k ETH-Blbllothek EM000005109322 'ч. U Bw 2zflk х44Щ~~. т' «I Legat 1 von Herrn Professor jj Joh. Orelli. ай rJW'S'SXE^S''® 4 ® 4 ® 4 ® 4 ® 4 ^'® 4 '® 4 ® 4 ®'® 4 ® 4 ® 4 ® 4 ®''®' 4 ® 42 ’ ® ЛЗГ-£ L . aft* 1 . ЯЛ Lrk> іф'і’ * £4* 'Sä&>; » l - ; 3sS S-‘4Äi- .V •4 ^ ■ yi, ? ' 7^. 4’^‘ Ш*. V< /, тц sMWiyj I jj’pwWJ БИША МАТЕМАТИКА ПРВИ ДЕО ДИФЕРЕНЦИА/ІНИ РАЧУН. ИЗРАДИО ДР НО . В. ХРИСТОФЕЛУ ПРОФЕСОР НА MPHlllEO^ ПОЛИТЕХНИЦИ. IIAJ0 МИ/ЬКОВШ, ИІІЖЕІЬЕР. ’“£7 : :і ііД^' »> У БЕОГРАДУ, У ДРЖАВНОЛ Ш ТА МПАРИ JH, 1 8 7 0 . ПРЕДГОВОР. Од оног доба, како сам осетио да сам кадар распознати добро од зла, и да могу по убеі>ен>има у свету самоетално радити жудио сам, да колико ми Moja снага допушта, што пре привредим, што би користило onniToj цежи, те да тиме у неколико одужим дуг, kojh je сваки србин дужан по мо- гуЬству поднети на олтар наше сиромашне кшижевности. Одав се на изучаваіъе инжешерских наука, нарочито сам се занимао са главним предметима те науке, поглавито зато што сам H3y4aBajyhii ову науку, са погледом на големе ко- ристи шене, у пркос самом незадовожетву Koje ме на овом нуту среташе, све даже и даже ишао за истраживашем само- сталне истине у jesrpy гьезином. Пошто сам свршио инжеаерски курс на цирипіщ по- литехници, латио сам се да израдим вишу математику за више наше срнске школе, у чему сам досад толико успео те сам први део ове математики израдио, Koje je дело проглодала школска комисщ'а у Београду и за добро нашла, те га je за штампу препоручила. Ово дело израдио сам по белешкама из предаваша мога професора Др. Христофела на pnpnniKoj политехници, а о сим н,ега служио сам се и Ауторима: Наввдем, Дингером Хером и AyTeHxajMepOM при попушавашу истих бележйка. При израі)иван,у самог дела имао сам више на уму прак- тичну страну исте науке. а на томе ножу Moj je професор Др. Христофел развио CBoje богато знаше у том предмету, и ударно правцем божим од свщ'у CBojux савременика. У осталом пробитачне последице овѳ науке nojaBnhe се у само] практици те с’ тога се ограничавам од дал>ег раз- лагаша. Све што овде реЬи могу ово je : Ja сам се по могуЬству трудно, те сам о-ву матергуу за други део више математике скупио, у ред довео и посрбио, у цели да іьоме колко je могуЬе користил мла^ел HapainTajy Kojn се бави, и Kojn he се бавити изучавашем исте науке. Од употребе и користи овог мог покупка, зависи he то: хоЬу л предузети да довршим и други део више математике т. j. Интегрални Рачун. У Вршду Декембра 1870. Hajo Ми.ьковаЦ ИНЖЕВЕР. У В о д. Нетто о Функщцаша. 1.) У Bnuioj анализа има Asojarax 6pojeBa: а) Стални или непроиешьпвн, kojh у рачунаау 3a4p®aBajy до Kpaja CBojy првобптну вредност. ß) Промонливи Kojn при том сваку произвоану почесну вредност могу имати. Ради разлике стални 6pojeBH означу^у се са нрвим а про- менапви са последаим писмепима азбуке. Ако у каквом аналитичком изразу, kojh неки 6poj представай, има промешьивих о и да je и вредност делог израза т. j. вредност аим представл>еног 6poja промешьива. Узмимо израз «). у — х г -\- 2ж + 3 у ком се две промешьиве х и у налазе; ако у овом изразу промешьива х меаа CBojy вредност то се онда са променом вредности 6poja х ме&а и вредност 6pojy у т. j. мен>а се вредност ивлом изразу и то тако, да свакоі другое вредности за х одговара известна вредност за у, ако у изразу («) npoMeHLHBoj х дамо редом оВе вредности; х — 0; х=1; х = 2; х — — 1, и т. д. онда и у добива редом ове вредности. У = 3; у = 6; у =11; у= 2; и т. Д. Из овог видимо да вредност 6poja у записи од вредности 6poja х; у овом cлyчajy х je нѳзавиена промешьива, а у зависни промешьива; ту зависност 6poja у од х означаемо овако: 1 2 y = f(x); или y = F(x) или yr=ива öpoja х и 0 ко]и опет и Mehy собом могу бити ^дан од другог Зависни или независни. 2.) Разлика Функцууа. По свези измочу сталних и промен-. л>ивих 6pojeBa по Л^бницу имамо дво^аких Функдща: a) Алгѳбраіискѳ где су променл>иви и стадни 6pojeBH Mehy собом свезани сабирааем, одузиман>ем, множеаем деле- аем, подизааем на сталне (иначе деле или деловне положне или одречне) степене. Наіпростщи су видови ал- reöpajncKe Функцще . а т а-\-х ш , а — х; ах; — х х или алгебраске Функдще општег израза вида су: {a + bx + cx^ + dx 3 -^- .)” (Ä -f- Вх + Сх* D х 3 .) т у коме има свих гораих видова: b) Трансдѳндѳнгнѳ су пак све остале Функцдіе изложителне (експоненцщалне,) логаритми^иске, тригономе трщске и цп- клометрщске. HajnpocTHjn видови трансцендентних Функ- цща ово су: а х ; logx; sinx; cosx; tgx; secx; cosecx; arcsinx; arccosx; arctgx; arcsecx; arccosecx; sinverx; arcsinverx; cosverx; arccosverx: 3 Примери сложених трансцендентних Функцща 1 , у — Іоу{х-\- ]/ 1 +* 2 ) 2 , у~ ах т ( ІодЪх"У 3 ., y = a iL - si 5-, у — — 4, у — x 3 sinx + 3 x 2 cosx — 6 xcosx‘. sinx , 2 ( 1+2 cosx\ --- - arc I cos -j- ) 2 + cosx K3 ^ 2 + cosx J Ä4re6pajcKe функцще деде се на: «1 Радиіоналнѳ и Ираціцоналне. Рацщонадне ajreöpajncKe функцще оне су, Koje HeMajy раздомног изложитела; у противной су сдуна^у ирацщ'онадяе. ß) Целѳ и Дедовне. Целе су Функцще оне, у корима изло- житед, нще са одречним знаком; а деловнѳ, у кщ'има je изложите^ са одреченим. Примери: општи je вид цеде рационадне Функцще: f(x)~ce-t-ßx-hyx 2 4 -dx 3 + а дедовне: a-\-ßx4-vx 2 +_ f(x) =- Т; У ,Т — а-\-ох + сх 2 + _ Ако je каква Функцща са два и више променливих öpojeBa у виду неразрешене ^дначине као н. пр. f(x,y,z)~o то je онда зовемо скривеном Фуикцщом; ако je пак каква функцща у виду разрешене ^дначнне као н. пр. y--f(x,s) то je онда зовемо одкривѳном фуикцщом. Пример скривених Функцща: 1) loß- = \/ х 2 -\-у % 2) а 2 — аху + Ъ — о У Пример одкривених Функцща: 1) y = sinx-, 2) y=a + bx + cx 2 3.) Гѳомѳтриско прѳдставлааѳ Функцща. I* 4 Осака Функціуа y = f(x) иди F(x,y )~ о са ^едном независном промешьивом по Декарту Aaje се се на с&едеЬи начни представити: Сл. 1. Узмимо правоугди коородинатни сястем. Ах и Ау представлед управне координатие Осе. Ако из А, као почетна пренесемо на Осу Ах разне вредности за х ; у кра^евина тих апсциса подигвемо управне (ординате) и пренесено на ординату сваком х одго- Bapajyby вредност у; па онда KpajeBe тих ордината саставимо, тада добщамо уопште криву пруту, Koja нам закон Функцще представка. Ако узмемо апсцису AM' тачке Жза подожну, онда je апсциса AN' тачке N одречна, тако исто яищ ординате ММ ' и NN’ противу подожене вредности у смотреау апсцпсе. Узмемо ди ММ' као подожну ординату, онда je ордината NN' одречна. Апсциса и ордината jeMe тачке, зову се координате исте тачке. 5 По томе начину представвава имамо у іедначини: у 2 =2р% Параболу у=Іодх Логистику а 2 Ъ 2 —а 2 х г + Ъ 2 у г Елипсу у—ах+Ъ Праву пругу 4) Наставност (континуалност) Функцща. Независну про- мешьиву х іедне Функцще ; y = f(x) замишл>амо свагда као наставну (котинуалну) промешьиву т. j. као такву у Kojoi je прелазак од неке означеневредностика другоі само наставай T.j -ако она и све ме^увредвости постепенопреі)е. То cBoj- ство наставности лежи вёЬ у nojMy о независно - ироменвивоі, Koja као таква без сваког ограничавава, или барем упзвестнпм грани- рама сваку произволну вредност може узети. По овом je дакле у ropaoj Функцщи или ма у Kojoj Apyroj пpoизвoлнoj зависна нроменвива онда наставна (континуална) ако она, прелазеЬи из jeднe индпвидуалне вредности у другу, све ме^увредности по- степено пре^е. Да би то бове схватили замислимо у j ед начини у— F (х, у)~о независну иромешьиву х као апсцису, ко ja почевніи од неке известне вредности постепено прелазе све изчезвиво мале вредности. Ако даве за све те вредности независне промешьиве х и одговараіуЪе вредности промешьиве у као ординате пренесемо: онда добщамо 6e36pojHO много тачака неиосредно jeднo за дру- гим сведеЬих, ще саставвене дajy известну криву пругу. На ставност тѳ криво (или Функцще) у томе je што две )'една за другом неиосредно сведеЬе тачке, CTOje у изчезвиво малой расто- jaay , т. j. што изчезвиво мала промена аисцисе нричивава и изчезвиво малу промену ординате. Ако две іедна за другом неиосредно следеЬе ординате у изчезвиво малой pacTOjaay HMajy кра)ну или 6ecKpajHO велику разлику, онда крива, а с’ тим и Функцща мора претрпети нрекидаве, jep она тад скоком нрелази од іедне вредности ординате ка другщ; — такове се функцще зову прѳкиднѳ (дисконтинуалне) а она вредност не- 6 зависне променживе ж при Kojoj Функцц)а npecTaje бити на- ставна, зове се „гранична наетавна вредност.* Наставност независног промешьивог 6poja Функцща: а + х ; ах; а*; sinx; cosx и х т (где je изложите* т део положа« 6poj) лежи меі)у границама х— — оо и ж— -s-cx-; настав- ност пак функцща: у х и log х лежи Mehy границама ж=о и ж = -(- 30. Тако je н. пр. Функцща ж + 2 г за х~Ъ прекидна, а Функ прекидна за х =2 и за ж =—4; jep за те х 2 +2х —8 ж + 2 ДЩа je ^ТГ 2 вредности делител>и су =0, а у сл>ед тога Функцще су=+оо. Функцще су cotgx и cosecx прекидне за х=- + ап где je (а) произвол>ан део 6poj, тако je : 1 COS X cosecx — cotg х sinx ако у овим изразима ставимо. х— + ал, онда je Дели тел, sinx у оба израза раван нули. На raj папин можемо показати да су , 2«+і tgx и secanx прекидне Функцще за х — ±—^— 71 г Д е -I е а део положа« 6poj. Први део диференциіалног рачуна, ДиФеренцэдалне Функци^е са j едина лролен.ьивнд. §. 1. Основни nojMH о диФѳредиалном рачуну. Функцща Іедна т. j. н>ена независно промешьива може имати све могуЬе вредности Mehy границама -f»c и - м и cBaKoj TaKOBoj вредности везависне промеяживе х одговара Ье опет извесна вредност зависне нромешьиве у. Узмимо Функцщу y = f(*) и yßebajMO у soj вредност независне промешьиве х са извест- ним али произволним 6pojeM Дж. То увеЬаве х са Дж про- узроковаЬе и увеЬаве у за известан 6poj Дг/; с’ тим прелази горва jeAHannna у ову: i y+Ay=f(^ + A ^) Одузмимо дату Функціуу y—f(x) OcTaje нам Ді; — fsx 4-A^j— f(x) Поделимо ту ^дначину на обе стране са Дж то добщамо А У _ f(x + Ax) — f(x) . 1) Дж Дж Из овога видимо да се Функцща у толико веЬма мевьа, у кодико je Д?/ веЬе од Дж, т. j. што je веЬа вредност раз- Л у * мере -— - ■ тим се Функцща y = f(x ) веЬма меша. Дакде веди- Дж чина промене Функцще зависи од ведичине горае размере и ми Ьемо тѵ размеру сматрати као природну меру ве- Дж дичине растеаа Функцще. Израз je те размере: Аж+Дж) — Дж) Дж Ова размера, као што се види мора бити, оиет нека функцща од ж, дакде вредност шена зависи од ж и join од Дж. До год je вредност Дж производна, довде ocraje Д у и вредност размере неонредед>ена, и због тога та размера и неможе подпуно да означи величину растеша Функіщ'е при H3BecTHoj вредности ж. Но ипак та неопредел>еност те размере дaje се на следеЬи начни избеЬи. Узмимо за Дж изчезливо маду вредност*) у след чега због наставности те Функдще мора и А у изчезлшво маду вредност добити и размера: А У /Хж+Дж) — А®) Д® Дж саставлена из два изчезл.ива смаауіуЬа се 6poja прилижиЬе се HeKoj известшу граница Kojy са Jimes * означуіемо. Та je граница у опште опет нека Функцща од ж и зове се „првом из- водном Функцщом“ и по Лангранжу 03Hanyje се са f (х) или у. Та прва изводна Финкцщ'а f‘ (ж) определ>ена je jeднaчинoм *) Под изчезливо малим вредностима неразумемо оне вредности Koje су равно нули, него такове Kojnx je граница пула. 8 limes А у _ Дж limes f (х Л-А%) — f№) Дж -Г (ж) . . 2 ) jecTe гранична вредност размере Ау Дж и ми je сматрамо као тачну меру величине, по kojoj се Функшца меаа, кад се пезависна променлив t ж меаа. UpHpamraj Лжи Д у означу^у разливу изме^у две іедно за другим следеЬе вредности ж и у, зато се и зову разликом (диФеренцщом.) Ако узмемо ту разливу Дж као изчезливо малу, што се по ^ajöHHpy са äx означуіе то Ье и Д-/ због наставносги те фупкщуе изчезливо малим постати, и означава се са dy\ те изчезливо мале разлике ;ову се диФеревцщалом Фуакциде. Узмимо да се Дж непрекидно нули приблизаде, то се онда Ау као што смо веЬ рекли нещ H3BecTHoj граница прибли- ^ ^ — limes ^ У Дж жава. Koja се означава са и диФѳрѳнцщалним d х Дж количником назива. Ако по овом ^едначину (2) у обзир узмемо добщамо: : f‘ (X) 3 ) Дж Дж Из овога израза видимо, да je прва изводна Функцща f'{x) АУ но rpaHHHHOj метода само граница kojoj се размера ц приближава, кад се Л ж непрекидно пули прнближуіе, а по Laj6na^Boj метода или по теорщи изчезливо мадих вредности та прва изводна Функцща р (ж) представла саму вредност раз- А У мере —— кад je притом као што смо напоменудп диФеренціуа /\ % Дж изчезливо мала т. j. кад у dx npetje. Из іедначпне 3) след^е dy=f‘ (x)dx .4) т. j. ДиФеренциал сваке Функцще раван je произведу іьене ирве изводне Функидце са диФеренцщалом промешьивог 6poja. Да би при тражеау изводне Функцще jacraje увидели раз- лику изме^уове двеметоде т. j. меѣ»у граничном методой и методой од Л^бнпца, oöjacHnbeMO ^дним примером. 9 Узмиыо прошвовну Фувкцщу а) y~f(x)=\x i —j : x 2 — £a? — l пека у oBoj Функпир х прирасти за Дж то te t/ прпрастити за А у дакде: У + АУ= : і(% + Ах) 2 — Ах) 2 — \(х + Ах) - 1 или «/+Лг/=(|ж 3 —|ж 2 —\х—Ѵ) + {\х 2 — '-}х — 1) Ах + С г х-і)Ах 2 + {Ах 3 Ако од ове іеднаиине, дату з'едначину («) одузмемо и са Л х поделимо то Ъемо нматп: ® 2£р - = (тЯ* ~ !) + (т*~ Ю Дя-г + Д*’ Ако се Ах непрекидно нули приближузе, то се онда и члаповп (^х—\)Ах в |Ai s нули нриближаваз'у и за границу пулу изчезавазу, дакле: Ытей ^L. = f (x) = л _ п х -а Узмемо ли по Л^бницу разливу Дг и Ду као изчезвиво мале количине тад на место израза (ß) добщамо следеЬи dy Ц =(т х г — ^х — f) + (±х— ±)dx + ±dx 2 или г) . dy = (j : x 2 —^x—-})dx + (fx—i)dx 2 -j-^ dx s почем су у зедначини (/) чланови (-f -ж — ~)dx 2 и \dx 2 изчезл>иво мале количине другое и треЬег реда, то они према члану (fx 2 — '-j— -£•) dx и дакле остаз'е: dy — ( f х 2 — x — \)dx или d у Из овог видимо да см о по Л^бницов«^ методи могли уште- дити ппсаве и развщ'аве оних чланова жуй су са dx 2 и dx 2 cnojeHH, jep они као што смо казали изчезавазу црема оном члану коз'и je са dx cnojeH због тога смо их упочетку веЪ изоставити могли, што код гранично методе несме битп, jep су Ах и А у произволни бр<уиви и у свед тога морали смо све планово развита. > t> 10 или Ако у іедначини (ß) ставимо х — і добщамо. ^={^-^4+ i+(f4-i) Даг+І-А* Д?/=(— 4 —1, 5 Дж + 0,25 Дж 2 ) Дж Ставимо у ову )едначииу за Дж постепено све маве и маве вредности то добщамо за ж —0 001 то je Д?/='4+0-0015 + 0-00000025) Дж ж = 0-00001 Д у = {А+0-0000015 + 0-00000000000025) Д ж Д®=000000001, Ду={ 4+0000000015+00000000000000000025 )Дж Из овога видимо да ако за Дж све манье вредности ставимо и ако на послетку за Дж изчезльиво малу вредност узмемо онда одиада)у сви они други чланови са Дж 2 и Дж 3 , гранична метода прелази у Л^бницову и ми имамо: dy — — 4 dx или — f, / х \ — _£ dx~ f (х '~ 4 §. 2. Ово досадаве иосматраве Aaje се графщским путей очито иреставити. Сд. 2. 11 Узмимо управо уголним кординатама наставну криву прѵгу, Koja je jeAHä4UHOM : y — f(oc) подпуно определ>ена, и на aoj jeднy тачку М Koje су кор- динате: Ансдпса AM!— х Ординату ММ' = y—f(x) Пустимо да се зависна променлива ансциса увеЬа ііро- изволним А х новуцимо из N ' ординату N N’ а из тачке М Іедну равно-одсщну (паралелу) са апсцисом AN’, то N' Q представл>а npupauiTaj ординате у щи одговара Ах дакле: AM’ = х; M’N' = Ах; AM,' + M'N’ = х -f Д « ММ’— y~f(xJ,N‘Q =А у; NN'—NQ -\-QN’=y-\-Ay — f(x-\-Ax) NQ = NN‘ — MM‘= (y + Ay)-y = f (x + Ax)-f(x) Затим новуцимо кроз тачку М дирку и означимо угао щи она са апсцисом гради са т и кроз М и N сечицу и аен угао са апсцис: осом ш тад из троугла MNQ добщамо: NQ f(x-\-Ax) — f(x) _Ay МО Дж Ах tg со = У Ова j ед начина представл>а тригономѳтрщиску тангѳнту угла, Koj^ сечица са осом X гради. Ако пустимо да се х непрекидно нули ириближу]е онда се мора и Ду због наставности функцще нули приближавати, услед чега се одрината NN’ приближуіе ордината ММ’ т. j. сечица MN С непрекидно се приближуіе cbojoj граници DMB дакле: Ume S A. = lime S -A±A^L(5L=f (x) =, ) ,- 2 ") Ах Ах Узмемо ли Дж као изчезливо малу вредност, то онда пре- лази диФеренцща Ах у диФеренциал dx и на место іедначине (2 а ) добщамо ^ — f'{x) = tagi -З а ) Но почем tg Г записи од положа а додирне тачке, то онда угао Г представка стрменост те криве npyj’e у Toj тачки. Стрме- ност криве пруге у іедноі тачки, знача то само што и величина 12 растеаа ^дне Функцще у hctoj тачки, дакле из овога видимо да се tg Г дще изразити првом изводном Функцщом. §. 3. ДиФѳрѳндщалити іѳдну Функди^у незначи ништа друго него тражити израз иьеног диФеренцщала т. j. тражити изчезливу малу промену Kojy у претрпи, кад се независна промен&ива х за аен диФередиад dx промени. По гранично] методи састои се Taj читав рад у тражеау израз а; Ау _ f(% + Ax) — f(x) А х Ах dy 7 . А у и у определиваау граница - ^mes за изчезливо мале вредности Дж, кад то све извршимо онда добщамо као што смо впдели тражени диФеренциал dy = f(x) dx Да неби ту операцціу за сваки шуедини случаи вршпти морали тражи Ьемо диФерециале за просто и сложено Функцще са Іедним промешьивим и одма Ьемо наЬи правила по корима се свакипроизволни аналитпчни израз диФеренцщалити да]6. ДиФеренцналеае простих и сложених Функцща са іедпим промен.ьцвим. §. 4. ДиФѳрѳнциал степених Функциіа. 1 ) У дато] нам функцщи: у = х т ') Ми смо могли на следеЬи начин до истог резултата доЬи. Іедпачина а) да]е се на сжедеЬи начин писати: Ду _ ft + Ax) m -x m _ (і+АіГ-х“ Ах ' Ах ~ (х + Дх)—х За ову ]едначину важи следеЬе познаю правило а т — Ъ т 1 .,...- а— b = а ю - 1 + а т - 2 Ь+а т - 3 Ъ 2 + . . . + ab” 1 - 1 Узмимо у ]едначини 1) за аг=і+Ді и за Ь=х то доб^амо: (х+Дх) -X —( х+Дх ;т_, +(х+ д х) ,„- 2 х+(х+ д х) т_з х2+і ^т-, Дх ако сад границама пре^емо то имамо (x-f- Дх)'"- х т 2) ... . limes- d У Дх d х : т х т_1 Ако je изложите^ положан ралзомак — то имамо 13 Узмимо као najnpocTiiju случаи, да je изложите.* т цео по- дожап 6poj. Ако у oboJ Функціи независна цромешьива х добіуе г q р 3)... у ~ х 'і иди ако обе стране подигнемо на степей, имамо у = х ако се х и у за Дх и Ду промеве онда je: (У+Ду) ^ — У ^ = (x-j- Дх)** — х ^ аоделимо обе страие ове зеднанине са Дх то се онда даз'е на следеЬи начин преставити: q q , Р Р (У ^У) У Д У х пре1)имо границама са об- Дх Дх Дх зиром на зедначину 2) jep су р и q подожни 6pojenn, то имамо: р-і qy :рх d у или — dx Р У Ч _1 ност из 3) добизамо: d(x4) q xf- 1 р р ч - 1 ставимо за у аегову вред- ••4) dx q образпи 4) и 3) cxBahajy се тако да можемо казати : за свако положно и рацщонално Л je d х Ако узмемо по реду за Л разлике, noja се ирацщоналиом по ложно» 6pojy пpиближyjy (као н. пр. 1,7., 1,73 и т. д.) то за те вредности не- npecxaje горва Зедначина губити важност, дакле за свако ирац^онално Л важи горва Зедначина. Ако je изложите^ одречан; у=х то сводеЬи имамо Ду _ х я — (х + Дх) я Дх (х + Дх) я - х я - Д х (х+Дх) Я х Я Д X (х + Дху х У OBoj зедпачапа представла први чинидац с десна диоеренциз'ални количник од х Я Kojn за Дх—0 у диФеревц^ални количник , Л —1 Лх прелази , дакле dy dx Л х Л— 1 или са обзиром на у—х имамо. Л 6(х ) , -Я-1 d у ^ ^ Ако споимо ову з'едначину са ^дначином 5) то имамо за сваког произвовног изложитела ß следеЬи израз і» <)(х ) ß—\ ß ß —1 . . - =ßX И <)(х ) != ßX Эх. dx 14 неки производна прираишу Д ж онда се мора због наставности те Фушацуе у за Ау увеЬати, дакде по § 1 образац 1) до- бщ'амо. АУ __ 0+ Д ж) 111 — ж m Дж Дж Развимо израз (ж-|-Дж)"’ по невтоновом биномском правилу, Koje je у основами алгебре доказано за случа) где je изложител> цео ноложан 6poj, то добщамо по извршевьу алгебра)^ операцще следеЬи израз Дм m f ' тГт-ІГ- 2 т(т-1) (т-2) т -\ ,, , А т “ 1 Дж + Г Г І ХАХ+ у 2 3 Ж + ’ +Л * Ако се Лж непрекидно гранично) вредности нули прибди- Лм _ dy жу)е онда можемо узети hmes л ~ — ~г~ п за OBaj cnynaj где / \ ос а ос се Л ж све веЬма нули нриближу^е биѣе сви чланови на десно) страна осим првог, као изчезлпво мала бро)еви виших редова равна нули дакле dy dx ~т х или dy—mx m 1 dx 1 ) Oßaj образац 1) важи и онда, ако je изложите^ цео или преломлен 6poj или у опште за све могуРе одречне, положие целе или преломне бро)еве. а) Да докажемо то што смо пре^е изрекли вала ставити (ж + Д ж) т — ( 1+( ѵ онда прелази )едначина (а) У следеЬу Дж Ах Ставимо у OBoj )едначини краткоЬе ради - — а, тодо- бщамо; 15 Ду __ (l + ffi)" 1 - 1 Дх Нама треба само граница израза limes а нули приближу^е или ако ставимо: (І + аГ-'-і а кад: се (1 + а)” = 1+г.г) овде Ъ означуіе 6poj Koja угодно са а изчезава, дакле услед тога прелави ^'едиачина ß) у следеЬу: Сад треба границу limes — означити. 5) Да до те гранично вредности доі>емо посматра^мо Hajnpe следеЬп израз: 1 (1 +а) тражимо аегове границе са том предпоставком да се а к’ вредности нули приближу^ е, jep а можемо сматрати као неки 6poj Kojn постепено све вредности узима, Koje су маае одсвакогдош 1 тако малог датог 6poja , зато можемо ставити 6poj а = — и где и сматрамо као цео 6poj, kojh Ье веЬи бити него сваки могуЬи дати велики 6poj, услед тога прелази израз (1 + -£) •' у О+ѵ)" Развимо OBaj израз по биномском правилу то добщ'амо и (и — 1) 1 и (и—1) (и—2) 1 --І+ • • • ИЛИ 0+-г) ,, =і+і+0--;)+( 1 -т)(-т)+ 2 2 3 Кі-ЮО-і) 2 . 3 . 4 16 Ако и непрекидно расте, опда Ье се 6pojnTe^a nojeAimnx раздомака све веше и више уединици прибдижавати, дакде с’ том предпоставком добщамо; , _ ' 1 4 й ^ ^ , , 1 1 limes 1 + ~ J =1 + 1+ г + 2~3'+ +зТ +. Oßaj je ред гранична вредност за израз (1-\-а) 1 кад се а све вніне и више граница нуда прпбдижу^е вредност тог реда дежи изме^у брошена 2 и 3, и ако израчунамо, добщамо 1 + 1+4- +_-_+_= 2,7182818 . Oßaj 6poj означу^ емо са е. Дад>е ако а такав 6poj означу^ е, Kojn се нуди прибдижуіе онда из овог пронздази израз: limes (1 а) ~ = е = 2,7182818 . Овде морамо приметнти, да oeaj резудтат и онда join важи ако je .а одречна вредност jep за такав cAynaj можемо ставпти где £ такав 6poj нредставгьа, koj'h уіедно са а изчезава дакде ( 1 — а ) ( 1+£).(1 + £) Почем десна страна ове ^дначине има 6poj е за границу, онда то исто важи и за деву страну. с) Ако сад ^дначину (/) под (а) у обзир узмемо (1 + а) т = 1 + Ъ и на обе стране догаритма ма каквог система узыимо онда добціамо. т log (1 + а) = log (\ + Ъ) т - % О- + ъ ) log (1 а) 17 Ако се а и Ъ непрекидно граница нуди прибдигеде онда je по изразу ?) і -L а [, limes (1 — а)~е; limes ( 1 -\-Ъ)=^е 7 . Іод(\-\-а) 7 у. 1од(\-\-Ъ) , limes —!—— t=z log е ; limes —- = log е а о Из овога сльедуі'е: limes Ъ log ( 1 + а ) а log (1 + Ъ ) = 1 по пре^ашвем je limes 4 ставимо ову вре'дност уjeднaчинy (5), и прочимо гранидама, то добрало сдедеЬи деФирицщадни кодичник: dy Тх =тх . т 1 Koja у опште пажи за Функдіу у — х т па био издожитед> од- речан део иди раздомак. §. 5. особени je вид степене Функцще: \/'~ и і оне се често ynOTpeö^yjy , зато потражимо вихов диФерендщ'ад. 1) Дата нам je Функдща _ Л_ У — У X = X 2 вей диФерндиад наЬи Ьемо яомоЬу об.р. 1), § 4 jep je за OBaj cдyчaj т=\ дакде: - - - 1 1 dy~d\ ж ~2 жі йжиди 4У * — у dx 9, х ( 2 ) 2.) Дата нам je Функцща 1 -1 =х 18 дочем je за OBaj aaynaj m — — 1 то Ьемо помоЬу 6poja 1) § 4, наЬи = d { х Н~0 \х . dx иди d d х х 1 '( 3 ) §. 6. ДиФѳрѳнцизал логаритма. Дата нам je Функціца: у — іодх тражи се аен диФоренцщал; AajMO у oboj Функціи He3aBncHoj □poMeH^HBoj х производни npnpauiTaj Дж у сл>ед тога мора и у прирастити за Л у, дакде добщамо по § 1, образац 1) сде- деЪи изразі Ау Дж log (х + Д х) — logjx _ log Дж ( 1 + Дг ) АУ А х ' 1 %(і + Дж Д х\ х иди Дж х А х . краткоЬе ради ставимо у овом изразу = й и прочимо одма ж границама то добщамо: limes Ау d у 1 log (14-а] — hmes —- ’Дж d х х Ми смо у §. 