ti)f 4373 90 "■sewÄBP Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Einie und Eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung; von Jacob Steiner, Dotior der Philosophie, Königlich Preufsischem Professor und ordentlichem Lehrer der Mathematik an der Gewerbschule zu Berlin. Mit zwei Kupfertafeln. Berlin, hei Ferdinand Dünunler. 1SSS. 1SSS. mow Einleitende Uebersicht. §• 1 . Die Geometrie im engeren Sinne bedarf zu ihren Konstructionen zweier Instrumente, des Zirkels und des Lineals. Ein italienischer Mathematiker, Mascheroni , hat auf eine scharfsinnige Weise gezeigt *), dafs alle geometrischen Aufgaben mittelst des Zirkels allein gelöst werden können. Andererseits haben in der neusten Zeit einige französische Mathematiker auf zahlreiche Aufgaben aufmerksam gemacht, deren Lösung nur die Hülfe des Lineals, oder das Ziehen gerader Linien zwischen gegebenen Punkten, erfordert. Ja es haben Einige sogar schon die Yermuthung ausgesprochen, dal's mittelst des Lineals alle Konstructionen ausführbar seien, sobald in der Ebene irgend ein fer ster Iliilfskreis gegeben ist. Die vorliegende kleine Schrift hat zum Zweck, diese Yermuthung zu be- *) Mascherovi’s „Gebrauch des Zirkels” aus dem Italienischen in’s Französiche übersetzt von Carette und in s Deutsche von Griison, Berlin 1S25, A I 2 Einleitende Uebersiclit, §, t. stätigen. Und zwar wird dieser Zweck leichter erreicht, als ich anfangs glaubte und als es, nach dein Umfange des Gegenstandes, den Anschein hatte. Denn, wirft man einen strengen Blick auf die gesummten Konstructionen, wie sie in der gewöhnlichen Geometrie, beim freien Gebrauch des Zirkels und Lineals Vorkommen, so sieht man, da ('s sie, die Fälle ausgenommen, wo das Lineal allein genügt, iin Grunde nur auf den folgenden zwei Ilauptkonstructionen: a) „die Durchschnitte einer Geraden und eines Kreises” und b) „die Durchschnitte zweier Kreise zu finden”, beruhen, so zusammengesetzt sie übrigens auch sein mögen. Für die gegenwärtigen beschränkteren Hülfsmittel zeigte es sich, dafs von diesen zwei Aufgaben die erste allein als Hauptaufgabe sich geltend macht, dafs also die Lösungen aller Aufgaben auf der einzigen Hauptaufgabe: A) „die Durchschnitte einer Geraden und eines Kreises zu finden”, beruhen,, indem auch die vorstehende andere Aufgabe (b) auf diese zurückgeführt werden mufs und kann. Der Umstand aber, dafs die Durchschnitte einer Geraden und des gegebenen Hülfskreises unmittelbar gegeben sind, bewirkt, dafs man zunächst die folgenden, häufig vorkoinmenden und ihrem Wesen nach die meisten Elementaraufgaben umfassenden Hülfsaufgaben: c) „parallele Gerade zu ziehen”; d) „der Gröfse nach gegebene Gerade Einleitende Uebersicht. 3 §. l. beliebig zu vervielfachen oder in beliebig viele gleiche Theile zu thei- len”; e) „zu einander rechtwinklige Gerade zu ziehen”; f) „durch einen gegebenen Punkt eine Gerade zu ziehen, die mit einer gegebenen Geraden einen Winkel einschliefst, welcher einem der Gröfse und Lage nach gegebenen Winkel gleich ist”; g) „einen gegebenen Winkel zu hälften, oder beliebig oft zu vervielfachen”; h) „an einen gegebenen Punkt, nach beliebiger Richtung, eine Gerade anzulegen, welche einer der Gröfse und Lage nach gegebenen Geraden gleich ist”, leicht lösen kann. Die Art und Weise, wie diese Aufgaben gelöst werden, weicht natürlicherweise von der in der Geometrie üblichen ganz und gar ab, und zwar dergestalt, dafs hier einige von diesen Aufgaben dazu dienen, die obigen zwei Hauptaufgaben (a), (b), oder vielmehr die einzige Hauptaufgabe (A) unter allen Umständen zu lösen, also auch die Durchschnitte einer Geraden und eines nur der Lage und Gröfse nach gegebenen Kreises (d. h. nur der Mittelpunkt und der Radius sind gegeben, der Kreis selbst nicht gezeichnet) zu finden; statt dafs dort jene mittelst dieser gelöst werden. Ob es mir gelungen sei, den vorgesteckten A 2 4 Einleitende Uebersichl. 5 . 2 . Zweck auf die einfachste Weise zu erreichen, vermag ich nicht zu entscheiden, auch bin ich nicht einmal überzeugt, ob selbst bei dem von mir ein- gcschlagenen Weg überall die bequemsten Kon- structionen angewendet worden sind oder nicht. W eun indessen der Gegenstand einiges Interesse erregen sollte, so wird, bei dem eifrigen Betriebe der Geometrie in unserer Zeit, das Fehlende bald von Andern ergänzt werden, und ich dürfte dann wohl auf einige Nachsicht rechnen. Sind die Mascheroni 'sehen Konstructionen für die Mechaniker und besonders zur Anfertigung astronomischer Instrumente von grofsem Vortheil, wie er behauptet, so dürften dagegen die gegenwärtigen für die Ingenieurs und Feldmesser von nicht geringerem Nutzen sein, worüber ich jedoch von diesen letztem selbst das sachverständige Ur- theil erwarten will. §• 2 . Die Sätze und Eigenschaften der Figuren, auf welchen die Lösungen der vorgenannten Aufgaben (§. 1.) beruhen, sind unter andern theils im ersten Theil der „Systematischen Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander” und theils in der Abhandlung ) „Einige geometrische Betrachtungen” (Journal für Mathematik, Bd. I. S. 161.) enthalten, so dafs also, mit Beziehung auf dieselben, die vorgelegten Aufgaben auf einem Raume von wenig Seiten erledigt werden könnten. Allein da das gegenwärtige Werkchen leicht in Vieler Hände Einleitende Uebersicht. §. 2 . 5 kommen kann, welche jene Schriften nicht besitzen, so hielt ich es für zweckinäfsig, jene Sätze und Eigenschaften hier kurz zu wiederholen, wobei ich mich bemühte, sie so elementar als möglich darzustellen. Biesemgemäfs besteht die gegenwärtige Arbeit aus drei Kapiteln, die folgenden Inhalts sind: Erstes Kapitel. Einige Eigenschaften geradliniger Figuren, in Rücksicht auf Transversalen, harmonische Strahlen und Punkte; Kon- structionen mittelst des Lineals allein, unter bestimmten Voraussetzungen, d. h., wenn entweder parallele oder in gegebenem Verhältnis getheilte Gerade gegeben sind, so lassen sich andere der Gröfse und Lage nach gegebene Gerade beliebig vervielfachen und theilen, und andere Parallele ziehen (so wie auch rechte Winkel hälften und beliebige gegebene Winkel vervielfachen). Zweites Kapitel. Vom Kreise. I. Harmonische Eigenschaften des Kreises. II. Von den Aehnlickkeitspunkten (oder Projections- punkten) zweier und mehrerer Kreise. III. Von der Potenz bei Kreisen; A. Ort dergleichen Potenzen; B. gemeinschaftliche Potenz, in Beziehung auf die Aeknlickkeitspunkte. Drittes Kapitel. Lösung aller geometrischen Aufgaben mittelst des Lineals, wenn irgend ein fester Hülfskreis gegeben ist; enthaltend die obigen acht Aufgaben (§. I, a bis h). Schlufsbemerkung. Aufserdem werden in einem Anhänge noch einige 5 I. Kap. Eigensch. geradliniger Figuren. §. 3 . wesentliche Aufgaben über Kegelschnitte aufgestellt, welche als zweckmäfsige Beispiele der Anwendung der gegenwärtigen Methode dienen sollen. Erstes Kapitel. Einige Eigenschaften geradliniger Figuren und darauf gegründete Konstructionen mittelst des Lineals allein. I. Harmonische Strahlen und Punkte, Transversalen. *• 3 . I. Es sei ABC (Fig. 1) ein beliebiges Dreieck; aus der Spitze B gehe der Strahl b durch die Mitte b und der Strahl d parallel der Grundlinie A C. Zieht man durch die Mitte b der Grundlinie irgend eine Gerade, oder Transversale ab, so wird diese von den zwei Seiten «, c und von den Strahlen ö, d in den vier Punkten a, b, c, b so geschnitten, dafs .46 : 2?b = ab : ab (weil &aAb <*> Aai?b), Cb : Bb = cb : cb (weil AcC'b co Ac/?b), folglich, weil Ab — Cb : ab : ab = cb : cb oder ab : bc = ab : cb das heifst: die Strecke ab wird so in drei Abschnitte gctheilt, dafs sich der erste ab zum zweiten bc, wie die Ganze ab zum dritten cb verhält. Vermöge dieser Eigenschaft werden die vier Punkte a, b, c, b »vier harmonische Punkte” §. 3. Harmonische Elemente und Transversalen. y genannt, und zwar Leifsen et und c, so wie t» und b „zugeordnete harmonische Punkte”. Eben so werden die vier Strahlen a,b,c,d „vier harmonische Strahlen” und sowohl a und c, als b und d „zugeordnete harmonische Strahlen” genannt. II. Werden die Strahlen a, 6, c, d als fest und unbegrenzt angenommen, so tlieilen sie nicht allein jede Transversale, welche durch den Punkt b geht, harmonisch, sondern es wird offenbar jede beliebige Transversale von ihnen in vier harmonischen Punkten geschnitten; denn in welchem Punkte eine solche Transversale auch dem Strahle b begegnen mag, so kann man immer durch denselben eine Gerade sich denken, die der A C parallel ist, und sodann den vorstehenden Beweis anwenden. Ist insbesondere die Transversale mit einem der vier harmonischen Strahlen a , b, c, d parallel, wie zum Beispiel AC mit d, so liegt der Punkt 6, in welchem sie den, dem Parallelstrahl d zugeordneten, harmonischen Strahl b schneidet, in der Mitte zwischen den zwei Punkten (t lind c, in welchen sie von den zwei übrigen Strahlen a und c geschnitten wird ; und umgekehrt: findet das Letztere statt, so ist die Transversale mit jenem Strahle parallel. Werden andererseits die vier harmonischen Punkte et, b, c, b als fest angenommen, so folgt ähnlicherweise, dafs jede vier Strahlen «, b, c, Irgend vier Gerade a,c, a l} c l (Fig. 2.) in einer Ebene, die einander, im Allgemeinen, paarweise in sechs Punkten A, C,F, G, H, I schneiden, heifsen „vollständiges Viers eit”. Ein solches Vierseit hat, wie man sieht, drei Diagonalen A C, GF, III , die sich in den drei Punkten B, IJ, E schneiden. Es läfst sich leicht zeigen, dafs diese drei Diagonalen einander harmonisch schneiden, nämlich wie folgt. Denkt man sich zu den drei Strahlen a, c, d den vierten, dem d zugeordneten, harmonischen Strahlt, und eben so zu den drei Strahlen a t , c t , d t , den vierten, dem d t zugeordneten, harmonischen Strahl^,, so mufs jeder der zwei Strahlen b, b A die Diagonale ACD in demjenigen Punkte B schneiden, welcher zu den gegebenen drei Punkten A, C, D der vierte, dem D zugeordnete, harmonische Punkt ist (§. 