgegengesetzt- gleich, D' D = — ist daher B’A = — AC' = b, so sind die Figuren B B' A und CC'A congruent. Da nun aber zu negativen Ordinaten negative Flächen gehören, so folgt, dass die Flächen BB'A und AC'C entgegengesetzt gleich sind, mithin verschwindet ihre Summe, es ist also a-\-b Jf{z) dz = ü. n—b Als Beispiele hierzu haben wir: i ,.5 (M. 502.) j (Ax’’ -t- Bx :l -4- Cx ) dx = 0 , —/. 1 , J si/ix dx = 0 , —6 1+''' J cosx dx = 0, iH b J arc sinx dx — 0 . 4. Hat die Curve y = f(x) eine zur Y -Achse im Abstande a parallele Symmetrieachse, ist also /(« + s)= /(« — z) , und nimmt man an dem Integrale a+b j f(x) d x a—b dieselbe Substitution und Zerlegung vor, wie in No. 3, so erhält man 6o6 Integralrechnung. a-\-b 0 b b b y f(x) dx = ff(a 4- z) dz 4- ff{a -+- z) dz = ff{a — z) dz 4- ff{a 4 - z) dz. a—b —b Daher ist jetzt o a-hb a-\-b ff{x) dx = 2 ffix) dx . a—b a Die Eigenschaft f(a -+- z) — f(a — z) besitzen alle geraden Potenzen von (a — *); ferner die goniometrischen Functionen Sinus und Cosinus, denn es ist ün ^ 4 - x j = sin , cosx = cos{ — x) . Man hat daher z. B. die Reductionen: a-\-b a+b j ( a — x ) 2 dx = 2 f(a — x) 2 dx, a—b a J sin x dx = 2 j sinx dx « 1 ~ b ö b b J COS X dx = 2 Jcosx dx —b 0 Um auch diesen Satz geometrisch anschaulich zu machen, sei OA' = a, B' Ä = A' C' = b ; dann sind die Flächen BB'A'A und AA'C'C gleich und es ist daher BB'C'C = ÜAÄ C'C, also a+b n~hb ffix) dx = 2 ffix) dx . * a—b a 5 . Enthält fix) eine von den Grenzen a und b unabhängige Grösse 7, so ist (M. 503.) so ist dm d-i f/( x > 7) dx a eine Function von 7. Setzen wir daher b ff ix, 7 )dx = Fi 7), a b b = lim [ ffix, 7 4- A7) dx — ff ix, 7) dx J : A7 . Nun ist b ff(x, 7 4 - A7) dx — ff ix, 7) dx = f [fix, 7 4 - A7) ~ f(x, 7)] dx . a an Folglich hat man a = dx dFjj) d"j 7 ) dx. * § 7- Einfache bestimmte Integrale. 607 Daher hat man die Gleichung dj f{x, 7) dx a d't = m* J d i T) dx. Wir werden von derselben wiederholt Gebrauch machen, um aus einfacheren Integralen minder einfache abzuleiten. 6. Wir wenden das soeben Mitgetheilte auf einige Beispiele an. Ist n 5: — 1 , sowie a > 0 , b > 0 , so ist b 1 . J x n dx = ^ ^ - (b >‘+ 1 — a«+i) . Ist n > 0, so bleibt x n für alle endlichen Werthe von x endlich, und die Formel 1. gilt daher für alle endlichen a und b. Ist n negativ, so wird x n unendlich gross, wenn x = 0 ist; in diesem Falle ist die Gleichung b f fix) dx = (f (b) — i )—6 jfix)dx, bez. ^fix) dx a bez. die Summe c —8 b ff(x)dx+ffix)dx a r+e für verschwindende Werthe der positiven Grössen 3 und s convergiren. Demnach ist, wenn a eine negative, b eine positive Zahl bezeichnen b 6 J x u dx = lim J x" dx = (/'"+ 1 — lim 8«+i) , 0 8 b —0 b j'x^dx = lim ^ J x”dx -+- Jx n dx ^ j— [^»+1—ß"+ 1 + lim (—8)"+i— lims” +l ]. <1 a e Ist nun 71 > — 1 , so ist ft + 1 > 0, und daher liffi (— 8)"+i = lim £«+t = 0 , also ist b b y x n dx — - - b H + x , / x" dx = -- ib n + l — «"+'); n-h 1 ’ J ! ' 0 a die Formel 1. gilt also für alle Werthe von a und b, wenn fi> —1. Ist hingegen n < — 1 , so ist 71 -+- 1 < 0 und lim i — 6)' ,+1 = 00 , Um s«+t = 00 . Daher ist in diesem Falle 6o8 Integralrechnung. J x" dx = — oo , J x n dx = co . Das von der negativen Grenze a bis zur positiven b genommene Integral ist die Differenz zweier unendlich grossen Werthe; da o und s unabhängig von einander der Grenze Null sich nähern, so ist diese Differenz unbestimmt. Ftir n — 1 und positive Werthe von a und fi hat man i t'd x b J x ~~ a ' a Geht man zur Grenze <7 = 0 über, so erhält man n e~ ax m / - \x m ~ x — \ e —ax folgt, wenn m und a positiv sind, 2 . f , m r I x m e~ ax dx = — / x m-\ e - nx dx. o o Denn x m e~ ax verschwindet, wenn x = 0; dass diese Grösse auch für x = oo verschwindet, erkennt man an der Reihenentwicklung .7-2 e ax = 1 -f ax -4- 1 2 1-2 1-2-3 die auch für x =■ oo gilt; man erhält hiernach a a 2 a m x m e -ax :(± \x”‘ 1 :-1-, \x”‘ X"‘~ X a"‘+ l x 2!^»/-2 ' ' m \ 1)1 Die ersten 777 Glieder des Divisors verschwinden für x = 00 ; das ( 777 - 1 - ])te und alle folgenden werden unendlich gross; daher verschwindet der Quotient. Ist nun 777 eine positive ganze Zahl, so gewinnt man durch wiederholte Anwendung von 2. § 7. Einfache bestimmte Integrale. 609 ß m (in — 1) (m — 2) . . .3-2-1 . x»'e~‘«*dx = —-—- L - le~“ x dx. a>" 0 3. Ersetzt man rechts ax durch z, so erhält man 03 C*0 jl’-" x dx = . 0 6 Daher hat mit Rücksicht auf 1. m (m — 1) (in — 2) . . . 3 • 2 • 1 f* •m p —ax dx = a > 0 . Ist in eine positive gemischte Zahl, die aus der ganzen Zahl q und dem echten Bruche r besteht, so kommt man durch wiederholte Anwendung der Formel 2. auf die Reduction 4. ß x"‘ e ~ nx dx in (m — 1) . . . (m — q) ai+ 1 j'x r e~" X dx. 8. Das unbestimmte Integral dx liefert die bestimmten 1. f* -9 = — arc lang — x i a a a /’ dx - Ja 2 -+- x 2 ~~’ 4 a ’ 2 . f* dx r 2 a ' Ersetzt man im letztem Integral a 2 durch b, so erhält man dx ir 2 yb Differenzirt man dies (n — 1) mal nach b und macht dabei von den Formeln Gebrauch d n ~i(b —f- * 1 j*-i = (- '>~ l ■ 1 • 2 • 3 • • (* - i) • (7T^ d»~H- h , , 1 • 3 - 5 . . (2« — 3) 1 db»~ 1 _ ^ ' 2»-i ' so erhält man, wenn man schliesslich wieder b durch a 1 fs« Y Y sin m xdx = - \sin m —^xdx. in ° ° Durch wiederholte Anwendung dieser Reduction gelangt man, je nachdem in gerade oder ungerade ist, schliesslich zu Jix = ~ , oder J"sii sinxdx = 1 . 0 0 Daher erhält man für ein gerades m ß sin’" xdx — o für ein ungerades in 7t Y Isin’” xdx = J S {in — 1) {in — 3 ){m — 5) . • .3-1 in {m — 2) {m — 4) . . . 4 - 2 (in — 1 ) {in — 3) . . . 4-2 m (in — 2) ... 5 • 3 Ersetzt man sinx durch z, so ist cosxdx = dz, also dx — dz : V 1 - ** - und den Grenzen 0 und — für x entsprechen für z die Grenzen 0 und 1. Vertauscht man nach der Substitution wieder die Buchstaben z und x, da, wie man sieht, die Bezeichnung der Integrationsvariabein bei einem bestimmten Integral zwischen constanten Grenzen ganz willkürlich ist, so erhält man anstatt 1. und 3. die Integralformeln {m — 1) {m — 3) . . . 3 • 1 - x"‘ dx in {in — 2) ... 4 • 2 2 — (m —!)(/«— 3) ... 4 • 2 3. m{m — 2) ... 3 • 1 m gerade m ungerade. § 8. Berechnung von ebenen Flächen, Curvenbogen, Raumtheilen und unebenen Flächen durch einfache bestimmte Integrale. Y 1. Wenn der Curvenzug (Fig. 504) = f{x) zwischen Punkten A und B, deren Abscissen a und b sind, stetig verläuft, und so beschaffen ist, dass, während ein Punkt P auf der Curve sich von A und B so bewegt, dass jeder Curvenpunkt nur einmal durchlaufen wird, die Horizontalprojection P’ von P immer in derselben Richtung von A' nach B' gelangt, so ist die Fläche A’ABB’ (§ 1 , No. 5) i 1 . F = Jf(x) dx . (M. 504.) § 8 . Berechnung von ebenen Flächen, Curvenbogen, Raumtheilen und unebenen Flächen etc. 61 Wird die Ordinate für eine zwischen a und b liegende Abscisse OC — c unendlich gross, so ergiebt sich die Fläche 2 . lim jfix) dx H- Um Jfix) dx . Ist die Gleichung y = fix) auf ein schiefwinkeliges Coordinatensystem bezogen mit dem Achsenwinkel a, so ist der zu Ax gehörige, der Ordinatenachse parallele Flächenstreifen zwischen den Grenzen enthalten ysina. Ax . 5. Die Hyperbelfläche, die von der Hyperbel und einer zur Hauptachse normalen Sehne begrenzt wird, beträgt, wenn x die Abscisse der begrenzenden Sehne ist, und a und b die Halbachsen der Hyperbel sind, X f = }/x 2 — a 2 dx. a Nun ist, wie sich nach § 4, No. 4 leicht ergiebt, J^x 2 — a 2 dx = ^ [x fx 2 — a 2 — a 2 1(x -+- f/x 2 — a 2 )] -f- C. Daher hat man Hierfür kann man setzen / = xy a \a b ) Wählt man die Asymptoten zu Coordinatenachsen, so ist die Hyperbelgleichung xy = b 2 Ist a der halbe Winkel der Asymptoten, so ist 2 taug a sin 2 a — 2 sin rtcosa — ---- 5 — 1 + taug 2 a Daher liegt zwischen zwei Ordinaten rjj und haben, die Fläche 2 ab a 2 b 2 ' t) 2 , die dasselbe Vorzeichen f = sin 2 a a 2 -\- b 2 Cdx 4 J x itrA 2 ?i ' 5. (1. Die Gleichungen einer Cycloide seien x = (ü(cp — sinf), y = zz(1— cosf ). Alsdann ist dx = «(1 — cosrf) dq , und für die Fläche, die von dem im Nullpunkte beginnenden Cycloidenbogen und den Coordinaten des Cycloidenpunktes P eingeschlossen wird, ergiebt sich .r » p- (M. 513.; X 9 f= Jydx = a 2 J (1 — cos’f) 2 d'y . 0 0 Da nun (1 — cos'f) 2 — 1 — 2cos

0: ^ r 2 Acp < AN < \(r -+- Ar) 2 Acp, „ Ar < 0 : %r 2 \y > AN > ^(r + Ar) 2 Acp. Dividirt man Glied für Glied durch A? und geht zur Grenze Acp = 0 über, so convergiren beide Begrenzungen des Quotienten AN : Acp gegen den Grenzwerth \r 2 ', daher hat man dS SS — = lim . d cp A cp Hieraus folgt unter der Voraussetzung, dass der Curvenbogen AB continuirlich ist und ganz im Endlichen liegt, und dass 9 nur wächst, wenn ein Punkt ohne umzukehren den Bogen von A bis B durchläuft S = ^fr>d 9 . Für den Inhalt einer geschlossenen Curve, welche von den Radien in zwei realen Punkten geschnitten wird, hat man, wenn der Nullpunkt im Innern der Fläche liegt, S = hJ 211 r 2 d r v so ist die gesuchte Fläche 6i6 Integralrechnung. also i» ,j 5 = hj r \ d? — i/^2 2 d 'i > a a fl s = •'-/ Oa 2 — r ?)th- 8. Die Gleichung der Fusspunktcurve der F’llipse ist r 2 = a 2 cos 2 '^ + b 2 sin 2 y. Daher hat man für einen an der Jf-Achse beginnenden Sector dieser Curve (0 " $ = if (a 2 cos 2 ? -j- b 2 sin 2 2 d( o = j 1 : dm . ' e a 2 m 2 10. Legt man bei einer Curve dritter Ordnung mit Doppelpunkt den Nullpunkt in den Doppelpunkt, so ist die Gleichung der Curve von der Form 1- Ax 2 -+- Bxy Cy 2 = Dx 3 -+- Ex 2 y -t- Fxy 2 -t- Gy 3 , die Glieder ersten und nullten Grades fehlen. Setzt man tätige = t, so ist y = xt, r 2 , dt d ’i = ! (1 +f 2 ), 1 + t 2 ’ und daher die F’läche des Sectors, für dessen Endpunkte t die Werthe a und b hat x 2 dt. Führt man y = tx in 1. ein, so entsteht für x die lineare Gleichung A -+- Bt -+- Ct 2 = {D 4- Et -t- Ft 2 + Gt 2 ) ■x. Hier setzen wir zur Abkürzung A + Bt + 67 2 = T, D + Et + Et 2 -+- Gt 3 = T, und erhalten somit T T ’ daher ergiebt sich für den Curvensector § 8 . Berechnung von ebenen Flächen, Curvenbogen, Raumtheilen und unebenen Flächen etc. 617 6 CT 2 s = \J Y ,dt. a Dieses Integral kann in jedem Falle nach den Regeln über die Integration echt gebrochener rationaler Functionen ausgeführt werden. Es ist bemerkenswert!), dass diese Sectoren mithin durch algebraische F’unctionen, Logarithmen und Arcustangens ausgedrückt werden können. Wählt man bei einer symmetrischen Curve dritter Ordnung mit Doppelpunkt die Symmetrieachse zur K-Achse, so ist die Gleichung für x geraden Grades, mithin B = D = F = 0, und die Gleichung 1. reducirt sich auf 2. Ax 2 -+- Cy 2 = Ex 3 y -t- Gy :t . Die Richtungen der Asymptoten bestimmen sich aus der cubischen Gleichung Et -p Gt 3 = 0; diese ergiebt eine der X-Achse parallele Asymptote t = 0 und die beiden Asymptotenrichtungen t = y — E \ G . Setzt man zur Bestimmung der Ordinate k der erstem Asymptote y — k in 2., so folgt (A — Ek) x 2 = Gk 3 — CIA . Hieraus folgen für x zwei unendlich grosse Wurzeln, wenn k = A:E. Die in diesem Abstande der X-Achse parallele Gerade hat also mit der Curve drei unendlich ferne Punkte gemein, ist somit Wendetangente mit unendlich fernem Wendepunkte. Diese Wendetangente wird selbst unendlich fern, und gleichzeitig auch die anderen beiden Asymptoten, wenn E — 0. Da G alsdann von Null verschieden sein muss, sobald es sich um eine eigentliche Curve dritter Ordnung handelt, so kann man die Gleichung durch G dividiren und in der Form angeben Ax 3 -t- Cy 2 = y 3 . Für diese Curve hat man nun T = A -+- Ct 3 , T = t 3 , 2 AC (M. 518.) = d£(±_±\ hier ist r = a, und man erhält den vom Nullpunkt an gerechneten Bogen Cp 5 = af "|/ cp 2 1 d 0 = ^ [’P + 1 + ^ ^ VV + ')] • Für die hyperbolische Spirale ist a r = cp cp Daher ist nach § 4, No. 4, s — dt = Ci ' ’ daher ist die Länge eines im Nullpunkte beginnenden Bogens t 1. * = I Y' a * d 4P t- -+- 9 Pt* dt. Dieses Integral ist im Allgemeinen elliptisch; es wird algebraisch, wenn 4 b* — 9 a 2 P = 0 . Setzt man 2P = Aac voraus, so nimmt der Kegel die besondere Gleichung an Axz — 2 y = 0 , während die beiden anderen Flächen keine Besonderheiten erhalten. Das Integral 1. wird jetzt = j (a -+- 3 ct 2 )dt = at + ct 3 = x -h z . 21. Schneidet man aus einem begrenzten Volumen durch zwei zu derselben Geraden G normale Kbenen Q und (9, eine Schicht A V, und ist die Schnitt- 622 Integralrechnung: ebene Q von einem gewissen Nullpunkte auf der Geraden um p, die andere Q x um p -t- A/ entfernt, hat ferner die Schnittfläche auf Q den Inhalt q, so ist das Volumen der Schicht A V von dem Cylinder q ■ A p um so weniger verschieden, je kleiner A p ist, und stimmt mit dem Cylinder bis zu jedem Genauigkeitsgrade überein, wofern nur A p hinlänglich klein ist; daher ist AK dV hm \p= dp = q - Hieraus folgt durch Integration für das Volumen, das zwischen den Querschnitten liegt, die die Abstände p = a und p = b vom Nullpunkte haben b V = j qdp. a Sind insbesondere die Querschnitte normal zur Af-Achse und bezeichnet man den Querschnitt in diesem Falle mit q x , so hat man X* V= Jq x dx. x\ Um die zwischen zwei Parallelkreisen enthaltene Schicht eines Rotationskörpers zu erhalten, lässt man G mit der Rotationsachse zusammenfallen; ist nun die Gleichung eines Meridians, in einem orthogonalen Systeme, dessen Achsen G und normal zu G sind, und in welchem die zu G normale Coordinate mit r bezeichnet wird, >'=/(/)- so ist das Volumen der Schicht b v= ~ fr*dp. 22. Ein zur Af-Achse normaler Querschnitt g x des dreiachsigen Ellipsoids a 2 ^ !)-l ist eine Ellipse mit den Halbachsen b , _ — l/rt 2 — x* n “ — 1=0 - n f Daher ist die Fläche desselben fx = k “ä (« 2 — ^ s ) ; mithin hat man für das Volumen einer Schicht, die von der FZ-Ebene und einer dazu parallelen begrenzt wird -*• V = T -^f( a2 ~ x ^ ' 2 — y ' 2 cly Setzt man y = b cos <. p, so erhält man t / J _ J2 iy = 1,1 = ~b^ (§ 7 , No. 9 , 1). 0 0 (M. 520.) Hieraus folgt V — 2 - 2 • abe. Bezeichnet E die Fläche der rotirenden Ellipse und w den Perimeter des von ihrem Mittelpunkte beschriebenen Kreises, so ist V = E-w. Dieselbe Formel gilt auch, wie man sofort sieht, für jeden zwischen zwei Meridianen gelegenen Sector dieses Ringes, sobald w den innerhalb des Sectors gelegenen Theil des vom Mittelpunkte beschriebenen Weges bezeichnet. Rotirt ein Parabelsegment ABC um die zur Parabelachse normale Ordinate BC, und ist die Parabelgleichung y 2 = 2 a (e — „v), so ist die Fläche des zur Ordinate OW —y gehörigen Parallelkreises § 8. Berechnung von ebenen Flächen, Curvenbogen, Raumtheilen und unebenen Flächen etc. 625 q = nx* = j^(2a* — yty . Daher ist das Ringvolumen S'lti e Ylae jy 2 ) 2 dy ae —jy 2 ) 2 dy , — Y%Te 0 Bezeichnet F die rotirende Fläche, so ist daher hat man m 25. Wir beschliessen diesen Abschnitt mit Formeln und Beispielen über den Inhalt von Rotationsflächen. Um eine zwischen zwei Parallelkreisen enthaltene Zone einer Rotationsfläche zu berechnen, die durch Umdrehung der Curve y = f{oc) um die X-Achse entsteht, betrachten wir zwei auf einefn Meridiane gelegene Punkte /'und 1\ mit den Coordinaten x, y und x -+- Ax, y + Ajy. Die Kegelzone, welche die Sehne JPF\ beschreibt, hat den Inhalt y; AS = 2” 'j/Ax 2 -+- A_j’ 2 (y -+- -|Ajy). Die zwischen denselben Parallelkreisen enthaltene Flächenzone sei AF. Nähert sich Ax dem Grenzwerthe Null, so nähert sich der Quotient AF:Ax dem Grenzwerthe von AS: Ax) daher hat man Hiernach ergiebt sich für die Zone, deren Parallel- 0 kreise die Abscissen a und b haben, r vi (M. 521.) a 26. Rotirt die Parabel y 2 = 2 px um die X-Achse, so ist der vom Scheitel bis zu einem Parallelkreise sich erstreckende Theil des Rotationsparaboloids o X 0 Rotirt diese Parabel um die F-Achse, so entsteht eine Rotationsfläche vierten Grades, die im Nullpunkte eine Spitze hat. Für die von der Spitze bis zu einem Parallelkreise reichende Zone derselben ist Schloemilch, Handbuch der Mathematik. B 2 +j 2 y/ 2 4- y 2 8 p 27. Für die Oberfläche des Ellipsoids, das durch Rotation der Ellipse b 2 — 1=0 um die X-Achse entsteht, hat man dy bx dx ~ vT ■ y' 2 = , y fl* b y'a 4 — (a 2 — b 2 ) x 2 a 2 y a y a 2 — 1 e* ’ Daher ist eine in der FZ-Ebene beginnende Zone des Rotationsellipsoids X 2~b r , _ F = / ya 4 — ( a 2 — b 2 ) x 2 dx. o Nach § 4, No. 4 ist ya 4 — O 2 — -W* 2 dx — -zr y a 4 — (a 2 — b 2 )x 2 4- -jr I , . - _ _ _ r ^ ' 2 ' v ' 2 J y a 4 _ ( a * _ £2) *2 Ist a > b, das Ellipsoid also durch Rotation um die grosse Achse entstanden, so ist, wenn c die Excentricität des Meridians bezeichnet, / dx I ya 4 — ( a 2 — b 2 )x 2 I i//r 4 — Ist dagegen a < b, so hat man / dx ya 4 — ( a 2 — b 2 ) x 2 Daher ergiebt sich schliesslich, 1 . cx — arcsin — 5 - c a 2 / dx yä* - C 1 hat man = f—r=£^= = — /(cx 4 - ya J y a 4 4 - c 2 x 2 c c ; C 2 X 2 ) wenn a > b , wenn a < b , r.b F — -z-xi/a 4 — c 2 x 2 a J ’ r. a 2 b cx - arcsin --5-; r fl. * ' F = ^afl/a 4 4 - c 2 x 2 4- ■Ka 2 b t cx 4- ya 4 4- f 2 .* 2 . l - , a‘ ’ ' c a 2 Die ganze Oberfläche erhält man, wenn man x durch a ersetzt und mit 2 multiplicirt F = 2n£^ 28. Rotirt die Hyperbel = 2 izb ^ = 2rt£ . a 2 b -1 - arcsin c a a 2 -+- c c a c ä)’ a> >• ^ , a < b . C 2 y 2 i 2 ~ b 2 1 § g. Bestimmte Doppelintegrale. 627 um die X-Achse, so ist die von einem Scheitel bis zu einem Parallelkreise sich erstreckende Fläche des zweisclialigen Rotationshyperboloids, wenn die Excentricität wieder mit c bezeichnet wird 2 /* _ F = —j- / j/tT 2 x 2 — a* dx a — ^5- — « 4 — a 2 £ — r 4 ca: -+- ]/T 2 x 2 — c ) eingeschlossen wird. Die Abscissendififerenz b — a erscheint dabei in n gleiche Theile getheilt, ein solcher Theil ist (b — d) : n und der Functionswerth / ( a + i 6 - J T £ ) ist die Ordinate, die zum k ten Theilpunkte gehört. Setzen wir - = S.x , f^a + *---)= y, so haben wir einfacher z f fixfix = lim 2 y A x . a Die Voraussetzungen, dass alle Ax gleich sind und dass die y die zu den Theilpunkten gehörigen Ordinaten sind, können aufgegeben werden; theilt man die Differenz b — a in n Theile Aj^, A 2 ^, . . \ t x von beliebigem Verhältniss und ist yk eine Ordinate der Curve y = fix ), die zu einem innerhalb \ k x gelegenen Punkte der Abscissenachse gehört, so ist lim ly/t Y/.x ebenfalls die obige Fläche. Ist nämlich die Curve y = f{x) zwischen A und B beständig steigend oder beständig fallend, und bezeichnet man mit r^. und Y k die grösste und kleinste innerhalb \ k x fallende Ordinate, und mit F die Fläche AA'B'B, so gelten die Begrenzungen 2tjaA ux < F < lYk&kX, 2ip A/X < 'S.yt^kx < 2 Y/A/.-X. Der Unterschied der Grenzen ist 2 Yi&kX — Irjk&i-x = 2 ( 1 *— nf)±ix. Bezeichnet A den grössten der Theile l t x, & 2 x, l 3 x, . . \,x, so ist offenbar Z(Yk- 1)*) A** < A • 2 (K* - T)*) . Da die Curve nach der Voraussetzung nur steigt oder fällt, so sind Yk und ■qk die beiden Ordinaten in den Endpunkten von A kx; im ersten Falle ist daher 7 j k =y&- 1 , Vk = yk J im andern umgekehrt vp. = y k , Yk = yk -1 • Folglich ist im ersten Falle y, {Yk — T]/,) = 0 T —To) + (y 2 —Ti) + O'ä — d'2) + • • -Yy» — T*-i =T» —To > 1 im letzten _ n ^(Et- — *]/.■) = (To —Ti) + (Ti — Ts) ■+■ (Ta— Ts) + • • + J'*) —^o — J'« • 1 Sind nun die Ordinaten alle endlich, so verschwindet das Produkt A -2(^-7),) = ± A • 2 (t« — To) mit A zugleich; daher hat man in der That § 9* Bestimmte Doppclintcgralc. 629 Ji = lim 'Zyk Ä/. x > oder kürzer mit Hinweglassung des Index k i> f f(x)dx = lim Ä x } a wobei man zu merken hat, dass die Summe über alle innerhalb der Begrenzung liegenden x zu erstrecken ist, a < x < b. Wenn die Curve abwechselnd steigt und fällt, so kann man die soeben durch- gefübrten Betrachtungen mit den für denselben Fall in § 1, No. 5 angestellten combiniren; man kommt dadurch zu der Erkenntniss, dass auch für diesen Fall i Jf(x)dx = lim ly A x , a wenn nur _yz für alle zwischen den Grenzen a und b enthaltene Werthe von x endlich bleibt. Anstatt dieses Integral als das zwischen den Grenzen a und b genommene Integral von f(x)dx zu bezeichnen, kann man es geometrisch anschaulicher das über die Strecke ÄB' ausgedehnte Integral von f(x)dx nennen. 2. Ist z eine Function zweier Variabein, z = cp {x, y) und betrachten wir x und y als rechtwinkelige Coordinaten eines Punktes der Ebene, so gehört zu jedem Punkte der Ebene ein bestimmter Werth von 2 . Ist nun in der Ebene eine begrenzte Fläche f gegeben, und theilen wir dieselbe in beliebig gestaltete kleine Theile A f, multipliciren jeden Theil A kf mit einem zu, welches zu irgend einem innerhalb \f gelegenen Punkte gehört, so verstehen wir unter dem über die Fläche f ausgedehnten Integrale J zd f den Grenzwerth, gegen den die Summe 2 z k Az-/ convergirt, wenn sämmtliche Az/ verschwinden; hierbei ist die Summe über alle im Innern von /liegende Flächentheile A/zu erstrecken; man hat also jzdf = lim 2 Zk Az/. Dieser Begriff eines über eine Fläche erstreckten Integrals wird geometrisch am anschaulichsten, wenn wir die Oberfläche F z =

y) d y\ dx erstreckt von der kleinsten bis zur grössten Abscisse der Fläche f. Man kann in dieser Betrachtung die Coordinaten x und y gegen einander vertauschen und gewinnt dann die folgende Regel: Um das über die Fläche f erstreckte Integral h( x >y)df zu erhalten, denke man sich zunächst y constant (z. B. gleich OG) und berechne das bestimmte Integral fy(x,y) dx, erstreckt über den Theil der zu y gehörigen Normalen zu OY, der innerhalb f liegt; dieses Integral ist eine Function von y allein; hierauf berechne man das Integral f[fy( x — a o oder 0 < C. Ist das Integral fzdf über eine Ellipse erstreckt, deren Halbachsen a und b den Coordinatenachsen parallel sind und deren Centrum die Coordinaten 7 und 8 hat, und beginnt man die Berechnung mit der Integration nach y, so erstreckt sich dieselbe über P l /* 2 , und die nachfolgende Integration nach.* über A 1 I A 2 I . Beginnt man dagegen mit der Integration in Bezug auf x, so erstreckt sich diese über R t R 2 und die dann eintretende Integration nach y über By'B 2 '. Da nun F = «- a Y « 2 (x — 7) 2 p' p 2 = 8 + - y « 2 — (x — t ) 2 , R”R 2 = 7 + / a *-(y- 8 )i, iy - 8 ) 2 > 2V — , -r- b wobei die Wurzeln positiv zu rechnen sind, so ergeben sich die Grenzen § 9* Bestimmte Doppelintegrale. 633 l"zdf — f f zdxdy , i-a Y+rt — (x— y ) 3 J j zdy dx . B+.5 Y-+-5y<»2 — (y—S)2 ö-6 Y—-(>>—8)2 Für alle Punkte des Perimeters von f ist für alle Punkte ausserhalb der geschlossenen Ellipsenfläche hat die Function cp dasselbe Zeichen, für alle Punkte innerhalb das entgegengesetzte. Da nun für das Centrum der Ellipse cp (7, $) = — 1 ist, so folgt, dass cp für alle Punkte im Innern von f negativ ist. Beachten wir ferner, dass cp im Centrum den kleinsten Werth hat, so haben wir für das Doppelintegral die analytische Begrenzung D. Wird die Fläche f von den Coordinatenachsen, von einer zur Abscisse OA = a gehörigen Parallelen zur Y -Achse und von einer Parabel begrenzt, die den Scheitel B, die Achse O Y und ^ den Parameter p hat, so ist n f> Folglich ist f*d/ = ff zdx dy 0 0 Will man zuerst nach x integriren, so zerlegt man die Fläche f in das Rechteck OACD, dessen Seiten sind a 2 OA = a, OD = A C = b — =-~, lp Y (M. 528.) und in das Parabelsegment DBC\ man hat nun x b \ ! ip(b-y) fzd/ = f fzdydx + f ^ f zdydx Die Function 2c 2 — 2 p(b — y) verschwindet für die Punkte der Parabel, und ist Air alle Punkte im Innern der Fläche f grösser, als für O, und von demselben Vorzeichen; statt anzugeben, dass das Doppelintegral ffzdydx über die Fläche OACB zu erstrecken ist, hat man daher die Bedingungen 0 < x < a; _y>0; — 2 pb < x 2 — 2 p{b —j) < 0 . 5 . Wir beschäftigen uns nun mit der Einführung neuer Variabein in Doppelintegrale, und beginnen diese Untersuchung mit einem besonders einfachen Beispiele. Will man in das Doppelintegral Jfzdx dy Polarcoordinaten r und cp einführen, so hat man in z die rechtwinkeligen Coordinaten x und y durch r und cp nach den bekannten Gleichungen zu ersetzen x = r cos cp, y — rsm A — \r‘ l Atp = Geht man zur Grenze für verschwindende Ar und Atp über, so erhält man df — rdr d

(X, fi), y = x( x > p)> betrachten wir die Curven, für deren Punkte X, bez. p. constant sind; die Gleichung einer Curve der ersten Art erhalten wir, indem wir p. aus 1. eliminiren, die einer Curve der zweiten Art durch Elimination von X. Diese Curven bezeichnen wir als die Parametercurven X und pu, und die Werthe X und ja, die einem gegebenen Punkte P entsprechen, als die Parameter (oder Coordinaten im weitesten Sinne) des Punktes. Für Polarcoordinaten r und

x 2 ” 2 a -+- x y 1 so genügen der Gleichung 0 § 9' Bestimmte Doppelintegrale. 637 bekanntlich zwei reale Werthe von t, von denen der eine X zwischen — a und — b liegt, und der andere p grösser ist als — b. Nimmt man X und p als neue Variable, so sind die Parametercurven Kegelschnitte, die der Ellipse •v2 1 ; 2 --+■^--1 = 0 a b confocal sind; und zwar sind die Curven A Hyperbeln, die Curven M Ellipsen. Die Parameter X, p eines Punktes hängen mit den Coordinaten x, y durch die Gleichungen zusammen x 2 y 2 x 2 y 2 = 1 , fl X b -|— X ’ fl -{- p b Aus ihnen ergeben sich die Substitutionsformeln * = y = — tang p. Nimmt man als Horizontal Projection / einen Quadranten der Parameter- curve X = k so sind die Grenzbedingungen für x und y x > 0 y > 0 Die Grenzbedingung für X ist 0 < X < k. Tw Die Grenzen für sind 0 und ^! dieselben Grenzen ergeben sielt für p. Ferner ist dx k-t = acos o X dy . dl = bsm *' fix a X sin p — = /; X cos p , dx ST'tfp öp ex Daher hat man für die gesuchte Fläche 11^ H- X 2 • X d\x dX o o = -l]. Für das hyperbolische Paraboloid ist Z 2 a 2b und daher V'+ (4)‘ COS T ffv> - (*) dx dy. « Hieraus erkennt man: Tangentenebenen, welche die beiden Para- boloide yZ JC 2 y 2 -1- - 2z = 0,- - — 2z = 0 ab ab in Punkten berühren, die dieselbe Projection auf die AfF-Ebene haben, sind gleich geneigt gegen die X F-Ebene. Flächenstücke beider Paraboloide, welche dieselbe Projection auf die VF-Ebene haben, sind gleich. 640 Integralrechnung. 11. Die Gleichung eines Kegels zweiter Ordnung, bezogen auf seine Symmetrieebenen, ist = ,l/* " a r_ b 2 ' Hieraus findet man dz dx CX 1 /X = H 2 : V a bi ’ d_z_ dy cy ~\/ x2 y 2 = J 2 : V + 1 n / f P). y = p) > * = •/(>', p), so hat man zunächst F= ± ffcL ■ ( 8x 0p. dy_ 8X dx 81 0pj dX d p . Nun hat man in cos- noch die partialen Differentialquotienten von z nach x und y durch X und p zu ersetzen. Hierzu bilden wir die partialen Differentialquotienten von z nach X und p und erhalten 8z 8 X 8 z 8 P 8z_ 8x 8 z 8x 8x 8 X 8x o 0 JA cz äy 8_z 8y Diese beiden Gleichungen sind nach Abkürzung 8z 8x 8y Tv 8y_ 8 p ’ 8z und - 5 - aufzulösen. öy Setzt man zur 8y 8y 8 z 8 z 8x 8x 81 8 p = L, 8 X ,3 p = M, Fx 0p 8 z 8z 8 x 8x 8y 8 y Tx 8 P 8 X 0p 8X 0p man 8z __ L 8 z M. 8x ~ N’ 8y ~ N ’ = N, hieraus folgt und schliesslich rtc t ’ M 2 -+- A™ F =±f.fV Li diese Formel M 2 + iF 2 d X rfp . Wir wenden diese Formel auf räumliche Polarcoordinaten an, und benutzen als solche den Abstand r eines Punktes vom Nullpunkte, den Winkel p, den r mit OX einschliesst und den Winkel X, unter welchem die Flbene des Winkels p gegen die X F-F.bene geneigt ist. Die Substitutionsformeln zum Ueber- gange aus rechtwinkeligen Coordinaten sind x = r cos p, y = r sinpeosX, z = rsinpsinX. Aus der Gleichung der Fläche in Polarcoordinaten r =:- /(X, p) kann man r in x, y, z einsetzen, und erhält dann die Coordinaten der Flächen- punkte durch die Parameter X und p ausgedrückt. Für die partialen Differentialquotienten der rechtwinkeligen Coordinaten nach X und p ergiebt sich nun Schlobmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 41 642 Integralrechnung. OX dr dx dr TT- = cosy.-^* , ck 6 k dy. = C ° S ^H ~ rSM y ( . Sr \ dy . ( . y = sin . xL -yi 2 M 2 -+- N 2 yz 2 -h M 2 -h N 2 Man hat daher y2 2. F -ff: ■ sin\>. dk d\n . (M. 533.) Zu dieser Formel gelangt man auch durch folgende geometrische Betrachtung. Beschreibt man um den Nullpunkt eine Kugel, deren Radius = 1 ist, bezeichnet ihren Schnittpunkt N mit der X-Achse als Pol und zählt die Meridiane von der XF-Ebene an, so ist |x die Poldistanz und X die Länge der Centralprojection II des Punktes P § io. Dreifache bestimmte Integrale. 643 auf die Kugel. Das kleine Flächenstück 1711 1 TI 3 TI 2 der Kugel, das zwischen den Meridianen X und X -(— -X X und den Breitenkreisen p. und jx -t- A|x liegt, nähert sich beim Uebergange zu verschwindend kleinen AX und Ajx einem Rechtecke aus den Seiten /mflllj = sin\t.d'k, lim II11 2 = d\j .. Wir projiciren dieses Kugelelement A5 = IHljIlj 11 4 von O aus auf die Tangentenebene der Fläche im Punkte P und auf eine Ebene, die durch II parallel zu dieser Tangentenebene gelegt ist; die erstere Projection sei Aj F, die letztere A<1); diese beiden Projectionen hängen durch die Gleichung zusammen A F = . A auf die Tangentenebene der Kugel in II verwechseln; man hat daher folglich und schliesslich dS 1 . , , d

z ) das grösste innerhalb X^v vorhandene specifische Gewicht. Ist nun G das Gewicht des Körpers, so hat man die Begrenzungen y, z) \/.v < G < 2$i(x,y, z) X k v, ^■\k{x,y, z) X k v < 1f k {x,y, z) X k v < 22 y, z) X&i>. Verschwinden die Xv, so gehen die Grenzen in einander über, und man hat daher ff{x, y, z) dv = lim 2 f(x, y, z) Xv = G . Das über ein Volumen v erstreckte bestimmte Integral Jfdv giebt also das Gewicht eines Körpers an, der das Volumen v erfüllt, und dessen specifisches Gewicht an jedem Punkte gleich dem Werthe ist, den die Function f für diesen Punkt hat. Ueber ein Volumen erstreckte Integrale kommen aber auch in mehrfach anderer Bedeutung in der Mechanik vor, von denen wir nur noch eine andeuten wollen. Die Anziehung, die ein Körperelement auf einen Massenpunkt in einer bestimmten Richtung ausübt, ist proportional dem Gewichte des Elements und einer Function

0 c 0 ^0 a 0 c 0 Auf diesem Wege gewinnt man den Satz: Wenn die Grenzen constant sind, so kann die Reihenfolge der Integrationen geändert werden, ohne dass die Grenzen sich ändern. Sind die Grenzen nicht constant, so ändern sich mit der Reihenfolge der Integrationen auch die Grenzen. 4. Um die Integration ffdv in Polarcoordinaten auszuführen, ersetzen wir in f die Coordinaten x, y, z gemäss der Gleichungen x = p cw|i, y = psin^cosX, z = p sin\xsinX. Wir construiren Kugeln S um den Nullpunkt, und bezeichnen mit Ap die in Richtung eines Radius gemessene Dicke der Schicht zwischen zwei auf einander folgenden Kugeln; hierauf Rotationskegel C, welche OX zur Achse haben und bezeichnen mit Ap. den Winkel der derselben Meridianebene ange- hörigen Mantellinien zweier auf einander folgenden Kegel; schliesslich Ebenen E durch die X -Achse und bezeichnen mit AX den Winkel zweier auf einander folgenden Ebenen. Durch den Kegel, dessen Meridian den Winkel p. mit der Achse bildet, wird auf der Kugelfläche mit dem Radius p eine Calotte begrenzt, welche die Höhe p(l — cos p.) hat; also ist der auf dieser Calotte stehende Kugelsector 1. 2 TT p - p (1 - COS p.) • P. 3 2ir 3 p 3 (1 — COS p.). Wächst pi um Ap., so wächst dieser Sector um ( 2tc g- p 3 [1 — cos( p. + Ap.) — (1 — cos p.)] = -jj- p 3 [rwp. — cos{ p. + Ap.)] . Behält man angesichts des Grenzübergangs nur Glieder mit der ersten Potenz von Ap. bei, so erhält man 2. -- p 3 4iVip.Ap.. Wächst ferner p um Ap, so wächst dieses Volumen um den Ring 2ir ~ sin p.Ap. [(p + Ap) 3 — p 3 ]; behält man hier von dem Klammerinhalte nur Glieder mit der ersten Potenz von Ap, so entsteht 3. 2irp s «V2p.Ap.Ap. Der Theil dieses Ringes, der zwischen zwei benachbarten Ebenen E liegt, 646 Integralrechnung. ist eines von den Volumenelementen, in welche wir jetzt v zertheilt haben; es hat zum Ringvolumen 3. das Verhältniss AX:2 tc; mithin folgt \v = p^sinp. ApAXAp . Somit ergiebt sich schliesslich ffdv = ffj'/- p 2 sinp.dpdldp.. Die Grenzen sind hier dem Volumen v entsprechend zu bestimmen. 5. Drückt man x, y, z durch drei neue variable Parameter p, X, p aus 1. x = cp(p, X, p), y = K P-). * = y.(p, K P-), und wählt die Parameter so, dass im Allgemeinen zu jedem Punkte des Volumens v ein und nur ein reales Parametersystem p, X, p gehört, so kann man die Integration auch in den neuen Variabein p, X, p durchführen. Denkt man sich in den Gleichungen 1. den Parameter p gegeben und eliminirt X und p., so erhält man eine Gleichung in x, y, z, die p enthält; die Fläche, welche diese Gleichung darstellt, enthält alle die Punkte, denen der gegebene Parameterwerth p zugehört; wir wollen sie die Parameterfläche P nennen. In gleicher Weise erhalten wir die Parameterflächen A und M, welche die Punkte enthalten, denen dasselbe X oder p zugehört. Der Voraussetzung nach schneiden sich zwei Parameterflächen derselben Art nicht; folglich kann das Volumenelement, das von den drei Paar Parameterflächen der Parameter p, p -+- Ap, X, X - 1 - AX, p., p + Ap eingeschlossen wird, für verschwindende Werthe von Ap, AX, Ap als Parallelepiped betrachtet werden. Die drei dem Punkte /'benachbarten Ecken P x , P 2 , P 3 dieses Volumenelements erreicht man durch Verschiebungen von P, wenn dabei der Reihe nach X und p, p und p, p und X ungeändert bleiben. 2 -t- A iz, so ist daher man die Coordinaten von Pi mit x 4- X x, T + A, \ dx \ -*!■* = -V = A 2 x = £ ^ A X , ~AX; 0 X ’ \ 8x \ -i 0 X = — -1 u. . 3 Cp. r 2 — 8 2 \ Das Volumen eines Tetraeders, dessen Ecken die Coordinaten x;y t z; haben, stimmt bekanntlich dem absoluten Werthe nach überein mit ! 1 *0 To z o _1 I 1 x, y, z, flll x., y 2 z 2 \ 1 *3 Ts *3 Subtrahirt man die erste Zeile von jeder folgenden, so erhält man | x x — x 0 , y x — y 0 , 2 , — z„ — , x 2 x g , y 2 y 0 , z 2 z 0 I x s x o > T 3 To > z 's z o Lässt man hier Aja:, ^ 2 x, A 3 x, Aj_y, . . . A ;j z an die Stelle der Coordinaten- differenzen treten, so erhält man für das Parallelepiped aus denKanten Pl \, PP 2 ,PP 3 Aw = ± dx c X dx r P d\ d p cy dy VT dp dl Op d z d z dz d 9 dl dp. • A u, A X A ( § io. Dreifache bestimmte Integrale. 647 dx dx dx dp dl dp. dy dy dy dp dl dp. d z d z d z d P dl dp. Ersetzt man schliesslich in f die rechtwinkeligen Coordinaten durch p, X, p, so hat man die Transformation ffff dx dy dz = ± ffff ■ J ■ dp dl dp., wobei / Die Grenzen sind hierbei wieder dem Volumen v entsprechend zu bestimmen und das Vorzeichen so zu wählen, dass es mit dem von J übereinstimmt. 6. Man kann die Transformation auch unabhängig von geometrischen Betrachtungen durchführen. Aus den Gleichungen x = ?(p. P-)> y — 'KP» K P-) berechne man p und X und substituire diese Werthe in ® = 7.(P, K pO; dadurch erhält man z als Function von x, y und p. Nimmt man nun x, y und pt als neue Variable für die Integration, so hat man dz durch p auszudrücken. Bei der ersten Integration bleiben y und x unverändert; unter dieser Voraussetzung gewinnt man durch Differentiation der Substitutionsgleichungen ^ 8x , 0 = -5— z/p dx dl 0 = dz ■■ dl Hieraus folgt 8 P “>* 81 d y , , d y r P dp + di 8 z dz dp dp + dl dX + dy Tp. d *’ dz , wobei dz = -y- dp., J 1 /1 = dx Tp dy dp dx dl dy dl Daher hat man zunächst ffj fix = ffj , f ~r dx dy dp., wobei man die Grenzen der Integration nach p. nach den Grenzen für z zu bestimmen hat. Hierauf ändert man die Ordnung der Integrationen; nachdem ersten beiden die Grenzen entsprechend bestimmt worden sind, erhält man / /1 Nun eliminire man aus den beiden ersten Substitutionsgleichungen p und drücke y als Function von X, p und x aus. Führt man durch diese Gleichung X statt y in das Integral ein, so hat man dy durch dl zu ersetzen; dabei ist aber zu berücksichtigen, dass p und x unverändert bleiben. Unter dieser Voraussetzung erhält man /!/>■ dx dp. dy . 648 Integralrechnung. und hat demnach und daher die zweite Umformung 2 . f dx dy dz = j'J'J'f ’ fix dx d ^ dK > wobei die Grenzen für X denen für y entsprechen müssen. Hier ändert man nochmals die Ordnung der Integrationen und beginnt mit der nach x, bildet also, indem man die neuen Grenzen gehörig bestimmt, / / dp Nun kann man x durch p gemäss der ersten Substitutionsgleichung *' = ?(p. P-) ersetzen; da bei der Integration nach x die beiden Variabein X und p ungeändert bleiben, so hat man dx = 0 dp . dp Bestimmt man nun die Grenzen der Integration nach p entsprechend denen für x, so hat man schliesslich Ulf dx d y dz = Uff ■ J ■ d V- dh d ? > 3. in Uebt^einstimmung mit dem Resultat in ;j., da die Ordnung der Integrationen unwesentlich ist. Die in No. 5 gegebene Vorzeichenregel kommt zu Stande, wenn wir, wie in No. ü, die Bedingung stellen, dass die unteren Grenzen der transformirten Integrale, wie im ursprünglichen, kleiner als die oberen sind. Aus den bei der Transformation verwendeten Formeln erkennt man leicht, dass zu positiven dp, dk, dp drei positive oder ein positiver und zwei negative Werthe dz, dy, dx gehören, sobald J > 0; hingegen zwei positive und ein negativer oder drei negative, sobald J < 0. Ist nun z. B. dz negativ, so folgt, dass wachsenden 2 abnehmende p. entsprechen, dass also die auf p bezügliche obere Grenze in 1 kleiner ist, als die untere, wenn im gegebenen Integrale alle untern kleiner sind als die obern. Will man daher in 1. die untere Grenze für p kleiner haben als die obere, so muss man die Grenzen und damit das Vorzeichen des Integrals wechseln. Hieraus folgt, dass wenn in 3. schliesslich alle untern Grenzen kleiner als die obern sein sollen, das Integral 3. noch mit ± 1 zu multipliciren ist, je nachdem 0 . 7. Das Quadrat der Functionaldeterminante J ist § io. Dreifache bestimmte Integrale. 649 P wobei abkürzend gesetzt ist K « - (K) ! (dxy c ° ~ W (*)' (n)’ (8zy \P) ’ ( 6 Z \ 2 W * fczy W ’ K CX CX = dp d~k ~ l_ cx dx ~ dp cp cx cx d k cp cy cy_ dp dk 8y dy dp dp dy_ dy dk dp -A dz dz d~p dP d z d z c p dp’ d z c z dk dp' Für die verschwindend kleinen Verschiebungen PP,, PP 3 , PP% (No. 5) ist nun PP, = j/a 0 dp , PP 2 = j/b 0 dk , PP 3 = -/c 0 dp . PP, PP, PP 2 PP , PP* ■ PP 3 cosP, PP-i = a, dpdk , cosP,PP 3 = a 2 dpdp, ■ cos P 2 PP Z = b,dkdp. Wenn sich je drei Parameterflächen P, A, M orthogonal schneiden, so sind P, PP 2 , P, PP;\< P 2 PP.\ rechte Winkel; man hat daher a, = a 2 = b, = 0. Die Determinante J 2 .reducirt sich alsdann auf il r Diagonalglied, es ist J - v&f ($+ (©'y©- @) ! + m Dieser Fall tritt bei den gewöhnlichen räumlichen Polarcoordinaten (No. 4) ein. 8. Ein weiteres Beispiel für orthogonale Parameterflächen geben die elliptischen Raumcoordinaten. Sind x, y, z die Coordinaten eines Punktes, und ist a > b > c > 0, so hat die cubische Gleichung der Unbekannten v — 1=0 2 . a - f— v b -P ') c ~h v immer drei reale Wurzeln. Beseitigt man nämlich die Nenner, so erhält man F( v ) = x 2 (b + v) (c -fl v) - 1 - y 2 (a -+- v) (c -A v) -+- 2 2 (, — c, , so erhält man F {— a) = x 2 (b — a ) (c — a), F{ — b) = y 2 (a — b) (c — b), F (— c) = z 2 (a — c) (b — c ), F(oo) = 00 . Die Wurzeln der Gleichung 1. liegen daher zwischen den Grenzen 00 und — c, — c und — b, — b und — a\ wir bezeichnen sie der Reihe nach mit p, k, (j.. Die Gleichungen der Parameterflächen sind X 2 y 2 z 2 a -P p b -+■ P C -fl P x' 2 y 2 -fl CI -t - K b + k c -fl A X 2 y 2 2 = (l ~\r JJ* b -fl fl c -fl p — 1 = 0 , 1 = 0 , M A ^ Die Flächen P sind dreiachsige Ellipsoide, A sind einschalige und M sind zweischalige Hyperboloide. Da p, k, p die Wurzeln der Gleichung 2. sind, so gilt die Identität (a -p v) (b -fl v) (c -p v) — x 2 (b + v)(r + v) — y 2 (a -fl v) (b v) — 2 2 (a -P v)(b - P v) — (v — p) (v — *) (v — |A) . 650 Integralrechnung. Ersetzt man hier v der Reihe nach durch — a, — b, — c, so erhält man die Substitutionsgleichungen - (g+p)(g+ X)(a4-p) (b + p)(b 4- X)(2 4 - p) (c + p)(V 4- X)(r-4-p) (b — a (c — a ) ' ^ (« '— b) (c — b) ’ (a — c) (b — c) Durch Subtraction je zweier der Gleichungen 3. erhält man die Gleichungen y‘ (et 4 - p) (et 4- X) (b 4 p) (b 4- X) (e 4 - p) (e 4 - X) (a p) (et 4- p) (b 4 - p) (b 4- p) (c 4- p) (c 4- p) y‘ = o, = 0 , = 0 . (et 4- X) (et 4 - p) (b 4- X) (b 4 p) (c 4 - X) (e 4 p) Bezeichnet man mit p 0 , p 1( p 2 , X 0 , Xj, X 2 , p 0 , p t , p 2 die Cosinus der Stellungswinkel der Tangentenebenen der Flächen P, A, M im Punkte P, so ist bekanntlich 6 . Po • Pi • P 2 — X 0 : Xj : X 2 — Po : Pi : P2 = X , y z d -f- p ' b 4 - p ■ c H- p’ X . y z ci —|— X ’ b + X ' € —f- X' X , y Z et — f- p b 4- p c 4- p Die Gleichungen 5. sagen daher aus, dass diese Tangentenebenen normal zu einander sind, dass sich also die durch P gehenden l’arameterflächen P, A, M normal schneiden. Aus den Gleichungen 4. ergiebt sich J 7. -W\ ■V, 9 ex _ "dp _ X Jy y c z z ct -+* p * -2 P _ b + P’ -2p c 4- P ’ dx X Jy y dz z -2x _ «+!' - 2X ~ b 4 - X’ -2X — c 4 - X’ X «ty y « dz 2 . -2p - weiter et 4- p’ 0 |x b P’ - 2p c 4 - p ’ X 2 y 2 z 2 1/ ar 2 _y 2 z 2 («+ p) 2 + {!> + P) 2 ' + + p) 2 ' v (a 4 - X) 2 1 (b 4 - X) 2 ' (c 4 - X) 2 X 2 y 2 z 2 (a + p) 2 (b 4- p) ; * 1 (c 4- p) 2 ’ Die Radicanden, die wir der Reihe nach mit 1 :P 2 , 1 : Z 2 , 1 : M 2 , bezeichnen wollen, kann man in folgender Weise bestimmen. Für die in 6. enthaltenen Cosinus hat man die Werthe Rx Ry Rz Pu = ^Tp’ Pi = r+7’ ps = 7 +" P ' Lx . Ly ^ Lz X o = 7~+~V A| = b~+J’ >>2 — e t- X’ Mx My Mz Po = 8 Pi = a 4 p.' ' 1 b 4 - p ’ p ’ 2 - c -h p. Aus diesen Werthen und mit Rücksicht auf die Gleichungen 3. ergiebt sich Po-* -+- Pi y -+- P2 2 = R > 9 . X 0 .* 4- Xj_y 4 - X 2 2 = Z, Po* 4- Pi v 4 - p 2 z = M. Diese Gleichungen lehren (vergl. Analyt. Geom. des Raumes, § 2, No. 4), § io. Dreifache bestimmte Integrale. 65 " dass R, L, Al die Coordinaten von P in einem Systeme sind, dessen Ebenen durch O parallel zu den Tangentenebenen der Parameterflächen P, A, M, gelegt sind. Bildet man in bekannter Weise die Formeln, welche x, y, z in den neuen Coordinaten R, L, Al ausdrücken, so erhält man x — Po R -P Xq Z -P ix 0 Al, 10 . y = pjR -P X t Z -f- (j4 AZ, Z — p 2 R —p X 2 L —p p 2 Al . Hierin ersetzen wir nun die p 0 . . . p 2 durch die Werthe 8.; dadurch entsteht R 2 Z 2 Al 2 _ (t —{— p CI -j— X CI —p p. R 2 Z 2 M 2 1 1 * 7 -p i 7 “I - 7 —- 1 , b -Y- p b -P X ^ -P p. R 2 Z 2 M 2 ^ —I— p c —P X c - p. Diese Gleichungen lehren, dass die cubische Gleichung R 2 Z 2 AI 2 - -p : v -P : — 1 u p u A. u —|— jjl die Wurzeln a, b, c hat. Beseitigt man in dieser Gleichung die Nenner und wechselt die Zeichen, so erhält man (a+p)(«+X)(«4-jx) — ä 2 (« + X)(k- l-p.) — Z 2 (z/-pp)(Z + p.) — AI 2, k u -p p)(«-P X) = 0. Man hat daher die Identität (u + p )(u -+- ~K){u -p p.) — R 2 (u -p X)(u -p p.) — L 2 {u -p p )(u -p p.) — Al 2 (u + p ){u + X) = (u — a)(u — b)(u — c ) . Setzen wir in diese identische Gleichung für u der Reihe nach — p, — X, — jjl , so erhalten wir sofort r ,2 _ (p + a )(p + b) (p + c) _ (X -p g)(X + ^)(X -P c ) !, (^-P)(P-P) ’ ~ (p — X)(jl — X) ’ _ (p- -P a) (p. -P b) (p, -+- c) (p — p.) (X — p.) Mit Hülfe dieser Werthe ergiebt sich schliesslich die gesuchte Transformation 111fdxdydz = ^ wobei zur Abkürzung gesetzt worden ist A ^ (p -P d) (p -P b') (p -p c) , B ^ (X -p d) (X -p 1) (X -p c) t C s (p, --f- a ) (p. -P (p, -P ^). , Wir wollen diese Formel anwenden, um einen Octanten des Ellipsoids zu berechnen, dessen Oberfläche die Gleichung hat x 2 y 2 z 2 E ES -;--(- -r-A- -1-1 = 0. a + Po o -p Po ^ + Po Das Doppelintegral nach p. und X hat sich hierbei über alle Punkte des Octanten eines mit E confocalen Ellipsoids zu erstrecken, mithin über alle Werthe von p. und X; daher sind für p. die Grenzen — a und — b, und für X sind sie — b und — c. Betreffs der Grenzen für p genügen die Bemerkungen, dass die Achsen der Parameterfläche mit p wachsen, und dass £ selbst eine der Parameterflächen P ist, nämlich für den besonderen Werth p = p 0 ; die Flächen P, die innerhalb E liegen, gehören daher zu den Werthen p = — c bis p = p 0 . Da es sich nur um eine Addition der Volumenelemente handelt, so ist f = 1. Verwendet man ferner die bekannte Formel für den Inhalt eines dreiachsigen. Ellipsoids, so erhält man schliesslich die bemerkenswerthe Integralformel Integralrechnung. 652 Po —«■ ~ a v'^+’p^ ib + Po y7+~p7 = f f f (g_ - ~ p) ä ? di dp. 1 ,4* / * / , J J J V - ABC ' . a. j y ^ -~-L-c -& -t § 1). Die periodischen Reihen und die FoURlER’schen Integrale. 1. Die unendlichen Reihen, die wir in der Differentialrechnung kennen gelernt haben, waren Potenzreihen, d. i. Reihen, welche nach den steigenden Potenzen der Variabein fortschreitend In diesem Abschnitte werden wir eine andere Gattung unendlicher Reihen untersuchen, nämlich Reihen, welche eine der beiden allgemeinen Formen haben 1- A 0 -+- A 1 cosu -f- A 2 cos2u -+- A 3 eos'iu -+- ... . 2- B x sinu -+■ B 2 sin2u -+- B-^sinSu welche also nach dem Cosinus und Sinus der ganzzahligen Vielfachen des Bogens u fortschreiten. Wenn die Reihen innerhalb der Grenzen 0 und - convergiren*), so stellen sie Functionen von u dar; setzt man in diesem Falle A 0 - 1 - A r cosu -+- A 2 cos'2u /(«), so ist offenbar /(- -+- z/) = /(- — v). Die Werthe, welche die Function von u = 0 bis u = - annimmt, wiederholen sich also in umgekehrter Reihenfolge, wenn die Variabele von u — - bis u = 2~ wächst. Beachtet man ferner, dass die Faktoren cos mu ihre Werthe nicht ändern, wenn u um ein ganzes Vielfaches von 2 t: zu oder abnimmt, so erkennt man, dass /(« + 2 kv) =/(«). Die Summe der Reihe ist daher eine periodische Function von u. Ebenso erkennt man sofort, dass auch die Reihe 2. eine periodische Function von u ist. Beide Reihen werden daher als periodische Reihen bezeichnet. Hierin unterscheiden sich diese Reihen wesentlich von den Potenzreihen. Potenzreihen sind innerhalb des Convergenzgebiets Functionen der Variabein; an der Grenze der Convergenz treten im Allgemeinen Discontinuitäten auf; und für alle Werthe der Variabein, die ausserhalb des Convergenzgebietes liegen, ist die Summe der Reihe unendlich gross. Die periodischen Reihen 1. und 2. dagegen sind für alle Werthe von u convergent, wenn sie für das Intervall 0 bis t. convergiren, und sind periodische Functionen von u mit der Periode 2it. 2. Ist f(u) eine Function, die innerhalb des Intervalls 0 und - endlich bleibt, so kann man die Coefficienten A u , A x , A 2 . . A„-\, bez. B l , B 2 , B 3 , . . B„ so bestimmen, dass die Gleichungen 1. f{u) = A 0 -+- A l cosu -h A 2 cos2u + A„-icos(n — 1 )u 2. f(u) = B t sinu -+■ B 2 sin 2 u + B :i sin'äu + . . 4- B n sinnu für n verschiedene innerhalb des Intervalls 0 und - liegende übrigens willkürlich gewählte Werthe von u erfüllt werden. Denn setzt man die gegebenen Werthe von u z. B. in 1. ein, so erhält man «Gleichungen, welche die n unbekannten Coefficienten A 0 , A, . . 1 linear enthalten, aus denen die A also eindeutig bestimmt werden können. Die Summen der endlichen Reihen *) Ueber die Convergenzbedingungen vergl. u. A. Schi.oemilch, Compendium der höhern Analysis, 4. Auf!., Bd. I. pag. 40. § ii. Die periodischen Reihen und die FoURlER’schen Integrale. 653 S„ = A 0 -+- A x cosu H- A 2 cos 2 z/ + . . -+- A„-\ cos(n — 1 )u L„ — B x sinn + B 2 sin^u B„ sin nu stimmen also dann für die gegebenen n Werthe der Variabein u mit der Function f{u) überein. Vermehrt man nun die Zahl n, so wächst die Anzahl der Pnnkte, welche die Curven S n , l n und f(ii) — u dabei als Abscisse und S n , L u bez. f(u) als Ordinate betrachtet — gemein haben; wird n unendlich gross, so haben die Curven S„ und /(//), bez. L u und /(//) unendlich viele Punkte innerhalb des Abscissenintervalls 0 und - gemein. Es wird daher jedenfalls möglich sein, die Coefficienten A 0 , A x , A 2 . . . bez. B., B 2 , B 3 . . . der unendlichen Reihen A 0 -+- A 1 cosu -+- A 2 cos2u -+■ . . . B x sin u -+- B g sin 2 u + . . . so zu bestimmen, dass für alle Werthe von u innerhalb 0 und - die Reihen eine gegebene, innerhalb der Grenzen endlich bleibende Function f{ti) darstellen. 3. Angenommen, es gelte die Entwicklung f(u) — A 0 A x cosu -+- A 2 cos2u -+- . . . . 1. so kann man die Coefficienten leicht auf folgendem Wege bestimmen. Man multiplicire 1. mit du und integrire zwischen den Grenzen 0 und Da für jede ganze Zahl k Jcosku du o so erhält man 0 mithin 2 . 0 Zur Bestimmung der andern Coefficienten machen wir von der Integralformel Gebrauch Jcos (k -t- n ) u du ) ^ ( j cos(k — n)u du j cosku cos nu du 0 j \ t., wenn k = n \ 0, „ k ^ 11 :. 0 0 Multiplicirt man 1. mit coskudu und integrirt zwischen den Grenzen 0 und z, so erhält man hiernach Jf(u) coskudu u mithin coskudu 3. 0 Durch ein ähnliches Verfahren erhält man die Coefficienten der Reihe f(u) = B x sinu + B 2 sin 2 u B 0 sin 3 u + . . . 4. Multiplicirt man beide Seiten mit sinku du und integrirt zwischen den Grenzen 0 und -, indem man dabei von der Formel Gebrauch macht 654 Integralrechnung. Jsinku sinnu du = ^[Jcos(k —■ ii)udu — Jcos(k -+- n) u du} so erhält man und daher ) ^ ir, wenn k = n , \ 0 , „ k^_n, Jf{u) sittku du = | - Bk , B k =j sinku du . 4. Hierbei ist vorausgesetzt worden, dass die Entwicklungen 1. f(u) = A 0 + A 1 cosu -+- A 2 cos2tc -t- A 3 cosAu + . . 2. f{u) = Tjj sin u -+- ß 2 sin 2 u + ß 3 sin 3 u + . . zulässig sind, und unter dieser Voraussetzung sind die Coefficienten bestimmt worden. Es ist nun noch zu untersuchen, welche Beschaffenheit eine Function f{u) haben muss, um innerhalb des Intervalls 0 und it in eine periodische Reihe 1. oder 2. entwickelbar zu sein. Um diese Frage zu entscheiden, summiren wir die endlichen Reihen, die aus 1. und 2. hervorgehen, wenn man die gefundenen Coefficienten einsetzt und bei dem Gliede mit dem Index n abbricht, )cosIn cos'iudv 3. 4. S n = ^ f( v )d y ■+• J f(y)cosv cosudv +//(4 0 Ü o 71 7t + //(») cosAv cos Au dv + . . +//<*) cosnv cosnudv ü o 2« — ^ f(v)sinv sinudv -+- J f{v)sin%vsin^udv o o 7t 7t + Jf(y)sinAv sinAudv -+- . . + Jf(y)sinnvsinnudu j . u o Vereint man alle Integrale in jeder Summe zu einem einzigen, so erhält man H Sn=\ff(v){ ! 2 cosvcosu -+- icos'iv cos2u %cosnv cosnu ) dv , Tt G. = -^J’f(v)(2sinvsinu-h2sinv2vsin2u+2sinAvsinAu+..+'2sinnvsninu)dv. o Setzt man zur Abkürzung 2?, = cos(y — u) -H cos^liy u) + cos3(y — cosniy — u), ß 2 = cos(y -(-«) + cosKy -+-»)-+- cos 3(» + «) + .. -+- cosniy + u ), so erhält man 7t 7t Sn = m (1 + B, + Ä\)dv , fiy) (B 1 - R 2 ) dv . § II. Die periodischen Reihen und die FoüRlER’schen Integrale. 655 Die goniometrischen Reihen R r und R, 2 lassen sich leicht summiren. Multiplicirt man nämlich die Reihe cosa 4 - cos2a -4- cosSa 4 - cosAa 4 - . . 4 - cosna mit 2 sin\a, und macht in jedem Gliede von der Formel Gebrauch 2 sin \a ■ coska = sin (k 4 - ä) — sin (k — ^ d) , so erhält man sofort 2 sin\a(cos a 4 - cos2a 4 - . . 4- cosna ) — sin\a — sin\a 4- sin\a — sin\a 4 - . . 4 - sin (n 4 - lf)a —■ sin (n — ^)a . Hieraus folgt sin (n 4- £) a cosa cos2a 4 - . . 4 - cosna = — | 4 - Daher ist R, == und schliesslich Sn 8 . k 0 1 • 2 n 4 - 1 , sm —g— (v —77) 2sin\{v — u) ’ . 2« 4 1 2 sin\a . 2« 4- 1 X* =' 2 0 + «) 2sin\{v 4- i/) . 2« 4 1 /(») «’« J (» — 77 ) ,. 2» 4- 1 (z> — u) j I rzVz-(77 4- «) ^ V 2t. J sin\(v 4 - u) dv , = *r /(")- (z> — 77) dv — Iz / 0 ) • 2n 4 1 / \ •fZTZ- 5 - (» 4- 77) ü - dv. 2-J J K ' sin\{v — 77 ) 2 -J J sin\(v 4- u) 0 0 In diesen Gleichungen lassen wir nun n unendlich wachsen. Ob dabei S„ und 2„ sich bestimmten endlichen Grenzen nähern und welches diese Grenzen gegebenenfalls sind, das hängt davon ab, was aus den beiden Integralen sin ^ (v — 77 ) f sin ^. /(») -dv und / 0 ) (v 4- 77 ) sin ^(v 4 - 77 ) dv sin §(v — 77 ) • w ° wird, wenn n unendlich wächst. Statt mit diesen beiden Integralen, werden wir uns zunächst mit dem Grenzwerthe eines etwas einfacheren beschäftigen. 5. Grenzwerth des Integrales / sin nru 77 F(u)du, wenn m die Reihe der positiven ganzen Zahlen durchlaufend unendlich wächst, und a positiv ist. Wir theilen den Betrag mn. in q ganze Vielfache von - und einen Rest p, der kleiner als ir ist, so dass also qr. 4- p 7«a = qr. 4- p , a =— und zerlegen das gegebene Integral in 7 : nt 3 * f- - F(u) du -P F{u) du f sin m u -J — *<“> du vt m J ^ F { u ) du+J S ^ p F { u ) , so erhält man YS) n” 1 ©) <-©-) sm m u F(u)du = 2 T . I? + (9 ~ 1 ) ^ m + {q — 1)" . sin (o d <0 -J tu -t - q Ti sin tu dm . Wir nehmen nun zunächst für F(ii) den einfachsten Fall an und setzen F(u) = 1; dann entsteht aus 2., indem wir sogleich zur Grenze für m = 00 übergehen /'sinmu , /Y11 1 1 \ . hm I - du = h m i I-——- h ——-———- + . . .\si, J u J \ = 0, q = Der Grenzwerth der Function unter dem ersten Integralzeichen rechts J _ ^_1 _1 _ _ j _1 (U + 3 TT a sin 10 d <0 (U + Tt ( 0+2 TZ (0 + 3 TT ' (0 + 4 t ist für alle innerhalb der Integrationsgrenzen 0 und - liegenden Werthe von (o endlich. Denn für m — 0 ist zwar das erste Glied der eingeklammerten Summe unendlich gross, das Produkt mit dem verschwindenden sin (0 ist aber = 1 ; alle andern Bestandtheile des Produkts verschwinden mit sinm. Für jeden positiven Werth von to enthält die Reihe 1 _ 1 _ l _ 1 <0 (o+~ (o+ 2 r (o+ 3 t: Glieder, welche unbegrenzt abnehmen; daher hat die Reihe einen endlichen Grenzwerth. Hieraus folgt, dass der Grenzwerth des Integrales /( 1 1 \ . —s-. . I st-, + 2tt J sin io dm eine endliche bestimmte Grösse ist; wird dieselbe mit C bezeichnet, so haben wir schliesslich Um 1 smnvu^ = c _ Wir werden sehr bald Gelegenheit finden C zu bestimmen. 6. Wir wenden uns nun zur Gleichung 2 . der vorigen Nummer zurück und setzen voraus, dass F(ii) innerhalb der Integrationsgrenzen 0 und « endlich bleibt. Unter dieser Voraussetzung ist in dem Grenzwerthe 0 r ^ (o + g^ lim I - sin <0 dm J (O + qv: 0 der Zähler des hinter dem Integralzeichen stehenden Bruches endlich, während der Nenner unendlich gross ist; da nun auch p eine endliche Grösse, nämlich < ic ist, so folgt lim F qr. sinm dm — 0 . Daher verbleibt lim - F{u) du = lim 1 F (5) ^(Fr) 'tF 2 ') 2ir smm am . Die Summe S der eingeklammerten Reihe wollen wir zunächst unter der Voraussetzung bilden, dass F{m) innerhalb des Intervalles 0 und a endlich und positiv ist und ununterbrochen abnimmt. Alsdann enthält die Reihe Glieder, die zur Grenze Null abnehmen, und ist daher convergent. Die Summe der Reihe liegt zwischen den Summen der ersten 2 £ und der ersten 2^+1 Glieder, also zwischen Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 4.2 Integralrechnung. 658 und ^2i+l _ fg) _ o) (i) + 1: \mj \ m ) -+- (2 k — 1) tt' + ) (2k — 1) it - (2k — 1) tt' :) -I- (2tt — 1) tt 2 kn Wir können nun k unendlich gross voraussetzen, doch so, dass k zu m ein unendlich kleines Verhältniss hat; alsdann ist . fl 1 1 1 lim. « Su = F(0) f-- v ' y a> cü -f- 71 ■ 2k 3k lim(S wenn man mit f{u — 0) und f(u + 0) die Grenzwerthe bezeichnet, welche f{u — x) und f(ii 4 - x) erreichen, wenn die positive Zahl x zur Grenze Null abnimmt. Für u — 0 fallen die Grenzen des ersten Theiles von J Y zusammen, derselbe verschwindet daher und es bleibt J j = tz /(-+- 0), wenn u = (). Für u = - fallen die Grenzen des zweiten Theils zusammen und es wird daher _/j = -/(ji — 0) , wenn u = r . Das Integral J 2 verschwindet nach 2., sobald 0 < u < tt; ist u — 0, so ergiebt sich Ji = */(+ 0) • Der Fall u = ~ bedarf aber noch einer besonderen Untersuchung. In diesem Falle ist 7t sin(2n 4- 1) w sinw /(2 w — r) dw . 7t 7 Setzt man nun w = - — x, so erhält man Ji r sn sin(2n l)x /(t: — x) dx . Daher ist 4. / sin (2 n 4 - 1) w /(2 w rdjdw = Sollte f{u) an der Stelle u = t discontinuirlich sein, so hat man, wie aus der Herleitung sofort erkannt wird, für /(r) in dieser Gleichung den Grenzwerth /(tt — 0) zu nehmen. Führt man diese Ergebnisse in No. 5, 7. und 8. ein, so erhält man schliesslich die beiden Sätze*): Die periodische unendliche Reihe A 0 4- A x cosu 4- A^cos'ia 4- A 3 cos3u 4- • • • ■, in welcher Tt « A 0 = Ij/J) dv , A k = ^ If{v) coskv dv, und /( v) eine innerhalb der Integrationsgrenzen 0 und t: endliche Function ist, hat für jeden Werth von u von 0 bis r. einschliesslich beider Grenzen die Summe /(«), sobald f(u) continuirlich ist; erleidet J(u) Unterbrechungen der Continuität, so dass für einen (oder einige) Werthe von u die Grenzwerthe f(u — 0) und /(« -t- o) von einander *) Lejeune-Dirichlet, Crelle, Bd. 4 , pag. 94. Schloemilch, Compendium, 2. Bd., 2. Aufl., pag. 123. 662 Integralrechnung. verschieden sind, so ergiebt für diese Werthe von die Summe der Reihe das arithmetische Mittel dieser beiden Grenzwerthe. Die periodische unendliche Reihe Besinn -+- B 2 sin^u -+- B x sin3u -+- . . ., in welcher 1t Bk = ^ ff(v) su sinkv dv, o und f(v) eine innerhalb 0 und tt endliche Function ist, hat für jeden Werth von u von 0 bis ir, ausschliesslich beider Grenzen, den Werth f{u), sobald f{u) continuirlich ist; an Stellen, wo f(u) discontinuirlich wird, ergiebt sie das arithmetische Mittel aus fiu — 0) und f(u- 1-0); für die Grenzen u = 0 und u — tt verschwindet die Reihe. Durchläuft u die Werthe von tt bis 2ic, so nimmt die Cosinusreihe in umgekehrter Reihenfolge dieselben Werthe, die Sinusreihe die entgegengesetzt gleichen an, wie von 0 bis tc; innerhalb der Intervalle für u von 2r bis 4u, 4ir bis 6- u. s. w., sowie — 6n bis 0, — 4zt bis — 2ir, — 6ir bis — 4ir u. s. w. wiederholen sich für beide Reihen die Werthe des Intervalles 0 und 2t:. Ist AB die Curve y = f(x) und OB' = B'C X ' = C t ' D\ 4- . . . == E x 'O = F x E x = E 2 ’F x = . . . = tt, so fallt die Curve Y = A g A x cosu + A 2 sos2u 4- A z cos‘6u 4- . . Y (M. 534.) innerhalb der Punkte C und D mit der Curve AB zusammen; ihr weiterer Verlauf besteht aus den Bögen DC X , C\D lt B X C 2 ■ . ., CE X , E X F X , F X E 2 . . ., von denen je zwei benachbarte zu der gemeinsamen Ordinate symmetrisch liegen. Die Curve (Fig. 535) Y = B j sin u 4 - B 2 sin 2 u 4- B :i sin 3 u 4 - . . fällt innerhalb der Punkte C und D ebenfalls mit AB zusammen, hat aber in O und D' zwei isolirte Punkte, ebenso in C\, D\, C' 2 . . sowie in E\, F\ E' 2 . . . Die zu OB', B'C\, C' 1 B' 1 . . . OE x , E\F\ . .. gehörenden Curvenbogen decken sich ohne vorherige Umwendung und liegen abwechselnd auf verschiedenen Seiten der Abscissenachse. 8. Plhe wir zu Anwendungen übergehen, wollen wir noch in Kürze entscheiden, ob, bez. unter welchen Umständen es gestattet ist, aus den beiden Gleichungen §li. Die periodischen Reihen und die FoURiER’schen Integrale. 663 Y (M. 535.) 1. f(u) = A 0 - 4 - A l cosu A^cos2u -+■ . . . 2. f(u) = B y sin u sin 2 u -t- . . . durch Differentiation beider Seiten neue Gleichungen abzuleiten. Die Differentiation der Cosinusreihe ergiebt f(u) = — A 1 sinu — 2A 2 sin2u — ‘iA^sin'iu . . . Soll diese Gleichung gelten, so muss /’(«) in eine Sinusreihe entwickelt werden können; es muss daher f\u) endlich sein von 0 bis 7t und die Cofficienten müssen die Werthe haben 3. !P» sin kv dv = — kAk . Durch theilweise Integration erhält man f /' (v) sin kv dv = f(v) sin kv — kff(v) cos kv dv . Werden die Integrale von 0 bis 7t erstreckt, so folgt ir n 2 C r — ff' (v) sin kvdv --— f f(v) cos kvdv . 0 0 Es ist daher in der That die Gleichung 3. erfüllt. Die beiden Seiten der Gleichung 1. dürfen daher differentiirt werden, sobald /'(«) innerhalb des Intervalls 0 bis 7t endlich bleibt. Aus der Sinusreihe erhält man f'{u) — B y cos u -t- 2B 2 cos 2 u ZBo cos 3 u Es muss daher /'(«) in einer Cosinusreihe entwickelbar sein, deren erstes Glied verschwindet. Dazu gehört, dass f{u) von 0 bis tt endlich bleibt, dass das Integral, welches das erste Glied der Reihe ergiebt, verschwindet, und dass du . 71 cos ku du = kBk ■ Aus der Bedingung 664 Integralrechnung. ^j/'(u)du = i[/(«) -/(O)] = 0 ergiebt sich f(sz) = /(0) . Das die übrigen Coefficienten bestimmende Integral ergiebt durch theilweise Integration //» coskudu = f(ti)cosku 4- kff(u) sin ku du , mithin ist 2 /* 2 — I f'{u) cos ku du = — [/(it) cos /£tt — /(0)] + k Bk- Die beiden Seiten der Sinusreihe darf man also nur dann diffe- rentiiren, wenn f'(u) innerhalb der Grenzen 0 und tt endlich ist, und wenn /(-) = /(0) = 0 . 9. Entwicklung einiger Functionen in periodischen Reihen. A. Durch die Sinusreihe kann eine constante Grösse dargestellt werden. Setzt man f(pc) = 1, so erhält man n r 01 1 10, wenn k gerade, 2 / . , , 2 1— cos kr. ’ ö bk — — I smkvdv = — •-,--= < 4 k %k , „ ungerade, und daher 7t 4 sin 3 x sin 5 x sin 7 x 3 5 0 < x < r . Für x = -g erhält man hieraus die I.F.iBNiTz’sche Reihe 1 I I 5 7 ^ 9 ~~ * * ■ • B. Für die Entwicklung von fix) — x nach der Cosinusreihe ergiebt sich - = 1 - i 4 3 A = ,! jxkx = |. A _ | f. x cos kx dx = — TZ x sin kx cos k x k h 0 ]■ TT 4 / = 2 “ «V cann man se r (l “ “ & cos X Hierfür kann man setzen 7t 4 0, wenn /■ gerade, 4 TZ k^ , „ k ungerade; rz>r 3 x 5 x cos 7 x 3 2 r j 2 ^ 72 ^ 3 x rw 5 x cos 7 x 3 2 52 ^ Y2 1 -)• 0 < X < 7t ■ An den Grenzen der Gültigkeit, für x = 0 und x = 7t erhält man gleich- massig 1 1 1 8 1 + 3 2 ö 2 72 § ii. Die periodischen Reihen und die Fourif.r’ sehen Integrale. 66s Setzt man f(x) = x in die Sinusreihe ein, so entsteht Bk .x sinkxdx = — j [cos {k -+- p) x — cos(k — p) x] dx, o ö 1 D sin(k -l- p) x sinik — p) x] . 2 ksin\i.n = n |_0 - *=T\ = (_ 1} ' - ' — !’- 2 • Mithin ist tz sin px sinx 2 sin'ix 3 sin 3 x hsin5x sinx 2 sin pn 1 2 — p 2 2 2 — p 2 3 2 — p 2 5 2 Macht man in C und I) die Substitutionen x=i), x — t: und x—^tz, so entsteht n 1 1 1 1 1 2p sin pn 2p 2 l 2 — p 2 2 2 — p 2 3 2 — p 2 l n 111 2p 2 2p ' C0 * pn — l 2 - p 2 2 2 — p 2 1 1 3 2 — p 2 5 4 cos \pn l 2 — p 2 3 2 — p 2 5 2 —p 2 die für jeden Werth von p gelten. 7 2 — p 2 666 Integralrechnung. E. Für die Function xsinx hat man 7t 7t 7t J xsinx coskxdx = if xsin(k -+- 1 ) xdx — | f xsin(k — 1 ) xdx, 0 0 0 TT 7t / # . , x _ f— xcos(kdz\)x sin(kdz\)x~\ . xsm(k ix: 1 )xdx = I- k dz \ - — (k zb l ) 2 J * a * so J xsinxcoskxdx = (— l)*+i & 1 ‘ Auf den Fall k — 1 ist diese Formel nicht anwendbar; man findet hier direkt 7t 7t / x sin x cos xdx — — / x sin2xdx = — — . 2 / 4 0 0 Fügt man hierzu noch 7t jx sin xdx = jc , o so gewinnt man die Entwicklung 1 COS X xsinx — — H- — 2 2 4 cos 2x 1 • I! cos 3x cos 4 x Die beiden Seiten dieser Gleichung ändern sich nicht, wenn x das Vorzeichen wechselt; daher gilt diese Entwicklung zwischen den Grenzen - n < X < TZ . Dieselben Gültigkeitsgrenzen für die Cosinusreihe treten für jede Function ein, die für entgegengesetzt gleiche x gleiche Werthe hat. F. Bekanntlich ist (§ 5, No. 9) y ‘ ev- x ev- x cos kxdx = _f_ jp (9 cos ^ x ~b ksin kx) -4- C, f . , ev- J \ev- x sin kxdx = ■k* (p sin kx — k cos kx) C. Daher hat man n / 0 1 [■ ev- x cos kxdx = 9 e~ v- x cos kxdx = — [X 2 + & _9 9 2 («o* cos kn — 1 ), ^2 (e~v- n cos kn — 1 ), J ev- x sin kxdx = “i lx sin kxdx — je~v- x sii jx 2 '4- k 2 k 9 ' (1 — ev- K cos kn ), (1 — e-v-^cos kn). Mit Hülfe dieser Integrale erhält man leicht die beiden Entwicklungen 7 - ev- x -+■ e~v- x 1 cos x cos2x cosSx 2 2|X £0* - £-1*« ~ 2p. ic ev- x — e~v- x sin x 2 ev-* — e— 1 2 —u. I 2 - p 2 2 2 + p 2 3 2 -9 p 2 2sin2x 3 sin 3 x 2 2 -h p 2 3 2 10. Es ist nicht nöthig, dass die Function fix), welche in eine Cosinus- bez. Sinusreihe verwandelt wird, innerhalb des ganzen Intervalles 0 und n nach dem- § ii. Die periodischen Reihen und die FouRlER’schen Integrale. 667 selben Gesetze gebildet sei; man kann vielmehr die Curve CD (Fig. 534) aus einzelnen Stücken zusammensetzen, deren jedes einer andern Gleichung entspricht. Gilt von 0 bis x t die Function f 1 ( x ) , » x \ it x 2 >1 i> 11 f 2 O*) > ,, x% ,, x 3 ,, ,, ,, f 3 (#), ,, X f —1 ,, TT ,, ,, ,, fr{?C) 1 so hat man jedes bei der Berechnung der Coefficienten A 0 A 1 A i ■ ■ B\ßi ■ ■ vorkommende von 0 bis rc erstreckte Integral in folgender Weise zu zerlegen 71 * 2 Jfix) cos kxdx — jf.\ (x) cos kxdx -+-J / 2 i x ) kxdx 0 0 *3 71 4- J/ 3 (x)cos kxdx 4- . . 4- J/ r (x) cos kxdx. X^ X r —1 und die einzelnen Theilintegrale zu berechnen. Um hierfür ein einfaches Beispiel zu haben, wollen wir annehmen, es soll für x = 0 bis x = -J-t: eine beliebige, endlich bleibende Function ep(et) und von |- 7 t bis it die Function 9 (77 — x) gelten; für x = ergeben beide Functionen den gemeinsamen Werth 9 ( 3 - 71 ), so dass an der Uebergangsstelle keine Unterbrechung der Continuität eintritt. Für die Entwicklung in eine Sinusreihe hat man Bk = — J' r f(x) sin kxdx 4 - J'y — x)sii 0 n sin kxdx. Substituirt man im zweiten Integrale 7t — x = t, so erhält man 7t « 7t -g- -ff — x)sinkxdx = J sin kxdx , wenn k ungerade. Daher hat man die Entwicklung cp(et) = B x sinx 4- B s sin3x 4 - B^sinbx wobei Bk 3 cp (x) sin kx dx , und x auf den Spielraum von 0 bis 1 - angewiesen ist. Setzt man cp (et) = x, so erhält man 5 5 4 r 4 r B^k+i = — I xsm{2k 4- 1 )xdx = — - xcos{2k 4 - l).t sin(2k 4- l)et~| 2k 4 - 1 {2k 4- l) 2 668 Integralrechnung. Daher hat man in Uebereinstimmung mit No. 9, B r. . sin 3 x sin 5 x sin 7 x -32 I 5*“ — • x = sinx — 4 72 0 < * < g ' 11. Nimmt man ferner von 0 bis 4 die Function y(x) = x 2 von 4 bis it aber so muss sich das arithmetische Mittel aus (p(^-r — 0) und 9(4 + 0), d. i. 4 2 ergeben. Wir erhalten, da die Cosinus aller ungeraden Vielfachen von .4 verschwinden, , / JL_ 4 _1_ 4 \ 42 2 + 4 2 + 6 2 + 8 2 + - 7 ‘ Die eingeklammerte Reihe ist der vierte Theil von 1 1 1 4 + 32 + 42 + • • • Bezeichnet man diese Summe mit N, so hat man J 4 2 ^ 4 2 Der erste Theil der rechten Seite ist £t: 2 (No. 9, B); der zweite ist daher hat man |S = £* 2 > folglich ist 24 + 21 1 -+- s ~ 0 + p + h + 7^ + • •) + (i 1 + 62 + § ii. Die periodischen Reihen und die FouRlER’schen Integrale. 669 6 1 1_ 2 2 1_ 32 1 42 p Mithin ergiebt sich in der That — 9 (1 1 J_ \ _ ^ 24 + 2 \2 2 + 4 2 + 6 » + ' 7 — 24 + 12 ~ 8 ' 12. Durch eine einfache Substitution kann man aus den Reihen f(x) = A 0 -t- A 1 cosx -+- A 2 cos 2x h- . . . 1. 2. f{ x ) — A\ sin x -+- B 2 sin 2 x + B :t sin 'ix -+- . . . neue periodische Reihen ableiten, deren Gültigkeit nicht auf das Gebiet 0 bis 7 ; beschränkt ist. Macht man in einer für 0 < x 0 0 . 2 fr/ \ knx v 2 r»-/ kr ' x a Ak = — 1 Am w-H- I F (— x)cos - dx . aj KJ a aj v ' 0 0 0 Ersetzt man in den F (— x) enthaltenden Integralen x durch — x, so erhält jedes die Grenzen 0 und — n und lässt sich mit dem vorhergehenden vereinigen; es entsteht ^0 r/ F(x)dx, kszx , cos - dx . a Für diese Werthe der Coefficienten ist also 1ZX %TZX 1. F{x) -+- F( — x) = A a -+- A^cos — + A t cos—^~ -+-... — a < x < a. Die Function F(x) — F (— x) verschwindet für x = 0 und wechselt mit x das Zeichen. Entwickelt man sie daher nach No. 12, 7, so gilt die Reihe von — a bis -+- a. Für die Coefficienten ergiebt sich Bei diesen Werthen der Coefficienten ist tzx 2ita: . 3tzx 2. Z'(^) — F( — x) = B i sin —- -+- B 2 sinx -+- B 3 sin -+- . . — a < x < a . Nimmt man die halbe Summe der Gleichungen 8 . und 9., so erhält man schliesslich . . . szx 2xx . 3kx F(x) = A 0 -+■ A l cos — -+- A 2 cos -+ A 3 cos - -+- . . 3 „ . izx . 2nx . 3tc je 4- B.stn — -I- B«sm - -+- B % sm --+- . . 1 a ‘ a ‘ a — a < x < a, wobei die Coefficienten die Werthe haben an a 1 f* 1 ( klZX 1 f* klZX A 0 = ^ / F(x)dx , Ak = — / F{x)cos dx , Bk = — j F(x)sin - dx. —a —a —a Da man für a beliebig grosse Werthe nehmen kann, so folgt, dass jede Function innerhalb eines beliebig grossen Gebiets durch eine periodische Cosinus- Sinus-Reihe von der Form 3. dargestellt werden kann, wenn sie nur innerhalb dieses Gebietes endlich bleibt. Soll eine gegebene Function fix) für alle zwischen — a und a liegenden Werthe der Variabein durch die Reihe 3. dargestellt werden, so ist nur eine solche Darstellung möglich; wenn dagegen die Forderung gestellt wird, dass die Reihe 3. nur für die zwischen b und c enthaltenen Werthe der Variabein mit fix) übereinstimmen soll, wobei — a < b < c < a , so kann man unzählig viele Entwicklungen angeben; denn man kann dann für die nicht zwischen b und c enthaltenen Werthe der Variabein, die bei b und c abgebrochene Function § ii. Die periodischen Reihen und die FouRlER’schen Integrale. 671 f(x) durch beliebige endlich bleibende Functionen f x (x) und (x) fortsetzen (vergl. No. 10). 14. Die in No. 12 entwickelten Reihen gestatten eine werthvolle Anwendung auf das Problem der Umkehrung der Functionen*). Dieses Problem besteht darin, y aus der Gleichung x = ‘ verschwindet für y — 0 und für y = 00 . Zur Bestimmung der eminenten Werthe ist die Gleichung aufzulösen • e~y — ye-y = 0 . Sie liefert y = 1; das zugehörige Maximum von x ist 1 : e. Man kann daher eine Umkehrung für das Gebiet y = 0 bis y = 1, und eine zweite für y = 00 bis y = 1 entwickeln. Für die erste erhält man y = A 0 -+- A 1 cosnex A 2 cos2T.ex + . . . 1 0 < x < —, ^ 0 = 1 e I ye~y A * = 1 cos dt ’ Bk = \ j F ® Shl k ~T dt ’ —a —a kann man auch in der Form schreiben — a § II. Die periodischen Reihen und die I'ouRiER’sclien Integrale. 673 F{x) a 00 a 1 krd - cos a kizx krj kizx\ -h stn - sin —— I dt> a a a) 1 eo a =£ f F( - t)dt + 2 *« f m cos —a * —(t Da die unter dem Summenzeichen stehende Function für entgegengesetzt gleiche k gleiche Werthe hat, so hat man 00 —1 2 = 2 ; 1 —00 man kann die Summe daher nach dem Schema zerlegen 00 eo —1 2 = *2 + *2 ■ 1 1 —00 Da ferner die Function für k = 0 in Fit) dt übergeht, so erhält man schliesslich die Zuzammenfassung OO a 2 . F{x) = ~ ~ I'F(t) cosk ~ (t — x) dt. Ist a eine sehr grosse Zahl, so werden die mit Cosinus multiplicirten Glieder der Reihe I. nahezu constant, während die Glieder des zweiten Theils wegen der Sinus gegen den ersten Theil unbeträchtlich klein werden. Da nun die Reihe nach wie vor die Function Fix) ausdrückt, so folgt, dass die Anzahl der Glieder, durch die man eine hinlängliche Annäherung erzielt, im Verhältniss zu a sehr gross sein muss. Lässt man in 2. die Zahl a unendlich wachsen, so hat man daher daran festzuhalten, dass die äussersten Grenzen für k zu dem unendlichen a ein unendlich grosses Verhältniss haben. Ist a unendlich, so ist tc : a unendlich klein. Bezeichnet man kr. : a durch u, so wächst u nach der über k soeben gemachten Bemerkung von — 00 bis -t- 00 , die Grösse u : a ist ein verschwindend kleiner Theil von u und kann mit i\u bezeichnet werden. Damit geht aus 2. hervor ™ <*> F{x) £ [jF(f)cosu(t — x) öv| A — 00 —00 3. Aus dem Begriffe des bestimmten Integrals folgt, dass man hierfür setzen kann F(x) OO ©O costi (t — x) du dt. Hierbei gilt die von den periodischen Reihen her bekannte Beschränkung, dass Fix) innerhalb des ganzen realen Gebiets nicht unendlich gross werden darf; ferner, dass das Doppelintegral J = j' I'F{t)cosuit — x)dtdu für solche Werthe von x, für welche Fix — 0) von Fix -+- 0) verschieden sind, das arithmetische Mittel dieser beiden Grenzwerthe ergiebt. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 43 674 Integralrechnung. Wie bekannt, ist es nicht nöthig, dass die Function F(x) innerhalb des ganzen Intervalls von — oo bis oo immer dasselbe Gezetz befolgt; es steht vielmehr vollkommen frei, die Curve y = F i x ) aus ganz beliebig gewählten Theilen verschiedener Curven zusammenzusetzen; dabei kann man nach Willkür die einzelnen Theile continuirlich Zusammenhängen lassen, oder an den Uebergangsstellen Discontinuitäten anordnen. Von besonderem Interesse ist es, die Function von — oo bis zu einer beliebigen Grenze x = b constant = 0 zu nehmen, von b bis ß mit einer gegebenen Function F(x) zusammenfallen zu lassen, und von x = ß bis x = oo wieder constant = 0 vorauszusetzen. Das nach t genommene Integral in 3. verschwindet alsdann für die beiden Intervalle — oo bis b und ß bis oo, und es bleibt OO ß ^ Fix) = — / jF(f)cosu(t — x)dudt, b < x < ß . An den Grenzen b und ß gilt 4. nicht mehr; es ist vielmehr, da hier die dargestellte Function discontinuirlich ist, kff m cosu{t — b) du dt = ^ F(l >), OO ß fj> m cosuit — fydudt = i-^(ß) • Für jedes x, das kleiner als b oder grösser als ß ist, hat man 9 ff™ cosu{t — x)dudt = 0. Die FouRiER’schen Doppelintegrale*) 3. und 4. gewähren das hohe Interesse, dass sie willkürliche endlich bleibende Functionen von x darstellen; und zwar 3. innerhalb des ganzen realen Gebiets, 4. innerhalb eines beliebig gewählten, während ausserhalb desselben das Integral verschwindet. 16. Dieselben Betrachtungen, die wir im vorigen Abschnitte auf die Cosinus- Sinus-Reihe angewendet haben, sind auch für die Cosinusreihe und für die Sinusreihe verwendbar; leichter gelangen wir zu denselben Ergebnissen, wenn wir das Integral No. 15, 3 zum Ausgangspunkte nehmen. Wir transformiren dasselbe zunächst in Fix) — — J'du \^ os xu J'F{t)cosutdt + sinuxJ' f^) sinutdt^ Wir wollen nun für F(x) innerhalb der Grenzen 0 bis oo eine willkürliche Function nehmen, für negative x aber die Function so fortsetzen, dass F(—x) = F(x). Unter dieser Voraussetzung ist ’) Fourier, Theorie analytique de la chaleur. Paris 1822. § ii. Die periodischen Reihen und die FouRiER’schen Integrale. 0 oo o 675 JF{f)sinutdt = — JF(t) sinut dt, Jp(t)cosutdt = JFit) cos u tdt —00 0 —00 0 und daher OO OO OO §F(f)sinutdt = 0, fF(t) cos utdt = 2 \fp(t)cosutdt. —00 —00 Q Demnach ist schliesslich *(*) = i ff™ cosxu cosut du dt f ()<.#< 00 , —00 0 Da das Produkt cosxu cosut unverändert bleibt, wenn u das Zeichen wechselt, so kann man hierfür noch einfacher setzen OO 00 2. *■(*) = | ff™ cosxu cos utdu dt *0 0 0 < x < 00 . Wählt man hier wieder die Function gleich Null von x = 0 bis x = b , willkürlich von b bis ß, und gleich Null von ß bis 00 , so erhält man P 3. F(x) = Uf™ cosxu cosut du dt , 0 i> Für die Grenzen ist OO ß 0 < b < x < Uf™ cos bu cosut du dt = \ F{b) ■ Ul F(t) cos$u cos utdu dt = ^-^(ß) ; Qi Qi ist 0 < x < b, oder b < x, so ist OO ß Jj'p(t)cosxu cosutddu = 0. 0 i 17. Nimmt man F(x) willkürlich für das Gebiet 0 bis 00 , setzt aber die Function für negative x so fort, dass F( — x) = — F{x), so hat man 0 co 0 co jF(t)cosutdt = — JF(t)cosutdt, jF(t)sinutdt = Jp(t)sinutdt , — 0 —~ 0 und daher 00 00 OO Jp(t)cosutdt = 0, Jp(t)sinutdt = 2 jF(t)sinutdt. -OO -OO 0 Die Gleichung No. 16, 1. ergiebt daher ^0 = Uf m sinxu sinutdudt, 0 < x 0 . f u sin xu 7t m* du = i e -*’ X>Q - Ersetzt man hier u durch — und x durch ax so erhält man die Integrale a COS XU 7t -=- du = — e-™ 0 , x > 0, /; a* w du = a > 0, jc > 0. Bemerkung. Die auf pag. 673 gegebene Herleitung des Resultates 3. stimmt im Wesentlichen mit Fourier’s Deduction überein; sie gestattet aber einige Zweifel und bedarf daher einer genaueren Untersuchung, bezüglich deren wir auf Schloemilch’s »Compendium der höheren Analysis«, Bd. II, verweisen. II. Th eil. Functionen einer complexen Variabein. § 12. Algebraische Functionen einer complexen Variabein. 1. Durch Vereinigung einer realen Zahl a mit einer imaginären bi entsteht die complexe Zahl a -+- bi. Alle zu dem realen Bestandtheile a gehörigen complexen Zahlen werden erhalten, wenn b die reale Zahlenreihe von — oo bis -t- °o durchläuft; hieraus entstehen weiter alle complexen Zahlen überhaupt, wenn a die ganze reale Zahlenreihe durchläuft. Bezeichnet oo die Menge der realen Zahlen, so ist die der complexen oo 2 . Zur geometrischen Darstellung bedürfen daher die complexen Zahlen eines Gebietes zweier Dimensionen, einer Fläche. Wählt man hierzu die Ebene, so hat man sich zunächst darüber schlüssig zu machen, wie die positive und negative imaginäre Einheit darzustellen sind, und wie man den geometrischen Begriff der Summe*) auf die Summe einer realen und imaginären Zahl auszudehnen hat. Die imaginäre Einheit i wird man als eine Strecke darstellen von derselben I.änge, wie die reale Einheit, nur von anderer Richtung. Beachtet man nun, dass 1 . z = z, i • i — — 1 , dass also die negative reale Einheit aus der positiven imaginären durch dieselbe arithmetische Operation hervorgeht, wie die positive imaginäre aus der positiven realen, und dass bei einer geschickt gewählten geometrischen Darstellung gleichen arithmetischen Operationen auch in bestimmter Hinsicht gleiche geometrische entsprechen müssen, so entsteht nun die Forderung, die Richtung der imaginären Einheit so zu wählen, dass der Winkel zwischen 1 und -t- i gleich dem Winkel zwischen i und — 1 ist, also so, dass sie mit der positiven realen Einheit einen rechten Winkel bildet. Die positive imaginäre Zahl bi wird durch die Strecke OQ dargestellt, die der Strecke b gleich und mit der imaginären Einheit OJ gleichgerichtet ist; ferner die negative imaginäre Zahl •— bi durch eine Strecke, die der Strecke bi entgegengesetzt gleich ist. Die Gerade OX (Fig. 536) wird als die reale, OY als die imaginäre Achse bezeichnet. 2. Den geometrischen Begriff der Summe dehnen wir auf reale und imaginäre Summanden aus, und bezeichnen mit der Summe a -t- bi die Strecke OB, welche erhalten wird, wenn man OA gleich und gleichgerichtet mit a, und *) Um zwei (reale) Zahlen zu addiren, die durch die vom Nullpunkte O ausgehenden (auf der realen Achse enthaltenen) Strecken OA und OB dargestellt sind, construire man die Strecke AC, welche der Richtung und Länge nach mit OB übereinstimmt; alsdann ist OA + OB = OC. Diese Definition umfasst zunächst die Addition realer positiver und negativer Zahlen. Lässt man die eingeklammerten Beschränkungen weg, so wird sie für das ganze complexe Zahlengebiet verwendbar. 12. Algebraische Functionen einer complexen Variabeln. 679 AB gleich und gleichgerichtet mit bi macht. Demnach sind die Strecken OA lt OA 0 , OA., OA 4 der Reihe nach die Repräsentanten der complexen Zahlen 5 -P 3 i, — 5 -+- 3 i, —— 5 — 3 i, 5 3 i, 3/ bezeichnet. und die Punkte A lt A 2 , A%, A i werden als die Zahlpunkte ± 5 Ist P die Projection von P auf O X und ist O P = x, P P = y, so ist P der Zahlpunkt x -h yi. Ferner ist X OP = r — j/x 2 + y 2 , wobei wir die Wurzel positiv rechnen wollen; wird XOP mit cp bezeichnet, so ist x y cos «»? = -, x -p iy — r (cos