4 под с) видели да je limes Hmes log (1 -j- a) a log e у сл>ед овога добщамо на место пре^ашвег израза сд>едеЬи: d у 1 Дж ж d ж ж d у- log е иди . log е .... и) 19 У OBoj ]едначини о сновида je логаритма произвольна, и ми узимамо е као основицу іедног догаритмског система, и том систему одтовара^у^е логоритме зовемо природнѳ логоритме. За природне je логоритме као што смо видели, догаритам основице раван j едини ди дакде log е~ 1 с тим предази jeA- начина («) у следеЬу dlogx — • • • • 4 ) d х=х' (flog х .... 5) §. 7. ДиФѳрѳнціцал сталног 6poja. Дата нам je т=о Овде С представка сгални 6poj т. j. такав чща je вред- ност независна од вредности 6poja х ; Aajsio npoMen^HBOj х npiipaHrraj Да; то добщамо f[x + А х) ~ G одузмимо дати израз од овог то Ьемо имати f(x -f- А х) — f(%) — С — С —0 т. j. f(x-\- Дж) — f(x) = 0-, дакде je и limes f(x -f- А х) = f(x) __ д А х /\х и üf(x) — o т. j .6) ДиФерѳнцщал сталног 6poja раван je нули. §. 8. ДиФѳрѳнци^ал произвола сталног са променливим брозѳм. Дата нам je Функпэда: У~а. f(x) Овде je а стадан 6poj. Ставимо f(x) —и то имамо у — аи . а ) Дз^мо и производан npnpaniTaj Дм то Ье онда у при- растити за Ду дакде 2 * 20 у-\-Ау—а{и-\- Дм) Одузмимо ,]'едначину («) од ове то добщамо: У~\~Ау — 5 /=в(м + Дм)-«м иди Ау= яД« кад ире^емо границама добщамо dy=^adu иди dy~adf(x ) ...... 7) Из овога видимо да стадан 6poj при диФерецщалеву пре- дази непромешьив из Функцще у диФеренцщад, и у сд>ед тога нам CTojn од во.ъе да такав стадан 6poj пред иди за диФерен- циадним знаком ставимо. §. 9. ДиФеренціцал изложителнѳ Функци^ѳ. Издожитедним функцщ'ама зовемо оне где je изложите* променд>ив а основица стадна. Дата нам je такова Функцща У=а* уэмимо на обе стране догаритме то добщамо Іоду—хіода ДиФеренщуадимо ову j едиачину то добщамо по § 6 ^дна- чина 4) и по § 8 jeдaчинa 7) с*едеЬу: dy ~~ = dx .Іода иди dy=y .dx-loga Ставимо у OBoj jeAHannHH на место у вегову вредност а то имамо dy = a * Іода dx .8) Ако узмемо да je основица а—е= 2,71828 .... то je онда loga=bge=l, с тим предази образац 8) у сдедеЬи: dy—e'dx .9) §. 10. ДиФѳрѳнцщал збира и разликѳ. Дато нам je: ус=и±ѵ 21 где и и. ѵ две произволне Функдще, независне нромешьиве х npecTaß^ajy. Ако се независна промешьива х увеЬа са Л % онда he се у, и и ѵ увеЬати са Д у, Дм и Дѵ дакле У + Ау—(^+А^) + ( ѵ + Аѵ) одузмимо дату ]'едначину од ове то je: Д у= (и + Д и) + (г>+ Д ѵ )—(м ± ѵ )=Д и-\- Д ѵ пре!)Имо границама то добщамо dy—du + dv . 10 ) §. 11. ДиФѳрѳнцщал шроизвода из два чинительа. Дато нам je у~и. ѵ и овде су Функціце и и ѵ Функцще независне нромешьиве х, аен диФеренцщад наЬиЬемо по § 6 образад 5 dy~d(u.u)~u .ѵ dlog(u.v ) или d (u . ѵ )= u . ѵ (й log u -f- d log v) du ' dv по § 6 образ 4) имамо: dlog u= — — и dlogv— —— d(u .«)=«. v I ■ -j—— \ — vdu-i-udv \ u v) d(u . v)=vdu-\-udv . . , . 11) §. 12. ДиФѳренци^ал количника Дато нам je _ u У v Овде je дедимо и дедите-ь Функцща неке независне про- мешьиве. По § 6 образ 5 наЬиЬемо: по § 6 образад 4) наЬиЬемо да je: и ( dlogu — dlog ѵ) 22 dlogu= - и dlog v — и dv дакде v \ v и и I du dv I -I иди V / а vdu —udv .... 12) ДиФереніщіал гониометріциских Функцща §. 13 . ДиФѳрѳнцщ’ал синуса. Дата нам je )едначина у = sin х где х представка комад круга, коме je подупречник раван jeMHMH. Пустимо да х пре^е уж -f Дж онда Ье у преЬи у */ + Д У и ми добщамо: У + АУ~ sin(x-\- Дж) Развимо sin (х -f- А а?) по познатом гониометрщском правиду и одузмимо одма y=sinx то добщамо Ау~ s ^ n х - cos Дж -j- cosx . sin Дж — sin х j у сл>ед тога добщамо: почеы je cos Л ж — 1—2 sin | иди Д у = cos х . sin Дж — 2 sin х sin 2 sin А ж 608 Ж Ако се овде Дж непрекидно CMa&yje онда се sin и прибдижуіу jeдиници, као граници, 'а . /А *- , као граници, а вш I — Дж 2 23 KOHBepryje к’ нуди. Дакде у )едначини (а) први чдан на десно) страни приближу) е се граниди косинусу а други нуди, ако Дж npehe у d х онда предази )едтачина (а) у сдедеЬу: dy dx cos х иди = cos х d х 13) 14. ДиФеренцидал косинуса. Дато нам je : y = COSX= ѵ 1 — sin X 2 Ако ову )едначину диФеренцщ'алимо и § 5, 4 и 13 у обзир узмемо то добщамо — 2sm х cosx dx dy = dx cosx — 2 V~rZ smx‘ на место корена у делител>у ставимо cosx то добщамо ' dcosx = — sinx dx .14) §. 15. ДиФѳрѳнди)ал тані)Ѳнтѳ. Дато нам je y = tgx- sinx cosx ДиФеренцщалимо ову іедначину по § 12, 13 и 14 ( sin х \ cos х . dsin х — sin х . dcosx ^ _ (cosx. cosx -f- sinx . sinx) dx _ (cos x 1 ^- sinx 1 ) dx J cosx 2 cosx 2 но почем je cosx 2 -)-sinx 2 = 1 то предази )бдиачина а) у следеЬу dx .. 15) dtgx = cosx иди ако у )едначини а) извршимо деобу онда добщамо dtgx = ( 1 -| -tgx^Sx .16) dx = dtgx 14 - tgx'* §. 16. ДиФеренци^ал котані)Ѳнте. Дато нам je у — cotgx — smx ДиФеренци^алимо ову jeMaisuy са обзиром на § 12, 13 и 14 то добщамо dcotgx = d( -^L\ = I sin X I d cotg x — dx - 2 smx •sinx 2 dx — cosx 2 dx sinx 2 18) §. 17. ДиФѳрѳнцщал еѳкантѳ. Дато на je y—secx = cosx — cosx~ ДиФеренцщадимо ову. jeAHaHHHy са обзиром на § 4, 5, 14, dsecx — d cos x~ l = (— 1) . (cos x ~ 2 ). (— sin x)dx иди sin.dx dsecx = — cosx 1 19) §. 18. ДиФѳрѳнцщал косекантѳ. Дато на je 1 y — cosecx= smx -smx~ ДиФеренцщадимо ову Функпщу са обзиром на § 5, 4 и 13 добщамо: , COSX dx 9АЧ dcosesx — —.. smx §. 19. ДиФѳрѳнцщал синусвѳрзуса и коеинуевѳрзуса. Дате су нам Функпэде. а) y—sinverx — \ — cosx; ß) y = cosversx — \ — sinx 25 ДиФеренцщадимо ]'едначипу а) и )еднацину ß) са обзиром на § 7, 1В и 14 имаЬемо. dy = d . sinusverx — sinx . dx . . . . 21) dy = d cosinusversx= — cosx dx .22) ДиФеренцщал циклометрщских Фупкціуа. §. 20. ДиФѳрѳнцщал арвуссинуса Дата нам je Функцща сс) .... у — arcsin х Ова ^едначина каже нам, да je у OHaj комад лука (arcus) чщи je синус =ж дакде. ß) ... . siny—x Да би диФеренпщал dy тог комада круга нашли, диФерен- нщалимо jeAHaHHHy ß са обзиром на § 13 добщамо: dx — dsiny = cosy.dy или 1 dy 1 cos у иди dx dy _ 1 dx cosy но почем je cosy — У 1 — sin 1 у = у 1 — х 1 то добщ’амо 1 dy _ dx dy — d arcsin x — dx Vl— х г dx или VT- §. 21. ДиФѳрѳнцщал аркускоеинуса. Дато нам je 23 ) y=arccosx, т. j, cosy = x 26 ДиФеренцщалимо ову іедначину са обзиром на § 14 до- бщамо: dx — dcosy — — siny . dy dy 1 —— siny — иди dy 1 dx siny но почем je ]/l— cosy' l = \/ 1 — x то добщамо dx dy — d arc cosx— — ~ J У 1— x 1 §. 22. ДиФѳрѳнциіал аркустані>ѳнте Дато нам je y — arctcmgx где je x—tangy ДиФерендиадимо ову )'едначнну са обзиром на § 15 образ 16 добщамо: dx — dtang у = 1 + tang у 1 .dy или d tang у d y= 1 + tgy*~ Ставимо у OBoj jeднaчини tgy = x и dtgy — dx добіцамо d x dy=darctgx— i ^_ x 2 Ha OBaj исти начни nah ено je: dx 25). d arc cotgx — — x .^6) dx xYx* — l darcsecx~ — 27) , dx d arc cosec x = — — . жУ ж 2_1 28) 27 dx d arc siu versus x — у 2 x — x % 29) darccos versus x — — dx У 2 x — ж 2 30) §. 23. ДиФерѳнцизад Фунцкв^а Функци^е. Више пута Ье нам се десити, да Ьемо имати да тражимо диФеренциіад за такву Функцщу, где je вен промендьив 6poj опет Функдща другог каквог промешьивог 6poja; такве Фув«дв)е могу се заменом иди трансФормадщом довести на просте Функ- цще од Kojux смо диіеренцщаде веЬ опредедиди. Узмимо у ошнте У^40>) овде je ѵ Функщуа од х; ѵ — f (А дакде je у Функцща jeAHe фуиид^е. Нами сад ocTaje, да за ову Функцщу опредедимо из- чезвиво маду промену, Kojy у претрпи йад се х за изчезвиво мади 6poj dx промепи. Пустимо нека незацисна променвива х добще производан npitpaiuraj Дж усд>ед тога'вршасти Ье ѵ за А ѵ и у за Дг/, ако Д® представдьа она прирант^фувйдщ« ѵ ко ja iipupaurrajy Дж одговара, то имамо по § 1 Ау _ f(v + Av)—f( v ) Дж Дж иди можемо OBoj ^диачиии сдедеЬи вид дати АУ _ f(v+Av) — f( v ) Аѵ Дж Д® Дж Ако се у OBoj )едиачиии Дж непрекидно rpaHH4Hoj вредности нуди ирибдижу)е онда имамо limes Ау _ dy_ fip+Av)—f( v ) = . d y Дж dx’ Д® $® limes Ау А® дакде на песто пре^ашве )едиачиие добщемо сдедеЬу dv dx 28 dy dy dv dx ~ dv dx dy ДиФеренцщадни количник ц Функцще у у смотреву х раван dy je диФеренщуалном кодичнику - у смотреву ѵ помложено dv са диФеренщиадним кодичником ц у смотреву х Ако имамо Функцще сведеЬег реда » = /■ (р) У OBoj Функцщи сматрамо р као Функцщу од г>; = F («),— а ѵ као Функциіу од х; ѵ = <р(х) за oBaj cAynaj наЪи Ьемо по предходеЪем правилу dy dy dp dx dv dx по tom истом правилу je и dp dp dv ~~dx~~dv " ~dx~ дакл,е dy dy dp dv dx dp dv dx 32 ) а) Ако имамо Функцщу y=f(u,v) где и и ѵ npecTaBBajy производне Функцще независног промен- вивог 6poja х; дакле je у Функщуа од више Функцща независног променвивог 6poja х; за onaj cAynaj тражимо непосредно дифѳ- dy ренцщадни кодичник у смотреву независне променвиве х Ирирапшу je одж Дж у свед тога добща у npnpauiTaj /\ у а ѵ, добща Дг> и и добща Дм дакде (у+Ау)=Ам+Д«^+Д^) 29 одузмимо дату іеднатину од ове, доби^амо: Ay = fO* + А«,® + Д») — f (и,ѵ) Ако десюу страна ове диФерендще додамо и одуземо ко- чичину /'(« + А«і V т0 Добщамо Ay=f(u+Au,v)— f(u,v)+f(u+Au> *>+А«)—А м +Ам >*9 иди А^ _ А^+Амж) — А«,«) і А^+Ам,ж+Дм)—Ам+ДмдО Дж Дж Дж или А У _ /~(м+Дм,ж)—Дм,ж ) Дм Дм+Ди,«4.Дж)-/(м+Ди, «) Дж Дж Дм ’ Дж + Да^ Дж Пустимо да се у овом изразу Дж непрекидно CMaayje, у саед тога мора се и Дг/, Дм и Дж смаайвати т. j. пре^имо гранидама АУ _ Ну. Дм_ du Дж_ dv limes уг— — -j— , fömes 7:-7— и limes -т-- ~r~ Дж аж Дж аж Дж «ж /■(м + Дм,«)— f(u.v) df(u,v) dy . limes - т - j - "т — Дм ам du 7 А м +Ам,ѵ+Дж)—Ам+Дм,ж) d (мж) dy hmes -т--3-— — —-т— Д ѵ dv dv Из овог видимо да су ова два диФерендщадна кодичника а) и ß) Функцвіе у = f (м, ж) на Taj начни достали, да смо у (а) сматрали м као независну променл>иву, уѵ као сталан, а у ß) сматрамо ѵ као независну промешьиву а и као сталан 6poj дакле у саед тога добщамо: dy _ dy du dy dv 32 ) т j dx du dx dv dx ДиФѳрѳнціцални количник раван je збиру диФенциалних кодичника у смотреау на обе Функцще м и ѵ посебице узето; или раван je оним диФДренциалним количнидима, Koje добщамо, кад jeдapeд само м а други ред само ѵ као непромешьиву сматрамо. — 30 §. 24. ДнФѳрѳнцизал скривених Функцща. Оншти je израз такве Функнэде OBaj: f{x, у) — 0 .,... «) овде нам je (вредно ма «о ja 6poj х или у узели за независну, промешьиву. Ми Ьемо сматрати у oßoj nepaepemeaej Функцщи х као независну променвиву а у као Функцщу од х и опредедити dy вен диФеренцщални количпик ц- Функцщ'а f(x, у) мора бита увек = 0, ма какве вредности за х и у у въ у метнули. Ставимо х-{- А х на место х, и у + Ау на место у то Ьемо имати: f( x +A x ,y+Ay)= О одузмимо f(x, у) = о то Ьемо имати /Ч ж + А ос, у + Л У) — ffay) = О Ако у OBoj ^дначини додамо и одузмемо f (ж 4- А х іУ) то Ьемо имати: „Л f( x + А х ,У+Ау)—К Х +А Х ,У) А у , f{x Ч- А X,y)—f{x,y) U) --- * —- -Г-- -Т- ~-=0 А у A-V А^ Но почем f (х 4- Л х,у Ч -Лу) — f( x ~\~ А Х >У) преставва разливу од оба стан>а исте Функщце, у BojnM ставима нромешьива х ту саму исту вредност, а она друга нромешьива разно вредности има. Дакле: f{x + Ax,y+Ay)-f(x - \-Ax, y )_ Af(^+A^y А у ' А у из тога само узрока je /'(жЧАж,і/)-/'(ж,у )_ АЯ^у) А% А х заменимо ове вредности у «) то добщамо: АА^Ч-Аж, у) , Ау_л- А А х ’У) А У А^? А^ 31 Ако се Дж непрекидно cMaH>yje, онда KOHBepryje Ау д^ озна - ау чен(у граница ~ С (ж) — tang Г (§ тим 36 ж + Дж непрекидно вредности ж прибдижу^е, дакде добщамо: ä f(x,y) , dy dy dx df(x,y) dx = 0 :33) dy dx df(x,y ) dx df{oc,y) dy .34) I df(x, y) I dy df(x, y) dx представка диФеренцщални количник дате Функцще кад je у aoj узето само у као промешьива. представва диФеренцщ'адни количник дате Функцщ'е ако je иста у смотревьу х диФеренциавена. Да би диФеренпщадни кодичник дате Функцще fix, у) —О нашди, тражимо диФерендщадне количнике дате Функцщ'е у смотреву х и посде у смотреву у, нодедимо нрви с другим и резултат узмимо са противним знаком. Зедначина 34) може се и овако написати + №•*) . dx=0 .35) dy dx Из овога видимо да се подпуни диФеренцщад jeднaчинe f(x,y) — 0 подедио на два деда. Први део добщ'амо, ако ^дна- чину само у смотреву jeднe променвиве диФеренцщ'алимо, други део добщамо ако у смотреву друге промешыіве диФеренцщ'а- димо. Ти дедови зову се почесни диФеренцщ'ади ^дначине. Дакде je подпуни диФеренцщ'ад дате Функцще раван збиру почесних диФеренцщада. §. 25. ПомоЬу ових досад добивених правила, решимо не- кодико примера простих и сдожених Функцща са jeMHM промен-. л>иви м 6pojeM. 32 ПРИМЕР И. 1.) Чему je раван диФеренциДл сдожене Функцще у = {а+Ъх т ) ову Функцщ'у можемо заменом свести на просту и онда аеп диФерендиіад тражити или je можемо одма без замене диФерен- цщ'адити. Ако ову Функцщу сводимо заменом на просту онда ставимо г=.а-\-Ъх т дакде je у — г п а.) dy — nr"~ l dr а dr—mbx m ~ l dx ставимо у ^'еднанииу «) за г и dr аихове вредности и— I dy=n(a-\-bx m ) . mbx m ~'dx Без замене могди смо дату Функцщ'у диФеренцщадитн са обзиром на § 4, 7 и 8 те би Taj исти резудтат добили. 2) Дато нам je: у = sin V а 2 — х нему je раван диФеренциад, по § 13, 5 имамо: dy == dsiuV а 2 — x 2 = cosV а 2 — х 2 - а 2 —х 2 dV а 2 — х 2 =т(а 2 — х 2 )~т xdx дакде je d у=- xdx У а 2 —х Т cosV а 2 —х 2 Чему je раван диФеренциад дате Функцще у — log sin х по § 6 и 13 имамо: dy = d logsinx — dsinx smx cosx.dx sinx = cotgxdx dy=dlog sin x = cotgx.dx. 33 4) дата нам je Функцща у==а х+2х* чему je раван н>ен диФеренцщал ; са обзиром на § 9 образ 8) имамо: d у = а х + 2Х log а. d{x- \-2х 2 ) d (х 2 х 2 ) = d х + 4 х dx дакле dy — а х + 2Х Іода. (1 + 4ж) dx. 5) Дата нам je Функцща У — (? са обзиром на § 9 образац 8 и 9 добщамо d у = de* = е а ' . d а х = е аХ . а log а dx или заменом могли смо до тог истог резултата доЬи, само je требало ставити: а х —г dr — а х log а . dx у ~е г dy~ е'. dr ставимо за г и dr у oßoj jeднaчини аихове вредности, имаЬемо: dy — е а ' • а log а dx. 6) Дата нам je Функцща у =. cos log х да тражимо аен диФерендщал. По § 14 образаду 14) и по § 6 обр. 4 имамо: dx d у — d coslog х — — sin log x. d log x~ — sin log x. —~ 7) Функціи; dy = — dx . 7 - sm log x x y у — V (2 x 2 — x 3 ) 3 = (2 x — x 3 ) * 3 *« 34 надазимо диФерендщад; по § 4, имамо dy — f (2 ж — ж 3 ) 4 <2 (2ж 2 — ж 3 ) = f (2 ж — ж 3 ) 4 (4ж — Зж 2 ) d х _1 4 7 Зж (4 — 3 ж) л dy = — -— dx 4 У 2ж 2 — г 8., Имамо Функпщ'у: 2 / = (а 2 — Ъ 2 ж 2 ). У2ж 2 +5 на^имо вен диФерешцуал; по § 11, 8 и 4 добв)амо: dy=Y 2 ж 2 -j- 5 . d(a 2 — ö 2 ж 2 ) + (« 2 — b 2 x 2 ).d Y 2 ж 2 + 5 — Y 2 ж 2 + 5 . (— 2 6 2 ж . dx) -f- (a 2 — b 2 x 2 ) . (2ж 2 -f- 5) 4ж dx äy = - sb'xy 2i' + a .fe' 3 У (2ж 2 +5) 2 9) Дата нам je Функцща у ~х х на^имо вен диФеренцщад. Узмимо на обе стране догаритме имаЬемо: log у — х .log х. диФеренцщал ове Функдще наЬиЬемо кад деву страну по § б, а десну по § 6 и 11 диФерендщадимо: d log у — х dlog х -\-log х. dx — ж —~— |- log х d х = (1 -(- logx) d x dy=y{\-\-logx) dx—x x (1 -j- logx ) dx. 10) Функцщи: y—logtg | x 35 наЬиЬемо диФеренцщ'ал по § 6 и 15 образцу 15: äy = d tg\x tg\x d x 2 cos—x 2 . tg\x äy~ - d x 2cos\x. sin \x d x sin X d x sinx 11) Дата нам je Функцща; у = ardang 2 x 1 — ж 2 на^имо аен диФезенцщад; по § 22 и 12 имамо: dy~d. arctg 2 х 1— ж 2 ’2ж \_(1— х 2 )2 dx — 2х .(— 2 x.dx) І—х 2 )~ (1—xY 2 (1 -j— х 2 ) dx (1 — ж 2 ) 2 дакле dy = d arctg х — Дата нам je Функцща au 2 .tg у — е u 2 -f-v' 2 овде су и и ѵ Функци]'е независне првмешьиве ж; oBoj Функціи наЬиЬемо диФеренпщал са обзиром на § 9 образац 9: 2 „2 au tg dy~e u 2 +v 2 . ä(au 2 tg n 2 -j-r? ) дале по Z 11 доб^амо: dia^Jg-^-^j^g^^ . d(a .^ )+a ^ dt g^_ r по § 8 имамо d (а и 2 ) = а . 2и du 3 * 36 и по § 15обр. 15 имамо: dtg м 2 +« 2 и г + ѵ г (cos и г + и .)■ и 1 (гг -[- ѵ 2 ) 2 и d и — и 1 d (и 1 -)- ѵ' г ) а по § 12; d =rz р^Г= (м 2 +~y 2 )' 2 по § 10 имамо: d (и 2 -)- ѵ 2 ) = 2 (udu-\-vdv) Заменимо сваки OBaj резудтат у непосредно предходеЬи добиЬемо: и 2 2uv(vdu — udv) d d tg (u 2 -\-v 2 ) 2 2 uv(vdu—u dv) u 2 -\~v 2 d(au 2 .tg-^r—. Л— 2aj(g —~ s -udv+ \ u 2 -\-v 2 j < tr + tr (u*+vr(cos u .^ vi y u 3 v(vdu ■— udv) (» 2 + » , )‘-( M vfi?) j dy=e 2 U au tg u 2 +v 2 . 2a I tg u 2 + v -udv ■ u s v(v du -j- udv) («*+«*)*. 13) Дата нам je скривена Функдиіа Ay 2 -\- Byx-\-Cx 2 -{-Dy-\-Ex-{-F=0 пазимо вен диФеренцдіад: ДиФерендщад je те Функцще у смотреву у: y=(2Ay-\-Bx-\-D)dy я я я х • 00 = (2 Gx-\-By-\-E)dx дакле je подпуни диФерендщад као збир почесних диФеренцщала: 2(Ау+ Вх + В) dy + (2 Сх + Ву + Е) dx = О а диФереяцщална колииник je : dy 2 С х —(— Б у “j— Е dx ~ 2Ау-\~Вх-\~Б 37 Дата нам je скривена функЦЕца ffayJ—lSas — x 2 -sintj + log а ~—^ = О а—у ДнФерепп,н^д^у емотреву х: _ — xsmy 1 _ df(x,y) ~ У а 1 — xF а—х~ dx Г- Подпуни je диФеренцщал: , -, , а—х , , I —xsiny 1 \ (!/.■-* -----+ <**+ ----- > («—у) ДиФеренщцални пак кодичник : d х xsiny 1 dy Уа г — х 1 а — х а—х dx V а 2 — х г cosy~\- 15.) Дата нам je Функцща уІодх-\-ха,У -\-Ъ —О наі)Имо вен диФеренцщад; по § 11 и 6 добщамо («— У) г d(y logx)~log х dy -\-у dy х по § 11, 9 и 7 имамо: d(xa,yb)=^dx.a y -\-xa? Іода dy. дакле je подпуни диФеренцщад: (Іодх-\-х.аУ loga)dy -\- ^-(-а у j dx = 0 16) Дата нам je Функщца ху — arctg -~ на1»имо вен диФереннэдал: диФеревцдал у смотреву х: » я У- — о х = у- * г + У 1 у=х я? + У 2 диФеренщуални количник: dy _____ _у_ х 2 + у 2 +1 d х х х 2 + у 2 — 1 ДиФеренцидал Функцща вшпе независних променливи. § 26 . Кад какву Функіщіу са више независних промешьиви посмотримо, видимо да се у toj' Функціи у исто доба само jeAHa, више или све променливе могу меаати. Ако узмемо да се само іедна нэзависна промешьива меаа, онда морамо на- равно све остале као сталне 6pojeBe сматрати, дакле у овом случаи имамо да диФеренциіалимо Функцщу са ^едном промен- ливом, што нам je могуЪе помоЬу преі>ашн>их параграфа, и ми онда кажемо, да je Функіща почесно диФеренцща^ена у од- носу на дотичну промешьиву. На такав начин произведени ди- Ференцщал Функцще зове се почесни диФерендщал, отуда je и почесни диФеренцщилни количник. Посматраімо сад случаи где се све иромешьиве у исто доба MeLajy. Узмимо Функдщу: z-f(x.y) у OBOj Функд^и су х, у две независне променлшве, дустимо нека се те независне променлшве, х за Джи у за Ду, yeebajy, онда je Дг npnpaniTaj Функцще s изражен ^'едначином: Az=f(sc+Ax,y+Ay)—f&y) OBOj jeAHa4HHH можемо дати следеЬи вид: Az=f(x+x,y)—f(%,y)+f{x+A%,y+Ay)—f( x +Az,y) или л f{%+Ax,y)—f(wj) д f(x+Ax,y+Ay)~ Цх+Аъу) л у ^ А% ^ + А у Пустимо да се у OBOj ^едначини раилика Джи АУ не ~ прекидно cnaayje то онда по § 1 имамо limes f (x + Av,y)-f(x , y) Дж df(x,y) dz dx dx t. j. равно почесном диФеренцщалном количнику Функцще s — f{x,y) у смотреау ж узето, jep као што видимо Aaje у разлики f ( х + А х іУ) — f ( ж і У) «амо ж нроменуло а у/ je стално остало. 39 Ha Taj исти начин имамо: i : .,„ r J(z-\-Ax,y + Ay)-f& +А х,У) df (х,у) _ dz Ау dy ' dy т " равно диФеренцицалном кодичнику у обзиру у Усл>ед тога до- бщ'амо: dz = df{x,y) dx . df(x,y) dx dy dy иди dz— dz dx - dx-j- , 36) t. j. Нотпуни диФеренцщал з'едне Функцщ’е раван je збиру почесних диФоренціуала исте Функнще. Овим истим путем наЬи Ьемо дііФереицщал зедне Фупкцще са три и више промендиви. Узмимо у опште Функцщ'у z = f(x,y,u,v,w .) то je по горьем аен диФеренцщал dz dz j dz , dz r . dz , , dx dy du dv dw ’ Из овога видимо, да смо тражегье подпуног диФеренищала Зедне Фуивдиз'е са више независних промендиви на то свели: да дату Функцизу по реду у смотрѳау сваке промешьиве дифѳ- рѳнцизалимо, а при том евѳ онѳ остале промѳндивѳ Као стал- нѳ сматрамо Oaaj исти резултат добили би, да смо поступали по прави- лима, Koja смо нашли при диФеренциз'алеау збира, производа, количника и т. д. Примери: dz dx дакле 1 ., z~ssinx . cosy » $0 — cosx cosy; — 5 — —— siny . sinx ay подпуни диФерендиз'ал биЬе: dz — cosx • cosy dx — sinx. sinydy. 40 у.е' J/4 2 + у 2 dz _ (х 2 -\-у 2 — х)уе' dx (х 2 + у 2 * dz й У (х 2 + у 2 )^ дакле je подпуни диФеренпщал Л»=- (* + Г~5>9? dx+ х ' + * (х 2 + У 2 ) 2 ( х * + У 2 ) 3 3) Дата нам je Функцща: u—ax 2 -\-by 2 -\-ez 2 -\-myz-\-nyx-\-pxy . z du dx du dy du dz = 2 ax-\-ny-\-pyz — 2 by-\-mz-\-pxz-\-nx — 2cz -\~my pxy дакле je подпуни диФеренщцал du = (2ax -\-ny-\- pyz) dx -f- (2by -\-mz-\-nx +pxz) dy -)- (2 cz my 4 -росу) dz § 27. ДиФѲрѳнцщал скривѳних Функцща ca вишѳ нѳзависних промѳнливих. Дата нам je Функпща u~f{x, y,z) = 0 валимо н>ен диФеренцщал. CMaTpajMO у oßoj Функціи х и у као независне променвиве, онда Ье z зависити од х и у. Дакле по преі>ашвем добщамо, кад диФеренцфлимо у смотревусве три променл>иве: du , , du , .du — -d x + ~— dy+—— dx dy dz • d z = 0 dz= — du dx d и dz • dx du dy d и ds . dy 38) 41 Пример диФеренцщалимо Фукцдіу : (а— х) 2 -\- (6— у) 2 + (с—я) 2 — В 2 =.0 добщамо: {а—х) dx-\- (Ъ — у) dy + (с— г) dz=0 . . (а — х) dx-\-(b—y) dy az =-- с— z Развиуаіье Функція у редове, збирливост и незбирльивост (конвергенціца и дивергенцща) редова. §. 28. О рѳдовима у општѳ. Неке Функдще да) у се раз- вити у ред вида: f (х) = Лх + Бх + Сх 2 4- Бх 2 +. где су А, Б, С,.стални од х независни öpojeBH. Разви- jafte у редове алгебра)ске Функцще вида (а + Ъх-\-сх 2 + . . . .)" где je п цео иди разломак, положан или одречан 6poj мо- жемо по Биномском правилу у ред развита. Друга Функціца као: a-, log (1+ж); sinx ; cosx; arctgx и т. д. предузеЬемо у иду- Ьем §.§. Be3EpajHH редови збирл>иви су (конвергентни) кад се вред- ност аихова, щу добщ'амо сабирааем више чланова тога реда, све веЬма и веЬма определ.еноі Kpajaoj граи иди приближу) е. Be3KpajHH редови незбирливи су (дивергентни) кад збир чда- нова нема такве Kpajae грапиде. Деобои: 1 са (1—8) добивени ред: —1 -j-x-j-x 2 -j-x s + x i -j- . може бити збирл>ив (конвергентан) или незбир-ъив (диверген- тан); то зависи само од вредности Kojy за х узмемо. За ж>1 биЬе збир чланова на десно) страна безкра)но велики, а на лево) страна вредност испада одречпа. За х — 1 биЬе обе стране )едначине безкра)но велике. Ако има х врло малу вредност и. пр. х — Ь> то онда чланова реда врло брзо на да) у и очевидно je да je та) ред збирл-ив (конвергентан) jep н>иов збир —1,11111... 42 Taj ред за - важи само за такве вредности х Koje га збирливим (конвергентним) граде. У опште може се ред само онда као израз f (х) узети, ако je збирлпів; не збирлшве редове (дивергентне) не можемо употребити. Почем се редови врдо често употребаду зато Ьемо пока- зати опште знаке по щима се збирд-ивост реда позна^е. §. 29. Збярльивост (конвергѳнциза) гѳометри^искѳ пооте- пѳносіи. Дата je постепеност: а -f ае + ае* -f. ае 3 -f . -f ae n ~ l Означимо са S збир те постепености, онда Ке биги : 6 — 1 Ако je е>1 онда чданови те постепености расту и за п — оо биЬе e n ~‘ 6e3KpajHO велико, дакле Z — -х>; усд>ед тога ред je незбирлшв (дивергентан). Ако je е=1, онда je: S = a + а + а -f- а -j - = па; дакле S = rx> за n = с тим je и ред незбирлив. Ако je е <; 1 то онда чданови те постепености пада -jy и за п~оо биЬе е" = О, и збир раван je Kpajaoj вредности. Геометрщиска постененост збир- д>ива ако чданови у безкр^ности протежу и ако je количник постепености ман>и од іединице; у свима другим cAynajeBHMa постепеност je незбир^ьива (дивергентна.) §. 30. Збирл>ивост (конвѳртѳнци^а безкра^ног положног реда. Узмимо 6e3KpajaH положан ред: ®). М о + U l + U 2 + и з 4".+ U n + M n + j H“ . Ако je у овом реду размера два оближна чдана м п+І : и а равна иди маша од размере ае " + ': ае" jeднoмecти чданова гео- 43 метрщиске постепености, и то за повол>но растеЪе вредности од п, онда Ье бити ред («) збирлив. Дакде je OBaj ред збир- лив ако je ^ ±і > і У реду; х х г X 3 х" _ Х п+ ‘ _ 1+ Г + Т.2 + L2.3 + ■' ‘ + 1.273.." + 1.2.3..7 "( п+г ) разбора je: '«„4, __ * м„ (м+1) дакде OBaj je ред збирльив, ако je х п -\-1 < 1 иди ж<и +1. Но за растеЬе вредности п биЬе 6poj п напоследку без- KpajHO велики, из овог с-ьедне да je OBaj ред за сваку Kpaj&y вредност х збирл>ив, наравно да Ье чланови реда за вредност ж>1 растети до неког. извесног теста, од тог теста да^е одма снадати. Код реда: 1+1 .