^ Bequeme l o g a r i t h m i sch e, trigonometrische und andere nützliche Takeln ' zum Gebrauch auk Schulen und für diejenigen, die sich der Äricgs- und bürgerlichen Baukunst widmen von HohÄNN Philipp Gruson» Doktor der Philosovliic, Königlichem Gelieimcn Hosratbc und Professor der Motbeniatit bei der Berliner univeriit.it und bei den, rranzossschen Gvmnnslunl, wirklichem Mitgliede der Berliner Akademie der Wissenschaften >c. Dritte verbesserte Auslage. Berlin, 1832. Z» der Stuhrscheu Buchhandlung, Schlonvlay No. 2. Vorrede zur -ritten Auflage. ^ie Correctur dieser dritten Auflage meiner logarithmischen, trigonometrischen und andern Tafeln, zum Gebrauch der Gymnasien und andern Lehranstalten, habe ich' mit gewissenhafter Genauigkeit selbst besorgt, und sie hoffentlich fehlerfrei geliefert. Berlin, im December 1831. , Grnson. Inhalt 1. Tafel: die Logarithmen aller natl'irlichen Zahlen von 1 bis loioa. 2 . Tafel: die Quadratzahlen aller Wurzeln von 1 bis ivou. S. Tafel: die Cubikzahlen aller Wurzeln von 1 bis ivoo. 4. Tafel: die Quadratwurzeln aller Zahlen von 1 bis ivoo. 5. Tafel: die Cubikwurzeln aller Zahlen von 1 bis looo. 6. Tafel: die Länge der Kreisbogen für alle Grade, Minuten und Secunden in Theilen des Halbmessers bis auf 7 Decimalstellen. 7. Tafel: die Trigonometrischen Linien, sowohl die natürlichen als auch die die künstlichen. Erklärung und Gebrauch nachstehender Tafeln. §. i. ^ie erste dieser sieben verschiedenen Tabellen enthält die Briggischen oder gewöhnlichen Logarithmen aller Zahlen von 1 bis loioo, bis auf die sieben ersten Stellen eines zehntheiligen Bruchs genau, nach folgender Einrichtung. Von 1 bis 100 folgen die Logarithmen der Zahlen in gehöriger -Ordnung auf einander, und sind mit ihren zusammenstimmenden Kennziffern versehen, ferner folgen die Logarithmen aller Zahlen zwischen 100 und 1000 in fortlaufenden Spalten, aber ohne Kennziffer», weil sich dieselben leicht »ach §.18. der Dreieck-Meßkunst von Schulze, Berlin 1818, finden lassen. Bei der Zahl 1000 selbst geht eine von der vorigen ganz verschiedene Ordnung an, und bleibt bis zu Ende dieser Tafel die nemliche; diese Einrichtung ist es, welche wir hier umständlicher erklären wollen- §. ^ 2 . Erstlich findet man iiber jeder Seite »eben einem I». eine Zahl, welche anzeigt: daß die Seite mit den Logarithmen derselbe» Zahl anfängt; so zum Beispiel wo wir »eben IXo. die Zahl 2500 finden, da bedeutet dieses, daß die Seite mit dem Logarithmen der Zahl 2500 anfängt, und nun ist die Einrichtung so getroffen, daß jede Seite des Logarithmen von 500 Zahlen, der Ordnung nach, enthalte, so daß demnach auf jeden zwei gegenüberstehenden Seiten die Logarithmen von 1000 auf einander folgende« Zahlen vorkommen, welches das Nachschlagen der Logarithmen nicht wenig erleichtert. Um dieses zu erhalten, so habe ich von jeder Zahl mir die. ersten Ziffern in die erste Spalte jeder Seite gesetzt, auf diese erste Spalte aber zehn andere Spalten folgen lassen, über und unter denen die letzte Ziffer angetroffen wird, welche zu den drei ersten Ziffern, so in der ersten Spalte stehen, gehört. §. 3. Neben der Zahl, so gleich hinter IX». folgt, steht auf jeder Seite hinter einem l, eine Zahl, welche ferner anzeigt: mit welchen Ziffern der erste, auf jeder Seite vorkommende Lvgarithme sich anfängt. Dieses ist von großer Bequemlichkeit, wenn zu einem gegebene» Logarithmen die zustimmende Zahl gefunden werden muß. Bei allen Logarithmen ist die Kennziffer weg- gelassen, da dieselbe immer leicht für jede gegebene Zahl aus der Anzahl und Ordnung der Ziffern bestimmt werden kann; ferner findet man nur den Logarithmen einer Zahl ganz in der Spalte, welche oben und unten mit 0 bezeichnet ist, wenn die vierte Ziffer einer gegebenen Zahl selbst eine 0 ist; in allen übrigen Fällen enthält die mit 0 bemerkte Spalte blos die zwei ersten Ziffern eines Logarithmen, davon die fünf letzten! jedesmal in der Spalte stehen, über oder unter welcher die vierte Ziffer der gegebenen Zahl angetroffen wird, welches alles umständlicher aus folgenden Aufgaben erhellen wird. Zu einer gegebenen Zahl den Logarithmen zu finden, st. 4. Ist zuvörderst von einer vierziffrigen ganzen Zahl der Logarithmus zu finden, so verfahre man nach folgender Art: 1) Schlage man die gegenüberstehenden Seiten der Tabelle auf, welche bar Tausend enthalten, worunter die gegebene Zahl gehört. 2) Suche man in der ersten Spalte einer der beiden Seiten die drei ersten Ziffern gegebenen Zahl, und fahre mit dem Finger in derselben Zeile bis in diejenige Spalte, über oder unter welcher die vierte Ziffer der ge< gebeuen Zahl angetroffen wird. 3) Die daselbst stehende Zahl schreibe man gehörig aus, so hat man die fünf letzten Ziffern des Logarithmen gefunden, dessen beide ersten Ziffern in der nemlichen Zeile, oder etwas höher in der mit 0 bezeichneten Spalte angetroffen werden. Annierk. Es ist hierbei 3) vorzüglich dahin zu sehen: ob die Zahlen der nehmlich-» Zeile, welche den fünf ausgeschriebenen letzten Ziffern des Logarithmen vorgehen, sämmtlich kleiner sind, ats die Zahl, welche diese füns Ziffern ausdrücken; denn ist dieses, so bleibt die Regel »»geändert; findet sich hingegen!, baß nur eine einzige Zahl in den vorder,, Spalten der nemlichen Zeile größer ist, als diejenige, welche die ausgeschriebenen