des Produkts hat man , ab — cd ab cd cos <1> = ^ ^ r ^ r r i ad ) 2 = Ya 2 c 2 -p b 2 d 2 -p b 2 c 2 -P a 2 (fi -p d 2 ) = r • r, R cos( cp + cp,) , 68o Integralrechnung. ac ■ bd R d sin (cp -+■ cp t ). sin <[> = ~ “ “i r r l Daher folgt: Complexe Zahlen werden multiplicirt, indem man ihre Moduln multiplicirt und die Amplituden addirt. Ist in complexen Zahlen OR = OP- OQ, und ist ferner OE — 1, so besteht zwischen den vier Strecken OE, OP, OQ und OR die Proportion OE\OQ = OP:OR; ferner ist EOR = EOP-^EOQ, also POR = EOQ. Daher sind die Dreiecke EOQ und POR gleichsinnig ähnlich. Für den Quotienten zweier complexen Zahlen z — r(costf -+- isin'f), z x — r 1 (cosy x -+- isintf j) folgt durch Umkehrung der Multiplication (M. 538.) Insbesondere ist z r — = y [cos(y — Z 1 '1 isin(y — tp 1 )]. J = 7 ?) + isin(— cp)] = - (cos

. . -t~ Ä u —i x + A n == 0, wo A 0 , A t . . A„ ganze rationale Functionen der Variabein z sind. Man sieht hieraus sofort: Ist j eine algebraische Function von z, so ist auch z eine algebraische Function von 7. Ist die Gleichung •

*) = o in Bezug auf ^ vom Grade n, so gehören zu jedem Werthe von z n im Allgemeinen von einander verschiedene Werthe von s. Dieser algebraische Fundamentalsatz wird in den Elementen der Algebra gewöhnlich nur unter der Voraussetzung bewiesen, dass die Coefficienten A 0 , A x . . A n reale Zahlen sind; da wir ihn im Folgenden ganz allgemein zu verwenden haben, so mag ein von der genannten Beschränkung befreiter Beweis hier statt haben. Man denke sich für z in die Function , p 2 u> 2 , p 3 to 3 . , 682 Integralrechnung. p”— 1 to"—i vollzählig vorhanden sind, hängt von besonderen Umständen ab; es können im gegebenen Falle sehr wohl einige davon, — oder auch alle — fehlen. Gesetzt nun, es sei pGo^ die niedrigste Potenz von p)’ 1 . Den Anfang macht M 0 4 - N 0 i, da cp (s) nach der Voraussetzung diesen Werth annimmt, wenn man k 4- ... 4- i(N 0 4- zMk<.o k -+-...), wobei die nur angedeuteten Glieder Potenzen von u> enthalten, deren Exponenten grösser als k sind. Die Quadrate der Moduln dieser beiden complexen Grössen sind, nach Potenzen von m geordnet. M 0 * 4- N 2 + 2 s (M 0 M k 4- N 0 N k )o> k + . . . bez. Mi + N* + 2 s(iF 0 M k — M 0 N k ) n>* + . . . Man wähle nun s in jeder der beiden Entwicklungen so, dass die mit ‘-S + . . . + B„ -1 11 . s. f., so erhält man: Jede ganze algebraische Function raten Grades einer Variabein ist das Produkt von ra linearen Functionen. Der soeben gegebene Satz ist von dem folgenden nicht verschieden: Jede Gleichung raten Grades mit einer Unbekannten hat « Wurzeln, von denen mehrere zusammenfallen können. Aus der Zerlegung der Function raten Grades cp (s) in « lineare Faktoren erkennt man zugleich, dass die Gleichung cp (s) = 0 nicht mehr als ra reale oder complexen Wurzeln haben kann. Wenn eine Gleichung raten Grades nur reale Coefficienten hat und eine complexe Wurzel zulässt, so hat sie bekanntlich auch die conjugirt complexe Wurzel. Dieser Satz gilt für Gleichungen mit complexen Coefficienten nicht. Man übersieht dies sofort, wenn man in der Gleichung raten Grades (s — a) (s — b) . . . . (s — ra) = 0 für die ra Grössen a, b, c . . ra beliebig gewählte reale oder complexe Zahlen setzt; denn man erhält dann eine Gleichung raten Grades für s, deren complexe Wurzeln in keiner Weise von einander abhängig sind. 8. Wir schliessen hieran eine Bemerkung über die Zerlegung einer echt gebrochenen Function in Partialbrüche. In § 3, No. 2 ist die Zerlegung einer echt gebrochenen realen Function gezeigt worden, unter der Voraussetzung, dass der Nenner keine mehrfachen Faktoren hat. Das dort gewonnene Resultat i(f)_ A \ _, _, _ a — iik) y = u 2 + z > 2 ' Um eine Vorstellung von der Verwandtschaft der beiden Ebenen zu erhalten, wollen wir in der Functionsebene die Linien aufsuchen, die den Parallelen zur realen und imaginären Achse in der Variabeinebene entsprechen, d. i. die Curven, welche der Punkt w zurücklegt, wenn z die Parallelen zu den Achsen durchläuft. Für eine Parallele zur imaginären Achse ist x constant, y willkürlich; daher erfüllen u und v die Gleichung u 1 1. —5-, = x oder u 2 + v 2 - u — 0, u* -p v* x worin x eine gegebene Zahl ist. Für eine Parallele zur Abscissenachse ist y constant; die Coordinaten der zugehörigen Functionspunkte erfüllen also die Gleichung v 1 2. — -rj—■-5 = y , oder n 2 -p v 2 4- — v = 0 . u 1 -+- v 2 y Die Curven 1. bilden ein Kreisbüschel, dessen Centrale die U -Achse ist und dessen Kreise die U-Achse berühren; die Curven 2 . bilden ebenfalls ein Kreisbüschel, die Centrale ist die V- Achse und die Kreise berühren die U- Achse. Die Büschel sind orthogonal, d. h. jeder Kreis des einen wird von jedem des andern unter rechten Winkeln geschnitten. § 12. Algebraische Functionen einer complexen Variabein. 685 Sind Modul und Amplitude von r und z die Grössen R, , r, cp, so ist R = —, = — w. z. b. w. C v du 15 . Aus der Gleichung No. 14 , 2 . folgt der wichtige Satz, dass der Differentialquotient einer Function einer complexen Variabeln nicht von dem Verhältnisse dw abhängt, in welchem sich x und_j» ändern, denn enthält nur die Variabein x und y, nicht aber das Verhältniss dy : dx. Soll 2 eine verschwindend kleine Aenderung erfahren, so kann dies auf unendliche vielfache Weise geschehen, denn man kann den Punkt 2 nach allen möglichen Richtungen hin in der Functionsebene eine verschwindend kleine Verschiebung ertheilen. Zu jeder solchen unendlich kleinen Verschiebung dz von 2 gehört eine bestimmte, unendlich kleine Verschiebung dw des entsprechenden Punktes w in der Functionsebene; das Verhältniss dw : dz ist aber von der Richtung der Verschiebung von 2 unabhängig. 16 . Der Differentialquotient von wist eine Function von 2, denn es ist Daher hat man dw' ~dj dw' dx dw' dx d_ dy d_ dx dw d z dw dz d^w dx dy ’ . d^w 1 dx dy ‘ . dw' dx w. z. b. w. Man schliesst nun sofort weiter, dass auch alle hohem Differen tial- quotienten von w Functionen von 2 sind. , 17 . Setzt man Y| a = a -+- ßf und a, = a 1 -t- ( 1 , 7 , ‘1 — so ist « 1 — a = a x ■— a + (ßj — ß) 7 . Der Modul der Differenz ist daher gleich dem Abstande r der Zahlpunkte a und a x und die Amplitude ist gleich der Winkel dieser Strecke mit der positiven realen Achse; man hat daher a x = a + r{cosy -+■ t sintf). Wir ertheilen nun der Variabein 2 zwei verschiedene verschwindend kleine Verschiebungen, durch welche sie nach z' und z" gelange; durch die entsprechenden Verschiebungen komme die Function von w nach w' und w". Bezeichnet man die verschwindend kleinen Moduln der Differenzen 2' — 2, X (M. 539.) tv- Ebene (M. 540.) 688 Integralrechnung. z” — z, w' — w, w" — w der Reihe nach mit r\ r", p', p", die Amplituden mit cp', cp", K — (z) verschwindet, die unecht gebrochenen ausserdem noch für z = &o. 20. Gehören zu einem Werthe der Variabein im Allgemeinen verschiedene Werthe von w, so heisst die Function mehrwerthig, und zwar zwei-, drei-, vienverthig u. s. w., sobald zu einem z im Allgemeinen zwei, drei, vier u. s. w. verschiedene Werthe von «/ gehören. Mehrwerthig sind alle irrationalen Functionen; die durch die Gleichung «ten Grades für w und 9 , so ist cos -t- i sin g-'j • }/ r (cos |- 4 - z sin | j . w = Y*( *) Um ein anschauliches Modell eines Theiles dieser Fläche zu erhalten, schneide man zwei gleiche Stücke Papier b , und b. t und zerschneide sie entlang OX; hierauf lege man sie so auf einander, dass die Schnitte sich decken, und verbinde durch Ueberkleben mit einem Streifen Papier den Rand 1. des obern Blattes mit 2. des unteren. An den Stellen c und d mache man entlang OX kleine Schnitte in den verbindenden Streifen, und schiebe durch dieselbe schmale Papierstreifchen, durch die man nun bei c und c' bez. d und d' durch Ankleben den vordem Rand des obern mit dem hintern Rande des untern verbindet. Die Vorschrift über das Ueberschreiten der Verwachsung findet dann ihren deutlichen Ausdruck darin, dass man auf dem langen Streifen nur von oben 1 nach unten 2, auf den schmalen Stegen nur von oben c und d nach unten d und d 1 , oder umgekehrt, gelangen kann. h ! h i 1 r i c d 1 {. U | : 0 L M i<*i ; 0' z i xt i:v 694 Integralrechnung. Geht nun z von einem Punkte z 0 aus, und auf einer Curve wieder nach z 0 zurück, so erlangt der Faktor seinen Ausgangswerth wieder, oder den entgegengesetzt gleichen, je nachdem der Weg des z den Punkt a eine gerade Anzahl Male (Null mit eingerechnet) umkreist, oder eine ungerade; ebenso erreicht dabei der andere Faktor cos ~ -1- i sin -f- seinen Ausgangswerth oder nicht, je nachdem der Punkt b eine gerade oder ungerade Anzahl Male von z umkreist wird. Wenn beide Faktoren ihren Anfangswerth nicht erreichen, also beide am Ende des Weges Werthe angenommen haben, die den Anfangswerthen entgegengesetzt gleich sind, so hat sich ihr Produkt nicht geändert, w also den Ausgangswerth wieder erreicht. Daher erkennt man, dass w den Ausgangswerth wieder erreicht oder nicht, je nachdem der Weg der Variabein die beiden Punkte a und b zusammengenommen eine gerade Anzahl Male umkreist, oder eine ungerade. Hiernach ergiebt sich folgende dem Zwecke genügende RiEMANN’sche Variabeinfläche: Man decke zwei Ebenen auf einander und denke sich dieselben entlang der Geraden ab so verwachsen, dass man von einem Rande der Geraden auf den andern nicht übertreten kann, ohne dabei von dem obern Blatte ins untere zu gelangen oder umgekehrt. Auf dieser Fläche kann man von einem Punkte c aus nur auf solchen Wegen zu c zurückgelangen, die keinen der Windungspunkte a und b umkreisen ( (z. B. Weg 1),- oder einen \ nach dem andern jeden ein- j mal umkreisen (Weg 2), oder / die einen zweimal umkreisen (Weg 3) oder die beide zusammen einmal umkreisen (Weg 4), oder auf Wegen, die sich aus Wegen dieser vier Arten zusammensetzen lassen; in jedem dieser Fälle erlangt w wieder seinen Ausgangswerth. \ (M. 546.) Ist mm festgesetzt, welchen Werth w für irgend einen Punkt z 0 der zweiblätterigen Fläche haben soll, so ist der Werth in jedem Punkt z t eindeutig bestimmt durch die Aenderung, die w erleidet, wenn z auf irgend welchem Wege auf der Fläche von z 0 nach z 1 geht. 27. Bezeichnet man für die Function w = Y(g — a) (z — b) (z — c) (z — d ) mit r x , r 2 , r 3 , r 4 die Abstände der Punkte a, b, c, d vom variabeln Punkte z und mit

