Nachträge zu dem Abc Buche der Krystallkunde von Karl von Räumer. Bergrath und Professor in -halle. Mit Kupfern. Berlin, -ei G. Reimer, l 8 2 r. Inhalt. Vorrede. I. Anfänge der Krystallkunde. - - II. Wo das Abc Luch eintreten und wohin ren soll. - - - - - - III. Zusätze. - - r » - r - 1.3»§. 2. r - - - - - - 2. Zu 4. 8. - - - - - - - z. Desgl. - - - 4. Desgl. ------ ;. Oesgl. ------- 6 . Zu 4 8 . S. , 6 . - ----- 7. Zu 4-9. S. >S- - - - ' ° ^ 8. Desgl. S. 24. - - - - - - 5. v-sgl S. 28- - - - - - r 12-. Desgl. S. 28. ------ 12b. D-Sgl. S. 28. ------ II Zu ;. 11. S. Z7. - k r - ' 12-. Desgl. S. zy. - - - - - - 12b. DeSgl. S. 41. ------ iz. Desgl. S. 48. - - - - - - 14 Desgl S. 44. - - - - » - i!. Desgl. S. 4;. ------ 14 Desgl. S. 47. - - - - - - 1?. Desgl. S. 58- ------ 11 . Zu 4- 12 . S. ----- » 4 -Zu 4. >8- S- 61 . - - - - - 2 ». Zu. 4. ir. S. üs. < - - - - Seite. ; r es käh- r - » 12 12 12 ir >; ir >4 14 1 ! I! 16 16 16 17 17 18 r- 20 21 21 22 1 2 ? 2 « 4 21 . DeSgl. S. es. - ? 5 - - L - Seit«. 26 21 . Zu §. Iü. S. 72 . s - - - e - - 27 2Z. Zu Z. 17. S. 83. r - - - r - r 27 24- Zu §. 18 . S. 86. k - - r , - r 27 25. Zu §. 25. S. 86. - - - - - s 27 2 «. Zu 4- 28 . S. II6. r - - - - r 28 27 . Desgl. S. IIS. - » - - - - S r 28 28 . Desgl. S. IIS. - - - - e s - k 28 2S- Zu §. 2S. S. I 2 Z. s - - - - s r 2S 32. Desgl. S. 124. - - - - - , - r Z2 Zl. Zu §. Z 2 . S. 126 . - - r e - e - 3° Z2. OrSgl. S. 128. - s - - - - - - 32 zz. Zu §. ZI. 8. 128. - - r - - - - 31 Z4. Desgi. S. IZ6. r - L - - - - - Zl 35 . Zu r. Zl. kommt §. ZIb. F - r - - - 32 36 . Zu r. ZZ.S. 142. - s - L r - e 35 37. Zu §. Z5. S. 161 . - - k - - 37 IV. Zusätze zu den Aufgaben. i.Zu b. z. S. 225 . - , - Z8 2 . Zu §. 4. S. 225. - s - r - - - 3S 3 . Zu §. 8. S. 227. - - r L - r ZS 4 . Zu §.'s- S. 227. 5 - 5 s - - r 3S r. Zu §. 12. ;S. 2 Z 2 . t r e - - - » 42 6. Zu b. I I. S. 2 Z 2 . r - - - - - - 42 7. Zu §. 12 . S. 2Z5. r - - - - s 42 8. Zu §. IZ. S. 2Z8. e - - r s r s 42 s- Zu §. 15 . S. 240 . k s e - - r s 43 10 . Zu r. 28 . S. 252 . - - s - - s - 43 II. Zu §. Z 2 . S. 252 . s - - - - - 43 22 . Zu b. Zlb. S. 25Z. - - - - r - 44 2 Z. Zu §.zz. S. 254 . r k r - - e 44 Vorrede. Es könnte befremden, daß ich fast unmittelbar nach dem Erscheinen meines AbcBuchs gegenwärtige Nachtrage schreibe. Die Sache verhalt sich so. Das AbcBuch war schon im Oktober 1822 fertig, ich legte es im vergangenen Winterhalbenjahre beim Unterricht in der Krystallknnde zum Grunde. Da ging es mir, wie es öfters dem Ver- fertiger einer Maschine geht. Hat er dieselbe auch mit aller Sorgfalt ausgearbeitet und möglichst Fehler zu vermeiden gesucht, so findet er doch, wenn er sie in Bewegung seht, manches was nicht so ist wie es seyn sollte, auch verfällt er dann erst auf diese und jene Vortheile. Als ich mein AbcBuch beim Lehren in Bewegung setzte, da fand ich auch, daß einiges abzuändern sey, es ergaben sich neue Lösungen und neue Aufgaben. Da ich nun nicht glaube, mein AbcBuch dürfte bald eine zweite Auflage erleben, welcher ich jene Verbesserungen und Zusähe einverleiben könnte, so mache ich dieselben hierdurch für sich bekannt. Einige allgemeinere Betrachtungen schicke ich voraus. Giebichenstein, deck 9. Mai 182». I. Anfange der Krystallkunde. Es giebt zwei Wege zur Arystastkemrtniß. Der eine geht von sinnlicher Betrachtung nütöÄicher Krystalle, zur Betrachtung entsprechend^ MrjskSltmodelle über, von den Modellen zuletzt äüf verständiges Erforschen und Begreifen des mathematischen Gesetzes der Gestalten. Diesen Weg hatte ich vorzüglich im Auge da ich mein AbcVuch schrieb. Er mögte aber wenigen Lehrern, zumal nicht denen auf Schulen, offen stehn. In der Regel fehlen ihnen Minersammlungen ganz, oder es stehn nur höchst ärmliche zu Gebote, mit deren Hülfe keineslveges der Grund zur Krystallkcnntniß gelegt werden kann. Dieser Mangel an guten Sammlungen zwingt daher schon einen zweiten Weg zu wählen, nämlich mit den Bilden von Krystallmodellen in Holz oder Pappe zu beginnen, und von da aus allmählig zur rein mathematischen Betrachtung der Körper fortzuschreiten. — Ich vermuthe daß ein Nürnberger Goldschmid des i6ten Jahrhunderts, Wenzel Jamitzcr, diesen Weg mit vielem Glück eingeschlagen. Er*) gab 1568 ein Buch unter dem Titel heraus: kerspeetiva corporurn regulgi-'ium etc. d. i. eine fleißige Fürweisung wie die 5 regulirten Kör- *) Vergleiche! Doppelmayr'Historische Nachricht von den Nürm berzischen Malhemalicis und Künstlern, S. >üo< 8 per, davon Plato im Timaeo und Euclides in seinen Elementis schreibet rc. in die Perspective gebracht, und -darzu eine schöne Anleitung wie aus denselben 5 Körpern ohne End gar viele andere Körper mancherlei Art und Gestalt gemacht und gefunden werden mögen." — Ich habe dies Werk leider noch nicht bekommen können, muß ^aber nach der angegebenen bedeutenden Zahl her Körper vermuthen, daß der Künftlerinstinkt Jamitzevs,, viA Wstalten dargestellt habe, welche den früheren refft jvissenschaftlichen Mathematikern nicht eingefallen, sondern erst spater durch Betrachtung der Krystallwelt bekannter geworden sind. Es lassen sich unter günstigen Umständen beide bezeichnete Wege zur Kryslallkenntniß vereinigen. Der Lehrling kann sich einmal in die Betrachtung natürlicher Krystalle vertiefen, und so ganz von der Natur lernen. Dann aber mag er seinen mathematischen Kunsttrieb durch Bildung von Krystallen uyd Krystallfolgen üben, und so abwechselnd bald der Natur folgen, bald mit glücklich treffendem Sinne voreilen. Dieser Wechsel nährt im Schüler das Gefühl für den Einklang des göttlichen mathematischen Geistes in ihm und in der Schöpfung*). — *) Auch dem Lehrer, welcher aus Mangel eiaer MinereSamw- ' . lung den zweiten Weg einschlagen wüßte, würde ich inständigst rathen, dem mit Bilden von .strystallgestalten b» schäftigtcn Schüler, wo es nur immer m. glich wäre, natürliche Krystalle zu zeigen. Vergl. S. XX!. und XXU. de» Ab-Buchs. 