168

Collectanea ex codicibus Pulkoviensibus.

Ratio superficierum quadratarum est dupla rationis linearum. Angulorummensura ordinaria est rectus, saepe etiam alii, linearum nulla per se, quialineae non a%t]LuxTi£onai. Planorum mensura quadratum, solidorum — cubus.

Arithmeticae proprium nihil est quam addere et subtrahere. Jam multi-plicare pertinet ad parallelogramma, dividere itidem. Addere et subtrahereest numerare per puncta, multiplicare et dividere est numerare per quadrangula.

Ilaec iterum sequuntur multa tentamina, sine ordine se invicem subsequentia,ut: „Deliberatio de iis, quae et quo ordine in libro III. tractanda sint.“ „Oportetpercurrere universum Euclidem et singulas considerare propositiones“ etc. etc. Novocapto impetu sequentem paragraphum inscripsit Keplerus; „De numeris proportionalitersectis“, post paucas vero lineas rem imperfectam relinquens, adscripsit: „Haec alibi“,et quasi eandem tractaret rem, pergit: Jam illud incidit, posse triangulos rectan-gulos rationales multo facilius investigari. Inde redit ad numerorum theoriam hispropositionibus e prioribus repetitis:

1) Unitas est impar. 2) Duae unitates parem faciunt. 3) Binarius estpar (ex 2.). 4) Unitas ad parem apposita facit imparem. 5) Ternarius est

impar (ex 4.). 6) Unitas addita impari facit parem (ex 1, 2.). 7) Numeri

ordine se excedunt unitate. 8) Numeri naturalis ordinis sunt alternis pares,impares. 9) Numerus toties sumtus, quot sunt in altero numero unitates,dicitur facere cum illo numerum. 10) Impar additus pari facit imparem (ex 4.).11) Impar ad imparem additus facit parem (ex 6.). 12) Binarius pari additus

facit parem (ex 2—4. 6.). 13) Omnis par tot habet aequales partes, quot

sunt in binario unitates (ex 2. 3.). 14) Par ad parem additus facit parem

(12. 13.). 15) Factus a pari et impari par est (11. 14.). 16) Factus a

pari et pari par est (14.). 17) Factus ab imparibus duobus est impar (11.

10.). 18) Quadrati parium sunt pares (14.). 19) Quadrati imparium, impares

(17.). 20) In serie quadratorum sunt alternis par, impar (18. 19.). 21) Qua-

dratorum excessus dicitur gnomon (ex Geometria). 22) Gnomon ambit latera(ex Geom.). 23) Quadratorum proximorum gnomon est duplum lateris velradicis plus unitate (22.). 24) Proximorum quadratorum excessus habet im-pares (3. 16. 15.). 25) Cum idem additur duobus, eadem manet distantia.

26) Dupla numerorum in ordine naturali distant binario (7. 24.). 27) Ex-cessus surgunt binario (26. 25. 23.). 28) Impares ordine naturali surgunt bi-nario (26. 25. 4.). 29) Si quadrata numerorum omnium seriei naturalis ordinen-

tur, gnomones seu differentiae erunt series naturalis imparium. 30) Primorumproximorum quadratorum differentia est ternarius (23.).

Ergo

3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25

1. 4. 9. 16. 25. 36. 49. 64. 81. 100. 121. 144.

Hactenus eadem quae supra, quibus subjunge, quae illic sunt ab 18 in28. Jam pro inventione omnium quadratorum sive quaesitione radicis notatabulam hanc.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.9.10.11. 12.13. 14. 15.16. 17. 18. 19. 20.21.22.23.24. 251. 4. 9. 16. 25

3. 5. 7. 9.

2 . 2 . 2 .

Haec quidem ex prioribus manifesta. Cum ergo inter primum par 4 etimpar 9 intersit gnomon 5, inter 9 et 16 gnomon 7, summa ergo est 12 inter4 et 16, paria proxima, at a 0 ad 4 fuit 4, differentia 4 et 12 est 8, sur-gunt ergo quadrata paria quaternariorum multiplicibus, seu parium quadrato-