Die Auflösung
der
höhern numerischen Gleichungen
W. D e n z 1 e r
Aus Band V. Heft 4 der Mittheilungen der naturforschenden Gesellschaft in Zürich besonders abgedruckt.

Unter den sämmtlichen Methoden zur Auflösung der numerischen Gleichungen verdient die von unserm hochverehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. Gräffe, gefundene und im Jahr 1887 mitgetheilte den Vorzug, und zwar nicht bloss wegen der Einfachheit ihrer Begründung, sondern ganz besonders auch insofern, als ihre Anwendung schneller zum Zieje führt, als jede andere der bekannten Methoden, obschon auch sie in unendlich vielen Fällen sehr mühselige und zeitraubende Rechnungen fordert. Die Theorie und Anwendung dieser Grälfe’schen Methode genauer zu untersuchen, und insbesondere zu zeigen:
1) die Bildung einer Gleichung, deren Wurzeln die
• m ten Potenzen der Wurzeln irgend einer gegebenen Gleichung sind;
2) die Möglichkeit des Auftretens von völlig unverwendbaren regelmässig quadratisch wachsenden Coefficienten und die Nothwendigkeit ihrer Beseitigung ;
3) die Operationen, welche dem Quadriren der Wurzeln vorangehen müssen, wenn man sich nicht der Gefahr aussetzen will, ohne allen Erfolg zu quadriren;
bildet die Aufgabe, deren Lösung wir in Folgendem versuchen wollen. ,

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 3
§ 1.
Vorerst zeigen wir zum Zwecke der Reduclion der Auflösung einer Gleichung mit complexen Coefflcienten auf die einer Gleichung mit reellen Coefflcienten, dass, wennm(cos<p -H sin cp) eine Wurzel der Gleichung:
x n + r,(cos ß, + i sin ß,) x"~> + r 2 (cos ß? + i sin ßt) x 11-2 -f-....
. . . + r u (cos ß n -fisin ß n ) = 0 1)
alsdann nolhwendig m(cos cp — i sin cp) eine Wurzel der Gleichng
x” 4- r,(cos ß, — i sin /?,)x n ' J -(- r 2 (cos ßi — i sin 02)x 11_2 +...
.... + r„(cos ß n — i sin ß n ) = 0 2)
sein muss. Nach der Voraussetzung und dem Moivre’sehen Lehrsatz hat man folgende Gleichung:
m”(cosn<p + isinnrp) +r,m" -1 [cos (/J,-Kn-l)<p)-t-isin(/3,-Hn-l)<p)] + -+• r 2 m n_2 [cos (ßi + (n-2) cp) isin (/% + (n-2) <p)] + ...
• • • + r„ (cos ß n + i sin ß u ) = 0
woraus sich sofort auf das Stattfinden von folgenden 2 Relationen schliessen lässt:
m" cos n cp -)-r,m n_1 cos (ß, + (n-1) cp) + r 2 m' 1-2 cos (ß 2 + (n-2) cp)
... +r n cos ß n = 0
m" sin mp + r, m ,1_1 sin (/3,-Mn-l) cp) + r 2 m n_2 sin(/?2+(n-2) cp) +...
... + r u sin ß„ = 0
Multiplicirt man nun die 2 le Gleichung mit i und zieht das Ergebnis von der ersten Gleichung ab, so ergibt sich nach Anwendung des vorhin erwähnten Lehrsatzes, dass
m"(cos cp — i sin cp) 11 + r,m" -1 [cos ß, — i sin ß,] [cos cp — i sin <p]"*‘4- -1- r 2 m n ~ 2 (cos ßi — i sin /?2)(cos cp — i sin cp)"' 2 -|- ...
... + r„ (cos ß n — i sin ß u ) = 0
Da nun diese letztere Gleichung auch aus der Setzung von m(cos cp — isinep) für x in die Gleichung 2) hervorgeht, so ist damit unsere Behauptung erwiesen.
Hieraus folgt jetzt sofort, dass unter den 2n Wurzeln der Gleichung
1

4 Denzler, Auflösung der höheru numerischen Gleichungen.
[x” 4 (a, + b,i) x 11 ' 1 + (a 2 4 b 2 i) x"“ 2 4 ... a n + b„i] X [x n 4 (a, — b,i) x’" J 4 (a 2 — b 2 i) x u-2 4 ... a„—b„i] = 0 3)
oder der Gleichung
[x" 4 a,x“-i 4 a 2 x n_2 4... a„] 2 4 [b,x n -*4- büX 1 “ 2 4-...b,,] 2 = 0 4) sich die n Wurzeln der Gleichung
x" 4 (a, + b,i) x u_1 4 (a 2 4 b 2 i) x" -2 4... a n 4 b n i = 0 5)
befinden, und dass die übrigenn Wurzeln die conjugirlen Werthe zu den Wurzeln derselben Gleichung 5) sind. In dem eben Bewiesenen ist zugleich das Verfahren enthalten, nach welchem sich die Auflösung einer Gleichung mit complexen Coefficienten auf die Auflösung einer Gleichung mit reellen Coefficienten re- duciren lässt.
§. 2 .
Wir wollen nun zeigen, wie sich aus der Gleichung x u 4 a,x"~ l 4 a 2 x"~ 2 . . . a n = 0
ß)
die Gleichung bilden lasse, deren Wurzeln die m 1 ' 1 ' Potenzen der ursprünglichen Gleichung 6) sind, wobei wir unter m irgend eine positive ganze Zahl verstehen.
Vorerst bemerken wir, das im Folgenden der Ausdruck
p p q
r r x p
t q denjenigen speciellen Werth von l q oder von (KT) andeu-
4 i sin
Offenbar gehen die n Wurzeln der Gleichung
(-t) + '(-t) + -(T)
Nil 01 / Vjj’ 11 / Vj m /
oder der Gleichung
12 n
x 1 “ + il n, «,x n -' + il n ’« 2 x'’- 2 + . . . d'X = 0 7)
1
aus der Multiplikation der Wurzeln der Gleichung 6) mit il"* hervor; ebenso entstehen die Wurzeln der Gleichungen

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
5
/
1
2
n
x"
+
2l m
ajx" 1
+
9l m
'« 2 x n - 2
+ . ,
•f m '
► . 21 «„ =
= 0
1
2
n
x"
+
|U1
31
a,x"-i
+
3l“
«jX 11 - 2
. • 31^«,, =
= 0
1
2
n
x"
-t-
4l M
«jX"’ 1
4-
4l"
« 2 x"-2
+ .
.« _
• • 4L a n -
= 0
I J I I I I
J_ 2 n
X ,, + m .il'“a 1 x'-‘ + m . 1 l ;ir « 2 x"-2 -f = 0
durch Mulliplication der Wurzeln der Gleichungen 6), bezie-
J_ JL L
hungsweise mit 21“, 3l m , 4l"‘, . . • m _il m . Setzen wir daher das Produkt aus den ersten Theilen der Gleichungen 6), 7) und 8) der Null gleich, so gelangen wir zu einer Gleichung, deren Wurzeln n ,_ m _ m .
J/^“, J/m™, ^ . . . fa™ 9)
sind, wenn nämlich o>i, <o 2 ', «3 • • . *>„ die W T urzeln der Gleichung 6) bedeuten und jedes der m Radikale in 9) die m verschiedenen Werlhe vorstellt, deren m ,e Potenz der zugehörige Radikand ist. Aber auch die Gleichung
(x ra — co™) (x m — co“).(x m - co™) = 0 10)
hat genau die in 9) angedeuteten mn Zahlen zu Wurzeln, woraus sich leicht auf die Identität des Produktes aus den ersten Theilen der Gleichungen 6), 7) und 8) mit dem ersten Theile der Gleichung 10) schliessen lässt. Bedenkt man nun überdiess, dass £0™, to™ .<o“ die Wurzeln der Gleichung
(x - co™) ( x - co™) .... (x - ca“) = 0 11)
sind, und dass der erste Theil von 11) aus dem ersten Theil von 10) dadurch erhalten wird, dass man sämmtliche Exponenten zu x durch m dividirt, so wird klar, dass sich die Gleichung mit den Wurzeln 00 “, co“.co“ bilden lässt, indem man das Produkt aus den ersten Theilen der Gleichungen 6), 7) und 8) gleich Null setzt, und hierauf in der so erhaltenen

6 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
Gleichung sämmtliche Exponenten zu x durch m dividirt. Dass bei der Bildung des Produktes aus den ersten Theilen der Gleichungen 6), 7) und 8), welches offenbar eine ganze rationale algebraische des mn ,tn Grades ist, alle die Glieder, deren Exponenten nicht vielfache von m sind, Nullen sein müssen, mithin nicht berechnet werden müssen, wird sogleich klar, wenn man die oben erwiesene Identität und ausserdem erwägt, dass die ganze Funktion des mn te " Grades, die = dem ersten Theil von 10) ist, gewiss keine von 0 verschiedene Glieder haben haben kann, bei welchen der Exponent zu x sich nicht durch m ohne Rest theilen lässt.
Die Gleichung, deren Wurzeln die 2 teu Potenzen der Gleichung 6) sind, ergibt sich demnach, indem man das Produkt
n
[x n + aix” -1 + « 2 x”~ 2 4-... a„][x 11 — e^x" -1 + a 2 x" -2 —... -+-il 2 « n ]
in eine ganze Function des 2n le “ Grades verwandelt, hierauf sämmtliche Exponenten zu x in der erhaltenen Function durch 2 dividirt, und endlich die aus diesen Divisionen entspringende Function des n ,eu Grades gleich Null setzt. Führt man diese Operationen aus, so ergibt sich, dass der s ,e Coefficient in der Gleichung, deren Wurzeln die Quadrate von den Wurzeln der Gleichung 6) sind, gleich folgendem Produkte ist:
(— l) s [af — 2a s _ 1 a s+1 + 2<y,^ci s+2 — a s+3 + ....]
wo die eingeklammerte Summe mit regelmässig abwechselnden Vorzeichen so weit fortzuführen ist, bis man endlich ein doppeltes Produkt gesetzt hat, bei welchem ein Factor der Coefficient von x° oder von x n in der Gleichung 6) ist. Hat man nun die Gleichung hergestellt, deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeln von 6) sind, so kann man auf gleiche Weise aus der gefundenen Gleichung die Gleichung bilden, deren Wurzeln die Quadrate ihrer Wurzeln oder die (2 2 ) ten Potenzen der Gleichung 6) sind; und so kann man forlfahren, um zuletzt zu einer Gleichung zu gelangen, deren Wurzeln solche Potenzen von den Wurzeln der Gleichung 6) sind, bei welchen der Exponent aus der Potenzirung von 2 mit irgend einer positiven ganzen Zahl hervorgeht.

Denzler, Auflösung der höhern numerischen Gleichungen. 7
§, 3. Lehrsätze.
I.
Gruppiren wir die sämmtlichen Wurzeln von folgender Gleichung mit reellen numerischen Coefficienten:
x" + aix"~ 1 -f a 2 x"~ 2 + . . . a u _ix + a u = 0 12)
wo a n nicht 0 sei, in der Weise, dass in jeder Gruppe die Moduli der reellen und imaginären Wurzeln einander gleich, aber verschieden von den Moduli in den übrigen Gruppen sind, und lassen diese Gruppen so aufeinander folgen, dass der gemeinschaftliche Modulus in jeder Gruppe, z. B. in der e teu kleiner als in der vorhergehenden (e — l) te " Gruppe ist; und nehmen wir hiebei an :
y sei die Anzahl aller dieser Gruppen, mithin grösser als 1; ni, n z , n 3 , . . . . n y beziehungsweise die Zahl der Wurzeln in der l ,e “, 2 ,en , 3 ,en , .... y Un Gruppe;
<ui, « 2 , . . . . to n seien die Wurzeln der Gleichung 12), Wi, W 2 , .... W n beziehungsweise ihre Moduli und zwar so aufeinanderfolgend, dass der Modulus von jeder dieser n Wurzeln nicht kleiner als der folgende ist; s £ bedeute die Summe ni + n 2 + . . . n £ , mithin si die Zahl m und W S£ den gemeinschaftlichen Modelus in der « Un jener y Gruppen;
c bezeichne den Binomialcoefficienten wenn n gerade,
hingegen (n— 1 ^ wenn n ungerade;
x bedeute die kleinste positive ganze Zahl, die in algebraischem Sinne nicht unter
Ws
j | 5 [. 8 (r + 2 + lg.c)-l 8 (l,- w -l-)]
liegt, wo r irgend eine bestimmte positive ganze Zahl ausdrückt, und die vorkommenden Logarithmen Briggi- sche sind;

8
Denzler, Auflösung- der hohem numerischen Gleichungen.
a tm sei der t** Coefficient in der m ,en Quadratgleichung zu 12), d. h. in derjenigen Gleichung, deren Wurzeln die (2'") 1 '“ Potenzen der Wurzeln zu der Gleichung 12) sind;
t eine vieldeutige Zahl, die 0 und jede positive ganze Zahl zu ihren Werthen hat; •*
0, ©i, 02 .... seien unbestimmte Zahlen, die jedoch zwischen 1 und — 1 liegen und wenn t ohne Ende wächst, gegen 0 convergiren; alsdann hat man folgende Gleichung :
(- 1) f « Se ,«+l 13)
(1 + 010-
II.
Beibehaltend die eingeführte Bezeichnung, nehmen wir überdiess an:
q sei der kleinste der Quotienten, die aus den Divisionen von jedem der y Moduli Wsi, Ws 2 ... . Wgj, durch den nächst kleineren hervorgehen; k die kleinste positive ganze Zahl, die in algebraischem Sinne
nicht unter ~ [lg (r + 2 + lg c) — lg (lg q)] liegt;
alsdann bestehen folgende Gleichungen:
(1 + 0ilO- r -2)(w^) 2k+ =(- l) Sl a Sl ,k+I
(1 +0 2 lO-^)(w" i 1 W-f +t =(- l) S? «s 2 ,k+I (1 + 0 3 lO- r -*)(w" 1 W” 2 (- l) 8 »«.j,k + I
(l+0 y . 1 lO- r -*)(w” 1 W|
asjr_i,k+l
w”i w” 2 .
Tasy.k+l
14 )

I
Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 9
, ' , ,, . , 1000 , 1000 und wenn tj, tz, .... r y Zahlen zwischen —— und — ——■ * yyy yyy
bezeichnen, die alle aber für unendlich gross werdende 1 gegen
\
0 convergiren:
1
(1 + t i io- r - 2 ) W Sj = [
(-1)"* «s^k + tj
n 3 .2 k + t
1
(l + T 2 10- 1 ' 2 ) Ws 2 = [
-(- i) n z «s 2 ,k + r
]V 2k + t
«Sj.k + t
J
1
(l + r 3 10- r_3 )W S3 = [
-(_ i) n 3 « 6 .,k + r
lV 2k + l
ß s 2 , k +1
J
15)
(i + Vl io-) = \t ' * L « S} ,. 2 ,k + i J
+1
, _ r _ 2 , r(— 1 fy «Sy ,k + l-| n v • 2k + 1
III.
Der s s ,e Coefficient in der (x +1)'™ Quadralgleichung zu 12) hat folgende Eigenschaften:
1) Sein Vorzeichen ist bei jedem Werthe von t constant und immer übereinstimmend mit dem Vorzeichen von (— l) 8 * > mithin der Coefficient selbst nie = 0.
2) Das Quadrat des s £ te " Coefficienten in der x ten und jeder hohem Quadratgleichung differirt von dem absoluten Werthe des s £ ,en Coefficienten in der nächsthöhern Quadratgleichung um eine Zahl, die stets kleiner ist als der mit 0,01342 mulliplicirte Slellenwerlh des r len Gliedes in jenem Quadrate, und es ist somit:

20 Deuzler, Auflösung der bölieru numerischen Gleichungen.
(1 + 1,3420 • 10 — 2 ) et;
S f) H + 1
(- l) s s a
's £ i* + f +1
3) Der absolute Werth des doppelten Produktes aus je zweien vom s £ ,en Goefficienten in der x teu und jeder hohem Quadratgleichung gleichweit abstehenden Goefficienten, z. B.
von 2a S£ _ U x + t a Sg+U)K + J ist mehr alsmal kleiner als das Quadrat des s £ ten Coefficienten in derselben
Quadralgleichung, und es ist somit:
2a
< 1,34(10— 2 ) u o?
„K + t
S £ —U,Jl+l S £ + U,X + t 0£l .
wo die über a gesetzten Punkte die absoluten Werthe der unter denselben bezeichneten Coefficienten andeuten sollen.
IV.
Fände man bei der successiven Berechnung der l 1 *”, 2 ,eu , etc. Quadratgleichung zu 12), dass schon in der m leu und jeder hohem Quadratgleichung der Unterschied zwischen dem Quadrate des s £ ,e “ Coefficienten und dem absoluten Werthe des s £ ten Coefficienten- in der nächsthöhern Quadratgleichung unter dem Producte aus jenem Quadrate in (1,342 KT 1 “ 2 ) liegt, fände man also, dass
(1 + 1,3420 . IO- 2 ) = (- l)*e a Sg)m+t+1
so kann man hieraus schliessen, dass
(1 + 1,3440.10-2)[ W "i w «2 . . . W ";]*" = (- l) s * « Sg)la
und diese Gleichung (wo 0 zwischen 1 und — 1) ist auch dann noch richtig, wenn für m irgend eine grössere Zahl, als m ist, gesetzt wird.
V.
Würde man bei der successiven Berechnung der l 1 '", 2 ten , etc. Quadratgleichung zu 12) irgend einen, z. B. den t ,e “ Coefif. in derm ,en und jeder hohem Quadratgleichung, nämlich a tm+t , im Besitze

