•Justufe als Mathematiker
und dessen Einleitung in seine Logarithmen.
^Mbwohl die Geschichte der Mathematik vielfach von Gelehrten bearbeitet worden ist, einige dieältesten, andere die spätem und die neuesten Perioden der Wissenschaft mit besonderer Vorliebe studirt und uns ihre schätzenswerthen Arbeiten überliefert haben, so sind doch zu verschiedenen Zeiten dmch Entdeckungen neuer Quellen Ergänzungen hinzugekommen, die für die Geschichte der Wissenschaft einen großen Werth hatten. — Wenn nun auch das Geschichtliche und Literarische der Lo- garithmen mannigfach bearbeitet worden ist, so dürften einige Zusätze, die im Folgenden enthalten find, vielleicht nicht ganz uninteressant erscheinen. —
In der neuesten Zeit hat Pros. Dr. Matzka in Prag einen interessanten und gelehrten Aussatz über: die höhere Lehre der Logarithmen in Grunerts Archiv für Mathematik und Physik veröffentlicht (Grunert Archiv Bd. 15 pag, 121 u. f.). — Er stellt dort neben der Betrachtung der bisher gegebenen Begriffe der Logarithmen einen neuen auf, so daß ein Theil seiner Arbeit in fünf Abschnitte zerfällt:
1) Der von dem eigentlichen Entdecker der Logarithmen John. Nepper ursprünglich gegebene Begriff,
2) der von Johst Byrg dem gleichzeitigen Entdecker der Logarithmen gebrauchte,
3) der von Johann Keppler verwendete,
4) der gegenwärtig seit Euler in den Lehrgebäuden der Algebra übliche,
5) der neue von Matzka aufgestellte Begriff,
hier soll nur die zweite Deutung: der Begriff der Logarithmen, wie er durch Jobst Byrg festgestellt wurde, näher untersucht werden. — Aus den bekannten Schriften Byrg'S würde sich Neues sehr schwer geben lassen, da geistreiche Männer, wie Montucla in seiner histoire des mathematiques , Matzka in seiner vorhin erwähnten Arbeit und mehre andere Mathematiker richtig und tief in die Idee Byrg'S eingedmngeu und seine Theorie verdeutlicht haben. Indeß soll hier und das ist der Zweck dieser Abhandlung — d er bisher nicht gedruckte „Unterricht," jene Erklärung, die Byrg selbst über seine Logarithmentafeln gab, veröffentlicht werden. —
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Byrg gab im Jahre 1620 eine Logarithmentafel heraus unter dein Titel:
Xritkmetische vnd 6eomvlrische Progre88- Tabulen, fambt gründlichen vnterr ich t, wie solche nützlich in allerley Rechnungen zu gebrauchen vnd verstanden werden sol. Gedruckt, In der alten Stadt Prag, bei Paul Srissen, der Löblichen Univ ersitet B uch drncker, Im Jahre 1620.
Wie Matzka angicbt, sind diese auf 1 % Bogen in Klein-Qnart gedruckten Tafeln schon äußerst selten, allen aber fehlt der gründliche Unterricht; so nennt Byrg selbst die von ihm gegebene , zum leichtern Verständniß seiner Tafeln nothwendige Erläuterung. — Diese Ansicht Matzka' s spricht schon Montucla Tom. II. pag. 10 aus, er sagt: Ce8 tables sont snr sept senil, les et Jemi in f. d’impression; mais l’instruction annoncee pnr le titre y inanque, ce qui donne lieu de conjecturer que quelques circonstances particulieres empecherent Ja continuation de cet ouvrage ect. —
Es dürfte wohl feststehen, daß Byrg selbst nie diesen gründlichen Unterricht drucken ließ, und auch seine Freunde — die sich so oft Arbeiten Byrg's, wie es scheint mit seinem Vorwissen zueigneten — ihn nicht veröffentlichten. —
Sein Schwager Bramer, der wie im Folgenden gezeigt werden soll, genau diesen Unterricht gekannt, hat ihn nicht dem Drucke übergeben und somit steht die Annahme Montucla's wohl gerechtfertigt da: Byrg, der so viele seiner Entdeckungen seinen Freunden zur Veröffentlichung übergeben, wollte auch einmal selbstständig auftreten und ein vollständiges Werk, das alle seine Arbeiten und somit auch die von ihm erfundenen Logarithmen enthalten sollte, herausgeben. — Diese Vermuthung Montucla's stützt sich wohl ohne Zweifel auf eine Stelle der Vorrede Bramers zu einer Abhandlung: Problema WJe auß Bekanntgegebenem 8inu eines Grades Minu, ten oder Sekunde» alle folgenden 8inu8 auff's leichteste zu finden vnd der Canon Sinuum zu absolviren seye. Beschrieben von Benjamin Bramero, der Mathematischen vnd Mechanischen Künste liebhaber vnd jetzigem Bawmeister zu Marpurg. Gedruckt zu Marpurg durch Paul Egenolff im Jahr 1624.') — Bramer sagt in der Vorrede pag. 8 und 9, daß zu seiner Zeit: deß Burgi Cossa an den Tag gegeben werden wirdt. —
Ob indeß körperliche Leiden oder der Alles verheerende Krieg ihn an der Veröffentlichung seiner Arbeiten verhinderten, muß dahin gestellt bleiben. Die Erklärung der Byrg'schen Tafeln, die der Verfasser selbst gab, blieb somit ungekannt und es war mir daher interessant, als ich vor längerer Zeit von meinem geehrten Freunde und Collegen Oberlehrer Gronau auf ein Manuscript aufmerksam gemacht wurde, daS den Logarithmentafeln Byrg's angeheftet war, in jenen geschriebenen Blättern, wie Herr Gronan es ganz richtig bemerkt, den gründlichen Unterricht Byrg's vorzufinden. —
i) Das hier citirte Werk, so wie alle folgenden angeführten Abhandlungen sind, wenn sie nicht mit * bezeichnet sind, in der hiesigen Stadtbibliothek zu finden, und haben mir bei diesen Untersuchungen als Quellen gedient. —

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Bevor der gründliche Unterricht folgt, sei es mir gestattet, die Verdienste Byrg's als Geometer und Algebraiker, einmal insofern sie schon bekannt, dann aber anch, insofern sie bis jetzt nicht ganz gewürdigt, zusammenzustellen. —
Jobst Burgi oder Justus Byrg war im Jahre 1552 zu Lichtensteig, einer kleinen Stadt in der Schweiz, Kanton St. Gallen an der Thür geboren. — Ob er die mathematischen Kenntnisse, die ihn in spätern Jahren so rühmlich auszeichnen, in seiner Vaterstadt erworben, wisse» wir nicht; wir sehen ihn in spätern Jahren in Cassel am Hose des den Wissenschaften sehr ergebenen und namentlich nm die Astronomie hochverdienten Landgrafen von Heffen-Cassel Wilhelm IV. als Hofuhrmacher, Mechanikus und Gehilfen; — 1604 verläßt er diese Stellung, geachtet und geehrt von dem Fürsten, der ihn in einem Briefe an Tycho de Brahe (Epist. asfron. Vraniburgi L. I. p. 21.) homo, qni quasi iudagine alter Archimedes nennt, und lebt als Kammeruhr» macher unter den Kaisern Matthias und Ferdinand II. längere Zeit, kehrt dann wieder nach Cas» sei zurück und stirbt daselbst im Jahre 1633. — Ausführlicheres über das Leben Byrg's ist in Doppelmayr's: „Von den Nürnberger» Mathematikern "*) zu finden.
Byrg als Geometer.
Byrg beschäftigte sich, wie viele seiner Zeitgenossen, mit der Constrnction mechanischer Instrumente, veröffentlichte indeß seine Entdeckungen nicht weiter, weil er, wie Dr. Grebe in Cassel in der lite- rarischen Bemerkung, die er in GrunertS Archiv, Th. 16 p. 364 mittheilt, wohl ganz richtig annimmt, eine unbesiegbare Scheu vor schriftlicher Darstellung hatte. Er theilte die Erfindungen seinen Freunden mit, die sie, nachdem die von ihm gemachte Darstellung in ein besseres Sprachgewand gekleidet war, veröffentlichten. Einer seiner Freunde ist Levinius Hulsiuö,^) der im dritten Tractate der mechanischen Instrumente,^) (von denen er ursprünglich 15 zu geben gedachte^) einen neuen Proportioualzirkel des Jobst Burgi beschrieb, der erst 1628 durch den Druck veröffentlicht wurde: Beschreibung vnd Vuterricht deß Jobst Burgi Proportional-Cirkels,
2) Doppelmayr. Von den Nürnbergern Mathematikern p. 163 f. Ein Exemplar dieses Buches befindet sich in der Privatbibliothek des Herrn Stadtrath Uphagen in Danzig.
2) Levinius Hulsius scheint in dem Zeitraum von 1604 bis 1608 gestorben zu sein, denn 1604 erschien der erste Tractat der mechanischen Instrumente, den er selbst verlegte, 1608 erscheint ein Werk Ste- vins: Festung Bawung, verdeutscht durch Gothard Arthus in Danzig — im Verlage seiner Wittwe. Bei Scheidet, der Michael Schesfelts. Unterricht vom Proportionalzirkel neu umarbeitete, ist in Bezug auf diese Tractate ein Fehler vorhanden, der durch die Verwechslung der Jahreszahlen des ersten und dritten Tractates entstanden ist. —
») Der erste Tractat der mechanischen Instrumente Levinii Hulsii führt den Titel: Gründ tl ich er Augenscheinlicher Bericht des newen Geometrischen Grundreißenden Instrumentes Planimetria genandt, mit seinem Inäuvtoriv. Frankfurt in Berlegung deß Anthorn 1604. ibid, pag 4 bis 6.
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durch mit sonderlichem Vortheil ein jegliche Rechte oder Cirkel. Lini, alle Fläche, Landcarten, augenscheinen Vestungen, Gebäw, ein Kugel mit den fünf isgularibus, auch alle irregularia corpora n.f.w. bequemlich können zertheilt, zerschnitten, verwandelt, vergrößert vnd verjünget werden. Niemals zuvor» in Truck geben. Frankfurt am Main in Verlegung Leuinii Hulsii Erben 1628 . Dieser dritte Tractat zeichnet sich durch den gediegensten Inhalt vor den drei übrigen, die durch HulsiuSb) erschienen sind, aus. — Indeß wird der Verleger und Herausgeber von verschiedenen Seiten angegriffen, weil er die Arbeiten anderer zu stark benutzte und neue Abhandlungen daraus zusammensetzte, so daß er sich zu einer Vertheidigung gegen die, häufig wider ihn geführten Schmäh» reden, genöthigt sieht. ?) Diese Zurückweisung der ihm gemachten Vorwürfe ist in der Vorrede zum ersten Tractatc enthalten, in der er eine Reihe von Werken mit ihren Verfassern nennt, die er zu einen Arbeiten benutzt hat. Jene Namen hier aufzuzählen, dürfte überflüssig erscheinen; wir erhalten aber dadurch, daß er die Arbeiten chronologisch geordnet hat, einen klaren Ueberblick über die Leistungen der Mathematiker jener Zeit. 6 7 8 ) — Hier wird auch von ihm erwähnt, daß Jobst Burgi im Jahre 1603 sich mit der Beschreibung eines Instrumentes in Form eines Cirkelö beschäftige, 9 10 ) das Bhrg öffentlich aus dem Reichstage zu RegenSburg ausgelegt, und im dritten Tractatc wird es durch Hulsius beschrieben und zugleich angezeigt, daß Byrg aus Verlangen ähnliche Instrumente anfertige und Hulsius sie verkaufe. ^0) —
Ein Zweiter, der die von Byrg gemachten Entdeckungen veröffentlicht, ist Ba rt h olo m ä u $ Pitiscus, er zeigt in seiner Trigonometria die Theilung eines Bogens oder Winkels in 3, 5 und mehre Theile anZi) Jene Schriftsteller, die bereits diese Periode behan» delt haben und die Montucla benutzte, und Montncla selbst, haben somit diese in der Anmerkung 11
6) Hulsius hatte bereits 1591 in Nürnberg eine Abhandlung veröffentlicht, die er unter dem Titel erscheinen lieh: Theoria et Praxis Quadraniis Geometrici ect, das ist Beschreibung, Vnterricht vnd Gebrauch deö gevierdten Geometrischen vnd anderer Instrument. — Diese Schrift wird nirgend erwähnt —
7) 1,-aot l. pag. 3 sagt er: Ich weiß auch wol, daß Zoilus mit seiner giftigen, neidischen Zungen nicht Unterlasten wird mir verächtlich nachzureden, daß diese Sachen meine luventionea oder Erfindungen nicht sind, sondern daß ich mich mit anderer gelehrten Federn schmücke n. s. w.
8 ) Die angeführten, von H. benutzten Werke sind auf 5</r Seiten Ouart enthalten und mehre genannt, die niemals später gedruckt wurden, sondern als Mannscripte sich in seinen Händen befanden, z. B. Paulus Pfiozing Metliodus Geometnca ect.
9 ) Jobst Burgi macht jetzt (1603) die Beschreibung eines herrlichen newen Instruments in Form eines Cirkels, so zu der Geomelri» (Feldtmeffung) gehört.
10) Kunstlied ende Leser, dieser Cirkel wird bei M. Jobst Burgi, so sie selbst macht, vnd bei mir Levino Hulsio zu Kaust gefunden, und mag ich das mit Wahrheit schreiben, daß etliche in andern Städten denselben nachzumachen sich vnterstanden, sie haben aber in der Theylung nicht zugetroffen. —
") Man vergleiche das vorhin erwähnte Werk Bramers: Problem» eet. Vorrede pag. 8: Wie man aber am leichtesten zn einem Grad Minuten oder Sekunden gelangen möge, hat Bartholomäus Pitiscus in seiner Trigonometria (da er meines lieben Schwagers vnd Praeoeptoris 3ib- aleu Burgi invention, wie n emlich mit hülff der Cossa oder Algebrae ein jeder Bogen oder Winkel in 3 oder 5 gleiche theyl zu theilen sei) zum Thehl angezeiget. —

