22 ^ ASTRONOMIE.

Cette se'rie serait du moins plus facile à calculer; elle donne immé-diatement le logarithme vulgaire. Mais les expressions finies données ci-dessus sont toujours plus commodes.

225 . Nous avons trouvé ci-dessus (211)

dA

dC'

, cos C ■

tang u cosC tang 2 u sin u cos u cos C — sin 2 u

1 -f- TR ?'— 3 m cos G séc 2 u — a tang ucos C ’

■ 2 sin u cos u cos C

{-sin2ucosC—à + ï cos aii £ cos ait—f (i— sin aucos C)

1—sin 2 u cos C 1 — sin 2 u cos C 1—sin au cosC

d’où , mettant pour ^-la série qui en est la valeur (211)

f COS 2 U

1 — sin 3 fi cos C

cos au

\ -{-tang u cos C-f- tang 1 u cos 2C -f- tang 3 u cos 3 C -f- etc;— i-4-2tangucosC-}-2tang î «cos2G-l-2tang 3 wcos3C-|-etc.

1 sin 2i 11 cos O

Cette série m’a été indiquée par M. de Mello; divisée par cos 2 u, ellepeut servir à trouver les rayons vecteurs dans l’ellipse. Voyez le Chapitredu mouvement elliptique des planètes.

Développemens en séries moins régulières , mais utiles.

226. Soit ABC un triangle sphérique quelconque

cosAC — cos ABC sin B A sin BC -f- cos BA cos BCeos C = cos (C-f-a*) cos D cos D'-f- sin D sin D'.

En faisant ABC = (C-f-a:), D = (go° —■ B A) et D'= (90° — BC)

cos C = cosC cos .x cosD cosD'—sin C sin a;cos D cos D'-f-sin D sinD'==cos C cosD cos D'— 2 cos C cos D cos D' sin 3 4 x

— sin C cos D cos D' sin x -f- sin D sin D',

et

sin x cos D cosD'sin C-f- 2 sin 3 * * -f,x cosD cos D'cos C = sinD sinD 7 ,

-f- cos D cos D 7 cos C — cos C

2 sin \x cos i x cosD cos D'sin C-f- 2 siu 3 i æ cos D cos D'cos C

= sin D sin D'-f-cosC (cos D cos D'— 1)

2 sin -f x cos f x -f- 2 sin 3 f x col C

_;sin D sin D' coséc C + (cos D cos D' — 1 ) c ot C

cos D cosD'