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vancer vers la place en se mettant à couvert ae son leu.Voy. Fortification.

APPPlOXIMATION (Arith. et Alg.). Méthode d’é-valuer une quantité en approchant de plus en plus desa véritable grandeur. A l’exception des nombres ra-tionnels, entiers ou fractionnaires, tous les autres nom-lires n’ayant point de rapport fini avec l’unité , lors-qu’il s’agit de les mesurer ou de les comparer à Y unité',on a besoin de connaître les nombres rationnels dont ilsdiffèrent le moins, afin d’assigner les valeurs approchéesdes rapports qu’il est impossible d’obtenir exactement.Par exemple, si l’on voulait comparer \/2 , à l’unité,où si l’on désirait connaître combien d’unités et de par-ties d’unité contient \Zi , il faudrait calculer les nom-bres rationnels qui diffèrent le moins de la véritable va-leur de y/a; et comme cette véritable valeur, expriméeen fractions décimales, contient un nombre infini dechiffres, il est évident que plus on prendra de ces chif-fres, et plus on approchera du rapport exact de i et dey/a. C’est ainsi qu’en se contentant d’une valeur appro-chée à moins d’un centième , on a

\/2 = i,4i....

Que si l’on demande cette valeur, à moins d’un mil.lième , on a

y/a= 1,414...

Et qu’enfin si l’on a besoin de pousser l’approximationJusqu’à un dix-millième , on trouve

y/a = 1,414a....

Or, la méthode d’approcher ainsi de plus en plus dela grandeur d’une quantité est ce qu’on nomme approxi-mation.

Dans les calculs ordinaires on se contente encore desValeurs approchées des nombres fractionnaires , lorsqueces nombres sont exprimés par une trop grande quantitéde chiffres pour que leur rapport avec l’unité dont ilsdépendent, puisse être facilement apprécié. C’est ainsi,Par exemple, qu’ayant trouvé i 5 o mètres et 4 HHmètre, pour résultat d’un calcul dans une question où ilest inutile de considérer les quantités plus petites que leiiillimètre , on réduit la fraction ordinaire en fractiondécimale en s’arrêtant au troisième chiffre du quotientde la division ; ce qui donne

4 q 85

29643

0,168....

E’ où l’on conclut que le résultat trouvé est, h moinsd un millimètre près, égal à i 5 o m , 168. Dans ces sortesde questions, l’approximation est toujours suffisantel°rsqu’e]le s’élève aux plus petites subdivisions des quan-htés sur lesquelles on opère.

ïl y a encore, pour les fractions ordinaires , une ap-proximation d’une nature différente : c’est lorsqu’on

demande d’autres fractions ordinaires qui diffèrent très-peu des proposées , et qui soient exprimées par de pluspetits nombres. Voyez, pour toutes ces questions, lesmots : Fraction, Fraction décimale et Fraction con-tinue.

Quant à l’approximation des nombres incommensu-rables , voyez Extraction des racines.

Approximation des racines des équations. La résolu-tion théorique des équations, à partir du cinquièmedegré, étant encore un problème au-dessus des forcesactuelles de la science , et celle même des équations dutroisième et du quatrième degré étant souvent très-la-borieuses parles règles générales, les efforts des géomè-tres se sont tournés du côté des méthodes d’approxima-tion. Sous ce rapport, du moins, leurs succès ont étéplus complets. Sans parler ici des premières tentativesde Viè'e, qui ne peuvent plus compter que pour l’his-toire de l’algèbre, nous allons exposer successivementles procédés généraux que l’usage a consacrés.

Le plus populaire de ces procédés est dû à Newton ,qui le communiqua à Barrow dès l’année 1669, dans sonécrit intitulé : Analysis per œqualiones numéro termi-norum injinilas. Voici en quoi il consiste :

Soit l’équation générale du degré m , ayant des raci-nes réelles,

as* 1 Ai a;" -1 -J- As x m "* -f- As as'”" 5 -f- etc... -}-A m =0.et soit a, une valeur approchée d’une de ces racines, va-leur qu’il est toujours possible de trouver, à moinsd’une unité près. Voy. Limites.

Désignons par z, la quantité dont a diffère delà véri-table valeur de a;, et nous aurons l’égalité= a-f-z.

C’est donc la valeur de s qu’il s’agit de déterminer.Pour cet effet, substituons (a -{-z) à la place de x dansl’équation proposée, elle deviendra

(a-fz) m + Ai A, (o-j-z)"”-* -f etc..

-f" A m = O.

Développant les puissances des binômes, en ordonnantpar rapport à z , nous obtiendrons une équation en z dela forme

B -f- Bi z -|- B» z 1 -}-Bj z 3 -J- etc... -f- z m = 0.

Or, a ne devant différer de x que d’une quantité plus pe-tite que l’unité, z sera une fraction, et par conséquent z 1 ,z 3 , z 4 , etc., seront aussi des fractions de plus en pluspetites. Négligeant donc les termes où ces quantités setrouvent, nous aurons l’équation

B Bi z = o,

d’autant plus exacte que z sera plus petit. La valeur ap-prochée de z sera donc

B

Z ~ B,

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