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durch alle Puncte der Projection der gegebenen Curve auf die Ebenexy Genüge geleistet; oder mit anderen Worten: y =/(x) ist dieGleichung dieser Projection selbst, in so ferne man sie auf ein in derProjektionsebene angenommenes Coordinatensystem bezieht. Eben so istz = /' (x) die Gleichung der Projection derselben Curve auf die Ebenexz, und dasselbe gilt auch von den Gleichungen Veränderen Curve.

Wird nun gefordert, daß zwischen beiden Curven eine Berührungder lA"' Ordnung Statt finde, so müssen folgende Gleichungen bestehen:

-F( x ) = /O), dF(x) = df(x), (i‘F(x) = ii l /(x) / ....

. . . . d a F (x) = d n f(x),

F 1 0) =/' (x) , d F'(x) — df‘ (x) , d 1 F< (x) = d*S‘ 0), ........ d" jF'(x) — d*f‘ (x),

mittelst welcher man die in den Gleichungen (g) erscheinenden Constan-ten, vorausgesetzt, daß sie in hinreichender Anzahl vorhanden sind,dermaßen bestimmen kann, daß wirklich zwischen beiden Curven in demPuncte x, y, z eine Berührung der n^en Ordnung zu Stande kömmt.Es ist also zum Vorhqndenseyn einer solchen Berührung bloß erforder-lich, daß für beide Curven sowohl die Coordinaten deö Berührungs-punctes, als auch die Differenzialien dieser Coordinaten der Reihe nachbis zu jenen der Orbiutug mit einander übereinstimmen ; daher kannman die erwähnten Constanten bestimmen, wenn man die Gleichungenbeider Curven i> Male hinter einander differenzirt, und alle nun vor-handenen Gleichungen zusammen bestehen läßt, die gegebenen Gleichun-gen der Curven mögen obige Formen (8), (9) haben oder nicht.

Man sieht aus dem hier Gesagten ohne weitere Erinnerung, daßzwischen einer geraden Linie und einer Curve im Allgemeinen bloß eineBerührung der ersten Ordnung bestehen kann, denn die Gleichungeneiner Geraden im Raume enthalten in ihrer allgemeinsten Form bloßvier beständige Größe», welche demnach eben hinreichen, die Ge-rade durch einen gegebenen Punct der Curve so gehen zu lasten, daßdort die ersten Differenzialien ihrer Coordinaten mit jenen der Curveübereinstimmen. In besonderen Fällen, nämlich für speeielle Puncteder Curve, kann jedoch diese Berührung zn einer höheren Ordgungsteigen, wie wir weiterhin zeigen werden.

Stellen wir uns »un vor, zweien in einem Puncte sich begegnen,den Flächen gehöre daselbst die nämliche Berührungsebenc, d. h. zwi-schen den Flächen finde in dem genannten Puncte eine Berührung