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. ü
sämmtlicher 3 unler III. angeführten Eigenschaften finden, wäre also für jeden Werth von I
“) ^m+i= (~ !)* *)
ß) (- 1)' «t,m+l+i= (' + 1,342016-*) «* tim+l
r) 2 «t-u,m f t “t+u,m+t < 1 >34(10- r -2) u «\ m+(
so kann man aus der Anwesenheit dieser 3 Eigenschaften bloss darauf mit Sicherheit schliessen, dass entweder
1) (i + 1,314010—2)[Wj W z W 3 ...W t ]2 ra = (_l) , « t>m , wo ©z < i oder, wenn diess nicht der Fall wäre, dass dann jedenfalls folgende Gleichheit Statt fände :
2) j/[Wi W 2 W 3 ... W,]2 m = (— 1)' a t)m , wo y < 1 — 1,344.10—2 Im ersten dieser 2 Fälle kann t mit einer der v Zahlen,
si, S 2 ...sr übereinstimmen, und in diesem Falle nennen wir a,. m einen Coefficienten der ersten Art, aber auch gar wohl verschieden von jeder dieser Zahlen sein, wobei a„ m ein Coeffi- cient der 2’ el1 Art heissen soll; während im 2 te " Falle, in welchem wir a iun einen Coefficienten der 3 1 '" Art nennen, diese Verschiedenheit stets vorhanden sein muss.
Weiss man aber von der Gleichung 12), dass sie nur reelle Wurzeln enthalten kann, so folgt aus der Existenz der 3 erwähnten Eigenschaften des Coefficienten «t.m+t in jedem Falle, dass t einer der v Zahlen si, S 2 ... sv gleich ist und wenn t etwa = s £ , folgende Gleichung:
(1 + 1,344010-2) jw"i W2 • • * W";] 2M = (- l) s ^ Sf , m
Beweis zu I. und II.
Setzen wir in den sämmtlichen ) Complexionen der s £ ,en Klasse aus den n Elementen oof 1 , «4* .... < 0 ^ ohne Wieder-
*) a t m+{ bezeichnet den Quotienten aus durch den
absoluten Werth von a t]n+ j.
2

12 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
gc
holung, deren Summe mit (—1) multiplicirt, bekanntlich den s £ ten Coefficienten in der x ,e “ Quadratgleichung zu 12) geben
muss, für die Wurzeln ihre Moduli, so wird offenbar die grösste Complexion nach dieser Setzung = £w°* w”* . . . w”^J s1t sein,
und jede der übrigen Complexionen das Product [<; wj ...
• • • W«* 1 W„ "1 2>t nicht übersteigen können. Bezeichnet s
daher Ms ,* die Summe der aus den erwähnten Setzungen hervorgehenden Complexionen, so hat man die Gleichung:
[ w i‘ w 2
+ b [(:.) - •] [*>•£ • • •
wo b eine positive, die Einheit nicht übersteigende Zahl bezeichnet. Nun ist die Complexion I o> n i co n 2 ... &> s l 2 * —
L S 1 S 2
== £w”* W* . . . weil in jeder der y Wurzelgruppen die imaginären Wurzeln nur paarweise conjugirt Vorkommen können und die allfälligen negativen Wurzeln mit dem Exponenten 2* versehen erscheinen, ferner ist der absolute Werth des reellen Bestandteils in jeder der den übrigen Complexionen gleichen Complexen vermöge des Moivre’schen'Lehrsatzes gewiss nicht grösser als das Ergebniss der Setzung der Moduli von den Wurzeln an die Stelle der Wurzeln in einer solchen Complexion, und die Summe aller nicht reellen Summanden in jenen Complexen bekanntlich der Null gleich, woraus folgt, dass
“v* = (-1) 8 * [(w£ wj ... w£) 8Ä +
+i «[(”, )-•] [ w ”; w s • w .„,r] ■•>

Denzler, Auflösung der höhere numerischen Gleichungen.
wo 0 eine unbestimmte Zahl zwischen 1 und — 1 bedeutet. Nach der eingefühvten Bezeichnung ist aber c der grösste Bino-
minalcoefficient in der n t<m I’otenz eines Binoms, mithin (gj - 1
kleiner als c, und es folgt daher aus 16) die Gleichung:
wo natürlich 0 wieder eine unbestimmte Zahl zwischen 1 und — 1 bezeichnet. Auf ganz gleiche Weise lässt sich begründen, dass
„ r -,2 M+t r /Ws
-(-!)*[ W" i W" 2 , ....W“J [l + c0(^i 1 ) ] 18)
Ist nun
W
/ S £ \
lg (r + 2 + lg c) — lg . / lg —-j gleich 0 oder negali
' s s+ d
aliv 19)
so muss lg (r + 2 -f- lg c), oder
lg(C. 10 I+ 2 ) 5 =lg.lg
W„
w„
°£+i
und daher
r w '<«i
L w.. I
K + t
J ^(C.lO r+ 2 )'
-—
20 )
woraus mit Zuziehung der Gleichung 18) sofort auf die zu beweisende Gleichung geschlossen werden darf, in welcher dann 0 beim unendlichen Zunehmen von I offenbar die Null zur Grenze hat. Ist aber der Ausdruck 19) positiv, so ist nach der eingeführlen Bezeichnung
1 r + 2 + lg c lg 2 ° W Sr
lg
W s
£+1

14 Denzler, AuQösung der hohem numerischen Gleichungen.
mithin
und dah^r
2*
= lg (c . 10 T+; )
Ws
lg-
Ws
£+1
1
(c . 10 r+ 2) zl
21)
Hieraus und aus der Gleichung 18) ergibt sich auch in diesem Falle die Wahrheit des Lehrsatzes I); und da von diesem Lehrsatz die Gleichungen 14) unmittelbare Folgen sind, so bleibt jetzt nur noch der Beweis für die Existenz der Gleichung 15) übrig.
Zum Beweise der 3 Un dieser Gleichungen 15) dividiren wir die 3’” der Gleichungen 14) durch die 2 te derselben, depotenziren dann mit n 3 .2 M+t , und erhalten so die Gleichung
1 1
r i + e 3 to- r ~h n,.2'- t + t w r (- i) s 3 -%«s 3|lt + n no- 2 t + il 22 )
Li + 0 2 ttr r -2J 83 L ß S£)Jt + i f J
Nun ist offenbar
l + 0 3 l<r r -2 1 + © 2 10- r -2 ~
(03 - 0z)
1 + ©2l0“ r “ 2 IO" 2
und j- + g 2 10 -r- 2 i wenn positiv, sicher nicht über ,
2
welcher Quotient, da r mindestens = 1, offenbar 2 — zum
Maximum hat; woraus, bei dem Umstande, dass n 3 .2 <+t nie kleiner als 2 sein kann, sehr leicht folgt, dass
1
r 1 4- 0 3 lO- r -2-, n:) . 2' t+l 1000.0
L 1 + 0 ; 1 o~ r ~ 2 J ~ + 999 . 10 r+2
23)
wo 0 eine Zahl bezeichnet, die jedenfalls zwischen 1 und — 1 liegt, und die gegen 0 convergirt, wenn 1 ohne Ende wächst.
Ist aber 0 3 -
„ , ..14 0,lO J -2 . ,
■0 2 negativ, dann ist - q 2 \ q -*-2 em positiver ech-

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 15
ter Bruch und nicht kleiner als
1 - 10- r -2 , (1 - l < r r - 2) 2
1 + io~ r -2 ocler i 4. i() 2-i »
mithin entschieden grösser als (t — l(T r_2 ) 2 , woraus offenbar auch für diesen Fall die Gültigkeit der Gleichung 23 ) folgt. Beachten wir jetzt noch, dass nur nach der Bedeutung von sj und s 2 die Differenz S3 — S2 = n 2 , so sehen wir sofort, dass die zu beweisende Gleichung eine Folge von der Gleichung 22) ist. Dass die übrigen Gleichungen in 15 ) sich ebenso beweisen lassen, ist für sich klar.
Beweis zu III.
Setzen wir in den sämnitlichen Complexionen, deren Summe = «s e -u,n für die Wurzeln ihre Moduli und bezeichnen die aus diesen Setzungen hervorgehende Summe mit Ms { -u,h: so können wir uns alle Complexionen in Ms £ -u,h in zwei Gruppen denken, von welchen die erste alle aus den Elementen
W 2 , W| .... W 2 ^ gebildeten Complexionen, und die zweite alle übrigen Complexionen enthält. Nun ist die Zahl der Complexionen in der ersten Gruppe = (s £ -u) unc * j & de derselben gewiss nicht grösser als W^W® 2 . . . . W^ a W* £-u ‘ Sa , wenn
Si »2 ®a+l
s £ - u zwischen s a und s a+ i liegt oder = s a ist. F’erner kann keine Complexion in der zweiten Gruppe das Produkt
(w Dl W 1 ' 2 .... W" a W S£ ' u ~ Sa ' 1 ff \ 211
\ Sj S 2 S a S a+1 s £+l/
wenn s e -u zwischen s a und s a+ i, und wenn s £ -u = s a keine Complexion, das Produkt (V ? 1 W " 2 . . . . w” a ' 1 W, „ V* übersteigen. Hieraus folgt, dass im ersten dieser beiden Fälle
~ (•?«) [ w i‘ w S ■ • • ■ w “: *£;'"■•]’"+
+ [(«"») - (.?.)][< - w ": w *. + . T 2,1
mithin auch

16 Dcnzler, Auflösung der höhcrn numerischen Gleichungen.
Aber in dein ersten jener zwei Fälle ist a höchstens = t — 1, mithin der Divisor W Sa+ i entweder = W ££ oder dann jedenfalls grösser als Ws £ ; erwägen wir ferner, dass nach der Relation
KT 1 " 2
20) und
und c nur nach seiner Bedeu-
( n )_( s £ \ \s £ -u / \s £ -u/
, dass überdiess Ms £ -u,x nicht
tung grösser als
unter dem absoluten Werth der reellen Zahl «s £ -u,x liegen kann, so findet man aus 25) sehr leicht folgende Relation, wo <*s £ -u,x den absoluten Werth von a Ss -u,n bezeichnet
und zu dieser Relation gelangt man auf dieselbe Weise auch im zweiten jener Fälle.
Bringen wir jetzt die ( S£ ” u ) Complexionen in Ms £ + u,x in 2 Gruppen, von welchen die erste, sämmtliche Complexionen, in welchen das Produkt der s £ ersten Elemente = (w^W” 2 ...W° £ j 3
ist, und die zweite alle übrigen Complexionen enthält, so finden wir, dass die Zahl der Complexionen in der ersten Gruppe = ( Sv ‘ j S£ ) und jede derselben die Complexion
•W 11 '’ W s * ■'" u-s bT 2
W" 1 W
L Sj 82 ' ' " S £ " ' ' Sj, S h+1
nicht übersteigen kann, wenn s £ + u zwischen s b und s b+1 oder gleich s b ist; dass ferner jede Complexion der zweiten Gruppe nicht grösser als das Produkt

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 17
r w ni w nz ..
L Sl S2
w n t-i w n b w S£ u ■ Sh w l 2 *
s £-l ’ Sb Sb + 1 S £+lJ
sein kann, woraus folgt, dass
und aus dieser Beziehung ergibt sich ganz ähnlich wie aus 24) die 26), dass
«S £ + u, * - (rOK* WJ...W J + 1 + 10-2) 27)
wo«s £ +u, k den absoluten Werth der reellen Zahl «s £ +u,ä bezeichnet.
Aus den Relationen 26) und 27) und der früher bewiesenen Gleichung
a 2 = (1 + 010—2)21" W n i W” 2 . . . W"» . . . W" s l 2,t +1
S £ ,* ^ 1 L Sl 82 S a . S £ J
ergibt sich sofort:
ß s £ -u,n tt s £ +u,x
<
(H-£ 3 ) (?) ( S C‘) x
TW" 1 W n « '^ S £' u ' S al 2 ' t |"w n l W n£ ^ n l)^\r S £ + U '* S h"] 2,t L si"" s a s a+1 J L si ' • ' s g " s h s b+1 J
< 1,00401
(«1 Kl
s a+ l
* r w ? 1
L si
... wM 2 *
Sg J
7 n £+ 2 S f +2 ' 1
. W nb w S £ + u ' s i > Sh w s b+1
• S£+U ^ yll a+ 2 . . . W tI * £
S a+Z ' S £
Hier ist nun der Dividend des Grundfaktors der (2*) teM Potenz ein Produkt aus (n £ _j_! 4- n £ _j_ 2 + . . . nb + s £ + u — Sb) oder ^ nach der Bedeutung von s £ und Sb, nach welcher s b — s £ = n £+1 + n £+2 . . . n h , ein Produkt aus u Faktoren, von wel-

Jg Denzler, Auflösung: der böhern numerischen Gleichungen.
chen der grösste = Ws £ +i , und der Divisor nach der Bedeutung von s £ und s a+ i ebenfalls ein Produkt aus u Faktoren, von welchen aber der kleinste = Ws £ ist, woraus offenbar folgt, dass
W S £ -U,X ‘ ^Sj+U,«
<'.»«* (.-) f?)
Da nun nach den Relationen 20 und 21)
•W l( +n!* io- r "2
r «£ + 11 a
L w S£ j
so folgt aus 28), dass
(?) (V)
ah cc , < 2,00802 . --- 4 — -
^“Sj-U,« k s £ +u,k ’ (10 r+2 c) u
29)
Nun findet man sehr leicht, dass für u = 1 der Quotient
(•.) ( n “ S£ ) 2
- 5 -immer unter - liegt, diess ist aber auch der Fall
C o "
für jeden andern Werth von u, denn, da bekanntlich:
r y +p )=(?) + (, ™i) (?) + (A) (ö •••(;)
so ist ( n ~ S£ ) < ( 2 n u ) un(1 da (2u) den Binomialcoeffi-
cienten c nicht übersteigen kann, so ist auch ( n „ S£ )'< c
und mithin jener Quotient immer kleiner als c~( u_1 ), was für
2
u > 1 immer kleiner als ^ ist. Aus der Relation 29) folgt daher auch:
2« s „ * * s +u x < 1 > 34 • ( 10 "' 2 )" « 2 30 )
S £ -U,)t S £ -t-U,X S £ ,X
und diese Beziehung findet nach ihrer Ableitung offenbar nur um so mehr statt, wenn durchgehends irgend eine Zahl über x für x gesetzt wird, und es ist daher auch
2ä,
. u ,, + l *. l + u , K+t <*>“(****)'*'.„*1 st )

Denzler, Auflösung der höhcrn numerischen Gleichungen. 19
Selzen wir jetzt in dieser Relation successive 1, 2, 3 . . . . für u und addiren die so erhaltenen Ungleichheiten, so ergibt sich, da r doch wenigstens 1 ist, sofort, dass
2“s £ -1 ,x-H ®s £ +1 ,x-l-t + -2,x+I «s £ 2,x+t ' ' ‘
. . . < 1,31134134 . . . KT*-* • ß 2 , r 32)
Nun ist der erste Theii dieser Ungleichheit nach §. 2 gerade die Summe der absoluten Werlhe sämmllicher Summanden, deren Summe zu ß 2 addirt das Produkt (—l) S£ - or s e , «H-t-l-i
gibt, woraus mit Beachtung von 32) folgt:
(- l) Sa «s £ ,*+l+l = [i + 1,3420.10—*j « s 2 f;K+t 33)
Anmerkung.
Für die Anwendung der Lehrsätze I) und II) ist es natürlich von der grössten Wichtigkeit, den si ,e “, S 2 te “ .... Coeffi- cienlen zu erkennen, und dazu gibt der eben erwiesene Lehrsatz ein sehr wichtiges, w’enn auch keineswegs hinreichendes Mittel. Bei dem Gebrauche dieses Mittels darf man sich aber ja nicht etwa verleiten lassen aus der Anwesenheit der 2 ten Eigenschaft allein, oder der l teu und 2 te “ auf die der 3 U “ zu schliessen.
Hat mau z. B. die Gleichung x 6 — 19x 5 + 81x 4 4- 81x 3 + 81x 2 4- 80x + 100 = 0 34)
2 2 4 4
deren Wurzeln 10, 10, cos -?n 4 i sin -*, cos -% + i sin -it
5 5 ’ 5 ~ 5
sind, so ist in diesem besondern Falle v = 2, m = 2, n 2 = 4, Si = 2, S 2 = 6, c == = 20, q = 10, mithin für r = 4
[lg (r + 2 + lg c) - lg (lg q)] < 3
daher k = 3. Bildet man nun die 3 te Quadratgleichung zu 34), so w erden nach dem Lehrsätze II) die Moduli 10 und 1 bis zur 5 ,el1 Stelle aus den Coefficienten a 2 ,3 und a e , 3 erhalten, und man wird diese Coefficienten mit den sämmllichen in unserm
3

