ïo8 HISTOIRE

parmi les analystes , consiste à avoir remarqué que toutes leséquations d’ordres supérieurs sont des produits d’écjuationssimples. Cela se montre de cette manière. Qu’on prenne tantqu’on voudra d’équations simples , telles que x±a=zo ;xzhbz=o ; a 7 drc=o , et avec telle combinaison de signesqu’on voudra, par exemple, celle-ci, x-\-a—o ; x — 3 = o;x + c — o ; qu’oh les multiplie ensemble, il en naîtra un produitqui sera dans le cas présent x* + ( a—b -f c) x 1 — (ab + bc — ac )x — a3c = o : ce qui est une équation du troisième degré ,parce que nous avons eu trois facteurs. Or il est facile de seconvaincre par l’expérience que , si dans cette expression aulieu de x et de ses puissances, on substitue — a, ou b, ou — celle deviendra toute égale à o. Donc il est évident que x a troisvaleurs , puisque chacune d’elles satisfait aux conditions del’expression. La même chose paroîtra encore plus clairementen se servant d’exemples numériques. Prenons x — 1 = o ;

+ 9 = o ; x — 7 = 0 : le produit est x 3 + x* — 65 x -f 63 = o ,ou x 3 -\~x z —■ 65a; =— 63. Si dans cette expression on fait xégal à 1 , ou à — 9 , ou à 7 , l’équation se vérifiera ; car onaura dans le premier cas 1 + 1 — 65 + 63 , ce qui est effecti-vement égal à zéro. Dans le second ce sera — 729 -f -81 + 585+ 63 = o, ce qui est encore vrai. 11 en sera de même dans letroisième cas , comme il est facile de le vérifier.

De cette génération des équations découle une foule de vé-rités intéressantes dans l’analyse. La première est que danstoute équation il y a autant de valeurs , que ie degré qui ladénomme a d'unités. Une du second degré en aura deux , unedu troisième, trois, &c. ; vérité qui se démontre aussi direc-tement et rigoureusement , quoique nous venions de la démon-trer seulement par induction. Quand nous disons des valeurs,nous entendons dire soit réelles , c’est-à-dire positives ou né-gatives , soit imaginaires. Rien n’empêche qu’il n’y en ait danstoute équation plusieurs de cette dernière espèce ; car uneéquation du second degré pèut en contenir deux. Telle est,par exemple , celle - ci , x* — xx + 9 , où x est égale à 1 +

ou r ~y — 8 - Mais il peut y avoir une équation formée de laprécédente, multipliée par une autre équation simple : celle-ci,par exenipie , a?5+aa: 1 — x-\-^5 — o } vient de l’équation ci-dessus multipliée par a?+ 5 = o. Elle aura donc deux valeurs

imaginaires, savoir 1 + j/— 8 , et 1 —]/—-ÍT, et une réelle — 5 .Cette considération nous conduit en môme temps à une re-marque utile concernant les racines imaginaires ; savoir qu’ellesmarchent toujours en nombre pair ; car elles doivent toujours ■être accouplées de sorte que leur produit sonne une expression