32

Durch jeden Punkt einer der drei Flächen dritter Ordnung Fj| (oc) , F^., undFz<») gehen eine gleichseitige Hyperbel und ein Kreis. Die Ebene der Hyperbelist diejenige, welche den Punkt mit der reellen quaternären Geraden durch0 verbindet. Die Ebene des Kreises ist diejenige, welche den Punkt mit derreellen quaternären Geraden im Unendlichen der Fläche dritter Ordnung ver-bindet. Beide Curven schneiden sich in dem Punkte so, dass ihre Tangentendie Ebene jedes der beiden auf der Fläche hegenden Focalkegelschnitte in zweisolchen Punkten treffen, welche die Eigenschaft besitzen, dass die Polare deseinen in Bezug auf den Focallcegelschnitt durch den andern geht.

Wir haben also im Ganzen 6 Systeme, gebildet aus Flächendritter Ordnung, den 6 Kanten des den confocalen Flächen zweitenGrades gemeinschaftlichen Poltetraeders entsprechend. In jederEcke desselben stossen drei Kanten zusammen und ergeben dreiSysteme von Flächen dritter Ordnung, die alle durch die Doppel-curve der Developpabeln in der gegenüberliegenden Tetraederebenegehen. Je zwei Flächen aus diesen drei Systemen durchdringensich ausser in einer Kaumcurve fünfter Ordnung entweder noch ineinem Kreise oder in einer gleichseitigen Hyperbel. Zieht man inden Punkten dieses Kreises oder dieser Hyperbel die beiden Tan-gentialebenen an die beiden Flächen dritter Ordnung, so schneidendieselben die Ebene des gemeinschaftlichen Focalkegelschnitts inzwei Geraden, von denen die eine den Pol der andern in Bezugauf diesen Focalkegelschnitt enthält. Nimmt man hingegen zweiFlächen dritter Ordnung, welche zwei Gegenkanten angehören,so ist ihre Durchdringungscurve von der neunten Ordnung und hatdie acht Doppelpunkte der beiden Flächen ebenfalls zu Doppel-punkten. Bemerkenswerth ist noch, dass drei solche Flächen,deren drei erzeugende Punkte in einer Geraden einer der vierPoltetraederebenen liegen, denselben Kreis oder dieselbe gleich-seitige Hyperbel enthalten.

Es wäre nun leicht, den Fall zu untersuchen, wo die confocalen Flächenzweiten Grades in Rotationsflächen übergehen, ferner auch den allgemeinenFall, in welchem uns anstatt der confocalen Flächen zweiten Grades eine all-gemeine Flächenschaar zweiten Grades vorhegt.