58 GÉOMÉTRIE.

Par exemple, si l’on trouve que GB est contenuri eux fois justes dans FD, BG sera la commune mesuredes deux lignes proposées. Soit BG= i, on aura FD= 2 ; mais EB contient une fois FD plus GB ; doncEB = 3 ; CD contient une fois EB plus FD ; doncCD = 5; enfin AB contient deux fois CD plus EB;donc AB= i3 ; donc le rapport des deux lignes AB,CD, est celui de i3 à 5. Si la ligne CD étoit prisepour unité, la ligne AB seroit y, et si la ligne AB étoitprise pour unité, la ligne CD seroit y.

Scholie . La méthode qu’on vient d’expliquer estla même que prescrit l’arithmétique pour trouver lecommun diviseur de deux nombres ; ainsi elle n’a pasbesoin d’une autre démonstration.

Il est possible que, quelque loin qu’on continuel’opération, on ne trouve jamais ùn reste qui soitcontenu un nombre de fois juste dans le précédent.Alors les deux lignes n’ont point de commune me-sure, et sont ce qu’on appelle incommensurables : onen verra ci-après un exemple dans le rapport de ladiagonale au côté du quarré. On ne peut donc alorstrouver le rapport exact en nombres ; mais en négli-geant le dernier reste, on trouvera un rapport plusou moins approché , selon que l’opération aura étépoussée plus ou moins loin.

PROBLEME XV XII.

Deux angles A et B étant donnés , trouver leur 'commune mesure, s’ils en ont une, et de là leur rap-port en nombt'es.

Décrivez avec des rayons égaux les arcs CD , EF,qui servent de mesure à ces angles ; procédez ensuitepour la comparaison des arcs CD, EF, comme dans leproblème précédent ; car un arc peut être porté surun arc de même rayon, comme une ligne droite surune ligne droite. Tous parviendrez ainsi à la com^ ■