20 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
Lehrsatz angeführten Eigenschaften ausgestattet finden; man wird aber auch < 23,3 und 0 . 5 ,3 als Coefficienteu erkennen, welchen die 2 (e , nicht aber auch zugleich die l le und 3 U jener 3 Eigenschaften zukömmt; ferner wird man den Coefficienlen <* 4,3 im Besitze von der i te “ und 2 ''“, aber nicht von der 3 ten Eigenschaft sehen. In diesem Beispiel würde man freilich, wenn man bei der Anwendung des Lehrsatzes II) 03 , 3 . 04,3 und aj ,3 als Coefficienlen ansehen würde, die in der Reihe der Coefficienlen «5^,3, a s „, 3 .... erscheinen, und hiebei auf die Vorzeichen gar nicht achtele, zu einem nicht unrichtigen Resultate gelangen; und es könnte desswegen die Vermulhung Platz greifen, dass doch nur das Vorhandensein der 2 tea Eigenschaft zur Verwendbarkeit der Coefficienlen genüge. Dass diese Ver- muthung durchaus ungegründel ist, erkennen wir an der Gleichung :
x 8 — 202x 7 + 10400x 6 — 20000x ä + 0 . x 4 — 32x 3 +
6464x2 — 332800X + 64000« = 0 35)
deren Wurzeln
100 , 100 , 2 , 2 , 2 (cos jtz jfc. i sin |a), 2 (cos ±.i sin -a) sind. Hier ist v = 2, m = 2, n 2 = 6 , s t = 2, s 2 = 8 , c = (|) = 70, q = 50, mithin für r = 9
— [lg(r + 2 -f lg c) - lg . (lg q)] < 3
somit k = 3. Bildet man daher die 3 ,e Quadralgleichung, so werden die Coefficienlen <*,,3 und 03,3 die Moduli 100 und 2 bis zur 10 te " Stelle genau geben und man wird diese Coefficienlen mit den sämmllichen erwähnten 3 Eigenschaften versehen finden. Man wird aber auch zugleich bemerken können, dass dem Coefficienten ctj, 3 , ja sogar schon dem Coefficienlen <* 5,0 die 1 *' und 2 ,e jener 3 Eigenschaften ohne die 3 te zukommt. Würde man nun diesen Coefficienten in die Reihe der Coefficienlen « g ,3, a S2 , 3 ..... versetzen, und hierauf den Lehrsatz II) anwendeu, so erhielte man für die Moduli der Wurzeln zu 35) Zahlen, die eben keineswegs Moduli dieser Wurzeln sind.
Wir bemerken schliesslich noch, dass der Coefficient a,, m für jeden Werth von m gleich 0 ist.

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 21
Beweis zu IV.
Bezeichnen wir der Kürze wegen durch einen Punkt über einem Buchstaben den absoluten Werth der durch diesen Buchstaben vorgestelllen reellen Zahl, so hat man nach der Voraussetzung die Gleichung:
— 1 -V 1,3420. l(r r -z
Nun ist
1
1 + 1,3420. l(T r -2 1,342
zwischen
1,342
. , 1 — 1,342 10 r 2
1 + -- und 1
1 + l,342.10 _r_2 m r +2
mithin auch, da r wenigstens = 1 ist, zwischen den Grenzen: 1 + 1,344 IO -1-2 und 1 — 1,344 10~ r ~ 2 . Bezeichnen wir nun mit £i, £ 2 , §3 .... Zahlen, die zwischen den eben erwähnten Grenzen liegen, so ergeben sich aus der vorausgesetzten Gleichung, die auch für jede Zahl über m anstatt m gilt, folgende Gleichung:
K s £ ,m ~ ®s s ,m+l
2 *
a s c ,m+l = ^ 2 0: s,,tn4-2
c c
2 _ .
ß s £ ,m+2 — ß s f ,ni+3
I I I I
I I I I
0! s £ ,«- 2 = ftc-l-m ®g £ ,v-l
ß s £ , x-1 ~ £ -m ®s £ ,k
Depolenziren wir nun die zw eite dieser'Gleichungen mit 2, die dritte mit 2 2 , die vierte mit 2 3 u. s. f., endlich die (x — m) ,e mit 2 yt ~ a> ' 1 , und mullipliziren die so erhaltenen Gleichungen miteinander, so gelangen wir zu folgender Gleichung:
ß
2
s £ ,m
gl • g • gf. gf
1 1
• -g
jX-l
x-m
ß
2 x-l-m
Btt*
37)

22 . Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
Nun ist nach dem Lehrsatz I.
*
«s £ ,x = c+ein (KK 2 - • • K s )‘*
und der Betrag des Produktes aus den (x -m) ersten Faktoren in 37) zwischen dem Produkt, das aus der Setzung des grössten der Grundfaktoren für jeden Grundfaklor, und dem Produkt, das aus der Setzung des kleinsten Grundfaktors hervorgeht, mithin gleich dem Produkt, das durch Setzung von £„ für jeden Grundfaktor entsteht, wenn eine zwischen dem grössten und kleinsten jener Grundfaktoren liegende Zahl bezeichnet, und es folgt daher aus 37):
- 2^-ni-i i
= f. 2 *' m
k 8£,m b 0
(t -t-eitr 1 - 2 ) 2 ' 1 "“ (w“‘ w " 2
Pas Produkt der zwei ersten Faktoren im zweiten Theil dieser Gleichung wird nun offenbar durch Setzung von (1 -j- 1,34410 r_2 ) für und (1 -+-01O~ r ~ 2 ) vermehrt, hingegen durch die Substitution von (1 — 1,34410 _r_2 ) gewiss vermindert, woraus folgt, dass nur die Setzung einer zwischen (l+l,344.10 _r_2 ) u. (1—1,344.IO -1-2 ) liegenden Zahl für jede der zwei Zahlen £„ und (1 4- ©IO -1 ” 2 ) keine Werthänderung bewirkt, und man hat daher auch folgende Gleichung:
“sj, m
1,3440
10 r+2
W
n 2
’ S 2
wo 0 O eine zwischen 1 und — 1 liegende Zahl bezeichnet. Aus der Ableitung dieser Gleichung folgt offenbar ihre Richtigkeit auch für den Fall, wo für m eine zwischen m und x liegende Zahl gesetzt wird. »
Anmerkung. Dass die Gleichung 12) schon weit früher als in der jc* 611 Quadratgleichung sämmlliche Coefficienten geben kann, w elche die im Lehrsätze III. angeführten Eigenschaften besitzen, beweist die Gleichung
x 4 — 3x 3 + 0x 2 - 8x + 24 = 0
deren Wurzeln 3, 2, 2(cos +.i sin |jt) sind. Hier haben schon in der ersten Quadratgleichung die Coefficienten ai ,i und

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 28
a 4>1 genau den Charakter, welche die Coefficienten «s^k, ßs 2 ,k . . . besitzen; ja sogar die Coefficienten « 1,0 und a 4 ,o haben diese Eigenschaft, so dass sich schon aus diesen die Moduli absolut genau berechnen lassen.
Beweis zu V.
Aus der Voraussetzung unsers Lehrsatzes' kann man, wie es im vorhergehenden Beweise geschah, auf die Gleichungen 36) desselben Beweises schliessen, wenn nämlich durchgehends t für s s und die vorderhand unbestimmte Summe m -f z für x gesetzt wird. Nehmen wir nun an, es sei
«t,„, = g(WiW* .. . W,F"
38)
und bezeichnen wir mit p das Produkt (W 1 W 2 . . . W v ), so gelangen wir aus den in der angegebenen Weise veränderten Gleichungen 36) mit Beachtung der 38) sehr leicht zu folgenden Gleichungen:
, m +1
22 n 2 m+ 2
®t,m + 2
0.1 «TO 4-3
ß t, m+3
r2* n ?ni+7.
#t, m-f z
Nun erhalten wir ein dem Divisor dieses letztem Quotienten gleiches Produkt gewiss dadurch, dass für jede der Zahlen £>... in diesem Produkt eine gewisse zwischen (1 ■+ 1,344 10 _r " 2 ) und (1 — 1,344 10' r “ 2 ) liegende Zahl setzen. Diese Setzung führt dann zu der Gleichung
r 24 n 2m+i
, 2 «*+*
Mt, m+z
39 )

24 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
Aber aus der Bedeutung von «t,m + z folgt sehr leicht, dass fft.mu = ©(”) p 2 ™' 1 (wo 0 zwischen 0 und t) 40) Vergleichen wir nun die in 40) und 39) angegebenen Ausdrücke für «t,m+z, so finden wir sofort, dass, wenn g die Zahl übersteigen könnte, es immer einen Werth von z gäbe, bei
welchem (jj weit grösser als ©(£) wäre, was natürlich
nicht sein kann. Wir sehen also, dass, wenn g nicht innerhalb der Grenzen (1 + 1,344.10" 1-2 ) und (1 — 1,344 10 _r_2 ) liegt, dieses g sicher nicht über der obern Grenze, mithin unter der untern Grenze liegen muss.
Dass t bei dem im Lehrsatz vorausgesetzten Coefticienten «(,m einer der Zahlen si, s? . . . s„ gleich sein kann, ist nach dem Vorhergehenden für sich klar, dass aber t auch verschieden von jeder dieser v Zahlen und zugleich «t,m dem Werlhe nach zwischen (1 + 1,344 10 _r ~ 2 ) p 2 '" und (t — 1,344 10~ r ~ 2 ) p 2 " 1 sein kann, zeigt folgende Gleichung :
x 3 *—21x7+ 120x 6 — 100x 5 +0.x 1 —x 3 + 21x 2 —120x +100 = 0 41) In dieser Gleichung, deren Wurzeln
10, 10, 1, 1 , cos |n ±. i sin |* und cos |rt +. i sin sind, ist v = 2, m = 2, n 2 = n v = 6, Sj = 2 und S 2 = s v = 8, und für r = 12 wird k = 4, da
3 < [lg [14 + lg (S)J - lg . lg . 10] < 4
Bildet man nun die 4 te Quadratgleichung zu 41), so zeigt sich, dass der 3 te und 7 te Coefficient zwischen den oben erwähnten 2 Grenzen liegt, und sämmtliche von ßt,m vorausgesetzte Eigenschaften besitzt, jedoch 3 und 7 verschieden von si und s* oder 2 und 8 sind. Man sieht sogar, dass jetzt « 3 , 0 , d.i. der 3 U Coefficient in 41) selbst alle diese Eigenschaften besitzt, und zudem nicht bloss zwischen jenen 2 Grenzen liegt, sondern genau = (W t W 2 W 3) 20 oder = 10 . 10 . 1 ist, und diese vollkommene Genauigkeit in allen Quadratgleichungen zu 41) beibehält.

Denzlcr, Auflösung der hohen) numerischen Gleichungen. 25
Diese Gleichung 41) zeigt auch, dass es Coefficienlen geben kann, die die l’ e und 2 ,e der von «t,m vorausgesetzten Eigenschaften allein besitzen. Es ist nämlich in Beziehung auf diese Gleichung für jeden Werth von m, 0 nicht ausgenommen, tx s , m negativ und
(- l) 5 «5,m+l = a* im
Dass endlich «t,m bei seinen vorausgesetzten 3 Eigenschaften dem absoluten Werthe nach unter (t — 1,344. 10~ T ' _2 ) p 2 " 1 liegen kann, beweist der 3 ,e Coefficient in der Gleichung
x'> - 3x3 + 0 . x 2 — 8x + 24 = 0 42)
deren Wurzeln 3, 2 und — 1 ±. i fs sind. Hier ist für jeden Werth von m, 0 nicht ausgeschlossen: a 3,m = (— l) 3 ,
( — l) 3 ßs,m+l — ß 3,m, 2ß3-n,m ß 3 fu,m = 0 und 0^3, m = (2 3 ) 2m also kleiner als (1 - 1,344.IO -1 “ 2 ) (W1W2W3) 2 " 1 oder (1-1,344 IO' 1 '" 2 ) (3.2. 2) 2 “ 1 .
Der vorausgesetzte Coefficient at,m kann übrigens nie dem
absoluten Werthe nach unter (1 — 1,344 10 “ r ’ 2 ) p 2 "' liegen, wenn
die sämmtlichen Wurzeln reell sind, was sich auf folgende
Weise zeigen lässt: Es sei n £+1 > 1 und ß zwischen s £ und
s £+1 , und jede der Wurzeln in der Gleichung 12) reell. Nun
denken wir uns die sämrnllichen Complexionen, deren Summe
= aa in 2 Gruppen, von welchen die erste alle die der r > m
Complexionen W° * . . . W° £ W^ -S£ ~| an Werth gleichen
enthält, deren Anzahl = (!! £+1 ) und die 2 le alle übrigen
KD - fc;)] Complexionen in sich fasst. Jede dieser übrigen Complexionen wird, wenn W Sr der grösste der Moduli
W S j. Ws 2 , Ws 3 • • • • ist, der mit Ws f+2 multiplicirt ein Produkt unter W? gibt, das Produkt ö £~t“l

26 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
[K %
ri 2
S2 '
. w
ß-s s
S £+l
Wsa + O 2
x -w^rJ
wenn a < e + 1, hingegen das Produkt
rW ni W 112 W n£ W‘^' S£ v |
L W Sl W 8,-*-- W 8, W s s + 1 X w ss+1 |
wenn a = £ -j- 1, nicht überschreiten können. Hieraus folgt:
*p.»- cif) [<;<■••
8 [0 - G - t ,')][<■*"> •••
\V n s \Y^ _s f
S£ + l
S £+l
w
S£
wenn a < 1 + e und 0 zwischen 0 und 1, dagegen findet man:
«0 = ( n £+i\ T W «i w" 2 .... W n « wf" s « 1 ' +
'/3-s £ / L Sl S2 • s £ S £ + 1 J
gf/“] — f n £ + l r W Dl W D2 W n £ W^" s £ Wg £ 4.2~l 2
LW '/»-»£/JL Si 8 *''” S£ Hi w^J
w enn a = 1 + £ und 0 dieselbe Bedeutung hat:
Bedenkt man nun, dass bloss nach der Bedeutung von c der
( D ) — / n £+i \
\ß> \ß-s t I
Quotient - < c und nach der Bedeutung von q
(ß-tg )
jeder der 2 Quotienten ohne Mühe, dass
-ft»= Q-t;) [ w s“‘ w »' • • • w "; ]'" (<+?■)«>
Wb«
w,
S£ + l
und
W,
S£41
w
s £4 2
q, so findet man
Da nun 0 eine positive Zahl.zwischen 0 und 1 bedeutet, so wird aus dieser Gleichung sogleich klar, dass mit Ausnahme der Coefficienlen a s „m, «s 2 ,m .... «s„,m jeder der übrigen Coefficienten in der m te “ Quadralgleichung zu 12), z. B. der ß x ‘
nie unier das fache der (2 n ’) ,cu Potenz des Produktes

Denzler, Auflösung der höhcrn numerischen Gleichungen. 27
(Wi W 2 . . . ~Wß) herabzugehen vermag, wenn nämlich die Gleichung 12) nur reelle Wurzeln hat.
Wir sehen aus dieser Gleichung zugleich, dass nicht bloss
die Coefficienten « Sl ,k> «s 2 ,k .... «s„,k in der k ,e " Quadratgleichung eine vollkommen bestimmte Deutung zulassen, sondern auch alle übrigen Coefficienten. So findet man z. B. aus 43),
1
da ^ den ß e " Coefficienten in der k ten Quadrat-
q2 k 10 + -
gleichung, wenn ß zwischen s £ und s g _j_ a , mithin n £+ , > 1, und 0 eine unbestimmte zwischen 0 und 1 liegende Zahl bezeichnet :
*ß,k
= f n *+ \ß-s e
)["
\V ni W 112 .... w n£ W^ -Ss
Sl S2
S £ -f-
,]>
—i
10 *' + 2 / .
§. 4. Lehrsatz.
Sind die Moduli sämmtlicher n reellen und imaginären Wurzeln der Gleichung 12) einander gleich und — Wi, so ist
Wl = y^r n •)
und die Gleichung
«2
+ Wj X + W 4 2 X ”
+ -
x n-l
■ Wi”
lX + x n
wo der Kürze wegen Wj für cc n gesetzt wurde, jedenfalls eine reciproke Gleichung, deren Auflösung sich bekanntlich
( ll\ ten -)
Grade, wenn n gerade; und höchstens vom ' Grade,
wenn n ungerade, reduciren lässt; und es können alsdann die aus diesen Reductionen entstehenden Gleichungen nur reelle Wurzeln enthalten.
*) o 1 ,, bezeichnet den Quotienten aus b„ durch den absoluten Werth von e u .