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angeführte Stelle aus Bramer nicht gekannt, da sie dem Pitiscus jene Arbeit als eine selbstständigc zuschreiben,! 2 ) ein Versehen, das freilich auf der andern Seite sehr leicht zu verzeihen ist, da Pi- tiScus nirgend" Bvrg's, des wahren Erfinders gedenkt. — Da Jobst seine Trigonometrie stets weiter führte, dürste ihm auch daS Hauptverdienst an dem von Pitiscus unter dem Titel: Dhesau- r»8 Mathe maticus sive canon sinuum ec t. 1613 zu Frankfurt herausgegebenen Werkegebühren. —
Der geistreichste und wohl auch bedeutendste Schüler Bvrg's ist sein Schwager Benjamin Bramer Felsber. 14 ) — Bramer in Felsberg im Hessischen 1588 geboren,!'') war in der frühesten Jugend in das Hans seines Schwagers Burgi, der damals Hofuhrmacher in Eassel war, gekommen, und mit ihm 1603 nach Prag gezogen. ES scheint, daß als Burgi nach dem Tode der Schwester Bramers nochmals (1611) heirathetc, beide bis dabin innige Freunde /ich getrennt haben und Bramer, der in den Jahren des Zusammenlebens mit Bvrg genügende Kenntnisse gesammelt, nach Marburg gegangen und dort 16i2 eine Stelle als Baumeister erhalten habe. — Ob BramerS Schriften alle ganz ielbstständig von ibm bearbeitet oder ob es Bearbeitungen der Entdeckungen Bvrg's sind, läßt sich unter diesen Umständen schwer entscheiden; soviel dürfte indeß fest. stehen, daß von allen, so viel bekannt und aus den mir zu Gebote stehenden Quellen zu ersehen, mit Jobst in näherem Umgänge Stehenden Bramer der sclbstständigste ist. Er unterstützt Bvrg bei seinen Rechnungen, ist ihm ohne Zweifel auch bei der Berechnung der Logarithmen behilflich und erlangt durch diese Beschäftigung so bedeutende Kenntnisse, daß er, vielleicht mit kleinen Anleitungen Bvrg's, der sich mit ähnlichen bereits durch Pitiscus veröffentlichten Arbeiten beschäftigt, seine erste, vorhin schon erwähnte Arbeit: Problema ect. herausgeben kann. Freilich ist ihr eine sehr ähnliche von Bernegger: Manuale M n 1 h e nia ticiim Strasburg 1619 vorangegangen und der Arbeit Bramers folgt. Simon Stcvin’s: Calcnlation der Tabnlarum sinn* um, tangentium et secaiitiuui NÜrnberg 1 628.
Fast gleichzeitig arbeitet Bramer an einer „geometrischen Practic" und veröffentlich chon im folgenden Jahre 1615 bei demselben Verleger die Construction eines Wickel-Instruments: Benjamin Bramori Knrtzer Bericht EJnes Schreg oder Winkel-Instrumentes' darmit alle auß und eingebogenen Schregcn abzunehmen. — Gedruckt zu Mar- pnrg durch Paul Egenolff Im Jahr 1615. — 7 Seiten und 2 Kupfertafeln. Im Jahre 1630 erscheint wiederum die Beschreibung eines neuen Perspecriv — und grnndreißen- de» Instruments unter dem Titel: Benjamin Bramer, Beschreibung Eines sehr leich, ten Perspectiv. und grundreissenden Jnstrume'nts aufs einem Stande: Aufs
'*) Montucla Tom I. pag. 583: Quant ä Pitiscus, il s etait d£ja rendu utile aux Matbematiqucs pnr une trigonomelrie tresbonne pour le temps, et qui etait accompagnee de ses usages en dix livrcs. Barthol Pilisci Trigonometrie lib. 10. Francof, ad Maenum 1599. Zweite Auflage. 1608.
12) Montucla Tom I pag. 582. _
14 ) Felsber nennt er sich in seinem Werke: Problem» eot. sonst nur Benjamin Bramer. — Montucla Tom II. pag. 12, sagt von ihm: Quant » Brainer, c’etait un Ingenieur et babile eeomelre
15 ) Confer. Dr. Grebe. Grunert Archiv. Th. 16.

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Herrn Johann Faulhabers bestellten Ingenieurs de r Heyl R e ic h sind t 33 litt weiter» Continuation seines Mathematischen Kunstspiegels geordnet. Gedruckt zn Cassel durch Johann Messet vnd zu Frankfurt bey Eberhard Kiefern Kupferstechern zu finden. Im Jar 1630. — Somit fördert Bramer, wie sei» Lehrer Byrg theils durch Rcchnuligcn, die er ausführt, theils durch Constructioneu namentlich für die Feldmeßkunst geeigneter Instrumente, sowohl die Algebra als die Geometrie. — Es gestattet nicht der Raum, alle jene Männer zu nennen, die sich am Ende des 16ten und im Anfange des 17tcn Jahrhunderts mit der Eoustruction mathematischer Instrumente beschäftigten, und die von ihnen construirten Jnstru- niente zu beschreiben, indeß muß bemerkt werden, daß nach den vorliegenden Werken die historische Einleitung von Scheihel, die dem„ Unterricht vomProportiona lzirkel von Scheffelt" auf neunzehn Seiten vorangeschickt ist, keine vollständige genannt zu werden verdient, da mehre wichtige Instrumente unerwähnt bleiben. Daß Scheibel nicht genau die einzelnen Quellen, die er anführt, studirt hat, sondern sich auf Urtheile früherer Bearbeiter stützt und deshalb eine nicht immer richtige Kritik übt, dürfte dadurch entschuldigt werden, daß ihin jene Quellen nicht zn Gebote standen. — Byrg steht ohne Zweifel, was die Construction des Proportionalzirkels betrifft, als der erste Geometer Deutschlands da, der belehrend und anregend auf eine nicht geringe Zahl ihn umgebender Freunde wirkt, die wir in spätern Zeiten, durch ihren Beruf veranlasst, au den verschiedensten Orten Deutschlands und den benachbarten Ländern wiederfinden. — Auch hier sind sie den mathematischen Studirn ergeben und suchen die Don ihrem Lehrer ihnen mitgetheilten Ideen theils zu vervollkommnen, theils auszuführen. — Nachdem Hulsius die Erfindung Burgi'ö veröffentlicht, erscheint 1605 eine lateinische Erläuterung Horchers 16 ) über die Schrift des Hulsius; —sie ist nicht, wie Decha- teö 17 ) fälschlich angiebt, schon früher bekannt gewesen. Ein Jahr früher 1601 ist von Cla- vius 18 ) die Beschreibung desselben Instrumentes bekannt gemacht. —
Hätte Byrg, der uneigennützig und durchaus nicht stolz auf seine Leistungen war, nicht die Erfindungen andern mitgetheilt, so hätten wir, da er selbst nichts geschrieben, ihn zn bewundern keine Gelegenheit gefunden; — allein die Resultate seiner Arbeiten wurden sogleich zunächst seinen Freunde» bekgunt, und nicht immer läßt sich eine scharfe Grenze ziehen bis zu der sie gelangten. Durch mündliche Ueberlieferungen mögen sie in Gegenden gedrungen sein, in denen inan wahrlich nicht den Namen des Erfinders kannte und der zuerst von ihm ausgegangene Gedanke erhielt neue Formen, in denen er sich, wenn auch schwer, so doch deutlich wiedererkennen läßt. — ES dürfte die Behauptung, daß selbst bis Italien Byrg's Ideen getragen und dort von zweien Gelehrten Ca- pra 19 ) und Galilei, 20 ) vielleicht ganz unbewußt, aufgefaßt lind in Worte gekleidet wurde»,
16) Philipp) Horcher Berocastcllani Philos. et JIed Dr. Libri tres in quibus Construclio Circini Propor- tionum edocelur- Mojrantiae apad Balthasarem Lippium 1605 quarto. 51 Seiten mit Holzschnitten.
V) Confer. Dechales Mundo mathem T- I. p 17. Mit ihm nimmt es auch Montucla fälschlich an, der es wörtlich aus Dechales entnommen.
1$) Christophori Clavii Geometria practica. Roman opud Aloysum Zannet 1604. Quarlo.
1») Baltharis Capra usus et fabrica cujusdam Circini Proportioois. Patar. 1607, Quarto. 6OV2 Seiten.
20) f, e Opcrazioni del Compasso Geometrico e Militare Di Galileo Galilei Stampata in Padova per Pietro Mariaelli 1606 in Folio. - Die Zahl 1607 bei DechaleS ist falsch. —

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ohne daß einer vom andern wußte, gerechtfertigt erscheinen. — Wenn man die Arbeiten beider zuletzt erwähnten Männer gesehen, wird man durchaus nicht zweifeln können, daß sie der Grundidee nach mit Byrg übereinstimmen, wenn auch Modificationen der verschiedensten Art darin vorkommen. Die Ansicht, daß beiden ein Bericht über die Resultate Byrg's zugekommen, wird durch die Behauptung Scheibels: Beide haben schwerlich etwas von Bnrgi's Zirkel gewußt, da Horcher's Schrift erst 1605 erschien, nicht entkrästigt; — denn abgesehen davon, daß ihre Werke erst 1606 und 1607 erschienen und zugleich Galilei in seiner Vertheidigung behauptet bereits 1598 seinen Proportional.Zirkel für auswärtige Fürsten verfertigt zu haben, ist der im Jahre 1607 zwischen Capra und Galilei ausbrechende Streit, in welchem beide ihr Recht der Priorität der Erfindung in Anspruch nehmen, und der sich durch viele Jahre zieht, nur durch die vorhergege- bene unmaßgebliche Ansicht zu erklären. — Es ist nicht unwahrscheinlich, — wie es doch bisweilen geschieht, — daß beiden Gelehrten zugleich iene Idee gekommen wäre, dem aber scheint der Um- stand zu widersprechen, daß der B am berge r Mathematiker Clavius schon seit 1584 durch: Epitoino Arithnieticae Practicae. Coloniae 1584 bekannt und mit Byrg's Arbeiten vertraut, auftritt und Galilei ebenfalls die Erfindung streitig zu machen sucht.'") Man kann über diese Streitigkeiten, die meistens unklar in der Geschichte der Mathematik behandelt werden, nur dann ein richtiges Urtheil gewinnen, wenn man die betreffenden Werke genau studirt; es wird dann Jeder zu der Annahme geführt werden, daß Byrg, der bereits 1603 mit der Eonstruction seines Instrumentes fertig war, mehre Jahre vorher — er arbeitete langsam und Verschiedenes zu gleicher Zeit — seinen Bekannten die seinen Arbeiten zn Gnmde liegenden Ideen, oft auch die bereits erlangten Resultate mittheilte. — Diese Mittheilungen blieben aber nicht im engeren Kreise der Freunde, sondern wurden cheils durch mündlichen, theils durch brieflichen Verkehr mit weiter cnfferut wohnenden Gelehrten Gemeingut vieler. — Mancher gelehrte Mathematiker scheute sich nicht die ihm nütgetheilten Resultate nochmals zu prüfen um, wenn er sie als richtige erkannt, Ergänzungen hinzuzufügen und sie dann der Oeffentlichkeit als eine selbstständige Arbeit zu übergeben.
Wie aber auch der enge Zusammenhang der Ideen gekommen, immer sind wir anzunehmen berechtigt, daß in Deutschland der erste Gedanke dieser Constrnctiouen von Byrg ausgegangen ist. — Eine Reihe von Abhandlungen, die bald darauf erscheinen, sind nur als bedeutendere oder geringere Modificationen der Arbeiten Byrg's und Galileis anzusehen. Es erscheint 1610 über den Pro- portionalzirkel Galileis eine Schrift von Pauldader: Newe Geometrische vnd Pcrspecti- vische Inventiones sonderbahrer Instrument. — in Druck gegeben durch Johann Faulhabern 1610. In Quart. ’
3n demselben Jahre erscheint auch eine Schrift über die Instrumente Burgis und Galileis von «»Igemazror: „George Galgemayers kurtzer (Bericht) vnd gründlicher Vn- tkrricht, wie der Künstliche Proportionalzirkel auszutheilen vnd aufzuzeich-
2ij Galilei spricht im ersten Bande seiner Werke. - die durch Carlo Malonesi 1656 zu Bologna er- schienen, von dem Strett.gmachen seiner Erfindung und meint offenbar den Clavius, da Capra erst ein Jahr spater seine Ansprüche geltend zu machen sucht. —

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nen. Lauginge» 1610. Quarto. 3 5 S. Beide zuletzt erwähnten Abhandlungen sind die ersten, die in deutscher Sprache abgefaßt sind. Ebenso läßt Metius 1611 eine Schrift über Clavius und Galileis Proportionalzirkel unter dem Titel erscheinen: Arithmetioae et prac- ticae Geometricae Adriani Metii Alcmar. Matheseos Pros es s. in A Lade in i a Frisiae. Francquerano ordin. Francquerae 1611 in Medianquart.— Berneggerus, den wir später als Verfasser des Manuale Mathernalieurn auftreten und dadurch mit dem Danziger Astronomen Crüger in Streit gerathen sehen, liefert eine lateinische Uebersetzung von Galileis Schriften mit Anmerkungen versehen unter dem Titel: 1). Gali- laei De Galileis Patricii Florentini Matli in Gymnasio Patavino Doct excellentissiini de Proportionum Instrumente a se invento Tractatus a Mathia Berneggero ex Ital. in Lat. versus ct Notis illustratus Ar- gentoratum 1612. Quarto. Diese Schrift wird wiederum von den Italienern aus dem Lateinische» in das Italienische übersetzt und erscheint als: Annotation! di Mattia Bern- eggeri Sopra’l Trattato de 11' Instrumento delle Proportion! del Sig. Galileo Galilei. — In Bologna 1655. Presse gli H. H. del Dozza. — Der Inhalt dieser zuletzt erwähnten Schriften stützt sich somit der Hauptsache nach auf die Ideen Bvrg's und ihnr auch verdankt Bramer seine Kenntniß des ProportionalzirkelS, so daß auch die 1615 und 1617 von Bramer herausgegebenen Schriften nicht ganz unabhängig von Byrg sind, wiewohl deö Schülers scharfsinniger und erfinderischer Geist, der die Arbeit durchweht, kaum die Anleitung des Lehrers durchblicken läßt. — Bramer veröffentlichte 1615: Beschreibung vnd Nntcrricht wie allerley Theilungen zu den Mathematischen Instrumenten zu verfertigen: Neben dem Gebrauch eines newen Proportional Instrum ents, In zwey Theile versaßt. — Beschrieben vnd den Liebhabern zu gefallen an Tag gegeben »onßenjaminBramero, der Mathematischen und Mechanischen Künste Liebhaber vnd jetzigem Fürstlichem Bawmeister vnd Geometren zu Marpurg. — Gedruckt zu Marpurg bei Paul Egeuolls, der Löblichen Vniversitet Buchdruk- ker 1615. In Quart 92 S. mit Holzschn.
1617 erschien: Benz. Brameri Bericht vnd Gebrauch eines Proportional» Lineals, nebst kurtzen Vnterricht eines Parallel-JnstrumentS. Marpurg 1617. In Quart. —
Auch Lauremberg macht 1615 ein ganz ähnliches Proportionalinfirument bekannt, 22) so daß es Faulhabern") durch die Kenntnisse der Instrumente beider zuletzt erwähnten Mathematiker
22) Christ Lsurembergii Clavis inslrumeDlalis Laurembergica oder: allerhand Aufgaben auf dem Arith» metisch-Geometrischen Proportional-Instrument. — Leipzig 1615 in Quart. — (Christ. L. ist nicht mit dem Arithmctiker Peter L. zu verwechseln, der „institutiones Arithmeticae“ Hamburg. 162». herausgab.)
23) Faalhaberi Neu-erfundener Gebrauch des Lroportional-Circuls zur Fvrtistcation. Ulm. 1617. in Quart.