fünf Ziffern «abdrücken, so müssen die beiden ersten Ziffern die mit 0 bezeichneten Spalte genommen werden, die etwas unter der Zeile liegen, worin die fünf letzten Ziffern des gesuchten Logarithmen sind ausgeschrieben worden. Wir wollen jetzt sochcS durch schickliche Beispiele noch weiter erläutern; um aber der Aufmerksamkeit, die dieses erfordert, entübrigt zu sein, sind in einem solchen Falle die fünf letzten Decimalstellen des Log. mit kleineren Ziffern gesetzt. I. Beispiel. Ist der Logarithmus von der Zahl 4796 zu finden, so schlage man die Seiten der Tabellen auf, wo man oben 4000 und 4500 findet, weil die gegebene Zahl zu 4000 gehört. Ferner suche man auf der mit 4500 bemerkte Seite die ersten Ziffern 479 in der ersten Spalte auf, und fahre in derselben mit dem Finger bis in die mit 6 bezeichnete Spalte, so findet man daselbst die fünf letzten Ziffern des gesuchten Logarithmen 08792. Um endlich die zugehörigen zwei ersten Ziffern zu finden, so nehme man dieselbe aus der mit 0 bemerkte» Spalte, welche wir hier in der nemlichen Zeile finden, da der Fall, wozu die Anmerkung dienet, hier nicht eintritt. Da demnach die zwei ersten Ziffern hier 68 find, so ist der gesuchte Logarithmus ohne Kennziffer 6808792, folglich, da eine ganze Zahl, die aus vier Ziffern besteht, nach §. 48 zur Kennziffer 3 hat, so ist loz 4896 --- 3,5808792. Es versteht steh übrigens ohne Erinnerung, daß, wenn die fünf letzten Ziffern selbst in der mit 0 bezeichneten Spalte und unmittelbar vor denselben zwei Ziffern gefunden werden, man alsdann alle Ziffern der mit 0 bemerkten Spalte auszuschreiben habe; so würde man !oz 4790 ---3,6803355 finden. II. Beispiel. Ist der Logarilhzrius von 8356 zu finde», so schlage man die Seite nach, über welcher 7000 stehet. Auf dieser Seite suche man die drei ersten Ziffern 735 der gegeben Zahl in der ersten Spalte; in der Zeile, wo man diese findet, fahre man in die mit 6 bemerkte Spalte, und schreibe die daselbst stehende Zahl 66417 auf, so hat man die fünf letzten Ziffern des gesuchten Logarithmen gefunden. Da nun alle Zahlen dieser Zeilen in den vorhergehenden Spalten kleiner als die ausgeschriebenen find, und die Zeile, worinnen die fünf Ziffern gefunden worden, selbst keine Anfangs- ziffern hat, so gelten für dieselben noch die zwei ersten Ziffern der höheren Zeilen, für welche wir hier 86 finden. Demnach ist der gesuchte Logarithmus, da dessen Kennziffer 3 seyn muß, 3,8666417. III. Beispiel. Ist der Logarithmus von 6765 zu suchen, so findet man, wenn wie in vorigen Beispielen verfahren wird, die fünf letzten Ziffern des gesuchten Logarithmen 02678. Da aber hier außerdem die Zahl 99467 in der 0 Spalte gefunden wird, die größer als 02678 ist, so stimmen zu 02678 nicht die höher heranfliegenden zwei ersten Ziffer» 82, sondern vielmehr die nächstfolgenden 83, und der gesuchte Logarithmus wird demnach gleich 3,8302678 gefunden. Dieses ist sehr zu merken, wenn man nicht beim Nachschlagen der Logarithmen grobe Fehler begehen will. Die kleiner gesetzten Ziffern erinnern immer daran. §. 5. Nachdem ich nunmehr gezeigt habe, wie man den Logarithmen einer jeden Zahl, so nur aus vier Ziffern besteht, finden könne, so bleibt mir noch übrig zu erklären, wie man verfahren müsse, um den Logarithmen einer jeden Zahl, welche aus sieben oder mehr Ziffern bestehet, zu bestimmen; denn da die Logarithmen dieser Tafel nur bis auf sieben Stellen eines zehntheiligen Bruchs angegeben sind, so kann man auch nur den Lvga- rithmen einer Zahl für die sieben ersten Ziffern derselben genau finden, in, dem man nach folgender Regel verfährt. 1) Schneide man von den Ziffern, wodurch eine gegebene Zahl ausgedruckt wird, mittelst eines Strichs die vier ersten Ziffern ab, und suche für dieselbe nach vorigem §. den zustimmenden Logarithmen; die übrigen Ziffern betrachte man hingegen als einen zehntheiligen Bruch, ohne sich an die Ordnung dieser Ziffern zu binden. 2) Ziehe man die nach vorigem §- gefundenen 5 letzten Ziffern des Logarithmen von den fünf unmittelbar darauf folgenden der nemlichen Zeile ab, und mefke den Rest, und wo dieses nicht angehen sollte, da schreibe man vor der ersten Ziffer der folgenden Spalte eine 1, und verfahre, wie vorhin. Wären hingegen die fünf letzten Ziffern in der letzten Spalte, so müßten diese von den fünf letzten Ziffern der 6 Spalte in der folgenden Zeile abgezogen werden. 3) Schließe man: wie sich verhält 1 zu dem nach 1) gefundenen zehn- theiligen Bruch; eben so verhält sich der nach 2) gefundene Rest zum vierten Propvrtionnalgliede, welches, zu dem »ach vorigem Z. gefundenen Logarithmen addirt, den gesuchten Logarithmen giebt. Beispiel. Ist der Logarithmus von 16,5965 zu finden, so schneide man von der gegebenen Zahl die vier ersten Ziffern durch eine» Strich ab, so kommt 16,59 j 65, und nun wird, weil hier die Kennziffer nur 1 ist, nach vorigem 8- I->Z. 16,59 — 1,2198164 gefunden, und indem man die beiden Ziffern 65 hinter dem Strich als einen zehntheiligen Bruch betrachtet, so ist derselbe — 0,65. Die fünf letzten Ziffern 98464 des gefundenen Logarithmen müßten demnach hier, da sie in der letzten Spalte stehen, von den fünf letzten Ziffern 01681 der 6 Spalte der folgenden Zeile abgezogen werden; da dieses aber unmöglich, so schreibe man vor diese fünf Ziffern noch eine I, dann kommt 161681, und wenn nun 98464 davon weggenommen worden, so bleibt 2617 zum Rest. Nun schließe man nach 3): 1 : o,65 — 2617: vierten Proportionalgliede, oder, indem man die zwei ersten Glieder mit 166 vervielfältiget, 166 : 65 — 2617: vierten Proportionalgliede; woraus sich das vierte Glied 1761 ergiebt. Addirt man daher diese Zahl zu dem zehntheiligen Bruch des Logarithmen, so wird derselbe in 2266165 verwandelt, und somit ergiebt sich loz 16,5965 — 1,2206165. Änmerk. Eben so winde man Verfahren, wenn eine gegebene Zahl, statt aus sechs Ziffern zu bestehen, deren fünf oder sieben hätte, welches auch ohne alte Erinnerung für sich klar ist. Von einem gegebenen Logarithmen die zustimmende Zahl zu finden. §. 