9 II. Wo das Abc Buch eintreten und wohin es führen soll. Beim Schüler welcher mit der Minerkunde beginnt, muß die sinnliche Auffassung natürlicher Krystalle, auch der schwierigern Krystallgeschlcchter mit Zuziehung von Krystallmcdellen vorangehn; die Bilder der Körper müssen ihm völlig eigen, sein einfacher Sinn für die Schönheit und daS Ebenmaas der Krystalle und ihrer Verwandlungen muß ausgebildet seyn, ehe er sich zu der im AbcBuche aufgestellten Betrachtungsweise wendet. Nur die Einleitung sollte ihm großenteils verständlich seyn, und die 7 ersten §Z. müßten für ihn meist nur eine Wiederholung enthalten. Der Schüler welcher mit Bilden der Körper beginnet, mögte dagegen manche aufgestellte mathematische Verhältnisse vorwegnehmen müssen, um richtig zu bilden. Er kann wohl den Würfel, das 8flach ohne genauere Anweisung leicht aus dem 4flach schneiden, aber nicht das Raute» irflach und den Leuzit. Hierbei muß er angeleitet werden die Regel selbst zu finden. — Das Ziel wohin ich durch das AbcBuch zu leiten wünschte, ist: die Betrachtung der Krystalle rein geometrisch so weit durchzuführen, daß der Schüler hinreichende Thatsachen erhielte, um von der geometrischen Betrachtung zur trigonometrischen Berechnung überzugehn *). ») Damit dies einleuchtender werde, habe ich in einem Zusätze zu §. Z5. die wichtigsten ^e aufgestellt, aus deren Berechnung sich die genauere Bestimmung der meisten Winkel des Wurfelgeschlcchts unmittelbar oder mittelbar ergiebt. Es dürfte aber jemand einwerfen: ich habe der Trigonometrie vorgegriffen, indem ich ja von vorne herein Winkelbestimmungen gäbe. Darauf antworte ich: diese Bestimmungen sind durch den Winkelmesser unmittelbar oder mittelbar gefunden. Entgegnet man: wozu diese Bestimmungen durch den Winkelmesser für Größen, welche schon weit schärfer auf trigonometrische Weise berechnet sind, so erinnere ich daran: daß mein Buch ein AbcBuch, zum Lehren bestimmt sey, nicht als wissenschaftliches System ohne alle Hinsicht auf Lernende auftritt. Ich bin aber überzeugt: der Lehrgang erfordere, daß der Schüler die Winkel zuerst durch Messung nicht durch Rechnung finde, daß er auch diese Größen durch den Winkelmesser sinnlich auffasse. Die so gefundenen Winkel weichen höchstens um von den durch Berechnung gefundenen ab. Man täusche sich nicht, als mögte diese Abweichung zu Irrthümern in der geometrischen Betrachtung führen. Man könnte jene Winkelgrößen eben so gut durch Buchstaben ausdrücken, ohne daß das geometrische Verfahren im Ge- . ringsten dadurch litte. Als Beispiel diene kig. welche mit k>g. r. des AbcBuchs völlig übereinstimmt. Die Winkel von 90° bei L, (?, v sind durch den Begriff des Würfels gegeben, daß jeder der 4 Winkel um k? gleichfalls 92° hat findet man auf geometrischem Wege. Nun bezeichne den Winkel durch a, so ergeben sich die Ausdrücke für die übrigen aus den Verhältnissen von Nebenwinkeln, Wechselwinkeln und der Winkelsumme eines ^Xs. So erhalten wir bestimmte kimeneintheilungen z. B. von HD, (lL, /^e von be« stimmten Seitenverhältnissen, z. B. (^6- bei einer solchen Winkelbezeichnung eben so gut, als wenn der Winkel L durch Messung zu 55° befunden, und hiernach die Winkelgrößen in benannten Zahlen angegeben worden waren. Es ist klar daß sich diese Winkelbczeich- nung durch Buchstaben die ganze Betrachtung des Wür- felgcschlechts hindurch führen ließe, man sieht aber leicht wie dürftig und weitläuftig eine solche Bezeichnung wäre. — Die Berechnung des Gehalts der Krystalle habe ich weggelassen, wo sie sich nicht etwa aus Betrachtung ihrer Gestalten unmittelbar ergab. Es mögte ein Hauptunterschied zwischen der jungen Kryftailkunde und der alt begründeten Mathematik darin liegen, daß jene ganz vorzüglich die körperlichen Gestalten, ihre Gleichmaaße, Verwandlungen, Zerlegungen und Vereinigungen*) ins Auge faßt, den körperlichen Gehalt dagegen mehr als ein Zweites behandelt. Eine ausgebildete Kryftailkunde, welche auch ebene Figuren in sich begriffe, würde von Naturgesetzen gezügelt das mit Maas und Ziel leisten, was die Formenlehre Pestalozzischer Schüler einzig in körperlosen Figuren ohne Maas und Ziel verfolgte. — Die herrschende Mathematik hat es dagegen vorzüglich nur mit Ausmessen des körperlichen und Flachen-Inhalts zu thun. Die Gestalten werden von ihr in so fern be- -) Man denke z. B. an z und mehrfachen Durchgang der Bläk- - ter und an Zwillings - Drillings-Krystalle. trachtet, als sie alle auf Quadrat und Würfel zurückgeführt werden müssen, als auf die geltenden gemeinsamen Maaße aller Flachen und Körper. — Es dürften sich für die Mathematik manche neue Betrachtungen ergeben, wenn man einmal andere Figuren und Körper, z. B. das regelmäßige Sechseck, das Zflach oder Rautenraflach, zum allgemeinen Maaße der Figuren und Körper wählen wollte, ohne alle Rücksicht auf Quadrat und Würfel. — III. Zusätze. Zu §. 2. 1. Zu den Hauptkörpern der eigentlichen Würfelsippe gehören auch der Pyramidenwürfel, das Pyra- miden8stach und das 48siach, welche aber erst weiter unten betrachtet werden. (AbcBuch §.25—27.u. §.Z 5 >) Zu §. z. 2. „Hält man den Würfel zwischen einer senkrechten Axe, so bilden je z Grundgeren der oberen, je z Grundgeren der untern Axenecke 2 waagrechte, di- Axe rechtwinklig schneidende gleichseitige /^e." Ein solches z. B. das obere, läßt sich als gemeinschaftliche Grundfläche zweier regelmäßigen Pyramiden ansehen; z obere Polkanten sind Pyramidenkanten der oberen, z untere Polgeren', Pyramidenkanten der unteren Pyramide. Die 2 Axen beider Pyramiden stehn nun beide senkrecht auf demselben Mittelpunkt ihrer gemeinschaftlichen Grundfläche, d. h. diese Grundfläche, dies gleichseitige schneidet die Würfelaxe unter rechtem Winkel. z. Verzeichne das Würfelrcchtcck so: v. ^ Mache daS gleichschenklige rechtwinklige sbc, ver- langre iba bis 6, so daß t>I — aa. Mache sas-I — so ist sdeä ein Würfelrechteck, in welchem ab und eä Kanten, ae und brl Geren, sä eine Axe des Würfels vorstellt. Der Würfel bildet 6 solcher Rechtecke. 