ж+1.2ж г +1.2.3ж 3 + .... + 1.2.3. not ’+І.2.. п(п—1)х" '+.. размера je: -2р- = (п+1)я и п 6e3Kpajno велика за сваку вредност за х, Koja се од нуде раз- AHKyje, ако узмемо и — во. Дакде OBaj ред, не можемо учинити збирливим за положне вредности од х. Ако je у реду (а) размера два суседна чдана м п+І : и п за растеЬе вредности п изчезльиво мала то морамо онда другим путем испитати дал je Taj ред збирл>ив или незбирл>ив. Изпитаімо ДсУье збирл>ив следеЬи ред: 1 + т + і+ іН - .+ тг + т+і +. 44 по пре^атаем je : п 1 И. п- f-1 1 Ако дамо н безкра^ну велику вредност то се онда размера 1; 1 + ^ за изчезливо мало радикууе од уедини ре. Дакле je: 1 1 2 п п непосредно сл>едеЬи чланова зауедно веЬи су од ± почем се збир из такових чланова безкрауно може много повторавати, то je збир целог реда веЬи од ^.<х>, дакле je ред не збирлив. § 31. Збирливост бѳзкрауног реда, гдѳ чланови Hsiajy nö- лояснѳ и одречнѳ знаке. Ако у овом реду: u o~h u i + W 2+ M s + има положних и одречних чланова, и ако je Taj ред збирл-ив, кад све чланове као положне узмемо, то je онда и дати ред збиржив. Узмимо да je у датой реду, започевши од u„, В збир свиуу положних; а B f збир свщу-одречних чланова. Замислимо да су сви чланови реда положни, и представимо да je Taj ред збир- л>ив (конвергентан) то je онда В-\-Ві збир виови чланова од и п започето: дакле мора В-{-В, а у’ош пре B—B f бита изчез- живомало, за доста велико вредности за п. _ Усжед тога je, у'едан ред са положним и одречним члано- вима збиржив (конвергентан) ако je размера п п+1 : и„ мака од jeMMye. Такви редови где чланови правилно меааше знакова имау'у, jom су и у том случау'у збирживи, ако je размера м п+ ,: и а за растеЬу вредност од п за изчезживо маае од у'единице. Узмимо такав ред: //.)•• S==u 0 — м, + м 2 —м 3 +м 4 — u s +■ у ком je сваки сдедеКи члан мааи од предходеЬег, Но почен je разлика щ — щ; и 2 — и ѵ .. .т положна, то je и збир 8 положан. 45 Напишемоли Taj ред овако: S — u 0 — (u t — и. ± -\-и 3 — w 4 -|-' . . . .) и овде су разлике и 0 —и,; и., — и 3 .... положне, с тим je дакле и збир у загради положа». Дакле je S равно разлики два по- ложна 6poja, .т. j. S < и 0 с тим je дакле и ред збирлив. По овоме je ред: где чланови над^у и редовно знаке мен -ajy збирлив, а на про- тив исти Taj ред шце више збирлив (§ 30) кад све чланове са положним знаком узмемо. § 32. Збирливост рѳдова гдѳ сѳ чланови по потѳнцизи промѳнливог 6poja peljajy. Нека je ред: а ... . f(x) — A 0 -j-A t x -j- A. z x 2 A-A 3 x 3 -j- ... -\-А„х л -^-А п+ ,х п **-\- ... . збирлив, тако да за свак] вредност и добіуамо Un -\- ) 1 Un An +1 А n An X < 1 ИЛИ X < -. - г Нека je а aajBeta апсолутна вредност размере - то Ап.-\-\ Ье онда ред («) за сваку вредност х изме^у (— а) и (-f а) бити збирлив. Ако ред (а) диФеренцщалимо добщамо: ß d f (х) dx = А,-і-2А 2 х+ЗА 3 х 2 ~{-. . . .nA a x n , + (пі-1)А п+ ,х п где ред на AecHoj страни jeAHaHHHe (ß) мора бити n -f 1 1 An -fl п Ап п An п- j- 1 An -J- 1 Ако je ред («) за све вредности проыенливог 6poja х = — а па до х=-\-а збирлив, то je онда и ред (ß) за све вредности од х= — а~ па до х = -{-а£,- збирлив. Границе збирливости тих редова («) и (ß) приближуіу се за растеЬе вредности п а за п — <=о paзликyjy се изчезливо мало 46 Іедан од другог. Ако je ред (/»)за све вредности х—~а па до а = +а збирлив то je онда и ред (а) за исте вредности збирльив. §. 33. Опрѳдѳлѳшѳ сачинительа, Ако су два реда са целим степенима jeднoг и истог промешьивог 6poja х іедно другим ривни, то Mopajy и сачияител.и jeMaiwx стенена х у оба реда Іеднаки бити, дакле: 1) . . . . a-\-bx-\-cx*-\-dx 3 . =А-\-Вх-\- Cx 2 -j-Dx 3 -j- Ако ова ^дначина за сваку пооизводну вредност промен- л>ивог 6poja х постои, то огьедуіе за х = 0 je и 2) ., j . . а=А одузмимо іедначину (2) од (1) и подлимо са х добщамо Ъ + сх + dx 2 = В + Сх + Dx 2 -)-. ставимо овде опет х = 0 то сд>едуіе Ъ = В. Ако на Taj начни дал>е поступамо добидемо c-C-, d=D и т. д. §. 34. Рѳд изложитѳлног 6poja. По правилу неопределених сачинител>а можемо ставити: a=A + Bx+Cx 2 + Dx i + Ex*+ . овде су А, В, С, я т. д. стални неопределени 6pojeBH , «oje треба да опредедимо. Hajnpe ставимо х=о то cлeдyje е° = 1 —А због тог до- 6fljaMO : а) . а х = 1+Вх+Сх 2 + Пх 3 + Ех 1 + . Ако ову ^дначину диФерендщалимо добиКемо: ß) . а х = -^-^-(в + 2Сх + ЗВх 2 +4:Ех 3 + .) Зато што десна страна ^'едначине («) мора равна бити дес- Hoj страни jeAiia4niie (ß) то je: B=loga или B = loga 2 С=В. Іода < 7 = '/^(Іод а) 2 47 3 D = C. log а 4tE—Dlog а Ставимо ове вредности у іедначину («) добиЬемо тражени ред издожптелног 6poja: (log а) (log а) а" — 1 -f (Іода)х~\~ ж 4 +.... (39) Ако узмемо а=е као основиду природних догаритама § 6. то je онда Іоде = 1 и ред (39) предази у /у>2 лъЗ е^І+а + ^Н-^ 40) 2.3.4 Ставимо овде L— 1 добщамо 6poj»y вредност основице е дакде 1-И + -Ы- —2,71828182946 1 . 23.4 6 — 2,71828182846 у j ед начини je (39) ( х log а)" (х. log а)" + ‘ 11+1 - 2.3.4 . . . п(п-\- 1) Ред изложитедног 6poja онда je збирльив, ако je размера UnA- 1 xloaa , ——— =--— иди ако іе xloaa <п-\- 1 U n п + 1 J у ^ ~ ма како велико п узеди. Из овог видимо , да je ред изложи - тел>ног 6poja за сваку Kpajay вредност х и а збиржив. § 35. На^имо ред за log (1-\-х). Предпоставимо да се ова функцща дaje развити у ред вида: «•). log (1-)-х) = А-\-Вх-\- Сх 2 Вх 3 Ех*. . . . где стадне Opojeae А, В, С. и т. д. треба опредедити. За х—о добщамо log l = o = J.. 48 ДиФерендщалимо іедначипу (а) имаЪемо: В + 2 Сх + Wx 2 + 4JSSc* + Ако по обичном начину деобу 1: (1 + х) извршимо иди из- раз (1 -|— х)~ 1 развщемо у ред по биномском правилу добиЬемо: 1 — х + х' У (ß) и (/) редови су стелена исте Обе вредности промешьиве х, дакде и сачинители )еднаких стенопа х у оба рода равни, су што нам да)е: В= 1 ; 26 —— 1 ; 32) = 1 ; 4L— — 1 и т. д. Ставимо ове вредности у («) то добщамо тражени лога- ритмиски ред: Ред je (у) као диФеренциадни кодичник рода (41) збирд>ив за све вредности cr измочу + 1 и— 1, дакде je и ред (41) за те вредности збирлив а) Примѳна тога рода на броуно рачунавааѳ природних логаритама. Одакшице ради уводимо у ред (41) уместо (+ж); (— х) добиЬемо : Одузмимо ову )едначину од )едначине (41) то имамо (1+х) *+№?+-■) Ставимо ^ ~^~ Х = 1 + — : х — 1—х у 2у + z z Заменимо ове вредности у )едначини («) добщамо: /3)...log(z+y)=iogy+2 + l (а^) + І (§Я^) +••••] 49 Ово je дакле ред но коме се логаритми öpojHO panynajy при чему Ьемо имати да рачунамо у толико маве чланова тог реда, у колико je z маве а у веЬе. Обично се узима 0=1 за z = l ; у= добщ'амо по (ß) %2 = 2 [ і - + і (|) 3 + І ( І ) 5 + І ( І ) 4 +.. •] log 2 = 0,6931471806 за 0 = 1 , у = 2 добщамо, по (ß): % 3 — log 2 -f- 2 (у | (-g-) 3 + 4- (-f) 5 +-) %3 = 1,0986122887 за 0 = 1 ; у = 9 добщамо % 10 = % 9 + 2 [± +± (і)’ +± ( !)■ + .. . ] log 10 = 2,302585093 Логаритме свщу сложених öpojeaa добщамо ако их разложимо у просте чиниоде, помоЬу ^'едначине (ß) само логаритме простих 6pojeea израчунамо, и онда логаритме тих иростих чинилаца саберемо. в) Да просте логаритме определимо, узмимо е У = 10 х = А овде je у природан, а х прости логаритам исто г 6poja А, Код простих логарптама основица je = а код природних —е = 2,71828. Узмимо природне логаритме природних стенопа: Разломак: y = xloq 10: х= —~— log 10 __1 _ 1 log 10 ~2,3025850930 0,4342944819 овим 6pojeM треба помложити природан логаритам у j одно г 6poja па да добщемо прости логаритам х истог 6poja. Oeaj 6poj зове се Модул простих логарптама. По овом дакле, ако су вредности природних логарптама дате, то можемо из вих просте логаритме яаЬи, ако их са модулом помложимо. § 36. Редови за Синус и Косинус х. Предпоставимо да се те Функцще да -jy развити у ред вида: 1) sin х = Ах -f- Вх 1 -f- Сх $ І)х і -j- Ех ъ -f- . . % 4 50 2) cos x = 1 -f- ax + ß% 2 + Y xS + -j- £ x s + • • • где су А, Д С .и и, ß, у, .стални брсуеви корима треба само вредност наЬи. У образцу je (1) за х — о и sinx — o; да Jbe у образцу (2) за х = о да)е нам та )една- чина 1 — 1! - ДнФеренцщалимо 1), и 2), и променимо знаку (2) добдіамо: ) В) cosx— А-\-2Вх-{-3Сх 2 -\-ADx 3 -\-bEx 11 -j-. .. из (1.) j 4) sinx — — а — 2ßx — ?>ух 2 ~ 4дх 2 — 5 ex *— . . из (2.) Ставимо на^ене вредности за sin х из (1) и (4) тако исто j и врединости из (2) и (3) ^едно другима равно; у тима новпма )едначинама сачинитеаьи су jeAHanax степена jeAHaKH, и тако [ добщамо сачянител>е: і А=1 ; 2В=сс ; 3G=ß ; 40 = у ; 5Е=б ; . . а — о ; 2ß — — ^4;3^ — — В ; 4д = — С; 5 е = — I) ; из овог следуіе: А — 1 ' В = 0 ; С= 2Ж ; І)==0 ' £= 2.3.4.5 « = 0 ;/»=-/, у; = о-, 6 = -^; е = о ставимо ове вредности у (1) и (2) то добщемо тражене редове : sinx—x X 3 2І 2.3.4.5 (42) cosx = 1 X 2 т X* X * 2Д4 " 2.3.4.576 (43) Сад треба joiu показати, дал je сваки од тих редова збиравив ? Размера: x 2a ~ l x 2v+t 2.3. . . (2n — 1) 2.3.4... 2n(2n+l) j у роду синуса биЬе ако се на знак не обзиремо - _JV м__ _ж* _ и п 2д (211 + 1) 51 Дакле да OBaj ред буде збирлив мора биты: 2п(2п-\- 1) <1 ; х 2 <С2п(2п-\-1) За безкрайно велику вредност п мора бита х < 2п. Услед тога синусни ред je за сваку Kpajny вредност х збирлив. Чланови синусног ре да могу до неког извесног места растети, али од тога места да^ье Mopajy падати. За Косинусни ред имамо : ' 2.3. . . (2и — 2) 2.3. . . (2п — 1)2» ако се не обзиремо на знак добщемо ову размеру: ^ n + t _ _^_ и„ 2 п (2 п — 1) Дакле, да косинусни ред буде збирлив, мора бита: Из овог видимо, да je косинусни ред за сваку Kpajay вредност х збирл>ив. а) BpojHo рачунааѳ синуса и косинуса. Имамо ли синус или косинуса за 1° да наДемо, то означино том углу одговараіуЬи лук са х, доби]'амо: 1°:3б0°г=ж:2 п 3,141592653 Ш “ = 0,017453292 Метемо ли ову вредност х у редове (42) и (43) то добщамо: sin 1°=0,01745329 — 0,00000089 = 0,01745240 cos 1 = 1,00000000 — 0,00015231 =0,99984769 Редове Синуса и Косинуса (42), (43) можемо joui написати 7t ако ставимо х = т-^- sin (т. 90°) =—^~ cos (іи. 90") = 1 - 2 . 3 . 4.5 ( т.л ч* 1 /тлу ~Т') 2Ж4 '-~ 2 ~) 4 * 1 52 Ако израчунамо вредности: ,-у- и т. д. то добщамо: sin (т. 90°) = 1,5707963т — 0,6459641т 3 + 0,0796926т 5 — — 0,0046818т 7 + 0,0001604т 9 —0,0000036т 11 + 0,0000001т. 13 cos (т. 90°) —1,0000000 — 1,2337006т 2 + 0,2536о95т 4 — — 0,0208635° + 0,0009193т 8 — 0,0000252т 1о + 0,0000005т. 12 Ако треба израчунати синус иди косинус за 1° вала само ставити у овим образцима m = <,'„ • А за 1’ требамо узети — 90 '.- ü0 и т. д. ПомоЬу ових образаца можемо наЬи вредности за sin и cos само за угдове до 45“, дакле je Hajeeba вредност m=-f и редови су по томе врдо збирлшви. § 37. Рѳдови за Логаритам синуса и Логаритам косинуса. Из обрасца (42), § 36 извуцимо х као за)едничкот чиниоца, до- бивамо: («) sin Х — Х 1 Ж 2 X 4, 23 + 2.3.4.5 и метимо краткоЬе ради: ß) X 4 . х ь 2.3.4.5 ^2.3.4.5.6^7 то нредази )едначина («) у: sinx( 1 — у)х узмимо на обе стране природне догаритме. log sin x — logx-\ log { 1 — у) Развимо log (1 — у) помоЬу реда (41) § 35 у ред, доби)емо: log sin x-—log х—\у + уЧ-д- + • • • ) Ставимо у OBoj )едначини за у вредност из ß), то имамо: log sinx — log х- х х " 2.3 2.3.4.5 2.3.3.5.6.7 + ••• ж 4 , х 6 2.2 2 .3 2 ^ 2-И5 ж Б.2 3 .3 3 58 Ставимо х — и пре^имо из нриродних логаритама на просте, то добщ'амо: log sin (m. 90°) = + log m —M 1 s ™ \ 2 | _ (--) m + 1 (t) m 4 + . . 2 2 .3 2 .5 Ако узмемо ред Косинуса: COS- 00^ oc^ :1 ~ 2~ + X 2.8.4 2.3_6 ■ + . и ca Еьиме на исти начни поступамо као што смо код синуса чинили: т. j. ставимо десну страну реда — (1 — у) узмимо за обе стране природне догаритме и разнимо log (1 — у) у ред и т. д. то добщемо: (45) ....log cos (m. 90°) = - Ж (-J) m 2 + -ji- (-£) V + Ако би имали помогу тих редова log sin 2° или log cos 2° да израчунамо, то треба само т = ~ ставити, а кад би за)одну секунду имали рачунати, то морамо ставити m — и т. д. и ови су редови збирл>иви jep je наівеЬа вредност за т равна половини т. j. 45°. § 38. Рѳд за аркуссинуса. Предпоставимо, да се арвус- еинуо да)е развита у ред вида: («) — arcsin х = Ах-\- Вх г -(- Сх 3 + Вх* + Ех 5 . где су А, В, С — неиознати стални 6pojeBH. Но почем je за х = о и лук —о за то смо члана х° изоставили. ДиФеренцщалимо ^'едначину (а) имамо: ß) - - - у ^ — А -+-2 Вх -s- 3 Сх 3 + 4 Вх 3 + 5 Ех* + ... Доводимо леву страну jeMainns (ß) на вид (1—ж 2 ) 2 развще- мо je по биномском правилу у ред добщамо: у) у ^ і __ ж 2 ^ 2 —1+т ж2- Ь^ ж4- Ьі? ж + 54 ГІочем десне страпе іедначине (ß) и (у) іеднаке бнти Mopajy то су и сачинител,и ^днаких степеыа ^одііаііа дакле: А = I; В = о; С = ± і D = о; Е = і ... . ІІомоЬу тих вредности прелази ^едначина (2) у 3 , 5 б) Arcsin х = х + у х 3 + 00 -f ~ Ц 2 ~ ж т-' • • • • ставимо у ред (<5) за x = siny то добщемо тражени ред. \.sinv s . \ .3 яги м 5 1.3.5 sinn 1 (46) у — sm М-4- " -4- 2.4.5 1 2.4.6.7 У овом je реду: U -У 5 ' 5 "- . (2 п — 5) 2 п (2 п — “ 2.4.6.. . (2 п — 2) 2п (2 п —: и - 1 - 3 * 6 - (2 п - -2 )т (2п -j- 1) ,1+| 2.4.6... (2 п- -3)(2я — 1) дакле je размера: и а (2п — 1) 2 . 2 --— sm 1 и П+І 2 п (2 п -{- 1) sin у Stn у ' Услов je за збирл>ивост реда (у) кота сматрамо као дифѳ- ренциі'ални количник реда (6) и (46) по § 32 1 + — и + 1 (2w — I) 2 . 2 . . „ 2п -sin 2 yиво мало, ако je п~<х>. Из тог с^едуі'е, да je HajBeba вредност од sin 2 у — 1 дакле за siny — ц^І ; стим je ред (6) за сваку вредност у збирл>ив. За угао Зо° = -і- , у = ~ за ту вредност прелази ред (46) у следеЬи: 71 т [і+ і.з 1.3.5 1.3.5.7 2.3.4 ^2.4.5.16 1 2.4.6.7.64 ' 2.4.6.8.9.256 + ••] 55 8 [ 1 + s+ 24 + 640 + 7168 + 294912 + 2883584 чданови овог реда врдо брзо na 4 ajy и по вему можемо вред- ност л доволно тачно израчунати. § 39. Ред за Arotg х. Предпоставимо да се Arctgx дще развита у OBaj ред: «).... Arctg х — А х В х 2 С х % -j- D х* + Е ж 5 + ... где су А В, С... . стални непознати сачинители, притом je сачинител од х 0 раван нуди, jep je за ж = 0 и лук — 0: ДпФеренцщадимо jeAiranmiy («) добщамо: ß) -— 1 — -А + 2Вх-\-?,Сх г +4:І>х і + ЬЕх і +--- \-\-x 2 Деобом 1: (1 -|— х 2 ) добщамо сдедеЬп ред: у) —^— — 1 — х 2 + х* — х 6 -[-•••• Іедначине (ß) и (у) редови су за jeMH и иста 6poj 1: (1 -\-х 2 ) дакле Mopajy и сачинители jeднaкиx стеиена )еднаки бита А = 1; 2 В = 0; 3 <7= — 1; 4Х> = 0; 5 F=1 и ,т. Д. ставимо те вредности у ^диачииу («), добщамо: + ^ + ^ + Arctg х = х Ако у OBoj jeднaчини x — tgy ставимо, то добщамо тра- жени ред: y—tgy — \tgf-\ \ tgy b — \tgy 4 + ^tgy* — • • • • (47) Дакде оба чдана . tgjT^ щ ^У ІП + 1 2 п — 1 2 п -j— 1 Aajy нам размеру без обзирл на знак: Усдов за збирливост іедначине (47) jeci : 2 п — 1 56 За п = оо може бити tg 2 y Hajeanie равна іединици дакле tgy ыора лежати ме!)у +1 и — 1 , онда je ред збирл>ив и можемо га употребити. Неніто о иечежл>иво малим вредностнма. § 39. Досада нам je гранична вредно er била основ делога рада; ори томе смо више пута пажжу обраЬали и на исчежл>иво мале вредности. Те исчежл>иво мале вредности могу ностати из KpajaHx вредности, Koje се непрекидно к нули пpиближyjy т. j. KojHX je вредност нajближa нули од свщу иначе замишлених вредности. а) Размера из две изчезживо мале вредности може бити: Kpajaa, 6e3KpajHO велика илии исчежживо мала, то зависи од тога како се бр^ител> и именител. смандуЬи к нули прибли- жyjy. Ако х н: пр: у размери , х од вредности не- х 2 прекидним смашивааем исчежаиво малим постане, онда Ье броител. и делител> исчежл>иво мало бити; притом ocTaje размера Kpajaa и можемо je jeMHMOM заменути. Напротив ' 1 % ако у размери -— лук х изчезл>иво малим постане, то ье sinx онда и та размера безкрайно великом ностати, макар што je броител> и далител. изчез^ьиво мали jep je: X X 1 sinx 2 sinx sinx sm X , за исчежаиво малу вредност х прави je чинилац - с десна х KpajaH а други je —због исчежл>иво малог, именител>а бес- sin X ш KpajHo велики постао, дакле je и ироизвод из оба чинпоца с тим и дата размера 6e3KpajHO велика. tg 2 x У размери: биЬе броитеж и именител> исчежл>иво ax-f-x 2 мали за изчезл.иву малу вредност х jep можемо писати (д 2 х tgx tgx ах+х 2 х a-f-x за исчежливо малу вредност х биЬе први чинилац с десна ра- ван ^едннндн а други због исчежливо мадог броіительа и Kpaj- аег имеиитела морамо сматрати као исчежлпво малог. Но почем je производ Kpajaer и и исчежливо ыалог чпниоца ис- чежливо мали то je и дата размера исчежливо мала. ß) Ако je размера из две исчежд>иво мале количине у об- ште KpajHa, онда су обе количине истог реда. Ако су а, Ъ, с, . . . исчежл>иво мале количине истог реда, то Ье и размере: а а Ъ Ъ ’ с ’ с имати Kpajay вредност, тако исто и размере: а 2 ас ab ~W ' ~W ' . као производ из два Kpajaa чиниоца, и размере: а 3 ас 1 Ъ г с ’ Ъ 3 као производ из три Kpajtta чиниоца, HMajy Kpajay вредност. Ако су количине: (т)«(тИтК-гИ као производи из Kpajanx размера, са исчежл>иво малим; биЬе исчежливо мале и то истог реда ког су и а, Ъ, с. Количине а, ab, abc jecy исчежл>иво мале вредности разних редова, ако je а, Ъ, с исчежливо мало првог реда, онда je нро- извод ab; ас; Ъс; а г ; Ъ % из две исчежливо мале количнине првог реда, исчежливо мало другог реда, тако исто и производи abc; а г Ъ; Ьс 2 исчежливо мали треЬег реда, и производи а 2 Ьс; аЬ г с abc 3 исчежл>иво мали четвртог реда и т. д. Замислимо диФеренцщал йх као исчежливо малу вредност првог реда онда je dx 3 исчежливо мало другог, dx 3 исчежл>иво мало треЬег реда и т. д. у) исчежл>иво мала количина првог реда може се према KpajBoj количини изоставити, предпоставимо да имамо ^дначину 58 А dy -j- B dx + G dx. dy -f-. —0 овде означуіу А, В, С . . . краще кодичине; ми можемо ту ^бд- начину овако написати: Ä jh +£+ cdyi- . —о dx у oßoj су ^бдиачиии оба ирвачдана Kpajma а треЬи je исчежлшво мади нрвог реда дакде можемо га изоставити, и тад имамо: А-^--\-В=0 иди ах Ady Bdx = 0. б) Дакде као што омо рекди, ако je а или Ъ исчежлшво мала количина, онда je а 2 или Ъ 2 као производ из две исчежл>иво маде кодичине а и а опет исчежл>иво мала количина, и при том je а 1 joui и исчежливо мала у односу нрема я, тад je = а да- кле изчезл>иво мала. Количник je само онда исчежл>иво малп, ако je вьегов 6pojHT6.B мали у односу према свом делителу, или je делител 6e3KpajHO велики у односу према свом броительу, тако je исто и а 3 исчежлшво мало према а 2 и т. д. Оваквим посматраьем дошло се до тога да се разлиаду исчежлшво, мало кодичине виших редова као што смо веЬ под (ß) напоменули дакде можемо укратко реЬи: У рачунаау смемо исчѳжливо малѳ количинѳ виших рѳ- дова прѳма ниясим изоставити. Ово сад изречено правило nnje ништа друго него метода границе у краЬу Форму доведена, наравно да ово правило изискуіе особиту пажау, и само Ье нам онда jacHO бити, ако основне ногледе гранично методе никад из очщу не изгубимо. V: Други део диференци]ауіног рачуна. ДиФеренщфл вишег реда Функціи са уедном независном промен.ъив<ш. § 40. Опште поступааѳ. Нека je у опште. У — f ( х ) такова Функдн]'а са jeMHM независним промешьивим Opojew. Да би виши диФерендщал исте Функцще нашли узмимо ради олак- шице и бол>ег схваЬаньа графщско представлеве у поноЬ. Озиачимо апсцису АР са х и ординату РЖ са y = f(x) Слика 3, пустимо нека х прирасте за ироизвол-ан 6poj /\х—РР‘ у свед тога прирасгеЬе у за Д y=QM‘ ту нову вредност од у означимо са у л —Р , М‘. Узмимо да х jourr jeдapeд за ноту вредност Дж — РР' =РР“ нарасте, онда je нова вредност од у, Kojy Ьемо са у 2 = Р“Ш“ означити, а прираштаі /\у, нре- ставл>ен je као што видимо са Q' М" дакле: Сл. з. У ѣ Q J У**' -X а> о а н ^ И со < & О и S g 5 и и О сЗ 61 Као што видимо Дг/ разлика je првог реда Функщуе у, Д 2 г/ другог реда, Д 3 г/ треЬег реда исте Функцще и т. д. Уз- миыо, да се разлика Дж независне промешьиве непрекидно ciiaayje т. j. да се све веЬма и веЬма приблизвду нули, онда се и обе тачке М‘ и M“ приближуіу тачци М; т. j. ординате у, и у 2 све се веЬма и веЬма приближуіу ординаты у и с./ьед тога разлике Дг/, А?/ , и /\ 2 у приближу^ се вредности нули. Овде примеЬуіемо, да разлика другог реда Д 2 г/ пада много брже од разлике првог реда Дг/ и Дг/,, тако да кад су вредности Дж, Дг/ и Дг/, премазединици врло мале постале онда je Д 2 г/ према Дж, Дг/ и Дг/, joui много маае постало. Да би се о том уверили носмотримо израз («), щи се Aaje на сле- деЬи начни писати: а ко се у овом изразу Дж непрекидно нули приближу^, онда се -А Ъ и J=^L~ ieAHoj и HCToj границы иpиближyjy. Дж Дж йж ' Дакле je вредност за Д 2 г/ сложена из два Фактора. щи вредност пулу, као 3ajeAHH4Ky границу HMajy и брже падазу него сваки од тих Фактора засебице. Taj израз под («) ще се на следеЬи папин писати: Ау, Ау . Дж Дж ЛѴ=-Ді- - А«- Ако се овде Дж непрекидно нули, као границы нрибли- жуз'е, онда означуз'емо разлику Дж с а (Іх и у том елучаз'у HMajy Ау Ау количници и -=2_ сваки за се, за границу диФеренцщалне Дж Дж dy Ау, Ау количнике ——: а количник; Дж Дж има као границу Дж dy диФеренцщални количник Функцціе - т - J- 62 А У, _ Ау f] dy limes Ах & х = dx /\х dx означимо ли са <Ру оно што Ье из А 2 У бити кад се Дж у dx претвори, то онда добщамо: ddL >).л=_ іа _ их' dx У овом изразу Функціей dy dx преставльа диФеренщцалтіи количник првог реда Функцще у, тако исто преставл>а т dy . d —— диФеренцщални количник другог реда исте Функцще, ах d'H) dx и означаемо га на прост начни са а d*y 30- вемо диФеренцщалом другог реда Функци.)е у, дакле прелазн Іедначина у) у с-ьедеЬу. d'y-- d 2 y dx 1 dx 2 . т. j. Диверѳнциіал другог рѳда раван je произведу из квадрата dx са другим диверенцизалним количником иете функцщѳ. Да на^емо диФеренцщ'ал треЬег реда треба узети израз: A 3 y~A 2 y f —A 2 y OBaj израз да]е се на следеЬи начни написати А 3 У — [~~~-^-^-\ах 2 или V Ах А х I в) .А 3 У — I — У2 — ~ -) Ах 2 ( А«* Ах 2 ако се у овом изразу Дж непрекидно нули приближу]е, онда се оба члана и приблужуіу ]ед- hoj и iictoj границн Дж 2 Дж 2 f А . Вредност за А 3 У сложена je из dx‘ v-. 63 три Фактора, Kojn BMajy вредност нулу, као за]едничк,у границу, и с тпм брже пада него вредност Д 2 # Koja je само из два Фактора сложена. /I,ajMO ^едначини (б) следеЬи вид: А 3 у^ А ?/ 2 — Дуі Ау,~Ау Дж 2 А Ж 2 Дж •Дж 3 ако се у OBoj іедначпни Дж непрекидно граница нули при- _ Ди, — Д у х А у, — Д у блпаэде, онда имщу оба израза и- \. —і — Дж сваки за се као за CBojy границу диФерешцфлни количник дру- СІ 1 яо гог реда ; а количник: АУг — АУг АУг—Ау Дж 2 _Дж Дж има за CBojy границу й г у диФеренцщални количник Функцще - - т. j. limes Ау г ~АУх А У у - А У Д ж 2 Дж 2 Дж дакле добщамо, ако са оно означимо, што Ье из Д 3 и бити кад Дж у dx npehe : d 3 y = -— . dx 3 или dx d 3 y = - -J ^ ■ .dx 3 . dx 3 d 3 y зовемо диФеренцщал треЬег реда дате Функцціе у, тако d З ѵ ИСТО И функцщу зовемо диФеренцщалним количником тре- Ьег реда. 64 ДиФѲрѳнциіад трѳѣѳг рѳда раван je производу из куба dx и диФеренцизалног количника треіег рѳда. Ако треба наЬи 4г™ иди 5~ ти .... и' ти диФеренциіад неке функцще, онда требамо само дату Функпщ'у 4. 6 или п пута )едно за другим диФеренцщадити, а притом свагда dx као стад- ног сачинитева сматраги, као што смо то граФИ]’ским путей при тражеву раздике чинили, jep смо ту исту кодичину Дж дуж деле апсдисе више пута преносили, дакле смо вену вредност као стадну сматради. Вида сд. 2. Као што смо у пре^ашвем одеску (по Лагранжу) ди®ерн- цдіадни кодичник иди изводну првог ре да са у' или f‘ (ж) озн- чиди, на та) исти начни означаемо диФеренщцални кодичник иди изводну другог реда са у“ или f" (х) тако исто треЬу са у'“ иди f‘" (ж) и т. д. ДиФеренщцал вишег реда нростих и слозкених Функцща са )едном промешьивом. § 41 ІІо оном што je у §40. у обште речено, лако je наЬи виши диФеренцщ'ад сваке просто и сложено Функцще са )едном промешьивом. 