6 . Soll hingegen umgekehrt von einem gegebenen Logarithmen die zugehörige Zahl bestimmt werden, so lasse man zuförderst die Kennziffer des Logarithmen aus der Acht, und verfahre mit dem zehntheiligen Bruch wie folget: 1) Suche man in der mit 0 bemerkten Spalte die zwei ersten Ziffern des zehntheiligen Bruchs. 2) Wenn die übrigen fünf Ziffern des zehntheiligen Bruchs eine größere Zahl als diejenige ausdrücken, welche durch die neben den nach 1) gefundenen zwei Ziffern stehenden fünf letzten Ziffern angegeben wii>, so suche man entweder in der nemlichen oder in den folgenden Zeile» eine Zahl, welche so nahe als möglich eben dieselbe ist, als diejenige, welche die fünf letzten Ziffern des Logarithmen ausdrücken; findet sich hingegen, daß die fünf letzten Ziffern eine kleinere Zahl angeben, als diejenige ist, welche durch die fünf Ziffern, fo unmittelbar neben den zwei ersten in der 0 Spalte stehen, ausgedruckt wird, so muß diese Zahl in den unmittelbar vorhergehenden Zeilen nachgesucht werden. 3) Die Zahl, welche man sodann in der nemlichen Zeile in der ersten Spalte findet, giebt die drei ersten, nnd diejenigen, welche über oder unter der Spalte stehen, worinnen die den fünf letzten Ziffern des Logarithmen am nächßen kommende Zahl gesunden worden, geben die vierte der gesuchten und den gegebenen Logarithmen entsprechende Zahl an. An merk. Die Zahlen, welche man hinter l. auf jeder Seite dieser Tafel antrifft, dienen, um geschwinder die Seite zu finden auf welcher in der O Svalte die zwei ersten Ziffern eines gegebenen Logarithmen gesunden werden, so wie dieses gleich aus folgendem Beisviele naher erhellen wird. I. Beispiel. Ist der Logarithmus 2,8255601 gegeben und man soll die zugehörige Zahl bestimmen, so lasse man zuvörderst die Kennziffer 2 weg, und suche diejenige Seite, welche hinter I, eine unmittelbar kleinere Zahl als 82 hat; diese findet sich nun da, wo hinter I,, 81 stehet, denn auf dieser Seite findet man in der l> Spalte die zwei ersten Ziffern 82, und unmittelbar darneben 02015. Da nun die fünf letzten Ziffern des gegebenen Logarithmen 55601 find, mithin eine ungleich größere Zahl als 02015 ausdrücken, so.muß nach 2) in der nemlichen oder folgenden Zeile eine Zahl gesucht werden, welche 55601 so nahe als möglich kommt; diese ist keine andere als 55559, welche in der Zeile steht, so in der ersten Spalte 669 hat, und in der oben und unten mit 2 bemerkten Spalte angetroffen wird. Es kann demnach die dem Logarithmen entsprechende Zahl durch 6692 ausgedruckt werden; allein, da die Kennziffer des Logarithmen nur 2 ist, so kann man von diesen vier Ziffern nur die drei ersten für die gesuchte Zahl behalten, da die letzte Ziffer 2 hier schon die erste Stelle eines zehnteiligen Bruchs angiebt. Demnach ist bis aufAehukheile genau 2,8255901 loß 669,2. II. Beispiel. Hatte man uns hingegen den Logarithmen 6,1305613 gegeben, um die zustimmende Zahl zu suchen, so würden wir auf der Seite, über welcher l, 39 stehet, in der 0 Spalte die zwei ersten. Ziffern 13 des gegebenen Logarithmen und neben denselben 13638 finden. Da demnach in diesem Falle die fünf letzten Ziffern des gegebenen Logarithmen 65613 eine kleinere Zahl als 13638 ausdrücken, so muß nach 2) in den unmittelbar darüber stehenden Zeilen die Zahl gesucht werden, welche 65613 am nächsten kommt. Für diese findet sich nun 65588, welche in der Zeile stehet, so in der vordersten Spalte der Zahl 269 hat; mithin, da die Zahl 05588 auch zugleich in der oben und unten mit 5 bezeichneten Spalte gefunden wird, so wäre die gesuchte Zahl 2695; allein, da die Kennziffer 6 ist, so kann dieselbe nur 2, 695 sein. §- 7. Obngeachtet wir im vorigen §. nur gezeigt haben: wie man zu eiueni gegebenen Logarithmen die zustimmende Zahl bis auf die vierte Ziffer genau bestimmen könne, so ist dennoch zu merken, daß die gesuchte Zahl immer bis auf die siebente Ziffer genau bestimmt werden könne, indem man folgendermaßen verfährt: 1) Nachdem die vier ersten Ziffern nach vorigem §. gehörig gesunde« sind, so ziehe man von der Zahl, so durch die fünf letzten Ziffern eine- Logarithmen ausgedrückt wird, diejenige ab, so ihr am nächsten kommt, und merke den Rest. 2) Die Zahl, welche den fünf letzten Ziffern eines Logarithmen am besten entspricht, ziehe man von derjenigen gehörig ab, so in der nemliche« Zeile und zwar in der unmittelbar folgenden Spalte gefunden wird, und merke den Ueberrest. 