2

zweiten Grades konstruiren, d. h. solche Flächen zweiten Grades, welche mitder gegebenen die drei Hauptebenen gemein haben und liir welche die Diffe-renzen der Quadrate der Halbaxen gleich sind, deren Hauptschnitte also je ausKegelschnitten mit denselben Brennpunkten bestehen. Die confocalen Ober-flächen theilen sich in drei Systeme, in ein System von Ellipsoiden, in einSystem von einschaligen Hyperboloiden und in ein System von zweischaligenHyperboloiden. Unter den Ellipsoiden erscheint nach einer Seite hin als Grenzeeine Kugel mit unendlich grossem Halbmesser.

Es gibt in den drei Hauptebenen auch drei Kegelschnitte, die sogenanntenFocalkegelschnitte, welche als Flächen zweiten Grades des Systems aufzufassensind, nämlich eine Ellipse K 4 in der ersten Hauptebene mit den HalbaxenJ/a 2 -c 2 und |/b 2 -c 2 , den Brennpunkten F x und F 2 und den Scheiteln F 3 , F 4 ,F 5 , F 6 , als Grenze zwichen den Ellipsoiden und den einschaligen Hyperbo-loiden , eine Hyperbel K 2 , ■ in der zweiten Hauptebene mit den HalbaxenJ/a 2 -b 2 und )/b 2 -c 2 , als Grenze zwischen den einschaligen und den zweischaligenHyperboloiden, endlich einen imaginären Focalkegelschnitt K 3 in der drittenHauptebene mit den Halbaxen j/c 2 -a 2 und J/b 2 -a 2 , als zweite Grenze der zwei-schaligen Hyperboloide. *)

Durch jeden Punkt des Raumes gehen drei Flächen des Systems, nämlichein Ellipsoid, ein einschaliges Hyperboloid und ein zweischaliges Hyperboloid.Liegt der Punkt in einer der drei Hauptebenen, so geht eine der drei vorigenOberflächen über in die äussere oder innere Fläche des in dieser Ebene ent-haltenen Focalkegelschnitts.

Befindet sich der Punkt auf einer der drei Hauptaxen, so geht durch ihnnur noch eine eigentliche Fläche des Systems. Diese Fläche ist ein Ellipsoid,wenn der Punkt ausserhalb der Strecke F 3 F 4 liegt, ein einschaliges Hyper-boloid, wenn er sich zwischen F 4 und F 3 oder zwischen F 2 und F 4 und einzweischaliges Hyperboloid, wenn er sich innerhalb F x und F 2 befindet.

Durch die Punkte der dritten Hauptaxe gehen nur Ellipsoide. Durch diePunkte auf der zweiten Hauptaxe, die ausserhalb F 5 F 6 liegen, gehen Ellip-soide und durch die übrigen einschalige Hyperboloide. Die drei durch einengegebenen Punkt des Raumes gehenden confocalen Oberflächen schneiden sichgegenseitig rechtwinklig. Die drei Schnittcurven vierter Ordnung sind zugleichKrümmungslinien dieser Oberflächen und schneiden sich in dem gemeinschaft-lichen Punkte gegenseitig rechtwinklig.

*) Jede der Focalcurven enthält die Brennpunkte der andern.