4. Beim Würfel sind 2 Hauptschnitte zu betrachten, s. Der schon erwähnte durch 2 He Geren, welcher das Würfelrechteck erzeugt. Ich will ihn den Gerschnitt nennen, b. Ein zweiter durch die Mitten 4 Her Kanten, den ich Kantschnitt nenne. Da jedem Körper des Würfelgeschlcchts ein Würfel um, ein anderer Würfel eingeschrieben werden kann, so läßt sich an jedem die Lage des Gerschnitts und Kantschnitts nachweisen. Z. B. der Gerschnitt liegt in derselben Ebene mit dem 8siachdurchschnitt (S. 17), der Kantschnitt in derselben Ebene mit einem Schnitt durch 4 Kanten des 8flachs. Sucht man an allen Körpern des Wärfelgcschlechts diese 2 Schnitte auf, so befördert dies sehr die Einsicht in die wechselseitigen Verhältnisse und die einigende Verwandschaft derselben. 5. kig. l. des AbcBuchs. Hier ist Ick — ak— 2b — ^ H arl — ^ acl — ^ ab — ^ o. Da nun Ick — ^ Z. (l. Würfelrechteck. Nach 2 schneidet os in 0 7 von iicl ab. Hälfte r>8 in k, so in b. Ziehe kb, so bezeichnet kli die Höhenline vom des Mittelkrystalls. sski cvi ose. an: so — rck: SL — I : 2. Da Llk, so ist sn — ^ all. Zu §. y. 7. S. Iy. „Stumpft man die Kanten eines Würfels ab re." Eine einzelne solche Abftumpfungsfläoe bildet ein Rechteck, 2 seiner Seiten laufen 44 2 44m Geren, 2 andere Seiten laufen 44 2 44 ?n Kanten, wüchse mit jenen Geren ein Würfelrechtcck bilden. Diesem Würfelrechteck ist daher die Abftumpfungsflache 44, mithin 44 zweien Würfelaxen welche sich in jenem Recht- eck kreutzen. Jedem der 6 Wüefelrechtccke läuft ein Paar Abstumpfungsflächen zweier Hwr Kanten chs. Jede Würfelaxe ist Gere von z Würfelrechtecken, mithin laufen ihr z Paar Abstumpfungsflächen von Kanten A, jedes Paar ist unter sich Daher laufen jeder zkanrigen Axe des Rauten- laflachs ebenfalls 6 Flächen U. 8. S. 24. „Hieraus folgt.... daß die Kante des Rauten laflachs.... halb so groß als die z kantige Axe des Rauteniaflachs ist.".... Schalte ein: die hantige Axe des Rauteniaflachs verhält sich zur zkantigen, wie 2 Würfelkanten zur Würfelaxe — 2: Vz. y. S. 28. Z. 5. v. 0. „Ihre Säulenkanten.... sind H der ursprünglichen Kanten." Schalte ein: Die Kante da im Durchschnitt klZ. 16 sey — der Seite da der Raute kig. 17, d. h. diese Raute sey Raute des raflachs dessen Durchschnitt ?ig. 16 giebt. Dann sind die gleichwinkligen /^e Kia (?i^. 16) und ec6 17) gleich und ähnlich, daher (k-g. 17) ae— «ü (?iZ. 16 ). Es ist aber ci ^ lli — der halben Kantenaxe des Rautenlaflachs und der Zeitigen Säule, welche aus dem laflach geschnitten werden kann. Oder ol ist — dem langem Halbmesser der 6seiligen Endfläche dieser Säule. cs (k^ig. 17) ist aber eine Endkante derselben Säule, oder eine Seite jener 6seitigen Endfläche. Ein 6eck dessen Seite (cs kig. 17) — seinem län- gern Halbmesser (Ilr kiZ. 16) ist regelmäßig. Also ist der rechtwinklige Durchschnitt durch 6 Sei« tenkanten jener 6seiligen Säule ein regelmäßiges Sechs« eck, und der Kantenwinkel dieser Säule wie des Raute«! 2 flachs — i2o°. io.-r Die Kantenaxe desRauteniaflachs: Flächenaxe (od. langen Gere) — dem längern : kürzeren Halbmesser eines regelmäßigen 6ecks, oder wie im ^ von 90O, 6o^, za" die Hypotenuse: Seite welche den Winkel von l>. 60O gegenübersteht — 2: Vz. — kig. O. ...k Kan- durchschnitt des i2flachs, in. welchem ds Kantenaxe im Flächenaxe. Es ist nun b- -. 122: Vz. 10/ Im ^ von 92^, 6oO, zo° verhalten sich 2 Katheten , wie die Würfelkante: Würfelaxe — l: Vz. Hieraus «'giebt sich eine zweite Art die Raute des Rau- teniaflachs zu beschreiben, welche (wie Wackcrnagel richtig bemerkte) schon aus Betrachtung des 4fiach Durchschnitts hervorgeht. kig. L. sdo gleichseitiges , dessen Höhenlinie k>6. Faße d-l in den Zirkel, und schneide damit von s und 2 aus, be ab. Ziehe und ea, so ist im eäo, rlo n Würfelkante, Würfelgere, Würfelaxe. Mache cll u ek, ziehe sk, ko, so ist ssck Raute des Rauten- i2flachs. — Nimmt man wiederum -ls in den Zirkel, und schneidet damit von a aus §k> und ab, ,so ist sgc-1, ein Geviert. Es ist klar, wie man umgekehrt von einem Geviert, durch die Raute des Rautenlsflachs, zur Raute von 120^ fortschreiten kann. Zu §. n. n. S. Z7. „Die lange Lcuzitgere ist also die Hälfte einer der 6 hantigen Axen." — Dies *7 Dies läßt sich auch so zeigen. Halt den Leuzit zwischen einer senkrechten zkantigen Axe, so sind 6 Flächen senkrecht, dieser Axe — weil 6 (abgestumpfte) Kanten des umschriebenen i-fiachs einer zkantigen isflachs- Axe A sind. 6 waagrechte längere Leuzitgeren bilden ein regelmäßiges Sechseck, welches dem gleich, das aus Verbindung der Mitten von 6 Flächen des umschriebenen laflachs, die derselben zkantigen laflachs- Axe sind, entsteht. Ing. v. sb....k ein regelmäßiges 6eck stelle den Durchschnitt durch 6 He Kanten des dem Leuzit umschriebenen i-flachs vor, so fallen 6 ungleich 4kantige Leuzitecken in die Punkte gkiklw. ßb, lii, ik, lel, lin, ir>A, di^ Seiten des eingeschriebenen Sechsecks sind lange Leuzitgeren, deren jede halb so lang als i-n, als die ungleich 4kantige Leuzitaxe. 12. S. zy. Nach Z. 4. v. u. — Die Hauptlcu- zitaxe : dreikantigen Axe " 4kantige i-flachsaxe: zkantigen i-flachsaxe — 2 Würfelkanten: Würfelaxe 2: g. 2z). Theile die kurze Gere s<- durch k> in 7 und ziehe bck, so stellt dck die Höhenlinie der Grundfläche einer auf angegebene Weise abgestumpften zkantigen Ecke dar. ^ sag -v- Kok da I)k chf: sg. Es ist daher gv : ke sr: : da z : i da nun g<- E dc, so ist ko n: ^ k>o Verbindet man nun die eben betrachteten 2 Schnitte mit den 5 vorigen, so wird die zkantige Axe in 2 X 2 X und 4 X zerlegt. Da in L. kck H: gs G Ick, so verhält sich le : e6 KZ : ^5 z : 2 d. h. der Schnitt, welcher eine zkantige Leuzitecke durch z ihr in der kurzen Gere gegenüberliegenden Haupt- ecken abschneidet ^schneidet zugleich von z kürzern Leu- zitkanten H weg. -9 l 4 - S. 44. „Die Flachenaxe des umschriebenen raflachs verhält sich also zur Flachenaxe des eingeschriebenen — Z : ß — 4 : z". Ich füge hier eine zweite Art, dies, Verhältniß zu finden, bei: Halt die zkantige Leuzitaxe senkrecht, und betrachte z waagrechte regelmäßige 6ecke. k'ig. O. i) »b.... 5 . 