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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

qui est ajoutée à fa) dans ÿ, doit rester constamment négativepour toute valeur très-petite de A, soit positive, soit négative.D’après les raisonnements du numéro cité, cette condition ne peutpas être remplie à moins qu’on n’ait/'(a) = 0 ; donc la tangente enMest parallèle aux abscisses. 11 est d’ailleurs possible qu’il y ait,entre deux intersections consécutives de la courbe avec l’axe Àx,plusieurs points pour lesquels la tangente soit parallèle à cet axe,comme cela arrive entre R" et R " ; et il est évident que les abscissesde ces points doivent toujours être racines de l’équation f'{x) = 0.

Donc, lorsque l’équation f(x) = 0 ne renferme point de racineségales, si on forme une suite décroissante composée : 1° de la limitesupérieure des racines positives de cette équation; 2° des racinesréelles de la dérivée f'(x) =0 ; 3° de la limite supérieure des racinesnégatives de la proposée; chaque racine réelle de la proposée seracomprise entre deux termes consécutifs de celte suite.

De là se tire immédiatement cette conséquence, qu’on déduit aussidelà figure, savoir : que le nombre des racines réelles de l’équationproposée ne peut pas surpasser de plus d’une unité le nombre desracines réelles de la dérivée. Et même on peut dire que le nombredes racines réelles qui , dans la proposée , sont affectées d'un certainsigne , -ou —, ne peut jamais surpasser de plus d’une unité lenombre des racines de même signe qui se trouvent dans la dérivée.

11 est bien entendu que les racines réelles de chaque signe peuventêtre moins nombreuses dans la proposée que dans la dérivée.

500. Je vais faire voir maintenant comment la Géométrie indiquedes méthodes pour approcher des racines des équations.

Reprenons l’équation

Ax m + B*-"-' + Cx m - 2 -f etc. = 0,

dont j’ai désigné le premier membre par fx) : je suppose qu’onconnaisse une racine avec un certain degré d’approximation ; et ils’agit d’en obtenir une valeur plus approchée.

Soit MM' (fig. 227) la courbe dont l’équation est y=fx), etsoit AR la racine dont on a déjà une première approximationP = AP. Menons l’ordonnée MP, la tangente MP', et calculons lasous-tangente PI V . On a tang MP'.r^/'Çp), et par suite