i 9 o COMMERCIUM EPISTOLICUM.positae quantitatis, ut & ex qualibet serie differentiarum respecti-ve per i , 2, 3,4» & c - divisarum excerpe primos terminos ,qui numeri respective vacentup d°, d', d l , d\ d*, &c ; Voceturetiam — n primus numerus progreslionis arithmeticae — 3, — 2,— i,o, 1 , 2 , 3 , &c. qui pr o jc i n substitutione adhibitusfuit, eritque divisor quaesi tus = d*+- oc+n. d'-\- x-\-n.x+n — i.d 14- x 4- n.x+n — 1. x-f-n—2 d' -s-aH-n.xff-n— 1 .^4-«—2.ec+n — 3. &c.

Demonstratio.

Fingamus quantitatis propositae a-{~bx-\- c x x-\-dx* &c.divisorem quaesitum ette pqx-{-rxxsx* 4- tx* J rUX i -\- &c,pro ec substituamus successive — 3 , — 2 , — 1, o, 1, 2, 3, &c.& habebimus

loco propositae

et — 3 b-\- 9 c — 27^4- &e.a — 2 b 4- 4 c — 8 d 4- &c.

et - b 4 ~ c - d 4 - &C.

a

<r4- b-+- c + d 4~ &c.

ei 4 - 2 b 4 - 4^ 4 ~ 8 d 4- &c.

a 4 - 3 ^ 4 - 9C 4 - 27 d 4 - &c.

loco divisoris

p —3^4-9^—27/4-8 r t —24324- &c.p —2^4-4^— 8 / 4 -i^r— 3 224 -&C.p — q-\- r — / 4 - t — « 4 -&c.

P

p 4- q-h f 4 - / 4 - /4- » 4 -&c./14-2^4-4^4- 8 * 4-1 6/4- 3 2 » 4 -&c.p 4 - 3 q-\- 9 r-h 27/4-8 1/4-243^4- &c.

Quia igitur a 4 ~ b x 4 - cx x 4 - &c. ponitur este divisibilis perp 4 - q x 4 - r x x 4 - / .r 3 4 - &p. oportet p este unum ex diviso-ribus ipsius a,Scp — q-t-r —- / 4 - t &c. unum ex divisoribusa -— b -\-c — d-\- &c, ut & p — 2 q 4 - 4 r — 8*4 &c.unum ex divisoribus ipsius a — 2 b 4 - 4 c — 8 ^ 4 - &p, & itaporro respective. Progrediuntur autem horum divisorum diffe-rentiae sequenti modo, subtrahendo superiores ab inferioribus.

■differentiae