6eck, dessen 6 Winkel in 6 un- rlg. Q. gleich kantige Leuzitecken, oder in die Flachenmitten des dem Leuzit umschriebenen Rautenraflachs fallen. Seine 6 Seiten sind 6 waagrechte lange Leuzitgeren. 2) ZK... m, dessen Winkel in die Punkte fallen, wo jene 6 lange Leuzitgeren von 6 kurzen gekreuzt werden — oder in s und H Punkte von 6 Kanten des eingeschriebenen laflachs. z) no... s, dessen Winkel in die Hälftpunkte der Seiten des vorigen 6ecks, d. i. in die Flachenmitten des dem Leuzit eingeschriebenen laflachs fallen. csi von zo^. VH 4 io ^ da " H 20. Daher g2:02: ck 6 : 8 — z : 4 d. i. die Flachenaxe gn des dem Leuzit eingeschriebenen i2flachs ist Z ck der Axe des dem Leuzit umschriebenen laflachs. Die Figur O zeigt auch, daß ik — § I^l, d. i. die Linie, welche die Eerkreuzpunkte 2er Leuzitfiächen verbindet, die einander an einer ungleich grantigen Ecke gegenüber liegen, ist ^ der Flachenaxe des Leuzit. Dies geht schon daraus hervor, daß dieselbe Linie ^ der Kan- tenaxe des eingeschriebenen Rauteniaflachs ist. 2 20 l§. S. 45. /,Fügt man den z Schnitten einen durch 4 obere einen durch 4 untere zkantige Ecken zu^ so zerfällt die Axe in r X 2 X ^ und.2 X Schalte folgendes ein. Aus den angestellten Betrachtungen ergeben sich unmittelbar oder mittelbar mehrere Arten den Durchschnitt eines Leuzits durch 8 längere Kanten zu verzeichnen, welchen Durchschnitt ich kurz: das Leuzit8eck nennen will. rig.«. s) riß. tt. IKKm sey der Durchschnitt durch 4 lange Geren des dem Leuzit eingeschriebenen i2flachs, tu, r« sind Flächenaxen desselben zaflachs. Verlängere diese s Axen an jedem Ende um ^ ihrer selbst, bis s, ß, i, I, ziehe ek, kß, ßli, ki, ik, KI, Im, ine, so ist das 8eck ei... m der gesuchte Durchschnitt. d) riß. n. akcä sey der Durchschnitt durch 4 lange Geren des dem Leuzit umschriebenen laflachs, in deren Mitten i, g, e, I, die ungleich hantigen Ecken des eingeschriebenen Leuzits fallen. Verkürze die 2 hantigen Axen so und des laflachs an jedem Ende um Z, so erhälft du die Haupt - Axen des eingeschriebenen Leuzits (oder des laflachs,' welches diesem eingeschrieben ist)« Ziehe wiederum ek, Iß, ßk, 1,i, Nr, Li, im, me, so ist das 8eck ei..., -» wiederum das gesuchte Leuzit8eck *). In der Figur » ist KK — rs. Daher ist in dem ^ lülr die Höhe i« — ^ seiner Grundlinie KK. Zwei solcher /^e mit einer gemeinschaftlichen Grundlinie bilden eine Raute, deren kurze Gere zur langen Gere sich verhält wie i: z. Im rechtwinkligen irk verhält sich die Kathete is: Kathete sk ^ i : z. Diese 2>e Arr der Verzeichnung fand Wackernagil zuerst. k'-Z. I. Durchschnitt des umschriebenen Rauten- ri§.!. i-flachs (wie NZ ».) und des eingeschriebenen Leuzits. In das Geviert sbeä beschreibe das Geviert igel, welches die 4 ungleich hantigen Ecken des Lcuzitjzecks verbindet. Wir wissen, daß gs — A lk, kn Im /ü^ ekg verhält sich daher die Höhe 5 s zur Grundlinie 8« ^ i : 4. Zwei solcher /Le mit einer gemeinschaftlichen Grundlinie bilden also eine Raute, deren kurze Gere zur langen sich wie r : 2 verhält. Im rechtwinkligen ^ xkn verhält sich die Kathete kn : Kathete gn n r : Den Winkel gl,i findet man durch Messung zu ungefähr den von blk zu ungefähr 14z". Die Fortsetzung dieser Betrachtung siehe in den Zusätzen zum folgenden §. 16. S- 47. zur roten Anmerkung. —j Einfacher ist folgende Art..das Leuzittrapez zrchbe- schreibcn. riZ. X. ^ abs, st, und do 2 kurze Leuzitgeren, riss. welche an derselben Hauptecke b einander gegenüber liegen. Sie entsprechen -en Kanten des eingeschriebenen raflachs. Das sks, ist ^ der halben Raute dieses i-flachs, so also — dessen langer Rautengere. Theile ds durch 5 in ^ und §. Rechtwinklig durch 5 ziehe äe so, daß 65 m 5 s m s ss-, ziehe dann sä, äb, bs, es, so ist äbes das gesuchte Leuzittrapez. S. 5z. Vor e. a. einzuschalten. Ng. I.. Leuzitdurchschnitt mit eingeschriebenen rig. 1. Würfelgerfchnitt. 32 Im 1e6 ist 16 — L ctt— ; Würfelkante , 1s — ^ ll — ^ Würfelgere d. i. 16 : is wie Kathete: s Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen ^s — i: v'?. Zu §. 12. 18 . S. 55 - vor §. lz. Ich habe bei Betrachtung des Verhältnisses zwischen Würfel und Leuzit einzig den Gerschnitt des Würfels und den ihm entsprechenden Leuzitdurchschnitt berücksichtigt. kg. kng. III. sb... K stellt das Leuzitgeck vor, mnop den Kantschnitt des dem Leuzit umschriebenen Würfels. Verlängere die Hauptleuzitaxe ae nach beiden Seiten. Verlängere die Kanten dc, eä bis sie in und u jene verlängerte Axe treffen. Da gu A l,6, so ist ^ boä ^ ^ gc». Daher os: yu ^7 cv : b-l n: i: 4 . In dem ^ ggu, welches gsu ist ebenfalls gs: gu " i: 4 . In der aus beiden ch^en zusammengesetzten Raute rjsug ist daher die kurze Gere gs 7 ^ z der langen Gere §. li.) in dem bilc, 15 ZvLK fanden. Ziehe nämlich (?ig. O.) II und so, daß sie sich in n unter rechtem Winkel Hälften. Mache!» nc NA n ^ Kar sn " ne ^ § il Ziehe sk, I^s, ein, NIL und io, 0), Ig, ZI, so ist »do... b das Leuzitseck. Diese Verzeichnung verbunden mit der kig. 57. giebt die kiZ. einen Stern, um welchen sich ein Ge- ng. i>. viert beschreiben läßt. (Vergleiche den folgenden Zusatz). Eine 6te und ?te Art der Verzeichnung des Leuzit- 8ecks zeigt kig. v und ni n ix. 2) ^ nix ist gleichschenklig, nx > _^ r was sich aus den EU- Is, gl-ichfch-xMz. «I >.g-»s»-k'-"d°-»l-SL j E--rg!