LIVRE III. 71

la partie BIILK est égale au rectangle EDGF, carBH=DE et BK=EF; donc AKLE—ABHE+-EDGF.Or ces deux parties forment le quarré ABIF moinsle quarré DHIG, qui est le quarré fait sur BC; donc

enfin ( AB H- BC ) X ( AB — BC ) =ÂB — BC !

Scholie . Cette proposition revient à la formuled’algebre (a ■+■ b} (a — b)-=. a—? b \

PROPOSITION XL'

THEOREME.

Le quarré fait sur l’hypoténuse d’un triangle rec-tangle est égal à la somme des quarrésfaits sur lesdeux autres cotés.

Soit ABC un triangle rectangle en A : ayant formé fig.iogdes quarrés sur les trois côtés , abaissez de l’angledroit sur l'hypoténuse la perpendiculaire AD quevous prolongerez jusqu’en E ; tirez ensuite les diago-nales AF, CH.

L’angle ABF est composé de l’angle ABC plus l’an-gle droit CBF : l’angle CBH est composé du même /angle ABC plus l’angle droit ABH; donc l’angle ABF= HBC. Mais AB—BH comme côtés d’un mêmequarré, et BF = BC par la même raison ; donc lestriangles ABF, IIBC, ont un angle égal compris entrecôtés égaux; donc ils sont égaux *.

Le triangle ABF est la moitié du rectangle BDEF,

(ou pour abréger BE) qui a même base BF et mêmeFauteur BD *. Le triangle HBC est pareillement lamoitié du quarré AH, car l’angle BAC étant droitainsi que BAL, AC et AL ne font qu’une mêmeligne droite parallèle à HB ; donc le triangle HBC etle quarré AH, qui ont la base commune BH, ontaussi la Fauteur commune AB ; donc le triangle estla moitié du quarré.

■6,1.

"pr. 2.