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gelingt im Jahre 1617 einen erweiterten Gebrauch des Propvrtionalzirkelö bei der Fortisikation zu veröffentlichen. — Hieran schließt sich eine große Anzahl von Beschreibungen ähnlicher Instrumente, von denen hier nur Line sonst nicht weiter erwähnte Abhandlung 8chrventer's, Professor in Altdorf angeführt werde, die 1618 in drei Traktaten abgefaßt erschien; — sie dürfte auch inso« fern nicht ganz unwichtig erscheinen, alS in der Vorrede eine Anzahl Gcometcr genannt ist, die sich um die Construction ähnlicher Instrumente verdient gemacht haben. — Auch in Frankreich liefert Henrion einen Zirkel, der unter andern die Construction von neun für die Schifffahrt wichtigen Linien angiebt. Daö Buch führt den Titel: L’usage du Compas de Proportion De D. Henrion Mathematicien ä Paris 1681. 24 ) — Goldmann veröffentlicht 1656: Tractatus de Usu Prop ortion atori i sive Circini Proportionalis, cum Tabulis Constructionum et Usu Lineae Munition um vulgo Fortifica- toriae pro delineandis Figuris regularibus et irregularibus nec non Operibus cam p es tri b u s etexternis cum Figuris aeneis ex Conatu Nico- lai Goldmanni Vra ti s la v i e ns i s Silesii. — Irr dieser Schrift ist Alles, was bis da« hin vom Proportionalzirkel geschrieben, enthalte», doch ist das Ueberflüssige, das die Schriften vieler früherer Bearbeiter breit und fast unerträglich langweilig macht, hier fortgelassen. Diese Schrift zeichnet sich durch ein sorgfältiges Studium vor denen der beiden Franzosen Conette25) ,,nd Petit 26 ) auö und besitzt auch Vorzüge vor den meist leichtfertig gearbeiteten Schriften der Deutschen 8teg,nann'H) und Uttenhofer, von denen namentlich letzterer durch seine Arbeit: „Circinus geometricus zu Teutsch Meß-Cirkel, Nemlich: Ein geometrisch Instrument durch Caspar Vttenhofern. Nürnberg 1626." nichts Neues bietet.— Nicht unerwähnt darf die Schrift Lochmanns bleiben: Instrumentum Instruniento- rmn Matbematicorum, das ist: Ein Newgeorduetes Mathematisch Instrument u. s. w. an den Tag gegeben und zu Kupfer gebracht durch Wolfgangum Lochmann zu Alten Stettin Gedruckt. Berlin 1626. Quart. In dieser Abhand« luug zeigt der Verfasser, wie man den Proportionalzirkel mit einem Quadranten und Diopter zu versehen habe, damit er zu einem für die Feldmeßkunst wichtigen Instrumente umgestaltet werde. Von nicht besonderem Werthe sind die von Galgemayer im Jahre 1619 bekannt gemachten: Neuen Künsteleien oder Centriloquium Circini Proportionum. — Ein never Proportioual-Circkel, von vier, fünff, sechs oder mehr Spitzen mit hundert
24) Diese Abhandlung fehlt der Bibliothek.
rr) La Geometrie rcduite eu une sacile practique par deux excellent« Instruments dont un «st le Pon- tomelre ou Compas de Proportion par Michel Conette. Paris 1626.
26 ) p Petit Methodus perficiendi unicä regulä omnes praxes Circini proportional! cum ampla construc- tione ejus et tabula gravitatis et magnitudinis metallorum et reductione ponderum et menfurarum Eorupae, Asiae et Atricae ad mensuras Parisienses. — Parisiis 1634.
22) Joach. Stegmann Circinus Quadranlarius oder Beschreibung eines Mathematischen Instruments. Berlin 162t. Quart.
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schönen, auserlesenen nützlichen Fragen und Erempeln geziert und erkläret, wie auch Petri Apiani Organon Catholicum u. s. w. Gedruckt und verlegt zu Nürnberg durch Simon Halbmayern. Die Verbesserungen des Proportionalzirkcls, die durch diese Schrift bekannt gemacht werden, haben meistens keinen Werth und Apiani'» Arbeit ist eine Beschreibung eines schon lange bekannten Winkelmessers. — Ebenso erscheinen die Arbeiten eineS Alex anst er, 2«) Casati 29 )* und Dechales 30 )* nach dem Urtheile Scheihels sehr dürftig gegen die vorzüglichen Abhandlungen Oianam’s 31 ) und Scheffelt’s, 32 ) den letzten Schriftstellern, die im 17ten Jahrhunderte über den Proportionalzirkel geschrieben. — Die Arbeit des sonst nirgend erwähnten Bernhard (?„ntrler, die hier noch anzuführen ist, weil sie Aehnliches wie die vorhingenannten behandelt, bietet eigentlich wenig Neues und Interessantes dar. Sie erschien unter dem Titel: Vorn Feldtmessen. Kurtzer und gründlicher Bericht, wie man allerley Felder auß rechtem geometrischen Grunde abmessen soll. B. Cantzler Nürnberg 1612. — Die Arbeiten, welche im 18ten Jahrhunderte erscheinen, sind nieistentheils deshalb interessant und deö StudiuinS werth, weil nach Betrachtung der Proportionalzirkel die vortheilhafte Anwendung dieser Instrumente auf die Geometrie und die Astronomie dargethan und die Lehre der Perspective angebahnt und auch theilweise ausgeführt wird. Namentlich ist in dieser Beziehung die Perspectiva deö Roger Racco, die 1614 durch J oh. Combachius zu Frankfurt herausgegeben wurde, wichtig und dürste dieses Buch auch für den Physiker nicht ohne Interesse sein, da eine dem Inhalte nach bedeutende Abhandlung über die verschiedenen Plan-, Conver- und Concavspiegel sich der Schrift über Perspective anschließt. — Von namhaften Schriftstellern des vorigen Jahrhunderts seien hier angeführt Mallet, 33 ) Ni- colai Bion, (Neu-erössnete Mathematische Werck-Schule. Frankfurt 1712.) Leonhard Christoph Sturm, (V ier kurtze Abhandlungen. Frankfurt an der Oder 1710.) Jac. Leupold, 34 ) Joh. Fried. Penther, 35 ) D. II. Lainbert, (freye Perspective. Zürich 1759. Octav.) Karsten, (Lehrbegriff der gesamm« ten Mathematik. Grrifswald 1775), Johann Tobias Mayer, 36 ) Burckhard von Plirkenstein (Außerwäh l ter Anfang zu denen höchstnützlich mathematischen Wissenschaften. Augsburg 1713 mit 140 Kupfertafeln), Fr. ßrander
28) Logomelron Architecturae militaris Freitagianae. Durch Andreas Alexander», aus der Mark Brandenburg.
23) Paolo Casati Fabrica et uso del Compasso di proportione Bologna 1664. In Quart.
30) R. 8. Claudii Francisci Milliet Dechales Camberiensis e Societate Jesu Cursus eeu Mundus Mathe- malicus Lugduoi 1690.
31) L’usege du compas de Proportion par M. Ozanam.
32) Michael Scheffelts Unterricht vom Proportional-Zirkel. Ulm, in Berlegung deS Anloris 1SS7. In Quart. —
33) La Geometrie practique par Allein Maneason Mallet ä Paris 1702.
34) Thealrum Arilhmetico-Geometricnm. Leipzig 1727.
35) Praxis Geometrien. Augsburg 1755.
36) Gründlicher und ausführlicher Unterricht zur praktischen Geometrie. GSttingen 1777. Oktav. —

(Beschreibung und Gebrauch eines geometrischen Instruments in Gestalt eines ProportionalzirkelS. AugSb. 1780). — Folgende Schriften, früheren Perioden angehörig, finden wir bei Leupold: Sethi Pa tr id g e* D e scri p tio Ins t r u me n t i, quod vul- go dicitur duplex Scala Proportionis. Anglice. Lond. ohne I ahreöz ahl.
_ Dolz.* Cunahula oninium fere scientiaruin et praecipue in Proportio-
nibus et Proportionalibus Montalbani 1518. — Joh. Fernelius* de Pro- portionibus. Paris 1528. — Nie. Hören Tractatus Proportionum Ve- net. 1505. — Alb. de Saxonia* Tractatus Proportionum. Yenet. 1519. — Auf die Frage 8cbeibels, der diese Werke nicht gesehen: ob in diesen Schriften etwa eine ältere Spur von diesem (Proporlionalzirkel) oder einem ähnlichen Werkzeuge vorkommen möchte, kann, da hier N. Hören Tractatus Proportionum vorliegt, geantwortet werden, daß Winkelmess» Instrumente dort erwähnt und ihre Constructionen erörtert sind. —
Einen kurzen aber recht interessanten Ueberblick über den Fortschritt und die Fortbildung der Instrumente von Tobias Mayer ab, giebt Dirksen in einer 1819 ju Göttingen erschienenen Schrift: Historiae Progressuum Instrume ntorurn adumbratio ect. —
Auch in Holland sehen wir ein reges Interesse für Mathematik; es tritt Jan Pieters- zon Dov, 37 ) Landmesser und Bisirer der Stadt Leyden mit der Beschreibung eines Instruments aus, die 1616 durch Curtius übersetzt erscheint. — Schon im Jahre 1600 war zu Leyden von Johann Sems und Jan Pieters/. Dou eine: „Practyk des Lantmetens " erschienen, ' die jedoch nicht in's Deutsche übersetzt ist; — sowohl durch diese Arbeiten, als auch durch die ArithmeticaPractica, die Henricus Coetsiusju Amsterdam 1648 herausgiebt, documentiren die Verfasser ihre gediegenen Kenntnisse in der Geometrie und der Algebra. — Im Jahre 1608 ist von Leonhard Zubler, einem in Zürich lebenden Geometer, unter dem Ti» tel: „Neue geometrische Büch senmeisterey"^) xjn Zirkel konstruirt, dessen nirgend, weder von Montucla , noch von Scheibel, Erwähnung gethan wird. — Zubler liefert auf der zweiten Seite genannten Buches eine genaue Beschreibung des auf zwei Kupfertafeln gezeichneten Zirkels; — er erwähnt in der Vorrede zwei von ihm konstruirte mathematische Instrumente, von denen daS eine zur Geometrie, das andere zur Geographie zu gebrauchen ist. — Ohne Zweifel erinnert er, wenn er von einem für die Geographie nützlichen Instrumente spricht an das, sonst in der Geschichte der Instrumente nie erwähnte Instruiuentum Chorographicum, dessen Beschreibung in
37) Tractat vom machen und Gebrauch eines Nengeordneten Mathematischen Instruments, In welchem vnderschiedliche Künstliche stucks. die 6eom«lri»e betreffende, verfasset und begriffen sind. Nieder» ländisch beschrieben durch 1. P. Dov. der Stadt Leyden Landmesser und Bisirer. Jetzt aber mä» niglich zu nutz verbessert vbersetzt und Tranaferirt durch Sebaslium Curtium Arilhmeticum. Gcome» lern der teutschen Schule in Küroderx. — Gedruckt zu Amsterdam bei Wilhelm Janss. 1616.
38) Der vollständigere Titel ist: Neuwe Geometrische Bttchsenmeisterey. Das ist Grund!» licher Bericht, wie man durch ein neuw Geometrisch Instrument jedes Geschütz nit allein richten, sonder zugleych auch desselben Höhe vnd weite messen soll. durch Leonhard Zubler, Bürger. Züirich 1608. —
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46 Capiteln abgefaßt, schon 1607 unter dem Titel: Fabrica et usus Instrument, Cho- rographici ect. in Basel erschienen war. — Beide Arbeiten sind Fortsetzungen einer bereits 1602 gedruckten, jedoch erst 1604 erschienenen Abhandlung-^ 9 ) zweier Züricher Geometer: Philipp Eberhart Steinmetz und Leonhard Zubler, mit 19 Kupfertafeln ausgestattet.
— In der Vorrede, die wohl Zubler geliefert, wird die Schrift des Eevinius klnlsius: „Abrisf eines Quadranten, sammt einem Bericht alle Höhen, Weiten, Längen und Tiefen abzumessen" erwähnt und hinzugefügt, daß, da sie zu complicirt wäre, hier der Versuch gemacht werden solle, eine einfachere Construction, ohne besondere Kenntniß der Arithmetik zu geben. Im Jahre 1604 erscheint eine bereits im vorhergegangenen Jahre gedruckte Schrift 4 ") Zublers, deren Inhalt dem der zuletzt erwähnten Arbeit ganz ähnlich ist.—In der Vorrede wird auseinandergesetzt, wie die 1602 gedruckte Schrift vielen in der Arithmetik nicht Bewanderten sehr gefallen, so daß der Verfasser das begonnene Werk weiter auszuführen sich veranlasst sehe. — Wir dürfen somit auch nach dieser Seite hin den Einfluß Byrg’s nicht verkennen. Zubler ist nur durch das Studium der Schrift des Ilulsius, also wie wir vorhin gesehen, durch die Auffassung der Ideen Byrgs, zur Construction der nnS von ihm bekannt gewordenen Instrumente geführt.
— Ob jene Ideen Byrg's jedoch als ganz selbstständige zu betrachten sind, müssen wir freilich dahingestellt lassen; wir sehen in jener Zeit überhaupt die Neigung zur Construction der verschiedenartigsten Meßinstrumente und die genialsten Köpfe jener Zeit überbieten sich in der Auffindung bald mehr, bald weniger zum practischcn Gebrauche geeigneter Apparate. — So sehen wir bereits vor der Bekanntmachung des Byrg'schen Proportionalzirkelö im Jahre 1600 zu Frankfurt ein Werk erscheinen, das uns die Beschreibung eines zur Messung von Längen bestimmten Instrumentes vor. führt. Es erscheint als: Quaestiones geometricae in Euclides et P. Kami <T<? o i"X,8 lco(T tv. in usum scholae Mathematicae collectac a Doctore Pe- tro Reyff Basil. Mathematic Professore, quibus Geodaesiam adjeci- mus per usum Radii Geometrie,. Francofurti 1600. — Im Jahre 1599 ist von Franciscus Ritter (Noriberg): Instruetio Instrumentalis Quadrantis novi. Das ist: „Beschreibung vnd vnterricht eines newen Quabrauten " zn Nürn, berg erschienen. Ritter, der sonst auch nicht erwähnt wird, läßt 1607 ebenfalls-zu Nürnberg eine zweite Arbeit unter dem Titel erscheinen: Speculum solis. Das ist Sounenspiegel. Beschreibung vnd vnterricht derer in das Kupffer gestochenen Sonnenvhren u.s.w.
— Im Jahre 1613 endlich erscheint von ihm: „Astrolabium," eine Schrift, in welcher die
39) Kurtzer vnd gruntlicher Bericht von dem Neüwen Geometrischen Instrument oder Triangel, alle höhe, wetzte, lenge vnd liesse leichtiglich vnd ohne rechnung abzumessen. —
4Ü ) Kurtzer und gruntlicher Bericht von dem Neüwen Geometrischen Instrument oder Triangel, auß einem Thurm alle tiefse, wetztte und höhe zu messen. — Zubler scheint auch der Verfasser des 1604 zn Zürich erschienenen Inslrumentum Instrumentorum-Horologioram Sciotericorum zu sein, denn obwohl diese Schrift ohne Namen des Verfasser gedruckt ist, deuten die Buchstaben L. L. auf die Vornamen Zubler 1 », auch sprechen Stil und die Art der Darstellung dafür. —