3) Schließe man: wie sich verhält der nach 2 gefundene Rest zu deck nach 1) bestimmten, eben so verhält sich 1 zu einem Zehntheiligen Bruch, den man bis auf die drei ersten Ziffern genau bestimmen kann. 1) Die nach 3) gefundenen Ziffern füge man, ohne auf -ihre Ordnung in sehen, den nach vorigem § gefundenen vier ersten Ziffern des Logarithmen hinzu, und bestimme aus der gegebenen Kennziffer zuletzt die Ordnung der gefundenen sieben Ziffern. Beispiel. Wollen wir hier das letzte Beispiel des vorigen § bei- 12 st, te Nr »I 13 e, es in »e lir m in d, II n u !k I- II s d » » d i behalten, so hat man 05613 — 05588 — 25 für den nach 1 zu suchen, den Rest, und da ferner <17199 — 05588 ----- 1611 für den nach 2) zu bestimmenden Rest gefunden wird, so schließe man nach 3) 1611 : 25 — 1 : zehiitheiligen Bruch, und es findet sich der gesuchte zehutheilige Bruch bis auf die dritte Stelle genau — 0,015. Setzen wir daher die drei Ziffern 615, welche den zehiitheiligen Bruch ausdrücken, zu den schon gefundenen vier erste» Ziffern 2695 hinzu, so kommt 2695015 für die gesuchte Zahl; mithin da die Kennziffer o ist, so ist 0,4305613 — loz. 2,695015, bei welcher Zahl auch die letzte Ziffer des zehiitheiligen Bruchs noch genau ist. An merk. Die vier gegebenen Regeln mögen zureichen, sich einen richtigen Begriff vom Gebrauch der logarithmische» Tabellen zu machen. Ich hoffe auch, man werde diese Regeln nicht zu wcila'uftig linden, denn es war nöthig, hier den Gebrauch der Tabellen so umständlich, als möglich, zu erläutern, um Anfänger in den Stand zu setzen, stch derselben mit Zuber, läßigkeit bediene» zu können. Ucbrigens wird ei» öfterer Gebrauch dieser Tabellen leicht jeden in den Stand seyen, diese Regeln zu ersparen, §. 8 . Auf die Tafel der Logarithmen folgt unmittelbar eine andere, welche die Quadratzahlen aller Wurzeln von I bis 1000 enthält; ferner folgt auf diese eine ähnliche Tafel für die Cubikzahlen aller Wurzeln von 1 bis 1000 . Da diese beide Tabellen zu ähnlichen Entzwecken bestimmt sind, so können wir das, was wir von denselben zu sagen haben, hier zusammen fassen. Lrülich findet man in denselben die Quadrat, und Cubikzahlen einer jeden gegebenen Zahl, so unter 1000 ist, unmittelbar angegeben. Zweitens kann man mittelst derselben auch leicht die Quadrat, und Cubikzahlen von Zahlen, die mehr als looo betragen, finden, wenn man jede derselben nur in zwei Theile - und 6 zerfällt, davon der erste sich mit drei Nullen endiget, und kleiner als loooooo, und der andere kleiner als ivoo ist. Denn bei den Quadraten ist (» -z- — -ck -z- k >2 -z- 2s6, und bei den Cubikzahlen (a -z- 1»)^ — -z- l? -z- 3sk O -z- 6), welches folgende Beispiele näher erläutern werden. 1. Beispiel. Ist das Quadrat von 896543 zu finden, so zerfälle man diese Zahl in 8960YO -z- 543: hier kann s —896000 und k, — 543 genommen werden, und so erhalten wir 896543^ ---- 8960000? -z- 543? -I- 2 . 8960000 . 543. Nun ist aber nach der Tafel das Quadrat von 896 gleich 802816 , so wie wir diese Zahl in der mit 800 bemerkten Spalte in der Zeile finden, welche in der ersten Spalte 96 bat. Da nun jedes Quadrat doppelt so viele Nullen als die Wurzel haben muß, so ist 8960002 --- 802816000000, ferner ist 5432 --- 294849 und 2.896000 .543 -- 973056000 , folglich 8965432 — 803789350849 II. Beispiel. Ist dieCubikzahl von 43217 zu finden, so setze man 2 — 43000 und l> — 217; hier wird nach der Tafel 432 — 79507 gefunden; mithin ergiebt sich, da die Cubikzahl jederzeit dreimal so viel Nullen als die Wurzel habe» muß, 430E — 7950700000000», Cbe» so findet sich 2172 — 10218313. Endlich ist 3 . 43000 . 217 . 43217 — 1209773481000. Diesemnach erhalten wir — 79507000000000 6' --- 10218313 3->6(->-t-6) ---- 1209773181000 (->-»- 6)2 — 80716783699313 gleich der gesuchten Cubikzahl von 43217. §. 9. Aufg. Mittelst der Quadrattafeln das Produkt zweier dreizifftigen Faktoren -> und b zu finden. Veisp. ES sey -> — 895 6 ---543 . . 2 -4- 6 ---- 1438 also --- 719 2 — 6— 352 - ---- 176 7192 — 516961 1762 — 30976 svlgl. 895 . 543 — 485985. Wären die beiden Faktoren 896 und 543, so berechnet man zuerst 895.543 und addirt zu dem Produkt 543. Eben so vortheilhast sind auch diese Tabellen beim Ausziehen der Wurzeln zu gebrauchen. Denn obgleich die Fälle nur selten vorkomme», daß eine gegebene Zahl genau unter den Zahlen der Tabelle sich findet, oder durch die Theilung mit einer Quadrat- oder Cubikzahl darauf gebracht werden kann / so dienen dennoch diese Tafeln in allen Fällen, um wenigstens die drei ersten Ziffern der gesuchten Wurzel zu bestimmen., so wie es aus folgenden Beispielen erhellet. I. Beispiel. Ist aus 296513295 die Quadratwurzel zu finden, so kommt, wenn man diese Zahl gehörig in Classen theilt, 2 s 96 i 5-1 1 32 > 05, davon die höchste Classe anzeigt, daß die erste Ziffer der gesuchten Wurzel nur 1 sein kann; man suche daher in der Tafel der Quadratzahle» in der Spalte 109 eine Zahl, welche derjenigen, so durch die drei ersten Classen ausgedrückt werden kann, am nächste» kommt; für diese finden wir in der vorn mit 72 bemerkten Zeile 2958t, woraus wir schließen, daß die drei ersten Ziffern der gesuchten Wurzel 172 seien. Will man die gesuchte Wurzel weiter genau haben, so darf man nur die Zahl 2958 t von den drei ersten Classen gehörig abzichn, zum Rest die vierte Classe hinzusetzen, und übrigens mit dem gefundenen Theil der Wurzel 172, wie gewöhnlich weiter verfahren. II. Beispiel. Wollte man eben so die Cubikwurzel von 85397621918557 haben, so käme die Rechnung auf eine ähnliche Art, wie folget, zu stehen- 85 ! 