28 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
Beweis.
Es ist bekanntlich, wenn coj, cd 2 , ... <»„ die Wurzeln der Gleichung 12) sind, a u = (~ 1)" sij uj . . . w„. Sind nun m dieser n Wurzeln reell und negativ, so ist, wie man leicht findet, coj co 2 . . . <o„ = (— l) m Wj, mithin a„ = (- l) n,+n Wj, und daher (—1)" H1> a„ = W". Da nun W" eine positive Zahl, so ist auch (— l) m+ " a „ positiv und daher gleich a„ Hieraus
folgt, dass a n a n = W” und somit die zu beweisende Gleichung Statt findet.
Selzen wir zur Begründung der 2 ,en Behauptung in die 11 _
Gleichung 2G) x Y «„ a„ für x und dividiren hierauf auf beiden Seilen durch [/«.> «„] oder o„ «„, So erhallen wir, wenn wir
n_
der Kürze wegen Wi statt fa x «„ setzen, folgende Gleichung:
«1
Wi
«2
W?
x
n - 2
* + «u = 0
44)
Ist nun der Modulus.von jeder der reellen und imaginären Wurzeln = Wi, und sind die Zahlen, mit welchen Wi multiplicirt die Wurzeln der Gleichung 12) geben: ai, az , . . . a„, so sind offenbar diese letztem Zahlen zugleich die Wurzeln der Gleichung 44) und entweder gleich -+- 1, oder gleich — 1, oder conjugirle Paare von imaginären Wurzeln, deren Mudulus gleich 1 ist. Bringen wir nun, vorausselzend, dass unter den Wurzeln aj, az, . . . a n wenigstens 2 gleich 1 , wenigstens 2 gleich —1, und überdiess imaginäre Wurzeln sich befinden , von den sämmt- lichen n Differenzen x — ai, x — az.x — a„ alle diejenigen Paare in eine Gruppe, deren Subtrahenden conjugirte imaginäre Wurzeln sind, dann alle Paare, bei welchen der Subtrahend = 1 ist, in eine 2" Gruppe, ferner alle Paare, deren Subtrahend = — 1, in eine 3 ,e Gruppe, so wird nach der Bildung aller dieser Gruppen entweder

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 29
1) keine Differenz mehr übrig bleiben, oder
2) die Differenz x — i, oder
3) die Differenz x —(—1) übrig sein, oder es bleiben
4) noch die zwei Differenzen x — 1 und x - (— 1) uneingelheilt übrig.
Bildet man nun in jeder der drei Gruppen das Produkt aus den beiden Differenzen von jedem Paar, so erhält man in jeder dieser Gruppen quadratische Faktoren von der Form x 2 + bx + 1; inulliplicirt man hierauf alle quadratischen Faktoren in diesen drei Gruppen successive miteinander, so wird man bei jeder dieser Multiplikationen ein Polynom von der Form x 2 ' u + b.x 2 '"' 1 b,x 2 + 1 45)
bei dem die Coefficienleu an den Enden und gleich weit von den Enden mit einem quadratischen Faktor von der Form x 2 + bx + 1 zu multipiiziren haben, wodurch man wieder ein Produkt von derselben Form und mit derselben Eigenschaft der Coefficienleu erhält. Tritt also der erste der erwähnten vier Fälle ein, so wird das Produkt sämmtlicher n Diflerenzcn ein Polynom von der Form 45) sein.
Im zweiten Falle aber wird man zur Bildung des Produktes aller n Differenzen zuletzt ein Polynom von der Form 45) und mit derselben Eigen: chaft der Coefficienten mit x— i multipli- ciren, wodurch man ein Polynom von folgender Form erhält:
X 2 "' +1 4. qx 2 ”' + CjX 2 '”' 1 + •••• — CjX 2 — C|X — 1. 46)
wo die Coefficienleu an den Enden und gleich weit von den Enden dem absoluten Werthe nach einander gleich, aber entgegengesetzt sind.
Im dritten Falle ist zur Herstellung des Produktes aller n Differenzen zuletzt ein Polynom von der Form 45) mit x + 1 zu multipliciren. Das Ergebniss dieser Multiplication ist ein Polynom von folgender Form
x 2 " 1+1 + CjX 2 " 1 4- Cjx 2 '”' 1 + . . . . c 2 x 2 -f- cix + 1 47)
wo wieder die Coefficienten an den Enden und gleichweit von den Enden absolut gleich sind.
Im vierten Falle hat man, um das Produkt aller n Differen-

30 Deozier, Auflösung der höhern numerischen Gleichungen.
zen zu erhallen, schliesslich ein Polynom von der Form 45) mit x 2 — 1 zu multipliciren , wodurch man ein Polynom der Form
x 2">+2 + p lX 2n.H l + p^en. + _ _ p ^.m+1 + _ _ „p^Z _ pjX _ 1 4g )
erhält, wo die Coefficieulen an den Enden und gleichweit von den Enden dem absoluten Werlhe nach gleich , aber einander entgegengesetzt sind und der mittlere Coefficienl jedenfalls = 0 ist.
Der vorstehende Beweis ist offenbar auch dann noch zulässig, wenn von den drei im Eingänge erwähnten Gruppen eine oder zwei keine Differenzen enthielte. Würden aber für keine dieser drei Gruppen Paare von Differenzen vorhanden sein, dann wäre die Behauptung des Lehrsatzes für sich klar.
Bedenken wir endlich, dass das Produkt aller dieser Differenzen mit dem ersten Theil von 44) congruiren muss, so wird nach dem Gesagten die Gleichung 44) eine reciproke sein, die im ersten der angeführten Fälle sich auf eine'Gleichung vom
n—l t<jn
- Grade, im zweiten und dritten auf eine vom Grade,
n-2 teu
im vierten Falle auf eine Gleichung vom Grade reducireu
lässt, und jede aus dieser Ileduction entspringende Gleichung wird dann, da die Summe aus einer Complexeu mit dem Modulus 1 und ihrem reciproken Werth reell ist, gewiss nur reelle Wurzeln enthalten können.
§• 5 . .
Kennt man von einer gegebenen Gleichung 12) , für welche man die Moduli der Wurzeln bis zu irgend einem Gliede, z. B. bis zum (r + l) te " Gliede herab bestimmen will, die Grenze q, unter welcher kein Quotient aus einem der Moduli durch den nächst kleinern liegtkennt man ferner die Anzahl (r) der verschiedenen Moduli und überdiess die Zahlen Ui, n 2 .u„,
welche beziehungsweise ausdrücken, wie viel mal jedes Glied in der Reihe der v verschiedenen Moduli als Modulus bei den sämmtlichen Wurzeln der Gleichung 12) erscheint, so wird

Denzlor, Auflösung der bübern numerischen Gleichungen, 31
man zur Herstellung der verlangten Näherungswerihe der v verschiedenen Moduli, wenn v > 1, aus den Zahlen q, r und n vorerst die positive ganze Zahl k berechnen, die an 1
r —5 [lg (r + 2 + lg e) — lg (lg q)] zunächst liegt, aber nicht kleiner lg i
ist als dieser Ausdruck, hierauf nach §. 2 die erste der gegebenen Gleichung 12) zugehörige Quadralgleichung bilden, dann zu der so erhaltenen Gleichung wieder die erste Quadratgleichung, also die zweite Quadratgleichung zu 12), und so fortfahren, bis man endlich zur k teu Quadratgleichung zu 12) gelangt ist; alsdann ergeben sich aus dein ni tea , (iu + u 2 ) ,en , (nj -f- n 2 + n 3 ) te “ .... n teu Coefficienten dieser k te " Quadralgleichung die verlangten Näherungswerihe sämmtlicher v Moduli durch Anwendung der Gleichungen 15). Ist aber v = 1, dann ist die Herstellung von Quadratgleichungen erfolglos, uud jeder der n Moduli zu den Wurzeln der Gleichung 12) nach §. 4 absolut genau gleich der n ,c " Wurzel aus dem absoluten Werth von « n .
Wenn man al$o die Zahlen q, v und D h n 2 . . . n„ für die Gleichuug 12) kennt, so hat man eine vollkommen bestimmte von vergeblichen Versuchen völlig freie Auflösung der Aufgabe, die Moduli sämmtlicher Wurzeln der vorgelegten Gleichung 12) mit jedem ganz beliebigen Grade der Genauigkeit zu berechnen, wobei jedoch in allen den Fällen, wo q nahe an 1 liegt, sehr ermüdende und bedeutenden Zeitaufwand fordernde Rechnungen auszuführen sind; so dass für diese Fälle ein einfacheres Verfahren sehr wünschenswert erscheint. Wir werden später bei der Discussion der Frage, wie sich aus irgend einem Näherungswert einer Wurzel ein genauerer ermitteln lassen, auf diese Fälle zurückkommen.
Kennt man aber keine der Zahlen q, v, n lt n 2 ...n„, dann ist die Berechnung der Moduli nicht immer in demselben Masse bestimmt, wie wenn alle die erwähnten Zahlen oder einige derselben bekannt sind. In diesem Falle, wo man von den Wurzeln der Gleichuug 12) nichts weiss, wird man die Ermittlung der Moduli von den Wurzeln dieser Gleichung mit der

32 Deuzler , Aullösung der böbern numerischen Gleichungen.
Untersuchung beginnen, ob nicht etwa siimmtlicho Moduli einander gleich seien, in welchem Falle ja die Quadrirung der Wurzeln ganz nutzlos wäre. Zu diesem Zwecke setzen wir
n
xK a n a„ für x in die Gleichung 26) und dividiren hernach auf beiden Seiten die aus dieser Setzung hervorgegangene Gleichung durch a„ a a . Ist alsdann die so erhaltene Gleichung keine re- ciproke, so sind vermöge des Lehrsatzes in §. 4 die Moduli der Wurzeln von 11) sicher ungleich; ist sie aber reciprok, so lässt sich zwar keineswegs hieraus auf die Gleichheit alter Moduli mit Sicherheit schliessen, hingegen hat man dann den bedeutenden Vortheil erlangt, die reciproke Gleichung und mithin auch die Gleichung 12) auf einen höchstens halb so hohen Grad herabsetzen zu können. Auf die aus dieser Reduktion entsprechende Gleichung kann daun diese Untersuchung in gleicher Weise Statt finden u. s. f. Zuletzt wird man entweder zu einer nicht reciproken Gleichung gelangen, bei der dann die Moduli der Wurzeln nothwendig ungleich sein müssen, und deren Aullösung auch die der ursprünglich vorgeleglen Gleichung 12) möglich macht, oder zuletzt eine Gleichung vom 2 en Grade erhalten, in welchem Falle sich dann sämmtliche Wurzeln der Gleichung 12) ohne Schwierigkeit bestimmen lassen. Will man z. B. die Moduli der Wurzeln von der Gleichung
x s _ 35 X 7 + 408x 6 — 2203x 5 4- 8478x'* — 19815x3
33048x 2 —25515x 4-6561 =0 49)
bestimmen, so setze inan vorerst xiTöSei oder 3xt für x, dadurch erhält man:
245 „
x
*-T*l
136 „ 215 , 314
+ - 3 -X?-3-X?+-g
xj —
136
35
Vx? — Xi 4-1=0
50)
Dividirt man nun auf beiden Seiten durch x*, was, da xi offenbar nicht 0 sein kann, geschehen darf, und zieht die Glieder
mit gleichhohen Potenzen von xi und zusammen, setzt hier-

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 33
auf xi + = y. mithin x 4 + x] 4 = y* — 4y 2 + 2, x® + xj 3 =
y 3 — 3y, Xj + x) 2 = y 2 — 2; so gelangt man zu folgender
Gleichung:
y'* -
35
124
—
140
y + 16
51)
Setzl man nun, um wieder zu untersuchen, oh die Moduli der
Wurzeln dieser letztem Gleichung einander gleich sind, y t Ul6 oder 2yj für y, so erhält man:
v 4
y i
35 3 , 3t 2 35
7T>i + T!i- + 1
0
52)
6 ‘ 3 1 6
und aus dieser letztem Gleichung findet man ganz ähnlich, wie
vorhin, wenn yi + ^ = z gesetzt wird
35
Y Z
25
= 0
Diese Gleichung hat nun die Zahlen 3~ und 2| zu Wurzeln, mithin sind 3, |, 2, die Wurzeln von 52), und 6, |, 4, 1 die Wurzeln von 51). Setzt man nun in die Gleichung xi + — =y
zuerst 6, dann |, 4 und 1, so ergibt sich, dass 3 ±. Us, i ±.2iy2 1 + i T3
---, 2+.r3 und . — die Wurzeln von 50), und die
o £
Ergebnisse der Mnltiplicationen dieser 4 Zahlen mit 3 die Wurzeln von 49) sind.
Ein 2 ,es Beispiel entnehmen wir dem Berl. aslr. Jahrb. v. 1841, pag. 336, welches eine ausführliche Untersuchung der Graeffe’schen Methode enthält, nämlich :
x* + 4,002x 3 + 14,0180x 2 + 20,03802x + 25,07005 = 0 53)
4 _
Setzen wir in dieser x = yU25,07005, und dividiren hierauf
durch 25,07005, so finden wir
y* + 1,78849728105 y 3 + 2,7996823886 y 2 +
1,7884977809 y + 1 = 0 54)
Diese letztere Gleichung zeigt sogleich, dass nicht alle Moduli der Wurzeln von 53) genau gleich gross sind. Da aber diese

34 Dcnzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
Gleichung sehr nahezu eine reciproke ist und eine geringe Verschiedenheit unter den erwähnten Moduln vermulhen lässt, so würde vorläufig wenigstens das Quadriren der Wurzeln nicht rathsam sein, und wir ziehen es daher vor, die Gleichung 54) als eine reciproke zu behandeln, zu deren Wurzeln die Wurzeln der Gleichung
y u + l,7884975y 3 + 2,7990823886y 2 + l,7884975y + 1 = 0 55) ziemlich genaue Näherungswerthe sind. Aus dieser Gleichung schliessen wir genau so, wie aus 50) auf 51), auf folgende Gleichung:
z 2 + 1,7884975 z + 0,7990823886 = 0 56)
wo z = y -+- Durch Auflösung der Gleichung 56) finden wir
z = — 0,89424875 ± i F0,0000015620 z = — 0,89424875 ± 0,00124972 i
Da nun z = y + ^ und z zweiwerthig ist, so hat y 4 Werlhe,
von welchen 2 die reciproken Werlhe der übrigen sind; und 2 solche Werlhe finden wir durch Auflösung der Gleichung y 2 + (0,89424875 + 0,00124972i) y + 1 = 0.
Diese Gleichung gibt:
y = - 0,447124375 + 0,0006249i 4+6,447121375 + 0,00l2498i) 2 - 1 = -0,447124375+0,0006249i+/-0,800081 3551+0,000558 316043i = -0,447124375+0,0006249i + (0,00031225 + 0,8944727232i) y = — 0,417436625 + 0,8950976 i = — 0,446812125 — 0,8938478i
Multipliciren wir diese 2 zu einander reciproken Werthe von y
4 _
mit 1^25,07005 = 2,237 6327, so erhalten wir: — 1,001198822 + 2,0028994i und —0,999801421 - 2,0001030i, und diese 2 Com- plexen sind mit ihren conjugirten Werthen als Nüheruugswerthe von den Wurzeln der Gleichung 53) zu betrachten , deren genaue Werthe nach dem Berl. astr. Jahrb. f. 1841, pag. 338 die Com- plexen — 1,001 ±_ 2,003i und — 1,000 +. 2,000i sind. Wie diese Näherungswerthe zur Herstellung von genauem Werthen benutzt werden können, werden wir in der Folge zu zeigen Gelegenheit haben. (Fortsetzung folgt.)

Deuzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 35
Schliesslich bemerken wir, dass, wenn die Substitution n ____
von %y'a lt a„ in 12) für x zu einer weder genau noch annähernd reciproken Gleichung führt, wenigstens 2 der Moduli zu den Wurzeln von 12) merklich ungleich sein müssen. Wenn aber diese Substilulion zu einer zwar nicht genau aber doch annähernd reciproken Gleichung führt, so wird es zweckmässig sein, diese Gleichung zur Bildung von Näherungswerten der Wurzeln als eine reciproke zu behandeln, von der ausgehend man entweder nach dem bereits beschriebenen Verfahren entweder zuletzt zu einer Gleichung des 2"" Grades gelangt, oder dann zu einer nicht reciproken Gleichung, deren Moduli nicht alle einander sehr nahe liegen können. Dass man durch diese Substitution auch erfährt, ob die Wurzeln von 12) Produkte aus den Wurzeln einer reciproken Gleichung in eine und dieselbe Zahl sind, und diese reciproke Gleichung selbst eben durch diese Substitution findet, ist wohl kaum zu bemerken notwendig.
§. 6 .
Wir haben im Vorhergehenden ein einfaches Mittel kennen gelernt, durch welches entweder 1) sofort mit völliger Bestimmtheit entschieden werden kann, ob irgend eine gegebene Gleichung Wurzeln mit wenigstens 2 merklich verschiedenen Moduln hat, oder 2), wenn diese einmalige Anwendung keinen Entscheid gäbe, die gegebene Gleichung auf einen höchstens halb so hohen Grad reducirt werden kann, deren Wurzeln wenigstens 2 ziemlich ungleiche Moduli haben, oder 3) die Herabsetzung der Gleichung auf den 2 t#n Grad ermöglicht wird. Wir haben daher jetzt nur noch zur vollständigen Auflösung der Aufgabe: die Moduli der Wurzeln einer Gleichung zu berechnen , die Frage zu beantworten, wde sich die Moduli der Wurzeln von der Gleichung 12) ermitteln lassen, wenn man be-

36 Denzler, Auflösung clor liöhern numerischen Gleichungen.
stimmt weiss, dass wenigstens 2 dieser Moduli nicht unbedeutend ungleich sind.
Nehmen wir vorerst an
I. Es sei q bekannt.
Verlangt man nun r 4- 1 slellige Näherungswerlhe von den Moduln der Wurzeln, so haben wir successive die 1*', 2 1 '. . k te Quadratgleichung zu 12 ) herzustellen, wo k nach der angenommenen Bezeichnung die kleinste positive ganze Zahl bedeutet, die
I
im algebraischen Sinne nicht unter r— 5 [lg(r -(-2 + lg c)-lg(lg.q)]
lg i
liegt; alsdann werden die Coefficienten ß g ^ k , « g k ....
die sämmtlichen Eigenschaften von den Coefficienten der ersten Art besitzen. Gäbe es nun keine Coefficienten der 2 ,e ” und 3 ,e "Art, so würde die aus jenen v Coefficienten gebildete Reihe
1 1 [(- l) n ‘ • 2 k , [(- 1)»* ^]n 2 .2 k ,
[ «s-,k “1
a f „, k J
nach g. 3 Glied für Glied mit folgender Reihe übereinstimmen
«,W„i, §2 We 2 > ^3 ^ s 3. Sv Wsji
wo öi» Ö2 • • • • Sv Zahlen bezeichnen, von welchen man bloss
weiss, dass sie zwischen ^1 + tO“ I_2 j und £l — 10 -r-2 J
liegen, wo ferner Wgj den Modulus zu si oder m Wurzeln, Ws 2 den zu s 2 — si oder n 2 , W s , den zu s 3 — s 2 oder n 3 , . . , Wsj, den Modulus zu n„ Wurzeln der Gleichung 12 ) darstellt. Enthielte aber die k te Quadralgleichung ausser den v Coefficienten der ersten Art bloss noch Coefficienten der 2 1 ' 1 ' Art, so könnten diese genau so wie die Coefficienten der ersten Art zur

Dcnzler, Auflösung der höhern uumerischen Gleichungen. 37
Berechnung der Moduli verwendet werden; denn, nehmen wir um diess klar zu machen, an, die k 1 ' Quadratgleichung enthielte zwischen dem s £ _/ el ‘ und s £ te " Coefficienteu etwa 3 Coef- Gcienten der 2 teu Art, und es seien diese
ß P + s £ _i > “<1 + s £ _i ' + s £ _,
wo wir der Kürze wegen die Zahl k von den Jndices weglies- sen; so müssten nach der Definition der Coefficieulen der 2 l<m Art die Gleichungen Statt finden :
«if
'*[
«st
w ni
w" 2 .
. W n£_1
W P
. 2 k
( -l) P + 8 «- 1
Sl
S2
S £-l
S £ J
1 =
|2 k
\v ni
Sl
w" 2 .
S2
. W n£_1
S £ _ |
3
i :
w“ 1
w " 2 .
\V n £-i
w r
.2k
(._ 1)' + «»- 1
Sl
s 2
s £ _ J
s 6_
1 =
K P + S £ _l -1- S £ _l
®r + 8 £ _i
Dividirt man durch die 3 te dieser 3 Gleichungen folgende Gleichung, die nach §. 3 Statt finden muss:
l)Vs £
hierauf die 3 1 ' durch die 2 ,e jener 3 Gleichungen, dann die 2 1 ' durch die erste, endlich die erste durch die nach §. 3 existirende Gleichung
|2 k
öfw 1 ' 1 W “ 2 . . . W n f-'T =i
L S 1 6 2 S S-1 J
so erhalten wir folgende Gleichungen
1)
S£-l,
*S £ _1
S £ -S £ - 1 -r «s £
r-q g r+s £ .
‘Irr] -<-•>■
fö r+s £ _i
-1
«q+s £ _l
*P + Sf-1
57)

38 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen, wo A, h, h und A 3 Zahlen bezeichnen, die nicht über
1 + 1,344- l(T r '2
1 — 1,344 10 12 11
2 liegen. Nun ist
1 314
1,344 10" r -2
[.
1 + 1,344 IO' 1 ’-* 1 — 1,344 10~ r_2
[1 + 1,344 10- v -2j
1,344
und da - —’. _ sein Maximum für r = 1 erreicht und
1 — 1,344 10 1_ 2
dieser Ausdruck für r = 1 unter 1,346 liegt, so hat mau auch folgende Ungleichheit:
1 + 1 ,342 10~ r ~ 2
r-i=i < (1 + 1,344 IO- 1 " 2 ) (1 4- 1,3458 10- r -2)
1 — 1,342 IO- 1 ' 2
woraus nun sehr leicht folgt, dass A, Aj, A 2 , A 3 Zahlen zwischen (1 + 2,69 10~ r— 2 ) und (1 — 2,69 10“ 1 ' 2 ) sind.
Betrachtet inan nun die angenommenen 3 Coefficienlen der 2 le “ Art in der k ,en Quadratgleichung zu 12) als Coefficienlen der ersten Art, und dazu ist man geradezu gezwungen, so gibt man bei dieser Auffassung den Quotienten
ß s £ «r+s £ _i Kp+s E -i
«r+s £ _i <*(i+s £ _i K ss-l
gerade die Deutung, die durch die Gleichung 57) ausgedrückt ist, und findet dann zuletzt, dass W S£ der Modulus zu [s £ — (r + s £ _ 3 )] oder n £ — r Wurzeln, ferner W S£ der Modulus zu [r-f-s £ _i — (g + s £ _i)] oder r —q andern Wurzeln, über- diess zu (q - p) neuen Wurzeln und endlich zu p noch andere Wurzeln, somit Ws £ im Ganzen zu [n £ —r + r— q + q— p+p] oder zu u £ Wurzeln gehör!, wie es sein soll.
Enthält aber die k te Quadralgleichuug zu 12) auch Coefficienlen der 3 ,e “ Art, dann ist es unerlässlich, diese zu beseitigen, weil diese zu ganz unrichtigen Resultaten führen könnten, wenn sie als Coefficienlen der ersten oder 2 ten Art behandelt würden. Diese Beseitigung wird auf folgende Weise möglich:
Nehmen wir an , die absoluten Werlhe aller der Coefficienlen in der k ten Quadratgleichung zu 12), welche die in §. 3. V. erwähnten 3 Eigenschaften besitzen, seien *

Deuzler, Auflösung der hohem nuraerischen Gleichungen. 39
wo die Indices a, b, c . . . n eine steigende Reihe bilden und die Ordnungszahlen der Coefficieuten in dieser Gleichung aus- drücken; nehmen wir ferner au, a sei der erste von den Coefficienten der 3 ten Art, die sich unter den sämintlichen Coef- ficienten K a) a h ■ ■ • a n befinden mögen, mithin die dem a tl vorangehenden Coefficienten zur ersten oder 2 ,e " Art gehörig, nehmen wir überdiess an, Kg sei der erste von den Coefficieuten der l ten oder 2 ,en Art, die auf ^ folgen, mithin und a ( der 3 1 ' 1 ' Art angehörend, so hat mau nach der liklärung von Coefficienten der 3 teu Art und früher Bewiesenem folgende Relationen :
ä[Wi\V 2 ...W/= ßc y[\ViW 2 ... W a p k = K ] yi[WiW,... WJ* k = « a Yt[ WiW* . .. W f p k = Kf 3i[WiW 2 .. . W g p k = a e
58)
wo <5 und zwischen (1 4- 1,344 10~ r-2 ) und (1 — 1,344 IO -1-2 ) , hingegen y, yi, y 2 unter der Zahl (1 — 1,344 10 _r_2 ) liegen.
Da nun zwischen den Coefficienten a c und a g kein Coeffi- cient der ersten oder 2 ,,n Art sich befindet, so sind nach dem Vorhergehenden die sämintlichen Moduli W c+1 , W c+2 ... W d .. .W„ . . . W f W f+1 . . . W g einander gleich , und man kann daher aus den Gleichungen 58) sehr leicht auf folgende Gleichungen schliessen:
1
^2 k (d-c) = |7j2 k i
59)
1
1
öl\2 k (g-f)
60)
Nun ist nach der Bedeutung von <5, y, ij, y 2 der Quotient
y 8 *
kleiner als 1, während — grösser als 1 ist, mithin der erste
ö y 2 °

40 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
Theil der Gleichung 59) entschieden kleiner als der erste Theil von 60), woraus folgt, dass die Reihe
i * 1
[«J* k a, [^p k (b-a), [^] 2 Vb),
1 1 1 2 k (d-c) .... pj 2 k (g-f) 5 pj ( 2 k n-g) 61)
wenigstens an einer Stelle steigen muss. Wenn daher die Reihe 61) nirgends steigt, so ist unter den Coefficienten a„, a h . . . a„ kein Coefficient der 3 ,e " Art vorhanden, steigt sie aber an irgend einer Stelle, z. B. zuerst im 3 ,e " Gliede, so ist sicher a h nicht ein Coefficient der ersten Art und sofort als geradezu unverwendbar, oder doch wenigstens als überflüssig zur Bestimmung der Moduli zu beseitigen. Dass a h unter dieser Voraussetzung nicht ein Coefficient der ersten Art sein kann, erhellet aus Folgendem:
Wäre a h ein Coefficient der ersten Art, so müsste von folgenden 4 Fällen nothwendig Einer Statt finden:
Erster Fall.
a a und a c sind beide nicht der 3 ,el ‘Art. In diesem Falle sind die Moduli Wi, Wj, W 3 . . . W a , ferner W a+ i, W a+2 . . . W b , und auch W b+ i, W 1)+ o . . . W c einander gleich, wobei W a und Wj, gleich, aber auch ungleich sein könnten, hingegen Wj,>W c , weil a h ein Coefficient der ersten Art wäre. Man hat daher, wenn 3, 3i und <J 2 Zahlen zwischen (1 -+- i,344 10' r_2 ) und (1 — 1,344 10~ r ~ 2 ) bezeichnen, mit Rücksicht auf die Lehrsätze in §. 3 und die Definition eines Coefficienten der l *' 11 und 2 ,e " Art, folgende Gleichungen:
«. = <5(Wi W» • ■ • W a )2 k «b = äi(WiWj. . . W a W b " a ) 2k «.= 3 2 (Wi W 2 . . . W a W b " a W^ b ) 2k und hieraus folgt ohne Mühe, dass

Deuzler , Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 41
1 1
r«cl c-b /Ö 2 \ c-b
KJ _ W /w,\ !k
J_ _1_ \wj
[ «h"|b-a /<S|\b-a
«J w
Der erste Faktor im 2 ,eu Theil dieser Gleichung ist höchstens
= i 314 io~ r - 2 / ’ ^'ährend der 2 U Faktor nicht grösser als
-—"° c J e t z t den g röss te n Binomialcoefficient in der n’ e "
Potenz eines Binoms bezeichnet, woraus folgt, dass dieser 2 ,e Theil selbst, mithin auch der erste, und daher auch der Quotient aus dem 3 ,en Gliede der Reihe 61) durch das 2 ,e Glied * kleiner als 1 wäre, was gegen die Voraussetzung ist. Es kann somit dieser erste Fall nicht eintreten.
Zweiter Fall.
a a und a c sind beide der 3 ,cl ' Art. In diesem Falle sind die Moduli W,, W 2 , . . . W a , W a+1 . . . W], einander gleich, ebenso die Moduli W b+J , W b+ 2 . . . W c , hingegen W b wieder entschieden grösser als W c . Bezeichnet nun y wie yi eine Zahl unter 1 — 1,344 l(T r ~ 2 und ö eine Zahl zwischen 1 + 1,344 KT 1-2 und 1 — 1,344 10* r_2 , so kann man ganz ähnlich wie vorhin auf folgende Gleichung schliessen :
1 1
[ Ojic-b rnic-b'
«h 1_LJ J _ /W_ c \ 2k
1 _ 1 _ Iw J
I «H-lb-a fjlb-ä
L«a I l n
Nach der Bedeutung von y , yi und <J ist nun ein echter, hingegen - ein unechter Bruch und
woraus wie-
y W b C.10 ,+2 ’
der sofort, wie vorhin, auf die Unmöglichkeit dieses Falls geschlossen werden kann.

42 Denzler, Auflösung der höhern numerischen Gleichungen. Dritter Fall.
a a ist nicht der 3 ,en Art, hingegen a c der 3 te, ‘ Art. In diesem Falle sind die Moduli Wi, W2... W,, ferner W„ + i, W a+ 2... W h , und auch W b+ i, W b+ 2 . . . W„ einander gleich und W„ entschieden grösser als W b , und man findet, wie in den vorhergehenden Fällen, wenn y, <5 und di dieselbe Bedeutung haben, dass: 1 1 rOcHch rync-b
L« b J L ö J /\v c 2 k
1 ~ 1 IwJ
[ «hAb-a l^nb-a
«J UJ
Da - nun ^ jedenfalls ein echter Bruch,
und — nicht
di
unter
1 — 1 344 io -1 ' -2
1 4- 1 "314 IO" 1 " 2 sein kann ’ s0 fol 8 l wie frü ber, ser Fall nicht eintreten kann.
dass auch die-
Vierter Fall.
a a ist der 3 *'" Art, hingegen a c nicht der 3 ten Art. Die Unmöglichkeit dieses Falles lässt sich genau so wie die des 2 1 '" beweisen.
Man kann also nicht annehmen, a h sei ein Coefficient der ersten Art und man wird daher diesen Coefficient aus der Reihe der Coefficienten, welche die in §. 4 . III. erwähnten 3 Eigenschaften besitzen, entfernen und hernach die Bildung der Reihe 1 1 1 1 [ajä^ä, j^~|2 k (c-a), j 2 k (d-c) .... £«., J 2 k (n-g) _
so lauge fortsetzen, bis man entweder wieder ein Glied erhält, das grösser ist als das Vorhergehende, oder wenn ein solches Glied sich nicht mehr zeigen würde, die Reihe complet berechnen. Im letztem Falle kann man versichert sein, dass keiner der zur Bildung dieser Reihe verwendeten Coefficienten zur 3 ,en Art gehört; im erstem Falle aber muss wieder derjenige Coef-

Denzler, Auflösung der böbern numerischen Gleichungen. 43
ficient entfernt werden, durch welchen zur Herstellung desjenigen Gliedes dividirt werden musste, das sich grösser als das Vorhergehende zeigte, u. s. f. Die Beseitigung von Coef- ficienten der 3 ten Art wollen wir noch an folgendem Beispiel erläutern: Es ist zu der Gleichung
x 7 — 100x 6 -t- 0.x 5 — l,000001x 4 -t- 100,0001x 3 — 0.x 2 4- 0,000001x — 0,0001 =0.
Die erste Quadratgleichung:
x 7 — 10'x 6 4- 0.x 5 — (14- 10 _J2 )x 4 4- (IO 1 -f- 10~ 8 )x 3 — 0.x 2 4- 10‘ 12 x — 10- 3 = 0.
Die zweite Quadratgleichung: x 7 — 10 s x 6 4- 0.x 5 — (1 + 10~ 24 )x 4 -t- (10 s -j- 10' 16 )x 3 — 0.x 2 4- 10 _24 x — IO" 16 = 0.
Die dritte Quadratgleichung:
x 7 — 10 t6 x 6 4- 0.x 5 — (1 -+- 10~ l8 )x 4 -(- (10 16 4- ip- 32 )x 3 — 0.x 2 4- 10 _48 x — IO -32 = 0.
Wir sehen hier, dass die Coefficienten ai.s, 03,3, 04,3, 05,3 und 07,3 die sämmllichen 3 in §. 3. III. erwähnten Eigenschaften für r = 21 besitzen, und dass die 2 übrigen Coefficienten in dieser 3" n und jeder hohem Quadratgleichungen beständig = 0 sind. Um nun 21stellige Näherungswerthe von den sämmtlichen Moduln der Wurzeln zu der ursprünglichen gegebenen Gleichung zu erhalten bilden wir die Reihe
1 1 1 1 1
1 :::r r'
rft^p 3 r «6,3 -123(6-4)
L «3,3 j L «4,3 J
bis zu einem Gliede hin, das grösser ist als das unmittelbar Vorhergehende; und finden hiebei das 3 le Glied grösser als das 2 te , und wir haben daher den Divisor bei diesem 3 teu Gliede, nämlich 03,3 als geradezu unverwendbaren Coefficienten zu beseitigen. Um nun zu untersuchen, ob unter den übrigen 4 von jenen 5 Coefficienten sich noch Coefficienten der 3" u Art befinden, bilden wir die Reihe
il li
r_„ i 23 r-füs.W 1 ) r -« 7 »3 i
L - «i,3 J L «4,3 J L «6,3 J
ft
6

