2Z2. F R A

♦ to s —- I f /* a

quotient — — ; on le lait, parce que

cette période finistant lorscju’on est revenuau relie s, il est clair que le dernier chiffrede la période doit êtie

9 , lorsque celui du diviseur D est r.

7 . 7 -

3 . 3 -

1 . 9 -

4°. On remarquera, en faisant ces divi-

sions, que lorsque s devient D—i , &que par conséquent D—i est le plus petitnombre s , tel que io s —r soit divisiblepar le nombre premier D autre que 2 ou

5 , le —~~ te teste est toujours D-*—i ; on

D-i D-i

, IO - — D + l IO 2 + I

en conclura que---ou---

—'i est toujours dans ce cas un nombreentier ; austì est-ce un théorème dont il estfacile de démontrer la généralité.

5°. On remarquera pareillement que ,quel que soit le nombre r des chiftres de lapériode, si un des restes de la division est

D—i , ce fera le JL f iL .

6°. Ces deux théorèmes font très-utilesdans la construction de la table des déci-males périodiques ; car lorsqu’on arrive aunombre D—i, on ne doit pas négliger decompter te quantieme relie il est, si ce

, , D-

n est pas le —

ou le

c’est-à-dire,

qu’on ait dans le quotient précisément-st—L

chiffres, ou bien un nombre de chiffresqui soit la moitié d’un diviseur de D—i :on peut être persuadé d’avoir commis quel-que erreur. ip

7°. II y a plus, les mémes théorèmes dis-pensent entièrement de la moitié de l’opé-

ration : car si est un nombre entier,

lo m

ou que pour—gr~Ie quotient soit q & lerésidu D — i, on aura, à cause de io 2 «*

Iq 2 m — j

—-i— (io<»+i)(io'« — i) , pour —--

le quotient ( io !, ‘ —1)9 = io m q — q ,

F R A

& par conséquent il suffira de retrancher q

de 1 o'« q. On a, par exemple, - =77 ;

on raisonnera donc ainsi : io m q = 77, &( io 2 '» — 1 ) 9 — 77000 — 77 = 76923 »donc A=o, 076923 ; ou bien, quand ona trouvé -L? = o, 076 A , on prendra lecomplément à 9 des trois chiffres trouvés ,on l’écrira à la fuite de ces chiffres , & onaura la période entiere.

8°. Une remarque analogue sert à véri-fier l’opération, quel que soit le résidu, soit

»» r,

1 10 -f-D-r 10 —r

par exemple , - ou- un

D D

nombre entier, c’est-à-dire, qu’après mdiv isions on ait le résidu r, ou bien que -g-

m

Io +r . _

= o-|-, ou íi le quotient est q y

D. io”‘

, - I r r

qu on ait "g — o + q g-, &c on aura g- —rq

+ -g ; & par conséquent, quand on aura

fait de nouveau m divisions, on trouverale résidu r r, ou si rr>D, ou tzr/D + s ,on devra trouver le résidu s. Concluonsde là qu’on pourra vérifier par-tout l’opé-ration , en regardant si après le doublenombre de divisions on trouve le quartédu premier résidu , ou ce qui reste aprèsqu’on a divisé ce quarté par D. II est deplus évident qu’on peut continuer cette vé-rification auffi loin qu’on veut , avec lemême résidu ; car si après 3 m divisions, ilfera r 3 , ou r s ou s', parce qu’on peut avoirr* — (/D -f s) r—fr D -f r s ~fr D +g D + s' — f D -f s' ; après 4 m divisions,ce reste s" se déterminera .en faisant r 4 —-(/' D -f s' ) r— /' rD -f s r— f r D + hD 4- s" ■—. /" D 4- s", & ainsi de siiite. II estbon d’observer auffi que si r est grand &approchant de D, on peut lui substituerD—-r.

9°. La remarque de l’article précédentsert, comme celle du septieme, à abrégerconsidérablement les opérations dont ils’agit. En effet, dés qu’on est parvenu à unrésidu qui n’est que de quelques unités ,011qui ne diffère de D que de quelques unités,on peut trouver facilement la période en-