6матра)мо нрво степену Функцщу: у = х т по § 4 диФернцщад je првог реда едедеЬи: dy = mx т ~‘ dx ако диФерендщад првог реда jom іедаред диФеренддіадимо и узмемо у обзир да dx мора имати стадну вредност то добіу'амо као диФеренди)ад другог реда сдедеЬи израз: d 2 y~m(m —1)ж т ~ 2 dx . dx — т (т —1) х т ~ 2 d х 1 диФеренцщадимо OBaj израз jom )едаред добщамо: d 3 y = m(m —1) (т — 2)х т ~ dx' 1 .dx —т (т —1) (т —2) х т ~ 3 dx * као диФеренцщад треЪег реда, ако joui и даве диФеренцщадимо добщамо: 65 d l y—m (m —1) (m —2) (m—3 )x m ~*dx d"y=m(m —1 ){m —2). [m — ( n — 1)]ж т "dx". Из овог видимо, да се редови тих диФереніщ'ала у öecßpaj- ност протежу ако je изложите* ш одречан или ако би био поло- жан, тад се као разломай или као ирационалан 6poj представ*а. Ако je пак т цео положан 6poj то имамо: d m y~m(m— 1)(т— 2).3.2.1 dx m или ■~г~ w(m— 1)(ш—2).3.2.1 дакле видимо, да се Функцща своди на сталну вредност, стим nocTajy сви остали следеЬи диФеренцщални количници равни нули. §. 42. Дато нам je, да тражимо виши диФеренцщал Функцще у = log х по §. 6. диФеренцщал je нрвог реда: dy — — dx Ако се обзиром на § да*е диФеренцщалимо имамо: 2 d 2 y — - -dx 2 другог реда х 2 2 d 3 y —- — dx 3 треЬег „ dPy= d"~ l |-L . dx j: (—l) n “\ 1.2.3_(n-1) dx" § 43. Дате су нам Функдще: у=а х у—а 5 66 ДиФереніщіалимо ове Функцще са обзиром на § dy == а' log adx dy = — log aT x dx d 2 y — d (log a) 2 dx 2 d 2 y= (log a) 2 d. dx 2 d 3 y ■— a* (loga) 3 dx 3 d 3 y = — (logdsddx 3 d”y — d (log x) n dx" . Ако узмемо да je а = e = основица неперовиз онда прелазе пре^ашвьи диФеренидали у следеЬе: dy — — е х dx d 2 y — е dx 2 d 3 y — — е х dx 3 dy =e*dx d 2 y = e x dx 2 d 3 y — e dx 3 § 44. Дато нам je: y — u.v по § 11 диФеренцщал je: dy = udv-\- vdu d' 1 y—ucC 2 v-\-2c[v.du-\-vd 2 u d 3 y=ucPv -)- Ъйи.сСЧ + 3 d 2 u.dv 4- vd 3 u ddy — ud*v 4- 4 du.d 3 v 6d 2 u.d 2 v 4- 4 d 3 u.dv 4- vd 3 u у овоме видимо запои биномских еачините.ьа дакле ud”v 4-fy}(?Mdw4-(2 ) d ѵ 4- 45. Дата нам je тригонометр^ска Функщца: првог реда другог „ треЬег „ четвр. „ у = sm х 67 треба наЬи више диФеренцщале. Ако ову Функнщу више пута Іедно за другим диФереидиаілимо, а нритом dx при сваком ди- Ференциалеву као сталан 6poj сматрамо, добдіемо: dy — cosx.dx — sin ja: -j — а наЬи н>ене више диФерендщале. ДиФеренцщалимо ту Функ- n,Hjy са обзиром на § 40. добщемо: dx _ Д dy= У "І — х г ~ ( 1 — ) dx х dx 2 dhj=x(l-x*) dx*=:y=== _ 5 d 3 у = ( 1+2 х г ) (1— х г ) г dx 3 — (l-j-2 x^dx 3 У (1 — ж 2 ) 5 § 48 Дата нам je Функцща : y—arc cosx Ако ову Функцщу више нута диФеренщцалимо притом dx као сталан 6poj сматрамо добщамо: Л у =- dx = — (1 -х 3 ) ^dx V 1 — х 1 — 4 х dx г d 3 y = ~x( 1-х 2 d — 4 (1 + 2 x^)dx 3 d 3 y— (1 + 2ж 2 ) (1 — *») dx 3 = -- Ha Taj исти начни можемо и за о стало циклометрщиске Функцще наЬи диФеренцщале вишег реда. т 69 § 49. Виши диФѲренцщали Функцщѳ Функци]а. Дата нам je уобште Функцщ'а: y = f(v) а ѵ=<р(х) вал>а наЬи аене диФеренцщаде вишег реда. По § 23 образацу 31) имамо диФеренціуални кодичник: dy dy dv а . dx dv ’ dx диФеренщцадимо ^едвачвву («) ca обзиром' да je десна страна производ из два промешьива 6poja, добіцамо: dy dv d 2 y ^ dv dv dy ^ dx dx dx dx ~ r dv dx По § 40. (/) (d) имамо: j $v d - диФеренцщадни dx dx кодичник другог реда исте Функцще и можемо га написати: dv dx d 2 v dx dx 1 тако исто je d dy_ du dx диФерендщални кодичник нрвог реда dy Функцще ^ ■ по х ; ако помисдимо да je то добщамо по пре^ашнаим правидима: dy Функида и d -ЛУ dv d 2 y dv dx dv 2 dx дакде ако ове вредности у )'едпачину («) ставимо, добщамо: &У d 2 y dv 2 dy d 2 v dx 2 dv 2 dx 2 dv dx 2 70 Ако OBaj други диФоренцщал jom іедаред диФеренцщ'а- лимо, добщамо, са обзиром на § 40 сл>едеЬи юраз као дифѳ- ренцщал треЬег реда. d 3 y <Гу dx 3 dv 3 dv 3 d 3 y dv d 3 v dy d 3 v dx 3 ' ^ dv 3 dx dx 3 dv dx 3 Ако OBaj диФеренцщад joui іедаред диФерешццалимо, доби- jaMO диФеренцщал четвртог реда и т. д. Узмимо да нам je н. пр. дата Функцща: у — log tg х то можемо ставити у = Іодѵ а ѵ = ідх тад Ьемо имати: dy 1 dv 1 dy 2 dv ѵ dx cosx dx sm2x d 3 y _ 1 dv 3 __ 1 d 3 v 2sinx dv 3 v 3 ’ dx 3 cosx 4 ” dx 3 cosx 3 дакле добщамо као диФеренцщал другог реда дате функцще следеЬи израз: d 3 y 4cos2a; dx 3 sin 2x 3 а) Ако имамо Функцщу y=.f(u,v) где су и = хр(х); v=w(x) две Функцще од х. По § 23 под а образ 32 имамо: dy dy du dy dv dx du dx dv dx Кад ову ^дпачипу диференддіалимо, треба узети у обзир да и - У — Mopajy бити у обште Фѵпкціце од м и ѵ. du dv Означимо са d 3 y личнике Koje добщамо du . dv dy и d 3 y du dv . du диФеренцщалимо по v а диФеренцщалне ко- dy dv ■ по и: 71 а ІУ. dx 2 d 2 y du 2 du d 2 у dv \ du dx du.dv ' dx ) dx +( ä'y dv . du du d 2 y dx dv 2 dv \ dv dx ' dx dy d 2 u ^ du ' dx; 1 dy d 2 v dv dx; 1 Но почем je као што Ьемо доднщ'е видети ä 2 y . dv. du то имамо: du . dv d 1 y _ d 1 y du 2 dy d 1 u . dx 2 du 2 dx 2 ^ du dx 2 d 2 y du dv dy d 2 v d 1 y dv 2 du.dv dx ' dx dv ' dx 2 dv 2 dx 2 Ha Taj начни далье nocTynajyhH, наЬиЬемо без икакве теш- коЬе, диФеренцщалне количнике вишег реда; наравно да нам оваково поступаве nnje од велике користи, но инак ми смо са овим само пут показали, како се са обшгим Функцщама рачуна. За особене случало пак, води нас непосредно постелено диФерен- дщалеве брже к Дели. § 50 Виши диФѳрѳндщал скривених Функциуа Дата нам je скривена Функцща: f(x,tj) = o у Kojoj сматрамо х као независну промешьиву, а у као Скривену Функцщу од х. ЗадаЬа нам je, да тражимо диФеренцщалне ^дначине вишег реда исте Функцще, без да ту дату jeднaчинy разрешимо. По § 24 нашли смо следеЬу диФеренцщалну jeAHa- чину првог реда. \ äs л df _ а). —• dx Д—^— dy = o dx ' dy df ДиФеренцдіадимо jeAHa4HHy («) са обзиром, да су ц- и df . dy —у сбшге Функдиіе од х, у и да —— само од х зависи, то dy dx добщамс сдедеЬи израз, као диФерешцуалну jeAHannHy другог реда. 72 a 2 f a 2 f äy , ( ä 2 f dx 1 dx.dy dx 1 \ dx.dy äy ^ dy ~ dy 2 ' или df d 2 y dx ' dx dy dx 2 ca обзиром на то да je d 2 f d 2 f ß) d 2 f dx 2 +2 d 2 f dy dx . dy а израз d 2 z диФеденцщални количник првог реда Функ- dy.dx paje z тако као кад би у била сама промешьива а одма затим добивени диФеренцдіални количник dz по х; израз d 2 z dy -' dy 2 ознаьава диФеренцщални количник другог реда тако као кад би у као саму нроменливу сматрали. а.) Лако можемо доказати, да су у ^'едначини (у) диФерен- d 2 z d 2 z ціуалии количниди je дно другом равни т. J. dx.dy dy.dx да je све jeMo, диФеренцщалили прво по х, па после по у, или прво по у па после по х, или краЬе речено да ред дифѳ- «іенцщалеаа нема никаква унлива на сам диФеренцщал. 75 Ако се вратимо nojaiy о диФеренцщ'алу, то Ъемо лако уви- üz , дети да je ^ - граница сдедеьег израза: Дд _ f( х + Ах,у) — f(x,y) Дж Дж кад се Дж непрекидно нули приближу] е. Тако je исто и ^ граница израза: f(x+Ax,y+A y) ~f(x,y+Ay) __ fß+A%,y)—f( х,у) __Дж_Дж_ Д®-Ду Д«/ ако се Дж и Д«/ непрекидно нули нриближуіу. нт - äe- На исти je начин — -— граница израза: dy 1) . .. С ь - г -.= f( x 'y\Ay) f( x iV) ак0 се Н у ЛИ П р И _ Ау Ау бдиж yje. ^ 2 g? Тако je исто и граница израза: f(+A®oj дату Функциіу Іедан иди више пута диФвренцщадили, то je по основима инФинитезималног рачуна, dx oHaj произволни iipnpainTaj х Kojn се до граничне вредности нуле смавио стим je дакле Taj npnpaHrraj dx независан од х. Но са свим другачще CToja са dy npapainiajeM зависне промешьиве «/, jep je за y=f(x),dy~f‘(x)dx. т. j. Функщц'а je х, jep се cacToja из два чиниоца од Kojnx се у првом х налази. Из овог следу^'е, пошто два пут диФеренцщалимо: d 2 y=ds(x)dx=f"(x)dx.dx=f" (x)dx 2 . При овом диФеренцщалеау сматралисмо dx као сталног чиниоца. Дал>е може нам се ито десяти, да у току каквог аналитичное рада He3aBHCHoj променвив<ц, треба независан карактер на другу променвиву пренети. Као н. пр. при испитиваву криве пруге, Koje je апециса х а ордината у, може се тражити да ап- сциса не 6 у де више независна промешьива, него ордината вена; или може се тражити, да се координате криве пруге, Koja je наставним кретавем постала, као Фунвцща времена сматра што се у меканики врдо често догаЦ. Узмимо ^дначину: где je х независна променвива а у Функцща вена. Ако хоЬемо да у OBoj jeAHa4HHH х небуде више независна променвива, него да се на место ве t као таква уведе; (наравно je, да су сад х и у Функцще од t) онда мора бити дата свеза изме^у t, х, у, и то Mehy t и х jeднaчинoм у (t,x) — 0: или измеІ>у t и у н. пр. ^дначимо ір (t, у ) — 0; или изме^у све три промешьиве t, х, у jeAHanHHOM F (t, х, у) — О. Сад нам ocTaje питаве да решимо, шта да ставимо у (1) на место диФеренцщалних количника: dy d*y ' d s y dx ' dx 2 ’ dx 3 79 кад неЬамо да je х независна промешьива, него Функцща од незавнсне променаиве к дакле jacHO, да те диФеренцщалне количнике, треба заыенути другим диФеренцщалним колпчни- цима Функщце у Koja су усмотрену несависне променаиве t узети при Toj замени мора се у исто доба и зависност у од х изразити. До те замене доЪиЬемо на лак начни кад приметимо да je х ф] HKnnja од t и у Функцща од х, дакле по § 23 имамо: dy dy dx —— —— . - или dt dx dt dy dy _ dt } . dx dx dt диФаренцщалимо дал>е jeAHannHy (2) у смотреау независне про- мешьиве t, при том je dt стална вредност, а dx,dy записие од t, дакле диФеренцщ'алеаем леве стране у jeднaчeни (2) имамо: d( d( dy Л dx * ^ dx * dx _ dPy dx dt dx dt dx 2 ' dt диФеренцщалевем десне стране jeAHannHe (2) по § 12 имамо: dx dPy dy d 2 x dt dt 1 ~ dt'df ' s dx 4 2 \~dT ) Ставимо оба израза у виду ^дначине, и ако притом и све- демо добщамо ^дначнну: dy dt 3 ) dx d 2 y dy d 2 x d 2 y dt dt 2 dt dt 2 dx 2 s dx 4 S (.IfT ) ДиФеренцщалеаем jeAHaanHe (3) у смотреау независне промен- ливе t добщамо; 80 d 3 y dx 3 dx ^ dzy ( dt } g dX dt 3 °~di d*x ~dF dx ( dt ) £y . dP ^ dx dy d 3 x ~dT ' 1 ' dt 3 s dx\ [ dt ) Из овога може сваки увидети како се на Taj начни могу наЬи неки виши диФеренпщали. Обшти образди нису нам ни од какве ва^де jep су врло сложена. (а) Ако се изме^у t и остали х промешьиви, свеза шихова у том cacTojn, да можемо ставити x = t, тад имамо: + 8 dy / d 2 x / а‘х у_ dt ' dt 2 dx dt ,i . аг У & 3 y ' ' dt 2 ~ ’ dx 3 и т. д. с тим прелазе пре^ашви образди у следеЬе: dy _ dy _ d 2 y _ d 2 y _ d s y _ d 3 y dx 3 и T. Д. dx dt dx 2 dt 2 dx 3 dt 3 Ако je та свеза изражепа ]едначинон y — t т. j. ако у важи као независни нроммшьиви, или што на іедно излази jeднaчинy y=f(x) вала обрнути у x—f(y)\ £у^_і. _ ö (Р у _ с dt ’ dt 2 dx 3 с тим прелазе пре^ашае ^'едначине у следеЬе: d 2 x 3 sd 2 x Л 2 dx d 3 x . dy _ 1 . d 2 y _ dy 2 d 3 y ^ dy 2 * dy dy 3 dx dx dx 2 sdx \ 3 ; dx 3 ( е?тѴ dy ^dy dy* Из овога видимо, да у ^диачину, Koja nocTOjn за ж и у и у Kojoj смо први пут х као независну промешьиву сма- трали, а ради смо у као промешьиву узети, морамо за dy d 2 y dx dx 2 .... изразе под («) ставити. 6) ПомоЬу ових образаца можемо наЬи непосредно дифѳ- рендщ'аде обрнутих Функщуа. Под обрнутом Функцща f(v) ра- зумемо ону Функціцу од и щу добед'амо, кад ]‘едначину u~f(v) по ѵ решимо. Тако je а обрнута Функцще log х, дала je arcsinx обрнута Функцща sinx и т. д. Примери: 1) Дата je ^'едначииа: у=Іодх ДиФеренцдіалимо je добщамо: т dx äx 1 dx — -- или -— — х dy х , Овде смо досад х као независну променливу, а у као ае- } ну Функцдіу сматрали. Ако хоЬемо да je у независна промен- 1 лива то тад je: имамо по пре^ашаим само заменути dy dx са 1 dx dy 1 _ х dx ИЛИ - — х dy (“) dx dy Но ночем je x~e y , то ако ово у ^'едпачипу («) ставимо добщамо: йеУ W 2) Дата нам je ^'едпачипа: y=zsinx диФеренцщалеаем добщамо: dy — cos x.dx или — cos х : dx овде je х сматрана за независну променливу ако пак хоЬемо, да je у независна променлива онда имамо да ставимо: 1 — F dx 1 dx =cosx или -—- p) ■лГ а У cosx 82 Но почем je x — arcsiny, то je cosx— У 1 — у г ако ове вредности у j одна чину (ß) ставимо, добщамо: (I arcsin у 1 äy ~у I-^ 8) Дата нам je Функцща: y = tgx $У- dx cosx £y dx cosx ,2 По томе из истих тих узрока, као под 1) и 2) имамо и овде 1 dx 1 dy cosx 1 ’ dx „ —— — cosx dy или d arc tang у 1 • äß ~ 1 +У 1 Taj исти папин могли би уцотребитп и за тражеше виших диференцщала обрнутнх Функцща. Развиіаіье Функціуа са jeAinra проленллпшп öpojejt у ре- дове до целим стедеішиа незавнсде промешьиве. § 53. Телѳров образац. ІІосредом npetpuiiMx диФеренци- рчлних количника, или нзводнпх Функщуа виших редова, можемо свану Функцщу развита у ред по целиы стеиенима независне промешьиве. Дата нам je Фуншцца: y = f(x) у § 40 имали смо следеЬе разлике: Уі—у = АУі ; Уг — Уі=Ауі \у» — Уі = А у 2 и т - Д- дал>е нашли смо као разлике другог реда: АУі—Ау—А'у^ АУг-АУі=А'уг, АУі-Аух=А 2 ^ и т. т. и као разлика треЬег реда: А^У—А'У—А^УУ А 1 Уі— А 2 2 /і=А 3 ^ и т- Д- 83 из овога след^е: Уі~У = АУ Уг — Уі-=АУ + А 2 У Уз~У 2=АУ+^А 2 У + А і У и т. д. Ако прве две, после прве три и т. д. од тих )едиачииа сабереыо, а при том одма и неке просте замене учинимо до- бщамо: У —У Уі=У + АУ Уі ~У + 2 АУ + А 2 У у 3 =у+зАу+за 2 у+А 3 у у»=у + пАу+ ■п (п ^A'y+tf п(п ~ 1 ^ п ' 1.2 1 . 2.3 Д 3 2/+ - +А п у Ове )едиачиие представл^у нам вредности ордината из- ражених првом ординатой и разликама аеним првог, другог треЬег и т. д. реда. Израз за у п независан je од CBojcTBa Функ- pnje, и можемо га свагда поставити, ако само Функцща непо- стане 6ecKpajHO велика. Taj израз можемо joui на следеки начни писати: у„— у4-гг Аѵ 4-^ 2 Г— — ^)А 2 у-\-п 3 (— -—-—}д з ?/ + j -г і-м-г \ 2 2п ; j-r ѵ 2 2 и 3 3 n J .+А °у или ако у OBOj ^едначини с десна другог члана са Дж, треЬег са (Дж) 2 и т. д. иомложимо и поделимо доби)амо: Уп=у+{пАА~~ + (» Дж) 2 (-^- — —) +. +А п у Ова )едиачииа nocTojake и онда, кад Дж и п ма како велико будемо узели. 6 * 84 Ми видимо, да изме^у у и у„ имамо іг pacrojafta свако je =/\х, зато je и pacTojaae изме^у у и у а равно и Дж; Ставимо pacTojaae иДж=А; пустимо нека Дж неирекидно па да, а 6poj п нек у HCToj размери расте, ако Дж исчеж.вдву маду вред- ност добще т. j. ако у диФеренцщал dx npehe онда he п бес- KpajHo ведику вредност имати. У том cjynajy Hcne3aBajy у посдедаем реду раздомци — 2 п 2 8 —; — и т. д. с тим предази Taj ред у сдедеЬи. 3 п 4 п ¥ Ру ' L2” 1- ~&х? ¥ + dx " ' dx 2 1.2 1 dx 3 1.2.3 Onaj ред можемо по Лагранжу писати овако 1). y„ = y + f'{x)-\-f‘ (ж) ¥ . ¥ Т1Г~^ ^'іТ2.3"*~ понем je: у =f(x); у„ =f(x-f-h) то можемо ред (1) овако писати: 2) ,.Дж + Щ = f(x) + Г (ж) &+/■•' (ж) ^- + f“‘{x) .. Taj ред под (1) иди (2), зове се Тедеров образад и он je само онда Kpajan, ако je f(x) цела рационална, у сваком другой сдучдіу Taj je образад иди ред бескраіан. § 54 Маклорѳнов образац. т ) т ) Маклераиов образац могли смо наЬн, са том предпоставком, да се функц^а f(x) у ред вида А + Вх + Сх 2 -f- • • • > развита д aje, то пред- ставл^уЬи имамо: (а)_ f(x)=A + Bx + Cx 2 +Dx 3 + Ex‘ + овде су А, В, С, D .. . сталпи непознати сачинители, и аихову вредност определиЬемо ако ^едначииу («) паизменце диФеренцщалимо , дакле: {' (x) = B + 2Cx-f 3Dx 2 +4Ex 3 + . . . f '■ (x)=:2C-j-6Dx+12Ex 2 -f- . f"'(x) = 6D+24Ex +. ставимо у овим ^дпачипама, као и у іедначини (а) х —о добиуамо: A = f(o); B=f‘( 0 ); С~- f"(o); D= ~ f'"(o) Ако ове вредности у дату іедпачииу ставимо тад добиршо Макдо- ренов образац; f(x) = f(o) + xf'(o)-^-xf-' (е)4 1 , 2.3 f"'(o)+ .... 85 Ставимо у телеров образац независну промешьиву х~о тад доби.іамо : 7,2 ъз f(hj=f(o)+hr(o)+— / г “го;+ ш Г"+. зли ако у OBaj ред х у место Ь ставимо добщамо: 1) .... f(x) = f(0)+xf‘(0)+ ~f(0)+ ^f‘"(0)+ . . . OBaj Маклоренов образац, служи нам тако исто, као телеров за развщаае Функщуа у редове са целим степенима ^ променльиви х в Ä. У обште Телеров а и Маклоренов образац 1 6ec*KpajaH je; само за целе рационалне Функцще KpajaH je, jep су сви диФаренціуални количници, irojn су вишег реда, него Haj- I виши степей дате целе рационалне Функцщ'е равни нули. Ставимо у Телеровом обрасцу х~а и h=x — a тад добщамо следеЬи ред: I 2) . . f(x) = f(a) + f'(a) ( х -а)+Г(а)^=^+Г"(а) Образац je (1) посеобни вид обрасца (2) зато OBaj об- ; разац (2) и зовемо општим Маклореновим обрасцем. > а) Телеров и Маклоренов ред или образац nocTOja дотле, докле ; Функцща y^=f(x) као и аени диФеренщуадни количници f‘{x)i : f ll (x)f‘"(x) ит. д. ocTaje наставиа за сваку вредност х ме^у гра- : ницама нрираштаіа Ь т: j: докле свака исчежливо мала промена • независне промешьиве собом доноси и исчежливо налу промену у Функщуи и док се год то cBojcTBO у диФеренщцалним колич- ницима дате Функцщ’е налази, дотле се f{x) или f(x-\-h) под- пуно слаже са CBojHM редом, щи je помоЬу. телеровог или ма- j клореновог обрасца развщен; т. j. Функцщ'а je равна реду а ред Функціи. Ако пак Функпща или іедна од аених изводних за неку вредност х прекидном постане, онда Toj вредности х непрацада само jeднa извесна вредност Функщце, него више, у овом случку неможемо те редове употребити. Овде npiiMjebyjeMO, да сваки добивени ред за OAroBapajyhy f(x) или f(x-\-h) сто донде може биги раван, докле je год ред збирлшв (конвргентан) т: j: докле год се вредност сабирааем више чланова све веЬма и веЬма извесна граници пpиближyje 86 или што на )едно излази, докле год нам могуЬе буде определи- ти двѳ блискѳ границѳ ме])у KojHMa мора лежати па ма колко велики био 6poj чланова тога реда. У неким случаема мо- жемо одма збирвивост (конвергенцціу) реда познати, ако се и. ир- чланови неког реда од извесног члана заиочето све cMaayjy и уіедно се pei>ajy члаиови час са положним час са одречним знаком тад je ред збирвив (види § 29, 30, 31.) s) Не само при употреби Телеровог и Маклоренов обрасда на 6pojuo рачунаіье вредности Функція, него свуда где се год иште само неки извесни 6poj чланова (као што то бива при примени диФерешщалног рачуна на Геометрдіу и Меканику) треба знати погрешку ко)у чинимо кад остали део изоствимо пли барем две границе определити rieh у ко)има та ногрешка лежи. Те границе можемо определити помоЬу посматрава iioje yj одно као треЬи доказ може важити. Предпоставимо да имамо Функцщу f(x) ко)а за h = o тако- (Tfsh) he нулом nocTaje, ocTaje ли диФеренпщални количник —^— Mehy границама h = o и h=h непрестано положан или непре- стано одречан без да безкра)ан буде, то онда можемо казати, да je вредност f(h) Mehy тим границама ташДер положиа или одречна т. ). да Ье та) исти знак имати као диФереици)ални „ äf(h) количник. Докле год —— положну и краппу вредност има df(h) мора Функція за растеЬе вредности h растети: докле год одречену и кра)ну вредност има, дотле мора и Фупкцща за растеЬе вредности Ъ смавиватисе. Дакле Функци)аможе бити због f(v)=v у првом случа)у само положиа, у другом само одречна. Ови за- клучци проста)у чим диФеренцщ'ални количник или сама Функ- ци)а кра)на буде у границама од 0 па до h. Ако желимо Функцщу f(x-\-h) по степенима од h да развщемо и ако се за сад само са првим чланом задововили будемо имамо: f(x-\-h) — f (ж) + Ь п Овде означу)е п неопредевену количину за ко)у се само зна, й. f(x) d х да мора преЬи у чим h = o постане - 87 Нама je задаЪа да определимо две границе Р Q меі)у Kojn- ма п дежи ма за какву вредност од А, усдов je ово: f(x+h)>f(x)^-hP f{x+h) О . f{x+h)—f(x)—hQ<0 По преі)ашн.ем правиду ирва je Функцща (Koja за А= О нудом nocTaje) подокна а друга одречна, ако су вьени дифѳ- реяцщални количници по А, у границами од А— О па до А = А подожни иди одречни без да бескрціним nociajy , т. j. ако имамо: df(x + h) р сГА ‘ f(x) + h-^ r + ~ Р f(x+Ji) О f{x+h)-№- h J£&—^ Q<0 88 По горвем одговараЬе се овим условима, ако je у грани- дама од О па до h диФеренцщални количник прве Функцще h положан, а диФеренцщ'ални количник друге Функцще одречан т. j. ако je: df(x -f- іі) df(x) dh df(x-\-h) dx df(x) dh dh Али овим условима опет се одговара, ако jom ^даред но h диФерендщалимо и ставимо: d 2 f(x + h) dh 2 d 2 f(x + h) dh 2 -P>0 ■Q(і dx 2 dx 2.3 f(x + h)~f(x) — hdf(x ) h 2 d 2 f(x) _ dx 2 dx 2.3 Овим условима одговаре се ако имамо. df{x-\-h) df(x) d 2 f{x) Іь 1 dh dx df(x -f h) df(x)_ _ h ; dh dx. dx 2 d 2 f{x) dx 2 P>0 -Q() и d 3 f{x + h dh s dh 3 Q<0 т. j. ако узмемо за P на^маву а за H HajBeby вредност Kojy Функ- d 3 f(x-\-h) дща има- ■ > ^ — у границами од О па до h. Како се обо посматраве дал>е продужити Aaje, лако je у- видети. Ми можемо услед тога, докле год диФерендщални ко- личници HenocTajy 6ecKpajnn, дату Функпщу по телеровом об- расцу развита, и можемо Taj ред са произволшш члапом пре- кинути, jep смо у ставу две границе определити riehy KojHMa лежи вредност изоставлених чланова; ме^у тим приметити вала (види § 54 под додатком 1) да се диФерепц^ални количниди: df{x+h) dh d 2 f(x-\-h) dx 2 d 2 f(x + h) . df(x + h) 1 к и т, д. неразлику^у од - - dh и т. д. или од dx df(x) d 2 f(x) и т. д. dx ' dx 2 Дакле можемо реЬи, да вредност реда лежи изме^у вредпо- стима ова два израза: h 3 d 3 f(x) . . h ß f(x)+h df(x) h 2 d 2 f(x) f(x)+h- 2 dx 2 V d 2 f(x) + 1,2.3 dx 3 h 3 d 3 f(x) dx dx 2 1.2.3 dx 3 ...+ 2.3..,u, li 2.3.../U Q Овде 03 Ha 4 yje P на]маву а Q Hajeeby вредност Kojy ди- d^f{x) Ференцщални количник dx' 1 може имати, за све вредности промешьиве ме^у х и (х-\ -А.) Из овог видимо да можемо добити врло тачну вредност Ь? реда, ако последвег члана -помложимо са чиниодем щи дежи ме^у Р и Q. Taj се члан зове остатак телеревог реда, Taj je чинилац ^днак са jeднoм од оних вредности щ'у ®унк- cff(x) ди ja dx добща у гранииама од х па до x-\-h. 90 Означило са » ме!>у нулом и ]единицом лежеЬи 6poj, щи у обште ни]о из ближе познат, то онда: f(x + h) =f(x) + hf‘(x) + f" (ж) +^f‘"( x )+ ■ ■ - - + 2з?Г7і fU{ - xJr%h) jecT обшти израз тѳдѳровог рѳда са остатним чланом. Додатак ( .) Ако би хтели Taj ред са нрвим чланом пре- кинути онда имамо: f(x +А) — f(x) -)- h f‘ (x -f *h) OBaj ред можемо на сведеіш начни геометрщиским путей извести : Сл: 4. Нека je у = (х) — Р№. ордината криво пруге, а х — ОР вена апсциса. Узмимо на anpncHoj оси комад PQ=li тако да je OQ — (x+h) онда je ордината NQ = f(x-\-h) из слике видимо да je: а) ... . N(J=f(x-\-h)~f(x)-\~RN 91 Повуцимо сечицу MN то Ьемо наЬи из троугла MNR да je: RN—h.tgNMR ако ову вредност ставимо у ^дначини («) добщамо: ß) . . . . f {x-\-h)^f{x) -\-htg NMR. Предпоставл>ц'уЬи да je Функціц'а наставна (континуална) то онда морамо на itpHBoj пруги взмечу М и N такову тачку S наЪи, ако у Toj тачки дирку АТ повучемо, мора да je равпо- одсічуна са сечицом MN с тим je угао TSW=NMR. Апсдиса О V те тачке S jecT вредност лежеЬа измеі)у _х и x-\~h Kojy можемо са x-\-»h означити , а ордината 7S = f‘ {х -\- * Ъ) дакле тригонометрпщска тангента угла TSW щу дирка са анс- дисом гради има по § 2 вредност f (х -f- # h) дакле имамо: tg NMR = tg TS W= f‘(x + *h) ставимо ове вредности у у'едначину (ß) добщамо: f (ж + h) = f (x) -(- h f (x + * h.) Obo je као што видимо телеров образац са остатком пре- кинутим првим чланом. Додатак ( 2 .) Оетатак тѳлѳровог и маклорѳновог обрасда. Коши je оетатак телеровог и маклореновог обрасда представио у особеном виду, Kojn се добщ’а на следеКи начни. Означимо са ср (е) израз: X—Z 1 ГМ—^ТЗГ-ГМ"- (х~гГ~ 1 1.2.(м—1) /■( п ~ х \е) OBaj израз исчезава за е = х; диФеренцщалимо OBaj израз по z и изоставимо оне чланове Kojn се Mehy собом yHHHiTaBajy, то имамо: <р‘(х) = x~z”~ x 1.2 ...