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hauteurs, cest à dire, que ie costé G K fera au costé G c’est à dire , G A àG B, comme Y ? hauteur du triangle G QJs est à Y A hauteur du triangle G Y K.De plus, les triangles AEY & B F Y estant l’un à Fautre en raison composte decelles de leurs costez 6c de leurs hauteurs, 6c la hauteur du triangle AEY estant
Y a, 6c Y v celle du triangle B F Y ; le triangle A E Y sera à B F Y en raisoncomposte des raiíòns du coste A E au coste B F & de la hauteur Y a a la hau-teur Y v. Mais la raison du costé A E à B F est encore composte des raisons deA E à E /u, c est à dire, ( à cause de la similitude des triangles AE/* 6c AGZ)de A G à G Z, de E^ à F », 6c de F » à F B, c’est à dire, GZ à GB (à causeque les triangles B F », B G Z font auffi semblables. ) La raison donc du triangleAEY à B F Y sera composte des raisons de AG a G Z, E à F », G Z a GB,Sc Y a à Y v. Mais il a esté démontré cy-dessus que Y a est à Y*comme GB està G A-, 6c les raisons deAGàGZ, 6cGZàGB font égales à celle de A G àG B, 6c partant le triangle AEY sera â B F Y en raison composte de A G à G B,GBà GA, & EiwàFfi: Mais les raisons de AG a G B, 6c GB à G A se détrui-sent ? ii ne reste donc plus que la raison de E -u. à F » pour celle du triangle AEYà B F Y : Mais E/^ est à F » comme E I à I F, c’est à dire, comme E H à H Fpar la construction , ou comme le triangle E Y H au triangle H Y F : Donc letriangle AEY sera au triangle B F Y, comme le triangle EYH à H Y F -, 6c enpermutant AEY sera à EYH comme B F Y à H Y F. Mais les deux trianglesAEY, EYH ayant une base commune E Y, font entre eux comme les lignesA V 6c V H ; 6c les deux B F Y, H Y F ayant la base commune F Y, sont entreeux, par la mesme raison, comme les lignes B X 6c X H -, il s’ensuit que A V est à
Y H comme B X est à X FI ; mais celles-cy sont égales par la construction: DoncA V sera auffi égale à V H.
Et partant la ligne E Y coupant A Fi en deux également en V ; 6c la ligne FYcoupant de mesme B Fi en X; auffi-bien que G Y la ligne A B en Z : il s’eníuitque les trois lignes E Y, F Y & G Y sont diamètres d’une Ellipse, dont le centreest Y, 6c qui touchera les trois lignes AC, BD 6c EF enA,B 5 c H.
II faut maintenant montrer que H T 6c í £ en font les diamètres de mesme con-jugaison ? 6c pour cét effet il faut des points E 6c F mener fur la ligne N M pro-longée les lignes E2 6c F R parallèles à H T, laquelle il faut continuer de part 6cd’autre, en forte qu’elle rencontre A C en & B D en £ ; puis da point F me-ner F L parallèle à B H, rencontrant T H en L ; 6c par le point X tirer L X, quirencontre B D en O, 6c mener Y O. En la mesme maniéré du point E il faut me-ner E 5 parallèle à A H, qui rencontre T H en 5; d où par le point V il faut tirer5 V, rencontrant A C en 3, 6c mener Y 3.
Maintenant, parce que Fi X est égale à X B, la ligne L F aura mesme raison àFune 6c à fautre-, mais comme L F est à FiX , ainsi ( dans le triangle L Y F ) laligne L Y est a Y Fi; 6c comme L F est à X B, ainsi (dans le triangle L O F)laligne L O est à O X : Donc L Y est à Y Fi comme L O à O X ; 6c par conver-sion de raison L Y est à L Fi comme L O à L X, 6c partant dans le triangle L Y O, labase Y O est parallèle à H X, c’est à dire, à L F, 6c les triangles Y X O, LXFsont semblables,auffi-bien que Y £ 0 , L 5 F: Et par conséquent Y 0 est à L F com-me Y X a X F, c’est à dire,Y Fi à Fi L: 6c Y Oà LF comme Y £ à £ L : Donc
Y Fi est à Fi L comme Y £ est à £ L-, 6c en permutant Y £ est à Y H comme £Là Fi L : Mais comme Y £ est à Y Fi, ainsi £ M est à M F, 6c comme £ L à L Fi,ainsi £ F à F B : Donc £ M est à M F comme £ F á F B, 6c en permutant6c par conversion de raison £ M est à M F comme M F à M B. Mais comme £Mest à M F, ainsi £ Y est à F R ou à son égale H Y; 6c comme F M à M B,ainsi FRest à B P, c’est à dire, H Y à S Y: Donc £ Y est à Fi Y comme H Y à S Y: Etpartant Fi Y sera moyennne Géométrique entre les deux £ Y 6c S Y : Mais Y T estégale à Y H : Donc la toute T £ sera divisée Harmoniquement aux deux points Fi
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