s + isin^-J . Beschreibt z auf der Variabein-Ebene von z fl aus eine geschlossene Curve, die den Punkt a eine gerade bez. ungerade Anzahl Male umkreist, so bekommt der Faktor ]/Vi (cos j -h isin yj seinen Ausgangswerth, bez. den entgegengesetzt gleichen, und umgekehrt; das Entsprechende gilt für die übrigen Faktoren von w. Wenn daher s eine Bahn beschreibt, die alle die vier Punkte zusammengenommen eine gerade Anzahl Male umkreist, so erlangt m wieder seinen Ausgangswerth; ist aber die Summe der Umkreisungen aller vier Punkte ungerade, so erlangt w nicht den Ausgangswerth wieder. Hieraus erkennt man, dass w eine eindeutige Function des Ortes der Variabeinfläche wird, wenn man dieselbe folgendermaassen construirt: Man legt zwei Ebenen auf einander, und lässt diese entlang einer Geraden verwachsen, die zwei von den Punkten a, b, c, d verbindet, sowie auf der Geraden zwischen den beiden andern; diese beiden Verwachsungen sollen so gewählt sein, dass sie sich nicht schneiden. Betreffs der Ueber- schreitung der Verwachsungen sollen dieselben Bestimmungen gelten, wie bei den vorigen Beispielen. Durchläuft man auf dieser Fläche von einem Punkte e des obern Blattes aus eine Curve, deren Grundriss geschlossen ist, und die keinen der Windungspunkte a, b, c, d umkreist, so führt diese Curve zu e selbst zurück, endet nicht in dem unter e im andern Blatte liegenden Punkte (Weg 1). Wenn man von e ausgehend einen Windungspunkt ( a , Weg 2) einmal umkreist, so kommt man in das untere Blatt; um in das obere zurückzugelangen, muss man noch einen Windungspunkt (z. B. c ) einmal umkreisen. Ein Weg, der zwei durch eine Verwachsung verbundene Windungspunkte oder alle vier umkreist, kann ganz im obern Blatte liegen (Weg 3)*). Man überzeugt sich so, dass man in dieser Fläche nur solche wirklich geschlossene Linien ziehen kann, die die Windungspunkte zusammen eine gerade Anzahl Male umkreisen. Ist daher festgesetzt, Welchen der beiden möglichen Werthe w in einem Punkte dieser Fläche haben soll, so ist der Endwerth, den w erreicht, wenn z von diesem Punkte auf der Fläche zu einem andern geht, eindeutig bestimmt und vom Wege unabhängig. Diese Beispiele genügen für die weiteren Betrachtungen, die wir hier durchführen werden. (M. 547.) *) Um sich diese Verhältnisse recht deutlich zu machen, zeichne man sich mehrere geschlossene Wege, die die Windungspunkte immer anders umkreisen, und achte darauf, die Wegtheile zu punktiren, soweit sie im untern Blatte liegen. 696 Integralrechnung. §13. Integrale complexer Functionen. 1. Es sei /(z) eine Function der complexen Variabein z, und für z eine RiEMANN’sche Variabeinfläche construirt, so dass f(z) eine eindeutige Function der Funkte dieser Fläche ist; ferner seien zwei Funkte z 0 und Z dieser Fläche durch eine in der Fläche liegende Linie l verbunden, und diese Linie durch eine Anzahl Punkte z t , z 2 , z 3 . . . z „-1 getheilt, die in der Richtung von z 0 nach Z auf einander folgen; endlich werde mit f(z k ) der Werth bezeichnet, den f(z) für irgend einen Funkt innerhalb des Linienstücks z k ~\z k annimmt. Unter dem bestimmten Integrale z j /(*) dz *0 versteht man den Grenzwerth, gegen den die Summe 2’ Az k = z k — z k -\, z n ^ Z convergirt, wenn sämmtliche Differenzen \z k verschwinden. 2. Wir werden nun zunächst zeigen, dass ein solcher Grenzwerth existirt. Setzen wir z = x + iy, so nimmt f(z) nach Sonderung des Realen vom Imaginären die Form an cp(x, y) -+- y) und es ist Az k = z k — za —1 = x,. — x k -y 4 - i(y k — y k - 1 ) = \x k + i\y k . Folglich haben wir, wenn wir die Indices unterdrücken ?f(z)Az = 2[(p(x,jr) A* — <]>(x,y)Ay) 4 - /2[’ multiplicirten Functionen substituiren. Die ersteren werden dann Functionen von x allein, die letzteren Functionen von y; bezeichnen wir dieselben mit (ar), (.*) Ax — Aj] 4- (x) Ax 4- ^(j) A_y]. Ist nun Z = X 4 - i Y, so ist w y lim2 (x) dx -*o Hierdurch ist das Integral To y x — fi'(y) dy -t- ij 1> 1 (x)dx J'o -ro v if'V 1 W dy. ;'o f/(z)dz 2 0 durch bestimmte Integrale realer Functionen einer realen Variabein ausgedrückt. Wir schliessen hieran zwei Sätze, die sich aus der Definition des bestimmten Integrals ohne Weiteres ergeben. Ist b ein Punkt, der auf dem Integrationswege, d. i. auf dem für die Variable angenommenen Wege, ac zwischen a und c liegt, so ist für die Integration auf dem angenommenen Wege b c C f/(z)dz 4 - f/(z)dz = J/(z)dz. a b a b a ff(z)dz = — ff (z) dz . a b Ferner folgt § 13. Integrale complexer Functionen. 697 3. Wir haben nun zu untersuchen, welchen Einfluss die Wahl des Integrationsweges auf den Werth des bestimmten Integrals hat. Es liegt die Vermuthung nahe, dass das zwischen den Grenzen a und b genommene Integral immer andere Werthe erhält, wenn man die Punkte a und b durch verschiedene Integrationswege verbindet; so dass es nöthig wäre, bei jedem Integrale den Ingrationsweg genau anzugeben. Wir werden indess zeigen, dass diess nicht der Fall ist; der Werth des bestimmten Integrals wird sich nur insofern abhängig vom Integrationswege erweisen, als bei gewissen Gruppen von Wegen das Integral um eine bestimmte additive Constante von dem auf andern Wegen erhaltenen Werthe abweicht. Um zu diesen Ergebnissen zu gelangen, beweisen wir folgenden Satz: Sind X und Y zwei innerhalb eines vollständig begrenzten Theiles T einer RiEMANN’schen Fläche endliche und eindeutige Functionen des Ortes in der Fläche, so ist das über die Fläche T erstreckte Integral entgegengesetzt gleich dem über alle Punkte der Begrenzung von T ausgedehnten Integale f(Xdx + Ydy ), wobei alle Theile der Begrenzung so durchlaufen werden sollen, dass die Fläche T gegen die Fortschreitung entlang der Grenze so liegt, wie der -+- i enthaltene Theil der Zahlenebene gegen die in der Richtung wachsender Zahlen durchlaufene reale Achse. Wir wollen uns zunächst unter X und Y reale Functionen von x und y denken. Wir betrachten zuerst ein Flächenstück T, das die Ebene nur einfach bedeckt und einfach zusammenhängend ist, d. i., dessen vollständige Begrenzung eine einzige geschlossene Curve bildet. Das über T ausgedehnte Integral zerlegen wir in die Differenz zweier Integrale und berechnen die Summanden einzeln. Nun ist CcX dy Hierbei ist die Integration nach y auf jeder Parallelen zur E-Achse über die Strecken auszudehnen, die im Innern von T liegen, für x=OP also über P x I\ BPC (M. 548 ) und P„P, Sind die Werthe, welche die Function X in den Punkten P A , P 2 , P 3 , P A hat, der Reihe nach X A , X 2 , X :l , X { , und bemerken wir, dass bei unbestimmter Integration /: so ergiebt sich für das über die Strecken J\ P 2 und P 3 P A ausgedehnte bestimmte Integral fdX dy ß ■dy = X 2 — X t -+- X t — X t . 698 Integralrechnung. Hierbei wird von der Voraussetzung Gebrauch gemacht, dass X für alle Punkte im Innern der Fläche endlich bleibt; denn wenn X z. B. für einen Punkt innerhalb der Strecke P x P 2 unendlich wird, so ist das über die Strecke ausgedehnte Integral im Allgemeinen nicht gleich X 2 ■— X 4 . Daher ist nun weiter ./W* - ~.f x ‘ X l 4 - X 4 — X 3 ) dx . dx 4 - j'x 2 dx — j'x* dx 4- f* 3 dx . Die Grenzen der einzelnen Integrale erhalten wir, indem wir die zur T-Achse parallelen Tangenten der Umgrenzung ziehen; haben dieselben die Abscissen OA, OB, OC, OD, so ist OD OC OC OD /f dT = —JX y dx 4 - JX 2 dx —JX 3 dx 4- j' ; I X 4 dx. OA OA OB OB Im zweiten und vierten Integrale vertauschen wir die Grenzen und erhalten bei etwas veränderter Anordnung OD ob oc OA 1 . j^y dT — — dx t f Xi dX J' X? ' ^ J'^ X ^) OA OD OB OC Durchläuft ein Punkt den Perimeter von T in positiver Richtung von A x anfangend, so erhält X auf dem Wege A 1 D 1 Werthe, die mit X, bezeichnet sind; die auf dem Wege B> 1 B 1 sind mit X 4 bezeichnet, die auf B 1 C 1 mit X 3 , die auf C^A^ mitX 2 . Wir können daher in 1. die Indices bei X 4 , X 2 , X 3 , X 4 weglassen und alle Integrale vereinigen; hierdurch entsteht 2 . f^dT=-Jxdx, wobei das Integral rechts also über den Perimeter von T auszudehnen und dabei der Perimeter in positiver Richtung zu durchlaufen ist. Durch geeignete Vertauschungen ergiebt sich aus 3. fd Y 3. j^ dT =~ wobei rechts infolge der Vertauschung von x gegen y der Perimeter von T so zu durchlaufen ist, dass die Fläche T gegen die Richtung der Fortschreitung so liegt, wie der Winkel XOY gegen die in der Richtung der wachsenden y zurückgelegte Ordinatenachse. Diese Umlaufsrichtung ist der des Begrenzungsintegrals in 2. entgegensetzt. Wechseln wir in 3. die Umlaufsrichtung, so wechseln alle einzelnen Bestandtheile, aus denen dasselbe zu berechnen ist, (so wie JXdx sich nach Gleichung 1. berechnet) die Grenzen, nehmen also den entgegengesetzt gleichen Werth an; durchläuft man den Perimeter von T in positiver Richtung, so hat man daher 4. 0. / d_Y dx dT = Aus 2. und 4. folgt schliesslich dT = — x 4- Ydy), w. z. b. w. § 13 * Integrale complexer Functionen. 699 Wir beweisen nun den Satz für eine die Ebene allenthalben einfach bedeckende Fläche 7j deren Begrenzung aus mehreren getrennten Curven besteht. Wir denken uns aus der einfach zusammenhängenden (wagerecht schraffirten) Fläche 7 j eine einfach zusammenhängende (senkrecht schraffirte) T’j herausgeschnitten. Wird die übrig bleibende, ringförmige Fläche mit T bezeichnet, so ist t r, wobei durch die Zeichen /. (M. 549.) dT f. I t r, T-i angedeutet wird, dass die Integration über die Flächen T, T x , 7\ erstreckt werden soll. Nun ist nach dem vorigen Beweise Ydy), X ausgedehnt über den Perimeter von 7\ in positiver Umlaufsrichtung; und r s ausgedehnt über den Perimeter von T 2 in negativer Umlaufsrichtung in Bezug auf 7’ 2 , mithin in positiver in Bezug auf die Ringfläche 7\, zu deren Begrenzung der Perimeter von 7\ gehört. Daher haben wir für T /(- - fad, + Yi,) wobei nun das Begrenzungsintegral rechts über die ganze Begrenzung von T in positiver Richtung (in Richtung der Pfeile) zu erstrecken ist. Wenn aus einer einfach zusammenhängenden, die Ebene allenthalben einfach bedeckenden Fläche mehrere Stücke herausgeschnitten werden, so findet man in gleicher Weise die Gültigkeit des Satzes. Bei der unschraffirten Fläche 7’ (Fig. 550) ist das Begrenzungsintegral über die drei Begrenzungs- curven, bei jeder in der Pfeilrichtung, zu erstrecken. Die Fläche T in Fig. 551 ist aus einer zweiblättrigen Riemann’- schen Fläche mit vier Windungspunkten geschnitten (§12, No. 27); sie bedeckt zum Theil die Ebene doppelt, nämlich innerhalb des Grundrisses a ß 7 S. Ist A 77parallel der E-Achse, so ist bei der Integration nach y das Integral über (M. 550.) (M. 551.) 700 Integralrechnung. die Strecken AB, CD (im obern Blatte), EF und GH zu erstrecken; folglich ist d £- dy = X B - X A + X D - X c + X P -X E + X u - X G ; es gelten daher ganz die vorigen Betrachtungen und Schlüsse. Enthält T einen Windungspunkt einer zweiblätterigen Fläche und wird von einer einzigen Curve begrenzt, so ist für die Integration nach x entlang der Parallelen A D zur A-Achse das Integral im oberen Blatte über die Strecke CD, im untern über AB zu erstrecken, es ergiebt sich mithin ''dy fdy J dx dx = Yb Ya -t- Yd — Y c ; (M. 552.) alles Uebrige folgt dann wie vorher. Wir können nun den Satz mit Leichtigkeit auf ’j r den Fall ausdehnen, dass X und Y complexe Functionen sind. Haben wir X = R -+- iS, Y — U -+- i V, so ist /Gf 4J)-=/(f -1?)—/(lf (c_X_dY\ K dy dx / Wenden wir den Satz auf die realen Functionen B, S, U, V an, so erhalten wir j dT= -f Rdx + U( W’ j^fy-/x) dT = ~f Sdx + UA y)■ Daher folgt schliesslich J(jjj- — dT = — j'.(X + dx (U + i V) dy ], w. z. b. w. 4. Wir wenden den soeben bewiesenen Satz auf das Integral einer com- plexen Function w an. Es sei jwdz über den Perimeter einer Fläche T ausgedehnt, innerhalb welcher w eine endliche und eindeutige Function des Ortes in der Fläche ist; alsdann ist Da nun x -t- iwdy) ,dw\ dT. cw , dw dy 1 dx’ so verschwinden alle Elemente des Flächenintegrals, also auch das ihm gleiche Begrenzungsintegral. Dies ergiebt den Satz: Das Integral jwdz, ausgedehnt in positiver Umlaufsrichtung über die vollständige Begrenzung einer Fläche, innerhalb deren w eindeutig und endlich ist, ist gleich Null. Enthält die Fläche T einen oder mehrere Unstetigkeitspunkte, für welchen die eindeutige Function w unendlich wird, so kann man dieselben durch kleine geschlossene Perimeter a lt a 2 , ... umgeben, deren jeder nur einen Unstetigkeitspunkt enthält. Lässt man die von a ‘i r% < ■ Die Reihe der Moduln 2 . a 0 + a i r + a 2 r 2 + . . . gewinnt man aus der Reihe 3. in dem man die Glieder dieser Reihe nach einander mit 4. a 0 , ci 1 r 0 , a 2 rg, . . . multiplicirt. Die Reihe 3. convergirt für jeden Werth r, der kleiner als r 0 ist und hat die Summe Ist nun jede der Zahlen 4. kleiner als eine gegebene Zahl B, so ist die Su mme 2. kleiner als folglich ist 2 . convergent, wenn r < r 0 , w. z. b. z. *) Vergl. Briot et Bouquet, Theorie des fonctions elliptiques, 2. ed. Baris 1875, pag. 77. § 13 - Integrale complexev Functionen. 707 Wenn r unbegrenzt wächst, so wachsen alle Moduln a 0 , a 1 r, a 2 r 2 . . . . Dabei sind nun zwei Fälle möglich: Entweder es bleiben für alle endlichen Werthe von r alle diese Moduln endlich, oder sie bleiben bis zu einem endlichen Werthe r = R endlich, werden aber zum Theil für r = R, und somit auch für r > R, unendlich gross. Im ersten Falle convergirt die Reihe Aq -4- A^z -t - A^z^ -4- . . . für jedes endliche z; im letzteren convergirt sie für jedes z, dessen Modulus kleiner als R ist, also für alle Punkte der Ebene, die im Innern des mit dem Halbmesser R um den Nullpunkt beschriebenen Kreises liegen, und divergirt für alle auserhalb des Kreises liegende Punkte, da sie in denselben Glieder mit unendlichen Moduln erhält; für Punkte auf der Peripherie des Kreises mit Radius R, den wir den Convergenzkreis der Potenzreihe nennen, bleibt die Con- vergenz noch unentschieden und bedarf in jedem Falle einer besonderen Untersuchung. 11. Ist f(z) endlich und eindeutig innerhalb eines Kreises, der auf der Variabeinfläche um das Centrum a beschrieben ist und der keinen Windungspunkt enthält, so ist für jeden Punkt t im Innern dieses Kreises wobei das Integral über den Perimeter des Kreises auszudehnen ist. Für jeden Punkt z dieses Perimeters ist mod (z — a) > mod (t — a ), daher hat man die convergente Reihenentwicklung _ 1 _ 1 _ 1 __ _ 1 _ _ z — t z — a — ( t — ■ a) z — a t — a z — a 1 ('—/+ ('—j \z — a J \z — a) Setzt man dies in 1. ein und integrirt die einzelnen Glieder, was (nach 10) erlaubt ist, weil die Reihe für alle Punkte des Integrationsweges convergirt, und /(z) innerhalb desselben nicht unendlich wird, so erhält man % ä. h- {jRA aY 2ic 1 J (z — a) 3 Die Integrale in dieser Reihenentwicklung sind in No. 9 bestimmt worden; wir haben dort gefunden = * fSVL-' dz - 2r ' i J 0 — und erhalten daher aus 2. 2. /(/) = -^—C /L 2 ) _ dz + t —— ~ f . dz + v 9 7- / dz 2mJ z — a 2m J (z — ■)k+\ 1 ■ 2 • 3 . k 3- f{t) = /(«) f{d) 1 (/ — ö) r w 1 • 2 (t—ay 1-2-3 {t-a) 3 Dies ist die Verallgemeinerung der TAYLOR’schen Reihe: die Entwicklung ist für alle Punkte t im Innern eines um a geschlagenen Kreises gültig, wenn die Function /innerhalb dieses Kreises endlich und eindeutig ist und keinen Windungspunkt hat. Will man diesen Gültigkeitsbereich so viel als möglich erweitern, so hat man die Windungspunkte und die Punkte zu bestimmen, in denen f{t) unendlich wird. Der Kreis darf dann nicht weiter als bis zu demjenigen dieser Punkte ausgedehnt werden, der a am nächsten liegt. 45 7°S Integralrechnung. Wir sehen somit, dass die Convergenzbedingungen der TAYLOR’schen Reihe in viel einfacherer Weise sich erledigen, als früher, wo wir nur reale Variabein in Betracht ziehen konnten; die lästigen Betrachtungen über den Grenzwerth des Restes fallen hier ganz weg; es bedarf nur der Bestimmung der Punkte, in welchen die Function unendlich gross wird. Lassen wir in 3. den Punkt a mit dem Nullpunkte zusammenfallen, so entsteht die MACLAURiN’sche Reihe 4. /(*) = /(0) /'( 0 )„ , /"( o ) /’”(0) 1 1-2 1-2-3 12. Wir schliessen hieran noch eine Bemerkung über Reihenentwicklung von der Form 1. f(z) = A 0 -+- A x ■ — + A% Ersetzen wir 1 : z durch J, so entsteht 1 7 ( t ) 1 A 0 -+- A x C -P A. 2 £ 2 A, 1 A :j /J Daher ist ' 4 "= / \d k f Ol 4t = (r) 1 • 2 t=o die Entwicklung ist für alle Werthe von 5 gültig, deren Modul kleiner ist als der kleinste Modul der J, für welchen /(I : £) unendlich wird; also gilt 2. für alle z, deren Modul grösser ist als der grösste Modul der z, welche f(z) unendlich gross machen. Ist daher oc der vom Nullpunkte entfernteste Punkt der Variabeinebene, für welchen f{z) unendlich wird, so gilt die Reihe 1. für alle Punkte der Ebene, die ausserhalb des durch a um den Nullpunkt gezogenen Kreises liegen. 13. Wenn die Function f(z) innerhalb und auf den Grenzen eines Ringes, der zwischen zwei um den Punkt a mit den Radien r 0 und r r geschlagenen Kreisen liegt, eindeutig und endlich ist, und die Variabeinfläche innerhalb der äusseren Begrenzung des Ringes keinen Windungspunkt hat, so ist das über die vollständige Begrenzung des Ringes erstreckte Integral r/w 2 - t dz = 2 rJf(t), also m = - L T - 2r:z J z /(*) ; dz . ' z - t Das Begrenzungsintegral besteht aus den Integralen entlang der beiden Kreise; bezeichnen wir dieselben mit f und J, so ist /(0 2nz J z (r 0 ) /(*) dz (ri) J. 2ttz ’/(*) dt. z — t' 2 rajz — t' Li) (r o) Für das erste haben wir, da alle Punkte des Ringes im Innern des Kreises mit Radius r x liegen, nach No. 11 '■/o) .. ,_r/w h (r i) .dz = - n ~fi {z — d) ” dz , wobei die Integrale u- n über alle Punkte des Kreises r l im positiven Sinne zu erstrecken sind. Für die Punkte des Kreises r 0 ist mod {z — a ) ü •Po) Die Integrale u„ sind über den Kreis mit Radius r 0 im Sinne der abnehmenden Winkel (im positiven Sinne bezüglich der Ringfläche) zu erstrecken. Nimmt man sie ebenso, wie die u~„, im Sinne wachsender Amplituden, so kann man 1., 2. und 3. folgendermassen vereinen wobei alle Integrale über den Kreis mit Radius r 0 erstreckt werden können, weil für keinen Punkt der Ringfläche eine der Functionen /0) (z — a} unendlich gross ist. Dies ergiebt: EineFunctioneinercomplexen Variabein, die innerhalb einer Ringfläche mit dem Centrum a eindeutig und endlich ist, kann für jeden im Innern des Ringes gelegenen Werth der Variabein t in eine nach steigenden und fallenden Potenzen von (/— a) fortschreitende Reihe entwickelt werden. 14. Wenn die Function f(z) für die im Innern des Kreises r 0 gelegenen Punkte ik, o-i, o m , . . . unendlich gross wird, und zwar im Punkte o r so unendlich wie Fr(?) (z — ar) r ’ d. h. so, dass &»(*=«) (z wenn m < r, m = r , nt > r , wobei F r (z) eine im Punkte o r endliche Function bezeichnet, so zerfallen die Integrale u n in Integrale, die über verschwindend kleine Kreise um die Punkte Ok, oi, a m , . . . und a erstreckt sind. Es ist z. B. = k g —(- /g -p . . . , wobei k -i = //(*) 0 — a Y dz . und das Integral über einen um o). geschlagenen unendlich kleinen Kreis zu erstrecken ist. Für die Punkte dieses Kreises kann man setzen z — a = a.k — a', daher hat man Nach No. 9 ist unter der Voraussetzung, dass die o nicht Verzweigungspunkte sind, -f/'-V) , wobei F k ~ 1 (a^.) den Werth bezeichnet, den 7io Integralrechnung, d k ~ 1 F(z) dz k ~^ im Punkte a* hat. Daher hat man schliesslich 1 o • * ^3 2 TC2 i («* - «)3^/-i( a ,) + («, _ «)« ir/-l( a/ ) § 14. Logarithmus und Bscponentialfunction, Arcustangens und Tangente. 1. Wir geben nun neue Definitionen des Logarithmus, der Exponential- function, der cyklometrisc.hen und der goniometrischen Functionen, die in gleicher Weise für reale und complexe Variable gelten. Den Logarithmus werden wir durch eine Func tionalgleichung definiren; von dieser aus gelangen wir dazu, den Logarithmus durch ein bestimmtes Integral darzustellen. Die Functionen arctangz, arcsin z, arccos z definiren wir direkt durch bestimmte Integrale. Die Exponentialgrösse und die goniometrischen Functionen werden als Umkehrungen des Logarithmus und der cyklometrischen Functionen definirt. 2. Den Logarithmus einer Zahl z definiren wir als die Function f{z), welche die Eigenschaft hat 1- A 2 -*i) =/(*)-+- /(«,)• Durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung folgt sofort f(z • z x • z 2 ) = f(z) 4 - /(Zj) + /(z 2 ) , 2. f(z ■z 1 -z 2 . . z„ ) = f(z) 4- f( 2 i) + f(z 2 ) 4- . • 4- /(z„). Setzen wir hierin z = Zj = z 2 . . . , so entsteht 3. f(z«•) = mfiz), wobei m eine ganze positive reale Zahl ist. Ferner folgt aus 1. A 2 ) = /(** i) — A 2 1)- Ersetzen wir hier zz t durch z, so haben wir für z zu setzen z : z x und erhalten 4- / (^ )=/<>) —/<> i)- 3. Differenziren wir die Gleichung A 2 ■ t) = /(z) 4- fit) nach t, so entsteht zf'izt) = /'(/)• Hierin setzen wir / = 1 und erhalten */'(*)=/'(!)■ P'olglich ist /'(*) =/'(!)■ 7 . und daher weiter fi 2 ) = / Da /(z) für z = 1 verschwindet, so sind die Grenzen des Integrals 1 und z; wir haben also /(*) =/'(!)• f 'dz z Durch die Functionalgleichung /(z • z,) = /(z) 4- /(zj) ist daher der Logarithmus bis auf einen constanten Faktor p. = _/'(!) vollständig § 14- Logarithmus und Exponentialfunction, Arcustangens und Tangente. 71 bestimmt. Dieser Faktor bleibt willkürlich; je nach Wahl desselben erhält man verschiedene Logarithmensysteme; die Zahl [x heisst der Modul des Systems. Als das natürliche Logarithmensystem bezeichnen wir das, für welches /' (1) = 1 genommen wird. Führen wir statt des allgemeinen Functionszeichens f(x) hierfür das besondere L{x) ein, so ist also >• m-fe. 1 Werden die Logarithmen, für welche /'(l) einer gegebenen Zahl jx gleich ist, mit Log^z bezeichnet, so ist 2. Logy.z = jxZ« . Hiernach genügt es, ausschliesslich die Function Hz) weiter zu untersuchen. 4. Die Function 1 : z ist eine eindeutige Function der Punkte der Variabeinebene und wird nur im Punkte z = 0 unendlich gross. Um den Einfluss zu erfahren, den der Integrationsweg auf das Integral hat, haben wir daher den Werth zu berechnen, den das Integral erhält, wenn es über den Perimeter eines den Nullpunkt umgebenden Kreises erstreckt wird. Setzen wir in § 13, No. 9 f(z) = 1 : z , a = 0 , so ergiebt sich für das gesuchte Integral der Werth 1. 2tcz. Hieraus folgt: Der natürliche Logarithmus ist eine unendlich vieldeutige Function; die demselben Punkte zugehörigen Werthe unterscheiden sich durch ganze Vielfache von 2 ra. Diese Grösse 2 rä wird als der Periodicitätsmodul des Logarithmus bezeichnet. Um den von z abhängigen Theil des Logarithmus zu bestimmen, wählen wir für das Integral einen Integrationsweg, durch den der reale und der imaginäre Theil der Function gesondert werden; wir integriren, wenn z = r{cosy -+- isinf) und 0 < 9 < 2ir zunächst auf der realen Achse von 1 bis r und dann auf einem Kreise um den Nullpunkt weiter von r bis zu z. Das erste Integral ist, da für diesen Theil des Integrationsweges y = 0 ist - /£-"• wenn wir mit Ir den realen Werth von Lr bezeichnen. Für das zweite, das Kreisintegral, setzen wir 2 = r{cos 9 -t- isin tiven Kreisbogen f, so bleibt der reale Theil von Z« ungeändert gleich Ir und und es tritt nur der imaginäre Bestandtheil fcp hinzu, w beschreibt also eine Normale zur realen Achse bis zum Abstande cp von derselben. Allen Punkten eines in 0 begrenzten Strahls in der «-Fläche entsprechen also die Punkte einer Parallelen zur realen Achse, die durch den Punkt z'cp geht; der negativen realen Achse der «-Fläche entspricht insbesondere die durch ra gehende Parallele zur realen Achse der w- Ebene. Die Punkte der Geraden, in welcher die Blätter 0 und 1 Zusammenhängen (ihr Grundriss ist OX) haben die Amplitude 2-; dieser Grenzlinie entspricht daher die durch 2 -i gehende Parallele zur realen Achse. Allen Punkten des Blattes 0 der «-Fläche entsprechen daher die Punkte des Steifens AAUU der w-Ebene; und umgekehrt, jedem Punkte w dieses Streifens entspricht eindeutig ein Punkt des Blattes 0 der «-Fläche, — der.reale Theil von w ist nämlich der Logarithmus des Moduls von z, der imaginäre Theil von w ergiebt sofort die Amplitude. Der Logarithmus w 1 eines Punktes « t des Blattes 1 weicht vom Logarithmus des Punktes z im Blatte 0, der mit ihm gleichen Grundriss hat, nur um 2itz ab. Hieraus erkennen wir sofort, dass die Punkte des Blattes 1 sich auf dem Streifen der 7»-Ebene abbilden, dessen Ränder parallel zu O U durch 2-nz und 4z.i gehen. Theilt man die w-Ebene von der realen Achse aus in Streifen von der Breite 2-, so entsprechen den aufeinander folgenden Blättern der «-Fläche der Reihe nach die Streifen der 7<'-Ebene. Durch diese Streifen wird die ganze w-Ebene erfüllt; wir schliessen daher: Jede complexe Zahl ist der natürliche Logarithmus einer eindeutig bestimmten Zahl. 7. Aus der Gleichung s Z(1 -{- « gewinnen wir mit Hülfe des TAVi.OR’schen Satzes eine Potenzreihe für Z( 1 -t- «), Da die Variabeinfläche, von deren Punkten Z(1 -+- «) eine eindeutige Function ist, im Punkte l+« = 0, d. i. « = — 1 einen Windungspunkt hat, und zugleich in diesem und in keinem andern Punkte, abgesehen von den Blättern ± oo, unendlich gross wird, so gilt die Entwicklung von Z(1 -+- «) nach der Taylor’ sehen Reihe für alle Punkte im Innern des Kreises für welchen modz < 1 . Wir haben nun /(0) = k • 2ttz, /'(0)= + l, /''(O) =— 1, /'"(0) = 1 • 2, /'"'(0) = —1 • 2 • 3. . . 2 g 3 g-l und daher Z(1 +«) = />. 2-z -h z — — + --+ . . . . modz < 1 . Für die Punkte des Blattes 0 ist k = 0 und daher Z(1 + «) = « — z s z* 2 ’ ' ’ modz < 1 . 8. Die natürliche Exponentialfunction. Als natürliche Exponentialfunction e* der Variabein z bezeichnen wir die Grösse, deren natürlicher Logarithmus « ist. Es giebt nur eine Zahl, deren natürlicher Logarithmus einer gegebenen Zahl gleich ist; die natürliche Exponentialfunction e z ist daher eine eindeutige Function von «.*) *) Man müsste eigentlich die natürliche Exponentialfunction von der vieldeutigen sten Potenz von e durch ein besonderes Symbol unterscheiden; es ist dies aber nicht üblich. Wo das Zeichen & eine vieldeutige Potenz bedeuten soll, muss dies besonders mitgetheilt werden. 7*4 Integralrechnung. Aus der Gleichung L(a ■ b) = La -t- Lb folgt nach der Definition a • b = el La + Li b Setzen wir La = z, Lb = z x , so ist a = e z , b = e z , und damit ergiebt sich aus 1. 1. e z ■ e z i = e z + z i . Da z und z -|- k-'lr.i die Logarithmen desselben Logarithmanden sind, so folgt 2 . e (z + k‘2T.i) — gz . Die Exponentialfunction ändert sich also nicht, wenn die Variable um ganze Vielfache von 2rZ zu- oder abnimmt. Sie ist daher ein periodische Function und hat die Periode 2 ui. Nach 1. und 2. ist g(z + k *2xi) —— gz . gk*h T.i =z gz ' Für z — 0 folgt hieraus 3. gk • 2 7t i «ö 1 . Setzen wir e z = Da nun 4. so ist z — Zw und daher de z dw dz dLw' dLw 1 1 dw w e z de z dz so folgt = e z Da e z eine eindeutige und für alle endlichen z endliche Function von z ist, so kann e z nach dem TAYLOR'schen Satze in eine unendliche Reihe entwickelt werden, die für alle endlichen z convergirt; aus 4. folgt diese Reihe sofort zu z z 2 z 3 z 4 I + T^2 ^ F-Trs + 1 • 2 • 3 • 4 + ' ' • ' 1 . = 1 -t- Wir sehen hieraus, dass diese Reihe, die in der Differentialrechnung für reale z abgeleitet wurde, auch für jedes endliche complexe z gilt. Aus der Gleichung Lr (cos + i sin ~ 2i \J T J C ) Daher folgt 1 Are tangz = L 1 r 1 + « 2 i 1 — iz' Die Function Arctangz ist also unendlich vieldeutig, der Periodicität- modul ist *. 2 ra = -. 2« Die Gleichung 1 . ergiebt nach der Fundamentaleigenschaft des Logarithmus Arctangz 4- Arctangz , = ^r-L 1 1 4 — iz 1 4 - izi 2 i 1 — iz 1 2f Z 1 — zz 1 zz x 4- i{z 4- 2j) 1 i{?~ P*i) • z, — 2? L 1 22. 2 z, Hieraus folgt Arctangz 4- Arctangz t = Arctang 1 — 22j 2 4 - 2 1 — 22 t Ist ferner 2 = x 4- iy = r(cos <.p 4- z’rzVztp), so ist 1 4 - iz = 1 — ji 4- w, 1 — 22 = 1 4 - 7 — ix. Folglich ist x Z(1 4- iz) = /)/1 4- r 2 27 4- i arctang Z( 1 — z'2) = /yT Daher ist weiter 27 4- i arc taug 1 -y x 1 4-1 2 712 , ' 2 t;z' . 1 - 4 , . . 1 i/l 4-r 2 — 27 1 jc 1 x Arctang(x +iy)=—.l x + ^ 9 arc taug 4- c , foqg- 4 - k • tt , 1—7 2 1 4-7 716 Integralrechnung. Die letzten beiden arctang lassen sich nach 2. vereinigen; dadurch entsteht 1 -+- r 3. Arctang (x -+- iy) -t- k ■ TZ 1 -4- r 2 + 2. Die Function 1 : (1 4 - z 2 ) wird unendlich für z = ± i ; die Reihenentwicklung 1 1 — z 2 4 - z 4 z 6 + z 8 - . . gilt daher innerhalb eines Kreises, der mit Halbmesser 1 um den Nullpunkt beschrieben ist. Aus dieser Reihe folgt durch Integration z :) z ’ 1 Arctang z = z — 4- " 5 " modz < 1 Diese Reihe giebt den Werth von Arctangz , der mit z verschwindet. 11. Die Function tangw definiren wir als Umkehrung der Function w = arctangz. Aus der Vieldeutigkeit von Arctangz folgt sofort: Die Function tangw ist periodisch und hat die Periode 7 :. Ferner folgt aus No. 10, 2 Aus der Gleichung 1 ,1 4- 2 z Arctang z = -z-. L , -— 2z 1 — tz w ergiebt sich zunächst 1 4- iz 1 — iz folglich ist 1 e 2 Äji_ 1 1 giw - g—iw 2 i 1 i giw g-hu Ist nun w = u -+- iv, so ist e im— g—v+iu = e-v(cosu -l- isinit), g—im = gv—iu — gp[coSU — isinu). Setzt man dies in 2. ein und erweitert mit — 2 , so folgt if’ -I- e~ v ) sin u -+- i ( e v — e~ v ) cos u tang{u 4- iv) ^ (QS u — ■ ^ s ^ n u Die Tangente wird Null für alleWerthe von ti und v, welche den Gleichungen genügen (e° 4 - e~ v ) sin u = 0 , {e° — e~ v ) cos u = 0 , wenn für dieselben nicht zugleich der Nenner in tangw verschwindet. Reale Lösungen dieser Gleichungen, die ausschliesslich in Betracht kommen, sind nur v = 0 , u = kr .. Die Tangente wird unendlich, sobald die realen u und v den Gleichungen genügen (e v 4 - e~ v ) cosu = 0 , (e° — e~ v ) sin u = 0 , ohne dass zugleich der Zähler in 2. verschwindet, also für' v = 0, u = (2£ 4- 1) . Wir bemerken noch, dass das Integral jeder rationalen Function von z durch ein Aggregat einer rationalen Function und der natürlichen Logarithmen linearer Functionen, — die Logarithmen multiplicirt mit Coefficienten, unter denen auch i Vorkommen kann — ausgedrückt wird. § iS- Arcussinus und Sinus, Arcuscosinus und Cosinus. 717 § 15. Arcussinus und Sinus, Arcuscosinus und Cosinus. 1. Wir untersuchen in diesem Abschnitte Integrale von der Form ff(z,YÄ)dz, R = a ■+■ 2l> z cz 2 wenn / eine rationale Function von z und j /R ist. In § 4. ist gezeigt worden, wie durch eine rationale Substitution ein solches Integral in das Integral einer rationalen Function reducirt werden kann; wir wollen indess von dieser Substitution hier keinen Gebrauch machen, sondern die Untersuchung ohne Beseitigung der Irrationalität führen. Jede rationale Function von z und j/W kann, wie leicht zu sehen ist, auf die Form gebracht werden ?! + 'PiV-ß /(*, VR) Y R -+- >1' • y~r _ 'I* 'F • R 1 f(z,YR) + R'Yr’ JK Z ’V K )— — — C p2_ t p/ ( > Hiernach zerfällt das vorgelegte Integral /■ ■F-jg dz Y — a R ' YR YI - 2 _,1,2 j?^ z Das erste Integral ist frei von Irrationalem und ist durch die Untersuchungen des vorigen Abschnitts erledigt. Im zweiten zerlegen wir den rationalen Faktor in die Summe einer ganzen und einer echt gebrochenen Function, >F.ig cp 2 - Y-R wo A, M, N ganze Functionen sind, M von niederem Grade als N. Den Theil reduciren wir nach § 4, No. 4; den Bruch M:N zerlegen wir in Partialbrüche und wenden die in § 4, No. 5 angegebene Reduction an. Dies zusammenfassend erkennen wir: Das Integral jf{z, YR)dz, R = a -+- 2bz -t- cz 2 , 1. wobei f rational in Bezug auf z und j/W ist, zerfällt in eine rationale ganze Function von z, Logarithmen algebraischer Functionen von z, ein Produkt einer , rationalen ganzen Function mit j/W, und in Integrale der Form 2 . Wir zerlegen den Radicanden in seine lineare Factoren a + 2bz - 1 - cz 2 = c {a — z)(ß — z) = — c {a — z)(— ß + z), ersetzen z a -ß 2 2 also a ( 1+0 und erhalten hierdurch 2 7i 8 Integralrechnung. Yr dz J1 V— c- vT / dz c 2 , Y- < . Y l n 2. Die Function Are sin z definiren wir durch das bestimmte Integral Arcsin z = / — "j/l — z 2 _ ö Die Function 1 :"]/1 — z 2 ist eine eindeutige Function der Punkte einer zweiblätterigen RiEMANN’schen Fläche (§13, No. 2G) welche die beiden Windungspunkte -I- 1 und — 1 hat und deren beide Blätter entlang der Geraden zwischen den Windungspunkten verwachsen sind; in beiden Windungspunkten wird die Function unendlich. Um zu erfahren, welchen Einfluss der Integrationsweg auf das Integral hat, haben wir das Integral über die geschlossenen Wege zu erstrecken, welche Windungspunkte einschliessen. Diese Wege lassen sich auf folgende Arten von Wegen zurückführen: 1. Wege, die einen einzigen Windungspunkt umkreisen und daher sich in beide Blätter begeben müssen, 2. Wege, die beide Windungspunkte umkreisen und nur in einem Blatte verlaufen; zur ersten Art gehören jr- die Wege Fig. 559, A und B, zur andern C und D. j) Um die Umkreisungsintegrale der ersten Art zu erhalten, integriren wir über x ( . einen Weg, der einen con- -i—>- ■ V4 — stanten verschwindend kleinen Abstand von -+- 1 hat. Bezeichnen wir mit r den Abstand des Punktes z von H- 1, und mit 9 den Winkel der realen Achse mit r, so ist z = 1 4- r ( cos 9 -+- / sin 9) = 1 -I- re ! f, daher ist zu untersuchen 4 ti Ye’f d 9 (M. 559.) hm 1 r e’f d 9 Y- 2 r e ! f r i e it/ 2 - 2tt ( yT ** dy -+- re'f r—0 y —2 re’f 0 0 sie verschwinden beide. Für die geradlinigen Integrale von 0 bis 1, von 1 bis 0, von 0 bis — 1 und von — 1 bis 0 haben wir auf das Vorzeichen zu achten, das i/l — z 2 auf diesen Wegen hat. Wir wollen annehmen, im Nullpunkte des oberen Blattes sei die Wurzel = -+- 1; alsdann ist sie auf dem ersten Theile des Weges, von 0 bis -f- 1, posifiv; durch einmaliges Umkreisen eines Windungspunktes wechselt die Wurzel das Vorzeichen, für den Weg von -f- 1 über 0 bis — 1 gilt also der negative Wurzelwerth; durch einmaliges Umkreisen des Windungspunktes — 1 tritt dann nochmaliger Zeichenwechsel ein, auf dem Wege von — 1 bis 0 zurück gilt daher wieder das positive Vorzeichen. Es ist daher das gesuchte Begrenzungsintegral, wenn überall die Wurzel positiv gerechnet wird, +10 —10 / = dx j/i dx - -+- l/l dx dx l/l 0+10 —1 Ersetzt man im ersten und zweiten Integrale x durch — x, so erhält man /= 4 dx 1 /Y^x 2 = 2ji . 0 Integrirt man in der gleichen Richtung über den Weg, der im zweiten Blatte unter dem soeben beschriebenen liegt, so hat auf allen Punkten dieses Weges die Wurzel das andere Vorzeichen, also ist dieses Integral J x — — 'Ir.. Beachten wir, dass die soeben verwendete Integrationsrichtung negativ war, so folgt: Das Integral im positiven Sinne über eine geschlossene Curve erstreckt, die in einem Blatte liegt und beide Windungspunkte einmal umkreist, ist — 2n; das obere Zeichen gilt für das Blatt, in dessen Nullpunkte die Wurzel den Werth +1 hat. Hieraus folgt weiter: Die Function Arcsinz ist unendlich vieldeutig, und hat den realen Periodicitätsmodul 2ir. 3. Um das Integral Arcsin z auszuflihren, benutzen wir die Differentialformel d(z -+- f/z 2 — 1) dz 1 dz z + Yz 2 — 1 -j/z 2 — 1 r Y\ — z 2 ’ 720 Integralrechnung. Aus dieser Formel folgt durch Integration von 0 bis z die Gleichung 1. Are sin z j/? Durch diese Gleichung hätte die Untersuchung des Arcsin z ebenso, wie die des Are tätig z direkt an den Logarithmus angeschlossen werden können; doch erschien es zweckmässiger, den Nachweis des Periodicitätsmoduls durch Betrachtung des Integrals Jdz : j/l — z 2 auf der zweiblätterigen Fläche zu gewinnen. Wir werden jetzt von 1. Gebrauch machen, um in Arcsin z das Reale vom Imaginären zu sondern. Setzen wir so ist mithin iL L- ■ V* 1 = u -+- iv , ■ y~z i tu , z -t- j/z 2 — 1 = ie z, {cosu — isitni) = e v {sinn + icosu). Der reciproke Werth ist z — j/z 2 — 1 = e—visinu — icosu ). Addiren wir diese Gleichungen und ersetzen z durch x -+- iy, so ergiebt sich 2. Ke* -+- e—v) sinu = x , %(e v — e~ v ) cosu = y . Flieraus folgt weiter sin 2 u «2 ^ cos 2 x 2 yi — \{e 2v -+- e~ iv ) ■ mithin ist 1 + a: 2 -h y 2 = Y(e 2 ' -h e~ 2 ’) 2 -1- sin* u , und daher (1 + x) 2 -t-y s = [-$(&' ■+■ e- v ) sinu] 2 , (1 — x) 2 -t-y 2 = [Ye v -+- e~ v ) — sinu\ 2 . Hieraus ergiebt sich e ~ V ) “b s * nu hY 0 + e ~ v ) — sinu für reale v und u ist ^{e 2 ' -+- e~ v ) > 1, — 1 < sinu < 1 ; daher gelten bei beiden Wurzeln nur die positiven Werthe. Benutzen wir die Abkürzungen __ ]/(1 — x) 2 + y 2 ] = 3 , j/( 1 ■+- x) 2 + y 2 , Y( 1 — x) 2 + y 2 ; ityö" so ergiebt sich aus 3. 4. £[j/(l + x) 2 -+- y 2 v) 2 6 . 7. Aus 5. folgt Aus 4. ergiebt sich — yiT^-x) 2 + e~ v ) = z, sin u = t . = Arcsin t. j' 2 ] = e v = ® + A 2 ,— i > V = /( 0 , y > 0 , so ist 0 < u < ^tz ; x > 0, y < 0 , ,, „ -|-7t < u < ir. x 0, ,, „ §it<«<2tt; da nun nach No. 3, 7 1, _ so ergiebt sich mit Rücksicht auf No. 3, dass j/a 3 — 1 für Punkte des obern Blattes positiv zu nehmen ist. Bezeichnet (x) den absoluten Werth von x, so erhält man daher arcsiniy) 1 3. Aus 3. folgt, dass y dasselbe Vorzeichen hat, wie cosu £(«* — e~ v ) = ~(/ct 2 Arcsin z TZ 2 IT arcsin(y) arcsiniy) arcsin (x) + il (p + 1/a 2 — 1) + 2Atz. Die vier Zeilen gelten der Reihe nach für Punkte der Quadranten -hx, -hy, -hx, — y; — x, — y; — x, -hy; dabei ist zu beachten, dass die Verwachsung als Doppellinie aufzufassen ist, als Uebergang von der (+ Y)- Seite des oberen Blattes -zur (— K)-Seite des unteren, so wie als Uebergang von der (— F)-Seite des oberen zur (-H Y )-Seite des unteren; für zwei Punkte der Verwachsung, die geometrisch identisch sind, aber als verschiedenen Uebergängen angehörig betrachtet werden, haben die zugehörigen Functionen Arcsinz die Differenz ± tt. 5. Um zu entscheiden, welche Werthe Arcsin z für einen Punkt des unteren Blattes hat, wollen wir einen solchen Punkt mit ( z) bezeichnen, zum Unterschiede von dem im oberen Blatte über ihm liegenden Punkte z. Wir integriren nun auf irgend einem Wege (Fig. 500) im oberen Blatte von 0 bis z und erhalten dz Y 1 = Arcsin-z + il (a -+- )/a 2 — 1) -4- 2 kr,. 0 Um nun das Integral von 0 bis (z) zu erhalten, benutzen wir folgenden Integrationsweg: Wir gehen von 0 auf der realen Achse bis dicht vor -t- 1, umgehen dann in einem verschwindeirden Kreise den Punkt -t- 1, kehren entlang der realen Achse bis zum Nullpunkte zurück, und verfolgen dann weiter bis ( z ) Schloemilch, Handbuch der Mathematik, üd. 11. 46 722 Integralrechnung. den Weg ( a ), der im zweiten Blatte unter a liegt. Auf dem Wege (d) sind die Elemente des Integrals dz jyr^z* (0) den Elementen des über a erstreckten Integrals dz /r entgegengesetzt gleich, wegen der entgegengesetzt gleichen Werthe, welche yl— z' 2 in zwei unter einander liegenden Punkten hat; folglich ist entlang a und (a) (*) z (dz (dz yi (0) 0 Da nun das Kreisintegral verschwindet, und jedes der beiden entlang der realen Achse erstreckten den Werth ^ ir hat, so folgt /(*) dz 31 Y i = 3i — Arcsin z . des Daher ist für Punkte des unteren Blattes 12. Are sin (z) = 3r — Arcsinz, wobei z den über dem Punkte (z) des unteren Blattes liegenden Punkt oberen Blattes bezeichnet. 6. Die Function (1 -+- z) m , in welcher unter m ein realer echter oder unechter Bruch verstanden werden mag, hat einen Windungspunkt in z = — 1, in dem sie unendlich wird, wenn m < 0; sie kann daher für alle Werthe, deren Modul < 1 ist, nach steigenden Potenzen von z entwickelt werden. Die binomische Reihe 1. (1 + z)»‘ 1 -+- m(jn — 1) m{ni — 1) (m — 2) 1 1-2 1-2-3 gilt daher für alle complexen z, deren Modul < 1. Die linke Seite ist wz-deutig, die rechte nur eindeutig. Die rechte Seite reducirt sich für z = 0 auf 1, und ändert sich mit z stetig. Construiren wir die zrc-blätterige RiEMANN’sche Fläche, für welche (1 -1- z) m eine eindeutige Function des Ortes in der Fläche ist, so stellt die unendliche Reihe den Werth der Function für die Punkte im Innern des Kreises auf der Fläche dar, für dessen Centrum (1 -+- z) m = 1 ist; die Functionswerthe für die sich durch Multiplication der Reihe mit den /«ten Wurzeln der Einheit. Ersetzen wir in 1. z durch — z 2 und nehmen m — — so entsteht andern Blätter ergeben 1 2 . 3 . VT .! Z 2 2 Z z* — 1-3-5 2 ■ 4 ■ 6 ; modz < 1 . Die Integration dieser Reihe liefert z 1 z 3 1 • 3 z 5 1 • 3 ■ 5 z 7 T ~ 2 ' T + SD4 ' 5 ~ 2^4 - 6 ‘ T modz < 1 . Are sin z — - - 2/;- §15' Arcussinus und Sinus, Arcuscosinus und Cosinus. 723 Diese unendliche Reihe giebt die Werthe von Are sin z für die Punkte z desselben Kreises, für welche die Reihe 2. die Werthe von 1 : j/l — z'’■ liefert. Wenn wir in der Gleichung 1 Arcsin z = iL --> 1 z durch iz ersetzen, so entsteht Are sin iz = iL (2 -+- j/ 2 2 - 1 - 1) ; wird dieselbe Substitution in 3. ausgeführt, so ergiebt sich 1 2 » 1 • 3 a r > 1 ■ 3 • 5 z‘ L(z + j/z2 + 1) 2 • 4 • ß 7 modz < 1 . 7. Wollen wir Are sin z als eindeutige Function des Ortes der für 1 : j/l —2 2 construirten RtEMANN’schen Fläche darstellen, so muss die Fläche, die zweifach zusammenhängend ist, durch einen geeigneten Querschnitt in eine einfach zusammenhängende verwandelt werden. Zu diesem Zwecke zerschneiden wir die 2 -Fläche im oberen Blatte entlang der positiven imaginären Achse, und setzen diesen Schnitt über die Verwachsung hinweg ins untere Blatt fort. (In Fig. 5ßl ist der Schnitt durch eine Doppellinie angedeutet, durch welche die beiden Ränder V Y o V (M. 56L.) des Schnittes dargestellt werden sollen). Den Nullpunkt, von welchem die Integration ausgeht, nehmen wir, wie immer, im oberen Blatte, oberhalb der Verwachsung und rechts vem Querschnitte an. Wird ferner angenommen, dass Are sin z für den Nullpunkt den Werth 2/£~ hat, wo nun k eine bestimmte reale ganze Zahl bedeutet, so ist für jeden Punkt der 2 -Fläche die Function Are sin z eindeutig bestimmt, wenn wir festsetzen, dass die 2 -Fläche durch die Ränder des Querschnitts begrenzt ist, dass also die Integrationscurve den Querschnitt nirgends überschreiten darf. Um von einem Punkte des Querschnitts zu dem auf dem andern Rande gegenüberliegenden Punkte zu gelangen, haben wir eine Curve zu beschreiben, die beide Windungs- 46* 724 Integralrechnung. punkte umkreist; in zwei gegenüberliegenden Punkten des Querschnitts hat also Arcsinz Werthe, die um 2jr von einander verschieden sind. Nehmen wir zunächst k = 0 an, so entspricht dem Nullpunkte der z-Fläche der Nullpunkt der «/-Ebene. Geht z von 0 entlang der Verwachsung bis 1, so durchläuft w = arcsinz die reale Achse von 0 bis f-rr; geht z (nach Umgehung des Windepunkts 1 in einem verschwindend kleinen Kreise) auf der andern Seite der Verwachsung bis — 1, so geht w von f rt bis fr:; kehrt z oberhalb der Verwachsung bis zu dem Punkte des Querschnitts zurück, der O gegenüberliegt, so geht w weiter bis zu 2ir. Geht z entlang des Querschnitts von 0 bis it\, so ist w ~hr=r* - ‘fvnrp - + 0 0 Dem positiven Theile des rechten Querschnittrandes entspricht daher die positive imaginäre Achse der «/-Ebene, dem negativen Theile die negative. Dem andern Rande des Querschnitts entspricht die Gerade, welche die «/-Werthe 2 tc -t- iv enthält, also im Abstande 2r zur imaginären Achse parallel ist. Der ganzen durch den Querschnitt begrenzten z-Fläche entspricht der von der «-Achse und der Parallelen u — 2ir begrenzte Streifen der «/-Ebene. Die obere Hälfte des Streifens entspricht dem oberen Blatte, die untere dem unteren der z-Fläche. 8. Um die Beziehung der z-Fläche und dieses Streifens der «/-Ebene vollständig aufzuhellen, wollen wir untersuchen, welchen Curven der z-Fläche die .zu den Achsen parallelen Geraden der «/-Ebene entsprechen. Soll in «/ = Are sin z = u -+- iv der reale bez. der imaginäre Theil constant sein, so müssen x, bez. t constante Werthe haben. Gehören zu u = u 0 bez. v = v 0 die Werthe x = x 0 , bez. a = a 0 , so entspricht u = u 0 den Punkten y{\ -h sc) 2 -hy 2 — "|/(1 — x) 2 -h y 2 = x 0 , L v = »o „ „ „ l/(l + x ) 2 -hy 2 -+- "|/('l — x) 2 -hy 2 = — e- v sm(u -+- iv) = - ■= - stnu -t- z-x- — cosu . Jj L 11 . Die Function Are cos z definiren wir durch die Gleichung 1 . Are cos z = y — Are sin z . Die Function Are cos z ist daher unendlich vieldeutig und hat denselben Periodicitätsmodul 2~, wie Are sinw. Drückt man in dem Additionstheorem Are sin(z y 1 — £ 2 -f £4/ 1 — z 2 ) — Are sin z — Are sin £, £ durch 24/i — £ 2 -t- £4/1 — z 2 = z 1 und 2 aus, so entsteht 2 . Are sin z 1 — Are sin z — Are siniz^y 1 —2 2 — 2 |/l —2 t 2 ). § l6. Definition des elliptischen Integrals, Reduction auf die Normalformen etc. 7^7 Schreibt man für 1. Are cos z = Are sin 1 — Are sin z , und benutzt 2. indem man Zj durch 1 ersetzt, so folgt 3. Are cos z = Arcsin i/l —z 2 . Welchen Werth der Quadratwurzel man hierin zu nehmen hat, ist ebensowenig unbestimmt, wie bei den Quadratwurzeln im Additionstheorem. Ist Are cos z = w, so gehört zu jedem w ein eindeutig bestimmtes z. Wir definiren die Function z = cosw als die Zahl, welche der Gleichung genügt Are cos z = w ; es ist mithin cos 70 eine eindeutige Function von w. Aus der Vieldeutigkeit von Are cos z folgt: Die Function cosw ist periodisch und hat die reale Periode 2ir. Aus 3. folgt _ 4. cosw — y 1 — sin 2 w. Schreibt man für 1. Are sin z — -|r: — Are cos z , und setzt Are cos z = w, so folgt z = sin{\- — w), oder 5. cosw = sin(^K — w). Durch 5. ist -vollständig bestimmt, welcher Werth der Quadratwurzel in 4. zu nehmen ist. Ferner folgt aus 5. und No. 7 e v -4- e~ v . cv — e~ v . 6. cos (u - 1 - iv) = --- cosu — t -^- sinn . Setzt man im _ Are sin z -+- Are sin £ = Are sin (z 4/1 — £ 2 -4- £ f/l — z 2 ), Are sin z = w , Are sin £ = t» , so folgt 7. sin{w -h )v) = sinw cosw -h coswsinw, und hieraus, wenn man w durch 4- — w ersetzt, 8. cos(w— Ifi) = cosw cosw -+- sinw sinw ■ 12. Ist w = Are sin z, so ist dz mithin dz = 4/ 1 — z 2 dw , d. i. dsin7u = cosw dw . Hieraus folgt, dass die für reale w bewiesenen Differentialquotienten des Sinus und Cosinus auch für complexe w unverändert gelten. Da nun sinw und cos iv für alle endlichen w = u -t- iv endlich bleiben, so folgt, dass die Taylor- schen Reihen sinw cosw 1-2-3 1 • 2 1 • 2 • 3 • 4 • M / 4 1-2-3-4 1 • 2•3 - 4 • 5 • 6 für alle endlichen Werthe von w gültig sind. § 16. Definition des elliptischen Integrals, Reduction auf die Normalformen; Vieldeutigkeit elliptischer Integrale. 1. Unter einem elliptischen Integrale versteht man jedes Integral von der Form Jf(z, yaz 4 -f- 6z 3 -+- cz 2 + dz -t- e) dz, wobei f eine rationale Function von z und der Quadratwurzel bezeichnet, unter 728 Integralrechnung. der Voraussetzung, dass sich das Integral nicht infolge besonderer Werthe der Coefficienten a . . e oder besonderer Art der Function f durch algebraische oder cyklometrische Functionen oder Logarithmen ausdrücken lässt. 2 . Wir beschäftigen uns zunächst damit, die irrationale Grösse Yaz* -+- bz i + cz 2 -t- dz -+- e durch eine rationale Substitution zu transformiren. Zu diesem Zwecke zerlegen wir den Radicanden in seine linearen Faktoren; es sei az 4 -+- . . -+- e = a(z — a){z — ß) (z — 7) (z — o). Hierauf setzen wir U z ~~ ~V ’ worin U und V Polynome einer neuen Variabein ” bezeichnen mögen, und zwar beide vom Grade p, oder U vom Grade p, V vom Grade p — 1 . Hierdurch erhalten wir yW + . . -+- e = ~ Y(U — o.V) (U — ßF) (U — V) ( U — SV). Soll nun der transformirte Ausdruck nicht wesentlich complicirter erscheinen als der ursprüngliche, so muss die rechts stehende Wurzel in das Produkt einer rationalen Function mit einer Wurzel aus einem Polynom vierten Grades zerfallen; es müssen daher in der Function (U — a V) {U — ß V) (U — y V)(U — o V) alle linearen Faktoren doppelt Vorkommen, ausgenommen vier, welche dann den Radicanden zusammensetzen. ' Zwei der vier Functionen U — aV, U — ß F, U — T H, U — oV können nicht einen gemeinsamen linearen Faktor haben; denn derselbe würde dann auch gemeinsamer Faktor von U und V sein, während doch als selbstverständlich vorauszusetzen ist, dass U und V keinen gemeinsamen Faktor haben. Die noch unbestimmten Functionen U und V sind daher so zu wählen, dass ausser vier einfachen linearen Faktoren jede der Functionen U—a.V, U —ß V, U —7 V, U—oV nur lineare Faktoren doppelt enthält. 3 . Es ist bemerkenswert!!, dass durch jede solche Substitution das einfachste elliptische Differential, als welches dz Ya (z — a) (z — ß) (z — 7 ) (z — S) zu bezeichnen ist in d: _ Y~ a i'** -P ~P G "P ~P e i also in ein Differential von derselben Form, transformirt wird. Ist nämlich in Folge der Substitution YOr - a ) ( z — ß) (* — i) (2 — 8) = Y a i + ■ • -p g > so ist dz 1 ^ ^ d U YF — «) (z — ß) (z — 7) (z — 8) MYa 4 + . . \ ^ Jeden linearen Faktor, der in U — a V doppelt vorkommt, enthält M einfach; es lässt sich nun leicht nachweisen, dass jeder solche Faktor auch in VU' — UV aufgeht. Hierzu bemerken wir zunächst, dass, wenn die ganze Function cp(J) den linearen Faktor mT, -+- n doppelt enthält, wenn also § l6. Definition des elliptischen Integrals, Reduction auf die Normalformen etc, 7 2 9 VU' UV' = v-‘ f, und da nach dem soeben bewiesenen Satze jeder Doppelfaktor von U — a V auch ein Faktor von d(U —a V) : dZ ist, so folgt, dass jeder Doppelfaktor von U — if auch Faktor der Function VU' — UV' ist. Die Function M ist vom Grade 2 p — 2. Sind U und V beide vom Grade p, etwa . U = mZP 4- m x ZP~ x 4- irinZ^' 1 -+-••• V= nZP 4- n x ZP~ x 4- 4- . . . so ist VU' — UV' = {tVJ 4- n x ZP~ x 4- . .) • \pmZP~ x 4- (J> — \)m x ZP~ 2 4- . .) -- („W -¥ m x ZP - y . .) • [p>UJ - 1 4- (p — l)«!^ -2 + • •) = ( mn x — nm/)Z“P 2 4-. Ist V vom Grade p — 1, etwa V = nZP~ x 4- n x ZP-' 2 4- . . . so ist VU' — UV' = (nZP~ 1 4- «i ZP 2 4- . .) 4-0—1) /«! C^- 2 4- . .] — (?«£/ 4- m x ZP~ X 4- . . .) [{p — 1 )nZP~ 2 4- (/ •— 2)«j 4- • .) = mnZ 2 P~~ 2 4-. In beiden Fällen hat also Ff/ 1 — UV' den Grad 2 p — 2. Da nun M und VU' — UV gleichen Grades sind, und jeder Faktor von M auch in VU' — UV enthalten ist, so folgt, dass der Quotient VU' — UV' eine reine Zahl ist*). 4. Jede lineare Substitution 1. M A 4- (i; 1 4- vj genügt den angegebenen Bedingungen in einfachster Weise; denn in diesem Falle ist U = X 4- (aC , V = 1 4- vC, also sind U — aF... sämmtlich linear. Man kann daher über die unbestimmten Zahlen X, p., v so verfügen, dass der Radicand des transformirten Differentials b x S 3 *x- eine möglichst einfache Gestalt erhält, nämlich so, dass a x Z 4 4- b x Z 3 -V ■ ■ 4- G = A(l -Z 2 )( 1 - k 2 Z 2 ), worin k noch unbestimmt ist. Alsdann hat a x Z 4 4- . . die linearen Faktoren r _ 1 r _1_ 1 r _ — r - u i * i, ,4-1, , k , »-+-£• Den Werthen von z v für welche (z — a) (z — ß) (z — y) (z — o) ‘) Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Regiomonti 1829. § 3, 4. 730 Integralrechnung. verschwindet, entsprechen die Wertlie von £, für welche der transformirte Radi- cand verschwindet. Nehmen wir an, dass den Werthen z = a, ß, 7 , S der Reihe nach die Werthe £ = -t- 1 , — 1 , + 1 : k, — \ : k entsprechen sollen, so haben wir zur Bestimmung der Substitutionscoefficienten X, p, v und der Zahl k folgende Gleichungen, die sich durch Einsetzung der entsprechenden Werthe von z und £ in die Substitutionsgleichung 1 . ergeben, i 2 . X -t- jr 4. Xk 4- 9- a = T + v ’ 7 = k + V ß = X — 9- 5. Xk — 9- 1 — v ’ k — V Durch Subtraction der Gleichungen und 4. erhalten wir leicht (Xv — fx) (1 - k) 2. und 4., sowie der Gleichungen 3. 6 . 7. (1 4* v) (k 4- v) ’ Hieraus folgt durch Division oc — 7 1 1 = (Xv — |x) (1 -4- k) (1 — v) {k 4- v) ‘ 1 Vertauschen wir p und 7 1 + v 1 + k ' mit — p und — v, so gehen oc — 7 und ß — 7 in filier ist 8 . und a — 0 über, wie man aus den Gleichungen 2. bis 5. erkennt; da- ß - k k ’ 9. Aus 7. und 8 . folgt zur Bestimmung von k 0 - * Y - *_=p - s v> + *) p - 7 a — 8 ' Die beiden Werthe von k, die sich hieraus ergeben, sind reciprok; wir können daher immer k so wählen, dass der Modul von k ein echter Bruch ist. Sind insbesondere a, ß, 7 , 3 sämmtlich real, und setzt man a > ß > 7 > 3 voraus, so ist k real. Haben wir uns entschieden, welche Wurzel der Gleichung 9. für k genommen werden soll, so folgt der zugehörige Werth von v eindeutig aus der Gleichung 7. Für X und p. ergeben 2. und 3. X -t- p. = a (1 -f- v) , X — p = ß (l — v); also folgt 10. X = \ [(a -+- ß) -t- v (a — ß)], B = l t( a — ß) -+- v (« + ß)J • Führen wir die berechneten Werthe in die Substitutionsgleichung ein, so erhalten wir n - ft rt -I- ft -4- Z 11 . 2 = 2 " 2 1 + v£ ' Um die Grösse A zu bestimmen, bilden wir X + p.£ X — a-)-(p — av)£ z — a = v-— a =-7"-;- 1 -+- v£ 1 + v£ und ebenso 2 — ß, z — 7, 2 — 8. Aus den Gleichungen 2 . bis 5 . folgt sofort p _ av = a — X , p. — 77 = k (7 — X), a — ßv = X — ß , p — ov = k (X — 8). Mit Hülfe dieser Werthe ergeben sich § i6. Definition des elliptischen Integrals, Reduction auf die Normalformen etc. 731 - 12 . 13. 14. a = (X — a) P = (*-?) ■ 1 _ l* 7 = (*-7 )' T -+ V > = (X - S) ■ 1 -t- kl ,V 1 + V, Hieraus folgt weiter die Transformation (z — a) (z — ß) (z — 7) (z — 0) = (x — (x ~ ;x) (x — r) 0 — ~ Aus 10. folgt X — a = ^ (a — ß) (v — 1) , Aus 4. und 5. erhalten wir * = \ (7 + s ) 1 4 - (1 9 4 und hieraus weiter 15. X - Somit ist x — ? = H“ - P) ( v + + J(7-«)], 7= 2(7-3)(j-l), _ X — 8 = -i (7 S) (- !)• 0 ß) s (7 — 3)* (I — v») (l Daher ergiebt sich schliesslich V(z — °0 ( z — ß) (z ~ 7) (* —3) = I (« - ß) (7 - «) l/(l - v 2 ) (l - ;■) ■ Durch Differentiation der Formeln 12. erhalten wir zunächst 1 4- v ... . . k 4- v IG. (X - «) (X - ß) (X - 7) (X - 3) = Je <* 17. t/z = — (X — a) ■ 18. (1 + vC)- ■ dl, dz — (X 7) • ^ _j_“ v Q2 dl, dz = (* - P) • 1 Y2 tfj, dz ■= (X — 3) ■ rt/:. 19. v;)*“” _ . v ' (1 4- v£) 2 Durch Multiplication dieser Formeln ergiebt sich in Rücksicht auf IG. dl dz —^ y 1 k( d i P) (7 — 3) (1 — V ■) (' - v) (1 4 - vQ 2 Für das einfachste elliptische Differential haben wir somit die Transformation 9 0 _ dz _ _ 2 y k _ dz _ y• - P) (* - 7) • (1 _ " 2)(1 ~ - - — und anstatt No. 4, 18 (1 4- kiy 732 Integralrechnung. dz 4. (X — a) 1 (i -hkzy dz = — (X - dZ, -7) dz — (X 2 k (*)■ I — k (l -MC) 2 (i + x -:) 2 Ersetzen wir in No. 4, 20 das Produkt aS durch ( für ä=oo über, so erhalten wir dz 2 y k 5. l>) und gehen zur Grenze dü YK* *-cO(*-ß)(*- 7 ) 1 /*(«'-"» i/(i-;»)(i-W)‘ Die Resultate der beiden Nummern 4. und 5. können wir in dem Satze aussprechen: Die Quadratwurzel aus einem Polynome vierten oder dritten Grades in Bezug auf die Variable z kann man durch eine lineare Substitution in einen Ausdruck von der Form transformiren jvvTi — c 2 )(i — M worin der Modulus von k kleiner als 1 ist, und M eine Function zweiten Grades von l bezeichnet. 6 . Für die Anwendungen der elliptischen Integrale in Geometrie und Mechanik ist insbesondere der Fall von Interesse, dass das Polynom az* l>z -i + nur reale Coefficienten hat und der Variabeln z nur solche realen Werthe beigelegt werden, für welche die Wurzel aus diesem Polynom reale Werthe erhält. Wir wollen nun zeigen, dass in diesem Falle sich jederzeit reale Substitutionen angeben lassen, durch welche f/(z, Yaz 4 -+- . . .) dz durch algebraische Functionen, Logarithmen, cyklometrische Functionen und ein Integral von der Form ausgedrückt werden kann f *(&) JV( i-a 2 )(i-* 2 a 2 ) wobei A’( 3 ) eine rationale Function bezeichnet und k und 3 reale echte Brüche sind. Diese Transformation lässt sich allerdings nicht immer durch eine rationale Substitution erreichen, wir müssen uns vielmehr dazu bequemen, irrationale, von sehr einfacher Art, zu verwenden. Wir wenden zunächst die lineare Substitution an f . z — 1 + ; ’ um dadurch die Transformation zu erhalten a(z — a)(g — ß) (z — f)(g — S) = (1 F 0 4 : s ) (? 2 - i 2 ) • Entsprechen den Wurzeln a, ß, 7 , 8 der Reihe nach die Wurzeln p, — p, — q, so erhalten wir aus 1. die vier Gleichungen ja/ M 2 . 1 +p ’ X —jj/ 1 1 - q M ■p Durch Subtraction ergiebt sich ( x a - T = (T v){q — p) ■ P) (1 ■+■ q) Wechseln wir hier der Reihe nach das Vorzeichen von /, von q; von / und q, so erhalten wir § l6. Definition des elliptischen Integrals, Rechiction auf die Normalformen etc. 733 4 . 5 . 6 . 7 . _ (X — 1 x)(q -+-/) ^ ^ (1 —/)(! + ?)’ ( X— |X) Q -+- j>) 8 = 8 = (1 4 -/)(l - — (X — |a) (? • ?) ’ ~P) (1 _ J »)( 1 -?) Aus 4 ., Gt ■ 5 ., 6. folgt weiter -/)(1 i) (1 — p)(l 4 - q) ß_ S (1+/)(1+^ ß -7 _0+/)(l Hieraus ergiebt sich durch Multiplication und Division — 7 a — ö ‘iY 9. p -py_ * v + p) p 0-1) 7 a — 7 8 ’ 7 Sind a, ß, 7, 8 real und a > ß > 7 > 8, so folgen aus 8. und 9 . reale Werthe für/ und q. Sind a und ß real, 7 und 6 conjugirt complex, so sind auch a — 7 und a — 6, sowie ß — 7 und ß — 8 conjugirt complex, mithin die rechte Seite in Gleichung 8 . real und positiv, folglich p real. Ist 7 = 7 t -+- 7 % i, 6 = 7; — 7 2 2, so ergiebt sich für die rechte Seite von 9 . a — 7i — 72 * _ ß — 7i — 72* ® — 7i + 72« ß — 7i + 72 z " Hierin sind Zähler und Nenner conjugirt complex; der Quotient der Quadratwurzeln ist mithin ebenfalls der Quotient zweier conjugirt Complexen, also erhält man aus 9 . ein Resultat von der Form 1 — q , p — -. _ l -. oder -, p -+- 72 p 4- 72 7 — p 2 1 + q woraus sofort hervorgeht 10 . q — — i oder — P also ist q rein imaginär. Sind a und ß, sowie 7 und 8 conjugirt complex, a = a i 4- a 2 2 . P = a l - - a 2 2, so ist i 2 («i - - 7 i) 4 - (“2 — 7 2 ) 2 Ol ' - 7 l) + (“2 + 7 s) 2 Vi +pj ' ( a i - - 7 i) — (“2 + 72 ) * Ol - 7 t) — O2 — 7 s) 2 (\ -q-) i 2 (“1 • — 7 i) 4- ( a 2 — 72 ) 2 Ol ' 1 T to + 7 s) 2 V + <1) !-(«]■ - 7 r) 4 - ( a 2 4 - 7 2 )2 Ol ' — 7 l) — (“2 — 7 2 ) 2 Zähler und Nenner der rechten Seiten sind bei beiden Gleichungen conjugirt complex, daher folgen aus beiden rein imaginäre Werthe für p und q. Setzen wir / 2 = b x , q i = b 2 , so haben wir wenn a, ß, 7, 8 real sind 12. „ nur a und ß „ „ „ a und ß, sowie 7 und 8 conjugirt complex /> 1 <0, < 0 . Ist 8 unendlich gross, reducirt sich also Y R auf Y b ( z — «)(« — ß) (z — 7) . so folgt aus 8. und 9 . b l > 0 , > 0, b t > 0, b s < 0, 13 . « — 7 ß - 7’ ?= 1 • Daher ist 734 Integralrechnung. iR = 1 /b(z~ z) (z - fi) (z - y) = (T ~>y 2 V a i Ö - ( 2 ) (/> 2 - S 2 ) • Ersetzt man hier p 2 durch b 2 , so erhält man wie bei einem endlichen Werthe von S für die transformirte Wurzel wobei b 1 = 1, b 2 = p 2 ist. Führt man die lineare Substitution in /(*, 1 fR) dz , R = az 4 bz z -h . . . aus, so erhält man wobei/j eine rationale Function von J und R 1 a x (l> 1 — ; 2 ) (b 2 — ; 2 ) bezeichnet. Diese Function lässt sich immer auf die Form bringen y-i-tyj/R ! 14. /iß. F^i) cpi + i/Wj ’ worin cp, 'J'i ganze rationale Functionen von ; sind. Macht man rechts den Nenner rational, so entsteht ^ r Yr, /l “ T f wo nun Z, W ganze Functionen von £ sind. Daher ist schliesslich jf (z, YR)dz = Jj dz = y*2 l/^i /C • Das erste Integral rechts enthält ein rationales Differential und führt daher auf algebraische Functionen und Logarithmen. Im zweiten schreiben wir /■«.• ,_ r ur !5. worin ff'j = ff' • R x ist. 7. Wir beschäftigen uns nun zunächst mit der Transformation des Ausdrucks _ dZ _ -; 2 )(^ -; 2 )' A. Ist a t > 0, b x > b 2 > 0, so hat die Wurzel -?*)(** -c*) reale Werthe, sobald /c 2 > C 2 oder < ; 2 . Im ersten Unterfalle setzen wir c=y^-3, und erhalten = l/^M 2 • l/(l-3 2 )(l-^3 2 ), _ j_ _ ^3 _ V*7 “ AÄ ' 1/(1 -3 2 )(1 -*»«*) ■ Im zweiten Unterfalle nehmen wir woraus folgt Y&l = • ~2 ■ l/("l-3 2 )(l-^3 2 )- cf; i_^_ /Ri Vm» yö — s 2 ) (i — **«*)' B. Ist a x >0, b x > 0, b 2 < 0, so muss ; 2 > b x sein; wir setzen § i6. Definition des elliptischen Integrals, Reduction auf die Normalformen etc. 735 , = A ’ — a 2 -A und haben = am*i - h) dl V ^=fr-/ö — a 2 ) (i -*V). 1 ü'ä y* y«A-* a ) yo — s 2 ) (i — ^ 2 a 2 )' C. Ist a x >0, b x C b 2 C 0, so kann l alle realen Wertlie annelimen. Die Substitution 777? $ 7 • V K \ ' . *•= \/ b '_ b liefert y-R x = . yp - 3 *) (i - Ä*g*), 3 2 l/l-3 2 1 A7 y-«A yu — s 2 ) (i -*v) I). Ist a x < 0, il 1 , > /> 2 > 0, so muss £ 2 zwischen b 1 und b 2 liegen. Durch A ergiebt sich l/i - **a* ; Vr, = ** y- ai M* • /r - 70 - 3 2 ) (i - ^ ,2 ö 2 ) , yi — “o dl YR, Y-^h Y( 1 -ä 2 )0 -^ 2 a 2 )‘ _ E. Ist < 0, b x > 0 , b 2 •2 _ e i + ^3 2 ’ _ /i+/ 2 3 2 ’ so geht die Function von l, die nur gerade Potenzen enthält, in eine eben solche Function von $ über. Wir behalten daher ein Integral übrig "N di /: l/(l — g 2 ) (l-/^3 2 )’ worin N und N x nur gerade Potenzen von g enthalten. Zerlegen wir JV : A r l in eine ganze Function und in Partialbrüche, und betrachten bei dieser Zerlegung g 2 als Variable, so sehen wir, dass das Integral 2. in Integrale von der Form zerfällt r fvu l/(l — 3‘ 2 ) (1 )’ Jvü **i 2 )' J Yv- ‘h S 2 )(l-* 2 ü) (1 +Xg 2 )">/(1— ä 2 )(l — Die letzten beiden Arten können noch weiter reducirt werden. 9. Betreffs des an zweiter Stelle aufgeführten Integrals wollen wir zeigen, wie jedes Integral f dz \(A x z‘ 2rt 4- A a z*‘ “ 4 -+- . . -+- A U Z 2 ) ; /<■ !/(] — z 2 )(l — k 2 z 2 ) auf einen algebraischen Theil und auf die Integrale /’ z 2 dz J l/(l — -r und r dz J W 1- z 2 ),l-, >/(l — Ä*)' (i — “““ J -/(l — z 2 )(l — k 2 z 2 ) reducirt werden kann, indem wir nachweisen, dass sich die unbekannten Zahlen B x , B 2 , B 3 • . • -ö„-1, C, D gemäss der Gleichung bestimmen lassen ’ d z (A x Z 2 " + . . H- A„z 2 ) /<■ l/(l — z 2 )(l — k 2 Z 2 ) = (Z?,Z 2 "-3 4- B 2 z 2 n—b 4- . . 4- B„^Z) Y(\ — Z 2 ) (1 ' —k 2 Z 2 ) z 2 dz „ C dz hW= |/(1 —z 2 )l 1 — k 2 Z 2 ) D f-y= J - ■j/(l — z 2 ) (1 — k 2 z 2 )_ Durch Differentiation und nachfolgende Multiplication mit ]/(l— z 2 )(\—k 2 z 2 ) folgt aus dieser Gleichung A x z 2 » -+- A 2 z 2 »~ 2 -+- A 3 z 2 «- i 4- ... 4- A„z 2 = (B x z 2 >'-2 + £ g *2»-s Bn-xz) [2 k 2 z* — (k 2 4- l)z] 4- [(2» — 3) B x z 2 “~ 4 4- (2« — 5 )Zf g « 2 »-o 4 - . . 4 - . [/£ 2 z 4 — (k 2 4- 1) z 2 4- 1] 4- Cz 2 4- -ö . § 16. Definition des elliptischen Integrals, Reduction auf die Normalformen ctc. 737 Vergleicht man beiderseits die gleich hohen Potenzen von 2 , so erhält man zur Bestimmung von B x , B,,, B :i , . . . B n -\, C, D die linearen Gleichungen A x = (2 n — 1) X’2 . B x , A 2 = (2« — 3) k 2 ■ B 2 — (2 n — 2)(k 2 4- 1) B x , B\ — (2 n — 4) (k 2 4- 1) B. 2 4 - (2 n — 3) B x , B t — (2 n — G) ( k 2 4- 1) B 3 4 - (2 fi — 5) i? 2 , B b — (2« — 8) ( k 2 4 - 1) B x 4 - (2 n — 7) B 3 , A s = (2 « — 5) k 2 A\ = (2 n - 7) & A- 0 = (2 n — 9)k 2 A , t —r = 3 k 2 • B n - 1 — 4 • (£2 + 1) B a - 2 4 - 5 • Bn- 3 , An = 2 • (k 2 -+- 1) Bn-l + 3 • Bn -2 + C, 0 = B n — i 4- 1) . Aus den ersten « Gleichungen ergeben sich die «Unbekannten 77j, Z>’ 2 , 27,,_i, C; aus der letzten folgt D — — B„—\. Statt des Integrales z 2 dz betrachten wir das folgende /(l —22) (! — k 2 Z 2 ) Sv 1 - k 2 Z 2 r-22-^ = 10. Das Integral 1/(1 — 2 2 )(1 — k 2 Z 2 ) dz k 2 z 2 dz -]/(! — z 2 ) (1 — k 2 z 2 ) ' (1 + \z 2 ) H Y(l — 2 2 ) ( 1 — k 2 Z 2 ) lässt sich ebenfalls reduciren; man kann die Coefficienten A x , A 2 ,.., B x , B 2 , C immer so bestimmen, dass dz 1 /R J (1 + \z 2 ) n YR ( 1 +^ 22 ) fiß, 4- B^z 2 ) dz + J iR Durch Differentiation erhält man —J-_=| (1 4- lz 2 )’‘ 1 /'R L(1 -+- X 22)"- 1 ■ 1 /R , _ VA - 7 (A t Z -+- -4,2 3 <>\n— 1 \ 1 ‘ l 122—3) +■ C\ dz (1 4- U 2 )Yli' 2k 2 z 3 — (k‘ 2 4 - 1)2 2 (« — 1) Xz ■ V~R~\ —j ( A x 4 - 3A 2 z 2 4- . .) 4- (1 4- \z 2 y + ßj V~R r r ■ 2 4 - A 2 z 3 c (1 - 4 - \z 2 )YR' (1 4- \z 2 ) n Beseitigt man die Nenner, so entsteht 1 = (_ 2k 2 X (n — 2 )z : ' 4- [2k 2 -h X (72 + 1) (2 n— 3)] z 3 —[k 2 + 1 — 2X(« — 1)]2> • (A x z -f- A 2 z 3 + . . -(- A„—i 2 2 «—3) 4- [k 2 lz 3 +(k 2 —U 2 —l)z* + (l—k 2 —\)z 2 + \][A x + 3A 2 z 2 + . • 4- (2*—3)4,-i*2«-4] 4- 4- B^ 22) (1 + X2 2 )» + C(1 4- X22)*-i . Diese Gleichung ist vom Grade 2« 4- 2; sie enthält nur Glieder gerader Potenz, die Zahl derselben ist also n 4- 2; ebenso gross ist die Zahl der Coefficienten A x , A 2 , . . A„- 1 , 2?j, Bn, C. Man kann dieselben so wählen, dass die letzte Gleichung identisch erfüllt ist und hat zu ihrer Bestimmung «4-2 lineare Gleichungen, deren Auflösung bei gegebenen Werthen von k, X, « ohne Schwierigkeit erfolgt. 11. Hiernach sind alle elliptischen Integrale auf drei Normalintegrale zurückgeführt, nämlich auf Schloemilch, Handbuch der Mathematik. TM. II. 47 738 Integralrechnung. dz iR' — £ 2 z 2 )dz dz ' (i h- x* 2 ) Yr’ Sie nehmen eine einfachere Gestalt an, wenn man z durch eine neue Variable cp ersetzt gemäss z = sin cp; denn dann ist dz und die drei Integrale gehen über in = dy , —Js =i ymni^.d 9 , J r J (1 ■+■ *«« 2 ’ = E b> *) - f(TTx£h)W) = n ° (cp ’ k> x) • 0 0 0 12. Wir transformiren nun das Integral erster Art durch eine Substitution zweiten Grades; es wird dadurch ein Integral erster Art mit anderm Modul und anderer Amplitude hervorgehen. An diese Transformation anknüpfend, werden wir später brauchbare Methoden zur numerischen Berechnung elliptischer Integrale finden. Damit durch die Substitution z = U:V, wo U und V quadratische Functionen der neuen Variabein £ sind, die Transformation erzielt werde _ dz _ AdZ _ >/( 1 — z 2 )(l — Wz*) ~ Y(1 — £ 2 ) (1 — X 2 £ 2 )' ist nach den Entwicklungen in No. 3 nöthig und ausreichend, dass von den vier quadratischen Faktoren des Produkts (V — U)(V+ U)(V— kU){V^r kU) zwei die zweiten Potenzen linearer Functionen in £ sind, während die andern beiden die vier Faktoren liefern Man überzeugt sich leicht, dass verschieden sind: V— U — «(1 — £)(1 — X£), V+ U = (1+ Q(1 + XQ, *• V — kU = b( 1 + «£) 2 , V-hkU = r(l -+- n(y ; ' V — U = «(1 — £ 2 ), V+ U = 1 — X 2 £ 2 , 3 - V— kU = «*(1 + miy, V + kU = r(l -+- «£) 2 ; folgende Fälle wesentlich von einander V — U = «(1 — £)(1 — X£), \v—ku= (i + o (i + xg, 2 - V+ U = b{\ -+■ »/£)* , V+kU = c (1 -+- m£) 2 ; V — U = «(1 — C 2 ), V — kU = 1 — X 2 £ 2 , 4 - y -+- U = b{ \+miy, V+kU = c (1 + niy . (1 — £) (1 -t- 0 (1 — X£) (1 + X£) . nur ‘) I^kgendrk, Traite des fonctions elliptiques, Paris 1825. § 16. Definition des elliptischen Integrals, Reduction auf die Normalformen etc. 739 Aus den Beziehungen zwischen den linken Seiten dieser Gleichungen folgen Beziehungen zwischen den Grössen k, X, a, b, c. Wir beschränken uns hier darauf, die aus 1. hervorgehenden Transformationsformeln aufzustellen. 13. Den Werthen entsprechen V— U, — U, U, — U, wie die ersten beiden Gleichungen lehren. Wir bilden V — kU _ b( 1 + VU (1 -T £) (1 + X£) und ersetzen rechts £ der Reihe nach durch 1 und ] : X, links V durch U] dadurch entsteht 1 - k l (1 + *»)» 1 — k , A V i. 2 ~ ^ * 2(1 -t- X) ' 2 2(1 + X) Hieraus ergiebt sich für m und X die Gleichung (1 in) aus welcher folgt Ersetzen wir in gleicher Weise in dem Quotienten V-h kU c{ 1 -+- nQ V+U (H-£)(l-+-X£)’ rechts £ durch 1 und 1 : X, links V durch U, so erhalten wir n — yx. Da m und n nicht gleich sein können, so wählen wir m = — j/X, n = |/X, No. 12, 1 folgt weiter, wenn für m und n die gefundenen Werthe benutzt werden, V—kU ^A-yT-cV V— kU b V+ kÜ~ 7 Ersetzen wir hier rechts £ der Reihe nach durch 1 und — 1, links V durch U und — U, so entstehen die Gleichungen 1 — k _ b_ ( 1 — yTV 1 + ^ c \i + ) 1 -h k Hieraus folgt durch Multiplication Da in den vorigen Gleichungen beiderseits positive Werthe stehen, so haben wir b — c zw. nehmen. Hiernach ergiebt sich weiter 1 — yT , /\ — k 1 + yT _ V k ’’ daher ist -/l -h k — -/l — k * -,/t , 2. , -,/i £ yi + k + y\ — k Macht man den Nenner rational, so folgt 47 * 740 Integralrechnung. yi = \—k' ), = i k' = yi — . k ’ i + k" Dividirt man in 1. links Zähler und Nenner durch z, so erhält man die Substitutionsgleichung _ i — kz (\—y\ ■ y 3. \+kz Hieraus ergiebt sich leicht mit Berücksichtigung von 2. dz — (1 -+- X) - VT- (i h-x); _ l + xc 2 ’ dz — i 1 yv— “c 2 • yi - x 2 ; 2 1 + XJ2 1 X£ 2 (1 + XC 2 ) 2 l/l d z VO- Der Grenze z Z 2 )(l — Z’ 2 Z 2 ) = 0 entspricht f. dz = (1 + X) •/f){d — a — pe«p). Daher ist Y p • di p y{a — z) (b — z) {c — z)(d — z) yjp — a — pF?) (c — a — p e‘?)(d — a — pe ! ?)' 5. Y(a — z) (b — z) (c — z){d — z) dz = — ple‘*? y \b — a — pe‘?) . . . d

/(i-5 2 )(i-^ 2 5 2 ) u u Das erste Integral rechts bezeichnen wir mit E\ es ist also Daher ist k Das Integral zweiter Art, erstreckt über den Weg I oder II Fig. 564, hat somit den Betrag f • 2 (jE' — K'). Wir schliessen daher: Das elliptische Integral zweiter Art ist unendlich vieldeutig; es hat den realen Periodicitätsmodul 4 E und den imaginären i ■ 2 (£’— K'). Führen wir die RiEMANN’sche Fläche durch dieselben Querschnitte, wie bei Integralen erster Art, auf eine einfach zusammenhängende Fläche zurück, so ist das Integral zweiter Art eine eindeutige Function des Ortes der Fläche. Für einen Punkt auf dem rechten Ufer von Q t ist das Integral um 4 E kleiner als für den gegenüberliegenden Punkt des linken Ufers; und für einen Punkt des innern Ufers von Q,-, ist es um i -2{E' — K') grösser als für den gegenüberliegenden Punkt des äussem Ufers. Wir werden später sehen, dass sich jedes Integral zweiter Art durch ein Multiplum eines Integrals erster Art mit derselben obern Grenze, vermehrt um eine periodische transcendente Function dieses Integrals ausdrücken lässt; das Integral dritter Art wird in ähnlicher Weise dargestellt werden. Aus diesen Darstellungen — bis zu denen wir uns vorwiegend mit den Integralen erster Art beschäftigen werden — folgen dann ohne Weiteres die Periodicitätsmoduln der Integrale zweiter und dritter Art. § 17. Das Additionstheorem für elliptische Integrale. Numerische Berechnung von Integralen erster und zweiter Art. 1. Euler hat zuerst nachgewiesen, welche von Differentialen freie Bedingungsgleichung zwischen z und l bestehen muss, wenn die elliptischen Integrale erster Art s c dz -f- Bz 3 -t- Cz s + Dz -t- E und /- ./ I dl yAl* -+- Bl 3 -j- CI 2 -+- Dl -h E §17. Das Additionstheorem für elliptische Integrale. Numerische Berechnung etc. 747 eine gegebene Summe G haben sollen. Insofern man die Zahl G als ein elliptisches Integral dl ly Ai' yA'^ -+- Bf + Cf -+- Di -h £ 0 ansehen kann, lehrt die Entdeckung Eui.er’s, die Summe zweier elliptischen Integrale erster Art mit gleichem Modul in eins zu verwandeln. Angewendet auf Normalintegrale erster Art lautet dieser Additionssatz: Es ist * C 8 „ dz C dz C dz 1. I --. + h yo — « 2 )(i — wz*) ' jy(i o f- _*__ f __ /i/(i — s«)(i — k^zy jy( i — ^ 2 )(i — k*z*)' wenn 3 zyi — f)(i — ^f)-h ci/(i — g 2 )(i — wz*) i £ 2 Z 2 £ 2 Beweis. Wir setzen zunächst 3 als constant voraus; zwischen unendlich kleinen Aenderungen der Veränderlichen z und £ besteht dann die Differentialgleichung 2 . dz dl = 0, yo — z 4 )(i — k^z*) y(i — £ 2 ) (1 — aus welcher wir die folgende ableiten -]/(! — £ 2 ) (! — BDf) yöZL s >)(i-k*z>) ö - I_^2^2r2 az + l_£2*2r2 ’ — Beide Glieder links integriren wir theilweis; das erste Glied ergiebt 4. 2 - - - 1 -y ~ ( /V j . - f 2V(1 -£ 2 ) (1 -**!*) dz, _ J2)(l _ £2 £2) J Y wobei abkürzungsweise gesetzt worden ist „ s£[2£ 2 (z 2 -+- £2) — (1+ £ 2 ) (1 + £ 2 z 2 £ 2 )] (1 — £ 2 z 2 £ 2 ) 2 Q = 2 £ 2 z 2 (1 — ,£ 2 z 2 £ 2 ) 2 • Vertauscht man in 4. z mit £, so erhält man das Ergebniss der theilweisen Integration des zweiten Theils der linken Seite in 3.; dabei ändern P und Q ihre Werthe nicht; daher folgt aus 3. schliesslich z}/( 1 — £ 2 )(1 — l 2 £ 2 j + £l/(I~z 2 )(l — ^i 2 ) 5. ■Hw? -ß dz 1 — £ 2 z 2 £ 2 dl z 2 )(l-£ 2 z 2 ) y(l — £ 2 ) (1 — ^ 2 £ 2 ) ' <2 [l/(l — £ 2 )(1— ^l^dz + yf— z 2 )(l— k^z^dl] = c, wobei c eine noch näher zu bestimmende Gonstante bezeichnet. Zufolge der Differentialgleichung 2. verschwinden die Integrale in 5. und es ergiebt sich daher die Gleichung « V(l — £ 2 )(1 — **;») +£ T /(1 — s 2 )(1 — *»»») 1—^ 2 z 2 £ 2 Setzt man in I. £ = 0, so ergiebt sich z = 3; führt man dieselbe Substitution in 6. aus, so folgt z = c\ daher ist c = 3, w. z. b. w. Substituirt man z = ««cp, £ = «'«^, 3 = «'«3, so nimmt das Additionstheorem die Gestalt an: Es ist ? 4 « y* /j m 7. r d'ä r d r y f d'f J W) = J V wenn 748 Integralrechnung. Sin 3 sin 9 cos A (tp) +- ««ip rfr 9 A (9) Für ; 1 — k ' 1 sin 2 9 k'« 2

) 4- sini/ cos 9A(9) sin 3 — * 9 • 0 1 1 — k l sin* cp y kann man mi und A(®) als rationale Functionen von sin 9, cm 9, A(9), ««p, rrwtp, A(<|t) erhalten. Wir wählen zu dieser Ableitung folgenden Weg*): Aus der Gleichung 1. sini = sini cos $ cosisinQ folgt bekanntlich 2. f«a = ± (cosi cos $ — sinisitifi). Das Vorzeichen in 2. wird bestimmt, indem man angiebt, ob dem Werthe 3 = 0, für welchen sini = sini, der Werth cosi = -+- cosi, oder cosi = — cosi entsprechen soll; entscheiden wir uns für das erstere, so gilt in 2. das obere Vorzeichen. Ferner bemerken wir, dass mit 1. und 2. die Gleichungen gelten 3. cos ß = cosicosi -t- situ sini , 4. cos 1 — cosi cos 3 -t- sini sin ß . Hieraus können wir neue Formeln ableiten, indem wir sini und sin$ durch ganz willkürlich gewählte Werthe ersetzen; für cos 1 und cos$ haben wir dann Werthe zu nehmen, welche den Bedingungen genügen Wir ersetzen sin 2 1 + cos 2 1 = 1, cos 2 ß = 1 . sin 1 durch , sin 3 durch —- , n 1 n wobei n = }/l und haben somit zu ersetzen cos 1 durch TA- k 2 sin 2 9 sin 2 <\i , sin 9 A (4>) cos 2 9 *) Vergl. Schellbach, Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Thetafunctionen. Berlin 1864, pag. 109. § 17 - Das Additionstheorem ftir elliptische Integrale. Numerische Berechnung etc. 749 twß durch sinip A(y) 6 . cosc = =h Wir wählen in den letzten beiden Substitutionen die oberen Vorzeichen und erhalten aus 1. und 2. cosp sinip A(cp) -4- cos 4 p sincpA( 4 p) Slfl G — ~ in 7 ________________ 1 — k* sm* y sin* *.y «'»4-^(?)A(4) — rttrtp r«i)i 1 — k 2 sin 2 cp rz>t 2 4 Aus der Gleichung 5 folgen also 6., sowie die durch die gleichen Substitutionen aus 3. und 4. hervorgehenden Gleichungen. Sollen 3, 9, 4 die im Additionstheorem auftretenden Grössen sein, so entspricht dem Werthe 4 = 0 der Werth 1 = 9; daher haben wir in G. das untere Zeichen zu wählen und erhalten somit cos p cos 4 — sin cp sin 4 A (cp) A (4) 1 — k 2 sin 2 cp sin 2 ip Aus den Gleichungen 3. und 4. erhalten wir 8. «134 = sincp sins A( 4 p) ~h cos p cos g, 9. cos cp = sin 4 p sim A(p) -4- cos 4 p cos g. Aus allen diesen Gleichungen gehen neue Gleichungen hervor, wenn 3, cp, 4 der Reihe nach durch cp, 3, — 4 ersetzt werden. Hierdurch entsteht aus 9. 10. cosg = — sin 4 p sincp A(g) -4- cos 4 pcosp. Berechnen wir hieraus A(o-) und benutzen dabei 7., so erhalten wir 11 A( 3 ) = A (cp) A (. = A(^p) tätig 4 p, tang'i = A(4 ) tangcp . 3. Es liegt nahe zu fragen, ob unter der Voraussetzung, dass cp, 4 und 3 durch die in No. 1. und 2. entwickelten Gleichungen verbunden sind, das Normalintegral zweiter Art mit der Summe E(c) = fA(p)dp 0

, A(^) ausdrücken lassen. 4. Aehnlich wie bei Integralen zweiter Art verfahren wir bei den Integralen dritter Art Y II 0 (/^ k, tp) =/ ( fftp (1 -+- hsin 2 ) ' 0 Wir setzen 1 . n 0 ( 9 ) + n 0 (*) = s und nehmen wieder 3 als gegeben, tp und <\> als veränderlich an. Durch Differentiation folgt aus 1. d tp dty (1 -+- hsin 2 < p)A() aus 2. ein, so entsteht dm (sin 2 ip — sin 2 9) = sinn d{sinp sini/) , Dies in 3. eingesetzt, ergiebt ,„ hsinn «J = 77—;—}— ■ ' 9 w . —;—}— ^r-rrd(sm®sin = (1 — sin 2 9) (1 — sin 2 <[i) = 1 p —}- , Daher ist p = 1 4- q 2 — [cosn 4- q i±(n )] 2 = rzzz 2 n — 2 cosn l(n) ■ q h 2 sin 2 n ■ q 2 . Setzen wir zur Abkürzung A = 1 4- hsm 2 n , B = hcosn Ä(n ), C = hk 2 sin 2 n 4- h 2 , so wird zfS = Daher ist schliesslich 5 = hsinn hsinn dq f: A — 2 Bq 4- C^ 2 dq Const. A — 2 Bq 4- Cq 2 Die Integrationsconstante wird bestimmt, indem wir = 0 setzen; alsdann wird q = 0, 9 = n, S = II 0 (/z, k, n), und es ist daher 17 0 (a) = hsinn J2 - folglich A — 2 Bq 4- Cq 2 (?=0) Const , .S = II 0 (a) 4- hsinn - dq 2 Bq 4- Cq 2 ‘ Wird dies in 1. eingeführt, so entsteht schliesslich dq II0(?) + HoW = n 0 (a) 4- hsinn 2 Bq 4- Cq 2 ’ Sind also die Winkel 9, <}/, n durch die vom Parameter unabhängige Gleichung verbunden sintp costy 4- sinty cos 9 A(9) Sma 1 — k 2 sin 2 9 sin 2

, so entsteht 1. F(k, p) = (1 4 - X) F(l, tp), 1 — k' . (1 4 - X) sinty sin p — wenn COSi p 1 4- k' cosy ■ A (X, tp) 1 4- X«» 2 tp ’ ^ 1 4 - X«» 2

?) ■^( x - 7?)~‘ Aus 3. und 5. folgt nun sin 2 tp G. tang cp, = r-, * T1 X 4 - cos 2 tp und hieraus 7. sin( 2tp — p,) = Xsin p, . Diese Gleichung ist brauchbar zur Berechnung von cp, wenn p, gegeben ist. Will man tp, aus tp finden, so kann man statt 3. oder 4. bequemere Formeln haben, indem man aus 3. und 4. durch Division bildet (1 4- k')tangy tang'^ x j _ k’ tang 2 y’ mit Hülfe dieses Werthes erhält man leicht 8. tang{$ , — cp) = k' tangc? . Aus 1. 2. und 8 . hat man daher die Transformation 9. F{k, ? ) = 1 - 1 X 2 1 F(X, p, k' -J>> **«.?(? 1 - - 1 + p) = k' tangy . Um die reciproke Transformation zu erhalten, berechnen wir k' aus X = (1 — >&’) (1 4- k'), und erhalten k X -' 2 2]/X 1 4 - X 1 10 . § 17 - Das Additionstheorem für elliptische Integrale. Numerische Berechnung etc. 753 und vertauschen in 1., 2., 7. und 10. die Bezeichnungen cp, 9 1; k, X der Reihe nach mit \/k und um so mehr also, da k echt gebrochen ist, X > k; ferner sieht man sofort, dass '-Pt < ?• Durch diese Transformation wird also der Modul vergrössert und die Amplitude verkleinert. Wenden wir diese Transformation wiederholt an, berechnen also eine Reihe X, X 2 , X 3 . . . von Moduln X = 2 Yk 1 -+- k’ X 2 ~ 1 + X’ und die zugehörigen Amplituden aus sin( 2 (f t ■—■ cp) = kstny , «>z(29 2 — 9^ = Xrfrccpj , sin( 2