3.); eben so müssen beide Strahlen t»-, b l die Diagonale HIE in demjenigen Punkte B schneiden, welcher zu den drei Punkten H, /, E der vierte, dem E zugeordnete, harmonische Punkt 10 l. Kapit. Eigensch. geradliniger Figuren. §. 5. ist; da aber h und b x nur einen einzigen Punkt B gemein haben können, so mui's folglich derselbe zugleich der Durchschnittspunkt der Diagonalen AC, HI sein, woraus denn hervorgeht, dafs diese Diagonalen harmonisch geschnitten werden. Aehn- licherweise kann gezeigt werden, dafs die dritte Diagonale Gl' von den zw ei andern in den Punk- I), E harmonisch getheilt wird. Also: „Bei jedem vollständigen Yierseit wird jede der drei Diagonalen von den zwei übrigen harmonisch geschnitten, d. h., die Punkte, in welchen eine der drei Diagonalen von den zwei übrigen geschnitten wird, sind zu den Eckpunkten, welche sie verbindet, zugeordnete harmonische Punkte, zum Beispiel^, B , C,ß sind harmonisch und B, jD sind zugeordnete harmonische Punkte.” §. 5. Yon den zahlreichen Folgerungen und Anwendungen, die sich aus dem letzten Satze (§. 4.) ziehen lassen, sollen hier nur einige und zwar zunächst folgende herausgehoben werden. I. „Zu irgend drei gegebenen Punkten in einer Geraden einen vierten harmonischen Punkt mittelst des Lineals allein zu finden.” u) Sind etwa die drei Punkte G , E, F (Fig. 2.) gegeben und es soll der dem D zugcordnctc vierte harmonische Punkt E gefunden werden, so ziehe mau nach einem beliebigen Punkt A die Geraden Harmonische Elemente u. Transversalen, f j AG, AD, AF, nehme in AD einen beliebigen Punkt C, und ziehe die Geraden GCI, FCH, wodurch mau die zwei Durchschnitte / und H erhält, und ziehe endlich die Gerade HI, so wird diese den verlangten Punkt E angeben. Oder: />) Sind G, F, E gegeben und es soll der dem E zugeordnete vierte harmonische Punkt D gefunden werden, so ziehe man nach einem willkürlichen Punkt A die Geraden FA, GA, schneide sie durch eine beliebige, durch E gehende, Gerade EIH, in den Punkten I, II, ziehe sofort die Geraden Gl, FH, die sich in C kreuzen, und ziehe endlich die Gerade AC, so wird diese durch den gesuchten Punkt D gehen. II. „Zu irgend drei gegebenen Strahlen, die durch einen Punkt gehen, einen vierten harmonischen Strahl mittelst des Lineals zu finden.” Sind etwa die drei Strahlen a, c, d (Fig. 2.) gegeben und soll der dein d zugeordnete vierte harmonische Strahl b gefunden werden, so ziehe man durch einen beliebigen Punkt G, des Strahls d, irgend zwei Gerade GA, Gl, welche die Strahlen a, c in A, I, C, H schneiden, ziehe sodann die Geraden AC, Hl, die sich in B kreuzen,, so wird FB der gesuchte Strahl sein. Auf dieselbe Weise wird, wenn die Strahlen «, b, c gegeben sind, der dem b zugeordnete vierte harmonische Strahl d gefunden. III. „Wenn ein rechter Winkel und ein anderer beliebiger Winkel einerlei Scheitelpunkt und einen gemeinschaftli- 12 I. Kapit. Eigensch. geradliniger Figuren. J. 5. chen Schenkel haben, so solider letzte Winkel mittelst des Lineals verdoppelt werden.” Angenommen, es sei (brl) (Fig. 1.) der rechte und ( bc ) der andere Winkel, so suche man zu den drei Strahlen b, c, d einen vierten, dem c zugeordneten, harmonischen Strahl a (II.) , so wird alsdann, zufolge (§. 3, IV.), Winkel {ab) — ( bc ), und mithin Winkel ( ac ) der verlangte doppelte Winkel sein. IV. „Wenn von drei Strahlen, die durch einen Punkt gehen, der eine mit den zwei andern gleiche Winkel bildet, so soll mittelst des Lineals ein vierter Strahl gefunden werden, welcher ebenfalls mit den zwei letztem gleiche Winkel einschliefst, und mithin zu jenem ersten rechtwinklig ist.” Die Lösung dieser Aufgabe gründet sich ebenfalls auf (II.) und (§. 3, IV .), wie die vorige. V. „"Werden irgend zwei Gerade a, c (Fig.2.) von beliebigen Geraden c ,, die durch irgend einen Punkt G gehen, geschnitten, und man verbindet die Durchschnittspunkte von je zwei der letzteren kreuzweise durch ein Paar Gerade, wie etwa AC und HI-, AL und HM, s o liegen alle Punkte, wie B, K, in welchen sich diese Geradenpaare kreuzen, in einer bestimmten Geraden b, welche durch den Durch- schnittspunkt F der zwei erstgenannten §. 5. Harmonische Elemente u. Transversalen. Geraden a, c geht, und welche zu diesen und zu der Geraden FG oder d die vierte, der letztem zugeordnete, harmonische Gerade ist.” Die Richtigkeit dieses Satzes folgt, wie man leicht sehen wird, aus (II.) oder (§. 4.). VI. „ Durch einen gegebenen Punkt mittelst des Lineals eine Gerade zu ziehen, welche mit zwei gegebenen Geraden nach einem und demselben Punkte gerichtet ist, wenn nämlich dieser Punkt, wegen Hindernisse, unzugänglich ist.” Es sei etwa B (Fig. 2.) der gegebene Punkt und AM, HL die gegebenen Geraden, welche aber nicht bis zu dem Punkte F, nach welchem sie gerichtet sind, sollen verlängert werden können. Man ziehe die Geraden AB, HB, welche die gegebenen Geraden in C, I schneiden, und ziehe ferner die Geraden AH, IC, die sich in G kreuzen; durch diesen Punkt G lege man eine beliebige Gerade GM (die nicht durch B zu gehen braucht), w eiche die gegebenen in M, L schneidet, und ziehe sofort AZ/, HM, die sich in K kreuzen: so wird die Gerade KB der Aufgabe genügen. Das Verfahren bleibt sich gleich, der Punkt B mag zu den gegebenen Geraden AM, HL eine Lage haben, welche man will, wie z. B. die Lage von G-, eben so können diese Geraden gegen einander eine Lage haben, welche man will, z. B. parallel sein. Die Richtigkeit dieser Auflösung beruht, wie man bemerken wird, auf dem vorhergehenden I. Kapit. Konstruct. mittelst d, Lineals. §. 6, Satze (V.). (Vergl. Abhang, geoin. Gestalten. Thl. I. S. 77.) II. Konstriictionen mittelst des Lineals unter gewissen Voraussetzungen. A. Wenn Parallele, oder rational ge- theilte Strecken gegeben sind. §. 6. In Ansehung der obigen Aufgabe (§. 5, I.) findet ein wichtiger besonderer Fall statt, der näher betrachtet werden mufs. Tritt nämlich der besondere Fall ein, dafs bei den drei gegebenen Punkten G, /l, F -der Punkt l) gerade in der Mitte zwischen den Punkten G und F liegt, so wird der vierte, ihm zu geordnete, harmonische Punkt E sich in’s Unendliche entfernen, d. h., so mufs die Gerade HI, durch welche er gefunden rvird, mit der gegebenen Geraden GDF parallel sein. Und umgekehrt: Schneidet man zwei Seiten AG, AF eines beliebigen Dreiecks GAF durch irgend eine, der Grundlinie GF parallele, Gerade HI (Fig. 3.), verbindet die Durchschnittspunkte II, I mit den gegenüber liegenden Ecken an der Grundlinie durch Gerade FH, Gl, welche sich im Punkte C kreuzen, und zieht durch diesen und durch die Spitze A des Dreiecks die Gerade ACD, so geht diese allemal durch die Mitte D der Grundlinie. $J. 6. Wenn Farallele od. geth. Strecken gegeb. sind. Hierauf gründen sich die Auflösungen folgender Aufgaben. I. „Wenn in einer Geraden drei Punkte G, D, F (Fig. 3.) gegeben sind, wovon der eine, D, in der Mitte zwischen den zwei übrigen liegt, so soll (mittelst des Lineals allein) durch irgend einen beliebigen Punkt H mit jener Geraden eine Parallele gezogen werden.” Man ziehe die Geraden GH, FH, nehme in GH einen willkürlichen Punkt A, und ziehe AD, AF-, durch den Durchschnitt C, der /'//und AD, ziehe man aus G die Gerade GCI, welche die AF in / schneidet, so ist endlich III die geforderte Parallele. II. „W enn irgend zwei parallele Gerade GF, HI (Fig. 3.) gegeben sind, so soll irgend eine gegebene Strecke in der einen oder andern, etwa die Strecke GF, gehälftet werden.” Man ziehe aus einem willkürlichen Punkte A nach den Endpunkten G, jFder gegebenen Strecke Gerade AG, AF, welche die andere Parallele in H, I sclmeiden (im Falle der Punkt A zwischen den Parallelen läge, wie C, oder jenseits GF, miifste man die Geraden AG, AF verlängern, bis sie HI schnitten); diese Durchschnittspunkte verbinde man mit jenen Endpunkten durch Gerade HF, IG, die sich in irgend einem Punkte C schneiden; durch diesen und durch jenen angenommenen Punkt A lege man endlich die Gerade \ (3 I. Kapit. Konstruct. milteist d. Lineals. §. 6. A CD, so wird diese durch die Mitte D der gegebenen Strecke GF gehen. III. „Wenn irgend zwei parallele Gerade gegeben sind, so soll durch irgend einen gegebenen Punkt eine dritte Parallele gezogen werden.” Man hälfte, nach (II.), irgend eine beliebige Strecke in einer der zwei gegebenen Geraden, so ist alsdann die Aufgabe auf (I.) zurückgeführt. IY. „Wenn zwei parallele Ger ade und in der einen irgend eine begrenzteStrecke gegeben sind, so soll man: a ) in der nämlichen Geraden eine andere Strecke, welche ein beliebiges Vielfache, etwa das rcfache, von jener Strecke ist, von irgend einem gegebenen Punkte an; absteckeh; oder b) die gegebene Strecke in irgend eine gegebene Anzahl gleicher Th eile theilen, oder in zwei T^heile theilen die sich zu einander verhalten, wie zwei gegebene Zahlen; oder endlich c ) eine andere Strecke finden (in der nämlichen Geraden), die zu der gegebenen ein gegebenes rationales Yerhältnifs hat.” Es seien BF, bf (Fig. 4.) die gegebenen Parallelen, und etwa BC die gegebene Strecke. Man ziehe durch einen beliebigen Punkt A eine dritte Parallele AG (III.), und nach den Endpunkten der Strecke die Geraden AB, AC, welche §. 