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n.

14. Es ist schon bemerkt worden, dass es möglich ist, einen allgemeinenSatz aufzustellen. Wh- haben bis jetzt nur drei Systeme von Flächen dritterOrdnung behandelt, nämlich diejenigen, welche entstehen, wenn wir den erzeu-genden Punkt die drei Hauptaxen durchlaufen lassen. Beachten wir nun, dassdie confocalen Flächen zweiten Grades nur einen Spezialfall einer Flächen-schaar zweiten Grades bilden und dass das gemeinsame Quadrupel harmonischerPolarebenen gebildet wird durch die drei Hauptebenen und die unendlich ferneEbene, so liegt der Gedanke nahe, den erzeugenden Punkt auch auf einer derdrei übrigen Kanten des gemeinschaftlichen Poltetraeders zu wählen. Nehmenwir ihn auf der Kante k z in der XY-Ebene und legen von ihm aus an dieconfocalen Flächen die Tangentialcylinder. Die Ebenen der Berührungskegel-schnitte gehen durch die Z-Axe und die Berührungskegelschnitte bilden eineFläche dritter Ordnung F z(oi) , auf welcher auch die Z-Axe liegt. Suchenwir zuerst die Schnittcurven der Fläche F^ (ao) mit den drei Hauptebenen.Diejenige mit der XY-Ebene ist der Ort der Berührungspunkte der zu OA z(aj)parallelen Tangenten an die in der XY-Ebene gelegenen confocalen Kegel-schnitte, wenn A« (oo) der angenommene Punkt ist.

Dieser Ort ist eine gleichseitige Hyperbel H z durch die Punkte Fj undF 2 , mit 0 zum Mittelpunkt und mit der Geraden OA z( „) zu einer Asymptote.

Die Polare von A z(OJ) in Bezug auf den unendlich grossen Kreis der con-focalen Kegelschnitte ist die andere Asymptote und steht in 0 auf OA zl>)senkreoht. Der unendlich ferne Punkt dieser Asymptote heisse A (z)(b) . DiePolarebene des Punktes A z( „, in Bezug auf die mit der Focalellipse zusammen-fallende Fläche zweiten Grades schneidet die Fläche F Z(£D) in der Z-Axe und inzwei mit s 12 , das ist die Polare von A z(o0 in Bezug auf K x , zusammen-fallenden Geraden, berührt demnach F z(oo) längs s 12 . Die Schnittcurve von F z(a=)mit der XY-Ebene besteht also in der Hyperbel H z und in der Geraden s 12 .

Die gemeinschaftlichen Punkte D' x und D' 2 beider Theile hegen auch aufder Focalellipse. In jedem dieser Punkte haben wir zwei Tangentialebenen anF“ (0>) , nämlich die XY-Ebene und die Ebene E' 12 , das ist die Ebene durch s 12und die Z-Axe. Diese beiden Punkte D\ und D' 2 sind folglich Doppelpunkteder Fläche dritter Ordnung F z([z) . Der Schnitt von F° (o0 mit der XZ-Ebenebesteht in der Z-Axe und in der Focalhyperbel, und derjenige mit der YZ-Ebenezerfällt in den imaginären Focalkegelschnitt K 3 und in die Z-Axe.

Bedeutet ferner Aß den unendlich fernen Punkt der Geraden s 12 , so be-steht der Schnitt der Fläche F z(oi) mit der unendlich fernen Ebene in einem