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Theom eines Instrumentes auseinandergesetzt wird, durch welches er die Polhöhe einer großen Anzahl von Orten bestimmt hat. Es scheint dieses letzte Werk indess nur eine Bearbeitung der 1664 zu Baris von Johann Stoflerinus erschienenen Euclidatio Fabricae usus- que Astrolabii zu sein, eine Arbeit, die später noch durch Tobias Beutel, in dessen Arboretum m at bematicum. Dresden 1671. ausgebeutet wird. — Beutel vcrvollkoiMN- mt die Arbeit nicht, sondern als ein guter Astrolvge zieht er aus den Resultaten Schlüsse für die Astrologie. — Erwähnt sei hier noch, daß wir eine ältere Schrift über das Astrolabium von Johann Copp besitzen, der sie 1525 als Uebersetznng aus dein Lateinischen lieferte und die Zacharias Born mann 1597 nochmals bearbeitete. —
Werfen wir nun einen Blick auf Byrg, so werde» wir seine Verdienste um die Geometrie wohl anerkennen müssen. Zu bedauern ist es immer, daß er nie sclbstständig aufgetreten, denn mancher Gedanke, der Andere zu neuem wissenschaftlichen Streben angeregt hätte, ist vielleicht dadurch verloren gegangen, daß derjenige, dem er mitgetheilt wurde, ihn unrichtig auffaßte und deshalb nur theilwcise oder schlecht verarbeitete, oder ihn auch garnicht verstand. — Manches schätzens- werthe Resultat langjähriger Forschung dürfte eben so wenig an den Tag gekommen sein, — es sollte dem Leser Byrg’s eigener Arbeit, die er zu veröffentlichen gedachte, Neues und Interessantes bieten. — War auch die Idee der Construction mathematischer Instrumente keine neue, und J o b s t Burgi nicht der erste, der mit einem Meßinstrumente auftrat, so sind seine Arbeiten doch nicht Nachbildungen früherer Mathematiker, sondern selbstständige. — Eine nicht geringe Anzahl Mathematiker findet durch Byrg Anregung, und wir sehen noch in späterer Zeit tüchtige Geometer das Gebäude auszubauen bemüht, zu dem er einst den Grundstein legte. —
Byrg als Algebraiker.
Im vorhergehenden Abschnitte sahen wir, was Byrg als Geometer leistete, wie-weit seine Entdeckrmgen bekannt wurden und welchen Einfluß sie in Deutschland und in andern Ländern übten; in diesem Theile wollen wir nicht nur im Allgemeinen die Leistungen Byrg’s in der Algebra kennen und bewundern lernen, sondern wir wollen auch zeigen, wie er durch ein eifriges Studium, namentlich deuffcher Mathematiker das Ziel, nach dem er strebte, errang. —
Wer von beiden Gelehrten Neper oder Byrg zuerst die Logarithmen entdeckt habe, wird sich wahrscheinlich nie mit Sicherheit entscheiden lassen, denn die mannigfachen Untersuchungen, die darüber angestellt sind, haben kein genügendes Resultat geliefert und auch die Vorrede Byrg'» zum: „gründlichen Bericht" liefert für diesen Zweck wenig Neues. — Byrg erwähnt nur an dieser Stelle, daß er viele Jahre „mit der Berechnung der Tafeln umgegangen," die Geschäfte jedoch ihn von der Vollendung abgehalten, und seine geringen Geldmittel die Veröffentlichung verzögert hatten. —
Meiner unmaßgeblichen Meinung nach dürfte sich Byrg früher als der verdienstvolle Neper «tit dem Gedanken, lvgarithmische Tafeln aufzustellen, beschäftigt haben. — Diesen Ausspruch sehe ich mich namentlich aus zwei Gründen zu thun veranlaßt. — Einmal hatte Byrg, nach Bramers

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I
Ausspruch bereits vor 1610 seine Logarithmentafeln, die 1620 im Druck erschienen, vollendet. Wir erfahren Dieses aus der Vorrede des schon erwähnten Werkes von Krämer: Benjamin Bra- mers Beschreibung Eines sehr leichte» Perspectiv, und grundreissenden Instrumentes auff einem Stande u.f.w., dort heißt es pag. 5 ; Anss diesem Fundament hat mein lieber Schwager und Praeeeptor Jobst Burgi vor zwantzig und mehr Jahren eine schöne progress-tabul mit ihren difkerentren von 10 zu 10 in 9 Ziffern caicnlirt auch zn Prag ohne bericht in Anno 1620 drucken lassen. Vnd ist also die Invention der Logarith. ni ch t dess l^eperi, sondern von gedachtem Kurgi (wie solches vielen wissend vnd ihm auch Herr Replerns zeug« niss giebt) lange zuvor erfunden. — Allerdings finde» wir bei Xepler: Tabulae Ru- dolphinae fol. Ulrnae 1627. Saurius pag. 11 colum I. Praecepta Cap. III. folgende Stelle: . . . . hoc inquam si expetis: ecce tibi apices Iogistices antiquae qui praostant hoc lange commodius: qui etiam apices logistici Justo Byrgio multis annis ante editionem Neperianam, viam praeiverunt, ad hos ipissimos logarithinos. Etsi homo cunctator et secretorum suorum custos, foetum in partu destituit, non ad usus publicos educavit. Auch Muntferrier im Dictionnaire des scieuces mathe'matiques 4. Paris 1835 tom I. pag, 242 führt die schon vorhin erwähnte Stelle aus der Vorrede des kramerschen Werkes in seiner Biographie Byrg’s an. — Wenn wir ferner auch nicht auf das Genaueste die Verhältnisse, unter denen Byrg lebte, kennen und der Gang seiner Studien uns unbekannt geblieben ist, so wissen wir doch wohl mit Bestimmtheit, daß er nur in seinen Mußestunden Arbeiten dieser Art vornehmen und ausführen konnte. Er selbst spricht in der schon mehrmals erwähnten Vorrede darüber und sagt dort, daß er zu aller Zeit, d. h. also viele Jahre hindurch, Tafeln auszuschreiben, bestrebt gewesen wäre. Ganz anders ist es mit Neper. 41 ) — Er lebt in der unabhängigsten Stellung, sein Beruf ist die Wissenschaft, er kann den einmal gefaßten Gedanken ununterbrochen verfolgen, ohne durch andere Beschäftigungen immer wieder aus's Neue davon abgelenkt zu werden; Personen, die ihn im Rechnen unterstützen, kann er zu sich heranziehen, denn viele Mittel stehen ihm zu Gebote, so daß auch seine Untersuchungen sofort veröffentlicht werden können, während Byrg 10 Jahre laug, uachdem er die Tafeln längst vollendet, warten muß und nicht im Stande ist, das Geld zur Be, streitung der Druckkosten herbeizuschaffen. — Diese und ähnliche Betrachtungen, namentlich über die verschiedenen Charaktere beider, dürften Manchen auf die Seite Krämers und Keplers zu treten veranlassen, und es ist wahrscheinlich nicht nur die Rhabdologia, sondern auch die erste Auf-
4t) Neper, eigentlich Napier oder Nepair ist der älteste Sohn des Baron ArchibaTd v. Marchiston in Schottland, geb. 1550, gest. 1618. Mathematik war sein Hauptstudium, nächst ihr die Bibel. Bekannt ist er außerdem noch durch seine Rhabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo 1617; — eine Erfindung, die ihm ebenfalls durch einen Deutschen ?eter A pian, Astronom zu Ingolstadt streitig gemacht wird. Von diesem erschien 1543 ein Rechenbuch mit einer kurzgeschriebenen Methode, die später als Erfindung Nepers angesehen wurde. — Egen. Algeb. pag. 259.

stellung von Logarithmentafeln das Werk eines Deutschen. — Allerdings müssen wir auch die Verdienste Ncpers, der selbstständig die erfaßte Idee weiter verfolgte und zum Ziele führte, rühmlich anerkennen und namentlich gebührt ihm der größte Dank für die schnelle Verbreitung seines nützli. chen Werkes. — Neper veröffentlichte im Jahre 1614 eine Schrift, die jetzt wohl nur sehr selten, auf der vsnLiger Bibliothek jedoch zu finden ist: Mirikici Logarith inorum Canonis descriptio, Ejusque usus in utraque Tr i go no me tri a; ut etiam in omni Logistica Mathematica, Amplissimi, Facillimi et expcdit issimi expli- catio Authore et Inventore. Joanne Nepero, Barone Merchistonii e?t. Scoto. Edinburgi. Ex officina Andrea e Hart Bibliopolae 1614. 42 ) Diese Schrift wurde, nachdem sie von Brigg als Logarithmorum Chitins prima
1618 und Arithmetica Logarithmica 1624 bearbeitet war, überall verbreitet. So erzählt uns Johann Christoph 8 türm,") wie durch 8trauehins die Logarithmen schnell in der Schweiz eingeführt wurden. — In Italien sehen wir sie wohl zuerst durch Cavalleri in seinem Directorum universale uran ometricum Bologna 1632 eingeführt und später durch Caramuelis in seiner „Mathesis Biceps" Campaniae in officina Episcopali anno 1670 erwähnt. In Holland dürste nach dem mir vorliegenden Werke Ezechiel de Decker 44 ) wohl der erste gewesen sein, der Tafeln herausgab, sie sind 1627 also ein Jahr früher als die häufig erwähnten von Adrianus Vlacq, 45 ) Mathematiker und Buchhändler zu Honda verfaßten, erschienen. In England erscheint durch John Speidell*
1619 New Logarithms, wohl die erste Logarithmentafel, welche die Logarithmen der natürlichen Zahlen enthielt. 1633 giebt Gellibrand* feineTrigonomia Brittanica bei Vlacq heraus, und in demselben Jahre erscheint Vlacq' s: Trigonometria artificialis seu inagnus canon logarithmicus. —
2 ) Robert Neper, der Sohn Johann Neper’s besorgte 1619 einen neuen Abdruck in Lyon und fol- flenbe Abhandlungen des Vaters erschienen dabei:
vrimo, Mirilici ipsius canonis construclio et Logarithmorum ad nalnrales ipsorum nume- ros habitudines.
e,® ecnn d°> Appendix de alia, eaque praeslantiore Logarithmorum specie construenda. —
Christoph Sturms, weyland des Mathematischen und Natur- th,". Cn < ten hochverdienten Professoris Publici zu Altorf kurzgefaßte Ma- fdüen'b’ a § Cr .^ e Zuleitung zu mathematischen Wissenschaften. Im Jahre 1684 er-
44) Iweede^v" »Mathesis enucleata,“ ein sehr schätzcnswerthes Werk.—
rithmi »g ^ blisvwe 7el-konst oste Wunderliccke konslighe Talel inhoudende de Loga-
Meter ende *1 • « ta ^ en VOn 1 «f tot 100,000 toe. von Ezechiel de Decker Reeken-Meester, Landt- cine bedeute b'^r ^' e ' ) ' ,er ^ er Mathematische honst, residerende ter sioude 1627. — Voran geht schlagt sich^Rnb^^v Beispiele, an welchen gezeigt wird, wie man zu rechnen habe. Daran betalen i"s ov * ~* a ^. e ^ om to vinden den Interest van een sekere somme die te seerde Inter» 6 » eea 'Se Maenden ende Exempel van simpele ende siecompo-
45 ) Arithmetica logarithmica Bri»
d’uue tadle eontenant i . und Arithmetique logarithmdtique ou la construction, et usage
es ogarithrnea de tous les nombres depuis 1 jusqu' ä 100,000. Folio. —

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In Frankreich sehen wir durch Edward Win gase,* einem englischen Edelmanne mit seiner Arith metique 1 o gar i t h ni e tiq u e mt) durch Ilenrion: Traite des lo- garithmes. Paris 1624 die Logarithmentafeln eingeführt. In 8panien verbreiten sie sich durch G ia r, n i n i , * in Portugal durch Joseph Mel 1 itao.* Lissabon 1790 und in Italien in späterer Zeit namentlich durch Toaldo (Padua 1770) und Parisani* (Florenz 1784). — In Deutschland besonders finden die Logarithmen eine günstige Aufnahme. Benjamin Ursinus verbreitet wenigstens durch seine Schriften: Trigonome- tria logarithmicn usibus discentium a c c o ni ino d a t a 1618 und Magnus Canon triangulorum Lognrithmicus 1625 die Logarithmen, wenn er sie auch nicht, wie bisweilen fälschlich angegeben wird, erweiterte. Das Werk Keplers: Chilias Logarith- moruin ad totidein numeros rotundos praemissa demonstratione leg! - tinia ortus Log. corumque usus. Linz 1624, das 1625 durch Su pp lein entum Chiliadis Logarit.hmorum ergänzt wurde, dürfte wohl dadurch gerade beachtenswerth er» scheinen, daß die Logarithmen mit den nöthigen Umänderungen und Erweiterungen der Astronomie zugänglich gemacht wurden. Die Tafeln des Jacob liartscb,^b) hxs Schwiegersohns Keplers, der diesen in seinen Rechnungen, ähnlich wie Bramer Byrg unterstützte, — die mir hier als Manuseript wahrscheinlich aus der Bibliothek Krügers vorliegen — bieten außer einigen kleinen und neuen Anwendungen der Logarithmen nichts Neues dar und dürften den ähnlichen Arbeiten des Michael Taylor, Gardiner* und Babage*- zur Seite gestellt werden.—Nicht ohne Verdienst um den Fortschritt der Wissenschaft sind die Logarithmen des Danziger fleißigen und scharfsinnigen Mathematikers und Astronomen Krüger: „Praxis Trigono- metriae Logarithmicae." Danzig 1634 bei Adolph Ilühnefeldt. — Wenn Krüger auch das System Nepers in seiner Arbeit verfolgt, bietet er doch so vieles Interessante und Neue in der Anwendung der Logarithmen dar, daß MonttHa einerseits Recht hat, wenn er vondenzuletzt erwähnten Arbeiten sagt: „leurs travaux sont aujoud’hui conuue ces anciens monumens de la patience et de l’industrie hmnaine, qu’on adln ire sans en faire anenn usage." aber anderseits auch zugeben muß, daß wenn wir auch heute keinen Gebrauch davon machen, durch den deutschen Fleiß und die eiserne Ausdauer damals die Wissenschaft bedeutend gefördert wurde. — Allen Arbeiten Krügers läßt sich der scharfsinnige, mathematische Geist nicht absprechen; so der 1612 erschienenen Trigo no metr ia sy- nopsis und der 1634 gedruckten Praxis trigonometria. Seine geistige Ueberlegenheit führt ihn zu Streitigkeiten und wir sehen ihn 1613 das im Jahre 1612 durch Paulus Ledertz bekannt gemachte Manuale Mathematicuin, daö die Tafeln der §inns, Tangenten und Secanten enthält, angreifen, indem er dem Verfasser nicht nur Nachläßigkeit, eine Menge
48) Jacobi Bartschii tabula canonica Saganni Silesiorum 1631. (Monlucla 1629 ist falsch.) In Planetarum A equationi bus seu orbis annui Paralaxibus se u variis po- silionibus aut limationihus compendiose supputandis miro utilis. — Dieses Buch wurde 1701 in Slrassburg durch M. Eisenschmidt nochmals gedruckt. —