„ — ?«-i) = X„-i sin X„ _i > k, so folgt 1 * < 1 + k • Wendet man dies wiederholt an, so erhält man 2 yx' 2|/X“ Xa _ 1 + X, ’ X« = 2-j/X„ 1 + X„—x 1 X < (1-^)2 1 , (1 — x ) 2 (1 — ky 1 — x t < - , < *-— , ^ (i - * 2 ) 8 . (Ir ^L 8 3 < 1 + k < (i + ky ' . . . ., 1 x« 1 + k 1 — x 4 < (i — ky 1 (i (1 — X 3 )2 (1-^)1« ky ’ < (1 -+- ky r - (1 -+- /J) 2 "- 1 Hieraus folgt, dass sich 1 — X„ der Grenze Null nähert, und zwar sehr rasch, wenn k nicht zu klein ist; also ist lim\ n = 1 . Der Grenzwerth von 9« ergiebt sich durch wiederholte Anwendung der Gleichung sin (2 9« — so kann man hierfür auch setzen v /«»VX • X„ • X„ . . , /0 ir\ ) = - V - pj 1 - Itang -t- jJ . 7. Die Transformation No. 5, 9 gestaltet sich besonders einfach, wenn sie auf das Integral angewendet wird fY# 2 dy Ya 2 cos^rf 4- b 2 sin 2 cp ü Alsdann ist = l F (VZEE, f ). a \ a J b 2 1 a k' = b - a’ 1 4- k' a-t- b’ , . b tang{$ x — 9 ) = -tang cp. X = a + b’ Da nun d cp (a — b\ 2 . — I - 7 l SZi 4 - bj sin 2 cp ) = ~ J *1 = -+- ^i) > b 2 = y«^; (cp 2 — 9i) = Y tan d9i ; = K a 2 + ^s) > b 3 = (cp 3 — 9a) = Y- /a »g9 2 i == §(a 3 4 - b 3 ) , b i = Y a 3 b 3 5 (

Bekanntlich ist daher hat man dtl u. s. w. ^ ^ (&M—1 &n— l) j «i — b x < £(0 — £), a 2 —b 2 < i(a 1 — b t ) < ±(a — 0) «3 ~ < i( ö 2 — ^2) < i( a — a„ — Ai < w K-i — A,-i) < ^ (« — £) • § 17 - Das Additionstheorem fiir elliptische Integrale. Numerische Berechnung etc. 755 Wächst n unendlich, so ist daher lim ( a n — b„) = 0 . Hieraus folgt, dass die Zahlen a n und b„ sich einer gemeinsamen Grenze c nähern; diese wird nach Gauss*) als das arithmetisch-geometrische Mittel von a und b bezeichnet. Wenn a r von b r innerhalb der angenommenen Genauigkeitsgrenzen nicht mehr von einander (und von c ) zu unterscheiden sind, so hat f r eine bestimmte, durch die Rechnung sich ergebende Grenze erreicht, und es ist 9 y'a 2 cos 2 9 4- b 2 sin 2 (p 0 8. Auch durch das Additionstheorem allein, ohne Combination mit einer quadratischen Transformation, kann man ein Normalintegral erster Art, und auf demselben Wege eins zweiter Art berechnen. Ist 2 sin 9. cos®. A(m.) 1. so ist bekanntlich 2 . k 2 sin 4 9 F(k, (f) = 2 F(k, 9,) und nach dem Additionstheorem für Integrale zweiter Art 3. E(k, 9) = 2 E(k, 9) — k 2 sin'f sin 2 9, . Statt der Gleichung 1. kann zur Bestimmung des Winkels 9, durch den Winkel 9 passender die Gleichung benutzt werden, die aus No. 2, 10 folgt, wenn darin

«'»73 = ksinf 2 ; rf»9 4 = «'«^93 : k r 5 . Für hinlänglich kleine Werthe von /£ können diese Werthe selbst als erste Annäherungen für F(k, cp) und E{k, cp) benutzt werden, indem man (f r durch cp ersetzt. Führt man diese Rechnungen mit fünfstelligen Logarithmen für die Zahlen- werthe durch k = 0,93270, (f = 80° 0',00 , so erhält man ? - 80° 0',0 7 = 67° 44',0 ?1 = 50° 43’,6 7 i = 46° 40',4 ?2 = 27° 4^ 00 Üi 72 = 26° 0',1 ?3 = 14° 16',7 73 = 13° 24',0 ?4 = 7° 11,3 7r = 6° 45 ,2 ?5 = 3° 36 ,0 logsin-ft, = 0,77094 — Bezeichnet man, wie in' den Formeln, mit cp wieder den Arcus, so ist cp 5 = 0,062831, daher ist

cos am w x =jz sin am w sin am w. A am w A am W-, > 1 — £ 2 sin 2 am w sin 2 am w x A amw tsamw x qz £ 2 sin amzv cos amw sin amw x cos amw x 1 — £2 sin 2 am w sin 2 am w Wendet man die Additionsformeln auf das complexe Argument u + iv an, so erhält man die Hauptfunctionen für ein complexes Argument in ihre realen und imaginären Bestandtheile zerlegt. Aus § 17, No. 9 ergiebt sich sin am (iv) = i tang am (v, £') . Mithin ist cos am (i v) 1 A am (iv) — A am (v, £') cos am (v, £')' cos am (v, k’)’ Berücksichtigt man dies, so erhält man sin am (u -4- iv) = sin am u A am (v, £') -(- i cos am u A am u sin am (v, £') cos am (v , £') cos 2 am (v, £') -+- k 2 sin 2 am u sin 2 am (v, £') ’ cos am (u -+- hi) = cos am u cos am (v, £') — i sin am u A am u sin am (v, £') A am (v, £') cos 2 am (v, £') + £ 2 sin 2 am u sin 2 am (v , £') ’ A am (u -4- iv) = A am u A am ( v , £') — ik 2 sin am u cos am u sin am (v, £') cos 2 am (v, £') + k 2 sin 2 am u sin 2 am (v , £') § 18. Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in I’otenzreihen etc. 761 Unter Berücksichtigung der Additionssätze in No. 3 gegebenen Werthe ergeben die cos am zu A am zu ’ , sin am zu k V f a am w _ k_ __ A am zu ’ — sin am zu . sin am {zu ± X) = 6. cos am (zu ± X) — A am (zu ± K) = sowie sin am (zu ± 2 K) = 7. cos am {zu ± 2K) = — cos am zu , A am {zu ± 2 K) = A am zu . Aus der letzten dieser Gleichungen folgt, dass die Function A amw die freale Periode 2 K hat. Aus der zweiten ergiebt sich cos am {zu ± 4 K) = cos am zu] die Function cos am zu hat daher die reale Periode 4 K. Um sin am (zu ± / K '), cos am {zu ± / K'), \am{zu ± iX') zu erhalten, merken wir zunächst, dass :V be- sin am w cos amw = ,:]/ 1 sm* am zu 1 sin am zu A am zu 1 sin‘ am zu Substituiren wir hier zu = iX', so wird sin am zu = 00 und es folgt sin am iX' . sin am iX' . 1 cosamiX' l ’ XamiX' k" Dividirt man nun in den Additionsgleichungen Zähler und Nenner durch sin 2 am zu' und setzt dann zu’ — iX', so erhält man sin am (zu -+- iX') = 1 8 . cos am {zu -h iX') = k sin am zu ' A am zu k sin am zu ’ . cos am zu 1 • -. sin am zu sin am zu , — cos am zu , — A am zu . A am (zu + iX') = — Durch wiederholte Anwendung entsteht sin am {zu -h i ■ 2X 1 ) = 9. cos am (zu i ■ 2 K') = A am {zu -4- i ■ 2 K ') = Aus den Gleichungen 9. und 7. folgt cos am {zu 4 - 2X + i ■ 2 K’) = cos am zu . und aus der letzten in 9. A am {zu 4 - i • AX') = A am zu . In Verbindung mit dem im Anschluss an die Gleichungen 7. haben wir somit: die Function cosamzii hat die reale Periode AX und die complexe ■2X’-i~ i ■ 2X'] die Function A arnzu hat die reale Periode 2 K und die imaginäre iAX' . 5. Um uns diese Ergebnisse anschaulich zu machen, zeichnen wir auf der w-Ebene zunächst die Linien, für welche eine elliptische Function dieselben Werthe hat, wie für die Punkte der realen und der imaginären Achse; die Punkte, für welche die Function verschwindet, unendlich gross oder gleich der positiven oder negativen Einheit wird, sind der Reihe nach durch kleine Kreise, Sternchen, einfache und doppelte verticale Striche ausgezeichnet. 76z Integralrechnung. Der Amplitudensinus*) hat die reale Periode 4 K und hat daher für die Punkte der ima- 1—$—I—9—i— 9 —|—6—I—ginären Achse dieselben Wer- the, wie für Parallele zur imaginären Achse, die dnrch die Punkte ... — SK, — 4 K, 0 , 4 K, SK, 12 K . . . gehen; wegen der imaginären X — Periode i ■ 2 K' hat sin am w in den Punkten (M. 567.) derrealenAchse dieselben Werthe, wie in den Parallelen zu dieser Achse durch die Punkte ...-i-GK', -i-4K’, -i-2K', 0, i-2K', i ■ AK', i-GK’, - Durch beide Schaaren von Parallelen wird die ganze «AEbene in congruente Rechtecke getheilt, welche die Länge AK und die Breite 2 K' haben. Durchläuft w das ganze Gebiet des Rechtecks, das die Ecken hat: 0, AK, AK+i-2K', 2 K', so nimmt sin am w alle möglichen realen und complexen Werthe an. Denkt man sich jeden Punkt dieses Rechtecks mit dem zugehörigen Werthe von sinamw belegt, so erhält man die Werthe, die sinamw für die Punkte irgend eines andern der Rechtecke annimmt, indem man das erste Rechteck parallel verschiebt, bis es mit dem andern zur Deckung kommt. 6. Die Punkte, in denen der Amplitudencosinus infolge der complexen Periode 2 K -t- i • 2 K' denselben Werth hat wie im Nullpunkte, liegen auf der Geraden OA, die den Nullpunkt mit dem Punkte 2 K+ i- 2 K' verbindet, und zwar liegen sie hier zu beiden Seiten von O um Vielfache der Strecke OA entfernt. Die Punkte, in denen cos am w infolge der complexen Pariode denselben Werth hat, wie in B, liegen auf der durch B gehenden Paral- (M. 568.) und sind von B um Vielfache von OA getrennt. leien zu OA, *) In Fig. 567 ersetze man die einfachen Verticalstriche durch doppelte und umgekehrt. § iS. Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 763 Die Punkte, in denen cos am w infolge der realen Periode 4 K dieselben Werthe hat, wie in den Punkten dieser Parallelen, sind auf Parallelen zu OA enthalten, die von B in der Richtung der realen Achse um Vielfache von 4 K abstehen, und zwar liegen die Punkte dieser Parallelen, die einem bestimmten Punkte B entsprechen, auf der durch B gehenden Parallelen zur realen Achse. Zerlegt man die ze/-Ebene durch Parallele zu OA, welche die Punkte enthalten . . . . — 8K, —4 K, 0, 4 K, 8 K .. sowie durch Parallelen zur realen Achse, welche die Punkte enthalten . — i • AK', — i • 2K, 0, i • 2K’, i • AK' .. so zerfällt sie in congruente Parallelogramme; eins derselben hat die Ecken 0, 4 K, 6K-hi-2K’, 2K-hi-2K'. Durchläuft w dieses Parallelogramm, so nimmt cos am w alle möglichen realen und complexen Werthe an. Denken wir uns wieder jeden Punkt dieses Parallelogramms mit dem zugehörigen Werthe von cos am w behaftet, so erhalten wir die Werthe, welche den in einem andern Parallelogramme enthaltenen w-Werthen zugehören, indem wir das erstere mit dem letzteren durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen. 7. Die Function Aamw hat die reale Periode 2 K und die imaginäre Z-4AT 1 ; daher ziehen wir in der rc/-Ebene Parallele zur realen Achse durch die Punkte ... — i-8K, — i-AK', 0, i-AK', i- 8K',. . . sowie Parallele zur imaginären Achse durch die Punkte ... — AK, — 2 K, 0, 2 K, AK, ... Durchläuft w das Rechteck, das die Ecken hat 0, 2 K, 2.^4- i-AK, i-AK, so nimmt A am w alle möglichen Werthe an. Denken wir uns auch diesmal die Punkte dieses Rechtecks mit den zugehörigen Func- tionswerthen behaftet, so erhalten wir die Functionswerthe für die Punkte eines andern der Rechtecke, indem wir das erstere parallel verschieben, bis es mit dem letzteren zusammenfällt. 8. Setzt man im Additionstheoreme 9 iKj, \ -f- * r 9 -/ 1 : W ! 1 | (- P 7^ (j) 7 __J.._ ii ! k 9 ^ 1 1 1 —r— ||- ; l | i » 1 ! 6 * 6 » 9 -I- = w, so folgen die Formeln sinam2w = cos am 2 w -= 2 sin am w cos am w A am w 1 — k 2 «'« 4 am w ’ cos 2 anno — sin 2 amw A 2 amu 1 k 2 sin 4 am u Aam2w = A 2 amw — k 2 sin 2 amw cos 2 amw 1 (M. 569.) 1 — 2 sin 2 amw -t- A am ^K ± i = "j /1 — k ; / " ,/P K±iK' , y i±i i’ c ° sam —2— = (i + 2) ^2i- K ± iK' . K±iK' i/ .k A a«-^- = k y 1 rp «. Werth erhält mar /l 4- 1 -4- k 4- ik' /l ^ k ' 1 4- £ 4- k r = [/ Für den drittletzten Werth erhält man nämlich zunächst k 4- ik' ^ /\ 4- y* 1 4- k -I- i y* 1 — k "j/l 4- k 4- -|/l — k ' Die Quadratwurzel aus der zweiten Potenz hiervon liefert das Mitgetheilte; bei der vorletzten Formel ist yV = ± (1 4- z) : 2 verwendet worden, unter Rücksicht auf die Vorzeichen der Functionen; die Wurzeln sind positiv zu nehmen. 9. Die Functionen sinamw, cos amw, \amw sind eindeutige Functionen von 70. Nehmen wir an, sin amw sei eine mehrdeutige Function von w und dem Werthe «/„ entsprechen sin amw 0 C 0 und sin amw 0 z 0 ; bewegt sich z auf der durch Querschnitte auf einfachen Zusammenhang gebrachten RiEMANN’schen Variabeinfläche von £ 0 nach z 0 , so beschreibt tu eine Curve, die in w 0 anfängt und auch da endigt, da tu eine eindeutige Function der Punkte der einfach zusammenhängenden z-Fläche ist. o Di Der Weg C 0 z 0 sei so gewählt, dass der zugehörige Weg von tu keinen Windungspunkt enthält. Geht w über B nach A und hierauf den- y 0 ~y selben Weg zurück, so geht ein Werth der Variabein z von £ 0 bis (M. 570 .) zu einem A entsprechenden Punkte a und dann denselben Weg zurück nach J 0 . Wir wollen nun den Weg 1 = ABw 0 stetig so verändern, dass er in den Weg ACw 0 übergeht. So lange bei diesen Veränderungen der Weg nicht einem Punkte unendlich nahe kommt, für welchen dz\dw unendlich gross ist, so lange gehört zu jeder unendlich kleinen Verrückung eines Punktes der Curve l auch eine unendlich kleine Verrückung des zugehörigen Punktes der Z-Fläche, so lange ist also auch die Deformation des Weges aZ 0 stetig und £ 0 der Endpunkt. Da nun der Weg nicht durch stetige Aenderungen in den ACw a entsprechenden Weg az a übergeführt werden kann, so folgt, dass, wenn anders die Annahme der Vieldeutigkeit von sinamw zutreffen soll, die Curve w 0 CAB einen Punkt einschliessen muss, für welchen § 18. Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 765 d £ = y(i-* 8 )(i-* s * > ) unendlich gross wird. Dies tritt nur ein, wenn z = oo, und hierfür ist w = iK' -+- 'imK -t- 2 niK'. Es müsste also, wenn w einen geschlossenen Weg beschreibt, der einen dieser Punkte umgiebt, z von einem Anfangswerthe £ 0 zu einem andern End- werthe z 0 gelangen. Wir können uns dabei darauf beschränken, w einen unendlich kleinen Kreis beschreiben zu lassen, der einen dieser Punkte einschliesst. Nun ist stnam(iK' -+- 2 mK + ilnK' -+- = ± sinamiiK' H- pe ! 'f) = ±lr _L_; k sin am p e’’t wächst

' die Gleichungen 3 • .2 ■ • «3 = — (1 -+■ k 2 ) «1 , 5 • 4 ’ «5 = — (1 -h k 2 ) « 3 4- 2^ 2 «j 3 , 7 • 6 ■ '«7 = — (1 -t- /£*) «5 4- 6 k 2 afa-j, 9 • 8 ■ ■a 9 = — (1 + k 2 ) d J 6 k 3 {a 2 a b 4- a l a^), 11 •10 ■ ’ «n = (1 4- £ 2 ) «9 ~t~ 2/& 2 (3«j 2 zz 7 4- a 3 4- 0«! ad), 13 ■12 • '«13= - (1 4- k*) «1 i+ 2/£ 2 (3«, 2 a 9 4- ^a l a- 2 -+- ßa 1 a 3 a 7 3 a^a 5 ). 766 Integralrechnung. Den ersten Coefficienten a x erhalten wir, indem wir die Reihe für sin amw differenziren und davon Gebrauch machen, dass idsin amw\ V ciw /™= 0 ~ hieraus ergiebt sich i; Berechnen wir nun aus dem gegebenen Systeme die übrigen Coefficienten, so erhalten wir 1 4- k 2 „ 1 + 14£ 2 4- ki sin amw = w 1-2 • w 3 ■ w 1 4- 135/fc 2 4- 135/& 4 k 6 1-2-3-4-5-6-7 1 4- 11069/£ 2 165826^ 3 ' 1 • 2 ■ 3 • 4 • 5 1 4- 1228 £2 4 - 5478 k* 4- 1228/£ 6 4- k 8 165826/fc 6 1-2-3-4-5-6-7-8-9 4- 11069^ 8 4- /H° 1 ■ 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 mod w < K'. 11. Wir bilden in gleicher Weise d 2 cos amw = — (1 — 2k 2 ) cos amw ,,it dw 2 2 k 2 cos 3 amw , und setzen auf beiden Seiten die Potenzreihe für cos amw ein; dadurch gelangen wir zu den Gleichungen 2 ■ 1 ■ b 2 = — 1 , 4 • 3 • b 4 = — (1 -t- 4 k 2 )b 2 , 6- 5-b 6 = — (1 4- 4 k 2 )b 4 — Gk 2 b 2 , 8- 7 -b s = — (1 4- 4£ 2 ) /; G — 2/' 2 (^ 2 3 4- Gb 2 b 4 ), 10 • 9 • ^ 10 = — (1 4- 4^2) ■ — Gk 2 (l>ib 4 4- 2^ 2 /t fi 4- bi ), 12 *11 • b 42 =- — (1 “P 4^ 2 ) by q— Gk 2 (b 2 b 2 4- b 2 b (i 4* 2b 2 b 2 “1“ ^ ^4 ^o) > Hieraus findet sich 1 1-2 1 4- 44^ 2 - cos amw = 1 1 4- 4k 2 1-2 16^ 4 w b 4- 3-4 1 4- 408 k 2 912/H 4- G4k 6 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 1 4- 3688/J2 4 - 30768/H 1-2-3-4-5-6-7-8 15808/i 6 4- 256^ 8 1 • 2 - 10 3.4-Ö-6-7-8-9 mod w < K'. 12. Für die Function A amw ergiebt sich d 2 tiamw , _ —^ 2 — = (2 — k 2) A amw — 2b? amw , woraus die Gleichungen folgen ■ w 10 2 • 1 • 4 • 3 ■ 6 • 5 ■ 8 • 7 • 10 • 9 = — k 2 = — (4 4- k 2 ) c 2 = — (4 4- k 2 ) c 4 — Gei = - (4 + k 2 ) c 6 - 2 (ci 6 c 2 c 4 ) Go= — (4 -t- k 2 )c s — 6(c 2 2 c 4 4 - 2 c 2 c e 4- c 4 2 ) 12 -11- üj 2 = — (4 4- k 2 ) c j 0 — 6 (cic 6 4- c 2 t 4 2 4- 2 c 2 c 2 4- 2f 4 f 6 ) Diese ergeben A amw = 1 k 2 (16 4- 44 k 2 4- ki) 1 • 2 • 3 - 4•5 • 6 . W b k 2 1 • 2' 7 k 2 (64 , ^(4 + ^) 1 • 2 • 3 • 4 912^2 + 408 £ 4 k«) 1-2-3-4-5-6-7 modw < K' . § i8. Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 767 Die Reihen für die Produkte je zweier der Functionen sinamw, cos am w, &amw erhalten wir, indem wir die soeben entwickelten Reihen nach w differen- ziren; es entsteht: cos amw • A amw 1 k* 1 + 14/& 8 1 ■ 2 w* 1 4/fc 2 1-2-3 4 -+- k? 1^3 — W ^ 1 - 2•3 • 4 sin amw ■ A amw 1 + 44 £2 + 16^ 1 • 2 • 3 • 4 • 5 sin amw • cos amiv 16 -+- 44£ 2 + k 4 w 6 1 • 2 • 3 • 4 - 5 modw < K '. 13. Wir werden nun die elliptischen Functionen in FouRiER’sche Reihen entwickeln; vorher wollen wir die FouRiER’schen Reihen auf complexe Variable ausdehnen*). Die Function f(z) sei periodisch und habe die reale oder complexe Periode gezogenen Geraden parallel sind. Nach der Voraussetzung zerfällt dieser Streifen in con- gruente Rechtecke, deren in der Richtung des Streifens gemessene Länge A 0 A x einer Aenderung des z um den Periodi- citätsmodul <0 zugehört, so dass für homologe Punkte dieser Rechtecke f{z) denselben Werth hat. Wir führen eine neue Variable t durch die Gleichung ein 1. und setzen / = r£*&; dann ist „ ■ z sowohl f(z) als e >« ‘ denselben Werth haben, so folgt, dass die Reihenentwicklung für den ganzen zwischen den Geraden A 0 A x und B 0 B x enthaltenen Streifen gültig ist. Für die Coefficienten hat man dessen Halbi i dt erstreckt über einen Kreis, dessen Halbmesser zwischen r 0 und r x liegt; führt man z ein, so entsteht 2 mtz , 5. a H = - / /(z) e m 1 dz . erstreckt über A 0 A X , oder eine innerhalb des Streifens liegende parallele und gleiche Strecke. Ersetzt man in 4. und 5. die Exponentialgrössen durch goniometrische Functionen, so erhält man die FouRiER’sche Reihe in der Form /(z) = a o i . . 2«ttz a~„) • sm - + y («»-+-«-») ■ cos 2»tcz die mit der § 11, No. 12 mitgetheilten übereinstimmt. 14. Ist f(z) = sinamz*'), so schlagen wir zur Ermittelung des Integrals (M. 572.) 4 K a " = IkJ 6 2K ’ dz o folgenden Weg ein. Hat das Rechteck OABC der Reihe nach die Eckpunkte z = 0, 4 K, 4K-t-2K’ i, 2K'i, und umgehen wir die beiden Punkte D und E des Perimeters, für welche z = iK' und 4 K + iK' ist, für welche also sinamz *) Den bisher aus leicht erkennbaren Gründen festgehaltenen Gebrauch, die Variable in den elliptischen Functionen mit w zu bezeichnen, geben wir nun auf. § i8. Die elliptischen Functionen. Entwicklung derselben in Potenzreihen etc. 769 unendlich gross wird, durch verschwindend kleine Halbkreise, und schliessen den Punkt 2^T+2Ä'V, in welchem sinamz ebenfalls unendlich ist, durch einen ver- tnzs . schwindend kleinen Kreis aus, so ist für die Function f{z)e~ 2 k* dz J O A -t- j AD j -t- jD ! Dq D% JD% B -t- j BC -h j C'B^ *+- jB%B q B ^ + fE l Oi-J'H 0 H 1 H a =* 0. n kz . In correspondirenden Punkten von OC nnd AB haben sinamz und e~‘2K ! denselben Werth, dz aber entgegengesetzt gleiche Werthe, mithin verschwindet die Summe der auf diese Strecken bezüglichen Integrale. In correspondirenden Punkten der Seiten OA und BC hat sinamz gleiche Werthe, zur Exponential- Tt A" grosse tritt aber der Faktor f'T, Wir setzen zK‘ e k = q , und haben daher fOA + jBC = 0-S~ H )fOA. Statt des Integrals j£ i E 0 E 1 können wir JD^D i D x setzen, da in correspondirenden Punkten beider Halbkreise die zu integrirende Function gleiche Werthe hat. Für die Kreisintegrale über D 1 D a D i und H Ü H X H^ setzen wir der Reihe nach, indem wir den Radius mit r bezeichen, z = 2 K - 4 - K' i -+- re z > , bez. = 4 K - 4 - K' i -+- re’V , bezeichnen die verschwindende Grösse re*f mit p und beachten, dass sin ami^K - 4 - K’i - 4 - p) = — -j—, -, x r ' kstnamy sin am(4K -+- K'i - 4 - p) = -. r/ ksinam p Somit erhalten wir 2z r r « fi—n-xi — \ r n ««p. + Jg,M,g, - l.fl ■ J 0 Wir gehen nun zur Grenze für ein verschwindendes p über; da lim ■ nn p so folgt sm am p 1 , lim e ‘IK ’ 1 — 1 ( /w, fax. ^2 = 2t: _ n g—tnzi _ | ■ q 2 - - Hieraus erhalten wir nt J 0A nzi 1 1 /qn 4 K Daher ist 2 K a n ft'2n ft —2 n — 0 f ft^n 1 — q» ■ a- H = 0 , «—2»-l = . TZ 2 2 K cosmz - I Yr 1 — q n _2it k K ' 1 |/^2k+1 a 2n+\ Dies ergiebt nun die gesuchte Entwicklung sin amz — 2t: ( 1 fq . tt z Y~Y . 3t: z V V 5 kK \1 — q 2 A 1 — q 3 2Ä 1 — q 15. Zur Ermittlung des geradlinigen Integrales ScHLOEMtGCH, Handbuch der Mathematik. I’d. II. * sm Yk ) 49 770 Integralrechnung. J 4 K ' KTtg . c« «« z • e 2K* dz M bilden wir ein Parallelogramm OABC, für dessen Ecken z = 0, 4K, 6Ä'-b 2 K’i, • r, 2K~>r2K'i und schliessen die beiden Punkte 2K -t- K'i und 4 K -+- K'i im Inneren dieses Parallelogramms, fiir welche cosattiz unendlich wird, durch gleiche verschwindende Kreise aus. Das Integral erstreckt über den Perimeter des Parallelogramms ist gleich der Summe (M. 573.) der beiden Kreisintegrale. In correspondirenden Punkten der Seiten AB und OC haben cos am z und die Exponentialgrösse gleiche, dz entgegengesetzt gleiche Werthe; also verschwindet die Summe der über AB und CO erstreckten Integrale. In correspondirenden Punkten von OA und BC hat cos am z gleiche Werthe und zur Exponentialgrösse tritt der Faktor e -’^-ClK+2K‘i)i __ gy-H _ Die beiden Integrale geben daher vereint [1 -(-*)-] -fOA. In den Kreisintegralen setzen wir z = 2 K -+- K'i -4- p, bez. = 4 K -1- K'i -+- p, p = r-f, und beachten, dass cos am(2K -+■ K'i -+- p) • e 2K cos am (AK K'i -f- -22(2A'+A”/+p) p).,-^ (4A ' +A "' +p > = « — HTA — -ij- 1 am p -SS, ■ e 2a- ■e • q k sin am p n \am$ P • e 2 A” — i ■ q k sin am p Die Summe der beiden Kreisintegrale ist daher 2it ■') q~’^ • f-i ’p [Santo —SS ,• v -- e 2 k d 5*0 T cCY^ ”F , 7 cos 77“7v H” v ' —r v. >JÄ Ll + y 2Ä 1 h- 2Ä 1 -+- y* 2Ä 16 . Um A amz in eine Fourier’ sehe Reihe zu entwickeln, haben wir geradlinige Integral auszuwerthen t i IK j' A am 0 e HKZ , -Je’ dz . das 8 Wir integriren die unter dem Integralzeichen stehende Function auf dem Perimeter OABC, in dessen Ecken 0 = 0 , 2 K, 2 K + 4 K'i, 4 K'i, und schliessen die Punkte K'i, 3 K'i, ‘iK+K'i, 2 Ä'+ 3 Ä'’z, in welche \amw unendlich gross wird, durch kleine Halbkreise aus. Die Integrale über AB und CO haben wieder die Summe Null. In correspondirenden Punkten von OA und CD hat A amz gleiche Werthe, die Exponentialgrösse nimmt den Faktor an 4«txA" e k = -4« die beiden Integrale geben daher zusammen (1 -q~**)-fOA. Die vier Halbkreisintegrale kann man durch und 3 iK' ersetzen; wir substituiren in denselben 0 = iK' -+- p, bez. und bemerken, dass 0 A 3 iK’ (M. 574.) zwei Kreisintegrale um iK' p = re’t, A am (iK' -h p) • e cos am p ■ 1 —- q sm am p 1 .m, K \am( 3 -iK' . cos am p - q n fll.E) . ♦ e~ k . sin am p Für die beiden Kreisintegrale ergiebt sich, wenn man p unendlich klein nimmt, 2 t Daher ist •K K q—n — q— 3« =4IT r da so ist 1 — q a H - 2t: = K 1 + q‘‘ •ln ’ a— n — 0 , < 1 * 1 9 - fln ’ Clf\ - rr K‘ Dies liefert schliesslich TZ 2 K 2 K f(r q l K 1 -+- q^ K Diese FouRiER’schen Reihen für sin amz, cos amz und A amz gelten für alle Werthe von z, welche innerhalb des Streifens liegen, der sich parallel der realen Achse erstreckt und dessen Ränder durch die Punkte ± iK' gehen. Jenseit dieses Streifens wiederholen sich die Werthe der elliptischen Functionen, gemäss ihrer complexen Periode, und zwar bei cos amz und \arnz mit Vorzeichenwechsel; die FouRiER’schen Reihen sind aber nur einfach periodisch und setzen sich jenseit des Streifens mit andern Werthen fort, als die Functionen, mit denen sie für Punkte im Innern des Streifens übereinstimmen. A am 0 = q 2 2-0 cos r 1 + q e 3tzz ~K . J. 49 772 Integralrechnung. 17. Alis den in No. 14, 15 und 16 entwickelten Reihen lassen sich durch Differentiation, Integration und geeignete Substitutionen eine grosse Anzahl brauchbarer Reihen ableiten. Wir beschränken uns hier auf wenige Beispiele. Ersetzt man in den drei Reihen z durcli K — z, so entsteht cos am z 1. 2 . 3. 2 kK 2 - kk' u / 1 fq K \l- ~ (j/j 'A^l +' A am z ~\[q rt z "l/tf 3 q 2 K 1 -+■ q 3 sin am z 3rt z C 0 S Yk + T Vtf 3 ÖTta --r COS 7. — <7 5 2 A ) A am z . TZZ sin — yV 3 . 3rz Vq : ' . ö~z \ ;Ä 2A + 1 TY ä SW 2A' “ ' - 7 ’ tc 2t: / 2FÄ' — )PA’ [ f , 2A' H-? 3 1 & am z r>z q 2 COS „ — --r 7 2 AT 1 -4- y 4 2ti2 zw ■ y -t- y 3 3rt2 t-7 zw — 77 - 1 + <7 6 AT •) Aus den Transformationsformeln § 17, No. 5. ^(frT’ ¥i) = 0 + *')*■(*. ?). (1 -h £') zw© .rzft© 1 — (1 + k') sin 2 © -ÄW-■ -Mp)-’ sin = ■Mi) = 1 — (1 — k')sin 2 r k') K', 2 sin am w m cos am w in q m q (1 + k") sin am w cos am w 1 am w ’ 1 — (1 -f- k') sin 2 am w A am w § I g. Die Thetafunctionen. 773 Durch diese Substitution erhält man aus der Reihe für sin am z*): sin am z cos am z A am z PK \ \ 4t: / q . TiZ g z . 3itz q h 5 r 2 ( ) § 19. Die Thetafunctionen. 1. Die FouRiER’schen Reihen für die elliptischen Functionen legen die Frage nahe, ob es nicht möglich sein wird, die Coefficienten a H einer Reihe 2nns . co s(>) = 2 i. —oo so zu bestimmen, dass durch dieselbe eine Function, welche ausser der Periode tu noch eine zweite Periode p hat, für alle VVerthe der Variabein dargestellt wird. Ersetzt man z durch z -+- p, so erhält man S (z + p) = • e m ‘ ■ e -OO -oo 2jLKJ Setzt man abkürzungsweise e <» = q, so wird eo 2urzs . • —n - i S (z + (JL) = 2j a '‘ 1 e Soll nun für alle Werthe von z die Gleichung bestehen •S(* + n) = S(z), 2 . so folgt q — 1, mithin p. = mv>, wo m eine ganze Zahl ist. Durch die Gleichung 2. kommt man also über die Periode ? 2 2«+l _ (2«4-1 )h^ i . £ <» Bestimmt man die i!» durch die Bedingung 2«+l 6. b n q 2 = Ti • b n ~\, so wird ^iO + F) = 7 X -e <» '• Sjfc). Aus 6. folgt = Vhf'’ b 2 = M,ft, ^3 = • • • woraus sich ergiebt « ^ +2« bn=b 0 -i’l-q 2 . Wir nehmen 71 =7 = ± , und erhalten = (± l)»^("+l) J . Für die Reihe Aj erhalten wir somit die beiden Formen 7. 2«™ [( '‘ +Jj)3,j ' _(2 ’' +1)2] und § (- i)-j'K-+i) , i‘-« 2 * +1 >*] . — —oo —oo Wir sind hierdurch auf die Untersuchung der vier Reihen 4. und 7. geführt worden. Wir ersetzen in denselben tcz : durch — p; ferner fügen wir zur letzten Reihe den Faktor i. Die vier Reihen, welche w’ir so erhalten, führen nach Jacobi den Namen Thetafunctionen und werden durch die Functionszeichen D(z, p), 11 1 (z, p), 1> 4 (z, p), 11 3 (z, p) bezeichnet, so dass {>(«)= 2(— »i (z) = z2(— l)««-(«+i) 2 P-'(2«+i)^, 8 ' f).,(z) = 2 e -(»+i) 2 p-i( 2 «+l)t' li’(z) = Wird unter e~f ein realer positiver echter Bruch verstanden, so haben diese Reihen für jedes endliche z endliche Werthe und werden nur mit z zugleich unendlich gross. Wir werden nun die wichtigsten Eigenschaften der Thetafunctionen entwickeln; am Schluss dieser Untersuchung werden wir den Zusammenhang dieser Functionen mit den elliptischen Functionen erkennen. § 19' Die Thetafunctionen. 775 2 . Rechnet man je zwei Glieder der Thetafunctionen zusammen, die zu entgegengesetzt gleichen n gehören, so erhält man die Reihen in folgender Gestalt 8 (z) = 1 — 2 «—p cos 2 z 4 - 2 e— 8> cosAz — 2 «— 9 p cos&z ( z ) = 2 Ye ~p sin z — 2 "j/r— 9 p sin 3 z 4 - 2 y ft 2 ( 2 ) = fti(i 11 z ) ’ ftj (z) = 8 2 tt — 2), 83 (2) = 8 it 2). Bezeichnet »2 eine ganze Zahl, so ist 8 (2 4- 2227t) = 8(2), 8 2 (2 4- 2227t) — (— 1)“8 2 (2), 8j(z 4 - »21t) = ( 1 )*” («), 83(2 4 - 2221t) = 83(2). Ersetzen wir in No. 1 , 8 die Variable durch 2 4 - i\ip, so folgt 8 (2 4- £«p) = (2) , 8j( 2 4- ifp) = 2«iP~“ 8 (2), ft 2 ( z 4 - £*>) = «^""“ftsC®)» 83(24-^2»= ^-*8 S (*). Ersetzen wir hier wieder 2 durch 2 4- ^fp, so entsteht 8 (2 4- 2 p) = — «p- 2 “8 (2), 8 ,. (2 4- * p) = — «p- 2 * 8 j (2), 5 ' 8 2 (2 4- 2p) = «p-2*8 2 (2), 83 (2 4- fp) = «p— 8 3 (2) . Wenn man diese Substitution mehrmals wiederholt, und dann noch 2 — i ■ m t p für 2 setzt, so erhält man für jede ganze Zahl m x 8 (2 4 - 2/21 • 2p) = (— l)“i ( 8 j(« 4 - ■ 2 p) = (— l)»'if**i 1 p- 2 '‘*'i* 8 1 (*), 8 g(2 4- 222 J • 2p) = 83(2 ~h m t ■ip ) = r'«i'p- 2z ''*, z S3(2). Aus 3 . und 6. folgt noch 8 (2 4- 2227t 4- niy • 2*p) = (— l)“i ^» 4 2 p- 2 ”«V 8 (2), 8j (2 4 - 2227 t 4 " 222j • 2p) == ( — l)" 2 “ 1 "'") P -2/ ’“l z 8j (2) , 8g (2 4 - 2227 t 4 - 222 j • ip) = ( — \) m , 83(2 4- 2227 t 4- 222 j • 2’p) = e"‘i 9 ~ 2l 1 * 8 3 (2) . Aus diesen Gleichungen erkennt man sofort, dass der Quotient je zweier Thetafunctionen doppelt periodisch ist; die Perioden sind von der Form 222 • 7t 4- 22 • 2p, wobei 222 und 22 gleich 0, 1 oder 2 sind. 3 . Die Multiplication der beiden Functionen 8 3 (2) = 2 e- K ‘ Jp - ! '’ 2 " z , 83 (9 = ergiebt die Doppelsumme 3,(r).ft s (Ö = 2S«- ( ’ ,3+ ” ,2),> -‘’ ,2Cb2+ “ :) . Für den Exponenten von e kann man schreiben — 2 p[\{n 4 - m ) 2 4- £(22 — 222) 2 ] — 2 2[^(22 4 - 222) (2 + 5) + -,}(22 — 222) (2 — £)]. Die Zahlen n + m und 22 — m sind gleichzeitig gerade oder ungerade; bezeichnen a und b ganze Zahlen, so ist also 22 4- 222 = 2 a, und zugleich n — m = 2 b, oder 22 4- 222 = 2 a 4- 1 , „ „ 22 — 222 = 2 £ 4 - 1 . Durchlaufen a und b alle positiven und negativen ganzen Zahlen, so erhalten 22 4- 222 und 22 — 222 alle möglichen Werthe. Integralrechnung. 776 Ersetzt man m und n durch a und b, so erhält man ft (z) ■ » 3 (£) = ^y e -2p(^+^)-2i[a(z+0 + 6( Z -Q] = 2 e -2a5p-‘>M(z+Q . ^ e -2i' J p-2i(z-Q + 2 e~ 2 ( a +¥) 2 ?~2i( a +i)i*+') . 2 e~ 2 ( 6 +i) 2 P~ »'C^+iX* - 0 . Hieraus folgt 1. », (*) • », © =», (*-+-- 2 P ) -», (* -£, 2 P ) + », (* +:, 2 P ) • ft, (* - £, 2 P ). Ersetzt man hier z durch — z, £ durch ^ir — £, und beachtet No. 2 , 2 . und 3 ., so erhält man 2. »(*) • ft(0 = ft, (* +- C, 2p) ■ »3 (z - £, 2p) - ft 2 (z + £, 2p) • ft 2 (z - £, 2 P ) . Aus No. 2 , 4 ergiebt sich leicht f> 3 (z — ?,fp) = £±P+'=. ft, (z) . Ersetzt man hier p durch 2 p, so entsteht » 3 (z — zp, 2 p) = 2 ab, setzt man also 2ft s (0, 2 P ) ft,(0, 2 P ) ft i>(0, 2 p) 2 + » 3 (0, 2 p) so ist k ein positiver echter Bruch; man erhält leicht ft 3 (0, 2 P ) 2 - ft,(0, 2 p) 2 2<7 4 +2 q 9 + . . . der Ungleichung (a ■ = k, b ) 2 >0 folgt = Y\—k* = k\ ft 3 ( 0 , 2 P ) 2 + ft ,( 0 , 2 P ) 2 wobei die Wurzel positiv zu nehmen ist. Durch Einführung dieser Zeichen wird aus 7 . und 8. § lg. Die Thetafunctionen. 777 9 . k ■ » ( 2)2 = a,(z) 2 + k'& 2 (zy, 10. £-» 3 (z ) 2 = -+• a 2 (z) 2 . Wir setzen hierin z — 0 und beachten, dass a i (0) = 0; dadurch erhalten wir für k und /•' die einfacheren Ausdrücke » 2 (o)‘ 2 „ r »(o)] 2 ~ ihm • ; durch \t, p durch Ap; dadurch 11 . = l 8 Ls »3(0). 4. In No. 4 ersetzen wir z durch z entsteht a 3 (z -+- tj ■ a 2 (z) — a 2 (z -i- /) • a 3 (z) = a, (z •+■ aa ^p) • a t (aa Ap) . Hieraus folgt '%( 2 ~b t) h( z ) a iWl _ _ V »WJ ” »,< ip) ’^iC^A Ap) t a 3 (z -+- 1) a 3 (z)j a 3 (z + t) a 3 (z) Aus dieser Gleichung gelangen wir zur Kenntniss des Differentialquotienten von » 2 (z) : a 3 (z), indem wir zur Grenze für ein verschwindendes t übergehen. Setzen wir ^iiMip) = a , t=0 t so ergiebt sich 1. d ,, »*(*) »lAJ-p) ». w _ _ dz ~ ä 3 (z) 2 ' Um rechts die Function »j (z, Ap) zu beseitigen, beachten wir, dass aus No. 2, 3 folgt, wenn wir z durch — z, £ durch 0 und p durch A? ersetzen, &t(*,ip)»*(0.ip) = 2»i(*) »to- Setzen wir 2 . so erhalten wir 3. »2(0, Ap) As« ».(*) 4. __ h « »w dz - ‘ J ' “”»3 (z) 2 • Wir substituiren hier ^tt — z für z und erhalten so AW » 2 « »«(*) »(z) 2 5. Die soeben gewonnenen Differentialformeln setzen uns in den Stand, die Quotienten zweier Thetafunctionen mit bestimmten Integralen in Beziehung zu bringen. Wir definiren drei neue Functionen fiz), g{z), h{z) durch die Gleichungen »1« »2« _ ».(*) ^ )= 1T(Z)- h{z) »(*)'■ 1. 2 . 3. Zufolge No. 3, 10 bestehen zwischen diesen Functionen die beiden Gleichungen /(z) 2 + k' -g(z) 3 = k, k'fizy -+- gizy = k-h(zf. Ferner ist Die Gleichungen k = - k' r df(z) kf(*V y [i - j/w] [i Wir ersetzen hier, um mit früheren Bezeichnungen in bessere Ueberein- stimmung zu kommen, -^—/(z) durch l und z durch w; alsdann ist yk »( _ * _ = + SU V(1 - £ 2 )(1 — k*V-) Const. yö"- s 2 )o - &V-) Da flj (z) verschwindet, wenn 2 = 0 ist, also l = 0 und w = 0 zusammen gehören, so folgt 7. 7 W =f- J ■ l/(l — £ 2 ) (1 — £ 2 £ 2 ) Die Constante (1: k' lässt sich durch das geradlinige Integral h dl = K J l/(l - £ 2 )(1 -^ 2 £ 2 ) 0 ausdrticken; denn dem Werthe £ = 1 entspricht f(z) — ")/ k , also bestimmt sich das zugehörige 2 aus 8 . -,/T l %(0) »( 2 ) — »s(0)\ Dieser Gleichung wird durch 2 = ^ ir genügt, wie man sofort erkennt, wenn man in No. 2, 2 2 durch Null ersetzt. Der Differentialquotient dl : dz ist für ein hinlänglich kleines 2 positiv; dasselbe gilt für 0 S (2)0(3) : 0(2) 2 z < folglich ist ß > 0 (No. 4, 4). Damit l = /(2) von 0 bis 1 wächst, hat man daher für 2 von 2 = 0 an zunehmende Werthe zu setzen, bis man an einen Werth von 2 kommt, der l = 1 entspricht. Man hat daher von den unendlich vielen Wurzeln der Gleichung 8. (vergl. No. 2, 7) die Wurzel 2 = zu nehmen. Folglich ist 9. 10 . k'-^ =K - Wird 7. durch 9. dividirt, so entsteht schliesslich t 2 K iyo - Dem Werthe l — 1 : k entspricht «'jS' od " £ 2 ) (1 — £ 2 £ 2 ) » 1 « »»(0) 0(2) - 0 2 (0)- Aus den letzten beiden Gleichungen No. 2, 4 folgt für 2 = 0 »* w _ » 2 _0ip) o 0 (o) ~ &',(**»’ und aus No. 2, 2 für z = folgt weiter 'Ml*'?) _ ~ i /- P) 0 3 (-y» 0(^i: —-j/p)' Daher ist 2 aus der Gleichung zu bestimmen § 19. Die Thetafunctionen. 779 »i(«) _ »(**-**»■ Dieser Gleichung genügen die Werthe z — ^tz — p -t- 2 hk 4- m • i p ; folglich ist 1 k 2 K„ , . C dr - — (Ar — Ito 4- 2 mt -+- m ■ ip) = / —. .~ ..= 7 : ^ T v J l/( 1 — S a ) (1 — 11 . )(1 - k 2 l 2 ) 0 Nimmt man rechts das geradlinige Integral, so hat man bekanntlich dl /; K + iK'. J V(i — i 2 )(i -k 2 i 2 ) 0 Man hat daher n — 0, und, wenn p positiv vorausgesetzt wird, m = 1 zu nehmen. Hieraus folgt 2 K . r , + ^fp) = K 4 - i A , also ist Ä" p — * ' K ' Aus den ersten beiden Gleichungen No. 2, 7 folgt, dass r _ -±-f( w \ - -i- • ' “ yi n } - yi .»(*0 sich nicht ändert, wenn w um 2 wir 4- ff/, • fp zunimmt, wobei m und tn x beliebige ganze Zahlen sind; in Rücksicht auf den soeben gefundenen Werth von p wächst dabei C) -— ■ w um m • 4A' 4 - m x • 2 iK'. TC In gleicher Weise vieldeutig ist bei gegebenem l bekanntlich die rechte Seite der Gleichung 10.; diese Gleichung ist daher umfassend gültig, sie enthält links und rechts Grössen, die dieselben beiden I’eriodicitätsmoduln haben. Aus 10. folgt nun 1 2 K l = —= • f{w) = sin am - w , yk ~ also ist 2 K 1 !>,(«') stn am - w = —.= ■ -5-7—r • * yk a ( w ) Ersetzt man hier w durch ~w : 2 AT, so ergiebt sich 12 . sin am w = , »4D Yk) yk Aus den Gleichungen 4. und 5. folgt 2 Kw k' , 1 — sin 2 am —— = ^g^v) , 9 Kw 1 — k 2 sin 2 am - = k' k(w) 2 , also, wenn man auch hier w durch uw : 2 K ersetzt y.w\ 13. V‘r \2A-J •($’ 780 Integralrechnung. 14. yk ( TZW\ 2*7 Setzt man die Reihen selbst ein und bezeichnet wieder _£1 e p = e k* mit q , so erhält man 15. 1 y'k 'V - [K* - 9. iri = »(z)* ft(9 2 — ft, ( 2 ) 2 »,(9 2 . Ersetzt man in 13. 2 durch |(z + Z) und dann durch |(z — Z), sowie p durch |p und führt die Resultate in die soeben gewonnene Gleichung ein, so erhält man 17 . 18 . 19 . ft(0) 2 ft (2 ■+ z) • ft (2 — 9 1 -/(*)* -/(9* • ft(z) 2 &(9 2 In 6. und 7. setzen wir z + Z und z — £ für z und Z, und erhalten ft, (z, *p) ft, (C, ip) = ft, (z + 9 ft(z - 9 4- ft(z + 9 ft, (2 - 9, »2 ( 2 - ip) »r(9 i?) = »1 (* + 9 »(* - 9 - »(* + 9 ft, (* - 9 ■ Aus 15. und 16. ziehen wir fft, (0, ip) 2 • ft, ( 2 , *p)», © |p) = »(*)»,(*) ft 2 (9 »3 (9 • Da nun aus 16. folgt, wenn man z durch 0 ersetzt |ft 2 (0, |p) 2 = »,(0) ft,(0), so geht 18 . über in 20. 2 ft (z) ft, (z) » 2 (9 » 3 (9 = ft, (0) ft, (0) [», (2 + 9 ft(z - 9 + »(z + 9 », (z - 9]. In gleicher Weise ergiebt sich aus 19 . 21. 2 ft,(z)ft,(*)»( 9»,(9 = ft*(0)»,(0)[» 1 (* + 9 ft (*-9 - ft(2 -4- 9 ft,(z — 9]. Wir erhalten aus 20 . zunächst ft(0) 2 *(0) m »(* + 9 »(* - 9 [/(* + 9 + /(* - 9 ] = 2»(z) 2 • ft(9 2 ■/(*)£ (9 h(Z). Bezeichnen wir die rechte Seite von 17. durch 2 T, so folgt 22. ^(0) h (0) • T • [/(z + 9 + /(* - 9 ] = /(*) g (9 h (Z) • 782 Integralrechnung. Ebenso ergiebt sich aus 21. 23. _ ^( 0 )- 4 (o)r[/(* + c)-/(*-c)]=/(o^(«)Ä(*). Hieraus folgt schliesslich durch Addition und Subtraction, und indem wir für T wieder seinen Werth substituiren 1 f(ß)g(Q/i (9 ± /(9 g( 2 )ä (z) 24. /(* ± 9 = Beachten wir, dass *(0).A(0) ■T(O) und substituiren = l/” \ k" 1 -f(zy i g(zy 1 *(0) = y/k’ ’ f(z) = ^k • sin 1 2Kz r(0 VI- 2Kz /<(0 = A «;« — so erkennen wir, dass 24. das Additionstheorem für den Amplituden- sinus enthält. 8. Die Additionstheoreme für cos amw und \amw ergeben sich in ähnlicher Weise. Ersetzen wir in No. 7., 9. und 10. z und J durch z 4 - J und z — £, so ergiebt sich 2 ft (2z, 2 P ) • » (2C, 2 P ) = »(* 4- 9 ft, (* — !) + ft 3 (z 4 - 9 »(2 - 9 , 2 ft, (2z, 2 P ) • ft, (2!, 2 P ) = »(« -+- 9 ft 3 (z - 9 - ft, 0 + Q »(« - 9 . Aus No. 7. 13. folgt ft(0, 2p) 2 • »(2*, 2 P ) »(29 2 P ) = ft( 2 ) »,(*) »(?) ft, (0 ■ Ferner folgt für 2 = 0 ft(0, 2p) 2 =ft(0)ft 3 (0). Dies ergiebt 1. 2 ft( 2 ) ft 3 (2) ft(0 ft, (0 = ft(0) ft 3 (0) [ft (z + 9 ft 3 C2 - 0 4- ft, (* + 9 »(* - 0]. Aus 14. ergiebt sich »(0, 2 p) 2 ft, (2z, 2 P ) ft, (2!, 2p) = »,(*) ft, C0 ft,® ft, (C), und hieraus folgt weiter 2. 2ft, (2) ft 2 (2) ft, (Q ft 2 (Q = ft(0) ft 3 (0) [ft(2 + 0 ft, (2 -9 - ft, (2 + 0 ft(2 - ;)]• Aus 1. und 2. erhalten wir 2ft( 2 ) 2 ft(Q 2 • h(z) h( i) = » 2 (0) -4(0) • »(2 -+- Q »(2 — C) [h(z — 0 4 - - 4(2 -t- 0] 2ft(2) 2 ft(0 2 /(2) ^(2)/(J) - 4(9 = ft(0) 2 h( 0) . ft (2 + ö »(2 - 9 [-4(2 - 0 - Ä(* 4- 0] . In Rücksicht auf No. 7, 17. folgt hieraus h(0)T[k(z - 9 4- h (2 4- Q] = Ä(2) Ä (9 , -4(0)r[/4(2 - 9 - h(z 4 - 9 ] =/( 0 *( 0 /( 9*(9 • Hieraus ergiebt sich schliesslich , rnvr . , « ACOA( 9 =F/«*( 0 /( 9 A( 9 . h ( 0 ) h (z ± 9 =-j . -. dies ist das Additionstheorem für die Function A amw . Aus No. 7, 9. und 11. folgt durch Multiplication ■ 4»(* 4- 9 2 P ) »,(* 4- 9 2 P ) ft (2 — 9 2 P ) » 2 (2 — 9 2 P ) = »(0 »3 CO [»3 ( 0 2 - »( 0 *] + »«) »,(0 [»*( 0 * - »( 0 *] ■ Setzen wir in No. 7, 11. 2 = 9 so entsteht 2 »2 ( 22 , 2p) » 2 (0, 2p) = ft 3 ( 2 ) 2 - ft,(2) 2 . § 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 783 Benutzen wir dies und No. 7, 13., so erhalten wir, wenn wir schliesslich 2p, 2 2 , 2£ mit p, s + J, 2 — £ vertauschen, 2»(*) »,(*) »(£) »,(!) = »(0) »,(0) [»0 + 0 »,(* - £) + &,(* + £) »(* - 9] • Auf gleiche Weise gelangen wir von No. 7, 10. und 12. zu 2»! W »,C0 »1(9 »j(0 = »(0) (0) [0(2 + 0 »,(* - 9 - »2(2 + 9 »(2 - 9] • Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir in Rücksicht auf No. 7, 17 *(0) t [g(z — 9 + g(z -+- 9] = g{z) g{ 9 , *(o) t [g(z - 9 - g(*' + 9] =/(*) Ä(*)/(9 HO • Hieraus folgt schliesslich das Additionstheorem für die Function cos amw in der Form g( o) g(? ± 9 = g(z)g(Q^/(z)A(z)f(Qh(Q 1 -/(*)*/(9* § 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 1. Eine Function 9 ( 2 ) sei eindeutig und stetig für alle Punkte im Innern einer Curve r mit Ausschluss der Punkte a lt a 2 , ... a^, in welcher 9 unendlich sei. Wir schliessen die Punkte a lt . . au durch verschwindend kleine Kreise aus; alsdann bilden c und diese Kreise zusammen die vollständige Begrenzung einer Fläche, innerhalb deren 9 eindeutig und endlich ist. Daher ist für jeden Punkt 2 im Innern dieser Fläche (r) («,) («*) wobei durch /. /.-••/ (0 Oh) («*) Integrale über c, bez. über die Kreise um a lt a 2 , ■ . a& angedeutet sind, alle in positivem Sinne rücksichtlich der von ihnen umschlossenen Flächen. Es sei f(e) eine Function, die für alle Punkte innerhalb einer Curve c eindeutig und endlich und von Null verschieden ist, mit Ausnahme der Punkte <*1 , «2 > a 3 •••“/■ > in denen sie Null, und der Punkte ßi > P2 > • • • ß^ > in denen sie unendlich gross sei. Alsdann wird f'(z) \f(z) — dlf(z) : dz unendlich gross in den Punkten a und (1; ersetzt man daher in 1. 9 ( 2 ) durch /' (z) './(z), so hat man 9 9 f m _ cm.j *__ v» cm. v. cm . jl. /(*) J /W t — * 2j J / ff (t — d)t dt substituiren wir /= n -+- pe'? ; hierdurch entsteht f ff dt. («) Das hier vorkommende Integral enthält die Elemente des Integrals 3. mit einer endlichen Grösse multiplicirt, ist also mit 3. zugleich endlich; lässt man nun p verschwinden, so folgt, dass ff 1 («) ff (/ — d)t dt = 0 , 4. für jedes positive p. Ferner ist CCf _1 fff, _ 1 __q W / J fit)t-z dt ~ z-y/it) dt ?) r. (f>) (ß) (ß) (P) Wir machen nun die zweite Voraussetzung, dass f(z) • (z — ßx) für z = ßx bei jedem Werthe von eine endliche und von Null verschiedene Grösse sei. Substituiren wir ^ — gf ' so ist also (z — ßx) -gf für z = ßx endlich und von Null verschieden; da nun ff) g'f ff gf ’ so ist 6 . fff) f g'jt) _ J ff Jgf 3 ’ t;t) (ß) und § 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 785 7. (t — $ydt = 0, p>o. (3) _ <ß) Aus 2. bis 7. folgt schliesslich ./» = j. _ mo. . _.i_ 7(z) 2 1 t 7 J f{t) t — z z — a, 2 — a 2 M _1_ 1__ * — ßi _ z — ß 2 z ß/ Durch Integration folgt hieraus (z — a t ) (z — « a ) ■ • (z — ot*) 1 2 — a/, 1 //W ~J Udz + /C 0 — ßi) (* ~ ßs) • • (? ~ M’ oder 8 . /(*) C-e $Udz wobei zur Abkürzung (z — g,) (z — a 2 ) ■ • . (z — a/,) (* — ßi) (z — ß 2 ) • • • 0 — ß/) ’ U = _L /T« ‘iraj f(t) W dt t — z gesetzt worden ist. Wenn nun die Anzahl der Punkte a und ß unendlich gross ist und keine endliche Curve alle diese Punkte einschliesst, so kann man die Curve c nach einem bestimmten, willkürlich gewählten Gesetze unendlich erweitern; von diesem Gesetze wird dann im Allgemeinen der Grenzwerth abhängen, gegen den das Integral J Udz convergirt; gleichzeitig hängt von diesem Gesetze auch die Anordnung ab, nach welcher neue Faktorengruppen in den Zähler und Nenner des Produktes 8. eintreten. Wir erkennen so die Möglichkeit, dass je nach der Wahl dieses Gesetzes verschiedene Entwicklungen derselben Function in Form eines unendlichen Produktes erhalten werden können, indem dabei die Art und Weise, nach welcher die Anzahl der Faktoren des Nenners zugleich mit denen des Zählers unendlich wächst, verschieden ist. Die Constante C kann aus Formel 8. eliminirt werden mit Hülfe des Werthes, den die Function f{z) für irgend einen bestimmten Werth der Variabein z = z a annimmt. Man erhält 9- A z )=A g o) (z — a i)( z a 2 ) • ■ ( z °te) (*o ßi)( g o ße) • • ( z o ß'O fUdz ' l z 0— a l)Oo— “2) • • ( z 0~ a k) (z —ßl)(z — ßä)--(z — ß/) e 2. Wir wenden diese Entwicklung zunächst auf die Function f(z) = sinz an. Der Sinus von £ wird nur für ein unendlich grosses imaginäres z unendlich, und verschwindet für wobei m alle realen ganzen Zahlen zu durchlaufen hat. Wir wählen zur Curve c ein Rechteck, dessen Länge der realen Achse parallel ist, und das symmetrisch zu den Achsen hegt; die beiden zur realen Achse normalen Seiten legen wir durch Punkte, in denen sinz nicht verschwindet. Die Seiten des Rechtecks nehmen wir unendlich fern an. Für das Integral U haben wir 2t•/ M dt t — z ' Schlokmilch, Hamlhucli der Mathematik. Bd. II. 5° 786 Integralrechnung. Fiir alle Punkte auf dem Perimeter des Rechtecks ist t unendlich gross; daher kann in dem Integrale durch t ersetzt werden. In je zwei Punkten des Perimeters, die auf einer durch den Nullpunkt gehenden Geraden liegen, haben t, sint, dt entgegengesetzt gleiche Werthe, cost denselben Werth, mithin cost dt sin t t entgegengesetzt gleiche Werthe; folglich zerstören sich je zwei zu Gegenpunkten gehörige Elemente des Integrales U und es ist somit U = 0. Wir erhalten daher, indem wir die zu entgegengesetzten m gehörigen Faktoren vereinigen sinz z (z 2 — Tr 2 ) (z 2 — 4it 2 ) (z 2 — 9t: 2 ) . . . sinz 0 ~ z 0 ' (z 0 2 — t: 2 ) (z 0 2 — 4t: 2 ) (z 0 2 — 9t: 2 ) Setzen wir z 0 = 0 und machen von dem Grenzwerthe Gebrauch so erhalten wir 1. sinz = z • gültig für jedes endliche z. Diese Gleichung können wir durch folgende ersetzen: simzz t:z -7T(-3- ■TT- wobei das Zeichen 1 bedeutet, dass alle Faktoren der Form 1 -2 P 2 für ji = 1 bis p. = tx> zu multipliciren sind. Wird unter das Produkt aller Faktoren f{ni) /(— m) für alle Werthe m = 1 bis m = standen, so ist m m *n j TO"^)=TU'^=7Tt Also folgt z \ sinr. (a — z) m -+- aj sin a - 3. Die Function sinamz wird Null für z = 2 m • K 2« • K' i, und wird unendlich gross für z = 2 mK + (2 n -p 1) • K’i , daher ist die Function a — z m a m oo ver- § 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 787 wobei 2 K f = 0 , wenn z = « 1 r -+- nz , sin am — z < , ' . n * = + + xzK* T = Die Voraussetzungen, unter welchen die in No. 1 angewandte Verwandlung gilt, sind hier erfüllt; denn es ist 2 , z — mt t — nx tz 2 ~K’ lim - s=0 • 2 Kz ± lim 2X sin am — (z — mr. — nx) da bekanntlich Ferner ist Da nun lim 2 =0 sin amz z 1 . lim (2 — iK v ) sin amz = lim C am (C + iK') s=iK‘ c=o 1 y 1 = lim —--- = 1 . ;=0 * sm am -. k so folgt zunächst, dass i _ JL \ '2K\r. z K l )' . ( x\ . 2ATz n I 2 — — I sin am - = „ r—r. . V 2 ) it 2 kK Da ferner lim = 7 2 Kz 2K, so folgt sin am —= ± sin — [z — »i7t — (n + ^)t] , ... 2AT2 , t: lim (z — ß) • sin am -= ± - ■ ■ - , TT 2^ A wobei wir -)-(«-+- ^)x durch ß bezeichnet worden ist. Als Curve c wählen wir ein Rechteck mit unendlich fernen Seiten, das zu den Achsen symmetrisch liegt, und dessen Umfang keinen Punkt enthält, in 2 K welchem sin am — z verschwindet oder unendlich gross ist. Alsdann ist 2 K r sin am — z — Cz TZ m n TUTO- nnz — nx) J L J ~~ m ~ ~ ^^ £, —nt — n —1 wobei E die als Faktor auftretende Exponentialgrösse bezeichnet. Hierbei ist noch zu bemerken, dass im Zähler m und n nicht gleichzeitig Nnll sein dürfen; der hierzugehörige Faktor 2 ist vorausgeschickt worden. Ferner soll mit TT das Produkt bezeichnet werden, das entsteht, wenn man jedem Faktor mit dem positiven Werthe «den Faktor zuordnet, in welchem n durch — n — 1 ersetzt ist. Setzen wir, um C zu entfernen, 2 = 0, so erhalten wir : TÜIO-^) 2 K 2 K 1. sin am — z = — z t: ’ TUTO mxz -(- (« Tk) • E. 50' 788 Integralrechnung. Wir haben nun über den Werth des in. E vorkommenden Integrals zu entscheiden r iKt \ (cos am— dt U = 2 tA 2 Kt x — z ’ sin am- 71 dasselbe erledigt sich ebenso, wie das entsprechende Integral bei der Entwicklung von sinz. Für jedes endliche z kann 1 : (t — z) in allen Punkten des unendlich fernen Rechtecks c durch 1 : t ersetzt werden. In Gegenpunkten des Rechtecks hat 2 Kt 2 Kt cos am -denselben Werth, sin am -, t und dt haben entgegengesetzt gleiche Werthe; es zerstören sich mithin die zu je zwei Gegenpunkten gehörigen Elemente des Integrals U, und daher ist U — 0 und E = 1. Hieraus folgt 2 . 2 K sm am - z 2K TUTUO s ) TUTO «*+(*+*)*) —m — n — 1 wobei m und n alle ganzen Zahlen von 0 bis oo anzunehmen haben, mit der Beschränkung, dass im Zähler m und n nicht zugleich Null sein dürfen. Vorläufig ist dabei noch die aus der Herleitung fliessende Bedingung zu beachten, dass man, im Zähler und Nenner immer bis zu denselben Werthen von in und n zu gehen hat. 4. Wir werden nun nachweisen, dass die unendlichen Produkte im Zähler und im Nenner einzeln convergent sind; damit wird dann die soeben hervorgehobene Beschränkung gegenstandslos, denn der Grenzwerth des Quotienten der unendlichen Produkte ist dann unabhängig davon, wie man im Zähler und Nenner m und n unendlich wachsen lässt, und ist einfach gleich dem Quotienten aus dem Grenzwerthe des Zählers und dem Grenzwerthe des Nenners. Wir setzen 2 K ?n n Tiro —m —n T ) = M*), TC7U 1 ■ (»■ 0 ( Z ) und untersuchen diese beiden Functionen. Bilden wir in 0j (z) das Produkt aller Faktoren, für die n einen gegebenen von Null verschiedenen Werth hat, so erhalten wir nach No. 2, 3 f y z \ sin (n § ^ \ mr. + nx) sh —in die Faktoren, für welche n = 0 ist, geben (nx — z) TU 1 z 7/1 sm z T~ ; daher ist 0i 0) 2 K d- n (;/ t — z) sm n t § 20. Entwicklung der elliptischen Keilten in unendliche Produkte. 789 Nach der gleichmässig für reale und complexe Bogen gültigen Gleichung sin a sin ß = -| [ cos (a — ß) — cos (a — ß)] ist sin (nx — 2 ) • sin (— nx — z) — (cos 2 nx — cos 2 2 ). Benutzt man cos 2 nx = ^ (£ 2 '“" 4 - e—‘ 2l ' n ~), sin n x • «« (— « t) = J (1— ä 2 '«") 2 e—' liu ~ , und setzt e h = q, so erhält man , w , 2tST . Bj( 2 ) = sinz ■TO 1 1 — 2 ^ 2 2 + q (l 4« 2W . (1 — 2^ 2 cos2z 4 - ^ 4 )(1—2^ 4 cos2z 4 - ^ 8 )(1—2^ 6 cos2z 4 - q x 2 ). . . = . «« 2 _________________ Da ix = — jt^ST' : K, so ist _ TT A"' q = « A' ein realer echter Bruch, folglich der Nenner (1_ ? 2)2(1_, 7 4) 2 (1— ? 6)2 .... convergent. Das unendliche Produkt im Zähler ist von der Form (1 4- 2 X ) (1 -t- ss 2 ) (1 4- s 3 ) • • • •; dasselbe convergirt bekanntlich, wenn die Reihe Z ^ + Z 2 *+• Z$ ~h • < ■ • convergirt, und diese convergirt mit der Reihe modz 1 + modz 2 4 - inodz 3 + . . . Es kommt daher in unserm Falle auf die Reihe der Moduln an mod (q in — 2 q ln cos 2 z) = q^’ 1 mod (q’ in — 2 cos 2 2 ) . Der Quotient zweier benachbarten Glieder der Reihe dieser Moduln ist q%i+1 — 2 cos 2 z 1 qln — 2 cos 2 z Wächst n unbegrenzt, so nähert sich diese Zahl dem Grenzwerthe q 2 ; da nun q" 2 < 1, so folgt, dass die Reihe der Moduln und mithin auch das unendliche Produkt im Zähler convergirt. Hiermit ist bewiesen, dass 0j (z) für jedes endliche 2 convergirt. In dem unendlichen Produkte 0 (z) nehmen wir ebenfalls alle P'aktoren zusammen, die zu einem gegebenen n gehören; das Produkt derselben ist TO miz z F+1R sin {(n 4 - -J) x — 2] sin (n 4- -|) x Daher ist et.) = TT '" !(« + *)'-j . w f ^ sin (« 4 - •£) t —»-1 Das Produkt zweier zusammengehörigen Faktoren ist sin \(n 4- x — z] sin [(— n — r — 2] sin (n 4- -j) t sin (— n — £) x Dieselben goniometrischen Formeln, die bei der Reduction von @ 4 ( 2 ) angewandt worden sind, liefern jetzt 1 — 2 q' in+ 1 cos 2 2 4 - ^d«-*- 2 (1 — qln+V)'l 790 Integralrechnung. ©0) Folglich ist (1 — 2<7 cos 2z -+- q 2 )( 1 — 2q 3 cos 2 z + ^ 6 )(1 — 2q 3 cos 2z + q i0 ) . . . (1?)2(1?3)2(1 ^ Die Convergenz des Nenners erhellt ohne Weiteres; die des Zählers hängt von der Convergenz der Modul-Reihe ab, deren allgemeines Glied ist qin-s-^mod (tq- n +1 — 2 cos 2 z). Der Quotient zweier benachbarter Glieder qin- 1-3 — 2 cos 2 z y q- n +1 — 2 cos 2 z hat den Grenzwerth q 2 , folglich convergirt 0j(s). Wir haben somit schliesslich die für jedes endliche z gültige Entwicklung „ 2 K 2 . sifi am - z TZ 2 K . (1 — 2q 2 cos2z —t— ) (1 — 2q i cos 2 z -f-^ 8 )(l — 2 q % cos2z -+- q x 2 ). . . (1 — 2 q cos2z -f- q 2 ){ 1 — 2^ 3 cos2z -+- <7 6 )(1 — 2q h cos2z -+- q x °) . . . ' (1 — — ^)2 (l _ ? 6)2 5. Zwischen den beiden Functionen ft ( 2 ) und ftj (z) findet ein einfacher Zusammenhang statt, den wir zunächst aufdecken wollen. Es ist •M-TTJTt'- * + $x «Ti - 1 - (» -+- £) T —m — n — 1 Wir wollen die Combination m — 0, n = 0 ausschliessen; dem zugehörigen Faktor 2z : t müssen wir dann voranstellen und haben alsdann e 0 -+- iO = 2z' -m —«—J 1 Da nun JL±i T /// ” + tl T niK -+-(«-(- ^)x m tz -+- (« rcTcr* 0 m- -i- ( n -t- -J) xj ' : fi + tE_ ry \ tmz -t- nxj ’ tmz -t- nxj so ist 2 . 0 (—*)—MTTTTO W7I -j- fl T —«—1 —m — n —1 In dem für ein gegebenes von Null verschiedenes m gebildeten Produkte TCO nnz -+- n —»-1 hat n die Werthe anzunehmen f 0 1 2 3 . 1 ’ —2 ’ —3’ —4’ . während für das Produkt :de d 1 T nnz -f- n t )• « TCO- die Werthe für n sind / 0 • 1 ■ r ’ — 1 ’ -2 msz -t- fix 2 3 ) § 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 791 Hieraus folgt 1 — m-K - 4 - nx « )-TC(‘ wir -t- fix ) - Ä« _-f-) ■J n—o o y tfiK fix) 3. Tü( —1 —n 'TT fl . i T \ JTT(i + ^ . Um ( x + iz ) . f w v mv - -t- nx ) • W V mr ' + nx ) «=~V wir — n ~) Ist m = 0, so ändern sich die Werthsysteme für n nur insofern, als die Werthe 0 in beiden wegfallen; die Gleichungen 3. gelten also auch für diesen Fall. Aus 3. folgt weiter m n 4. TutO-iss) -TCTUO-sss) — nt — n — 1 —m —n — vt Mt n vt n vt TITO- =&;) =TCTC( ,+ s£.-) »ü —Mi —n — 1 —Mt —n Nach No. 2, 3 ist Ml z \ sin(z-hni) f mv :— nz) sinnx >i(z+nz) _ £ —i(z-\-nz) e iz . e 'linz e- iu ~ — 1 Da ix eine negative Zahl, nämlich — ~K' : K, ist, so folgt lim n=oo TO> -) = ebenso ist lim ’ fl (1 -+--—-) = <^ r „=«, i LV — n V —Ml Hieraus ergiebt sich schliesslich b. 6 . 0 (* + i) 81 « • e — 2 ( 2 +^) _ 8 ,(- W Ersetzt man hier z durch (z — \ x), so erhält man e -iz e(z) 8, (2 — ix). 81 (-H Die Function 0 t (z) geht also bis auf einen bestimmten Faktor in 0(z) über, wenn man z durch (z — i x) ersetzt. Ersetzt man z durch — z und beachtet, dass 8(-z) = 0(z), 0,(-*) = - 0,(2), so entsteht aus 5. und 6. e z ’( z ~ I) 7. 8 . 0(2-ix) = 8 (ix) 0,(2). t lz 0(2) = MR ,0l( * + iT) ' Ersetzt man in 6. z durch z 4 - x und benutzt 8., so entsteht 0 (z -+- x) = — 0 (z). 6. Die Function 0(z) ist periodisch und hat die Periode ~, sie ist ferner 9 . 792 Integralrechnung. endlich für jedes endliche z; hieraus folgt, dass sieh 0(z) in eine Fourier’ sehe Reihe entwickeln lässt, die für jedes endliche z gilt, und die Form hat oc 0(z) = 2 ^*-«'“ 2/ *- —oc Ebenso, wie die Entwicklung einer Function nach steigenden und fallenden Potenzen der Variabein nur in einer Weise möglich ist, kann auch die damit engstens zusammenhängende Entwicklung in einer FouRiEk'schen Reihe nur in einer Weise existiren. Wenn daher zwei Entwicklungen derselben Function vorliegen /(z) = '±A n e’‘-' i ‘- = so folgt An = Bn für jeden Werth von n. Mit Hülfe dieser Bemerkung und der Functionalgleichung No. 5, f) sind wir im Stande, die Coefficienten A n zu bestimmen, bis auf einen constanten allen gemeinsamen F'aktor. Ersetzen wir in der Gleichung 0(z) = 1A n e' l -' liz die Variable z durch z -t- x, so entsteht 0(z + -) = 1A n c n, ' lh • e K,2 '~ ( aus No. 5, 0 folgt ferner B(z -t r) = £(— A u ) • — oc wo alles bis auf A völlig bestimmt ist; jede solche F'unction ist daher von B(z) nur durch einen constanten F'aktor verschieden. 7. Setzen wir — i~ = p , also - = /p , und vertauschen wir n mit — n, so erhalten wir sofort die Beziehung 1. 0(z) = A ■ }}(z). diese Gleichung lehrt, die fundamentale Thetafunction fl(z) in ein unendliches Produkt zu verwandeln; die Verwandlung ist bis auf einen Zahlenfaktor A geleistet, der noch bestimmt werden muss. Setzen wir z = 0, so entsteht 0(0) = A ■ »(0). Da nun 0(0) = 1, so folgt 5. S W = 4j) •"<'>■ Nach No. 5, 5 ist g — i(z + ±ip) B(z + ifp) = g-rrp-0,«; da nun bekanntlich § 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. = »!(*), 793 so folgt 3. 0, ( 2 ) = ie~t p Setzen wir in dem Quotienten »(0) » 1 M • «iW .a-, HTQ*-^) » 1 « 2: 4 L 4 L V m ~ f- nx J 2 2 = 0, so erhalten wir 4. /• H i( z ) lWl »,( 2 ) iK 1 * 'VW Da nun nach 3. das Verhältniss B x ( 2 ):1), (z) constant ist, so folgt schliesslich 5. “■<')-^-5755 •».(')■ Hierdurch ist die Function llj ( 2 ) durch das unendliche Produkt & 1 (z) ausgedrückt. Wir wollen noch zeigen, wie 11(0) durch ein unendliches Produkt ausgedrückt werden kann. Nach 2. ist (1 — 2qcos2z -t- q 2 ) (1 ■— 2q 3 cos 2 z -+- q fi ) (1 — 2q b cos2z -+- ^ ,0 ) . . . (i - ’ - mki o) • 0 - - ?,) ’ (l - • ■ • Setzen wir in 6. q 2 statt q, also 2p statt p, so erhalten wir 9 - R ^ 2) = 0(072p) (1 “ q ' 2) * (1 ~ ?6)2 (1 - ? 10 ) 2 • • • Nun ist nach § 19, No. 7, 13 für 2 = 0 11(0, 2 p) 2 = H(0)fl 3 (0), mithin 10 ' *<«’>’ - »(0)7(5) (1 ‘ ( ' - f ‘>' ( ' Durch Division folgt aus 8. und 10. l 2 _ 1 _ U(? 2 )J ~ 0 - ? 2 ) 2 (1 - q*y (1 - ? 10 ) 2 ' ' ' ’ *(f)_ 1 _ ^(? 2 ) _ (1 -? 2 )(1 -? 6 )(1 - q '°) Hierfür schreiben wir 794 Integralrechnung. r i — ? 5 )0 w 2 )U — 16 ) • • • (1 _ ? 2 )(1 _ ? 4 )(1 _ ? 6 )(1 _^8 )(1 _y10) . . Ersetzen wir hier der Reihe nach q durch q 2 , q 4 , y 8 , y 16 , . . . multipliciren alle Resultate und bemerken, dass nach 6. UmR(q a ) — 1 , n und dass lim (1 — ,/!•'■!") (1 — r/ 2 - 2 «) (i =CO so erhalten wir aus 11 12. R(q) (1 — q 2 ) (1 — q 4 ) (1 — q*) (1 — q») . Hieraus ergiebt sich nach 6 13. »(0) = (1 — q)(l — q 2 )( 1 q){ 1 — ? 3 ) 0 — q b ) Benutzt man die Identität (1-?*) 0-^)0-?«). r){ i — ? 3 )(i l (i -f )0 -rOO so kann man statt 13. auch schreiben (1 -?)(1 -?*)(! ? 5 ) ■ • (1 + ?)(1 +? 2 )(1 +? 3 )(1 8. Vergleichen wir die beiden Entwicklungen 2 K 1 »,(z) ?*)••• sin am — z = TZ yj »w ’ d. i. nach No. 7, 2. und 5. 0 0) 2AT ö_(0) »!(*) ti öj'(o)' a(z)’ sin am so folgt die Gleichung 2 1 2A y~k ~ * ' «V(or die auch aus 1. für z = 0 hervorgeht Aus No. 7, 3 und 5 folgt 0, -i*P Der besondere Werth 8j (— \i p) ergiebt sich aus 0j(z) wie folgt. Es ist cos(— ip) = + ~f) = ■£■ (? _1 + < 7 ), '« (— £*» = 2,- i 1 —?)> folglich ist (1 - 2$ 2h C0S2z q^ n ) = l - q2n—\ - g2n+l qin !) (1 — ^2*+l) . Hieraus ergiebt sich (No. 4, 1) (i - q) (i ?*)•(!-?*)(! (1 _ ? 2 ) 2 ( 1 _ ? 4 )2(1 q y (i _?*)*(! -qty . .. r.\Tq(\ -? 2 ) 2 0 -? 4 ) 2 (i • Daher ist nach 3, § 20. Entwicklung der elliptischen Functionen in unendliche Produkte. 795 und nach 2. 4. 2 K JKO) 'r ' »'(0) K (1 — q) 2 (1 — g 3 ) 2 ( 1 — q*Y . . . K~\/k = Vl r^q (l -? 2 ) 2 (l -? 4 ) 2 (l - qty. (1 -t/ 2 ) 2 (l -q*)*( 1 -? 6 ) 2 - t: ' ' (1 — q) 2 (1 — '/ 3 ) 2 (1 — q : ') 2 Dies führen wir in No. 4, 2 ein und erhalten 2 K 2 '|/q . (1 — 2q 2 cos2z -(- q^) (1 - jrr • StnZ '-- yk 5. sin am 2 q^ cos2z -+- q 8 ) tt u/2- (1 — 2 q cos2 z ■+■ q 2 )( 1 9. Um auch für die Functionen 2 q 3 cos 2 z + q 6 ) 2K , , 2 K cos am — z und A am — z it r. unendliche Produkte zu erhalten, ersetzen wir zunächst in No. 7, 5 die Variable z durch — z. Hierdurch erhalten wir, wenn wir No. 8, 2 berücksichtigen 1. 01 (2 z ) »(0)y7c ’ 1)1 (2 *) »(o)yV 1 in Verbindung mit No. 7, 2 1(0) yk '^2 ( Z ) i QO) = ä((>) und liefert 1. 2 K cos am — z ■ tr ' V k ' »(*) 2 K cos am — z TZ = y\ r, Mi*-*) 2 Kyk' {[- I t-2q 2 cos2z-\-g i )(\-+2 q 4 cos2z-i-q 3 ).. (1 — q) 2 (1— q 3 ) 2 ( 1— tt C ° SZ (1— 2 q cos 2 z-\-g 2 )(\ — 2 q 3 cos 2 z+q % ).. (1 — ^ a ) 2 (l—^ 4 ) 2 ( 1—17 8 ) 2 .. ’ Benutzt man No. 8, 4, so erhält man einfacher a 2Ä 2. cos am — z ir 2 Vj - Vq -‘ (1 + 2q 2 cos2z - 1 - i/ 4 )(l -+- 2q i cos2z -F- q 3 ) . . (1 — 2 q cos2z 4- q 2 )(\ —2 q 3 cos2z -+- q&). . Wir ersetzen ferner in No. 7, 2 2 durch ) - — 2 und erhalten 0 ( 2 ~*) = »( ö ) & (2 ~ z ) = m ' h(z) ’ In Verbindung mit No. 7, 2 und 2 K liefert dies 3. A am -— z = yk' 2 K 4 . 5. 6 . 7 . »«(«) fl ( 2 ) 0 ßir — 2 ) ,j-, (j -+- z qcos'iz -+- -t- 'iq-cos'iz -+- y (1 — g) a (1 — y»)» (1 — g B ) > - • • y^ = Aus 4. und 5. folgt yk = 2j/^ 2^/$’ (1 (1 -+- ?) 2 (1 4- q 3 ) 2 (1 4- q 3 ) 2 - (1 4- ? 2 ) 2 (1 4- ? 4 ) 2 (1 4- ? 6 ) 2 (1 + ?)*'(1 4- q 3 ) 2 { 1 W ? 5 ) 2 ^ 2 ) 2(1 _ ? 4 ) 2 ( 1 _ ? S) 2 ... (1 4- mithin ist q von der Form 2. q = a\ -+- /X 5 -t- cX 9 + rfX 13 -+- «X 17 4- /X 21 -+-... Anstatt dies in ]. einzuführen, ist es zweckmässiger, für X aus 1. den Werth in 2. einzusetzen. Man bildet zu diesem Zwecke 73 o 1 II in 4- 65 q 13 — 330? 17 -F 1420^ 21 — X 9 = 4- ? 9 — 18? 13 4- 189? 17 — 800? 27 4- X 13 = -+- q 13 — 26^' 7 65^ 21 — X 17 = 4- ? 17 — 34^ 21 4- X 27 = 4- q 2 1 — 5 — 10/; 18 c = 0, - 330/; + 189r — 2(lr/ + e = 0 , 65 d — 34 r 4- f = 0 . 1707, 1707 Xi 7 / = 57470, h 57470X 21 o und erhält die Gleichungen a=l, — 2 —t- 3 = 0 , — 10 4- 65/ — 18r 4 - d = 0, — 32 + 1420/ — 800 r 4- Diese Gleichungen ergeben / = 2, c — 15, d = 150, also ist 3, q = X 4 - 2X 5 4 - 15 X 9 4 - 150 X 1 3 Für eine Genauigkeit bis zur fünften Decimalstelle genügen die ersten beiden Glieder dieser Gleichung, sobald 15X 9 < 0,00001, also X < 0,2. Hieraus ergiebt sich -]/!’> j, k ^ 0,98.3 . Die ersten drei Glieder genügen bei einer Genauigkeit bis zur sechsten Stelle, wenn 150X 13 <7~:, also X < 0,28 , 10 «’ ih' > ^ , k< 0,992 , und bei einer Genauigkeit bis zur fünften Stelle, wenn k < 0,9995 . Aus q findet man K (wenn man nicht vorzieht, K aus k nach den früher mitgetheilten Methoden direkt zu berechnen) aus der ausserordentlich rasch con- vergirenden Entwicklung No. 9, 9 V 2 Kk — = 1 — 2 q -h 2 q* — 2 q 9 -+- 2 q is _ 2 q* Da q selbst für grosse k stark von 1 abweicht, so genügen in den meisten Fällen die ersten drei Glieder. Schliesslich findet man sinamw, cosamw, \amw aus den ebenfalls sehr rasch convergirenden Thetaquotienten § 19, No. 5, 15, 16 und 17. Man kann diese Gleichungen auch dazu verwenden, w zu finden, wenn sin am w, cos am w oder A am w gegeben sind, also dazu, ein elliptisches Integral erster Art aus dem Modul und der Amplitude zu berechnen. Wir bedienen uns dazu am zweckmässigsten der Gleichung 798 Integralrechnung. 4-2 q i cos 4-2 q cos %TIW \am w 4- 2 cos Setzen wir -w.K=v, so folgt 1 A am w — Yk' cos2v 4- q 8 cos 6w 4- ^ 24 cos lOv 4- . . '2q ' lamiv 4 - y# l4-2^«s4tt-i-2? lli tw8»4-.. Die linke Seite ist bekannt; wir bezeichnen sie mit 8 und erhalten cos 2w = 3(1 + iq*cos4tV 4- ‘iq 16 cosüv 4- • ■ .) — (q s cosüv 4- q' 2 * cos lOw 4- . . .). In den meisten Fällen ist q so klein, dass 2 q' 1 vernachlässigt werden kann; alsdann hat man einfach 6 . cos iv = 3 . Ist dieser Werth nicht hinlänglich genau, so benutzt man ihn als erste An näherung und berechnet einen genaueren Werth v' nach cos 2z>' = 3(1 + ‘2q i cosA:V 4- '2q 16 cos%v 4- . . .) — (q*cos(iv 4- q 2i cos 10z/ 4- . . .) . 7. Wenn 8 nicht sehr klein ist, so stimmt das Vorzeichen von cos 2z> — 8 mit dem von 28q*cos4v überein. Ist nun '2oq i cos4:V positiv, so ist der aus 6. folgende Werth von cos 2w zu klein, der aus 7. folgende Werth grösser, aber immer noch zu klein; ist dagegen 28^ 4 cosAv negativ, so ergiebt sich cos 2 v aus 6 zu gross; die aus 7. folgende zweite Annäherung ist zwar kleiner, aber immer noch zu gross; denn 2z> ist spitz und 4v ist nach der Voraussetzung stumpf. In beiden Fällen erhält man durch fortgesetzte Anwendung der Gleichung 7. eine Reihe von Werthen v’, v", v '", . . . die sich dem richtigen Werthe immer mehr nähern. In sehr vielen Fällen wird v' bereits genau genug sein. § 21. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 1. Die Integrale zweiter und dritter Art § 17, No. 8, 9 Z Z dz und (1 4- Xz 2 ) j/(l — z 2 )(l — k*z*) 0 0 werden nach Jacobi*) als elliptische Functionen betrachtet, indem man eine neue Variable w durch die Gleichung einflihrt Z z == sin am w, also w = ü Durch diese Substitution ergiebt sich dz — I A 2 arnwdw . Jacobi bezeichnet das letztere Integral, zwischen den Grenzen 0 und w genommen, als Integral zweiter Art; wir schreiben dafür und haben daher 2 am w dw ü Ersetzt man A am w durch sin am w, so folgt ’) Jacobi, Fundaments nova, § 47. § 21. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 799 GS(w') = w — jk 2 sin 2 am w dw In dem Integrale dritter Art setzen wir X = — k 2 sin" 1 am a und machen wieder die Substitution 1.; dadurch entsteht l = - L v ' 1 k‘sin‘am id und diese Function für entgegengesetzt gleiche iu gleiche Zeichen hat, so folgt, dass in der verlangten Entwicklung nur gerade Potenzen von ru Vorkommen; folglich ist der Coefficient von rrj— 1 gleich Null. Hieraus ergiebt sich sofort: Das Integral jsin 2 amwdw über eine kleine Curve erstreckt, die einen Ausnahmepunkt einfach umkreist, verschwindet; das Integral ist daher eine eindeutige Function der Punkte der Variabeinebene. Die Function sin 2 amw 1 — k 2 sin 2 amy.sin 2 amw wird nur in den Punkten unendlich gross, für welche 1 — k 2 sin 2 ama sin 2 amw = 0, also sin amw = ± , -. ' — . ksin aniy Hieraus folgen für w die Auflösungen = ± a ImK 4- (2 n 4- 1 )K'i. Setzen wir nun s/ = ±a4- 2 mK 4- (2 n 4- l)Ä''z 4 - U), so erhalten wir sin 2 am w 1 I 1 — k 2 sin 2 am y sin 2 amw k 2 sin 2 am (p dz d) — sin 2 am a' 8oo Integralrechnung. Ist 1 » so klein, dass höhere Potenzen von n> gegen die erste zu vernachlässigen sind, so ist nach dem Additionstheoreme sin am(\o ± a) = ± sin ama. + cos amt \ama • U) . Folglich ist, über eine verschwindend kleine den Punkt ± a + 2 m K -+- (2 n -t- 1) K' i einmal umkreisende Curve ausgedehnt, _>_ ‘ i cos am a A am a ^ / sin“ am w dw = ± 1 — k 2 sm 2 am a sin 2 am w 1k 2 sin am k 2 sin am a cos am a A am a Hieraus ergiebt sich: Das Integral sin* am w 1 — k l sin 2 ama sin* amw ist unendlich vieldeutig und hat den Periodicitätsmodul i sin am a cos am a A am a 3. Nach § 19, No. 17, 17 ist »i(») M*)i 2 »(0)> . = 1 - n(9 2 uw 2 Ersetzt man hier I und 2 durch zr-rsx und ^-r^w , so 2A 2Ä erhält man sin * am a sin * am w . Wir nehmen beiderseits die Logarithmen und differenziren dann nach a; dadurch entsteht k 2 sin am a cos am a A am a sin 2 am w 1 — k 2 sin 2 ama sin 2 amw :(w -+- a) n a ) 1 1X ^ 2 A' /;,it 2Ä' 7: (7£/- a) 9 “(w + a) 17 Da nun -( 7ü — a) rdw — a) ~(w -+- a) zu ü<>_± a ) 2A' dfa ' da dw so erhalten wir aus 1., wenn wir mit dw multipliciren und zwischen den Grenzen 0 und w integriren, k 2 sin am a cos am a A am a sin 2 am w du 2 — k 2 sin 2 ama sin 2 amw r (w — a) § 21. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 801 Der Periodicitätsmodul des links stehenden Integrals ist rJ\ ihn besonders hinzuzufugen ist wegen des rechts stehenden Logarithmus nicht nöthig. Das links stehende Integral bezeichnet Jacobi als Normalintegral dritter Art 1!(«', A', a), wofür auch II ( 7 v, oc) geschrieben wird, wenn über den Modulus k kein Zweifel sein kann. Wenn wir in 2. rechts und links durch a dividiren und dann zur Grenze für 'i = 0 übergehen, so erhalten wir , . , J *2 »"(0) ■sin‘ amw dw = —w 4a* u (0) denn es ist, wenn - 2Ä' Das zweite Glied rechts bezeichnet man nach Jacobi mit Z(ui), so dass also KW Z{ w) e= 2 K ■2K 4. Wir entwickeln nun einige Eigenschaften der Function Z. Wenn man die angedeutete Differentiation ausfuhrt, so erhält man zunächst Z(w) „ .71«' . , . 2 7T7£/ 2 q sin — 4 g* siu jy— 6 q 1 * sin 'iKW 1 2kW 3kw ■ ‘2 g cos -jyr + 2g l cos —-g -2 q 2 cos Hieraus folgt Z(— w) = — Z{w), Z( 0) = 0, Da ferner bekanntlich Z{wK) — 0, Z(w -t- 2Ä') = Z(w), •jr A . 7TO» -j -noi » 2X (*» •+• 2 iK’) = - /X'-Tr ft ^ , so folgt, indem man beiderseits die Logarithmen nimmt und differenzirt, Z(w + 2 iK’) — Z(w) — i ~ . Ersetzt man hier w durch — w , so erhält man Z{w — 2 iK’) = Z(w) -I- i ^ . 5. Gehtzauf der zweiblätterigen RiEMANN’schen Fläche für j/(l — 2 2 )(1— k 2 z 2 ) geradlinig von 0 bis 1, so durchläuft w die reale Achse von 0 bis K, geht z im untern Blatte geradlinig zurück bis 0, so geht w auf der realen Achse weiter bis 2 K . Für diesen Weg ist unzweideutig Schlosmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 51 802 Integralrechnung. amw dw = (&(m) . o o Das links stehende LEGENDRE’sche Integral zweiter Art erlangt auf dem angegebenen Wege den Werth 2 E. Da nun Z(2K) = 0 ist, so folgt 2E 1 folglich ist und daher 1. 4W* ft " ( 0) 1 4W2 ' »(0)J »"(0) _ E ft(0)‘ ~ K' 2K; &(w) = w Z(w ), Rückt z auf der realen Achse von 0 bis vor 1, umgeht den Punkt 1 in negativer Drehrichtung in einem verschwindend kleinen Halbkreise, geht dann (auf demselben Rande der realen Achse wie von 0 bis 1) geradlinig weiter bis vor 1 : k, umkreist diesen Punkt in negativer Drehrichtung und kehrt hierauf (jenseits der von 1 bis 1 : k liegenden Verwachsung) geradlinig bis zu 1 zurück, so durchläuft w geradlinig die reale Achse von 0 bis K, und dann eine Normale zur realen bis zum Punkte K — 2 iK'. Es ist daher für diese Wege _ A2 Z 2 E — dz=g{K- 2i K ') 4- * -k , da Z(K— 2 iK') = Z(K) -hi j, = i^. Das zweite Integral links ist bekanntlich (§ 16, No. 19) i(E' — K'). Daher folgt E 4- 2 i(E’ — K") = ~(K—2iK') Dies reducirt sich auf die von Legendre auf anderm Wege gefundene Beziehung zwischen den vollständigen elliptischen Integralen K, K', E, E' KE' 4- K'E — KK = | . Die Gleichung z = sin amw hat, wenn z einen Punkt der zweiblätterigen RiEMANN’schen Fläche bezeichnet, für w die Wurzeln w 4- AmK 4- i-2nK', wenn unter w irgend eine Wurzel dieser Gleichung verstanden wird. Die rechte Seite in 1. nimmt hierfür die unendlich vielen Werthe an jfK“' > 4 m K 4- i ■ 2 n K') 4- Z (ui) — i V- ( w Setzt man hier nach der LEGENDRE’schen Gleichung — = 2E' 4- 2-£-^ — 2 K', 4- Z(w) 4- 4 mE — n-2i(E' ■K'). so erhält man § 2i. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 803 Daher ist die rechte Seite von 1. in derselben Weise unendlich vieldeutig, wie das Integral jy 1 — k 2 z 2 T dz . Die Gleichung 2 . ivy k 2 Z 2 dz Z(w ), sm am w. ist daher erschöpfend, beide Seiten stellen dieselbe Gruppe von doppelt unendlich vielen Werthen dar mit den Periodicitätsmoduln 4 E und 2 2 (Ti' — K'). 6. Um für @(w) und Z{w) eine FouRiER’sche Entwicklung zu erhalten, suchen wir eine solche zunächst für die Function sin 2 amw. Zu diesem Zwecke haben wir das geradlinige Integral zu ermitteln ‘ZK / sm‘am w e dw , da sin 2 am iv die reale Periode 2Ä'hat. Wir integriren die Function mvw . sin 2 am w ■ e k 1 entlang des Perimeters eines Rechtecks, dessen Ecken O ABC der Reihe nach w = 0, 2 K, 2 K -+■ 2 iK', 2iK' sind und umgehen dabei die Ausnahmepunkte iK' und 2 K -+- iK' durch verschwindende Halbkreise. In gleich weit von der realen Achse entfernten Punkten von OC und AB hat die zu integrirende Function denselben Werth, die auf diese Strecken bezüglichen Theile des Integrals verschwinden daher. In gleichweit von der imaginären Achse entfernten Punkten von OA und CB hat sin am w denselben Werth; für die Punkte CB tritt aber infolge der Exponentialgrösse der Faktor hinzu 0 -Zn (M. 575.) e K = q es ist somit 1(0 A) +f(BC) = (1 — d~ ln )I(0Ä). Statt der beiden Halbkreise um iK’ und 2 K -h iK' kann ein Kreis um iK gesetzt werden. Für dieses Kreisintegral J setzen wir w = iK' -t- £, £ = re‘f , und haben 2iz 1 k 2 sin 2 am' ^ —«- • dcp , Wird die Exponentialgrösse durch eine Potenzreihe ersetzt, so ergiebt sich 2lC ■/ = k 2 q n ■y j st> sin 2 am £ z/cp n tc T J K J sin 2 1 0 2n «V f V ,, _ ] 2 K 2 Jsin 2 amZ ^ 9 - J' 51* 804 Integralrechnung. Das erste Integral rechts stimmt bis auf einen constanten Faktor mit dem Kreisintegrale für die Function sin? amw überein, von dem wir bewiesen haben, dass es verschwindet; das dritte und alle folgenden verschwinden, wenn wir zur Grenze für £ = 0 übergehen, da die zu integrirende Function verschwindet; das zweite liefert bei diesem Grenzübergange einen nicht verschwindenden endlichen Werth, und wir erhalten . 2«tt 2 Daher ergiebt sich schliesslich 2 /• mw .. 27 t 2 nq n sin 2 am we K dw — — tvt- • - ■>„ » k 2 A 1 — q ln a„ = nq n k 2 K 2 1 — q 2 " Hieraus folgt a„ — a = 0 , (h< H- a „ = — 7t 2 *lnq n k 2 K 2 ‘ ' Für n = 0 ergiebt sich 2A' 2A' 1. sin 2 amw Da nun o = Ik ft sin ^ mwdw = 2 J2 K ft “k 2 K 2 \1 — _ p (1 — \ 2 amui) drv = Yx . Wir haben somit K—£ k 2 K 77 W 2<7 2 2t77£7 3<7 3 ‘dTtW COS -f-7- -COS —7— 7- dCOS- K 1— q i K 1 — q 6 K -)• (5 (jo) = fl 2 am wdw = w — k 2 Jsin 2 am wdw, so ergiebt sich _ . . E 2tt ( q 2. ®(w) = K w + Y — sm Hieraus folgt noch 2 77 / q 77 w q 2 3. Z(w) = y {tet ? 2 s„, y + Y~-q^ 7. Nach No. 3 2, ist r,w q 2 2t7W \ K + 1 -qi 51 ” K + ...) Zt.w q 3 377 Ul sin K + 1 - “* + ) 77 (w — a) 2ä > ~ ll(w, k, a) = Z( a) • w + —7-7. v ’ ’ ' w 2 77 (w a ) ft 2W Vertauscht man Parameter und Amplitude, so entsteht 77 (a — w) Ü ri(a, k, w) = Z(w) • a -(- ^7 — »' 2K 77 (a -I - w )' 2 K Durch Subtraction ergiebt sich hieraus in Rücksicht darauf, dass fl(.s — £) = ft(£ — z) die Beziehung 2. II(w, k, d) — II(a, k, w) — wZ(a) — aZ{w). Diese Gleichung lehrt, wie man ein Integral dritter Art durch ein anderes ausdrücken kann, in welchem der Modul gegen die Amplitude vertauscht ist. § 21. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 805 Ist w = K, so wird das Integral dritter Art als vollständig bezeichnet. Nach 2. ist 11 (K, k, a) = n (a, k, K) + KZ(a) — aZ(K) . II (a, k, K) = 0 , Z(ÄT) = 0, Da nun so folgt die zur Berechnung eines vollständigen elliptischen Integrals dritter Art brauchbare Gleichung ll(K, k, a) = KZ(a ), 3. die auch sofort aus 1. gewonnen werden kann. 8. Das LEGENDRE’sche Integral dritter Art ist mit dem jACOBi’schen durch die Gleichung verbunden dz fang am oc A am a 0 (w, k, a) , 1. (1 + Xä 2 ) ]/(l — z 2 ) (1 — k 2 z' 2 ) 0 sin am w — z , sin 2 ama. — — -r^ . Ist X negativ und — X > k 2 , so ist — X : k 2 ein unechter Bruch, mithin a complex; ist X positiv, so ist sin am a und daher auch a rein imaginär. In beiden Fällen ist, wie überhaupt bei realem X, das LEGENDRE’sche Integral 11 0 real mit w, während in i. rechts ein nicht realer Parameter a vorkommt. Wir wollen zeigen, wie man die imaginäre Form in diesen P’ällen vermeiden kann. Wir untersuchen zunächst das besondere Integral ) -j/(l - z 2 )(l — £ 2 z 2 )’ sin am a K + iK' U(w, k,K+ iK’) = wZ(K + iK') -t- ll -. §^(w + K+iK') Damit w den Werth K + iK' annehme, hat z von 0 bis 1 zu gehen, den Punkt 1 in einem verschwindenden Halbkreise in der Richtung der abnehmenden Winkel zu umgehen und dann geradlinig die Strecke bis 1 : k zurückzulegen. Daher ist Z(K + iK' {K -+- iK') A 2 am wdw i\E' + K+iK‘ A 2 am wdw — -js (K + iK') Ferner ist bekanntlich f )~(w-K-Mr) Ü-~(K+iK' -w) ü^(w+K+iK') )=/ y _ g2 - dz , wobei _y = tang am {v, k'). Ersetzt man hier z durch zjy, so entsteht y @(fw) Pj 2 Die Substitution y = tätige, also cp = , £') _ + ^ _ “ J Hi,*) J (1 -i*«*9)Ä( 9> *r Daher folgt schliesslich in Rücksicht auf No. 8, 2 k 2 (&(iv) = ik' 2 v -+■ ik 2 v + i jrj [fang am (v, k') ±am(v, k') — <&(v, k’)] k ‘ 2 = iv -+- i -ßj [tangamiv, k') \am(v, k') — (§,(v, k')], X _ E k 2 Z(iv) = i • — -g — v -+- * • [ tangamiv , k') A am(v, k') — (&(v, k ')\. 10. Ist X negativ und — X > 1, so folgt, wenn — X = p. 2 gesetzt wird, aus £ k ’ ist. Da nun , „ 1 A am ß sin am (K -+■ iK -B ß) = sm am a = dass a von der Form K -+- iK' ksin am (K - 1 - ß) kcos am$ ’ so dient zur Bestimmung von ß die Gleichung A am ß = \ccos and) , aus welcher hervorgeht - 1 /u 2 — 1 1. sin am) = \ _ k i J nach der Voraussetzung über p. ist der Radicand ein positiver echter Bruch. Man hat nun 2^(«' + K + iK< + P) \\(w, k,K-+- iK' + ß) = wZ(K + iK' + ß) -t- i/ !>~( w -K-iK'-)) Aus den Gleichungen § 19, No. 2, 7 folgt » (K + *AT' + ß) = 0 3 ~ (iK + ß) = ||; Also ist ö 2A" rnCP+w) tc ("R —?£/) (w + K + iK' + ß) = ei p ~ 2 k & 2 -^ p ' 2AT 2K Hieraus folgt fr 1 <«IP «V 17 1) ^ («, - AT - «JT - ß) = «at i> 2 — (ß _ W ). 7:3 ^2 Z(Ar+fAT' + ß) = -^+- : ^ 2K »» 2AT iu(ß -f- IV) n 2 2 K ~(ß — w) wobei also 2 K f>, 2 K |x > 1, z = sin am w . V y - ’ ll 2 — 1 2 _ k i = sin am ß 11. Wir wenden uns nun zu dem LEGENDRF.’schen Integrale dritter Art für den Fall eines positiven l. Setzen wir jetzt X == ja 2 , wo nun p. real ist, so ist ■ ! l sin am a. = 1 ■ t ; k setzt man a = zß, so folgt zur Bestimmung des realen Werths ß tang am (ß, k') Wir haben nun zunächst r J < k ’ sinam(§, k ') vV 2 k? (1 -+- !A 2 z 2 )yxr^ z 2 )"(i - kW) tang am (zß) .., —»-^ («'» k, zß) . A( 77 «(zß) V ’ ' 1 / Nach § 18, No. 4 ist tang amifi isin am($, k') ■ cos am(jl, k ') \ami§ A am( 9 — z ß) 1 ^2 K‘ Da mm * _ÜL 1 2 K l ih'z = 2(— 1)»z-*’p+2m , so ist 11 real, und man kann daher für die rechte Seite der vorletzten Gleichung m : i setzen, wobei m real ist. Das elliptische Integral II (w, k, iß) ist für ein reales w rein imaginär; ersetzt man es durch i V, so entstellt aus 1. i{.V + tnw) = \l- + z ß) a 2 ~k( w ~ mithin ist § 2'i. Die elliptischen Integrale zweiter und dritter Art. 809 P _ n 2Ä'( w + *P) i ! > 2 T ( W — ft 2 ^' (“' — *P) ft^C»' + *'P) 3. Durch Addit'on und Subtraction dieser beiden Gleichungen erhält man ft + *P) + f> 2 Ä' ~ *P) 2 >(^ -+- *p) — » 2 ir C w — *ß) 4 . sin(V + mw) — — . — -;- - • Y » Yk + *P) ' 2 Z — Jede dieser Gleichungen ist dazu geschickt, V zu finden; es erübrigt nur noch, Zähler und Nenner in 3. und 4. in handlicher Form darzustellen. Für den Nenner hat man nach § 19, No. 17 7r 77 ( 77 IV ” 3 \ ^ W „ 7^ ß l \ a( 2 ) 2 f> -H/ß) ft 2 ^(w- *P)= (ft 2A - • ft 2 X * J (/ “ k ' lsin am -lK sm am 2 A' J • Daher ist pnB/ . N 5. «,1)=L-fjp- "IT 3 hierbei hat man für ft -- ',- r i die stark convergente Reihe 2 Ä j^l + k 2 tätig- «/«(ß, k')sin 2 2AJ ' 6 . -ß / _Li\ / ft -j^-z = l — q e A-J + p a’ + e k ) / 3*£ l lli 4n|j\ a' -1 - e +< k ) — ... Ferner ist -- j * 0 n~w ( n ~ft - (w -4- /(J) = 1 + 2j ' 1 ) W ^ A ' -+■ * A ) mzw ( WTC fl z ^ ff ß ,V(_ W •-?), TT 00 tlTZ'W ( n n P _ «7t 2 A . i ' ?i ' — '?) ^ 1 -, V' - i i" /' fö, A - t +- ' '■ ) +A- Daher ist 7 . 1 f r - J „2 m:wt "*3 2 | |1> 2Ä'^' + / P' ) + '' > 2Ä^ W — =^?(-0 q cos ~^\ e K + * K /’ 1 r 7: it 1 ■«r^« ■. mzwt "^3 «tP \ 2l'[ & 2A' («' + *?) — & 2^ ( w ~ *P)J = — stn J-V K ~ e K ) ■ Durch die Gleichungen 3 bis 7 ist V bestimmt. 8io Integralrechnung. 12. Wir haben nun noch den Fall zu erledigen, dass X negativ ist und — X zwischen It 1 und 1 liegt; unter dieser Voraussetzung ist a von der Form K-htß und ß bestimmt sich, wenn — X durch p. 2 ersetzt wird, aus , „ ... cosamiß 1 u. sm amlK 4- iß) = -t- - = ‘ x 12 Aamiß woraus folgt *(P. *) Nun ist 1(1 - J dz (1 — p. 2 ^ 2 )-|/(l — s2)( 1 — Wz*) tangam(K 4- iß) Aam(iß) A am (K + 2 ß) t/ii2 _ *2 J 2/2 am (ß, k') = ^ - tangamiK -+- 28 ) - _ w _|-_?-^- u_ A am (.K + iß) 11 ( w ’ ^ ^ + * ß)» A ß//2 (ß, i') II(?6>, k, K 4 - iß) = wZ(K 4 - iß) + ^i- k ' 2 tang am (iß) k ' 2 sin am (ß, k') cos am (ß, k') ’ K 4- iß) TZ 2A" V t: 2W' »> ZTT?(w — K — iß) Zur weiteren Reduction bemerken wir zunächst, dass 1 D^~(K+iß) ,^» 3 ~|i Z(K+iß)=\- lK 1 2K 3. f>3 2AT* ® 2Ä'^ " + ” 03 2AT~‘ e k - _ «it fr • e k ); ferner, dass d 2 ~^( w + K + gTjpC«' -+- iß), 2 K' a ~ K ~ = a s 2^( w — *ß) ■ Der zweite Theil der rechten Seite in Gleichung 1. ist für z 2 < 1 real, folglich ist II (w, k, K 4 - iß) rein imaginär; ersetzen wir es zur Abkürzung durch i V, sowie Z(K 4- iß) durch m : i, worin nun m eine reale bekannte Zahl ist, die sich aus 3. bestimmt, so haben wir für V die Gleichung V-\~HIW) __ »3 2^ (W + iß) woraus weiter folgt cos(V 4 - m7v) — 1K 2^ ( W — *ß) (w 4- iß) 4- »3 ~ ( 7 « — iß) 4 . (w 4 - iß) a 3 ^ (w — iß) sin (V 4- mw) = »3 2W («/ 4- iß) — » 3 ^ (w — iß) 2 T a 3 («' + iß) » 3 5 ^ (w — iß) 1 2Ä' v T ^ " 3 2AT Ersetzt man in § 18, No. 20, 17 z durch 4 - z, so erhält man g 22. Geometrische Anwendungen der elliptischen Integrale. 811 - - ^ )9 _ .ftfr + n&fr-l-l - V . sin 2 a,n'. '% 0) 2!> © 2 ~ 1 \ 2 amz ’ ~W ~ Ö Die Substitution z = 2 liefert hieraus 5- H 3 2j(w + *'?)8 3 — *'ß) = Ferner ist 7 :«/ itßf-i 8 •2A' ’ YR m , n cos 2 amz „ ,„1 1 + k Y?amz tang am ®‘ »3 yk ^ "*■ = 1 -+- „2 niziv ( ’ilä _»wP\ ~ 2 nvw t’L .>/ cos—~-\e k -+- e K ) = 2 Vy •»« - ^ . _ ttltß £ K ). f>3 2 T ^ — = 1 + 'S?“ 3 ' K ’(■ e k e k -sr^ „2 . nv.iv l 53* _53*\ sr } — sm-g-yK — e k J 6 . Hieraus folgt 1 2 IT t rt 1 ^ „j nvw ( _5J§' 2 [»»]f(«' + *P) + »5^(«'-*P)J = 1 + 2j ? * i. 1 r r Tt 1 0/ «*ß §7[ ö 3jf ( w + *?) - ( w — *ß)J = — Sj f \ e K — e K ) • Durch die Gleichungen 1. bis 6. wird das Problem vollständig gelöst*). Wir müssen es uns versagen, den Leser tiefer in die Theorie der elliptischen Functionen einzuführen und verweisen hierfür auf die citirten Werke; in dem zuletzt angeführten findet man ausführliche Nachweise über die reichhaltige Literatur dieses wichtigen Abschnitts der Analysis. § 22. Geometrische Anwendungen der elliptischen Integrale. 1. Rectification der Lemniscate. Die Gleichung der Lemniscate in Polarcoordinaten ist r = a y cos 2zß sin^ A(a) . Dies ist aber bekanntlich die Bedingung, unter welcher 1. F(a, k ) -I- F% k) = F(f, k ) . Sind nun k, a, ß gegeben, 7 gesucht, so wähle man R beliebig, construire dann h und r nach 4. und 2., mache EAC = 2ß, und ziehe von E, die Gerade EF so, dass sie den kleinen Kreis berührt; alsdann ist 7 = \FAC. Die zweite von E an den kleinen Kreis gelegte Tangente EF 1 bestimmt einen Winkel 7 = \CAF X , der die Aufgabe löst F{a, k) - F{% k) = F{ 7 , k) . § 22. Geometrische Anwendungen der elliptischen Integrale. 813 Zieht man von F aus eine Tangente F' an den kleinen Kreis, von F' aus eine Tangente F'F" u. s. w. und bezeichnet die Winkel, die AF', AF" AF"' u. s. w. mit AC bilden, mit 2-^, 2 y 2 , 2-( 3 u. s. w., so hat man 'z'(a) + F$) = F(f ), f{ «) + m = F(- h ), F(a) + F(- h )= Ffa), F(a) + Fto t )= F \ T3 ), Hieraus folgt durch Addition Hi») = (*-+- 1 )^(«) + m, oder, wenn ß = 0, also E = C ist, F(j k ) = (« -+- 1 ) F(a). Hierdurch ist die Aufgabe gelöst: Durch Constructionen von geraden Linien und Kreisbogen die Amplitude eines Lemniscatenbogens zu erhalten, der gleich der Summe oder der Differenz der zu gegebenen Amplituden gehörigen Lemniscatenbogon ist; oder der gleich einem ganzzahligen Vielfachen des zu einer gegebenen Amplitude gehörigen Lemniscatenbogens ist. 3. Die Aufgabe, einem (in A anfangenden) Lemniscatenbogen in eine Anzahl gleicher Theile zu theilen, ist der geometrische Ausdruck der arithmetischen Aufgabe, sin am durch n, k und elliptische Functionen von w auszudrücken. Zur Lösung dieses Problems wird man zunächst durch wiederholte Anwendung der Gleichungen für sin am {w 4 - w 1 ), cos am (w -+- w,)> \arniw -+- w x ) die Functionen sinamnw, cosamnw, oder üsamnw durch w ausdrticken; man erhält so eine Gleichung, welche elliptische Functionen von w mit einer von n w algebraisch verknüpft. Ersetzt man nun hierin n w durch w, also w durch w : », so erhält man durch Auflösung dieser Gleichung eine Function von w : n durch w ausgedrückt. Diese aufzulösende Gleichung ist bereits für den n = 2 vom 8. Grade. Wir müssen hier darauf verzichten, die allgemeine Gleichung des Divisionsproblems aufzustellen, und ihre algebraische Lösbarkeit nachzuweisen*), und geben nur die Lösung für den einfachsten Fall. Setzt man in cos'* a?n w — sin 2 am w A 2 am w cos am 2 w =-,-70—^7-, 1 — k 2 sm 4 am w w für 2 w und z für sin am so erhält man für z die Gleichung 1. (1 — k 2 z^) cos 2 amw =1 — 2 z 2 -I- k 2 z i , aus welcher folgt 2 . Y 1 — k 2 sin 2 amw = -1 f- k f 1 -+- j/l i der Gleichung ( w \ (w \ -h 2 KJ , sin am IH- iK I sin* am w Die vier Auflösungen der Gleichung 1. sind ( w . -g -t- 2 K -Y~ iK I. Ausdrücke, welche ausser rationalen Grössen nur Quadratwurzeln enthalten, lassen sich bekanntlich mit Lineal und Zirkel construiren. Ohne auf die Einzelheiten einer solchen Construction weiter einzugehen, können wir daher den Satz ■) Vergl. Königsberger, Vorl. über die Theorie d. eil. Funct. 2 Bd. pag. 210. 8i4 Integralrechnung. aussprechen: Ein Lemniscatenbogen kann durch Lineal und Zirkel in 2" gleiche Theile getheilt werden. 4. Rectification der Ellipse. Werden die rechtwinkligen Coordinaten eines Ellipsenpunktes mit Hülfe eines Winkels cp durch die Gleichungen ausgedrückt x = asintf, y = bcost?, so ist ein vom Endpunkte der kleinen Achse an gerechneter Bogen der Ellipse = I V ‘ a 2 cos'* 9 -I- b 2 sin 2 yd(f . Bezeichnet man die numerische Excentricität Ya 2 — b 2 : a mit k, so erhält man s = aE (cp, k ). Alle auf Integrale zweiter Art bezüglichen Sätze finden also ihre geometrische Deutung als Sätze über Ellipsenbogen. Das Additionstheorem £( cp) -!- £($) — E(?) = k 2 sinzsin^sini/ lehrt: Zu zwei gegebenen Ellipsenbogen r und lässt sich immer ein dritter ,r 2 construiren, so dass das Trinom s s t — r 2 geometrisch construirt werden kann. Nimmt man insbesondere a = ij-, so ist s 2 ein Ellipsenquadrant und daher Sjj — ein Ellipsenbogen s', der vom Endpunkte der grossen Aclise ausgerechnet wird. In diesem Falle hat man , a 2 — b 2 . s — s = —- smtfsmy c sm 2 (f d cp = — cof'fl

