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orthogonalen Kreisbüscheln an, weil das eine die Grenzpunkte des andern zuGrundpunkten hat, und schneiden sich also in S x und in S 2 rechtwinklig.Wir beweisen nun, dass A (X) S X auf A X S X und auf A y S x normal steht. Esseien die Geraden S x M x und S x M y H gezogen, so ist das Dreieck HS X M X heiS x rechtwinldig und die Winkel hei H und hei M x sind a und 90°-«. Diegleichschenkligen Dreiecke M X S X A (X) und M y S x A y sind offenbar ähnlich, alsodie Winkel in denselben hei A (x) , S x , S x und A y alle einander gleich, nämlichgleich ß. In dem Dreieck M x S x A x sind die Winkel hei S x und hei A x gleich90°-ß oder y. Da nun aber auch der Winkel A (X) S 1 H gleich 90°-ß ist, somuss der Winkel A (x) S x A y gleich einem Rechten sein. Es steht also A (X) S 1sowohl auf A X S X als auf A y S x senkrecht, oder die Punkte A y , S x , A x und diePunkte S x , A (x) , A (y) liegen je auf einer Geraden. Ganz ähnlich wird gezeigt,dass die drei Punkte A x , S 2 , A (y) und die drei Punkte A y , A (x) , S 2 auf je einerGeraden liegen.

Schliesslich ist noch zu beweisen, dass der Pol P auch auf A (y) A (x) S x liegt.Es ist nun bekannt, dass wenn man von einem Punkte eine Senkrechte aufseine Polare in Bezug auf einen Kegelschnitt fällt, die Polare und die Senk-rechte hei Bewegung des angenommenen Punktes auf den Axen des Kegel-schnittes zwei Punktsysteme ergehen, welche die Brennpunkte zu Doppelpunktenhaben. Nun wissen wir aber, dass die Punkte A x und A (x) zu den Brenn-punkten F x und F 2 harmonisch liegen, folglich muss die Normale A (X) S X aufp den' Pol P von p in Bezug auf K x enthalten.

Errichtet man nun durch S X P (Fig. 1) eine zm - XY-Ebene senkrechteEbene, so geht jetzt dieselbe durch die Gerade p 34 der Fläche F x und durchdie Gerade q 34 der Fläche F®, schneidet demnach aus beiden Flächen dritterOrdnung Kreise heraus, welche S X P zu einem Durchmesser haben, folglichz usammenfallen.

Ein Theil der Eaumcurve siebenter Ordnung, welche die beidenFlächen dritter Ordnung FJ und F y ausser dem unendlich fernenimaginären Kreise noch gemeinschaftlich haben, besteht in einemreellen Kreise K (l2) symmetrisch zur XY-Ebene. Seine Ebenesteht senkrecht zur Verbindungslinie p der die Flächen F x und F yerzeugenden Punkte A x und A y und ein Durchmesser wird gebildetdurch den Pol P der Geraden p in Bezug auf die Focalellipse unddurch den Fusspunkt S x der Senkrechten von P auf p.

Dieser Kreis geht durch die beiden Doppelpunkte D s , D 4 derFläche F x und durch die beiden Doppelpunkte D^ und D*> derFläche F y .