Druckfehler, die nicht verbeffert find, sondern sogar eine vollständige Uukenntniß in redn» mathe- mnticis vorwirft. — Dadurch wird der Verfasser Mathias Berneggerus, der 1619 zum zweiten Male jene Tafeln herauSgiebt zu einer Vertheidigung genöthigt, die in der Vorrede in nicht sehr gewählten Worten gedruckt erscheint. — Später sehen wir Krüger wieder mit einer Streitschrift: „Die Vertheidigung seines CalenderS" auftreten. —
In häufigem Gebrauche sind jetzt in Deutschland die Tafeln von Vega: logarithmisch trigouometrisches Handbuch und die vom Danziger Mathematiker Westphal; seltener die logarithmischen Tafeln von Schulz (Berlin 1778) und die von Höbert und Jdeler berechneten logarithmisch.trigonometrischen Tafeln für die decimale Eincheilnng des Zirkels (Berlin 1799). — Sehr reichhaltige Tafeln für die gewöhnlichen Logarithmen der Zahlen von 1 bis 1200 auf 20 und in einer zweiten Tafel auf 61 Stellen berechnet, für die hyperbolischen Logarithmen, ebenso bis ar^20 und 48 Stellen fortgeführt, sind durch Callet veröffentlicht: Ta- bles portatives de Logarithines eet. Paris 1795 par Frangois Callet. — Diese Tafeln dürften der Ausführlichkeit und Genauigkeit wegen vor allen andern zu empfehlen sein. Würdig reihen sich an diese: tables trigonometriques decimales ect. caleu- lees par Ch. Borda, revnes, angmentees et publiees par Delambre. Paris an IX. und die bequemen: Tables des logarithmes pour les nombres et les sinus ect. par Lalande. — In England sind die Math eniatical Tables von Sberwin, später durch Samuel Clark herausgegeben und die theils auf 20, theils auf 61 Stellen berechneten Mathematical Tables von Charles Hutton jetzt sehr verbreitet. — Nachdem die Berechnung der Logarithmen durch Neper, Briggs und Ursinus bekannt geworden, suchte schon Vlacq eine bequemere Methode zur Berechnung auf. Nicolaus Mer- oator,* ein geboruer Holsteiner, der später in England lebte, veröffentlichte 1668 in seiner Lo- garithnio-Technia sive Methodus construendi Logarithmos nova, accurate et facilis. Londinv-1668 ein neues Verfahren Logarithmen leicht und genau zu berechnen. Ebenso hatten Leibnitz und Newton sich mit Formeln für die Berechnung der Logarithmen beschäftigt und letzterer gab, indem er die Einrichtungen der Tafeln von Wingate und Na*
thaniel Roe benutzte, 1658 in London seine Trigonometria britanica heraus. _
Halley entwickelte in den Transactions 1695 die ganze Theorie der Logarithmen und Eu- ler gründete die logarithmische Reihen auf den binomischen Lehrsatz. — Ebenso entwickelten La Grange und L’Huilier Reihen zur bequemen Berechnung der Logarithmen und Abel Bürgn zeigte in seinem „selbstlernenden Algebristen" 1786 wie die Logarithmen durch Kettenbrücke und die Differentialrechnung zu berechne» seien. Kramp, Professor in Strasburg, machte 1801 in seinem Werke: Kiemen s d’arithmetique ebenso eine bequeme Methode bekannt. —
ES würde uns zu weit führen, wollten wir andere immer neue und neue Theorien, die voit spätern Mathematikern zu gleichen Zwecken ausgestellt würden, angeben; sie sind, wie bekannt, noch immer nicht erschöpft und bieten noch jetzt reichlichen Stoff zu ferneren Untersuchungen dar. — Untersuchen wir nun zunächst wie Neper und Byrg aus die Idee, Tafeln aufzustellen, geführt wurden! Mathematisch Genaues wird sich allerdings darüber nicht sagen lassen. Da wir von
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den Verfassern selbst Nichts erfahren, dürften Deutungen hierüber um so mehr nicht ohne Interesse sein. Ueber Neper besitzen wir von Thoma Hobbes 47 ) ein Werk in sechs Dialogen, in dem, wenn auch nur andeutungsweise, hierüber gesprochen wird. Von Byrg ist indeß meines Wissens nie bekannt geworden, wie er zu dem Gedanken Logarithmentafeln aufznstellen, geführt wurde. —
Er ist dazu durch das Studium 8tikel's veranlasst worden. Michael 8ti» fei 48 ) ist ohne Zweifel einer der bedeutendsten deusschen Mathematiker, und wer seine Arithme- tica integra studirt bat, wird den großen Werth des Werkes erkannt und die vortrefflichen Kenntnisse deö Mannes in der Geometrie und der Algebra gewürdigt haben. Er lebte in Haberstro, einem etwa % Meile von Königsberg in Preussen am frischen Haffe gelegenen Kirchdorfe, das jetzt den Namen Haffstrom führt, als Landgeistlicher und widmete sich dem Studium der Mathematik mit dem größesten Eifer und dem besten Erfolge. — Seine guten mathematischen Kenntnisse gestatteten eö, daß er eine gute Bearbeitung der Coss 49 ) des Ch^stoph Hudolph, 50 ) die 1522 erschienen war, im Jahre 1553 verbessert herausgeben konnte. — Stifel hat genau das Werk durchmustert und zu den Beispielen, die Rudolph gegeben, eine nicht unbedeutende Anzahl hinzugefügt. Durch die Erweiterung der Erempel des Rmiolpbschen Werkes, die der Verfasser freilich nicht alle selbftständig aufgestellt (denn Stifel bemerkt in der Vorrede, „daß Rndolpb ctzliche in der Librey zu Wien abgeschrieben und selbige durch den Druck mitgethevlt habe") und durch die hinzu- gefügten Auflösungen der verschiedenen Ausgaben hat die Coss einen viel größeren Werth erhalten. Durch das Studium bedeutender Mathematiker, und — eö ist nicht zu leugnen — durch ein genaues Eindringen in die Arbeit Rudolphs veranlasst, gab Stifel 1544 seine Arithmetl'ca integra mit einer Vorrede Philipp Molanchtons begleitet, heraus. — Abgesehen von an-
«7) Examinatio et Emendatio Matbematicae Hodief-nae. Qualis explicatur in libris Johaonis Walisii Geomelrae Professoris in Academia Oxoniensi. Distribut in sex Dialoges Autors Tboma Hobbes Malmesburiensi. Londioi 1660.
18) Hontucla bist. Tom 1. p. 614. Hicbael Stifel est neaumoins plus ggueralement coonu (que Christophe Rudolfs) par son Arithmctica integra qu’il publia en 1544 et qui contient les germes de ndmbreuses invensions, comme des logarithmes et de divers untres, car il y compare expresse-
. ment les progressions arilhmetiques et geomitriques, comme on Ie fait dans hos traites vulgaires . . de logarithmes, mais il lui mauqua de chercher & interpoler dans la suite gäometrique les terme» moyens. —
19) Algebra est scientia numeri figurati docens quolibet bypothetico investigare verum numerum qnae- situm vocatur alias cossica: unde et Ipsi numeri appellantur cossici sagt Christiauus Grünberg: Sceleton Arilbmeticae vulgaris.
Eximiam vero laodem merentur Geometricae progresslones, vel ex hoequod Cossa sea ars Gebri, nihil aliud est quam calculatio per progressiones Geometricas, quao f um tanta est, ut om- nium Arilhmelicornm regulas calculandi complicet, immensem quoque usum babeat in Geometricio ect. ect. — Halbem, integra pag. 30.
Center. Nicolai Raimari Arithmetica analytica. pag. 1.
so) Die Coss Christophs Rudolpbs. Mit schönen Exempeln der Coss durch Hicbael Stifel gebessert und sehr vermehrt. In Königsperg in Preussen gedruckt durch Alex. Leutomyslensem, im Jar 1553. —

dem Vorzügen, aus die wir später noch einmal zurückkommen müssen, vermeidet 8tikel das nicht., streng Wissenschaftliche und hält sich,.somit von jener, namentlich auch durch. Rndolph, angebahnte«, Wortrechnung fern, die später durch Johann Faulhaber 51 ) und Johann Remmeli- nus 52 ) bis zur ekelhaften Spielerei erweitert wird, — Durch den wissenschaftlichen Ernst, der stifels Werkb 2) durchweht, erwirbt er sich tüchtige Schüler, die den Weg, den er angebahnt, mit,, Eifer zu verfolgen, das Ziel, welches er gesteckt, mit allen ihnen zu Gebote stehenden Mitteln zu erringen suchen.") Zeuguiss von der Wahrheit des Ausgesprochenen liefert Johannes Buten, von dem Montucla mit Recht sagt: ll llonna des preuves d'un esprit solide et äs »es oonnaissanoes variees en mathe'matiqueg. Le nom propre de ce geo- metre e'tait Borei ou Bourel. Buten überflügelt durch seine Arbeit bei weitem jene Ma« thematiker seiner Zeit und seine 1559 erschienene Eogistica") wie unbedeutend die 1558 zu Leipzig erschienene Arithmeticae practicae Methodus facilis per. Gemmann Frisiuin (erschien von Johannes Stein bearbeitet 1576 zum zweiten Male) und die 1536 gedruckten Elemente Arithmetica Peurbachii dagegen sind, weil sie Ungründlichkeit und kein wahrhaft wissenschaftliches Studium verrathen. — Doch ein wissenschaftlicher Eifer mußte
Sphyngis Victor, das ist Entdeckung Herrn Johannis Faulhaber! Bestellten Rechenmeisters vnd lllat hematici in Blm himmlischen geheimen Magiae der newen Cabblistischen Kunst vnd Wunderrechnung von Gog und Magog geschehen von Remmilino Philosoph et Med. Doctore Kempten bei Christoph Kranss. 1619. —
52) s phy ngis Vi ctor Triumphi spie ndide ab ejus Victore triumphanti adornati Re- mora, das ist Auflösung einer scharpfsinniger Wortrechnungen von großenKünstiern an Tag gebracht, sampt ungeheuer Wunder vnd ohn aufgelöster Wortrech» nung vnerhörte Geheimniss der Zahlen andeutende Johanne Remmelino 1619.
SS) Das Werk ist gewidmet: dem EHrbaru und Fürsichtigen Christoph Ottendorler Bürger zu Königsperg in Preussen und sagt Stifel in der Vorrede: Item ob Christoph Rndolph gleich die Demonstrationes nicht Hatt gesetzt, so Hab ich es doch gethan.
51) Unter andern lehrt uns dieses: loh. Micraelins, der 1646 in Stetia seine Arithmetica.veröffentlicht» wo er pag. 98 anführt, wie er durch das Studium von Rndolph, Cardauus, Campanus, Joh. Geysiu«, der libri tre«. Cossae geschrieben, die in die Encyclopädie von AU« staedius aufgenommen und Stifel zur Wissenschaft getrieben wäre. Der Einfluß Stifels tritt deutlich in seinem Werke Hervor. — Auch ist Hier wohl zu erwähnen Nicolaus Raimarus: Arithmetica Analytica vulgoCossa oder Algebra. Frankfurt a. 0. 1601, der ein* flussreich wirkte. -
55 ) Haue ipssm numerornm doclrinam Plato, Socrates et Archimedes Ao y f <T5HC<*> vocarunt Ara- bes et nonnlli Barbarorum Algorithmus. Inter Arithmeticam et Logisticam Platonis Interpretes po- suerunt discrimen aliquod., scripsernntque Logisticam esse vocem scientiac: Arithmeticam uomen artis.: quasi is Logistes sit, qui numerorum naturam mente sua contemplatur , numerorum scilicet nbstractium sumplorum, facta a rebus ipsis «equestratione: Arithmetious vero, qui numeros, homines, pecudes numerat: qui numerum adpücet ad res ipsas numerabiles ect.
Gst igilur ac vocetur seu Logistica seu Arithmetica scientia Numerorum quatenus^sunt numerabiles. — Habes. desiuitionem. confer. Pet. Laurcmbergius Rostochiensis Institutiones arithmeticae. Hamburg 1634. —
3 *

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fich Bahn brechen um für Andere als Muster dazustehen; den« hätten nicht gründliches Wissen and ein ernster Fleiß in dieser Zeit die Mathematiker beseelt, wer weiß, ob je eines jener Werke, die von der angestrengtesten Ausdauer und einem unbeugsamen wissenschaftlichen Muthe zeugen, ähnlich wie daS eines Ludolph von Cöln, 56 ) hervorgegangen wäre. Wer dieses 1596 zu Volk erschienene Werk gesehen und gelesen, wird wahrlich das gründliche Studium und jene nur selten zu findende wissenschaftliche Treue und Ausdauer, wie fie uns hier gezeigt wird, anstaunen müssen; er wird, wenn er einen Ueberblick über daS bewältigte Material erlangt, die Eingangsworte L,u- üsipli'»:^) „Gott sprach zu Adam: Im Schweiße deines Angesichtes sollst du dein Brod essen" zu würdigen verstehen und sie als den passendsten Einleitungssatz, den der Autor finden konnte, bezeichnen können. — Gründlichkeit läßt sich den meisten der nunmehr in großer Zahl erscheinenden verschiedenartigsten Untersuchungen über die Quadratur des CirkelS nicht absprechen und selbst kleinere Abhandlungen, wie z. B. die eines Philipp Landabe i-g, der in Mid- delburg seine Cyclometria mit dem Motto: ö <Beos cisi xvxho ja esset erscheinen ließ uub die deS iUaurentius Eichatädt: 58 ) De Mcnsnra et Quadrntnrn circuli, zeigen den bedeutenden Fortschritt, den die Mathematik, nachdem sie jene Wortrechnnngen als Verirrungeo der Wissenschaft mit aller Kraft zurückgewiesen, gemacht. — Immer aber werden wir nicht vergessen dürfen, daß Michael Stifel einer der ersten war, welcher die Wissenschaft von dem ihr anhängenden Wüste zu läutern, ja sogar gänzlich zu befreien verstand. Er war eS auch, der durch eine genaue Untersuchung der Progressionen den Grund der Logarithmen völlig klar begriffen und den hohen Werth dieser Rechnungsart aufgefaßt hatte. Wäre er mit seinem Scharfsinne tiefer in seine Theorie der Progressionen eingedrungen, würde er der Erfinder der Logarithmen gewesen sein und diese Erfindung hätte dann Deutschland ganz angehört, während jetzt die Engländer mit mehr Stolz auf Neper sehen können, als die Deutschen auf Byrg, der durch daS gründliche Studium der „ Arithinetica integra" Stifel« zur Ausstellung der Logarithmentafeln geführt wurde. Daß Dyrg die Arbeit Stifels gekannt, dürfte aus dem Folgenden leicht zu ersehen sein: In der Arith- meticia integra Lib. I. pag. 35 heißt eö: Additiv in Arithiueticis progressioni- bns respondet multiplicationi in Geometri ci 8; Snbtractio in Arithmeti- cia respondet in Geometrie!« divisioni. Diviiio in Arithmeticis progrea-
SS) Von der Cirkel Daer in ghetaert wird le rinden de naesle Proporlie des Cirkels — diameter legen synen Omloop on noch de Tafeln Sinvvum, Tongenlivm ende Secantivra met Iict gebruyh van dien hoogh-noodigh voor de Land-meters met veel andere konslighe slncken, dierghelicke noyt in dmek uylghegheven. — Alles door Ludolph van Ceulen gliederen in Ilildeelieim, beachreven ende in den druck ghebraclit Tot Delf anno 1596. — Aenden Hooch-gheborn Verstende Heere Hanritz geboren Prince von Orangien.
ST) Godt sprack tot Adam: In't Zvveet vrsaenichijns mldy n Broodteten. —
S8; Laurcntin* Eichstädt war Profesaor der Mathematik am Novriger Gymnasium und lebte zur Zeit der Rektoren Abraham Calor und Johann Moukisch 1648. (SJerfll. Geschichte deS acodemiacben Gymnasiums zu Danzig von Th. Hirsch.) Er war 1596 i» Suitin geboren und war von 1845 bis zum 8. Juni 1660 akademischer Lehrer.

sionibus, respondet extractionibus radicum in progressionibus Geome- tricis. Ut dimidiatio in Arithmeticis respondet extractioni quadrataein Geometricis. Triplatio in Arithmeticis respondet multiplicationi cubi- cae in Geometricis, Quintuplatio in Arithmeticis respondet multiplicationi surdesolidae in Geometricis et sie de aliis in infinitum. J„ b cr s^l- genden Vorrede B^rgs finden wir: Betrachtent derowegen die eigenschafft und Correspondenz der 2 progressen alß der Arithmetischen mit der Geometrischen, daS was in der ist Multiplcircit ist in iener nnr Addiren nnd was in der ist Ditiidiren ist in iener subtrahieren nnd was in der ist radicem quadratam extrahiern in jener nnr ist Halbiren, radicem cubicam extrahirn II „r in 3 diuidiern, radicem Zensi in 4 Diuidiern,Sur.solidem in 5 und also fort in andern quantiteten. —
Es dürfte somit dieser Abschnitt als eine Uebersetznng der eben angeführten Stelle Stifels anzusehen sein. — An dieser Stelle sei es nun auch erlaubt, auf eine vorhin gemachte Behauptung: „ttrarner habe die Arbeit ßyrgs über die Logarithmen genau gekannt" zurückzukommen. In der Vorrede eines bereits erwähnten Werkes des Benjamin Bramer: „Beschreibung Eines sehr leichten Perspeetiv nnd grnnbreissenden Instruments auff einem Stande," die an den Ehrenvesten, Hochachtbar» und Kunstreichen Herrn Johnn Faulhabern gerichtet ist, heißt es: Daß in den M a th ein a ti )'d) e n Künsten viel wunderbare vnd verborgene Geheimniss, auch offtmabls Dinge, so fast vnmöglich scheinen, gleichwol aber durch geringe Mittel zu wege gebracht werden können, ist aus vielen Dingen zu sehen. Als zum Erempel, durch zusammen: oder übereinander schreibung einer Arithmetischen vnd Geometrischen progress kann man viel wunderbare Dinge verrichte», wann nur die Arithmetische mit einem 0, die Geometrische aber mit 1 anfängt, Nemblich daS Multipliciren durch Addiren, das Diuidirn durch Subtrahirn, Radicem quadratam extrahirn durch Halbirn, Cubicam durch 3, Z cn si ce n si ca m durch 4, Sursolidam 5, vnd so forthan mit andern quantiteten dividiren. — Welches dem Herrn als einem jetziger Zeit in Teutschland berühmten Arithme- tico, genugsamb bekannt, vnd also ohne noht wäre, dessen Exempel zu setzen. Damit aber die vngeübten meine Meynung sehen mögen, stehen dieZahlen beider progressiones also:
Arithm. 0. 1. 2. 3. 4. 5 6 . 7 g 9
Geomet. I. 2. 4. 8 . 16. 32. 64. 128. 256. 512.
Arithm. 10. 11. 12. 13.
Geomet. 1024. 2048. 4096. 8192.
Anss diesem Fundament Hat mein lieber Schwager vnd Praeceptor Iobst durgi vor zwantzig vnd mehr Jahren eine schöne progress tabul mit ihre» 6 ifferentzen von 10 zu 10 in 9 Zi sfern calculirt vnd zu Prag ohne B ericht.

