( 174 )

ad Y X, sicut S 0 ad Y n; atque ita porro. Erit proinde spatiumSA ad omnia spatia rZ, YX, etc., in infinitum, ut S© ad omnesr A , Y n, etc. quae simul efficiunt ipsam r A. Ergo etc.

Spatia quaevis duo a duabus perpendicularibus intercepta, utCE, GN, ( fig. 66) sunt inter se sicut perpendicularium differentiae,hoc est hic ut CH ad GL. Ducatur enim et GK parall. AB.

Quia ergo, per praeced., spatium C E est ad spatium infinitumDEA, ut CH ad HB, spatiumque similiter DF ad spatium in-finitum GFA ut D K ad K E, et invertendo et componendo spa-tium infinitum GFA una cum spalio D F, hoc est spatiuminfinitum DEA ad spatium DF ut DE sive HB ad DK, erit exaequo spatium C E ad spatium )) F ut C H ad D K. Eodem modoautem ostenditur spatium D C ad spatium G N ut D K ad G L.Ergo ex aequo erit spatium CE ad spatium G N ut CII ad G L.Quod erat ost.

Si curvam linea recta contingat et a puncto contactus in -asym-ptoton perpendicularis ducatur, erit pars asymptoti inter perpen-dicularem et tangentem intercepta, eidem semper lineae rectaeaequalis.

Sint hic tangentes (fig. 67 ) A E, BF et a punctis A,B, per-pendiculares in asymptoton AC, B D. Dico partes CE, DF esseaequales. Vel potius sic; sit A E tangens, sitque ipsi CE aequalisD F ,* dico et F B tangentem esse in B.

Sumatur enim in recta BF quodlibet punctum praeter B, ut 0,per quod ducatur perpendicularis POQ, etsumtaipsi DQ aequali CSin eandem partem , erigatur perpendicularis S IIG , secans tangentemA E in H, curvam vero in G. Erit itaque G S major quam H S.Est autem ul AC ad HS, hoc est ut CE ad SE, sive ut D F adQF, ita BD ad OQ. Et invertendo, ut HS ad AC, ita OQ adB D. Sed ut AC ad G S ita est B D ad P Q, propter intervalla