397 l 62t l 918 ! 557 119 85 > 18t j 999 j I 123 62t so weit würde man nemlich die gesuchte Cubikwnrzel unmittelbar aus den Tabellen finde»; verfährt man daher mit dem Rest 12362t und den folgenden Classen, wie gewöhnlich, so kann auch die gesuchte Wurzel weiter bestimmt werden. §. 19. Die Tafeln der Quadrat- und Cubikwurzeln aller natürlichen Zahlen von 1 bis 1999 bis auf sieben Decimalstellen sind von nicht minder häufigem und vortheilhafien Gebrauch. Aus ihnen lassen sich die Quadratwurzeln der t, 9, 16, 25, 36, t9, 61, 8lfach rc. größeren oder kleineren Zahlen leicht finden, und aus gleichem Grunde die Cubikwurzeln, weil auch t allgemein ^ — 5 ' ^ rc. . . . , allgemein ^ --- ^ , Z- B. der «in. 15° -- 2 ,si 6 _ Die Tafel« geben ^ t6 — 9,612372t tsi'2 ---- 9,353553t fvlgl. siu. 15° — 9,2588199 §. II. Die Tafel, die nun kommt, enthält die Verwandlung der Grade und der Minuten in Sekunden, nebst der Länge der Kreisbogen für alle Grade von 1 bis 36V, für alle Minuten und für alle Sekunden bis auf 7 De- eimalstellen, deren Gebrauch durch folgendes Beispiel erläutert wird. I. Wie lang.ist ein Kreisbogen von 97° 53' 49", wenn der Halbmesser des Kreises 12 Fuß beträgt? Aus der Tafel hat man Bogen von 97° 1,6929694 , - 53' --- 0,0154171 , , 4g" — 0,0002376 1,7036241 Mit dem Halbm. 12 multiplicirt- folgl. ist der Bogen lang 20,5034892 Fuß. Ik. Wie viel Grade, Minuten und Sekunden enthält ein Kreisbogen, dessen Länge 98,7654321 Fuß, und zu einem Kreise gehört, dessen Halbmesser 20 Fuß ist? Die Rechnung steht so: 98,7654321 4,9382716 In der Tafel findet sich am nächsten Bogen 282° --- 4,9218285 Erster Rest 0,0164431 Bogen 56' --- 0,0162897 , Zweiter Rest 0,0001534 Bogen 31" ---> 0,0001503 Dritter Rest 0,0000031 Der Bogen enthält also 282 ° 56' 31". §. 12 . Endlich macht die Tafel der Hülfsliuicn der Dreieck-Meßkunst den Beschluß, bei welcher wir wenig zu erinnern finden, da der Titel dieser Tafel schon genug die Einrichtung derselben angiebt. Um allen Irrthum zu vermeiden, habe ich die Hülfslinien selbst von ihren Logarithmen ge- ! trennt, und auf verschiedene aber gegenüberstehende Seiten gebracht. Alle ^ Bogen oder Winkel, die kleiner als 45° sind, müssen in der ersten Spalte von oben nach unten, der Ordnung nach, aufgesucht werden, und für >! diese gelten die Ueberschriften der Spalten- Hingegen muß man alle Winkel, die größer als 45° sind, in der letzten Spalte nachschlagen, und in diesem Falle müssen bei jeder Spalte die Unterschriften genommen werden. Durch diese Einrichtung siehet immer der tUnus dem 8miis und die Lot-inzents der loiiAeilte des nemlichen Bogens oder Winkels zur Seite, welches öfter beim Nachschlagen sehr bequem isi. Diese Tafeln enthalten ferner die Hi'ilfslinien, nebsi ihrem Logarithmen nur für die fünf ersten und letzten Grade von Minute zu Minute, für den übrigen Theil des Viertheil eines Kreises aber nur von zehn zu zehn Minuten. Man kann daher da, wo ein Winkel unter s Graden oder über 85 Graden beträgt, die Hülfslinien und deren Logarithmen unmittelbar aus den Tabellen ausschreiben, wenn der Bogen oder Winkel auch bis auf eine Minute genau gegeben wäre, und eben so kann man umgekehrt, in diesem Falle, aus einer gegebenen Hülfslinie oder den Logarithmen den zugehörigen Bogen bis auf eins Minute genau und geradezu aus den Tabellen finden. Da ich es für umiöthig gehalten habe, Zahlen öfter zu wiederholen, so habe ich solche Zahlen allenthalben weggelassen, die nur öfter hätten geschrieben werden müssen. Man muß daher da, wo man in den Tabellen leere Räume findet, entweder die über oder unter dem leeren Raum stehenden Ziffern als Anfangszissern einer Hülfslinie, eines Logarithmen, oder'eines Unterschiedes dieser Hülfslinien oder Logarithmen betrachten, so wie uns dieses folgende Beispiele mit mehrerm zeigen werden. Die angegebenen Unterschiede dienen da, wo die Tabellen von Minute zu Minute fortgehen, nur» um die Richtigkeit einer angegebenen Zahl, welche eine Hülfslinie oder deren Logarithmen ausdrückt, zu prüfe». Der Raum bat es uns nicht erlaubt, diese Unterschiede gleich zu Allfang der Tabellen allenthalben anzugeben; daher kommt es, daß dieselben bei einigen Spalten weggeblieben sind; weil hingegen eben diese Unterschiede da nicht wegbleiben konnten, wo alles nur von zehn zu zehn Minute» fortgehet, indem sie da besonders dienen, um die Hülfslinien und ihre Logarithmen durch eine leichte Rechnung von Minute zu Minute zu finden, so habe ich lieber da, wo eS der Raum nicht anders erlaubte, die Anfangs- Ziffer der ganzen Spalte nebst dem zugehörigen Comma gleich hinter dieser Spalte ganz oben in den leeren Raum unter 17m. gesetzt- Es beziehet sich daher diese Ziffer, welche immer o ist, nicht aus die Spalte, wvrinnen sie stehet, sondern vielmehr auf die vprhergehende, in welcher bloß der zu derselben gehörige zehntheilige Bruch angetroffen wird. §. 13. Wir wollen nnnmehro durch Beispiele den Gebrauch dieser Tabellen erläutern, und zuvörderst den ersten Theil der Tabellen, welche von Minute zu Minute fortgehet, ins Licht setzen- I- Beispiel. Ist die lanZem« von 3°. 