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Anno 1620 drucken lassen. Vnd ist also die Invention der Dogarith. nicht des Neperi, sondern vom gedachten Bnrgi (wie solches vielen wissend vnd ihm auch Herr Leplerus zeugniss gibt) lange zuvor erfunden.^)
Wer diese Stelle auö Bramcr mit den Worten Byrgs vergleicht, wird schwerlich an der Richtigkeit der vorhin gemachten Behauptung zweifeln können. —
Deutlicher jedoch, als die früher erwähnte gleichlautende Stelle bei Stifel uud Byrg, spricht die gleichartige Auffassung der Lehre der Progressionen dafür, daß Burg» durch das Studium der Arittimetioa integre» dahin kam, seine Progreff-Tafeln aufstellen zu können, obwohl es merkwür« dig bleibt, daß Jobst nie die Arithmetica erwähnt. — Möglich ist es, daß er nicht nur das Werk Stifels, sondern auch die Arbeiten anderer, wie z. B. Moritins Zons, den er anführt, studirt hat. — Mauritius Zons scheint jedoch kein bedeutender Mathematiker gewesen zu sein; ich finde noch in dem in der Anmerkung 52 erwähnten Buche von Remmelinus angeführt, daß Zons 1602 eine Wortrechuung herausgegeben hat. — Somit sind neben den früher bereits erwähnten Remmelinus und Faulhaber noch Mauritius Zons und Peter Roth, der 1608 die Arithmetica Philosophien herausgab, als eifrige Bearbeiter der Wortrechnmig zu erwähnen. Faulhn'oern sind die Arbeiten Stifels bekannt, wie cö eine Stelle der vorhin angeführten Arbeit des Remmelinus, pag. 28 beweiset: Faulhaber hat dieses zu thun anlaß genommen auß Herrn Michaelis Stiphelii Schrift n. s. w. — Da aber genannte Mathematiker miteinander in wissenschaftlichem Verkehr stehen, läßt sich mit Bestimmtheit annehmen, daß auch Byrg mit Stifels Arbeiten wohl vertraut war. —
Wie theils schon bekannt, theils noch aus dem Folgenden zu ersehen, stellte Byrg eine arith- melhische und eine geometrische Reihe so zusammen, daß die gleichvielrcn Glieder von beiden zu einander gehörten und erklärte jedes Glied der arithmetischen Reihe für den Logarithmus^) des eben so vielten Gliedes der geometrischen Reihe. Man definirte: Logarithini sunt quantita- tum continue proportional in in coinites a e q ui d if f ere nt e s (Vlacq) oder: Lo« garithmi sunt nnmeri secundum Proportionen» ar i l h ni e t ica n» quameun- que continue crescentes, ant d e cre s« e n tes, adjuncti numeris ahunitate inchoatis et secundum Proportionen» geometricam continue crescen- tibus (Caspar Schott in Cursu Mathen». Herbipoli 1661 Mb. 27 pag, 589). Wie Matzka gezeigt, geht diese Erklärung der Logarithmen aus der von Neper
59) Dr. Grebe (Grunert. Th. 16. pag. 361) bemerkt, daß er an citirter Stelle einen Druckfehler im dritt« letzten Gliede der von Krämer angeführten Progress-Reihen verbessert habe. der sich im gedruckten Werke vorfindet. Merkwürdiger Weise ist auch in dem mir vorliegenden Manuscripte ein Schreibefehler in diesem Gliede, der später verbessert ist, so daß statt 2618, so viel ich erkennen kann. 1108 gestanden bat; — die Ziffer 1 ist deutlich zu erkennen. Hat Krämer dieses Manuscript benutzt und ohne nachzurechnen, die Zahl abgeschrieben? Es müsste ein eigenthümlicher Zufall sein, wenn ein Abschreiber sich auch hier gerade verschrieben hätte. —
«) Byrg gebraucht den Ausdruck logarithmus nicht. Sonst suche mau aber das Nähere über Loga- rilhmuj »tt Grunert. Th, XV. pag. 111 et seq. von Matzka. —

23 —
leicht hervor, wenn man eine größere Menge von Logarithmen um gleiche Unterschiede, folglich chre Zahlen, in gleichen Verhältnissen nach und nach wachsen läßt. — Aus diese Weise erhält man eine arithmetische Reihe von Logarithmen:
Xq Xj X2 • • • ■ x n
und eine zugehörige geometrische von Zahlen
y 0 yi y* • • • • y»
so daß sich ergiebt:
>08 y„ — X 0 , log y t = x, . log y u — x a
Es wird nun, da für bestimmte Zahlen, die zugehörigen Logarithmen zu suchen sind, eine Einschaltung einer neuen Reihe zwischen zwei Gliedern der Hanptreihe erforderlich fein und eS ist leicht einzusehen, daß jedes Glied der arithmetischen Schaltreihe der Logarithmus deö eben so vielten Gliedes der geometrischen Schaltreihe sein wird. —
Will man also eine solche Reihe mit allen ihren einschaltbarcn als eine einzige stete fortschreitende Reihe derselben Art ansehen, so muß man außer den ganz'zahligen Stellenanzeigern auch noch gebrochene, ja sogar unter Umständen irrationale Stelle»zeiger zulassen.
Ist n ein allgemeiner Stellenauzeigcr, positiv oder negativ, ganz, gebrochen oder irratio« nal; so ist, wenn d die constante Differenz der arithmetischen Logarithmenreibe und 4 der beständige Quotient der geometrischen Zahlenreihe
x n — x 0 + n d
y» — y 0 q" 61 )
Neper ß2 ) nahm zum Anfangsgliede der geometrischen Reihe:
y — 10000000 — 10’
— 1
zum nächstfolgenden — 9999999 — y 0
zum Quotienten q — — 1 : a 0 =
Die Differenz der arithmetischen Reihe ist d — 1 „nd das Byrg 63 ) dagegen nahm
y 0 — 100000000 = 10« y, — 100010000
q — >1,0001 = 1 + J__
d — 10.0
Ausgaugsglied x, — 0 .
x» - 0 «»)
«l) Vergleiche Matzka in Gruaert. Tb. XV. p»g. 139,'tto auch diese Gleichungen durch ihn ausgestellt.— «2) 6o»ser. Xlögel matb. Worte,b. III. num 114.
»3) Klügel. 111. n. 106.
Conier. BoDaventara Cavalerio Trigonometria Bonoaiae 1643 pag. 4 . 00 I. 1 num. XXV.

24
Bei der nach Byrg vorzunehmenden Zusammenstellung einer arithmetischen und geometrischen Reihe erhält man aus den vorhin aufgestellten Gleichungen:
X.. — x 0 + n d y a — y 0 q» n — x„ — x 0 d
X„ - X 0
Tn = 7o 9 d
Beginnt die arithmetische Logarithmenreihe mit 0, die geometrische Logarithmandenreihe mit ?. ist also x 0 = 0 und y 0 — f, folglich 0 — log f, so ist
x u
y..
Ist dann ß — log I«, n'cim nämlich
b —
daher
— k 't d
x» — ß und y u — b, so ist
ß_
q d
Xu
ß
Mithin ist x„ Oft Logarithme von y„ für die Grundzahl b
~ß T T"
Wird nun, wie gewöhnlich, f — 1, ß = 1 also log 1 = 0 und log b — 1 gemacht,
x
Yu — b^~
also b.
x„ — log y n
Bei dem Zusammenstellen der Glieder mit dem Logarithmauden y der geometrischen mib dem Logarithmen x der arithmetischen Reihe hatte Byrg nebst den Ansgangsgliedern y 0 ~ und x 0 — 0 beider Reihen noch ihr gleichzeitiges Fortschreiten nach einem bestimmten Gesetze in Zusammenhang zu bringen.
Während Neper die arithmetische Reihe seiner Logarithmen steigen und mit dem Gliederpaare 0, K anheben, also die absolute Zunahme der Glieder d — K positiv, dagegen die geometrische Reihe der zugehörigen Zahlen sinken und mit dem Gliederpaare f, f — k ansangen ließ, so daß
p • - k k *
der Quotient ,, — —-— 1 — - »nd die relative Zunahme der Glieder q — 1 —

25
^ - - — - y- negativ war") — ließ Byrg Logarithme und Logarithmandc wachsen, also in der arithmetischen Logarithmen-Reibe ebenfalls die AnfaugSglieder 0, K und die abso. lnte Zunahme der Glieder 6 — K positiv sein. — Dagegen ließ er auch in der Logarithman«
den-Reihe die AnfaugSglieder f, f -4- k folglich den Quotienten q — ? + JL " 1 + -i. und sofort die verhälmißmäßige Zunahme der Glieder q — 1 — ~ f —
e 9 f
positiv fein. Er setzte ferner den Modul m — ^ — K : und machte
K = 10 s — 100000000 k = 10000
also — — 0,0001 in = 100000. f
Durch diese Betrachtungen, auf die hier näher einzugehen der Raum nicht gestattet, echält> man die Gruudzahlvder Byrgiseben Logari t h me^tafe 1
b — 10* (l,0001)T l ö — 100000999. ^550012. über die das Nähere iu 6runert Archiv Th. 15 j.ag. 176 und in Kliigel zu finden ist. _
Die in der Hiesigen Stadtbibliothek vorhandenen Logarithmentafeln Byrg«, die auf dem Ti> trlblatte nur die Buchstaben J. U. zeigen, und auch das angeheftete Manuskript gehörten früher der Bibliothek deö Danziger Rathsherrn Adrian Engel ko an. - Wie eS scheint, hat dieser die Lo, garithmentafelu mit der Erklärung nebst einigen Schriften Bramers in Nürnberg, das er auch auf seinen Reisen berührte, an sich gebracht. Seine Bibliothek ebenso wie die eines Eich- Stadt, Kulmus, Bar tholo n» aus Keckermann, Fabricius, Neander und Lossius wurden später der Stadtbibliothek einverleibt und somit wuchs die Zahl der mathema. tischen Werke theils durch Ankauf der Bücher Crügers, Jleveli., s m. a., theils durch Schert, kungen, wie es u. a. die „Theor.a Mathen,afiea ecf.« des Michael Angeln FardeMa beweiset.
Byrg giebt folgende Erklärung seiner Tafeln:
«-) Pieper setzte überhaupt den logarithmischcn Modul
_ d __k . _k_
m — q — 1 — ' e
Er nahm K — 1, §> — 10000000 k — 1 — K
also y — 0, 0000001 und
m — — q — — 10000000 an.

26
Vorrede an Den Treuherzigen Leser.
Freundlicher lieber Leser, Ob wol von Vortrefflichen Mathemntim, und Arithmeticis, mancherley Tabulen scindt erdichtet und calculiert worden, uinb die Schwierigkeiten des Multiplici- renö dividircnS und Uadices exirabircns auf ZU heben, so sindt doch dieselbige allezeit mir par- ticufnr gewesen, also daß das iVIuft Ijiliciren und Diuid'ren ihre eigene Tabulen, als nhncum pythngoricum erfordert hat das Exlralnren der radicum guailratarui» seine guadrattabulen die cubische Extractio» ihre Cubic Tabulen und also fort in federe gnantitet ihre besondere labnlen vonnöten hat, Vielheit der Tabulen nicht allein verdrießlich, sondern auch müheselig und beschwerlich sein . . Derowegen ich zu aller Zeit gesucht und gearbeitet habe, genernl Tabulen zu erfinden, mit welchen mann die vorgenannten Sachen alle verrichten möchte. — Betrachtern de- rowege» die eigenschafft und Gorresponden/ der 2 progressen alß der Aritbmetischen mit der Geometrische», das was in der ist >liiltipliciren/ ist i» jener nur Addier» und was in der ist Diuidiren in ieuer subtrahurn und was in der ist radieei» guadratai» oxtraliir» in jener nur ist halbiren, radicem cubiean, extrahirn nur in 3 diiiidiern, radicem i^enai in 4. Dividiern, 8,,r-ioIida»> in 5 und also fort in andern gnantiteten, so habe ich nichts Ntttzlichres erachtet, alß diese Tabulen also zu eontinuiern daß alle Zahlen so vorfallen in derselbe» mögen gefunden werde», auch welcher continuation dieße Tabulen crwachßcn, durch welche man nicht allein die schwerlichkeiten des iviiili'iplieierns Diuidierna und allerley Idadiees extrabiere»8, welches in der Algebra oder Cu8 ein trefflichen Vortheil und nutzen hat, verhütet werden, sonder auch das mehr ist Zwischen 2 gegebene Zahlen so viel media proportionale alß mann begcrt mögen gefunden werden, welches wie schwer cS ohne dieße Tabulen zugehet, ist denen bewust, so sich ein wenig in dicßem puluere exerciert haben Und ob wol ich mit dicßen Tabulen vor ettlichenJahren bin nmbgang so hat doch mein Beniff von der Edition derselben enthalten, wolle derowegen der Guttherzige Leser dieße ihm also gefallen laßen und die Tabulen mit volgenden Vnterweisnng, des Verstandes mit etlichen Exempel erklärt wie folgt;
Kurtzer Bericht der Progrress Tabulen, Wie dkefelbigen nützlich in allerley Rechnungen z» gebrauchen.
Zu diesen Tabulen findet man Zwcierley Zahlen, Eine mitt rothen Caractren, welche wie einem ieden leichtlich zu sehen nichts andres dann ein Arithmetischer progress, die andere aber mit schwarzen nichts anders dann ein Geometrischer progre8s ist, und auf daß wir in dikßem desto kurzer durchgehen, Woll wir dorthin den Aritlinieiischen progre88 die rothe und den Geome. Irischen progress die schwarze Zahl nennen, damit auch ein iedcr die sundamenta dießer Tabulen grundilicher säße und dieselbigen desto beßer gebrauchen mag, so wollen wir in folgenden Begriff die Eigenschafft dießer 2 progre8»en für Augen stellen und dieselben mit etlichen Exempeln er- klären.