-d>. il -s- lo ^ — en. Daher io — lo A cur. Wir wissen, daß ma 7^ ^ mn. Hiernach isst die Linie ik eingetheilt. z) Ix> — L;' — — AS <-8- Da — nx> kM — nf und die Winkel um n rechte sind, so läßt sichh durch die Punkte ein Geviert beschreiben. Daa vvx H: chß 27 und 7S 4s: lp ^ so fallen diee Seiten des Gevierts in die 4 Linien nx. Da NX n il AS ik ; gr- ^ ^ AS ik, so err- gicbt sichs, daß gr in n und x geztheilt wird, undd eben so die z andern Seiten des Gevierts. Daraus folgt, daß man ein Leuzit8eck beschreiben kann, indem man die Seiten eines Gevierts ztheiltj, und aus jedem Lheilpunkt wie x, 2 Linien wie ^»c und >2 zieht. 4) dem e>o vlx (z W.) Also ox : da ^ lo : cui ^ z : 5. Da bc cö, so ist LX: 06 ^ z : 5 25 Mithin muß, nach dem pythagorischen Lehrsätze xä die zte Seite des ^s oxä " 4 seyn. §. ^ zebu ^ ^ brva ^ ^ cxel, also ^b ^ x^. Daher : b<-: cx — 4: 5 : Z. I" solche Theile ist demnach ^x die Seite des Gevierts x^r« gefällt, und so alle Seiten desselben. 6 ) Theile also die Seiten eines Gevierts xyr« in z, 4, 5 Theile, wie riß. k. zeigt, ziehe dann Ka, ba, ke, kiz.». so ist ab... b ein LeuMeck *). Eine 8te Art, das Leuzitgeck zu verzeichnen, zeigt riß, 8. Sie ergiebt sich, wenn man von riß. l-I. alle §. Seiten des Leuzitgecks von den Punkten ß, i, l, e aus, bis in die Seiten ab, bo, ccl, äa des laflachdurch- fchnitts verlängert. Zu §. iz. iy. S. 6r. Vor L einzuschalten. Zu den hier aufgestellten Bestimmungen des Verhältnisses der Hauptleuzitaxe zur ungleich >4kantigen Axe, fand Wackernagel eine neue einfache. riß. 1*. Leuzitgeck. Rechtwinkliges gleichschenkli-'r. ges ^ bik, die Hauptleuzitaxe cß z bi z Katheten, die ungleich 4kantige Axe bk 2 bk 2 Hypotenusen desselben gleichschenkligen ^s. Bezeichnen wir die Hauptaxe durch », die ungleich -kantige Axe des Lcuzit durch bl, die Kathete eines ») Die beiden letzteren Arten das Leuzit 8 eck zu beschreiben, fand Wackernagel zuerst, aber auf einem andern Wege, da er von dem Geviert (kiA.l d) Nach ?ig. v 3 K : 2 H. c) Nächtig.2 2K:^H. ^Desgleichen- K:§H e) Nach?>'g. 27'-— H: H K.! k) Nach?;g.27d- 3 H ' 4 « . D. i. tt: v - z K: 2 H. - z H: 4 A. Daß sich aber zK: aH^ zH: 4K. verhalten, zei- 5x.vv ge,, ?ig.vundv, nach welchen diese Gleichung ins Quadrat erhoben so lautet: 9:8 — '8 : 16 d> i. z:V8— Vl8:4 12 Zu §. 15. 20 . S. 68. zu Zl. skb stellt eine halbe Raute des Rauteni2flachs vor, scb desgleichen, nur daß ->I> lange Gere der ersteren, kurze Gere der zweiten ist. -Da das l)ke m dkg, und ^ »kg— ^ sko (bei gleichen Höhen und gleichen Grundlinien), so ist skb^ ^ «ob, und die raflachsraute deren kurze Gere" der langen Gere einer andern laflachsraute, ist die Hälfte dieser andern. Vergleiche 4z. 21. S. 68. „die Kantenaxe wird im Mittelpunkte des 4flachs gehälftet." Dies laßt sich so beweisen. kig. Würfelrechteck sli^K mit eingeschrieben r§. vv. nem 4flachs Durchschnitt s<-t>. cg Kantenaxe des 4flachs. Ziehe slr und Kb. ^ gf« ^ ^ o5K. i S. und z W. daher gki^lc. Was zu beweisen war. Auch zeigt ?ig. >V. schon, daß die 4flachsaxe se im Mittelpunkte k des 4flachs in ^ und Z zerlegt wird. Zu §. i6. 22. S. 72. Die Verhältnisse der 34. lassen sich einfacher darstellen. Zu §. 17. 2Z. S. 8z. Der I9ten Anmerkung füge hinzu: auch ^ der Kante des so gebildeten Rauten irflachs. Zu §. i8. 24. S. 86. Die Verhältnisse der Figur 37 lassen sich einfacher darstellen. Zu §. 25. 2Z. Das Pyramiden8flach und der Pyramiden- Würfel sollten anders behandelt seyn. Es muß als das Haupt einer Reihe von Pyramiden8flachen dasjenige zuerst betrachtet werden, welches aus Abstumpfung der 8 X Z kürzeren Leuzitkanten entsteht. Eben so muß der Pyramidenwürfel an die Spitze aller übrigen gestellt werden, welcher aus Abstumpfung der 6X4 längern Leuzitkanten entspringt. Diesem Haupt der Pyramidenwürfel folgte dann die Betrachtung des Kies- raflachs, als eines halben solchen Würfels. (Vergleiche S. 136. Anm. Z5> und S. iZy). Zu §. 28. 26. S. n6. Z. 9. v. 0. Der Ausdruck Queergere kiz. X ist nicht gut gewählt. kiZ. X. Kieszeck, dessen Haupt- kannte sb. 6ec: heiße die Hauptgere, be und os Seitengeren, so und äb, Kreutzgeren. 27. S. n6. vor L. Vergleichen wir nun ?>g. 48. mit k-g. lX. so ergiebt sichs, daß 2 Hauptlinien des Kiesi2flachs in der Mitte einer Hauptkante unter demselben Winkel zusammenstoßen, wie 2 längere Leuzitkanten an einer Hauptecke. Denn beide Winkel werden auf völlig gleiche Weise in ein Geviert verzeichnet. Wir werden sehen, daß also aus regelmäßiger Abstumpfung 12 längerer Leuzitkanten, das Kiesiaflach hervorgeht. Aus demselben Grunde, warum ich die Betrachtung des Verhältnisse» von Rauteniaflach und Leuzit der des Verhältnisses vom Würfel und Leuzit vorausschickte, hätte ich vielleicht auch die Betrachtung von Kiesiaflach und Leuzit der von Kiesiaflach und Würfel voranschicken sollen. Nämlich deshalb, weil Leuzit und Kiesiaflach aus dem Würfel nicht auf so einfache Art hervorgehen als Leuzit aus dem Rauten laflach und Kieslafiach aus dem Leuzit. (Vergleiche S. 159). S. 119. vor §. 29. einzuschalten. Die Kiesraute stimmt demnach völlig mit den 2 Rauten kig. IVI. über- ein. Es ergiebt sich nun eine leichte Art das Kieszeck (§eck des Kiesiaflachs) zu verzeichnen, kiz. V. k'iZ. X. söo. sey der Durchschnitt durch 2 in der Mitte b derselben Hauptkante zusammenstoßende Hauptlinien. Es ist also so — der Hauptaxe. 29 Bekannt ist, daß so. Durch b ziehe im rechten Winkel mit de die Linie ek, und zwar so daß et> — Kk — ^ so, also ek— ; so. Mache io — also ib — § bo. Durch - ziehe sf: ek die Linie LZ; so daß Ki— iß — ^ so, also 1-g—^ ao. Ziehe nun eti, Ko, cß, ßk, so ist olio^k das verlangte Kieszeck, denn die Hauptkante ek ; so der Hauptaxe die Hauptgere Lg — H so — — — — — H ek der Hauplkante. Die Hauptgere Kß theilt die Hauptlinie bo in ; und ^ *) So hat die Figur alle Eigenschaften desKieszecks.