(п—1) Почем je 0 = х + (# — х) то са употребом телеровог обрасда ограничена на два члана добщ'амо: Ч> ( z ) — <Р (х) + (в~х) . у 1 [аН-Ѳт (s -х) } 92 Овде je fl-j 6poj itojn ме^у нулом и je 4 aH лежи, због ивом по телеровом и маклорѳновом обрасцу. § 55. РазвЕцавѳ стѳпѳнѳ Функциуе у рѳд. Дата нам je таква Функщца: у = х но § 41. имамо: 93 dy — m x m ~' dx или d 2 y=m(m—\)x m ~' 2 dx 2 , d'y—m[m— 1) (m—2 )x m ~ s dx i dy_ dx — f‘{x)~mx m * d 2 y dx’ 2 = f“ (x)=m(m — 1)ж т 1 d s y dx 3 =f‘"(x)—m(m —1) (m— 2x m ~ d"y = m{m—\){m—2) .[(m— (n— 1)] x m n dx"; иди: - A-|-= /""(а;) = m (m—l)(m—2).[m— (n — l)]#" 1- ” Ставимо вредности за f‘(x),f“(x), f" (x) и т. д. у телеров образац са остатком тад добщамо: (x+h) т = х т + тх т ~Чі-\- яг~*Іі 2 + т{т — 1 ) (т—2) -Г. 2ГЗ * Іі + . _m(m— 1) ( т— 1 .2) .. [от— (и —1)] ^ щ т -„ Ако je у oßoj jeднaчини изложите.^ т разломай или одречан, то je онда та] ред 6ecKpajan. и само je онда apajaH ако je т део положан 6poj т. j. ако je евакн следеЬн члап ман>и од непосредно предходеЬег (види § 82.) дакле ако je: А X т — п »+1 <1 или h п- 1- 1 х т—п Апсолутна вредност размере, оетаіѳ за врло велико вредности п увек ман.а од іедан, ако je Амаве од )едаи, Обе границе х Mehy Koj има остатак реда лежи смавуіу се а кад се п у веЬава, и те гранаде као сам остатак исчезавъ у ако je и==ос; дакле je ред 6ecKpajaH. '-\-тх т '1і-\ т(т —1) 1.2 2 h 2 + т(т —1) (т- 1.2.3 А) х т ~ :і іі з + ... 94 Конвергентан и раван (ж-|-Й) т . Ако je пак — >-1 онда je х Taj ред дивергентан. а) Ако пре^ашвьу jeAirannny са х"' на обе стране поделимо, х х на место — ставимо добіуано: , л , ч щ , | , т(т— 1) 2 і т(т—1)(т—2) , (1+ж) —\-\-mx-\ --—— х 2 -\ - 4 2 3 -+. + т (т-1) (т-2 ) ( т-3) .. ._. | 1)J (1 + OBaj ред биЬе за п — оо öecKpajan, само онда KOHBepryje ако je х< \ и х^> — 1: У предходеЬем je садржан оншти доказ Невтоновог бнном- ског правила, Koje смо веЬ при диФеренцщалеіьу употребили. § 59. Развщ'аше логаритама у ред. Дата нам je Функцща. y—f(x) — logx по § 42 имамо : dy = — dx или X d 2 y=- — — dx 2 x l d 3 y= —— dx 3 x 3 dS) = -2.3 (XX X dx l f х 2 fp y 2 с Ix 3 ’ { ’ x 3 dx i I Ж 4 X X 95 Ставимо вредности за f(x), f'(x), f 11 ix) ... . у телеров обращай, добщамо: h _^_ х Іод(х -(- Ь) = log х + 1 і J_ ' 2 х і + 3 й* . Ä" -. . . . X--- 3 п{х+ш)" Узмимо да je у овом реду х=1 и пишемо х на место h то добщамо: х" 1 СС^ а)... %( \+х) = х - -_ + п (1 -f -'в'Ж)" Oßaj смо ред веЬ зедаред у § 35. развили и тамо je речено, да je он збирльив само донде, док вредност х оста je меі>у гра- иицама +1 и — 1. Ако у Taj добивени ред за логаритме ставимо —х наместо + х тад добщамо: ß) — %(1— ®) = -М + Х ~2 ^ Г + 4 Ако обе jeдцaчинe саберемо добщамо: log 1 1 + - =2 (х + X 3 X 5 . х 1 . —. -J- ____ -| -j- •) Помогу ових образаца можемо лако иоказати, како се ло- гаритмиіиске таблице panynajy као што смо у § 35 под {а) веЬ видели. § 57. Развщааѳ корѳнѳ Функци^ѳ. Дата иам je Функцща: y = f{x) — T/x ако ову Функщцу по § 40 виіпе иута дііФеренцщалимо добщамо. Фу 3 2у х *.= rw =_4= d2y —s'(x)=- 1 dx 1 4 ~/x 3 dx 3 d'y dx 4 —f"(x) = — f‘‘ u (.*) = 8Ѵж 5 3. 5 16 ixl ставимо ли ове вредности у телеров образац добщамо: («). — . h ух \-Ъ — Ух -\ -— 2 }/ х h 3 5А 4 W 8ж У х + 16а? у х 128а: 4 У х 96 Ho noneMje У ж -f-'A = (ж + 1і)т и ако OBaj израз по би- номском правилу развщемо добиіа исти ред («), дакле je OBaj ред по § 55 конвергентан, ако je апсолутна вредност количник h _>1. са х - о OBaj je ред неупотреблив. х § 58. Развизааѳ алгебразскѳ Функци^ѳ. Дата нам je Функціуа: f(x): Ъ +ж Ако ову Функцщу више пута диФеренциіалимо имамо: а , ч 2. 3 а {Ъ +xf 2. 3. 4 а f ( ж ) : f“(x) = (b+x) 2 2 а f“‘ О») = — f““ (х) — (6-| xf ' w (6+ж) 5 Заменп мо ове вредпости у телеров образад добіуамо: а а а , , 2а № 2.3 а № Ъ-\-х-\-1ъ Ъ-\-х ф-\-х) I 2.3.4« (6-М 5 ) ' ставимо ж=:о то имамо: а _ а а ъ \ а Ъ 2 -Ä + Ä 4 (Ь+х) 3 - 2 (6+ж 4 )2.3 2.3.5 а з.» ■ а Ъ* * і) 5 /,5 _ П 1 • • • Узмимо у OBaj ред h са х, добіуамо: а T+h а 17 ‘-f+M’“ ф ЦУ- - OBaj ред могли смо добити непосредном деобом а са (&+*)■ § 59. PaBBajame изложитѳлнѳ Функцизѳ.’) Дата нам je Функщуа. g=f{x) = a x •) OBaj ред за изложителву Фувкц^у могли смо добити помоЬу Ма- клореновог обрасца на следеЬи начни: ставимо у извадним Фуикціуама х—о то добщамо: f(o) = l; f'(o)-log; f”(0) — (log а)*; f'" (о) = (log а)*; f''" (o) = (Ioga)* ставимо ове вредности Маклоренов образад добщамо: а х = 1 + loga -у— f- (loga) 2 +(loga) 3 уХз” +. 97 по § 43 имимо: dy — а log а dx d 2 y = а х ( log а) 1 dx 1 или d 3 y — а ( log а) 3 dx 3 d l y — a x (log a) 1 dx 4 а. Ако ставимо а= е тад ред (и) прелази ѵ: :1 -\-Х- 1.2 х г /^4 и + 27374 + ' Ставимо ли у onaj ред х=\ то Ьемо за 6poj е добити вредност Kojy смо нашли у § 34. § 60. Развиуааѳ синуса у рѳд. Дата нам je Функцщ'а. y = f{x) = sinx у § 45. нашли смо: f’(x) — cos ; f ,, (x) — — sinx ; f‘“(x)=—cosx f“ ‘ (х) =sm х ; р> (х) = sm ——- - 7 98 Ако ове вредности за s(x),s‘(x), f‘“(x) ставимо у тедеров образап, добщамо: sin(x-\-Ji) = sinxcosxh — J mx 1і 2 - C - 0S х Ь 3 2 2.3 г COS^X —(— «■ Ä—J— ^ + Sf*+ .+ 2.3.4 . п -Jf Но почем вредност синуса ма ког произвольное лука дежи увек меі)у —1 и —|— 1, то онда чдан щи остатак тог реда сачиаава , Ä" , h" дежи ме^у границама-——-- -- дакде оваі 2.3.4.. и 2.3.4.. п je ред збирльив за свану вредност х и h. Ставимо ди у горшем роду x = Q и у место h напишимо х тад добиЪемо onaj исти ред ког смо у § 36 другим путей нашли дакде. sinx=x- аг + ■ 2.3 ' 2.3.4.5 2.3.4.5.6.7 За OBaj ред, щи je увек конвергентан, имамо сватда две границе, меі)у щима лежи вредност реда, ако само ред прекинемо наизменце са положним и одречним чланом. § 61. PaaBHjaae косинуса у ред. ѵ Узмимо такву Функцщу: у — f(x) = cos х у § 45. нашли смо : f‘(x) = — sm ; f“(x) — — cosx ; f“‘ {x)—smx: f‘"'{x) — cosx ; (x)—cos | x -\— сад но телеревом обрасцу добщ'амо: cosx cos (x -\-h) — cosx—sin x h - h 2 - cosx ,, -J_ , /l' 4 - - cos (x -j- ф h- smx ,, , —— /г -j- 2.3 nn 2.3.4 , + 2. 3. 4. n h" 99 За OBaj ред важи оно, што смо у § 60 казали за ред синуса. Ако у oeaj ред 2 = 0 ставимо и пишемо х на место А тад доб^амо: cosx = 1 х г х* ,х е , 2 + 2,3.4 ~ 2.3.4.5. 6 + § 92. Развизан-ѳ Функці^е arcsinx. у ред. Дата нам je Функцща. у = f{x) - arcsinx по § 47. имамо: f‘{x)=- 1 — (1 — а?*) *. f“ (*) =%(\ —х 1 ) Ѵі- р"(х)-(1=х г )' 1 + Зх г {1-хг) 2 р‘"(х)=-9х(1—х г ) 2 -)-15ж 3 (1=а4) ; ' 2 f"‘“(x) = 9(1— 2 2 ) 7Г + 90 а- 2(1 _ 2 + 7,15 2 4 (1 — 2 2 ) Т Ако у овим нзводним Функпщама узмемо 2 = ндобщамо : f( о)=о; / ѵ (°)= 1 ; /■"(о)=о: />"(о)=1; /'""(о)=о; / ѵ ""(о)=9 и т. д. Ставимо ове вредности у маклоренов образац тад добщамо тражени ред за arcsinx кота смо веЪ у § 38 развили на други начин, дакле: 1 ) х .arcsinx — — 1.23 273“ 1. За; 5 1.3.52' 2. 4.5 + 2. 4. 6. 7 У колико смемо OBaj ред употребити, о том решава гранична вредност размере, од два непосредно следеЬа члана дакле: limes ( 2 п — 1 1 п 2ѣ — 1 2п -\-1 2 2 22 ако je ова гранична вредност размере майа него зедан, то онда мора 2 лежати изме^у —Іи Д-1. Ставимоли arcsinx = z тад je x—sinz и онда ред (1) до- 6nja вид: sinz 1 sin 3 z 1.3 .sinz i “1 ^~~2 3 1 2. 4. 5 п п где je — >*>- ^ l.S.bsinz 1 2. 4. 6. 1~ T 100 Ако Синус тако узмемо, да вему 04 roBapajyhn лук неки извесии део^кружне пруге сачивава, онда образац (2) можемо употребити за израчунававье 6poja п. § 63. Разви^ате arccos х у рѳд. Даби ред за arccos добили, нужно нам je да се позовемо на образац: arc cosx = - - arcsmx Ако овде заменемо вредност за arcsmx из § 62 добщамо: п х іх і 1.3а? а) . . arccos х- 1 2.3 2.4. 5 И за oßaj ред мора х лежати изме^у —1 и +1. Ставимо arccosz — тад je x^sinz, и онда ред («) нріелази у. _ п cosz l.cos 3 z l.Scos 5 z г 2 1 2.3 2.4.5 ''' ' п . п г де je — > в > — y ; § 37. Развиіаве функцецѳ aretgx у рѳд. Дата нам je Функцща: у =f (х) = arctgx дакле x—tgy — smy cosy по § 22 имамо: dx = f‘(x) = 1 1 -(-а; 2 = cos xf Ако OBaj израз више нута диФеренцщалимо и при том свагда на AecHoj страни у као функцщу х сматрамо, добщамо: <£у_ dx % 2cosy.siny dy dx cos y.siny .cos у 1 = — sin 2 у .cosy 1 10 d 3 y_ dy — 2(cos 2y.cosy 2 —sin 2y.cosy.sin у ) dx 1 dx 2cos3y .cosy 3 d l y dx x ■2.3(sin3y.cosy-\-cos3y.cosy l .siny) = 2.3 sin 4 у . cos у =2.3.4scos Ay.cosy 1 —sin Ay.cos y 3 .sin у )—- = 2.3.4cosh y.cosy 3 dx 5 dx ставимо ове вредности у тедеров образад добщамо: }і г h 3 arc tg (x-\-h) =y-\-cos у .cos у h — sin 2 у. cos «у 5 — - cosiy.cos У % ~^- + -f- sin 4 у cos у 1 cos 5 у .cos у 3 h 3 т Ова ^'едначида Да^е нам дук, 4H.ja je тан^ента —x-\-h изранена дуком, кома je тані^ента —х. Ставимо у ту ^дначину х — О, уіедно и у = 0 ъ место h иишимо х добщамо: /у»3 Л|5 1). arc tg х= х — f —-— -f . Ако je гранична вредност кодичника из два оближаа чла- на т. j. limes ( ‘t П , I х- ) = ж V 2w-f-l ' ман>а од jeAaH, онда мора х дежати изме^у —1 и -+-1. Ако je ж> 1 онда неможемо образад (1) у потребите него се тад помажемо овако: Нека и означуіе дук у npßoj четвр- тини а х іьегову котан^енту, онда имамо со tg и = х и t д и = — иди обратно: 102 u = arccotgu\ и = arctg — x Из овог следуіе, да су Функіще arccotgx и вегне и ми можемо ^едначину: arctg — исто- х arc tgx-\- arccotg х = 71 ¥ заиенути са: arctg x-\~arctg —: х п т 1 За ж>1 — -<1 у том caynajy можемо употребити образац х (1) за развщаае у ред за ж>1 имамо следеЬи израз: ставимо у ^диачиии (1), х—\, тад je arctg ¥L- ц тад je: _ 1 _ 1 _ 1 _ 4 — 1 3 + 5 + Oßaj ред нще удесан за 6pojHO рачунаае 6poja п, jep би морали врло велики 6poj чланова употребити’ бол>е обрасце добщамо ако — у два или више дела (лука) разделимо и сва- 4 ки део за себе израчунамо, тако имамо н. пр. -- — arctg j + arctg -і- ~ = arctg -і- + arctg -і- + arctg ^ 108 и овде можемо сваки лук за се претворити у брзо смааив-а jyba ред. Телеров и маклоренов образац за Функцщіе са два и више нроленливих брсуева. § 65. Тѳлѳров образац за Функцще са два промешьива 6poja. Нека je. u~-=f(x,yj у опште таква Функцщ'а са два ме!)у собом независне промен- л>ива 6poja. Узмемоли у OBoj Функцщи x-\-h место х, а у као сталан 6poj, и развщемо ли по телеровом обрасцу за Функцще jeAHor променл>ивог 6poja, тад добщамо нову Функцщу, Kojy Ьемо са и означити, дакле: «+(—) *+(А^)—+(—)*' + ^ d х ' ^ dx ^ 2 ^ dx 3 ^ 3 ct).f(x-\-h,y)=u' ~ Ако у oboj’ jeднaчини узмемо у-\-к место у, а х као сталан 6poj, и означимо нову Функцщу са и" тад добщ'амо по истом обрасцу: . ( d 3 u'\k 3 +V-5r> i+ WJir+<. = V + äy* J 2 ß) - f(x J r h,y-\-Jc)=u , ‘—u' где h и h два произволна npnpauiTaja означуіу. ^ИФеренцща- леЬи jeднaчинy («) по у добщ'амо: ( /<***. /-и* ** Ѵс£г)| ( vcte'v) h 2 dy 1 dy ^2 диФеренцщалну размеру. /чГгЛ пред- jaMo ако Функцщу само по у диФеренщцалимо; dy ставл.а диФереицщалну размеру, Kojy добщамо, кад Функцщу и jeдapeд веК по х диФеренцщалеау join ^даред по у диФерен- пщалимо. То двоструко диФеренцщалеае oenanyjeMO као што 104 ( d 2 u\ а лп d 2 M ( I смо у § 49 видели са ^ ^ , тако дакде (._~р~/ п Р е Д - . д ^ , ставка троструко ді]<і>еревціца.іей>е Koje означуіемо са -_- dx 2 . dy и тако дал>е. Ако ово просто означеье употребимо предззи уедначина у) у следеЬу: I du' | I du \ / d 2 u | ^ I d 3 u \h 2 ( dy j \ dy | \ dx.dy J 1 ( dx 2 .dy j 2 ДйФоренцщ'алимо ову ]'едначину добщамо: С d 2 u‘ \ | d 2 u \ / d, 3 u \ V d y 2 ) l dy 1 I \ dxdy 3 ) I d 3 u‘ j_ I d s u \ и T. Д. Ако овѳ вредности, као и вредност за и‘ ставимо у іедна- чииу (/У) тад добщамо тражени тедеров образац: г, , 7 7 , .. А 2 и /? А 3 и Р А^и^ /А , f(x+ t,y + с)—и — «+(^) к + +(%’)28+(й7 4 )2Т4 + , А и , d 2 и d 2 и ^Ы’ 2 Ѵй xs l \dx . dy) \dxAy 2 ) 2 А 2 и 1ъ 2 s d 3 u , 1і 2 к + АЛх 2 Ау) АГ + ‘ " А 3 и W ^ (.da? 3 2ТЗ + ‘ " Из овог видимо како се предходеЬи ред и тад применити да^е, кад дата Функщца има више него два независна промен- д>ива 6poja, kojh у исто доба могу добити производно при- pauiTaje. § 66. Маклорѳнов образац за Функци^у вишѳ нѳзависних промѳшьиви. ПредходеЬи тедеров образац за Функцще са два 105 независна променл>ива 6poja , даіе нам Маклоренов образац, ако ставимо х—0\ у — 0 и ж на место h и у на шесто к: ,, ч , , С ^ и О f(x,y) = u 0 + ~~г~У + Г 3, г и а у 3 <14 + dy dx di/ d 2 u n , d 2 u° xy 2 ... 41» X y -(- - dx.dy dx.dy 2 dy * 2.8 cft/ 1 + ... + cf 2 «< x 2 dx 2 2 сГм 0 ж 2 ?/ + dx 2 .dy 2 d 3 u 0 x s dx 3 L3 3.8.4 + • Овим редом служимо се за развщаве Функщуе f(x,yj са два независна промешьива по степенима х и у. Овде су du n du , dx d 2 u 0 dy dx 2 и т. д. оне вредности du du , . . , . . KOje w, ^ доодіауу над се у исто доба стави ж = 0, у — 0. Примена диФеренцщалног рачуна па Teopnjy кривих пруса у равнини. § 67. Знаци да je крива издубдѳна, или иепупчѳна (сопсаѵ сопѵех ) према апцисноі оси. Чим нам je дата каква крива у равнини, то je прво пнтаае дал та расте или пада, jep из ньеног растеньи пли падааа можемо дознати вид иьен. Ако крива расте онда je следеЬа ордината веЬа од предходеЬе; обратно ако пада, онда je следеЬа ордината маньа од предходеЬе. Ако су х и ж+Дж; и y=f(x), u-\-f\u — f(x+ Дж) кординате две оближае тачке на дат<д itpnBoj, онда можемо дознати из разлике: ' А y—f{%-\- Ax)—fi x ) l) дал крива расте. Ако je та разлика Д«/ положна, онда дотична крива расте, ако je одречна онда пада. То je знак по коме дозн^емо растенье и падаае криве, но почем смо Д ж као по Ч Вида § I, 106 дожну вредност нредпоставнли, то можемо и овако казати ако je количник: Ау _ /\ж 4-Аж) — f{x) Дж Дж положан, онда крива расте, ако je одречан онда крива пада. С прелазом на исчежл>иво мале вредности до § 1. имамо: dy dx = f‘(x) И сад правило гласи: функцща f(x) и уедначином y = f(x) представлена крива, расте или пада према томе како je дифе- ренцщални количник или арва изводна f'(x) положна или од- речна. Геометрщским путей одиа се о том можемо уверити, само ако се ономенемо ^дначнне tgs=f(x) у § 2. Ако je у Сл. 5. OBoj ^дначини прва изводна f‘ (ж) положна онда je и Г =TSX положна вредност, дакле дирка TS Сл. 5 лежи на лево. и по том крива расте; ако je f'(x) одречна онда je и Г одречна вред- 107 ност — — T‘S‘0 и дирка Т8 1 лежи на десно или npßoj про- тиву-положено, дакле крива пада. Узмемо ли за х такву почешу вредност да f'(x)=:0 постане стим и Г = 0 онда je дирка (у тачки А) равно-одстоіна са апсцисном осом. Узмемо ли f 1 (х) = °о, онда je Г = 90° и дирка je (у тачки В), равно-од- CTojHa с а ордииатном осом. а.) О исауичености ( сопѵехіШ ) и о издублености ( сопса- vitet) кривих круга. Л.ежили део криво РР 1 Сл. 6 тако да je вена испупчена страна апсцисшу оси окренута то онда значи да Taj део, дотичне криво лежи Mehy веном сечицом PP“ и апсцисном осом. Напротив лежали део криво РР‘ Сл. 7 са издубженом страной окренут ancpncuoj оси , онда сечица лежи ме!)у кривом и апсцисном осом. Узмимо у половшій сечице тачку Q и повуцимо кординате за тачке Р, Q, Р" то je за испупче- ност дотичне криво: Сл. 6. М‘ Q^> Ш' Р‘ или ако je: М‘ Q — М‘ Р' положна вредност. За издубл>еност пак: 108 Сл. 7. М‘ Q < М‘ Р' иди ако je: M’Q — М'Р' одречена вредност. Нека je ОМ—х, ММ' = Аж и ако се на то обазремо да je M'Q аритметска размера измеі)у МР М"Р" онда можемо казати крива прута окренута je оси CBojoM испупченом страной, ако je израз: f{x) + 2Ax+f{x) -Аж+ДФ=т№ч- 2 Дж)— 2f(x-{-Ax)+f(x)] подожан; ако je пак Taj израз одречан, онда je крива cbojom издубл>еном страной, окренута ancu,Hcaoj оси. Но ночем издубл>еност и испупченост те криве записи само од израза што je у загради, (jep je Дг 2 увек подожно), то се можемо посдужити и количником f(x+2&x)— 2/(ж4-Дж)+Дж) Дж ако je OBaj кодичник подожан иди одречан, то je онда крива са CBojoM испупченом иди издубл>еном страной окренута ап- 109 сцисшу оси. Пре^имо ка исчежл>иво малой то je онда Taj ко- личник раван =/" (ж) давле испупчена страна окренута je aiiCH.llCHoj оси ако je f"(x) положна, а издуб.ьена ако je /"(ж) одречна. Обо исто можемо употребити и онда, кад крива под апсцис- ном осом лежи тад су ординате РЖ, Р‘М‘, M“ Р‘, Ж‘ Q одречне и по томе важи одричан знак у f"(x) за испупче- ност а положан за издубленост. Ово се дaje са npehe реченим у jeAaH став cnojuTH Kojn гласи: Крива ируга представлена уедначином y=f(x) окренута je исауаченом или издубленом страном аасцисно] оси, арема томе како f‘(x) f u (ж) уеднаке или разне знаке има]у. Ако f"{x) за почеену вреност х исчезни без да f{x)=0 ио- стане то je у Toj тачки те криво прелазак из испупчености у исдуб^ьеност или обратно. Такве тачке зовемо обртне тачке. Како се помоЪу ових правила крива испитое, показаЬемо на jeAHOM примеру. нека je дата функщц'а: у 1 — х 1 х 5 = 0 или 1),... у = х г у 1 —х 6л. 8. У по Ова іедна шна представка криву пругу петог степена, ако од ове уедпапппе по § 40 више диФеренцщ'але тражимо добпуамо^: 9Л dy 4ж— 5ж 2 ж(4—5ж) . dx ~ 2 ~ "2 3 ) _£!» — 8 — 24а 4 15ж ' 2 . dx * 4 У Т^Г Почем у уедпачппп (1) можемо корени знак положно или одречно узети, то одтоварауу CBaKoj ансдиси две уедпаие и про- тиву положене ординате, дакле крива cacTojn из два подудара- jyha али противу положена дела. Сматра,що само OHaj део Kojn положном кореном знаку одговара. Почем je ж 2 увек положна вредност то остауе и производ х г Ѵ 1 —х са учиаевом нред- поставком положан, дакле лежи r raj део на je4H0j страни И то над апсцисном осом. Taj комад je истан донде докле год 1—ж ; положно испада, дакле од ж = — со па до ж = -j- 1 и има са апсцисном осом две тачке з^еднички, jep за ж = 0 и за х~ -)-1 увек je у — 0. Из ^дначине (2) видимо, да je прва изводна f‘(x) одречна од ж=0 па до х— — оо а положна од х — О па до х — -~- и има у тачки {х = -j ; у — Ц V т хоризонталну дирку, а после пада од х = 0 па до гс = -f- 1; у OBoj послед^' тачки дирка je одвесна. Из у'едначине (3) видимо да f“(x) положна ocTaje од ж——со па донде где први пут 8 — 24ж+15ж 2 = 0 бива т. j. до х = 12—2 V 6 15 = 0,4735... а од ове вредности дал>е je f u x одречна донде док 8—24ж 2 15 ж 2 —0 т. j до ж = 12-1-3 V 6 15 = 1,126... у овом последвем cлyчajy у je мнима и неморамо je у обзир узимати; дакле крива je испупчена од ж=— ес па до ж—0,4735.. . а издублена je од ж = 0,4735 па до ж=1. По овом мора нам jacHO бити каквог je вида крива, Сл. 8 представка там Taj комад криво, а OHaj други лежи иод апсцисном осом. 111 § 68. Изрази за дирку (тані>ѳнту), управну (нормалну,) поддирку (суптан^енту) и подуправну (субнормалу). Крива je пруга у равнини изражена, Функщуом: yf={x) или f{x,y = 0) Узмимо правоуголяи кординатни систем, у тачки н. пр. С те криве, чще су кординате АВ = х\ BC~y = f(x) т;ажи се дирка (тані^ента) и управна (нормална) на ту криву. У тачки С, повуцимо дирку РЕ, и управну CD , продужимо обе нраве до пресека апсцисне осе у тачкама Е а D, одсеченп комад 6л. 9. ВЕ на апсцисноі оси зове се субтан^ента, а комад BD субнормала. Определиваіье дужине субтан^енте и субнормале, као и правда тан^енте и нормале зове се обично тан^ентна метода. Ставимо АВ—Х-, BC—y = f(x)-, GH=s: пустимо да х прирасте за исчежл>иво мало äx = BR— CN услед тога и у за äy = NM, и »значимо СМ са äs. Тим добщамо из троугла С N М слила 8. 112 tg Г — tg MCN — dy_ dx дал>е je по потенотовом правилу: ds=Y dx 2 -\-dy' i . „ du „ (Ix , . sm i — ——; cosi = —— ; tg i ds ds dx dy , _ es# ; cogt r —- dy Дал>е из нравоуглог троугла GBE имамо: У У -=tg! дакле je St=^ tg! -sim „ s = _ У т smi из првог у голног троугла GBD с-гьеду|у У ■ЛдС дакле je ,S„ = у tg , У_ N — COS I N-- У COSI Ако у овим ^'едиаиииама заменимо вредност за sin, cos и tg добщамо. ТанЬента РЕ=Т—у-^~: Субтан^ента.Е1?=£Г=2/— dy dy Нормала GB=N=y ~~; Субнормала BD = S u =y —~— Заманимо у овим ^диаиииама где ds долази са аеговим вредности то добщамо тражене обрасде. I) .... Т =уѴ 1 4 . г L dy 2 . . . . S t — y dx dy 3).... J=/ 1+ sif ; 4) \ dx J • • • • — У ,1 dy dx 113 а) Примена тих образаца на параболу, ^дначина je параболе : у 2 = 2 рх Ако диФеренцщалимо ову іедначину добщамо: 2ydy = 2pdx или йу _р_ dx у («) Ако ставимо вредное? из («) у образцима 1), 2), 3), и 4) то добщамо; Т—у V і ( 1_\ = 1_і/Р 2 + У' г ^ Р J Р N. =» Ѵі + (JL)’=l/ä''+i' 2/ а . У 2 2р X _ St=—~=— — — 2s т. j. р Субтаигента je равна ABoryöoj апсдиси. ' S„=y — У =Р Т. J. Субнормала je равна параметру параболе, дакле Субнормала je стална. Ако хоЬемо правац дирке (тан1>енте) да знамо, треба само за у разне вредности узети, ако je у —о (види Сл. 8) онда j е dy dx -Jgi = oo т. j. дирка у темену параболе, ciojn одвесно на ancqncnoj оси. Ако ставимо y — os онда je dy . „ я — tgi —о т. J. dx дирка Koja jeMH крак параболе дoдиpyje у безконачности равно- одс^на je са апсдисом. Ъ) Примена на Бѣлову параболу. -Іедначина je : X* —р у 2 8 114 Кад диФеренцщалимо добіуамо: Вх г йх — 2 pydy иди dy 3 х 2 dx 2ру Ако ставимо ову вредност у ^дначини 2) и 4) то добщамо: _ у.2ру _ 2 ру* _ 2x s * Вх 2 Зж 2 Зж 2 2 т ^ т. J. субтангента je равна -£ апсдисне осе. а 3 х 2 у Вх с) Примена на Едипсу. Іедпачина je единое, Kojojjje ночетак кордината У сре- дишту ово: a 2 z/ 2 -j-ö 2 -x 2 —a 2 b 2 Где а и Ъ 03 Ha 4 yjy половину ведике и маде осе единое, кад диФеренщуадимо ту j ед начину единое добіцамо: 2a 2 ydy-\-2b 2 xäx — 0 иди . dy Ъ 2 х «) •, • -£- = -— dx а у Ако у OBoj jeднaчини х — 0 ставимо, онда je dy_ dx — О т, j. дирке у KpajHHM тачкама маде осе jecy || са ведиком осом Узмемо ди х~+а онда je у ~$ и = + т. j. дирке у Kpaj- ним тачкама ведике осе управне су на ау. Ако сад повучемо поводьан пречник у единсу то Ье аегове Kpajae тачке имати Однако ведике кординате са противпим знацима, дакде за обе х dy Kpajae тачке пречника одноша] координата — а тиме и —- имаЬе исту вредност са истим знаком. Из тог видимо да су дирке у KpajHHM тачкама ма ког пречника je дна друщ равно-од- CTojae. Даае ако из jeднaчинe «) у образац за Субтангенту и Субнормаду заменемо добщамо: 115 Сл. Ю Субтангепта В E — — х Ъ г Субнормала BD — - -х а 1 Из чеги видимо, да je Субтангента од ординате у и од мало осе независна. Знак субнормале записи од знака х т. j. KpajHa тачка D субнормале, и тачка С те криво налазе се на HCToj страни апсцисне осе. d) Примена на хиберболу. -Іедначина je хиперболе где кординате у средишту почивьу ово : «).... а г у г — Ъ г х г =. — а 2 Ъ 1 Где а и Ъ Сл. 11 oanaiyjy половину оса. ДиФеренцщалеаем добщамо: dy Ъ 2 х dx а 2 у За у=0 биЬе dy_ dx «о, дакле дирка у теме од хиперболе 8 » 116 CTojn одвесно на велику осу. Права пруга С С‘ што кроз сре- диште А пролази зове се пречник. Кординате Kpajnnx тачака тог пречника HMajy ^'еднаке вредности са не ]'еднаким знаком. Дакле размера а стим и —— за обе краіае тачке С я С. у ах Сл. 11. има леднику вредност са іеднаким знаком. Из овога видимо да су дирке кроз крайне тачке пречника равно-одсто^не. Ставимо вредност из ß) у St S a добщамо: BE=St=x- — ; S„=BD=—x х а почем je АВ — х апсциса тачке С то je: АЕ=АВ — ВЕ— х Ако овде х расти, онда се додир^у^а тачка С од почетне тачке А удальава, стим бива АЕ све маае и маае. О? Ако je х—оо онда je - — О дакле АЕ=0 с тим про- х лази дирка кроз средиште. Такова дирка Koja хиперолу у без- коначности AOAnpyje и кроз средиште пролази зове се Асимтота 117 хиперболе. Да би правац асимтоте добили, заменимо вредност од у из іедначине («) у іедначини (ß) онда Ьемо имама: dy Ъ х _ Ъ 1 dx а л/х г — а 2 Ставимо у ово] іедначини ж = оо то je онда ^ )=° дакле dx а Ако je AF- Асимтота то мора по овом бити: -p-=tgFAB= — dx а Повудимо у теме S хиперболе одвесну SF на Ах Koja Асимтоту у F сече то мора SF— Ъ бити jep je! . ѴАа FS Ъ fang FAS — —— АЬ а § 69. Тражѳае іѳдначинѳ за тангѳнту и нормалу іѳдне кривѳ. Нека je y=f(x) или гр(х,у)=о іедначина неке криво. Координате іедне тачке С те криво нека су х, у, кроз ту тачку Сл. 12. 