den Winkel der Flächennormalen mit der X Y- Ebene, so ist die Oberfläche 1 1. 5 = / / — 3 — dx dy , J J sm io dz dz Setzt man für — und 0— die obigen Werthe ein, so erhält man cx vy C( 1 — Ax 2 — By 2 ) C — A(C — A)x 2 — B(C — By 2 )' Behält man die rechtwinkeligen Coordinaten bei, so führt bereits die erste Integration auf elliptische Integrale, deren Modul die zweite Variable enthält; dadurch ergeben sich Schwierigkeiten, die man zu vermeiden suchen muss, indem man geeignete neue Coordinaten einführt. Als solche empfehlen sich der Winkel <0 und der Winkel y, den die Projec- tion der Normalen auf die XE-Ebene mit der X-Achse bildet. Die neuen Variabein sind mit den bisherigen durch die Gleichungen verbunden C(l—Ax 2 — By 2 ) ^ By C — A(C — A)x 2 - B{C— B)y 2 ’ tan ^ ~ Ax ' Der letzten Gleichung wird identisch genügt, wenn man setzt 3 . x = BRcosy, y — ARsiny] führt man diese Werthe in die erste ein, so folgt C cos 2 tu 2. sm‘ Die Einführung der neuen Variabein ergiebt nun zunächst „ _ f f _L_ ( d ja d j\ , J J sin 10 \co> dy dy du>) 1 ^ di0. Für die in Klammern stehende Determinante findet man 8i6 Integralrechnung. Rcos'f ex dy dcp 0(0 \ 0R . fdR „ . VI r) ~ F™ {b'f «>S'i - Rstnv)\ dR 1 b (R 2 ) = AB ■ R t— = AB ■ Cci) Z C sin 2 cp -+- AB sin 2 di) 2 r. c _ ± f f_ m tA.> r/cp _ j. o — J J (BCcos 2 ,ocos 2 ? -h CAcos 2 msin 2 p + ABsin 2 ,o ) 2 ' Zur Orientirung über das Vorzeichen in Verbindung mit der Anordnung der Grenzen dient hier folgende Bemerkung. Die Fläche S ist stets positiv; wird nun für + B) - c - * + -c- y = 1 • Es ist bemerkenswerth, dass diese Curve auch der Durchschnitt der Fläche Ax 2 By 2 -+- Cz 2 = 1 mit dem Kegel zweiten Grades ist A 2 x 2 + B 2 y 2 — ( Ccotm) 2 z 2 = 0. Lässt man 0 und «jj haben, hat man alsdann die auf o 0 COS «o dio dr% (BC cos 2 co cos 2 9 4 - CA cos 2 «> sin? 9 4 - AB sin* to )’ 2 ’ § 22. Geometrische Anwendungen der elliptischen Integrale. Um die erste Integration auszufiihren, ersetzen wir sin 2 (cos 2

d tu I J ' dtf (incos 2 p 4 - nsin 2 tp ) 2 ' Substituirt man hier tauga = t, so erhält man 2 lt CO f d ß. Mit Einführung dieser Werthe erhalten wir nun m = BC(\ — ot 2 sin 2 tu), n = AC( 1 —ß 2 sin 2 tu), Mj ^i: ^ A ^ B ^ cos tu dtu ~ CyÄLB J V 1 — sin 2 tu + 1 — ^ 2 sin 2 tu) yy — a 2 si/, 2 tu) (1 — r ) 2 sin 2 tu) Hierin setzen wir k=s l-i/TE* a ~ V C— A' und führen eine neue Variable durch die Gleichung ein 1 stn tu = — sm a ; a ' hierdurch entsteht S + ic ff _ A _ B \ _, “ aCyAB.J V — sin 2 'f + 1 — k 2 sin 2 tp) ' yT~Zl dtp k 2 sin 2 1 Wird die Zone von der AF-Ebene an gerechnet, so ist cp 0 = 0 , und daher S = ±—1= ff 4? aCyABJ \(#, y) = 0 der Differentialgleichung repräsentirt eine Curve, die in jedem ihrer Punkte von einer zu diesem Punkte durch die Differentialgleichung zugeordneten Geraden berührt wird. Enthält die Gleichung eine willkürliche Constante C, so gehört zu der Gleichung nicht eine individuelle Curve, sondern eine Gruppe von unendlich vielen Curven, die erhalten werden, 52* 820 Integralrechnung. indem man C alle Werthe nach einander beilegt. Die Constante kann dann immer so gewählt werden, dass die Curve (x, y, C) — 0 durch einen gegebenen Punkt P 0 geht; man hat dann nur nöthig, C aus der Gleichung zu bestimmen <&(*(>. y<» 0 = 0 ; und umgekehrt: Soll die Gleichung F{x, y) = 0 das allgemeine Integral einer Differentialgleichung I. 0. sein, so muss ihr durch jeden Werth von x und y genügt werden können, sie muss also eine willkürliche Constante enthalten; ist diese so gewählt, dass die Curve ff) (x, y) = 0 einen bestimmten Punkt P enthält, so muss alsdann durch die besondere Beschaffenheit der Function 0 die Tangente der Curve Q>(x, y) = 0 in P mit einer der durch die Differentialgleichung dem Punkte P zugeordneten Geraden zusammenfallen. Unter einem particulären Integrale versteht man ein Integral einer Differentialgleichung, das aus einem allgemeinen hervorgeht, indem man der willkürlichen Constanten einen besonderen Werth ertheilt. 4. Wir wollen nun zunächst zeigen, wie aus einer Gleichung 1 . &(x,y, 0 = 0 . die eine willkürliche Constante C enthält, eine C nicht enthaltende Differentialgleichung I. O. abgeleitet werden kann, von welcher <\>(x,y, C) das allgemeine Integral ist. Aus (x, y, 0 = 0 erhalten wir durch Differentiation gff> d , 2 . -5— ff- ö— • y = 0 . Eliminiren wir nun C aus 1. und 2., so erhalten wir eine Differentialgleichung 3. Fix, y, y') = 0 . Ist nun das System der Gleichungen 1. und 3. mit dem Systeme 1. und 2. aequivalent und wird C so bestimmt, dass 1. durch einen gegebenen Punkt x, y erfüllt wird, so sind die aus 3. zugeordneten Werthe y' übereinstimmend mit den aus 2. folgenden; also ist 1. das allgemeine Integral von 3. Wir geben hierzu einige Beispiele. A. Aus der Gleichung 4. (y — O 2 = %P X folgt durch Differentiation (j-C)y' =/. Setzt man den hieraus folgenden Werth von y — C in 4. ein, so erhält man die zu 4. gehörige Differentialgleichung , P 1 ^=2'TT B. Die Gleichung x 2 — 2 Cy — C 2 — a 2 = 0 liefert Cy' = x; setzt man hieraus C in die gegebene Gleichung ein, so erhält man ( a ; 2 — a 2 )/' 2 — 2 xyy' — x 2 = 0 , oder y’ = Ip yy (y + V> 2 -+- x 2 — a 2 ) . C. Die Gleichung 5. (x — 20 2 + k 2 Cy 2 = C 2 stellt für positive C eine Gruppe von Ellipsen dar, deren Mittelpunkte auf der Abscissenachse liegen; die auf der Jf Achse liegende Ellipsenachse ist gleich der Abscisse des Ellipsenmittelpunktes; die andern beiden Scheitel liegen auf der Parabel i\ 2 = k 2 X\ für negative C ergeben sich Hyperbeln. § 23. Allgemeine Sätze üb. Differentialgleichungen erster Ordnung m. zwei Veränderlichen. 821 Aus 5. ergiebt sich 6 . x — 2 C + F Cyy' = 0 . Führt man zunächst den hieraus folgenden Werth x — 2 C = — k 2 Cyy' in 5. ein, so folgt £ 4 Cy 2 / 2 + k*y* = C. Vergleicht man den hieraus folgenden Werth von C mit dem aus 6 . sich ergebenden, so entsteht die zu 5. gehörige Differentialgleichung v 2 i 2 y^ — x y ~ x’ y + Vxy‘‘~ = °* 1 — S^wy 2 -+- £ 4 _y 4 ). oder auf reducirt ? ik^xy >' D. Die Gleichung 7. 2w — 3Cy -+- C 3 - 0 repräsentirt eine Reihe von Geraden, für welche das Quadrat des Abschnittes auf der X-Achse zum Cubus des Abschnittes auf der K-Achse das constante Verhältniss = — 27 : 4 hat. Aus 7. folgt 2 = 3C/, und hieraus und aus 7. die Differentialgleichung 27 xy ' 3 — j / 2 + -j- E. Aus dem allgemeinen Integrale = 0. ■f s /(y ^; 2 — —y -+- 2 *) — ^ 7 — Xrc ^2 1 — Yx 2 — wjy 0 - c folgt durch Differentiation dtf dx 2* ;( 2 .* —y + "^w 2 — ^J')’ 2cp 1 2 x — y -+- ~f/x s — xy ’ Daher ist die zugehörige Differentialgleichung y_. + j/rn 5. Die Aufgabe: Zu einer gegebenen Differentialgleichung das allgemeine Integral zu finden (eine Differentialgleichung zu integriren) ist im Allgemeinen durch die bisher bekannten Functionen (Integrale von Functionen mit inbegriffen) nicht lösbar. Im Allgemeinen werden durch Differentialgleichungen neue Functionen definirt. Es besteht dann die Aufgabe, aus der Differentialgleichung die Eigenschaften der durch sie definirten Function möglichst erschöpfend abzuleiten, und ein Verfahren anzugeben, durch welches die Function annäherungsweise gefunden werden kann. Wir wollen ein solches Annäherungsverfahren zunächst für Differentialgleichungen erster Ordnung angeben. Um ein Integral der Gleichung 1- / =f(x,y) zu erhalten, gehen wir von einem beliebigen Punkte P 0 aus in der Richtung y 0 ' — f(x 0 ,y 0 ) um eine kleine Strecke bis zu dem Punkte P v dessen Coordinaten x i = *0 + ft —y 0 •+■ AZo sind, wobei also Azo =f( x o>yo)Ax 0 . 822 Integralrechnung. Hierauf gehen wir von P t bis zu dem Punkte P 2 , für den x 2 = x 1 + &x it A 2 =7i + 4l'i> wobei Aki = f(F l ,y x )\x i , und so fort, so dass wir von jedem Punkte Pi bis zum nächsten P l+X in der Richtung weiter gehen, für welche 4 Vi = yi+ 1 — y% = f(xi, yi) • Aar,, Ix, — x i+x — x Gehen die Abscissenveränderungen Aa: 0 , A.Tj , Ax 2 . . . zur Grenze Null über, so geht das Polygon P 0 P 1 P 2 . . . in eine Curve über, und diese Curve ist ein Integral der Differentialgleichung / = fix, y). 6. Wenn zwei allgemeine Integrale einer Differentialgleichung I. O. nach den willkürlichen Constanten aufgelöst die Gleichungen ergeben 1. F — C, f = c, so ist F eine Function von /, d. h. wenn man aus der Gleichung f{x, y) =f die Variable y (oder x) berechnet, indem man das rechts stehende / als neue Variable betrachtet, und diesen Werth in F substituirt, so enthält F dann nur die Variable f, nicht auch x (oder y) . - Durch Differentiation folgt aus 1 . 8F , dF , df df -x— dx -t- -xr— dy = 0 , x - dx + -f- dy — 0 . ox Cy ’ dx dy J In beiden Gleichungen kommt keine willkürliche Constante mehr vor, aus beiden muss sich also für alle Werthe von x und y derselbe Werth für y' ergeben; die nothwendige und ausreichende Bedingung hierfür ist das Verschwinden der Determinante dF dF dx dy dx dy 3. Drückt man y in der angegebenen Weise durch x und / aus und setzt dies F ein, so erhalte man g. Diese Function kann nur/ und x enthalten; man hat d% dF dF dy ~dx dx dy dx' Bei dem letzten Dififerentialquotienten ist y als Function von x und /gedacht und vorausgesetzt, dass sich / nicht ändert; daher bestimmt sich derselbe aus der Gleichung df df dx -y- ö — dy — 0 . dx dy Wird der hieraus folgende Werth in 3. eingesetzt, gg _ 8F _ dF f\'df dy dx) ' dy' Da nun / nicht frei von y sein kann, so folgt aus 4. und 2 d% ergiebt sich _ ( d JL d l \ dx dy dx - 0; also enthält % die Variable x nicht, w. z. b. w. *). *) Statt dieses Beweises hätte auf den Satz Diff. Rechn. § 4, No. 5 verwiesen werden können,' wir haben es vorgezogen, einen selbständigen Beweis für den einfachsten Fall jenes allgemeinen Satzes zu geben und bemerken, dass der Gedankengang disses Beweises sich auch auf den allgemeinen Satz anwenden lässt. Vergl. u. A. Baltzer, Determinanten, § 12. ... § 23. Allgemeine Sätze über Differentialgleichungen erster Ordnung m. zwei Veränderlichen. 823 Aus der Gleichung %(/) = C folgt f = c, worin c eine willkürliche Con- stante bezeichnet. Daher ist das allgemeine Integral F = C von f = c nicht wesentlich verschieden. Wir geben dieser Thatsache durch den Satz Ausdruck: Eine Differentialgleichung I. O. hat nur ein allgemeines Integral. 7. Es sei f{pc,y, C) = 0 das allgemeine Integral einer Differentialgleichung I. O. Die Werthe der Constanten C für diejenigen Integralcurven, welche durch einen gegebenen Punkt x, y gehen, erhält man durch Auflösung der Gleichung f(x,y, C) = 0 , wenn man darin x und y als gegeben betrachtet. So viele verschiedene Auflösungen diese Gleichung hat, eben so viele verschiedene Integralcurven gehen durch P. Diese Curven haben im Allgemeinen in P keine gemeinsame Tangente. Die n Geraden, welche diese Curven in P berühren, sind die Geraden, welche dem Punkte P durch die gegebene Differentialgleichung zugeordnet sind. Hieraus folgt: Wenn der Differentialquotient y' eine w-deutige Function von x und y ist, so ist auch die Constante des allgemeinen Integrals w-deutig durch x und y bestimmt. Beispiele. A. Aus der Differentialgleichung dx dy -+- =0 x y folgt sofort das allgemeine Integral Ix - 1 - ly = c. Hier erscheint c als unendlich vieldeutige Function von x und y. Geht man aber beiderseits zu den Logarithmanden über und bezeichnet e c mit C, so erhält man für das allgemeine Integral die neue Gestalt xy - C, und hierin ist C eindeutig durch x und y bestimmt. B. Für die Differentialgleichung dx dy yi X 2 V 1 —r - 0 haben wir das allgemeine Integral arcsinx Hier ist ebenfalls theoreme Gebrauch arcsinx -t und ersetzt sine durch arcstny = c . unendlich vieldeutig. Macht man von dem Additions- arcsiny = arcsin 1 — y 2 ■{, so erhält man x}/l — y 2 -yyT Durch Quadriren ergiebt sich, wenn man 7 X* = 7 . 2 durch yf/l — x 2 ) C ersetzt, -T 2 ) = o Hieraus folgt noch x‘ -+-y 2 — 2x 2 y 2 -+- 2xy'y / (l — x 2 ) (1 und hierin ist C zweideutig, ebenso wie y' zweideutig ist. die rationale Gleichung C 2 — 2(x 2 -hy 2 — 2x 2 y 2 ) C -t- ( x 2 — y 2 ) 2 = 0 . 8. Wenn durch eine Differentialgleichungy «-deutig bestimmt ist, so werden im Allgemeinen für unzählig viele Punkte zwei von den n Werthen zusammenfallen; die Curve dieser Punkte wollen wir als Verzweigungscurve der Differentialgleichung bezeichnen. Ist / explicite als Function von x und y gegeben y = 9( x >y)> so kann man ohne Weiteres die Gleichung der Verzweigungscurve ablesen. Ist z. B. 824 Integralrechnung. so ist die Verzweigungscurve .* 2 — = 0 , besteht also aus den beiden Geraden, welche die Winkel der Achsen halbiren. Bezeichnen g x , g 2> . . g n die verschiedenen Werthe, welche y' für einen gegebenen Punkt x, y hat, so sind dieselben die Wurzeln der Gleichung. !• p =(y — gi) (y — gt)--- cy — g *) = o-, dieselbe gebe ausgerechnet 2. F = y '” -+- A u -\y' -+- A u = 0 . Zwei Wurzeln y' dieser Gleichung fallen zusammen, wenn der Verein von 2. und der folgenden Gleichung besteht oF 3. gy = ny'«~ 1 + (n — 1 )A 1 y'*-2 -+- . . A tl -\ = 0 . Die Bedingung für den Verein von 2. und 3. erhält man nach Sylvesters Methode, indem man 2. und 3. der Reihe nach mit y'"— 2 , y'*—\ . . . y' , 1 , bez. y'n-i, y'»— 2, . . . y, l multiplicirt, und aus diesen 2 n — 1 Gleichungen die linear darin vorkommenden Grössen y'-"~ 2 , jr' 2 “ -1 , . . . y', 1 in bekannter Weise elimi- nirt. Man erhält 1 A ^ A 2 .... A n —\ A n 1 A l ... . A„—2 An —1 An n(ti — l)^4j n 1 A x (n — 2)A 2 .... An-i (n — l)A l . . . 2A„-2 A n - 1 A 2 • . . A n = 0. 1 (n—\)A 1 . . . A„-i Dies ist die gesuchte Gleichung der Verzweigungscurve. !). Die Constante des allgemeinen Integrales einer Differentialgleichung I. O. sei für jeden Punkt der Ebene »-deutig bestimmt; ihre Werthe für den Punkt x, y seien y,, 7,, . . Bildet man die Gleichung _ (C-^XC-t,) . = C H H- a t O-i -+- a 2 O -2 -+- . . -(- x„ = 0; alsdann erhält man die Gleichung dieser Verzweigungscurve in Form einer verschwindenden Determinante, wenn man C nach Sylvester’s Methode aus „ z/ 0 = 0 und -77; = 0 . dt Diese Gurve hüllt entweder die Curven O ein und hat in jedem ihrer Punkte mit einer der Curven O eine gemeinsame Tangente, oder sie enthält die Doppelpunkte des Curvensystems 0(ar ,y, C) — 0 (Differentialrechn. §11, No. 6). Hieraus folgt sofort: Ist die Verzweigungscurve des allgemeinen Integrales die Einhüllende der Curven O = 0, so genügt sie in allen ihren Punkten der Differentialgleichung. § 23. Allgemeine Salze über Differentialgleichungen erster Ordnung m. zwei Veränderlichen. 825 Ist die Verzweigungscurve dagegen die Curve der Doppelpunkte des Curven- systems <1> = 0, so genügt sie im Allgemeinen der Differentialgleichung nicht. Denn im Allgemeinen ist für einen Doppelpunkt einer Curve (I> = 0 der aus der Differentialgleichung folgende Werth von y' nicht unbestimmt, wie der aus dem allgemeinen Integrale folgende, sondern bestimmt; man kann nun nicht den Schluss ziehen, dass dieser Werth mit dem aus der Gleichung der Verzweigungscurve des allgemeinen Integrales folgenden übereinstimmt. Wenn die Gleichung der Verzweigungscurve des allgemeinen Integrales der Differentialgleichung genügt, so ist im Allgemeinen für die Punkte derselben C nicht constant; sie ist alsdann kein particuläres Integral, sondern wird als singuläres Integral der Differentialgleichung bezeichnet. 10. Unabhängig von geometrischen Betrachtungen untersuchen wir nun auf analytischem Wege die Existenz eines singulären Integrales, d. i. einer Gleichung, die der Differentialgleichung genügt, ohne ein particuläres Integral zu sein. Es sei f[x,y, C) = 0 das allgemeine Integral einer Differentialgleichung I. O.; wir machen dabei die ausdrückliche Voraussetzung, dass die Function f die Grössen x, y und C nur in eindeutigen Verbindungen enthält. Jede beliebige Gleichung — 0 > 8C dC dy' = 0. 6 . § 23. Allgemeine Sätze über Differentialgleichungen erster Ordnung m. zwei Veränderlichen. 827 Die Gleichungen 1. und 5. ergeben die Verzweigungscurve des allgemeinen Integrals Die Gleichung 6. sagt aus, dass die durch 2. definirte Function C von y' nicht abhängt; sie ist daher nicht statthaft. Wir fassen die Ergebnisse dieser Untersuchungen in folgenden Satz zusammen: Ist F(x, y, y') = 0 eine Differentialgleichung I. O. und = 0 und ^-7, = 0 cC hervorgeht, höchstens um einen Faktor, der eine ganze Function von x allein ist, von der Resultante verschieden sein, welche durch Elimination von y' aus den Gleichungen O 7p F = 0 und —j = 0 cy entsteht. Wenn die erstere Resultante der Differentialgleichung genügt, so ist sie das singuläre Integral der Differentialgleichung, soweit sie nicht durch Specialisirung der Constanten C aus dem allgemeinen Integrale hervorgeht. 13. Für die Ableitung des singulären Integrales haben wir daher folgende Wege: a) Ist das allgemeine Integral auf C reducirt, so bilde man die Bedingung dafür, dass zwei Werthe für C zusammenfallen. b) Sind in dem Integrale (S>(x,y , C) = 0 die Grössen x, y, C nur in eindeutigen Verbindungen enthalten, so eliminire man C aus . gO 0 = 0, und = 0 • c) Ist die Differentialgleichung auf y’ reducirt, so bilde man die Bedingung dafür, dass zwei Werthe von y' zusammenfallen. d) Sind in der Differentialgleichung F(x,y,y’) = 0 die Grössen x, y, y' nur in eindeutigen Verbindungen enthalten, so eliminire man y’ aus , VF F — 0 und — = 0 . oy • Die auf einem dieser vier Wege erhaltenen Gleichungen hat man darauf hin zu prüfen, ob sie der Differentialgleichung genügen; soweit diese Bedingung erfüllt ist, hat man ein Integral der Differentialgleichung gefunden; dasselbe ist singulär, soweit es nicht durch Specialisirung der Constanten aus dem allgemeinen Integrale abgeleitet werden kann. Nach Anwendung der Methoden c) und d) hat man noch nachzusehen, ob die Gleichung x = 7 für irgend einen constanten Werth 7 der Differentialgleichung als singuläres oder particuläres Integral genügt.*) 14. Wir betrachten als Beispiele die in No. 4 aufgestellten Differentialgleichungen. A. Die Differentialgleichung No. 4, 6 *) Auch ohne Kenntniss des allgemeinen Integrales kann man entscheiden, ob man nach den Methoden c) oder d) zu einem singulären oder particulären Integrale gelangt ist. Vergl. u. A. E. Prix, Ueber singuläre Losungen der Differentialgleichungen I. O. Progr. d, Realschule zu Annaberg i. S. 1876. 828 Integralrechnung. fi 2 hat das allgemeine Integral Man erhält (p = (y — C) 2 — 2 px = 0 . dF dy' d

= 3 C 2 — ( 4x — k 2 y 2 ) C + x 2 = 0 . Die Bedingungen für das Zusammenfallen zweier Wurzeln y' bez. C sind XkJJcy 2 {i>^ 2 xy 2 —4x 2 —/MjA) = 0, bez. 8 k 2 xy 2 — 4x 2 — k^y^ = 0. Die letztere Gleichung ist das singuläre Integral. Man überzeugt sich leicht, dass es der Differentialgleichung genügt. Durch Differentiation folgt nämlich , 2(*— k 2 y 2 ) ^ k 2 y(4x — k 2 y 2 )' Ferner folgt aus dem singulären Integrale k 2 y 2 = 2*(2 + |/3 ), x — k 2 y 2 = — 2x j/3 , x — k 2 y 2 - — *(3 + 2 l/3). Mit Hülfe dieser Werthe ergiebt sich y = y_ 2x ' Derselbe Werth folgt aus der Differentialgleichung für die Punkte, welche dem singulären Integrale genügen. D. Die Differentialgleichung 27 F ss xy ' 3 ■y■ = 0. hat das allgemeine Integral d> s= C 3 — 3Cy + 2* = 0. § 24- Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 829 Die Bedingung für das Zusammenfällen zweier Wurzeln y' bez. C, x 2 — y' A = 0 ist das singuläre Integral. E. Die Differentialgleichung y - 2 + y7-~r hat das allgemeine Integral cp = Are iane -- , - ( 2 y» v Für die Verzweigungscurve x — y = 0 ist y = 1 , während für die Punkte derselben aus der Differentialgleichung folgt y = 2. Daher ist in diesem Falle die Verzweigungscurve kein Integral der Differentialgleichung. F. Hat die Differentialgleichung die Form y = F -+- t/'F wobei F und l F rationale Functionen von x und y sind, so ist ihre Verzweigungscurve ip = 0. / (y x. xy ■— y 2x) V 3- Der aus dieser Gleichung folgende Werth von / stimmt im Allgemeinen nicht mit dem aus der Differentialgleichung unter der Bedingung ( F = 0 folgenden Werthe y = F überein; die Verzweigungscurve ist daher für Differentialgleichungen dieser Form im Allgemeinen kein Integral. Das vorige Beispiel bildet hiervon einen besonderen Fall. Ausnahmen bilden u. A. alle Differentialgleichungen, deren allgemeines Integral die Form hat 2. f + = C , wobei f und

