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portent d’une manière déterminée. Cette équation unefois trouvée, toutes les particularités de la courbe endécoulent naturellement, comme aussi celles qui peu-vent résulter de son concours avec d’autres lignes quel-conques dont les équations sont données.

C’est ainsi qu’en combinant les équations du cercle etde la ligne droite nous pourrons déduire toutes les pro-positions géométriques qui se rapportent à ces lignes.Voyez Cercle .

26. L’équation générale du second degré à doux in-déterminées est de la forme ( voyez Equations )

Ax 2 -j- B^ 1 -j- C xy -f- Dx -j- E \y F = o.

Or, en supposant A=i,B=ietC = o, cette équa-tion devient

x 1 + y* + Do: ■+■ Ey -J- F = o.

Faisant dans cette dernière

D = — E = — 2 p, F = q* -J- p 1 — r 2 ,elle se réduit à

x 2 +y* — iqx — npy + q + P* — r 2 = o,équation que nous avons trouvée pour le cercle.

L’équation du cercle n’est donc en effet qu’un casparticulier de l’équation complète du second degré.

27. En cherchant les équations des courbes par la mar-che indiquée ( 25 ), nous trouvons

y* = Ax

pour celle de la parabole, voyez Parabole;

A 1 y 1 + B* x* = A* B 1 ,pour celle de l’ellipse, voyez Ellipse ; etA 2 y 1 — B 1 x 1 = — A 2 B 2

pour celle de l’hyperbole, voyez Hyperbole.

Ces trois équations sont encore évidemment des casparticuliers de l’équation générale du second degré àdeux indéterminées.

28. Mais si, au lieu de chercher ces équations par lespropriétés connues des courbes, nous construisons di-rectement l’équation générale du second degré qui lesembrasse toutes, chacune de ces courbes sera détermi-née par des hypothèses particulières faites sur les coeffi-ciens de l’équation, et leurs propriétés fondamentalesse déduiront aisément de leurs équations individuelles.Voyez Construction.

Il en est de même pour les équations des degrés su-périeurs. Voyez Courbes .

29. Géométrie a trois dimensions. La position d’unpoint dans l'espace indéfini est déterminée lorsqu’onconnaît ses distances à trois plans donnés.

Soient trois plans YAZ, XAZ, XAY perpendiculairesentre eux, et dont les sections sont les trois droites AZ,

AY, AX, dont chacune est ainsi perpendiculaire auxdeux autres. V^oyez Plan .

Désignons par m, n, p les distances d’un point O àces trois plans, et supposons d’ailleurs que ce point soitsitué dans l’angle trièdre AXYZ.

Prenons sur AX, A/n = /n; sur AY À, n = n; sur

AZ, A p = p, etmenons par lespoints m, n, p,des plans parallè-les aux plans don-nés. Le point Osera situé à l’in-tersection com-

mune des trois '

Y'

A-s

-X

plans parallèles,etconséquemmentsa situation dansl’espace est entiè- y/rement fixée. En effet, puisque les deux plans O m et Onont tous leurs points placés aux distances m et n des plansYAZ et XAZ, l’intersection O o de ces plans aura éga-lement tous ses points à ces mêmes distances de YAZ etde XAZ : ainsi, le point O devant se trouver en mêmetemps sur les deux plans Om et On, ne peut se trouverque sur la droite Oo qui leur est commune. De plus, cepoint doit également se trouver sur le troisième planparallèle pO placé à une distance p de XAY ; donc cepoint ne peut être autre part qu’en O, où le plan pOcoupe encore l’intersection Oo.

Ou désigne par x, les distances au plan YAZ, comptéessurAX; par y, les distances au plan XAZ, comptées surAY ; et enfin par z, les distances au plan XAY, comptéessur AZ. De cette manière, les trois intersections AX,AY, AZ sont les axes des x, des y cl des z. O11 lesnomme axes coordonnées, et x, y, z, ou les distances auxtrois plans, se nomment les coordonnées du point.

On nomme encore, pour abréger, plan des yz, leplan YAZ perpendiculaire à l’axe des x; plan des xz,le plan XAZ perpendiculaire à l’axe des^ ; et plan desxy le plan XAY perpendiculaire à l’axe des z. Ce dernierplan est considéré ordinairement comme ayant une po-sition horizontale. D’après ces notations, les équationsdu point O sont j

x = m, y — n, z = p,

et les quantités m, n, p , lorsqu’elles sont connues suf-fisent pour fixer la position du point dans l’espace.

Comme les trois plans coordonnés, étant prolongésindéfiniment en tous sens, forment huit angles trièdresau point A, pour déterminer dans lequel de ces anglesest situé le point, on regarde comme positives les dis-tances comptées sur AX à la droite de A, et comme né-