6. Wenn Parallele od. geth. Strecken gegeb. 6ind. J J che die zweite Parallele in b, c schneiden; sofort ziehe man die Gerade Cb, die der dritten Parallelen in Gr begegnet, und ziehe GcD, so wird, wie leicht zu sehen, DC—BC, und folglich Bl) doppelt so grofs, als die gegebene Strecke BC sein. Zieht inan nun weiter die Gerade AD und sodann GdE; dann ferner AE und darauf GeF, U. s. w., so werden offenbar die Strecken BC, CD, DE, EF, . gleich grofs sein, so dafs man auf diese Weise jedes beliebige Vielfache der Strecke BC erhält, wie zum Beispiel 2?l fT ihr Vierfaches ist. (d) Soll nun ein solches Vielfache von irgend einem gegebenen Punkte X an abgeschnitten werden, so ziehe man die Gerade Xb (oder Xf), verlängere sie, wenn es nöthig ist, bis sie die AG in Y schneidet, und ziehe YfZ, so wird XZ die verlangte »fache (hier vierfache) Strecke sein. (b) Soll die gegebene Strecke BC in» gleiche Theile getheilt werden, so ziehe inan, wenn bf das n fache von bc ist, die Geraden Cb, Bf, die sich in / kreuzen, und ziehe sofort cly, d/Ö, eh, ., so werden die Strecken Cy, yd, dt, . einander gleich, und zwar jede der »te Thcilvon der gegebenen Strecke BC sein. Soll die gegebene Strecke BC in zwei Abschnitte getheilt werden, die sich verhalten wie Ä wei gegebene Zahlen p, q, so mufs bf das ( p+q ) fache von bc sein, und alsdann zählt man von b an P Strecken bc, cd, . ab, zieht vom Endpunkte der letzten, z. B. von d, die Gerade dl8, B |8 v Kapit. Konstruct. milteist d. Lineals. §. 6. so werden sich die Abschnitte CS, BS verhalten wie p : (]. (c) Soll endlich eine Strecke gefunden werden, die sich zu der gegebenen verhält, wie 11 ich hier die Möglichkeit ihrer Lösung nur kurz andeuten, und das Auffinden der leichtesten und hequ ems ten Auflösung Andern überlassen. B 2 2() I. Kapit. Konstruct. mittelst d. Lineals. §. 7. Die Aufgabe ist als gelöst zu betrachten, sobald man in der gegebenen Geraden irgend drei Punkte gefunden hat, wovon der eine gleich weit von den zwei übrigen entfernt ist (§. 6, I.). Das gegebene rationale Verbaltnifs der gegebenen Strecken BD , DC läfst sich immer, in welcher Form cs auch gegeben sein mag, durch zwei ganze Zahlen a, b ausdrucken, welche unter sich Primzahlen sind. Angenommen es sei a>b. Man konstruire zu den drei gegebenen Punkten B, D, C den vierten, dem D zugeordneten, harmonischen Punkt E (§. 5, I.), so hat man: BD : CD = BE : CE oder, wenn man statt der Linien die ihnen entsprechenden Zahlen setzt, und CE durch die Zahl x ausdruckt: a t b = (a+b+x) : x und folglich b (a+b\ fC S 7" a — b Wird BC = a+b = b(a+b) x : y = y gesetzt, so hat man - : a+b oder 1. x : y = b : ( a-b ), das heifst: „Aus den gegebenen Strecken BD, CD, die sich verhalten wie die Zahlen a, b, lassen sich zwei neue Strecken BC, CE oder y, x, finden, die sich verhalten, wie die Differenz der gegebenen Zahlen a-b zu der kleineren Zahl b Daher wird man, durch wiederholte Anwendung die §. 7. Wenn Parallele od. geth. Strecken gegeb. sind. 21 ses Verfahrens, endlich zu zwei Strecken gelangen, die einander gleich sind, d. h., man wird drei Punkte haben, wovon der eine in der Mitte zwischen den zwei übrigen liegt, und wodurch sodann die vorgelegte Aufgabe auf die obige (§. 6, I.) zurückgebracht ist. Denn ist z. B. die Differenz a—b gröfser als b, so wird man durch eine neue Konstruction zwei Strecken erhalten, die sich verhalten wie b : (a—2b)-, und so kann man fortfahren, bis man zu zwei Strecken gelangt, die sich verhalten wie b : {a—nb), w 7 o der Rest a~nb kleiner als b, und etwa = c ist. Sodann findet man weiter zwei Strecken, die sich verhalten wie c : b — c, u. s. w. f., was nothwendigerweise zuletzt, da a, b, c, .ganze Zahlen sind, die der Reihe nach immer kleiner werden, zu zwei Strecken führen mufs, die sich verhalten wie 1:1. Wird DE oder b+x—x gesetzt, so hat man, wenn statt x der obige Werth gesetzt ward: a : x = a b(a+b ) b +—- a — b oder 2. a : x = a-b : 2b, das heifst: durch die nämliche Konstruction gelangt man zu zwei Strecken BD, DE, welche sich verhalten,' wie die Differenz der gegebenen Zahlen a-b zu der doppelten kleineren Zahl 2b, wodurch man, in gewissen Fällen, sich etwas schneller dem verlangten Verhältnifs 1;1 nähern kann. Ist zum Beispiel o) «c=2, und b — 1, 22 1- Kapit. Konstruct. mittelst d. Lineals. §. 8. so ist x == 3 und mithin C in der Mitte zwischen B und E ; und wenn (5) a —3, und 6 = 1, so ist x = 2 und mithin D in der Mitte zwischen B und .iE. Jeder dieser zwei Fälle erfordert also nur eine einzige Hülfskonstruction. B. Wenn zwei Paar Parallele, oder zwei rational getheilte Strecken, oder Parallele und rational getheilte Strecken zugleich gegeben sind. §. 8. I. „Wenn in einer Ebene irgend zwei Paar parallele Gerade, also irgend ein Parallelogramm gegeben ist, so soll man (mittelst des Lineals allein) а) nach allen Richtungen parallele Gerade ziehen, d. h., mit irgend einer .gegebenen Geraden durch irgend einen gegebenen Punkt eine Parallele ziehen, und б) jede beliebige gegebene Strecke nach irgend einem gegebenen Ver- hältnifs vervielfachen oder theilen.” Es seien AB und DC, AD und BC (Fig. 7.) die gegebenen Parallelen und mithin AB CD das gegebene Parallelogramm, dessen Diagonalen AC, BD sich in E schneiden. Durch den Punkt E lege man mit einem der zwei Paar Parallelen, etwa mit AD, BC, eine dritte Parallele EF, so befindet sich diese offenbar in der Mitte zwischen §. 8. Wenn Parallele u. geth. Strecken gegeb. sind. 23 jenen zweien, d. h., sie ist von beiden gleich weit entfernt, so dafs also diese drei Parallelen jede andere Gerade (die nicht mit ihnen parallel ist) in drei solchen Punkten schneiden, wovon der eine in der Mitte zwischen den zwei übrigen liegt. Ist nun eine Gerade, etwa GK, gegeben, so wird dieselbe von den drei Parallelen in den drei Punkten G, F, H geschnitten, wovon der eine, . F, in der Mitte zwischen den zwei übrigen, G und H, liegt, und wodurch also der Forderung («): „durch jeden willkürlichen Punkt mit der Geraden GK eine Parallele zu ziehen”, zufolge (§. 6, I.), genügt werden kann. Odex*, anstatt die dritte Parallele EF zu ziehen, kann man auch wie folgt verfahren. Durch die Punkte I, K, in welchen die gegebene Gerade GK die Parallelen AB, DC sclmeidet, ziehe man die Geraden IE, KE, welche diesen Parallelen in L, M begegnen, so wird die Gerade EM offenbar der IK parallel sein, und sodann kann durch jeden beliebigen Punkt, zufolge (§. 6, III.)» mit IK eine Parallele gezogen werden. Die zweite Forderung (3) wird durch Hülfe der ersten und nach Anleitung von (§. 6, II.) erledigt. II. „W enn in einer Ebene entweder: a) drei Parallele, welche irgend eine vierte Gerade in gegebenem rationalen Verhältnifs schneiden; oder t>) in zwei Parallelen irgend zwei Strecken, welche ein gegebenes ra- 24 !• Kapit, Konstruct. mittelst d. Lineals. §. 8. tionales Verhältnifs zu einander haben; oder c ) irgend zwei Parallele und irgend eine in gegebenem rationalen Verhältnifs getheilte Strecke; oder endlich d) zwei beliebige^ ni:cht parallele T Strecken, wovon jede in irgend einem gegebenen rationalen Verhältnifs getheilt ist, gegeben sind, so soll man: a) nach jeder beliebigen Richtung Parallele ziehen, und ß) jede beliebige gegebene Strecke nach jedem beliebigen rationalen Verhältnifs theilen oder vervielfachen.” Fall a. Schneiden etwa die drei Parallelen AB, CD, EF (Fig. 8.) eine vierte Gerade AE so, däfs sich ihre Abschnitte AC, CE verhalten wie p : f/, wo p , (j relative Primzahlen sind, so vervielfache man in der einen Parallelen, etwa in AB, eine willkürliche Strecke, und nehme AG gleich dem p fachen und GB gleich dem t)i, an den Kreis gelegten Tangenten sich in der genannten Harmonischen schneiden. Es gehen aber auch die Harmonischen aller Punkte, welche innerhalb des Kreises in der Geraden pq, also in der Strecke pq, liegen, durch C 34 H. Kapit. lieber Eigensch. des Kreises. §. 10. den harmonischen Pol b dieser Geraden. Denn denkt man sich z. B. die Harmonische des Punktes tu, so mufs dieselbe der Geraden iml) in> demjenigen Punkte begegnen, welcher zu den drei Punkten i, m, der vierte, dem m zugeordnete, harmonische Punkt ist (I.), folglich mufs sie ihr in b begegnen. Eben so folgt, dafs die Harmonische jedes Punktes in der festen Geraden yb (welche den Kreis nicht schneidet) durch den harmonischen Pol b der letztem geht. Denn denkt man sich etwa die Harmonische des Punktes y, so mufs sie der Geraden y tB in demjenigen Punkte begegnen, welcher zu den drei Punkten y, e, B der vierte, dem y zugeordnete, harmonische Punkt ist (1.); da aber, zufolge der obigen Betrachtung, der Punkt b diese Eigenschaft besitzt, so mufs sie folglich durch b gehen. Da der Punkt y aufserhalb des Kreises liegt, so sind aus ihm Tangenten an diesen möglich, durch deren Berührungspunkte seine Harmonische geht (I.). Aus dieser Betrachtung fliefsen unter andern folgende Sätze: 1. „Liegt ein Punkt in irgend einer Geraden (wie etwa l oder m in pq, oder y oder r in yb), SO geht seine Harmonische durch ihren harmonischen Pol (b oder b).” Oder mit andern Worten, ausführlicher: 2. „Die Harmonischen aller Punkte, welche in irgend einer Geraden (pq 0 der yb) liegen, schneiden einander in ei nem bestimmten Punkte (b oder b), nämlich im §. 