118 треба да повучемо дирку СЕ я управну (нормалу) CD и й>ене ^едвачвве да на1>емо. ^едначина праве пруге може се свагда свести на OBaj вид. а) .. . у‘ — ах‘ + Ъ У Kojoj х' у ' 03Ha4yjy нокретне координате іедне тачке те праве. Кад диФеренцщалимо добщамо. Дакле je чинилац а у ^дначини праве пруге тригономе- триіска тангента угла, uojy права са апсцисом сачиаава. Ако хоЬемо да та права пруга Koja je jeднaчинoм («) приставлена пролази кроз тачку С те криве, онда Mopajy кор- динате х', у' преЬи у кординате тачка G те криве тако ймамо: ß) .... у = а х + Ъ ако одузмемо ову j ед начину од jeднaчинe («) добщашо: 1)- у' — у — а{х' —х) Ово je jeAHaHHHa праве, Koja кроз тачку С те криве пролази и inje су кординате х, у. Такових правих пруга има 6e3Kpajno много Са разним правцима према апсциси. Да би та права 2) дирком СЕ криве постала, мора бити: Г) • • • dy__äy _ а dx dx' Замеяимо ли вредност « из (у) у (1) то добщамо тражену jeднaчинy тангенте те криве дакле: 2)... .у 1 —у = (х 1 —х) ' ах Из jeAHanHHe (1) добиЬемо и jeAHa4HHy нормале, само тре- бамо вредност а наЪи. Нормала сачиаава са положним правцем осе угао CDx — 90° -f- СЕБ дакле: 1 dx dy tg CDx——cotg GEB —- tg CEB 119 Заменимо озу вредпост у место а у ^вднаіввв 1) добрано ^едначину нормале: 3)- у 1 —у — -— -r) а.) Примена овог на jeManmy круга. Обшти израз ^вдначннб круга je: (х — а) г + (у — Ъ) 2 = В г где су а и Ъ координате средишта а В полупречнпк. Сл. 13. ДиФеренцщадеЬи ту іедначину добщамо: dy х—а dx у—Ъ Заменимо ову вредност у ^дначннама (2) и (3) то доби- jaMO іедначине за тангенту и нормалу круга. , х—а , . , У —у = — - чг( х — х ) у—Ъ У 1 —У - - Ъ (X х —х) х—а Ако je почетак кордината у средишту круга онда je а = Ъ — 0 и онда имамо: «) ß) У 1 —У = - (х х —х) У У 1 —у — ~(я: х —х) 120 Ставимоли у ^'едначнни (а) у‘ = 0, онда je af апсциса, аЕ нросека тагенте СЕ са апсцисном осом. За ту тачку je: - !Г-= - (АЕ-х) По множимо ову je4Ha4HHy са у и заменимо вредност за у 2 В 2 из ^дначине у 2 = В 2 — х 2 онда cлeдyje АЕ — — т. j. комад х АЕ je апсциси х обргно сразмерно. Ставимо у ^дначнни (ß) у—0 онда je x' — O-, то су коор- динатне тачке, где нормала апсцису сече. Из тога видимо да нормала кроз средипіте круга пролази. § 70. Асимтотѳ зѳднѳ криве пругѳ. У ^'едначнни y = f(x) или <р(х,у)~0 може се 6e3KpajHO увеЬати jeдпa или обе про- мешьиве у положном или одречном правду или у оба у исто доба. Представимо ту ^'едначину геометрщски, онда Ье крива имати je -^ан иди више крака Kojn се у 6e3KpajHOCTH яротежу. Сл. 14. Ако сад у тачки С на KpnBoj повучемо' тангенту СВ и за- мислимо да се тачка С непрестано од тачке А уда -byje. Ако се пак прн том тангента СВ приближу^ извесном граничном пoлoжajy ТО у ком она jeMy или обе координатне осе сече и достигне Taj гранични положа^' у истом тренутку кад доди- pyjyba тачка С у безкр^ност оде, онда се у том граничном пoлoжajy тангента зове Асимтота те криве. Нека су кординатне тачке С на KpnBoj х и у а покретне кординате тагенте СВ нека су х 1 и у' то je онда jeMaiHHa дирке ово: l). 121 Тангента сече осе у С и D. Ставимо у OBoj ^'едначини у 1 = 0 онда je x 1 = AD дакде имамо за onpeAje^BBaae комада AD на ancipiCHoj оси. -у= dy (AD-x) Ах Ах , -ГѴ 2). х —у —— — АЕ > у Ау Ставню у ^'едначини (1) х 1 —0 онда je у 1 = АЕ дакде имамо за опре-^ед>и«а^е комада АЕ на opдинaтнoj оси: АЕ — у — — х Ау Ах 3). АЕ=у-х Ах HajnocAe ако из ^'едначине криво на^емо ведност за— и заменимо у ^'едначину (2) иди (3) па пустимо да х иди у или o6oje 6e3KpajHo велики постану, па онда ако jeMH од одсека (2) иди (3) или оба остану коначне вредности, онда je то знак да има крива барем ^'еду Асимтоту. Ако пак вредности у (2) и (3) постану 6e3KpajnHMa онда je то знак да крива нема ни jeMe асимтоте. а) Примена на општи израз jeMaume купиних пресека. ^едначина je купиних пресека: у 1 =2 тх-^-пх* ДиФеренщуалеЪи добщамо: Ау т-\-пх Ах у Ако заменимо ову вредност ^ у - у jeднaчини 2), 3) § А х 70 види Сл. и у избацимо помоЬу іедначине криво то доб^амо! 122 AD = mx m m-j-nx m AE = ± mx , m Y2mx+nx 2 |/,, + 2 m, x Из ових ]едпачина ако je x— + °o огьедуіе. AB = — —; AE=± m m n Yn Код пароболе je n — 0 дакле AI) и AE öeanpajno вели* из тога видимо да паробола нема асимтота. Код хиперболе HMajy т и п извесну Kpajny вредност, притом je п положно, давле та крива има две асимтоте и због двоструког знака у АЕ оне симетрично л еже ярема апсцисщ оси. Клипса нема асимтота jep хи у помогу никад постати 6e3Kpajno велики. Ь) Примена на равно CTpojny хиперболу. Ледначина je ово: ху = а или а Ако диФеренцщалимо добщамо: Ау Ах а ,2 X' Кад заменимо ову вредност у ^дначипи 2), В) § 70 то до- бщамо: У АЕ— 2 а = 2 у х 123 Ставимо овде х= + ®о то je онда у=0 и АЕ=0. По- чем je KpajHa вредпост АЕ за ж=-|-ае и за х =— сю то су онда и положна, и одречна страна апсцисне осе асимтоте те криве. Ставимо у = ±°о то je онда х = 0 и АЪ — 0 дакде су и обе стране ординате осе асимтоте те криве. Бривина криве у равнини. § 71. Полупрѳчнив кривинѳ криво у равнини. Нека су у Kpnßoj y—f(x)A, В и С три тачке у изчезли- во мадом одстоіаи-у. Замисдимо праве AB и ВС кроз сваке Сл. 14. две тачке, и у средини LnxoBoj управне тМ и пМ Koje се у тачки М секу, М je средиште круга повученог кроз три тачке дате криве, и као іпто су тачке у изчезл>ивом pacTojaa.y, тако можемо узети да су AB, ВС луди дотичног круга. Такви крузи зову се „крузи кривима" и виови полунречници зову се полупречници кривина дате криве. Да иолупречник AM—BM—d опредедимо, назовимо ОН —ct\ MH=ß кординате средишта М. 4едначина круга кроз тачку А чще су кординате х, у jecT. 124 1 . . . . (x —«) 2 + («/ — ß) 2 ~r s Нека сад x npehe у x-\-dx, то Le у нреЬи у y-\-dy нотой су x-\-dx, y-\-dy кординате друге тачке В, а іедначина je круга за ту тачку. 2. (x-f-dx — оі ) 2 —(— («/ -j— сГ*/ — ß) 2 — r 2 Но узмимо да су кординате тачке В за диФеренцщал dx и dy + d?y прирасди, при том dx сматрамо као стадно, оида добн- jaMO као кординате треЬе тачке С сдедеЬе изразе. (х + dx) -)-dx—x + 2dx ІУ+Яу)+<Іу + Я 2 у=у -\-.2dy+d 2 y Дакде je jeAHannHa круга за тачку С сдедеЬа 3). (x + 2dx — се) 2 + {у 2 dy + d 2 у — ßf — y 2 Из ови три jeAHanHHa могли би опредедити на обичан начни вредности а, ß и у но ми Ьемо употребити за то OBaj начни. Одузмимо ^дначнну 1) од 2) то добщамо сдедеЬе раздике: (х-\ dx — ce ) 2 — (х — а) 2 ; (y + üy-ß) 2 -(y-ß) 2 Koje можемо сматрати као диФеренцщад кодичина (х — се) 2 и (у —ßY потоме je и раздика ^дначина 2) и 1) диФеренцщад из 1) дакде: 4). (х — ce)dx-{-(y — ß)dy = 0 Ha .Taj исги начни раздика je изме^у jeAHannHe 3) и 2) ди- Ференцщ'ад из 2) дакде: 5). (х-\ -dx — се) dx (у dy — ß) ( dy -f- d 2 y) — О 125 но почем се по ^дначини 4) члановн (х — ct)dx и {у — ß)dy уншптаваіу а dy.d 2 y као члан треЬег реда можемо изоставити према оним члановима другог реда. дакле: 6 ). dx 2 + dy 2 + (y— ß) d 2 y = 0 из 4) и 6) следуіе: 7) . У -ß dx 2 8 ). х — се — са овим ^дначинама су средишне кординате а и ß опредѣлено; ако ставимо вредност за (у — х) и (х —«) из 7) и 8) у ^едпа- чини 1) то добщамо за полупречник криве: 9)--. У. вредности к, ß, у за ма Kojy тачку дате криве пруге наЬиЬемо dy d 2 y ако из ^едначине криве определимо —2— и- ~ и те вред- dx dx ности ставимо у ^едначинама 6), 7) и 8). Полупречник кривина узмимо свагда као положан. Означимо са ds комад лука kojh лежи riehy тачкама х. у и x-\~dx,y-\-dy то je онда но § 68 ds 2 — dx 2 -\- dy 2 Ако ову вредност у 6), 7) и 8) ставимо добщамо: У — ds 2 W’ х — а — ds 2 &У dy dx ds* У = + dx.d 2 y 126 §. 72. Изводѳаѳ нолупрѳчника кривинѳ на други начни. Угао отстуната. Повуцимо дирку на криву кроз тачку А. Сл. 15. чщ'е су координате х, у, та гради са апсцисном осом угао Г. пре- Сл. 15. У ш о -X 1>еди х у x-\-dx а у у y + dy то се угао Г мета за ds, т. j. дирка кроз тачку В чще су координате x-\-äx, y + dy гради са првом дирком угао ösf. Ако притом нре^емо из А у В онда правац криво чини отступите — Koje зовемо „угао отступата. Полупречннци кривина AM и ВМ унравни су на днрке те стога и cannmaBajy нети угао ds. Но почем угао Г замиішьамо мереп дуком иодунречника — 1 то je: AB=r.di=ds иди 1 ) у OBoj ^дначини треба само oпpeдjeдити вредност di. Ми зна- мо да je tgi — —, диФеренциадимо добщ'амо: dx cos*C dx 127 но ночем je cosY — 1 1 + tgh~ то he бити : ds = d'y dx l d 3 y. dx dx dx 2 + dif ds 1 Ставимо ову вредност за di у jeднaчини 1) то добщамо: ds 3 г = -—- dx . d 2 y и то je подупречник кривине. §. 73. Еволутѳ. Вамисдимо за све тачке В. В' .Сд. 16. дате криве у — f(x) опредѣлена средишта М. М' дотичних кругова то Ье ова средишта образовали криву пругу, и та Сд. 16. се зове „Еволута“ те криве. Дата крива зове се „Еволвента.* -Іедиачииу Еводуте можемо oпpeдjeдити из jeAHannHe Еволвентѳ помоЬу jeднaчинa из §. 71. дакде: 128 dx I dy а = x — d 2 y dx 1 ). dx 2 dx НаЬиЬемо из jeAHannHe у — f(x) размере — . -У- , изра- dx dx 2 зиЬемо их само са ]едном промешьивом х иди у , увесЬемо ту вредност у ^едначинама 1), помоЬу тих ^едначина избациКемо променл>иву х иди у. и тако добиЬемо само іедну ^'одиачииу у Kojoj се а, ß и joui неке стадне садрже. Та je ^дначина, jeAHa4HHa Еводуте. Пустимо да се у jeAHa4HHaMa 1) 4) и 5) §. 71. 2) - (х— а) 2 -f- (y—ß) 2 — г 3) . . . . (х — a)dx + {у — ß)äy — о 4) . . . . dx 2 -s- dy 2 (у — ß)d 2 y — о х промени, то се онда мора у, а, ß и г мевати. Из тога узрока сматра^мо а, ß, и г као Функцще од х и опре- дjeлимo свезу изме^у dx, dy изме^у da, dß, тако исто и взмечу da, dß и dr. ДиФеренцпадимо jeMa4Hne 2) и 3) то имамо: 5) . . . . (х — а) (dx — da) (у — ß) (dy — dß) = rdr 6) . . . . (dx — da) dx -f- (dy — dß) dy Д- (y — ß) d 2 y — о Одузмимо ^диачину 4) од 6) то добщамо: — dx . da — dy . dß — о dß Дирка на Еводути у тачки М управна je на дирку Евод- венте у тачки В, а и полупречник кривине управан je на дирку у В. дакде je полупречник кривине Еводуте дирка Еводвенте. 129 Ако одузмемо іедначину 3) од 5) то добщамо: 8) . . . . (ж— а) da -(- {у — ß) dß = — rdr уведимо dx из 7) у ]'едначиву 3) то имамо: 9) . . . . (х — а) dß — (у — ß) da = о Ако избадимо (х— а) ; (у — ß) из 2) , 8) и 9) то добіцамо другу тражену свезу: 10) .... dr l — da 2 dß' 1 Значеае je ове последае jeднaчинe ово: iipehe ди г у r-\-dr то се помиче тачка на криво] и а, ß предазе у a-\-da , ß-\-dß. Ме1>у тим тачкама криво налази се изчезживо мали комад лука V da 1 + dß' 1 дакле je r raj комад лука раван промени полупреч- ника кривине dr. Ако дакле у место полупречника кривина ВМ гибак но затегнут конац узмемо и ]'едан Kpaj ѵздржимо на Еволути у тачки Ж, а други Kpaj ьегов ако креЬемо; онда Ье Taj конац описати Еволвенту. §. 74. Полупрѳчнив кривинѳ, и Еволута параболѳ. 4ед- начина je параболе; у 1 = 2 рх за ту крину имамо: dy р d 2 y р г dx у ' йж* у* и аеи полупречник кривине биЬе: [1+^1 у ; У 1 р‘ У г г = — Ср + 2х ) /г р ' 1 ѵ~р— За теме параболе имамо: ж = о дакле г=р т. j. полупречник кривине раван je половини параметера. Ако х расте, онда и г расте, за х = »о; и г = ©о т. j. део параболе у без- KpajHOCTH биЬе права пруга. 9 130 По §. 68. израз je за нормалу криве: N=y V і + дакде ье овде бити: N = V у 2 + Р дтз Ако ставимо горн>е вредности за у, ~, ~ у ^едначини 7) и ах ах а ~ р + J-= р Зх Ако избацимо ß иди у из ове ^едначине, онда добщамо ^ед- начину Еводуте. за а — р биЬе ß = о. Ако сад а узрасте веье од « = Р онда се Еводута pacniHpyje у два крака, Kojn према оси симе- трично деже и kojh су испупченом страном окренути ка оси. Из ау о т. і. Оса парабоде додиру^е с^еду^е за у = о, и краке у тачкама ß = o ; а=р. за х — + ею биЬе и ——+°° т. j. Kpajae гране еводуте управне су на осу парабодину. §. 75. Подупрѳчник кривинѳ и Еволута елипеѳ ^едначина je едипсе. а 2 у 2 4- Ь 2 х 2 — а 2 Ъ 2 Кад диФеренциадимо добщамо: 131 2 a 2 ydy + 2 b 2 xdx — о ; a 2 dy 2 -(- a 2 yd 2 y + b 2 dx 2 — о : dy __ b 2 x _ d 2 y _ 6 2 (а 2 г/ 2 -f- b 2 x 2 ) _ b 4, dx a 2 y ’ dx 2 a*y s a 2 y заменом добщамо вредност за полупречник кривине г = («V + г>У) Уг а* Ъ 2 За Kpajay тачку велике осе имамож— а, у —о дакле г = - За Kpajay тачку мале осеимамо: х = о, у — Ъ дакле г = — Ъ Заменимо горае вредности за ^ у образац за нормалу §. 68. то имамо: с тим прелази гораи израз за полупречник кривине у: г — — . N 3 Ъ* Почем je -- = р т. j. равно половипи нараметара елип- се то je : г N 3 р 2 Ставимо вредности ^, ~ß- у образце 7) и 8) §. 71. до- бщамо : из овог саеду^е: т 9 ' 132 Ставимо те вредности за х г у 1 у ^еднаиину елипсе, то до- бщамо іедначину еволуте. f4Ä) : Та крива има четири подпуно ^еднаке гране, Сл. 17. Koje се у врховима А, Б, С и В сустичу и на свако] су оси по два Сл. 17. врха. Нека je из F, М F полупречник кривине елипсе, то je онда М F дирка на еволути у тачки М. Ако се тачка F помиче ка темену S , онда М долази у А. Ако се F приближу^ ка Kpajy мале осе Н, то се М приближуіе врху В. за ß — о je а дакле: А S = а а 2 - ¥ ¥ а а Qj — [)* За врх В имамо а — о дакле ß — -. Ако ставимо у jeAHa4HHH еволвенте веЬу вредност за ß него што je ова, то « nocTaje мнимо , тако исто и ß Ье бити мнимо (imaginär) ако je «> --. Дакле врхови еволуте А, В, С, В нада^у у KpajeBe оса и осе су елиясине, дирке на еволуту. 133 §. 76. Полупречник кривинѳ чине су дикдоиде (види Сд. 18.) Сд. 18. и ѳводута циклоидѳ. JeAHa- АЕ = х — а(ср — sin ср) СЕ = у = а (1 — cos ср) дакде je: dx = а (1 — cos ср) dcp dy — а sin (р dp Ако ове^едначине joni je- даред диференциалимо, при чему треба dx као стадно узети, добщамо: o — а {1 — cos ср) d 2 cp + а simp dcp 2 ; (Ру=а coscp dcp 2 -\- а sin ср d 2 cp. Ако избадимо d 2 cp из ове )едпачине добщамо: _ 1 а (1 — cos ем AB = г од неке сталне тачке А и углом АВх — <р aojn AB 6л. 19. О С са апсдисном осом Ах сачииьава. При том називамо г радиусвек- тор или производни зрак (Lectstrahl) тачке В. Тачка А зове се Пол, Ах оса пола и угао <р поларни угао, г и ц> jecy поларне кординате и jeMa од аих je увек Функцща друге, због тога je обшти израз, ^дпачипе криве у поларним координатама ово: г = f((p), или F(r,у правоуголних и поларних кордипата. Тако je ^дпачина Елипсе у правоуголном кординатном систему: 1) . . . а 2 у 2 + Ъ 2 х 2 = а 2 Ъ 2 где су а и & половине оса, а почетак кордипата у средишту О узет. Ако сад у тачки А т. j. у жижу елипсе пол увмемо и означимо: AB - г\ ВАх — (р, АО = С то je ОС = х — г. coscp — С, ВС — у =r. sin

еду je: а 2 г 2 = 6 4 + 2 Ъ 2 er cos ср 4~ с 2 г 2 cos 2 ср Десна страна ове ^едначине je поднун квадрат дакле: т/а 2 г 2 = + т/{Ь 2 4 -er coscp ) 2 иди аг = + (Ъ 2 с г coscp) из овог следу^е: 2 )... ±Ъ 2 а с coscp Почем je делител. увек положан, jep je с<а, а г треба увек да je положно; то из (2) добивамо ову поларну jeAHa4HHy. Едипсе. 3 ) — Ъ 2 С СО$(р Ако у jeAHa4HHH (2) Ъ 2 узмемо са противним знаком то добщамо поларну jeднaчинy хиперболе. За обе оделене хипер- боле ^дначине су ове: 4) . . . . г— Ъ 2 а — с coscp ;»■« = — Ъ 2 а-\-с coscp И овде за радиусвектор само се ноложне вредности доиуиіт^у За Елипсу и за о ну хиперболу Koja под затвара имамо као за- Іедничку ^дначину. 5 )...г = Ъ 2 с Ставимо- —р и - а а Ъ 2 6 ) а —с costf е онда je та іедначина: Р 1 —е costp 136 Код пароболе je познаю да je размера — — 1. Дакле ^д- пачина 6) представл>а елипсу, хаперболу и параболу. Ако je е< 1 онда jeднaчинa представл>а елипсу, ако je 6 — 1 онда параболу и ако je 1 онда хаперболу. § 78. ДиФѳрѳнди^ал поврпшнѳ у поларним кордина- тама. У поларним кординатима je А као што смо веЬ рекли пол Ах поларна осовина, AB=s радиусвектор ABx—tp, Пустимо да tp за dtp прирасте т. j. пека tp npehe у tp- 1- dtp^CÄx, то онда добщамо изчезливо ~мали комад поврпіине Сл. 20. GAB Koje Ьемо са dF означити; усл.ед тога биЬе производна зрак AC— + rdr. Знак + употребляемо према томе како г расте или се умал>ава. Из слике имамо: А С -- г — dr Ако са г и г— dr из тачке А опишемо кругове BB = r dtp и ЕС = (г — dr)dtp то Ье површине окружни исечака ABD и АСЕ бити: Површина ABD = Fdtp-, површина АСЕ = 1 2 (г— dr) 2 dtp Почем су ове површине пзчезл>иво мале количине првог степена Koje се jeMo од другог разлик^у за изчезл>иво мале другог и треЬег степена; то се може и та ме!)у н>има лежеЬа површина АВС са ABD заменути т. j. диФеренидіал површине je. dE= Е dtp § 79. ДиФѳрѳнциіал лука у поларним кординатама. Означимо са ds изчезливо мали комад В С те криве (види Сл) и CMaTpajMO Taj изчезл>иво мали комад ds — BC као пра- 6л. 21. ву и нека je Taj изчезл>иво мали комад лука BB~rd(p упра- ван на свом радиусвектору, то je ВВС правоуголни троуго, из Kojer Ьемо ds оиредедити: ds 1 — dr 2 -{-r 2 d(p § 80. Субтангѳнта и Субнормала у поларним кординатама. Узмимо jeMy кривѵ пругу ко ja je успште ^дначином: y=f(.иво мали део кри- ве BD = rd(p то можемо узети да je В В права прута Koja на AB CTojn одвесно. Стим je угао BBC=BTA=ABN , дакле су троугли В В C,ABN и AB Т подобна усл>ед тога имамо: ВС : ВВ=АВ:АТ ВВ : В С = АВ : AN Ако у овим ^дначинама за В С, В В и AB іьихове вредности заменимо добщамо: 138 Сл. 22. är : rd(p=r : AT räip : är = r : AN Из ови je4Ha4HHa добщамо тражене вредности за: d (р Субтангенту АТ—г 2 är Субнормалу AN = är äy> §. 81. Полупрѳчник кривинѳ у поларном координатной систему. Узмимо криву у поларним кординатама Сл. 23. Ах je по- ларна оса, А je пол, AB — г угао ВАх — (р. Ако -> npehe у 4- ä(p= САх то je угао BAC—ä(p. Повуцимо у тачкама и С дирке В В, СЕ я нормале ВШ, СМ то Ье бити ВМ ^pq || 189 — СМ— q полупречник кривине те криве за комад лука ВС; означимо угао BDx=i * то je « Функціу'а од <р. Ако ср пре^е у 2 а Субнормала AN ~ — а дакде кра] нормаде N за сваки положа]' тачке D дежи увек у кругу DCE-, за <р = 1 биЬе Субтангента =а дакде cann&aBajy Субтангента и Субнормада пречник круга koj'h управно на AD ctoj'h. Сд. 24. Едеменат je површине: dF =-^— r 2 d(p~ —~ а 2 ср 2 dtp а комад дука те шпирале je: | / а 2 d(p 2 -\- а 2 (р 2 dtp — adcp J/l ~і~(р 2 да на^емо подупречник кривине треба да диФеренцщадимо ^едначнну 2) са обзиром на то дауе d

и г променимо то добщамо jeAHa4HHy хипербодичне шпирале: 1) .... г <р = а Сл. 25. Узмимо такву праву у поларним кординати- ма, Ах je аодарна оса, Сл. 25. .4 je под. Опи- шимо с полупречником AB = АС— 1 круг, преннсимо на н> лук (р = ВС— 1, то мора бити радиусвектор што кроз С продазн AB = а. Преполовимо лук ВС у Е и повуцимо радиусвектор AEF то мора бити AF=2a—2 AB т. j. крак изван Т приближу je се ове више и више npaBojnpy3H, ко ja je са Ах равно-одс^на и у безконачности се протеже. Ако диФеренцщ'алимо jeAea4HHy 1) добщамо: г dtp -f- (р dr — о dr _ г г 2 d

°, 1°° . § 82. Опрѳдѳл>иван>е вредности у особѳним слуиа^евима. Више нута десиЬе се да дедовне Функцщ'е за неку известну 0 . вредност промешьивог 6poja узимад вид -q-, Ако н. пр. у раз- 1 сс домку — j —^ 5 - промешьиву ж=1 ставимо, онда добща Taj раз- 0 домак неонред^денн вид Подедимо броитева и именитева датой раздомка са 1 —х то добщамо. 1 —х 1 1— х 1 1 -)— ІС ставимо овде х=1 то добщамо тражену вредност — а. Од сад унапред, хоЬемо краткоЬе ради, дати раздомак увек у загради метнути, и на jeAHoj страни те' заграде означиЬемо Koja вредност од х има се у том разломку ставити дакде овако: Ако у разломку smx х узмемо х^О, то О тако^е неонред^дени вид — Но почем je по раздомак добща § СО: 144 згпх= х — 2.3 2.3.4.5 г sin х 1 г, Дакле je [—-— J=[l 2.3 2 . 3 . 4.5 -J= § 63. Обшти начин опред1ѳл>иван.а вредности вида ~ . Представимо да су Функцще f(x) и F{x) за извесну вредност равно нули, дакдн Ье разломай г Л» ]_ О \-F(x)l^ О Питаае je како Ьемо наЬи праву вредност тог разломка. У обште била би та вредност у толико неопредѣлима, у колко неби знали од куд долази Taj вид; али чим узмемо да je та неоире- п*) діеленост постала из разломка F(x) и предпоставимо да Taj разломак ociaje континуалан за х=а то Ьемо онда диФерен- цщалним рачуном врло лако праву вредност тог разломка опре- дІедити. Дакле да до праве море тог разломка до!,емо требамо /» само тражити граничну вредност limes разломак f(x) F(x) F(x) нрема kojoj се више и внше приближу^, кад се х вредности а приближава. Пустимо нека х npehe у x-\-h (што нам je сло- бодно чинити донде, докле год промешьива х неопр^елена ocTaje) и разнимо по телеровом обрасцу добщаао: f(z -h h) __ F(x-\-h) Ъ 2 Ъ 3 f(x) + hf‘(x)+ — р'(х)+-—р“(х)+. F(x)+hF’(x) + 12 1,3 — F“(x)+ 2 3 - F‘“(x) + . Ставимо у овом изразу х—а с предпоставком, да je за ту вредност Функцщ'а joui стална и поделимо с десна joni са Ъ, то добщамо са обзиром на учиаену предпоставку да je f(a) — o, f(*) F(a) = 0 т. j. да разломак зава OBaj израз : F(x) за вредност х = а изче- 145 Па+Ъ) /■'(«)+ 4 Г'(«) + ^/'"'(« ) + •••• *Ч«+А) («) + - 2 - 3 - («)+•• • ■ Узмимо за А исчеж-ьиво маду вредност, т. j. ире^имо гра- ницама то добщамо: Шт 2?+Ч>~!Ж- Т. і. F{a-\-Jb) F'{a) Права вредност деловне Функцще fi x ) F(x) KOja за х О nocTaje вида — равна je кодичнику из првих изводних Функ- цща y3HMajybH у тим изводним Функціуама х — а. Ако за вредност х = а не само Да), F(a) него join и обе прве изводне Функцще Д(а), F'(a ) у исто доба изчезава^у то добщамо из і'едначине 1) ако jom са — подедимо следеЬу: f(a + h) Д'(а)+А f‘“{a)+. ... F(a+h) F"{a)+^F‘"(a)+ .... пре^имо границама то имамо: Urne s f(a + ty F(a + h) f“ (a) F " (a) T- j- Тражена вредност дедовне Функцще равна je кодичнику од изводни Функцща другог реда узимаіуЬи у аима х=а. У обште можемо реЬи: Ако за вредност х — а у застои де изчезава f(a) f‘ (а) f“(a)....f"~'(a) тако исто и у исто доба F sa), F‘(a), F“ (а) .... F a ~ l то je онда тражена вредност дедовне Функцще сдедеЬа: limes f(a + h) & ] (а) F (a-\-h) F^>(a) 10 146 П р и л е р и. 14 1 . f(x) 1.) Деловна Функція — за х—а nocTaje. F(x) А*) 1 __ х — а F(X) jx-a Ж 3 — й 3 _ 0_ х = а О ДиФеренцщалимо, да из Функцще f(x) и F(x) доби]ѳмо црве изводне и ставимо у вима х=а то имамо: г f‘(x) і г ж — а л г 1 1 1 “ р “ у врел>ост деловне Функщце. 2.) За ж —1 да опредуелимо праву вредност деловне функщцѳ: Г f ( х ) I _ Г % пі х 1 _ о 1 ¥ {х)і:\ У ЙГ- 17 , т диФеренцщалимо: Г АО*) 1 — ä г lognatx-\ _ lF’{x)K^ I / 1-хЛ 1 X 2 ѵ 1—х 1 X do > X х=/ 3.) За x— О да опредѣлимо праву вредност деловне функцще: Г f [со) _ ^x l -sinx‘-\ _ и L F (х) J “ L 3^ J “Т О 0*0 J *=o L 3 « 3 диФерендщалимо доб^амо: f‘ (х) и_г2ж— 2sinx. cosx-i _ О \Лі х ±Л = Г \-F4x) J і Зж 2 s-i _ и ~J~~.1T ' И "х=0 тражимо сад изводне другог реда: Г f" (х) ^_р 1 — cos 2 х -f- sin 2 x-j _ О LF"(x) J~L 3 x J““Ö тражимо изводне Функцще треЬег реда: 147 f‘“{x) _ 4 cosx. sin х F‘“{x) х=0 3 = О х=0 дакле je за х — 0 и дата деловна Функцща равна нули. 4.) За х — О да опредіелимо вредност деловне Функцще г ах)л- Ле'-е-у , О \.F(x) J X=0 L x*.cosx J x _ 0 О днФеренцщалимо: Г Г 2( е ^-е-«) п ^ _о L F‘(x) J х=0 L 2 x.cosx — x 2 sinxl x=0 О диФеренцщалимо joni ^даред f" (х) = 4(е 21 + е ~' іх ): (а:) — = 2 cosx — 4с х sin х — х 1 cos х да “ е: праву вредност: 4(в ,ж +е-* х ) ■2 cosx — 4 x.sin х — х г cos а? ]=4- као §. 84. Опредіѳл.ивааѳ вредности вида. — • оа Представимо да об ■ Функцще f(x) и F(x) за х — а по- f{ х) до - CTajy 6e3KpajHO велики, то онда деловна Функцща F(x) g, . О© öHja вид —. у овом слу^у можемо наЬи праву вредност те деловне Функцще по правилу § 83. Да докажемо да се заиста права вредност по Z 76 на- лази ставимо: 1 ДМ _ F (?) F(x) 1 f(x) са том нредпоставком да разломай с десне стране те іедначине за х = а узима вид • Дакле праву вредност наЬиЬемо, ако од тог разломка т. j. од броитела и именител>а изводне Функцще узмемо, с тим прелази Taj разломак у следеЬѳ: Ю 148 F'(x) F(xT или П*Ѵ f‘{*) /■'(*) F{xf m 2 Ставимо у овом изразу х=й то добщамо: _ F‘{a) F {а? __ F‘ (а) f{af Па) Г (а) F (а) 2 f(a) Дакле je права вредност те деловне Функцще за х~а следеЬа: f(a)__F‘(a) ( f(a)y F (а) f‘ (a) X F{a) J поделимо обе стране са добщамо f ( а ) _ Г («) F{a) F‘(a ) . F ' (а) f (а) 1 —-— . 