— Wackernagel fand eine zweite Art dasselbe zu verzeichnen. Er legte ein Verhältniß des Kiesi-slachs zum Grunde das ich übersetzn hatte. Es ist nämlich die ungleich zkantige Axe ; und H der Hauptlinie. riß. 2. riß. 2 st» ^ oä — z äe. Mache nun iß —60 —sb, der Hauptlinie. Theile diese in K, so daß 16 — s iß. Ziehe durch K rechtwinklig kl» — § sä so daß kle — Kd. Ziehe nun sk, kß,^, kä, so ist äskßli das gesuchte zeck des Kiesirflachs, dessen Durchschnitt sdenoä ist. Der Beweis ergiebt sich aus der Verzeichnung. Eine zte Art das Kieszeck zu verzeichnen werde ich weiter unten geben. Zu §. 2Y. 29. S. i2z. „Theilen wir die Axe des umschriebenen 8fiachs in 12 Theile rc." riß. 2--. möge diese xig.L> ») Ausgenommen i>o, bezeichnen alle Zahlen der Figur V- irlel der ^aupkaxe so. 5o Eintheilung dem Anfänger anschaulich machen. Bloße Zahlen verwirren ihn ofr zu leicht, was bei einer Ver- sinnlichung unmöglich wird. riß. ?i> zo. S. 124. kix. diene zur Deranschaulichung des Verhältnisses zwischen dem Kiesiaflach und dem 8flach. In den 8flachsdurchschnitt ist der Durchschnitt Lb ^166 6 des eingeschriebenen Kiesiaflachs eingeschrieben, welcher durch eine Hauptaxe, 4 gleichkantige Ecken und 2 Hauptgeren geht. Er mögte am bequemsten so verzeichnet werden. Beginne mit L?66, dem Aechteck des dem Kiesiaflach eingeschriebenen Würfels. Veriängre die Flächcnaxe um dieses Würfels an jedem Ende um z ihrer selbst — bis d und 6 — (Vergl. k'ig. 49) — ziehe dann Lb, Vk, 166, 66-, 6ke, so ist Lb k°i666 der gesuchte Kies- .durchschnitt. In diesem ist wiederum der Durchschnitt eines 8stachs, in diesem ein 2ter Kiesdurchschnitt beschrieben. Zu §. zo. zi. S. 126. Die Punkte <->6K der ?>§. 54. lassen sich schon darnach bestimmen, daß ik ^ c6 ^ cl — ^ 6K seyn muß, nach dem Verhältniß der Hauptkante zur Hauptaxe des Kiesiaflachs. kiZ. 2- Z2. S. 128. 2«- Durchschnitt des Kiesi2- flachs mit umschriebenem Rauteniaflach. Verlängere cA bis sie k6 trifft. Ziehe 6l welche es. ^ aco rn ?! daher kr: 21 ^ k's: am Z: 6 Hiernach ist ?6 eingetheilt. Der einzelne Zuscharfungs- schnitt geht also vom ^ Punkt e der Linie Lk zum K Zr Punkt 2 der Linie k°S. (Zuerst von Wackernagel gefunden). Zu §. zr. zz. Da aus dem 28sten Zusatz klar hervorgeht, daß 2 längere Leuzitkanten die an einer Hauptleuzitecke einander gegenüber liegen, denselben Winkel bilden, wie 2 Hauptlinien des Kicsmflachs in der Mitte einer Hauptkante, so wissen wir, daß aus regelmäßiger Abstumpfung von 6 Paar langem Leuzitkanten, von 2 einander an jeder Hauptecke gegenüber liegenden ein Kicsiaflach entsteht*). Ich bitte nun den Leser den giften §. von S. 128 bis S. 1Z7 zu überschlagen, da hier erstlich mit Hülfe von §6 das eben Gesagte weniger klar bewiesen ist, dann eine Angabe das Leu- zit8eck zu verzeichnen folgt, welche besser zu §.12 gezogen wird, wie ich oben schon erwähnt habe. zg. S. iz6. Vor L. ^ Zur nähern Bestimmung einiger Verhältnisse der k'lg. 58. diene2 - t. kix. 2-r s) ld — I*? ku. Theile os in 12 Theile, so ist ye " z, re ^ 2. ' Ersteres ist bekannt, da : oe z : 4. Das Zweite laßt sich darthun, wenn man 6s und ek verlängert, bis sie in die verlängerte Axe vrv treffen. In dem so gebildeten Kieszeck würde die Linie 6k ^ der Höhenlinie os wegschneiden, daher d ^ oder ?? wegnimmt. ») Die Kanten welche 2 Paar Abstumpfurigsftächen an 2 Ecken derselben Leuzit-Axe bilden laufen H7, die Durchschnitte von z Pa»r solchen Kanten schneiden sich unter rechirn Winkeln. 32 ^ luw «V- ^ Zun daher Zu : ul " irr: 8 : y also dl ^ lu " ^ Ku. d) Ziehe die ungleich zkamige Axe ul des Kies« inflachs. ol n ik ^ «olc OZ ^ oi^l da sie gleichwinklig. ?rc : ol ck: Ko ^ i : z. Es verhält sich aber IK : xk : Kc y : 6 : 8 Da nun ?rc ^ oi ^ ik, F ik, so ist es § dw. Die Abstumpfung der Leuzitkante, aus welcher dne Fläche des eingeschriebenen Kicsi2siachs entsteht, gehw daher von d (der Hälfte der Kante 6e) zu 77, dem Punktce welcher bc in ^ und H zerfällt. kig. 2-- zeigt das Verhältniß der Hauptlinien dem 2 Kiesiaflache und der längeren Kanten der 2 Leuzite-, der in und umschriebenen. 35. Hinter §. zi ist §. Zlö- Pyramidenwürfel und Kiesraflach einzuschalten. Aus. der ZZten Anmerkung S. iz6 ergiebt es sich-, wie der Pyramidenwürfel aus dem Kiesiaflach zu schneii- Len ist. Seine 6 ^.kantigen Ecken fallen in die Miktem der 6 Hauptkanten, seine 8 Z und zkantige Ecken in dile gleichzkantige Ecken, seine 12 Kanten in die Hauptgerem des umschriebenen Kiesi-flacks, seine 6 X 4 Kanten im 8 XZ Linien, welche von den 8 gleichkantigen Ecken zm den Mitten der Hauptkanten des Kiesiaflacbs gezogcm werden. Seine 24 ^s Höhenlinien fallen mit H Hauptk» liinern 33 llnieir zusammen, ganz wie 24 längere Leuzitkanten. Daher stimmt ein Durchschnitt durch 8 solcher ^s Hö- ihenlinien mit dem Leuzit8eck völlig überein. Ein Durchschnitt durch eine hantige Axe, 2 Paar kürzere Kanten und 2 längere Kanten gleicht dem Durchschnitt des Kies- rastachsX. kig. 2k. »b... k ist dieser Durchschnitt, »d und kx. ?k. da 2 der 24 Pyramidenkanten. Im sbo ist dl: so 4 Kante: Gere des Würfels dessen Rechteck soök, oder wie 4 Kathete : Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen ^s. 2 solcher mit einer gemeinschaftlichen Grundlinie, geben eine Raute, deren lange Gere zur kurzen sich verhält, wie die Hypotenuse zur halben Kathete eines gleichschenkligen rechtwinkligen ^s. Diese Raute tritt demnach in ein Verhältniß zur Raute des Rauteniaflachs. Hatten beide Rauten kiZ. 2 r- dieselbe Hypotenuse rz. ^ so zur langen Gere, so würde die kurze Gere ke der ersteren, wie gesagt — 4 Kathete, die der zweiten bcl der ganzen Kathete desselben gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks seyn. Der Inhalt der Raute aeok wäre die Hälfte des Inhalts der zweiten adc-6. kig. 2>>. Das 2^ ado eine halbe Kiesraute stelle2,.'