10 . Harmonische Eigenschaften. 35 harmonischen Pol jener Geraden;” und umgekehrt: „die harmonischen Pole aller Geraden, welche durch irgend einen festen Punkt (b oder b) gehen, liegen in der Harmonischen (pq oder yr) des letzteren.” 3. „Läfst man, in der Vorstellung, zwei Tangenten eines festen Kre;ises M sich so bewegen, dafs ihr gegenseitiger Durchschnittspunkt (l oder y) längs irgend einer festen Geraden (pq oder yr) fortgleitet, so dreht sich die Gerade, welche durch ihre Berührungspunkte geht, um irgend einen bestimmten festen Punkt (b oder b).” Und umgekehrt: „Dreht sich eine Secante eines festen Kreises um irgend einen festen Punkt (b oder b), so bewegt sich der Durchschnittspunkt der Tangenten, durch deren Berührungspunkte sie geht, längs irgend einer bestimmten Geraden (pq oder yr).” IV. Die vorstehenden Betrachtungen geben ein bequemes Mittel an die Hand, um die folgenden Aufgaben durch Hülfe des Lineals allein zu lösen. 1. „Wenn in einer Ebene irgend ein Kr eis M gegeben ist, so soll man «) die Harmonische irgend eines gegebenen Punktes, und ß) den harmonischen Pol ir- S e ud einer gegebenen Geraden finden.” Es sei etwa b oder b (Fig. 12.) der gegebene Punkt. Man ziehe durch denselben zwei beliebige C 2 36 11 Ka P if - Ueber Eigensch. des Kreises. §. 10. Secantcn, etwa bg and bt oder Be und ac, verbinde die vier Durchschnittspunkte, c, g, b, t oder B, e, a, c, in welchen sie den Kreis M schneiden, paarweise durch zwei Paar Gerade, be, ig und bg? ic, oder Bc, ac und aB, cc, so werden ihre Durch- schnittspunkte, l und t oder 3 und r, in der verlangten Geraden (a) liegen, wodurch diese sofort gefunden ist. Ist ferner etwa die Gerade pq oder pr gegeben ((j), so suche man, auf die eben gezeigte Weise,, zu irgend zwei Punkten derselben, etwa zu ( und m, oder r und g, die Harmonischen, so wird ihr Durchschnittspunkt, b oder b, der verlangte Pol sein (III.). 2. „An einen gegebenen Kreis M Tangenten zu ziehen, welche durch irgend einen gegebenen (außerhalb des Kreises liegenden) Punkt b gehen.” Man konstruire die Harmonische pq des gegebenen Punktes b (1, a.) und verbinde die Punkte p, q, in welchen sie den Kreis schneidet, mit jenem Punkte durch Gerade, bp, bq, so sind diese die gesuchten Tangenten. Anmerkung. Andere Sätze, welche aus der obigen Betrachtung unmittelbar folgen, und welche zumTheil die dem Kreise eingeschriebenen und umschriebenen Dreiecke, Vierecke u. s. w. betreffen, werden hier, als zu weit von dem gegenwärtigen Zwecke abliegend, übergangen. Man findet dieselben, nebst den vorstehenden Sätzen und Aufgaben, in der oben genannten Schrift (Systematische Entwickelung etc.) auf umfassende, dem Gegen- fl. 11. Vom Aehnlichkeitspunkt. 37 stände angemessene Weise für alle Kegelschnilte zugleich bewiesen. — Die vorstehenden Sätze sind übrigens die Grundlage der sogenannten „ Theorie des poluires reciproques”. II. Vom Aelmüchkeitspunkt. §. 11. Zieht inan in einer Ebene durch irgend einen Punkt A (Fig 13.) nach allen Richtungen Strahlen (Gerade) An, Ab, Ac, .und bezieht mittelst dieser Strahlen alle Punkte der Ebene dergestalt auf einander, dafs jedem Punkte a, in einem solchen Strahl, An, ein anderer Punkt a, im nämlichen Strahl entspricht und zwar unter der Bedingung, dafs die Abstände je zweier entsprechenden Punkte von dem Punkte A, An und An,, durchweg ein und dasselbe gegebene Vcrhältnifs haben, etwa it : n,, so wird dadurch ein solches Beziehungssystem bewirkt, in welchem die Ebene doppelt gesetzt ist, oder was man sich auch so vorstellen kann, als lägen zwei Ebenen, die E, E, heifsen mögen, auf einander, indem nämlich jeder Punkt sowohl als der einen, wie der andern Ebene angehörend angesehen werden kann; z. B. den Punkt (cb t ) kann man als der Ebene E angehörend betrachten, also als c, und dann entspricht ihm der Punkt c,, oder man kann ihn als der Ebene E, angehörend ansehen, das ist als b,, und dann entspricht ihm der Punkt b. Gäfst man in Gedanken den Punkt a sich so bewegen, dafs er dem Punkte A näher rückt, so 38 II. Kapit. Uebet Eigensch. des Kreises. §. 11. müfs nothwendigerweise auch der ihm entsprechende Punkt a 4 gleichzeitig dem festen Punkte A sich nähern, bis zuletzt beide zugleich sich mit A vereinigen. Demnach kann man sagen, es seien in A zwei entsprechende Punkte vereinigt, und es ist klar, dafs diese Eigenschaft nur diesem Punkte allein zukommen kann (ausgenommen bei dem besondern Beziehungssystem, wo das genannte Verhältnifs n : n, =1 ist, in welchem Falle jeder Punkt mit seinem entsprechenden zusammenfällt). Aus dem einfachen Gesetz, durch welches die entsprechenden Punkte der zwei Ebenen E, E l bestimmt sind, folgt nun auch unmittelbar die gegenseitige Beziehung, welche irgend ein System von Punkten in der einen Ebene zu dem ihm entsprechenden System von Punkten in der andern Ebene hat; d. h., wenn in der einen Ebene irgend eine Figur gegeben ist, so läfst sich leicht angeben, was für eine Figur ihr in der andern Ebene entspricht, und welche gegenseitige Beziehung irgend zwei solche entsprechende Figuren zu einander haben. Nämlich die Haupteigenschaften oder Hauptsätze über diese Beziehung gründen sich auf Folgendes: Es ist zunächst klar, dafs die Gerade ct&, welche durch irgend zwei Punkte a, b der einen Ebene E geht, mit denjenigen Geraden a, b,, welche durch die entsprechenden zwei Punkte a,, 6, der andern Ebene Zi 1 , geht, parallel ist, und dafs sich die Strecken ab, a, b, in diesen Geraden, welche durch die genannten Punkte begrenzt werden, eben so zu einander verhalten, wie die Abstände irgend §. 11 . Vorn Aehplichkeitspunkt. 39 zweier entsprechenden Punkte vorn Punkte A \ d. h., dafs sich verhält ab : a, 6 1 — n : n i . Denn zufolge des Beziehungssystems sind offenbar die Dreiecke a^b 7 und a,Ab i ähnlich, woraus sofort die ausgesprochenen Behauptungen unmittelbar folgen. Aehnlicherweise folgt weiter: dafs jede der zwei Geraden ab, a, b, alle Punkte enthält, welche den sämmtlichen Punkten in der andern Geraden entsprechen; nämlich irgend einem Punkte in der einen Geraden, z. B. dein Punkte e in der Geraden ab, entspricht derjenige Punkt in der andern Geraden a,b,, welcher mit ihm in demselben (durch A gehenden) Strahle liegt, so dafs also jeder Geraden in der einen Ebene irgend eine bestimmte Gerade in der andern Ebene entspricht. Daraus fliefsen folgende Sätze: I. „Jeder Geraden in der einenEbene entspricht eine bestimmte Gerade in der andern Ebene; d. h., allen Punkten in der ersten Geraden entsprechen die sämmtlichen Punkte in der zweiten Geraden; je zwei solche entsprechende Gerade sind unter sich parallel, und je zwei entsprechende Strecken (in zwei solchen Geraden) verhalten sich eben so, wie die Abstände irgend zweier entsprechenden Punkte vom Punkte J, also wie n : End umgekehrt: „Eine Gerade, die durch irgend zwei Punkte in der einen Ebene geht, entspricht derjenigen Geraden, welche durch die entsprech end en Punkte m der andern Ebene bestimmt wird.” Ein 4Q H. Kapit. Ueber Eigensch. des Kreises. §. 11. wesentlicher besonderer Fall hiervon ist der folgende Satz: II. „ In jeder Geraden, welche durch A geht, also in jedem Strahl, sind zwei entsprechende Gerade vereinigt.” III. „Dem Durchschnittspunkte irgend zweier Geraden in der einen Ebene entspricht der Durchschnittspunkt der ihnen entsprechenden Geraden in der andern Ebene. ” „Zieht man aus irgend zwei entsprechenden Punkten, etwa aus a und et,, nach beliebiger Richtung zwei parallele Strecken, etwa öe und die sich dem Beziehungssystem gemäfs verhalten, also (te : a l e i =m i n tJ so sind ihre andern Endpunkte, e und e,, ebenfalls entsprechende Punkte, und liegen als solche in irgend einem (durch A gehenden) Strahl.” Aus diesen Fundamentalsätzen folgen nun weiter die nachstehenden Sätze. Y. „Irgend einer geradlinigen Figur in der einen Ebene entspricht eine ähnliche und ähnlichliegende Figur in der andern Ebene, nämlich die Ecken beider Figuren sind entsprechende Punkte, so dafs sie paarweise in Strahlen liegen, und ihre Seiten sind entsprechende Gerade (oder Strecken), also paarweise parallel.” VI. „Irgend einer krummen Linie C in der einen Ebene E entspricht eine §. 11 . Vom Aehnlichkeilspunkt. 41 ähnliche und ähnlichliegende Curve C t , in der andern Ebene ; die Punkte, in welchen die erste Curve C von irgend einer Geraden G geschnitten wird, entsprechen den Punkten, in welchen die dieser entsprechende Gerade G t die zweite Curve C, schneidet, so dafs also C und G sich in eben so vielen Punkten schneiden, als C l und G x ; daher wird jeder Tangente der ersten Curve auch eine bestimmte, j ener p arallele, Tangente der zweiten Curve entsprechen, und zwar müssen auch ihre Berührungspunkte entsprechende Punkte sein; jeder durch A gehende Strahl, welcher die eine Curve berührt, berührt auch die andere Curve, und zwar berührt er sie in entsprechenden Punkten;” u. s. w. Insbesondere folgt also hieraus, dafs: VII. „irgend einem Kreise in der einen Ebene ebenfalls ein Kreis in der andern Ebene entsprechen mufs, und daTs auch die Mittelpunkte zweier solcher Kreise entsprechende Punkte sind;” u. s. w. Zufolge dieser Eigenschaften des Beziehungssystems wird der Punkt JL „der Aelinlich- keitspunkt” oder in Ansehung der beiden auf einander liegenden Ebenen/? unb JH t „der Pro- jectionspunkt” genannt. Bei einem solchen Beziehungssystem sind jedoch zwei wesentlich verschiedene Fälle von ein- 42 II. Kap, Ueber Eigensch. des Kreises. §. 