1_< ИЛИ Г (а) F (а) као праву вредност. Па) F(a) Примори. 1.) За х — 0 да тражимо праву вредност деловне Функщце: ' г Іодхл _ во '-cotgx \_ 0 оо ДиФереніщалимо именител>а за себе, тако исто и брои- тела. то имамо: dlogx dx dcotgx =F ^ _ dx s дакле je 1 x ““I L x J 0 sm x J * =0 Ls- -1=■ Узмимо другу изводну: f(x) p 2 sin x cos x F(x) L 1 ” — 0 x=0 Ж* м 149 дакле je деловна Функдща log х за х — О равна нули. со tag х 2.) За х = 0 да тражимо праву вредност деловне Функпще г logsinx и_ L hgx J о О© ©о диФеренцщалимо броител>а и именительа за себе то добщамо: dlogsinx _ cosx _ dlogx _ 1 dx stnx dx дакле cosx sin x 1 X г xcosx -I_ L Sm X J „ 0 ö диФеренц^алимо Taj израз joui ]едаред, добщамо: [ cosx — xsmx coscx § 85. Опрѳддѳльивааѳ вредности 0. oc. Ако имамо какав производ f(x). F(x) у коме за х — а по- CTaje први чиниоц f(x)~ 0 а други F(x) — тад Функцща добиіа неопредельена вид 0. <х>. Праву вредност можемо на два начина наЬи ако ставимо: f(x).F,(x) =Ш FW f(x). F{x)=Z^L Я») ПомоЬу тога доЬиЬемо ѵвек или на вид или 00 Kojn- 0 во ма по пре^ашвим § § праву вредност определити можемо. П р и м е р. За х—а да паяемо нраву вредност израза: \{а — х). tg ^1=0.«, , L 2 а J I=a 150 Oßaj израз можемо по npetje речоном овако писати: (а — х). tg пх 2 а а—х cotg пх 2 а Ако диФеренцщалимо десну страну броительа и именитела добщамо: пх d (а — х) - , , 1 ——1 dcotg dx 2а п 2 а dx sm пх 2 а Ако у овим изразима х — а ставимо добщамо као праву 2а вредност - дакде Функцща: г. . пх і 2а § 86. Опредіѳл>ивааѳ вредности ос—«ю. Ако нам je дата на пр. Функщца: <Р(я) Ч> 0*0 f(x) F{x) У Kojoj за х=а nocTaje f(x) = 0 и F(x) — 0. а <р{х) и <р (&) непостану нулом то та Функцща узима вид -юос. Ако Taj дати израз на ^днакот именител>а доведемо до- бщамо: <Р (х) <Р (х) _ (р (x)F(x) — а доведемо и у н>ему ж = 0 ставимо то добщамо вредност вида -jj- Koje по § 76 онред^дити можемо дакде: х % — sinx 1 О х 1 . sin х 1 О OBaj израз треба четир нута ^дно за другим броител>а за себе вменител>а за себе да диФеренцщалимо и тев тад добщамо нраву вредност Функци)е: sin х' 1 г~ За х=\ да тражимо праву вредност »зраза. 1 х —1 h = ое-О© -1 Ако доведемо OBaj израз па за0еднвчкот именитед>а добщамо. 1 1 х — 1 — Іоах г: -- ---—; диФеренциіалимо именитела и Іодх х — 1 (х-І)Іодх броительа два пут узастопце то добщамо: d (х—1 — Іодх) _1 d-(x —1 — Іодх) __ 1 dx х ' dx 2 х 1 d(x — 1 )loax , 1 . , , 1,7 —i y . — ( ж _ - l-logx= 1- f Іодх dx ’х х d 2 ((x —1 )logx) _ 1,1 dx 1 х г х Ако ове вредности у ^дначину заменимо и х — 1 ставимо то добщемо: г J _ L_j=- L log х х — 1 J *=і 2 као праву вредност. 152 § 87. Опрѳдіѳливан.ѳ вредности вида 0°; оо°, 1 — 00 , ^ь 00 Ако су у и е две Функщце од х такве да за вредност х = а nocTaje: y = пм правилама лако наЬи само ако можемо log {у') наЬи то je онда у ъ определ>ено. II р и и е р. 1) дата нам je Функцща: у=(х)=0» треба наЬи праву вредност аену за ж=0. Узмимо логаритам од те Функцще то имамо: log X х =xlog х и Іодх х Іодх- Дакле израз («) за х — 0 узмимо вид Koju се по § 79 ОС определити Aaje. ДиФеренцщалнмо броител>а за себе и делите- л>а за себе то добщамо. 153 дакле имамо: dlogx _ 1 dx x ~T =—; Ц —) X \ X J dx = [— * j.= ° L x‘ J x =° С тим je права вредност дате Функцще: (О So *- 1 2) За je дата Функциіа: [п + 4 >-]аГ Да праву вредност naheiao узмимо логаритама: + ^^-0. Oeaj израз можемо и овако написати: х.1од{1+±} = \од (1+-^) т • х ДиФеренцщалимо броит ;л>а за се и делитела за себе то добщамо. Г 1 , 1 ѵ| dlog (\-\ —— ^ 4+-U X Г 1 --( 4 ) 1 X 2 1+і *=Оо 1 J х=оо Х=00 154 Дакле je права вредност дате Функци^е за х = ао: Г(1 + —Ѵ] = е' = е L X * -І*=эо 3) За % = 0 да тражимо вредност Функцще: КтОТГ* Узмимо логаритам добщамо: [ ! Т 7 )"№% (4) =° Дакле je права вредност Функцще за х = 0: Кт)Ъ‘ Максимуш и Минимум Функцще. §. 89. OöjacHeae максимума и минимума и начин опрѳдзѳ- ливааа. Замислимо да смо jeднaчинy y — f{x) или <р(х,у) = 0 граФи^ки представили, и пустимо нека се независна промен- Сл. 26. Сл. 27. / і І 1 . 1-і' -- -ъ г' ^ * о _ V 7 & 155 Сл. 28. Сд. 29. лива х непрекидно меаа, то je онда могуЬе, да je зависна променлива у т. j. функцща од х до неке вредност^Б Сл. 26 раела а после падала. У том oäyaajy зовемо Hajßeby вред- ност Максимум те Функіще. Ако пак зависна променлива у до неке вредности CD Сл. 28 пада, па одатле опет расте, онда ту HajMaay вредност Функцще зовемо минимум. МогуЬе je jom й то, да je дна Функцща нити има максима нити минима или да их такови има много. Ако сад повучемо дирку кроз тачку А те криве Сл. 26 и кроз тачку D Сл. 28 онда Mopajy paвнo-oдcтojнe са, апсцисном осом бити, jep су ординате криве до^ и после А маве од ординате AB, а ординате криве до и после D веЬе од ординате CD. Због таковог noaosaja тангевата у А и D мора и диФеренци- dy jaAHH количник dy _ dx дате Функцще —0 бити, а но § 1 je dx = tgi где i osHanyje угао тангенте са апсцисном осом. Ако je С — 0 онда мора и dy dx —О бити. Из овога видимо да нам треба ставити први диФеренцщални количник dy dx до- тичне Функцще =0, ако хоЬемо да паяемо вен максимум илц 156 минимум. Сад из првог диФеренцщалног количника треба нам наЬи све вредности за х на их ставити у дату Функцщ'у, то онда те добивене вредности могу максимум или минимум бита. При овоме наравно може р, Ost 0 се десяти, да вредности за х, Koje из ^дначине dy Л — — О произлазе. могу као што 6л. 30 пока- eyjy те криве неке осо- бене тачке Е и И има- ти. Ако кроз тачке Е и И тангенте повучемо, то видимо да су обе || са апсцисном осом, дакле одговара^'у у слову за максимум или минимум, при свемтом што нам те тачке неда^у доиста никаква ни максимума ни минимума, jep тачка Е je обртна (wandepunkt) а тачка П je шил>ак (spitze) а та- кове тачке HeAajy нити максимум нити минимум. §. 89. Знаци по корима дознауѳмо максимум и минимум датѳ Функци^ѳ. Ако имамо Функцщу: У=№) или ср (х, у)—О Hajnpe представимо ту Функцщ'у граФиски и то у правоу- голном кординатном систему. Ставимо: 6л. 31. АВ = х; ВС —у. Ако сад пустимо да х npehe у x-\-dx онда прелази у или у DE—y-\-dy или у DG—y — dy то завися од тога, ако ордината за EF прирасти или се за GF смаши. У првом случауу 157 HMajy dx и dy j^Haice, у другой пак противне знаке. Из овог сл>едуіе: Сд. 32. a. ) Ако у дато^ Функціи независна променд>ива непрестано расте, а при том dx и dy ^днаке знаке aMajy, онда и зависна промешьива т. j. ФункциД расте, ако пак dx и dy разно знаке HMajy, то онда Функпэда пада: b. ) Ако у jeAHoj Функціи независна променльива х расте и при том предази диФеренцщад dy наставно из подожне кроз нуду у одречну вредност, то Ье онда Функціуа растити до оне вредности од х Koja dy = o прави, и онда Ье посде падати. Дакде Ье у максимум бити кад je dy — Ot c. ) Ако са растеЬом вредности независне променл>иве #, диФеренщцад dy наставно предази из подожне, кроз нуду у одречну вредное, то Ье онда Функцща падати до оне вредности х, Koja dy = 0 чини. Дакде Ье у минимум бити, кад je dy = 0: d. ) Ако са растеЬом вредности ж, диФеренидал dy наставно из подожне вредности кроз нуду у подожну npehe иди из од- речне кроз нуду у одречну npehe, то Ье у првом сдуч^у Функ- цща растити, у другом пак падати, дакде вредности х одговара обратна тачка (Wendepunkt) Koja dy = 0 чини: e. ) Ако са растеЬом вредности х диФеренцщад dy из подожне иди одречне вредности у нуду npehe , онда je вредност 158 x Koja dy = 0 чини, граница наставности, то онда Toj вредности х одговара шилак (spitze.) ЗадаЬе. ].) Праву пругу ординате а тако у два дела поделити, да иравоуголак ко)и je из оба комада саставл>ен буде максимум. Зедан комад те праве неки je =х а други je онда — a — х С тим je новршина тог правоуголка: у—х(а — х) — ах — х г диФерецщадимо ту )едначину имамо: dy — adx — 2 xdx или По цреЦш&им d у морамо d х О ставити дакле je: 0 = а — 2х или а дакле Ье у максимум бити за х = --, из овога видимо да праву нругу треба у два равна дела поделити ако хоЬемо да je нра- воуголак максимум. 2.) Доказати треба да измеі>у сви)у у )едном кругу опа- сани правоуголака, квадрат najBehy периФерщу и повр- шину има. Пречник круга нека je = а, угао ко)н причица а нравоу- голка са)едном страной тог истог права нека je — периФерща правоуголка нека je —и, а новршина je =у дакле je: и~2 а (sin и -j -cos а) y—cdsinu.cosa Ако диФеренцщалимо ове )едначине добщамо; —— = 2a(cos« — sm а) d а dy г s г 2 ^ -z- = a (cos 1 и —stn и) du 159 Ако dy_ du 0 du . и -~j— = 0 то c«beAyje за оба случаи : sin и = cos и дакле угао може растити од и~о па до и ——, ако угао од 4 п . , нуле па до — расти онда ocTaje du и dy положно, дакле расте и а у. Расте ли и од па до онда je du и dy од- речно, дакле и ъ у пада. Из овог видимо да Ье и и у макси- , п мум бити за «— ^ дакле je правоуговак квадрат. 3.) У датой су троуглу а и Ъ сталне стране а у вима захвачена угао, да се nahe вредност у за Kojy површина F тро- угла nocTaje максимум. Ако je а основица троугла то je вегова висина: Сл. 33. h = bsiny дакле je вегова површина: диФеренцщалимо : = 0 дакле сведуі'е из jeAnaHuiie : ставимо овде „ 7Г cosy—o ИЛИ у =—; Из овог видимо да Ье F бити максимум за у— Дакле дате стране а и & троугла Mopajy управне jeMa на другу бити ако хоЬемо да je површина F троугла максимум. 160 4.) Свитак V je 4 Hor валка (цидиндера) сталан je, да се на!>е при Kojoj висини h и полупречнику х од основне повр- шнне валка биЬе горла површина F (Oberfläche) валка минимум. За горве површине F и за свитак У валка имамо: 1) . F=2nx 2 +2nxh 2 ) . Ѵ=пх г Ъ V из 2) след^е h= заменимо ово у ^едначини 1) до- бщамо: оу F=2x*rt+^-- х диФерендщадимо добщамо: dF dx = 4пх 2 V Ставимо ^ =0 дакле dx 0 — І7ІХ — 2 V одакле следу^е 3 : =|/ V 2п h = V 8 V 2 п 3 V V 2п онда je dF одречно а F све веЬе. Дакле F he бити минимум ако je х- V, Расте ли х од 0 па до и F биЬе све маве; расте ли х join више, онда je dF положно Т' 2 п за ову вредност х биЬе h — 2х т. j. горва површина валка при датой свитку биЬе минимум, ако je висина вегова — преч- нику. На том основу губиЬе суд у коме се топда течност надави, HajMaae топлоте ако je површина вегова минимум. Дакле том усдовщу одговориЬе валак суд, ако je висина вегова равна пречнику. 161 5.) Дата je кружна купа па се из ае тражи уписани валак коме Ье запремина максимуму да одговара. Нека je AB — В— полупречник купине основипе BG—h= висина купе Сд. 34. С ВЕ=х полупречник в аЛэК я ВЕ—у висина вал>ка V — свитак валька Из стереометрще имамо ову сразмеру. СЕ ЛЁ СВ ~АВ или 1) h — у X h Л 2) Ѵ—пх г у. Избацимо у из jeднa- чина 1) и 2), доб^амо Ѵ^Л^(Вх і ~х і ) В ДиФеренцщалимо имамо: dV dx rih ~Л (2 Вх — Зж 2 ) Ставимо диФеренцщалии количник dV dx = 0 то cAeAyje: : 0 и х = —-В За ж = 0 биКе запремина вал>ка =0, дакле миннмум. 2 Ако х од 0 па до Н расте, онда je dV ноложно, да- П 162 кде V расте; растеди joui и дал>е чак до R онда je dV од- речно дакде V пада. Из овог видимо да У само може онда максимум бити ако 2 jex=—R, заменимо ову вредноэт у ^'едначину 1) добіамо, 1 7 , у= j- h т - h Балак uajee&e запремте уаисан у купу има за висину тре- Яину куаине аисине, а за заиремину — заиремине купине. в ) У Физики, Меканики, Астрономіи, Геодезіи и т. д. до- лазе такве задаЬе да се из више опита добивеним бріевима, nahe права вредиост дотичног 6poja. Узмимо да смо у застопце ври п струйной посматравьу нашли сдедеЬи п вредности: ) ^2 ) «3 > ^4 J ' * * «„ Па како су те вредности због вида иди иструмента погре- шне т. j, OACTynajy од праве вредности х, то су те учивьене погрешке при речним посматрааима: х — а, ; х — а 2 ; х — а 3 ; х —а 4 ; . .. . х — а„ Гаус нам je показао, да из учиаених посматрайа HajTanHHje вредности добіамо, ако je збир квадрата учивених потрешака минимум. По Toj методи iiajuaanx квадрата мора дакде функпіа: у = {х—а 1 У + {х-а.^ + {х—а і ) г -\- . . . + (х—а„) 2 минимум бити. ДиФеренціалимо ту Функціу, имамо: = 2 ct,) J +(a;—« 2 ) + (a;~ß s )+ - - • +(x— «„)] Ако ставимо — 0 добіамо: ах 0 = 2 [ (х~ а 3 ) -{- (х — а 2 ) + (х — а с ) + .... + 0 — «„)] 163 дакле je: х = Д)Ч~ а 2 4-Д 3 Н~ • • • » Ч~Д П п Дакле права вредност х. jecr средѣ а алгебра^ска размера из свих аосматраѣа. Ако х од 0 на до те размере расте, онда je dy одречно стнм у пада; растели х joiii веЬма, онда je dy ноложно и у расте, дукле je у минимум само за ту средву размеру. 7) Дата je страна АВ=с, и угли су А и В мерени. (Сл. 35.) Пита се каква ундина има мерна погрешка на страну ВС=а. Из троугла имамо ову сраз- меру а : с — sin А : sin G иди asinC—csinA почем je sm C=sin(A-\-B) то добщ'амо: а. sin (А 4- В) — 6 sin А унотребимоли природне лога- ритме дибщамо: Сл. 35 . С 4 log а -j- log sin {A-\-B) = logc - (- log sin А Овде су А и а промешьиви, В и С стални 6pojeBH, зато je ако диФеренцщалимо: da а eosA cos{A-\-B) sm А sin (А + В) dA или da _ sinBdA а sinA stn{A+B) Промена, Kojy при ncToj вредности dA, размера - пре- a трпп, записи од вредности угла А, дакле од вредности про- мешьивог делитева sin А sin (АВ), у колко та) делител> ма- ви буде у толико биЬе ----- веЬе. Ставимо : а у = sin А sin (А-\-В ) 11 * 164 —— = sin А cos ( А -j- B) -f- cos А isn (A-\-B äA 1)-Ц- = S i n (2 А + B) =0 Из овог диФеренце^алног количника добицамо: 2П+В = 0 ; 2АА-В = ті ; 2^ + Б = 2тг Услов 2А-\-В = 0 н’еможе uocTojaTU, jep бо би морало А или В одречно бити, што неби смислу задаЬе одговарало, тако исто и услов 2A-j-B = 2rr неможе постати, jep je: 2( А + В + С) — 2п, а 2 А + В <2 (J.+.B + С) За то Ье sin(2A + B) = 0 бити, ако буде 2 А А-В —л дакле: А=± (и-В) Ако угао А у обрасру 1) расте од нуле, па до ~ (п—В) онда je dy положно и у расте; ако А jouj даве расте онда je dy одречно и у пада. Дакле у биЬе максимум, и мини - st мум, ако je А= 1 / І (п — В.) Ставимо ову вредност А у образац А-\-В -\-С — 71 т0 следуіе: С = У 2 (п-В) Из овог видимо , да je G = А само онде где ми- а нимум nocTaje. Нека je dA мерна погрешка угла А онда je da погрешка стране. а Дакле HajMaaa погрешка Koja при мереву угла на HacnpaMHoj страни nocTaje биЬе онда, ако je тра- жена страна равна AaTOj страни. ТІредпоставимо да je а=с и пазимо у пли в угла В на страну Ъ то добщамо равним начи- ном, да дата страна с и тражена страна Ъ Однако Mopajy бити, ако се хоЬе да je погрешка стране Ъ минимум. Из тога след^е: Из je дне мерене стране, и два на roj страни лежеЯа 165 али иогрешно мерена угла, остала три елемента троугла из- рачунаЯемо HajrauHuje ако je троугао равностран. 8.) Изме^у две светлеЬе тачке М и N Koje су правой пру- гом везане, наЬи оно место В где je naj слабнуе осветлеае. При том предпоставльамо да je jannna светлости обратно сразмерна квадрату удалена извора светлости. Сл. 36. Ot/f 5 Ставпмо у Сл. 36. MN = a, МВ~х, BN=a —х дал>е, нека je ннтензивност светлости у одсі^аву jeдaн од М и N равна т 3 и п 3 , то Ье онда интезивност светлости у В Kojy Ьемо са у означити равна бити. ,2 (а — х) 3 х' диФеренціуалимо добэдамо: dx х 3 (а — х) 3 Ставимо ——о дакле: dx 2т 3 О из овог следу^е (а — х) т: ( т-\-п :) Ставимо ли ту вредност х из 2) у ^диачину 1) тад добщамо као HajcAaönjy интензивну светлост у В: 166 (m-\- n) 3 у — — -— я а 1 9.) Снагом ІРвучемо тело тежине G по xopn30HTa.rnoj повріпи- ип, та спага К o6pa3yje угао са хоризонталноы површііном. Пита се иод каковим Ье углом а снага К бпти мииимум. (Сл. 37.) 6л. 37. Разложимо К у две саставнице: Kcosa и Ksina, тад снага Kcosa лежи у правду крета&а и равна je трвен>у тела на xopii 30 H'raAHoj површини, Ksina дejcтвyje у нравно у висину и ума-ьава нритисак G на површпну. Дакле je нормални при- тисак на површину: G — Ksina Нека je г коеФициенет треаа за нормални нритисак — 1 Дакле je трен>е равно: = r(G — Ksin а) и с тим je услов за равнотежу: Kcosa~r(G — Ksina) или COS а -s- rsin а Овде je бр(уител> r.G сталан, дакле делител> 1). y=:cos a-\-rsina треба да je максимум, ако К минимум треба да буде. Дцфѳ- ренцніалимо jeднaчинy 1) добщамо: dy . . =— sma -j-rcosa dx Oßaj диФерендщални количнмк биЬе раван нули ако je tg и —г I Ако а расте од О па до вредности ко ja из tga — r про- \ излази; тад je dy полотно и у расте; расте ли а joui веЬма то I je dy одречно и у иада. Услед овога биЬе у за вредност tga — r максимум, дакле К минимум; та HajMafta вредност К равна je: rG — rG cos а сш -f- tg а .sin и 1 1 но почем je cos а то je V 1 + tg' 1 с* 2 У 1-f г 2 г G У 1 -j -г 1 За xphaae путове треае je г —0,1 дакле добщамо за tg а —0,1 угао « = 6'°. Из овог видимо, да je naj6o-bn по- Aomaj руде од 6 0 према xopизoнтaлнoj површини. 10.) Исштщмо дали Функщц'а: у = а-\-х 3 има максима или минима. 168 Сл. 38. Ако ту ]едначину графщски представимо то добщамо кри- ву вида CD В Сл. 38 она сече ординатну осу у тачки В чще су координате -r — 0 ; у = а~АВ. ДиФеренцщалимо дату нам ,]'едначину добщамо: dy_ __ dx Зх 2 Овау диФеренцщални количик биЬе раван нули ако je х = 0 дакле je дирка кроз тачку L равно-одсто^на са осом Ах\ ако х од — ос па до 0 расте онда je dy положно, и у расте, ако х од нуле на до ос расте, то je онда dy положно и у дале расте. Из овог видимо, да dy прелази из положне вредности кроз пулу опет у положну, Taj прелазак бива за х~0. Даклем je тачка В обртне тачке те криво. 11.) Каква CBojcTBa има ова крива:? у—а - f «(1— ж )| ДиФерені^алимо добщ'емо: dy dx Ставимо -4^- —0 дакде ах 169 0 = — —Ъ У 1 — « 2 OBaj диФеренц^адни количник може бити само онда — О ако je х—1. Ако х од — c -о па до +1 расте, то je dy одре- чно, и у пада; растеди х од Д-1 на више то су онда dy и у уображене (imaginär) вредности. Дакде je х—1 граница на- ставности функцще. Тачка те криве чще су координате х=1, у— а шид>ак je (spitze) те криве и дирка joj je равноодтуна са dy апсцисном осом. Дакде усдов dx :0 неодговара ни максимуму ни минимуму. § 90. Максима и минима Функцща еа зѳдним промѳнли- вим 6pojcM. У § 88. разтумачено)е шта се разуме под макси- мумом и минимумом )едне Функцще, и показано je да су такве Сл. 39. С' л с вредности могуЬе. ако их замисдимо као ординате )едне криве пруге изражене са У — f ( х ) и то само онакве, у ко)има на крину повучена дирка равнн идейна са апсцисном осом поста) е, т. j. кад диФеренцщалпи 170 количник dy___ dx 0 nocTaje. Наравно да тамо нисмо могли ни- какав апалитички знак дачи, Koju би био осиован на диферен- цщалном рачуну, и по ком би могли Hajßeby и HajMaay вред- ност Функцще познати. Нека je х=ОА апсциса, Koja максимуму или минимуму одговара т. j. у Kojoj je йена ордината у — AB максимум или минимум Сл. 39. Ако х за h = AC=AC' нарасте или се смави то по те- леровом обрасцу добщамо: Ъ г ъ 1 f(x + h) =f(x) + /+ (х) + (*) + 23 2~з4 7>2 Z, 3 т.4 f(x—h)=;f(x)—hf‘(x) + — f“(x) -gg-/ s "(®)+/ > " , (®)- 234 — Ако f(x) на другу страну нренесемо и —^ = f' (х) — 0 ах ставимо, као у слои ако максима и минима треба да бу де, до- бщамо: l)f(x+h)—f(x) = f“{x) А. -) f( x ~ h ) —f( x ) =Р ^ 2 + 4 ^ "" ^ 2+45 ^ вредност h можемо тако малу замислити, да у редовима 1 ) и 2 ) по § 39 планово са треЬим и вишим степенима од h ирема члану А 2 изоставити смемо, тад имаио: 3 ) f{x + h) — f(x) — ~f u (x) 4) f(x — h)—f(x) = ~f“(x) Ако су оближве ординате GD = f(x-\-h) и CI)’~f(x — h) Сл. 39. у исто доба маве него ординате AB = f(x), то je онда f(x) максимум; ако су у исто доба веЬе него AB=f(x) то je 171 онда f(x) минимум. За максимум треба, да десне стране у 3) и 4) одречне буду а то je само онда могуЬе, ако je f“(x) од- речна, почем je h 1 свагда положио, за минимум пак Mopajy те десне стране положне бита, што je само могуЬе ако je f“(x) положна. Дакле из дате Фупкц^е y—f(x ) или <р(х,у) = о тражиЬемо диФеренищалне количнике или "рву, другу, треЬу и т. д. из- водну Функціцу; прву изводну Функцщу ставиЬемо =0 т. j. dy -.f‘(x) = 0 одатде Ьемо определити корене, и вредности dx тих корена заменути. у другу изводну d*y dx ' 1 Сад дajy они корени максимум, kojh заменоы другу изводну Функдщу граде одречном, а минимум Koja je граде положном. Дакле укратко речено: Да максимѵм или минимум на^емо вала дату функцщу диФеренцщалити, прву изводну или диФеренщуални dy количник првог реда d х -f’(x) ставити — 0, и у aoj све корене определити, те све корене редом ставити у диФеренци- d 2 y . . . d 2 y ^ални количник -~-=f"{x) дате Функцще, ако je стим (Хсс ах одречна имамо максимум, ако je положан имамо минимум. Ако ти корени Koje смо из = f‘ [х )~0 добили учи- не да и у ове: d 2 y dx 1 d х ■■ 0 иостане онда ирелазе jeAiiannHe 1) и 2) 1)3 L4 1)3 5) f(x+h)—f(x)=f“‘(x)—+f““{x) — -j+f‘““(x) 23 45 + 7,3 7,4 7,5 6) f(x—h)—f(x)=- +f““(x)-2s2 -/*""(*) g-5+ • - - Ако се овде f“ l (x) од нуле paзликyje, то HMajy чланови ca W kojh разлике f(x-\-h) — f(x) и f(x—h ) — f{x) oi^^jeAyjy противно знаке, у овом cAyaajy нема Функцща f(x) ни максимум ни минимум, а Однако знаке само онда могу имати, ако први чланови на десно]' страни исчезну. Да доиста исчезну морд 172 ~ dx 3 ~~f“ ~ ° бИТИ J6P ^ ИИ ^ е 3ампсдимо Д а J e У редо- редовнма 5) и 6 ) h тако мало да но § 39 чланове са ¥, ¥ и т. д. према плану ¥ изоставити смемо, услед овога добщамо: 7) f{x + Ä) — f{x) =f"“ (х) - 2 - У *- 4 - 8 ) f(x — h) — f(x) = f““(x).~ 2^3-4- Из овог видимо; да Ье Фуякщца бити максимум, ако je f‘" (х) одречна а минимум ако je f““(x) положна. Ако те корене вредности учине да и f““(x) — 0 постане, то на нети начни добщамо: 7,5 Ъ 6 f(x + h) —f(x) = f . (x) 2 В - 4 Г +f . (*) ^ - 3 7 4 5 6 + • • • h 5 h 6 f{x~h)-f{x)=~f . ( 2 )- 2.3.4.5 +f .(*) -2 73^ 75.6—" услов je за максимум или минимум да j-^-=s”"(x)=0 кад се Taj услов испуяи, онда добщамо максимум ако je f"'"(x) одречна, иди минимум ако je положна. 3 а д а Ь е. 1.) За Koje вредности х nocTaje алсебра^'ска Функпда: у = х 1 + ах + Ъ максимум или минимум. ДиФеренцщалимо ту Функцщу добщамо: Ставимо диФеренциДлни количнпк dy dx — О дакле 17В 2х-{-а—0 определимо вредност х дакле а Х ~ ~ 2 ~ За ту вредност х noCTaje Функцщ'а минимум jep je ди- Ференнд)'ални количник другог реда положан —-{-2. 2.) Означити за Koje вредности х полином у — Зх* -f- Зх 3 — 36ж 2 + 24 има максимума или минимума. ДиФеренцщалимо Taj полином добиіамо : - —f‘ (х) = 12 ж 3 + 12 х 1 — 12х (х) = 3&х 2 -\-24x — 72 ах 1 Ставимо -^-=0 = 12ж 3 +12ж 2 — 72х или ах х 3 -\-х 2 — 6 a: — О Корени су ове jeAHaHHHe : -x — 0, х — 2, х = — 3, за х — 0 — ^ =/’" (х) = — 72, дакле je за х=0 полином максимум и то =24: за х=2 = f"(x) = 120, дакле je за х = 2 полином минимум и то — —10 — f" (ж) = 180 дакле je за х— —3 полином минимум и то = — 165. * 3.) Означити за Kojy вредност х неразвщена Фувкци]а а) . . . у 2 -f- 2 xy-j-4x 2 —12 = 0 а d 2 y зи х= —3, —2_ dx 174 CMaTpajMO овде ж као яезависну промен.ьиву и диФеренци- І&ашао два пута добщамо! ß) . . . . (2 у -f- 2 х) dy -f- (2 у -(- 8 х) dx = О у) • • • • {dy J r dx)dy-\-(y-\-x)d 2 y-\-(dy-\-4dx)dx = Q Ако jeMaiimy ß) са dx и ^бдяаввяу у) са dx 2 поделимо добщамо: (У + я) dy_ d х + (*/+4ж) = 0 <»+*>^+(^гУ + 2 (-&)+ 4 =' Ставимо у тим ^бдяавивама dy dx ; 0 то сдедуіе ё) .... у -[-4ж=0 d 2 y _ 4 ^ж^ ж -j- у ПомоЬу jeAuaunHe ё) и «) добщамо као одговараіуЬе вредности промешьивих: ж-—+ 15 У — — 4 Дакле = + / 3 х = ~1; «/ = + 4 „ -j-JL = — % Дакде je за ж = + 1 функцща минимум: а за ж =—1 максимум. 