NOTE.

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qui sera la somme de toutes les sécantes ; et de l’autre le lectangle ACE F quisera celle de tous les rayons ; ainsi la somme de toutes les sécantes élevées surI’arc B D, sera à celle de tous les rayons élevés sur le même arc , comme l’aireCsMG au rectangle C A N G. II s’agit donc de trouver l’aire CsMG.

Pour cela, que la tangente B L soit — x et le rayon = 1. On sait que la

différentielle de l’arc ,ouDd, ou Gg, est exprimée par En la multi-

pliant par la sécante qui est j/ ( i -h-xx) , on a l’élément G m de l’aireCGM a = )* Or l’intégrale de cette différentielle est le logarithme

de i-^-xx). Mais x étant la tangente d’un arc, celle de son demi-

complément est > dont le logarithme est le même que celui du

précédent, mais seulement pris négativement. Ainsi le logarithme de la tangentedu demi complément d’un arc B D (celui du sinus total étant O ) ; ou ce qui estla même chose, le logarithme de cette tangentç, pris dans les tables or-dinaires et diminué de celui du sinus total , le reste étant considéré commepositif, donnera l’aire de la figure des sécantes CGM a, élevées sur les pointscorrespondans de l’arc B D.

Si donc on prend successivement B D égal à i°, 2", 3 0 , &c. on aura suc-cessivement dans la carte , les distances à l’équateur du premier , du second ,du troisième parallèle, &c. en prenant les logarithmes des tangentes de 44 7,44 , 43 7, &c. et les diminuant de celui du sinus total.

Si nous avions nommé x le sinus de la latitude B D, on trouveroit pour la

différentielle de l’aire ci-dessus- dx - — ( car la sécante se trouve — — ■/ — , et

1 —xx y \ — XX 1

la différentielle de l’arc est ). Or l’intégrale de—-— est le logarithme

de : c’est le rapport donné par le docteur Barrow, et énoncé ci-dessus. On

trouvera donc les distances de chaque parallèle de la carte à l’équateur, en prenantle logarithme de 1 -j-at moins celui de x — x.

Wallis ( Trans. phil. ann. 1685 , ou Op. t. II. ) réduisoit ce rapport àune série infinie ; mais le procédé ci-dessus est préférable. Je remarquerai enfinque M. Jean Percks a montré ( Trans. phil. ann. 1715 ) comment la cons-truction des cartes réduites se rapporte à celle de la chaînette.

Comme il est aujourd’hui reconnu que la figure de la terre n’est pasexactement sphérique , mais celle d’un sphéroïde applati par les pôles etrenflé sous l’équateur, il se présente ici une question, savoir s’il ne faut pas unecorrection à la théorie ci-dessus ; car le méridien n’est plus un cercle , mais uneellipse dont le grand axe est dans le plan de l’équateur , et le petit axe celuide la terre ; mais c’est une question que nous examinerons dans la suite de cetouvrage. Nous nous bornerons à indiquer ici celui de M, Murdoch, citéplus haut, et dont le principal objet est l’application de la véritable théorie deu figure de la terre à la construction des cartes réduites.

Fin de la Note.,