12. ander zu unterscheiden. Man kann nämlich entweder : a) je zwei entsprechende Punkte, wie a und et,, auf einerlei Seite vom Aehnlichkeits- punkt A annehmen, wie hei der vorstehenden Betrachtung geschehen ist, oder ß) je zwei entsprechende Punkte auf entgegengesetzten Seiten vom Aehnlichkeitspunkte annehmen, in welchem Falle dieser fortan durch I bezeichnet werden wird. Diese beiden Fälle werden in der Folge dadurch unterschieden, dafs man beim ersten Falle sagt, das Beziehungssystem habe einen „aufseren” und beim zweiten Falle, es habe einen „inneren” Aehnlichkeitspunkt. Je zwei ähnliche Figuren, geradlinige oder krummlinige, lassen sich sowohl so legen, dafs sie einen auf seren, als so, dafs sie einen inneren Aehnlichkeitspunkt haben. Es giebt auch eine gewisse Klasse von Figuren, die beiden Forderungen zugleich genügen können, d. h. die sich in solche Lage bringen lassen, dafs sie zugleich einen äufseren und einen inneren Aehnlichkeitspunkt haben. Wird von zwei Figuren in einer Ebene gesagt, sie seien ähnlich und ähnlichliegend, so haben sie allemal einen Aehrilichkeitspunkt (V. u. VI.). §• 12 . I. Aus den vorstehenden allgemeinen Gesetzen über den Aehnlichkeitspunkt folgen für den Kreis insbesondere nachstehende Eigenschaften. §. 12 . Vom Aehnlichkeitspunkt. 43 „Sind in einer Ebene irgend zwei Kreise gegeben, gleichviel welche gegenseitige Lage sie haben mögen, so haben sie allemal zugleich einen äufsercn und einen inneren Aehnlichkeitspunkt. Es seien M, M i (Fig. 14.) die Mittelpunkte der Kreise und etwa ab, a,b, irgend zwei parallele Durchmesser derselben, so werden, wenn man durch die Mittelpunkte die Gerade MM, zieht, die fortan „Axe” heifsen soll, die auf einerlei Seite der Axe liegenden Endpunkte der Durchmesser mit dem äufseren, und die auf entgegengesetzten Seiten derselben liegenden Endpunkte mit dem innern Aehnlichkeitspunkt in Geraden liegen; d. h., die Geraden oder Strahlen aa,, bb, begegnen der Axe in irgend einem und demselben festen Punkte A, und die Strahlen ab„, ba, begegnen ihr in einem festen Punkte I. Denn vermöge der Parallelität der Durchmesser sind offenbar die Dreiecke AMa und AM J a i , so wie die Dreiecke IMa und FM, b,, ähnlich, wwraus folgt, dafs: а) AM : AM, — Ma : M, a ,, und б) IM : IM, = Ma : MJ,, was, wie man sieht, dem Prinzip des Aehnlich- keitspunktes genügt; denn da nämlich die Verhältnisse rechts, die aus den Radien der Kreise gebildet sind, constant bleiben, welche parallele Richtung diese Radien immerhin haben mögen, s ° müssen auch die Verhältnisse links, also AM ; AM, und IM : IM„ denselben beständigen Werth haben, etwa n : und daher müssen folglich (da die Mittelpunkte JMT, M, fest sind): 44 II. Kapit, Ueber Eigensch. d. Kreises. §. 12. „alle Geraden oder Strahlen, welche durch die auf einerlei Seite der Axe MM, liegenden Endpunkte paralleler Durchmesser gehen, der Axe in einem und demselben festen Punkte A, und dieStrali- len, welche durch die auf entgegengesetzten Seiten der Axe liegenden Endpunkte gehen, müssen ihr in einem und demselben festen Punkte / begegnen, und diese zwei festen Punkte sind die Aehnlicli- keitspunkte der gegebenen Kreise.” Da M l d i = M,k„ als Halbmesser des Kreises M ,, so sind die zwei Verhältnisse rechts (in («) und (6)) einander gleich, daher ist auch c) AM : AM, = IM : IM, ; das keifst: „Die zwei Mittelpunkte -JA 31, der Kreise und die zwei Achnlickkcits- punkte A , I derselben sind allemal zusammen vier harmonische Punkte, und zwar sind sowohl jene zwei, wie diese zwei, zugeordnete harmonische Punkte.” Auch kann bemerkt werden, dafs die Mittelpunkte der Kreise notkwendigerweise immer auf einerlei Seite des äufscren Aehnlickkeitspunktcs liegen, dagegen der innere Aehnlichkeitspunkt immer zwischen ihnen liegen mufs. Ferner sind über die gegenseitige Lage der Kreise und ihrer Aelmlickkeitspunkte folgende Umstände zu merken: 1) Wenn die Kreise ganz aufser einander liegen, so schneiden sich ihre äufscren gemeinschaftlichen Tangenten im äufscren A-, und ihre inneren §. 12 . Vom Aehnlichkeitspunkt. 45 gemeinschaftlichen Tangenten schneiden sich im inneren I- Aehnlichkcitspunkte, so dafs also beide Aehnlichkeitspunkte außerhalb beider Kreise liegen. 2) Läfst man in der Vorstellung die Kreise einander näher rücken, oder, wenn die Mittelpunkte und Aehnlichkeitspunkte fest bleiben sollen, in gleichem Verhältnifs gröl'ser werden, bis sie sich berühren, d. h. äufserlich berühren, so ist ihr Berührungspunkt zugleich ihr innerer Aehnlichkeitspunfet. 3) Bewegt man auf dieselbe Weise die Kreise weiter, bis sie einander schneiden, so liegt der innere Aehnlichkeitspunkt I innerhalb beider Kreise. 4) Dringt der kleinere Kreis so tief in den gröfscren, dafs er ihn nur noch berührt, d. h. innerlich berührt, so ist ihr Berührungspunkt zugleich ihr äufserer Aehnlichkeitspunkt. 5) Gelangt der kleinere Kreis ganz innerhalb des gröfseren, so liegen beide Aehnlichkeitspunkte innerhalb des kleineren Kreises. 6) Werden endlich die Kreise koncentrisch, so fallen beide Aehnlichkeitspunkte mit ihrem gemeinschaftlichen Mittelpunkte zusammen. 7) Sind insbesondere die Kreise einander gleich, gleichviel ob sie einander schneiden oder aufser einander liegen, so liegt der innere Aehnlichkeitspunkt / in der Mitte zwischen ihren Mittelpunkten, und der äufsere Aehnlichkeitspunkt A ist unendlich entfernt. Von der Richtigkeit dieser Angaben wird man sich, durch Hülfe der obigen Betrachtungen, sehr leicht überzeugen können. II. Kapit. Ueber Eigensch. des Kreises. §. 12. II. Nach vorstehender Betrachtung liegen die Endpunkte irgend zweier parallelen Radien der zwei Kreise mit dem äufseren oder inneren Aehn- liclikeitspunkt in einer Geraden, je nachdem sie auf einerlei oder auf verschiedenen Seiten der Axe MM X liegen. Daher mufs nothwendigerweise auch das Umgekehrte statt finden, nämlich: „Zieht man durch einen der beiden Aehnlichkeitspunkte A, I zweier gegeben enKreise M, M t irgend eine Gerade, welche den einen Kreis schneidet, so schneidet sie nothwendigerweise auch den andern Kreis, und zwar in entsprechenden Punkten, so dafs die nach diesen Punkten gezogenen Radien beider Kreise paarweise parallel sind, z. B. bei einer durch A gehenden Geraden, welche die Kreise JT, etwa in 6 und c, b, und c, schneidet, müssen sowohl die Radien Mb und M i b 1 , als Mc und M i t i parallel sein.” III. Da für beide Aehnlichkeitssysteme das Verhältnifs n : ?»,, durch welches die entsprechenden Punkte bestimmt sind (§. II»), durch die Radien der Kreise gegeben ist (I.), mithin für beide den nämlichen Werth hat, und da sowohl AM : AM n als IM : lM i diesem Werthe gleich ist (I, a und 6.), so sind folglich M und M t in beiden Systemen zugleich entsprechende Punkte. Nimmt man irgend einen beliebigen Punkt q an, und betrachtet ihn, in Bezug auf beide Aehn- Vom Aehnlichkeitspunkt. 47 5 . 12 . lichkeitssysteme, als mit dem Kreise M derselben Ebene. E angehörend (§. 11.), so -werden ihm in der andern Ebene E t , welcher der andere Kreis M l angehört, zwei verschiedene Punkte entsprechen, nämlich es entspricht ihm ein bestimmter Punkt q, in Bezug auf den Aehnlichkeitspunkt^, und ein bestimmter Punkt p„ vermöge des Aehn- lichkeitspunktes /, und es müssen diese zwei Punkte q l3 p ( offenbar in einem und demselben Durchmesser des Kreises M t liegen und zwar gleich weit von dessen Mittelpunkt entfernt sein; d. h., cs mufs q, Af, p ( eine Gerade und q => sein. Denn da M und M l in Bezug auf beide Aehn- lichkeitspunkte entsprechende Punkte sind, und da ferner q und q, in Bezug auf den Aehnlichkeitspunkt A y und q und p, in Bezug auf den Aehnlichkeitspunkt I entsprechende Punkte sind, so ist demnach sowohl M t q, als M t p, parallel iWq (§. 