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Zur Theorie

in den vier Puncten u, ß, y und d, welche (390 alle vier auf einer Linie zweiter Ord-nung- liegen, die mit den beiden gegebenen Curven dasselbe Chordal - System bat. Hier-nach können wir folgende Aufgabe auflösen:

Eine Linie zweiter Ordnung zu beschreiben , die durch die imaginären Durchschnittezweier . gegebenen und überdiefs durch einen gegebenen Punct geht.

Sey « der gegebene Punct; durch denselben ziehe man nach beliebiger Richtung zweigerade Linien, von welchen eine, AC, der einen Cnrve in A und C, die andere, A'C', derandern Curve in A' und C' begegne. Man ziehe ferner AA', welche die beiden Curvenzum zweiten Male in B und B', so wie CC', welche dieselben zum zweiten Male in Dund D' schneide, und endlich BD und B'D'. Alsdann schneiden die beiden geraden Li-nien AC und BD die beiden geraden Linien A'C' und B'D', aufser in «, noch in dreineuen Puncten ß, y und d der zu construirenden Cnrve.

Statt einer der beiden gegebenen Curven kann auch das Chor dal-System derselbengegeben seyn. NVenn die eine Chordale alsdann der Curve begegnet, die andere nicht,so ergibt sich eine der vorstehenden ganz entsprechende Construetion einer Linie zweiterOrdnung, die durch drei gegebene Puncte und zugleich durch die beiden imaginärenDurchschnitte einer gegebenen Linie zweiter Ordnung und einer, derselben nicht begeg-nenden, geraden Linie geht.

395. "Wenn eine Curve und auf dem Umfange derselben zwei Puncte gegeben sind,so können wir durch diese beiden Puncte eine gerade Linie und in einem derselben eineTangente an die gegebene Curve legen, und alsdann eine Curve construiren, welchedurch irgend einen gegebenen Punct a geht, und überdiefs mit der gegebenen Cnrve jenegerade Linie und jene Tangente zum Chordal - Systeme hat, oder, mit anderen 'Worten,dieselbe in einem der beiden auf ihrem Umfange liegenden Puncten osculirt, in dem an-dern schneidet. Diese Construetion können wir geradezu in der, in der vorigen Nummerangezeigten, lesen, wenn wir nur an die Stelle einer der beiden Curven, DABC undD'A'B'C', das eben bezeichnete Chordal - System setzen; und wir können zugleich, ähnlichwie in der 393. Nummer, die Richtung der durch a zu ziehenden geraden Linien so be-stimmen, dafs wir den Mittelpunct der gesuchten Curve auf der Stelle erhalten.

Fig. 29. Wenn der Osculations-Punct und der Durchschnitts-Punct sich in einen Osculations-Punct der höchsten Ordnung vereinigen, so besteht das Chordal-System aus zwei, in diegemeinschaftliche Tangente zusammenfallenden, geraden Linien; alsdann erhalten wirnach der in Rede stehenden Construetion unmittelbar nur einen einzigen neuen Punct derverlangten Curve. ’

Sey nemlich die äufsere der beiden Curven der 29. Figur die gegebene, die im PuncteO von einer durch a gehenden Curve vierpunctig osculirt werden soll. Man ziehe durcha die, übrigens beliebige, gerade Linie AC, die der Curve in A und C, und SN, die derTangente OS in S (in welchen Punct nach der vorigen Bezeichnung die vier Puncte A,B', C’ und D' zusammenfallen) begegne; ziehe ferner SA und SC, welche die Curve zumzweiten Male in B und D schneiden, und endlich BD, von welcher SN (A'C/) in einemneuen Puncte, y, der gesuchten Curve geschnitten wird.

Man "überzeugt sich leicht, dafs die früher gegebenen Constructionen der beiden Auf-gaben dieser Nummer aus den vorstehenden ^onstructionen als besondere Fälle sich er-geben (355, 356, 360).