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Jede Ebene durch eine der Geraden p 12 oder p 84 , wenn sie nicht mit E 12oder E 34 zusammenfällt, schneidet die Fläche F x noch in einem Kegelschnitt,der durch die unendlich fernen imaginären Kreispunkte der Schnittebene geht,also ein Kreis sein muss und die Doppelpunkte auf der Geraden p 12 oder p 34enthält.

4. Es soll jetzt der erzeugende Punkt A x die ganze X-Axe durchwandern,so ergibt er in jeder Lage eine Fläche dritter Ordnung, und alle diese Flächenzusammen bilden das erste System.

Man kann drei Fälle unterscheiden, der Punkt A x liegt ausserhalb derStrecke F 3 F 4 , er liegt auf F g F x oder F 4 F 2 und endlich innerhalb F x F 2 .

Befindet sich A x ausserhalb F g F 4 , so liegt er innerhalb der Focalhyperbelund ausserhalb der Focalellipse. p 12 schneidet also die Ellipse K x in den reellenPunkten D 1 und D 2 , während die Schnittpunkte D g und D 4 von p 34 mit derFocalhyperbel imaginär sind.

Yon dem Doppelpunkttetraedcr sind also nur reell die Gegen-kanten p 12 und p 34 , die Ecken auf p 12 und die Ebenen durch dieKante p S4 .

Durch A x geht in diesem Falle ein Ellipsoid, also sind die unärenGeraden g x und g 2 imaginär und punktirt, während die dritte unäre Gerade k xund die Ebene der drei unären Geraden immer reell sind. Liegt A x im Un-endlichen auf der X-Axe, so geht die zugehörige Fläche F x über in die zweifacheYZ-Ebene und in die unendlich ferne Ebene.

Befindet sich der erzeugende Punkt A x in F g oder in F 4 , so wird p 12zur Tangente in F g oder in F 4 an K x und die beiden Doppelpunkte D x undD 2 fallen mit F g oder F 4 zusammen.

Die Kanten p ig , p 23 und p 14 , p 24 fallen in je eine Gerade der XZ-Ebeneund sind dann als achtfach zu zählen. Die unären Geraden g x und g 2 werdenreell und decken sich mit der Tangente in F 3 oder in F 4 . Der Punkt A xsoll nun weiter gegen 0 hinrücken, d. h. zwischen F s und F x oder zwischenF 4 und F 2 liegen, dann befindet er sich innerhalb der Focalellipse und inner-halb der Focalhyperbel. Die vier Doppelpunkte D x , D 2 , D 3 , D 4 sind demnachimaginär, hingegen die unären Geraden g x und g 2 reell, weil in diesem Falledurch A x ein einschaliges Hyperboloid geht, also eine Fläche zweiten Gradesmit reellen Geraden. Fällt A x mit F x oder mit F 2 zusammen, so werden dieDoppelpunkte D 3 und D 4 reell und decken sich mit F x oder mit F 2 . p 34 -wirdzur Tangente in F x oder in F 2 an die Focalhyperbel und die unären Geraden