11, I.), also q 1 llf 1 p 1 eine Gerade, und es verhält sich AM : AM t = JWq : ilZ^q,, und IM : IM l = it/q ; M.p,, mithin (I, , c, f, in welchen dieselben Geraden den uinschriebenen Kreis M schneiden, aber mit den letzteren nicht auf einerlei Seiten jenes Punkts I liegen — allemal zusammen in einem und demselben Kreise M," U. s. w. III. In Folge der obigen Bemerkung (I.), dafs ähnlichliegende Punkte, in Bezug auf die Dreiecke abc, a, b, c,, au ch zugleich in Betracht des Aehnlichkeitspunkts I ähnlichliegende Punkte sind, kann noch hinzugefügt werden, dafs, wenn man sich die vier Kreise denkt, wovon jeder die drei Seiten (oder deren Verlängerung) des Dreiecks abc berührt, ü,,^ eben so die vier dem zweiten Dreieck a,b,c, eingeschriebenen Kreise, dafs dauu die vier letzteren den 54 II. Kapil. Ueber Eigensch. d. Kreises. §• 12 . iler zwei Aelmlichkeitssysteme entsprechende Gerade sind, fortan in Rücksicht auf die Kreise vier ersteren beziehlich entsprechen; < 1 . h., dals dann diese Kreise paarweise den Punkt I zum inneren Aehnlichkeits- punkt haben, und dafs also ihre Mittelpunkte paarweise in Strahlen liegen, welche durch diesen Punkt gehen, und dals ihre Abstände von demselben sich verhalten, wie 2 : 1. Aehnliches gilt von den Dreiecken abc und a i b l c l in Hinsicht ihres Aehnlichkeitspunkts A. — Die Dreiecke a, b , c, und 0 , 6 , 0 , sind gleich und ilt, ist ihr (innerer) Aehnlich- keitspunkt, weil a l M i a i eine Gerade ist und M, in der Mitte zwischen a, und a , liegt. — U. s. w. IV. „Wenn man in der Peripherie eines Kreises M irgend vier Punkte o, b, c, g annimmt, so bestimmen diese, zu drei und drei genommen, vier Dreiecke, welchen der Punkt M, alsMittel- punkt des umschriebenen Kreises, gemeinschaftlich angeh ört, wogegen aber zu denselben sowohl vier verschiedene Punkte i, als M lf als A gehören. Jede dieser vier Punkte, für sich genommen, liegen in einem Kreise; die Kadien dieser d rei neuen Kreise sind, nach der Reihe, ■j, 5 , j vom Radius des gegebenen Kreises M, und ihre Mittelpunkte liegen mit dem Mi 11 e 1- punkt des letzteren in einer Geraden, und zwar in solchen Abständen von diesem, die sich, nach der Reihe, verhalten wie 2:3:6, so dafs also der Punkt M der gemeinschaftliche Aehn- lichkeitspunkt der drei neuen Kreise ist.’’ Und ferner: „V erbindet man jeden der vier angenommenen Punkte a, b, c, g, wie etwa g, mit dem zu den drei übrigen gehörigen Punkt A (d.h. mit dem Durchschnittspunkt der Höhen des durch die drei übrigen bestimmten Dreiecks) durch eine Gerade, so schneiden sich die auf diese Weise entstehenden vier Geraden in einem und demselben Punkt, und es wird jede durch diesen gehälftet.” U. s. w. V. Die wesentlichsten von den vorstehenden Sätzen habe ich schon an einem andern Orte angedeutet, nämlich X §. IX Vom Aehnlichkeilspunkt. 55 „ähnlich 1 iegende Gerade” heifsen. Endlich soll jeder Strahl, welcher durch einen der zwei Aehnlichkeitspunkte A oder I geht, in Rücksicht auf die Kreise „Aehnliehkeits strahl” (oder „Proj ectionsstrahl”) genannt werden. §• 13. I. Betrachtet mau in einer Ebene irgend drei Kreise, deren Mittelpunkte M ,, M 2 , A/, (Fig. 15.) nicht in einer Geraden liegen, so gehören zu je zwei derselben zwei Aehnlichkeitspunkte, ein äufserer und ein innerer (§. 12.); es seien A, und / 3 , A 2 und / 2 , A, und /, beziehlich die Aehnlichkeitspunkte der Kreispaare M, und 31.,, M., und M 3 , M„ und M 3 . Von diesen sechs Aehnlichkeitspunkten liegen allemal vier mal drei in einer Geraden, nämlich die drei äufseren liegen in einer Geraden, und jeder äulserc liegt den beiden ihm nicht zugehörigen inneren in einer Geraden; d. h., es ist sowohl A 3 A 2 A t als A i I. 1 I { als A 2 I { I 3 als Aeine Gerade. Denn zieht bei Gelegenheit der Abhandlung : „Devcloppement d une serie. de theoremes relalifs aux sections coniques,” in den Anneile s de Mathema tique s, redige par Ge rgon ne, a Montpellier, tom. XIX. 1828. Ebendaselbst deutete ich auch den Satz an: „Dal's der Kreis M, alle vier Kreise, welche 4 em Dreieck abc einge s eh rieben werden können, berührt,” ohne zu wissen, dafs derselbe schon früher von Feuerbaeh bekannt gemacht worden war. Uebrigens hat auch Herr Prof. Do« e die Relation zwischen den vier Punkten in (I, 5.), so wie die Eigenschaft ('b 4.) durch unmittelbare Beziehung beider Dreiecke abc. a,b,, ab und bc und a,b, einander auf der gemeinschaftlichen Sehne (oder Sccante) rd der gegebenen Kreise M, M t schneiden. Entsprechendes findet in Rücksicht auf den inneren Aehnlichkeitspunkt / statt. Also: „Durchje zwei Paar potenzhaltende Punkte, welche in den Kreisen selbst (aber nicht in einem und demselben Strahle) liegen, werden in diesen Kreisen allemal zwei solche Sehnen (oder Secanten) bestimmt, welche einander in irgend einem Punkte ihrer gemeinschaftlichen Secan- te r$ schneiden.” Drittes Kapitel. Lösung aller geometrischen Aufgaben mittelst des Lineals, wenn ein fester Kreis gegeben ist. §. 18. I. Durch die in den beiden vorhergehenden Kapiteln enthaltenen Betrachtungen über Eigenschaften der Figuren sind wir nun in Stand gesetzt, dem eigentlichen Zwecke dieser Schrift, E 2 III. Kapit. Lösung der geom, Aufgaben §. 18. nämlich der Forderung: „alle geometrischen Aufgaben nur mittelst des Lineals zu lösen, wenn in der Ebene irgend ein fester Kreis gegeben ist,” zu genügen. Und zwar kommt es hierbei, wie schon Eingangs bemerkt worden (§. 1.), hauptsächlich nur auf die Lösung der nachstehenden acht Aufgaben an. Die Beweisgründe, auf welchen die Richtigkeit der zur Lösung dieser Aufgaben angewendeten Konstruc- tionen beruht, werde ich, wenn sie in vorhergehenden Sätzen enthalten sind, kurz andeuten, wenn sie aber in leichten, allgemein bekannten Elementarsätzen bestehen, mit Stillschweigen übergehen. II. Nehmen wir also an, es sei in der Ebene irgend ein gezeichnet vorliegender Kreis, so wie dessen Mittelpunkt, welcher fortan durch M bezeichnet werden soll, gegeben, und es sei nur der Gebrauch des Lineals, um zwischen gegebenen Punkten gerade Linien zu ziehen,-gestattet; dabei sei man jedoch berechtigt, die gegenseitigen Durchschnittspunkte des Hülfskreises M und beliebiger Gerader als unmittelbar gegeben anzusehen: so lassen sich die in Rede stehenden Aufgaben wie folgt lösen. Erste Aufgabe. „Mit irgend einer gegebenen Geraden, durch jeden beliebigen Punkt, eine Parallele zu ziehen.” a. Wenn,die gegebene Gerade durch den Mittelpunkt des Hülfskreises geht, wie etwa aMb (Fig. 19.). — In diesem Falle §. 18. mittelst des Lineals u. eines festen Kreises. (jQ hat man in der Geraden unmittelbar drei Punkte, nämlich die zwei Punkte a und b, in welchen sie den Kreis schneidet, und den Mittelpunkt M des letztem, wovon der eine, nämlich M, in der Mitte zwischen den zwei übrigen liegt, so dafs durch deren Hülfe sofort, nach (§. 6, I.), durch jeden beliebigen Punkt mit ab eine Parallele gezogen werden kann. b. Wenn die gegebene Gerade den Iliilfskreis schneidet, aber nicht durch seinen Mittelpunkt geht, wie etwa cd. — Ziehe aus den Schncidepunktcn c, d durch den Mittelpunkt M des Kreises die Durchmesser cMc,, dMd„ so bestimmen deren andere Endpunkte c,, d, eine Sehne c,d t , welche mit der gegebenen cd parallel ist, und durch deren Hülfe also sofort der Aufgabe genügt werden kann (§. 6, III.). c. Wenn die gegebene Gerade be- liebige Lage hat, wie etw r a die Gerade cf. — 1. Ziehe aus einem willkürlichen Punkto der gegebenen Geraden, etwa aus g, den Durchmesser abg, lege durch einen beliebigen Punkt c der Kreislinie die Sehne ede mit ab parallel («.), ziehe sofort die Durchmesser cMc l5 dMd t> und durch ihre Endpunkte c ,, r/, die Gerade d i c i f so hat man in der gegebenen Geraden drei Punkte e, g, f wovon offenbar der eine, g, gleich weit von den zwei übrigen entfernt ist, so dafs man sofort durch jeden beliebigen Punkt mit dieser Geraden eine Parallele ziehen kann (§• 6, I.). — Oder 2. Ziehe aus zwei beliebigen Punkten h, i der gegebenen Geraden die Durchmesser hc t c, 70 III. Kapit. Lösung der geom, Aufgaben §. 18. idd t) und durch deren Endpunkte die parallelen Sehnen cde 1} d x c i f die der Geraden in den Punkten 0 , f begegnen; aus diesen Punkten ziehe ferner die Durchmesser eme x , fmf x , welche jene Sehnen in e iy f\ schneiden, so wird die Gerade e x f\ der gegebenen Geraden ef parallel sein, und man kann sofort durch jeden beliebigen Punkt mit der letzteren eine Parallele legen (§. 6, III.). Anmerkung. 1) Der dritte Fall ( der beiden gegebenen Kreise M, M Die Gründe, auf welchen die Richtigkeit dieses Verfahrens beruht, sind leicht aufzufinden (2s Kapit.). 2. Wenn die gefundene Gerade pq den Kreis M nur berührt, oder ihn gar nicht trifft, so zeigt diefs an, dafs auch der Kreis M l ihn berührt, oder ihn gar nicht trifft. Zweiter Fall. Wenn die zwei Kreise blofs der Gröfse und Lage nach gegeben sind. Es seien z. B. M lS M 2 (Fig. 24.) die Mittelpunkte, und etwa M\a ,, M 2 c 2 die Radien der zwei gegebenen Kreise. Dieser Fall kann unter andern dadurch gelöst werden, dafs man die gemeinschaftliche Secante der beiden gegebenen Kreise konstruirt, und sodann die gegenseitigen Durchschnittspunkte dieser Secante und eines der beiden Kreise sucht. Dieses kann z. B. wie folgt geschehen. Man ziehe im Hülfskreise M die Durchmesser ab, cd den gegebenen Radien M t a t , M 2 c„ parallel, und suche sofort die Aehnlichkeitspunkte A 2 und I 2 , A l und I\ der Kreispaare M und M„ M und M 2 . Hierauf konstruire man, durch Hülfe der Aehnlichkeitspunkte A. 2 und / 2 , den mit cd und also auch mit c i M 2 , parallelen Durchmesser §. 18. mittelst des Lineals u. eines festen Kreises. 85 c l d l des Kreises M t (§. 12, III.), und bestimme gleicherweise den zweiten Endpunkt d 2 des Durchmessers c 2 M 2 . Sodann ziehe man die Geraden c„c n d,d 2 , welche den Radius a i M t in 6 l3 f t schneiden, und ziehe ferner die Strahlen A z e iy A„ f 0 welche dem Durchmesser aMb in , 5(35 und 836, nenne die Punkte, in w elchen sie der Geraden A begegnen, beziehlich a und a, t> und ß, c und /, und suche sofort, auf dieselbe Weise, w ie bei den vorangehenden Aufgaben, in der Geraden A die Punkte r und g, so wird jeder von diesen der vorgelegten Aufgabe genügen, so dafs es also’ im Allgemeinen zwei Kegelschnitte giebt, von denen je- Qß Anhang, Vermischte Aufgaben. §. 