CE

CE

3*3

et que, par conséquent,

cos’z -J- cos*z. tang’z = i.

D’où l’on tire

cos’z =

I

i -J-tang’z"

Substituant dans (b ), nous aurons

ou(c)

dz —

d tan g zi-j-tang’z

dz

dx

l + X 1 ’

en remplaçant tangz par x.

En prenant l’intégrale des deux membres de cetteégalité, nous obtiendrons [d)

z

dx

i x

C,

C étant une constante arbitraire que nous détermineronsplus tard.

Ainsi pour connaître l’arc z, il faut intégrer l’expres-

sion — • cette intégration se fait par série de lama-

i + x* ’

uière suivante : on a

Telle est donc la série qui donne l’arc par la tangente;ainsi, faisant x = i, cas où nous avons z =: ~ tt, nousobtiendrons l’expression très-remarquable ( f).

.1 1 . i i . i

TT =4] I —etc.

qui est due à Leibnitz et à laquelle il est parvenu pardes procédés bien différens.

Cette série est très-peu convergente, niais on enseignedans tous les ouvrages de mathématiques les moyens dela transformer en d’autres d’une convergence telle qu’ilest plus facile d’obtenir 200 décimales exactes par leurmoyen, que d’en calculer 20 parle procédé d’Arclii-mède.

33. Les nouvelles fonctions introduites dans la sciencedes nombres par Vandermonde et ensuite par Kramp ,sous le nom d e factorielles, donnent une expression dunombre TT, dont nous allons exposer la déduction commeun exemple de leur usage.

Le binôme des factorielles ( voy. ce mot ) étant ap-pliqué au développement du trinôme {a-\-b c) b \ — 1donne

( a+b+cÿ=(a+b) u ~ *-f b{a+b) b ~ l| - 1 c 11 ~

dx

I -\-x*

: dx ( I -J- X ' )—

développant le binôme ( 1 — f— x' 1 ) 1 par la formule de

Newton {Voy. Binôme), et multipliant ensuite chaqueterme par dx , nous obtiendrons

P dx Pi «j 1 (rt-|-£-|-c) il——1= ( a -\~b) 'a

J — — J J dx — x*dx + x*dx — x 6 dx-\- v

+ ifc_ , i(a + ù) i - a| - 1 c a| -‘+etc...

Multipliant les deux membres de cette égalité para~ ê i — 1 , elle devient (i)

-f- x % dx — etc... |.

Prenant l’intégrale terme par terme, en observant qu’ona en général,

/ , x m + l

x m dx= -;-.

»l+ 1

ce tte expression devient

-J- 1 «~ 41 ~ 1 c 11 ' 1

c >i-i

b{b+i)(b+ i)

1.2.3

(a-J-È) J ~3i —*i —1 (, 31—1

X 3 , X S XT , *9 X rt« - 4 -^* = x - T 1 —F --

3 5 T Q II

+ etc..,

el n °us avons définitivement (e)* = x -Quant à la

* * _ î! + £!_£1 I + etc.

3^5 7 9 11

constante, elle est nulle; car, si nous ob-setvons qu e l orS q tte z est o, nous devons avoir x = o ,el que dans ce cas, l’égalité (e) devient o = o + C, on^uit immédiatement que C = o.

+ etc....

t

Mais, nous avons en général (Voy. Factorielles)a mH = a bU { a — bz ) m ~ lu >

et par conséquent, en faisant m — — ni ■ b = — b etz = —• 1 ,

»

Ainsi, en vertu de cette dernière expression, nousavons successivement

4 °