44 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
und finden das letzte Glied grösser als das 3 te , und man hat daher auch den Divisor bei diesem letzten Gliede, nämlich or6,3 als unverwendbaren Coefficienteu der 3 ,e “ Art zu entfernen. Endlich ist noch die Reihe
i 1 1
[ 1 a!> ~' l 23 * 4 " 11 r ~ a7 ' 3 i¥(TT)
’ L-Ki,3J L <*4,3 J
zu untersuchen. Berechnen wir zu diesem Zwecke die einzelnen Glieder, so finden wir dieselben beziehungsweise gleich
KP, (1 + 10 -'.S) 2 *, [ f oi6+-i 0 ^] 24
Diese Reihe ist nun durchgehends fallend, und sind somit ai,3, ai , 3 und U 7,3 lauter Coefficienten der l len Art, woraus nach Vorhergehendem sehr leicht gefolgert werden kann, dass 100 der Modulus zu 1 Wurzel, 1 der Modulus zu (4 — 1 ) Wurzeln und 0,01 der Modulus zu (7 — 4) Wurzeln der ursprünglich gegebenen Gleichung ist; und diers ist wirklich der Fall, denn die gegebene Gleichung hat die Wurzeln:
z 2 2 \ / 2 . 2 \
100 , 0 , 01 , 0,01 (cos -7t ±. l sm -x) , 1 , (cos ~x ±. i sin -xj
Würde mau die Coefficienten der 3 ,en Art nicht entfernt, sondern sie zur Berechnung der Moduli der Wurzeln wie die Coefficienten der ersten Art verwendet haben, so hätte man zuletzt gefunden, dass 100 zu 3 Wurzeln, 0,0001 zu 2 Wurzeln, 0,1 zu 2 Wurzeln als Modulus gehört. Wir sehen hieraus, wie höchst wünschenswert die Beseitigung der Coefficienten der 3‘cn Art ge j u muss .
II. Es sei q unbekannt.
Die aufzulösende Gleichung sei:
X 9 + KiX 8 + « 2 X 7 + • • • ■ «9 = 0 62)
und man wisse nun von den Wurzeln dieser Gleichung weiter nichts, als dass mindestens 2 unter den den Wurzeln zugehörigen Moduli merklich ungleich sind. In diesem Falle bilden wir zur Herstellung von vierstelligen Näherungswerten dieser Moduli, da

Denzler, Auflösung der höhern numerischen Gleichungen.
45
13 < jp [ lg[3 + 2 + lg(|)] - lg(lg . 1,001)] < 14
Die li ,e Quadralgleichung; jedoch natürlich nur dann, wenn in keiner der niedrigem Quadratgleichungen die Coefficienten zur Bestimmung der verlangten Näherungswerlhe vollkommen geeignet erscheinen; d. h. so beschallen, dass ein Theil der 9 Coef- ticienten die 3 in §. 3. V. angegebenen Eigenschaften besitzen, hingegen alle übrigen Coefficienten diese Eigenschaft nicht besitzen und auch in keiner • höhern Quadralgleichung erlangen können. Gesetzt nun, auch die 14 ,e Quadratgleichung Hesse noch Zweifel über die Deutung aller Coefficienten zu, so würden wir die Quadriruug der Wurzeln nicht weiter fortsetzen, sondern selbst auf die Gefahr hin, dass man höchstens 2slellige Näherungswerlhe für die Moduli erhalte, das aus folgenden Betrachtungen sich ergebende Verfahren vorzieheu.
Nehmen wir an, es seien die absoluten Werlhe aller der Coefficienten in der 14 tel1 Quadratgleichung zu 62), welche der 3 in §. 3. V. erwähnten Eigenschaften theilhaft sind, folgende
«b, “c, «d, «£, « 5 , «1 63 )
wo die Indices a, b, . . . 9 eine steigende Reihe bilden und die Ordnungszahlen der Coefficienten in dieser Quadratgleichung ausdriieken. Dass unter diesen Coefficienten ausser ctg noch wenigstens ein zweiter zur ersten Art gehört, wird man sogleich einsehen, wenn man den Lehrsatz §. 3. I. auf die Voraussetzung bezieht, nach welcher unter den Moduln zu den Wurzeln von 62) mindestens 2 Vorkommen, die merklich ungleich sind.
Wenn nun die Reihe
i 1 1 1
[«J 2 ' 4 ' 3 ’ J 2 ‘*( b ' a ), j~5fj2‘- , (c-b) . . . j^j2«(9-g) 64 )
an irgend einer Stelle, z. B. zuerst an der 3 Ul ' Stelle steigt, so ist sicher a h nicht ein Coefficient der ersten Art. Um diess zu beweisen, können wir genau so verfahren, wie in dem Falle, da wir uns q bekannt dachten; nur werden wir bei der Behandlung der einzelnen 4 Fälle für die dort vorkommende Potenz

46 Denzler, Auflösung: der höhern numerischen Gleichungen
r w <n 2k ,
I xrr I setzen :
L W), J
1
b - a
(W l 4 w lt!
und alsdann in Erwägung ziehen, dass der Dividend bei diesem letztem Quotienten gewiss nicht über Wi,+i und der Divisor nicht unter W b liegen kann. Es seien a h und a e die Coefficieu- ten, welche nach dem oben erläuterten Verfahren beseitigt werden müssen, um für die Reihe 64) eine nirgends steigende Reihe zu bilden, alsdann sind
• 63)
die zur Bestimmung sämmtlicher Moduli vorhandenen Coefli- cienten.
1) Wenn nun jeder dieser Coefficienten nicht zur 3*' n Art gehört, mithin entweder der ersten oder 2 1 '" Art ist, so ist die Reihe
1
1
1
i
roqa^c-a) rK d “i
kJ ’ Ld
«5i)
Glied für Glied übereinstimmend mit folgender Reihe:
i i
MWi w 2 ... w a ) a , m w a+a w a+ 2... w c )° - a ,
i i
ft(W c+ i w c+2 ... w,,) d - c .... ^(W g+1 w 6+ * .. . W 9 ) 9
wo Wi, W 2 . . . W 9 die Moduli sämmtlicher Wurzeln der Gleichung 62) bedeuten, so der Grösse nach auf einander folgend, dass Wi nicht kleiner als jeder der übrigen ist, und [h, ,u 2 ..jU 6 positive Zahlen bedeuten, die zwischen
1
1
[ 1 + 1,344. l(V 3 - 2 -| 2 n . rl — 1,311 .
1 — 1,344 . IÖ- 3 - 2 J uua Li + 1,344 . 1 o~3~2J
mithin auch zwischen l-t-2.10 " 9 und 1 — 2. KT 9 liegen. Es frägt sich nun, mit welchem Grade der Genauigkeit sich den einzelnen Gliedern dieser Reihe die Moduli der Wurzeln entnehmen lassen. Fassen wir zu diesem Behufe irgend eines dieser Glieder, z. B. das 3", in’s Auge, so finden wir, da im

Deiuler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 47
Allgemeinen zwischen dem c ,e ” und d ,e " Coefficienten in der 14 ,e " Quadralgleichung Coefficienten vorausgesetzt werden müssen, die zwar in dieser 14 teu Quadratgleichung noch nicht, wohl aber in einer hohem Quadratgleichuug die Eigenschaften von Coefficienten der ersten Art erlangen können, dass dieses Glied keineswegs gleich gesetzt werden darf, wie es der Fall
wäre, wenn man die volle Gewissheit hätte, dass zwischen dem c ,en und d ,eu Coefficienten in keiner Quadratgleichung ein Coef- ficient der ersten Art Vorkommen könnte. Da jedoch die 14 1 ' Quadralgleichung mindestens 4 stellige Näherungswerthe von jedem der den Wurzeln zugehörigen Moduli durch Coefficienten der ersten Art geben muss, wenn jede der beiden Zahlen, die ausdrücken, wie oft in ihm der nächstkleinere Modulus und er selbst im nächstgrössern Modulus liegt, nicht kleiner als 1,001 ist; so werden bei dem Umstande, dass zwischen dem c le " und d ,cu Coefficienten in unserer 14 ,el ‘ Quadratgleichung kein Coefficient der ersten Art erscheint, die Moduli W.ui, W„, W a _3 • • • • W c+1 beziehungsweise sicher unter
l,001W,i, (1,001)2W|, (1,001)3 W* .... (l 5 001) i_c " 1 W ll
liegen, woraus sich durch Multiplication aus diesen (d-c-1) Ungleichheiten sehr leicht auf folgende Relationen schliessen lässt
l d-c-l
(W c+1 W c+2 . . . < Wa(l,001) 2
1 d-c-l
(W„iW w! ... w/- c > w c+1 (l, 001 )'~
Bedenken wir nun, dass d-c-l offenbar unter 9, mithin d-c-l d-c-l
(1,001) 2 unter 1,00401 und (1,001) 2 über 1 — 0,00401 liegt,
l
dass ferner (W 0+1 \V c+2 .. . Wa) d ' c einen Zahlenwerth zwischen W c+ i und Wj hat, so folgt aus 66):
1
(W c+1 W c+2 • • • w/- c = (1 + 0,00401 ? )W d =
(1 — 0,00401pi)W c+1
67)

48 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
wo q und qi positive Zahlen unter 1 bedeuten. Ist nun jede der 2 Zahlen d-di und c + ci zwischen c + 1 und d, und hiebei kleiner, hingegen W c , e grösser als l W 0 , 2 ...
i
Wa) d '°, so ergibt sich aus 67) sofort die Richtigkeit folgender Gleichung:
i
(W c , x W c+S .. . W d ) d - C (= 1 + 0,00401. ?2 )W d . di =
(1 - 0,00401. P3 )W 0+0i 68)
wo Q 2 und Q 3 wieder unbestimmte echte Brüche bezeichnen, die beziehungsweise unter q und pi liegen. Aus Vorstehendem folgt nun offenbar, dass in dem ungünstigen Falle, in weichem die aufzulöseude Gleichung 62) Coefficienten zwischen dem c te " und d ten besitzt, die durch fortgesetztes Quadriren der Wurzeln zu Coefficienlen der ersten Art werden können, der Ausdruck
i
ft 2 (W c+1 W c+2 ..\W d ) d -°
als ein den Moduln gemeinsamer Näherungswerth betrachtet werden kann, der von jedem dieser Moduli um eine Zahl dif- ferirt, die jedenfalls das 0,0041 fache des betreffenden Modulus nicht zu erreichen vermag, wobei jedoch vorausgesetzt wird, dass die Reihe 65), der man die sämmtlichen Moduli zu entnehmen hat, keine Coefficieuten der 3 ,en Art enthält. Es versteht sich wohl von selbst, dass sich von den übrigen Gliedern in der Reihe 65j) ganz ähnliches in gleicher Weise begründen lässt.
2) Wir haben nun noch den Fall zu betrachten, wo die Reihe 65) auch Coefficienten der 3 ten Art enthält, was keineswegs unmöglich ist. In diesem Falle sind wir geradezu gezwungen, diese Coefficienten der 3 ,en Art gerade so wie die Coefficienten der l tel> oder 2 , " n Art zu verwenden, und es entsteht nun die Frage, welche Grösse die Fehler erreichen können, die aus dieser Behandlung hervorgeheu möchten. Nehmen wir zur Erörterung dieser Fragen an, a d und a t seien Coefficienten

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 49
der 3 ten Arl, hingegen a e und o. % der l ten oder 2 te " Art, so findet man nach §. V. wie früher folgende Gleichungen
1
■^rpwd-c)
«J
y
2 14 (d-c)
(W c+ i W c+2 '
1 1
pj2 n (g“f) _
(W f+ 1 W ff2 .
wo 3 und 3i zwischen (1 -4- 1,344.IO -3-2 ) und (1 — 1,344.10~ 3 ~ 2 ), hingegen y und yi unter (1 — 1,344.10~ 3 ) liegen. Da nun nach der Voraussetzung die Reihe 65,) nirgends steigt, so ist offenbar
(r
(d-c)
d-c
(W 0 + iW c+ 8 ....W/-
1.
d) 2 l 4 ( g ' f) (Wf+ 1 w f+ 3 ....w a) e
-f
woraus folgt, dass:
/n2“(d-c)
W (^f±i
w f+ 2 ...w s )«- f
/ri\2“
w
(g-f) (W 0 + 1 W c + 2 ...W ll )
1
d-c
Nun ist der Dividend dieses letztem Quolienten offenbar zwischen W f+1 und W g und der Divisor zwischen W e + , und Wj, daher:
1
/y\2" (d-c)
2“ (g-f)
Aber nach der Voraussetzung ist in unserer 14 ten Quadralglei- chung zu 62) zwischen dem c le “ und g tel * Coefficienten kein

5Q Denzler, Auflösung der böheru numerischen Gleichungen.
Coefficient der ersten Art vorhanden, dagegen in einer höiiern Quadratgleichung sehr wohl möglich, woraus wie im Vorhergehenden geschlossen w erden kann, dass der Quotient aus W c+l durch W g nicht über (l,001) s_el , mithin, da g-c-1 die Zahl 7 nicht übersteigen kann, auch nicht über 1,007t liegt, und es ist daher
1
t
y\2>'(d-c)
i
1,0071
^‘•‘(g-f)
Da nun der Dividend des grossem dieser 2 Quotienten ein echter Bruch, hingegen der Divisor ein unechter Bruch ist, so findet man ohne Mühe, dass, wenn p und pi positive echte Brüche bezeichnen, folgende Gleichungen bestehen :
1
y \2 l4 (d-c)
0,0071p
1
,2‘Hg-f)
1 -+- 0,007 lp.
Beachten wir jetzt, dass nach den Gleichungen 67) und 68):
l
( W o + 1 w e + *... w a ) d - c = w e + m (l + 0,001010)
1
(W f+ J W f+ 2 . . . W g )S- f = w f+n (1 4- 0,004010,)
wo 0 und 0, unbestimmte Zahlen zwischen 1 und — 1, m und n aber beliebige positive ganze Zahlen bezeichnen, die beziehungsweise die Differenzen d-c und g-f nicht übersteigen, so finden wir sofort
1
aj\2‘-(d-c) _ (1 _ 0 0071p) (j + o, 00620) W,
(1 + O,O1340)W c+m

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 51
1
( _5 7 = (1 + 0,0071(>i) (1 + 0,00626») W f+n =
\« f /
(1 + 0,0134©)W f+n
Da uns nun, wenn q unbekannt ist, ein sicheres Kriterium fehlt, an welchem die An- oder Abwesenheit von Coefficienten der 3 ,eu Art unter den Coefficienten a a , a c , a A , a £ , a g , ay, welchen die sämmtlichen Moduli zu entnehmen sind, erkannt werden kann, so sehen wir uns im Allgemeinen gezwungen, jedes Glied der nirgends steigenden Reihe 65)), z. ß. das 2 te Glied als einen den Moduln W a+1 , W a+2 • • • W c gemeinsamen Xäherungswerth zu betrachten, der von jedem dieser Moduli um eine Zahl differirt, die kleiner ist als das Produkt aus dem betreffenden Modulus in 0,0134.
Wir sehen hieraus , dass die li te Quadratgleichung zu einer Gleichung vom 9 teu Grade Näherungswerthe von den Moduln der Wurzeln geben kann , die in der Regel ungleich genau sein werden , und bei den ungenauesten sich kaum mehr als die 2 ersten Stellen verbürgen lassen; überdiess zeigt die obige Ableitung, dass von der ll te ” Quadratgleichung zu einer Gleichung, welche den 9 t,u Grad sehr bedeutend übersteigt, Näherungs- werthe erwartet werden müssen, unter denen viele kaum die erste Stelle richtig haben werden.
§. 7. Aufgabe.
Aus den sämmtlichen Moduln von den Wurzeln irgend einer Gleichung die diesen Wurzeln zugehörigen Ablenkungsfaktoren zu berechnen, d. li. die Zahlen zu bestimmen, mit welchen jene Moduli multiplicirt die zugehörigen Wurzeln geben, unter der Voraussetzung, dass man immer im Stande sei, die Moduli zu den Wurzeln einer Gleichung zu ermitteln.
Auflösung.
Es sei
i?" -1- «JX2 1 -' + a 2X 2»-2 + . . . . üt 2n = 0
7
69)