(_jr) für M und N, so haben wir die Differentialgleichung cp ix)dx -f- ty(y)dy = 0, und erhalten hieraus ohne Weiteres J 9( x ) dx + h(j)dy = C. Willkürliche Constanten bei den Integralen anzubringen ist in diesem Falle wegen der rechts stehenden Constanten nicht nöthig. Beispiel. Aus 2(a-hx)dx + 3y 2 dy = 0 folgt das allgemeine Integral (a + x)' 1 y 3 = C. 2. Wenn die Variabein nicht getrennt sind, so gelingt es zuweilen durch Division oder Multiplication mit Functionen der Variabein die Trennung herbeizuführen. So ergiebt sich aus 1. X t Y x dx -+- X i F 2 dy = 0 durch Division mit AT 2 Y l X t J F 2 J W 2 dx Fj dy ~ 0 • Sind nun X x , X% Functionen von x allein, und F,, F 2 Functionen von y allein, so ist das allgemeine Integral von 1. Beispiele. A. Hieraus folgt a — x daher ist das allgemeine Integral ly — al{a — x) B. [a — x){b — y) dy = 0 . -(p- xy 2 dx x y, xy — b y -f- c. Diese Gleichung ergiebt (1 -F>' 2 ) dx - 4- (1 -t- x 2 ) dy = 0 . dx dy \ + x 2 + 1 + J 2 daher ist das allgemeine Integral arctangx ■+■ arctangy = C. C. = 0 ; yT — y 2 dx "j/l — x 2 dy = 0 . Hieraus folgt dx dy j/l — x 2 daher ist das allgemeine Integral yr = 0; arc sinx + arc siny = C. Giebt man der Differentialgleichung die Form so erkennt man, dass die singulären Lösungen in der Gleichung enthalten sind (1 — *2)(1 — y 2 ) = 0. Alle vier hierin enthaltenen Geraden genügen der Differentialgleichung; da keine durch Specialisirung aus dem allgemeinen Integrale hervorgeht, so sind alle singuläre Lösungen. 3. Eine Reihe von einfachen geometrischen Aufgaben führen auf Differentialgleichungen erster Ordnung, in denen die Variabein getrennt werden können. A. Die Curven zu bestimmen, bei denen die Subnormale eine gegebene Function und daher die Gleichung der gesuchten Curve y 2 = 2fy(x)dx -+- C. C. Wird verlangt, dass die Subtangente eine Function und daher das allgemeine Integral I). Soll die Subtangente eine Function y(x) der Abscisse sein, so ist y = ?(*)> also iy _ -J Y l +y 2 = 9(>)'» y Das allgemeine Integral ist V ? 2 — y 2 " / V ? 2 —. - dy = x -h C. F. Auf ähnliche, einfachste, durch Trennung der Variabein sofort zu inte- grirende Differentialgleichungen führen die Aufgaben. Eine Curve zu bestimmen, in welcher die Polarsubtangente, die Polarsubnormale, oder der Winkel zwischen Tangente und Radius vector eine gegebene Function des Radius vector oder des Polarwinkels ist. G. Soll das von einem Curvenbogen, der Abscissenachse einer festen Ordinate und der Ordinate eines laufenden Curvenpunkts begrenzte Segment einer Curve eine gegebene Function ■ / = Hieraus folgt für y eine quadratische Gleichung, und durch Auflösung derselben 2 . y = 2 x V Die Substitution y = zx führt zu dx 1 -f- dz 4x 2 ' V 1 + T “2 oder, wenn rechts der Nenner rational gemacht wird, dx Die Integration ergiebt z 2 z -1/ lx = T + 2 V 1 4 1 -+- c. Hieraus folgt schliesslich, wenn C geeignet geändert wird: 3. 4x 2 1 (y — Y4x 2 -4 - y 2 ) = y 2 4- y ~\J4x 2 4- y 2 4- C. Aus 2. folgt die Verzweigungscurve für y' 4. 4x 2 -+- y 2 = 0 . Aus dieser Gleichung folgt y' — — 4x:y, aus 2. ergiebt sich mit Rücksicht auf 4.y — y : 2x] vergleicht man beide Werthe, so erhält man Sx 2 4 - y 2 = 0; da diese Gleichung mit 4. nicht übereinstimmt, so ist 4. kein Integral der Differentialgleichung. 7. Um die Differentialgleichung 1. (ax -1- by 4 - c)dx -+• (a'x 4 - b’y 4 - c’)dy = 0 in eine homogene zu verwandeln, substituiren wir x — u + wenn darin P und Q Functionen von x allein sind. Ist Q = 0, so lassen sich die Variabein sofort sondern, und man erhält das allgemeine Integral 2. ly = — jPdx 4- C. Wir wollen nun versuchen, das allgemeine Integral der Gleichung 1 . dadurch zu erhalten, dass wir in 2. die willkürliche Constante C durch eine Function von x ersetzen; vielleicht lässt sich diese Function so bestimmen, dass der Differentialgleichung 1 genügt wird. Ersetzen wir in 2. C durch z und differenziren, so ergiebt sich y’ = — Py 4- z'y . Dieser Werth wird in 1. eingesetzt und liefert für z die Gleichung z'y = Q, oder, wenn y hierin gemäss der Gleichung 3. ly = — fPdx 4- z durch x und z ersetzt wird, jPdx 4. e z dz = Qe dx. Hieraus folgt für z das allgemeine Integral - U’dx e z = fQe dx 4- C. Daher folgt schliesslich das allgemeine Integral der linearen Differentialgleichung — f/Vx / .. fPdx \ y = e \C 4- fQe dx) . 9. Beispiel. Die Curven zu bestimmen, deren Tangenten von der Ordinatenachse das geometrische Mittel der Abscisse und einer gegebenen Strecke a abschneiden. Die Differentialgleichung des Problems ist y — xy' = Yax , Diese Gleichung ist linear; es ist P — — 1 : x, Q = — yaVx, und daher das allgemeine Integral / 'dx / /» /— Cdx \ x (c — JVy e x dx )- Nach Ausführung der beiden Integrationen erhält man y = Cx 4- 2 Yax . 10. Das allgemeine Integral einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung kann auch auf einem andern Wege gefunden werden, den wir ebenfalls angeben wollen. Man versucht, die Aufgabe dadurch auf einfachere zurückzu- *) Boole, A treatise on differential equations, 4. ed., London 1877, pag. 36. § 24. Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 835 führen, dass man y durch das Produkt uv zweier noch unbestimmter Functionen von x ersetzt. Hierdurch erhält man die Gleichung 1. uv' -+- vu' -+- Puv = Q. Bestimmt man nun u aus der Gleichung 2. u' -ff Pu = 0, so bleibt zur Bestimmung von v die Gleichung übrig 3. uv' = Q . Da es bei der Integration von 2. nur darauf ankommt, irgend eine dieser Gleichung entsprechende Function von x zu erhalten, so kann man der willkürlichen Constanten des allgemeinen Integrals von 2. einen solchen besonderen Werth geben, dass das Integral möglichst einfach wird. Die willkürliche Con- stante des allgemeinen Integrals der Gleichung 1. tritt erst .mit der Integration von 3. ein. Die Gleichung 2. stimmt mit No. 8, 1 für den Fall Q = 0, überein; und die Gleichung 3. ist von der Gleichung No. 8, 4 nicht verschieden, wenn man y durch u und z durch v ersetzt. 11. Die nichtlineare Differentialgleichung i- f +/(?)*= Q> worin P und Q wieder Functionen von x allein sind, lässt sich in eine lineare verwandeln; setzt man nämlich f(y) — z, so ist /'(y) dy = dz und man erhält z' -ff Pz = Q . Auf diese Gleichung führt z. B. die folgende 2. y' -t- Py = Qy» . Dividirt man nämlich durch — y m \(tn — 1), so erhält man — (tu - 1 )y-rn y' - (/ H — 1) Py—(m- 1 ) = — (/// — 1 ) Q ; und diese Gleichung stimmt mit 1. überein, wenn man f(y), P, Q durch y-0» -1), — (m — 1 ) P, — (in — 1 ) Q ersetzt. 12. Das allgemeine Integral der nicht linearen Gleichung*) / -t- Py = Qy 2 -ff R lässt sich angeben, wenn man ein particuläres Integral y = u dieser Gleichung kennt. Setzt man nämlich das allgemeine Integral in der Form voraus y — u -t- v, worin v eine noch zu bestimmende Function bezeichnet, so hat man für 11 und v die Gleichung u' ~h v' -+- Pu -+- Pv = Qu 2 + 2 Quv + Qv 2 4 - 11. Nach der Voraussetzung ist u' -+- Pu = Qu 2 -ff R, daher bleibt zur Bestimmung von v die Gleichung v' -ff (P —2 Qu)v — Qv^ . Diese Gleichung fällt unter No. 11, 2 für m = 2. Beispiele. A. Der Gleichung y -t- Py = Qy 2 -ff 1 -ff Px — Qx 2 wird durch das particuläre Integral y = x genügt. Daher ist jetzt u — x, und für v hat man die Gleichung v' -ff (P — 2<2.*)z' = Qv 2 . B. y -ff Py = jy 2 -ff P', wobei P' für dP \ dx gesetzt ist. *) Sturm, Cours d’Analyse, 5. td., t. II, Paris 1877, pag. 51. 8 3 6 Integralrechnung. Der Gleichung wird durch y = P genügt; daher ist das allgemeine Integral y = P + v, wenn v durch die Gleichung bestimmt wird v' — Pv = Qv 2 . 13. Die Gleichung 1. ist unter der Form No. 12 erhalten wir n xy' — ay -+- by 2 = cx u n 1 enthalten. Setzen wir versuchsweise y = kxA, so kx J — akx * 4- bk 2 x n = ex’ 1 . Diese Gleichung ist identisch erfüllt, wenn n — 2 a, k = yc : b. Im Falle n = 2a kann also nach der in No. 12 angegebenen Methode das allgemeine Integral der Gleichung 1. gefunden werden. Durch geeignete Substitutionen kann man in einer Reihe von Fällen Differentialgleichungen von der Form 1., in welchen n von 2 a verschieden ist, auf eine Gleichung derselben Form zurückführen, in welcher n = 2 a ist. Setzt man nämlich in 1. x n y = A + V’ worin y t eine neue Variable ist, so erhält man x n 4 - in — a + 2 b Ä) — y i 2. — aA 4- bA 2 dass y i aA 4- bA 2 = 0; Wir wählen nun A so, oder A — 0, Die Annahme A = a\b ergiebt die Transformation a x n 3. y = x n + l . - tfA = cxn - Jl also entweder A = a : b, und die transformirte Gleichung x n (n 4- a) y l b —5- — y? y i 7 ? -Ti 4. 0 Durch Multiplication mit yf : xy t ’ — (a x n ergiebt sich hieraus +- n)y x 4- cy j 2 = bx n . Diese Gleichung geht aus 1. hervor, wenn man a, b, c der Reihe nach durch • «), c, b ersetzt. Wendet man nun auf 4. die Substitution an a 4- n x n y = n und c ersetzt, so erhält man = cx n ; 3. entsprechende an u. s. f.; 2 — f y i die aus 3. hervorgeht, wenn man a und b durch a 4 xy — («4- 2 n)y t 4- by^ hierauf wendet man wieder die der Substitution nach k Transformationen erhält man die Gleichung wenn k ungerade ist: xy t ' — («4- kn)y 1 4- cy^ — bx n \ wenn k gerade ist: xyj — [a 4- kn)y x 4- by£ = cx n . Kann man nun die ganze Zahl k so wählen, dass n = 2(n : (2 m + 4) eine positive ganze Zahl ist. 14. Die Integration der Differentialgleichung 1. Mdx -+- Ndy = 0, gelingt sofort, wenn die linke Seite das vollständige Differential drp d:dxdy. Die Bedingung 2. ist aber auch hinreichend. Hat man nämlich eine Function ip, welche der Gleichung genügt M = dty : dx, so ist dM _ d _ d_N dy dxdy dx ’ also können N und dty : dy nur um eine Grösse verschieden sein, die x nicht enthält, mithin eine bestimmte Function von y allein ist. Bezeichnet man dieselbe mit Y, und setzt so ist d 9 dx dy dy dx ’ wenn diese identisch verschwindet, so ist '{; eine Function von 9 . Umgekehrt: Ist )]. Eine Gleichung von der Form y F(xy) dx -+- xG(xy ) dy = 0 wird daher durch den Faktor 1 : xy[F(xy) — G(xy)] integrabel. 22. Der integrirende Faktor ist eine homogene Function nullten Grades von x und y, d. i. eine Function von y : x, wenn x *(w_ d JT\ T Mx -+- Ny eine Function von y : x ist. Soll der integrirende Faktor eine homogene Function n ten Grades sein, also von der Form x n F{y : x), so ergiebt die partiale Differentialgleichung No. 19, 1 nNx>‘~iF — yx n ~-NF' — x «—1 MF' — x"F\ ^ ^ | , \oyox) joN_sm F' ' \dx dy) Ny 11 Nx F xM -¥ yN also muss die rechte Seite dieser Gleichung eine Function von y : x sein. Beispiel. Ist die gegebene Differentialgleichung homogen vom «ten Grade, so kann man sie durch Division mit x u in die Form bringen Hier ist und daher + ;v(i) «> =, 0. dM 1 -ö— = - M ', Oy x cN dx N’ „ * - ° {*' i ^ : { M + i w ) ■ xMy-yN \ x Folglich hat eine homogene Differentialgleichung einen integrirenden Faktor, der homogen und nullten Grades ist. Setzt man in 2. voraus, dass M und N Functionen von y : x sind, so ergiebt sich i |1 ebenfalls als Function von y:x, unabhängig von «; eine homogene Differentialgleichung lässt also homogene integrirende Faktoren jeden Grades zu. Berechnet man die Function * = (8N__ZM\ \ dx dy J n Nx xM + yN für den Fall, dass der integrirende Faktor homogen vom Grade n sein soll, so enthält dieselbe die unbestimmte Zahl n\ unter Umständen gelingt es, die Zahl n so zu wählen, dass tj; homogen wird. Dies ist z. B. der Fall bei der Gleichung (2ar 3 + 3 x 2 y +_y 2 — y 3 )dx -+- (2 y % + 3xy 2 + x 2 — x 3 ) dy — 0; man findet leicht, dass sie einen homogenen integrirenden Faktor vom Grade (— 2) zulässt. 23. Um die Gleichung zu integriren § 24 ' Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 843 l. Qdx -+- Rdy -+- S(xdy — ydx) = 0, worin Q, R und S homogene Functionen sind, und zwar Q und R vom Grade m, S vom Grade «, bestimme man einen homogenen integrirenden Faktor vom Grade — n — 2 für die Gleichung Qdx -+- Rdy = 0. Giebt man der Differentialgleichung die F'orm Qdx - 4 - Rdy — = 0, so erkennt man sofort, dass dieser Faktor die linke Seite in die Summe zweier vollständigen Differentiale verwandelt. In die Form 1. lässt sich die Gleichung (A -+- A'x -+- A"y)(xdy — ydx) — (B -+- B'x -t- B"y) dy + (C -+- C'x -+- C"y) dx = 0 durch eine geschickte Substitution bringen. Setzt man nämlich •*=£ + «, y — 1 j + P, so erhält man eine trausformirte Gleichung von der Form (a\ -+- «’r/) — r t df) — (J>\ + b' t\) di\ + (y’) = C und =f(y,y’) ist dann die Auflösung der gegebenen Gleichung; durch Elimination von y' kann man dieselbe wieder in der üblichen Form darstellen. 26. Ist die Differentialgleichung linear in Bezug auf x und y, also von der Form I. x dy' ,dy dx > dy ’ und ersetzt y' durch das einfachere Zeichen p, so erhält man , dp .dp .dp ? jy+pt? +yM T y ^ p ' 1 ly- Hier wollen wir p als die unabhängige und y als die abhängige Variable betrachten; wir erhalten alsdann für y die Gleichung 3. dy dp PV tp _i_ p^y ~~

«|* =(« + £/), y’=1, -K = i, Daher erhält man für x die Gleichung dx 2 dp X = 2«' = 0. (2a -k /) (2a + 2 -I- /) (2a -k p) (2a -k 2 + /) Nach den bekannten Regeln für eine lineare Gleichung ist das allgemeine Integral hiervon p -k 2 a :{ c + pT2i)’ p -k 2 a -k 2 V P 2 a^ aus dieser und aus der gegebenen Differentialgleichung hat man schliesslich noch p zu eliminiren; doch ist auch ohne Ausführung der Elimination das Problem durch die beiden Gleichungen 6. und 7. vollständig gelöst; durch diese Gleichungen sind die beiden Variabein x und y durch dieselbe Hülfsvariable p ausgedrückt. 27. Die in No. 24, 25 und 26 mitgetheilten Methoden bestehen darin, dass man die gegebene Gleichung 1. F(x,y,y') — 0 differenzirt; aus der dadurch erhaltenen Gleichung cF dF , dF dy' 2. dx dy y + dy' dx = 0, und aus 1. eliminirt man y ; oder man eliminirt x und ersetzt dy' : dx durch y dy' : dy . Wenn es sich ereignet, dass dF dF , identisch verschwindet, dass also dx dy ■ 846 Integralrechnung. 3. 4. y 0, dF _ d_F dx 8y ’ so zerfällt die Gleichung 2. in die beiden Gleichungen djF dy' W = °’ und 5 - Tx - Eliminirt man y' aus 1. und 4., so erhält man (§ 23, No. 8) die Ver- zweigungscurve der Differentialgleichung, und damit das singuläre Integral derselben. Das allgemeine Integral ergiebt sich, indem man aus dem allgemeinen Integrale von 5. / = C, und aus 1. y 1 eliminirt; man erhält Fix, y, C) = 0 . Beispiel. Die Curve zu bestimmen, von deren Tangenten die beiden Goordinatenachsen eine Strecke von constanter Länge a abschneiden. Die Differentialgleichung des 'Problems ergiebt sich zu yT + /~ 2 G. oder {xy' — y) xy — y — y ay' Hier ist V 1 +y '2 dF_, ZF dx~ y ’ dy — 1 Das allgemeine Integral ist Cx — y — also aC o , = 0. dF dx cF 8y ' — y = 0. y'i -+- c 2 Dies ist die Gleichung einer Geraden mit den Achsenabschnitten a : )/1 -+- C‘ l und — aC: y 1 C 2 ; die zwischen den Achsen liegende Strecke derselben ist in der That = a. Für das singuläre Integral bilden wir dF a x -, . , = 0 • dy' Hieraus folgt ■y y ^ a $ — x $y Dies in G. eingesetzt, ergiebt nach leichter Reduction die Gleichung x^ + y^ — cfi - 0 , das singuläre Integral der Gleichung 6. 28. Das vorige Beispiel ist ein besonderer Fall der von Ci.airaut bearbeiteten und nach ihm benannten Gleichung 1. y — xy 1 =/(/). Für das allgemeine Integral ergiebt sich der Verein der Gleichungen 1. und 2. / = C, also ist das allgemeine Integral 3. y = Cx + f(C) . Das singuläre Integral entsteht durch Elimination von y' aus 1. und „ , W) 4. d y' = 0, in Uebereinstimmung mit dem Resultate der Elimination von C aus 3. und aus der aus 3. durch Differentiation nach C hervorgehenden Gleichung. § 24. Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 847 29. Die Gleichung 1. y — 2xy' = y'f(yy') r 2 — 2yy' ■ x — yy' • f(yy') ■ liefert mit y multiplicirt 2. y* Substituirt man y 2 = z, so ist 2yy' = z', und es ergiebt sich 2 — xz' = iz'ffäz'), also eine CLAiRAUT’sche Gleichung. Das allgemeine Integral von 1. ist daher 3. y 2 = 2Cx -h Cf(C), das singuläre folgt durch Elimination von y' aus 1. und aus 4. 1 + y . d S(yy') = o ; d(yy') wie man leicht erhält, wenn man die an die Stelle von No. 28, 4 hier tretende Gleichung durch 1. reducirt. 30. Die Aufgabe: Die Curve zu bestimmen, bei welcher die Normale eine gegebene Function f der von der Normalen auf der X-Achse abgeschnittenen Strecke ist, führt auf die Differentialgleichung 1 . y j/i -y '2 : f(x + yy'). so ist Führt man statt y eine neue abhängige Variable r durch die Substitution ein r 2 = x 2 -+- y 2 , rr' = x -4- yy', y' = — (rr' y V • x), 1 y- y" 1 - r‘ r ' 2 — 2x rr' r 2 — x 2 Daher ergiebt sich aus 1. 2. r 2 -t- r 2 r' 2 — 2 xrr' — [f(rr')] 2 - Hieraus folgt die neue Differentialgleichung rr diese ist von derselben Form, wie No. 29, 1. 31. Denkt man sich die Gleichung 1 . ?(•*,.)',/) = 0 in Bezug auf y' aufgelöst, so erhält man ein Resultat von der Form 2. dy — y'dx = 0 , worin man y' aus 1. zu substituiren hat. Man kann nun versuchen, einen integrirenden Faktor F als Function von x, y, y' so zu bestimmen, dass 3. F ■ (dy — y' dx) — 0 unter der Voraussetzung 1. ein vollständiges Differential wird. Das allgemeine Integral von 1. wird alsdann durch Elimination von y’ aus 1. und aus fF ■ (dy — y'dx) = C erhalten, wenn man mitJF-(dy — y'dx) eine Function bezeichnet, deren vollständiges Differential F ■ (dy — y' dx) ist. Ist 3. ein vollständiges Differential, so sind die Bedingungen erfüllt 8F cF dy' , dF , 8F dy' dy' dx dy' dx ^ dy ^ dy ' dy dy Die Differentialquotienten dy' dy' dx ’ dy sind aus 1. z.u berechnen. Nun ist für jede Verschiebung des Punktes x, y entlang einer Integralcurve 8 4 8 Integralrechnung. SF (dy' sy ^ J8y 8_y 8 y 8y y ) dF dx ' 8F 8F , 8 X + jy y Daher folgt aus 4. 1 dF 8y' 8y) c -/■ .yrfy +_j>y • d(yy') fax -t- d(yy') yy'(x-hyy') = - /(*+>y) •+■ 2 yy ar +X>' 2 (i +y 2 )] (x-hyy') Setzt man zur Abkürzung so folgt hieraus Da nun so folgt aus 1. y y 1 -t-y 2 = a, C u C = — l(x -hyy) -+- / — rr~ ' J yy ( x yy'(x -hyy') = a 2 + ar/a J7') ' a ( xy' — y) 7 TT?*’ yy'(x-i-yy 1 ) = a 2 + a/(a). Daher hat man schliesslich du C = — l(x - 1 -yy') + /- a -+- /(a)' Das allgemeine Integral der gegebenen Differentialgleichung ergiebt sich durch Elimination von y' aus 1. und 5. 34. Die Curve zu bestimmen, bei welcher das vom Nullpunkte auf die Normale gefällte Loth eine gegebene Function des Radius vector ist. Die Differentialgleichung des Problems ist yy' 1 . 9 =/(* 2 - hy *) — - Hieraus folgt ct p 1/1 -t-y : y - 0 . , = 2 yf — ,-, cy ■ yj y 1 +y 2 89 _ xy ' —y cy' ~ n + (i +y 2 ) Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 54 Integralrechnung. 850 Aus 1 . ergiebt sich ferner durch Differentiation d(x 4 -yy’) 1 2(x + yy')f = Daher ist dx l/l +/ 2 0 + >y) • — yy' (1 4- y»)* w = £*<■*+** yyy Da nun yyy (i +y 2 r y (14- y 2 ) 1 y 4- 47 ') (n-y») # (i4-y 2 y o-i-y*)* dx so folgt y’x-t-y / 2 d — -- • -- l(x 4- yy ), ( 1 + y 2 )l dx gcp y —y’x d - 5 - = - 3 ■ y-Hx 4- yy ), dy (1 dx dy)> y-'=+ U. S. W., so dass also y’, y”, y ,n bekannte Functionen von x und y sind. Diese Werthe ') Weitere Beispiele findet man in dem citirten MALMSTEN’sclien Aufsatze. § 24- Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 85 r kann man dazu verwenden, y in eine TAVLOR’sche oder MACLAURiN’sche Reihe zu entwickeln. Wird einem Anfangswerthe x 0 eine beliebige Ordinate^ zugeordnet, so ist o . . x Xn (x Xq')^ 2 - y = y 0 + yo) — 3— 5 + h(*o> v 0 ) 1 W 2 + • ■ • Setzt man insbesondere x 0 = 0 und schreibt b für j y 0 , so erhält man 3. y = b -4- 9 (0, b) ■ y -+- i{x 0 ,y 0 ) endlich sind. Aus der Differentialgleichung r .. y) d\—~~ 1 + 5 ' Wenn nun f für x = 1 nicht unendlich gross ist, so kann man unter Umständen y in eine Reihe nach steigenden Potenzen von I, d. i. in eine TAYLOR'sche Reihe nach steigenden Potenzen von x — 1 entwickeln. 36. Es kann der Fall eintreten, dass man nicht das allgemeine Integral, sondern nur ein particuläres erhält, wenn man nach der MACLAURiN’schen Reihe entwickelt. So führt z. B. die Differentialgleichung , _ 2x -hy y ~~ x(l + r+;) bei der Annahme y = A 0 +- A l x +- A 2 x 2 + . auf die Gleichung {A j +- 2 A 2 x +- 3 A$x^ +- . .) \(Aq -+- 1 ) x +- (+f ^ +- -+ A^x^ +- A§ x^ +- . .] = — A a — {A x -+-2)x — A^x* — A 3 x 3 — A i x i — . . . . Hieraus folgen die Werthe = 0, A± — 1, A% = A s = A 4 = . . . = 0, also ergiebt sich das Integral y — — x , _ das nicht das allgemeine sein kann, da es keine willkürliche Constante enthält. Die Herstellung des allgemeinen Integrals hat keine Schwierigkeit, da man sich leicht überzeugt, dass die Differentialgleichung einen integrirenden Faktor hat, der eine Function von x +- y ist. 37. Die RiccATi’sche Differentialgleichung (No. 13). 1 . y' +- by ‘ 2 = cx”' wird, indem man by durch y ersetzt, in die Gleichung verwandelt 2. y' +- y 1 = ~(x m , -[ — cb . 852 Integralrechnung. Das allgemeine Integral dieser Gleichung lässt sich als Quotient zweier Potenzreihen hersteilen. Macht man nämlich die Annahme y — t| i(x): 0 , so sind die gegebenen Curven parabolisch und die Orthogonal- curven Ellipsen; ist m = 1 , so sind die gegebenen Curven Strahlen eines Büschels, dass den Nullpunkt zum Träger hat, und die Orthogonalcurven sind concentrische Kreise; ist m < 0 , so sind die gegebenen Curven hyperbolisch und haben die Achsen zu Asymptoten, die Orthogonalcurven sind Hyperbeln; für m = — 1 insbesondere bilden die gegebenen Curven sowohl, wie die Orthogonalcurven Büschel von gleichseitigen coaxialen Hyperbeln, die Achsen des einen Büschels sind die gemeinsamen Asymptoten des anderen. 40 . Um die Orthogonalcurven der Kreise eines Büschels zu erhalten, legen wir die X -Achse durch die Centren, die Y -Achse in die Chordale des Büschels; die Gleichungen aller Büschelkreise sind dann von der Form cp s= (x — d ) 2 -t - y 2 4- b -+■ 2 -(x = 0 wobei 7 von Kreis zu Kreis sich ändert. Für eine Orthogonalcurve hat man daher zunächst dtp dtp y * cy ' dx x — a -t- 7' Aus beiden Gleichungen folgt durch Elimination von 7 2 xy dx -+• (j v 2 — x 2 -+- b) dy = 0 . folglich hat die Differentialgleichung einen integrirenden Faktor, der eine Function von y allein ist; er ergiebt sich aus der Gleichung dF\ F = — 2 dy : y zu F = y~ 2 . Ferner bildet man x 2 y X + Ydy b und erhält hieraus das allgemeine Integral der Differentialgleichung, wenn die willkürliche Constante mit 2r bezeichnet wird, x 2 -+- y y x 2 -hy 2 — b — 2 cy = 0 . oder Dies bestätigt den in der analytischen Planimetrie entwickelten Satz, dass die Orthogonalcurven eines Kreisbüschels die Kreise eines Büschels sind, deren Centren auf der Chordale des gegebenen Büschels liegen und deren Chordale mit der Centralen desselben zusammenfällt. 41 . Die Ellipsen x 2 y 2 U yy ■+■ — 1 = °> für welche, wenn h eine Constante bezeichnet, 2 . a 2 — b 2 = h 2 , 854 Integralrechnung. sind confocal; um die Differentialgleichung ihrer Orthogonalcurven zu erhalten, hat man a und b aus 1. und 2. und aus der Gleichung zu eliminiren; man erhält y ~ b 2 '' a 2 3. xyy (jc 2 -y i h 2 )y' — xy = 0 . Durch Einführung neuer Variabein kann diese Gleichung wesentlich vereinfacht werden; setzt man nämlich x 2 = s, y 2 = t, so erhält man st 12 + (r — t — h 2 ) t' — t = 0 , oder 4. st' — / = h 2 t' -+- 1 ' Wird diese Gleichung differenzirt und dt' : ds = t' • dt' : dt gesetzt, so folgt h 2 t' dt^ dt , dt' .- - dt (t' l ) 2 Diese Gleichung zerfällt in die drei 5. t' = 0, dt' = Die erste liefert in 4. substituirt das particuläre Integral / = 0. Aus der zweiten und aus 4. eliminirt man t' und erhält 6 . (h ± x) 2 -+- y 2 = 0 . und diese Gleichung ist nur durch die beiden Brennpunkte x — ± h, y = 0, der Schaar confocaler Ellipsen zu befriedigen. Die dritte der Gleichungen 5. führt zu /' = c. Wird dies in 4. substituirt, so erhält man 9 o h ' i( ex 2 — V‘ — - -, t 1 -ff c das allgemeine Integral von 3.; hieraus folgt, dass die Orthogonalcurven confo- cale Hyperbeln sind, was auch in der Differentialrechnung nachgewiesen worden ist. Zu bemerken ist noch, dass die Gleichung 6. der Differentialgleichung 3. genügt und daher das singuläre Integral derselben ist. § 25. Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen. 1. Eine Function

y>y"< ■ ■ ■ (n) = o, 2. 9 a (x,y,/,/',y"'; c t ... c„) = o, ?n(x, y, • • .y«); C i . . . c„) = 0. Eliminiren wir die « Grössen c l . . . c n aus den « + 1 Gleichungen 1. und 2., so entsteht eine Resultante von der Form 3. F{x,y,y',y",y'", . . ./*>) = 0. also eine Differentialgleichung «ter Ordnung, — vorausgesetzt dass sich die Con- stanten nicht bereits aus 1. und aus den ersten /^Gleichungen von 2. eliminiren lassen, in welchem Falle die resultirende Differentialgleichung nur von der Zten Ordnung sein würde. Wir schliessen daher: Wenn eine Gleichung zwischen § 25. Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen. 855 den Variabein x und y «Constante enthält, so genügen die mit ihr vereinbaren Werthsysteme von x, y, y' , y", y"' ... im Allgemeinen einer Differentialgleichung n ter Ordnung, welche diese Constanten nicht enthält. Denkt man sich die Differentialgleichung 3. gegeben, so wird derselben durch die Gleichung 1. genügt unabhängig von den Werthen, die man den Constanten beilegen mag; wenn es sich also darum handelt, die Differentialgleichung zu integriren, d. i. aus ihr eine von Differentialquotienten freie Beziehung zwischen den Variabein abzuleiten, so haben die c den Charakter von willkürlichen Constanten. Beispiele. A. Die Gleichung y --= ae x -+- be~ x liefert durch zweimalige Differentiation y" = ae x -+- be~*\ hieraus folgt die Differentialgleichung zweiter Ordnung y" = y ■ Aus der allgemeineren Gleichung y = ae mx -+- be nx , folgen y' = mae mx -t- tibe nx , und y" = m 2 ae"‘ x -t- n 2 be nx . Die erste und zweite Gleichung ergeben y' — ny — (rn — «) ae mx , aus der zweiten und dritten folgt y" — ny' = mini — n) ae mx , daher ergiebt sich die von den Constanten a und b freie Differentialgleichung y" — (« -t- m)y’ -+- mny = 0 . 2. Unter dem allgemeinen Integrale einer Differentialgleichung «ter Ordnung 1. fi x ,y,y' ■ ■ y w ) = o versteht man eine Gleichung 9 {x, y) — 0 von der Beschaffenheit, dass jedes Werthsystem x,y, y', . . _yW, das der Differentialgleichung genügt, auch die Gleichung 9 (x, y) — 0, sowie die durch n aufeinanderfolgende Differentiationen daraus folgenden Gleichungen erfüllt ( x ,y,y') = 0, „ (*,y,y',y") = o,

= 0» 93 = 0, . . . 9(«-i) = 0 so beschaffen sein, dass sie durch jedes willkürliche für die Grössen x, y, y' , y", . . . y( ,i ~ B substituirte Werthsystem erfüllt werden können. Hieraus folgt, dass die Function 9 n unbestimmte Constante c x , c 2 ■ ■ c„ enthalten muss, und zwar in solchen Verbindungen, dass durch geeignete Wahl dieser Constanten den angegebenen Bedingungen genügt werden kann. Wir erhalten hieraus: Das allgemeine Integral einer Differentialgleichung «ter Ordnung enthält n willkürliche Constante. 856 Integralrechnung. Wenn eine Gleichung cp = 0 so beschaffen ist, dass alle Werthe von x, y, y' ■ ■ . y(">, die den Gleichungen ? = 0- ?t = 0,

-- • ?« = 0 genügen, auch die Differentialgleichung erfüllen, cp aber nicht n willkürliche Con- stante enthält, so wird cp = 0 als ein particuläres Integral bezeichnet, wenn es aus dem allgemeinen Integrale durch Specialisirung einiger Constanten hervorgeht; in jedem andern Falle wird es als singuläres Integral bezeichnet. 3. Eine Gleichung <\i(x, y, y', y", . . . y0‘— l)) = 0 wird als ein allgemeines erstes Integral einer Differentialgleichung «ter Ordnung bezeichnet, wenn jedes Werthsystem x, y, y' . . . y»), welches der Differentialgleichung genügt, auch die Gleichung 4 = 0 und die durch einmalige Differentiation daraus hervorgehende 4i = 0 erfüllt. Aus dem Umstande, dass in der Differentialgleichung die Grössen x, y, y’ . . .y»—l) beliebig gewählt werden können, folgt, dass die Function 4 eine willkürliche Constante enthalten muss. Flin allgemines erstes Integral einer Differentialgleichung «ter Ordnung enthält eine willkürliche Constante. Ausser den durch Specialisirung der Constanten aus einem allgemeinen ersten Integrale hervorgehenden kann es noch weitere erste Integrale 4* = 0 geben, so dass alle 4 = 0 und 4 , = 0 befriedigenden Werthe von x, y, . . ,y'"'i auch die Differentialgleichung erfüllen; diese werden als singuläre erste Integrale bezeichnet. Ein allgemeines erstes Integral einer Differentialgleichung «ter Ordnung ist eine Differentialgleichung (n — ])ter Ordnung. Ein allgemeines erstes Integral dieser Gleichung wird als ein allgemeines zweites Integral der gegebenen Differentialgleichung bezeichnet u. s. f.; ein allgemeines zweites Integral enthält somit zwei, ein drittes drei Constante, u. s. w. Das allgemeine n te Integral enthält n Constante und keinen Differentialquotienten; es fällt mit dem bereits definirten allgemeinen Integrale zusammen. Beispiele. A. Die Differentialgleichung y" — (m -+- ri)y' tun = 0 hat das allgemeine erste Integral 4 = y — ny — (m — ti)ae mx = 0 ; denn durch Differentiation ergiebt sich und durch Elimination von a aus 4 = 0 und 41 = 0 folgt die Differentialgleichung. Dieselbe hat noch ein allgemeines erstes Integral, das sich aus No. 1, 3 und 4 durch Elimination von a ergiebt, nämlich y — my — (’n — m) b e nx — 0 . Eliminirt man b aus dieser Gleichung und aus der durch Differentiation aus ihr hervorgehenden y" — my' — (n — m)nbe nx = 0, so erhält man ebenfalls die gegebene Differentialgleichung. B. Die Differentialgleichung erster Ordnung y — x y' = 7 y*, 3. in welcher 7 als willkürliche Constante gilt, ist ein allgemeines erstes Integral der Differentialgleichung zweiter Ordnung, die man durch Elimination von 7 aus 3. und aus der durch Differentiation abgeleiteten Gleichung erhält 4. also der Gleichung 5. 2 x 3 y" — xy' -+- y — 0 . § 25. Differentialgk ichungen höherer Ordnung mit r.wei Veränderlichen. 857 Zu 3. gehört das allgemeine Integral (§ 24, No. 8) fi. y — cx -+- 2 y y/x] diese Gleichung giebt nach x differenzirt 7. / = C ■+■ j- r. yx Eliminirt man y aus (>. und 7., so folgt 8. 2 xy' — y = cx , und diese Gleichung ist das andere allgemeine erste Integral von 5. 4. Eliminirt man aus dem allgemeinen Integrale y(x,y, c t , c 2 ..£*) = 0 einer Differentialgleichung «ter Ordnung und aus der durch einmalige Differentiation abgeleiteten Gleichung cp, = 0 eine Constante. so erhält man eine Differentialgleichung I. O. mit (n — 1) Constanten; wie man sofort sieht, ist dieselbe ein allgemeines (//— l)tes Integral der gegebenen Gleichung. Da man nun jede der n Constanten eliminiren kann, so ist ersichtlich, dass man n allgemeine ( n — l)te Integrale erhält. Differenzirt man ein solches ( n — l)tes Integral und eliminirt man aus dem Resultate und aus der ursprünglichen Gleichung eine weitere Constante, so erhält man ein allgemeines (« — 2)tes Integral u. s. w. Eliminirt man zwei Constante aus d

d £ cy ■ d JL cy ■ + w y " . yW). So fortfahrend findet man + + d «+2 y dx «+2 = f» (■*' • • ^ ’ d't+Zy dx "+‘ ! cf CyUi — l) cf gy«-i) ■y“ ■f(x,y,y' . ./“>) . = f 3 ( x , ■ ■ -y (n) ), Nehmen wir nun die zu einem beliebigen Ausgangswerthe x 0 gehörigen Werthe der abhängigen Variabein und ihrer Differentialquotienten bis zum («— l)ten willkürlich an, so sind j’ 0 ("+ 2 ) ■ ■ ■ ■ durch die Gleichungen 2. und 3. bestimmt. Werden die willkürlich angenommenen Werthe der Reihe nach mit o, ß, 7, . . . r bezeichnet, so ergiebt sich schliesslich die gesuchte Entwicklung 4. y = a -+- ß(# — <*) + , /(«. ß. • 0 I-(* — *)■ 1 .2 (* “ “) 2 + • • + 1 • 2 • 3 .. 0 - 1) a) “ 1 fl (“. ß> • •), AO, ß> • •) (« 2)1 (« -t- 1)1 ■ (a; — a)' ,+1 ( a : — a )“+ 2 6. Wir wenden uns nun zu den Regeln für die Bestimmung des allgemeinen Integrals einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in den einfachsten Fällen. A. Ist y" eine Function von x allein, also 1. _ y" =/(*), so hat man sofort ein allgemeines erstes Integral 2. y = ff(x) dx -+- C und hieraus das allgemeine Integral 3. y — J dx Jf(x)dx -+- Cx -+- C l . Das andere allgemeine erste Integral folgt durch Elimination von C aus 2. lind 3. zu r xy' —y = x Jf( x )d x — Jd x Jf( x )d x — • § 25- Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen. 859 B. Isty 1 eine Function von y allein, also 4. f = /«■ , dy' y äy so setze man y dadurch entsteht aus 4. y'dy' = f(y) dy , und hieraus folgt ein allgemeines erstes Integral • 5. y' 2 = 2 jf(y)dy -+- C, oder y' = V 2 f/(j)dy + C. Hier lassen sich wieder die Variabein sondern und man erhält dv C,. 6 . IV : 2 7. 2ff(y)dy + C C. Ist eine Function von y' allein, so hat man f =f(y’)- Hieraus ergiebt sich _ f(f) c, und es erübrigt nun noch die Integration dieser Differentialgleichung erster Ordnung. Man kann indess dieselbe umgehen, da man das andere allgemeine erste Integral bestimmen kann. Setzt man in 7. y" — y'dy' : dy, so erhält man y'dy' = f{y") dy ; hieraus ergiebt sich 0. + Das allgemeine Integral von 7. erhält man nun durch Elimination von y' aus 8. und 9. D. Enthält die Differentialgleichung nur y",y' und x, also y nicht explicite, ist sie also von der Form 10 . f(y",/, x ) = 0 , so bemerke man, dass_y" = dy’ : dx\ man erkennt nun, dass 9. eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen y' und x ist. Die Integration derselben führt auf eine Gleichung von der Form 11. y = °- Ersetzt man hier y" durch y'dy' : dy, so ergiebt sich s{y'%'y''y) = °- also eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen y 1 und y. Das allgemeine Integral derselben 13. 9 (y',y, C) = 0 ist eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen y und x; das allgemeine Integral von 13. ist auch das allgemeine Integral von 12. 7. Geometrische Anwendungen. Die Aufgabe, eine Curve durch ihre Krümmungshalbmesser zu definiren, führt auf eine Differentialgleichung II. O., 86o Integralrechnung. sobald der Krümmungshalbmesser als Function der Coordinaten, oder ausserdem als Function der Tangente, Normale, Subtangente oder Subnormale gegeben ist. A. Eine Curve so zu bestimmen, dass der Krümmungshalbmesser in jedem Punkte proportional dem Cubus der Normale ist. Aus den bekannten Formeln für den Krümmungshalbmesser p und die Normale v = Y 0 - + 'ä'lä = y i/i -k folgt, wenn a ein constanter, gegebener F'aktor ist, die Differentialgleichung des Problems Y( i +y y ) 3 oder einfacher r — a' 2 y % ]/(l H- _/ 2 ) 3 , daher ist a 2 y 6 y' d y' = y 3 — Hieraus ergiebt sich 1 a 2 y 2 c, y ydy yy cy 2 d. i. aC ya 2 Cy 2 — 1 y a < 2 cy 2 _ T ay cy C\ • i o, Schreibt man diese Gleichung in der Form — a^C^ix — C ,) 2 + « 2 Cj 2 so erkennt man, dass die Aenderung von C\ nur auf eine Verschiebung der K-Achse hinauskommt; von dem Vorzeichen von C hängt es ab, ob die Curve eine Ellipse oder eine Hyperbel ist. B. Die Curve zu bestimmen, für welche der Krümmungshalbmesser proportional der Tangente ist. Die Differentialgleichung des Problems ist * (1 -+-/»)/ oder y = ay Wir setzen hierin y" = / dy' : dy und erhalten dy' dy 1 +~y 2 = ay ’ daher ist ein erstes allgemeines Integral J arctangy' = lCy a . Hieraus ergiebt sich schliesslich dy _ f d y J tang\lCya M -t- Cj C. Der Krümmungshalbmesser sei proportional der Normalen. Ist n ein constanter F'aktor, so hat man jetzt (1 +/ 2 ) 1 oder einfacher y = yyr n{ 1 -+- y 2 ) = yy". § 25. Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen. 861 Hier setzen wir wieder y" — y' dy' : dy und erhalten y dy' dy 1 + y ,,'2 y daher ergiebt sich ein erstes allgemeines Integral Mi +y*) = «/(£), woraus folgt / = y y 2n _ (ß, C« x = c * [- J yy« - c-2 c, Für n — — 1 ergiebt sich ein Kreis, dessen Centrum auf der Abscissen- achse liegt; für n = 1 eine Kettenlinie; für n = — ^ eine Cycloide; für n = \ eine Parabel. D. Soll der Krümmungshalbmesser eine gegebene Function cp der Abscisse sein, so hat man (i + y 2 )^ = y’cpO). Hieraus folgt C dy' C dx J i/iT+y 2 ) 2 — ? i/(i h- -y 2 ) 3 J ?(*)' Die Integration links kann man ausführen und erhält y C dx ~J l—ly X K -i % + X„y = X, Xiy -j- o X n y = 0 , 2 dx”—* 1 wobei ^T 1( X 2 . . . X n , X Functionen von x allein sind. Die Gleichung 9 eTy dx“ 1 ff*" -1 ^ ^ 2 ff*" -2 die aus 1. hervorgeht, wenn man X = 0 setzt, wird als reducirte lineare Differentialgleichung bezeichnet. Wir betrachten diese zunächst. Für dieselben gilt folgender Satz: Wenn eine reducirte lineare Differentialgleichung die particulären Integrale hat y = y\, y=yn> y=y 3 >--y=y*’ so wird ihr auch durch die Function genügt 3. y = c i y 1 -h c 3 y 2 -t- c 3 y 3 4- . . . ■+■ c k y k , wobei c x , c 3 . . . Ck willkürliche Constante sind. Denn setzt man 3. in 1. ein, und fasst die Glieder zusammen, die mit demselben c multiplicirt sind, so erhält man ‘) Weitere Beispiele findet man u. A. in Schloemilch, Compendium, i. Bd., Cap. XVIII. 862 Integralrechnung. c \ W 3 "+" X^ t y t ( -" ^ -+- • • ■ + X„ 4- X„i )'j) ■+• ■+- x\y2^ n ~^ + • • • + x„-\y , 2 -+- x n y 2 ) -+- Ck{y^ n) T- X^y^-V 4- ... + AT,,-i y'k + x n y k ) = 0. Da nun y t , . . . y k der Gleichung 1. genügen, so verschwinden links alle Klammerausdrücke, also ist die Gleichung identisch erfüllt. Kennt man n par- ticuläre Integrale und sind nicht zwei oder mehr durch eine Identität von der Form verbunden y i = a y 2 + -t- ^4 + • • • so ist y = c 1 y 1 4- c 2 y 2 4- c 3 y a 4- ... 4- c„y„ das allgemeine Integral der linearen Differentialgleichung. Denn der gegebene Werth von y befriedigt die Gleichung und enthält n willkürliche Con- stante. Tritt hingegen der ausgeschlossene Fall ein, ist z. B. y x s= ay, 2 4- by ;l , so hat man y = (a 4- g )->’2 "+" (P + c 2 )_>' 3 4- c 4 y 4 4- . ■ + c„y„, und diese Function enthält nur (n — 1) willkürliche Constante, nämlich (a 4 - < 4 ), (b 4 - r 2 ), c it c r , . . . c n . 9. In die lineare Differentialgleichung mit constantenCoefficienten y*) 4 - a 1 y(’ t ~' 1 ) 4 - a 2 y(’’— 2 ) 4 - . . 4 - a„y = 0 substituiren wir versuchsweise y = e tx , und erhalten (X* 4 - a x X *—1 4 - « 2 K ’‘~ 2 + • • • + an)e yx = 0. Diese Gleichung wird identisch erfüllt, sobald man für X eine Wurzel der Gleichung nimmt X" 4- X«-l 4 - ß 2 X"~ 2 4 - . . • 4 - a„ = 0 . Hat diese Gleichung n verschiedene Wurzeln X,, X 2 . . . X„, so erhält man n verschiedene particuläre Integrale y = * ix , y = • • -y = daher ist das allgemeine Integral y = z 1 / I - r 4 - c 2 h x 4 - ... 4- c„e Xn *. Sind unter den Wurzeln X conjugirt complexe, so ersetzt man die Exponential- functionen durch goniometrische. Die Methode versagt, wenn die Gleichung für X zwei oder mehrere gleiche Wurzeln hat; wir werden später sehen, wie man in diesem Falle das allgemeine Integral findet. 10. Der Gleichung y«) + a -^y { ’‘~ x) + + ." + ~y = 0 lässt sich durch die Annahme genügen y = xi *; man erhält durch Substitution dieses Werthes [p(p — 1) . . (p — H 4- 1) 4- 04 p(p — 1) • . (f*. — fl 4" 2) 4- . • 4- ö„-i|x 4- = 0, hat also für p eine Wurzel der Gleichung zu nehmen p(p — 1) . . (p — n 4- 1) 4 - a x p(p — 1) . . (p— n 4- 2) 4- ■ • T- «,,4P 4- a H = 0. Hat diese Gleichung n verschiedene Wurzeln p t , . . . p„, so erhält man n particuläre Integrale und aus diesen das allgemeine y = c t x im 4 - c 2 x 1*2 4 - ^ 3^3 4 - ... 4- C„XV->‘ . 11. Kennt man ein particuläres Integral einer reducirten linearen Differentialgleichung «ter Ordnung, so wird das allgemeine Integral aus einer Differentialgleichung ( n — l)ter Ordnung gefunden. Ist y = r ( das gegebene particuläre Integral, so ist auch y = cr t ein Integral, wenn c constant ist; es liegt nun nahe, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen § 25- Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen. 863 man der Gleichung durch einen variabeln Werth von c genügen kann. Ersetzen wir c durch z, setzen also y = zr\, so haben wir die höheren Differentialquotienten des Produkts zi) nach den bekannten Regeln der Differentialrechnung zu bilden und diese entwickelten Werthe in die Differerentialgleichung einzusetzen. Wir erhalten dann eine Differentialgleichung, welche keinen höheren Differentialquotienten von z enthält als z('d. Die Glieder, welche z enthalten, sind (r|W 4- X 1 rf n ~ 0 -t- X^rf 1 ‘~ 2 ) . . 4 - X n —\rl 4 - X n r^ z ) da nun rj ein particuläres Integral ist, so verschwindet der Klammerinhalt, und die Differentialgleichung für z ist somit von der Form zM -p /’*(«-!) 4- Q z(«—2) 4 - ... 4- Tz" 4- Uz' = 0 . Setzt man hier dz dx v, also z =/ vdx , so erhält man für v die Gleichung zX"-i) 4 - Pv C«— 2 ) 4 - (?»(«—3) 4 - . . 4 - TV 4 - Uv = 0, also in der That eine Differentialgleichung (« — l)ter Ordnung. Hat man das allgemeine Integral dieser Gleichung, so wird zu den (n — l) willkürlichen Constanten desselben durch die Integration z = fvdx noch eine hinzugefügt, und es ist daher y = das allgemeine Integral der gegebenen Gleichung. 12. Dieser Satz führt zunächst dazu, eine reducirte lineare Differentialgleichung II. O. von derForm No. 9 oder No. 10 allgemein zu integriren, wenn die Gleichungen für X und p gleiche Wurzeln haben. Bei der Gleichung 1. y" — 2 ay' 4- (fiy = 0 ergiebt die Substitution y — e Lx für X die Gleichung X 2 — 2 al 4- A s — 0, ^ = r k * 1 ■ 2 ... (2» 2•3•4•5 A n U (i k' 1 x‘ l 1 • 2 • 3 k 4 Jt 4 1 ) ° A n sinkx • 2 ■ 3 ■ 4 • 5 ) k x Dieses Integral ist particulär, da es nur eine willkürliche Constante enthält. Substituirt man in 1. sinkx y = 2 • ■—-» so erhält man für z die Gleichung sinkx ,, kcoskx z" 4- 2 - je 2’ = 0, Diese Differentialgleichung ergiebt C, Cj cotkx C, — sirflkx' k ^ 2 ' Ersetzt man hier C, durch — kC\, so erhält man für das allgemeine Integral von 1. C, zw kx -t- C^, sin kx y = -A - 1 -. y x 15. Ersetzen wir in der Gleichung 2, y" — (et-2 y durch die Reihe A 0 -+- A^x Integral A 2 ec 2 3)7 = 0 I- . . . , so erhalten wir das allgemeine y A 0 I 1 -E •( •(' 3 1 11 r 24 X 4- — x-' 23 240 " 1 ") -)■ 2-4 2•4•6' ln der zweiten eingeklammerten Reihe ist das Bildungsgesetz der Coefficienten zwar nicht allgemein nachgewiesen, nach den ersten vier Gliedern scheint es aber, als sei diese Reihe \ (x\ 1 {x\* 1 I 1 /aA 1 / 9 1 /jA 3 V 2 J~ l “ n W + nn \ 2 ) + • • cei x ' J . Um diese Vermuthung zu prüfen, setzen wir y = xA- ri in die gegebene Differentialgleichung; wir finden leicht, dass derselben genügt wird; mithin haben wir ein particuläres Integral gefunden. Zur Bestimmung des allgemeinen setzen wir xei xi • z" -t- 2 ^ z’ = 0 . Aus dieser Gleichung folgt sofort , C - " f x* 6 ’ z = H— C also ist das allgemeine Integral von 2. y = xei* 2 ^ ■+■ CI~e~ xJ dx^ .*) 16. Wir wenden uns nun zur Integration einer linearen Differentialgleichung, die nicht reducirt ist; die Integrationsmethode wollen wir zunächst an der Differentialgleichung II. O. zeigen. *) Schi.oemilch, Compendium, Bd. I, §114. Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Ud. IT. 55 866 Integralrechnung. Um das allgemeine Integral der Gleichung 1. y" + x x y + X 2 y = X zu finden, liegt es nahe, zunächst die reducirte Gleichung zu integriren 2. y" -t- X x y' 4- X 2 y = 0, und dann zu versuchen, ob man der Gleichung 1. vielleicht dadurch genügen kann, dass man in dem allgemeinen Integrale von 2. 3. y = c x y x -+- c 2 y 2 die willkürlichen Constanten durch passend gewählte Functionen von x ersetzt. Diese Methode, das Integral einer Gleichung aus dem Integral einer einfacheren herzustellen, wird als Variation der Constanten bezeichnet; wir haben von derselben bereits in § 24 No. 8 und § 25 No. 11 Gebrauch gemacht. Setzen wir nun in 1. 4. y = u x y x 4- u 2 y 2 , wobei also y t und_y ä bekannte Functionen sind, welche den Gleichungen genügen , J’i" + x \y\ "+■ X 2 y x = 0, _ y," + = o, so erhalten wir zunächst ,, u \(y\" "f- X x y x ' 4- X 2 y x ) 4- u 2 (y 2 " -+- X x y 2 4- X 2 y 2 ) -4- X x ( u x 'y x 4 - u 9 ’y 2 ) 4 - 2(u x 'y x ' 4- u 2 'y s ') 4- u x "y x 4- u 2 "y 2 = X. Die erste Zeile verschwindet nach der Voraussetzung. Machen wir nun für u x und u 2 die Annahme 7. u x 'y x 4- u 2 'y a = 0, so folgt zunächst durch Differentiation dieser Gleichung 8 . »!>/ + u-z'yi = — (»,'>! + « 2 "y 2 )- Durch 7. und 8. reducirt sich 6. auf ■+■ « 2 > 2 ' = x - Aus 7. und 0. folgen nun für u x und u 2 die Werthe „i_ x y 2 _ < _ Xy x u 2 . y * yi Daher ergiebt sich Xy 2 dx r, = / - 1 J y -yo's ■+- > y t yn —ysy i Xy x dx k C, .ZaJV — yiyi " ‘ ./ j'ijv — y^i Das allgemeine Integral der nicht reducirten linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung ist daher / Xy 2 dx r Xy x dx y^y i' — y^i + y \h io y — y C x y x 4- C 2 y 2 . y rA's —y s y 1 Hieraus ist der auch direkt leicht erweisliche Satz ersichtlich: Das allgemeine Integral einer nicht reducirten linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung wird erhalten, indem man zu einem particulären Integrale das allgemeine Integral der entsprechenden reducirten Gleichung fügt. Bei der Verwendung der Formel 10. wird man unter Umständen mit Vortheil berücksichtigen, dass Xy % -7 = X:y s ■U *)■ Xy x A’sA'i —J'iJ'2 «xyyi/ j'iA 2 Beispiele. A. Die reducirte Gleichung y" -+- 4- Wy = 0 hat bekanntlich die particulären Integrale J 2 J 1 § 25. Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen. 867 ■>’l = cos kx daher hat die Gleichung x J ’2 — sin kx das allgemeine Integral coskx , y' y" -+- -y -4- k?y == X sinkx (c, + i/jr cos kxdx^j . '( 1 /■ \ x IC, — -j- IX sin kxdxl , B. Für die Gleichung „ 4 , G ^ ~x* + ^ = 0 haben wir die particulären Integrale y 1 = , y 8 = ■*’; daher ergiebt sich für y" ~ ic y ’ + y* y ^ z das allgemeine Integral y = x s (C\ — fxXdx) 4- a' 3 (C 2 -t- fx^Xdx). 17. Um das allgemeine Integral der Gleichung 1. + X x y <«~D -t- . . . 4 - X„-\y' -+- X„y = X zu erhalten, setzen wir voraus, es sei y = G-Jb + ^^y 2 + Gs-Va + • • + OO'» das allgemeine Integral der reducirten Gleichung y s n) x,/«- 1 ) -4- ... 4 - X*_i/ 4- X„y = 0 , und suchen nun » 2 , zz 3 , . . . als Functionen von .* so zu bestimmen, dass 2. J = ^tJ^i ~F ^ 2^2 -F... + das allgemeine Integral von 1. wird. Wenn man den Werth 2. und die daraus folgenden Werthe y'", ..jM in 1. substituirt, so erhält man eine Gleichung für die n unbestimmten Functionen Hk', um dieselben zu bestimmen, kann man daher noch (tt — 1) Gleichungen beliebig annehmen. Wir wählen diese Gleichungen so, dass in den Werthen y\ y"i y"' ■ . jk“ - V keine Differentialquotienten der iik Vorkommen; alsdann enthält die Differentialgleichung nur die ersten Differentialquotienten dieser Functionen und die Bestimmung derselben wird dadurch thunlichst erleichtert. Aus y folgt zunächst y = u x y x ' 4- . . 4- u„y„' 4- u x y x 4- ... 4- u„’y„. Um Differentialquotienten der u in y' zu vermeiden, setzen wir y\ u l -+- y 2 U 2 -F • • + ynUn — 0 , und erhalten unter dieser Voraussetzung y = U x y x ' 4- u 3 y 2 ’ 4- . . 4- U„y„'. Ferner setzen wir y x u x 4 - y 2 u 2 —l— . . . —J— y,'u,i = 0, und erhalten dadurch /' = -F u 2 y 2 " -F • ■ • + u„y„". So weiter gehend, erhalten wir schliesslich ^(«-2)«,' - 1 -_y 2 U— 2 )?z 2 ' 4 - . . -+- y„( n ~ 2 ht H ' = 0, y(n-i) = u ,^>,(«- 1 ) 4 - u 2 y 2 ( a ~' l '> 4 - . . 4 - u u y n ( n ~ v >. Aus der letzten Gleichung ergiebt sich _)’(«) = u 1 y 1 00 •+- u 2 y 2 i - n '> 4 - . . . 4- u„y„( K ) -F y^-Vi*)' -F y 3 ( u -Vu 2 ' -h ■ . -F Dzz„'. Setzt man nun diese Werthe für y, y', y" ■ . _)’<”) in die Differentialgleichung 55 868 Integralrechnung. ein und berücksichtigt, dass y v y 2 , . . . y„ der reducirten Differentialgleichung genügen, so erhält man y x ( n -V>u x -4- y 2 ( n —Vu / + • • + yn^-^Un = X. Für die Unbekannten u 2 . . • «« haben wir somit die n Gleichungen y 1 »1' -F J'a -+- . ■ • -+- y n Mn = 0, d’i' «1' + J>' 2 ' “2' -+- ■ . . - 4 - y„' Un = 0, H- W -+- . . . + yn’Un = 0, ^(*- 2 )«/ -t- + • • • - 4 - yn^-^Un = 0, ji/*-!)«/ -p _y 2 C«-iJ» 2 ' ■ ■ + yj u ~ l) u«' = X. Diese Gleichungen sind linear für u x ', u 2 .. . löst man sie auf, so erhält man u x ' = 7,, « s ' = 7 2 , a 8 ' = 73 ■••«*' = 7«, wobei -/j, y 2 . . . y„ bekannte Functionen von x sind. Hieraus folgt u x — Jy A dx -h C lt u 2 = Jy 3 dx + Cj,... u n = j'fndx daher ist schliesslich das gesuchte allgemeine Integral y = y x fy A dx -+• . . -1- y„ fy«dx -+■ C 1 y 1 + C 2 y 2 -h . . -h C„y n . Man ersieht hieraus noch: Das allgemeine Integral einer nicht reducirten linearen Differentialgleichung wird aus einem particulären Integrale gefunden, indem man zu diesem das allgemeine Integral der entsprechenden reducirten Gleichung fügt. 18 . Ueberblickt man die soeben vollendete Rechnung, so erkennt man leicht, dass derselbe Gedankengang auch dann förderlich sein wird; wenn man nicht das allgemeine Integral der reducirten Gleichung kennt, sondern nur eine beschränkte Anzahl von particulären Integralen. Sind r particuläre Integrale y x . y 2 , y s . . . y r bekannt, zwischen denen keine linearen Indentitäten bestehen, so setzen wir das allgemeine Integral der nicht reducirten Gleichung y = u x y x -+■ u 2 y 2 H- . . . 4- u r y r . Wir bilden nun die entsprechenden Bedingungsgleichungen für die u x wie im vorigen Falle; da wir aber nur u r unbekannte Functionen haben, so dürfen wir ausser der Differentialgleichung nur (r — 1 ) Gleichungen ansetzen. Dieselben seien *1' + y 2 u 2 H- . . + y x u r ’ = 0, y x u x -t- y 2 u-2 ■+• • • + yr u r ' = 0, 1. y\' u \ -t- y’i'uj + • • ■+• y r " u r ' — 0, • . j y x (’—Vu x H- y 3 ( r -yu 2 ’ -+-... -+- y r (. r — 2 )u r ' =■= 0. Alsdann ergiebt sich y = »iJ’l 1 »2^2' + • • • -+- Uryr , y" = u x y x " -+- u 2 y 2 " -+- . . . -+- u r y r " , yO—1 ) = «jjVjF-b -+- u 2 y 2 ( - r ~' 1 ' > + u r y r ( r ~ 1), sowie ferner y(r) = »jjVjW -+- u 2 y 2 M + . . + u r y r W -f- \ r ^ ~f- u 2 y 2 ^ r ~^ -f- . . -t- ujyd' r b, y>r+y =- 2utyt -h 3 Eui-'yiXr+i) ■+. 3 luk’y^ -f- 1uk”y ^ r — 15 , y(>‘) = (n — r-y-1 \ (n — r+1\ ( 1 + y 2 J 2ui"y*(”- 2 ) . + ' 2 ,U)f- n ~ r+ 2 § 25- Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen. 869 Führen wir diese Werthe in die Differentialgleichung ein und beachten dabei, dass y x , y 2 , . . y r der reducirten Gleichung genügen, so erhalten wir eine Gleichung von der Form 3. 4- \QkUk' 4 - .... 4- ^ VkUk^ ,l ~ r ~^^ = X , worin die Pk, Qi,, . Vk bekannte Functionen von x sind. Aus den {r — 1) Bedingungsgleichungen 1. können wir die Verhältnisse der u x , u 2 . . u,' finden; drücken wir u 2 . . . uj durch u x aus, so erhalten wir 5. u 2 — Au x , = Bu x . ... tir — Nu x wo nun A, B, . . N bekannt sind. Diese Gleichungen differenziren wir (n — r) mal und setzen die Resultate in 4. ein. Dadurch entsteht eine Differentialgleichung, die nur u x enthält und von der Form ist azz("+ r — 1 ) -|- £)»(«+»•— 2 ) 4 - . . . 4 - vz/ — V, worin a, fi, . . . v bekannte Functionen von x sind. 1 Dies ist eine nichtreducirte lineare Differentialgleichung (;z — r) ter Ordnung für den Differentialquotienten u'. Wir erhalten somit: Wenn man z-particu- läre durch keine lineare Identität verbünde ne Integrale der Differentialgleichung kennt y(„) _|_ X 1 y(»-D 4 - . . . -H X„y = 0, so hat man zur Bestimmung des allgemeinen Integrals dieser Gleichung eine reducirte lineare Differentialgleichung (n — r) ter Ordnung aufzulösen und dann noch ein einfaches Integral zu berechnen; zur Bestimmung des allgemeinen Integrals der nicht reducirten Gleichung J’D) 4- V, y( H ~ 1 ) 4 - - . ff- X n y = X , hat man die Differentialgleichung (n — r)ter Ordnung zu integriren, die aus der des reducirten Problems hervorgeht, wenn man auf der rechten Seite X statt 0 setzt, und dann ebenfalls noch ein einfaches Integral auszuführen. 19. Die Methode, an Stelle einer gegebenen Differentialgleichung eine einfachere aufzulösen, und aus dem allgemeinen Integrale dieser Gleichung das der gegebenen dadurch abzuleiten, dass man an die Stelle einer oder mehrerer Con- stanten geeignet gewählte Functionen der Variabein setzt, lässt sich auch in andern Fällen, als in den schon bekannten, mit gutem Erfolge anwenden. Um zu dem allgemeinen Integrale der Gleichung 1. y" 4 - Xy 1 4- y/ 2 = 0 zu gelangen, in welcher X und Y Functionen von x bez. y allein sind, betrachten wir zunächst die einfachere Gleichung y Xy' = 0, zu der wir leicht ein erstes Integral finden — !-l)fX 0 dx e dx -+- C . Führt man den hieraus folgenden Werth von z in y' ein, so erhält man y als Function von x, und gewinnt y durch nochmalige Integration. 22. Das allgemeine Integral der Gleichung y" + Y 0 y '» + Y 1 y l " = 0, 1. § 26. Differentialgleichungen zwischen mehr als zwei Variabein. Bestimmte Systeme. 87 worin Y g und F, Functionen von y allein sind, wird aus einem allgemeinen ersten Integrale der Gleichung gefunden y" + y 0 y> = 0 . Ersetzt man y" durch y'dy ': dy, so erhält man hieraus und hieraus dy' -fiVd' / = Ce Wir suchen nun der gegebenen Gleichung durch 2. y = ze zu genügen, worin z eine Function von y allein bedeute. Bildet man unter dieser Voraussetzung y .dy' (dz \ = y T y = zev \ ev r y - Y » z n> wobei zur Abkürzung v = — j Y 0 dy gesetzt worden ist, so erhält man aus 1. , dz ze Zv _ _)_ Y K z“e nv — 0. Hieraus folgt dz z’i- dy x -+ Y x eC-'Dv dy = 0, worin die Variabein gesondert sind. Hat man hieraus z als Function von y erhalten, so giebt 2. durch eine Integration x als Function von y. Die beiden Constanten treten bei der Integration der Gleichungen 3. und 2. ein. 23. Mitunter gelingt es, durch Einführung von ein oder zwei neuen Variabein eine Differentialgleichung in eine einfachere überzuführen. Die Gleichung 1 . y" — cfix — b 2 y lässt sich als nicht reducirte lineare Gleichung integriren; noch rascher kommt man zum Ziele, wenn man setzt a-x — b 2 y = t, also — b 2 y" = t". Dadurch erhält man aus 1. /" = _ b^C, das allgemeine Integral hiervon ist t = C t cos b x + C 2 sin b Xj daher ist das allgemeine Integral von 1. a‘ J x — b 2 y = C x cosbx -+- C^sinbx*). * 4 , § 26. Differentialgleichungen zwischen mehr als zwei Variabein. Bestimmte Systeme. 1. Aus der Gleichung zwischen drei Variabein 1 . f(x,y,z) = c, worin c eine willkürliche Constante bezeichnet, folgt durch Differentiation df df df 2 . y- dx dy + dz = 0. Ox Oy OZ Diese Gleichung hat man sich durch eine der verschwindenden Grössen dx, Weitere Ausführungen siehe Lacroix. Traite du calcul differential et du calcul integral, Paris 1800, 2. vol. Auf die Theorie der singulären Integrale von Gleichungen höherer Ordnung einzugehen, müssen wir uns versagen; man vergl. Lacroix, Traite, 2. vol. No. 667. Boole, A Treatise on differential equations, 4. ed. 1. vol. Ch. X. 872 Integralrechnung. dy, dz dividirt zu denken, so dass an die Stelle verschwindender Faktoren Quotienten treten, die einen bestimmten Grenzwerth haben. Ist umgekehrt eine Gleichung gegeben Pdx -+- Qdy -(- Rdz = 0, worin P, Q, R Functionen von x, y, z bezeichnen, so tragt es sich, ob dieselbe ein Integral von der Form f(x, y,z) = c hat, und wie dieselbe gefunden werden kann. 2. Sollen alle Werthsysteme von x, y, z, welche die Differentialgleichung erfüllen d f dy -f- >— d z = 0 ' oz 3. vP = dP cQ\ _ cv dy dx ) *+- -p £ cy ~ Q 0^ = dQ dR\ cv cv J7 dy) (2 ä— ^ dz ~ R dy — ’cR cP\ ,> cv Cv dx ~u) -\- p ö cx 1 ^•>i i II 1- Pdx -+- Qdy + Rdz — 0 der Gleichung genügen 2 . f{x, y,z ) = c , so muss 1. mit der durch Differentiation aus 2. genommenen o/ , ^ °f dx -I- - 5 — cx dy übereinstimmen; es muss daher einen Faktor v geben, für welchen d f n °f „ cf cx Oy oz Berechnet man d 2 f:dxdy aus der ersten und zweiten Gleichung, e 2 f:dyez aus der zweiten und dritten, c 2 f : özox aus der dritten und ersten und setzt die erhaltenen Werthe einander gleich, so ergeben sich die Bedingungsgleichungen 0, Multiplicirt man die erste Gleichung mit R, die zweite mit P, die dritte mit Q und addirt, so erhält man nach geeigneter Umstellung folgende v nicht enthaltende Bedingung Soll also die Gleichung Pdx -t- Qdy + Rdz— 0 durch eine einzige Gleichung f(x,y,z) =c integrabel sein, so müssen die Functionen P, Q, R die Gleichung 4. identisch erfüllen. 3. Die Bedingung ist nicht nur nothwendig sondern auch ausreichend. Wir weisen dies nach, indem wir zugleich zeigen, wie das Integral der vorgelegten Differentialgleichung gefunden werden kann. Die Werthe von x und y, die der Gleichung No. 2, 1 bei constantem z genügen, erfüllen die Differentialgleichung 1. Pdx -+■ Qdy — 0 ; aus dem allgemeinen Integrale dieser Gleichung 2 . V{x,y) = c kann man das Integral der gegebenen Gleichung erhalten, indem man in 2. die Gonstante c durch eine passend gewählte F’unction von z ersetzt. Nehmen wir an, V = 7 ( 2 ) sei das Integral der Gleichung 3. Pdx -+- Qdy -t- Rdz = 0. Durch Differentiation folgt aus 4. § 26. Differentialgleichungen zwischen mehr als zwei Variabein. Bestimmte Systeme. 873 die Gleichung V - 9 (z) %-dx dx cV cy dy - &• - 0. Da nun V — c das allgemeine Integral von 1. ist, so giebt es einen Faktor v von der Beschaffenheit, dass cV n iV cx cy Multiplicirt man 3. mit v und berücksicht f>., so folgt dV . cV , dy 6 vP = dx + cx Der Vergleich von . v R dz = 0 . c y_ und 7. ergiebt 8. = Cz dz Da hier rechts eine Function von z allein steht, so muss dasselbe auch links der Fall sein. Durch die Gleichung V = cp (z) ist z als Function von V definirt; die Bedingung, dass dV'.cz — vR eine F’unction von z allein sei, ist daher erfüllt, wenn dieser Ausdruck in Anbetracht der Variabein x und y eine Function von V ist. Die ausreichende Bedingung hierzu ist bekanntlich cV d {SV dV o (cV \ !). • k— ( ö- vR ) — • o— ( —— — vR 1 = 0. cx dy \dz ) Cy cx \cz ) Von dieser Bedingung lässt sich leicht zeigen, dass sie mit No. 2, 4 identisch ist. Durch Ausführung der Differentiationen folgt zunächst aus 9. cV d 2 V dV c 2 V ( c V cR dF cR\ v \g.v ’ dy cy cx) 10 dx cycz R Cy dxgz (d V dv , dx Aus daher ist dV dy Cy vQ , dv_ dy Kv dy CZ’ \ dx) = dV « 5 — = VP CX 0. folgt c 2 V dQ CV ( 2 V cP - - — = - V -7- - + Q — --—^— = V p-h cycz CZ cz exez cz c V d 2 V c V c 2 V ( ÖQ dx eydz T dxCZ = V 2 V dz (cV dR cF cR\ ( P CR v ■ dy dy ' dx) = V 2 1 V cy c V CV cV Cv ( p CV —— _ _ - - = V 1 P-~- — CX cy Cy cx V °y Cl< Tz' cR j Q dx dv - Q I)a v integrirender Faktor der Gleichung 1. ist, so ist cv dv (c Q cP\ R cy ^ dx V cy ) Setzt man dies in 10. ein und unterdrückt den F'aktor v 2 , so erhält man in der That No. 2, 4. , Um nun cp (z) zu erhalten, hat man in 8. links die Variabein x und y durch V zu verdrängen und V durch cp zu ersetzen; man erhält dann eine Differentialgleichung erster Ordnung für cp. Durch das allgemeine Integral dieser Gleichung tritt in das allgemeine Integral der gegebenen Gleichung eine willkürliche Con- stante ein. Beispiel. a 2 xdx -+- b' 1 y dy — c]/ a 2 x 2 -+- b 2 y 2 — 1 dz = 0 . 874 Integralrechnung. Hier ist v — 2 , V = x 2 + ^ 2 _y 2 ; daher ist cV „ ._ — Z'W = 2cy« 2 x 2 -(- Z> 2 y 2 — 1 . Dies ist eine Function von V, folglich lässt die gegebene Differentialgleichung eine einzelne Integralgleichung zu. Man hat weiter g=-2W = 2c)/^T; Hieraus folgt " ~ + wenn c x eine willkürliche Constante ist. Dies ergiebt ? = (« — G) 2 -+- 1 • Das allgemeine Integral der gegebenen Gleichung ist sonach a 3 x 2 -+- ^ 2 jr 2 — (cz — Cj) 2 = 1 .*) 4. Wenn in der Gleichung *• Pdx -+- Q dy -+- Rdi = 0 die Functionen P, Q, R die Bedingung nicht erfüllen, wenn es also keine Flächenfamilie f(x,y, z, c) = 0 giebt derart, dass jede unendlich kleine Verschiebung eines Punktes längs irgend einer dieser Flächen der Differentialgleichung genügt, so lassen sich doch auf jeder beliebigen Fläche ’b — .g, > /V + C? " -t ” + ■ z, C^tb 0^7 = P 3-?; 4- Q -srjr. 4 - R f-k, oaot Oaot Oaot 4 - (Pi 4- P^9t 4 - P?$t -4 Ps/J) 9a 4 - (Qi 4 - Qx9t 4 - Qj dx : dy : dz : dt = : tyt : yt : 1 . Wenn man aus diesen Gleichungen x, y, z durch t, a, b, c ausdrückt und in die Differentialgleichung substituirt, so erhält man daher die Identität P 9‘ 4” Q tyt 4“ R // = — s. Diese Gleichung ergiebt § 26 . Differentialgleichungen zwischen mehr als zwei Variabein. Bestimmte Systeme. S 79 02 ? qÜI ^ da dt R 02 X P«?< — — R,r// 8a dt ' ^ da dt 1 da dt 7 - = — S„ - ) + (Py - Qz)\ ■ Berücksichtigt man 4., sowie die Werthe von Q, 'S, so erhält man Pt + UP’ - Qx) + -f,(Pz - Rx) = ^{(Py - Qx) + 9i(Pz- Px)l = ~ (' - Qx) + - X*) Ebenso folgt A r 1. Qt 4- ~fi(Qz — Py) 4- y 4 - ö P Pt 4- r fl(Px - Pz) 4- tyt(Py - Qz) - ’^z 4" g A . 9. © Mit Hülfe dieser Gleichungen ergiebt sich aus 8 . ■gy == — 4- (t, a, b, c), z == -/_(/, a, b, c ), als Functionen von a, y, z, t berechnen und in das Integral substituiren; man hätte dann die gegebene Differentialgleichung durch ein einziges Integral integrirt, entgegen der Voraussetzung, dass die Bedingungen No. 5, 4 bis 7 nicht erfüllt sind. Hat man 10. durch zwei Gleichungen integrirt, die eine willkürliche Function enthalten, und substituirt darin a, b, c als Functionen der Variabein, so erhält man die Integralgleichungen der gegebenen Differentialgleichung*). 10. Die in No. 7 entwickelte allgemeine Methode kann man in besonderen Fällen durch einfachere, den besonderen Umständen angepasste Wege ersetzen; es gelingt mitunter die Integration einer Differentialgleichung «ter Ordnung durch Integrationen von Gleichungen niederer Ordnung zu ersetzen. Die Differentialgleichungen dx j -: = ax -t- by 4- cz 4- d , 1 . dy ~ = a x x 4- b x y + c i 2 di , dz dt a 2 x b 2 y 4- c 2 z 4- d, 2 multipliciren wir der Reihe nach mit 1, m, n und addiren; wir erhalten dadurch 2. dx ■+■ mdy 4- ndz dt A x 4~ dd y 4- fl z 4- dd , worin A = a 4 - ws, 4- na 2 , B — b 4- »>b x 4 - nb % , C = c 4- mc x 4- , D — d 4- md x 4 - nd^ . W'ir bestimmen nun m und n so, dass A : B : C = 1 : m : n . Alsdann giebt es eine Zahl X, so dass 3. A = X, B = m \ , C — n'k. Der Verein dieser drei Gleichungen wird durch das Verschwinden der Determinante bedingt a j a b x — X c , c b ^ !=0. -I ‘■2 Sind Xj, X 2 , X 3 die Wurzeln dieser cubischen Gleichung, so erhält man aus 3. drei zusammengehörige Werthepaare m v n A ; m v » 2 ; n v Jedes dieser Paare führen wir in 2. ein und erhalten z. B. für m ,, n , dx 4 - w, dy 4- dz ( d 4- m x d x di = K\x . “ ' 1 y n l d 2 Hieraus folgt sofort die Integralgleichung / d 4- m , d. 4- n, d« /u4 m x y -+- n x z 4-j- ) = C, *) Raabe, Ueber die Integration der Differentialgleichungen von der Form dz = Hdx + Kdy 4 Ldf 4 - Mdq 4 - Ndr u. S. w. Creli.e’s Journal, Bd. 14, pag. 123, 1825. Die allgemeine Auflösung des Problems gab Pfaff in den Denkschriften der Berliner Akademie der Wissenschaften aus den Jahren 1814 und 1815. § 26. Differentialgleichungen zwischen mehr als zwei Variabein. Bestimmte Systeme. 88 Vertauscht man hier X-p C x mit m 2 , n 2 , X 2 , Co, bez. ' 3 > " 3 > ft 3 > Xa, Ca so erhält man die drei Integralgleichungen des Problems. Wenn zwei Wurzeln X gleich sind, so erhält man auf diesem Wege nicht alle Integralgleichungen; man kann sich in diesem Falle der allgemeinen Methode bedienen. 11. Das Problem, die Gleichungen zu integriren dx : dy : dz — {ax 4- by 4- cz -+- d) : («j x 4- b t y + c x z -+- d x ) : (a 2 x b 2 y 4- c 2 z 4- d 2 ), lässt sich auf das soeben behandelte zurückführen. Bezeichnet man die rechts stehenden Polynome der Reihe nach mit M, M t , M 2 und fügt eine neue Variable t hinzu, welche der Proportion genügt dx : dy : dz : dt = M\ M l : M 2 : 1, so hat man für x, y, z, t dieselben Gleichungen, wie in No. 10. Hat man diese integrirt, und eliminirt dann aus zwei Paaren der drei Integralgleichungen die Hülfsvariable t, so erhält man die beiden Integralgleichungen des Problems. Macht man in den Gleichungen df\ 2 . a^ 4" br^ 4- dx ZjE4-^it]4-Ci dx _ = _ dA_ 4 - d^x a 2 ^ b 2 r^ -\- d 9 - a.. n = d 3 x y x, dx £>’ B = a x x 4- b 1 y 4- c x z 4- d 1 , D — a 2 x 4- b-^y + 4- • t dz C — zD’ dz die Substitutionen f = <• - worin x, y, z neue Variable sind, so erhält man zunächst xdx 4- xdx xdy 4- y dx xdz 4- zdx _ = ^ = C ^ wobei A = ax 4- by 4- cz 4- d, C = a 2 x 4- b 2 y 4~ c 2 z 4- d 2 , Aus den vorigen Gleichungen erhält man xdx xdy A — xD B — y D ~ und hieraus durch Division mit t das System dx dy 3 ’ A — xD = B —yD = C — zD ' Die Integralgleichungen dieses Systems werden somit erhalten, indem man das System 2. integrirt und alsdann £, t), J durch xx, yx, zx ersetzt, und x zwischen zwei unabhängigen Paaren der drei Integralgleichungen von 2. eliminirt. Auf demselben Wege kommt man zum Ziele, wenn die Differentialgleichungen ebenso gebaut sind, wie in No. 6 und 7, aber mehr Variable enthalten. 12. Um die Gleichungen zu integriren*) dx „ _ -j t + Px 4- Qy = V, Tt 4- Px + Q'y = V, in denen P, P\ Q, Q', V, V nur die unabhängige Variable / enthalten, multipliciren wir die zweite mit einer noch unbestimmten Function z der unabhängigen Variabein und addiren dann beide Gleichungen; dies ergiebt dx dy dt ^ Z dt (P 4- zP')x 4 - (<2 + *Q')y = v 4 - 2 V. *) Sturm, Cours d’Analyse, No. 633; Lacroix, Traite, Bd. II. pag. 383. SchloemiI/CH, Handbuch der Mathematik. Bd. U. 56 I 882 Integralrechnung. Setzen wir nun r = x 4- zy, so ist dx dy dr dt 4- z-f: = dt dt dz y Tt’ und aus 1. wird dr dz 2 . 3. dt y dt Bestimmen wir nun z so, dass dz dt (P 4 - zP') {r — zy) -+- (Q 4 - zQ')y = V 4 - z V . 4- ( P-hzP’)z — Q — zQ’ = o. so geht die Gleichung 2. über in 4 . d Ly. {F y. zP)r V — z V — 0 . Die Gleichung 3. enthält nur z und t und ist erster Ordnung. Sind z x und z 2 zwei particuläre Integrale dieser Gleichung, so setze man jedes derselben in 4. ein; man erhält dann zwei lineare Differentialgleichungen I. O. für r, und gewinnt daraus zwei Integrale r = r 1 und r = r 2 , jede mit einer willkürlichen Constanten; hieraus ergeben sich schliesslich die Integralgleichungen des Problems x -+- z x y - r x «2 y Beispiel. x'-t-5x-hy — t, y' x -h 3y = t 2 . Die Gleichung für z ist z' -h 2z — z 2 — 1=0, und ergiebt das allgemeine Integral 1 + 1. c — t Für c — oo und c = 0 erhält man die particulären Integrale t — 1 *i = l, ; daher ergeben sich für die zugehörigen r t und r 2 r\ -h 4 r x = t -h P, 4 - 4t 1 ' 2 ‘ t Die Integrale dieser Gleichungen sind = P . r x = e— u \C x 4- f(t-hP)e il dt, 1 r r 2 = — f~ 4t (C 2 4- J P dt) . Beide Integrale lassen sich nach früher mitgetheilten Regeln (§ 5, No. 2) leicht ausführen. Die Endgleichungen des Problems sind x 4 - y = r x , tx 4~ (t — 1)y = tr 2 , aus welcher man noch, wenn erwünscht, jede der beiden abhängigen Variabein x und y durch t allein ausdrücken kann. 13. Simultane Systeme von Differentialgleichungen höherer Ordnung werden durch einen sehr einfachen Kunstgriff auf Systeme von Gleichungen erster Ordnung reducirt. Um die höheren Differentialquotienten z. B. der abhängigen Variabein x in Bezug auf die unabhängige t zu beseitigen, fügt man neue Variable x x , x 2 , x 3 .. durch die Gleichungen erster Ordnung hinzu § 26. Differentialgleichungen zwischen mehr als zwei Variabein. Bestimmte Systeme. 883 dx dx , _ d 2 x dx 2 d 3 x ~dt = ’ ~dt s Tfi = x *' ~dt ~ ~dfl = Xa ’ ' ' ' Statt der Differentialquotienten x", • • xt«) des ursprünglichen Systems hat man in dem neuen Systeme, das aus den durch die Substitutionen 1. modi- cirten gegebenen Gleichungen und den Gleichungen 1. besteht, die Variahein x u x 2 , . . x„-i und deren erste Differentialquotienten. In gleicher Weise beseitigt man die höheren Differentialquotienten der übrigen abhängigen Variabein. Hierauf integrirt man das neue System, und eliminirt dann die neu eingeführten Variabein. Hat man z. B. zwei Gleichungen zwischen den abhängigen Variabein x, y und der unabhängigen t, und sind die höchsten Differentialquotienten die in beiden Gleichungen Vorkommen d”‘X dt m und d n y TT’ so erhält man auf dem angegebenen Wege 2 -+- (in — 1) -|- (n — 1) = m + n Gleichungen erster Ordnung zwischen (m -+- n -+- 1) Variabein; hieraus erhält man (m ■+■ n) Integralgleichungen, mit zusammen (m -f- n) willkürlichen Constanten. Eliminirt man aus diesen Gleichungen die neu eingeführten Variabein, deren Anzahl (m -+- n — 2) ist, so ergeben sich zwei Gleichungen zwischen x, y, und t, die Lösungen des Problems. Wie immer, wird man auch hier in jedem gegebenen Falle die allgemeine Methode zu vermeiden und kürzere Wege zu entdecken suchen. Man wird sich bemühen, durch geschickte Combination der Differentialgleichungen neue Gleichungen zu erhalten, deren Integrale bekannt sind. 14. Wir geben hierzu ein Beispiel aus der theoretischen Mechanik. Die Theorie der Bewegung eines einzelnen Massenpunktes oder eines Systems von Massenpunkten (z. B. eines starren Körpers) ist nur ein Theil der Theorie simultaner Differentialgleichungen zweiter Ordnung; und umgekehrt hat die Theorie von Systemen gewisser Differentialgleichungen zweiter Ordnung durch das Interesse, welches die theoretische Mechanik an ihnen nahm, wesentlich an Ausbau gewonnen. Wir ziehen es vor, ohne auf die Feststellung der mechanischen Begriffe und die Begründung der Differentialgleichungen an dieser Stelle einzugehen, letzteren ihre mechanische Einkleidung vollständig zu belassen; losgelöst von derselben würden die Untersuchungen und Resultate an Anschaulichkeit sehr verlieren und zu abstract erscheinen. Wenn ein freibeweglicher Massenpunkt P, dessen Coordinaten x, y, z sind, von einem festen Centrum O, dem Nullpunkte des Coordinatensystems, angezogen oder abgestossen wird, und zwar so, dass die Anziehungskraft nur von der Entfernung OP= r abhängt, und wenn dieselbe beim Abstande r die Grösse f(f) hat, so gelten für die Coordinaten des Punktes die Differentialgleichungen d 2 x ,, . x dW d 2 y dp d?z ~dfl Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit dx, dy, dz, so erhält man, wenn man dx : dt, dy : dt, dz : dt, die Geschwindigkeitscomponenten des Punktes, mit x', y', z' bezeichnet, 1 . 2 . 3. = Ar) = Ar) ■ y r '■ = Ar)■-■ 56 884 Integralrechnung 1 . ( xdx+ydy -+- zdz ) Die linke Seite ist das vollständige Differential von *(*'* +/ 2 die rechte Seite ist ebenfalls ein vollständiges Differential, denn man hat r 2 — x 2 -\- y 2 -+- z 2 , also xdx -+- ydy + zdz = rdr . Hieraus erhält man folgendes erste Integral des Systems 4. (x' 2 -by' 2 -(- z' 2 ) = 2 ff(r)dr -+- h, wobei h die willkürliche Constante Ist. Bezeichnen v die Geschwindigkeit des Punktes und cp, cp, y die Winkel, die sie augenblicklich mit den Achsen bildet, so ist x' == vcosy, y' = v cos tj>, z’ = v cos-/, also x' 2 ■+■ y' 2 -+■ z" 1 = v 2 \ daher kann man 4. ersetzen durch 5. v — 2 f f(r) dr + h . Nach welchem Gesetze daher auch die Einwirkung des Centrums auf den bewegten Punkt P erfolgen, und in welcher Richtung und mit welcher Anfangsgeschwindigkeit derselbe seinen Lauf beginnen mag, immer ist die Geschwindigkeit nur eine Function des Radius vector r\ wenn sich der Punkt im Laufe der Bewegung wiederholt in demselben Abstande von O befindet, so hat er in allen diesen Momenten dieselbe Geschwindigkeit. Man kann noch auf anderem Wege zu ersten Integralen des Systems gelangen. Multiplicirt man 1. mit y, 2. mit x und subtrahirt, so ergiebt sich Da nun “ (xy' — yx') = xy" -t- x'y' — yx" — y'x' = xy” — yx", so folgt aus 6. durch Integration xy' — yx' = c ; 7. ebenso erhält man die Integrale 8 , yz — zy = c 1 , zx' — xz' = c 2 , 9 . wobei c, c t , c 2 willkürliche Constante sind. Multiplicirt man die Gleichungen 7., 8., 9. der Reihe nach z, x, y und addirt, so erhält man links identisch Null; daher folgt die Gleichung c x x -I- c^y -h cz = 0 . Dies ergiebt: Die Bewegung erfolgt in einer Ebene, die durch das Anziehungscentrum geht. Wählt man diese Ebene zur ATF-Ebene, so bleiben für das Problem nur die beiden Differentialgleichungen 10 . r 2 = x 2 -h y 2 , wobei und die beiden ersten Integrale v 2 = 2/ f(r) dr + h , 11 . xy' — yx' = c . 12 . Die letzte Gleichung vereinfacht sich durch Einführung von Polarcoordinaten. Man hat x = r cos cp, x' = r'cosy — r siiu p • — yx' = r 2 p’ . Ist df der verschwindend kleine Sector, den der Radius /* in der Zeit dt beschreibt, so ist 2 df ■= r 2 d dx + Tz'dx = °> + Tz'Jx =0>g = Q eliminirt. Beispiele: A. Eine Ebene, die einer gegebenen Richtung a, ß, 7 parallel ist, hat die Gleichung / = Ax -t- By -t- Cz — 1 = 0 , wobei die Constanten A, B, C die Bedingung erfüllen g = Acosa -t- Bcosfy f- Ccosf = 0. Um die zugehörige partiale Differentialgleichung zu erhalten, hat man A, B, C aus den Gleichungen zu eliminiren 0 V + U ’ dy + dz ~ = 0 , oy ausser den Variabein auch Ax Acosa A By Beos ß wenn zur Abkürzung B Cz — Ccos-j Cp Cq 0 , 0 , 0 , 0 , P —- cz dx " q = dz dy gesetzt wird. Die Elimination ergiebt die Gleichung cos a • p -t- f«ß • q — cos 7 = 0 . B. Eine Ebene, die einen gegebenen Punkt /, m, n enthält, hat die Gleichung / == Ax -+- By -t- Cz — 1=0, wobei für die Constanten A, B, C die Gleichung besteht g == A l —f- B tti -j— 0 h — 1 == 0 . § 27. Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung. 887 Die Elimination erfolgt aus diesen beiden Gleichungen und aus A -+- Cp = 0, B -+- Cq = 0 . Da / — g ^ A(x — /) -+- 13 (y — m ) -+- C(z — n ) = 0, so hat man, um die resultirende Gleichung zu gewinnen, nur in der Schlussgleichung des vorigen Beispiels cos*, cos fi, cos 7 der Reihe nach durch x — /, y — m, z — n zu ersetzen; man erhält (x - l) p + (y — m) q — (z — n) = 0 . C. Für Ebenen, die eine Kugel berühren, deren Halbmesser e ist, und dessen Centrum die Coordinaten a, b, c hat, erhält man das System Ax -+• By H- Cz — 1=0, A -+- Cp = 0, B -+- Cq = 0; Aa ■+- Bb -h Cc — 1 = e }/A 2 -+- B* -t- C* ■ Aus den ersten drei Gleichungen folgt C = 1 : (2 — xp — y q ), A = — p : (2 — xp — yq), B = — q : (2 — -r/ — jya). Setzt man dies in die letzte ein, so entsteht (.x — d) p ■+■ (y — b) q — (z — c) = e 4/1 + / 2 H- q 2 . D. Die Gleichung einer Kugel 1. (x — a ) 2 -\- [y — b ) 2 -+- (z — r) 2 = r 2 enthält vier Constante a, b, c, r. Liegt das Centrum auf einer gegebenen Geraden, so sind a, b, c durch zwei lineare Gleichungen verbunden 2. a = vic -+- n , b = \yc -+- v . Durch Differentiation der Kugelgleichung folgt x — a + (z — c) p = 0 , y — b -t- (2 — c) q = 0. Setzt man hier für a und b die Werthe aus 3. ein und vergleicht die resultirenden Werthe für c, so erhält man schliesslich (jj .z —y -+- v )p — (niz — x -t- n) q -1- — v) — m (y — v) = 0 . 4. Eine partiale Differentialgleichung I.O. entsteht ferner, wenn man aus einer Gleichung F\x, y, z, = 0, — worin F und <}< bekannte Functionen sind und cp eine willkürliche F’unction von bezeichnet, — sowie aus ihren partialen Ableitungen die willkürliche F’unction cp eliminirt. Durch Differentiation erhält man dF dF (/

