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Les deux autres racines se produisent également sousu ne forme à la fois réelle et finie; mais sans entrer dansdes calculs qui du reste n’offrent aucune difficulté, con-tentons-nous de faire observer que la formule (e) ren-ferme déjà implicitement les trois racines par les va-leurs différentes de z, que donne la relation {f). Eneffet, p étant la demi-circonférence du cercle dont lera yon est i, les arcs z, 2p-|-z, 4 p-\~ z > Gp+z » etc..., ontteus le même cosinus ( voy . Sinus). Ainsi, on peutprendre indifféremment le tiers d’un de ces arcs pourle substituer dans («); mais, à cause de la périodicitédes valeurs des sinus et des cosinus, il n’y a que les troisarcs

Z 2p+|z 4p + Z

3 ’ 3' ’ 3 ’

qui donnent des valeurs différentes pour leurs cosinus,teus les autres se réduisent à ces trois derniers. Or,

2j5 + Z_36°°-|-3 3“

I 20°-f-4z,

et

<£+i = 2îÇ+5 =a 4„.+4 5 .

dont le tiers est jz = — 49° 6' 27"; l’arc jz étant néga-tif, nous avons

cos(i2o-|-jz) = cos(i2o 0 — 49 ° 6' 27") = cos (70° 53 ’ 33 "cos (240-Hz) = cos(24o°—49° 6' 27")=cos(i 9 o°53'33").

Le cosinus d’un arc négatif étant le même que si l’arcétait positif, les trois racines cherchées sont donc

1.. .. x = 2 y/ 2. cos ( 49° G' 2 7")

2.. .. x = 2 y/ cos ( 70*53' 33 ")

3 .. .. x = 2 y/ 2 . cos ( 190° 53 ' 33 ").

La dernière racine est négative et se réduit à

3 .... x = — 2 \ f 1 . cos ( io° 53 ' 33 ")

à cause de la propriété générale, cos ( 18o° -j- v) = — coRéalisant les calculs nous trouverons

Log 7 = 0,8450980Log 3 = 0,4771212

Les trois valeurs de x , ou les trois racines de l’équation* 3 —px-J-<y=o sont doue

p

1..., x=2 cos-jz. \/ ^

2. . . .X=2C0s(l20° +ÿz )\/2

3 . . . . X=2 COS (240° -f- \z) V/ ^

0,3679768Log ~ = o, i83 9 884Log 2 = o, 3 oio 3 oo

Log 2 y /2 = o, 485 oi 84 *

Première racine

Appliquons ces formules à l’équation x 3 —7X-j-6=o,nous avons p =7 , 7=6 , et par conséquent

cosz =

18. v /3

74TV7'

Lour ne pas tenir compte du signe —, rappelons-nous

que

nous aurons

Opérant

cosz = cos(i8o°+z),

cos(.8o°+z) = ^

Par logarithmes, nous trouveronslog cos(i8o°-)-z) = 9,92515607.

' ou

i 8 o° + z = 32 ° 40' 4 i",par conséquent

Log 2 \y 2 = o, 485 oi 84Log cos ( 49“ 6 ' 27") = 9/ 8i6oi 16

o, 3 oio 3 oo = Log u.

Seconde racine

Log 2 y/ 2 = o, 485 oi 84

Log cos ( 70° 53 ' 33 ") = 9,5149816

0,0000000 = Log. 1.

Troisième racine

Log 2 y/ | = o,485oi84

Log cos ( io° 53 ' 33 ") = 9,9921028

0,4771212 = Log 3 .

Les racines de x 3 — 7X -f- 6 = o, sont donc x = 3,x = i, x = — 3 .

;=-,47°

'9 19 »

On peut encore se servir des fonctions circulaires ou