7^ zu finden, so suche man in den beiden ersten Spalten nach, wo 3° , 7' stehen, und führe in der nemlichen Zeile den Finger bis in die Spalte, welche l-nixons zur Ueberschrift hat, so finden wir zuvörderst einen leeren Raum, wo aber die unmittelbar über und unter demselben befindlichen Ziffern 0,05 stehen mußten, die wir hier zu wiederholen haben, ehe wir die übrigen Ziffern 44-198 hinzufüge». Es ist demnach tanz. 3° . 4' — 9,054-1498. II. Es soll der Bogen oder Winkel gefunden werden, davon der Logarithmus des 8inuZ 9,9997663 ist. Man suche daher in den Spalten, welche I-oz. 8>n. zur Ueberschrift oder Unterschrift haben, eine Zahl, welche 9,9997663 so nahe als möglich kommt. Eine solche Zahl findet sich 9,9997653 in der Spalte, so I-oz. 8!o. zur Unterschrift hat, und zwar in derjenigen Zeile, wo in den beiden letzten Spalten, welche jederzeit genommen werden müssen, sobald die Unterschrist einer Spalte ist gebraucht worden, 88 Grad 7 Minuten stehen. Mithin ist I,oz. 8!n. 88° . 7' — 9,9997653, und da der gegebene oder gefundene Logarithmus des 8mus nur sehr wenig von diesem letzten verschieden ist, so können wir den gesuchten Bogen oder Winkel gleich 88 Grad 7 Minuten annehmen. §. 14- Obgleich die Hülfslinien sowohl, als ihre Logarithmen von 6 Grad bis 85 Grad nur von 19 Minuten zu 10 Minuten fortgehen, so kann man dennoch, mittelst der Unterschiede, so neben jeder Spalte der Hülfslinien oder der Logarilhmen in besondern Spalten vorkommen, und durch eine leichte Rechnung die Hülfslinien sowohl als die Logarihmen derselben für jeden gegebenen Bogen oder Winkel finden, indem man nach folgender Vorschrift verfährt: 1) Suche man die Hülfslinien oder den Logarithmen derselben für die nächsten zehn Minuten des gegebenen Bogens gehörig aus den Tabellen. 2) Da> wo man diese Hülfslinien findet, schreibe man sogleich den daneben stehende» Unterschied aus, und schließe: wie sich verhalten zehn Minuten zum Ueberschuß des gegebenen Winkels über denjenigen, so dem gegebenen bis unter zehn Minuten am nächsten kommt, eben so verhält sich der Unterschied der Hülfslinien zum vierten Propvrtionalgliede. 3) Dieses vierte Proxortionalglied setze man zu der nach 1) gefundenen Hülfslinie hinzu, oder ziehe es davon ab, nachdem entweder die Hülfslinien mit den Winkeln wachsen oder abnehmen, so kommt das Gesuchte heraus. B-ei spiel. Ist loz. cot. 57° . 43' zu finden, so giebt die Tabelle unmittelbar loz. >:<>>.. 57° . 40' — 9,8013957, und der Unterschied ist hier 27993, mithin schließe man: 10 : 3 ----- 27993 : viertem Gliede; mithin, da dies vierte 8398 gefunden wird, so ist, weil die Logarithmen -er 6ot->nZ.(i--l-i)I'3r--(b-D) ^ ^ wo r — L -j-1 die Anzahl der Kugeln im Rücken des Haufens ausdrückt. Diese Formeln geben folgende Regeln: Regel für ordentliche dreiseitige Haufen. Man addire zur Zahl, welche die Kugeln in einer jeden Seite der Grundfläche ausdrückt, erstlich I und ferner 2. Die drei hierdurch gefundenen Zahlen multiplicire man miteinander, und theile das Produkt durch 6, so kommt die Summe aller Kugeln des ganzen Haufens heraus. Beispiel. Ist die Anzahl der Kugeln in der einen Seite der Grundfläche eines dreiseitigen Haufens II, so giebt die Formel 8 — ^ — 11.2.13 — 286 Kugeln, und eben dieses giebt die obige Regel. Regel für ordentliche vierseitige Haufen. Man zähle die Kugeln einer Seite der Grundfläche, welche hier em Quadrat ist, und vermehre die gefundene Zahl selbst sowohl als das Zwiefache dieser Zahl um 1. Die dadurch erhaltenen drei verschiedenen Zahlen multiplicire mau in einander, und theile das Produkt durch 6, so kommt die Anzahl allerKugeln heraus. Beispiel. Ist n — 25, so haben wir 8 -- 25.26 . (2.25 -1-1) — 25.26.51 1.2.3 2 . 3 — 25.13.17 — 5525 Kugeln, und eben dieses wird durch vorstehende Regel gefunden. Regel für länglicht viereckige Haufen- Man zähle die Kugeln, welche in der untersten Schicht in der Länge und Breite liegen, nehme die erstere Zahl dreifach, und ziehe davon die um eine Kugel verringerte Breite ab. Die gefundene Zahl multiplicire man mit der Breite selbst, und, was herauskommt, ferner mit der um 1 vermehrten Breite, und theile daö Produkt durch 6. Beispiel. Ist die Länge der untersten Schicht I — 23 Kugeln, und die Breite I> --- 10 Kugeln, so giebt die Formel 8 -- 10.11.(3.23 — 9) ^ 10.11.60 ^ 2.3 ---10.11.10 — 1100 KllgekN, 1.2.3 1 und eben dieses giebt die Regel. In diesem Falle hat der Rücken 23 — 10 -t- 1 — n Kugeln, und man findet mittelst der letzten Formel 8 --- 10.11.(2.23-4-14) 10.11.60 wie vorhin. 1.2.3 1.2.3 — 10. II. 10---1100 Kugeln, I Tatet k der o g a r L t b irr e aller natürlichen Lahlen von 1 bis 10IN0. a Zahlen von 1 bis 100 mit ihren 1^. und Kennziffern. IX. 1000 I,. 00 IX. 1-8- IX. IX. 1-8- 1 0,0000000 51 1,7075702 ioo 0000000- 150 1760913 200 3010300! 2 0,-3010300 52 1,7160033 i 43214 51 89769 1 31961 3 »,4771213 53 1,7242759 2 86002 52 1818136 2 53514 4 0,6020600 1,7323938 3 0128372 5'Z 46914 3 74960 5 »,69897»» 55 1 7103627 4 70! >3 51 75267 4 96302 6 »,7781513 56 1,7181880 5 »21>893 55 1903317 5 3117530 7 »,845098» 1,755^719 6 53059 56 31246 6 38672 8 0,90-30900 58 1,7631280 7 93838 57 58997 7 59703 9 »,9542425 59 1,7708520 8 0334238 58 86571 8 80633 1« >,»«»«»»» 60 1,7781513 9 74265 59 20I397I 9 3201163 11 1,0413927 61 1,7853298 110 0413927 160 41200 210 22193 12 1,0791.812 62 1,7923917 11 53230 61 68259 II 42825 13 1,1139431 63 1,7993405 12 92180 62 95150 >2 63359 14 1,146128» 64 1,8061800 13 0530781 «>3 2121876 13 83796 15 1,1710913 65 1,8129134 14 691119 64 48438 14 -3304138 16 1,2041200 66 1,8195439 15 0606978 65 74839 >5 24-38-5 17 1,23N4489 67 1,8260748 16 44580 66 2201081 16 44538 18 1,2552725 68 1,8325089 17 81859 67 27165 17 64597 i 19 1,2787536 69 1,8388191 18 0718820 68 53093 18 84-565! 