52 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
die gegebene Gleichung von geradem Grade, wo ai, a 2 , . . a„ bekannte reelle Zahlen, die Null nicht ausgeschlossen, bezeichnen.
Ist nun W der Modulus von <*>, d. i. von irgend einer der 2n Wurzeln zu 69), die nicht = 0 ist, und der zugehörige Ab- lenkungsfaklor — Z = cos cp + i sin cp, so ist W T Z, aber auch jedenfalls (W : Z) oder W(cos cp —i sin cp) eine Wurzel der Gleichung 69), woraus sich sogleich auf die Coexistenz folgender 2 Gleichungen schliessen lässt:
W 2n Z 2n + + ■ ■ . ß 2n _! WZ + « 2n = 0 \
> 70)
W 2n Z" 2n + a, w 2 n ' 1 Z' (2n ' 1) + • ■ • «»*_! WZ' 1 + «tn “ 0 )
Ein Blick auf diese Gleichungen lässt sofort erkennen, dass sie nicht bloss für ein bestimmtes W und den zugehörigen Ablenkungsfaktor Z existiren, sondern überhaupt für jedes Z, von dem man sagen kann, es sei sowohl das Wfache von ihm, als auch das W fache seines reciproken Werthes eine Wurzel der Gleichung 69). Die diesen 2 Gleichungen für ein bestimmtes W gemeinsamen Wurzeln enthalten also nicht bloss die eigentlichen Ablenkungsfaktoren zu den sämmtlichen Wurzeln in 69), deren Modulus = W ist, sondern auch den W fen Theil von jeder der übrigen Wurzeln, wenn das W fache von dem reciproken Werth dieses W* 611 Theils ebenfalls eine Wurzel von 69) ist, und in diesem letztem Falle ist dann Z nicht mehr eine Complexe mit einem der Einheit gleichen Modulus.
Bei der weitern Behandlung der Gleichungen 70) schlagen wir folgenden allgemein bekannten Weg ein : Wir dividiren die erste dieser Gleichungen durch Z n , und multipliciren die 2 te mit Z“, addiren hierauf die so erhaltenen Gleichungen zu einander und subtrahiren sie von einander, wodurch wir folgende Gleichungen erhalten :
W 2n[ Z n + Z-n] + W^Z"' 1 + Z^ 1 )] + . .
• • «2n-l W [ Z "' X + Z ' (n ' 1> ] + « J Z " + Z-”] = 0
W*"[Z" - Z- n ] + «! W 2 “- 1 ^"- 1 - Z-O- 1 )] + ..
• • - «WxWP"-* - Z-(»-D] _ « 2n [Z n _ z-"] = 0

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 58
Ziehen wir jetzt in jeder dieser 2 Gleichungen die lelzleu Glieder und diejenigen, die gleichweit von den Enden abstehen, zusammen, dividireu hierauf durch \\ jin und setzen dann der
Kürze wegen
1 + a 2n W ’ 2 “ == ß
1 - « 2n W- = y
«i+«2n-i W ' (2 "‘ 2) = ft
«1 - «2n-! W ' (2n ‘ 2) =
= Yi
« 2 +«2„-2 W« = /? 2
£
K)
1
1
II
--72
i i i i
i J 11
«n-l + ß n+l W ' 2 = ft,-, «n-i ~ “„+1^ = >Vi 1
2 «n ~ fti I
so gelangen wir zu folgenden 2 Gleichungen: ß[Z n + Z- 1 *] + ßiW'^Z 11 - 1 + 1-W] + . .
• •ft 1 - l W-^(Z + Z^ + i j n W“ = o 72) y[Z n - Z-“] + ytW-TZ' 1 - 1 _ Z^-«] + ..
• • Vi W ' (n ‘ 1; [Z - Z- 1 ] = o 73)
Da nun offenbar
Z n + Z- n = [Z“- 1 + Z-t“- 1 )](Z + Z- 1 ) - [Z“- a + Z-<"-*)] 74.)
so ergibt sich hieraus, wenn t für Z Z _1 gesetzt wird, dass wenigstens für n = 1, 2, 3 folgende Gleichung besteht:
n(n-4) (n-5) t „_ (
Z" + Z'" = t n •
. n [»-2 4 - _ 3 J |"
^1-2
1-2-3
- + . .. 75)
wo die Glieder mit solchen Potenzen von t, deren Exponenten negativ sind, weggelassen werden müssen. Bezeichnen wir nun diese Reihe mit R„, so findet man ohne Mühe, dass
IBni-l - Rju-2 = R,„ 76)
Da aber für m = 2, 3 die Reihe R m beziehungsweise mit (Z 2 -+- Z -2 ) und (Z 3 Z~ 3 ) übereinstimmt, so findet durch Setzung von 4 für m in 76) mit Beachtung der Gleichung 74, dass R 4 = Z 4 4- Z~ 4 , hernach durch Setzung von 5, 6, 7 . . . m in 75) auf gleiche Weise die Existenz der Gleichung R n , = Z m -I- Z" m für m = 5, 6, 7 . . . m.

54 Denzler, Auflösung der hohem uunierischcn Gleichungen.
Auf ganz ähnliche Weise findet man aus :
Z” - 7~" = [7,"-‘ — Z-'"~ J} ] (Z + Z-') - [Z n - 2 - Z* ( '- 21 ] folgende identische Gleichung, wenn wieder t für Z + Z _1 gesetzt wird:
(n - 3) (u - 4)
1 • 2
t'-ä
l" - Z" — (Z - Z-')|^t u -‘ - (n - 2)t n_
( n-4)(4- 5 ) ( ^ 6) tll , 7+ _] 77)
mit Weglassung derjenigen Glieder in der eiugeklammerten Ueihe, die Potenzen von t mit negativen Exponenten enthalten.
Setzt man nun successive n, n — 1, u — 2, . . . für n in 75) und subslituirt dann die 2 tf " Theile der so erhaltenen Gleichungen in 72), so gelangt man zu folgender Gleichung:
ßl" + - [n/J - - [ ( n- 0- 4h \ l " ‘ +
- ( n — 1) (n 4) ßi , 9) Jh ßs_~\ t „- ä _
W — n ^W3 + W5|
1 • 2
I
r n(n- 4 ) (n-5) _ (n- 2) (n--5) A. , (l|
L 1-2-3 H 1-2 W 2 ^ ; W* W ti J
(n-l)(n-5)(n-6)/?i (n-3) (n-6) ß 3
r( n-l)(n-5;
L 1 - 2 •
+
3 W 1.2 W3 + ^ Hv 5 W 7 J l
. = 0 78)
wo die Glieder mit solchen Potenzen von t, deren Exponenten negativ wären, als Nullen betrachtet werden müssen. Auf ganz ähnliche Weise ergibt sich aus den Gleichungen 73) und 77) folgende Gleichung:
(Z - Z-i) j yt- 1 + ^ t"-‘ - [(n - 2)y - jf-3 _
[(n-3)a-^]r-. +
[
(n — 3) (n — 4) 1-2
§s+wy~ s +

Denzler , Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 55
[
(n — 4) (n - 5) y i
1-2 VV
(n - 5)
(n-4) (n-5) (n-6) (n-5)(n-6)y 2 , f ,, yr 76
—TTiTs —* -rrF-\P + (u - 6 ) \W-wsj l
79)
= 0
+
wo auch hier die Glieder mit solchen Potenzen von t, deren Exponenten negativ sind , weg zu lassen sind.
Ehe wir nun den Gebrauch dieser 2 Gleichungen zeigen können, ist es nolhwendig, folgende Lehrsätze zu beweisen, wobei wir den ersten Theil der Gleichung 78) = S t und den eingeklammerten Faktor von (Z — Z* 1 ) im ersten Theil von 79) = T t setzen wollen:
1 .
S t ist nur dann bei einem bestimmten W für jeden Werth
2n
von 1 gleich Null, wenn nach der Substitution von xKct„ tt,, für x in die Gleichung 69) eine solche reciproke Gleichung von geradem Grade entsteht, bei der die Coefficieuten an den Enden und gleichweit von den Enden einander entgegengesetzt sind und der mittlere Coeflicient = 0 ist. In diesem Falle hat die Gleichung 69) 2 Wurzeln, von denen die eine = W, die andere = — W, und die übrigen 2u Wurzeln lassen sich dann jederzeit in 2 Gruppen mit gleichvielen Wurzeln bringen, von denen die durch W getheilten Wurzeln der einen Gruppe genau die reciproken Wertlie von den durch W gelheilten Wurzeln der andern Gruppe sind.
II.
T t ist nur dann bei einem bestimmten Wertlie von W für jeden Werth von l gleich Null, wenn nach der Substitution
2n_
von xK« 2ll a 2n für x in 69) eine solche reciproke Gleichung von geradem Grade entsteht, bei der die Coefficienten an den En-

56 Denzler , Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
den und gleichweit von den Enden einander gleich sind, ln diesem Falle lassen sich sämmfliche Wurzeln zu 69) so in 2 Gruppen bringen, dass die durch W gelheilten Wurzeln der einen Gruppe genau die reciproken Werthe von den durch W getheillen Wurzeln der andern Gruppe sind.
III.
Enthält die Gleichung 69) W oder — W als Wurzel, aber nur einmal, so ist im erstem Falle Tz und im letztem Falle T -2 nicht 0, und die Gleichung 79) reducirt sich dann in jedem dieser 2 speciellen Fälle auf
Z — Z- 1 = 0
IV.
Enthält die Gleichung 69) (2q-t-l)mal als Wurzel,
und ist S t nicht für jeden Werth von t gleich Null; so ist
((‘- 2 ) ) die höchste Potenz von die * n a ^ s ^ak-
\(l “I”") / ' '
tor erscheint, dagegen
die höchste Potenz von
die ein Faktor von T t ist.
Beweis zu I. S, ist offenbar nur dann für jeden Werth von t gleich Null, wenn alle ß Nullen sind, also nach den Gleichungen 71)
2n_
1 + a 2n W' 2n = 0, mithin W == Ka 2n a 2n
“1 + “ 2 n-i W' (2n ' 2) = 0 , mithin aiW- 1 = — a 2n .j W" (2n " 1)
u. s. f.
wenn somit die Gleichung
x 2n + aiW" 1 x 2 “" 1 + . . . + a 2a _ 1 '*" {2u - r> x + a 2n W" 2n = 0 80)
die eben aus der Substitution von Wx, oder, da nach dem Be- 2n_ 2n_
wiesenen W = j/ a2n a 2n , aus der von xj/a^a^ für x in 69)

Denzler, Auflösung der böhcrn numerischen Gleichungen. 57
hervorgeht, eine solche reciproke Gleichung ist, wie sie im Lehrsätze beschrieben ist. Die 2 te Behauptung unsers Lehrsatzes geht sofort aus «lern Bewiesenen und der bekannten Eigenschaft der Wurzeln von reciproken Gleichungen hervor.
Beweis zu II. T, ist gewiss nur dann identisch Null, wenn alle y Nullen, also nach den Gleichungen 7i)
2n
1 — a 2n W" 2!1 = 0 , mithin W = [/« 2u a,, n
«i — « 2 n-iW^ n " 2 ' 1 = 0 , mithin «iW -1 =
u. s. f.
wenn daher die Gleichung 80), die aus der im Beweis zu I) erwähnten Substitution hervorgeht, eine solche reciproke Gleichung von geradem Grade ist, wie sie der Lehrsatz beschreibt. Hieraus folgt denn auch mit Beiziehung der bekannten Eigenschaft von solchen reciproken Gleichungen die 2 ,e Behauptung des Lehrsatzes.
Beweis zu III. Der Kürze wegen setzen wir den Faktor von (Z — Z-') in 77) gleich f(t,n); alsdann ist nur nach der Ableitung der Gleichung 77)
T t = yf(t,n) + y, W 3 Dt,n-1) + y 2 W 2 f(t,n-2) + . . . ^W^ffU) Nun ist nach der Bedeutung von f(t,n)
f(2,m) = 2 m ~ 1 -• (m—2)2 m ' 3 + . ( m ~ 3 )^ ~l) 2 m ‘ 5 _
(m — 4) (m - 5) (m — 6) m . 7
1 . 2 • 3 6
mit Weglassung der Glieder, welche Potenzen von 2 mit negativen Exponenten enthalten; überdiess ist
f( - 2,m) = (- l)" 1 ' 1 f(2,m)
Aber die Reihe f(2,in) ist genau = der Zahl in, so lange m eine positive ganze Zahl bezeichnet; denn für m = 1, 2, 3 wird die Richtigkeit dieser Behauptung sofort erkannt, und wenn die Gleichung f(2,m) = m für m = p — 2 und p — 1 als richtig vorausgesetzt wird, so hat es nicht die mindeste Schwierigkeit darzuthun. dass sie auch für m = p gilt; man findet nämlich sehr leicht, dass 2((2,n — 1) — f(2,n — 2) = f(2,n).

58 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
Wenn aber f(2,m) = m, so folgt aus den obigen Gleichungen sofort, dass:
Tz = ny + (n-lji^YV 1 -t- (n-2)y 2 W‘ 2 + . . 2y n . 2 W^ n ' 2) +
81)
T a = (- 1 r 1 [ny - (n - l^W 1 + ...(- I/ 1 ' 1 W«"- 1 )] 82)
Setzen wir jetzt zur Vereinfachung den ersten Theil der Gleichung 69) = F(x), so folgt aus dem allgemein bekannten Lehrsatz, nach welchem, wenn die Gleichung F(x) =0 irgend eine Wurzel, die a heissen möge, wenigstens 2 Mal enthält, der erste Differenzialquotient, nämlich F'(a), gleich Null sein muss, sehr leicht, dass F'W und mithin auch
[mF'(m) — nF(w) &)‘ 2n nur dann = 0 ist,
wenn die Gleichung 69) die Wurzel io wenigstens 2 Mal enthält. Berechnen wir nun den Ausdruck [wF'(&)}— nFw]ö>' 2n , so finden wir denselben
= <o" 2n ^nft) 2n + (n -- Ijajw 2 "' 1 -t- (n — 2)a 2 <» 2n " 2 + ... . - (n - 3)tt 2n _ 3 aP - (n - 2)a 2n . 2 w 2 - (n — 1}«^.^ — na 2n ]
= n -f- (n — l)«' 1 «*! + (ll — 2 )o 2 <w' 2 +■ (n — 3)a 3 a>' 3 + . . . .
(n - 3)« 2n _ 8 ®' (2n ' 8) — (n - 2)a 2n _ 2 w' (2n ' 2) — (n - l)a 2n . 1 a)' (2n ' 1) —
und wenn hier das erste und letzte Glied und je 2 von den Enden gleichweit abstehende Gliede zusammengezogen werden, auch
= [l — «2.i“' 2l '] u + (n-lK 1 |«i-«2n- 1 "‘ (2,l ’ 2) ] +
(n — 2)co" 2 [ot 2 - «2n-2 M ’ (2n 4) | + • • ■ + 2 “ (n ' 2 ) [“n -2 ~ “n+ 2 ö, ‘] ’ l_
Ist also W oder — W eine Wurzel zu 69), die nur einmal als Wurzel zu 69) erscheint, so ist z. B. |j— W) F'(— W) — nF(— W)j(— W) 2n , was nach dem eben Bewiesenen
= [l - « 2 rl W‘ 2n Jn - (n - DW'f«! - a 2 W‘ (2n ’ 2) ] + . .. .
(-ir'W^K.i-^n+xW 2 )

Itenzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. 59
oder vermöge der Gleichungen 71)
= yn - (n - l)W‘V 1 +(n - 2)W- 2 y 2 - . • • (- oder gemäss der Gleichung 82) = (—l)“' 1 T_ 2 ist, sicher nicht gleich Null, und daher auch T_ 2 nicht = 0. Ebenso findet man, dass, wenn W nicht mehr als einmal unter den Wurzeln zu 69) vorkömml, T 2 nicht 0 sein kann. Hieraus folgt offenbar noch, dass in jedem dieser 2 Fälle die Gleichung 77) in Folgende übergeh! :
Z — 7/ 1 = 0
Beweis zu IV. Vorerst bemerken wir, dass bei den Voraussetzungen unsers Lehrsatzes T t nicht identisch Null sein kann; denn wäre diess der Fall, so müssten nach dem Lehrsätze I) die siimmtlichen 2n Wurzeln zu 69) sich so in 2 Gruppen mit gleichvielen Wurzeln bringen lassen, dass die durch W getheil- len Wurzeln der einen Gruppe genau die reciproken Wertlie von den durch W getheillen Wurzeln der andern Gruppe wären, was natürlich nicht sein kann, wenn die Anzahl aller der dem W gleichen Wurzeln unter den 2n Wurzeln zu 69) ungerade ist.
Will mau nun den Beweis unsers Lehrsatzes ohne Zuziehung höherer Differenzialquotieuteu geben, so denke man sich von den z. B. der Zahl W gleichen (2q 4- 1) Wurzeln zu 69) 2q derselben so beschaffen, dass die q ersten davon unter sich ungleich, aber alle unendlich nahe an W sind, und die W ten Theile der übrigen genau mit den reciproken Werthen von den W ten Theilen jener q ersten übereinstimmen. Bei dieser Auffassung wird der Lehrsatz auf den vorhergehenden reducirt, wenn man hiebei noch beachtet, dass unter den Voraussetzungen des Lehrsatzes III), wenn S t nicht identisch 0 , t — 2 oder t + 2 in Folge der Ableitung der Gleichnngen 78) und 79) ein Faktor von S t sein muss. '
Aus diesen Lehrsätzen ergibt sich nun folgendes Regulativ für den Gebrauch der Gleichungen 78) und 79):
1) Wenn S t bei einem bestimmten W für jeden Werth von t = 0 und n > 1, so ist^ die Gleichung T t = 0 vom (n — l) ten
8

