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x=—3; tandis que, par les formules ci-dcssus, la plussimple de ces racines est

* f . , i ioo . io ioooo , "]

,r —— ' /3 L I+ 9 'â43 + Ï43 ' 5 9 o4g +

série si peu convergente , qu’un très-grand nombre determes ne peut faire soupçonner sa véritable valeur.

La difficulté du cas irréductible se présenta bientôt àCardan, lorsque Tartalea lui eut communiqué sa mé-thode pour résoudre les équations cubiques. Dans unelettre adressée à ce dernier le 4 août i53t), Cardan luiannonce que la méthode est en défaut pour l’cquationx 3 —qx— io=o, et demande des explications à ce su-jet. Dans sa réponse, loin d’aborder la question , Tar-talea s’étend en récriminations sur la conduite de Car-dan , qui allait à cette époque rendre public ce qui luiavait été confié sous le secret ; il se contente de lui direqu’il n’a pas su employer la formule , et qu’elle est ri-goureuse dans tous les cas. Mais Tartalea 11’était pas ca-pable de lever une difficulté demeurée insurmontableaux plus grands géomètres.

L’emploi des fonctions trigonométriques fait dispa-raître les quantités imaginaires des racines (a) dans lecas irréductible ; et ces fonctions présentent ainsi lemoyen le plus prompt et le plus direct pour résoudreles équations du troisième degré. C’est ce que nous al-lons développer : reprenons la racine (b)

x=V/[A+Bv / —1]+ >/[>—• ÜV —']>

et remarquons que nous pouvons donner à la quantitéA-j-By' —1 la forme (c) 1

y/A’+B’ | + + y/ A , _j_ 3/V/ 1 1 ’

ce qui est évident.

Mais A et B étant des quantités réelles, \/ A’-j-B 1 estplus grand que A; et, par conséquent, est

g

nlus petit que l’unité. Il en est de même de —; - -

1 1 x/A'+ü*.

On peut donc supposer que —^====1- est le cosinus

d’un arc inconnu z, puisqu’en prenant le rayon pouruuité, les cosinus peuvent avoir toutes les Valeurs com-prises entre o et 1. Or, de l’égalité

on tire

cosz =

A

Y/A’+B»

»in‘z = 1 — cos 1 :

A*

1 A>+B’ ’

sin’z =

et enfin

__B> _A>+B> ’

B

Sili: = -

V/A’+È 1

L’expression (c) devient donc

\/A’-j-B’ [cosz-{- sinz\/—1],

et l’on a conséquemment

3 s_ I

Y/jA-j-By/—1] = Y/A’+B 1 [cosz+sinz\/—1]*,

On obtiendrait de même

Y/[A-}-B y/—1] = Y/A’-f-B’fcosz—sinzY/—1]*.Ces valeurs substituées dans ( b ) donnent (d)

x = i\/A'-\-ÿ >' 1 . cosjz,en observant que ( voy . Sinus)

£

( cos z±sinzY/—i ) 3 = cos^rhsin-j-z.

Pour rapporter cette dernière valeur de x aux racines(a), nous avons

A = -i2

v / -'- b = v / R +9

pî o*

étant négatif et plus grand que ~- dans la dernièreégalité. Or,

nous avons donc

»-v [$-?]•

Substituant ces valeurs de A et de B dans (d), nousobtiendrons définitivement (e)

x = acos^z. Y/^-

L’arc z étant donné par la relation {f)

37^/3

cosz = -

*pVp

Telle est donc l’expression générale et réelle d’une de 3racines de l’équation

x 3 — px-j-7 = o

lorsque ~j ^ r /j c’csl-à-dire dans le cas irréductible

ou