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—-f. c , prendre d’abord sur la ligne A
a
p ( 3 1 • ) •> une partie AB ^ a , Sí ti-
rer B E=>b àcAD=c parallèles à. P M..Vous tirerez ensuite du même côté que A P& vers E la ligne A E d’une longueur in-définie , & la ligne droite & indéfinie D Mparallèle à A E ; je dis que la ligne D Mettle lieu de l’équation, ou la formule que nousvoulions construire. Car , si par un pointquelconque, M de cette ligne, on tire M Pparallèle à A Q , les triangles A B E , AP F , seront semblables ; ce qui donneraA B ,a , B E y h t : A P , x, P F
—p , & par conséquent P M (y) ^ P F
£_ìí ) + F M {c). Si on fait c = o, c’est-
à-dire , si les points D A tpmbent l’un furl’autre, & D M fur A F, la ligne A .F fera
b x t
alors le lieu de l’équationj' — —p Pour
trouver Je lieu de la troisième formule, ilfaudra s’y prendre de cette forte : vous ferezA B — u ( fig. 3 z.) &vous tirerez les droi-tes B E = b , A £) == ç parallèles à P M,l’une de l’un des côtés de A P,& l'autre deJ’autre côté : par les points A , E , vous ti-rerez la droite A E, que vous prolongerezindéfiniment vers Ë , & par le point D laligne D M , parallèle à. A E , je dis que ladroite indéfinie G M sera le lieu cherché.Car noqs aurons toujoprs PM(y ) =PF,
— F M (c ). Enfin pour trouver
le lieu de la quatrième formule , fur A P(fig. 33.) vous prendrez^ B = a, &voustirerez B E = b , & A D = c , l’une d’undes côtés de A P, & l’autre de l’autre côté.De plus , par les points A E , vous tirerezA E , que vous prolongerez indéfinimentvers P , & p ar i e point D la ligne D M pa-rallèle a j 4 e , ',e dis que D G sera le lieucherche. Car , si par un de ses points quel-conques M on tire la ligne m p parallèle àA Q y on aura toujours P M p jyp
(O-píC-t).
II s’enfuir delà qu’il n’y a de lieu du pre-mier degre que les seules lignes droites ; cequi peut se voir facilement, puisque toutesses équations possibles du premier degré, se
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réduisent à l’une des formules précédents; -Tous les lieux du second degré ne peu-vent être que des sections coniques : savoir ,la parabole , Fellipse ou le cercle , qui estune espece d’ellipfe , & l’hyperbole qui »dans certains cas , devient équilatere : fi onsuppose donc donnée une équation indéter-minée , dont le lieu soit du second degré ,& qu’on demande de décrire la section co-nique qui en est le lieu , il faudra commen-cer par considérer une parabole, une ellipse& une hyperbole quelconque , en la rap-portant à des droites ou des coordonnées ,telles que l’équation qui en exprimera lanature, se trouve être par-là la plus com-posée & la plus générale qu’il soit possible.Ces équations les plus générales , ou cesformules des trois sections coniques & deleurs subdivisions étant découvertes , & enayant examiné les caractères, il fera aisé deconclure à laquelle d’entr’ellesse rapporteral’équation proposée, c’est-à-dire, quellesection conique cette même équation aurapour lieu. II ne s’agira plus , après cela, quede comparer tous les termes de l'équation»proposée avec ceux de l’équation généraledu lieu , auquel on aura trouvé que cetteéquation se rapporte , cela déterminera le?coefficiensde cette équation générale, ou cequi est la même chose , les droites qui doi-vent être données de proportion & degrandeur pour décrire le lieu ; & ces coeffi-ciens ou ces droites , étant une fois déter-minées , on décrira facilement 1 e lieu , parles moyens que les traités des sections coni-ques fournissent.
Par exemple , que A P y x , P M, ysoient deux droites inconnues & variables(fig- 34, ) i & que m, p, r, fi, seient desdroites données ; fur la ligne A P , prenezla portion A B = m , & tirez B E = n ,A D =t r; & par le point A , tirez A E= e , & par le point D y la ligne indéfinieD G, parallèle à A E ; fur D G, prenezD C ~s , &. prenant C G pour diamètre,les ordonnées parallèles a P AI , & la ligneC H—p pour paramétré , décrivez la pa-rabole C M y & elle fera le lieu dç la for-mule générale suivante.
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