78 Logaritmo
geometrica qualunque, ma il cui primotermine sia 1’ unità, con una progressionearitmetica pure qalunque, ma che incomin-
~ r : 5 : 9 : 2 7 : 81: il\— o. 8. 12. 16. 21
Dalla natura di queste due progressionie dalla perfetta loro corrispondenza nesegue che quante volte 1’ esponente dellaprima è fattore in un termine qualunquedi questa progressione, altrettante voltel’esponente della seconda è contenuto neltermine corrispondente ; per esempio, neltermine 2187 l’esponente 5 è fattore 7volte, e nel termine 28 condensi 7 volte1 ’ esponente t\. In vero si osservi che inogni termine della progressione geometri-ca 1’ esponente è tante volte fattore quantisono i termini che lo procedono, ed ognitermine della progressione aritmetica ècomposto di tante volte l’esponente quantisono i termini che precedono ; ma abbia-mo veduto esservi lo stesso numero ditermini da ambe le parti. Conchiudesi cheogni termine della progressione geometricaavrà per corrispondente nella progressio-ne aritmetica un termine che conterrà tan-te volte l’esponente di essa quante 1’ e-sponente della prima è fattore del terminedi cui si tratta. Adunque moltiplicandoT uno per V altro due termini della pro-gressione geometrica, e sommando in-sieme i due termini corrispondenti dellaprogressione aritmetica, il prodotto del-la moltiplica e quello della somma sa-ranno due termini che si corrisponde-ranno in queste progressioni. E chiarodi fatto che 1’ esponente sarà fattore nelprodotto della moltiplica tante volte quan-to lo è nei due termini moltiplicalisi presiinsieme ; e che del pari la somma conterràtante volte 1’ esponente della progressionearitmetica quante lo contenevano i duetermini che si sono sommati. Adunque con
ci dallo zero. Sieno, per esempio, le dueprogressioni seguenti.
i : 729 : 2187 : 656 i ; ecc.
. 24. 28. 32 . ecc.
la sola somma di due termini della pro-gressione aritmetica, si può conoscere ilprodotto dei due termini corrispondentidella progressione geometrica, supponen-do queste due progressioni prolungate ab-bastanza. Sommando, per esempio, i duetermini 8 e 24 che corrispondono a 9e 729, si ha 32 che corrisponde a 65 Gi,donde si deduce che il prodotto di 729moltiplicato per 9 è G 56 i, il che è difatto.
Poiché quindi i numeri naturali checompongono la prima colonna della tavo-la data in addietro derivano da una pro-gressione geometrica che principia dal-l’ unità, e poiché i loro logaritmi sono itermini corrispondenti di una progressionearitmetica che incomincia da zero, si puòconchiuderne che sommando i logaritmidi due numeri si ha il logaritmo del pro-dotto della loro moltiplica. E facile de-durne gli usi seguenti dei logaritmi.
Per fare una moltiplica coi logaritmi ,bisogna sommare il logaritmo del molti-plicando con quello del moltiplicatore , ela somma sarà il logaritmo del prodottodella moltiplica , sicché cercando questasomma J'ra i logaritmi delle tavole sitroverà a lato di essa il prodotto ri-cercalo.
Se per esempio, propongasi di moltipli-care 14 per i 3 , trovasi nella piccola Ta-vola a pag. 7G che
il logaritmo di i4 è 1,146128e quello di i 3 . 1,1 10943
La somma . . 2,260071