60 Denzler, Auflösung der höhern numerischen Gleichungen.
Grade. Ihre Auflösung gibt (n — 1) Wurzeln, jede derselben wird —2 -t- Z" 1 gesetzt, und jede so entstandene Gleichung gibt dann für Z zwei zu einander reciproke Wurzeln, die dann mit W rnultiplicirt zwei Wurzeln zu G9) geben. Auf diese Weise erhält man im Ganzen 2n — 2 Wurzeln. Von den noch übrigen 2 Wurzeln ist die eine = W und die andere = — W. Wenn aber n = 1, so führt die Gleichung 79), die jetzt zu Z — Z" 1 = 0 wird, zu den Wurzeln W und —W für 69).
2) Wenn T, für jeden Werth von t gleich Null, so muss die Gleichung S t = 0 nothwendig vom n teu Grade sein. Wird alsdann diese Gleichung aufgelöst und jede der n Wurzeln = Z + Z' 1 gesetzt, so erhält man n Gleichungen, von welchen jede 2 zu einander reciproke Wurzeln gibt, die mit W rnultiplicirt 2 Wurzeln zu 69) darbieten. Auf diese Weise erhält man die sämmt- lichen Wurzeln zu 69).
3) Haben für ein bestimmtes W die Functionen S, und T, keinen gemeinschaftlichen Faktor, so ist es nie möglich, dass T t identisch Null ist, dagegen kann S, für jeden Werth von t gleich 0 sein, jedoch müsste dann n = 1 sein. Ist aber S, nicht identisch 0, so enthält dieses entweder den Faktor t — 2 und nicht zugleich 1 + 2, oder umgekehrt, oder dann (t-2)(t+2). Im ersten Falle hat 69) nur eine Wurzel mit dem Modulus W und diese ist = W, im 2 l,n ebenfalls nur eine Wurzel mit dem Modulus W und ist gleich — W, und im 3 ,en Falle sind unter den Wurzeln von 69) nicht mehr und nicht weniger als 2 mit dem Modulus W vorhanden, von denen die eine = W, die andere = — W ist.
4) Ist endlich für ein bestimmtes W weder S, noch T t identisch 0, und <p(t) der grösste gemeinschaftliche Faktor von S t und T t , so wird die Gleichung y(t) = 0, deren Grad wir mit nj bezeichnen wollen, nach t aufgelöst, und jede der dadurch erhaltenen n t Wurzeln = Z + Z' 1 gesetzt. Durch Auflösung von jeder der so erhaltenen n t Gleichungen nach Z, erhält man für Z zwei zu einander reciproke Wurzeln, die mit W mulliplicirt 2 Wurzeln von 69) geben müssen. Auf diese Weise gelangt man sicher im Ganzen zu 2 h, Wurzeln von 69). Aus den übri-

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. (jj
gen 2(n Uj) Wurzeln lassen sich alsdann nicht mehr 2 herausheben, deren W 1 " Theile zu einander reciprok wären und es wird in Beziehung auf die Moduli dieser übrigen Wurzeln stets \on folgenden 4 Fällen einer Statt finden:
a) Keiner derselben ist = W
b) 2 sind = W
c) Nur Einer ist = W
Die Anwesenheit dieser Fälle wird auf folgende Weise erkannt. Nach der Auflösung der Gleichung <p(t) = 0 wird sehr leicht die höchste Potenz von (t + 2) und von (1—2) gefunden, die in cp{ l) als Faktor erscheint. Nehmen wir an, die Exponenten dieser höchsten Potenzen seien respective e und e , wo in besondere F’ällen e und t auch Nullen sein können. Ist nun der S S
^ rttw I - ■■ ■ O vitAkt n if rkrl mioli ^
Quotient
für t = 2 nicht 0, und auch
für 1=2
(t + 2) e •"* ’ ..’ ... (t — 2) E
nicht 0, so tritt der Fall a) ein; sind bei denselben Substitutionen die beiden Quotienten = 0, so ist der Fall b) vorhanden und alsdann sind unter jenen 2(n — m) übrigen Wurzeln von 69) zwei, von denen die eine = W, die andere = — W ist: wird endlich durch diese Substitutionen nur einer jener 2 Quotienten etwa der erste zu.O, so ist dadurch der Fall c) indicirt und unter den 2(n — ni) Wurzeln ist noch eine = — W, während noch eine = -+- W wäre, wenn durch jene Setzung der 2 ,e Quotient zu 0 würde.
Dass die Gleichungen 78) und 79) auch für den Kall Anwendung finden, wenn die gegebene Gleichung von ungeradem Grade ist, wird sofort einleuchlen, wenn man bedenkt, dass eine solche Gleichung durch Multiplication mit dem Faktor x+0 in eine Gleichung von geradem Grade verwandelt wird, bei der dann freilich der Coefticient von x° gleich Null ist, was aber keine Schwierigkeiten veranlassen kann, da wir wirklich in 69) « 2n als eine reelle voraussetzten, die auch 0 sein könne.
Durch vorstehendes Raisonnemenl wird unsere Aufgabe re- ducirt auf die Auflösung einer Gleichung von höchstens halb so hohem Grade, als die gegebene Gleichung hat, wenn sie von geradem Grade ist, oder als diejenige Gleichung besitzt, wenn die gegebene Gleichung von ungeradem Grade, welche aus der

Denzler, Auflösung’ der hohem numerischen Gleichungen.
Multiplicatioii dieser Gleichung mit x -+- 0 entsteht. Da wir aber in unserer Aufgabe die Bestimmung der Moduli von den Wurzeln irgend einer Gleichung als bekannt voraussetzten, so werden wir, wenn uns die Auflösung der aus jener Reduction entstandenen Gleichung auf keine einfachere Weise möglich ist, zuerst die Moduli der so entstandenen Gleichung berechnen, und alsdann diese wieder so behandeln, wie die Gleichung 69). Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens müssen wir zuletzt zu einer Gleichung gelangen, die wir vollständig auflö- sen können, und dadurch werden wir daun auch offenbar in den Stand gesetzt, successive die frühem Reductionsgleichun- gen und endlich auch die ursprünglich vorgelegte Gleichung selbst vollständig aufzulösen.
Man könnte jetzt noch fragen, wie sich die Gleichung Z + Z' 1 = t in dem Falle, da man für t imaginäre Wurzeln erhält, am kürzesten algebraisch auflösen lasse. Wir antworten hierauf mit Folgendem :
Bezeichnen a, b, aj, bi reelle Zahlen, 0 nicht ausgeschlossen , und ist
[/|[a 2 - b 2 - 4ai + K(a 2 - b 2 - 4ai) 2 + 4(ab - 2bi) 2 ] = A V-Tfa 2 - b 2 - 4ai - fjä 2 ^- b 2 - 4ai)2 + 4(ab - 2b, p] == B
wo die vorkommenden Wurzelgrössen alle in positivem Sinne zu nehmen sind, so gehen aus der Gleiehung
Z 2 -t- (a -t- bi)Z -t- ai -I- bii = 0 stets folgende Gleichungen hervor:
, = |(- a + A + % (- h + ab-^2biB)i)
Z = |(— a — A -f (— b — ab^-2biB)i)
wo ab — 2bi die positive Einheit bedeutet, wenn ab —2bi positiv oder 0 ist, hingegen die negative Einheit, wenn ab — 2bi negativ wäre.
Wir schliessen die Auflösung unserer Aufgabe mit folgenden Beispielen:

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. (Jg
1) Die Gleichung
X6+-
17
105 3
729 = 0
3 3
hal die Wurzeln Gi, —-i, —Gi, + -i, 3, —3.
Die Gleichungen 78) und 79) sind in diesem Falle für W = 3 folgende :
0.t 3 + 0.l 2 + 0.1 + 0 = 0 j
(Z-Z-*) (212+ o.t +^) = 0 \
Hier isl nun T, = t 2 -f- ^ = (l - -i) (t + -i). Lösen wir nun die 2 Gleichungen
Z + Z- J = - i 2
Z + Z-'= —-i 2
mit Hülfe der Gleichung 83) auf, so gihl die erste — 2i und
(— 21))' 1 und die 2 te 2i und (2i) _1 als Wurzeln und diese geben
3 3
mit W oder 3 multiplicirl die 4 Wurzeln —6i, -i, Gi und —-j zur gegebenen Gleichung. Die 2 übrigen Wurzeln müssen sich noch durch Auflösung von Z — Z- 1 = 0 und Mulliplication der dadurch erlrallenen Wurzeln mit 3 ergeben.
II) Wendet man auf die Gleichung
x 6 + 14x ä + 140x* + 656x 3 + 2240x 2 + 3584x + 4096 — 0
deren Wurzeln sind: 4a, 4a" 1 , 2a, 8a" 1 , 8a, 2a" 1 woa = cos 2 2
-i + i sin die Gleichungen 78) und 79) für W == 4 an, so erhält man für diese:
t 3 + -t 2 + — t +— = 0 i
2 4 4 !
O.t 2 + O.t + 0 == 0 !
In diesem Falle ist
St = j~t — (a + a-*)J j^t— (| + (|) )J |^ 1 ~ ( 2a + ( 2ce )"" , > |
III) Werden die Gleichungen 78) und 79) auf die Gleichung x 8 + I3x?+ 126x fi + 516x ä + I584x‘ + 1344x 3 + 512x 2 -4096x = 0

64 Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen.
mit den Wurzeln 1, 4a, 4a" 1 , 2a, 8a" 1 , 8a, 2a' 1 , 0, wo a = 2 2
cos -ar + i sin -n, für W = 1 angewendet, so erhält man :
t* — 4083t 3 -+- 634t 2 + 141091 + 1894 = 0 i (Z — Z- 1 ) [t 3 -+- 4109t 2 — 388t — 4937] = 0 )
Hier zeigt sich, dass S, und T, keinen gemeinschaftlichen Faktor besitzen, dagegen die erste dieser 2 Gleichungen nach der Substitution von Z + Z- 1 für t mit der Gleichung Z — Z- 1 = 0 die gemeinschaftliche Wurzel 1 hat, woraus sofort folgt, dass die gegebene Gleichung die Zahl WZ oder 1.1 einmal als Wurzel enthält.
IV. Bringt man auf die Gleichung
x 6 _ 28 x 3 -t- 27 = 0
mit den Wurzeln 3a, 3a-i, a, a" 1 , 1, 3, wo a = cos ^ jt-+- 2
i sin -z die Gleichungen 78) und 79) für W = 1 in Anwendung, so geben diese:
t 3 — 3t — 2 = 0 |
(Z - z- 1 ) [12 - 1 ] = 0 I
Jetzt ist der grösste gemeinschaftliche Faktor für S t und T t = t — (a-t- a" 1 ) = t -t- 1, der sogleich die beiden Wurzeln a und a" 1 für die gegebene Gleichung darbietet. Aber man darf nicht unterlassen, wie vorhin, zu untersuchen, ob die Gleichungen (Z + Z- 1 ) 3 — 3(Z + Z-') -2 = 0,
Z - Z- 1 = 0 )
eine gemeinschaftliche Wurzel besitzen; und da findet man sofort, dass sie die gemeinschaftliche Wurzel 1 haben, mithin 1 .1 auch eine Wurzel der gegebenen Gleichung sein muss.
§• 8 .
Aus dem Vorhergehenden ergibt sich das Verfahren, nach welchem man zu sämmlliche.n Wurzeln der Gleichung
x" -1- ajX 11 ' 1 -(- a 2 x n " 2 -+-.... a n = 0 84)
Näherungswerte erhalten kann. Wir wollen jetzt noch in Kürze die wichtige Frage erörtern, wie sich diese Näherungswerte verbessern lassen.

Denzler, Auflösung der hohem numerischen Gleichungen. ß5
Es sei p + qi, wo q nichl 0 , ein Näherungswerth von m Wurzeln zu 84). Um nun genauere Näherungswerte zu diesen Wurzeln zu erhallen, selzen wir
x = yrp 2 -f-q 2 85)
in die Gleichung 84). Die aus dieser Setzung hervorgehende Gleichung sei
F(y) = 0 86)
Bildet man nun die Gleichung
F(y) • F(y) = 0 87)
so erhält man offenbar eine reciproke Gleichung vom 2n le "
Grade, bei der die Coefficienlen an den Enden und gleichweil
von den Enden einander gleich sind, und wo ^ e j n ]y:j_
KpZ + qZ
^ p 2 + q 2
- --—-r- ein iVäherungs werth p + qi
zu m andern Wurzeln ist. Wenden wir nun auf diese Gleichung 87) die Gleichungen 78) und 79) an, indem wir dort i für W setzen, so wird die zweite dieser Gleichungen zu eiuer identischen, hingegen wird die erste eine Bestimmungsgleichung vom n ten Grade und geht nach der Division durch 2 in folgende über:
herungswerth zu m Wurzeln, und
t" + ait"' 1 - (n 'n(n — 3)
«2)t n
(«i(n — 1) — « 3 )t n ‘ 3 +
- « 2 (n — 2) -t- « 4 I t n " 4 +
(n — 1) (n — 4)
[
[~ n (n - 4) (n - L 12-3 (n — 1) (n - 5) (n-6)
a, — (n — 3)a 3 + aj J t n ' 5 — 5) (n — 2) (n — 5)
ai-
1 • 2
(n - 3) (n —6)
1 • 2
a2
(n — 4)a, — acj t"' 6 — “3 + (n — 5)a s - a 7 ~| t 11 7 +..
1-2-3
.= 0 88)
Diese Gleichung hat nun n Wurzeln, die sich aus den n Wurzeln zu 86) dadurch ergeben, dass man zu jeder derselben ihren reciproken Werth addirt, und es müssen daher m dieser n Wurzeln zu 88) annähernd mit

(j(i Denzler, Auflösung der liöliern numerischen Gleichungen.
+ r p « + q» oder
Tp 2 + q 2 P + qi ^p 2 + q 2
2p
übereinslimmen. Substiluiren wir nun u -+- - für 1 in 88)
r P 2 + q 2
und nehmen wir an, es entstehe durch diese Setzung die Gleichung
f(u) = 0 8.9)
so wird wohl in den meisten Fällen der kleinste unter den Moduln zu den u Wurzeln dieser letztem Gleichung zu dem diesem kleinsten Modulus nächsten in einem sehr merklichen Ver- hällniss stehen, so dass schon nach sehr w enigen Quadrirungen der kleinsle Modulus bis auf eine grosse Anzahl Stellen bestimmbar sein wird, wobei gar häufig nur einige der letzten Coeflieienlen in den herzustellenden Quadratgleichungen ausgerechnet werden müssen. Da man nun die Ablenkungsfaktoren zu den Wurzeln, die diesen kleinsten Modulus besitzen, nach §. 7. berechnen kann, so wird man auf diese Weise eine Anzahl von sehr genau bestimmten Wurzeln zu der Gleichung 89) ermitteln können. Gesetz!, irgend eine dieser Wurzeln wäre
2p
= Pi + qii, so würde ■ -t- pi 4- qii eine Wurzel von 89)
r P 2 + q 2
sein, und durch Aullösung der Gleichung
erhielte man 2 zu einander reciproke Wurzeln, von welchen eine der Gleichung 86) angeboren muss, die daun mitTp^-hq 2 multiplicirt eine der Gleichung 84) ungehörige Wurzel gibt, aus deren Ableitung sich ohne Schwierigkeit auf das Maximum des ihr anhaftenden Fehlers schliessen lässt.
Wäre der gegebene zu verbessernde Näherungswerth reell und = p, so würde man natürlich nicht die Gleichung 88) her- stellen, sondern sofort p + u für x in 84) setzen.
Auf diese kurzen Andeutungen müssen wir uns beschränken , und eine ausführlichere mit Beispielen belegte Discussion dieser Frage einer spätem Gelegenheit Vorbehalten.
Küsnach, 4. Jan. 1861.