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Die Flächen dritter Ordnung F® des dritten Systems besitzendemnach zwei reelle und zwei imaginäre Doppelpunkte. Zwei vonden sechs quaternären und eine von den drei unären Geraden,nämlich die im Unendlichen gelegene, sind reell. Die vier übrigenKanten des Doppelpunkttetraeders sind imaginär und die beidenübrigen unären Geraden imaginär und punktirt.

7. Beziehungen zwischen zwei Flächen dritter Ordnung desersten Systems. Die Schnittkreise K (xy) der Flächen Fi mit der XY-Ebenebilden ein Kreisbüschel mit den imaginären Brennpunkten der Focalellipse aufder Y-Axe zu Grundpunkten und mit den reellen Brennpunkten F t und F 2zu Grenzpunkten. Die Schnittkreise K (xz) mit der XZ-Ebene bilden ein Kreis-büschel mit den imaginären Brennpunkten der Focalhyperbel auf der Z-Axe zuGrundpunkten und mit den reellen Brennpunkten F 3 und F 4 zu Grenzpunkten.

Nehmen wir aus dem ersten System irgend zwei Flächen F xl und Fi a ,deren erzeugende Punkte A xl und A x2 auf der nämlichen Seite von 0 liegen,heraus, so haben dieselben gemeinschaftlich:

1) den imaginären Focalkegelschnitt K 3 ,

2) den unendlich fernen imaginären Kugelkreis und

3) die unendlich ferne Gerade k x der ZY-Ebene.

Die beiden Flächen F xl und F x2 haben also zwei sich nicht schneidendeKegelschnitte und die Schnittgerade ihrer Ebenen gemeinschaftlich, durch-dringen sich folglich ausserdem noch in einer Baumcurve vierter Ordnung Ti,welche Grundcurve eines Flächenbüschels zweiten Grades ist. k x ist die Gegen-gerade von Ti auf jeder dem Büschel (Fi 4 , Fi 2 ) angehörigen Fläche dritterOrdnung, wird also von Ti nicht getroffen. Die B-aumcurve Ti muss demnachden imaginären Focalkegelschnitt K 3 Viermal und den unendlich fernen ima-ginären Kugelkreis viermal schneiden und mit jedem dieser Kegelschnitte aufje einer Fläche zweiten Grades hegen. Es geht also durch Ti auch eineKugel, deren Mittelpunkt auf der X-Axe. liegen muss, weil Ti zu der XY- undXZ-Ebene symmetrisch ist. Durch Ti gehen ferner vier Kegel zweiten Grades;zwei derselben sind immer reell und haben die unendlich fernen Punkte derY- und der Z-Axe zu Spitzen. Die Spitzen der beiden übrigen hegen auf derX-Axe und sind nur dann reell, wenn die vier Schnittpunkte der ßaumcurve Ti miteiner der XY- oder XZ-Ebenen reell sind. Die beiden Kegelspitzen M t und M 2ergehen sich dann durch wechselseitiges Verbinden dieser vier Schnittpunkte.