. vor den Durchschnitt durch 2 an einer hantigen Ecke des Pyramidenwürfels einander gegenüber liegende ^Höhenlinien. sk ist aber — der Höhenlinie eines solchen 2^s. Mache dä ab, ziehe s6, 60, so ist »6a das 2 ^ des Pyramidenwürfels. ^ Verlängere 6 K 7 bis Z, so baß 8^ — 4 Z4 Ziehe «5 U ae, ^ hgß ^r! —- ^ ^, also «! ^ ^ so. Ziehe es, sg, ßo, ok, so ist sZolo ein Kieszeck. Wir können hier noch untersuchen , wie sich der beer trachtete bestimmte Pyramidenwürfel verhalte. a) Zum Würfel. Wenn riß. 48. den Durchschnittt eines Kiest aflachS in dem Kantschnitt des Würfels vorstellt, so stellt kig. den Würfcikantt- schnitt sonl vor, welchen der Durchschniltt durch 8 Höhenlinien des dem Würstel eingeschriebenen Pyramidenwürfels eingezeichneet ist. Man sieht, es ist nur ein doppelter Durchschnitt des Kiesiaflachs. Daß 6 hantige Eckeen (wie x>, 0, I) des Pyramidenwürfels in d.'ie Flächenmitten des umschriebenen Würfels fallern, wissen wir schon. Da oi ^ von no abschneidet, so schneidet 6Z demselben Linie weg, wie leicht zu beweisen. Daher ist dne Axe eines der 6 Kantenpaare des Pyramidenwürfells — Z — t der Kantenaxe des umschriebenen Würfels.. riZ.rc. klg 2 k zeigt 2 Würfelrechtecke, zwischen welchem ein Durchschnitt des Pyramidenwürfels beschrieben ist. b) Aus dem 8ssach und Rautentaflach schneidet warn diesen Pyramidenwürfel, indem man ihre samtigen Ecken auf dieselbe Weise zuspitzt, wie mam sie zuschärft, um das Kiesiaflach zu erhaltem. Eben so erhält man den Pyramidenwürfel ams dem Leuzit, wenn man statt 12 längere Kantern alle 24 regelmäßig abstumpft *). ») Linsn rlen bestimmten Pyramidenwürfel werde ich im folgendem ZSsten Zusatz anführen. 25 Zu §. zz. z6. S. 142. Zum Schluß. ?ig. 2i. nrnop Würfelkantfchnitt des Würfels riz.2!. rig. 47. Die Punkte n, s, 6, g, « von ?>g. 2s, entsprechen den Punkten i^, ?, 6^, e^, der Figur 47. xe ^ mp und 6s ^ ^ 2 ß«. Ziehe 6g, eg, ", «k, so ist s6gsg"r Durchschnitt des Kieszoflachs durch 2 Paar He Kanten, i Paar 4se kurze, r Paar He lange Geren. ?ig. 2>-. die vorige Figur, aber l) sind 6g undgs 'verlängert, bis sie in a; ", k verlängert, bis sie in «v zusammentreffen. 6g mx>. ^ gse ^ 6ag. si : sl ^ gs : 6g 6 t 24 '—2:8. Es ist kc SI. Hiernach ist ao eingetheilt» l Es ergiebt sich zugleich se : -g sg : s6 ge : 6g i: 4. Verlängre ^vx bis b und U, so daß b,v m xk n: St. Ziehe 6b, bk, gb, br, so ist k'ig. 2 >°. sgbr ic 5 b 6 Durchschnitt durch 2 Paar Ue längere und 2 'Paar Ae kürzere Kanten des Kies24flachs. kb6 und .gbr sind Durchschnitte durch die langem Kanten der -Pyramiden, welche man vom Kies24flach abschneidet, ,um das Kieszoflach zu erzeugen. — Alle Linien der Fi- «gur sind (mit Ausnahme von »6 und -g) in gleichar- ttige theile getheilt. Es ergiebt sich 1. 6g ^ 5t- — ^ blt 2. 6s " gr H ' bb Um eine der 6 hantigen Ecken des Kies24flachs > liegen 2 Paar ungleich 4kantige Ecken, die Linie, wel« ,che ein Paar derselben verbindet, ist doppelt so lanö . — z: i ^ Kot. Kathete kt: Kathete ko z: 2, daher or — -^IZ. r ^e wie ror mit einer gemeinschaftlichen Grundlinie geben eine Raute, deren kurze Gere: langen 2 : z. 4. ^ bk. Seine Grundlinie 65 : Höhenlinie bvv — 6: i. ^ kwk. dvv : wk " I: z und t»l ^10.' Eine Raute aus 2 /^en wie 6 t> 5 , die mit ihrer gemeinschaftlichen Grundlinie zusammengesetzt sind. Die kurze Gere: langen 1^: i: z. Dies entspricht also ganz dem Durchschnitt durch 2 längere Kanten der Leuzitpy- camide. Aber die Grundfläche der Leuzitpyra- mide ist die Raute des Rauten raflachs — die Grundfläche gegenwärtiger Pyramide die Kiesraute. 5. ^ 6 t >5 n 2 ^n rot. Gleiche Höhe, doppelte Grundlinie bei äbk. Aus regelmäßiger Abstumpfung der 6 Paar kürzeren Kanten des Kies24flachs würde ein dem Kiesraflach ähnliches laflach hervorgehn, dessen Hauptkantenwinkel zwischen 14z" und 144^. Aus diesem laflach ließe sich nun ein Pyramidenwürfel schneiden, der (wahrscheinlich) mit dem von Hauy beim Flußspath aufgeführten (kl. XXXII. kix. 89) ganz übereinstimmte. Zu §. ZZ. Z7. S. i6i. Statt „Folgende Figuren spielen im Würfelgeschlecht" bis S. 162 Z. 2 von oben, stehe dies. Folgende Figuren spielen im Würfelgeschlecht eine große Rolle. 1. Das Geviert. Gleichschenkliges rechtwinkliges 2. Das Würfelrechteck. Rechtwinkliges^,,» welchem K. i : K. 2 : H VI": 2 : z- z. Die Raute des Rauteniaflachs. Die lange Gere: kurzen ^<2:1. wie bei 2. 4. Die Kiesraute. Die lange Gere: kurzen^: 2:1. ^ dessen K. i: K. 2: H. i: 2 : -/'z. §. Die Leuzitraute. Die lange Gere: kurzen — z : i. dessen K. i : K. 2: H i: z : V'io. _ 6. ^ dessen K. i: K 2: H — Vi:. 8: 9. Beim 4flach rc. 7. dessen K. r : K 2 — i: Beim Leuzit. kig. I.. 8. dessen K-r : K. 2 : H.^i2:z: S. 227. II-. Jede Abstumpfungsfläche einer Würfelkante ist chst einem Würfelrechteck. Wie vielen Würfelaxen ist sie H:? Wie viel Abftumpfungs- siächen sind einer Würfelaxe H? Wende dies auf das Rautemaflach an. 4o L. S. 228. lb. Gieb den Würfelgerschnitt und l den Würfelkantschnitt an. — 4>>. Ein Würfel in 6 hantige Pyramiden zerlegt, dereren jede eine Würfelfläche zur Grundfläche und ilihre Spitze im Mittelpunkte des Würfels hätte. GZieb die Grundkantenwinkel, Flächenwinkel, die WDin- kel welchen 2 in einer Spitze zusammengeneieigte Flächen bilden rc. an. Wie verhält sich eine j solche Pyramide zu einer der 6 Pyramiden welche e in der vorhergehenden Nummer 5 betrachtet wurdeien? Zu 8- Wie verhält sich die zkantige Axe zur 4kantig>gen, in Zahlen ausgedrückt? S. 229. izi>. Ist die Säule wirklich regelmäßig, ilihre Endfläche ein regelmäßiges 6eck? Wie groß ist > der Kantenwinkei des Rauteniaflachs? iz-. Wie verhält sich die Kantenaxe des Rautem2fla>achs zur Flächenaxe oder langen Gere? Zu §. io. S. 2zo. z. „Wie verhält sich die Kante" füge hinznzu: die kurze Gere. Zu §. n. S. 2Z2. C^. Wie verhält sich die Hauptaxe zur zkckan- tigen Axe des Leuzit? E. Wie verhält sich wohl irgend eine Linie des u umschriebenen raflachs zu einer gleichartigen Linie d des eingeschriebenen?