Arithmetisch
0. 1 . 2. 3. 4. 5. 6 . 7. 8 . _ 9. 10, 11. 12.
,i f | ->■ i,i t i r ■ l - f ii i I TT g '
1. 2. 4. 8 . 16. 32. 64. 128. 256. 512. 1024. 2048. 40%.
Wir haben in der Beredt angeregt, wie auch von etlichen Arithmeticis Simon Jacob Moritius Zona Hub andere ist berürt worden, das waö in der Geometrischen P rogresa ober in der Schwarzen Zahl Multipliciert daßelbige ist in der Arithmetischen Progress .oder in der rothen Zahl addiern, Alb zum Exempel mann soll multiplicireo 8 mit 64. Die rothe Zahl von 64 ist 6 und von 8 ist 3. Der Summa ist 9, denn g und 3 ist 9> Dieße schwarze Zahl ist 512 und soviel kombt auch, so man 8 mit 64 multipliciert.
Item man soll mulliplicirn 32 mit 256 ihre rothe Zahl sind 5 und 8 thuet zusammen dieße schwarze Zahl ist 8198 und so viel kombt so man 32 mit 256 multipliciert. —
Item man sol ßividiro 16384 durch 512 ihre rothe Zahlen sind 14 und 9 Subtrahire derowegen 8 von 14 bleibt 5 sein schwarze Zahl ist 32 und soviel kombt 16384 durch 512 Dividiert. Weil dann die Regula Datei nichts anders als Multipliciren und Dividirens bedarff, so folget daß die Regn! Datei auch forderlich durch dieße Tabula erreicht mag werden, alß zum Exempel 8 geben 128 was geben 32. gib der Zahl ihre gebärende
8 128 32 '
3 7 5 Addier und zusammen. ''
. :1 nv
- r. •
7 • •
JL i
ist 12 davon Subtrahire die rothe Zahl 3 3
9 ihre schwarze Zahl ist 512. welches ist der begehrten Zahl facit genannt. ^
Item man wil Radicem quadratam auß 256 Extrahirn sein rothe Zahl ist 8 dis halbire kombt 4 dieße Schwarze Zahl ist 16 welches ist Radix qnadrata auß 256.
Item man wil Radicem Oubicam auß 512 Extrahiern sein rothe Zahl ist 9 das in 3 dividiert kombt *$ sein Schwarze Zahl ist 8 und ist Radix Cnbica auß 512.
Item man wil Radicem Zensi Zensicum extrahiern auß 4096 sein rothe Zahl ist T2 biß Dividiert in 4 kombt 3 dessen Schwarze Zahl ist 8 welches Radix Zonal Zensico ist atts 40%. —
Ziem man wil zwischen 4 und 64 die mittler Proportional finden, ihre'rothen Zahlen seindt L und (j dieße addirt geben g deffen heisst ist 4 , sein schwarze Zahl ist 16 und dießes ist bie Media proportional« zwischen 4 und 64.
Item man wil 2 media proportional« zwischen 64 und 512 finden, ihre rothen Zahlen seindt 6 und 9 so man die eine von der andern subtrahiert bleibt 3 dieße in 3 dividirt kombt 1 dieß 1 addiere ich zu der g kombt 7 sein schwarze Zahl ist 128, welches ist die erste der Zweien mittlern proportionalen und so man die 1 wiederum zu 1 addiert, kombt g deßen schwarze Zahl ist 256 die ander mittler proportional rmd also fort wie nachher fol angezeiget werden, und dieße Eigenschafst haben nicht allein die 2 abgeseilten Progressea mit einander, sonder alle, sie sein, wie sie wollen, wenn der Aritbmeti- sche von 0 und der Geometrische von 1 anfanget, wie denn auch die folgenden Tabnlen nichts anderß als 2 solcher Progressiv sindt. — Und dießes sey geredt. allein von der abgesetzten Progreasen, Jetzo wol- irn wir zu dem gebrauch unsrer Propres, Tabulen schreiten und Erstlich Lehren.
|. Wie einer ieden schwarzen Zahl, so in den Tabulen unter Schwarzen gefunden wirbt, ihre cor- korpondirende rothe zu finden sey; , alß zum Exempel. •. 1
Mau sol dießer Zahl 133373810 rothe Zahl suchen, dieße Zahl sindt mau in der Tabulen am 8
- ■ *,. *.... .. 4* • l

28
blat in der eolumos 2850$ und an der linken feiten unter 300. Die addier darzu 300 macht 2880& welches ist also die rothe Zahl von 133373810 und auf dieße weis kann eines jeder» Zahl, so in der Ta- bul zu finden, sein rothe Zahl erfunden werden.o«)
Wie einer iedern rotben Zahl, so in der labulen zu finden ist, ihr gepürende schwarze Zahl soll gefunden werden.
Es wolle begehret werden zuni Exempel zu wifien, welcher schwarzen Zahl dießer rothen von
2880$ gehören, dießes zu erforschen, so such unter den rothen Zahlen, die oben vorzeichnet sei eine vergleich oder so nahe kleiner, alß die fürgegebene ist. Dieße finde ich am 8 blat in der column» 28504 an welchem noch 300 mangelt; such derowegen die 300 auf deuselbigen blat in der ersten eolumna und
gegen derselbigen über in der oolumna unter der 28500 werden gefunden 133373810 welche ist die begehrte schwarze von 28800 und so handelet man auch mit den andern, denn man fiudt der rothen Zahl alle
von 0 biß auf 230270 ihm gebührendt schwarze Zahl auf obgemelten weg.
Wie dann eine Zahl für siele, so in der Tabul nicht just zu finden weer kann mann in vielen Rechnungen davor nenien die rothe Zahl welche der fürgegebenen Zahl am nechsten ist, vor ihni, aber damit nicht vorgnügen ließ kann auf folgende weise seine wahre rothe Zahl erforsche».
II. Mann soll zum Exempel die wahre rothe Zahl von 36 suchen, so setzet man noch Sieben 0 für, damit ich 9 Ziffern bekomme, denn alle schwarze Zahlen haben in unser Tabula nicht weniger alßo 360000000 Darnach sucht man in der Tabul unter den schwarzen Zahl Die 2 nechst kleiner und uechst größer ist dann 360000000 diß finde ich am 33 blat in der volumaa 12800 und auf der linken feite, nun felt mir die schwarze alß 360000000 zwischen
90 dieße hat schwarz 359964763 diese ist zu klein
10" Lke''Differenz 35996 die Differenz
dieße hat schwarz 360000759 diß ist zu groß dieße kleinere Zahl von 359964763 Subtrahire von meiner gegebenen Zahl 360000000
000035237
Wie sich helt die
Differentz
zn der
rothen
| also helt sich die 3 zur 4
35996
■ 10000
| 35237 als 978 g •
66) In den Tafeln an erwähnter Stelle ist zu finden:
23000
28500
29000
29500
30000
30500
" 81009.,
31500
0
132311129
132974308
133640811
134210655
134983856
135660432
136340398
137*23773
10
20
30
40
50
....24362
....87605
....54175
.... 24086
.... 97355
.... 54032
.... 37476
.... 37593
133000904
....67541
.... 37518
135010854
.... 87565
.... 67668
.... 51179
.... 50826
.... 14204
....80907
.... 50952
.... 24355
185701134
.... 81305
....64884
.... 64061
.... 27-506
.... 94267
.... 64387
.... 37858
.... 14704
.... 94943
....78591
....27295
.... 40809
133707645
.... 77824
.... 51362
....28275
136408582
....92299
270
280
290
300
310
320
132668834
133333806
134002111
13467765
135348787
136027191
136708996
137394219
....82101
....47139
.... 15511
87233
.... 62322
.... 40794
.... 22667
137407958
.... 95369
....80474
.... 28913
134700702
....75858
.... 54938
.... 36340
....21699
132708639
....73810
.... 42316
.... 14172
.... 89395
.... 68004
....50013
.... 35441
....21909
....87147
.... 55720
....27643
153402934
... .81610
.... 63688
....49184
.... 35812
136400486
....69125
....41116
.... 16475
.... 95214
.... 77365
.... 62929
' M L
1 2 A I

29
., , Diße Viert Vierte addier zu der kleinen rothen Zahl Ä
1-14 . ■■■ Die kleine rothe Zahl ist s8
' ' Die Zahl der columaa 128009
Dieß ist der Schwarzen Zahl von 360000000 ihr rote 128099789 Es sol gleichwol so verdstand worden 36 haben ihr rothe 12809$
urid werden alle Zeit biß unter die " ganze verstanden und die folgen der Bruchs
Wie zwo Zahlen mit einander zu multipliciren seindt alß mann sol wuttipliciern die Zahl 154030185
mit 205518112. such ihre correspondierende rothe Zahl ist 4320$ und, ^72049»
Die zwo'rothe Zahlen addir zusammen
Kombt bisse rothe Zahl 115240
von der schwarzen in 9 Ziffern 316559928 und diese sind! die 9 ersten Ziffern des products an welchen wir unser Isbuleu nur 9 Ziffern haben und die letzte oder Neundtc nun vor ein Bruch geben wolle, die» weil viel ihr rational Zahl vorfalle.
Item man sol luultipliciro 551192902 mit 709153668 ihre rothe Zahl sein 17070(3 und
Die zwei rothe Zahlen addier zusammen
19590$
1707o8
195900
dieße rothe Zahl ist in der labula nicht so groß, so subtrair
so kombt diße rothe Zahl . . ZtzLygg . 230270023
bleibt die rothe dießer rothen Zahl. ...... . . . . 13632§978
such ihre schwarze Zahl ist. 3908804680
njeldjeS seindt die 9 ersten Ziffern des begehrten produot».
Alhier ist zu mcrkheu, daß in dießem Exempel zu endt ein Ziffer mehr denn im vorigen manglet, denn die Tablen haben nit mehr denn 9 Ziffern und solle wol 10 sein, das ist die Ursach, daß wir die ganze rothe Zahl haben aubtraier.u muffen, welches nach'n obgendt weiter erklärt sol werden.
Wie man ein Zahl durch die ander diuidieru soll.
67 ) Anmerkung.
128000
128500
4
129000
129500
130000
130500
131000
131500
0
10
—atL
359640956
.... 76920 359712888
30l$43574
.... 79718 361515866
363255^26
.... 91552 363327881
3$i075959*
365112467 .... 4897JM
366905819
.... 42509 .... 79204
368744850
...81724
368818602
370593098
370X30158 .... 67221
372450611 .... 87856 37252510Z
30 40 -—L.
.... 48859 ....84834 35M0813
.... 52018
.... 8Sl4t 301624332
.... 64214
363400550 .... 36890
.... 85498
365222012 .... 58534
367015901
.... 52603 .... 89:10#
.... 55484
.... 92370 3689292*9
370704287
....41358 .. ..78431*
....62357 .... 99613 372636873
60
70
- «it
.... 56795 .... 92781 359928770
....60494 .... 96660 361732830
.... 73234 363509581 .... 45932
.... 95060
365331589
....681223
367126017
.... 62730 .... 99446
....66152
36900:1018
...39949
370815510 .... 52591 .... 89676
....74137 372711404 ... 48676
90 100 ■^1 yi
.... 64763
360000759 .... 36759
.... 69003 361*05180 .... 41361
.... 82287 363618645 .... 55007
365404659
....41200
....77744
367216166
.... 72890 367309617
.... 76853
369113760 .... 50672
3709267©
.. ..63858 :171000955t
.... 85950 372823229
....66511
120
130
140
.... 72763 360108770
.... 77545 .... 91373
301913733*1 363727742 ....49924 .64113*
365514242 ....50843 .... 87398
....46348
....83083 367419821
.... 87587
369224506 .... 61428
T..:38053"
.... 75158 371112266
....97797
3729350*7
...72389
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• 1 * ^5 s ^ 1 1 00
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SJfan sol diuidiern 134030185 durch 205518112.
ihre rothe Zahl sein und »udtradisrt man deS dinisoris rothe Zahl von der rothen,
des diuidendi atß 72040 von Dieweil aber weniger ist, so addiert man die ganze rothe Zahl
230270023
”273170023
davon subtrire des diuisoris
rothe Zahl
72040000
such diestcr rothen Zahl ihr gebürendl schwarze Zahl ist 749472554 und
20 ' , 300 '* *
soviel kombt so man 154030185 durch 205518112 diuidirt, welches doch keine ganze, sondern lauter Bruch
749472554
vom ganzen alß 0749472554 oder 0 EMOOOOO
Wie man anst 3 bekandteu Zahlen die Bierdte proportional finden sol, welches man gemeinlig die Regol detri zu nennen pstezt.
alfi zum Exempel
die Erst die ander die dritte die Vierte
Wie sich 154030185 hell zu 205518112 also 399854565 zur. 4 Zahl ihre rothe Zabl
43200 720i0 133K0§
Addier die ander und dritte rothe Zahl zusammen alß jI^syg
72040
210640
sobtrier darvon die erst rothe Zahl 43200
Diß ist die rothe Zahl der Vierten Schwarzen 107 ^ 40 ' alb. 533514619
1 . II. III. INI.
Wie sich 945919848 hell zu 100160120 also 880122800 zu der Vierten
bist seindt 2 ^ 7 $ ihr rothe ^ Zahl 217508 Addir die rothe zweite und dritte Zahl.
"217660"
und sofft die erste darvon subtnren tue-
weüS aber weniger ist. so addier darzu die ganze rothe 230270022 ^ al)l
-h:-
t darnach »ubtrier die erste rothe Zahl darvon ^Tlfl
so bleibt bist rothe Zahl und ist derselben ^ i 22&>22 schwarze Zahl ist 93t931024 welches ist so man die letzt Ziffer äöschueidt, so darumb geschieht, daß die ganze rothe Zahl einmal zum aggregat addiert ist, die Vierte gesuchte proportional.
AuS einer gegebenen Zahlen Iladioem quadratam extrahiern.
Man sol zum Exempel Kadicem qnadralam aufi 4015374 extrabierv, wirdt also erstlich punctiert
• • • •
wie bei der extraolioo brcuchlich ist und steht also 4015374 und weil allster fltnf punkten seindt. so Wirdt sein Radix anch 5 Ziffern haben, die rothe Zahl dieser obgefiihrtcn ist diefie halbirt kombt
005 $ dessen Schwarze Zahl ist 200383982 oder soll so verstanden werden 20038—^8

