NOTE

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QUATRIÈME LIVRE.

Voici la démonstration promise page 260. Supposons ( fig . 85 ) le point ginfiniment pfoche de G , et les lignes Ag, Bg avec les arcs de cercle G t, g f ,.décrits des points B et A, comme centres, de sorte que g e soit la différenceentre GB,gB, et G / celle de GA, gA ; le petit côté Gg de la courbe étantprolongé, lui sera tangente, et sa perpendiculaire GD représentera l’axe de ré-fraction. Maintenant, puisque partout la différence de G A et AS est à celle deG B et B S en même raison , il suit que les différences des lignes infinimentproches GA, Ag et GB,Bg seront en même raison. Mais il est visible queles angles s gG, cGc sont respectivement égaux aux angles AGC, BGD,qui sont l’angle d’inclinaison et i’angle rompu. Donc Gf et ge, qui sont lessinus des angles/gG , et G g e étant en raison constante , savoir celle qui règlela loi de réfraction entre les milieux A et B ( savoir de 3 à a en passant del’air dans le verre , ou de 4 à 3 en passant de l’air dans l’eau ) , il suit queles sinus des angles AGC et BGD sont dans cette même raison , et par con-séquent G B est la vraie position du rayon rompu qui doit aller , après uneréfraction , du point A au point B.

Quant à la description de la courbe , voici celle qui suit de la propriététrouvée par Descartes. Soit le point A {fig. 85 bis. ) , celui dont partent lesrayons , B celui auquel ils doivent converger, et S le sommet de la courbepris à volonté. Ayant pris un point C quelconque , que S C soit divisé en D rde sorte que S D soit à SC dans la raison du sinus de réfraction au sinusd’incidence dans le passage du milieu de A à celui de B , comme de 2 à 3;si B est dans le verre et B dans l’air : décrivez ensuite du point A , commecentre , au rayon AG, et du point B , au rayon BD, les arcs de cercle CGg, DGg,leur intersection G sera un point de la courbe ; et prenant un autre point C ,on aura un autre point de la même courbe. Car il est aisé de voir qu’an moyende cette construction, toutes les lignes AG croîtront, et les BG décroîtrontsuccessivement, de sorte que leurs accroissemens et décroissemens respectifs serontdans la même raison que SC et S D, ce qui est la propriété trouvée par Descartes.Cette construction est celle de Neuton , dans ses Lectionis Optka, part.I, prop. 34.

U sera , au surplus , facile à ceux qui sont suffisamment géomètres , de voirce qu’il y auroit à faire si les rayons incidens étoient parallèles entre eux ( caralors le point A étant infiniment éloigné, l’arc CG deviendroit une ligne droiteperpendiculaire à C A ) , ou si ces payons étant divergens, ou convergens vers unmême point, dévoient être renvoyés à un autre , ou de manière à ce qu’ils di-vergeassent comme venans d’un autre, & c. : ce qui donne naissance à autant decourbes différentes.

Nous nous proposions d’entrer ici dans quelques détails ultérieurs sur l’équationet les autres propriétés de ces courbes ; mais faute d’étendue, nous sommes obligés,de nous borner ici à quelques mots sur ce sujet,.