4) За ко je Ъе вредности х ^днанина. у —(а — ж) 4 + Ъ бити у максимум или минимум. ДиФеренцщалимо двапут узастопце добщамо: ^у_ dx 2 = 12 (а — ж) 1 175 Ставимо —0— — 4 (а — х) 3 то добиіамо х — а за ту dx je вредност dhy dx 1 :0: Почем je диФеренцщ'адни количник другог ре да раван нуди то неможемо впдети дали за вредност х—а Фуякцща има максимума или минимума. Ако дад>е дифѳ- ренцщалимо добщемо: £у_ dx 3 24 (а — х) d'y dx 3 + 24 то За х=а биЬе и ——0 но почем je dx 3 je онда за х~а Функщца минимум. о) Да на^емо максима и минима Функцще: d'y dx 4 подожан у = sin 2 х cos х са том предпоставком да се дук х од х-=а па до х—2п ме- аати може. ДиФеренцщ'адимо ту jeднaчинy: —— — — .sin 3 х 4-2 sin х cos 2 х dx <1 2 У dx 2 — 7 cosxsin 2 x2 cos 3 x m dy_ dx ставимо ово : = 0 cдeдyje, ако joni иа место cos 2 x — sin 2 X sin x (— 8 sin 2 x + 2) = 0 Корени су те jeMainne сдедеЬи: sin ж = О sin X — + V 2_ sin х — 3 Сл. 40. 176 +1 8 со о о и " о. 2 S т 8 CD в о в ф 8 В А Н _св 'а* Св ѴО а*|ч. % *§ 177 В .. sinx— V C..,sinx—— J /3 E. ..sinx ——1 /j V 5 F . .. sm* — —Jy/ ., cos -r— 3 ,cosx~ 3 , eo8L- 3 cosx / 1 54^ Л f/ i (/ 1 IdO» ^ , /1 r 3 180° dx 2 у 3 -і/Т ж= !^^ = 4і/Г J/ -g ’ 180° ена огртачна површина —F , висипа —h полупречник кругле —г то имамо: 1) . . . . F — 2 7і . г h 2) . . . Ѵ= nz 2 (г — Из jeMaMse 2) добщ'амо: 1 , . V г = — h -\ - 3 nh 2 Ставимо ову вредност у ^дначину 1) добщамо: F=jnh 2 + 2 ѴЪг' ДиФеренщцалимо ову jeднaчинy и V CMaipajMO као сталну количину добиЬемо: 4? =~nh-2 ѴЪГ 2 dn 3 d 2 F dh 2 -n -f-4 Vh~ 12 178 Ставимо први диФеренцщални колични =0 то je dx W = 3 V 2яг НомоЬу те вредности h добдіамо: d 2 F 4 . 8 ѵ - — 7t — j- -71 dJi 1 3 ^3 Ми видимо да je вредност диФерендщалног количника другог реда положпа ако je F минимум за: Ставимо ову вредност h у jeднaчинy 2) добщамо: r = h т. j. Круглина кришка са минимумом огртачне површине іест полукругла. 7) При Kojoj je температура специстична тежина во де Haj- гущЬа? Халстрем je помоЬу 64 опита и унотребом метода najMa- аих квадрата нашао спедистичну тежину воде s: s = 1 4- 0, 0000 52939 t — 0, 00000 65322 і 2 + 0, ООООоОО 1445 1 3 овде t означуе температуру воде: ДиФеренддіалимо ову ^дпачину: ds dt — о, 0000 529 39 — 0, 0000130 644 1 -f о, 0000000 4335 f d 2 s dt : — 0, 0000 ISO 644 + 0,0000000 8670 t Ставимо — 0 тад je : dt t=L 4,108 с» (степени делзиуса) За ту вредност биЬе d 2 s dx 2 одречно, дакле je s максимум. 179 По овим опитима вода je Hajryinba при температуря 4,108 С°: 8) НаЬи минимум рада воденичког кода. Дато нам je воденичко кодо, пека je т маса воде Koja са брзи- ном =Ѵ тече, и средаа обртна брзина кода пека je =ѵ. Пита се при KäKBoj Ье размери брзина V и ѵ, рад водениичког кода Сд. 41. бити минимум. Рад Kojn вода у jeAHoj секунди врши добщамо вко притнсик водс у нормалном правду помножимо са брзипом кода ѵ. Притнсак текуЬе воде сразмеран je маси т и редатп- BHOj брзипи V—ѵ дакде = «m(F — ѵ) где а сталан 6poj 03- Hanyje, дакде je тражени рад, ког са А означуіемо: I А == am ( V — ѵ) ѵ ДиФеренцщадимо ту jeMannny и притом CMaTpajMO А и ѵ као променл>иве добщамо: л А —— =ат(Ѵ — 2ѵ) й г А Лѵ г — 2 am dA Ставимо-— 0 добщ'амо: dv V — 2ѵ = 0 : ѵ = 1 /. V 12 * 180 Но почем je -— одречна вредност то коло ради ои- аѵ* да Hajßmue ако je аегова обртна брзина на периферіи само по іовина брзине воде. Ако се брзина ѵ с вреяеном од вредности ѵ—у % V удашава, то се онда лагано CMaayje н рад кола- На овос видимо да се брзина кола може ме^у извесним грани- цама меаати, без да у раду што штету^емо. § 91. Максима и минима са двѳ промѳшьивѳ. На основу досада реченог можемо определити максима и минима Фун- кцще са два промешьнва 6poja. Ради олакшпце предпоставл>а- мо да се Телеров образац за развщатье такових Функцща упо- требити дaje, као што то у прпмени noHajßmue бива. Дата нам je Фуикцща: 0=f(x t y) са две независне ироменшиве % и у, да ле h и к HMajy врло мале вредности. Ако променл>иВе х, у наставно прелазе из вредности х — h у х-\-Іі и из у — к у у-\-к. Успоредимо ли парно вредности х и у то сваком таквом пару, одговара изве- сна вредност z. Ако за такав нар вредности х и у вредност z веЬа или маша бива него за све остале иарове, то je онда г максимум или минимум. Нека су х, у такове вредности Koje z максимум или минимум праве, то онда мора битн разлика: f(x + h, у + k) — f{x, у) За минимум свагда одречна, а за максимум свагда поло- жна, па биле вредности hak положне или одречне. Ако ставимо к = пЬ и по телеровом обрасцу равняемо добщамо: е_ £^_ +2п _£і_ +».Ді \ 2 V dx 1 dx.dy dy 2 / +. Замислимо да су овде h и к тако мале вредности, да je први члан с десна веЬи од збира следеРих чланова, то Ье знак разлике у 1) зависити од знака у изразу: 181 3). . . h dz dx + n ) Но почем знак тога израза зависи од знака h, дакле раз- лика 1) неможе за све вредности h и к само положна или само одречна бнти, без да израз 3) у реду 2) исчезне. Ставимо израз 3) раван нули што je само могуЬе ако je ; 4 )... dz dx -j- n dz dy = 0 Jep неможемо зсмпслити да je h = 0. Но како je у изразу 4) количипа n као размера изме^у h и Je производна, то усло- ву 4) одговараЬе се тада, ако у исто доба ставимо: 5) . . . =0;— О dx dy Ако сад у 2) члана са h нестапе, и ако су h и h тако мале вредности, да je члан са веЪи него збир следеЪих чланова. Ако je Taj члан за вредности х, у Koje из 5) добщамо положан то Ье е бити минимум, ако je одречан онда je z мак- симум. Почем знак тога члана зависи само од: 6 ) d 2 z dx 2 + 2 п d 2 z dx. dy -f- n 2 d^z W l jep je h 2 свагда положна вредност. Олакшице ради узмимо место израза 6) onaj. а) . .. А -(- 2м В -j- Сп 2 шта овде В, С ознкчуіу можемо лако у виднти ако oBaj израз са 6) сравнимо. У место а) можемо ставити: с ( 4 + 2 в 4 +”') в 2 ~с* В 2 то имамо: Дoдajмo том изразу у загради joui 182 7) Б г С 1 -(4+”Л у изразу 7) ^свагда je положно, ако дакле ставимо А ѣ г > л АГ >т — -(7~ = ° иди АС —В то je онда количина у ведиод загради израза 7) свагда положка, дакле закиси знак делог израза 7) само од знака G. Ако je С положпа вредност, то je z мпнимум, ако je С одречпо онда je е максимум. Да би се у слои АС> В г испунио мора да je знак од АС свагда положан дакле А и С са ^днаким значима. Из овог добрано следеЪе правило: Ставимо оба диФеренщ'адна количника првог реда—^— dx равна нули, и опред елимо све 3ajeAUH4Ke вредности од иу х и у, ставимо те тако добивене вредности х, у у диФерен- d 1 z d i z d 2 z dz цщадне количнике другог реда при том: df а) обе количипе d'z dx 2 jeAHaKe знаке HMajy, и , Ако сРі ß) ако je аин производ веЬи или раван квадрату од ^ - то онда имамо за z максимум или минимум, и то максимум ако je знак од ^ % - или — ^ ^ одречан, а мини-мум ако je dx äy l положан. Ако оне вредности од х, у Koje диФеренпщалне количнике првог реда нулом праве, учине, да и диФерендщални ко- личници другог реда исчезну, то нам je из досадааег jacHO да само онда може максимума или минимума бити, ако и дифѳ- ренцн)ални количпиди треЬег реда за скаку вредност од х, у нулом постану а меІ>у тнм диФеренцщалпи колпчниди четвртог реда зajeднo положни или одречни остану, макакве вредности 183 h и k имали. Ако те вредности од х, у учине да и диФе- ренцщални количници четвртог реда исчезну, то je онда услов за максимум или миниыум да диФеренцщални количник пе- тог реда ставимо раван нули, онда добіу'амо максумум ако je диференцщални количник одречан а минимум ако je положан и т. д. 3 а д а Ь е. 1) Праву пруту дужпне А треба поделити у три дела тако да ароизвод тих делова буде максимум. Означимо први део* са х , ДРУги „ „ у то je онда треЬи део А — х — у: Означимо нроизвод тих делова са z то имамо: z = xy [А — х — у) Постунимоли по гор&ем правилу добщ'амо диФоренцщалне количнике првог реда. Ау — 2 ху Ах — 2 ху 2 2 d у ДиФеренциалимо jom іедаред добіуамо диФеренцщалне кол личнике другог реда. Ставимо диФеренцщ'алне количнике првог реда —О то оье- ДУІе. А — 2х — у = О А — 2 у — х~0 Ако ове ^дначине разрешимо добіуамо: х=у = ‘/ 3 А Заменимо ове вредности за х. у у дпФеренци,алне количнике другог реда то добіуамо: d 2 s dx 2 dx.dy 184 „ d 2 z d 2 z . . , . Почем--• —- ; іеднаке знакеимаіуиапхов производвеЬиіе dx 2 dy 2 него квадрдт од d 2 z dx‘ dy d 2 z 5 то je z за вредпост х — у—\А мак d 2 s симум тер іе знак од-—- и - одречаи, дакле производ из и 2 dy тих делова биЬе максимум онда, ако су ти деловн ^еднанн. 2.) Дата нам je загремина праве призме, тражи се Hajuafta вена. огртачна површина Означимо са V запремину прве нризме „ „ F половину вене огртачне површпне , „ х. у. z. вене ивице. то ямамо: 1 ) .. Ѵ = х. у. z 2) .. F = xy-\-xz-\-yz определимо z из ^едначине 1 ) и ставимо у 2 ) добщамо F—x. у + Ѵу -1 + Ѵх~ 1 диФеренцщалимо ову jeAHannHy ■У d F тг -г dF „ . j— =у— ; -т- =х— Ѵу dx dy диФеренщуалимо joni ^едаред d 2 F dx 2 d 2 F d 2 F 2Vx~ 3 : %4- = 2 Vy ~ 3 : --- — = 1 dy ' dx.dy Ставимо прве диФеренщуалне количнике dF da : 0 , ——0 dy то следу^е x=y = у. Ако ове вредности за х,у уведемо у диФеренцщалне количнике Другог реда то добщамо: d 2 F dx 2 9 d ' F -0. 2 ’ IF d 2 F dx.dy 1 185 » r ' d 2 F d 2 F Почем су вредности ■—— и -— положне и ьихов произ- dx dy 2 вод веЬи je од квадрата вредности d 2 z то Ье F бити мпни- dx.y мум за х = у = = ]/"Ѵ, са обзиром на jeAnanHHy 1 ) je е—х — N. Дакле видимо да ме^у свщу правих призма исте запре- мине, она призма има HajMaay иовршнну у Kojoj су све стране jeAHaKe. 8) Из jeMe тачке, Koja изван површине лежи, повуЬи упра- вну на ту површину. Нека су кордиеате те тачке, Koja изван те површине лежи х 1 , у ( з і а координате jeMO тачке те површине нека су х, у. г. то je jeMannna површине. 1 ).... g — ax-\-by-\-c Свежимо jeAHOM правой дату тачку, са тачком х, у, z те порршине и означимо іьену дужину са р. Повуцимо кроз Kpaj&e тачке р површине, ко je су равноодстщне са кординат- ним површинама xy,xznyz то оне ca4HH>aßajy праву призму inje су ивице. (х — х‘), (у — у'), п (z — z‘) Дужина je дщагонале р те призме: 2 ) ... p = \/( x -x 1 ) 2 -\-(y-y 1 ) 2 + sz — z') 2 Ставимо вредност за z из jeднaчинe 1) у ову, добщамо: 8)... р \/(х — х 1 ) 2 -j- (у — у 1 ) 2 -\-{ах-\- ву 4-с — я‘) 2 Почем р CTojn управно на површину то мора вредност од р минимум бити: Први почесни диФеренцщални количници из jeднaчинe 3) jecy : dp х — х'-\-а{ах-\-Ъу-{-с — z‘) dx р dp _ у — у 1 + Ъ (а х -|- Ъ у + с — z') dy ~ р Саставимо ове диФеренцщалив количнике = 0 и уводимо опет вредност за е нз 1) то добщамо. 4) — х — x 1 -{-a(z — s') — О 5) .... у — у‘-\-Ъ(г — *') = 0 186 У след тих условних ]едначина, 4) и 5) бнЬеду диФерен- цдІални кодичници другог реда. d*P _1 + а\ d*p _ 1 + Ъ г , d 3 p аЪ d х 2 р ' dx 3 р dx. dy р оба су диФерннцщ'ална количника положна, и йихов je производ веЬи него квадрат од dx. dy ' ДаКЛ6 he р бити минпмум ако ^едначине 4) и 5) под тим условима остану. Іедначину 4) можемо сматрати као npojeKpnjy исте управне р на површвну xz, а Іедначину 5) као npojeKii,njy нсте управне р на површину yz. Ове jeднaч 0 нe зовемо у кратко, іедначинама праве пруге р. Да мпнималну (на]ман>у) вредност од р на^емо, могли би из 1), 4) и 5) количине х. у и z израчунати и после у іедна- чину 3 увести. Но ми долазимо брже к дели на oBaj начни: Ставимо: 6) .... z 1 — ах 1 + Ъу 1 с—с 1 где с 1 пеку нову сталну вредност представлю. Одузмимо ^една- чину 6) од 1) добиЬемо; 1) ... . z — z l =а(х—х 1 ) + й (у- -у) + с‘ Ако у ову jeднaчинy ставимо вредности за х—х 1 , у—у 1 из 4) и 51 добиЬемо: ПомоЬу те вредноси за z—z l следуіе из 4) и 5) — а с 1 - - Ъс 1 У у1 ~ 1 + а 3 + ¥ Уведимо ове вредности за х — х 1 , у—у' а z — z' у іедпачину 2) тад добщамо тражено одст<^ан>е ако при том вредност за с' из 6) заменимо: •fcKW. 187 _ g 1 — ax 1 — by 1 — c 8 . 92. Условна максима и минима. Више се пута дешава да су вредности, ще извесну Фупкцдіу са више променливих мак- симумом или минимумом граде, врло често jom за неке услове веза- не, ти су у слови ^дначинама изражени. У том случаи имамо посла са определьивавем вредности промешьивих, Koje дату функцщу граде максимумом или минимумом, а у исто доба условним ^ед- начинама одговара^у. Ако се тражи н. и. Hajapahe одсто^а^е ^едне тачке «, ß у од неке површине изражене ^едначином Ax -|- Бу -f- Се + 1) = О то би био израз: V (x-a) i -\-(y — ß) 2 -{-(g — Yf Kojn нам OAcrojaae « ßy и xys Aaje, само треба jom да буде ми- нимум или максимум са условом да вредности за х. у и г ^ед- начину површине задовоже. Природии начни за оиредел>нван.е максима и минима био би, да се зависни промешьиве избаце. Ако je н. пр. ^дна условна іедначина <р (x,y,z) — 0 дата, то би je могли по g разрешити, и та^о naheuy вредност z у Функ- u,njy F(x,y,z) заменути од ко je се максимум или минимум тражи, с тим би онда добили место Функцще са три променлшве, Функцщу са две променл>иве, за Koje би максимума или минимума по § 91 могли наЬи. Ако су ме!>у тим цромешьиие две условно je4Ha4HHe y>(x,y,z) = 0 и xß (x,y,z)—0 дате, то мо- жемо помоЪу тих jeднaчинa у и z са х изразити, и те вредности у дату Функциіу F(x,y,z) заменути, то онда има дата Функдща jom ^дну променл>иву. Такво избациваве више пута je немогуЬе, и у таквим случаима морамо се посдужити дру- гим пууем, Koju се у томе cacTojn, да пз условних jeMaiuna неизбацуіемо зависне променливе него из вихових диферен- дщалних количника. Пут je по ком се то вріии ово: а.) У дат<^ Функціи F (х,у) Koja треба да буде максимум или минимум, и норед тога ycnoBHoj уедначини f (x,yj^O да 188 одговара, мора у опште —- =0 бити, дакле за OBaj случау где F осим х уош зависну промешьиву у има: dF . dF dy , dx dy dx диФеренцщалимо и условну ^дначину, при том cMarpajMO х као независну промешьиву: ä

иве, и притом само j едиу условну ^едиаиииу то онда можемо х и у као независне нромешьиве а г као зависну промешьиву сматрати, дакле je d F d ѵсдов за максимум или минимум —- = 0; —-=-— S или (л 30 (X у ако се обазремо да у F долази и г као Функцща од х,у то имамо: 1) . . . . d F ^ d F d z dx dz • dx dy dz dy Ако условну уедиачииу tp (x,y.z) — 0 почесно диФеренци- іалпмо добщамо: В) I U( P . 11 Z Q dx dz dx 4) . . . . 1XL+ t J± _ 0 dy dz dy dz , . ,4 0 % üz —— помоьу ^едиачиие 1) и 3) тако исто и Избацимо из 2) и 4) то добщамо: dF 5) dtp dF dtp dx dz dz ‘ dx — 0 dF dtp dF dtp y) . . . .-. —'-. —— — 0 dy dz dz dy Ове jeднaчинe 5 и 6 у свези са условном ^диачииом tp(x,y,z) — 0 оиредел -yjy вредности за вепознате x,y,z. — Oeaj начин опреде^ьивааа можемо увѳк употребити, jep он H3HCKyje избациваае из динеарних ^едначина што смо свагда у стаау извршити. 3 а д а L е. 1.) Да би ону исиочетка напоменуту задаЬу решиди ставимо 1) .... F-(x—a)' l -\- (y—ßf + (г—у/ 2) ... . <р = Ах + Ву + Ce-\-D = 0 овде имамо две независне променаиве х и у а г je Функщц'а од х, у. — Ставимо почесне диФеренцщалне количнике од F равне нуди то имамо: , * dz л х — и -+- (0 — у) —— — О dx y — ß + (* — r) =ö дад>е добщамо ако иочесно ^едпачипу 2) диФеренщцадимо: А + С^=0-, ѣ\С^- = 0 dx dy због избацивааа почесних диФеренцщадних кодичника имамо: В) . . . . А(г -у) — С(х—а) О 4). .. . B(e- r ) — C(y-ß) = 0 Ако свежемо 3) 4) са 2) то Ьемо по реду наЬи г, у и х: х—а — Ак\ y=ß — Вк\ Z = D — Ск _ Аа -\-Bß-\~ Cy-\-D — А г В 1 С 2 Ове вредности одтовара^у само максимуму од F. 2). Nehy свим троугдима, щи има]у іедан ^еднаки угао — а и исту површину —F, треба наЬи OHaj троугао, щи има HajMaay периФерщу. 191 Означимо са х, у, е стране троугда, од koj'hx е лежи наспрам датом углу «. ПериФерщу тога троугла означимо са s — х 4- у z минимум. Као условне ^едначине имамо: 2 F ~ х. у. sin а г* = х 1 + у 1 — 2 ху cos а ДиФеренцщалимо те три уедначине добщамо. 1) . . . ds = dx + dy + ds 2) ... 0 ~ x dy у dx 3) ... z dz ~ x dx -}- у dy Из іедначине 2) 3) следу^'е. dy= -— dx-, dz - - dx x x z Заменпмо ове вредности у і) и ставимо сачинитела од dx равна нули, добиіамо. i == i + fl^»l=o ы . («-,)( * + » + * | а xz 1 xz ) из чега следу^е х—у т. j. Троугао мора две ^еднаке стране иматн, Koje дати угао закл>учууу. ІІомоЬу условних ^едначина налазимо: х = у — у/ 2 Fcose са; z= 1 3) Из четир праве а, ß, у, 6 построити четвороуго-ьак Haj- веЬе површине. Означимо са х угао щи а са ß зак^учу^е, са у угао изме^у у и д то je онда површина четвороугоаька. У 2 а ß sin х -\~У 2 у ö sin у Ово треба да буде максимум. Овде узеЬемо двогубо HajBeby површину Koja опет мора максимум да буде дакле: 1) F — а ß sin х 4- у d sin у Опрделимо пречицу (дщагоналу) Koja лежи према угловима а; и у то имамо: 192 а 2 + ß* ~ 2 а ß cos x — y 2 -f d J — 2 у dcos у Дакле као условну ^едначину добщамо. 2) <р = а 2 ß 2 — у 2 — d 2 — 2 aß cos х -f- 2 у d cos у ~ О ДиФеренцщалимо 1) и 2) добщамо: dF , „ dy - = aß cos x-\- у о cos у J dx dx — 2 aß sin x —2 у d sin у ^ dx dx Ставимо -^~—o и избацимо ^У _ добиіамо. dx dx 2aßy d(cosx.siny -{-sinxcosy) =0 t. j. sw(a:+y) = 0 или х-\-у = 0° или 180o. или 860« и т. д. Почем су ж и у угли четворо-уголжа то може бити само: — 180° или у =180 °— х Из овог слвду^б дал.6 — — 1 дакле dx dF dx d 2 F — aßcosx — у dcosy ■а sinx-\-ßyösiny dy dx 2 dx — — (aß sin x-\- у ö sin y) Почем oBaj израз иа сваки начни ocTaje одречан (због тога што je а;<180 9 и я/<Д80°) то услов х + у = 180° одговара максимуму. Додатав. Уображене Функціде. § 93. Сваку уображѳну Функци^у 1 ) ж + У V— 1=х + іу ыожемо довести увек на вид: *) КратвоЬе ради ставимо У—1 =-* 193 Г ( COS <р-\-\/ —1. sin (р) = r(cos (р -}- isin (р) где су г и (р доистни 6pojeBH, Kojn се на следеЬи начни да^у определити. Замислимо да се два доистна 6poja хи у да^у по- стропти као правоугалне коордпнате іедне тачке, онда нх je jom могуЬе, поларним координатама изразити, ставимо: x = rcoscp ; y = r.sin

і = ( Рі ~ — дакле имамог 13 194 j" г (cos sin (f) J m — r m (cos sin mq>) Oßaj опразац познат je под именом Моавров образац. 1 ) Моавров образац могли смо и на OBaj начни добити, Ми омо у § 59 нашли: 1,...с* = 1 + —+ —■ + 1 г 1-2 ^ 1.2.3 + 1.2.3.4 ставимо овде х——х добИ)'амо : X X 2 х 3 X 3 3) .с- х = 1— 1 I- ц ~ Г£з + Г2.3.4 + * ■ - • Ако jeAHa^Hiie I) и 2) лрво саберемо и одузмемо доб^амо : 3) .... і 0* + с-^2 (і+^ + ГзХ4 + . ) . с * С ~* = 2 ( Х "^*"ТлГз" + 1.2.3,4.5 + • ” • ) Ставимо ли х У—1 на место х, то добіуамо са обзиром на синус или косипус ред; ху—1 і р — х V—I г х 2 , х 4 X е ч 3 )- • ,е -п-- — Ѵ 1— 12 '^іХзД - ' T2.3'.4.5.6 _ +-J “ C0sx 6)... о хУ—1_ - х У—1 1.2.3 ' 1.2 3.4.5 — ...,} у— l=sinxy— 1 саберимо ове две ^едпачиие то следу^е: ху —1 _ 7).о =cosx+ У— lsinx Ставимо у ^едначину 7) их наместо х то имамо хУ—I _ 7) ..е — cosnx-f-sinux у—I ти подигпимо ^едначину 7) па п — степей добіуамо : п х У —1 9). (cosx + У—1 sin)” Ми видимо да су леве стране зедначине 81, 9) ^еднахе дакле Mopajy и деспе бити )едиаве, и то нам да)е тражени Моавров образац (cosx-f- У—1 sinxj” = cosnx + У—1 sin nx 195 § 94. Биномеке ^ѳдначинѳ. а.) ПомоЬу моавровог обрасца, у ставу смо непосредно наЬи израз за корене іедначипе вида: х" —1 = 0, где je п цео 6poj ставимо: Х — Г ( COS ср + V— 1 sin <р) ти . подигяимо ову jeAiia4HHy на п=. стенен то добщаыо: х" — г 11 (cos пср-\- у — 1 sin п <р) Ако ову вредност заменемо у^дначину х" — 1 = 0 добщамо. г" (cos п ср -(- У — 1 sin п <р) — 1=0 Ова j ед начина може само онда бити равна нули, ако je свака страна за себе равна нули: г" cosncp — 1 = 0 и sinn ср = О ако означимо са к произвован цео 6poj добщамо. 2кп , <р —- ;r = 1 п дакле имамо: 2кп , , —=—. 2ІС71 х = cos ->Д- У — 1 sm - п и Oßaj израз да je све доистне и уображене корене ^дна- чнне х" — 1=0; ставимо Hajnpe L = 0 то имамо х=1. као доистни корен. Ставимо даве L = 1 , 2, 3 , 4 . п — 1 то Ьемо наЬи ѣ — 1 разнях корена, KOja да^ jeднaчини пpипaдajy ако ставимо к — ѣ добщ'амо опет доистни корей х = 1 узме- моли к = п-\- 1 то Ьемо наЬи исти корен KOjn je из вредиос- тавке к = 1 произишао. и т. д. Дакле горви изрази заиста нам даіу п доистних и уображених корена jeдиaчинe х" - 1 = 0 . Tu корени одсовар^у првим п вред постима к почесто од к — О 12 196 па до к — п — 1, само у том случаи где je п паран 6poj да je нам обшти изразза L — — 1 опет доистни корен; Корена іедпачнне х" — 1 — 0 или х п -(- 1 Koje се нази- »aja корени іединице Aajy се изразити као што следуіе. За парно п наЬиКемо ако ставимо к = 6, 1, 2, 3 .... п следеЬе корене: + 1 -1 2 л + у- -1 2п 2л - у- -1 2л COS- sm COS -- - stn п п п п Ал + У- -1 47Г 4 л -У- 4 л COS sm- COS -1 sm — п п п п 6л ~ь У - -7 6п 6л -1 6л COS — sin- COS -У- stn- и п п п COS- =2?+у—1Л. п п (п—2)л —- . (п—2)л cos K - —у — lsm- - п п Ако ставимо к — 0,1,2 3, наЬиЬемо за бесиарно п ... п — 1 следеЬе корене. 2 п COS- COS- п 4:71 . - Г . 2 71 У — 1 sm- п 4тс cos- п 6л п У — lsm 6л п 2л — . cos -У— 1 stn 2 л п 4 л + |/ — 1 sin -; cos п п У — 1 sin . 4л COS- 6л п [/" — lsm п 6 л п (п — 1)л -- . (п— 1)71 П — 1 .-7 . п —1 COS --- U У — 1 Stn - — ; COS - Л — у — 1 SIU - Л п П ГЬ п 197 s) Ставимо израз: I) л = г ( cos у і sin (f) у зедначину; х" 4-1 = 0 или х" — 1 То на исти начни добіуамо: г" (cos п<р + у__ і sin п (f) — 1 — 0 Ова je jeAHanHHa задовольепа ако сваки чдан за себе буде раван нули. cosn У 2 ' У2 § 98. Изложитѳлнѳ іедначинѳ. Под броней е разумели смо грапичну иредност израза. ( Код и пепрекидно расте по томе je дакле. * е'-= limes [/ 1+~) ] 1 z означило и г са т онда —- —-дакле ако то у ^едначнну и т ставимо добщамо: 1). . . е *=К»»вв^ 1+-^) ] У овом нзразу односи се знак limes на 6ecKpajHO растеЬе т. Ставимо у ^дначннн s — хЛ-У — 1 у и cMaTpajMO je за све слу -iaje као дн-^еренр^ал то нмамо. 2) . . . в ,+у Ѵ =г = limes IV 1 у х + уУ — 1 \ ] LV. т ' Ова гранична вредност да je се оиределити на следеЬи начни, ставимо: 200 1 -j_ у У 1—1_)- V — 1— = т (cos

-1- ИЛ- /г т т 2 при том узмимо у обзир да израз — + Х 1 _+і* т т г 2х . ж 2 4 -у 1 1 има нуду као границу, ставимо израз-1-Цр- — —, то т т 1 (л* je ц, у 6e3KpajH0CT растеЬи 6poj, и ми можемо ставити. "—пі 1 ч 1 / — IV і і _ }_\р і | \l Jr \ ^ | х ~Ь?/ 2 2т =< 1+ 7г) у -=[( 1 +7-Л‘Д= ? [( 1 +7)'1* + из чега произлази да г т за растеЬе т и д, ка граница е х кон- вергира. Што се пак т <р тиче, то je: w q> т<р— — mtq w ——— - tg

у у и у место іедначине 5) доби Іамо следеЬу. 6) . . . е* +у V -1 — е ( cosy -f- У — 1 sin у) Ова ^ндначииа представка издожителну количину са уобра- женом променл>ивом. За aj = 0 прелази ^дначииа 6) у следеЬу. e x+y V~ 1 = cosz±'y — \siny Слоясѳни (комплѳксни) логаритми, Задржимо деФиницщу логаритма по ком je $ = log z ако je e% = z то са ^диачином. е у*+у l — e * {cosy - }-у — 1 sin у) имамо jom и следеЬу: Х ~\-У V — 1 = log е х L ( cosy -f V — 1 sin у ) J о в де можемо ставити с —г дакде х = log г, и ако на место у ставимо <р то доб^амо: 1) log [г ( cos (р у — 1 sin (р) = log г + <р V — 1 Почем се сваки 6poj довести Mje на вид г (cosy +у —1) то можемо помоЬу тога обрасца наЬи сваки логаритам. Тако добщамо н. пр. за у=+1 и <р — +2ктг где Je означу je производи иоложан 6poj. 2)...%(+ 1) == ± 2 Je п У— 1 Приметити морамо да и за сложено (complexe) логаритме log z, log z — log (z. s') израз ociaje истинит, jep je то CBojcTBO логари- 202 тма сдедство ]'едначине a L а г ' = а 7ЛІ1 ; OBaj израз oeraje непо- npehen, дакде Mopajy и сдедства неповре^ена остати. Свежимо ^бдваввву 2) са сдедеЬом: log [г (cos <р —у — 1 sin (f)~logr — <р У — 1 помоЬу одузимаха то доб^амо: log cosе: Arcsin {у У — і)~+2кп+У —1%(«/± VI -\-у г ) Ако Ье Arcsin (у У — 1 у исто до ба са у изчезнути то мора к— 0 бити и ми смемо узети сами нодожаи знак кореиа дакле. Arcsin{y У —1) —У —1 Іод(у-\-У \-\-y' 1 ) Подобно постуиаае можемо употребити и на обште изразе Arcsin{x-\-yy —1); Агсід(х\-уУ —1) и т. д. само ncrraAajy вредности од и и ѵ нетто замригене. ЙІІ * Шіа! ,4 jj»ti •z#g£i