MA.

MA

215

nécessairement que <j>x devienne zéro lorsque çx ledevient, car sans cela le rapport de ces deux fonctionsi;e pourrait devenir l’objet d’une détermination géné-rale. Ainsi la quantité A doit être telle que

Fx = A

lorsque la variable x reçoit la valeur qui rend çx = o,et, par conséquent, «ta? = o, d’où U suit que cettequantité est indépendante de x.

Maintenant le rapport des quantités <!>x et çx étant

successivement,

Fx = A + *x ■ & ,Fx

QX

t Fx = B' -j-^x ; -??- = F#i<t>x

.Fa; = C' a; : 5 ?- = 3 Fx1 * 7 ,$x 3

etc. = etc.

D’où, en substituant,

<j>x

<px'

ou

ça;

si nous ne considérons en premier lieu que le rapport

direct îî nous aurons, en le désignant par F,x,

œx

9 x

et cette fonction F,x qui doit avoir dans tous les casune valeur déterminée, pourra subir une transforma-tion ultérieure.

F, a; = B + <t> t x

Fx = A fX

B' +.y*

C'

D' -j- etc.

ce qui est la Forme générale de ce qu’on appelle frac-tions continues , également dans le cas simple d’unemême mesure cpx.

Les séries et les fractions continues sont donc lesdeux branches particulières de la classe générale desprocédés techniques qui dépendent de l’algorithme dela numération.

19. Reprenons maintenant la seconde forme detransformation

*iX étant une quantité toujours comparable avec yx ,c’est-à-dire qui devient zéro lorsque yx = o , et B unequantité telle que l’on ait dans le même cas

FjX = B.

Exprimant de nouveau par F,# le rapport directdes quantités «t.x et yx, nous pourrons transformer lafonction F.x, en

F,x=-C + 3 ..X,

et en poursuivant successivement ces décompositions,nous trouverons, en rassemblant les résultats,

Fx — A -J- qfx

<t>x =. (B -j- $,x). yx

<t>iX = (C -f- <J> 3 x). yx

Fx = A X >

qui répond à l’emploi de l’algorithme des facultés. Icila quantité A peut être réellement dépendante ou indé-pendante de la variable x, et les transformations de cesecond cas diffèrent essentiellement de celles du pre-mier, où cette quantité A est nécessairement indépen-dante de X, c’est-à-dire une quantité constante. En con-sidérant la quantité A comme dépendante de x, elledoit être telle qu’étant réduite à zéro par une valeurparticulière de x, cette même valeur rende Fx égaie àzéro, afin que la fonction <J>x ait une valeur finie. Ainsicette quantité A étant généralement comparable avecFx, forme elle-même la mesure de cette fonction ; désiguant donc par / 0 x la fonction arbitraire A, la pre-mière transformation deviendra

4>«X = (D -J- <tox). yXetc. = etc.et > en substituant,

Fx = A-)- Btpx -f- C(yx)> -f- D(yr) 3 -|- etc.

^ qui est la forme générale de ce qu’on appelle séries ,u ntoins dans le cas simple où les transformations

s * cp 1

u’etuent avec la même mesure yx.

>8. Si nous opérons les mêmes transformations en

11(> us servant du rapport inverse —, nous obtiendrons

<l>x

Fx =j a x X Q* >et tes autres transformations seront

<j>x =/.x X fi-*

=f,x X<t,X =/ 3 X X *1*

etc.... etc....

Les fonctions arbitraircs/.x , f,x, / 3 x , étant respective-ment prises pour la mesure des fonctionso.Xj^x,*,*, etc.

9