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woraus die drei Größen -> 1 , ->2 und az, und hieraus die drei Wurzeln « 1 , «2 und «z berechnetwerden können. Bei vier und mehrerer Wurzeln zeigt sich genau dasselbe. Will man daherdurch diese Methode alle Wurzeln einer Gleichung kennen lernen, so greift man die Gleichungvon zwei Seiten an, indem man durch die vorbeschriebene Methode die größten, und durchUmkehrung der Wurzeln die kleinsten Wurzeln sucht, wobei kein Fall denkbar ist, sowohlin Beziehung wiederholter reeller oder wiederholter unmöglicher Wurzeln, der nicht gelöst wer-den könnte. Durch Substitution ist man alsdann zuweilen im Stande, jede Wurzel zur kleinstenzu machen und auf diesem Wege zu finden. Geht dieses nicht an, so muß man die gefundenenWurzeln aus der gegebenen Gleichung herausschaffen und dann wieder die größten und kleinstenWurzeln suchen. Dieses Verfahren ist aber äußerst mühsam, und sehr häufig tritt namentlichbei sehr nahe liegenden Wurzeln der Fall ein, daß die recurrirenden Reihen sehr weit entwickeltwerden müssen, bis man eine hinreichende Annäherung an den Werth der Wurzel erhält. Fer-ner hat man, um den Grad der Genauigkeit der Wurzel zu bestimmen, keine andere Regel, alsdurch Berechnung folgender Quotienten die Annäherung an eine Gränze zu beobachten, welchesebenfalls die Rechnung erschwert.
Inwiefern nun hierdurch Formers in seinem Lxpoge s^nopticzue angedeutete Methode wiederhergestellt ist oder nicht, will ich der Beurtheilung des Lesers überlassen. Für die beiden erstenWurzeln ist sie unzweifelhaft dieselbe, deren Unrichtigkeit aber offenbar ist. Zn Beziehung auf dreyandere, in ihrer Größe verschiedene Wurzeln, könnte man sich übrigens leicht verleiten lassen,die Aufgabe im Sinne Formers durch die Gleichungen 14 für gelöst zu halten, welches doch nichtder Fall ist. Aus diesem Grunde habe ich auch die aus der allgemeinen Formel (4) hervorge-henden Gleichungen in Beziehung auf die 4, 5 rc. größten Wurzeln nicht aufgestellt.
Es bleibt uns jetzt nur noch übrig, zu untersuchen, inwiefern die recurrirenden Reihen, dieStern in seiner Theorie der Kettenbrüche entwickelt, geeignet sind, die Aufgabe zu lösen. Beidieser Methode werden ebenfalls die Wurzeln der Gleichung potenzirt und zwar nach und nach.Hat nämlich die Gleichung die Form:
x" -i- ^ix"-r -s ff-.2^^1X ff ^ — 0
so berechnet man die Summen der Potenzen der Wurzeln «1 «z.«« nach den bekannten
Formeln
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82s«) — — H.i8i(«) — 2-z.r
8z(«) — — w.