(dF dF (/cp \p = 0, p” ■+■ c X d

dx oz r 0 cp dty \d x dz 1 ) dF dF oF dy (dty dty \ dy dz ^ d cp dty \dy dz ^) Eliminirt man aus beiden Gleichungen SF: 8 cp,. so erhält man (dF dj, dFdjA (dF dj, _ dF (dg dg — ( d J-.df \ i g<1> $f \°y + v 8 g \dy d (cf df (df_ \dy 'U dz ^ dg )- ■)- 0, 0. Die Elimination von <1> ergiebt die partiale Differentialgleichung P V dx dg dx <7 V dy Cg dy — 1 df dz d>j_ dz == 0. einer willkürlichen Function

(/, g) — 0 folgt, dass g eine willkürliche Function von /ist. 6. Partiale Differentialgleichung der Cylinderflächen. Sind a, fl, 7 die Richtungswinkel der Mantellinien, so ist die Gleichung des Cylinders von der Form (Differentialrechn. § 6, 2) <1 ’>{xcos'{ — zcos oc, ycos 7 — z cos [i) = 0 . Setzt man in No. 5, 2. / ss XCOS'l — so erhält man 1 j / q ~ 1 -I cos 7 0 — COS C( I 0 cos 7 — cosfi \ 7. Partiale Differentialgleichung der Kegelflächen. Es seien /, m, n die Coordinaten der Kegelspitze, so ist die allgemeine Form der Kegelgleichung (Differentialrechnung § 6, 3) — nx mz n Setzt man in Iz — nx mz — ny cosrt ■ p -+- cosfi ■ q — cos-; = 0 . U, O) ^ (lz — nx mz — ny\ \ z — n ’ z — n ) 0. also (?_— n ) n 2 df dz P 3 ,_ z — n Z) - x — l (z~~nf’ 9 0 g s cg y — m (z — ra ) 2 so entsteht 0 — — 1 n{x — /) (* - *) 2 n{y — m ) = (x — l)p 4- (y — m)q — (z —/()= 0. n (z — 8. Partiale Differentialgleichung der Rotationsflächen. Wir nehmen der Einfachheit wegen an, dass die Achse der Fläche durch den Nullpunkt des Coordinatensystems geht. Construirt man um den Nullpunkt Kugeln, und normal zur Rotationsachse Ebenen, und setzt irgend eine Abhängigkeit zwischen dem Kugelradius a und dem Abstande b einer Normalebene zur Achse vom Nullpunkte voraus, so erfüllen die gemeinsamen Punkte der Kugeln und der zugehörigen §27- Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung. 889 Ebenen eine Rotationsfläche. Die Gleichung einer Kugel um den Nullpunkt i 2 , und die Gleichung einer Normalebene zur Achse ist x 2 -f- y 2 -j- z 2 xcos o + ycos$ 4 - zcos'j = b, wenn a, ß, 7 die Richtungswinkel der Ach.se sind; daher ist die allgemeinste Form der Gleichung einer Rotationsfläche (.** -hy 2 -I- z 2 , xcos% y-ycosfi 4 - zcos-j ) = 0 . Wir haben daher in No. 5, 2. /ei 5 4 - y 2 4 - z 2 , zu setzen und erhalten 1 p ; x xcosa ycosfy zcos-\ dy + dF q ~ ° q — 1 I y a= 0 . I cos ol cos$ cosf I 9. Wenn eine Gleichung f(x, y, z, a, b ) = 0 zwei willkürliche Constante enthält, und wenn diese Gleichung im Verein mit v + = 0 d f . v 8x dz ^ ’ durch Elimination von a und b auf die Gleichung Fix, y, z, p, q) = 0 führt, so wird f=0 als vollständiges Integral der partialen Differentialgleichung I. O. F—0 bezeichnet. Wir wollen nun zunächst sehen, ob ähnlich wie die singulären Integrale gewöhnlicher Differentialgleichungen so auch neue Lösungen der Gleichung F = U dadurch erhalten werden, dass man die Constanten a und b durch passend gewählte Functionen von x und y ersetzt. Wir denken uns für diese Untersuchung das vollständige Integral auf z reducirt, also von der Form 1 . 2 = fix, y, a, b). Sind a und b variabel, so erhält man durch Differentiation _df df da + df db dx ^ da dx + db ' dx _df + d l da 4- hf - db dy ca ' dy cb dy Sollen diese Gleichungen mit denen übereinstimmen, die aus 1. unter Voraussetzung constanter a und b hervorgehen, so müssen a und b den Bedingungen genügen 3. 4. Hieraus erhält man ¥- da df da da dx df da da dy •D = 0, *L d ± = 0 db dx ’ df_db_ _ db dy ^ ’ D da db da db dx dy dy dx ’ Um den Gleichungen 3. zu genügen, hat man zu setzen: entweder da da db db dx dy oder 6 . D = 0, wobei die Gleichungen 3. sich auf eine reduciren, die mit 6 . zu combiniren ist; oder wobei 5. = - = 0 ; dx dy Integralrechnung. 890 ¥ Ta df — °’ Tb ~ °' 8b «s 8y ^ ' a ' dy ’ Die Annahme 5. führt auf constante Werthe von a und b, also auf das vollständige Integral zurück. Wenn die Bedingung D = 0 erfüllt ist, so ist b eine Function von «; setzen wir b = in welcher ^ durch cp(a) zu ersetzen ist. Die Elimination von a aus den Gleichungen 8 . und 1 . kann nur in seltenen Fällen ohne eine bestimmte Annahme über die willkürliche Function

— — a —bx —{— erhält man hier x (x cos 7 — 2 cos a , z cos ß — y cos 7) = 0 , wobei < 1 > eine willkürliche Function ist, in Uebereinstimmung mit No. fi. Da in unserm Beispiele dz ca ' so kann es kein singuläres Integral geben. 10 . Wenn eine Gleichung 2 = g{x,y) die partiale Differentialgleichung I. O. P(x,y, 2, p, q) — 0 befriedigt, und nicht durch besondere Werthe für a und b aus einem vollständigen Integrale z—f(x,y,a,b ) hervorgeht, so gehört diese Gleichung zu dem vollständigen Integrale entweder als allgemeines oder als singuläres Integral. Denn wenn man f{x,y, a, b) nicht durch Specialisirung der Gonstanten a und b in g(x, y) verwandeln kann, so kann man doch jedenfalls für a und b solche Functionen von x und y setzen, dass fix, y, a, b) es g(x, y) wird. Aus den Untersuchungen in No. 5 . folgt hieraus sofort, dass ^(x, y) entweder ein zu f gehöriges allgemeines oder singuläres Integral ist. Ein vollständiges Integral, das dazu gehörige allgemeine sowie das zugehörige singuläre Integral bilden also ein vollständiges Lösungs-System einer partialen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variabein. 11 . Wir wenden 11ns nun zur Integration der linearen partialen Differentialgleichungen I. O.; und zwar zunächst zu Gleichungen mit zwei unabhängigen Variabein. Unter einer linearen Gleichung versteht man eine solche, in welcher die partialen Differentialquotienten der abhängigen Variabein nur in der ersten Potenz Vorkommen; bei drei Variabein also eine Gleichung von der Form 1 . = R, wobei P, Q, R constant oder Functionen von x, y, 2 sind. Die Integration dieser Gleichung hängt auf s Engste mit der Integration de Systems zusammen dx dy dz 2 . ~p = Q = ■ Hat man nämlich ein Integral fix, y, 2) — a dieses Systems gefunden, wobei a eine willkürliche Constante bezeichnet, so ist für alle Werthe, die dieser Gleichung genügen 3 . V- dx -t- 7p- dy -+- 5^- dz = 0 . cx cy oz Da nun f ein Integral von 2 . ist, so erfüllen die x, y, 2, dx, dy, dz, die der Gleichung 3 . genügen, auch die Gleichungen 2 ., man kann daher in 3 . die Differentiale dx, dy, dz der Reihe nach durch die Functionen P, Q, R, ersetzen, denen sie nach 2. proportional sind; folglich hat man 892 Integralrechnung. 4. P%f- + Q 7 ^- R = 0 . dx ^ dy 6z Da nun cz df ' cf dz cf _ df dx dx ' 8z ’ dy dy ‘ dz’ so kann man 4. ersetzen durch Pp + et dx dy R = 0 . Hieraus folgt, dass f(x, y, z) = a ein particuläres Integral von 1 ist. Dieselbe Schlussweise kann auch rückwärts durchlaufen werden: Ist f(x, y, z) = a ein Integral der Gleichung Pp + Qq — R — 0, so ist es auch ein Integral des Systems 2. Sind f{x,y, z) = a und g{x, y, z) = b zwei Integrale des Systems 2., so ist das allgemeine Integral der Gleichung 1. «>(/,£•) = 0, wobei O eine willkürliche Function bezeichnet. Um dies zu beweisen, haben wir zu zeigen, dass <1> der Differentialgleichung genügt 5 . cx ^ dy dz die an die Stelle von 1. tritt, wenn z durch die Gleichung O = 0 als unentwickelte Function von y und x bestimmt ist. Nun ist folglich hat man , 8 / 80 dj_ df dx 80 df df ' dy 80 df df ’ dz 80 dg dg dx ’ 80 dg dg ' dy’ 80 dg dg dz ’ 80 R yr = dz \P °g Q cg R og' Cx ~~ cy *87 f^F + -T- - . df \ cx ^ cy dz ) dg \ dx dy dzj Da nun nach der Voraussetzung die beiden rechts stehenden eingeklammerten Polynome verschwinden, so folgt, dass in der That die Gleichung 5. erfüllt ist. Wir haben somit folgende Regel: Um die Gleichung zu integriren Pp + Ql = R , bilde man das System gewöhnlicher Differentialgleichungen dx dy dz ~P = ~Q = 7 ? ’ sind f(x,y, z) — a und^(x,_y, z) — b zwei Integrale dieses Systems, so ist 'b(fg) = 0 das allgemeine Integral der vorgelegten Gleichung. 12. Sind f{x, y, z) = a , g{x, y, z) = b , und h{x, y, z) = c particuläre Integrale von Pp -+- Qq = R, so ist h eine Function von f und g. Nach der Voraussetzung gelten die Gleichungen d_h dx oh dy R dh 0, § 27- Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung. 893 .3/ , n 8/ . R d f _ n ox dg dg dg P + Q ; ' -+- A> / dx oy dz daher verschwindet die Determinante derselben dh dh dh dx dy dz M V d L dx dy dz 8g dg 8g dx dy dz = 0; = 0, folglich ist h eine Function von f und g (Differentialrechnung § 4, No. 0 ). Die Gleichung h{f, g) = c fällt unter (/, g) = 0; es ist also jede Lösung der partialen linearen Differentialgleichung in der Form < l , (/, < f) = 0 enthalten. 13. Wir geben hierzu einige Beispiele. .4. Um die Gleichung zu integriren cosa • p -+- cos§ ■ q — cos~\ = 0 bilde man das System dx : dy : dz — cosa : cos : cos^. Zwei Integralgleichungen desselben sind XCOS'j zcosa = c. ycos'i — zcosß = daher ist das allgemeine Integral der partialen Gleichung (^ri ?^7 — zcosa ycosy — zcos$) = 0 . B. {x — l)p -t- (y — m)q — (z — n) = 0 . Hierzu gehört das System dx : dy : dz = (x — /) : (y — m) : (z — n), mit den Integralgleichungen x — / y — m _ z — n 11 z — n 2 ' Das allgemeine Integral ist daher f x — l y ■ ;)-«■ Aus den Identitäten x — l n ■ l = - Iz ~n ’ z — n z — n ’ z folgt, dass man dafür auch schreiben kann ny m - n ny — mz z — n O ( nx — Iz ny — mz\ _ « — n ’ z — n ) ’ in Uebereinstimmung mit No. 7. C. Integration von P x cosa ‘1 y cosH — 1 * COS-j = 0. Das Hülfssystem ist hier dx dy dz ycos~j — zrwß zcosa — xcos-j xcosQ — ycosa" Bezeichnet man den gemeinsamen Werth dieser drei Verhältnisse mit dt, so erhält man 894 Integralrechnung. dx = (y cos y — 2 cos fi) dt , dy = (zcos x — xcosy)dt, dz = {xcos [5— ycosx)dt. Multiplicirt man diese Gleichungen zunächst nacheinander mit x, y, z, dann mit cosx, cos$, cosy, und addirt, so erhält man xdx ■+- ydy -t- zdz = 0 , cosx ■ dx -+- cos$ ■ dy -+- cosy ■ dz = 0 ; hieraus folgen die beiden Integrale des Systems X 2 _|_ y 2 -f- z 2 — c x , xcosx + ycosß zcosy = c 2 ■ Das allgemeine Integral der partialen Differentialgleichung ist daher -h y 2 ~h z 2 , xcosx -+- ycosQ -+- zcosy) = 0 . 14. Um die lineare partiale Differentialgleichung mit mehr als drei Variabein zu integriren 8 * 1 . + / X„ = x, 0X U dx t ' ~“ z dx bilde man das System von gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. dx : dx l : dx 2 : : dx„ — X : X l : X 2 : . . : X H . Sind die Integralgleichungen dieses Systems /, (■*> x \i • ■ > x n ) = c i i I. /^{.Xy x \i ■ ■ y x tl) :== i fn(x. X^ t . . , X n ) — Cyi , so ist das allgemeine Integral der partialen Differentialgleichung 4- (/,./„/„ = 0 . Beweis. Durch Differentiation gewinnt man aus 3. dx. dx t Widx dx 2 11X2 -t- y— dx tl CX,, °fi , „ - 5 — dx = 0 , dx Setzt man für dx { X ein, so entsteht i = 1, 2, . . . n. , dx„, dx nach 2. die proportionalen Werthe X x . . X„ (>. 1 dx L + X, o/i dx, X u <>fi dx n X dx 0. Um nun zu sehen, ob 4. die Gleichung I. integrirt, ziehen wir aus 4. die Werthe dx 2 < 1 > 2 < 1 > dx k dxk ' dx ’ und setzen sie in 1 . ein; dadurch entsteht <7 „ SO g(p _ d< 1) dx. + X ~dx ~ 0 5 7. X x -f- X 2 -f- . . -j- X n 1 ox x 2 dx 2 ox„ soll 1 . durch 4. integrirt werden, so muss diese Gleichung identisch sein. Nun ist nach 4. 3® _ ^ 5 » Vj ^4 dxk ~ df , dx k + of 2 ' dx* + ' ‘ + df„' dx k ' Setzt man dies in 7. ein, so entsteht 8 . 2 Wi i Xi ^ + ** 8/t X H 0 /i *£) Da nun links nach 4. der Klammerinhalt für jeden Werth i = 1 , 2, 3, . . , n verschwindet, so ist diese Gleichung identisch erfüllt, w. z. b. w. Wir wollen die Ausführung eines Beispiels unterlassen; es genüge, darauf hinzuweisen, dass jedes integrable System § 27. Partiale Differentialgleichungen erster Ordnung. 895 dx : dx x : dx 2 dx H = X : X 1 : A" 2 : . . : X„ sogleich eine integrable lineare partiale Differentialgleichung liefert. 15. Integration nicht linearer partial er Differentialgleichungen I. O. Die Differentialgleichung sei 1 . F{x, y, z,p,q ) = 0 . Die Grösse p ist eine Function von x und y ; sie kann indess auch als Function von x, y und z aufgefasst werden, wobei z als unbekannte Function von x und y zu betrachten ist; q wird durch 1. als Function von x, y, z, p definirt. Sucht man nun unter diesen Voraussetzungen p und q als Functionen von x, y, z, so zu bestimmen, dass (?p\ = \dy) \dx)’ wobei durch die Klammern angedeutet wird, dass die Differentialquotienten unter der Voraussetzung gebildet sind, dass z durch x und y ersetzt ist, so wird der Ausdruck dz = pdx -+■ qdy integrabel und liefert durch Integration z als Function von x und y. Nun ist (I) 3. 8q [8p 8p Setzt man dies in 2. ein, so entsteht Sp_ = 8q 8q r. <7. f) V 7) 7 *■ 4. cz dx dz Ersetzt man hierin q aus 1. durch p, so enthält diese Gleichung nur x, y, z, p, ist also eine lineare partiale Differentialgleichung für p als abhängige und x, y, z als unabhängige Variable. Gelingt es, ein particuläres Integral herzustellen, durch welches p von x, y, z abhängig gemacht wird und das eine willkürliche Constante a enthält, so hat man dies in 1. einzusetzen, und erhält dann aus 1. q durch x, y, z, a ausgedrückt. Beide Werthe hat man in z — pdx -t- qdy einzusetzen und dann zu integriren. Das Integral enthält ausser a noch eine willkürliche Constante, ist also ein vollständiges Integral; in bekannterWeise kann man dann das zugehörige allgemeine und das singuläre Integral herstellen. 16. Beispiele. A. Aus der Gleichung pq — 2 = 0 z folgt daher ist 8q z cq 2 z 8 a 8p dx dp p^ ’ ^ dp P p Die partiale Differentialgleichung für p ergiebt sich zu z dp dp 2 z 8p pt 8x dy p dz ^ ' Dieselbe hat die particuläre Lösung p = y a. Substituirt man dies in die Differentialgleichung, so folgt z y -t- a 8 9 6 Integralrechnung. Wenn man diese Werthe für p und q in z = pdx -4- qdy einsetzt, so erhält man z dz = (v •+- a) dx -+-- dy . ' y -+- a J Hiernach ist Tx a, z = (j 4- a)x -h f(y), wobei f{y) eine unbestimmte Function von y bezeichnet. Führt man diesen Werth von z ein in dg z so ergiebt sich dy y -t- a’ /■(,) - /w y -+- a ’ woraus durch Integration hervorgeht f(y) = b (y + a ) ■ Das vollständige Integral der partialen Differentialgleichung ist daher * = (y -h a) (x + b ); das allgemeine Integral geht durch FJimination von a aus den Gleichungen hervor 2 = {y -t- d) (x -t-

wobei pi ss dx : cxi, und für einen dieser Differentialquotienten sein aus der Differentialgleichung folgender Werth zu substituiren ist*). § 28. Partiale Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 1. In der Differentialgleichung 1 . / d 2 z \ 2 8 2 z d 2 z \8xdy) cx 2 dy 2 — substituiren wir cz dz 8 x & ’ 11 Hierdurch geht dieselbe über in 2. dp dp dp dq dy dy dx % II Da nun dp dg Sy dx’ so erhält man anstatt 2. 4 dx dp dp . d JL dy dx dy Hieraus folgt (Differentialrechnung § 4, No. 5), dass q eine Function von p ist; und umgekehrt, sobald dies der Fall ist, ist 3. und daher auch 1. erfüllt. Wir setzen daher 5. q = f(p) , wobei cp eine willkürliche Function bezeichnet. Durch Differentiation nach x erhält man hieraus dq op folglich nach 3. 6 . ;w — ?'(/) g x > dp cx cp 8;v ^ ^ dx Dies ist eine lineare partiale Differentialgleichung I. O. für p. Der Vergleich mit § 27, No. 11. ergiebt R = ?’(/), Q = — i, R = o. Folglich ist das System gewöhnlicher Differentialgleichungen zu integriren dx 4- (p)dp. Setzt man jMp)dp = yip), wobei 7 ebenso willkürlich ist, wie .t -+- v, wobei (x und v die Variable x enthalten können. Setzt man dies in 4 . ein, so erhält man jx"/ -f- v" = 0, woraus folgt also ist = v" = 0; (X = IX -+- ß, V = ~jX + 0 , wobei a, 3 , 7, 8 Constante bezeichnen. Hiernach ergiebt sich w = ixt —1— ß/ —t- -fjc- —t- 3 . Substituirt man dies in 5 ., so erhält man ix -+- ß = ± a {it -+- 7). Da diese Gleichung unabhängig von x und t erfüllt sein soll, so folgt a = 0, ß = ± 07 . Man erhält daher w = ß (x ± at ) + 3 . Man kann wegen der Unbestimmtheit der Function F den Faktor ß und das Glied 8 in w unterdrücken. Bedenkt man ferner, dass, wenn u = u 0 und u = u x particuläre Lösungen von 1. sind, alsdann auch 1 . durch u = u 0 + u x genügt wird, so erkennt man, dass das allgemeine Integral der gegebenen Differentialgleichung durch die Gleichung dargestellt wird u — F{x + af) -+- G(x — at). Man kann die willkürlichen Functionen F und G immer so bestimmen, dass für / = 0 die Functionen u und du : dt sich in gegebene Functionen von x verwandeln. **) Verlangt man, dass *) In der mathematischen Physik wird gezeigt, dass dies die Differentialgleichung ist, welche die Gestalt einer schwingenden elastischen Linie bestimmt, wobei x die Abscisse, u die Ordinate eines Punkts der Linie und t die Zeit bezeichnet. **) d. i. so, dass für den Anfang der Bewegung die Form der gespannten Linie sowie die Anfangsgeschwindigkeiten aller ihrer Punkte gegebene Werthe haben. § 28. Partiale Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 901 d u u =/(*). = #{*), für t = 0. so kann man zunächst u 0 so bestimmen, dass es der ersteren, und u l so, dass es der anderen dieser beiden Bedingungen genügt, und dass 8u„ = 0 , u. = 0 , für t = 0 . ct Man siebt sofort, dass man für u 0 zu nehmen hat «0 = h [A x + at ) -+- /(•* — at)]. Denn es ist — i a [f{x + at) — f\x — at )], für t = 0 hat man daher "0 =/(■*)> T^ = °- Ebenso erkennt man sogleich, dass die für /z, gegebenen Bedingungen von der Function erfüllt werden x-\-at ", = ^ /" x—al Durch Addition von « 0 und «j erhält man das allgemeine, den gegebenen Bedingungen genügende Integral x+at u = \lf{x + af) 4 - f{x — at)] + F(\)d\, x—at 4. Die Differentialgleichung c 2 u Ü2 = 0 ' 8 2 u 8x 2 " T " geht aus der soeben integrirten hervor, wenn man in der letzteren /, x, a der Reihe nach durch x, y, i ersetzt; das allgemeine Integral derselben ist daher • u — F(xy-iy) -+- G(x — iy). 5. In die Differentialgleichung 1. du dt , C*u ox 2 0 substituiren wir versuchsweise u = wir erhalten für a und [i die Bedingung ß = fl 2 * 2 . Daher hat 1. das particuläre Integral Ersetzen wir hierin a durch ± i a, so entstehen die beiden Lösungen g - F a 2 l+i • O-r ^ g —/■ a-tr _ Man erhält hieraus neue Lösungen, wenn man diese Grössen mit beliebigen Faktoren multiplicirt und addirt. Nimmt man die Faktoren \ e~ “und so erhält man e—a'G^cosa {x — X). Ertheilt man hierin a und X der Reihe nach alle möglichen Werthe, multi- *) Von dieser Gleichung hängt die Temperatur u der Punkte eines Körpers ab, wenn vorausgesetzt wird, dass dieselbe sich nur parallel der X -Achse ändert; t ist die Zeit. 902 Integralrechnung. plicirt jedes so entstehende particuläre Integral mit einer von x und t unabhängigen Grösse \j. und addirt alle diese doppelt unendlich vielen Produkte, so ist diese Summe ein Integral der vorgelegten Differentialgleichung. Um eine unendlich grosse Summe zu vermeiden, nehmen wir ja unendlich klein, und setzen jj. = A (X) da d'k . Alsdann geht die Summe in ein Doppelintegral über, und man erhält cos a (x — X) (X) da d'k 2 . Für die untere Grenze der Integration nach a ist 0 und nicht — oo gewählt worden, weil die zu integrirende Function eine gerade F'unction für a ist; A bezeichnet eine willkürliche Constante. 5. Man kann die willkürliche Function (X) so bestimmen, dass u für t = 0 sich in eine gegebene Function verwandelt. Nach § 11 No. 15, 4 ist 1 . -{ff F(k) cos a (x — X) da. dX Setzt man in No. 4, 2 t — 0, u = F(x) so erhält man A f Icos a (x — X) Pu Pt ■ ■ ■ > so werden sie durch ein Gewicht ersetzt, das ihrer Summe gleich ist und den Hebelarm 3. hat In Rücksicht auf diese mechanische Anwendung bezeichnet man die Faktoren Pv Pi i Pi ■ • ■ a l s die Gewichte der Zahlen a 2 , a 3 . . . 2. Um die Gerade y = ax -t- b zu bestimmen, die n willkürlich gegebenen Punkten P x , P v ... /»möglichst nahe liegt, bilden wir die Differenzen Ä 2 der zu den Abscissen x v x 2 . . . der gegebenen Punkte gehörigen Ordinaten der Geraden und derOrdinaten y !, Aa • • • Die Forderung, dass die Gerade den Punkten möglichst nahe liegen soll, wird ihren mathematischen Ausdruck darin finden, dass eine bestimmte Function F 9 ° 4 Ausgleichungsrechnung. der Differenzen Xj, X 2 . . , die zur Abschätzung der Abweichung der Geraden von /’j, P 2 . . . dient, einen möglichst kleinen Werth erreichen soll. Wenn, wie wir zunächst voraussetzen, die Punkte alle dasselbe Gewicht haben, so wird für F eine symmetrische Function der X zu wählen sein. Nehmen wir ferner den Grundsatz an, dass nur der absolute Werth, nicht das Vorzeichen der X entscheidend sein soll, so darf F nur gerade Potenzen der X enthalten. Die Bedingungen für das Minimum von ^2 • • •)> ^ ux r b — y r sind Wir stellen nun noch die Forderung, dass die Coefficienten a und b durch die Gleichungen 1. linear bestimmt sein sollen. Hieraus folgt, dass dF: 8X r eine lineare Function der k r sein muss. Wir erhalten daher für F eine symmetrische quadratische Function der X r , die nur die Quadrate der \ r enthält. Da ein gemeinsamer Faktor oder ein von den X r unabhängiges Glied ohne Einfluss auf den Eintritt eines Minimums sind, so ergiebt sich für F die Function 2. F ss X,f X 2 2 -+- X. } 2 -f- . . -f- X»„. Bezeichnen wir \ r als die Abweichung der Geraden vom Punkte P r , so liegt hiernach diejenige Gerade den Punkten P x , P<, . . . P n möglichst nahe, für welche die Summe der Quadrate der Abweichungen von den Punkten P lt P 2 . . ein Minimum wird. Aus 2. folgt 1 oF 2 ' dir = Kr = aXr ° ~ yr ' Setzt man zur Abkürzung P\i\ + Pit* + • • • ■+■ = L P4\, ' P\ ■+■ Pi ~P ' • • + P« = [P]> so ergeben sich zur Bestimmung von a und b die Gleichungen 3. [xx] a -t- [ar] b = [xy ], 4. \x\ a + nb = [y]. Aus 4. folgt, dass die durch 3. und 4. bestimmte Gerade den Punkt enthält, der die Coordinaten hat •* = - (*i + *4 + • •). y = n üb + y s + • • •); dies ist der Schwerpunkt der gegebenen Punkte. 3. Zur Bestimmung der Ebene T, welche n gegebenen Punkten P x , P. 2 , ■ ■ P n möglichst nahe liegt, genügen die zur Lösung der vorigen Aufgabe getroffenen Bestimmungen. Die Ebene T wird durch die Forderung definirt F s= Xj 2 -+- X 2 2 + . . -F X„ 2 = Minimum, X r s ax r + by r -+- c — z r , wenn 1' die Gleichung hat z = ax -(- by + c. Hieraus folgen die Gleichungen § i. Einleitung. 905 ' ^ \yXy — (1 , dlr _ V 2 d \ r ' da 1V1^ o\ r X 1 2 ^ cX r ‘ g£ - 0 > 1 \^ZP »K _ NH _ 2^j2X r ’ 2 c Zur Bestimmung von a, b, c hat man daher das lineare System ' fcccc] a -E [xy] b -E [x] c = [xz] , [xy] a -+- [yy] b + [y)c = [yz], [x] a \y] b + nc — [ 2 ] . Die letzte Gleichung zeigt, dass T den Schwerpunkt von P v P 2 , . . P n enthält. 4. Die lineare Function 1. d | X i — }— d 2 X ^ H- d x 3 -f- • ■ • H“ dm—\X kann für die gegebenen Werthsysteme •* 1 1> *21> *91 • • • •*1 2> *2 2> x 32 . . . 2. X 1 3> X i 3> *33 • • • x \nt XJ„, *3» • • • n > m irrf Allgemeinen nicht die gegebenen Wertlie 3- y 1 , As- > 9 . • • ■ y» annehmen. Die Function 1., welche für das System 2. solche Werthe annimmt, die den Zahlen 3. möglichst nahe liegen, kann durch geeignete Erweiterung der in No. 2 durchgeführten Betrachtungen ohne neue Annahmen bestimmt werden; nämlich aus der Forderung X t 2 -E X 2 2 -t- X 3 2 + . . . + X s « = Minimum, X r = a j x yr —E a 2 x 2r -E • • • -E a., n — \x fn —\ t y -E a, n y r . Aus 4. ergiebt sich zur Bestimmung der unbekannten Coefficienten a y , a 2 , . . a,„ das lineare System [*!*!]«, -E [x 1 x 2 ]a 2 + ... -h [*,*„,- 1 ] tf*-i -E [*,]«,« = [■«iJ’i], [*i* 2 ] «1 -E [ x ^ x i] a i + ■ ■ ■ + [* 2 #;/i-il a, K -\ -E [x 2 ] a,„ = [x^y^, 5. [x j x m —ij a y ~E [^ 2 Xftt -- 1 ] ^2 ~E • ■ • -E \x m —1 x , n —ij (1 nr -1 —t- \x m — 1 ] a m = \x ,,,_14 ^], [* 1 ] -E [ar 2 ] a 2 -E • ■ • -E [x m -x] a m ~ 1 -E na m = [y,]. Zufolge der letzten dieser Gleichungen wird die Gleichung tZj Xj ~i H ^2^2 * * ~f" H - d m - y befriedigt, wenn man statt x lt x 2 , x 3 , . . . y die Werthe ~ (*1 1 + *1 8 •+"••) > - (*i 2 -E X^ 2 -E . . .) , . . - — 0, -E y-2 -E ■ •) , d. i. die arithmetischen Mittel der für die x v x 2 , . . . y gegebenen Zahlen setzt. 5. Durch (m + 1) Punkte ist eine Curve C von der Gleichung y — a 0 -h a y x -h a 2 x 2 4 - . . -E a m x m unzweideutig bestimmt. Sind n Punkte gegeben und ist n > m - El, so kann man nach der Curve C fragen, welcher die gegebenen Punkte möglichst nahe liegen. Da die Curvengleichung die zu bestimmenden Constanten a 0 , a lt . . . a„, linear enthält, so wird man die bisher angewandte Methode auch auf den vor- 906 Ausgleichungsrechnung. liegenden Fall ausdehnen, und die Curve als Lösung der Aufgabe betrachten, für welche X t 2 -t- X 2 2 4 - X 3 2 4- . . 4 - X 2 „ = Minimum, K r sa 0 4- a 1 x r 4- a 2 x 2 r a m x r m — y r . Setzt man die Differentialquotienten von 1. in Bezug auf 1 2' * * ^ m gleich Null, so erhält man zur Bestimmung der cik das System na 0 4- [je] «j 4- [a 2 1 4- . . 4- [*"'] a m = [y], [je] a 0 4- [x 2 ] a x 4 - [zc 3 ] a 2 4- . . 4- [je'"+t] a m = [je_y], [a 2 ] a ü 4- [je 3 ] a x 4- [Je 4 ] a 2 4- . . 4- [je’"+2] a m = [x 2 y], [je'"] a 0 4 - [je"'-*" 1 ] a x 4- [x m + 2 ] a 2 4- . . 4 - [x 2 "‘] a m = [x”‘y]. Die periodische Curve C y = a 0 4- a x cosx 4- a 2 cosix ■ 4- ■ . 4 - a,n cos m x -t- b x sinx 4- b 2 sin 'Ix 4- . . 4- b,„sinmx ist durch 2 m + 1 Punkte bestimmt. Sind n Punkte gegeben {n > -+- 1 ) und bestimmt man eine diesen Punkten möglichst gut sich anschliessende Curve C wieder durch die Bedingung X , 2 -+- X 2 2 4 - X 3 2 4- . . 4- X 2 ,, = Minimum, K = a Q -+- a x cos x r -+- . . 4- b x sinx r . . . — y r , so erhält man für die Coefficienten a 0 , a x , . . . b x , . . . die Gleichungen [cospx]q 0 4- [cosx cospx] a x -f- [cosix cospx] a 2 ~t- . . 4- \cosmx cospx}a m [sinx cospx] b x -f- [sin'lx cospx ] b 2 -+- . . 4 - [sinmx cospx] b,„ j = [ycospx], [sinpx] a 0 4 - [cosx sinpx] a x 4 - [cos’ix sinpx] a 2 4 - . . 4 - [cos nix sinpx] a nl 4 - [sinx sinpx] b x -+- [sinlx sinpx] b 2 y- . . - 1 - [sin mx sinpx] b m = \ysinpx], p = 0, 1, 2, 3, ... m. Diese Gleichungen lassen in einem besonderen Falle eine einfache Lösung zu. Sind nämlich die x so gewählt, dass *r+i = r/ k(p — q) — q) 9 — — 7 t cosk (p 4- q) 9 . Setzt man in (1 — z“) : (1 — z) = 1 4- z 4- z 2 4- z 3 4- • . 4 - z “ _1 für z die complexe Zahl z = cos{p ± q) 9 4- <«/»(/ ± y) 9 , § 2. Beobachtungsfehler. 907 so ist, wenn die ganzen Zahlen p und q nicht gleich sind, 1 — 2 von Null verschieden und 2 " — 1; daher ist 1 -+- 2 - 4 - z 2 -+- . . + 2 «-> = 0 . Die Sonderung des Realen und Imaginären giebt n~- 1 . W—1 T ± q )

a k = - b ^ *■*]. ^ = - b sin kx ) ■*) (1. Die Methode der kleinsten Quadrate (Quadratsummen), die wir in den Abschnitten No. 2 bis 5 angewandt haben, lässt sich auch in den Fällen No. 1 verwenden. Wird zu den gegebenen Zahlen a v a 2 ■ ■ ■ a n eine Zahl ja so bestimmt, dass X ) 2 -+- Ä 2 2 + . . -H X 2 ,, = Minimum, X,- = JA (ly , so folgt zur Bestimmung von ja die Gleichung (ja — rtj) —t— (ja — a 2 ) H- ((a — t c \ > ■ • * • #2 > ^2 1 £%>•••• t i Cn / • • • • habe man die Werthe 2/ J J M f U Q y , , , , der linearen Functionen «,ar 4- b x y 4- G z + . . . . a 2 x 4- 4- r 2 z + • • • • -|- /;„_y 4- c„z 4- . . . . beobachtet; allen Beobachtungen sei dasselbe Gewicht zuerkannt. Die Anzahl der Unbekannten x, y, z, . . sei kleiner als n. Die ausgeglichenen Werthe der Unbekannten erhält man durch die Bedingung (§ 1, No. 4), X.» 4- X 2 2 -4— X 3 2 —1— . . —i— X,, 2 = Minimum \ r ;= a r x -)- b r y 4- c r z 4- • • • — u r aus dem linearen Systeme [aa] x 4- [ ab]y 4- [ac]z 4- . . . = [au] , [ab] x 4- [ bb\y 4- [bc]z ~t- . . . = [bu\, [ac] x 4- [ bc]y 4- [cc]z 4 - ... — [cu], Diese Gleichungen werden nach Gauss als die Normalgleichungen bezeichnet. In der Determinante \aa] [ab] [ac] [ad] .... [ab] [bb] [bc] [bd\ .... [ac] [bc] M [cd] .... [ad] [bd\ [cd] [dd] .... haben symmetrisch zur Hauptdiagonale stehende Glieder denselben Coefficienten. Bezeichnet man den Coefficienten des X'ten Gliedes der ften Zeile mit <*,*, so folgen aus 1. die ausgeglichenen Werthe x = +[bu]a 21 4- [cu] a x + •■•)> )' = 2 -+■ [H*2 2 + M“s2 + •■•). z> z “l s ■+■ \ bl1 ] “2 3 •+- [<■«] «SS + • • •) > 2. Mit Hülfe der soeben berechneten Werthe erhält man für die Abweichung einer Beobachtung X r = a r x 4- b r y 4- c r z 4- . . . — u r . Für die mittlere Abweichung hat man X 2 = — (Xj 2 4- X 2 2 4- X., 2 4- • • 4- X„ 2 ). Ersetzt man in den Lösungen No. 1, 2 die u r überall durch u' r = u r 4- K, § 4 - Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen. 913 so ändern sich die x, y, z, . . . nicht; denn die ausgeglichenen Werthe erfüllen die Gleichungen a,x -j~ h x y -f- c^z H- ... — a i x -+- b 2 y -h c 2 z -t- ■■■ = u 2 \ a n x -t- b n y c„ z = u H ', folglich sind x, y, z, . . . die Werthe, welche sich aus diesem Systeme durch die Methode der kleinsten Quadrate ergeben, also die Werthe, welche aus No. 1, 2 hervorgehen, wenn man darin die u r durch die Uy ersetzt. Um die Schärfe der Bestimmung jeder einzelnen Unbekannten abzuschätzen, kann man an jeder Beobachtung u r eine Correction anbringen, die dem absoluten Werthe nach der mittleren Abweichung X gleich ist, und die zu diesen corrigirten u gehörigen corrigirten x, y, z . . nach No. 1, 2 berechnen. Da man keine Veranlassung hat, positive Correc.tionen vor den negativen auszuzeichnen, so wird man alle möglichen Vorzeichencombinationen für X wählen, und aus den resultirenden Correctionen der Unbekannten mittlere Abweichungen X.,-, X 7 . . . berechnen. In der Gleichung * = ([««'] «11 + [ bu '] rl 2 \ + • ■ •) ist u r ' das Mittel aus u ,.' X und — X; zur Bestimmung von \ x kann man daher die Gleichung für A § 3, No. 5 benutzen Setzt man in derselben Ai = A, = A s = • . = X, so erhält man 1. ZX 2 • Xj- 2 = X 2 a, j -h Z>, a, 2 -4- . ,) 2 -4- (tf 2 oc,, -t- l > 2 a 12 4- . .) 2 -+- . .] . Setzt man 2 . ^*11 + ^«12 + • ■ • — di , multiplicirt die hieraus für ; = 1, 2, 3, . . . hervorgehenden Gleichungen der Reihe nach mit A lt A 2 , A 3 , . . ., und addirt, so erhält man 3. M]«n -t- M]«i 2 + ... = [AA], Multiplicirt man die Gleichungen 2. mit a, und addirt, so entsteht [aa] a,j + [ab] a 12 [aA], Die linke Seite dieser Gleichung ist die Determinante ZX; daher folgt [aA\ = D. Multiplicirt man dagegen 2. mit b,-, bez. a, d it . . ., so erhält man [ab]rj. xl [ b &] «1 1 + . . = [bd], [ar] j„ 1 T '"' 5 » . <-> , >3 + ■ = [cd] , [ad] «i j ■+■ [bd\ «12 + • ■ . = [dA], Die linken Seiten dieser Gleichungen verschwinden identisch. Folglich ergiebt sich aus 3. Daher hat man schliesslich [AA] /J-OL, 1 8 _ ;!. a. > K D 4. X/ = X 2 • X, 2 = X 2 • «22 ZX «33 D und ebenso Scm.ntcMfr.CTT, H.imlhiich 2 , / 3 . . . identischen Bestimmungen erhalten. Alsdann kann man sofort die Gleichungen No. 2, 4 benutzen, indem man für D die Determinante des Systems 1. und für den Coefficienten des zten Diagonalgliedes dieser Determinante setzt. § 4' Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen. 917 5. Beispiel. Zwischen den vom Punkte M ausgehenden Strahlen MA, MB, MC, MD, wurden folgende Winkel gemessen w 1 = A,B = 48° 17' 1 '',4 mit dem Gewichte p x = 30; — A,C = 96 52 16,8 „ „ = A,D =152 54 6,8 „ „ = B,C = 48 35 14,3 „ „ = B,D =104 37 7,8 „ „ = C,D = 56 1 48,9 „ „ Werden die drei ersten Winkel mit P 2 = 20; Pi = 26, P\ — 25; P-> = 28; fie = 44. r\, ; bezeichnet, so sind die sechs beobachteten Grössen durch sechs lineare Gleichungen a k \ 4- b k r { 4 - CkK, = Wk verbunden, wobei a k , b k , c k die Werthe haben No. 1 2 3 4 5 6 ' Clk 1 0 0 — 1 — 1 0 bk 0 1 0 1 0 — 1 (M. 5781 C k 0 0 1 0 1 1 Nimmt man als Unbekannte die Differenzen ; — in, = x, 7] — n> 2 = y, £ — w 3 = z, so erhält man Gleichungen von der Form a k x -+- b k y + c k z = u k , wobei die a k , b k , c k die Werthe 1. haben, während die u k sind u x = u 2 = u 3 = 0, «4 = = 4 - 1 1 ; «» — r - 2, 4; « 6 — + 1» 1 . Die zur Aufstellung der Normalgleichungen nöthigen Zahlen sind No. a b c u paa pab pac pbb pbc pcc pau pbu pcu 1 + 1 . 30 . 2 4-1 . 20 O O +1 . . 26 4 — 1 4-1 -u 25 —25 25 27,5 —27,5 5 — 1 4-1 4-2,4 28 . —28 . 28 - -67,2 67,2 6 — 1 4-1 -1,1 44 — 44 44 48,4 —48,4 Summen | 83 —25 -28 89 - 44 98 - -39,7 20,9 18,8 Daher sind die Normalgleichungen 83* * — 25^ — 28 2 = — 39,7 — 25* H- R9y — 44js = 20,9 — 28* — Uy + 98 z = 18,8 . Die Auflösungen dieses Systems sind * = — 0",34 , y = 0",24, z = 0",20 . Die ausgeglichenen Werthe der sechs Winkel sind daher A, B = 48° 17’ r,06, A, C = 96 52 17,04, A, D =152 54 7,00, B, C = 48 35 15,98, B, D =104 37 5,94, C, D = 56 1 49,96 . 918 Ausgleichungsrechnung. 1 Die Summe [/XX] ist 222,44; für das Verhältniss der Gewichte ergeben sich die abgerundeten Zahlen px : p y : pz = 55 : 50 : 55, also sind die Gewichte nahezu gleich gross.*) fi. Kinige Schriftsteller empfehlen zur Erleichterung der Berechnung der Coefficienten der Normalgleichungen das gegebene auszugleichende System a x x -i- b x y + (,? + ,. = «!, 1. a^x y- b^y -+- c 2 z -t- . . = u i , durch das folgende zu ersetzen b , c x ~y -i- L u x J u x b u o *• 2 y - - z 2 «ä • = 1 , • = 1 , Haben die Beobachtungen die Gewichte p u p 2 , . . . p n , so ist die Bedingung zur Bestimmung der Unbekannten aus dem Systeme 2. (a x V («> V p x x + . . . — 1 1 -+- p -2 E ' x ~h . . . — 1 1 = Minimum. Hierfür kann man setzen 3. • ( Pi> P'i< • • • pn die Gewichte zuzuschreiben P I_ Pi, At pn U x 2 • U 2 ’ «.2 ’ • ' • « 2 „ • Hieraus folgt, dass es nicht statthaft ist, das System 1. durch 2. zu ersetzen; sowie, dass es überhaupt nicht statthaft ist, die durch die Beobachtungen gegebenen Gleichungen mit ungleichen Zahlen zu multipliciren. Wenn man indess bedenkt, dass die Bestimmung der Gewichte niemals eine scharfe ist, sondern immer nur auf mehr oder minder unsicheren Abschätzungen beruht, so kann man, wenn man im Interesse einer Abkürzung der Zahlenrechnung es für sehr wtinschenswerth halten sollte, die gegebenen Gleichungen 1. unbedenklich mit Zahlen multipliciren, deren Verhältnisse nicht viel von der Einheit abweichen; insbesondere kann man 2. für 1. setzen, wenn die Uk'.u, für jedes k und i nahezu = 1 ist. Die auf diesem Wege berechneten ausgeglichenen Werthe werden dann nur sehr wenig von dem durch Verwendung des Systems 1. gewonnenen abweichen. 7. Wenn Functionen