20. der durch die vier gegebenen Punkte geht und die gegebene Gerade berührt. Die Merkmale, woran man erkennt, ob die Aufgabe in der That zwei, oder nur eine, oder gar keine Auflösung zu- läfst (d. h., ob 2, oder nur 1, oder kein Kegelschnitt möglich sei), sind die nämlichen wie bei den vorhergehenden Aufgaben. II. Um die Konstruction etwas abiukürzen, kann man bei dieser Aufgabe auch wie folgt verfahren. Man ziehe nur zwei Paar Gerade (I.), etwa 5133 und 63), 516 und 3335, welche der Tangente A in den Punkten a und a, 6 und ß begegnen, und ziehe sofort aus dem im Hülfskreise M beliebig angenommenen Punkte P (vergl. Aufg. 1.) die Strahlen Pa und Pa, Pb und Pß, welche den Kreis in a und b und ß, schneiden, und ziehe ferner die Geraden aß, und ba„ die sich in einem Punkte p, so wie die Geraden ab und a,j S,, die sich in einem Punkte t schneiden, lege weiter die Gerade pt, die den Kreis M, im Allgemeinen, in zwei Punkten r und s schneiden wird, und ziehe endlich die Strahlen Pr und Ps, so werden diese der Geraden A in den gesuchten Punkten r und $ begegnen. Aufgabe 5. „Wenn von einem Kegelschnitte vier Tangenten und.ein Punkt gegeben sind, so soll man die Tangente finden, welche den Kegelschnitt in diesem Punkte berührt.” £ Es §. 20 . Anhang. Vermischte Aufgaben. 97 Es seien A, B, C, D die gegebenen vier Tangenten, und 2( der gegebene Punkt. Es hei- fsen die Punkte, in welchen A von B, C\ D geschnitten wird, beziehlich a, b, c, und die Punkte, in welchen 1) und €, 1) und B, C tmd B einander schneiden, beziehlich a,, b,, c,. Man ziehe die Strahlen 21a,, 21b,, 2U f , und nenne die Punkte, in welchen sie die Tangente A treffen, beziehlich er, ß, y. Sodann suche inan, auf dieselbe Weise wie bisher, mittelst der Punktenpaare a und a, b und />, c und 7 , in der Geraden A die Punkte r und und ziehe sofort die Strahlen 21r und 9(g, so wird jeder von diesen der Aufgabe genügen. — Ucbrigens lassen sich die zwei Punkte r, $ auch hier durch dasselbe abgekürzte Verfahren finden, wie bei der vorigen Aufgabe (Aufg. 4, II.), wozu man nämlich nur zwei der drei Punktenpaare., etwa a und er, b und ß, nöthig hat. Aufgabe 6 . „Wenn drei Punkte und zwei Tangen ten eines Kegelschnittes gegeben sind, so soll man die Punkte finden, in welchen derselbe die Tangenten berührt.” Man bezeichne die gegebenen Tangenten durch 41, C, und irgend zwei der drei gegebenen Punkte durch a, er. Man ziehe die Gerade a« und nenne die Punkte, in welchen sie die B und C schneidet, b und |j, und suche sodann, auf die nämliche Weise wie oben (Aufg. 4, II.), in der Geraden , G, fß. Man ziehe die Gerade ua, und nenne die Punkte, in welchen sie das eine Tangentenpaar, etwa B und <7, schneidet, b und ß, und suche sodann, in der Geraden a», zu den zwei Punktenpaaren a und er, 6 und ß, das durch dieselben bestimmte Punktenpaar r und § (Aufg. 4, II.). Aclmlicherweise suche man zu dem gegebenen Punktenpaare, a und a, und zu dem Punktenpaare, in welchem die Gerade na von einem andern Tangentenpaare, etwa von B und D , geschnitten wird, das durch dieselben bestimmte Punktenpaar r, und Sodann ziehe man die Strahlen $>r und , Gr 1 und G$,, und bezeichne die Durchschnittspunkte von Sir und Gr,, 2>r und G$ f , und Gr,, 3)3 und Gä,, beziehlich durch x, y-> *, und ziehe endlich die Geradenpaare «a und ucc , jra und xu , i/a und ya , *a und sa, so wird jedes von diesen, für sich genommen, der vorgelegten ^Aufgabe genügen, d. h., je zwei solche Gerade berühren in den zugehörigen Punkten) a und a einen .bestimmten Kegelschnitt , welcher ebenfalls von 'den drei gegebenen Geraden G 3 100 Anhang. Vermischte Aufgaben. § 20 . B, C, D berührt; wird. Demnach läfst die Aufgabe, im Allgemeinen, vier Auflösungen zu, oder es finden vier Kegelschnitte statt, welche sowohl die drei gegebenen Tangenten, als die zwei gegebenen Punkte gemein haben, u. s. w. Mittelst der vorstehenden Aufgaben (2 bis 7.) lassen sich nunmehr auch die folgenden Doppelaufgaben, welche, wie man bemerken wird, theils Zusammensetzungen, theils besondere Fälle von jenen sind, leicht lösen. ' Aufgabe 8. „Die gegenseitigen Durchschnittspunkte einer gegebenen Geraden und eines Kegelschnitts, von welchem a) vicrPunkte und eine Tangente, oder b) vier Tangenten und ein Punkt gegeben sind, zu finden.” Aufgabe 0. „Diejenigen Geraden, die durch einen gegebenen Punkt gehen und einen Kegelschnitt berühren, von welchem a) vier Tangenten und ein Punkt, oder b) vier Punkte und eine Tangente gegeben sind, zu finden. 5 ’ Aufgabe 10. „Die gegenseitigen Durchschnitts- punkte einer gegebenen Geraden und eines Kegelschnitts, von wehc.hjhö 1 a)drei Punkte und zwei^Tangcuten, oder I») drei Tangenten und' zu ei Punkte gegeben sind, zu findeu.” § 20 . Anhang. Vermischte Aufgaben. 101 Aufgabe 11. „Diejenigen Geraden, die durch einen gegebenen Punkt gehen und einen Kegelschnitt berühren, von welchem a) drei Tangenten und zwei Punkte, oder b) drei Punkte und zwei Tangenten gegeben sind, zu finden.” Aufgabe 12. „Die gegenseitigen Durchschnitts- punkte einer gegebenen Geraden und eines durch a) vier Punkte und die Tangente in einem derselben, oder b) vier Tangenten und den Berührungspunkt einer derselben gegebenen Kegelschnitts zu finden.” Aufgabe 13, „Diejenigen Geraden, welche durch einen gegebenen Punkt gehen, und einen d urch a) vier Tangenten und den Berührungspunkt einer derselben, oder b) vier Punkte und die Tangente in einem derselben gegebenen Kegelschnitt berühren, au f i u d e n- ” Aufgabe 14. „Die gegenseitigen Durchschnittspunkte einer gegebenen Geraden und eines durch n) drei Punkte und die Tangenten in ^wei derselben, oder 102 Anhang. Vermischte Aufgaben. §. 20. b) drei Tangenten und die Berührungspunkte von zwei derselben gegebenen Kegelschnitts zu finden.” Aufgabe 15. „Diejenigen Geraden, welche durch einen gegebenen Punkt gehen und einen durch a) drei Tangenten und die Berührungspunkte von zwei derselben, oder b) drei Punkte und die Tangenten in zwei derselben gegebenen Kegelschnitt berühren, zu finden. ” Wie man sieht, lassen sich z. B. die Aufgaben (8. und 9.) mittelst der Aufgaben (4. und 5.) auf die Aufgaben (2. und 3.) zurückführen, ebenso die Aufgaben (10. und 11.) mittelst der Aufgaben (6. und 7.) auf die Aufgaben (2. und 3.) u. s. w., woraus die Zahl der Auflösung, welche jeder der gegenwärtigen Aufgaben möglicherweise zukommen können, leicht zu finden ist. Aufgabe 16. „Wenn von zwei Kegelschnitten zwei gemeinschaftliche (oder Durchschnitts-) Punkte und aufserdein ron jedem insbesondere irgend drei Punkte gegeben sind, so soll man ihre übrigen zwei gemeinschaftlichen Punkte, so wie ihre vier gemeinschaftlichen Tangenten finden. 5 Es mögen die Kegelschnitte durch A und 7v |5 ihre gegebenen zwei gemeinschaftlichen Punkte durch 91, ©, die übrigen gegebenen drei Punkte des Kegelschnitts K durch 31, 23, Q und die des /f 4 durch 31,, 23,, (5, bezeichnet und die gesuch- §. 20 . Anhang, Vermischte Aufgaben. 103 ten zwei gemeinschaftlichen Punkte r, $ genannt werden; dann kann die Aufgabe unter andern z. B. wie folgt gelöst werden. Man ziehe etwa die Geraden 5131 und §5©, @@, suche die Punkte a, und lg, c,, in welchen sie K, (aufser in 21 und©) zum zweiten Mal schneiden — welches bekanntlich mittelst des Lineals allein leicht geschehen kann, da fünf Punkte von K, gegeben sind -— ziehe sofort die Geradcnpaarc 2133 und a,b,, 21S und nenne die Punkte, in welchen sie sich kreuzen, bezichlich p, q, und ziehe die Gerade pq, so ist diese eine (der gegebenen 31© zugeordnete) gemeinschaftliche Secante der zwei Kegelschnitte Ji', K ,, so dafs also nur noch nöthig ist, die Durchschnitte derselben mit einem der letzteren zu finden (Aufg. 2, «.), um die in der Aulgabe verlangten Punkte v, 3 zu haben. Um andererseits die vier gemeinschaftlichen Tangenten zu finden, nehme man in der gegebenen Secante 31© irgend einen Punkt an (welcher aber aufserhalb der Kegelschnitte liegt), ziehe aus demselben an jeden Kegelschnitt zwei Tangenten, suche sofort, mittelst des Lineals, die Berührungspunkte, a und b, a, und b ,, derselben und ziehe sodann die Geradenpaare an, und bb,, ab, und ba n die sich bezichlich in den Punkten A, I schneiden, welche zugleich die Durchschnitts- punktc der gesuchten zwei Paar gemeinschaftlichen Tangenten sind, so dafs also diese letzteren s °fort nach (Aufg. 3.) gefunden werden. Line einfachere Auflösung der vorgelegten Aufgabe werde ich an einem andern Orte mittkei- Ien und beweisen. 104 Anhang, Vermischte Aufgaben. §. 20 . i Aufgabe 17. „Wenn von zwei Kegelschnitten K, Ji t zwei gemeinschaftliche Tangenten A , Ai und aufserdein von jedem insbe- sondere irgend drei Tangenten, etwa a, b, c und a t , b t , c 1 , geg'eben sind, so soll man ihre übrigen zwei gemeinschaftlichen Tangenten, so wie ihre vier gemeinschaftlichen Punkte finden.” Ueifscn die Punkte, in welchen A und A , 1 von «, b, c geschnitten werden, hcziehlicli (t, c und a,, Ir,, c,. Aus jedem der letzteren drei Punkte lege man an K, eine zweite Tangente (welche nämlich aufser der schon vorhandenen , f ( noch statt findet), nenne die Punkte, in welchen ^ sie die A schneiden, beziehlich a, ß, ■/, suche sofort, mittelst des llülfskrciscs, in der Geraden A zu den drei Punktenpaaven a und a, {' und ß, c und / die zwei Punkte r und §, und lege endlich aus jedem dieser Punkte eine (zweite) Tangente an K (oder isT,), so werden dieselben auch A , (oder K ) berühren, und mithin die gesuchten zwei gemeinschaftlichen Tangenten sein. — Die gemeinschaftlichen Punkte der Kegelschnitte werden sofort auf eine entsprechende Weise gefunden, wie bei der vorigen Aufgabe die gemeinschaftli- 4 chen Tangenten. Es lassen sich nun weiter eine Menge Aufgaben aufstellen, welche aus den zwei letzten (l(i. und 17.) und aus den früheren Aufgaben zusammengesetzt sind, wie z. B. die folgenden. A u ig a b e 18. „Wenn von zwei Kegelschnitten zwei , 1 g. 20. Anhang. Vermischte Aufgaben. 