20 1,30103»» 70 1,8150980 19 55470 69 78867 19 -34014»! 21 1,3222193 71 1,8512583 120 91812 170 2304489 220 24227 - 22 1,3424227 72 1,8573325 21 0827854 71 29961 21 4-3923 23 1,3617278 73 1,8633229 22 63598 72 55284 22 6-3530! 24 1,3802112 74 1,8692317 23 99051 73 80461 23 8-304»! 25 1,397940» 75 1,8750613 24 0934217 74 2105492 24 -3502180! 26 1,4149733 76 1,8808136 25 69100 75 30380 25 21825 27 1,4313638 77 1,8864907 26 1003705 76 55127 -26 41081! 28 1,447158» 78 1,8920916 27 38037 77 79733 27 60259 29 1,462398» 79 1,8976271 28 72100 78 2504200 28 79348 30 1,4771213 80 1,903090» 29 1105897 79 28530 29 98-355 31 1,4913617 81 1,9084850 130 39434 180 52725 230 3617278 32 1,505150» 82 1,9138139 31 72713 81 76786 31 36120 33 1,5185139 83 1,9190781 32 1205739 82 2600714 32 54880 34 1,5314789 84 1,9242793 33 38516 83 24511 33 7-3559! 35 1,544068» 85 1,9294189 34 71048 84 48178 3t <12159- 36 1,5563025 86 1,9311985 35 1303338 85 71717 35 3710679 ! 37 1,5682017 87 1,9395193 36 35389 86 95129 36 29120- 38 1,5797836 88 1,9441827 37 67206 87 2718416 37 47483! 39 1,5910646 89 1,9193900 38 98791 88 41578 38 65779 j 40 1,602060» 90 1,9542425 39 14-30118 89 61618 39 8-3979 - 41 1,6127839 91 >,9590414 140 61280 190 87536 240 3802N2 l j 42 1,6232493 92 1,9637878 41 92191 91 2810334 11 20170 43 1,6331685 93 1,9684829 42 1522883 92 33012 42 38151- > 44 1,6434527 94 1,9731279 43 53360 93 55573 43 i > 45 1,6532 >25 95 1,9777236 44 83625 94 78017 44 73898! > 46 1,6627578 96 7,9822712 45 161368» 95 2900346 ^5 9I6K1 47 1,6720979 97 1,9867717 46 43529 96 22561 46 3909-351 ^ 48 1,6812412 98 1,9912261 47 73173 97 44662 47 26970 i 491 1,6901961 99 1,9956352 48 1702617 98 66652 48 4^517 l 50 l 1,698970» 100 2,0000000 49 31863 99 88531 19 6199-3 j IX. > 1-8- n.! 1-8- IX. 1-8- IX. 1-8- IX. 1-8- ?1, 25« I.. 8«. ^8>. 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3,3859387 239 4,1713369 284 1,9567351 329 5,7421-332 19S 3,1033920 210 4,1887902 285 4,9711881 330 5,7595865 196 3,1208153 211 4,2062435 286 1,9916117 331 5,7770-398 197 3,1382986 212 4,22-36968 287 5,01.-90950 332 5,79149-31 198 3,1557519 213 4,2411501 288 5.0265182 333 5,8119164 199 3,1732052 211 4,2586034 289 5,0110015 334 5)8293997 M> 3,1906585 215 4,2760567 290 5,0611548 335 5,8168539 201 3,5081118 21« 4,2935100 291 5,0789081 336 5,86-13063 202 3,5255651 217 4,3109633 292 5,0963611 337 5,8817596 203 3,5130181 218 4,3284165 293 5,11-38147 3-38 5,8992129 201 3,5601717 219 4,-3158698 29 t 5,1-312680 339 5,9166662 ! 205 3,5779250 250 4,-36-33231 295 5,1487213 310 5,9-311195 206 3,5953783 251 4,3807764 296 5,1661746 311 5,9515727 207 3,6128316 252 4,3982297 297 .5,1836279 312 5,9690260 ! 208 3,6302818 253 1,11568-30 298 5,2010812 343 5,986479-3 209 3,6177381 251 1,13-31-363 299 5,2185345 311 6,0039-326 210 3,6651914 255 4,1505896 300 5,2-359878 345 6,021-3859 211 3,6826117 256 1,4680129 -301 5.2531410 316 6,0-388392 212 3,7000980 257 4,4851962 302 5,270891-3 347 6,0562925 213 3,7175513 258 4,5029195 30-3 5,2883476 318 6,0737158 211 3,7350016 259 4,5204028 301 5,-3058009 349 6,091199! 215 3,7521579 260 4,5378561 305 5,32-32512 350 6,1086524 2,6 3,7699112 261 -306 5,3107075 351 6,1261057 1217 3,7873615 262 4,5727626 307 5,-3581608 352 6,1135590 ! 218 3,8018178 263 4,5902159 308 5,-3756141 353 6,1610123 219 3,8222711 261 4,6076692 309 5,3930674 354 6,1784656 ! 220 3,8397213 265 4,6251225 310 5,1105207 355 6,1959188 221 3,8571776 266 4,6425758 311 5.4279710 356 6,213-3721 222 3,8716309 267 4,6600291 -312 5,115127-3 357 6,2-308254 22-3 3,8920812 268 4,6774824 -313 5,1628806 358 6,2182787 3,9095375 269 4,6949-357 311 5,1803339 359 6,2657-320 > 225 3,9269908 270 4,712-3890 315 5,1977871 360 i 6,2831853 üer Xreisbogen liii' -Ile liZaze äer Xreisbezen sür slle Mimten in Ureilen 6es Halbmes- 8eomäeii in Hielten 6es Ilslbmes- sers I)i8 suk 7 Oecimulstellen. sers bis suk 7 Vecimrilsteiiell, 1 0,0002909 31 0,0090175 1 0,0000048 31 0,0001503 2 0,0005818 32 0,0093084 2 0,0000097 32 0,0001551 3 0,0008727 33 0,0095993 3 0,0000145 33 0,0001600 4 0,0011636 34 0,0098902 4 0,0000194 34 0,0001648 5 0,0014544 35 0,0101811 5 0,0000242 35 0,0001697 6 0,0017453 36 0,0104720 6 0,0000291 36 0,0001745 ! 7 0,0020362 37 0,0107629 7 0,0000339 37 0,0001794 8 0,0023271 38 0,0110538 8 0,0000388 38 0,0001842 l S 0,002618« 39 0,0113446 9? 0,0000436 39 0,0001891 ! 10 0,0029089 4V 0,0116355 1« 0,0000485 4« 0,0001939 ^ 11 0,0031998 41 0,0119264 11 0,0000533 41 0,0001988 ! 12 0,0034907 42 0,0122173 12 0,0000582 42 0,0«02«Ä> 13 0,0037815 43 0,0125082 13 0,0000630 43 0,0002085 14 0,0040724 44 0,0127991 14 0,0000679 44 0,0002133 ^ 15 0,0043633 45 0,0130900 15 0,0000727 45 0,0002182 16 0,0046542 46 0,0133809 16 0,0000776 46 0,0002230 ^ 17 0,W49451 47 0,0136717 17 0,0000824 47 0,«8102279 ^ 18 0,0052360 48 0,0139626 18 0,0000873 48 0,0002327 19 0,0055269 49 0,0142535 19 0,0000921 49 0,0002376 2« 0,0058178 50 0-0145444 20 0,0000970 50 0,0002424 21 0,0061087 51 0,0148353 21 0,0001018 51 0,0002473 ^ 22 0,0063995 52 0,0151262 22 0,0001067 52 0,0002521 ! 