THUNCU'E DES LOGAKH HMES.

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Achille marche dix fois plus vite qu'unelortue qui a un stade d'avance sur lui : il estimpossible qu'il l'atteigne, disait Zenon. Carpendant qu’Acbille fera un stade , la tortueen fera ~ ; et pendant qu'il fera ce dixième,

la tortue avancera de qu'elle aura encored'avance , et ainsi de suite Jusqu'à l'infini :donc il s'écoulera un nombre inlini d'instantsavant que le héros ait atteint le reptile.

Le sophisme de ce raisonnement consisteen ce que l'on y suppose égaux les intervallesde temps pendant lesquels Achille parcourtsuccessivement le premier stade et ensuitele dixième, le centième, le millième destade..,, si cette égalité avait lieu, Achille n'atteindrait réellement pas la tortue. Maisen réalité, Achille n'emploie à parcourir

Tq > ToT ’ ïôVô- • • s * a ^ e • <I l,e la

dixième, que la centième, que la millièmepartie du temps qu'il a mis à parcourir lestade entier. En désignant donc par 1 cedernier espace de temps, les autres temps se-ront représentés par les nombres }

Tq- 1 ffjj-. • • et le lemps total sera égal à la sommedes terme» de la progression géométrique dé-

croissante 1,

1 +

10 ' 100 > 1000 '

c'est-à-dire

$ 9. Des logarithmes.

Utilité des logarithmes. — La manièredont nous avons mis en regard les propriétésdes proportions et des progressions pardiffé-rence et par quotient, a fait ressortir l'ana-logie frappante qui existe entre les résultatsdéduits des définitions des deux espèces derapports. En poussant cette analogie jusqu'àses dernières conséquences, on arrive à laconnaissance des logarithmes au moyen des-quels les multiplications sont ramenées à desadditions, les divisions à des soustractions, lesélévations aux puissances à de6 multiplications,et les extradions de racines à des divisionsEt cependant on remarque avec peiue quecette admirable découverte, faite il y a plusde deux siècles, par le baron écossais Neper\ouNapiei 1 ne se trouve point encore sufli-samment naturalisée en France .

« On a pu , » dit le savant M. de Pronv,« jusqu'à la Un du siècle dernier, trouver uiiefaible excuse à cette lacune de l'enseignementdu calcul élémentaire, dans la constituliou denoire ancien système métrique, fondé, en gé-néral, sur des divisions soit duodécimales, soitrapportées aux multiples et sous-inulliples de12, ce qui offrait quelque embarras pour l'em-ploi immédiat des labiés de logarithmes ;mais le nouveau système métrique français a totalement fait disparaître ces difUcultés ,et se prête , môme beaucoup mieux , aucalcul logarithmique que le système métri-que anglais . »

M. de Prony, dans le bul de populariser l'u-sage des logiiriihmes, a rédigé une instructionélémentaire à laquelle on ne peut reprocherque trop de longueur dans certains dévelop-pements. Celle que nous allons donner ici nerenfermera que les détails strictement neces-saires.

Origine f.t propriétés des logarithmes. —Si on compare deux progressions, l'une arith-métique , dont le premier terme soit zéro,l'autre géométrique, dont le premier termesuit l’unité, telle que ;

7-0 . 3.6.9.12 . 13 . 18 . 21 . 24 . etc.

1 : 2: 4 : 8 : 16 : 32 :64 : t28 : 236 : etc.

les termes de la progression arithmétiquesont appelés les logarithmes des termes demême rang dans la progression géométri-que.

Si on ajoute les termes 6 et 12 de la pro-gression arithmétique, et que l'on multi-plie l'un par l'outre les termes 4 et 16, qui ,dans la progression géométrique, correspon-dent respectivement à 6 et à 12 , la somme18 et le produit 64 se correspondent dans lesdeux progressions.

Donc le logarithme d'un produit est égalà la somme des logarithmes des facteur.'.

I.<* logarithme d'un quotient est égal à ladifférence entre les logarithmes du divi-dende et du diviseur.

Le logarithme d'une puissance quelconqued'un nombreest égal au produit du logarithmedu nombre par le degré de la puissance.

Le logarithme d’nne racine quelconqued’un nombre est égal au quotient du loga-rithme du nombre par le degré de la racinea extraire.

Le système de logarithmes que l'on emploieordinairement consiste dans l'ensemble desdeux progressions.

:-0.t. 2. 3. 4. 5. 6.

-H- 1 : 10 : 10U : 1000 : 10000 : 100000 1000000.

La seconde peut se meltre sous la formeH- , : 10 1 : )0 2 : 10 3 : tO 4 : (0 5 : 10 6 :

Table des logarithmes. — Pour que les pro-priétés des logarithmes soient applicables àtous les nombres, il suffit de concevoir quel'on ait inséré entre 1 et 10, entre 10 et100 , entre 100 et 1000 . etc., un très-grandnombre de moyens géométriques, de sorteque, parmi ces termes intercalaires qui diffé-reront très-peu les uns des autres, il y en aitdeux qui comprennent le nombre 2 ; deux au-tres qui comprennent le nombre 3; deux lenombre 4, etc. Si l'on a inséré entre les ter-mes consécutifs de la progression arithmé-tique, Ie6 mêmes nombres de moyens cqui-dilferents, ceux de ces termes intercalairesqui correspondront aux nombres les plus rap-prochés de 2, de 3, de 4, dans la progressiongéométrique, pourront être considérés commeles logarithmes de 2,d<-3, de 4, et jouirontdes propriétés précédemment énoncées.

Pour parvenir à insérer ainsi un grandnombre de moyens géométriques entre deuxquantités données, on peut imaginer que cenombre soit pris égal a une puissance de 2diminuée de l'unité, telle que 7, 13, 31 , 63,car alors on aura à extraire une racine d'undegré marqué par une puissance exacte de 2,telle que 8 , 16, 32, 64, et on sait que l’opé-ration n'exige que des extractions successivesde racines carrées. (Col. 38).

Quoi qu'il eu soit des procédés emplovéspour calculer les logarithmes des nombres,on conçoit de quelle utilité peut être unetable qui renferme , b côté des nombres en-tiers consécutifs, leurs logarithmes avec uneapproximation sufllsanle. Déduisons les ca-ractères principaux de cette table des deuxprogressions fondamentales qui se corres-pondent.

D'abord les logarithmes des nombres comprisentre 1 et 10,entre tüet 100, entre lüü et tOOO...ou entre 1 eHO 1 , entre 10 1 et 10 2 , entre 1ü 2 et

10 ,... soûl respectivement compris entre o et1, entre 1 et 2, entre 2 et 3, etc... Or si l'an