4 o SECOND PROBLEME

íòn L Y sera à L H comme L O á L X ; Et partant dans le triangle L Y O, la ba-se O Y sera parallèle à la ligne H X ou L F : Donc au triangle Y £ O , la li-

gne Y O sera à L F comme (Y à <^L; & aux triangles semblables Y X O, LXF,la mesme Y O sera à la mesme L F comme Y X à X F, ou comme Y H à H L:Et partant £Y sera á £L comme Y H à H L; &: en permutant, £Y à H Y com-me £ L à H L ; Mais £ Y est à H Y comme £ M à MF, & £ L à H L com-

me ^F à FB: Donc (M est à M F comme à FB; & en permutant, &; parconversion de raison £ M est à M F comme M F à MB. Mais comme £ M està M F, ainsi £ Y est à H Y, & M F est à M B, ainsi HYàYS: Donc £ Y està H Y comme H Y à Y S, c'est à dire, que H Y est moyenne Géométrique en-tre les deux ^ Y & Y S : Mais la ligne Y T est égale à Y H par la construction;Et partant la toute est divisée Harmoniquement aux points H & S, & la li-gne {S est moyenne Harmonique entre les deux £T & <?H,& la ligne Y moyen-ne Arithmétique entre les mesmes.

Par mesme raisonnement, & par le moyen de la la ligne E 5 nous démontreronsque la ligne H Y est austì moyenne Géométrique entre les deux ^Y & Y 4” : &que la toute T x est auffi divisée Harmoniquement aux points H 6 í en sorteque la ligne % ^ est moyenne Harmonique entre les deux T x & H x , &C la li-gne ^ Y moyenne Arithmétique entre les mesmes.

D où il appert que les rectangles x Y ^ & ^Y S estans chacun égal au quar-ré H Y, ils seront auffi égaux entre eux , & ils auront l'un &c l’autre mesme rai-son au quarré e Y, ou son égal Y sb. Mais la raison du rectangle x Y^ au quarré t Y,ou son égal N Y 4, est composée des raisons des lignes x Y à N Y ( c’est à dire, A 4à N 4 ) & de Y%/,ou son égale A J' à Y «f, lesquelles font ensemble la raison duquarré A ^ au rectangle N ^Y: Donc le rectangle ^Y-^, ou le quarré H Y seraau quarré r Y, comme le quarré A ^ au rectangle N $ Y: Or est-il que le rectan-gle N «s Y est égal au rectangle « ^ /3, comme il a esté tant de fois démontré cy-dessus : Et partant le quarré A £ fera au rectangle í 4 (b comme le quarré H Y auquarré r Y, ou prenant leurs quadruples, comme le quarré du diamètre H T auquarré du diamètre e /Z. Mais la ligne A 4 estant parallèle au diamètre H Y, est or-donnée á l’autre diamètre r sb : Donc le point A fera dans l'Ellipse, dont les deuxlignes H T, & í sb sont les diamètres de mesme conjugaison.

11 est notoire que le point H estant au bout d'un desdits diamètres, il est auffidans la meíme Ellipse. Mais pour prouver que le point B s*y trouve pareillement,il faut discourir en cette maniéré. Le rectangle (Y S est au rectangle M Y P enraison composée des raisons de £ Y à Y M, c’est à dire, B P à P M, & de Y S, ouson égale B P à Y P , leíquelles composent la raison du quarré B P au rectan-gle M P Y: Et partant le rectangle £ Y S, ou son égal le quarré H Y sera au rectan-gle M Y P, ou son égal le quarré Y@, ou Y e ( comme nous le démontrerons cy-dessous ) comme le quarré B P est au rectangle M P Y, ou à son égal (b P e (com-me nous le démontrerons auffi cy-destous, ) c'est à dire, que le quarré B P sera aurectangle (b P r comme le quarré H Y au quarré Y e; ou prenant leurs quadruples,comme le quarré T H au quarré ífb: Mais B P estant parallèle au diamètre T H,est ordonnée à l'autre diamètre * (b : Et partant le point B est dans l’Ellipse , dontles lignes H T &C í/b sont diamètres de mesme conjugaison.

Je dis de plus que cette Ellipse touchera les lignes A C, B D, & E F aux mesmespoints A, B, &c H: ce qui est premièrement constant par la 6. du z. des Coniquesau regard de la ligne E F, qui est menée au bout H du diamètre T H parallèle dl'autre diamètre r sb. Mais pour les deux autres, il faut raisonner en cette sorte. Dau-tant que la ligne B S est parallèle à e /A, elle sera ordonnée à T H ; mais elle divi-se la ligne T £ de telle forte en S, que la ligne £ S soit moyenne Harmonique en-tre les deux £T Sí £H. II s’ensuit par la 34. du 1. des Coniques, que la ligne B Dtouchera en B la susdite Ellipse.

De