• . — 92 > aus denen man zur Bestimmung der £, rj, J . . . die Normalgleichungen ableitet. 8. Beispiel. Um die Lage des Punktes K gegen die Basis AC zu bestimmen, misst man die Strecken AB und B C) sowie die Winkel BCK, PBK, PAK. K Setzt man tangPCK=u x , lang PBK — u s , tangPAK—u 3 , KP A- AC, AC = d y , AB = d 2 , AP= x, PK=y, so hat man zwischen den gesuchten und den beobachteten Grössen die Gleichungen _ y Ul ~ X — d x ’ y x-d. 2 ' y u, = — . d X also eine überzählige Gleichung. Sind x', y Näherungswerthe der Unbekannten, so erhält man für die daran anzubringenden Correctionen 5 , r t die Gleichungen y „ 1 y ^ -p „r - r-T\-ux- x < __ d C P (M. 579.) (*' - d,y y x' — d 2 , 1 _ y (y — d. 2 y ' 5 + y - j n — " 2 d t '' ~ 2 y — d 2 y , 1 y ~ y^'^y' 71- Us ~ x ,; nachdem man alle neun Coefficienten dieses Systems berechnet hat, leitet man die Normalgleichungen ab. 920 Ausglcicliungsrcch nung. § 5. Ausgleichung direkter und vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen. 1. Hat man durch einfache Messung für die Winkel x, _r, z eines ebenen Dreiecks die Werthe c, r |( J gefunden, so wird die Summe ij -+- r ; -t- ' nicht genau 180° betragen. Die Verbesserungen, welche man an den gemessenen Werthen anbringen muss, um die genaue Winkelsumme herzustellen, bestimmen sieh nach der Methode der kleinsten Quadrate in folgender Weise. Sind x, y, z die verbesserten Winkel, so sind x — ;, y — r), z — I die Abweichungen. Die Summe der Quadrate derselben muss ein Minimum werden unter der Bedingung f-sx+y + z— 180° = 0 . Daher hat man (Differentialrechng., § 14, No. 14) das Minimum der Function F s (x - Q* -+- (y - rj)2 -+-(*- i) 2 H- 2 kf zu bestimmen. Flierzu ergeben sich die Gleichungen x — ^ -j- k ^ 0 , y — *)+£ = (>, 3 — : -+- k = o, x —{— y -f- z = 180°. Subtrahirt man die letzte von der Summe der andern, so folgt i = |(! + r, + :- 180°). Hieraus folgen die gesuchten Winkel (5 + rj -f- £ — 180°) , i. a = — HS -f- *1 -i-: — i8o°), * = : - -h tu- i8o°). Der Ueberschuss der gemessenen Winkelsumme über der theoretischen ist daher in drei gleiche Theile zu theilen und jeder der gemessenen Winkel um diesen Theil zu vermindern. Kleinere Dreiecke auf der Erdoberfläche kann man als ebene und ihre Winkelsumme daher als nicht verschieden von 180° betrachten. Bei grösseren Dreiecken, wie sie bei Landesvermessungen Vorkommen, bestimmt man den sphärischen Excess z in Secunden mit hinlänglicher Genauigkeit, indem man den Flächeninhalt A nach den F'ormeln für ebene Dreiecke ermittelt, und alsdann von der Formel Gebrauch macht F ‘ Ri 20(>2P>5 . Hierin ist R der Halbmesser der Kugel, für mittlere geographische Breiten und für Meter ist daher logR = 8,80484. Bei der Ausgleichung der Winkel eines spärischen Dreiecks hat man in I. statt 180° zu setzen 180° -+- s. 2. Hat man für jeden der Winkel eines ebenen Dreiecks n Messungen X i j f 2» • • * t'« j t) j, p g, . . . p« , 31 ’ 3 2 ’ * * * 3« gemacht, die gleiches Gewicht haben, so werden die ausgeglichenen Winkel aus den Bedingungen erhalten »1 2 [(■* — fc) 2 + {y — tv) 2 -+- (z — 3 /) 2 ] -+- '2k(x -hy -+- z — 180°) = Min. “l Hieraus folgen die Gleichungen § 5 ' Ausgleichung direkter und vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen. 921 . 1 , x — l H- k = 0, m y — ui -t- — ^ = 0, J ‘ m 1 k = (), x - 4 - y -+- z = 180°, wobei mit ;, rj, ' die arithmetischen Mittel der für x, y, z beobachteten Winkel bezeichnet worden sind. Dieses System hat dieselben Lösungen, wie das entsprechende System in 1., wenn in 1. k durch k : m ersetzt wird. 3. Hat man für x, y, z der Reihe nach /«, n, r Beobachtungen gemacht, alle von demselben Gewichte, so erhält man zur Bestimmung der ausgeglichenen Wertlie die Bedingung y; (x - &)* + 2 (y - 9<) s + y; (* - 3<) 2 + + y + * - 180°) = Min. 1 1 1 Bezeichnet man wieder mit -, r lt J die arithmetischen Mittel der für x, y, z durch Messung gefundenen Winkel und mit 111 , ll, v die Reciproken von m, n, r, so folgen zur Bestimmung der ausgeglichenen Wertlie die Gleichungen x -— l -+- mk = 0, y — Tj - 1 - nk — 0, z — ? + = 0, x + y -h z = 180°. Aus denselben erhält man, wenn man m + u -t- r = 3 und - + r ( -+• £ — 180° = d setzt, die Lösungen 4. Sind x, y, z nicht Winkel eines Dreiecks, sondern Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks, so gilt für dieselben die Bedingung 1. x' 2 — y 2 — z 2 = 0 . Die arithmetischen Mittel ;, rj, £ kann man als Annäherungen betrachten, so dass man nur die erste Potenz der Correctionen zu beachten braucht; für dieselben folgt aus 1. 2$ . X — 27) • jx — 2£ • v = — $ 2 + V + £ 2 . Die Unbekannten X, |x, v bestimmen sich aus der Bedingung f] (S + * - &)* H y, (yi + p - 9/)» + S « + v - 3/) 2 + 2X-(2£X — 2r)[x — 2£v + » — r, 2 — £ a ) = Min. Man erhält die Gleichungen X - 1 - 2nt ■ k\ == 0, p. — 2 n • kt\ = 0, V — 2 r • kr = 0, 2;X — 2»px — 2£v = — $ 2 + ?) 2 -k £ 2 . . Hieraus folgt 4k(ml' 2 -t-nr; 2 + v£ 2 ) = « — r 2 — £ 2 . Setzt man _ ^2 _ z 2 = -2d, m« + UT) 2 -+- r£ 2 = 4, so ergeben sich die ausgeglichenen Werthe 922 Ausgleichungsrechnung. X = 5 + X = $ ^1 — , y =■■ r i -+■ p = ^ (i -+- f^)> ; = : + , = : HI 5. Nach diesen Beispielen wenden wir uns zu einem allgemeineren Falle. Sind für die Unbekannten x 2 , x 3 durch direkte Beobachtung die Werthe U> £ 3 * • • • mit den Gewichten p x , p 2 , p. 6 . . . gefunden worden und werden die x durch q lineare Bedingungen verbunden /i 255 a n x i + a st x. i -t- a 3 ^x 2 ■+ . . . — b x =0, 1 • p 2 ^ 12 ^ 1 “P S(f ox , = 0 , worin die Unbekannten x i , . . . durch die beobachteten Werthe zu ersetzen sind. Hierdurch kommt man auf den Fall linearer Bedingungsgleichungen zurück (Vergl. das Beispiel in No. 4). 7. Beispiel. A. Zur Bestimmung der Fläche eines Dreiecks hat man dessen Seiten x 1 , y', z\ sowie die zugehörigen Höhen u', v’, w' gemessen, und die Werthe erhalten x, y, z, u, v, w . Die zu bestimmenden Grössen sind ditrch die beiden Gleichungen verbunden 1 x' u' — y'v’ = 0 , x' u' — z'w' — 0 . Bezeichnet man die an x, y . . . anzubringenden Verbesserungen mit l, 9, 3 , u, B, », so hat man für dieselben die aus 1. folgenden Gleichungen f = ul -+- a:u — VX) — _yu -+- xu — yv = 0 . (f = Ul -+- JClt W 3 — Z1B + XU — zw = 0. Zur Bestimmung der Gorrectionen, sowie der Correlaten k l und k 2 , folgen aus der Bedingung § 5- Ausgleichung direkter und vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen. 923 9 2 + ty 2 - die Gleichungen 3 . --I- b 2 2 kJ 2 k , 2 -f = Minimum. V -t- U (k j -f- 9 — vk x = 3 — wk . 2 = lt -t- -V (V ^ -+• »— y k \ = 1« — zk . 2 = *) = 0, k 0, 0, *») = l>. ü, 0. Die aus diesen (Gleichungen folgenden Werthe von jr, 9, 3, tt, », it 3 setzt man in 2. ein; dadurch erhält man (" 2 (u 2 X* V* X 2 ) k x -b^ 2 )/r, H (k 2 -4- x 2 (« 2 x 2 )k 2 = xu — yv, Aus diesen beiden Gleichungen berechnet man die Gorrelaten i t , « 2 , ein, 2 )k t — xu — zw . k 2 \ setzt so erhält man die Correctionen die für dieselben gefundenen Werthe in 3 r , 9. 3, ». *. »• Mit Hülfe derselben ergeben sich die ausgeglichenen Werthe -v' = x -+■ 9 , _/ = y -+- 9 , z’ = z + J, u' = u - 1 - tt, v' = v -t- b, w' = w -+-113. Die aus denselben berechneten Produkte x 1 u’ , y v' , z'w' stimmen bis auf Grössen erster Ordnung in Bezug auf die Gorrectionen miteinander überein. B. In einem Dreiecke hat man für die Seiten x', y', z’ und die gegenüber liegenden Winkel u', v', w' durch direkte Beobachtungen von gleichem Gewichte die Grössen x, y, z, u, v, w gefunden. Zwischen den zu bestimmenden Grössen bestehen die Gleichungen u' y- v' y- w' — 180 ° = 0 , 3 . x'cos v' y- y'cos u' — z’ = 0 , x'cosw' -t- 2'cos u' — y’ = 0, von denen nur die erste linear ist. Bezeichnet man die an den beobachteten Grössen anzubringenden kleinen Verbesserungen der Reihe nach wieder mit 9, 9, 3, tt, 10, 13 , und setzt u 4- v -+- 20 — 180 — a , x cos v y- y cos u — z = b , x cosw -1- z cos u — y = c , so erhält man für die Verbesserungen die Bedingungsgleichungen / = tt + ü + |[ + « = 0, 4 . 3p = cos v ■ 9 — x sin v • ü - 4 - cos u • 9 — y sin u ■ u — 3 -+- b = 0 , == cosw ■ 9 — xsinw Aus der Bedingung 113- r u • 3 — z sin u ■ u — 9 4- c — 0 . 9 2 + 9 2 + 3 2 + tt 2 -V 13 2 + tu 2 + 'lk x f y- 2 ^ 2 cp + 2^31 |1 = Min. y- k„ cos w = 0 , k. = ü, folgen die Gleichungen 9 -+ 9 A b - 11 -t 13 -f- k\ — k . 2 ■ xsinv = 0 , lt' - 4 - k ! Substituirt man die aus 5 . k„cos u k 2 y- k 3 cos u = 0 , ky k 2 ysinu — k t • zsinu = 0, k, • xsinw = 0 . folgenden Werthe der Verbesserungen in 4 ., so 924 Ausglcichungsrechnung. ergeben sich drei lineare Gleichungen für die Correlaten k t , k 2 , /4 3 und nach Auflösung derselben aus 5. die Unbekannten. 8. Hat man zur Bestimmung der Unbekannten x, y, z, . . . . die Werthe 1 , U 2 , U 3 , . . . , ll n der Functionen y> z > ■ • •). ?2 (-u y> z > ■ • •) t cf u (x,y,z, . . .) beobachtet, und bestehen zwischen den u die Bedingungsgleichungen /(»i. ^2 ’ u. it . ■ •) = o, ■rOi. 1l 2 , « 3 , . • .) = 0, h(u 1 , u t , « 3 , • © II so hat man zunächst die Beobachtungen der a nach dem bisher Mitgetheilten auszugleichen und mit Benutzung dieser ausgeglichenen Werthe das in § 4 angegebene Verfahren einzuhalten. 9. Sind zur Bestimmung der Unbekannten x, y, z, . . . die Werthe U\ t , U 3 , . . . , U n der linearen Functionen ti t x 4- b l y 4- c 1 z -t- . . . , a 2 x 4- b. 2 y -+- c 2 z a, t x -4- b n y -f- c„z -+- . . . beobachtet worden, haben diese Beobachtungen die Gewichte P\> Pi< • • ■ ■ Pn und bestehen zwischen den Unbekannten die linearen Gleichungen /j = et,* 4- ßjj + YjZ + . . . = 0, 2. / 2 = '+/ \ dy ) ‘ 4. Halbirt man die Anzahl a x der das arte Jahr vollendenden Personen und sucht das Lebensalter £ auf, welches von ^ a x Personen erreicht wird, so ist die Wahrscheinlichkeit einer a jährigen Person, das f te Lebensjahr zu vollenden, gleich 1 : 2; man bezeichnet daher Sj als die wahrscheinliche I,ebensdauer einer gegenwärtig x Jahre alten Person. So ist z. B. für eine männliche Person « 35 = 51372, 4« 38 = 25686. Die letztere Zahl liegt zwischen den beiden zu 63 und 64 Jahren gehörigen « G 3 = 26658, « G4 = 25378. Man denkt sich nun die bei den « 63 Personen im Laufe des 64. Lebensjahres eintretenden Todesfälle auf das Jahr gleichmässig vertheilt; unter dieser Voraus Setzung würden a 6S — i « 3 5 = 26658 — 25686 = 972 Personen vom 64. Lebensjahre noch den Bruchtheil «63 i«3 5 9^2 - - lOOA ““ V; lb «6 3— «6 4 7280 verleben; daher ist die wahrscheinliche Lebensdauer einer im 36. Lebensjahre stehenden Person 63,76 . 5. Zum Zwecke einer vereinfachten Berechnung der Tafeln für Rentenversicherungen wurde bereits im Jahre 1724 von Moivrf. der Versuch gemacht, eine Formel aufzustellen, welche die Zahlen a x als Function des Lebensalters angiebt; gestützt auf die älteste von Hai.ley 1693 entworfene Sterblichkeitstafel schlug Moivre die Formel vor a x — 86 — x , durch welche die Zahl derer angegeben werden sollte, welche von 86 gleichzeitig Geborenen das xte Lebensjahr erfüllen. ' Weder dieser Versuch, noch eine grössere Anzahl nachfolgende Versuche können als gelungen bezeichnet werden. Von einer berechtigten theoretischen Grundlage ausgehend, kam Gompertz zu einer Formel, die zwar noch nicht die Tabellen genügend deckte; es gelang aber im Anschlüsse an Gompertz’s Grundgedanken Makeham und Lazarus, das GoMPERTz’sche Gesetz so zu ergänzen, dass die Sterblichkeitstafeln mit völlig genügender Genauigkeit dadurch dargestellt werden. 59 93 2 Renten-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. 6. Nach Gompertz *) denkt man sich den Widerstand einer grossen Anzahl gleichaltriger menschlicher Organismen gegen die Zerstörung mit der Zeit dergestalt abnehmend, dass er im Verlaufe jedes verschwindend kleinen Zeitelementes sich auf denselben Bruchtheil des ursprünglichen Betrags vermindert. Setzt man den anfänglichen Betrag dieses Widerstandes w, und nimmt an, dass derselbe bis zum Ende des ersten Zeitelementes auf pw (J> < 1) herabgesunken ist, so ist er am Ende des 2., 3., 4., . . . m ten Zeitelementes wp , wp' 1 , wp' 6 , . . . wp ’". Nimmt man an, dass eine Zeiteinheit (Jahr) n Elemente enthalte, und dass am Ende eines Jahres der Widerstand den Betrag habe, so ist wp x P i = P n > und nach x Jahren ist der Widerstand wp x x . Das Reciproke der Widerstandskraft bezeichnet Gompertz als Todeskraft, und nimmt an, dass die Anzahl derer von «^jährigen Personen, die im nächsten Zeitelemente dx sterben, durch das Produkt von dx mit a x und der Todeskraft gewonnen werde, also den Betrag habe n .. dx . wp x Ersetzt man hier 1 : w und 1 : p x bez. durch b und q, so erhält man a x • bq x dx. Diese Anzahl ist aber auch, wenn man die Sterblichkeitsliste für verschwindend kleine Intervalle dargestellt denkt, entgegengesetzt gleich dem Differentiale da x . Daher hat man die Differentialgleichung da x = — a x • bq x dx . Aus derselben ergiebt sich sofort und daher la x b_ • q x -+- Const. I. a x = c ■ K1 X , wenn man zur Abkürzung setzt K = e ig . Bei geeigneter Wahl der Constanten c, K und q verträgt sich das GoMPERTz’sche Gesetz (1.) sehr gut mit den vorhandenen Sterblichkeitstafeln für die Lebensjahre 20 bis GO, ergiebt aber stärkere Abweichungen für die Sterblichkeit im früheren und im späteren Alter. 7. Um diese Abweichungen zu beseitigen, nahm Makeham neben der von Gompertz eingeführten vom Alter abhängigen Todeskraft noch eine während des ganzen allmählichen Absterbens des Complexes von gleichaltrigen Personen beständig wirkende an. Wird dieselbe mit ß bezeichnet, so ergiebt sich und hieraus folgt — da x = a x 4- ~ q*j dx, a x = c • Kl* h x *) Gompertz, On the nature of the function expressive of tlie law of human mortality and a new method of detennining the value of life contingencies. l’hilos. Transact. 1825. § 2. Zinseszins- und Rentenrechnung. 933 wenn man durch h ersetzt. Dieses Gesetz ist als das GoMPERTZ-MAKEHAM’sche Sterblichkeitsgesetz bekannt. Dasselbe stellt sehr gut die Sterblichkeit vom 15. Lebensjahre an aufwärts dar. Um auch für die ersten 15 Lebensjahre Uebereinstimmung zwischen dem Gesetze und den Tabellen zu erzielen, ergriff Lazarus (1867) das Auskunftsmittel, zu der veränderlichen Todeskraft a x q x noch andere mit abweichendem Dignanden zu nehmen, so dass die Todeskraft dargestellt wird durch die Summe ß 4- b x q* 4- b g q x x 4- b 3 q s * 4- . . . Es erwies sich als vollkommen genügend, diese Reihe auf die ersten drei _ Ai Glieder zu beschränken. Wie man sieht, ergiebt sich hieraus, wenn man e 4, mit H bezeichnet a* = c • h*K Pi > Pi < Pi < P\ i Pi > /4 7 > Pi ’ Hieraus folgt, dass die Näherungswerthe Pu Pi’ Pi’ Pi’ ■ sich einer bestimmten Grenze nähern; auf so viele Decimalstellen zwei folgende Näherungswerthe übereinstimmen, auf ebenso viele Stellen stimmen sie mit dem gesuchten Zinsfusse p überein. Beispiel. Wie gross ist der Zinsfuss, zu welchem 20000 Mark bei jährlichem Zinseszins in 18 Jahren 4 Monaten auf 43000 Mark anwachsen? Hier ist c ■ § 2. Zinseszins- und Rentenrechnung. 20000, k = 43000, n = 18, / = z-! = ‘j/2,1500 = 1,0435, tp 10 935 Man erhält 1 + 100 = 1 ’ 0145, r * = :'yi-0145 = 1,0426, 1 + iWA = 1,0142, z -3 = r, :‘Vl,0142 = 1,0426. 100 Da /" 2 und z- ;f bis auf fünf Ziffern tibereinstimmen, so folgt mit einer Genauigkeit bis auf die Hundertel p = 4,26. 4. Zur Bestimmung der Zeit aus k und p bildet man die Gleichung tp' 1ÖÖ > Da tp n log r -+- log I 1 0 + ioö) = log k — log c. 1 4 - 100 < r, so ergiebt sich n aus dieser Gleichung als die ganze Zahl des Quotienten {log k — log c) : log r , der Divisionsrest ist /0g ( J + 1(X>) ’ und liefert den Zeitrest t. Beispiel. In wie viel Jahren wächst ein Kapital durch jährlichen Zinseszins zu 4.J j auf den 3fachen Betrag an? Aus log{k:c) — 0,47712, log r = 0,01912 folgt log{k:c) = ‘iA • logr -t- 0,01824, also n = 24. Da nun 0,01824 = log 1,0429, und 4,29 : 4,5 = 0,95, so ergiebt sich als Antwort 24,95 Jahre. 5. Bezeichnet man mit p die Verzinsung auf Hundert und ein Jahr, und werden die Zinsen am Ende jedes z«ten Theiles eines Jahres kapitalisirt, so ist nach n Jahren das Endkapital , . r, . too,«n />« * = p V"“- . U, , ) r , . 100 ,,n , I 1 + .L T1 lOümJ J 100 m) " LV* ‘ 100 m j Wächst m unendlich, werden also die Zinsen continuirlich kapitalisirt, so erhält man k — c t!L „100 Von der Annahme einer continuirlichen Kapitalisirung macht man bei einigen Aufgaben mit Vortheil Gebrauch. 6. Wenn man sich für n auf eine ganze Anzahl von Jahren, bez. auf eine ganze Anzahl solcher Zeitabschnitte beschränkt, nach deren Verlauf die Zinsen kapitalisirt werden, so giebt die Formel k = c • r tl sowohl den Werth an, den ein Kapital c nach Verlauf von n Jahren erreicht, als den Werth, den ein vor n Jahren ausgeliehenes Kapital haben musste, um bis jetzt zu dem Betrage k anzuwachsen, wenn nur in diesem Falle die Zahl n — entsprechend einer Zeitbestimmung in der Richtung der Vergangenheit — negativ gerechnet wird. Soweit es sich um Kapitalien handelt, bei denen für die in Frage kommenden Zeitabschnitte eine Vermehrung durch Zinseszins bei gleichbleibendem Zinsfusse • re 936 Rentan-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. stattfindet, hat man sich den Werth eines Kapitals in stetiger Veränderung begriffen zu denken; der nach Ablauf einer ganzen positiven oder negativen Anzahl von Jahren erreichte Werth einer Summe, die heute c Mark beträgt, ist k — c • r H Diesen Werth k bezeichnet man als den Zeitwerth der Summe c, und zwar als den Vorwerth oder Nachwerth, je nachdem n positiv oder negativ ist. 7. Anstatt eine Zahlung c zu einer bestimmten Zeit zu leisten, kann man an einem um «(positive oder negative) Jahre davon entfernten Zeitpunkte den für diesen Zeitpunkt berechneten Zeitwerth von c, d.i.tr- r H zahlen; handelt es sich um einen Vorwerth, so kann der Gläubiger vom Schuldner billigerweise nicht mehr verlangen; im Falle eines Nachwerths muss der Gläubiger so viel verlangen, wenn er nicht Schaden haben soll. Aus diesem Grundsätze ergiebt sich sofort folgende Regel für die Aequi- valenz von Zahlungen: Eine Reihe Zahlungen, die zu bestimmten Zeiten zu leisten sind, kann durch eine andere Reihe von Zahlungen, die zu anderen bestimmten Zeiten geleistet werden, ersetzt werden, wenn nur für beide Reihen von Zahlungen die für einen beliebig gewählten Zeitpunkt berechneten Summen der Zeitwerthe einander gleich sind. Hat man nach t x , / 2 , / 3 , . . . t r Jahren die Summen a v a 2 , a v . . . a r zu bezahlen, so kann man dafür nach t t , t 2 , t ;l , . . . tg Jahren die Summen a t , fl 2 , a 3 , . . . «3 zahlen, wenn die für das Ende des xten Jahres berechneten Zeitwerthe gleich sind -t- n 2 *2 -+- a 3 «r-t .3 a l r x ~ t i -t- a 2 r*-‘i -t- a 3 r*~h + . . . Wenn diese Gleichung für irgend einen Werth von t identisch ist, so ist es auch für jeden andern; denn wenn man x durch eine andere Zahl j ersetzt, so ändern sich alle Glieder der Gleichung um denselben Faktor r*~~. 8. Werden mehrere gleiche Zahlungen R (Renten) in jährlichen Zwischenräumen im Ganzen «mal geleistet, so ist deren Werth bei Auszahlung der letzten Rente I)a S — Rr x ~ l -+- Rr *~ 2 + Rr + R , = R(r n ~ 1 -t- r n ~ 2 + ... + «+ 1), = R r -^±. r — 1 = p : 100, so hat man schliesslich 100 R S = ■ (r« — 1). Dieselbe Formel ist auch dann verwendbar, wenn die Rente nicht jährlich gezahlt wird, sobald dabei die Zinsen nicht jährlich kapitalisirt werden, sondern an denselben Terminen, an welchen die Renten zahlbar sind; der Zinsfuss p hat dann eine entsprechend veränderte Bedeutung. Werden z. B. 20 Renten von je 1500 Mark in vierteljährlichen Abständen bezahlt, und die Zinsen zu 5$ vierteljährlich kapitalisirt, so ist der Zeitwerth aller Renten bei der Auszahlung der 20ten 5 = 0’ 012520 - ')• 9. Wird ein Kapital C (M i s e) zu jährlichem Zinseszins zu p% angelegt, und § 2. Zinseszins- und Kostenrechnung. 937 von demselben in jährlichen Abständen, beginnend ein Jahr nach Anlegung der Mise, eine Rente R bezogen, so ist der Kassenbestand K unmittelbar nach der Auszahlung der //len Rente vermehrt um den Zeitvverth aller n Renten gleich dem Zeitwerthe der Mise, alles berechnet für die Auszahlung der letzten Rente. Daher hat man die Gleichung C • r' 1 100 z? p (r»~ 1) -+- K. Je nachdem R > 100 ist K=C. < Cp ’ 10. In letzterem Falle kann eine vollständige Verzehrung der Mise eintreten; aus der Bedingung K — 0 ergiebt sich folgender, als Rentengleichung be- zeichneter Zusammenhang zwischen C, R, p und n Hieraus folgt C • z"‘ = 100 j? P (r u — 1). die Mise die Rente C = R = mR r n. P l r*)’ 100 V r ") 11. Eine gegebene Mise C kann durch eine gegebene Rente R bei gegebenem Zinsfusse p im Allgemeinen nicht vollständig aufgezehrt werden; die Auszahlung von Renten wird solange erfolgen, bis ein Kassenbestand K übrig ist, der mit den einjährigen Zinsen zusammen weniger als R beträgt. Man hat alsdann die Aufgabe zu lösen, die grösstmögliche Anzahl von Renten, sowie den nach Auszahlung der letzten Rente verbleibenden Kassenrest zu bestimmen. Die Gleichung No. 9 ergiebt folglich ist 1. n log r -t- ^{ 1 ~iSr) 1 Kp mR ’ SP 100Ä ) -1 Nach der Voraussetzung ist K < R r Hieraus folgt die Ungleichung Kp __ p ^ p 100-ff < 100z-’ C ' '' < 100 4- p‘ Hieraus folgt 1 — Kp > 100 d. i. >!. r 100z- •" 100 + p’ Nach Gleichung 1. wird daher n als die ganze Zahl des Quotienten Cp log O-wz) r '- logr gefunden; der Divisionsrest ist HKG?) 1 und dient zur Bestimmung des Kassenrestes K. Beispiel. Eine Rentenanstalt gewährt für eine bei Vollendung des 18. Lebensjahres eingezahlte Summe von 344,28 Mk. vom Ende des 50. Lebensjahres an lebenslänglich jährlich 100 Mk. Rente; auf wie viele Jahre ist der 93 » Renten-, Lebensr und Aussteuer-Versicherung. Genuss der Rente berechnet und wie gross ist nach Verlauf dieser Zeit der enrest, wenn die Die Mise beträgt Kassenrest, wenn die Gesellschaft die Verzinsung zu 4{j- ansetzt? Daher ist Hieraus folgt _CP_ 100A' 344,28 • 1,04 81 . 344,28 • 1,04 31 - 4 10000 = 0,46440 log (■ - Troff) »■ 27116 . -+- R — 0, oder 0 . Die Division durch logr = 0,01703 ergiebt * = 15, %(l-T(§^) 1= 0,01571, also K = 3,68 • R : p = 92 . 12. Um p zu bestimmen, ersetzt man in der Rentengleichung / durch 100 (r — 1) und erhält Cr ’ 1 = ^zrj( r “ — i)» woraus die Gleichung fitr r hervorgeht Cr «+1 — (C + R)r’‘ , r r i r l. ^1 In diese Gleichung setzt man versuchsweise ' P = l; 2; 3; 4; 5, . . . also r = 1,01; 1,02; 1,03; 1,04; 1,05; ... und setzt diese Versuche so lange fort, bis man zu zwei auf einander folgenden Werthen p x und p 2 von p gelangt, für welche die linke Seite der Gleichung 1., die wir abkürzungsweise mit y bezeichnen wollen, entgegengesetzte Werthe erhält. Man kann r als Abscisse, y als Ordinate eines Punktes betrachten. Die Curve r R 1 R y = rH [ 1 + c- r \-c schneidet alsdann die Abscissenachse in einem zwischen r x und r r/ gelegenen Punkte. Man erhält die Abscisse des Schnittpunktes angenähert, wenn man den zwischen den Abscissen r x und r 2 enthaltenen Curvenbogen mit der durch seine Enden bestimmten Sehne verwechselt. Die Abscisse r z des Schnittpunkts der Sehne mit Abscissenachse erhält man aus der Proportion R X 'I y : /y/y = P x p x : P 2 P 2 ’, d.i. (r 3 — r,):(r 2 — r z ) =y t :y a - Hieraus folgt r , — r. (M. 580., Pi +y 2 ' yi ’ wenn y 2 den absoluten Werth von P 2 P 2 bezeichnet. Hierauf berechnet man die zu r., gehörige Ordinate _y :l , und wiederholt dann dasselbe Verfahren, indem man y 3 mit derjenigen der beiden Ordinaten P X 'P X und P 2 P 2 zusammen nimmt, welche mit y s nicht dasselbe Vorzeichen hat u. s. w. bis man durch diese fortgesetzte Interpolation zu einem Werthe r gelangt ist, für welchen der zugehörigeWerth vonjy hinlänglich genau mit Null übereinstimmt. § 2 . Zinseszins- und Rentenrechnung. 939 Beispiel. Für C = 28000, R — 3000, n - 12 erhält man R £.= 0,10714; für p = 3; 4; 5; folgt y = -+- 0,00299; -+- 0,00034; — 0,00349. Ersetzt man in der für r 3 gegebenen Interpolationsformel r ■ r. durch 0,01, y 1 durch 0,00034, y 2 durch 0,00349, so erhält man r 3 = 1,0489 . Der zugehörige Werth von y ist -+- 0,00001, also mit Null hinlänglich genau übereinstimmend. Daher ist p = 4,89 . 13. Wenn die am Ende jedes Jahres zahlbare Rente R durch m gleich grosse in gleichen Zwischenräumen zahlbare Renten R' ersetzt werden und die erste Zahlung 1 : m Jahr nach Einlegung der Mise erfolgen soll, so hat man R' so zu wählen, dass die Summe aller Einzelzählungen R', jede vermehrt um die bis zum Jahresschlüsse von ihr gebrachten Zinsen, gleich der jährlichen Rente R ist. Man hat daher die Gleichung m -1 o ^ J pR' = mR' -+- = R’ ,0 lOOw m — i). / • 200 l )- Beispiel. Soll die Rente R 1 vierteljährlich bezahlt werden und ist p = .5, so ist R = 4 ~ • R', R' = 0,24540 • R . 14. Für manche Aufgaben aus dem Versicherungswesen ist die Betrachtung einer continuirlichen Rente unter gleichzeitiger Anwendung continuirlicher Capitalisirung der Zinsen von Bedeutung. Bei continuirlicher Verzinsung (No. 5) wächst die Einheit des Kapitals in ajahren an auf „100 _ /:100 mit v bezeichnet wird. Bezeichnet p die Summe aller der Beträge (ohne Rücksicht auf Zeitwerth), die während einer Zeiteinheit als Rente gewährt werden, so ist die in dem Zeitelemente dy erfolgte Rentenzahlung p dx , und daher der Werth der in .vjahren bezahlten continuirlichen Rente, berechnet für den Zeitpunkt der Auszahlung der letzten Rente S = Jv x pdx = (p x — 1) • Die Summe R der Zeitwerthe aller im Laufe eines Jahres gezahlten Renten, für das Ende des Jahres berechnet, entsteht hieraus, wenn man x = 1 setzt; man erhält 100p R = • (» — 1 ) • Durch Division ergiebt sich aus diesen beiden Gleichungen v x — 1 v — 1 S = R • 94 ° Renten-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. Die unmittelbar vor Beginn der Auszahlung dieser Rente eingezahlte Mise C hat sich in x Jahren vermehrt auf Cv x . Vergleicht man dies mit dem fiir S gegebenen Werthe, so erhält man die Rentengleichung für den Fall der continuirlichen Rente v x — 1 Cv x = R • v — 1 15. Die Zurückzahlung (Tilgung, Amortisation) einer Anleihe C erfolgt in der Regel so, dass der Schuldner (Staat, Gemeinde, Actiengesell- schaft u. s. w.) eine bestimmte, unveränderliche Summe R alljährlich auf Verzinsung und Zurückzahlung verwendet; was man von dieser Summe nicht zur Bezahlung der Zinsen auf den noch nicht zurückgezahlten Theil der Anleihe braucht, wird zur Zurückzahlung eines Theils der Schuld verwendet. Der Zusammenhang zwischen C, R, dem Zinsfusse p und der Dauer n der Amortisation ergiebt sich aus der Bemerkung, dass man die Gesammtheit der Gläubiger als einen Rentengläubiger ansehen kann, der jährlich die Summe R so lange erhält, bis das Kapital C aufgezehrt ist. So lange nur die Zinsen des Kapitals an die Gläubiger bezahlt werden, ändert sich die Schuld nicht; daher ist die Schuld C die Mise für die Rente R und man hat 100 .ff, C ■ r« = — (r>‘ — 1) . P Hat man ein System von zusammengehörigen Werthen C, R, p und n ermittelt, so gilt es nun, den Tilgungsplan zu entwerfen; in demselben ist anzugeben, wie viel jährlich zur Verzinsung des Anleiherestes und wie viel zur Tilgung zu verwenden ist. Hierbei setzen wir voraus, dass die Schuld in Abschnitte (Staatsschuldscheine, Prioritätsobligationen u. s. w.) zerlegt ist, von denen wir der Einfachheit wegen annehmen, dass sie alle auf den gleichen Betrag A lauten. Man hat bei der ersten Tilgung noch die Zinsen der ganzen Anleihe zu bezahlen, also pC\ 100, und kann daher zur Tilgung verwenden D _ 100 • Ist q x die ganze Zahl des Quotienten und p t der Rest, so werden q t Schuldscheine im Gesammtbetrage q x A getilgt, und der Rest pj zu p$ verzinslich angelegt. Am Ende des zweiten Jahres hat man die Zinsen auf C q x A zu bezahlen; zur Tilgung ist daher verfügbar R - (C-q x A) und ausserdem noch der durch die Zinsen eines Jahres vermehrte Tilgungsrest p 1( also zusammen R — (C — q x A) -+- p x r . Man tilgt hiernach am Ende des 2. Jahres so viele ( und der durchschnittlich auf eine Person entfallende Betrag ist R ■ 1 O-x+n = R- 1 • m , r K a x r n wenn w die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass eine heute x Jahre alte Person noch « Jahre lebt. : ) Aelinliche Vorschläge macht Möllinger, Das cyclische Verwaltungssystem. Zürich 1879. 944 Renten-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. 2. Hat eine heute n jährige Person lebenslänglich eine Jahresrente vom Betrage 1 (Mark, Gulden, Franken) zu beziehen, und erfolgt die Zahlung am Ende jedes Jahres, so ist der auf heute berechnete Werth der lebenslänglichen Rente 1. R x = d'n \ 1 1 #«-)-2 1 «x+3 1 a„ r a, t r l a n r* Diese Reihe hört auf, sobald in der Sterblichkeitstafel a„+ z = 0 ist. Wird die Rente praenumerando gezahlt, so vermehrt sich die Reihe 1. um die heute zahlbare Rente; bezeichnet man die praenumerando zahlbare Rente mit so hat man daher n r, n n 2. ,ff = 1 + .ff, . Wenn eine n — s jährige Person heute eine Summe C bezahlt, um damit eine nach Vollendung des wten Lebensjahres beginnende lebenslängliche jährliche Rente 1 zu erwerben, so hat man durch Vergleichung der auf heute berechneten Zeitwerthe -• i*; —s denn der heutige Werth der 1., 2., 3., . . . Rente ist r s 1 1 a„- s t* ' #«4-l a„ - s r *+1 a>i +3 (In —s Diese Grössen erhält man aus dem 1., 2., 3., . Multiplication mit dem Faktor 1 r *+-l ’ ‘ ’ ’ Gliede der Reihe 2. durch 1 r‘ 3. Eine Person macht zu verschiedenen Zeiten ungleiche Einzahlungen, um dadurch eine am Ende des n ten Lebensjahres beginnende jährliche Rente zu erwerben; wie gross ist dieselbe? Die gesuchte Rente wird gefunden, indem man nach No. 2, 3 für jede einzelne Einzahlung die Rente berechnet und alle diese Renten addirt. Die am Ende des (n — r)ten Jahres geleistete Einzahlung C gewährt die jährliche Rente G, wenn C = • — • G ■ ’R ; r s a„- s 1 daher hat man (In- Cln r*C: X R. Sind die Einzahlungen C, D, E, . . . am Ende der Lebensjahre n — s, n — /, n — v, . . . erfolgt, so ist daher die dafür erworbene Rente G = (a n - s r s C -+- a n - t r l D + a„-„r"E x Ra„. 4. Eine n — s jährige Person will durch e gleiche jährliche Einzahlungen P (e < $), die am heutigen Tage beginnen sollen, eine jährliche Leibrente 1 erwerben, die nach s Jahren zum ersten Male ausgezahlt werden soll. Wie viel beträgt P (die Prämie)? Wenn anstatt P die Zahlung 1 jährlich erfolgte, so würde der auf heute berechnete Werth der Zahlungen der Unterschied einer heute beginnenden lebenslänglichen Rente _ y und einer nach Vollendung des (n — s + r)ten Jahres beginnenden sein. Der heutige Werth der letzteren ist § 3* Berechnung der Prämien ftic Renten-, Lebens- lind Ausstuierversiclierung. 945 n~~s-\~e ' uiuii /au vvn -* uu R. (lns+e 1 a„s r e ' Daher hat man zur Bestimmung; von P die Gleichung a„ J_ (Ins l' s 5. Bei den in No. 2, 3, 4, angegebenen Formeln ist vorausgesetzt worden, dass beim Tode einer versicherten Person die Erben keinen Anspruch an die Bank machen, sondern die Bank der Erbe der an sie geleisteten Zahlungen ist. Wenn der Versicherte stirbt, ehe er in den Rentengenuss eingetreten ist, oder erst kurze Zeit nach Eintritt in denselben, nachdem er also auf seine Einzahlung hin sehr wenig an Rente zuriickerhalten hat, so werden die Erben offenbar benachtheiligt. Man hat daher solche Versicherungen eingerichtet, bei denen beim frühzeitigen Tode des Versicherten von der Bank eine entsprechende Zahlung an die Rechtsnachfolger geleistet wird. Wir wollen annehmen, dass sich die Bank verpflichtet, beim Tode des Versicherten die haar eingezahlten Prämien (ohne Zinsen) zurück zugewähren, wenn der Versicherte stirbt, ehe er in den Rentengenuss eingetreten ist; wenn er bereits einige Renten bezogen hatte, so soll der Unterschied der haar gezahlten Prämien und der Renten zurückgewährt werden. Wir beschränken uns hier darauf, unter diesen Voraussetzungen die Zahlung C auszurechnen, die eine (n — s) jährige Person zu leisten hat, um eine vom Ende des n ten Jahres beginnende Rente Di zu erwerben. Wenn die Person im 1, 2, 3, . . . rten Jahre nach Abschluss des Versicherungsvertrags stirbt, so hat die Bank die volle Einzahlung C zurückzugeben; die auf heute berechneten Zeitwerthe aller dieser Zahlungen sind fi - —- 1 ) - + fi - a ’‘- * + A 1 +.. + fi _ ^ ) M c. \ aus ) r \ a„- s ) r 1 \ a n - s ) r s j Wenn die Person im (// -+- z')ten Lebensjahre stirbt, so zahlt die Bank müden Betrag C vermindert um die ersten i Renten, also C — AK zurück. Der heutige Werth dieser Zahlung ist Der heutige Werth dieser letzteren Zahlungen zusammen genommen ist 25«) •(C— 4 Di) + ... Diese Reihe ist nur soweit fortzusetzen, als die Differenz C — «Di positiv ist, denn die Bank zahlt nur so lange an die Erben, als die baar gezahlten Renten zusammen weniger betragen,' als die Einlage C. Ist daher i die ganze Zahl des Quotienten C : Di (so dass also C : Di aus der ganzen Zahl i und einem echten Decimalbruche besteht), so ist die gesammte Leistung // der Bank an die Erben, reducirt auf den heutigen Tag, Ä _a + .u.u..+4,v __ ( — \ a„ a„— j +2 t a n - — Setzt man zur Abkürzung Schlobmilch, Handbuch der Mathematik. Ed. II J .., c f-S+t I 1 (ln — r 2 + a n — s r s+/ -±-\ r S+! J (. a,i+ 1 \_2 ( a„+2 \ _ _ _J_ f _ «»-wY V a “ J aus) "■ r*+/ y a n : s )_ C •Di. 6o 946 Renten-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. H = A ■ C -+- B • 9t, so hat man daher zur Bestimmung von C die Gleichung C=A-C+JB-fR + —- ° n t R-% i. T s (l n ~ s 6. Zwei Personen A und B, die erste m Jahre alt, die andere n Jahre, beziehen vom Ende des nächsten Jahres an eine Rente 1, die so lange ausgezahlt wird, als beide Personen am Leben sind; wie gross ist der heutige Werth dieser Rente? Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Personen nach i Jahren noch leben, ist &M+Z &n+i t folglich ist der gesuchte Werth m iP a m+ 1 a n + 1 K , = - • - 1 n... fi a,n +2 @ul a,i+% a n Soll die Rente praenumerando gezahlt werden, so ist der heutige Werth t/i, n m, n \R = i -+- R\ > da zu den obigen Zahlungen noch die heute fällige Zahlung 1 addirt werden muss. Man kann das Paar A, B als ein Ganzes ansehen und sich eine Sterblichkeitstabelle für Paare, deren Theilnehmer heute m und n Jahre alt sind, entwerfen; wenn dieselbe mit dem Produkte d-m, n === d-n beginnt, so würde, falls alle B am Leben blieben, nach i Jahren infolge Absterbens der Personen A die Anzahl der noch lebenden Paare dm+i dn sein; da aber von a„ Personen B nur noch a, l+ ; am Leben sind, so vermindert sich die Anzahl der lebenden Paare in demselben Verhältnisse, also erhält man für die Zahl der nach i Jahren noch lebenden Paare «-+-*' == ' dn-\-i • Hieraus folgt sofort, dass alle in Bezug auf Rentenversicherung einer einzelnen Person geltenden Formeln auch auf Rentenversicherung für Paare gilt, wenn man nur statt der Zahlen a H+s die Zahlen a m+s> H+s setzt. 7. Ist die Rente zahlbar, solange von den beiden Personen überhaupt noch eine lebt, also bis zum Tode der zuletzt sterbenden, so ist in n K l an Stelle der Zahlen a n+s : a„ die Wahrscheinlichkeit dafür einzuführen, dass nach r Jahren noch eine der beiden Personen am Leben ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist &ZH+S ^ dn-\-S (lut+S, m+s ßn » Daher ist der gesuchte heutige Werth der Rente m n »i , n B 1 -t- R, — R, . Ist die Rente zahlbar, so lange B lebt, beginnt aber die Zahlung erst, wenn A gestorben ist, so ist a n + s : a„ durch die Wahrscheinlichkeit dafür zu ersetzen, dass B lebt und A gestorben ist, also durch f .v | ß-n+s &m J d n Hieraus ergiebt sich sofort für den gesuchten Werth in nt, n Ri — R\ ■ 8. Drei Personen A, B, C im Alter von m, n, p Jahren versichern heute eine Rente 1, zahlbar vom Ende des nächsten Jahres an, so \ dm ) \ d n J § 3’ Berechnung der Prämien für Renten-, Lebens- und Aussteuerversicherung. 947 lange noch alle drei Personen am Leben sind, also bis zum Tode der zuerst sterbenden. Um den heutigen Werth der Rente zu finden, hat man « in Ji 1 die Lebenswahrscheinlichkeit a n+s : a„ zu ersetzen durch die Wahrscheinlichkeit, dass die Gruppe A, B, C noch vollzählig ist, also durch &MI+S &1I+S -s d m dft dp Daher ist der gesuchte Werth (ip^\ l ^ d n p. s dp+ s l 1 a„, a n dp r a,„ a n ap r 2 Derselbe kann ebenfalls angesehen werden wie eine auf das Leben einer einfachen Person versicherte Rente, wenn nur eine Sterblichkeitstafel zu Grunde gelegt wird, die statt der Zahlen a„ +s die Produkte ’ &n+s * &p*\-s enthält. Man kann daher auch auf diesen Fall die übrigen in No. 2 bis 5 gegebenen Formeln übertragen. Beginnt die Rente erst, nachdem A und B gestorben sind und dauert bis zum Tode von C (Rentenversicherung für Kinder für den Fall ihrer gänzlichen Verwaisung), so hat man statt der Lebenswahrscheinlichkeit zu benutzen d,„ j \ Cl n J dp Daher ergiebt sich p *">P n>P m,n,p ^ . Soll die Rente so lange gezahlt werden, als B und C leben, aber erst nach dem Ableben von A, so hat man statt der Lebenswahrscheinlichkeit zu setzen , \ t dp -|-,' dn: ) ddp Daher erhält man Ri-Ri ■ Wird die Rente so lange fortgezahlt, bis alle drei Personen storben sind, so benutzt man die Wahrscheinlichkeit ge- 1 ( 1 dju-t, ,A / d, \ / dp-f-^ \ V _ d,„ ) \ d u ) \ dp ) und erhält in n p tu, it m,p n,P tu,n,p ■R i + -R i H- -R\ — -H • 9. Wird die Jahresrente 1 ratenweise gezahlt, nämlich je 1 :/nach Ablauf von 1 : t Jahren, so bedarf man zur Berechnung des heutigen Werthes einer Sterblichkeitstafel, die nicht von Jahr zu Jahr fortschreitet, sondern für das Intervall 1 : t construirt ist. Eine solche Tafel erhält man mit einer für den vorliegenden Zweck ausreichenden Genauigkeit, wenn man die gegebenen Tafeln durch Interpolation unter der Annahme ergänzt, dass das Absterben im Laufe eines Jahres gleichmässig erfolgt. Von d m Personen, die das »Re Lebensjahr erfüllen, sterben im Laufe des nächsten Jahres d„, — a m+ \ Personen, im /ten Theile des Jahres sterben daher y" {d)t! 1) , - a »t+ 1 ) • 6o* und in X : t Jahren 948 Renten-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. Die Anzahl derer, die das Alter vi y (P'm &m+\) : X : / erreichen, ist (t — X)d m -+- Xd m + i Die Wahrscheinlichkeit einer «jährigen Person, das Alter m -+- X : / zu erfüllen, ist folglich (f— X) (i !n \a m +i t d H Da wir voraussetzen, dass die Kapitalisirung der Zinsen nur an den Jahresschlüssen erfolgt, so muss eine um X : /Jahre vom Jahresanfang entfernte Zahlung zunächst durch den Faktor 1 : ( J + löo/) auf den vorhergehenden Jahresanfang und dann in bekannter Weise auf den heutigen Tag zurückdiscontirt werden. Der heutige Werth der an die m -(- X : / jährige Person zahlbaren Rente 1 : / ist daher 1 (/ X) (i m H- X (ijti-if -1 1 ‘ 7 ' t du Die Rechnung nach dieser genauen Formel ist wegen des veränderlichen \p Divisors 1 -4- unbequem. Eine bequemere, hinlänglich genaue Formel wird erhalten, wenn man die zur Zeit m -+ 1 -+- X : / fällige Ratenzahlung durch den Faktor / — X p ~T ' lÖÖ auf das Ende des laufenden Jahres und die so erhaltene Summe dann rückwärts auf den heutigen Tag discontirt. Dadurch erhält man als discontirten Werth der im (m -+- 1) ten Lebensjahre des Rentners zahlbaren Renten i _J —. 4 yfi + *~± . Jl ) [(/ - \)d m -h x«,„ +1 ]. 1 r ,n-„+ 1 fl a „£ J\ t 100/ Zur Bildung der Summe hat man von den Formeln Gebrauch zu machen IX = 1) 2(/— X) = 1) 2 - “v 'v 2 =*/(*-!) (2/-1), 2 {l —X)X = \t{t' 1 Man erhält, wenn man die Summe mit S bezeichnet, !)■ l. Ä== ^J fl 2 / 1 + /(2/- 1) '1 , /+ 1 fi | 01 J + 2/ L 1 + H00/ J d„l+\ ' 300/ J~'" ' 2/ L 300/ Aus 1. und 2. ergiebt sich der heutige Werth einer Rente 1 : /, die an eine «jährige Person nach jedem /ten Theile eines Jahres zahlbar ist und nach Ablauf von 1 : / Jahr beginnt, W, = - 1 / — 2 / l [' K2/-1)' 300/ Ersetzt man hier X R durch R x rechnung fl — 3. Ä = (l + 30000 r '1 7? i i R J lR + 2/ L 1 + 300/ J ' Rl - -I- 1, so ergiebt sich nach gehöriger Zusammen- n 5 , /, , p 2/-n /-i / 1 V äöö ' ~r ) • ~Ur ■ Man kann links im ersten Gliede ohne merklichen Fehler den vor R x stehenden Faktor durch 1 ersetzen; im zweiten Gliede kann man 1 : r durch ±_ 100 I 1 § 3- Berechnung der Prämien für Renten-, Lebens- und AussteueiVersicherung. 949 ersetzen, das Produkt ausftihren und darin das mit /> 2 multiplicirte Glied unterdrücken. Hierdurch erhält man , « » ( p / -f- 1\ / — 1 R* = R\ + ~ 3ÖÖ i~ ) ■ ~2 T ' Hieraus kann man einen Annäherungswerth für eine continuirliche « Rentei? erhalten, indem man t — oo setzt; vom genauen Werthe weicht der so CO berechnete infolge der Annahme gleich mässiger Vertheilung der Sterbefälle innerhalb eines Jahres ab; ferner ist zu bemerken, dass in dem so erhaltenen Werthe die Voraussetzung enthalten ist, dass die Verzinsung im Laufe eines Jahres nur einfach (ohne Zinseszins) erfolgt. Nimmt man neben der continuirlichen Rentenzahlung auch eine continuirliche Kapitalisirung der Zinsen an, so erhält man einen n abweichenden Werth, für welchen man indess den Werth R als genügende Annäherung betrachten kann. Durch die Substitution t = 5. R = R i+ö 300 ; oo oo ergiebt sich Dieselbe Formel ist auch auf die Renten m,n tn,n,p R, R, oo oo sowie auf die übrigen in No. 6 bis 9 betrachteten Fälle anwendbar, da alle diese « « Renten sich als Renten R t oder X R ansehen lassen, denen verschiedene Sterblichkeitstafeln zu Grunde liegen. 10. Der genaue heutige Werth einer an eine «jährige Person zahlbaren, sofort beginnenden, stetigen Rente ergiebt sich (§ 2, 14), wenn die Summe der in einem Jahre baar gezahlten Beträge 1 ist, und stetige Kapitalisirung der Zinsen stattfindet, zu 1. ferner ist • v x dx ; d, t -\-x 3. h r = f a,n+x oo J a m 0 oo OO J tl "‘ a U v x dx , dn+x &p-\rx dp ■ v x dx. Um diese Integrale berechnen zu können, muss als Function von n -t- x bekannt sein. Legt man das GoMPERTZ-MAKEHAM’sche Gesetz zu Grunde (§ 1, No. 7), so hat man dn+X = dn+x cK? h K , B 1 J~>n ■h x , d H B n wenn zur Abkürzung gesetzt wird B n . Hierdurch verwandeln sich die Formeln L, 2. und 3. in 4 . 95° Renten-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. j (B m B n ) T \h*v)- o 0 J{B m B n Bpf\h*v) B m B u B, 0 Zur Berechnung der Renten m, «, p bat man nicht nöthig, die Rechnung für alle einzelnen Combinationen m, n und m, n, p zu fuhren. Bei Benutzung der soeben gegebenen Formeln genügt es, die Renten für Personen gleichen Alters zu berechnen. Hat man nämlich für jedes vorkommende Lebensjahr r die Tafeln der Werthe ,«• f c <• S berechnet, so bestimme man die Zahl s aus der Gleichung 7. B*=B m B n , bez. BP = B m B n B p \ alsdann ist offenbar m, n, p m, n s, s, s ’/t, ik in,n,p s,s,s R = R , bez. R — R. OO CO Krgiebt sich für r aus einer der Gleichungen 7. keine ganze Zahl, so hat man den zugehörigen Werth von s , s, s R bez. R durch Interpolation aus der für die Reihe der ganzen Zahlen s berechneten Rententafel zu bestimmen. 11. Wenn man nach No. 10 die Berechnung der stetigen Renten durch- geftihrt hat, so ergeben sich hinlänglich gute Annäherungswerthe für die jährlichen Renten aus der Gleichung (No. 9, 5) Für die in Raten zahlbaren Renten hat man nach No. 9, 4 p t + 1\ t Werden die Raten praenumerando gezahlt, so ist der Werth der Rente 12. Ein fache Lebensversicherung auf den Todesfall mit einmaliger Prämienzahlung. Eine «jährige Person A zahlt bei der Versicherungsbank ein Kapital C ein; dafür zahlt die Bank beim Tode der versicherten Person eine Summe S an die Hinterlassenen aus. Es wird angenommen, dass die versicherten Summen S für alle im Laufe eines Lebensjahres Verstorbenen am Ende dieses Jahres ausgezahlt werden. Alsdann hat die Bank am Ende des xten Jahres (von heute an gerechnet) die Summe N unter der Voraussetzung zu zahlen, dass A im in -+■ ar)ten Lebensjahre stirbt; die Wahrscheinlichkeit hiervon ist &n-\-x —1 — &n+x Folglich ist der heutige Werth dieser Zahlung § 3- Berechnung der Prämien für Renten-, Lebens- und Aussteuerversicherung. 951 &n+. r—1 Q-n-\-x 1 — • s. r x Die Gesammtleistung der Bank im Interesse dieser Versicherung ist die Summe dieser Glieder von x = 1 bis zur Grenze der Sterbiichkeitstafel. Daher hat man die Gleichung 1 &n+ 1 1 2 1 1 „ . ’ — ' r l ~h • \a,i r a„ a n r 6 1 #«+2 1 1 a H 1 r 2 r ?> Daher ist (^•7-^1) = -^[7^1 -•) )-4 c 13. Einfache Lebensversicherung mit jährlicher Prämienzahlung. Gewöhnlich erfolgt die Lebensversicherung nicht durch eine einzige Einzahlung, « sondern durch jährliche Zahlung einer bestimmten Summe P (Prämie); die erste Zahlung wird sofort beim Abschlüsse der Versicherung bezahlt. Der heutige Werth aller an die Bank von dem Versicherten zu zahlenden « n n Prämien ist das P fache der Rente X R = R x -+- 1. Daher hat man, wenn C und S dieselbe Bedeutung haben wie in No. 12, ß{p t + l) = C, mithin ( n 1 R, P = S *i + lj 14. Lebensversicherung für zwei verbundene Leben. Eine /«jährige Person A und eine «jährige Person zahlen an die Bank ein Kapital C, und verlangen dafür die Auszahlung einer Summe S, zahlbar nach dem Tode der zuerst sterbenden Person an die Ueberlebende. Nach No. 6 bestehen von a m ■ a u Paaren von Personen A, B nach x Jahren noch a m+x • a, l+x Paare. Daher lösen sich im x Jahre, von heute an gerechnet, Q>m- Kr—1 a n+x —1 — dm+x &u+x- Paare auf; die Wahrscheinlichkeit, dass das Paar A, B sich im Laufe des x ten Jahres auflöst, ist hiernach &/u+x —1 &n+x— 1 — &m\x &u+x Hieraus folgt der heutige Werth der Leistungen der Bank zu ^ ti-m+x— 1 a n+x— 1 &m+x &n+x 1 &M &ti r x / 1 tu, n tu, u\ = S.{-- ,R-R x y Man erhält daher (vergl. No. 12 und 13) Wird eine jährliche gleiche Prämie P bezahlt, so ist nt, tt m,n p = s- m, n R , 1 952 Renten-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. 15. Soll das versicherte Kapital erst nach dem Tode der zuletzt sterbenden Person ausgezahlt werden (Lebensversicherung von Eltern zu Gunsten ihrer Kinder für den Fall der gänzlichen Verwaisung derselben), so kommt die Wahrscheinlichkeit in Betracht, dass nach Jahren beide Personen gestorben sind; dieselbe ist /j a 'm-\-x \ / (l»+x \ \ fl/n ) \ du ) Daher ist der auf heute reducirte Werth der Leistungen der Bank ün -Kl _ . . &n Folglich ist ttm+x 5 . V ( 1 - (1 - a "- +x ) ■ - . \ a m ) V a ’t J r x >• • V fi - a ”' + -\ ( i - . 1 jLJ \ a -n ) V «» ) r x ( 1 1 m n m, ;A 7 + ^ -b ' • ~ ^1 — A> 1 + ^lj • c = s- r‘ 11 Wird eine jährliche Prämie P bezahlt, so hat die Zahlung so lange zu dauern, als noch eine der Personen am Leben ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach x Jahren noch eine der beiden Personen lebt, ist üm+x \ / , ün-'rx \ &m+x &n- 4-.r tt/u+x &n-\-x ll ti J d m ll H Cl, n Cl n Der heutige Werth aller Prämienzahlungen P ist daher 1 -(‘-"rM'-' p- I &m+x ^ #« + .r d>u-\-x ( t/i+x < 1 . ?) IV a,n a H a m a ti J rx • wobei die Summation mit dem Werthe x — ü beginnt. Für diese Summe ergiebt sich sofort folglich ist P S- P\ 1 r n nt, u\ ffi - wj P, + R ■+■ _2 -f • • — R\ — R\ + R t l + P^ P^ — P^ lfi. Ueberlebensversicherung. Eine Person A versichert ein Kapital S zu Gunsten einer Person B’, das Kapital soll beim Tode von A an B ausgezahlt werden, wenn B A überlebt; stirbt B vor A, so fällt das von A eingezahlte Kapital, bez. die bis zum Tode von B eingezahlten Prämien, an die Bank. Wir betrachten zunächst den F'all, dass die Versicherung der Summe 5 durch eine einmalige Zahlung C erfolgt. Wir denken uns jedes Jahr in t gleiche Theile getheilt, und machen die Annahmen, dass das Absterben im Verlaufe eines Jahres gleichmässig erfolgt; in Bezug auf die Person A wollen wir ferner annehmen , dass das Absterben nicht an den Enden der kleinen Zeitabschnitte, sondern im Verlaufe derselben erfolgt; bezüglich des Absterbens der B setzen wir umgekekrt voraus, dass es nur am Ende der Zeitabschnitte erfolgt. Nehmen wir dann 1 = oo, so weichen beide Voraussetzungen von der Wahrheit nicht ab. Alle Ausgaben, die die Bank im Laufe eines Jahres zu machen hat, dis- contiren wir vorwärts auf das Ende des nächsten Jahres und dann rückwärts auf heute. Die Wahrscheinlichkeit, dass A von heute an noch „v -+- X : / Jahre lebt, aber nach x -+- (X -t- 1)/ Jahren nicht mehr lebt, ist dm- hx Gf/i- Kr+1 t d m § 3' Berechnung der Prämien für Renten-, Lebens- und Aussteuerversicherung. 953 denn von a„ heute lebenden n jährigen Personen sterben (a m + x — a>,,+*+{) '• / in jedem / ten Theile ihres (11 -+- x -t- l)ten Lebensjahres. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass B nach x -+- X : / Jahren noch lebt, ist ( t — k) (l n + x -+- Ätf„+. v -K ta u Die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen beider Ereignisse ist das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Die auf diesen Zeitraum bezügliche Leistung der Bank ist daher rr,«+.r+i (/ 1. ) &n+ x ~P X ti. «+.r-t-l fl \ 100 / ) ia m ta n V ' 100/ ) r x+1 ' Die discontirte Leistung der Bank in Bezug auf das (x -4- 1) te Jahr ergiebt sich hieraus zu D]P(['-y ■ -f- 1. 100 / 100 / '■[/->■]) ; [/- X] a,i+x- (-1. Die Summe erstreckt sich über alle Werthe von X von 1 bis /. Berechnet man die Summe und geht dann zur Grenze /= 00 -über, so erhält man / 2 ^j = (2 + 300 ) a * +x + (2 + Tiöo) ZZn+ - v+1 • Dieser Werth ist in 1. einzusetzen und die Summe aller so erhaltenen dis- contirten Jahresleistungen von x = 0 an zu bilden. Dies ergiebt die Gleichung C _ ri , j_\ ( h \ , 1 ( 1 , / \ K±i tL tY L'- v 2 300 JV 1 ^ a "‘ ' ljff J + '■I 2 + fiööJv ' R Al J 5 . 5 . m, ti ///,« Ersetzt man R^ durch ^R — 1, so erhält man , ’"r P , M a, " +l ( ] I p V rt " +1 ""'r\ iYI 3- c ~ A-1.600 ’ lR U^aoö; a m ■ lR + \2 + ßOöjv a„ 1 + VJ Wird eine jährliche Prämie P entrichtet, so hat die Zahlung derselben so lange zu erfolgen, als beide Personen am Leben sind; daher ist der auf heute discontirte Werth aller dieser Zahlungen (No. 13) m, n P• \R ■ Hieraus und aus 3. folgt i_ r p _ P , t \ i»+i "‘ + r \ (l , p \ ( a *+y’"’’ r\ iYI 1 ~~ |_0OÖ ‘ A \2 + 300 J a m ,A + \2 h 000J \ a n 1 JJ ' 1 ^ ^ In vielen Fällen kann man sich mit der Annäherung begnügen, die aus dieser Formel hervorgeht, wenn man die mit den Faktoren p : 600 und p : 300 versehenen Glieder weglässt. Man erhält dann einfacher P = - “ \ a,i 2 ,R-r x (a «+1 m ’ H £ x - ,R- 1- 1 a,n+l 111+ 1, ll\ '*)■ Statt der praenumerando zahlbaren Renten kann man postnumerando zahlbare einführen X R = R t -+- 1, und erhält P = m, n- 4-1 i* + ti \ n m -1.« —1 u ti ~ -*///-—1 an d,ndn+\ R, ;«-M, «1/7/71 /«, « — 1 jP 1 U u—Y * jj • X\ — “ • _zv < 1 1 ** /1 . * n 1 r a m +\a n ( m, n \ ^ + 1 ) ( a,n -1 a,n m —1, « R, - a „-1 &n «, «-1\ 17. Aussteuerversicherung. Hierunter wollen wir alle die Arten der 954 Renten-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. Versicherung begreifen, bei welchen der Versichernde in den ersten Lebensjahren eines Kindes ein Kapital einzahlt, oder die Verpflichtung zu einer jährlichen Prämienzahlung eingeht, während die Bank sich verpflichtet, an einem bestimmten Termine ein bestimmtes Kapital 5 auszuzahlen, vorausgesetzt, dass das Kind diesen Termin erlebt. Man hat diese Versicherungen verschieden eingerichtet; die Prämienzahlung hört entweder mit dem Tode des Versichernden auf, oder sie ist bis zum Jahre vor der Auszahlung des Kapitals zu entrichten; beim frühzeitigen Tode des Kindes fallen die eingezahlten Prämien und Kapitale der Bank anheim, oder sie werden vollständig (ohne Zinsen) oder verkürzt zurückbezahlt. Versicherungen mit Prämienrückgewähr haben im Wesentlichen nur die Wirkung von Sparkassen; sie gewähren vor diesen nur den Vortheil, dass sie die Verwendung der versicherten Gelder zu einem anderen Zwecke ausschliessen; verbinden aber damit den Nachtheil, dass die eingezahlten Beträge die Verwaltungskosten und den Gewinn der Bank mit zu tragen haben. Diese Art der Versicherung kö nnte sehr zweckmässig im Interesse der Tausende von Eltern und Erziehern, die sich ihrer bedienen wollen, durch eine sehr einfache Modification an Einlagebüchern der öffentlichen Sparkassen ersetzt werden. Man treffe die Einrichtung, dass Eltern und Erzieher Sparbücher erwerben können, die sie auf den Namen eines Kindes ausstellen lassen, und welche den ausdrücklichen Vermerk enthalten, dass Auszahlungen vor einem bestimmten Tage nur dann erfolgen, wenn der Tod der Person, auf deren Namen das Buch lautet, urkundlich nachgewiesen wird. Ein Vater, der für die Aussteuer seiner Tochter sparen will, würde ein solches Buch auf den Namen der Tochter ausstellen und als Auszahlungstermin z. B. den Tag eintragen lassen, an welchem die Tochter das 18. Lebensjahr vollendet. Alle auf das Buch gemachten Einzahlungen würden alsdann erst an diesem Tage erhoben werden können, ausgenommen, wenn die Tochter vorher stirbt. Diese Art der Kinderversorgung würde sich alsdann von der bei Versicherungsanstalten mit Prämienrückgabe nur dadurch nachtheilig unterscheiden, dass bei letzterer der Zwang regelmässiger Prämienzahlung besteht; dagegen würde man den erheblichen Vortheil haben, zu jeder Zeit noch so kleine Beträge einzahlen zu können; unzweifelhaft würde die vorgeschlagene Einrichtung sehr stark verwendet werden und viel Nutzen stiften. 18. Wir betrachten hier nur die Form Aussteuerversicherung, welche das eigentliche Wesen der Versicherung — nämlich eine Sicherheit auch gegen die ungünstigsten Zufälle zu gewähren, — am deutlichsten zeigt. Wir nehmen an, eine «jährige Person A (Vater) versichert zu Gunsten einer «jährigen Person B (Kind) ein Kapital S, zahlbar nach k Jahren in dem Falle, dass B alsdann noch lebt; die Versicherung erfolgt durch jährliche Prämien, die längstens k mal gezahlt werden; die Prämienzahlung hört bereits früher auf, wenn während der nächsten k — 1 Jahren eine der beiden Personen stirbt; (der Vater zahlt also die Prämie so lange das Kind lebt längstens k mal, oder, wenn er vorher stirbt, bis zu seinem Tode). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine «jährige Person das Lebensalter n 4- k erreicht, ist I I a, § 3 * Berechnung der Prämien für Renten-, Lebens- und Ausstcucrversicherung. 955 P Daher ist die auf heute discontirte Leitung der Bank 1 & n +k c , 2 * * ^ • r k a„ Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B nach i Jahren noch leben, ist a m +i a>,+i ftjn n Daher ist der auf heute discontirte Werth aller Prämien ' <*m+i a u+i 1 . = P • -2 0 ( m, ti X R- ft/n+ifin+i 1 a m a n r‘ ßm+kttn+k 1 a„,a,, r k - P- m-\-k 2 o )■ &ni-{-k+i &n+k+i tim &n Folglich hat man für P die Gleichung P{ >( k '"r ' a »‘+ ka >‘+ k , m+k £+ k \ _ a, l+ k \ ^ d a * / (l n ■ s. 1 19. Zur Deckung der Verwaltungskosten und bei Gesellschaften, welche Actienunternehmungen sind, zur Erzielung einer Dividende, setzt man die jährlichen oder einmaligen Prämien höher an, als sie sich durch die obigen Formeln ergeben, in welchen auf Verwaltung und Gewinn keine Rücksicht genommen worden ist. Dabei geht man von dem Grundsätze aus, den Beitrag, den man von jeder einen Versicherungsvertrag abschliessenden Person zu Kosten und Gewinn fordert, proportional den Leistungen der Bank an die Person zu bestimmen. Setzt man fest, dass für Verwaltung etc. das p. fache der aus den Formeln folgenden Leistung zu zahlen ist (p. < 1) und bezeichnet die wirkliche (einmalige oder jährliche) Prämie mit iß, die reine (aus den Formeln folgende) wieder mit P, so ist bei allen Versicherungen ohne Prämienrückgewähr V = 0 + p)S- Denn wenn der auf heute discontirte Werth aller theoretischen Prämienzahlungen mit aP bezeichnet wird, so ist der Ueberschuss, den die Bank macht • * 68 483 71 469 53,s 56,c 4 >t • • 66 681 69 639 53,1 56,3 5 >» • • 65 433 68 338 52,7 55,9 6 >> 64 503 67 375 52,2 55,2 7 }} * • 63 757 66 600 51,4 54,6 8 77 • • 63 158 65 984 50,8 53,9 9 >; * 62 688 65 493 50,o 53,o 10 >i * * 62 304 65 086 49,1 52,2 11 > t • • 61 975 64 740 48,4 51,3 12 77 • • 61 690 64 429 47,4 50,5 13 >} 61 432 64 139 46,5 49,6 14 }} . ♦ 61 192 63 854 45,6 48,7 15 } i • 60 948 63 565 44,7 47,8 16 )t • 60 688 63 266 43,8 47,0 17 }j • 60 383 62 942 43,0 46,1 18 >} * ♦ 60 025 62 606 42,2 45,2 19 >t • * 59 625 62 262 41,3 44,3 20 77 59 215 61 899 40,5 43,5 21 >> • ♦ 58 733 61 511 39,7 42,6 22 M * 58 220 61 106 38,9 41,8 23 7> 57 683 60 678 38,t 40,9 24 >} * * 57 154 60 217 37,3 40,1 25 56 641 59 731 36,G 39,3 26 }} * 56 138 59 228 35,7 38,5 27 55 637 58 715 35,0 37,7 .28 7) * 55 128 58 189 34,2 36,9 29 54 614 57 631 33,4 36,1 30 77 54 077 57 071 32,6 35,3 95 8 Renten-, Lebens- und Aussteuer-Versicherung. Alter. Absterbeordnung. Von je 10000U Lebendgeborenen erlebten das neben- bezeichnete Alter Lebenserwartung. Von den Ueberlebenden ist die halbe Anzahl verstorben nach . . . Jahren in. w. m. w. 31 Jahr . . 53 547 56 485 31,8 34,5 32 M * * 53 040 55 923 31,0 33,7 33 t t 4 52 503 55 340 30,2 32,9 34 tt 4 * 51947 54 739 29,5 32,1 35 ft 4 51 372 54 130 28,7 31,3 36 ft 50 774 53 504 27,9 30,5 37 ft 50 170 52 874 27,2 29,7 38 ft ' 49 545 52 230 26,4 28,9 39 ff 4 * 48 897 51 578 25,7 28,2 40 1» ’ 48 186 50 906 25,o 27,4 41 ft 4 47 445 50 221 24,2 26,6 42 ft 4 4 46 781 49 615 23,5 25,8 43 ft 4 4 46 047 48 963 22,8 25,o 44 ff 4 4 45 303 48 329 22,o 24,2 45 ft 44 511 47 677 21,3 23,4 46 ff 43 701 47 034 20,6 22,6 47 ff 4 ’ 42 933 46 426 19,9 21,8 43 ft 42 121 45 799 19,2 21,0 49 ft 41 270 45 139 18,5 20,3 50 ft 4 * 40 356 44 401 17,8 19,5 51 ff 4 39 403 43 620 17,2 18,7 52 ff 4 4 38 577 42 925 16,5 17,9 53 ft 4 37 640 42 135 15,8 17,1 54 ft 36 667 41 298 15,1 16,4 55 ft 35 649 40 416 14,5 15,6 56 ff 44 34 588 39 495 13,9 14,9 57 ft 4 33 540 38 564 13,2 14,2 58 4 4 32 491 37 600 12,6 1 3,5 59 31 381 36 556 12,0 12,9 60 >> 4 30 187 35 373 11,5 12,3 61 • 4 28 937 34 121 11,0 11,7 62 ft 4 27 868 33 046 10,4 11,0 63 >» 4 4 26 658 31 801 9,9 10,4 64 tt 4 4 25 378 30 459 9,4 9,9 65 24 051 29 025 8,9 9,4 66 tt 4 4 22 700 27 557 8,4 8,8 67 >> 4 4 21 360 26 123 7,9 8,3 68 tt 4 19 969 24 612 7,5 7,8 ■ 69 >> 4 4 18 557 23 017 7,0 7,3 70 tt 44 17 137 21 347 ! 6,6 6,9 Absterbeordnung und Tafel der Lebenserwartung der Bevölkerung des preussiseben Staates. 959 Alter. Absterbeordnung. Von je 100000 Lebendgeborenen erlebten das neben- bezeichnete Alter Lebenserwartung. Von den Ueberlebenden ist die halbe Anzahl verstorben nach . . . Jahren •m. i W. m. \v. 71 Jahr . . 15 727 19 653 6,2 6,4 72 11 * 14 48G 18 229 5,8 6,0 73 13 155 IG 627 5,4 5,c 74 11 • 11 853 15 055 5,o 5,2 75 „ 10 5G4 13 492 4,c 4,8 7G 11 9 300 11 924 4,3 4,4 77 11 • • 8 12G 10 484 4,o 4,1 78 11 • 7 004 9 141 3,8 3,9 79 11 5 849 7 734 3,8 3,8 80 ft • 4 88G G 452 3,6 3,7 81 11 4 037 5 328 3,4 3,5 82 11 • 3 40G 4 529 3,0 3,4 83 11 • 2 794 3 736 2,8 2,9 84 11 2 227 2 979 2,7 2,8 85 11 1 727 2 316 2,5 2,7 8G 11 1 311 1 788 2,4 2,c 87 n 990 1 402 2,2 2,5 88 ii • • 738 1 076 1,0 9 2 *-1' J 89 it ♦ 520 792 1,9 2,1 90 ii • • 359 566 2,2 2,2 91 ii • 253 389 2,5 2,g 92 9 11 • ♦ 192 304 2,2 2,4 93 11 142 225 2,1 2,4 94 11 101 161 2,1 2,6 95 11 • • 73 120 I 2,2 2,8 96 1t • • 51 87 I 2,2 2,9 97 11 38 70 1 2,3 2,6 98 11 • • 28 56 ! 1,9 2,0 99 1t • 21 43 i 1,0 1,5 100 11 * 15 32 j 1,5 1 1,4 Druckfehler-Verzeichniss des II. Bandes. Seite Zeile 3 u. 4 v. u. lies P' und P" statt OP und OP". 2 , 1 V. 0. lies OP 1 und OP" st. P’ und P". 69. „ 6 V. u. 11 r st. 7°, n 13 V. u. n /' st - y„ ■ 71. i) 14 V. u. ,, ia' st. ai’. 127, » 29 V. 0. 11 /== st./, ==. 129, .. 17 V. 0. „ «2 3 "2 «3 St - «2 3 "2 «3- l68, No. 4, Gleichung 6. lies x 3 st. x 1 . 168, No. Gleichung 7. „ B 0 st. B z . 169, Zeile 12 V. 0. lies X„ St. JT, . 176, ti 7 V. u. it 2/, 2 W st - 2/i ,(?)■ 00 i> 8 V. 0. ti /, = ix t x^ und /, = - %x *3 st. /=- 193. u 19 V. 0. ii 8^2 3 3 X 'i x 3 s ** 8^233^ - r 2 1 -*3 241, II 2 V. 0. 1. cp' st. cp . T 7 t» T 7 t» 261, fl 2 V. 0. „ bv st. by. 263, ft 8 V. u. „ gn st. y u. 280, fl 6 V. 0. ii A r i st- fr 286, II 17 V. u. ,, einer st. eine. 287, II 9 V. 0. ,, Cylinder st. Kegel. 321, II 5 V. u. „ ? 3 .’ » nd ¥41' S ‘- ? 3 , und 'f*i- 345 ,n der letzten Gleichung lies 7' Z2 st. 7 ' 33 • 408, Zeile 1 V. 0. lies a \ 3 S t. ( 1 3 3 . 420, ii *5 u. 17 V. 0. lies b >l v^ st. b* u ' 1 . 537. ti 4 u. 5 v. 0 . lies Az ~ st. Az. Gz 537. 11 6 V. 0. lies r st. p. 692, tt 1 V. u. ii a st. a. 729. ft 9 V. u. ii C st P ^ ‘ 1 » Sl * 1 1 »• 729. ii 3 V. u. „ z st. Z, . 756. t> 7 V. 0. ti cp ? - st. cp’\ 808, ii 8 V. u. „ Z st. s. 824, ti 10 V. u. ,, durch Elimination von st. wenn man 829, ti 11 V. u. ii gebracht st. gedacht. 857. ii 16 V. u. „ c „-2 st - V 942 , 11 10 V. u. ,1 ti. Th eil st. 10. Theil. 2x, 2 x 3 und /~2x l x 3 . Literatur. Lehrbücher der Elementarmathematik. Aschenborn, H., Lehrbuch der Arithmetik, Algebra und Geometrie. Berlin, Ilofbuchdrtickerei. Baltzer, R., Die Elemente der Mathematik. Leipzig, Hirzel. Becker, J. K., Lehrbuch der Elementarmathematik. Berlin, Weidmann. Gallenkamp, W., Die Elemente der Mathematik. Iserlohn, Bädeker. Reidt, F., Die Elemente der Mathematik. Berlin, Grote. Schlegel, V., Lehrbuch der Elementarmathematik. Wolfenbüttel, Zwissler. Logarithmentafeln. Veoa, G. v., Logarithmisch-trigonometrisches Handbuch. (Siebenstellig.) Berlin, Weidmann. 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