2go F R A

5°. Soit une strie conti-

I

nue a H-

i+ - , I !

n 'r~‘ f

b ^ « 4. ~, &c. que sa

valeur soit x, on aura x~a+ —

b + ~

‘ X

?

d'où bx- — a b x — a~o; donc toutefraction tontinue périodique représente laracine d'une équation du second degré.

6 °. Les deux racines de cette équation

font ' a —v/ T— ~a'-, & elles seront* 4

représentées la premiere par la férie 4

+

b+ ì+ l

0+ T >

b

la 2 líe par la férie — 4

, -u +T

&c. & la valeur de cette 2 e férie étant x ,

I

on aura x —-

qui donne la même équation du second de-gré que ci-defsus , comme cela doit être.

7 °. Soit prise l’équation x=x 3 -f- C x"q- Wx + A", & que x soit une fractioncontinue , je mets cette fraction fous laforme A — B +C—D... & j’ai x 3 -(- C'f 2,+ B 1 ' x -f- A" égale à une fonction àea> b,c , &c. que je puis mettre fous la forme A 1

— B' + C' —I)', é/c. & elle'fera telle queB' ne contiendra C qu’au dénominateur &au premier degré, C 1 ne contiendra D qu’aupremier degré , & ainsi de fuite; faisantdonc les équations A f = A, B' —B, C

— C, on déterminera les coefficiens A",B", C", & on aura. enfui te les équations D

— D\ Er=E', &c. qui donneront lèse ,les /, &c. par des équations linéaires, & parconséquent on aura les conditions pourqu’une fonction continue, dont les quatrepremiers termes a, b, c , d font donnés ,puisse représenter la racine d’une équationdu troisième ordre.

8*. Si A ", B ", C ", sont connus, les

F R A

équations B — B' = o,C — C 1 ~ o, &c.donneront c , d, &c. & l’on aura une équa-tion en a, b, A", B", C". On cherclic-rades valeurs de a & de b entier es qui résol-vent cette équation d’une maniéré appro-chée ( voy. Farticle APPROXIMATION;)on substituera les valeurs dans Péquationen a > b , A" , B", C" , & soit R le reste,on prendra B — B' + R —o au lieu deB — B' — o pour déterminer C, & ainside suite, (o)

Fractions décimales périodi-ques. ( Arith. ) Quand on réduit en dé-cimales une fraction dont le dénomina-teur n’eít pas de la forme 2”. 5?, ou n’estcommensurable avec aucune puissance de10, la fraction décimale qui en résulte,doit nécessairement aller à l’insini ; maisil ne s’enfuit pas qu’on (bit obligé de fairecontinuellement la division effective pourapprocher toujours davantage de la valeurréelle de \z fraction proposée ; car les mê-mes chiffres doivent revenir au bout d’uncertain nombre de divisions, & doivent seprésenter dans le même ordre : en effet,quel que soit le dénominateur D, non di-visible par 2 ni par s , il ne peut y avoirdans la division que D-—1 résidus diffé-rens ; or, dès qu’on retombe dans un ré-sidu qu’on a déjà eu, il est clair qu’on re-trouve aussi dans le quotient les mêmesdécimales, de forte qu’on n’aura jamais be-soin que de faire tout au plus B —1 di-visions pour connoître la fraction déci-male équivalente à une fraction ordinairedonnée. Ces fractions se nomment pério-diques ou circulantes , on s’appei cevra fa-cilement qu’elles fournissent matière à plu-sieurs recherches, non-seulement de cu-riosité , mais fort utiles en même tems,vu le grand usage qu’on fait de plus en plusdu calcul décimal en général. Cependantje ne connois que Waîlis & MM. Euler ,Lambert & Robertí’on, qui s’en soient oc-cupés : le premier, dans le chap. 89 de ionAlgèbre; M. Euler, dans le chap. 12 dulivre I de son Introduction d U algèbre ;M. Lambert, dans le troisième volume desAcla Helvetica , & dans les Nova Act aeruditorum , du mois de mars 1769 ; en-fin M. Robertson, danS les Transactionsi philosophiques j pour 1768. Sans avoir

recours