4 z SECOND PROBLEME

Je dis qûe la section qui touchera les deux lignes A C 5e B D Lux points ALe B, Le la ligne E F; fera une Hyperbole, dont le centre fera au point Y*, 8e lepoint H celuy où elle touchera la ligne EF, Lc que si Ion mene indéfiniment laligne H Y, fur laquelle on prenne Y T égale à Y H, Le qu'aprés avoir tiré parlepoint Y la ligne M N parallèle à E F, fur laquelle des points A Le B tombent leslignes A -h Le B P parallèles i H Y; Ion prenne e Y moyenne proportionnelle Géo-métrique entre les deux N Y 5e Y ji , 5e que Ton faífe Y (b égale à % Y : lesdeux droites H T 5e e 0 seront les diamètres de mefme conjugaison de la susditeHyperbole.

La démonstration s’en fait en la mefme maniéré, Le preíque aux mefmes termes quecelle de la précédente proposition pour l’EHipfe; Le pour ce sujet, il faut première-ment mener des points E, H, Le E fur la ligne A B les lignes E^, H q>, 8e F n pa-rallèles à G Z, 5e argumenter en cette sorte. La ligne E^ est à F » en raison com-posée de celles de E ^ à A /x, ( ou G Z à A Z,) A a*. à Bu,8e B» à F», (ou B Z,ou A Z à G Z.) Mais la raison de G Z à A Z détruit celle de A Z à G Z , Lepartant la raison de E ^ â F » sera égale à celle de A à B ». De plus, parceque I H est moyenne. Harmonique entre les deux E I Le I F ; la ligne E H feraà H F, ou /u <p à (p », comme E I à I F, ou E f* à F «, ou A //. à B » : Donc A ^fera à B » comme jul <p à (p »; 5e la toute A <f> à la toute <p B comme la partie ju <pà la partie <p » , c'est à dire comme E I à IF. Mais la raison de E I à I F est parThypothefe plus grande que celle de G F à F B, ou Z « à B » : Donc la raison de A (pà B <p fera plus grande que celle de Z » à B «; 5e en composant Le permutant,celle de AB à Z B plus grande que celle de <p B à B ». Mais A B est doublede Z B: Donc <p B fera moindre que double de B»; c’est à dire, que <p » fera moin-dre que » B; Se dans le triangle H cp B, H t fera moindre que t B-, & partant r Bplus grande que B X , 8c sangle B F r , ou B G Z plus grand que sangle B F X,ou G F Y : Et partant la ligne X F rencontrera la ligne Z G continuée au dessusde G, comme au point Y.

Maintenant, aprés avoir mené par le point Y la ligne KY Q parallèle à A B,5c tiré du mefme point les deux lignes Y v 5c Y A perpendiculaires aux deux lignesA C G, 8t B D G prolongées -, je dis que la ligne K Q^jestant parallèle à A B,elle fera divisée en Y en la mefme raison que A B lest en Z, c'est à dire endeux également : Et partant les triangles G Y K, G Y feront égaux; 5c ils au-ront par conséquent les costez réciproques de leurs hauteurs, c’est á dire , que lecosté G K du triangle GK.Y fera au costé GQju triangle GQJs, comme Y?hauteur de GQY à Y a hauteur de G K Y; Mais comme K G est à GO , ainsi AGest à G B: Donc A G est à G B comme Y v est à Y a.

De plus, aprés avoir mené les deux lignes AY Lc B Y; dautant que les deuxtriangles AYE, BYF sont entre eux en raison composée de celles de leurs co-stez, Lc de leurs hauteurs; le triangle AYE fera à B Y F en raison composée ducosté A E au costé B F, 5c de la hauteur Y a à la hauteur Yf, c’est à dire, de laligne B G à A G. Mais la raison de A E à B F est encore composée de cellesde A E â E^, (ou A G à G Z,) E t* àF»,8cF»àF B,(ou GZ à G B.) Doncla raison du triangle A E Y au triangle B F Y fera composée de celles de A G à G Z,E/uá F », G Z áGB,5cGBàAG. Mais les raisons de AG à GZ, GZ à GB,& G B à A G fe détruisent : Donc le triangle A E Y fera à B F Y comme la li-gne E/x est à F », ou comme Elà IF, ou EH à HF,ou enfin comme le trian-gle E Y H au triangle F Y H ; 5c en permutant le triangle A E Y fera au trian-gle H E Y comme le triangle B F Y au triangle F Y H. Mais parce que les deuxtriangles AV Y, V H Y sont entre eux comme AV est à VH, austì-bien que lesdeux triangles A E V, E V H, les restes, fçavoir les triangles A E Y, E H Y fe-ront aussi entre eux comme AV est à V H. Par mefme raison nous montreronsque le triangle B F Y est au triangle F H Y comme B X est à X H : Donc AV

fera