105 gemeinschaftliche Punkte und ncbstdem von jedem insbesondere irgend drei Tangenten gegeben sind, so soll man ihre übrigen gemeinschaftlichen Punkte, so wie ihre gemeinschaftlichen Tangenten finden.” Aufgabe 19. „Wenn von zwei Kegelschnitten zwei gemeinschaftliche Tangenten und nebst- dem von jedem insbesondere irgend drei Punkte gegeben sind, so soll man ihre übrigen gemeinschaftlichen Tangenten, so wie ihre gemeinschaftlichen Punkte finden.” U. s. w. Die Lösung aller solcher Aufgaben hat, wie die obigen Beispiele zur (lenügc zeigen, gar keine Schwierigkeit, so dafs ich es nicht für nöthig erachte, mich weiter darauf einzulassen. Denn man wird leicht bemerken, dafs z. B. die Aufgabe (18.), im Allgemeinen, zufolge der Endbemerkung in der Auflösung von (7.), 16 Fälle umfafst, wovon jeder insbesondere sich auf die Aufgabe (16.) bringen läfst. Aehnlich verhält es sich mit (19.). Von den Aufgaben über Kegelschnitte will ich hier nur noch das folgende Paar hinzufügen. Aufgabe 20. „In einen durch irgend fünf Punkte (oder durch irgend fünf Bedingungen) gegebenen Kegelschnitt ein »Eck zu beschreiben, welches zugleich irgend einem gegebenen »Eck umschrieben ist (d. h., dessen Seiten zugleich, nach bestimmter Ordnung, durch n beliebige gegebene Punkte gehen).” 106 Anhang. Vermischte Aufgaben. §. 20 . Aufgabe 21. „Um einen durch irgend fünf Tangenten gegebenen Kegelschnitt ein «Eck zu beschreiben, welches zugleich irgend einem gegebenen «Seit eingeschrieben ist (d. h., dessen Ecken zugleich, nach der Reihe, in « beliebigen gegebenen Geraden liegen).” Yon diesen zwei Aufgaben hat die erste, oder vielmehr nur ein besonderer Fall derselben, eine seltene Berühmtheit erlangt, indem nämlich die bedeutendsten Mathematiker sich damit beschäftigt haben. *) Das ^ erfahren, durch welches dieselbe mittelst der hier gestatteten Hiilfsmittel gelöst werden kann, besteht der Hauptsache nach z. B. in folgendem. Der Kegelschnitt lieifse 31 2 und das gegebene «Eck N t . Durch irgend drei der fünf gegebenen Punkte des Kegelschnittes, die etwa durch a 2 , b z , e„ bezeichnet werden mögen, ist ein Kreis bestimmt ; er heifse 3.1-,. Zuvörderst lassen sich nun, mittelst des Hülfskrcises 31, die Aehnlich- keitspuukte A und I der Kreise AI, 31 finden (wozu inan von 31, nicht mehr als jene drei Punkte nöthig hat). Mittelst A und / bestimme man irgend zwei neue Punkte des Kreises 31,, *) Man sehe Kliigels Mathematisches Wörterbuch, Th. Jü. Art. Kreis, §. 115., S. 155., mul aulser- dem (Ke spätem Arbeiten über denselben Gegenstand von den Mathematikern Ger gönne, Encontr e, Servois, Rocliat, Brianchon, Poncelet, Ehuilicr, etc., in den Annales d e M ath e mutique s, tont. I Ull d VIII, im Journal de l’Ecole Polytechnique, cahier X., etc. ff. 20. Anhang. Vermischte Aufgaben. 107 etwa b,j c,. So läfst sich für 31, und -31 2 , da von jedem fünf Punkte gegeben sind, ein Pro- jectionspunkt (der nämlich in den meisten Fällen der Durchschuittspunkt zweier gemeinschaftlichen Tangenten derselben ist) finden; er heilse P. Mittelst P und einer gemeinschaftlichen Secante von M i und J/ 2 , etwa der Secante n 2 f' 2 , findet man sofort das zu M l gehörige » Eck JV t , welches dem, zu 31 2 gehörigen, gegebenen »Ecke -A r 2 entspricht; und sodann findet man ferner, mittelst A und /, leicht das zu 31 gehörige »Eck iV, welches dem, zu Ai, gehörigen, »Ecke N, entspricht. .Hierauf beschreibe man, mittelst des Lineals allein, in den gezeichnet vorliegenden Kreis 31, ein » Eck 91, welches zugleich dem gegebenen »Eck N umschrieben ist *), suche sofort, mittelst A und I, das ihm in Bezug auf den Aehn- lichkcitspunkt A (oder /) entsprechende, zum Kreise M t gehörige, »Eck 9t,, und sodann (mittelst P und a 2 b 2 ) das diesem entsprechende, zum Kegelschnitte 31 x gehörige, »Eck 9t 2 , so wird dieses letztere der Forderung der Aufgabe genug thun- — Auf entsprechende Weise kann auch die andere Aufgabe (21.) gelöst werden. Anmerkung. Die vorstehenden Aufgaben, von der zweiten an, sind, wie man bemerken wird, nach dem sogenannten Gesetze der Dualität einander paarweise zugeordnet, nämlich: 2 und 3, 4 Hßd 5,.,20 und 21. >f ) Dieses geschieht z. B. nach dem Verfahren, welches Poneclet in den Annales de Mathematique s, tom. IIII,, zuerst bekannt gemacht hat. 108 Anhang. Vermischte Aufgaben. §, 20. Aufgabe 22. „Wenn irgend ein Punkt «, (Fig. 25.) eines Kreises und dessen Mittelpunkt 31, gegeben sind, wovon der letztere jedoch als unzugänglich vorausgesetzt wird, so soll man beliebig viele andere Punkte des Kreises finden.” Wenn z. B. der Punkt 31, durch irgend einen hohen Gegenstand, etwa durch einen Thurm oder Baum etc., der sich auf einer kleinen Insel, oder in der Mitte einer Stadt befindet, gegeben ist, so dafs man nicht leicht von allen Seiten, durch den Raum JtS hindurch, zu demselben gelangen, wohl aber ihn aus dem Punkte a, und aus anderen Punkten 31, A, a, .... sehen kann, und wenn verlangt wird, man soll um das die Insel umgebende Wasser JtS, oder um die Stadt einen kreisförmigen Weg, Kanal etc. herumfiihren, welcher durch den gegebenen Punkt n, geht, und in dessen Mittelpunkt dev Gegenstand M, steht: so kann ein Mann allein mit wenig Oiilfsmitteln, nämlich mittelst Stäben und einer Kette (oder Schnur) von bestimmter Länge, beliebig viele Punkte, durch welche der genannte Weg etc. führt, wie folgt finden. Man setze in a, einen Stab und nehme in der Richtung 31,a„ nach welcher M, sichtbar ist, zwei beliebige gleiche Strecken, etwa a,m = mn , und setze in m, n ebenfalls Stäbe. Auf einem ebenen Platze stecke man eine Gerade ab ab, welche mit a,mn parallel ist (§. G, I.), setze in dem Punkte 31, den man als Mittelpunkt des Hülfskreiscs annimmt,, einen Stab, der von einem, §• 20 . Anhang. Vermischte Aufgaben. 109 an tlem einen Ende der Kette befindlichen, Ringe lose umschlossen wird, und nehme Ma — Mb — der Länge der Kette und setze in a und b Stäbe. Nun setze man ferner in A, wo sich die Geraden n,a und M l M kreuzen, so wie in I. wo sich die Geraden aj> und 31,31 durchschneiden, einen Stab: so lassen sich alsdann, mit Hülfe dieser Vorbereitungen, leicht so viele Punkto des Kreises 31, finden, als man will. Denn man spanne z. B. die Kette nach einer beliebigen Richtung, etwa nach c hin, aus, setze hier einen Stab, und spanne sie sodann nach der gerade entgegengesetzten Richtung bis d aus, und setze hier auch einen Stab, so ist sowohl der Durchschnitt der Geraden Ac und dl, als der Geraden Ad und cl , also sowohl c, als d,, ein Punkt des Kreises 31 ,. Fänden solche Hindernisse statt, dafs man nicht über den Raum H hinwegsehen, also nicht aus A und / nach e, sehen könnte, so würde mau vorerst nur die erforderliche Menge von Punkten längs des sichtbaren Bogens a,d, bestimmen, und sodann den Hülfskreis anderswo annehmen, um einen neuen Bogen zu erhalten, oder um den vorigen zu verlängern, und so würde man fortlah- ven, bis der Kreis 31, vollständig wäre. Wären, anstatt des Mittelpunkts 31, des zu konstruirenden Kreises und des einen Punktes a ,, in dem Umfange desselben, irgend drei Punkte des letzteren, etwa a„ d„ e„ gegeben, so liefse sich die Aufgabe z- B. folgcndergestalt lösen. Man stecke irgend ein Dreieck ade ab, dessen Seiten den Seiten des gegebenen Dreiecks a,d,e. 110 Anhang. Vermischt« Aufgaben. g. 20. beziehlich parallel sind; suche den Mittelpunkt M des Kreises ade (d. h. des dem Dreiecke ade umschriebenen Kreises), so wie die Aehnlichkeits- punkte A , / derKreise ade , a l d x e i , und verfahre sodann eben so wie oben. Um nämlich z. 11. die Gerade ad mit der durch die zwei Punkte a, und gegebenen Geraden a t d t parallel zu ziehen, ist es nöthig, die letztere über einen ihrer Endpunkte hinaus zu verlängern, um in dieser Verlängerung zwei gleiche Strecken annehmen zu können, wie vorhin die Strecken a L m — mn. Dieses Verlängeren ist aber bekanntlich auch in demjenigen Falle möglich, wo weder einer der beiden Endpunkte «j, d , aus dem andern zu sehen, noch die zwischen ihnen befindliche Strecke (von «, bis d t ) zugänglich ist, sondern wenn nur dieselben von der Seite her, wie etwa aus B, sichtbar sind. *) Gleiches gilt von den übrigen Seitenpaaren ae und« l e i , de und d l e x . Die einander ähnlichen Dreiecke a l d,c l , ade sind alsdann entweder gleichliegend oder ungleichliegend; im ersten Falle, welcher in der gegenwärtigen Figur statt findet, schneiden sich die Geraden, welche durch die entsprechenden Ecken der Dreiecke gehen, wie etwa die Geraden a t a und d t d, im äufseren Aebn- lichkeitspunkte A, u. s. w. — *) Man sehe „Handbuch des Feld me s s ens und Nivellirens” von Grelle , Berlin 1826, §. 67, S. 116, wo unter andern auch diese Aufgabe mit Umsicht behandelt wird. Berlin, gedruckt bei Johann Friedrich Starcke. y -/ • * , ' /?■ B &jc X d /; /’ AJxflrJx Jilp jyer* ÄfcV V** *e*