Man sol zum andern Exempel Radicem quadratam auß 2203309V extrahiern, Wirt also erstlich punc- lirt, wie bey der Extraction bräuchlich ist und steht also £203 30-94 und weil -allhier 5 Puncten kommen»
so werden im Radix auch 5 Ziffern kommen,' die nach den 5 sindt Brüche, sein rothe Zahl ist fftfloa Dieweil ^rber der letzte Puncten nit auf die erste Ziffer seit in der schwarzen Zahl alß im vorgenannten Exempel, sondern er felt auf die zweyte Ziffer» darumb muß die ganze rothe Zahl darz'u addiert werden
"nd halbiret alß solche. 79008 r .'
barzu addier die ganze rothe Zahl .... 230270022 ' ' ' J> " ' '
^eße rokhe Zahl halbier W9270022 ".
such derselben schwarze Zahl von dießer rothe 13 ', 633011 -
Auß einer geben Zahlen Radicem Cubicam extrahieren.
Man begehrt zu einem Exempel Radioem Cubicam auß 5632037. Diese Zahl steht also in ihren
verzeichneten Puncten 5632037 darauß folgert, daß die Radix ganzer Zahl bekombt 3 Ziffern, die ander»
stndt Bruch einer ganzen Zahl, also suche ich die rothe Zahl derselbigen, welche ist t7£M) so der Puncten auf die erste Ziffer felt, so bleibt mein Radix auch in der ersten ganzen Zahl, und theil mein rothe Zahl in 3 theil, also folglich mein
rothe Zahl ist.iTSöofi
Ein Drittheil ist. 57500
die gebürendt schwarze Zahl ist.. • • 177707954
dieweil mir oben bekannt, daß 3 Ziffern ganz gegeben feint, so habe. ich in diesem Radix cubicam
17770794V, welche« mein Tablen in 9 Ziffer erreichen mag, doch vorbehalten zu Endt der 9 Ziffern vor ein stuck eine« Bruches angenommen werde, dieweil soviel ibrratioual Zahlen mit einlaufsen, der in 9 Ziffern kein genüge kann gegeben werden.
Auß einer geben Zahl Radicem cubicam extrahiern Alß man begehrt zu einem Exempel Rndicem cubicam auß 56120370. darauß folget, daß die Radix ganzer Zahlen bekomme 3 Ziffern, die andern seindt
Bruch einer ganzen Zahl, also suche ich die rothe Zahl derselbigen, welche ist 172508 dieweil aber der Puncte nit auf die erste Ziffer felt, sonder auf die ander, so wirdl zu der rothen Zahl, welche ist vorgegeben, noch eine ganze Zahl addiert,
thut also zusammen 172508 .1 .
uttb die ganze Zahl.. 1725$ .
• • 230270022 \
piß theil in 3 theil, dieweil der Cubus die 3 quantitet ist 402770022 ■
®' n Drittbcil ist im rothen.13V256674
such derselben schwarze Zahl ist 382860159 das Radix cubicam. - ^
Auß einer gegebenen Zahl Radicem Cubicam extrahiern.
Man begehrt zu einem Exempel Radicem Cubicam auß 561203700. dieße Zahl stehet also in ihv
^zeichneten Puncten 561203700 , allhier fallen auch 3 Puncte, aber der letzte Punct seit auf die dritte
•pfor, obivol dieselbe Zahl des vorigen Exempels rothe Zahl Geburt, alß 172508
c werden doch noch zwo ganze Zahlen darzu addiert.. 230270022
230370022
, Und ist das die Ursach, die ersten 5 sambt den andern Ziffern ge- "" die rothe Zahl, dieweil aber der Punct nit auf den ersten alß 5, auch
633050054

S2
nit auf die andere atß 6, sonder» fett auf die dritte, so hat die Erste 8 ■• ü
Mit den andern Ziffern ... .1,72500. ,-j . -,y:; >.
und die 6 darnach eine ganze rothe Zahl.. Ä0Ä0V22 , ' ,
'• ' .*• ‘ • - - 230S7VÖ22 •''' n " ,
nachher die dritte steht 1 darauf der punkten feit auch. 133M0M4.
Also hab ich der drei ersten Ziffern ihr rothe Zahl zusammen Dieweil der . , , ...
Cubus die dritte qusotilot ist, so nimb von derselben rothen Zahl die
drittheil ist.211015346
diß drittheil ist die rothe Zahl der schwarzen Zahl ist Radix 824847192.
Stufe einer gegebenen Zahl der Vierten quantitet alfe ZZ R««) Extrahiern. — Man begehrt zu ei«
nem Exempel Radieem ZZ aufe 56129370. Difee Zahl steht also mit ihr verzeichneten Puncten 56120379, alhier fallen 2 Puncten, so Wirt daraufe bekannt, dafe das Radix nur 2 Ziffer der ganzen Zahl bekomme, die ander folgende Ziffer seindt der Bruch, also such obgemelter schwarze Äbl ihr gepürende rothe Zahl,
welche ist.. 172508
dieweil aber der letzte Punct auf die 4te Ziffer 230270022 felt, so werden 3 ganzer rothe Zahlen 230270022
darzu addiert, alfe - - • 230270022
biege rothe Zahl theil in 4 gleiche theil. '. T 71)3310066 "
dife ist der Radix rothe Zahl. ...... 190^516 3 >
o ‘ 4080769 .... -
Ihr gebührendt schwarze Zahl ist 674080769 od. 67 —in--
10000000
das Radix das wir begehrt haben.
Aufe einer gegebenen Zahl Radioem 8s extrahiern.«»)
Es zeige meine gegebene Zahl zu einem Exempel Radix 8s aufe 671876768 biege Zahl steht also
mit ihr verzeichneten Puncten 671876768 daraufe folgen das die Radix 2 Ziffer werde bekommen ohn die
Bruch einer ganzen Zahl, such der gegebenen gebürendt rothe Zahl ist. 190500
2302703
dieweil der letzte Puncten nach der linkhen Hand nicht aus die letzte Ziffer felt, sonder aus die 230271V
Vierdte... 2302710
so gebührt der 4 Ziffern als 6718 ihr rothe Zahl..• 8813100
dieselbe theil in 5 gleiche theil sindt _i
5
17020»
das ist der rothen Zahl derselben gebärende schwarze Zahl das Radix 8s von 671876768 alfe 582717328
od. 58
2717328
10900000
Zwischen zweyen bekannten Zahlen ein Media Proportional Zahl zu finden. Es zeigen die 2 Zahlen 119004521 und 893-423483
ihr gebührende rothe Zahl ist 17400 und ^i-KK» -
*9 ZZ (Zensdezens) ist die Zahl 4 in der Coss. Vergl. Christoph Rudolph Coss. toi. 63. und Wilhelm von Calchum: Kurtzer Bericht von zeheudzahlen Bremen 1629. pag. 123 u. f.
«») Ss ist die cossischc Zahl 5 (snrsolidum) zc ist 6 (Zensicubus) Bfe ist 7 (Bsursolidum) zzz ist s (Zenszensderens) cc ist 9 (Cubus de cubo) u. s. w.

Die Differenz der rothen ist 201600 "feie theil m das halb ; '
2 gleiche theil oder halbirt ist 100800 . • ü-
»ddier zu der kleinen rothen Zahl ist 174 o 8 ' , ‘ r: ‘'
diß ist die rothe Zahl der medio proportional 118200 Zahl ° ' ■■•*’ ”■*
und ihre schwarze ist die. 326069676
medio proportional Zahl, die wir begehren.
Zum Andern 2 medio Proportional Zahl zu finden.
Theil die obgemelte rothe Differenz in 3 gleiche Theyl und addier die Theil emeS zn der kleinen rothen Zahl, so haben wir die erste rothe Zahl derselbigen medio proportional Zahl, oder addier derselbi- gen theil 2 zu der kleinen rothen Zahl, so haben wir die andere rothe Zahl derselbigen schwarzen medio Proportional Zahl. —
Zum dritten 3 Medio Proportional Zahl zn finden, theil die obgemelte Differenz in 4 gleiche theil und addier der Theil eins zu der kleinern rothen Zahl so haben wir die erste rothe Zahl derselben schwarzen medio Proportionalzahl und addier derselben theil 2 zu derselben kleinern rothen Zahl so haben wir die andere rothe Zahl derselbigen schwarzen medio Proportional Zahl oder addier derselben theil 3 zu der kleinen rothen Zahl, so haben wir die dritte rothe Zahl derselben Schwarzen medio proportionalzahl.
Auf biege weg können alle medio proportional Zahlen gefunden werden, so die 2 gegebene Zahlen gleiche Summa Ziffern haben, alß weiter in folgendem Exempel zu ersehen.
Zwischen 2 Zahlen ein Medio Proportional Zahl zu finden. "
Es zeigen aber die 2 gegebenen Zahlen nit mit gleichen Summen Ziffern, denn die erste hat 7 Ziffern die andere 8 und seindt alß 2447471 und die ander 33033604. Such ihre gebürcndr rothe Zahl
ist . 89510 und 119500
die addier zusammen. 89510
gibt biege rothe Zahl.' . 209010 dieweil aber eine Zahl ein Ziffer mehr hat denn die andere .■.230270022 so wirbt ganz rothe Zahl darzu addiert ist
~439288023 diese rothe ist halb
219640011
feie schwarze ist biege medio proportional Zahl 899159511.
Zwischen 2 Zahle» ein Medio Proportional Zahl zu finden.
Es zeigen aber die 2 Zahlen nit mit gleichen Summen Ziffern, dann die erste hat 7 Ziffern die
andere hat 8 und stehent also 2417471 und die ander
rothe Zahl ist ... . 89510 die ander
die addier zusammen.
Hut zusammen.
d>cil die größer die.
kvmbt. 1 .
rothe Zahl halbir ist die rothe Zahl ..... der gebürenden schwarzen Zahl, dieweils aber größer " dann die ganze rothe Zahl» so wirdt die ganze d°HeZahl subtrairt.
bleibt die rothe Zahl der medio proport Zahl . . welche ist.
330336040.
119500 . 89510
" 209010 darzu addier 2 ganze rothe Zahl ,hje- 230270922 2 Biffcr Übertrifft, so
"669550044"*' ' '
"334775023~" - ;
230270022 >
104505000
284339213.

Zwischen zweyen Zahlen ein Medio Proportional Zahl zu finden, vr:I „ ^
Es zeigen aber die 2, Zahlen die mir vorfallen alst folget: .. . .j , ,> .Ji opjiiJr, s
die erste mit 6 Ziffern, die andere mit S Ziffern die erste 303419 . die ander 304939818 ihr gebürende rothe
11100 "
Zahl und
,,! 1/1r
111500 r ' :
111000
Addier zusammen thut. 222500
darzu addier 3 ganze rothe Zahl dieweil ein 230270022 Zahl die ander mit 3 Ziffer übertrifft, so 230270022
230270022
kombt die rothe Zahl . ..•“
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oil >m '.";1 j-r sjj r,1
l W. i'i ■■ 7li .Ji t
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" ! tt Atz ish.ijjdl ■ «!->'■' j:‘!' ''hvBirajhs
: !■ >'!/». Ttd 1 :>i.l,i
. 913210066 halbirt.
von dister halben Zahl sud die ganze rothe ^-^, 7,033
230270022 ' '
so bleibt dieste rothe Zahl ..... . 22 W 350 H n ,
der gebürende medio proportional Zahl welche ist 061415942 und ist umb ein Ziffer mehr denn die erst und das ist der beweist dast ich die ganze rothe Zahl nicht,mehr denn einmahl von der halben halbirten rothen Zahl hab nemen mögen.
Zwischen 2 Zahlen ein medio proportional Zahl zu finden.
Es zeigen aber die 2 Zahlen, die mir vorfallen, alst folget.
Die erste mit 5 Ziffern die andere mit S Ziffern und ist die erste . -
32891 Die andere ist 454907654
ihre gebürende 1190*57351 rotl > e <3^1 151500000 Addier zusammen. 119067351
thuet dieste rothe Zahl.
darzu addir 4 ganze rothe Zahl dieweil eine die andere mit 4 Ziffern übertrifft.
270567351 230270022 230270022 230270022 230270022
So kombt dieste rothe Zahl die halbier 'im&KWo' und von der halben rothen sublrahir . 595^3719 1
2
die ganze rothe Zahl und such deren schwarze.
Zwischen 2 Zahlen ein Medio Proportional Zahl zu finden.
Es zeigen aber die 2 Zahlen die mir vorkommen, alst die Erst mit 4 Ziffern die andere mit 9 Ziffern und stehende alst 5764 die ander 387649833'
ihre gebürende 1751785 ^, rothe Zahl izgzyoyyg die Addier zusammen.
macht dieste rothe Zahl . . . Darzu fünsi ganzer rothe Zahl dieweil die eine die ander mit fünff Ziffern übertrifft.
175170640
310678640
230270022
230270022
230270022
230270022
230270022
an *

Dieße addierte rothe Zahl halbier 1462020750 .
ist dieße rothe Zahl. 731010375 '
Darvon subtrire die ganze rothe Zahl ^ v‘.\
so ofst als ich mag, in dießem Exempel ^
^ mahl, darumb wirbt die Medio pro- ■ ■ "’Z
pvrlivnsl Zahl 3 Ziffern mehr haben bann die Erste und bleibt ihre rothe Zahl 40200309 Dießer gebührender schwarzer Zahl ist die
Medio proportional Zahl . . 149478591.
v ..> *, V' i . '<>
’jf; V/M : .
- *; ., *
ijiln»;, :: ,,*} j; ;
Zwischen 2 Zahlen 2 Medio Proportional Zahlen zu finden. , - i; ...
aitsr sä s-asss»- - a
ihre gebärende rothe Zahl ist 1740(5 und 2190$ die Differenz der rothen Zahl ist 2016$ die
theil in 3 theil ist. 672$
Ein Drittheil addier zu der kleinen
rothe Zahl..... 17M
So ist die rote Zahl der ersten Pro-
portio.846$ Zahl
ihre gebührende schwarze Zahl ist die 23020839.
Zwei Drittheil der Differenz der roth Zahl ist 134400 ' ' ' ' und die kleinere rothe Zahl addier darzu 17400
biß ist die rothe Zahl der ander Proportional 151800 Zahl. ihre gebürende Schwarze Zahl ist die 459326198.
A. B. C.
119004521 23020839 45932698
J.,
ii'.... i.
üb.«
D.
893423483
174$ 846$ 1518$ . . 2190$
Wie sich hell 4 zu B also hell sich B zu 6 und 6 zu D.
Zwischen 2 Zahlen 3 Medio Proportional Zahlen zu finden.
!
' ES zeigen die zwo bekannten Zahlen 119004521 und 893423483 ihre gebürende rothe Zahl ist ««» fcet **? •*«»»•••
ihre Differenz ist. 2016 °j!
^ie theil in 4 gleiche theil in ein theil ^4$
17WU
brr theil eins addiere zu der kleinen rothen Zahl . ^' »
gebürende rothe Zahl der Schwarz 198986715 diese ist ^
die erste ungleich Medio proportional Zahl.
Lum andern addier ± der rothen Differenz zu der kleinen rothen Zahl alk 504$

36
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und die kleinere rothe Zahl.17400
gibt die rothe Zahl der ander Proportional 118200 Zahl .
Welches ist ihre gebärende Schwarze Zahl 326069676. die ander begehrte.
3
Zum dritten addier 1 der rothen Differenz 50400
50400
50400 , v .... , .. .. .. . ... , . ..
und die kleinere rothe Zahl. 17.400 jU * - 1 - . -f Jijin; nyjr, vrfy, j.
„ _ ,, . . ... „ -—— Mr i'inoihocoK] oilt-M
dlß lst die rothe Zahl der dritten Proportional 10*690 Zahl.
welche ist ihre gepürende Schwarze Zahl 539738109 ' ‘ - ,,,J
1 . die dritte begehrte. — . 1 ^ '
nii Zwischen 2 Vier Medio Proportional Zahlen zu finden.
Es zeigen die 2 bekannten Zahlen alß 119004521 unb 893423483
ihre gebührende rothe Zahl ist.f?4oS die anbei’*249000
M -
ihre Differenz ist. 201608
die theil in 5 gleiche theil, der ist. 49320
1
die kleine rothe Zahl addier zu der-—. 17499
1 j J-
sti
biß ist die rothe Zahl der. 57720
gebärender Schwarzen Ersten Medio Proportional Zahl 178099312.
Zum andern addier zu der kleinen roth Zahl 4032&
4032^
die kleinere rothe Zahl. 17.406
thut zusammen die gebürendt rothe Zahl der ~9b010 ander Medio Proportional Zahl welche ist 266565813.
3
Zum dritten addire zu der kleinen rothen Zahl 49329 u,..
40320
40320
die kleinere rothe Zahl. 17400
thut zusammen die gebürendt rothe Zahl der 138360 " 1
dritten Medio Proportional Zahl welche ist 398896111. ■,
4
Zum vierten addier — zu der kleinern rothen Zahl 18HK0
die kleinere rothe Zahl.. . 47400
thut zusammen die gebärende rothe Zahl der 178680 ' '
vierten Medio Proportional Zahl, welche ist 596978352. j.
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Dattjig, im Januar 1856.
Dr* Gieswald.