*) z>-. Beweise daß es 24 längere, 24 kürzere Leuzitkckan- ten giebt. (Die 8te Aufgabe fällt weg). Diese Frage diene um auf die Unmöglichkeit einer solchen n unmittelbaren Vergleich»»-aufmerksam zu machen. Z° VVer- 4r z Verzeichne den Durchschnitt des Lcuzits durch 4 kurze Geren und 4 kurze Kanten, welche in derselben Ebene liegen. , S. azz. 6b. Wenn du die zkantige Lcuzitecke durch ihre z Grundgeren abstumpfst, wie vieler Theil der zkantigen Axe wird hierdurch weggeschnitten? 6c. Halt die zkantige Leuzitaxe senkrecht. Waagrech- tcs regelmäßiges 6eck, dessen Ecken in 6 ungleich 4kantige Leuzitecken fallen. In dieses beschreibe ein zweites regelmäßiges 6cck, in das zweite ein drittes. Diese z Sechsecke durch welche Linien des Lcuzit und des ihm um- und eingeschriebenen Rauteniaflachs werden sie gebildet? Es frägt sich a) Noch einmal: wie verhält sich die längere Leu- zitgere zur ungleichkantigen Leuzitaxe? 6) Noch einmal: wie verhält sich die Flächen- axe des umschriebenen Rauten laflachs zur Flä- chcnaxe des eingeschriebenen? c) Wie verhält sich die Linie, welche die Ger- Kreutzpunkte 2er Flächen die einander an einer ungleich 4kantigen Ecke gegenüber liegen, verbindet, zur Flächenaxe des Lcuzit?— d. i. zur Linie welche die Ger-Kreutzpunkte 2er tzßen Leuzitflächen verbindet. Zwischen c:. 4 und 5 schalte ein: s) Verzeichne den Durchschnitt durch 8 längere Leuzitkanten — das Leuzit8eck — nach MaaS- gabe des eingeschriebenen und des umschriebenen Rauten laflachs. b) Gleichschenkliges welches 2 längere Leuzitkanten bilden — 2 Seiten des Leuzit8ecks — 4 4 » die in einer ungleichnamigen Ecke zusammen-- stoßen. Wie verhalt sich dessen Grundlinie zurr Höhenlinie?— Wieverhalten sich indcmdurchh die hälftende Höhenlinie gebildeten rechtwinkeligen ^e beide Katheten? e) 2 solche /^e mit ihren Grundlinien an einr- ander gesetzt bilden eine Raute. Wie verhäldt sich die lange Gere dieser Raute zur kurzen?? 6) Gleichschenkliges ^ welches 2 längere Leuzit-t- kanten bilden, die an einer Hauptecke zusam-i- menstoßen. (Wiederhole die Fragen von b. c.)) Zu §. 12. S. S. 2z§. i-. Leuzit mit eingeschriebenem Wurfes. von der Würfelkante und 2 kurzen Leuzitkanten gebildet. Wie verhält sich dessen Höhenlinie zuur Grundlinie? Wie verhalten sich in dem durch di'ie hälftende Höhenlinie gebildeten rechtwinkligen beide Katheten? — S. 2z6. 7. LeuzitZeck mit umschriebenem Würfelkantt- schnitt. Verlängere die Hauptleuzitaxen. Von denn 4 Hauptecken aus verlängere die Leuzitkanten, biüs sie jene verlängerten Axen treffen. Welche 2 Figuu- ren entstehn? Wie schneiden ihre Seiten, die Seiten des umschriebenen Würfelkantschnitts? Welchhe 2 neue Arten das LeuzitZeck zu verzeichnen ergebeen sich hieraus? 8. Kannst du noch andere Arten, das LeuzitZeck zu veer- zeichnen, auffinden? Zu §- iZ. ^ S. 2zZ. 17. Wie verhält sich die Hauptleuzitaxe zuur ungleich 4kantigen Axe? — Beide mit Seiten cinaes gleichschenklig rechtwinkligen gemessen. Zu §. l§. S. 240. §!>. Beweise daß die Kantenaxe des 4flachs durch eine Axe desselben gehälftet wird. n. Wie verhalten sich 2 Rauten des Rauteni2flachs, wenn die kurze Gere der ersten ^ der langen Gere der zweiten ist? — Zu §.28. L. S. 250. 6. Wie verhält sich die Hauptlinie des Kies- laflachs zur ungleich zkantigen Axe? 7. Würfelkantschnitt mit eingeschriebenem Kicvdurch- schnitt. Woran erinnert er? Welcher Winkel stimmt mit dem Hauptkantenwinkel des Kiesra« flachs bei einem früher betrachteten Körper über« ein? — v. S. 25!. 6. Verzeichne das zeck deSKiesirflachs ohne gegebene Winkel. Zu §. zo. L. S. 252. ib. Welche Punkte des eingeschriebenen Kies- i2flachs treffen mit Punkten des umschriebenen Rauteniafiachs zusammen? r°. Wie verhält sich die Hauptgere des eingeschriebenen Kiesiaflachs zur hantigen Axe des umschriebenen Rauten i2flachs? Wie verhält sich die zkantige Axe des umschriebenen Rauten t2flachs zur gleich zkantigen Axe des eingeschriebenen Kiesiaflachs? A. Wie verhält sich ein Rauten laflach um, zu einem Rauteni2flach in ein Kiesiaflach beschrieben? B. Wie verhält sich ein Kicsiaflach um, zu einem Kiesiaflach in ein Raute>N2fiach beschrieben? 44 Zu §. zu-. Pyramidenwürfel und Kiesi 2flach. S. 25z. 1. Stelle dir Folge aus dem Kiesiaflach in den Pyramidenwürfel. Beschreibe dieselbe. 2. Welche Punkte und Linien beider Körper fallen zusammen? z. Verzeichne die 2 Durchschnitte des Pyramidenwür- fels, welche dem Kant- und Gerschnitt des ihm eingeschriebenen Würfels entsprechen. 4. Gieb die Eigenschaften des /Xs an, welches 2 an einer hantigen Ecke zusammengencigte Kanten des Pyramidenwürfels bilden. §. Bilde diesen eingeschriebenen Pyramidenwürfel aus dem Würfel welcher dem umschriebenen Kiesrafiach umschrieben ist. 6. Wie würde dieser bestimmte Pyramidenwürfel aus einem Mach, Rauten raflach u.Leuzit zu bilden seyn? 7. Verzeichne das zeck des Kiesiaflachs nach Maas, gäbe der eben gelösten Aufgaben. Zu §. zz- S. 254. Zt» Um eine der 6 Hauptecken des Kies24siachs liegen 2 Paar ungleichkantige Ecken. Wie verhalt sich die Linie welche das eine Paar verbindet zur Linie welche das andere Paar verbindet? Wie verhalten sich beide Linien zu einer der z Hauptaxen? Z°. Welcher Art ^ bilden 2 kürzere an einer Hauptecke zusammentreffende kürzere Kanten desKies24flachs? Diese Fragen zu beantworten, gehe von der Art aus, wie Hauy das Kieszoflach aus dem Würfel schneidet.— / >'/Vr^ >L/^' /^x X^Xrv > > 7 ^ -«. // / ' ->1 / >' // / 4L^G -L ^-L>- /IV ' ^-v?' --^ ' / ^( ^ ^.. X>^ /L^L ^ i / ^< 7 /^ />>/,-'- ' >//>.- - > L » F « . > 7 : V^,2/1 2 /^^/ 2 /<^/ /2 /^öv « ' >>/ ", S^/^«S-^ sr?^s^ ^7 e. - , 4 >. «> ,/'/^ ^ > ^ / _^- ? /T' s ""x L ^7^»!-u,^ '.X * ' X'.X' M,'r ?x. ^ ^v ^ 4§Lv> > s-- >^ X v ' ^ 'v,' -< _> ^ i ^ i. !' M^L. MSD r»^ '>