23 0,0066904 53 0,0154171 23 0,0001115 53 0,0002570 i 24 0,0069813 54 0,0157080 24 0,0001164 54 0,0002618 > 25 0,0072722 55 0,0159989 25 0,0001212 55 0,0002666 ! 26 0,0075631 56 0,0162897 26 0,0001261 56 0,000271^ , 27 0,0078540 57 0,0165806 27 0,0001309 57 0,0002763 - 28 0,0081449 58 0,0168715 28 0,0001357 58 0,0002812 29 0,0084358 59 0,0171624 29 0,0001406 59 0,OOOL8«0 j 30 0,0087267 6» 0,0174533 30 0,0001454 60 0,0002909 Tafel der Hülfs-Linien der D r e U e ck - M e s s k n n s t und der zustimmenden gewöhnlichen Logarithmen kiir die knnf ersten und letzten Grade von Minute zu Minute für den übrigen Theil des Viertheils eines Kreises aber von IN zu 1" Minuten nebst den Unterschiede» berechnet. s * Kiwis Lnriunü UnMwz 91. ! «» 0 0,0000000 1,0000000 0,0000000 Iiikiiiir. «>0 89 j 1 02909 0,9999999 2909 3437,7467278 59 05818 0,9999998 5818 >718,8731458 >718,8735820 58 3 0,0008727 96 0,0008727 1145,9153193 572,9578265 57 -1 0,0011636 93 0,0011636 859,4362843 286,4790350 56 5 11544 89 14544 687,54888:18 171,8874005 55 6 17453 84 17453 572,9572022 114,5916816 51 7 20362 79 20362 491,1060157 81,8511865 53 8 23271 73 23271 429,7175619 61,3884508 52 9 26180 66 26180 381,9709889 47,7465760 51 0 10 0,0029089 58 0,0029089 343,7737056 38,1972833 50 89 11 0,0031998 49 0,0031998 312,5213705 31,2523351 49 12 34907 39 34907 286,1777352 26,0436353 48 13 37815 28 37816 264,4407988 22,0369361 47 14 40724 17 40725 215,5519811 18,8888177 46 17, 43633 0,9999905 43634 229,1816628 16,3703183 15 i«; 46542 9,9999892 46512 214,8576234 14,324039! 4-1 17 0,0049451 878 0,0049451 202,2187496 12,6388738 13 18 0,0052360 863 0,0052360 190,9841875 11,2345621 42 19 55268 847 55269 180,9321991 10,051988 41 0 29 58177 831 58178 171,8854009 9,0467982 10 89 21 31086 0,9999813 61087 163,7001907 8,1852102 39 22 63995 0,9999795 63996 156,2590839 7,4411068 38 23 66904 776 66905 149,1650205 6,794063- 37 24 0,0069813 756 0,0069814 143,2371216 6,2278989 36 25 0,0072721 736 0,0072723 137,5074471 5,7296745 35 26 75630 0,9999714 75632 132,2185090 5,2889381 -31 27 78539 0,9999692 78541 127,3213363 4,8971727 33 28 81448 668 81450 122,7739553 4,547381« 32 29 81357 644 84360 118,5401802 4,2337751 31 <1 30 0,0087265 0,9999619 0,0087269 114,5886501 3,9515301 30 89 31 0,0090174 0,9999593 0,0090178 110,8920520 3,6965981 29 32 93083 567 ' 93087 107,4264844 3,4655676 28 33 95992 539 95996 104,1709444 3,2555400 27 31 0,0098900 0,9999511 0,0098905 101,1069030 3,0640411 26 35 0,0101809 0,9999482 0,0101814 98,2179428 2,8889602 25 36 104718 0,9999452 104724 95,4894753 2,7284675 24 37 107627 421 107633 92,9084875 2,5809878 23 38 I1N535 389 110542 90,463,3359 2,4451516 22 39 113444 356 113451 88,1435715 2,3197644 21 0 40 116353 323 116361 85,9397907 2,2037808 2« 89 ' 41 0,0119261 0,9999289 0,0119270 83,8435069 2,0962838 19 ^ ! 42 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Hut. Linus jvnt. Lotung. Dot. Ikunzons ^ Vnt. 6. K- I-ox. 8i». do^. dos. Vnt. 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I dat. 'HZ. U,d. Regeln zur Berechnung der geradlinigen Dreiecke. --^enn die Theile eines Dreiecks einander gegenüber liegen, und wir machen keinen Unterschied zwischen den gegebenen und gesuchten Stücken, so schließe man: Wie sich verhalten die 8inus der Winkel, eben so verhalten sich die den Winkeln gegenüber liegenden Seiten. Wenn in einem Dreieck zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, so finden sich die andern beiden Winkel desselben durch folgendes Verfahren: Ziehe man den gegebenen Winkel von 180° ab, und theile den Rest durch 2 . 2) Suche man die Summe und den Unterschied der gegebene» Seiten. 3) Schließe man: wie sich verhält die Summe der Seiten zu ihrem Unterschiede, eben so verhält sich die lonzoMe des nach 1) gefundenen Winkels zum vierten Proportivnalgliede- 4) Dieses vierte Proportivnalglied schlage man unter den I-mZonte» nach, und setze entweder den zustimmenden Winkel zu dem nach 1) gefundenen hinzu, oder nehme ihn davon hinweg; so kommt im erster» Fall der gesuchte größere Winkel, und im letzten Fall der gesuchte kleinere Winkel heraus. Wenn in einem Dreieck alle Seiten gegeben sind, so kann ein jeder der drei Winkel desselben folgendermaßen gefunden werden: 1) Suche man den Unterschied der Seiten, die den gesuchten Winkel einschließen; diesen Unterschied addire und subtrahire man zu und von derjenigen Seile, welche dem gesuchten Winkel gegenüber liegt, und addire die Logarithmen der herausgekommenen Zahlen. 2) Suche man die Summe der Logarithmen von den doppelten Seiten, welche den gesuchten Winkel einschließen. 3) Ziehe man das, was nach 2) gefunden wird, von dem, was nach 1) herausgekommen ist, gehörig ab, und theile den Rest durch 2'. so kommt der Logarithmus des 8i»us von der Hälfte des gesuchten Winkels heraus, welcher nunmehr leicht aus den Tabellen bestimmt werden kann. Diese wenigen Regeln sind zureichend, einem Jeden bei Auflösung trigonometrischer Auflösungen auszuhelfe». In der Neunten Au fl. oder der vierten Stereotypen-Ausg. des Vegaschen Handb. Log. trig. Tafeln, Leipzig 1829, sind folgende Fehler von mir eindeckt worden: I- 3499 — 3,5439430 statt 3,543943(9) und Is. 9496 — 3,9775507 statt 3,9775(4)07.