der Linien zweiter Ordnung.

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Die Gleichung:

xy+2/y+2J'x+f' = o

ist nach der 239. Nummer die Gleichung einer Hyperhel, bezogen auf Coordinaten-Axen,die den Asymptoten derselben parallel sind. Hätten wir statt der allgemeinen Gleichungdes zweiten Grades (l) diejenige Gleichung betrachtet, die wir erhalten, indem wir blofs diedrei ersten Glieder derselben nehmen, und gleich Null setzen, mithin folgende ^Gleichung:

y 2 + 2 «xy+/jx 2 = o, (n)

so hätte diese hei derselben Coordinaten-Umformung folgende Form:

xy = o,

angenommen, und bedeutet also das System der neuen Axen, d;e den Asymptoten paral-lel sind. Jene Gleichung (li) stellt also, auf die ursprünglichen Axen bezogen, ein Sy-stem zweier geraden Linien dar, die den Asymptoten der Curvc parallel sind und durchden Anfangs -Punct der Coordinaten gehen. Diefs ist in Uebercinstimmung mit den Ent-wicklungen der 233. Nummer.

Wir erhalten hiernach für das Asymptoten-System selbst folgende Gleichung:

(y—y') 2 +2«(y—y’) (x—x')+;3(x—x') 2 = o,

(12)

wenn wir, wie in dem Frühem, den Mittelpunct derCurve durch (y',x') bezeichnen, Setzenwir an die Stelle von j und x' die in der 229 . Nummer entwickelten Werthe:

y =

ßy—ad ( , S—ay

a 1 —ß ’ X — ß ’

so kommt nach allen Reductionen:

y 2 +2axy+/?x 2 +2yy+2(5x-l-Ä = 0 ,

wenn wir, der Kürze halber:

d 2 — 2ady+ßy z ^

a 2 —ß

(i3)

(«*)

schreiben. Die so erhaltene Gleichung (13), die das System der beiden Asymptotenansdrückt, ist durchaus unabhängig von t, dem constanten Gliede in der allgemeinen Glei-chung des zweiten Grades. Alle verschiedenen Curven also, welche diese Gleichung:

y 2 +2«xy+/3x 2 +2yy+2dx+f = o,

darstellt, indem wir s nach einander alle möglichen Werthe geben; a, ß, y und d aberals ein für alle Mal bestimmt ansehen, haben dieselben Asymptoten. Nehmenwir f gleich X, so erhalten wir die Asymptoten selbst, und durch diese Bestimmung vont ist der Uebergang von denjenigen Hyperbeln, welche in einem Paare der von den Asympto.ten gebildeten Scheitel-AVinkel liegen zu denjenigen, welche von dem andern Paare dieserScheitel-Winkel eingeschlossen werden, bezeichnet. Stimmen die Gleichungen mehrererHyperbeln nur in den drei ersten Gliedern überein, so sind ihre Asymptoten blofsparallel.

Für den Fall der Ellipse reduciren sich die Asymptoten auf einen Punct, denMLittclpanet der Curve, für clen Fall der Parabel sind die beiden Asymptoten parallel, lie-gen aber unendlich weit entfernt. Die Richtung derselben ist zugleich die Richtung derbeiden, leicht aus der allgemeinen Gleichung zu bestimmenden, Durchmesser:

, ß , d

y+otx+y = 0 y +- x + - = 0« a

und demnach aller andern, da, wie wir sogleich noch bestimmter zeigen werden, alleDurchmesser der Parabel unter einander parallel sind. Diese Folgerungen, die unmittel-bar aus der Gleichung ( 12 ) sich ergeben, und überhaupt alle ähnlichen BetrachtungenSind nur in sofern von Bedeutung, als sie Eigenschaften der verschiedenen einzelnen Li-

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